GEII - Ma3 - Suites et séries

MA3 (GEII - S3)
C - SUITES ET SÉRIES
F. Morain-Nicolier
frederic.nicolier@univ-reims.fr
2014 - 2015 / URCA - IUT Troyes
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
2. SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES
3. VARIATION DES SUITES
4. CONVERGENCE DES SÉRIES NUMÉRIQUES
5. SÉRIES DE FONCTIONS
6. SÉRIES ENTIÈRES
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1.1 EXEMPLES
DSF :
f (t) = a0 +
¥å
n=1
(an cos(nwt) + bn sin(nwt))
ou
f (t) =
¥å
n=¥
cneinwt.
TZ :
X(z) =
¥å
n=¥
fnzn.
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1.2 GÉNÉRALISATION
Dans chacun de ces exemples, une quantité
S(x) =
¥å
n=0
un(x)
est calculée.
PROBLÈME À RÉSOUDRE : La quantité S(x) existe-t-elle ?
I S(x) est-elle finie ? Convergence ?
I La réponse dépend évidemment de la valeur de x.
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1.3. OBJETS MATHÉMATIQUES EN JEU
Nous avons besoin de :
I suite (un) (signaux numériques, fonctions discrètes)
I série fung = åk un
I série de fonctions fung(x) = åk un(x) (transformations) :
yk = fung(k).
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
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2.1 SUITE NUMÉRIQUE
DÉFINITION On appelle suite numérique toute application de
N sur R :
u : N ! R
I Rappel : N est l’ensemble des entiers naturels (ie. positifs)
I un est le terme général de la suite, un = u(n)
I une suite peut être considérée comme une liste ordonnée
de nombres réels
I Elle peut éventuellement être définie sur une partie de N
de la forme I = fn 2 N, n n0g où n0 est un entier donné.
I quelques exemples : suite nulle, constante, arithmétique,
géométrique, par récurrence, . . .
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Que veut-on étudier sur les suites ?
Étant donné une suite (un)n2N :
I Quelles sont ses variations ?
I Que se passe-t’il lorsque n devient infiniment grand, ie.
lim
n!¥
un =?
) étude de la convergence.
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QUESTION 1 1 - La suite de terme général un = (1)n est
1. convergente
2. divergente
3. indéterminée
1. http://lc.cx/mpk
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2.2 SUITES GÉOMÉTRIQUES
La suite géométrique est l’outil privilégié pour l’étude de
phénomène à croissance (ou décroissance) exponentielle
(exemple : carbone 14, populations).
Définitions :
Soit r 2 R un réel donné,
I la suite géométrique de raison r est définie par le terme
général un = u0rn
I la suite arithmétique de raison r est définie par le terme
général un = u0 + rn
I ce sont des suites récurrentes (ie. un+1 = f (un)).
Somme d’une suite géométrique (r6= 1) :
nå
k=0
uk = u0 + . . . + un = u0(1 + r + . . . + rn) = u0
1 rn+1
1 r
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2.3 SÉRIE NUMÉRIQUE
Considérons des sommes infinies telles que :
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ . . . +
1
2n + . . .
ou
1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ . . . +
1
n
+ . . .
I Ce sont des sommes d’un nombre infini de termes
I Que valent ces sommes ?
I On construit (Sn), la suite des sommes partielles de
(un)n2N
(DÉFINITION) On appelle série fungn2N de terme général un,
ni
la limite de la suite (Sn)n2N des sommes partielles
Sn = å1 ui :
=¥å
i=1
ui = lim
n!¥
Sn
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2.3 SÉRIE NUMÉRIQUE
I La série de terme général un est
I convergente si å¥
i=1 ui est finie
I divergente si å¥
i=1 ui est infinie
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2.3. SÉRIE NUMÉRIQUE
QUESTION 2 2 - La série f(1)ng est
1. convergente
2. divergente
3. indéterminée
2. http://lc.cx/mpk
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2.3. SÉRIE NUMÉRIQUE
(REMARQUE) Il existe des série indéterminées (somme
partielle non finie mais différente de ¥).
(REMARQUE) Une série à termes positifs ne peut être
indéterminée.
I Exemple : X = 1 + 12
+ 14
+ 18
+ . . .
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
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3.1 VARIATIONS D’UNE SUITE : MONOTONIE
SUITE CROISSANTE Soit (un)n2N une suite numérique. Elle est
croissante si pour tout entier naturel n :
un un+1
I Suite strictement croissante , un un+1
I Comment montrer qu’une suite est croissante ?
SUITE DÉCROISSANTE Soit (un)n2N une suite numérique. Elle
est décroissante si pour tout entier naturel n :
un un+1
SUITE MONOTONE C’est une suite croissant ou décroissante
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3.2 VARIATIONS D’UNE SUITE :
MAJORATION/MINORATION
(DÉFINITION) La suite (un)n2N est majorée s’il existe un réel
M tel que
un M, 8n 2 N
M est alors un majorant de (un)n2N.
(DÉFINITION) La suite (un)n2N est minorée s’il existe un réel m
tel que
un m, 8n 2 N
m est alors un minorant de (un)n2N.
(DÉFINITION) Un suite est bornée si et seulement si il existe un
réel A tel que
junj A.
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3.3 VARIATIONS D’UNE SUITE :
MAJORATION/MINORATION
I Remarques :
I une suite croissante est minorée
I une suite décroissante est majorée
I Exemples
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3.4 CONVERGENCE
(DÉFINITION) On dit que (un)n2N est convergente si
limn!¥ un existe et est fini.
Alors, le nombre l donné par
l = lim
n!¥
un
est un nombre réel appelé limite de la suite.
I une suite qui ne converge pas est divergente.
I Il existe deux façon de diverger :
I soit limn!¥ un = ¥
I soit limn!¥ un n’existe pas.
I exemple : (un)n2N avec un = an(a 0).
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3.5 OPÉRATIONS
Soient (un)n2N et (vn)n2N deux suites convergentes. Si l et l0
sont les limites respectives de (un)n2N et (vn)n2N, alors
1. La suite somme (un + vn)n2N converge vers l + l0
2. Pour tout réel a, la suite (aun)n2N converge vers al
3. La suite produit (unvn)n2N converge vers ll0.
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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE
(Théorème fondamental)
I Toute suite décroissante et minorée est convergente
I Toute suite croissante et majorée est convergente.
I exemple : (un)n2N avec un = 1 + 1n
Donc :
I Toute suite croissante non-majorée est divergente vers +¥
I Toute suite décroissante non-minorée est divergente vers
¥
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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE : THÉORÈME DES
GENDARMES
Si (un)n2N, (vn)n2N et (wn)n2N sont trois suites telles que
un vn wn, 8n 2 N
et
l = lim
n!¥
un = lim
n!¥
wn
alors
lim
n!¥
vn = l
I variantes utiles.
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3.6 CRITÈRES DE CONVERGENCE : RELATIONS AVEC
LES FONCTIONS
I Soit (un)n2N une suite numérique telle que un = f (n), alors
lim
n!¥
un = lim
x!¥
f (x).
- Soit (un)n2N une suite numérique telle que un = g(1n
),
alors
lim
n!¥
un = lim
x!0+
g(x).
I rappels sur les limites de fonction numériques : fractions
rationnelles, ex, ln(x) et xa.
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
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4.1 CONDITION NÉCESSAIRE DE CONVERGENCE
(THÉORÈME) Pour que la série fungn2N soit convergente, il
faut que
lim
n!¥
un = 0.
(REMARQUE) Dans la pratique, on utilise souvent :
lim
n!¥
un6= 0 ) fung diverge
I Exemple : la série fn2g.
I Attention : la condition est nécessaire mais non
suffisante.
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4.2 SCHÉMA D’ÉTUDE
(Théorèmes)
I Si (un) ne converge pas vers 0, fung n’est pas convergente.
I Si (un) ne converge pas vers 0 et un 0 alors fung diverge.
Schéma d’étude de å¥
n=0 un
Étudier limn!¥ un. Deux cas possibles :
1. Si limn!¥ un = 0, chercher un critère de convergence selon
le signe de un. La série peut converger, diverger ou être
indéterminée.
2. Si limn!¥ un6= 0 ou n’existe pas, alors la série diverge ou
est indéterminée.
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4.3 EXEMPLES FONDAMENTAUX
SÉRIE GÉOMÉTRIQUE : un = an, a 2 R.
S =
¥å n=0
an = 1 + a + a2 + . . . + an + ...
SÉRIE HARMONIQUE : un = 1n
.
S =
¥å
n=0
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+ ...
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4.4 CRITÈRES DE CONVERGENCE
Ces critères ne donnent pas la somme de la série
n=0 kunk converge, alors å¥
n=0 un converge.
(THÉORÈME) Si å¥
Les critères sont donc donnés pour des séries à termes positifs.
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4.4 CRITÈRE DE D’ALEMBERT
Soit un 0, si limn!¥
un+1
un
= l, alors
I l 1 ) fung converge
I l 1 ) fung diverge
I l = 1 ) le critère ne permet pas de décider
Exemple :
I un = 1
n!
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4.4 CRITÈRE DE D’ALEMBERT
QUESTION 3 3 - La série f1n
g est
1. convergente
2. divergente
3. le critère de d’Alembert ne permet pas de décider
3. http://lc.cx/mpk
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4.4 CRITÈRE DE CAUCHY
Soit un 0, si limn!¥ n p
un = l, alors
I l 1 ) fung converge
I l 1 ) fung diverge
I l = 1 ) le critère ne permet pas de décider
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4.4 CRITÈRE DE CAUCHY
QUESTION 4 4 - La série f n
2n g est
1. convergente
2. divergente
3. le critère de Cauchy ne permet pas de décider
4. http://lc.cx/mpk
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4.4 CRITÈRE DE MAJORATION
Soient fung et fvng, avec un 0 et vn 0, telles que
0 un vn.
I Si fvng converge, alors fung converge
I Si fung diverge, alors fvng diverge
Exemple :
I un = 1
n2
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4.4 CRITÈRE DE MAJORATION (CONSÉQUENCE)
I Si il existe a 1 tel que limn!¥ naun +¥ alors fung
converge.
I Si il existe 0 a 1 tel que limn!¥ naun 0 alors fung
diverge.
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4.4 COMPARAISON À UNE INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE
Si f (x) est une fonction continue, positive et décroissante sur
[0,¥[, alors S = å¥
n=0 f (n) et I =
R ¥
0 f (x)dx ont le même
comportement.
(NOTE) La borne inférieure peut être changée (1 au lieu de
0 par exemple).
(NOTE) On utilise souvent l’intégrale de référence
I =
Z ¥
a
1
xa dx
qui converge si a 1 et diverge si a 1.
Exemple : série de Riemann
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
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(PAUSE) : L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN
FIGURE : Bernhard Riemann (1826–1866)
La fonction z (zêta) de Riemann est définie par
z(s) =
¥å
n=1
1
ns
pour s complexe.
HYPOTHÈSE DE RIEMANN Les zéros non-triviaux de z sont sur
la droite des réels 1
2 .
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FIGURE : Représentation du module de la fonction zêta de Riemann
(Wikipedia)
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I Prix Clay du millénaire : 1 million de dollars.
I Hypothèse vérifiée pour dix mille milliards de zéros (1013).
I La fonction permet de relier les nombres entiers et les
nombres premiers.
Euler a montré que :
z(s) = Õ
p premier
1
1 ps
I z est une série dont le terme général dépend de la variable
s
z(s) =
¥å
n=1
1
ns
I C’est une série de fonctions : objet que nous allons étudier
(en particulier les séries entières).
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5.1 SÉRIES DE FONCTIONS
(DÉFINITION) Une série de fonctions est une série dont le
terme général dépend d’une variable : un(x) par
exemple.
I La somme (des termes) est donc également une fonction de
x :
S(x) =
¥å
n=0
un(x)
Exemples :
I fxn
n g est une série entière.
I fcos(nx)
n g est une série de Fourier.
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5.2 DOMAINE DE CONVERGENCE
x étant considéré fixe, la série peut converger ou non.
(DÉFINITION) L’ensemble des x tels que S(x) existe est le
domaine de convergence D de la série
Exemple : fxng
I Une nouvelle question : un(x) continue ?)
fung continue ?
Exemple : fx2(1 x2)ng
I Plus généralement, quelles sont les propriétés de un(x)
vérifiées également par fun(x)g et sous quelles conditions ?
I Il faut préciser la notion de convergence.
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5.3 CONVERGENCE SIMPLE /UNIFORME /NORMALE
(RAPPEL) La série fun(x)g converge simplement si
lim
n!¥
Sn(x) = S(x)
, 8e 0, 9n N(x) ) jSn(x) S(x)j e.
(DÉFINITION) La série fun(x)g converge uniformément si N,
dans la définition précédente, ne dépend pas de x.
C.U. ) C.S.
(DÉFINITION) La série fun(x)g converge normalement sur
[a, b] s’il existe une série numérique fvng à termes
positifs, convergente, telle que :
jun(x)j vn, 8x 2 [a, b]
C.N. ) C.U. ) C.S.
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5.4 CONVERGENCE ET CONTINUITÉ
Si un(x) est continue sur [a, b] et si fun(x)g C.U. sur [a, b], alors
S(x) = å¥
n=0 un(x) est continue sur [a, b].
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5.4 CONVERGENCE ET INTÉGRATION
Il est possible d’intégrer terme à terme une série qui C.U. :
Z
S(x)dx = Cte +
¥å
n=0
Z
un(x)dx

.
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5.4 CONVERGENCE ET DÉRIVATION
Il est possible de dériver terme à terme une série qui C.U. :
S0(x) =
¥å
n=0
u0n
(x).
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OUTLINE
1. INTRODUCTION
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5.1 DÉFINITION
Le terme général d’une série entière s’écrit un(x) = anxn où an
est indépendant de x :
fun(x)g =
¥å
n=0
un(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn + . . .
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6.2 APPLICATION : CONVERGENCE D’UNE TZ
La TZ d’un signal xn est
X(z) =
¥å
n=¥
xnzn.
Montrons que la région de convergence de X(z) est un anneau,
en la décomposant en deux séries :
X(z) =
1å
n=¥
xnzn
| {z }
X1(z)
+
¥å
n=0
xnzn
| {z }
X2(z)
.
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6.2 APPLICATION : CONVERGENCE D’UNE TZ
Ainsi une TZ converge si
0 Rx jzj Rx+ ¥
série Xr(z) converge alors pour lzl Rr_. Avec le changement de variable / = -k,
peut montrer d'ure madère similaire que la série Xl (z) converge pour lzl (Â,+,
R,a est la lirnite :
R,+ = 1/[ lim lx( -/)lt/t
,- + -
(2.e)
si, la série (2.1) converge en général dans un anneau du plan complexe des z donné
0 ( R,- ( lzl ( R,* ( +-
(2.r 0)
i est illustré sur la figure 2. I . Les limites Rjr, et .R, + caractérisent le signal x ([ ).
tt évident que si Àx- ) À,-} , la série (2.1) n'est pas convergente.
///l résiortr de convetzenî.e
Fig.2.l
4 Exemple
FIGURE : Domaine de convergence d’une TZ
Soit le signal :
x() = €(k)
transformée en z est donnée par :
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6.3 RAYON DE CONVERGENCE
(THÉORÈME) Il existe un réel R 0, nommé rayon de
convergence, tel que la série fanxng est absolument
et uniformément convergente pour jxj R, et
divergente pour jxj R.
(NOTE) Il est nécessaire d’étudier spécifiquement la
convergence en R
(CONSÉQUENCE) Si un(x) est continue 8x et fun(x)g C.U.
8jxj R, alors la série fun(x)g est continue pour
jxj R.
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6.4 DÉTERMINATION DU RAYON DE CONVERGENCE
(Théorème) Pour x fixé, R est déterminé en appliquant le un
critère (d’Alembert ou Cauchy par exemple) à la série
fjun(x)jg.
I Exemple : fxng.
I Exemple : f xn
nd! g.
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6.5 DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ENTIÈRES
Si une fonction f (x) peut s’écrire sous la formes
f (x) =
¥å
n=0
anxn = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn + . . .
alors le terme de droite est le développement en série entière
de la fonction.
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6.5 OPÉRATIONS SUR LES DSE
Somme et produit
Soient deux séries entières
f (x) =
¥å n=0
anxn (Rf )
et
g(x) =
¥å
n=0
bnxn (Rg)
On montre que
f (x) + g(x) =
¥å
n=0
(an + bn)xn (R inf(Rf ,Rg))
et
f (x)g(x) =
¥å
n=0
cnxn (R inf(Rf ,Rg))
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6.5 OPÉRATIONS SUR LES DSE
Dérivation et intégration
(THÉORÈME) Toute série est dérivable et intégrable terme à
terme en conservant son rayon de convergence.
S(x) =
¥å
n=0
anxn (R)
) S0(x) =
¥å
n=1
anxn1 (R)
et
)
Z
S(x)dx = C +
¥å
n=0
an
n + 1
xn+1 (R)
I Exemple important : dérivation de fxn
n! g
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6.6 ÉQUATION D’ANALYSE : QUELS SONT LES COEFFS
D’UN D.S.E. ?
(DÉFINITION) Soit f (x) admettant un D.S.E. de rayon de
convergence R. Il est donné par (D.S.E. de
MacLaurin) :
f (x) = f (0)+
f 0(0)
1!
x+
f 00(0)
2!
x2+. . . +
f (n)(0)
n!
xn+. . .
I Démonstration
I DSE usuels :
ex, sin(x), cos(x), (1 + x)a, ax, ln(1 + x), ln(1 x), ...
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6.7. LIEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Si f est une fonction dérivable en a, le théorème de Taylor
indique que
f (x) = f (a) +
f 0(a)
1!
(x a) +
f (2)(a)
2!
(x a)2
+... +
f (n)(a)
n!
(x a)n + Rn(x)
où Rn est un reste.
Le lien avec les DSE est évident, en posant a = 0 :
f (x) = f (0) +
f 0(0)
1!
x +
f (2)(0)
2!
x2 + ... +
f (n)(0)
n!
xn + Rn(x)
Le DSE de f étant
f (x) = f (0) +
f 0(0)
1!
x +
f 00(0)
2!
x2 + . . . +
f (n)(0)
n!
xn + . . .
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6.7. LIEN AVEC LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
(THÉORÈME DE TAYLOR-YOUNG) Si f est une fonction
dérivable en a, le théorème de Taylor indique que
f (x) = f (a) +
f 0(a)
1!
(x a) +
f (2)(a)
2!
(x a)2
+... +
f (n)(a)
n!
(x a)n + Rn(x)
où Rn est un reste négligeable devant (x a)n, c’est à dire
lim
x!a
Rn(x)
(x a)n = 0.
Ce qui est le cas si
Rn(x) =
f (n+1)(0)
(n + 1)!
(x a)n+1 + ...
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