1. sommaire
• Introduction
• Tri par sélection
• Tri à bulle
Algorithmes de TRI • Tri par insertion
© L. B. Romdhane, Ph.D. • Tri par fusion
DSI/FSM/ UM/ Tunisie • Tri rapide
• Comparaison
L. B. RoradLaric; FSM.TN
NTRODUCTION (1)
• Problématique - Etant donnée une séquence
d'objets (un vecteur), ordonner les éléments de cette
séquence en ordre croissant; ou décroissant Tri par Sélection
• Pour résoudre ce problème, nous avons besoin Sélection Sort
• d'une séquence d'éléments
• tous les éléments sont du même type
• aucune restriction sur la taille de cette séquence
• sans perte de généralités, on supposera que le vecteur est un
tableau
• une fonction de comparaison
• étant donné deux éléments; elle détermine celui plus petit
(plus grand)
• permet de définir une relation d'ordre sur les élément
1,. 1). KmniHiunc; FSM.TN L3 ASD O L. B. Roradhane; FSM.TN

2. RI PAR SELECTION (1) TRfPAR
Trouver le rang du plus petit élément du tableau V
• trouver m tel que V[i] > V[m] ; Vi
Echanger l'élément V[m] avec V[i] 1=1 ! 2 î 1
JL
Reprendre le même processus; mais en considérant i=2 O
.5 L ! .?_. -1
uniquement la séquence des éléments V[2J, ..., V[n] ! 5 9 4
Lorsqu'on atteint une séquence constituée d'un seul 1=4 o i
-i-â-1 §L.i
T I
élément on s'arrête ! o i 2
• une séquence d'un seul élément est par définition triée ! o 2 4
ASD S) L. B. Romdhane; FSM.TN L5 C L. B. Romdhane; FSM.TN L6
RI PAR SELECTION (3) PAR SELECTION (4)
i
procédure triSelection (V: Tableau[n] d'entier) 1 ' Théorème - L'algorithme de tri par sélection admet
VAR i, k, ind_min, aux : entier une complexité de O(n2)
Début
Autre variante
Pour i de i à n-i faire
• Trouver m, le rang du plus grand élément du tableau V
ind_min<— i
Pour k de i+i à n faire • Echanger V[m] avec V[n]
si (V[k] < V[ind_min]) alors ind_min *- k • Reprendre le même processus; mais en considérant
Fin Si uniquement la séquence des éléments V[i], ..., V[n-i]
Fin Pour
• Jusqu'à atteindre une séquence d'un seul élémeet
aux <~- V]iJ, V{iJ <- Vjind_minJ^ Vjind_minJ <— aux
Fin Pour
<E> L. B. Romdbanc; FSM-TN O UB. Romdhane ;¥SM.TN

3. RI A BULLE (1)
• Parcourir le tableau et comparer deux éléments
consécutifs en les échangeant s'ils ne sont pas dans le
Tri à Bulle bon ordre
Bubble Sort • Ainsi, à la fin du parcours, on trouvera le plus grand
élément à la fin du tableau
• Reprendre le même processus avec la séquence V[o],
<4 V[i],...,V[n-i]
• On s'arrête lorsqu'on atteint une séquence contenant
un seul élément
ASD © L. B. Romdhane; FSM.TN L9 ASD © L. B. Romdhanc; FSM.TN L10
RI A BULLE (2) 'RI A BULLE (3)
procédure triBulle (V: Tableau[n] d'entier)
parcours nurn. i parcours nuni. 2 VAR permut : booléen; k, aux, p : entier
V = [z; i; i; 5; o; 9; 4] V= U;i; i; 5; 059; 4] Début
prT.pTTfT^^'v'ii — •^•-T-— --- permut<— Vrai, p <— n-i
, i' TantQue (permut) Faire
= o i. o ! 5 1 4 î 9
1 ----- *._rl._4.--!-_<—;_
permut <— Faux
Pour i de i à p faire
i=3! i o 2 4 5 9 Si (V[i]>V[i+i]) alors
lrl|.^_.-..f.-.f . . aux^- V[i],V[i]^- V[i+i],V[i+i] «- aux
permut <— Vrai
i=5Î * ,. ° I 2 L_l_l_5__l--9_. Fin Si
Fin Pour
p<-p-i
Fin TantQue
Fin.
ASD 0 L. B. Roradhane; FSM.TN LU ASD e L. B. Romdhanc; FSM.TN L12

4. RI PAR INSERTION (1)
Supposons que nous avons réussi à trier les k premiers
éléments de la séquence
Tri par Insertion
Insertion Sort
séquence triée séquence non encore triée
• Ainsi, on augmente la taille de la séquence triée en lui
ajoutant le premier élément de la séquence non triée;
mais en l'insérant directement dans sa bonne place
séquence non encore triée
t
ASD €> L. B. Romdhane; FSM.TN © L. B. Romdhane; FSM.TN
RI PAR INSERTION (2) RI PAR INSERTION (3)
procédure trilnsertion (V: Tableau[n] d'entier)
VAR permut : booléen; k, aux, p : entier
insérer 6 insérer 1 Début
Pour i de i à (n-i) faire
6 4
jf-i
insérer 4 insérer 5 TantQue ((V[j] > x) ET (j>o)) faire
4 6 9 1 5 2
Fin TantQue
insérer 9 insérer 2 x
Fin Pour
4 6 9 I 5 2 Fin.
ASD (D L. B. Koiudhane; KSM.TN 1,15 ASD » L. B. Romdbanc; FSM.TN

5. TRI PAR FUSION (1) • f
Tri Par Fusion Le principe du tri par fusion d'une scqueiu <• N
Merge Sort d'éléments est résumé comme su il
• Si 5est vide ou contient un seul élément; elle est
définition triée; donc on retourne S
• sinon
i. On divise S en deux séquences Si & Sz approximativement
de même taille (11/2)
^. Récursivement; on effectue le tri de Si et le tri de Sz
3. On fusionne Si & Sz, en une seule séquence triée
ASD
FUSION (.')
:l PAR FUSIOlvTfS)
> f
di , ,
'. •' J '•
II
appel récursif
diviser
I 12 j Séquences d'un élément :
appel récursif = ' plus d'appels récursifs p
appel récumf ^ -'" *'**?' «*"«•* Pour
cette branche de l'arbre
O L. B. Rondhcinc; KSM.TN

6. TRTPAR FUSION (5)
12 9 6 20 3 15
I 20 |
6 !
,. !
appel récursif
appel récursif appel récursif
12 9 diviser 9
9 i 12
fusion
fusion
© L. B. Romdhmic; KSM.TN L21 ASD > L. B. Romdhane; FSM.TN
Fusior(6) RI PAR FUSION (7)
Fonction triFusion (V: Vecteur) : Vecteur
VAR Vi, V2 : Vecteur
Début
Si (taille(V) = o) ou (taille(V) = i)) alors
retourner (V)
y 6 20 •} 15 Sinon
6 I 9 j 12 | fusion [ 3 f 15 f 20 !
Diviser(V, Vi, Vz)
Vi<— triFusion(Vi)
L.M«—J-......1...«_J L_.~..._A.~_...^L_a._.b.l
Va<— triFusion(V2)
V<- fusion (Vi, Vz)
Retourner (V)
FinSi
Fin.
ASl) » L. B. Romdhanc; FSM.TN L23 ASD © L. B. Romdhane; FSM.TN L24

7. TRI PAR FUSION (8) FUSION (9)
• I ,a méthode diviser permet de diviser un vecteur de dimension n, en La méthode fusionner permet la fusion de deux
deux vecteurs de dimension (0/2)
Procédure Diviser (In V, InOut Vi, InOut Vz : Vecteur) : Vecteur séquences triées en une seule triée !
VAR k,m : entier
e : élément
Début ___
m <- taille (V) DIV 2 + taille(V) MOD 2 sa 3
Vi <— créerQ, Va <— créerQ,
Pour k de i à m faire 3 6
e<— savoir_elem(k, v)
Vi <— insérer(e, k, Vi) 3 6 9
Fin Pour
Pour k de m+i à taille(V) faire 3 6 9 12
e*— savoir_elem(k, v)
Va <— insérer(e, k-m, Vi)
Fin Pour 9 12 15 20
Fin.
> L. B. Romdhanc; FSM.TN L25 ASD • L. B. Romdhaue; FSM.TN
TRI PAR FUSION (10)
Procédure fusionner(Vi, Vz : TantQue (i <= n) faire
Vecteur) : Vecteur c<— savoir_elem(i, vi)
V <-• insc4rer(e, k, V)
VAR i, j, k, m, n : entier
V : Vecteur
ei, e2, e : élément
k <• k ii
i «- i n
Tri Rapide
l'in Tjiil ()ne
Début Quick Sort
m <- taille (Vi), n «- taille (Va), k <- TantQue (j <= m) faire
i e^- savoir_cleni(j, vi)
V <— créerQ, i <— i, j <— i V (- insérur(e, k, V)
TantQue ((i <= n) ET (j <= m)) faire k <-- k n
ei<— savoirmelem(i, vi), ez <— j«-i+i
savoir_elera(j, vz) Fin Tant Que
Si (ei < es) alors e *— ei, i <— î +j
sinon e «- ez, j 4- j+i retourner (V)
Fin Si
V <— insérer(e, k, V) Fin.
k «— k +1
Fin Tant Que
Fin.
ASD 0 L. B. Romdhanc; FSM.TN ASD © L. B. Romdhanc; FSM.TN L28

8. . H P e
P S ^ -J^f~. ,V.T^=^^^^_
TRI RAPIDE (1) JTRT=RAPIDE (2)
• I ,c principe du tri rapide d'une séquence S d'éléments est pivot
résumé comme suit
• Si S est vide ou contient un seul élément; elle est par
définition triée, donc retourner S partitionnement
• sinon
1. On choisit (aléatoirement) un élément de S comme étant le pivot
2. On divise S en trois séquences Si, 82, & Sj de la manière suivante
• Si contient tous les éléments inférieurs au pivot
appel récursif
• Sz contient tous les éléments égaux au pivot
• £3 contient tous les éléments supérieurs au pivot
3. Récursivement; trier Si & 83 3 Séquence d'un élément : plus d'appels
4. Concaténer dans cet ordre : Si, S2 & £3 récursifs pour cette branche de l'arbre
ASD 6 L. B. Romdhanc; FSM.TN L O L. B. Roiudhanc; FSM.TN L30
r^v^i^^^^;^^^^ - •• =--"=
^TftTRAPIDE (4)
pivot
12 9 20 3 15
partitionnement
ASD !.. B. Romdhanc; FSM.TN ASD L. B. Romdhanc; FSM.TN

9. TRI RAPIDE (5)
12 9 20 15
12 9 6 20 3 15
c
appel récui'sif j j
appel récursif
LU
12SLJ
concaténation concaténation
ASD © L. B. Ron>dh:iiic; KSM.'I'N © L. B. Romdhane; FSM.TN
TRTRÂPIDE (7) RI RAPIDE (8)
fonction triRapide (V: Vecteur) : Vecteur
VAR Vi, Vz, V3 : Vecteur
m : élément
Début ££
Si (taille(V) - o) ou (taille(V) = i)) alors
retourner (V)
Sinon
m <— choisirPivot(V)
DiviserPivot(V, m Vi, Vz, V3) • • |
Vi<- triRapide(Vi)
concaténation V3^- triRapide(V3)
V<- concat(Vi, V2> V3)
Retourner (V)
FinSi
Fin.
ASD © L. B. Romdhane; FSM.TN L)S ASD © L. B. Romdhane; FSM.TN L36

10. TRI RAPIDE (9) ,omparaison
Division Concaténation
jimi-i'ilure DiviserPivot (V: Vecteur, pivot :
rlrmi-nt; InOut Vi, Vî, Vj : Vecteur)
fonction Concat (Vi, Vz, V% : Vecteur) :
Vecteur
|j|lï|ffliij>Iexité nioyentianj
VAK i, j, k. 1 : entier VAR i, j : entier
X : élément V : Vecteur
Début Début Sélection 0(n*) O(n2)
Pour i de i à taiile(V) faire
x <— savoir dem(V, i)
Pour i de i à taille(Vi) faire
x <_ savoir elem(Vt i)
Bulle 0(n*) O(n2)
si (x < pivot) alors i<-i«, V<- insérer(x, j, V)
vr^LérerKk.v.) «n Pour _
Insertion O(n*) 0(n>)
«non si (x > pivot) alors P°ur ' ^ 'a taille(V2) faire
)^_ j + t
V3 <- insérer(x, 1, V 3 )
x <- savoir_elem{Vz, i)
)<- i«. v <~ insérer(«, j, V)
Fusion O(n log(n)) 0(nlog(n)r
smon Fin Pour * divide & conquer
j<-j« Pour i de i à taillc(V3) faire
F'nS'
Fi"s' j< - J F - I , V<~ insércr(x,j, V)
Fin Pour
Rapide OM O(n log(n))
FinPour retourner (V) ' divide & conquer
Fln - Fin.
ASD 0 L. B. Roradhane; FSM.TN ' L37 ASD C L. B. Romdbanc; FSM.TN L 38