COMMANDE

1. Modélisation et simulation des systèmes non linéaire

2. Objectif
Département d'Automatique- Faculté de Génie électrique-
USTO-MB
2
Un système non linéaire
Exemple
Comment
commander ce
système
Rendre le système linéaire de la forme:
Et utilisés les commandes:
Ou utilisé directement les commandes non
linéaire :
1.Feedback linéarisation
2. Backstepping
3.Mode glissant .
( ) . ( ) . ( )
( ) . ( ) . ( )
x t A x t B u t
y t C x t D u t
 
 


3. I. Représentation des systèmes non linéaire
La forme la plus utilisée pour la représentation des systèmes non linéaires
:
SNL :
Ou :
: Le temps,
: Le vecteur d’état,
: Le vecteur de commande ou d’entrée.
: Le vecteur de sortie.
: Fonctions non linéaire.
u(t) y(t)
SNL
La forme de la représentation des systèmes linéaires :
SL :
u(t) y(t)
SL
Ou :
: Le temps,
: Le vecteur d’état,
: Le vecteur de commande ou d’entrée.
: Le vecteur de sortie.
Le voir dans le
pendule

4. Correcteurs linéaires
Avantage :
Correcteurs non linéaires

5. Département d'Automatique- Faculté de Génie électrique-
USTO-MB
5
• Systèmes NL affines: un système dont la représentation d’état prend l’une des
formes suivantes :
1/ Affine en état :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x f u x t g u
y h u x t D u
 
 

2/ Affine en commande:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x f x g x u t
y h x D x u t
 
 
 La plus utilisée dans la
commande

6. Département d'Automatique- Faculté de Génie électrique-
USTO-MB
6
• Exemple: on considère le vecteur
  2
2
1
y z fax
r
r
x x x x
I I K
J
u
I I I I
   

    
   

 
T T
1 2 3 4 5 6
=
x x x x x x x
     
 
 
  
 
1 6
...
T
x x x

Avec:
On aura
   
1 2
2 1 1 2
x x
x f x g x u


 
  




Ou  
  2
1 4 6 4 2
y z fax
r
r
x x x
I I K
J
f x x x x x
I I I

   
 
1
1
x
g x
I

Affine en commande

7. Problématique de la modélisation
 Modéliser un phénomène / système réel = établir une représentation mathématique de celui-ci :
équations algébriques, équations différentielles, etc.
 Objectif : analyse et commande .
 Quelque soit le but recherché, la connaissance d’un système dynamique requiert une modélisation
mathématique de plus en plus précise. La recherche de cette précision conduit souvent à une
modélisation sous forme d’équations différentielles.
 Modèle de connaissance «mathématique » ou modèle de comportement « identification ».

8. Table de correspondance électrique-mécanique :

9. Exemple N°1 : Système mécanique (système Mécanique en translation)
Pour obtenir le modèle de ce système, il faut :
1. Déterminer l’entrée et la sortie :
 La sortie que l’on souhaite contrôler est la vitesse du véhicule
 L’entrée est la force appliquée « développée par le moteur » .
2. Trouver le lien entre la sortie et l’entrée :
La relation qui relie la sortie à l’entrée est obtenue par application des lois de la dynamique de
Newton.
𝑚
𝑑𝑣 (𝑡)
𝑑𝑡
=𝑢(𝑡)− 𝑓 𝑣(𝑡)
 Fonction de Transfert :
𝑚
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=𝑢(𝑡)− 𝑓 𝑣 (𝑡)
𝑇 ℒ
⟼
𝑚 𝑠 𝑉 (𝑠 )=𝑈 ( 𝑠) − 𝑓 𝑉 ( 𝑠) ⟼
𝑽 ( 𝒔 )
𝑼 ( 𝒔)
=
𝟏
𝒎 𝒔 + 𝒇
 Représentation d‘état : 𝑚 ˙
𝑣 (𝑡 )=𝑢 (𝑡 )− 𝑓 𝑣 (𝑡 )
En suppose :𝑥(𝑡 )=𝑣 (𝑡)⟶ ˙
𝑥 (𝑡)= ˙
𝑣(𝑡 ) Donc :
˙
𝑥(𝑡)=𝑢(𝑡)− 𝑓 𝑥(𝑡)⟶
{˙
𝒙 (𝒕)=−
𝒇
𝒎
𝒙 (𝒕)+
𝟏
𝒎
𝒖(𝒕
𝒚 (𝒕 )=𝒙 (𝒕 )
𝐴=−
𝑓
𝑚
; 𝐵=
1
𝑚
; 𝐶=1; 𝐷=0;
avec :
u(t) v(t)
SL

10. Exemple N°2 : Système mécanique « suspension d’une automobile »
Force du balès qui s'est jeté dans l'automobile -i.e. l'input.
: Force de contre-réaction par la masse d'inertie de l'automobile.
: Force de contre-réaction par le frottement de l’amortisseur proprement dit.
: Force de contre-réaction par le ressort à boudin.
F(t) y(t)
SL

11. L’équation des forces :
𝐹 𝑚(𝑡 )+𝐹 𝑏(𝑡 )+𝐹 𝑘 (𝑡)=𝐹 (𝑡 )⟹ 𝑚 ¨
𝑦 (𝑡)+𝑏 ˙
𝑦 (𝑡)+𝑘 𝑦 (𝑡)=𝑢(𝑡)
 Fonction de Transfert :
 Représentation d‘état :
𝑚 ¨
𝑦+𝑏 ˙
𝑦+𝑘 𝑦=𝑢𝑇 ℒ
⟶
𝑚𝑌 ( 𝑠) 𝑠2
+𝑏𝑌 (𝑠) 𝑠+𝑘𝑌 (𝑠)=𝑈 (𝑠)→
𝑌 ( 𝑠)
𝑈 ( 𝑠)
=
1
𝑚𝑠2
+𝑏 𝑠+𝑘
En suppose : 𝑥1 (𝑡)=𝑦 (𝑡) 𝑒𝑡 𝑥2 (𝑡)= ˙
𝑥1(𝑡 )= ˙
𝑦 (𝑡 )
Donc :
𝑎𝑣𝑒𝑐 : ¨
𝑦= ˙
𝑥2 (𝑡)=
1
𝑚
𝑢(𝑡)−
𝑏
𝑚
𝑥2(𝑡 )−
𝑘
𝑚
𝑥1(𝑡 )
𝐴=
(
0 1
−
𝑘
𝑚
−
𝑏
𝑚 ); 𝐵=
(
0
1
𝑚 ); 𝐶=(1 0) ; 𝐷=0 ;
avec :

12. Exemple 3 : Système non linéaire « Pendule simple »

13. Exemple : Pendule simple
Notations :
: Couple moteur.
: Position angulaire.
: Longueur de bras.
: Masse.
: L’accélération gravitationnelle.
: Coefficient de frottement visqueux.
: Moment d’inertie du pendule.
Le modèle mathématique d’un pendule semple :
{{
˙
𝑥1 (𝑡 )=𝑥2 (𝑡 )
˙
𝑥2 (𝑡)=
1
𝑚𝑟
2
𝑢(𝑡 )−
𝑘𝑓
𝑚𝑟
2
𝑥2 (𝑡 )−
𝑔
𝑟
𝑠𝑖𝑛(𝑥1 (𝑡 ))
𝑦 (𝑡 )=𝑥1 (𝑡)
Telle que :
: é è .
𝐸𝑛𝑡𝑟 𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡 𝑚𝑒
: è .
𝑆𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡 𝑚𝑒
′
∶ 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑 é è
𝑡𝑎𝑡 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡 𝑚𝑒

14. Les paramètres :
{{
˙
𝑥1 (𝑡 )=𝑥2 (𝑡 )
˙
𝑥2 (𝑡)=
1
𝑚𝑟
2
𝑢(𝑡 )−
𝑘𝑓
𝑚𝑟
2
𝑥2 (𝑡 )−
𝑔
𝑟
𝑠𝑖𝑛(𝑥1 (𝑡 ))
𝑦 (𝑡 )=𝑥1 (𝑡)
Simulation :

15. La réponse de système « position » avec la position initiale (0)=0° ; en régime libre. ( =0)
𝜃 𝜃 𝑢

16. La réponse de système « position » avec la position initiale (0)=30° ; en régime libre. ( =0)
𝜃 𝜃 𝑢

17. La réponse de système « position ( ) » avec la position initiale (0)=0° ; en régime forcé ( =0,5)
𝜃 𝑡 𝜃 𝑢

18. La réponse de système « position ( ) » avec la position initiale (0)=30° ; en régime forcé ( =0,5)
𝜃 𝑡 𝜃 𝑢
Forcée le pendule
a retournée vers
son état
d’équilibre
quelque soit
l’état initiale
suivant la
commande « u »
imposée

19. Département d'Automatique- Faculté de Génie électrique-
USTO-MB-
19
• « systèmes non linéaires »
C’est tout système ne vérifiant pas les propriétés mathématiques des
systèmes linéaires stationnaires (LTI : Linear Time Invariant). Ex:
1.Un point d’équilibre unique solution de l’équation linéaire
(Pour S.N.L plusieurs point d’équilibre).
2. Le point d’équilibre est stable si toutes les valeurs propres de la matrice A sont à
partie réelle négative.(ça dépendra de quelle point).
3. Le système ne vérifie pas le principe de superposition
En conclusion :
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
f x y f x f y
   
  