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Gérard Hincelin - Electronique B8
Chapitre 9 : Fibres optiques
SOMMAIRE
„ 4. Fibre optique à saut d’indice
„ Composantes axiales des champs
„ Composantes transverses
„ Equation de dispersion
odes TE et TM
rides HE et EH
„ Modes LP dans l’approximation du
guidage faible
„ 5. Télécommunications optiques
„ Atténuation
„ Dispersion intermodale
„ Dispersion chromatique
„ Multiplexage fréquentiel (WDM)
„ 1. Introduction
„ 2. Guides d’ondes diélectriques
„ Equations de passage
„ Réflexion totale
„ Onde évanescente
„ 3. Types de fibres optiques
Gérard Hincelin - Electronique B8
Introduction : Fibres optiques
„ Emergence dans les années 60
„ Développement en parallèle avec celui des composants optoélectroniques
„ Domaines d’applications : télécommunications optiques, capteurs optiques,
opto-microondes, médical, …
INCONVENIENTS
‰ Coût d’installation élevé
‰ Couplages optiques délicats :
¾ Le cœur mesure quelques µm.
‰ Utilisation d’interfaces
optoélectroniques (Mais
évolution vers les réseaux « tout
optique »).
AVANTAGES
‰ Très faible atténuation :
¾ 0,2 dB/km à λ = 1,55 µm
‰ Très large bande passante sur
fibre monomode
‰ Multiplexage en longueur d’onde
WDM
‰ Dimensions, poids, flexibilité
‰ Immunité aux interférences
électromagnétiques.
Gérard Hincelin - Electronique B8
Réflexion sur un dioptre plan
„ Equations de passage
„ milieux non absorbants
„ indices n1 > n2
„ Conservation des composantes
tangentielles des champs E et H
„ Conservation de β:
„ Loi de Snell-Descartes:
„ Réflexion totale pour ϕt = π/2
„ Angle d’incidence critique:
milieu 2
Σ
n
r
milieu 1
i
ϕ
t
ϕ
z
1
k
r
2
k
r
1 1
n ε
=
2 2
n ε
=
β = n1kosinϕi
1 2
sin sin
i t
n n
ϕ ϕ
=
Notations:
0
k
c
ω
=
1 1 1 0
k n n k
c
ω
= =
2 2 2 0
k n n k
c
ω
= =
2
1
sin c
n
n
ϕ =
Gérard Hincelin - Electronique B8
Exemple : guide d’onde plan
„ Guidage par réflexion totale pour:
„ Pas de perte par réflexion !
„ Contrainte sur β:
„ Comparaison avec le guide métallique
„ Onde évanescente
„ Onde liée à la surface dans le milieu 2
„ Décroissance rapide des champs
„ permet d’assurer la continuité des
composantes tangentielles des champs
2
c i
ϕ ϕ π
≤ ≤
1 0 sin i
n k
β ϕ
=
1 0
2
c i
n k car
π
β ϕ ϕ
≤ ≤ ≤
2
1
sin i
n
n
ϕ ≥
1 0 2 0
sin c
n k n k
β ϕ
≥ =
2 0 1 0
n k n k
β
≤ ≤
d z
β : composante axiale
cœur : n1
gaine : n2
ϕi
κ : composante
transversale
Réflexion totale : ϕi > ϕc
Gérard Hincelin - Electronique B8
Coupure des modes:
guide métallique et guide diélectrique
En optique
C
ϕ 1 1
n ε
=
2 2
n ε
=
Guidé :
ϕi > ϕC
Non guidé:
ϕi < φC
ω
β 1
n
c
ω
En micro ondes
1 1
n ε
=
ϕ = 0 à la coupure
coupure:
0
β →
2
n
c
ω
2
n
c
ω
β =
à la coupure
2 1
n n
c c
ω ω
β
≤ ≤
1
0 n
c
ω
β
≤ ≤
Gérard Hincelin - Electronique B8
Types de fibres optiques
revêtement protecteur
cœur : n1
gaine : n2
Constitution d’une fibre optique
r
a) Monomode
diamètre = 5 à 8 µm
b) Multimode
saut d’indice
a = 50 µm
c) Multimode
gradient d’indice
Gérard Hincelin - Electronique B8
Composantes axiales des champs
„ Equation d’onde en coordonnées
cylindriques (Ez ou Hz)
„ Séparation des variables
„ Solution périodique en φ
„ n = 0, 1, 2 , ….
„ Fonction de BESSEL
( , ) ( ) ( )
f r R r
φ φ
= Φ
2
2 2
2 2
1 ( , ) 1 ( , )
( ) ( , ) 0
r
f r f r
r f r
r r r r c
φ φ ω
ε β φ
φ
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+ + − =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∂ ∂ ∂
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
2
2
1
0
n
φ
∂ Φ
+ =
Φ ∂
cos( ) sin( )
C n D n
φ φ
Φ = +
2
2 2
r
c
ω
κ ε β
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2 2
( ) 0
R
r r r n R
r r
κ
∂ ∂
⎡ ⎤
+ − =
⎢ ⎥
∂ ∂
⎣ ⎦
Gérard Hincelin - Electronique B8
Solution pour r < a (cœur)
„ Dans le cœur :
„ Les champs restent finis :
„ Jn(x) est la fonction de
Bessel de première espèce
„ Composantes axiales des
champs: solutions possibles
1 1 1
1 1 1
( , ) ( )sin( )
( 0)
( , ) ( )cos( )
z n
z n
E r E J r n
TE n
H r H J r n
φ κ φ
φ κ φ
= ⎫
=
⎬
= ⎭
2
2 2 2 2 2
1 1 1 0
2
0
n k
c
ω
κ ε β β
= − = − >
( )
1 1
( ) n
R r C J r
κ
=
1 1 1
1 1 1
( , ) ( )cos( )
( 0)
( , ) ( )sin( )
z n
z n
E r E J r n
TM n
H r H J r n
φ κ φ
φ κ φ
= ⎫
=
⎬
= ⎭
2 2 2
( ) 0
R
r r r n R
r r
κ
∂ ∂
⎡ ⎤
+ − =
⎢ ⎥
∂ ∂
⎣ ⎦
Jn(x)
Fonctions de Bessel de première espèce
Gérard Hincelin - Electronique B8
Solution pour r > a (gaine)
„ Dans la gaine:
„ On pose :
„ Solution générale:
„ Onde évanescente
„ In:Fonction de Bessel modifiée
de première espèce (croissante)
„ Expression des champs (modes
TE):
2 2 2 2
2 2 0 0
n k
κ β
= − <
Fonctions de Bessel modifiées de seconde espèce
Kn(x) et de première espèce In(x).
2 2
j imaginaire pur
κ α
=
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
n n
R r C K r D I r
α α
= +
2 2 2
( , ) ( )sin( )
z n
E r E K r n
φ α φ
=
2 2 2
( , ) ( )cos( )
z n
H r H K r n
φ α φ
=
Kn(x)
In(x)
2 2 2
( ) 0
R
r r r n R
r r
κ
∂ ∂
⎡ ⎤
+ − =
⎢ ⎥
∂ ∂
⎣ ⎦
Gérard Hincelin - Electronique B8
Composantes transversales des champs
0
2
0
2
0
2
0
2
1
1
1
1
z z
r
z z
z z
r r
z z
r
j E H
E
r r
j E H
E
r r
j H E
H
r r
j H E
H
r r
φ
φ
β ωµ
κ φ
β ωµ
κ φ
β ωε ε
κ φ
β ωε ε
κ φ
⎫
⎛ ⎞
∂ ∂
= − + ⎪
⎜ ⎟
∂ ∂
⎝ ⎠ ⎪
⎪
⎛ ⎞
∂ ∂
⎪
= − −
⎜ ⎟
∂ ∂ ⎪
⎝ ⎠
⎬
⎛ ⎞
∂ ∂ ⎪
= − −
⎜ ⎟ ⎪
∂ ∂
⎝ ⎠
⎪
⎪
⎛ ⎞
∂ ∂
= − +
⎜ ⎟ ⎪
∂ ∂
⎝ ⎠ ⎭
Dans le cœur d’indice n1 (r < a) :
1 1
1 1
( , ) ( )sin( )
( , ) ( )cos( )
z n
z n
u
E r E J r n
a
u
H r H J r n
a
φ φ
φ φ
=
=
( ) ( )
0
1 1 1
2
cos( )
n n
j
j n u u
E E J r H J r n
r a u a a
u a
φ
ωµ
β
φ
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
′
= − +
⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
2
0 1
1 1 1 2
sin( )
n n
j n u j n u
H E J r H J r n
u a a r a
u a
φ
ωε β
φ
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
′
= − +
⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Dans la gaine d’indice n2 (r > a) :
2 2
2 2
( , ) ( )sin( )
( , ) ( )cos( )
z n
z n
w
E r E K r n
a
w
H r H K r n
a
φ φ
φ φ
=
=
( ) ( )
0
2 2 2
2
cos( )
n n
j
j n w w
E E K r H K r n
r a w a a
w a
φ
ωµ
β
φ
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
′
= −
⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( )
2
0 2
2 2 2 2
sin( )
n n
j n w j n w
H E K r H K r n
w a a r a
w a
φ
ωε β
φ
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
′
= −
⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Composantes transversales
en fonction des composantes axiales
Variables réduites (sans dimensions):
2 2 2
1 1 0
2 2 2
2 2 0
u a a n k
w a a n k
κ β
α β
= = −
= = −
( )
( )
2
2 2
1
2
2 2
2
u a
w a
κ κ
κ α
= =
= − = −
Gérard Hincelin - Electronique B8
Equation caractéristique
Les composantes tangentielles des champ vérifient les équations de continuité
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( );
Z Z Z Z
E a E a H a H a E a E a H a H a
φ φ φ φ
= = = =
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
1
0 0
2 2
2
2 2
0 2 0 1
2 2
1
0
( ) ( ) 0 0
0 0 ( ) ( )
0
( ) ( )
0
( ) ( )
0
n n
n n
n n n n
n n n n
E
K w J u
K w J u
E
j j
j n j n
K w J u K w J u
a a w a u a
w a u a
H
j n j n j n j n
K w J u K w J u
w a u a a a
w a u a
H
ωµ ωµ
β β
ωε ωε β β
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
′ ′
− −
⎜ ⎟× =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
′ ′ − − ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
En écrivant que le déterminant est nul, on obtient l’équation caractéristique:
2 2
2
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n
n n n n
J u K w J u K w
n n
n
uJ u wK w n uJ u wK w u w n u w
⎛ ⎞⎛ ⎞
′ ′ ′ ′ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ + = + +
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠⎝ ⎠
Gérard Hincelin - Electronique B8
Paramètres de la fibre optique
„ Approximation du guidage faible
„ n1 est voisin de n2
„ Ecart relatif d’indices ∆:
„ ∆ est de l’ordre de 0,2 %
„ Ouverture numérique (ON):
„ typiquement 0,1 à 0,3
„ Fréquence réduite V:
2 2
1 2 1 2
2
1 1
2
n n n n
n n
− −
∆ =
( )
2 2 2 2 2 2 2
0 1 2
V u w a k n n
= + = −
2 2
1 2
ON n n
= −
( )
0
2 a
V ON
π
λ
=
gaine n2
i
ϕ
a
z
cœur n1
Guidage : ϕi > ϕc
Pour ∆ = 2 10-3 et n1 = 1,45
vérifier que ϕc = 86,4 degrés
Dans l’approximation du guidage faible,
la lumière se propage pratiquement
parallèlement à l’axe de la fibre
Gérard Hincelin - Electronique B8
Modes TE et TM – rayons méridiens
„ Pour n = 0 : symétrie de révolution
„ Champs indépendants de φ:
„ Rayons dans un plan méridien
„ modes transverses TE et TM
„ Modes TE :
„
„ Modes TM :
„
„
z
plan méridien
Eφ
( )
,
r z
H H H
r
Eφ
r
H
Mode TE01
z
plan méridien
( )
,
r z
E E E
r
Mode TM01
Hφ
r
E
sin( ); cos( )
z z
E n H n
φ φ
∝ ∝
cos( ); sin( )
z z
E n H n
φ φ
∝ ∝
0; 0
z z
E H φ
= ∂ ∂ =
0
r
E Hφ
= =
0; 0
z z
H E φ
= ∂ ∂ =
0
r
H Eφ
= =
Gérard Hincelin - Electronique B8
Modes TE et TM
(équation caractéristique)
„ Approximation du
guidage faible:
„ L’équation caractéristique
se simplifie.
„ Relations de récurrence
des fonctions de Bessel:
„ On obtient compte tenu de
la relation: u2 + w2 = V2
2 2
1 2 1 0
n n n
= =
2 2
( ) ( ) 1 1
0
( ) ( )
n n
n n
J u K w
n
uJ u wK w u w
⎛ ⎞
′ ′ ⎛ ⎞
+ = ± + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
0 1
0 1
( ) ( )
( ) ( )
J u J u
K w K w
′ = −
′ = −
2 2
1 1 1
2 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
J u u K w u K V u
J u w K w V u K V u
−
= − = −
− −
„ Résolution graphique à l’aide d’un logiciel scientifique (MATLAB)
Gérard Hincelin - Electronique B8
Résolution graphique – modes TE et TM
„ Utilisation d’un logiciel scientifique
„ Posons:
„ Pour une valeur de V donnée, on
trace f1 et f2 en fonction de u
„ L’intersection des deux courbes
donne:
„ Le nombre de modes excités
(fonction croissante de V)
„ La valeur de β en fonction de V.
„ Coupure des modes TE0m et TM0m
„ pour V < t0m (racine miéme de J0)
u
1
1
0
( )
( )
( )
J u
f u
J u
=
2 2
1 1
2 2 2 2 2
0 0
( ) ( )
( )
( ) ( )
u K w u K V u
f u
w K u V u K V u
−
= − = −
− −
2
f pour u V
→ − ∞ →
Détermination graphique des modes TE et TM
a) Pour V = 8, on dénombre 4 modes
b) Pour V < 2,405 aucun mode transverse
1 0 0
( 0)
m
f pour u t J
→ ± ∞ = =
Gérard Hincelin - Electronique B8
Modes hybrides
„ Pour on perd la symétrie cylindrique:
„ Les rayons ne sont plus contenus dans des plans méridiens
„ Modes hybrides :
„ Approximation du guidage faible
„ signe + : modes EHnm (caractère transverse électrique dominant)
signe - : modes HEnm (caractère transverse magnétique dominant)
„ Relations de récurrence des fonctions de Bessel:
0
n ≠
0 0
z z
H et E
≠ ≠
2 2
( ) ( ) 1 1
( ) ( )
n n
n n
J u K w
n
uJ u wK w u w
⎛ ⎞
′ ′ ⎛ ⎞
+ = ± +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
n n n
n n n
J u J u J u
n n
u J u u J u u u J u u
+ −
′
= − + = −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
2 2
n n n
n n n
K w K w K w
n n
wK w wK w w wK w w
+ −
′
= − + = − −
z z
E H
z z
H E
Gérard Hincelin - Electronique B8
Modes HE1m
„ Les modes HEnm (signe -) sont solution
de l’équation caractéristique :
„ Cas n =1:
„ Résolution graphique:
„ Coupure des modes
„ Le mode HE1m coupe pour V < t 1,m-1
„ Le mode HE11 à une fréquence de
coupure nulle
( ) ( )
1 1
( ) ( )
n n
n n
J u K w
u J u wK w
− −
=
( ) ( )
0 0
1 1
( ) ( )
J u K w
u J u wK w
=
( )
0
1
1( )
J u
f
J u
=
( )
0
2
1( )
u K w
f
wK w
=
2 2
w V u
= − 2
f quand u V
→ ∞ →
Résolution graphique des modes HE1m
Trois modes possibles pour V = 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
u
f1
f2
HE11 HE12
HE13
t01 t02 t03
t11 t12
Mode fondamental :
Le mode HE11 est toujours guidé
Gérard Hincelin - Electronique B8
Diagramme de dispersion
„ A une valeur de V correspond
„ Une valeur de u pour chaque mode
„ On en déduit
„ Diagramme β = f(V)
„ Cas général
„ Association en groupes présentant:
„ fréquences de coupure voisines
„ constantes de propagation voisines
„ Pseudo-modes LP:Linear Polarization
„ Guidage faible
„ Le champ résultant de l’association de
ces groupes est à polarisation linéaire
β/ko
n2
n1
LP01
LP11
LP21
( )
2
2 2
1 O
n k u a
β = −
1 2
n n
≠
1 2
n n
Fibre Monomode: pour V < 2,405
seul le mode LP01 peut se propager
( ) ( )
0
2 a
V ON a ON
c
π ω
λ
= =
Gérard Hincelin - Electronique B8
Atténuation d’une fibre monomode
„ Atténuation A en dB/km
„ Absorption intrinsèque de SiO2
„ Bande UV de résonances
électroniques (λ < 0,4 µm)
„ Bande IR de résonances
vibrationnelles ((λ > 7 µm)
„ Diffusion de Rayleigh:
„ Variation monotone en 1/λ4
„ Absorption par les impuretés
„ Ions OH- essentiellement
„ concentration inférieure à 10-8
( )
( )
0
10
/
1
10
log
dB km
km
P
A
L P
=
Atténuation
(dB/km)
longueur d’onde (µm)
absorption
infra-rouge
absorption
ultra-violet
diffusion
Rayleigh
Expérimental
OH-
A < 0,2 dB/km autour de λ = 1,55 µm
Gérard Hincelin - Electronique B8
Dispersion intermodale
„ L’énergie de l’impulsion se répartit entre les
différents modes excités
„ Les modes se propagent dans une direction ϕi
qui dépend du mode:
„ temps de propagation dans la fibre :
„ Modes lents :
„ Modes rapides :
„ Elargissement de l’impulsion :
2a
z
cœur : n1
gaine : n2
ϕi
1
g
v c n
=
1
sin
z i
c
v
n
ϕ
=
Fibre multimode
longueur L
t
Impulsion
en entrée
t
Impulsion
en sortie
i
τ
∆ 2
c i
ϕ ϕ π
≤ ≤
1
1
sin
z
L Ln
t
v c ϕ
= =
2
2 1
1
1 2
sin c
n Ln
t
n c n
ϕ = ⇒ =
1
2
2
i
Ln
t
c
ϕ π
= ⇒ =
1
1 2
i
Ln
t t
c
τ
∆ − = ∆
P(t) P(t)
lent
rapide
Gérard Hincelin - Electronique B8
Limitation du débit dans une liaison
numérique
Format optique RZ
„ Interférences inter-symboles:
„ Ordre de grandeur:
„ L = 1km; n1 = 1,5; ∆ = 0,003
„ Débit numérique maximum:
„ Réduction de la dispersion intermodale
par fibre à gradient d’indice
1 1 1
Popt(t)
0 0 0 0
t
tB = 1/B
t
1 1
Popt(t)
1
0 0 0 0
Après propagation sur une distance L
i
τ
∆
i B
t
τ
∆ <
3
3 8
1
8
10 1,5
3 10 1,5 10
3 10
i
Ln
s
c
τ − −
×
∆ = ∆ = × = ×
×
1
i
B
τ
<
∆
8
10
66 /
1,5
B soit Mbit s
<
2
1
8
GI
i
Ln
c
τ
∆
∆
Gérard Hincelin - Electronique B8
Dispersion dans une fibre monomode
„ Absence de dispersion intermodale
„ Pour V < 2,405 : un seul mode de
propagation (LP01)
„ Dispersion chromatique:
„ Etendue spectrale du signal ∆ω
„ porteuse optique
„ largeur des impulsions
„ Temps de groupe :
„ Fibre de longueur L
„ Propagation du signal à la vitesse
vg :
„ β n’est pas proportionnelle à ω
„ Dispersion de guide d’onde
„ Dispersion matériau: n1= f(λ)
„ Etalement des temps de groupes :
„ Les différentes composantes
spectrales n’arrivent pas au même
instant à l’extrémité de la fibre:
„ Paramètre de dispersion D:
„ On montrera en exercice:
2
2
2
g
g
d d
L L
d d
τ β
τ ω ω β ω
ω ω
∆ = ∆ = ∆ = ∆
1
: /( . )
g
D unité ps km nm
L
τ
λ
∆
=
∆
2
2
2 c
D
π
β
λ
= −
g
g
L d
L
v d
β
τ
ω
= =
Gérard Hincelin - Electronique B8
Liaisons haut débit – longue distance
„ On utilise le critère précédent :
„ Le débit maximum est inversement
proportionnel à:
„ La longueur de fibre : L
„ La dispersion de la fibre : D
„ La largeur spectrale du signal : ∆λ
„ Exemple: Calcul du produit BL max
„ fibre standard à 1,55 µm
„ ∆λ = 1 nm (diode laser)
„ Hauts débits – longues distances
„ Dispersion
„ Réduire la dispersion : limite des
effets non linéaires (FWM)
„ Réduire ∆λ : limité par la bande de
modulation du signal
„ Compensation de la dispersion
„ Atténuation
„ Amplificateurs optiques en ligne
„ Multiplexage fréquentiel : WDM
„ N canaux pour un débit total BT:
„ BT = N.B (B: débit par canal)
1
1
g
B soit B
L D
τ
λ
∆ < <
∆
12
1 1
60 ( / ).
17 10
BL Gbit s km
D λ −
< =
∆ ×
1 T
ν
∆ ∆
Gérard Hincelin - Electronique B8
Fibres pour transmissions à 1,55 µm
„ SMF: fibre standard.
„ DSF : fibre à dispersion
décalée.
„ NZDF+; NZDSF- : fibre à
dispersion non nulle.
„ RDF : fibre à pente négative.
„ DCF : fibre de compensation
1520 1530 1540 1550 1560 1570 1580
-80
-60
-40
-20
0
20
Longueur d'onde (nm)
Dispersion
(ps/(km
nm)
DCF
SMF
DSF
NZDSF+
NZDSF-
RDF
Gérard Hincelin - Electronique B8
Canaux et amplificateurs WDM
Ampli
Raman Thulium Erbium
XL
XS S C L
1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
0,0
0,15
0,30
Canaux WDM
Longueur d’onde (µm)
Atténuation
(dB/km)
25 THz
1,7

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  • 1. Gérard Hincelin - Electronique B8 Chapitre 9 : Fibres optiques SOMMAIRE „ 4. Fibre optique à saut d’indice „ Composantes axiales des champs „ Composantes transverses „ Equation de dispersion odes TE et TM rides HE et EH „ Modes LP dans l’approximation du guidage faible „ 5. Télécommunications optiques „ Atténuation „ Dispersion intermodale „ Dispersion chromatique „ Multiplexage fréquentiel (WDM) „ 1. Introduction „ 2. Guides d’ondes diélectriques „ Equations de passage „ Réflexion totale „ Onde évanescente „ 3. Types de fibres optiques
  • 2. Gérard Hincelin - Electronique B8 Introduction : Fibres optiques „ Emergence dans les années 60 „ Développement en parallèle avec celui des composants optoélectroniques „ Domaines d’applications : télécommunications optiques, capteurs optiques, opto-microondes, médical, … INCONVENIENTS ‰ Coût d’installation élevé ‰ Couplages optiques délicats : ¾ Le cœur mesure quelques µm. ‰ Utilisation d’interfaces optoélectroniques (Mais évolution vers les réseaux « tout optique »). AVANTAGES ‰ Très faible atténuation : ¾ 0,2 dB/km à λ = 1,55 µm ‰ Très large bande passante sur fibre monomode ‰ Multiplexage en longueur d’onde WDM ‰ Dimensions, poids, flexibilité ‰ Immunité aux interférences électromagnétiques.
  • 3. Gérard Hincelin - Electronique B8 Réflexion sur un dioptre plan „ Equations de passage „ milieux non absorbants „ indices n1 > n2 „ Conservation des composantes tangentielles des champs E et H „ Conservation de β: „ Loi de Snell-Descartes: „ Réflexion totale pour ϕt = π/2 „ Angle d’incidence critique: milieu 2 Σ n r milieu 1 i ϕ t ϕ z 1 k r 2 k r 1 1 n ε = 2 2 n ε = β = n1kosinϕi 1 2 sin sin i t n n ϕ ϕ = Notations: 0 k c ω = 1 1 1 0 k n n k c ω = = 2 2 2 0 k n n k c ω = = 2 1 sin c n n ϕ =
  • 4. Gérard Hincelin - Electronique B8 Exemple : guide d’onde plan „ Guidage par réflexion totale pour: „ Pas de perte par réflexion ! „ Contrainte sur β: „ Comparaison avec le guide métallique „ Onde évanescente „ Onde liée à la surface dans le milieu 2 „ Décroissance rapide des champs „ permet d’assurer la continuité des composantes tangentielles des champs 2 c i ϕ ϕ π ≤ ≤ 1 0 sin i n k β ϕ = 1 0 2 c i n k car π β ϕ ϕ ≤ ≤ ≤ 2 1 sin i n n ϕ ≥ 1 0 2 0 sin c n k n k β ϕ ≥ = 2 0 1 0 n k n k β ≤ ≤ d z β : composante axiale cœur : n1 gaine : n2 ϕi κ : composante transversale Réflexion totale : ϕi > ϕc
  • 5. Gérard Hincelin - Electronique B8 Coupure des modes: guide métallique et guide diélectrique En optique C ϕ 1 1 n ε = 2 2 n ε = Guidé : ϕi > ϕC Non guidé: ϕi < φC ω β 1 n c ω En micro ondes 1 1 n ε = ϕ = 0 à la coupure coupure: 0 β → 2 n c ω 2 n c ω β = à la coupure 2 1 n n c c ω ω β ≤ ≤ 1 0 n c ω β ≤ ≤
  • 6. Gérard Hincelin - Electronique B8 Types de fibres optiques revêtement protecteur cœur : n1 gaine : n2 Constitution d’une fibre optique r a) Monomode diamètre = 5 à 8 µm b) Multimode saut d’indice a = 50 µm c) Multimode gradient d’indice
  • 7. Gérard Hincelin - Electronique B8 Composantes axiales des champs „ Equation d’onde en coordonnées cylindriques (Ez ou Hz) „ Séparation des variables „ Solution périodique en φ „ n = 0, 1, 2 , …. „ Fonction de BESSEL ( , ) ( ) ( ) f r R r φ φ = Φ 2 2 2 2 2 1 ( , ) 1 ( , ) ( ) ( , ) 0 r f r f r r f r r r r r c φ φ ω ε β φ φ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + + − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 2 1 0 n φ ∂ Φ + = Φ ∂ cos( ) sin( ) C n D n φ φ Φ = + 2 2 2 r c ω κ ε β ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 ( ) 0 R r r r n R r r κ ∂ ∂ ⎡ ⎤ + − = ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦
  • 8. Gérard Hincelin - Electronique B8 Solution pour r < a (cœur) „ Dans le cœur : „ Les champs restent finis : „ Jn(x) est la fonction de Bessel de première espèce „ Composantes axiales des champs: solutions possibles 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( )sin( ) ( 0) ( , ) ( )cos( ) z n z n E r E J r n TE n H r H J r n φ κ φ φ κ φ = ⎫ = ⎬ = ⎭ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 2 0 n k c ω κ ε β β = − = − > ( ) 1 1 ( ) n R r C J r κ = 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( )cos( ) ( 0) ( , ) ( )sin( ) z n z n E r E J r n TM n H r H J r n φ κ φ φ κ φ = ⎫ = ⎬ = ⎭ 2 2 2 ( ) 0 R r r r n R r r κ ∂ ∂ ⎡ ⎤ + − = ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ Jn(x) Fonctions de Bessel de première espèce
  • 9. Gérard Hincelin - Electronique B8 Solution pour r > a (gaine) „ Dans la gaine: „ On pose : „ Solution générale: „ Onde évanescente „ In:Fonction de Bessel modifiée de première espèce (croissante) „ Expression des champs (modes TE): 2 2 2 2 2 2 0 0 n k κ β = − < Fonctions de Bessel modifiées de seconde espèce Kn(x) et de première espèce In(x). 2 2 j imaginaire pur κ α = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) n n R r C K r D I r α α = + 2 2 2 ( , ) ( )sin( ) z n E r E K r n φ α φ = 2 2 2 ( , ) ( )cos( ) z n H r H K r n φ α φ = Kn(x) In(x) 2 2 2 ( ) 0 R r r r n R r r κ ∂ ∂ ⎡ ⎤ + − = ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦
  • 10. Gérard Hincelin - Electronique B8 Composantes transversales des champs 0 2 0 2 0 2 0 2 1 1 1 1 z z r z z z z r r z z r j E H E r r j E H E r r j H E H r r j H E H r r φ φ β ωµ κ φ β ωµ κ φ β ωε ε κ φ β ωε ε κ φ ⎫ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − + ⎪ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎪ = − − ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎪ ⎝ ⎠ ⎬ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎪ = − − ⎜ ⎟ ⎪ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − + ⎜ ⎟ ⎪ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎭ Dans le cœur d’indice n1 (r < a) : 1 1 1 1 ( , ) ( )sin( ) ( , ) ( )cos( ) z n z n u E r E J r n a u H r H J r n a φ φ φ φ = = ( ) ( ) 0 1 1 1 2 cos( ) n n j j n u u E E J r H J r n r a u a a u a φ ωµ β φ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2 0 1 1 1 1 2 sin( ) n n j n u j n u H E J r H J r n u a a r a u a φ ωε β φ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Dans la gaine d’indice n2 (r > a) : 2 2 2 2 ( , ) ( )sin( ) ( , ) ( )cos( ) z n z n w E r E K r n a w H r H K r n a φ φ φ φ = = ( ) ( ) 0 2 2 2 2 cos( ) n n j j n w w E E K r H K r n r a w a a w a φ ωµ β φ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ( ) ( ) 2 0 2 2 2 2 2 sin( ) n n j n w j n w H E K r H K r n w a a r a w a φ ωε β φ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Composantes transversales en fonction des composantes axiales Variables réduites (sans dimensions): 2 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 0 u a a n k w a a n k κ β α β = = − = = − ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 u a w a κ κ κ α = = = − = −
  • 11. Gérard Hincelin - Electronique B8 Equation caractéristique Les composantes tangentielles des champ vérifient les équations de continuité 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); Z Z Z Z E a E a H a H a E a E a H a H a φ φ φ φ = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 2 2 2 2 2 0 2 0 1 2 2 1 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 n n n n n n n n n n n n E K w J u K w J u E j j j n j n K w J u K w J u a a w a u a w a u a H j n j n j n j n K w J u K w J u w a u a a a w a u a H ωµ ωµ β β ωε ωε β β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ′ − − ⎜ ⎟× = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ′ ′ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ En écrivant que le déterminant est nul, on obtient l’équation caractéristique: 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n J u K w J u K w n n n uJ u wK w n uJ u wK w u w n u w ⎛ ⎞⎛ ⎞ ′ ′ ′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + = + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
  • 12. Gérard Hincelin - Electronique B8 Paramètres de la fibre optique „ Approximation du guidage faible „ n1 est voisin de n2 „ Ecart relatif d’indices ∆: „ ∆ est de l’ordre de 0,2 % „ Ouverture numérique (ON): „ typiquement 0,1 à 0,3 „ Fréquence réduite V: 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 n n n n n n − − ∆ = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 V u w a k n n = + = − 2 2 1 2 ON n n = − ( ) 0 2 a V ON π λ = gaine n2 i ϕ a z cœur n1 Guidage : ϕi > ϕc Pour ∆ = 2 10-3 et n1 = 1,45 vérifier que ϕc = 86,4 degrés Dans l’approximation du guidage faible, la lumière se propage pratiquement parallèlement à l’axe de la fibre
  • 13. Gérard Hincelin - Electronique B8 Modes TE et TM – rayons méridiens „ Pour n = 0 : symétrie de révolution „ Champs indépendants de φ: „ Rayons dans un plan méridien „ modes transverses TE et TM „ Modes TE : „ „ Modes TM : „ „ z plan méridien Eφ ( ) , r z H H H r Eφ r H Mode TE01 z plan méridien ( ) , r z E E E r Mode TM01 Hφ r E sin( ); cos( ) z z E n H n φ φ ∝ ∝ cos( ); sin( ) z z E n H n φ φ ∝ ∝ 0; 0 z z E H φ = ∂ ∂ = 0 r E Hφ = = 0; 0 z z H E φ = ∂ ∂ = 0 r H Eφ = =
  • 14. Gérard Hincelin - Electronique B8 Modes TE et TM (équation caractéristique) „ Approximation du guidage faible: „ L’équation caractéristique se simplifie. „ Relations de récurrence des fonctions de Bessel: „ On obtient compte tenu de la relation: u2 + w2 = V2 2 2 1 2 1 0 n n n = = 2 2 ( ) ( ) 1 1 0 ( ) ( ) n n n n J u K w n uJ u wK w u w ⎛ ⎞ ′ ′ ⎛ ⎞ + = ± + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) J u J u K w K w ′ = − ′ = − 2 2 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J u u K w u K V u J u w K w V u K V u − = − = − − − „ Résolution graphique à l’aide d’un logiciel scientifique (MATLAB)
  • 15. Gérard Hincelin - Electronique B8 Résolution graphique – modes TE et TM „ Utilisation d’un logiciel scientifique „ Posons: „ Pour une valeur de V donnée, on trace f1 et f2 en fonction de u „ L’intersection des deux courbes donne: „ Le nombre de modes excités (fonction croissante de V) „ La valeur de β en fonction de V. „ Coupure des modes TE0m et TM0m „ pour V < t0m (racine miéme de J0) u 1 1 0 ( ) ( ) ( ) J u f u J u = 2 2 1 1 2 2 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u K w u K V u f u w K u V u K V u − = − = − − − 2 f pour u V → − ∞ → Détermination graphique des modes TE et TM a) Pour V = 8, on dénombre 4 modes b) Pour V < 2,405 aucun mode transverse 1 0 0 ( 0) m f pour u t J → ± ∞ = =
  • 16. Gérard Hincelin - Electronique B8 Modes hybrides „ Pour on perd la symétrie cylindrique: „ Les rayons ne sont plus contenus dans des plans méridiens „ Modes hybrides : „ Approximation du guidage faible „ signe + : modes EHnm (caractère transverse électrique dominant) signe - : modes HEnm (caractère transverse magnétique dominant) „ Relations de récurrence des fonctions de Bessel: 0 n ≠ 0 0 z z H et E ≠ ≠ 2 2 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) n n n n J u K w n uJ u wK w u w ⎛ ⎞ ′ ′ ⎛ ⎞ + = ± + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 n n n n n n J u J u J u n n u J u u J u u u J u u + − ′ = − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 n n n n n n K w K w K w n n wK w wK w w wK w w + − ′ = − + = − − z z E H z z H E
  • 17. Gérard Hincelin - Electronique B8 Modes HE1m „ Les modes HEnm (signe -) sont solution de l’équation caractéristique : „ Cas n =1: „ Résolution graphique: „ Coupure des modes „ Le mode HE1m coupe pour V < t 1,m-1 „ Le mode HE11 à une fréquence de coupure nulle ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) n n n n J u K w u J u wK w − − = ( ) ( ) 0 0 1 1 ( ) ( ) J u K w u J u wK w = ( ) 0 1 1( ) J u f J u = ( ) 0 2 1( ) u K w f wK w = 2 2 w V u = − 2 f quand u V → ∞ → Résolution graphique des modes HE1m Trois modes possibles pour V = 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 u f1 f2 HE11 HE12 HE13 t01 t02 t03 t11 t12 Mode fondamental : Le mode HE11 est toujours guidé
  • 18. Gérard Hincelin - Electronique B8 Diagramme de dispersion „ A une valeur de V correspond „ Une valeur de u pour chaque mode „ On en déduit „ Diagramme β = f(V) „ Cas général „ Association en groupes présentant: „ fréquences de coupure voisines „ constantes de propagation voisines „ Pseudo-modes LP:Linear Polarization „ Guidage faible „ Le champ résultant de l’association de ces groupes est à polarisation linéaire β/ko n2 n1 LP01 LP11 LP21 ( ) 2 2 2 1 O n k u a β = − 1 2 n n ≠ 1 2 n n Fibre Monomode: pour V < 2,405 seul le mode LP01 peut se propager ( ) ( ) 0 2 a V ON a ON c π ω λ = =
  • 19. Gérard Hincelin - Electronique B8 Atténuation d’une fibre monomode „ Atténuation A en dB/km „ Absorption intrinsèque de SiO2 „ Bande UV de résonances électroniques (λ < 0,4 µm) „ Bande IR de résonances vibrationnelles ((λ > 7 µm) „ Diffusion de Rayleigh: „ Variation monotone en 1/λ4 „ Absorption par les impuretés „ Ions OH- essentiellement „ concentration inférieure à 10-8 ( ) ( ) 0 10 / 1 10 log dB km km P A L P = Atténuation (dB/km) longueur d’onde (µm) absorption infra-rouge absorption ultra-violet diffusion Rayleigh Expérimental OH- A < 0,2 dB/km autour de λ = 1,55 µm
  • 20. Gérard Hincelin - Electronique B8 Dispersion intermodale „ L’énergie de l’impulsion se répartit entre les différents modes excités „ Les modes se propagent dans une direction ϕi qui dépend du mode: „ temps de propagation dans la fibre : „ Modes lents : „ Modes rapides : „ Elargissement de l’impulsion : 2a z cœur : n1 gaine : n2 ϕi 1 g v c n = 1 sin z i c v n ϕ = Fibre multimode longueur L t Impulsion en entrée t Impulsion en sortie i τ ∆ 2 c i ϕ ϕ π ≤ ≤ 1 1 sin z L Ln t v c ϕ = = 2 2 1 1 1 2 sin c n Ln t n c n ϕ = ⇒ = 1 2 2 i Ln t c ϕ π = ⇒ = 1 1 2 i Ln t t c τ ∆ − = ∆ P(t) P(t) lent rapide
  • 21. Gérard Hincelin - Electronique B8 Limitation du débit dans une liaison numérique Format optique RZ „ Interférences inter-symboles: „ Ordre de grandeur: „ L = 1km; n1 = 1,5; ∆ = 0,003 „ Débit numérique maximum: „ Réduction de la dispersion intermodale par fibre à gradient d’indice 1 1 1 Popt(t) 0 0 0 0 t tB = 1/B t 1 1 Popt(t) 1 0 0 0 0 Après propagation sur une distance L i τ ∆ i B t τ ∆ < 3 3 8 1 8 10 1,5 3 10 1,5 10 3 10 i Ln s c τ − − × ∆ = ∆ = × = × × 1 i B τ < ∆ 8 10 66 / 1,5 B soit Mbit s < 2 1 8 GI i Ln c τ ∆ ∆
  • 22. Gérard Hincelin - Electronique B8 Dispersion dans une fibre monomode „ Absence de dispersion intermodale „ Pour V < 2,405 : un seul mode de propagation (LP01) „ Dispersion chromatique: „ Etendue spectrale du signal ∆ω „ porteuse optique „ largeur des impulsions „ Temps de groupe : „ Fibre de longueur L „ Propagation du signal à la vitesse vg : „ β n’est pas proportionnelle à ω „ Dispersion de guide d’onde „ Dispersion matériau: n1= f(λ) „ Etalement des temps de groupes : „ Les différentes composantes spectrales n’arrivent pas au même instant à l’extrémité de la fibre: „ Paramètre de dispersion D: „ On montrera en exercice: 2 2 2 g g d d L L d d τ β τ ω ω β ω ω ω ∆ = ∆ = ∆ = ∆ 1 : /( . ) g D unité ps km nm L τ λ ∆ = ∆ 2 2 2 c D π β λ = − g g L d L v d β τ ω = =
  • 23. Gérard Hincelin - Electronique B8 Liaisons haut débit – longue distance „ On utilise le critère précédent : „ Le débit maximum est inversement proportionnel à: „ La longueur de fibre : L „ La dispersion de la fibre : D „ La largeur spectrale du signal : ∆λ „ Exemple: Calcul du produit BL max „ fibre standard à 1,55 µm „ ∆λ = 1 nm (diode laser) „ Hauts débits – longues distances „ Dispersion „ Réduire la dispersion : limite des effets non linéaires (FWM) „ Réduire ∆λ : limité par la bande de modulation du signal „ Compensation de la dispersion „ Atténuation „ Amplificateurs optiques en ligne „ Multiplexage fréquentiel : WDM „ N canaux pour un débit total BT: „ BT = N.B (B: débit par canal) 1 1 g B soit B L D τ λ ∆ < < ∆ 12 1 1 60 ( / ). 17 10 BL Gbit s km D λ − < = ∆ × 1 T ν ∆ ∆
  • 24. Gérard Hincelin - Electronique B8 Fibres pour transmissions à 1,55 µm „ SMF: fibre standard. „ DSF : fibre à dispersion décalée. „ NZDF+; NZDSF- : fibre à dispersion non nulle. „ RDF : fibre à pente négative. „ DCF : fibre de compensation 1520 1530 1540 1550 1560 1570 1580 -80 -60 -40 -20 0 20 Longueur d'onde (nm) Dispersion (ps/(km nm) DCF SMF DSF NZDSF+ NZDSF- RDF
  • 25. Gérard Hincelin - Electronique B8 Canaux et amplificateurs WDM Ampli Raman Thulium Erbium XL XS S C L 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 0,0 0,15 0,30 Canaux WDM Longueur d’onde (µm) Atténuation (dB/km) 25 THz 1,7