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Cours8 Introduction à la représentation d'état

Le document traite de la représentation d'état en automatisme, abordant des concepts tels que les variables d'état, les modèles d'état pour systèmes continus, et la linéarisation des systèmes non-linéaires. Il présente des exemples de circuits électriques et de systèmes mécaniques, soulignant l'importance de l'état du système qui représente la mémoire nécessaire pour prédire son comportement futur. Enfin, il explore les représentations équivalentes des états et l'importance du choix des variables d'état dans la modélisation.

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1Automatique Introduction à la représentation d'état UV Automatique ASI 3 Cours 8
2Automatique Contenu ! Notion de variables d'état " Exemples " Définitions ! Représentation d'état d'un système continu LTI " Structure d'un modèle d'état " Représentation schématique d'un modèle d'état " Représentations d'état équivalentes ! Linéarisation d'un modèle d'état " Modèle d'état d'un système non-linéaire " Linéarisation autout d'un point de fonctionnement
3Automatique Introduction à la notion d'état ! Exemple 1 : circuit RC ! Modélisation du circuit RC # (I) : équation dynamique du 1er ordre fonction de x(t) # (II) : relation statique reliant la sortie y(t) et la variable x(t) Le modèle est de la forme Ri(t) C Vc(t)u(t) ∫= =+ τid C tx tutxtRi 1 )( )()()( Entrée : u(t) Sortie : y(t) = i(t) Posons x(t)=Vc(t) )( 1 )( 1 )( )()()( tu R tx R ti tutxtxRC +−= =+& )( 1 )( 1 )( )( 1 )( 1 )( tu R tx R ty tu RC tx RC tx +−= +−=& (II))()()( (I))()()( tdutcxty tbutaxtx += +=& Pour établir une relation entre y(t) et u(t), on passe par la variable intermédiaire x(t) (tension aux bornes du condensateur)
4Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 1 ! Réponse à une entrée échelon Solution des équations # A l'instant t0, on ferme l'interrupteur # Tension initiale aux bornes du condensateur : 00 )()( tttUtu >Γ= )()( 00 tVtx c= 00 00 1)()( Uetxetx RC tt RC tt         −+= − − − − Réponse temporelle )( 1 )( 1 )( tu R tx R ty +−= t0 t x x∞ t0 t y
5Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 1 ! Remarques ! Définitions # La connaissance de x(t) (et donc de y(t)) sur l'intervalle de temps [t0, t] ne dépend que de la condition initiale x(t0) et des équations (I) et (II) # La connaissance de x sur l'intervalle de temps ]-∞, t0] n'est pas nécessaire pour déterminer x sur [t0, t] # Si à l'instant t1, on applique un nouveau signal d'entrée u1(t), l'évolution de x (t) et y (t) dans l'intervalle [t1, t] ne dépendra que de x(t1) et de u1(t) # x(t) est appelé l'état du circuit électrique # L'état d'un système à un instant t représente la mémoire minimale du passé nécessaire à la détermination du futur # Les équations (I) et (II) définissent entièrement le comportement dynamique du circuit électrique
6Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 2 ! Exemple 2 : système mécanique (masse en translation) ! Modélisation dynamique : équation différentielle et FT ! Représentation d'état Etats du système m F z Fr=f z . Entrée : u(t) = F Sortie : y(t) = z(t) γ rr mF =∑ zfzmF &&& += )( 1 )( )( )( fmsssF sZ sH + == )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )1()()()( 21 txtztx == && zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += & )2()()( 22 tx m f m F tx −=& (1) et (2) sous forme matricielle [ ]             =         +              − =      )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & Système d'ordre 2
7Automatique Introduction à la notion d'état : exemple 2 ! Représentation d'état ! Remarques [ ]             =         +              − =      )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & avec       = )( )( )( 2 1 tx tx tX     += += DuCXty BuAXX )( & [ ] 0,01,1 0 , 0 10 ==         =         − = DC m B m fA # X(t) est appelé vecteur d'état du système # Par rapport à la fonction de transfert, le modèle d'état donne des informations sur la représentation interne du système (ici ) qui n'apparaissent pas explicitement dans la fonction de transfert # Le système d'ordre 2 est converti dans la représentation d'état en une équation différentielle matricielle d'ordre 1 et une équation statique matricielle z&
8Automatique Représentation d'état d'un système ! Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie " Variables     += += )II( )I( DUCXY BUAXX&           = )( )( )( 1 tx tx tX n M # X(t) : vecteur d'état (n : nombre d'états) (I) : équation d'état ou équation de commande (II) : équation de sortie ou équation d'observation ntX R∈)(           = )( )( )( 1 tu tu tU m M # U(t) : vecteur des entrées (m : nombre d'entrées)mtU R∈)(           = )( )( )( 1 ty ty tY p M # Y(t) : vecteur des sorties (p : nombre de sorties)ptY R∈)(
9Automatique Représentation d'état d'un système " Matrices de la représentation d'état " Remarques $ $ # A : matrice d'état nnA ×∈R (matrice carrée) # B : matrice d'entrée mnB ×∈R # C : matrice de sortie npC ×∈R # D : matrice de couplage mpD ×∈R (I) : l'équation d'état est une équation dynamique d'ordre 1 (II) : l'équation de sortie est une équation statique linéaire reliant les sorties aux entrées et aux états Toute la dynamique interne du système est résumée dans l'équation d'état, notamment dans la matrice A. En effet, si U=0, on a le système libre caractérisé par .AXX =& Souvent 0=D Les valeurs propres de A sont les pôles du système
10Automatique Représentation schématique du modèle d'état ! Interprétation du schéma " Equation d'état = vue interne du système " A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système " B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système " C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties " D indique le couplage direct entre les entrées et les sorties BU D A ∫+ + + + C Y XX& Equation d'état (partie dynamique) Equation de sortie (partie statique)
11Automatique Représentations d'état équivalentes ! Unicité de la représentation d'état ? ! Exemple : circuit RLC La représentation d'état d'un système est-elle unique ? Non !! Le modèle d'état obtenu dépend du choix des états. On peut associer à un même système, plusieurs vecteurs d'état conduisant ainsi à différentes représentations d'états équivalentes R u(t) i(t) C Vc(t) L )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ C tq tVc )( )( = Entrée : u(t) Sorties :       = )( )( )( ti tV tY c Etats : énergie stockée dans le circuit )()(1 tqtx = )()(2 ttx φ= : charge du condensateur : flux dans l'inductance Lois de l'électricité ∫= t ditq 0 )()( ττCharge : Flux : )()( tLit =φ
12Automatique Représentations d'état équivalentes ! Circuit RLC ! Remarques avec )()()( 1 )()( dtutq C tt L R =++φφ & )()( 1 )( atq C tVc = ∫= t ditq 0 )()( ττ )()( tLit =φ )()( 1 )( bt L ti φ= )()( 1 )()( ct L titq φ==& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ Modèle d'état (c) et (d)    += += DuCXY BuAXX&       =      −− = 1 0 , 1 10 B LRC L A 0, 10 01 =      = D L C C (a) et (b)       = )( )( )( t tq tX φ # Pour avoir les sorties du système à partir des états, il faut disposer de capteurs permettant de mesurer le flux et la charge # N'ayant pas ces capteurs, changeons de variables d'état
13Automatique Représentations d'état équivalentes ! Circuit RLC : autre modèle d'état Nouveaux états :       = )( )( )( ti tV tX c T ∫= t c di C tV 0 )( 1 )( ττ )( 1 )( ti C tVc =& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ )( 1 )()( 1)( tu L ti L R tV Ldt tdi c +−−= avec Nouveau modèle d'état    += += uDXCY uBXAX TTT TTTT &       =      −− = L B LRL C A TT 1 0 , 1 10 0, 10 01 =      = TT DC # Est-il possible d'établir une relation entre la réalisation et la réalisation ? ),,,( DCBA ),,,( TTTT DCBA
14Automatique Représentations d'état équivalentes ! Changement de variables       = )( )( )( t tq tX φ       =      = Lt Ctq ti tV tX c T )( )( )( )( )( φ )( 10 01 )( tX L C tXT       = avec Matrice de transformation T )()( 1 tXTtXT −=       =− L C T 10 011 XTXT && 1−= avec ( )BuAXTXT += −1& BuTATXTX TT 11 −− +=& DuCXY += DuCTXY T += u L C X L C LRC L L C X TT             +            −−      = 1 0 10 01 0 0 1 10 10 01& u L X LRL C X TT       +      −− = 1 0 1 10& uX L C L C Y T .0 0 0 10 01 +            = TXIY 2= On retrouve le résultat précédent
15Automatique Représentations d'état équivalentes ! Cas général " Changement de vecteur d'état " Représentation d'état équivalente " Remarque # Les matrices A et AT sont semblables (A et AT ont les mêmes valeurs propres) % la dynamique du système est préservée Soit     += += DUCXY BUAXX& une représentation d'état d'un systèmentX R∈)( Transformation linéaire : )()( tTXtX T= T : matrice de transformation nnT ×∈R T est une matrice carrée d'ordre n régulière avec     += += UDXCY UBXAX TTT TTTT & ATTAT 1−= CTCT = BTBT 1−= DDT =
16Automatique Choix des variables d'état ! Préliminaires et définitions # L'état d'un système à l'instant t0 est un n-uplet X(t0) d'un espace E dont la connaissance associée à celle de l'entrée u(t) dans l'intervalle [t0, t] permet de connaître la sortie y(t). # E est appelé espace d'état. E est un sous-espace de Rn . # Le nombre minimal d'état correspond à l'ordre du système # Le concept d'état découle donc d'une suite de grandeurs physiques (courant, vitesse, …) ou non suffisantes pour caractériser le fonctionnement d'un système. Le choix des états est laissé au libre arbitre du concepteur # Par une transformation linéaire, il est possible de passer d'une représentation d'état à une autre équivalente # Un système admet donc une infinité de représentation d'état # Par la transformation linéaire , on peut avoir des variables d'état qui physiquement ne correspondent à rien )()( tTXtX T=
17Automatique Choix des variables d'état ! Quelques éléments pour la sélection des variables d'état On choisit souvent comme variables d'états, des éléments du système susceptibles d'être des réservoirs d'énergie Masse m Ressort k Inductance Condensateur EtatEnergieElément Colonne de fluide de pression p Moment d'inertie J Colonne de fluide de hauteur h EtatEnergieElément 2 2 1 cCV cV 2 2 1 Li i 2 2 1 mv 2 2 1 kx dtdxv = x 2)/( 2 1 pV β 2 2 1 ωm x dtdθω = θ p 2 2 1 Ahρ h
18Automatique Linéarisation du modèle d'état ! Un peu d'humour ! Modèle d'état d'un système non-linéaire stationnaire # Définition d'un automaticien heureux : c'est celui qui travaille sur des systèmes linéaires !! # Mais le monde réel est non-linéaire. Comment faire ? Prolonger le bonheur par linéarisation     = = ))(),(( ))(),(( tUtXgY tUtXfX& ntX R∈)( mtU R∈)( ptY R∈)(avec f et g sont des champs de fonctions non-linéaires La courbe est une trajectoire dans l'espace d'état))(),(),(( 0tXtUtXfX =& # Forme matricielle ))(,),(),(,),(( ))(,),(),(,),(( 11 1111 tUtUtXtXfX tUtUtXtXfX mnnn mn LL& M LL& = = ))(,),(),(,),(( ))(,),(),(,),(( 11 1111 tUtUtXtXgY tUtUtXtXgY mnnp mn LL M LL = = # Equation d'état # Equation de sortie
19Automatique Linéarisation du modèle d'état ! Point nominal ou point de fonctionnement ! Perturbations Soit , une entrée nominale et soit l'état correspondant càd # Soient des perturbations faibles u(t) affectant défini une trajectoire dans l'espace d'état qui peut se réduire à un point de fonctionnement ))(),(( tUtXfX = & U X ))(),(( tUtX ),( UX U )()()( tutUtU += )()()( txtXtX +=# Ces perturbations affectent le vecteur d'état )()()( tytYtY += )()()( txtXtX & && += ))()(),()(())(),(( tutUtxtXftUtXfX ++==& ))(),(()( tUtXgtY =Soit la sortie correspondanteY # Les perturbations affectent les sorties ))()(),()(())(),(()( tutUtxtXgtUtXgtY ++==
20Automatique Linéarisation du modèle d'état ! Linéarisation autour du point ),( UX On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g         ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= m UXm p UX p n UXn p UX p ppp m UXmUX n UXnUX u U g u U g x X g x X g UXgtuUtxXgY u U g u U g x X g x X g UXgtuUtxXgY , 1 ,1, 1 ,1 , 1 1 ,1 1 , 1 1 ,1 1 111 ),())(),(( ),())(),(( LL M LL # Equations d'état # Equations de sortie        ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= m UXm n UX n n UXn n UX n nnn m UXmUX n UXnUX u U f u U f x X f x X f UXftuUtxXfX u U f u U f x X f x X f UXftuUtxXfX , 1 ,1, 1 ,1 , 1 1 ,1 1 , 1 1 ,1 1 111 ),())(),(( ),())(),(( LL& M LL&
21Automatique Linéarisation du modèle d'état # Forme matricielle     ++≈+= ++≈+= )()(),()()()( )()(),()()()( tuGtxGUXgtytYtY tuFtxFUXftxtXtX UX UX & &&     += += )()()( )()()( tuGtxGty tuFtxFtx UX UX & Modèle d'état linéarisé UXn nn n UX TX X f X f X f X f X f F ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXn nn m UX TU U f U f U f U f U f F ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXn pp n UX TX X g X g X g X g X g G ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXm pp m UX TU U g U g U g U g U g G ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles de f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point ),( UX UXUX GDGCFBFA ==== ,,,Matrices du modèle :
22Automatique Linéarisation d'un modèle d'état ! Exemple : ressort à comportement non-linéaire m z ressort F Equation différentielle 3 21 zkzkFzm ++=&& Modèle d'état # Modèle non-linéaire # Etats du système )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )()(1 tztx = )()()( 21 txtztx == && Fzkzkzm ++= 3 21 && m F x m k x m k tx ++= 3 1 2 1 1 2 )(& ( )         ++ ==      m tu tx m k tx m k tx tutxtxf tx tx )( )()( )( )(),(),( )( )( 3 1 2 1 1 2 21 2 1 & & # Entrée Ftu =)( # Sortie )()( tzty = )())(),(),(()( 121 txtutxtxhty ==
23Automatique Linéarisation d'un modèle d'état ! Exemple # Détermination du point de fonctionnement ),( UX On choisit comme point de fonctionnement, un point stationnaire c'est-à-dire tel que ( ) 0)(),(),( 21 =tutxtxf 0))(),(( == tUtXfX &       =         ++ 0 0 3 1 2 1 1 2 m u x m k x m k x 02 =x 03 1 2 1 1 =+ x m k x m k De plus, on prendra .0=u On a alors 01 =x 211 kkx −±=ou Points de fonctionnement :               0, 0 0 ou               −± 0, 0 21 kk ),( UX
24Automatique Linéarisation d'un modèle d'état : exemple # Premier point :               0, 0 0 UX UX mxkk x f x f x f x f A , 2 121 ,2 2 1 2 2 1 1 1 0)3( 10         + =           ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =       =           ∂ ∂ ∂ ∂ = m u f u f B UX 1 0 , 2 1 ]01[ ,21 =    ∂ ∂ ∂ ∂ = UXx h x h C       = 0 10 1 mk A 0 , =     ∂ ∂ = UXu h D # Matrices # Deuxième point :               −± 0, 0 21 kk       − = 02 10 1 mk A Seule la matrice de commande A change selon les points de fonctionnement

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Cours8 Introduction à la représentation d'état

  • 1.
    1Automatique Introduction à lareprésentation d'état UV Automatique ASI 3 Cours 8
  • 2.
    2Automatique Contenu ! Notion devariables d'état " Exemples " Définitions ! Représentation d'état d'un système continu LTI " Structure d'un modèle d'état " Représentation schématique d'un modèle d'état " Représentations d'état équivalentes ! Linéarisation d'un modèle d'état " Modèle d'état d'un système non-linéaire " Linéarisation autout d'un point de fonctionnement
  • 3.
    3Automatique Introduction à lanotion d'état ! Exemple 1 : circuit RC ! Modélisation du circuit RC # (I) : équation dynamique du 1er ordre fonction de x(t) # (II) : relation statique reliant la sortie y(t) et la variable x(t) Le modèle est de la forme Ri(t) C Vc(t)u(t) ∫= =+ τid C tx tutxtRi 1 )( )()()( Entrée : u(t) Sortie : y(t) = i(t) Posons x(t)=Vc(t) )( 1 )( 1 )( )()()( tu R tx R ti tutxtxRC +−= =+& )( 1 )( 1 )( )( 1 )( 1 )( tu R tx R ty tu RC tx RC tx +−= +−=& (II))()()( (I))()()( tdutcxty tbutaxtx += +=& Pour établir une relation entre y(t) et u(t), on passe par la variable intermédiaire x(t) (tension aux bornes du condensateur)
  • 4.
    4Automatique Introduction à lanotion d'état : exemple 1 ! Réponse à une entrée échelon Solution des équations # A l'instant t0, on ferme l'interrupteur # Tension initiale aux bornes du condensateur : 00 )()( tttUtu >Γ= )()( 00 tVtx c= 00 00 1)()( Uetxetx RC tt RC tt         −+= − − − − Réponse temporelle )( 1 )( 1 )( tu R tx R ty +−= t0 t x x∞ t0 t y
  • 5.
    5Automatique Introduction à lanotion d'état : exemple 1 ! Remarques ! Définitions # La connaissance de x(t) (et donc de y(t)) sur l'intervalle de temps [t0, t] ne dépend que de la condition initiale x(t0) et des équations (I) et (II) # La connaissance de x sur l'intervalle de temps ]-∞, t0] n'est pas nécessaire pour déterminer x sur [t0, t] # Si à l'instant t1, on applique un nouveau signal d'entrée u1(t), l'évolution de x (t) et y (t) dans l'intervalle [t1, t] ne dépendra que de x(t1) et de u1(t) # x(t) est appelé l'état du circuit électrique # L'état d'un système à un instant t représente la mémoire minimale du passé nécessaire à la détermination du futur # Les équations (I) et (II) définissent entièrement le comportement dynamique du circuit électrique
  • 6.
    6Automatique Introduction à lanotion d'état : exemple 2 ! Exemple 2 : système mécanique (masse en translation) ! Modélisation dynamique : équation différentielle et FT ! Représentation d'état Etats du système m F z Fr=f z . Entrée : u(t) = F Sortie : y(t) = z(t) γ rr mF =∑ zfzmF &&& += )( 1 )( )( )( fmsssF sZ sH + == )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )1()()()( 21 txtztx == && zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += & )2()()( 22 tx m f m F tx −=& (1) et (2) sous forme matricielle [ ]             =         +              − =      )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & Système d'ordre 2
  • 7.
    7Automatique Introduction à lanotion d'état : exemple 2 ! Représentation d'état ! Remarques [ ]             =         +              − =      )( )( 01)( 1 0 )( )( 0 10 )( )( 2 1 2 1 2 1 tx tx ty F mtx tx m f tx tx & & avec       = )( )( )( 2 1 tx tx tX     += += DuCXty BuAXX )( & [ ] 0,01,1 0 , 0 10 ==         =         − = DC m B m fA # X(t) est appelé vecteur d'état du système # Par rapport à la fonction de transfert, le modèle d'état donne des informations sur la représentation interne du système (ici ) qui n'apparaissent pas explicitement dans la fonction de transfert # Le système d'ordre 2 est converti dans la représentation d'état en une équation différentielle matricielle d'ordre 1 et une équation statique matricielle z&
  • 8.
    8Automatique Représentation d'état d'unsystème ! Généralisation à un système multi-entrée, multi-sortie " Variables     += += )II( )I( DUCXY BUAXX&           = )( )( )( 1 tx tx tX n M # X(t) : vecteur d'état (n : nombre d'états) (I) : équation d'état ou équation de commande (II) : équation de sortie ou équation d'observation ntX R∈)(           = )( )( )( 1 tu tu tU m M # U(t) : vecteur des entrées (m : nombre d'entrées)mtU R∈)(           = )( )( )( 1 ty ty tY p M # Y(t) : vecteur des sorties (p : nombre de sorties)ptY R∈)(
  • 9.
    9Automatique Représentation d'état d'unsystème " Matrices de la représentation d'état " Remarques $ $ # A : matrice d'état nnA ×∈R (matrice carrée) # B : matrice d'entrée mnB ×∈R # C : matrice de sortie npC ×∈R # D : matrice de couplage mpD ×∈R (I) : l'équation d'état est une équation dynamique d'ordre 1 (II) : l'équation de sortie est une équation statique linéaire reliant les sorties aux entrées et aux états Toute la dynamique interne du système est résumée dans l'équation d'état, notamment dans la matrice A. En effet, si U=0, on a le système libre caractérisé par .AXX =& Souvent 0=D Les valeurs propres de A sont les pôles du système
  • 10.
    10Automatique Représentation schématique dumodèle d'état ! Interprétation du schéma " Equation d'état = vue interne du système " A représente les interactions dynamiques entre les différents éléments internes du système " B représente l'action des entrées sur l'évolution dynamique du système " C indique les capteurs permettent d'obtenir les sorties " D indique le couplage direct entre les entrées et les sorties BU D A ∫+ + + + C Y XX& Equation d'état (partie dynamique) Equation de sortie (partie statique)
  • 11.
    11Automatique Représentations d'état équivalentes !Unicité de la représentation d'état ? ! Exemple : circuit RLC La représentation d'état d'un système est-elle unique ? Non !! Le modèle d'état obtenu dépend du choix des états. On peut associer à un même système, plusieurs vecteurs d'état conduisant ainsi à différentes représentations d'états équivalentes R u(t) i(t) C Vc(t) L )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ C tq tVc )( )( = Entrée : u(t) Sorties :       = )( )( )( ti tV tY c Etats : énergie stockée dans le circuit )()(1 tqtx = )()(2 ttx φ= : charge du condensateur : flux dans l'inductance Lois de l'électricité ∫= t ditq 0 )()( ττCharge : Flux : )()( tLit =φ
  • 12.
    12Automatique Représentations d'état équivalentes !Circuit RLC ! Remarques avec )()()( 1 )()( dtutq C tt L R =++φφ & )()( 1 )( atq C tVc = ∫= t ditq 0 )()( ττ )()( tLit =φ )()( 1 )( bt L ti φ= )()( 1 )()( ct L titq φ==& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ Modèle d'état (c) et (d)    += += DuCXY BuAXX&       =      −− = 1 0 , 1 10 B LRC L A 0, 10 01 =      = D L C C (a) et (b)       = )( )( )( t tq tX φ # Pour avoir les sorties du système à partir des états, il faut disposer de capteurs permettant de mesurer le flux et la charge # N'ayant pas ces capteurs, changeons de variables d'état
  • 13.
    13Automatique Représentations d'état équivalentes !Circuit RLC : autre modèle d'état Nouveaux états :       = )( )( )( ti tV tX c T ∫= t c di C tV 0 )( 1 )( ττ )( 1 )( ti C tVc =& )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ )( 1 )()( 1)( tu L ti L R tV Ldt tdi c +−−= avec Nouveau modèle d'état    += += uDXCY uBXAX TTT TTTT &       =      −− = L B LRL C A TT 1 0 , 1 10 0, 10 01 =      = TT DC # Est-il possible d'établir une relation entre la réalisation et la réalisation ? ),,,( DCBA ),,,( TTTT DCBA
  • 14.
    14Automatique Représentations d'état équivalentes !Changement de variables       = )( )( )( t tq tX φ       =      = Lt Ctq ti tV tX c T )( )( )( )( )( φ )( 10 01 )( tX L C tXT       = avec Matrice de transformation T )()( 1 tXTtXT −=       =− L C T 10 011 XTXT && 1−= avec ( )BuAXTXT += −1& BuTATXTX TT 11 −− +=& DuCXY += DuCTXY T += u L C X L C LRC L L C X TT             +            −−      = 1 0 10 01 0 0 1 10 10 01& u L X LRL C X TT       +      −− = 1 0 1 10& uX L C L C Y T .0 0 0 10 01 +            = TXIY 2= On retrouve le résultat précédent
  • 15.
    15Automatique Représentations d'état équivalentes !Cas général " Changement de vecteur d'état " Représentation d'état équivalente " Remarque # Les matrices A et AT sont semblables (A et AT ont les mêmes valeurs propres) % la dynamique du système est préservée Soit     += += DUCXY BUAXX& une représentation d'état d'un systèmentX R∈)( Transformation linéaire : )()( tTXtX T= T : matrice de transformation nnT ×∈R T est une matrice carrée d'ordre n régulière avec     += += UDXCY UBXAX TTT TTTT & ATTAT 1−= CTCT = BTBT 1−= DDT =
  • 16.
    16Automatique Choix des variablesd'état ! Préliminaires et définitions # L'état d'un système à l'instant t0 est un n-uplet X(t0) d'un espace E dont la connaissance associée à celle de l'entrée u(t) dans l'intervalle [t0, t] permet de connaître la sortie y(t). # E est appelé espace d'état. E est un sous-espace de Rn . # Le nombre minimal d'état correspond à l'ordre du système # Le concept d'état découle donc d'une suite de grandeurs physiques (courant, vitesse, …) ou non suffisantes pour caractériser le fonctionnement d'un système. Le choix des états est laissé au libre arbitre du concepteur # Par une transformation linéaire, il est possible de passer d'une représentation d'état à une autre équivalente # Un système admet donc une infinité de représentation d'état # Par la transformation linéaire , on peut avoir des variables d'état qui physiquement ne correspondent à rien )()( tTXtX T=
  • 17.
    17Automatique Choix des variablesd'état ! Quelques éléments pour la sélection des variables d'état On choisit souvent comme variables d'états, des éléments du système susceptibles d'être des réservoirs d'énergie Masse m Ressort k Inductance Condensateur EtatEnergieElément Colonne de fluide de pression p Moment d'inertie J Colonne de fluide de hauteur h EtatEnergieElément 2 2 1 cCV cV 2 2 1 Li i 2 2 1 mv 2 2 1 kx dtdxv = x 2)/( 2 1 pV β 2 2 1 ωm x dtdθω = θ p 2 2 1 Ahρ h
  • 18.
    18Automatique Linéarisation du modèled'état ! Un peu d'humour ! Modèle d'état d'un système non-linéaire stationnaire # Définition d'un automaticien heureux : c'est celui qui travaille sur des systèmes linéaires !! # Mais le monde réel est non-linéaire. Comment faire ? Prolonger le bonheur par linéarisation     = = ))(),(( ))(),(( tUtXgY tUtXfX& ntX R∈)( mtU R∈)( ptY R∈)(avec f et g sont des champs de fonctions non-linéaires La courbe est une trajectoire dans l'espace d'état))(),(),(( 0tXtUtXfX =& # Forme matricielle ))(,),(),(,),(( ))(,),(),(,),(( 11 1111 tUtUtXtXfX tUtUtXtXfX mnnn mn LL& M LL& = = ))(,),(),(,),(( ))(,),(),(,),(( 11 1111 tUtUtXtXgY tUtUtXtXgY mnnp mn LL M LL = = # Equation d'état # Equation de sortie
  • 19.
    19Automatique Linéarisation du modèled'état ! Point nominal ou point de fonctionnement ! Perturbations Soit , une entrée nominale et soit l'état correspondant càd # Soient des perturbations faibles u(t) affectant défini une trajectoire dans l'espace d'état qui peut se réduire à un point de fonctionnement ))(),(( tUtXfX = & U X ))(),(( tUtX ),( UX U )()()( tutUtU += )()()( txtXtX +=# Ces perturbations affectent le vecteur d'état )()()( tytYtY += )()()( txtXtX & && += ))()(),()(())(),(( tutUtxtXftUtXfX ++==& ))(),(()( tUtXgtY =Soit la sortie correspondanteY # Les perturbations affectent les sorties ))()(),()(())(),(()( tutUtxtXgtUtXgtY ++==
  • 20.
    20Automatique Linéarisation du modèled'état ! Linéarisation autour du point ),( UX On réalise un développement de Taylor au 1er ordre de f et g         ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= m UXm p UX p n UXn p UX p ppp m UXmUX n UXnUX u U g u U g x X g x X g UXgtuUtxXgY u U g u U g x X g x X g UXgtuUtxXgY , 1 ,1, 1 ,1 , 1 1 ,1 1 , 1 1 ,1 1 111 ),())(),(( ),())(),(( LL M LL # Equations d'état # Equations de sortie        ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ++ ∂ ∂ +≈++= m UXm n UX n n UXn n UX n nnn m UXmUX n UXnUX u U f u U f x X f x X f UXftuUtxXfX u U f u U f x X f x X f UXftuUtxXfX , 1 ,1, 1 ,1 , 1 1 ,1 1 , 1 1 ,1 1 111 ),())(),(( ),())(),(( LL& M LL&
  • 21.
    21Automatique Linéarisation du modèled'état # Forme matricielle     ++≈+= ++≈+= )()(),()()()( )()(),()()()( tuGtxGUXgtytYtY tuFtxFUXftxtXtX UX UX & &&     += += )()()( )()()( tuGtxGty tuFtxFtx UX UX & Modèle d'état linéarisé UXn nn n UX TX X f X f X f X f X f F ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXn nn m UX TU U f U f U f U f U f F ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXn pp n UX TX X g X g X g X g X g G ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L UXm pp m UX TU U g U g U g U g U g G ,1 1 1 1 ,               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = L MM L FX, FU, GX et GU sont les matrices jacobiennes des dérivées partielles de f et g respectivement par rapport à X et U et évaluées au point ),( UX UXUX GDGCFBFA ==== ,,,Matrices du modèle :
  • 22.
    22Automatique Linéarisation d'un modèled'état ! Exemple : ressort à comportement non-linéaire m z ressort F Equation différentielle 3 21 zkzkFzm ++=&& Modèle d'état # Modèle non-linéaire # Etats du système )()(1 tztx = )()(2 tztx &= )()(1 tztx = )()()( 21 txtztx == && Fzkzkzm ++= 3 21 && m F x m k x m k tx ++= 3 1 2 1 1 2 )(& ( )         ++ ==      m tu tx m k tx m k tx tutxtxf tx tx )( )()( )( )(),(),( )( )( 3 1 2 1 1 2 21 2 1 & & # Entrée Ftu =)( # Sortie )()( tzty = )())(),(),(()( 121 txtutxtxhty ==
  • 23.
    23Automatique Linéarisation d'un modèled'état ! Exemple # Détermination du point de fonctionnement ),( UX On choisit comme point de fonctionnement, un point stationnaire c'est-à-dire tel que ( ) 0)(),(),( 21 =tutxtxf 0))(),(( == tUtXfX &       =         ++ 0 0 3 1 2 1 1 2 m u x m k x m k x 02 =x 03 1 2 1 1 =+ x m k x m k De plus, on prendra .0=u On a alors 01 =x 211 kkx −±=ou Points de fonctionnement :               0, 0 0 ou               −± 0, 0 21 kk ),( UX
  • 24.
    24Automatique Linéarisation d'un modèled'état : exemple # Premier point :               0, 0 0 UX UX mxkk x f x f x f x f A , 2 121 ,2 2 1 2 2 1 1 1 0)3( 10         + =           ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =       =           ∂ ∂ ∂ ∂ = m u f u f B UX 1 0 , 2 1 ]01[ ,21 =    ∂ ∂ ∂ ∂ = UXx h x h C       = 0 10 1 mk A 0 , =     ∂ ∂ = UXu h D # Matrices # Deuxième point :               −± 0, 0 21 kk       − = 02 10 1 mk A Seule la matrice de commande A change selon les points de fonctionnement