Le document traite de l'analyse de la complexité des algorithmes, en se concentrant sur les aspects de complexité temporelle et spatiale, ainsi que sur l'importance des paramètres d'entrée. Il aborde également les méthodes expérimentales et théoriques pour mesurer et comparer les performances des algorithmes, tout en soulignant l'impact de l'environnement matériel et logiciel. Enfin, les concepts de big-oh, big-oméga et big-thêta sont utilisés pour décrire la complexité asymptotique des algorithmes.

1. >ommaire
• Introduction
• Analyse expérimentale
• Analyse théorique
• Complexité asymptotique
© L. B. Romdhane, Ph.D. • Big-Oh
• Big oméga
,- D S I / F S M / UM/Tunisie
• Big thêta
• Méthodes récursives
• Discussion
O L. B. Rumdhtmc; FSM.TN
INTRODUCTION (1)
• Analyser la complexité d'un algorithme revient à • Espace mémoire, appelé aussi complexité spatiale,
étudier ses performances dépend de
• Pourquoi ? • la taille des données
• savoir les limitations d'un algorithme • e.g.; nombre d'éléments d'un tableau, la valeur d'un paramètre
• choisir les machines adéquates pour l'exécuter • choix d'une structure/type de données
convenablement • e.g.; entier, réel, etc.
• comparer deux algorithmes pour choisir le plus efficace • L'avancement technologique fait que l'espace mémoire
• Paramètres mesurables n'est plus un problème fondamental pour les machines
actuelles
• espace méraoire (RAM)
• Grosse capacité, vitesse d'accès rapide
« temps d'exécution
« 1,. B. Hunulhiuic; KSM.TN L. B. Rorailhuiiui FSM.TN
AS!)

2. INTRODUCTION (3) HTTRO D U CTi 0 N (4) "" '"
» Le facteur primordial est le temps d'exécution temps = /(paramètres du problème)
« Appelé aussi complexité temporelle
• Un fait réel : certains algorithmes sont encore très
lents à exécuter même sur les machines les plus temps
performantes Analyse
• Dépend des paramètres du problème à résoudre F
• nombre d'éléments d'un tableau à trier
• taille (valeur) d'un nombre qu'on veut déterminer être
paramètres (input) Expérimentale Théorique
premier ou non ?
« etc.
L. B. KomiiJuuic; l'SM.TN L. B. Romdhanej FSM.TN
Mesurer le temps d'exécution sur un ensemble de
données en faisant varier
Analyse Expérimentale • l'ensemble des données; et/ou
• la taille (le nombre) des données en entrée
Dégager Za corrélation entre temps et données ( F )
à l'aide d'une étude statistique
PROGRAMME
temps _débuî temps_fm
temps ~ temps_début - temp_tin
i ],. B. Rumdliane; FSM.TN L. B. Romdhanc; FSM.TN

3. EMARCHE (1) EMARCHE (2)
1. Fixer les tests à faire ? 3. Génération de l'ensemble des données en entrée
« variation en fonction de la taille • choisir les données les plus représentatives
* Tri d'un tableau: varier la dimension • connaître la distribution des données en entrée
• sensibilité par rapport à un paramètre constant 4. Codage & test de l'algorithme
• calculer le zéro d'une fonction : mesurer le temps et
la précision du résultat obtenu en fonction du critère • effectuer « assez » de tests !
d'arrêt (e = 10^ ; £ = icr* ; ,..) 5. Analyser les résultats obtenus
2. Mesurer le temps d'exécution • dégager le comportement de l'algorithme en fonction
• Très difficile à estimer correctement des données en entrée
• Varie en fonction de plusieurs paramètres • mettre ses résultats sous formulation mathématique
• taille mémoire; vitesse CPU; OS; langage utilisé; etc. (même empirique)
© L. B. RoiiHlIiunc; FSM.TN L'J ) L. ii. Ruuiilliuiiin l'SM.TN
TourdFJWno
Exécuté sur 128 R.4M; et CPU = 866 Mliz; Windows XP; langage C
« Les expérimentations sont possibles uniquement sur
2500 un ensemble limité des données
= 34: 2168 sec
2000 -
= 36,13 mn
• Les données doivent être bien choisies
i/r
* Temps d'exécution dépend de l'environnement
ï 1500 -
w
g
u
1000 d'exécution :
500 -
• hardware (CPU, Mémoire, etc.)
• software (OS, compilateur, langage, etc.)
•v— -j-—^r-— J---W | v—
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34
7 10
N (# disks)
ï L. B, KomdUane; ÏSM.TN O L. B. Romdlianr, FSM.TN

4. l" Une comparaison équitable de 2 algorithmes exige
• implémentation/exécution sur le même environnement
• développement par des compétences égales Analyse Théorique
• Le développement de l'algorithme est nécessaire
• perte temps
• gaspillage argent
• Démarche coûteuse et parfois non praticable pour
certains algorithmes
« Le temps d'exécution peut durer des années !
© L. B. Ronullianc; FSM.TN ) L. B. Romdiiaue; FSM.TN
-^vîODELE -IvTODELE-RAM (2)
* A ne pas confondre avec la Random Access Memory Une primitive dans le modèle RAM correspond à une
« On considère un ensemble de primitives utilisées en instruction dans un
algorithmique qui sont indépendantes du langage de La durée d'exécution d'une instruction dépend de
programmation : l'environnement utilisé
• affectation (<— ) Dans le modèle RAM, on suppose que le temps
d'exécution de toutes les primitives est le même;
• appel d'une méthode (fonction ou procédure)
c'est-à-dire « une unité de temps »
» comparaison (<, >=, < > , > , > -)
Calc'ulefla compïëxïlé~iemporelie d'un
» accès à une case d'un tableau (T[ i ] ) algorithme revient à comptabiliser le nombre de
» retourner (résulat) (d'une méthode ) primitives qu'il contient
« opérations mathématiques (+, * , - , / )
« etc.
L. U. Itoimlhane; FSM.TN
ASI) © L. B. Homdhant; FSM.TN M

5. I XEMPLE (1) -"EXEMPLE (2)
/ i u i r / i o f i arrayMax(A : Inst. #opérations Un algorithme peut s'exécuter plus rapidement sur un
Uil>lrau[N] d'entiers) : entier 1. 2 ensemble de données que sur un autre ^
VAR i, currentMax : entier 2. 1 affect; N compa. ; 1 • A= [5,2,1,0]; T= Tmi'n = 20 ops ff là
Début incré. et 1 affection (N-l) • A = [0,1,2,5]; T = Tmax = 26 ops /;'; ' jt^S
1. currenMax <— A[i] fois ; 1 + N + 2(N-1) • A = [5,4,6,0]; Tmin <= T <= Tmax _
2. Pour i de 2 à N faire 3. 1 comparaison, 1 accès :
On peut dégager trois mesures de complexité
3. Si ( currentMax < A[iJ ) N-l fois;2(N-l)
4. 1 alïectation, 1 accès : N-
« maximale ou au pire des cas ( worst case )
4. alors currentMax <—A[i]
1 fois; 2 (N-l) • minimale ou au meilleur des cas ( best case )
Fin Si
Fin Pour 5 1 • moyenne ( average case )
5. retourner (currentMax) Tmin 5N
FIN. Tmax 7N-2
i L. I). Komdlimii]; KSM.ÏN L. B. Ronuthane; FSM.TN
-TfPÉS DE CÔMPLËXÏÏF --COMP LEX lî
• Pour déterminer la complexité moyenne, il faut
maximal • mesurer la complexité de chaque cas possible (T,.)"-^ ' v
5ms • "i™ «
I
a
moyenne • déterminer la fréquence de chaque cas (/))
}
i^
i .
4 rns " U
-•~ .:'. i • La complexité moyenne est donnée par
"1
8 3ms - ]f minimal
E
B 2ms '
Cl
:'
1 ms " i
|
1 - J .1 E 7" • Nécessite une idée précise sur les données du problème
A B D Ë F
3
« Difficile à utiliser en pratique
• e.g.; problème du Tri
C ]., B, Knindhnne; KSM.TN G L. B. Roindhant; FSM.TN

6. COMPLEXITE MINIMALE COMPLEXITE MAXIMALE
N'a aucune utilité pratique • Assez informative
II se peut que cette a Constat - un algorithme
complexité ne soit atteinte qui a de bonnes
que pour un ensemble très performances dans le
réduit des données; donc pire des cas, aura
non représentatif du toujours de bonnes
problème ! performances quelque
soit les données en entrée
I L. B. Konidhane; KSM.TN © L. B. Romdhane; FSM.TN
^COMPLEXITE ASYMPTOTYQUE «Big-Oh » (1) - Définition
• L'analyse de la complexité selon le modèle RAM est • Exprime le fait qu'une fonction est « inférieur ou égal »
difficile à appliquer sur des algorithmes (projets à une autre au sens asymptotique
informatique) de grande taille • Définition
• Besoin d'une analyse f, g : N+ —> R ;f(n) est dite O(g(n)) ssi 3 c, une constante,
• plus simple à calculer et un entier constant n0 >= 11 f(n) <= c g(n); Vn >= n0
• aboutir à la même conclusion concernant le
comportement de l'algorithme
8 Les mesures les plus communes
« Big-Oh f(n)
« Big-Oméga
« Big-Théta
<0 L. B. Konulhane; KSM.TN ASD | L. B. Rumdhane; KSM.TN
ASD

7. « Big-Oh » (2)- Exemples « Big-Oh » (3) -Théorème
• yn - 2 est O(n) Soit d(n), e(n), f(n) et g(n) trois fonctions : N+ —>• R
• c = 7; n0 = i
1. d(n) est 0(f(n)) => a *d(n) est O(f(n)) Va > o
• n3+ zn- 5 est O( n 3 )
• c = 2; n0 = i 2. d(n) est O(f(n)); et e(n) est O(g(n)) :
• n + 3 log(n) est O( n ) a. d(n) + e(n) est 0(f(n) + g(n))
• c = 3; n0 = i b. d(n) x e(n) est O (f(n) x g(n))
• 3n + n3 + nlog(n) est 0(3" )
3. d(n) est O(f(n)) etf(n) est O(g(n)) =i> d(n) est
• c = i;n 0 = i
• Big Oh permet de se concentrer sur les facteurs 0(g(n))
dominants dans l'expression de la complexité 4. f(n) - ao + ... + aknk est O(nk)
ASD © L. B. Rumdlianc; FSM.TN i L. B. Romdhane; FSM.TN
« Big-Oh » (4) - Fonctions usuelles &Big-
logarithmique linéaire quadratique polynomiale exponentielle
Big Oméga (£1) Big Thêta (9)
O(log(n)) O(n) O(n i (nk) (k >=l O(a n )
• une fonction f(n) est fi(g(n)) « une fonction f(n) est 0(g(n))
exponentielle
ssi g(n) est O(f(n)); Le., 3c et ssi :
quadratique/polynomiale n0>= i /g(n) <= cf(n); Vn • fîn)estO(g(n)) «*
linéaire >= nn • f(n) esL Oi