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1. 1Automatique
Réponse temporelle : solution de
l'équation d'état
UV Automatique
ASI 3
Cours 9

2. 2Automatique
Contenu
! Réponse temporelle à partir de la fonction de transfert
! Calcul de la réponse temporelle à partir du modèle d'état
" Résolution de l'équation d'état
# Cas scalaire
# Cas matriciel
# Mise en évidence de la matrice de transition
" Calcul de la matrice de transition
# Propriétés de la matrice de transition
# Utilisation de la transformée de Laplace inverse
# Développement en série de Taylor
# Théorème de Caley-Hamilton
# Diagonalisation de la matrice d'état
! Exemple récapitulatif

3. 3Automatique
Réponse temporelle à partir de la FT
! Cas de la fonction de transfert
Considérons un système mono-entrée, mono-sortie décrit par
une fonction de transfert H(s)
)(
)(
)(
sU
sY
sH = ( ) ( ))()()()( 11 sUsHsYty −− == LL
avec la transformée de Laplace inverse1−L
)()()( sUsHsY =
Ce calcul n'est valable que si les conditions initiales sont nulles
Exemple
)1)(1(
1
)(
21 sTsT
sH
++
=
s
sU
1
)( =
Réponse indicielle
ssTsT
sY
1
)1)(1(
1
)(
21 ++
=
21
21 21
1)(
TT
eTeT
ty
T
t
T
t
−
−
−=
−−
d'après les tables de TL

4. 4Automatique
Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état
! Cas scalaire
" TL de l'équation d'état
" Evolution de l'état
Condition initiale :
(II))()()(
(I))()()(
tdutcxty
tbutaxtx
+=
+=& La connaissance de x(t)
permet celle de y(t)
x(0)
( ))()()( tbutaxtx +=&L )()()0()( sbUsaXxssX +=−
)(
)0(
)( sU
as
b
as
x
sX
−
+
−
=
$ Rappels
( ) as
eat
−
=
1
L
( ) )()()(*)( 2121 sFsFtftf =L
( )
∫ −+= t taat dbuexetx 0
)()0()( τττ
Régime libre
(u=0)
Régime forcé
(x(0)=0)
convolution
#
#

5. 5Automatique
Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état
! Cas scalaire
" Réponse temporelle
" Remarque
! Généralisation au cas matriciel
)()()( tdutcxty += ( ) )()()0()( 0
tdudbuecxcety t taat ++= ∫ − τττ
Si l'origine des temps est t0≠0, les équations précédentes
ont la forme générale suivante
( ) )()()()(
0
0
0
)( tdudbuectxcety t
t
tatta ++= ∫ −− τττ
( )
∫ −− += t
t
tatta dbuetxetx
0
0 )()()( 0
)( τττ




+=
+=
)()()(
)()(
tDUtCXtY
tBUtAXX& nnA ×∈R
mnB ×∈R
npC ×∈R
mpD ×∈R
ntX R∈)(
mtU R∈)(
ptY R∈)(
0tt >

6. 6Automatique
Réponse temporelle à partir d'un modèle d'état
! Généralisation au cas matriciel
" TL de l'équation d'état
" Réponse temporelle : généralisation
Conditions initiales : X(t0)
( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()()( 0 sBUsAXtXssX +=−
( ) ( ) )()()( 1
0
1
sBUAsItXAsIsX nn
−−
−+−= In : matrice identité d'ordre n
( ) )()()()(
0
0
0
)( tDUdBUeCtXCetY t
t
tAttA ++= ∫ −− τττ
( )
∫ −− +=
t
t
tAttA dBUetXetX
0
0 )()()( 0
)( τττ
vecteur matrice matricevecteur vecteur
)()()( tDUtCXtY +=
( ) ( )( ))()()( 1
0
11 sBUAsItXAsItX nn
- −−
−+−= L

7. 7Automatique
Matrice de transition
" Remarques
# La réponse temporelle dépend de l'exponentielle de matrice
# Pour U=0, on a . D'où
! Propriétés de la matrice de transition
$ est une exponentielle de matrice.
$ avec In : matrice identité d'ordre n
$
$
$
)( 0ttAe −
)(),()()( 000
)( 0 tXtttXetX ttA Φ== −
)(
0
0),( ttAett −=Φ est la matrice de transition du vecteur d'état
initial X(t0) au vecteur d'état X(t) pour U=0
)(
0 0),( ttAett −=Φ nntt ×∈Φ R),( 0
n
A Iett ==Φ ×0
00 ),(
( ))(
0 0),( ttAe
dt
d
tt −=Φ& )(
0 0),( ttAAett −=Φ&
21),0(),0(),0( 2121
AtAt eetttt =ΦΦ=+Φ
)(
0
1
0 0),(),( ttAetttt −−− =Φ=Φ
( ) )()( 0
1
tXAsIsX n
−
−=
),(),( 00 ttAtt Φ=Φ&

8. 8Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Utilisation de la transformée de Laplace inverse
" Procédure de calcul
# Former la matrice sIn−A
# Calculer l'inverse de sIn−A
# Prendre la transformée de Laplace inverse de chaque élément de (sIn−A)−1
La procédure est applicable à la main si l'ordre n de la matrice A n'est pas élevé
( ) 11 −− −= AsIe n
At L
Soit l'équation d'état
Exemple
)(
1
0
)(
02
13
tUtXX 





+





−
−
=& Calculer la matrice
de transition
( )
)(det
)(comatrice
)( 1
AsI
AsI
AsI
n
T
n
n −
−
=− −

9. 9Automatique
Calcul de la matrice de transition : TL inverse
" Exemple (suite)

10. 10Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Développement en série de Taylor
" Développement en série d'une fonction exponentielle scalaire
" Généralisation à une exponentielle de matrice
∑
∞+
=
=++++=
0
3322
!!3!2
1
i
i
i
at t
i
atata
ate L
∑
∞+
=
=++++=
0
3322
!!3!2 i
i
i
n
At t
i
AtAtA
AtIe L
nnAt Ae ×∈Ravec
nnAte ×∈R
La matrice de transition est une somme pondérée des termes de
puissance de la matrice A. On suppose que la somme est convergente
nn
i
i AAAA ×∈×××= R4434421 L
fois
Le calcul est simplifié si A est nilpotente
Définition : la matrice carré A est dite nilpotente d'ordre k s'il
existe un entier k≥1 tel que pour tout entier r>k, Ar=0n =[0]

11. 11Automatique
Calcul de la matrice de transition : dvl de Taylor
Soit le système caractérisé par l'équation différentielle )()( tutzJ =&&
2
1
)(
Js
sH = Double intégrateur
)()(1 tztx =$ Etats : )()(2 tztx &= $ Equation d'état u
J
XX 





+





=
1
0
00
10&






=
00
10
A
$ Calcul de la matrice de transition






=











=
00
00
00
10
00
102A 2
00
00
≥∀





= nAn
22 0++= AtIeAtPar conséquent teAt






+





=
00
10
10
01






=
10
1 t
eAt
$ Solution de l'équation homogène )(tAXX =&
)()( 0
)( 0 tXetX ttA −= 










 −
=
)(
)(
10
1
)(
02
010
tx
txtt
tX
[ ]T
txtxtX )()()( 02010 =Conditions initiales





 −+
=
)(
)()()(
)(
02
02001
tx
txtttx
tX
Exemple

12. 12Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Théorème de Caley-Hamilton
Soit A une matrice carrée d'ordre n. Son équation caractéristique est
∑
∞+
=
=
0
!i
i
i
At t
i
A
e
Si la matrice A n'est pas nilpotente, le calcul est fastidieux. Le théorème de
Caley-Hamilton permet de limiter ce calcul à un nombre fini de termes
Développement de Taylor
$ Equation caractéristique d'une matrice carrée
0)det()( 01
1
1 =++++=−= −
− aaaAIP n
n
n
A λλλλλ L
Théorème de Caley-Hamilton
Toute matrice carrée A satisfait son équation caractéristique c'est-à-dire
0)( 01
1
1 =++++= −
− n
n
n
n
A IaAaAaAAP L
On déduit du théorème la relation suivante
n
n
n
n IaAaAaA 01
1
1 −−−−= −
− L ∑
−
=
−=
1
0
n
i
i
i
n AaA

13. 13Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Interprétation du théorème
Cette relation peut alors se mettre sous la forme suivante
Toute puissance k de A c'est-à-dire Ak tel que k>n−1 peut s'écrire comme la
combinaison linéaire des n−1 premières puissances de A.
∑
−
=
−=
1
0
n
i
i
i
n AaA ∑
−
=
+ −=×=
1
0
1
n
i
i
i
nn AAaAAA ∑∑
=
−
−
=
++ −=−=
n
i
i
i
n
i
i
i
n AaAaA
1
1
1
0
11
n
n
n
i
i
i
n AaAaA 1
1
1
1
1
−
−
=
−
+ −−= ∑ ∑∑
−
=
−
−
=
−
+ +−=
1
0
1
1
1
1
1
n
i
i
in
n
i
i
i
n AaaAaA
∑∑
−
=
−−
−
=
−
+ ++−=
1
1
101
1
1
1
1
n
i
i
innn
n
i
i
i
n AaaIaaAaA 0
01
1
1
11
1 )( AaaAaaaA n
n
i
i
iin
n
−
−
=
−−
+ +−= ∑
0avec)( 1
1
0
11
1 =−= −
−
=
−−
+
∑ aAaaaA
n
i
i
iin
n
)(avec 11
1
0
1
−−
−
=
+ −== ∑ iini
n
i
i
i
n aaabAbA
On constate que An+1 est une combinaison linéaire de Ai (i=1, …, n−1)
De façon similaire, on peut calculer An+2, … en fonction des n−1 premières
puissances de A

14. 14Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Corollaire du théorème
Formule de Sylvester
On peut trouver des fonctions αi(t) dépendant du temps telles que
∑∑
−
=
∞+
=
==
1
00
)(
!
n
i
i
i
i
i
i
At Att
i
A
e α
Cette formule permet de limiter le calcul du développement de Taylor à un
nombre fini de termes. Si on connaît les fonctions αi(t) , on obtient eAt
Justification du corollaire
D'après le théorème ∞== ∑
−
=
,,avec
1
0
LnkAbA
n
i
i
i
k
On en déduit ∞== ∑
−
=
,,avec
!!
1
0
Lnkt
k
A
bt
k
A k
n
i
i
i
k
k
D'où ∑
−
=
−−
=++
−
++++
1
0
1122
)(
!)!1(!2
n
i
i
i
nnnn
n At
n
tA
n
tAtA
AtI αLL
Ak tel que k>n−1 s'écrivant comme la combinaison linéaire des n−1 premières
puissances de A, eAt est aussi une combinaison linéaire des n−1 premières
puissances. Les coefficients sont dans ce cas des fonctions du temps

15. 15Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Calcul des fonctions αi(t)
" Cas 1
On suppose que la matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs
propres distinctes njj ,,1 L=λ
On montre que les fonctions sont solutions du
système de n équations
1,,0)( −= niti Lα








+++=
+++=
+++=
−
−
−
−
−
−
)()()(
)()()(
)()()(
1
1
10
1
1
120
1
1
110
2
2
1
1
ttte
ttte
ttte
n
n
n
t
n
nt
n
nt
n
n αλαλα
αλαλα
αλαλα
λ
λ
λ
L
M
L
L
La méthode nécessite la détermination préalable des valeurs propres
de la matrice A. On associe une équation à chaque valeur propre.

16. 16Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
)(
1
0
)(
51
22
tUtXX 





+





−
=&
Exemple
Calculer la matrice de transition
$ Valeurs propres de A : 4et3 21 == λλ
$ Détermination des fonctions αi(t)




+=
+=
)()(
)()(
120
110
2
1
tte
tte
t
t
αλα
αλα
λ
λ




+=
+=
)(4)(
)(3)(
10
4
10
3
tte
tte
t
t
αα
αα












=








)(
)(
41
31
1
0
4
3
t
t
e
e
t
t
α
α














=





−
t
t
e
e
t
t
4
31
1
0
41
31
)(
)(
α
α














−
−
=





t
t
e
e
t
t
4
3
1
0
11
34
)(
)(
α
α




+−=
−=
tt
tt
eet
eet
43
1
43
0
)(
34)(
α
α
AtIteAt )()( 120 αα +=
$ Matrice de transition






−
+





=
51
22
)(
10
01
)( 10 tteAt αα








+−−
+−−
=
tttt
tttt
At
eeee
eeee
e
4343
4343
2
222

17. 17Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
! Calcul des fonctions αi(t)
" Cas 2 : la matrice A a des valeurs propres non distinctes
Soit λj une valeur propre simple. On lui associe l'équation
)()()( 1
1
10 ttte n
n
j
t
j
j
−
−+++= αλαλα
λ
L
Soit λk une valeur propre multiple, d'ordre de multiplicité r
On lui associe les équations suivantes
( )
( )








+++=
+++=
+++=
−
−
−
−
−
−
)()()(
)()(
)()()(
)()()(
1
1
10
1
1
10
1
1
10
ttt
d
d
d
ed
ttt
d
d
d
de
ttte
n
n
kr
k
r
r
k
tr
n
n
k
kk
t
n
n
k
t
k
k
k
k
k
k
αλαλα
λλ
αλαλα
λλ
αλαλα
λ
λ
λ
L
M
L
L
En procédant ainsi pour toutes les valeurs propres simples ou
multiples, on établit un système de n équations duquel on déduit les
fonctions αi(t)

18. 18Automatique
Calcul de la matrice de transition : th de Caley-Hamilton
)(
0
1
)(
21
10
tUtXX 





+





−−
=&
Exemple
Calculer la matrice de transition
$ Valeurs propres de A : 11 −=λ
$ Détermination des fonctions αi(t)
( )



+=
+=
)()(
)()(
110
11
110
1
1
tt
d
d
d
de
tte
t
t
αλα
λλ
αλα
λ
λ




=
+=
)(
)()(
1
110
1
1
tte
tte
t
t
α
αλα
λ
λ
AtIteAt )()( 120 αα +=
$ Matrice de transition






−−
+





=
21
10
)(
10
01
)( 10 tteAt αα








−−
+
=
−−
−−
tt
tt
At
ette
teet
e
)1(
)1(
valeur propre double




=
+=
−
−
t
t
tet
ett
)(
)1()(
1
0
α
α




=
−=
−
−
)(
)()(
1
10
tte
tte
t
t
α
αα

19. 19Automatique
Calcul de la matrice de transition
! Matrice diagonale
! Matrice diagonalisable
Si la matrice carrée A d'ordre n admet n valeurs propres distinctes,
elle est diagonalisable c'est-à-dire
1−= TDTA avec










=
n
D
λ
λ
0
01
O
T : matrice des vecteurs propres de A
On montre que 1−= TTee DtAt
Si la matrice carrée A d'ordre n est diagonale on a










=
n
A
λ
λ
0
01
O












=
t
t
At
ne
e
e
λ
λ
0
01
O

20. 20Automatique
Réponse temporelle : exemple
Exemple
[ ]




=






+





−
−
=
)(10
)(
1
0
)(
02
13
tXy
tUtXX&
Calculer la réponse
indicielle du système

21. 21Automatique
Linéarisation du modèle d'état
! Linéarisation autour du point ),( UX
On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g








∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
UXm
p
UX
p
UXn
p
UX
p
ppp
UXmUXUXnUX
U
g
U
g
X
g
X
g
UXgtuUtxXgY
U
g
U
g
X
g
X
g
UXgtuUtxXgY
,,1,,1
,
1
,1
1
,
1
,1
1
111
),())(),((
),())(),((
LL
M
LL
$ Equations d'état
$ Equations de sortie







∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
++
∂
∂
+≈++=
UXm
n
UX
n
UXn
n
UX
n
nnn
UXmUXUXnUX
U
f
U
f
X
f
X
f
UXftuUtxXfX
U
f
U
f
X
f
X
f
UXftuUtxXfX
,,1,,1
,
1
,1
1
,
1
,1
1
111
),())(),((
),())(),((
LL&
M
LL&

22. 22Automatique
Linéarisation du modèle d'état
$ Forme matricielle




++≈+=
++≈+=
)()(),()()()(
)()(),()()()(
tuGtxGUXgtytYtY
tuFtxFUXftxtXtX
UX
UX
&
&&




+=
+=
)()()(
)()()(
tuGtxGty
tuFtxFtx
UX
UX
&
Modèle d'état linéarisé
UXn
nn
n
UX
X
X
f
X
f
X
f
X
f
X
f
F
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
UXn
nn
m
UX
U
U
f
U
f
U
f
U
f
U
f
F
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
UXn
pp
n
UX
X
X
g
X
g
X
g
X
g
X
g
G
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
UXm
pp
m
UX
U
U
g
U
g
U
g
U
g
U
g
G
,1
1
1
1
,














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
L
MM
L
FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles
de f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point ),( UX
UXUX GDGCFBFA ==== ,,,Matrices du modèle :

23. 23Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état
! Exemple : ressort à comportement non-linéaire
m
z
ressort F
Equation différentielle
3
21 zkzkFzm ++=&&
Modèle d'état
$ Modèle non-linéaire
$ Etats du système )()(1 tztx = )()(2 tztx &=
)()(1 tztx = )()()( 21 txtztx == &&
Fzkzkzm ++= 3
21
&&
m
F
x
m
k
x
m
k
tx ++= 3
1
2
1
1
2 )(&
( )








++
==





m
tu
tx
m
k
tx
m
k
tx
tutxtxf
tx
tx
)(
)()(
)(
)(),(),(
)(
)(
3
1
2
1
1
2
21
2
1
&
&
$ Entrée Ftu =)( $ Sortie )()( tzty =
)())(),(),(()( 121 txtutxtxhty ==

24. 24Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état
! Exemple
$ Détermination du point de fonctionnement ),( UX
On choisit comme point de fonctionnement, un point
stationnaire c'est-à-dire tel que
( ) 0)(),(),( 21 =tutxtxf
0))(),(( == tUtXfX
&






=








++ 0
0
3
1
2
1
1
2
m
u
x
m
k
x
m
k
x
02 =x
03
1
2
1
1 =+ x
m
k
x
m
k
De plus, on prendra .0=u On a alors
01 =x 211 kkx −±=ou
Points de fonctionnement :














0,
0
0
ou














−±
0,
0
21 kk
),( UX

25. 25Automatique
Linéarisation d'un modèle d'état : exemple
$ Premier point :














0,
0
0
UX
UX
mxkk
x
f
x
f
x
f
x
f
A
,
2
121
,2
2
1
2
2
2
1
1
0)3(
10








+
=










∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=






=










∂
∂
∂
∂
=
m
u
f
u
f
B
UX
1
0
,
2
1
]01[
,21
=



∂
∂
∂
∂
=
UXx
h
x
h
C






=
0
10
1k
A
0
,
=




∂
∂
=
UXu
h
D
$ Matrices
$ Deuxième point : 













−±
0,
0
21 kk






−
=
02
10
1k
A
Seule la matrice de commande A change
selon les points de fonctionnement