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Electrocinétique class prépas

Le document fournit un cours d'électrocinétique sur les circuits électriques en régime stationnaire, abordant des concepts tels que le courant, la tension, la loi d'Ohm, ainsi que les méthodes d'analyse des circuits. Il détaille également les dipôles actifs et passifs, les sources d'énergie, et inclut des explications sur les instruments de mesure comme les voltmètres et ampèremètres. Des exercices sont intégrés tout au long du document pour renforcer la compréhension des concepts présentés.

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PCSI MPSI PTSI | Classe | prépa | Électrocinétique | Bernard Gendreau Professeur de chaire supérieure en classes préparatoires à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris Christophe Gripon Professeur en classes préparatoires à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris Tout le cours ©Nathan,classeprépa
Sommaire 1 Circuit électrique en régime stationnaire 1 - Définitions ................................................................................................. 4 2 - Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds ....................................... 5 3 - Tension aux bornes d’un dipôle – Loi des mailles ..................................... 6 4 - Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif ... 6 5 - Conducteur ohmique – Loi d’Ohm .......................................................... 7 6 - Sources d’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif ................. 8 7 - Point de fonctionnement d’un circuit ....................................................... 9 8 - Voltmètre et ampèremètre ...................................................................... 10 savoir résoudre les exercices ............................................................................ 11 2 Puissance en régime stationnaire 1 - Puissance électrocinétique reçue par un dipôle ...................................... 18 2 - Caractéristiques d’un conducteur ohmique ............................................ 19 savoir résoudre les exercices ........................................................................... 20 3 Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 1 - Association en série ................................................................................. 24 2 - Association en parallèle ........................................................................... 27 3 - Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur ...................................................................... 29 4 - Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels ................................ 30 5 - Méthodes d’étude d’un circuit ................................................................ 31 savoir résoudre les exercices ............................................................................ 33 4 Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 1 - Circuit RC série ....................................................................................... 39 2 - Circuit RL série ........................................................................................ 44 3 - Circuit RLC série ...................................................................................... 47 4 - Établissement d’un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique .......................................... 52 5 - Approximation des régimes quasi permanents (ARQP) ........................... 53 savoir résoudre les exercices ........................................................................... 54 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 1 - Introduction ............................................................................................ 63 2 - Utilisation des nombres complexes ......................................................... 66 3 - Impédances complexes ............................................................................ 66 4 - Théorèmes généraux ............................................................................... 69 5 - Lois d’association ..................................................................................... 72 6 - Étude d’un circuit RLC, résonances ......................................................... 75 savoir résoudre les exercices ........................................................................... 81 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
6 Puissance en régime sinusoïdal forcé 1 - Puissance instantanée et puissance moyenne .......................................... 89 2 - Aspects énergétiques de l’étude du circuit RLC série .............................. 92 savoir résoudre les exercices ............................................................................ 95 7 Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 1 - Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Filtre ............................... 99 2 - Diagramme de Bode d’un filtre ............................................................. 101 3 - Filtre passe-bas du premier ordre .......................................................... 102 4 - Filtre passe-haut du premier ordre ........................................................ 105 5 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ..................................................... 108 6 - Équation différentielle d’un système du premier ordre – Stabilité ........ 109 7 - Caractère intégrateur ou dérivateur d’un filtre ..................................... 110 savoir résoudre les exercices .......................................................................... 112 8 Filtres du deuxième ordre 1 - Filtre passe-bas du deuxième ordre ....................................................... 126 2 - Filtre passe-bande du deuxième ordre ................................................. 129 3 - Filtre passe-haut du deuxième ordre .................................................... 132 4 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ..................................................... 134 5 - Équation différentielle d’un système du deuxième ordre – Stabilité ..... 134 savoir résoudre les exercices .......................................................................... 137 Index ................................................................................................ 149 ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 4 Circuit électrique en régime stationnaire Un système est en régime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le décrivent sont indépendantes du temps. 1 Définitions • Un circuit électrique est un ensemble de conducteurs reliés entre eux par des fils de jonction et dans lequel circule un courant électrique. • Un dipôle est un composant électrique limité par deux bornes. • Un nœud est un point commun à plus de deux dipôles. • Une maille est une partie d’un circuit électrique formant un contour fermé. • Une branche est une suite de dipôles entre deux nœuds consécutifs. Par exemple dans la figure 1 : • B et E sont des nœuds du circuit. • La maille ABEFA est constituée des dipôles D2, D6, D5, et D1. Les contours fermés ABCDEFA et BCDEB sont les deux autres mailles du circuit. • BCDE, EFAB et EB sont les branches du circuit. Fig. 1 A B C DEF D1 D6 D4 D2 D3 D5 Le circuit est constitué des dipôles D1, D2, D3, D4, D5 et D6 reliés par des fils de jonction. I Remarque L’orientation arbi- traire de la branche BCDE est donnée par la flèche. L’inten- sité I est positive si les porteurs de charge positive se déplacent dans le sens choisi arbitrairement. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
1 – Circuit électrique en régime stationnaire 5 2 Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds 2.1. Courant électrique Le courant électrique est un déplacement de porteurs de charge (électrons, ions) dans un conducteur. Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des porteurs de charge posi- tive. C’est donc aussi le sens opposé au déplacement des porteurs de charge négative. 2.2. Orientation d’une branche – Relation entre charge et intensité • Avant d’étudier un réseau électrique, chaque branche doit être orientée arbitrairement (voir figure 1) en plaçant une flèche sur le trait représentant le fil de jonction surmontée de la lettre I pour l’intensité. L’intensité I du courant qui traverse un conducteur est un débit de charge. C’est une gran- deur algébrique. Elle est mesurée à l’aide d’un ampèremètre. • Soit la charge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section de conducteur pendant une durée élémentaire L’intensité s’écrit : Après calcul, c’est le signe de la valeur de l’intensité I qui donne le sens réel du courant : • signifie que les porteurs positifs se déplacent dans le sens choisi arbitrai- rement ; • signifie que les porteurs positifs se déplacentdanslesensinversedusenschoisi. 2.3. Loi des nœuds En régime stationnaire, il n’y a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conserva- tion de la charge. La loi des nœuds traduit la loi de conservation de la charge. Conséquence : l’intensité est la même en tout point d’une branche car elle ne contient pas de nœud. Loi des nœuds La somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent : • si l’intensité est orientée vers le nœud ; • si l’intensité est orientée à partir du nœud. dq dt. I dq dt ------= I en ampère (A) q en coulomb (C) t en seconde (s) Ici, le sens réel du courant est de B vers A. Fig. 2 A BI = – 3 A I 0Ͼ I 0Ͻ I1 I2 I3– I4–+ 0= I1 I 3 I4 I 2 N εk Ik∑ 0.= εk +1,= εk 1,–= Fig. 3 I = I0 I = I0 Attention L’intensité en amont d’un dipôle est égale à sa valeur en aval ; le courant « ne s’use pas » dans un dipôle. ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 6 3 Tension aux bornes d’un dipôle – Loi des mailles 3.1. Tension aux bornes d’un dipôle La tension entre deux points d’un dipôle est la grandeur électrique mesurée entre ces deux points par un voltmètre. Elle est représentée par une flèche. C’est une grandeur algébrique et elle s’exprime en volt (symbole V). 3.2. Loi des mailles On choisit arbitrairement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire). Sur la figure ci-dessus : • maille parcourue dans le sens horaire : ; • maille parcourue dans le sens anti-horaire : 4 Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif 4.1. Convention récepteur et convention générateur Le circuit étant orienté (sens du courant I défini), on peut choisir arbitrairement pour la tension U : • le même sens que celui de I (flèches dans le même sens) ; c’est la convention générateur ; • ou le sens opposé (flèches de sens opposé) ; c’est la convention récepteur. La somme des tensions aux bornes des dipôles d’une maille est nulle : • si la flèche tension est dans le sens du parcours ; • si la flèche tension est dans le sens opposé à celui du parcours. Fig. 4 U A B Dipôle D1 D2 D3 D4 D5 U2 U1 U3 U4 U5 εkUk 0.= le longd’une maille ∑ εk +1,= Uk εk 1– ,= UkAttention Les résultats obtenus en appliquant la loi des mailles sont indé- pendants du sens de parcours choisi. U1 U2 U3 U4 U5+–+ + 0= U1– U2 U3– U4 U5–+– 0.= Fig. 5 Conseil Il faut systématique- ment représenter sur les schémas électri- ques les sens d’orien- tation des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches ten- sion. • Convention générateur • Convention récepteur Conventions d’orientation d’un dipôle I I U U Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
1 – Circuit électrique en régime stationnaire 7 4.2. Dipôle actif, dipôle passif La caractéristique d’un dipôle est la courbe donnant la tension U à ses bornes en fonction de l’intensité I du courant qui le traverse, ou la courbe Un dipôle passif est un dipôle dont la caractéristique passe par l’origine. Un dipôle actif est un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l’origine. 5 Conducteur ohmique – Loi d’Ohm 5.1. Conducteur ohmique Un conducteur ohmique est un dipôle dans lequel le passage d’un courant provoque un effet thermique appelé effet Joule. On lui donne souvent le nom de résistor. 5.2. Loi d’Ohm Un conducteur ohmique est caractérisé par sa résistance et satisfait à la loi d’Ohm. Loi d’Ohm pour un conducteur ohmique en convention récepteur : La caractéristique d’un conducteur ohmique est une droite. C’est un dipôle passif. La conductance G est l’inverse de la résistance ; elle s’exprime en siemens (symbole S). U f I( )= I g U( ).= Fig. 6 U O I U O I a) Caractéristique d’un dipôle actif. b) Caractéristique d’un dipôle passif. U RI= U tension aux bornes d’un conducteur ohmique (V) R résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω) I intensité du courant qui traverse le conducteur (A) R U = RI I Fig. 7 I U O Conseil Orienter de préfé- rence un conducteur ohmique en conven- tion récepteur et ap- pliquer la loi U = RI. Si le conducteur oh- mique est orienté en convention généra- teur, la relation de- vient U = −RI. ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 8 6 Sources d’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif 6.1. Sources idéales d’énergie 6.1.1. Source ou générateur idéal de tension C’est un dipôle actif qui impose une tension constante E, appelée force électromotrice (noté f.é.m.), entre ses bornes. 6.1.2. Source ou générateur idéal de courant C’est un dipôle actif qui impose un courant constant d’intensité , appelé courant élec- tromoteur (noté c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. 6.2. Modélisation linéaire de Thévenin et de Norton d’un dipôle actif Dans de nombreuses applications l’expérience montre qu’on peut modéliser un généra- teur réel par l’association : • d’un générateur idéal de tension et d’un conducteur ohmique en série dont la résistance est appelée résistance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire de Thévenin. • ou d’un générateur idéal de courant et d’un conducteur ohmique en parallèle dont la conductance est appelée conductance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire de Norton. Attention Ne pas oublier que la tension E est indé- pendante de l’intensi- té I du courant débité. Attention Ne pas oublier que le courant débité I0 est indépendant de la tension U aux bornes. I0 Fig. 8 E I I U E O U = E quel que soit I b) Générateur idéal de courant en convention générateur a) Générateur idéal de tension en convention générateur I = I0 quel que soit U I0 U U II0 O Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
1 – Circuit électrique en régime stationnaire 9 7 Point de fonctionnement d’un circuit Le point de fonctionnement d’un circuit comportant deux dipôles est le point d’intersec- tion des caractéristiques de ces deux dipôles. • Caractéristique Modélisation linéaire de Thévenin d’un dipôle actif (générateur de tension) • Caractéristique Modélisation linéaire de Norton d’un dipôle actif (générateur de courant) Fig. 9 U I+– Conseil Pour la modélisation de Thévenin, la flè- che tension corres- pondant à la f.é.m. doit être orientée du pôle – du générateur vers le pôle +. Pour la modélisation de Norton, la flèche courant correspon- dant au c.é.m. doit être orientée du pôle – du générateur vers le pôle +. • Représentation de Norton• Représentation de Thévenin gUI r r IE I0 g 1 r ′ -----= r ′ U I U E rI–= I I0 gU– , soit I I0 U r ′ -----–= = U I O E I0 Remarque Les deux représenta- tions sont équivalen- tes, ce qui impose : et (voir chapitre 3.) r ′ r= E rI0.= U I0O I Fig. 10 Dipôle 1 en convention générateur Dipôle 2 en convention récepteur U Up I p I (1) P O (2) Up En noir, caractéristique du dipôle (1) En couleur, caractéristique du dipôle (2) Point de fonctionnement d’un circuit I p ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 10 8 Voltmètre et ampèremètre 8.1. Mesure des tensions La tension U aux bornes d’un dipôle D se mesure en plaçant un voltmètre en parallèle. Un voltmètre est idéal si son branchement ne modifie pas la tension aux bornes du dipôle dont il mesure la tension. Un voltmètre idéal n’est traversé par aucun courant ; sa résis- tance est infinie. 8.2. Mesure des intensités L’intensité I qui traverse un dipôle D se mesure en plaçant un ampèremètre en série avec le dipôle. Un ampèremètre est idéal si son introduction ne modifie pas l’intensité du courant qui traverse le dipôle. La tension aux bornes d’un ampèremètre idéal est nulle ; sa résistance est nulle. D U V D A I Attention Les voltmètres et ampèremètres sont toujours considérés comme idéaux dans les exercices, sauf in- dication contraire. On ne doit pas tenir compte de leur pré- sence dans les cal- culs. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 1 – Circuit électrique en régime stationnaire 11 1 On lit sur la courbe caractéristique du générateur (page suivante) les coordonnées du point limite de linéarité : Le générateur peut donc être considéré comme linéaire tant que la tension U est supé- rieure à 4,0 V. a. En respectant les pôles du générateur, la modélisation linéaire de Thévenin donne : (1) pour ; on obtient par lecture graphique sur la figure suivante : 1 – Caractéristique d’un générateur non linéaire On considère le générateur ci-contre. En faisant débiter un générateur dans des résistances réglables, on a obtenu la caractéristique ci-dessous. On considère que la caractéristique est linéaire tant que l’intensité du courant est inférieure à 0,10 A. 1 En précisant son domaine de validité en intensité, déduire des mesures les modèles linéaires du générateur : a. modèle linéaire de Thévenin ; calculer la force électromotrice E et la résis- tance interne r ; b. modèle linéaire de Norton ; calculer le courant électromoteur et la résis- tance interne 2 Ce générateur alimente un résistor de résistance R. Déterminer la valeur limite du domaine linéaire. 3 Déterminer graphiquement le point de fonctionnement quand le générateur ali- mente un résistor de résistance I U 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) U (V) Caractéristique du générateur I0 r′. Rlim R ′ 10 Ω.= résolution méthodique 0,10 A ; 4,0 V( ) U E Ur– E rI–= = U E= I 0= E 9,0 V.= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 12 r est l’opposé de la pente de la droite ; pour la calculer on considère les points (0 ; 0,9 V) et (0,10 A ; 4,0 V). Il vient soit : b. En respectant les pôles du générateur, la modélisation de Norton donne : L’application de la loi des nœuds conduit à donc (2) étant l’opposé de la pente de la droite, sa valeur est celle de r calculée plus haut. Cherchons à retrouver ce résultat d’une autre manière : • pour on en déduit graphiquement que • pour On obtient en prolongeant la droite correspondant à la partie linéaire de la caractéristique la valeur • et U (V) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) Caractéristique du générateur r 9 4– 0,1 ------------,= r 50 Ω= I + − E UrU U I + − r I + − U U I0 I+ − r ′Ir ′ Faire attention aux sens d’orientation des f.é.m. et c.é.m. : les flèches correspondantes doivent être dirigées du pôle négatif du générateur vers le pôle positif. I Ir′ I0+= U r′I–= I U r′ ----– I0+ U⇒ r′I0 r′I–= = r′ U r′I0= I 0,= r′I0 9,0 V.= I I0= U 0.= I0 0,18 A.= r′I0 9,0 V= I0 0,18 A r′⇒ 50 Ω.= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
1 – Circuit électrique en régime stationnaire 13 Remarque : En comparant les relations (1) et (2) on constate que et ces relations sont générales et seront utilisées au chapitre 3. 2 Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor (conven- tion récepteur sur le schéma ci-contre) à celle du générateur (figure ci-dessous). La caractéristique du générateur n’est plus linéaire pour et À la limite, Il faut donc que : 3 La résistance étant inférieure à on est en dehors du domaine linéaire ; il faut donc utiliser la méthode graphique de résolution. Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor à celle du générateur (figure sui- vante). Elle passe par le point (0,20 A ; 2,0 V) et entre deux points de la caractéristique du générateur. Le point de fonctionnement est le point d’intersection du segment qui relie ces deux points avec la caractéristique du résistor. On lit directement ses coordon- nées sur les axes : La détermination graphique est toujours entachée d’erreurs, ici de l’ordre de 10 %. 0,13 A et 1,4 V r r′= r′I0 E,= Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionne- ment, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. U I R Le tracé d’une caractéristique n’a de sens que si les grandeurs correspondantes, U et I, sont défi- nies sur un schéma. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 R 40 ΩϾ R 40 Ω= 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) U (V) I IlimϾ 0,10 A= U UlimϽ 4,0 V.= Rlim Ulim Ilim ---------- 40 Ω.= = R RlimϾ 40 Ω= Rlim, ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 14 2 – Modélisation d’une diode Soit la tension aux bornes d’une diode à jonction et I l’intensité du courant qui la traverse selon les conventions de la figure ci-contre. En unités légales : • si (on dit que la diode est bloquante) ; • si (on dit que la diode est passante). Le domaine d’utilisation de la diode est et 1 Montrer que, selon les valeurs de la tension la diode est équivalente à un interrupteur ouvert ou à un résistor en série avec un générateur idéal de tension. 2 Tracer la caractéristique La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipôles d’un circuit est non linéaire. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Caractéristique du générateur 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) point de fonctionnement U (V) 0,13 • La flèche tension correspondant à la f.é.m. d’un générateur, ou la flèche courant correspondant au c.é.m., doit être orientée du pôle négatif vers le pôle positif du générateur. • Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. • La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipô- les d’un circuit est non linéaire. en conclusion UD UD II 0= UD 0,60 VϽ UD 10I 0,60+= I 0Ͼ UD UDminϾ 3,0 V–= I ImaxϽ 0,10 A.= UD, I f UD( ).= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
1 – Circuit électrique en régime stationnaire 15 1 Pour l’intensité qui traverse la diode est nulle. La diode est équiva- lente à un interrupteur ouvert. Pour on peut écrire la tension sous la forme Par identification, on a : La diode est équivalente à l’association série d’un généra- teur idéal de tension et d’un résistor (figure ci-contre). 2 • Pour la caractéristique est le segment compris entre les points (– 3,0 V ; 0) et (0,60 V ; 0). • Pour la caractéristique est le segment d’équa- tion de pente compris entre les points (0,60 V ; 0) et (1,6 V ; 0,10 A). Elle est limitée au point : ; 0,10 A). La caractéristique est une courbe continue (figure ci-contre). 3 Un courant traverse le circuit, la diode est donc passante ; la diode est modélisable par l’association série du générateur idéal de tension et du résistor Représentons le circuit équivalent. 3 La diode est insérée dans le circuit ci-contre, qui com- prend un générateur réel, de résistance interne et de f.é.m. E ajustable, et un résistor de résistance Quand on ajuste la f.é.m. à la valeur on constate qu’un courant traverse le circuit. Calculer l’intensité I, la tension et la tension aux bornes du générateur. 4 Calculer la valeur en deçà de laquelle la diode est bloquante. 5 Exprimer la relation simple entre les tensions et quand la diode est blo- quante. 6 Tracer la courbe et UD I UG R r 5,0 Ω= R 15 Ω.= E 10,0 V,= UD UG Emin UD UG UD f UG( ).= résolution méthodique UD 0,60 V,Ͻ r ′ 10 Ω= E ′ 0,60 V= I UD I 0,Ͼ UD UD r′I E ′.+= E ′ 0,60 V= r′ 10 Ω= Il faut faire attention à l’orientation du circuit et aux sens respectifs des flèches représentant la force électromotrice et la tensionE ′ UD. 0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,60 UD max = 1,6 V−1− 2− 3 UG (V) 0,1 I (A) UD I 0,= I 0,Ͼ I UD 10 ------- 0,060,–= 0,10 Ω 1– (UDmax 0,60 10 0,1×+ 1,6 V= = E ′ r′. ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 16 Orientons le circuit (flèche indiquant le sens arbitraire choisi pour I) et choisissons la convention récepteur pour chacun des résistors. En choisissant le sens de parcours indiqué sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi des mailles, il vient : D’où 4 Le modèle utilisé est valide tant que la diode est passante ; la valeur de la f.é.m. est celle pour laquelle l’intensité s’annule. D’après la relation il vient immédiatement : En deçà de cette valeur la diode est bloquante. Une application de la relation avec conduirait à une valeur négative de l’intensité, en dehors du domaine de validité du modèle de la diode. et et Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orientation des bran- ches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d’appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. Diode E′ r ′I RI I R E UD UG Générateur r ′ r− r I E RI r′I E ′– rI––– 0 E E ′–⇒ R r r ′+ +( )I= = I⇒ 9,4 30 ------- 0,3133.= = I 0,31 A= UD E ′ r′I+ 0,60 10 9,4 30 -------+ 3,7333.= = = UD 3,7 V= UG E rI– 8,4 V= = Les calculs intermédiaires doivent être conduits sans être arrondis. Ainsi le calcul précédent de la tension doit-il être conduit avec la valeur fractionnaire de I. Emin E E ′– R r r′+ +( )I,= Emin E ′= UGmin Emin 0,60 V= = E E ′– R r r′+ +( )I= E E ′Ͻ La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
1 – Circuit électrique en régime stationnaire 17 5 La diode est équivalente à un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui est le cas quand V. Représentons le circuit équivalent (ci-dessous). Les tensions aux bornes des résistors sont nulles ; il vient immédiatement : 6 Calculons les valeurs extrêmes et de la tension E imposée par les condi- tions aux limites de fonctionnement de la diode : • V ; • soit Quand la diode est bloquante Pour ce régime, la courbe est le segment de pente unitaire compris entre les points (−3,0 V ; −3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V) Quand la diode est passante, on peut écrire : et d’où : A.N. : Pour ce régime, la courbe est le segment de pente 0,40 compris entre les points (0,60V ; 0,60 V) et (3,1 V ; 1,6 V). La courbe complète est tracée ci-contre. C’est une courbe continue qui présente une rupture de pente quand la diode passe du régime bloquant au régime passant. UG UGmin 0,60=Ͻ Diode RI = 0 I = 0 R E UD UG Générateur r− r I = 0 UD UG= Emin Emax UGmin UDmin 3,0–= = UGmax E ′ R r′+( )Imax ,+= UGmax 3,1 V.= UD UG.= UD f UG( )= UG RI UD–– 0= UD E ′ r′I,+= UD (V) 1,6 V 1 0,60 V −1−2−3 0,60 V 3,1 V UG (V) −1 −2 −3 UD 1 r′ R ----+     E ′ r′ R ----UG+ UD⇒ RE ′ r′UG+ R r′+ -----------------------------= = UD 9 10UG+ 25 -----------------------.= UD f UG( )= • Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orienta- tion des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d’appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. • La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. en conclusion ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 18 Puissance en régime stationnaire 1 Puissance électrocinétique reçue par un dipôle La puissance électrocinétique reçue par un dipôle en convention récepteur est : • Conséquences La puissance reçue par un dipôle en convention générateur est : La puissance fournie par un dipôle est égale à l’opposée de la puissance reçue. 1.1. Signe de la puissance reçue et caractère d’un dipôle La puissance reçue par un dipôle est une grandeur algébrique. Son signe indique le carac- tère générateur ou récepteur du dipôle. Il est équivalent d’écrire : (i) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il fournit est positive ; (ii) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative. Un dipôle a un caractère récepteur si la puissance qu’il reçoit est positive. Il trans- forme l’énergie qu’il reçoit en une autre forme d’énergie (thermique, mécanique, lumineuse…) Un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative. Il transforme en énergie électrique une autre forme d’énergie. Attention La relation n’est applicable qu’en convention récepteur. ᏼ UI= ᏼ UI= ᏼ puissance du dipôle en watt (W) U tension aux bornes du dipôle (V) I intensité du courant qui traverse le dipôle (A) ᏼ UI.–= Conseil Choisir de préférence la convention généra- teur pour un dipôle de caractère généra- teur et la convention récepteur pour un dipôle de caractère récepteur. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
2 – Puissance en régime stationnaire 19 1.2. Bilan de puissance dans un circuit La puissance reçue est l’énergie reçue par unité de temps. Comme l’énergie, la puissance se conserve. On peut aussi écrire : la somme des puissances reçues par les dipôles d’un circuit est nulle. 2 Caractéristiques d’un conducteur ohmique 2.1. Résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante La résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante (fig. 1) est : La résistivité est une caractéristique du matériau conducteur. Elle dépend de la tempé- rature. 2.2. Effet Joule dans un conducteur ohmique Le passage du courant dans un résistor provoque une dissipation d’énergie thermique dans ce dernier ; c’est l’effet Joule. La puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique est (convention récepteur) : La somme des puissances fournies par les dipôles générateurs d’un circuit est égale à la somme des puissances reçues par les dipôles récepteurs de ce circuit. R ρ L S ---= R : résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω) ρ : résistivité du matériau conducteur (Ω · m) L : longueur du conducteur (m) S : section du conducteur (m2) Section d’aire S longueur L Fig. 1 ρ ᏼ UI RI 2 U 2 R -------= = = R : résistance en ohm (Ω) I : intensité en ampère (A) U : tension aux bornes en volt (V) ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 20 1 Orientons le circuit et la tension U comme l’indique le schéma de l’énoncé. Le géné- rateur est en convention générateur et le résistor est en convention récepteur. La tension U s’écrit de deux manières : et D’où Ce qui conduit à : On peut aussi appliquer la loi des mailles pour un sens de parcours donné (voir figure) : avec On arrive au même résultat. 2 Il y a effet Joule dans les deux résistors R et r. Le résistor étant en convention récepteur, il reçoit la puissance D’où : Le résistor r étant en convention récepteur, il reçoit la puissance : 1 – Transfert de puissance On considère un générateur de f.é.m. V et de résistance interne Ω alimentant un résistor de résistance Ω. 1 Déterminer la tension U aux bornes du résistor R et l’intensité I du courant qui le traverse. 2 Calculer les puissances dissipées par effet Joule. 3 Calculer la puissance reçue par le générateur idéal de tension. 4 Faire un bilan de puissance pour l’ensemble du circuit. r E R U iE 10= r 5,0= R 5,0= résolution méthodique Ce choix des orientations est « naturel » car nous « devinons » qu’il conduira à des valeurs positives de l’intensité I et de la tension U. Nous pourrions aussi en choisir d’autres, les résultats seraient les mêmes. U RI= U E rI.–= 10 5I– 5I.= I 1,0 A et U 5,0 V== r E R U RI i E rI U–– 0,= U RI.= ᏼR UI RI 2.= = ᏼR 5,0 W= ᏼr Ur I rI 2 5,0 W= = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
2 – Puissance en régime stationnaire 21 3 Le générateur idéal de tension est en convention générateur ; il reçoit la puissance : W. Il fournit donc la puissance + 10 W, résultat attendu puisque c’est la source d’énergie. 4 La puissance fournie par le générateur idéal (10 W) est entièrement dissipée par effet Joule pour moitié dans le résistor r (5,0 W) et pour moitié dans le résistor R (5,0 W). 2 – Adaptation d’impédance On considère un générateur de force électromotrice E et de résistance interne r qui alimente un radiateur électrique modélisable par un dipôle résistif de résis- tance R. L’effet du passage du courant est thermique ; c’est l’effet Joule. 1 Exprimer la puissance reçue par le radiateur en fonction de E, de r et de R. 2 Quelle est la valeur de la puissance quand R = 0 ? Quelle est la valeur de la puissance quand la résis- tance est très grande ? Que peut-on en déduire ? 3 Déterminer la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée dans le radia- teur est maximale ? Représenter l’allure de la courbe donnant la puissance en fonction de R. Vérifier que les dipôles sont en convention récepteur avant d’appliquer la relation ᏼreçu = UI ; U et I sont orientés en sens opposés. ᏼE EI– 10–= = Pour les calculs de puissance, il faut faire attention au dipôle considéré. On calcule ici la puissance reçue par le générateur idéal de tension, à ne pas confondre avec la puissance reçue par le générateur qui s’écrit : W.ᏼgén UI– E R I–( )I– 5,0–= = = La relation ᏼreçu = UI ne s’applique que si U et I sont orientés en sens opposés (convention récepteur). en conclusion r E R U ᏼR R0 ᏼR ᏼR ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 22 1 On choisit les sens d’orientation définis sur le schéma ci-contre. La loi d’Ohm permet d’écrire : et Avec le sens de parcours choisi, la loi des mailles s’écrit : d’où Le résistor étant en convention récepteur, la puissance ᏼ qu’il reçoit est : 2 La résistance r est négligeable devant R quand R est très grand, d’où : est toujours positive, nulle pour et R infini ; il existe donc (au moins) un maxi- mum de la puissance. 3 4 Dans le cas où le radiateur a la résistance exprimer la puissance thermique dissipée dans le radiateur et la puissance thermique dissipée dans le générateur en fonction de E et de ? Faire un bilan de puissance. 5 Pour quelle valeur de r le rendement est-il maximal ? En déduire le type de généra- teur qu’il faut utiliser pour alimenter un radiateur électrique. R0, ᏼR0 ᏼr 0 R0 résolution méthodique r E R U Ur i Ur rI= U RI.= U E Ur–+ 0,= I E r R+ ------------.= ᏼR UI ᏼR⇒ RI 2= = ᏼR RE 2 r R+( )2 -------------------= ᏼ R 0=( ) 0= ᏼ R ϾϾ r( ) RE 2 R2 -----------≈ E 2 R ------= 0≈ ᏼR R 0= Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Une analyse trop rapide, faite à partir de l’expression conduirait à proposer que ᏼR est maximale quand R est infini ! Ce serait oublier que I dépend également de R. ᏼR RI2= Point Maths. Une fonction de la variable est extrémale (minimale ou maximale) quand la dérivée par rapport à x est nulle. f x( ) df dx ------ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
2 – Puissance en régime stationnaire 23 étant une fonction de R, sa valeur est extrémale (minimale ou maximale) quand sa dérivée par rapport à R est nulle. si Cette condition est appelée « adaptation d’impédance ». Il n’existe qu’un extremum ; c’est un maximum. Vérifions qu’il en est bien ainsi pour la puissance : 4 et ; donc : La puissance reçue par le générateur de tension s’écrit Bilan : ou La puissance fournie par le générateur de tension est dissipée par effet Joule, pour moitié dans le générateur réel et pour l’autre moitié dans le radiateur. 5 De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l’on récupère (ce qui nous « intéresse ») et ce que l’on fournit (ce que l’on « dépense »). Ici, il s’agit de transfé- rer de l’énergie électrique du générateur au radiateur. Le rendement s’écrit donc : Le rendement est une fonction décroissante de r ; il est maximal quand ! Le rendement est alors égal à 100 %. On voit, et le résultat était attendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimen- ter un radiateur avec un générateur de faible résistance interne. ᏼR R ᏼR dᏼR dR ----------- E 2 r R+( ) 2R r R+( )– r R+( )2 ------------------------------------------------= dᏼR dR ----------- 0= r R 2R–+ 0 ⇒= R0 r= Point Maths. Une fonction est maximale quand la dérivée seconde par rapport à x est négative au point où elle est extrémale. f x( ) d2f dx2 -------- d2ᏼR dR2 -------------     R0 E 2 8R3 ---------– 0.<= ᏼR0 R0I 2 E 2 4R0 ---------= = ᏼr rI 2 R0I 2 E 2 4R0 ---------= = = ᏼR0 ᏼr E 2 4R0 ---------= = ᏼE EI– E 2 2R0 ---------.–= = ᏼR ᏼr ᏼE+ + 0= ᏼE– ᏼR ᏼr.+= η ᏼR0 ᏼE ---------– 1 2 --- 50 %= = = η ᏼR ᏼE -------– RI 2 EI --------- RI E ------ R R r+ ------------.= = = = r 0= • En général, quand on cherche la valeur d’un paramètre pour laquelle une grandeur phy- sique est extrémale, il faut calculer la dérivée de la grandeur par rapport au paramètre. • Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. en conclusion ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 24 Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent En complément de la loi des nœuds et de la loi mailles, l’étude d’un circuit électrique en régime permanent se fait à l’aide « d’outils » dont le choix facilite la résolution de problèmes. 1 Association en série Des dipôles voisins sont en série quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont tra- versés par le même courant. 1.1. Association de résistors en série 1.1.1. Loi d’association Démonstration : L’intensité du courant étant la même en tout point de la branche, rien n’est modifié si l’on permute les positions des résistors. N résistors de résistance associés en série sont équivalents à un seul résistor de résistance égale à la somme des résistances de chacun d’eux : (1) Conseil Pour savoir si des di- pôles sont en série, toujours se poser la question : sont-ils tous parcourus par le même courant ? R1, R2, …, RN( ) R éq R éq R1 R2 … RN+ + += Fig. 1 I R1 R2 R3 U1 U2 U3 U U1 U2 U3+ += Réq R1 R2 R3+ += I U ⇔ Association série de trois résistors U U1 U2 U3+ + R1I R2I R3I+ + R1 R2 R3+ +( )I RéqI.= = = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 25 1.1.2. Diviseur de tension La figure 3 représente un diviseur de tension : deux résistors en série sont soumis à une tension U. On cherche les tensions et aux bornes de chacun d’eux. Démonstration : et 1.2. Association de générateurs en série On considère N générateurs associés en série, caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes …, Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. et de résistance interne Remarque : les résistances s’associent comme énoncé au § 1.1.1. Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Thévenin (fig. 5) : • si les pôles du générateur sont placés dans le même sens que les pôles du générateur (la flèche correspondant à Ep est dans le même sens que celle de Eéq) ; • dans le cas contraire. Fig. 2 • R1 et R2 ne sont pas en série • R1 et R3 ne sont pas en série • Seuls R2 et R4 sont en série (le courant I2 qui traverse R2 est le même que celui qui traverse R4). On peut appliquer I1 I2≠( ). I1 I3≠( ). Réq R2 R4.+= R1 R2 R3 I1 I2 E R4 I3 U1 U2 Attention • Si les flèches cor- respondant à U1 ou U2 ne sont pas dans le même sens que celle correspondant à U, il faut mettre un signe – dans leurs expressions. • Il ne faut pas appli- quer ces relations lorsque les deux ré- sistors ne sont pas en série. Par exemple sur le schéma de la figure 2, R1 et R2 (ou R1 et R3) ne forment pas un di- viseur de tension. Seuls R2 et R4 for- ment un diviseur de tension. Fig. 3 etU1 R1U R1 R2+ ------------------= U2 R2U R1 R2+ ------------------= R1 R2 U1 U2 I U Diviseur de tension U R1 R2+( )I I⇒ U R1 R2+ ------------------= = U1 R1I U1⇒ R1U R1+R2 -----------------= = U2 R2I U2⇒ R2U R1 R2+ ------------------.= = E1 ; r1( ), E2 ; r2( ), EN ; rN( ). Eéq réq. Eéq ε1E1 ε2E2 … εk Ek … εN EN+ + + + += réq r1 r2 … rN+ + +=   εk +1= Ek ; rk( ) Eéq ; réq( ) εk 1–= Fig. 4 Association série de trois générateurs Eéq E1 E2 E3–+= réq r1 r2 r3+ +=   E1 ; r1 Eéq E1 E2 E3 I E2 ; r2 E3 ; r3 Eéq ; réq I ⇔ +− +−+ +− − ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 26 1.3. Loi de Pouillet Cette loi permet d’obtenir l’intensité circulant dans une maille constituée de N résistors et N générateurs caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes …, Pour la figure 6, on obtient Démonstration : On utilise la représentation de Thévenin pour les générateurs. Les lois d’association série pour les générateurs et résistors conduisent au circuit équivalent de la figure 7 : • si la flèche correspondant à Ek est dans le même sens que celle corres- pondant à l’orientation de I ; • dans le cas contraire. Conseil Pour associer des générateurs en série, commencer par mo- déliser tous les géné- rateurs en représen- tation de Thévenin. Fig. 5 Modélisation de générateurs en série r1 EéqE1 E2 E3 I r2 r3 réq I UU U E1 r1I E2 r2I r3I E3–+ + + += U Eéq réqI+=   Eéq E1 E2 E3–+= réq r1 r2 r3+ +=   ⇒ Conseil Pour un circuit à une maille, utiliser direc- tement la loi de Pouillet pour calcu- ler l’intensité du cou- rant qui y circule. Trouver le résultat en appliquant la loi des mailles fait per- dre du temps. R1, R2, … RN( ) E1 ; r1( ), E2 ; r2( ), EN ; rN( ). I ε1E1 ε2E2 … εk Ek … εN EN+ + + + + r1 r2 … rN R1 R2 … RN+ + + + + + + ---------------------------------------------------------------------------------------------= εk +1= εk 1–= Fig. 6 Maille constituée de trois générateurs et de trois résistors E1 ; r1 E1 E2 E3 E2 ; r2 E3 ; r3 I R 1 R 2 R 3 +− + +− − Attention Ne pas appliquer ces relations pour un cir- cuit constitué de plu- sieurs mailles. Il est erroné d’écrire pour la figure 2 que : I3 E R1 R3+ ------------------.= I E1 E2 E3–– r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + + ----------------------------------------------------------------.= Fig. 7 Eéq E1– E2 E3+ += Réq R1 R2 R3+ += réq r1 r2 r3+ += Représentation d’un circuit équivalent Eéq I Eéq ; réq I réq Réq UR éq Réq Ur éq + − ⇔ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 27 Par exemple, en appliquant la loi des mailles dans le sens anti-horaire, on obtient : 2 Association en parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bor- nes en commun. Ils sont soumis à la même tension. 2.1. Association de résistors en parallèle 2.1.1. Loi d’association Démonstration : La tension U étant la même aux bornes de chaque résistor, rien n’est modifié si l’on per- mute les positions des résistors N résistors de conductance associés en parallèles sont équiva- lents à un seul résistor de conductance égale à la somme des conductances de chacun d’eux : (2) URéq Uréq Eéq+ + 0= Uréq réqI= et URéq RéqI=    I Eéq réq Réq+ ---------------------– E1 E2 E3–– r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + + ----------------------------------------------------------------.= =⇒ Conseil Pour savoir si des di- pôles sont en parallè- le, toujours se poser la question : sont-ils tous soumis à la même tension ? G1, G2, …, GN( ) Géq Géq G1 G2 … GN+ + += Géq 1 Réq -------- 1 R1 ------ 1 R2 ------ … 1 RN -------+ + += = Fig. 8 Géq G1 G2 G3+ += Géq 1 Réq --------- 1 R1 ------- 1 R2 ------- 1 R3 -------+ += = Association parallèle de trois résistors I1 I2 I3 II R1 R2 R3 UU ⇔ I I1 I2 I3+ + U R1 ------ U R2 ------ U R3 ------+ + G1 G2 G3+ +( )U GéqU.= = = = Fig. 9 • R1 n’est pas en parallèle avec R3 • R3 n’est pas en parallèle avec R4 • Seuls R3 et l’ensemble sont en parallèle U1 U3≠( ) U3 U4≠( ) R2 R4+( ) U3 U2 U4+=( ) 1 Réq -------- 1 R3 ------ 1 R2 R4+( ) -----------------------+= U1 U2 U3 R1 R2 R3E R4 U4 ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 28 2.1.2. Diviseur de courant La figure 10 représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un courant d’intensité totale I. On cherche les intensités et parcourant chacun d’entre eux. Démonstration : et et 2.2. Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par leurs courants électro- moteurs c.é.m. et conductances internes …, Ces N géné- rateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. et de conductance interne Remarque : les conductances s’associent comme énoncé au § 2.1.1. • si les pôles du générateur sont placés dans le même sens que les pôles du générateur (la flèche correspondant à est dans le même sens que celle de ; • dans le cas contraire. I1 I2 Fig. 10 Diviseur de courant I1 I2 I R1 R2 U I1 G1I G1 G2+ -------------------- R2I R1 R2+ ------------------= = I2 G2I G1 G2+ -------------------- R1I R1 R2+ ------------------= = Attention • Si I1 ou I2 ne sont pas dans le sens de I, il faut faire interve- nir un signe – dans leurs expressions. • Il ne faut pas appli- quer ces relations lorsque les deux ré- sistors ne sont pas en parallèle. Par exemple sur la figure 9, où R2 et R3 ne forment pas un di- viseur de courant, seuls R3 et l’ensemble forment un diviseur de courant. R2 R4+( ) U R1I1 R2I2= = I I1 I2+= R1I1 R2 I I1–( ) I1⇒ R2I R1 R2+ ------------------= = R1 I I2–( ) R2I2 I2⇒ R1I R1 R2+ ------------------= = I01 ; g1( ), I02 ; g2( ), I0N ; gN( ). Iéq géq. Iéq ε1I01 ε2I02 … εk I0k … εNI0N+ + + + += géq g1 g2 … gN 1 réq ------ 1 r1 ---- 1 r2 ---- … 1 rN -----+ + +=    + + +=      εk +1= Ek ; rk( ) Eéq ; réq( ) I0k I0éq) εk 1–= Fig. 11 I0éq I01 I02– I03+= géq g1 g2 g3 1 réq ------ 1 r1 ---- 1 r2 ---- 1 r3 ----+ +=    + +=      Association parallèle de trois générateurs I01 ; r01 I I02 ; r02 I03 ; r03 I0éq ; réq + − +− +− +− ⇔ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 29 Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Norton (fig. 12) : Démonstration : • Cas a) • Cas b) Par identification entre les deux membres de l’égalité, on obtient : 3 Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur Un générateur de tension de Thévenin (E ; r) est équivalent à un générateur de courant de Norton où et a) générateur de tension de Thévenin b) générateur de courant de Norton Conseil Pour associer des gé- nérateurs en parallè- le, commencer par modéliser tous les gé- nérateurs en repré- sentation de Norton. Fig. 12 I U Iéq I1 I2 I3 réq r1 r2 r3 I01 I02 I03 I0éq U I ⇔ Cas a) Cas b) U r1I1 r2I2 r3I3= = = I I1 I01 I2 I02– I3 I03+ + + +=   U réqIéq= I Iéq I0éq+=   Iéq I0éq+ I1 I01 I2 I02– I3 I03+ + + + U réq ------ I0éq+⇒ U r1 ---- I01 U r2 ---- I02– U r3 ---- I03+ + + += = I0éq +I01 I02 I03+–= 1 réq ------ 1 r1 ---- 1 r2 ---- 1 r3 ---- géq g1 g2 g3+ +=( )+ +=      I0 ; g( ) I0 E r ---= g 1 r ---.= Fig. 13 I E r I0= U E rI–= I I0 gU–= gU– g 1 r ---= I0 E r ----=r 1 g ---= U ⇔ ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 30 Démonstration : Figure 13 a) : Or figure 13 b) : Par identification entre les deux expressions de I, on obtient : et 4 Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels 4.1. Tension et potentiel Entre deux points A et B quelconques d’un cir- cuit la tension s’écrit sous la forme de la dif- férence des potentiels en A et en B : La flèche est dirigée du point B vers le point A (fig. 14). • Si est positif, et la flèche tension est dans le sens des potentiels croissants. • Les potentiels V sont définis à une constante près, seule la tension ou différence de poten- tiel, que l’on mesure avec un voltmètre, a un sens physique. 4.2. Masse d’un circuit En électronique, la masse est un point d’un circuit à laquelle on attribue arbitrairement un potentiel nul. Il sert de référence des potentiels. Le symbole est : Remarque : on appelle aussi « masse » la carcasse métallique d’un appareil électrique qui a vocation à être reliée à la terre par l’intermédiaire de la prise de terre. La Terre étant conven- tionellement au potentiel nul, cette carcasse électrique peut servir de référence de potentiel. 4.3. Loi des nœuds en termes de potentiels – Théorème de Millman Considérons L résistors de résistance ayant un nœud com- mun N. Soit les intensités circulant dans chacun des résistors et orientés vers le point N (fig. 15). Soit le potentiel du nœud N et les potentiels de l’autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s’exprime alors par : U E rI I⇒ E r --- U r ----.–=–= I I0 gU.–= I0 E r ---= g 1 r ---.= A B UAB Fig. 14 UAB UAB VA VB.–= UAB VA Ͼ VB I1 I2 I3 N R1 R2 R3 UL U1 U2 U3 V1 V2 V3 IL RL VN Fig. 15 R1, R2, …RL( ) I1, I2, …IL( ) VN V1, V2, … VL I1 I2 … IL+ + + 0,= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 31 et peut s’écrire sous la forme : ou (3) Remarque : la relation (3) est indépendante des sens d’orientation choisis pour les différentes intensités. La relation (3) conduit à l’expression du théorème de Millman : Remarque : Si certaines branches arrivant en N contiennent des sources de courant, il suffit de tenir compte de leurs c.é.m. dans l’expression de la loi des nœuds. 5 Méthodes d’étude d’un circuit On considère un circuit comportant plusieurs mailles. Que valent les intensités des cou- rants et tensions dans une ou plusieurs branches ? 5.1. Loi des nœuds en termes de potentiels Lorsqu’un circuit est constitué de plusieurs branches partant de points de potentiel imposé (par exemple une ligne de masse) et aboutissant à un même nœud N, la loi des nœud en terme de potentiel (ou le théorème de Millman) permet d’obtenir très rapidement le potentiel de N. On peut alors facilement en déduire l’intensité circulant dans chacune des branches. 5.2. Réduction du circuit La méthode, décrite ci-dessous étape par étape, est particulièrement performante si on cherche uniquement l’intensité du courant qui circule dans une branche particulière du circuit (ou la tension à ses bornes). Si l’on doit calculer des intensités ou des tensions correspondant à d’autres branches, il faut à nouveau appliquer la méthode, branche par branche. ou 1re étape. Isoler sur le schéma électrique la branche à travers laquelle circule l’intensité que l’on veut calculer, par exemple en la repérant entre des points A et B et en entou- rant tout le reste du circuit. Si le sens de I n’est pas imposé, le choisir de façon arbitraire. V1 VN– R1 ------------------- V2 VN– R2 ------------------- … VL VN– R2 -------------------+ + + 0,= G1 V1 VN–( ) G2 V2 VN–( ) … GL VL VN–( )+ + + 0= Conseil Il est souvent très utile pour simplifier les cal- culs, quand aucune masse n’apparaît sur un circuit, d’en choi- sir une, placée de fa- çon pertinente, en un point donné du cir- cuit. Cela ne pose aucun problème car le potentiel est défini à une constante près. VN V1 R1 ------ V2 R2 ------ … VL RL ------+ + + 1 R1 ------ 1 R2 ------ … 1 RL ------+ + + ---------------------------------------------= VN G1V1 G2V2 … GLVL+ + + G1 G2 … GL+ + + ------------------------------------------------------------------= Conseil Inclure la branche AB dans les associa- tions de dipôles est une erreur fréquente. Il faut absolument distinguer formelle- ment cette branche du reste du circuit. Fig. 16 UAB I A B Reste du circuit Dipôle (ou association série de dipôles) quelconque ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 32 5.3. Utilisation directe des lois de Kirchhoff On englobe sous le nom de lois de Kirchhoff la loi des nœuds et la loi des mailles. Cette méthode conduit à des calculs lourds et ne doit être appliquée que si les méthodes précédentes ne sont pas applicables. 2e étape. Associer l’ensemble des générateurs et/ou résistors situés dans le « reste du circuit » (lois d’associations série et/ou parallèle des générateurs et/ou résistors) afin de se ramener à un circuit simple (par exemple un résistor ou un générateur en représen- tation de Norton ou de Thévenin). On dit qu’on a « réduit le circuit ». 3e étape. Si le circuit simple obtenu est : • un générateur en représentation de Norton, alors il suffit d’appliquer la relation du diviseur de courant pour obtenir l’intensité I ; • un résistor ou bien un générateur en représentation de Thévenin, alors on a un circuit équivalent à une seule maille et il suffit d’appliquer la loi de Pouillet pour obtenir l’inten- sité I. Ayant I on peut alors facilement en déduire la tension 1re étape. Représenter tous les générateurs en représentation de Thévenin : on a alors un circuit à N mailles indépendantes. 2e étape. À chaque maille, associer un courant orienté de façon arbitraire. On a ainsi N inconnues. 3e étape. Appliquer la loi des nœuds à chaque nœud. On obtient l’intensité qui circule dans chaque branche en fonction des N différents 4e étape. Appliquer la loi des mailles pour chaque maille. On obtient N équations. 5e étape. Résoudre le système de N équations à N inconnues. UAB . Remarques • Si cette mé- thode aboutissant à une inconnue et une équation donne la loi de Pouillet. • Cette méthode con- duit à des calculs as- sez lourds dès que En pratique, elle est surtout utile lorsque l’on cherche l’ensemble des inten- sités et tensions de chaque branche. N 1= N 2.Ͼ Ik Ik . Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 33 On choisit un sens arbitraire pour les différentes intensités circulant dans les trois bran- ches, mais les choix retenus ici sont assez « naturels », c’est-à-dire que l’on s’attend, lors- que à des valeurs positives pour et • Méthode 1 : loi des nœuds en termes de potentiels On peut prendre comme référence le potentiel du fil représenté par la ligne inférieure du schéma (masse) : et Le théorème de Millman donne directement : On en déduit : 1 – Étude d’un circuit simple par trois méthodes On considère le circuit suivant. Déterminer l’inten- sité du courant qui circule dans les diverses branches en utilisant d’abord la loi des nœuds en terme de potentiel, la méthode de réduction du circuit et enfin la méthode d’utilisation directe des lois de Kirchoff. Conclure. R1 R2 r E résolution méthodique E 0,Ͼ I1, I2 Ir . Aucune masse n’apparaît sur le schéma de l’énoncé, il faut en placer une en un point donné afin de simplifier les calculs. Il va de soi que le résultat obtenu est indépendant du point choisi. R1 R2 r E I1 Ir N M A I2 VM 0= E VA VM– VA .= = VN VN VM R2 ------- VM r ------- VA R1 ------+ + 1 R2 ------ 1 r --- 1 R1 ------+ + ---------------------------------- E rR2( ) R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------.= = I2 VN R2 ------ Er R2r+R1r+R2R1 ---------------------------------------= = Ir VN R1 ------ ER2 R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------= = I1 VN E– R1 ----------------    – E r R2+( ) rR1 R2r R2R1+ + -------------------------------------------    = =            Prendre l’habitude de vérifier, quand on a une expression sous la forme d’une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. En effet, dans ce cas, pour des valeurs particulières de résistances, on pourrait aboutir à une valeur infinie, ce qui n’a pas de sens physique. ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 34 • Méthode 2 : réduction du circuit • Calcul de On isole la branche NM dans laquelle circule (voir schéma ci-dessous). On cherche à transformer la partie du circuit encadrée en une seule branche. On reconnaît l’association parallèle de deux résistors. En introduisant on a l’équivalence ci-dessous entre les deux circuits. Il suffit alors d’appliquer la loi de Pouillet et on obtient : En réduisant le circuit, on a perdu l’information concernant il faut donc le réduire différemment pour avoir • Calcul de On isole donc la branche CM dans laquelle circule : On reconnaît (fig. 1) dans la partie du circuit qui alimente le dipôle CM un générateur de force électromotrice E et de résistance interne (représentation de Thévenin encadrée en pointillés) en parallèle avec le résistor r. Puisqu’ils sont en parallèle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. C’est sous cette forme que ce dernier apparaît sur la fig. 2 dans le cadre en pointillés. I1 I1 Re1 rR2 r R2+ --------------,= R1 R2 r E I1 N M Re1 R1 E I1 N M ⇔ I1 E R1 Réq1+ ----------------------- I1⇒ E r R2+( ) R1 r R2+( ) rR2+ -----------------------------------------= = I2 , I2. Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l’information perdue ? En ai-je besoin ? I2 I2 R1 R2 r E I2 M C rR2 R1 M C I2 E R1 ---- Figure 1 Figure 2 ⇔ R1 Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 35 On associe les deux résistors en parallèle (fig. 3), soit Il y a alors deux possibilités. • Première possibilité : on applique la formule du divi- seur de courant, ce qui conduit à : avec • Deuxième possibilité : on poursuit la réduction du circuit à une seule maille en transformant la représen- tation de Norton du générateur encadré en pointillés sur la figure 3 en représentation de Thévenin (fig. 4). Il suffit alors d’appliquer la loi de Pouillet : avec • Calcul de Il ne faut pas reprendre la méthode générale utilisée pour et pour pour ce circuit à deux mailles indépendantes. La simple application de la loi des nœuds en N donne : • Méthode 3 : utilisation directe des lois de Kirchoff Le circuit est composé de deux mailles indépendantes, par exemple et R2 M C I2 E R1 ----Re 2 Figure 3 Re2 rR1 r R1+ ---------------.= I2 E R1 ------     G2 Ge2 G2+ -------------------- E R1 ------     Re2 Re2 R2+ ---------------------= = Re2 rR1 r R1+ ---------------= I2 Er rR1 R2R1 R2r+ + -------------------------------------------.= R2 M C I2 E Re2 R1 ---------- Re2 Figure 4 I2 ERe2 R1 ------------     1 Re2 R2+ ---------------------,= Re2 rR1 r R1+ ---------------.= I2 Er rR1 R2R1 R2r+ + -------------------------------------------= Ir I1 I2 , Ir I 1 I 2 – ER2 R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------= = R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ). On pourrait penser à tort que le circuit est constitué de trois mailles en considérant aussi la maille mais cette dernière n’est pas indépendante des deux autres. En revanche, au lieu de choisir les deux mailles et on pourrait tout aussi bien choisir et ou encore et cela ne changerait rien au résultat. Méthode : 1re étape. La représentation de Thévenin est déjà utilisée pour le générateur 2e étape. Les sens arbitraires pour les intensités ont été choisis précédemment. 3e étape. Appliquer la loi des nœuds au point N, ce qui donne l’intensité du courant dans la branche contenant r. 4e étape. Choisir un sens pour les flèches de tensions, un sens de parcours pour chacune des deux mailles et appliquer la loi des mailles. R2 ; R1 ; E( ) R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ), R2 ; r( ) R2 ; R1 ; E( ) r ; R1 ; E( ) R2 ; R1 ; E( ), E ; R1( ) Ir ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 36 ; ; Maille (1) : (1) Maille (2) : (2) En injectant cette expression de dans l’expression (2), on arrive à : Et on en déduit : Remarque : Les trois méthodes conduisent aux mêmes résultats. UR2 R2I2= UR1 R1I1= Ur r I1 I2–( )= R2 I1 R1 Ur r I2 N E I1 I2– (1) (2) UR1 UR2 UR1 E– Ur+ 0= R1I1 r I1 I2–( ) E–+ 0= UR2 Ur– 0= R2I2 r I1 I2–( )– 0= 5e étape. Résoudre le système de deux équations à deux inconnues. (1) I1 rI2 E+ R1 r+ ------------------.=⇒ I1 I2 Er rR1+R2R1+R2r ----------------------------------------= I1 E(r+R2) R2R1+rR1+R2r ----------------------------------------= Ir I1 I2– ER2 R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------= =        • Vérifier, quand on a une expression sous la forme d’une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. • Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l’information perdue ? En ai-je besoin ? • La loi des nœuds en terme de potentiel est bien adaptée ici pour trouver rapidement l’ensemble des intensités recherchées. • La réduction du circuit est une méthode lourde ici car on cherche I1 et I2. Toutefois si l’on ne cherchait que l’une ou l’autre de ces valeurs, cette méthode nécessite moins de calculs que l’utilisation directe des lois de Kirchoff. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 37 On isole tout d’abord la branche AB à travers laquelle circule l’intensité que l’on veut cal- culer. Pour cela, on retrace le circuit en mettant clairement en évidence les associations en parallèle et en série. On reconnaît en effet les associations suivantes : • le générateur de f.é.m. et le résistor sont en série ; • le générateur de f.é.m. et le résistor sont en série ; • les générateurs de Thévenin et sont en parallèle. 2 – Étude d’un circuit comportant un potentiomètre Considérons un réseau constitué de 2 générateurs idéaux de f.é.m. et alimentant une même résistance r. Le circuit est fermé par l’intermé- diaire d’un potentiomètre CD et muni d’un cur- seur B réalisant un contact mobile dont la position est caractérisée par un paramètre réel La résistance totale de la branche C et D est R, le curseur sépare la partie CB (résis- tance de la partie BD (résistance Calculer l’intensité I du courant circulant dans la branche centrale du circuit. E2E1 A B C D R xR 1 x–( )R I r E1 E2 x 0 ; 1[ ]∈ . xR), 1 x–( )R). résolution méthodique On ne cherche que la valeur d’une seule intensité, la méthode de réduction du circuit est donc bien adaptée. On pourrait aussi utiliser la loi des nœuds en terme de potentiel mais nous ne la traitons pas dans cette correction. E1 xR E2 1 x–( )R E1 ; xR( ) E2 ; 1 x–( )R( ) Prendre l’habitude de refaire les schémas pour : – faire apparaître clairement les associations série et parallèle ; – distinguer clairement la branche AB du réseau qui l’alimente. E2E1 r A B C D xR 1 x–( )R E F G H I ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 38 Pour mieux séparer la branche AB du reste du circuit, on permute les positions des bran- ches AB et GH, cela facilite le travail de réduction à un générateur équivalent du réseau alimentant AB. Puisque les générateurs de Thévenin et sont en parallèle, on peut directe- ment les associer en utilisant les formules vues en cours ; ces deux générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m : et de résistance interne : On reconnaît un diviseur de courant, d’où : A B C D E F G H r 1 x–( )RxR E2E1 I On peut positionner les trois branches en parallèle EF, AB et GH dans n’importe quel ordre car cela ne modifie pas les propriétés du circuit. En effet, les points E, A et G sont tous les trois au même potentiel, de même que F, B et H. Il est souvent utile de le faire. A B I Réq I0éq r r E1 ; xR( ) E2 ; 1 x–( )R( ) I0éq E1 xR ------ E2 1 x–( )R --------------------- ,–= Réq xR( ) 1 x–( )R xR 1 x–( )R+ ---------------------------------- x 1 x–( )R.= = I I0éqRéq Réq r+ ----------------- ⇒= I E1 1 x–( ) xE2– Rx 1 x–( ) r+ --------------------------------------= • Représenter différemment un schéma électrique pour faciliter les associations de dipôles. (1) Quand un générateur est en série avec un autre dipôle, il faut utiliser la représen- tation de Thévenin du générateur pour les associer. (2) Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension retenir l’essentiel 39 Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension Quand on connecte les différents éléments d’un circuit, les grandeurs électriques telles que l’intensité et la tension évoluent au cours du temps. On dit que le régime est transitoire. Il dépend des conditions initiales. Après une durée suffisamment longue, théoriquement infinie, l’évolution est indépendante des conditions initiales ; le régime est permanent. Un régime permanent continu est un régime indépendant du temps. Les grandeurs constantes seront notées en lettres majuscules ; les grandeurs variables seront notées en lettres minuscules. 1 Circuit RC série 1.1. Caractéristiques d’un condensateur Un condensateur est un dipôle constitué de deux conducteurs (les armatures) séparés par un matériau isolant. Les condensateurs sont faiblement conducteurs. Dans les exercices, en l’absence d’indication particulière, un condensateur est considéré comme idéal, c’est-à-dire qu’aucun courant ne traverse le matériau isolant. La capacité C d’un condensateur lie la tension aux bornes et la charge des armatures. ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 40 Un condensateur stocke de l’énergie électrique entre ses armatures. Le stockage est réversible. Démonstration de l’expression de l’énergie à partir de la puissance p reçue : (L’énergie est nulle quand la tension est nulle.) Une variation instantanée de l’énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible. 1.2. Circuit RC série soumis à un échelon de tension 1.2.1. Montage d’étude L’interrupteur K est dans la position (a) (fig.1). L’intensité du courant et la tension aux bornes du condensateur sont nulles. 1.2.2. Échelon de tension Quand on bascule l’interrupteur K de la position (a) à la position (b), la tension e passe instantanément de la valeur nulle à la valeur E. On dit que le circuit RC est soumis à un échelon de tension (figure b)). Dans la suite nous supposerons que l’interrupteur bascule à la date À la date il est dans la position (a). À la date il est dans la position (b). q charge de l’armature A en coulomb (C). tension aux bornes en volt (V). C capacité du condensateur en farad (F). En convention récepteur : q charge d’une armature en coulomb (C). i intensité du courant arrivant sur l’armature portant la charge q en ampère (A). u tension aux bornes du condensateur en volt (V). énergie stockée dans le condensateur en joule (J). C capacité du condensateur en farad (F). L’énergie, la tension aux bornes et la charge d’un condensateur sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité. Remarque On peut retenir la relation sous la forme équiva- lente à qA CuAB ,= qB CuBA.= q Cu= u i A B − qqu vA vB–= i dq dt ------ C du dt ------= = wC 1 2 ---Cu2 1 2 --- q 2 C -----= = wC p ui dwC dt ----------- dwC⇒ u C du dt ------ C d dt ----- u 2 2 -----     wC⇒ 1 2 ---Cu2.= = = = = (b) E (a) K e e E t R C i u b) Échelon de tension.a) Circuit RC soumis à un échelon de tension (interrupteur dans la position (b)). O Fig. 1 t 0.= t 0– ,= t 0+,= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 41 1.2.3. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. Constante de temps Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : 1.2.4. Résolution de l’équation différentielle. Évolution de la tension L’équation différentielle de la tension est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. APPLICATION DE LA MÉTHODE 1. Résolution de l’équation différentielle sans second membre 2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation différentielle complète : 4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur : Il vient : La solution de l’équation différentielle complète s’écrit : 1.2.5. Courbe normalisée de l’évolution de la tension Introduisons les variables réduites (sans dimension) et ; on dit qu’on effectue une réduction canonique, ou que les grandeurs sont normalisées. L’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d’un circuit RC série soumis à un échelon de tension E est : est la constante de temps du circuit RC. Point méthode 1. Résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. 1. Résoudre l’équation différentielle sans second membre en introduisant une constante. 2. Rechercher la solution particulière de l’équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète avec la constante. 4. Déterminer la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir : – continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ; – continuité de l’intensité du courant qui traverse une bobine. Point maths. • Écrire l’équation caractéristique de l’équation différentielle : • Exprimer la solution r de l’équation caractéristique : • Exprimer la solution en introduisant une constante : avec Remarque La constante τ est aussi appelée temps de relaxation, ou durée (ou temps) caractéristique. Ri u+ E.= τ du dt ------ u+ E.= τ RC= τ du dt ------ u+ 0.= τr 1+ 0.= r 1 τ ---.–= ussm ussm Aert Ae t τ --– ,= = A constante.= up up E .= u ussm up+= u Ae t τ ---– E .+= Attention Il faut d’abord écrire la solution complète de l’équation diffé- rentielle avant de dé- terminer la constante. ut 0+ = ut 0– = .= A E+ 0 A⇒ E .–= = u E 1 e t τ ---– –     .= x t τ --= y u E ----= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 42 L’équation différentielle normalisée est La solution normalisée est La courbe normalisée donnant y en fonction de x est donnée (figure 2a). Pente à l’origine de la courbe normalisée : 1.2.6. Courbe normalisée de l’évolution de l’intensité La courbe normalisée est celle de en fonction de (figure 3b). 1.2.7. Régime permanent continu Le régime permanent continu est atteint au bout d’une durée infinie. En réalité il est pra- tiquement atteint, à 1 % près, au bout d’une durée puisque La constante de temps caractérise l’évolution du régime transitoire. En régime permanent continu : ; ; Du point de vue des courants et des tensions, un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert en régime permanent continu (figure 3). dy dx ------ y+ 1.= y 1 e x– .–= dy dx ------ 0 1.= i C du dt ------ E R ---- e t τ --– .= = Ri E ------ t τ -- Fig. 2 Ri E ------ u E ---- 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 8 t τ -- t τ -- 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 8 Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) pour un circuit RC soumis à un échelon de tension. a) Remarquer la continuité de la tension à b) Remarquer la discontinuité de l’intensité à t 0.= t 0.= 1 1 a) b) 5τ u 5τ( ) E ---------- 0,99.= Up E= Ip 0= Q p CE.= Fig. 3 I p 0= Un condensateur en régime permanent continu est équivalent à un interrupteur ouvert. I p 0= U p constante=U p constante= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 43 1.2.8. Bilan énergétique Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire : Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : En régime permanent continu, le courant est nul donc la puissance reçue par le circuit RC est nulle. 1.3. Régime libre du circuit RC Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on bascule brutalement l’interrupteur K de la position (b) à la posi- tion (a). On dit que le circuit RC est en régime libre (fig. 4). Soit la date du basculement. L’équation différentielle de la tension u se réduit à : dont la solution est L’intensité est En régime permanent continu : ; ; Toute l’énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. WC 1 2 ---CUp 2 1 2 ---Cut 0= 2 – 1 2 ---CE2.= = WE = Eidt EQ p CE2.= = 0 ∞ ∫ WR WE WC– 1 2 ---CE2.= = t ′ 0= τ du dt′ ------- u+ 0,= u Ee t ′ τ ----– .= i E R ----e t ′ τ ----– .–= U ′p 0= I ′p 0= Q ′p 0.= Fig. 4 a) b) 0 −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1 2 4 6 8 −2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 a) Remarquer la continuité de la tension à b) Remarquer la discontinuité de l’intensité à t ′ 0.= t ′ 0.= Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) d’un circuit RC en régime libre. t ′ τ ----- t ′ τ ----- 1 1 u E ---- Ri E ------ ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 44 2 Circuit RL série 2.1. Caractéristiques d’une bobine Une bobine est un dipôle constitué d’un enroulement de fil conducteur autour d’un matériau magnétique. Elle a toujours une résistance, celle du fil. Une bobine idéale est une bobine dont on peut négliger la résistance ; elle est caractérisée par son inductance propre. Une bobine réelle d’inductance et de résistance peut être considérée comme l’association en série d’une bobine idéale d’inductance et d’un résistor de résistance En l’absence d’indication dans un exercice sur la valeur de sa résistance, une bobine est considérée comme idéale. Le passage du courant provoque le stockage d’énergie magnétique dans la bobine. Le stockage est réversible. Démonstration de l’expression de l’énergie à partir de la puissance p reçue : (L’énergie est nulle quand le courant est nul.) Une variation instantanée de l’énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible. 2.2. Circuit RL série soumis à un échelon de tension 2.2.1. Équation différentielle de l’intensité. Constante de temps Supposons qu’à date la tension e passe de la valeur nulle à la valeur E. Le circuit RL (figure 5) est alors soumis à un échelon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : d’où En convention récepteur : i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). u tension aux bornes en volt (V). L inductance propre de la bobine en henry (H). r résistance de la bobine en ohm (Ω). i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). énergie stockée dans la bobine en joule (J). L inductance propre de la bobine en henry (H). L’énergie et l’intensité du courant qui traverse une bobine sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité. rL i u L r L r. u ri L di dt -----+= wL 1 2 ---Li 2= wL p ui dwL dt ---------- dwL⇒ Li di dt ----- L d dt ----- i 2 2 -----     wL⇒ 1 2 ---Li 2.= = = = = Fig. 5 ue i L R t 0,= Ri u+ E,= L di dt ----- Ri+ E.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 45 2.2.2.Évolution de l’intensité qui traverse la bobine idéale Appliquons la méthode de résolution de l’équation différentielle donnée au paragraphe 1.2.4. (point méthode 1). 1. Solution de l’équation différentielle sans second membre : avec 2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation différentielle complète : 4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine : La solution de l’équation différentielle complète s’écrit : 2.2.3.Évolution de la tension aux bornes de la bobine idéale L’évolution de la tension aux bornes est : 2.2.4.Courbes normalisées La courbe normalisée de l’intensité est celle donnant en fonction de : La courbe normalisée de la tension est celle donnant en fonction de : L’équation différentielle de l’intensité du courant qui traverse la bobine d’un circuit RL série soumis à un échelon de tension E est : est la constante de temps du circuit LC. τ di dt ----- i+ E R ----.= τ L R ---= issm Bert Be t τ --– ,= = B cte.= ip E R ----.= i Be t τ --– E R ----.+= it 0+= it 0–= B E R ----+⇒ 0 B⇒ E R ----.–= = = i E R ---- 1 e t τ --– –     .= u L di dt ----- E e t τ --– .= = Ri E ------ t τ -- Ri E ------ 1 e t τ --– .–= u E ---- t τ -- u E ---- e t τ --– .= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 46 2.2.5.Régime permanent continu Le régime permanent continu est atteint au bout d’une durée infinie. En réalité, il est pratiquement atteint au bout d’une durée puisque En régime permanent continu : et 2.2.6.Bilan énergétique Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire s’écrit : En régime permanent continu : • la puissance reçue par la bobine est nulle : ; • la puissance fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans le résistor : 2.3. Régime libre du circuit RL Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on éteint la source ; le circuit est en régime libre. Soit la date de l’extinction. Le temps de relaxation donne un ordre de grandeur de la durée réelle du régime transitoire du circuit RL soumis à un échelon de tension. Du point de vue des courants et des tensions, une bobine idéale est équiva- lente à un interrupteur fermé en régime permanent continu. Fig. 6 a) b) a) Remarquer la continuité de l’intensité à la date b) Remarquer la discontinuité de la tension à la date t 0.= t 0.= u E ---- 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 Ri E ------ 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 61 1t τ -- Évolutions de l’intensité (a) et de la tension (b) pour un circuit LC soumis à un échelon de tension. t τ -- 5τ Ri 5τ( ) E -------------- 0,99.= τ L R ---= Up 0= Ip E R ----.= Ip constante= Up 0= Ip constante= Up 0= WL 1 2 ---LIp 2 1 2 ---Lit 0+= 2 – 1 2 ---LIp 2 .= = PLp UpIp 0= = PEp EIp= PRp RIp 2 RIp E R ---- EIp.= = = t ′ 0= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 47 L’équation différentielle de l’intensité se réduit à : dont la solution est La tension est En régime permanent continu : et Toute l’énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. 3 Circuit RLC série 3.1. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur Supposons qu’à date la tension e passe de la valeur nulle à la valeur E. Le cir- cuit RLC (Fig. 8) est alors soumis à un éche- lon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : avec D’où τ di dt ′ -------- i+ 0,= i E R ---- e t ′ τ ----– .= u L di dt ----- Ee t ′ τ ----– .–= = U ′p 0= I ′p 0.= Fig. 7 b) 0 −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1 2 4 6 8 a) −2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 a) Remarquer la continuité de l’intensité à b) Remarquer la discontinuité de la tension à t ′ 0.= t ′ 0.= Courbes normalisées des évolutions de l’intensité (a) et de la tension (b) d’un circuit RL en régime libre. u E ----Ri E ------ t ′ τ ----- t ′ τ ----- 1 1 e R C i u L Fig. 8 t 0,= Ri L di dt ----- u+ + E,= i C du dt ------.= d2u dt2 --------- R L --- du dt ------ u LC -------+ + E LC -------.= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 48 3.2. Résolution l’équation différentielle réduite APPLICATION DE LA MÉTHODE 1. Résolution de l’équation différentielle réduite sans second membre L’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis à un échelon de tension E est : ou • est la pulsation propre du circuit RLC. Elle s’exprime en • est la période propre du circuit RLC. Elle s’exprime en s. • est le coefficient d’amortissement du circuit RLC. C’est un paramètre sans dimension (nombre). • On définit aussi le facteur de qualité Q par : Réduction canonique de l’équation différentielle • En posant il vient : et • En posant aussi la réduction de l’équation différentielle conduit à : L’équation différentielle obtenue est une équation différentielle normalisée ; x et y sont des variables sans dimension. Point méthode 2. Résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et à second membre non nul. 1. Résoudre l’équation différentielle sans second membre en introduisant deux constantes. 2. Rechercher la solution particulière de l’équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète avec les constantes. 4. Déterminer les constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : – continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ; – continuité de l’intensité du courant qui traverse une bobine. Point maths. • Écrire l’équation caractéristique de l’équation différentielle : • Écrire le discriminant réduit de l’équation caractéristique : d2u dt 2 --------- 2σω0 du dt ------ ω0 2 u+ + ω0 2 E= d2u dt 2 --------- ω0 Q ------ du dt ------ ω0 2 u+ + ω0 2 E.= ω0 1 LC -----------= rad·s 1– . T0 2π LC= σ R 2Lω0 ------------- R 2 --- C L ---= = Q Lω0 R ---------- 1 RC ω0 --------------- 1 R --- L C --- 1 2σ -------.= = = = x ω0t,= du dt ------ du dx ------ dx dt ------ ω0 du dx ------= = d2u dt 2 --------- d dt ----- ω0 du dx ------     ω0 2 d2u dx 2 ---------.= = y u E ---- ,= d2y dx 2 --------- 2σ dy dx ------ y+ + 1.= d2y dx 2 --------- 2σ dy dx ------ y+ + 0.= r2 2σr 1+ + 0.= ∆ σ2 1–( ).= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 49 2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation complète. a. Régime apériodique b. Régime pseudo-périodique ou c. Régime critique 4. Conditions initiales imposées au circuit À la fermeture de l’interrupteur (date : • la tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité. S’il est initialement déchargé, alors : D’où : • l’intensité du courant qui traverse la bobine ne subit pas de discontinuité donc : On en déduit les valeurs des constantes dans chacun des cas. a. Régime apériodique ; ; Si le discriminant est positif ; le régime est apériodique. Si le discriminant est négatif ; le régime est pseudo-périodique. Si le discriminant est nul ; le régime est critique. • Exprimer la solution de l’équation caractéristique. Si les solutions sont réelles : et Si les solutions sont complexes. On pose : avec D’où : et Si la solution est double : • Exprimer la solution de l’équation différentielle sans second membre. Si alors avec et constantes réelles. Si alors avec et constantes réelles, ou avec et constantes réelles. Si alors avec et constantes réelles. σ 1Ͼ Q 1 2 ---Ͻ     , σ 1Ͻ Q 1 2 ---Ͼ     , σ 1= Q 1 2 ---=     , Remarque Le régime critique est un cas limite sans réa- lité physique car la valeur de σ ne peut être exactement égale à 1. σ 1,Ͼ r1 σ– ∆+= r2 σ– ∆.–= σ 1,Ͻ ∆ j 2 ∆–= j 2 1.–= r1 σ– j ∆–+= r2 σ– j ∆–+= σ 1,= r1 r2 1.–= = σ 1,Ͼ yssm A1er1x A2er2x += A1 A2 σ 1,Ͻ yssm e σx– B1 ∆– x( )cos B2 ∆– x( )sin+[ ]= B1 B2 yssm B ′e σx– ∆– x ϕ+( )cos= B ′ ϕ σ 1,= yssm e x– C1x C2+[ ]= C1 C2 yp 1.= σ 1Ͼ( ) y 1 A1er1x A2er2x .+ += σ 1Ͻ( ) y 1 e σx– B1 ∆– x( )cos B 2 ∆– x( )sin+[ ]+= y 1 B ′e σx– ∆– x ϕ+( ).cos+= σ 1=( ) y 1 e x– C1x C2+[ ].+= t 0+)= u 0( ) 0.= y 0( ) 0.= i 0( ) C du dt ------ 0( ) 0 dy dx ------ 0( ) ⇒ 0.= = = y 0( ) 1 A1 A2+ + 0= = dy dx ------ 0( ) r1A1 r2A2+ 0= = A1⇒ r2 r1 r2– ---------------= A2 r1 r1 r2– ---------------.–= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 50 b. Régime pseudo-périodique ; ; c. Régime critique ; La solution complète de l’équation différentielle s’écrit : a. Régime apériodique b. Régime pseudo-périodique c. Régime critique 3.3. Évolution de la tension et de l’intensité Il suffit de remplacer, dans les équations précédentes, x par et y par a. Régime apériodique ; b. Régime pseudo-périodique ; L’expression fait apparaître la pseudo-pulsation : Pseudo-période : c. Régime critique ; L’expression de l’intensité se déduit de celle de la tension par la relation y 0( ) 1 B1+ 0= = dy dx ------ 0( ) σB1– 1 σ2– ; B2+ 0= = B1 1–=⇒ B2 σ 1 σ2– -------------------.–= y 0( ) 1 C2+ 0= = dy dx ------ 0( ) C2– C1+ 0= = C2⇒ C1 1– .= = y 1 σ σ2 1–+ 2 σ2 1– -----------------------------e σ– σ2 1–+( )x σ– σ2 1–+ 2 σ2 1– ---------------------------------e σ– σ2 1––( )x.––= y 1 e σx– 1 σ2– x( )cos σ 1 σ2– ------------------- 1 σ2– x( )sin+ .–= y 1 e x– x 1+[ ]–= . ω0t u E ----. σ 1Ͼ Q 1 2 ---Ͻ     u E ---- 1 σ σ2 1–+ σ2 1– -----------------------------e σ– σ2 1–+( )ω0t σ– σ2 1–+ σ2 1– ---------------------------------e σ– σ2 1––( )ω0t .+ += σ 1Ͻ Q 1 2 ---Ͼ     u E ---- 1 e σω0t– ω0 1 σ2– t( )cos σ 1 σ2– ------------------- ω0 1 σ2– t( )sin+–= ω ω0 1 σ2– .= T 2π ω ------ 2π ω0 1 σ2– -------------------------- T0 1 σ2– -------------------.= = = σ 1= Q 1 2 ---=     u E ---- 1 e ω0t– ω0t 1+[ ].–= i C du dt ------.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 51 3.4. Résistance critique La valeur limite correspond à la valeur critique de R : • Le régime est apériodique si (amortissement important). • Le régime est pseudo-périodique si (faible amortissement). • Le régime est critique si (amortissement critique, cas limite sans réalité physique). 3.5. Durée du régime transitoire • En régime apériodique, le terme dont la décroissance est la plus lente donne la durée caractéristique du régime apériodique : • En régime pseudo-périodique et en régime critique, c’est l’enveloppe exponentielle qui donne la durée caractéristique du régime : 3.6. Régime permanent continu En régime permanent continu : ; ; 3.7. Courbes normalisées 3.8. Bilan énergétique • Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : • Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire : σ 1= RC RC 2 L C ---.= R RCϾ R RCϽ R RC= e σ– σ2 1–+( )ω0t τ 1 σ– σ2 1–+( )ω0 ---------------------------------------------.= e σ– ω0t τ 1 σω0 ---------- 2Q ω0 -------.= = UCp E= ULp 0= Ip 0.= Fig. 9 i CE ω0 ---------------- u E ---- ω0t ω0t 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 5 10 15 20 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 10 15 205 En trait fin, (régime pseudo-périodique) ; en points, (régime apériodique) ; en pointillés, (régime critique). σ 0,25= σ 3,5= σ 1= a) b) Évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) pour un circuit RLC soumis à un échelon de tension. WC 1 2 ---CUp 2 1 2 ---Cut 0= 2 – 1 2 ---CE 2.= = WL 1 2 ---LIp 2 1 2 ---Lit 0= 2 – 0.= = ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 52 • Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire : • Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : En régime permanent continu, le courant est nul, donc la puissance reçue par le circuit RLC est nulle. 4 Établissement d’un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique Lorsqu’on soumet un circuit RC, RL, ou RLC à une tension périodique de période T, un régime permanent périodique de même période T apparaît, après un régime transitoire de durée caractéristique du circuit ; on dit que c’est un régime périodique forcé. 4.1. Circuit RC soumis à une tension en créneaux Une tension en créneaux est une tension périodique qui prend une valeur constante pen- dant la première demi-période puis une valeur nulle pendant la seconde (courbe en cou- leur sur la figure 10). La figure montre qu’après un régime transitoire, un régime permanent périodique de même période que celle de la tension en créneaux est établi. On dit qu’il s’agit d’un régime périodique forcé car la source impose sa période au circuit. Le régime est établi quand lorsque les tensions extrêmes sont constantes ; la frontière entre les deux régimes n’est pas nettement marquée. 4.2. Circuit RLC soumis à une tension alternative sinusoïdale La figure 11 montre qu’après le régime transitoire le régime permanent périodique est établi. Il est alternatif sinusoïdal, de même période que celle de la tension source. On dit que le régime est sinusoïdal forcé ; son étude sera faite au prochain chapitre. WE = Ei dt E= 0 ∞ ∫ i dt EC= 0 ∞ ∫ du CE 2.= 0 ∞ ∫ WR WE WC WL–– 1 2 ---CE 2.= = Fig. 10 1 0,8 0,6 0,4 0 0,02 0,06 0,08 0,1 Régime transitoire Régime périodique forcé t Tension (en noir) aux bornes du condensateur d’un circuit RC soumis à une tension en créneaux (en couleur). 0,2 0,04 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 53 5 Approximation des régimes quasi permanents (ARQP) Considérons le circuit de la figure 12. Le condensateur C est initialement déchargé. Après la fermeture de l’interrupteur K, les ampèremètres indiquent-ils, à chaque instant, la même valeur de l’intensité ? L’expérience montre que l’intensité est en retard sur l’intensité : On dit que le courant se propage dans le circuit. Le retard est lié à la distance PQ et à célérité c des ondes électromagnétiques dans le vide par la relation : avec Une étude complète doit être menée dans le cadre de l’électromagnétisme ; elle sera abor- dée en deuxième année. La durée de propagation est négligeable si elle est très petite devant les durées caractéris- tiques d’un régime (temps de relaxation, période) ; on dit alors que le régime est quasi per- manent, ou quasi stationnaire. L’approximation des régimes quasi permanents (ARQP), ou approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) consiste à négliger les effets liés à la propagation des courants et des tensions ; l’intensité est la même en tous les points d’une branche d’un circuit. L’approximation est justifiée pour tous les circuits étudiés en électrocinétique. Fig. 11 15 5 0 –5 –10 –15 Régime transitoire Régime sinusoïdal forcé t Tension (en noir) aux bornes du condensateur d’un circuit RLC soumis à une tension sinusoïdale (en couleur). 10 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 K P E Q R C iQ (t )iP (t ) A A Fig. 12 iQ t( ) ip t( ) iQ t( ) ip t θ–( ).= θ θ PQ c --------,≈ c 3,0 ·108 ms 1– .= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 54 1 Un condensateur déchargé est neutre. Quand on le charge, des charges opposées s’accumulent sur les armatures ; le condensateur reste neutre. Une des armatures porte la charge l’autre porte la charge : 2 Avec l’orientation imposée par le schéma, la tension est positive : 3 1 – Régime libre d’un circuit RC On considère un condensateur de capacité dont l’armature supérieure porte la charge placée dans le circuit suivant. Le résistor a une résis- tance 1 Quelle est la charge portée l’armature inférieure ? 2 Quelle est la tension aux bornes du condensa- teur ? 3 Quelle est l’énergie stockée par le condensa- teur ? À la date on ferme l’interrupteur K . 4 Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité ? 5 Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité en régime permanent ? 6 Calculer la constante de temps du circuit. 7 Établir l’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur. 8 Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et du courant. 9 Tracer la courbe donnant la tension en fonction du temps. 10 Déterminer la date à laquelle la tension est égale à 1 % de la tension initiale. Exprimer le rapport et conclure. C 1,0 µF,= Q 0 10 µC,= R 10 kΩ.= Q0 C u R i K U0 WC t 0,= ut 0+= it 0+= Up Ip τ u t( ) i t( ) u t( ) θ θ τ --- résolution méthodique Q 0 10 µC,= Q 0 10 µC–= Q 0 CU0 ⇒= U0 10 V= WC 1 2 ---CU0 2 1 2 ---Q 0U0 50 µJ= = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 55 4 La tension aux bornes d’un condensateur est une fonc- tion continue, donc : Appliquons la loi d’Ohm au résistor R : 5 Le condensateur se décharge dans le résistor ; son énergie y est dissipée par effet Joule. En régime permanent : (car est nulle ) et 6 7 Appliquons la loi d’Ohm au résistor R : Soit dq la variation de la charge de l’armature supérieure pendant la durée Il vient : d’où : 8 L’équation précédente est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coef- ficients constants et à second membre nul. Appliquons la méthode donnée au § 1.2 de « Retenir l’essentiel » (point méthode 1). a. Solution de l’équation différentielle : avec b. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension : c. Solution complète de l’équation différentielle : C u R i K ut 0+= ut 0–= U0 10 V= = = it 0+= ut 0+= R ------------- 1,0 mA= = Up 0= WCp Ip Up R ------ 0= = τ RC 10 ms= = u Ri.= dt . i dq dt ------– C– du dt ------,= = τ du dt ------ u+ 0= La relation ne s’applique que si le condensateur est en convention récepteur. En convention générateur il faut écrire : i C du dt ------= i C– du dt ------.= u Ae t τ --– = A cte.= ut 0+= ut 0–= U0 U0⇒ Ae0 A.= = = = u U0e t τ --– ; u t( ) 10e 100t– V( )== La résolution d’une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l’intro- duction d’une constante. Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : – de la tension aux bornes des condensateurs ; – ou de l’intensité du courant qui traverse les bobines. ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 56 On en déduit l’intensité en appliquant la loi d’Ohm : A.N. : 9 La courbe est celle tracée ci-contre. 10 La date à laquelle la tension est égale à 1 % de la tension initiale est telle que : s La décharge est pratiquement terminée à la date i u R --- U0 R ------e t τ --– = = 10 8 6 4 2 0 0,01 0,03 0,05 t s( ) u V( ) 0,02 0,04 0,06 i t( ) 1,0e 100t–= mA( ). θ uθ 10e 100θ– 10 1– e100θ⇒ 102= = = θ⇒ 10 2– 102( )ln 2 10 2– 10( )ln·= = 4,6 10 2–·= θ τ --- 5≈ θ 5τ.= La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée réelle d’un régime transitoire du premier ordre. Considérons les valeurs suivantes : ; ; On voit que la décharge est pratiquement terminée à la date u U0 ------ t τ= 37 %= u U0 ------ t 2τ= 13 %= u U0 ------ t 3τ= 5 %.= t 3τ.= • Faire attention aux conventions d’orientation des dipôles. – La relation pour le condensateur, et la relation pour la bobine ne s’appliquent que si ces dipôles sont en convention récepteur. – En convention générateur il faut écrire : et • La résolution d’une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l’introduction d’une constante. Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : – de la tension aux bornes des condensateurs ; – ou de l’intensité du courant qui traverse les bobines. • La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée d’un régime tran- sitoire du premier ordre. Le régime permanent est atteint à 1 % près au bout d’une durée égale à i C du dt ------= u L di dt -----= i C– du dt ------= u L– di dt -----.= τ 5τ. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 57 1 2 Le circuit RL ne comporte pas de générateur et l’interrupteur K est ouvert ; tous les courants sont nuls avant la fermeture de l’interrupteur. L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue donc : La tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue, donc : La loi d’Ohm aux bornes du résistor s’écrit : (il est en convention récepteur), d’où : 2 – Circuit RLC parallèle On considère le circuit suivant. Données : ; ; L’armature supérieure porte la charge À la date on ouvre l’interrupteur K. 1 Quelle est la tension aux bornes du conden- sateur avant la fermeture de l’interrupteur ? 2 Quelles sont les valeurs et de la tension et des intensités après fermeture de l’interrupteur ? 3 Établir l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. 4 Mettre l’équation différentielle sous la forme Calculer la pulsation propre le coefficient d’amortissement et le facteur de qualité Q du circuit. En déduire la nature du régime. 5 Mettre l’équation différentielle sous la forme canonique en posant et et résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et de l’intensité. 6 Tracer les courbes correspondantes. C 1,0 µF= L 0,10 H= R 1,0 kΩ.= Q 0 20 µC.= iR R i iL L C u K t 0,= U0 u0+, i0+, i L0+ i R0+ d2u dt 2 --------- 2σω0 du dt ------ ω0 2 u+ + 0.= ω0, σ d2y dx2 -------- 2σ dy dx ------ y+ + 0= x ω0t= y u U0 ------= u t( ) i t( ) résolution méthodique Q 0 CU0 ⇒= U0 20 V= i L0+ i L0– 0= = u0+ u0– U0 20 V( )= = = u Ri R= i R0+ u0+ R ------- U0 R ------ 20 mA( )= = = ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 58 La loi des nœuds permet d’écrire : 3 Écrivons les différentes relations entre les grandeurs qui vont nous servir : (loi des nœuds), et (loi d’Ohm). Il vient : Ce qui conduit à : 4 Divisons l’équation par LC : On peut alors identifier les termes recherchés : et et Remarque : Un circuit RLC série devient idéal quand ; il se réduit alors à un circuit . Pour réduire à un circuit LC un circuit RLC parallèle il faut que On comprend alors que les expressions du facteur de qualité de chacun des circuits soient inverses l’une de l’autre. Le régime est pseudo-périodique car l’amortissement est inférieur à 1 (facteur de qualité supérieur à 0,5). i0+ i R0+ i L0++ i R0+ 20 mA( )= = = i i L i R+= i C– du dt ------,= u L diL dt --------,= u Ri R= Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. u L di L dt --------- L d dt ----- i i R–[ ] L d dt ----- C– du dt ------ u R ---– L C– d2u dt 2 --------- 1 R --- du dt ------– .= = = = LC d2u dt 2 --------- L R --- du dt ------ u+ + 0= d2u dt 2 --------- 1 RC -------- du dt ------ u LC -------+ + 0.= ω0 1 LC ------------ 3,1 103 rad s 1–· ·= = 2ω0σ 1 RC -------- ⇒= σ 1 2R ------- L C ---- 0,16= = Q 1 2σ ------- R C L ---- 3,16= = = Les expressions de et de Q ne sont pas celles du circuit RLC série car les trois composants sont en parallèle. En série, alors que, σ Qsérie Lω0 R -------- 1 R --- L C ----,= = Qparallèle 1 Qsérie ----------- R Lω0 --------.= = R 0= LC R ∞.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 59 5 Voir § 3.2 de « Retenir l’essentiel » pour établir l’équation différentielle réduite. Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pour résoudre l’équation différentielle. a. Solution générale. • Équation caractéristique : Discriminant réduit : • Solutions : et avec et Les solutions sont complexes, le régime est pseudopériodique. • Solution de l’équation différentielle : avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : • Continuité de la tension aux bornes du condensateur : • Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine : Il faut chercher D’après la deuxième question, la condition implique Par ailleurs et ; donc D’où : c. Solution de l’équation différentielle Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimensions. Cela simplifie sa résolution. r2 2σr 1+ + 0.= ∆ σ2 1– 0,98– ?Moi= = r 1 σ– j ∆–+= r 2 σ– j ∆– ,+= ∆ j2 ∆–= j2 1.–= y e σx– A ∆– x( )cos B ∆– x( )sin+[ ],= ut 0+= ut 0–= U0 yx 0=⇒ 1 A⇒ 1.= = = = iL0+ 0.= dy dx ------     0+ . iL0+ 0= i0+ iR0+ u0+ R ------- U0 R ------.= = = i0+ C du dt ------     0+ –= du dt ------ d U0y( ) d x ω0 ------     ------------------ U0ω0 dy dx ------= = dy dx ------     0+ 1 Cω0 ---------- du dt ------     0+ – i0+ Cω0U0 ------------------– 1 RCω0 ---------------– 2σ.–= = = = dy dx ------     0 σA– B ∆–+ 2σ– B⇒ σ– ∆– -----------.= = = C’est bien en écrivant la continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine que l’on détermine la constante B. Mais ici, comme parfois, la détermination de la relation entre les constantes est indirecte. y e σx– ∆– x( )cos σ ∆– ----------- ∆– x( )sin– .= La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l’intro- duction de deux constantes : Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs, – et de l’intensité du courant qui traverse les bobines. ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 60 A.N. : Sachant que et que il vient : L’expression de l’intensité se déduit de la relation On vérifie qu’à la date l’intensité est égale à 20 mA. 6 Les courbes sont tracées ci-dessous. y e 0,158x– 0,987x( )cos 0,16 0,987x( )sin–[ ].= Il faut maintenant revenir à la fonction en utilisant les relations etu t( ) x ω0t= u U0 y.= ω0 3,1 103 rad s 1–· ·= U0 20 V,= u t( ) 20e 5,0– 102t· 3,1 103t·( )cos 0,16 3,1 103t·( )sin–[ ] V( )= i C– du dt ------.= i t( ) e 5,0– 102t· 20 3,1 103t·( )cos 60 3,1 103t·( )sin+[ ] mA( )= t 0= 20 u V( ) i A( ) t s( ) t s( ) 15 10 5 0 −5 −10 0,002 0,0020,006 0,0060,01 0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 −0,01 −0,02 −0,03 0,004 0,0080,004 0,008 • Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimension. Cela simplifie sa résolution. • La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l’introduction de deux constantes. Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs, – et de l’intensité du courant qui traverse les bobines. • Le facteur de qualité Q d’un circuit RLC parallèle s’écrit Q R Lω0 ---------.= en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
4 – Circuits RC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 61 1 La pulsation propre du circuit LC est : La résistance du circuit est nulle , donc : 2 Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : avec Il vient D’où : 3 – Circuit LC On considère le circuit ci-dessous. Données : et Le condensateur est chargé ; la tension à ses bornes est À la date on ferme l’interrupteur K. 1 Calculer la pulsation propre est du circuit. Quelle est la valeur du coefficient d’amortissement du circuit ? Quelle est la valeur du facteur de qualité Q ? 2 Montrer que l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur s’écrit : 3 Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et de l’intensité. 4 Calculer l’énergie totale du circuit. Conclure. C 1,0 µF= L 10 mH.= U0 20 V.= Cu L i Kt 0,= ω0 σ d2u dt 2 --------- ω0 2 u+ 0= u t( ) i t( ) résolution méthodique ω0 1 LC ------------ 1,0 104 rad s 1–· ·= = σ 0 et Q ∞= = On peut dire que la « qualité » du circuit LC est infinie. Le circuit LC est un circuit idéal, car dans la réalité la résistance d’une bobine n’est jamais nulle. L di dt ----- u– 0,= i C– du dt ------.= Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. LC d2u dt 2 --------- u+ 0.= d2u dt 2 --------- ω0 2 u+ 0= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 62 3 Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pour résoudre l’équation différentielle. a. Solution générale de l’équation différentielle. • Équation caractéristique : • Posons avec Les solutions sont complexes : et • Solution de l’équation différentielle : avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : • Continuité de la tension bornes du condensateur : • Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine : c. Solution de l’équation différentielle : ; A.N. : L’expression de l’intensité se déduit de la relation En effet : A.N. : 4 L’énergie du circuit est la somme des énergies des deux composants : ⇒ L’énergie totale est constante. Elle est égale à l’énergie initialement stockée dans le conden- sateur. r2 ω0 2 + 0 r2⇒ ω0 2 .–= = r2 j2ω0 2 = j2 1.–= r 1 jω0= r 2 jω0.–= u A ω0t( )cos B ω0t( ),sin+= ut 0+= ut 0–= U0 A⇒ U0.= = = i0+ i0– 0.= = i0+ C du dt ------     0+ – 0 du dt ------     0 ⇒ ω0B 0 B⇒ 0.= = = = = u U0 ω0t( )cos= u t( ) 20 1,0 104t·( ) V( )cos= i C– du dt ------.= i C– du dt ------ CU0ω0 ω0t( )sin= = i t( ) 0,20 1,0 104t·( ) A( )sin= Le régime d’un circuit LC est sinusoïdal. w wC wL+ 1 2 ---Cu2 1 2 ---Li 2+ 1 2 ---C U0 ω0t( )cos[ ]2 1 2 ---L CU0ω0 ω0t( )sin[ ]2+= = = w 1 2 ---CU0 2 ω0t( )cos[ ]2 ω0t( )sin[ ]2+( )= w 1 2 ---CU0 2 0,20 mJ= = Un circuit LC est un oscillateur électrique ; la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales du temps. L’énergie d’un circuit LC est constante ; elle est alternativement stockée par le con- densateur et par la bobine. C’est un circuit idéal, sans réalité physique. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé retenir l’essentiel 63 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 1 Introduction 1.1. Signaux sinusoïdaux 1.1.1. Définitions Un signal sinusoïdal fonction du temps s’écrit (fig. 1) : avec • Xm : amplitude du signal (Ͼ 0) ; • T est sa période (en s) : ; • : pulsation (en rad · s–1) ; • : fréquence (en Hz) ; • : phase à l’instant t ; • ϕ : phase à l’instant origine. Remarque : on appelle en général ϕ tout simplement « la phase » du signal. Point maths. Expression de la valeur moyenne d’une fonction périodique. Soit une grandeur périodique de période T. On note sa valeur moyenne : Xm T x (t ) t Fig. 1 x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= X t( ) X t T+( )= ω 2π T ------= f ω 2π ------= ωt ϕ+ Attention Les valeurs moyen- nes sont indépendan- tes du temps. x t( ) x t( )〈 〉 x t( )〈 〉 1 T --- x t( )dt. 0 T ∫= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 64 La valeur moyenne d’un signal sinusoïdal est nulle (voir tester ses connaissances, exercice 1 ). la valeur efficace de vaut (voir tester ses connaissances, exercice 1). 1.1.2. Différence de phase entre deux signaux synchrones Soit deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence (elles sont dites synchrones), et La différence de phase (déphasage) entre les deux signaux vaut est l’avance de phase du signal sur le signal ) Le décalage temporel entre les deux courbes correspond à un déphasage Sur la figure 2, le signal est en avance de phase sur : il atteint son maximum avant (voir exercice 2, rubrique tester ses connaissances). 1.1.3. Caractéristiques principales de l’instrumentation électrique au laboratoire a. Générateur de signaux électriques (GBF) Il permet de générer des signaux continus ou variables dans le temps, et notamment des signaux sinusoïdaux. La plupart des GBF comportent un fréquencemètre, qui permet de lire la fréquence du signal utilisé (de quelques Hz à quelques MHz). Pour la plupart des appareils – c’est ce que l’on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire, le signal est disponible entre une borne + et une borne – qui est reliée à la carcasse métal- lique de l’appareil, la masse (notion introduite au chapitre 3, § 3.2). b. Multimètre numérique Cet appareil a trois fonctions : • fonction ohmètre : mesure d’une résistance. La fonction ohmètre s’utilise en connectant les deux bornes de l’appareil à celles du dipôle (seul, sans être inséré dans un circuit) ; • fonction voltmètre : mesure d’une tension ; • fonction ampèremètre : mesure d’une intensité. Point maths. Expression de la valeur efficace d’une fonction périodique Soit une grandeur périodique de période T. On note sa valeur efficace : Signaux sinusoïdaux déphasés Attention Les grandeurs effica- ces sont indépendan- tes du temps. x t( ) Xe Xe x t( )2〈 〉 1 T --- x t( )2dt 0 T ∫ .= = Attention Le résultat n’est bien entendu valable que pour un signal sinusoïdal, il ne faut pas l’appli- quer, par exemple, à un signal créneau (– Xm, Xm). Xe Xm 2 -------= x t( ) Xm ωt ϕ+( )cos= Xe Xm 2 --------= x t( ) Xm ωt ϕ+( )cos= y t( ) Ym ωt φ+( ).cos= ∆ϕ φ ϕ.–= ∆ϕ y t( ) x t( ). Fig. 2 ∆t y (t ) t x (t ) ∆t ∆ϕ 2π∆t T ------------.= y t( ) x t( ) x t( ) Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 65 Les caractéristiques des fonctions ampèremètre et voltmètre présentées au chapitre 1, § 8.1 dans le cadre du régime stationnaire restent valables. En mode DC on mesure la valeur moyenne (utilisée par exemple pour mesurer des grandeurs continues) et en mode AC la valeur efficace d’une intensité ou d’une tension. Aucune des deux bornes de cet appareil n’est reliée à la terre de l’installation électrique. c. Oscilloscope Il permet de visualiser la forme de signaux électriques (oscillogramme). Il se branche comme un voltmètre. Il assure les fonctions de fréquencemètre, phasemètre (mesure du déphasage entre deux signaux) et voltmètre. Pour la plupart des oscilloscopes, une des deux bornes est reliée à la masse de l’appareil – c’est ce que l’on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire. 1.2. Introduction au régime sinusoïdal forcé sur l’exemple d’un circuit RLC Étudions le circuit RLC (fig. 3), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. La loi des mailles dans le sens indiqué donne : En utilisant et dérivant l’équation obtenue ci-dessus, on a : (E ) On a une équation différentielle du deuxième ordre avec deuxième membre sinusoïdal. La solution est de la forme • est la solution de l’équation différentielle (E ) sans second membre, c’est le régime libre, ce type de solution a été étudié au chapitre 4. En appelant le temps de relaxation, ou constante de temps, du circuit, on a disparaît donc au bout d’un temps de l’ordre de • est la solution particulière de l’équation différentielle, c’est le régime forcé, que l’on appelle aussi régime permanent ou établi. Compte tenu de la forme de est aussi une fonction sinusoïdale, de la forme se limite donc à au bout d’un temps de l’ordre de L’objet de ce chapitre est d’étudier le régime sinusoïdal forcé, on se placera donc systéma- tiquement dans le cas où le régime transitoire est amorti et donc négligeable. En fait, tout signal périodique (créneau, triangulaire…) peut se décomposer sous la forme d’une somme de signaux sinusoïdaux (analyse de Fourier). L’étude du régime sinusoïdal forcé que nous faisons dans ce chapitre est donc utilisable aussi pour traiter n’importe quel régime périodique forcé. La méthode la plus générale pour chercher consiste à remplacer par dans (E) et d’en déduire I et cela conduit à des calculs fastidieux. L’utilisation des nombres complexes permet de considérablement simplifier cette étude. Les équations différentielles seront en fait remplacées par une équation algébrique sur le corps des complexes. Attention Dans une installation électrique, toutes les prises de terre sont reliées entre elles. Les masses du GBF et de l’oscilloscope sont communes. L’oscilloscope et le GBF ayant donc une de leur borne au même potentiel (nul), il faudra en tenir compte lors de leurs branchements : leurs masses devront être reliées au même point du circuit. Circuit RLC série uR R uC uL L C q e i Fig. 3 e t( ) E ωt ϕ+( ).cos= e uR uC uL+ + e⇒ Ri L di dt ----- q C ---.+ += = i dq dt ------= de dt ----- L d2i dt2 -------- R di dt ----- i C ----.+ += i t( ) il t( ) if t( ).+= il t( ) τ il t( ) 0.= t ϾϾ τ lim il t( ) τ. if t( ) e t( ), if t( ) if t( ) I ωt ϕ+( ).cos= i t( ) if t( ).= t ϾϾ τ lim i t( ) if t( ) τ. if t( ) i t( ) I ωt ϕ+( )cos ϕ, ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 66 2 Utilisation des nombres complexes 2.1. Grandeur complexe associée à un signal sinusoïdal À une grandeur réelle : on associe la grandeur complexe : On a On appelle l’amplitude complexe de On a On a les relations : On peut représenter dans le plan complexe (fig. 4). Si une grandeur réelle est solution d’une équation linéaire (différentielle ou non) à coeffi- cient constant, la grandeur complexe associée l’est également. 2.2. Dérivation et intégration Avec on obtient : 3 Impédances complexes 3.1. Définitions Considérons un dipôle linéaire représenté en convention récepteur (fig. 5). • Soit la tension instantanée. La tension en notation complexe se note ; est son amplitude complexe. • Soit l’intensité instantanée. L’intensité en notation complexe se note ; est son amplitude complexe. et La loi d’ohm en représentation complexe s’écrit : soit OM Xm= Ox ; OM( ) ϕ= ϕ Im X( ) Re X( ) M Fig. 4 Conseil Pour l’étude des régi- mes sinusoïdaux on aura en permanence besoin de manipuler les nombres comple- xes. Il est primordial que l’élève ait une bonne maîtrise de ce chapitre du cours de mathématiques pour pouvoir réussir les exercices d’électroci- nétique. x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= x t( ) Xm j ωt ϕ+( )( ).exp= x t( ) Re x t( )( ).= Xm Xm jϕ( )exp= x t( ). x t( ) Xm jωt( ).exp= Xm Xm= ϕ Xm( )arg=   . X x t( ) Xm j ωt ϕ+( )( ),exp= dx dt ------ jωx= xdt∫ 1 jω ----- x= i(t ) u(t ) Fig. 5 u t( ) Um ωt ϕu+( )cos= u t( ) Um jωt( )exp= Um Um jϕu( )exp= i t( ) Im ωt ϕi+( )cos= i t( ) Im jωt( )exp= Im Im jϕi( )exp= u t( ) Z i t( ),= Um ZIm.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 67 • Cette relation définit l’amplitude complexe du dipôle avec R la résis- tance du dipôle et S sa réactance, ces grandeurs s’expriment en Ohm (Ω). • est l’impédance (Ω) ; on a donc est donc l’avance de phase de la tension sur le courant L’inverse de l’impédance complexe est l’admittance complexe : avec G la conductance du dipôle et B sa susceptance, ces grandeurs s’expri- ment en Siemens (S). est l’admittance (S). 3.2. Résistor Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : donc On retrouve la loi d’ohm en régime continu (chapitre 1) pour les amplitudes des signaux sinusoïdaux 3.3. Bobine idéale Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : donc L’impédance complexe d’un résistor est L’impédance d’un résistor est La tension aux bornes d’un résistor est en phase avec l’intensité qui le traverse L’impédance complexe d’une bobine idéale est L’impédance d’une bobine idéale est La tension aux bornes d’une bobine idéale est en avance de phase de (quadrature avance) avec l’intensité qui la traverse. Z, Z R jS,+= Z | Z|= Z Z jϕ( )exp= Um ZIm= ϕu ϕ ϕi+=   ϕ u t( ) i t( ). Y 1 Z ----.= Y G jB,+= Y | Y|= i u Fig. 6 R Résistor en représentation récepteur u Ri= u R i Um⇒ RIm,= = Z R Um RIm= ϕu ϕi=   .= Z R.= Z | Z| R.= = ϕ 0=( ). i u Fig. 7 L Bobine idéale en représentation récepteuru L di dt -----= u L d i dt ------ Um⇒ jLω Im,= = Z jLω Um LωIm= ϕu ϕi π 2 ---+=      ⇒= Z jLω.= Z | Z| Lω.= = π 2 --- ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 68 • Cas limite haute fréquence : : la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert. • Cas limite basse fréquence : : la bobine est équivalente à un interrupteur fermé, donc à un fil. 3.4. Condensateur idéal Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : donc • Cas limite haute fréquence : : le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, donc à un fil. • Cas limite basse fréquence : : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d’une bobine idéale L’impédance complexe d’un condensateur idéal est L’impédance d’un condensateur idéal est La tension aux bornes d’un condensateur est en retard de phase de (quadrature retard) avec l’intensité qui le traverse. Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d’un condensateur ω ∞→( ) Z ∞→ ω 0→( ) Z 0→ Fig. 8 Basse fréquence Haute fréquence ω 0→ ω ∞→ i u Fig. 9 C Condensateur en convention récepteur i C du dt ------= i C du dt ------ Im⇒ jCωUm,= = Z 1 jCω ---------- Um Im Cω --------= ϕu ϕi π 2 ---–=     ⇒= Z 1 jCω ----------.= Z | Z| 1 Cω --------.= = π 2 --- ω ∞→( ) Z 0→ ω 0→( ) Z ∞→ Fig. 10 Basse fréquence Haute fréquence ω 0→ ω ∞→ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 69 4 Théorèmes généraux L’ensemble des théorèmes vus aux chapitres 1 et 3 pour le régime continu demeurent valables en régime sinusoïdal forcé, en remplaçant les grandeurs continues (tensions et intensités) par leurs amplitudes complexes et les résistances par des impédances. Les conseils et remarques donnés dans ces chapitres peuvent être transposés à l’identique. 4.1. Loi des mailles La loi des mailles vue au chapitre 1 est valable pour les tensions instantanées puisque l’on est dans le cadre de l’ARQS. En notant pour un sens de parcours donné de la maille, on a : En divisant la relation précédente par on obtient : 4.2. Loi des nœuds La loi des nœuds vue au chapitre 1 est valable pour les intensités instantannées puis- que l’on est dans le cadre de l’ARQS. En notant puisque la loi des nœuds est linéaire, on a : Loi des mailles en ARQS : • si la flèche tension pour l’amplitude complexe est dans le sens du parcours ; • si la flèche tension est dans le sens opposé à celui du parcours. Loi des mailles pour cinq dipôles u t( ), uk t( ) Uk jωt( )exp= εk uk 0 ⇒=∑ εk uk t( ) 0.=∑le long d’une maille le long d’une maille jωt( ),exp εk Ukm 0.=∑le long d’une maille εk +1= Uk εk 1–= Uk D1 Maille parcourue dans le sens horaire U1m U2m– U3m U4m U5m––+ 0= D5 D4 D3D2 U1m U2m U3m U4m U5m Fig. 11 ik t( ), ik t( ) Ikm jωt( ),exp= εkik 0 εk ik t( ) 0=∑⇒=∑ ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 70 En divisant la relation précédente par on obtient : La somme des amplitudes complexes des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des amplitudes complexes des courants qui en partent. 4.3. Loi des nœuds en termes de potentiel Considérons L dipôles d’impédances …, ayant un nœud commun. Soient … les amplitudes complexes des intensités de courant circulant dans chacun des dipôles et orientés vers le point N. Soit l’amplitude complexe du potentiel du nœud N et … les amplitudes complexes des potentiels de l’autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s’exprime alors et peut s’écrire sous la forme : ou Remarques : 1. Le résultat ci-dessus est bien évidemment indépendant des sens d’orientation choisis pour les différentes intensités 2. En modifiant la position des termes, on arrive à l’expression du théorème de Millman : ou Loi des noeuds en ARQS : • si l’intensité est orientée vers le nœud ; • si l’intensité est orientée à partir du nœud. Attention. La loi des nœuds ne peut pas être appliquée pour les amplitudes des inten- sités. En effet : En effet, le module d’une somme de nombres complexes n’est pas égal à la somme de leurs modules. jωt( ),exp εk Ikm t( ) 0.=∑ εk +1,= εk 1,–= N I 1m I 2mI 3m I 4m Loi des noeuds pour quatre branchesFig. 12 I3m I4m I1m I2m––+ 0.= εk Ikm 0 εk Ikm εkIkm 0.= k ∑= k ∑⇒= k ∑ ( Z1, Z2, ZL ) (I1m, I2m, ILm) VNm V1m, V2m, VLm I1m I2m … ILm+ + + 0= V1m VNm– Z1 ----------------------------- V2m VNm– Z2 ----------------------------- … VLm VNm– ZL -----------------------------+ + + 0,= Y1 V1m VNm–( ) Y2 V2m VNm–( ) … YL VLm VNm–( )+ + + 0.= VNm V1m Z1 ---------- V2m Z2 ---------- … VLm ZL -----------+ + + 1 Z1 ------ 1 Z2 ------ … 1 ZL -------+ + + -----------------------------------------------------------= VNm Y1 V1m Y2 V2m … YL VLm+ + + Y1 Y2 … YL+ + + ---------------------------------------------------------------------------------.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 71 On peut remarquer que le potentiel du nœud N est le barycentre des potentiels des nœuds voisins affectés des admittances correspondantes. 4.4. Modélisation d’un dipôle actif 4.4.1. Source ou générateur idéal de tension C’est un dipôle actif qui impose une tension entre ses bornes, est appelée force électromotrice (f.é.m.). On note avec En général, on choisit 4.4.2. Source ou générateur idéal de courant C’est un dipôle actif qui impose un courant d’intensité est appelé courant électromoteur (c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. On note avec En général on choisit 4.4.3. Modélisation d’un générateur réel Dans de nombreuses applications, l’expérience montre qu’on peut modéliser un généra- teur réel par l’association : • d’un générateur idéal de tension (f.é.m. d’amplitude complexe et d’un dipôle en série dont l’impédance est appelée impédance interne du générateur • ou d’un générateur idéal de courant (c.é.m. d’amplitude complexe et d’un dipôle en parallèle dont l’admittance est appelée admittance interne du générateur Ces deux générateurs sont équivalents, les relations qui relient leurs caractéristiques sont éta- blies ci-dessous, elles sont équivalentes à celles obtenues en régime permanent (chapitre 3, § 3). N I 1 I 2 I 3 U1m U2m U3m V 2m V 1m Z 1 Z 3 Z 2 V 3m V N m Théorème de Millman pour trois branches ou VNm V1m Z1 ---------- V2m Z2 ---------- V3m Z3 ----------+ + 1 Z1 ------ 1 Z2 ------ 1 Z3 ------+ + ----------------------------------------------= VNm Y1 V1m Y2 V2m Y3 V3m+ + Y1 Y2 Y3+ + --------------------------------------------------------------------.= Fig. 13 e t( ) Em ωt ψ+( )cos= e t( ) e t( ) Em j ωt( )exp= Em Em jψ( ).exp= ψ 0.= i0 t( ) I0m ωt φ+( ).cos= i0 t( ) i0 t( ) I0m j ωt( )exp= I0m I0m jφ( ).exp= φ 0.= Em) Zg( ). I0m) Yg( ). Z g Im Z g ImEm Um Em Z g Im–= Um Iom Im Iom Y gUm–= Y g Iom Y gUm Fig. 14 ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 72 5 Lois d’association 5.1. Association en série 5.1.1. Loi d’association pour les impédances 5.1.2. Diviseur de tension La figure ci-contre représente un divi- seur de tension : deux dipôles en série sont soumis à une tension d’amplitude complexe et on cherche la tension aux bornes de l’un d’eux. 5.1.3. Association de générateurs en série On considère N générateurs associés en série, caractérisés par l’amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes ..., Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. d’amplitude complexe et d’impédance interne complexe N dipôles d’impédances associés en série sont équivalents à un seul dipôle d’impédance égale à la somme des impédances de chacun d’eux : Association série de trois dipôles et Um Em Zg Im– Im⇒ Em Zg -------- Um Zg -------–= = Em Zg -------- Um Zg -------– Iom Yg Um– Iom Em Zg --------= Yg 1 Zg ------= ⇒= Z1 Z2 … ZN, , ,( ) Zeq Zeq Z1 Z2 … ZN+ + += Z 1 Z 2 Z 3 Z eq Z 1 Z 2 Z 3+ += I ≡ Fig. 15 Fig. 16 Z 1 Z 2 Um1 Um2 Um Diviseur de tension Im Um U1m Z1 Um Z1 Z2+ --------------------= U2m Z2 Um Z1 Z2+ --------------------.= E1m Zg1,( ), E2m Zg2,( ), ENm ZgN,( ). Eeqm Zeq. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 73 avec si la flèche correspond à est dans le même sens que celle correspon- dant à et dans le cas contraire. 5.1.4. Loi de Pouillet 5.2. Association parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bornes en commun, ils sont soumis à la même tension. L’intensité circulant dans une maille constituée de N dipôles d’impédances et N générateurs associés en série, caractérisés par l’amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes … est : avec si la flèche correspondant à est dans le même sens que celle correspondant à l’orientation de et dans le cas contraire. Loi de Pouillet pour trois générateurs et trois dipôles Eeqm ε1 E1m ε2 E2m … εk Ekm … εN ENm+ + + + += Zgeq Zg1 Zg2 … ZgN+ + +=   εk + 1= Ekm Eeqm εk 1–= Remarque Pour associer des générateurs en série, on utilise la représen- tation de Thévenin. E1m E2m EeqmE3m Um Um Z g1 Z g2 Z geqZ g3 Um ImIm ≡ Association série de trois générateursFig. 17 Eeqm E1m E2m E3m–+= Zgeq Zg1 Zg2 Zg3+ +=   . Z1 Z2 … ZN, ,( ) E1m Zg1,( ), E2m Zg2,( ), ENm ZgN,( ) Im ε1 E1m ε2 E2m … εk Ekm … εN ENm+ + + + + Zg1 Zg2 … ZgN Z1 Z2 … ZN+ + + + + + + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------= εk + 1= Ek I εk 1–= E1 E2 E3 Z g1 Z g2 Z g3 Z 1 Z 2 Z 3 I Fig. 18 I E1 E2 E3–– Zg1 Zg2 Zg3 Z1 Z2 Z3+ + + + + -------------------------------------------------------------------------------.= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 74 5.2.1. Loi d’association pour les admittances 5.2.2.Diviseur de courant La figure ci-contre représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un cou- rant d’amplitude complexe et on cherche l’intensité parcourant l’un d’entre eux : 5.2.3.Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par l’amplitude complexe de leurs c.é.m. et admittances internes …, Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. d’amplitude complexe et d’admittance interne avec si la flèche correspondant à est dans le même sens que celle de ) et dans le cas contraire. Remarque : les admittances s’associent comme au § 2.1.1. N dipôles d’admittance associés en parallèles sont équivalents à un seul dipôle d’admittance égale à la somme des admittances de chacun d’eux : soit Association parallèle de trois dipôles et Y1 Y2 … YN, , ,( ) Yeq Yeq Y1 Y2 … YN,+ + += Yeq 1 Zeq -------- 1 Z1 ------ 1 Z2 ------ … 1 ZN --------.+ + += = Y eq Y 1 Y 2 Y 3+ += Y eq 1 Z eq --------- 1 Z 1 ------ 1 Z 2 ------ 1 Z 3 ------+ += = I1m I2m I3m Y 1 Y 2 Y 3 ImIm ≡ Fig. 19 Diviseur de courantFig. 20 I1m I2m Y 1 Y 2 Im Um Im I1m Z2 Im Z1 Z2+ -------------------- Y1 Im Y1 Y2+ --------------------= = I2m Y2 Im Y1 Y2+ -------------------- Z1 Im Z1 Z2+ --------------------= = I0m1 Yg1,( ), I0m2 Yg2,( ), I0mN YgN,( ). Ieqm Yeq. Ieqm ε1 I0m1 ε2 I0m2 … εk I0mk … εN I0mN+ + + + += Ygeq Yg1 Yg2 … YgN 1 Zgeq ----------- 1 Zg1 -------- 1 Zg2 -------- … 1 ZgN -----------+ + +=    + + +=      εk + 1= I0k I0eq εk 1–= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 75 6 Étude d’un circuit RLC, résonances Revenons à l’étude du circuit RLC (fig. 22), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. 6.1. Résonance en intensité Cherchons l’expression de On utilise les amplitudes complexes : et La loi de Pouillet nous donne directement : et La courbe représentant l’amplitude de l’intensité du courant, s’appelle courbe de résonance en intensité. et étant positif, cette courbe passe par un maximum pour une valeur de que l’on appellera la pulsation de résonance. Le numérateur étant indépendant de est maximum lorsque le dénominateur est minimum. Association parallèle de trois générateurs Remarque Pour associer des générateurs en parallèle, on utilise la représentation de Norton. Y geq I0m1 Y g1 ≡ I0m2 Y g2 I0m3 Y g3 I0meq I0meq I0m1 I0m2– I0m3+= Ygeq Yg1 Yg2 Yg3+ + 1 Zgeq ----------- 1 Zg1 --------= 1 Zg2 -------- 1 Zg3 --------+ +    =      Fig. 21 URm Im L R UCm Em C Circuit RLC sérieFig. 22 e t( ) Em ωt( ).cos= i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos= Em Em= Im Im jϕ( ).exp= Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------= Im Im Im⇒ Em R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -----------------------------------------------.= = Im ω( ), Im 0( ) 0= Im 0.= ω ∞→ lim Im ω ωr, ω, Im ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 76 on obtient donc En utilisant et et en notant on peut écrire : avec est l’amplitude de la tension aux bornes du résistor R. Il y a donc résonance d’intensité pour toute valeur de Q et la pulsation de résonance est indépendante de Q. Soit et définis par : avec On caractérise la résonance par la bande passante Les solutions négatives n’ont pas de sens physique. On remarque que et ne sont pas symétriques par rapport à ce que l’on peut remarquer sur la figure 23. et (car on a donc : a pour solution positive a pour solution positive Lωr 1 Cωr ----------– 0 ωr⇒ 1 LC -----------,= = ωr ω0.= Remarque Cette pulsation de résonance corres- pond à la pulsation propre étudiée au chapitre 4, de même que le facteur de qua- lité Q. ω0 ω0 1 LC -----------= Q Lω0 R ----------= x ω ω0 ------,= URm RIm E D ----= = D 1 Q2 x 1 x ---–     2 += URm Im ωr( ) Immax E R ----.= = Fig. 23 Im Im max Im max 2 -------------- ω0ω1 ω2 ω Variation de l’amplitude de l’intensité avec la pulsation ω1 ω2 Im ω1( ) Im ω2( ) Immax 2 --------------,= = Immax I ω0 1 LC ------------=     E R ----.= = ∆ω ω2 ω1.–= Im ω( ) Imax 2 -----------= Em R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -----------------------------------------------⇒ Em R 2 -----------= R 2 R2 Lω 1 Cω --------–     2 += 2R2⇒ R2 Lω 1 Cω --------–     2 += R±⇒ Lω 1 Cω --------–= ω2 Rω L --------± ω0 2 –⇒ 0= ω2 Rω L -------- ω0 2 –+ 0= ω1 R– 2L ------- R2 4L2 --------- ω0 2 ++= ω2 Rω L -------- ω0 2 –– 0= ω2 R 2L ------- R2 4L2 --------- ω0 2 ++= ω2 ω1 ω0, ∆ω ω2 ω1– R L ---= = ∆ω ω0 -------- R Lω0 ---------- 1 Q ---= = Q Lω0 R ----------= ), Q ω0 ∆ω --------= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 77 6.1.1. Étude du déphasage avec ; puisque on a : La phase est donnée par sa tangente, il y a donc une indétermination sur le domaine de définition de la phase ; étudions le signe de (1) donc Remarque : On peut aussi trouver directement l’expression de à partir de l’expres- sion (1) de 6.1.2. Comparaison des courbes de résonance pour différentes valeurs de Q De la relation on peut déduire que le facteur de qualité Q caractérise la résonance : • plus Q est important, plus est petit : plus la résonance est dite « aigue » ; • plus Q est petit, plus est grand : plus la résonance est dite « floue ». Point maths. Soit a et b étant des grandeurs réelles. Alors on a : et ; ; ; ; ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′,–= = ϕ′ R jLω 1 jCω ----------+ +    arg R j Lω 1 Cω --------–    +     .arg= = ϕ′tan Lω 1 Cω --------– R ----------------------= ϕ–( )tan –= ϕ,tan ϕtan 1 Cω -------- Lω– R ----------------------= x a jb,+= ϕ( )tan b a --= 1 x ---    arg x( ).arg–= ϕ ϕ.cos Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------ R j Lω 1 Cω --------–    – R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -------------------------------------------= = Re Im( ) Im ϕ( )cos R R2 Lω 1 Cω --------–     2 + ------------------------------------------- 0,Ͼ= = ϕ π 2 --- ;– π 2 --- .∈ ϕtan Im. ϕ 0( )tan +∞ ϕ 0( )⇒ π 2 ---= = ϕ ω1( )tan 1 ϕ ω1( )⇒ π 4 ---= = ϕ ω0( )tan 0 ϕ 0( )⇒ 0= = ϕ ω2( )tan 1– ϕ ω2( )⇒ π 4 ---–= = ϕtan ∞– ϕ ∞( )⇒ π 2 ---–= = ω ∞→ lim π 2 --- π 4 --- π 2 ---– – π 4 --- ω0 ω1 ω2 ω Variation de la phase de l’intensité avec la pulsation ϕ rad( ) Fig. 24 ∆ω ω0 -------- 1 Q ---,= ∆ω ∆ω ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 78 On représente souvent en fonction de (fig. 25). On constate bien sur ce graphe que la pulsation de résonance, égale à est indépen- dante de Q. 6.2. Résonance en tension aux bornes du condensateur (ou résonance de charge) Cherchons l’expression de soit : L’application du diviseur de tension sur le circuit de la figure 22 conduit à : • ; • ; • et En utilisant et et en notant on peut écrire : passe par un maximum si D, et donc passe par un minimum. On doit calculer la dérivée de D. Il revient au même, et c’est plus simple, de dériver : d’où si On obtient donc (1) Cette fonction croissante avec Q n’est définie que si donc si Variation de l’amplitude de la tension aux bornes du résistor avec la pulsation pour Q = 0,5 ; 1 et 1,5 avec URm ω UR m E ω0 ω Q = 0,5 Q = 1 Q = 1,5 Fig. 25 ω0, uc t( ) Ucm ωt φ+( ),cos= Ucm Ucm jφ( ).exp= Ucm 1 jCω ----------     E R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------ E 1 jRCω LCω2–+ --------------------------------------------= = Ucm |Ucm| E 1 LCω2–( )2 RCω( )2+ -------------------------------------------------------------= = Ucm 0( ) E= Ucm ω( ) 0.= ω ∞→ lim Attention Le dénominateur n’est pas de la forme avec A constant, comme c’était le cas pour la résonance d’intensité car ici dépend de x. Il est donc inexact d’écrire que D est minimum si A2 B2 x( )+ A x Q ----= 1 x2– 0.= ω0 1 LC -----------= Q Lω0 R ----------,= x ω ω0 ------,= Ucm E D ----= D 1 x2–( )2 x Q ----     2 += Ucm D2, Conseil Lorsqu’une fonction D se présente sous la forme d’une racine il est toujours préféra- ble de dériver D2. D2 dD2 dx ---------- 2 2x–( ) 1 x2–( ) 2x Q2 ------,+= dD2 dx ---------- 0= 1 x2– 1 2Q2 ---------.= ωr ω0 1 1 2Q2 ---------–= 1 1 2Q2 ---------– 0у , Q 1 2 -------.у Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 79 La courbe passe donc par un maximum pour On parle de résonance de tension aux bornes du condensateur ou de résonance de charge car la charge du condensateur est proportionnelle à la tension. Il y a deux différences importantes entre la résonance d’intensité et la résonance de charge : la résonance de charge n’existe que pour des valeurs de Q suffisamment grandes et quand elle existe, la pulsation de résonance dépend de Q. Le calcul conduit à (2) On constate bien sûr sur ce graphe qu’il n’y a pas de résonance si et que la pulsation de résonance est d’autant plus grande que Q est grand 6.2.1. Étude du déphasage La courbe représentant en fonction de se déduit donc de la courbe représentant par un simple décalage vers le bas de donc Variation de l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation pour Q = 0,5 ; 1 et 1,5. Variation de la phase de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation Ucm ω( ) Q 1 2 -------.уAttention Les résonances d’in- tensité et de charge sont très différentes, il ne faut pas les confon- dre. Une erreur fré- quente consiste par exemple à écrire qu’il y a résonance de charge pour ωr ω0.= Ucm ωr( ) QE 1 1 4Q2 ---------– -----------------------.= Uc m ωr1 ω Q = 1,5 Q = 1 Q = 0,5 ωr1,5 Fig. 26 Q 0,5= (Q 1 2 -------Ͻ 0,71)= ωr1 ωr1,5Ͻ( ). Ucm 1 jCω ----------     Icm φ⇒ ϕ π 2 ---–= = φ ω ϕ π 2 ---,– φ 0 ; π–[ ].∈ 0 ω0 ω π 2 ---– π– φ(rad) Fig. 27 ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 80 6.2.2.Cas particulier important : L’expression (1) conduit à On peut aussi montrer que étant la bande passante définie comme au 6.1. On retrouve donc des résultats similaires à ceux de la résonance d’intensité pour cette limite de valeurs de Q élevées. Un autre résultat, propre à la résonance de charge est particulièrement intéressant : de l’expression (2) on arrive à L’amplitude de la tension aux bornes du condensateur est donc égale à l’amplitude de la tension délivrée par le générateur multipliée par Q. Elle peut donc atteindre des valeurs considérables pour des valeurs de Q élevées. On appelle d’ailleurs aussi Q « facteur de surtension » pour cette raison. Q ϾϾ 1 2 ------- ωr ω0.= Q ω0 ∆ω --------,= ∆ω Ucm ωr( ) QE.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 81 p 1 On note Pour résoudre le problème, on utilise les grandeurs complexes associées à et à : et avec et La loi de Pouillet nous donne alors directement : 1 – Circuits RC, RL et RLC série 1 On étudie le circuit RC série ci-contre, soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. : Le régime forcé est supposé établi. Établir l’expres- sion de l’intensité du courant circulant dans ce cir- cuit. Données : ; ; ; 2 Même question pour un circuit RL. On prendra les mêmes valeurs numériques avec 3 Même question pour un circuit RLC série : calculer l’expression de avec les valeurs numériques données au 1. et au 2. Comment aurait-il été possible d’obtenir les résultats des questions 1. et 2. à partir de celui obtenu pour ce cir- cuit RLC série ? R Ce(t) i(t) e t( ) Em ωt( ).cos= Em 10 V= ω 63.102rad s 1–·= R 1,0 kΩ= C 0,16 µF.= L 91 mH.= i t( ) résolution méthodique i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos= e t( ) i t( ) e t( ) E m jωt( )exp= i t( ) Im jωt( ),exp= E m Em= Im Im jϕ( ).exp= Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeurs réelles en grandeurs complexes associées. Connaissant on obtient : avec x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= x t( ) Xm jωt( )exp= Xm Xm jϕ( ).exp= Im Em R 1 jCω ----------+ --------------------.= Seules les grandeurs réelles ont un sens physique, les résultats sont donc fréquemment demandés sous forme réelle. Or les calculs sont menés avec les grandeurs complexes associées. Il faut donc, à la fin du calcul, faire le passage inverse à celui du départ : « projeter » les grandeurs complexes en gran- deurs réelles. C’est une difficulté importante pour les élèves, surtout pour ce qui concerne la phase. ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 82 et avec ; et puisque on a : On a donc avec • R et sont des impédances ; • ; • L’amplitude de la tension est bien homogène à une tension et est sans dimension. A.N. : ou Pour connaître la bonne valeur de évaluons : ; Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelle Connaissant avec • L’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe • La phase de est l’argument de x t( ) Xm jωt( ),exp= x t( ) Xm ωt ϕ+( ).cos= Xm x t( ) Xm . ϕ x t( ) Xm . Im | Im| ⇒= Im Em R 2 1 Cω --------     2 + ----------------------------------= ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′–= = ϕ′ R 1 jCω ----------+    arg R j Cω --------–    arg= = ϕ′tan 1 Cω --------– R ------------ 1 RCω ------------–= = ϕ–( )tan ϕ,tan–= ϕtan 1 RCω ------------= i t( ) Em R 2 1 Cω --------     2 + ---------------------------------- ωt ϕ+( ),cos= ϕtan 1 RCω ------------.= Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues. 1 Cω -------- Im[ ] Em[ ] Z[ ]2 Z[ ]2+ -------------------------------- Em[ ] Z[ ] ------------= = ϕ( )tan[ ] Z[ ] Z[ ] --------.= ϕtan Im 10 1,0 103·( )2 1 0,16 10 6–· 63 102·× ----------------------------------------------------     2 + --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7,1 mA.= = ϕtan 1 1,0 103· 0,16 10 6– 63 102·×·× ------------------------------------------------------------------------------- 1 ϕ⇒ π 4 ---= = = 5π 4 ------. ϕ, ϕcos Im Em R 1 jCω ----------+ -------------------- Em R j Cω --------+     R2 1 Cω --------     2 + -------------------------------- Im ϕcos j ϕsin+( )= = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 83 donc Donc 2 Avec les mêmes notations qu’au 1., la loi de Pouillet donne donc : et avec puisque on a : On a donc avec • R et sont des impédances ; • ; • L’amplitude de l’intensité est bien homogène à une intensité et est sans dimension. A.N. : ou Pour connaître la bonne valeur de évaluons : donc Donc ϕcos R R 2 1 Cω --------     2 + ---------------------------------- 0,Ͼ= ϕ π 4 ---.= i t( ) mA( ) 7,1 63 102t p 4 ---+·     .cos= Im Em R jLω+ --------------------,= Im | Im| ⇒= Im Em R 2 Lω( )2+ ---------------------------------= ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′–= = ϕ′ R jLω+( )arg= ϕ′tan Lω R --------,= ϕ–( )tan ϕ,tan–= ϕtan Lω R --------–= i t( ) Em R 2 Lω( )2+ --------------------------------- ωt ϕ+( ),cos= ϕtan Lω R --------.–= On vérifie l’homogénéité des expressions obtenues. Lω Im[ ] Em[ ] Z[ ]2 --------------- Em[ ] Z[ ] ------------= = ϕ( )tan[ ] Z[ ] Z[ ] --------.= ϕtan Im 10 1,0 103·( )2 0,091 63× 102·( )2+ -------------------------------------------------------------------------------------- 8,7 mA= = ϕtan 0,091 63× 102· 1,0 103· ---------------------------------------– 0,57– ϕ⇒ π 6 ---–= = = 5π 6 ------. ϕ, ϕcos Im Em R jLω+ -------------------- Em R jLω–( ) R 2 Lω( )2+ --------------------------------- Im ϕcos j ϕsin+( )= = = ϕcos R R 2 Lω( )2+ --------------------------------- 0Ͼ= ϕ π 6 ---–= i t( ) mA( ) 8,7cos 63 102t p 6 ---–·     .= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 84 3. La loi de Pouillet donne En prenant on obtient : A.N. : ou 3,6 rad. Pour connaître la bonne valeur de évaluons : donc Donc : 0 Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------.= i t( ) Im ωt ϕ+( ),cos= Im Em R 2 Lω 1 Cω --------–     2 + ------------------------------------------------= et ϕtan 1 Cω -------- Lω– R ----------------------= Im 10 1,0 103·( )2 0,091 63× 102 1 0,16 10 6– 63× 102· · ----------------------------------------------------–·     2 + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9,2 mA= = ϕtan 1 0,16.10 6– 63.102× ----------------------------------------------- 0,091 63.102×– 1,0 103· ------------------------------------------------------------------------------------------- 0,42= = ϕ⇒ 0,42 rad= ϕ, ϕcos Re Im( ) Im ϕ( )cos R R 2 Lω 1 Cω --------–     2 + ------------------------------------------- 0,Ͼ= = ϕ 0,42 rad.= i t( ) mA( ) 9,2 cos 63 102t 0,42+·( )= • Pour obtenir les résultats cherchés au 1. pour un circuit RC, il suffit de faire tendre L vers zéro dans ces expressions. En effet, l’impédance de la bobine qui vaut tend vers zéro si L tend vers zéro. Une bobine d’inductance nulle est donc équivalente à un interrupteur fermé. Un cir- cuit RLC série pour lequel L est nul est donc équivalent à un circuit RC. • Pour obtenir les résultats cherchés au 2. pour un circuit RL , il suffit de faire tendre C vers l’infini dans ces expressions. En effet, l’impédance du condensateur qui vaut tend vers zéro si C tend vers l’infini. Un condensateur de capacité infinie est donc équivalent à un interrupteur fermé. Un circuit RLC pour lequel C est infini est donc équivalent à un circuit RL. Lω 1 Cω -------- Attention : Un condensateur de capacité nulle n’est pas équivalent à un interrupteur fermé, c’est une erreur assez fréquente. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 85 2 – Circuit RLC parallèle On considère un circuit composé de trois dipôles linéaires regroupés en parallèle : un résistor de résistance R , une bobine idéale d’inductance L et un condensateur idéal de capacité C. On suppose que le régime permanent est atteint. 1 Le circuit est alimenté par un générateur de courant idéal de c.é.m. a. Établir l’expression de la tension aux bornes du résistor, de la bobine et enfin du générateur. b. Donner l’allure de la courbe représentant la variation de l’amplitude de la tension aux bornes du résistor en fonction de Pour quelle valeur de est-elle maximale ? c. Soit la valeur maximale de On note et les deux pulsations pour lesquelles l’amplitude de la tension aux bornes du résistor est égale à Exprimer le facteur de qualité du circuit en fonction de R ,L et Cette expression correspond-t-elle à celle d’un circuit RLC série ? Commentaires. 2 Le circuit est alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m. Établir l’expression de l’amplitude de l’intensité traversant le générateur et donner l’allure de la courbe • Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transfor- mer les grandeurs réelles en grandeurs complexes. Transformation d’une grandeur réelle en grandeur complexe associée Connaissant on obtient avec À la fin d’un calcul, on a souvent besoin d’un résultat « physique » et il faut faire la transformation inverse. Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelle – l’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe ; – la phase de est l’argument de • Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues en repérant les grandeurs homogè- nes à des impédances et en utilisant le fait que RC et sont homogènes à des temps (constantes de temps d’un circuit RC et d’un circuit RL). x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= x t( ) Xm jωt( )exp= Xm Xm jϕ( ).exp= Xm x t( ) Xm ϕ x t( ) Xm . L R --- en conclusion i0 I0m ωt( ).cos= Um ω. ω Umax Um. ω1 ω2 ω1 ω2Ͻ( ) Umax 2 ------------. Q ω0 ω2 ω1– -------------------= ω0. e Em ωt( ).cos= Im Im ω( ). ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 86 1 a. Le générateur, le résistor, le condensateur et la bobine étant en parallèle, la tension est la même aux bornes de chacun d’eux. Soit et • avec ; • ; • Vérification de l’homogénéité est le rapport entre l’impédance d’une bobine et celle d’un condensateur, c’est donc une grandeur sans dimension ; ; b. et qui est une grandeur positive, passe donc par un maximum. Cherchons pour quelle valeur de L’expression de obtenue au 1. a. com- porte le facteur à la fois au numérateur et au dénominateur, ce qui rend l’étude de la recherche du maximum plus difficile que dans le cas étudié en cours pour le circuit RLC série. On peut facilement simplifier l’étude en divisant le numérateur et le déno- minateur par On obtient : Cette fraction est maximale si le dénominateur est minimal, donc si : soit résolution méthodique i 0 u u Um ωt ϕ+( )cos= Um Um jϕ( )exp= I0m I0m.= I0m Y Um ,= Y 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ += Um I0m 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ + ------------------------------------- I0mR jLω jLω R R LCω2–+ ---------------------------------------------- I0mRLω Lω jR 1 LCω2–( )– ------------------------------------------------= = = Um | Um | I0mRLω L2ω2 R 2 1 L Cω2–( )2 + ---------------------------------------------------------------.= = L Cω2 Lω 1 Cω --------     -------------= Um[ ] I0m[ ] Z[ ]2 Z[ ]2 ------------------------- I0m[ ] Z[ ]= = ϕ( )tan[ ] Z[ ] Z[ ] --------.= Um Ummax ωω0 Ummax 2 ---------------- Um 0( ) 0= Um 0= ω ∞→ lim Um, ω. Um ω ω. Um | Um | I0mRL L2 R 2 1 ω ---- L Cω–     2 + -------------------------------------------------------.= = 1 ω ---- L Cω– 0,= ω ω0 1 L C ------------.= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 87 c. Les solutions positives (seules pertinentes) de ces deux équations sont : et Vérification de l’homogénéité des relations de type : • le rapport est bien sans dimension (rapport entre deux impédances au carré). Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation en remarquant que est homogène à un temps, comme En effet, une pulsation est homogène à l’inverse d’un temps • Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation directement en remarquant que RC est homogène à un temps. On remarque que ce facteur de qualité est l’inverse de celui d’un circuit RLC série. En fait, dans les deux cas, un facteur de qualité infini correspond à un circuit non amorti, constitué uniquement d’une bobine idéale et d’un condensateur. En effet, • Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au dénominateur, on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de Il est alors plus simple de chercher la valeur de pour laquelle cette fonction est extrémale. • Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cette fonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de cher- cher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est pas possible, il faut dériver la fonction. ω ω. ω A2 B2 ω( )+ B2 ω( ) ω B ω( ) Um ω0( ) Ummax RI0m= = Um ω1 ω2,( ) Ummax 2 --------------- L L2 R 2 1 ω ---- L Cω–     2 + -------------------------------------------------------⇒ 1 2 -------= = 2L2 L2 R 2( 1 ω ---- LCω)2–+ L = R 1 ω ---- LCω–    ±⇒= Lω± R RLCω2– RLCω2 Lω± R–⇒ 0.= = ω1 1 2RC -----------– ∆ 2RLC ---------------+ 1 2RC ----------- 1– 1 4R 2 L2ω0 2 ------------++       = = ω2 1 2RC ----------- ∆ 2RLC ---------------+ 1 2RC ----------- 1 1 4R 2 L2ω0 2 ------------++       .= = Q ω0 ∆ω -------- ω0 ω2 ω1– ------------------- RCω0 R Lω0 ----------= = = = ⇒ Q R Lω0 ----------= ω1 1 2RC -----------– ∆ 2RLC ---------------+ 1 2RC ----------- 1– 1 4R 2 L2ω0 2 ------------++       .= = 4R 2 L2ω0 2 ------------ L R --- 1 ω0 ------. ω 2π T ------=     . 1 Cω -------- R[ ] ω[ ]⇒ 1 2RC ----------- .= = ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 88 • pour un circuit série, cela correspond à R très petit, et donc ; • pour un circuit parallèle, cela correspond à R très grand, et donc 2 Soit l’intensité du courant circulant dans le générateur. Avec les notations du 1. b. et en notant et on a : avec et donc passe par un minimum : pour Q Lω0 R ----------= Q ∞= R 0→ lim Q R Lω0 ----------= Q ∞.= R ∞→ lim Attention : Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R, L et C n’est pas toujours égal à (voir chapitre 4 exercice 4 de « Savoir résoudre les exercices »,) Lω0 R --------- i Im ωt ϕ′+( )cos= Im Im jϕ′( )exp= Em Em,= Im Immin ωω0 Im Y Em = Y 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ += Im 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ +     Em Em jLω R RLCω2–+( ) R jLω ------------------------------------------------------------= = Em Lω jR 1 LCω2–( )– RLω ------------------------------------------------= Im | Im| Em L2ω2 R 2(1 LCω2)2–+ RLω ---------------------------------------------------------------------= = Im 0( ) ∞= Im ∞= ω ∞→ lim Im I0m Um --------Em,= Im Immin Em R -------,= ω ω0 1 LC -----------.= = • Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au déno- minateur, on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénomina- teur dépende de Il est plus simple alors de chercher la valeur de pour laquelle cette fonction est extremum. • Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cette fonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le mini- mum, il suffit de chercher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est pas possible, il faut dériver la fonction. • Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R, L et C n’est pas toujours égal à w w. w A2 B2 ω( )+ B2 w( ) w B w( ) Lw0 R ----------. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
6 – Puissance en régime sinusoïdal forcé retenir l’essentiel 89 Puissance en régime sinusoïdal forcé 1 Puissance instantanée et puissance moyenne 1.1. Notations utilisées Considérons un dipôle D linéaire représenté en convention récepteur (figure 1). On note et où R est la résistance du dipôle et S sa réactance, On peut écrire R et S en fonction de Z et : En utilisant la loi d’ohm en représentation complexe, on a : est l’avance de phase de la tension sur l’intensité (déphasage). 1.2. Puissance instantanée Le dipôle D reçoit la puissance instantanée (convention récepteur). (1) Fig. 1 i(t) u(t) u t( ) Um ωt ϕu+( )cos= i t( ) Im ωt ϕi+( ).cos= Z R jS,+= Z Zexp jϕ( )= ϕ R Z ϕcos= S Z ϕsin=   Um Z Im= ϕu ϕ ϕi+=   ϕ p t( ) u t( ) i t( )= p t( ) Um ωt ϕu+( )Imcos ωt ϕi+( )cos= UmIm 2 --------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos ϕu ϕi–( )cos+[ ]= UmIm 2 --------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos ϕ( )cos+[ ]= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 90 Cette puissance varie au cours du temps (figure 2) de façon sinusoïdale (pulsation autour de la valeur 1.3. Puissance moyenne – Facteur de puissance On verra sur des exemples (exercice 2) que dans de nombreuses applications, la grandeur pertinente n’est pas la puissance instantanée, mais la puissance moyenne : En effet, la valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale est nulle (voir exercice 1 de « S’entraîner », chapitre 5) et celle d’un terme constant est évidemment égale à ce terme. Le terme est appelé facteur de puissance. Remarque : La puissance moyenne est aussi appelée puissance active. 1.4. Autre expression de la puissance moyenne, valeur efficace Nous serons parfois amenés à utiliser une autre expression de Or donc : Seule la partie réelle R (la résistance) de l’impédance complexe intervient dans l’expression de la puissance moyenne reçue. Point maths. On a utilisé la formule Variation de la puissance instantanée La puissance moyenne s’écrit : a( )cos b( )cos 1 2 --- a b+( )cos a b–( )cos+[ ].= 2ω) ᏼmoy UmIm 2 --------------- ϕ( ).cos= p t( ) t p(t) ᏼmoy Fig. 2 ᏼmoyAttention On ne peut pas direc- tement utiliser les grandeurs complexes et pour cal- culer il faut uti- liser les grandeurs réelles et Nous développerons cette remarque dans l’exercice 4 de « Tester ses connaissances ». u t( ) i t( ) p t( ), u t( ) i t( ). ᏼmoy p t( )〈 〉 UmIm 2 --------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos〈 〉 ϕ( )cos〈 〉+[ ].= = ᏼmoy UmIm 2 --------------- ϕ( ).cos= ϕ( )cos ᏼmoy . Um ZIm ᏼmoy⇒ UmIm 2 --------------- ϕ( )cos Im 2 2 ------Z ϕ( ).cos= = = Z ϕ( )cos R ,= ᏼmoy RIm 2 2 -----------.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
6 – Puissance en régime sinusoïdal forcé 91 Cette expression rappelle celle de la puissance dissipée en régime continu par effet joule dans un résistor de résistance R, au facteur près. Tout se passe en fait, du point de vue de la puissance moyenne reçue, comme si le dipôle était équivalent à un résistor de résis- tance R, le courant étant continu, de valeur dite efficace. On a donc : On retrouve ici la notion de valeur efficace développée au chapitre 5. On a donc aussi On peut alors écrire : Remarque : Cette relation n’est pas la même qu’en régime continu pour un résistor de résistance 1.5. Puissance moyenne reçue par les dipôles linéaires usuels 1.5.1. Résistors Le déphasage entre la tension et l’intensité étant nul, on a : Puisque on a aussi et donc : Cette puissance est irréversiblement dissipée sous forme de transfert thermique (effet joule). Remarque : pour arriver à l’expression de on pouvait aussi directement utiliser la formule établie au § 1.4. 1.5.2. Bobines idéales et condensateurs idéaux Le déphasage entre la tension et l’intensité pour une bobine et un condensateur étant respectivement ou on a : Ces dipôles ne reçoivent donc pas, en moyenne, de puissance : ils en reçoivent autant qu’ils en fournissent. Les bobines et condensateurs échangent réversiblement de l’énergie avec le reste du circuit (figure 3). Autre expression de la puissance moyenne : 1 2 --- Ie ᏼmoy RIm 2 2 ----------- RIe 2 Ie⇒ Im 2 -------.= = = Ue Um 2 -------.= ᏼmoy UeIe ϕ( )cos RIe 2 .= = Ue ZIe ᏼmoy⇒ R Ue 2 Z 2 ------------ R Ue 2 R2 S 2+ -------------------.= = = R ᏼ U 2 R -------=     . ϕ ᏼRmoy UeIe ϕ( )cos UeIe.= = Um RIm ,= Ue RIe= ᏼRmoy RIe 2 = ᏼRmoy ϕ + π 2 --- π 2 ---,– ᏼmoy UeIe ϕ( )cos 0.= = ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 92 Remarque : pour arriver à l’expression de on pouvait aussi directement utiliser la for- mule établie au § 1.4. : la résistance d’une bobine idéale et d’un condensateur idéal est nulle. 2 Aspects énergétiques de l’étude du circuit RLC série 2.1. Bilan des puissances instantanées Considérons un circuit RLC série (figure 4), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. La loi des mailles dans le sens anti-horaire donne : soit Pour établir un bilan de puissance, multi- plions cette dernière relation par i : En utilisant on obtient : soit Le terme ei est la puissance fournie par le générateur, elle est évidemment égale à la somme des puissances reçues par la bobine le condensateur et le résistor : On reconnaît dans cette expression l’énergie emmagasinée par la bobine et l’énergie emmagasinée par le condensateur : Puissance moyenne reçue par une bobine idéale (a) et un condensateur idéal (b) a) b) ᏼLmoy u t( )i t( )〈 〉 0= = ᏼCmoy u t( )i t( )〈 〉 0= = CL i(t) u(t) i(t) u(t) Fig. 3 ᏼmoy PCSI PTSI Fig. 4 uR R q C L i e uC uL e Em ωt( ).cos= uL uC uR+ + e,= L di dt ----- q C --- Ri+ + e.= Conseil On retiendra que pour établir un bilan de puissance d’un circuit série il suffit d’écrire la loi des mailles et la multi- plier par l’intensité parcourant le circuit. i t( ) L di dt ----- q C --- Ri+ +     ei.= i dq dt ------,= L 2 --- di2 dt -------- 1 2C ------- dq 2 dt --------- q C --- Ri2+ + ei ,= d dt ----- Li2 2 --------     d dt ----- q 2 2C -------     Ri2+ + ei.= Attention est bien la puissance fournie et non pas reçue car le dipôle est en conven- tion générateur. pg ei= pg pL , pC pR pL pC pR+ + pg.= wL wC d dt -----wL d dt -----wC pR+ + pg .= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
6 – Puissance en régime sinusoïdal forcé 93 2.2. Bilan des puissances moyennes En faisant la valeur moyenne du bilan des puissances instantanées, on obtient : Or nous avons vu que les puissances moyennes reçues par une bobine et un condensateur sont nulles, on a donc : 2.3. Résonance en puissance étant la valeur efficace de l’intensité Cherchons l’expression de On utilise les amplitudes complexes et La loi de Pouillet nous donne directement : Alors ; et donc En utilisant et on obtient l’expression : La courbe représentant (figure 5) s’appelle courbe de résonance en puissance. Cette courbe est liée à la courbe de résonance en intensité (voir chapitre 5, § 6.1), puisque est proportionnel au carré de l’amplitude de l’intensité de courant. Soit On définit la bande passante par avec et tels que Cela correspond aux relations pour l’intensité. On retrouve donc la bande passante définie pour l’étude des résonances d’intensité et de charge. Les condensateurs et bobines ne participent donc pas au bilan de puissance moyenne en régime sinusoïdal forcé. Les caractéristiques de la résonance de puissance sont les mêmes que celles de réso- nance en intensité : il y a toujours résonance, pour toute valeur de Q, pour pL〈 〉 pC〈 〉 pR〈 〉+ + pg〈 〉.= pR〈 〉 pg〈 〉.= ᏼRmoy pR〈 〉 RIe 2 ,= = Ie i t( ). i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos= Em Em= Im Im jϕ( ).exp= Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------.= Im Im Im⇒ Em R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -----------------------------------------------= = Ie Im 2 -------,= ᏼRmoy RIe 2 R Em 2 2 R2 Lω 1 Cω --------–     2 +     -----------------------------------------------------.= = ω0 1 LC -----------= Q Lω0 R ----------,= ᏼRmoy Em 2 2R 1 Q2 ω ω0 ------ ω0 ω ------–     2 +     ----------------------------------------------------------.= ᏼRmoy ω( ) ᏼRmoy ω ω0.= ᏼRmoymax Em 2 2R ------- ᏼRmoy ω0( ).= = ∆ω ω2 ω1,–= ω1 ω2 ᏼRmoy ω1( ) ᏼRmoy ω2( ) ᏼRmoymax 2 ------------------------.= = Im ω1( ) Im ω2( ) Immax 2 --------------= = ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 94 ω ᏼRmoymax ᏼRmoymax 2 ---------------- ω0ω1 ω2 ᏼRmoy Résonance de puissanceFig. 5 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 6 – Puissance en régime sinusoïdal forcé 95 1 2 Les pertes joules dans les câbles du réseau électrique EDF proviennent de la résis- tance non nulle de ces câbles, que l’on appellera : est d’autant plus grand, pour donné, que est grand. 3 On considère le dipôle D ′ constitué de l’ensemble {D + condensateur en parallèle}, d’impédance alimenté par le générateur de f.é.m. La puissance moyenne reçue par D′ est la même que celle reçue par D. En effet le condensateur reçoit, en moyenne, une puissance nulle. En appelant l’intensité efficace de et le déphasage entre et on a la relation : 1 – Relèvement du facteur de puissance Soit un dipôle quelconque D d’impédance et consommant une puis- sance Ce dipôle est alimenté par le secteur EDF, modélisé par un générateur de tension idéal de f.é.m. de pulsation et de valeur efficace 1 Donner l’expression de . 2 Montrer que l’on doit choisir un facteur de puissance le plus grand possible pour limiter les pertes Joule dans le réseau électrique EDF alimentant le dipôle. 3 En fait, EDF impose que les installations électriques doivent présenter un facteur de puissance supérieur à 0,93. On doit donc parfois modifier le facteur de puis- sance d’un dipôle. On étudie ici la méthode consistant à placer en parallèle au dipôle un condensateur de capacité C. Établir en fonction de S, et l’expres- sion de la valeur de C qui permette d’obtenir un facteur de puissance égal à un. Z R jS+= ᏼmoy. e t( ) ω Ee. Ie Z ω résolution méthodique ᏼmoy UeIe ϕcos= ⇒ Ie ᏼmoy Ue ϕcos -------------------= Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l’intensité du courant qui le traverse. PJ R 0 PJ R 0I e 2 R 0 ᏼmoy Ue ϕcos -------------------     2 .= = PJ ᏼmoy ϕcos i ′(t ) e (t ) Z u (t ) ic (t ) C i (t ) D ′ Z ′( ) Z ′ e t( ). I ′e i ′ t( ) ϕ′ e t( ) i ′ t( ), ᏼmoy UeI ′e ϕ′.cos= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 96 On cherche à obtenir un facteur de puissance égal à un, donc or réel. Si est réel, alors l’est également. en appelant Remarque : avec ou sans condensateur, le dipôle D est soumis à la même tension et il est parcouru par le même courant : le branchement en parallèle du condensateur n’altère en rien le fonctionnement de D. 2 – Adaptation d’impédance Soit un générateur de tension sinusoïdal de force électromotrice instantanée d’impédance complexe interne placé en série avec un réseau d’impédance complexe 1 Déterminer l’impédance du réseau pour laquelle le générateur lui fournit une puissance moyenne maximale. 2 Pour cette question, on considère que l’impédance du réseau est Exprimer la puissance reçue par le réseau et la puissance dissipée par effet joule dans la résistance interne du générateur. En déduire le rendement du dispositif. Pour quelle valeur de le rendement est-il maximal ? ϕ′ 0,= ϕ′ arg Z ′( ) 0 Z ′⇒= = Z ′ Y ′ • Un facteur de puissance égal à l’unité correspond à une impédance ou une admittance réelle (partie imaginaire nulle). • Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l’étude avec l’admittance. Y ′ 1 R j+ S( ) -------------------- jCω+ R jS– R2 S 2+ ------------------- jC ω+ R R2 S 2+ ------------------- j S– R2 S 2+ ------------------- Cω+    += = = Y ′ réel S– R2 S 2+ ------------------- Cω+⇒ 0= ⇒ C S ω R2 S 2+( ) ---------------------------- S ωZ 2 -----------= = Z Z .= Même si EDF ne le vérifie que rarement pour les particuliers, en revanche pour les installations industrielles EDF facture des « amendes » relativement importantes si le facteur de puissance est inférieur à 0,93. • Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l’intensité du courant qui le traverse. • Un facteur de puissance égal à l’unité correspond à une impédance ou une admit- tance réelle (partie imaginaire nulle). • Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l’étude avec l’admittance. en conclusion Ee 2 ωt,cos Zg Rg jSg+= Z R jS.+= Z0 ᏼmoy Z0 . ᏼRg Rg Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
6 – Puissance en régime sinusoïdal forcé 97 1 Soit avec et avec La puissance moyenne fournie au réseau est égale à celle reçue par le réseau, En posant on a (Essentiel du cours, § 1.4) Il faut donc chercher Utilisons la loi de Pouillet afin de déterminer : Alors Ainsi Pour R, et donné, est maximal si soit et si On a donc et soit : (grandeur conjuguée de ). Cette condition correspond à ce que l’on appelle l’adaptation d’impédance. 2 résolution méthodique e (t ) Z u (t ) i (t ) Z g u t( ) Ue 2 ωt φ+( )cos Re Um jωt( )exp( ),= = Um Ue 2 j φ( )exp= i t( ) Ie 2 ωt ψ+( )cos Re Im jωt( )exp( ),= = Im Ie 2 jψ( )exp= ᏼmoy. ϕ φ ψ,–= ᏼmoy UeIe ϕcos RI e 2 .= = Ie. Im Im Ee 2 Zg Z+ ----------------- Ee 2 Rg R+( ) j Sg S+( )+ --------------------------------------------------.= = Ie Im 2 ---------- Ee Rg R+( )2 Sg S+( )2+ ---------------------------------------------------------.= = ᏼmoy RI e 2 REe 2 Rg R+( )2 Sg S+( )2+ -----------------------------------------------------.= = • Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. • Avant de dériver l’expression de ᏼmoy repérer que le dénominateur est minimal pour S + Sg = 0. Rg Sg ᏼmoy S Sg+ 0,= S Sg.–= ᏼmoy RIe 2 REe 2 Rg R+( )2 -----------------------= = dᏼmoy dR ---------------- Ee 2 Rg R+( )2 2R Rg R+( )–( ) Rg R+( )2 ---------------------------------------------------------------.= dᏼmoy dR ---------------- 0= Rg R 2R–+ 0.= R Rg= S Sg,–= Z0 Zg ∗ = Zg ᏼmoy Z0 Zg ∗ =( ) RE2 2R( )2 -------------- E2 4R -------= = ᏼRg Z0 Zg ∗ =( ) RgIe 2 RgE 2 Rg R+( )2 ----------------------- RE 2 2R( )2 --------------= = = ᏼRg E 2 4R ------- ᏼmoy Z0 Zg ∗ =( )= = ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 98 La puissance fournie par le générateur de f.é.m. e (t) est égale à la somme des puis- sances reçues par le circuit électrique, soit Le rendement s’écrit donc : Ce rendement est maximal, égal à un si donc si La condition recherchée est donc La résistance de l’impédance complexe interne du générateur doit être nulle (mais bien entendu l’adaptation d’impédance, dans un tel cas n’a plus d’intérêt). De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l’on récupère (ce qui nous « intéresse ») et ce que l’on fournit (ce que l’on « dépense »). Ici, il s’agit de transférer de l’énergie électrique du générateur au réseau électrique. ᏼe ᏼe ᏼmoy ᏼRg .+= η ᏼmoy ᏼe ------------ 1 2 --- 50 %= = = ᏼmoy ᏼe,= ᏼRg 0.= Rg 0= Rg R 0= =( ), • Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. • Avant de dériver l’expression de ᏼmoy pour chercher un extremum, repérer d’éven- tuelles relations simples permettant d’obtenir cet extremum. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre retenir l’essentiel 99 Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 1 Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Filtre 1.1. Quadripôle Un quadripôle comporte quatre bornes : deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie (figure 1). 1.2. Quadripôle linéaire Soit une tension sinusoïdale à l’entrée d’un quadripôle (pulsation ω, fréquence Le quadripôle est linéaire si, en régime forcé (appelé aussi régime harmonique), la tension de sortie est sinusoïdale : 1.3. Théorème de superposition Soit et deux tensions d’entrée. Soit et les tensions de sortie correspondan- tes. Alors la tension est la tension de sortie correspondant à la tension d’entrée et étant des constantes. Fig. 1 is us ChargeQuadripôle ie ue Générateur Tensions et intensités d’entrée et de sortie d’un quadripôle ue Uem ωt ϕe+( )cos= f ω 2π ------).= us Usm ωt ϕs+( ).cos= ue1 ue2 us1 us2 us λ1us1 λ2us2+= ue λ1ue1 λ2ue2,+= λ1 λ2 ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 100 1.4. Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire 1.4.1. Définition 1.4.2. Expression Les coefficients sont réels et constants. 1.4.3. Ordre d’un quadripôle L’ordre est celui du polynôme de plus haut degré, ou 1.4.4. Module et argument • est le module de la fonction de transfert ; • est la phase de la fonction de transfert. 1.4.5. Valeur maximale et phase de la tension de sortie En notation complexe, et d’où : • Relations entre la tension d’entrée et la tension de sortie d’un quadripôle linéaire de fonction de transfert : et 1.4.6. Cas d’une tension d’entrée constante En régime permanent, la réponse d’un quadripôle à une tension d’entrée constante peut-être considérée comme celle d’une tension périodique de fréquence nulle (période infinie) : 1.5. Quadripôle passif, quadripôle actif Un quadripôle est passif quand il ne comporte que des dipôles passifs comme R, L ou C. Il est actif s’il contient en plus des sources d’énergie électrique. Dans la pratique il s’agit d’un ou de plusieurs amplificateurs opérationnels fonctionnant en régime linéaire, dont la description est donnée figure 2. H jω( ) us ue -----= H jω( ) N jω( ) D jω( ) ----------------- N0 jωN1 jω( )2N2 … jω( )mNm+ + + + D0 jωD1 jω( )2D2 … jω( )nDn+ + + + --------------------------------------------------------------------------------------------------.= = N jω( ) D jω( ). H jω( ) H ω( ) ejϕ ω( )= H ω( ) ϕ ω( ) ue Uemej ωt ϕe+( ) = us Usmej ωt ϕs+( ) ,= H us ue ----- us⇒ Hue Usme j ωt ϕs+( ) ⇒ H ejϕUemej ωt ϕe+( ) .= = = ue Uem ωt ϕe+( )cos= us Usm ωt ϕs+( )cos= H H ejϕ ω( )= Usm H Uem= ϕs ϕe ϕ.+= Us Ue Us H ω 0=( )Ue.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 101 1.6. Filtre Un filtre idéal est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est nulle dans un domaine de fréquences caractéristique. Un filtre réel est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est atténuée dans un domaine de fréquences caractéristique. 2 Diagramme de Bode d’un filtre 2.1. Forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre 2.2. Diagramme de Bode d’un filtre Le diagramme de Bode est la représentation de la fonction de transfert d’un filtre. Il est constitué de deux courbes : • la courbe de réponse en gain, exprimé en décibels, en fonction de ; • la courbe de réponse en phase en fonction de On peut aussi tracer les courbes et en fonction du loga- rithme décimal de la valeur numérique de noté Amplificateur opérationnel (AO) en régime linéaire • x est la pulsation réduite, ou fréquence réduite, avec • est la pulsation caractéristique du filtre, f 0 est la fréquence caractéristique. Point maths. L’expression « » désigne le logarithme décimal de x. Point maths. L’échelle logarithmique. Décade L’axe des abscisses de chacune des courbes et est gradué en échelle loga- rithmique (figure 3). Les valeurs de x sont en général représentées par décades ( 1, …). Une décade est l’intervalle de fréquence tel que : Fig. 2 us i+ 0= ε 0= u+ u– + − i− 0= • Le courant d’entrée inverseuse – est nul. • Le courant d’entrée non inverseuse + est nul. • La tension différentielle ε est nulle. Remarque. L’alimentation en énergie électrique n’est pas représentée. H jx( ) us ue ----- H x( ) ejϕ x( )= = x ω ω0 ------ f f0 -----.= = ω0 H jx( ) G x( ) 20log H jx( )= log x( ) ϕ x( ) log x( ). log x( ) G ω( ) 20log H jω( )= ϕ ω( ) ω, log ω( ). Attention Le point d’abscisse n’apparaît pas sur le diagramme de Bode puisque x 0= log 0( ) ∞.–= G x( ) ϕ x( ) …10 3– , 10 2– , 10 1– , 101, 102, 103 f1 ; f2[ ] f2 f1 ----- 10.= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 102 2.3. Bande passante à -3 dB 2.4. Multiplication de la fonction de transfert par une constante Soit avec une constante réelle. • La courbe de réponse en gain de la fonction de transfert se déduit de celle de la fonction de transfert par trans- lation le long de l’axe des gains. • La courbe de réponse en phase de la fonction de transfert se confond avec celle de la fonction de transfert 3 Filtre passe-bas du premier ordre 3.1. Fonction de transfert Le terme en d’ordre 1, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de premier ordre donné au filtre. L’étude menée au § 2.4 nous permet de travailler dans la suite avec la valeur car la courbe de réponse en gain se déduit de celle de la fonction de transfert dans laquelle par translation le long de l’axe des gains et les courbes de réponse en phase sont identiques. La bande passante à – 3 dB d’un filtre est la bande de fréquence à l’intérieur de laquelle : ou (dB). Fonction de transfert et forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre : et • est appelée pulsation de coupure et fréquence de coupure. • est une constante réelle. • x est la pulsation réduite avec Fig. 3 10-3 X 2 X 1 1+= 10-2 10-1 10 102 103 x en échelle logarithmique X = log(x) en échelle linéaire 1 x2 10x1= X1 décade – 3 – 2 – 1 1 2 30 Principe de l’échelle logarithmique 1 x1 H H max 2 ----------------у G Gmax 3–у T jx( ) A0 H jx( ) A0 H x( ) ejϕ x( ) T x( ) ejθ x( )= = = A0 G x( ) 20log T jx( ) 20logA0 20log H jx( ) .+= = T jx( ) H jx( ) 20log A0( ) θ x( ) ϕ x( ).= T jx( ) H jx( ). H jω( ) H jx( ) H jω( ) A0 1 j ω ωc ------+ ------------------ A0 1 j f fc ----+ ----------------= = H jx( ) A0 1 1 jx+ --------------= . ωc fc A0 x ω ωc ------ f fc ----.= = ω ωc ------, A0 1= A0 1= 20logA0 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 103 3.2. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure 3.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et 3.2.2. Expression à la fréquence de coupure (x = 1) La courbe du gain en fonction de passe par le point La courbe de la phase en fonction de passe par le point 3.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et 3.3. Diagramme asymptotique de Bode • La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d’équations et reliées au point (0 ; 0). • La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du seg- ment vertical qui les relie. 3.4. Pente de l’asymptote haute fréquence En posant il vient dB/décade. Le gain dimi- nue de 20 dB quand la fréquence est multipliée par 10 (X augmente d’une unité) ; on dit que la pente de l’asymptote haute fréquence est égale à – 20 dB par décade. Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à basse fréquence, on cher- che un équivalent de la fonction de transfert à basse fréquence. Pour cela on ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en x, soit ici le terme 1 (degré nul). Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à haute fréquence, on cherche un équivalent de la fonction de transfert à haute fréquence en ne conservant que le terme de plus haut degré en x, soit ici le terme x ϽϽ 1 H jx( )⇒ 1≈ H jx( ) ejϕ x( ) H jx( ) 1 GBF⇒≈ 20log 1( ) 0= = ϕBF 0=   ⇒= GBF 0= ϕBF 0.= f fc x⇒ 1 H jx( ) ejϕ x( )⇒ 1 1 j+ ----------- 1 2 ------- e j– π 4 --- H j( ) 1 2 ------- G x 1=( )⇒ 3 dB–= = ϕ x 1=( ) π 4 ---–=     ⇒= = = = log x( ) 0 ; 3 dB–( ). log x( ) 0 ; π 4 ---–     . x ϾϾ 1 H jx( )⇒ 1 jx ----≈ 1 x --- e j– π 2 --- H jx( ) ejϕ x( ) H jx( ) 1 x --- GHF⇒≈ 20– log x( )= ϕHF π 2 ---–=      ⇒= = Rappel 1 j --- j– e j– π 2 --- = = jx. GHF 20– logx= ϕHF π 2 ---.–= GBF 0= GHF 20– logx= ϕBF 0= ϕBF π 2 ---–= log x( ) 0,= X log x( ),= GHF 20X– dGHF dX -------------⇒ 20–= = ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 104 3.5. Diagramme de Bode Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence de cou- pure suffisent pour donner l’allure du diagramme de Bode complet. Il peut être aussi tracé à l’aide d’un logiciel de calcul formel (traits en couleur sur la figure 4). a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians. Filtre passe-bas du premier ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point (0, 0). • La pente de l’asymptote haute fréquence du gain est égale à – 20 dB par décade. • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de 0 à • Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de x 1=( ) Fig. 4 G(x ) (dB) log(x ) ϕ(x ) (rad) − 0,2 − 0,4 − 0,6 − 0,8 −1 −1,2 −1,4 −1,6 −10 − 20 − 30 − 40 Bande passante a) − 2 − 1 1 2 0 0 log(x ) logx 1 b) − 1 Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas du premier ordre de fonction de transfert H jx( ) 1 1 jx+ --------------= Conseil Pour tracer l’asymp- tote haute fréquence du gain, il suffit de re- marquer qu’elle passe par les points (0 ; 0) et +1 20 dB–,( ). H jx( ) 1 1 jx+ --------------.= GBF 0= GHF 20– logx= ϕBF 0= ϕHF π 2 ---,–= log x( ) 0,= π 2 ---.– 0 ; π 4 ---–     log x( ). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 105 3.6. Bande passante à –3 dB Exemple du filtre passe-bas du premier ordre : • Détermination de la valeur maximale du module de la fonction de transfert : • Résolution de l’équation : 4 Filtre passe-haut du premier ordre 4.1. Fonction de transfert Le terme en d’ordre 1, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de premier ordre donné au filtre. Nous travaillerons dans la suite avec la valeur Point méthode. Détermination de la bande passante à –3 dB d’un filtre a) Déterminer la valeur maximale du module de la fonction de transfert. b) Résoudre l’équation Selon le cas, on travaille avec la pulsation, la fréquence ou la fréquence réduite. • Autre méthode : déterminer la valeur maximale Gmax du gain, puis résoudre l’équa- tion La bande passante à –3 dB d’un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure est : Fonction de transfert et forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du premier ordre : ; • est la pulsation de coupure et est la fréquence de coupure. • est une constante réelle. H max H H max 2 ----------------.= G Gmax 3.–= H max Hmax Hx 0= 1.= = H jx( ) 1 1 jx+ -------------- 1 1 x2+ ------------------- Hmax 2 ------------- x⇒ 1 f⇒ fc.= = = = = fc ∆f 0 ; fc[ ].= H jω( ) H jx( ) H jω( ) A0 j ω ωc ------ 1 j ω ωc ------+ ----------------- A0 j f fc ---- 1 j f fc ----+ ---------------= = H jx( ) A0 jx 1 jx+ --------------.= ωc fc A0 ω ωc ------, A0 1.= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 106 4.2. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure 4.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et 4.2.2. Expression à la fréquence de coupure • La courbe du gain en fonction de passe par le point • La courbe de la phase en fonction de passe par le point 4.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et 4.3. Diagramme asymptotique de Bode • La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 5a) est constituée des deux demi-droites d’équations et reliées au point ; • La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 5b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du seg- ment vertical qui les relie. 4.4. Pente de l’asymptote haute fréquence En posant il vient d’où dB/décade. Le gain aug- mente de 20 dB quand la fréquence est multipliée par 10 (X augmente d’une unité) ; la pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +20 dB par décade. Point maths. On ne conserve que les termes de plus bas degré en x, au numérateur et au dénominateur (1). f ϽϽ fc x⇒ ϽϽ 1 H jx( )⇒ jx≈ xe j π 2 --- H jx( ) ejϕ x( )= = H jx( ) x GBF⇒≈ 20log x( )= ϕBF π 2 ---=      ⇒ Rappel j e j π 2 --- .= jx( ) GBF 20log x( )= ϕBF π 2 ---.= x 1=( ) f fc x⇒ 1 H j( )⇒ H j( ) ejϕ 1( ) j 1 j+ ----------- 1 2 -------e j π 4 --- H jx( ) ejϕ x( )= = = = = = H j( ) 1 2 ------- G x 1=( )⇒≈ 3 dB–= ϕ x 1=( ) π 4 ---=     ⇒ log x( ) 0 ; 3 dB–( ). log x( ) 0 ; π 4 ---     . f ϾϾ fc x ϾϾ⇒ 1 H jx( )⇒ 1≈ H jx( ) ejϕ x( ) H jx( ) 1 GHF⇒≈ 0= ϕHF 0=   ⇒= GHF 0= ϕHF 0.= GBF 20logx= GHF 0= 0 ; 0( ) ϕBF π 2 ---= ϕHF 0,= log x( ) 0,= X log x( ),= GHF 20X,= dGHF dX ------------- 20= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 107 4.5. Diagramme de Bode Remarque : La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe-bas par translation positive de le long de l’axe des phases. a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians. Filtre passe-haut du premier ordre, de fonction de transfert • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point • La pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +20 dB par décade. • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de à 0. • Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de Fig. 5 G(x) (dB) log(x) ϕ(x) (rad) 1 1,2 0,8 0,6 −10 −20 −30 −40 Bande passante a) − 2 − 1 1 2 log(x) b) 0,2 0,4 1,4 0 0 − 2 − 1 1 1,0 Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut du premier ordre de fonction de transfert H jx( ) jx 1 jx+ --------------= Conseil Pour tracer l’asymp- tote basse fréquence du gain, il suffit de re- marquer qu’elle passe par les points (0 ; 0) et (−1 ; −20 dB). H jx( ) jx 1 jx+ --------------.= GBF 20log x( )= GHF 0= 0 ; 0( ). ϕBF π 2 ---= ϕHF 0,= log x( ) 0,= π 2 --- 0 ; π 4 ---     log x( ). H jx( )[ ]passe haut jx 1 jx+ -------------- jx 1 1 jx+ -------------- xe j π 2 --- H jx( )[ ]passe bas ϕ x( )[ ]passe haut ⇒ π 2 --- ϕ x( )[ ]passe bas += = = = π 2 --- ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 108 4.6. Bande passante à –3 dB Application de la méthode donnée au § 3.6 • Détermination de la valeur maximale du module de la fonction de transfert : • Résolution de l’équation : 5 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre Les comportements à basse et à haute fréquences des condensateurs et des bobines idéales (figure 6) permettent de prévoir avant tout calcul les comportements asymptotiques d’un filtre. Remarques : Un filtre dont la tension de sortie s’annule à basse fréquence et à haute fréquence est un filtre passe-bande. Il sera étudié au prochain chapitre. La tension de sortie de certains quadripôles ne s’annule ni à basse fréquence ni à haute fréquence. Des exemples seront présentés en exercices. La bande passante à – 3 dB d’un filtre passe-haut du premier ordre de fréquence de coupure est Point méthode. Comportements asymptotiques d’un filtre • Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. • Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. • En déduire si le filtre est passe-bas ou passe-haut : – c’est un filtre passe-bas si la tension de sortie s’annule seulement à haute fréquence ; – c’est un filtre passe-haut si la tension de sortie s’annule seulement à basse fréquence. H max Hmax Hx ∞→ 1.= = H jx( ) jx 1 jx+ -------------- 1 1 1 x2 -----+ ------------------- Hmax 2 ------------- x⇒ 1 f⇒ fc.= = = = = fc ∆f f[ c ; ∞[.= Fig. 6 Comportements à basse et à haute fréquences d’un condensateur et d’une bobine Basse fréquence Haute fréquence Basse fréquence Haute fréquence Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 109 6 Équation différentielle d’un système du premier ordre – Stabilité 6.1. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert La forme générale de la fonction de transfert d’un filtre du premier ordre s’écrit d’où l’équation différentielle : 6.2. Stabilité du système Un système est stable lorsque sa réponse à une excitation est bornée, c’est-à-dire qu’elle ne tend pas vers l’infini quand le temps tend vers l’infini. Analysons la réponse d’un quadri- pôle du premier ordre (figure 7). 6.2.1. Régime libre (interrupteur ouvert) C’est la solution de l’équation différentielle Elle est de la forme avec K constante a priori non nulle. Cette solution converge vers zéro quand t tend vers l’infini si ; elle n’est pas bornée si (elle tend alors vers l’infini). Il faut donc que les coefficients et soient du même signe pour que le système soit stable vis-à-vis de la réponse libre. Sachant que la fonction de transfert s’écrit aussi sous la forme Il faut que les coefficients et soient du même signe pour que le système soit stable. On peut déduire l’équation différentielle d’un système du premier ordre en rem- plaçant chaque terme par l’opérateur dans la fonction de transfert. PCSI jω d dt ----- H jω( ) us ue ----- N0 jωN1+ D0 jωD1+ ---------------------------,= = D1 dus dt -------- D0us+ N1 due dt -------- N0ue+= Le quadripôle est soumis à la tension fournie par la source quand on ferme l’interrupteur. Fig. 7 u e u s Quadripôle du premier ordre usL D1 dusL dt ---------- D0usL+ 0.= usL Ke D1 D0 ------t– ,= D1 D0 ------ 0Ͼ D1 D0 ------ 0Ͻ D0 D1 x ω ω0 ------,= H jx( ) N′0 N′1 jx+ D′0 D′1 jx+ --------------------------.= D′0 D′1 ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 110 6.2.2. Régime forcé sinusoïdal (interrupteur fermé) Les amplitudes et des tensions d’entrée et de sortie sont liées par la relation (voir § 1.3.5) : L’amplitude de sortie est bornée (non infinie) si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. Pour faire l’étude d’un quadripôle nous supposerons a priori qu’il est stable. Les signes des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert montreront s’il en est bien ainsi. En cas d’instabilité, la réponse du système ne peut pas être sinusoïdale ; le quadripôle n’est pas linéaire. 7 Caractère intégrateur ou dérivateur d’un filtre 7.1. Caractère intégrateur à haute fréquence d’un filtre passe-bas du premier ordre À haute fréquence ( la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre se simplifie en : On en déduit l’équation différentielle : La tension de sortie est donc de la forme 7.2. Caractère dérivateur à basse fréquence d’un filtre passe-haut du premier ordre À basse fréquence la fonction de transfert : Un système du premier ordre est stable en régime libre si les coefficients et (respectivement et du dénominateur de la fonction de transfert (respectivement sont du même signe. Un système du premier ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. Un filtre passe-bas du premier ordre a un caractère intégrateur à haute fréquence. D0 D1 D′0 D′1) H jω( ) N0 jωN1+ D0 jωD1+ ---------------------------= H jx( ) N′0 N′1 jx+ D′0 D ′1 jx+ --------------------------)= Uem Usm Usm H jω( ) Uem.= PCSI f fc ---- ω ωc ------ ϾϾ 1),= H jω( ) us ue ----- A0 1 j ω ωc ------+ -----------------= = H jω( ) us ue -----= A0 j ω ωc ------ -------- j ω ωc ------ us⇒≈ A0 ue.= dus dt -------- ωcA0ue.= us A0ωc= uedt.∫ ( f fc ---- ω ωc ------ ϽϽ 1),= H jω( ) us ue ----- A0 j ω ωc ------ 1 j ω ωc ------+ -----------------,= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 111 d’un filtre passe-haut du premier ordre se simplifie en : On en déduit l’équation différentielle : Un filtre passe-haut du premier ordre a un caractère dérivateur à basse fréquence. H jω( ) us ue ----- A0 j ω ωc ------ us⇒ A0 j ω ωc ------ue.= = = us A0 ωc ------ due dt --------.= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 112 1 Appliquons la méthode du cours. • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a). Les deux résistors sont traversés par le même courant ; ils sont en série. La branche réalise un diviseur de tension : • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé (figure b) donc La tension de sortie est nulle seulement à haute fréquence ; le filtre est un filtre passe-bas. 2 Soit l’impédance de l’association du condensateur et du résistor de résistance et son admittance. 1 – Filtre passif passe-bas On considère le filtre de la figure suivante. On donne et 1 Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En déduire sa nature. 2 Exprimer la fonction de transfert sous la forme Exprimer la constante et la constante de temps 3 Calculer la durée la fréquence de coupure et le gain maximal 4 À l’entrée du filtre, on injecte la tension sinusoïdale d’amplitude V et de fréquence Déterminer la tension de sortie. C 1,0 µF,= R1 1,0 kΩ= R2 3,0 kΩ.= is 0= R1 ue R2 usC H jω( ) A0 1 jωτ+ ------------------.= A0 τ. τ, fc, Gmax. ue t( ) Uem 2πft( )cos= Uem 10= f fc 10 ------.= us t( ) résolution méthodique R1, R2 us ue ----- R2 R1 R2+ ------------------- 0.≠= us 0.= L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’en connaître la nature. a) b) Haute fréquenceBasse fréquence is 0= R1 ue R1 is 0= ueR2 R2 us ue= us 0= Z R2, Y Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 113 Le courant de sortie est nul. Le résistor et le dipôle sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit (figure ci-contre) réalise un diviseur de tension qui permet d’exprimer facilement la fonction de transfert : Par identification, on obtient : La fonction de transfert est bien celle d’un filtre passe-bas, en accord avec la détermina- tion rapide de la première question. 3 4 Avec les données on a : Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. • Tension d’entrée en notation complexe : • Tension de sortie en notation complexe à partir de la fonction de transfert : avec et is 0= us ue R Z Z H jω( ) us ue ----- Z R1 Z+ ----------------- 1 1 R1 Y+ ---------------------= = = 1 1 R1 1 R2 ------ jCω++ -------------------------------------------- 1 1 R1 R2 ------+ ---------------- 1 1 j R1 1 R1 R2 ------+ ----------------Cω+ ------------------------------------ R2 R1 R2+ ------------------- 1 jω R1R2 R1 R2+ -------------------C+ ---------------------------------------.= = = Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente. A0 R2 R1 R2+ ------------------- et τ R1R2 R1 R2+ -------------------C== Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d’un quadripôle. τ 0,75= ms fc 1 2πτ --------- 0,21= = kHz H max A0 Gmax⇒ 20log A0( )= = Gmax 2,5 dB–= ωτ ω ωc ------ f fc ---- 1 10 ------.= = = ue Em 2πft( )cos ue⇒ Emej2πft.= = H jω( ) us ue ----- us⇒ H jω( )ue A0 1 jωτ+ ------------------ ue A0 1 ω2τ2+ ejα --------------------------------- Uemej2πft= = = = us A0Uem 1 ω2τ2+ ------------------------- ej 2πft α–( )= αtan ωτ.= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 114 • Tension de sortie réelle en prenant la partie réelle de son expression complexe : rad. Finalement : 2 – Filtre actif passe-haut. Bilan de puissance On considère le filtre ci-contre. Le dipôle placé en sortie est un résistor de résis- tance Données : 1 Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En déduire sa nature. 2 Calculer la constante de temps du circuit RC. 3 Soit x la pulsation réduite avec Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite Dépend-elle de la résistance de charge ? 4 Quels sont la nature et l’ordre du filtre ? Calculer la fréquence de coupure 5 On place en entrée un générateur idéal de tension avec et de fréquence Déterminer la tension et l’intensité de sortie. 6 Calculer la puissance moyenne reçue par la charge ? Quelle est la puissance moyenne reçue à l’entrée de l’AO ? Que doit-on en conclure ? us A0Uem 1 ω2τ2+ ------------------------- 2πft α–( )cos 0,75 10· 1 10 2–+ ------------------------ 2πft α–( )cos= = 7,5 2πft α–( )cos≈ αtan 0,10 α⇒= 0,10≈ us t( ) 7,5 1,3 102t 0,10–·( ) (V)cos= • L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’en connaître la nature. • Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d’un quadripôle. • Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente. en conclusion Rc. C 0,10 µF,= R 5,0 kΩ,= Rc 0,50 kΩ.= usue C R RC + − τ x ω ωc ------ f fc ---- RCω.= = = H jx( ). Rc fc. ue t( ) Em 2πft( )cos= Em 2,0 V= f fc 2 ----.= us t( ) is t( ) ᏼc ᏼ+ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 115 1 Appliquons la méthode du cours. • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Il n’y a pas de courant dans le résistor R. L’analyse de la figure 1 conduit à • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. L’analyse de la figure 2 conduit à La tension de sortie est nulle seulement à basse fréquence ; le filtre est un filtre passe- haut. 2 7 Dans la pratique, l’amplitude de l’intensité du courant de sortie est limitée à et l’amplitude de la tension de sortie est limitée à par un système électronique interne à l’AO. Déterminer : • la valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée ; • la valeur de la résistance de charge quand les amplitudes de la tension et de l’intensité sont maximales ; • la valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO. Ismax 20 mA= Usmax 13 V= Ue max R ′c ᏼc max résolution méthodique us 0.= is ue RC + − us u– 0= =R i+=0 u– u+ 0= = ε = 0 i– = 0 u+ Ri+ 0= = Figure 1 : Basse fréquence us ue.= is ue RC + − us u– ue= =R i+=0 u– u+ ue= = ε = 0 i– =0 u+ u–= Figure 2 : Haute fréquence τ RC 0,50 ms= = ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 116 3 Analysons la figure 3. Le courant d’entrée + est nul En conséquence, le condensateur C et le résistor R sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension : et La fonction de transfert ne dépend pas de la valeur de la résistance de charge. 4 On reconnaît la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du premier ordre. 5 Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. • Tension d’entrée en notation complexe : • Tension complexe de sortie exprimée à partir de la fonction de transfert : avec • Tension de sortie en prenant la partie réelle de son expression complexe : Finalement : is ue RC + − us R i+=0 u– ε = 0 i– =0 u+ Figure 3 C i+ 0=( ). u+ ue ------- R R 1 jCω ----------+ -------------------- jx 1 jx+ --------------= = H jx( ) us ue ----- us u– ------ u– u+ ------ u+ ue ------- jx 1 jx+ --------------.= = = { { 1= 1= Quand un circuit comporte un AO, mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courants d’entrée i + et i – sont nuls, la ten- sion différentielle d’entrée ε est nulle. Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pas de la charge. fc f RCω ------------ 1 2πRC --------------- 0,32 kHz= = = ue Em 2πft( )cos ue⇒ Emej2πft.= = H j 2 ---     us ue ----- us⇒ H j 2 ---     ue j 2 --- 1 j 2 ---+ ------------ ue j 2 j+ -----------Emej2πft e j π 2 --- ejα 5 -------------- Emej2πft Em 5 ------- e j 2πft π 2 --- α–+     = = = = = = αtan 1 2 ---.= us Em 5 ------- 2πft π 2 --- α–+     .cos= us t( ) 0,89 1,0 103t· 1,1+( ) (V)cos= us Rcis ⇒= is t( ) 1,8 1,0 103t· 1,1+( ) (mA)cos= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 117 6 La charge reçoit la puissance : Le courant d’entrée + de l’AO est nul ; la puissance transférée à cette entrée est nulle. C’est donc la source d’alimentation de l’AO (jamais représentée dans les schémas) qui fournit toute l’énergie à la charge. 7 • Valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée : • Valeur de la résistance de charge : • Valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO : Ne pas oublier que, contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en géné- ral non nul. ᏼc Us max 2 ---------------     2 Rc ------------------------ 0,89 2 ----------     2 5 102· ------------------- ᏼc⇒ 0,80 mW.= = = Uemax Ue max Usmax 5 29 V= = R′c R′c Us max Is max -------------- 0,65 kΩ= = ᏼc max ᏼc max 1 2 ---R′cIs max 2 0,13 W= = Rappel. La puissance moyenne ᏼ reçue par un résistor de résistance R traversé par un courant sinusoïdal d’amplitude et de valeur efficace s’écrit : Le montage de l’AO est appelé « montage en suiveur » car la tension de sortie est égale à la ten- sion d’entrée +. La puissance reçue par la charge est entièrement fournie par la source d’alimen- tation de l’AO. Les puissances mises en jeu par un AO sont toujours faibles. Malgré son nom, « amplificateur », il ne peut pas servir d’amplificateur de puissance d’une chaîne « HI-FI » par exemple, qui mettent en jeu des puissances de l’ordre de 10 watts. Imax Ie ᏼ RIe 2 1 2 -- RImax 2 .= = • Quand un circuit comporte un AO, il faut mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courants d’entrée i+ et i– sont nuls, la tension différentielle d’entrée est nulle. • Contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en général non nul. • Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pas de la charge. ε en conclusion ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 118 1 Appliquons la méthode du cours. • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a) ; il n’y a pas de courant dans les résistors. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : d’où soit • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé donc (figure b). Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : d’où soit On peut déduire de ce comportement que ce quadripôle n’est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-haut. 2 Dans chacune des branches, le condensateur et le résistor sont en série. Chacun des circuits RC réalise un diviseur de tension, ce qui permet d’écrire : 3 – Passe-tout déphaseur du premier ordre On considère le quadripôle en sortie ouverte ci-contre. Il comprend deux résistors identiques de résistance R, et deux condensateurs identiques de capacité C. Données : 1 Déterminer les comportements asymptotiques du quadripôle. Reconnaît-on un filtre ? 2 Soit x la pulsation réduite définie par la relation Exprimer la fonction de transfert sous la forme canonique 3 Calculer le gain du quadripôle. Que peut-on en conclure ? 4 Tracer l’allure de la courbe de la réponse de la phase en fonction de C R R C ue us C 10µF,= R 100Ω.= RCω x.= H jx( ). ϕ x( ) log x( ). résolution méthodique ue uR us uR––– 0,= ue 0 us 0––– 0,= us ue.= uR ue= ue uR us uR––– 0,= ue ue us ue––– 0,= us ue.–= a) Basse fréquence b) Haute fréquence is 0= uR 0= uR uR 0= is 0= R uR R ueue us us R R uR ue ----- R R 1 jRCω --------------+ ------------------------ jx 1 jx+ --------------.= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 119 Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique sur la figure b) : d’où : On constate que la fonction de transfert n’est pas celle d’un filtre passe-bas, ni celle d’un filtre passe-haut, en accord avec l’étude rapide faite dans la première question. Le quadri- pôle est du premier ordre. 3 ! Le quadripôle n’est pas un filtre car le gain ne dépend pas de la pulsation. On dit que c’est un passe-tout déphaseur du premier ordre ; seule la phase dépend de la fréquence. 4 avec ; d’où d’où L’allure de la courbe de la réponse en fonction de se trace en plaçant quelques points dans le plan On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. x 0,5 1 2 log(x) – 0,30 0 0,30 ϕ(x) en rad – 0,92 –2,2 Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. ue us 2uR+= H jx( ) 1 jx– 1 jx+ --------------= Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert est en accord avec l’étude rapide. H jx( ) 1 x2+ 1 x2+ -------------- 1 G⇒ 20log H jx( ) 0= = = = H jx( ) 1 x2+ e jα– 1 x2+ ejα ------------------------------ e 2jα– ϕ x( )⇒ 2α–= = = αtan x= ϕ x( ) 2– arctan x( )= ϕ x Ͻ 1Ͻ( ) 2arctan 0( )–≈ 0= ϕBF 0.= ϕ x Ͼ 1Ͼ( ) 2arctan ∞( )≈ 2– π 2 ---×= ϕHF π.–= 1 2 3−1−2− 3 0 −2,5 − 3 −2 −1,5 −1 −0,5 (rad) log(x) ϕ x( ) log x( ) log x( ) ϕ x( ),( ). π 2 --– Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. en conclusion ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 120 4 – Intégrateur et pseudo-intégrateur à amplificateur opérationnel Soit le quadripôle actif ci-contre. Données : et 1 Exprimer la fonction de transfert On posera 2 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée. En déduire que ce montage est un circuit intégrateur. 3 À la date on applique en entrée un échelon de tension de valeur Déterminer la tension de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. 4 Il existe des tensions de saturation en sortie de l’AO, de valeurs Quelle est la valeur de saturation atteinte par la tension de sortie ? À quelle date ? 5 Dans la pratique, les tensions d’entrée s’écrivent sous la forme ε étant une tension constante appelée tension de décalage ; sa valeur peut être faible, mais jamais nulle. Pourquoi dit-on que le montage ne peut pas fonction- ner en intégrateur ? 6 La saturation de la tension de sortie peut être évitée en plaçant un résistor de résistance en parallèle avec le condensateur, comme indiqué ci- contre. a. Exprimer la fonction de transfert sous la forme : , avec une constante à exprimer et b. À quelle condition sur le produit le filtre a-t-il un caractère intégrateur ? On dit alors que c’est un pseudo- intégrateur. c. On considère que le filtre est intégrateur pour les fréquences supérieures à étant la fréquence de coupure du filtre. Quelle valeur de faut-il choi- sir pour que le filtre soit intégrateur pour des fréquences supérieures à 100 Hz ? d. Quel est alors l’effet d’une tension de décalage ? Conclure. PCSI ue us R C + − C 1,0µF= R 10 kΩ.= H jω( ). τ RC.= t 0,= E 1,0 mV.= us t( ) Usat 15 V.±= tsat ue t( ) ε f t( ),+= us C R ′ + − ue R R′ T jω( ) A0 1 jωτ′+ --------------------= A0 τ′ R′C.= ωτ′ 10f′c, f′c R′ E 20 mV= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 121 1 Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure) : 2 En remplaçant l’expression jω par il vient : La tension de sortie est une primitive de la tension d’entrée ; le circuit est un circuit inté- grateur. 3 . La continuité de la tension aux bornes du condensateur permet d’écrire (figure ci-contre) : Finalement : A.N. : 4 La tension de sortie décroît ; elle atteint donc la valeur négative –15 V de saturation de la tension. Il vient : résolution méthodique ue + − E i+ 0= ε 0= i– 0= R A S C us uA 1 R --- jCω+     uE R ----- jCωuS+ 0= = us 1 jRCω -------------- uE– H jx( )⇒ us ue ----- 1 jRCω --------------–= = = H jω( ) 1 jωτ --------–= On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) à l’entrée inverseuse – et à l’entrée non inverseuse + d’un AO car les courants d’entrée sont nuls. Il ne faut pas l’appliquer à la sortie d’un AO car le courant de sortie est en général non nul. d dt -----, uE jωτuS– ue⇒ τ– dus dt --------= = dus⇒ 1 τ ---uedt–= dus us 0( ) us t( ) ∫⇒ 1 τ ---– uedt 0 t ∫ ⇒= us us 0( ) 1 τ ---–= uedt 0 t ∫ ue R C u 0= uC + − us us us 0( ) 1 τ ---–= Edt E– t τ -- us 0( )+= 0 t ∫ uC 0( ) 0=( ) us 0( ) uC 0( )– 0.= = us t( ) E– t τ --= us t( ) 0,10t (V).–= us tsat( ) 0,10tsat– 15–= = tsat 1,5 102 s·= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 122 5 Aussi petite que soit la valeur de la tension le terme varie de manière monotone ; il y a donc saturation de la sortie ; le montage ne peut pas fonctionner en intégrateur. 6 a. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure ci-contre) : avec : b. Le filtre a un caractère intégrateur si on peut écrire : ce qui implique : c. La condition avec donne : A.N. : d. Une tension de décalage E en entrée provoque, en régime permanent, une tension de décalage en sortie d’expression : A.N. : Il n’y a donc pas de saturation en sortie ; le montage fonctionne en intégrateur pour des fréquences supérieures à 100 Hz. us 1 τ ---–= ε f t( )+[ ]dt 1 τ ---–= 0 t ∫ f t( )dt ε t τ --– . 0 t ∫ ε, ε– t τ -- ue + − E R A S C R us uA 1 R′ ----- jCω 1 R ---+ +     uE R ----- 1 R′ ----- jCω+     uS+ 0= = H jω( ) us ue ----- 1 R R′ ----- jRCω+ ---------------------------– R′ R -----– 1 1 jωτ′+ --------------------,= = = A0 R′ R -----–= H jω( ) R′ R -----– 1 jωτ′ ---------- 1 jωτ --------– ,= = ωτ′ Ͼ1Ͼ f fc′ ---- 10Ͼ f 100 Hz= f′c 10 2πR′C⇒Ͻ 1 10 ------.Ͼ R′ 16 kΩϾ . Us Us H ω 0=( )E R′ R -----E.–= = Us 1,6 mV– .= En régime permanent, une tension d’entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie correspondante s’écrit : Ue Us Us H ω 0=( )Ue.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 123 1 Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A de la figure. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point B. 5 – Quadripôle déphaseur On considère le quadripôle ci-contre. Données : 1 Exprimer la fonction de transfert. Le quadripôle est-il stable ? 2 Exprimer le gain et la phase du qua- dripôle. Quelle est la nature de ce quadripôle ? 3 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée. On posera 4 À la date on applique en entrée un échelon de tension de valeur Déterminer la tension de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. • On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Mill- mann) à l’entrée inverseuse – et à l’entrée non inverseuse + d’un AO car les courants d’entrée sont nuls. • Il ne faut pas l’appliquer à la sortie d’un AO car le courant de sortie est en général non nul. • En régime permanent, une tension d’entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie correspondante s’écrit : Ue Us Us H ω 0=( )Ue.= en conclusion ue + − R C us R ′ R ′ C 0,22 µF,= R 47 kΩ.= τ RC.= t 0= E 1,0 V.= us t( ) résolution méthodique ue + − R C us R ′ E S A B i+ 0= ε 0= i– 0= R ′ uA 1 R′ ----- 1 R′ -----+     uE R′ ----- uS R′ -----+ 2u–⇒ ue us.+= = ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 124 avec • Autre méthode : utiliser la propriété du diviseur de tension réalisé par la branche RC (ils sont en série) : avec Les tensions d’entrée de l’AO sont égales ( donc : Les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert (1 et 1) étant du même signe, le quadripôle est stable. La fonction de transfert est la même que celle du quadripôle de l’exercice 3. Mais la pré- sence de l’AO rend son expression indépendante d’une charge que l’on placerait en sortie ; au contraire la fonction de transfert de l’exercice 3 serait modifiée, le courant de sortie n’étant alors pas nul. 2 et avec d’où : Le quadripôle n’est pas un filtre, c’est un passe-tout déphaseur (voir exercice 3 précédent). 3 En remplaçant l’expression par on obtient : et uB 1 R --- jCω+     uE R ----- jCω uM+= u+ 1 R --- jCω+     ue R ----- jCω 0+=⇒ u+ 1 jx+( )⇒ ue= x RCω.= u+ ue ------- 1 jCω ---------- R 1 jCω ----------+ -------------------- 1 1 jx+ --------------= = x RCω.= u– u+)= 2u– ue us+ 2u+ 2 ue 1 jx+ --------------= = = H jx( ) 1 jx– 1 jx+ --------------= Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : – la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) ; – la propriété d’un diviseur de tension ; – l’égalité des tensions d’entrée de l’AO (tension différentielle d’entrée nulle). H jx( ) 1 x2+ e jα– 1 x2+ ejα ------------------------------ e 2jα– H jx( )⇒ 1= = = ϕ x( ) 2α–= αtan x,= G 20log H jx( ) 0= = ϕ x( ) 2– arctan x( )= H jω( ) us ue ----- 1 jωτ– 1 jωτ+ ------------------ us 1 jωτ+( )⇒ 1 jωτ–( )ue us jωτ us+ ue jωτ ue.–=⇒= = = jω d dt ----- us τ dus dt --------+ ue τ due dt --------–= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
7 – Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 125 4 L’équation différentielle s’écrit : Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. Appliquons la méthode résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre donnée dans « Retenir l’essentiel » du chapitre 4. • Solution générale de l’équation différentielle : avec A constante. • Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur. La relation est vala- ble à chaque instant, en particulier à la date d’où : • Solution complète de l’équation différentielle complète : A. N. : L’équation différentielle d’un système du premier ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme j ω par l’opérateur d dt -----. us τ dus dt --------+ E τ dE dt -------– us τ dus dt --------+⇒ E.= = us Ae t τ --– E,+= 2u+ ue us+= t 0,= 0 E us 0( )+ us 0( )⇒ A E+ E– A⇒ 2E.–= = = = us 2E– 1 e t τ --– –     .= τ RC 10 ms,= = us t( ) 2,0– 1 e 1,0.102t––( ) (V).= • Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : – la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) – la propriété d’un diviseur de tension – l’égalité des tensions d’entrée de l’AO (tension différentielle d’entrée nulle). • L’équation différentielle d’un système du premier ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateurjω d dt -----. en conclusion ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 126 Filtres du deuxième ordre 1 Filtre passe-bas du deuxième ordre 1.1. Fonction de transfert Le terme en d’ordre 2, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de deuxième ordre donné au filtre. Remarque : Nous laissons le terme sans le remplacer par pour conserver à la fonction de transfert une forme analogue à celle utilisée en Sciences de l’Ingénieur : avec La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du deuxième ordre est : • est la pulsation caractéristique du filtre et la fréquence caractéristique. • Q est le facteur de qualité, est l’amortissement avec • est une constante réelle. La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du deuxième ordre est : avec H jω( ) A0 1 1 j 1 Q --- ω ω0 ------ j ω ω0 ------     2 + + --------------------------------------------- A0 1 1 j2σ f f0 ---- j f f0 ----     2 + + ----------------------------------------------.= = ω0 f0 σ σ 1 2Q -------.= A0 ω2 ω0 2 ------, H jx( ) A0 1 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- A0 1 1 j2σx jx( )2+ + ----------------------------------------- ,= = x ω ω0 ------ f f0 ----.= = jx( )2 x2,– H p( ) A0 1 2στp τ2p2+ + ----------------------------------------= τp jx.= PCSI PTSI Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 127 1.2. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence caractéristique Nous travaillerons dans la suite avec la valeur puisque les courbes de réponses en gain se déduisent de celle de la fonction de transfert dans laquelle par simple translation le long de l’axe des gains et que les courbes de réponse en phase sont identiques. 1.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et 1.2.2. Expression à la fréquence caractéristique et La courbe du gain en fonction de passe par le point Si alors ; si alors La courbe de la phase en fonction de passe par le point 1.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence et On en déduit l’équation de l’asymptote haute fréquence du gain : Quelle valeur de choisir ? Étudions C’est une fonction décroissante pour donc la phase décroît de la valeur à L’équation de l’asymptote haute fréquence du gain s’écrit : 1.3. Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 1a) est constituée des deux demi-droites d’équations et qui se coupent au point de coor- données Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en , soit ici 1 (degré nul). Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus haut degré en soit ici A0 1= A0 1≠ 20log A0( ) x Ͻ 1 H jx( )⇒ 1 1 ---≈ H e jϕ H 1 GBF⇒ 20log 1( ) 0= = = ϕBF 0=   ⇒=Ͻ x GBF 0= ϕBF 0.= x 1=( ) x 1 H j( )⇒ 1 1 j 1 Q --- 1–+ ------------------------ jQ– Qe j– π 2 --- H 1( )⇒ Q G x 1=( )⇒ 20log Q( )= = = = = = ϕ x 1=( ) π 2 ---.–= log x( ) 0 ; log Q( )( ). Q 1,Ͻ G 1( ) 0Ͻ Q 1,Ͼ G 1( ) 0.Ͼ log x( ) 0 ; π 2 ---–     . x Ͼ 1 H jx( )⇒ 1 jx( )2 ------------≈ 1 x2 -----– 1 x2 -----e jπ± H⇒= = 1 x2 -----≈Ͼ GBF⇒ 40– log x( )= ϕBF π.±= Rappel 1 j2 --- 1– e jπ± .= = x, jx( )2. GHF 40– log x( ).= ϕHF ϕtan 1 Q ---– x 1 x2– --------------.= x 1,Ͼ π 2 ---– π.– ϕHF π.–= GHF 0= GBF 40– log x( )= 0 ; 0( ). ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 128 Pente de l’asymptote basse fréquence En posant il vient : dB/décade. Le gain diminue de 40 dB quand la fréquence est multipliée par 10 ( augmente d’une unité) ; la pente de l’asymptote basse fréquence est égale à – 40 dB par décade. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 1b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. 1.4. Diagramme de Bode Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence caracté- ristique ne suffisent pas pour donner l’allure du diagramme de Bode complet. Il faut ana- lyser la courbe selon les valeurs de (ou de Si il existe un maximum du gain de coordonnées : On dit qu’il y a résonance pour la fréquence correspondante. Le diagramme de Bode peut-être tracé à l’aide d’un logiciel de calcul formel (en couleur sur la figure 1). a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour courbes en traits pointillés pour X log x( ),= GHF 40X–= dGHF dX -------------⇒ 40–= X ϕBF 0= ϕHF π–= log x( ) 0,= Q σ). Q 1 2 -------,Ͼ log 1 1 2Q2 ---------–     ; 20log Q 1 1 4Q2 ---------– -----------------------                     . Remarque Pour tracer l’asymp- tote basse fréquence du gain, il suffit de remarquer qu’elle passe par les points et 0 ; 0( ) +1 ; 40 dB–( ). Fig. 1 –2 –1,5 –1 –0,5 0 –10 –20 –30 – 40 0,5 1 –2 –1 – 0,5 0 –1 –1,5 – 2 – 2,5 1 2 –3 a) b) log(x) ϕ(x) (rad)G(x) (dB) log(x) Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas du deuxième ordre – π Q 2,= Q 0,25.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 129 2 Filtre passe-bande du deuxième ordre 2.1. Fonction de transfert 2.2. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur Filtre passe-bas du deuxième ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point • La pente de l’asymptote haute fréquence du gain est égale à –40 dB par décade. • Si il existe une résonance de pulsation réduite • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de 0 à • Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxième ordre est : • est la pulsation propre (ou pulsation de résonance) du filtre et la fréquence propre (ou fréquence de résonance). • est le facteur de qualité, est l’amortissement, avec • est une constante réelle. La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxième ordre est : avec • Autre forme : H jx( ) 1 1 j x Q --- jx( )2+ + ----------------------------------.= GHF 0= GBF 40– log x( )= 0 ; 0( ). Q 1 2 -------,Ͼ xr 1.Ͻ ϕBF 0= ϕHF π,–= log x( ) 0,= π.– 0 ; π 2 ---–     log x( ). H jω( ) A0 j 1 Q --- ω ω0 ------ 1 j 1 Q --- ω ω0 ------ j ω ω0 ------     2 + + ---------------------------------------------- A0 j2σ f f0 ---- 1 j2σ f f0 ---- j f f0 ----     2 + + ----------------------------------------------.= = ω0 f0 Q σ σ 1 2Q -------.= A0 H jx( ) A0 j x Q --- 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- A0 2jσx 1 2jσx jx( )2+ + -----------------------------------------,= = x ω ω0 ------ f f0 ----.= = H jx( ) A0 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------- A0 1 1 j 2σ ------- x 1 x ---–    + ----------------------------------.= = A0 1.= H jx( )[ ] passe bande j x Q --- 1 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- e j π 2 --- x Q --- H jx( )[ ]passe bas ϕ x( )[ ] passe bande π 2 --- ϕ x( )[ ]passe bas +=⇒= = ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 130 La courbe de réponse en phase du filtre passe-bande se déduit de celle du filtre passe-bas du deuxième ordre par translation positive de le long de l’axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 2b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. 2.3. Courbe de réponse en gain 2.3.1. Comportement asymptotique à basse fréquence Équation de l’asymptote basse fréquence : 2.3.2.Gain à la fréquence propre La courbe du gain en fonction de passe par le point 2.3.3.Comportement asymptotique à haute fréquence Équation de l'asymptote haute fréquence : La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 2a) est constituée des deux demi-droites d’équations et qui se coupent au point 2.4. Diagramme de Bode a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour ; courbes en traits pointillés pour π 2 --- ϕBF π 2 ---= ϕHF π 2 ---–= log x( ) 0,= x Ͻ 1 H jx( )⇒ j x Q --- H⇒ x Q ---≈ ≈ GBF⇒ 20log x( ) 20– log Q( ).=Ͻ GBF 20log x( ) 20– log Q( ).= x 1 H j( )⇒ 1 H⇒ 1 G x 1=( )⇒ 0.= = = = log x( ) 0 ; 0( ). x Ͼ 1 H jx( )⇒ j Qx -------– H⇒ 1 Qx -------≈ ≈ GHF⇒ 20– log x( ) 20– log Q( ).=Ͼ GHF 20– log x( ) 20– log Q( ).= GBF 20log x( ) 20– log Q( )= GHF 20– log x( ) 20– log Q( )= 0 20– log Q( ),( ). Fig. 2 –2 –1 0 –20 –30 –40 1 0,5 –0,5 –1 –2–3 –1 0 21 2 – 50 3 10 –10 1 a) b) ϕ(x) (rad)G(x) (dB) log(x) log(x) Diagramme de Bode d’un filtre passe-bande du deuxième ordre π 2 --- π 2 ---– Q 0,2= Q 5.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 131 2.5. Bande passante à –3 dB Démonstration : Résolution de l’équation avec Il faut résoudre l’équation ; on a et et Finalement Filtre passe-bande du deuxième ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équations : et reliées au point • La pente de l’asymptote basse fréquence est égale à 20 dB par décade. • La pente de l’asymptote haute fréquence est égale à –20 dB par décade. • Il existe une résonance de pulsation réduite (égale à la pulsation propre réduite). Le module de la fonction de transfert est alors maximal, égal à 1. • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de à • Le point est centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de Bande passante d’un filtre passe-bande de fréquence propre et de facteur de qualité Q : ( (figure 3). H jx( ) j x Q --- 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------.= = GBF 20log x( ) 20– log Q( )= GHF 20– log x( ) 20– log Q( ),= 0 ; 20– logQ( ). x 1= ϕBF π 2 ---= ϕHF π 2 ---,–= log x( ) 0,= π 2 --- π 2 ---.– 0 ; 0( ) ϕ x( ) log x( ). ∆f f0 ∆f f0 Q ----= ∆x 1 Q --- )= et Fig. 3 Bande passante 0 – 5 –15 –0,5–1 10,5 G x( ) dB( ) –10 – 20 x( )log Q 1 3 ---= ∆x 3,3 0,30– 3,0.= = H H max 2 ----------------.= H 1 1 Q2 x 1 x ---– 2 + ------------------------------------ H max 2 ---------------- 1 2 -------= = = Q2 x 1 x ---– 2 ⇒ 1= Q x 1 x ---–⇒ ε,= ε 1.±= x2 ε Q ---x 1–– 0= ∆ 1 Q2 ------ 4+= x 1 2 --- ε Q --- ∆±= x1 1 2 --- 1 Q ---– ∆+=⇒ x2 1 2 --- + 1 Q --- ∆+ .= ∆x x2 x1– 1 Q ---.= = ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 132 3 Filtre passe-haut du deuxième ordre 3.1. Fonction de transfert et forme réduite 3.2. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe- bande du deuxième ordre par translation positive de le long de l’axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du seg- ment vertical qui les relie. La fonction de transfert d’un filtre passe-haut du deuxième ordre est : • est la pulsation caractéristique du filtre et la fréquence caractéristique. • est le facteur de qualité, est l’amortissement, avec • est une constante réelle. La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du deuxième ordre est : avec H jω( ) A0 j ω ω0 ------     2 1 j 1 Q --- ω ω0 ------ j ω ω0 ------     2 + + --------------------------------------------- A0 j f f0 ----     2 1 j2σ f f0 ---- j f f0 ----     2 + + ----------------------------------------------.= = ω0 f0 Q σ σ 1 2Q -------.= A0 H jx( ) A0 jx( )2 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- A0 jx( )2 1 j2σx jx( )2+ + -----------------------------------------,= = x ω ω0 ------ f f0 ----.= = A0 1.= H jx( )[ ]passe haut jQx j x Q --- 1 j x Q --- jx( )2+ + ----------------------------------= e j π 2 --- Qx H jx( )[ ] passe bande ϕ x( )[ ]passe haut ⇒ π 2 --- ϕ x( )[ ] passe bande += = π 2 --- ϕBF π= ϕHF 0,= log x( ) 0,= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 133 3.3. Courbe de réponse en gain 3.3.1. Comportement asymptotique à basse fréquence On en déduit l’équation de l’asymptote basse fréquence du gain : 3.3.2.Expression à la fréquence caractéristique La courbe du gain en fonction de passe par le point Si alors ; si alors 3.3.3.Comportement asymptotique à haute fréquence On en déduit l’équation de l'asymptote haute fréquence du gain : La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d’équations : et reliées au point Pente de l’asymptote basse fréquence En posant il vient : dB/décade ; la pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 dB par décade. 3.4. Diagramme de Bode a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour courbes en traits pointillés pour x Ͻ 1 H jx( )⇒ jx( )2 H x( )⇒ x2≈ ≈ GBF⇒ 40log x( ).=Ͻ GBF 40log x( ).= x 1=( ) x 1 H j( )⇒ jQ H⇒ Q= = = G x 1=( )⇒ 20logQ.= log x( ) 0 ; logQ( ). Q 1,Ͻ G 1( ) 0Ͻ Q 1,Ͼ G 1( ) 0.Ͼ x Ͼ 1Ͼ H jx( )⇒ 1 H⇒ 1≈ ≈ GHF⇒ 0.= GHF 0.= GBF 40log x( )= GHF 0,= 0 ; 0( ). X log x( ),= GBF 40X= dGBF dX ------------⇒ 40= Fig. 4 –10 –30 –0,5–1 10,5 –20 –40 1,5 0 π 2 1,5 1 0,5 0 1 2 2,5 a) b) –1– 2 ϕ(x) (rad)G(x) (dB) log(x) log(x) Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut du deuxième ordre Q 2,= Q 0,25.= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 134 4 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre L’étude des filtres du deuxième ordre permet de compléter le point méthode donné au chapitre précédent. 5 Équation différentielle d’un système du deuxième ordre – Stabilité 5.1. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert La forme générale de la fonction de transfert d’un filtre du deuxième ordre s’écrit : ; Filtre passe-haut du deuxième ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point (0 ; 0). • La pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 dB par décade. • Si il existe une résonance de pulsation réduite • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et , d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de à 0. • Le point est centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de Point méthode. Comportements asymptotiques d’un filtre • Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. • Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. • En déduire si le filtre est passe-bas, passe-haut ou passe-bande : – c’est un filtre passe-bas si la tension de sortie s’annule seulement à haute fréquence ; – c’est un filtre passe-haut si la tension de sortie s’annule seulement à basse fréquence ; – c’est un filtre passe-bande si la tension de sortie s’annule à basse et à haute fréquences. H jx( ) jx( )2 1 j x Q --- jx( )2+ + ----------------------------------.= GBF 40log x( )= GHF 0= Q 1 2 -------,Ͼ xr 1.Ͼ ϕBF π= ϕHF 0= log x( ) 0,= π π 2 --- ; 0     ϕ x( ) log x( ). Remarque La tension de sortie de certains quadripô- les ne s’annule ni à basse ni à haute fré- quences, par exem- ples celle d’un passe- tout déphaseur (voir chapitre précédent) et celle d’un filtre coupe-bande (voir exercice 1 p. 137). PCSI H jω( ) N jω( ) D jω( ) ----------------- N0 jωN1 jω( )2N2+ + D0 jωD1 jω( )2D2+ + --------------------------------------------------------= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 135 d’où l’équation différentielle : 5.2. Stabilité du système 5.2.1. Stabilité du système en régime libre Le système est stable en régime libre si la solution de la solution de l’équation diffé- rentielle converge vers zéro quand t tend vers l’infini. Nous l’écrirons sous la forme pour l’étude suivante. • Équation caractéristique de l’équation différentielle : • Soient et les solutions, avec et • Discriminant de l’équation caractéristique : a. Cas où le discriminant est positif La solution et constantes) de l’équation différentielle converge vers zéro si et sont négatives, ce qui impose et Les deux inégalités sont satisfaites si et sont du même signe. b. Cas où le discriminant est négatif Dans ce cas ; a et c sont du même signe. Les solutions de l’équation caractéristique s’écrivent : et avec La solution avec A et B constantes réelles, converge vers zéro si donc si b et a sont du même signe. Au total, a, b et c doivent être du même signe. c. Cas où le discriminant est nul Dans ce cas (relation 1). La solution de l’équation caractéristique est double : La solution avec et constantes réelles, converge vers zéro si (relation 2). Les relations 1 et 2 imposent que , et soient du même signe. Dans les trois cas, la solution converge vers zéro si a, b et c sont du même signe. Un système du second ordre est stable en régime libre si les coefficients et (resp. et du dénominateur de la fonction de transfert : (resp. ) sont du même signe. D2 d2us dt2 ---------- D1 dus dt -------- D0us+ + N2 d2ue dt2 ----------- N1 due dt -------- N0ue.+ += usL D2 d2usL dt2 ------------- D1 dusL dt ---------- D0usL+ + 0= a d2usL dt2 ------------- b dusL dt ---------- cusL+ + 0= ar2 br c+ + 0.= r1 r2 r1 r2+ b a --–= r1r2 c a --.= ∆ b2 4ac.–= usL A1er1t A2er2t += (A1 A2 r1 r2 b a -- r1– r2– 0Ͼ= r1r2 c a -- 0.Ͼ= a, b c ∆ b2 4ac– 0 4ac⇒Ͻ b2 0Ͼ Ͼ= r1 b– ∆–– 2a ------------------------ b 2a ------– jΩ–= = r1 b– ∆–+ 2a ------------------------ b 2a ------– jΩ,+= = Ω ∆– 2a -----------.= usL e b 2a ------t– A Ωt( )cos B Ωt( )sin+[ ],= b a -- 0Ͼ ∆ b2 4ac– 0 4 a b --⇒ b c --= = = r1 r2 b 2a ------.–= = usL e b 2a ------t– A′t B′)+[ ],= A′ B′ b a -- 0Ͼ a b c usL D0, D1 D2 D ′0, D ′1 D ′2) H jω( ) N0 jωN1 jω( )2N2+ + D0 jωD1 jω( )2D2+ + --------------------------------------------------------= H jx( ) N′0 N′1 jx N′2 jx( )2+ + D ′0 D′1 jx D′2 jx( )2+ + ----------------------------------------------------= ©Nathan,classeprépa
retenir l’essentiel 136 5.2.2.Réponse du système en régime forcé sinusoïdal L’étude menée au chapitre VII pour un système du premier ordre est indépendante de l’ordre. Son résultat est applicable à un système du deuxième ordre : un système du second ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné, quelle que soit la fréquence. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 8 – Filtres du deuxième ordre 137 1 Pulsation propre du circuit (voir chapitre 4) : A.N. : Fréquence propre du circuit : A.N. : Facteur de qualité Q : A.N. : 1 – Filtre coupe-bande On considère le quadripôle ci-contre qui comprend un résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et une bobine réelle d’inductance L et de résistance r. Données : ; H; ; On pose : 1 Calculer la pulsation propre du circuit la fréquence propre et le facteur de qualité Q. 2 Déterminer les comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences. Peut-on en déduire la nature du quadripôle ? 3 Quelle est la valeur de l’impédance du dipôle LC à la fréquence propre ? En déduire le quadripôle équivalent au filtre à cette fréquence. 4 Calculer le gain du filtre à la fréquence propre. 5 Soit x la pulsation réduite avec Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite 6 Exprimer le gain en décibels. 7 Tracer l’allure de la courbe de la réponse en fonction de R ue C is = 0 us r L C 10 µF= L 0,10= r 100 Ω= R 100 Ω.= R ′ R r.+= ω0 R′LC, f0 x ω ω0 ------.= H jx( ). G x( ) G x( ) log x( ). résolution méthodique R′LC ω0 1 LC -----------= ω0 1,0 103 rad s 1–· .·= R′LC f0 ω0 2π ------= f0 0,16 kHz.= Q Lω0 R ′ ---------- 1 R ′ ------ L C ---= = Q 0,50.= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 138 2 • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la bobine est équivalente à un interrupteur fermé (figure a) ; il n’y a pas de courant dans le résistor, donc • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert (figure b), donc Ce quadripôle n’est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-bande, ni un filtre passe-haut. 3 Le circuit se réduit à l’association en série des deux résistors (figure ci-contre). 4 Le circuit réalise un diviseur de tension qui per- met d’exprimer simplement la fonction de transfert, puis le gain : A.N. : Le gain est négatif dans un domaine de fréquences autour de la fréquence propre, nul à basse et à haute fréquences ; on dit que le quadripôle est un filtre coupe-bande. Le facteur de qualité est celui du circuit R ′LC. La pulsation et la fréquence propres sont indépendantes de la valeur de la résistance ; seul le facteur de qualité en dépend. R ue r L us = ue is = 0 a. Basse fréquence b. Haute fréquence R ue r C us = ue is = 0 us ue.= us ue.= R ue r is = 0 us Z jLω0 1 jCω0 ------------+ 1 LCω0 2 – jCω0 ----------------------- 0.= = = H r R r+ ------------ 1 2 ---= = G⇒ 20log H( )= G 6,0 dB.–= L’analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d’un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d’un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur (voir chapitre 7). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 139 5 Le courant de sortie est nul (filtre « en sortie ouverte ») ; le résistor, le condensateur et la bobine sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension qui permet d’exprimer la fonction de transfert : Finalement : 6 ; 7 Les quelques valeurs du gain du tableau suivant permettent de tracer l’allure de la courbe de la réponse en fonction de On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel comme sur la figure ci-contre. Remarque : Les valeurs montrent que la courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical. x 0,1 0,5 1 1,5 2 10 log(x) – 1 – 0,30 0 0,17 0,30 1 G (x) (en dB) –0,13 – 2,8 – 6,0 – 4,4 – 2,8 – 0,13 H jω( ) r jLω 1 jCω ----------+ + R r jLω 1 jCω ----------+ + + --------------------------------------------- jrCω j2LCω2 1+ + j R r+( )Cω j2LCω2 1+ + -------------------------------------------------------------- 1 j r r R+ ------------ x Q --- jx( )2+ + 1 j x Q --- jx( )2+ + ------------------------------------------------.= = = H jx( ) 1 jx jx( )2+ + 1 2jx jx( )2+ + -------------------------------------= L’expression de la fonction de transfert doit permettre de retrouver rapidement des résultats déjà établis, à savoir sa valeur à basse et à haute fréquences, et à la fréquence caractéristique. ; ;HBF H x 0=( ) 1 1 -- 1= = = HHF H x ∞→( ) jx( )2 jx( )2 ----------- 1= = = H x 1=( ) 1 j r r R+ ----------- 1 Q --- 1–+ 1 j 1 Q --- 1–+ ----------------------------------- r R r+ -----------.= = H jx( ) 1 jx jx( )2+ + 1 2jx jx( )2+ + ------------------------------------- 1 x2– jx+ 1 x2– 2jx+ ----------------------------- H jx( )⇒ 1 x2–( )2 x2+ 1 x2–( )2 4x2+ -------------------------------------= = = G x( ) 20log H jx( ) ⇒= G x( ) 10log 1 x2–( )2 x2+ 1 x2–( )2 4x2+ -------------------------------------= G (x ) 1,5 r 0 log (x) 10,5– 0,5– 1– 1,5 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 (dB) G x( ) log x( ). ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 140 1 À basse fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs ouverts (figure a) ; il n’y a aucun courant dans le résistor prés de la sortie donc À haute fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs fermés (figure b), donc Le filtre est un filtre passe-bande. 2 – Filtre passe-bande de Wien On considère le filtre de la figure ci-contre. Données : et kΩ. 1 Déterminer les comportements asymptoti- ques à basse et à haute fréquences. En déduire la nature du filtre. 2 Soit x la pulsation réduite définie par la rela- tion Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite 3 Calculer la valeur du facteur de qualité Q. 4 Montrer que la fonction de transfert se met sous la forme : En déduire le gain maximal 5 Calculer la fréquence caractéristique du filtre. 6 Déterminer la pulsation réduite de la borne inférieure et la pulsation réduite de la borne supérieure de la bande passante. En déduire les fréquences de correspondantes, puis la bande passante Vérifier sa valeur à partir de son expression en fonction de Q. 7 Exprimer la phase de la fonction de transfert. Déterminer les phases et 8 Tracer le diagramme de Bode. 9 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée. On introduira la constante de temps L’analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d’un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d’un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur. en conclusion R ue R C us is = 0 C 0,10 µF= R 1,0= RCω x.= H jx( ). H jx( ) 1 3 j x 1 x ---–    + -----------------------------.= Gmax. f0 x1 x2 f1 f2 ∆f. ϕ x( ) ϕ x1( ) ϕ x2( ). us t( ) ue t( ) τ RC.= résolution méthodique us 0.= us 0.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 141 2 Le condensateur et le résistor près de l’entrée sont en série ; soit l’impédance de leur association (figure ci-contre). Le condensateur et le résistor près de la sortie sont en parallèle ; soit l’admittance et l’impédance de leur association. Le courant de sortie est nul. Le dipôle et le dipôle sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit réa- lise un diviseur de tension qui permet d’exprimer facilement la fonction de transfert : Finalement : • Autre méthode : utilisation de la loi des noeuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) (figure ci-dessous). R ue R us = 0 a. Basse fréquence b. Haute fréquence Basse fréquence is = 0 R ue R Haute fréquence is = 0 us = 0 us is = 0 ue Z 1 Z 1 Z1 R 1 jCω ----------+= Y2 1 R --- jCω+= Z2 1 Y2 -------= Z1 Z2 Z1 Z2,( ) H jω( ) us ue ----- Z2 Z2+ Z1 ------------------ 1 1+ Z1 Y2 ---------------------- 1 1+ R 1 jCω ----------+     1 R --- jCω+     ------------------------------------------------------------= = = = H jω( ) 1 1 1 jRCω 1 1 jRCω --------------+ + + + --------------------------------------------------------------- 1 3 jx 1 jx ----+ + -------------------------= = H jx( ) 1 3 j x 1 x ---–    + -----------------------------= Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. R ue R usC is = 0 M E S C ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 142 Le point M est à la masse donc Il vient : Finalement : 3 Par identification avec la relation donnée au § 2.1 du cours, il vient : On remarque que 4 Le gain est maximal quand le module de la fonction de transfert est maximal soit pour 5 La pulsation caractéristique du filtre est telle que d’où : 6 Appliquons la méthode de détermination de la bande passante donnée au chapitre 7. • Valeur maximale du module de la fonction de transfert : et us 1 R --- jCω 1 R 1 jCω ----------+ --------------------+ + 1 R --- uM jCω uM 1 R 1 jCω ----------+ --------------------ue.+ += uM 0.= us 1 R --- jCω 1 R 1 jCω ----------+ --------------------+ + 1 R 1 jCω ----------+ --------------------ue= us 1 jx+ R -------------- jCω jx+1 ------------+ jCω jx+1 ------------ue us R ---- 1 jx jx jx+1 ------------+ +⇒ jx jx+1 ------------ ue R -----= = us 1 jx+( )2 jx+[ ]⇒ jxue.= H 1 3 j x 1 x ---–    + -----------------------------= La méthode du diviseur de tension est plus simple et plus rapide ; elle doit être préférée. Q 1 3 ---= A0 1 3 ---.= H 1 9 x 1 x ---– 2 + -----------------------------= x 1.= H max 1 3 ---= Gmax G x 1=( ) 20log 1 3 ---     9,5 dB–= = = ω0 x 1,= RCω0 RC 2πf0 1 ⇒= = f0 1 2πRC --------------- 0,16 kHz= = H max 1 3 ---.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 143 • Résolution de l’équation : avec et ; On en déduit : La bande passante d’un filtre passe-bande est donnée par la relation soit : Ce résultat est bien en accord avec celui trouvé à partir de la définition. 7 d’où 8 Construction du diagramme de Bode. a. Comportement asymptotique à basse fréquence et On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et • Expression à la fréquence caractéristique (x = 1) dB et La courbe du gain en fonction de passe par le point dB). La courbe de la phase en fonction de passe par le point • Comportement asymptotique à haute fréquence et H H max 2 ------------------= H 1 9 x 1 x ---– 2 + ----------------------------- H max 2 ------------------ 1 3 2 ---------- x 1 x ---– 2 ⇒ 9 x2 3εx 1––⇒ 0= = = = = ε ± 1= ∆ 9 4+ 13 x⇒ 3ε 13± 2 --------------------- x1⇒ 3– 13+ 2 ------------------------ 0,30= = = = = x2 3 13+ 2 ------------------- 3,3= = ∆x 3,0.= f1 f0x1 48 Hz ; f2 f0x2 0,52 kHz ; ∆f f0∆x 0,48 kHz= == == = ∆f f0 Q -----,= ∆f 0,48 kHz= H jx( ) 1 3 j x 1 x ---–    + ----------------------------- ϕtan⇒ 1 3 --- x 1 x ---–     ,–= = ϕ x( ) arctan– 1 3 --- x 1 x ---–    = ϕ x1 0,30=( )tan 1 ϕ1⇒ π 4 --- rad= = ϕ x2 3,3=( )tan 1– ϕ2⇒ π 4 --- rad–= = Ͻ 1oins Que? H jx( )⇒ jx≈ xe +j π 2 --- H x( )⇒= x≈ GBF⇒ 20lo= ϕBF π 2 ---.= GBF 20log x( )= ϕBF π 2 ---= x 1 H j( )⇒ 1 3 --- H 1( )⇒ 1 3 ---= = = G x 1=( )⇒ Gmax 9,52–= = ϕ x 1=( ) 0.= log x( ) (0 ; 9,52– log x( ) 0 ; 0( ). ϾGrand Que? 1 H jx( )⇒ 1 jx ----≈ 1 x ---e j– π 2 --- H x( )⇒= 1 x ---≈ GHF⇒ 20–= ϕHF π 2 ---.–= ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 144 On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et b. La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites qui se coupent au point de coordonnées Les courbes asymptotiques du gain et de la phase en fonction de sont en traits noirs sur les figures ci-dessous. c. Les quelques valeurs du gain et de la phase du tableau suivant permettent de tracer l’allure du diagramme de Bode. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel (figures ci-dessous). Remarque : Les valeurs montrent que les courbes sont symétriques par rapport aux axes verticaux. 9 En remplaçant, d’une part l’expression par et d’autre part l’expression par il vient : x 0,1 x1 = 0,3 1 x1 = 3,3 10 log(x) −1 −0,52 0 0,52 1 G (x) (en dB) −20 −12,5 −9,5 −12,5 −20 j (en rad) 1,3 0,78 0 −0,78 −1,3 GHF 20– log x( )= ϕHF π 2 ---.–= 0 ; 0( ). log x( ) a. Gain b. Phase G (x ) 1 log (x) 0,50– 0,5– 1 – 5 (dB) – 10 – 15 – 20 Q (x ) log (x) 1 (rad) 0 – 1 – 1,5 – 0,5– 1–1,5 0,5 1 1,5 log (x2)log (x1) 3 dB π 4 ---– π 4 --- H jx( ) jx 1 3jx jx( )2+ + ------------------------------------- jωτ 1 3jωτ jωτ( )2+ + ---------------------------------------------= = 1 3jωτ jωτ( )2+ +[ ]us⇒ jωτue= jω d dt ----- jx( )2 d2 dt2 --------, us 3τ dus dt -------- τ2 d2us dt2 ----------+ + τ due dt --------.= L’équation différentielle d’un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateur et chaque terme par l’opérateurjω d dt ----- jω( )2 d2 dt2 -------. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 145 3 – Tension triangulaire à l’entrée d’un filtre passe-bande 1 La courbe ci-contre est celle du gain exprimé en décibels, d’un filtre de pulsation de résonance en fonction de la pulsation réduite Quelle est la nature du filtre ? 2 Tracer les asymptotes. Quel est l’ordre du filtre ? 3 La fonction de transfert réduite peut se mettre sous la forme Déterminer graphiquement la constante et le facteur de qualité Q. On donne 4 On injecte en entrée une tension triangulaire positive de fréquence et d’amplitude 1,0 V d’expression : (en volts). Déterminer la tension de sortie en ne gardant que les termes pertinents. 5 Par un dispositif approprié, on triple la pulsation de résonance du filtre, toutes choses égales par ailleurs. Déterminer la tension de sortie en fonction de la pulsation réduite. • Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. • L’équation différentielle d’un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateur et chaque terme par l’opérateur jω d dt ----- jω( )2 d2 dt2 --------. en conclusion G (x ) 2 log (x) 10– 1– 2 – 10 (dB) – 20 – 30 – 50 – 40 G x( ), ωr, x ω ωr -----.= H jx( ) A0 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------.= A0, log 2( ) 0,30.= ωr ue t( ) 0,5 4 π2 ----- ωrtcos 1 9 --- 3ωrtcos 1 25 ------ 5ωrtcos …+ + ++= us t( ) u′s t( ) ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 146 1 On reconnaît sur la figure ci-contre la courbe du gain d’un filtre passe-bande. 2 On constate que les asymptotes se coupent au point (0 ; – 14 dB). On lit sur la courbe que l’ordonnée du point d’abs- cisse – 1 est égale à – 34 dB ; la pente de l’asymptote basse fréquence est donc égale à 20 dB par décade. On lit aussi sur la courbe que l’ordonnée du point d’abscisse 1 est égale à –34 dB ; la pente de l’asymp- tote haute fréquence est donc égale à – 20 dB par décade. Le filtre est passe-bande du second ordre. 3 On sait (voir § 2.4. du cours) que les asymptotes se coupent au point On en déduit 4 Travaillons en notation complexe. La tension d’entrée s’écrit sous la forme d’une somme de tensions : D’après le théorème de superposition, la tension de sortie s’écrit sous la forme d’une somme de tensions : résolution méthodique G (x ) log (x)1 0 – 1 – 10 (dB) – 20 – 30 – 50 – 40 G x 1=( ) 0 H x 1=( )⇒ A0 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------- x 1= 1= = = A0 1= 0 ; 20– logQ( ). 20– logQ 14– logQ⇒ 0,70 1 0,30– log 10 2 ------     .= = = = Q 5,0= ue 0,5 4 π2 ----- e jωrt 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt 4 π2 ----- 1 25 ------ e j5ωrt …+ + + += us Hx 0= 0,5 Hx 1= 4 π2 ----- e jωrt Hx 3= 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt Hx 5= 4 π2 ----- 1 25 ------ e j5ωrt …+ + + += Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut cal- culer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension de sortie est égale à la somme des tensions de sortie. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
8 – Filtres du deuxième ordre 147 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : • ; • ; • avec ; soit avec ; • avec On voit les amplitudes des tensions composantes de pulsations réduites supérieures à 1 sont inférieures à 1 % de l’amplitude de la tension de pulsation réduite x = 1 ; on peut négliger ces termes. La tension de sortie se réduit à : 5 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : • ; • ; • ; • . us0 Hx 0= 0,5 0= = us1 1 1 j5 1 1 1 ---–    + -------------------------------- 4 π2 -----e jωrt 4 π2 -----e jωrt = = us3 1 1 j5 3 1 3 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 9 ---e j3ωrt 4 π2 ----- 1 9 --- 1 1 40 3 ------j+ -----------------e j3ωrt 4 π2 ----- 1 9 --- 1 1 40 3 ------     2 + -------------------------------ej 3ωrt α3–( ) = = =    Ͼ?Plus Grand Que? 1 α3tan 40 3 ------= us3 4 π2 ----- 1 9 --- 3 40 ------ e j 3ωrt α3–( ) ,≈ us3 4 π2 ----- 1 120 ---------e j 3ωrt α3–( ) = α π 2 ---≈ us5 1 1 j5 5 1 5 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 25 ------e j5ωrt 4 π2 ----- 1 25 ------ 1 1 24j+ -----------------e j5ωrt = = 4 π2 ----- 1 600 ---------e j 5ωrt α5–( ) ≈ α5tan = 24. us t( ) 4 π2 ----- ωrtcos V( )= Le filtre permet de sélectionner en sortie la composante sinusoïdale de la tension d’entrée dont la pulsation est égale sa pulsation de résonance. La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). T est la période. ue(t ) u (V) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 – 0,2 – 0,4 10,80,60,40,2 0 t T ---- us(t ) us′0 Hx 0= 0,5 0= = u′s1 1 1 j5 1 3 --- 3–    + -------------------------------- 4 π2 -----e jωrt 1 1 40 3 ------j– ----------------- 4 π2 -----e jωrt = = 3 40 ------ j 4 π2 -----e jωrt ≈ 3 40 ------ 4 π2 ----- e j ωrt π 2 ---+     =    U1 u′s3 1 1 j5 1 1 1 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt = =    U3 u′s5 1 1 j5 5 2 --- 2 5 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 25 ------ ej5ωrt 4 π2 ----- 1 25 ------ 1 1 21 2 ------j+ ----------------- ej5ωrt = = 4 π2 ----- 1 25 ------ 2 21 ------ e j 5ωrt π 2 ---–     ≈ 4 π2 ----- 2 525 --------- e j 5ωrt π 2 ---–     =    U5 ©Nathan,classeprépa
savoir résoudre les exercices 148 Comparons les amplitudes des tensions de sortie : ; Les amplitudes des composantes de rangs différents de 1 et 3 sont négligeables. La ten- sion de sortie peut s’écrire : La tension de sortie n’est pas sinusoïdale. U1 U3 ------ 27 40 ------ 0,67= = 18 525 --------- 0,034 ?Moins Que= = u′s t( ) 4 π2 ----- 3 40 ------ ωrt π 2 ---+    cos 1 9 --- 3ωrtcos+ V( )= La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). La tension de sortie n’est pas sinusoïdale. ue(t ) u (V) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 10,80,60,40,2 0 t T ---- us′(t ) Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions compo- santes. La tension de sortie est égale à la somme de tensions de sortie. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
Index 149 Index A Adaptation d’impédance 96 Admittance 67 complexe 67 Amortissement 126, 129, 132 Amplificateur opérationnel 101 Amplitude complexe 66 Analyse de Fourier 65 ARQP 53 ARQS 53 Association en série 72 parallèle 73 Association de générateurs en parallèle 28 en série 25 Association de résistors en parallèle 27 en série 24 B Bande passante à –3 dB 102 Bobine 44 Branche 4 C Capacité C d’un condensateur 39 Caractéristique d’un dipôle 7 Circuit LC 61 RC 39 RL 44 RLC 47 Circuit électrique 4 Coefficient d’amortissement 48 Comportements asymptotiques d’un filtre 108 Condensateur 39 Conductance 7, 67 Conducteur ohmique 7 Constante de temps 41, 44 Courant électromoteur 8 D Déphasage 64 Dérivateur 110 Diode 14 Dipôle 4 actif 7 passif 7 Diviseur de courant 28, 74 de tension 25, 72 E Échelon de tension 40 Énergie électrique 40 magnétique 44 F Facteur de puissance 90 de qualité 126, 129, 132 Facteur de qualité 48 Facteur de qualité Q 76, 77 Filtre coupe-bande 137 passe-bande 140, 145 passe-bas du deuxième ordre 126 passe-bas du premier ordre 102 passe-haut du deuxième ordre 132 passe-haut du premier ordre 105 Fonction de transfert 100 Force électromotrice 8 Fréquence caractéristique 132 de résonance 129 propre 129 Fréquence de coupure 102, 105 G Générateur 6, 18 de signaux électriques (GBF ) 64 réel 71 Générateur idéal de courant 71 de tension 71 I Impédance 67 Impédances complexes 66 Inductance 44 propre 44 Intégrateur 110 Intégrateur et pseudo-intégrateur 120 Intensité 5 L La loi d’ohm en représentation complexe 66 Loi d’Ohm 7 de Pouillet 73 des mailles 6, 69 des nœuds 5, 69 des nœuds en termes de poten- tiel 70 Loi de Pouillet 26 Loi des nœuds 30 en termes de potentiels 30, 31 Lois de Kirchhoff 32 M Maille 4 Masse 64, 65 Masse d’un circuit 30 Multimètre numérique 64 ©Nathan,classeprépa
150 N Nœud 4 O Oscilloscope 65 P Passe-tout déphaseur du premier ordre 118 Période propre 48 Point de fonctionnement 9 Potentiel 30 Puissance 18 instantanée 89 moyenne 89, 90 Pulsation caractéristique 132 de résonance 129 propre 129 Pulsation de coupure 102, 105 Pulsation propre 48 Q Quadripôle 99 R Réactance 67 Récepteur 6, 18 Réduction canonique 41, 48 Réduction du circuit 31 Relèvement du facteur de puissance 95 Représentations de Thévenin et de Norton 29 Résistance 7, 67 critique 51 Résistivité 19 Résistor 7 Résonance 128 en intensité 75 en tension 78 Résonance en puissance 93 S Signaux sinusoïdaux 63 Stabilité 109 Susceptance 67 T Tension 6 alternative sinusoïdale 52 en créneaux 52 Théorème de Millman 30, 70 V Valeur efficace 64 moyenne 63 Valeur efficace 90 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa

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Electrocinétique class prépas

  • 1.
    PCSI MPSI PTSI | Classe |prépa | Électrocinétique | Bernard Gendreau Professeur de chaire supérieure en classes préparatoires à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris Christophe Gripon Professeur en classes préparatoires à l’École nationale de Chimie, Physique, Biologie (ENCPB) à Paris Tout le cours ©Nathan,classeprépa
  • 2.
    Sommaire 1 Circuit électriqueen régime stationnaire 1 - Définitions ................................................................................................. 4 2 - Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds ....................................... 5 3 - Tension aux bornes d’un dipôle – Loi des mailles ..................................... 6 4 - Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif ... 6 5 - Conducteur ohmique – Loi d’Ohm .......................................................... 7 6 - Sources d’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif ................. 8 7 - Point de fonctionnement d’un circuit ....................................................... 9 8 - Voltmètre et ampèremètre ...................................................................... 10 savoir résoudre les exercices ............................................................................ 11 2 Puissance en régime stationnaire 1 - Puissance électrocinétique reçue par un dipôle ...................................... 18 2 - Caractéristiques d’un conducteur ohmique ............................................ 19 savoir résoudre les exercices ........................................................................... 20 3 Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 1 - Association en série ................................................................................. 24 2 - Association en parallèle ........................................................................... 27 3 - Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur ...................................................................... 29 4 - Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels ................................ 30 5 - Méthodes d’étude d’un circuit ................................................................ 31 savoir résoudre les exercices ............................................................................ 33 4 Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 1 - Circuit RC série ....................................................................................... 39 2 - Circuit RL série ........................................................................................ 44 3 - Circuit RLC série ...................................................................................... 47 4 - Établissement d’un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique .......................................... 52 5 - Approximation des régimes quasi permanents (ARQP) ........................... 53 savoir résoudre les exercices ........................................................................... 54 5 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 1 - Introduction ............................................................................................ 63 2 - Utilisation des nombres complexes ......................................................... 66 3 - Impédances complexes ............................................................................ 66 4 - Théorèmes généraux ............................................................................... 69 5 - Lois d’association ..................................................................................... 72 6 - Étude d’un circuit RLC, résonances ......................................................... 75 savoir résoudre les exercices ........................................................................... 81 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 3.
    6 Puissance enrégime sinusoïdal forcé 1 - Puissance instantanée et puissance moyenne .......................................... 89 2 - Aspects énergétiques de l’étude du circuit RLC série .............................. 92 savoir résoudre les exercices ............................................................................ 95 7 Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 1 - Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Filtre ............................... 99 2 - Diagramme de Bode d’un filtre ............................................................. 101 3 - Filtre passe-bas du premier ordre .......................................................... 102 4 - Filtre passe-haut du premier ordre ........................................................ 105 5 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ..................................................... 108 6 - Équation différentielle d’un système du premier ordre – Stabilité ........ 109 7 - Caractère intégrateur ou dérivateur d’un filtre ..................................... 110 savoir résoudre les exercices .......................................................................... 112 8 Filtres du deuxième ordre 1 - Filtre passe-bas du deuxième ordre ....................................................... 126 2 - Filtre passe-bande du deuxième ordre ................................................. 129 3 - Filtre passe-haut du deuxième ordre .................................................... 132 4 - Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre ..................................................... 134 5 - Équation différentielle d’un système du deuxième ordre – Stabilité ..... 134 savoir résoudre les exercices .......................................................................... 137 Index ................................................................................................ 149 ©Nathan,classeprépa
  • 4.
    retenir l’essentiel 4 Circuit électrique enrégime stationnaire Un système est en régime stationnaire quand les grandeurs physiques qui le décrivent sont indépendantes du temps. 1 Définitions • Un circuit électrique est un ensemble de conducteurs reliés entre eux par des fils de jonction et dans lequel circule un courant électrique. • Un dipôle est un composant électrique limité par deux bornes. • Un nœud est un point commun à plus de deux dipôles. • Une maille est une partie d’un circuit électrique formant un contour fermé. • Une branche est une suite de dipôles entre deux nœuds consécutifs. Par exemple dans la figure 1 : • B et E sont des nœuds du circuit. • La maille ABEFA est constituée des dipôles D2, D6, D5, et D1. Les contours fermés ABCDEFA et BCDEB sont les deux autres mailles du circuit. • BCDE, EFAB et EB sont les branches du circuit. Fig. 1 A B C DEF D1 D6 D4 D2 D3 D5 Le circuit est constitué des dipôles D1, D2, D3, D4, D5 et D6 reliés par des fils de jonction. I Remarque L’orientation arbi- traire de la branche BCDE est donnée par la flèche. L’inten- sité I est positive si les porteurs de charge positive se déplacent dans le sens choisi arbitrairement. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 5.
    1 – Circuitélectrique en régime stationnaire 5 2 Courant électrique – Intensité – Loi des nœuds 2.1. Courant électrique Le courant électrique est un déplacement de porteurs de charge (électrons, ions) dans un conducteur. Le sens conventionnel du courant est celui du déplacement des porteurs de charge posi- tive. C’est donc aussi le sens opposé au déplacement des porteurs de charge négative. 2.2. Orientation d’une branche – Relation entre charge et intensité • Avant d’étudier un réseau électrique, chaque branche doit être orientée arbitrairement (voir figure 1) en plaçant une flèche sur le trait représentant le fil de jonction surmontée de la lettre I pour l’intensité. L’intensité I du courant qui traverse un conducteur est un débit de charge. C’est une gran- deur algébrique. Elle est mesurée à l’aide d’un ampèremètre. • Soit la charge qui traverse dans le sens positif choisi arbitrairement une section de conducteur pendant une durée élémentaire L’intensité s’écrit : Après calcul, c’est le signe de la valeur de l’intensité I qui donne le sens réel du courant : • signifie que les porteurs positifs se déplacent dans le sens choisi arbitrai- rement ; • signifie que les porteurs positifs se déplacentdanslesensinversedusenschoisi. 2.3. Loi des nœuds En régime stationnaire, il n’y a ni accumulation ni disparition de charge ; il y a conserva- tion de la charge. La loi des nœuds traduit la loi de conservation de la charge. Conséquence : l’intensité est la même en tout point d’une branche car elle ne contient pas de nœud. Loi des nœuds La somme des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des courants qui en partent : • si l’intensité est orientée vers le nœud ; • si l’intensité est orientée à partir du nœud. dq dt. I dq dt ------= I en ampère (A) q en coulomb (C) t en seconde (s) Ici, le sens réel du courant est de B vers A. Fig. 2 A BI = – 3 A I 0Ͼ I 0Ͻ I1 I2 I3– I4–+ 0= I1 I 3 I4 I 2 N εk Ik∑ 0.= εk +1,= εk 1,–= Fig. 3 I = I0 I = I0 Attention L’intensité en amont d’un dipôle est égale à sa valeur en aval ; le courant « ne s’use pas » dans un dipôle. ©Nathan,classeprépa
  • 6.
    retenir l’essentiel 6 3 Tensionaux bornes d’un dipôle – Loi des mailles 3.1. Tension aux bornes d’un dipôle La tension entre deux points d’un dipôle est la grandeur électrique mesurée entre ces deux points par un voltmètre. Elle est représentée par une flèche. C’est une grandeur algébrique et elle s’exprime en volt (symbole V). 3.2. Loi des mailles On choisit arbitrairement un sens de parcours (sens horaire ou anti-horaire). Sur la figure ci-dessus : • maille parcourue dans le sens horaire : ; • maille parcourue dans le sens anti-horaire : 4 Conventions d’orientation pour un dipôle – Dipôle actif, dipôle passif 4.1. Convention récepteur et convention générateur Le circuit étant orienté (sens du courant I défini), on peut choisir arbitrairement pour la tension U : • le même sens que celui de I (flèches dans le même sens) ; c’est la convention générateur ; • ou le sens opposé (flèches de sens opposé) ; c’est la convention récepteur. La somme des tensions aux bornes des dipôles d’une maille est nulle : • si la flèche tension est dans le sens du parcours ; • si la flèche tension est dans le sens opposé à celui du parcours. Fig. 4 U A B Dipôle D1 D2 D3 D4 D5 U2 U1 U3 U4 U5 εkUk 0.= le longd’une maille ∑ εk +1,= Uk εk 1– ,= UkAttention Les résultats obtenus en appliquant la loi des mailles sont indé- pendants du sens de parcours choisi. U1 U2 U3 U4 U5+–+ + 0= U1– U2 U3– U4 U5–+– 0.= Fig. 5 Conseil Il faut systématique- ment représenter sur les schémas électri- ques les sens d’orien- tation des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches ten- sion. • Convention générateur • Convention récepteur Conventions d’orientation d’un dipôle I I U U Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 7.
    1 – Circuitélectrique en régime stationnaire 7 4.2. Dipôle actif, dipôle passif La caractéristique d’un dipôle est la courbe donnant la tension U à ses bornes en fonction de l’intensité I du courant qui le traverse, ou la courbe Un dipôle passif est un dipôle dont la caractéristique passe par l’origine. Un dipôle actif est un dipôle dont la caractéristique ne passe pas par l’origine. 5 Conducteur ohmique – Loi d’Ohm 5.1. Conducteur ohmique Un conducteur ohmique est un dipôle dans lequel le passage d’un courant provoque un effet thermique appelé effet Joule. On lui donne souvent le nom de résistor. 5.2. Loi d’Ohm Un conducteur ohmique est caractérisé par sa résistance et satisfait à la loi d’Ohm. Loi d’Ohm pour un conducteur ohmique en convention récepteur : La caractéristique d’un conducteur ohmique est une droite. C’est un dipôle passif. La conductance G est l’inverse de la résistance ; elle s’exprime en siemens (symbole S). U f I( )= I g U( ).= Fig. 6 U O I U O I a) Caractéristique d’un dipôle actif. b) Caractéristique d’un dipôle passif. U RI= U tension aux bornes d’un conducteur ohmique (V) R résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω) I intensité du courant qui traverse le conducteur (A) R U = RI I Fig. 7 I U O Conseil Orienter de préfé- rence un conducteur ohmique en conven- tion récepteur et ap- pliquer la loi U = RI. Si le conducteur oh- mique est orienté en convention généra- teur, la relation de- vient U = −RI. ©Nathan,classeprépa
  • 8.
    retenir l’essentiel 8 6 Sourcesd’énergie électrique – Modélisation d’un dipôle actif 6.1. Sources idéales d’énergie 6.1.1. Source ou générateur idéal de tension C’est un dipôle actif qui impose une tension constante E, appelée force électromotrice (noté f.é.m.), entre ses bornes. 6.1.2. Source ou générateur idéal de courant C’est un dipôle actif qui impose un courant constant d’intensité , appelé courant élec- tromoteur (noté c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. 6.2. Modélisation linéaire de Thévenin et de Norton d’un dipôle actif Dans de nombreuses applications l’expérience montre qu’on peut modéliser un généra- teur réel par l’association : • d’un générateur idéal de tension et d’un conducteur ohmique en série dont la résistance est appelée résistance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire de Thévenin. • ou d’un générateur idéal de courant et d’un conducteur ohmique en parallèle dont la conductance est appelée conductance interne du générateur ; c’est le modèle linéaire de Norton. Attention Ne pas oublier que la tension E est indé- pendante de l’intensi- té I du courant débité. Attention Ne pas oublier que le courant débité I0 est indépendant de la tension U aux bornes. I0 Fig. 8 E I I U E O U = E quel que soit I b) Générateur idéal de courant en convention générateur a) Générateur idéal de tension en convention générateur I = I0 quel que soit U I0 U U II0 O Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 9.
    1 – Circuitélectrique en régime stationnaire 9 7 Point de fonctionnement d’un circuit Le point de fonctionnement d’un circuit comportant deux dipôles est le point d’intersec- tion des caractéristiques de ces deux dipôles. • Caractéristique Modélisation linéaire de Thévenin d’un dipôle actif (générateur de tension) • Caractéristique Modélisation linéaire de Norton d’un dipôle actif (générateur de courant) Fig. 9 U I+– Conseil Pour la modélisation de Thévenin, la flè- che tension corres- pondant à la f.é.m. doit être orientée du pôle – du générateur vers le pôle +. Pour la modélisation de Norton, la flèche courant correspon- dant au c.é.m. doit être orientée du pôle – du générateur vers le pôle +. • Représentation de Norton• Représentation de Thévenin gUI r r IE I0 g 1 r ′ -----= r ′ U I U E rI–= I I0 gU– , soit I I0 U r ′ -----–= = U I O E I0 Remarque Les deux représenta- tions sont équivalen- tes, ce qui impose : et (voir chapitre 3.) r ′ r= E rI0.= U I0O I Fig. 10 Dipôle 1 en convention générateur Dipôle 2 en convention récepteur U Up I p I (1) P O (2) Up En noir, caractéristique du dipôle (1) En couleur, caractéristique du dipôle (2) Point de fonctionnement d’un circuit I p ©Nathan,classeprépa
  • 10.
    retenir l’essentiel 10 8 Voltmètreet ampèremètre 8.1. Mesure des tensions La tension U aux bornes d’un dipôle D se mesure en plaçant un voltmètre en parallèle. Un voltmètre est idéal si son branchement ne modifie pas la tension aux bornes du dipôle dont il mesure la tension. Un voltmètre idéal n’est traversé par aucun courant ; sa résis- tance est infinie. 8.2. Mesure des intensités L’intensité I qui traverse un dipôle D se mesure en plaçant un ampèremètre en série avec le dipôle. Un ampèremètre est idéal si son introduction ne modifie pas l’intensité du courant qui traverse le dipôle. La tension aux bornes d’un ampèremètre idéal est nulle ; sa résistance est nulle. D U V D A I Attention Les voltmètres et ampèremètres sont toujours considérés comme idéaux dans les exercices, sauf in- dication contraire. On ne doit pas tenir compte de leur pré- sence dans les cal- culs. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 11.
    savoir résoudre lesexercices 1 – Circuit électrique en régime stationnaire 11 1 On lit sur la courbe caractéristique du générateur (page suivante) les coordonnées du point limite de linéarité : Le générateur peut donc être considéré comme linéaire tant que la tension U est supé- rieure à 4,0 V. a. En respectant les pôles du générateur, la modélisation linéaire de Thévenin donne : (1) pour ; on obtient par lecture graphique sur la figure suivante : 1 – Caractéristique d’un générateur non linéaire On considère le générateur ci-contre. En faisant débiter un générateur dans des résistances réglables, on a obtenu la caractéristique ci-dessous. On considère que la caractéristique est linéaire tant que l’intensité du courant est inférieure à 0,10 A. 1 En précisant son domaine de validité en intensité, déduire des mesures les modèles linéaires du générateur : a. modèle linéaire de Thévenin ; calculer la force électromotrice E et la résis- tance interne r ; b. modèle linéaire de Norton ; calculer le courant électromoteur et la résis- tance interne 2 Ce générateur alimente un résistor de résistance R. Déterminer la valeur limite du domaine linéaire. 3 Déterminer graphiquement le point de fonctionnement quand le générateur ali- mente un résistor de résistance I U 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) U (V) Caractéristique du générateur I0 r′. Rlim R ′ 10 Ω.= résolution méthodique 0,10 A ; 4,0 V( ) U E Ur– E rI–= = U E= I 0= E 9,0 V.= ©Nathan,classeprépa
  • 12.
    savoir résoudre lesexercices 12 r est l’opposé de la pente de la droite ; pour la calculer on considère les points (0 ; 0,9 V) et (0,10 A ; 4,0 V). Il vient soit : b. En respectant les pôles du générateur, la modélisation de Norton donne : L’application de la loi des nœuds conduit à donc (2) étant l’opposé de la pente de la droite, sa valeur est celle de r calculée plus haut. Cherchons à retrouver ce résultat d’une autre manière : • pour on en déduit graphiquement que • pour On obtient en prolongeant la droite correspondant à la partie linéaire de la caractéristique la valeur • et U (V) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) Caractéristique du générateur r 9 4– 0,1 ------------,= r 50 Ω= I + − E UrU U I + − r I + − U U I0 I+ − r ′Ir ′ Faire attention aux sens d’orientation des f.é.m. et c.é.m. : les flèches correspondantes doivent être dirigées du pôle négatif du générateur vers le pôle positif. I Ir′ I0+= U r′I–= I U r′ ----– I0+ U⇒ r′I0 r′I–= = r′ U r′I0= I 0,= r′I0 9,0 V.= I I0= U 0.= I0 0,18 A.= r′I0 9,0 V= I0 0,18 A r′⇒ 50 Ω.= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 13.
    1 – Circuitélectrique en régime stationnaire 13 Remarque : En comparant les relations (1) et (2) on constate que et ces relations sont générales et seront utilisées au chapitre 3. 2 Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor (conven- tion récepteur sur le schéma ci-contre) à celle du générateur (figure ci-dessous). La caractéristique du générateur n’est plus linéaire pour et À la limite, Il faut donc que : 3 La résistance étant inférieure à on est en dehors du domaine linéaire ; il faut donc utiliser la méthode graphique de résolution. Ajoutons sur le graphe la caractéristique du résistor à celle du générateur (figure sui- vante). Elle passe par le point (0,20 A ; 2,0 V) et entre deux points de la caractéristique du générateur. Le point de fonctionnement est le point d’intersection du segment qui relie ces deux points avec la caractéristique du résistor. On lit directement ses coordon- nées sur les axes : La détermination graphique est toujours entachée d’erreurs, ici de l’ordre de 10 %. 0,13 A et 1,4 V r r′= r′I0 E,= Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionne- ment, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. U I R Le tracé d’une caractéristique n’a de sens que si les grandeurs correspondantes, U et I, sont défi- nies sur un schéma. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 R 40 ΩϾ R 40 Ω= 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) U (V) I IlimϾ 0,10 A= U UlimϽ 4,0 V.= Rlim Ulim Ilim ---------- 40 Ω.= = R RlimϾ 40 Ω= Rlim, ©Nathan,classeprépa
  • 14.
    savoir résoudre lesexercices 14 2 – Modélisation d’une diode Soit la tension aux bornes d’une diode à jonction et I l’intensité du courant qui la traverse selon les conventions de la figure ci-contre. En unités légales : • si (on dit que la diode est bloquante) ; • si (on dit que la diode est passante). Le domaine d’utilisation de la diode est et 1 Montrer que, selon les valeurs de la tension la diode est équivalente à un interrupteur ouvert ou à un résistor en série avec un générateur idéal de tension. 2 Tracer la caractéristique La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipôles d’un circuit est non linéaire. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Caractéristique du générateur 0,05 0,1 0,15 0,2 I (A) point de fonctionnement U (V) 0,13 • La flèche tension correspondant à la f.é.m. d’un générateur, ou la flèche courant correspondant au c.é.m., doit être orientée du pôle négatif vers le pôle positif du générateur. • Les modélisations linéaires de Thévenin et de Norton des générateurs réels ne sont que des approximations. Selon la précision recherchée dans la détermination des valeurs de fonctionnement, ces approximations sont valables dans un domaine plus ou moins étendu. • La résolution graphique s’impose quand le comportement d’un ou de plusieurs dipô- les d’un circuit est non linéaire. en conclusion UD UD II 0= UD 0,60 VϽ UD 10I 0,60+= I 0Ͼ UD UDminϾ 3,0 V–= I ImaxϽ 0,10 A.= UD, I f UD( ).= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 15.
    1 – Circuitélectrique en régime stationnaire 15 1 Pour l’intensité qui traverse la diode est nulle. La diode est équiva- lente à un interrupteur ouvert. Pour on peut écrire la tension sous la forme Par identification, on a : La diode est équivalente à l’association série d’un généra- teur idéal de tension et d’un résistor (figure ci-contre). 2 • Pour la caractéristique est le segment compris entre les points (– 3,0 V ; 0) et (0,60 V ; 0). • Pour la caractéristique est le segment d’équa- tion de pente compris entre les points (0,60 V ; 0) et (1,6 V ; 0,10 A). Elle est limitée au point : ; 0,10 A). La caractéristique est une courbe continue (figure ci-contre). 3 Un courant traverse le circuit, la diode est donc passante ; la diode est modélisable par l’association série du générateur idéal de tension et du résistor Représentons le circuit équivalent. 3 La diode est insérée dans le circuit ci-contre, qui com- prend un générateur réel, de résistance interne et de f.é.m. E ajustable, et un résistor de résistance Quand on ajuste la f.é.m. à la valeur on constate qu’un courant traverse le circuit. Calculer l’intensité I, la tension et la tension aux bornes du générateur. 4 Calculer la valeur en deçà de laquelle la diode est bloquante. 5 Exprimer la relation simple entre les tensions et quand la diode est blo- quante. 6 Tracer la courbe et UD I UG R r 5,0 Ω= R 15 Ω.= E 10,0 V,= UD UG Emin UD UG UD f UG( ).= résolution méthodique UD 0,60 V,Ͻ r ′ 10 Ω= E ′ 0,60 V= I UD I 0,Ͼ UD UD r′I E ′.+= E ′ 0,60 V= r′ 10 Ω= Il faut faire attention à l’orientation du circuit et aux sens respectifs des flèches représentant la force électromotrice et la tensionE ′ UD. 0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,60 UD max = 1,6 V−1− 2− 3 UG (V) 0,1 I (A) UD I 0,= I 0,Ͼ I UD 10 ------- 0,060,–= 0,10 Ω 1– (UDmax 0,60 10 0,1×+ 1,6 V= = E ′ r′. ©Nathan,classeprépa
  • 16.
    savoir résoudre lesexercices 16 Orientons le circuit (flèche indiquant le sens arbitraire choisi pour I) et choisissons la convention récepteur pour chacun des résistors. En choisissant le sens de parcours indiqué sur la figure ci-dessus pour appliquer la loi des mailles, il vient : D’où 4 Le modèle utilisé est valide tant que la diode est passante ; la valeur de la f.é.m. est celle pour laquelle l’intensité s’annule. D’après la relation il vient immédiatement : En deçà de cette valeur la diode est bloquante. Une application de la relation avec conduirait à une valeur négative de l’intensité, en dehors du domaine de validité du modèle de la diode. et et Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orientation des bran- ches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d’appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. Diode E′ r ′I RI I R E UD UG Générateur r ′ r− r I E RI r′I E ′– rI––– 0 E E ′–⇒ R r r ′+ +( )I= = I⇒ 9,4 30 ------- 0,3133.= = I 0,31 A= UD E ′ r′I+ 0,60 10 9,4 30 -------+ 3,7333.= = = UD 3,7 V= UG E rI– 8,4 V= = Les calculs intermédiaires doivent être conduits sans être arrondis. Ainsi le calcul précédent de la tension doit-il être conduit avec la valeur fractionnaire de I. Emin E E ′– R r r′+ +( )I,= Emin E ′= UGmin Emin 0,60 V= = E E ′– R r r′+ +( )I= E E ′Ͻ La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 17.
    1 – Circuitélectrique en régime stationnaire 17 5 La diode est équivalente à un interrupteur ouvert quand elle est bloquante, ce qui est le cas quand V. Représentons le circuit équivalent (ci-dessous). Les tensions aux bornes des résistors sont nulles ; il vient immédiatement : 6 Calculons les valeurs extrêmes et de la tension E imposée par les condi- tions aux limites de fonctionnement de la diode : • V ; • soit Quand la diode est bloquante Pour ce régime, la courbe est le segment de pente unitaire compris entre les points (−3,0 V ; −3,0 V) et (0,60 V ; 0,60 V) Quand la diode est passante, on peut écrire : et d’où : A.N. : Pour ce régime, la courbe est le segment de pente 0,40 compris entre les points (0,60V ; 0,60 V) et (3,1 V ; 1,6 V). La courbe complète est tracée ci-contre. C’est une courbe continue qui présente une rupture de pente quand la diode passe du régime bloquant au régime passant. UG UGmin 0,60=Ͻ Diode RI = 0 I = 0 R E UD UG Générateur r− r I = 0 UD UG= Emin Emax UGmin UDmin 3,0–= = UGmax E ′ R r′+( )Imax ,+= UGmax 3,1 V.= UD UG.= UD f UG( )= UG RI UD–– 0= UD E ′ r′I,+= UD (V) 1,6 V 1 0,60 V −1−2−3 0,60 V 3,1 V UG (V) −1 −2 −3 UD 1 r′ R ----+     E ′ r′ R ----UG+ UD⇒ RE ′ r′UG+ R r′+ -----------------------------= = UD 9 10UG+ 25 -----------------------.= UD f UG( )= • Il faut systématiquement représenter sur les schémas électriques les sens d’orienta- tion des branches (sens de l’intensité) et les sens choisis pour les flèches tension avant d’appliquer la loi des mailles et la loi des nœuds. • La valeur de l’intensité (ou de la tension) obtenue par l’utilisation d’un modèle de dipôle doit appartenir au domaine des intensités (ou des tensions) dans lequel ce modèle est valide. en conclusion ©Nathan,classeprépa
  • 18.
    retenir l’essentiel 18 Puissance enrégime stationnaire 1 Puissance électrocinétique reçue par un dipôle La puissance électrocinétique reçue par un dipôle en convention récepteur est : • Conséquences La puissance reçue par un dipôle en convention générateur est : La puissance fournie par un dipôle est égale à l’opposée de la puissance reçue. 1.1. Signe de la puissance reçue et caractère d’un dipôle La puissance reçue par un dipôle est une grandeur algébrique. Son signe indique le carac- tère générateur ou récepteur du dipôle. Il est équivalent d’écrire : (i) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il fournit est positive ; (ii) un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative. Un dipôle a un caractère récepteur si la puissance qu’il reçoit est positive. Il trans- forme l’énergie qu’il reçoit en une autre forme d’énergie (thermique, mécanique, lumineuse…) Un dipôle a un caractère générateur si la puissance qu’il reçoit est négative. Il transforme en énergie électrique une autre forme d’énergie. Attention La relation n’est applicable qu’en convention récepteur. ᏼ UI= ᏼ UI= ᏼ puissance du dipôle en watt (W) U tension aux bornes du dipôle (V) I intensité du courant qui traverse le dipôle (A) ᏼ UI.–= Conseil Choisir de préférence la convention généra- teur pour un dipôle de caractère généra- teur et la convention récepteur pour un dipôle de caractère récepteur. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 19.
    2 – Puissanceen régime stationnaire 19 1.2. Bilan de puissance dans un circuit La puissance reçue est l’énergie reçue par unité de temps. Comme l’énergie, la puissance se conserve. On peut aussi écrire : la somme des puissances reçues par les dipôles d’un circuit est nulle. 2 Caractéristiques d’un conducteur ohmique 2.1. Résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante La résistance d’un conducteur ohmique homogène et de section constante (fig. 1) est : La résistivité est une caractéristique du matériau conducteur. Elle dépend de la tempé- rature. 2.2. Effet Joule dans un conducteur ohmique Le passage du courant dans un résistor provoque une dissipation d’énergie thermique dans ce dernier ; c’est l’effet Joule. La puissance dissipée par effet Joule dans un conducteur ohmique est (convention récepteur) : La somme des puissances fournies par les dipôles générateurs d’un circuit est égale à la somme des puissances reçues par les dipôles récepteurs de ce circuit. R ρ L S ---= R : résistance d’un conducteur ohmique en ohm (Ω) ρ : résistivité du matériau conducteur (Ω · m) L : longueur du conducteur (m) S : section du conducteur (m2) Section d’aire S longueur L Fig. 1 ρ ᏼ UI RI 2 U 2 R -------= = = R : résistance en ohm (Ω) I : intensité en ampère (A) U : tension aux bornes en volt (V) ©Nathan,classeprépa
  • 20.
    savoir résoudre lesexercices 20 1 Orientons le circuit et la tension U comme l’indique le schéma de l’énoncé. Le géné- rateur est en convention générateur et le résistor est en convention récepteur. La tension U s’écrit de deux manières : et D’où Ce qui conduit à : On peut aussi appliquer la loi des mailles pour un sens de parcours donné (voir figure) : avec On arrive au même résultat. 2 Il y a effet Joule dans les deux résistors R et r. Le résistor étant en convention récepteur, il reçoit la puissance D’où : Le résistor r étant en convention récepteur, il reçoit la puissance : 1 – Transfert de puissance On considère un générateur de f.é.m. V et de résistance interne Ω alimentant un résistor de résistance Ω. 1 Déterminer la tension U aux bornes du résistor R et l’intensité I du courant qui le traverse. 2 Calculer les puissances dissipées par effet Joule. 3 Calculer la puissance reçue par le générateur idéal de tension. 4 Faire un bilan de puissance pour l’ensemble du circuit. r E R U iE 10= r 5,0= R 5,0= résolution méthodique Ce choix des orientations est « naturel » car nous « devinons » qu’il conduira à des valeurs positives de l’intensité I et de la tension U. Nous pourrions aussi en choisir d’autres, les résultats seraient les mêmes. U RI= U E rI.–= 10 5I– 5I.= I 1,0 A et U 5,0 V== r E R U RI i E rI U–– 0,= U RI.= ᏼR UI RI 2.= = ᏼR 5,0 W= ᏼr Ur I rI 2 5,0 W= = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 21.
    2 – Puissanceen régime stationnaire 21 3 Le générateur idéal de tension est en convention générateur ; il reçoit la puissance : W. Il fournit donc la puissance + 10 W, résultat attendu puisque c’est la source d’énergie. 4 La puissance fournie par le générateur idéal (10 W) est entièrement dissipée par effet Joule pour moitié dans le résistor r (5,0 W) et pour moitié dans le résistor R (5,0 W). 2 – Adaptation d’impédance On considère un générateur de force électromotrice E et de résistance interne r qui alimente un radiateur électrique modélisable par un dipôle résistif de résis- tance R. L’effet du passage du courant est thermique ; c’est l’effet Joule. 1 Exprimer la puissance reçue par le radiateur en fonction de E, de r et de R. 2 Quelle est la valeur de la puissance quand R = 0 ? Quelle est la valeur de la puissance quand la résis- tance est très grande ? Que peut-on en déduire ? 3 Déterminer la valeur de R pour laquelle la puissance dissipée dans le radia- teur est maximale ? Représenter l’allure de la courbe donnant la puissance en fonction de R. Vérifier que les dipôles sont en convention récepteur avant d’appliquer la relation ᏼreçu = UI ; U et I sont orientés en sens opposés. ᏼE EI– 10–= = Pour les calculs de puissance, il faut faire attention au dipôle considéré. On calcule ici la puissance reçue par le générateur idéal de tension, à ne pas confondre avec la puissance reçue par le générateur qui s’écrit : W.ᏼgén UI– E R I–( )I– 5,0–= = = La relation ᏼreçu = UI ne s’applique que si U et I sont orientés en sens opposés (convention récepteur). en conclusion r E R U ᏼR R0 ᏼR ᏼR ©Nathan,classeprépa
  • 22.
    savoir résoudre lesexercices 22 1 On choisit les sens d’orientation définis sur le schéma ci-contre. La loi d’Ohm permet d’écrire : et Avec le sens de parcours choisi, la loi des mailles s’écrit : d’où Le résistor étant en convention récepteur, la puissance ᏼ qu’il reçoit est : 2 La résistance r est négligeable devant R quand R est très grand, d’où : est toujours positive, nulle pour et R infini ; il existe donc (au moins) un maxi- mum de la puissance. 3 4 Dans le cas où le radiateur a la résistance exprimer la puissance thermique dissipée dans le radiateur et la puissance thermique dissipée dans le générateur en fonction de E et de ? Faire un bilan de puissance. 5 Pour quelle valeur de r le rendement est-il maximal ? En déduire le type de généra- teur qu’il faut utiliser pour alimenter un radiateur électrique. R0, ᏼR0 ᏼr 0 R0 résolution méthodique r E R U Ur i Ur rI= U RI.= U E Ur–+ 0,= I E r R+ ------------.= ᏼR UI ᏼR⇒ RI 2= = ᏼR RE 2 r R+( )2 -------------------= ᏼ R 0=( ) 0= ᏼ R ϾϾ r( ) RE 2 R2 -----------≈ E 2 R ------= 0≈ ᏼR R 0= Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. Une analyse trop rapide, faite à partir de l’expression conduirait à proposer que ᏼR est maximale quand R est infini ! Ce serait oublier que I dépend également de R. ᏼR RI2= Point Maths. Une fonction de la variable est extrémale (minimale ou maximale) quand la dérivée par rapport à x est nulle. f x( ) df dx ------ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 23.
    2 – Puissanceen régime stationnaire 23 étant une fonction de R, sa valeur est extrémale (minimale ou maximale) quand sa dérivée par rapport à R est nulle. si Cette condition est appelée « adaptation d’impédance ». Il n’existe qu’un extremum ; c’est un maximum. Vérifions qu’il en est bien ainsi pour la puissance : 4 et ; donc : La puissance reçue par le générateur de tension s’écrit Bilan : ou La puissance fournie par le générateur de tension est dissipée par effet Joule, pour moitié dans le générateur réel et pour l’autre moitié dans le radiateur. 5 De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l’on récupère (ce qui nous « intéresse ») et ce que l’on fournit (ce que l’on « dépense »). Ici, il s’agit de transfé- rer de l’énergie électrique du générateur au radiateur. Le rendement s’écrit donc : Le rendement est une fonction décroissante de r ; il est maximal quand ! Le rendement est alors égal à 100 %. On voit, et le résultat était attendu, que pour obtenir un bon rendement, on doit alimen- ter un radiateur avec un générateur de faible résistance interne. ᏼR R ᏼR dᏼR dR ----------- E 2 r R+( ) 2R r R+( )– r R+( )2 ------------------------------------------------= dᏼR dR ----------- 0= r R 2R–+ 0 ⇒= R0 r= Point Maths. Une fonction est maximale quand la dérivée seconde par rapport à x est négative au point où elle est extrémale. f x( ) d2f dx2 -------- d2ᏼR dR2 -------------     R0 E 2 8R3 ---------– 0.<= ᏼR0 R0I 2 E 2 4R0 ---------= = ᏼr rI 2 R0I 2 E 2 4R0 ---------= = = ᏼR0 ᏼr E 2 4R0 ---------= = ᏼE EI– E 2 2R0 ---------.–= = ᏼR ᏼr ᏼE+ + 0= ᏼE– ᏼR ᏼr.+= η ᏼR0 ᏼE ---------– 1 2 --- 50 %= = = η ᏼR ᏼE -------– RI 2 EI --------- RI E ------ R R r+ ------------.= = = = r 0= • En général, quand on cherche la valeur d’un paramètre pour laquelle une grandeur phy- sique est extrémale, il faut calculer la dérivée de la grandeur par rapport au paramètre. • Prendre l’habitude de confronter ses résultats à une analyse physique élémentaire. en conclusion ©Nathan,classeprépa
  • 24.
    retenir l’essentiel 24 Méthodes d’étude d’uncircuit électrique en régime permanent En complément de la loi des nœuds et de la loi mailles, l’étude d’un circuit électrique en régime permanent se fait à l’aide « d’outils » dont le choix facilite la résolution de problèmes. 1 Association en série Des dipôles voisins sont en série quand ils ont une seule borne en commun. Ils sont tra- versés par le même courant. 1.1. Association de résistors en série 1.1.1. Loi d’association Démonstration : L’intensité du courant étant la même en tout point de la branche, rien n’est modifié si l’on permute les positions des résistors. N résistors de résistance associés en série sont équivalents à un seul résistor de résistance égale à la somme des résistances de chacun d’eux : (1) Conseil Pour savoir si des di- pôles sont en série, toujours se poser la question : sont-ils tous parcourus par le même courant ? R1, R2, …, RN( ) R éq R éq R1 R2 … RN+ + += Fig. 1 I R1 R2 R3 U1 U2 U3 U U1 U2 U3+ += Réq R1 R2 R3+ += I U ⇔ Association série de trois résistors U U1 U2 U3+ + R1I R2I R3I+ + R1 R2 R3+ +( )I RéqI.= = = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 25.
    3 – Méthodesd’étude d’un circuit électrique en régime permanent 25 1.1.2. Diviseur de tension La figure 3 représente un diviseur de tension : deux résistors en série sont soumis à une tension U. On cherche les tensions et aux bornes de chacun d’eux. Démonstration : et 1.2. Association de générateurs en série On considère N générateurs associés en série, caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes …, Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. et de résistance interne Remarque : les résistances s’associent comme énoncé au § 1.1.1. Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Thévenin (fig. 5) : • si les pôles du générateur sont placés dans le même sens que les pôles du générateur (la flèche correspondant à Ep est dans le même sens que celle de Eéq) ; • dans le cas contraire. Fig. 2 • R1 et R2 ne sont pas en série • R1 et R3 ne sont pas en série • Seuls R2 et R4 sont en série (le courant I2 qui traverse R2 est le même que celui qui traverse R4). On peut appliquer I1 I2≠( ). I1 I3≠( ). Réq R2 R4.+= R1 R2 R3 I1 I2 E R4 I3 U1 U2 Attention • Si les flèches cor- respondant à U1 ou U2 ne sont pas dans le même sens que celle correspondant à U, il faut mettre un signe – dans leurs expressions. • Il ne faut pas appli- quer ces relations lorsque les deux ré- sistors ne sont pas en série. Par exemple sur le schéma de la figure 2, R1 et R2 (ou R1 et R3) ne forment pas un di- viseur de tension. Seuls R2 et R4 for- ment un diviseur de tension. Fig. 3 etU1 R1U R1 R2+ ------------------= U2 R2U R1 R2+ ------------------= R1 R2 U1 U2 I U Diviseur de tension U R1 R2+( )I I⇒ U R1 R2+ ------------------= = U1 R1I U1⇒ R1U R1+R2 -----------------= = U2 R2I U2⇒ R2U R1 R2+ ------------------.= = E1 ; r1( ), E2 ; r2( ), EN ; rN( ). Eéq réq. Eéq ε1E1 ε2E2 … εk Ek … εN EN+ + + + += réq r1 r2 … rN+ + +=   εk +1= Ek ; rk( ) Eéq ; réq( ) εk 1–= Fig. 4 Association série de trois générateurs Eéq E1 E2 E3–+= réq r1 r2 r3+ +=   E1 ; r1 Eéq E1 E2 E3 I E2 ; r2 E3 ; r3 Eéq ; réq I ⇔ +− +−+ +− − ©Nathan,classeprépa
  • 26.
    retenir l’essentiel 26 1.3. Loide Pouillet Cette loi permet d’obtenir l’intensité circulant dans une maille constituée de N résistors et N générateurs caractérisés par leurs f.é.m. et résistances internes …, Pour la figure 6, on obtient Démonstration : On utilise la représentation de Thévenin pour les générateurs. Les lois d’association série pour les générateurs et résistors conduisent au circuit équivalent de la figure 7 : • si la flèche correspondant à Ek est dans le même sens que celle corres- pondant à l’orientation de I ; • dans le cas contraire. Conseil Pour associer des générateurs en série, commencer par mo- déliser tous les géné- rateurs en représen- tation de Thévenin. Fig. 5 Modélisation de générateurs en série r1 EéqE1 E2 E3 I r2 r3 réq I UU U E1 r1I E2 r2I r3I E3–+ + + += U Eéq réqI+=   Eéq E1 E2 E3–+= réq r1 r2 r3+ +=   ⇒ Conseil Pour un circuit à une maille, utiliser direc- tement la loi de Pouillet pour calcu- ler l’intensité du cou- rant qui y circule. Trouver le résultat en appliquant la loi des mailles fait per- dre du temps. R1, R2, … RN( ) E1 ; r1( ), E2 ; r2( ), EN ; rN( ). I ε1E1 ε2E2 … εk Ek … εN EN+ + + + + r1 r2 … rN R1 R2 … RN+ + + + + + + ---------------------------------------------------------------------------------------------= εk +1= εk 1–= Fig. 6 Maille constituée de trois générateurs et de trois résistors E1 ; r1 E1 E2 E3 E2 ; r2 E3 ; r3 I R 1 R 2 R 3 +− + +− − Attention Ne pas appliquer ces relations pour un cir- cuit constitué de plu- sieurs mailles. Il est erroné d’écrire pour la figure 2 que : I3 E R1 R3+ ------------------.= I E1 E2 E3–– r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + + ----------------------------------------------------------------.= Fig. 7 Eéq E1– E2 E3+ += Réq R1 R2 R3+ += réq r1 r2 r3+ += Représentation d’un circuit équivalent Eéq I Eéq ; réq I réq Réq UR éq Réq Ur éq + − ⇔ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
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    3 – Méthodesd’étude d’un circuit électrique en régime permanent 27 Par exemple, en appliquant la loi des mailles dans le sens anti-horaire, on obtient : 2 Association en parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bor- nes en commun. Ils sont soumis à la même tension. 2.1. Association de résistors en parallèle 2.1.1. Loi d’association Démonstration : La tension U étant la même aux bornes de chaque résistor, rien n’est modifié si l’on per- mute les positions des résistors N résistors de conductance associés en parallèles sont équiva- lents à un seul résistor de conductance égale à la somme des conductances de chacun d’eux : (2) URéq Uréq Eéq+ + 0= Uréq réqI= et URéq RéqI=    I Eéq réq Réq+ ---------------------– E1 E2 E3–– r1 r2 r3 R1 R2 R3+ + + + + ----------------------------------------------------------------.= =⇒ Conseil Pour savoir si des di- pôles sont en parallè- le, toujours se poser la question : sont-ils tous soumis à la même tension ? G1, G2, …, GN( ) Géq Géq G1 G2 … GN+ + += Géq 1 Réq -------- 1 R1 ------ 1 R2 ------ … 1 RN -------+ + += = Fig. 8 Géq G1 G2 G3+ += Géq 1 Réq --------- 1 R1 ------- 1 R2 ------- 1 R3 -------+ += = Association parallèle de trois résistors I1 I2 I3 II R1 R2 R3 UU ⇔ I I1 I2 I3+ + U R1 ------ U R2 ------ U R3 ------+ + G1 G2 G3+ +( )U GéqU.= = = = Fig. 9 • R1 n’est pas en parallèle avec R3 • R3 n’est pas en parallèle avec R4 • Seuls R3 et l’ensemble sont en parallèle U1 U3≠( ) U3 U4≠( ) R2 R4+( ) U3 U2 U4+=( ) 1 Réq -------- 1 R3 ------ 1 R2 R4+( ) -----------------------+= U1 U2 U3 R1 R2 R3E R4 U4 ©Nathan,classeprépa
  • 28.
    retenir l’essentiel 28 2.1.2. Diviseurde courant La figure 10 représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un courant d’intensité totale I. On cherche les intensités et parcourant chacun d’entre eux. Démonstration : et et 2.2. Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par leurs courants électro- moteurs c.é.m. et conductances internes …, Ces N géné- rateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. et de conductance interne Remarque : les conductances s’associent comme énoncé au § 2.1.1. • si les pôles du générateur sont placés dans le même sens que les pôles du générateur (la flèche correspondant à est dans le même sens que celle de ; • dans le cas contraire. I1 I2 Fig. 10 Diviseur de courant I1 I2 I R1 R2 U I1 G1I G1 G2+ -------------------- R2I R1 R2+ ------------------= = I2 G2I G1 G2+ -------------------- R1I R1 R2+ ------------------= = Attention • Si I1 ou I2 ne sont pas dans le sens de I, il faut faire interve- nir un signe – dans leurs expressions. • Il ne faut pas appli- quer ces relations lorsque les deux ré- sistors ne sont pas en parallèle. Par exemple sur la figure 9, où R2 et R3 ne forment pas un di- viseur de courant, seuls R3 et l’ensemble forment un diviseur de courant. R2 R4+( ) U R1I1 R2I2= = I I1 I2+= R1I1 R2 I I1–( ) I1⇒ R2I R1 R2+ ------------------= = R1 I I2–( ) R2I2 I2⇒ R1I R1 R2+ ------------------= = I01 ; g1( ), I02 ; g2( ), I0N ; gN( ). Iéq géq. Iéq ε1I01 ε2I02 … εk I0k … εNI0N+ + + + += géq g1 g2 … gN 1 réq ------ 1 r1 ---- 1 r2 ---- … 1 rN -----+ + +=    + + +=      εk +1= Ek ; rk( ) Eéq ; réq( ) I0k I0éq) εk 1–= Fig. 11 I0éq I01 I02– I03+= géq g1 g2 g3 1 réq ------ 1 r1 ---- 1 r2 ---- 1 r3 ----+ +=    + +=      Association parallèle de trois générateurs I01 ; r01 I I02 ; r02 I03 ; r03 I0éq ; réq + − +− +− +− ⇔ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 29.
    3 – Méthodesd’étude d’un circuit électrique en régime permanent 29 Démonstration : Pour les associer, on les modélise en utilisant la représentation de Norton (fig. 12) : Démonstration : • Cas a) • Cas b) Par identification entre les deux membres de l’égalité, on obtient : 3 Équivalence des représentations de Thévenin et de Norton d’un générateur Un générateur de tension de Thévenin (E ; r) est équivalent à un générateur de courant de Norton où et a) générateur de tension de Thévenin b) générateur de courant de Norton Conseil Pour associer des gé- nérateurs en parallè- le, commencer par modéliser tous les gé- nérateurs en repré- sentation de Norton. Fig. 12 I U Iéq I1 I2 I3 réq r1 r2 r3 I01 I02 I03 I0éq U I ⇔ Cas a) Cas b) U r1I1 r2I2 r3I3= = = I I1 I01 I2 I02– I3 I03+ + + +=   U réqIéq= I Iéq I0éq+=   Iéq I0éq+ I1 I01 I2 I02– I3 I03+ + + + U réq ------ I0éq+⇒ U r1 ---- I01 U r2 ---- I02– U r3 ---- I03+ + + += = I0éq +I01 I02 I03+–= 1 réq ------ 1 r1 ---- 1 r2 ---- 1 r3 ---- géq g1 g2 g3+ +=( )+ +=      I0 ; g( ) I0 E r ---= g 1 r ---.= Fig. 13 I E r I0= U E rI–= I I0 gU–= gU– g 1 r ---= I0 E r ----=r 1 g ---= U ⇔ ©Nathan,classeprépa
  • 30.
    retenir l’essentiel 30 Démonstration : Figure13 a) : Or figure 13 b) : Par identification entre les deux expressions de I, on obtient : et 4 Potentiel et loi des nœuds en termes de potentiels 4.1. Tension et potentiel Entre deux points A et B quelconques d’un cir- cuit la tension s’écrit sous la forme de la dif- férence des potentiels en A et en B : La flèche est dirigée du point B vers le point A (fig. 14). • Si est positif, et la flèche tension est dans le sens des potentiels croissants. • Les potentiels V sont définis à une constante près, seule la tension ou différence de poten- tiel, que l’on mesure avec un voltmètre, a un sens physique. 4.2. Masse d’un circuit En électronique, la masse est un point d’un circuit à laquelle on attribue arbitrairement un potentiel nul. Il sert de référence des potentiels. Le symbole est : Remarque : on appelle aussi « masse » la carcasse métallique d’un appareil électrique qui a vocation à être reliée à la terre par l’intermédiaire de la prise de terre. La Terre étant conven- tionellement au potentiel nul, cette carcasse électrique peut servir de référence de potentiel. 4.3. Loi des nœuds en termes de potentiels – Théorème de Millman Considérons L résistors de résistance ayant un nœud com- mun N. Soit les intensités circulant dans chacun des résistors et orientés vers le point N (fig. 15). Soit le potentiel du nœud N et les potentiels de l’autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s’exprime alors par : U E rI I⇒ E r --- U r ----.–=–= I I0 gU.–= I0 E r ---= g 1 r ---.= A B UAB Fig. 14 UAB UAB VA VB.–= UAB VA Ͼ VB I1 I2 I3 N R1 R2 R3 UL U1 U2 U3 V1 V2 V3 IL RL VN Fig. 15 R1, R2, …RL( ) I1, I2, …IL( ) VN V1, V2, … VL I1 I2 … IL+ + + 0,= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 31.
    3 – Méthodesd’étude d’un circuit électrique en régime permanent 31 et peut s’écrire sous la forme : ou (3) Remarque : la relation (3) est indépendante des sens d’orientation choisis pour les différentes intensités. La relation (3) conduit à l’expression du théorème de Millman : Remarque : Si certaines branches arrivant en N contiennent des sources de courant, il suffit de tenir compte de leurs c.é.m. dans l’expression de la loi des nœuds. 5 Méthodes d’étude d’un circuit On considère un circuit comportant plusieurs mailles. Que valent les intensités des cou- rants et tensions dans une ou plusieurs branches ? 5.1. Loi des nœuds en termes de potentiels Lorsqu’un circuit est constitué de plusieurs branches partant de points de potentiel imposé (par exemple une ligne de masse) et aboutissant à un même nœud N, la loi des nœud en terme de potentiel (ou le théorème de Millman) permet d’obtenir très rapidement le potentiel de N. On peut alors facilement en déduire l’intensité circulant dans chacune des branches. 5.2. Réduction du circuit La méthode, décrite ci-dessous étape par étape, est particulièrement performante si on cherche uniquement l’intensité du courant qui circule dans une branche particulière du circuit (ou la tension à ses bornes). Si l’on doit calculer des intensités ou des tensions correspondant à d’autres branches, il faut à nouveau appliquer la méthode, branche par branche. ou 1re étape. Isoler sur le schéma électrique la branche à travers laquelle circule l’intensité que l’on veut calculer, par exemple en la repérant entre des points A et B et en entou- rant tout le reste du circuit. Si le sens de I n’est pas imposé, le choisir de façon arbitraire. V1 VN– R1 ------------------- V2 VN– R2 ------------------- … VL VN– R2 -------------------+ + + 0,= G1 V1 VN–( ) G2 V2 VN–( ) … GL VL VN–( )+ + + 0= Conseil Il est souvent très utile pour simplifier les cal- culs, quand aucune masse n’apparaît sur un circuit, d’en choi- sir une, placée de fa- çon pertinente, en un point donné du cir- cuit. Cela ne pose aucun problème car le potentiel est défini à une constante près. VN V1 R1 ------ V2 R2 ------ … VL RL ------+ + + 1 R1 ------ 1 R2 ------ … 1 RL ------+ + + ---------------------------------------------= VN G1V1 G2V2 … GLVL+ + + G1 G2 … GL+ + + ------------------------------------------------------------------= Conseil Inclure la branche AB dans les associa- tions de dipôles est une erreur fréquente. Il faut absolument distinguer formelle- ment cette branche du reste du circuit. Fig. 16 UAB I A B Reste du circuit Dipôle (ou association série de dipôles) quelconque ©Nathan,classeprépa
  • 32.
    retenir l’essentiel 32 5.3. Utilisationdirecte des lois de Kirchhoff On englobe sous le nom de lois de Kirchhoff la loi des nœuds et la loi des mailles. Cette méthode conduit à des calculs lourds et ne doit être appliquée que si les méthodes précédentes ne sont pas applicables. 2e étape. Associer l’ensemble des générateurs et/ou résistors situés dans le « reste du circuit » (lois d’associations série et/ou parallèle des générateurs et/ou résistors) afin de se ramener à un circuit simple (par exemple un résistor ou un générateur en représen- tation de Norton ou de Thévenin). On dit qu’on a « réduit le circuit ». 3e étape. Si le circuit simple obtenu est : • un générateur en représentation de Norton, alors il suffit d’appliquer la relation du diviseur de courant pour obtenir l’intensité I ; • un résistor ou bien un générateur en représentation de Thévenin, alors on a un circuit équivalent à une seule maille et il suffit d’appliquer la loi de Pouillet pour obtenir l’inten- sité I. Ayant I on peut alors facilement en déduire la tension 1re étape. Représenter tous les générateurs en représentation de Thévenin : on a alors un circuit à N mailles indépendantes. 2e étape. À chaque maille, associer un courant orienté de façon arbitraire. On a ainsi N inconnues. 3e étape. Appliquer la loi des nœuds à chaque nœud. On obtient l’intensité qui circule dans chaque branche en fonction des N différents 4e étape. Appliquer la loi des mailles pour chaque maille. On obtient N équations. 5e étape. Résoudre le système de N équations à N inconnues. UAB . Remarques • Si cette mé- thode aboutissant à une inconnue et une équation donne la loi de Pouillet. • Cette méthode con- duit à des calculs as- sez lourds dès que En pratique, elle est surtout utile lorsque l’on cherche l’ensemble des inten- sités et tensions de chaque branche. N 1= N 2.Ͼ Ik Ik . Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 33.
    savoir résoudre lesexercices 3 – Méthodes d’étude d’un circuit électrique en régime permanent 33 On choisit un sens arbitraire pour les différentes intensités circulant dans les trois bran- ches, mais les choix retenus ici sont assez « naturels », c’est-à-dire que l’on s’attend, lors- que à des valeurs positives pour et • Méthode 1 : loi des nœuds en termes de potentiels On peut prendre comme référence le potentiel du fil représenté par la ligne inférieure du schéma (masse) : et Le théorème de Millman donne directement : On en déduit : 1 – Étude d’un circuit simple par trois méthodes On considère le circuit suivant. Déterminer l’inten- sité du courant qui circule dans les diverses branches en utilisant d’abord la loi des nœuds en terme de potentiel, la méthode de réduction du circuit et enfin la méthode d’utilisation directe des lois de Kirchoff. Conclure. R1 R2 r E résolution méthodique E 0,Ͼ I1, I2 Ir . Aucune masse n’apparaît sur le schéma de l’énoncé, il faut en placer une en un point donné afin de simplifier les calculs. Il va de soi que le résultat obtenu est indépendant du point choisi. R1 R2 r E I1 Ir N M A I2 VM 0= E VA VM– VA .= = VN VN VM R2 ------- VM r ------- VA R1 ------+ + 1 R2 ------ 1 r --- 1 R1 ------+ + ---------------------------------- E rR2( ) R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------.= = I2 VN R2 ------ Er R2r+R1r+R2R1 ---------------------------------------= = Ir VN R1 ------ ER2 R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------= = I1 VN E– R1 ----------------    – E r R2+( ) rR1 R2r R2R1+ + -------------------------------------------    = =            Prendre l’habitude de vérifier, quand on a une expression sous la forme d’une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. En effet, dans ce cas, pour des valeurs particulières de résistances, on pourrait aboutir à une valeur infinie, ce qui n’a pas de sens physique. ©Nathan,classeprépa
  • 34.
    savoir résoudre lesexercices 34 • Méthode 2 : réduction du circuit • Calcul de On isole la branche NM dans laquelle circule (voir schéma ci-dessous). On cherche à transformer la partie du circuit encadrée en une seule branche. On reconnaît l’association parallèle de deux résistors. En introduisant on a l’équivalence ci-dessous entre les deux circuits. Il suffit alors d’appliquer la loi de Pouillet et on obtient : En réduisant le circuit, on a perdu l’information concernant il faut donc le réduire différemment pour avoir • Calcul de On isole donc la branche CM dans laquelle circule : On reconnaît (fig. 1) dans la partie du circuit qui alimente le dipôle CM un générateur de force électromotrice E et de résistance interne (représentation de Thévenin encadrée en pointillés) en parallèle avec le résistor r. Puisqu’ils sont en parallèle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. C’est sous cette forme que ce dernier apparaît sur la fig. 2 dans le cadre en pointillés. I1 I1 Re1 rR2 r R2+ --------------,= R1 R2 r E I1 N M Re1 R1 E I1 N M ⇔ I1 E R1 Réq1+ ----------------------- I1⇒ E r R2+( ) R1 r R2+( ) rR2+ -----------------------------------------= = I2 , I2. Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l’information perdue ? En ai-je besoin ? I2 I2 R1 R2 r E I2 M C rR2 R1 M C I2 E R1 ---- Figure 1 Figure 2 ⇔ R1 Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 35.
    3 – Méthodesd’étude d’un circuit électrique en régime permanent 35 On associe les deux résistors en parallèle (fig. 3), soit Il y a alors deux possibilités. • Première possibilité : on applique la formule du divi- seur de courant, ce qui conduit à : avec • Deuxième possibilité : on poursuit la réduction du circuit à une seule maille en transformant la représen- tation de Norton du générateur encadré en pointillés sur la figure 3 en représentation de Thévenin (fig. 4). Il suffit alors d’appliquer la loi de Pouillet : avec • Calcul de Il ne faut pas reprendre la méthode générale utilisée pour et pour pour ce circuit à deux mailles indépendantes. La simple application de la loi des nœuds en N donne : • Méthode 3 : utilisation directe des lois de Kirchoff Le circuit est composé de deux mailles indépendantes, par exemple et R2 M C I2 E R1 ----Re 2 Figure 3 Re2 rR1 r R1+ ---------------.= I2 E R1 ------     G2 Ge2 G2+ -------------------- E R1 ------     Re2 Re2 R2+ ---------------------= = Re2 rR1 r R1+ ---------------= I2 Er rR1 R2R1 R2r+ + -------------------------------------------.= R2 M C I2 E Re2 R1 ---------- Re2 Figure 4 I2 ERe2 R1 ------------     1 Re2 R2+ ---------------------,= Re2 rR1 r R1+ ---------------.= I2 Er rR1 R2R1 R2r+ + -------------------------------------------= Ir I1 I2 , Ir I 1 I 2 – ER2 R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------= = R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ). On pourrait penser à tort que le circuit est constitué de trois mailles en considérant aussi la maille mais cette dernière n’est pas indépendante des deux autres. En revanche, au lieu de choisir les deux mailles et on pourrait tout aussi bien choisir et ou encore et cela ne changerait rien au résultat. Méthode : 1re étape. La représentation de Thévenin est déjà utilisée pour le générateur 2e étape. Les sens arbitraires pour les intensités ont été choisis précédemment. 3e étape. Appliquer la loi des nœuds au point N, ce qui donne l’intensité du courant dans la branche contenant r. 4e étape. Choisir un sens pour les flèches de tensions, un sens de parcours pour chacune des deux mailles et appliquer la loi des mailles. R2 ; R1 ; E( ) R2 ; r( ) r ; R1 ; E( ), R2 ; r( ) R2 ; R1 ; E( ) r ; R1 ; E( ) R2 ; R1 ; E( ), E ; R1( ) Ir ©Nathan,classeprépa
  • 36.
    savoir résoudre lesexercices 36 ; ; Maille (1) : (1) Maille (2) : (2) En injectant cette expression de dans l’expression (2), on arrive à : Et on en déduit : Remarque : Les trois méthodes conduisent aux mêmes résultats. UR2 R2I2= UR1 R1I1= Ur r I1 I2–( )= R2 I1 R1 Ur r I2 N E I1 I2– (1) (2) UR1 UR2 UR1 E– Ur+ 0= R1I1 r I1 I2–( ) E–+ 0= UR2 Ur– 0= R2I2 r I1 I2–( )– 0= 5e étape. Résoudre le système de deux équations à deux inconnues. (1) I1 rI2 E+ R1 r+ ------------------.=⇒ I1 I2 Er rR1+R2R1+R2r ----------------------------------------= I1 E(r+R2) R2R1+rR1+R2r ----------------------------------------= Ir I1 I2– ER2 R2r R1r R2R1+ + -------------------------------------------= =        • Vérifier, quand on a une expression sous la forme d’une fraction, que le dénominateur ne contient pas de différences. • Quand on réduit un circuit, il faut toujours se poser la question : en associant tel ou tel dipôle, quelle est l’information perdue ? En ai-je besoin ? • La loi des nœuds en terme de potentiel est bien adaptée ici pour trouver rapidement l’ensemble des intensités recherchées. • La réduction du circuit est une méthode lourde ici car on cherche I1 et I2. Toutefois si l’on ne cherchait que l’une ou l’autre de ces valeurs, cette méthode nécessite moins de calculs que l’utilisation directe des lois de Kirchoff. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 37.
    3 – Méthodesd’étude d’un circuit électrique en régime permanent 37 On isole tout d’abord la branche AB à travers laquelle circule l’intensité que l’on veut cal- culer. Pour cela, on retrace le circuit en mettant clairement en évidence les associations en parallèle et en série. On reconnaît en effet les associations suivantes : • le générateur de f.é.m. et le résistor sont en série ; • le générateur de f.é.m. et le résistor sont en série ; • les générateurs de Thévenin et sont en parallèle. 2 – Étude d’un circuit comportant un potentiomètre Considérons un réseau constitué de 2 générateurs idéaux de f.é.m. et alimentant une même résistance r. Le circuit est fermé par l’intermé- diaire d’un potentiomètre CD et muni d’un cur- seur B réalisant un contact mobile dont la position est caractérisée par un paramètre réel La résistance totale de la branche C et D est R, le curseur sépare la partie CB (résis- tance de la partie BD (résistance Calculer l’intensité I du courant circulant dans la branche centrale du circuit. E2E1 A B C D R xR 1 x–( )R I r E1 E2 x 0 ; 1[ ]∈ . xR), 1 x–( )R). résolution méthodique On ne cherche que la valeur d’une seule intensité, la méthode de réduction du circuit est donc bien adaptée. On pourrait aussi utiliser la loi des nœuds en terme de potentiel mais nous ne la traitons pas dans cette correction. E1 xR E2 1 x–( )R E1 ; xR( ) E2 ; 1 x–( )R( ) Prendre l’habitude de refaire les schémas pour : – faire apparaître clairement les associations série et parallèle ; – distinguer clairement la branche AB du réseau qui l’alimente. E2E1 r A B C D xR 1 x–( )R E F G H I ©Nathan,classeprépa
  • 38.
    savoir résoudre lesexercices 38 Pour mieux séparer la branche AB du reste du circuit, on permute les positions des bran- ches AB et GH, cela facilite le travail de réduction à un générateur équivalent du réseau alimentant AB. Puisque les générateurs de Thévenin et sont en parallèle, on peut directe- ment les associer en utilisant les formules vues en cours ; ces deux générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m : et de résistance interne : On reconnaît un diviseur de courant, d’où : A B C D E F G H r 1 x–( )RxR E2E1 I On peut positionner les trois branches en parallèle EF, AB et GH dans n’importe quel ordre car cela ne modifie pas les propriétés du circuit. En effet, les points E, A et G sont tous les trois au même potentiel, de même que F, B et H. Il est souvent utile de le faire. A B I Réq I0éq r r E1 ; xR( ) E2 ; 1 x–( )R( ) I0éq E1 xR ------ E2 1 x–( )R --------------------- ,–= Réq xR( ) 1 x–( )R xR 1 x–( )R+ ---------------------------------- x 1 x–( )R.= = I I0éqRéq Réq r+ ----------------- ⇒= I E1 1 x–( ) xE2– Rx 1 x–( ) r+ --------------------------------------= • Représenter différemment un schéma électrique pour faciliter les associations de dipôles. (1) Quand un générateur est en série avec un autre dipôle, il faut utiliser la représen- tation de Thévenin du générateur pour les associer. (2) Quand un générateur est en parallèle avec un autre dipôle, il faut utiliser la représentation de Norton du générateur pour les associer. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 39.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension retenir l’essentiel 39 Circuits RC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension Quand on connecte les différents éléments d’un circuit, les grandeurs électriques telles que l’intensité et la tension évoluent au cours du temps. On dit que le régime est transitoire. Il dépend des conditions initiales. Après une durée suffisamment longue, théoriquement infinie, l’évolution est indépendante des conditions initiales ; le régime est permanent. Un régime permanent continu est un régime indépendant du temps. Les grandeurs constantes seront notées en lettres majuscules ; les grandeurs variables seront notées en lettres minuscules. 1 Circuit RC série 1.1. Caractéristiques d’un condensateur Un condensateur est un dipôle constitué de deux conducteurs (les armatures) séparés par un matériau isolant. Les condensateurs sont faiblement conducteurs. Dans les exercices, en l’absence d’indication particulière, un condensateur est considéré comme idéal, c’est-à-dire qu’aucun courant ne traverse le matériau isolant. La capacité C d’un condensateur lie la tension aux bornes et la charge des armatures. ©Nathan,classeprépa
  • 40.
    retenir l’essentiel 40 Un condensateurstocke de l’énergie électrique entre ses armatures. Le stockage est réversible. Démonstration de l’expression de l’énergie à partir de la puissance p reçue : (L’énergie est nulle quand la tension est nulle.) Une variation instantanée de l’énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible. 1.2. Circuit RC série soumis à un échelon de tension 1.2.1. Montage d’étude L’interrupteur K est dans la position (a) (fig.1). L’intensité du courant et la tension aux bornes du condensateur sont nulles. 1.2.2. Échelon de tension Quand on bascule l’interrupteur K de la position (a) à la position (b), la tension e passe instantanément de la valeur nulle à la valeur E. On dit que le circuit RC est soumis à un échelon de tension (figure b)). Dans la suite nous supposerons que l’interrupteur bascule à la date À la date il est dans la position (a). À la date il est dans la position (b). q charge de l’armature A en coulomb (C). tension aux bornes en volt (V). C capacité du condensateur en farad (F). En convention récepteur : q charge d’une armature en coulomb (C). i intensité du courant arrivant sur l’armature portant la charge q en ampère (A). u tension aux bornes du condensateur en volt (V). énergie stockée dans le condensateur en joule (J). C capacité du condensateur en farad (F). L’énergie, la tension aux bornes et la charge d’un condensateur sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité. Remarque On peut retenir la relation sous la forme équiva- lente à qA CuAB ,= qB CuBA.= q Cu= u i A B − qqu vA vB–= i dq dt ------ C du dt ------= = wC 1 2 ---Cu2 1 2 --- q 2 C -----= = wC p ui dwC dt ----------- dwC⇒ u C du dt ------ C d dt ----- u 2 2 -----     wC⇒ 1 2 ---Cu2.= = = = = (b) E (a) K e e E t R C i u b) Échelon de tension.a) Circuit RC soumis à un échelon de tension (interrupteur dans la position (b)). O Fig. 1 t 0.= t 0– ,= t 0+,= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 41.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 41 1.2.3. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. Constante de temps Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : 1.2.4. Résolution de l’équation différentielle. Évolution de la tension L’équation différentielle de la tension est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. APPLICATION DE LA MÉTHODE 1. Résolution de l’équation différentielle sans second membre 2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation différentielle complète : 4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur : Il vient : La solution de l’équation différentielle complète s’écrit : 1.2.5. Courbe normalisée de l’évolution de la tension Introduisons les variables réduites (sans dimension) et ; on dit qu’on effectue une réduction canonique, ou que les grandeurs sont normalisées. L’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d’un circuit RC série soumis à un échelon de tension E est : est la constante de temps du circuit RC. Point méthode 1. Résolution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. 1. Résoudre l’équation différentielle sans second membre en introduisant une constante. 2. Rechercher la solution particulière de l’équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète avec la constante. 4. Déterminer la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir : – continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ; – continuité de l’intensité du courant qui traverse une bobine. Point maths. • Écrire l’équation caractéristique de l’équation différentielle : • Exprimer la solution r de l’équation caractéristique : • Exprimer la solution en introduisant une constante : avec Remarque La constante τ est aussi appelée temps de relaxation, ou durée (ou temps) caractéristique. Ri u+ E.= τ du dt ------ u+ E.= τ RC= τ du dt ------ u+ 0.= τr 1+ 0.= r 1 τ ---.–= ussm ussm Aert Ae t τ --– ,= = A constante.= up up E .= u ussm up+= u Ae t τ ---– E .+= Attention Il faut d’abord écrire la solution complète de l’équation diffé- rentielle avant de dé- terminer la constante. ut 0+ = ut 0– = .= A E+ 0 A⇒ E .–= = u E 1 e t τ ---– –     .= x t τ --= y u E ----= ©Nathan,classeprépa
  • 42.
    retenir l’essentiel 42 L’équation différentiellenormalisée est La solution normalisée est La courbe normalisée donnant y en fonction de x est donnée (figure 2a). Pente à l’origine de la courbe normalisée : 1.2.6. Courbe normalisée de l’évolution de l’intensité La courbe normalisée est celle de en fonction de (figure 3b). 1.2.7. Régime permanent continu Le régime permanent continu est atteint au bout d’une durée infinie. En réalité il est pra- tiquement atteint, à 1 % près, au bout d’une durée puisque La constante de temps caractérise l’évolution du régime transitoire. En régime permanent continu : ; ; Du point de vue des courants et des tensions, un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert en régime permanent continu (figure 3). dy dx ------ y+ 1.= y 1 e x– .–= dy dx ------ 0 1.= i C du dt ------ E R ---- e t τ --– .= = Ri E ------ t τ -- Fig. 2 Ri E ------ u E ---- 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 8 t τ -- t τ -- 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 8 Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) pour un circuit RC soumis à un échelon de tension. a) Remarquer la continuité de la tension à b) Remarquer la discontinuité de l’intensité à t 0.= t 0.= 1 1 a) b) 5τ u 5τ( ) E ---------- 0,99.= Up E= Ip 0= Q p CE.= Fig. 3 I p 0= Un condensateur en régime permanent continu est équivalent à un interrupteur ouvert. I p 0= U p constante=U p constante= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 43.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 43 1.2.8. Bilan énergétique Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : Énergie fournie par la source pendant le régime transitoire : Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : En régime permanent continu, le courant est nul donc la puissance reçue par le circuit RC est nulle. 1.3. Régime libre du circuit RC Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on bascule brutalement l’interrupteur K de la position (b) à la posi- tion (a). On dit que le circuit RC est en régime libre (fig. 4). Soit la date du basculement. L’équation différentielle de la tension u se réduit à : dont la solution est L’intensité est En régime permanent continu : ; ; Toute l’énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. WC 1 2 ---CUp 2 1 2 ---Cut 0= 2 – 1 2 ---CE2.= = WE = Eidt EQ p CE2.= = 0 ∞ ∫ WR WE WC– 1 2 ---CE2.= = t ′ 0= τ du dt′ ------- u+ 0,= u Ee t ′ τ ----– .= i E R ----e t ′ τ ----– .–= U ′p 0= I ′p 0= Q ′p 0.= Fig. 4 a) b) 0 −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1 2 4 6 8 −2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 a) Remarquer la continuité de la tension à b) Remarquer la discontinuité de l’intensité à t ′ 0.= t ′ 0.= Courbes normalisées des évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) d’un circuit RC en régime libre. t ′ τ ----- t ′ τ ----- 1 1 u E ---- Ri E ------ ©Nathan,classeprépa
  • 44.
    retenir l’essentiel 44 2 CircuitRL série 2.1. Caractéristiques d’une bobine Une bobine est un dipôle constitué d’un enroulement de fil conducteur autour d’un matériau magnétique. Elle a toujours une résistance, celle du fil. Une bobine idéale est une bobine dont on peut négliger la résistance ; elle est caractérisée par son inductance propre. Une bobine réelle d’inductance et de résistance peut être considérée comme l’association en série d’une bobine idéale d’inductance et d’un résistor de résistance En l’absence d’indication dans un exercice sur la valeur de sa résistance, une bobine est considérée comme idéale. Le passage du courant provoque le stockage d’énergie magnétique dans la bobine. Le stockage est réversible. Démonstration de l’expression de l’énergie à partir de la puissance p reçue : (L’énergie est nulle quand le courant est nul.) Une variation instantanée de l’énergie stockée impliquerait une puissance infinie, ce qui est physiquement impossible. 2.2. Circuit RL série soumis à un échelon de tension 2.2.1. Équation différentielle de l’intensité. Constante de temps Supposons qu’à date la tension e passe de la valeur nulle à la valeur E. Le circuit RL (figure 5) est alors soumis à un échelon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : d’où En convention récepteur : i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). u tension aux bornes en volt (V). L inductance propre de la bobine en henry (H). r résistance de la bobine en ohm (Ω). i intensité du courant traversant la bobine en ampère (A). énergie stockée dans la bobine en joule (J). L inductance propre de la bobine en henry (H). L’énergie et l’intensité du courant qui traverse une bobine sont des fonctions continues du temps ; elles ne peuvent pas subir de discontinuité. rL i u L r L r. u ri L di dt -----+= wL 1 2 ---Li 2= wL p ui dwL dt ---------- dwL⇒ Li di dt ----- L d dt ----- i 2 2 -----     wL⇒ 1 2 ---Li 2.= = = = = Fig. 5 ue i L R t 0,= Ri u+ E,= L di dt ----- Ri+ E.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 45.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 45 2.2.2.Évolution de l’intensité qui traverse la bobine idéale Appliquons la méthode de résolution de l’équation différentielle donnée au paragraphe 1.2.4. (point méthode 1). 1. Solution de l’équation différentielle sans second membre : avec 2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation différentielle complète : 4. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine : La solution de l’équation différentielle complète s’écrit : 2.2.3.Évolution de la tension aux bornes de la bobine idéale L’évolution de la tension aux bornes est : 2.2.4.Courbes normalisées La courbe normalisée de l’intensité est celle donnant en fonction de : La courbe normalisée de la tension est celle donnant en fonction de : L’équation différentielle de l’intensité du courant qui traverse la bobine d’un circuit RL série soumis à un échelon de tension E est : est la constante de temps du circuit LC. τ di dt ----- i+ E R ----.= τ L R ---= issm Bert Be t τ --– ,= = B cte.= ip E R ----.= i Be t τ --– E R ----.+= it 0+= it 0–= B E R ----+⇒ 0 B⇒ E R ----.–= = = i E R ---- 1 e t τ --– –     .= u L di dt ----- E e t τ --– .= = Ri E ------ t τ -- Ri E ------ 1 e t τ --– .–= u E ---- t τ -- u E ---- e t τ --– .= ©Nathan,classeprépa
  • 46.
    retenir l’essentiel 46 2.2.5.Régime permanentcontinu Le régime permanent continu est atteint au bout d’une durée infinie. En réalité, il est pratiquement atteint au bout d’une durée puisque En régime permanent continu : et 2.2.6.Bilan énergétique Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire s’écrit : En régime permanent continu : • la puissance reçue par la bobine est nulle : ; • la puissance fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans le résistor : 2.3. Régime libre du circuit RL Le régime permanent continu étant atteint, la tension e passe instantanément de la valeur E à la valeur nulle quand on éteint la source ; le circuit est en régime libre. Soit la date de l’extinction. Le temps de relaxation donne un ordre de grandeur de la durée réelle du régime transitoire du circuit RL soumis à un échelon de tension. Du point de vue des courants et des tensions, une bobine idéale est équiva- lente à un interrupteur fermé en régime permanent continu. Fig. 6 a) b) a) Remarquer la continuité de l’intensité à la date b) Remarquer la discontinuité de la tension à la date t 0.= t 0.= u E ---- 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 6 Ri E ------ 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2 4 61 1t τ -- Évolutions de l’intensité (a) et de la tension (b) pour un circuit LC soumis à un échelon de tension. t τ -- 5τ Ri 5τ( ) E -------------- 0,99.= τ L R ---= Up 0= Ip E R ----.= Ip constante= Up 0= Ip constante= Up 0= WL 1 2 ---LIp 2 1 2 ---Lit 0+= 2 – 1 2 ---LIp 2 .= = PLp UpIp 0= = PEp EIp= PRp RIp 2 RIp E R ---- EIp.= = = t ′ 0= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 47.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 47 L’équation différentielle de l’intensité se réduit à : dont la solution est La tension est En régime permanent continu : et Toute l’énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire a été dissipée par effet Joule dans le résistor. 3 Circuit RLC série 3.1. Équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur Supposons qu’à date la tension e passe de la valeur nulle à la valeur E. Le cir- cuit RLC (Fig. 8) est alors soumis à un éche- lon de tension. Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : avec D’où τ di dt ′ -------- i+ 0,= i E R ---- e t ′ τ ----– .= u L di dt ----- Ee t ′ τ ----– .–= = U ′p 0= I ′p 0.= Fig. 7 b) 0 −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1 2 4 6 8 a) −2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 a) Remarquer la continuité de l’intensité à b) Remarquer la discontinuité de la tension à t ′ 0.= t ′ 0.= Courbes normalisées des évolutions de l’intensité (a) et de la tension (b) d’un circuit RL en régime libre. u E ----Ri E ------ t ′ τ ----- t ′ τ ----- 1 1 e R C i u L Fig. 8 t 0,= Ri L di dt ----- u+ + E,= i C du dt ------.= d2u dt2 --------- R L --- du dt ------ u LC -------+ + E LC -------.= ©Nathan,classeprépa
  • 48.
    retenir l’essentiel 48 3.2. Résolutionl’équation différentielle réduite APPLICATION DE LA MÉTHODE 1. Résolution de l’équation différentielle réduite sans second membre L’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur d’un circuit RLC série soumis à un échelon de tension E est : ou • est la pulsation propre du circuit RLC. Elle s’exprime en • est la période propre du circuit RLC. Elle s’exprime en s. • est le coefficient d’amortissement du circuit RLC. C’est un paramètre sans dimension (nombre). • On définit aussi le facteur de qualité Q par : Réduction canonique de l’équation différentielle • En posant il vient : et • En posant aussi la réduction de l’équation différentielle conduit à : L’équation différentielle obtenue est une équation différentielle normalisée ; x et y sont des variables sans dimension. Point méthode 2. Résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et à second membre non nul. 1. Résoudre l’équation différentielle sans second membre en introduisant deux constantes. 2. Rechercher la solution particulière de l’équation différentielle complète. 3. Écrire la solution générale de l’équation différentielle complète avec les constantes. 4. Déterminer les constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : – continuité de la tension aux bornes d’un condensateur ; – continuité de l’intensité du courant qui traverse une bobine. Point maths. • Écrire l’équation caractéristique de l’équation différentielle : • Écrire le discriminant réduit de l’équation caractéristique : d2u dt 2 --------- 2σω0 du dt ------ ω0 2 u+ + ω0 2 E= d2u dt 2 --------- ω0 Q ------ du dt ------ ω0 2 u+ + ω0 2 E.= ω0 1 LC -----------= rad·s 1– . T0 2π LC= σ R 2Lω0 ------------- R 2 --- C L ---= = Q Lω0 R ---------- 1 RC ω0 --------------- 1 R --- L C --- 1 2σ -------.= = = = x ω0t,= du dt ------ du dx ------ dx dt ------ ω0 du dx ------= = d2u dt 2 --------- d dt ----- ω0 du dx ------     ω0 2 d2u dx 2 ---------.= = y u E ---- ,= d2y dx 2 --------- 2σ dy dx ------ y+ + 1.= d2y dx 2 --------- 2σ dy dx ------ y+ + 0.= r2 2σr 1+ + 0.= ∆ σ2 1–( ).= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 49.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 49 2. Solution particulière de l’équation différentielle complète : 3. Solution générale de l’équation complète. a. Régime apériodique b. Régime pseudo-périodique ou c. Régime critique 4. Conditions initiales imposées au circuit À la fermeture de l’interrupteur (date : • la tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité. S’il est initialement déchargé, alors : D’où : • l’intensité du courant qui traverse la bobine ne subit pas de discontinuité donc : On en déduit les valeurs des constantes dans chacun des cas. a. Régime apériodique ; ; Si le discriminant est positif ; le régime est apériodique. Si le discriminant est négatif ; le régime est pseudo-périodique. Si le discriminant est nul ; le régime est critique. • Exprimer la solution de l’équation caractéristique. Si les solutions sont réelles : et Si les solutions sont complexes. On pose : avec D’où : et Si la solution est double : • Exprimer la solution de l’équation différentielle sans second membre. Si alors avec et constantes réelles. Si alors avec et constantes réelles, ou avec et constantes réelles. Si alors avec et constantes réelles. σ 1Ͼ Q 1 2 ---Ͻ     , σ 1Ͻ Q 1 2 ---Ͼ     , σ 1= Q 1 2 ---=     , Remarque Le régime critique est un cas limite sans réa- lité physique car la valeur de σ ne peut être exactement égale à 1. σ 1,Ͼ r1 σ– ∆+= r2 σ– ∆.–= σ 1,Ͻ ∆ j 2 ∆–= j 2 1.–= r1 σ– j ∆–+= r2 σ– j ∆–+= σ 1,= r1 r2 1.–= = σ 1,Ͼ yssm A1er1x A2er2x += A1 A2 σ 1,Ͻ yssm e σx– B1 ∆– x( )cos B2 ∆– x( )sin+[ ]= B1 B2 yssm B ′e σx– ∆– x ϕ+( )cos= B ′ ϕ σ 1,= yssm e x– C1x C2+[ ]= C1 C2 yp 1.= σ 1Ͼ( ) y 1 A1er1x A2er2x .+ += σ 1Ͻ( ) y 1 e σx– B1 ∆– x( )cos B 2 ∆– x( )sin+[ ]+= y 1 B ′e σx– ∆– x ϕ+( ).cos+= σ 1=( ) y 1 e x– C1x C2+[ ].+= t 0+)= u 0( ) 0.= y 0( ) 0.= i 0( ) C du dt ------ 0( ) 0 dy dx ------ 0( ) ⇒ 0.= = = y 0( ) 1 A1 A2+ + 0= = dy dx ------ 0( ) r1A1 r2A2+ 0= = A1⇒ r2 r1 r2– ---------------= A2 r1 r1 r2– ---------------.–= ©Nathan,classeprépa
  • 50.
    retenir l’essentiel 50 b. Régimepseudo-périodique ; ; c. Régime critique ; La solution complète de l’équation différentielle s’écrit : a. Régime apériodique b. Régime pseudo-périodique c. Régime critique 3.3. Évolution de la tension et de l’intensité Il suffit de remplacer, dans les équations précédentes, x par et y par a. Régime apériodique ; b. Régime pseudo-périodique ; L’expression fait apparaître la pseudo-pulsation : Pseudo-période : c. Régime critique ; L’expression de l’intensité se déduit de celle de la tension par la relation y 0( ) 1 B1+ 0= = dy dx ------ 0( ) σB1– 1 σ2– ; B2+ 0= = B1 1–=⇒ B2 σ 1 σ2– -------------------.–= y 0( ) 1 C2+ 0= = dy dx ------ 0( ) C2– C1+ 0= = C2⇒ C1 1– .= = y 1 σ σ2 1–+ 2 σ2 1– -----------------------------e σ– σ2 1–+( )x σ– σ2 1–+ 2 σ2 1– ---------------------------------e σ– σ2 1––( )x.––= y 1 e σx– 1 σ2– x( )cos σ 1 σ2– ------------------- 1 σ2– x( )sin+ .–= y 1 e x– x 1+[ ]–= . ω0t u E ----. σ 1Ͼ Q 1 2 ---Ͻ     u E ---- 1 σ σ2 1–+ σ2 1– -----------------------------e σ– σ2 1–+( )ω0t σ– σ2 1–+ σ2 1– ---------------------------------e σ– σ2 1––( )ω0t .+ += σ 1Ͻ Q 1 2 ---Ͼ     u E ---- 1 e σω0t– ω0 1 σ2– t( )cos σ 1 σ2– ------------------- ω0 1 σ2– t( )sin+–= ω ω0 1 σ2– .= T 2π ω ------ 2π ω0 1 σ2– -------------------------- T0 1 σ2– -------------------.= = = σ 1= Q 1 2 ---=     u E ---- 1 e ω0t– ω0t 1+[ ].–= i C du dt ------.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 51.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 51 3.4. Résistance critique La valeur limite correspond à la valeur critique de R : • Le régime est apériodique si (amortissement important). • Le régime est pseudo-périodique si (faible amortissement). • Le régime est critique si (amortissement critique, cas limite sans réalité physique). 3.5. Durée du régime transitoire • En régime apériodique, le terme dont la décroissance est la plus lente donne la durée caractéristique du régime apériodique : • En régime pseudo-périodique et en régime critique, c’est l’enveloppe exponentielle qui donne la durée caractéristique du régime : 3.6. Régime permanent continu En régime permanent continu : ; ; 3.7. Courbes normalisées 3.8. Bilan énergétique • Énergie stockée par le condensateur pendant le régime transitoire : • Énergie stockée par la bobine pendant le régime transitoire : σ 1= RC RC 2 L C ---.= R RCϾ R RCϽ R RC= e σ– σ2 1–+( )ω0t τ 1 σ– σ2 1–+( )ω0 ---------------------------------------------.= e σ– ω0t τ 1 σω0 ---------- 2Q ω0 -------.= = UCp E= ULp 0= Ip 0.= Fig. 9 i CE ω0 ---------------- u E ---- ω0t ω0t 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 5 10 15 20 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 10 15 205 En trait fin, (régime pseudo-périodique) ; en points, (régime apériodique) ; en pointillés, (régime critique). σ 0,25= σ 3,5= σ 1= a) b) Évolutions de la tension (a) et de l’intensité (b) pour un circuit RLC soumis à un échelon de tension. WC 1 2 ---CUp 2 1 2 ---Cut 0= 2 – 1 2 ---CE 2.= = WL 1 2 ---LIp 2 1 2 ---Lit 0= 2 – 0.= = ©Nathan,classeprépa
  • 52.
    retenir l’essentiel 52 • Énergiefournie par la source pendant le régime transitoire : • Énergie dissipée par effet Joule dans le résistor pendant le régime transitoire : En régime permanent continu, le courant est nul, donc la puissance reçue par le circuit RLC est nulle. 4 Établissement d’un régime périodique forcé dans un circuit soumis à une tension périodique Lorsqu’on soumet un circuit RC, RL, ou RLC à une tension périodique de période T, un régime permanent périodique de même période T apparaît, après un régime transitoire de durée caractéristique du circuit ; on dit que c’est un régime périodique forcé. 4.1. Circuit RC soumis à une tension en créneaux Une tension en créneaux est une tension périodique qui prend une valeur constante pen- dant la première demi-période puis une valeur nulle pendant la seconde (courbe en cou- leur sur la figure 10). La figure montre qu’après un régime transitoire, un régime permanent périodique de même période que celle de la tension en créneaux est établi. On dit qu’il s’agit d’un régime périodique forcé car la source impose sa période au circuit. Le régime est établi quand lorsque les tensions extrêmes sont constantes ; la frontière entre les deux régimes n’est pas nettement marquée. 4.2. Circuit RLC soumis à une tension alternative sinusoïdale La figure 11 montre qu’après le régime transitoire le régime permanent périodique est établi. Il est alternatif sinusoïdal, de même période que celle de la tension source. On dit que le régime est sinusoïdal forcé ; son étude sera faite au prochain chapitre. WE = Ei dt E= 0 ∞ ∫ i dt EC= 0 ∞ ∫ du CE 2.= 0 ∞ ∫ WR WE WC WL–– 1 2 ---CE 2.= = Fig. 10 1 0,8 0,6 0,4 0 0,02 0,06 0,08 0,1 Régime transitoire Régime périodique forcé t Tension (en noir) aux bornes du condensateur d’un circuit RC soumis à une tension en créneaux (en couleur). 0,2 0,04 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 53.
    4 – CircuitsRC, RL, RLC série soumis à un échelon de tension 53 5 Approximation des régimes quasi permanents (ARQP) Considérons le circuit de la figure 12. Le condensateur C est initialement déchargé. Après la fermeture de l’interrupteur K, les ampèremètres indiquent-ils, à chaque instant, la même valeur de l’intensité ? L’expérience montre que l’intensité est en retard sur l’intensité : On dit que le courant se propage dans le circuit. Le retard est lié à la distance PQ et à célérité c des ondes électromagnétiques dans le vide par la relation : avec Une étude complète doit être menée dans le cadre de l’électromagnétisme ; elle sera abor- dée en deuxième année. La durée de propagation est négligeable si elle est très petite devant les durées caractéris- tiques d’un régime (temps de relaxation, période) ; on dit alors que le régime est quasi per- manent, ou quasi stationnaire. L’approximation des régimes quasi permanents (ARQP), ou approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) consiste à négliger les effets liés à la propagation des courants et des tensions ; l’intensité est la même en tous les points d’une branche d’un circuit. L’approximation est justifiée pour tous les circuits étudiés en électrocinétique. Fig. 11 15 5 0 –5 –10 –15 Régime transitoire Régime sinusoïdal forcé t Tension (en noir) aux bornes du condensateur d’un circuit RLC soumis à une tension sinusoïdale (en couleur). 10 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 K P E Q R C iQ (t )iP (t ) A A Fig. 12 iQ t( ) ip t( ) iQ t( ) ip t θ–( ).= θ θ PQ c --------,≈ c 3,0 ·108 ms 1– .= ©Nathan,classeprépa
  • 54.
    savoir résoudre lesexercices 54 1 Un condensateur déchargé est neutre. Quand on le charge, des charges opposées s’accumulent sur les armatures ; le condensateur reste neutre. Une des armatures porte la charge l’autre porte la charge : 2 Avec l’orientation imposée par le schéma, la tension est positive : 3 1 – Régime libre d’un circuit RC On considère un condensateur de capacité dont l’armature supérieure porte la charge placée dans le circuit suivant. Le résistor a une résis- tance 1 Quelle est la charge portée l’armature inférieure ? 2 Quelle est la tension aux bornes du condensa- teur ? 3 Quelle est l’énergie stockée par le condensa- teur ? À la date on ferme l’interrupteur K . 4 Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité ? 5 Quelles sont les valeurs de la tension et de l’intensité en régime permanent ? 6 Calculer la constante de temps du circuit. 7 Établir l’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur. 8 Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et du courant. 9 Tracer la courbe donnant la tension en fonction du temps. 10 Déterminer la date à laquelle la tension est égale à 1 % de la tension initiale. Exprimer le rapport et conclure. C 1,0 µF,= Q 0 10 µC,= R 10 kΩ.= Q0 C u R i K U0 WC t 0,= ut 0+= it 0+= Up Ip τ u t( ) i t( ) u t( ) θ θ τ --- résolution méthodique Q 0 10 µC,= Q 0 10 µC–= Q 0 CU0 ⇒= U0 10 V= WC 1 2 ---CU0 2 1 2 ---Q 0U0 50 µJ= = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 55.
    4 – CircuitsRC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 55 4 La tension aux bornes d’un condensateur est une fonc- tion continue, donc : Appliquons la loi d’Ohm au résistor R : 5 Le condensateur se décharge dans le résistor ; son énergie y est dissipée par effet Joule. En régime permanent : (car est nulle ) et 6 7 Appliquons la loi d’Ohm au résistor R : Soit dq la variation de la charge de l’armature supérieure pendant la durée Il vient : d’où : 8 L’équation précédente est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coef- ficients constants et à second membre nul. Appliquons la méthode donnée au § 1.2 de « Retenir l’essentiel » (point méthode 1). a. Solution de l’équation différentielle : avec b. Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension : c. Solution complète de l’équation différentielle : C u R i K ut 0+= ut 0–= U0 10 V= = = it 0+= ut 0+= R ------------- 1,0 mA= = Up 0= WCp Ip Up R ------ 0= = τ RC 10 ms= = u Ri.= dt . i dq dt ------– C– du dt ------,= = τ du dt ------ u+ 0= La relation ne s’applique que si le condensateur est en convention récepteur. En convention générateur il faut écrire : i C du dt ------= i C– du dt ------.= u Ae t τ --– = A cte.= ut 0+= ut 0–= U0 U0⇒ Ae0 A.= = = = u U0e t τ --– ; u t( ) 10e 100t– V( )== La résolution d’une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l’intro- duction d’une constante. Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : – de la tension aux bornes des condensateurs ; – ou de l’intensité du courant qui traverse les bobines. ©Nathan,classeprépa
  • 56.
    savoir résoudre lesexercices 56 On en déduit l’intensité en appliquant la loi d’Ohm : A.N. : 9 La courbe est celle tracée ci-contre. 10 La date à laquelle la tension est égale à 1 % de la tension initiale est telle que : s La décharge est pratiquement terminée à la date i u R --- U0 R ------e t τ --– = = 10 8 6 4 2 0 0,01 0,03 0,05 t s( ) u V( ) 0,02 0,04 0,06 i t( ) 1,0e 100t–= mA( ). θ uθ 10e 100θ– 10 1– e100θ⇒ 102= = = θ⇒ 10 2– 102( )ln 2 10 2– 10( )ln·= = 4,6 10 2–·= θ τ --- 5≈ θ 5τ.= La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée réelle d’un régime transitoire du premier ordre. Considérons les valeurs suivantes : ; ; On voit que la décharge est pratiquement terminée à la date u U0 ------ t τ= 37 %= u U0 ------ t 2τ= 13 %= u U0 ------ t 3τ= 5 %.= t 3τ.= • Faire attention aux conventions d’orientation des dipôles. – La relation pour le condensateur, et la relation pour la bobine ne s’appliquent que si ces dipôles sont en convention récepteur. – En convention générateur il faut écrire : et • La résolution d’une équation différentielle du premier ordre sans second membre impose l’introduction d’une constante. Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer la constante. La constante est déterminée en écrivant la continuité, selon le cas : – de la tension aux bornes des condensateurs ; – ou de l’intensité du courant qui traverse les bobines. • La constante de temps donne un ordre de grandeur de la durée d’un régime tran- sitoire du premier ordre. Le régime permanent est atteint à 1 % près au bout d’une durée égale à i C du dt ------= u L di dt -----= i C– du dt ------= u L– di dt -----.= τ 5τ. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 57.
    4 – CircuitsRC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 57 1 2 Le circuit RL ne comporte pas de générateur et l’interrupteur K est ouvert ; tous les courants sont nuls avant la fermeture de l’interrupteur. L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue donc : La tension aux bornes d’un condensateur est une fonction continue, donc : La loi d’Ohm aux bornes du résistor s’écrit : (il est en convention récepteur), d’où : 2 – Circuit RLC parallèle On considère le circuit suivant. Données : ; ; L’armature supérieure porte la charge À la date on ouvre l’interrupteur K. 1 Quelle est la tension aux bornes du conden- sateur avant la fermeture de l’interrupteur ? 2 Quelles sont les valeurs et de la tension et des intensités après fermeture de l’interrupteur ? 3 Établir l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. 4 Mettre l’équation différentielle sous la forme Calculer la pulsation propre le coefficient d’amortissement et le facteur de qualité Q du circuit. En déduire la nature du régime. 5 Mettre l’équation différentielle sous la forme canonique en posant et et résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et de l’intensité. 6 Tracer les courbes correspondantes. C 1,0 µF= L 0,10 H= R 1,0 kΩ.= Q 0 20 µC.= iR R i iL L C u K t 0,= U0 u0+, i0+, i L0+ i R0+ d2u dt 2 --------- 2σω0 du dt ------ ω0 2 u+ + 0.= ω0, σ d2y dx2 -------- 2σ dy dx ------ y+ + 0= x ω0t= y u U0 ------= u t( ) i t( ) résolution méthodique Q 0 CU0 ⇒= U0 20 V= i L0+ i L0– 0= = u0+ u0– U0 20 V( )= = = u Ri R= i R0+ u0+ R ------- U0 R ------ 20 mA( )= = = ©Nathan,classeprépa
  • 58.
    savoir résoudre lesexercices 58 La loi des nœuds permet d’écrire : 3 Écrivons les différentes relations entre les grandeurs qui vont nous servir : (loi des nœuds), et (loi d’Ohm). Il vient : Ce qui conduit à : 4 Divisons l’équation par LC : On peut alors identifier les termes recherchés : et et Remarque : Un circuit RLC série devient idéal quand ; il se réduit alors à un circuit . Pour réduire à un circuit LC un circuit RLC parallèle il faut que On comprend alors que les expressions du facteur de qualité de chacun des circuits soient inverses l’une de l’autre. Le régime est pseudo-périodique car l’amortissement est inférieur à 1 (facteur de qualité supérieur à 0,5). i0+ i R0+ i L0++ i R0+ 20 mA( )= = = i i L i R+= i C– du dt ------,= u L diL dt --------,= u Ri R= Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. u L di L dt --------- L d dt ----- i i R–[ ] L d dt ----- C– du dt ------ u R ---– L C– d2u dt 2 --------- 1 R --- du dt ------– .= = = = LC d2u dt 2 --------- L R --- du dt ------ u+ + 0= d2u dt 2 --------- 1 RC -------- du dt ------ u LC -------+ + 0.= ω0 1 LC ------------ 3,1 103 rad s 1–· ·= = 2ω0σ 1 RC -------- ⇒= σ 1 2R ------- L C ---- 0,16= = Q 1 2σ ------- R C L ---- 3,16= = = Les expressions de et de Q ne sont pas celles du circuit RLC série car les trois composants sont en parallèle. En série, alors que, σ Qsérie Lω0 R -------- 1 R --- L C ----,= = Qparallèle 1 Qsérie ----------- R Lω0 --------.= = R 0= LC R ∞.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
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    4 – CircuitsRC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 59 5 Voir § 3.2 de « Retenir l’essentiel » pour établir l’équation différentielle réduite. Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pour résoudre l’équation différentielle. a. Solution générale. • Équation caractéristique : Discriminant réduit : • Solutions : et avec et Les solutions sont complexes, le régime est pseudopériodique. • Solution de l’équation différentielle : avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : • Continuité de la tension aux bornes du condensateur : • Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine : Il faut chercher D’après la deuxième question, la condition implique Par ailleurs et ; donc D’où : c. Solution de l’équation différentielle Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimensions. Cela simplifie sa résolution. r2 2σr 1+ + 0.= ∆ σ2 1– 0,98– ?Moi= = r 1 σ– j ∆–+= r 2 σ– j ∆– ,+= ∆ j2 ∆–= j2 1.–= y e σx– A ∆– x( )cos B ∆– x( )sin+[ ],= ut 0+= ut 0–= U0 yx 0=⇒ 1 A⇒ 1.= = = = iL0+ 0.= dy dx ------     0+ . iL0+ 0= i0+ iR0+ u0+ R ------- U0 R ------.= = = i0+ C du dt ------     0+ –= du dt ------ d U0y( ) d x ω0 ------     ------------------ U0ω0 dy dx ------= = dy dx ------     0+ 1 Cω0 ---------- du dt ------     0+ – i0+ Cω0U0 ------------------– 1 RCω0 ---------------– 2σ.–= = = = dy dx ------     0 σA– B ∆–+ 2σ– B⇒ σ– ∆– -----------.= = = C’est bien en écrivant la continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine que l’on détermine la constante B. Mais ici, comme parfois, la détermination de la relation entre les constantes est indirecte. y e σx– ∆– x( )cos σ ∆– ----------- ∆– x( )sin– .= La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l’intro- duction de deux constantes : Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs, – et de l’intensité du courant qui traverse les bobines. ©Nathan,classeprépa
  • 60.
    savoir résoudre lesexercices 60 A.N. : Sachant que et que il vient : L’expression de l’intensité se déduit de la relation On vérifie qu’à la date l’intensité est égale à 20 mA. 6 Les courbes sont tracées ci-dessous. y e 0,158x– 0,987x( )cos 0,16 0,987x( )sin–[ ].= Il faut maintenant revenir à la fonction en utilisant les relations etu t( ) x ω0t= u U0 y.= ω0 3,1 103 rad s 1–· ·= U0 20 V,= u t( ) 20e 5,0– 102t· 3,1 103t·( )cos 0,16 3,1 103t·( )sin–[ ] V( )= i C– du dt ------.= i t( ) e 5,0– 102t· 20 3,1 103t·( )cos 60 3,1 103t·( )sin+[ ] mA( )= t 0= 20 u V( ) i A( ) t s( ) t s( ) 15 10 5 0 −5 −10 0,002 0,0020,006 0,0060,01 0,01 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 −0,01 −0,02 −0,03 0,004 0,0080,004 0,008 • Une équation différentielle réduite (sous forme canonique) ne contient que des termes sans dimension. Cela simplifie sa résolution. • La résolution d’une équation différentielle du second ordre sans second membre impose l’introduction de deux constantes. Il faut écrire la solution complète de l’équation différentielle avant de déterminer les constantes. Les constantes sont déterminées en écrivant les continuités : – de la tension aux bornes des condensateurs, – et de l’intensité du courant qui traverse les bobines. • Le facteur de qualité Q d’un circuit RLC parallèle s’écrit Q R Lω0 ---------.= en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
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    4 – CircuitsRC, RL et RLC série soumis à un échelon de tension 61 1 La pulsation propre du circuit LC est : La résistance du circuit est nulle , donc : 2 Quand le circuit est fermé, la loi des mailles s’écrit : avec Il vient D’où : 3 – Circuit LC On considère le circuit ci-dessous. Données : et Le condensateur est chargé ; la tension à ses bornes est À la date on ferme l’interrupteur K. 1 Calculer la pulsation propre est du circuit. Quelle est la valeur du coefficient d’amortissement du circuit ? Quelle est la valeur du facteur de qualité Q ? 2 Montrer que l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur s’écrit : 3 Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions et de la tension et de l’intensité. 4 Calculer l’énergie totale du circuit. Conclure. C 1,0 µF= L 10 mH.= U0 20 V.= Cu L i Kt 0,= ω0 σ d2u dt 2 --------- ω0 2 u+ 0= u t( ) i t( ) résolution méthodique ω0 1 LC ------------ 1,0 104 rad s 1–· ·= = σ 0 et Q ∞= = On peut dire que la « qualité » du circuit LC est infinie. Le circuit LC est un circuit idéal, car dans la réalité la résistance d’une bobine n’est jamais nulle. L di dt ----- u– 0,= i C– du dt ------.= Il faut mettre un signe moins car le condensateur est en convention générateur. LC d2u dt 2 --------- u+ 0.= d2u dt 2 --------- ω0 2 u+ 0= ©Nathan,classeprépa
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    savoir résoudre lesexercices 62 3 Appliquons la méthode donnée dans « Retenir l’essentiel » (point méthode 2) pour résoudre l’équation différentielle. a. Solution générale de l’équation différentielle. • Équation caractéristique : • Posons avec Les solutions sont complexes : et • Solution de l’équation différentielle : avec A et B constantes réelles. b. Détermination des constantes en écrivant les conditions initiales imposées au circuit, à savoir : • Continuité de la tension bornes du condensateur : • Continuité de l’intensité du courant qui traverse la bobine : c. Solution de l’équation différentielle : ; A.N. : L’expression de l’intensité se déduit de la relation En effet : A.N. : 4 L’énergie du circuit est la somme des énergies des deux composants : ⇒ L’énergie totale est constante. Elle est égale à l’énergie initialement stockée dans le conden- sateur. r2 ω0 2 + 0 r2⇒ ω0 2 .–= = r2 j2ω0 2 = j2 1.–= r 1 jω0= r 2 jω0.–= u A ω0t( )cos B ω0t( ),sin+= ut 0+= ut 0–= U0 A⇒ U0.= = = i0+ i0– 0.= = i0+ C du dt ------     0+ – 0 du dt ------     0 ⇒ ω0B 0 B⇒ 0.= = = = = u U0 ω0t( )cos= u t( ) 20 1,0 104t·( ) V( )cos= i C– du dt ------.= i C– du dt ------ CU0ω0 ω0t( )sin= = i t( ) 0,20 1,0 104t·( ) A( )sin= Le régime d’un circuit LC est sinusoïdal. w wC wL+ 1 2 ---Cu2 1 2 ---Li 2+ 1 2 ---C U0 ω0t( )cos[ ]2 1 2 ---L CU0ω0 ω0t( )sin[ ]2+= = = w 1 2 ---CU0 2 ω0t( )cos[ ]2 ω0t( )sin[ ]2+( )= w 1 2 ---CU0 2 0,20 mJ= = Un circuit LC est un oscillateur électrique ; la tension et l’intensité sont des fonctions sinusoïdales du temps. L’énergie d’un circuit LC est constante ; elle est alternativement stockée par le con- densateur et par la bobine. C’est un circuit idéal, sans réalité physique. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
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    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé retenir l’essentiel 63 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 1 Introduction 1.1. Signaux sinusoïdaux 1.1.1. Définitions Un signal sinusoïdal fonction du temps s’écrit (fig. 1) : avec • Xm : amplitude du signal (Ͼ 0) ; • T est sa période (en s) : ; • : pulsation (en rad · s–1) ; • : fréquence (en Hz) ; • : phase à l’instant t ; • ϕ : phase à l’instant origine. Remarque : on appelle en général ϕ tout simplement « la phase » du signal. Point maths. Expression de la valeur moyenne d’une fonction périodique. Soit une grandeur périodique de période T. On note sa valeur moyenne : Xm T x (t ) t Fig. 1 x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= X t( ) X t T+( )= ω 2π T ------= f ω 2π ------= ωt ϕ+ Attention Les valeurs moyen- nes sont indépendan- tes du temps. x t( ) x t( )〈 〉 x t( )〈 〉 1 T --- x t( )dt. 0 T ∫= ©Nathan,classeprépa
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    retenir l’essentiel 64 La valeurmoyenne d’un signal sinusoïdal est nulle (voir tester ses connaissances, exercice 1 ). la valeur efficace de vaut (voir tester ses connaissances, exercice 1). 1.1.2. Différence de phase entre deux signaux synchrones Soit deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence (elles sont dites synchrones), et La différence de phase (déphasage) entre les deux signaux vaut est l’avance de phase du signal sur le signal ) Le décalage temporel entre les deux courbes correspond à un déphasage Sur la figure 2, le signal est en avance de phase sur : il atteint son maximum avant (voir exercice 2, rubrique tester ses connaissances). 1.1.3. Caractéristiques principales de l’instrumentation électrique au laboratoire a. Générateur de signaux électriques (GBF) Il permet de générer des signaux continus ou variables dans le temps, et notamment des signaux sinusoïdaux. La plupart des GBF comportent un fréquencemètre, qui permet de lire la fréquence du signal utilisé (de quelques Hz à quelques MHz). Pour la plupart des appareils – c’est ce que l’on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire, le signal est disponible entre une borne + et une borne – qui est reliée à la carcasse métal- lique de l’appareil, la masse (notion introduite au chapitre 3, § 3.2). b. Multimètre numérique Cet appareil a trois fonctions : • fonction ohmètre : mesure d’une résistance. La fonction ohmètre s’utilise en connectant les deux bornes de l’appareil à celles du dipôle (seul, sans être inséré dans un circuit) ; • fonction voltmètre : mesure d’une tension ; • fonction ampèremètre : mesure d’une intensité. Point maths. Expression de la valeur efficace d’une fonction périodique Soit une grandeur périodique de période T. On note sa valeur efficace : Signaux sinusoïdaux déphasés Attention Les grandeurs effica- ces sont indépendan- tes du temps. x t( ) Xe Xe x t( )2〈 〉 1 T --- x t( )2dt 0 T ∫ .= = Attention Le résultat n’est bien entendu valable que pour un signal sinusoïdal, il ne faut pas l’appli- quer, par exemple, à un signal créneau (– Xm, Xm). Xe Xm 2 -------= x t( ) Xm ωt ϕ+( )cos= Xe Xm 2 --------= x t( ) Xm ωt ϕ+( )cos= y t( ) Ym ωt φ+( ).cos= ∆ϕ φ ϕ.–= ∆ϕ y t( ) x t( ). Fig. 2 ∆t y (t ) t x (t ) ∆t ∆ϕ 2π∆t T ------------.= y t( ) x t( ) x t( ) Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
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    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 65 Les caractéristiques des fonctions ampèremètre et voltmètre présentées au chapitre 1, § 8.1 dans le cadre du régime stationnaire restent valables. En mode DC on mesure la valeur moyenne (utilisée par exemple pour mesurer des grandeurs continues) et en mode AC la valeur efficace d’une intensité ou d’une tension. Aucune des deux bornes de cet appareil n’est reliée à la terre de l’installation électrique. c. Oscilloscope Il permet de visualiser la forme de signaux électriques (oscillogramme). Il se branche comme un voltmètre. Il assure les fonctions de fréquencemètre, phasemètre (mesure du déphasage entre deux signaux) et voltmètre. Pour la plupart des oscilloscopes, une des deux bornes est reliée à la masse de l’appareil – c’est ce que l’on devra considérer dans les exercices, sauf mention contraire. 1.2. Introduction au régime sinusoïdal forcé sur l’exemple d’un circuit RLC Étudions le circuit RLC (fig. 3), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. La loi des mailles dans le sens indiqué donne : En utilisant et dérivant l’équation obtenue ci-dessus, on a : (E ) On a une équation différentielle du deuxième ordre avec deuxième membre sinusoïdal. La solution est de la forme • est la solution de l’équation différentielle (E ) sans second membre, c’est le régime libre, ce type de solution a été étudié au chapitre 4. En appelant le temps de relaxation, ou constante de temps, du circuit, on a disparaît donc au bout d’un temps de l’ordre de • est la solution particulière de l’équation différentielle, c’est le régime forcé, que l’on appelle aussi régime permanent ou établi. Compte tenu de la forme de est aussi une fonction sinusoïdale, de la forme se limite donc à au bout d’un temps de l’ordre de L’objet de ce chapitre est d’étudier le régime sinusoïdal forcé, on se placera donc systéma- tiquement dans le cas où le régime transitoire est amorti et donc négligeable. En fait, tout signal périodique (créneau, triangulaire…) peut se décomposer sous la forme d’une somme de signaux sinusoïdaux (analyse de Fourier). L’étude du régime sinusoïdal forcé que nous faisons dans ce chapitre est donc utilisable aussi pour traiter n’importe quel régime périodique forcé. La méthode la plus générale pour chercher consiste à remplacer par dans (E) et d’en déduire I et cela conduit à des calculs fastidieux. L’utilisation des nombres complexes permet de considérablement simplifier cette étude. Les équations différentielles seront en fait remplacées par une équation algébrique sur le corps des complexes. Attention Dans une installation électrique, toutes les prises de terre sont reliées entre elles. Les masses du GBF et de l’oscilloscope sont communes. L’oscilloscope et le GBF ayant donc une de leur borne au même potentiel (nul), il faudra en tenir compte lors de leurs branchements : leurs masses devront être reliées au même point du circuit. Circuit RLC série uR R uC uL L C q e i Fig. 3 e t( ) E ωt ϕ+( ).cos= e uR uC uL+ + e⇒ Ri L di dt ----- q C ---.+ += = i dq dt ------= de dt ----- L d2i dt2 -------- R di dt ----- i C ----.+ += i t( ) il t( ) if t( ).+= il t( ) τ il t( ) 0.= t ϾϾ τ lim il t( ) τ. if t( ) e t( ), if t( ) if t( ) I ωt ϕ+( ).cos= i t( ) if t( ).= t ϾϾ τ lim i t( ) if t( ) τ. if t( ) i t( ) I ωt ϕ+( )cos ϕ, ©Nathan,classeprépa
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    retenir l’essentiel 66 2 Utilisationdes nombres complexes 2.1. Grandeur complexe associée à un signal sinusoïdal À une grandeur réelle : on associe la grandeur complexe : On a On appelle l’amplitude complexe de On a On a les relations : On peut représenter dans le plan complexe (fig. 4). Si une grandeur réelle est solution d’une équation linéaire (différentielle ou non) à coeffi- cient constant, la grandeur complexe associée l’est également. 2.2. Dérivation et intégration Avec on obtient : 3 Impédances complexes 3.1. Définitions Considérons un dipôle linéaire représenté en convention récepteur (fig. 5). • Soit la tension instantanée. La tension en notation complexe se note ; est son amplitude complexe. • Soit l’intensité instantanée. L’intensité en notation complexe se note ; est son amplitude complexe. et La loi d’ohm en représentation complexe s’écrit : soit OM Xm= Ox ; OM( ) ϕ= ϕ Im X( ) Re X( ) M Fig. 4 Conseil Pour l’étude des régi- mes sinusoïdaux on aura en permanence besoin de manipuler les nombres comple- xes. Il est primordial que l’élève ait une bonne maîtrise de ce chapitre du cours de mathématiques pour pouvoir réussir les exercices d’électroci- nétique. x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= x t( ) Xm j ωt ϕ+( )( ).exp= x t( ) Re x t( )( ).= Xm Xm jϕ( )exp= x t( ). x t( ) Xm jωt( ).exp= Xm Xm= ϕ Xm( )arg=   . X x t( ) Xm j ωt ϕ+( )( ),exp= dx dt ------ jωx= xdt∫ 1 jω ----- x= i(t ) u(t ) Fig. 5 u t( ) Um ωt ϕu+( )cos= u t( ) Um jωt( )exp= Um Um jϕu( )exp= i t( ) Im ωt ϕi+( )cos= i t( ) Im jωt( )exp= Im Im jϕi( )exp= u t( ) Z i t( ),= Um ZIm.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
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    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 67 • Cette relation définit l’amplitude complexe du dipôle avec R la résis- tance du dipôle et S sa réactance, ces grandeurs s’expriment en Ohm (Ω). • est l’impédance (Ω) ; on a donc est donc l’avance de phase de la tension sur le courant L’inverse de l’impédance complexe est l’admittance complexe : avec G la conductance du dipôle et B sa susceptance, ces grandeurs s’expri- ment en Siemens (S). est l’admittance (S). 3.2. Résistor Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : donc On retrouve la loi d’ohm en régime continu (chapitre 1) pour les amplitudes des signaux sinusoïdaux 3.3. Bobine idéale Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : donc L’impédance complexe d’un résistor est L’impédance d’un résistor est La tension aux bornes d’un résistor est en phase avec l’intensité qui le traverse L’impédance complexe d’une bobine idéale est L’impédance d’une bobine idéale est La tension aux bornes d’une bobine idéale est en avance de phase de (quadrature avance) avec l’intensité qui la traverse. Z, Z R jS,+= Z | Z|= Z Z jϕ( )exp= Um ZIm= ϕu ϕ ϕi+=   ϕ u t( ) i t( ). Y 1 Z ----.= Y G jB,+= Y | Y|= i u Fig. 6 R Résistor en représentation récepteur u Ri= u R i Um⇒ RIm,= = Z R Um RIm= ϕu ϕi=   .= Z R.= Z | Z| R.= = ϕ 0=( ). i u Fig. 7 L Bobine idéale en représentation récepteuru L di dt -----= u L d i dt ------ Um⇒ jLω Im,= = Z jLω Um LωIm= ϕu ϕi π 2 ---+=      ⇒= Z jLω.= Z | Z| Lω.= = π 2 --- ©Nathan,classeprépa
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    retenir l’essentiel 68 • Caslimite haute fréquence : : la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert. • Cas limite basse fréquence : : la bobine est équivalente à un interrupteur fermé, donc à un fil. 3.4. Condensateur idéal Cette relation linéaire est donc valable aussi pour les grandeurs complexes associées : donc • Cas limite haute fréquence : : le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, donc à un fil. • Cas limite basse fréquence : : le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d’une bobine idéale L’impédance complexe d’un condensateur idéal est L’impédance d’un condensateur idéal est La tension aux bornes d’un condensateur est en retard de phase de (quadrature retard) avec l’intensité qui le traverse. Équivalence à basses fréquences et à hautes fréquences d’un condensateur ω ∞→( ) Z ∞→ ω 0→( ) Z 0→ Fig. 8 Basse fréquence Haute fréquence ω 0→ ω ∞→ i u Fig. 9 C Condensateur en convention récepteur i C du dt ------= i C du dt ------ Im⇒ jCωUm,= = Z 1 jCω ---------- Um Im Cω --------= ϕu ϕi π 2 ---–=     ⇒= Z 1 jCω ----------.= Z | Z| 1 Cω --------.= = π 2 --- ω ∞→( ) Z 0→ ω 0→( ) Z ∞→ Fig. 10 Basse fréquence Haute fréquence ω 0→ ω ∞→ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
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    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 69 4 Théorèmes généraux L’ensemble des théorèmes vus aux chapitres 1 et 3 pour le régime continu demeurent valables en régime sinusoïdal forcé, en remplaçant les grandeurs continues (tensions et intensités) par leurs amplitudes complexes et les résistances par des impédances. Les conseils et remarques donnés dans ces chapitres peuvent être transposés à l’identique. 4.1. Loi des mailles La loi des mailles vue au chapitre 1 est valable pour les tensions instantanées puisque l’on est dans le cadre de l’ARQS. En notant pour un sens de parcours donné de la maille, on a : En divisant la relation précédente par on obtient : 4.2. Loi des nœuds La loi des nœuds vue au chapitre 1 est valable pour les intensités instantannées puis- que l’on est dans le cadre de l’ARQS. En notant puisque la loi des nœuds est linéaire, on a : Loi des mailles en ARQS : • si la flèche tension pour l’amplitude complexe est dans le sens du parcours ; • si la flèche tension est dans le sens opposé à celui du parcours. Loi des mailles pour cinq dipôles u t( ), uk t( ) Uk jωt( )exp= εk uk 0 ⇒=∑ εk uk t( ) 0.=∑le long d’une maille le long d’une maille jωt( ),exp εk Ukm 0.=∑le long d’une maille εk +1= Uk εk 1–= Uk D1 Maille parcourue dans le sens horaire U1m U2m– U3m U4m U5m––+ 0= D5 D4 D3D2 U1m U2m U3m U4m U5m Fig. 11 ik t( ), ik t( ) Ikm jωt( ),exp= εkik 0 εk ik t( ) 0=∑⇒=∑ ©Nathan,classeprépa
  • 70.
    retenir l’essentiel 70 En divisantla relation précédente par on obtient : La somme des amplitudes complexes des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des amplitudes complexes des courants qui en partent. 4.3. Loi des nœuds en termes de potentiel Considérons L dipôles d’impédances …, ayant un nœud commun. Soient … les amplitudes complexes des intensités de courant circulant dans chacun des dipôles et orientés vers le point N. Soit l’amplitude complexe du potentiel du nœud N et … les amplitudes complexes des potentiels de l’autre borne du dipôle considéré. La loi des nœuds s’exprime alors et peut s’écrire sous la forme : ou Remarques : 1. Le résultat ci-dessus est bien évidemment indépendant des sens d’orientation choisis pour les différentes intensités 2. En modifiant la position des termes, on arrive à l’expression du théorème de Millman : ou Loi des noeuds en ARQS : • si l’intensité est orientée vers le nœud ; • si l’intensité est orientée à partir du nœud. Attention. La loi des nœuds ne peut pas être appliquée pour les amplitudes des inten- sités. En effet : En effet, le module d’une somme de nombres complexes n’est pas égal à la somme de leurs modules. jωt( ),exp εk Ikm t( ) 0.=∑ εk +1,= εk 1,–= N I 1m I 2mI 3m I 4m Loi des noeuds pour quatre branchesFig. 12 I3m I4m I1m I2m––+ 0.= εk Ikm 0 εk Ikm εkIkm 0.= k ∑= k ∑⇒= k ∑ ( Z1, Z2, ZL ) (I1m, I2m, ILm) VNm V1m, V2m, VLm I1m I2m … ILm+ + + 0= V1m VNm– Z1 ----------------------------- V2m VNm– Z2 ----------------------------- … VLm VNm– ZL -----------------------------+ + + 0,= Y1 V1m VNm–( ) Y2 V2m VNm–( ) … YL VLm VNm–( )+ + + 0.= VNm V1m Z1 ---------- V2m Z2 ---------- … VLm ZL -----------+ + + 1 Z1 ------ 1 Z2 ------ … 1 ZL -------+ + + -----------------------------------------------------------= VNm Y1 V1m Y2 V2m … YL VLm+ + + Y1 Y2 … YL+ + + ---------------------------------------------------------------------------------.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 71.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 71 On peut remarquer que le potentiel du nœud N est le barycentre des potentiels des nœuds voisins affectés des admittances correspondantes. 4.4. Modélisation d’un dipôle actif 4.4.1. Source ou générateur idéal de tension C’est un dipôle actif qui impose une tension entre ses bornes, est appelée force électromotrice (f.é.m.). On note avec En général, on choisit 4.4.2. Source ou générateur idéal de courant C’est un dipôle actif qui impose un courant d’intensité est appelé courant électromoteur (c.é.m.), dans la branche dans laquelle il est placé. On note avec En général on choisit 4.4.3. Modélisation d’un générateur réel Dans de nombreuses applications, l’expérience montre qu’on peut modéliser un généra- teur réel par l’association : • d’un générateur idéal de tension (f.é.m. d’amplitude complexe et d’un dipôle en série dont l’impédance est appelée impédance interne du générateur • ou d’un générateur idéal de courant (c.é.m. d’amplitude complexe et d’un dipôle en parallèle dont l’admittance est appelée admittance interne du générateur Ces deux générateurs sont équivalents, les relations qui relient leurs caractéristiques sont éta- blies ci-dessous, elles sont équivalentes à celles obtenues en régime permanent (chapitre 3, § 3). N I 1 I 2 I 3 U1m U2m U3m V 2m V 1m Z 1 Z 3 Z 2 V 3m V N m Théorème de Millman pour trois branches ou VNm V1m Z1 ---------- V2m Z2 ---------- V3m Z3 ----------+ + 1 Z1 ------ 1 Z2 ------ 1 Z3 ------+ + ----------------------------------------------= VNm Y1 V1m Y2 V2m Y3 V3m+ + Y1 Y2 Y3+ + --------------------------------------------------------------------.= Fig. 13 e t( ) Em ωt ψ+( )cos= e t( ) e t( ) Em j ωt( )exp= Em Em jψ( ).exp= ψ 0.= i0 t( ) I0m ωt φ+( ).cos= i0 t( ) i0 t( ) I0m j ωt( )exp= I0m I0m jφ( ).exp= φ 0.= Em) Zg( ). I0m) Yg( ). Z g Im Z g ImEm Um Em Z g Im–= Um Iom Im Iom Y gUm–= Y g Iom Y gUm Fig. 14 ©Nathan,classeprépa
  • 72.
    retenir l’essentiel 72 5 Loisd’association 5.1. Association en série 5.1.1. Loi d’association pour les impédances 5.1.2. Diviseur de tension La figure ci-contre représente un divi- seur de tension : deux dipôles en série sont soumis à une tension d’amplitude complexe et on cherche la tension aux bornes de l’un d’eux. 5.1.3. Association de générateurs en série On considère N générateurs associés en série, caractérisés par l’amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes ..., Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de f.é.m. d’amplitude complexe et d’impédance interne complexe N dipôles d’impédances associés en série sont équivalents à un seul dipôle d’impédance égale à la somme des impédances de chacun d’eux : Association série de trois dipôles et Um Em Zg Im– Im⇒ Em Zg -------- Um Zg -------–= = Em Zg -------- Um Zg -------– Iom Yg Um– Iom Em Zg --------= Yg 1 Zg ------= ⇒= Z1 Z2 … ZN, , ,( ) Zeq Zeq Z1 Z2 … ZN+ + += Z 1 Z 2 Z 3 Z eq Z 1 Z 2 Z 3+ += I ≡ Fig. 15 Fig. 16 Z 1 Z 2 Um1 Um2 Um Diviseur de tension Im Um U1m Z1 Um Z1 Z2+ --------------------= U2m Z2 Um Z1 Z2+ --------------------.= E1m Zg1,( ), E2m Zg2,( ), ENm ZgN,( ). Eeqm Zeq. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 73.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 73 avec si la flèche correspond à est dans le même sens que celle correspon- dant à et dans le cas contraire. 5.1.4. Loi de Pouillet 5.2. Association parallèle Des dipôles sont en parallèle (ou en dérivation) quand tous les dipôles ont leurs deux bornes en commun, ils sont soumis à la même tension. L’intensité circulant dans une maille constituée de N dipôles d’impédances et N générateurs associés en série, caractérisés par l’amplitude complexe de leurs f.é.m. et impédances internes … est : avec si la flèche correspondant à est dans le même sens que celle correspondant à l’orientation de et dans le cas contraire. Loi de Pouillet pour trois générateurs et trois dipôles Eeqm ε1 E1m ε2 E2m … εk Ekm … εN ENm+ + + + += Zgeq Zg1 Zg2 … ZgN+ + +=   εk + 1= Ekm Eeqm εk 1–= Remarque Pour associer des générateurs en série, on utilise la représen- tation de Thévenin. E1m E2m EeqmE3m Um Um Z g1 Z g2 Z geqZ g3 Um ImIm ≡ Association série de trois générateursFig. 17 Eeqm E1m E2m E3m–+= Zgeq Zg1 Zg2 Zg3+ +=   . Z1 Z2 … ZN, ,( ) E1m Zg1,( ), E2m Zg2,( ), ENm ZgN,( ) Im ε1 E1m ε2 E2m … εk Ekm … εN ENm+ + + + + Zg1 Zg2 … ZgN Z1 Z2 … ZN+ + + + + + + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------= εk + 1= Ek I εk 1–= E1 E2 E3 Z g1 Z g2 Z g3 Z 1 Z 2 Z 3 I Fig. 18 I E1 E2 E3–– Zg1 Zg2 Zg3 Z1 Z2 Z3+ + + + + -------------------------------------------------------------------------------.= ©Nathan,classeprépa
  • 74.
    retenir l’essentiel 74 5.2.1. Loid’association pour les admittances 5.2.2.Diviseur de courant La figure ci-contre représente un diviseur de courant : deux résistors en parallèle sont soumis à un cou- rant d’amplitude complexe et on cherche l’intensité parcourant l’un d’entre eux : 5.2.3.Association de générateurs en parallèle On considère N générateurs associés en parallèle, caractérisés par l’amplitude complexe de leurs c.é.m. et admittances internes …, Ces N générateurs sont équivalents à un seul générateur de c.é.m. d’amplitude complexe et d’admittance interne avec si la flèche correspondant à est dans le même sens que celle de ) et dans le cas contraire. Remarque : les admittances s’associent comme au § 2.1.1. N dipôles d’admittance associés en parallèles sont équivalents à un seul dipôle d’admittance égale à la somme des admittances de chacun d’eux : soit Association parallèle de trois dipôles et Y1 Y2 … YN, , ,( ) Yeq Yeq Y1 Y2 … YN,+ + += Yeq 1 Zeq -------- 1 Z1 ------ 1 Z2 ------ … 1 ZN --------.+ + += = Y eq Y 1 Y 2 Y 3+ += Y eq 1 Z eq --------- 1 Z 1 ------ 1 Z 2 ------ 1 Z 3 ------+ += = I1m I2m I3m Y 1 Y 2 Y 3 ImIm ≡ Fig. 19 Diviseur de courantFig. 20 I1m I2m Y 1 Y 2 Im Um Im I1m Z2 Im Z1 Z2+ -------------------- Y1 Im Y1 Y2+ --------------------= = I2m Y2 Im Y1 Y2+ -------------------- Z1 Im Z1 Z2+ --------------------= = I0m1 Yg1,( ), I0m2 Yg2,( ), I0mN YgN,( ). Ieqm Yeq. Ieqm ε1 I0m1 ε2 I0m2 … εk I0mk … εN I0mN+ + + + += Ygeq Yg1 Yg2 … YgN 1 Zgeq ----------- 1 Zg1 -------- 1 Zg2 -------- … 1 ZgN -----------+ + +=    + + +=      εk + 1= I0k I0eq εk 1–= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 75.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 75 6 Étude d’un circuit RLC, résonances Revenons à l’étude du circuit RLC (fig. 22), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. 6.1. Résonance en intensité Cherchons l’expression de On utilise les amplitudes complexes : et La loi de Pouillet nous donne directement : et La courbe représentant l’amplitude de l’intensité du courant, s’appelle courbe de résonance en intensité. et étant positif, cette courbe passe par un maximum pour une valeur de que l’on appellera la pulsation de résonance. Le numérateur étant indépendant de est maximum lorsque le dénominateur est minimum. Association parallèle de trois générateurs Remarque Pour associer des générateurs en parallèle, on utilise la représentation de Norton. Y geq I0m1 Y g1 ≡ I0m2 Y g2 I0m3 Y g3 I0meq I0meq I0m1 I0m2– I0m3+= Ygeq Yg1 Yg2 Yg3+ + 1 Zgeq ----------- 1 Zg1 --------= 1 Zg2 -------- 1 Zg3 --------+ +    =      Fig. 21 URm Im L R UCm Em C Circuit RLC sérieFig. 22 e t( ) Em ωt( ).cos= i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos= Em Em= Im Im jϕ( ).exp= Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------= Im Im Im⇒ Em R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -----------------------------------------------.= = Im ω( ), Im 0( ) 0= Im 0.= ω ∞→ lim Im ω ωr, ω, Im ©Nathan,classeprépa
  • 76.
    retenir l’essentiel 76 on obtientdonc En utilisant et et en notant on peut écrire : avec est l’amplitude de la tension aux bornes du résistor R. Il y a donc résonance d’intensité pour toute valeur de Q et la pulsation de résonance est indépendante de Q. Soit et définis par : avec On caractérise la résonance par la bande passante Les solutions négatives n’ont pas de sens physique. On remarque que et ne sont pas symétriques par rapport à ce que l’on peut remarquer sur la figure 23. et (car on a donc : a pour solution positive a pour solution positive Lωr 1 Cωr ----------– 0 ωr⇒ 1 LC -----------,= = ωr ω0.= Remarque Cette pulsation de résonance corres- pond à la pulsation propre étudiée au chapitre 4, de même que le facteur de qua- lité Q. ω0 ω0 1 LC -----------= Q Lω0 R ----------= x ω ω0 ------,= URm RIm E D ----= = D 1 Q2 x 1 x ---–     2 += URm Im ωr( ) Immax E R ----.= = Fig. 23 Im Im max Im max 2 -------------- ω0ω1 ω2 ω Variation de l’amplitude de l’intensité avec la pulsation ω1 ω2 Im ω1( ) Im ω2( ) Immax 2 --------------,= = Immax I ω0 1 LC ------------=     E R ----.= = ∆ω ω2 ω1.–= Im ω( ) Imax 2 -----------= Em R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -----------------------------------------------⇒ Em R 2 -----------= R 2 R2 Lω 1 Cω --------–     2 += 2R2⇒ R2 Lω 1 Cω --------–     2 += R±⇒ Lω 1 Cω --------–= ω2 Rω L --------± ω0 2 –⇒ 0= ω2 Rω L -------- ω0 2 –+ 0= ω1 R– 2L ------- R2 4L2 --------- ω0 2 ++= ω2 Rω L -------- ω0 2 –– 0= ω2 R 2L ------- R2 4L2 --------- ω0 2 ++= ω2 ω1 ω0, ∆ω ω2 ω1– R L ---= = ∆ω ω0 -------- R Lω0 ---------- 1 Q ---= = Q Lω0 R ----------= ), Q ω0 ∆ω --------= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 77.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 77 6.1.1. Étude du déphasage avec ; puisque on a : La phase est donnée par sa tangente, il y a donc une indétermination sur le domaine de définition de la phase ; étudions le signe de (1) donc Remarque : On peut aussi trouver directement l’expression de à partir de l’expres- sion (1) de 6.1.2. Comparaison des courbes de résonance pour différentes valeurs de Q De la relation on peut déduire que le facteur de qualité Q caractérise la résonance : • plus Q est important, plus est petit : plus la résonance est dite « aigue » ; • plus Q est petit, plus est grand : plus la résonance est dite « floue ». Point maths. Soit a et b étant des grandeurs réelles. Alors on a : et ; ; ; ; ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′,–= = ϕ′ R jLω 1 jCω ----------+ +    arg R j Lω 1 Cω --------–    +     .arg= = ϕ′tan Lω 1 Cω --------– R ----------------------= ϕ–( )tan –= ϕ,tan ϕtan 1 Cω -------- Lω– R ----------------------= x a jb,+= ϕ( )tan b a --= 1 x ---    arg x( ).arg–= ϕ ϕ.cos Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------ R j Lω 1 Cω --------–    – R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -------------------------------------------= = Re Im( ) Im ϕ( )cos R R2 Lω 1 Cω --------–     2 + ------------------------------------------- 0,Ͼ= = ϕ π 2 --- ;– π 2 --- .∈ ϕtan Im. ϕ 0( )tan +∞ ϕ 0( )⇒ π 2 ---= = ϕ ω1( )tan 1 ϕ ω1( )⇒ π 4 ---= = ϕ ω0( )tan 0 ϕ 0( )⇒ 0= = ϕ ω2( )tan 1– ϕ ω2( )⇒ π 4 ---–= = ϕtan ∞– ϕ ∞( )⇒ π 2 ---–= = ω ∞→ lim π 2 --- π 4 --- π 2 ---– – π 4 --- ω0 ω1 ω2 ω Variation de la phase de l’intensité avec la pulsation ϕ rad( ) Fig. 24 ∆ω ω0 -------- 1 Q ---,= ∆ω ∆ω ©Nathan,classeprépa
  • 78.
    retenir l’essentiel 78 On représentesouvent en fonction de (fig. 25). On constate bien sur ce graphe que la pulsation de résonance, égale à est indépen- dante de Q. 6.2. Résonance en tension aux bornes du condensateur (ou résonance de charge) Cherchons l’expression de soit : L’application du diviseur de tension sur le circuit de la figure 22 conduit à : • ; • ; • et En utilisant et et en notant on peut écrire : passe par un maximum si D, et donc passe par un minimum. On doit calculer la dérivée de D. Il revient au même, et c’est plus simple, de dériver : d’où si On obtient donc (1) Cette fonction croissante avec Q n’est définie que si donc si Variation de l’amplitude de la tension aux bornes du résistor avec la pulsation pour Q = 0,5 ; 1 et 1,5 avec URm ω UR m E ω0 ω Q = 0,5 Q = 1 Q = 1,5 Fig. 25 ω0, uc t( ) Ucm ωt φ+( ),cos= Ucm Ucm jφ( ).exp= Ucm 1 jCω ----------     E R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------ E 1 jRCω LCω2–+ --------------------------------------------= = Ucm |Ucm| E 1 LCω2–( )2 RCω( )2+ -------------------------------------------------------------= = Ucm 0( ) E= Ucm ω( ) 0.= ω ∞→ lim Attention Le dénominateur n’est pas de la forme avec A constant, comme c’était le cas pour la résonance d’intensité car ici dépend de x. Il est donc inexact d’écrire que D est minimum si A2 B2 x( )+ A x Q ----= 1 x2– 0.= ω0 1 LC -----------= Q Lω0 R ----------,= x ω ω0 ------,= Ucm E D ----= D 1 x2–( )2 x Q ----     2 += Ucm D2, Conseil Lorsqu’une fonction D se présente sous la forme d’une racine il est toujours préféra- ble de dériver D2. D2 dD2 dx ---------- 2 2x–( ) 1 x2–( ) 2x Q2 ------,+= dD2 dx ---------- 0= 1 x2– 1 2Q2 ---------.= ωr ω0 1 1 2Q2 ---------–= 1 1 2Q2 ---------– 0у , Q 1 2 -------.у Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 79.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 79 La courbe passe donc par un maximum pour On parle de résonance de tension aux bornes du condensateur ou de résonance de charge car la charge du condensateur est proportionnelle à la tension. Il y a deux différences importantes entre la résonance d’intensité et la résonance de charge : la résonance de charge n’existe que pour des valeurs de Q suffisamment grandes et quand elle existe, la pulsation de résonance dépend de Q. Le calcul conduit à (2) On constate bien sûr sur ce graphe qu’il n’y a pas de résonance si et que la pulsation de résonance est d’autant plus grande que Q est grand 6.2.1. Étude du déphasage La courbe représentant en fonction de se déduit donc de la courbe représentant par un simple décalage vers le bas de donc Variation de l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation pour Q = 0,5 ; 1 et 1,5. Variation de la phase de la tension aux bornes du condensateur avec la pulsation Ucm ω( ) Q 1 2 -------.уAttention Les résonances d’in- tensité et de charge sont très différentes, il ne faut pas les confon- dre. Une erreur fré- quente consiste par exemple à écrire qu’il y a résonance de charge pour ωr ω0.= Ucm ωr( ) QE 1 1 4Q2 ---------– -----------------------.= Uc m ωr1 ω Q = 1,5 Q = 1 Q = 0,5 ωr1,5 Fig. 26 Q 0,5= (Q 1 2 -------Ͻ 0,71)= ωr1 ωr1,5Ͻ( ). Ucm 1 jCω ----------     Icm φ⇒ ϕ π 2 ---–= = φ ω ϕ π 2 ---,– φ 0 ; π–[ ].∈ 0 ω0 ω π 2 ---– π– φ(rad) Fig. 27 ©Nathan,classeprépa
  • 80.
    retenir l’essentiel 80 6.2.2.Cas particulierimportant : L’expression (1) conduit à On peut aussi montrer que étant la bande passante définie comme au 6.1. On retrouve donc des résultats similaires à ceux de la résonance d’intensité pour cette limite de valeurs de Q élevées. Un autre résultat, propre à la résonance de charge est particulièrement intéressant : de l’expression (2) on arrive à L’amplitude de la tension aux bornes du condensateur est donc égale à l’amplitude de la tension délivrée par le générateur multipliée par Q. Elle peut donc atteindre des valeurs considérables pour des valeurs de Q élevées. On appelle d’ailleurs aussi Q « facteur de surtension » pour cette raison. Q ϾϾ 1 2 ------- ωr ω0.= Q ω0 ∆ω --------,= ∆ω Ucm ωr( ) QE.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 81.
    savoir résoudre lesexercices 5 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé 81 p 1 On note Pour résoudre le problème, on utilise les grandeurs complexes associées à et à : et avec et La loi de Pouillet nous donne alors directement : 1 – Circuits RC, RL et RLC série 1 On étudie le circuit RC série ci-contre, soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. : Le régime forcé est supposé établi. Établir l’expres- sion de l’intensité du courant circulant dans ce cir- cuit. Données : ; ; ; 2 Même question pour un circuit RL. On prendra les mêmes valeurs numériques avec 3 Même question pour un circuit RLC série : calculer l’expression de avec les valeurs numériques données au 1. et au 2. Comment aurait-il été possible d’obtenir les résultats des questions 1. et 2. à partir de celui obtenu pour ce cir- cuit RLC série ? R Ce(t) i(t) e t( ) Em ωt( ).cos= Em 10 V= ω 63.102rad s 1–·= R 1,0 kΩ= C 0,16 µF.= L 91 mH.= i t( ) résolution méthodique i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos= e t( ) i t( ) e t( ) E m jωt( )exp= i t( ) Im jωt( ),exp= E m Em= Im Im jϕ( ).exp= Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transformer les grandeurs réelles en grandeurs complexes associées. Connaissant on obtient : avec x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= x t( ) Xm jωt( )exp= Xm Xm jϕ( ).exp= Im Em R 1 jCω ----------+ --------------------.= Seules les grandeurs réelles ont un sens physique, les résultats sont donc fréquemment demandés sous forme réelle. Or les calculs sont menés avec les grandeurs complexes associées. Il faut donc, à la fin du calcul, faire le passage inverse à celui du départ : « projeter » les grandeurs complexes en gran- deurs réelles. C’est une difficulté importante pour les élèves, surtout pour ce qui concerne la phase. ©Nathan,classeprépa
  • 82.
    savoir résoudre lesexercices 82 et avec ; et puisque on a : On a donc avec • R et sont des impédances ; • ; • L’amplitude de la tension est bien homogène à une tension et est sans dimension. A.N. : ou Pour connaître la bonne valeur de évaluons : ; Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelle Connaissant avec • L’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe • La phase de est l’argument de x t( ) Xm jωt( ),exp= x t( ) Xm ωt ϕ+( ).cos= Xm x t( ) Xm . ϕ x t( ) Xm . Im | Im| ⇒= Im Em R 2 1 Cω --------     2 + ----------------------------------= ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′–= = ϕ′ R 1 jCω ----------+    arg R j Cω --------–    arg= = ϕ′tan 1 Cω --------– R ------------ 1 RCω ------------–= = ϕ–( )tan ϕ,tan–= ϕtan 1 RCω ------------= i t( ) Em R 2 1 Cω --------     2 + ---------------------------------- ωt ϕ+( ),cos= ϕtan 1 RCω ------------.= Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues. 1 Cω -------- Im[ ] Em[ ] Z[ ]2 Z[ ]2+ -------------------------------- Em[ ] Z[ ] ------------= = ϕ( )tan[ ] Z[ ] Z[ ] --------.= ϕtan Im 10 1,0 103·( )2 1 0,16 10 6–· 63 102·× ----------------------------------------------------     2 + --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7,1 mA.= = ϕtan 1 1,0 103· 0,16 10 6– 63 102·×·× ------------------------------------------------------------------------------- 1 ϕ⇒ π 4 ---= = = 5π 4 ------. ϕ, ϕcos Im Em R 1 jCω ----------+ -------------------- Em R j Cω --------+     R2 1 Cω --------     2 + -------------------------------- Im ϕcos j ϕsin+( )= = = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 83.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 83 donc Donc 2 Avec les mêmes notations qu’au 1., la loi de Pouillet donne donc : et avec puisque on a : On a donc avec • R et sont des impédances ; • ; • L’amplitude de l’intensité est bien homogène à une intensité et est sans dimension. A.N. : ou Pour connaître la bonne valeur de évaluons : donc Donc ϕcos R R 2 1 Cω --------     2 + ---------------------------------- 0,Ͼ= ϕ π 4 ---.= i t( ) mA( ) 7,1 63 102t p 4 ---+·     .cos= Im Em R jLω+ --------------------,= Im | Im| ⇒= Im Em R 2 Lω( )2+ ---------------------------------= ϕ Imarg ϕ⇒ ϕ′–= = ϕ′ R jLω+( )arg= ϕ′tan Lω R --------,= ϕ–( )tan ϕ,tan–= ϕtan Lω R --------–= i t( ) Em R 2 Lω( )2+ --------------------------------- ωt ϕ+( ),cos= ϕtan Lω R --------.–= On vérifie l’homogénéité des expressions obtenues. Lω Im[ ] Em[ ] Z[ ]2 --------------- Em[ ] Z[ ] ------------= = ϕ( )tan[ ] Z[ ] Z[ ] --------.= ϕtan Im 10 1,0 103·( )2 0,091 63× 102·( )2+ -------------------------------------------------------------------------------------- 8,7 mA= = ϕtan 0,091 63× 102· 1,0 103· ---------------------------------------– 0,57– ϕ⇒ π 6 ---–= = = 5π 6 ------. ϕ, ϕcos Im Em R jLω+ -------------------- Em R jLω–( ) R 2 Lω( )2+ --------------------------------- Im ϕcos j ϕsin+( )= = = ϕcos R R 2 Lω( )2+ --------------------------------- 0Ͼ= ϕ π 6 ---–= i t( ) mA( ) 8,7cos 63 102t p 6 ---–·     .= ©Nathan,classeprépa
  • 84.
    savoir résoudre lesexercices 84 3. La loi de Pouillet donne En prenant on obtient : A.N. : ou 3,6 rad. Pour connaître la bonne valeur de évaluons : donc Donc : 0 Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------.= i t( ) Im ωt ϕ+( ),cos= Im Em R 2 Lω 1 Cω --------–     2 + ------------------------------------------------= et ϕtan 1 Cω -------- Lω– R ----------------------= Im 10 1,0 103·( )2 0,091 63× 102 1 0,16 10 6– 63× 102· · ----------------------------------------------------–·     2 + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9,2 mA= = ϕtan 1 0,16.10 6– 63.102× ----------------------------------------------- 0,091 63.102×– 1,0 103· ------------------------------------------------------------------------------------------- 0,42= = ϕ⇒ 0,42 rad= ϕ, ϕcos Re Im( ) Im ϕ( )cos R R 2 Lω 1 Cω --------–     2 + ------------------------------------------- 0,Ͼ= = ϕ 0,42 rad.= i t( ) mA( ) 9,2 cos 63 102t 0,42+·( )= • Pour obtenir les résultats cherchés au 1. pour un circuit RC, il suffit de faire tendre L vers zéro dans ces expressions. En effet, l’impédance de la bobine qui vaut tend vers zéro si L tend vers zéro. Une bobine d’inductance nulle est donc équivalente à un interrupteur fermé. Un cir- cuit RLC série pour lequel L est nul est donc équivalent à un circuit RC. • Pour obtenir les résultats cherchés au 2. pour un circuit RL , il suffit de faire tendre C vers l’infini dans ces expressions. En effet, l’impédance du condensateur qui vaut tend vers zéro si C tend vers l’infini. Un condensateur de capacité infinie est donc équivalent à un interrupteur fermé. Un circuit RLC pour lequel C est infini est donc équivalent à un circuit RL. Lω 1 Cω -------- Attention : Un condensateur de capacité nulle n’est pas équivalent à un interrupteur fermé, c’est une erreur assez fréquente. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 85.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 85 2 – Circuit RLC parallèle On considère un circuit composé de trois dipôles linéaires regroupés en parallèle : un résistor de résistance R , une bobine idéale d’inductance L et un condensateur idéal de capacité C. On suppose que le régime permanent est atteint. 1 Le circuit est alimenté par un générateur de courant idéal de c.é.m. a. Établir l’expression de la tension aux bornes du résistor, de la bobine et enfin du générateur. b. Donner l’allure de la courbe représentant la variation de l’amplitude de la tension aux bornes du résistor en fonction de Pour quelle valeur de est-elle maximale ? c. Soit la valeur maximale de On note et les deux pulsations pour lesquelles l’amplitude de la tension aux bornes du résistor est égale à Exprimer le facteur de qualité du circuit en fonction de R ,L et Cette expression correspond-t-elle à celle d’un circuit RLC série ? Commentaires. 2 Le circuit est alimenté par un générateur de tension idéal de f.é.m. Établir l’expression de l’amplitude de l’intensité traversant le générateur et donner l’allure de la courbe • Pour étudier un circuit en régime sinusoïdal forcé, il faut commencer par transfor- mer les grandeurs réelles en grandeurs complexes. Transformation d’une grandeur réelle en grandeur complexe associée Connaissant on obtient avec À la fin d’un calcul, on a souvent besoin d’un résultat « physique » et il faut faire la transformation inverse. Transformation d’une grandeur complexe en grandeur réelle – l’amplitude de de est le module de l’amplitude complexe ; – la phase de est l’argument de • Vérifier l’homogénéité des expressions obtenues en repérant les grandeurs homogè- nes à des impédances et en utilisant le fait que RC et sont homogènes à des temps (constantes de temps d’un circuit RC et d’un circuit RL). x t( ) Xm ωt ϕ+( ),cos= x t( ) Xm jωt( )exp= Xm Xm jϕ( ).exp= Xm x t( ) Xm ϕ x t( ) Xm . L R --- en conclusion i0 I0m ωt( ).cos= Um ω. ω Umax Um. ω1 ω2 ω1 ω2Ͻ( ) Umax 2 ------------. Q ω0 ω2 ω1– -------------------= ω0. e Em ωt( ).cos= Im Im ω( ). ©Nathan,classeprépa
  • 86.
    savoir résoudre lesexercices 86 1 a. Le générateur, le résistor, le condensateur et la bobine étant en parallèle, la tension est la même aux bornes de chacun d’eux. Soit et • avec ; • ; • Vérification de l’homogénéité est le rapport entre l’impédance d’une bobine et celle d’un condensateur, c’est donc une grandeur sans dimension ; ; b. et qui est une grandeur positive, passe donc par un maximum. Cherchons pour quelle valeur de L’expression de obtenue au 1. a. com- porte le facteur à la fois au numérateur et au dénominateur, ce qui rend l’étude de la recherche du maximum plus difficile que dans le cas étudié en cours pour le circuit RLC série. On peut facilement simplifier l’étude en divisant le numérateur et le déno- minateur par On obtient : Cette fraction est maximale si le dénominateur est minimal, donc si : soit résolution méthodique i 0 u u Um ωt ϕ+( )cos= Um Um jϕ( )exp= I0m I0m.= I0m Y Um ,= Y 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ += Um I0m 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ + ------------------------------------- I0mR jLω jLω R R LCω2–+ ---------------------------------------------- I0mRLω Lω jR 1 LCω2–( )– ------------------------------------------------= = = Um | Um | I0mRLω L2ω2 R 2 1 L Cω2–( )2 + ---------------------------------------------------------------.= = L Cω2 Lω 1 Cω --------     -------------= Um[ ] I0m[ ] Z[ ]2 Z[ ]2 ------------------------- I0m[ ] Z[ ]= = ϕ( )tan[ ] Z[ ] Z[ ] --------.= Um Ummax ωω0 Ummax 2 ---------------- Um 0( ) 0= Um 0= ω ∞→ lim Um, ω. Um ω ω. Um | Um | I0mRL L2 R 2 1 ω ---- L Cω–     2 + -------------------------------------------------------.= = 1 ω ---- L Cω– 0,= ω ω0 1 L C ------------.= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 87.
    5 – Circuitslinéaires en régime sinusoïdal forcé 87 c. Les solutions positives (seules pertinentes) de ces deux équations sont : et Vérification de l’homogénéité des relations de type : • le rapport est bien sans dimension (rapport entre deux impédances au carré). Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation en remarquant que est homogène à un temps, comme En effet, une pulsation est homogène à l’inverse d’un temps • Remarque : On peut aussi vérifier l’homogénéité de cette dernière relation directement en remarquant que RC est homogène à un temps. On remarque que ce facteur de qualité est l’inverse de celui d’un circuit RLC série. En fait, dans les deux cas, un facteur de qualité infini correspond à un circuit non amorti, constitué uniquement d’une bobine idéale et d’un condensateur. En effet, • Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au dénominateur, on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénominateur dépende de Il est alors plus simple de chercher la valeur de pour laquelle cette fonction est extrémale. • Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cette fonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le minimum, il suffit de cher- cher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est pas possible, il faut dériver la fonction. ω ω. ω A2 B2 ω( )+ B2 ω( ) ω B ω( ) Um ω0( ) Ummax RI0m= = Um ω1 ω2,( ) Ummax 2 --------------- L L2 R 2 1 ω ---- L Cω–     2 + -------------------------------------------------------⇒ 1 2 -------= = 2L2 L2 R 2( 1 ω ---- LCω)2–+ L = R 1 ω ---- LCω–    ±⇒= Lω± R RLCω2– RLCω2 Lω± R–⇒ 0.= = ω1 1 2RC -----------– ∆ 2RLC ---------------+ 1 2RC ----------- 1– 1 4R 2 L2ω0 2 ------------++       = = ω2 1 2RC ----------- ∆ 2RLC ---------------+ 1 2RC ----------- 1 1 4R 2 L2ω0 2 ------------++       .= = Q ω0 ∆ω -------- ω0 ω2 ω1– ------------------- RCω0 R Lω0 ----------= = = = ⇒ Q R Lω0 ----------= ω1 1 2RC -----------– ∆ 2RLC ---------------+ 1 2RC ----------- 1– 1 4R 2 L2ω0 2 ------------++       .= = 4R 2 L2ω0 2 ------------ L R --- 1 ω0 ------. ω 2π T ------=     . 1 Cω -------- R[ ] ω[ ]⇒ 1 2RC ----------- .= = ©Nathan,classeprépa
  • 88.
    savoir résoudre lesexercices 88 • pour un circuit série, cela correspond à R très petit, et donc ; • pour un circuit parallèle, cela correspond à R très grand, et donc 2 Soit l’intensité du courant circulant dans le générateur. Avec les notations du 1. b. et en notant et on a : avec et donc passe par un minimum : pour Q Lω0 R ----------= Q ∞= R 0→ lim Q R Lω0 ----------= Q ∞.= R ∞→ lim Attention : Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R, L et C n’est pas toujours égal à (voir chapitre 4 exercice 4 de « Savoir résoudre les exercices »,) Lω0 R --------- i Im ωt ϕ′+( )cos= Im Im jϕ′( )exp= Em Em,= Im Immin ωω0 Im Y Em = Y 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ += Im 1 R --- 1 jLω --------- jCω+ +     Em Em jLω R RLCω2–+( ) R jLω ------------------------------------------------------------= = Em Lω jR 1 LCω2–( )– RLω ------------------------------------------------= Im | Im| Em L2ω2 R 2(1 LCω2)2–+ RLω ---------------------------------------------------------------------= = Im 0( ) ∞= Im ∞= ω ∞→ lim Im I0m Um --------Em,= Im Immin Em R -------,= ω ω0 1 LC -----------.= = • Quand on obtient une fonction comportant à la fois au numérateur et au déno- minateur, on essaye, lorsque c’est possible, de simplifier afin que seul le dénomina- teur dépende de Il est plus simple alors de chercher la valeur de pour laquelle cette fonction est extremum. • Quand le dénominateur se présente sous la forme avec A constant, cette fonction est minimale quand est minimale. Assez souvent, pour obtenir le mini- mum, il suffit de chercher la valeur de pour laquelle est nul. Si ce n’est pas possible, il faut dériver la fonction. • Le facteur de qualité pour un circuit comportant trois éléments R, L et C n’est pas toujours égal à w w. w A2 B2 ω( )+ B2 w( ) w B w( ) Lw0 R ----------. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 89.
    6 – Puissanceen régime sinusoïdal forcé retenir l’essentiel 89 Puissance en régime sinusoïdal forcé 1 Puissance instantanée et puissance moyenne 1.1. Notations utilisées Considérons un dipôle D linéaire représenté en convention récepteur (figure 1). On note et où R est la résistance du dipôle et S sa réactance, On peut écrire R et S en fonction de Z et : En utilisant la loi d’ohm en représentation complexe, on a : est l’avance de phase de la tension sur l’intensité (déphasage). 1.2. Puissance instantanée Le dipôle D reçoit la puissance instantanée (convention récepteur). (1) Fig. 1 i(t) u(t) u t( ) Um ωt ϕu+( )cos= i t( ) Im ωt ϕi+( ).cos= Z R jS,+= Z Zexp jϕ( )= ϕ R Z ϕcos= S Z ϕsin=   Um Z Im= ϕu ϕ ϕi+=   ϕ p t( ) u t( ) i t( )= p t( ) Um ωt ϕu+( )Imcos ωt ϕi+( )cos= UmIm 2 --------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos ϕu ϕi–( )cos+[ ]= UmIm 2 --------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos ϕ( )cos+[ ]= ©Nathan,classeprépa
  • 90.
    retenir l’essentiel 90 Cette puissancevarie au cours du temps (figure 2) de façon sinusoïdale (pulsation autour de la valeur 1.3. Puissance moyenne – Facteur de puissance On verra sur des exemples (exercice 2) que dans de nombreuses applications, la grandeur pertinente n’est pas la puissance instantanée, mais la puissance moyenne : En effet, la valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale est nulle (voir exercice 1 de « S’entraîner », chapitre 5) et celle d’un terme constant est évidemment égale à ce terme. Le terme est appelé facteur de puissance. Remarque : La puissance moyenne est aussi appelée puissance active. 1.4. Autre expression de la puissance moyenne, valeur efficace Nous serons parfois amenés à utiliser une autre expression de Or donc : Seule la partie réelle R (la résistance) de l’impédance complexe intervient dans l’expression de la puissance moyenne reçue. Point maths. On a utilisé la formule Variation de la puissance instantanée La puissance moyenne s’écrit : a( )cos b( )cos 1 2 --- a b+( )cos a b–( )cos+[ ].= 2ω) ᏼmoy UmIm 2 --------------- ϕ( ).cos= p t( ) t p(t) ᏼmoy Fig. 2 ᏼmoyAttention On ne peut pas direc- tement utiliser les grandeurs complexes et pour cal- culer il faut uti- liser les grandeurs réelles et Nous développerons cette remarque dans l’exercice 4 de « Tester ses connaissances ». u t( ) i t( ) p t( ), u t( ) i t( ). ᏼmoy p t( )〈 〉 UmIm 2 --------------- 2ωt ϕu ϕi+ +( )cos〈 〉 ϕ( )cos〈 〉+[ ].= = ᏼmoy UmIm 2 --------------- ϕ( ).cos= ϕ( )cos ᏼmoy . Um ZIm ᏼmoy⇒ UmIm 2 --------------- ϕ( )cos Im 2 2 ------Z ϕ( ).cos= = = Z ϕ( )cos R ,= ᏼmoy RIm 2 2 -----------.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 91.
    6 – Puissanceen régime sinusoïdal forcé 91 Cette expression rappelle celle de la puissance dissipée en régime continu par effet joule dans un résistor de résistance R, au facteur près. Tout se passe en fait, du point de vue de la puissance moyenne reçue, comme si le dipôle était équivalent à un résistor de résis- tance R, le courant étant continu, de valeur dite efficace. On a donc : On retrouve ici la notion de valeur efficace développée au chapitre 5. On a donc aussi On peut alors écrire : Remarque : Cette relation n’est pas la même qu’en régime continu pour un résistor de résistance 1.5. Puissance moyenne reçue par les dipôles linéaires usuels 1.5.1. Résistors Le déphasage entre la tension et l’intensité étant nul, on a : Puisque on a aussi et donc : Cette puissance est irréversiblement dissipée sous forme de transfert thermique (effet joule). Remarque : pour arriver à l’expression de on pouvait aussi directement utiliser la formule établie au § 1.4. 1.5.2. Bobines idéales et condensateurs idéaux Le déphasage entre la tension et l’intensité pour une bobine et un condensateur étant respectivement ou on a : Ces dipôles ne reçoivent donc pas, en moyenne, de puissance : ils en reçoivent autant qu’ils en fournissent. Les bobines et condensateurs échangent réversiblement de l’énergie avec le reste du circuit (figure 3). Autre expression de la puissance moyenne : 1 2 --- Ie ᏼmoy RIm 2 2 ----------- RIe 2 Ie⇒ Im 2 -------.= = = Ue Um 2 -------.= ᏼmoy UeIe ϕ( )cos RIe 2 .= = Ue ZIe ᏼmoy⇒ R Ue 2 Z 2 ------------ R Ue 2 R2 S 2+ -------------------.= = = R ᏼ U 2 R -------=     . ϕ ᏼRmoy UeIe ϕ( )cos UeIe.= = Um RIm ,= Ue RIe= ᏼRmoy RIe 2 = ᏼRmoy ϕ + π 2 --- π 2 ---,– ᏼmoy UeIe ϕ( )cos 0.= = ©Nathan,classeprépa
  • 92.
    retenir l’essentiel 92 Remarque :pour arriver à l’expression de on pouvait aussi directement utiliser la for- mule établie au § 1.4. : la résistance d’une bobine idéale et d’un condensateur idéal est nulle. 2 Aspects énergétiques de l’étude du circuit RLC série 2.1. Bilan des puissances instantanées Considérons un circuit RLC série (figure 4), soumis à un générateur idéal de tension, de f.é.m. La loi des mailles dans le sens anti-horaire donne : soit Pour établir un bilan de puissance, multi- plions cette dernière relation par i : En utilisant on obtient : soit Le terme ei est la puissance fournie par le générateur, elle est évidemment égale à la somme des puissances reçues par la bobine le condensateur et le résistor : On reconnaît dans cette expression l’énergie emmagasinée par la bobine et l’énergie emmagasinée par le condensateur : Puissance moyenne reçue par une bobine idéale (a) et un condensateur idéal (b) a) b) ᏼLmoy u t( )i t( )〈 〉 0= = ᏼCmoy u t( )i t( )〈 〉 0= = CL i(t) u(t) i(t) u(t) Fig. 3 ᏼmoy PCSI PTSI Fig. 4 uR R q C L i e uC uL e Em ωt( ).cos= uL uC uR+ + e,= L di dt ----- q C --- Ri+ + e.= Conseil On retiendra que pour établir un bilan de puissance d’un circuit série il suffit d’écrire la loi des mailles et la multi- plier par l’intensité parcourant le circuit. i t( ) L di dt ----- q C --- Ri+ +     ei.= i dq dt ------,= L 2 --- di2 dt -------- 1 2C ------- dq 2 dt --------- q C --- Ri2+ + ei ,= d dt ----- Li2 2 --------     d dt ----- q 2 2C -------     Ri2+ + ei.= Attention est bien la puissance fournie et non pas reçue car le dipôle est en conven- tion générateur. pg ei= pg pL , pC pR pL pC pR+ + pg.= wL wC d dt -----wL d dt -----wC pR+ + pg .= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 93.
    6 – Puissanceen régime sinusoïdal forcé 93 2.2. Bilan des puissances moyennes En faisant la valeur moyenne du bilan des puissances instantanées, on obtient : Or nous avons vu que les puissances moyennes reçues par une bobine et un condensateur sont nulles, on a donc : 2.3. Résonance en puissance étant la valeur efficace de l’intensité Cherchons l’expression de On utilise les amplitudes complexes et La loi de Pouillet nous donne directement : Alors ; et donc En utilisant et on obtient l’expression : La courbe représentant (figure 5) s’appelle courbe de résonance en puissance. Cette courbe est liée à la courbe de résonance en intensité (voir chapitre 5, § 6.1), puisque est proportionnel au carré de l’amplitude de l’intensité de courant. Soit On définit la bande passante par avec et tels que Cela correspond aux relations pour l’intensité. On retrouve donc la bande passante définie pour l’étude des résonances d’intensité et de charge. Les condensateurs et bobines ne participent donc pas au bilan de puissance moyenne en régime sinusoïdal forcé. Les caractéristiques de la résonance de puissance sont les mêmes que celles de réso- nance en intensité : il y a toujours résonance, pour toute valeur de Q, pour pL〈 〉 pC〈 〉 pR〈 〉+ + pg〈 〉.= pR〈 〉 pg〈 〉.= ᏼRmoy pR〈 〉 RIe 2 ,= = Ie i t( ). i t( ) Im ωt ϕ+( ).cos= Em Em= Im Im jϕ( ).exp= Im Em R jLω 1 jCω ----------+ + ------------------------------------.= Im Im Im⇒ Em R2 Lω 1 Cω --------–     2 + -----------------------------------------------= = Ie Im 2 -------,= ᏼRmoy RIe 2 R Em 2 2 R2 Lω 1 Cω --------–     2 +     -----------------------------------------------------.= = ω0 1 LC -----------= Q Lω0 R ----------,= ᏼRmoy Em 2 2R 1 Q2 ω ω0 ------ ω0 ω ------–     2 +     ----------------------------------------------------------.= ᏼRmoy ω( ) ᏼRmoy ω ω0.= ᏼRmoymax Em 2 2R ------- ᏼRmoy ω0( ).= = ∆ω ω2 ω1,–= ω1 ω2 ᏼRmoy ω1( ) ᏼRmoy ω2( ) ᏼRmoymax 2 ------------------------.= = Im ω1( ) Im ω2( ) Immax 2 --------------= = ©Nathan,classeprépa
  • 94.
    retenir l’essentiel 94 ω ᏼRmoymax ᏼRmoymax 2 ---------------- ω0ω1 ω2 ᏼRmoy Résonancede puissanceFig. 5 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 95.
    savoir résoudre lesexercices 6 – Puissance en régime sinusoïdal forcé 95 1 2 Les pertes joules dans les câbles du réseau électrique EDF proviennent de la résis- tance non nulle de ces câbles, que l’on appellera : est d’autant plus grand, pour donné, que est grand. 3 On considère le dipôle D ′ constitué de l’ensemble {D + condensateur en parallèle}, d’impédance alimenté par le générateur de f.é.m. La puissance moyenne reçue par D′ est la même que celle reçue par D. En effet le condensateur reçoit, en moyenne, une puissance nulle. En appelant l’intensité efficace de et le déphasage entre et on a la relation : 1 – Relèvement du facteur de puissance Soit un dipôle quelconque D d’impédance et consommant une puis- sance Ce dipôle est alimenté par le secteur EDF, modélisé par un générateur de tension idéal de f.é.m. de pulsation et de valeur efficace 1 Donner l’expression de . 2 Montrer que l’on doit choisir un facteur de puissance le plus grand possible pour limiter les pertes Joule dans le réseau électrique EDF alimentant le dipôle. 3 En fait, EDF impose que les installations électriques doivent présenter un facteur de puissance supérieur à 0,93. On doit donc parfois modifier le facteur de puis- sance d’un dipôle. On étudie ici la méthode consistant à placer en parallèle au dipôle un condensateur de capacité C. Établir en fonction de S, et l’expres- sion de la valeur de C qui permette d’obtenir un facteur de puissance égal à un. Z R jS+= ᏼmoy. e t( ) ω Ee. Ie Z ω résolution méthodique ᏼmoy UeIe ϕcos= ⇒ Ie ᏼmoy Ue ϕcos -------------------= Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l’intensité du courant qui le traverse. PJ R 0 PJ R 0I e 2 R 0 ᏼmoy Ue ϕcos -------------------     2 .= = PJ ᏼmoy ϕcos i ′(t ) e (t ) Z u (t ) ic (t ) C i (t ) D ′ Z ′( ) Z ′ e t( ). I ′e i ′ t( ) ϕ′ e t( ) i ′ t( ), ᏼmoy UeI ′e ϕ′.cos= ©Nathan,classeprépa
  • 96.
    savoir résoudre lesexercices 96 On cherche à obtenir un facteur de puissance égal à un, donc or réel. Si est réel, alors l’est également. en appelant Remarque : avec ou sans condensateur, le dipôle D est soumis à la même tension et il est parcouru par le même courant : le branchement en parallèle du condensateur n’altère en rien le fonctionnement de D. 2 – Adaptation d’impédance Soit un générateur de tension sinusoïdal de force électromotrice instantanée d’impédance complexe interne placé en série avec un réseau d’impédance complexe 1 Déterminer l’impédance du réseau pour laquelle le générateur lui fournit une puissance moyenne maximale. 2 Pour cette question, on considère que l’impédance du réseau est Exprimer la puissance reçue par le réseau et la puissance dissipée par effet joule dans la résistance interne du générateur. En déduire le rendement du dispositif. Pour quelle valeur de le rendement est-il maximal ? ϕ′ 0,= ϕ′ arg Z ′( ) 0 Z ′⇒= = Z ′ Y ′ • Un facteur de puissance égal à l’unité correspond à une impédance ou une admittance réelle (partie imaginaire nulle). • Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l’étude avec l’admittance. Y ′ 1 R j+ S( ) -------------------- jCω+ R jS– R2 S 2+ ------------------- jC ω+ R R2 S 2+ ------------------- j S– R2 S 2+ ------------------- Cω+    += = = Y ′ réel S– R2 S 2+ ------------------- Cω+⇒ 0= ⇒ C S ω R2 S 2+( ) ---------------------------- S ωZ 2 -----------= = Z Z .= Même si EDF ne le vérifie que rarement pour les particuliers, en revanche pour les installations industrielles EDF facture des « amendes » relativement importantes si le facteur de puissance est inférieur à 0,93. • Penser à utiliser la puissance moyenne reçue par un dipôle pour calculer l’intensité du courant qui le traverse. • Un facteur de puissance égal à l’unité correspond à une impédance ou une admit- tance réelle (partie imaginaire nulle). • Le montage étant en parallèle, il est plus simple de faire l’étude avec l’admittance. en conclusion Ee 2 ωt,cos Zg Rg jSg+= Z R jS.+= Z0 ᏼmoy Z0 . ᏼRg Rg Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 97.
    6 – Puissanceen régime sinusoïdal forcé 97 1 Soit avec et avec La puissance moyenne fournie au réseau est égale à celle reçue par le réseau, En posant on a (Essentiel du cours, § 1.4) Il faut donc chercher Utilisons la loi de Pouillet afin de déterminer : Alors Ainsi Pour R, et donné, est maximal si soit et si On a donc et soit : (grandeur conjuguée de ). Cette condition correspond à ce que l’on appelle l’adaptation d’impédance. 2 résolution méthodique e (t ) Z u (t ) i (t ) Z g u t( ) Ue 2 ωt φ+( )cos Re Um jωt( )exp( ),= = Um Ue 2 j φ( )exp= i t( ) Ie 2 ωt ψ+( )cos Re Im jωt( )exp( ),= = Im Ie 2 jψ( )exp= ᏼmoy. ϕ φ ψ,–= ᏼmoy UeIe ϕcos RI e 2 .= = Ie. Im Im Ee 2 Zg Z+ ----------------- Ee 2 Rg R+( ) j Sg S+( )+ --------------------------------------------------.= = Ie Im 2 ---------- Ee Rg R+( )2 Sg S+( )2+ ---------------------------------------------------------.= = ᏼmoy RI e 2 REe 2 Rg R+( )2 Sg S+( )2+ -----------------------------------------------------.= = • Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. • Avant de dériver l’expression de ᏼmoy repérer que le dénominateur est minimal pour S + Sg = 0. Rg Sg ᏼmoy S Sg+ 0,= S Sg.–= ᏼmoy RIe 2 REe 2 Rg R+( )2 -----------------------= = dᏼmoy dR ---------------- Ee 2 Rg R+( )2 2R Rg R+( )–( ) Rg R+( )2 ---------------------------------------------------------------.= dᏼmoy dR ---------------- 0= Rg R 2R–+ 0.= R Rg= S Sg,–= Z0 Zg ∗ = Zg ᏼmoy Z0 Zg ∗ =( ) RE2 2R( )2 -------------- E2 4R -------= = ᏼRg Z0 Zg ∗ =( ) RgIe 2 RgE 2 Rg R+( )2 ----------------------- RE 2 2R( )2 --------------= = = ᏼRg E 2 4R ------- ᏼmoy Z0 Zg ∗ =( )= = ©Nathan,classeprépa
  • 98.
    savoir résoudre lesexercices 98 La puissance fournie par le générateur de f.é.m. e (t) est égale à la somme des puis- sances reçues par le circuit électrique, soit Le rendement s’écrit donc : Ce rendement est maximal, égal à un si donc si La condition recherchée est donc La résistance de l’impédance complexe interne du générateur doit être nulle (mais bien entendu l’adaptation d’impédance, dans un tel cas n’a plus d’intérêt). De façon générale le rendement η est le rapport entre ce que l’on récupère (ce qui nous « intéresse ») et ce que l’on fournit (ce que l’on « dépense »). Ici, il s’agit de transférer de l’énergie électrique du générateur au réseau électrique. ᏼe ᏼe ᏼmoy ᏼRg .+= η ᏼmoy ᏼe ------------ 1 2 --- 50 %= = = ᏼmoy ᏼe,= ᏼRg 0.= Rg 0= Rg R 0= =( ), • Ne pas oublier que les résistances sont des grandeurs toujours positives alors que les réactances peuvent être négatives ou positives. • Avant de dériver l’expression de ᏼmoy pour chercher un extremum, repérer d’éven- tuelles relations simples permettant d’obtenir cet extremum. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 99.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre retenir l’essentiel 99 Transfert d’un système linéaire – Filtres du premier ordre 1 Fonction de transfert d’un quadripôle linéaire Filtre 1.1. Quadripôle Un quadripôle comporte quatre bornes : deux bornes d’entrée et deux bornes de sortie (figure 1). 1.2. Quadripôle linéaire Soit une tension sinusoïdale à l’entrée d’un quadripôle (pulsation ω, fréquence Le quadripôle est linéaire si, en régime forcé (appelé aussi régime harmonique), la tension de sortie est sinusoïdale : 1.3. Théorème de superposition Soit et deux tensions d’entrée. Soit et les tensions de sortie correspondan- tes. Alors la tension est la tension de sortie correspondant à la tension d’entrée et étant des constantes. Fig. 1 is us ChargeQuadripôle ie ue Générateur Tensions et intensités d’entrée et de sortie d’un quadripôle ue Uem ωt ϕe+( )cos= f ω 2π ------).= us Usm ωt ϕs+( ).cos= ue1 ue2 us1 us2 us λ1us1 λ2us2+= ue λ1ue1 λ2ue2,+= λ1 λ2 ©Nathan,classeprépa
  • 100.
    retenir l’essentiel 100 1.4. Fonctionde transfert d’un quadripôle linéaire 1.4.1. Définition 1.4.2. Expression Les coefficients sont réels et constants. 1.4.3. Ordre d’un quadripôle L’ordre est celui du polynôme de plus haut degré, ou 1.4.4. Module et argument • est le module de la fonction de transfert ; • est la phase de la fonction de transfert. 1.4.5. Valeur maximale et phase de la tension de sortie En notation complexe, et d’où : • Relations entre la tension d’entrée et la tension de sortie d’un quadripôle linéaire de fonction de transfert : et 1.4.6. Cas d’une tension d’entrée constante En régime permanent, la réponse d’un quadripôle à une tension d’entrée constante peut-être considérée comme celle d’une tension périodique de fréquence nulle (période infinie) : 1.5. Quadripôle passif, quadripôle actif Un quadripôle est passif quand il ne comporte que des dipôles passifs comme R, L ou C. Il est actif s’il contient en plus des sources d’énergie électrique. Dans la pratique il s’agit d’un ou de plusieurs amplificateurs opérationnels fonctionnant en régime linéaire, dont la description est donnée figure 2. H jω( ) us ue -----= H jω( ) N jω( ) D jω( ) ----------------- N0 jωN1 jω( )2N2 … jω( )mNm+ + + + D0 jωD1 jω( )2D2 … jω( )nDn+ + + + --------------------------------------------------------------------------------------------------.= = N jω( ) D jω( ). H jω( ) H ω( ) ejϕ ω( )= H ω( ) ϕ ω( ) ue Uemej ωt ϕe+( ) = us Usmej ωt ϕs+( ) ,= H us ue ----- us⇒ Hue Usme j ωt ϕs+( ) ⇒ H ejϕUemej ωt ϕe+( ) .= = = ue Uem ωt ϕe+( )cos= us Usm ωt ϕs+( )cos= H H ejϕ ω( )= Usm H Uem= ϕs ϕe ϕ.+= Us Ue Us H ω 0=( )Ue.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 101.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 101 1.6. Filtre Un filtre idéal est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est nulle dans un domaine de fréquences caractéristique. Un filtre réel est un quadripôle linéaire pour lequel la tension de sortie est atténuée dans un domaine de fréquences caractéristique. 2 Diagramme de Bode d’un filtre 2.1. Forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre 2.2. Diagramme de Bode d’un filtre Le diagramme de Bode est la représentation de la fonction de transfert d’un filtre. Il est constitué de deux courbes : • la courbe de réponse en gain, exprimé en décibels, en fonction de ; • la courbe de réponse en phase en fonction de On peut aussi tracer les courbes et en fonction du loga- rithme décimal de la valeur numérique de noté Amplificateur opérationnel (AO) en régime linéaire • x est la pulsation réduite, ou fréquence réduite, avec • est la pulsation caractéristique du filtre, f 0 est la fréquence caractéristique. Point maths. L’expression « » désigne le logarithme décimal de x. Point maths. L’échelle logarithmique. Décade L’axe des abscisses de chacune des courbes et est gradué en échelle loga- rithmique (figure 3). Les valeurs de x sont en général représentées par décades ( 1, …). Une décade est l’intervalle de fréquence tel que : Fig. 2 us i+ 0= ε 0= u+ u– + − i− 0= • Le courant d’entrée inverseuse – est nul. • Le courant d’entrée non inverseuse + est nul. • La tension différentielle ε est nulle. Remarque. L’alimentation en énergie électrique n’est pas représentée. H jx( ) us ue ----- H x( ) ejϕ x( )= = x ω ω0 ------ f f0 -----.= = ω0 H jx( ) G x( ) 20log H jx( )= log x( ) ϕ x( ) log x( ). log x( ) G ω( ) 20log H jω( )= ϕ ω( ) ω, log ω( ). Attention Le point d’abscisse n’apparaît pas sur le diagramme de Bode puisque x 0= log 0( ) ∞.–= G x( ) ϕ x( ) …10 3– , 10 2– , 10 1– , 101, 102, 103 f1 ; f2[ ] f2 f1 ----- 10.= ©Nathan,classeprépa
  • 102.
    retenir l’essentiel 102 2.3. Bandepassante à -3 dB 2.4. Multiplication de la fonction de transfert par une constante Soit avec une constante réelle. • La courbe de réponse en gain de la fonction de transfert se déduit de celle de la fonction de transfert par trans- lation le long de l’axe des gains. • La courbe de réponse en phase de la fonction de transfert se confond avec celle de la fonction de transfert 3 Filtre passe-bas du premier ordre 3.1. Fonction de transfert Le terme en d’ordre 1, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de premier ordre donné au filtre. L’étude menée au § 2.4 nous permet de travailler dans la suite avec la valeur car la courbe de réponse en gain se déduit de celle de la fonction de transfert dans laquelle par translation le long de l’axe des gains et les courbes de réponse en phase sont identiques. La bande passante à – 3 dB d’un filtre est la bande de fréquence à l’intérieur de laquelle : ou (dB). Fonction de transfert et forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre : et • est appelée pulsation de coupure et fréquence de coupure. • est une constante réelle. • x est la pulsation réduite avec Fig. 3 10-3 X 2 X 1 1+= 10-2 10-1 10 102 103 x en échelle logarithmique X = log(x) en échelle linéaire 1 x2 10x1= X1 décade – 3 – 2 – 1 1 2 30 Principe de l’échelle logarithmique 1 x1 H H max 2 ----------------у G Gmax 3–у T jx( ) A0 H jx( ) A0 H x( ) ejϕ x( ) T x( ) ejθ x( )= = = A0 G x( ) 20log T jx( ) 20logA0 20log H jx( ) .+= = T jx( ) H jx( ) 20log A0( ) θ x( ) ϕ x( ).= T jx( ) H jx( ). H jω( ) H jx( ) H jω( ) A0 1 j ω ωc ------+ ------------------ A0 1 j f fc ----+ ----------------= = H jx( ) A0 1 1 jx+ --------------= . ωc fc A0 x ω ωc ------ f fc ----.= = ω ωc ------, A0 1= A0 1= 20logA0 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 103.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 103 3.2. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence de coupure 3.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et 3.2.2. Expression à la fréquence de coupure (x = 1) La courbe du gain en fonction de passe par le point La courbe de la phase en fonction de passe par le point 3.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et 3.3. Diagramme asymptotique de Bode • La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d’équations et reliées au point (0 ; 0). • La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du seg- ment vertical qui les relie. 3.4. Pente de l’asymptote haute fréquence En posant il vient dB/décade. Le gain dimi- nue de 20 dB quand la fréquence est multipliée par 10 (X augmente d’une unité) ; on dit que la pente de l’asymptote haute fréquence est égale à – 20 dB par décade. Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à basse fréquence, on cher- che un équivalent de la fonction de transfert à basse fréquence. Pour cela on ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en x, soit ici le terme 1 (degré nul). Point maths. Pour déterminer le comportement asymptotique à haute fréquence, on cherche un équivalent de la fonction de transfert à haute fréquence en ne conservant que le terme de plus haut degré en x, soit ici le terme x ϽϽ 1 H jx( )⇒ 1≈ H jx( ) ejϕ x( ) H jx( ) 1 GBF⇒≈ 20log 1( ) 0= = ϕBF 0=   ⇒= GBF 0= ϕBF 0.= f fc x⇒ 1 H jx( ) ejϕ x( )⇒ 1 1 j+ ----------- 1 2 ------- e j– π 4 --- H j( ) 1 2 ------- G x 1=( )⇒ 3 dB–= = ϕ x 1=( ) π 4 ---–=     ⇒= = = = log x( ) 0 ; 3 dB–( ). log x( ) 0 ; π 4 ---–     . x ϾϾ 1 H jx( )⇒ 1 jx ----≈ 1 x --- e j– π 2 --- H jx( ) ejϕ x( ) H jx( ) 1 x --- GHF⇒≈ 20– log x( )= ϕHF π 2 ---–=      ⇒= = Rappel 1 j --- j– e j– π 2 --- = = jx. GHF 20– logx= ϕHF π 2 ---.–= GBF 0= GHF 20– logx= ϕBF 0= ϕBF π 2 ---–= log x( ) 0,= X log x( ),= GHF 20X– dGHF dX -------------⇒ 20–= = ©Nathan,classeprépa
  • 104.
    retenir l’essentiel 104 3.5. Diagrammede Bode Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence de cou- pure suffisent pour donner l’allure du diagramme de Bode complet. Il peut être aussi tracé à l’aide d’un logiciel de calcul formel (traits en couleur sur la figure 4). a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians. Filtre passe-bas du premier ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point (0, 0). • La pente de l’asymptote haute fréquence du gain est égale à – 20 dB par décade. • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de 0 à • Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de x 1=( ) Fig. 4 G(x ) (dB) log(x ) ϕ(x ) (rad) − 0,2 − 0,4 − 0,6 − 0,8 −1 −1,2 −1,4 −1,6 −10 − 20 − 30 − 40 Bande passante a) − 2 − 1 1 2 0 0 log(x ) logx 1 b) − 1 Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas du premier ordre de fonction de transfert H jx( ) 1 1 jx+ --------------= Conseil Pour tracer l’asymp- tote haute fréquence du gain, il suffit de re- marquer qu’elle passe par les points (0 ; 0) et +1 20 dB–,( ). H jx( ) 1 1 jx+ --------------.= GBF 0= GHF 20– logx= ϕBF 0= ϕHF π 2 ---,–= log x( ) 0,= π 2 ---.– 0 ; π 4 ---–     log x( ). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 105.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 105 3.6. Bande passante à –3 dB Exemple du filtre passe-bas du premier ordre : • Détermination de la valeur maximale du module de la fonction de transfert : • Résolution de l’équation : 4 Filtre passe-haut du premier ordre 4.1. Fonction de transfert Le terme en d’ordre 1, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de premier ordre donné au filtre. Nous travaillerons dans la suite avec la valeur Point méthode. Détermination de la bande passante à –3 dB d’un filtre a) Déterminer la valeur maximale du module de la fonction de transfert. b) Résoudre l’équation Selon le cas, on travaille avec la pulsation, la fréquence ou la fréquence réduite. • Autre méthode : déterminer la valeur maximale Gmax du gain, puis résoudre l’équa- tion La bande passante à –3 dB d’un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure est : Fonction de transfert et forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du premier ordre : ; • est la pulsation de coupure et est la fréquence de coupure. • est une constante réelle. H max H H max 2 ----------------.= G Gmax 3.–= H max Hmax Hx 0= 1.= = H jx( ) 1 1 jx+ -------------- 1 1 x2+ ------------------- Hmax 2 ------------- x⇒ 1 f⇒ fc.= = = = = fc ∆f 0 ; fc[ ].= H jω( ) H jx( ) H jω( ) A0 j ω ωc ------ 1 j ω ωc ------+ ----------------- A0 j f fc ---- 1 j f fc ----+ ---------------= = H jx( ) A0 jx 1 jx+ --------------.= ωc fc A0 ω ωc ------, A0 1.= ©Nathan,classeprépa
  • 106.
    retenir l’essentiel 106 4.2. Comportementsasymptotiques et expression à la fréquence de coupure 4.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence (BF) On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et 4.2.2. Expression à la fréquence de coupure • La courbe du gain en fonction de passe par le point • La courbe de la phase en fonction de passe par le point 4.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence (HF) On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et 4.3. Diagramme asymptotique de Bode • La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 5a) est constituée des deux demi-droites d’équations et reliées au point ; • La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 5b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du seg- ment vertical qui les relie. 4.4. Pente de l’asymptote haute fréquence En posant il vient d’où dB/décade. Le gain aug- mente de 20 dB quand la fréquence est multipliée par 10 (X augmente d’une unité) ; la pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +20 dB par décade. Point maths. On ne conserve que les termes de plus bas degré en x, au numérateur et au dénominateur (1). f ϽϽ fc x⇒ ϽϽ 1 H jx( )⇒ jx≈ xe j π 2 --- H jx( ) ejϕ x( )= = H jx( ) x GBF⇒≈ 20log x( )= ϕBF π 2 ---=      ⇒ Rappel j e j π 2 --- .= jx( ) GBF 20log x( )= ϕBF π 2 ---.= x 1=( ) f fc x⇒ 1 H j( )⇒ H j( ) ejϕ 1( ) j 1 j+ ----------- 1 2 -------e j π 4 --- H jx( ) ejϕ x( )= = = = = = H j( ) 1 2 ------- G x 1=( )⇒≈ 3 dB–= ϕ x 1=( ) π 4 ---=     ⇒ log x( ) 0 ; 3 dB–( ). log x( ) 0 ; π 4 ---     . f ϾϾ fc x ϾϾ⇒ 1 H jx( )⇒ 1≈ H jx( ) ejϕ x( ) H jx( ) 1 GHF⇒≈ 0= ϕHF 0=   ⇒= GHF 0= ϕHF 0.= GBF 20logx= GHF 0= 0 ; 0( ) ϕBF π 2 ---= ϕHF 0,= log x( ) 0,= X log x( ),= GHF 20X,= dGHF dX ------------- 20= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 107.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 107 4.5. Diagramme de Bode Remarque : La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe-bas par translation positive de le long de l’axe des phases. a) Courbe du gain (en couleur) et courbe asymptotique du gain (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. Le gain est en décibels. b) Courbe de la phase (en couleur) et courbe asymptotique de la phase (en noir). On a porté log(x ) en échelle linéaire des abscisses. La phase est en radians. Filtre passe-haut du premier ordre, de fonction de transfert • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point • La pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +20 dB par décade. • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de à 0. • Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de Fig. 5 G(x) (dB) log(x) ϕ(x) (rad) 1 1,2 0,8 0,6 −10 −20 −30 −40 Bande passante a) − 2 − 1 1 2 log(x) b) 0,2 0,4 1,4 0 0 − 2 − 1 1 1,0 Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut du premier ordre de fonction de transfert H jx( ) jx 1 jx+ --------------= Conseil Pour tracer l’asymp- tote basse fréquence du gain, il suffit de re- marquer qu’elle passe par les points (0 ; 0) et (−1 ; −20 dB). H jx( ) jx 1 jx+ --------------.= GBF 20log x( )= GHF 0= 0 ; 0( ). ϕBF π 2 ---= ϕHF 0,= log x( ) 0,= π 2 --- 0 ; π 4 ---     log x( ). H jx( )[ ]passe haut jx 1 jx+ -------------- jx 1 1 jx+ -------------- xe j π 2 --- H jx( )[ ]passe bas ϕ x( )[ ]passe haut ⇒ π 2 --- ϕ x( )[ ]passe bas += = = = π 2 --- ©Nathan,classeprépa
  • 108.
    retenir l’essentiel 108 4.6. Bandepassante à –3 dB Application de la méthode donnée au § 3.6 • Détermination de la valeur maximale du module de la fonction de transfert : • Résolution de l’équation : 5 Prévision des comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre Les comportements à basse et à haute fréquences des condensateurs et des bobines idéales (figure 6) permettent de prévoir avant tout calcul les comportements asymptotiques d’un filtre. Remarques : Un filtre dont la tension de sortie s’annule à basse fréquence et à haute fréquence est un filtre passe-bande. Il sera étudié au prochain chapitre. La tension de sortie de certains quadripôles ne s’annule ni à basse fréquence ni à haute fréquence. Des exemples seront présentés en exercices. La bande passante à – 3 dB d’un filtre passe-haut du premier ordre de fréquence de coupure est Point méthode. Comportements asymptotiques d’un filtre • Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. • Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. • En déduire si le filtre est passe-bas ou passe-haut : – c’est un filtre passe-bas si la tension de sortie s’annule seulement à haute fréquence ; – c’est un filtre passe-haut si la tension de sortie s’annule seulement à basse fréquence. H max Hmax Hx ∞→ 1.= = H jx( ) jx 1 jx+ -------------- 1 1 1 x2 -----+ ------------------- Hmax 2 ------------- x⇒ 1 f⇒ fc.= = = = = fc ∆f f[ c ; ∞[.= Fig. 6 Comportements à basse et à haute fréquences d’un condensateur et d’une bobine Basse fréquence Haute fréquence Basse fréquence Haute fréquence Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 109.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 109 6 Équation différentielle d’un système du premier ordre – Stabilité 6.1. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert La forme générale de la fonction de transfert d’un filtre du premier ordre s’écrit d’où l’équation différentielle : 6.2. Stabilité du système Un système est stable lorsque sa réponse à une excitation est bornée, c’est-à-dire qu’elle ne tend pas vers l’infini quand le temps tend vers l’infini. Analysons la réponse d’un quadri- pôle du premier ordre (figure 7). 6.2.1. Régime libre (interrupteur ouvert) C’est la solution de l’équation différentielle Elle est de la forme avec K constante a priori non nulle. Cette solution converge vers zéro quand t tend vers l’infini si ; elle n’est pas bornée si (elle tend alors vers l’infini). Il faut donc que les coefficients et soient du même signe pour que le système soit stable vis-à-vis de la réponse libre. Sachant que la fonction de transfert s’écrit aussi sous la forme Il faut que les coefficients et soient du même signe pour que le système soit stable. On peut déduire l’équation différentielle d’un système du premier ordre en rem- plaçant chaque terme par l’opérateur dans la fonction de transfert. PCSI jω d dt ----- H jω( ) us ue ----- N0 jωN1+ D0 jωD1+ ---------------------------,= = D1 dus dt -------- D0us+ N1 due dt -------- N0ue+= Le quadripôle est soumis à la tension fournie par la source quand on ferme l’interrupteur. Fig. 7 u e u s Quadripôle du premier ordre usL D1 dusL dt ---------- D0usL+ 0.= usL Ke D1 D0 ------t– ,= D1 D0 ------ 0Ͼ D1 D0 ------ 0Ͻ D0 D1 x ω ω0 ------,= H jx( ) N′0 N′1 jx+ D′0 D′1 jx+ --------------------------.= D′0 D′1 ©Nathan,classeprépa
  • 110.
    retenir l’essentiel 110 6.2.2. Régimeforcé sinusoïdal (interrupteur fermé) Les amplitudes et des tensions d’entrée et de sortie sont liées par la relation (voir § 1.3.5) : L’amplitude de sortie est bornée (non infinie) si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. Pour faire l’étude d’un quadripôle nous supposerons a priori qu’il est stable. Les signes des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert montreront s’il en est bien ainsi. En cas d’instabilité, la réponse du système ne peut pas être sinusoïdale ; le quadripôle n’est pas linéaire. 7 Caractère intégrateur ou dérivateur d’un filtre 7.1. Caractère intégrateur à haute fréquence d’un filtre passe-bas du premier ordre À haute fréquence ( la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre se simplifie en : On en déduit l’équation différentielle : La tension de sortie est donc de la forme 7.2. Caractère dérivateur à basse fréquence d’un filtre passe-haut du premier ordre À basse fréquence la fonction de transfert : Un système du premier ordre est stable en régime libre si les coefficients et (respectivement et du dénominateur de la fonction de transfert (respectivement sont du même signe. Un système du premier ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné quelle que soit la fréquence. Un filtre passe-bas du premier ordre a un caractère intégrateur à haute fréquence. D0 D1 D′0 D′1) H jω( ) N0 jωN1+ D0 jωD1+ ---------------------------= H jx( ) N′0 N′1 jx+ D′0 D ′1 jx+ --------------------------)= Uem Usm Usm H jω( ) Uem.= PCSI f fc ---- ω ωc ------ ϾϾ 1),= H jω( ) us ue ----- A0 1 j ω ωc ------+ -----------------= = H jω( ) us ue -----= A0 j ω ωc ------ -------- j ω ωc ------ us⇒≈ A0 ue.= dus dt -------- ωcA0ue.= us A0ωc= uedt.∫ ( f fc ---- ω ωc ------ ϽϽ 1),= H jω( ) us ue ----- A0 j ω ωc ------ 1 j ω ωc ------+ -----------------,= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 111.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 111 d’un filtre passe-haut du premier ordre se simplifie en : On en déduit l’équation différentielle : Un filtre passe-haut du premier ordre a un caractère dérivateur à basse fréquence. H jω( ) us ue ----- A0 j ω ωc ------ us⇒ A0 j ω ωc ------ue.= = = us A0 ωc ------ due dt --------.= ©Nathan,classeprépa
  • 112.
    savoir résoudre lesexercices 112 1 Appliquons la méthode du cours. • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a). Les deux résistors sont traversés par le même courant ; ils sont en série. La branche réalise un diviseur de tension : • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé (figure b) donc La tension de sortie est nulle seulement à haute fréquence ; le filtre est un filtre passe-bas. 2 Soit l’impédance de l’association du condensateur et du résistor de résistance et son admittance. 1 – Filtre passif passe-bas On considère le filtre de la figure suivante. On donne et 1 Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En déduire sa nature. 2 Exprimer la fonction de transfert sous la forme Exprimer la constante et la constante de temps 3 Calculer la durée la fréquence de coupure et le gain maximal 4 À l’entrée du filtre, on injecte la tension sinusoïdale d’amplitude V et de fréquence Déterminer la tension de sortie. C 1,0 µF,= R1 1,0 kΩ= R2 3,0 kΩ.= is 0= R1 ue R2 usC H jω( ) A0 1 jωτ+ ------------------.= A0 τ. τ, fc, Gmax. ue t( ) Uem 2πft( )cos= Uem 10= f fc 10 ------.= us t( ) résolution méthodique R1, R2 us ue ----- R2 R1 R2+ ------------------- 0.≠= us 0.= L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’en connaître la nature. a) b) Haute fréquenceBasse fréquence is 0= R1 ue R1 is 0= ueR2 R2 us ue= us 0= Z R2, Y Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 113.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 113 Le courant de sortie est nul. Le résistor et le dipôle sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit (figure ci-contre) réalise un diviseur de tension qui permet d’exprimer facilement la fonction de transfert : Par identification, on obtient : La fonction de transfert est bien celle d’un filtre passe-bas, en accord avec la détermina- tion rapide de la première question. 3 4 Avec les données on a : Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. • Tension d’entrée en notation complexe : • Tension de sortie en notation complexe à partir de la fonction de transfert : avec et is 0= us ue R Z Z H jω( ) us ue ----- Z R1 Z+ ----------------- 1 1 R1 Y+ ---------------------= = = 1 1 R1 1 R2 ------ jCω++ -------------------------------------------- 1 1 R1 R2 ------+ ---------------- 1 1 j R1 1 R1 R2 ------+ ----------------Cω+ ------------------------------------ R2 R1 R2+ ------------------- 1 jω R1R2 R1 R2+ -------------------C+ ---------------------------------------.= = = Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente. A0 R2 R1 R2+ ------------------- et τ R1R2 R1 R2+ -------------------C== Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d’un quadripôle. τ 0,75= ms fc 1 2πτ --------- 0,21= = kHz H max A0 Gmax⇒ 20log A0( )= = Gmax 2,5 dB–= ωτ ω ωc ------ f fc ---- 1 10 ------.= = = ue Em 2πft( )cos ue⇒ Emej2πft.= = H jω( ) us ue ----- us⇒ H jω( )ue A0 1 jωτ+ ------------------ ue A0 1 ω2τ2+ ejα --------------------------------- Uemej2πft= = = = us A0Uem 1 ω2τ2+ ------------------------- ej 2πft α–( )= αtan ωτ.= ©Nathan,classeprépa
  • 114.
    savoir résoudre lesexercices 114 • Tension de sortie réelle en prenant la partie réelle de son expression complexe : rad. Finalement : 2 – Filtre actif passe-haut. Bilan de puissance On considère le filtre ci-contre. Le dipôle placé en sortie est un résistor de résis- tance Données : 1 Déterminer les comportements asymptotiques du filtre. En déduire sa nature. 2 Calculer la constante de temps du circuit RC. 3 Soit x la pulsation réduite avec Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite Dépend-elle de la résistance de charge ? 4 Quels sont la nature et l’ordre du filtre ? Calculer la fréquence de coupure 5 On place en entrée un générateur idéal de tension avec et de fréquence Déterminer la tension et l’intensité de sortie. 6 Calculer la puissance moyenne reçue par la charge ? Quelle est la puissance moyenne reçue à l’entrée de l’AO ? Que doit-on en conclure ? us A0Uem 1 ω2τ2+ ------------------------- 2πft α–( )cos 0,75 10· 1 10 2–+ ------------------------ 2πft α–( )cos= = 7,5 2πft α–( )cos≈ αtan 0,10 α⇒= 0,10≈ us t( ) 7,5 1,3 102t 0,10–·( ) (V)cos= • L’étude des comportements asymptotiques d’un quadripôle peut permettre d’en connaître la nature. • Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert confirme la prévision des comportements asymptotiques d’un quadripôle. • Lorsque des éléments d’un quadripôle sont en parallèle, on simplifie souvent la détermination de la fonction de transfert en utilisant l’admittance équivalente. en conclusion Rc. C 0,10 µF,= R 5,0 kΩ,= Rc 0,50 kΩ.= usue C R RC + − τ x ω ωc ------ f fc ---- RCω.= = = H jx( ). Rc fc. ue t( ) Em 2πft( )cos= Em 2,0 V= f fc 2 ----.= us t( ) is t( ) ᏼc ᏼ+ Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 115.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 115 1 Appliquons la méthode du cours. • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert. Il n’y a pas de courant dans le résistor R. L’analyse de la figure 1 conduit à • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé. L’analyse de la figure 2 conduit à La tension de sortie est nulle seulement à basse fréquence ; le filtre est un filtre passe- haut. 2 7 Dans la pratique, l’amplitude de l’intensité du courant de sortie est limitée à et l’amplitude de la tension de sortie est limitée à par un système électronique interne à l’AO. Déterminer : • la valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée ; • la valeur de la résistance de charge quand les amplitudes de la tension et de l’intensité sont maximales ; • la valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO. Ismax 20 mA= Usmax 13 V= Ue max R ′c ᏼc max résolution méthodique us 0.= is ue RC + − us u– 0= =R i+=0 u– u+ 0= = ε = 0 i– = 0 u+ Ri+ 0= = Figure 1 : Basse fréquence us ue.= is ue RC + − us u– ue= =R i+=0 u– u+ ue= = ε = 0 i– =0 u+ u–= Figure 2 : Haute fréquence τ RC 0,50 ms= = ©Nathan,classeprépa
  • 116.
    savoir résoudre lesexercices 116 3 Analysons la figure 3. Le courant d’entrée + est nul En conséquence, le condensateur C et le résistor R sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension : et La fonction de transfert ne dépend pas de la valeur de la résistance de charge. 4 On reconnaît la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du premier ordre. 5 Travaillons en notation complexe pour déterminer la tension de sortie. • Tension d’entrée en notation complexe : • Tension complexe de sortie exprimée à partir de la fonction de transfert : avec • Tension de sortie en prenant la partie réelle de son expression complexe : Finalement : is ue RC + − us R i+=0 u– ε = 0 i– =0 u+ Figure 3 C i+ 0=( ). u+ ue ------- R R 1 jCω ----------+ -------------------- jx 1 jx+ --------------= = H jx( ) us ue ----- us u– ------ u– u+ ------ u+ ue ------- jx 1 jx+ --------------.= = = { { 1= 1= Quand un circuit comporte un AO, mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courants d’entrée i + et i – sont nuls, la ten- sion différentielle d’entrée ε est nulle. Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pas de la charge. fc f RCω ------------ 1 2πRC --------------- 0,32 kHz= = = ue Em 2πft( )cos ue⇒ Emej2πft.= = H j 2 ---     us ue ----- us⇒ H j 2 ---     ue j 2 --- 1 j 2 ---+ ------------ ue j 2 j+ -----------Emej2πft e j π 2 --- ejα 5 -------------- Emej2πft Em 5 ------- e j 2πft π 2 --- α–+     = = = = = = αtan 1 2 ---.= us Em 5 ------- 2πft π 2 --- α–+     .cos= us t( ) 0,89 1,0 103t· 1,1+( ) (V)cos= us Rcis ⇒= is t( ) 1,8 1,0 103t· 1,1+( ) (mA)cos= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 117.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 117 6 La charge reçoit la puissance : Le courant d’entrée + de l’AO est nul ; la puissance transférée à cette entrée est nulle. C’est donc la source d’alimentation de l’AO (jamais représentée dans les schémas) qui fournit toute l’énergie à la charge. 7 • Valeur maximale de l’amplitude de la tension d’entrée : • Valeur de la résistance de charge : • Valeur maximale de la puissance moyenne de sortie de l’AO : Ne pas oublier que, contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en géné- ral non nul. ᏼc Us max 2 ---------------     2 Rc ------------------------ 0,89 2 ----------     2 5 102· ------------------- ᏼc⇒ 0,80 mW.= = = Uemax Ue max Usmax 5 29 V= = R′c R′c Us max Is max -------------- 0,65 kΩ= = ᏼc max ᏼc max 1 2 ---R′cIs max 2 0,13 W= = Rappel. La puissance moyenne ᏼ reçue par un résistor de résistance R traversé par un courant sinusoïdal d’amplitude et de valeur efficace s’écrit : Le montage de l’AO est appelé « montage en suiveur » car la tension de sortie est égale à la ten- sion d’entrée +. La puissance reçue par la charge est entièrement fournie par la source d’alimen- tation de l’AO. Les puissances mises en jeu par un AO sont toujours faibles. Malgré son nom, « amplificateur », il ne peut pas servir d’amplificateur de puissance d’une chaîne « HI-FI » par exemple, qui mettent en jeu des puissances de l’ordre de 10 watts. Imax Ie ᏼ RIe 2 1 2 -- RImax 2 .= = • Quand un circuit comporte un AO, il faut mettre en place tout de suite sur le schéma du circuit les caractéristiques de l’amplificateur opérationnel : les courants d’entrée i+ et i– sont nuls, la tension différentielle d’entrée est nulle. • Contrairement aux courants d’entrée, le courant de sortie d’un AO est en général non nul. • Dans son domaine normal d’utilisation, la tension de sortie d’un AO ne dépend pas de la charge. ε en conclusion ©Nathan,classeprépa
  • 118.
    savoir résoudre lesexercices 118 1 Appliquons la méthode du cours. • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert (figure a) ; il n’y a pas de courant dans les résistors. Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : d’où soit • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé donc (figure b). Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique) : d’où soit On peut déduire de ce comportement que ce quadripôle n’est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-haut. 2 Dans chacune des branches, le condensateur et le résistor sont en série. Chacun des circuits RC réalise un diviseur de tension, ce qui permet d’écrire : 3 – Passe-tout déphaseur du premier ordre On considère le quadripôle en sortie ouverte ci-contre. Il comprend deux résistors identiques de résistance R, et deux condensateurs identiques de capacité C. Données : 1 Déterminer les comportements asymptotiques du quadripôle. Reconnaît-on un filtre ? 2 Soit x la pulsation réduite définie par la relation Exprimer la fonction de transfert sous la forme canonique 3 Calculer le gain du quadripôle. Que peut-on en conclure ? 4 Tracer l’allure de la courbe de la réponse de la phase en fonction de C R R C ue us C 10µF,= R 100Ω.= RCω x.= H jx( ). ϕ x( ) log x( ). résolution méthodique ue uR us uR––– 0,= ue 0 us 0––– 0,= us ue.= uR ue= ue uR us uR––– 0,= ue ue us ue––– 0,= us ue.–= a) Basse fréquence b) Haute fréquence is 0= uR 0= uR uR 0= is 0= R uR R ueue us us R R uR ue ----- R R 1 jRCω --------------+ ------------------------ jx 1 jx+ --------------.= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 119.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 119 Appliquons la loi des mailles (sens trigonométrique sur la figure b) : d’où : On constate que la fonction de transfert n’est pas celle d’un filtre passe-bas, ni celle d’un filtre passe-haut, en accord avec l’étude rapide faite dans la première question. Le quadri- pôle est du premier ordre. 3 ! Le quadripôle n’est pas un filtre car le gain ne dépend pas de la pulsation. On dit que c’est un passe-tout déphaseur du premier ordre ; seule la phase dépend de la fréquence. 4 avec ; d’où d’où L’allure de la courbe de la réponse en fonction de se trace en plaçant quelques points dans le plan On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel. x 0,5 1 2 log(x) – 0,30 0 0,30 ϕ(x) en rad – 0,92 –2,2 Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. ue us 2uR+= H jx( ) 1 jx– 1 jx+ --------------= Il faut vérifier que l’expression de la fonction de transfert est en accord avec l’étude rapide. H jx( ) 1 x2+ 1 x2+ -------------- 1 G⇒ 20log H jx( ) 0= = = = H jx( ) 1 x2+ e jα– 1 x2+ ejα ------------------------------ e 2jα– ϕ x( )⇒ 2α–= = = αtan x= ϕ x( ) 2– arctan x( )= ϕ x Ͻ 1Ͻ( ) 2arctan 0( )–≈ 0= ϕBF 0.= ϕ x Ͼ 1Ͼ( ) 2arctan ∞( )≈ 2– π 2 ---×= ϕHF π.–= 1 2 3−1−2− 3 0 −2,5 − 3 −2 −1,5 −1 −0,5 (rad) log(x) ϕ x( ) log x( ) log x( ) ϕ x( ),( ). π 2 --– Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. en conclusion ©Nathan,classeprépa
  • 120.
    savoir résoudre lesexercices 120 4 – Intégrateur et pseudo-intégrateur à amplificateur opérationnel Soit le quadripôle actif ci-contre. Données : et 1 Exprimer la fonction de transfert On posera 2 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée. En déduire que ce montage est un circuit intégrateur. 3 À la date on applique en entrée un échelon de tension de valeur Déterminer la tension de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. 4 Il existe des tensions de saturation en sortie de l’AO, de valeurs Quelle est la valeur de saturation atteinte par la tension de sortie ? À quelle date ? 5 Dans la pratique, les tensions d’entrée s’écrivent sous la forme ε étant une tension constante appelée tension de décalage ; sa valeur peut être faible, mais jamais nulle. Pourquoi dit-on que le montage ne peut pas fonction- ner en intégrateur ? 6 La saturation de la tension de sortie peut être évitée en plaçant un résistor de résistance en parallèle avec le condensateur, comme indiqué ci- contre. a. Exprimer la fonction de transfert sous la forme : , avec une constante à exprimer et b. À quelle condition sur le produit le filtre a-t-il un caractère intégrateur ? On dit alors que c’est un pseudo- intégrateur. c. On considère que le filtre est intégrateur pour les fréquences supérieures à étant la fréquence de coupure du filtre. Quelle valeur de faut-il choi- sir pour que le filtre soit intégrateur pour des fréquences supérieures à 100 Hz ? d. Quel est alors l’effet d’une tension de décalage ? Conclure. PCSI ue us R C + − C 1,0µF= R 10 kΩ.= H jω( ). τ RC.= t 0,= E 1,0 mV.= us t( ) Usat 15 V.±= tsat ue t( ) ε f t( ),+= us C R ′ + − ue R R′ T jω( ) A0 1 jωτ′+ --------------------= A0 τ′ R′C.= ωτ′ 10f′c, f′c R′ E 20 mV= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 121.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 121 1 Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure) : 2 En remplaçant l’expression jω par il vient : La tension de sortie est une primitive de la tension d’entrée ; le circuit est un circuit inté- grateur. 3 . La continuité de la tension aux bornes du condensateur permet d’écrire (figure ci-contre) : Finalement : A.N. : 4 La tension de sortie décroît ; elle atteint donc la valeur négative –15 V de saturation de la tension. Il vient : résolution méthodique ue + − E i+ 0= ε 0= i– 0= R A S C us uA 1 R --- jCω+     uE R ----- jCωuS+ 0= = us 1 jRCω -------------- uE– H jx( )⇒ us ue ----- 1 jRCω --------------–= = = H jω( ) 1 jωτ --------–= On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) à l’entrée inverseuse – et à l’entrée non inverseuse + d’un AO car les courants d’entrée sont nuls. Il ne faut pas l’appliquer à la sortie d’un AO car le courant de sortie est en général non nul. d dt -----, uE jωτuS– ue⇒ τ– dus dt --------= = dus⇒ 1 τ ---uedt–= dus us 0( ) us t( ) ∫⇒ 1 τ ---– uedt 0 t ∫ ⇒= us us 0( ) 1 τ ---–= uedt 0 t ∫ ue R C u 0= uC + − us us us 0( ) 1 τ ---–= Edt E– t τ -- us 0( )+= 0 t ∫ uC 0( ) 0=( ) us 0( ) uC 0( )– 0.= = us t( ) E– t τ --= us t( ) 0,10t (V).–= us tsat( ) 0,10tsat– 15–= = tsat 1,5 102 s·= ©Nathan,classeprépa
  • 122.
    savoir résoudre lesexercices 122 5 Aussi petite que soit la valeur de la tension le terme varie de manière monotone ; il y a donc saturation de la sortie ; le montage ne peut pas fonctionner en intégrateur. 6 a. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A, de potentiel nul (figure ci-contre) : avec : b. Le filtre a un caractère intégrateur si on peut écrire : ce qui implique : c. La condition avec donne : A.N. : d. Une tension de décalage E en entrée provoque, en régime permanent, une tension de décalage en sortie d’expression : A.N. : Il n’y a donc pas de saturation en sortie ; le montage fonctionne en intégrateur pour des fréquences supérieures à 100 Hz. us 1 τ ---–= ε f t( )+[ ]dt 1 τ ---–= 0 t ∫ f t( )dt ε t τ --– . 0 t ∫ ε, ε– t τ -- ue + − E R A S C R us uA 1 R′ ----- jCω 1 R ---+ +     uE R ----- 1 R′ ----- jCω+     uS+ 0= = H jω( ) us ue ----- 1 R R′ ----- jRCω+ ---------------------------– R′ R -----– 1 1 jωτ′+ --------------------,= = = A0 R′ R -----–= H jω( ) R′ R -----– 1 jωτ′ ---------- 1 jωτ --------– ,= = ωτ′ Ͼ1Ͼ f fc′ ---- 10Ͼ f 100 Hz= f′c 10 2πR′C⇒Ͻ 1 10 ------.Ͼ R′ 16 kΩϾ . Us Us H ω 0=( )E R′ R -----E.–= = Us 1,6 mV– .= En régime permanent, une tension d’entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie correspondante s’écrit : Ue Us Us H ω 0=( )Ue.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 123.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 123 1 Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point A de la figure. Appliquons la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) au point B. 5 – Quadripôle déphaseur On considère le quadripôle ci-contre. Données : 1 Exprimer la fonction de transfert. Le quadripôle est-il stable ? 2 Exprimer le gain et la phase du qua- dripôle. Quelle est la nature de ce quadripôle ? 3 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée. On posera 4 À la date on applique en entrée un échelon de tension de valeur Déterminer la tension de sortie sachant que le condensateur est initialement déchargé. • On peut appliquer la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Mill- mann) à l’entrée inverseuse – et à l’entrée non inverseuse + d’un AO car les courants d’entrée sont nuls. • Il ne faut pas l’appliquer à la sortie d’un AO car le courant de sortie est en général non nul. • En régime permanent, une tension d’entrée constante peut-être considérée comme une tension sinusoïdale de fréquence nulle (période infinie). La tension de sortie correspondante s’écrit : Ue Us Us H ω 0=( )Ue.= en conclusion ue + − R C us R ′ R ′ C 0,22 µF,= R 47 kΩ.= τ RC.= t 0= E 1,0 V.= us t( ) résolution méthodique ue + − R C us R ′ E S A B i+ 0= ε 0= i– 0= R ′ uA 1 R′ ----- 1 R′ -----+     uE R′ ----- uS R′ -----+ 2u–⇒ ue us.+= = ©Nathan,classeprépa
  • 124.
    savoir résoudre lesexercices 124 avec • Autre méthode : utiliser la propriété du diviseur de tension réalisé par la branche RC (ils sont en série) : avec Les tensions d’entrée de l’AO sont égales ( donc : Les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert (1 et 1) étant du même signe, le quadripôle est stable. La fonction de transfert est la même que celle du quadripôle de l’exercice 3. Mais la pré- sence de l’AO rend son expression indépendante d’une charge que l’on placerait en sortie ; au contraire la fonction de transfert de l’exercice 3 serait modifiée, le courant de sortie n’étant alors pas nul. 2 et avec d’où : Le quadripôle n’est pas un filtre, c’est un passe-tout déphaseur (voir exercice 3 précédent). 3 En remplaçant l’expression par on obtient : et uB 1 R --- jCω+     uE R ----- jCω uM+= u+ 1 R --- jCω+     ue R ----- jCω 0+=⇒ u+ 1 jx+( )⇒ ue= x RCω.= u+ ue ------- 1 jCω ---------- R 1 jCω ----------+ -------------------- 1 1 jx+ --------------= = x RCω.= u– u+)= 2u– ue us+ 2u+ 2 ue 1 jx+ --------------= = = H jx( ) 1 jx– 1 jx+ --------------= Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : – la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) ; – la propriété d’un diviseur de tension ; – l’égalité des tensions d’entrée de l’AO (tension différentielle d’entrée nulle). H jx( ) 1 x2+ e jα– 1 x2+ ejα ------------------------------ e 2jα– H jx( )⇒ 1= = = ϕ x( ) 2α–= αtan x,= G 20log H jx( ) 0= = ϕ x( ) 2– arctan x( )= H jω( ) us ue ----- 1 jωτ– 1 jωτ+ ------------------ us 1 jωτ+( )⇒ 1 jωτ–( )ue us jωτ us+ ue jωτ ue.–=⇒= = = jω d dt ----- us τ dus dt --------+ ue τ due dt --------–= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 125.
    7 – Transfertd’un système linéaire – Filtres du premier ordre 125 4 L’équation différentielle s’écrit : Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et à second membre non nul. Appliquons la méthode résolution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre donnée dans « Retenir l’essentiel » du chapitre 4. • Solution générale de l’équation différentielle : avec A constante. • Détermination de la constante en écrivant la condition initiale imposée au circuit, à savoir la continuité de la tension aux bornes du condensateur. La relation est vala- ble à chaque instant, en particulier à la date d’où : • Solution complète de l’équation différentielle complète : A. N. : L’équation différentielle d’un système du premier ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme j ω par l’opérateur d dt -----. us τ dus dt --------+ E τ dE dt -------– us τ dus dt --------+⇒ E.= = us Ae t τ --– E,+= 2u+ ue us+= t 0,= 0 E us 0( )+ us 0( )⇒ A E+ E– A⇒ 2E.–= = = = us 2E– 1 e t τ --– –     .= τ RC 10 ms,= = us t( ) 2,0– 1 e 1,0.102t––( ) (V).= • Pour le calcul de la fonction de transfert, on utilise : – la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) – la propriété d’un diviseur de tension – l’égalité des tensions d’entrée de l’AO (tension différentielle d’entrée nulle). • L’équation différentielle d’un système du premier ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateurjω d dt -----. en conclusion ©Nathan,classeprépa
  • 126.
    retenir l’essentiel 126 Filtres du deuxièmeordre 1 Filtre passe-bas du deuxième ordre 1.1. Fonction de transfert Le terme en d’ordre 2, est celui dont l’ordre est le plus élevé d’où le nom de deuxième ordre donné au filtre. Remarque : Nous laissons le terme sans le remplacer par pour conserver à la fonction de transfert une forme analogue à celle utilisée en Sciences de l’Ingénieur : avec La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du deuxième ordre est : • est la pulsation caractéristique du filtre et la fréquence caractéristique. • Q est le facteur de qualité, est l’amortissement avec • est une constante réelle. La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du deuxième ordre est : avec H jω( ) A0 1 1 j 1 Q --- ω ω0 ------ j ω ω0 ------     2 + + --------------------------------------------- A0 1 1 j2σ f f0 ---- j f f0 ----     2 + + ----------------------------------------------.= = ω0 f0 σ σ 1 2Q -------.= A0 ω2 ω0 2 ------, H jx( ) A0 1 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- A0 1 1 j2σx jx( )2+ + ----------------------------------------- ,= = x ω ω0 ------ f f0 ----.= = jx( )2 x2,– H p( ) A0 1 2στp τ2p2+ + ----------------------------------------= τp jx.= PCSI PTSI Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 127.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 127 1.2. Comportements asymptotiques et expression à la fréquence caractéristique Nous travaillerons dans la suite avec la valeur puisque les courbes de réponses en gain se déduisent de celle de la fonction de transfert dans laquelle par simple translation le long de l’axe des gains et que les courbes de réponse en phase sont identiques. 1.2.1. Comportement asymptotique à basse fréquence On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et 1.2.2. Expression à la fréquence caractéristique et La courbe du gain en fonction de passe par le point Si alors ; si alors La courbe de la phase en fonction de passe par le point 1.2.3. Comportement asymptotique à haute fréquence et On en déduit l’équation de l’asymptote haute fréquence du gain : Quelle valeur de choisir ? Étudions C’est une fonction décroissante pour donc la phase décroît de la valeur à L’équation de l’asymptote haute fréquence du gain s’écrit : 1.3. Diagramme asymptotique de Bode La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 1a) est constituée des deux demi-droites d’équations et qui se coupent au point de coor- données Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus bas degré en , soit ici 1 (degré nul). Point maths. On ne conserve au dénominateur que le terme de plus haut degré en soit ici A0 1= A0 1≠ 20log A0( ) x Ͻ 1 H jx( )⇒ 1 1 ---≈ H e jϕ H 1 GBF⇒ 20log 1( ) 0= = = ϕBF 0=   ⇒=Ͻ x GBF 0= ϕBF 0.= x 1=( ) x 1 H j( )⇒ 1 1 j 1 Q --- 1–+ ------------------------ jQ– Qe j– π 2 --- H 1( )⇒ Q G x 1=( )⇒ 20log Q( )= = = = = = ϕ x 1=( ) π 2 ---.–= log x( ) 0 ; log Q( )( ). Q 1,Ͻ G 1( ) 0Ͻ Q 1,Ͼ G 1( ) 0.Ͼ log x( ) 0 ; π 2 ---–     . x Ͼ 1 H jx( )⇒ 1 jx( )2 ------------≈ 1 x2 -----– 1 x2 -----e jπ± H⇒= = 1 x2 -----≈Ͼ GBF⇒ 40– log x( )= ϕBF π.±= Rappel 1 j2 --- 1– e jπ± .= = x, jx( )2. GHF 40– log x( ).= ϕHF ϕtan 1 Q ---– x 1 x2– --------------.= x 1,Ͼ π 2 ---– π.– ϕHF π.–= GHF 0= GBF 40– log x( )= 0 ; 0( ). ©Nathan,classeprépa
  • 128.
    retenir l’essentiel 128 Pente del’asymptote basse fréquence En posant il vient : dB/décade. Le gain diminue de 40 dB quand la fréquence est multipliée par 10 ( augmente d’une unité) ; la pente de l’asymptote basse fréquence est égale à – 40 dB par décade. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 1b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. 1.4. Diagramme de Bode Les valeurs du gain et de la phase à basse et à haute fréquences et à la fréquence caracté- ristique ne suffisent pas pour donner l’allure du diagramme de Bode complet. Il faut ana- lyser la courbe selon les valeurs de (ou de Si il existe un maximum du gain de coordonnées : On dit qu’il y a résonance pour la fréquence correspondante. Le diagramme de Bode peut-être tracé à l’aide d’un logiciel de calcul formel (en couleur sur la figure 1). a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour courbes en traits pointillés pour X log x( ),= GHF 40X–= dGHF dX -------------⇒ 40–= X ϕBF 0= ϕHF π–= log x( ) 0,= Q σ). Q 1 2 -------,Ͼ log 1 1 2Q2 ---------–     ; 20log Q 1 1 4Q2 ---------– -----------------------                     . Remarque Pour tracer l’asymp- tote basse fréquence du gain, il suffit de remarquer qu’elle passe par les points et 0 ; 0( ) +1 ; 40 dB–( ). Fig. 1 –2 –1,5 –1 –0,5 0 –10 –20 –30 – 40 0,5 1 –2 –1 – 0,5 0 –1 –1,5 – 2 – 2,5 1 2 –3 a) b) log(x) ϕ(x) (rad)G(x) (dB) log(x) Diagramme de Bode d’un filtre passe-bas du deuxième ordre – π Q 2,= Q 0,25.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 129.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 129 2 Filtre passe-bande du deuxième ordre 2.1. Fonction de transfert 2.2. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur Filtre passe-bas du deuxième ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point • La pente de l’asymptote haute fréquence du gain est égale à –40 dB par décade. • Si il existe une résonance de pulsation réduite • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de 0 à • Le point est le centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxième ordre est : • est la pulsation propre (ou pulsation de résonance) du filtre et la fréquence propre (ou fréquence de résonance). • est le facteur de qualité, est l’amortissement, avec • est une constante réelle. La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxième ordre est : avec • Autre forme : H jx( ) 1 1 j x Q --- jx( )2+ + ----------------------------------.= GHF 0= GBF 40– log x( )= 0 ; 0( ). Q 1 2 -------,Ͼ xr 1.Ͻ ϕBF 0= ϕHF π,–= log x( ) 0,= π.– 0 ; π 2 ---–     log x( ). H jω( ) A0 j 1 Q --- ω ω0 ------ 1 j 1 Q --- ω ω0 ------ j ω ω0 ------     2 + + ---------------------------------------------- A0 j2σ f f0 ---- 1 j2σ f f0 ---- j f f0 ----     2 + + ----------------------------------------------.= = ω0 f0 Q σ σ 1 2Q -------.= A0 H jx( ) A0 j x Q --- 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- A0 2jσx 1 2jσx jx( )2+ + -----------------------------------------,= = x ω ω0 ------ f f0 ----.= = H jx( ) A0 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------- A0 1 1 j 2σ ------- x 1 x ---–    + ----------------------------------.= = A0 1.= H jx( )[ ] passe bande j x Q --- 1 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- e j π 2 --- x Q --- H jx( )[ ]passe bas ϕ x( )[ ] passe bande π 2 --- ϕ x( )[ ]passe bas +=⇒= = ©Nathan,classeprépa
  • 130.
    retenir l’essentiel 130 La courbede réponse en phase du filtre passe-bande se déduit de celle du filtre passe-bas du deuxième ordre par translation positive de le long de l’axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 2b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. 2.3. Courbe de réponse en gain 2.3.1. Comportement asymptotique à basse fréquence Équation de l’asymptote basse fréquence : 2.3.2.Gain à la fréquence propre La courbe du gain en fonction de passe par le point 2.3.3.Comportement asymptotique à haute fréquence Équation de l'asymptote haute fréquence : La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 2a) est constituée des deux demi-droites d’équations et qui se coupent au point 2.4. Diagramme de Bode a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour ; courbes en traits pointillés pour π 2 --- ϕBF π 2 ---= ϕHF π 2 ---–= log x( ) 0,= x Ͻ 1 H jx( )⇒ j x Q --- H⇒ x Q ---≈ ≈ GBF⇒ 20log x( ) 20– log Q( ).=Ͻ GBF 20log x( ) 20– log Q( ).= x 1 H j( )⇒ 1 H⇒ 1 G x 1=( )⇒ 0.= = = = log x( ) 0 ; 0( ). x Ͼ 1 H jx( )⇒ j Qx -------– H⇒ 1 Qx -------≈ ≈ GHF⇒ 20– log x( ) 20– log Q( ).=Ͼ GHF 20– log x( ) 20– log Q( ).= GBF 20log x( ) 20– log Q( )= GHF 20– log x( ) 20– log Q( )= 0 20– log Q( ),( ). Fig. 2 –2 –1 0 –20 –30 –40 1 0,5 –0,5 –1 –2–3 –1 0 21 2 – 50 3 10 –10 1 a) b) ϕ(x) (rad)G(x) (dB) log(x) log(x) Diagramme de Bode d’un filtre passe-bande du deuxième ordre π 2 --- π 2 ---– Q 0,2= Q 5.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 131.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 131 2.5. Bande passante à –3 dB Démonstration : Résolution de l’équation avec Il faut résoudre l’équation ; on a et et Finalement Filtre passe-bande du deuxième ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équations : et reliées au point • La pente de l’asymptote basse fréquence est égale à 20 dB par décade. • La pente de l’asymptote haute fréquence est égale à –20 dB par décade. • Il existe une résonance de pulsation réduite (égale à la pulsation propre réduite). Le module de la fonction de transfert est alors maximal, égal à 1. • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de à • Le point est centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de Bande passante d’un filtre passe-bande de fréquence propre et de facteur de qualité Q : ( (figure 3). H jx( ) j x Q --- 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------.= = GBF 20log x( ) 20– log Q( )= GHF 20– log x( ) 20– log Q( ),= 0 ; 20– logQ( ). x 1= ϕBF π 2 ---= ϕHF π 2 ---,–= log x( ) 0,= π 2 --- π 2 ---.– 0 ; 0( ) ϕ x( ) log x( ). ∆f f0 ∆f f0 Q ----= ∆x 1 Q --- )= et Fig. 3 Bande passante 0 – 5 –15 –0,5–1 10,5 G x( ) dB( ) –10 – 20 x( )log Q 1 3 ---= ∆x 3,3 0,30– 3,0.= = H H max 2 ----------------.= H 1 1 Q2 x 1 x ---– 2 + ------------------------------------ H max 2 ---------------- 1 2 -------= = = Q2 x 1 x ---– 2 ⇒ 1= Q x 1 x ---–⇒ ε,= ε 1.±= x2 ε Q ---x 1–– 0= ∆ 1 Q2 ------ 4+= x 1 2 --- ε Q --- ∆±= x1 1 2 --- 1 Q ---– ∆+=⇒ x2 1 2 --- + 1 Q --- ∆+ .= ∆x x2 x1– 1 Q ---.= = ©Nathan,classeprépa
  • 132.
    retenir l’essentiel 132 3 Filtrepasse-haut du deuxième ordre 3.1. Fonction de transfert et forme réduite 3.2. Courbe de réponse en phase Nous travaillons dans la suite avec la valeur La courbe de réponse en phase du filtre passe-haut se déduit de celle du filtre passe- bande du deuxième ordre par translation positive de le long de l’axe des phases. La courbe asymptotique de la phase (en traits noirs sur la figure 4b) est constituée des deux demi-droites d’équations et d’origine et du seg- ment vertical qui les relie. La fonction de transfert d’un filtre passe-haut du deuxième ordre est : • est la pulsation caractéristique du filtre et la fréquence caractéristique. • est le facteur de qualité, est l’amortissement, avec • est une constante réelle. La forme réduite de la fonction de transfert d’un filtre passe-haut du deuxième ordre est : avec H jω( ) A0 j ω ω0 ------     2 1 j 1 Q --- ω ω0 ------ j ω ω0 ------     2 + + --------------------------------------------- A0 j f f0 ----     2 1 j2σ f f0 ---- j f f0 ----     2 + + ----------------------------------------------.= = ω0 f0 Q σ σ 1 2Q -------.= A0 H jx( ) A0 jx( )2 1 j x Q --- jx( )2+ + ---------------------------------- A0 jx( )2 1 j2σx jx( )2+ + -----------------------------------------,= = x ω ω0 ------ f f0 ----.= = A0 1.= H jx( )[ ]passe haut jQx j x Q --- 1 j x Q --- jx( )2+ + ----------------------------------= e j π 2 --- Qx H jx( )[ ] passe bande ϕ x( )[ ]passe haut ⇒ π 2 --- ϕ x( )[ ] passe bande += = π 2 --- ϕBF π= ϕHF 0,= log x( ) 0,= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 133.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 133 3.3. Courbe de réponse en gain 3.3.1. Comportement asymptotique à basse fréquence On en déduit l’équation de l’asymptote basse fréquence du gain : 3.3.2.Expression à la fréquence caractéristique La courbe du gain en fonction de passe par le point Si alors ; si alors 3.3.3.Comportement asymptotique à haute fréquence On en déduit l’équation de l'asymptote haute fréquence du gain : La courbe asymptotique du gain (en traits noirs sur la figure 4a) est constituée des deux demi-droites d’équations : et reliées au point Pente de l’asymptote basse fréquence En posant il vient : dB/décade ; la pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 dB par décade. 3.4. Diagramme de Bode a) Courbe de réponse en gain (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). b) Courbe de réponse en phase (en couleur) et diagramme asymptotique (en noir). Courbes en traits pleins pour courbes en traits pointillés pour x Ͻ 1 H jx( )⇒ jx( )2 H x( )⇒ x2≈ ≈ GBF⇒ 40log x( ).=Ͻ GBF 40log x( ).= x 1=( ) x 1 H j( )⇒ jQ H⇒ Q= = = G x 1=( )⇒ 20logQ.= log x( ) 0 ; logQ( ). Q 1,Ͻ G 1( ) 0Ͻ Q 1,Ͼ G 1( ) 0.Ͼ x Ͼ 1Ͼ H jx( )⇒ 1 H⇒ 1≈ ≈ GHF⇒ 0.= GHF 0.= GBF 40log x( )= GHF 0,= 0 ; 0( ). X log x( ),= GBF 40X= dGBF dX ------------⇒ 40= Fig. 4 –10 –30 –0,5–1 10,5 –20 –40 1,5 0 π 2 1,5 1 0,5 0 1 2 2,5 a) b) –1– 2 ϕ(x) (rad)G(x) (dB) log(x) log(x) Diagramme de Bode d’un filtre passe-haut du deuxième ordre Q 2,= Q 0,25.= ©Nathan,classeprépa
  • 134.
    retenir l’essentiel 134 4 Prévisiondes comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences d’un filtre L’étude des filtres du deuxième ordre permet de compléter le point méthode donné au chapitre précédent. 5 Équation différentielle d’un système du deuxième ordre – Stabilité 5.1. Équation différentielle déduite de la fonction de transfert La forme générale de la fonction de transfert d’un filtre du deuxième ordre s’écrit : ; Filtre passe-haut du deuxième ordre, de fonction de transfert : • La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites d’équa- tions et reliées au point (0 ; 0). • La pente de l’asymptote basse fréquence du gain est égale à +40 dB par décade. • Si il existe une résonance de pulsation réduite • La courbe asymptotique de la phase est constituée des deux demi-droites d’équations et , d’origine et du segment vertical qui les relie. • La phase est une fonction décroissante de à 0. • Le point est centre de symétrie de la courbe de la phase en fonction de Point méthode. Comportements asymptotiques d’un filtre • Faire le schéma équivalent du filtre à basse fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs ouverts et les bobines idéales par des interrupteurs fermés, et déterminer la tension de sortie. • Faire le schéma équivalent du filtre à haute fréquence en remplaçant les condensa- teurs par des interrupteurs fermés et les bobines idéales par des interrupteurs ouverts, et déterminer la tension de sortie. • En déduire si le filtre est passe-bas, passe-haut ou passe-bande : – c’est un filtre passe-bas si la tension de sortie s’annule seulement à haute fréquence ; – c’est un filtre passe-haut si la tension de sortie s’annule seulement à basse fréquence ; – c’est un filtre passe-bande si la tension de sortie s’annule à basse et à haute fréquences. H jx( ) jx( )2 1 j x Q --- jx( )2+ + ----------------------------------.= GBF 40log x( )= GHF 0= Q 1 2 -------,Ͼ xr 1.Ͼ ϕBF π= ϕHF 0= log x( ) 0,= π π 2 --- ; 0     ϕ x( ) log x( ). Remarque La tension de sortie de certains quadripô- les ne s’annule ni à basse ni à haute fré- quences, par exem- ples celle d’un passe- tout déphaseur (voir chapitre précédent) et celle d’un filtre coupe-bande (voir exercice 1 p. 137). PCSI H jω( ) N jω( ) D jω( ) ----------------- N0 jωN1 jω( )2N2+ + D0 jωD1 jω( )2D2+ + --------------------------------------------------------= = Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 135.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 135 d’où l’équation différentielle : 5.2. Stabilité du système 5.2.1. Stabilité du système en régime libre Le système est stable en régime libre si la solution de la solution de l’équation diffé- rentielle converge vers zéro quand t tend vers l’infini. Nous l’écrirons sous la forme pour l’étude suivante. • Équation caractéristique de l’équation différentielle : • Soient et les solutions, avec et • Discriminant de l’équation caractéristique : a. Cas où le discriminant est positif La solution et constantes) de l’équation différentielle converge vers zéro si et sont négatives, ce qui impose et Les deux inégalités sont satisfaites si et sont du même signe. b. Cas où le discriminant est négatif Dans ce cas ; a et c sont du même signe. Les solutions de l’équation caractéristique s’écrivent : et avec La solution avec A et B constantes réelles, converge vers zéro si donc si b et a sont du même signe. Au total, a, b et c doivent être du même signe. c. Cas où le discriminant est nul Dans ce cas (relation 1). La solution de l’équation caractéristique est double : La solution avec et constantes réelles, converge vers zéro si (relation 2). Les relations 1 et 2 imposent que , et soient du même signe. Dans les trois cas, la solution converge vers zéro si a, b et c sont du même signe. Un système du second ordre est stable en régime libre si les coefficients et (resp. et du dénominateur de la fonction de transfert : (resp. ) sont du même signe. D2 d2us dt2 ---------- D1 dus dt -------- D0us+ + N2 d2ue dt2 ----------- N1 due dt -------- N0ue.+ += usL D2 d2usL dt2 ------------- D1 dusL dt ---------- D0usL+ + 0= a d2usL dt2 ------------- b dusL dt ---------- cusL+ + 0= ar2 br c+ + 0.= r1 r2 r1 r2+ b a --–= r1r2 c a --.= ∆ b2 4ac.–= usL A1er1t A2er2t += (A1 A2 r1 r2 b a -- r1– r2– 0Ͼ= r1r2 c a -- 0.Ͼ= a, b c ∆ b2 4ac– 0 4ac⇒Ͻ b2 0Ͼ Ͼ= r1 b– ∆–– 2a ------------------------ b 2a ------– jΩ–= = r1 b– ∆–+ 2a ------------------------ b 2a ------– jΩ,+= = Ω ∆– 2a -----------.= usL e b 2a ------t– A Ωt( )cos B Ωt( )sin+[ ],= b a -- 0Ͼ ∆ b2 4ac– 0 4 a b --⇒ b c --= = = r1 r2 b 2a ------.–= = usL e b 2a ------t– A′t B′)+[ ],= A′ B′ b a -- 0Ͼ a b c usL D0, D1 D2 D ′0, D ′1 D ′2) H jω( ) N0 jωN1 jω( )2N2+ + D0 jωD1 jω( )2D2+ + --------------------------------------------------------= H jx( ) N′0 N′1 jx N′2 jx( )2+ + D ′0 D′1 jx D′2 jx( )2+ + ----------------------------------------------------= ©Nathan,classeprépa
  • 136.
    retenir l’essentiel 136 5.2.2.Réponse dusystème en régime forcé sinusoïdal L’étude menée au chapitre VII pour un système du premier ordre est indépendante de l’ordre. Son résultat est applicable à un système du deuxième ordre : un système du second ordre est stable en régime forcé si le module de la fonction de transfert est borné, quelle que soit la fréquence. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 137.
    savoir résoudre lesexercices 8 – Filtres du deuxième ordre 137 1 Pulsation propre du circuit (voir chapitre 4) : A.N. : Fréquence propre du circuit : A.N. : Facteur de qualité Q : A.N. : 1 – Filtre coupe-bande On considère le quadripôle ci-contre qui comprend un résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et une bobine réelle d’inductance L et de résistance r. Données : ; H; ; On pose : 1 Calculer la pulsation propre du circuit la fréquence propre et le facteur de qualité Q. 2 Déterminer les comportements asymptotiques à basse et à haute fréquences. Peut-on en déduire la nature du quadripôle ? 3 Quelle est la valeur de l’impédance du dipôle LC à la fréquence propre ? En déduire le quadripôle équivalent au filtre à cette fréquence. 4 Calculer le gain du filtre à la fréquence propre. 5 Soit x la pulsation réduite avec Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite 6 Exprimer le gain en décibels. 7 Tracer l’allure de la courbe de la réponse en fonction de R ue C is = 0 us r L C 10 µF= L 0,10= r 100 Ω= R 100 Ω.= R ′ R r.+= ω0 R′LC, f0 x ω ω0 ------.= H jx( ). G x( ) G x( ) log x( ). résolution méthodique R′LC ω0 1 LC -----------= ω0 1,0 103 rad s 1–· .·= R′LC f0 ω0 2π ------= f0 0,16 kHz.= Q Lω0 R ′ ---------- 1 R ′ ------ L C ---= = Q 0,50.= ©Nathan,classeprépa
  • 138.
    savoir résoudre lesexercices 138 2 • À basse fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert, la bobine est équivalente à un interrupteur fermé (figure a) ; il n’y a pas de courant dans le résistor, donc • À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un interrupteur fermé, la bobine est équivalente à un interrupteur ouvert (figure b), donc Ce quadripôle n’est ni un filtre passe-bas, ni un filtre passe-bande, ni un filtre passe-haut. 3 Le circuit se réduit à l’association en série des deux résistors (figure ci-contre). 4 Le circuit réalise un diviseur de tension qui per- met d’exprimer simplement la fonction de transfert, puis le gain : A.N. : Le gain est négatif dans un domaine de fréquences autour de la fréquence propre, nul à basse et à haute fréquences ; on dit que le quadripôle est un filtre coupe-bande. Le facteur de qualité est celui du circuit R ′LC. La pulsation et la fréquence propres sont indépendantes de la valeur de la résistance ; seul le facteur de qualité en dépend. R ue r L us = ue is = 0 a. Basse fréquence b. Haute fréquence R ue r C us = ue is = 0 us ue.= us ue.= R ue r is = 0 us Z jLω0 1 jCω0 ------------+ 1 LCω0 2 – jCω0 ----------------------- 0.= = = H r R r+ ------------ 1 2 ---= = G⇒ 20log H( )= G 6,0 dB.–= L’analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d’un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d’un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur (voir chapitre 7). Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 139.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 139 5 Le courant de sortie est nul (filtre « en sortie ouverte ») ; le résistor, le condensateur et la bobine sont en série. Le circuit réalise un diviseur de tension qui permet d’exprimer la fonction de transfert : Finalement : 6 ; 7 Les quelques valeurs du gain du tableau suivant permettent de tracer l’allure de la courbe de la réponse en fonction de On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel comme sur la figure ci-contre. Remarque : Les valeurs montrent que la courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical. x 0,1 0,5 1 1,5 2 10 log(x) – 1 – 0,30 0 0,17 0,30 1 G (x) (en dB) –0,13 – 2,8 – 6,0 – 4,4 – 2,8 – 0,13 H jω( ) r jLω 1 jCω ----------+ + R r jLω 1 jCω ----------+ + + --------------------------------------------- jrCω j2LCω2 1+ + j R r+( )Cω j2LCω2 1+ + -------------------------------------------------------------- 1 j r r R+ ------------ x Q --- jx( )2+ + 1 j x Q --- jx( )2+ + ------------------------------------------------.= = = H jx( ) 1 jx jx( )2+ + 1 2jx jx( )2+ + -------------------------------------= L’expression de la fonction de transfert doit permettre de retrouver rapidement des résultats déjà établis, à savoir sa valeur à basse et à haute fréquences, et à la fréquence caractéristique. ; ;HBF H x 0=( ) 1 1 -- 1= = = HHF H x ∞→( ) jx( )2 jx( )2 ----------- 1= = = H x 1=( ) 1 j r r R+ ----------- 1 Q --- 1–+ 1 j 1 Q --- 1–+ ----------------------------------- r R r+ -----------.= = H jx( ) 1 jx jx( )2+ + 1 2jx jx( )2+ + ------------------------------------- 1 x2– jx+ 1 x2– 2jx+ ----------------------------- H jx( )⇒ 1 x2–( )2 x2+ 1 x2–( )2 4x2+ -------------------------------------= = = G x( ) 20log H jx( ) ⇒= G x( ) 10log 1 x2–( )2 x2+ 1 x2–( )2 4x2+ -------------------------------------= G (x ) 1,5 r 0 log (x) 10,5– 0,5– 1– 1,5 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 (dB) G x( ) log x( ). ©Nathan,classeprépa
  • 140.
    savoir résoudre lesexercices 140 1 À basse fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs ouverts (figure a) ; il n’y a aucun courant dans le résistor prés de la sortie donc À haute fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs fermés (figure b), donc Le filtre est un filtre passe-bande. 2 – Filtre passe-bande de Wien On considère le filtre de la figure ci-contre. Données : et kΩ. 1 Déterminer les comportements asymptoti- ques à basse et à haute fréquences. En déduire la nature du filtre. 2 Soit x la pulsation réduite définie par la rela- tion Exprimer la fonction de transfert sous la forme réduite 3 Calculer la valeur du facteur de qualité Q. 4 Montrer que la fonction de transfert se met sous la forme : En déduire le gain maximal 5 Calculer la fréquence caractéristique du filtre. 6 Déterminer la pulsation réduite de la borne inférieure et la pulsation réduite de la borne supérieure de la bande passante. En déduire les fréquences de correspondantes, puis la bande passante Vérifier sa valeur à partir de son expression en fonction de Q. 7 Exprimer la phase de la fonction de transfert. Déterminer les phases et 8 Tracer le diagramme de Bode. 9 Établir l’équation différentielle reliant la tension de sortie à la tension d’entrée. On introduira la constante de temps L’analyse du comportement, à basse et à haute fréquences, permet de déterminer la nature d’un filtre, passe-bas, passe-bande ou passe-haut d’un quadripôle. Elle ne permet pas de reconnaître un filtre coupe-bande ni un passe-tout déphaseur. en conclusion R ue R C us is = 0 C 0,10 µF= R 1,0= RCω x.= H jx( ). H jx( ) 1 3 j x 1 x ---–    + -----------------------------.= Gmax. f0 x1 x2 f1 f2 ∆f. ϕ x( ) ϕ x1( ) ϕ x2( ). us t( ) ue t( ) τ RC.= résolution méthodique us 0.= us 0.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 141.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 141 2 Le condensateur et le résistor près de l’entrée sont en série ; soit l’impédance de leur association (figure ci-contre). Le condensateur et le résistor près de la sortie sont en parallèle ; soit l’admittance et l’impédance de leur association. Le courant de sortie est nul. Le dipôle et le dipôle sont traversés par le même courant ; ils sont en série. Le circuit réa- lise un diviseur de tension qui permet d’exprimer facilement la fonction de transfert : Finalement : • Autre méthode : utilisation de la loi des noeuds en termes de potentiels (théorème de Millmann) (figure ci-dessous). R ue R us = 0 a. Basse fréquence b. Haute fréquence Basse fréquence is = 0 R ue R Haute fréquence is = 0 us = 0 us is = 0 ue Z 1 Z 1 Z1 R 1 jCω ----------+= Y2 1 R --- jCω+= Z2 1 Y2 -------= Z1 Z2 Z1 Z2,( ) H jω( ) us ue ----- Z2 Z2+ Z1 ------------------ 1 1+ Z1 Y2 ---------------------- 1 1+ R 1 jCω ----------+     1 R --- jCω+     ------------------------------------------------------------= = = = H jω( ) 1 1 1 jRCω 1 1 jRCω --------------+ + + + --------------------------------------------------------------- 1 3 jx 1 jx ----+ + -------------------------= = H jx( ) 1 3 j x 1 x ---–    + -----------------------------= Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. R ue R usC is = 0 M E S C ©Nathan,classeprépa
  • 142.
    savoir résoudre lesexercices 142 Le point M est à la masse donc Il vient : Finalement : 3 Par identification avec la relation donnée au § 2.1 du cours, il vient : On remarque que 4 Le gain est maximal quand le module de la fonction de transfert est maximal soit pour 5 La pulsation caractéristique du filtre est telle que d’où : 6 Appliquons la méthode de détermination de la bande passante donnée au chapitre 7. • Valeur maximale du module de la fonction de transfert : et us 1 R --- jCω 1 R 1 jCω ----------+ --------------------+ + 1 R --- uM jCω uM 1 R 1 jCω ----------+ --------------------ue.+ += uM 0.= us 1 R --- jCω 1 R 1 jCω ----------+ --------------------+ + 1 R 1 jCω ----------+ --------------------ue= us 1 jx+ R -------------- jCω jx+1 ------------+ jCω jx+1 ------------ue us R ---- 1 jx jx jx+1 ------------+ +⇒ jx jx+1 ------------ ue R -----= = us 1 jx+( )2 jx+[ ]⇒ jxue.= H 1 3 j x 1 x ---–    + -----------------------------= La méthode du diviseur de tension est plus simple et plus rapide ; elle doit être préférée. Q 1 3 ---= A0 1 3 ---.= H 1 9 x 1 x ---– 2 + -----------------------------= x 1.= H max 1 3 ---= Gmax G x 1=( ) 20log 1 3 ---     9,5 dB–= = = ω0 x 1,= RCω0 RC 2πf0 1 ⇒= = f0 1 2πRC --------------- 0,16 kHz= = H max 1 3 ---.= Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 143.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 143 • Résolution de l’équation : avec et ; On en déduit : La bande passante d’un filtre passe-bande est donnée par la relation soit : Ce résultat est bien en accord avec celui trouvé à partir de la définition. 7 d’où 8 Construction du diagramme de Bode. a. Comportement asymptotique à basse fréquence et On en déduit les équations des asymptotes basse fréquence : et • Expression à la fréquence caractéristique (x = 1) dB et La courbe du gain en fonction de passe par le point dB). La courbe de la phase en fonction de passe par le point • Comportement asymptotique à haute fréquence et H H max 2 ------------------= H 1 9 x 1 x ---– 2 + ----------------------------- H max 2 ------------------ 1 3 2 ---------- x 1 x ---– 2 ⇒ 9 x2 3εx 1––⇒ 0= = = = = ε ± 1= ∆ 9 4+ 13 x⇒ 3ε 13± 2 --------------------- x1⇒ 3– 13+ 2 ------------------------ 0,30= = = = = x2 3 13+ 2 ------------------- 3,3= = ∆x 3,0.= f1 f0x1 48 Hz ; f2 f0x2 0,52 kHz ; ∆f f0∆x 0,48 kHz= == == = ∆f f0 Q -----,= ∆f 0,48 kHz= H jx( ) 1 3 j x 1 x ---–    + ----------------------------- ϕtan⇒ 1 3 --- x 1 x ---–     ,–= = ϕ x( ) arctan– 1 3 --- x 1 x ---–    = ϕ x1 0,30=( )tan 1 ϕ1⇒ π 4 --- rad= = ϕ x2 3,3=( )tan 1– ϕ2⇒ π 4 --- rad–= = Ͻ 1oins Que? H jx( )⇒ jx≈ xe +j π 2 --- H x( )⇒= x≈ GBF⇒ 20lo= ϕBF π 2 ---.= GBF 20log x( )= ϕBF π 2 ---= x 1 H j( )⇒ 1 3 --- H 1( )⇒ 1 3 ---= = = G x 1=( )⇒ Gmax 9,52–= = ϕ x 1=( ) 0.= log x( ) (0 ; 9,52– log x( ) 0 ; 0( ). ϾGrand Que? 1 H jx( )⇒ 1 jx ----≈ 1 x ---e j– π 2 --- H x( )⇒= 1 x ---≈ GHF⇒ 20–= ϕHF π 2 ---.–= ©Nathan,classeprépa
  • 144.
    savoir résoudre lesexercices 144 On en déduit les équations des asymptotes haute fréquence : et b. La courbe asymptotique du gain est constituée des deux demi-droites qui se coupent au point de coordonnées Les courbes asymptotiques du gain et de la phase en fonction de sont en traits noirs sur les figures ci-dessous. c. Les quelques valeurs du gain et de la phase du tableau suivant permettent de tracer l’allure du diagramme de Bode. On peut aussi utiliser un logiciel de calcul formel (figures ci-dessous). Remarque : Les valeurs montrent que les courbes sont symétriques par rapport aux axes verticaux. 9 En remplaçant, d’une part l’expression par et d’autre part l’expression par il vient : x 0,1 x1 = 0,3 1 x1 = 3,3 10 log(x) −1 −0,52 0 0,52 1 G (x) (en dB) −20 −12,5 −9,5 −12,5 −20 j (en rad) 1,3 0,78 0 −0,78 −1,3 GHF 20– log x( )= ϕHF π 2 ---.–= 0 ; 0( ). log x( ) a. Gain b. Phase G (x ) 1 log (x) 0,50– 0,5– 1 – 5 (dB) – 10 – 15 – 20 Q (x ) log (x) 1 (rad) 0 – 1 – 1,5 – 0,5– 1–1,5 0,5 1 1,5 log (x2)log (x1) 3 dB π 4 ---– π 4 --- H jx( ) jx 1 3jx jx( )2+ + ------------------------------------- jωτ 1 3jωτ jωτ( )2+ + ---------------------------------------------= = 1 3jωτ jωτ( )2+ +[ ]us⇒ jωτue= jω d dt ----- jx( )2 d2 dt2 --------, us 3τ dus dt -------- τ2 d2us dt2 ----------+ + τ due dt --------.= L’équation différentielle d’un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateur et chaque terme par l’opérateurjω d dt ----- jω( )2 d2 dt2 -------. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 145.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 145 3 – Tension triangulaire à l’entrée d’un filtre passe-bande 1 La courbe ci-contre est celle du gain exprimé en décibels, d’un filtre de pulsation de résonance en fonction de la pulsation réduite Quelle est la nature du filtre ? 2 Tracer les asymptotes. Quel est l’ordre du filtre ? 3 La fonction de transfert réduite peut se mettre sous la forme Déterminer graphiquement la constante et le facteur de qualité Q. On donne 4 On injecte en entrée une tension triangulaire positive de fréquence et d’amplitude 1,0 V d’expression : (en volts). Déterminer la tension de sortie en ne gardant que les termes pertinents. 5 Par un dispositif approprié, on triple la pulsation de résonance du filtre, toutes choses égales par ailleurs. Déterminer la tension de sortie en fonction de la pulsation réduite. • Faire apparaître le plus tôt possible la pulsation réduite pour simplifier le calcul de la fonction de transfert. • L’équation différentielle d’un système du deuxième ordre se déduit de la fonction de transfert en remplaçant chaque terme par l’opérateur et chaque terme par l’opérateur jω d dt ----- jω( )2 d2 dt2 --------. en conclusion G (x ) 2 log (x) 10– 1– 2 – 10 (dB) – 20 – 30 – 50 – 40 G x( ), ωr, x ω ωr -----.= H jx( ) A0 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------.= A0, log 2( ) 0,30.= ωr ue t( ) 0,5 4 π2 ----- ωrtcos 1 9 --- 3ωrtcos 1 25 ------ 5ωrtcos …+ + ++= us t( ) u′s t( ) ©Nathan,classeprépa
  • 146.
    savoir résoudre lesexercices 146 1 On reconnaît sur la figure ci-contre la courbe du gain d’un filtre passe-bande. 2 On constate que les asymptotes se coupent au point (0 ; – 14 dB). On lit sur la courbe que l’ordonnée du point d’abs- cisse – 1 est égale à – 34 dB ; la pente de l’asymptote basse fréquence est donc égale à 20 dB par décade. On lit aussi sur la courbe que l’ordonnée du point d’abscisse 1 est égale à –34 dB ; la pente de l’asymp- tote haute fréquence est donc égale à – 20 dB par décade. Le filtre est passe-bande du second ordre. 3 On sait (voir § 2.4. du cours) que les asymptotes se coupent au point On en déduit 4 Travaillons en notation complexe. La tension d’entrée s’écrit sous la forme d’une somme de tensions : D’après le théorème de superposition, la tension de sortie s’écrit sous la forme d’une somme de tensions : résolution méthodique G (x ) log (x)1 0 – 1 – 10 (dB) – 20 – 30 – 50 – 40 G x 1=( ) 0 H x 1=( )⇒ A0 1 1 jQ x 1 x ---–    + ----------------------------------- x 1= 1= = = A0 1= 0 ; 20– logQ( ). 20– logQ 14– logQ⇒ 0,70 1 0,30– log 10 2 ------     .= = = = Q 5,0= ue 0,5 4 π2 ----- e jωrt 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt 4 π2 ----- 1 25 ------ e j5ωrt …+ + + += us Hx 0= 0,5 Hx 1= 4 π2 ----- e jωrt Hx 3= 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt Hx 5= 4 π2 ----- 1 25 ------ e j5ωrt …+ + + += Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut cal- culer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions composantes. La tension de sortie est égale à la somme des tensions de sortie. Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 147.
    8 – Filtresdu deuxième ordre 147 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : • ; • ; • avec ; soit avec ; • avec On voit les amplitudes des tensions composantes de pulsations réduites supérieures à 1 sont inférieures à 1 % de l’amplitude de la tension de pulsation réduite x = 1 ; on peut négliger ces termes. La tension de sortie se réduit à : 5 Exprimons chacune des composantes de la tension de sortie : • ; • ; • ; • . us0 Hx 0= 0,5 0= = us1 1 1 j5 1 1 1 ---–    + -------------------------------- 4 π2 -----e jωrt 4 π2 -----e jωrt = = us3 1 1 j5 3 1 3 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 9 ---e j3ωrt 4 π2 ----- 1 9 --- 1 1 40 3 ------j+ -----------------e j3ωrt 4 π2 ----- 1 9 --- 1 1 40 3 ------     2 + -------------------------------ej 3ωrt α3–( ) = = =    Ͼ?Plus Grand Que? 1 α3tan 40 3 ------= us3 4 π2 ----- 1 9 --- 3 40 ------ e j 3ωrt α3–( ) ,≈ us3 4 π2 ----- 1 120 ---------e j 3ωrt α3–( ) = α π 2 ---≈ us5 1 1 j5 5 1 5 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 25 ------e j5ωrt 4 π2 ----- 1 25 ------ 1 1 24j+ -----------------e j5ωrt = = 4 π2 ----- 1 600 ---------e j 5ωrt α5–( ) ≈ α5tan = 24. us t( ) 4 π2 ----- ωrtcos V( )= Le filtre permet de sélectionner en sortie la composante sinusoïdale de la tension d’entrée dont la pulsation est égale sa pulsation de résonance. La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). T est la période. ue(t ) u (V) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 – 0,2 – 0,4 10,80,60,40,2 0 t T ---- us(t ) us′0 Hx 0= 0,5 0= = u′s1 1 1 j5 1 3 --- 3–    + -------------------------------- 4 π2 -----e jωrt 1 1 40 3 ------j– ----------------- 4 π2 -----e jωrt = = 3 40 ------ j 4 π2 -----e jωrt ≈ 3 40 ------ 4 π2 ----- e j ωrt π 2 ---+     =    U1 u′s3 1 1 j5 1 1 1 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt 4 π2 ----- 1 9 --- e j3ωrt = =    U3 u′s5 1 1 j5 5 2 --- 2 5 ---–    + -------------------------------- 4 π2 ----- 1 25 ------ ej5ωrt 4 π2 ----- 1 25 ------ 1 1 21 2 ------j+ ----------------- ej5ωrt = = 4 π2 ----- 1 25 ------ 2 21 ------ e j 5ωrt π 2 ---–     ≈ 4 π2 ----- 2 525 --------- e j 5ωrt π 2 ---–     =    U5 ©Nathan,classeprépa
  • 148.
    savoir résoudre lesexercices 148 Comparons les amplitudes des tensions de sortie : ; Les amplitudes des composantes de rangs différents de 1 et 3 sont négligeables. La ten- sion de sortie peut s’écrire : La tension de sortie n’est pas sinusoïdale. U1 U3 ------ 27 40 ------ 0,67= = 18 525 --------- 0,034 ?Moins Que= = u′s t( ) 4 π2 ----- 3 40 ------ ωrt π 2 ---+    cos 1 9 --- 3ωrtcos+ V( )= La figure ci-contre est une simulation obtenue avec un logiciel de calcul formel (Maple). La tension de sortie n’est pas sinusoïdale. ue(t ) u (V) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 10,80,60,40,2 0 t T ---- us′(t ) Lorsque la tension d’entrée d’un quadripôle est une somme de tensions sinusoïdales, il faut calculer indépendamment la tension de sortie de chacune des tensions compo- santes. La tension de sortie est égale à la somme de tensions de sortie. en conclusion Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa
  • 149.
    Index 149 Index A Adaptation d’impédance 96 Admittance67 complexe 67 Amortissement 126, 129, 132 Amplificateur opérationnel 101 Amplitude complexe 66 Analyse de Fourier 65 ARQP 53 ARQS 53 Association en série 72 parallèle 73 Association de générateurs en parallèle 28 en série 25 Association de résistors en parallèle 27 en série 24 B Bande passante à –3 dB 102 Bobine 44 Branche 4 C Capacité C d’un condensateur 39 Caractéristique d’un dipôle 7 Circuit LC 61 RC 39 RL 44 RLC 47 Circuit électrique 4 Coefficient d’amortissement 48 Comportements asymptotiques d’un filtre 108 Condensateur 39 Conductance 7, 67 Conducteur ohmique 7 Constante de temps 41, 44 Courant électromoteur 8 D Déphasage 64 Dérivateur 110 Diode 14 Dipôle 4 actif 7 passif 7 Diviseur de courant 28, 74 de tension 25, 72 E Échelon de tension 40 Énergie électrique 40 magnétique 44 F Facteur de puissance 90 de qualité 126, 129, 132 Facteur de qualité 48 Facteur de qualité Q 76, 77 Filtre coupe-bande 137 passe-bande 140, 145 passe-bas du deuxième ordre 126 passe-bas du premier ordre 102 passe-haut du deuxième ordre 132 passe-haut du premier ordre 105 Fonction de transfert 100 Force électromotrice 8 Fréquence caractéristique 132 de résonance 129 propre 129 Fréquence de coupure 102, 105 G Générateur 6, 18 de signaux électriques (GBF ) 64 réel 71 Générateur idéal de courant 71 de tension 71 I Impédance 67 Impédances complexes 66 Inductance 44 propre 44 Intégrateur 110 Intégrateur et pseudo-intégrateur 120 Intensité 5 L La loi d’ohm en représentation complexe 66 Loi d’Ohm 7 de Pouillet 73 des mailles 6, 69 des nœuds 5, 69 des nœuds en termes de poten- tiel 70 Loi de Pouillet 26 Loi des nœuds 30 en termes de potentiels 30, 31 Lois de Kirchhoff 32 M Maille 4 Masse 64, 65 Masse d’un circuit 30 Multimètre numérique 64 ©Nathan,classeprépa
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    150 N Nœud 4 O Oscilloscope 65 P Passe-toutdéphaseur du premier ordre 118 Période propre 48 Point de fonctionnement 9 Potentiel 30 Puissance 18 instantanée 89 moyenne 89, 90 Pulsation caractéristique 132 de résonance 129 propre 129 Pulsation de coupure 102, 105 Pulsation propre 48 Q Quadripôle 99 R Réactance 67 Récepteur 6, 18 Réduction canonique 41, 48 Réduction du circuit 31 Relèvement du facteur de puissance 95 Représentations de Thévenin et de Norton 29 Résistance 7, 67 critique 51 Résistivité 19 Résistor 7 Résonance 128 en intensité 75 en tension 78 Résonance en puissance 93 S Signaux sinusoïdaux 63 Stabilité 109 Susceptance 67 T Tension 6 alternative sinusoïdale 52 en créneaux 52 Théorème de Millman 30, 70 V Valeur efficace 64 moyenne 63 Valeur efficace 90 Électrocinétique PCSI, MPSI, PTSI - © Nathan, Classe prépa ©Nathan,classeprépa