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Problème no 1 – Plasmons dans les métaux II
Ce problème porte sur les phénomènes liés aux oscillations collectives des électrons libres dans le volume et
à la surface des métaux. Ces oscillations, nommées plasmons, sont à l’origine de nombreuses applications en
physique, chimie et biologie.
On considérera que du point de vue de la propagation des ondes électromagnétiques l’air se comporte comme le
vide et que le métal est non-magnétique. Dans tout le problème, un métal sera modélisé par un milieu isotrope
homogène conducteur, de conductivité statique γ0, comprenant par unité d volume N électrons mobiles dans
un réseau fixe d’atomes. Seul un électron par atome participe à la conduction dans le métal. Chacun de ces
électrons est assimilé à une particule de masse m et de charge −e libre de se mouvoir, les interactions subies se
limitant à des chocs dont on ne cherchera pas à préciser la nature.
Données :
Permittivité du vide : ε0 = 8, 85 × 10−12
F · m−1
Perméabilité magnétique du vide : µ0 = 4π10−7
H · m−1
Constante de Boltzmann : kB = 1, 38 × 10−23
J · K−1
Constante de Planck : h = 6, 63 × 10−34
J · s et ~ = h/2π
Nombre d’Avogadro : NA = 6, 02 × 1023
mol−1
Masse de l’électron : m = 9, 11 × 10−31
kg
Masse molaire atomique de l’or : M = 197 g · mol−1
Masse volumique de l’or : d = 19, 3 g · cm−3
Conductivité statique de l’or : γ0 = 45, 5 × 106
S · m−1
Notation des nombres complexes : i2
= −1
Relation d’analyse vectorielle : rot (rot U) = grad div U − ∆U
A. Plasmons dans un métal
Dans cette partie, on modélise les collisions subies par les électrons par une force de frottement fluide −mv/τ
introduite dans la partie précédente, v étant la vitesse de l’électron et τ la constante de temps des collisions. Le
champ électrique appliqué au métal est maintenant dépendant du temps et s’écrit E(t).
1. Montrer que s’il existe à l’instant t = 0 une densité volumique de charges ρ0 en un point du conducteur de
conductivité γ0, celle-ci disparaı̂t très rapidement. On calculera le temps de relaxation correspondant.
2. Dans un régime forcé dans lequel le champ appliqué au métal est sinusoı̈dal et s’écrit en notation complexe
E(t) = E0 exp iωt, déterminer la vitesse d’un électron en régime permanent. En déduire, à partir de la loi d’Ohm
locale, que la conductivité γ(ω) complexe en régime variable s’écrit :
γ(ω) =
γ0
1 + iωτ
3. Montrer que ce régime autorise pour la densité de charge ρ(t) des oscillations amorties dont on donnera la
pseudo-pulsation ainsi que le temps de décroissance en fonction de τ et de la pulsation ωp =
p
γ0/ε0τ. Celle-ci
est appelée pulsation plasmon par analogie à la pulsation plasma dans les gaz.
4. En comparant les ordres de grandeur de ωp et 1/τ, commenter le comportement de ρ(t).
5. La pulsation plasmon provient d’une oscillation spatiale des charges propre au métal dont on peut retrouver
l’origine en l’assimilant à un gaz d’électrons de densité −Ne se superposant à un support de charges positives de
densité Ne. Justifier que l’on peut considérer les ions du métal comme fixes par rapport aux électrons. Montrer
que sous l’action d’un déplacement δx du gaz d’électrons dans la direction x, il se crée un champ électrique
induit que l’on exprimera en fonction de N, e et δx.
6. Retrouver la pulsation propre des oscillations du gaz d’électrons sous la forme ωp =
p
Ne2/mε0. On notera
que dans cette oscillation, ρ reste nul à l’intérieur du métal. Seule une charge surfacique apparaı̂t à la surface
du métal.
B. Couplage champ-plasmons – Propagation
Dans cette partie, on étudie le couplage d’une onde électromagnétique avec les oscillations plasmons décrites dans
la partie précédente. Le conducteur métallique est parcouru par une onde électromagnétique plane progressive
monochromatique de vecteur d’onde k suivant le sens positif de l’axe z. On notera le champ électrique complexe
associé à cette onde : E(z, t) = E0 exp [i (ωt − kz)]. On négligera l’effet du champ magnétique sur le mouvement
des électrons de telle manière que l’expression γ(ω) donnée à la question 2 reste valable.
7. À partir des équations de Maxwell, démontrer la relation de dispersion du vecteur d’onde :
Révision
k2
(ω) =
ω2
c2

1 − i
γ(ω)
ωε0

8. On suppose dans un premier temps que la pulsation de l’onde est faible devant la fréquence des collisions dans
le métal de telle manière que ω ≪ 1/τ. Justifier pourquoi la conductivité est la même qu’à champ d’excitation
constant. À quelle longueur d’onde dans le vide ce domaine de fréquences correspond-il?
9. En utilisant une expression simplifiée pour k(ω), montrer que dans ces conditions le champ s’écrit :
E(z, t) = E0 exp −
z
δ
exp i(ωt −
z
δ
)
Exprimer la profondeur de pénétration δ en fonction de γ0, ω et µ0. Représenter graphiquement la dépendance
en z de l’amplitude spatiale du champ (en considérant z = 0 à l’entrée du métal). Calculer δ pour des ondes de
fréquences 50 Hz et 100 MHz.
10. On se place maintenant dans le cas où ω ≫ 1/τ. Montrer qu’en première approximation : k2
(ω) =
ω2
/c2
− ω2
p/c2
. Sous quelle condition l’onde peut-elle se propager dans le métal ?
11. Dans le domaine de fréquence dans lequel il n’y a pas de propagation, donner l’expression de la distance
de pénétration δp dans le métal en fonction de ω, ωp et c. Calculer cette distance pour une fréquence dans le
visible.
C. Plasmons de surface sur un métal
On étudie dans cette partie, l’effet des oscillations électroniques à la surface d’un métal sur la propagation des
ondes électromagnétiques. De la même manière que précédemment, il n’y a pas d’accumulation de charges à
l’intérieur du métal. On considère une interface entre le métal occupant l’espace z  0 et l’air occupant l’espace
z  0. Sur cette interface, on cherche les ondes électromagnétiques sous la forme d’ondes planes inhomogènes
de champs électrique et magnétique complexes :
Eℓ(x, z, t) = Eℓ(z) exp [i (ωt − kxx)] et Bℓ(x, z, t) = Bℓ(z) exp [i (ωt − kxx)]
avec ℓ = 1 dans l’air et ℓ = 2 dans le métal. kx est la composante suivant x du vecteur d’onde dans les deux
milieux et Eℓ(z) l’amplitude spatiale du champ.
12. Exprimer dans le présent les équations de Maxwell satisfaites par les champs électriques et magnétiques
dans l’air et le métal de conductivité γ(ω).
13. On suppose que les champs Eℓ(z) (ℓ = 1, 2) sont polarisés dans le plan (x, z). Montrer qu’alors le champ
magnétique associé Bℓ(z) est dirigé suivant l’axe y, et que le problème se ramène à la recherche de la fonction
scalaire Eℓx(z) dans chacun des deux milieux.
14. Montrer que Eℓx(z) vérifie l’équation différentielle pour ℓ = 1, 2 :
d2
Eℓx(z)
dz2
− (k2
x − ω2
µ0ǫℓ)Eℓx(z) = 0
avec ǫ1 = ε0 la permittivité de l’air et ǫ2 = ε0 − iγ(ω)/ω celle du métal.
Dans toute la suite, on considère les ondes de pulsation ω telle que ω ≫ 1/τ. Montrer qu’alors ǫ2 est réel.
15. Montrer que le forme générale des solutions de cette équation différentielle s’écrit : Eℓx(z) = αℓ exp z/δℓ +
βℓ exp −z/δℓ pour ℓ = 1, 2, avec des constantes δℓ dont on donnera l’expression en fonction de kx et ǫℓ.
16. On cherche des solutions sous la forme d’ondes de surface : ces ondes se propagent dans la direction x,
restent confinées au voisinage z = 0 de part et d’autre de l’interface (1 − 2), et s’annulent pour z infini. Montrer
qu’alors nécessairement δℓ est réel. On choisit δℓ positif pour l = 1, 2 : donner l’expression simplifiée de Eℓx(z)
pour ℓ = 1, 2.
17. Donner la forme des autres composantes Eℓz(z) et Bℓy(z). Quel est l’état de polarisation du champ
électrique dans le plan (x, z) ?
18. Représenter la dépendance en x es amplitudes des vecteurs Eℓ de chaque côté de l’interface. Représenter
de même l’amplitude de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting  Πℓ  (x, z) en fonction de x puis
de z.
19. On admet que dans la description présente il n’y a pas lieu d’introduire de courant de surface. En utilisant
les relations de continuité des champs sur l’interface z = 0, montrer que :
ǫ1δ1 + ǫ2δ2 = 0
En déduire le signe de ǫ2.
20. Montrer que la relation de dispersion liant kx à ω s’écrit :
k2
x(ω) =
ǫ1ǫ2
ǫ1 + ǫ2
µ0ω2
21. Exprimer k2
x(ω) en fonction de ω, ωp et c. En prenant en compte les caractéristiques des ondes de surface
définies à la question 16, en déduire le domaine de fréquences autorisant la propagation d’une telle onde le long
de l’interface (1 − 2). Donner les expressions des profondeurs de pénétration de l’onde δℓ(ω, ωp) (ℓ = 1, 2) de
part et d’autre de l’interface et calculer ces distances pour une longueur d’onde dans le vide de 500 nm.
22. Représenter graphiquement kx(ω) dans le domaine de fréquences défini à la question 21. Discuter les cas :
ω ≪ ωp, ω → ωp/
√
2.
23. La solution à la pulsation ω = ωp/
√
2 est appelée pulsation propre du plasmon de surface. En étudiant la
limite du rapport Eℓx(z = 0)/Eℓz(z = 0) pour ω → ωp/
√
2, donner la polarisation de cette onde dans le plan
(x, z).
Problème no 2 – Application du laser au traitement et à l’usinage des pièces
Les faisceaux laser de puissance sont actuellement très utilisés dans l’industrie tant dans les domaines du
traitement thermique des aciers que du perçage, de la découpe ou de la soudure de matériaux divers. Pour ces
applications, les lasers les plus souvent rencontrés sont le laser YAG − Nd3+
(laser solide constitué d’un cristal
de grenat d’yttrium de l’aluminium dopé par 1, 5% en poids d’oxyde de néodyme Nd2O3) dont la transition la
plus intense se situe à 1, 06 µm et le laser à gaz (CO2) émettant dans le domaine infrarouge à 10, 6 µm. Ces
deux types de laser peuvent fonctionner aussi bien en mode continu qu’en mode impulsionnel.
A. Traitement thermique de l’acier par laser
Le traitement thermique consiste en un chauffage de la couche superficielle d’une pièce en acier à une température
supérieure à Ta = 1 293 K, à partir de laquelle se forme de l’austénite (austénitisation). Les couches superficielles
doivent être ensuite refroidies très rapidement à une température inférieure à Tc = 993 K, ce qui provoque
la formation de martensite. La dureté de l’acier s’en trouve alors très sensiblement augmentée (austénite et
martensite sont deux phases du diagramme d’équilibre fer–carbone).
Étudions tout d’abord la phase de chauffage de la pièce à l’aide d’un laser CO2 pulsé, de longueur d’onde
λ = 10, 6 µm. Le faisceau laser incident est supposé parfaitement cylindrique, sa section ayant une aire S.
L’évolution de la densité de puissance incidente (puissance par unité de surface J) en fonction du temps a un
profil de type créneau (pulse) dont la représentation est donnée sur la figure 1. Le temps tp représente la durée
de l’impulsion laser.
t
J
JL
tp pièce à traiter
faisceau laser
incident
S
Figure 1 – Impulsion laser pour le traitement thermique de l’acier
1. La réflectivité R de l’acier pour le rayonnement utilisé est R = 0, 82. En déduire littéralement puis numéri-
quement la densité de puissance J0 absorbée par l’acier. Donnée : JL = 4, 0 × 104
W · cm−2
.
z
O
ez
acier
Adoptons un modèle simplifié dans lequel la pièce en acier occupe le demi-
espace défini par z  0. Pour t  0, l’acier est en équilibre thermique, sa
température étant uniforme et valant T0 = 293 K. On désigne par ρ et C
la masse volumique et la capacité thermique massique de ce milieu et on
suppose que ces grandeurs restent constantes vis-à-vis de la température.
Supposons que les échanges thermiques au sein de la pièce se fassent ex-
clusivement par conduction thermique (toute transfert en surface de type
conducto-convectif sera négligé).
La distribution de température est supposée unidimensionnelle, de la forme T = T (z, t).
Le vecteur densité de courant thermique, noté J, est relié à la température par la loi de Fourier, J(z, t) =
−K
∂T
∂z
ez donc J = J(z, t)ez, où K désigne la conductivité thermique de l’acier, supposée constante. On rappelle
que le flux de J à travers une surface S représente le transfert thermique (quantité de chaleur) traversant cette
surface par unité de temps.
2. Quelle est la signification du signe − dans la loi de Fourier ?
Considérons un cylindre à l’intérieur du métal, d’axe (Oz), dont les bases sont situées dans les plans de cotes z
et z + dz et désignons par S l’aire de la section de ce cylindre.
3. Établir à l’aide du premier principe de la Thermodynamique l’équation aux dérivées partielles (équation de la
chaleur) vérifiée par la température T (z, t),
∂T
∂t
= D
∂2
T
∂z2
. Déterminer l’expression de D (diffusivité thermique)
et préciser sa dimension.
4. Montrer que J(z, t) obéit à la même équation que T (z, t), c’est-à-dire
∂J
∂t
= D
∂2
J
∂z2
.
Intéressons-nous à la phase de chauffage : t ∈ [0 ; tp]. L’interaction acier–laser est prise en compte en supposant
que la surface libre de la pièce est soumise à une densité de flux thermique donnée par J(0, t) = J0ez, ∀t ∈ [0 ; tp],
J0 étant la puissance absorbée, supposée indépendante du temps. Les conditions aux imites et initiale décrivant
le phénomène s’écrivent donc comme suit :



∀t ∈ [0 ; tp] J(0, t) = −K

∂T
∂z

(0, t) = J0
∀z  0 T (z, 0) = T0
.
5. Traduire la condition initiale sur la température en une condition initiale sur J(z, 0) pour z  0.
Une solution de l’équation établie à la question 4 correspondant à notre problème est de la forme J(z, t) = Af(u),
où A est une constante, u la grandeur définie par u =
z
2
√
Dt
et f une fonction ne dépendant que de la variable
u et dont l’expression est f(u) = 1 −
2
√
π
Z u
0
exp −x2

dx.
6. Quelle est la dimension de u ? Vérifier que l’expression proposée pour J(z, t) est bien solution de l’équation
établie à la question 4 et déterminer la constante A.
Pour t ∈ [0 ; tp], la température en un point de cote z du métal s’écrit sous la forme T (z, t) = T0 +
2J0
K
√
DtF(u)
avec F(u) =
exp −u2

√
π
− uf(u).
7. Vérifier que l’expression proposée pour T (z, t) permet de retrouver l’expression J(z, t) = Af(u) ci-dessus.
Quelle est l’expression de la température Ts(t) à la surface du métal ?
8. À l’aide du graphe de la fonction F(u) (figure 2), calculer la valeur numérique de la profondeur d pour
laquelle T = Ta à l’instant tp (fin de l’impulsion laser). Données : K = 35 W · m−1
· K−1
, D = 1, 0 × 10−5
SI et
tp = 40 ms.
u
F(u)
b
0
b
0.5
b
1.0
b
1.5
b
2.0
b
2.5
b
0
b
0.1
b
0.2
b
0.3
b
0.4
b
0.5
Figure 2 – Graphe de la fonction F(u) =
exp(−u2
)
√
π
− uf(u)
9. Quelle est la température de la surface libre à l’instant tp ?
10. La température de fusion de l’acier considéré étant Tf = 1 800 K, quelle devrait être la durée t′
p de
l’impulsion laser pour que cette température soit atteinte à la surface de la pièce à la fin de l’impulsion ?
B. Usinage d’une feuille de métal par vaporisation
Étudions tout d’abord le perçage par vaporisation d’une mince couche d’aluminium percée sur un substrat
thermiquement isolant. Les conditions opératoires sont celles de la figure 3. La feuille métallique, horizontale,
d’épaisseur constante e, reçoit perpendiculairement à sa surface un pulse laser de durée tp et de densité de
puissance JL. Le faisceau est supposé parfaitement cylindrique, de diamètre φ.
faisceau laser
incident
S
e
feuille d’aluminium
substrat
Figure 3 – Perçage d’une feuille de métal par vaporisation
La feuille métallique est immobile par rapport au faisceau laser. Désignons par (S) le système défini par la masse
d’aluminium contenue initialement dans le volume cylindrique de diamètre φ et d’épaisseur e et définissons les
hypothèses de travail suivantes :
– la puissance lumineuse absorbée est totalement convertie en chaleur cédée à (S) ;
– tout échange thermique entre (S) et le reste de la feuille est négligé ;
– l’épaisseur e étant petite, il est admis qu’à chaque instant t, la température est uniforme dans (S) et notée
T (t). Avant l’irradiation, la température est égale à T0 = 298 K ;
– le perçage s’effectue sous la pression atmosphérique constante patm = 1 bar.
Les données relatives au perçage par un faisceau laser sont regroupées dans la table 1. Les températures de
changement d’état ainsi que les chaleurs latentes y sont données pour la pression patm = 1 bar. Les variations
de ρ et cp avec la température seront négligées.
Grandeur Valeur
Tf Température de fusion 933 K
Tv Température de vaporisation 2 740 K
Lf Chaleur latente massique de fusion 397 kJ · kg−1
Lv Chaleur latente massique de vaporisation 10 500 kJ · kg−1
ρS Masse volumique du solide 2 700 kg · m−3
cp(S) Capacité thermique massique à pression constante du solide 900 J · kg−1
· K−1
cp(L) Capacité thermique massique à pression constante du liquide 1 090 J · kg−1
· K−1
Table 1 – Grandeurs thermodynamiques relatives à l’aluminium
11. Définir la chaleur latente de changement d’état d’un corps pur.
12. Écrire la relation liant la variation d’enthalpie de (S) et le transfert thermique (quantité de chaleur)
échangé avec le milieu extérieur.
L’irradiation de l’aluminium provoque son échauffement de T0 à la température de fusion Tf , sa fusion, puis
l’échauffement du métal liquide de Tf à la température de vaporisation Tv et enfin sa vaporisation totale.
13. Donner l’expression littérale de la variation d’enthalpie de (S) correspondant à cette transformation
thermodynamique.
14. Le laser utilisé est un YAG − Ng3+
pulsé avec tp = 50 ms. Calculer les durées correspondant à chacune des
étapes du processus.
15. Représenter schématiquement l’évolution de la température du métal en fonction du temps.
16. La durée de l’impulsion laser tp étant imposée, en déduire la densité de puissance incidente minimale
JL,min nécessaire à la réalisation de cette transformation. On notera R la réflectivité de l’aluminium pour le
rayonnement étudié.
17. La réflectivité étant R = 0, 72 et l’épaisseur de la couche métallique e = 0, 5 mm, déterminer numériquement
JL,min. En déduire la puissance moyenne minimale du faisceau sachant que le diamètre du trou est φ = 0, 8 mm.
18. Les lasers utilisés ont en réalité une puissance moyenne imposée. La valeur JL,min et le diamètre du faisceau
peuvent être ajustés à l’aide d’un montage optique convenable. Proposer un montage utilisant deux ou trois
lentilles (convergentes ou divergentes) qui permette d’agrandir (ou de réduire) la section du faisceau lumineux.
Intéressons nous maintenant à la découpe d’une feuille d’aluminium d’épaisseur constante e = 1 mm. À cet
effet, un laser YAG − Nd3+
restant fixe irradie une feuille métallique déplacée selon un mouvement de translation
uniforme de vitesse V , perpendiculairement à la direction du faisceau. Le laser employé fonctionne en mode
continu (c’est-à-dire non pulsé) avec une puissance moyenne constante PL = 700 W et un diamètre φ = 0, 5 mm.
la réflectivité de l’aluminium est R = 0, 72.
19. Déterminer la vitesse maximale VM de découpe de la feuille. Faire l’application numérique.
En réalité, la vitesse de découpe est bien inférieure à la vitesse VM précédemment calculée.
20. Analyser les causes d’erreurs possibles. Quelles sont, dans les hypothèses de départ, celles qui vous paraissent
les plus simplificatrices?

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  • 1. Problème no 1 – Plasmons dans les métaux II Ce problème porte sur les phénomènes liés aux oscillations collectives des électrons libres dans le volume et à la surface des métaux. Ces oscillations, nommées plasmons, sont à l’origine de nombreuses applications en physique, chimie et biologie. On considérera que du point de vue de la propagation des ondes électromagnétiques l’air se comporte comme le vide et que le métal est non-magnétique. Dans tout le problème, un métal sera modélisé par un milieu isotrope homogène conducteur, de conductivité statique γ0, comprenant par unité d volume N électrons mobiles dans un réseau fixe d’atomes. Seul un électron par atome participe à la conduction dans le métal. Chacun de ces électrons est assimilé à une particule de masse m et de charge −e libre de se mouvoir, les interactions subies se limitant à des chocs dont on ne cherchera pas à préciser la nature. Données : Permittivité du vide : ε0 = 8, 85 × 10−12 F · m−1 Perméabilité magnétique du vide : µ0 = 4π10−7 H · m−1 Constante de Boltzmann : kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 Constante de Planck : h = 6, 63 × 10−34 J · s et ~ = h/2π Nombre d’Avogadro : NA = 6, 02 × 1023 mol−1 Masse de l’électron : m = 9, 11 × 10−31 kg Masse molaire atomique de l’or : M = 197 g · mol−1 Masse volumique de l’or : d = 19, 3 g · cm−3 Conductivité statique de l’or : γ0 = 45, 5 × 106 S · m−1 Notation des nombres complexes : i2 = −1 Relation d’analyse vectorielle : rot (rot U) = grad div U − ∆U A. Plasmons dans un métal Dans cette partie, on modélise les collisions subies par les électrons par une force de frottement fluide −mv/τ introduite dans la partie précédente, v étant la vitesse de l’électron et τ la constante de temps des collisions. Le champ électrique appliqué au métal est maintenant dépendant du temps et s’écrit E(t). 1. Montrer que s’il existe à l’instant t = 0 une densité volumique de charges ρ0 en un point du conducteur de conductivité γ0, celle-ci disparaı̂t très rapidement. On calculera le temps de relaxation correspondant. 2. Dans un régime forcé dans lequel le champ appliqué au métal est sinusoı̈dal et s’écrit en notation complexe E(t) = E0 exp iωt, déterminer la vitesse d’un électron en régime permanent. En déduire, à partir de la loi d’Ohm locale, que la conductivité γ(ω) complexe en régime variable s’écrit : γ(ω) = γ0 1 + iωτ 3. Montrer que ce régime autorise pour la densité de charge ρ(t) des oscillations amorties dont on donnera la pseudo-pulsation ainsi que le temps de décroissance en fonction de τ et de la pulsation ωp = p γ0/ε0τ. Celle-ci est appelée pulsation plasmon par analogie à la pulsation plasma dans les gaz. 4. En comparant les ordres de grandeur de ωp et 1/τ, commenter le comportement de ρ(t). 5. La pulsation plasmon provient d’une oscillation spatiale des charges propre au métal dont on peut retrouver l’origine en l’assimilant à un gaz d’électrons de densité −Ne se superposant à un support de charges positives de densité Ne. Justifier que l’on peut considérer les ions du métal comme fixes par rapport aux électrons. Montrer que sous l’action d’un déplacement δx du gaz d’électrons dans la direction x, il se crée un champ électrique induit que l’on exprimera en fonction de N, e et δx. 6. Retrouver la pulsation propre des oscillations du gaz d’électrons sous la forme ωp = p Ne2/mε0. On notera que dans cette oscillation, ρ reste nul à l’intérieur du métal. Seule une charge surfacique apparaı̂t à la surface du métal. B. Couplage champ-plasmons – Propagation Dans cette partie, on étudie le couplage d’une onde électromagnétique avec les oscillations plasmons décrites dans la partie précédente. Le conducteur métallique est parcouru par une onde électromagnétique plane progressive monochromatique de vecteur d’onde k suivant le sens positif de l’axe z. On notera le champ électrique complexe associé à cette onde : E(z, t) = E0 exp [i (ωt − kz)]. On négligera l’effet du champ magnétique sur le mouvement des électrons de telle manière que l’expression γ(ω) donnée à la question 2 reste valable. 7. À partir des équations de Maxwell, démontrer la relation de dispersion du vecteur d’onde : Révision
  • 2. k2 (ω) = ω2 c2 1 − i γ(ω) ωε0 8. On suppose dans un premier temps que la pulsation de l’onde est faible devant la fréquence des collisions dans le métal de telle manière que ω ≪ 1/τ. Justifier pourquoi la conductivité est la même qu’à champ d’excitation constant. À quelle longueur d’onde dans le vide ce domaine de fréquences correspond-il? 9. En utilisant une expression simplifiée pour k(ω), montrer que dans ces conditions le champ s’écrit : E(z, t) = E0 exp − z δ exp i(ωt − z δ ) Exprimer la profondeur de pénétration δ en fonction de γ0, ω et µ0. Représenter graphiquement la dépendance en z de l’amplitude spatiale du champ (en considérant z = 0 à l’entrée du métal). Calculer δ pour des ondes de fréquences 50 Hz et 100 MHz. 10. On se place maintenant dans le cas où ω ≫ 1/τ. Montrer qu’en première approximation : k2 (ω) = ω2 /c2 − ω2 p/c2 . Sous quelle condition l’onde peut-elle se propager dans le métal ? 11. Dans le domaine de fréquence dans lequel il n’y a pas de propagation, donner l’expression de la distance de pénétration δp dans le métal en fonction de ω, ωp et c. Calculer cette distance pour une fréquence dans le visible. C. Plasmons de surface sur un métal On étudie dans cette partie, l’effet des oscillations électroniques à la surface d’un métal sur la propagation des ondes électromagnétiques. De la même manière que précédemment, il n’y a pas d’accumulation de charges à l’intérieur du métal. On considère une interface entre le métal occupant l’espace z 0 et l’air occupant l’espace z 0. Sur cette interface, on cherche les ondes électromagnétiques sous la forme d’ondes planes inhomogènes de champs électrique et magnétique complexes : Eℓ(x, z, t) = Eℓ(z) exp [i (ωt − kxx)] et Bℓ(x, z, t) = Bℓ(z) exp [i (ωt − kxx)] avec ℓ = 1 dans l’air et ℓ = 2 dans le métal. kx est la composante suivant x du vecteur d’onde dans les deux milieux et Eℓ(z) l’amplitude spatiale du champ. 12. Exprimer dans le présent les équations de Maxwell satisfaites par les champs électriques et magnétiques dans l’air et le métal de conductivité γ(ω). 13. On suppose que les champs Eℓ(z) (ℓ = 1, 2) sont polarisés dans le plan (x, z). Montrer qu’alors le champ magnétique associé Bℓ(z) est dirigé suivant l’axe y, et que le problème se ramène à la recherche de la fonction scalaire Eℓx(z) dans chacun des deux milieux. 14. Montrer que Eℓx(z) vérifie l’équation différentielle pour ℓ = 1, 2 : d2 Eℓx(z) dz2 − (k2 x − ω2 µ0ǫℓ)Eℓx(z) = 0 avec ǫ1 = ε0 la permittivité de l’air et ǫ2 = ε0 − iγ(ω)/ω celle du métal. Dans toute la suite, on considère les ondes de pulsation ω telle que ω ≫ 1/τ. Montrer qu’alors ǫ2 est réel. 15. Montrer que le forme générale des solutions de cette équation différentielle s’écrit : Eℓx(z) = αℓ exp z/δℓ + βℓ exp −z/δℓ pour ℓ = 1, 2, avec des constantes δℓ dont on donnera l’expression en fonction de kx et ǫℓ. 16. On cherche des solutions sous la forme d’ondes de surface : ces ondes se propagent dans la direction x, restent confinées au voisinage z = 0 de part et d’autre de l’interface (1 − 2), et s’annulent pour z infini. Montrer qu’alors nécessairement δℓ est réel. On choisit δℓ positif pour l = 1, 2 : donner l’expression simplifiée de Eℓx(z) pour ℓ = 1, 2. 17. Donner la forme des autres composantes Eℓz(z) et Bℓy(z). Quel est l’état de polarisation du champ électrique dans le plan (x, z) ? 18. Représenter la dépendance en x es amplitudes des vecteurs Eℓ de chaque côté de l’interface. Représenter de même l’amplitude de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting Πℓ (x, z) en fonction de x puis de z. 19. On admet que dans la description présente il n’y a pas lieu d’introduire de courant de surface. En utilisant les relations de continuité des champs sur l’interface z = 0, montrer que : ǫ1δ1 + ǫ2δ2 = 0 En déduire le signe de ǫ2. 20. Montrer que la relation de dispersion liant kx à ω s’écrit :
  • 3. k2 x(ω) = ǫ1ǫ2 ǫ1 + ǫ2 µ0ω2 21. Exprimer k2 x(ω) en fonction de ω, ωp et c. En prenant en compte les caractéristiques des ondes de surface définies à la question 16, en déduire le domaine de fréquences autorisant la propagation d’une telle onde le long de l’interface (1 − 2). Donner les expressions des profondeurs de pénétration de l’onde δℓ(ω, ωp) (ℓ = 1, 2) de part et d’autre de l’interface et calculer ces distances pour une longueur d’onde dans le vide de 500 nm. 22. Représenter graphiquement kx(ω) dans le domaine de fréquences défini à la question 21. Discuter les cas : ω ≪ ωp, ω → ωp/ √ 2. 23. La solution à la pulsation ω = ωp/ √ 2 est appelée pulsation propre du plasmon de surface. En étudiant la limite du rapport Eℓx(z = 0)/Eℓz(z = 0) pour ω → ωp/ √ 2, donner la polarisation de cette onde dans le plan (x, z). Problème no 2 – Application du laser au traitement et à l’usinage des pièces Les faisceaux laser de puissance sont actuellement très utilisés dans l’industrie tant dans les domaines du traitement thermique des aciers que du perçage, de la découpe ou de la soudure de matériaux divers. Pour ces applications, les lasers les plus souvent rencontrés sont le laser YAG − Nd3+ (laser solide constitué d’un cristal de grenat d’yttrium de l’aluminium dopé par 1, 5% en poids d’oxyde de néodyme Nd2O3) dont la transition la plus intense se situe à 1, 06 µm et le laser à gaz (CO2) émettant dans le domaine infrarouge à 10, 6 µm. Ces deux types de laser peuvent fonctionner aussi bien en mode continu qu’en mode impulsionnel. A. Traitement thermique de l’acier par laser Le traitement thermique consiste en un chauffage de la couche superficielle d’une pièce en acier à une température supérieure à Ta = 1 293 K, à partir de laquelle se forme de l’austénite (austénitisation). Les couches superficielles doivent être ensuite refroidies très rapidement à une température inférieure à Tc = 993 K, ce qui provoque la formation de martensite. La dureté de l’acier s’en trouve alors très sensiblement augmentée (austénite et martensite sont deux phases du diagramme d’équilibre fer–carbone). Étudions tout d’abord la phase de chauffage de la pièce à l’aide d’un laser CO2 pulsé, de longueur d’onde λ = 10, 6 µm. Le faisceau laser incident est supposé parfaitement cylindrique, sa section ayant une aire S. L’évolution de la densité de puissance incidente (puissance par unité de surface J) en fonction du temps a un profil de type créneau (pulse) dont la représentation est donnée sur la figure 1. Le temps tp représente la durée de l’impulsion laser. t J JL tp pièce à traiter faisceau laser incident S Figure 1 – Impulsion laser pour le traitement thermique de l’acier 1. La réflectivité R de l’acier pour le rayonnement utilisé est R = 0, 82. En déduire littéralement puis numéri- quement la densité de puissance J0 absorbée par l’acier. Donnée : JL = 4, 0 × 104 W · cm−2 . z O ez acier Adoptons un modèle simplifié dans lequel la pièce en acier occupe le demi- espace défini par z 0. Pour t 0, l’acier est en équilibre thermique, sa température étant uniforme et valant T0 = 293 K. On désigne par ρ et C la masse volumique et la capacité thermique massique de ce milieu et on suppose que ces grandeurs restent constantes vis-à-vis de la température. Supposons que les échanges thermiques au sein de la pièce se fassent ex- clusivement par conduction thermique (toute transfert en surface de type conducto-convectif sera négligé). La distribution de température est supposée unidimensionnelle, de la forme T = T (z, t).
  • 4. Le vecteur densité de courant thermique, noté J, est relié à la température par la loi de Fourier, J(z, t) = −K ∂T ∂z ez donc J = J(z, t)ez, où K désigne la conductivité thermique de l’acier, supposée constante. On rappelle que le flux de J à travers une surface S représente le transfert thermique (quantité de chaleur) traversant cette surface par unité de temps. 2. Quelle est la signification du signe − dans la loi de Fourier ? Considérons un cylindre à l’intérieur du métal, d’axe (Oz), dont les bases sont situées dans les plans de cotes z et z + dz et désignons par S l’aire de la section de ce cylindre. 3. Établir à l’aide du premier principe de la Thermodynamique l’équation aux dérivées partielles (équation de la chaleur) vérifiée par la température T (z, t), ∂T ∂t = D ∂2 T ∂z2 . Déterminer l’expression de D (diffusivité thermique) et préciser sa dimension. 4. Montrer que J(z, t) obéit à la même équation que T (z, t), c’est-à-dire ∂J ∂t = D ∂2 J ∂z2 . Intéressons-nous à la phase de chauffage : t ∈ [0 ; tp]. L’interaction acier–laser est prise en compte en supposant que la surface libre de la pièce est soumise à une densité de flux thermique donnée par J(0, t) = J0ez, ∀t ∈ [0 ; tp], J0 étant la puissance absorbée, supposée indépendante du temps. Les conditions aux imites et initiale décrivant le phénomène s’écrivent donc comme suit :    ∀t ∈ [0 ; tp] J(0, t) = −K ∂T ∂z (0, t) = J0 ∀z 0 T (z, 0) = T0 . 5. Traduire la condition initiale sur la température en une condition initiale sur J(z, 0) pour z 0. Une solution de l’équation établie à la question 4 correspondant à notre problème est de la forme J(z, t) = Af(u), où A est une constante, u la grandeur définie par u = z 2 √ Dt et f une fonction ne dépendant que de la variable u et dont l’expression est f(u) = 1 − 2 √ π Z u 0 exp −x2 dx. 6. Quelle est la dimension de u ? Vérifier que l’expression proposée pour J(z, t) est bien solution de l’équation établie à la question 4 et déterminer la constante A. Pour t ∈ [0 ; tp], la température en un point de cote z du métal s’écrit sous la forme T (z, t) = T0 + 2J0 K √ DtF(u) avec F(u) = exp −u2 √ π − uf(u). 7. Vérifier que l’expression proposée pour T (z, t) permet de retrouver l’expression J(z, t) = Af(u) ci-dessus. Quelle est l’expression de la température Ts(t) à la surface du métal ? 8. À l’aide du graphe de la fonction F(u) (figure 2), calculer la valeur numérique de la profondeur d pour laquelle T = Ta à l’instant tp (fin de l’impulsion laser). Données : K = 35 W · m−1 · K−1 , D = 1, 0 × 10−5 SI et tp = 40 ms. u F(u) b 0 b 0.5 b 1.0 b 1.5 b 2.0 b 2.5 b 0 b 0.1 b 0.2 b 0.3 b 0.4 b 0.5 Figure 2 – Graphe de la fonction F(u) = exp(−u2 ) √ π − uf(u) 9. Quelle est la température de la surface libre à l’instant tp ?
  • 5. 10. La température de fusion de l’acier considéré étant Tf = 1 800 K, quelle devrait être la durée t′ p de l’impulsion laser pour que cette température soit atteinte à la surface de la pièce à la fin de l’impulsion ? B. Usinage d’une feuille de métal par vaporisation Étudions tout d’abord le perçage par vaporisation d’une mince couche d’aluminium percée sur un substrat thermiquement isolant. Les conditions opératoires sont celles de la figure 3. La feuille métallique, horizontale, d’épaisseur constante e, reçoit perpendiculairement à sa surface un pulse laser de durée tp et de densité de puissance JL. Le faisceau est supposé parfaitement cylindrique, de diamètre φ. faisceau laser incident S e feuille d’aluminium substrat Figure 3 – Perçage d’une feuille de métal par vaporisation La feuille métallique est immobile par rapport au faisceau laser. Désignons par (S) le système défini par la masse d’aluminium contenue initialement dans le volume cylindrique de diamètre φ et d’épaisseur e et définissons les hypothèses de travail suivantes : – la puissance lumineuse absorbée est totalement convertie en chaleur cédée à (S) ; – tout échange thermique entre (S) et le reste de la feuille est négligé ; – l’épaisseur e étant petite, il est admis qu’à chaque instant t, la température est uniforme dans (S) et notée T (t). Avant l’irradiation, la température est égale à T0 = 298 K ; – le perçage s’effectue sous la pression atmosphérique constante patm = 1 bar. Les données relatives au perçage par un faisceau laser sont regroupées dans la table 1. Les températures de changement d’état ainsi que les chaleurs latentes y sont données pour la pression patm = 1 bar. Les variations de ρ et cp avec la température seront négligées. Grandeur Valeur Tf Température de fusion 933 K Tv Température de vaporisation 2 740 K Lf Chaleur latente massique de fusion 397 kJ · kg−1 Lv Chaleur latente massique de vaporisation 10 500 kJ · kg−1 ρS Masse volumique du solide 2 700 kg · m−3 cp(S) Capacité thermique massique à pression constante du solide 900 J · kg−1 · K−1 cp(L) Capacité thermique massique à pression constante du liquide 1 090 J · kg−1 · K−1 Table 1 – Grandeurs thermodynamiques relatives à l’aluminium 11. Définir la chaleur latente de changement d’état d’un corps pur. 12. Écrire la relation liant la variation d’enthalpie de (S) et le transfert thermique (quantité de chaleur) échangé avec le milieu extérieur. L’irradiation de l’aluminium provoque son échauffement de T0 à la température de fusion Tf , sa fusion, puis l’échauffement du métal liquide de Tf à la température de vaporisation Tv et enfin sa vaporisation totale. 13. Donner l’expression littérale de la variation d’enthalpie de (S) correspondant à cette transformation thermodynamique. 14. Le laser utilisé est un YAG − Ng3+ pulsé avec tp = 50 ms. Calculer les durées correspondant à chacune des étapes du processus. 15. Représenter schématiquement l’évolution de la température du métal en fonction du temps. 16. La durée de l’impulsion laser tp étant imposée, en déduire la densité de puissance incidente minimale JL,min nécessaire à la réalisation de cette transformation. On notera R la réflectivité de l’aluminium pour le rayonnement étudié.
  • 6. 17. La réflectivité étant R = 0, 72 et l’épaisseur de la couche métallique e = 0, 5 mm, déterminer numériquement JL,min. En déduire la puissance moyenne minimale du faisceau sachant que le diamètre du trou est φ = 0, 8 mm. 18. Les lasers utilisés ont en réalité une puissance moyenne imposée. La valeur JL,min et le diamètre du faisceau peuvent être ajustés à l’aide d’un montage optique convenable. Proposer un montage utilisant deux ou trois lentilles (convergentes ou divergentes) qui permette d’agrandir (ou de réduire) la section du faisceau lumineux. Intéressons nous maintenant à la découpe d’une feuille d’aluminium d’épaisseur constante e = 1 mm. À cet effet, un laser YAG − Nd3+ restant fixe irradie une feuille métallique déplacée selon un mouvement de translation uniforme de vitesse V , perpendiculairement à la direction du faisceau. Le laser employé fonctionne en mode continu (c’est-à-dire non pulsé) avec une puissance moyenne constante PL = 700 W et un diamètre φ = 0, 5 mm. la réflectivité de l’aluminium est R = 0, 72. 19. Déterminer la vitesse maximale VM de découpe de la feuille. Faire l’application numérique. En réalité, la vitesse de découpe est bien inférieure à la vitesse VM précédemment calculée. 20. Analyser les causes d’erreurs possibles. Quelles sont, dans les hypothèses de départ, celles qui vous paraissent les plus simplificatrices?