Ce document traite de l'analyse de la complexité des algorithmes récursifs, en se concentrant sur les relations de récurrence et les méthodes d'analyse, notamment le théorème 'divide & conquer'. Il aborde les approches directes pour deviner et démontrer la complexité tout en soulignant l'importance de l'évaluation avant l'implémentation pour économiser du temps et des ressources. Des exemples pratiques illustrent comment évaluer la complexité expérimentale et théorique d'un algorithme.

1. "T^RÎNCIPÊ
Les algorithmes récursifs s'auto-appellent
Généralement, la complexité T(n) est définie à l'aide d'une
relation de récurrence qu'on doit résoudre
Analyse de la complexité !
= f(T(n-T(n-2.}
Deux approches
• méthodes directes : deviner une forme générale pour la complexité;
et la démontrer par induction sur la taille du problème
« théorème « divide & conquer » (Master theorem)
' L. B. Romdhanc; FSM.TN i L.B. Romdhane; FSMTN
"HEOREME «divide & conquer» (1) "HEOREME «divide & conquer» (2)
• Un algorithme récursif (basé sur la technique « divide & 8 Soit T(n) la complexité d'un algorithme récursif
conquer ») est défini à l'aide des étapes suivantes , csi(n<d)
• Si la taille du problème n est suffisamment réduite, n <Y/pour
1W~aT(nlb) + f(nr"-
une certaine constante d, la résolution est directe en allant
chercher à partir d'un ensemble de cas de base • c : une constante représentant la coût d'aller "chercher
• Sinon, on divise le problème en a sous-problèmes chacun de taille
une solution à partir de l'ensemble de cas de base
îlb de la taille du problème initial, et on résoud chaque sous- • T(n/b) la complexité de résolution sur un problème de
^»- ^— ~-~--~ ,— _~ - -ft.' N^. * fï e récursivement V> w^" •" ^ » - » » - ' ' /
taille n/b
• Et puis on combine les solutions des sous-problèmes pour obtenir
» f(n) : la coût de diviser le problème original en sous-
problème; et puis de combiner les solutions
celle du f rsblcme original
iSa © L. B. Romdtinjie; FSM.ÏN L31 © L. B. Roindtiane; FSM.TN

2. '^THEOREME «divide & conquer» (3) "HEOREME «ûf/V/cfe & conquer» (4)
* appelé aussi Master Theorem T(n) peut être alors borné asymptotiquernent comme
* Soient a >i, et b> i deux constantes; et soient/j^nj et suit : r,
TCn) deux fonctions définies sur les entiers positifs à pour une certaine constante £ > 0;
l'aide de l'équation
, } c si(n<d}
T(n) = <
I
, N
rr-i/
. (n/b) + j(n)
. / / y/ /
2) " ) ; alors î» o(»1*(a)1og*H(w))
3) Ysijf(n)estQUlog6("+£' ) pour une certaine constante £ >0; ^ . .-•
où l'on interprète a/b, comme soit £a/bl ou|_a/bj lkrX , ".
etaxf(n/b)<ôxf(n}
V /1-
pour une certaine constante S < 1,;
Ç_J ; y0d 0^4-
/*. . U n
et n suffisamment grand; alors on a T(n}este(f(n}} à .
O L. B. Romdbane; FSM.TN i L. B. Romdbane; FSM.TN
^__—*=»=-""'" — «-^==^,^=^__T=^^-^^
THEOREME «c//V/de <S conquer» (5) "^THEOREME «cf/V/ûfe & conquer» (6)
r(w) =
Dans ce cas, on a Dans ce cas, on a «logiM _ M l o g 2 ( 2 ) _
Donc, on est au premier cas du théorème car • Donc, on est au deuxième cas du théorème car
•f(n) QSt0(n2~£); avec £-i f ( n ) est ^(«log»)
* Ainsi
!.. H. ftomdbane; FSM.TN L. II. Komuhane; FSM.TN

3. -DISCUSSION (1) g •^dlSCUSSION (2)
L'analyse de la complexité d'un algorithme est une Evaluation (approx.) de la taille max du problème pour une durée
étape fondamentale dans le développement de donnée
systèmes informatiques Taille maximale pour n
• analyse expérimentale (programme) T(n)
1S i mn ihr
• analyse théorique (algorithme)
40011 2 5OO 150 ooo 9 ooo ooo
Evaluer la complexité avant l'implémentation peut
sauver du temps de programmation & de l'argent zon log(n) 4 096 166 666 7 826 087
2n2 707 5477 42.426
ri* 31 88 244
2n 19 25 31
on suppose qu 'une opération dure 1 microseconde (jus)
© L. B. Romdhuue; FSM.TN ASD © L. B. Roindhime; FSM.TN
ISCUSSION (3) -T5ÏSCUSSION (4)
La nouvelle taille maximale n en fonction de la précédente m en Choisir entre plusieurs algorithmes pour résoudre
considérant une machine 256 fois plus rapide! le même problème
• Etant donné un tableau X de réels de dimension N,
Complexité n en fonction de m construire un tableau A de réels de dimension N tel que :
X
4oon 256111
2011 log(n) « 256 m (log(m) / (7 + log(m)))
2H1
n4
i6m EA =1
somme/i i'
4m
2n m + 8 e- &Q s*t Js
ovlirtm^ fteMA V eA
ASI) * !.. B. llumiiliune; KSM.'I'N ASI) O L. B, Romdhanei FSM.TN

4. DISCUSSION (5) -DISCUSSION (6)
r^-~- ——-n A - D(N2)y jSolution B -fb(N)) • lien entre le temps d'exécution réeï est la
complexité théorique d'un algorithme ?
Procédure prefixMoyenA( In X, Out A : I Procédure prefixMoyenB( In X, Out A
tableau[N] de réels) i tableau[N] de réels) * Exemple - Hanoï
VAR i, j, : entier; S: Réel , ^f VAR i, j, : entier; S: Réel
Début « théorique : T(n) = 2 T(n-i) + c; donc O(2n)
Début
Pour i djî :i à N faire I • expérimentale :
Pour i du i à N faire 3500 -
Pour j dei à i faire 5^ j 2000 -
S <-S + X[j] S «-S + X[j]
1SOO -
FiiiPour A[i] *- S / i
1000
FinPour
500
FinPour retourner (A)
retourner (A) FIN. 0 --
1 4 7 10 13 16 19 22 25 2fl 31 34
FIN. M (tt disks)
• L. B. Romdhane; FSM.TN | L. B. Romdhane; FSM.TN
DISCUSSION (7)
T(n) : complexité théorique
E(n) : complexité expérimentale
• Kemest une constante qui
dépend de l'environnement de
développement (hardware +
software)
C L. B. RnraiJliaiie; l'SM.TN L43