Cour traitement du signal.pdf

Faculté des Sciences Appliquées, Route Nationale N°10 cite d’Azrou à côté de l'institut Agronomique et Vétérinaire
Hassan II Ait Melloul, Site web : cuam.uiz.ac.ma
Cours :
Traitement du signal
Filière : Sciences de la Matière Physique (SMP)
Parcours Electronique
Semestre : S6
------------------------------
L
F
:
S
M
P
6
Responsable :
Professeur M. LAABOUBI
Année universitaire :
2019/2020

Table des matières
Introduction générale……………………………………………………………………..……1
Partie I : Signaux et systèmes continus
------------------------------------------------
Chapitre 1 : Signaux analogiques
Introduction :………………………………………………………………………………..….5
1. Principales fonctions du traitement de signal………………………………………..…..….5
2. Puissances et énergies des signaux…………………………………………………….……6
2.1 Moyenne, énergie, et puissance d’un signal………………………………………..6
2.1.1 Moyenne d’un signal……………………..………………………………6
A. Moyenne sur un intervalle…………………………………………..6
B. Moyenne d’un signal périodique…………………………………….6
C. Moyenne d’un signal apériodique……………………...……………7
2.1.2 Energie d’un signal……………………………………………………….7
A. Energie sur un intervalle……………………………….……………7
B. Energie totale…………………………………………….………….8
2.1.3 Puissance d’un signal…………………………………...………………..8
A. Puissance sur un intervalle…………………………………………..8
B. Puissance instantanée………………………………………………..9
C. Puissance moyenne d’un signal périodique…………………………9
D. Puissance moyenne d’un signal apériodique………………………..9
E. Mesures de puissances en décibels…………………………………..9
3. Classification des signaux……………………………………………………………….…10
3.1 Classification phénoménologique…………………………………………….…..11
3.2 Classification énergétique……………………………………………………...…12
3.3 Classification morphologique………………………………………………...…..12
4. Comparaison des signaux………………………………………………………….……….13
4. 1 Signaux à énergie finie…………………………………………………...………14
4.1.1 Intercorrélation de 2 signaux……………………………………...…….14
4.1.2 Autocorrélation d’un signal……………………………………………..14
4. 2 Corrélation de signaux à puissance finie…………………………………………14
5. Signaux usuels……………………………………………………………………..……….15
5.1 Fonction Echelon ou saut unité………………………………………….………..15
5.2 Impulsion de Dirac ……………………………………………………………….17
5.2.1 Propriétés……………………………………………………...………..18
5.3 Peigne de Dirac……………………………………………………………...……18
5.4 Fonction Signe………………………………………………………………….…19

5.5 Fonction rampe……………………………………………………………………19
5.6 Fonction porte………………………………………………...…………………..20
5.7 Fonction triangle………………………………………………………………….21
5.8 Fonction Sinus cardinal…………………………………………………………...22
6. Opérations sur les signaux………………………………………………………………....24
6.1 Inversion temporelle………………………………………………………………24
6.2 Changement d’échelle…………………………………………………………….24
6.3 Décalage temporel……………………………………………………………...…25
7. Propriétés…………………………………………………………………………….…….26
Chapitre 2 : Systèmes à temps continu
Introduction :……………………………………………………………………………...…..28
1. Propriétés des systèmes linéaires…………………………………………………………..29
1.1 Linéarité…………………………………………………………………………..29
1.2 Invariance dans le temps………………………………………...………………..30
1.3 Commutativité………………………………………………………….…………30
1.4 Superposition………………………………………………………..…………….31
2. Réponse Impulsionnelle……………………………………………………………...…….32
3. Convolution……………………………………………………………………………..….32
3.1 Propriétés………………………………………………………………….………34
3.2 Convolution graphique………………………………………...………………….35
Interprétation………………………………………………………………….35
Chapitre 3 : Analyse des signaux analogiques
1. Signaux périodiques……………………………………………………………..…………36
Introduction……………………………………………………..…………………….36
1.1 Signal périodique……………………………………...…………………………..36
1.2 Séries de Fourier…………………………………………………………………..37
1.3 Symétrie et les coefficients de Fourier…………………………………..………..40
1.4 Forme Complexe des coefficients de Fourier……………...……………………..40
1.5 Spectre d’amplitude et de phase…………………………………………………..42
2. Analyse des signaux non périodiques : Transformation de Fourier (TF)………………….45
Introduction :…………………………………………………………………….……45
2.1 Condition d’existence de la transformation de Fourier….………………………..46
2.2 Propriétés de la TF………………………………………………………..………46
2.3 Propriété liée à la convolution……………………………………………...……..47
2.3 Energie et représentation spectrale : théorème de Parseval………………………49

Partie II : Signaux et systèmes discrets
--------------------------------------------------
Chapitre 4 : Signaux discrets
Introduction :………………………………………………………………………………….52
1. Echantillonnage……………………………………………………………………….……53
1.1 Modélisation d’un échantillonneur………………………………………………..53
1.2 Transformée de Fourier d’un peigne de Dirac……………………………………54
1.3 Conséquences sur l’échantillonnage……………………………………………...55
1.3.1 Spectres………………………………………………………………….55
1.3.2 Théorème de Shannon…………………………………………………..56
1.3.3 Filtre anti-repliement……………………………………………………56
1.4 Périodisation du spectre…………………………………………………………..57
1.5 Limites du théorème d’échantillonnage…………………………………………..59
1.6 Choix de la fréquence d’échantillonnage…………………………………………59
1.6.1 Discrétisation correcte…………………………………………………..59
1.6.2 Discrétisation incorrecte : repliement du spectre……………………….60
2. Signaux discrets de durée infinie…………………………………………………………..61
3. Signaux discrets de durée finie…………………………………………………………….61
4. Discrétisation de la fréquence……………………………………………………………...62
5. Relations entre le temps et la fréquence……………………………………………………62
6. Propriétés d’un signal discret………………………………………………………………64
7. Signaux discrets communs…………………………………………………………….…..66
Chapitre 5 : Systèmes discrets
Introduction……………………………………………………………………………...……68
1. Systèmes linéaires et invariants dans le temps (LIT)…………………………...………….69
2. Propriété du produit de convolution discrète……………………………………..………..70
3. Convolution de séquences finies…………………………………………………...………72
3.1 Méthode de la somme des colonnes ………………………………...……………72
3.2 Méthode de la bande glissante…………………………………..………………..72
3.3 Multiplication polynômiale……………………………………………………….73
4. Propriétés des systèmes LIT……………………………………………………………….73
5. Traitement des signaux numériques……………………………………………….………74
5.1 Passage de la TF à la TFD………………………………………………...………74
5.2 Transformation de Fourier discrète (TFD)………………………………………..75
5.3 TFD et FFT…………………………………………………………………….….75
7. Effet de fenêtrage en traitement du signal………………………………………………….76
7.1 Effet de la troncation………………………………………………………..…….76

7.2 Caractéristiques de quelques fenêtres……………………………………….……76
7.3 Fenêtres analytiques……………………………………………………………....77
7.4 Propriétés et utilisation des fenêtres…………………………………...………….81
8. Analyse locale d’un signal………………………………………………………………....82
Partie III : Filtres Analogiques et numériques
---------------------------------------------------------
Chapitre 6 : Filtres analogiques
Introduction ……………………………………………….…………………….……………85
1. Filtres : Caractéristiques générales…………………………………………..…………….85
2. Différents types de filtres…………………………………………………………………..86
3. Filtres idéaux……………………………………………………………………….…...….87
4. Filtres réels…………………………………………………………………………………88
5. Fonction de transfert……………………………………………….……….….…………..88
5.1 Diagramme de Bode……………………………………………….……………..89
5.2 Fonction de transfert et stabilité………………………………..…………………89
6. Gabarits des filtres………………………………….………………………….…………..90
6.1 Filtre passe-bas…………………………………………………..………………..90
6.2 Filtre passe-haut………………………………………………..…………………91
6.3 Filtre passe-bande…………………………………………………………………91
6.4 Filtre coupe-bande……………………………………………..………………….92
6.5 Centrage des gabarits……………………………………………………………..93
6.6.1 Normalisation……………………...……………………………………93
6.6.2 Transposition……………………………………………………………93
7. Fonctions d’approximations…………………………………………………………..……94
7.1 Butterworth………………………….…………………………………………….95
Dimensionnement du filtre de Butterworth…………………………………...96
7.2 Tchebyshev………………………………………….…………………………….97
Chapitre 7 : Filtres numériques
Introduction……………………………………………………………….…………………101
1. Transformée en Z………………………………………………………..………………..102
2. Propriétés de la transformée en Z……………………….……………..…………………102
2. Représentation d’un filtre numérique……………………….………….………………...103
3. Classification des filtres numériques……………………………………..………………104
3.1 Filtres non récursifs RIF………………………….……………………………...104
3.2 Filtres récursifs RII………………………………………………………………105
4. Analyse fréquentielle des filtres numériques……………………………………………..106

Cours : Traitement du signal, Licence fondamentale : Parcours électronique/SMP6
Pr. Mostafa LAABOUBI Année : 2019-2020
1
Introduction générale
Un signal est la représentation physique de l’information, qu’il convoie de sa source à sa
destination. C’est une expression d’un phénomène qui peut être mesurable par un appareil de
mesure. Bien que la plupart des signaux soient des grandeurs électriques (généralement
courant, tension, champ, ...) la théorie de traitement du signal reste valable quelle que soit la
nature physique du signal.
Généralement, c’est le véhicule de l’intelligence dans les systèmes. Il transporte les ordres
dans les équipements de contrôle et de télécommande …, il est particulièrement fragile et doit
être manipulé avec beaucoup de soins. Le traitement qu’il subit a pour but d’extraire des
informations, de modifier le message qu’il transporte ou de l’adapter aux moyens de
transmission; c’est là qu’interviennent les techniques de traitement.
La conversion du signal continu analogique en un signal numérique est réalisée par des
convertisseurs qui opèrent sur des enregistrements ou directement dans les équipements qui
produisent ou reçoivent le signal. Les opérations qui suivent cette conversion sont réalisées
par des calculateurs numériques agencés ou programmés pour effectuer l’enchaînement des
opérations définissant le traitement. En pratique, les signaux manipulés étaient des tensions ou
des courants. Un système numérique de traitement du signal peut vivre dans un monde
purement numérique. Par exemple, la cotation des valeurs d’une bourse peut être vue comme
un ensemble de signaux numériques. Cependant la majorité des opérations en traitement du
signal ont lieu sur des signaux analogiques, qu’il faut donc convertir sous une forme
numérique pour que l’on puisse leur appliquer des opérations numériques. Dans la majorité
des cas, il est tout aussi indispensable de convertir le signal numérique d’un traitement
numérique en un signal analogique. Ces opérations de conversion analogique/numérique
(A/N) et numérique/analogique (N/A) sont les interfaces entre un monde physique et le
monde du calculateur où s’exécutent les algorithmes de traitement du signal. Dans la chaîne
du traitement du signal, ces interfaces de conversions sont le talon d’Achille de ces systèmes ;
elles limitent la vitesse et la précision des systèmes de traitement. La définition technologique
d’une interface de conversion A/N et N/A est toujours un compromis du coût de la
performance. C’est-à-dire la difficulté du passage analogique/numérique.

2
Cependant, les systèmes de traitement numérique du signal ont des avantages sur leurs
équivalents analogiques :
– Flexibilité, utilisation d’algorithmes sur des calculateurs.
– Précision et consistance des calculs numériques à comparer aux dérives des systèmes
analogiques.
– Capacité de stockage, transmission sans altération du signal.
Ensuite, le traitement numérique du signal désigne l’ensemble des opérations, calculs
arithmétiques et manipulations de nombres, qui sont effectués sur un signal à traiter,
représenté par une suite ou un ensemble de nombres, en vue de fournir une autre suite ou un
autre ensemble de nombres, qui représentent le signal traité. Les fonctions les plus variées
sont réalisables de cette manière, comme l’analyse spectrale, le filtrage linéaire ou non
linéaire, le transcodage, la modulation, la détection, l’estimation et l’extraction de paramètres.
Les systèmes utilisés sont des calculateurs numériques.
Les systèmes correspondant à ce traitement obéissent aux lois des systèmes discrets. Les
nombres sur lesquels il porte peuvent dans certains cas être issus d’un processus discret.
Cependant, ils représentent souvent l’amplitude des échantillons d’un signal continu et dans
ce cas, le calculateur prend place derrière un dispositif convertisseur analogique-numérique et
éventuellement devant un convertisseur numérique-analogique. Dans la conception de tels
systèmes et l’étude de leur fonctionnement, la numérisation du signal revêt une importance
fondamentale et les opérations d’échantillonnage et de codage doivent être analysées dans
leur principe et leurs conséquences.
La linéarité et l’invariance temporelle des systèmes entraînent l’existence d’une relation de
convolution qui régit le fonctionnement du système, ou filtre, ayant ces propriétés. Cette
relation de convolution est définie à partir de la réponse du système au signal élémentaire que
représente une impulsion, la réponse impulsionnelle, par une intégrale dans le cas des signaux
analogiques. Hors, dans les systèmes numériques, qui sont du type discret, la convolution se
traduit par une sommation. Le filtre est défini par une suite de nombres qui constitue sa
réponse impulsionnelle.
Nous avons découpé ce cours en 3 parties, dans la première partie qui comporte les trois
chapitres 1, 2 et 3 ne seront traités que les signaux et systèmes à temps continus. Dans un
premier temps, nous allons décrire la description des signaux continus à savoir la notion
d’énergie, de puissance et de la classification des signaux et dans le deuxième chapitre nous
allons décrire les notions de système linéaire invariant dans le temps (linéarité, invariance,

3
convolution ...). Ensuite, dans le troisième chapitre, nous aborderons des concepts plus
mathématiques de la série de Fourier, de la transformée de Fourier qui permettent d’analyser
les signaux périodiques et non périodiques. Dans ce chapitre, le point de vue fréquentiel est
introduit pour aborder la transformation d’un signal en un autre, cette une représentation
fréquentielle ( spectrale), est se basée notamment à travers plusieurs notions fondamentales :
– la décomposition en série de Fourier ;
– la transformation de Fourier ;
– le spectre d’un signal.
Dans la deuxième partie, traite les signaux et systèmes discrets, cette partie comporte deux
chapitres 4 et 5, le quatrième chapitre traite essentiellement de signaux évoluant dans le
temps. Cependant, une partie est consacrée à l’opération d’échantillonnage de grandeurs
analogiques temporelles et au formalisme mathématique associé (théorème de Shannon, filtre
anti-repliement, transformée de Fourier discrète (TFD), produit de convolution discrète …).
Nous abordons ensuite dans le cinquième chapitre à la description des signaux discrets et des
systèmes discrets. Ainsi les aspects particuliers de la numérisation, comme les techniques de
sur-échantillonnage, la restitution d’un signal continu à partir de ses échantillons utilise des
fonctions d’interpolation.
Enfin, dans la troisième partie, aborde les filtres analogiques et numériques. Cette partie
comporte de deux chapitres 6 et 7, le chapitre 6 traite la description et la conception des filtres
analogiques et dans le chapitre 7 nous aborderons des filtres numériques (RIF et RII) ainsi la
transformée en Z.
L’objectif principal de ce cours est la caractérisation d’un signal dans le domaine
temporel et fréquentiel pour aboutir à des modèles mathématiques. La description
mathématique des signaux permet de concevoir et de caractériser des systèmes de traitement
de l’information. Le bruit représentera tout «signal» ou phénomène perturbateur.

4
Partie I :
Signaux et systèmes continus
--------------------------------------

5
Chapitre 1 :
Signaux analogiques (continus)
Introduction :
Un signal est la représentation physique de l’information, qu’il convoie de sa source à sa
destination. C’est une expression d’un phénomène qui peut être mesurable par un appareil de
mesure. Bien que la plupart des signaux soient des grandeurs électriques (généralement
courant, tension, champ, …) la théorie du signal reste valable quelle que soit la nature
physique du signal.
L’objectif fondamental de la théorie du signal est la description mathématique des signaux.
Elle fournit les moyens de mettre en évidence, sous forme mathématique commode les
principales caractéristiques d’un signal : la distribution spectrale de son énergie ou la
distribution statistique de son amplitude par exemple. Elle offre également les moyens
d’analyser la nature des altérations ou modifications subies par les signaux lors de leur
passage au travers de blocs fonctionnels (dispositifs généralement électriques ou
électroniques).
1. Principales fonctions du traitement de signal
Les principales fonctions du traitement de signal sont :
- L’analyse : On cherche à isoler les composantes essentielles d’un signal de forme complexe,
afin d’en mieux comprendre la nature et origines.
- La mesure : mesurer un signal, en particulier aléatoire, c’est essayer d’estimer la valeur
d’une grandeur caractéristique qui lui est associée avec un certain degré de confiance.
- Le filtrage : c’est une fonction qui consiste à éliminer d’un signal certain composant
indésirable.
- La régénération : c’est une opération par laquelle on tente de redonner sa forme initiale à un
signal ayant subis diverses distorsions.
- La détection : par cette opération on tente d’extraire un signal utile du bruit de fond qui lui
est superposé.

6
- L’identification : c’est un procédé souvent complémentaire qui permet d’effectuer un
classement du signal observé.
- La synthèse : opération inverse de l’analyse, consiste à créer un signal de forme appropriée
en procédant, par exemple, à une combinaison de signaux élémentaires.
- Le codage : outre sa fonction de traduction en langage numérique, est utilisé soit pour lutter
contre le bruit de fond, soit pour tenter de réaliser des économies de largeur de bande ou de
mémoire d’ordinateur.
- La modulation et le changement de fréquence : sont essentiellement des moyens permettant
d’adapter un signal aux caractéristiques fréquentielles d’une voie de transmission, d’un filtre
d’analyse ou d’un rapport d’enregistrement.
2. Puissances et énergies des signaux
2.1 Moyenne, énergie, et puissance d’un signal
2.1.1 Moyenne d’un signal
A. Moyenne sur un intervalle
Soit un signal x(t) (périodique ou non). Sa valeur moyenne sur un intervalle [t1; t2]⊂ est
définie par :
( )
2
1
1
1, 2 . ( )
2 1
t
moy t
V t t x t dt
t t
=
− ∫
la valeur moyenne au cas d’une valeur définie quel que soit le temps t, est une valeur ne
dépendant pas de t.
B. Moyenne d’un signal périodique
Dans le cas d’un signal x(t) périodique de période T, pour calculer sa moyenne globale, c’est-
à-dire sur tout l’horizon de temps, il suffit de calculer la moyenne sur une période :
1
. ( ) ,
T
moy
V x t dt
T
α+
α
= ∀α∈
∫
Il est évident de considérer 0.
α =
la valeur moyenne d’un signal sinusoïdal :

7
x(t) = A.sin( t
ω ),
est nulle quelles que soient son amplitude A et sa pulsationω. Si le signal comporte un offset,
c’est-à-dire s’il contient une composante continue et s’écrit :
x(t) =A0+ A.sin( t
ω ),
alors la moyenne devient évidemment A0 et il n’est nul besoin de recourir au calcul intégral
pour le savoir.
C. Moyenne d’un signal apériodique
Si le signal x(t) est apériodique, le principe, pour calculer sa moyenne globale, consiste à le
considérer comme périodique mais avec une période qui couvre tout l’horizon de temps. Il
vient alors :
2
2
1
lim . ( ) ,
T
T
moy
T
V x t dt
T
→∞ −
= ∫
Comme pour un signal périodique, si l’on ajoute une composante continue A0 à x(t), la
moyenne devient Vmoy+ A0.
2.1.2 Energie d’un signal
A. Energie sur un intervalle
Soit un signal x(t), périodique ou non. L’énergie de x(t) sur un intervalle [t1; t2]⊂ est
définie par :
( )
2 2
1
1, 2 ( )
t
t
E t t x t dt
= ∫
Il s’agit d’une notion mathématique. C’est une valeur constante pour un intervalle donné. Elle
peut correspondre à une vraie énergie au sens physique ; elle s’exprime alors en Joules (J),
comme toutes les énergies.

8
B. Energie totale
Soit un signal x(t), périodique ou non. L’énergie totale de x(t) est définie par :
2
( )
E x t dt
+∞
−∞
= ∫
L’expression de l’énergie est indépendante du caractère périodique ou non du signal. Ce n’est
pas le cas pour la moyenne.
Si l’énergie E est finie ( E < ∞ ), alors x(t) est appelé signal à énergie finie. Si par contre E est
infini, alors on définit la puissance moyenne P.
2.1.3 Puissance d’un signal
La puissance d’un signal s’exprime en Watts (W) et correspond à l’énergie sur une seconde.
Autrement dit il est correct d’écrire :
1
1
1
J
W
S
= .
Ce qui signifie qu’un Watt est un Joule produit, ou dissipé pendant une seconde. La puissance
est donc l’énergie ramenée au temps.
A. Puissance sur un intervalle
Sur le même principe, la puissance sur un intervalle se définit facilement :
Soit un signal x(t), périodique ou non. La puissance de x(t) sur un intervalle [t1; t2]⊂ est
définie par :
( )
2 2
1
1
1, 2 ( )
1 2
t
t
P t t x t dt
t t
=
− ∫
C’est donc la moyenne, sur un intervalle, du carré du signal. On a
( )
( )
1 2
1, 2
1 2
E t t
P t t
t t
−
=
−
Cette notion de puissance moyenne conduit à celle de puissance instantanée.

9
B. Puissance instantanée
Soit un signal x(t), périodique ou non. La puissance instantanée de x(t) est définie par :
( ) 2
( )
P t x t
=
La puissance instantanée est une fonction de t. C’est donc aussi un signal.
C. Puissance moyenne d’un signal périodique
Soit un signal périodique x(t). La puissance moyenne de x(t) est définie par :
2
0
1
( )
T
P x t dt
T
= ∫
Il s’agit en fait de la puissance sur un intervalle qui n’est autre que la période T du signal x(t).
D. Puissance moyenne d’un signal apériodique
Comme pour la moyenne, l’idée est de considérer qu’un signal apériodique est un signal
périodique de période infinie, ce qui conduit à la définition suivante.
Soit un signal apériodique x(t). La puissance moyenne de x(t) est définie par :
/2 2
/2
1
lim ( )
T
T
T
P x t dt
T −
→∞
= ∫
On parle parfois de valeur efficace Xeff pour désigner la racine carrée de la puissance
moyenne d’un signal périodique.
Xeff = P
Si la puissance P est finie ( P < ∞ ), alors x(t) est appelé signal à puissance finie. Un signal à
énergie finie est un signal à puissance finie si son énergie par période est finie.
E. Mesures de puissances en décibels

10
Dans certains appareils de mesure, on peut rencontrer des mesures de puissance exprimées en
dBW ou dBm. Pour en comprendre le sens, il faut comprendre ce que l’on entend par mesure
en dB.
Tout d’abord, on définit le gain G en décibels (dB) entre la puissance P1 et P2 par la quantité :
2
10
1
10log
P
G
P
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Le dB est donc une unité adimensionnelle qui exprime en fait plutôt une amplification entre
deux grandeurs s’exprimant dans la même unité. Il faut donc au moins deux signaux pour
définir un gain en décibels.
On définit donc la puissance d’un signal en dBm en calculant le gain en dB de sa puissance
par rapport à 1mW :
10
10log
1
W
dBm
P
P
mW
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
De la même façon, on définit la puissance exprimée en dBW par :
10
10log
1
W
dBW
P
P
W
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
De même :
10
10log
1
W
dB
P
P
W
μ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
μ
⎝ ⎠
Il est facile de vérifier que :
30
dBm dBW
P P
= +
30
dB dBm
P P
μ = +
60
dB dBW
P P
μ = +
3. Classification des signaux
Pour la classification des signaux, il faut mentionner que plusieurs approches sont possibles.
Parmi celles-ci, on en citera deux :

11
– la classification phénoménologique qui met l’accent sur le comportement temporel du
signal;
– la classification énergétique où l’on classe les signaux suivant qu’ils sont à énergie finie ou
à puissance finie.
3.1 Classification phénoménologique
Dans cette classification, on répartit généralement les signaux en deux classes principales et
quatre sous-classes.
Dans les deux classes principales, on trouve :
- les signaux déterministes dont l’évolution temporelle parfaitement définie peut être prédite
par un modèle mathématique approprié ;
Parmi les signaux déterministes, on distingue :
• les signaux périodiques qui se répètent régulièrement. On peut noter que les signaux
pseudo-aléatoires sont des signaux périodiques avec, à l’intérieur de la période, un
comportement aléatoire ;
• les signaux quasi-périodiques qui résultent d’une somme de sinusoïdes dont le rapport
des périodes n’est pas rationnel ;
• les signaux non-périodiques sont essentiellement représentés par des signaux
transitoires dont l’existence est éphémère.
- les signaux aléatoires qui ont un comportement temporel imprévisible et dont la description
ne peut se faire qu’au travers d’observations statistiques.
Parmi les signaux aléatoires, on distingue :
• les signaux stationnaires dont les caractéristiques statistiques ne changent pas au cours
du temps (le bruit électronique) ;
• les signaux non-stationnaires dont le comportement statistique évolue au cours du
temps (la parole).

12
Déterministe Aléatoire
Périodique Non Périodique
Stationnaire Non Stationnaire
Transitoire
Presque
Périodique Cyclostationnaire
Système
(modèle de génération)
SIGNAL
entrée
Déterministe Aléatoire
Périodique Non Périodique
Stationnaire Non Stationnaire
Transitoire
Presque
Périodique Cyclostationnaire
Système
(modèle de génération)
SIGNAL
entrée
Fig.1 : Classification phénoménologique des signaux
3.2 Classification énergétique
L’énergie Wx d’un signal x(t) est définie comme suit :
2
( )
x
W x t dt
+∞
−∞
= ∫
On dira que ce signal est à énergie finie si x
W < ∞. Dans cette catégorie, on rencontre tous les
signaux temporellement éphémères qu’ils soient déterministes ou aléatoires.
La puissance moyenne Px d’un signal x(t) est définie par :
/2 2 2
/ 2
1
lim ( )
T
x eff
T
x
P x t dt X
T
+
−
→∞
= =
∫
Avec eff
X est la valeur éfficace du signal x(t).
Si x
P < ∞ , on dira que la puissance finie, cette catégorie englobe les signaux périodiques,
quasi-périodique et les signaux aléatoires permanents.
3.3 Classification morphologique

13
On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux
dont l’amplitude est discrète ou continue :
Fig.2 : Classification morphologique
On obtient donc 4 classes de signaux :
• Les signaux analogiques dont l’amplitude et le temps sont continus
• Les signaux quantifiés dont l’amplitude est discrète et le temps continu
• Les signaux échantillonnés dont l’amplitude est continue et le temps discret
• Les signaux numériques dont l’amplitude et le temps sont discrets
4. Comparaison des signaux
Une opération mathématique qui, de par sa forme, est très proche de la convolution est la
fonction de corrélation de deux signaux. Cependant, contrairement à la convolution, le but de
la corrélation est de mesurer le degré de ressemblance de ces signaux et d’extraire des
informations qui, dans une large mesure, dépendent de l’application considérée. La
corrélation est utilisée dans les radars, les sonars, les communications numériques, la
détection de signaux noyés dans du bruit, la mesure de temps de transmission, etc.
Dans chaque cas, on dispose de deux fonctions : le signal de référence x(t) et le signal reçu
y(t). Il faut alors trouver une opération mathématique permettant de comparer ces signaux et
d’en mesurer la ressemblance ou corrélation. Ceci se fait simplement en effectuant l’intégrale
du produit des signaux que l’on décale progressivement l’un par rapport à l’autre.

14
4. 1 Signaux à énergie finie
4.1.1 Intercorrélation de 2 signaux
Considérant deux signaux x(t) et y(t) à énergie finie, on définit la fonction d’intercorrélation
comme l’intégrale du produit du signal x(t) avec le signal y(t) décalé d’une valeurτ .
( ) ( ) ( )
xy
r x t y t dt
+∞
∗
−∞
= −
∫
τ τ ,
Avec : ( )
*
y t est le conjugué de ( )
y t
La fonction d’intercorrelation et la convolution sont formellement très proches, elles sont
reliées entre elles pas cette relation:
( ) ( ) ( )
xy
r x y
= − ∗
τ τ τ
Cette relation valable dans l’espace temps à bien entendu son équivalent dans l’espace
fréquences.
*
( ) ( ). ( )
xy
R f X f Y f
=
Avec :
- ( )
{ } ( )
xy xy
TF r R f
=
τ ,
- ( )
{ } ( )
TF x t X f
= et
- ( )
{ } ( )
TF y t Y f
= .
4.1.2 Autocorrélation d’un signal
Dans le cas particulier, où y(t) = x(t), on obtient la fonction d’autocorrélation du signal x(t) :
*
( ) ( ). ( )
xx
r x t x t dt
+∞
−∞
= −
∫
τ τ
Pour un décalage nul ( 0
τ = ), la fonction d’autocorrelation donne l’énergie du signal x(t).
2
(0) ( )
xx x
r x t dt E
+∞
−∞
= =
∫
4. 2 Corrélation de signaux à puissance finie
Dans ce cas, les signaux sont permanents et possèdent une énergie infiniment grande ; on ne
peut donc pas utiliser les définitions précédentes. Pour cette catégorie de signaux, on redéfinit
les deux fonctions de corrélation comme suit :
- Intercorrélation :
/ 2
*
/ 2
1
( ) lim ( ) ( )
T
xy
T
T
r x t y t dt
T
+
−
→∞
= −
∫
τ τ

15
- Auto-corrélation
/ 2
*
/2
1
( ) lim ( ). ( )
T
xx
T
T
r x t x t dt
T
+
−
→∞
= −
∫
τ τ
Dans le cas d’un décalage nul ( 0
τ = ), on trouve avec l’autocorrelation la puissance moyenne
du signal x(t).
( )
/2
2 2
/2
1
0 lim ( )
T
xx eff x
T
T
r x t dt X P
T
+
−
→∞
= = = =
∫
τ
5. Signaux usuels
An verra ici quelques signaux analogiques communs qui apparaissent souvent en génie
électrique, et qui servent à approximer des signaux plus complexes. Afin de simplifier les
opérations ainsi les formules obtenus, certains signaux fréquemment rencontrés en traitement
du signal disposent d’une modélisation propre.
5.1 Fonction Echelon ou saut unité
Les fonctions échelon et impulsion de Dirac jouent un rôle très important en traitement du
signal. Elles permettent souvent de formuler mathématiquement des signaux. Nous allons
présenter ici les caractéristiques principales de ces deux fonctions.
La fonction échelon est définie par :
( ) {1 0
0 0
t
t
u t ≥
<
=
Cette fonction est donc discontinue en 0, autrement dit sa dérivée n’existe pas en 0 et est nulle
partout ailleurs.
Fig.3 : Fonction Echelon
La fonction échelon va permettre d’exprimer mathématiquement une fonction quelconque non
nulle pour t ≥0 ; soit une fonction quelconque x(t) définie de −∞ à +∞.

16
Fig.4 : Signal x(t)
Donc on peut exprimer mathématiquement un y(t) qui vaut 0 pour t < 0 et qui est égal à x(t)
pour t ≥0. Ceci peut se faire grâce à la fonction échelon. On aura alors le produit :
( ) ( ) ( )
.
y t u t x t
=
Fig.5 : Représentation du signal y(t)
On peut multiplier la fonction échelon par une constante α∈ :
( ) { 0
0 0
. t
t
u t α ≥
<
α =
Par un échelon qui se produit au temps t=t0, on utilise la notation suivante :
( ) { 0
0
1
0 0
t t
t t
u t t ≥
<
− =

17
Fig.6 : Fonction Echelon en t=t0.
5.2 Impulsion de Dirac
L’impulsion de Dirac ( )
t
δ , aussi appelée impulsion unité ou distribution delta, est définie par
le produit scalaire :
(0) , ( ) ( )
x x x t t dt
+∞
−∞
= δ = δ
∫
D’une manière générale :
0 0
( ) ( ) ( )
x t x t t t dt
+∞
−∞
= δ −
∫
En particulier, en posant ( ) 1
x t = , on obtient :
( ) 1
t dt
+∞
−∞
δ =
∫
Fig.7 : Impulsion de Dirac en t=0 et t=t0
C’est une fonction qui est nulle pour t ≠ 0et qui est d’amplitude infinie pour t = 0. Cette
fonction est donc aussi de largeur nulle. Elle est définie mathématiquement par deux relations
:
( ) 1
t dt
+∞
−∞
δ =
∫
Généralement, la largeur d’une impulsion de dirac est nulle, son amplitude infinie et son aire
unitaire.

18
( ) ( ) (0)
x t t dt x
+∞
−∞
δ =
∫ .
5.2.1 Propriétés
- Soit x(t) une fonction continue en t = 0 ou t = t0 :
1). ( ). ( ) (0). ( )
x t t x t
δ = δ
2). 0 0 0
( ). ( ) ( ). ( )
x t t t x t t t
δ − = δ −
3). 0 0 0
( ). ( ) ( ). ( )
x t t t x t t t
δ + = − δ +
- Identité :
( ) ( ) ( )
x t t x t
∗δ =
- Translation
1). ( ) ( )
0 0
( )
x t t t x t t
∗δ − = −
2). ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
x t t t t x t t t
− ∗δ − = − −
3). ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
t t t t t t t
δ − ∗δ − = δ − −
- Changement de variable :
( ) ( )
1
at t
a
δ = δ
Si 2 f
ω = π ( ) ( )
1
.
2
f
⇒ δ ω = δ
π
5.3 Peigne de Dirac
Le peigne de Dirac noté ( )
T t
δ est une suite périodique d’impulsion de Dirac régulièrement
espacées de période T.
( ) ( ),
T t t kT k
+∞
−∞
δ = δ − ∈
∑ ] .

19
Fig.8 : Peigne de Dirac
- Remarque :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. . .
T
x t t x t t kT x kT t kT
+∞ +∞
−∞ −∞
δ = δ − = δ −
∑ ∑
5.4 Fonction Signe
La fonction signe ressemble à la fonction échelon sauf que la valeur pour t<0 est -1 au lieu de
0.
( ) {1 0
1 0
sgn t
t
t >
− <
=
Fig.9 : Fonction signe
Par convention la fonction signe à une valeur nulle à l’origine.
On peut écrire la fonction signe en fonction de l’échelon selon l’équation suivant :
( ) ( ) ( )
sgn t u t u t
= − −
5.5 Fonction rampe
La rampe unitaire, noté r(t) se définit comme la primitive de l’échelon unitaire.

20
( ) { 0
0 0
t si t
si t
r t <
>
=
Fig.10 : Fonction rampe
La fonction rampe peut se définir à partir de l’échelon unitaire :
( ) ( ) ( )
0
.
r t u d t u t
+∞
= τ τ =
∫
La dérivée de r(t) est égale à l’échelon unitaire.
( )
( ) 0
dr t
u t pour t
dt
= ≠
5.6 Fonction porte
La fonction porte ou signal rectangulaire, noté Rect(t), est définie par :
( )
1
1
2
0 sin
si t
on
Rect t
<
⎧
= ⎨
⎩
Fig.11 : Fonction rectangulaire

21
On peut écrire la fonction rectangulaire normalisée en fonction de l’échelon selon l’équation :
( )
1 1
2 2
Rect t u t u t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
D’une manière plus générale, pour une impulsion rectangulaire de durée T centrée en t = τ ,
d’amplitude A, donnée par la figure ci-dessous :
Fig.12 : Fonction rectangulaire centrée en τ de longueur T
On note :
( ) .
t
x t A Rect
T
− τ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
5.7 Fonction triangle
La fonction triangulaire normalisée, notéé Tri(t), est définie par :
( ) {1 1
0 sin
t si t
on
Tri t
− ≤
=

22
Fig.13 : Signal triangulaire normalisé
De même, pour une impulsion triangulaire de durée 2T centrée en t = τ , d’amplitude A,
donnée par la figure ci-dessous :
Fig.14 : Fonction triangulaire centrée en τ de longueur 2T
On note :
( ) .
t
x t ATri
T
− τ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
- Remarque :
On peut l’écrire aussi : ( ) ( ) ( )
Re Re
Tri t ct t ct t
= ∗ .
5.8 Fonction Sinus cardinal
Dans le traitement du signal numérique et la théorie de l’information , la fonction sinc
normalisée est généralement défini pour t ≠ 0 par
( )
( )
sin
sin
t
c t
t
π
=
π
.
La valeur de t=0, est définie comme étant la valeur limite :

23
( )
( )
0
sin .
sin 0 lim 1
.
x
a t
c
a t
→
= =
Pour tout réel 0
a ≠ , ( *
a∈ )
Le sinus cardinal est une fonction qui apparaît souvent en télécommunications. La figure ci-
dessous montre l’évolution temporelle de la fonction sinus cardinal :
sin
sin
t
t T
c
t
T
T
⎛ ⎞
π
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎝ ⎠
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ π
.
Fig.15 : Fonction sinc
- Les passages par zéro de la foncion sinc non normalisée sont à des multiples entiers non nuls
de π, alors que les passages par zéro de la fonctin sinc normalisée se produisent à des entiers
non nuls.
- La Fourier continue transformée de la fonction sinc normalisé (à la fréquence ordinaire) est :
( )
{ } ( ) ( )
2
sin ) sin . Re
i ft
TF c t c t e dt ct f
+∞
− π
−∞
= =
∫
Remarque :
- Cette intégrale de Fourier, y compris le cas particulier (pour 0
f = ), donc :
( ) ( )
0
sin . Re 0 1
c t e dt ct
+∞
−∞
= =
∫
( )
sin 1
c t dt
+∞
−∞
⇒ =
∫
Ainsi : ( )
2
sin 1
c t dt
+∞
−∞
⇒ =
∫
- La superficie sous le sinc (ou même 2
sin c ) est égal à la superficie du triangle rouge dans la
figure (Fig. 15).

24
6. Opérations sur les signaux
Dans cette section, on va citer quelques opérations sur les signaux, comme le décalage
temporel ou l’échelonnage (changement d’échelle)…. Ces opérations sont utiles lors de
l’application de la série de Fourier, ou les différentes transformées (Fourier, Laplace, z …).
6.1 Inversion temporelle
L’inversion temporelle est simplement l’opération de faire une image miroir d’un signal
autour de l’origine. Mathématiquement, le nouveau signal x1(t) est obtenu à partir du signal
original x(t) selon :
( ) ( ) ( )
'
1 ' t t
x t x t x t
=−
= = −
Fig.16 : Représentation d’un signal continu
Fig.17 : Représentation du signal retourné temporellement
6.2 Changement d’échelle
Une autre opération importante est le changement d’échelle ou l’échelonnage temporel : ceci
permet d’étirer ou comprimer un signal dans le temps. Il correspond à la multiplication de la

25
variable indépendante par un coefficient constant. On fabrique alors le signal x(at) à partir du
signal x(t). Mathématiquement, on écrit :
( ) ( ) ( )
'
1 ' ,
t at
x t x t x at a
=
= = ∈
Fig.18 : Représentation du signal contracté
Fig.19 : Représentation du signal dilaté
6.3 Décalage temporel
Le décalage temporel est l’action d’avancer ou retarder un signal dans le temps.
Mathématiquement, un signal décalé ( )
0
x t t
− est décrit selon :
( ) ( ) ( )
0
0 0
'
1 ' ,
t t t
x t x t x t t t
= −
= = − ∈

26
Fig.20 : Représentation d’un signal décalé
7. Propriétés
Les signaux peuvent de plus avoir certaines propriétés, nous allons ici en présenter trois.
P1. Un signal est dit pair si :
( ) ( )
x t x t
= −
Cette propriété permet par exemple de simplifier le calcul de certaines intégrales : soit un
signal x(t) pair alors on a, du fait de cette propriété, la relation suivante :
( ) ( )
0
2
x t dt x t dt
+∞ +∞
−∞
=
∫ ∫
P2. Un signal est dit impair si :
( ) ( )
x t x t
= − −
Cette propriété pourra de même simplifier le calcul de certaines intégrales : soit un signal x(t)
impair alors on a la relation suivante :
( ) 0
x t dt
+∞
−∞
=
∫
P3. Enfin, tout signal peut être décomposé en la somme d’un signal pair et impair.

27
Soit un signal x(t) quelconque, alors on a :
( ) ( ) ( )
p i
x t x t x t
= +
Où ( )
p
x t est un signal pair et ( )
i
x t est un signal impair.
Pour décomposer un signal en ses composantes paires et impaires, on applique les relations
suivantes, on a :
( ) ( ) ( )
1
2
p
x t x t x t
= + −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
1
2
i
x t x t x t
= − −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
P4. Un signal est dit causal s’il est non nul pour t > 0 seulement. Un signal est anti-causal s’il
est non nul pour t < 0 seulement.

28
Chapitre 2 :
Systèmes à temps continu
Introduction :
Un signal correspond le plus souvent à une modélisation du comportement de la quantité
physique observable. Cependant, il peut être extrêmement difficile d’obtenir une forme
mathématique simple et concise pour un signal donné.
Un système est une entité physique qui réalise une opération sur un signal. Un système
possède donc un signal d’entrée et un signal de sortie ; le signal de sortie correspond à la
transformation opérée par le système sur le signal d’entrée. Par exemple, l’oreille humaine est
un système transformant un signal correspondant à une variation de pression acoustique en
des séquences parallèles de signaux électriques sur le nerf auditif. Un microphone est un
système un peu analogue au précédent dans la mesure où une variation de pression acoustique
est transformée en un signal électrique monodimensionnel.
L’étude de tels systèmes conduit à analyser les transformations entre les signaux d’entrée et
de sortie (pour des systèmes plus ou moins complexes), cette opération est appelée le
traitement du signal. On ne parlera ici que du traitement des signaux analogiques et
numériques.
Cependant, Un système est un bloc mathématique qui permet de transformer un signal
quelconque. Le système peut représenter un phénomène physique, comme un thermomètre,
où l’entrée est un signal électrique et la sortie est la chaleur. Un système peut aussi représenter
un réseau de transmission de données, ou un filtre numérique ..., la structure générale d’un
système est :
Fig.1 : Structure générale d’un système

29
Pour les systèmes à temps continu, les équations qui relient la sortie à l’entrée sont
typiquement des équations différentielles. Les systèmes étudiés ici sont tous des systèmes
linéaires. Ils possèdent quelques caractéristiques très importantes.
1. Propriétés des systèmes linéaires
1.1 Linéarité
Un système est dit linéaire s’il possède deux caractéristiques : homogénéité, et additivité. Une
troisième propriété, l’invariance dans le temps, n’est pas strictement nécessaire pour la
linéarité, mais est une composante importante dans la plupart des techniques d’analyse de
signaux.
- L’homogénéité, ou proportionnalité, veut dire qu’une variation dans l’amplitude au signal
d’entrée produit une même variation d’amplitude à la sortie.
Si on applique un signal x(t) à un système et qu’on obtient une sortie y(t), alors une entrée
kx(t) produira une sortie ky(t), comme à la figure suivante :
Fig.2 : Système homogène
- L’additivité veut dire que si on applique 2 (ou plus) signaux à l’entrée, la sortie est la somme
individuelle de leur réponses.
Soit un système où on applique une entrée x1(t) qui produit une sortie y1(t), et une entrée
x2(t) produit une sortie y2(t). Si le système possède l’additivité, si on applique les deux
entrées en même temps, x1(t)+x2(t), la sortie sera y1(t) + y2(t).

30
Fig.3 : Additivité des systèmes linéaires
1.2 Invariance dans le temps
La propriété, l’invariance dans le temps, veut dire que la sortie d’un système ne change pas si
on applique la même entrée à un certain temps plus tard. Mathématiquement, si on applique
un signal x(t) à un système et qu’on obtient une sortie y(t), alors la même entrée appliquée à
un autre temps, ( )
0
x t t
− , produira la même sortie avec le même décalage dans le temps,
( )
0
y t t
− .
( )
0
t
t
x − ( )
0
y t t
−
( )
0
t
t
x − ( )
0
y t t
−
Fig.4 : Systèmes invariant dans le temps
1.3 Commutativité
Les systèmes linéaires possèdent plusieurs caractéristiques importantes. Une première
caractéristique est la commutativité. Soit deux systèmes linéaires A et B. On met les deux

31
systèmes en cascade, A suivit de B. Si x(t) est l’entrée à A, a sortie des deux systèmes est y(t).
Avec la commutativité, on peut inverser l’ordre : mettre B en premier, suivi de A. Pour la
même entrée x(t), on obtient la même sortie y(t).
Fig.5 : Commutativité des systèmes linéaires
1.4 Superposition
La superposition est une technique clé de l’analyse de signaux : on peut décomposer une
entrée en ses composantes, passer chaque composante dans le système, puis obtenir la réponse
totale en faisant la somme (la superposition) des composantes. Le signal ainsi obtenu est
identique à celui obtenue si on aurait fait passer l’entrée au complet directement dans le
système. La superposition est utilisée pour décomposer une entrée en signaux plus simples,
puis appliquer ces signaux simples au système. On retrouve la réponse voulue en faisant la
somme des sorties obtenues.

32
Fig.6 : Superposition des systèmes linéaires
2. Réponse Impulsionnelle
La réponse impulsionnelle est une caractéristique très importante des systèmes. Si l’entrée à
un système est un pulse ( )
t
δ , alors la sortie est appelée la réponse impulsionnelle h(t),
comme à la figure ci-dessous. On peut démontrer que si on connaît la réponse impulsionnelle,
on peut calculer la sortie pour n’importe quelle entrée (pour un système linéaire).
Fig.7 : Réponse impulsionnelle Superposition d’un système
La réponse impulsionnelle est donc très importante pour caractériser les systèmes physiques.
Il suffit d’envoyer un pulse de courte durée puis mesurer la réponse pour être capable de
trouver la réponse à n’importe quelle entrée.
3. Convolution
La convolution est un outil très important dans le calcul de la sortie d’un système. Pour
n’importe quelle entrée x(t), on peut trouver la sortie y(t) si on connaît la réponse
impulsionnelle h(t). La convolution est donnée par :

33
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y t h t x t x t h t
= ∗ = ∗
On utilise plus souvent une représentation mathématique simplifiée pour noter la convolution
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. .
h t x t h x t d h t x d
+∞ +∞
−∞ −∞
∗ = τ − τ τ = − τ τ τ
∫ ∫
La convolution est l’opération de traitement de signal la plus fondamentale. Elle indique que
la valeur du signal de sortie du système à l’instant t, obtenue par la sommation (intégrale)
pondérée des valeurs passées du signal d’excitation x(t). La fonction de pondération est
précisément la réponse impulsionnele h(t) du système.
Exemple :
Soit un système de réponse impusionnelle h(t) défini par ( )
( ) .
t
h t e u t
−
= .
Le graphe du système est donné par la figure suivante :
Fig.8 : Réponse h(t) d’un système
Soit les entrées suivantes, appliquées au même système h(t) :
Si ( ) ( )
x t t
= δ alors ( ) ( )
y t h t
=
Si ( ) ( )
2
x t t
= δ − alors ( ) ( )
2
y t h t
= −
Si ( ) ( )
5
x t t
= δ − alors ( ) ( )
5
y t h t
= −
On applique les trois entrées pour voir la sortie. Les entrées et sorties sont données à la figure
ci-dessous :

34
Fig.9 : Application de trois pulses
3.1 Propriétés
Soit ( )
x t , ( )
y t et ( )
z t trois signaux :
- P1. Commutative :
( ) ( ) ( ) ( )
x t y t y t x t
∗ = ∗
- P2. Associative :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
x t y t z t x t y t z t
∗ ∗ = ∗ ∗
- P3. Distributive par rapport à l’addition :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x t y t z t x t y t x t z t
∗ + = ∗ + ∗
P4. Elément neutre :
( ) ( ) ( )
x t t x t
∗ =
δ
Ces propriétés sont des conséquences immédiates de celles de l’intégration et facilement
établies. Notez toutefois que c’est grâce au fait que l’une des fonctions est retournée dans

35
l’intégrale de convolution que la convolution est commutative. S’il n’y a pas retournement, il
n’y a plus commutativité.
3.2 Convolution graphique
Interprétation
Le calcul de la convolution entre deux signaux x1(t) et x2(t) consiste donc à calculer la surface
du produit 1 2
( ) ( )
x t x t
τ − . Le signal 2 ( )
x t
τ − est simplement le signal initial 2 ( )
x τ , retourné
dans le temps pour donner 2 ( )
x τ
− , puis translaté t.
En calculant alors l’ensemble des surfaces obtenues en faisant glisser x2, c’est-à-dire pour tous
les décalages de t, on obtient le produit de convolution pour tout t (Fig. 10).
x1(t)
x2(t)
t t
t
t
τ
)
(
2 t
x −
τ
)
(
1 t
x
τ
[ ] )
(
2
1 τ
x
x ⊗
x1(t)
x2(t)
t t
t
t
τ
)
(
2 t
x −
τ
)
(
1 t
x
τ
[ ] )
(
2
1 τ
x
x ⊗
Fig. 10 : Interprétation graphique de la convolution

36
Chapitre 3 :
Analyse des signaux analogiques
1. Signaux périodiques
Introduction :
Une des méthodes les plus utiles dans l’analyse des signaux périodiques est la série de
Fourier. La série de Fourier permet de transformer n’importe quel signal périodique en une
somme de sinusoïdes. On peut donc prendre un signal périodique complexe et le simplifier à
des sinusoïdes. Généralement, L’analyse harmonique ou fréquentielle est l’instrument majeur
de la théorie des signaux et des systèmes. Le développement en séries de Fourier et, plus
généralement, la transformation de Fourier permettent d’obtenir une représentation spectrale
des signaux déterministes. Celle-ci exprime la répartition de l’amplitude, de la phase, de
l’énergie ou de la puissance des signaux considérés en fonction de la fréquence.
Dans cette partie est consacrée par une petite introduction aux représentations spectrales des
signaux à l’aide des séries de Fourier et de la transformation de Fourier.
1.1 Signal périodique
Le temps et la fréquence sont deux bases servant à la description des signaux. Ce sont deux
points de vue différents d’une même réalité; ils sont complémentaires. Il est important de bien
comprendre les relations qui existent entre ces deux bases (temps, fréquence).
Une grandeur sinusoïdale est décrite par l’équation :
0
( ) .sin(2 )
x t A f t
π ϕ
= +
Son évolution temporelle est contenue le calcul de la fonction sinus (Fig) ; dès lors, on sait
que le signal x(t) ondule avec une forme précise fixée par la fonction sinus. Cependant, des
informations supplémentaires sont données : l’amplitude A, la phase ϕ et la fréquence f. Ce
sont ces informations qui sont fournies par la représentation fréquentielle ou spectrale.

37
Fig.11 : Descriptions temporelle d’une sinusoïde.
1.2 Séries de Fourier
Le mathématicien français Jean-Batiste Fourier découvrit qu’on pouvait transformer
n’importe quelle fonction périodique en une somme de sinusoïdes. Donc, considérons un
signal périodique x(t) de période T. Son développement en série de Fourier est alors le suivant
:
0 0 0
1 1
( ) cos( ) sin( )
n n
n n
x t a a n t b n t
∞ ∞
= =
= + +
∑ ∑
ω ω
Avec f0 = 1/T est la fréquence fondamentale du signal, a0 est la valeur moyenne ou
composante continue et ak, bk sont les coefficients de Fourier du développement en cosinus et
sinus.
Les coefficients de Fourier ak et bk se calculent comme suit :
/2
0
/2
1
( )
T
T
a x t dt
T −
= ∫
/2
0
/ 2
2
( )cos(2 ) n 0
T
n
T
a x t nf t dt
T −
= ≥
∫ π
/ 2
0
/ 2
2
( )sin(2 ) n 1
T
n
T
b x t nf t dt
T −
= ≥
∫ π
Exemple :
Calcul les coefficients de la série de Fourier du signal suivant :

38
Fig.12 : signal en dent de scie
L’équation du signal x(t) entre [0,T] :
( )
Am
x t t
T
=
Donc, le calcul de a0 est :
0
0
1
2
T Am Am
a t dt
T T
= =
∫
L’équation de n
a :
( )
( ) ( )
( )
( )
0
0
0
0
0 0
2 2 2
0 0
2 2 2
2
.cos
2 1 1
.cos sin
2 1
. cos 2 1 0,
T
n
T
Am
a t n t dt
T T
Am
n t n t
T n n
Am
n n
T n
= ω
⎡ ⎤
= ω + ω
⎢ ⎥
ω ω
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= π − = ∀
⎢ ⎥
ω
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫
L’équation de n
b :
( )
( ) ( )
( )
0
0
0
0 0
2 2 2
0 0
2
0
2
.sin
2 1 1
.sin cos
2
0 .cos 2
T
n
T
Am
b t n t dt
T T
Am
n t n t
T n n
Am T
n
T n
Vm
n
= ω
⎡ ⎤
= ω + ω
⎢ ⎥
ω ω
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − π
⎢ ⎥
ω
⎣ ⎦
= −
π
∫

39
La série de Fourier de x(t) est :
( )
0
1
1
( ) .sin
2 n
Vm Vm
x t n t
n
+∞
=
= − ω
π
∑
On peut reconstruire le signal original à l’aide de la série de Fourier. La figure ci-dessous
montre la reconstruction en utilisant 7, 15 et 51 harmoniques.
Fig.13 : Signal original reconstruite par série de Fourier

40
1.3 Symétrie et les coefficients de Fourier
Le type de symétrie d’un signal peut simplifier le calcul des coefficients de la série de Fourier.
Selon le type de symétrie, certains des coefficients de la série de Fourier sont nuls. Il est
important de bien identifier le type de symétrie d’un signal avant de décomposer en série de
Fourier.
- Symétrie paire
Pour des fonctions paires, on peut démontrer que les coefficients de Fourier sont :
/ 2
0
0
2
( )
T
a x t dt
T
= ∫
/2
0
0
4
( )cos(2 )
T
n
a x t nf t dt
T
= ∫ π
0.
n
b =
- Symétrie impaire
Pour des fonctions impaires, on peut démontrer que les coefficients de Fourier sont :
0 0
a =
0
n
a =
/ 2
0
0
4
( ).sin(2 )
T
n
b x t nf t dt
T
= ∫ π
1.4 Forme Complexe des coefficients de Fourier
Le développement en termes complexes des coefficients de Fourier sont obtenus en utilisant
les relations d’Euler :
cos( )
2
jx jx
e e
x
−
+
=
sin( )
2
jx jx
e e
x
−
−
=
Soit donc :
0
0
2
( ) j nf t
n
jn t
n
x t C e
C e
+∞
−∞
+∞
−∞
=
=
∑
∑
π
ω

41
Où :
0
/2
/2
1
( )
T
jn t
n
T
C x t e dt
T
+
−
−
= ∫
ω
La forme exponentielle est obtenue à partir de la relation d’Euler. Cette représentation de la
série de Fourier est souvent plus facile à utiliser lors de calculs mathématiques ou lors de la
programmation.
Remarques :
- Le terme ( ) ( )
0 0
cos sin
n n
a n t b n t
ω + ω est une fonction sinusoïdale appelée harmonique
d’ordre n ;
- 0
a : est la valeur moyenne du signal x(t) ;
- L’harmonique d’ordre 1 est appelé fondamental, il est de même fréquence que x(t) ;
- le terme n
C est égal :
0
1
( ).
2
T
jn t
n n
n
a jb
C x t e dt
T
α+
− ω
α
−
= = ∫ ;
- le terme n
C− est égal :
2
n n
n
a jb
C−
+
= ;
- la phase à l’origine des temps :
( )
tan n
n
n
b
a
ϕ = .
Forme Equation
Trigonométrique 0 0 0
1 1
( ) cos( ) sin( )
n n
n n
x t a a n t b n t
∞ ∞
= =
= + +
∑ ∑
ω ω
Exponentielle 0
0
2
( ) j nf t
n
jn t
n
x t C e
C e
+∞
−∞
+∞
−∞
=
=
∑
∑
π
ω
,
2
n n
n
a jb
C
−
= et 0 0
C a
=
Polaire ( )
0 0
1
( ) 2 cos
n n
n
x t C C n t
+∞
=
= + +
∑ ω ϕ

42
1.5 Spectre d’amplitude et de phase
Une fonction périodique est définie par ses coefficients de Fourier et sa période. Si on connaît
a0, an, bn et T, on peut construire x(t). Si on connaît an et bn, on connaît aussi l’amplitude An
et le déphasage ϕ de chaque harmonique.
- Amplitude de l’harmonique de rang n :
2 2
1
2 n n
n
C a b
= +
- Amplitude de phase de l’harmonique de rang n :
tan n
n
n
b
ac
a
⎛ ⎞
−
ϕ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Exemple :
On peut représenter graphiquement une fonction périodique en termes de l’amplitude et de la
phase de chaque terme de la série de Fourier. On appelle ceci le spectre de la fonction.
Ce graphe permet de visualiser quelles fréquences ont une amplitude importante ; dans
certains cas, la majorité du signal est contenu dans quelques harmoniques.
Fig.14 : Signal rectangulaire
La forme exponentielle donne l’amplitude de chaque composante spectrale :
( )
0
/ 2
/2
0
0
1
.
2
sin / 2
jn t
n
C Am e dt
T
Am
n
n T
τ
− ω
−τ
=
= ω τ
ω
∫
On peut réécrire sous une forme :

43
( )
( )
0
0
0
sin / 2
/ 2
sin / 2
n
n
Am
C
T n
Am
c n
T
ω τ
=
ω τ
= ω τ
Où sin c est la fonction sinus cardinale.
Fig.15 : Spectre d’amplitude du signal rectangulaire
Le spectre d’amplitude est montré à la figure 15. Remarquer que le spectre donne 0 aux
multiples de 5, ou lorsque /
n T
τ est un entier. Ce qui veut dire que le 5ième, 10ième, 15ième,
... harmoniques sont nuls. L’enveloppe du signal forme la fonction sinc.
Le spectre de phase est montré à la figure suivante. Puisque Cn est réel, la phase est 0°c ou
180°c, selon le signe de Cn.
Fig.16 : Spectre de phase du signal rectangulaire

44
Les séries de Fourier sont, dans certains cas, limitées. Tout d’abord, la fonction x(t) doit être
périodique. Elle est en effet exprimée par une somme de sinusoïdes qui sont des fonctions
périodiques et on peut montrer qu’une somme quelconque de fonctions périodiques est encore
une fonction périodique. Un phénomène curieux apparait aussi : les oscillations de Gibbs.
Autour des points de discontinuité, la valeur de la série oscille légèrement et la valeur aux
points de discontinuité est supérieure (ou inférieure) de 9% `a la valeur de f en ces mêmes
points.

45
2. Analyse des signaux non périodiques : Transformation de Fourier (TF)
Introduction :
C’est une généralisation de la décomposition de série de Fourier à tous les signaux
déterministes. Elle permet d’obtenir une représentation en fréquence (représentation spectrale)
de ces signaux. Elle exprime la répartition fréquentielle de l’amplitude, de la phase et de
l’énergie (ou de la puissance) des signaux considérés.
Il est évident que, pour des signaux d’allure complexe, l’information pertinente n’est pas
contenue dans la forme d’onde x(t) elle-même. De très nombreuses transformations sont
disponibles, qui produisent chacune une représentation différente du signal ; elles mettent
mieux en évidence l’information pertinente contenue dans le signal, la notion de pertinence
est, bien sûr liée à l’application considérée (Transformée de Fourier).
La plupart de ces représentations reposent sur des transformations intégrales, ou leur
contrepartie discrète. Dans notre cas la forme générale de la transformée de Fourier d’un
signal x(t) est donnée par cette distribution :
2
( ) ( ) j ft
X f x t e dt
π
+∞
−
−∞
= ∫
2
( ) ( ) j ft
x t X f e df
π
+∞
−∞
= ∫
Les deux relations constituent les transformations de Fourier directe (TF) et inverse TFD). On
constate que les descriptions temporelle et spectrale sont parfaitement symétriques.
La fonction X(f) est une fonction généralement complexe :
- La partie réelle est : ( ) ( ) ( )
.cos 2
X f x t ft dt
+∞
−∞
ℜ = π
⎡ ⎤
⎣ ⎦ ∫
- La partie imaginaire : ( ) ( ) ( )
.sins 2
X f x t ft dt
+∞
−∞
ℑ = π
⎡ ⎤
⎣ ⎦ ∫
Le spectre d’amplitude est :
( ) ( ) ( )
2 2
X f X f X f
= ℜ + ℑ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Le spectre de phase est :
( )
( )
( )
X f
f Artg
X f
⎛ ⎞
−ℑ⎡ ⎤
⎣ ⎦
ϕ = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
ℜ⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎝ ⎠

46
2.1 Condition d’existence de la transformation de Fourier
L’existence de la TF est liée à la convergence absolue de l’intégrale du signal x(t) :
( )
2
x t dt
+∞
−∞
< ∞
∫ .
Toutefois ( ) ( )
( )
2
2
x t dt x t dt
+∞ +∞
−∞ −∞
≤
∫ ∫ ce qui implique la convergence des signaux de
carré sommables, c’est à dire les signaux à énergie finie (ceci est le cas de tous les signaux en
pratique). Cependant, cette condition suffisante n’est pas nécessaire pour les signaux à énergie
finie (classe L2).
Les signaux idéalisés peuvent aussi avoir une TF sans pour cela appartenir à la classe L2 des
fonctions.
On dit que x(t) et X(f) forment une paire de transformée de Fourier, ce qui est noté par :
( ) ( )
x t X f
U
2.2 Propriétés de la TF
P1. Propriétés de linéarité : la TF est une transformation linéaire : si
( ) ( )
1 1
x t X f
U
( ) ( )
2 2
x t X f
U
Alors 1, 2
∀ β β ∈^ , ceci entraine :
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2
1. 2. 1. 2.
x t x t X f X f
β +β β +β
U
P2. Propriétés de parité :
- Si le signal x(t) est pair alors : x(-t) = x(t)
( ) ( ) ( ) ( )
0
2. .cos 2
X f TF x t x t ft dt
+∞
= = π
⎡ ⎤
⎣ ⎦ ∫
- Si le signal x(t) est impair alors : x(-t) = -x(t)
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 . .sin 2
X f TF x t j x t ft dt
+∞
= = − π
⎡ ⎤
⎣ ⎦ ∫

47
P3. Propriétés de similitude :
Lorsque l’on effectue une contraction ou une dilatation temporelle, on a :
( ) ( )
x t X f
U ⇒ ( )
1 f
x at X
a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
U
P4. Retard temporel :
Cette propriété permet de donner la transformée de Fourier d’une fonction retardée en
fonction de la transformée de Fourier du signal initial et d’un terme de retard t0:
( ) ( )
x t X f
U ⇒ ( ) ( ) 0
2
0 . j ft
x t t X f e− π
− U .
P5. Déplacement fréquentiel :
Cette propriété est analogue à (ou plutôt duale) la propriété du retard temporel : on effectue
une modulation du signal temporel, à la fréquence 0
f , cette modulation entraînantalors un
déplacement (retard) dans le domaine fréquentiel :
( ) ( )
x t X f
U ⇒ ( ) ( )
0
2
0
. .
j ft
e x t X f f
π
−
U
6. Différentiation dans le domaine temporel :
Il est intéressant de pouvoir relier la TF de la dérivée d’un signal à la TF du signal initial, ceci
permet en effet d’obtenir élégamment certain résultats. En supposant que
( )
dx t
dt
existe et
admet une TF, alors :
( ) ( )
x t X f
U ⇒
( )
( )
2 . .
dx t
j f X f
dt
π
U
D’une façon, plus générale :
( )
( ) ( )
2 . .
n
n
n
dx t
j f X f
dt
π
U
2.3 Propriété liée à la convolution
La forme simple de la transformée de Fourier d’un produit de convolution est riche de
conséquences. En effet, d’un point de vue analytique, la simplification est importante puisque
l’on passe d’une formulation intégrale à un produit simple de fonctions. Cette propriété,

48
associée au fait que la convolution est une opération mathématique fréquemment rencontrée,
renforce beaucoup le rôle de la transformation de Fourier en traitement du signal, beaucoup de
calculs sont plus simples lorsqu’ils sont effectués via la transformée de Fourier.
La transformée de Fourier d’un produit de convolution dans le domaine temporel conduit à un
produit simple dans le domaine fréquentiel :
( ) ( )
{ } ( ). ( )
TF x t y t X f Y f
∗ =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Et son dual
{ } ( ) ( )
( ). ( )
TF x t y t X f Y f
= ∗
Exemple : TF d’un signal porte (impulsion rectangulaire)
On note RectT(t) l’impulsion rectangulaire définie par :
( )
1 ,
2 2
0
Re
T T
si t
T aillaurs
ct t
⎡ ⎤
∈ −
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎧
⎪
= ⎨
⎪
⎩
On cherche à calculer la TF du signal ( ) ( )
.Re T
x t A ct t
= .
Fig.17 : Représentation temporelle du signal x(t).
( ) ( )
{ }
/ 2
2
/ 2
.Re .
T
j ft
T T
X f TF A ct t A e dt
− π
−
= = ∫
Soit :
( )
2 2
2
2
1
. .
2 2
T
j ft
j fT j fT
T
e
X f A A e e
j f j f
− π
π − π
−
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= = −
⎢ ⎥ ⎣ ⎦
− π π
⎣ ⎦

49
( )
( )
( )
sin
. .sin
fT
X f AT AT c fT
fT
π
= = π
π
Où ( )
sin .
c est la fonction sinus cardinal. On notera que la TF obtenue est purement réelle. Par
ailleurs , cette transformée s’annule pour fT k
π = π, soit tous les /
f k T
= ; sauf pour k=0,
( )
sin 0 0
c = .
Fig. 18 : Représentation de la TF (fréquentielle) d’une impulsion rectangulaire
La transformation de FOURIER est une extension de la décomposition en série de FOURIER,
mais pour des signaux quelconques. Intuitivement on peut considérer un signal non
périodique comme un signal dont la période T→+∞. Ainsi la somme discrète et le facteur 1/T
intervenant dans la décomposition en série de Fourier deviennent respectivement une
intégrale, est une petite variation de fréquence df.
2.3 Energie et représentation spectrale : théorème de Parseval
Cette relation est comparable à celle qui existe pour des signaux périodiques.
Soit x(t) un signal a énergie finie, et qui admet une transformée de Fourier X(f), on a :
( ) ( )
2 2
x
W x t dt X f df
+∞ +∞
−∞ −∞
= =
∫ ∫
Cette égalité est appelée égalité de Parseval, ou théorème de Parseval, ou encore identité de
Rayleigh. Elle montre que l’énergie ne dépend pas de la représentation choisie (temporelle ou
fréquentielle).

50
Une interprétation peut-être plus intéressante de ce théorème est que l’énergie totale est la
somme des énergies de chaque harmonique. Dans le cas apériodique, cette interprétation est
sujète à caution puisque les harmoniques ne sont pas définies mais il faut entendre cette
somme comme la somme continue (donc une intégrale) de toutes les contributions à chaque
fréquence.
( )
2
X f est appelée densité spectrale d’énergie ou parfois, densité spectrale de puissance. On
peut montrer de la même façon que, pour deux signaux x(t) et y(t), l’énergie d’interaction
xy
W vérifie la relation :
( ) ( ) ( ) ( )
. .
xy
W x t y t dt X f Y f df
+∞ +∞
∗ ∗
−∞ −∞
= =
∫ ∫

51
Partie II :
Signaux et systèmes discrets
-------------------------------------

52
Chapitre 4 :
Signaux discrets
Introduction :
Les signaux peuvent être de deux natures : continus ou discrets. Les signaux continus
prennent à chaque instant une valeur, alors que les signaux discrets ne sont définis (ne
prennent une valeur) que pour certaines valeurs de la variable indépendante. Un signal de
parole est un exemple de signal continu. Un signal discret pourra par exemple être un relevé
de température. Nous verrons par la suite que l’on peut obtenir un signal discret en
échantillonnant un signal continu.
De plus en plus de dispositifs utilisés pour le traitement du signal sont des dispositifs
numériques. Ils font appel à un ordinateur, un micoprocesseur ou un microcontrôleur. De fait
les signaux qu’ils manipulent sont des signaux à temps discret. Même les outils de simulation
tels que MATLAB ou SIMULINK utilisent des signaux discrets, de même que les
oscilloscopes modernes. Or les signaux physiques étudiés sont souvent initialement
analogiques (continus) et vouloir les manipuler en tant que signaux discrets suppose que l’on
puisse les transformer de l’un en l’autre. Une telle transformation peut avoir des conséquences
et il convient d’en étudier les propriétés pour l’utiliser au mieux. C’est l’objet de ce chapitre
qui s’attarde aussi sur les outils mathématiques qui facilitent la compréhension et la
conception, y sont abordés l’échantillonnage, le théorème de Shannon et le problème du
repliement de spectre.
Il est possible de transformer un signal continu en un signal discret. Ce processus est appelé
échantillonnage ou discrétisation. Il est représenté sur la figure ci-dessous (Fig . 1). Le signal
est dit discrétisé ou échantillonné. Les instants d’échantillonnage ne sont pas nécessairement
régulièrement espacés dans le temps. Toutefois, les échantillons sont prélevés à intervalles
réguliers. La durée entre deux instants d’échantillonnage, notée Te est alors appelée période
d’échantillonnage.
Généralement, un signal discret ou échantillonné x[n] est une séquence ordonnée de valeurs
correspondant à un index entier n qui représente l’histoire en fonction du temps du signal. Le
signal discret ne donne aucune information quant à l’intervalle d’échantillonnage Te, le temps

53
entre chaque échantillon du signal. Un signal discret est tracé en fonction de l’échantillon n et
non en fonction du temps.
1. Echantillonnage
L’échantillonnage des signaux analogiques est étudié en détail dans la première partie de ce
chapitre. Il suffit de savoir que tout signal analogique x(t) est acquis à un rythme régulier dicté
par la période d’échantillonnage Te et qu’il est stocké en mémoire d’ordinateur. Ces signaux
x[n] sont des signaux numériques obtenus à l’aide d’un convertisseur analogique-numérique
(CAN) tels que :
[ ] ( ) e
t nT
x n x t =
=
Fig. 1 : Echantillonnage d’un signal analogique
1.1 Modélisation d’un échantillonneur
Le signal échantillonné peut être vu comme le produit du signal physique par un peigne de la
distribution de Dirac ( )
t
δ , chaque pic de Dirac étant espacé de son voisin de e
T (peigne de
Dirac ( )
e
T t
δ ) , e
T s’appelle la période d’échantillonnage du signal.
De manière très générale, un échantillonneur idéal peut être schématisé par la figure ci-
dessous (Fig. 2) :
Fig. 2 : Modèle mathématique d’un échantillonneur
Soit la sortie :

54
( ) ( ). ( ) ( ). ( )
e Te
n
x nT x t t x t t nTe
+∞
=−∞
= δ = δ −
∑
Effectuer un échantillonnage sur un signal continu x(t) (Fig. 3), c’est à dire de point de vue
mathématique fabriquer un nouveau signal x(nTe) nul partout sauf aux instants
d’échantillonnage Te, 2Te, ..., nTe, ... où x(nTe) prend respectivement les valeurs x(Te),
x(2Te), ..., x(nTe), ...
Fig.3 : Echantillonnage d’un signal analogique
1.2 Transformée de Fourier d’un peigne de Dirac
La distribution peigne de Dirac et la transformée de Fourier sont les outils mathématiques
parfaitement adaptés pour traiter le problème d’échantillonnage.
Le peigne de Dirac :
( ) ( ) ( )
Te
n n
n
t t nTe t
fe
+∞ +∞
=−∞ =−∞
δ = δ − = δ −
∑ ∑ avec
1
Te
fe
=
La transformée de Fourier d’une fonction peigne de Dirac est une fonction peigne de Dirac de
poids fe.
{ } ( )
( ) ( )
Te fe
n k
n
TF t TF t fe f kfe fe f
fe
+∞ +∞
=−∞ =−∞
⎧ ⎫
⎛ ⎞
δ = δ − = δ − = δ
⎨ ⎬
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎩ ⎭
∑ ∑
Donc la transformée de Fourier du signal échantillonné s’écrit alors :

55
{ } { }
( ) ( ). ( ) ( ). ( )
e Te
n
TF x nT TF x t t TF x t t nTe
+∞
=−∞
⎧ ⎫
= δ = δ −
⎨ ⎬
⎩ ⎭
∑ .
( )
{ } ( )
{ } ( )
{ }
Te
e
TF x nT TF x t TF t
= ∗ δ
Et comme :
- { } ( )
( )
e e
TF x nT X f
= ,
- ( )
{ } ( ) ( )
Te fe
k
TF t fe f fe f k fe
+∞
=−∞
δ = δ = δ −
∑
Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e fe
n
X f X f fe f fe X f f k fe
+∞
=−∞
= ∗ δ = ∗δ −
∑
( ) ( )
e
n
X f fe X f k fe
+∞
=−∞
⇒ = −
∑ .
Un échantillonnage en temps implique donc une périodicité en fréquence.
1.3 Conséquences sur l’échantillonnage
1.3.1 Spectres
– Spectre de l’échantillonneur (peigne de Dirac)
Fig.4 : Peigne de Dirac
– Spectre du signal Physique :
( )
f
X ( )
f
X
Fig.5 : Spectre de ( )
x t

56
– Spectre du signal échantillonné
( )
f
Xe ( )
f
Xe
Fig.7 : Spectre du signal échantillonné ( )
e
x t
Si la fréquence d’échantillonnage n’est pas au moins 2 fois supérieure à la fréquence
maximale du signal échantillonné, il y a alors perte de l’information (les différentes
répétitions du signal se mélangent (dans le domaine des fréquences), on ne peut plus les
extraire avec un filtre.
1.3.2 Théorème de Shannon
Un signal analogique x(t) ayant une largeur de bande finie limitée à 2Fmax. Si l’on ne veut
pas perdre d’informations par rapport au signal que l’on échantillonne, on devra toujours
respecter la condition :
2 max
fe F
>
La plus petite fréquence 2Fmax est appelée fréquence de Nyquist ou de Shannon.
Pour que la répétition périodique de ce spectre ne déforme pas le motif répété, Il faut et il
suffit que la fréquence de répétition fe (la fréquence d’échantillonnage) soit égale ou
supérieure à 2 fois la fréquence maximum (2Fmax) du signal.
1.3.3 Filtre anti-repliement
Le filtre anti-repliement idéal serait un filtre passe-bas idéal de bande passante B = fe/2 . En
réalité, tout filtre réel comporte une bande de transition qui reporte la bande passante limite
BM au delà de la bande passante effective.

57
Fig.8 : Gabarit idéal du filtre anti-repliement
Afin d’éviter le repliement du spectre, il faut introduire un filtre que va couper les fréquences
au delà de fe/2 avant l’échantillonnage.
Fig.9 : Rôle du filtre anti-repliement
1.4 Périodisation du spectre
La formalisation de l’opération d’échantillonnage est malheureusement assez délicate, elle
s’effectue de manière simple et concise par l’intermédiaire de la théorie des distributions. En
effet, par définition, la distribution de masses unitaires aux points de l’axe réel multiples
entiers de la période Te (période d’échantillonnage), associe à la fonction x(t) l’ensemble de
ses valeurs xe(n)=x(nTe) où n est un entier. Cette distribution que l’on notera WTe (t) s’écrit :
( ) ( )
e
T e
t t nT
+∞
−∞
= −
∑
δ δ

58
Ou δ est une fonction de Dirac.
Sa transformée de Fourier s’écrit :
2
( ) e
e
j fnT
T
n
f e
+∞
−
=−∞
= ∑ π
δ
On peut le démontrer en considérant le développement en série de Fourier de la fonction
constituée par la suite d’impulsions séparées par la durée Te , de largeur τ et d’amplitude
1/τ , centrée sur l’origine des temps. Puis en faisant tendre cette durée τ vers 0. La propriété
la plus importante pour l’échantillonnage est alors la suivante : on démontre que la
Transformée de Fourier de la distribution temporelle comportant une masse unitaire en
chaque point dont l’abscisse est un multiple de Te, est une distribution fréquentielle,
comportant la masse1/ e
T aux points dont l’abscisse est un multiple entier de 1/ e
T . Ce qui
s’écrit plus simplement :
2 1
( ) ( )
e
e
j fnT
T
n n
e e
n
f e f
T T
+∞ +∞
−
=−∞ =−∞
= = −
∑ ∑
π
δ δ
Dès lors on constate que l’échantillonnage peut être formalisé en introduisant un signal
analogique xe(t ) qui est nul presque partout et égal à x(t) pour t=nTe . Ce signal se formalise
de la manière suivante :
+
n=-
( ) ( ). ( )
( ) ( - )
e
e T
e
x t x t t
x t t nT
∞
∞
=
= ∑
δ
δ
il vient que le spectre du signal échantillonné Xe (f) est égal au produit de convolution du
spectre du signal analogique X( f ) par δ Te ( f ) , soit :
1
( ) ( )
e
n
e e
n
X f X f
T T
+∞
=−∞
= −
∑
Il apparaît donc que l’échantillonnage temporel d’un signal analogique conduit à un signal
numérique dont le spectre est la périodisation du spectre d’origine du signal analogique.

59
1.5 Limites du théorème d’échantillonnage
Le contenu spectral d’un signal n’est pas toujours connu lorsqu’on veut l’échantillonner. De
plus, le bruit inhérent aux capteurs ou encore issu du contexte de la mesure doit être
spectralement limité. Il est donc essentiel pour éviter l’aliasing ou repliement du spectre
d’effectuer un filtrage analogique.
Le filtre antirepliement n’est pas idéal, il présente un certain affaiblissement en bande
atténuée et une ondulation en bande passante. Dans le cas où l’ordre du filtre analogique serait
élevé, la fréquence de Nyquist valant le double de la bande passante peut être approchée pour
échantillonner le signal. Cependant, il ne faut pas oublier l’ondulation dans la bande atténuée
du filtre retenu qui introduit dans le repliement de son spectre des imperfections dans le
signal. Un échantillonneur s’ouvrant durant un instant t met en mémoire x(t). En réalité, la
donnée récupérée n’est pas x[nTe] mais une valeur moyenne sur nTe-τ , nTe. Pour avoir une
bonne estimation, on choisit t << Te. Lorsqu’il n’y a pas de numérisation mais un
multiplexage temporel d’impulsions le signal prélevé recopie le signal d’entrée durant
l’ouverture t. L’opération est dans ce cas un échantillonnage analogique ou échantillonnage
suiveur.
L’échantillonneur bloqueur opère une acquisition sous la forme d’une tension aux bornes d’un
condensateur puis après l’isolation de ce dernier, une mémorisation est réalisée sous le nom
de blocage.
1.6 Choix de la fréquence d’échantillonnage
Deux cas peuvent se présenter suivant la valeur de fe :
1.6.1 Discrétisation correcte
Si le signal est à spectre borné, c’est-à-dire que X(f)=0 lorsque max
2
e
f f
> , les duplicata ne se
chevaucheront pas si la fréquence d’échantillonnage est telle que :
max
2
e
f f
>
Soit
max N
f f
<
Ou fN est la fréquence de Nyquist.
Cette condition connue sous le non de condition de Shannon, lorsque cette condition est
respectée, il est possible de reconstruire X( f ) à partir de Xe( f ) (Fig. 10).

60
-fe/2 fe/2
-A
fe
+A f
-fe/2 fe/2
-A
fe
+A f
Fig.10 : restitution idéal
Par convention la fréquence de Nyquist fN est la fréquence retenue pour la fréquence
normalisée.
2
e
N
f
f =
La fréquence normalisée F s’écrit alors :
2
N e
f f
F
f f
= =
Ou fe est la fréquence d’échantillonnage.
La technique de suréchantillonnage permet de fixer au niveau du filtrage numérique la
fréquence de coupure.
1.6.2 Discrétisation incorrecte : repliement du spectre
Cas fe < 2fmax
Le phénomène de repliement du spectre est un artefact qui se produit lorsque la discrétisation
d’un signal ne remplit pas la condition de Shannon.
On assiste à un repliement de spectre ou recouvrement ou encore aliasing. La conséquence est
l’impossibilité de reconstruire le signal de départ sans erreur X( f ) à partir de Xe( f ) (Fig. 11).
Xe(f)
-A +A
-fe/2 fe/2 fe
Xe(f)
-A +A
-fe/2 fe/2 fe
Fig.11 : repliement de spectre du signal

61
2. Signaux discrets de durée infinie
On considère un le signal continu x(t) est échantillonné tous les multiples de la période
d’échantillonnage Te. Cette opération d’échantillonnage peut être représentée
mathématiquement par la multiplication du signal x(t) avec un peigne d’impulsions de Dirac
distantes de Te.
( ) ( ) ( )
e
e T
x t nT x t t
δ
= =
On obtient ainsi une suite d’impulsions de Dirac pondérées par les valeurs x (t = nTe) ; celles-
ci représentent alors le signal discret x[n]. Dans l’espace fréquentiel, le peigne de Dirac
temporel ( )
e
T t
δ devient un peigne de Dirac périodique fe
temps fréquence
t
t
t
f
f
f
( )
e
T t
δ
( ). ( )
e
T
x t t
δ
( )
x f
( )
e
f
f f
Δ = δ
( )
x t
+fe
-fe
+fe/2
-fe/2
( )
X f f
⊗ Δ
t
Δ
t
Δ
temps fréquence
t
t
t
f
f
f
( )
e
T t
δ
( ). ( )
e
T
x t t
δ
( )
x f
( )
e
f
f f
Δ = δ
( )
x t
+fe
-fe
+fe/2
-fe/2
( )
X f f
⊗ Δ
t
Δ
t
Δ
Fig.12 : Signaux de durée infinie
3. Signaux discrets de durée finie
Dans le cas où l’on désire traiter numériquement un signal, le nombre de valeurs x[n] ne peut
pas être infiniment grand. On est donc contraint à ne prendre en compte qu’une partie du
signal original. Mathématiquement, cette opération de troncation revient à multiplier le signal
x(t) par une fenêtre rectangulaire h(t) de largeur T. À cette multiplication dans l’espace temps
correspond un produit de convolution dans l’espace des fréquences entre le spectre du signal

62
X(f) et le spectre en sinus cardinal de la fenêtre h(t). Il en résulte une déformation du spectre
original causée par les ondulations du sinus cardinal.
Fig.13 : Signaux de duré finie
4. Discrétisation de la fréquence
Pour calculer numériquement un spectre, il est évidemment nécessaire de discrétiser la
fréquence. En divisant le domaine fréquentiel en N intervalles, l’incrément fréquentiel vaut
f
Δ = fe/N et les fréquences analysées, au nombre de N, sont :
. . e
f
f k f k
N
= Δ =
Cette discrétisation de la fréquence n’est rien d’autre qu’un échantillonnage dans le domaine
spectral et les résultats des opérations d’échantillonnage et de multiplication vues plus haut
pour l’espace temps s’appliquent également dans l’espace des fréquences, alors à la
discrétisation du domaine spectral correspond un signal temporel périodique.
5. Relations entre le temps et la fréquence

63
Comme les domaines temporel et fréquentiel sont discrétisés avec le même nombre de points
N, on peut relever que :
• L’espace du temps est caractérisé par la durée de l’enregistrement T et par l’incrément
temporel Te (Te période d’échantillonnage) :
e
T
T
N
=
Avec N la longueur du signal échantillonné.
• L’espace des fréquences est caractérisé par l’incrément fréquentiel f
Δ et la fréquence
maximum fmax qui n’est autre que la fréquence d’échantillonnage fe :
max e
f f
f
N N
Δ = =
Ces deux relations ayant en commun la période d’échantillonnage Te et son inverse la
fréquence d’échantillonnage :
1 T 1
.
e
e
T
f N N f
≡ ⇔ =
Δ
Alors les relations importantes liant les domaines temporel et fréquentiel sont :
1
f
T
Δ =
max
1 1
e
e
f f
t T
≡ = ≡
Δ
1
.
t f
N
Δ Δ =
De plus, on définit la fréquence de Nyquist fN comme étant la limite du domaine d’analyse
spectrale :
2
e
N
f
f =
Les relations entre le temps et la fréquence peuvent se traduire par les propriétés suivantes.

64
• L’incrément fréquentiel f
Δ est l’inverse de la durée temporelle T.
• La période spectrale fmax = fe est l’inverse de l’incrément temporel t
Δ
• Le domaine d’analyse spectrale est limité par la fréquence de Nyquist fe/2.
• Pour un nombre donné de points N, il n’est pas possible d’avoir simultanément une
très bonne dé_nition temporelle ( t
Δ petit) et une très bonne définition fréquentielle
( f
Δ petit).
6. Propriétés d’un signal discret
On retrouve généralement les mêmes propriétés pour un signal discret que pour un signal
continu. Les deux opérations les plus importantes sont le déphasage temporel (retard
temporel) et le repliement.
- Signal discret périodique
Un signal discret ou échantillonné x[n] est une séquence ordonnée de valeurs correspondant à
un index entier n qui représente l’histoire en fonction du temps du signal.
Fig.14 : Exemple d’un signal discret
Un signal discret périodique se répète à tous les N échantillons, et est décrit par :
[ ] [ ]
x n x n kN
= ± , où k=1, 2, 3, …
La période N est le plus petit nombre d’échantillons qui se répètent. La période d’un signal
discret est toujours un entier.
- Valeur moyenne
Pour un signal périodique, la valeur moyenne xmoy et la puissance P sont définis selon :

65
[ ]
1
0
1 N
moy
n
x x n
N
−
=
= ∑
[ ]
2
1
0
1 N
n
P x n
N
−
=
= ∑
L’énergie E d’un signal est :
[ ]
2
n
E x n
+∞
=−∞
= ∑
- Décalage temporel
Le déphasage temporel a lieu lorsqu’on déplace la séquence x[n] vers la droite ou vers la
gauche d’un certain nombre d’échantillons n1. Un signal y[n] = x[n-n1] représente une
version retardée de x[n] (pour n1 > 0).
- Repliement
Le repliement permet de faire une image miroir d’un signal. Un signal y[n] = x[-n] représente
une version repliée de x[n], ou un image miroir de x[n] autour de n = 0. Evidemment, on peut
aussi appliquer le retard temporel à un signal replié.
La technique générale de transformation vue pour les signaux à temps continu s’applique aux
signaux à temps discrets.
- Symétrie
Tout comme les signaux continus, on peut définir certaines symétries pour les signaux
discrets. Un signal est dit de symétrie paire si :
[ ] [ ]
x n x n
= −
Un signal est dit de symétrie impaire si :
[ ] [ ]
x n x n
= − −
On utilise la notation xp pour noter un signal pair et xi pour noter un signal impair.
Un signal ne peut pas être pair et impaire en même temps. De plus, n’importe quel signal peut
être décomposé en une somme d’un signal pair et un signal impair :

66
[ ] [ ] [ ]
p i
x n x n x n
= +
- Interpolation
L’interpolation est l’étirement en fonction du temps. Ceci correspond à ralentir le signal, ou
augmenter le taux d’échantillonnage.
Trois techniques existent pour faire l’interpolation :
1. Interpolation zéro : Implique que chaque nouvel échantillon est nul (zéro).
2. Interpolation échelon : On prend la valeur précédente pour le nouvel échantillon.
3. Interpolation linéaire : On fait la moyenne entre les valeurs de chaque côté du
nouvel échantillon.
Exemple :
Fig.15 : Exemple d’interpolation
7. Signaux discrets communs
On retrouve les mêmes signaux types en temps discret qu’en temps continu, soit l’impulsion,
l’échelon et la rampe.
- L’impulsion [ ]
n
δ , par définition, est :
[ ] {1, 0
0, sin
si n
on
n =
δ =

67
- La fonction rampe est :
[ ] { , 0
0, sin
n si n
on
r n ≥
=
- La fonction échelon discrète est :
[ ] {1, 0
0, sin
si n
on
u n ≥
=
Les autres fonctions utiles sont les fonctions Rect et Tri. La fonction Rect(n/2N) représente un
pulse centré à l’origine, de largeur totale 2N.
{1,
0,
Re
2
pour n N
aillaurs
n
ct
N
≤
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
La fonction Tri crée un triangle d’amplitude maximale 1 centré à l’origine, de largeur totale à
la base de 2N.
1 ,
0,
n
pour n N
N
aillaurs
n
Tri
N
− ≤
⎧
⎪
⎛ ⎞
= ⎨
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪
⎩

68
Chapitre 5 :
Systèmes discrets
Introduction :
Les systèmes linéaires discrets invariants dans le temps (LIT) constituent un domaine très
important du traitement numérique du signal, qui est celui des filtres numériques à
coefficients fixes. Ces systèmes se caractérisent par le fait que leur fonctionnement est régi
par une équation de convolution. L’analyse de leurs propriétés se fait à l’aide de la
Transformation en Z, qui joue pour les systèmes discrets le même rôle que la transformée de
Laplace ou de Fourier pour les systèmes continus.
Généralement, un système à temps discret est un système qui transforme un signal d’entrée à
temps discret, appelé signal d’excitation, en un signal de sortie à temps discret, appelé signal
de réponse.
Un signal d’entrée x[n] est transformé en un signal de sortie y[n] :
Fig.16 : système linéaire invariant dans le temps
Pour des raisons de simplicité, de précision, de stockage de l’information, de flexibilité, etc,
un traitement numérique équivalent est possible et préférable. On utilise alors des
convertisseurs analogiques-numériques (CAN) et numériques analogiques (CNA) pour relier
au processeur numérique les signaux analogiques d’entrée et de sortie. Le schéma
correspondant est donné à la figure ci-dessous.
Fig.17 : Traitement numérique d’un signal analogique

69
1. Systèmes linéaires et invariants dans le temps (LIT)
Beaucoup de dispositifs peuvent être modélisés comme des systèmes linéaires et invariants
dans le temps (LIT). Ces systèmes cumulent les trois propriétés vues ci-dessus, additivité,
homogénéité et invariance temporelle. La combinaison de ces trois propriétés permet de
spécifier la relation entre la sortie et l’entrée du système comme le résultat d’un produit de
convolution entre l’entrée et la réponse impulsionnelle caractérisant le système.
On appelle h[n], la réponse d’un système discret à une entrée impulsionnelle (Kronecker) δ[n]
:
Fig.18 : Système discret
[ ] [ ] [ ] [ ]
si x n n y n h n
= δ ⇒ =
du fait de la propriété d’invariance temporelle on a :
[ ] [ ] [ ] [ ]
x n n k y n h n k k
= δ − ⇒ = − ∀ ∈`
La propriété d’additivité des systèmes linéaires nous permet aussi d’écrire :
[ ] [ ] [ ] [ ]
k k
x n n k y n h n k k
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= δ − ⇒ = − ∀ ∈
∑ ∑ `
- Appliquons le premier point énuméré précédemment en utilisant des signaux δ comme
fonction de base. Soit x[n] un signal numérique quelconque que l’on cherche à représenter
uniquement avec un ensemble de fonctions [ ]
n
δ .
Développons le signal x[n] :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
..., 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,...
x n x x x x x x
= − − − + +
ce que l’on peut écrire de façon plus compacte :
[ ] [ ] [ ]
.
k
x n x k n k
+∞
=−∞
= δ −
∑
En utilisant les développements précédents et la propriété d’homogénéité, on obtient
l’expression de la sortie associée à cette entrée :

70
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
. .
k k
y n x k h n k x n k h k
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= − = −
∑ ∑
c’est le produit de convolution que l’on note aussi :
[ ] [ ] [ ]
y n x n h n
= ∗
2. Propriété du produit de convolution discrète
La convolution est une opération mathématique, comme l’addition ou la multiplication.
L’addition prend 2 chiffres comme entrée et en produit un troisième ; la convolution prend 2
signaux comme entrée et en produit un troisième. La convolution est utilisée dans plusieurs
domaines, comme la statistique, mais ici on s’intéresse à elle parce qu’elle permet de relier
l’entrée à la sortie d’un système linéaire.
Une entrée x[n] appliquée à un système h[n] produira une sortie y[n] :
[ ] [ ] [ ]
y n x n h n
= ∗
P1– Le produit de convolution discrète est commutatif :
[ ] [ ] [ ] [ ]
x n h n h n x n
∗ = ∗
Cela veut dire que la sortie d’un système caractérisé par une réponse impulsionnelle h[n] à
une entrée x[n] est la même que celle d’un système caractérisé par une réponse impulsionnelle
x[n] à un entrée h[n].
P2– Le produit de convolution est associatif :
[ ] [ ]
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
1 2 1 2
x n h n h n x n h n h n
∗ ∗ = ∗ ∗

71
Fig.19 : Associativité du produit de convolution
P3– Le produit de convolution est distributif pour la somme :
[ ] [ ] [ ]
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 1 2
x n h n h n x n h n x n h n
∗ + = ∗ + ∗
Fig.20 : Distributivité du produit de convolution
La réponse impulsionnelle h[n], caractérise complètement un système linéaire et invariant
dans le temps.

72
3. Convolution de séquences finies
Il existe quelques méthodes pour faire la convolution de séquences finies. On en verra
quelques unes ici. La convolution y[n] de deux séquences finies x[n] et h[n] est elle aussi une
séquence finie.
Les règles suivantes sont à suivre :
1. L’indice de début de y[n] est la somme des indices de début de x[n] et h[n].
2. L’indice de fin de y[n] est la somme des indices de fin de x[n] et h[n]
3. La longueur de y[n] est la longueur de x[n] plus la longueur de h[n] moins 1 :
Ly =Lx + Lh – 1
3.1 Méthode de la somme des colonnes
Cette méthode ressemble un peu à la multiplication faite à la main. On met la séquence h[n]
dans une rangée. Dessous, on place x[n], en alignant les deux valeurs de début des séquences.
Ensuite, on multiplie chaque valeur de h[n] par une valeur de x[n]. On répète pour une autre
valeur de x[n], en plaçant le résultat dans une autre rangée en dessous. Finalement, on fait la
somme des colonnes pour obtenir le résultat final.
Faire la convolution de h[n]={1, 2, 2, 3} par x[n] ={2, -1, 3}.
En appliquant la méthode :
Donc, la sortie y[n]={2, 3, 5, 10, 3, 9}
3.2 Méthode de la bande glissante
Cette méthode ressemble un peu à la méthode graphique utilisée dans les systèmes continus.
On va replier x[n] pour obtenir x[-n], puis déplacer x[-n] devant h[n] en multipliant les
valeurs de x[n] avec h[n] puis en faisant la somme.

73
Trouver la convolution de h[n] ={2, 5, 0, 4} par x[n]={4, 1, 3}.
Donc, la sortie y[n]={8, 22, 11, 31, 4, 12}.
3.3 Multiplication polynômiale
La convolution est la même procédure que la multiplication de polynômes.
On peut considérer h[n] et x[n] comme des polynômes : convolution h[n] ={2, 5, 0, 4} par
x[n]={4, 1, 3}.
( ) 3 2
2 5 4
h z z z
= + +
( ) 2
4 3
x z z z
= + +
On fait alors la multiplication de ces polynômes :
( ) 5 4 3 2
8 22 11 31 4 12
y z z z z z z
= + + + + +
Donc, la sortie y[n]={8, 22, 11, 31, 4, 12}.
4. Propriétés des systèmes LIT
4-1. Causalité :
[ ] [ ] [ ]
.
k
y n x k h n k
+∞
=−∞
= −
∑
Si le système est causal, y[n] ne doit pas dépendre des x[k] pour k > n, on doit donc avoir
[ ]
h n k
− = 0 pour n −k < 0. Donc le produit de convolution se réécrit :
[ ] [ ] [ ]
.
n
k
y n x k h n k
=−∞
= −
∑

74
4-2. Stabilité :
Définition : un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée. On
étudiera seulement le cas discret, le cas continu étant analogue, soit une entrée bornée :
[ ] ,
x n cte n
≤ ∀
La sortie du système LIT en module est donc :
[ ] [ ] [ ]
. ,
k
y n x k h n k
+∞
=−∞
= −
∑
qui est majoré par la somme
[ ] [ ] [ ]
. ,
k
y n x k h n k
+∞
=−∞
≤ −
∑
[ ] [ ]
. .
k
y n cte h k
+∞
=−∞
⇒ ≤ ∑
5. Traitement des signaux numériques
Le traitement numérique de l’information apporte de nombreux avantages techniques ainsi
qu’une flexibilité accrue dans beaucoup de domaine. Le traitement du signal par transformée
de Fourier pose cependant un certain nombre de problèmes. En effet un ordinateur ne peut
traiter que des signaux numériques, ceux-ci sont obtenus après un échantillonnage et une
quantification. Leur étude devra tenir compte des effets induits sur le spectre par ces deux
techniques. De plus, un calcul de transformée de Fourier est une somme d’une infinité
d’échantillons. Le temps nécessaire ainsi que la mémoire de l’ordinateur vont forcément
emmener certaines contraintes à ce niveau.
5.1 Passage de la TF à la TFD
Le passage de la transformation de Fourier (TF) des signaux analogiques x(t) à la
transformation de Fourier discrète (TFD) des signaux numérisés x[n] fait intervenir trois
opérations :
- l’échantillonnage du signal analogique ;
- la limitation de la durée de l’enregistrement de ce signal ;
- la discrétisation de la fréquence pour l’analyse spectrale numérique.

75
5.2 Transformation de Fourier discrète (TFD)
Pour avoir une transformation de Fourier discrète, il est indispensable d’échantillonner le
signal x(t); pour le rendre un signal discret de N valeurs numériques{ } { }
0,1,2,..., 1
( )
e n N
x nT ∈ −
. Un
signal discret est défini par une suite d’échantillons espacés entre eux d’une période Te. La
transformée de Fourier discrètes directe ou inverse appliquée à un signal discret x[n] devient
donc :
1
2
0
( ) ( ) e
N
j fnT
e
n
X f x nT e π
−
−
=
= ∑
Le calcul de la TFD peut être réalisé pour n’importe quelle valeur de la variable de fréquence
f pour obtenir un spectre X(f) défini pour f variant de manière continue. Ce spectre peut être
échantillonné au rythme fe/N. on obtient N valeurs équiréparties de 0 a fe.
1 2
0
( ) ( ) ( )
nk
N j
e N
e
n
kf
X X k x nT e
N
π
− −
=
= = ∑
La transformée inverse est définie comme suit :
1 2
0
( ) ( )
nk
N j
N
k
x n X k e
π
−
=
= ∑
5.3 TFD et FFT
La découverte de la transformation rapide de Fourier en 1965 par Cooley et Tukey [3 chap-
élement d’analyse] a été d’une importance majeure pour le traitement du signal car elle a
permis d’envisager l’analyse spectrale numérique de signaux de longue durée en des temps
raisonnablement courts. L’algorithme de Cooley et Tukey a très vite été connu sous le nom de
transformation rapide de Fourier et il est généralement désigné FFT (Fast Fourier Transform).
Il est aisé de voir que le nombre d’opérations arithmétiques (sommes et produits) nécessitées
par la TFD d’une suite de longueur N est proportionnel à N2
. Ce qui, pour une suite de
longueur 1000, conduit à calculer 1000000 de sinus et cosinus suivis d’une addition et d’une
multiplication ; les temps de calcul deviennent très lourds.
L’algorithme de la FFT utilise le fait que l’opération de la TFD globale peut être décomposée
en la TFD de séquences de plus en plus courtes. Il en découle alors que le nombre total
d’opérations est bien inférieur à celui imposé par la simple application de l’algorithme de la

76
TFD. En contrepartie, le nombre de points analysés N doit être une puissance de 2. Le nombre
d’opérations demandées par le nouvel algorithme est alors fortement diminué et il vaut :
2
log ( )
op
N N N

Fig.21 : Comparaison entre l’algorithme de TFD et FFT
L’algorithme FFT n’est pas une nouvelle transformation. Ce n’est rien d’autre qu’un moyen
rapide d’obtenir les mêmes résultats que ceux fournis par la TFD (Fig. 21).
7. Effet de fenêtrage en traitement du signal
7.1 Effet de la troncation
L’opération de troncation qui, dans une première approche peut sembler anodine, modifie
sensiblement la réponse fréquentielle et entraîne des ondulations dans les bandes passantes et
d’arrêt. Ceci provient de la convolution entre la réponse fréquentielle du filtre idéal et le
spectre en sinus cardinal de la fenêtre rectangulaire :
( ) ( ) ( )
d
H f H f W f
= ∗
' ' '
1
( ) ( ) ( )
2
d
H f H f W f f df
π
π
π
−
= −
∫
Afin d’obtenir le meilleur compromis possible entre une faible ondulation et une bande de
transition étroite, on sera donc amené par la suite à choisir une fenêtre w[n] dont le
comportement fréquentiel est satisfaisant du point de vue du filtre à réaliser. C’est-à-dire que
l’on cherchera un compromis entre l’amplitude des ondulations et la largeur des bandes de
transition.
7.2 Caractéristiques de quelques fenêtres
Du choix de la fenêtre, dépendra la qualité de l’approximation ; il est donc nécessaire de
passer en revue les caractéristiques de celles-ci. On rappellera tout d’abord que si on désire

77
conserver la phase linéaire du filtre, il faut que les fenêtres possèdent une symétrie paire ou
impaire. La troncation simple de la réponse impulsionnelle de longueur infinie conduit à une
réponse fréquentielle avec des ondulations importantes. Celles-ci sont dues au phénomène de
Gibbs et ne peuvent être diminuées que si la fenêtre possède des transitions douces,
contrairement à la troncation simple. Les fenêtres susceptibles de satisfaire les besoins de
synthèse des filtres et d’analyse spectrale ont fait l’objet d’études extensives [3]. Parmi les
nombreuses fenêtres proposées, seules celles qui sont le plus souvent citées sont présentées ci-
après.
7.3 Fenêtres analytiques
Pour chacune des fenêtres étudiées, on présentera son équation w[n] et une figure comportant
3 graphes :
- son graphe temporel w[n]
- son spectre d’amplitudes en dB
Cette représentation peu commune est importante car grâce à elle, on peut mesurer le niveau
d’atténuation possible ainsi que la largeur de la bande de transition pour un filtre RIF. Sa
définition découle de la convolution entre une réponse fréquentielle constante et le spectre de
la fenêtre w[n].
Fenêtre rectangulaire
1 si 0
[ ]
0 sinon
n N
wn
≤ ≤
⎧
=⎨
⎩
Fenêtre triangulaire (ou de Bartlett)

78
sinon
2 si 0
2
[ ] 2 2 si
2
0
t
n N
n
N
n N
w n n N
N
⎧
≤ ≤
⎪
⎪
⎪
= −
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
Fenêtre cosinusoïdale (ou de Hanning)
0.5(1 cos(2 )) si 0 n
[ ]
0 sinon
c
n
N
w n N
π
⎧
− ≤ ≤
⎪
= ⎨
⎪
⎩
Fenêtre de Hamming
0.54 0.46cos(2 ) si 0
[ ]
0 sinon
h
n
n N
w n N
π
⎧
− ≤ ≤
⎪
= ⎨
⎪
⎩

79
Fenêtre de Blackman
0.42 0.5cos(2 ) 0.08cos(4 ) si 0
[ ]
0 sinon
b
n n
n N
w n N N
π π
⎧
− + ≤ ≤
⎪
= ⎨
⎪
⎩
Fenêtre de Kaiser-Bessel
Les fenêtres présentées ci-dessus ont des formes et des atténuations fixes apportant chacune sa
largeur du lobe principal et son atténuation des lobes latéraux. La contribution de Kaiser fut
de proposer une fenêtre s’adaptant à l’atténuation désirée. Cette fenêtre est définie par une
fonction de Bessel :
2
0
0
( 1 (1 )
[ ] si 0
( )
0 sinon
s
k
n
I
N
w n n N
I
β
β
⎧
− −
⎪
⎪
= ≤ ≤
⎨
⎪
⎪
⎩
avec :

80
- 0
I = fonction de Bessel modifiée de première espèce et d’ordre zéro
- β = paramètre de forme de la fenêtre
- s
N = N/2 = point de symétrie de la fenêtre
L’usage fréquent des fenêtres de Hanning ou de Hamming est dû à ce que ces fonctions sont
familières et faciles à calculer. Cependant, bien que la fonction de Bessel soit en général peu
connue, il est aisé de la calculer en utilisant son développement en série :
2
0
1
1
( ) 1
! 2
n
n
t
I t
n
∞
=
⎡ ⎤
⎛ ⎞
= + ⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
Cette série converge rapidement et la procédure de calcul proposée par Kaiser est très simple
à mettre en œuvre :
function Bessel0 (t :real) :real ;
const p = 1.0e-6 ;
var d, ds, s : real ;
begin
d := 0.0 ; ds := 1.0 ; s := 1 ;
repeat
d := d + 2.0 ;
ds := ds * (t / d) * (t / d) ;
s := s + ds ;
until abs (ds/(s+p)) p ;
Bessel0 := s ;
end ;

81
La figure ci-dessous montre les caractéristiques fréquentielles de quelques fenêtres de Kaiser.
D’après la représentation fréquentielle de cette fenêtre. On en tire les conclusions suivantes :
- en augmentant la longueur du filtre N, on diminue la largeur du lobe principal
- en augmentant le paramètre de forme β , on diminue l’amplitude des lobes latéraux.
7.4 Propriétés et utilisation des fenêtres
L’ensemble des propriétés concernant les fenêtres et les filtres étudiés sont réunies dans les
tableaux suivants. On y trouve les caractérisitques spectrales de quelques fenêtres usuelles, les
caractéristiques des filtres RIF en fonction des fenêtres utilisées, les avantages et
inconvénients de ces fenêtres.
Largeur du 1er lobe Atténuation du 1er
lobe (dB)
Décroissante des lobes
suivants (dB/déc)
Rectangle 4π/N -13 20
Triangle 8π/N -27 40
Hanning 8π/N -32 60
Hamming 8π/N -43 20
Blackman 12π/N -58 60
Kaiser 7.2π/N -30 20
54
.
4
=
β
5.66
β =
Largeur du 1er lobe Atténuation du 1er
lobe (dB)
Décroissante des lobes
suivants (dB/déc)
Rectangle 4π/N -13 20
Triangle 8π/N -27 40
Hanning 8π/N -32 60
Hamming 8π/N -43 20
Blackman 12π/N -58 60
54
.
4
=
β
5.66
β =
Table. 1 : Caractéristiques spectrales des fenêtres usuelles

82
Fenêtres Remarques
Triangle
- simple à calculer ; pas de sinus ou cosinus
- bande spectrale étroite
- faible réjection
- décroissance spectrale moyenne
Hamming
- simple à calculer
- bonne réjection
- faible décroissance spectrale
Hanning
- réjection raisonnable
- forte décroissance spectrale
Blackman
- bande spectrale moyenne
- très bonne réjection
- forte décroissance spectrale
Kaiser
- moins simple à calculer
- bande spectrale moyenne
- excellente réjection
- faible décroissance spectrale
- meilleur compromis atténuation
Table. 2 : Avantages et inconvénients des fenêtres utilisées dans la réalisation de filtre
8. Analyse locale d’un signal
Le support des sinusoïdes 2
i ft
e π
dans la transformée de Fourier couvre tout l’axe réel, ce qui
implique que pour une fréquence f fixé, la fonction X(f) dépend des valeurs de x à tous les
instants t. Pour évaluer complètement un événement local, il faudrait donc retrouver les

83
coefficients correspondants dans toute la transformée du signal. En conséquence, il est donc
difficile d’analyser les caractéristiques locales du signal x(t) à partir de X(f) (X est la
transformée de Fourier du signal x(t)) ; or, dans beaucoup de problèmes, on recherche une
certaine localisation en temps de l’analyse fréquentielle. Par exemple, la voix est un signal
dont la décomposition fréquentielle varie au cours du temps, ce qui pourrait demander une
certaine étude locale du signal. Bien sûr il existe bien d’autres domaines où l’on recherche à
localiser en temps et en fréquences des événements précis dans le comportement du signal.
Une première idée qui vient à l’esprit est d’analyser le signal dans une fenêtre que l’on
déplacerait le long de l’axe du temps. Une conséquence immédiate serait alors une résolution
fixe en temps et en fréquences, en d’autres termes, la largeur de la fenêtre en temps t
σ et en
fréquence f
σ seraient fixées et bornées. Cela permettrait de localiser dans les deux
représentations simultanément. En résumé, le but serait de ne plus analyser le signal avec des
fonctions dont l’énergie est concentrée en fréquences et étalée en temps, mais de fixer le
support de celle-ci dans les deux représentations. C’est ce que fait la représentation temps-
fréquence (transformée de Fourier fenêtrée).

84
Partie II :
Filtres Analogiques et numériques
--------------------------------------------

85
Chapitre 6 :
Filtres analogiques
Introduction :
Les technologies utilisées pour réaliser les opérations de filtrage ont connu une évolution au
cours du XXème siècle. La grande majorité des filtres utilisés pour ces applications étaient
basés sur des circuits RLC (passifs). Les techniques d’approximations analytiques datent de
cette époque, ainsi que les techniques de synthèse LC. On retiendra les noms de Cauer, Piloty,
Darlington …, qui ont énormément contribué au développement de ces techniques.
Au milieu des années 1960, la naissance de développement en grande série d’amplificateurs
opérationnels, permettant de voir arriver les filtres actifs (RCAO : RC+Ampli Opérationnel)
capables d’effectuer en une même opération filtrage et amplification. L’intérêt économique de
ce type de filtre s’est révélé dans les années 1970, avec l’arrivée des circuits intégrés (HIC ou
plus tard DIP), qui intègrent amplificateur opérationnel, résistances, et capacités. C’est
également à cette époque que sont apparus les filtres d’onde, sous l’impulsion de Fettweis.
Les années 1980 on vu le développement des circuits à capacités commutées, et l’arrivée des
processeurs de signaux numériques, qui ont ouvert la voie au filtrage numérique. Plus
récemment des filtres analogiques VLSI sont apparus, avec des techniques de synthèse qui
leur sont propres.
Le filtrage en fréquence fut historiquement l’une des premières fonctions utilisées en
radioélectricité. Aujourd’hui, on trouve des filtres dans de nombreux équipements
électroniques. La tendance est actuellement de remplacer les structures analogiques pars des
versions numériques, de caractéristiques plus précis et plus reproductible.
On conserve cependant, des solutions analogiques en électronique de puissance, en
électroacoustique et dans les systèmes hauts fréquence.
1. Filtres : Caractéristiques générales
D’une manière générale, un filtre est un système linéaire dont le rôle est de modifier la
composition spectrale d’un signal sans y ajouter de nouvelles composantes. Il permet le
renforcement ou l’atténuation d’une ou plusieurs bandes de fréquences.

86
Où est un réseau électronique qui modifie l’amplitude et la phase d’un signal d’entrée
d’excitation x(t) pour produire un signal de sortie y(t).
A cette modification du signal temporel x(t) correspond une modification du spectre X(f) pour
produire Y(f).
)
(t
x
Entrée Sortie
)
(t
y
)
(t
h
TF
( )
X f
Entrée Sortie
( )
Y f
( )
H f
)
(t
x
Entrée Sortie
)
(t
y
)
(t
h
)
(t
x
Entrée Sortie
)
(t
y
)
(t
h
TF
( )
X f
Entrée Sortie
( )
Y f
( )
H f
Fig.1 : Système LIT
Il peut s‘agir soit :
- d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences parasites indésirables
- d’isoler dans un signal complexe la ou les bandes de fréquences utiles.
Fig.2 : Filtre passe bande
2. Différents types de filtres
On classe les filtres en deux types différents : Analogique et Numérique.
Les filtres numériques : sont réalisés à partir de structure intégrée microprogrammable
(DSP). Ils sont totalement intégrables, souples et performants. Ils sont utilisés chaque fois que
c’est possible. Ils sont pour l’instant limités à des fréquences pas trop élevées ( 100MHz).
On ne les utilisera pas si on doit limiter la consommation et ils nécessitent un pré-filtrage pour
éviter le repliement spectral avant la numérisation du signal et un post-filtre de lissage.
Les filtres analogiques : se divisent eux mêmes en plusieurs catégories :
- les filtres passifs qui font appels essentiellement à des inductances de haute qualité et
des condensateurs. Jusque dans les années 70, c’était les seuls filtres conçus. Ils sont
actuellement utilisés pour les hautes fréquences. (utilisation de quartz).
- les filtres actifs sont constitués de condensateurs, de résistances et d’éléments actifs
qui sont essentiellement des AIL. Ils sont moins encombrants, faciles à concevoir et moins

87
coûteux que les filtres passifs mais restent limités en fréquence ( 1MHz à cause de l’AIL).
Ils consomment plus et nécessitent une source d’alimentation.
Les filtres actifs présentent un ensemble d’avantages sur les filtres passifs (RLC) :
- Ils sont plus fiables (toute la chaîne de fabrication est automatisée);
- En grandes quantités, leur coût est nettement moindre;
- Les éléments parasites (résistances, capacités, ou inductances parasites) sont
moindres, vu la petite taille des circuits;
- On peut les intégrer si nécessaire sur la puce électronique portant un processeur
numérique.
On leur trouve également certains défauts :
- Les composants actifs (ampli opérationnel) ont une bande passante réduite, ce qui
tend à en limiter l’usage aux applications audio. Au contraire, les composants passifs sont
utilisés pour les applications hautes fréquences (500 MHz)
- Les circuits actifs sont très sensibles à la précision sur leurs composants, c’est-à-dire
que leurs caractéristiques peuvent varier beaucoup si les composants utilisés n’ont pas leur
valeur nominale (ce qui arrive toujours en pratique, si on considère que la précision garantie
par les fabricants sur les résistances et condensateurs est souvent de l’ordre de 10%!).
- Les composants actifs nécessitent une source d’énergie. Il convient donc de chercher
à en minimiser le nombre, pour des spécifications données.
- Les amplitudes des signaux traitables par des filtres actifs sont de l’ordre du Volt (au
delà de cette valeur, ils peuvent produire de la distorsion). Les résistances et les amplis
opérationnels produisent par ailleurs du bruit. Ceci tend à limiter la dynamique des signaux
utilisables, ce qui n’est pas le cas pour les filtres passifs.
En conséquence, ces deux technologies (synthèse LC et RCAO) restent d’application pour la
synthèse des filtres analogiques. Nous n’aborderons ici que la synthèse RCAO, la plus simple
des deux.
3. Filtres idéaux

88
Dans le cas idéal est un filtrage qui élimine totalement les bandes indésirables sans transition
et sans introduire de déphasage dans les bandes conservées.
Selon la bande rejetée, on distingue 5 familles suivantes :
- Passe-bas - Passe-haut
- Passe-bande - Coupe-bande
- Passe-tout
4. Filtres réels
Les filtres réels (analogiques) présentent des imperfections avec lesquelles il faut trouver des
compromis en fonction de son application.
- transition progressive entre la bande atténuée et la bande passante
- irrégularité du gain dans la bande passante (ondulations)
- affaiblissement dans la bande atténuée
- irrégularité du gain dans la bande atténuée (ondulations)
- irrégularité du temps de propagation
Fig.3 : Filtre réel
Fig.4 : Gabarit d’un filtre
5. Fonction de transfert
Les filtres sont caractérisés par leur fonction de transfert ( )
H f ou réponse en fréquence :

89
( )
X f
Entrée Sortie
( )
Y f
( )
H f
( )
X f
Entrée Sortie
( )
Y f
( )
H f
( )
( )
( )
Y f
H f
X f
=
On la décompose en réponse en amplitude ( )
A ω et réponse en phase ( )
β ω .
( )
( ) ( ) j
H A e β ω
ω = ω
On définit également l’affaiblissement par :
( )
( ) 20log ( )
Af A
ω = ω
Le délai de phase (retard de phase) est :
( )
( )
ph
β ω
τ ω = −
ω
Le délai de groupe (retard de groupe) est :
( )
( )
( )
gr
d
d
β ω
τ ω = −
ω
5.1 Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode est un moyen de représenter le comportement en fréquence d’un
Filtre. Il permet une résolution graphique qui est souvent la méthode la plus rapide.
On définit le diagramme de Bode en gain par la fonction :
( )
( ) 20log ( )
dB
H H
ω = ω
On définit le diagramme de Bode en phase par la fonction :
( )
( )
H Argument H
ϕ = ω
Décade : rapport dix entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du
diagramme de Bode pour parler d’un rapport dix entre deux fréquences.
Octave : rapport deux entre deux valeurs ; utilisée souvent sur l’axe des fréquences du
diagramme de Bode pour parler d’un rapport deux entre deux fréquences.
5.2 Fonction de transfert et stabilité
La forme générale de la fonction de transfert d’un filtre s’écrit avec la notation complexe
( jω) ou de Laplace P.

90
0 1
0 1
......
( )
( )
( ) ......
n
n
m
m
a a P a P
N P
H P
D P b b P b P
+ + +
= =
+ + +
L’ordre du filtre est m, qui doit bien entendu satisfaire à m=n. Les zéros de N(P) sont les
zéros du filtre; les zéros de D(P) sont les pôles du filtre. Les pôles du filtre doivent être situés
à gauche de l’axe imaginaire pour que le filtre soit stable. D(P) doit pour ce faire être un
polynôme dit de Hurwitz.
6. Gabarits des filtres
En pratique, la synthèse du filtre idéal est impossible. L’atténuation nulle dans la bande
passante, l’atténuation infinie dans la bande atténuée et des transitions verticales donnent une
caractéristique de réponse irréaliste. Nous sommes amenés à définir un gabarit, précisant :
• Gp : Atténuation maximum tolérée en bande passante (limite de la bande passante)
• GA : Atténuation minimum en bande atténuée (limite de la bande atténuée)
• ωp : fréquence de coupure
• ωΑ : fréquence de frontière
6.1 Filtre passe-bas
Les spécifications d’un filtre passe-bas typique sont données à la Figure 4. Sa bande passante
se situe entre 0 et ωp.
Fig.5 : Gabarit d’un filtre passe-bas
- Bande passante : ωp-0=ωp
- Bande de transition : ωΑ-ωp
- Bande atténuée : +∞ -ωΑ

91
- Sélectivité : p
A
S
ω
=
ω
6.2 Filtre passe-haut
Un filtre passe-haut a des spécifications inversées, sa bande atténuée va de de 0 à ωΑ, et sa
bande passante de ωp à l’infini.
Fig.6 : Gabarit d’un filtre passe-haut
- Bande passante : +∞ -ωp
- Bande de transition : ωp -ωΑ
- Bande atténuée : ωΑ-0=ωΑ
- Sélectivité : A
P
S
ω
=
ω
6.3 Filtre passe-bande
Un filtre passe-bande a deux bandes atténuées, de 0 à ω1Α et de ω2Α à l’infini. Il laisse passer
les fréquences entre ω1p et ω2p. En général, la largeur des bandes de transition est
quelconque. On parle de filtre à symétrie géométrique lorsqu’on a ω2Α/ω2p = ω1p/ω1Α, ce
qui implique que les bandes de transition soient de même largeur sur un graphique
logarithmique.

92
Fig.7 : Gabarit d’un filtre passe-bande
- Bande passante : ω2p -ω1p= Δω
- Bande de transition : ω2Α -ω2p et ω1p-ω1Α
- Bande atténuée : +∞ -ω2Α et ω1Α -0=ω1Α
- Sélectivité : 2 1
2 1
p p
A A
S
ω − ω
=
ω − ω
- Pulsation centrale : 0 2 1
.
p p
ω = ω ω
6.4 Filtre coupe-bande
Les spécifications d’un filtre coupe-bande sont inverses de celles d’un passe-bande
Fig.8 : Gabarit d’un filtre coupe-bande
- Bande passante : +∞ -ω2p et ω1p -0=ω1p
- Bande de transition : ω2p -ω2A et ω1A-ω1p
- Bande atténuée : ω2A -ω1A
- Sélectivité : 2 1
2 1
A A
p p
S
ω − ω
=
ω − ω
- Pulsation centrale : 0 2 1
.
p p
ω = ω ω

93
6.5 Centrage des gabarits
Les filtres passe-bande et coupe-bande doivent être centrés avant toute normalisation ou
transposition. Un gabarit est centré lorsque les pulsations centrales : 0 2 1
.
p p p
ω = ω ω et
0 2 1
.
A A A
ω = ω ω sont égales.
Fig.9 : exemple de centrage
6.6.1 Normalisation
La normalisation de la fréquence consiste à choisir comme unité de fréquence non pas le
hertz. Elle permet de translater le gabarit afin de ramener la pulsation(ou la fréquence) de
coupure ou centrale pour les filtres passe et coupe-bande 1
Ω = (sans unité).
p
ω
Ω =
ω
6.6.2 Transposition
Pour transformer d’un type de filtre quelconque à un filtre Passe Bas en utilisant les règles de
transposition de fréquences.
On utilise une fonction de transfert ( )
H P normalisée, on fait subir à la variable complexe
normalisée P la transformation suivante :
1
P
P
⇔
Transposition passe-bas / passe-haut
Transformation de la fonction de transfert :
-
1
( )
PH PB
H P H
P
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
.

94
L’ordre du filtre passe-bas est préservé pour le filtre passe-haut.
Transposition passe-bas / passe-bande
On applique la relation de transformation,
1 1
P P
B P
⎛ ⎞
⇔ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Avec
P
B
Δω
=
ω
: largeur de bande passante
Attention, cette transformation impose la symétrie du gabarit.
2
1
( )
.
passeBande passeBas
P
H P H
B P
⎛ ⎞
+
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
L’ordre du filtre passe-bande est doublé par rapport au filtre passe-bas.
Transposition passe-bas / coupe-bande
La transformation d’un filtre passe-bas en un filtre coupe-bande est très similaire à celle de la
transformation passe-bas / passe-bande.
On fait subir à la variable complexe normalisée :
1
B
P
P
P
⇔
+
2
.
( )
1
CoupeBande PasseBas
B P
H P H
P
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
+
⎝ ⎠
L’ordre du filtre coupe-bande est doublé par rapport au filtre passe-bas.
7. Fonctions d’approximations
Le but de l’approximation est de transformer des spécifications portant sur l’affaiblissement
ou le déphasage d’un filtre en une fonction de transfert qui les vérifie. Nous nous
intéresserons plus particulièrement ici à l’approximation de l’affaiblissement. Si la phase ou le
délai de groupe du filtre doivent également respecter des spécifications précises, il faudra se
souvenir de corriger la phase des filtres obtenus, en ajoutant des cellules correctrices de phase.
Les filtres du second degré sont les plus simples que l’on puisse imaginer. Leurs coefficients
sont en effet directement interprétables sur la fonction de transfert du filtre. Ces filtres ne

95
permettent cependant pas de répondre à des spécifications quelconques. Pour les filtres de
degrés plus élevés, on distingue deux méthodes générales d’approximation: la première, dite
analytique, où la fonction de transfert H(p) est calculée à partir de formules mathématiques
simples; la seconde, dite numérique, où la fonction de transfert est le résultat d’algorithmes
numériques complexes nécessitant l’usage d’un ordinateur.
7.1 Butterworth
Les filtres de Butterworth présentent une réponse en amplitude monotone et pratiquement
plate dans la bande passante. Pour cette raison, on les trouve parfois sous la dénomination
«Maximally-flat».
La réponse en amplitude d’un filtre de Butterworth est donnée par :
2 2
1
( )
1 n
H jΩ =
+ ε Ω
-
p
ω
Ω =
ω
: pulsation normalisée.
-ε : amplitude de l’ondulation dans la bande passante.
- n : ordre du filtre
Ce qui correspond à :
( )
1 2 2
( ) ( ) 1 n
A H j
−
Ω = Ω = + ε Ω
Fig. 10 : Réponse en amplitude des filtres de Butterworth d’ordre n=1, 2, 3, 5 et 10.

96
Dimensionnement du filtre de Butterworth
Détermination de l’ordre :
• Méthode 1:
La fonction buttord de Matlab permet de déterminer l’ordre du filtre à partir du gabarit non
normalisé.
• Méthode 2:
Par le calcul, on peut déterminer le facteur ε et l’ordre n du filtre à partir des valeurs Gp, GA et
ΩA du prototype passe-bas.
L’affaiblissement maximal Gp dans la bande passante est atteint lorsque Ω=1.
( )
2
20log 1
dB p
A G
= − = + ε
Soit, 10
10 1
p
G
−
ε = −
L’affaiblissement minimal GA dans la bande atténuée est atteint lorsque Ω=ΩA
- ( )
2 2
10log 1 n
A A
G = + ε Ω
Soit,
10
log 10 1 2log
2log( )
A
G
A
n entier
−
⎛ ⎞
− − ε
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ≥
ω
La fonction buttord utilise cette formule pour déterminer l’ordre du filtre. Elle renvoie
également ωp, pulsation de coupure à -3 dB calculée pour garantir une atténuation égale à GA
pour ωA
Détermination de la fonction de transfert :
• Méthode 1:
La fonction butter de Matlab nous donne les coefficients de la fonction de transfert. Avec
Matlab, on n’a pas besoin de normaliser et dénormaliser. Tout est transparent pour
l’utilisateur.
• Méthode 2: utilisation des tables
Les tables sont en général fournies pour ε=1, soit pour Gp = - 3 dB. Elles donnent le polynôme
de Butterworth, qui correspond au dénominateur de la fonction de transfert du prototype

97
passe-bas. Il ne reste alors qu’à effectuer la transposition inverse (si nécessaire) et à
dénormaliser.
Table .1 : Polynômes de Butterworth
7.2 Tchebyshev
Contrairement à l’approximation de Butterworth, l’approximation de Tchebyshev présente de
l’ondulation dans la bande passante. Dans certaines applications, il n’est pas nécessaire
d’avoir une réponse en amplitude très plate dans la bande passante. Dans ce cas, on peut
préférer la caractéristique de Chebyshev, car elle offre une coupure plus raide dans la bande
de transition que la caractéristique de Butterworth. Le prix à payer pour cette rapidité de
transition est l’apparition d’une ondulation dans la bande passante (Figure d’ondulation dans
la bande passante) et un temps de propagation de groupe irrégulier. Cette ondulation est
d’amplitude constante dans la bande passante (oscillation de la réponse du filtre entre 0 et
GP), d’où la dénomination « equiripple » parfois employée pour ces filtres. Le carré du
module de cette réponse fréquentielle est défini par :
2
2 2
1
( )
1 . ( )
n
H j
T
Ω =
+ ε Ω
-
p
ω
Ω =
ω
: pulsation normalisée.
- ε : amplitude de l’ondulation dans la bande passante.
- n : ordre du filtre.
- 2
( )
n
T Ω : carré du polynôme de Tchebyshev.

98
Le polynôme de Tchebyshev est défini par :
Pour 1
Ω ≥
( )
( ) cosh .arccos ( )
n
T n h
Ω = Ω
Pour 1
Ω ≤
( )
( ) cos .arccos( )
n
T n
Ω = Ω
Fig.11 : Réponse en amplitude des filtres de Chebyshev d’ordre n=1, 2, 3, 5 et 10
Fig.12 : Ondulation dans la bande passante (Zoom sur la bande passante)

99
Les polynômes de Tchebyshev, peuvent calculer avec la formule de récurrence :
1 2
( ) 2 ( ) ( )
n n n
T T T
− −
Ω = Ω Ω − Ω
A partir des paramètres fournis par le gabarit, on peut calculer ε et n :
10
10 1
p
G
−
⎛ ⎞
ε = −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
et
( )
1
10
2
10
arccos
A
G
A
h
n entier
arccoh
−
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
ε
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ≥
Ω
La pulsation pour un gain de -3dB est donnée par :
3
1 1
cosh .arccos
dB h
n
−
⎛ ⎞
⎛ ⎞
Ω = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
ε
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Exemple :
Filtre Passe premier ordre :
La fonction de transfert
1
( )
1
p
H j
j
ω =
ω
+
ω
Le module de la fonction de transfert
2
1
( )
1
p
H jω =
⎛ ⎞
ω
+ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
ω
⎝ ⎠
La phase de la fonction de transfert
( ( )) tan
H j
p
arc
ω
⎛ ⎞
ω
θ = − ⎜ ⎟
⎜ ⎟
ω
⎝ ⎠

100
Fig.13 : Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas 1
p
ω =
On peut très brièvement résumer la propriété de certains filtres :
- Un filtre de Tchebychev donnera une atténuation rapide mais par contre on aura de
l’ondulation dans la bande passante et un très mauvais retard de groupe.
- Un filtre de Butterworth est un très bon compromis, il assure une réponse plate avec
un retard de groupe constant pour les fréquences inférieures à fc/2.
- Un filtre dit de Bessel assurera un temps retard de groupe constant dans la bande
passante, mais une atténuation lente.
Fig.14 : Propriétés de déférentes synthèses de filtre

101
Chapitre 7 :
Filtres numériques
Introduction :
Les filtres numériques à réponse impulsionnelle finie (RIF) ou infini (RII) sont des systèmes
linéaires discrets invariants dans le temps définis par une équation selon laquelle un nombre
de sortie, représentant un échantillon du signal filtré, est obtenu par sommation pondérée d’un
ensemble fini ou infini de nombres d’entrée, représentant les échantillons du signal à filtrer.
Les coefficients de la sommation pondérée constituent la réponse impulsionnelle du filtre et
un ensemble fini ou infini d’entre eux seulement prennent des valeurs non nulles. Ce filtre est
du type à mémoire finie, c’est-à-dire qu’il détermine sa sortie en fonction d’informations
d’entrée d’ancienneté limitée. Il est fréquemment désigné par filtre non récursif, en raison de
sa structure, car il ne nécessite pas de boucle de réaction dans sa réalisation, comme c’est le
cas pour une autre catégorie de filtres, celle des filtres à réponse impulsionnelle infinie
Fig.15 : Filtre numérique
Les systèmes linéaire et invariant dans le temps ayant une fonction de transfert rationnelle
exprimée par :
( ) ( )
( )
Y f
X f
H f =
Où :
( ) ( )
( )
N s
D s
H s =
où le numérateur et le dénominateur de cette fonction de transfert sont des polynômes de la
variable complexe. L’ordre du filtre correspond à l’ordre du polynôme D(s).

102
La transformée de Laplace est l’outil mathématique qui permet d’étudier les fonctions de
transfert, notamment en fréquence quand on choisit d’évaluer la transformée de Laplace pour
s = jω pour les filtres ayant une réponse impulsionnelle continue.
Cependant, la transformée en Z est un outil largement utilisé pour l’étude des systèmes de
traitement numérique du signal. Ce type de transformée permet de décrire aisément les
signaux à temps discret et la réponse des systèmes linéaires invariants soumis à des entrées
diverses. La transformée en Z est un outil permettant de dériver la réponse impulsionnelle
d’un système linéaire invariant décrit par une équation aux différences finies. De plus, à
l’opérateur de convolution dans le domaine temporel correspond l’opérateur multiplicatif dans
le domaine de la transformée en Z.
1. Transformée en Z
La transformée en Z directe d’un signal à temps discret x[n] est définie par :
( ) [ ]. n
n
X Z x n Z
+∞
−
=−∞
= ∑
La transformée en Z établit une correspondance entre l’espace des signaux à temps discret et
un espace de fonctions définies sur un sous-ensemble du plan complexe. On définit le plan en
z comme étant le plan complexe. La série des puissances introduite dans l’équation de
définition précédente ne converge que pour un sous-ensemble du plan complexe. Ce sous-
ensemble est appelé région de convergence ou domaine de convergence. Une région de
convergence correspond à l’ensemble des valeurs de z telles que X(z) soit définie et à valeurs
finies. Spécifier le domaine de convergence de la transformée est tout aussi important que la
transformée elle-même.
La transformée en z est l’outil associé aux signaux discrets, comme la transformée de Laplace
l’est pour les signaux et les systèmes continus. C’est un outil extrêmement utile pour l’étude
des systèmes discrets.
2. Propriétés de la transformée en z
Linéarité
Soient deux signaux à temps discret x1(n) et x2(n) ayant pour transformées en z respectives
X1(z) et X2(z). Soit le signal x(n) = ax1(n) + bx2(n).
La définition de la transformée en z, conduit à la relation suivante :

103
( ) ( ) ( )
1 2
X Z aX Z bX Z
= +
Il s’agit d’une propriété très importante permettant de calculer une transformée en Z à partir
d’une décomposition en transformées élémentaires de signaux connus.
Décalage temporel
Soit un signal x(n) de transformée en Z, X(z). Soit k, un indice temporel quelconque et x0(n)
= x(n-k), on obtient simplement à partir de la définition de la transformée :
( ) ( )
0 .
k
X z z X z
−
=
Dérivation dans l’espace en z
Soit x(n) avec X(z) pour transformée. Soit x’(n) = nx(n). on a alors :
( ) ( )
' d
X Z z X z
dz
= −
Convolution
Soient x1(n) et x2(n) avec pour transformées en Z respectives X1(z) et X2(z). Soit
( ) ( ) ( )
1 2
x n x n x n
= ∗ , on a alors :
( ) ( ) ( )
1 . 2
X z X z X z
=
2. Représentation d’un filtre numérique
Un filtrage numérique peut être représenté en utilisant plusieurs types de spécifications.
1. Fonction de transfert en z. Il permet de lier l’entrée et la sortie dans le plan z par Y (z) =
H(z).X(z). On posera dans la suite :
( ) ( )
( )
N z
D z
H z =
2. Réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle est la fonction en z inverse de H(z).

104
( ) [ ]
0
. n
n
H z h n z
∞
−
=
= ∑
3. Équation aux différences. Une transformation en z inverse permet d’aboutir à la forme
suivante :
[ ] [ ] [ ]
1 1
0 0
. .
N N
i i
y n ai x n i ai y n i
− −
= =
= − − −
∑ ∑
On identifie ici deux parties distinctes : une partie fonction de la valeur courante et des
valeurs précédentes de l’entrée x(n), et une partie fonction des valeurs précédentes de la sortie
y(n). Selon si les ai sont non nuls ou nuls, on parlera donc de filtres récursifs ou de filtres non
récursifs.
3. Classification des filtres numériques
Les filtres numériques peuvent être classés selon plusieurs critères :
1. la longueur de la réponse impulsionnelle implique deux types de filtres RII et RIF,
2. le type de représentation, ou de structure, implique deux types de filtres récursifs et
non récursifs.
3.1 Filtres non récursifs RIF
Les filtres RIF ne peuvent pas être dérivés des filtres analogiques. Il sont cependant très
largement utilisés car ils possèdent des propriétés uniques (phase linéaire, stabilité,
flexibilité).
Cependant, un filtre à réponse impulsionnelle finie est un système linéaire discret invariant
dans le temps régi par une équation aux différences pour lequel l'échantillon de sortie y(n) ne
dépend que d'un certain nombre d'échantillons d'entrée x(n) :
[ ] [ ]
1
0
.
N
i
y n ai x n i
−
=
= −
∑
Où :
( )
1
0
.
N
i
i
H z ai z
−
−
=
= ∑
( ) [ ] [ ]
1 1
0 0
. .
N N
i
i n
H z ai z h n ai n i
− −
−
= =
= ⇒ = δ −
∑ ∑

105
[ ] { 0 1
0
an pour n N
ailleurs
h n ≤ ≤ −
=
Exemple :
Soit le filtre défini par l’équation suivante:
[ ] [ ] [ ]
1
3 1
2
y n x n x n
= + −
L’étude de ce filtre peut être réalisée au moyen de la Transformée en Z:
[ ] [ ] [ ]
1
1
3
2
Y z X z z x z
−
= +
[ ] 1
1
3.
2
H z z−
⇒ = +
Le comportement fréquentiel du filtre s’obtient en remplaçant Z par 2 e
j fT
e π
.
[ ] ( )
2
.cos
e
j fT
H f e fT
− π
⇒ = π
Il s’agit finalement d’un filtre passe bas dont le module de la fonction de transfert suit une
courbe en cosinus et dont le déphasage est linéaire en fonction de la fréquence.
3.2 Filtres récursifs RII
Les filtres analogiques ont nécessairement une réponse impulsionnelle infinie. Les filtres
numériques RII se comportent de manière similaire, mis à part les effets dus à la
discrétisation. Cette catégorie de filtre est également caractérisée par une fonction de transfert
en z contenant des pôles, et une équation aux différences récursives, c’est à dire lorsque la
sortie y(n) dépend à la fois des entrées et des sorties précédentes.
L’équation aux différences correspondante de la forme générale d’un filtre RII. M est appelé
ici l’ordre du filtre.
[ ] [ ] [ ]
1
0 1
. .
N M
i i
y n ai x n i bi y n i
−
= =
= − − −
∑ ∑
( )
[ ]
[ ]
1
0
1
.
1 .
N
i
i
M
i
i
ai z
Y z
H z
X z
bi z
−
−
=
−
=
⇒ = =
−
∑
∑
Exemple :

106
Soit le filtre défini par l’équation aux différences suivante :
[ ] [ ] [ ]
. 1
y n x n b y n
= + −
Sa fonction de transfert H(Z) s’écrit:
[ ] [ ] [ ]
1
Y z X z bz Y z
−
= +
( )
[ ]
[ ] 1
1
1
Y z
H z
X z bz−
⇒ = =
−
4. Analyse fréquentielle des filtres numériques
L’analyse fréquentielle est la représentation de la fonction de transfert du filtre dans le
domaine des fréquences, c’est à dire celui de Fourier. La fonction de transfert enω est la
transformée de Fourier du signal h(n).
( ) [ ] [ ]
0
.
j jn
j
n
H z
H e h n e
z e
∞
ω − ω
ω
=
= =
=
∑

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