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1
Wided SOUID-MILED
Institut National des Sciences appliquées et de Technologie
Année universitaire: 2010-2011
COURS DE TRAITEMENT DU SIGNAL
2
Introduction
 Le signal intervient sous plusieurs formes dans la plupart des
domaines de la technologie :
 Télécommunications
 Imagerie médicale
 Reconnaissance de formes
 Optique
 Acoustique
 Etc.
Présentation du cours
3
Objectifs du cours
 Acquérir les notions de base pour :
 Modéliser, représenter les signaux
 Manipuler des signaux analogiques et numériques
 Effectuer des opérations simples de traitement
 Prérequis :
 Un peu de maths :)
Présentation du cours
4
Plan du cours
I- Introduction à la théorie du signal
II- Représentation et analyse temporelles des signaux
III- Représentation et analyse fréquentielle des signaux
IV- Echantillonnage
V- Transformée de Fourier discrète
VI- Filtrage des signaux
5
Cours 1
Introduction à la théorie du signal
Représentation temporelle des signaux
6
Contenu du cours
 Introduction
 Définition d'un signal
 Qu'est-ce que le traitement du signal?
 Chaine de traitement de l'information
 Classification des signaux
 Signaux élémentaires
 Notions de corrélation
 Notions de distributions
 Définition d'une distribution
 Impulsion de Dirac
7
Introduction
 Signal
 Représentation physique d’une information à transmettre
 Entité qui sert a véhiculer une information
Exemples
 Onde acoustique : courant délivré par un microphone ( parole, sons musicaux)
 Signaux biomédicaux : ECG
 Signaux géophysiques : vibrations sismiques
 Images
 Vidéos
 Etc.
 Bruit : Tout phénomène perturbateur pouvant géner la perception ou
l'interprétation d'un signal
8
Introduction
 Traitement du Signal
 Ensemble de techniques permettant de créer, d'analyser et de transformer les
signaux en vue de leur exploitation
 Extraction du maximum d'information utile d'un signal perturbé par le bruit
Domaines d’applications
 télécommunications,
 reconnaissance de la parole, synthèse du son
 aide à la décision (au diagnostic), à la commande
 analyse d’images (médicales, satellitaires…)
 Relations très étroites avec d’autres domaines : mathématiques, électronique,
informatique, automatique, intelligence artificielle...
9
Introduction
 Fonctions du Traitement du Signal
 Créer : Elaboration de signaux
 Synthèse: création de signaux par combinaison de signaux élémentaires
 Modulation : adaptation du signal au canal de transmission
10
Introduction
 Fonctions du Traitement du Signal
 Analyser : Interpretation des signaux
 Détection : extraction du signal d'un bruit de fond
 Identification : classement du signal (identification d'une pathologie sur
un signal ECG, reconnaissance de la parole, etc.)
 Transformer : adapter un signal aux besoins
 Filtrage: élimination de certaines composantes indésirables
 Codage/Compression
11
Introduction
 Chaîne de traitement de l’information
12
Classification des signaux
 Classification dimensionnelle
 Signal monodimensionnel 1D :
Fonction d’un unique paramètre pas forcément
le temps, (courbe de température)
 Signal bidimensionnelle 2D dépendant de deux paramètres (images)
 Signal tridimensionnel : dépendant de trois paramètres (vidéos, films)
13
Classification des signaux
 Evolution temporelle
 Signaux déterministes
Signaux dont l‘évolution en fonction du temps t peut être parfaitement
décrite grâce a une description mathématique ou graphique.
Sous catégories :
périodiques apériodiques transitoires
14
Classification des signaux
 Signaux aléatoires
Signaux dont l‘évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut pas
prédire la valeur a un temps t.
La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne,
variance, loi de probabilité, …)
Exemple : résultat d'un jet de de lance, les numéros du loto, les cours de la bourse,
etc.
Parmi les signaux aléatoires on distingue :
 Les signaux stationnaires : (les statistiques sont indépendantes du temps)
 ergodiques (une réalisation du signal permet d’estimer les statistiques)
 non ergodiques
 Les signaux non stationnaires
15
Classification des signaux
 Classification morphologique
 Signaux continus (analogiques)
signal défini à chaque instant t
Traitement analogique du signal
 Signaux discrets (numériques)
signal défini uniquement en des instants tk.
Traitement numérique du signal
16
Classification des signaux
 Classification morphologique
17
Signaux élémentaires continus
 L’échelon unité permet l’étude des régimes transitoires des filtres
et l‘établissement instantané d'un regime continu
 Il permet de rendre causal un signal ( u(t).s(t) est nul si t <0 )
18
Signaux élémentaires continus
 Le signal porte est un signal transitoire de durée T.
 Peut aussi être defini comme une difference de deux échelons.
19
Signaux élémentaires continus
Le signal sinusoidal est le signal de base des signaux mathématiques périodiques.
Il représente la partie réelle ou imaginaire de l’exponentielle complexe.
20
Classification des signaux
 Classification énergétique
 Energie et Puissance des signaux
 l’énergie d’un signal continu s(t) réel ou complexe est :
s*(t) représente le signal complexe conjugué de s(t).
Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à énergie finie.
 Puissance moyenne :
Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à puissance moyenne finie.
dt
t
s
dt
t
s
t
s
E 











2
)
(
)
(
*
)
(




 2
2
)
(
*
)
(
1
lim
T
T
dt
t
s
t
s
T
T
P
21
Classification des signaux
 Classification énergétique
 Energie et Puissance des signaux
 Un signal d’énergie E finie a une puissance moyenne P nulle.
Généralement, cas des signaux représentant une grandeur physique, Signaux
transitoires a support borné
 Les signaux a énergie infinie ont une puissance moyenne non nulle
Cas des signaux periodiques
 Dans le cas des signaux périodiques, la puissance moyenne P est la puissance
moyenne calculée sur une période T0 :
 Il existe des signaux d’énergie et de puissance moyenne infinie.



2
0
2
0
)
(
*
)
(
0
1
T
T
dt
t
s
t
s
T
P
22
Classification des signaux
 Classification énergétique
 Les signaux à énergie finie
ex. les signaux transitoires
 Les signaux à énergie infinie
 à puissance moyenne finie
ex. les signaux périodiques
 à puissance moyenne infinie
ex. la rampe s(t)=t
23
 On définit la fonction d’autocorrélation d’un signal à énergie finie comme :
 Pour un signal à puissance moyenne finie, la fonction d’autocorrélation devient :
 et pour un signal périodique :
dt
t
s
t
s
Css 





 )
(
*
)
(
)
( 






 2
2
)
(
*
)
(
1
lim
)
(
T
T
ss
dt
t
s
t
s
T
T
C






2
2
)
(
*
)
(
1
)
(
T
T
ss dt
t
s
t
s
T
C 

Notion d'autocorrélation
24
 La fonction d’autocorrélation traduit la similitude d’un signal au niveau de la forme
en fonction du décalage temporel t.
 C’est une mesure de la ressemblance du signal avec lui même au cours du temps.
Intuitivement, la corrélation est maximale si on ne décale pas temporellement le
signal
 Chaque valeur d’un signal s(t) contient deux types d’information :
Une information prédictive déjà contenue dans les valeurs du signal aux instants précédents,
Une information propre au signal à l’instant t appelée information non prédictive
 Le principe de la corrélation est de pouvoir extraire l’information prédictive future à
partir des valeurs précédentes du signal.
Notion d'autocorrélation
25
Propriétés
- P1 La fonction d’autocorrélation en 0 représente l’énergie du signal :
- P2 La fonction d’autocorrélation d’un signal réel est paire :
( en posant t+=t1)
- P3 La fonction d’autocorrélation d’un signal complexe est à symétrie
hermitienne :
0
)
0
( 
 E
Css
)
(
)
( 
 
 ss
ss C
C
)
(
*
)
( 
 
 ss
ss C
C
1
)
1
(
*
)
1
(
))
(
(
*
)
(
)
( dt
t
s
t
s
dt
t
s
t
s
Css 














 


Notion d'autocorrélation
26
 On définit la fonction d’intercorrélation de 2 signaux à énergie finie :
 Pour 2 signaux à puissance moyenne finie, la fonction d’intercorrélation devient :
dt
t
y
t
x
Cxy





 )
(
*
)
(
)
( 







2
2
)
(
*
)
(
1
lim
)
(
T
T
dt
t
y
t
x
T
T
Cxy 

Notion d‘intercorrélation
27
Application :
 Une impulsion s(t) est émise et se réfléchit sur une cible avant de revenir à son point
de départ.
On observe le signal de retour y(t) pour détecter le retour de l’impulsion et en déduire
la distance d de la cible (c est la célérité de l’impulsion).
On va donc calculer la fonction d’intercorrélation entre le signal émis et le signal reçu.
Le maximum de cette fonction correspond à la similtude maximale entre les 2 signaux
et donc au retard 0.
 On peut considérer également que l’intercorrélation consiste à déplacer le signal
émis jusqu’à ce que l’on ait un maximum qui correspondra au retard 0.
c
d
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0

Notion d‘intercorrélation

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  • 1. 1 Wided SOUID-MILED Institut National des Sciences appliquées et de Technologie Année universitaire: 2010-2011 COURS DE TRAITEMENT DU SIGNAL
  • 2. 2 Introduction  Le signal intervient sous plusieurs formes dans la plupart des domaines de la technologie :  Télécommunications  Imagerie médicale  Reconnaissance de formes  Optique  Acoustique  Etc. Présentation du cours
  • 3. 3 Objectifs du cours  Acquérir les notions de base pour :  Modéliser, représenter les signaux  Manipuler des signaux analogiques et numériques  Effectuer des opérations simples de traitement  Prérequis :  Un peu de maths :) Présentation du cours
  • 4. 4 Plan du cours I- Introduction à la théorie du signal II- Représentation et analyse temporelles des signaux III- Représentation et analyse fréquentielle des signaux IV- Echantillonnage V- Transformée de Fourier discrète VI- Filtrage des signaux
  • 5. 5 Cours 1 Introduction à la théorie du signal Représentation temporelle des signaux
  • 6. 6 Contenu du cours  Introduction  Définition d'un signal  Qu'est-ce que le traitement du signal?  Chaine de traitement de l'information  Classification des signaux  Signaux élémentaires  Notions de corrélation  Notions de distributions  Définition d'une distribution  Impulsion de Dirac
  • 7. 7 Introduction  Signal  Représentation physique d’une information à transmettre  Entité qui sert a véhiculer une information Exemples  Onde acoustique : courant délivré par un microphone ( parole, sons musicaux)  Signaux biomédicaux : ECG  Signaux géophysiques : vibrations sismiques  Images  Vidéos  Etc.  Bruit : Tout phénomène perturbateur pouvant géner la perception ou l'interprétation d'un signal
  • 8. 8 Introduction  Traitement du Signal  Ensemble de techniques permettant de créer, d'analyser et de transformer les signaux en vue de leur exploitation  Extraction du maximum d'information utile d'un signal perturbé par le bruit Domaines d’applications  télécommunications,  reconnaissance de la parole, synthèse du son  aide à la décision (au diagnostic), à la commande  analyse d’images (médicales, satellitaires…)  Relations très étroites avec d’autres domaines : mathématiques, électronique, informatique, automatique, intelligence artificielle...
  • 9. 9 Introduction  Fonctions du Traitement du Signal  Créer : Elaboration de signaux  Synthèse: création de signaux par combinaison de signaux élémentaires  Modulation : adaptation du signal au canal de transmission
  • 10. 10 Introduction  Fonctions du Traitement du Signal  Analyser : Interpretation des signaux  Détection : extraction du signal d'un bruit de fond  Identification : classement du signal (identification d'une pathologie sur un signal ECG, reconnaissance de la parole, etc.)  Transformer : adapter un signal aux besoins  Filtrage: élimination de certaines composantes indésirables  Codage/Compression
  • 11. 11 Introduction  Chaîne de traitement de l’information
  • 12. 12 Classification des signaux  Classification dimensionnelle  Signal monodimensionnel 1D : Fonction d’un unique paramètre pas forcément le temps, (courbe de température)  Signal bidimensionnelle 2D dépendant de deux paramètres (images)  Signal tridimensionnel : dépendant de trois paramètres (vidéos, films)
  • 13. 13 Classification des signaux  Evolution temporelle  Signaux déterministes Signaux dont l‘évolution en fonction du temps t peut être parfaitement décrite grâce a une description mathématique ou graphique. Sous catégories : périodiques apériodiques transitoires
  • 14. 14 Classification des signaux  Signaux aléatoires Signaux dont l‘évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut pas prédire la valeur a un temps t. La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne, variance, loi de probabilité, …) Exemple : résultat d'un jet de de lance, les numéros du loto, les cours de la bourse, etc. Parmi les signaux aléatoires on distingue :  Les signaux stationnaires : (les statistiques sont indépendantes du temps)  ergodiques (une réalisation du signal permet d’estimer les statistiques)  non ergodiques  Les signaux non stationnaires
  • 15. 15 Classification des signaux  Classification morphologique  Signaux continus (analogiques) signal défini à chaque instant t Traitement analogique du signal  Signaux discrets (numériques) signal défini uniquement en des instants tk. Traitement numérique du signal
  • 16. 16 Classification des signaux  Classification morphologique
  • 17. 17 Signaux élémentaires continus  L’échelon unité permet l’étude des régimes transitoires des filtres et l‘établissement instantané d'un regime continu  Il permet de rendre causal un signal ( u(t).s(t) est nul si t <0 )
  • 18. 18 Signaux élémentaires continus  Le signal porte est un signal transitoire de durée T.  Peut aussi être defini comme une difference de deux échelons.
  • 19. 19 Signaux élémentaires continus Le signal sinusoidal est le signal de base des signaux mathématiques périodiques. Il représente la partie réelle ou imaginaire de l’exponentielle complexe.
  • 20. 20 Classification des signaux  Classification énergétique  Energie et Puissance des signaux  l’énergie d’un signal continu s(t) réel ou complexe est : s*(t) représente le signal complexe conjugué de s(t). Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à énergie finie.  Puissance moyenne : Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à puissance moyenne finie. dt t s dt t s t s E             2 ) ( ) ( * ) (      2 2 ) ( * ) ( 1 lim T T dt t s t s T T P
  • 21. 21 Classification des signaux  Classification énergétique  Energie et Puissance des signaux  Un signal d’énergie E finie a une puissance moyenne P nulle. Généralement, cas des signaux représentant une grandeur physique, Signaux transitoires a support borné  Les signaux a énergie infinie ont une puissance moyenne non nulle Cas des signaux periodiques  Dans le cas des signaux périodiques, la puissance moyenne P est la puissance moyenne calculée sur une période T0 :  Il existe des signaux d’énergie et de puissance moyenne infinie.    2 0 2 0 ) ( * ) ( 0 1 T T dt t s t s T P
  • 22. 22 Classification des signaux  Classification énergétique  Les signaux à énergie finie ex. les signaux transitoires  Les signaux à énergie infinie  à puissance moyenne finie ex. les signaux périodiques  à puissance moyenne infinie ex. la rampe s(t)=t
  • 23. 23  On définit la fonction d’autocorrélation d’un signal à énergie finie comme :  Pour un signal à puissance moyenne finie, la fonction d’autocorrélation devient :  et pour un signal périodique : dt t s t s Css        ) ( * ) ( ) (         2 2 ) ( * ) ( 1 lim ) ( T T ss dt t s t s T T C       2 2 ) ( * ) ( 1 ) ( T T ss dt t s t s T C   Notion d'autocorrélation
  • 24. 24  La fonction d’autocorrélation traduit la similitude d’un signal au niveau de la forme en fonction du décalage temporel t.  C’est une mesure de la ressemblance du signal avec lui même au cours du temps. Intuitivement, la corrélation est maximale si on ne décale pas temporellement le signal  Chaque valeur d’un signal s(t) contient deux types d’information : Une information prédictive déjà contenue dans les valeurs du signal aux instants précédents, Une information propre au signal à l’instant t appelée information non prédictive  Le principe de la corrélation est de pouvoir extraire l’information prédictive future à partir des valeurs précédentes du signal. Notion d'autocorrélation
  • 25. 25 Propriétés - P1 La fonction d’autocorrélation en 0 représente l’énergie du signal : - P2 La fonction d’autocorrélation d’un signal réel est paire : ( en posant t+=t1) - P3 La fonction d’autocorrélation d’un signal complexe est à symétrie hermitienne : 0 ) 0 (   E Css ) ( ) (     ss ss C C ) ( * ) (     ss ss C C 1 ) 1 ( * ) 1 ( )) ( ( * ) ( ) ( dt t s t s dt t s t s Css                    Notion d'autocorrélation
  • 26. 26  On définit la fonction d’intercorrélation de 2 signaux à énergie finie :  Pour 2 signaux à puissance moyenne finie, la fonction d’intercorrélation devient : dt t y t x Cxy       ) ( * ) ( ) (         2 2 ) ( * ) ( 1 lim ) ( T T dt t y t x T T Cxy   Notion d‘intercorrélation
  • 27. 27 Application :  Une impulsion s(t) est émise et se réfléchit sur une cible avant de revenir à son point de départ. On observe le signal de retour y(t) pour détecter le retour de l’impulsion et en déduire la distance d de la cible (c est la célérité de l’impulsion). On va donc calculer la fonction d’intercorrélation entre le signal émis et le signal reçu. Le maximum de cette fonction correspond à la similtude maximale entre les 2 signaux et donc au retard 0.  On peut considérer également que l’intercorrélation consiste à déplacer le signal émis jusqu’à ce que l’on ait un maximum qui correspondra au retard 0. c d 2 0  Notion d‘intercorrélation