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Ce cours est tiré en grande partie des cours d’antennes :
• dispensé par le Professeur S. TOUTAIN à l’Ecole Nationale Supérieure des
Télécommunications de Bretagne (ENSTBr).
• dispensé par Mme le Professeur C. ALQUIE à l’Université Pierre et Marie
Curie Paris VI
2
Chapitre 1 : Rappels de l’électromagnétisme
1- Généralités
1.1 Equations de Maxwell
Les équations de Maxwell s'écrivent dans le cas général :
t
B
Etor
∂
∂
−=
r
rr
(Faraday) (1)
ρ=Ddiv
v
(Gauss) (2)
J
t
D
Htor
r
r
rr
+
∂
∂
= (Ampère) (3)
0=Bdiv
r
(4)
Les relations constitutives sont :
ED
rr
.ε= (5)
HB
rr
.µ= (6)
EJ
rr
.σ= (7)
où :
ε est la permittivité du milieu
µ est la perméabilité du milieu
σ est la conductivité du milieu
Pour un milieu linéaire, homogène et isotrope, ε, µ et σ sont des scalaires. Si le milieu est
anisotrope ces paramètres sont des tenseurs.
1.2 Conservation de l’électricité
La relation qui caractérise la conservation de l’électricité est :
0=+ Jdiv
dt
d rρ
(8)
Cas particulier :
Si ρ = J = 0 alors on obtient :
2
2
..
t
E
E
∂
∂
=∆
r
r
µε (9)
2
2
..
t
H
H
∂
∂
=∆
r
r
µε (10)
3
2- Fux d’énergie électromagnétique – Vecteur de Poynting
2.1 Définitions
Par définition HEP
rrr
Λ= est appelé vecteur de Poynting.
Calcul du flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée Σ limitant un volume τ :
Théorème de Green :
La quantité :
2
22
HE
W
µε +
= (11)
est la densité d’énergie électromagnétique.
La quantité :
τ
µε
τ
d
HE
t ∫∫∫
+
∂
∂
−
2
22
(12)
est la variation d’énergie électromagnétique dans le volume τ.
La quantité :
τστ
ττ
dEdEJ ∫∫∫∫∫∫ = .... 2
rr
(13)
est la puissance perdue par effet Joule dans le volume τ.
4
Dans le cas d’une propagation dans un milieu sans pertes, le rayonnement de l’énergie à
travers une surface Σ est égal au flux du vecteur de Poynting à travers cette surface. Le
vecteur de Poynting P
r
représente donc l’énergie électromagnétique rayonnée par unité de
surface.
3- Potentiels de Lorentz-ou-potentiels retardés
Puisque 0=Bdiv
r
, B
r
est le rotationnel d'un vecteur dit "potentiel vecteur" que l'on désigne
généralement par A
r
.
(14)
La première équation de Maxwell s'écrit alors :
ce qui donne :
De ce résultat, on peut alors déduire que le vecteur est le gradient d'un potentiel
scalaire V. Nous écrirons donc :
(15)
Or :
Prenons le rotationnel de cette expression, il vient :
en développant rot H, il vient :
5
Soit encore :
On peut alors remplacer E par sa valeur en fonction de A :
(16)
On voit que :
Le potentiel vecteur A
r
n'est défini qu'à un gradient près. Pour qu'il soit .entièrement défini, il
faut que l'on impose une condition supplémentaire. Par exemple :
(17)
Que l’on appelle condition de Lorentz.
Le potentiel vecteur A
r
ainsi défini est appelé potentiel de Lorentz. L'équation (16) se
simplifie et donne :
Reprenons l'expression de E à partir des potentiels vecteur et scalaire :
La condition de Lorentz :
permet alors d'écrire l'équation dont V est solution :
(18)
Finalement, les équations dont nous disposons pour résoudre leproblème sont :
6
(19)
auxquelles est associée la condition de Lorentz :
Les deux premières expressions permettent de calculer le champ électrique et le champ
magnétique à partir du potentiel vecteur et du potentiel scalaire. Ceux-ci sont solutions des 3
dernières relations.
Nous allons montrer maintenant l'intérêt d'utiliser ces intermédiaires de calcul que sont les
potentiels vecteur et scalaire.
Supposons que le milieu de propagation soit l'air alors, la vitess de propagation s'exprime
comme :
et ilvient :
(20)
Pour intégrer, considérons un élément de volume dτ, entourant le point P. La densité de charge
en fonction du temps est ρ(t) et l'on note v le potentiel élémentaire créé par cet élément en un
point M, distant de r de P.
Le Laplacien de v s'écrit en fonction de r :
(21)
et l'on a donc :
7
(22)
A l'extérieur du volume élémentaire dτ, ρ est nul. Ceci est vrai en particulier au point M. Il vient
donc :
(23)
équation identique à celle des cordes vibrantes et dont la solution générale s'exprime comme :
(24)
Le terme en (t + r/c) correspond à une onde inverse (ou réfléchie). Cette onde n'existe pas dans
le cas qui nous intéresse puisque la propagation n'est pas limitée. La solution sera donc du type :
(25)
Il nous faut maintenant définir f à partir deconsidérations physiques :
Si la période T du phénomène tend vers l'infini, c'est-à-dire que r/c est petit devant T, on tend
vers les conditions de l'électrostatique, et v tend vers un potentiel électrostatique vs donné par
l'équation de Poisson soit :
(26)
Puisque :
(27)
et le potentiel élémentaire s'exprime comme :
(28)
Le potentiel scalaire fait donc intervenir non pas la densité de charge ρ(t) à l'instant où l'on calcule
ce potentiel mais la densité de charge ρ (t - r/c) qui existait à un instant t' précédant le temps t, t-t'
étant égal au temps de propagation de l'onde le long de la distance PM.
Si l'on intègre dans tout le volume où existent les charges, ilvient :
8
(29)
V est aussi appelé potentiel retardé.
Si en plus de la charge répartie dans le volume autour de P, il existe une densité surfacique de
charge, l'expression de ce potentiel est :
(30)
où σ est la densité surfacique de charge.
On utilise le même procédé pour calculer le potentiel vecteur A :
(31)
A est aussi appelé potentiel vecteur retardé.
Finalement, le champ rayonné par un volume τ peut être calculé à partir des relations suivantes :

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  • 1. 1 Ce cours est tiré en grande partie des cours d’antennes : • dispensé par le Professeur S. TOUTAIN à l’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Bretagne (ENSTBr). • dispensé par Mme le Professeur C. ALQUIE à l’Université Pierre et Marie Curie Paris VI
  • 2. 2 Chapitre 1 : Rappels de l’électromagnétisme 1- Généralités 1.1 Equations de Maxwell Les équations de Maxwell s'écrivent dans le cas général : t B Etor ∂ ∂ −= r rr (Faraday) (1) ρ=Ddiv v (Gauss) (2) J t D Htor r r rr + ∂ ∂ = (Ampère) (3) 0=Bdiv r (4) Les relations constitutives sont : ED rr .ε= (5) HB rr .µ= (6) EJ rr .σ= (7) où : ε est la permittivité du milieu µ est la perméabilité du milieu σ est la conductivité du milieu Pour un milieu linéaire, homogène et isotrope, ε, µ et σ sont des scalaires. Si le milieu est anisotrope ces paramètres sont des tenseurs. 1.2 Conservation de l’électricité La relation qui caractérise la conservation de l’électricité est : 0=+ Jdiv dt d rρ (8) Cas particulier : Si ρ = J = 0 alors on obtient : 2 2 .. t E E ∂ ∂ =∆ r r µε (9) 2 2 .. t H H ∂ ∂ =∆ r r µε (10)
  • 3. 3 2- Fux d’énergie électromagnétique – Vecteur de Poynting 2.1 Définitions Par définition HEP rrr Λ= est appelé vecteur de Poynting. Calcul du flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée Σ limitant un volume τ : Théorème de Green : La quantité : 2 22 HE W µε + = (11) est la densité d’énergie électromagnétique. La quantité : τ µε τ d HE t ∫∫∫ + ∂ ∂ − 2 22 (12) est la variation d’énergie électromagnétique dans le volume τ. La quantité : τστ ττ dEdEJ ∫∫∫∫∫∫ = .... 2 rr (13) est la puissance perdue par effet Joule dans le volume τ.
  • 4. 4 Dans le cas d’une propagation dans un milieu sans pertes, le rayonnement de l’énergie à travers une surface Σ est égal au flux du vecteur de Poynting à travers cette surface. Le vecteur de Poynting P r représente donc l’énergie électromagnétique rayonnée par unité de surface. 3- Potentiels de Lorentz-ou-potentiels retardés Puisque 0=Bdiv r , B r est le rotationnel d'un vecteur dit "potentiel vecteur" que l'on désigne généralement par A r . (14) La première équation de Maxwell s'écrit alors : ce qui donne : De ce résultat, on peut alors déduire que le vecteur est le gradient d'un potentiel scalaire V. Nous écrirons donc : (15) Or : Prenons le rotationnel de cette expression, il vient : en développant rot H, il vient :
  • 5. 5 Soit encore : On peut alors remplacer E par sa valeur en fonction de A : (16) On voit que : Le potentiel vecteur A r n'est défini qu'à un gradient près. Pour qu'il soit .entièrement défini, il faut que l'on impose une condition supplémentaire. Par exemple : (17) Que l’on appelle condition de Lorentz. Le potentiel vecteur A r ainsi défini est appelé potentiel de Lorentz. L'équation (16) se simplifie et donne : Reprenons l'expression de E à partir des potentiels vecteur et scalaire : La condition de Lorentz : permet alors d'écrire l'équation dont V est solution : (18) Finalement, les équations dont nous disposons pour résoudre leproblème sont :
  • 6. 6 (19) auxquelles est associée la condition de Lorentz : Les deux premières expressions permettent de calculer le champ électrique et le champ magnétique à partir du potentiel vecteur et du potentiel scalaire. Ceux-ci sont solutions des 3 dernières relations. Nous allons montrer maintenant l'intérêt d'utiliser ces intermédiaires de calcul que sont les potentiels vecteur et scalaire. Supposons que le milieu de propagation soit l'air alors, la vitess de propagation s'exprime comme : et ilvient : (20) Pour intégrer, considérons un élément de volume dτ, entourant le point P. La densité de charge en fonction du temps est ρ(t) et l'on note v le potentiel élémentaire créé par cet élément en un point M, distant de r de P. Le Laplacien de v s'écrit en fonction de r : (21) et l'on a donc :
  • 7. 7 (22) A l'extérieur du volume élémentaire dτ, ρ est nul. Ceci est vrai en particulier au point M. Il vient donc : (23) équation identique à celle des cordes vibrantes et dont la solution générale s'exprime comme : (24) Le terme en (t + r/c) correspond à une onde inverse (ou réfléchie). Cette onde n'existe pas dans le cas qui nous intéresse puisque la propagation n'est pas limitée. La solution sera donc du type : (25) Il nous faut maintenant définir f à partir deconsidérations physiques : Si la période T du phénomène tend vers l'infini, c'est-à-dire que r/c est petit devant T, on tend vers les conditions de l'électrostatique, et v tend vers un potentiel électrostatique vs donné par l'équation de Poisson soit : (26) Puisque : (27) et le potentiel élémentaire s'exprime comme : (28) Le potentiel scalaire fait donc intervenir non pas la densité de charge ρ(t) à l'instant où l'on calcule ce potentiel mais la densité de charge ρ (t - r/c) qui existait à un instant t' précédant le temps t, t-t' étant égal au temps de propagation de l'onde le long de la distance PM. Si l'on intègre dans tout le volume où existent les charges, ilvient :
  • 8. 8 (29) V est aussi appelé potentiel retardé. Si en plus de la charge répartie dans le volume autour de P, il existe une densité surfacique de charge, l'expression de ce potentiel est : (30) où σ est la densité surfacique de charge. On utilise le même procédé pour calculer le potentiel vecteur A : (31) A est aussi appelé potentiel vecteur retardé. Finalement, le champ rayonné par un volume τ peut être calculé à partir des relations suivantes :