Le document traite des objets et méthodes récursifs dans la programmation, en expliquant le principe de la récursivité et la technique de 'divide and conquer'. Il présente des exemples concrets, tels que le calcul de la suite de Fibonacci et du facteur, ainsi que leur implémentation en langage de programmation. Enfin, le document aborde la preuve de terminaison des méthodes récursives et leur coût d'exécution.

1. •ommaire
• Introduction
« Objets récursifs
• Méthodes récursives
• Divide & Conquer
© L. B. Romdhane, Ph.D. • Principe d'exécution
• Arbre d'exécution
DSI / FSM / UM / Tunisie
• Preuve de terminaison
© L. H. Riundbane; FSM.TN
BJETS RECURSIFS (1)
• John McCarthy (MIT / Stanford) II est parfois difficile de définir un objet directement
• Algolôo ( ancêtre de Pascal, PL/1 et C) II est plus simple de définir cet objet en fonction
• Lisp : structures de données et traitements récursifs de lui-même
• Implémentation en langage de programmation Exemple - chaîne de caractères
• au début : certains n'implémentait pas ce concept a) Classique : Une chaîne de caractères est une suite de
(COBOL, Fortran) caractères
• actuellement : tous les langages b) Récursive : Une chaîne de caractères est soit la chaîne
* Objets (structures de données) récursives vide; soit un caractère suivi d'une chaîne de caractère
* Méthodes (procédures et fonctions) récursives
L. B.Romdhanc; FSM.TN 6 L. B. Romdhane; FSM.TN

2. OBJETS RECURSIFS (2) -T5MDE&CONQUER(1)
• Objet récursif: le nombre de composantess (objets) est 0 Diviser pour régner : un p r i n c i p e l n n d . u n r n i . i l p n n r
résoudre des problèmes informatiques COmplexei
illimité ?
• Idée- résoudre un problème S(n) de / < / ! / / < • u m Ir
• La nécessité d'un point d'appui divisant en plusieurs sous-problèmes de même n . i i n i v
• un objet particulier permettant de limiter le nombre S(n}, S(n-), ..., S(nk) telque(n,< n); Vs e o m l u n n
d'objets dans la définition les solutions pour obtenir celle de S(n)
• La notion de taille dépend de la nature du p r o b l è m e !
• Objet récursif : • Tri : le nombre d'éléments à trier
• soit un objet particulier; • Factoriel : la valeur de l'entier
• soit une composante + un objet récursif • Constitue le principe fondamental de la récursivité
> L. B. Runidliane; FSM.TN I L. B. Romdhane; FSM.TN
-T5ÎVÎDE & CONQUER'{2) "tfJVÎDE & CONQÛÏRlIT
1. Diviser : si la taille du problème est inférieur à un Algorithme Solve (I)
Début
certain seuil, alors le résoudre directement en allant
n<- taille(I)
chercher parmi un ensemble de cas particuliers sinon Si (n < seuil) alors solution <- directlySolve(I)
Sinon
le diviser en un ensemble de sous-problèmes
« diviser / en It, I 2 , ..., Ik
2. Régner : Résoudre récursivement les sous- • Pour i de i à k faire
S,<-Salvf:(I}
problèmes selon le même principe Fin Pour
• Solution <— combiner^,,..., Sk )
3. Combiner : les solutions des sous-problèmes pour
Fin Si
constituer la solution du problème original Fin.
i !.. B, Rumdhane; FSM.TN © L. B. Rumiihani-i FSM.TN
ASI)

3. 'MÉTHODES RECURSÎVES (1)
j Une méthode est dite récursive, si elle fait appel à La suite de Fibonacci fonction fibo ( In n : entier)
elle-même entier
• Un = U^ + Un.z VAR
Méthode myRecursMethod ( ListeParam )
• Ui = i; Uo = o fi, fa, f : entier
Environment Début
Début: , . 1 Si ((n = o) OU (n=i))
directlySolve(n) : .............,.,,,.„„_ a!ors f <_ n
sinon
myRecursMethod ( ListeParam) fi (— fibo (n -i)
1. Diviser
h <— fibo (n -2)
2. Régner
Fin.
Fin Si
« Nécessité d'une condition d'arrêt qui sera vraie à un 3. Composer j" retourner (f )
instant ultérieur de l'exécution Fin.
«5 L. M. Ruiiiiilitinc; KSM.TN L. B. Romdliane; FSM.TN
-METHODES RECURSIVES (3) Algorithme CalcFib
RCrjRST7fs4)
fibo
• Environnement d'une méthode contient les VAR X : entier ? : "valeur indéfinie"
Début fz:?
informations suivantes : X <- fibo (3) @ : ligne i
• variables locales & paramètres de la méthode Fin. main
fonction ilbo( in n : entier) : entier
x:?
• variables locales du compilateur VAR fl, G, f: entier
Début
• @ de retour dans la méthode appelante; etc. 1. Si (n = 0)OU(n=l) fibo
n :2 fi:?
• Les appels à une méthode sont stockés dans une pile 2. ulvrs f <— n
fi:?
3. sîiiun
d'exécution (frame stack) 4. f 1 <- fibo (n -1)
@ : ligne i, 4
11:3 fibo
• Empiler un nouveau environnement par appel récursif 5. f2 «- fibo (n -2) n:3 fi;?
6. f * - f l + f 2 £2:? f:?
• Dépiler si la méthode s'est terminée FiiiSi
7. retourner (f) main
Fin.
iO L. B, Roruiihane; FSM.TN AS!) ) L. B. Romilhane; FSM.TN
AS1>

4. -^IViETHODES RECURSIVES -"-IVTÉTHODES RECURSIVES(6)
fibo <dD fibo <j fibo <j fibo <f fibo Cq ^ fibo <^ u
n :i fi:? n : i fi:? n : i fi: ? n : o fi:? n : o fi;? n : o fi:?
fa:? f:? f z : ? f :i fa : ? f : i fa :? f : ? fa:? f : o fa:? f:o
@ : ligne i @ : ligne 2 @ : ligne 7 @ : ligne i @ : ligne 2 @ : ligne 7
fibo fibo fibo fibo <; fibo fibo fibo fibo A zî fibo ç
J-
n :a fi: ? n : 2 fi:? n :2 fi:? n : 2 fi: i n ; 2 fin n : 2 fi :i n : 2 fi:i n : 2 fi:i n:i fi:?
f a : ? f :? fa:? f:? fa : ? f : ? fa : ? f : ? fa:? f : ? h: ? f : ? f a : ? f :? fa :o f :i fz : ? f : ?
@ : ligne 4 @ : ligne 4 @ : ligne 4 @ : ligne 5 @ : ligne 5 @ : ligne g @ : ligne 5 @ : ligne 6, 7 @ : ligne i
fibo fibo fibo fibo fibo fibo
11:3 fi:? n : 3 fi : ? n : 3 fi : ? 11:3 fi:?
fibo fibo fibo £^ fibo
n: 3 fi: ? n: 3 fi :? n : 3 fi:? n: 3 fi: ? 11:3 fi:i n:3 fi:i
f a : ? f :? £2: ? f :? fa:? f : ? fa : ? f : ? f a : ? f :? fa : ? f : ? fa:? f:? fa :? f :? fa : ? f : ? fa : ? f : ?
@ : ligne 4 @ : ligne 4 @ : ligne 4 (!$ : ligne 4 @ : ligne 4 @ : ligne 4 @ : ligne 4 @ : ligne 4 @ : ligne 5 @ : ligne 5
main main main niai n main main main main main main
x:? x:? x:? x:? x: ? x:? x:? x:? x: ? x: ?
i L. B. Roimihanc; FSM.TN L. B. Romdliane; FSM.TN
-IViÉTHODES RECURSWËS (7) DE RECURSIVITË (1)
• On distingue les types de récursivité suivants
• Linéaire
fibo C • une méthode s'auto-appelle une seule fois
n:i fi:? • factoriel, puissance
fz:? f i
• Binaire
@ : ligne 2,7
fibo fibo • une méthode s'auto-appelle une seule fois
M3 (^
n: 3 fi : i n:3 fi: i • fibonacci
fa:? f:? fa:i f:a
• Multiple
@ : ligne 5 @ : ligne 6, 7
main main mam < • une méthode s'auto-appelle plus que deux fois
x :? x: ? x:.
L. B. Romdhane; ESM.TN © L. B. Romdhane; FSM.TN

5. "TYPES DE RECURSIVITE (2) DE LA RECURSIVITE (1)
Factoriel (n) Puissance (x, n) A L'exécution d'une méthode récursive peut êtPe
fonction factoriel(n : entier) : ~Joncnôn pulssahcefx: réel, n : entier) : modélisée à l'aide d'un arbre
réel
entier VAR r : r é e l • un ensemble de nœuds; et de liens (parent / fils)
VAR f : entier Début • et une racine
ïi (n=o) alors r «— i
Début i'inon
MOD 2.) -o alors
• Utilité ?
si (n=o) alors f f- o
*— pul6fiance(Xj n DIV z)
sinon f <-- n * factoriel (n-i) <— r * r 1. une meilleure compréhension du déroulement
fin Si pulsuncefo (n -0 DIV 2) 2. un outil formel pour analyser le coût d'exécution
retourner (f ) - K *r *r
fin Si d'une méthode récursive
Fin. fin Si
retourner (r)
lin.
10 L. U. Kuimiliiuic; KSM.1N © L. B. Romdhane; FSM.TN
DE LA RECURSIVITE (3)
A chaque nœud de l'arbre, on représente l'ensemble
des paramètres de l'appel récursif, la taille du problème,
etc.
La racine est constitué du premier appel à la méthode
Chaque appel récursif est représenté dans un nœud fils
du nœud où l'appel a été engendré
Les nœuds terminaux (ou feuilles) n'engendrent aucun
appel récursif
• Ils représentent les cas de base (où la taille du problème
est inférieur au seuil critique)
© L. B. Romdhane; (SM.TN C L, B. Romdhime; FSM.TN
ASD

6. "ARBRE DE LA REÇURSIVITE (4) ARBRE DE LA RECURSIVITE (5)
• Une fois construit, cet arbre fournit un outil
mathématique pour analyser le coût d'exécution d'une • coût: nombre fibo (3) 13]
méthode récursive d'opérations d'ajjlftkm &
• Calculer le coût à chaque appel; puis sommer sur tous d'affectation
les nœuds de l'arbre • coût total = 9
fibo-U) j3 j fibo (i) j
• coût total est fonction • Quel serait le coût pour
• du nombre de nœuds (nombre d'appels) fibo (n) d'une manière
• Le coût à chaque nœud (appel) générale ?
2 >
O !.. H. K dhane; KSM.TM G L. B. Romdhane; FSM.TN
"DISCUSSION -TERMINAISON
• Une méthode récursive finit-elle toujours par s'arrêter L'exactitude d'une méthode récursive est faite
lorsqu'elle est exécutée sur un jeu de données bien généralement par induction ^ -~ —""•-
déterminée ? Soit P(n) une proposition dont on veut démontrer
» Un problème non-décidable ! l'exactitude
8 Aucune preuve formelle Démontrer que P(n) est vraie Vne W] où 14/estun
• Généralement, on fait appel au « bon sens » ensemble de cas de base connus
• vérifier que la taille du sous-problème est inférieur à la Exprimer P(n) en fonction de P(n), ..,, P(nk); où n ( < n
taille du problème original avant l'appel récursif Supposer que P(n),..., P(nk); sont vraies; et
> vérifier les conditions d'exécution avant de lancer l'appel Démontrer que P(n) est vraie
récursif
O L. B. Rimidhane; VSM.TN © L. B. Roindhane; FSM.TN