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1Automatique
Représentation des systèmes
dynamiques continus LTI
UV Automatique
ASI 3
Cours 1
2Automatique
Contenu
! Introduction
" Définition d'un système
" Classification des systèmes
! Quelques rappels
" Transformée de Laplace
" Les signaux usuels et leur transformée de Laplace
! Fonction de transfert d'un système
" Définition et détermination de la FT
" Eléments caractéristiques de la FT
" Association de fonctions de transfert
3Automatique
Introduction
! Qu'est-ce qu'un système?
Système : ensemble d'objets interagissant entre eux pour réaliser
une fonction. Il est connecté au monde extérieur à travers :
# ses entrées
• signaux d'excitation : actions envoyées au système
• perturbations qui sont en général imprévisibles
# ses sorties : réponses du système aux signaux d'entrée
Signaux d’entrée
ou excitations u Système
Signaux de sortie
ou réponses y
Perturbations
4Automatique
Classification des systèmes (1)
! Système statique
La réponse du système à une excitation est instantanée
! Système dynamique
La réponse est fonction de l'excitation et des réponses passées
! Systèmes monovariable et multivariable
" Monovariable : système à une entrée et une sortie
" Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2
R
u(t)
i(t)
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
)(
1
)()( tu
R
tity ==
)()()( tutytyRC =+&
avec )()( tVty c=
Equation
Equation
5Automatique
Classification des systèmes (2)
! Systèmes continu et discret
" Continu : l'information circule à tout instant de façon continue
" Discret : l'information circule à des instants discrets
! Systèmes linéaires et non linéaires
" Le système est linéaire s'il satisfait au principe de
superposition
" Le système est non-linéaire dans le cas contraire
)()()( tutytyRC =+&
( ) )()(1)1( kukyRCkRCy =−++
Si yi(t) est la réponse du système à l'entrée ui(t) alors la
réponse du système à est∑=
i
ii tutu )()( α )()( tyty
i
ii∑= α
6Automatique
Classification des systèmes (3)
! Système causal
! Système invariant ou stationnaire
On peut décrire les systèmes linéaires à temps invariant (LTI) par
des fonctions de transfert en s (cas continu) ou en z (cas discret)
La réponse temporelle du système ne peut précéder son entrée
Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus LTI
La réponse du système est invariante par translation dans le temps
Soit y(t)=f(u(t), yt0
) la réponse à l'instant t à partir des conditions
initiales yt0
. Le système est stationnaire ssi )()( 00
),(),( Ttt yTtufytuf ++=
7Automatique
Rappels sur la transformée de Laplace (1)
! Définition de la Transformée de Laplace (TL)
! Transformée de Laplace inverse
" x(t) : signal réel tel que
" Transformée de Laplace de x(t) :
" X(s) : fonction de la variable complexe
00)( <∀= ttx
( ) ∫
∞+ −== 0 )()()( dtetxtxsX stL
0, ≥+= σωσ js
Exemple
Soit le signal 0et0pour)( >≥= − atetx at
∫∫
∞+ +−∞+ −− == 0
)(
0)( dtedteesX tsastat
as
sX
+
=
1
)(
0 10 20 30 40
0
0.5
1
Temps t
Signalx(t)
( ) ∫
∞+
∞−
==
j
j
ts- dsesX
j
sXtx
σ
σ
π
)(
2
1
)()( 1L
8Automatique
Rappels sur la TL (2)
! Propriétés de la TL
x(t) et y(t) : signaux réels tels que
" Linéarité
" Dérivation
: condition initiale
" Intégration
00)(,0)( <∀== ttytx
( ) *,)()()()( R∈∀+=+ βαβαβα sYsXtytxL
( ) )0()()( +−= xssXtx&L ( )+0x
( ) )0()0()0()()( )1()1(21)( +−+−+− −−−−= kkkkk xxsxssXstx LL
( ) ( ) ( )+−++ 0,,0,0 )1()1( kxxx L : conditions initiales
Cas particulier : conditions initiales nulles ( ) )()()( sXstx kk =L
∫= t
dxty 0 )()( ττ ( )
s
y
s
sX
ty
)0()(
)(
+
+=L⇒
Condition initiale nulle : ( )
s
sX
ty
)(
)( =L
9Automatique
Rappels sur la TL (3)
! Rappels sur la TL
" Retard temporel
" Théorème de la valeur initiale
" Théorème de la valeur finale
" Produit de convolution
( ) )()( sXeTtx sT−=−L
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
x(t-T)x(t)
retard T
( ) )(lim)(lim0 ssXtxx
+∞→→
+ ==
+ s0t
)(lim)(lim
0
ssXtxx
→+∞→
∞ ==
st
z(t) : convolution des signaux réels x(t) et y(t)
∫
∞
−==
0
)()()(*)()( τττ dtyxtytxtz )(.)()( sYsXsZ =⇒
10Automatique
TL de quelques signaux usuels
! Impulsion de Dirac δ(t)
! Echelon unité Γ(t)
( ) 1)( =tδL
! Rampe ou échelon de vitesse
! Signal sinusoïdal



≥
<
=Γ
01
00
)(
t
t
t
)(tΓ
1
)(tδ
( )
s
t
1
)( =ΓL
)()( tttv Γ=
v(t)
( ) 2
1
)(
s
tv =L
( ) 0sin)( ≥+= tttx ϕω
( ) 22
cossin
)(
ω
ϕωϕ
+
+
=
s
s
txL
t
t
t
t
11Automatique
Réponse temporelle d'un système LTI
u
Système
linéaire
y
! Réponse du système à une impulsion de Dirac δ(t)
! Réponse à une entrée quelconque u(t),
" Rappel :
"
Un système linéaire est
assimilable à un filtre linéaire F
( ))()( tth δF= h(t) est la réponse impulsionnelle du système
00)( <∀= ttu
∫
∞+
−==
0
)()()(*)()( ττδτδ dtuttutu
( ) ( )∫
∞+
−== 0
)()()()( ττδτ dtututy FF
( )∫
∞+
−= 0
)()()( ττδτ dtuty FSystème linéaire ⇒
Système invariant ⇒
produit de convolution de u(t) et de h(t)
( ))()( τδτ −=− tth F
)(*)()()()( 0
thtudthuty =−= ∫
∞+
τττ
( ))()( tuty F=
12Automatique
Fonction de transfert d'un système LTI (1)
! Fonction de transfert
! Système continu régi par une équation différentielle
)(*)()( thtuty = ( ) )()()()( sHsUtysY == L⇒
)(
)(
)(
sU
sY
sH =
H(s) est la fonction de transfert du système
est la TL de la réponse impulsionnelle( ))()( thsH L=
)()()()()()( 0
)1(
1
)(
0
)1(
1
)( tubtubtubtyatyatya m
m
n
n +++=+++ LL
On suppose les conditions initiales nulles c'est-à-dire
avec m ≤ n
0)0()0()0( )1()1( ====− yyy n L
0)0()0()0( )1()1( ====− uuu m L
⇒
13Automatique
Fonction de transfert d'un système LTI (2)
! Système régi par une équation différentielle (suite)
En utilisant la TL, on a :
)()()()()()( 0101 sUbssUbsUsbsYassYasYsa m
m
n
n +++=+++ LL
( ) ( ) )()( 0101 sUbsbsbsYasasa m
m
n
n +++=+++ LL
01
01
)(
)(
)(
asasa
bsbsb
sU
sY
sH
n
n
m
m
+++
+++
==
L
L
La fonction de transfert a la forme d'une fraction rationnelle :
)(
)(
)(
sD
sN
sH = N(s) et D(s) : polynômes en s de degrés
respectifs n et m
Le système est dit d'ordre n
14Automatique
Fonction de transfert d'un système LTI (3)
! Exemple : circuit RLC
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
L
)()(
)(
)( tutV
dt
tdi
LtRi c =++
On en déduit :
)()( tVty c=Sortie du système :
" Lois de l'électricité
∫=
t
c di
C
tV 0
)(
1
)( ττ ⇒ )()( tVCti c
&=
)()()()( tutVtVRCtVLC ccc =++ &&&
" Fonction de transfert
( ) )()(12 sUsVsRCsLC c =++
1
1
)(
)(
)(
2 ++
==
sRCsLCsU
sV
sH c
15Automatique
Réponse d'un système LTI par la TL (1)
! Exemple : circuit RC
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
)()()( tutytyRC =+&
avec )()( tVty c=
Donner l'expression de la réponse du système pour une entrée échelon
d'amplitude u0=2V. La tension initiale aux bords de la capacité est Vc(0)=0.5V
" Application de la TL
( ) )()()0()( sUsYVssYRC c =+− )0(
11
)(
)( cV
sRC
RC
sRC
sU
sY
+
+
+
=
)()( 0 tutu Γ=
⇒
⇒
s
u
sU 0
)( =
⇒
( )
)0(
11
)( c
o
V
sRC
RC
sRCs
u
sY
+
+
+
=
16Automatique
Réponse d'un système LTI par la TL (2)
! Exemple : circuit RC (suite)
En utilisant les tables de transformée, on a :
434214434421
)()(
0 )0(1)( )(
ty
RC
t
c
ty
RC
t
LF
eVeuty
−−
+−=
0 2 4 6 8 1 0
0
0 .5
1
1 .5
2
y (t)
y F (t)
y L (t)
( )
)0(
11
)( c
o
V
sRC
RC
sRCs
u
sY
+
+
+
=
17Automatique
Régimes transitoire et permanent
! Régime permanent
! Régiment transitoire
0 2 4 6 8 1 0
0 . 5
1
1 . 5
2
R é g i m e
t r a n s i t o i r e
R é g i m e
p e r m a n e n t
Réponse du circuit RC
Soumis à un entrée échelon, rampe, … un système linéaire stable
aura un comportement asymptotique similaire à l'entrée : on dit qu'il
a atteint le régime permanent.
C'est la partie de la réponse qui précède le régime permanent.
Le régime transitoire est lié à la dynamique du système
18Automatique
Eléments caractéristiques de la FT
! Pôles (modes) et zéros du système
! Gain du système
01
01
)(
)(
)(
asasa
bsbsb
sD
sN
sH n
n
m
m
+++
+++
==
L
L
C∈iλ" Les pôles sont les racines du polynôme D(s). Les pôles
sont soit réels, soit des paires de pôles complexes conjugués
" Un système d'ordre n admet n pôles distincts ou non
" Les zéros sont les racines du polynôme N(s)C∈iz
1
1
)(
1
010
+++
+++
=
saasaa
sbbsbb
s
K
sH n
n
m
m
αα
α
L
L
αa
b
K
0
= : gain du système
0≥α
19Automatique
Stabilité des systèmes LTI
! Théorème
Un système LTI est stable si et seulement si tous ses pôles λi
ont une partie réelle Re(λi) négative
Le domaine de stabilité est le demi-plan gauche du plan complexe
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Stable Instable Instable
20Automatique
Association de fonctions de transfert
! Association en série ou cascade
! Association en parallèle
! Fonction de transfert en réaction
u H1(s) yH2(s)
y1
)()()( 21 sHsHsH ×=
u
H1(s)
y
H2(s)
y1
+
+
y2
)()()( 21 sHsHsH +=
u H1(s) y
H2(s)
+-
)()(1
)(
)(
21
1
sHsH
sH
sH
+
=

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Cours1 Représentation des systèmes dynamiques continus LTI

  • 1. 1Automatique Représentation des systèmes dynamiques continus LTI UV Automatique ASI 3 Cours 1
  • 2. 2Automatique Contenu ! Introduction " Définition d'un système " Classification des systèmes ! Quelques rappels " Transformée de Laplace " Les signaux usuels et leur transformée de Laplace ! Fonction de transfert d'un système " Définition et détermination de la FT " Eléments caractéristiques de la FT " Association de fonctions de transfert
  • 3. 3Automatique Introduction ! Qu'est-ce qu'un système? Système : ensemble d'objets interagissant entre eux pour réaliser une fonction. Il est connecté au monde extérieur à travers : # ses entrées • signaux d'excitation : actions envoyées au système • perturbations qui sont en général imprévisibles # ses sorties : réponses du système aux signaux d'entrée Signaux d’entrée ou excitations u Système Signaux de sortie ou réponses y Perturbations
  • 4. 4Automatique Classification des systèmes (1) ! Système statique La réponse du système à une excitation est instantanée ! Système dynamique La réponse est fonction de l'excitation et des réponses passées ! Systèmes monovariable et multivariable " Monovariable : système à une entrée et une sortie " Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2 R u(t) i(t) R u(t) i(t) C Vc(t) )( 1 )()( tu R tity == )()()( tutytyRC =+& avec )()( tVty c= Equation Equation
  • 5. 5Automatique Classification des systèmes (2) ! Systèmes continu et discret " Continu : l'information circule à tout instant de façon continue " Discret : l'information circule à des instants discrets ! Systèmes linéaires et non linéaires " Le système est linéaire s'il satisfait au principe de superposition " Le système est non-linéaire dans le cas contraire )()()( tutytyRC =+& ( ) )()(1)1( kukyRCkRCy =−++ Si yi(t) est la réponse du système à l'entrée ui(t) alors la réponse du système à est∑= i ii tutu )()( α )()( tyty i ii∑= α
  • 6. 6Automatique Classification des systèmes (3) ! Système causal ! Système invariant ou stationnaire On peut décrire les systèmes linéaires à temps invariant (LTI) par des fonctions de transfert en s (cas continu) ou en z (cas discret) La réponse temporelle du système ne peut précéder son entrée Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus LTI La réponse du système est invariante par translation dans le temps Soit y(t)=f(u(t), yt0 ) la réponse à l'instant t à partir des conditions initiales yt0 . Le système est stationnaire ssi )()( 00 ),(),( Ttt yTtufytuf ++=
  • 7. 7Automatique Rappels sur la transformée de Laplace (1) ! Définition de la Transformée de Laplace (TL) ! Transformée de Laplace inverse " x(t) : signal réel tel que " Transformée de Laplace de x(t) : " X(s) : fonction de la variable complexe 00)( <∀= ttx ( ) ∫ ∞+ −== 0 )()()( dtetxtxsX stL 0, ≥+= σωσ js Exemple Soit le signal 0et0pour)( >≥= − atetx at ∫∫ ∞+ +−∞+ −− == 0 )( 0)( dtedteesX tsastat as sX + = 1 )( 0 10 20 30 40 0 0.5 1 Temps t Signalx(t) ( ) ∫ ∞+ ∞− == j j ts- dsesX j sXtx σ σ π )( 2 1 )()( 1L
  • 8. 8Automatique Rappels sur la TL (2) ! Propriétés de la TL x(t) et y(t) : signaux réels tels que " Linéarité " Dérivation : condition initiale " Intégration 00)(,0)( <∀== ttytx ( ) *,)()()()( R∈∀+=+ βαβαβα sYsXtytxL ( ) )0()()( +−= xssXtx&L ( )+0x ( ) )0()0()0()()( )1()1(21)( +−+−+− −−−−= kkkkk xxsxssXstx LL ( ) ( ) ( )+−++ 0,,0,0 )1()1( kxxx L : conditions initiales Cas particulier : conditions initiales nulles ( ) )()()( sXstx kk =L ∫= t dxty 0 )()( ττ ( ) s y s sX ty )0()( )( + +=L⇒ Condition initiale nulle : ( ) s sX ty )( )( =L
  • 9. 9Automatique Rappels sur la TL (3) ! Rappels sur la TL " Retard temporel " Théorème de la valeur initiale " Théorème de la valeur finale " Produit de convolution ( ) )()( sXeTtx sT−=−L 0 10 20 30 40 50 0 0.5 1 x(t-T)x(t) retard T ( ) )(lim)(lim0 ssXtxx +∞→→ + == + s0t )(lim)(lim 0 ssXtxx →+∞→ ∞ == st z(t) : convolution des signaux réels x(t) et y(t) ∫ ∞ −== 0 )()()(*)()( τττ dtyxtytxtz )(.)()( sYsXsZ =⇒
  • 10. 10Automatique TL de quelques signaux usuels ! Impulsion de Dirac δ(t) ! Echelon unité Γ(t) ( ) 1)( =tδL ! Rampe ou échelon de vitesse ! Signal sinusoïdal    ≥ < =Γ 01 00 )( t t t )(tΓ 1 )(tδ ( ) s t 1 )( =ΓL )()( tttv Γ= v(t) ( ) 2 1 )( s tv =L ( ) 0sin)( ≥+= tttx ϕω ( ) 22 cossin )( ω ϕωϕ + + = s s txL t t t t
  • 11. 11Automatique Réponse temporelle d'un système LTI u Système linéaire y ! Réponse du système à une impulsion de Dirac δ(t) ! Réponse à une entrée quelconque u(t), " Rappel : " Un système linéaire est assimilable à un filtre linéaire F ( ))()( tth δF= h(t) est la réponse impulsionnelle du système 00)( <∀= ttu ∫ ∞+ −== 0 )()()(*)()( ττδτδ dtuttutu ( ) ( )∫ ∞+ −== 0 )()()()( ττδτ dtututy FF ( )∫ ∞+ −= 0 )()()( ττδτ dtuty FSystème linéaire ⇒ Système invariant ⇒ produit de convolution de u(t) et de h(t) ( ))()( τδτ −=− tth F )(*)()()()( 0 thtudthuty =−= ∫ ∞+ τττ ( ))()( tuty F=
  • 12. 12Automatique Fonction de transfert d'un système LTI (1) ! Fonction de transfert ! Système continu régi par une équation différentielle )(*)()( thtuty = ( ) )()()()( sHsUtysY == L⇒ )( )( )( sU sY sH = H(s) est la fonction de transfert du système est la TL de la réponse impulsionnelle( ))()( thsH L= )()()()()()( 0 )1( 1 )( 0 )1( 1 )( tubtubtubtyatyatya m m n n +++=+++ LL On suppose les conditions initiales nulles c'est-à-dire avec m ≤ n 0)0()0()0( )1()1( ====− yyy n L 0)0()0()0( )1()1( ====− uuu m L ⇒
  • 13. 13Automatique Fonction de transfert d'un système LTI (2) ! Système régi par une équation différentielle (suite) En utilisant la TL, on a : )()()()()()( 0101 sUbssUbsUsbsYassYasYsa m m n n +++=+++ LL ( ) ( ) )()( 0101 sUbsbsbsYasasa m m n n +++=+++ LL 01 01 )( )( )( asasa bsbsb sU sY sH n n m m +++ +++ == L L La fonction de transfert a la forme d'une fraction rationnelle : )( )( )( sD sN sH = N(s) et D(s) : polynômes en s de degrés respectifs n et m Le système est dit d'ordre n
  • 14. 14Automatique Fonction de transfert d'un système LTI (3) ! Exemple : circuit RLC R u(t) i(t) C Vc(t) L )()( )( )( tutV dt tdi LtRi c =++ On en déduit : )()( tVty c=Sortie du système : " Lois de l'électricité ∫= t c di C tV 0 )( 1 )( ττ ⇒ )()( tVCti c &= )()()()( tutVtVRCtVLC ccc =++ &&& " Fonction de transfert ( ) )()(12 sUsVsRCsLC c =++ 1 1 )( )( )( 2 ++ == sRCsLCsU sV sH c
  • 15. 15Automatique Réponse d'un système LTI par la TL (1) ! Exemple : circuit RC R u(t) i(t) C Vc(t) )()()( tutytyRC =+& avec )()( tVty c= Donner l'expression de la réponse du système pour une entrée échelon d'amplitude u0=2V. La tension initiale aux bords de la capacité est Vc(0)=0.5V " Application de la TL ( ) )()()0()( sUsYVssYRC c =+− )0( 11 )( )( cV sRC RC sRC sU sY + + + = )()( 0 tutu Γ= ⇒ ⇒ s u sU 0 )( = ⇒ ( ) )0( 11 )( c o V sRC RC sRCs u sY + + + =
  • 16. 16Automatique Réponse d'un système LTI par la TL (2) ! Exemple : circuit RC (suite) En utilisant les tables de transformée, on a : 434214434421 )()( 0 )0(1)( )( ty RC t c ty RC t LF eVeuty −− +−= 0 2 4 6 8 1 0 0 0 .5 1 1 .5 2 y (t) y F (t) y L (t) ( ) )0( 11 )( c o V sRC RC sRCs u sY + + + =
  • 17. 17Automatique Régimes transitoire et permanent ! Régime permanent ! Régiment transitoire 0 2 4 6 8 1 0 0 . 5 1 1 . 5 2 R é g i m e t r a n s i t o i r e R é g i m e p e r m a n e n t Réponse du circuit RC Soumis à un entrée échelon, rampe, … un système linéaire stable aura un comportement asymptotique similaire à l'entrée : on dit qu'il a atteint le régime permanent. C'est la partie de la réponse qui précède le régime permanent. Le régime transitoire est lié à la dynamique du système
  • 18. 18Automatique Eléments caractéristiques de la FT ! Pôles (modes) et zéros du système ! Gain du système 01 01 )( )( )( asasa bsbsb sD sN sH n n m m +++ +++ == L L C∈iλ" Les pôles sont les racines du polynôme D(s). Les pôles sont soit réels, soit des paires de pôles complexes conjugués " Un système d'ordre n admet n pôles distincts ou non " Les zéros sont les racines du polynôme N(s)C∈iz 1 1 )( 1 010 +++ +++ = saasaa sbbsbb s K sH n n m m αα α L L αa b K 0 = : gain du système 0≥α
  • 19. 19Automatique Stabilité des systèmes LTI ! Théorème Un système LTI est stable si et seulement si tous ses pôles λi ont une partie réelle Re(λi) négative Le domaine de stabilité est le demi-plan gauche du plan complexe Re Im Re Im Re Im Stable Instable Instable
  • 20. 20Automatique Association de fonctions de transfert ! Association en série ou cascade ! Association en parallèle ! Fonction de transfert en réaction u H1(s) yH2(s) y1 )()()( 21 sHsHsH ×= u H1(s) y H2(s) y1 + + y2 )()()( 21 sHsHsH += u H1(s) y H2(s) +- )()(1 )( )( 21 1 sHsH sH sH + =