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Mathématiques générales
Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Kénitra
Enseignant: Mr. Bouasabah Mohamme
( ‫ﺑﻮﻋﺼﺎﺑﺔ‬
‫ﳏﻤﺪ‬ )
Année universitaire: 2013/2014
ECOLE NATIONALE
DE COMMERCE ET DE GESTION
-KENITRA-
Plan du cours.
Plan du cours.
Plan du cours.
Plan du cours.
Chapitre 1: Les suites de nombres réels.
Chapitre 3: Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes.
Chapitre 2: Les séries numériques.
Chapitre 3: Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes.
Chapitre 4: Les fonctions à une seule variable réelle.
Chapitre 5: Les fonctions à deux variables réelles.
Chapitre 6: Le calcul matriciel.
Les suites numériques
Chapitre:
Chapitre:
Chapitre:
Chapitre: 1
1
1
1
Les suites numériques
LES SUITES NUMERIQUES
1) Notion de suites numériques, notations et définitions
1-1) Définition 1
Intuitivement, une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres. Il y a un
premier nombre, noté U1 (lire "u indice 1" ou "u un"), un deuxième U2 ,….un nième, Un.
On note ( Un) la suite de ces nombres.
1-2) Définition 2
1-2) Définition 2
1-2) Définition 2
L’utilisation des suites pour un gestionnaire est très fréquente notamment pour modéliser
quelques phénomènes financiers (calcul des intérêts simples et composés…)
Chapitre 1:
1-2) Définition 2
Une suite numérique est une application de N vers R qui associé à chaque entier n un réel
noté U(n) ou Un :
1-2) Définition 2
Une suite numérique est une application de N vers R qui associé à chaque entier n un réel
noté U(n) ou Un :
(Notation fonctionnelle)
(Notation fonctionnelle)
1-2) Définition 2
Une suite numérique est une application de N vers R qui associé à chaque entier n un réel
noté U(n) ou Un :
(Notation fonctionnelle)
Remarques
Ne pas confondre la suite U et le terme Un d'indice n. !
a)
ATTENTION au premier terme !
Si UO est le premier terme ,alors U4 est le 5ème terme.
Ne pas confondre l’indice n et le rang du terme, qui est son numéro d’ordre.
!
b)
c) Généralement ,une suite numérique peut être définie de deux manières différentes :
Exemple:
On définit la suite ( Un) ou (notation plus lourde mais qui précise les valeurs que
peut prendre l'indice) pour tout par la formule Un = 2n + 3
C-1) La donnée d'une formule permettant de calculer un terme en fonction de son indice
[forme explicite].
C-2) La définition récurrente:
On peut définir une suite par la donnée de son premier terme ( Uo, U1 ou autre) et d'une
relation entre deux termes consécutifs de la suite
Exemple:
(représente la suite des nombres impairs)
Cette définition est appelée définition par récurrence et la relation est appelée
relation de récurrence.
Remarques:
a) ATTENTION aux changements d'indice, ainsi les suites définies par:
sont identiques.
b) ATTENTION à ne pas confondre:
2) Propriétés des suites:
2-1) La monotonie
2-1) La monotonie
2-1-1) Définition 1:
On dit que (Un) est croissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a :
On dit qu’elle est strictement croissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a:
On dit que (Un) est décroissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a:
On dit qu’elle est strictement décroissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a:
On dit que (Un) est monotone si et seulement si elle est soit croissante soit décroissante.
Cette monotonie peut-être stricte.
Soit (Un) une suite de nombres réels:
Exemples :
Les suites sont strictement croissantes tandis que les suites
(n≠0) sont strictement décroissantes.
Remarque :
Une suite peut posséder une certaine propriété de monotonie à partir d'un certain indice.
2-1-2) Définition 2 :
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no ∈ Ν
∈ Ν
∈ Ν
∈ Ν si et seulement si pour tout n ≥ no
2-1-2) Définition 2 :
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no ∈ Ν
∈ Ν
∈ Ν
∈ Ν si et seulement si pour tout n ≥ no
2-1-2) Définition 2 :
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no ∈ Ν
∈ Ν
∈ Ν
∈ Ν si et seulement si pour tout n ≥ no
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no si et seulement si pour tout
On a:
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no si et seulement si pour tout
On a:
On définit de même la stricte croissance, la (stricte) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ ℕ
On définit de même la stricte croissance, la (stricte) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ ℕ
On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no si et seulement si pour tout
On a:
On définit de même la stricte croissance, la (stricte) décroissance et la (stricte) monotonie à
partir de l’indice no ∈ ℕ
2-1-3) Définition 3:
On dit que (Un) est périodique de période p si pour tout n ∈ ℕ on a:
2-1-3) Définition 3:
On dit que (Un) est périodique de période p si pour tout n ∈ ℕ on a:
2-1-3) Définition 3:
On dit que (Un) est périodique de période p si pour tout n ∈ ℕ on a:
2-1-4) Définition 4:
On dit que (Un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n ∈ ℕ on a:
2-1-4) Définition 4:
On dit que (Un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n ∈ ℕ on a:
2-1-4) Définition 4:
On dit que (Un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n ∈ ℕ on a:
On dit que (Un) est minorée s'il existe un nombre réel m tel que pour tout n ∈ ℕ on a:
On dit que (Un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Remarque :
Une suite peut être minorée/majorée/bornée à partir d'un certain rang.
Exemples:
2-
2-1-5) Propriétés
1) Une suite croissante est minorée par son 1er terme.
2) Une suite décroissante est majorée par son 1er terme.
2) Une suite décroissante est majorée par son 1er terme.
2-1-6) Remarques
Il existe des suites non monotones : Exemple : Un= .
Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante.
La somme de deux suites monotones de même nature est une suite monotone.
Le produit de deux suites de même monotonie et positives est une suite monotone.
3) Suites arithmétiques
3-1) Définitions :
Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il existe un nombre réel r indépendant de n
tel que pour tout n ∈ ℕ on a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
3-1) Définitions :
Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il existe un nombre réel r indépendant de n
tel que pour tout n ∈ ℕ on a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
3-1) Définitions :
Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il existe un nombre réel r indépendant de n
tel que pour tout n ∈ ℕ on a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un)
qui représente la suite des nombres impairs, est une suite arithmétique de raison 2 et de
Exemple:
La série:
qui représente la suite des nombres impairs, est une suite arithmétique de raison 2 et de
premier terme 1. Il en est de même pour la suite des nombres pairs.
3-2) Propriétés
1) Si r = 0, la suite est constante, ce qui est sans intérêt.
2) Une suite de nombres (Un) est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes
consécutifs quelconques est constante, indépendante de n.Cette constante est égale à
la raison.
3) Une suite de nombres est arithmétique si et seulement pour tout n∈ℕ
et de manière générale, pour tout
3-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite arithmétique):
Soit (Un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme Uo Alors pour tout :
Si p est le rang du terme Up et si on note r la raison de la suite, alors :
Remarque: (relation entre deux termes d’une suite arithmétique)
!
3-4) Propriété :
Soit (Un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme Uo .
Alors la somme Sn vaut:
Pour retenir :
Exemple: (utilisation des suites arithmétiques pour la finance)
Calculer la valeur acquise par l’emplacement à intérêt simple d’un capital de 10 000 DH
Exercice d’application:
Calculer la somme des n premiers nombres impairs de deux manières différentes .
Calculer la valeur acquise par l’emplacement à intérêt simple d’un capital de 10 000 DH
pendant 6 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% .
4-1) Définition :
Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q indépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕ on a: . Le nombre réel q est appelé raison de
la suite ( Un).
4-1) Définition :
Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q indépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕ on a: . Le nombre réel q est appelé raison de
la suite ( Un).
4-1) Définition :
Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q indépendant de n
tel que pour tout n ∈ℕ on a: . Le nombre réel q est appelé raison de
la suite ( Un).
Exemple:
La suite Un+1 = 2 Un est une suite géométrique de raison 2 et de 1er terme 1
Uo= 1
4 ) Suites géométriques
4-2) Remarque et Propriétés :
1) Si q = 0, la suite est nulle, ce qui est sans intérêt.
De même si q = 1, la suite est constante, ce qui est sans intérêt.
Dans toute la suite on suppose que q ≠ 1.
2) Une suite de nombres ( Un) tous non nuls est géométrique si et seulement le quotient
entre deux termes consécutifs quelconques est constant, égale à la raison.
3) Une suite de nombres ( Un) à termes strictement positifs est géométrique si et seulement si
pour tout n ∈ℕ et de manière générale, pour tout
Uo= 1
4-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite géométrique):
Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme Uo Alors
pour tout
Si p est le rang du terme Up et si on note q la raison de la suite, alors :
Remarque: (relation entre deux termes d’une suite géométrique)
!
4-4) Propriété
L'histoire du jeu du roi
Un jeune roi était fanatique de jeux et avait un maître qui avait un penchant mathématique.Le roi
lui demanda un jour:Ne pourrais-tu pas m'inventer un jeu qui ne m'ennuye pas?
Le maître inventait ensuite le jeu d'échec et l'appelait,en honneur du jeune souverain,le jeu du roi.Le
roi était tellement enthousiaste de ce jeu qu'il dit au maître qu'il n'avait qu'à formuler une demande
et qu'il la lui accorderait,quelle qu'en soit la nature.Maître à part entière,il décida de donner une
petite leçon au roi et demandait à ce que l'on lui mette un grain de blé sur la première case de
l'échiquier,tout en doublant la mise en passant d'une case à la prochaine.Le roi lui demandait:C'est
déjà tout?.
Exemple
Exemple: (utilisation des suites géométriques pour la finance)
Calculer la valeur acquise par l’emplacement à intérêt composé d’un capital de 15 000 DH
pendant 7 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% .
déjà tout?.
Expliquez pourquoi la promesse du roi était impossible à tenir.
5-1) L'étude d'une suite arithmético-géométrique.
5) Suites arithmético-géométriques
Exemple:
Exemple: (utilisation des suites arithmético-géométrique pour la finance)
Le client d’une banque dispose le premier Janvier 2000 d’un capital d’argent C qu’il dépose
dans un compte rémunéré à un taux d’intérêt composé annuel t que la banque lui verse sur son
compte le 31 Décembre de chaque année. De plus chaque année à cette date; le client rajoute
la somme R.
On désigne par Un la somme disponible dans le compte du client après n année écoulées
depuis le premier Janvier 2000. Ainsi; les sommes disponibles le premier Janvier de chaque
année depuis le premier Janvier 2000 nous donne une suite (Un) dont le premier terme U0= C
est la somme disponible le premier Janvier 2000. La suite (Un) est une suite arithmético-
géométrique de raisons: q = 1 + t et r = R.
géométrique de raisons: q = 1 + t et r = R.
Exprimer Un en fonction de n. Au bout de combien d’année la somme dans le compte du
client dépassera 100000 DH si C=10000, t =6% et R=6000 DH ?
6) Convergence et divergence des suites
6-1) Introduction
Nous allons étudier ici le comportement de la suite (Un) lorsque n tend vers l’infini, c'est-a-
dire lorsqu'on considère des valeurs de n arbitrairement grandes.
Dire que Un tend vers une limite l lorsque n tend vers l’infini revient à dire que la différence
entre Un et l, devient aussi petite que l’on veut, pourvu que n soit assez grand.
Par conséquent, si on se donne un nombre réel arbitrairement petit, on doit pouvoir
trouver un nombre N(ε
ε
ε
ε) (qui dépend de ε) tel que si n est plus grand que N(ε
ε
ε
ε).
6-2) Définition
trouver un nombre N(ε
ε
ε
ε) (qui dépend de ε) tel que si n est plus grand que N(ε
ε
ε
ε).
Ce qui nous amène a la définition suivante:
Une suite (Un) est dite convergente vers la limite l si à tout nombre ε
ε
ε
ε positif
arbitrairement petit correspond un nombre N(ε
ε
ε
ε) tel que l’inégalité
soit satisfaite par tous les termes Un de la suite avec n  N(ε
ε
ε
ε).
Si la suite (Un) converge vers la limite l, on écrit:
et on lit: la limite de Un quand n tend vers l’infini est l.
Des suites qui ne convergent pas sont dites divergentes.
6-3) Propriété : (unicité de la limite)
Si une suite (Un) converge vers L alors cette suite a une seule limite, L.
6-4) Opérations sur les suites convergentes
6-5) Limites et suites géométriques
Soit q un réel non nul :
6-7) Théorème de la limite monotone:
Toute suite croissante et majorée de réels converge.
Toute suite décroissante et minorée de réels converge.
6-6) Propriété:
Soit (Un) la suite géométrique de raison q:
a) Si -1q1 alors la suite (Un) converge vers 0.
b) Si q1, la suite (Un) diverge vers l’infini.
Toute suite décroissante et minorée de réels converge.
6-8) Théorèmes:
6-8-1) Comparaison par rapport à une suite divergente.
6-8-2) Théorème d’encadrement ou des « gendarmes »
6-8-3) Théorème: passage à la limite dans une inégalité.
Conséquence
6-9) Définition : Suites adjacentes
6-10) Théorème: Suites adjacentes
Les séries numériques
Chapitre:
Chapitre:
Chapitre:
Chapitre: 2
2
2
2
Les séries numériques
à valeurs dans R
Nous allons maintenant nous intéresser à travers ce chapitre à la somme des termes d'une suite.
Nous aborderons la notion de convergence et de divergence d'une série en donnant des règles
et des critères permettant d‘établir la convergence ou la divergence pour différents types de
séries. L'utilisation des séries en économie permet notamment de trouver le taux de rendement
interne d'un investissement ou encore la valeur capitalisée d'une annuité.
1) Introduction et définitions
1-1) Définition:
On appelle série à termes dans R tout couple formé d’une suite (Un) d’éléments
dans R et de la suite (Sn) définie par:
Un est appelé le terme général de la série et Sn est la suite des sommes partielles d’ordre n.
Un est appelé le terme général de la série et Sn est la suite des sommes partielles d’ordre n.
On écrira formellement: au lieu de
1-2 ) Remarque:
L’ indice de sommation peut tout aussi bien être noté par j, k, m etc.Ainsi, pour designer la
somme: on peut indifféremment écrire:
On parle de suite infinie lorsqu'elle comporte un nombre illimité de termes :
Exemple 1: La série finie 1 + 8 + 27 + 64 + 125. peut s’écrire sous la forme abrégée :
La somme partielle de cette série vaut:
a pour terme général
lorsque l’indice du premier terme vaut 1, c’est-à-dire le premier terme s’obtient en posant n = 1,
Exemple 2 : La série infinie
1-4) Remarque :
Dans l’exemple 2, la somme n'est plus la somme d'un nombre fini de termes comme dans
exemple 1, mais la somme d'un nombre illimité de termes. Pour savoir si cette somme est un
nombre fini (existe), il faut introduire la notion de convergence et de divergence d'une
série infinie.
lorsque l’indice du premier terme vaut 1, c’est-à-dire le premier terme s’obtient en posant n = 1,
le deuxième en posant n =2, etc. Cette série s’écrit:
2) Convergence et divergence d'une série
II est clair que la somme d'un nombre fini de termes est un nombre fini. Pour savoir si la
somme d'une série infinie est un nombre fini, il faut calculer la suite des sommes partielles:
pour cela, on forme à partir des termes Ui de la série, la suite (Sn) des sommes partielles,
où Sn représente la somme des n premiers termes. ainsi, la suite des sommes partielles sera
donnée par:
2-1) Introduction.
Nous pouvons dès lors définir la convergence et la divergence des séries infinies:
Dans ce cas, L est appelée somme de la série et l’on écrit:
Si la suite des sommes partielles diverge on dit que la série est divergente.
2-2)Définition: On dit qu’une série est convergente si et seulement si la suite
des sommes partielles converge , on a alors:
1
Exemple : Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série
1
Exemple : Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série
Ainsi,
Comme la suite des sommes partielles converge, la série Converge et sa somme vaut 2.
Operations sur la limite d’une série
Le terme général Un d’une série Convergente tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini:
Cette condition n'est cependant pas suffisante. En revanche, on peut affirmer:
2-3) Remarque:
Exemple : Soit la série . Cette série diverge puisque:
Exemple : Soit la série . Cette série diverge puisque:
3) Séries géométriques
On appelle série géométrique une série dans laquelle les termes Ui sont les termes d'une suite
géométrique:
Calculons la suite des sommes partielles:
cours Mathématique générale-cours complet.pdf
Exemple: Soit la série géométrique suivante:
3-1) Remarques:
A-)
La convergence ou la divergence d'une série n'est pas modifiée si l’on omet ou l'on rajoute
un nombre fini de termes. En revanche, la somme de la série est modifiée.
Exemple: Soit la série:
II S’agit d’une série géométrique de raison q = 1/5 dans laquelle les trois premiers termes ont été
omis. On peut écrire la somme de cette série de la manière suivante :
on obtient:
B-)
L‘étude de la convergence d'une série s'avère nettement plus difficile si l’on ne connait pas
une expression pour le terme général Sn de la suite des sommes partielles. C'est pourquoi
nous allons examiner plusieurs méthodes permettant de reconnaitre la nature d'une série
donnée (autrement dit, de reconnaitre si elle est convergente ou divergente).
0
4) Séries à termes positifs
Comme son nom l’indique, une série à termes positifs est une série tel que:
pour tout n dans N
Puisque tous les termes sont positifs, la suite des sommes partielles est une suite croissante.
Or, le premier critère de convergence d'une suite nous assure qu'une suite croissante et
majorée est convergente. On peut donc énoncer le critère de convergence d'une série à
termes positifs.
4-1) Définition:
La série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes
partielles est majorée.
C’est-à-dire :
4-2) Critère de convergence
4-3)Tests de comparaison
On appelle série majorant une série dont tout les termes sont plus grands (ou égaux) que les termes
correspondants d'une série à termes positifs donnée.
4-4) Règle de convergence:
Si une série à termes positifs est majorée par une série convergente, alors elle est
convergente. En effet, si la série majorant converge, le critère de convergence nous assure que la
suite de ses sommes partielles est majorée. Comme cette série majore la série donnée, la suite des
sommes partielles de la série donnée est majorée et, par conséquent, elle converge. De façon
analogue, on peut établir la règle suivante:
4-5) Règle de divergence:
Si une série à termes positifs majore une série divergente, alors elle est divergente.
Si une série à termes positifs majore une série divergente, alors elle est divergente.
Pour pouvoir appliquer ces règles de comparaison, il faut connaitre un certain nombre de séries
convergentes et divergentes. II est, ainsi souvent fort commode de comparer une série à celle de
Riemann:
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4-6) Règle d’Alembert
Exemple :
cours Mathématique générale-cours complet.pdf
La règle de d’Alembert ne nous permet pas de conclure. Cependant, il est possible d’utiliser,
Remarque 1
Remarque 2:
Une série à termes négatifs peut être étudiée comme l’opposée d'une série à termes positifs.
La règle de d’Alembert ne nous permet pas de conclure. Cependant, il est possible d’utiliser,
dans ce cas, le test de comparaison avec une série convergente: en effet, comparons la série
donnée à la série de Riemann ou p = 2 :
cours Mathématique générale-cours complet.pdf
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
Chapitre: 3
Chapitre: 3
Chapitre: 3
Chapitre: 3
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
1) Introduction et définitions
1-1) Puissances entières
Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
1-2) Puissances relatives
1-3) Puissances rationnelles
1-4) Puissances réelles
1-4) Puissances réelles
Exemple
3-
1-5) Propriété 1
1-6) Propriété 2
1-7) Représentation graphique
1-7) Représentation graphique
1-8) La fonction logarithme à base a
!
!
1-9) Propriété 1
1-10) Propriété 2
1-12) Représentation graphique
1-11) Formule de changement de base
Si b=e on aura
1-12) Représentation graphique
Rappelons ici quelques règles de manipulation des logarithmes:
Les fonctions réelles à une variable réelle.
Chapitre: 4
Chapitre: 4
Chapitre: 4
Chapitre: 4
Les fonctions réelles à une variable réelle.
A chaque fois que l’on associe à une quantité x une (autre) quantité y, on dit que l’on définit une
fonction. Les fonctions sont désignées par des lettres. On note par exemple:
f: x y
f(x)=y
Et :
On dit que y est l’image de x.
On dit que x est un antécédent de y.
1). Définition : Notion de fonction
Les fonctions constituent un outil puissant pour modéliser des phénomènes et des opérations économiques,
on les trouve partout.
Exemple:
On considère la fonction définie par: f: x x²- 4
Quelle est l’image de 3 ?
Quelle est l’image de -1 ?
Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?
Quels sont les antécédents éventuels de -5 ?
2.) Représentation graphique d’une fonction.
La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x))
dans un repère donné. Cette représentation graphique est souvent notée Cf.
2-1) Définition : représentation graphique:
3.) Ensemble de définition d’une fonction.
3-1) Définition :
L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble de tous les réels x pour lesquels f(x)
est calculable.
Exemple : préciser le domaine de définition des fonctions suivantes
4.) Sens de variation d’une fonctions
4-1) Définition:
Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle. On dit que:
f est croissante sur I si : pour tous u et v dans I: uv  f(u) ≤ f(v).
f est strictement croissante sur I si : pour tous u et v dans I: uv  f(u)  f(v).
f est décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: uv  f(u)≥f(v).
f est strictement décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: uv  f(u)f(v).
f est monotone sur I s’elle est croissante ou décroissante sur I.
f est strictement monotone sur I s’elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.
4-2) Remarques:
On dit parfois que f est croissante si elle conserve les inégalités et que f est décroissante si elle
renverse les inégalités.
 Si une fonction est strictement croissante sur un intervalle I, alors elle est croissante sur I.
Illustration graphique:
5.) Fonctions majorées, minorées et bornées:
Soit I un intervalle et soient f et g deux fonctions définies au moins sur I. on dit que:
 f est inférieure à g sur I lorsque : f(x) ≤ g(x) pour tout x € I. on note: f ≤g sur I .
f est positive sur I lorsque: f(x) ≥ 0 pour tout x dans I. on note: f ≥ 0 sur I.
f est majorée sur I lorsqu’il existe un réel M tel que: f(x)≤M pour tout x dans I
f est minorée sur I lorsqu’il existe un réel m tel que: f(x)≥m pour tout x dans I
f est bornée s’elle est majorée et minorée.
Exemple:
On considère les fonctions f et g définies sur R+ par f(x)=x et g(x)=x². comparer f et g
6) Maximum et minimum d’une fonction
6-1) Définition:
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. dire que le nombre f(a) est un maximum (resp.
minimum)de f sur I signifie que pour tout réel x de I on a : f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a))
Exemples:
1)
Démontrer que f est minorée sur R par 2.
2)
Démontrer que f est majorée par 2 sur son domaine de définition.
7) Fonction linéaires, fonctions affines.
7-1) Définition :
Les fonctions f définies sur R, dont l’expression peut se mettre sous la forme:
f(x)= ax+b où a et b sont deux réels
Sont appelées fonctions affines.
Deux cas particuliers:
Lorsque b=0, la fonction f: x ax est dite linéaire.
Lorsque a=0, la fonction f: x b est (dite) constante.
Exemples: les fonctions f et g définies ci-dessous sont affines:
Exemples: les fonctions f et g définies ci-dessous sont affines:
f(x)=3x+2
g(x)=(x+1)²-x² =2x+1
Une fonction affine est la somme d’une fonction linéaire et d’une fonction constante
7-2) Vocabulaires:
Le réel a s’appelle coefficient directeur et le réel b l’ordonnée à l’origine
7-3) Théorème :
La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est une droite.
Celle d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
8) Limite d'une fonction en un point
8-1) Définition de la limite
interprétation
8-2) Limite à droite, limite à gauche.
La fonction f admet une limite à droite l ∈
∈
∈
∈ R quand x tend vers xo par valeurs supérieures et on écrit:
8-2-1) Limite à droite,
8-3) Propriétés des limites
8-3-1)Théorème :
Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et λ un nombre réel, alors:
La fonction f admet une limite à droite l ∈
∈
∈
∈ R quand x tend vers xo par valeurs inférieures et on écrit:
8-2-2) limite à gauche
Exemple:
Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et λ un nombre réel, alors:
(la limite d’une somme est la somme des limites, si
chacune des limites individuelles existe)
8-3-2) Règles permettent de calculer des limites:
Exemple: Calculer les limites suivantes.
9) La continuité
9-1) Continuité en un point et sur un intervalle d’une fonction
9-1-1) Définition 1
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I
contenant un point a.
On dit que f est continue en a lorsque :
existe et vaut f(a).On a donc :
9-1-2) Définition 2
Exemples
9-1-2) Définition 2
On dit que f est continue sur un intervalle I s’elle est continue en tout point de I.
Exemple graphique
9-2) Prolongement par continuité
Soit une fonction définie sur un intervalle de centre x0, mais pas en x0 et admettant
une limite l en x0 .
Considérons la fonction :
Cette fonction g est continue en x0 car On dit que g est un prolongement
par continuité de f en x0.
Exemple:
9-3) Continuité à droite, continuité à gauche
On dit qu'une fonction f définie en x0 est continue à droite de x0 si et seulement si :
De même f, définie pour x0 est continue à gauche de x0 si et seulement si :
Pour qu'une fonction soit continue au point x0, il faut et il sut qu'elle soit continue à droite et à
gauche de x0 et :
9-4)Théorèmes généraux
 Toute fonction polynôme est continue sur R.
Toutes les fonctions circulaires sont continues sur leur ensemble de définition
 La fonction racine est continue sur [0;+∞[.
 La somme, le produit, la composition de deux fonctions continues est continue.
 Si f et g sont continues et si g ne s’annule pas alors est continue.
 En particulier, toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
9-4-1)Théorème
9-4-2)Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I)
Théorème des valeurs intermédiaires : existence d’au moins une solution
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b] et soit k un réel compris entre f(a) et f(b).
Si f est continue sur [a ; b] alors il existe un réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k (voir figure
de gauche ci-dessous).
Si f continue sur [a ; b] et si f est strictement monotone sur [a ; b] alors il existe un unique réel c
appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k (voir figure de droite ci-dessous).
Théorème de Bolzano
Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors
il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0.
10) La dérivabilité
10-1) Dérivabilité d’une fonction en un point
10-1-1) Définition
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable en a lorsque :
existe et est finie on note alors f’(a) cette limite,
et on l’appelle nombre dérivé de f en a.
Donc si f est dérivable en a, on a :
Donc si f est dérivable en a, on a :
Autre notation:
Si f est dérivable en a. on a:
10-1-2) Vocabulaires et interprétation graphique
10-1-2-1)Vocabulaires
La quantité ,pour tout , ou ,pour tout , est appelée:
Taux d’accroissement de f en a
10-1-2-2) Interprétation graphique
Si f est dérivable en a, le nombre f′(a) désigne alors le coefficient directeur de la tangente à la
courbe au point d’abscisse a , il en découle alors l’équation de la tangente à Cf au point a :
10-1-2-3) Approximation affine
Si f est dérivable en a, la meilleure approximation affine de f au voisinage de a est alors la tangente
en a, on a en outre : pour x voisin de a.
On peut aussi noter: pour h voisin de 0.... (il suffit de poser h = x − a..)
cela permet de fournir une bonne approximation de f au voisinage de a .
cela permet de fournir une bonne approximation de f au voisinage de a .
10-2-2) Remarques:
10-2) Théorème de Rolle
Théorème : Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b).
Alors il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = 0.
10-2-1) Interprétation géométrique
1. On ne sait pas si c est unique, et le théorème ne permet pas de connaître c.
2. f n’a pas besoin d’être dérivable aux bornes de l’intervalle. Exemple :
3.f continue sur [a, b] est une condition nécessaire. exemple :
4. f dérivable sur ]a, b[ est une condition nécessaire. Exemple
10-2-2) Remarques:
10-2-3) Conséquences : Théorème de Rolle infini
10-3) Théorème des accroissements finis (TAF)
Théorème :
Soit f : [a, +∞ [ R continue sur [a,+∞ [, dérivable sur ]a,+∞ [ et telle que
Alors il existe un réel c ∈ ]a,+∞ [ tel que f′(c) = 0.
Théorème :
Soit f : [a, b] R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[.Alors il existe un réel c∈ ]a, b[ tel que
f(b) − f(a) = f′(c)(b − a).
10-4) Inégalité des accroissements finis
Théorème : Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. S’il
existe k strictement positif tel que |f′(x)|  k , pour tout x dans ]a, b[, alors:
10-5) Fonction dérivée, formules de calcul
10-5-1) Définition
On rappelle que f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout point de I.
L’ensemble D où f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité de f.
On défini ensuite sur I la fonction dérivée de f notée f′.
10-5-2) Opérations sur les fonctions dérivables
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel
quelconque on a :
10-6) Composée et dérivée
10-6-1) Théorème
10-6-2) Conséquences : d’autres formules de dérivation
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie et dérivable sur
un intervalle J, tel que g(J) ⊂ I, alors la fonction h = f ◦ g est dérivable sur J et pour tout x de J
on a :
En gros
soit U une fonction définie et dérivable sur I, pour tout entier relatif n on a :
soit U une fonction définie et dérivable sur I, pour tout entier relatif n on a :
.....(avec comme condition supplémentaire que U ne s’annule jamais sur I quand n est négatif)
soit U une fonction définie et dérivable sur I, et telle que u  0 sur I, on a alors :
10-6-3) Exemples de calculs
10-6-3-1) Applications de la dérivation et compléments
a) Étude des variations
b) Recherche d’extrema locaux
Soit f fonction dérivable sur I.
On dit que f présente un extremum local en x0 lorsque sa dérivée f′ s’annule en changeant de signe
en x0.
dérivées des fonctions usuelles
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
Chapitre: 5
Chapitre: 5
Chapitre: 5
Chapitre: 5
71
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
Nous allons considérer des fonctions de deux ou plusieurs variables indépendantes dont nous
pouvons citer quelques exemples tirés de formules mathématiques élémentaires; ainsi, l’aire
S d'un triangle quelconque: est une fonction de deux variables indépendantes:
b (base du triangle) et h (hauteur du triangle).
Le volumeV d'un parallélépipède rectangle est donne par: V = a.b.c où a, b et c sont les
longueurs respectives des arêtes. Ici,V est une fonction de trois variables a, b et c.
1) Introduction et définition.
Les fonctions à plusieurs variables réelles.
72
longueurs respectives des arêtes. Ici,V est une fonction de trois variables a, b et c.
1-1) Définition . On dit que est une fonction de n variables
indépendantes si à tout système de valeurs des variables indépendantes
correspond une valeur bien déterminée de la variable dépendante z.
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des fonctions de
deux variables.
1-2) Définition:
Si, a chaque couple (x;y) de valeurs de deux variables indépendantes X etY correspond une
valeur bien déterminée de la variable dépendante Z, on dit que Z est une fonction de deux
variables indépendantes x et y. Une fonction de deux variables est notée z = f(x,y).
2-1) Définition:
On appelle domaine de définition de la fonction z = f(x,y) l’ensemble des couples
(x;y) pour lesquels cette fonction est définie. On note par D le domaine de définition.
2) Domaine de définition
73
2-2) Remarque
Le domaine de définition peut être représenté géométriquement par l’ensemble des points
de coordonnées (x,y) dans le plan Oxy
Exemple
Soit la fonction de deux variables .Pour que z soit définie dans l’ensemble des
nombres réels,il faut que:
C’est-à-dire: ou encore: On a représenté ce domaine de définition sur la
figure suivante:
74
Remarque:
Comme pour les fonctions d'une variable, on peut définir la continuité des fonctions de deux
ou de plusieurs variables.
3-1) Définition:
Une fonction de deux variables f(x,y) est dite continue au point x = a, y = b si les trois
conditions suivantes sont satisfaites simultanément:
3) la continuité des fonctions de deux variables
75
4) Représentations graphiques des fonctions de deux variables
Soit une fonction de deux variables z = f(x,y). On peut représenter une telle fonction dans
un système de coordonnées cartésiennes dans l’espace, noté Oxyz: à chaque point (xo;yo) du
plan Oxy en lequel la fonction est bien définie, on associe la valeur f(xo,yo) en élevant une
perpendiculaire au plan Oxy de longueur égale à la valeur de f(xo,yo) . On obtient ainsi
un point P dont les coordonnées sont: (xo,yo,zo) = (xo;,yo,f(xo,yo)) L'ensemble de tous les
points P dont les coordonnées satisfont l’équation z =f(x, y) est appelé graphe de la fonction
de deux variables f(x, y).Ainsi, L’équation z = f(x,y) définit une surface dans l’espace.
Exemple:
Représentons graphiquement la fonction de deux variables z = x² + y² dont le graphe porte
le nom de paraboloïde de révolution.
On peut dresser un tableau des valeurs que prend la fonction pour chaque couple (x; y) :
On peut dresser un tableau des valeurs que prend la fonction pour chaque couple (x; y) :
5) Dérivées partielles
Considérons la fonction de deux variables z = f(x, y). Si l’on considère y comme une constante, Z
n'est plus qu'une fonction de x et l’on peut calculer la dérivée de Z par rapport à x, si elle existe. La
dérivée obtenue dans ce cas est la dérivée partielle de z par rapport à x que l’on peut écrire de
plusieurs façons:
La dérivée partielle de Z par rapport à x est définie ainsi:
lorsque la limite existe et qu'elle est finie.
De manière analogue, si l’on considère x comme une constante, z n'est plus qu'une
fonction de y et l’on peut calculer la dérivée de z par rapport a y, si elle existe. La dérivée
obtenue dans ce cas est la dérivée partielle de z par rapport a y que l’on peut écrire:
5-1) Définition : La dérivée partielle de z par rapport a y est définie ainsi:
lorsque la limite existe et est finie.
lorsque la limite existe et est finie.
Notons qu'en général une fonction de n variables possède n dérivées partielles, chacune étant prise
par rapport à une variable.
Exemple 1
Soit la fonction de deux variables on peut calculer la dérivée partielle de z
par rapport à x et la dérivée partielle de z par rapport à y :
y étant considérée comme une constante, la dérivée de -2y² est nulle.
x étant considérée comme une constante, la dérivée de 3x² est nulle.
Calculons les deux dérivées partielles de f(x,y) = 5xln(l + 2y)
Exemple :
Remarque:
Puisqu'en général, les dérivées partielles d'une fonction z =f(x,y) sont aussi des fonctions de x et y,
on peut les dériver partiellement une seconde fois par rapport à x et par rapport à y. On appelle ces
dérivées les secondes dérivées partielles de z et on les note:
Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à x
Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à y
Signifie qu'on a dérive une première fois par rapport a y et une seconde par rapport a x
Signifie qu'on a dérive une première fois par rapport a x et une seconde par rapport a y
De ces quatre dérivées, seules trois sont distinctes puisque, si elles sont continues:
Exemple :Nous allons calculer les dérivées partielles de premier et second ordre de la fonction:
6) Applications économiques des dérivées partielles
(Théorème de Schwartz)
Dans ce paragraphe, nous allons voir deux applications économiques des dérivées partielles: le coût
marginal et la productivité marginale.
6-1) Coût marginal
La fonction de coût conjointe:
est définie comme étant le coût de production des quantités x et y de deux biens. Nous pouvons
calculer les dérivées partielles de C par rapport à x et par rapport à y:
Exemple: Si la fonction de coût conjointe pour produire des quantités x et y de deux biens est:
calculons le coût marginal par rapport à x :
et le coût marginal par rapport à y :
6-2) Productivité marginale
Pour produire la plupart des biens, on a besoin d'au moins deux facteurs de production tels que le
travail, le capital, la terre, les matériaux ou les machines. Une fonction de production z = f(x,y) signifie
travail, le capital, la terre, les matériaux ou les machines. Une fonction de production z = f(x,y) signifie
qu'une quantité z d'un bien est fabriquée à l'aide des quantités x et y de deux facteurs de production.
On peut alors calculer la dérivée partielle de z par rapport à x qui nous donne la productivité
marginale de x et la dérivée partielle de z par rapport à y qui nous donne la productivité
marginale de y.
Exemple : Si la fonction de production d’un bien est donnée par:
la productivité marginale de x est égale à:
et la productivité marginale de y est égale à:
Une fonction de deux variables z = f(x,y) présente un maximum au point P(a,b,f(a,b)) si f(a,b) à une
valeur supérieure à toutes celles que prend f(x,y) au voisinage de x = a et y = b . De même, f(x, y)
présente un minimum au point P(a,b,f(a,b)) si f(a,b) a une valeur inferieure à toutes celles que prend
f(x,y) au voisinage de x = a et y = b .
II en résulte qu'il existe un plan tangent horizontal au point (a; b; f(a,b)).
Ce plan tangent est engendré par les deux tangentes déterminées par:
7) Minima et maxima d'une fonction de deux variables
Ainsi, pour que f(a,b) soit un maximum ou un minimum, il faut que les deux équations suivantes soient
satisfaites simultanément:
Cette condition est nécessaire, mais l'exemple du point-selle (ci-dessous) montre qu'elle
n'est pas suffisante. Bien que les deux tangentes soient horizontales, quel que soit le voisinage
du point-selle considéré, on peut toujours trouver un point qui soit au-dessus du point-selle
et un autre point qui soit au-dessous du point-selle. Notons qu'a un point-selle, une fonction
présente un minimum pour une des variables et un maximum pour l’autre variable . II faut
donner une condition suffisante qui est la suivante:
Point-selle
Nous admettrons sans démonstration le résultat suivant:
Exemple : Soit z=3x² + 2y². Cherchons les extrema de cette fonction.
II y a donc une valeur critique au point x = y = z = 0 et cette valeur est un minimum puisque toutes
les autres valeurs de z sont positives .
En effet, comme :
D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum.
D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum.
8) Multiplicateurs de Lagrange
Dans de nombreuses applications pratiques de maximisation ou de minimisation, le problème est de
maximiser ou minimiser une fonction donnée assujettie à certaines conditions ou contraintes sur les
variables impliquées. La méthode étudiée ci-après est applicable à n'importe quel nombre de variables
et de contraintes. La méthode des multiplicateurs de Lagrange est employée pour obtenir un
maximum ou un minimum d'une fonction soumise à des contraintes d’égalité.
Supposons que f(x,y), appelée fonction objective, doit être maximisée ou minimisée sous la
contrainte g(x,y)=0. Formons une fonction auxiliaire appelée un lagrangien:
Ou λ (multiplicateur de Lagrange) est un inconnu. Pour que cette fonction passe par un extremum,
il faut que les trois équations suivantes soient satisfaites simultanément:
il faut que les trois équations suivantes soient satisfaites simultanément:
Notons que la troisième équation n'est autre que la contrainte! Ainsi, F(x,y,λ) ne doit être dérivée
partiellement que par rapport à x et à y. La solution du système de trois équations à trois inconnues
(x, y et λ) ci-dessus fournit les points critiques de la fonction sous contrainte. Ces points critiques
satisfont la contrainte, mais il reste encore à déterminer s'il s'agit effectivement d'un extremum. Pour
cela, on utilisera le résultat suivant:
On a un maximum en x = a ,y = b si a*  0,
On a un minimum en x = a ,y = b si a*  0,
avec
Si a*  0, le test échoué; il faut examiner la fonction au voisinage de x, y.
Exemple :
Déterminer les minimas et maximas de la fonction objective f(x,y) = 5x² + 6y² -xy sous la
Déterminer les minimas et maximas de la fonction objective f(x,y) = 5x² + 6y² -xy sous la
contrainte : x + 2y = 24.
8-1)Applications économiques des multiplicateurs de Lagrange
II y a beaucoup d'applications économiques des minima et maxima sous contraintes.
Par exemple: si un producteur fabrique deux biens, il peut vouloir minimiser le coût total
tout en devant fabriquer une quantité totale minimale spécifiée.
une compagnie peut désirer maximiser ses ventes résultant de deux publicités effectuées, tout
en observant la contrainte du budget de publicité.
un consommateur peut vouloir maximiser sa fonction d'utilité provenant de la consommation
de certains biens, tout en étant restreint par son budget.
Exemple: 1
Un consommateur dépense de son revenu 48 DHs pour l’achat de deux biens: x et y. Les
prix de x et de y sont respectivement 2 DHs et 3 DHs. La fonction d’utilité du
consommateur est donnée par la formule:
Combien d’unités du bien x et du bien y doit-il consommer pour maximiser son utilité?
Exemple: 2
Une firme produit des appareils dans deux usines différentes. Les coûts totaux de production
pour les deux usines sont respectivement :
Où q1 et q2 représentent le nombre d'appareils produits dans chaque usine. La firme s'est
engagée à livrer 100 appareils à une entreprise. Les frais de transport par appareil sont de 4
DHs pour les livraisons à partir de la première usine et de 2 DHs pour les livraisons à partir
de la seconde usine. Les frais de transport sont supportés par la firme productive.
Calculons le nombre d'appareils que doit produire la firme dans chaque usine afin de
minimiser le coût total de production y compris le coût de transport.
Algèbre
Algèbre
(Calcul matriciel)
Le calcul matriciel
Chapitre: 6
Chapitre: 6
Chapitre: 6
Chapitre: 6
90
Le calcul matriciel
1) Définitions
Une matrice n x m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes.
n et m sont les dimensions de la matrice.
Exemple:
Matrice avec n=2 et m=3 :
On note Mij l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j :
Calcul matriciel
Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (ou, plus précisément vecteur-colonne) :
Si n = m la matrice est dite matrice carrée.
2) Quelques matrices carrées particulières
Matrice unité (ou matrice identité) : Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les éléments
diagonaux qui sont égaux à 1.
Matrice diagonale : Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les éléments diagonaux .
n=4
diagonaux qui sont égaux à 1.
n=4
Matrice triangulaire :
Matrice triangulaire supérieur: Tous les éléments situés au dessous des éléments diagonaux sont nuls.
Matrice triangulaire inférieur: Tous les éléments situés au dessus des éléments diagonaux sont nuls.
Une matrice carrée S est dite symétrique si Sij = Sji (i,j) € N:
3) Opérations sur les matrices
3.1) Egalité de deux matrices
Deux matrices A et B sont égales si elles ont les mêmes dimensions et si Aij = Bij i, j.
Exemple:
3.2) Addition et soustraction
L’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doivent avoir
les mêmes dimensions.
Exemples :
3.3) Multiplication par un nombre
Lorsqu’une matrice est multipliée par un nombre, chaque terme de la matrice est multipliée
par ce nombre :
3.4) Transposition
La transposée AT d’une matrice A est la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes de A. si
A est de dimension (n,p) alors AT est de dimension (p,n)
La transposée d’un vecteur-colonne est un vecteur-ligne.
Exemple:
3.5) Multiplication matricielle
3.5.1) Produit scalaire
Le produit scalaire d’un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y est défini par :
 Ce produit, appelé produit scalaire, est noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.
 Ce produit, appelé produit scalaire, est noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension.
Le résultat de cette opération est un scalaire. On peut noter que le produit scalaire est commutatif :
x · y = y · x.
 Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, les vecteurs sont dits orthogonaux.
A deux dimensions, cela correspond à deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vecteurs
x = ( 1 3 ) et y = ( 6 −2 ) ont un produit scalaire nul et on vérifiera facilement qu’ils sont
perpendiculaires.
3.5.2) Produit matriciel
Le produit de la matrice A (n x m) par la matrice B (m x p) est la matrice C (n x p) telle que
l’élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la
matrice B :
Ce produit matriciel est noté AB = C
Exemple
3.5.3) Propriétés
Le produit matriciel est:
associatif :ABC = (AB)C =A(BC)
distributif par rapport à l’addition :A(B + C) =AB +AC
non-commutatif : (en général)AB ≠ BA
La matrice unité I est l’élément neutre pour la multiplication :AI = IA =A
Transposée d’une somme :
Transposée d’un produit :
3.5.4) Quelques produits particuliers:
3.5.4.1) Carrée scalaire :
 Sa racine carrée est appelée norme du vecteur x et est notée ||x||. Lorsque la
norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est dit normé.Tout vecteur peut être normé
norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est dit normé.Tout vecteur peut être normé
en le divisant par la racine carré de sa norme.
 Une matrice dont toutes les colonnes prises deux à deux sont des vecteurs orthogonaux est dite
matrice orthogonale. Si, de plus ces vecteurs sont normés, la matrice est dite matrice orthonormée.
 Deux vecteurs qui sont simultanément normés et orthogonaux sont dit orthonormés :
a et b sont orthonormés
Propriétés
Si la matriceA est orthogonale, alors:
3.5.4.3) Déterminant d’une matrice carrée:
3.5.4.2) Inversion
Une matrice carréeA est dite inversible s’il existe une matrice carrée (appelée matrice inverse)
telle que:
3.5.4.3) Déterminant d’une matrice carrée:
Pour n=2
Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matrice inverse est donnée par:
Le nombre ad − bc est appelé déterminant de la matriceA. On le note:
La matrice inverse n’existe donc que si det(A) est différent de 0.
Le déterminant peut se calculer de manière récursive. Par exemple pour n = 3, on a, en développant
la première ligne :
Dans ce développement, chaque déterminant d’ordre 2 est appelé mineur du terme qui le précède. Le
mineur de l’´elément xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j. Par
Pour n=3
mineur de l’´elément xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j. Par
exemple, le mineur de a est :
Le cofacteur de l’élément xij est donné par l’expression :
Remarque:
On peut développer le déterminant par rapport à n’importe quelle ligne ou colonne. En pratique, pour
faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou colonne) qui contient le plus de 0.
Propriétés
Le déterminant d’une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments
diagonaux. En particulier, det(I) = 1.
 Si A est inversible, alors
 Si A est orthogonale, alors
 Si A est orthogonale, alors
 Si on multiplie une ligne (ou une colonne) d’une matrice par un réel , le déterminant de la
nouvelle matrice est multiplié par ce réel.
 En ajoutant à une ligne un multiple d’une autre, on ne change pas un déterminant.
4) Application aux systèmes d’équations linéaires
4.1) Formulation matricielle:
Un système de n équations linéaires à n inconnus est de la forme :
Où les xi sont les inconnus du système, les aij sont les coefficients et les bi sont les termes constants
Un tel système peut s’écrire sous la forme matricielle : Ax = b
avec
4.2) Résolution d’équations linéaires
Si la matrice est inversible (c’est-à-dire si son déterminant est non nul), on a, en multipliant à gauche
parA−1 :
Soit:
Un simple produit matriciel et le système est résolu !
Exemple :
Considérons le système de deux équations à deux inconnus suivants :
On vérifiera que x1 = 3 et x2 = 1 est bien solution du système d’équations.
Soit le système est indéterminé : c’est le cas lorsqu’une des équations est une combinaison
linéaire des autres équations du système.
Exemple :
Lorsque la matrice n’est pas inversible, c’est-à-dire quand son déterminant est nul, deux
cas sont à envisager :
 Soit le système est impossible : c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une combinaison
 Soit le système est impossible : c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une combinaison
linéaire des autres équations du système.
Exemple :
Remarque:
Le système d’équations est dit homogène siAx = 0.
Ce système ne possède des solutions non triviales (c’est-à-dire autres que x = 0) que si
det(A) = 0.
4.3)Valeurs propres et vecteurs propres
4.3.1) Définitions
On dit qu’une matrice carréeA possède une valeur propre λ et un vecteur propre v si:
Av = λv
En général une matrice de dimension n x n possède n valeurs propres réelles.A chaque valeur
propre est associé un vecteur propre (ou, plus précisément, une famille de vecteurs propres).
4.3.2) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres
L’équation précédente peut se réécrire comme suit:
L’équation précédente peut se réécrire comme suit:
C’est-à-dire
Ce système aura des solutions autres que la solution triviale si et seulement si:
L’expression de ce déterminant est un polynôme de degré n en λ qui est appelé polynôme
caractéristique de la matriceA et l’équation correspondante est dite équation caractéristique.
En particulier, pour la matrice 2 x 2
l’équation caractéristique s’écrit
Les valeurs propres sont donc
Exemple 1:
Recherchons les valeurs propres de la matriceA
Recherchons maintenant les vecteurs propres
Exemple 2:
Recherchons les valeurs propres de la matrice A
Recherchons les valeurs propres de la matrice A
(L2 = L2-L 3+L1)
(C3=C2+C3) L1=L1-L2
0
2 2
cours Mathématique générale-cours complet.pdf
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  • 1. Mathématiques générales Ecole Nationale de Commerce et de Gestion de Kénitra Enseignant: Mr. Bouasabah Mohamme ( ‫ﺑﻮﻋﺼﺎﺑﺔ‬ ‫ﳏﻤﺪ‬ ) Année universitaire: 2013/2014 ECOLE NATIONALE DE COMMERCE ET DE GESTION -KENITRA-
  • 2. Plan du cours. Plan du cours. Plan du cours. Plan du cours. Chapitre 1: Les suites de nombres réels. Chapitre 3: Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes. Chapitre 2: Les séries numériques. Chapitre 3: Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes. Chapitre 4: Les fonctions à une seule variable réelle. Chapitre 5: Les fonctions à deux variables réelles. Chapitre 6: Le calcul matriciel.
  • 4. LES SUITES NUMERIQUES 1) Notion de suites numériques, notations et définitions 1-1) Définition 1 Intuitivement, une suite de nombres réels est une liste ordonnée de nombres. Il y a un premier nombre, noté U1 (lire "u indice 1" ou "u un"), un deuxième U2 ,….un nième, Un. On note ( Un) la suite de ces nombres. 1-2) Définition 2 1-2) Définition 2 1-2) Définition 2 L’utilisation des suites pour un gestionnaire est très fréquente notamment pour modéliser quelques phénomènes financiers (calcul des intérêts simples et composés…) Chapitre 1: 1-2) Définition 2 Une suite numérique est une application de N vers R qui associé à chaque entier n un réel noté U(n) ou Un : 1-2) Définition 2 Une suite numérique est une application de N vers R qui associé à chaque entier n un réel noté U(n) ou Un : (Notation fonctionnelle) (Notation fonctionnelle) 1-2) Définition 2 Une suite numérique est une application de N vers R qui associé à chaque entier n un réel noté U(n) ou Un : (Notation fonctionnelle) Remarques Ne pas confondre la suite U et le terme Un d'indice n. ! a) ATTENTION au premier terme ! Si UO est le premier terme ,alors U4 est le 5ème terme. Ne pas confondre l’indice n et le rang du terme, qui est son numéro d’ordre. ! b)
  • 5. c) Généralement ,une suite numérique peut être définie de deux manières différentes : Exemple: On définit la suite ( Un) ou (notation plus lourde mais qui précise les valeurs que peut prendre l'indice) pour tout par la formule Un = 2n + 3 C-1) La donnée d'une formule permettant de calculer un terme en fonction de son indice [forme explicite]. C-2) La définition récurrente: On peut définir une suite par la donnée de son premier terme ( Uo, U1 ou autre) et d'une relation entre deux termes consécutifs de la suite Exemple: (représente la suite des nombres impairs) Cette définition est appelée définition par récurrence et la relation est appelée relation de récurrence.
  • 6. Remarques: a) ATTENTION aux changements d'indice, ainsi les suites définies par: sont identiques. b) ATTENTION à ne pas confondre: 2) Propriétés des suites: 2-1) La monotonie 2-1) La monotonie 2-1-1) Définition 1: On dit que (Un) est croissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a : On dit qu’elle est strictement croissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a: On dit que (Un) est décroissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a: On dit qu’elle est strictement décroissante si et seulement si pour tout n ∈ ℕ on a: On dit que (Un) est monotone si et seulement si elle est soit croissante soit décroissante. Cette monotonie peut-être stricte. Soit (Un) une suite de nombres réels:
  • 7. Exemples : Les suites sont strictement croissantes tandis que les suites (n≠0) sont strictement décroissantes. Remarque : Une suite peut posséder une certaine propriété de monotonie à partir d'un certain indice. 2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no ∈ Ν ∈ Ν ∈ Ν ∈ Ν si et seulement si pour tout n ≥ no 2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no ∈ Ν ∈ Ν ∈ Ν ∈ Ν si et seulement si pour tout n ≥ no 2-1-2) Définition 2 : On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no ∈ Ν ∈ Ν ∈ Ν ∈ Ν si et seulement si pour tout n ≥ no On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no si et seulement si pour tout On a: On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no si et seulement si pour tout On a: On définit de même la stricte croissance, la (stricte) décroissance et la (stricte) monotonie à partir de l’indice no ∈ ℕ On définit de même la stricte croissance, la (stricte) décroissance et la (stricte) monotonie à partir de l’indice no ∈ ℕ On dit que (Un) est croissante à partir de l’indice no si et seulement si pour tout On a: On définit de même la stricte croissance, la (stricte) décroissance et la (stricte) monotonie à partir de l’indice no ∈ ℕ 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période p si pour tout n ∈ ℕ on a: 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période p si pour tout n ∈ ℕ on a: 2-1-3) Définition 3: On dit que (Un) est périodique de période p si pour tout n ∈ ℕ on a: 2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n ∈ ℕ on a: 2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n ∈ ℕ on a: 2-1-4) Définition 4: On dit que (Un) est majorée s'il existe un nombre réel M tel que pour tout n ∈ ℕ on a:
  • 8. On dit que (Un) est minorée s'il existe un nombre réel m tel que pour tout n ∈ ℕ on a: On dit que (Un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. Remarque : Une suite peut être minorée/majorée/bornée à partir d'un certain rang. Exemples: 2-
  • 9. 2-1-5) Propriétés 1) Une suite croissante est minorée par son 1er terme. 2) Une suite décroissante est majorée par son 1er terme. 2) Une suite décroissante est majorée par son 1er terme. 2-1-6) Remarques Il existe des suites non monotones : Exemple : Un= . Une suite à la fois croissante et décroissante est une suite constante. La somme de deux suites monotones de même nature est une suite monotone. Le produit de deux suites de même monotonie et positives est une suite monotone.
  • 10. 3) Suites arithmétiques 3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il existe un nombre réel r indépendant de n tel que pour tout n ∈ ℕ on a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un) 3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il existe un nombre réel r indépendant de n tel que pour tout n ∈ ℕ on a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un) 3-1) Définitions : Une suite de nombres (Un) est dite arithmétique si il existe un nombre réel r indépendant de n tel que pour tout n ∈ ℕ on a . Le nombre réel r est appelé raison de la suite (Un) qui représente la suite des nombres impairs, est une suite arithmétique de raison 2 et de Exemple: La série: qui représente la suite des nombres impairs, est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1. Il en est de même pour la suite des nombres pairs. 3-2) Propriétés 1) Si r = 0, la suite est constante, ce qui est sans intérêt. 2) Une suite de nombres (Un) est arithmétique si et seulement si la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante, indépendante de n.Cette constante est égale à la raison. 3) Une suite de nombres est arithmétique si et seulement pour tout n∈ℕ et de manière générale, pour tout
  • 11. 3-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite arithmétique): Soit (Un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme Uo Alors pour tout : Si p est le rang du terme Up et si on note r la raison de la suite, alors : Remarque: (relation entre deux termes d’une suite arithmétique) ! 3-4) Propriété : Soit (Un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme Uo . Alors la somme Sn vaut: Pour retenir :
  • 12. Exemple: (utilisation des suites arithmétiques pour la finance) Calculer la valeur acquise par l’emplacement à intérêt simple d’un capital de 10 000 DH Exercice d’application: Calculer la somme des n premiers nombres impairs de deux manières différentes . Calculer la valeur acquise par l’emplacement à intérêt simple d’un capital de 10 000 DH pendant 6 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% .
  • 13. 4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q indépendant de n tel que pour tout n ∈ℕ on a: . Le nombre réel q est appelé raison de la suite ( Un). 4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q indépendant de n tel que pour tout n ∈ℕ on a: . Le nombre réel q est appelé raison de la suite ( Un). 4-1) Définition : Une suite ( Un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q indépendant de n tel que pour tout n ∈ℕ on a: . Le nombre réel q est appelé raison de la suite ( Un). Exemple: La suite Un+1 = 2 Un est une suite géométrique de raison 2 et de 1er terme 1 Uo= 1 4 ) Suites géométriques 4-2) Remarque et Propriétés : 1) Si q = 0, la suite est nulle, ce qui est sans intérêt. De même si q = 1, la suite est constante, ce qui est sans intérêt. Dans toute la suite on suppose que q ≠ 1. 2) Une suite de nombres ( Un) tous non nuls est géométrique si et seulement le quotient entre deux termes consécutifs quelconques est constant, égale à la raison. 3) Une suite de nombres ( Un) à termes strictement positifs est géométrique si et seulement si pour tout n ∈ℕ et de manière générale, pour tout Uo= 1
  • 14. 4-3) Propriété (expression du terme générale d’une suite géométrique): Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme Uo Alors pour tout Si p est le rang du terme Up et si on note q la raison de la suite, alors : Remarque: (relation entre deux termes d’une suite géométrique) ! 4-4) Propriété
  • 15. L'histoire du jeu du roi Un jeune roi était fanatique de jeux et avait un maître qui avait un penchant mathématique.Le roi lui demanda un jour:Ne pourrais-tu pas m'inventer un jeu qui ne m'ennuye pas? Le maître inventait ensuite le jeu d'échec et l'appelait,en honneur du jeune souverain,le jeu du roi.Le roi était tellement enthousiaste de ce jeu qu'il dit au maître qu'il n'avait qu'à formuler une demande et qu'il la lui accorderait,quelle qu'en soit la nature.Maître à part entière,il décida de donner une petite leçon au roi et demandait à ce que l'on lui mette un grain de blé sur la première case de l'échiquier,tout en doublant la mise en passant d'une case à la prochaine.Le roi lui demandait:C'est déjà tout?. Exemple Exemple: (utilisation des suites géométriques pour la finance) Calculer la valeur acquise par l’emplacement à intérêt composé d’un capital de 15 000 DH pendant 7 ans à un taux d’intérêt annuel de 8% . déjà tout?. Expliquez pourquoi la promesse du roi était impossible à tenir.
  • 16. 5-1) L'étude d'une suite arithmético-géométrique. 5) Suites arithmético-géométriques Exemple:
  • 17. Exemple: (utilisation des suites arithmético-géométrique pour la finance) Le client d’une banque dispose le premier Janvier 2000 d’un capital d’argent C qu’il dépose dans un compte rémunéré à un taux d’intérêt composé annuel t que la banque lui verse sur son compte le 31 Décembre de chaque année. De plus chaque année à cette date; le client rajoute la somme R. On désigne par Un la somme disponible dans le compte du client après n année écoulées depuis le premier Janvier 2000. Ainsi; les sommes disponibles le premier Janvier de chaque année depuis le premier Janvier 2000 nous donne une suite (Un) dont le premier terme U0= C est la somme disponible le premier Janvier 2000. La suite (Un) est une suite arithmético- géométrique de raisons: q = 1 + t et r = R. géométrique de raisons: q = 1 + t et r = R. Exprimer Un en fonction de n. Au bout de combien d’année la somme dans le compte du client dépassera 100000 DH si C=10000, t =6% et R=6000 DH ?
  • 18. 6) Convergence et divergence des suites 6-1) Introduction Nous allons étudier ici le comportement de la suite (Un) lorsque n tend vers l’infini, c'est-a- dire lorsqu'on considère des valeurs de n arbitrairement grandes. Dire que Un tend vers une limite l lorsque n tend vers l’infini revient à dire que la différence entre Un et l, devient aussi petite que l’on veut, pourvu que n soit assez grand. Par conséquent, si on se donne un nombre réel arbitrairement petit, on doit pouvoir trouver un nombre N(ε ε ε ε) (qui dépend de ε) tel que si n est plus grand que N(ε ε ε ε). 6-2) Définition trouver un nombre N(ε ε ε ε) (qui dépend de ε) tel que si n est plus grand que N(ε ε ε ε). Ce qui nous amène a la définition suivante: Une suite (Un) est dite convergente vers la limite l si à tout nombre ε ε ε ε positif arbitrairement petit correspond un nombre N(ε ε ε ε) tel que l’inégalité soit satisfaite par tous les termes Un de la suite avec n N(ε ε ε ε). Si la suite (Un) converge vers la limite l, on écrit: et on lit: la limite de Un quand n tend vers l’infini est l. Des suites qui ne convergent pas sont dites divergentes.
  • 19. 6-3) Propriété : (unicité de la limite) Si une suite (Un) converge vers L alors cette suite a une seule limite, L. 6-4) Opérations sur les suites convergentes 6-5) Limites et suites géométriques Soit q un réel non nul :
  • 20. 6-7) Théorème de la limite monotone: Toute suite croissante et majorée de réels converge. Toute suite décroissante et minorée de réels converge. 6-6) Propriété: Soit (Un) la suite géométrique de raison q: a) Si -1q1 alors la suite (Un) converge vers 0. b) Si q1, la suite (Un) diverge vers l’infini. Toute suite décroissante et minorée de réels converge. 6-8) Théorèmes: 6-8-1) Comparaison par rapport à une suite divergente.
  • 21. 6-8-2) Théorème d’encadrement ou des « gendarmes » 6-8-3) Théorème: passage à la limite dans une inégalité. Conséquence
  • 22. 6-9) Définition : Suites adjacentes 6-10) Théorème: Suites adjacentes
  • 23. Les séries numériques Chapitre: Chapitre: Chapitre: Chapitre: 2 2 2 2 Les séries numériques à valeurs dans R
  • 24. Nous allons maintenant nous intéresser à travers ce chapitre à la somme des termes d'une suite. Nous aborderons la notion de convergence et de divergence d'une série en donnant des règles et des critères permettant d‘établir la convergence ou la divergence pour différents types de séries. L'utilisation des séries en économie permet notamment de trouver le taux de rendement interne d'un investissement ou encore la valeur capitalisée d'une annuité. 1) Introduction et définitions 1-1) Définition: On appelle série à termes dans R tout couple formé d’une suite (Un) d’éléments dans R et de la suite (Sn) définie par: Un est appelé le terme général de la série et Sn est la suite des sommes partielles d’ordre n. Un est appelé le terme général de la série et Sn est la suite des sommes partielles d’ordre n. On écrira formellement: au lieu de 1-2 ) Remarque: L’ indice de sommation peut tout aussi bien être noté par j, k, m etc.Ainsi, pour designer la somme: on peut indifféremment écrire: On parle de suite infinie lorsqu'elle comporte un nombre illimité de termes :
  • 25. Exemple 1: La série finie 1 + 8 + 27 + 64 + 125. peut s’écrire sous la forme abrégée : La somme partielle de cette série vaut: a pour terme général lorsque l’indice du premier terme vaut 1, c’est-à-dire le premier terme s’obtient en posant n = 1, Exemple 2 : La série infinie 1-4) Remarque : Dans l’exemple 2, la somme n'est plus la somme d'un nombre fini de termes comme dans exemple 1, mais la somme d'un nombre illimité de termes. Pour savoir si cette somme est un nombre fini (existe), il faut introduire la notion de convergence et de divergence d'une série infinie. lorsque l’indice du premier terme vaut 1, c’est-à-dire le premier terme s’obtient en posant n = 1, le deuxième en posant n =2, etc. Cette série s’écrit:
  • 26. 2) Convergence et divergence d'une série II est clair que la somme d'un nombre fini de termes est un nombre fini. Pour savoir si la somme d'une série infinie est un nombre fini, il faut calculer la suite des sommes partielles: pour cela, on forme à partir des termes Ui de la série, la suite (Sn) des sommes partielles, où Sn représente la somme des n premiers termes. ainsi, la suite des sommes partielles sera donnée par: 2-1) Introduction. Nous pouvons dès lors définir la convergence et la divergence des séries infinies:
  • 27. Dans ce cas, L est appelée somme de la série et l’on écrit: Si la suite des sommes partielles diverge on dit que la série est divergente. 2-2)Définition: On dit qu’une série est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles converge , on a alors: 1 Exemple : Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série 1 Exemple : Reprenons l’exemple précédent pour étudier la convergence de la série
  • 28. Ainsi, Comme la suite des sommes partielles converge, la série Converge et sa somme vaut 2. Operations sur la limite d’une série
  • 29. Le terme général Un d’une série Convergente tende vers 0 lorsque n tend vers l'infini: Cette condition n'est cependant pas suffisante. En revanche, on peut affirmer: 2-3) Remarque: Exemple : Soit la série . Cette série diverge puisque: Exemple : Soit la série . Cette série diverge puisque: 3) Séries géométriques On appelle série géométrique une série dans laquelle les termes Ui sont les termes d'une suite géométrique:
  • 30. Calculons la suite des sommes partielles:
  • 32. Exemple: Soit la série géométrique suivante: 3-1) Remarques: A-) La convergence ou la divergence d'une série n'est pas modifiée si l’on omet ou l'on rajoute un nombre fini de termes. En revanche, la somme de la série est modifiée.
  • 33. Exemple: Soit la série: II S’agit d’une série géométrique de raison q = 1/5 dans laquelle les trois premiers termes ont été omis. On peut écrire la somme de cette série de la manière suivante : on obtient: B-) L‘étude de la convergence d'une série s'avère nettement plus difficile si l’on ne connait pas une expression pour le terme général Sn de la suite des sommes partielles. C'est pourquoi nous allons examiner plusieurs méthodes permettant de reconnaitre la nature d'une série donnée (autrement dit, de reconnaitre si elle est convergente ou divergente). 0
  • 34. 4) Séries à termes positifs Comme son nom l’indique, une série à termes positifs est une série tel que: pour tout n dans N Puisque tous les termes sont positifs, la suite des sommes partielles est une suite croissante. Or, le premier critère de convergence d'une suite nous assure qu'une suite croissante et majorée est convergente. On peut donc énoncer le critère de convergence d'une série à termes positifs. 4-1) Définition: La série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée. C’est-à-dire : 4-2) Critère de convergence
  • 35. 4-3)Tests de comparaison On appelle série majorant une série dont tout les termes sont plus grands (ou égaux) que les termes correspondants d'une série à termes positifs donnée. 4-4) Règle de convergence: Si une série à termes positifs est majorée par une série convergente, alors elle est convergente. En effet, si la série majorant converge, le critère de convergence nous assure que la suite de ses sommes partielles est majorée. Comme cette série majore la série donnée, la suite des sommes partielles de la série donnée est majorée et, par conséquent, elle converge. De façon analogue, on peut établir la règle suivante: 4-5) Règle de divergence: Si une série à termes positifs majore une série divergente, alors elle est divergente. Si une série à termes positifs majore une série divergente, alors elle est divergente. Pour pouvoir appliquer ces règles de comparaison, il faut connaitre un certain nombre de séries convergentes et divergentes. II est, ainsi souvent fort commode de comparer une série à celle de Riemann:
  • 39. La règle de d’Alembert ne nous permet pas de conclure. Cependant, il est possible d’utiliser, Remarque 1 Remarque 2: Une série à termes négatifs peut être étudiée comme l’opposée d'une série à termes positifs. La règle de d’Alembert ne nous permet pas de conclure. Cependant, il est possible d’utiliser, dans ce cas, le test de comparaison avec une série convergente: en effet, comparons la série donnée à la série de Riemann ou p = 2 :
  • 41. Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes Chapitre: 3 Chapitre: 3 Chapitre: 3 Chapitre: 3 Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
  • 42. 1) Introduction et définitions 1-1) Puissances entières Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
  • 44. 1-3) Puissances rationnelles 1-4) Puissances réelles 1-4) Puissances réelles
  • 46. 1-5) Propriété 1 1-6) Propriété 2 1-7) Représentation graphique 1-7) Représentation graphique
  • 47. 1-8) La fonction logarithme à base a ! !
  • 48. 1-9) Propriété 1 1-10) Propriété 2 1-12) Représentation graphique 1-11) Formule de changement de base Si b=e on aura 1-12) Représentation graphique
  • 49. Rappelons ici quelques règles de manipulation des logarithmes:
  • 50. Les fonctions réelles à une variable réelle. Chapitre: 4 Chapitre: 4 Chapitre: 4 Chapitre: 4 Les fonctions réelles à une variable réelle.
  • 51. A chaque fois que l’on associe à une quantité x une (autre) quantité y, on dit que l’on définit une fonction. Les fonctions sont désignées par des lettres. On note par exemple: f: x y f(x)=y Et : On dit que y est l’image de x. On dit que x est un antécédent de y. 1). Définition : Notion de fonction Les fonctions constituent un outil puissant pour modéliser des phénomènes et des opérations économiques, on les trouve partout. Exemple: On considère la fonction définie par: f: x x²- 4 Quelle est l’image de 3 ? Quelle est l’image de -1 ? Quels sont les antécédents éventuels de 12 ? Quels sont les antécédents éventuels de -5 ? 2.) Représentation graphique d’une fonction. La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x,f(x)) dans un repère donné. Cette représentation graphique est souvent notée Cf. 2-1) Définition : représentation graphique:
  • 52. 3.) Ensemble de définition d’une fonction. 3-1) Définition : L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble de tous les réels x pour lesquels f(x) est calculable. Exemple : préciser le domaine de définition des fonctions suivantes 4.) Sens de variation d’une fonctions 4-1) Définition: Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle. On dit que: f est croissante sur I si : pour tous u et v dans I: uv f(u) ≤ f(v). f est strictement croissante sur I si : pour tous u et v dans I: uv f(u) f(v). f est décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: uv f(u)≥f(v). f est strictement décroissante sur I si: pour tous u et v dans I: uv f(u)f(v). f est monotone sur I s’elle est croissante ou décroissante sur I. f est strictement monotone sur I s’elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.
  • 53. 4-2) Remarques: On dit parfois que f est croissante si elle conserve les inégalités et que f est décroissante si elle renverse les inégalités. Si une fonction est strictement croissante sur un intervalle I, alors elle est croissante sur I. Illustration graphique:
  • 54. 5.) Fonctions majorées, minorées et bornées: Soit I un intervalle et soient f et g deux fonctions définies au moins sur I. on dit que: f est inférieure à g sur I lorsque : f(x) ≤ g(x) pour tout x € I. on note: f ≤g sur I . f est positive sur I lorsque: f(x) ≥ 0 pour tout x dans I. on note: f ≥ 0 sur I. f est majorée sur I lorsqu’il existe un réel M tel que: f(x)≤M pour tout x dans I f est minorée sur I lorsqu’il existe un réel m tel que: f(x)≥m pour tout x dans I f est bornée s’elle est majorée et minorée. Exemple: On considère les fonctions f et g définies sur R+ par f(x)=x et g(x)=x². comparer f et g 6) Maximum et minimum d’une fonction 6-1) Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I. dire que le nombre f(a) est un maximum (resp. minimum)de f sur I signifie que pour tout réel x de I on a : f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)) Exemples: 1) Démontrer que f est minorée sur R par 2. 2) Démontrer que f est majorée par 2 sur son domaine de définition.
  • 55. 7) Fonction linéaires, fonctions affines. 7-1) Définition : Les fonctions f définies sur R, dont l’expression peut se mettre sous la forme: f(x)= ax+b où a et b sont deux réels Sont appelées fonctions affines. Deux cas particuliers: Lorsque b=0, la fonction f: x ax est dite linéaire. Lorsque a=0, la fonction f: x b est (dite) constante. Exemples: les fonctions f et g définies ci-dessous sont affines: Exemples: les fonctions f et g définies ci-dessous sont affines: f(x)=3x+2 g(x)=(x+1)²-x² =2x+1 Une fonction affine est la somme d’une fonction linéaire et d’une fonction constante 7-2) Vocabulaires: Le réel a s’appelle coefficient directeur et le réel b l’ordonnée à l’origine 7-3) Théorème : La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est une droite. Celle d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
  • 56. 8) Limite d'une fonction en un point 8-1) Définition de la limite interprétation 8-2) Limite à droite, limite à gauche. La fonction f admet une limite à droite l ∈ ∈ ∈ ∈ R quand x tend vers xo par valeurs supérieures et on écrit: 8-2-1) Limite à droite,
  • 57. 8-3) Propriétés des limites 8-3-1)Théorème : Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et λ un nombre réel, alors: La fonction f admet une limite à droite l ∈ ∈ ∈ ∈ R quand x tend vers xo par valeurs inférieures et on écrit: 8-2-2) limite à gauche Exemple: Soit f et g deux fonctions admettant une limite en a et λ un nombre réel, alors: (la limite d’une somme est la somme des limites, si chacune des limites individuelles existe)
  • 58. 8-3-2) Règles permettent de calculer des limites: Exemple: Calculer les limites suivantes.
  • 59. 9) La continuité 9-1) Continuité en un point et sur un intervalle d’une fonction 9-1-1) Définition 1 Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un point a. On dit que f est continue en a lorsque : existe et vaut f(a).On a donc : 9-1-2) Définition 2 Exemples 9-1-2) Définition 2 On dit que f est continue sur un intervalle I s’elle est continue en tout point de I. Exemple graphique
  • 60. 9-2) Prolongement par continuité Soit une fonction définie sur un intervalle de centre x0, mais pas en x0 et admettant une limite l en x0 . Considérons la fonction : Cette fonction g est continue en x0 car On dit que g est un prolongement par continuité de f en x0. Exemple:
  • 61. 9-3) Continuité à droite, continuité à gauche On dit qu'une fonction f définie en x0 est continue à droite de x0 si et seulement si : De même f, définie pour x0 est continue à gauche de x0 si et seulement si : Pour qu'une fonction soit continue au point x0, il faut et il sut qu'elle soit continue à droite et à gauche de x0 et : 9-4)Théorèmes généraux Toute fonction polynôme est continue sur R. Toutes les fonctions circulaires sont continues sur leur ensemble de définition La fonction racine est continue sur [0;+∞[. La somme, le produit, la composition de deux fonctions continues est continue. Si f et g sont continues et si g ne s’annule pas alors est continue. En particulier, toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition. 9-4-1)Théorème
  • 62. 9-4-2)Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I) Théorème des valeurs intermédiaires : existence d’au moins une solution Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b] et soit k un réel compris entre f(a) et f(b). Si f est continue sur [a ; b] alors il existe un réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k (voir figure de gauche ci-dessous). Si f continue sur [a ; b] et si f est strictement monotone sur [a ; b] alors il existe un unique réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k (voir figure de droite ci-dessous). Théorème de Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0.
  • 63. 10) La dérivabilité 10-1) Dérivabilité d’une fonction en un point 10-1-1) Définition Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. On dit que f est dérivable en a lorsque : existe et est finie on note alors f’(a) cette limite, et on l’appelle nombre dérivé de f en a. Donc si f est dérivable en a, on a : Donc si f est dérivable en a, on a : Autre notation: Si f est dérivable en a. on a: 10-1-2) Vocabulaires et interprétation graphique 10-1-2-1)Vocabulaires La quantité ,pour tout , ou ,pour tout , est appelée: Taux d’accroissement de f en a
  • 64. 10-1-2-2) Interprétation graphique Si f est dérivable en a, le nombre f′(a) désigne alors le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a , il en découle alors l’équation de la tangente à Cf au point a : 10-1-2-3) Approximation affine Si f est dérivable en a, la meilleure approximation affine de f au voisinage de a est alors la tangente en a, on a en outre : pour x voisin de a. On peut aussi noter: pour h voisin de 0.... (il suffit de poser h = x − a..) cela permet de fournir une bonne approximation de f au voisinage de a . cela permet de fournir une bonne approximation de f au voisinage de a .
  • 65. 10-2-2) Remarques: 10-2) Théorème de Rolle Théorème : Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b). Alors il existe un réel c ∈ ]a, b[ tel que f′(c) = 0. 10-2-1) Interprétation géométrique 1. On ne sait pas si c est unique, et le théorème ne permet pas de connaître c. 2. f n’a pas besoin d’être dérivable aux bornes de l’intervalle. Exemple : 3.f continue sur [a, b] est une condition nécessaire. exemple : 4. f dérivable sur ]a, b[ est une condition nécessaire. Exemple 10-2-2) Remarques:
  • 66. 10-2-3) Conséquences : Théorème de Rolle infini 10-3) Théorème des accroissements finis (TAF) Théorème : Soit f : [a, +∞ [ R continue sur [a,+∞ [, dérivable sur ]a,+∞ [ et telle que Alors il existe un réel c ∈ ]a,+∞ [ tel que f′(c) = 0. Théorème : Soit f : [a, b] R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[.Alors il existe un réel c∈ ]a, b[ tel que f(b) − f(a) = f′(c)(b − a). 10-4) Inégalité des accroissements finis Théorème : Soit f : [a, b] R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. S’il existe k strictement positif tel que |f′(x)| k , pour tout x dans ]a, b[, alors:
  • 67. 10-5) Fonction dérivée, formules de calcul 10-5-1) Définition On rappelle que f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu’elle est dérivable en tout point de I. L’ensemble D où f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité de f. On défini ensuite sur I la fonction dérivée de f notée f′. 10-5-2) Opérations sur les fonctions dérivables Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel quelconque on a :
  • 68. 10-6) Composée et dérivée 10-6-1) Théorème 10-6-2) Conséquences : d’autres formules de dérivation Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J, tel que g(J) ⊂ I, alors la fonction h = f ◦ g est dérivable sur J et pour tout x de J on a : En gros soit U une fonction définie et dérivable sur I, pour tout entier relatif n on a : soit U une fonction définie et dérivable sur I, pour tout entier relatif n on a : .....(avec comme condition supplémentaire que U ne s’annule jamais sur I quand n est négatif) soit U une fonction définie et dérivable sur I, et telle que u 0 sur I, on a alors :
  • 69. 10-6-3) Exemples de calculs 10-6-3-1) Applications de la dérivation et compléments a) Étude des variations b) Recherche d’extrema locaux Soit f fonction dérivable sur I. On dit que f présente un extremum local en x0 lorsque sa dérivée f′ s’annule en changeant de signe en x0.
  • 71. Les fonctions à plusieurs variables réelles. Chapitre: 5 Chapitre: 5 Chapitre: 5 Chapitre: 5 71 Les fonctions à plusieurs variables réelles.
  • 72. Nous allons considérer des fonctions de deux ou plusieurs variables indépendantes dont nous pouvons citer quelques exemples tirés de formules mathématiques élémentaires; ainsi, l’aire S d'un triangle quelconque: est une fonction de deux variables indépendantes: b (base du triangle) et h (hauteur du triangle). Le volumeV d'un parallélépipède rectangle est donne par: V = a.b.c où a, b et c sont les longueurs respectives des arêtes. Ici,V est une fonction de trois variables a, b et c. 1) Introduction et définition. Les fonctions à plusieurs variables réelles. 72 longueurs respectives des arêtes. Ici,V est une fonction de trois variables a, b et c. 1-1) Définition . On dit que est une fonction de n variables indépendantes si à tout système de valeurs des variables indépendantes correspond une valeur bien déterminée de la variable dépendante z. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des fonctions de deux variables.
  • 73. 1-2) Définition: Si, a chaque couple (x;y) de valeurs de deux variables indépendantes X etY correspond une valeur bien déterminée de la variable dépendante Z, on dit que Z est une fonction de deux variables indépendantes x et y. Une fonction de deux variables est notée z = f(x,y). 2-1) Définition: On appelle domaine de définition de la fonction z = f(x,y) l’ensemble des couples (x;y) pour lesquels cette fonction est définie. On note par D le domaine de définition. 2) Domaine de définition 73 2-2) Remarque Le domaine de définition peut être représenté géométriquement par l’ensemble des points de coordonnées (x,y) dans le plan Oxy Exemple Soit la fonction de deux variables .Pour que z soit définie dans l’ensemble des nombres réels,il faut que: C’est-à-dire: ou encore: On a représenté ce domaine de définition sur la figure suivante:
  • 74. 74 Remarque: Comme pour les fonctions d'une variable, on peut définir la continuité des fonctions de deux ou de plusieurs variables.
  • 75. 3-1) Définition: Une fonction de deux variables f(x,y) est dite continue au point x = a, y = b si les trois conditions suivantes sont satisfaites simultanément: 3) la continuité des fonctions de deux variables 75 4) Représentations graphiques des fonctions de deux variables Soit une fonction de deux variables z = f(x,y). On peut représenter une telle fonction dans un système de coordonnées cartésiennes dans l’espace, noté Oxyz: à chaque point (xo;yo) du plan Oxy en lequel la fonction est bien définie, on associe la valeur f(xo,yo) en élevant une perpendiculaire au plan Oxy de longueur égale à la valeur de f(xo,yo) . On obtient ainsi un point P dont les coordonnées sont: (xo,yo,zo) = (xo;,yo,f(xo,yo)) L'ensemble de tous les points P dont les coordonnées satisfont l’équation z =f(x, y) est appelé graphe de la fonction de deux variables f(x, y).Ainsi, L’équation z = f(x,y) définit une surface dans l’espace.
  • 76. Exemple: Représentons graphiquement la fonction de deux variables z = x² + y² dont le graphe porte le nom de paraboloïde de révolution. On peut dresser un tableau des valeurs que prend la fonction pour chaque couple (x; y) :
  • 77. On peut dresser un tableau des valeurs que prend la fonction pour chaque couple (x; y) : 5) Dérivées partielles Considérons la fonction de deux variables z = f(x, y). Si l’on considère y comme une constante, Z n'est plus qu'une fonction de x et l’on peut calculer la dérivée de Z par rapport à x, si elle existe. La dérivée obtenue dans ce cas est la dérivée partielle de z par rapport à x que l’on peut écrire de plusieurs façons: La dérivée partielle de Z par rapport à x est définie ainsi: lorsque la limite existe et qu'elle est finie.
  • 78. De manière analogue, si l’on considère x comme une constante, z n'est plus qu'une fonction de y et l’on peut calculer la dérivée de z par rapport a y, si elle existe. La dérivée obtenue dans ce cas est la dérivée partielle de z par rapport a y que l’on peut écrire: 5-1) Définition : La dérivée partielle de z par rapport a y est définie ainsi: lorsque la limite existe et est finie. lorsque la limite existe et est finie. Notons qu'en général une fonction de n variables possède n dérivées partielles, chacune étant prise par rapport à une variable. Exemple 1 Soit la fonction de deux variables on peut calculer la dérivée partielle de z par rapport à x et la dérivée partielle de z par rapport à y : y étant considérée comme une constante, la dérivée de -2y² est nulle. x étant considérée comme une constante, la dérivée de 3x² est nulle.
  • 79. Calculons les deux dérivées partielles de f(x,y) = 5xln(l + 2y) Exemple : Remarque: Puisqu'en général, les dérivées partielles d'une fonction z =f(x,y) sont aussi des fonctions de x et y, on peut les dériver partiellement une seconde fois par rapport à x et par rapport à y. On appelle ces dérivées les secondes dérivées partielles de z et on les note: Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à x Signifie qu’on dérive deux fois par rapport à y Signifie qu'on a dérive une première fois par rapport a y et une seconde par rapport a x Signifie qu'on a dérive une première fois par rapport a x et une seconde par rapport a y
  • 80. De ces quatre dérivées, seules trois sont distinctes puisque, si elles sont continues: Exemple :Nous allons calculer les dérivées partielles de premier et second ordre de la fonction: 6) Applications économiques des dérivées partielles (Théorème de Schwartz) Dans ce paragraphe, nous allons voir deux applications économiques des dérivées partielles: le coût marginal et la productivité marginale. 6-1) Coût marginal La fonction de coût conjointe: est définie comme étant le coût de production des quantités x et y de deux biens. Nous pouvons calculer les dérivées partielles de C par rapport à x et par rapport à y:
  • 81. Exemple: Si la fonction de coût conjointe pour produire des quantités x et y de deux biens est: calculons le coût marginal par rapport à x : et le coût marginal par rapport à y : 6-2) Productivité marginale Pour produire la plupart des biens, on a besoin d'au moins deux facteurs de production tels que le travail, le capital, la terre, les matériaux ou les machines. Une fonction de production z = f(x,y) signifie travail, le capital, la terre, les matériaux ou les machines. Une fonction de production z = f(x,y) signifie qu'une quantité z d'un bien est fabriquée à l'aide des quantités x et y de deux facteurs de production. On peut alors calculer la dérivée partielle de z par rapport à x qui nous donne la productivité marginale de x et la dérivée partielle de z par rapport à y qui nous donne la productivité marginale de y. Exemple : Si la fonction de production d’un bien est donnée par: la productivité marginale de x est égale à: et la productivité marginale de y est égale à:
  • 82. Une fonction de deux variables z = f(x,y) présente un maximum au point P(a,b,f(a,b)) si f(a,b) à une valeur supérieure à toutes celles que prend f(x,y) au voisinage de x = a et y = b . De même, f(x, y) présente un minimum au point P(a,b,f(a,b)) si f(a,b) a une valeur inferieure à toutes celles que prend f(x,y) au voisinage de x = a et y = b . II en résulte qu'il existe un plan tangent horizontal au point (a; b; f(a,b)). Ce plan tangent est engendré par les deux tangentes déterminées par: 7) Minima et maxima d'une fonction de deux variables Ainsi, pour que f(a,b) soit un maximum ou un minimum, il faut que les deux équations suivantes soient satisfaites simultanément:
  • 83. Cette condition est nécessaire, mais l'exemple du point-selle (ci-dessous) montre qu'elle n'est pas suffisante. Bien que les deux tangentes soient horizontales, quel que soit le voisinage du point-selle considéré, on peut toujours trouver un point qui soit au-dessus du point-selle et un autre point qui soit au-dessous du point-selle. Notons qu'a un point-selle, une fonction présente un minimum pour une des variables et un maximum pour l’autre variable . II faut donner une condition suffisante qui est la suivante: Point-selle
  • 84. Nous admettrons sans démonstration le résultat suivant: Exemple : Soit z=3x² + 2y². Cherchons les extrema de cette fonction.
  • 85. II y a donc une valeur critique au point x = y = z = 0 et cette valeur est un minimum puisque toutes les autres valeurs de z sont positives . En effet, comme : D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum. D’après le résultat vu précédemment, il s’agit bien d’un minimum.
  • 86. 8) Multiplicateurs de Lagrange Dans de nombreuses applications pratiques de maximisation ou de minimisation, le problème est de maximiser ou minimiser une fonction donnée assujettie à certaines conditions ou contraintes sur les variables impliquées. La méthode étudiée ci-après est applicable à n'importe quel nombre de variables et de contraintes. La méthode des multiplicateurs de Lagrange est employée pour obtenir un maximum ou un minimum d'une fonction soumise à des contraintes d’égalité. Supposons que f(x,y), appelée fonction objective, doit être maximisée ou minimisée sous la contrainte g(x,y)=0. Formons une fonction auxiliaire appelée un lagrangien: Ou λ (multiplicateur de Lagrange) est un inconnu. Pour que cette fonction passe par un extremum, il faut que les trois équations suivantes soient satisfaites simultanément: il faut que les trois équations suivantes soient satisfaites simultanément: Notons que la troisième équation n'est autre que la contrainte! Ainsi, F(x,y,λ) ne doit être dérivée partiellement que par rapport à x et à y. La solution du système de trois équations à trois inconnues (x, y et λ) ci-dessus fournit les points critiques de la fonction sous contrainte. Ces points critiques satisfont la contrainte, mais il reste encore à déterminer s'il s'agit effectivement d'un extremum. Pour cela, on utilisera le résultat suivant:
  • 87. On a un maximum en x = a ,y = b si a* 0, On a un minimum en x = a ,y = b si a* 0, avec Si a* 0, le test échoué; il faut examiner la fonction au voisinage de x, y. Exemple : Déterminer les minimas et maximas de la fonction objective f(x,y) = 5x² + 6y² -xy sous la Déterminer les minimas et maximas de la fonction objective f(x,y) = 5x² + 6y² -xy sous la contrainte : x + 2y = 24. 8-1)Applications économiques des multiplicateurs de Lagrange II y a beaucoup d'applications économiques des minima et maxima sous contraintes. Par exemple: si un producteur fabrique deux biens, il peut vouloir minimiser le coût total tout en devant fabriquer une quantité totale minimale spécifiée. une compagnie peut désirer maximiser ses ventes résultant de deux publicités effectuées, tout en observant la contrainte du budget de publicité. un consommateur peut vouloir maximiser sa fonction d'utilité provenant de la consommation de certains biens, tout en étant restreint par son budget.
  • 88. Exemple: 1 Un consommateur dépense de son revenu 48 DHs pour l’achat de deux biens: x et y. Les prix de x et de y sont respectivement 2 DHs et 3 DHs. La fonction d’utilité du consommateur est donnée par la formule: Combien d’unités du bien x et du bien y doit-il consommer pour maximiser son utilité? Exemple: 2 Une firme produit des appareils dans deux usines différentes. Les coûts totaux de production pour les deux usines sont respectivement : Où q1 et q2 représentent le nombre d'appareils produits dans chaque usine. La firme s'est engagée à livrer 100 appareils à une entreprise. Les frais de transport par appareil sont de 4 DHs pour les livraisons à partir de la première usine et de 2 DHs pour les livraisons à partir de la seconde usine. Les frais de transport sont supportés par la firme productive. Calculons le nombre d'appareils que doit produire la firme dans chaque usine afin de minimiser le coût total de production y compris le coût de transport.
  • 90. Le calcul matriciel Chapitre: 6 Chapitre: 6 Chapitre: 6 Chapitre: 6 90 Le calcul matriciel
  • 91. 1) Définitions Une matrice n x m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes. n et m sont les dimensions de la matrice. Exemple: Matrice avec n=2 et m=3 : On note Mij l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j : Calcul matriciel Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (ou, plus précisément vecteur-colonne) : Si n = m la matrice est dite matrice carrée.
  • 92. 2) Quelques matrices carrées particulières Matrice unité (ou matrice identité) : Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les éléments diagonaux qui sont égaux à 1. Matrice diagonale : Matrice où tous les éléments sont nuls sauf les éléments diagonaux . n=4 diagonaux qui sont égaux à 1. n=4 Matrice triangulaire : Matrice triangulaire supérieur: Tous les éléments situés au dessous des éléments diagonaux sont nuls. Matrice triangulaire inférieur: Tous les éléments situés au dessus des éléments diagonaux sont nuls.
  • 93. Une matrice carrée S est dite symétrique si Sij = Sji (i,j) € N: 3) Opérations sur les matrices 3.1) Egalité de deux matrices Deux matrices A et B sont égales si elles ont les mêmes dimensions et si Aij = Bij i, j. Exemple: 3.2) Addition et soustraction L’addition et la soustraction des matrices se font terme par terme. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions. Exemples :
  • 94. 3.3) Multiplication par un nombre Lorsqu’une matrice est multipliée par un nombre, chaque terme de la matrice est multipliée par ce nombre : 3.4) Transposition La transposée AT d’une matrice A est la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes de A. si A est de dimension (n,p) alors AT est de dimension (p,n) La transposée d’un vecteur-colonne est un vecteur-ligne. Exemple:
  • 95. 3.5) Multiplication matricielle 3.5.1) Produit scalaire Le produit scalaire d’un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y est défini par : Ce produit, appelé produit scalaire, est noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension. Ce produit, appelé produit scalaire, est noté x · y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension. Le résultat de cette opération est un scalaire. On peut noter que le produit scalaire est commutatif : x · y = y · x. Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, les vecteurs sont dits orthogonaux. A deux dimensions, cela correspond à deux vecteurs perpendiculaires. Par exemple, les vecteurs x = ( 1 3 ) et y = ( 6 −2 ) ont un produit scalaire nul et on vérifiera facilement qu’ils sont perpendiculaires.
  • 96. 3.5.2) Produit matriciel Le produit de la matrice A (n x m) par la matrice B (m x p) est la matrice C (n x p) telle que l’élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B : Ce produit matriciel est noté AB = C Exemple 3.5.3) Propriétés Le produit matriciel est: associatif :ABC = (AB)C =A(BC) distributif par rapport à l’addition :A(B + C) =AB +AC non-commutatif : (en général)AB ≠ BA La matrice unité I est l’élément neutre pour la multiplication :AI = IA =A
  • 97. Transposée d’une somme : Transposée d’un produit : 3.5.4) Quelques produits particuliers: 3.5.4.1) Carrée scalaire : Sa racine carrée est appelée norme du vecteur x et est notée ||x||. Lorsque la norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est dit normé.Tout vecteur peut être normé norme d’un vecteur est égale à 1, le vecteur est dit normé.Tout vecteur peut être normé en le divisant par la racine carré de sa norme. Une matrice dont toutes les colonnes prises deux à deux sont des vecteurs orthogonaux est dite matrice orthogonale. Si, de plus ces vecteurs sont normés, la matrice est dite matrice orthonormée. Deux vecteurs qui sont simultanément normés et orthogonaux sont dit orthonormés : a et b sont orthonormés
  • 98. Propriétés Si la matriceA est orthogonale, alors: 3.5.4.3) Déterminant d’une matrice carrée: 3.5.4.2) Inversion Une matrice carréeA est dite inversible s’il existe une matrice carrée (appelée matrice inverse) telle que: 3.5.4.3) Déterminant d’une matrice carrée: Pour n=2 Pour une matrice 2 x 2, on peut montrer que la matrice inverse est donnée par: Le nombre ad − bc est appelé déterminant de la matriceA. On le note: La matrice inverse n’existe donc que si det(A) est différent de 0.
  • 99. Le déterminant peut se calculer de manière récursive. Par exemple pour n = 3, on a, en développant la première ligne : Dans ce développement, chaque déterminant d’ordre 2 est appelé mineur du terme qui le précède. Le mineur de l’´elément xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j. Par Pour n=3 mineur de l’´elément xij est la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j. Par exemple, le mineur de a est : Le cofacteur de l’élément xij est donné par l’expression : Remarque: On peut développer le déterminant par rapport à n’importe quelle ligne ou colonne. En pratique, pour faciliter les calculs, on choisira la ligne (ou colonne) qui contient le plus de 0.
  • 100. Propriétés Le déterminant d’une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. En particulier, det(I) = 1. Si A est inversible, alors Si A est orthogonale, alors Si A est orthogonale, alors Si on multiplie une ligne (ou une colonne) d’une matrice par un réel , le déterminant de la nouvelle matrice est multiplié par ce réel. En ajoutant à une ligne un multiple d’une autre, on ne change pas un déterminant.
  • 101. 4) Application aux systèmes d’équations linéaires 4.1) Formulation matricielle: Un système de n équations linéaires à n inconnus est de la forme : Où les xi sont les inconnus du système, les aij sont les coefficients et les bi sont les termes constants Un tel système peut s’écrire sous la forme matricielle : Ax = b avec
  • 102. 4.2) Résolution d’équations linéaires Si la matrice est inversible (c’est-à-dire si son déterminant est non nul), on a, en multipliant à gauche parA−1 : Soit: Un simple produit matriciel et le système est résolu ! Exemple : Considérons le système de deux équations à deux inconnus suivants : On vérifiera que x1 = 3 et x2 = 1 est bien solution du système d’équations.
  • 103. Soit le système est indéterminé : c’est le cas lorsqu’une des équations est une combinaison linéaire des autres équations du système. Exemple : Lorsque la matrice n’est pas inversible, c’est-à-dire quand son déterminant est nul, deux cas sont à envisager : Soit le système est impossible : c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une combinaison Soit le système est impossible : c’est le cas lorsqu’aucune équation n’est une combinaison linéaire des autres équations du système. Exemple : Remarque: Le système d’équations est dit homogène siAx = 0. Ce système ne possède des solutions non triviales (c’est-à-dire autres que x = 0) que si det(A) = 0.
  • 104. 4.3)Valeurs propres et vecteurs propres 4.3.1) Définitions On dit qu’une matrice carréeA possède une valeur propre λ et un vecteur propre v si: Av = λv En général une matrice de dimension n x n possède n valeurs propres réelles.A chaque valeur propre est associé un vecteur propre (ou, plus précisément, une famille de vecteurs propres). 4.3.2) Calcul des valeurs propres et vecteurs propres L’équation précédente peut se réécrire comme suit: L’équation précédente peut se réécrire comme suit: C’est-à-dire
  • 105. Ce système aura des solutions autres que la solution triviale si et seulement si: L’expression de ce déterminant est un polynôme de degré n en λ qui est appelé polynôme caractéristique de la matriceA et l’équation correspondante est dite équation caractéristique. En particulier, pour la matrice 2 x 2 l’équation caractéristique s’écrit Les valeurs propres sont donc
  • 106. Exemple 1: Recherchons les valeurs propres de la matriceA
  • 107. Recherchons maintenant les vecteurs propres
  • 108. Exemple 2: Recherchons les valeurs propres de la matrice A Recherchons les valeurs propres de la matrice A (L2 = L2-L 3+L1) (C3=C2+C3) L1=L1-L2 0 2 2
  • 110. 110