10 cours en total Voir la suite chez moi !

1. 1Automatique
Représentation des systèmes
dynamiques continus LTI
UV Automatique
ASI 3
Cours 1

2. 2Automatique
Contenu
! Introduction
" Définition d'un système
" Classification des systèmes
! Quelques rappels
" Transformée de Laplace
" Les signaux usuels et leur transformée de Laplace
! Fonction de transfert d'un système
" Définition et détermination de la FT
" Eléments caractéristiques de la FT
" Association de fonctions de transfert

3. 3Automatique
Introduction
! Qu'est-ce qu'un système?
Système : ensemble d'objets interagissant entre eux pour réaliser
une fonction. Il est connecté au monde extérieur à travers :
# ses entrées
• signaux d'excitation : actions envoyées au système
• perturbations qui sont en général imprévisibles
# ses sorties : réponses du système aux signaux d'entrée
Signaux d’entrée
ou excitations u Système
Signaux de sortie
ou réponses y
Perturbations

4. 4Automatique
Classification des systèmes (1)
! Système statique
La réponse du système à une excitation est instantanée
! Système dynamique
La réponse est fonction de l'excitation et des réponses passées
! Systèmes monovariable et multivariable
" Monovariable : système à une entrée et une sortie
" Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2
R
u(t)
i(t)
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
)(
1
)()( tu
R
tity ==
)()()( tutytyRC =+&
avec )()( tVty c=
Equation
Equation

5. 5Automatique
Classification des systèmes (2)
! Systèmes continu et discret
" Continu : l'information circule à tout instant de façon continue
" Discret : l'information circule à des instants discrets
! Systèmes linéaires et non linéaires
" Le système est linéaire s'il satisfait au principe de
superposition
" Le système est non-linéaire dans le cas contraire
)()()( tutytyRC =+&
( ) )()(1)1( kukyRCkRCy =−++
Si yi(t) est la réponse du système à l'entrée ui(t) alors la
réponse du système à est∑=
i
ii tutu )()( α )()( tyty
i
ii∑= α

6. 6Automatique
Classification des systèmes (3)
! Système causal
! Système invariant ou stationnaire
On peut décrire les systèmes linéaires à temps invariant (LTI) par
des fonctions de transfert en s (cas continu) ou en z (cas discret)
La réponse temporelle du système ne peut précéder son entrée
Dans la suite, on étudiera les systèmes monovariables continus LTI
La réponse du système est invariante par translation dans le temps
Soit y(t)=f(u(t), yt0
) la réponse à l'instant t à partir des conditions
initiales yt0
. Le système est stationnaire ssi )()( 00
),(),( Ttt yTtufytuf ++=

7. 7Automatique
Rappels sur la transformée de Laplace (1)
! Définition de la Transformée de Laplace (TL)
! Transformée de Laplace inverse
" x(t) : signal réel tel que
" Transformée de Laplace de x(t) :
" X(s) : fonction de la variable complexe
00)( <∀= ttx
( ) ∫
∞+ −== 0 )()()( dtetxtxsX stL
0, ≥+= σωσ js
Exemple
Soit le signal 0et0pour)( >≥= − atetx at
∫∫
∞+ +−∞+ −− == 0
)(
0)( dtedteesX tsastat
as
sX
+
=
1
)(
0 10 20 30 40
0
0.5
1
Temps t
Signalx(t)
( ) ∫
∞+
∞−
==
j
j
ts- dsesX
j
sXtx
σ
σ
π
)(
2
1
)()( 1L

8. 8Automatique
Rappels sur la TL (2)
! Propriétés de la TL
x(t) et y(t) : signaux réels tels que
" Linéarité
" Dérivation
: condition initiale
" Intégration
00)(,0)( <∀== ttytx
( ) *,)()()()( R∈∀+=+ βαβαβα sYsXtytxL
( ) )0()()( +−= xssXtx&L ( )+0x
( ) )0()0()0()()( )1()1(21)( +−+−+− −−−−= kkkkk xxsxssXstx LL
( ) ( ) ( )+−++ 0,,0,0 )1()1( kxxx L : conditions initiales
Cas particulier : conditions initiales nulles ( ) )()()( sXstx kk =L
∫= t
dxty 0 )()( ττ ( )
s
y
s
sX
ty
)0()(
)(
+
+=L⇒
Condition initiale nulle : ( )
s
sX
ty
)(
)( =L

9. 9Automatique
Rappels sur la TL (3)
! Rappels sur la TL
" Retard temporel
" Théorème de la valeur initiale
" Théorème de la valeur finale
" Produit de convolution
( ) )()( sXeTtx sT−=−L
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
x(t-T)x(t)
retard T
( ) )(lim)(lim0 ssXtxx
+∞→→
+ ==
+ s0t
)(lim)(lim
0
ssXtxx
→+∞→
∞ ==
st
z(t) : convolution des signaux réels x(t) et y(t)
∫
∞
−==
0
)()()(*)()( τττ dtyxtytxtz )(.)()( sYsXsZ =⇒

10. 10Automatique
TL de quelques signaux usuels
! Impulsion de Dirac δ(t)
! Echelon unité Γ(t)
( ) 1)( =tδL
! Rampe ou échelon de vitesse
! Signal sinusoïdal



≥
<
=Γ
01
00
)(
t
t
t
)(tΓ
1
)(tδ
( )
s
t
1
)( =ΓL
)()( tttv Γ=
v(t)
( ) 2
1
)(
s
tv =L
( ) 0sin)( ≥+= tttx ϕω
( ) 22
cossin
)(
ω
ϕωϕ
+
+
=
s
s
txL
t
t
t
t

11. 11Automatique
Réponse temporelle d'un système LTI
u
Système
linéaire
y
! Réponse du système à une impulsion de Dirac δ(t)
! Réponse à une entrée quelconque u(t),
" Rappel :
"
Un système linéaire est
assimilable à un filtre linéaire F
( ))()( tth δF= h(t) est la réponse impulsionnelle du système
00)( <∀= ttu
∫
∞+
−==
0
)()()(*)()( ττδτδ dtuttutu
( ) ( )∫
∞+
−== 0
)()()()( ττδτ dtututy FF
( )∫
∞+
−= 0
)()()( ττδτ dtuty FSystème linéaire ⇒
Système invariant ⇒
produit de convolution de u(t) et de h(t)
( ))()( τδτ −=− tth F
)(*)()()()( 0
thtudthuty =−= ∫
∞+
τττ
( ))()( tuty F=

12. 12Automatique
Fonction de transfert d'un système LTI (1)
! Fonction de transfert
! Système continu régi par une équation différentielle
)(*)()( thtuty = ( ) )()()()( sHsUtysY == L⇒
)(
)(
)(
sU
sY
sH =
H(s) est la fonction de transfert du système
est la TL de la réponse impulsionnelle( ))()( thsH L=
)()()()()()( 0
)1(
1
)(
0
)1(
1
)( tubtubtubtyatyatya m
m
n
n +++=+++ LL
On suppose les conditions initiales nulles c'est-à-dire
avec m ≤ n
0)0()0()0( )1()1( ====− yyy n L
0)0()0()0( )1()1( ====− uuu m L
⇒

13. 13Automatique
Fonction de transfert d'un système LTI (2)
! Système régi par une équation différentielle (suite)
En utilisant la TL, on a :
)()()()()()( 0101 sUbssUbsUsbsYassYasYsa m
m
n
n +++=+++ LL
( ) ( ) )()( 0101 sUbsbsbsYasasa m
m
n
n +++=+++ LL
01
01
)(
)(
)(
asasa
bsbsb
sU
sY
sH
n
n
m
m
+++
+++
==
L
L
La fonction de transfert a la forme d'une fraction rationnelle :
)(
)(
)(
sD
sN
sH = N(s) et D(s) : polynômes en s de degrés
respectifs n et m
Le système est dit d'ordre n

14. 14Automatique
Fonction de transfert d'un système LTI (3)
! Exemple : circuit RLC
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
L
)()(
)(
)( tutV
dt
tdi
LtRi c =++
On en déduit :
)()( tVty c=Sortie du système :
" Lois de l'électricité
∫=
t
c di
C
tV 0
)(
1
)( ττ ⇒ )()( tVCti c
&=
)()()()( tutVtVRCtVLC ccc =++ &&&
" Fonction de transfert
( ) )()(12 sUsVsRCsLC c =++
1
1
)(
)(
)(
2 ++
==
sRCsLCsU
sV
sH c

15. 15Automatique
Réponse d'un système LTI par la TL (1)
! Exemple : circuit RC
R
u(t)
i(t)
C Vc(t)
)()()( tutytyRC =+&
avec )()( tVty c=
Donner l'expression de la réponse du système pour une entrée échelon
d'amplitude u0=2V. La tension initiale aux bords de la capacité est Vc(0)=0.5V
" Application de la TL
( ) )()()0()( sUsYVssYRC c =+− )0(
11
)(
)( cV
sRC
RC
sRC
sU
sY
+
+
+
=
)()( 0 tutu Γ=
⇒
⇒
s
u
sU 0
)( =
⇒
( )
)0(
11
)( c
o
V
sRC
RC
sRCs
u
sY
+
+
+
=

16. 16Automatique
Réponse d'un système LTI par la TL (2)
! Exemple : circuit RC (suite)
En utilisant les tables de transformée, on a :
434214434421
)()(
0 )0(1)( )(
ty
RC
t
c
ty
RC
t
LF
eVeuty
−−
+−=
0 2 4 6 8 1 0
0
0 .5
1
1 .5
2
y (t)
y F (t)
y L (t)
( )
)0(
11
)( c
o
V
sRC
RC
sRCs
u
sY
+
+
+
=

17. 17Automatique
Régimes transitoire et permanent
! Régime permanent
! Régiment transitoire
0 2 4 6 8 1 0
0 . 5
1
1 . 5
2
R é g i m e
t r a n s i t o i r e
R é g i m e
p e r m a n e n t
Réponse du circuit RC
Soumis à un entrée échelon, rampe, … un système linéaire stable
aura un comportement asymptotique similaire à l'entrée : on dit qu'il
a atteint le régime permanent.
C'est la partie de la réponse qui précède le régime permanent.
Le régime transitoire est lié à la dynamique du système

18. 18Automatique
Eléments caractéristiques de la FT
! Pôles (modes) et zéros du système
! Gain du système
01
01
)(
)(
)(
asasa
bsbsb
sD
sN
sH n
n
m
m
+++
+++
==
L
L
C∈iλ" Les pôles sont les racines du polynôme D(s). Les pôles
sont soit réels, soit des paires de pôles complexes conjugués
" Un système d'ordre n admet n pôles distincts ou non
" Les zéros sont les racines du polynôme N(s)C∈iz
1
1
)(
1
010
+++
+++
=
saasaa
sbbsbb
s
K
sH n
n
m
m
αα
α
L
L
αa
b
K
0
= : gain du système
0≥α

19. 19Automatique
Stabilité des systèmes LTI
! Théorème
Un système LTI est stable si et seulement si tous ses pôles λi
ont une partie réelle Re(λi) négative
Le domaine de stabilité est le demi-plan gauche du plan complexe
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Stable Instable Instable

20. 20Automatique
Association de fonctions de transfert
! Association en série ou cascade
! Association en parallèle
! Fonction de transfert en réaction
u H1(s) yH2(s)
y1
)()()( 21 sHsHsH ×=
u
H1(s)
y
H2(s)
y1
+
+
y2
)()()( 21 sHsHsH +=
u H1(s) y
H2(s)
+-
)()(1
)(
)(
21
1
sHsH
sH
sH
+
=