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 ∆y + [Fz ](x,y+∆y) ∆z − [Fy ](x,z+∆z)∆y − [Fz ](x,y) ∆z (1.27)
abcda
F · dl = [Fz ](x,y) ∆z + [Fx ](y,z+∆z) ∆x − [Fz ](x+∆x,y) ∆z − [Fx ](y,z) ∆x (1.28)
adef a
F · dl = [Fx ](y,z) ∆x + [Fy ](x+∆x,z)∆y − [Fx ](y+∆y,z) ∆x − [Fy ](x,z) ∆y (1.29)
af gba
D’autre part, on a respectivement avec la partie droite :
G · dS = [Gx ](x,y,z) ∆y∆z (1.30)
S[abcd]
G · dS = [Gy ](x,y,z) ∆z∆x (1.31)
S[adef ]
G · dS = [Gz ](x,y,z) ∆x∆y (1.32)
S[af gb]
En r´unissant les ´quations qui vont ensemble (par exemple (1.27) avec (1.30) et ainsi de
e e
suite), on trouve que :
∆[Fz ](x,y) ∆[Fy ](x,z)
− = [Gx ](x,y,z) (1.33)
∆y ∆z
∆[Fx ](y,z) ∆[Fz ](x,y)
− = [Gy ](x,y,z) (1.34)
∆z ∆x
∆[Fy ](x,z) ∆[Fx ](y,z)
− = [Gz ](x,y,z) (1.35)
∆x ∆y
Avec des parcours infinit´simaux, il est facile de voir que les trois expressions ci-dessus
e
correspondent ` :
a
∇×F = G (1.36)](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-22-320.jpg)
 ∆y∆z (1.38)
[adcb]
F · dS = [Fx ](x+∆x) ∆y∆z (1.39)
[hef g]
F · dS = −[Fy ](y) ∆z∆x (1.40)
[af ed]
F · dS = [Fy ](y+∆y) ∆z∆x (1.41)
[hgbc]
F · dS = −[Fz ](z) ∆x∆y (1.42)
[abgf ]
F · dS = [Fz ](z+∆z) ∆x∆y . (1.43)
[hcde]
Le cˆt´ droit de (1.37) donne simplement g∆x∆y∆z d’o` :
oe u
∆Fx ∆Fy ∆Fz
+ + = g. (1.44)
∆x ∆y ∆z
Avec un volume infinit´simal, le terme de gauche de l’´quation ci-dessus est la divergence
e e
de F donc :
∇·F = g (1.45)
Cette derni`re expression est ce qui ressort du th´or`me de Green. En effet, en com-
e e e
parant (1.25) et (1.37), on s’aper¸oit tr`s vite que (1.45) d´coule naturellement.
c e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-23-320.jpg)
 = [E 1 ](0,0,1) + [E 2 ](0,0,1)
12πǫo (2ax + az ) 4πǫo (−ax + az )
= √ − √
4πǫo (5) 5 4πǫo (2) 2
= (0.5367ax + 0.2683ay ) − (−0.3536ax + 0.3536ay )
= 0.8902ax − 0.0852az
= 0.8943(0.9954ax − 0.0953az ) V/m
On remarque que le champ ´lectrique pointe en s’´loignant de la charge posi-
e e
tive. Les lignes de champ ´lectrique partent toujours de la charge positive vers
e
la charge n´gative selon la convention utilis´e.
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-28-320.jpg)
 = [dE](0,0,z)
dQk
= a
2 k
4πǫo Rk
o` :
u
Q
dQ = ρl (rdφ) = rdφ .
2πr
Par des consid´rations de sym´trie, on remarque que chaque segment infi-
e e
◦
nit´simal et son oppos´ de 180 sur l’anneau, donneront un champ ´lectrique
e e e
dont la seule composante non-nulle sera Ez . Or cette composante s’obtient
comme suit :
2π Q 2π
2πr
rdφ Q 1
[E](0,0,z) = 2
cos αk az = 2
cos αk dφ az
0 4πǫo Rk 0 4πǫo Rk 2π
2π
Qz 1
= 2 + z 2 )3/2 2π
dφ az
4πǫo (r 0
Qz
= a .
2 + z 2 )3/2 z
4πǫo (r](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-29-320.jpg)
 = [dE](0,0,z)
0
∞
ρs 2πrdr z
= az
0 4πǫo (r 2 + z 2 )3/2
ρs z ∞ r
= dr az
2ǫo 0 (r 2 + z 2 )3/2
∞
√ −1
r 2 +z 2 0
ρs z
= az .
2ǫo |z|
Finalement, on observe que le champ ´lectrique a une amplitude ind´pendante
e e
de z car il vaut ρs /2ǫo partout. De plus, il est toujours orient´ selon la normale
e
a
` la feuille de part et d’autre de l’axe z.
2.3 Champ d’induction magn´tique statique
e
La loi d’Amp`re concerne les forces produites par des courants I1 et I2 circulant dans
e
des fils comme sur la figure 2.7 ; ce sont les forces magn´tiques. Un peu comme pour
e
l’´lectricit´, les observations des exp´riences d’Amp`re confirment que :
e e e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-30-320.jpg)
 =
4π R2
µI dz sin α
= aφ
4πR2
µIr dz
= aφ
4π(z 2 + r 2 )3/2](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-33-320.jpg)
 = [dB](r,φ,0)
−∞
∞
µIr z
= √ aφ
4π r 2 z2 + r2
−∞
µI
= aφ .
2πr
Le calcul du champ d’induction fait dans l’exemple pr´c´dent assume un courant
e e
“filiforme” i.e. un courant qui se d´place le long d’un fil infiniment mince. Il existe deux
e
autres types de distributions de courant moins localis´es :
e
• Le courant de surface qui circule sur une ´paisseur infime a la surface d’un corps
e `
– souvent conducteur – est comparable ` l’eau de pluie qui tombe en bordure d’un
a
toit lors d’une averse. On lui associe une densit´ de courant de surface J s exprim´e
e e
en A/m.
• Le courant de volume passant au travers une section se compare a la pluie qui
`
passe par une ouverture. La densit´ de courant volumique, ou simplement densit´
e e
2
de courant, J est en A/m .
On remarque que les densit´s de courant sont des quantit´s vectorielles qui pointent
e e
dans la direction du mouvement des charges (positives) produisant le courant. L’int´gration
e
le long d’un parcours perpendiculaire ` la direction de J s donne le courant total I ; de
a
mˆme que l’int´gration sur une surface perpendiculaire ` J . Si le parcours ou la surface
e e a
n’est pas perpendiculaire en tout point, il faudra en tenir compte par le biais du cosinus
du changement d’angle. Par exemple, le courant I pour les cas de la figure 2.11 vaut
Js w et Jπa2 si les densit´s de courant sont uniformes sur la largeur et sur la section
e
respectivement.
J
Js
a
w
Figure 2.11 – Densit´s de courant de surface et de volume.
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-34-320.jpg)
 = −2 dB1 cos α ax
µJso dx y
= −2 ax
2π x 2 + y2 x2 + y2
µJso y dx
= − ax .
π(x2 + y 2)](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-35-320.jpg)
 = [dB](0,y>0,0)
0
µJso y ∞ dx
= − 2
a
2 x
π 0 x +y
∞
µJso y 1 x
= − arctan ax
π y y 0
µJso
= − ax .
2
De mani`re g´n´rale, autant dans le demi-espace y > 0 que y < 0, on ´crit :
e e e e
µ
B = J s × an
2
o` an est la normale ` la feuille de courant du cˆt´ du demi-espace consid´r´.
u a oe ee
2.4 Conducteur et conductivit´
e
Les mat´riaux sont constitu´s d’atomes, chacun ayant un noyau de protons (charges po-
e e
sitives) et neutrons autour duquel gravite les ´lectrons (charges n´gatives). Un ion est un
e e
atome dont le nombre de charges positives diff`re de celui des charges n´gatives.
e e
Certains ´lectrons se situent dans des bandes d’´nergie telles qu’ils peuvent se d´placer
e e e
d’un atome ` l’autre. Ce sont des ´lectrons libres par opposition a la majorit´ qui eux,
a e ` e
sont intimement li´s au noyau. La capacit´ d’un ´lectron libre de se d´placer d’un atome
e e e e
a
` l’autre – sa mobilit´ – d´pend du type de mat´riau. Lorsqu’un grand nombre d’´lectrons
e e e e
mobiles est impliqu´, le mat´riau est conducteur. Par contre, il existe des mat´riaux o`
e e e u
vraiment tr`s peu d’´lectrons sont disponibles pour participer ` la conduction. Ce sont
e e a
des isolants aussi appel´s di´lectriques. Entre les deux extrˆmes se trouvent les semi-
e e e
conducteurs o` , avec un niveau d’´nergie minimal, des ´lectrons li´s peuvent devenir
u e e e
libres en passant par dessus une bande d’´nergie interdite. Cette derni`re est, pour les
e e
semi-conducteurs, plus ´troite que celle pour les di´lectriques, ce qui explique la possibilit´
e e e
plus ´lev´e qu’un ´lectron devienne libre. Sur la figure 2.13, on observe les bandes d’´nergie
e e e e
selon le type de mat´riau. On y observe que la bande ` ´nergie minimale des conducteurs
e ae
n’est pas compl`tement remplie contrairement aux autres.
e
Sans entrer dans les d´tails, la vitesse de mobilit´ des ´lectrons libres v e est propor-
e e e
tionnelle ` une constante µe pr`s, au champ ´lectrique appliqu´ :
a e e e
v e = −µe E . (2.11)
Le courant ´lectrique r´sultant du mouvement des ´lectrons sera d’autant plus grand que
e e e
la vitesse de ces ´lectrons est ´lev´e car :
e e e
∆Q = Ne q(∆S)(vd ∆t) (2.12)
|∆Q|
I = = Ne |q|ve ∆S (2.13)
∆t](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-36-320.jpg)
![2.5 Di´lectrique et champ de d´placement
e e 2-27
E
Bande permise
disponible
Bande
interdite
Bande
permise
Conducteur Semi−conducteur Isolant
Figure 2.13 – Diagramme des bandes d’´nergie pour diff´rent type de mat´riau.
e e e
Mat´riau
e σ [ S/m] Mat´riau
e σ [ S/m]
argent 6.1 × 107 eau de mer 4
cuivre 5.8 × 107 germanium 2.2
or 4.1 × 107 silicium 1.6 × 10−3
aluminium 3.5 × 107 eau fraˆ ıche 10−3
tungst`ne
e 1.8 × 107 terre s`che
e 10−5
fer 4.8 × 106 bakelite 10−9
mercure 1.0 × 106 verre 10−10 − 10−14
Table 2.1 – Conductivit´ de certains mat´riaux.
e e
o` Ne est le nombre d’´lectrons libres par m`tre cube ; q, la charge de l’´lectron et ∆S, la
u e e e
section consid´r´e. Ainsi la quantit´ Ne |q|ve permet une relation directe entre la densit´
ee e e
de courant de conduction, not´e J c et le champ ´lectrique E. C’est la conductivit´ σ
e e e
exprim´e en Siemens/m`tre ou mhos/m`tre :
e e e
Jc = σ E . (2.14)
Le tableau 2.1 contient diff´rentes valeurs de conductivit´ selon les mat´riaux.
e e e
2.5 Di´lectrique et champ de d´placement
e e
Il a ´t´ dit que le champ ´lectrique produit par une charge d´pend du milieu via la
ee e e
permittivit´ ǫ. Si le milieu est le vide, alors la permittivit´ est ǫo mais, dans un di´lectrique,
e e e
il existe des atomes constitu´s de charges positives et n´gatives li´es ensemble. Sous l’effet
e e e
du champ ´lectrique, ces atomes deviennent polaris´s i.e. le nuage d’´lectrons de l’atome
e e e
a tendance a ˆtre d´centr´ cr´ant ainsi un dipˆle ´lectrique comme sur la figure 2.14.
` e e e e o e
L’intensit´ du dipˆle est d´finie par le moment dipolaire ´lectrique p donn´ par :
e o e e e
p = Qd (2.15)](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-37-320.jpg)
 = −4az V /m.
√
a+ a2 +z 2 √ a
3. [E](0,0,z) = 2πz ln z
− a2 +z 2
az .
−(ρo a/ǫo )az z < −a
4. [E](0,0,z) = (ρ z/ǫ )a −a < z < a
o o z
(ρo a/ǫo )az z>a .
5. dF 1 = − µ8o√2π2 dxdyax , dF 2 = − µ8o√2π2 dxdyay .
I1 I I1 I
6. a) µo Jso (ay + az ) W b/m2 ; b) −µo Jso az W b/m2 .
(µo Jo a)ay z < −a
7. [B](0,0,z) = −(µo Jo z)ay −a < z < a
−(µo Jo a)ay z>a.
2
8. [B](0,0,z) = − µ2I (a2 +z 2 )3/2 az W b/m2 .
o a
9. a) D = 10−6 az C/m2 , E ≈ 36000πaz V /m ;
b) D = 10−6 az C/m2 , E ≈ 9000πaz V /m.
Q
4πǫ r2 r < a
o
Q Q
10. D = 4πr2 ar partout ; E = a<r<b
16πǫo r2
Q
4πǫo r 2
r>b
11. a) H = 0.1 ax A/m, B = 4π × 10−8 ax W b/m2 ;
b) H = 0.1 ax A/m, B = 4π × 10−6 ax W b/m2 .](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-45-320.jpg)
![3-38 Les lois de Maxwell
S
B
C
dS
Figure 3.1 – Illustration de la loi de Faraday.
Sous forme math´matique, la loi de Faraday s’´crit :
e e
d
E · dl = − B · dS (3.1)
C dt S
f em
o` S est la surface d´limit´e par le contour ferm´ C tel que cela apparaˆ a la figure 3.1
u e e e ıt `
En mots, toute variation du flux magn´tique, provoque une force ´lectromotrice ; le
e e
flux magn´tique [Ψ]s , exprim´ en Webers, ´tant d´fini comme suit :
e e e e
[Ψ]s = B · dS . (3.2)
S
Les points int´ressants ou ` consid´rer suivent :
e a e
• On doit observer la r`gle de la main droite pour choisir le sens d’int´gration du
e e
parcours et le sens de la normale ` la surface.
a
• Toute surface S d´limit´e par C convient pour faire le calcul du flux magn´tique1 ;
e e e
le r´sultat n’en sera pas affect´. On a alors avantage a r´fl´chir sur le choix de la
e e ` e e
surface car certaines pourront faciliter le travail.
• Le signe n´gatif vient de la loi de Lenz qui dit que la f em est telle que le courant
e
produit tend ` s’opposer au changement du flux magn´tique qui l’a engendr´. Un flux
a e e
entrant et augmentant dans le temps induit une f em qui produit un flux sortant ;
un flux entrant et diminuant dans le temps induit une f em qui produit un flux
entrant.
• Si le parcours C est constitu´ de plusieurs tours de fil – N tours – alors la surface S
e
prend l’allure d’une h´lico¨ comme sur la figure 3.2 (N = 2), le flux est coup´ N
e ıde e
fois par la surface et la f em s’en trouve multipli´e par N comparativement a celle
e `
produite par un seul tour :
dΨ
f em = −N (3.3)
↑ dt .
1
En effet, pour avoir une int´grale de surface d´pendant uniquement des limites, il suffit que la diver-
e e
gence de l’int´grande soit nulle. On verra plus tard que ∇ · B = 0.
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-48-320.jpg)
![3.3 Loi d’Amp`re
e 3-41
puis,
d
f em = − (aBo (b + vo t))
dt
= −aBo vo .
◮ Exprimez le courant Iboucle et dites si une force ext´rieure est n´cessaire pour
e e
maintenir la vitesse du rail mobile constante.
f em −aBo vo
Iboucle = = .
R R
Le courant Iboucle circule dans le sens horaire, passant de gauche a droite (ax )
`
dans le rail mobile. Une force magn´tique agit sur le rail. Selon (2.9), cette
e
force est orient´e vers le bas (−ay ), s’opposant donc au mouvement du rail tel
e
que pr´vu par la loi de Lens. Une force ext´rieure doit ˆtre appliqu´e :
e e e e
aBo vo a2 Bo vo
2
F ext = −F m = aBo ay = ay .
R R
3.3 Loi d’Amp`re
e
La seconde ´quation de Maxwell est un peu plus compliqu´e. Elle provient principale-
e e
ment des observations de Oersted ` propos des champs magn´tiques produits par les
a e
courants. La contribution math´matique de Maxwell lui a permis d’affirmer que des
e
champs ´lectriques variant donnent naissance ` des champs magn´tiques. Ce dernier a
e a e
d’ailleurs pr´dit longtemps avant que le ph´nom`ne soit observ´, la propagation des ondes
e e e e
´lectromagn´tiques. La loi d’Amp`re sous la forme int´grale, s’´crit ainsi :
e e e e e
d
H · dl = [I]s + D · dS (3.4)
C dt S
o` S est une surface d´limit´e par le contour ferm´ C.
u e e e
Cette ´quation ressemble ` celle de Faraday sauf qu’il y a deux termes a droite de
e a `
l’´galit´. Cette diff´rence provient du fait qu’il existe un courant ´lectrique mais pas de
e e e e
courant magn´tique. On peut pousser plus loin et se demander pourquoi. La r´ponse : les
e e
charges magn´tiques isol´es n’existent pas et ne se d´placent pas non plus, par cons´quent.
e e e e
Pour ajouter ` la ressemblance, on utilise l’analogie jusqu’` dire que C H · dl est la force
a a
magn´tomotrice f mm.
e
Le terme [I]s repr´sente le courant dˆ au mouvement des charges ´lectriques passant
e u e
au travers la surface S. Ce courant peut ˆtre de conduction dans un conducteur ou de
e
convection par un nuage de charges dans l’espace. Il ne peut ˆtre li´ aux ph´nom`nes
e e e e
de polarisation ou de magn´tisation dans le mat´riau car l’effet de ces ph´nom`nes est
e e e e
consid´r´ implicitement dans les d´finitions de D ou H respectivement.
ee e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-51-320.jpg)
![3-42 Les lois de Maxwell
Le second terme de droite d( S D · dS)/dt repr´sente aussi un courant – on peut s’en
e
convaincre en regardant les unit´s – mais diff´rent de celui auquel on est habitu´. Il s’agit
e e e
du courant de d´placement r´sultant de la variation du flux ´lectrique Ψe au travers une
e e e
surface S :
[Ψe ]s = D · dS . (3.5)
S
Le flux ´lectrique se d´finit de mani`re analogue au flux magn´tique rencontr´ dans
e e e e e
l’´quation de Faraday. En cons´quence, les courants de conduction, de convection et de
e e
d´placement sont tous responsables de produire un champ magn´tique.
e e
Si on suppose un courant de conduction, [Ic ]s , il peut provenir autant d’un courant
filiforme, de surface, de volume ou d’une combinaison de ceux-ci. Formul´ de par sa
e
densit´, le courant de conduction vaut :
e
[Ic ]s = J c · dS . (3.6)
S
De plus, sachant que le champ de d´placement et la densit´ de courant de conduction sont
e e
intimement li´s au champ ´lectrique via la permittivit´ et la conductivit´ selon (2.19) et
e e e e
(2.14) respectivement, l’´quation d’Amp`re devient :
e e
d
H · dl = σE · dS + ǫE · dS . (3.7)
C S dt S
Il faut cependant suivre quelques r`gles pour d´terminer la valeur de la force magn´to-
e e e
motrice f mm avec cette derni`re ´quation :
e e
• le courant [Ic ]s ne peut ˆtre qu’un courant de conduction de volume ;
e
• les int´grales de surface sont ´valu´es en accordance avec la r`gle de la main droite
e e e e
expos´e auparavant ; la normale ` la surface est orient´e selon le sens choisi du
e a e
parcours C ;
• les surfaces S de chaque membre de droite doivent ˆtre absolument identiques2 ;
e
cependant toute surface quelconque d´limit´e par le parcours ferm´ C convient .
e e e
Exemple 3.3
Soient les champs
√
H(t) = ±Ho δ(t ∓ µǫz)ay
√ pour z ≷ 0
E(t) = µ Ho δ(t ∓ µǫz)ax
ǫ
o` δ(·) repr´sente la fonction impulsion.
u e
Comme on verra plus tard, il s’agit des champs d’une onde ´lectromagn´tique
e e
plane et uniforme. On peut d’abord remarquer qu’une telle onde se d´place
e
2
On rappelle que la divergence de l’int´grande doit ˆtre nulle pour avoir le choix de la surface. Dans
e e
ce cas ci, on a plutˆt ∇ · (J + dD/dt) = 0.
o](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-52-320.jpg)
![3.3 Loi d’Amp`re
e 3-43
dans la direction z+ si z > 0 et z− si z < 0. Pour bien le voir, il faut tracer
l’amplitude d’un des champs au temps t = 0 puis ` un temps to > 0 pour
a
diff´rentes valeurs de z.
e
◮ Exprimez le courant produit par le mouvement des charges ` l’int´rieur de la
a e
section rectangulaire limit´e par les points (0, 0, 0.2), (0, 1, 0.2), (0, 1, −0.2) et
e
(0, 0, −0.2).
Pour commencer, on isole la composante du courant de conduction :
d
[Ic ]s = J · dS = H · dl − D · dS
S C dt S
Les termes de droite peuvent ˆtre ´valu´s s´par´ment :
e e e e e
1 0.2
√ √
H · dl = [Ho δ(t − µǫz)]x=0 ay ·(dyay ) + [Ho δ(t − µǫz)]x=0 ay ·(−dzaz )
C 0 z=0.2 0 y=1
0
0 1
√ √
+ [−Ho δ(t + µǫz)]x=0 ay ·(−dzaz ) + [−Ho δ(t + µǫz)]x=0 ay ·(−dyay )
−0.2 y=1 0 z=−0.2
0
0 0.2
√ √
+ [−Ho δ(t + µǫz)]x=0 ay ·(dzaz ) + [Ho δ(t − µǫz)]x=0 ay ·(dzaz )
−0.2 y=0 0 y=0
0 0
√ √
= Ho δ(t − 0.2 µǫ) + 0 + 0 + Ho δ(t − 0.2 µǫ) + 0 + 0
√
= 2Ho δ(t − 0.2 µǫ)
et, sachant que dS = dydz(−ax ) :
0 1
√ √
D · dS = [ µǫHo δ(t + µǫz)]x=0 ax · (−dydzax )
S −0.2 0
0.2 1
√ √
+ [ µǫHo δ(t − µǫz)]x=0 ax · (−dydzax )
0 0
0 0.2
√ √ √
= − µǫHo δ(t + µǫz)dz + δ(t − µǫz)dz
−0.2 0
√ √
√ u(t + µǫz) 0 u(t − µǫz) 0.2
= − µǫHo √ + √
µǫ z=−0.2
− µǫ z=0
√ √
= Ho (u(t − 0.2 µǫ) − u(t) − u(t) + u(t − 0.2 µǫ))
et ainsi :
d √
D · dS = −2Ho δ(t) + 2Ho δ(t − 0.2 µǫ) .
dt S
Finalement, le courant de conduction passant au travers la surface vaut :
[Ic ]s = 2Ho δ(t) .](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-53-320.jpg)
![3-44 Les lois de Maxwell
Il est int´ressant d’interpr´ter ces derniers r´sultats. On s’aper¸oit selon l’ex-
e e e c
pression de [Ic ]s , que le courant de conduction est responsable de l’´mission de
e
l’onde ´lectromagn´tique en produisant une impulsion au temps t = 0. C’est
e e
en quelque sorte, une source s(t) plac´e dans la plan z = 0 variant temporel-
e
lement qui produit l’onde. Cette impulsion se propage dans le milieu avec une
vitesse finie car elle est per¸ue en un instant t = to plus tard sous la forme
c
d’un champ ´lectrique et d’un champ magn´tique pour tout point des plans
e e
z = ±zo lesquels se situent ` ´gale distance du plan z = 0. La relation entre
ae
le d´lai to et la position zo d´pend de la vitesse de propagation de l’onde. On
e e
v´rifie facilement que pour cet exemple, la vitesse de propagation, not´e plus
e e
tard vp , vaut :
zo zo 1
vp = = √ = √ .
to µǫzo µǫ
Si le milieu est le vide, on prends ǫ = ǫo et µ = µo. Avec les valeurs de ces
constantes, on trouve alors que vp = c ≈ 3 × 108 m/s la vitesse de la lumi`re e
dans le vide !
On remarque aussi que la forme temporelle de l’amplitude des champs observ´s
e
a
` une certaine distance reproduit celle de la source nonobstant le d´lai de
e
propagation. En fixant le temps et en observant cette fois suivant l’axe z, la
forme spatiale de l’amplitude des champs observ´s ressemblerait a la forme
e `
temporelle de la source invers´e i.e. s(−t).
e
Finalement, on note que l’amplitude des champs ne d´croˆ pas en fonction de
e ıt
la distance z car la source a une dimension infinie (ce qui n’existe pas dans la
r´alit´). Cette onde est dite uniforme.
e e
3.4 ´
Equation de continuit´
e
L’´quation de continuit´ est une ´quation suppl´mentaire aux ´quations de Maxwell qui
e e e e e
fait le pont entre les charges et le courant. On l’appelle aussi la loi de conservation des
charges. On ne peut d´montrer l’´quation de continuit´ qu’en assumant que physiquement,
e e e
les charges ´lectriques ne peuvent disparaˆ
e ıtre. Si la charge nette a l’int´rieur d’un volume
` e
varie, c’est que des charges ont quitt´ ou sont entr´es dans le volume. Le signe des charges
e e
et le principe de superposition des charges sont consid´r´s dans l’´quation de continuit´.
ee e e
On pr´sente la loi de conservation des charges avant les deux derni`res ´quations de
e e e
Maxwell, parce qu’elle intervient dans la d´monstration de l’une des deux.
e
Selon cette loi, le courant produit par le mouvement des charges au travers une surface
ferm´e S doit correspondre au taux de d´croissance de la charge dans le volume V d´limit´
e e e e
par la surface ferm´e S – cette charge est not´e [Q]V :
e e
d
J · dS = − ρ dv . (3.8)
S dt V
[Q]V](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-54-320.jpg)
![´
3.5 Equations de Gauss 3-45
Une charge positive qui quitte le volume cr´e un courant positif de conduction ou de
e
convection – le terme [I]s a ´t´ employ´ pr´c´demment pour d´signer ce type de courant.
ee e e e e
En mˆme temps, la charge contenue dans le volume a diminu´ d’o` le signe n´gatif.
e e u e
J
Q(t)
dS
Figure 3.5 – Principe de la conservation des charges.
On note que [Q]V peut ˆtre une charge ponctuelle, provenir d’une densit´ lin´ique,
e e e
surfacique, volumique de charges ou encore une combinaison de tous ces modes. La figure
3.5 sch´matise le concept physique.
e
3.5 ´
Equations de Gauss
Les ´quations de Gauss se d´rivent directement des ´quations de Faraday et d’Amp`re en
e e e e
prenant une surface ferm´e. Si les deux premi`res font appels ` des int´grales de ligne des
e e a e
champs ´lectrique et magn´tique sur des parcours ferm´s, les deux derni`res ´quations de
e e e e e
Maxwell sont des int´grales de surfaces ferm´es.
e e
On sait qu’une int´grale sur une surface ferm´e donne le bilan du flux ´manant du
e e e
volume d´limit´ par la surface. Elle indique donc la pr´sence d’une source si positive, ou
e e e
d’un absorbant si n´gative. Dans le cas pr´sent, l’int´grale est reli´e aux charges qui sont
e e e e
sources de flux ´lectrique ou de flux magn´tique.
e e
dS2
S1 C1 S2
C2
dS1
Figure 3.6 – Deux parcours d’int´gration de sens oppos´s d´limitant une surface ferm´e.
e e e e
Pour la d´monstration, on consid`re deux parcours C1 et C2 identiques mais se par-
e e
courant dans des sens oppos´s comme sur la figure 3.6. Ils d´limitent chacun des surfaces
e e
diff´rentes S1 et S2 . Les deux surfaces mises ensemble forment donc une surface “pa-
e
tato¨
ıdale” ferm´e.
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-55-320.jpg)
![´
3.5 Equations de Gauss 3-47
3.5.2 Charges ´lectriques
e
Comme il a ´t´ fait avec l’´quation de Faraday, on reprend les deux contours ferm´s C1
ee e e
et C2 identiques mais parcourus dans le sens oppos´. La surface ferm´e S de la figure 3.6
e e
est obtenue en prenant les deux surfaces quelconques S1 et S2 d´limit´es par les deux
e e
contours. On obtient :
H · dl + H · dl = 0
C1 C2
d
0 = J · dS + D · dS
S=S1 +S2 dt S=S1 +S2
d’o`
u
d
D · dS = − J · dS . (3.11)
dt S S
Ainsi, le courant de d´placement ´manant d’une surface ferm´e est ´gal au courant dˆ
e e e e u
aux charges quittant le volume d´limit´ par la surface ferm´e. Or, la loi de conservation
e e e
des charges indique justement comment le courant I(t) est li´ ` la variation de la charge
ea
´lectrique par unit´ de temps :
e e
d [Q]V
J · dS = I(t) = − (3.12)
S ↑ dt
Partant de (3.11) et de (3.12), on d´duit imm´diatement la derni`re ´quation de Maxwell :
e e e e
D · dS = [Q]V . (3.13)
S
La charge [Q]V exclut les ph´nom`nes de polarisation qui sont pris en compte implicite-
e e
ment dans la d´finition de D.
e
Formul´e en terme de densit´ volumique, on obtient :
e e
D · dS = ρ dv . (3.14)
S V
La seconde loi de Gauss sur le champ ´lectrique indique simplement que le bilan du flux de
e
d´placement ´manant d’une surface ferm´e est ´gal ` la charge contenue dans le volume
e e e e a
d´limit´ par la surface.
e e
Cette loi de Gauss permet d’expliquer la continuit´ du courant au travers un conden-
e
sateur pour un signal variant dans le temps. Avec une surface ferm´e autour d’une seule
e
plaque d’un condensateur, on fait le lien entre le courant de d´placement et le courant de
e
conduction. Selon (3.11) appliqu´e ` la surface ferm´e S de la figure 3.7, on a :
e a e
d
D · dS = i(t) (3.15)
dt S
o` i(t) repr´sente le courant fourni par la source et entrant dans le condensateur. En
u e
supposant que le champ D = ǫE est normal et uniforme entre les deux plaques de surface](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-57-320.jpg)
![´
3.5 Equations de Gauss 3-49
trouver les courants de conduction et de d´placement passant par une surface
e
S d´limit´e par C. Les deux mani`res sont bonnes mais on choisira ici la
e e e
seconde :
d
f mm = [Ic ]s + D · dS .
dt S
On prend comme surface l’h´misph`re sup´rieure pour faciliter le traitement
e e e
qui suit.
• D’abord, le courant dˆ au mouvement des charges se limite a celui de
u `
conduction :
[Ic ]s = I
puisqu’il passe au travers S.
• La d´termination du courant de d´placement n´cessite la connaissance
e e e
du flux ´lectrique. Partant de la loi de Gauss, on utilise les d´ductions
e e
suivantes :
– avec deux h´misph`res – inf´rieure et sup´rieure qui forment ainsi
e e e e
une surface ferm´e – le flux ´lectrique est ´gal ` Q selon la loi de
e e e a
5
Gauss ;
– les deux h´misph`res sont identiques ; donc le flux traversant chacune
e e
d’elles vaut la moiti´ i.e. :
e
Q
D · dS = .
S 2
– la d´riv´e par rapport au temps du flux traversant la surface S com-
e e
bin´e ` la loi de conservation des charges donne donc :
e a
d 1 dQ 1
D · dS = = − I
dt S 2 dt 2
La f mm est ensuite d´duite en substituant les ´quations des courants :
e e
1 I
f mm = I − I = .
2 2
On aurait trouv´ un r´sultat identique en prenant l’h´misph`re inf´rieure.
e e e e e
Dans ce cas, il n’y a pas de courant de conduction qui passe au travers de
la surface et le courant, par le champ de d´placement, change de signe pour
e
respecter la r`gle de la main droite.
e
5
Il est int´ressant de noter que l’expression du champ E produite par une sph`re charg´e s’obtient
e e e
Q
facilement : sph`re ǫEr dS = 4πr2 ǫEr = Q donc E = 4πǫr2 ar
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-59-320.jpg)
![3-58 Les lois de Maxwell
πz πz πz
H v = H1 cos(πx) cos( )ax + H2 sin(πx) sin( )ay + H3 cos(πx) sin( )az .
2d 2d d
L’espace est divis´ est trois r´gions tel que sur la figure 3.14 :
e e
• un conducteur parfait pour z < 0 ;
• le vide lorsque 0 < z < d ;
• un di´lectrique parfait ayant µ = µo , σ = 0 et ǫ = 4ǫo pour z > d.
e
◮ D´terminez ρs et J s sur la surface du conducteur en z = 0 et indiquez les
e
termes des champs – les Ei et les Hi – qui doivent ˆtre nuls a cause des
e `
conditions dures.
Des ´quations (3.46) ` (3.49), on d´duit respectivement :
e a e
0 = az × [E]z=0
πz πz
= [E1 sin(πx) sin( )]z=0 (ay ) + [E2 cos(πx) cos( )]z=0 (−ax )
2d 2d
0 car sin(0)=0 E2 cos(πx) car cos(0)=1
donc forc´ment :
e
E2 = 0 .
D’autre part, avec la seconde ´quation aux limites, on a :
e
[J s ]z=0 = az × [H]z=0
πz πz
= [H1 cos(πx) cos( )]z=0 (ay ) + [H2 sin(πx) sin( )]z=0 (−ax )
2d 2d
H1 cos(πx) 0
puis, de la troisi`me :
e
πz
0 = az · µo [H]z=0 = µo [H3 cos(πx) sin( )]z=0
d
0
de laquelle on ne peut rien conclure. De la derni`re, on retire :
e
[ρs ]z=0 = az · ǫo [E]z=0
πz
= ǫo [E3 sin(πx) cos( )]z=0 = ǫo E3 sin(πx) .
d
E3 sin(πx)
◮ Exprimez les champs dans le di´lectrique E d et H d , a l’interface avec le vide.
e `
On reprend les conditions aux limites (3.42) ` (3.45) avec z = d, ρs = 0 et
a
Js = 0 :
[Edx ]z=d+ = [Evx ]z=d− = E1 sin(πx) car sin(π/2) = 1
Edy z=d+ = Evy z=d− = 0 car E2 = 0](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-68-320.jpg)
![3.7 Conditions aux limites 3-59
[Hdx ]z=d+ = [Hvx ]z=d− = 0 car cos(π/2) = 0
Hdy z=d+ = Hvy z=d− = H2 sin(πx) car sin(π/2) = 1
µo [Hdz ]z=d+ = µo [Hvz ]z=d− = 0 car sin(π) = 0
4ǫo [Edz ]z=d+ = ǫo [Evz ]z=d− = −ǫo E3 sin(πx) car cos(π) = −1 .
Exprim´es sous une forme plus succincte, on aboutit aux ´quations :
e e
E3
[E d ]z=d+ = E1 sin(πx)ax − sin(πx)az
4
[H d ]z=d+ = H2 sin(πx)ay .
◮ Si on remplace le di´lectrique par un autre conducteur parfait, donnez les
e
modifications ` apporter aux composantes Ei et Hi des champs.
a
On doit maintenant appliquer les conditions aux limites dures a z = d. On
`
obtient alors :
πz
0 = (−az ) × [E]z=d− = [E1 sin(πx) sin( )]z=d (−ay )
2d
E1 sin(πx)
car E2 est d´j` ´gal ` z´ro. Cette expression implique maintenant que :
eae a e
E1 = 0
Ensuite :
[J s ]z=d = (−az ) × [H]z=d−
πz πz
= [H1 cos(πx) cos( )]z=d− (−ay ) + [H2 sin(πx) sin( )]z=d− (ax )
2d 2d
0 H2 sin(πx)
0 = (−az ) · µo [H] z=d−
πz
= [H3 cos(πx) sin( )]z=d−
d
0
[ρs ]z=d = (−az ) · ǫo [E]z=d−
πz
= −ǫo E3 sin(πx) cos( ) .
d z=d−
ǫo E3 sin(πx)
Aucune information suppl´mentaire ne peut ˆtre extraite des trois derni`res
e e e
´galit´s en ce qui concerne les composantes des champs. On connaˆ cependant
e e ıt
les expressions du courant de surface et de la densit´ surfacique de charges sur
e
ce deuxi`me conducteur.
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-69-320.jpg)
![3.7 Conditions aux limites 3-61
dans le plan xy, pour t = 0 et t = 1 s.
Question 5
Une source tension connect´e ` un condensateur ` plaques parall`les g´n`re un champ
e a a e e e
´lectrique uniforme (on n´glige les effets de bords) entre les plaques :
e e
E = 180 sin(2π × 106 t) sin(4π × 106 t) az V /m .
La surface de chacune des plaques est de 0.1 m2 tandis que l’espacement entre les deux
plaques, constitu´ d’air, n’est que de 2 mm. En supposant que le champ ´lectrique est nul
e e
a
` l’ext´rieur de la r´gion directement entre les deux plaques, calculez la valeur efficace du
e e
courant fourni par la source.
Note#1 : la valeur efficace d’un signal harmonique – sinus ou cosinus – correspond ` la a
√
valeur crˆte divis´e par 2.
e e
Note#2 : la valeur crˆte d’une somme de signaux harmoniques ` diff´rentes fr´quences
e a e e
se calcule comme la norme d’un vecteur puisque les fonctions harmoniques forment une
base orthogonale.
Question 6
Divers types de charges sont plac´es, en coordonn´es cart´siennes, comme suit : une
e e e
charge ponctuelle de 1 µC ` (1, 1, −1.5) ; une charge lin´ique uniforme ayant une densit´ de
a e e
2 µC/m le long d’une ligne droite partant de (−1, −1, −1) jusqu’` (3, 3, 3) ; et une charge
a
surfacique r´partie uniform´ment sur la surface planaire en x = 0 entre les droites z = −1
e e
et z = 1 avec une densit´ de −1 µC/m2 . D´terminez le flux ´lectrique [Ψe ]S ´manant de la
e e e e
surface ferm´e cubique S limit´e par les plans x = ±2, y = ±2 et z = ±2.
e e
Question 7
Pour chacune des distributions de charges suivantes, d´terminez le flux de d´placement
e e
´manant de la surface ferm´e indiqu´e :
e e e
a) ρ(x, y, z) = ρo (x + y + z)2 pour 0 < x < 1, 0 < y < 1 et 0 < z < 1 ;
b) ρ(r, φ, z) = ρo cos2 (φ) pour 0 < r < 1, 0 < φ < π/2 et 0 < z < 1.
Question 8
Soit E = Eo cos(6π × 108 t − 2πz) ax V /m. D´terminez le taux d’augmentation tem-
e
porelle des composantes du champ d’induction Bx , By et Bz au temps t = 10−8 s et a la
`
position (1, 1, 0.25) m.
Question 9
8 2
Soient J = 0 et H = Ho e−(3×10 t−z) ay A/m. D´terminez le taux d’augmentation
e
temporelle des composantes du champ de d´placement Dx , Dy et Dz au temps t = 10−8 s
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-71-320.jpg)
 ` t = 0 si l’autre mat´riau est un conducteur parfait et :
a e
[H](0,0,0+ ) = Ho (3ax − 4ay ) cos(ωt) ;](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-72-320.jpg)
 si l’autre mat´riau est un mat´riau magn´tique ayant µ = 20µo et :
e e e
[H](0,0,0− ) = Ho (10ax + az ) ;
c) le rapport [B](0,0,0− ) /[B](0,0,0+ ) avec les mˆmes conditions qu’en b).
e
Question 15
Deux plaques infinies parfaitement conductrices sont localis´s ` x = 0 et x = 0.1 m.
e a
Les champs ´lectromagn´tiques dans l’espace entre les deux plaques sont d´crits par :
e e e
E = Eo sin(10πx) cos(3π × 109 t) az V /m
Eo
H = cos(10πx) sin(3π × 109 t) ay A/m .
120π
a) D´montrez que E satisfait les conditions aux limites ;
e
b) d´duisez la densit´ de courant de surface sur les deux plaques.
e e
R´ponses :
e
√
2
1. f em = − 2
ωBo cos(ωt + π/4) V .
1 1
2. f em = Bo bvo xo +vo t
− xo +a+vo t
V
1
3. a) f em = Bo ab ω sin(ωt) V ; b) [Ψ]s = − 2 Bo (ab2 ), f em = 0
c) [Ψ]s = −Bo (ab2 ) sin(φ) cos(φ), f em = Bo (ab2 ) ω cos2 (ωt) − ω sin2 (ωt) V .
4. [Id (t = 0)]s = 0.1ǫo Eo A, [Id (t = 1)]s = −0.1e−1 ǫo Eo A.
5. I = 1.118 mArms .
6. S
D · dS = 3.3923 µC.
5
7. a) D · dS = 2 ρo ; b) D · dS = π ρo .
8
∂Bx ∂By ∂Bz
8. ∂t
= 0, ∂t
= 2πEo , ∂t
= 0.
∂Dx ∂Dy ∂Dz
9. ∂t
= −0.7358 Ho, ∂t
= 0, ∂t
= 0.
10. −0.08 Jo (C/m3 )/s.
Eo
11. B = 3×108
(0.6ax − 0.8az ) cos (3π × 108 t + 0.2π(4x + 3z)) W b/m2 .
12. β 2 − α2 = ω 2 µo ǫo .
√ √
13. a) 1.5 ; b) 3/ 5 ; c) 2/ 5.
14. a) [J s (t = 0)](0,0,0) = Ho (4ax + 3ay ) ;
b) [H](0,0,0+ ) = 10Ho(ax + 2az ) ; c) 8.989 .
15. a) [Ez ]x=0 = 0 et [Ez ]x=0.1 = 0 donc les composantes tangentielles sont bien nulles ;
Eo
b) [J s ]x=0 = −[J s ]x=0.1 = 120π sin(3π × 109 t) az .](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-73-320.jpg)
![4-66 Statique et Quasi-statique
4.2 Applications directes aux champs statiques
d
Les quatre ´quations de Maxwell se r´sument ainsi lorsque
e e dt
=0:
E · dl = 0 (4.1)
C
H · dl = [Ic ]s = J · dS (4.2)
C S
D · dS = ρ dv (4.3)
S V
B · dS = 0 (4.4)
S
tandis que celle de continuit´ devient :
e
J · dS = 0 . (4.5)
S
On voit imm´diatement le d´couplage des champs ´lectrique et magn´tique. L’´quation
e e e e e
(4.1) indique que le champ ´lectrique est maintenant conservatif : l’int´grale de ligne est
e e
une fonction des points de d´part et d’arriv´e mais est ind´pendante du parcours suivi.
e e e
Avec (4.2), on remarque que le champ magn´tique statique est cr´´ uniquement par le
e ee
d´placement de charges libres. Pas de courant de d´placement car il n’y a aucune variation
e e
de la charge dans le temps, propri´t´ aussi indiqu´e par (4.5). Le courant de convection
ee e
ou de conduction [I]s existe au travers une boucle ferm´e. e
L’utilisation la plus simple et la plus directe des ´quations de Maxwell statiques consiste
e
a e
` d´river l’expression des champs statiques. Dans certaines conditions o` il est possible
u
de se servir des sym´tries, les int´grales se simplifient. Il suffit de bien choisir la surface
e e
ou le parcours d’int´gration, analyser la g´om´trie et faire ressortir des produits scalaires
e e e
nuls (angle droit entre les deux vecteurs) ou maximum (angle nul). Souvent le travail de
calcul se r´alise rapidement si le travail de r´flexion a ´t´ bien men´.
e e ee e
Rien de mieux que quelques exemples pour se fixer les id´es. On s’apercevra que les
e
´quations les plus employ´es dans ce genre d’op´ration sont celles ayant un membre de
e e e
droite non-nul ; les autres m`nent ` la solution triviale ou servent simplement a confirmer
e a `
l’absence de certaines composantes des champs provoqu´e par la sym´trie.
e e
Exemple 4.1
Un fil infini de rayon a est charg´ uniform´ment avec une densit´ volumique
e e e
3
ρo C/m comme sur la figure 4.1.
◮ Exprimez le champ ´lectrique dans le vide ` une distance r du centre du fil.
e a
Il y a lieu de se servir de la sym´trie de fil pour choisir une surface ferm´e
e e
car on parle de charge ´lectrique. La meilleure est une surface constitu´e d’un
e e
partielles du deuxi`me ordre obtenue par combinaison des deux premi`res ´quations de Maxwell. C’est le
e e e
protocole suivi dans le prochain chapitre.](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-76-320.jpg)
![4-76 Statique et Quasi-statique
équipotentielles z
+Q
+d
2
E
−d
2
−Q
´
Figure 4.8 – Equipotentielles et lignes de champ ´lectrique d’un dipˆle ´lectrique.
e o e
la figure 4.8. Le dipˆle ´lectrique ´tant constitu´ d’une charge +Q et d’une charge −Q,
o e e e
la charge nette est nulle.
On se rend compte qu’en consid´rant le plan milieu et normal au segment reliant les
e
deux charges :
• le champ ´lectrique est perpendiculaire en tout point du plan ;
e
• le plan correspond ` une ´quipotentielle.
a e
Ainsi, en pla¸ant un plan conducteur parfait exactement a la position de ce plan, la
c `
cartographie du champ ´lectrique et de la fonction de potentielle ne serait nullement
e
affect´e. Si maintenant, on retire la charge −Q par exemple, le champ ´lectrique devient
e e
nul automatiquement du cˆt´ de la charge n´gative mais demeure inchang´ de l’autre cˆt´
oe e e oe
du plan conducteur.
équipotentielle z
+Q
+Q
d d
[E]S
- -- - - - - - -- - - - - - - - - ⇔
conducteur parfait ρs d
−Q
image
Figure 4.9 – Th´orie des images sur une charge ´lectrique +Q.
e e
En cons´quence, mettre un plan conducteur parfait ` cˆt´ d’une charge ´lectrique
e a oe e
correspond ` simuler une charge de signe oppos´ ` une distance ´quivalente sous le plan
a ea e
conducteur. C’est l’image de la charge ´lectrique statique comme le r´sume la figure 4.9. En
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-86-320.jpg)
![4.4 Th´orie des images
e 4-77
fait, la charge image est cr´´e par une distribution non-uniforme de la densit´ surfacique
ee e
de charges ρs ` la surface du conducteur. Cette densit´ de charges est de mˆme signe que
a e e
la charge image et sa valeur d´pend de l’intensit´ du champ de d´placement D a cette
e e e `
position.
En pr´sence de plusieurs charges ´lectriques, le plan conducteur parfait simulera autant
e e
de charges de l’autre cˆt´ avec une mˆme configuration, de mˆmes grandeurs mais de signes
oe e e
oppos´s. On comprend facilement qu’une densit´ lin´aire ρl , surfacique ρs ou volumique
e e e
ρ de charges peut ˆtre imag´e de la mˆme mani`re, toujours avec le signe oppos´.
e e e e e
Exemple 4.6
Une charge lin´aire infinie ayant une densit´ ρl est plac´e parall`lement a une
e e e e `
distance d d’un plan conducteur. Pour se fixer les id´es, la charge lin´aire est
e e
a (x = 0, z = d) et le conducteur est ` z = 0.
` a
◮ Trouvez l’expression de la densit´ surfacique de charges ` la surface du conduc-
e a
teur.
On sait que ρs = −[D⊥ ]S = −ǫ[E⊥ ]S par l’application de la condition aux
limites du champ ´lectrique sur la surface S. Or, selon ce qui a ´t´ trouv´
e ee e
a l’exemple 4.1, le champ ´lectrique produit par une charge lin´aire infinie
` e e
4
vaut :
ρl
E+ = ar
2πǫr
avec r 2 = d2 + y 2.
La charge image produit un champ ´lectrique de mˆme magnitude E− = E+ .
e e
Remarquons que l’image de la charge annule la composante tangentielle du
champ ´lectrique sur le conducteur afin que soit respect´ les condition aux
e e
limites. Le champ total est la somme vectorielle des deux champs soit, dans le
plan z = 0 :
[E⊥ ]S = [E + + E − ]z=0 = 2E+ cos θ .
L’angle θ repr´sente l’angle d’inclinaison entre le champ ´lectrique et la nor-
e e
male an = az du plan conducteur. Son cosinus s’exprime ais´ment en fonction
e
de d et y puisque cos θ = √d .
2 2
d +y
On obtient finalement
ρl d
[E⊥ ]S =
πǫ(d2 + y 2 )
donc
ρl d
ρs = − .
π(d2 + y 2 )
4
Il suffit de comprendre que la densit´ lin´aire ´quivaut ` ρl = ρ(πa2 ) i.e. le produit de la densit´
e e e a e
volumique par la surface du fil.](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-87-320.jpg)
 − [V ](0,0,0) [V ](0,0,0) − [V ](−a,0,0)
≈ − (4.24)
a a a
1
≈ 2 ([V ](−a,0,0) + [V ](a,0,0) − 2[V ](0,0,0) ) . (4.25)
a
On proc`de de mani`re similaire par la d´riv´e seconde en y :
e e e e
∂2 V 1
≈ ([V ](0,−a,0) + [V ](0,a,0) − 2[V ](0,0,0) ) , (4.26)
∂y 2 (0,0,0) a2
on r´organise puis on substitue (4.25) et (4.26) dans (4.19) sans la variable z, pour obtenir :
e
1
[V ](0,0,0) ≈ ([V ](−a,0,0) + [V ](a,0,0) + [V ](0,−a,0) + [V ](0,a,0) ) . (4.27)
4
Cette ´quation indique qu’une approximation valable du potentiel en un point donn´ est
e e
celle d´termin´e en prenant la moyenne des potentiels des noeuds voisins ´quidistants.
e e e
Cette formule provient des s´ries de Taylor tronqu´es, ce qui permet de connaˆ rapide-
e e ıtre
2
ment l’ordre de grandeur de l’erreur : ici de a .
La suite de la m´thode consiste ` appliquer l’´quation des diff´rences finies (4.27) aux
e a e e
noeuds dans le domaine de d´finition, en tenant compte des conditions impos´es par le
e e
potentiel des conducteurs agissant comme fronti`res. Il faut maintenant solutionner ce
e
syst`me qui comporte souvent beaucoup d’inconnues (le potentiel a chaque noeud). Selon
e `
les contraintes, on pourra utiliser :
• la solution matricielle :
On g´n`re la matrice des multiples ´quations – une ´quation pour chaque noeud
e e e e
du domaine de d´finition – des diff´rences finies qui est ensuite invers´e. L’inversion
e e e
d’une matrice aussi grande est grandement acc´l´r´e si l’on consid`re la propri´t´
ee e e ee
“sparse” de la matrice.
• la solution par relaxation :
On d´bute en supposant que tous les potentiels sont nuls sauf ceux impos´s sur les
e e
conducteurs, et on r´sout successivement les ´quations en utilisant la derni`re valeur
e e e
obtenue des quatre potentiels n´cessaires ` chacun des noeuds. La solution corrig´e
e a e
apr`s une it´ration sert comme nouvelle solution de d´part a la prochaine it´ration.
e e e ` e
On r´p`te tant que la correction ` appliquer ` un seul des noeuds d´passe un seuil
e e a a e
fix´ au d´part.
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-90-320.jpg)
 + [V ](a,0,0) ) (ǫr1 [V ](0,−a,0) + ǫr2 [V ](0,a,0) )
[V ](0,0,0) ≈ + (4.29)
4 2(ǫr1 + ǫr2 )
Exemple 4.8
La figure 4.13 montre un domaine de d´finition de 4 par 4 unit´s contenant
e e
deux di´lectriques : celui du haut est l’air et celui du bas a une constante
e
di´lectrique ǫr1 = 9. Le potentiel aux limites de ce domaine vaut 0 V alors
e
`
qu’un seul noeud du domaine a un potentiel fixe de 1 V . A cause de la sym´trie,
e
seulement 5 valeurs du potentiel sont inconnues soient Va , Vb , Vc , Vd et Ve .
◮ D´terminez ces 5 valeurs du potentiel en assumant un seul di´lectrique de
e e
constante ǫr = 9.](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-92-320.jpg)
![4-84 Statique et Quasi-statique
on obtient Va = 0.1317 V, Vb = 0.2195 V, Vc = 0.3073 V, Vd = 0.6146 V et
Ve = 0.3268 V.
Note : les matrices ` inverser sont de grandes dimensions dans les probl`mes pratiques
a e
2 2 2 2
rencontr´s (N M × N M avec N et M repr´sentant le nombre d’unit´s en largeur et en
e e e
hauteur du domaine de d´finition). Par contre, elles contiennent une quantit´ importante
e e
d’´l´ments nuls, faisant d’elles des matrices ´parses (“sparse matrix”). Les math´maticiens
ee e e
se sont amus´s ` trouver un algorithme optimal d’inversion de ce type de matrices, algo-
e a
rithme que l’on retrouve dans MatlabTM .
4.6 De l’´lectromagn´tisme aux circuits
e e
La th´orie des circuits, bien connue et largement employ´e en ing´nierie, n’est applicable
e e e
que dans le cas statique et quasi-statique comme beaucoup semble l’oublier. Elle suppose :
• des d´lais de propagation nuls entre deux points d’un mˆme noeud ;
e e
• des ´l´ments tr`s petits par rapport ` la longueur d’onde de sorte qu’ils r´agissent
ee e a e
au premier ordre de la fr´quence.
e
L’effet de propagation est couvert dans les chapitres ult´rieurs sur les lignes de transmis-
e
sion entre deux points. L’effet des ´l´ments suit dans cette section.
ee
Mais avant, il est int´ressant de voir comment les lois fondamentales des circuits
e
´lectriques d´rivent des ´quations de Maxwell.
e e e
• L’´quation de Faraday statique (4.1) est l’extension de la loi des mailles car en
e
statique et quasi-statique, on a :
0 = − E · dl
C
b c a
= − E 1 · dl1 − E 2 · dl2 − ... − E K · dlK
a b z
= V1 + V2 + ... + VK .
• De la mˆme mani`re, l’´quation de continuit´ statique (4.5) est l’extension de la loi
e e e e
des noeuds :
0 = J · dS
S
= J 1 · dS 1 + J 2 · dS 2 + ... + J K · dS K
S1 S2 SK
= [Ic ]S1 + [Ic ]S2 + ... + [Ic ]SK
o` l’ensemble des K surfaces Si forment une surface ferm´e S.
u e
On comprend maintenant qu’aux fr´quences plus ´lev´es, les deux lois fondamentales
e e e
de Kirchoff ne tiennent plus ; il faut alors revenir au source soit l’´lectromagn´tisme.
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-94-320.jpg)
![4-86 Statique et Quasi-statique
Le voltage Vab fait apparaˆ des charges +Q et −Q sur chacune des plaques,
ıtre
soit des densit´s surfaciques de charges ρsa = Q/A et ρsb = −Q/A respective-
e
ment. Le champ ´lectrique peut ˆtre d´duit de plusieurs mani`res :
e e e e
• par l’application des conditions aux limites sur une plaque conductrice
pour trouver E et D⊥ ;
• par l’int´grale de Gauss statique sur une surface ferm´e constitu´e d’un
e e e
boite rectangulaire plac´e de part et d’autre d’une plaque conductrice
e
comme ` l’exemple 4.2 ;
a
• par l’int´grale sur un surface infinie comme ` l’exemple 4.2 et superposi-
e a
tion des champs avec deux plaques.
On comprend que, selon la configuration id´ale, le champ ´lectrique est uni-
e e
forme dans le di´lectrique. On trouve alors :
e
ρsa
E = (−az ) .
ǫ
La diff´rence de potentiel entre les deux plaques peut maintenant ˆtre d´termi-
e e e
n´e comme suit (dl = −dzaz ) :
e
b
Vab = − E · dl
a
a
ρsa
= dz
b ǫ
ρsa
= d.
ǫ
La capacitance vaut donc :
Qa ρsa A
C = =
Vab ρsa d/ǫ
ǫA
= .
d
4.6.2 Conductance
La conductance G est l’inverse de la r´sistance R d´finie ` partir de la loi d’Ohm R = V /I
e e a
en Ohms (Ω). Dans la structure qui servait ` la capacit´, on remplace le di´lectrique par
a e e
un mat´riau dont la conductivit´ est finie mais non-nulle. Un courant de conduction [Ic ]S
e e
(ou plus simplement I) traverse un mat´riau lorsqu’une tension Vab est appliqu´e aux
e e
bornes a et b. Or les deux quantit´s sont reli´es au champ ´lectrique via :
e e e
I = J · dS = σE · dS (4.32)
S S
b
Vab = E · dl (4.33)
a](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-96-320.jpg)
![4.6 De l’´lectromagn´tisme aux circuits
e e 4-91
On remarque que le champ d’induction dans le mat´riau est uniforme. Le flux
e
magn´tique qui traverse une boucle est facile ` calculer ; il vaut :
e a
µ NI πa2
Ψ1boucle = .
h
Il faut bien voir que l’analyse a ´t´ faite en ne prenant qu’une partie de lon-
ee
gueur h du sol´no¨
e ıde. L’obtention de l’inductance par unit´ de longueur qui
e
est not´e L d´coule de (4.37) en divisant ensuite par h. Donc :
e e
µ N I πa2
L 1 h
L = = N
h h I
µ N 2 πa2
= .
h2
4.6.3.2 Inductance interne
L’inductance telle que d´finie ` l’´quation (4.35), exige que tout le flux soit li´ par le
e a e e
courant complet. C’est le cas usuel en pratique, car on suppose que le courant dans un bon
conducteur est confin´ ` la surface – courant de surface J s – o` il contribue enti`rement
ea u e
au flux. Parfois, le flux entier ne peut ˆtre li´ ` tout le courant : une partie seulement
e e a
du courant est li´e ` une partie du flux. Il convient alors de travailler sur des ´l´ments
e a ee
diff´rentiels du flux pond´r´s au prorata de la fraction du courant qui contribue au flux,
e ee
puis d’int´grer sur la surface par laquelle passe le flux entier. On parle alors d’inductance
e
interne et d’inductance externe. Pour l’inductance interne, le flux int´gr´ est li´ a une
e e e `
partie du courant, et non ` tout le courant :
a
Ψ
Lint = ε dS
S [I]dS
o` ε repr´sente la partie du flux li´e du courant li´e au courant passant par dS. L’induc-
u e e e
tance totale de l’arrangement est la somme des inductances interne et externe ; on int`gre
e
alors tout le flux.
B
Figure 4.18 – Surface d´limit´e par deux boucles de fil conducteur.
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-101-320.jpg)
![4-102 Statique et Quasi-statique
Io
qu’il a une amplitude de w
:
Io
H = − ay pour 0 < x < d (4.53)
w
0<y<w
et − ℓ < z < 0 .
Il est nul partout ailleurs.
Le flux magn´tique li´ au courant est simplement le flux traversant une section trans-
e e
versale aux plaques soit Ψ = µHy (ℓd). On peut d´duire imm´diatement l’expression de
e e
l’inductance qui sera utile plus tard dans la d´monstration :
e
Ψ µℓd
L = = . (4.54)
Io w
Si le courant est sinuso¨ ¯
ıdal, on utilise la notion de phaseur donc I = Io et :
¯ Io
Hy0 = − . (4.55)
w
L’indice 0 est rajout´ pour indiquer qu’il s’agit d’une composante du champ proportion-
e
nelle ` la puissance z´ro de la fr´quence.
a e e
Comme le champ magn´tique varie dans le temps, il doit exister un champ ´lectrique
e e
suivant les ´quations de Maxwell. L’expansion de l’´quation de Faraday sous forme diff´-
e e e
rentielle avec des phaseurs donne (aucune variation suivant x et y) :
¯
∂ Ex Io
¯
= −jωµ Hy0 = jωµ (4.56)
∂z w
qui a comme solution g´n´rale :
e e
¯ Io ¯
Ex1 = jωµ z + C .
w
¯
La constante C est d´termin´e par l’application de la condition aux limites du champ
e e
e a ¯
´lectrique tangentiel ` z = 0. Il faut que [Ex ]z=0 = 0 car il ne peut y avoir de composante
¯
tangentielle du champ ´lectrique sur un conducteur. Ainsi, avec C = 0, on obtient :
e
¯ Io
Ex1 = jωµ z . (4.57)
w
Avant de poursuivre, il est bon d’ouvrir une parenth`se pour montrer que l’une des
e
deux expressions des champs (4.55) et (4.57) – lesquelles correspondent aux expressions
dans le cas quasi-statique o` la composante du premier ordre en fr´quence est largement
u e
celle pr´dominante – ´tablit la r´action de l’inductance obtenue dans la th´orie des circuits.
e e e e
En effet, ` l’entr´e de la structure, l’expression du champ ´lectrique en basse fr´quence
a e e e
(indice bf ) se limite ` celle du premier ordre soit :
a
¯ ¯ µℓ
[Exbf ]z=−ℓ ≈ [Ex1 ]z=−ℓ = −jω Io
w](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-112-320.jpg)
![4.8 Analyse de comportement en quasi-statique 4-103
et la tension d´velopp´e aux bornes de la source courant vaut :
e e
d
¯
Vbf = ¯ ¯
[Ex ]z=−ℓ dx = d [Ex ]z=−ℓ
0
µℓd
= jω Io
w
L
soit, fin de parenth`se :
e
¯
Vbf = jωLIo ! (4.58)
Jusqu’ici, on a v´rifi´ l’´quation de Faraday, mais a-t-on satisfait celle d’Amp`re. La
e e e e
r´ponse est non ; il faut donc poursuivre le d´veloppement pour les composantes d’ordres
e e
sup´rieurs en fr´quence qui m`ne ` une s´rie convergeant vers la solution ´lectromagn´tique.
e e e a e e e
Il y a cependant quelques d´tails ` pr´ciser au pr´alable :
e a e e
• Les conditions aux limites s’appliquent pour d´duire la valeur de la constante r´sul-
e e
tant de l’int´grale ind´finie.
e e
• Pour le champ ´lectrique, aucune composante tangentielle ` chaque puissance en
e a
fr´quence ne doit exister en z = 0.
e
• Pour le champ magn´tique, on force un courant fixe ` l’entr´e dont la densit´ vaut
e a e e
Io
Jso = w . On convient que la densit´ de courant peut varier suivant z et qu’il est
e
probable que la densit´ ` z = 0 soit tout-`-fait diff´rente de celle a z = −ℓ. On
e a a e `
applique donc la contrainte ` l’entr´e z = −ℓ. Or la composante statique Hy0 satis-
a e
fait pleinement et ` elle seule, la condition aux limites impos´e sur la composante
a e
tangentielle [Hy ]z=−ℓ = Jso ; les autres composantes d’ordres sup´rieurs du champ
e
magn´tique tangentiel doivent par cons´quent ˆtre nulle ` z = −ℓ.
e e e a
En y substituant (4.57) dans l’´quation d’Amp`re avec phaseurs, il d´coule :
e e e
¯
∂ Hy Io
¯
= −jωǫ Ex = ω 2 µǫ z .
∂z w
La solution g´n´rale est :
e e
¯ 1 Io ¯
Hy2 = ω 2 µǫ z 2 + C
2 w
¯
dans laquelle la constante C est d´termin´e par le fait que les composantes d’ordres
e e
sup´rieurs de Hy sont nulles ` z = −ℓ. Ainsi, on obtient :
e a
¯ 1 Io
Hy2 = ω 2 µǫ (z 2 − ℓ2 ) . (4.59)
2 w
En recommen¸ant de la mˆme mani`re depuis le d´but avec l’´quation de Faraday et
c e e e e
¯
la composante Hy2 , on trouve la composante du troisi`me ordre en fr´quence du champ
e e
e ¯
´lectrique Ex3 , puis celle du quatri`me ordre en fr´quence du champ magn´tique Hy4 ,
e e e ¯
e e e ¯
puis celle du cinqui`me ordre en fr´quence du champ ´lectrique Ex5 et ainsi de suite. Par](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-113-320.jpg)
![4-104 Statique et Quasi-statique
¯ ¯
exemple, de (4.55) dans laquelle on remplace Hy0 par Hy2 et on applique la conditions
aux limites, on d´duit :
e
¯ 1 Io z 3
Ex3 = j ω 3µ2 ǫ ( − ℓ2 z) .
2 w 3
Finalement, ` l’entr´e z = −ℓ :
a e
¯ 1 Io
[Ex3 ]z=−ℓ = −j ω 3 µ2 ǫℓ3 (4.60)
3 w
¯ 2 5 3 2 5 Io
[Ex5 ]z=−ℓ = −j ω µ ǫ ℓ (4.61)
15 w
.
.
.
Il faut bien comprendre que le champ ´lectrique ` l’int´rieur du mat´riau sans perte
e a e e
est la somme de toutes les composantes aux diff´rents ordres en fr´quence. Cette somme
e e
infinie converge vers une valeur bien connue :
¯ ¯ ¯ ¯
[Ex ]z=−ℓ = [Ex1 ]z=−ℓ + [Ex3 ]z=−ℓ + [Ex5 ]z=−ℓ . . . (4.62)
µ Io √ 1 √ 2 √
= −j ω µǫℓ + (ω µǫℓ)3 + (ω µǫℓ)5 . . . (4.63)
ǫ w 3 15
√
tan(ω µǫℓ)
ou
¯ µ Io √
[Ex ]z=−ℓ = −j tan(ω µǫℓ) . (4.64)
ǫ w
Cette derni`re ´quation (4.64) reste valide quelle que soit la fr´quence. Cependant, on
e e e
prouve facilement que le cas quasi-statique est respect´ si on pose la condition suivante a
e `
√
savoir ω µǫℓ ≪ 1 soit :
1
f ≪ √ . (4.65)
2π µǫℓ
On observe avec grand int´rˆt que la fr´quence pour laquelle le comportement de l’induc-
ee e
tance suit celui indiqu´ dans la th´orie des circuits d´pend des dimensions de la structure.
e e e
`
A partir d’une certaine fr´quence, le cas quasi-statique n’est plus applicable et il faut
e
passer ` la th´orie des micro-ondes. On pourrait riposter en disant qu’une solution est de
a e
diminuer la taille des structures ce qui permet de pousser plus loin la fr´quence limite.
e
Malheureusement, on ne peut sans cesse miniaturiser les structures sans qu’interviennent
des probl`mes d’ordre :
e
• m´canique – la construction rel`vera du d´fi,
e e e
• thermique – il faut dissiper la puissance via la surface,
• physique mˆme – transistors dont la base n’aurait que quelques atomes d’´paisseur !
e e
C’est l` que les choses se compliquent et que se jouera l’avenir.
a
Une autre observation int´ressante (en particulier lorsqu’on traitera des lignes de trans-
e
mission en r´gime sinuso¨ permanent) peut ˆtre tir´e de cette analyse. Avec (4.64) dans
e ıdal e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-114-320.jpg)
![4-106 Statique et Quasi-statique
e ` ¯ e e ¯
L’´tape suivante consiste a entrer Ex0 de (4.67) dans la loi d’Amp`re pour d´duire Hy .
Donc, on obtient :
¯
∂ Hx Vo
¯
= −jωǫ Ex0 = jωǫ
∂z d
ce qui donne :
¯ Vo ¯
Hy1 = jωǫ z + C .
d
¯
Comme il n’y a pas de courant surfacique sur les plaques ` z = 0, il faut que [Hy ]z=0 = 0
a
¯
On trouve alors C = 0 d’o` :
u
¯ Vo
Hy1 = jωǫ z . (4.68)
d
¯
Il faut maintenant prendre Hy1 dans l’´quation de Faraday pour fermer la boucle, v´rifier
e e
la condition aux limites du champ ´lectrique tangentiel ` z = −ℓ. On reprend tout a
e a `
e e ¯
partir de l’´quation d’Amp`re avec Ex2 et ainsi de suite, d’o` :
u
¯ 1 Vo
Ex2 = ω 2 µǫ (z 2 − ℓ2 ) (4.69)
2 d
¯ 1 Vo
Hy3 = −j ω 3 µǫ2 (z 3 − 3ℓ2 z) (4.70)
6 d
En continuant le d´veloppement, on trouve que le champ magn´tique a l’entr´e z = −ℓ
e e ` e
est une s´rie infinie de puissance en fr´quence qui converge vers :
e e
¯ ¯ ¯ ¯
[Hy ]z=−ℓ = [Hy1 ]z=−ℓ + [Hy3 ]z=−ℓ + [Hy5 ]z=−ℓ . . . (4.71)
ǫ Vo √ 1 √ 2 √
= −j ω µǫℓ + (ω µǫℓ)3 + (ω µǫℓ)5 . . . . (4.72)
µ d 3 15
√
tan(ω µǫℓ)
o`
u
¯ ǫ Vo √
[Hy ]z=−ℓ = j tan(ω µǫℓ) . (4.73)
µ d
a e e ¯ a ¯
Comme le courant ` l’entr´e, not´ I, correspond ` w [Hy ]z=−ℓ , on peut obtenir une
¯ ¯
relation Vin /Iin et d´duire l’expression de l’imp´dance vue ` l’entr´e (voir l’´quation (4.66)
e e a e e
pour les d´finitions de Zo et de β) :
e
¯ 1 1
Zin =
w j ǫ 1 tan(ω √µǫℓ)
µ d
= −jZo cot(βℓ) . (4.74)
Le comportement est bien celui d’un condensateur ` basse fr´quence, i.e. lorsque
a e
√
ω µǫℓ ≪ 1 ; car, suivant cette condition, on a :
¯ 1 1
Zinbf = (4.75)
w j ǫ 1 ω √µǫℓ
µ d
1
= (4.76)
ǫℓw
jω
d
C
1
= ! (4.77)
jωC](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-116-320.jpg)
![4.8 Analyse de comportement en quasi-statique 4-111
Un galvanom`tre est constitu´ d’une armature ferromagn´tique µra = 500 dont la
e e e
section carr´ vaut c × c = 1 cm × 1 cm, de longueur moyenne ℓa = 8 cm et dont l’entrefer a
e
une forme cylindrique. Dans cet entrefer est plac´ une bobine ferromagn´tique µrb = 103
e e
de rayon rb = 0.5 cm comportant 40 tour de fils formant un cadre. La bobine et son
cadre peuvent pivoter librement. Un aimant dans l’armature produit un potentiel scalaire
magn´tique NI = 200 A · tours.
e
La forme de l’entrefer et de la bobine fait en sorte que le flux dans les petits entrefers
qui s´parant l’armature de la bobine de = 0.5 mm, est radial avec une densit´ uniforme.
e e
On consid`re que la r´luctance de la bobine correspond ` celle d’une bloc de longueur
e e a
´gale a ℓb = 2rb = 1 cm avec une section identique ` celle de l’armature.
e ` a
a) Calculez la densit´ de flux dans les petits entrefers ;
e
b) Si un ressort ayant une constante de rappel de couple k = 2 × 10−7N · m/◦ est reli´ e
au cadre, calculez sur quel angle θ le cadre pivote avec un courant de 2 mA dans le
fil du cadre.
R´ponses :
e
ρo r 2
3a
r<a
1. D = Dr (r)ar avec Dr (r) = ρo a2
3r
r>a .
Ir
18πa2
r < 3a
I
2πr
3a < r < 4a
2. H = Hφ (r)aφ avec Hφ (r) = I 25a2 −r 2
2πr 9a2
4a < r < 5a
0 r > 5a .
0 r<a
1
3. E = Er (r)ar avec Er (r) = r2
V/m a < r < b
−6
r2
V/m r > b .
4. a) Vab = 0 ; b) Vab = −7 V .
ln(r/b) Vo
5. a) V = Vo ln(a/b) ; b) E = a.
r ln(b/a) r
6. V1 = (V2 + 28)/4, V2 = (V1 + V3 )/4, V3 = (V2 + 28)/4 ;
par sym´trie V1 = V3 = 8 V , V2 = 4 V ;
e
7. V1 = 0.8 V et V2 = 0.4 V.
8. a) V1 = 41 V , V2 = 40.5 V , V3 = 38 V , V4 = 71 V , V5 = 80 V ;
83 3
b) [E]2 = − 2d ay + 2d ax V /m ; c) [ρs ]p = −38ǫo /d C/m2 .](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-121-320.jpg)
![4-112 Statique et Quasi-statique
4πǫ
9. a) d = 1.99 cm ; b) C = 1/a−1/b donc a = 2 cm ;
c) prendre b → ∞, r = a = 9 cm.
ǫr2 d1
10. a) E 1 = Ez1 az et ǫ1 Ez1 = ǫ2 Ez2 , [V ]z=d1 = ǫr2 d1 +ǫr1 d2
Vo ;
b) C/A = ǫ2 d11 ǫ21 d2 = ǫr2 dǫr1 ǫr1d2 .
ǫ
+ǫ
ǫo
1 +ǫ
r2
2
11. B = µ 2πr , L = µ N c ln(1 + b/a).
NI
2π
12. a) ΨGF AB = 226 × 10−6 W b ;
b) ΨBD = Ψentref er = ΨEG = 33.36 × 10−6 W b, Bentref er = 0.1112 W b/m2 .
2
Q dr Q2
13. a) dWe = − 8πǫo a2 ; b) Pe = 32π 2 ǫo a4
= 0.2235 N/m2.
14. a) ℜentref er = 5.066 × 106 H −1 , Ψentref er = Ψ = 17.41 × 10−6 W b,
donc Bentref er = 0.2217 W b/m2 ;
b) T = F rb = 2 × B(Nc I)c rb = kθ[◦ ], θ = 8.9◦ .](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-122-320.jpg)
![5-120 Onde plane uniforme
du temps. Donc e−αz d´croˆ lorsque z augmente ce qui fait dire que l’onde s’att´nue en
e ıt e
se propageant. La seconde onde se d´place dans la direction z− et, comme pour l’onde
e
αz
positive, e d´croˆ car z diminue en fonction du temps. Dans les deux cas, α est respon-
e ıt
sable de la baisse de l’amplitude de l’onde d’o` son appellation, constante d’att´nuation.
u e
Les unit´s de α sont les N´pers par m`tre qu’on note Np/m. L’att´nuation par unit´ de
e e e e e
α
longueur vaut L1 = e soit, en d´cibels :
e
L1 [dB] = 20 log(eα ) = 8.686 α . (5.25)
|ej(ωt−βz) | t=0
T
t= 4 T t≈T
t= 2
z
λ
Figure 5.2 – Longueur d’onde λ et p´riode T d’une onde sinuso¨
e ıdale.
Quant ` la constante β, elle intervient dans la phase de l’onde qui varie avec le d´place-
a e
ment. C’est la constante de phase. Elle est directement reli´e a la longueur d’onde λ de la
e `
fa¸on suivante. La longueur d’onde λ correspond ` la distance sur laquelle la phase change
c a
de 2π radians en fixant le temps. La p´riode est l’´quivalent dans le domaine du temps
e e
de la longueur d’onde comme le montre la figure 5.2. Ainsi, on a βλ = 2π ou encore :
2π ω
β = = . (5.26)
λ vp
La derni`re ´galit´ de (5.26) est obtenue en multipliant le num´rateur et le d´nominateur
e e e e e
par f – la fr´quence du signal sinuso¨
e ıdal – et en sachant que λ = vp /f o` vp est la vitesse
u
de phase ´quivalente ` la vitesse de propagation de l’onde plane.
e a
Le d´veloppement de (5.19) pour le champ magn´tique donne cette fois :
e e
+ −
¯
Hy = H + e−αz e−jβz+jξh + H − eαz ejβz+jξh (5.27)
E + −αz −jβz+jξ+−jζ E − αz jβz+jξ−−jζ
= e e − e e . (5.28)
η η
L’argument de l’imp´dance caract´ristique η tel que d´fini en (5.21) correspond au retard
e e ¯ e
angulaire du phaseur du champ magn´tique sur celui du champ ´lectrique. On peut v´rifier
e e e
que ce retard ζ varie entre les bornes suivantes selon la nature du mat´riau :
e
0 ≤ arg{¯} = ζ < 45◦ .
η (5.29)](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-130-320.jpg)
![5-122 Onde plane uniforme
◮ Exprimez le champ magn´tique H(x, t) (la direction du vecteur n’est pas de-
e
mand´e).
e
Cette fois, on a besoin des deux param`tres de propagation. Il ne faut pas
e
oublier que l’onde se propage en x+ seulement et non en z+ ou z−. Il suffit
donc de prendre l’expression de l’onde positive et remplacer z par x.
On n’oublie pas le terme d’att´nuation e−αx car le milieu est a pertes. Avec
e `
η = (60.0∠0.0457) Ω
¯
¯ x=0 = (2.0∠π/9)aE V/m
[E]
on trouve alors :
2 −αx
H(x, t) = e cos(2π × 108 t − β x + π/9 − arg{¯})
η
η
= 0.0333 e−0.6x cos(2π × 108 t − 13.15 x +0.3491 − 0.0457) A/m .
+0.3034
5.4 Puissance et vecteur de Poynting
¯ ¯
La d´termination des constantes complexes E + ou E − se fait en appliquant des condi-
e
tions aux limites ou encore en connaissant la puissance d´livr´e par la source. On peut
e e
comprendre facilement que la puissance transport´e par l’onde est reli´e a l’amplitude
e e `
du champ ´lectrique, laquelle est li´e ` celle du champ magn´tique via le module de
e e a e
l’imp´dance intrins`que. Reste ` savoir dans quelle mesure l’amplitude des champs ´lectro-
e e a e
magn´tiques influence la puissance de l’onde.
e
Depuis 1884, on sait, par l’entremise du physicien anglais John H. Poynting que le
vecteur E × H joue un rˆle important dans la quantit´ d’´nergie transport´e par une
o e e e
onde ´lectromagn´tique, d’o` le nom de vecteur de Poynting not´ P :
e e u e
P = E ×H . (5.30)
En regardant les unit´s r´sultantes de ce produit, des V /m · A/m = W/m2 , on se convainc
e e
facilement qu’il s’agit d’une densit´ de puissance. On pourrait aussi pr´senter la chose
e e
d’un angle plus physique en d´montrant que le travail n´cessaire pour produire l’onde et,
e e
de l`, la puissance instantan´e P(t) fournie par la source, ´quivaut a l’int´grale du vecteur
a e e ` e
de Poynting P sur une surface ferm´e entourant compl`tement la source :
e e
P(t) = P · dS . (5.31)
S
Un vecteur poss`de aussi une direction. Celle du vecteur de Poynting aP pointe dans
e
la direction de propagation de l’onde tout simplement.
L’onde ´lectromagn´tique est donc le moyen de propagation de la puissance fournie
e e
par une source rayonnante. Elle :](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-132-320.jpg)
![5.4 Puissance et vecteur de Poynting 5-123
• renferme la puissance – de densit´ correspondant au module du vecteur de Poynting ;
e
• et la transporte – elle se d´place dans la direction du vecteur de Poynting.
e
Dans un volume d´limit´ par une surface ferm´e, outre les sources, diff´rentes composantes
e e e e
sont susceptibles de modifier le bilan de puissance, i.e. la diff´rence de puissance entre ce
e
qui entre et ce qui sort du volume. Pour ce faire, on utilise le th´or`me de la divergence :
e e
P · dS = (∇ · P ) dv (5.32)
S V
combin´e a une identit´ vectorielle :
e ` e
∇ · (E × H) = H · ∇ × E − E · ∇ × H (5.33)
puis aux ´quations de Faraday et d’Amp`re. Le tout d´bouche sur :
e e e
∂H ∂E
∇ · P = −µH · − σE · E − ǫE ·
∂t ∂t
∂ 1 ∂ 1
= − σE(t)2 − ( 2 ǫE(t)2 ) − ( µH(t)2 ) (5.34)
∂t ∂t 2
pd we wm
puis finalement, sur le th´or`me de Poynting :
e e
∂ ∂
P · dS = − pd dv − we dv − wm dv (5.35)
S V ∂t V ∂t V
o` pd , we et wm sont respectivement la densit´ de puissance dissip´e, la densit´ d’´nergie
u e e e e
´lectrique emmagasin´e et la densit´ d’´nergie magn´tique emmagasin´e.
e e e e e e
x
[P z ]z0 (∆x∆y)
[P z ]z0 +∆z (∆x∆y)
z
∆z
y
∆V
Figure 5.4 – Bilan de puissance d’une onde plane dans un volume.
Si on ignore le signe n´gatif, les trois termes de droite du th´or`me de Poynting s’in-
e e e
terpr`tent ainsi :
e
• σE 2 ∆V est la puissance dissip´e dans le volume ` cause du courant de conduction
e a
pr´sent dans le volume ∆V , c’est l’effet joule qui produit un ´chauffement.
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-133-320.jpg)
![5-124 Onde plane uniforme
[P z ]t=0 [P z ]z=z0 < Pz >
z t
λ T
2 2
[E x ]z=z0
Figure 5.5 – Variation de la densit´ de puissance dans le temps et suivant la direction de
e
propagation.
• 1 ǫE 2 ∆V et 1 µH 2 ∆V repr´sentent les ´nergies ´lectrique et magn´tique qui sont
2 2
e e e e
contenues dans le volume. Un condensateur charg´ emmagasine de l’´nergie ´lectrique,
e e e
r´ciproquement pour une inductance avec l’´nergie magn´tique. Ainsi, une variation
e e e
e.g. une diminution sur un laps de temps de chacune de ces ´nergies disponibles,
e
signifie qu’une certaine quantit´ de puissance a quitt´ le volume.
e e
On peut voir le bilan des puissances entrant et sortant d’un volume produit par une
onde ´lectromagn´tique uniforme plane sur la figure 5.4 tandis que la figure 5.5 montre
e e
comment varie la densit´ de puissance d’une onde plane dans un mat´riau a pertes.
e e `
Il est possible de d´terminer la puissance instantan´e d’une onde ´lectromagn´tique
e e e e
passant au travers une surface quelconque. Il suffit alors d’int´grer le vecteur de Poynting
e
sur la surface en question et non pas sur une surface ferm´e :
e
[P(t)]S = P · dS . (5.36)
S
Si la surface est plac´e parall`lement ` la direction de l’onde, aucune puissance ne traverse
e e a
la surface. Par contre, un ´l´ment de surface bien transversal a la direction verra un
ee `
maximum de puissance passer au travers. De l`, l’importance du produit scalaire. Pour
a
faire une comparaison, le Soleil d’hiver ` Qu´bec2 , atteint une ´l´vation maximale par
a e ee
rapport au sol de moins de 90−46.8−23.5 ≈ 20 au 21 d´cembre. L’angle de 90−20 = 70◦
◦
e
entre la rayonnement solaire aP et la normale au sol fait que chaque unit´ de surface au
e
sol re¸oit 34% de la puissance maximale. En ´t´, l’´l´vation maximale tourne autour de
c e e ee
90 − 46.8 + 23.5 ≈ 67 ce qui procure 92% (le cosinus de 90 − 67 = 23◦ ) de la puissance
◦
maximale par unit´ de surface au sol ! Bien sˆ r, il y a aussi la dur´e d’´clairement et la
e u e e
r´flexion des rayons au sol qui interviennent.
e
En circuit, on s’int´resse bien plus ` la puissance moyenne qu’` sa valeur instantan´e.
e a a e
Il en va de mˆme pour l’onde ´lectromagn´tique. Pour all´ger la nomenclature, on utilise
e e e e
indiff´remment le terme de puissance (tout court) pour d´signer la puissance moyenne par
e e
opposition ` la puissance instantan´e. De plus, dans le r´gime sinuso¨
a e e ıdal permanent avec
2
Qu´bec se trouve ` une latitude de 46.8◦ ; l’obliquit´ de l’´cliptique est de 23.5◦.
e a e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-134-320.jpg)
![5.4 Puissance et vecteur de Poynting 5-125
des phaseurs, on peut obtenir rapidement la densit´ de puissance (sous-entendre moyenne)
e
via le vecteur de Poynting moyen < P > d´fini comme suit :
e
1 1 ¯
<P > = P dt = EH cos(arg{¯}) aP = Re P
η (5.37)
T T 2
o` T est la p´riode du signal, et
u e
¯ 1¯ ¯∗
P = E×H (5.38)
2
est le vecteur de Poynting complexe. Avec cette densit´ de puissance, la puissance moyenne
e
passant par une surface S est d´duite maintenant par l’´quivalent de (5.36) a savoir :
e e `
[< P >]S = < P > ·dS . (5.39)
S
Exemple 5.4
La Terre est ` 150 millions de kilom`tres du Soleil. La densit´ de puissance
a e e
optimale fournie par le Soleil sur la Terre tourne autour de 1360 W/m2 sur
tout le spectre.
◮ D´terminez la puissance moyenne ´mise par le Soleil.
e e
On peut assumer que le Soleil est une source isotrope (qui ´met uniform´ment
e e
dans toute les directions). De plus, le vide interstellaire est un di´lectrique
e
sans pertes (σ = 0) et l’effet des plan`tes Mercure et V´nus est n´gligeable.
e e e
Ainsi, selon (5.31), la puissance du Soleil serait de :
< PSoleil > = (1360)dS = 4π(150 × 109 )2 (1360) = 3.84 × 1026 W .
sph`re
e
◮ Estimez le niveau maximal du champ ´lectrique au sol si on suppose que toute
e
la densit´ de puissance est ramen´e ` une seule composante spectrale.
e e a
Puisque le mat´riau (l’air) est assum´ sans perte, les champs ´lectrique et
e e e
magn´tique sont en phase. Le vecteur de Poynting complexe de (5.38) s’´crit
e e
simplement comme :
¯
1 ¯ E∗ 1 E 2 ∠0◦
¯
P = E ∗ as−t = as−t
2 η ¯ 2 ηo
o` as−t est un vecteur unitaire Soleil-Terre.
u
Ainsi, avec l’aide de (5.37) :
1 E 2 cos(0)
1360 = =⇒ E = (377)(2)(1360) = 1012 V/m !
2 ηo](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-135-320.jpg)
![5-126 Onde plane uniforme
Exemple 5.5
Soit une onde ´lectromagn´tique qui se propage dans l’eau de mer (ǫr = 80,
e e
µr = 1 et σ = 4 S/m) dans la direction z−. Le champ ´lectrique s’exprime
e
ainsi :
[E(t)]z=0 = 1.0 cos(2π × 105 t) ax V/m
a
` z = 0.
◮ D´terminez la densit´ de puissance instantan´e et la densit´ de puissance
e e e e
moyenne de l’onde en tout point.
On doit commencer par trouver les expressions g´n´rales de E(z, t) et H(z, t).
e e
ıtre ¯ ¯a e `
Il faut connaˆ γ ainsi que η ` la fr´quence de 105 Hz dans le milieu. A partir
des ´quations (5.16) et (5.20), les valeurs obtenues sont :
e
γ ≈ (1.257 + j1.257) m−1
¯
η ≈ 0.314 + j0.314 = (0.444∠ π/4) Ω.
¯
Donc :
E = 1.0e1.257z cos(2π × 105 t + 1.257z) ax V/m
1.0
H = −e1.257z cos(2π × 105 t + 1.257z − π/4) ay A/m .
0.444
2.25
Le signe n´gatif devant l’expression de H vient du fait que le produit vectoriel
e
E × H doit pointer dans la direction z− qui est la direction de propagation
de l’onde. Autre remarque : l’exponentielle affectant le module tend vers “0”
au fur et ` mesure que z diminue et devient n´gatif. Ceci, parce que le milieu
a e
est ` pertes.
a
Le vecteur de Poynting instantan´ est donn´ par :
e e
P = 2.25e2.514z cos(2π × 105 t + 1.257z)
× cos(2π × 105 t + 1.257z − π/4) (−az ) W/m2
Pz = −1.125e2.514z cos(π/4) + cos(4π × 105 t + 2.514z − π/4) W/m2
Le signe n´gatif devant l’expression de Pz signifie que la puissance s’´coule
e e
dans la direction z−. Finalement, la puissance par unit´ de surface normale a
e `
l’axe z est :
< Pz > = −1.125e2.514z cos(π/4) = −0.8e2.514z W/m2 .
◮ D´duisez la puissance incidente sur une surface rectangulaire de 2 m × 1 m
e
plac´e comme sur la figure 5.6.
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-136-320.jpg)
![5-148 Onde plane uniforme
Exemple 5.12
L’expression du phaseur du champ ´lectrique d’une onde plane se propageant
e
en z+ dans un mat´riau sans perte, est la suivante :
e
¯
[E]z=0 = Eo ∠0 ay .
◮ Donnez l’expression compl`te du champ ´lectrique pour avoir une polarisation
e e
RCP.
La composante Ex est nulle ` t = 0, z = 0 puisque Ey est maximale selon la
a
donn´e du probl`me. En effet :
e e
Ey (z, t) = Eo cos(ωt − βz) .
Pour tourner dans le sens horaire, Ex doit donc d´croˆ pour atteindre un
e ıtre
minimum lorsque Ey devient nulle ` son tour soit ` 90◦ comme argument. Il
a a
ne faut pas oublier que le produit vectoriel ax × ay = az doit pointer hors de
soi. La composante Ex suit donc la fonction d’un sinus n´gatif. Ainsi :
e
Ex (z, t) = −Eo sin(ωt − βz) .
En cons´quence, le vecteur du champ ´lectrique s’´crit :
e e e
π
E(z, t) = Eo cos(ωt − βz + )ax + cos(ωt − βz)ay .
2
Dans une polarisation elliptique (REP ou LEP), la plus g´n´rale de toute, la diff´rence
e e e
se situe ` l’un des deux niveaux suivants pour une onde qui se d´place suivant l’axe z± :
a e
• amplitudes diff´rentes des composantes transverses du vecteur du champ ´lectrique
e e
i.e. Ex = Ey ;
• d´phasage quelconque δξ = ξy − ξx ∈ ] − π, π].
e
Toutes combinaisons d’amplitudes et de d´phasages fournissent une polarisation elliptique.
e
Ceci procure de nombreux cas de figure que toutes les autres polarisations deviennent des
cas particuliers.
La figure 5.16 illustre quelques cas et montre la grande diversit´ d’allures du lieu du
e
phaseur du champ ´lectrique. Sur la figure 5.17, on remarque les deux param`tres de
e e
l’ellipse :
• l’angle d’inclinaison ψe :
1
ψe = arctan(tan(2αe ) cos(δξ )) (5.100)
2](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-158-320.jpg)
![5-150 Onde plane uniforme
• ainsi que le rapport axial6 AR (de l’anglais “Axial Ratio”) :
OA
AR = (1 ≤ AR ≤ ∞)
OB
|Ey sin(ψe ) sin(δξ )|
= . (5.101)
|Ex sin(ψe ) − Ey cos(ψe ) cos(δξ )|
toujours avec tan(αe ) = Ey /Ex ;
Exemple 5.13
Soient deux ondes ` la mˆme fr´quence polaris´es lin´airement et voyageant
a e e e e
dans le mˆme milieu sans perte, dans la mˆme direction z+ :
e e
¯
E 1 (z) = E1 e−jβz ax
¯
E 2 (z) = E2 e−jβz ejξ ay .
On consid`re que E1 , E2 sont constants.
e
◮ D´duisez quelles sont les polarisations obtenues dans les cas ci-dessous :
e
• ξ = 0, E1 = 4 mV/m, E2 = 3 mV/m ;
• ξ = π/2, E1 = E2 = 3 mV/m ;
• ξ = π/2, E1 = 4 mV/m, E2 = 3 mV/m ;
• ξ = 7π/4, E1 = E2 = 3 mV/m.
Dans le premier cas, les deux ondes sont en phase. Donc, quelle que soit la
relation d’amplitude, la polarisation est lin´aire mais oblique car aucune des
e
deux composantes n’est nulle. L’inclinaison vaut arctan(3/4) = 36.87◦ .
Les composantes ´tant en retard l’une de l’autre de ±90◦ et les amplitudes
e
e e `
´tant ´gales, la polarisation est circulaire. A t = 0, z = 0, le phaseur est plac´e
◦
a
` 0 car [Ey ]t=z=0 = 0. Cependant ` t = ǫ, [Ex ]t,z=0 a diminu´, tout comme
a e
[Ey ]t,z=0 . Il faut donc tourner dans le sens anti-horaire en regardant vers l’axe
z+, ce qui indique une polarisation LCP.
Par rapport au cas pr´c´dent, seules les amplitudes changent. La polarisation
e e
devient elliptique pour cette raison mais demeure a gauche d’o` LEP. On
` u
peut rajouter que le rapport axial s’´value directement grˆce aux amplitudes
e a
de chacune des ondes et vaut 4/3 avec un angle d’inclinaison de 0◦ .
Le dernier cas montre des amplitudes ´gales mais un d´phasage diff´rent de
e e e
◦
±90 . La polarisation reste encore elliptique. Les calculs des param`tres tels
e
6
Le rapport axial doit toujours ˆtre plus grand ou ´gal ` l’unit´ ; si l’expression (5.101) donne un
e e a e
r´sultat inf´rieur ` l’unit´, prendre l’inverse (·)−1 .
e e a e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-160-320.jpg)
![5.8 Polarisation 5-151
l’inclinaison et le rapport axial commencent avec celui de αe lequel vaut 45◦ .
On trouve alors :
1
ψe = arctan(∞) = 45◦ ou π/4
2
|3 sin(π/4) sin(7π/4)|
AR = = 2.4142 .
|3 sin(π/4) − 3 cos(π/4) cos(7π/4)|
Un petit laps de temps plus tard, [Ex ]t,z=0 diminue contrairement a [Ey ]t,z=0 .
`
Le vecteur tourne dans le sens horaire ce qui indique une polarisation REP.](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-161-320.jpg)
![5-158 Onde plane uniforme
6. γ = (0.00083 + j0.00476) m−1, η = (163.53∠9.9◦)Ω.
¯ ¯
7. a) 20 m ; b) 10 m ; c) 62.83 m ; d) E/H = 70.62 Ω, ∠E − ∠H = 0.1476π rad.
8. a) γ = (0.0349 + j0.0565) m−1 ; b) η = (59.4∠31.7◦) Ω ;
¯ ¯
−3
c) σ = 10 S/m, ǫ = 18ǫo , µ = µo .
9. E(z, t) = − 2.686 e−0.016z cos(2π × 105 t − 0.0246z + 0.1834π) ay V /m.
10. a) ǫr = 9 ; b) ǫr = 4 ; c) ǫr = 2.25 ; d) ǫr = 16.
11. a) 5 m ; b) d105 = 0.5 m, d104 = 0.1581 m.
12. le mat´riau se comporte comme un di´lectrique imparfait ;
e e
a) γ = (1.0883 × 10 + j0.036276) m−1, η = (217.66 + j0.653) Ω ;
¯ −4
¯
8
b) vp = 1.732 × 10 m/s, λ = 173.21 m ; c) δp = 9.189 km.
13. le mat´riau se comporte comme un bon conducteur ;
e
a) γ = 0.4π(1 + j) m−1 , η = 0.1π(1 + j) Ω ;
¯ ¯
b) vp = 5 × 105 m/s, λ = 5 m ; c) δp = 0.796 m.
14. η = 12π 2 ejπ/6 Ω, a) [P(z = 0, t = 0)]s = 3.0771 W ;
¯
b) [< P(z = 0) >]s = 1.5385 W ; c) [< P(z = 1) >]s = 0.2082 W .
15. η = (3.531∠26.57◦) Ω,
¯
a) < P >= 0.005064e−2z az W/m2 donc [< Pz >](3,2,1) = 0.685 mW/m2 ;
b) [∆ < P >]box = 0.005064(1 − e−2 ) = 0.00438 W .
1
16. a) aβ = 5 (3ax + 4az ) ; b) λ = 20 m
c) λx = 33.333 m, λy = ∞, λz = 25 m ;
d) vpx = 3.333 × 108 m/s, vpy = ∞, vpz = 2.5 × 108 m/s.
17. a) aβ = 0.8ax − 0.6ay ; b) oui car aE · aβ = 0 ;
c) f = 1.5 GHz, circulaire gauche ;
¯
d) H = (−j7.96ax − j10.6ay + 13.3az )e−jπ(8x−6y) µ A/m.
18. a) f = 225 MHz ; b) f = 225 MHz.
19. a) β = (0.8πax + 0.6πay + πaz ) rad/m ; b) vpi = 3.25 × 108 m/s.
√ √
20. a) vp1.4 = 2.2136 kωo , vp1.6 = 2.0656 kωo ;
√
b) vg1.5 = 1.4142 kωo .
21. a) circulaire droite, Emax = Eo ; b) lin´aire en x, Emax = 2Eo
e
◦
c) elliptique droite ψe = 31.7 , Emax = 1.618Eo , AR = 2.62 ;
d) circulaire gauche, Emax = Eo .](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-168-320.jpg)
![6-160 R´flexion et transmission
e
millieu #1 millieu #2
onde ¯+
E1
incidente ¯+
E2
onde
transmise
onde ¯−
réfléchie E1
z
z=0
Figure 6.1 – Onde ` incidence normale sur un plan de s´paration de deux milieux.
a e
• 1 et 2 indiquent les milieux dans lesquels se trouve l’onde. Le mat´riau #1 contient
e
l’onde incidente et l’onde r´fl´chie ; il remplie le volume z < 0, alors que le mat´riau
e e e
#2, contenant l’onde transmise occupe le volume z > 0.
L’onde incidente se propage dans le premier milieu (z < 0) suivant la direction z+
normale ` la surface de s´paration z = 0 ; l’onde r´fl´chie part dans la direction oppos´e
a e e e e
z−, tandis que l’onde transmise continue son chemin dans le second milieu (z > 0) en
direction z+. La polarisation n’intervient pas car le champ ´lectrique, comme le champ
e
magn´tique d’ailleurs, ne poss`de qu’une composante parall`le ` la surface de s´paration.
e e e a e
Les expressions des champs dans chacun des milieux deviennent :
¯ ¯ γ ¯ ¯
E1x (z) = Ei e−¯1 z + Er eγ1 z (6.1)
¯ ¯ γ
E2x (z) = Et e−¯2 z (6.2)
¯ ¯ γ ¯ ¯
H1y (z) = Hi e−¯1 z + Hr eγ1 z (6.3)
1 ¯ −¯1 z ¯ ¯
= Ei e γ − Er eγ1 z (6.4)
η1
¯
¯ ¯ γ
H2y (z) = Ht e−¯2 z (6.5)
1 ¯ −¯2 z
= Et e γ (6.6)
η2
¯
u ¯ ¯ ¯ ¯
o` Ei , Er , Hi et Hr sont les composantes des champs incidents et r´fl´chis qui sont tous
e e
dans le milieu #1 ; E¯t et Ht sont les champs transmis dans le milieu #2.
¯
Les conditions aux limites des composantes tangentielles doivent ˆtre satisfaites en
e
z=0:
¯ ¯
[E1x ]z=0− = [E2x ]z=0+ (6.7)
¯ ¯
[H1y ]z=0− = [H2y ]z=0+ . (6.8)
En les appliquant avec les paires d’´quations (6.1) ` (6.6), il s’ensuit que :
e a
¯ ¯ ¯
Ei + Er = Et (6.9)
1 ¯ ¯ 1 ¯
Ei − Er = Et . (6.10)
η1
¯ η2
¯](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-170-320.jpg)
![6-162 R´flexion et transmission
e
du champ magn´tique transmise vaut le double de celle incidente. Il n’en est rien.
e
En fait, un courant de surface Js = 2[Hi ]z=0− apparaˆ sur le conducteur mais ni
ıt
le champ ´lectrique, ni le champ magn´tique est transmis. L’onde est r´fl´chie en
e e e e
◦
totalit´ et le phaseur du champ ´lectrique r´fl´chi pivote de 180 au niveau de la
e e e e
surface de s´paration, alors que le phaseur du champ magn´tique reste en phase.
e e
Ceci respecte une des caract´ristiques de l’onde plane a savoir le produit vectoriel
e `
des deux champs indique la direction de propagation ; or, cette derni`re change de
e
sens lorsqu’il y a r´flexion.
e
Exemple 6.1
Une onde plane ` 150 kHz se propage dans l’air z < 0 et arrive a incidence
a `
normale sur le sol z > 0 dont la surface se situe en z = 0. Les param`tres
e
−4
´lectriques du sol valent ǫr = 5, µr = 1 et σ = 10 S/m.
e
◮ Donnez les expressions compl`tes des champs ´lectromagn´tiques de l’onde
e e e
r´fl´chie et transmise si le vecteur-phaseur du champ ´lectrique incident a
e e e `
−
z = 0 s’´crit :
e
¯
[E i ]z=0− = Eo ∠0 ax .
On a besoin absolument des param`tres de propagation dans les deux milieux
e
a
` la fr´quence de 150 kHz. On trouve :
e
η1 = 377Ω
¯ γ1 = j3.14 × 10−3 m−1
¯
.
η2 = (104.56∠0.59)Ω γ2 = (6.28 + j9.43) × 10−3 m−1
¯ ¯
Ainsi, de (6.11) et (6.14) :
¯ 104.56∠0.59 − 377∠0
Γ =
104.56∠0.59 + 377∠0
= 0.633∠2.82
τE = 0.447∠0.464 .
¯
Il est maintenant possible d’exprimer les champs :
¯ ¯ ¯
[Er ]z=0− = Γ[Ei ]z=0− = 0.633 Eo∠2.82
E r = 0.633 Eo cos(3π × 105 t + 3.14 × 10−3 z + 2.82) ax V /m
¯
[E − ]z=0−
¯
[Hr ]z=0− = − r = −(2.65 × 10−3 )(0.633 Eo∠2.82)
η1
¯
H r = 1.68 × 10−3 Eo cos(3π × 105 t + 3.14 × 10−3 z + 2.82) (−ay ) A/m](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-172-320.jpg)
![6.3 Lois de r´flexion et de r´fraction
e e 6-163
et
¯ ¯ ¯
[Et ]z=0+ = τE [Ei ]z=0− = 0.447 Eo∠0.464
−3
E t = 0.447 Eo e−6.28×10 z cos(3π × 105 t − 9.43 × 10−3 z + 0.464) ax V /m
¯
[Et+ ]z=0+
¯
[Ht ]z=0+ = = (9.56 × 10−3∠ − 0.59)(0.447 Eo∠0.464)
η2
¯
−3
H t = 4.28 × 10−3 Eo e−6.28×10 z
cos(3π × 105 t − 9.43 × 10−3 z − 0.126) ay A/m .
On v´rifie ais´ment que les conditions aux limites sont satisfaites car en z = 0
e e
et t = 0 (quoique vraies ∀t) :
Eo + 0.633 Eo cos(2.82) = 0.447 Eo cos(0.464)
et d’autre part :
Eo
− 1.68 × 10−3 Eo cos(2.82) = 4.28 × 10−3 Eo cos(−0.126) .
377
6.3 Lois de r´flexion et de r´fraction
e e
La r´flexion ` incidence oblique sur une interface plane s´parant deux mat´riaux diff´rents,
e a e e e
requiert l’application des quatre conditions aux limites en plus de l’application de la loi1
de Snell-Descartes.
Au d´part, cette section pr´suppose que les deux mat´riaux de part et d’autre du plan
e e e
de s´paration ont une conductivit´ nulle – donc sans perte.
e e
Soit une onde plane incidente dont le vecteur de propagation β fait un angle θi avec
la normale du plan de s´paration an .
e
La satisfaction des conditions aux limites en z = 0 oblige :
• qu’une partie de l’onde soit r´fl´chie avec un angle θr et que l’autre partie soit
e e
transmise avec un angle θt comme il apparaˆ sur la figure 6.2.
ıt
• qu’` un temps fixe, les creux se situent aux mˆmes endroits de part et d’autre de la
a e
surface de s´paration ; il en est de mˆme pour les crˆtes. Les longueurs d’onde ap-
e e e
parentes de part et d’autre, le long de la surface, sont donc identiques. La fr´quence
e
´tant forc´ment la mˆme, les vitesses de phase de part et d’autre sont aussi iden-
e e e
tiques (voir figure 6.3).
1
La loi de la r´fraction a plutˆt ´t´ d´couverte par le physicien arabe Ibn Sahl vers 984. En 1621,
e o ee e
Snell, un scientifique flamand d´riva math´matiquement la loi mais ne publia pas sa d´couverte. Descartes
e e e
d´montra ind´pendamment la loi par des arguments de conservation du moment dans son trait´ de 1637
e e e
“Discours de la m´thode” sans donner cr´dit ` Snell. Rejetant la solution de Descartes, Fermat arrivera
e e a
a
` la mˆme solution en se basant sur le parcours le plus rapide. Cette loi de r´fraction prend donc le nom
e e
de Descartes pour les fran¸ais, alors qu’ailleurs elle est nomm´e loi de Snell.
c e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-173-320.jpg)
![6-176 R´flexion et transmission
e
6.5 Incidence sur un conducteur parfait
L’analyse de l’incidence sur un conducteur parfait forme l’autre cas extrˆme – le premier
e
cas extrˆme ´tant l’incidence sur le di´lectrique parfait vue pr´c´demment. On peut s’y
e e e e e
prendre de plusieurs fa¸ons. Mais utiliser les ressources mises en place jusqu’` pr´sent
c a e
facilite la chose.
Aucune onde ne se propage dans un conducteur parfait. Les composantes tangentielles
du champ ´lectrique sur la surface du conducteur s’´liminent, ce qui implique :
e e
¯ ¯
[E i ]z=0− + [E r ]z=0− = 0 (6.55)
¯ ¯
E i e−jβ1x sin θ1 + E r e−jβ1 x sin θ1 = 0 (6.56)
¯
E i = −E ¯ r . (6.57)
¯ ¯
En polarisation parall`le, on obtient de plus E⊥i = E⊥r inversant aussi E r par rapport a
e `
la convention tout en conservant un mˆme module. Donc :
e
¯ ¯
Ei = −Er . (6.58)
Ceci signifie que le coefficient de r´flexion vaut −1 qu’importe l’angle d’incidence et la
e
polarisation :
Γcond = −1 . (6.59)
En contre-partie, un courant de surface et des charges sont induits sur la surface de
s´paration pour satisfaire les conditions aux limites des composantes perpendiculaires de
e
E et parall`les de H.
e
Dans le demi-espace occup´ par le mat´riau #1 (pas le conducteur), un diagramme
e e
` certains endroits, le champ double d’amplitude par rapport
d’onde stationnaire s’´tablit. A
e
a
` Ei , ` d’autres endroits, il est compl`tement annul´. Ce diagramme ne varie pas dans
a e e
le temps, d’o` le terme stationnaire. Effectivement, en essayant avec une polarisation
u
perpendiculaire (on obtient le mˆme r´sultat avec une polarisation parall`le), le champ
e e e
total dans ce mat´riau s’exprime comme :
e
¯ ¯
E1 = Ei + Er¯ (6.60)
¯ ¯
= Ei e−jβ1(x sin θ1 +z cos θ1 ) ay + Er e−jβ1(x sin θ1 −z cos θ1 ) ay (6.61)
¯ ¯
E1 = Ei e−jβ1x sin θ1 e−jβ1 z cos θ1 − ejβ1 z cos θ1 (6.62)
−2j sin(β1 z cos θ1 )
E1 = 2 Ei |sin(β1 cos θ1 z)| . (6.63)
Le diagramme stationnaire ne d´pend que de z, la distance au plan de s´paration. Il se
e e
r´p`te ` tous les multiples de λ1z /2 i.e. λ1 /(2 cos θ1 ).
e e a
Si on d´pla¸ait la surface du conducteur ` z = ±kλ1z /2 (k entier), le diagramme
e c a
resterait identique dans tout le reste de l’espace du mat´riau #1 ! Cette propri´t´ sera
e ee
longuement revue dans le chapitre sur le r´gime sinuso¨
e ıdal permanent dans les lignes de
transmission.](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-186-320.jpg)
![7.8 D´termination des param`tres de ligne
e e 7-203
à plaques parallèles coaxiale conducteur bifilaire
externe
ǫr ǫr
ǫr d a a a
b 2d
w conducteur
interne
fil au dessus d’un bifilaire blindée rubanée (‘‘stripline’’)
plan de masse
b
ǫr ǫr
a a a 2d
h ǫr
w
2d
Figure 7.9 – Section de lignes de transmission usuelles.
infinit´simal dz. De l`, on d´termine la charge en fonction de la diff´rence de
e a e e
potentiel ; le flux magn´tique, en fonction du courant.
e
Les conditions aux limites doivent ˆtre respect´es sur les plaques conductrices.
e e
Elles le sont car, ` x = 0 et x = d, le champ ´lectrique est bien perpendi-
a e
culaire et le champ magn´tique, tangentiel. Les deux conditions aux limites
e
applicables d´montrent qu’une densit´ surfacique de charges et une densit´ de
e e e
courant de surface existent ` la surface des plaques :
a
[ρs ]x=0 = ax · ǫEx ax = ǫEx
[ρs ]x=d = −ax · ǫEx ax = −ǫEx
[J s ]x=0 = ax × Hy ay = Hy az
[J s ]x=d = −ax × Hy ay = −Hy az .
Il est clair que les densit´s de charges et de courant demeurent des fonctions
e
de z et t parce qu’elles d´coulent de Ex et Hy . Ainsi, la propagation de l’onde
e
est support´e par les charges et les courants sur les plaques qui se d´placent
e e
aussi selon la relation spatio-temporelle du type (z − t/vp ).
Il devient facile de d´terminer la charge de ρs ou le flux de J s .
e
• La charge contenue est d´termin´e ` partir de (7.27) et de la densit´
e e a e
surfacique ρs sur la surface du segment d’une plaque dont la dimension
vaut w dz :
ǫw dz
Q = ǫEx w dz = V
d
ρs](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-213-320.jpg)
![7.8 D´termination des param`tres de ligne
e e 7-207
∆S2 1 ,4 = ∆y∆z(−ax )
2
0V
V2,4 V3,4 Vab Vab
Q C
[∇V ]2 1 ,4
2
y (j)
∆y
x (i)
∆z
z
∆x
Figure 7.12 – R´alisation de l’int´grale de Gauss num´rique ` l’aide de quelques ´chantillons
e e e a e
pr´lev´s aux noeuds d’un maillage.
e e
– de longueur ∆z plac´ ´galement de part et d’autre du plan contenant la section
ee
d’analyse – un demi cylindre ∆z/2 de chaque cˆt´ ;
oe
– ` base rectangulaire avec un maillage cart´sien (un cylindre a base rectangulaire
a e `
est un parall´l´pip`de rectangle) ;
ee e
– qui passe ` mi-chemin entre des points d’´chantillonnage du potentiel ;
a e
– entourant compl`tement un des conducteurs avec une base suivant le plus long
e
parcours ferm´ C possible pour am´liorer la pr´cision de l’int´grale num´rique.
e e e e e
La figure 7.11 illustre les six surfaces formant ensemble un parall´l´pip`de rectangle
ee e
ferm´e autour du conducteur central. On remarque que les surfaces S av et S ar ont
e
des normales suivant l’axe z. Aucun flux ´lectrique ne les traverse ; on aura pas a
e `
int´grer sur ces 2 surfaces. Les quatre autres surfaces seront d´compos´es en petites
e e e
lani`res de largeur ∆x ou ∆y selon qu’il s’agisse d’une surface horizontale ou ver-
e
ticale. Chaque lani`re est consid´r´e comme un ´l´ment de surface pour l’int´grale,
e ee ee e
au travers laquelle passe une flux ´lectrique uniforme.
e
On rappelle que le gradient d’une fonction scalaire donne la pente dans chacune
des directions. Dans le cas num´rique pr´sent, on approxime le gradient par une
e e
variation finie du potentiel selon chacun des axes x et y :
Vi+1,j −Vij Vi,j+1 −Vij
∆V ∆V
[∇V ]i+ 1 ,j+ 1 ≈ ax + ay . (7.59)
2 2 ∆x ∆y
Il s’adonne qu’avec un parall´l´pip`de rectangle les ´l´ments num´riques de surface
ee e ee e
d’int´gration ∆S sont d´finies soit par ±∆y ∆zax , soit par ±∆x ∆zay ; le signe
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-217-320.jpg)
![7-208 Ligne de transmission
d´pend de l’orientation de la surface ∆S consid´r´e. On s’int´resse donc a une seule
e ee e `
des deux composantes du gradient ` la fois, ` cause du produit scalaire avec l’´l´ment
a a ee
num´rique de surface correspondante. L’int´grale devient une somme de produits
e e
sur l’ensemble des ´l´ments num´riques de surface qui constituent le cylindre :
ee e
Q = D · dS
S
= D · dydzax + D · (−dydzax ) + D · dxdzay + D · (−dydzay ) (7.60)
Sd Sg Sh Sb
≈ ǫ(−[∇x V ]d+ 1 ,j )∆y∆z + ǫ(−[∇x V ]g− 1 ,j )(−∆y∆z)
2 2
j j
+ ǫ(−[∇y V ]i,h+ 1 )∆x∆z + ǫ(−[∇y V ]i,b− 1 )(−∆x∆z) (7.61)
2 2
i i
Vd,j −Vd+1,j Vg,j −Vg−1,j
≈ ǫ( )∆y∆z + ǫ( )∆y∆z
j
∆x j
∆x
Vi,h −Vi,h+1 Vi,b −Vi,b−1
+ ǫ( )∆x∆z + ǫ( )∆x∆z (7.62)
i
∆y i
∆y
≈ ∆z ǫ(Vd,j −Vd+1,j ) + ǫ(Vg,j −Vg−1,j ) + ǫ(Vi,h −Vi,h+1 ) + ǫ(Vi,b −Vi,b−1 ) (7.63)
i,j
Le passage de (7.62) ` (7.63) implique que tous les ∆Si,j soient ´gaux donc ∆x =
a e
∆y. Cette derni`re condition, quoique non-essentielle d´coule de la m´thode des
e e e
diff´rences finies montr´e ` la section 4.5. On indique sur la figure 7.12 la base du
e e a
cylindre par la ligne pointill´e, un ´l´ment de surface et l’estimation du gradient du
e ee
potentiel en un point ` partir des ´chantillons voisins.
a e
• Faire les rapports Q/Vab puis C/∆z
On obtient ainsi la capacitance d’un bout de fil de longueur ∆z par le rapport Q/Vab .
La capacitance par unit´ de longueur C requiert la division par ∆z qui annule le
e
terme ∆z au num´rateur de l’expression de Q.
e
Exemple 7.5
Soit une ligne de transmission assum´e sans perte dont la section est faite d’un
e
conducteur interne mince de 2 mm de largeur ` l’int´rieur d’un conducteur
a e
externe carr´ de 6 mm de cˆt´. Le mat´riau est un di´lectrique de constante
e oe e e
ǫr = 10 non-magn´tique (µ = µo ). On applique la m´thode des diff´rences
e e e
finies en d´composant la section d’analyse en mailles carr´es de 1 mm comme
e e
sur la figure 7.13. Si une tension de 1.000 V est appliqu´e sur le conducteur
e
interne par rapport ` celui externe fix´e ` 0 V, la matrice des potentiels en
a e a](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-218-320.jpg)
![7.9 Mode quasi-TEM 7-211
substrat diélectrique
7400 plan de masse
ligne imprimée
Figure 7.14 – Exemple d’un circuit imprim´ avec lignes micro-rubans.
e
air
ǫr2 = 1
w
substrat
d ǫr1
plan de masse
Figure 7.15 – Section d’une ligne micro-ruban avec lignes de champ ´lectrique.
e
Un exemple de ce type est la ligne de transmission micro-ruban que l’on rencontre
fr´quemment sur des circuits imprim´s de syst`mes micro-ondes ou num´riques/informa-
e e e e
tiques. Cette ligne consiste g´n´ralement en une plaquette de di´lectrique (ou substrat)
e e e
a
` haute permittivit´, sur laquelle sont imprim´es d’un cˆt´ des bandes de cuivre, et de
e e oe
l’autre cˆt´ une couche pleine de cuivre appel´e “plan de masse”. Les figures 7.14 et 7.15
oe e
reproduisent un exemple de lignes micro-ruban d’un circuit informatique et une coupe de
l’une d’elles. Dans ce genre de ligne, les champs ´lectromagn´tiques sont distribu´s dans
e e e
le substrat, mais aussi dans l’air au-dessus du substrat du cˆt´ des bandes. Avec un calcul
oe
exact en ´lectromagn´tisme – sans passer par les notions de statique ou quasi-statique,
e e
on verrait qu’une partie de la puissance disponible contenue dans les champs pr´sentse
dans l’air est rayonn´e i.e. ´mise ` la mani`re d’une antenne. On peut toutefois traiter
e e a e
la ligne comme si le mode TEM continuait d’exister ; la supposition produit des r´sultats
e
approximatifs qui sont d’autant plus proches de la r´alit´ avec un substrat a constante
e e `
16
di´lectrique ´lev´e .
e e e
7.9.1 Constante di´lectrique effective
e
La difficult´ d’une ligne en mode quasi-TEM, est de d´terminer la constante ´lectrique
e e e
effective ǫref f , car une partie des champs se retrouve dans le substrat de constante ǫr1
et l’autre partie dans un autre di´lectrique ǫr2 (pour la ligne micro-ruban, le second
e
di´lectrique est l’air, d’o` ǫr2 = 1), tel que reproduit sur la figure 7.15. La valeur de la
e u
constante ´lectrique effective se situe quelque part entre ces deux valeurs extrˆmes ]ǫr1 ,ǫr2 [
e e
16
Plus la permittivit´ du substrat est ´lev´e, plus les champs se confinent dans le di´lectrique, ce qui
e e e e
diminue les pertes par rayonnement.](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-221-320.jpg)
![8.10 Imp´dance r´active
e e 8-259
• Γ(t = ti = T = 1 µs, z = ℓ) = 1
• Γ(t → ∞) = −1.
Par contre, le coefficient de r´flexion de la charge au niveau de la source Γ(t =
e
ti , z = 0) vaut 1 ` t = ti = 2T = 2 µs !
a
[V ]z=0 [V ]z=ℓ
V0
V0
2
−1
V0 e
0 L 0 L
2T 2T + Z0 t T T+ Z0 t
[I]z=0 [I]z=ℓ
V0
Z0
V0 −1
Z0 (1 −e )
V0
2Z0
0 0
2T 2T + L
Z0
t T T+ L
Z0
t
´
Figure 8.33 – Evolution de la tension et du courant ` la source et ` la charge avec charge
a a
inductive.
Le trac´ de l’´volution de la tension quelque part sur la ligne se divise en trois
e e
parties menant au r´sultat de la figure 8.33 :
e
• pour 0 < t < to = zo /vp , aucun signal n’est visible car v o = v + n’est pas
encore arriv´ ;
e
• pour to < t < ti = 2T − to , il n’y a que
Zo
v+ = Vo = 5 u(t − z/vp ) V
Zo + Rg
• pour t ≥ ti , le signal de retour v − (t) se superpose :
– ` t = ti , on a [v − ]t=ti = 5 V ;
a
– alors qu’` t → ∞, [v − ]t→∞ = −5 V
a
– entre les deux,
v − (t) = 10e−(t−2T +z/vp )/τ u(t − 2T + z/vp ) − 5 V
pour permettre de raccorder les deux points par une exponentielle.
Il reste ` d´terminer la constante de temps τ . Il faut revenir au principe phy-
a e
sique de l’analyse descriptive pour bien comprendre. L’inductance ne “voit”
que la ligne de transmission au moment de sa r´action. Les autres r´sistances
e e
au loin (ici, celle de la source) affecterait la r´ponse via la r´flexion de v − .
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-269-320.jpg)
![8.10 Imp´dance r´active
e e 8-261
Quoique d’apparence plus compliqu´e que l’exemple pr´c´dent, la difficult´ est
e e e e
du mˆme ordre de grandeur. Le diagramme en Z ´quivalent apparaˆ sur la
e e ıt
figure 8.35.
L’´volution de la tension ou du courant ` z = 0 se divise en deux parties :
e a
• pour 0 < t < ti = 2T1 :
Zo1
[v + ]z=0 = 10 = 5 u(t) V
Zo1 + Rg
1
[i+ ]z=0 = 10 = 100 u(t) mA
Zo1 + Rg
• pour t ≥ 2T1 , le signal de retour v − (t) se superpose tel que :
– ` t = ti , le condensateur se comporte comme un court-circuit et
a
150−50
[v − ]t=ti = 5 150+50 = 2.5 V, [i− ]t=ti = 100(−0.5) = −50 mA ;
– ` t → ∞, le condensateur est compl`tement charg´ et agit comme
a e e
− −
un circuit ouvert : [v ]t→∞ = 5(1) = 5 V, [i ]t→∞ = 100(−1) =
−100 mA.
– entre les deux,
v − (t) = 5 − 2.5e−(t−2T1 )/τ u(t − 2T1 ) V ,
i− (t) = −100 + 50e−(t−2T1 )/τ u(t − 2T1 ) mA .
La constante de temps est d´termin´e en inspectant le sch´ma. Le condensa-
e e e
teur ne “voit” que l’entr´e des deux lignes de transmission. On remplace les
e
lignes par leur imp´dance caract´ristique respective pour d´montrer que ces
e e e
imp´dances r´sistives sont connect´es en s´rie d’o` :
e e e e u
τ = (Zo1 + Zo2 )C = (50 + 150)(100 × 10−12 ) = 20 ns .
On obtient finalement des courbes d’´volution de la figure 8.36.
e
8.10.2 Conditions initiales non-nulles
Lorsque les conditions initiales aux bornes de l’´l´ment r´actif sont non-nulles, on doit
ee e
r´´crire les ´quations selon les conditions aux limites. Impossible d’y aller par inspection
ee e
car le comportement au temps t = ti est ind´termin´. Par exemple, au front montant
e e
de l’´chelon de tension, la capacit´ ne r´agit pas comme un court-circuit ayant d´j` une
e e e ea
certaine charge accumul´e (donc une tension ` ses bornes).
e a
L’application des conditions aux limites se fait dans le domaine de Laplace sans oublier
la fameuse condition initiale. Le coefficient de r´flexion Γ(s) – et celui de transmission
e
τ (s) si n´cessaire – est d´duit en trouvant le rapport V − (s)/V + (s). On peut donc ex-
e e
primer v (t) et le superposer ` v + (t). On continue le mˆme proc´d´ pour les r´flexions
−
a e e e e
++ −−
suppl´mentaires v (t), v (t), etc.
e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-271-320.jpg)
![8-262 R´gime transitoire sur ligne
e
[V ]z=0 , V
10
9.08
5
0 20 40 t, ns
(a)
[I]z=0 , mA
100
50 18.4
0 20 40 t, ns
(b)
´
Figure 8.36 – Evolution de la tension et du courant ` la source avec charge discontinuit´
a e
capacitive.
Exemple 8.12
Soit la ligne termin´e dans une inductance de l’exemple 8.10. Au temps t = T − ,
e
le courant traversant l’inductance s’´levait ` 50 mA.
e a
◮ R´´crivez l’expression de v(z, t) sur la ligne.
ee
Pour satisfaire la condition au niveau de la charge inductive pour t > T :
Vo d Vo v − (z = ℓ, t)
+ v − (z = ℓ, t) = L −
2 dt 2Zo Zo
soit parce que la d´riv´e d’une constante est nulle :
e e
L d v − (z = ℓ, t) Vo
+ v − (z = ℓ, t) = − .
Zo dt 2
La solution g´n´rale de l’´quation diff´rentielle est la suivante :
e e e e
Vo
v − (z = ℓ, t) = Ae−(t−T )/(L/Zo ) u(t − T ) − u(t − T ) .
2
On reconnaˆ la constante de temps L/Zo , car l’inductance se charge via Zo .
ıt
Elle fait aussi apparaˆ une constante A qui est d´termin´e par la condition
ıtre e e
initiale ` l’inductance :
a
Vo v − (z = ℓ, t)
− = Iinit = 50 mA .
2Zo Zo t=T −](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-272-320.jpg)
![8-266 R´gime transitoire sur ligne
e
Exercices
Question 1
Z0 = 60Ω
Rg = 40Ω T = 1µs
Rc
vg (t) = 100u(t)V
z=0 z=ℓ
Soit le syst`me montr´ sur la figure ci-dessus. Pour chacun des cas demand´s, d´termi-
e e e e
nez la valeur de Rc :
a) v(0.5ℓ, 1.7 µs) = 48 V ;
b) v(0.6ℓ, 2.8 µs) = 76 V ;
c) i(0.3ℓ, 4.4 µs) = 1 A.
Question 2
t=0
Z0 = 100Ω [V ]z=0 [V ]z=ℓ
Rg T = ℓ/vp 100V 90V
Rc 75V
V0
0 2 4 t, µs 0 2 4 t, µs
z=0 z=ℓ
Soit le syst`me montr´ sur la figure ci-dessus o` l’interrupteur est ouvert depuis suf-
e e u
fisamment longtemps pour que le syst`me ait atteint un r´gime permanent. A t = 0,
e e `
l’interrupteur se ferme et les ´volutions de la tension pendant les 5µs suivantes sont ob-
e
serv´es aux positions z = 0 et z = ℓ. D´duisez les valeurs de Vo , Rg , Rc et T .
e e
Question 3
Une ligne de transmission d’une imp´dance caract´ristique de 75 Ω, se termine dans
e e
e ` l’autre extr´mit´, on retrouve une source tension continue Vo
une charge r´sistive Rc . A e e
en s´rie avec son imp´dance r´elle interne Rg . Lorsque le r´gime permanent est atteint,
e e e e
on note une tension de 30 V et un courant de 1.2 A sur la ligne. D´terminez la tension et
e
le courant de l’onde positive et de l’onde n´gative en ´tat permanent.
e e](https://image.slidesharecdn.com/emgrenier-121202025718-phpapp01/85/Electromagnetique-grenier-276-320.jpg)
Téléchargé parNajib El G
Electromagnetique grenier
Ce document aborde les concepts fondamentaux de l'électromagnétisme et de la transmission des ondes, comprenant les champs électromagnétiques, les lois de Maxwell, et l'analyse des ondes dans divers milieux. Il est structuré en chapitres couvrant les champs, les matériaux, et les applications associées, tout en identifiant clairement les vecteurs et phaseurs dans les formules. L'auteur exprime également sa gratitude envers un contributeur pour la qualité des figures présentées.
Electromagnetique grenier
- 1. ´ Electromagn´tisme ettransmission e des ondes GEL-2900/GEL-3002 Dominic Grenier D´partement de g´nie ´lectrique et de g´nie informatique e e e e Universit´ Laval e Qu´bec (QC), G1V 0A6 e Automne 2012 c DG-2000,2001,2004
- 3. NOTES : • Les unit´s utilis´es sont toutes en SI ou en SI-d´riv´e (longueur : m, masse : kg, e e e e temps : s, courant : A, puissance : W, tension : V, charge : C, fr´quence : Hz . . . ). e • – Les vecteurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras (e.g. E). e e – Les composantes d’un vecteur sont sp´cifi´es par l’entremise de leur coordonn´e e e e mise en indice inf´rieur (e.g. Ex ou Eθ ). e – Les phaseurs et les quantit´s complexes qui en d´coulent, avec un module et e e une phase, sont plutˆt repr´sent´s par leur identificateur surmont´ d’une barre o e e e ¯ ¯ ¯ (e.g. E, Eθ ou Zi ). – Ainsi, les vecteurs-phaseurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras e e ¯ surmont´ d’une barre (e.g. E). e – Finalement, les modules d’un phaseur (en valeur crˆte) ou d’une quantit´ com- e e plexe, ainsi que les scalaires, sont identifi´s par leur identificateur r´gulier (e.g. e e E ou Eθ ou Zi ou h). • Ce document a ´t´ produit par L TEX. ee A Tout au long de l’ouvrage, vous pourrez appr´cier la qualit´ des figures. C’est pourquoi e e je d´sire exprimer ma reconnaissance ` M. Fr´d´ric Jean qui est l’auteur de la majorit´ e a e e e d’entre elles ; il a su composer avec mes exigences parfois capricieuses.
- 5. Table des mati`res e 1 Notions de base 1-1 1.1 Les champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1 1.2 Phaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-3 1.3 Int´grales de ligne et de surface . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-4 1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11 2 Les champs et les mat´riaux e 2-15 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-15 2.2 Champ ´lectrique statique . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-15 2.3 Champ d’induction magn´tique statique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-20 2.4 Conducteur et conductivit´ . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-26 2.5 Di´lectrique et champ de d´placement . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-27 2.6 Mat´riau magn´tique et champ magn´tique . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-29 3 Les lois de Maxwell 3-37 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-37 3.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-37 3.3 Loi d’Amp`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-41 3.4 ´ Equation de continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-44 3.5 ´ Equations de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-45 3.5.1 Charges magn´tiques . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-46 3.5.2 Charges ´lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-47 3.6 Formes diff´rentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 3-50 3.7 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-51 3.7.1 Composante tangentielle du champ ´lectrique . e . . . . . . . . . . . 3-52 3.7.2 Composante tangentielle du champ magn´tique e . . . . . . . . . . . 3-52 3.7.3 Composante normale du champ d’induction . . . . . . . . . . . . . 3-53 3.7.4 Composante normale du champ de d´placement e . . . . . . . . . . . 3-54 3.7.5 R´sum´ des conditions aux limites . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . 3-54 3.7.6 Propri´t´s suppl´mentaires . . . . . . . . . . . . ee e . . . . . . . . . . . 3-55 4 Statique et Quasi-statique 4-65 4.1 introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-65 4.2 Applications directes aux champs statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-66
- 6. vi ` TABLE DES MATIERES 4.3 Voltage et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-71 ´ 4.3.1 Equipotentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-73 4.4 Th´orie des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-75 4.5 ´ Equation de Laplace, m´thode des diff´rences finies e e . . . . . . . . . . . . . 4-78 4.5.1 Interface entre di´lectriques . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-82 4.6 De l’´lectromagn´tisme aux circuits . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-84 4.6.1 Capacitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-85 4.6.2 Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-86 4.6.3 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-88 4.6.3.1 Inductance externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-88 4.6.3.2 Inductance interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-91 4.6.3.3 R´luctance . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-92 4.7 ´ Energie emmagasin´e . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 4-95 ´ 4.7.1 Energie ´lectrique emmagasin´e . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-95 ´ 4.7.2 Energie magn´tique emmagasin´e . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 4-98 4.8 Analyse de comportement en quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-101 4.8.1 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-101 4.8.2 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-105 5 Onde plane uniforme 5-113 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-113 ´ 5.2 Equation d’onde dans un mat´riau sans perte . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-113 5.2.1 D´veloppement de l’´quation d’onde . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 5-114 5.2.2 Solution ` l’´quation d’onde temporelle . . . a e . . . . . . . . . . . . . 5-115 5.2.3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-115 5.3 Onde sinuso¨ ıdale dans un milieu quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-116 5.4 Puissance et vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-122 5.5 Caract´ristiques de l’onde plane . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-127 5.6 Param`tres de propagation des mat´riaux . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . 5-129 5.6.1 Di´lectrique parfait . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-130 5.6.2 Di´lectrique a faibles pertes . . . . . . . . . e ` . . . . . . . . . . . . . 5-131 5.6.3 Bon conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-133 5.6.3.1 Effet de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-135 5.6.4 Conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-136 5.7 Propagation dans une direction arbitraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-136 5.7.1 Vecteur de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-138 5.7.2 Vitesses de l’´nergie, de phase et de groupe . e . . . . . . . . . . . . . 5-142 5.8 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-145 5.8.1 Polarisation lin´aire . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 5-145 5.8.2 Polarisations circulaire et elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-146
- 7. ` TABLE DES MATIERES vii 6 R´flexion et transmission e 6-159 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-159 6.2 Incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-159 6.3 Lois de r´flexion et de r´fraction . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . 6-163 6.4 Incidence oblique avec mat´riaux sans perte . . e . . . . . . . . . . . . . . . 6-165 6.4.1 Polarisation perpendiculaire/horizontale . . . . . . . . . . . . . . . 6-165 6.4.2 Polarisation parall`le/verticale . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 6-169 6.4.3 Analyse et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-171 6.4.3.1 Angle critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-171 6.4.3.2 Angle de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-172 6.4.3.3 Comportement des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 6-174 6.5 Incidence sur un conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-176 6.6 Incidence oblique sur un mat´riau ` pertes . . . e a . . . . . . . . . . . . . . . 6-177 7 Ligne de transmission 7-183 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-183 7.2 Mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-184 7.3 Mod`le distribu´ d’une ligne . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-185 7.4 Correspondances ´lectromagn´tisme-circuit e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-188 ´ 7.4.1 Equivalences rapides C-G-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-189 7.4.2 Puissance transport´e . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-191 7.5 Effet d’une ligne sans perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-194 7.6 Effet d’une ligne quelconque ` pertes . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-196 7.7 Param`tres distribu´s vs facteur de forme . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-200 7.8 D´termination des param`tres de ligne . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-201 7.8.1 Technique analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-202 7.8.2 Technique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-205 7.8.3 Techniques num´riques . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-205 7.9 Mode quasi-TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-210 7.9.1 Constante di´lectrique effective . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-211 7.9.2 Modification aux calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-213 8 R´gime transitoire sur ligne e 8-221 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2 Rappels des notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2.1 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-221 8.2.2 Principes de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-222 ´ 8.2.3 Equivalent circuit des interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-223 8.3 Effet de la ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-225 8.4 Transitoire d’un syst`me simple . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-226 8.4.1 Condition ` la source . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-227 8.4.2 Condition ` la charge . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-228 8.4.3 D´veloppement du transitoire . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-228
- 8. viii ` TABLE DES MATIERES 8.4.4 Approche raisonn´e . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-230 8.4.5 Signaux en r´gime permanent . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-233 8.5 Diagramme en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-235 8.5.1 Lecture du diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-236 8.6 Distribution de l’´nergie . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-240 8.7 Plusieurs sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-241 8.8 Endroit du changement et conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . 8-244 8.9 Point de jonction sur ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-248 8.9.1 R´sistance parall`le . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-249 8.9.2 R´sistance s´rie . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-250 8.9.3 Jonction quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-251 8.9.4 Diagramme en Z avec point de jonction . . . . . . . . . . . . . . . . 8-252 8.10 Imp´dance r´active . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-255 8.10.1 Conditions initiales nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-257 8.10.2 Conditions initiales non-nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-261 8.11 Param`tres S . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 8-263 8.11.1 Ports sans adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-264 9 R´gime sinuso¨ e ıdal permanent sur ligne 9-275 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-275 9.2 Tension et courant sur la ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-275 9.3 Court-circuit et circuit-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-277 9.3.1 Puissance instantan´e et moyenne . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-282 9.4 Param`tres du r´gime sinuso¨ e e ıdal permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-283 9.4.1 Coefficient de r´flexion g´n´ralis´ . . . . . . . . . e e e e . . . . . . . . . . 9-283 9.4.2 Diagramme d’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-284 9.4.3 Rapport d’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-289 9.4.4 Particularit´s sur les imp´dances vues . . . . . . . e e . . . . . . . . . . 9-290 9.5 Abaque de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1 Construction de l’abaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1.1 r et x versus u et v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-294 9.5.1.2 Superposition des lieux r =cte et x =cte . . . . . . . . . . 9-296 9.5.1.3 Finalisation de l’abaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-297 9.5.2 Param`tres mesurables sur l’abaque . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-297 9.6 Estimation de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-304 9.6.1 Principes th´oriques de calcul de charge . . . . . e . . . . . . . . . . 9-304 9.6.2 Estimation exp´rimentale de charge . . . . . . . . e . . . . . . . . . . 9-305 9.7 Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-308 9.7.1 Transformateur quart-d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-310 9.7.2 Stub simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-312 9.7.3 Double stub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-318 9.7.4 Largeur de bande d’adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-325 9.8 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-326
- 9. ` TABLE DES MATIERES ix 9.9 Lignes ` pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9-331 a 10 Guide d’ondes 10-343 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-343 10.2 Modes sup´rieurs dans un guide ` plaques parall`les . . . . e a e . . . . . . . . . 10-345 10.2.1 Fr´quence de coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-347 10.2.2 Longueur d’onde guid´e . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-349 10.2.3 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-350 10.2.4 Imp´dance intrins`que en mode sup´rieur . . . . . . e e e . . . . . . . . . 10-351 10.2.5 Correspondance avec lignes en mode TEM . . . . . . . . . . . . . . 10-352 10.3 Guide d’ondes rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-354 10.3.1 Analyse math´matique . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-355 10.3.1.1 D´veloppement des ´quations de Maxwell e e . . . . . . . . . 10-356 10.3.1.2 Choix du mode de transmission . . . . . . . . . . . . . . . 10-357 ¯ 10.3.1.3 Expression des champs selon Hz . . . . . . . . . . . . . . . 10-358 ´ ¯ 10.3.1.4 Equation d’onde en Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-358 10.3.1.5 R´solution de l’´quation d’onde . . . . . . e e . . . . . . . . . 10-358 10.3.1.6 Respect des conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . 10-360 10.3.1.7 Expressions finales des autres composantes . . . . . . . . . 10-361 10.3.2 Quelques modes T Emn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-361 10.3.2.1 Mode fondamental T E10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-361 10.3.2.2 Mode T E20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-363 10.3.2.3 Mode T E11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-364 10.3.3 Principaux param`tres . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-365 10.3.3.1 Fr´quence de coupure . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-366 10.3.4 Longueur d’onde guid´e . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-367 10.3.5 Vitesses de phase et de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-368 10.3.6 Imp´dance intrins`que en mode sup´rieur . . . . . . e e e . . . . . . . . . 10-369 10.3.7 Mode Transverse Magn´tique . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-369 10.3.8 Conclusion sur les guides rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . 10-370 10.4 Guide d’ondes circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-371 10.4.1 Expressions des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-371 10.4.2 Param`tres principaux . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-374 10.5 Puissance et ´nergie (T E10 rectangulaire) . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-377 10.5.1 Puissance transport´e . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-377 ´ 10.5.2 Energie emmagasin´e par unit´ de longueur . . . . e e . . . . . . . . . 10-378 10.5.3 Vitesse de l’´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-378 10.6 Pertes dans le guide d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-378 10.6.1 Pertes dans le conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-379 10.6.2 Pertes dans le di´lectrique . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-381 10.7 Cavit´s r´sonnantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . 10-382 10.7.1 Expressions des champs T Emnp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10-382 10.7.2 Param`tres principaux . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 10-383
- 10. 0-0 ` TABLE DES MATIERES 11 Antennes - introduction 11-391 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-391 11.2 Imp´dance . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-392 11.2.1 R´sistance de rayonnement e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-393 11.2.2 Circuit avec antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-394 11.2.3 Efficacit´ de rayonnement e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-395 11.3 Intensit´ de rayonnement . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-395 11.4 Diagramme de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-397 11.5 Angle solide du faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-399 11.6 Directivit´ et gain . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-400 11.7 Ouverture ou longueur effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-403 11.8 Ouverture vs directivit´ . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-404 11.9 Valeurs pour antennes filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-406 A Syst`me de coordonn´es e e A-409 A.1 Transformations scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-409 A.2 Transformations d’´l´ments diff´rentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e . . A-409 A.3 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-410 B Lettres grecques B-412 C Constantes physiques fondamentales C-413 C.1 Valeurs recommand´es . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-413 C.2 Unit´s SI . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-413 C.3 Unit´s SI suppl´mentaires . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 C.4 Unit´s utilis´es avec SI . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 C.5 Pr´fixes SI . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C-414 D Table des symboles D-415 ´ E Equations de base en EM E-419 ´ E.1 Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 ´ E.2 Equation de continuit´ . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 E.3 Relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 ´ E.4 Equation du courant de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419 E.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-419
- 11. Chapitre 1 Notions debase 1.1 Les champs Un champ est une entit´ physique difficile ` concevoir mais qui existe bel et bien et n’a e a rien d’un concept th´orique utile pour faciliter l’interpr´tation de ph´nom`nes existants. e e e e Le champ est reli´ ` une r´gion de l’espace ; son existence est d´termin´e par la pr´sence ea e e e e d’un ph´nom`ne physique ` l’int´rieur de cette r´gion. Il est souvent responsable de l’ap- e e a e e plication de forces sur des objets. Tout le monde connaˆ bien le champ gravitationnel de ıt la Terre qui cr´e une force attirant les objets vers son centre. Les champs ´lectriques et e e magn´tiques sont aussi des champs de force reli´s aux forces de r´pulsion ou d’attraction e e e 1 ´lectriques et magn´tiques . Dans un contexte plus large, on dira qu’un champ est une e e quantit´ physique qui varie selon la position dans la r´gion de l’espace. e e Quoique l’invisibilit´ de la gravitation n’empˆche pas celle-ci d’ˆtre facilement comprise e e e et interpr´t´e, il n’en va pas ainsi pour tous les champs. Il faut dire que la gravitation ee est le plus simple des champs. En effet, il existe diff´rents type de champs comme on le e d´taille ci-dessous. e • Le champ peut ˆtre identique partout dans la r´gion de l’espace dans lequel cas on e e le dit uniforme ; • Le champ peut varier en fonction du temps. Il sera donc statique ou variant (dans le temps – “time-varying”) selon qu’il soit ind´pendant ou non du temps ; e • Plus encore, le champ peut ˆtre vectoriel ou scalaire lorsque la quantit´ qu’il repr´sente e e e a une direction dans l’espace ou non respectivement. Ainsi le champ gravitationnel est relativement uniforme, statique et vectoriel contraire- ment au champ ´lectromagn´tique souvent non-uniforme, variant et toujours vectoriel. e e On peut ouvrir ici une premi`re parenth`se : s’il n’y a pas d’´volution dans le temps, e e e le champ ´lectrique et le champ magn´tique sont dissociables ; par contre une variation e e 1 Il existe quatre types de force dans la nature soit la force gravitationnelle, la force ´lectromagn´tique, e e les forces nucl´aires faible et forte ; on verra que les forces ´lectrique et magn´tique sont en fait une mˆme e e e e force dite ´lectromagn´tique. e e
- 12. 1-2 Notions de base temporelle de l’un ou l’autre rend ces deux champs indissociables d’o` le nom combin´ u e ´lectromagn´tisme. e e La temp´rature et la pression atmosph´rique sont des exemples de champs scalaires ; e e par contre leur gradient sont des quantit´s vectorielles. Soit le cas de la temp´rature dans e e un syst`me de coordonn´es cart´siennes pour bien se fixer les id´es. Si la temp´rature d’une e e e e e pi`ce est assum´e identique partout et fixe dans le temps alors T = cte ; par contre si elle e e est non-uniforme mais toujours constante alors T = T (x, y, z). On comprend ais´ment e que pour tenir compte de l’´volution de la temp´rature dans le temps – dˆ e aux pertes, e e u au syst`me de chauffage ou de climatisation – on a maintenant le cas g´n´ral : e e e T = T (x, y, z, t) . (1.1) y (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0) Fx (x0 , y0 ) x Figure 1.1 – Lignes de champ vectoriel dans un espace cart´sien ` deux dimensions. e a Pour un champ vectoriel, il existe autant de composantes que la dimension de l’espace soit 3 pour un espace physique. Le champ vectoriel F s’´crit : e F (x, y, z, t) = Fx (x, y, z, t)ax + Fy (x, y, z, t)ay + Fz (x, y, z, t)az . (1.2) La figure 1.1 montre un exemple de champ vectoriel dans un plan cart´sien (espace a e ` 2 dimensions). Les fl`ches indiquent la direction et leur longueur est proportionnelle a e ` l’amplitude. Des expression similaires existent pour les autres syst`mes de coordonn´es. En cylin- e e drique ou en sph´rique, on obtient : e F (r, φ, z, t) = Fr (r, φ, z, t)ar + Fφ (r, φ, z, t)aφ + Fz (r, φ, z, t)az (1.3) F (r, θ, φ, t) = Fr (r, θ, φ, t)ar + Fθ (r, θ, φ, t)aθ + Fφ (r, θ, φ, t)aφ . (1.4) Comme on peut le remarquer par ces exemples, une quantit´ vectorielle est identifi´e e e par un caract`re gras normalement majuscule sauf pour les vecteurs unitaires not´es ak . e e 2 Ces derniers sont des vecteurs dont le module (ou longueur) vaut l’unit´. e 2 Pour obtenir la grandeur d’un vecteur, il suffit de prendre la racine carr´e de la somme des compo- e 2 2 2 santes au carr´ de la base e.g. F = |F | = Fx + Fy + Fz en cart´sien. Si un vecteur F poss`de une e e e direction aF = mx ax + my ay + mz az (avec m2 + m2 + m2 = 1 car module unitaire), alors Fx = F · mx , x y z Fy = F · my , Fz = F · mz .
- 13. 1.2 Phaseur 1-3 1.2 Phaseur Les phaseurs sont des outils math´matiques utilis´s lorsque les signaux varient sinuso¨ e e ıdale- ment dans le temps aussi appel´s variations harmoniques. Ce sont des nombres complexes e qui, ramen´s sous la forme polaire, ont un module et un argument3 e • Le module repr´sente l’amplitude crˆte du signal. e e • L’argument correspond au d´phasage du signal sinuso¨ e ıdal ` l’origine. a On d´montre que la r´ponse en r´gime permanent d’un syst`me lin´aire a un excitation e e e e e ` sinuso¨ ıdale reste sinuso¨ıdale et avec la mˆme fr´quence d’oscillations. Seuls le module et e e la phase changent. De plus, ce r´gime sinuso¨ e ıdal permanent est pratique car il permet d’obtenir plus facilement la r´ponse d’un syst`me lin´aire. Comme toute forme de signal e e e peut se d´composer en une somme de composantes sinuso¨ e ıdales4 , l’id´e est de d´terminer e e la r´ponse du syst`me pour chacune des composantes ind´pendamment des autres et de e e e sommer ces r´ponses dans le plan complexe. e Soit la fonction harmonique F (t) = A cos(ωt+φ). Dans cette expression, A est l’ampli- tude de la variation sinuso¨ ` ıdale et (ωt+φ) est la phase. A l’origine i.e. ` t = 0, le d´phasage a e est simplement φ. Cette fonction peut aussi s’´crire ` partir des identit´s d’Euler comme e a e suit : F (t) = Re{Aejφ ejωt } (1.5) ¯ F u ¯ o` F est le phaseur repr´sentant la fonction. On peut alors travailler uniquement avec le e phaseur sachant que la variation temporelle est du type ejωt . Lorsqu’on utilise les pha- seurs, tous les param`tres qui en d´coulent sont souvent complexes, comme les phaseurs e e d’ailleurs. On surmonte d’une barre (¯) le param`tre en question pour bien montrer que e son emploi est limit´ au r´gime sinuso¨ e e ıdal permanent. Im b ¯ F A φ a Re Figure 1.2 – Repr´sentation d’un phaseur dans le plan complexe. e Le phaseur et, par extension, tous les param`tres complexes peuvent ˆtre repr´sent´s e e e e sous la forme rectangulaire autant que sur la forme polaire comme sur la figure 1.2. La conversion entre les deux formes est simple et bien connu. On doit ajouter qu’une addition 3 Le mot phase convient aussi. 4 C’est la transform´e de Fourier qui permet de trouver les diverses composantes sinuso¨ e ıdales.
- 14. 1-4 Notions de base (soustraction) de deux phaseurs se r´alise ais´ment en rectangulaire alors que la multi- e e plication (division) est plus simple en polaire. Dans l’exemple de la fonction harmonique F (t), on a : ¯ F = A ejφ (1.6) = A cos(φ) + j A sin(φ) (1.7) a b avec √ A = a2 + b2 (1.8) φ = arctan(b/a) . (1.9) La solution d’une ´quation diff´rentielle d’un syst`me lin´aire avec la technique des e e e e phaseurs consiste ` remplacer toutes les d´riv´es simples par jω. En effet, la d´riv´e a e e e e premi`re de la fonction harmonique F (t) est e dF (t) = − ωA sin(ωt + φ) = ωA cos(ωt + φ + π/2) (1.10) dt ¯ = Re{ω Aejφ ejπ/2 ejωt } = Re{jω F ejωt } (1.11) ¯ F j u e ¯ o` on remarque que le phaseur r´sultant est jω F soit le produit du phaseur initial par jω. On peut aussi voir que la d´riv´e produit une avance de phase de π/2 correspondant e e a ` +j dans le plan complexe. 1.3 Int´grales de ligne et de surface e F2 F1 Fn α2 αn α1 ∆l2 ∆ln ∆l1 C Figure 1.3 – Mod´lisation de l’int´grale de ligne. e e L’int´grale de ligne d’un champ vectoriel F le long d’un parcours quelconque C est e simplement d´finie comme : e F · dl . C
- 15. 1.3 Int´grales deligne et de surface e 1-5 Pour comprendre l’int´grale de ligne, on d´compose le parcours en segments infinit´simaux e e e ∆l1 , ∆l2 , . . . , ∆ln . Elle est alors ´quivalente ` la somme des n produits scalaires de F k e a (la valeur du champ ´valu´ ` la position du segment k) par le segment ∆lk , donc : e ea n F · dl ≈ Fk ∆lk cos αk (1.12) C k=1 o` αk est l’angle entre F k et ∆lk comme il apparaˆ sur la figure 1.3. Il faut bien voir u ıt que le champ est une fonction de l’espace donc de la position ` laquelle on l’´value. On a e pourrait ´crire F (l). e Dans le syst`me de coordonn´es cart´sien, l’approximation de l’int´grale de ligne de- e e e e vient : n F · dl ≈ ( Fx ∆xk + Fy ∆yk + Fz ∆zk ) (1.13) C k=1 en prenant dl = dxax + dyay + dzaz . (1.14) Il y a cependant un danger ` ´crire l’´quation de cette mani`re car on pourrait croire a e e e que l’int´grale de ligne se r´sume ` trois int´grales de la mˆme fonction sur chacune des e e a e e coordonn´es. Il n’en est rien car les ´l´ments diff´rentiels dx, dy et dz, de l’´quation ne e ee e e sont pas ind´pendants puisqu’ils d´pendent tous du parcours suivi. Il faut donc les relier e e a e ` l’´quation du parcours entre les deux points. Exemple 1.1 Soit la fonction F = 5yax + x2 az . ◮ Faites l’int´grale de ligne du point (0, 0, 0) au point (1, 2, 3) le long du parcours e 2x = y, 9x = z 2 . z 3 P (1, 2, 3) C 2 y x Figure 1.4 – Parcours de l’int´grale de ligne. e On commence par d´river les ´quations du parcours d’o` : e e u 2dx = dy, 9dx = 2zdz .
- 16. 1-6 Notions de base L’´l´ment diff´rentiel s’´crit donc en fonction de dx par exemple, comme : ee e e 9dx dl = dxax + 2dxay + az 2z On a maintenant : (1,2,3) (1,2,3) 9x2 dx F · dl = 5ydx + . C(0,0,0) C(0,0,0) 2z Puis, en rempla¸ant les variables y et z par leur relation avec x suivant c l’´quation du parcours, on obtient : e (1,2,3) 1 9x2 dx F · dl = 5(2x)dx + √ C(0,0,0) 0 2(3 x) 1 = (10x + 1.5x3/2 )dx 0 1 = 5x2 + 0.6x5/2 0 = 5.6 . On peut aussi proc´der de cette mani`re : e e (1,2,3) 1 3 F · dl = 5ydx + x2 dz C(0,0,0) 0 0 1 3 = 5(2x)dx + (z 2 /9)2 dz 0 0 5 3 1 z = 5x2 0 + = 5.6 . 405 0 F c1 a b c2 Figure 1.5 – Int´grale de ligne sur un parcours ferm´ ou la circulation du champ. e e Si le parcours est ferm´, on ´crit l’int´grale de cette mani`re F · dl pour bien le e e e e montrer. Cette int´grale est connue sous le nom de circulation. On v´rifie que si la circu- e e lation d’un champ est nulle sur un parcours passant par deux points distincts a et b, c’est que l’int´grale de ligne est ind´pendante du parcours utilis´ pour se rendre du point a au e e e
- 17. 1.3 Int´grales deligne et de surface e 1-7 point b. En effet, sur la figure 1.5 on d´compose le parcours ferm´ en deux parcours : l’un e e passant par c1 et l’autre par c2 . Ainsi : F · dl = F · dl + F · dl = 0 (1.15) ac1 bc2 a ac1 b bc2 a donc F · dl = − F · dl (1.16) ac1 b bc2 a = + F · dl . (1.17) ac2 b On appelle champ irrotationnel ou conservatif, un champ pour lequel la circulation est nulle pour tout parcours. Dans un tel champ, aucune ´nergie n’est perdue ou gagn´e en e e d´pla¸ant un corps pour enfin revenir au point de d´part. Dans le cas contraire le champ est e c e non-conservatif et l’int´grale de ligne d´pendra non seulement des points de d´part et d’ar- e e e riv´e mais aussi du parcours emprunt´. Le champ gravitationnel terrestre est un exemple e e de champ conservatif puisque la variation d’´nergie potentielle d’une masse passant d’un e point a ` un point b ne d´pend pas du parcours mais uniquement de la diff´rence de hau- a e e teur des deux points. Le champ ´lectrique statique en est un autre exemple car l’int´grale e e de ligne d’un point a vers b sur un parcours quelconque, donne la diff´rence de potentiel e entre les deux points Vab . Cependant, si le champ ´lectrique varie temporellement alors il e devient non-conservatif. Une int´grale de ligne nulle sur un parcours ferm´ ne peut garantir que le champ est e e conservatif. Il faudrait v´rifier pour une infinit´ de parcours. En fait, si le champ d´coule e e e ´ d’un gradient i.e. F = ∇G, alors il est conservatif. Evidemment, une seule int´grale de e ligne non-nulle sur un parcours ferm´ suffit pour dire que le champ est non-conservatif. e L’int´grale de surface du champ F sur une surface S est elle d´finie comme : e e F · dS . S Elle indique la quantit´ de flux traversant la surface d’o` son autre nom int´grale de flux. e u e Pour comprendre l’int´grale de surface, on d´compose la surface en surfaces infi- e e nit´simales ∆S1 , ∆S2 , . . . , ∆Sn . Ces surfaces ´tant petites, on assume que le champ e e passant au travers chacune est uniforme quoiqu’il peut ˆtre non-uniforme sur une plus e grande ´chelle. Si la surface est perpendiculaire aux champs (la normale a la surface est e ` parall`le), alors le flux sera maximal comme sur la figure 1.6(a). Au contraire, lorsque la e surface est parall`le aux lignes de champ, le flux sera nul (figure 1.6(b)). L’angle α entre e la normale ` la surface et la direction du champ est donc important d’o` la n´cessit´ de a u e e d´finir l’unit´ infinit´simale de surface vectorielle. Celle-ci poss`de deux caract´ristiques e e e e e essentielles a savoir son aire et son orientation dans l’espace : ` dS = dSan (1.18) o` an est un vecteur unitaire normal ` la surface dS. u a
- 18. 1-8 Notions de base F an ∆s F ∆s an (a) (b) Figure 1.6 – Diff´rents cas de l’int´grale de surface ou de flux. e e Fk an k αk ∆Sk Figure 1.7 – Division d’une surface en surfaces ´l´mentaires pour une int´grale de flux. ee e Ainsi, on obtient : n F · dS ≈ Fk ∆Sk cos αk (1.19) S k=1 o` αk est l’angle entre F k et la normale ` la surface ∆Sk comme il apparaˆ sur la figure u a ıt 1.7 . Exprimer l’´l´ment diff´rentiel de surface est la principale difficult´ de l’int´grale de ee e e e flux. Une fa¸on de proc´der qui fonctionne ` tout coup, consiste a param´triser la surface c e a ` e selon deux coordonn´es u et v : e F · dSan = F (r(u, v)) · N (u, v) dudv (1.20) S R avec R le nouveau domaine d’int´gration dans le plan uv, et : e r(u, v) = x(u, v)ax + y(u, v)ay + z(u, v)az (1.21) ∂r ∂r dS = × dudv . (1.22) ∂u ∂v N
- 19. 1.3 Int´grales deligne et de surface e 1-9 On peut aussi choisir deux longueurs infinit´simales orthogonales dl1 et dl2 situ´es e e dans la surface d’int´gration et ´crire : e e dS = dl1 × dl2 . (1.23) Attention cependant aux inter-relations entres toutes les coordonn´es si la surface n’est e parall`le ` aucun axe de coordonn´es. Dans le cas contraire, on a avantage a prendre e a e ` l’une des deux longueurs infinit´simales suivant l’axe parall`le (e.g. dzaz pour une surface e e verticale). Exemple 1.2 Soit la fonction F = 5xax + y 2 az . ◮ Faites l’int´grale de flux au travers la portion du plan x = 1 − 2y comprise e entre z = 0 et z = 3 dans le premier octant x, y, z > 0. z 3 1 y 1 x Figure 1.8 – Surface d’int´gration pour le calcul du flux. e On commence par trouver l’expression de l’´l´ment de surface. Pour ce faire, ee il suffit de multiplier vectoriellement deux vecteurs dl1 et dl2 se trouvant dans le plan. Ici, on pose : u = y v = z donc, on a selon (1.21) et (1.22) : r(u, v) = (1 − 2u)ax + uay + vaz N = (−2ax + ay ) × az dS = (2ay + ax )dudv .
- 20. 1-10 Notions de base L’int´gration de flux devient fonction uniquement des variables param´triques e e u et v : 3 0.5 F · dS = 5(1 − 2u)ax + u2 az · (2ay + ax ) dudv R 0 0 3 0.5 = 5(1 − 2u) dudv 0 0 0.5 u2 = 5(3) 2 −u = 15(0.25) = 3.75 . 2 0 On peut sauter l’´tape de param´trisation pour obtenir directement selon e e (1.23) : dl1 = dzaz dl2 = dxax + dyay = −2dyax + dyay a ` cause de la relation entre x et y telle que dx = −2dy. Donc : dS = dl1 × dl2 = dzaz × (dxax + dyay ) = −dxdzay + dydzax . Les bornes d’int´gration peuvent ˆtre en x (0 ≤ x ≤ 1) et en z ; ou en y e e (0 ≤ y ≤ 0.5) et en z. Le r´sultat sera le mˆme. Ainsi, on a : e e F · dS = 5xax + y 2 az · (−dxdzay + dydzax ) S S 3 0.5 = 5(1 − 2y)dydz 0 0 0.5 = 5(3) y − y 2 0 dz = 3.75 . Si la surface est ferm´e i.e. si elle d´limite un volume, l’int´grale de surface ferm´e e e e e donne le bilan du flux ´manant du volume. Les normales aux surfaces sont choisies en e pointant hors du volume pour que le flux quittant le volume soit positif tandis que celui entrant, n´gatif. Un bilan positif indique la pr´sence d’une source de flux a l’int´rieur e e ` e du volume. Par exemple, l’int´grale de surface du champ d’induction magn´tique B est e e appel´e flux magn´tique Ψ. Celui-ci peut ˆtre non-nul. Cependant, l’int´grale de surface e e e e ferm´e du champ d’induction magn´tique est toujours nulle car il n’existe pas de charge e e 5 magn´tique isol´e . e e 5 Une source magn´tique comprend toujours les deux pˆles, on ne peut s´parer le pˆle “positif” du e o e o “n´gatif”. e
- 21. 1.4 Th´or`mes deStokes et de Green e e 1-11 1.4 Th´or`mes de Stokes et de Green e e Par le th´or`me de Stokes, on peut faire le lien entre la circulation, l’int´grale de surface e e e et le rotationnel d’un champ comme suit : F · dl = ∇ × F · dS (1.24) C S o` S est une surface quelconque d´limit´e par le contour C. On ouvre ici une parenth`se u e e e pour annoncer que le th´or`me de Stokes sera particuli`rement utile pour convertir les e e e deux premi`res ´quations de Maxwell – les ´quations de Maxwell sont les ´quations fon- e e e e damentales de l’´lectromagn´tisme – et celle dite de continuit´ de la forme int´grale a la e e e e ` forme diff´rentielle. e 111 000 dSk 111 000 an an k 111 000 111 000 S 111 000 111 000 C C Figure 1.9 – R`gle de la main droite pour le th´or`me de Stokes. e e e Il existe malheureusement une ambigu¨ e sur le sens de la normale ` la surface tout ıt´ a comme sur le sens de l’int´gration sur le parcours ferm´. Pour lever l’ambigu¨ e, on se sert e e ıt´ de la r`gle bien connue de la main droite. Le sens d’int´gration d´termine par cette r`gle e e e e le sens de la normale comme montr´ sur la figure 1.9 . e De mˆme, le th´or`me de Green6 unit l’int´grale de surface ferm´e, l’int´grale de e e e e e e volume et la divergence : F · dS = ∇ · F dV (1.25) S V o` V est le volume d´limit´ par la surface ferm´e S. Encore une fois, tout comme le u e e e th´or`me de Stokes, le th´or`me de Green permettra de convertir les deux autres ´quations e e e e e de Maxwell restantes de la forme int´grale ` la forme diff´rentielle. e a e Pour utiliser les th´or`mes de Stokes ou de Green afin de passer de la forme int´grale e e e a ` diff´rentielle, le plus simple est de prendre un contour ferm´ formant une surface carr´e e e e dans le th´or`me de Stokes, ou une surface ferm´e formant un volume cube dans celui de e e e Green ; puis de faire tendre ce contour ou cette surface vers quelque chose d’infinit´simal. e Soit l’´galit´ suivante : e e F · dl = G · dS (1.26) C S 6 Le th´or`me de Green est aussi connu sous les noms de th´or`me de la divergence ou th´or`me de e e e e e e Gauss
- 22. 1-12 Notions de base d (x, y, z + ∆z) c e (x, y, z) z a b (x, y + ∆y, z) f g (x + ∆x, y, z) y x Figure 1.10 – Parcours rectangulaires et orthogonaux infinit´simaux pour faire le passage de e la forme int´grale ` la forme diff´rentielle. e a e avec les parcours ferm´s pr´sent´s sur la figure 1.10 i.e. abcda, adef a et af gba. On obtient e e e avec la partie gauche de l’´quation sur les 3 parcours : e F · dl = [Fy ](x,z) ∆y + [Fz ](x,y+∆y) ∆z − [Fy ](x,z+∆z)∆y − [Fz ](x,y) ∆z (1.27) abcda F · dl = [Fz ](x,y) ∆z + [Fx ](y,z+∆z) ∆x − [Fz ](x+∆x,y) ∆z − [Fx ](y,z) ∆x (1.28) adef a F · dl = [Fx ](y,z) ∆x + [Fy ](x+∆x,z)∆y − [Fx ](y+∆y,z) ∆x − [Fy ](x,z) ∆y (1.29) af gba D’autre part, on a respectivement avec la partie droite : G · dS = [Gx ](x,y,z) ∆y∆z (1.30) S[abcd] G · dS = [Gy ](x,y,z) ∆z∆x (1.31) S[adef ] G · dS = [Gz ](x,y,z) ∆x∆y (1.32) S[af gb] En r´unissant les ´quations qui vont ensemble (par exemple (1.27) avec (1.30) et ainsi de e e suite), on trouve que : ∆[Fz ](x,y) ∆[Fy ](x,z) − = [Gx ](x,y,z) (1.33) ∆y ∆z ∆[Fx ](y,z) ∆[Fz ](x,y) − = [Gy ](x,y,z) (1.34) ∆z ∆x ∆[Fy ](x,z) ∆[Fx ](y,z) − = [Gz ](x,y,z) (1.35) ∆x ∆y Avec des parcours infinit´simaux, il est facile de voir que les trois expressions ci-dessus e correspondent ` : a ∇×F = G (1.36)
- 23. 1.4 Th´or`mes deStokes et de Green e e 1-13 d c e h z a b f g y x Figure 1.11 – Boite rectangulaire infinit´simale pour le passage de la forme int´grale ` e e a diff´rentielle. e d´montrant ainsi que (1.26) et (1.36) sont ´quivalentes d’o` le th´or`me de Stokes. e e u e e Le passage avec Green est plus simple. Soit l’´galit´ suivante : e e F · dS = gdv (1.37) S V avec le volume V d´limit´ par les six surfaces du cubes de la figure 1.4. Les flux ´manant e e e de chacune des surface sont, en respectant le sens des parcours qui procure une normale sortant du volume (` ne pas oublier) : a F · dS = −[Fx ](x) ∆y∆z (1.38) [adcb] F · dS = [Fx ](x+∆x) ∆y∆z (1.39) [hef g] F · dS = −[Fy ](y) ∆z∆x (1.40) [af ed] F · dS = [Fy ](y+∆y) ∆z∆x (1.41) [hgbc] F · dS = −[Fz ](z) ∆x∆y (1.42) [abgf ] F · dS = [Fz ](z+∆z) ∆x∆y . (1.43) [hcde] Le cˆt´ droit de (1.37) donne simplement g∆x∆y∆z d’o` : oe u ∆Fx ∆Fy ∆Fz + + = g. (1.44) ∆x ∆y ∆z Avec un volume infinit´simal, le terme de gauche de l’´quation ci-dessus est la divergence e e de F donc : ∇·F = g (1.45) Cette derni`re expression est ce qui ressort du th´or`me de Green. En effet, en com- e e e parant (1.25) et (1.37), on s’aper¸oit tr`s vite que (1.45) d´coule naturellement. c e e
- 24. 1-14 Notions de base Exercices Question 1 En utilisant les phaseurs, exprimez la fonction suivante comme une seule fonction du temps cosinuso¨ıdale : 5 sin(ωt + 60◦ ) − 5 cos(ωt + 30◦ ) − 3 sin(ωt) . Question 2 ¯ Soit la fonction p´riodique A(t) = 5 cos(105 t − 30◦ ). Soit maintenant le phaseur B tel e ¯ ¯ ´ que le rapport avec A/B = 2∠15◦ . Ecrivez : a) le phaseur correspondant ` A(t) ; a b) l’expression de la fonction B(t). Question 3 √ Calculez l’int´grale curviligne sur le parcours x = y = e z entre le centre de coor- donn´es et le point (1, 1, 1) de la fonction : e F = 5zax + xyay + x2 zaz . Question 4 Calculez le flux ψ passant par la surface plane x + y + z = 1 limit´e par le premier e octant de la fonction : F = x2 ay + 3y 2az . R´ponses : e 1. 2 cos(ωt − 90◦ ). ¯ 2. a) A = 5∠ − 30◦ ; b) B(t) = 2.5 cos(105 t − 45◦ ). 1 3. 0 (5x2 + x2 + 2x5 )dx = 7/3. 1 1−v 4. N = ax + ay + az , ψ = 0 0 (u2 + 3v 2 )dudv = 1/3.
- 25. Chapitre 2 Les champset les mat´riaux e 2.1 Introduction Avant d’entreprendre une ´tude de l’´lectromagn´tisme, il convient de connaˆ les diff´- e e e ıtre e rents champs en pr´sence et leurs origines. Pour ce faire, il est plus pratique de com- e mencer avec les champs statiques. C’est aussi la mani`re historique de leur d´couverte. e e Du mˆme coup, il est opportun d’introduire les diff´rents mat´riaux et faire ressortir les e e e caract´ristiques int´ressantes face ` l’´lectromagn´tisme. e e a e e Au d´part, donc, on avait l’impression que l’´lectricit´ et le magn´tisme ´taient deux e e e e e notions distinctes. Dans les faits, le cas statique (on peut aussi inclure le cas quasi-statique) d´couple les deux effets de sorte que leurs affinit´s n’apparaissent pas. Il aura fallu des e e exp´riences plus avanc´es pour apercevoir les inter-relations et d´crire plus g´n´ralement e e e e e le comportement de ce qui sera appel´ l’´lectromagn´tisme. e e e Les premiers pionniers de l’´lectricit´ et du magn´tisme croyaient vraiment en deux e e e forces : Benjamin Franklin (1706-1790) qui ´tablit la loi de conservation de la charge, e Charles A. de Coulomb (1736-1806) qui mesura les forces ´lectriques et magn´tiques, e e Karl F. Gauss (1777-1855) qui ´non¸a le th´or`me de la divergence, Hans E. Oersted e c e e (1777-1851) qui d´couvrit que l’´lectricit´ pouvait produire du magn´tisme et, a l’inverse, e e e e ` Michael Faraday (1791-1867) trouva que le magn´tisme pouvait g´n´rer de l’´lectricit´, e e e e e Andr´ M. Amp`re qui r´alisa un sol´no¨ e e e e ıde. Il a fallu attendre James C. Maxwell (1831- 1879) pour comprendre que les deux notions n’en formaient qu’une. Heinrich Hertz (1857- 1894) qui fut le p`re de la radiodiffusion, et Guglielmo Marconi (1874-1937) ont d’ailleurs e appliqu´ les principes pour rayonner une onde ´lectromagn´tique. e e e On peut donc voir l’´lectricit´ et le magn´tisme comme un cas particulier de l’´lectro- e e e e magn´tisme dans laquelle la fr´quence du signal est tr`s faible pour ne pas dire nulle. e e e 2.2 Champ ´lectrique statique e Les concepts de base en ´lectricit´ reposent sur les observations faites des exp´riences e e e de Coulomb et d’Amp`re. Coulomb remarqua qu’il existait des charges de deux signes e oppos´s car il y avait, dans certains cas, attraction et dans d’autres cas, r´pulsion. Ces e e
- 26. 2-16 Les champs et les mat´riaux e charges sont si petites qu’on peut les assimiler ` des “points de charge”1 appel´es charges a e ponctuelles. F2 a12 R Q2 a21 F1 Q1 Figure 2.1 – Force ´lectrique qui s’exerce entre deux charges ´lectriques. e e Soient deux charges #1 et #2 telles que montr´es sur la figure 2.1, la force d’attraction e ou de r´pulsion produite par #2 qui agit sur #1 d´pend de l’importance des charges Q1 e e et Q2 , de la distance les s´parant R et du milieu selon : e Q1 Q2 F1 = a21 (2.1) 4πǫR2 o` u • Q1 et Q2 montrent l’importance des charges en terme de Coulombs ; la plus petite charge est celle d’un ´lectron soit −1.6022 × 10−19 C ; e • ǫ est la constante de proportionnalit´ qui tient compte du milieu, elle est appel´e e e permittivit´ et s’exprime en Farads/m`tre ; la permittivit´ du vide est not´e ǫo et a e e e e une valeur de : ǫo ≈ 8.854 × 10−12 F/m (2.2) soit approximativement 10−9 /36π ; • a21 est un vecteur unitaire orient´ suivant l’axe du segment partant de #2 vers #1. e D’une mani`re similaire ` celle du champ gravitationnel par rapport a la force gravi- e a ` tationnelle mais en utilisant la charge au lieu de la masse – le champ gravitationnel est la force produite par la masse #1 sur la masse #2 par unit´ de masse #2 –, on d´finit le e e champ ´lectrique E ` partir d’une charge de test q sur laquelle agit une force ´lectrique e a e F comme suit : F dF E = lim = (2.3) q→0 q dq La charge de test q doit ˆtre petite pour ne pas affecter le champ ´lectrique dans lequel elle e e est plac´e. Une charge ponctuelle Q produit donc un champ ´lectrique dont l’expression e e est : Qq d 4πǫR2 aR Q E = = aR . (2.4) dq 4πǫR2 1 Les charges sont localis´es ` un point pr´cis de l’espace et n’occupent aucun volume. e a e
- 27. 2.2 Champ ´lectriquestatique e 2-17 F q (x, y, z) → E(x, y, z) q a Q R (x, y, z) Figure 2.2 – Champ ´lectrique produit par une charge ponctuelle et mesur´ en un point par e e une charge test. Le vecteur unitaire aR est parall`le au segment passant par les deux charges en partant de e la charge test comme sur la figure 2.2. Les unit´s du champ ´lectrique sont les Volts/m`tre. e e e Une charge de 4πǫ C plac´e au point (3, 1, 1) m en coordonn´es cart´siennes produirait un e e e 1 champ E = 27 (ax + 2ay + 2az ) V/m au point (4, 3, 3) Q1 E3 E aR3 P E2 Q2 aR2 aR1 E1 Q3 Figure 2.3 – Champ ´lectrique r´sultant en pr´sence de plusieurs charges. e e e Avec plusieurs charges en pr´sence comme sur la figure 2.3, les forces sur la charge e test s’additionnent vectoriellement. De mˆme en est-il des champs ´lectriques produits e e par chacune des charges prises isol´ment, c’est le principe de superposition des champs. e Par exemple, pour n charges Q1 , Q2 , . . . , Qn , le champ ´lectrique obtenu au point P est : e Q1 Q2 Qn E = a + 2 R1 a + ... + 2 R2 a . 2 R (2.5) 4πǫR1 4πǫR2 4πǫRn n ` A la limite, avec une distribution d’une grande quantit´ de charges, on pr´f`re utiliser e ee les notions de densit´ de charges : e • densit´ lin´aire de charges ρl en C/m si les charges sont distribu´es sur une fine e e e ligne ;
- 28. 2-18 Les champs et les mat´riaux e • densit´ surfacique de charges ρs lorsque les charges sont r´parties sur une surface e e infiniment mince ; • densit´ volumique de charges ρv ou ρ tout simplement, dans le cas d’une distribution e dans l’espace. Il faut alors int´grer la densit´ de charges sur tout le domaine plutˆt que de sommer des e e o charges ponctuelles. Exemple 2.1 Deux charges ponctuelles dans le vide Q1 = 12πǫo C et Q2 = −4πǫo C sont situ´es respectivement aux coordonn´es cart´siennes (−2, 0, 0) et (1, 0, 0). e e e ◮ Calculez la valeur du champ ´lectrique au point (0, 0, 1) m. e z E1 P (0, 0, 1) Q1 E E 2 y Q2 x Figure 2.4 – Position des charges pour le calcul du champ ´lectrique. e On a de (2.5) : [E](0,0,1) = [E 1 ](0,0,1) + [E 2 ](0,0,1) 12πǫo (2ax + az ) 4πǫo (−ax + az ) = √ − √ 4πǫo (5) 5 4πǫo (2) 2 = (0.5367ax + 0.2683ay ) − (−0.3536ax + 0.3536ay ) = 0.8902ax − 0.0852az = 0.8943(0.9954ax − 0.0953az ) V/m On remarque que le champ ´lectrique pointe en s’´loignant de la charge posi- e e tive. Les lignes de champ ´lectrique partent toujours de la charge positive vers e la charge n´gative selon la convention utilis´e. e e
- 29. 2.2 Champ ´lectriquestatique e 2-19 Exemple 2.2 z α α (0, 0, z) φ r y rdφ x Figure 2.5 – G´om´trie de l’anneau mince avec distribution lin´ique uniforme de charges. e e e Un anneau infiniment mince d’un rayon r est charg´ avec une distribution e uniforme donnant une charge totale Q. La g´om´trie du probl`me est montr´e e e e e a la figure 2.5. ` ◮ Exprimez le champ ´lectrique au point (0, 0, z) m. e Au d´part, on sait que : e [E](0,0,z) = [dE](0,0,z) dQk = a 2 k 4πǫo Rk o` : u Q dQ = ρl (rdφ) = rdφ . 2πr Par des consid´rations de sym´trie, on remarque que chaque segment infi- e e ◦ nit´simal et son oppos´ de 180 sur l’anneau, donneront un champ ´lectrique e e e dont la seule composante non-nulle sera Ez . Or cette composante s’obtient comme suit : 2π Q 2π 2πr rdφ Q 1 [E](0,0,z) = 2 cos αk az = 2 cos αk dφ az 0 4πǫo Rk 0 4πǫo Rk 2π 2π Qz 1 = 2 + z 2 )3/2 2π dφ az 4πǫo (r 0 Qz = a . 2 + z 2 )3/2 z 4πǫo (r
- 30. 2-20 Les champs et les mat´riaux e avec Rk = R2 = r 2 + z 2 et cos αk = cos α = z/R. 2 ◮ De l`, exprimez le champ produit par une feuille mince infinie ayant une densit´ a e 2 de charge surfacique ρs C/m . z P (0, 0, z) r y dr x Figure 2.6 – Multitude d’anneaux minces produisant un plan avec distribution surfacique uni- forme de charges. On pourrait int´grer le r´sultat pr´c´dent en faisant varier r de 0 a l’infini pour e e e e ` trouver le champ produit par une plaque. Cependant, le valeur de Q varie en fonction de r comme Qr = ρs 2πrdr d’o` : u ∞ [E](0,0,z) = [dE](0,0,z) 0 ∞ ρs 2πrdr z = az 0 4πǫo (r 2 + z 2 )3/2 ρs z ∞ r = dr az 2ǫo 0 (r 2 + z 2 )3/2 ∞ √ −1 r 2 +z 2 0 ρs z = az . 2ǫo |z| Finalement, on observe que le champ ´lectrique a une amplitude ind´pendante e e de z car il vaut ρs /2ǫo partout. De plus, il est toujours orient´ selon la normale e a ` la feuille de part et d’autre de l’axe z. 2.3 Champ d’induction magn´tique statique e La loi d’Amp`re concerne les forces produites par des courants I1 et I2 circulant dans e des fils comme sur la figure 2.7 ; ce sont les forces magn´tiques. Un peu comme pour e l’´lectricit´, les observations des exp´riences d’Amp`re confirment que : e e e e
- 31. 2.3 Champ d’inductionmagn´tique statique e 2-21 I1 I2 dl1 a21 B2 dl2 dF 1 Figure 2.7 – Force magn´tique produite par un ´l´ment d’une boucle de courant agissant sur e ee un ´l´ment d’une autre boucle de courant. ee • la force d’un fil sur l’autre est proportionnelle au produit des deux courants ; • cette force diminue comme le carr´ de la distance ; e • la direction de la force produit par l’´l´ment dl2 et agissant sur l’´l´ment dl1 , not´e ee ee e dF 1 , est celle-ci : dl1 × (dl2 × a21 ) avec a21 un vecteur unitaire partant de dl2 vers dl1 ; • le milieu agit surtout s’il est ferreux. On aboutit ` : a µ dF 1 = I1 dl1 × I2 dl2 × a21 . (2.6) 4πR2 dB 2 La constante µ est la perm´abilit´ du milieu exprim´e en Henrys/m`tre. Celle du vide e e e e est not´e µo et vaut exactement : e µo = 4π × 10−7 H/m . (2.7) dF B dl B I Figure 2.8 – Force magn´tique exerc´e sur un ´l´ment de courant dans un champ d’induction. e e ee La forme de (2.6) sugg`re que chaque ´l´ment de courant subit une force qui origine e ee d’un champ produit par un autre ´l´ment de courant. On l’appelle le champ d’induction ee
- 32. 2-22 Les champs et les mat´riaux e magn´tique B exprim´ en Webers/m`tre2 ou Tesla. Le terme entre parenth`ses de (2.6) e e e e repr´sente dB 2 i.e. le champ d’induction produit par l’´l´ment dl2 . On peut g´n´raliser e ee e e ainsi pour d´finir la loi de Biot-Savart : e µ I dl × aR B = (2.8) l 4π R2 et, telle que sur la figure 2.8 : dF = I dl × B . (2.9) Puisque I = dQ , la force magn´tique qui s’exerce sur une charge ponctuelle Q en dt e mouvement s’´crit aussi : e dQ dl dF = dl × B = dQ × B = dQ v × B dt dt F = Qv ×B (2.10) L’´quation (2.10) est connue sous la loi de Lorentz (v est le vecteur vitesse de la charge e ´lectrique). e Exemple 2.3 Soit un ´l´ment de courant diff´rentiel I1 dxax ` (1, 0, 0) et un autre I2 dyay a ee e a ` (0, 1, 0). Le mat´riau environnant est le vide (µ = µo ). e ◮ Exprimez les forces de l’´l´ment #2 sur #1 et de l’´l´ment #1 sur #2. ee ee z √ aR = (ax − ay )/ 2 I2 dyay y I1 dxax x Figure 2.9 – Position des ´l´ments de courant pour le calcul de la force magn´tique. ee e µo (ax − ay ) dF 1 = (I1 dxax ) × I2 dyay × √ 4π(2) 2 I − √ dy az 2 2 µ o I1 I2 = √ dxdyay 8 2π 10−7 I1 I2 = √ dxdyay 8 µ o I1 dF 2 = (I2 dyay ) × √ dxaz 4π(2) 2 10−7 I1 I2 = √ dxdyax . 8
- 33. 2.3 Champ d’inductionmagn´tique statique e 2-23 Comme dF 2 = −dF 1 , on pourrait croire que la troisi`me loi de Newton est e viol´e. Qu’on se rassure, il n’en est rien car il n’existe pas d’´l´ments de courant e ee isol´s. La troisi`me loi tient toujours avec l’int´grale des forces sur deux boucles e e e enti`res de courant qui, elles, existent. On verrait alors que les forces totales e exerc´es l’une sur l’autre ont mˆme intensit´ mais des directions oppos´es. e e e e Exemple 2.4 Soit un fil infiniment long plac´ sur l’axe z qui transporte un courant I dans e la direction +z. ◮ Donnez l’expression du champ d’induction magn´tique en tout point de l’es- e pace. z B I B r aφ I r P (x, y, 0) y φ φ α R y dzaz aR x x Figure 2.10 – G´om´trie pour calcul du champ d’induction produit par un fil de courant. e e Le plus simple est de prendre un point dans le plan xy – le fil ´tant infiniment e long, la position z ne devrait pas avoir d’importance – en coordonn´es cylin- e driques, comme sur la figure 2.10. On applique la loi de Biot-Savart (2.8) et le principe de superposition des champs. L’induction magn´tique produit par e un ´l´ment de courant I dz ` (0, 0, z) est : ee a µ I dz az × aR [dB](r,φ,0) = 4π R2 µI dz sin α = aφ 4πR2 µIr dz = aφ 4π(z 2 + r 2 )3/2
- 34. 2-24 Les champs et les mat´riaux e puisque R2 = r 2 +z 2 et sin α = r/R. Le champ d’induction magn´tique produit e par tout le fil vaut donc : ∞ [B](r,φ,0) = [dB](r,φ,0) −∞ ∞ µIr z = √ aφ 4π r 2 z2 + r2 −∞ µI = aφ . 2πr Le calcul du champ d’induction fait dans l’exemple pr´c´dent assume un courant e e “filiforme” i.e. un courant qui se d´place le long d’un fil infiniment mince. Il existe deux e autres types de distributions de courant moins localis´es : e • Le courant de surface qui circule sur une ´paisseur infime a la surface d’un corps e ` – souvent conducteur – est comparable ` l’eau de pluie qui tombe en bordure d’un a toit lors d’une averse. On lui associe une densit´ de courant de surface J s exprim´e e e en A/m. • Le courant de volume passant au travers une section se compare a la pluie qui ` passe par une ouverture. La densit´ de courant volumique, ou simplement densit´ e e 2 de courant, J est en A/m . On remarque que les densit´s de courant sont des quantit´s vectorielles qui pointent e e dans la direction du mouvement des charges (positives) produisant le courant. L’int´gration e le long d’un parcours perpendiculaire ` la direction de J s donne le courant total I ; de a mˆme que l’int´gration sur une surface perpendiculaire ` J . Si le parcours ou la surface e e a n’est pas perpendiculaire en tout point, il faudra en tenir compte par le biais du cosinus du changement d’angle. Par exemple, le courant I pour les cas de la figure 2.11 vaut Js w et Jπa2 si les densit´s de courant sont uniformes sur la largeur et sur la section e respectivement. J Js a w Figure 2.11 – Densit´s de courant de surface et de volume. e
- 35. 2.3 Champ d’inductionmagn´tique statique e 2-25 Exemple 2.5 Soit une feuille mince infinie dans le plan xz parcourue par un courant de surface uniforme J s = Jso az A/m. ◮ Donnez l’expression du champ d’induction magn´tique en tout point de l’es- e pace. z dI 2 dx dI 1 dx x dB dB 1 x α α dB 2 α α y x Figure 2.12 – G´om´trie pour calcul du champ d’induction produit par une feuille mince de e e courant uniforme. Le mieux ` faire ici est de prendre des bandelettes verticales ´troites de largeur a e dx et de se servir du r´sultat du champ produit par un courant “filiforme”. e On peut prendre un point sur l’axe y (0, y, 0) parce que la position en x et en z n’a aucune importance du fait d’une feuille infinie dans ces deux axes. En regardant le champ d’induction produit par chaque bande, on s’aper¸oit c que le champ n’aura que des composantes en x et en y – puisque B = Bφ aφ . On peut, encore une fois, simplifier le travail en prenant simultan´ment deux e bandelettes situ´es ` ´gale distance de l’axe z : maintenant, c’est la composante e ae By qui devient nulle : [dB](0,y>0,0) = −2 dB1 cos α ax µJso dx y = −2 ax 2π x 2 + y2 x2 + y2 µJso y dx = − ax . π(x2 + y 2)
- 36. 2-26 Les champs et les mat´riaux e Le champ d’induction magn´tique produit par la feuille enti`re devient : e e ∞ [B](0,y>0,0) = [dB](0,y>0,0) 0 µJso y ∞ dx = − 2 a 2 x π 0 x +y ∞ µJso y 1 x = − arctan ax π y y 0 µJso = − ax . 2 De mani`re g´n´rale, autant dans le demi-espace y > 0 que y < 0, on ´crit : e e e e µ B = J s × an 2 o` an est la normale ` la feuille de courant du cˆt´ du demi-espace consid´r´. u a oe ee 2.4 Conducteur et conductivit´ e Les mat´riaux sont constitu´s d’atomes, chacun ayant un noyau de protons (charges po- e e sitives) et neutrons autour duquel gravite les ´lectrons (charges n´gatives). Un ion est un e e atome dont le nombre de charges positives diff`re de celui des charges n´gatives. e e Certains ´lectrons se situent dans des bandes d’´nergie telles qu’ils peuvent se d´placer e e e d’un atome ` l’autre. Ce sont des ´lectrons libres par opposition a la majorit´ qui eux, a e ` e sont intimement li´s au noyau. La capacit´ d’un ´lectron libre de se d´placer d’un atome e e e e a ` l’autre – sa mobilit´ – d´pend du type de mat´riau. Lorsqu’un grand nombre d’´lectrons e e e e mobiles est impliqu´, le mat´riau est conducteur. Par contre, il existe des mat´riaux o` e e e u vraiment tr`s peu d’´lectrons sont disponibles pour participer ` la conduction. Ce sont e e a des isolants aussi appel´s di´lectriques. Entre les deux extrˆmes se trouvent les semi- e e e conducteurs o` , avec un niveau d’´nergie minimal, des ´lectrons li´s peuvent devenir u e e e libres en passant par dessus une bande d’´nergie interdite. Cette derni`re est, pour les e e semi-conducteurs, plus ´troite que celle pour les di´lectriques, ce qui explique la possibilit´ e e e plus ´lev´e qu’un ´lectron devienne libre. Sur la figure 2.13, on observe les bandes d’´nergie e e e e selon le type de mat´riau. On y observe que la bande ` ´nergie minimale des conducteurs e ae n’est pas compl`tement remplie contrairement aux autres. e Sans entrer dans les d´tails, la vitesse de mobilit´ des ´lectrons libres v e est propor- e e e tionnelle ` une constante µe pr`s, au champ ´lectrique appliqu´ : a e e e v e = −µe E . (2.11) Le courant ´lectrique r´sultant du mouvement des ´lectrons sera d’autant plus grand que e e e la vitesse de ces ´lectrons est ´lev´e car : e e e ∆Q = Ne q(∆S)(vd ∆t) (2.12) |∆Q| I = = Ne |q|ve ∆S (2.13) ∆t
- 37. 2.5 Di´lectrique etchamp de d´placement e e 2-27 E Bande permise disponible Bande interdite Bande permise Conducteur Semi−conducteur Isolant Figure 2.13 – Diagramme des bandes d’´nergie pour diff´rent type de mat´riau. e e e Mat´riau e σ [ S/m] Mat´riau e σ [ S/m] argent 6.1 × 107 eau de mer 4 cuivre 5.8 × 107 germanium 2.2 or 4.1 × 107 silicium 1.6 × 10−3 aluminium 3.5 × 107 eau fraˆ ıche 10−3 tungst`ne e 1.8 × 107 terre s`che e 10−5 fer 4.8 × 106 bakelite 10−9 mercure 1.0 × 106 verre 10−10 − 10−14 Table 2.1 – Conductivit´ de certains mat´riaux. e e o` Ne est le nombre d’´lectrons libres par m`tre cube ; q, la charge de l’´lectron et ∆S, la u e e e section consid´r´e. Ainsi la quantit´ Ne |q|ve permet une relation directe entre la densit´ ee e e de courant de conduction, not´e J c et le champ ´lectrique E. C’est la conductivit´ σ e e e exprim´e en Siemens/m`tre ou mhos/m`tre : e e e Jc = σ E . (2.14) Le tableau 2.1 contient diff´rentes valeurs de conductivit´ selon les mat´riaux. e e e 2.5 Di´lectrique et champ de d´placement e e Il a ´t´ dit que le champ ´lectrique produit par une charge d´pend du milieu via la ee e e permittivit´ ǫ. Si le milieu est le vide, alors la permittivit´ est ǫo mais, dans un di´lectrique, e e e il existe des atomes constitu´s de charges positives et n´gatives li´es ensemble. Sous l’effet e e e du champ ´lectrique, ces atomes deviennent polaris´s i.e. le nuage d’´lectrons de l’atome e e e a tendance a ˆtre d´centr´ cr´ant ainsi un dipˆle ´lectrique comme sur la figure 2.14. ` e e e e o e L’intensit´ du dipˆle est d´finie par le moment dipolaire ´lectrique p donn´ par : e o e e e p = Qd (2.15)
- 38. 2-28 Les champs et les mat´riaux e E P P P d −Q +Q P P Figure 2.14 – Effet de la polarisation et moment dipolaire. o` d est le vecteur de d´placement entre le centre du nuage des charges n´gatives et le u e e 2 noyau positif, chaque charge ayant Q Coulombs. Sur l’ensemble des atomes du milieu, P , le vecteur de polarisation, est la somme vectorielle des moment dipolaires par unit´ e de volume. Bien sur, le vecteur de polarisation en C/m2 varie d’un mat´riau a l’autre mais est e ` directement proportionnel au champ ´lectrique ambiant dans le di´lectrique E via la e e susceptibilit´ ´lectrique χe : ee P = ǫo χe E . (2.16) La polarisation est telle qu’elle induit un champ secondaire E s s’opposant au champ ´lectrique responsable de sa cr´ation. Le champ ambiant dans le di´lectrique E est donc e e e plus faible dans un mat´riau que dans le vide ; ceci est d’autant plus vrai lorsque le e mat´riau se polarise facilement. Or le champ ambiant est la superposition du champ e appliqu´ E a (qui ne tient pas compte de la polarisation comme dans le vide) et du champ e secondaire E s r´sultant de la polarisation P , ce dernier ´tant lui-mˆme fonction du champ e e e ambiant. Comme le champ ambiant est plus faible, le champ secondaire de polarisation devient moins fort d’o` une augmentation du champ ambiant et ainsi de suite jusqu’` u a ´quilibre. Dans le but d’´liminer la connaissance explicite de P , on d´finit une nouveau e e e champ vectoriel D appel´ le champ de d´placement : e e D = ǫo E + P (2.17) = ǫo (1 + χe ) E (2.18) ǫr = ǫE (2.19) avec ǫ = ǫo ǫr . (2.20) La quantit´ ǫr s’appelle la constante di´lectrique. La table 2.2 donne quelques valeurs e e de constante di´lectrique ; on s’aper¸oit qu’elle est toujours sup´rieure a l’unit´ de sorte e c e ` e que ǫ ≥ ǫo . Ainsi, il suffit d’utiliser la permittivit´ ǫ dans les ´quations pour tenir compte e e de la polarisation automatiquement. Quant au champ de d´placement D, il a les mˆmes e e 2 On consid`re ici un mat´riau neutre ´lectriquement, ce qui veut dire que la charge totale est nulle. e e e
- 39. 2.6 Mat´riau magn´tiqueet champ magn´tique e e e 2-29 Mat´riau e ǫr Mat´riau e ǫr air 1.0006 nylon 3.5 styromousse 1.05 quartz 4-5 papier 2-3 bakelite 5 bois 2-4 mica 6 teflon 2.1 n´opr`ne e e 6.8 polystyr`ne e 2.6 glyc´rine e 42-50 plexiglass 3-3.5 eau 81 sol 3-5 rutile (T iO2 ) 90-115 Table 2.2 – Constante di´lectrique de quelques mat´riaux. e e unit´s que la polarisation i.e. C/m2 . L’avantage du champ de d´placement D est son e e ind´pendance face au mat´riau dans lequel on le mesure ; il ne d´pend que des charges e e e en pr´sence. Ainsi, le champ ´lectrique produit par une configuration de charges vaut e e D/ǫo dans le vide et D/(ǫr ǫo ) dans un di´lectrique de constante ǫr . Comme ǫr ≥ 1, il e s’ensuit que le champ ´lectrique dans le di´lectrique est toujours plus faible (` la limite e e a ´gal) ` celui qui aurait ´t´ obtenu dans le vide, cons´quence directe de l’opposition de la e a ee e polarisation au champ appliqu´. e La mol´cule d’eau, ` cause de sa g´om´trie asym´trique, se polarise facilement. Les e a e e e deux atomes d’hydrog`ne sont reli´s ` l’atome d’oxyg`ne en formant un angle de 104.45◦ . e e a e Pour un mat´riau di´lectrique isotrope , la permittivit´ est un scalaire4 . La direc- e e 3 e tion du champ de d´placement est alors la mˆme que celle du champ ´lectrique car la e e e polarisation suit aussi la mˆme orientation. e 2.6 Mat´riau magn´tique et champ magn´tique e e e Jusqu’` pr´sent, les r´ponses aux champs ´lectriques ont ´t´ couvertes pour les mat´riaux a e e e ee e conducteurs et di´lectriques. Les mat´riaux magn´tiques ont eux un comportement reli´s e e e e au champ d’induction magn´tique B. Dans la structure atomique, on rel`ve les particu- e e larit´s suivantes : e • Les ´lectrons et le noyau tournent autour d’un axe qui lui est propre, c’est le spin, un e mouvement quantique qui donne un mouvement cin´tique ` l’´lectron et le noyau. e a e Cependant, ´tant donn´e la masse du noyau, son spin a une vitesse angulaire beau- e e coup plus faible d’o` une importance beaucoup moindre que celui d’un ´lectron. u e • Les ´lectrons poss`dent aussi une quantit´ de mouvement qui les font d´crire une e e e e 6 orbite autour du noyau – la vitesse de l’´lectron est de l’ordre de 10 m/s. Cette e 3 Un mat´riau est dit isotrope si la caract´ristique (la permittivit´ pour un di´lectrique ou la conducti- e e e e vit´ pour un conducteur) reste la mˆme quelle que soit l’orientation du champ (le champ ´lectrique dans e e e le cas de la conductivit´ ou de la permittivit´) dans l’espace. e e 4 Pour les mat´riaux anisotropes, qui ne sont pas consid´r´s dans le cadre de ce cours, la permittivit´ e e e e est une matrice 3 × 3 appel´e tenseur de permittivit´ : D = ǫE. e e
- 40. 2-30 Les champs et les mat´riaux e orbite ne peut ˆtre d´termin´e avec exactitude selon le principe d’incertitude. Elle e e e n’est donc pas forc´ment circulaire, loin de l`. Mais, ce mouvement fournit un autre e a mouvement cin´tique dit orbital. Dans un mod`le simpliste (qui ne respecte pas e e en tout point la th´orie quantique) mais tout-`-fait satisfaisant pour d´crire la e a e magn´tisation, le mouvement orbital peut se mod´liser par une orbite circulaire e e centr´e sur le noyau. e Le spin des ´lectrons et leur mouvement orbital sont tous deux responsables d’un effet e de magn´tisation car le spin et le mouvement orbital s’apparentent a un mouvement de e ` charge ´lectrique : ils peuvent ˆtre consid´r´s comme autant de boucles de courant a des e e ee ` dimensions sub-atomiques et atomiques respectivement qui se superposent pour former une boucle de courant ´quivalente par atome. Le rapport de l’effet magn´tique du spin a e e ` celui du mouvement orbital s’appelle le facteur g de l’´lectron ; il vaut 2 pratiquement (la e l´g`re diff´rence s’explique par la th´orie ´lectrodynamique quantique. e e e e e La boucle ´quivalente pour chaque atome, forme un moment dipolaire magn´tique m, e e l’analogue du moment dipolaire ´lectriques p, avec : e m = IAan . (2.21) Dans cette ´quation, I est le courant circulant dans la boucle ; A est l’aire d´limit´e par e e e la boucle et an , la normale au plan de la boucle suivant la r`gle de la main droite. e A électron I m Figure 2.15 – Effet de la magn´tisation et moment dipolaire magn´tique. e e La figure 2.15 illustre un moment dipolaire magn´tique. Il faut voir le moment dipo- e laire sous deux ´chelles : celle au niveau atomique et l’autre, macroscopique. Sur cette e derni`re ´chelle, on d´finit le vecteur de magn´tisation M 5 comme la somme des moments e e e e dipolaires magn´tiques de chaque atome par unit´ de volume ou densit´ volumique du e e e moment dipolaire magn´tique r´sultant. e e Dans la plupart des mat´riaux, les orbites et spins de tous les ´lectrons sont dis- e e pos´es de mani`re assez al´atoire de sorte que le moment magn´tique net de l’atome est e e e e nul. En effet, pour ces mat´riaux, sans champ d’induction magn´tique appliqu´, les spins e e e autant que les plans orbitaux sont dispos´es de mani`re quelconque de sorte que le mo- e e ment magn´tique net de l’atome est nul lorsqu’on en fait la somme vectorielle. Un champ e d’induction magn´tique externe produit un torque qui induit un moment dipolaire en e 5 On peut voir encore ici, une analogie avec le vecteur de polarisation P .
- 41. 2.6 Mat´riau magn´tiqueet champ magn´tique e e e 2-31 Mat´riau e Groupe µr Mat´riau e Groupe µr bismuth diamag. 0.99983 cobalt ferromag. 250 argent diamag. 0.99998 nickel ferromag. 600 cuivre diamag. 0.999991 acier doux (0.2 C) ferromag. 2000 eau diamag. 0.999991 fer ( 0.2 impuret´) e ferromag. 5000 vide non-mag. 1 mum´tal (18 F e, 75 Ni, 5 Cu, 2 Cr) e ferromag. 100,000 air paramag. 1.0000004 fer purifi´ (0.05 impuret´) e e ferromag. 200,000 aluminium paramag. 1.00002 supermalloy (15 F e, 5 M o, 79 Ni) ferromag. 1,000,000 Table 2.3 – Perm´abilit´ relative de quelques mat´riaux. e e e changeant l’angle des spins ou les plans orbitaux. C’est le diamagn´tisme. Les mat´riaux e e paramagn´tiques sont ceux o` les atomes individuels poss`dent un moment dipolaire net e u e non-nul mˆme en l’absence de champ d’induction. Cependant, le moment net de chaque e atome est orient´ al´atoirement et, sur l’´chelle macroscopique, la magn´tisation est nulle. e e e e L’application d’un champ d’induction magn´tique aligne dans une certaine mesure, les e moments dipolaires nets des atomes dans une direction privil´gi´e. Les mat´riaux ferro- e e e 6 magn´tiques peuvent mˆme exhiber une magn´tisation permanente avec ou sans champ e e e d’induction. ´ Evidemment, toujours de mani`re similaire au cas du champ ´lectrique dans un mat´- e e e riau di´lectrique, le champ d’induction appliqu´ B a (qui ne tient pas compte de la magn´- e e e tisation) provoque un champ d’induction secondaire B s provenant de la magn´tisation e M . Cette magn´tisation est d´pendante du champ ambiant dans le mat´riau B constitu´ e e e e de la superposition du champ appliqu´ B a et du champ secondaire B s . La cr´ation du e e champ magn´tique H ´vite le calcul de la magn´tisation : e e e B H = −M (2.22) µo B = (2.23) µo (1 + χm ) µr B = (2.24) µ avec µ = µo µr . (2.25) La quantit´ µ est la perm´abilit´ et µr , la perm´abilit´ relative. La perm´abilit´ permet e e e e e e e de tenir compte des effets de magn´tisation en utilisant µ plutˆt que µo dans un mat´riau e o e magn´tique. Le champ magn´tique H en Amp`res/m`tre est directement li´ a la densit´ e e e e e` e surfacique de courant responsable des effets magn´tiques, sans r´f´rence a la nature du e ee ` mat´riau. e 6 Il s’agit principalement du fer, du cobalt, du nickel et de quelques terres rares, de leurs alliages, compos´s et oxydes. e
- 42. 2-32 Les champs et les mat´riaux e Un regard sur le tableau 2.3, montre qu’il est possible d’avoir une perm´abilit´ relative e e l´g`rement plus faible que l’unit´ pour les diamagn´tiques ou a peine sup´rieur a l’unit´ e e e e ` e ` e pour les paramagn´tiques. On consid`re toutefois l’effet insuffisant de sorte qu’on les e e assimile davantage ` des mat´riaux non-magn´tiques. Les mat´riaux ferromagn´tiques a e e e e sont dits magn´tiques car leur perm´abilit´ relative atteint facilement plusieurs ordres de e e e grandeur. Le champ magn´tique H pointe, pour les mat´riaux isotropes magn´tiques, dans la e e e 7 mˆme direction que B ; donc µ est un scalaire . e B relation linéaire B = µH rémanence coercivité H Figure 2.16 – Courbe d’hyst´r´sis typique pour un mat´riau ferromagn´tique. ee e e Un dernier mot sur le magn´tisme. Les mat´riaux ferromagn´tiques pr´sentent une e e e e courbe d’hyst´r´sis laquelle prouve que la relation B − H est souvent complexe. Cette ee relation devrait apparaˆ comme une droite mais, pour ces mat´riaux, µ est non lin´aire ıtre e e i.e. fonction de l’amplitude du champ magn´tique. Plus encore, il existe une r´manence e e (m´moire) qui fait que le mat´riau se souvient de son ´tat pr´c´dent et qu’il r´agit e e e e e e diff´remment au modification du champ magn´tique. Le mat´riau est alors magn´tis´ e e e e e et devient un aimant permanent ` moins qu’on applique sur lui un champ inverse intense. a La figure 2.16 montre l’allure de la relation B − H caract´ristique pour les mat´riaux e e ferromagn´tiques. e 7 Les mat´riaux anisotropes magn´tiques ne sont pas consid´r´s dans le cadre de ce cours, la relation e e e e s’´crit alors B = µH o` µ est une matrice 3 × 3 appel´e tenseur de perm´abilit´. e u e e e
- 43. 2.6 Mat´riau magn´tiqueet champ magn´tique e e e 2-33 Exercices Question 1 √ Des charges ponctuelles, chacune d’une valeur de 4πǫo C, sont situ´es sur les sommets e d’un polygone r´gulier ` n-cˆt´s inscrit dans un cercle de rayon a. Trouvez l’amplitude de e a oe la force ´lectrique agissant sur chacune des charges pour : e a) n = 3 ; b) n = 4. Question 2 Des feuilles planes infinies sont plac´es ` z = 0, z = 2 et z = 4. Ces feuilles sont e a uniform´ment charg´es avec les densit´s surfaciques ρs1 , ρs2 et ρs3 respectivement. Les e e e champs ´lectriques r´sultants aux points (3, 5, 1), (1, −2, 3) et (3, 5, 5) valent 0, 6az et e e 4az V/m respectivement. D´duisez : e a) les valeurs des densit´s de charges ρs1 , ρs2 et ρs3 ; e b) le champ ´lectrique ` (−2, 2, −6). e a Question 3 Soit un disque circulaire de rayon a centr´ dans le plan xy. Sur ce disque est distribu´e e e une charge dont la densit´ surfacique varie suivant r comme : e ρs (r) = 4πǫo r C/m2 . Exprimez le champ ´lectrique produit par le disque en tout point sur l’axe z. e Question 4 Une charge volumique distribu´e uniform´ment avec une densit´ ρo C/m3 entre les e e e plans z = −a et z = a. En utilisant le principe de superposition et le r´sultat du champ e ´lectrique produit par une feuille de charges surfaciques, exprimez le champ ´lectrique sur e e l’axe z. Question 5 Soient un courant I1 dl1 = I1 dyay passant par (1, 0, 0) et un courant I2 dl2 = I2 dxax passant par (0, 1, 0). Trouvez les ´l´ments de forces magn´tiques dF 1 et dF 2 agissant l’une ee e sur l’autre. Question 6 Des courants de surfacique existent sur des feuilles planes infinies plac´es a x = 0, e `
- 44. 2-34 Les champs et les mat´riaux e y = 0 et z = 0. Les densit´s de courant sont respectivement de Jsoaz , 2Jsoax et −Jso ax e A/m. Trouvez la valeur des champs d’induction magn´tique aux points suivants : e a) (1, 2, 2) ; b) (2, −2, −1). Question 7 Un courant de volume circule entre les plans z = −a et z = a avec une densit´ uniforme e 2 Jo ax A/m . En utilisant le principe de superposition et le r´sultat du champ d’induction e magn´tique produit par une feuille de courant de surface, exprimez le champ d’induction e magn´tique sur l’axe z. e Question 8 Une boucle circulaire d’un rayon a est centr´e dans le plan xy. Sur cette boucle circule e un courant I dans le sens horaire tel que vu du point (0, 0, 1) i.e. dans le sens des valeurs d´croissantes de φ. D´rivez l’expression de B produit par la boucle de courant en tout e e point sur l’axe z. Question 9 Soient des feuilles planes infinies avec des densit´s de charges uniformes de 1 µC/m2 e 2 et −1 µC/m , plac´es ` z = 0 et z = d respectivement. La r´gion entre les deux plans e a e 0 < z < d est remplie d’un di´lectrique. Trouvez les valeurs de D et de E dans le e di´lectrique si : e a) le di´lectrique est de l’air ; e b) la permittivit´ vaut 4ǫo . e Question 10 Une charge ponctuelle Q est situ´e ` l’origine d’un syst`me de coordonn´es. Cette e a e e charge est envelopp´e par une coquille sph´rique de rayon interne a et de rayon externe b e e centr´e sur la charge. La coquille est faite d’un di´lectrique de constante ǫr = 4. Exprimez e e les champs de d´placement et ´lectrique dans les trois r´gions : 0 < r < a, a < r < b et e e e r > b. Question 11 Des courants circulent sur deux feuilles planes infinies situ´es a z = 0 et z = d avec des e ` densit´s de 0.1 ay A/m et −0.1 ay A/m respectivement. La r´gion entre les deux feuilles e e 0 < z < d est constitu´e d’un mat´riau magn´tique. Trouvez les valeurs de H et de B e e e dans le mat´riau si : e a) le mat´riau est de l’air ; e
- 45. 2.6 Mat´riau magn´tiqueet champ magn´tique e e e 2-35 b) la perm´abilit´ vaut 100µo . e e R´ponses : e 1. a) 0.577/a2 N ; b) 0.957/a2 N. 2. a) ρs1 = 4ǫo C/m2 , ρs2 = 6ǫo C/m2 , ρs3 = −2ǫo C/m2 ; b) [E](−2,2,−6) = −4az V /m. √ a+ a2 +z 2 √ a 3. [E](0,0,z) = 2πz ln z − a2 +z 2 az . −(ρo a/ǫo )az z < −a 4. [E](0,0,z) = (ρ z/ǫ )a −a < z < a o o z (ρo a/ǫo )az z>a . 5. dF 1 = − µ8o√2π2 dxdyax , dF 2 = − µ8o√2π2 dxdyay . I1 I I1 I 6. a) µo Jso (ay + az ) W b/m2 ; b) −µo Jso az W b/m2 . (µo Jo a)ay z < −a 7. [B](0,0,z) = −(µo Jo z)ay −a < z < a −(µo Jo a)ay z>a. 2 8. [B](0,0,z) = − µ2I (a2 +z 2 )3/2 az W b/m2 . o a 9. a) D = 10−6 az C/m2 , E ≈ 36000πaz V /m ; b) D = 10−6 az C/m2 , E ≈ 9000πaz V /m. Q 4πǫ r2 r < a o Q Q 10. D = 4πr2 ar partout ; E = a<r<b 16πǫo r2 Q 4πǫo r 2 r>b 11. a) H = 0.1 ax A/m, B = 4π × 10−8 ax W b/m2 ; b) H = 0.1 ax A/m, B = 4π × 10−6 ax W b/m2 .
- 47. Chapitre 3 Les loisde Maxwell 3.1 Introduction Les lois de Maxwell, au nombre de quatre, sont les ´quations qui d´finissent enti`rement e e e le comportement de l’´lectromagn´tisme, autant dans le cas statique, quasi-statique que e e pour les signaux variant dans le temps. Elles ont ´t´ formul´es dans un trait´ publi´ ee e e e en 1867 (facile ` retenir pour les nationalistes, il s’agit de la mˆme ann´e que la mort de a e e l’´crivain Baudelaire). Lord James Clerk Maxwell a d´riv´ les expressions des observations e e e des exp´riences de Michael Faraday datant de 1831 d’une part, et d’une combinaison des e r´sultats de Hans Oersted et d’Andr´ Amp`re d’autre part. e e e Ces lois, malgr´ les bouleversements dans ce domaine par la th´orie de la relati- e e vit´, restent toujours valides int´gralement dans toutes circonstances entourant les ondes e e ´lectromagn´tiques. Petite anecdote en passant, Albert Einstein avait deux portraits dans e e son bureau de Princeton : celui de Newton et celui de Maxwell ! Sa th´orie ne devait sans e doute pas aller contre un de ses gourous... Les deux premi`res ´quations de Maxwell sont aussi connus sous les noms de ces pion- e e niers de l’´lectromagn´tisme : Faraday et Amp`re. Elles sont les deux principales a partir e e e ` desquelles il est possible de d´duire toutes les autres et de l`, tout l’´lectromagn´tisme du e a e e cas statique au rayonnement par les antennes. 3.2 Loi de Faraday L’´quation de Faraday constitue la premi`re ´quation, elle d´coule de la d´couverte e e e e e exp´rimentale de Michael Faraday en 1831. Un champ magn´tique variant donne nais- e e sance a un champ ´lectrique. L’exp´rience consistait ` mesurer le voltage aux bornes d’une ` e e a (ou plusieurs) boucle de fil plac´e dans un champ magn´tique. Une force ´lectromotrice e e e f em apparaissait d`s que la boucle changeait d’aspect ou d`s que le champ magn´tique e e e variait dans le temps.
- 48. 3-38 Les lois de Maxwell S B C dS Figure 3.1 – Illustration de la loi de Faraday. Sous forme math´matique, la loi de Faraday s’´crit : e e d E · dl = − B · dS (3.1) C dt S f em o` S est la surface d´limit´e par le contour ferm´ C tel que cela apparaˆ a la figure 3.1 u e e e ıt ` En mots, toute variation du flux magn´tique, provoque une force ´lectromotrice ; le e e flux magn´tique [Ψ]s , exprim´ en Webers, ´tant d´fini comme suit : e e e e [Ψ]s = B · dS . (3.2) S Les points int´ressants ou ` consid´rer suivent : e a e • On doit observer la r`gle de la main droite pour choisir le sens d’int´gration du e e parcours et le sens de la normale ` la surface. a • Toute surface S d´limit´e par C convient pour faire le calcul du flux magn´tique1 ; e e e le r´sultat n’en sera pas affect´. On a alors avantage a r´fl´chir sur le choix de la e e ` e e surface car certaines pourront faciliter le travail. • Le signe n´gatif vient de la loi de Lenz qui dit que la f em est telle que le courant e produit tend ` s’opposer au changement du flux magn´tique qui l’a engendr´. Un flux a e e entrant et augmentant dans le temps induit une f em qui produit un flux sortant ; un flux entrant et diminuant dans le temps induit une f em qui produit un flux entrant. • Si le parcours C est constitu´ de plusieurs tours de fil – N tours – alors la surface S e prend l’allure d’une h´lico¨ comme sur la figure 3.2 (N = 2), le flux est coup´ N e ıde e fois par la surface et la f em s’en trouve multipli´e par N comparativement a celle e ` produite par un seul tour : dΨ f em = −N (3.3) ↑ dt . 1 En effet, pour avoir une int´grale de surface d´pendant uniquement des limites, il suffit que la diver- e e gence de l’int´grande soit nulle. On verra plus tard que ∇ · B = 0. e
- 49. 3.2 Loi deFaraday 3-39 A ′ B B′ A A′ B B′ A Figure 3.2 – Principe de la boucle constitu´e de 2 tours. e Ce principe est largement utilis´ en ´lectrotechnologie pour la construction des trans- e e formateurs, des g´n´ratrices (ou moteurs) par exemple. On s’en sert aussi pour les e e mini-antennes boucles dans les r´cepteurs radio. e Exemple 3.1 y C B = B(t)az b 0 0 a x Figure 3.3 – Parcours rectangulaire dans un champ d’induction variant. Soit un champ d’induction B = Bo cos ωt az o` Bo est une constante. u ◮ Exprimez la f em induite sur le parcours rectangulaire illustr´ ` la figure 3.3 ea dans le sens anti-horaire. La surface choisie est la portion du plan xy ` l’int´rieur du cadre. L’unit´ a e e diff´rentielle de surface est donc dS = dx dyaz en accord avec la r`gle de la e e main droite. Donc ; b a Ψ = B · dS = Bo cos ωt az · dx dy az S 0 0 = abBo cos ωt ´ Evidemment, le r´sultat aurait pu ˆtre d´duit rapidement car le champ est e e e uniforme dans la surface d’aire ab. La f em induite sur le parcours est : dΨ d f em = − = − (abBo cos ωt) dt dt = abBo ω sin ωt .
- 50. 3-40 Les lois de Maxwell ◮ Une boucle conductrice ´pouse le parcours ; elle est ouverte pour brancher un e voltm`tre, que lira-t-on. e Le voltm`tre a une imp´dance ´lev´e (id´alement infinie). Ainsi, aucun courant e e e e e ne devrait circuler dans la boucle susceptible d’induire un champ magn´tique e secondaire et la tension lue correspondra ` la valeur efficace de la f em initiale : a √ vlue (t) = abBo ω/ 2 . Exemple 3.2 y B = B0 az v0 b rail mobile C 0 0 a x Figure 3.4 – Boucle rectangulaire ` aire variable dans un champ d’induction constant. a Une boucle rectangulaire est form´e de trois cˆt´ fixes fait d’un excellent e oe conducteur, et d’un rail mobile qui glisse lat´ralement sans friction sur les e deux colat´raux ` une vitesse fixe vo . Ce rail poss`de une r´sistivit´ R. Le tout e a e e e forme un parcours rectangulaire dont l’aire varie dans le temps, plac´ perpen- e diculairement dans un champ d’induction statique B = Bo az . La figure 3.4 montre la g´om´trie du probl`me au temps t = 0. e e e ◮ Exprimez la f em induite sur le parcours dans le sens anti-horaire sans consid´rer e l’effet magn´tique produit par le courant qui circule dans la boucle. e Encore ici, la surface est le plan xy ` l’int´rieur du cadre d’o` dS = dx dy az . a e u Comme le champ est statique, la variation du flux dans le temps sera caus´e e par le fait que la surface change. On obtient : b+vo t a Ψ = Bo dx dy 0 0 = aBo (b + vo t)
- 51. 3.3 Loi d’Amp`re e 3-41 puis, d f em = − (aBo (b + vo t)) dt = −aBo vo . ◮ Exprimez le courant Iboucle et dites si une force ext´rieure est n´cessaire pour e e maintenir la vitesse du rail mobile constante. f em −aBo vo Iboucle = = . R R Le courant Iboucle circule dans le sens horaire, passant de gauche a droite (ax ) ` dans le rail mobile. Une force magn´tique agit sur le rail. Selon (2.9), cette e force est orient´e vers le bas (−ay ), s’opposant donc au mouvement du rail tel e que pr´vu par la loi de Lens. Une force ext´rieure doit ˆtre appliqu´e : e e e e aBo vo a2 Bo vo 2 F ext = −F m = aBo ay = ay . R R 3.3 Loi d’Amp`re e La seconde ´quation de Maxwell est un peu plus compliqu´e. Elle provient principale- e e ment des observations de Oersted ` propos des champs magn´tiques produits par les a e courants. La contribution math´matique de Maxwell lui a permis d’affirmer que des e champs ´lectriques variant donnent naissance ` des champs magn´tiques. Ce dernier a e a e d’ailleurs pr´dit longtemps avant que le ph´nom`ne soit observ´, la propagation des ondes e e e e ´lectromagn´tiques. La loi d’Amp`re sous la forme int´grale, s’´crit ainsi : e e e e e d H · dl = [I]s + D · dS (3.4) C dt S o` S est une surface d´limit´e par le contour ferm´ C. u e e e Cette ´quation ressemble ` celle de Faraday sauf qu’il y a deux termes a droite de e a ` l’´galit´. Cette diff´rence provient du fait qu’il existe un courant ´lectrique mais pas de e e e e courant magn´tique. On peut pousser plus loin et se demander pourquoi. La r´ponse : les e e charges magn´tiques isol´es n’existent pas et ne se d´placent pas non plus, par cons´quent. e e e e Pour ajouter ` la ressemblance, on utilise l’analogie jusqu’` dire que C H · dl est la force a a magn´tomotrice f mm. e Le terme [I]s repr´sente le courant dˆ au mouvement des charges ´lectriques passant e u e au travers la surface S. Ce courant peut ˆtre de conduction dans un conducteur ou de e convection par un nuage de charges dans l’espace. Il ne peut ˆtre li´ aux ph´nom`nes e e e e de polarisation ou de magn´tisation dans le mat´riau car l’effet de ces ph´nom`nes est e e e e consid´r´ implicitement dans les d´finitions de D ou H respectivement. ee e
- 52. 3-42 Les lois de Maxwell Le second terme de droite d( S D · dS)/dt repr´sente aussi un courant – on peut s’en e convaincre en regardant les unit´s – mais diff´rent de celui auquel on est habitu´. Il s’agit e e e du courant de d´placement r´sultant de la variation du flux ´lectrique Ψe au travers une e e e surface S : [Ψe ]s = D · dS . (3.5) S Le flux ´lectrique se d´finit de mani`re analogue au flux magn´tique rencontr´ dans e e e e e l’´quation de Faraday. En cons´quence, les courants de conduction, de convection et de e e d´placement sont tous responsables de produire un champ magn´tique. e e Si on suppose un courant de conduction, [Ic ]s , il peut provenir autant d’un courant filiforme, de surface, de volume ou d’une combinaison de ceux-ci. Formul´ de par sa e densit´, le courant de conduction vaut : e [Ic ]s = J c · dS . (3.6) S De plus, sachant que le champ de d´placement et la densit´ de courant de conduction sont e e intimement li´s au champ ´lectrique via la permittivit´ et la conductivit´ selon (2.19) et e e e e (2.14) respectivement, l’´quation d’Amp`re devient : e e d H · dl = σE · dS + ǫE · dS . (3.7) C S dt S Il faut cependant suivre quelques r`gles pour d´terminer la valeur de la force magn´to- e e e motrice f mm avec cette derni`re ´quation : e e • le courant [Ic ]s ne peut ˆtre qu’un courant de conduction de volume ; e • les int´grales de surface sont ´valu´es en accordance avec la r`gle de la main droite e e e e expos´e auparavant ; la normale ` la surface est orient´e selon le sens choisi du e a e parcours C ; • les surfaces S de chaque membre de droite doivent ˆtre absolument identiques2 ; e cependant toute surface quelconque d´limit´e par le parcours ferm´ C convient . e e e Exemple 3.3 Soient les champs √ H(t) = ±Ho δ(t ∓ µǫz)ay √ pour z ≷ 0 E(t) = µ Ho δ(t ∓ µǫz)ax ǫ o` δ(·) repr´sente la fonction impulsion. u e Comme on verra plus tard, il s’agit des champs d’une onde ´lectromagn´tique e e plane et uniforme. On peut d’abord remarquer qu’une telle onde se d´place e 2 On rappelle que la divergence de l’int´grande doit ˆtre nulle pour avoir le choix de la surface. Dans e e ce cas ci, on a plutˆt ∇ · (J + dD/dt) = 0. o
- 53. 3.3 Loi d’Amp`re e 3-43 dans la direction z+ si z > 0 et z− si z < 0. Pour bien le voir, il faut tracer l’amplitude d’un des champs au temps t = 0 puis ` un temps to > 0 pour a diff´rentes valeurs de z. e ◮ Exprimez le courant produit par le mouvement des charges ` l’int´rieur de la a e section rectangulaire limit´e par les points (0, 0, 0.2), (0, 1, 0.2), (0, 1, −0.2) et e (0, 0, −0.2). Pour commencer, on isole la composante du courant de conduction : d [Ic ]s = J · dS = H · dl − D · dS S C dt S Les termes de droite peuvent ˆtre ´valu´s s´par´ment : e e e e e 1 0.2 √ √ H · dl = [Ho δ(t − µǫz)]x=0 ay ·(dyay ) + [Ho δ(t − µǫz)]x=0 ay ·(−dzaz ) C 0 z=0.2 0 y=1 0 0 1 √ √ + [−Ho δ(t + µǫz)]x=0 ay ·(−dzaz ) + [−Ho δ(t + µǫz)]x=0 ay ·(−dyay ) −0.2 y=1 0 z=−0.2 0 0 0.2 √ √ + [−Ho δ(t + µǫz)]x=0 ay ·(dzaz ) + [Ho δ(t − µǫz)]x=0 ay ·(dzaz ) −0.2 y=0 0 y=0 0 0 √ √ = Ho δ(t − 0.2 µǫ) + 0 + 0 + Ho δ(t − 0.2 µǫ) + 0 + 0 √ = 2Ho δ(t − 0.2 µǫ) et, sachant que dS = dydz(−ax ) : 0 1 √ √ D · dS = [ µǫHo δ(t + µǫz)]x=0 ax · (−dydzax ) S −0.2 0 0.2 1 √ √ + [ µǫHo δ(t − µǫz)]x=0 ax · (−dydzax ) 0 0 0 0.2 √ √ √ = − µǫHo δ(t + µǫz)dz + δ(t − µǫz)dz −0.2 0 √ √ √ u(t + µǫz) 0 u(t − µǫz) 0.2 = − µǫHo √ + √ µǫ z=−0.2 − µǫ z=0 √ √ = Ho (u(t − 0.2 µǫ) − u(t) − u(t) + u(t − 0.2 µǫ)) et ainsi : d √ D · dS = −2Ho δ(t) + 2Ho δ(t − 0.2 µǫ) . dt S Finalement, le courant de conduction passant au travers la surface vaut : [Ic ]s = 2Ho δ(t) .
- 54. 3-44 Les lois de Maxwell Il est int´ressant d’interpr´ter ces derniers r´sultats. On s’aper¸oit selon l’ex- e e e c pression de [Ic ]s , que le courant de conduction est responsable de l’´mission de e l’onde ´lectromagn´tique en produisant une impulsion au temps t = 0. C’est e e en quelque sorte, une source s(t) plac´e dans la plan z = 0 variant temporel- e lement qui produit l’onde. Cette impulsion se propage dans le milieu avec une vitesse finie car elle est per¸ue en un instant t = to plus tard sous la forme c d’un champ ´lectrique et d’un champ magn´tique pour tout point des plans e e z = ±zo lesquels se situent ` ´gale distance du plan z = 0. La relation entre ae le d´lai to et la position zo d´pend de la vitesse de propagation de l’onde. On e e v´rifie facilement que pour cet exemple, la vitesse de propagation, not´e plus e e tard vp , vaut : zo zo 1 vp = = √ = √ . to µǫzo µǫ Si le milieu est le vide, on prends ǫ = ǫo et µ = µo. Avec les valeurs de ces constantes, on trouve alors que vp = c ≈ 3 × 108 m/s la vitesse de la lumi`re e dans le vide ! On remarque aussi que la forme temporelle de l’amplitude des champs observ´s e a ` une certaine distance reproduit celle de la source nonobstant le d´lai de e propagation. En fixant le temps et en observant cette fois suivant l’axe z, la forme spatiale de l’amplitude des champs observ´s ressemblerait a la forme e ` temporelle de la source invers´e i.e. s(−t). e Finalement, on note que l’amplitude des champs ne d´croˆ pas en fonction de e ıt la distance z car la source a une dimension infinie (ce qui n’existe pas dans la r´alit´). Cette onde est dite uniforme. e e 3.4 ´ Equation de continuit´ e L’´quation de continuit´ est une ´quation suppl´mentaire aux ´quations de Maxwell qui e e e e e fait le pont entre les charges et le courant. On l’appelle aussi la loi de conservation des charges. On ne peut d´montrer l’´quation de continuit´ qu’en assumant que physiquement, e e e les charges ´lectriques ne peuvent disparaˆ e ıtre. Si la charge nette a l’int´rieur d’un volume ` e varie, c’est que des charges ont quitt´ ou sont entr´es dans le volume. Le signe des charges e e et le principe de superposition des charges sont consid´r´s dans l’´quation de continuit´. ee e e On pr´sente la loi de conservation des charges avant les deux derni`res ´quations de e e e Maxwell, parce qu’elle intervient dans la d´monstration de l’une des deux. e Selon cette loi, le courant produit par le mouvement des charges au travers une surface ferm´e S doit correspondre au taux de d´croissance de la charge dans le volume V d´limit´ e e e e par la surface ferm´e S – cette charge est not´e [Q]V : e e d J · dS = − ρ dv . (3.8) S dt V [Q]V
- 55. ´ 3.5 Equations deGauss 3-45 Une charge positive qui quitte le volume cr´e un courant positif de conduction ou de e convection – le terme [I]s a ´t´ employ´ pr´c´demment pour d´signer ce type de courant. ee e e e e En mˆme temps, la charge contenue dans le volume a diminu´ d’o` le signe n´gatif. e e u e J Q(t) dS Figure 3.5 – Principe de la conservation des charges. On note que [Q]V peut ˆtre une charge ponctuelle, provenir d’une densit´ lin´ique, e e e surfacique, volumique de charges ou encore une combinaison de tous ces modes. La figure 3.5 sch´matise le concept physique. e 3.5 ´ Equations de Gauss Les ´quations de Gauss se d´rivent directement des ´quations de Faraday et d’Amp`re en e e e e prenant une surface ferm´e. Si les deux premi`res font appels ` des int´grales de ligne des e e a e champs ´lectrique et magn´tique sur des parcours ferm´s, les deux derni`res ´quations de e e e e e Maxwell sont des int´grales de surfaces ferm´es. e e On sait qu’une int´grale sur une surface ferm´e donne le bilan du flux ´manant du e e e volume d´limit´ par la surface. Elle indique donc la pr´sence d’une source si positive, ou e e e d’un absorbant si n´gative. Dans le cas pr´sent, l’int´grale est reli´e aux charges qui sont e e e e sources de flux ´lectrique ou de flux magn´tique. e e dS2 S1 C1 S2 C2 dS1 Figure 3.6 – Deux parcours d’int´gration de sens oppos´s d´limitant une surface ferm´e. e e e e Pour la d´monstration, on consid`re deux parcours C1 et C2 identiques mais se par- e e courant dans des sens oppos´s comme sur la figure 3.6. Ils d´limitent chacun des surfaces e e diff´rentes S1 et S2 . Les deux surfaces mises ensemble forment donc une surface “pa- e tato¨ ıdale” ferm´e. e
- 56. 3-46 Les lois de Maxwell 3.5.1 Charges magn´tiques e En ´quation, cela revient ` dire, ` partir de Faraday, que : e a a E · dl = − E · dl (3.9) C1 ↑ C2 car ce sont les mˆmes parcours mais qui sont parcourus dans des sens oppos´s. De l`, on e e a a : E · dl + E · dl = 0 C1 C2 d d 0 = B · dS + B · dS dt S1 dt S2 B · dS = − B · dS . S1 S2 On peut tirer deux conclusions dont l’une a des cons´quences directes avec la troisi`me e e ´quation de Maxwell : e • Mˆme si S1 et S2 sont des surfaces diff´rentes mais d´limit´es par un mˆme parcours, e e e e e le r´sultat reste inchang´, nonobstant le signe − qui origine du sens oppos´ et du e e e respect de la r`gle de la main droite. Cela indique bien que la surface n’a pas e d’importance quand vient le temps de choisir pour r´soudre les membres de droite e des ´quations de Faraday et d’Amp`re ; e e • D’autre part : d B · dS = 0 dt S=S1 +S2 ou encore B · dS = cte . S=S1 +S2 Il semble logique de prendre la constante ´gale ` z´ro : toutes les lignes de flux sortant e a e du volume par une partie de la surface entreront par d’autres parties de la surface. De plus aucune exp´rience n’a pu d´montrer le contraire. La troisi`me loi de Maxwell et loi e e e de Gauss magn´tique dit que le bilan de flux magn´tique ´manant d’une surface ferm´e e e e e est toujours nulle. Elle s’´nonce ainsi : e B · dS = 0 . (3.10) S Une des rares informations qu’il sera possible d’extraire de cette ´quation, est l’absence e de charge magn´tique isol´e dans la nature. Une charge magn´tique est constitu´e a la e e e e ` fois d’une borne positive et d’une borne n´gative – les pˆles sud et nord. e o
- 57. ´ 3.5 Equations deGauss 3-47 3.5.2 Charges ´lectriques e Comme il a ´t´ fait avec l’´quation de Faraday, on reprend les deux contours ferm´s C1 ee e e et C2 identiques mais parcourus dans le sens oppos´. La surface ferm´e S de la figure 3.6 e e est obtenue en prenant les deux surfaces quelconques S1 et S2 d´limit´es par les deux e e contours. On obtient : H · dl + H · dl = 0 C1 C2 d 0 = J · dS + D · dS S=S1 +S2 dt S=S1 +S2 d’o` u d D · dS = − J · dS . (3.11) dt S S Ainsi, le courant de d´placement ´manant d’une surface ferm´e est ´gal au courant dˆ e e e e u aux charges quittant le volume d´limit´ par la surface ferm´e. Or, la loi de conservation e e e des charges indique justement comment le courant I(t) est li´ ` la variation de la charge ea ´lectrique par unit´ de temps : e e d [Q]V J · dS = I(t) = − (3.12) S ↑ dt Partant de (3.11) et de (3.12), on d´duit imm´diatement la derni`re ´quation de Maxwell : e e e e D · dS = [Q]V . (3.13) S La charge [Q]V exclut les ph´nom`nes de polarisation qui sont pris en compte implicite- e e ment dans la d´finition de D. e Formul´e en terme de densit´ volumique, on obtient : e e D · dS = ρ dv . (3.14) S V La seconde loi de Gauss sur le champ ´lectrique indique simplement que le bilan du flux de e d´placement ´manant d’une surface ferm´e est ´gal ` la charge contenue dans le volume e e e e a d´limit´ par la surface. e e Cette loi de Gauss permet d’expliquer la continuit´ du courant au travers un conden- e sateur pour un signal variant dans le temps. Avec une surface ferm´e autour d’une seule e plaque d’un condensateur, on fait le lien entre le courant de d´placement et le courant de e conduction. Selon (3.11) appliqu´e ` la surface ferm´e S de la figure 3.7, on a : e a e d D · dS = i(t) (3.15) dt S o` i(t) repr´sente le courant fourni par la source et entrant dans le condensateur. En u e supposant que le champ D = ǫE est normal et uniforme entre les deux plaques de surface
- 58. 3-48 Les lois de Maxwell S i(t) A V (t) Condensateur d D Figure 3.7 – Surface ferm´e autour d’une plaque d’un condensateur. e A, en n´gligeant aussi les effets des bords, on peut exprimer le cˆt´ gauche de (3.15) e oe 3 ainsi : d dE (D A) = Aǫ = i(t) . dt dt Exemple 3.4 z I dS S Q(t) r y C x Figure 3.8 – Courant sur un fil semi-infini partant d’une charge Q(t) ` l’origine. a Soit une petite sph`re charg´e qui se d´charge au travers un courant constant e e e I tel que montr´ ` la figure 3.8. La charge de la sph`re varie dans le temps ea e dQ selon I = − dt . ◮ Exprimez la force magn´tomotrice produite le long d’un parcours circulaire C e de rayon r centr´ sur la petite sph`re. e e On commence par v´rifier s’il est plus simple de trouver le champ H produit e par le courant sur le fil semi-infini, et de l’int´grer sur le parcours4 ; ou de e 3 b On retrouve facilement la relation v − i aux bornes a − b d’un condensateur sachant que a E · dl = Vab = E d o` d est l’espacement entre les plaques. Le relation entre le champ ´lectrique et la diff´rence u e e de potentiel sera montr´e au prochain chapitre. Ainsi, on a I(t) = Aǫ dV . e d dt 4 I En rempla¸ant les bornes de l’int´grale de l’exemple 2.4 par 0 ` ∞, on trouve H(z = 0) = 4πr aφ ; c e a I puisque dl = rdφaφ , on d´duit rapidement f mm = 2 . e
- 59. ´ 3.5 Equations deGauss 3-49 trouver les courants de conduction et de d´placement passant par une surface e S d´limit´e par C. Les deux mani`res sont bonnes mais on choisira ici la e e e seconde : d f mm = [Ic ]s + D · dS . dt S On prend comme surface l’h´misph`re sup´rieure pour faciliter le traitement e e e qui suit. • D’abord, le courant dˆ au mouvement des charges se limite a celui de u ` conduction : [Ic ]s = I puisqu’il passe au travers S. • La d´termination du courant de d´placement n´cessite la connaissance e e e du flux ´lectrique. Partant de la loi de Gauss, on utilise les d´ductions e e suivantes : – avec deux h´misph`res – inf´rieure et sup´rieure qui forment ainsi e e e e une surface ferm´e – le flux ´lectrique est ´gal ` Q selon la loi de e e e a 5 Gauss ; – les deux h´misph`res sont identiques ; donc le flux traversant chacune e e d’elles vaut la moiti´ i.e. : e Q D · dS = . S 2 – la d´riv´e par rapport au temps du flux traversant la surface S com- e e bin´e ` la loi de conservation des charges donne donc : e a d 1 dQ 1 D · dS = = − I dt S 2 dt 2 La f mm est ensuite d´duite en substituant les ´quations des courants : e e 1 I f mm = I − I = . 2 2 On aurait trouv´ un r´sultat identique en prenant l’h´misph`re inf´rieure. e e e e e Dans ce cas, il n’y a pas de courant de conduction qui passe au travers de la surface et le courant, par le champ de d´placement, change de signe pour e respecter la r`gle de la main droite. e 5 Il est int´ressant de noter que l’expression du champ E produite par une sph`re charg´e s’obtient e e e Q facilement : sph`re ǫEr dS = 4πr2 ǫEr = Q donc E = 4πǫr2 ar e
- 60. 3-50 Les lois de Maxwell 3.6 Formes diff´rentielles e Les formes diff´rentielles des quatre6 ´quations de Maxwell permettent de voir ce qui se e e passe en un point particulier de l’espace. Leur utilit´ apparaˆ pour sp´cifier que toute e ıtra e variation spatiale d’un champ – qu’il soit ´lectrique ou magn´tique – en un point de e e l’espace, entraˆ l’existence et la variation temporelle de l’autre champ au mˆme point ıne e de l’espace. On verra que le comportement des champs ´lectrique et magn´tique sont e e intimement li´s en chaque point. Ils ne sont dissoci´s qu’en r´gime statique. D’ailleurs, on e e e appellera champ ´lectromagn´tique, le couplage constitu´ d’un champ ´lectrique et d’un e e e e champ magn´tique variant temporellement. e Des formes int´grales, en s’appuyant sur les th´or`mes de Stokes et de Green vus e e e pr´c´demment, d´coulent les ´quations sous formes diff´rentielles. Elles ne sont pas vrai- e e e e e ment pratiques lorsque prises s´par´ment ; c’est pourquoi elles sont pr´sent´es en bloc e e e e dans cette section. Le th´or`me de Stokes sert pour amener les ´quations de Faraday et d’Amp`re de la e e e e forme int´grale ` la forme diff´rentielle de la mˆme mani`re que (1.26) devient (1.36). e a e e e Voici l’´quation de Faraday : e dB ∇×E = − (3.16) ↑ dt et d’Amp`re : e dD ∇×H = J + . (3.17) dt Quant ` celles de Gauss, le th´or`me de Green permet de faire le passage comme de (1.37) a e e vers (1.45) : ∇·D = ρ (3.18) ∇·B = 0 . (3.19) On se sert encore du th´or`me de Green pour exprimer l’´quation de continuit´ sous e e e e la forme diff´rentielle : e d ∇·J = − ρ . (3.20) dt On aurait pu trouver la forme diff´rentielle de l’´quation de continuit´ en partant de celle e e e de Faraday avec l’aide de celle de Gauss pour charge ´lectrique. Il faut toutefois savoir au e pr´alable que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle d’o` : e u dD ∇·∇×H = 0 = ∇· +J dt d = ∇ · D +∇·J . dt ρ C.Q.F.D. 6 Le nombre 4 s’explique ainsi. Selon le th´or`me de Helmholtz, tout champ vectoriel peut ˆtre g´n´r´ e e e e e e par un potentiel scalaire Φ et un potentiel vecteur A ; ou encore, on doit connaˆ la divergence et le ıtre rotationnel de tout champ vectoriel pour le d´terminer. Comme, on d´sire connaˆ les champs E et H, e e ıtre il faudra donc 4 ´quations soit la divergence et le rotationnel de chacun des champs. e
- 61. 3.7 Conditions auxlimites 3-51 3.7 Conditions aux limites Dans la grande majorit´ des probl`mes d’´lectromagn´tisme, on est confront´ a plusieurs e e e e e` milieux. Il faut savoir comment r´agissent les champs ` la fronti`re entre diff´rents mi- e a e e lieux : certaines composantes sont continues en ce sens que leur valeur est identique d’un cˆt´ ou de l’autre de la fronti`re ; d’autres composantes sont cependant discontinues ; la oe e discontinuit´ d´pend d’une tierce entit´ physique. On pourrait ajouter que les probl`mes e e e e les plus int´ressants font appel ` ces conditions aux limites d’o` leur grande importance. e a u Des exemples du rˆle des conditions aux limites : la r´flexion ou la transmission des o e ondes ´lectromagn´tiques (optiques ou autres) ` l’interface sur un mat´riau, la distribution e e a e des champs dans une structure tels un condensateur, un cˆble et mˆme une antenne. a e milieu #1 milieu #1 an an ℓ1 S 1 δ C♦ dV δ S♦ ℓ2 as S 2 milieu #2 milieu #2 (a) (b) Figure 3.9 – G´om´tries pour conditions aux limites avec surface de s´paration entre deux e e e milieux. La figure 3.9 montre les g´om´tries consid´r´es pour l’´tude des conditions aux limites. e e ee e La surface de s´paration entre les deux milieux est assum´e comme ´tant localement plane. e e e Aucune supposition concernant les propri´t´s respectives des mat´riaux n’est prise afin ee e d’obtenir des relations g´n´rales. Un parcours d’int´gration ferm´ rectangulaire C♦ (a) est e e e e d´termin´, de mˆme qu’une surface ferm´e S (b). e e e e Pour le parcours tout comme pour la surface, une moiti´ se situe dans le milieu #1 e et l’autre moiti´ dans le milieu #2. Sur les segments (ℓ1 et ℓ2 ) du parcours ainsi que sur e les aires (S 1 et S 2 ) de la surface qui sont parall`les au plan de s´paration, on assume e e des champs uniformes. Cette supposition s’av`re de plus en plus exacte en faisant tendre e ℓ = ℓ1,2 ou S = S 1,2 vers des dimensions infinit´simales. e On fait ensuite tendre δ vers “0” afin de rendre : • la surface S♦ d´limit´e par C♦ nulle ; e e • le volume V d´limit´ par S nul. e e Les champs qui interviennent dans les relations des conditions aux limites sont mesur´s e de part et d’autre de la surface de s´paration. e
- 62. 3-52 Les lois de Maxwell 3.7.1 Composante tangentielle du champ ´lectrique e La composante tangentielle correspond ` la partie du vecteur du champ en question qui a est parall`le ` la surface de s´paration. Pour se fixer les id´es, si le plan de s´paration est e a e e e z = 0, alors les composantes en x et en y sont toutes deux tangentielles. Pour obtenir la condition aux limites de la composante tangentielle du champ ´lectri- e que, on applique l’´quation de Faraday sur le parcours C♦ d´fini ci-dessus : e e d lim E · dl = − lim B · dS (3.21) δ→0 C♦ δ→0 dt S♦ Il est ´vident qu’avec une surface S♦ quasi-nulle, le terme de droite devient lui-mˆme nul. e e Le terme de gauche peut se limiter ` l’int´gration sur les segments ℓ1 et ℓ2 sur lesquels les a e champs sont uniformes. D’o` :u 0 = E 1 · ap dl + E 2 · (−ap )dl (3.22) ℓ1 ℓ2 = E 1ℓ − E 2ℓ (3.23) avec ap = as × an , un vecteur unitaire pointant dans la direction du segment ℓ1 donc parall`le ` la surface de s´paration. Il en ressort que les composantes tangentielles du e a e champ ´lectrique au plan de s´paration, not´es E 1 dans le milieu #1 et E 2 dans le e e e milieu #2, sont continues : leur valeur doit ˆtre la mˆme de part et d’autre de cette e e surface i.e. E1 = E2 (3.24) ou encore E 1 −E 2 = 0. (3.25) ´ Ecrite de fa¸on vectorielle, la condition aux limites de E devient : c an × (E 1 − E 2 ) = 0 . (3.26) 3.7.2 Composante tangentielle du champ magn´tique e On proc`de ici de la mˆme mani`re mais ` partir de l’´quation d’Amp`re : e e e a e e dD lim H · dl = − lim +J · dS (3.27) δ→0 C♦ δ→0 S♦ dt Cette fois, lorsque la surface S♦ tend vers z´ro, le terme de droite ne devient pas forc´ment e e nul car il peut exister un courant de surface J s sur la surface de s´paration. Ainsi, le terme e de droite vaut : dD lim + J · dS = J s ℓ · as . (3.28) δ→0 S♦ dt Quant au terme de gauche, il se limite toujours ` l’int´gration sur les segments ℓ1 et ℓ2 a e sur lesquels les champs sont uniformes. Il faut, par contre, porter davantage attention car
- 63. 3.7 Conditions auxlimites 3-53 le r´sultat est vectoriel comme le montre le r´sultat du terme de droite. D’o` : e e u H 1 · ap dl + H 2 · (−ap )dl = J s ℓ · as (3.29) ℓ1 ℓ2 as × an · (H 1 − H 2 ) dl = as · J s ℓ (3.30) ℓ as · an × (H 1 − H 2 ) ℓ = as · J s ℓ . (3.31) La derni`re ´galit´ n´cessite l’application d’une identit´ vectorielle ` savoir : (v 1 ×v 2 )·v3 = e e e e e a v 1 · (v 2 × v 3 ). La condition aux limites de la composante du champ magn´tique au plan e de s´paration ne doit s’utiliser que vectoriellement ` moins de bien comprendre ce que e a l’on fait. Elle s’exprime comme suit : an × (H 1 − H 2 ) = J s . (3.32) ↑ Les composantes tangentielles du champ magn´tique au plan de s´paration sont discon- e e tinues avec la pr´sence d’un courant de surface ; la discontinuit´ d´pend de l’importance e e e du courant de surface. Il serait possible d’´crire la condition aux limites sous la forme e scalaire, mais s’en servir est un jeu dangereux. La voici, ` titre indicatif seulement : a H 1 −H 2 = Js . 3.7.3 Composante normale du champ d’induction La composante normale correspond ` la partie du vecteur du champ qui est normale a a ` la surface de s´paration. Si le plan de s´paration est z = 0 alors, la composante en z est e e la seule normale. Quoiqu’il s’agisse d’un exemple, le lieu des composantes tangentielles a toujours deux dimensions (un plan) tandis que celui des normales n’en a qu’une. La condition aux limites de la composante normale du champ d’induction s’obtient de l’´quation de Gauss sur la surface S d´finie auparavant : e e lim B · dS = 0 (3.33) δ→0 S Il est ´vident que l’int´grale de surface se limite aux deux surfaces parall`les au plan de e e e s´paration S 1 et S 2 qui sont, par ailleurs, ´gales en superficie. Comme les champs sont e e uniformes sur ces surface, le membre de gauche devient : 0 = B 1 · an dS + B 2 · (−an )dS (3.34) S 1 S 2 = B⊥1 S − B⊥2 S . (3.35) En cons´quence, la composante normale du champ d’induction au plan de s´paration, e e not´es B⊥1,2 dans le milieu #1 et #2 respectivement, est continue. La condition aux e limites de B s’´crit : e B⊥1 − B⊥2 = 0 (3.36) ou vectoriellement : an · (B 1 − B 2 ) = 0 . (3.37)
- 64. 3-54 Les lois de Maxwell 3.7.4 Composante normale du champ de d´placement e Il est facile de d´duire que la derni`re loi de Maxwell – celle de Gauss sur les charges e e ´lectriques – servira pour ´tablir la condition aux limites sur la composante normale du e e champ de d´placement. La surface ferm´e S servira aussi comme dans la sous-section e e pr´c´dente. e e Cependant, lorsque l’´paisseur du volume δ tend vers z´ro, la charge a l’int´rieur du e e ` e volume infinit´simal peut ˆtre non-nulle s’il s’agit d’une densit´ surfacique de charges e e e pr´sent ` la surface de s´paration. Donc : e a e lim D · dS = ρs S . (3.38) δ→0 S L’int´gration du terme de gauche sur les surfaces parall`les au plan de s´paration S e e e 1,2 , ´gales en superficie et sur lesquelles les champs sont uniformes, donne : e D⊥ 1 S − D⊥ 2 S = ρs S . (3.39) Contrairement ` la condition aux limites de la composante du champ d’induction, la a condition aux limites du champ de d´placement peut tr`s bien s’utiliser sous forme scalaire e e car le r´sultat est un scalaire. Elle s’´crit alors : e e D⊥1 − D⊥2 = ρs . (3.40) ou vectoriellement : an · (D1 − D 2 ) = ρs . (3.41) La composante normale du champ de d´placement ne sera continue qu’en l’absence de e charges surfaciques sur la surface de s´paration. e 3.7.5 R´sum´ des conditions aux limites e e milieu #1 E 1 H 1 B⊥1 D⊥1 H 2 B⊥2 ρs E 2 Js D⊥2 milieu #2 Figure 3.10 – Composantes des champs ` l’interface entre deux mat´riaux quelconques. a e
- 65. 3.7 Conditions auxlimites 3-55 En r´sum´, les quatre conditions s’expriment comme suit : e e an × (E 1 − E 2 ) = 0 (3.42) an × (H 1 − H 2 ) = J s (3.43) an · (B 1 − B 2 ) = 0 (3.44) an · (D 1 − D 2 ) = ρs . (3.45) Le vecteur unitaire an est normal ` la surface de s´paration. L’indice des champs corres- a e pond au milieu dans lequel les champs sont mesur´s, et ce juste au niveau de la surface e de s´paration. e 3.7.6 Propri´t´s suppl´mentaires e e e Il est important de rajouter qu’en pratique un courant de surface n’est rencontr´ que sur e un conducteur parfait. Il en va de mˆme pour les charges surfaciques. Cela s’explique e facilement car pour obtenir un courant ou des charges sur une surface infiniment mince, les charges doivent ˆtre libres. Id´alement, il faut donc une conductivit´ infinie pour avoir e e e une mobilit´ des charges avec enti`re libert´. On consid`re toutefois qu’un bon conducteur e e e e ayant une conductivit´ ´lev´e mais finie (σ ee e ), est assimilable ` un conducteur parfait a tant que la perte d’´nergie provenant de l’effet Joule reste faible devant l’´nergie contenue e e dans les champs. Le rapport maximal tol´r´ entre les deux niveaux d’´nergies, d´pend du ee e e degr´ de pr´cision sur la valeur des champs que l’on d´sire. e e e A` moins qu’il soit indiqu´, il ne peut y avoir un courant ou des charges surfaciques sur e d’autres mat´riaux. Dans le cas contraire, il s’agit d’un probl`me purement acad´mique e e e et l’existence d’un tel courant ou de telles charges sera mentionn´ clairement. e Une autre propri´t´ apparaˆ pour des conducteurs parfaits, soit l’absence de champ ee ıt ´lectrique a l’int´rieur. L’explication est la suivante : avec une conductivit´ infinie σ → ∞, e ` e e la densit´ de courant – et le courant par cons´quent – deviendrait infinie ce qui n’est pas e e possible. Il en r´sulte que le champ E dans un conducteur parfait doit ˆtre nul7 . Encore e e une fois, un bon conducteur poss`de cette propri´t´ si l’observation du champ se fait a une e ee ` distance plus grande – selon la pr´cision voulue – que la profondeur de p´n´tration δp – e e e laquelle sera d´finie plus tard. On peut aller plus loin et dire qu’il n’existe aucun champ e variant dans un conducteur ` cause du couplage entre les champs ´lectromagn´tiques. a e e Dans certains mat´riaux ferromagn´tiques, la perm´abilit´ relative µr est tr`s grande, e e e e e ce qui permet de poser en premi`re approximation que µr → ∞ – ils seront appel´s des e e conducteurs magn´tiques parfaits. Comme le champ d’induction B ne peut ˆtre infini, il e e faut donc que le champ magn´tique H soit nul dans le mat´riau. e e En appliquant les conditions aux limites, on a : • sur un conducteur ´lectrique : e Le champ E au niveau de la surface de s´paration dans l’autre milieu (le #1) e arrive toujours perpendiculairement ` cette surface ; le champ H, si variant, est a 7 Cette conclusion est tir´e de (2.14) J = σE, avec σ → ∞ et une densit´ J finie (mˆme nulle selon la e e e premi`re propri´t´ ´nonc´e car uniquement Js existe). e e ee e
- 66. 3-56 Les lois de Maxwell an D1 H1 Js ρs Figure 3.11 – Composantes des champs incidents sur un conducteur. tangentiel et responsable de la cr´ation d’un courant de surface. La figure 3.11 e d´montre l’incidence des champs sur un conducteur. e an × E 1 = 0 (3.46) an × H 1 = J s (3.47) an · B 1 = 0 (3.48) an · D1 = ρs (3.49) Les conditions aux limites sont dites dures – en opposition a molles – lorsque l’un ` des deux milieux est un conducteur ´lectrique. On rencontre fr´quemment cette e e situation, d’o` son importance. u • sur un conducteur magn´tique : e Le champ H dans l’autre milieu (le #1) est toujours perpendiculaire a la surface ` de s´paration. e an × H 1 = 0 (3.50) Un mat´riau di´lectrique parfait poss`de une conductivit´ nulle ; le courant, volumique e e e e ou surfacique, ne peut circuler. De plus, aucune charge libre sauf si le di´lectrique est ionis´ e e en surface. A` l’interface d’un di´lectrique, les conditions aux limites s’appliquent en pre- e nant les densit´s J s et, normalement, ρs nulles. Par contre, les champs ´lectromagn´tiques e e e p´n`trent tr`s bien. L’analyse par le champ ´lectrique montre que sa composante tangen- e e e e tielle conserve la mˆme valeur, mais la composante normale change dans le rapport des e constantes di´lectriques des deux milieux – ce sont les composantes normales de D1,2 qui e sont continues. Ceci am`ne directement le ph´nom`ne de changement d’inclinaison d’une e e e onde ´lectromagn´tique (optique autant que radio) passant par une lentille de verre par e e exemple. Rien de mieux qu’une image tir´e d’un exemple connu pour se rappeler la mani`re dont e e les champs doivent ˆtre incidents sur un conducteur. Dans un cˆble coaxial, les champs e a sont contenus entre les deux conducteurs, dans le di´lectrique. Le champ ´lectrique est e e radial (E = E(r)ar en coordonn´es cylindriques) et le champ magn´tique est circulaire e e (H = H(r)aφ ). On voit bien sur la figure 3.12, que le champ ´lectrique est toujours a e ` angle droit avec la surface du conducteur ; et que le champ magn´tique est parall`le a la e e ` surface du conducteur lorsque r = a et r = b. Sur la figure 3.13, des charges de signes oppos´s existent sur chacune des surfaces en cause des conducteurs selon la condition aux e limites sur le champ de d´placement. Une diff´rence de potentiel apparaˆ a cause de ces e e ıt `
- 67. 3.7 Conditions auxlimites 3-57 H E E E E E H H Figure 3.12 – Repr´sentation des champs dans la section d’un cˆble coaxial. e a Js H Js −ρs E ρs Figure 3.13 – Charges, diff´rence de potentiel et courants dans un cˆble coaxial. e a b charges, diff´rence de potentiel dont la valeur est donn´e par Vab = a E · dl. L’application e e de la condition aux limites sur la composante tangentielle du champ magn´tique explique e le courant de surface qui s’en va vers la charge sur le conducteur interne et qui revient sur le conducteur externe. Exemple 3.5 z diélectrique µ0 , 4ǫ0 d vide µ0 , ǫ0 0 conducteur parfait Figure 3.14 – G´om´trie pour l’application des conditions aux limites. e e Des champs ´lectromagn´tiques variant s’expriment ainsi dans la r´gion 0 < e e e z < d et ` un certain temps t : a πz πz πz E v = E1 sin(πx) sin( )ax + E2 cos(πx) cos( )ay + E3 sin(πx) cos( )az 2d 2d d
- 68. 3-58 Les lois de Maxwell πz πz πz H v = H1 cos(πx) cos( )ax + H2 sin(πx) sin( )ay + H3 cos(πx) sin( )az . 2d 2d d L’espace est divis´ est trois r´gions tel que sur la figure 3.14 : e e • un conducteur parfait pour z < 0 ; • le vide lorsque 0 < z < d ; • un di´lectrique parfait ayant µ = µo , σ = 0 et ǫ = 4ǫo pour z > d. e ◮ D´terminez ρs et J s sur la surface du conducteur en z = 0 et indiquez les e termes des champs – les Ei et les Hi – qui doivent ˆtre nuls a cause des e ` conditions dures. Des ´quations (3.46) ` (3.49), on d´duit respectivement : e a e 0 = az × [E]z=0 πz πz = [E1 sin(πx) sin( )]z=0 (ay ) + [E2 cos(πx) cos( )]z=0 (−ax ) 2d 2d 0 car sin(0)=0 E2 cos(πx) car cos(0)=1 donc forc´ment : e E2 = 0 . D’autre part, avec la seconde ´quation aux limites, on a : e [J s ]z=0 = az × [H]z=0 πz πz = [H1 cos(πx) cos( )]z=0 (ay ) + [H2 sin(πx) sin( )]z=0 (−ax ) 2d 2d H1 cos(πx) 0 puis, de la troisi`me : e πz 0 = az · µo [H]z=0 = µo [H3 cos(πx) sin( )]z=0 d 0 de laquelle on ne peut rien conclure. De la derni`re, on retire : e [ρs ]z=0 = az · ǫo [E]z=0 πz = ǫo [E3 sin(πx) cos( )]z=0 = ǫo E3 sin(πx) . d E3 sin(πx) ◮ Exprimez les champs dans le di´lectrique E d et H d , a l’interface avec le vide. e ` On reprend les conditions aux limites (3.42) ` (3.45) avec z = d, ρs = 0 et a Js = 0 : [Edx ]z=d+ = [Evx ]z=d− = E1 sin(πx) car sin(π/2) = 1 Edy z=d+ = Evy z=d− = 0 car E2 = 0
- 69. 3.7 Conditions auxlimites 3-59 [Hdx ]z=d+ = [Hvx ]z=d− = 0 car cos(π/2) = 0 Hdy z=d+ = Hvy z=d− = H2 sin(πx) car sin(π/2) = 1 µo [Hdz ]z=d+ = µo [Hvz ]z=d− = 0 car sin(π) = 0 4ǫo [Edz ]z=d+ = ǫo [Evz ]z=d− = −ǫo E3 sin(πx) car cos(π) = −1 . Exprim´es sous une forme plus succincte, on aboutit aux ´quations : e e E3 [E d ]z=d+ = E1 sin(πx)ax − sin(πx)az 4 [H d ]z=d+ = H2 sin(πx)ay . ◮ Si on remplace le di´lectrique par un autre conducteur parfait, donnez les e modifications ` apporter aux composantes Ei et Hi des champs. a On doit maintenant appliquer les conditions aux limites dures a z = d. On ` obtient alors : πz 0 = (−az ) × [E]z=d− = [E1 sin(πx) sin( )]z=d (−ay ) 2d E1 sin(πx) car E2 est d´j` ´gal ` z´ro. Cette expression implique maintenant que : eae a e E1 = 0 Ensuite : [J s ]z=d = (−az ) × [H]z=d− πz πz = [H1 cos(πx) cos( )]z=d− (−ay ) + [H2 sin(πx) sin( )]z=d− (ax ) 2d 2d 0 H2 sin(πx) 0 = (−az ) · µo [H] z=d− πz = [H3 cos(πx) sin( )]z=d− d 0 [ρs ]z=d = (−az ) · ǫo [E]z=d− πz = −ǫo E3 sin(πx) cos( ) . d z=d− ǫo E3 sin(πx) Aucune information suppl´mentaire ne peut ˆtre extraite des trois derni`res e e e ´galit´s en ce qui concerne les composantes des champs. On connaˆ cependant e e ıt les expressions du courant de surface et de la densit´ surfacique de charges sur e ce deuxi`me conducteur. e
- 70. 3-60 Les lois de Maxwell Exercices Question 1 Soit le champ d’induction : B = Bo y sin(ωt) ax − Bo x cos(ωt) ay W b/m2 . ´ Evaluez la force ´lectromotrice induite autour du parcours ferm´ rectangulaire suivant les e e coordonn´es de (0, 0, 0) ` (1, 1, 0) ` (1, 1, 1) ` (0, 0, 1) pour revenir a (0, 0, 0). e a a a ` Question 2 Un champ d’induction s’exprime comme B = (Bo /x) ay W b/m2 dans le plan xz. Une boucle rectangulaire rigide est plac´e dans le plan xz avec les coins aux coordonn´es e e (xo , 0, zo), (xo , 0, zo + b), (xo + a, 0, zo + b) et (xo + a, 0, zo ). Si la boucle se d´place avec e une vitesse constante telle v = vo ax m/s, donnez l’expression de la f em induite autour de la boucle parcourue dans le sens de l’´num´ration des coins. e e Question 3 z b a φ y x Une boucle rectangulaire rigide de base b et de hauteur a est perpendiculaire au plan xy et pivote autour de l’axe z par un des ses cˆt´s ` une fr´quence angulaire ω rad/s dans oe a e le sens croissant de φ, comme sur la figure ci-dessus (φ = 0 a t = 0). Donnez l’expression ` de la f em induite sur le parcours ferm´ dans le sens des fl`ches pour les cas suivants du e e champ d’induction : a) B = Bo ay W b/m2 ; b) B = Bo (yax − xay + az ) W b/m2 ; c) B = Bo (xax − yay + az ) W b/m2 . Question 4 2 Un champ ´lectrique E = Eo te−t az existe dans l’espace libre. D´terminez la valeur e e du courant de d´placement traversant du cˆt´ z au cˆt´ z via une surface de 0.1 m2 e oe − oe +
- 71. 3.7 Conditions auxlimites 3-61 dans le plan xy, pour t = 0 et t = 1 s. Question 5 Une source tension connect´e ` un condensateur ` plaques parall`les g´n`re un champ e a a e e e ´lectrique uniforme (on n´glige les effets de bords) entre les plaques : e e E = 180 sin(2π × 106 t) sin(4π × 106 t) az V /m . La surface de chacune des plaques est de 0.1 m2 tandis que l’espacement entre les deux plaques, constitu´ d’air, n’est que de 2 mm. En supposant que le champ ´lectrique est nul e e a ` l’ext´rieur de la r´gion directement entre les deux plaques, calculez la valeur efficace du e e courant fourni par la source. Note#1 : la valeur efficace d’un signal harmonique – sinus ou cosinus – correspond ` la a √ valeur crˆte divis´e par 2. e e Note#2 : la valeur crˆte d’une somme de signaux harmoniques ` diff´rentes fr´quences e a e e se calcule comme la norme d’un vecteur puisque les fonctions harmoniques forment une base orthogonale. Question 6 Divers types de charges sont plac´es, en coordonn´es cart´siennes, comme suit : une e e e charge ponctuelle de 1 µC ` (1, 1, −1.5) ; une charge lin´ique uniforme ayant une densit´ de a e e 2 µC/m le long d’une ligne droite partant de (−1, −1, −1) jusqu’` (3, 3, 3) ; et une charge a surfacique r´partie uniform´ment sur la surface planaire en x = 0 entre les droites z = −1 e e et z = 1 avec une densit´ de −1 µC/m2 . D´terminez le flux ´lectrique [Ψe ]S ´manant de la e e e e surface ferm´e cubique S limit´e par les plans x = ±2, y = ±2 et z = ±2. e e Question 7 Pour chacune des distributions de charges suivantes, d´terminez le flux de d´placement e e ´manant de la surface ferm´e indiqu´e : e e e a) ρ(x, y, z) = ρo (x + y + z)2 pour 0 < x < 1, 0 < y < 1 et 0 < z < 1 ; b) ρ(r, φ, z) = ρo cos2 (φ) pour 0 < r < 1, 0 < φ < π/2 et 0 < z < 1. Question 8 Soit E = Eo cos(6π × 108 t − 2πz) ax V /m. D´terminez le taux d’augmentation tem- e porelle des composantes du champ d’induction Bx , By et Bz au temps t = 10−8 s et a la ` position (1, 1, 0.25) m. Question 9 8 2 Soient J = 0 et H = Ho e−(3×10 t−z) ay A/m. D´terminez le taux d’augmentation e temporelle des composantes du champ de d´placement Dx , Dy et Dz au temps t = 10−8 s e
- 72. 3-62 Les lois de Maxwell et ` la position (1, 1, 2) m. a Question 10 ` A l’int´rieur d’une petite r´gion autour de l’origine, la densit´ de courant produite par e e e le d´placement de charges, est donn´e par : e e J = Jo (x2 ax + y 2 ay + z 2 az ) A/m2 o` Jo est une constante. D´terminez le taux d’augmentation temporelle de la densit´ de u e e charges ` la position (0.02, 0.01, 0.01) m. a Question 11 Soit le champ ´lectrique : e E = Eo cos 3π × 108 t + 0.2π(4x + 3z) ay V /m . Trouvez l’expression du champ d’induction qui satisfait la loi de Faraday. Question 12 Soit un champ ´lectrique dans le vide (J = 0) : e E = Eo e−αy cos(ωt − βz) ax V /m . Trouvez la condition n´cessaire entre les param`tres α, β, ω, µo et ǫo , qui satisfait les deux e e premi`res ´quations de Maxwell. e e Question 13 La r´gion x > 0 est constitu´e d’un di´lectrique parfait dont la permittivit´ vaut 2ǫo e e e e tandis que la r´gion x < 0 est constitu´e d’un autre di´lectrique parfait ayant cette fois, e e e une permittivit´ 3ǫo . On d´note avec le sous-indice 1, les composantes des champs a la e e ` fronti`re de s´paration mais en x = 0 ; avec le sous-indice 2, les composantes a x = 0− . e e + ` Si E 1 = Eo (2ax + ay ) V /m, trouvez : a) Ex1 /Ex2 ; b) E1 /E2 ; c) D1 /D2 . Question 14 Le plan z = 0 forme une fronti`re entre le vide (z > 0) et un mat´riau quelconque. e e Trouvez : a) [J s ](0,0,0) ` t = 0 si l’autre mat´riau est un conducteur parfait et : a e [H](0,0,0+ ) = Ho (3ax − 4ay ) cos(ωt) ;
- 73. 3.7 Conditions auxlimites 3-63 b) [H](0,0,0+ ) si l’autre mat´riau est un mat´riau magn´tique ayant µ = 20µo et : e e e [H](0,0,0− ) = Ho (10ax + az ) ; c) le rapport [B](0,0,0− ) /[B](0,0,0+ ) avec les mˆmes conditions qu’en b). e Question 15 Deux plaques infinies parfaitement conductrices sont localis´s ` x = 0 et x = 0.1 m. e a Les champs ´lectromagn´tiques dans l’espace entre les deux plaques sont d´crits par : e e e E = Eo sin(10πx) cos(3π × 109 t) az V /m Eo H = cos(10πx) sin(3π × 109 t) ay A/m . 120π a) D´montrez que E satisfait les conditions aux limites ; e b) d´duisez la densit´ de courant de surface sur les deux plaques. e e R´ponses : e √ 2 1. f em = − 2 ωBo cos(ωt + π/4) V . 1 1 2. f em = Bo bvo xo +vo t − xo +a+vo t V 1 3. a) f em = Bo ab ω sin(ωt) V ; b) [Ψ]s = − 2 Bo (ab2 ), f em = 0 c) [Ψ]s = −Bo (ab2 ) sin(φ) cos(φ), f em = Bo (ab2 ) ω cos2 (ωt) − ω sin2 (ωt) V . 4. [Id (t = 0)]s = 0.1ǫo Eo A, [Id (t = 1)]s = −0.1e−1 ǫo Eo A. 5. I = 1.118 mArms . 6. S D · dS = 3.3923 µC. 5 7. a) D · dS = 2 ρo ; b) D · dS = π ρo . 8 ∂Bx ∂By ∂Bz 8. ∂t = 0, ∂t = 2πEo , ∂t = 0. ∂Dx ∂Dy ∂Dz 9. ∂t = −0.7358 Ho, ∂t = 0, ∂t = 0. 10. −0.08 Jo (C/m3 )/s. Eo 11. B = 3×108 (0.6ax − 0.8az ) cos (3π × 108 t + 0.2π(4x + 3z)) W b/m2 . 12. β 2 − α2 = ω 2 µo ǫo . √ √ 13. a) 1.5 ; b) 3/ 5 ; c) 2/ 5. 14. a) [J s (t = 0)](0,0,0) = Ho (4ax + 3ay ) ; b) [H](0,0,0+ ) = 10Ho(ax + 2az ) ; c) 8.989 . 15. a) [Ez ]x=0 = 0 et [Ez ]x=0.1 = 0 donc les composantes tangentielles sont bien nulles ; Eo b) [J s ]x=0 = −[J s ]x=0.1 = 120π sin(3π × 109 t) az .
- 75. Chapitre 4 Statique etQuasi-statique 4.1 introduction Lorsqu’on parle de statique, le terme est sans ´quivoque. Il n’y a aucune variation tem- e porelle des entit´s physiques. On peut voir le cas statique comme un cas particulier de la e dynamique. C’est exactement la mani`re d’aborder la chose ici, en ´lectromagn´tisme : les e e e nouvelles ´quations de Maxwell s’obtiennent en annulant toutes les d´riv´es par rapport e e e au temps. Cependant, l’histoire des d´couvertes en ´lectromagn´tisme n’a pas suivi cette e e e approche, qu’on peut qualifier de plus acad´mique. e Le terme quasi-statique est un peu plus ambigu. En fait, on consid`re le cas de e fr´quences relativement basses. Jusqu’o` ? Cela d´pend de plusieurs facteurs mais l’id´e e u e e est la suivante : • les champs ´lectriques et magn´tiques d´coupl´s e e e e En statique, il est clair que ces deux quantit´s semblent sans lien : longtemps on e a cru en deux forces distinctes. Les deux premi`res ´quations de Maxwell montrent e e bien que tel n’est pas le cas avec des signaux variant dans le temps. • les d´riv´es par rapport au temps faibles e e Les variations temporelles sont d´pendantes de la fr´quence : la d´riv´e augmentent e e e e dans le mˆme rapport que la fr´quence. Aux basses fr´quences, les d´riv´es dans le e e e e e temps sont suffisamment faibles pour que le comportement des champs ressemble a ` celui obtenu en statique. • seul le terme du premier ordre en ω retenu Les solutions peuvent ˆtre obtenus en prenant les deux premi`res ´quations de Max- e e e well, l’une apr`s l’autre e.g. de B, on trouve E (D) avec Faraday ; puis de D, on e ` trouve H (B) avec Amp`re. A chaque it´ration, la d´riv´e fait naˆ e e e e ıtre un terme de puissance sup´rieure en ω. Le processus s’arrˆte donc apr`s une seule passe en e e e quasi-statique, plutˆt que de continuer vers une s´rie infinie qui converge vers la o e 1 solution ´lectromagn´tique . e e 1 Il vaut mieux d´duire la solution ´lectromagn´tique en solutionnant une ´quation aux diff´rentielles e e e e e
- 76. 4-66 Statique et Quasi-statique 4.2 Applications directes aux champs statiques d Les quatre ´quations de Maxwell se r´sument ainsi lorsque e e dt =0: E · dl = 0 (4.1) C H · dl = [Ic ]s = J · dS (4.2) C S D · dS = ρ dv (4.3) S V B · dS = 0 (4.4) S tandis que celle de continuit´ devient : e J · dS = 0 . (4.5) S On voit imm´diatement le d´couplage des champs ´lectrique et magn´tique. L’´quation e e e e e (4.1) indique que le champ ´lectrique est maintenant conservatif : l’int´grale de ligne est e e une fonction des points de d´part et d’arriv´e mais est ind´pendante du parcours suivi. e e e Avec (4.2), on remarque que le champ magn´tique statique est cr´´ uniquement par le e ee d´placement de charges libres. Pas de courant de d´placement car il n’y a aucune variation e e de la charge dans le temps, propri´t´ aussi indiqu´e par (4.5). Le courant de convection ee e ou de conduction [I]s existe au travers une boucle ferm´e. e L’utilisation la plus simple et la plus directe des ´quations de Maxwell statiques consiste e a e ` d´river l’expression des champs statiques. Dans certaines conditions o` il est possible u de se servir des sym´tries, les int´grales se simplifient. Il suffit de bien choisir la surface e e ou le parcours d’int´gration, analyser la g´om´trie et faire ressortir des produits scalaires e e e nuls (angle droit entre les deux vecteurs) ou maximum (angle nul). Souvent le travail de calcul se r´alise rapidement si le travail de r´flexion a ´t´ bien men´. e e ee e Rien de mieux que quelques exemples pour se fixer les id´es. On s’apercevra que les e ´quations les plus employ´es dans ce genre d’op´ration sont celles ayant un membre de e e e droite non-nul ; les autres m`nent ` la solution triviale ou servent simplement a confirmer e a ` l’absence de certaines composantes des champs provoqu´e par la sym´trie. e e Exemple 4.1 Un fil infini de rayon a est charg´ uniform´ment avec une densit´ volumique e e e 3 ρo C/m comme sur la figure 4.1. ◮ Exprimez le champ ´lectrique dans le vide ` une distance r du centre du fil. e a Il y a lieu de se servir de la sym´trie de fil pour choisir une surface ferm´e e e car on parle de charge ´lectrique. La meilleure est une surface constitu´e d’un e e partielles du deuxi`me ordre obtenue par combinaison des deux premi`res ´quations de Maxwell. C’est le e e e protocole suivi dans le prochain chapitre.
- 77. 4.2 Applications directesaux champs statiques 4-67 z 2a dS 2 S2 S1 r h dS 1 dS 3 Figure 4.1 – G´om´trie d’analyse du champ E d’un fil infini charg´ uniform´ment. e e e e cylindre S1 de longueur h centr´e sur l’axe z, ferm´ aux deux extr´mit´s a e e e e ` z = 0 et z = h par des surfaces planes S2 et S3 . On se servira de l’´quation e (4.3). La charge emmagasin´e dans le volume d´limit´e par la surface vaut : e e e a 2π h Q = ρo r dzdrdφ r=0 φ=0 z=0 2 = πa h ρo pour r ≥ a sinon il faudra limiter l’int´gration sur r et obtenir : e Q = πr 2 h ρo pour r < a . Seconde ´tape : solutionner le cot´ gauche de l’´galit´ dans lequel on retrouve e e e e l’inconnu ` d´terminer. Par une analyse rapide qui utilise les connaissances a e acquises, le flux ´lectrique au travers les surfaces S2 et S3 est nul car le champ e E est radial donc orthogonal ` la normale de ces surfaces. L’´quation (4.1) a e sur des trajets judicieusement d´termin´s d´montre que seule la composante e e e Er est non-nulle. De plus, partout sur le cylindre S1 – dont la normale est aussi radiale –, le flux ´lectrique est maximal et uniforme : chaque point de la e surface est ` ´gale distance du fil. En cons´quence, on a : ae e D · dS = Dr ar · (±dSaz ) + Dr ar · dSar S S2,3 S1 0 = Dr dS S1 = 2πr h Dr
- 78. 4-68 Statique et Quasi-statique En rapprochant les deux termes, on arrive ` : a a2 ρo 2r r≥a Dr = rρo 2 r<a d’o` finalement : u a2 ρo a 2ǫo r r r≥a E = rρo a 2ǫo r r<a Er aρo 2ǫo aρo 4ǫo aρo 6ǫo a 2a 3a r Figure 4.2 – Champ Er (r) produit par un fil infini charg´ uniform´ment. e e La variation du champ Er selon r est trac´e sur la figure 4.2. e Exemple 4.2 z dS par y h x S 1,2 Figure 4.3 – G´om´trie d’analyse du champ E d’un plan infini charg´ uniform´ment. e e e e Une densit´ surfacique uniforme de charges ρso C/m2 existe dans le plan z = 0. e
- 79. 4.2 Applications directesaux champs statiques 4-69 ◮ Exprimez le champ ´lectrique dans le vide ` une distance z du plan. e a Ici, on r´p`te les mˆmes ´tapes que dans l’exemple pr´c´dent mais en pre- e e e e e e nant comme surface ferm´e S celle d’une boite rectangulaire plac´e de part e e et d’autre du plan z = 0 comme sur la figure 4.3. Par sym´trie, le champ e E = ±Ez az , z ≷ 0 donc pas de flux ´lectrique sortant par les surfaces e lat´rales, seulement sur les deux surfaces parall`les Spar1,2 au plan de dimen- e e sion A chacune. De plus, le champ est pareil en tout point sur ces surfaces. Ainsi : D · dS = ρ dv S V Dz dxdy + Dz dxdy = ρso A Spar1 Spar2 2 Dz A = ρso A d’o` : u ρso a 2ǫo z z>0 E = ρso − 2ǫo az z<0 Le r´sultat correspond bien ` celui obtenu dans l’exemple 2.2. e a Exemple 4.3 z 2a r C J Figure 4.4 – G´om´trie d’analyse du champ H d’un fil infini parcouru par un courant de densit´ e e e uniforme. Un courant circule dans un fil infini de rayon a centr´ sur l’axe z repr´sent´ sur e e e la figure 4.4. La densit´ de courant uniforme est donn´e par J = Jo az A/m2 . e e ◮ Exprimez le champ magn´tique ` une distance r du centre du fil. e a
- 80. 4-70 Statique et Quasi-statique D’abord, la sym´trie selon z convainc facilement de l’absence de la composante e axiale : Bz = 0. L’int´grale de Gauss magn´tique sur un cylindre S1 ferm´ par e e e les surfaces S1 et S2 , centr´, de hauteur h et de rayon a (voir figure 4.1), e d´montre que la composante radiale du champ magn´tique est nulle : e e 0 = B · dS S = B · (±dSaz ) + B · dSar S2,3 S1 0 = B · dSar . Il s’ensuit que B n’a pas de composante radiale non plus : Br = 0. Reste la composante angulaire Hφ . On choisit maintenant un parcours ferm´ C qui saura renseigner sur la valeur e de Hφ . Id´alement, chaque point devrait se trouver a ´gale distance du fil et e `e exploiter la sym´trie angulaire du fil. Le parcours d´crit un cercle de rayon r e e centr´ sur l’axe z. On obtient de l’int´grale d’Amp`re (4.2) : e e e a 2π r=0 φ=0 Jz r dφdr r ≥ a H · dl = r 2π C r=0 φ=0 Jz r dφdr r < a Jo πa2 r ≥ a Hφ 2πr = Jo πr 2 r < a Le champ magn´tique s’exprime : e Jo a2 2r aφ r≥a H = Jo r 2 aφ r<a Hφ aJ0 2 aJ0 4 aJ0 6 a 2a 3a r Figure 4.5 – Champ Hφ (r) produit par un fil infini parcouru par un courant de densit´ uniforme. e La variation du champ Hφ selon r est trac´e sur la figure 4.5. e
- 81. 4.3 Voltage etpotentiel 4-71 4.3 Voltage et potentiel Φ(b) ℓ E Φ(a) q Figure 4.6 – Travail n´cessaire pour d´placer une charge test dans un champ ´lectrique. e e e Lorsqu’une charge ´lectrique q se d´place dans un champ ´lectrique suivant un parcours e e e ℓ, un certain travail est fourni par le champ lui-mˆme. En effet, ` chaque point du parcours, e a le champ exerce une force sur la charge donc un travail doit ˆtre fait pour l’amener a l’autre e ` point adjacent du parcours. Le travail n´cessaire pour se rendre du point a au point b e suivant ℓ de la figure 4.6 vaut donc : Wab = q E · dl . (4.6) ℓ Le voltage repr´sente la quantit´ de travail par unit´ de charge accomplie : e e e b Vab = E · dl . (4.7) a,ℓ Dans les cas statiques, le voltage est ind´pendant du parcours, ce qui revient a dire que la e ` circulation est nulle. Le preuve physique est imm´diate car, dans un parcours ferm´, a et e e b co¨ ıncident et deux sondes d’oscilloscope branch´es sur le mˆme point devraient observer e e un signal identique mˆme si les parcours (d´crits par les cables) sont diff´rents. e e e Pour un champ ´lectrique variant dans le temps, l’int´grale sur un parcours ferm´ e e e devient non-nulle signifiant qu’un travail par unit´ de charge est fait par le champ sur la e charge afin de lui faire parcourir le trajet. C’est la force ´lectromotrice f em. e Exemple 4.4 Soit une charge de 3 µ C qui se d´place dans un champ ´lectrique donn´ par : e e e E(x, y, z, t) = zay + yaz . ◮ Calculez le travail fourni pour amener la charge du point a(0, 0, 0) au point b(0, 1, 1) le long du trajet parabolique d´crit par z = y 2 . e
- 82. 4-72 Statique et Quasi-statique Avant de commencer, on pourrait v´rifier si l’expression du champ donn´ est e e bien celle d’un champ ´lectrique statique. Pour ce faire, il faut remplir deux e conditions. D’abord, le temps ne doit pas intervenir ; ce qui est le cas. Ensuite, il faut que le champ soit conservatif puisque, selon l’´quation de Faraday, e ∇ × E = 0 en statique. La v´rification permet d’affirmer que l’expression e remplie les exigences du champ ´lectrique statique. e De (4.6), on obtient : (0,1,1) Wab = (3 × 10−6 ) zay + yaz · (dxax + dyay + dzaz ) C(0,0,0) 1 1 1 1√ −6 −6 2 = (3 × 10 ) z dy + y dz = (3 × 10 ) y dy + z dz 0 0 0 0 1 1 −6 y3 2z 3/2 = (3 × 10 ) + 3 0 3 0 = 3µJ . On obtiendrait un r´sultat identique en int´grant sur tout autre parcours, e.g. e e z = y. Le voltage peut aussi ˆtre d´duit des math´matiques. On sait que le champ E statique e e e est conservatif car son int´grale de ligne est nulle pour un parcours ferm´. La preuve vient e e de l’´quation de Faraday sous la forme diff´rentielle, dans laquelle la d´riv´e par rapport e e e e au temps de B est nulle. Or, le rotationnel d’un gradient est toujours nul. Ce qui am`ne a e ` dire que le champ E statique correspond ` un gradient d’une fonction qui est le voltage : a ∇ × E = 0 = ∇ × ∇V donc E = − ∇V . (4.8) ↑ On aurait pu utiliser le th´or`me de Stoke pour trouver la mˆme chose. Le signe n´gatif e e e e veut simplement faciliter la relation entre le voltage et la diff´rence de potentiel d´finie e e ci-apr`s. e On peut g´n´raliser la notion pour introduire la fonction de potentiel Φ valide en e e statique, quasi-statique mais aussi pour des signaux variant dans le temps. Elle s’appa- rente ` un champ dans la mesure o` elle est une fonction de l’espace, e.g. Φ(x, y, z) en a u coordonn´es cart´siennes. e e Sa d´monstration math´matique est un peu plus difficile que celle du voltage quoi- e e qu’elle y ressemble. Tout d´bute avec l’´quation de Gauss sur les charges magn´tiques e e e ´crite sous forme diff´rentielle. On sait que la divergence d’un rotationnel est toujours e e nul. Ainsi B est ´gal au rotationnel d’une fonction qui est appel´e le potentiel vecteur A : e e ∇ · B = 0 = ∇ · (∇ × A)
- 83. 4.3 Voltage etpotentiel 4-73 donc : B = ∇×A . (4.9) Le potentiel vecteur n’a aucun sens physique, c’est un ˆtre purement math´matique. Son e e seul avantage r´side lors des calculs de rayonnement. Utilisant (4.9) dans l’´quation de e e Faraday (3.16), il en d´coule que : e d∇×A ∇×E = − (4.10) dt dA 0 = −∇ × E + . (4.11) dt On est maintenant rendu, ` un point similaire avec le voltage car le rotationnel d’un a gradient est toujours nul, d’o` : u dA E+ = −∇Φ . (4.12) dt ↑ La fonction Φ est le potentiel scalaire ou plus simplement, le potentiel. Il repr´sente la e quantit´ de travail par unit´ de charge demand´e pour amener une charge test q de l’infini e e e – o` on assume un potentiel nul – jusqu’au point (x, y, z). u Lorsque dA/dt tend vers z´ro comme en statique et quasi-statique, les deux quantit´s e e V et Φ sont confondues. Tout se r´sume ` : e a Vab = Φb − Φa . (4.13) On comprend pourquoi sont appel´s indiff´remment voltage et diff´rence de potentiel2 . e e e 4.3.1 ´ Equipotentielle La relation V = cte d´finit une surface dans un espace en 3 dimensions – une courbe e dans un espace ` 2 dimensions. Cette surface est une ´quipotentielle : tout point sur cette a e surface a le mˆme potentiel. e Or, le gradient d’une fonction est un vecteur qui pointe dans la direction de la plus forte pente de la fonction au point consid´r´ ; son amplitude vaut justement la grandeur de ee cette pente maximale. Un skieur qui voudrait atteindre une vitesse instantan´e maximale, e suivrait une trajectoire qui repr´senterait le gradient n´gatif – il descend – du relief de la e e montagne. Dans l’analogie du skieur, les ´quipotentielles correspondent aux courbes de e niveau de la montagne que l’on voit sur une carte topographique. Selon (4.8), le champ E statique ou quasi-statique est aussi ce vecteur issu d’un gradient – le voltage ; il d´pend e donc de la variation du voltage dans l’espace. Il en r´sulte que les ´quipotentielles et les lignes de champ ´lectrique se coupent a e e e ` angle droit (an × ∇Φ = 0 avec an , le vecteur unitaire perpendiculaire a l’´quipotentielle) ` e comme le montre la figure 4.7. 2 Attention, les termes de potentiel, voltage ou tension d´signent tous la mˆme quantit´ physique en e e e statique ou quasi-statique ; le potentiel ou potentiel scalaire de (4.12) est la notion plus g´n´rale qui reste e e toujours valide.
- 84. 4-74 Statique et Quasi-statique a gradients aux pts a, b et c b c E Φ = Φa Φ = Φb équipotentielles Φ = Φc ´ Figure 4.7 – Equipotentielles, gradient du potentiel et lignes de champ ´lectrique. e Exemple 4.5 Une charge Q est plac´e dans un di´lectrique de permittivit´ ǫ = ǫr ǫo . e e e ◮ Si le potentiel est nul ` l’infini, exprimez le potentiel a une distance r de la a ` charge. On peut supposer que la charge est au centre d’un syst`me de coordonn´es e e sph´riques, ceci facilite les math´matiques. Il faut d’abord exprimer le champ e e ´lectrique produit par la charge. Plusieurs possibilit´s s’offrent : passer par la e e loi de Gauss sur les charges ´lectriques, ou utiliser directement l’expression e d´coulant de la d´finition du champ ´lectrique (2.3). Quoi qu’il en est, on e e e obtient : Q E = aR . 4πǫr 2 De (4.8), on s’int´resse ` la seule composante non-nulle du gradient en coor- e a donn´es sph´riques, la composante radiale car E = Er ar , pour aboutir a : e e ` dV Q = − . dr 4πǫr 2 L’int´grale ind´finie donne : e e Q V = + C (4.14) 4πǫr 0 o` la constante C doit ˆtre choisie selon une condition fix´e a priori. Ici, on u e e ` veut que le voltage soit nul ` l’infini (r → ∞), donc C = 0. a
- 85. 4.4 Th´orie desimages e 4-75 Les surfaces ´quipotentielles sont simplement des sph`res centr´es sur la charge e e e a r = cte. Cet exemple montre bien que les lignes de champ sont orthogonales ` a toutes ´quipotentielles. ` e L’exemple pr´c´dent fait intervenir une seule charge. Avec plusieurs charges, le principe e e de superposition des champs ´lectriques demeure valide. Comme l’op´ration pour d´duire e e e 3 le voltage ` partir du champ est lin´aire , le voltage en un point et en pr´sence de plusieurs a e e charges se calcule par une somme alg´brique des voltages produits par chacune des charges e prise isol´ment. Plus simple encore qu’avec le champ parce que le voltage est un scalaire. e La meilleure illustration de la superposition des voltages est obtenue avec le dipˆle o ´lectrique, l’´quivalent ´lectrique de l’aimant. Il consiste en deux charges ´gales mais de e e e e signes oppos´s +Q et −Q. Si on place les charges sur l’axe z, l’une a d/2 et l’autre a e ` ` −d/2, le potentiel au point P vaut : Q −Q V = + (4.15) 4πǫr1 4πǫr2 avec r1 la distance entre P et la charge +Q ; r2 , entre P et −Q. En ´loignant le point P du dipˆle i.e. r ≫ d, on peut approximer les valeurs de r1 et e o r2 en prenant l’expansion binomiale : d r1 ≈ r − cos θ 2 d r2 ≈ r + cos θ 2 ce qui conduit ` : a Qd cos θ V ≈ . (4.16) 4πǫr 2 Les ´quipotentielles sont d´crites par r 2 sec θ = cte et sont montr´es a la figure 4.8. e e e ` Derni`re remarque : un conducteur est un corps ´quipotentiel car le potentiel reste e e le mˆme partout sur le conducteur. Les charges libres sur le conducteur se meuvent sans e contrainte jusqu’` ce que le champ ´lectrique devienne nul ; sans quoi la force ´lectrique a e e continue d’ˆtre appliqu´e sur les charges pour les d´placer. Lorsque l’´tat permanent est e e e e atteint, les charges cr´ent un champ ´lectrique qui annule celui initial dans le conducteur. e e Ne pouvant quitter le conducteur, les charges sont rendues ` la surface du conducteur a d’o` r´sulte une densit´ surfacique. Ainsi, le corps conducteur devient ´quipotentiel. u e e e 4.4 Th´orie des images e La th´orie des images ne s’explique que par le respect des conditions aux limites et de e l’´quipotentialit´ sur un conducteur parfait lorsqu’on trace la cartographie (“mapping”) e e du champ ´lectrique et de la fonction de potentiel d’un dipˆle ´lectrique comme celle de e o e 3 Le gradient, tout comme les autres op´rateurs de type ∇, est une op´rateur lin´aire. e e e
- 86. 4-76 Statique et Quasi-statique équipotentielles z +Q +d 2 E −d 2 −Q ´ Figure 4.8 – Equipotentielles et lignes de champ ´lectrique d’un dipˆle ´lectrique. e o e la figure 4.8. Le dipˆle ´lectrique ´tant constitu´ d’une charge +Q et d’une charge −Q, o e e e la charge nette est nulle. On se rend compte qu’en consid´rant le plan milieu et normal au segment reliant les e deux charges : • le champ ´lectrique est perpendiculaire en tout point du plan ; e • le plan correspond ` une ´quipotentielle. a e Ainsi, en pla¸ant un plan conducteur parfait exactement a la position de ce plan, la c ` cartographie du champ ´lectrique et de la fonction de potentielle ne serait nullement e affect´e. Si maintenant, on retire la charge −Q par exemple, le champ ´lectrique devient e e nul automatiquement du cˆt´ de la charge n´gative mais demeure inchang´ de l’autre cˆt´ oe e e oe du plan conducteur. équipotentielle z +Q +Q d d [E]S - -- - - - - - -- - - - - - - - - ⇔ conducteur parfait ρs d −Q image Figure 4.9 – Th´orie des images sur une charge ´lectrique +Q. e e En cons´quence, mettre un plan conducteur parfait ` cˆt´ d’une charge ´lectrique e a oe e correspond ` simuler une charge de signe oppos´ ` une distance ´quivalente sous le plan a ea e conducteur. C’est l’image de la charge ´lectrique statique comme le r´sume la figure 4.9. En e e
- 87. 4.4 Th´orie desimages e 4-77 fait, la charge image est cr´´e par une distribution non-uniforme de la densit´ surfacique ee e de charges ρs ` la surface du conducteur. Cette densit´ de charges est de mˆme signe que a e e la charge image et sa valeur d´pend de l’intensit´ du champ de d´placement D a cette e e e ` position. En pr´sence de plusieurs charges ´lectriques, le plan conducteur parfait simulera autant e e de charges de l’autre cˆt´ avec une mˆme configuration, de mˆmes grandeurs mais de signes oe e e oppos´s. On comprend facilement qu’une densit´ lin´aire ρl , surfacique ρs ou volumique e e e ρ de charges peut ˆtre imag´e de la mˆme mani`re, toujours avec le signe oppos´. e e e e e Exemple 4.6 Une charge lin´aire infinie ayant une densit´ ρl est plac´e parall`lement a une e e e e ` distance d d’un plan conducteur. Pour se fixer les id´es, la charge lin´aire est e e a (x = 0, z = d) et le conducteur est ` z = 0. ` a ◮ Trouvez l’expression de la densit´ surfacique de charges ` la surface du conduc- e a teur. On sait que ρs = −[D⊥ ]S = −ǫ[E⊥ ]S par l’application de la condition aux limites du champ ´lectrique sur la surface S. Or, selon ce qui a ´t´ trouv´ e ee e a l’exemple 4.1, le champ ´lectrique produit par une charge lin´aire infinie ` e e 4 vaut : ρl E+ = ar 2πǫr avec r 2 = d2 + y 2. La charge image produit un champ ´lectrique de mˆme magnitude E− = E+ . e e Remarquons que l’image de la charge annule la composante tangentielle du champ ´lectrique sur le conducteur afin que soit respect´ les condition aux e e limites. Le champ total est la somme vectorielle des deux champs soit, dans le plan z = 0 : [E⊥ ]S = [E + + E − ]z=0 = 2E+ cos θ . L’angle θ repr´sente l’angle d’inclinaison entre le champ ´lectrique et la nor- e e male an = az du plan conducteur. Son cosinus s’exprime ais´ment en fonction e de d et y puisque cos θ = √d . 2 2 d +y On obtient finalement ρl d [E⊥ ]S = πǫ(d2 + y 2 ) donc ρl d ρs = − . π(d2 + y 2 ) 4 Il suffit de comprendre que la densit´ lin´aire ´quivaut ` ρl = ρ(πa2 ) i.e. le produit de la densit´ e e e a e volumique par la surface du fil.
- 88. 4-78 Statique et Quasi-statique Jusqu’ici, la discussion des images a ´t´ limit´e ` une distribution statique des charges ee e a ´lectriques. On peut l’´tendre ` un mouvement de charges. e e a En effet, une charge ´lectrique positive qui se d´place vers la droite a une distance e e ` contante d’un plan conducteur produit une image d’une charge ´lectrique n´gative se e e d´pla¸ant aussi vers la droite, ` mˆme vitesse. Ceci est ´quivalent a un mouvement d’une e c a e e ` charge positive vers la gauche. Par extension, l’image d’un courant – lequel est form´ par e un flot continu de charges en mouvement– parall`le ` un plan conducteur est un courant e a de mˆme amplitude mais de sens oppos´. e e Cependant, un d´placement d’une charge positive vers le haut perpendiculairement e a un plan conducteur engendre une image d’une charge n´gative s’´loignant vers le bas. ` e e Ainsi, un ´l´ment de courant ` la verticale vers le haut produit une image d’un ´l´ment ee a ee de courant ` la verticale aussi orient´ vers le haut. a e I I I d conducteur parfait d I′ images I′ I′ Figure 4.10 – Th´orie des images sur des ´l´ments de courant ´lectrique. e ee e L’image d’un courant circulant ` un angle arbitraire par rapport a un plan conducteur a ` est d´duit en r´solvant les composantes parall`les et perpendiculaires, tel que montr´ sur e e e e la figure 4.10 4.5 ´ Equation de Laplace, m´thode des diff´rences fi- e e nies On a vu de quelle mani`re le champ ´lectrique influe sur le potentiel scalaire. La substi- e e tution de (4.8) dans l’´quation de Gauss ´lectrique, donne : e e −∇ · ǫ∇V = ρ . Utilisant une identit´ vectorielle, l’´quation pr´c´dente s’exprime aussi de la fa¸on sui- e e e e c vante : ǫ∇2 V + ∇ǫ · ∇V = −ρ . (4.17) Dans les cas usuels rencontr´s, on assume que la permittivit´ est uniforme dans la r´gion e e e d’int´rˆt de sorte que ∇ǫ = 0, et (4.17) devient ce qui est connu sous le nom d’´quation ee e de Poisson : ρ ∇2 V = − . (4.18) ǫ On peut faire ici une derni`re supposition : le lieu o` on d´sire estimer V a une densit´ e u e e nulle de charges libres. L’´quation de Poisson se r´duit ` celle de Laplace qui gouverne le e e a
- 89. ´ 4.5 Equation deLaplace, m´thode des diff´rences finies e e 4-79 comportement du potentiel dans des r´gions caract´ris´es par une permittivit´ uniforme e e e e et sans charge libre. L’´quation de Laplace : e ∇2 V = 0 (4.19) semble inint´ressante mais c’est tout le contraire car elle permet de trouver la distribution e du potentiel dans un di´lectrique born´ par des conducteurs de configurations diverses e e mis ` diff´rents potentiels. Les solutions analytiques de l’´quation de Laplace passent par a e e la technique de s´paration des variables. En coordonn´es cart´siennes par exemple, on e e e assume que V (x, y, z) = f1 (x)f2 (y)f3 (z) d’o` : u ∇2 V 1 d2 f1 1 d2 f2 1 d2 f3 = + + (4.20) V f1 dx2 f2 dy 2 f3 dz 2 2 kx 2 ky 2 kz avec la contrainte 2 2 2 kx + ky + kz = 0 . (4.21) L’´quation aux d´riv´es partielles a ´t´ remplac´e par trois ´quations diff´rentielles lin´aires e e e ee e e e e a ` coefficients constants. Cependant, c’est plutˆt une des solutions num´riques de l’´quation de Laplace qui o e e 5 retient l’attention . Dans cette solution en coordonn´es cart´siennes, on remplace les e e diff´rences infinit´simales par des diff´rences finies d’o` le nom de “m´thode des diff´rences e e e u e e finies”. Quoique la m´thode ne se limite pas ` une r´gion planaire – la version 3D de la e a e m´thode des diff´rences finies peut ˆtre vue comme une extension –, elle suppose que e e e la structure analys´e est constitu´e de surfaces prismatiques infinies selon l’axe z i.e. la e e section de la structure dans le plan transversal xy demeure identique quel que soit z. La sym´trie est telle que la solution est ind´pendante de z. e e y noeuds (0, a, 0) (−a, 0, 0) (0, 0, 0) (a, 0, 0) x (0, −a, 0) Figure 4.11 – R´partition des points d’´chantillonnage ` l’int´rieur du domaine de d´finition e e a e e pour la m´thode des diff´rences finies. e e 5 Il existe plusieurs solutions num´riques qui permettent de trouver la distribution du potentiel. Partant e de Laplace, il y a la m´thode aux ´l´ments finis et la m´thode des diff´rences finies. e ee e e
- 90. 4-80 Statique et Quasi-statique Ainsi, le potentiel est estim´ ` certains points d’´chantillonnage que sont les noeuds ea e ou les intersections d’un maillage, ` l’int´rieur de la section ´tudi´e, appel´e domaine de a e e e e d´finition. En consid´rant que les points sont r´guli`rement espac´s les uns des autres par e e e e e une distance a comme sur la figure 4.11, on a pour le laplacien : ∂2 V ∂ ∂V = (4.22) ∂x2 (0,0,0) ∂x ∂x (0,0,0) 1 ∂V ∂V ≈ − (4.23) a ∂x (a/2,0,0) ∂x (−a/2,0,0) 1 [V ](a,0,0) − [V ](0,0,0) [V ](0,0,0) − [V ](−a,0,0) ≈ − (4.24) a a a 1 ≈ 2 ([V ](−a,0,0) + [V ](a,0,0) − 2[V ](0,0,0) ) . (4.25) a On proc`de de mani`re similaire par la d´riv´e seconde en y : e e e e ∂2 V 1 ≈ ([V ](0,−a,0) + [V ](0,a,0) − 2[V ](0,0,0) ) , (4.26) ∂y 2 (0,0,0) a2 on r´organise puis on substitue (4.25) et (4.26) dans (4.19) sans la variable z, pour obtenir : e 1 [V ](0,0,0) ≈ ([V ](−a,0,0) + [V ](a,0,0) + [V ](0,−a,0) + [V ](0,a,0) ) . (4.27) 4 Cette ´quation indique qu’une approximation valable du potentiel en un point donn´ est e e celle d´termin´e en prenant la moyenne des potentiels des noeuds voisins ´quidistants. e e e Cette formule provient des s´ries de Taylor tronqu´es, ce qui permet de connaˆ rapide- e e ıtre 2 ment l’ordre de grandeur de l’erreur : ici de a . La suite de la m´thode consiste ` appliquer l’´quation des diff´rences finies (4.27) aux e a e e noeuds dans le domaine de d´finition, en tenant compte des conditions impos´es par le e e potentiel des conducteurs agissant comme fronti`res. Il faut maintenant solutionner ce e syst`me qui comporte souvent beaucoup d’inconnues (le potentiel a chaque noeud). Selon e ` les contraintes, on pourra utiliser : • la solution matricielle : On g´n`re la matrice des multiples ´quations – une ´quation pour chaque noeud e e e e du domaine de d´finition – des diff´rences finies qui est ensuite invers´e. L’inversion e e e d’une matrice aussi grande est grandement acc´l´r´e si l’on consid`re la propri´t´ ee e e ee “sparse” de la matrice. • la solution par relaxation : On d´bute en supposant que tous les potentiels sont nuls sauf ceux impos´s sur les e e conducteurs, et on r´sout successivement les ´quations en utilisant la derni`re valeur e e e obtenue des quatre potentiels n´cessaires ` chacun des noeuds. La solution corrig´e e a e apr`s une it´ration sert comme nouvelle solution de d´part a la prochaine it´ration. e e e ` e On r´p`te tant que la correction ` appliquer ` un seul des noeuds d´passe un seuil e e a a e fix´ au d´part. e e
- 91. ´ 4.5 Equation deLaplace, m´thode des diff´rences finies e e 4-81 Exemple 4.7 90V 70V V11 V12 V21 V22 10V 50V Figure 4.12 – G´om´trie des quatre ´lectrodes et maillage utilis´ par la m´thode des diff´rences e e e e e e finies. Quatre ´lectrodes ` diff´rents potentiels sont dispos´es en carr´. Elles d´limi- e a e e e e tent un domaine de d´finition quadrill´ par deux lignes horizontales et deux e e lignes verticales comme sur la figure 4.12. Au total, on compte quatre noeuds. ◮ Compte tenu du potentiel des ´lectrodes, d´terminez le potentiel a chacun des e e ` noeuds. On doit r´soudre les quatre ´quations : e e V11 = 0.25(V12 + V21 + 70 + 90) V V12 = 0.25(V11 + V22 + 90 + 10) V V21 = 0.25(V11 + V22 + 70 + 50) V V22 = 0.25(V12 + V21 + 10 + 50) V desquelles d´coulent le syst`me lin´aire suivant e e e : 1 −0.25 −0.25 0 V11 40 −0.25 1 0 −0.25 V12 25 = . −0.25 0 1 −0.25 V21 30 0 −0.25 −0.25 1 V22 15 A v b Par inversion de la matrice A puis post-multiplication par b, on trouve : V11 = 67.5 V, V12 = 52.5 V, V21 = 57.5 V, et V22 = 42.5 V . Les r´sultats des trois premi`res it´rations par relaxation apparaissent au ta- e e e bleau 4.1 avec, comme point de d´part, V11 = V12 = V21 = V22 = 0. e
- 92. 4-82 Statique et Quasi-statique Relaxations 1`re 2`me 3`me e e e V11 40 58.75 65.32 V12 35 48.13 51.41 V21 40 53.13 56.41 V22 33.75 40.32 41.96 Table 4.1 – Valeurs du potentiel aux noeuds ` chacune des trois premi`res it´rations de la a e e relaxation. 4.5.1 Interface entre di´lectriques e Si on d´sire employer la m´thode des diff´rences finies lorsqu’on est en pr´sence de deux e e e e di´lectriques, il faut au pr´alable modifier l’´quation (4.27) pour les points du maillage e e e situ´s ` l’interface entre les deux mat´riaux car ∇ǫ = 0 contrairement a ce qui ´tait e a e ` e suppos´. On n’obtient donc plus l’´quation de Laplace. e e La fa¸on de faire consiste ` partir de l’´quation de Gauss pour les charges ´lectriques c a e e sous la forme int´grale en prenant une surface ferm´e parall´l´pip`de rectangle de dimen- e e ee e sions a × a × ∆z qui entoure chacun des points ` l’interface. Comme, il n’y a aucune a charge ` l’int´rieur du volume d´limit´e par la surface ferm´e, alors. S D · dS = 0 avec a e e e e D = ǫE = −ǫ∇V . En se r´f´rant ` la figure 4.11 o` un di´lectrique de permittivit´ ǫ1 ee a u e e couvre la partie y < 0 et un autre de permittivit´ ǫ2 dans y > 0, on trouve alors : e V(0,a,0)−V(0,0,0) V −V V −V ǫ2 a a∆z + ǫ2 (−a,0,0) (0,0,0) a ∆z + ǫ2 (a,0,0)a (0,0,0) a ∆z a 2 2 V −V V −V V −V (4.28) +ǫ1 (0,−a,0) (0,0,0) a∆z + ǫ1 (−a,0,0) (0,0,0) a ∆z + ǫ1 (a,0,0)a (0,0,0) a ∆z a a 2 2 ≈ 0. Un r´arrangement des termes conduit ` l’expression ` utiliser pour les points a l’interface e a a ` seulement en fonction des constantes di´lectriques : e ([V ](−a,0,0) + [V ](a,0,0) ) (ǫr1 [V ](0,−a,0) + ǫr2 [V ](0,a,0) ) [V ](0,0,0) ≈ + (4.29) 4 2(ǫr1 + ǫr2 ) Exemple 4.8 La figure 4.13 montre un domaine de d´finition de 4 par 4 unit´s contenant e e deux di´lectriques : celui du haut est l’air et celui du bas a une constante e di´lectrique ǫr1 = 9. Le potentiel aux limites de ce domaine vaut 0 V alors e ` qu’un seul noeud du domaine a un potentiel fixe de 1 V . A cause de la sym´trie, e seulement 5 valeurs du potentiel sont inconnues soient Va , Vb , Vc , Vd et Ve . ◮ D´terminez ces 5 valeurs du potentiel en assumant un seul di´lectrique de e e constante ǫr = 9.
- 93. ´ 4.5 Equation deLaplace, m´thode des diff´rences finies e e 4-83 0V ǫr2 = 1 Va Vb Va Vc Vd Vc Ve Ve 1V ǫr1 = 9 Figure 4.13 – G´om´trie impliquant deux di´lectriques et maillage utilis´ par la m´thode des e e e e e diff´rences finies. e La valeur de la constante di´lectrique n’intervient pas dans les calculs de sorte e que : Va = 0.25(Vb + Vc ) V Vb = 0.25(2Va + Vd ) V Vc = 0.25(Va + Vd + Ve ) V Vd = 0.25(Vb + 2Vc + 1) V Ve = 0.25(Vc + 1) V . On obtient les valeurs suivantes avec un seul di´lectrique : Va = 0.0811 V, e Vb = 0.1351 V, Vc = 0.1892 V, Vd = 0.3784 V et Ve = 0.2973 V. ◮ D´terminez ces 5 valeurs du potentiel par inversion matricielle avec les deux e di´lectriques. e Les cinq ´quations ` r´soudre sont : e a e Va = 0.25(Vb + Vc ) V Vb = 0.25(2Va + Vd ) V Va + 9Ve Vc = 0.25(Vd ) + V 20 Vb + 9 Vd = 0.25(2Vc ) + V 20 Ve = 0.25(Vc + 1) V . On note la diff´rence imputable ` l’interface dans les expressions e a de Vc et Vd qui se situent ` l’interface. Par la forme matricielle : a 1 −0.25 −0.25 0 0 Va 0 −0.5 1 0 V −0.25 0 b 0 −0.05 0 1 −0.25 0 Vc = 0 0 −0.05 −0.5 1 0 Vd 0.45 0 0 −0.25 0 1 Ve 0.25
- 94. 4-84 Statique et Quasi-statique on obtient Va = 0.1317 V, Vb = 0.2195 V, Vc = 0.3073 V, Vd = 0.6146 V et Ve = 0.3268 V. Note : les matrices ` inverser sont de grandes dimensions dans les probl`mes pratiques a e 2 2 2 2 rencontr´s (N M × N M avec N et M repr´sentant le nombre d’unit´s en largeur et en e e e hauteur du domaine de d´finition). Par contre, elles contiennent une quantit´ importante e e d’´l´ments nuls, faisant d’elles des matrices ´parses (“sparse matrix”). Les math´maticiens ee e e se sont amus´s ` trouver un algorithme optimal d’inversion de ce type de matrices, algo- e a rithme que l’on retrouve dans MatlabTM . 4.6 De l’´lectromagn´tisme aux circuits e e La th´orie des circuits, bien connue et largement employ´e en ing´nierie, n’est applicable e e e que dans le cas statique et quasi-statique comme beaucoup semble l’oublier. Elle suppose : • des d´lais de propagation nuls entre deux points d’un mˆme noeud ; e e • des ´l´ments tr`s petits par rapport ` la longueur d’onde de sorte qu’ils r´agissent ee e a e au premier ordre de la fr´quence. e L’effet de propagation est couvert dans les chapitres ult´rieurs sur les lignes de transmis- e sion entre deux points. L’effet des ´l´ments suit dans cette section. ee Mais avant, il est int´ressant de voir comment les lois fondamentales des circuits e ´lectriques d´rivent des ´quations de Maxwell. e e e • L’´quation de Faraday statique (4.1) est l’extension de la loi des mailles car en e statique et quasi-statique, on a : 0 = − E · dl C b c a = − E 1 · dl1 − E 2 · dl2 − ... − E K · dlK a b z = V1 + V2 + ... + VK . • De la mˆme mani`re, l’´quation de continuit´ statique (4.5) est l’extension de la loi e e e e des noeuds : 0 = J · dS S = J 1 · dS 1 + J 2 · dS 2 + ... + J K · dS K S1 S2 SK = [Ic ]S1 + [Ic ]S2 + ... + [Ic ]SK o` l’ensemble des K surfaces Si forment une surface ferm´e S. u e On comprend maintenant qu’aux fr´quences plus ´lev´es, les deux lois fondamentales e e e de Kirchoff ne tiennent plus ; il faut alors revenir au source soit l’´lectromagn´tisme. e e
- 95. 4.6 De l’´lectromagn´tismeaux circuits e e 4-85 4.6.1 Capacitance On appelle capacitance6 C, exprim´e en Farads (F ), le rapport entre la charge et la e diff´rence de potentiel entre deux conducteurs – qui constituent les bornes ou les ´lectrodes e e a et b – dans un milieu di´lectrique de permittivit´ ǫ. C’est-`-dire que : e e a Qa Qb C = = . (4.30) Vab Vba Lorsqu’une tension est appliqu´e ` deux ´lectrodes quelconques, des charges ´gales avec e a e e polarit´s oppos´es sont transf´r´es sur la surface des conducteurs. L’´lectrode branch´e du e e ee e e cˆt´ positif accumule une charge Qa = +Q et une charge Qb = −Q s’accumule sur l’autre oe ´lectrode. L’´valuation de la capacitance se fait par l’interm´diaire du champ ´lectrique e e e e a ` partir de la loi de Gauss (4.3) et de la d´finition du voltage (4.7) : e Sa E · dS C = ǫ b . (4.31) a E · dl Cependant, on v´rifie que la valeur de C pour diff´rentes configurations de condensa- e e teur, est toujours ind´pendante de E. La capacitance est gouvern´e uniquement par la e e g´om´trie (tailles, formes et positions relatives des ´lectrodes) et par la permittivit´ du e e e e di´lectrique. e Exemple 4.9 z A a d ǫr b Figure 4.14 – G´om´trie pour la d´termination d’une capacit´ de 2 plaques parall`les. e e e e e Un condensateur est constitu´ de deux plaques conductrices de surface A, e parall`les et espac´es par une distance d. Un di´lectrique de permittivit´ ǫ e e e e remplit l’espace entre les plaques. On n´glige les effets de bord : le champ e ´lectrique reste confin´ dans l’espace imm´diatement entre les deux plaques. e e e La figure 4.14 illustre la g´om´trie de l’arrangement. La configuration id´ale e e e est celle de deux plaques infinies o` on ne s’int´resse qu’` une section finie u e a d’aire A. ◮ Exprimez la capacitance de cette structure. 6 La capacit´ ou le condensateur repr´sente plutˆt le dispositif lui-mˆme capable d’emmagasiner une e e o e charge.
- 96. 4-86 Statique et Quasi-statique Le voltage Vab fait apparaˆ des charges +Q et −Q sur chacune des plaques, ıtre soit des densit´s surfaciques de charges ρsa = Q/A et ρsb = −Q/A respective- e ment. Le champ ´lectrique peut ˆtre d´duit de plusieurs mani`res : e e e e • par l’application des conditions aux limites sur une plaque conductrice pour trouver E et D⊥ ; • par l’int´grale de Gauss statique sur une surface ferm´e constitu´e d’un e e e boite rectangulaire plac´e de part et d’autre d’une plaque conductrice e comme ` l’exemple 4.2 ; a • par l’int´grale sur un surface infinie comme ` l’exemple 4.2 et superposi- e a tion des champs avec deux plaques. On comprend que, selon la configuration id´ale, le champ ´lectrique est uni- e e forme dans le di´lectrique. On trouve alors : e ρsa E = (−az ) . ǫ La diff´rence de potentiel entre les deux plaques peut maintenant ˆtre d´termi- e e e n´e comme suit (dl = −dzaz ) : e b Vab = − E · dl a a ρsa = dz b ǫ ρsa = d. ǫ La capacitance vaut donc : Qa ρsa A C = = Vab ρsa d/ǫ ǫA = . d 4.6.2 Conductance La conductance G est l’inverse de la r´sistance R d´finie ` partir de la loi d’Ohm R = V /I e e a en Ohms (Ω). Dans la structure qui servait ` la capacit´, on remplace le di´lectrique par a e e un mat´riau dont la conductivit´ est finie mais non-nulle. Un courant de conduction [Ic ]S e e (ou plus simplement I) traverse un mat´riau lorsqu’une tension Vab est appliqu´e aux e e bornes a et b. Or les deux quantit´s sont reli´es au champ ´lectrique via : e e e I = J · dS = σE · dS (4.32) S S b Vab = E · dl (4.33) a
- 97. 4.6 De l’´lectromagn´tismeaux circuits e e 4-87 o` S est une surface qui coupe l’ensemble des lignes de champ ´lectrique pour mesurer le u e flux ´lectrique total dans le mat´riau. Cette surface ne contient pas les fils qui se rendent e e aux ´lectrodes. Donc : e E · dS G = σ S b . (4.34) a E · dl La conductance devient plus difficile ` d´terminer dans une situation complexe o` la a e u fr´quence augmente. En effet, un champ magn´tique naˆ dans le mat´riau a cause du e e ıt e ` couplage ´lectromagn´tique qui affecte la distribution de la densit´ de courant. Aussi, un e e e effet pelliculaire apparaˆ en p´riph´rie du mat´riau entre les bornes. ıt e e e Exemple 4.10 S A σ E a b ℓ Figure 4.15 – G´om´trie pour la d´termination d’une r´sistance cylindrique. e e e e Soit une r´sistance cylindrique de longueur ℓ et de section A, faite d’un e mat´riau de conductivit´ finie σ. On assume un champ uniforme dans le e e mat´riau en question. Pour cela, deux plaques circulaires agissent comme e bornes a chaque extr´mit´ du cylindre. ` e e ◮ Exprimez la valeur de la r´sistance R. e • D’une part, un champ ´lectrique uniforme E fait en sorte que le voltage e corresponde ` Vab = Eℓ. a • D’autre part, la surface choisie est transversale aux lignes de champ (voir figure 4.15) donc I = σE A La conductance vaut : σA G = ℓ ou ℓ R = . σA
- 98. 4-88 Statique et Quasi-statique 4.6.3 Inductance L’inductance est un concept plus difficile que les deux pr´c´dents. Dans sa version propre e e ou “self” (en fran¸ais plus correct, on dirait auto-inductance ; mais on pr´f`re le raccourci c ee inductance), elle repr´sente l’effet d’une variation du courant sur lui-mˆme. Elle fait donc e e intervenir ` la fois le courant et le champ magn´tique li´ – ou la partie du champ li´ avec a e e e une partie du courant, c’est la subtilit´ de la chose. La version mutuelle relie le champ e magn´tique produit par un courant avec le courant induit dans un autre arrangement. e Les transformateurs constituent un bel exemple d’inductance mutuelle. 4.6.3.1 Inductance externe En g´n´ral, on est tenu de consid´rer l’´paisseur du fil afin de s´parer les contributions du e e e e e champ magn´tique ` l’int´rieur et ` l’ext´rieur du conducteur. On parle alors d’inductance e a e a e propre interne Li ou externe Le . Mais dans un but de simplification, on se limitera au champ externe en assumant aucun champ interne. L’inductance dans ces conditions se d´finit comme le rapport entre le flux magn´tique e e par le courant ´lectrique li´ au flux : e e Ψ L = (4.35) I ou plus g´n´ralement : e e S H · dS L = µ . (4.36) C H · dl o` S est une surface qui intercepte tout le flux et C, un parcours ferm´ entourant le u e conducteur. Exemple 4.11 ℓ S Js Js dS a Bϕ = µHϕ b Figure 4.16 – Section et surface d’int´gration pour le flux d’une inductance constitu´e de deux e e cylindres centr´s. e Soit un dispositif constitu´ d’un cylindre conducteur plein de longueur ℓ et de e rayon a, sur lequel circule un courant I avec une densit´ surfacique uniforme e
- 99. 4.6 De l’´lectromagn´tismeaux circuits e e 4-89 J s = Jso az A/m. Le courant revient sur la surface d’un conducteur cylindrique creux centr´ sur le premier mais de rayon b > a. On ins`re un mat´riau de e e e perm´abilit´ µ entre les deux cylindres. e e ◮ Exprimez l’inductance externe de l’arrangement dont la section est montr´e a e ` gauche sur la figure 4.16. On commence par exprimer le champ d’induction dans le di´lectrique en co- e ordonn´es cylindriques. On profite de la sym´trie pour affirmer que le champ e e magn´tique est ind´pendant de φ. De l’´quation d’Amp`re sur un parcours e e e e circulaire centr´e avec a < r < b, on trouve que : e Hφ 2πr = Jso 2πa µ Jso a B = aφ . r Tout le flux passe compl`tement dans le mat´riau (le champ d’induction est e e nul pour r > b et r < a). Prenant la section rectangulaire montr´e a droite e ` sur la figure 4.16 comme surface d’int´gration pour trouver le flux total, on e trouve : µ Jso a Ψ = aφ · dS S r b ℓ µ Jso a = dz dr r=a z=0 r b = µ Jso a ℓ ln . a I/(2π) La valeur de l’inductance est : µℓ b L = ln . 2π a Aussi, il arrive que la surface d’int´gration “coupe” ` plusieurs reprises – N fois par e a exemple – les lignes de champ magn´tique. Des boucles de fil constitu´es de N tours e e constitue le meilleur exemple. Dans ce cas, l’inductance augmente d’un facteur ´gal a N e ` comparativement ` celle d’une seule boucle. La figure 4.18 montre que la surface h´lico¨ a e ıdale d´limit´e par le fil conducteur ressemble ` N = 2 vrilles superpos´es et le flux magn´tique e e a e e total passe par chacune des vrilles. On ´crit pour ces inductances bobin´es : e e Ψ1boucle L = N . (4.37) I
- 100. 4-90 Statique et Quasi-statique Exemple 4.12 I z µ ℓr1 a N tours C h ℓz1 ℓz2 ℓr2 I Figure 4.17 – G´om´trie du sol´no¨ infini et parcours/surface d’int´gration pour B. e e e ıde e Un sol´no¨ infini comporte N tours sur une longueur h. Le fil du sol´no¨ e ıde e ıde est enroul´ sur une tige cylindrique infinie de rayon a dont le mat´riau est e e ferromagn´tique de perm´abilit´ tr`s ´lev´e µ. e e e e e e ◮ D´duisez l’inductance par unit´ de longueur du sol´no¨ e e e ıde. En premier lieu, on ´value le champ d’induction ` l’int´rieur des boucles de fil e a e dans le mat´riau. Si le sol´no¨ est dans l’axe z, on peut affirmer que pour e e ıde des consid´rations g´om´triques, le champ ne peut ˆtre fonction de z et de φ. e e e e De plus, comme la portion ℓz2 peut ˆtre situ´e ` une distance quelconque sans e e a en modifier le r´sultat, le champ d’induction ext´rieur Be (−az ) est donc une e e constante. Or, le flux exterieur Ψe = z=cte Be dS = Be z=cte dS = Be · ∞ ne peut ˆtre infini de sorte qu’on peut consid´rer le champ d’induction ext´rieur e e e comme ´tant pratiquement nul Be ≈ 0 pour limiter le flux externe. Finalement, e le champ d’induction dans le mat´riau est orient´e selon az . En proc´dant a e e e ` partir de la loi d’Amp`re statique sur un parcours rectangulaire montr´ sur la e e figure 4.17, on obtient : NI = H · dl C = Hz az ·az dz + Hz az ·ar dr + Hz az ·(−az dz) + Hz az ·(−ar dr) ℓz1 ℓr1 ℓz2 ℓr2 0 He dz= 0dz=0 0 = Hz h et, de l` : a µ NI Bz = . h
- 101. 4.6 De l’´lectromagn´tismeaux circuits e e 4-91 On remarque que le champ d’induction dans le mat´riau est uniforme. Le flux e magn´tique qui traverse une boucle est facile ` calculer ; il vaut : e a µ NI πa2 Ψ1boucle = . h Il faut bien voir que l’analyse a ´t´ faite en ne prenant qu’une partie de lon- ee gueur h du sol´no¨ e ıde. L’obtention de l’inductance par unit´ de longueur qui e est not´e L d´coule de (4.37) en divisant ensuite par h. Donc : e e µ N I πa2 L 1 h L = = N h h I µ N 2 πa2 = . h2 4.6.3.2 Inductance interne L’inductance telle que d´finie ` l’´quation (4.35), exige que tout le flux soit li´ par le e a e e courant complet. C’est le cas usuel en pratique, car on suppose que le courant dans un bon conducteur est confin´ ` la surface – courant de surface J s – o` il contribue enti`rement ea u e au flux. Parfois, le flux entier ne peut ˆtre li´ ` tout le courant : une partie seulement e e a du courant est li´e ` une partie du flux. Il convient alors de travailler sur des ´l´ments e a ee diff´rentiels du flux pond´r´s au prorata de la fraction du courant qui contribue au flux, e ee puis d’int´grer sur la surface par laquelle passe le flux entier. On parle alors d’inductance e interne et d’inductance externe. Pour l’inductance interne, le flux int´gr´ est li´ a une e e e ` partie du courant, et non ` tout le courant : a Ψ Lint = ε dS S [I]dS o` ε repr´sente la partie du flux li´e du courant li´e au courant passant par dS. L’induc- u e e e tance totale de l’arrangement est la somme des inductances interne et externe ; on int`gre e alors tout le flux. B Figure 4.18 – Surface d´limit´e par deux boucles de fil conducteur. e e
- 102. 4-92 Statique et Quasi-statique 4.6.3.3 R´luctance e La r´luctance ℜ, exprim´e en H −1 , sert pour d´terminer le flux magn´tique dans un circuit e e e e magn´tique. Ce dernier est une analogie directe du circuit ´lectrique avec : e e • les sources tension remplac´es par des forces magn´tomotrices f mm ou, avec plu- e e sieurs tours, par des potentiels scalaires magn´tiques Vm = NI ; e • les courants remplac´s par les flux magn´tique Ψ ; e e • les r´sistances remplac´es par les r´luctances ℜ. e e e Il faut effectivement une force magn´tomotrice pour faire circuler un flux magn´tique entre e e deux points d’un circuit magn´tique tout comme une force ´lectromotrice (ou voltage) cr´e e e e un courant au travers une r´sistance. Donc : e Vm = ℜΨ . (4.38) Pour un bloc de longueur l, de section A et de perm´abilit´ µ, la r´luctance vaut : e e e l ℜ = . (4.39) µA Exemple 4.13 b c I a N d Ψ Figure 4.19 – Tore magn´tique avec entrefer. e Un tore magn´tique est constitu´ d’un noyau de ferrite µrtore = 103 a section e e ` 2 rectangulaire b × c = 200 mm , de rayon moyen a = 15 mm avec un petit entrefer d’une distance d = 3 mm comme sur la figure 4.19. L’enroulement comporte N = 1000 tours de fil conducteur sur lequel circule un courant Io = 0.2 A. On suppose qu’il n’y a pas de fuite de flux et que les effets de bord sont n´gligeables dans l’entrefer. e ◮ D´terminez approximativement le flux magn´tique Ψentref er dans l’entrefer. e e Le sch´ma du circuit magn´tique est illustr´ sur la figure 4.20 o` ℜe et ℜt e e e u sont respectivement les r´luctances de l’entrefer et du tore. Selon (4.39), elles e
- 103. 4.6 De l’´lectromagn´tismeaux circuits e e 4-93 ℜt Ψ Vm = NI ℜe Figure 4.20 – Circuit magn´tique ´quivalent de l’exemple 4.13. e e valent (apr`s conversion des mm en m) : e d 0.003 ℜe = = −7 )(0.0002) = 11.937 × 106 H −1 µo bc (4π × 10 2πa − d 2π(0.015) − 0.003 ℜt = = 3 )(4π × 10−7 )(0.0002) = 0.363 × 106 H −1 . µrtore µo bc (10 Le circuit magn´tique se r´sout selon (4.38) : e e Vm = NI = (ℜe + ℜt ) Ψ car il n’y a qu’un seul courant magn´tique et les deux r´luctance sont en s´rie. e e e Ainsi, le flux circulant dans le tore est le mˆme que le flux dans l’entrefer e Ψtore = Ψentref er = Ψ. Ceci donne : (1000)(0.2) Ψ = = 16.26 × 10−6 W b . (11.937 + 0.363) × 106 ◮ V´rifiez en utilisant l’´quation d’Amp`re et les conditions aux limites. e e e Selon l’´quation d’Amp`re, on trouve : e e H · dl = Hφtore (2πa − d) + Hφentref er (d) = NI C Bφtore Bφentref er (2πa − d) + (d) = NI . µrtore µo µo Le champ H est normal ` la fronti`re entre tore et entrefer. Il y a continuit´ a e e de la composante normale du champ d’induction selon (3.44) : Bφtore = Bφentref er = Bφ ce qui confirme l’´galit´ des flux dans le tore et dans l’entrefer. e e On obtient finalement : (1000)(0.2) Bφ = = 0.0813 W b/m2 72.61 + 2387.32 d’o` u Ψ = B · dS = Bφ bc = (0.0813)(0.0002) = 16.26 × 10−6 W b . S
- 104. 4-94 Statique et Quasi-statique Exemple 4.14 A B C I D N E F G H Figure 4.21 – Tore magn´tique avec entrefer. e Un tore magn´tique est reproduit sur la figure 4.21. Les longueurs moyennes e valent ℓBAF G = ℓBCHG = 120 mm et ℓBD = ℓEG = 20 mm. Le noyau de ferrite µrtore = 103 a une section rectangulaire de ACAHF = 200 mm2 entre les points ACHF ; l’entrefer d’une distance ℓDE = 1 mm a une section rectangulaire ADE = ABD = AEG = 300 mm2 . ◮ Dessinez le circuit magn´tique ´quivalent. e e ℜBAF G ℜBD Ψentref er ℜBCHG Vm = NI ℜentref er ℜEG Figure 4.22 – Circuit magn´tique ´quivalent de l’exemple 4.14. e e Le sch´ma du circuit magn´tique est un peu plus compliqu´ que celui de e e e l’exemple pr´c´dent. Il est illustr´ sur la figure 4.22. Les r´luctances sont cal- e e e e cul´es selon (4.39) : e 0.12 ℜBAF G = ℜBCHG = = 0.477 × 106 H −1 (103 )(4π× 10−7 )(0.0002) 0.02 ℜBD = ℜEG = 3 )(4π × 10−7 )(0.0003) = 0.053 × 106 H −1 (10 0.001 ℜentref er = = 2.653 × 106 H −1 (4π × 10−7 )(0.0003) .
- 105. ´ 4.7 Energie emmagasin´e e 4-95 4.7 ´ Energie emmagasin´e e On sait que les champs ´lectriques ou magn´tiques sont li´s ` des forces en pr´sence. e e e a e • Un ensemble de charges ´lectriques poss`de une ´nergie potentielle pour que les e e e charges demeurent fixes. Cette ´nergie correspond au travail requis pour amener e chacune des charges de l’infini jusqu’` sa position respective. Une fois l’ensemble en a place, cette ´nergie potentielle est emmagasin´e dans le champ ´lectrique. En effet, e e e on tire une ´nergie d’un condensateur charg´, ´nergie qui provient de celle stock´e e e e e dans le champ ´lectrique. e • De mani`re analogue, une ´nergie potentielle maintient une boucle de courant dans e e un champ magn´tique produit par d’autres boucles de courant. Cette ´nergie est e e emmagasin´e cette fois dans le champ magn´tique comme dans une inductance e e charg´e capable, elle aussi, de fournir une ´nergie. e e En mettant en parall`le un condensateur et une inductance, l’´nergie est transf´r´e de e e ee l’une forme ` l’autre en alternance cr´ant ainsi un circuit oscillant. a e La d´termination de l’´nergie emmagasin´e sert ´norm´ment lorsque vient le temps de e e e e e faire des calculs de force ´lectrostatique ou magn´tostatique sachant que e e b Wab = F · dl ou mieux F = ∇W . (4.40) a,ℓ 4.7.1 ´ Energie ´lectrique emmagasin´e e e Pour d´terminer l’expression de l’´nergie ´lectrique, on peut proc´der par deux mani`res e e e e e qui aboutissent ` la mˆme conclusion (heureusement). a e Avec une seule charge en pr´sence Q1 , amener une nouvelle charge Q2 de l’infini jusqu’` e a une certaine position requiert un travail We2 = Q2 V12 o` V12 correspond au voltage a la u ` position finale de la charge Q2 produit par Q1 . En continuant d’assembler le syst`me de e charges, on am`ne une charge Q3 de l’infini ` sa position finale. Le travail n´cessaire vaut e a e We3 = Q3 V13 + Q3 V23 . Le travail total ´lectrique We pour n charges s’exprime : e We = Q2 V12 + Q3 (V13 + V23 ) + . . . + Qn (V1n + V2n + . . . + Vn−1,n ) . (4.41) Il est int´ressant de remarquer que le travail est identique en amenant une charge Q1 e a ` sa position en consid´rant la charge Q2 d´j` ` sa place i.e. Q2 V12 = Q1 V21 . On peut e ea a donc r´´crire (4.41) pour n charges, comme suit : ee We = Q1 (V21 + V31 + . . . + Vn1 ) + Q2 (V32 + V42 + . . . + Vn2 ) + . . . + Qn−1 Vn,n−1 . (4.42) En sommant les ´quations (4.41) et (4.42), on d´duit que e e n n 2We = Qi Vji . (4.43) i=1 j=1 j=i Si, au lieu d’avoir des charges discr`tes, le syst`me consiste en une distribution volu- e e mique de charges :
- 106. 4-96 Statique et Quasi-statique • les sommes deviennent des int´grales car e Qi = V ρdv, • les voltages deviennent une fonction de l’emplacement dans le volume V (x, y, z) en consid´rant l’ensemble complet (une unit´ diff´rentielle de charge dQ ne modifie pas e e e la fonction ` cause de sa contribution non significative). a Ainsi, on obtient : 1 We = ρV (x, y, z)dv . (4.44) 2 V Pour faire une association avec la notion de champ, il convient de remplacer ρ = ∇ · D selon l’´quation de Gauss sous forme diff´rentielle. Par une identit´ vectorielle, on a : e e e ∇ · (V D) = V (∇ · D) + D · (∇V ) −E de sorte que maintenant 1 We = (∇ · (V D) + D · E) dv (4.45) 2 V 1 = D · E dv . (4.46) V 2 we Le passage de l’avant-derni`re ` la derni`re ´quation se justifie par le fait que, selon le e a e e th´or`me de Green, V ∇ · (V D) = S V D · dS. Or, ` grande distance d’une charge ou e e a d’une distribution de charges, le voltage d´croˆ en 1/r et le champ de d´placement en e ıt e 2 2 1/r alors que la surface dS ne croˆ qu’en r . L’int´grale sur S donne donc z´ro. ıt e e Le terme ` l’int´rieur de l’int´grale de (4.46) poss`de les unit´s de joules par unit´ de a e e e e e volume soit une densit´ d’´nergie ; c’est la densit´ d’´nergie ´lectrique emmagasin´e. On e e e e e e le note we : 1 1 1 D2 we = D · E = ǫE 2 = . (4.47) 2 2 2 ǫ L’autre mani`re de proc´der passe par l’´nergie stock´e dans un condensateur7 qui e e e e 1 2 vaut Wc = 2 CVab o` Vab est la tension finale aux bornes du condensateur. Comme u • CVab = Qa = Sa D · dS selon la d´finition de la capacitance ; e 7 L’´nergie est reli´e ` la puissance par le temps : e e a T T W = P(t) dt = v(t)i(t) dt . −∞ −∞ Or, la relation v − i aux bornes d’un condensateur s’exprime par i(t) = C dv ce qui revient ` ´crire dt ae T T T dv v 2 (t) 1 Wc = v(t)C dt = Cv(t) dv = C = CV 2 −∞ dt −∞ 2 −∞ 2 ab puisque v(−∞) → 0 et que v(T ) = Vab . CQFD.
- 107. ´ 4.7 Energie emmagasin´e e 4-97 b • Vab = a E · dl avec dl en tout point dans la direction de la normale a la surface dS ` on d´duit assez rapidement que : e b 1 1 Wc = D · dS E · dl = D · Edv . (4.48) 2 Sa a V 2 Comme l’´nergie doit ˆtre contenue ` quelque part, c’est dans le champ ´lectrique qu’elle e e a e se trouve d’o` Wc = We . u Exemple 4.15 Un condensateur ` plaque parall`le est charg´ directement par une source a e e tension Vo . La source est ensuite retir´e. La capacitance vaut C = ǫ A o` e d u A est l’aire de chacune des plaques et d, la distance entre les plaques du condensateur. ◮ Donnez l’expression de la force qui agit sur les plaques. On peut exprimer la force en passant par la loi de Coulomb (2.1) sur des densit´s surfaciques de charge. Cela exige deux int´grales de surface entre des e e ´l´ments diff´rentiels de charge dQ1 = ρs1 dS et dQ2 = ρs2 dS avec R qui ee e varie selon les positions des deux ´l´ments de charge. Quoique les int´grales ee e demeurent relativement simples, on veut utiliser ici le concept d’´nergie em- e magasin´e dans le champ ´lectrique entre les plaques. e e Pour trouver l’´nergie emmagasin´e, on peut soit choisir l’une ou l’autre des e e expressions (´quivalentes d’ailleurs) de Wc (4.48) ou We (4.47). On v´rifie e e A ais´ment selon (4.48) avec C = ǫ d , que : e 1 A 2 We = Wc = ǫ V . 2 d o Si on augmente la distance entre les deux plaques par un incr´ment diff´rentiel e e ′ dz tel que d = d + dz, alors l’´nergie emmagasin´e devient : e e 1 A We′ = ǫ Vo2 . 2 d + dz La diff´rence d’´nergie dWe provient du travail virtuel effectu´ pour d´placer e e e e l’une des plaques sur une distance dz, soit dWv = F dz. On trouve donc que la force ´lectrostatique entre les deux plaques s’exprime : e dWe 1 1 1 ǫAVo2 F = = ǫAVo2 − ≈ . dz 2dz d d + dz 2d2 ≈ dz 2 d La pression ´lectrostatique Pe peut ˆtre simplement tir´e selon le rapport F/A. e e e
- 108. 4-98 Statique et Quasi-statique Si la source reste branch´e aux bornes du condensateurs, la force ´lectrostatique e e doit garder la mˆme expression alors que de l’´nergie est fournie par la source e e 2 ǫAVo dWs = Vo dQ = d2 pour transporter une charge dQ = Vo dC a partir du ` potentiel 0 jusqu’` Vo . L’explication vient du bilan d’´nergie qui s’´crit main- a e e tenant dWs = dWe + dWv plutˆt que dWe = dWv utilis´ lorsque la source est o e retir´e. e 4.7.2 ´ Energie magn´tique emmagasin´e e e D`s que l’on traite de magn´tisme, c’est toujours un peu plus compliqu´. Par contre, on e e e peut se fier sur une d´monstration similaire ` celle faite l’´nergie ´lectrique. Le probl`me e a e e e vient du fait que la charge magn´tique ponctuelle n’existe pas. On peut prendre a la place, e ` des petites boucles de courant produisant un champ magn´tique que l’on assemble pour e former le syst`me. Des forces magn´tiques existent entre les boucles de courant, forces e e que l’on somme. On peut aussi y aller par le biais du calcul de puissance qui m`ne a e ` 8 1 2 l’´nergie emmagasin´e dans une inductance qui vaut Wl = 2 LIo o` Io est le courant final e e u traversant l’inductance. Utilisant cette seconde mani`re plus simple, l’´nergie magn´tique emmagasin´e Wm se e e e e d´termine pour les ´tapes suivantes. Comme e e • LIo = Ψ = S B · dS selon la d´finition de l’inductance ; e • Io = C H · dl avec dl en tout point dans la direction de la normale a la surface dS ` pour former un volume dv ; on d´duit assez rapidement que : e 1 Wm = Wl = B · dS H · dl (4.49) 2 S C 1 = B · H dv . (4.50) V 2 wm Le terme ` l’int´rieur de l’int´grale de (4.50) poss`de aussi les unit´s d’une densit´ a e e e e e d’´nergie len joules par unit´ de volume. C’est la densit´ d’´nergie magn´tique emmaga- e e e e e sin´e wm telle que : e 1 1 1 B2 wm = B · H = µH 2 = . (4.51) 2 2 2 µ 8 Comme pour la capacitance, on ´crit e T T T T di i2 (t) 1 2 Wl = v(t)i(t) dt = i(t) dt = Li(t) di = L = LI −∞ −∞ dt −∞ 2 −∞ 2 o puisque i(−∞) → 0 et que i(T ) = Io . CQFD.
- 109. ´ 4.7 Energie emmagasin´e e 4-99 Exemple 4.16 I N ℓc µ rc Ac dz ℓa µ ra ´ Figure 4.23 – Electroaimant soulevant une plaque d’acier. Un ´lectroaimant en forme de U soul`ve une plaque d’acier. L’´lectroaimant e e e consiste en N = 5000 tours de fil enroul´ autour d’un noyau de ferrite µrc = 105 e 2 de section uniforme Ac = 0.2 m . La longueur moyenne du noyau entre les deux bouts de l’ ´lectroaimant atteint ℓc = 2 m alors que la distance entre les deux e bouts (entrefer) vaut ℓa = 1.2 m. La plaque d’acier a une perm´abilit´ relative e e de µra = 10 et une ´paisseur telle que sa section vaut Aa = 0.015 m2 . 3 e ◮ Exprimez le flux en fonction de z et des variables du syst`me. e Selon (4.39) et le sch´ma du circuit magn´tique, on d´duit : e e e ℓc ℜc = = 80 H −1 µrc µo Ac ℓa ℜa = = 63 662 H −1 µra µo Aa z ℜg = µo Ac NI Ψ = ℜc + ℜa + 2ℜg o` ℜg est la r´luctance de l’espace d’air entre le noyau et la plaque d’acier a u e ` chaque bout. ◮ Exprimez la force de levage de l’´lectroaimant une fois la plaque saisie z = 0. e Par le concept d’´nergie magn´tique emmagasin´e, le calcul est plus simple. e e e Il faut d´terminer la diff´rence d’´nergie magn´tique emmagasin´e dans le e e e e e syst`me lorsque la plaque est coll´e et lorsque la plaque est l´g`rement d´coll´ e e e e e e par une distance dz.
- 110. 4-100 Statique et Quasi-statique L’´nergie magn´tique du syst`me Wm devient selon (4.50) et sachant que e e e Bc Ac = Ba Aa = Ψ : Ψ2 ℓc Ac ℓa Aa zAc Wm = 2 + 2 +2 2 µrc µo Ac µra µo Aa µo A2 c Ψ2 = (ℜc + ℜa + 2ℜg ) . 2 En utilisant l’expression du flux trouv´e dans la premi`re partie de la question, e e on aboutit ` : a 1 (NI)2 1 (NI)2 Wm = = . 2 ℜc + ℜa + 2ℜg 2 ℜc + ℜa + 2 µozAc La variation d’´nergie magn´tique emmagasin´e se calcule simplement en pre- e e e nant z = 0 puis z = dz soit : 1 (NI)2 1 (NI)2 dWm = − dz 2 ℜc + ℜa 2 ℜc + ℜa + 2 µo Ac 1 (NI)2 µ2dzc oA = 2 (ℜ + ℜ ) ℜ + ℜ + 2 dz c a c a µo Ac (NI)2 dz ≈ µoAc (ℜc + ℜa )2 procurant ainsi une force de levage ´gale ` : e a (NI)2 F ≈ . µo Ac (ℜc + ℜa )2 ◮ Calculez le courant n´cessaire pour soulever la plaque qui p`se 600 kg. e e En utilisant l’expression de la force de levage, on trouve : F = mg = (600)(9.8) = 5880 N (5000)2I 2 ≈ −7 )(0.2)(80 + 63662)2 = (24482)I 2 . (4π × 10 En cons´quence, le courant I doit ˆtre sup´rieur ` : e e e a 5880 I ≥ = 0.49 A . 24482
- 111. 4.8 Analyse decomportement en quasi-statique 4-101 4.8 Analyse de comportement en quasi-statique Cette section, un peu sp´ciale, fait une d´monstration du comportement en r´gime si- e e e nuso¨ıdal permanent ` basse fr´quence des deux configurations ` la base des ´l´ments de a e a ee circuit bien connus. On proc`de ` partir des ´quations de Maxwell sous forme diff´rentielle e a e e sans faire allusion au cas statique. On solutionne les ´quations it´rativement et non glo- e e balement comme il sera fait plus tard avec l’onde plane. La structure de base utilise deux plaques rectangulaires parfaitement conductrices, parall`les et s´par´es par un mat´riau sans perte (ǫ, µ et σ = 0) d’´paisseur d. Les plaques e e e e e ont une largeur w, une longueur ℓ. On suppose aucun effet de bord, i.e. que les plaques sont consid´r´es comme une portion de deux plaques infinies ou encore, que la dimension ee d est petite. Les champs seront donc uniformes ` l’int´rieur du mat´riau entre les deux a e e plaques dans une section plane z = cte. 4.8.1 Inductance J sin ℓ x J s (z, t) d µ, ǫ I0 σ=0 J s (z, t) z w z = −ℓ y Figure 4.24 – Structure ` deux plaques conductrices parall`les court-circuit´es simulant une a e e inductance. Dans le premier cas, on court-circuite une extr´mit´ des plaques (celle a z = 0 pour e e ` faciliter les choses) sur toute la largeur tandis qu’on alimente l’extr´mit´ oppos´e par une e e e source courant qui d´bite de fa¸on uniforme sur la largeur. Le tout est illustr´ sur la figure e c e 4.24. Les plus perspicaces verront une boucle de courant qui simule une inductance. La premi`re ´tape ´tudie la r´action en mode quasi-statique lorsque la structure est e e e e aliment´e par un courant Io . Un courant de surface existe sur les plaques ayant une e densit´ : e − Io az pour x = 0 w Js = Io (4.52) w az pour x = d . Par l’application des conditions aux limites de la composante tangentielle, on conclut que le champ magn´tique uniforme dans le mat´riau est orient´ suivant l’axe (−ay ) et e e e
- 112. 4-102 Statique et Quasi-statique Io qu’il a une amplitude de w : Io H = − ay pour 0 < x < d (4.53) w 0<y<w et − ℓ < z < 0 . Il est nul partout ailleurs. Le flux magn´tique li´ au courant est simplement le flux traversant une section trans- e e versale aux plaques soit Ψ = µHy (ℓd). On peut d´duire imm´diatement l’expression de e e l’inductance qui sera utile plus tard dans la d´monstration : e Ψ µℓd L = = . (4.54) Io w Si le courant est sinuso¨ ¯ ıdal, on utilise la notion de phaseur donc I = Io et : ¯ Io Hy0 = − . (4.55) w L’indice 0 est rajout´ pour indiquer qu’il s’agit d’une composante du champ proportion- e nelle ` la puissance z´ro de la fr´quence. a e e Comme le champ magn´tique varie dans le temps, il doit exister un champ ´lectrique e e suivant les ´quations de Maxwell. L’expansion de l’´quation de Faraday sous forme diff´- e e e rentielle avec des phaseurs donne (aucune variation suivant x et y) : ¯ ∂ Ex Io ¯ = −jωµ Hy0 = jωµ (4.56) ∂z w qui a comme solution g´n´rale : e e ¯ Io ¯ Ex1 = jωµ z + C . w ¯ La constante C est d´termin´e par l’application de la condition aux limites du champ e e e a ¯ ´lectrique tangentiel ` z = 0. Il faut que [Ex ]z=0 = 0 car il ne peut y avoir de composante ¯ tangentielle du champ ´lectrique sur un conducteur. Ainsi, avec C = 0, on obtient : e ¯ Io Ex1 = jωµ z . (4.57) w Avant de poursuivre, il est bon d’ouvrir une parenth`se pour montrer que l’une des e deux expressions des champs (4.55) et (4.57) – lesquelles correspondent aux expressions dans le cas quasi-statique o` la composante du premier ordre en fr´quence est largement u e celle pr´dominante – ´tablit la r´action de l’inductance obtenue dans la th´orie des circuits. e e e e En effet, ` l’entr´e de la structure, l’expression du champ ´lectrique en basse fr´quence a e e e (indice bf ) se limite ` celle du premier ordre soit : a ¯ ¯ µℓ [Exbf ]z=−ℓ ≈ [Ex1 ]z=−ℓ = −jω Io w
- 113. 4.8 Analyse decomportement en quasi-statique 4-103 et la tension d´velopp´e aux bornes de la source courant vaut : e e d ¯ Vbf = ¯ ¯ [Ex ]z=−ℓ dx = d [Ex ]z=−ℓ 0 µℓd = jω Io w L soit, fin de parenth`se : e ¯ Vbf = jωLIo ! (4.58) Jusqu’ici, on a v´rifi´ l’´quation de Faraday, mais a-t-on satisfait celle d’Amp`re. La e e e e r´ponse est non ; il faut donc poursuivre le d´veloppement pour les composantes d’ordres e e sup´rieurs en fr´quence qui m`ne ` une s´rie convergeant vers la solution ´lectromagn´tique. e e e a e e e Il y a cependant quelques d´tails ` pr´ciser au pr´alable : e a e e • Les conditions aux limites s’appliquent pour d´duire la valeur de la constante r´sul- e e tant de l’int´grale ind´finie. e e • Pour le champ ´lectrique, aucune composante tangentielle ` chaque puissance en e a fr´quence ne doit exister en z = 0. e • Pour le champ magn´tique, on force un courant fixe ` l’entr´e dont la densit´ vaut e a e e Io Jso = w . On convient que la densit´ de courant peut varier suivant z et qu’il est e probable que la densit´ ` z = 0 soit tout-`-fait diff´rente de celle a z = −ℓ. On e a a e ` applique donc la contrainte ` l’entr´e z = −ℓ. Or la composante statique Hy0 satis- a e fait pleinement et ` elle seule, la condition aux limites impos´e sur la composante a e tangentielle [Hy ]z=−ℓ = Jso ; les autres composantes d’ordres sup´rieurs du champ e magn´tique tangentiel doivent par cons´quent ˆtre nulle ` z = −ℓ. e e e a En y substituant (4.57) dans l’´quation d’Amp`re avec phaseurs, il d´coule : e e e ¯ ∂ Hy Io ¯ = −jωǫ Ex = ω 2 µǫ z . ∂z w La solution g´n´rale est : e e ¯ 1 Io ¯ Hy2 = ω 2 µǫ z 2 + C 2 w ¯ dans laquelle la constante C est d´termin´e par le fait que les composantes d’ordres e e sup´rieurs de Hy sont nulles ` z = −ℓ. Ainsi, on obtient : e a ¯ 1 Io Hy2 = ω 2 µǫ (z 2 − ℓ2 ) . (4.59) 2 w En recommen¸ant de la mˆme mani`re depuis le d´but avec l’´quation de Faraday et c e e e e ¯ la composante Hy2 , on trouve la composante du troisi`me ordre en fr´quence du champ e e e ¯ ´lectrique Ex3 , puis celle du quatri`me ordre en fr´quence du champ magn´tique Hy4 , e e e ¯ e e e ¯ puis celle du cinqui`me ordre en fr´quence du champ ´lectrique Ex5 et ainsi de suite. Par
- 114. 4-104 Statique et Quasi-statique ¯ ¯ exemple, de (4.55) dans laquelle on remplace Hy0 par Hy2 et on applique la conditions aux limites, on d´duit : e ¯ 1 Io z 3 Ex3 = j ω 3µ2 ǫ ( − ℓ2 z) . 2 w 3 Finalement, ` l’entr´e z = −ℓ : a e ¯ 1 Io [Ex3 ]z=−ℓ = −j ω 3 µ2 ǫℓ3 (4.60) 3 w ¯ 2 5 3 2 5 Io [Ex5 ]z=−ℓ = −j ω µ ǫ ℓ (4.61) 15 w . . . Il faut bien comprendre que le champ ´lectrique ` l’int´rieur du mat´riau sans perte e a e e est la somme de toutes les composantes aux diff´rents ordres en fr´quence. Cette somme e e infinie converge vers une valeur bien connue : ¯ ¯ ¯ ¯ [Ex ]z=−ℓ = [Ex1 ]z=−ℓ + [Ex3 ]z=−ℓ + [Ex5 ]z=−ℓ . . . (4.62) µ Io √ 1 √ 2 √ = −j ω µǫℓ + (ω µǫℓ)3 + (ω µǫℓ)5 . . . (4.63) ǫ w 3 15 √ tan(ω µǫℓ) ou ¯ µ Io √ [Ex ]z=−ℓ = −j tan(ω µǫℓ) . (4.64) ǫ w Cette derni`re ´quation (4.64) reste valide quelle que soit la fr´quence. Cependant, on e e e prouve facilement que le cas quasi-statique est respect´ si on pose la condition suivante a e ` √ savoir ω µǫℓ ≪ 1 soit : 1 f ≪ √ . (4.65) 2π µǫℓ On observe avec grand int´rˆt que la fr´quence pour laquelle le comportement de l’induc- ee e tance suit celui indiqu´ dans la th´orie des circuits d´pend des dimensions de la structure. e e e ` A partir d’une certaine fr´quence, le cas quasi-statique n’est plus applicable et il faut e passer ` la th´orie des micro-ondes. On pourrait riposter en disant qu’une solution est de a e diminuer la taille des structures ce qui permet de pousser plus loin la fr´quence limite. e Malheureusement, on ne peut sans cesse miniaturiser les structures sans qu’interviennent des probl`mes d’ordre : e • m´canique – la construction rel`vera du d´fi, e e e • thermique – il faut dissiper la puissance via la surface, • physique mˆme – transistors dont la base n’aurait que quelques atomes d’´paisseur ! e e C’est l` que les choses se compliquent et que se jouera l’avenir. a Une autre observation int´ressante (en particulier lorsqu’on traitera des lignes de trans- e mission en r´gime sinuso¨ permanent) peut ˆtre tir´e de cette analyse. Avec (4.64) dans e ıdal e e
- 115. 4.8 Analyse decomportement en quasi-statique 4-105 e e ¯ ¯ l’´quation (4.58) d´coule une relation entre V et I qui permet d’obtenir l’imp´dance vue e a ¯ ` l’entr´e z = −ℓ, imp´dance qu’on note par Zin : e e ¯ µ d √ Zin = j tan(ω µǫ ℓ) . (4.66) ǫ w β Zo 4.8.2 Condensateur ℓ x +ρs d µ, ǫ V0 σ=0 −ρs z w z = −ℓ y Figure 4.25 – Structure ` deux plaques conductrices parall`les (en circuit ouvert) simulant une a e capacit´. e Dans le second cas, on laisse ouverte l’extr´mit´ des plaques sur toute la largeur ; e e a e e e ¯ l’alimentation ` l’extr´mit´ oppos´e est une source tension V = Vo uniforme sur la lar- geur. Sur la figure 4.25, on reconnaˆ imm´diatement un condensateur. L’analyse pour la ıt e structure capacitive suit le mˆme patron que l’inductive de la sous-section pr´c´dente. La e e e pr´sentation sera donc plus condens´e. e e Encore une fois, les constantes C¯ issues des int´grales ind´finies, sont d´termin´es par e e e e l’application des conditions aux limites des champs tangentiels. Par contre ici : • l’absence de courant de surface ` l’extr´mit´, force les composantes de tout ordre a e e en fr´quence du champ magn´tique ` ˆtre nulles ` z = 0 ; e e ae a e ¯ • la tension ` l’entr´e V = Vo est obligatoirement fixe de sorte que la condition aux a ¯ limites de Ex est satisfaite ` l’entr´e avec juste la composante statique ; les autres a e composantes d’ordres sup´rieurs doivent valoir z´ro ` z = −ℓ. e e a On peut d’ores et d´j` identifier la composante statique du champ ´lectrique – il n’y a ea e pas de composante statique du champ magn´tique. La g´om´trie impose un champ orient´ e e e e Vo dans la direction (−ax ) et d’amplitude d : ¯ Vo Ex0 = − . (4.67) d
- 116. 4-106 Statique et Quasi-statique e ` ¯ e e ¯ L’´tape suivante consiste a entrer Ex0 de (4.67) dans la loi d’Amp`re pour d´duire Hy . Donc, on obtient : ¯ ∂ Hx Vo ¯ = −jωǫ Ex0 = jωǫ ∂z d ce qui donne : ¯ Vo ¯ Hy1 = jωǫ z + C . d ¯ Comme il n’y a pas de courant surfacique sur les plaques ` z = 0, il faut que [Hy ]z=0 = 0 a ¯ On trouve alors C = 0 d’o` : u ¯ Vo Hy1 = jωǫ z . (4.68) d ¯ Il faut maintenant prendre Hy1 dans l’´quation de Faraday pour fermer la boucle, v´rifier e e la condition aux limites du champ ´lectrique tangentiel ` z = −ℓ. On reprend tout a e a ` e e ¯ partir de l’´quation d’Amp`re avec Ex2 et ainsi de suite, d’o` : u ¯ 1 Vo Ex2 = ω 2 µǫ (z 2 − ℓ2 ) (4.69) 2 d ¯ 1 Vo Hy3 = −j ω 3 µǫ2 (z 3 − 3ℓ2 z) (4.70) 6 d En continuant le d´veloppement, on trouve que le champ magn´tique a l’entr´e z = −ℓ e e ` e est une s´rie infinie de puissance en fr´quence qui converge vers : e e ¯ ¯ ¯ ¯ [Hy ]z=−ℓ = [Hy1 ]z=−ℓ + [Hy3 ]z=−ℓ + [Hy5 ]z=−ℓ . . . (4.71) ǫ Vo √ 1 √ 2 √ = −j ω µǫℓ + (ω µǫℓ)3 + (ω µǫℓ)5 . . . . (4.72) µ d 3 15 √ tan(ω µǫℓ) o` u ¯ ǫ Vo √ [Hy ]z=−ℓ = j tan(ω µǫℓ) . (4.73) µ d a e e ¯ a ¯ Comme le courant ` l’entr´e, not´ I, correspond ` w [Hy ]z=−ℓ , on peut obtenir une ¯ ¯ relation Vin /Iin et d´duire l’expression de l’imp´dance vue ` l’entr´e (voir l’´quation (4.66) e e a e e pour les d´finitions de Zo et de β) : e ¯ 1 1 Zin = w j ǫ 1 tan(ω √µǫℓ) µ d = −jZo cot(βℓ) . (4.74) Le comportement est bien celui d’un condensateur ` basse fr´quence, i.e. lorsque a e √ ω µǫℓ ≪ 1 ; car, suivant cette condition, on a : ¯ 1 1 Zinbf = (4.75) w j ǫ 1 ω √µǫℓ µ d 1 = (4.76) ǫℓw jω d C 1 = ! (4.77) jωC
- 117. 4.8 Analyse decomportement en quasi-statique 4-107 Exercices Question 1 Une charge est distribu´e avec une densit´ ρ = ρo r/a, o` ρo est une constante dans e e u une r´gion cylindrique r < a. Exprimez D partout dans l’espace. e Question 2 Un assemblage est constitu´ de deux cylindres coaxiaux. Le premier cylindre est plein e et poss`de un rayon 3a ; le second est creux avec un rayon interne 4a et une ´paisseur e e a. Les cylindres sont assum´s infiniment longs suivant l’axe z sur lequel ils sont centr´s. e e + Un courant I circule dans la direction z sur le cylindre interne avec une densit´ volu- e mique uniforme ; il revient par le cylindre creux externe avec, encore une fois, une densit´ e volumique uniforme. Exprimez H partout dans l’espace. Question 3 Deux sph`res conductrices concentriques creuses et minces ont des rayons a et b (b = e 2a) respectivement. Elles sont s´par´es par un di´lectrique de permittivit´ ǫ = 2ǫo . La e e e e plus petite sph`re est remplie d’air. Une densit´ surfacique de charges ρsa = 2ǫ2o C/m2 e e a couvre la plus petite tandis qu’une densit´ surfacique de charges de ρsb = −ρsa couvre la e plus grande. Exprimez le champ ´lectrique en fonction de r (puisque E est ind´pendant de θ et φ e e par sym´trie). e Question 4 Dans une r´gion de l’espace existe un champ statique E = yzax + zxay + xyaz . e D´terminez la diff´rence de potentiel entre chacune des paires de points suivantes : e e a) (2,1,1) et (1,4,0.5) ; b) (2,2,2) et (1,1,1). Question 5 Soit un cˆble coaxial dont le conducteur interne a un rayon a et le conducteur externe, a un rayon interne b. Les conducteurs sont parfaits, ce qui implique des densit´s de courants e surfaciques et charges surfaciques lorsque les conditions aux limites sont appliqu´es. En e supposant une diff´rence de potentiel Vo entre les deux conducteurs (celui externe est au e potentiel 0), utilisez l’´quation de Laplace en coordonn´es cylindriques e e 1 ∂ ∂V 1 ∂2V ∂2V r + + = 0 r ∂r ∂r r 2 ∂φ2 ∂z 2 pour d´duire partout dans la r´gion entre les deux conducteurs : e e
- 118. 4-108 Statique et Quasi-statique a) l’expression du potentiel en fonction de Vo et r ; b) et de l`, l’expression du champ ´lectrique. a e Question 6 V =0 V1 V = 14 ay V2 V3 ax Trois bandes conductrices infiniment longues forment un arrangement dont la section est reproduite ci-dessus. La r´gion entre les trois bandes (domaine de d´finition) est maill´e e e e avec des noeuds ´quidistants d’une distance d. e ´ Ecrivez le set d’´quations ` r´soudre par la m´thode des diff´rences finies. De l`, e a e e e a approximez le potentiel aux points d’´chantillonnage 1, 2 et 3. e Question 7 V1 V2 0V 2V On applique une tension de 2 V sur un conducteur carr´ infiniment long centr´ a e e ` l’int´rieur d’un autre conducteur carr´ ` la masse (0 V). La r´gion entre les conducteurs e ea e e e e ` (domaine de d´finition) est maill´e avec des noeuds ´quidistants d’une distance d. A cause de la sym´trie, seules deux valeurs distinctes de potentiels sont possibles. e Approximez V1 et V2 par la m´thode des diff´rences finies. e e
- 119. 4.8 Analyse decomportement en quasi-statique 4-109 Question 8 83V V5 V4 ay V1 V2 V3 V2 V1 p ax 0V La section d’un arrangement de conducteurs infiniment longs dans la direction normale est reproduite ci-dessus. L’arrangement est r´p´t´ ` l’infini. La r´gion entre les conducteurs e e ea e (domaine de d´finition) est maill´e avec des noeuds ´quidistants d’une distance d comme e e e montr´. Approximez : e a) le potentiel aux points d’´chantillonnage 1, 2, 3, 4 et 5 ; e b) le champ ´lectrique au point 2 ; e c) la densit´ surfacique de charges au point p. e Question 9 D´terminez : e a) l’espacement entre les deux plaques de dimension 10 × 10 cm d’un condensateur a ` plaques parall`les de 10 pF dont lorsque le di´lectrique a une permittivit´ ǫ = 2.25ǫo ; e e e b) le rayon a et b = 2a de deux sph`res conductrices concentriques s´par´es par un e e e di´lectrique de permittivit´ ǫ = 2.25ǫo produisant une capacitance de 10 pF ; e e c) la rayon d’une sph`re conductrice isol´e dans le vide ayant une capacitance de 10 pF. e e Question 10 ǫr2 d2 d ǫr1 d1 Soient deux plaques conductrices infinies parall`les et espac´es d’une distance d qui e e r´alisent un condensateur. Entre les deux plaques, on place deux di´lectriques diff´rents : e e e l’un d’une ´paisseur d1 et d’une constante ǫr1 ; l’autre d’une ´paisseur d2 (d = d1 + d2 ) et e e d’une constante ǫr2 . Le tout apparaˆ sur la figure ci-dessus. ıt a) Si la plaque sup´rieure est au potentiel Vo et celle inf´rieure ` 0, ´valuez le potentiel a e e a e ` l’interface entre les deux di´lectriques ; e
- 120. 4-110 Statique et Quasi-statique b) exprimez la capacitance par unit´ de surface. e Question 11 b a c I Une fil conducteur est enroul´ avec N tours, autour d’un tore magn´tique ayant une e e section rectangulaire b × c comme sur la figure ci-dessus. Exprimez l’inductance de cette bobine toro¨ıdale. Question 12 Soit le tore magn´tique de l’exemple 4.14 et dont le sch´ma du circuit magn´tique e e e ´quivalent apparaˆ sur la figure 4.22. Trouvez la valeur si Vm = NI = 200 A · tours : e ıt a) du flux circulant dans la section GF AB ; b) du champ d’induction magn´tique dans l’entrefer Bentref er . e Question 13 Un ballon sonde en papier d’aluminium est gonfl´ par pression ´lectrostatique produite e e en r´partissant des charges ´lectriques ` la surface du ballon. Soit un ballon de rayon e e a a = 2 m avec une charge totale Q = +10−4 C. a) Exprimez la variation d’´nergie ´lectrique emmagasin´e si la rayon du ballon augmente e e e d’une valeur dr ; b) D´duisez la pression ´lectrostatique sur la paroi. e e Question 14 bobine θ cadre Nc de ℓa µ ra µ rb 90◦ rb aimant petits entrefers
- 121. 4.8 Analyse decomportement en quasi-statique 4-111 Un galvanom`tre est constitu´ d’une armature ferromagn´tique µra = 500 dont la e e e section carr´ vaut c × c = 1 cm × 1 cm, de longueur moyenne ℓa = 8 cm et dont l’entrefer a e une forme cylindrique. Dans cet entrefer est plac´ une bobine ferromagn´tique µrb = 103 e e de rayon rb = 0.5 cm comportant 40 tour de fils formant un cadre. La bobine et son cadre peuvent pivoter librement. Un aimant dans l’armature produit un potentiel scalaire magn´tique NI = 200 A · tours. e La forme de l’entrefer et de la bobine fait en sorte que le flux dans les petits entrefers qui s´parant l’armature de la bobine de = 0.5 mm, est radial avec une densit´ uniforme. e e On consid`re que la r´luctance de la bobine correspond ` celle d’une bloc de longueur e e a ´gale a ℓb = 2rb = 1 cm avec une section identique ` celle de l’armature. e ` a a) Calculez la densit´ de flux dans les petits entrefers ; e b) Si un ressort ayant une constante de rappel de couple k = 2 × 10−7N · m/◦ est reli´ e au cadre, calculez sur quel angle θ le cadre pivote avec un courant de 2 mA dans le fil du cadre. R´ponses : e ρo r 2 3a r<a 1. D = Dr (r)ar avec Dr (r) = ρo a2 3r r>a . Ir 18πa2 r < 3a I 2πr 3a < r < 4a 2. H = Hφ (r)aφ avec Hφ (r) = I 25a2 −r 2 2πr 9a2 4a < r < 5a 0 r > 5a . 0 r<a 1 3. E = Er (r)ar avec Er (r) = r2 V/m a < r < b −6 r2 V/m r > b . 4. a) Vab = 0 ; b) Vab = −7 V . ln(r/b) Vo 5. a) V = Vo ln(a/b) ; b) E = a. r ln(b/a) r 6. V1 = (V2 + 28)/4, V2 = (V1 + V3 )/4, V3 = (V2 + 28)/4 ; par sym´trie V1 = V3 = 8 V , V2 = 4 V ; e 7. V1 = 0.8 V et V2 = 0.4 V. 8. a) V1 = 41 V , V2 = 40.5 V , V3 = 38 V , V4 = 71 V , V5 = 80 V ; 83 3 b) [E]2 = − 2d ay + 2d ax V /m ; c) [ρs ]p = −38ǫo /d C/m2 .
- 122. 4-112 Statique et Quasi-statique 4πǫ 9. a) d = 1.99 cm ; b) C = 1/a−1/b donc a = 2 cm ; c) prendre b → ∞, r = a = 9 cm. ǫr2 d1 10. a) E 1 = Ez1 az et ǫ1 Ez1 = ǫ2 Ez2 , [V ]z=d1 = ǫr2 d1 +ǫr1 d2 Vo ; b) C/A = ǫ2 d11 ǫ21 d2 = ǫr2 dǫr1 ǫr1d2 . ǫ +ǫ ǫo 1 +ǫ r2 2 11. B = µ 2πr , L = µ N c ln(1 + b/a). NI 2π 12. a) ΨGF AB = 226 × 10−6 W b ; b) ΨBD = Ψentref er = ΨEG = 33.36 × 10−6 W b, Bentref er = 0.1112 W b/m2 . 2 Q dr Q2 13. a) dWe = − 8πǫo a2 ; b) Pe = 32π 2 ǫo a4 = 0.2235 N/m2. 14. a) ℜentref er = 5.066 × 106 H −1 , Ψentref er = Ψ = 17.41 × 10−6 W b, donc Bentref er = 0.2217 W b/m2 ; b) T = F rb = 2 × B(Nc I)c rb = kθ[◦ ], θ = 8.9◦ .
- 123. Chapitre 5 Onde planeuniforme 5.1 Introduction L’onde plane uniforme est la solution globale la plus simple des ´quations de Maxwell. e Malheureusement, une telle onde n’existe pas dans la r´alit´ car il faudrait une source e e infiniment grande pour la produire et la puissance d’une telle source serait aussi infi- nie. N´anmoins, l’onde plane pr´sente des caract´ristiques int´ressantes qui se retrouvent e e e e localement sur des ondes provenant de sources r´elles. e L’onde ´mise par une source dans un milieu uniforme et isotrope est normalement e sph´rique : l’onde voyage ` la mˆme vitesse dans toutes les directions, donc chaque point e a e d’un front d’onde doit ˆtre, pour un temps fixe, ` ´gale distance de la source. L’´quivalent e ae e dans le plan est le caillou jet´ dans l’eau qui produit une onde circulaire s’´loignant de e e l’endroit o` est tomb´ le caillou. La sph`re en grandissant pr´sente une surface qui devient u e e e de plus en plus plane. On peut faire l’analogie avec le fait que la Terre a ´t´ longtemps ee assum´e comme plane car la r´gion de visibilit´ de chaque ˆtre humain est trop petite e e e e pour que la courbure du sol soit importante. La Terre est donc localement plane ; une plan`te plus imposante poss´derait une r´gion assum´e plane encore plus grande. e e e e La simplicit´ des calculs et l’analogie qui peut ˆtre faite pour des ondes r´elles, font qu’il e e e vaut la peine de s’attarder ` l’onde plane et, pour commencer, ` l’onde plane uniforme. a a Elle est ` la base des m´canismes de la propagation libre autant que guid´e par une ligne a e e de transmission. 5.2 ´ Equation d’onde dans un mat´riau sans perte e Pour obtenir une solution des ´quations de Maxwell, il faut utiliser leur forme diff´rentielle. e e On sait que les champs ´lectrique et magn´tique sont interd´pendants lorsque l’un ou e e e l’autre varie temporellement. Ce couplage des champs est responsable du ph´nom`ne de e e propagation de l’onde ´lectromagn´tique. Les champs respectent alors certains crit`res e e e qui d´coulent de la solution d’une ´quation dite ´quation d’onde. e e e
- 124. 5-114 Onde plane uniforme 5.2.1 D´veloppement de l’´quation d’onde e e Comme il s’agit de champs, chacun d’eux peut avoir plusieurs composantes fonction des coordonn´es. Cependant, le probl`me est r´duit avec les suppositions suivantes : e e e • les champs sont uniformes dans un plan : ici z =cte, donc toutes les d´riv´es par e e rapport ` x et ` y sont nulles ; a a • les champs n’ont qu’une composante – on choisit l’axe x pour le champ ´lectrique. e La premi`re supposition correspond ` l’onde plane uniforme ; la seconde d´coule d’un e a e alignement des axes judicieux. Ainsi, on a : E = Ex (z, t)ax . (5.1) De plus, on assume que le milieu o` les champs sont estim´s, est un milieu uniforme u e sans charge, sans courant et sans perte, i.e. la conductance σ = 0. Il faut bien se rappeler que les ´quations diff´rentielles donnent les solutions ` un point pr´cis. Les param`tres e e a e e ´lectriques du milieu sont cependant g´n´raux : permittivit´ ǫ et perm´abilit´ µ. Pour e e e e e e exprimer le champ magn´tique en supposant le champ ´lectrique d´crit par (5.1), on utilise e e e simultan´ment les deux premi`res ´quations de Maxwell, a savoir l’´quation de Faraday e e e ` e et celle d’Amp`re. Les deux autres ´quations sont inutiles car leur terme de droite est nul. e e Ainsi, avec les relations constitutives, on obtient : ∂H ∇ × E = −µ (5.2) ∂t ∂E ∇×H = ǫ . (5.3) ∂t Avec les suppositions faites pr´alablement, l’´quation (5.2) suffit pour se rendre compte e e que le champ magn´tique ne peut avoir qu’une composante en y. Donc que : e H = Hy (z, t)ay . (5.4) La poursuite du d´veloppement des deux ´quations de Maxwell conduit a : e e ` ∂Ex ∂Hy = −µ (5.5) ∂z ∂t ∂Hy ∂Ex − = ǫ . (5.6) ∂z ∂t Maintenant, il faut introduire une ´quation dans l’autre pour n’obtenir qu’une ´quation e e 1 fonction d’un seul champ – e.g. le champ ´lectrique. Le principe est simple : on d´rive e e (5.5) par rapport ` z. Le r´sultat de cette d´rivation fait apparaˆ un terme en ∂Hy /∂z a e e ıtre qu’on substitue par (5.6) : ∂ 2 Ex ∂ 2 Hy ∂ ∂Hy ∂ ∂Ex = −µ = −µ = −µ −ǫ ∂z 2 ∂t∂z ∂t ∂z ∂t ∂t 1 Plus g´n´ralement, le rotationnel appliqu´ ` (5.2), une identit´ vectorielle puis (5.3) donnent e e ea e 2 ∂∇ × H ∂ 2E ∇ × ∇ × E = ∇ ∇ · E − ∇ E = −µ = −µǫ 2 . ∂t ∂t ρ/ǫ=0
- 125. ´ 5.2 Equation d’ondedans un mat´riau sans perte e 5-115 d’o` finalement ´merge la fameuse ´quation d’onde : u e e ∂ 2 Ex ∂ 2 Ex = µǫ 2 . (5.7) ∂z 2 ∂t 5.2.2 Solution ` l’´quation d’onde temporelle a e On v´rifie que la solution g´n´rale de l’´quation d’onde – laquelle est une ´quation aux e e e e e diff´rences partielles du deuxi`me ordre – est : e e √ √ Ex (z, t) = E + f (t − z µǫ) + E − g(t + z µǫ) (5.8) ↑ ↑ o` f (·) et g(·) repr´sentent deux fonctions quelconques – appel´es fonctions spatio-tempo- u e e relles – des variables t et z. Ces fonctions de mˆme que les constantes E + et E − d´pendent e e de la source qui g´n`re l’onde. Il est logique que la forme de l’onde soit celle de la source e e avec plus ou moins de retard ou d’att´nuation dans l’espace : avec une antenne qui ´met e e un signal carr´, on devrait observer une onde carr´e de mˆme fr´quence a la r´ception. e e e e ` e + − Quant aux constantes E et E , elles sont li´es ` la puissance de la source et peuvent e a ˆtre d´termin´es grˆce ` l’application des conditions aux limites sur la source, un peu e e e a a l’´quivalent des conditions initiales pour des ´quations diff´rentielles en circuit. e e e La solution correspondante pour Hy (z, t) est d´duite en substituant (5.8) dans (5.5) : e ∂Hy ǫ √ √ = E + f ′ (t − z µǫ) − E − g ′ (t + z µǫ) ∂t µ donc √ √ Hy = H + f (t − z µǫ) + H − g(t + z µǫ) (5.9) 1 √ √ = E + f (t − z µǫ) − E − g(t + z µǫ) . (5.10) µ/ǫ ↑ ↑ 5.2.3 Observations On se doit d’ouvrir ici une parenth`se. Quoique l’´tude se limite aux ondes planes uni- e e formes se propageant dans un mat´riau sans perte, des observations peuvent ˆtre faites, e e lesquelles demeureront valides mˆme dans le cas plus g´n´ral d’un mat´riau quelconque. e e e e Les fonctions spatio-temporelles f (·) et g(·) sont toutes deux reli´es au signal ´mis par e e la source. Elles sont donc similaires entre elles et similaires au signal ´mis. La diff´rence e e apparaˆ dans le signe devant z ` l’int´rieur de leur argument. ıt a e • Comme le temps croˆ il faut que z augmente au fur et ` mesure que le temps ıt, a √ progresse afin de conserver l’argument constant t − z µǫ =cte. C’est l’inverse pour √ √ l’argument t + z µǫ =cte. En fait, la repr´sentation de la fonction f (t − z µǫ) au e temps t = 0 puis au temps t = 1 et ainsi de suite, montre que le signal se d´place dans e √ la direction positive de l’axe z qu’on note en z+ ; et vice-versa pour g(t + z µǫ), en z−. Ceci explique pourquoi les termes E + et E − devant les fonctions spatio- temporelles sont surmont´s des indices + et − respectivement : l’onde positive et e n´gative selon leur direction de propagation. e
- 126. 5-116 Onde plane uniforme Λ2 (t − 2z) Λ2 (t + 2z) t=0 t=1 t=1 t=0 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 z(m) −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 z(m) Figure 5.1 – D´placement d’une fonction spatio-temporelle Λ2 (t ∓ 2z). e • Le d´placement du signal en fonction du temps d´pend de la constante associ´e e e e √ au terme z – ici lorsque σ = 0, la constante vaut µǫ. Plus la constante diminue, plus le d´placement est grand. Or, les unit´s de cette constante montrent que √1 e e µǫ correspond ` une vitesse appel´e vitesse de propagation vp . a e La figure 5.1 illustre le cas d’une fonction Λ2 (t ∓ 2z) en fonction de z a deux temps ` diff´rents. On peut observer le d´placement du signal dans des directions oppos´es a une e e e ` 1 vitesse de 2 m/s. Les deux signaux peuvent exister simultan´ment tels un signal ´mis et e e un signal r´fl´chi ; ou l’un sans l’autre. e e Les expressions des champs ´lectrique et magn´tique se ressemblent beaucoup mais e e comportent aussi quelques diff´rences : e • L’amplitude des composantes du champ magn´tique H + et H − , est proportionnelle a e ` 1 celle des composantes du champ ´lectrique via le terme √µ/ǫ . On v´rifie que le terme e e √ µ/ǫ poss`de les unit´s d’une imp´dance – en Ω – ce qui explique son appellation e e e d’imp´dance intrins`que η du mat´riau. e e e • Il y a ensuite un changement de signe qui affecte la fonction g(·) qui se propage dans la direction n´gative de l’axe z. Ce changement de signe a des implications e beaucoup plus importantes qu’il ne paraˆ Il permet d’identifier dans quelle direction ıt. se propage l’onde et fait en sorte que des solutions autres que triviales deviennent possibles lorsque l’onde passe d’un milieu ` un autre. a 5.3 Onde sinuso¨ ıdale dans un milieu quelconque Pour pousser l’´tude de l’onde plane uniforme un peu plus loin, il est avantageux de e travailler avec les phaseurs dans le r´gime sinuso¨ e ıdal permanent. La raison est double : • les ´quations aux diff´rentielles partielles deviennent plus simples a solutionner ; e e `
- 127. 5.3 Onde sinuso¨ ıdale dans un milieu quelconque 5-117 • on sait qu’avec la transform´e de Fourier tout signal peut se d´composer en une e e somme de composantes sinuso¨ ıdales ` des fr´quences diff´rentes, avec des d´phasages a e e e et des amplitudes sp´cifiques. e On peut maintenant analyser le comportement de l’onde ´lectromagn´tique dans un milieu e e g´n´ral i.e. dans un milieu dont la conductivit´ n’est pas n´cessairement nulle. e e e e Pour d´buter dans le mode sinuso¨ e ıdale permanent, il faut prendre les fonctions spatio- temporelles suivantes (on rappelle que dans un milieu ayant σ = 0 comme celui de la √ section pr´c´dente, µǫ = 1/vp ) : e e f (·) = cos ω(t ∓ z/vp ) g(·) = cos(ωt ∓ βz) (5.11) o` on d´finit : u e ω β = . (5.12) vp On reprend les ´quations de Maxwell sous forme diff´rentielle avec les diff´rences sui- e e e vantes : ∂ • toutes les d´riv´es par rapport au temps e e ∂t peuvent ˆtre remplac´es par jω ; e e • le courant de conduction existe dans le mat´riau ; on conserve donc le terme de e densit´ volumique de courant J c = σE ; e • les quantit´s temporelles sont remplac´es par leur phaseur respectif et des constantes e e complexes peuvent en d´couler. e Les nouvelles ´quations correspondant aux ´quations (5.5) et (5.6) s’´crivent : e e e ¯ dEx = −jωµ Hy ¯ (5.13) dz ¯ d Hy = −(σ + jωǫ) Ex .¯ (5.14) dz ¯ ¯ On note que Ex est le phaseur du champ ´lectrique tel que Ex (z, t) = Re{Ex (z)ejωt } et e ¯ de fa¸on similaire pour Hy . L’´quation d’onde en r´gime sinuso¨ c e e ıdal permanent dans un milieu quelconque devient alors : ¯ d2 Ex ¯ ¯ = γ 2 Ex (5.15) dz 2 o` γ est appel´ la constante de propagation et est d´fini ainsi : u¯ e e γ = ¯ jωµ(σ + jωǫ) . (5.16) Les expressions des champs qui solutionnent l’´quation d’onde (5.15) sont : e ↓ ↓ ¯ ¯ ¯ Ex (z) = E + e−¯z + E − e+¯z γ γ (5.17) ¯ ¯ ¯ Hy (z) = H + e−¯z + H − e+¯z γ γ (5.18) 1 ¯ + −¯ z ¯ = ( E e γ − E − e+¯z ) γ (5.19) η ¯ ↑ ↑
- 128. 5-118 Onde plane uniforme o` η est l’imp´dance intrins`que du mat´riau en Ω et est d´finie ainsi : u¯ e e e e jωµ η = ¯ . (5.20) σ + jωǫ ` A moins que le mat´riau soit sans perte (σ = 0), l’imp´dance intrins`que est alors un e e e nombre complexe : η = η ejζ . ¯ (5.21) Exemple 5.1 Soit une onde plane dans le vide. ◮ D´terminez la constante de propagation γ et l’imp´dance intrins`que η a e ¯ e e ¯ ` 10 MHz. De (5.16), on trouve : 1 γ= ¯ j(2π × 107 )(4π × 10−7 ) × j(2π × 107 )( 36π × 10−9 ) 10−2 = j8π 2 j 18 ◦ 8π 2 ∠90 ◦ 0.000556∠90 ou mieux encore (j(2π × 107 ))2 j(2π × 107 ) = = (3 × 108 )2 3 × 108 c −1 = j0.2095 m . Et de (5.20), on trouve : j(2π × 107 )(4π × 10−7 ) η = ηo = ¯ 1 j(2π × 107 )( 36π × 10−9 ) = 120π ≈ 377 Ω . Exemple 5.2 Soit l’eau douce dont les caract´ristiques ´lectriques sont les suivantes : ǫr = 80, e e µr = 1 et σ = 10 mS/m pour des fr´quences inf´rieures a 100 MHz. e e ` ◮ D´terminez la constante de propagation γ et l’imp´dance intrins`que η a e ¯ e e ¯ ` 10 MHz.
- 129. 5.3 Onde sinuso¨ ıdale dans un milieu quelconque 5-119 De (5.16) : 1 γ = ¯ j(2π × 107 )(4π × 10−7 ) (0.01 + j(2π × 107 )(80 × × 10−9)) 36π 1.6 = j8π 2 (0.01 + j ) 36 ◦ 8π 2 ∠90 ◦ 0.04556∠77.4 = 1.9∠83.7◦ = (0.21 + j1.88) m−1 . De (5.20) : j(2π × 107 )(4π × 10−7) η = ¯ 1 0.01 + j(2π × 107)(80 × 36π × 10−9 ) 8π 2 ∠90◦ = 0.04556∠77.4◦ = 41.63∠6.34◦ = (41.4 + j4.6) Ω . On peut voir la grande similitude des expressions des champs avec celles obtenues auparavant en prenant : • les fonctions exponentielles e∓¯z pour f (·) et g(·) ; γ ¯ + ¯ − • les amplitudes complexes E + = E + ejξ et E − = E − ejξ pour ajuster a la fois le ` module et la phase de chaque composante. Selon (5.16), la constante de propagation est un nombre complexe qui poss`de une partie e r´elle et une partie imaginaire : e γ = α + jβ ¯ (5.22) qui sont toutes deux des quantit´s positives. En effet, un examen attentif de (5.16) montre e que 90 < arg{jωµ(σ + jωǫ)} ≤ 180◦ , selon les caract´ristiques ´lectriques du mat´riau. ◦ e e e Donc l’argument de γ est compris entre deux bornes : ¯ 45◦ < arg{¯ } ≤ 90◦ . γ (5.23) Lorsque plac´ sous la forme rectangulaire dans les exponentielles de (5.17), cela donne e (att. pour att´nuation ; d´ph. pour d´phasage) : e e e + − ¯ Ex = E + ejξ e−αz e−jβz + E − ejξ eαz ejβz + − = E + e−αz e−jβz+jξ + E − eαz ejβz+jξ . (5.24) att. d´ph. e att. d´ph. e Il apparaˆ clairement que la partie r´elle α de la constante de propagation affecte le ıt e module du champ. La premi`re onde du membre de droite de (5.24) correspond a l’onde e ` positive qui s’en va dans la direction z+, i.e. que la valeur de z augmente en fonction
- 130. 5-120 Onde plane uniforme du temps. Donc e−αz d´croˆ lorsque z augmente ce qui fait dire que l’onde s’att´nue en e ıt e se propageant. La seconde onde se d´place dans la direction z− et, comme pour l’onde e αz positive, e d´croˆ car z diminue en fonction du temps. Dans les deux cas, α est respon- e ıt sable de la baisse de l’amplitude de l’onde d’o` son appellation, constante d’att´nuation. u e Les unit´s de α sont les N´pers par m`tre qu’on note Np/m. L’att´nuation par unit´ de e e e e e α longueur vaut L1 = e soit, en d´cibels : e L1 [dB] = 20 log(eα ) = 8.686 α . (5.25) |ej(ωt−βz) | t=0 T t= 4 T t≈T t= 2 z λ Figure 5.2 – Longueur d’onde λ et p´riode T d’une onde sinuso¨ e ıdale. Quant ` la constante β, elle intervient dans la phase de l’onde qui varie avec le d´place- a e ment. C’est la constante de phase. Elle est directement reli´e a la longueur d’onde λ de la e ` fa¸on suivante. La longueur d’onde λ correspond ` la distance sur laquelle la phase change c a de 2π radians en fixant le temps. La p´riode est l’´quivalent dans le domaine du temps e e de la longueur d’onde comme le montre la figure 5.2. Ainsi, on a βλ = 2π ou encore : 2π ω β = = . (5.26) λ vp La derni`re ´galit´ de (5.26) est obtenue en multipliant le num´rateur et le d´nominateur e e e e e par f – la fr´quence du signal sinuso¨ e ıdal – et en sachant que λ = vp /f o` vp est la vitesse u de phase ´quivalente ` la vitesse de propagation de l’onde plane. e a Le d´veloppement de (5.19) pour le champ magn´tique donne cette fois : e e + − ¯ Hy = H + e−αz e−jβz+jξh + H − eαz ejβz+jξh (5.27) E + −αz −jβz+jξ+−jζ E − αz jβz+jξ−−jζ = e e − e e . (5.28) η η L’argument de l’imp´dance caract´ristique η tel que d´fini en (5.21) correspond au retard e e ¯ e angulaire du phaseur du champ magn´tique sur celui du champ ´lectrique. On peut v´rifier e e e que ce retard ζ varie entre les bornes suivantes selon la nature du mat´riau : e 0 ≤ arg{¯} = ζ < 45◦ . η (5.29)
- 131. 5.3 Onde sinuso¨ ıdale dans un milieu quelconque 5-121 x E = Ex (z, t = to )ax enveloppe e−αz de E décalage dû au déphasage ζ β z y enveloppe e−αz de H H = Hy (z, t = to )ay Figure 5.3 – Champs ´lectrique et magn´tique d’une onde plane se propageant en z+ dans un e e mat´riau ` pertes. e a Le module de η indique le rapport des amplitudes des champs ´lectrique et magn´tique. ¯ e e Comme une figure vaut mille mots, on profite de l’occasion pour montrer l’allure a un ` temps fixe, d’une onde plane sinuso¨ ıdale qui se propage dans un mat´riau a pertes. On y e ` aper¸oit le d´phasage ζ entre les deux champs orthogonaux ; on y remarque aussi (via les c e enveloppes) que les modules des champs ne sont pas ´gaux et leur rapport donne η. e Exemple 5.3 Une onde plane uniforme sinuso¨ ıdale ` une fr´quence de 100 MHz qui se a e d´place suivant l’axe x+ poss`de un champ ´lectrique dont l’amplitude at- e e e ◦ teint 2 V/m avec un d´phasage de 20 ` (x = 0). Si le mat´riau dans lequel e a e voyage l’onde a les caract´ristiques ´lectriques suivantes : ǫr = 39.25, µr = 1 e e et σ = 0.02 S/m, on trouve que : γ ≈ (0.60 + j13.15) m−1 ¯ η ≈ (59.94 + j2.74) Ω . ¯ ◮ Calculez la vitesse ` laquelle se d´place l’onde et la longueur d’onde. a e La vitesse de propagation vp et la longueur d’onde λ sont obtenues a partir ` de la constante de phase et de (5.26). Or β n’est que la partie imaginaire de γ d’o` : ¯ u ω 2π × 108 vp = = = 47.78 × 106 m/s β 13.15 et 2π 2π λ = = = 0.4778 m . β 13.15
- 132. 5-122 Onde plane uniforme ◮ Exprimez le champ magn´tique H(x, t) (la direction du vecteur n’est pas de- e mand´e). e Cette fois, on a besoin des deux param`tres de propagation. Il ne faut pas e oublier que l’onde se propage en x+ seulement et non en z+ ou z−. Il suffit donc de prendre l’expression de l’onde positive et remplacer z par x. On n’oublie pas le terme d’att´nuation e−αx car le milieu est a pertes. Avec e ` η = (60.0∠0.0457) Ω ¯ ¯ x=0 = (2.0∠π/9)aE V/m [E] on trouve alors : 2 −αx H(x, t) = e cos(2π × 108 t − β x + π/9 − arg{¯}) η η = 0.0333 e−0.6x cos(2π × 108 t − 13.15 x +0.3491 − 0.0457) A/m . +0.3034 5.4 Puissance et vecteur de Poynting ¯ ¯ La d´termination des constantes complexes E + ou E − se fait en appliquant des condi- e tions aux limites ou encore en connaissant la puissance d´livr´e par la source. On peut e e comprendre facilement que la puissance transport´e par l’onde est reli´e a l’amplitude e e ` du champ ´lectrique, laquelle est li´e ` celle du champ magn´tique via le module de e e a e l’imp´dance intrins`que. Reste ` savoir dans quelle mesure l’amplitude des champs ´lectro- e e a e magn´tiques influence la puissance de l’onde. e Depuis 1884, on sait, par l’entremise du physicien anglais John H. Poynting que le vecteur E × H joue un rˆle important dans la quantit´ d’´nergie transport´e par une o e e e onde ´lectromagn´tique, d’o` le nom de vecteur de Poynting not´ P : e e u e P = E ×H . (5.30) En regardant les unit´s r´sultantes de ce produit, des V /m · A/m = W/m2 , on se convainc e e facilement qu’il s’agit d’une densit´ de puissance. On pourrait aussi pr´senter la chose e e d’un angle plus physique en d´montrant que le travail n´cessaire pour produire l’onde et, e e de l`, la puissance instantan´e P(t) fournie par la source, ´quivaut a l’int´grale du vecteur a e e ` e de Poynting P sur une surface ferm´e entourant compl`tement la source : e e P(t) = P · dS . (5.31) S Un vecteur poss`de aussi une direction. Celle du vecteur de Poynting aP pointe dans e la direction de propagation de l’onde tout simplement. L’onde ´lectromagn´tique est donc le moyen de propagation de la puissance fournie e e par une source rayonnante. Elle :
- 133. 5.4 Puissance etvecteur de Poynting 5-123 • renferme la puissance – de densit´ correspondant au module du vecteur de Poynting ; e • et la transporte – elle se d´place dans la direction du vecteur de Poynting. e Dans un volume d´limit´ par une surface ferm´e, outre les sources, diff´rentes composantes e e e e sont susceptibles de modifier le bilan de puissance, i.e. la diff´rence de puissance entre ce e qui entre et ce qui sort du volume. Pour ce faire, on utilise le th´or`me de la divergence : e e P · dS = (∇ · P ) dv (5.32) S V combin´e a une identit´ vectorielle : e ` e ∇ · (E × H) = H · ∇ × E − E · ∇ × H (5.33) puis aux ´quations de Faraday et d’Amp`re. Le tout d´bouche sur : e e e ∂H ∂E ∇ · P = −µH · − σE · E − ǫE · ∂t ∂t ∂ 1 ∂ 1 = − σE(t)2 − ( 2 ǫE(t)2 ) − ( µH(t)2 ) (5.34) ∂t ∂t 2 pd we wm puis finalement, sur le th´or`me de Poynting : e e ∂ ∂ P · dS = − pd dv − we dv − wm dv (5.35) S V ∂t V ∂t V o` pd , we et wm sont respectivement la densit´ de puissance dissip´e, la densit´ d’´nergie u e e e e ´lectrique emmagasin´e et la densit´ d’´nergie magn´tique emmagasin´e. e e e e e e x [P z ]z0 (∆x∆y) [P z ]z0 +∆z (∆x∆y) z ∆z y ∆V Figure 5.4 – Bilan de puissance d’une onde plane dans un volume. Si on ignore le signe n´gatif, les trois termes de droite du th´or`me de Poynting s’in- e e e terpr`tent ainsi : e • σE 2 ∆V est la puissance dissip´e dans le volume ` cause du courant de conduction e a pr´sent dans le volume ∆V , c’est l’effet joule qui produit un ´chauffement. e e
- 134. 5-124 Onde plane uniforme [P z ]t=0 [P z ]z=z0 < Pz > z t λ T 2 2 [E x ]z=z0 Figure 5.5 – Variation de la densit´ de puissance dans le temps et suivant la direction de e propagation. • 1 ǫE 2 ∆V et 1 µH 2 ∆V repr´sentent les ´nergies ´lectrique et magn´tique qui sont 2 2 e e e e contenues dans le volume. Un condensateur charg´ emmagasine de l’´nergie ´lectrique, e e e r´ciproquement pour une inductance avec l’´nergie magn´tique. Ainsi, une variation e e e e.g. une diminution sur un laps de temps de chacune de ces ´nergies disponibles, e signifie qu’une certaine quantit´ de puissance a quitt´ le volume. e e On peut voir le bilan des puissances entrant et sortant d’un volume produit par une onde ´lectromagn´tique uniforme plane sur la figure 5.4 tandis que la figure 5.5 montre e e comment varie la densit´ de puissance d’une onde plane dans un mat´riau a pertes. e e ` Il est possible de d´terminer la puissance instantan´e d’une onde ´lectromagn´tique e e e e passant au travers une surface quelconque. Il suffit alors d’int´grer le vecteur de Poynting e sur la surface en question et non pas sur une surface ferm´e : e [P(t)]S = P · dS . (5.36) S Si la surface est plac´e parall`lement ` la direction de l’onde, aucune puissance ne traverse e e a la surface. Par contre, un ´l´ment de surface bien transversal a la direction verra un ee ` maximum de puissance passer au travers. De l`, l’importance du produit scalaire. Pour a faire une comparaison, le Soleil d’hiver ` Qu´bec2 , atteint une ´l´vation maximale par a e ee rapport au sol de moins de 90−46.8−23.5 ≈ 20 au 21 d´cembre. L’angle de 90−20 = 70◦ ◦ e entre la rayonnement solaire aP et la normale au sol fait que chaque unit´ de surface au e sol re¸oit 34% de la puissance maximale. En ´t´, l’´l´vation maximale tourne autour de c e e ee 90 − 46.8 + 23.5 ≈ 67 ce qui procure 92% (le cosinus de 90 − 67 = 23◦ ) de la puissance ◦ maximale par unit´ de surface au sol ! Bien sˆ r, il y a aussi la dur´e d’´clairement et la e u e e r´flexion des rayons au sol qui interviennent. e En circuit, on s’int´resse bien plus ` la puissance moyenne qu’` sa valeur instantan´e. e a a e Il en va de mˆme pour l’onde ´lectromagn´tique. Pour all´ger la nomenclature, on utilise e e e e indiff´remment le terme de puissance (tout court) pour d´signer la puissance moyenne par e e opposition ` la puissance instantan´e. De plus, dans le r´gime sinuso¨ a e e ıdal permanent avec 2 Qu´bec se trouve ` une latitude de 46.8◦ ; l’obliquit´ de l’´cliptique est de 23.5◦. e a e e
- 135. 5.4 Puissance etvecteur de Poynting 5-125 des phaseurs, on peut obtenir rapidement la densit´ de puissance (sous-entendre moyenne) e via le vecteur de Poynting moyen < P > d´fini comme suit : e 1 1 ¯ <P > = P dt = EH cos(arg{¯}) aP = Re P η (5.37) T T 2 o` T est la p´riode du signal, et u e ¯ 1¯ ¯∗ P = E×H (5.38) 2 est le vecteur de Poynting complexe. Avec cette densit´ de puissance, la puissance moyenne e passant par une surface S est d´duite maintenant par l’´quivalent de (5.36) a savoir : e e ` [< P >]S = < P > ·dS . (5.39) S Exemple 5.4 La Terre est ` 150 millions de kilom`tres du Soleil. La densit´ de puissance a e e optimale fournie par le Soleil sur la Terre tourne autour de 1360 W/m2 sur tout le spectre. ◮ D´terminez la puissance moyenne ´mise par le Soleil. e e On peut assumer que le Soleil est une source isotrope (qui ´met uniform´ment e e dans toute les directions). De plus, le vide interstellaire est un di´lectrique e sans pertes (σ = 0) et l’effet des plan`tes Mercure et V´nus est n´gligeable. e e e Ainsi, selon (5.31), la puissance du Soleil serait de : < PSoleil > = (1360)dS = 4π(150 × 109 )2 (1360) = 3.84 × 1026 W . sph`re e ◮ Estimez le niveau maximal du champ ´lectrique au sol si on suppose que toute e la densit´ de puissance est ramen´e ` une seule composante spectrale. e e a Puisque le mat´riau (l’air) est assum´ sans perte, les champs ´lectrique et e e e magn´tique sont en phase. Le vecteur de Poynting complexe de (5.38) s’´crit e e simplement comme : ¯ 1 ¯ E∗ 1 E 2 ∠0◦ ¯ P = E ∗ as−t = as−t 2 η ¯ 2 ηo o` as−t est un vecteur unitaire Soleil-Terre. u Ainsi, avec l’aide de (5.37) : 1 E 2 cos(0) 1360 = =⇒ E = (377)(2)(1360) = 1012 V/m ! 2 ηo
- 136. 5-126 Onde plane uniforme Exemple 5.5 Soit une onde ´lectromagn´tique qui se propage dans l’eau de mer (ǫr = 80, e e µr = 1 et σ = 4 S/m) dans la direction z−. Le champ ´lectrique s’exprime e ainsi : [E(t)]z=0 = 1.0 cos(2π × 105 t) ax V/m a ` z = 0. ◮ D´terminez la densit´ de puissance instantan´e et la densit´ de puissance e e e e moyenne de l’onde en tout point. On doit commencer par trouver les expressions g´n´rales de E(z, t) et H(z, t). e e ıtre ¯ ¯a e ` Il faut connaˆ γ ainsi que η ` la fr´quence de 105 Hz dans le milieu. A partir des ´quations (5.16) et (5.20), les valeurs obtenues sont : e γ ≈ (1.257 + j1.257) m−1 ¯ η ≈ 0.314 + j0.314 = (0.444∠ π/4) Ω. ¯ Donc : E = 1.0e1.257z cos(2π × 105 t + 1.257z) ax V/m 1.0 H = −e1.257z cos(2π × 105 t + 1.257z − π/4) ay A/m . 0.444 2.25 Le signe n´gatif devant l’expression de H vient du fait que le produit vectoriel e E × H doit pointer dans la direction z− qui est la direction de propagation de l’onde. Autre remarque : l’exponentielle affectant le module tend vers “0” au fur et ` mesure que z diminue et devient n´gatif. Ceci, parce que le milieu a e est ` pertes. a Le vecteur de Poynting instantan´ est donn´ par : e e P = 2.25e2.514z cos(2π × 105 t + 1.257z) × cos(2π × 105 t + 1.257z − π/4) (−az ) W/m2 Pz = −1.125e2.514z cos(π/4) + cos(4π × 105 t + 2.514z − π/4) W/m2 Le signe n´gatif devant l’expression de Pz signifie que la puissance s’´coule e e dans la direction z−. Finalement, la puissance par unit´ de surface normale a e ` l’axe z est : < Pz > = −1.125e2.514z cos(π/4) = −0.8e2.514z W/m2 . ◮ D´duisez la puissance incidente sur une surface rectangulaire de 2 m × 1 m e plac´e comme sur la figure 5.6. e
- 137. 5.5 Caract´ristiques del’onde plane e 5-127 y y b = 1m +cos( π ) 3 h = 2m 0 1 π 3 z x dS −cos( π ) 3 vue de cot´ e vue de face Figure 5.6 – G´om´trie de la surface par laquelle passe une partie de la puissance de l’onde e e plane. Attention : contrairement au choix de la surface dans les int´grales de surface e pour les ´quations de Faraday et Amp`re, ici on ne peut prendre une surface e e quelconque d´limit´e par le pourtour car ∇· < P >= 0. L’´galit´ est toutefois e e e e possible avec σ = 0. Pour r´aliser l’int´grale de surface, il faut d’abord trouver l’expression de e e l’unit´ diff´rentielle de surface dS et faire le changement du domaine d’int´gra- e e e tion suivant la technique propos´e ` la section 1.3. On param´trise la surface e a e π selon les variables u = x et v = y. On d´duit z = tan( 3 ) y = 1.732 v puis : e r(u, v) = uax + vay + 1.732vaz dS = (az − 1.732ay ) dudv . L’int´grale du vecteur de Poynting sur la surface s’´crit alors : e e cos( π ) 3 1 <P > = < P > ·dS = − 0.8e4.354 v dudv R v=− cos( π ) 3 u=0 0.5 e4.354 v = −0.8 4.354 −0.5 = −0.184 (0.113 − 8.821) = 1.6 W . Il y a donc une puissance incidente de 1.6 W sur la surface inclin´e. Si la e surface ´tait compl`tement transverse ` z = 0, on aurait trouv´ par hasard e e a e ` preuve : avec une inclinaison de π radians une puissance incidente identique. A 6 au lieu de π , on trouverait une puissance incidente de 1.78 W. 3 5.5 Caract´ristiques de l’onde plane e ´ Etant donn´e l’importance de l’onde plane dans les m´canismes de propagation, il est bon e e de rappeler et de regrouper dans une section l’ensemble des principales caract´ristiques e
- 138. 5-128 Onde plane uniforme de l’onde plane. 1. La forme de l’onde dans l’espace ou dans le temps est d´termin´e a partir de celle de e e ` la source dans le temps. La notion d’espace existe car l’onde se d´place. D’ailleurs, e la primitive de la relation spatio-temporelle est du genre : z (t ∓ ) vp pour une onde se d´pla¸ant dans la direction z±. La constante vp repr´sente la e c e vitesse de propagation de l’onde dans le mat´riau. e Avec des phaseurs, la fonction spatio-temporelle est un cosinus ce qui fait que : f (t, z) = cos(ωt ∓ βz) (5.40) et : ω 2π β = = (5.41) vp λ o` β est appel´e la constante de phase et λ, la longueur d’onde en m. u e 2. Lorsque le mat´riau poss`de une conductivit´ non-nulle, l’onde s’att´nue en se pro- e e e e pageant. Le mat´riau est dit ` pertes. L’amplitude des champs diminue suivant une e a exponentielle : e∓αz pour une onde se d´pla¸ant dans la direction z±. La constante d’att´nuation α qui e c e affecte l’amplitude de l’onde s’exprime en N´pers/m`tre. e e Dans le r´gime sinuso¨ e ıdal permanent, la constante d’att´nuation et la constante de e phase forment respectivement la partie r´elle et la partie imaginaire de la constante e de propagation : γ = α + jβ ¯ (5.42) puisque les deux constantes apparaissent dans l’exponentielle de la solution a l’´qua- ` e tion d’onde. 3. Les champs ´lectrique et magn´tique sont perpendiculaires entre eux et par rapport e e a ` la direction de propagation de l’onde aP : E ⊥ H ⊥ aP . (5.43) Ceci explique le changement de signe devant une des constituante du champ magn´ti- e que car la solution comporte deux ondes qui vont dans des directions oppos´es. Pour e d´terminer la direction de propagation, il suffit de faire le produit vectoriel suivant : e aE × aH = aP (5.44) dans lequel les vecteurs unitaires aE et aH indiquent l’orientation des champs en question.
- 139. 5.6 Param`tres depropagation des mat´riaux e e 5-129 4. Pour chaque constituante de l’onde, le rapport de l’amplitude du champ ´lectrique a e ` l’amplitude du champ magn´tique est constant et ´quivaut ` l’imp´dance intrins`que e e a e e du mat´riau η dans lequel se trouve l’onde. e Avec les phaseurs, on ´crit : e ¯ E+ ¯ E− ¯ = − ¯ − = ±¯ . η (5.45) H+ H Attention : le signe n´gatif apparaˆ ` cause de l’inversion obligatoire d’un des e ıt a champs pour inverser la direction de propagation conform´ment a (5.44). Quant e ` au signe ` choisir devant η , il faut d’abord appliquer (5.44) pour d´terminer la di- a ¯ e rection des champs ; cela permettra ensuite l’identification du bon signe sachant que 0 < ∠¯ < 45◦ . η 5. La puissance transport´e par l’onde, ou plus pr´cis´ment la densit´ de puissance, e e e e est une quantit´ d´pendant directement de l’amplitudes des champs. Le module du e e vecteur de Poynting P : P = E×H (5.46) fournit l’information sur la densit´ de puissance instantan´e de l’onde en W/m2 . e e Son vecteur unitaire aP pointe la direction de propagation. Avec des phaseurs, on obtient la densit´ de puissance moyenne a partir du vecteur e ` de Poynting complexe d´fini ainsi : e ¯ 1 ¯ ¯∗ P = E ×H . (5.47) 2 5.6 Param`tres de propagation des mat´riaux e e On consid`re la constante de propagation et l’imp´dance intrins`que comme ´tant les e e e e param`tres de propagation du mat´riau dans lequel se propage une onde plane. On d´sire e e e obtenir ici des expressions simplifi´es pour des cas bien pr´cis : e e • le di´lectrique parfait (σ = 0) ; e • le di´lectrique ` faibles pertes ou tr`s faibles pertes (σ ≪ ωǫ) ; e a e • le bon conducteur (σ ≫ ωǫ) ; • le conducteur parfait (σ → ∞). Avant tout, il serait int´ressant de faire l’op´ration inverse, i.e. r´cup´rer les param`tres e e e e e ´lectriques du mat´riau connaissant ` la fois les param`tres de propagation et l’imp´dance e e a e e ` partir des expressions (5.20) et (5.16), on voit tout de suite que : intrins`que. A e η γ = jωµ ¯¯ (5.48) γ ¯ = σ + jωǫ . (5.49) η¯
- 140. 5-130 Onde plane uniforme De l`, il est facile de d´duire les trois param`tres ´lectriques du mat´riau : a e e e e γ ¯ σ = Re (5.50) η ¯ 1 γ ¯ ǫ = Im (5.51) ω η ¯ 1 µ = γη . ¯¯ (5.52) jω Le dernier param`tre a un int´rˆt particulier en ce sens qu’il montre que l’argument de e ee γ et celui de η sont toujours compl´mentaires ` 90◦ – i.e. la somme des deux arguments ¯ ¯ e a ◦ vaut 90 . Exemple 5.6 Soit une onde ` la fr´quence de 10 MHz qui se propage dans un mat´riau a e e inconnu non-magn´tique (µ = µo ). On s’aper¸oit que la densit´ de puissance e c e chute de 70% ` chaque longueur d’onde, soit ` chaque 6 m. a a ◮ D´terminez l’imp´dance intrins`que du mat´riau. e e e e Il semble que tr`s peu de donn´es soient disponibles et pourtant, il est possible e e d’extraire la r´ponse. En effet, ` partir de la longueur d’onde, on d´duit β ; e a e on trouve α de l’att´nuation en puissance car la densit´ de puissance d´croˆ e e e ıt −2αz selon e dans la direction z+ : 2π β = = 1.047 rad/m 6 ln(0.3) α = = 0.1 Np/m −2(6) γ = 0.1 + j1.047 = (1.05∠84.54◦) m−1 . ¯ Maintenant, on peut extraire l’imp´dance intrins`que avec l’aide de (5.52) et e e de la connaissance de µ et γ : ¯ jωµo (2π × 107 )(4π × 10−7 )∠90◦ η = ¯ = γ ¯ 1.05∠84.54◦ = 75.07∠5.46◦ = (74.73 + j7.14)Ω . 5.6.1 Di´lectrique parfait e Le di´lectrique parfait est caract´ris´ par σ = 0. Ainsi, la constante de propagation est e e e purement imaginaire : √ γ = (jωµ) (jωǫ) = jω µǫ . ¯ (5.53)
- 141. 5.6 Param`tres depropagation des mat´riaux e e 5-131 et l’onde se d´place sans att´nuation – on dit aussi sans perte – car : e e α = 0 (5.54) √ β = ω µǫ (5.55) ω 1 vp = = √ . (5.56) β µǫ De plus, l’imp´dance intrins`que est purement r´elle, sans partie r´active : e e e e µ η = ¯ . (5.57) ǫ En comparaison avec les param`tres not´s avec l’indice “0” identifiant les param`tres e e e dans l’espace libre – autre terme pour dire le vide –, on trouve : √ β = β0 µr ǫr (5.58) c vp = √ (5.59) µr ǫr µr η = η0 . (5.60) ǫr 5.6.2 Di´lectrique ` faibles pertes e a Lorsque la conductivit´ devient non-nulle, les pertes commencent ` apparaˆ e a ıtre a cause ` du courant de conduction qui naˆ Tant que le courant de conduction reste n´gligeable ıt. e devant le courant de d´placement, on dit que le di´lectrique est ` faibles pertes. Un facteur e e a 5 minimum est requis. Math´matiquement, cela revient ` dire que : e a σ ≪ ωǫ . En utilisant les premiers termes de l’expansion binomiale3 , on peut faire l’approximation de la racine carr´e : e σ γ = ¯ (jωµ) (jωǫ) 1 − j ωǫ √ σ 1/2 = jω µǫ 1 − j ωǫ σ µ 1 σ 2 √ 1 σ 2 ≈ 1− + jω µǫ 1 + (5.61) 2 ǫ 8 ωǫ 8 ωǫ et de la mˆme mani`re4 : e e jωµ η = ¯ σ jωǫ 1 − j ωǫ µ σ −1/2 = 1−j ǫ ωǫ µ 3 σ 2 1 µ σ 5 σ 2 ≈ 1− +j 1− . (5.62) ǫ 8 ωǫ 2 ǫ ωǫ 8 ωǫ 3 (1 + x)1/2 = 1 + x/2 − x2 /8 + x3 /16 − 5x4 /128 + . . . 4 (1 + x)−1/2 = 1 − x/2 + 3x2 /8 − 5x3 /16 + 56x4 /128 − . . .
- 142. 5-132 Onde plane uniforme Ainsi, de (5.61) et (5.62) d´coulent les expressions simplifi´es : e e σ µ 1 σ 2 α ≈ 1− (5.63) 2 ǫ 8 ωǫ √ 1 σ 2 β ≈ ω µǫ 1 + (5.64) 8 ωǫ 1 1 σ 2 vp ≈ √ 1− (5.65) µǫ 8 ωǫ µ 3 σ 2 Re {¯} ≈ η 1− (5.66) ǫ 8 ωǫ 1 µ σ 5 σ 2 Im {¯} ≈ η 1− . (5.67) 2 ǫ ωǫ 8 ωǫ On peut cependant y aller d’une seconde approximation valide lorsque les pertes sont tr`s faibles. On parle alors d’un mat´riau ` tr`s faibles pertes. Dans ces conditions, un e e a e rapport σ/ωǫ inf´rieur ` 1/10 produit des erreurs moindres que 1/800 par partie pour les e a param`tres α, β ; moindres que 3/800 et 5/800 par partie respectivement pour les parties e r´elle et imaginaire de η . On peut donc proc´der en prenant simplement : e ¯ e σ µ α ≈ (5.68) 2 ǫ √ β ≈ ω µǫ (5.69) 1 vp ≈ √ (5.70) µǫ µ 1 µ σ Re {¯} ≈ η et Im {¯} ≈ η donc (5.71) ǫ 2 ǫ ωǫ µ 1 σ µ η ≈ ¯ ∠ ≈ . (5.72) ǫ 2 ωǫ ǫ Exemple 5.7 Le Teflon est utilis´ comme bon di´lectrique. Ses param`tres ´lectriques sont : e e e e • ǫr = 2.1, µr = 1 • σ/ωǫ = 0.004 ` 10 GHz. a ◮ D´terminez la vitesse de propagation d’une onde ´lectromagn´tique a 10 GHz e e e ` dans le mat´riau selon la formulation exacte vpex , l’approximation pour un e di´lectrique ` faibles vpf p et la solution pour un di´lectrique a tr`s faibles e a e ` e pertes vptf p .
- 143. 5.6 Param`tres depropagation des mat´riaux e e 5-133 On se sert de (5.26) dans (5.16) pour trouver vpex ; dans (5.61) pour vpf p et de (5.70) directement pour vptf p . D’o` : u σ γ = ¯ (jωµ) ωǫ + j 1.0 ωǫ = j(2π×1010 )(4π×10−7 ) (2π×1010 )(2.1×8.854×10−12) (0.004 + j) ◦ ◦ 78 956.835 208 7∠90 1.168 291 905 08∠89.770 818 = 303.718 013 007∠89.885 409◦ = (0.607 + j303.717 405 578) m−1 ω 2π × 1010 vpex = = β 303.717 405 578 = 206 876 036.466 m/s et 1 1 σ 2 vpf p = √ 1− µǫ 8 ωǫ (0.004)2 = 206 876 450.216 1 − 8 = 206 876 450.2 (1 − 2 × 10−6 ) = 206 876 036.463 m/s 1 vptf p = √ = 206 876 450.216 m/s . µǫ 5.6.3 Bon conducteur Le bon conducteur est le dual du di´lectrique ` faibles pertes. Les approximations sont e a cependant plus faciles ` r´aliser. Pour assumer un bon conducteur, il faut que : a e σ ≫ ωǫ . Les r´sultats fournis montrent qu’un rapport entre les courants de conduction et de e d´placement sup´rieur ` 10 entraˆ des erreurs plus faibles que 5% (6% pour la par- e e a ıne tie imaginaire de η). Les erreurs sont donc plus importantes de sorte qu’on sugg`re un ¯ e rapport de plus de 25 pour assumer des erreurs suffisamment faibles (< 1%) dans la majorit´ des cas pratiques. e Les expressions pour les param`tres de propagation dans un bon conducteur de- e viennent : γ = ¯ jωµ(σ + jωǫ) (5.73) ≈ jωµσ = ejπ/2 ωµσ √ ≈ ωµσ ejπ/4 ωµσ ≈ (1 + j) (5.74) 2
- 144. 5-134 Onde plane uniforme et, de mˆme : e jωµ ejπ/2 ωµ η ≈ ¯ = σ σ ωµ jπ/4 ≈ e σ ωµ ≈ (1 + j) . (5.75) 2σ On voit imm´diatement que les arguments des param`tres de propagation a 45◦ sont un e e ` signe que le mat´riau se comporte comme un bon conducteur. Ceci implique que : e • α=β≈ ωµσ/2 ; • Re {¯} = Im {¯} ≈ η η ωµ/(2σ). Une autre caract´ristique qui d´note un bon conducteur est le comportement directement e e proportionnel ` la racine carr´e de la fr´quence des valeurs de α, β, vp et η. a e e ¯ Exemple 5.8 L’eau de mer, avec une constante di´lectrique de 70 et une conductivit´ de e e 4 S/m pour des fr´quences inf´rieures ` 30 MHz, se comporte comme un bon e e a conducteur. A ` des fr´quences sup´rieures, les param`tres ´lectriques changent : e e e e la constante di´lectrique chute ` 7 et la conductivit´ augmente jusqu’` at- e a e a teindre un plateau de 70 S/m ` 100 GHz. Elle demeure donc relativement a bonne conductrice jusqu’` cette derni`re fr´quence, couvrant ainsi le spectre a e e entier utilis´ ` ce jour pour l’´mission de signaux radios. ea e ◮ Calculez la longueur d’onde dans l’eau d’une onde ´lectromagn´tique autour e e de 1 MHz (la fr´quence porteuse d’un poste de radiodiffusion de la bande AM). e Partant de (5.74), on d´duit que : e 2π (2π × 106 )(4π × 10−7 )(4) β = = = 3.97 rad/m λ 2 2π λ = = 1.58 m 3.97 alors que dans un di´lectrique de mˆme constante di´lectrique, la longueur e e e d’onde aurait ´t´ de 36 m environ ! ee ◮ Trouvez le rapport entre le module des champs ´lectrique et magn´tique. e e Le rapport du module des champs ´quivaut au module de l’imp´dance in- e e trins`que soit, d’apr`s (5.75) : e e (2π × 106 )(4π × 10−7 ) η = = 1.4 Ω . 4
- 145. 5.6 Param`tres depropagation des mat´riaux e e 5-135 5.6.3.1 Effet de peau On a fait mention ` quelques reprises que les champs ´lectromagn´tiques n’existent pas a e e dans un conducteur. Alors, on pourrait se poser la question quel est l’int´rˆt de pr´senter ee e les param`tres de propagation dans un bon conducteur puisque l’onde ne peut exister. En e r´alit´, l’onde ´lectromagn´tique s’att´nue tr`s rapidement dans un conducteur de sorte e e e e e e que les champs ne peuvent apparaˆ que tr`s pr`s de la surface. ıtre e e L’´paisseur de peau, not´e δp , repr´sente la distance que parcourt l’onde avant de subir e e e une att´nuation correspondant ` 1 Np ou encore 8.686 dB. Il suffit donc que αδp = 1 ou e a encore : 1 2 δp = ωµσ = . (5.76) 2 ωµσ Pour avoir une id´e de l’att´nuation importante dans un bon conducteur, on peut e e observer qu’` chaque longueur d’onde les champs diminuent en intensit´ par un facteur a e ´gal a 54.58 dB ! C’est ´norme quand on pense que l’amplitude des champs chute de moiti´ e ` e e a ` chaque 6 dB. Le calcul est facile ` faire : a e−αλ = e−βλ = e−2π et, en d´cibels, cette att´nuation vaut 20 log(e2π ). e e Exemple 5.9 Le cuivre est l’un des meilleurs conducteurs (le deuxi`me apr`s l’argent a la e e ` 7 temp´rature de la pi`ce). Sa conductivit´ est de 5.8 × 10 S/m. Soit une onde e e e ´lectromagn´tique ` la fr´quence de 1 MHz incidente sur une surface de cuivre. e e a e ◮ D´terminez l’´paisseur de peau de l’onde et la distance dans le cuivre z1/100 , a e e ` laquelle l’onde est rendue au centi`me de son amplitude ` la surface. e a Plutˆt que de calculer l’´paisseur de peau selon l’´quation (5.76) – ce qui o e e donnerait le mˆme r´sultat – on pr´f`re passer par la constante d’att´nuation e e ee e α pour faire une pierre, deux coups. Ainsi, selon (5.74) : (2π × 106 )(4π × 10−7 )(5.8 × 107 ) α = = 15 132 Np/m . 2 On sait que 1/100 correspond ` une att´nuation de 40 dB ou 4.6 Np. Finale- a e ment, on obtient les deux r´ponses attendues : e 1 δp = = 0.066 mm α 4.6 z1/100 = = 4.6δp = 0.304 mm . α
- 146. 5-136 Onde plane uniforme x B z′ ǫ, µ x A θ H C z y z E Figure 5.7 – Front d’une onde plane suivant une direction z ′ dans le plan xz. 5.6.4 Conducteur parfait Il est facile de voir que, pour un conducteur parfait o` σ → ∞, l’´paisseur de peau indiqu´e u e e par (5.76) est nulle ; en cons´quence, il y a absence de champs ´lectromagn´tiques dans e e e un conducteur parfait. Avec des champs nuls dans le conducteur parfait, les conditions aux limites montrent que les composantes d’une onde incidente sont : • E⊥ = ρs /ǫ • H = Js • E = H⊥ = 0 . Le champ ´lectrique arrive ` incidence normale ` la surface du conducteur parfait, tandis e a a que le champ magn´tique est tangentiel. e Cependant avec une conductivit´ σ tr`s ´lev´e mais finie, on continue a consid´rer un e e e e ` e bon conducteur comme un conducteur parfait si ce qui int´resse n’est pas imm´diatement e e sous la surface, ` une ou quelques fois l’´paisseur de peau tout d´pendant du degr´ de a e e e pr´cision d´sir´. e e e 5.7 Propagation dans une direction arbitraire Jusqu’ici, l’onde plane se propageait suivant l’un des axes du syst`me de coordonn´es. e e Elle pourrait bien se d´placer dans une direction tout ` fait arbitraire. Normalement, e a pour faciliter les calculs et la visualisation, on cherche ` orienter les axes du syst`me a e de coordonn´es de mani`re ` ce que l’onde suive l’un des axes. Mais dans certains cas, e e a cela n’est pas possible : plusieurs ondes en simultan´, surface de r´f´rence, orientation e ee ind´pendant de notre volont´... e e Pour commencer, on consid`re une onde plane dans un milieu sans perte – ceci uni- e quement pour simplifier les expressions sans perdre en g´n´ralit´ – voyageant dans une e e e
- 147. 5.7 Propagation dansune direction arbitraire 5-137 x z (x, z) θ x θ z cos θ z′ θ z x sin θ Figure 5.8 – D´composition de z ′ dans le plan xz. e direction z ′ . Ce nouvel axe fait un angle θ par rapport ` l’ancien dans le plan xz comme a sur la figure 5.7. Les champs ´lectrique et magn´tique doivent ˆtre transverses a cette e e e ` ′ direction z . En ´tant orthogonaux entre eux, ils peuvent ˆtre n’importe o` dans le plan. e e u On peut ´crire : e E = Eo cos ωt − βz ′ aE (5.77) H = Ho cos ωt − βz ′ aH (5.78) ¯ ¯ avec aE × aH = az ′ et E/H = η . ¯ On comprends que le taux de variation de la phase selon z ′ correspond a β. En effet, ` on mesure la longueur d’onde le long de cet axe en un temps fixe, pour d´duire ensuite la e vitesse de propagation de l’onde dans le milieu. L’´tape suivante consiste ` d´composer z ′ sur le syst`me de coordonn´es x, y et z. Ici, e a e e e on a simplement (voir figure 5.8) : z ′ = x sin(θ) + z cos(θ) qui, lorsque plac´ dans (5.77) pour le champ ´lectrique – le champ magn´tique se d´duit e e e e de la mˆme mani`re – donne : e e E = Eo cos ωt − β x sin(θ) + z cos(θ) aE (5.79) = Eo cos ωt − β sin(θ) x − β cos(θ) z aE . (5.80) βx βz Les βx et βz correspondent cette fois aux taux de variations de la phase suivant les axes x et z respectivemen. Ces constantes de phase sont plus petites que β car la variation est plus lente : les longueurs d’onde observ´es dans les directions x et z – appel´es longueurs e e d’onde apparentes – paraissent plus longues comme le montre la figure 5.9. Dans la g´n´ralisation pour une direction compl`tement arbitraire, on rajoute simple- e e e ment le βy soit le taux de variation de la phase dans la direction de l’axe y. L’expression
- 148. 5-138 Onde plane uniforme x β = βaz ′ λ λx θ H z β λz E Figure 5.9 – Longueurs d’onde vues dans les axes x et z d’une onde plane suivant une direction z ′ dans le plan xz. du champ ´lectrique devient maintenant5 : e E = Eo cos ωt − βx x − βy y − βz z + ξ aE (5.81) = Eo cos ωt − βx ax + βy ay + βz az · xax + yay + zaz + ξ aE (5.82) β ℓ = Eo cos ωt − β · ℓ + ξ aE . (5.83) 5.7.1 Vecteur de propagation Ayant trois composantes βi selon chacun des axes d’un syst`me de coordonn´es, on vient e e de cr´er un nouveau vecteur β dit vecteur de propagation qui pointe dans la direction de e propagation – tout comme la vecteur de Poynting – et dont sa grandeur β indique le taux de variation de la phase dans cette direction. Ainsi, on d´duit de β a la fois : e ` • la direction de propagation de l’onde : aβ = aP = aE × aH (5.84) • la longueur d’onde observ´e dans la direction de propagation : e 2π β = (5.85) λ • la vitesse de propagation dans le milieu ` la fr´quence angulaire ω : a e ω β = (5.86) vp 5 Dans un espace 3D, les composantes du vecteur β s’´crivent ainsi selon la direction de propagation e (θ, φ) : βx = β cos φ sin θ, βy = β sin φ sin θ et βz = β cos θ.
- 149. 5.7 Propagation dansune direction arbitraire 5-139 Exemple 5.10 Une onde plane ` 10 MHz se d´place dans le vide. Elle poss`de un Poynting a e e moyen suivant : √ 3 < P > = 0.03315 (0.75ax − ay + 0.5az ) W/m2 4 De plus, une composante du champ ´lectrique vaut Ex = 2.5 V/m. e ◮ Donnez l’expression compl`te du champ ´lectrique E(x, y, z, t). e e Il y a plusieurs inconnues ici. Il faudra trouver autant d’´quations. e 1) On trouve le module du champ ´lectrique connaissant le module du vecteur e de Poynting complexe et l’imp´dance intrins`que du vide. e e 2) On connaˆ aussi la vitesse de propagation dans le vide et la fr´quence, ıt e donc le module de β. 3) La direction de β est celle du vecteur de Poynting. 4) Le produit scalaire de E et β est nul car les deux vecteurs sont orthogo- naux. Avant de commencer, on d´cide que le vecteur unitaire aE s’´crira sous la e e forme suivante : Ex Ey Ez aE = ax + ay + az E E E = mx ax + my ay + mz az . De l’item 1, on d´duit : e E2 <P > = 2ηo soit E = 2ηo < P > = 2(377)(0.03315) ≈ 5 V /m Donc on d´duit que mx = Ex = 2.5 = 0.5. Ceci procure une premi`re relation e E 5 e entre my et mz : m2 + m2 = 1 − mx = 0.75 . y z 2 Les items 2 et 3 d´crivent enti`rement le vecteur de propagation : e e √ ω 3 β = aP = 0.2094 (0.75ax − ay + 0.5az ) rad/m vp 4 De l’item 4, on peut obtenir la seconde relation n´cessaire entre my et mz : e √ 3 0 = (0.5ax + my ay + mz az ) · (0.75ax − ay + 0.5az ) √ 4 3 = 0.375 + my (− ) + mz (0.5) 4 1.5 2 my = √ + mz √ 3 3
- 150. 5-140 Onde plane uniforme En combinant les relations entre my et mz , on peut maintenant d´duire leur e valeur respective : 2 1.5 2 0.75 = √ + mz √ + m2 z 3 3 2.25 3 4 = + 2mz + m2 + m2 z z 3 3 3 7 = 0.75 + 2mz + m2 . 3 z Les deux solutions possibles sont : √ • mz = 0 ce qui donne my = 1.5/ 3 ; d’o` finalement : u E = 5(0.5ax +0.866ay ) cos 2π×107 t−0.2094(0.75x−0.433y+0.5z) V /m √ • mz = −6/7 et my = − 3/14 : E = 5(0.5ax − 0.1237ay − 0.8571az ) cos 2π × 107 t − 0.2094(0.75x − 0.433y + 0.5z) V /m ◮ Indiquez alors la direction de champ magn´tique. e Le champ magn´tique est transverse ` la fois au champ ´lectrique et a la e a e ` direction de propagation. En fait : aE × aH = aP ou encore aP × aE = aH . Il faut prendre les deux solutions possibles et faire le produit vectoriel corres- pondant : • mz = 0 : √ √ 3 1 2 3 aH = − ax + ay + az 4 4 4 • mz = −6/7 : √ √ 7 3 25 2 3 aH = ax + ay + az . 28 28 28 Les r´sultats ne surprennent gu`re car ils sont identiques a ce qui ´taient connus. e e ` e Cependant, il pr´sage de quelque chose d’inattendue et absolument renversant. Pour ob- e server ce quelque chose, on continue le d´veloppement ` partir des composantes βx , βy et e a βz obtenues en projetant le vecteur β sur chacun des axes du syst`me de coordonn´es. e e On a donc : β = βx ax + βy ay + βz az (5.87)
- 151. 5.7 Propagation dansune direction arbitraire 5-141 c’est-`-dire que, comme pour tout vecteur, le module vaut : a β = 2 2 2 βx + βy + βz . (5.88) Les cons´quences directes sont d´riv´es en associant les composantes : e e e • ` leur longueur d’onde apparente dans chacun des axes d’o` , en partant de (5.88) a u avec (5.85) : 1 1 1 1 2 = 2 + 2 + 2 . (5.89) λ λx λy λz Les longueurs d’onde apparentes sont belles et biens plus longues que la v´ritable e longueur d’onde dans le milieu, mesur´e dans la direction de propagation. A la e ` limite, la longueur d’onde apparente dans l’un des axes peut tendre vers l’infini, indiquant ainsi aucune propagation suivant cet axe. • ` leur vitesse de propagation apparente dans chacun des axes d’o` , toujours en a u partant de (5.88) avec cette fois (5.86) : 1 1 1 1 2 = 2 + 2 + 2 . (5.90) vp vpx vpy vpz Ce r´sultat a de quoi surprendre car, de la mˆme mani`re qu’avec les longueurs e e e d’onde apparentes, les vitesses de propagation apparentes sont toujours sup´rieures e a e ` la limite, l’une d’elle peut ˆtre ´gale a vp si ` la v´ritable vitesse de propagation. A e e ` les autres sont infinies ! Exemple 5.11 Soit l’une des solutions pour l’onde plane de l’exemple 5.10 pr´c´dent : e e E = 5(0.5ax + 0.866ay ) cos 2π × 107 t − 0.2094(0.75x − 0.433y + 0.5z) V /m ◮ D´terminez les longueurs d’onde et les vitesses de propagation estim´es en e e regardant le comportement de l’onde dans chacun des axes du syst`me de e coordonn´es. e Les longueurs d’onde estim´es correspondent aux longueurs d’onde apparentes e alors que, pour les vitesses de propagation estim´es, ce sont les vitesses de e phase dans chacun des axes. De l’expression de E, on note : βx = 0.2094(0.75) rad/m βy = 0.2094(0.433) rad/m βz = 0.2094(0.5) rad/m
- 152. 5-142 Onde plane uniforme ce qui fait que : 2π 2π λx = = = 40 m βx 0.1571 2π λy = = 69.28 m 0.0907 2π λz = = 60 m 0.1047 ω 2π × 107 vpx = = = 4 × 108 m/s βx 0.1571 2π × 107 vpy = = 6.928 × 108 m/s 0.0907 2π × 107 vpz = = 6 × 108 m/s . 0.1047 On v´rifie les r´sultats ainsi : e e 1 1 1 1 1 1 2 + 2+ 2 = + + λx λy λz 1600 4800 3600 1 1 = = 2 900 λ 1 1 1 1 1 1 2 + 2 + 2 = 16 + 16 + vpx vpy vpz 16 × 10 48 × 10 36 × 1016 1 1 1 = 16 = 2 = 2 . 9 × 10 vp c 5.7.2 Vitesses de l’´nergie, de phase et de groupe e La vitesse d’un point particulier d’onde selon une axe quelconque correspond bien a la ` projection du vecteur vitesse sur cet axe. Cette vitesse de propagation physique est appel´e e vitesse de l’´nergie ou vitesse de l’information. On peut r´cup´rer la vitesse de l’´nergie e e e e par le produit scalaire de la vitesse de propagation avec la direction voulue. Observations directionnelles (vitesse de phase) Pour ´viter les confusions, les vitesses de propagation apparentes sont appel´es vi- e e tesses de phase. Car c’est bien de phase qu’il s’agit : un observateur relevant la fr´quence et la longueur d’onde observ´e le long d’un axe, pourrait tout au plus e e d´duire la vitesse de phase le long de cet axe. Il ne mesure nullement la composante e de la vitesse de propagation suivant l’axe en question. L’analogie avec les vagues de la mer, un quai et un coureur peut aider a comprendre ` les m´canismes en jeu. Soit des vagues se d´pla¸ant a angle avec l’axe d’un quai e e c ` comme sur la “photo” de la figure 5.10. Les crˆtes des vagues sont identifi´es. La e e distance entre deux fronts d’onde cons´cutifs est normalement mesur´e avec une e e r`gle perpendiculaire aux fronts. La r`gle suit donc la direction de propagation et la e e
- 153. 5.7 Propagation dansune direction arbitraire 5-143 vphase bouchon venergie ´ vvague Quai Figure 5.10 – Vitesse de phase et projection de vitesse de propagation le long d’un quai. distance repr´sente la longueur d’onde. Si on mesure la distance entre deux fronts e d’onde le long du quai, on obtient la longueur d’onde apparente suivant l’axe du quai. Soit maintenant un coureur sur le quai, prˆt ` suivre un front d’onde le long du e a quai. Il devra courir ` la vitesse de phase, i.e. plus vite que la vitesse de propagation a de la vague. Cependant, s’il d´sire, au niveau du quai, ˆtre toujours vis-`-vis un e e a bouchon qui surfe sur une crˆte d’un front d’onde, il ira ` la vitesse de propagation e a de la vague projet´e sur l’axe du quai, soit la vitesse de l’´nergie dans l’axe du quai. e e Si la vague se d´place dans l’axe du quai, on comprends ais´ment que le coureur ira e e a ` la vitesse de propagation de la vague, qu’il suive le front d’onde ou le bouchon. Observations fr´quentielles (vitesse de groupe, dispersion) e 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t(sec)=0 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t(sec)=5e−09 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t(sec)=1e−08 Figure 5.11 – Vitesse de phase et de l’enveloppe dans un mat´riau dispersif. e Il existe aussi une autre notion de vitesse reli´e ` des paquets d’ondes dans un e a mat´riau dont la vitesse de propagation varie selon la fr´quence. Cette vitesse est e e appel´e vitesse de groupe et not´e vg . Pour d´finir la vitesse de groupe, il faut utiliser e e e deux ondes ` des fr´quences l´g`rement diff´rentes et d’amplitude unit´ (les phases a e e e e e
- 154. 5-144 Onde plane uniforme z=0 z=ℓ t Figure 5.12 – Dispersion d’une impulsion gaussienne. qui n’interviennent pas sont ignor´es) allant dans la mˆme direction : e e f (z, t) = cos (ω − ∆ω )t − (β − ∆β )z + cos (ω + ∆ω )t − (β + ∆β )z . Par une identit´ trigonom´trie f (t) peut aussi s’´crire : e e e f (z, t) = 2 cos(∆ω t − ∆β z) cos(ωt − βz) . Un ph´nom`ne de battement apparaˆ ` la fr´quence angulaire de ∆ω qui module en e e ıt a e amplitude une porteuse ` la fr´quence angulaire de ω. Lorsque l’´cart de fr´quence a e e e est faible, alors on remarque que la porteuse se d´place a une vitesse tendant vers e ` ω la vitesse de propagation vp = β ` la fr´quence mitoyenne dans la direction de a e propagation. Par contre, l’enveloppe se d´place ` une vitesse ´quivalant au taux de e a e variation de la fr´quence angulaire par rapport celui de la constante de phase ∆ω e ∆β qui tend vers la vitesse de groupe d´finie comme : e ∂ω vg = . (5.91) ∂β La figure 5.11 illustre bien le comportement d’un point de phase et du noeud de l’enveloppe ` diff´rent temps. Il est clair que le point de phase a parcouru une plus a e grande distance que le noeud de l’enveloppe sur une mˆme p´riode d’o` vg < vp ici. e e u D’autres situations m`nent ` l’effet contraire indiquant l` que la vitesse de groupe e a a ne peut ˆtre associ´e automatiquement ` la vitesse de l’´nergie. e e a e Lorsque la vitesse de propagation est constante selon la fr´quence, les vitesses sont e identiques vp = vg . Autrement, l’enveloppe de l’onde se d´forme au fur et a mesure e ` qu’on s’´loigne de la source. Si le signal ´tait constitu´ d’une impulsion gaussienne e e e (modul´e ou pas) comme sur la figure 5.12, on verrait cette impulsion devenir de e plus en plus ´tal´e en se propageant d’o` le terme de dispersion. e e u Pour des observations faites dans une direction autre que celle de propagation avec une onde monochromatique (qui ne fait donc pas intervenir la nature du mat´riau), e les composantes de la vitesse de groupe vgx , vgy et vgz correspondent aux vitesses
- 155. 5.8 Polarisation 5-145 y y y Ey Ey z z αe −Ex Ex x x z Ex x −Ey Figure 5.13 – Vecteur du champ ´lectrique dans trois cas de polarisation lin´aire. e e de l’´nergie selon chacun des axes. Donc, ayant βi = β · ai : e ω vpi = (5.92) βi ∂ω vgi = (5.93) ∂βi 2 vpi vgi = vp . (5.94) 5.8 Polarisation On sait que le champ ´lectrique et le champ magn´tique d’une onde plane sont orthogo- e e naux ` la direction de propagation et orthogonaux entre eux. Les deux vecteurs de champ a sont donc localis´s dans un plan transverse mais rien n’informe sur leur orientation dans ce e plan. C’est l’orientation du champ ´lectrique pris comme r´f´rence et son comportement e ee dans le temps, qui d´terminent la polarisation de l’onde. e 5.8.1 Polarisation lin´aire e Une onde plane est dite polaris´e lin´airement lorsque la direction du champ ´lectrique ne e e e varie pas dans le temps : par exemple, une onde voyageant dans la direction z+ et dont l’unique composante du champ ´lectrique serait Ex en tout temps. Plus g´n´ralement, e e e une onde dont le champ ´lectrique aurait des composantes Ex et Ey en phase repr´sente e e aussi une polarisation lin´aire. Les phaseurs des composantes transverses s’´crivent : e e ↓ ¯ Ex (z) = Ex e−αz e−jβz+j ξ (5.95) ↓ ¯ Ey (z) = Ey e−αz e−jβz+j ξ (5.96) o` Ex et Ey sont constants, l’un ou l’autre pouvant ˆtre nul mais pas les deux ` la fois u e a (cas trivial o` l’onde n’existe pas). Lorsque les deux termes Ex et Ey sont non-nuls, u on mentionne parfois que la polarisation est oblique avec un angle d’inclinaison αe . La polarisation oblique reste toutefois une polarisation lin´aire plus g´n´rale. e e e Quelques exemples apparaissent sur le figure 5.13.
- 156. 5-146 Onde plane uniforme E z x ωt = π/2 ωt = 3π/2 ωt = π/4 y E ωt = π/8 E ωt = π ωt = π ωt = 0 ωt = 0 E ωt = π/8 ωt = π/2 ωt = 3π/2 ωt = π/2 (a) (b) Figure 5.14 – Vecteur du champ ´lectrique dans une polarisation circulaire gauche (a) et droite e (b). 5.8.2 Polarisations circulaire et elliptique La polarisation circulaire implique que les deux composantes – transverses – du champ ´lectrique sont : e • d´phas´es de 90◦ soit δξ = ξy − ξx = π/2 rad ; e e • de mˆme amplitude i.e. Ex = Ey e pour une onde qui se d´place suivant l’axe z±. On se rappelle les figures de Lissajou sur un e ´cran d’oscilloscope. Le cercle se r´alisait en ins´rant deux signaux sinuso¨ e e e ıdaux de mˆme e ◦ amplitude mais d´phas´s de ±90 dans les deux canaux “orthogonaux” de l’oscilloscope. e e Tout d´pendant lequel des composants de E est en avance, le phaseur du champ e ´lectrique tournera dans un sens ou dans l’autre lorsque le temps progresse. Les ´lectro- e e magn´ticiens ont d´fini deux expressions pour d´crire la polarisation circulaire (ou ellip- e e e tique) selon la rotation du phaseur E ¯ dans le temps. Pour bien les comprendre, il faut imaginer que l’on agit comme une source responsable du rayonnement de l’onde, et que l’on regarde l’onde s’´loigner de soi. e • La polarisation est circulaire droite (RCP pour “Right Circularly Polarized”) lorsque ¯ le phaseur du champ ´lectrique E(z = zo , t) tourne dans le sens horaire ; e ¯ • elle est circulaire gauche (LCP) si E(z = zo , t) tourne dans le sens anti-horaire. En effet, il faut tourner un volant dans le sens horaire pour aller a droite et vice-versa. ` Le lieu du vecteur du champ ´lectrique en fonction du temps trace un cercle dans e l’espace plan perpendiculaire ` la direction de propagation. Ceci est d´montr´ sur la a e e figure 5.14 sans consid´rer z. On a alors pour la RCP d’une onde se d´pla¸ant selon z+ : e e c ¯ Ex = E ejξ π ¯ Ey = E ej(ξ− 2 ) = −jE ejξ
- 157. 5.8 Polarisation 5-147 z/λ x 1 1 0 0 −1 −1 −1 1.5 1.5 1 −1 1 0 0.5 0 1 y 1 0.5 ωt = 0 ωt = π/2 1 1 0 0 −1 −1 1.5 −1 1.5 −1 1 0 1 0 0.5 1 0.5 1 ωt = π ωt = 3π/2 Figure 5.15 – Lieu h´lico¨ e ıdal du vecteur du champ ´lectrique dans une polarisation circulaire e droite d’une onde se propageant en z+. o` E est l’amplitude constante du champ ´lectrique total. L’orientation ou inclinaison αe u e du champ ´lectrique total par rapport ` l’axe x est d´crit par : e a e Ey αe = arctan (5.97) Ex laquelle varie progressivement dans le temps en compl´tant une rotation de 360◦ dans un e sens ou l’autre, par p´riode T = 1/f . e En tenant compte de la coordonn´e z (temps fixe), on trouve les expressions de la e RCP d’une onde se d´pla¸ant selon z+ : e c ¯ Ex (z) = Ee−αz e−jβz+jξ (5.98) π ¯ Ey (z) = Ee−αz e−jβz+jξ− 2 . (5.99) On voit tr`s bien ce que cela donne dans la vue 3D de la figure 5.15 pour quatre temps e diff´rents. e
- 158. 5-148 Onde plane uniforme Exemple 5.12 L’expression du phaseur du champ ´lectrique d’une onde plane se propageant e en z+ dans un mat´riau sans perte, est la suivante : e ¯ [E]z=0 = Eo ∠0 ay . ◮ Donnez l’expression compl`te du champ ´lectrique pour avoir une polarisation e e RCP. La composante Ex est nulle ` t = 0, z = 0 puisque Ey est maximale selon la a donn´e du probl`me. En effet : e e Ey (z, t) = Eo cos(ωt − βz) . Pour tourner dans le sens horaire, Ex doit donc d´croˆ pour atteindre un e ıtre minimum lorsque Ey devient nulle ` son tour soit ` 90◦ comme argument. Il a a ne faut pas oublier que le produit vectoriel ax × ay = az doit pointer hors de soi. La composante Ex suit donc la fonction d’un sinus n´gatif. Ainsi : e Ex (z, t) = −Eo sin(ωt − βz) . En cons´quence, le vecteur du champ ´lectrique s’´crit : e e e π E(z, t) = Eo cos(ωt − βz + )ax + cos(ωt − βz)ay . 2 Dans une polarisation elliptique (REP ou LEP), la plus g´n´rale de toute, la diff´rence e e e se situe ` l’un des deux niveaux suivants pour une onde qui se d´place suivant l’axe z± : a e • amplitudes diff´rentes des composantes transverses du vecteur du champ ´lectrique e e i.e. Ex = Ey ; • d´phasage quelconque δξ = ξy − ξx ∈ ] − π, π]. e Toutes combinaisons d’amplitudes et de d´phasages fournissent une polarisation elliptique. e Ceci procure de nombreux cas de figure que toutes les autres polarisations deviennent des cas particuliers. La figure 5.16 illustre quelques cas et montre la grande diversit´ d’allures du lieu du e phaseur du champ ´lectrique. Sur la figure 5.17, on remarque les deux param`tres de e e l’ellipse : • l’angle d’inclinaison ψe : 1 ψe = arctan(tan(2αe ) cos(δξ )) (5.100) 2
- 159. 5.8 Polarisation 5-149 Ex Ex wt = π/2 Ex > Ey Ex > Ey δξ = π/2 wt = π/2 wt = π wt = 0 wt = π wt = 0 E E Ey Ey z x wt = 3π/2 y wt = 3π/2 y x LEP 0 < δξ < π/2 δξ = π/2 π/2 < δξ < π REP π < δξ < 3π/2 δξ = 3π/2 3π/2 < δξ < 2π Figure 5.16 – Vecteur du champ ´lectrique dans une polarisation LEP selon deux rapports e Ex /Ey et une polarisation LEP/REP selon six valeurs de δξ = ξy − ξx . y Ey OA αe ψe x Ex OB Figure 5.17 – Param`tres d’une polarisation elliptique. e
- 160. 5-150 Onde plane uniforme • ainsi que le rapport axial6 AR (de l’anglais “Axial Ratio”) : OA AR = (1 ≤ AR ≤ ∞) OB |Ey sin(ψe ) sin(δξ )| = . (5.101) |Ex sin(ψe ) − Ey cos(ψe ) cos(δξ )| toujours avec tan(αe ) = Ey /Ex ; Exemple 5.13 Soient deux ondes ` la mˆme fr´quence polaris´es lin´airement et voyageant a e e e e dans le mˆme milieu sans perte, dans la mˆme direction z+ : e e ¯ E 1 (z) = E1 e−jβz ax ¯ E 2 (z) = E2 e−jβz ejξ ay . On consid`re que E1 , E2 sont constants. e ◮ D´duisez quelles sont les polarisations obtenues dans les cas ci-dessous : e • ξ = 0, E1 = 4 mV/m, E2 = 3 mV/m ; • ξ = π/2, E1 = E2 = 3 mV/m ; • ξ = π/2, E1 = 4 mV/m, E2 = 3 mV/m ; • ξ = 7π/4, E1 = E2 = 3 mV/m. Dans le premier cas, les deux ondes sont en phase. Donc, quelle que soit la relation d’amplitude, la polarisation est lin´aire mais oblique car aucune des e deux composantes n’est nulle. L’inclinaison vaut arctan(3/4) = 36.87◦ . Les composantes ´tant en retard l’une de l’autre de ±90◦ et les amplitudes e e e ` ´tant ´gales, la polarisation est circulaire. A t = 0, z = 0, le phaseur est plac´e ◦ a ` 0 car [Ey ]t=z=0 = 0. Cependant ` t = ǫ, [Ex ]t,z=0 a diminu´, tout comme a e [Ey ]t,z=0 . Il faut donc tourner dans le sens anti-horaire en regardant vers l’axe z+, ce qui indique une polarisation LCP. Par rapport au cas pr´c´dent, seules les amplitudes changent. La polarisation e e devient elliptique pour cette raison mais demeure a gauche d’o` LEP. On ` u peut rajouter que le rapport axial s’´value directement grˆce aux amplitudes e a de chacune des ondes et vaut 4/3 avec un angle d’inclinaison de 0◦ . Le dernier cas montre des amplitudes ´gales mais un d´phasage diff´rent de e e e ◦ ±90 . La polarisation reste encore elliptique. Les calculs des param`tres tels e 6 Le rapport axial doit toujours ˆtre plus grand ou ´gal ` l’unit´ ; si l’expression (5.101) donne un e e a e r´sultat inf´rieur ` l’unit´, prendre l’inverse (·)−1 . e e a e
- 161. 5.8 Polarisation 5-151 l’inclinaison et le rapport axial commencent avec celui de αe lequel vaut 45◦ . On trouve alors : 1 ψe = arctan(∞) = 45◦ ou π/4 2 |3 sin(π/4) sin(7π/4)| AR = = 2.4142 . |3 sin(π/4) − 3 cos(π/4) cos(7π/4)| Un petit laps de temps plus tard, [Ex ]t,z=0 diminue contrairement a [Ey ]t,z=0 . ` Le vecteur tourne dans le sens horaire ce qui indique une polarisation REP.
- 162. 5-152 Onde plane uniforme Exercices Question 1 Pour chacune des fonctions d’onde suivantes, indiquez la vitesse de propagation de l’onde en grandeur et en direction : a) e−0.001x u(t − 0.02x) ; b) cos (2π × 106 t + 2π × 10−2 y + 0.3π) ; c) cos (2π × 106 (t − 2π × 10−2 z) + 0.3π). Question 2 Une onde sinuso¨ ıdale se propage dans le vide. Trouvez, pour les cas suivants : a) la fr´quence, si la phase observ´e du champ en un point de l’espace change de 3π rad e e en 0.1 µs ; b) la longueur-d’onde, si la phase du champ en un temps pr´cis change de 0.04π rad sur e une distance de 0.1 m dans la direction de propagation ; c) la fr´quence, si la longueur-d’onde est de 25 m ; e d) la longueur-d’onde, si la fr´quence est de 5 MHz. e Question 3 Une onde plane uniforme se propage dans un mat´riau sans perte non-magn´tique e e (µ = µo ). L’expression du champ ´lectrique est donn´e par : e e E = 37.7 cos(6π × 108 t + 2πx)az V /m . Trouvez : a) la vitesse de propagation et la longueur d’onde ; b) la direction de propagation aP ; c) l’expression du champ magn´tique associ´. e e Question 4 Une onde plane uniforme se propage dans un mat´riau sans perte. L’expression du e champ magn´tique est donn´e par : e e H = Ho cos(6π × 108 t + 3πy + 0.1π)ax A/m . Trouvez :
- 163. 5.8 Polarisation 5-153 a) les vecteurs unitaires de la direction de propagation de l’onde aP du champ magn´tique e a ` t = 0 et y = 0 aH , du champ ´lectrique ` t = 0 et y = 0 aE ; e a b) la vitesse de propagation et la longueur d’onde. Question 5 Ey mV m 0.2 0 1 2 3 4 t, µs −0.2 Une onde plane uniforme ´lectromagn´tique se propage dans le vide suivant l’axe z+. e e La seule composante du champ ´lectrique Ey ` z = 0 en fonction du temps est reproduite e a ci-dessus. Tracez : a) le champ ´lectrique Ey en fonction de z au temps t = 3 µs ; e b) le champ magn´tique Hx en fonction du temps ` la position −1800 m. e a Question 6 ´ Evaluez la constante de propagation et l’imp´dance intrins`que a une fr´quence de e e ` e 5 −5 10 Hz, si les param`tres ´lectriques du mat´riau sont σ = 10 S/m, ǫ = 5ǫo et µ = µo . e e e Question 7 Une onde plane uniforme ` la fr´quence de 106 Hz se propage dans un mat´riau non- a e e −1 magn´tique. La constante de propagation vaut γ = (0.05 + j0.1) m . D´terminez : e ¯ e a) la distance a laquelle les champs s’att´nuent par un facteur e−1 ; ` e b) la distance a laquelle la phase change de 1 rad pour un temps fix´ ; ` e c) la distance parcourue par l’onde en 1 µs ; d) le rapport d’amplitude et la diff´rence de phase entre le champ ´lectrique et le champ e e magn´tique. e Question 8 Une onde plane uniforme ` la fr´quence de 5×105 Hz se propage dans un mat´riau avec a e e −1 les caract´ristiques suivantes : les champs s’att´nuent par un facteur e sur une distance e e de 28.65 m dans la direction de propagation ; la longueur-d’onde ´quivaut a 111.2 m ; le e ` rapport des amplitudes des champs en un point est de 59.4 . D´terminez : e
- 164. 5-154 Onde plane uniforme a) la valeur de la constante de propagation ; b) l’imp´dance intrins`que du mat´riau ; e e e c) les param`tres ´lectriques σ, ǫ et µ du mat´riau. e e e Question 9 Une onde plane uniforme se propage suivant la direction z + dans de l’eau douce dont les param`tres ´lectriques sont : σ = 10−3 S/m, ǫ = 80ǫo , µ = µo . L’expression du champ e e magn´tique dans le plan z = 0 s’´crit : e e H = 0.1 cos(2π × 105 t) ax A/m . ´ Ecrivez l’expression compl`te du champ ´lectrique en tout point et en tout temps. e e Question 10 Soient divers mat´riaux di´lectriques parfaits non-magn´tiques. D´terminez la constante e e e e di´lectrique par chacun des cas suivants : e a) la vitesse de propagation d’une onde ´lectromagn´tique correspond au tiers de celle e e dans le vide ; b) le taux de variation de la phase en un temps pr´cis selon la distance a la fr´quence fo e ` e est le mˆme que celui ` la fr´quence 2fo dans le vide ; e a e c) pour la mˆme fr´quence, la longueur d’onde dans le di´lectrique vaut les 2/3 de celle e e e dans le vide ; d) pour la mˆme amplitude du champ ´lectrique, l’amplitude du champ magn´tique dans e e e le di´lectrique est 4 fois plus ´lev´e que celle dans le vide. e e e Question 11 Une onde plane uniforme se propage ` la fr´quence de 105 Hz dans un bon conducteur. a e On note que les champs s’att´nuent par un facteur e−π sur une distance de 2.5 m. Trouvez : e a) la distance sur laquelle les champs subissent un changement de phase de 2π rad en un temps fix´ ; e b) la distance parcourue par l’onde en 1 µs aux fr´quences de 105 Hz et 104 Hz en sup- e posant que les param`tres ´lectriques n’ont pas chang´. e e e Question 12 Soit une onde plane uniforme ` la fr´quence de 1 MHz se propageant dans la glace a e −6 (σ ≈ 10 S/m, ǫ = 3ǫo , µ = µo ).
- 165. 5.8 Polarisation 5-155 • Calculez les valeurs des param`tres de propagation ` savoir la constante de propa- e a gation et l’imp´dance intrins`que ; e e • de la r´ponse pr´c´dente, d´duisez la vitesse de propagation et la longueur d’onde ; e e e e • d´duisez finalement la distance ` parcourir pour que les champs s’att´nuent par un e a e −1 facteur de e . Question 13 Soit une onde plane uniforme ` la fr´quence de 100 kHz se propageant dans l’eau de a e mer (σ = 4 S/m, ǫ = 80ǫo , µ = µo ). • Calculez les valeurs des param`tres de propagation ` savoir la constante de propa- e a gation et l’imp´dance intrins`que ; e e • de la r´ponse pr´c´dente, d´duisez la vitesse de propagation et la longueur d’onde ; e e e e • d´duisez finalement la distance ` parcourir pour que les champs s’att´nuent par un e a e −1 facteur de e . Question 14 Le champ magn´tique associ´ ` une onde plane uniforme se propageant dans un e e a mat´riau non-magn´tique s’exprime : e e √ H = 0.1e−z cos(6π × 107 t − 3z) ay A/m . Trouvez : a) la puissance instantan´e traversant une surface de 3 m2 dans le plan z = 0 a t = 0 ; e ` b) la puissance moyenne traversant la surface pr´c´dente ` la mˆme position z = 0 ; e e a e c) la puissance moyenne traversant la surface d´plac´e dans le plan z = 1. e e Question 15 Le champ ´lectrique associ´ ` une onde plane uniforme se propageant dans un mat´riau e ea e non-magn´tique s’´crit : e e E = 0.2e−z cos(2π × 106 t − 2z) ax V /m . Trouvez : a) la densit´ de puissance au point (3,2,1) ; e b) la puissance dissip´e dans le volume d´limit´ par les plans x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e e e et z = 0, z = 1.
- 166. 5-156 Onde plane uniforme Question 16 Une onde plane uniforme se propage dans un di´lectrique parfait de constante ǫr = 2.25 e non-magn´tique. Le champ ´lectrique de l’onde s’exprime comme : e e E(t) = 10(4ax + 5ay − 3az ) cos 2π × 107 t − 0.02π(3x + 4z) mV /m . Donnez : a) le vecteur unitaire de propagation ; b) la longueur d’onde suivant la direction de propagation ; c) les longueurs d’onde apparentes suivant les trois axes ; d) les vitesses de phase suivant les trois axes. Question 17 On donne le phaseur du champ ´lectrique dans le vide : e ¯ E = (3ax + 4ay + j5az )e−jπ(8x−6y) mV/m . D´terminez : e a) la direction de propagation ; b) s’il correspond ` celui d’une onde plane uniforme ? a c) la fr´quence d’op´ration et la polarisation ; e e d) l’expression du phaseur du champ magn´tique associ´. e e Question 18 D´terminez la fr´quence de l’onde plane dans le vide si : e e a) le vecteur de propagation vaut β = π(1.2ax + 0.9ay ) ; b) les longueurs d’onde apparentes suivant les trois axes d’un syst`me de coordonn´es e e sont de 2 m, 2 m et 4 m. Question 19 Une onde plane uniforme ` la fr´quence de 150 MHz se propage dans une direction a e positive pour les 3 axes d’un syst`me de coordonn´es. Le mat´riau est un di´lectrique e e e e parfait de constante ǫr = 2 non-magn´tique. Les longueurs d’onde apparentes selon les e axes x et y donnent 2.5 m et 3.333 m respectivement. Trouvez :
- 167. 5.8 Polarisation 5-157 a) le vecteur de phase ; b) la vitesse de propagation apparente dans la direction du vecteur unitaire ai = (3ax − 4ay + 12az )/13. Question 20 La courbe montrant la relation entre ω et βz d’une onde plane se d´pla¸ant dans un e c milieu dispersif suit l’´quation : e 2 ω = ωo + kβz o` k est une constante positive. u D´duisez : e a) la vitesse de phase de l’onde suivant l’axe z ` ω = 1.4ωo et ` ω = 1.6ωo ; a a b) la vitesse de groupe de l’onde suivant l’axe z ` ω = 1.5ωo. a Question 21 Pour les phaseurs suivants du champ ´lectrique d’une onde plane uniforme, dites le e type polarisation et l’amplitude maximale du champ. ¯ a) E a = Eo (ax + ejπ/2 az )e−j2πy ; ¯ ¯ b) E b = E a + Eo (ax + ej3π/2 az )e−j2πy ; ¯ c) E c = Eo (ax − (1 + j)ay )e−j25z ; ¯ d) E d = Eo (e−jπ/4 ay − ejπ/4 az )ej10πx . R´ponses : e 1. a) v = 50ax m/s ; b) v = −108 ay m/s ; b) v = 15.9az m/s. 2. a) 15 MHz ; b) 5 m ; c) 12 MHz ; d) 60 m. 3. a) vp = 3 × 108 m/s, λ = 1 m ; b) aP = −ax ; c) H = 0.1 cos(6π × 108 t + 2πx)ay A/m. 4. a) aP = −ay , aH = ax , aE = −az ; b) vp = 2 × 108 m/s, λ = 2/3 m. 5. Ey Hx mV µA 0.2 m 0.53 m −300 300 900 z −6 −4 −2 t, µs −0.2 m −0.53
- 168. 5-158 Onde plane uniforme 6. γ = (0.00083 + j0.00476) m−1, η = (163.53∠9.9◦)Ω. ¯ ¯ 7. a) 20 m ; b) 10 m ; c) 62.83 m ; d) E/H = 70.62 Ω, ∠E − ∠H = 0.1476π rad. 8. a) γ = (0.0349 + j0.0565) m−1 ; b) η = (59.4∠31.7◦) Ω ; ¯ ¯ −3 c) σ = 10 S/m, ǫ = 18ǫo , µ = µo . 9. E(z, t) = − 2.686 e−0.016z cos(2π × 105 t − 0.0246z + 0.1834π) ay V /m. 10. a) ǫr = 9 ; b) ǫr = 4 ; c) ǫr = 2.25 ; d) ǫr = 16. 11. a) 5 m ; b) d105 = 0.5 m, d104 = 0.1581 m. 12. le mat´riau se comporte comme un di´lectrique imparfait ; e e a) γ = (1.0883 × 10 + j0.036276) m−1, η = (217.66 + j0.653) Ω ; ¯ −4 ¯ 8 b) vp = 1.732 × 10 m/s, λ = 173.21 m ; c) δp = 9.189 km. 13. le mat´riau se comporte comme un bon conducteur ; e a) γ = 0.4π(1 + j) m−1 , η = 0.1π(1 + j) Ω ; ¯ ¯ b) vp = 5 × 105 m/s, λ = 5 m ; c) δp = 0.796 m. 14. η = 12π 2 ejπ/6 Ω, a) [P(z = 0, t = 0)]s = 3.0771 W ; ¯ b) [< P(z = 0) >]s = 1.5385 W ; c) [< P(z = 1) >]s = 0.2082 W . 15. η = (3.531∠26.57◦) Ω, ¯ a) < P >= 0.005064e−2z az W/m2 donc [< Pz >](3,2,1) = 0.685 mW/m2 ; b) [∆ < P >]box = 0.005064(1 − e−2 ) = 0.00438 W . 1 16. a) aβ = 5 (3ax + 4az ) ; b) λ = 20 m c) λx = 33.333 m, λy = ∞, λz = 25 m ; d) vpx = 3.333 × 108 m/s, vpy = ∞, vpz = 2.5 × 108 m/s. 17. a) aβ = 0.8ax − 0.6ay ; b) oui car aE · aβ = 0 ; c) f = 1.5 GHz, circulaire gauche ; ¯ d) H = (−j7.96ax − j10.6ay + 13.3az )e−jπ(8x−6y) µ A/m. 18. a) f = 225 MHz ; b) f = 225 MHz. 19. a) β = (0.8πax + 0.6πay + πaz ) rad/m ; b) vpi = 3.25 × 108 m/s. √ √ 20. a) vp1.4 = 2.2136 kωo , vp1.6 = 2.0656 kωo ; √ b) vg1.5 = 1.4142 kωo . 21. a) circulaire droite, Emax = Eo ; b) lin´aire en x, Emax = 2Eo e ◦ c) elliptique droite ψe = 31.7 , Emax = 1.618Eo , AR = 2.62 ; d) circulaire gauche, Emax = Eo .
- 169. Chapitre 6 R´flexion ettransmission e 6.1 Introduction Dans la majorit´ des situations pratiques, l’onde est incidente sur une fronti`re entre deux e e mat´riaux. Il y a alors transmission du signal mais aussi une r´flexion dans le mˆme genre e e e que la transmission ou la r´flexion de la lumi`re incidente sur l’eau. Sans faire aucun e e calcul, on peut toutefois dire que la r´flexion sera quasi totale si l’incidence se produit sur e un bon conducteur – totale sur un conducteur parfait – de par le principe de conservation de l’´nergie et de l’absence de champs dans un conducteur. Dans le cas trivial o` le second e u mat´riau est identique au premier, la transmission est totale. Entre ces deux extrˆmes, se e e situent tous les cas int´ressants. e Pour r´soudre le probl`me de l’onde incidente sur un plan de s´paration entre deux e e e milieux, on applique les conditions aux limites dans lesquelles on s´pare les compo- e santes tangentielles et normales des champs. Ainsi les param`tres de calcul pour la e r´flexion/transmission sont : e • la polarisation de l’onde ` savoir comment est orient´ le champ ´lectrique – qui sert a e e habituellement de r´f´rence – par rapport au plan d’incidence d´fini plus tard ; ee e • l’angle d’incidence de l’onde ; • les param`tres ´lectriques des mat´riaux ou encore les param`tres de propagation a e e e e ` la fr´quence d’op´ration. e e Dans ce chapitre, seule l’onde plane uniforme incidente est consid´r´e. ee 6.2 Incidence normale L’incidence normale est le cas le plus simple qui limite le d´veloppement sans n´cessiter e e beaucoup de connaissances ` priori. Ici, la direction de propagation de l’onde est normale a a ` la surface de s´paration comme sur la figure 6.1. La convention utilis´e pour les indices e e est : • i, r et t identifient l’onde incidente, r´fl´chie et transmise respectivement ; e e
- 170. 6-160 R´flexion et transmission e millieu #1 millieu #2 onde ¯+ E1 incidente ¯+ E2 onde transmise onde ¯− réfléchie E1 z z=0 Figure 6.1 – Onde ` incidence normale sur un plan de s´paration de deux milieux. a e • 1 et 2 indiquent les milieux dans lesquels se trouve l’onde. Le mat´riau #1 contient e l’onde incidente et l’onde r´fl´chie ; il remplie le volume z < 0, alors que le mat´riau e e e #2, contenant l’onde transmise occupe le volume z > 0. L’onde incidente se propage dans le premier milieu (z < 0) suivant la direction z+ normale ` la surface de s´paration z = 0 ; l’onde r´fl´chie part dans la direction oppos´e a e e e e z−, tandis que l’onde transmise continue son chemin dans le second milieu (z > 0) en direction z+. La polarisation n’intervient pas car le champ ´lectrique, comme le champ e magn´tique d’ailleurs, ne poss`de qu’une composante parall`le ` la surface de s´paration. e e e a e Les expressions des champs dans chacun des milieux deviennent : ¯ ¯ γ ¯ ¯ E1x (z) = Ei e−¯1 z + Er eγ1 z (6.1) ¯ ¯ γ E2x (z) = Et e−¯2 z (6.2) ¯ ¯ γ ¯ ¯ H1y (z) = Hi e−¯1 z + Hr eγ1 z (6.3) 1 ¯ −¯1 z ¯ ¯ = Ei e γ − Er eγ1 z (6.4) η1 ¯ ¯ ¯ γ H2y (z) = Ht e−¯2 z (6.5) 1 ¯ −¯2 z = Et e γ (6.6) η2 ¯ u ¯ ¯ ¯ ¯ o` Ei , Er , Hi et Hr sont les composantes des champs incidents et r´fl´chis qui sont tous e e dans le milieu #1 ; E¯t et Ht sont les champs transmis dans le milieu #2. ¯ Les conditions aux limites des composantes tangentielles doivent ˆtre satisfaites en e z=0: ¯ ¯ [E1x ]z=0− = [E2x ]z=0+ (6.7) ¯ ¯ [H1y ]z=0− = [H2y ]z=0+ . (6.8) En les appliquant avec les paires d’´quations (6.1) ` (6.6), il s’ensuit que : e a ¯ ¯ ¯ Ei + Er = Et (6.9) 1 ¯ ¯ 1 ¯ Ei − Er = Et . (6.10) η1 ¯ η2 ¯
- 171. 6.2 Incidence normale 6-161 e e e ¯ On d´finit maintenant le coefficient de r´flexion, not´ Γ, comme le rapport entre les phaseurs des champs ´lectriques r´fl´chi et incident ` la surface de s´paration. De (6.9) e e e a e et (6.10) avec un peu d’arithm´tique, on en arrive ` : e a ¯ Er η2 − η1 ¯ ¯ ¯ Γ = = . (6.11) ¯ Ei η2 + η1 ¯ ¯ z=0 Du cˆt´ du rapport des champs magn´tiques r´fl´chi et incident, on observe qu’il corres- oe e e e pond ` celui des champs ´lectriques ` la diff´rence du signe n´gatif – lequel provient du a e a e e fameux signe n´gatif devant la composante en z− de H. e ¯ Donc : ¯ Hr ¯ Γ = − ¯ . (6.12) ↑ Hi z=0 On peut aussi d´finir le coefficient de transmission τE ou τH selon chacun des deux e ¯ ¯ champs. Malheureusement, on dissocie les deux car ils diff`rent sensiblement. Ils sont e donn´s par : e ¯ Et ¯ Ei + Er ¯ τE = ¯ ¯ = ¯ (6.13) Ei z=0 Ei ¯ 2¯2 η = 1+ Γ = (6.14) η2 + η1 ¯ ¯ ¯ Ht H¯ i + Hr ¯ τH = ¯ ¯ = ¯ (6.15) Hi z=0 Hi ¯ 2¯1 η = 1− Γ = . (6.16) η2 + η1 ¯ ¯ Maintenant que l’on connaˆ les expressions des coefficients de r´flexion, on peut d´crire ıt e e certains comportements : ¯ ¯ • Lorsque η1 = η2 , alors Γ = 0 et τE,H = 1. Dans cette situation – dite “adapt´e” – ¯ ¯ e l’onde incidente est enti`rement transmise et rien n’est r´fl´chi. e e e • Avec σ1 = σ2 = 0 i.e. avec des di´lectriques parfaits, les coefficients de r´flexion e e et de transmission sont purement r´els car les imp´dances intrins`ques le sont. On e e e v´rifie alors que : e ¯ 1 − (µ1 ǫ2 )/(µ2 ǫ1 )) −1 < Γ = < 1 (6.17) 1 + (µ1 ǫ2 )/(µ2 ǫ1 )) et 2 0 < τE = ¯ < 2 (6.18) 1+ (µ1 ǫ2 )/(µ2 ǫ1 )) 2 0 < τH = ¯ +1 < 2 . (6.19) (µ2 ǫ1 )/(µ1 ǫ2 )) • Finalement, une onde incidente sur un conducteur parfait σ → ∞ fait que η2 = 0 ¯ ¯ donc Γ = −1 et τE,H = 0. Selon (6.16), on est port´ ` croire que l’amplitude ¯ e a
- 172. 6-162 R´flexion et transmission e du champ magn´tique transmise vaut le double de celle incidente. Il n’en est rien. e En fait, un courant de surface Js = 2[Hi ]z=0− apparaˆ sur le conducteur mais ni ıt le champ ´lectrique, ni le champ magn´tique est transmis. L’onde est r´fl´chie en e e e e ◦ totalit´ et le phaseur du champ ´lectrique r´fl´chi pivote de 180 au niveau de la e e e e surface de s´paration, alors que le phaseur du champ magn´tique reste en phase. e e Ceci respecte une des caract´ristiques de l’onde plane a savoir le produit vectoriel e ` des deux champs indique la direction de propagation ; or, cette derni`re change de e sens lorsqu’il y a r´flexion. e Exemple 6.1 Une onde plane ` 150 kHz se propage dans l’air z < 0 et arrive a incidence a ` normale sur le sol z > 0 dont la surface se situe en z = 0. Les param`tres e −4 ´lectriques du sol valent ǫr = 5, µr = 1 et σ = 10 S/m. e ◮ Donnez les expressions compl`tes des champs ´lectromagn´tiques de l’onde e e e r´fl´chie et transmise si le vecteur-phaseur du champ ´lectrique incident a e e e ` − z = 0 s’´crit : e ¯ [E i ]z=0− = Eo ∠0 ax . On a besoin absolument des param`tres de propagation dans les deux milieux e a ` la fr´quence de 150 kHz. On trouve : e η1 = 377Ω ¯ γ1 = j3.14 × 10−3 m−1 ¯ . η2 = (104.56∠0.59)Ω γ2 = (6.28 + j9.43) × 10−3 m−1 ¯ ¯ Ainsi, de (6.11) et (6.14) : ¯ 104.56∠0.59 − 377∠0 Γ = 104.56∠0.59 + 377∠0 = 0.633∠2.82 τE = 0.447∠0.464 . ¯ Il est maintenant possible d’exprimer les champs : ¯ ¯ ¯ [Er ]z=0− = Γ[Ei ]z=0− = 0.633 Eo∠2.82 E r = 0.633 Eo cos(3π × 105 t + 3.14 × 10−3 z + 2.82) ax V /m ¯ [E − ]z=0− ¯ [Hr ]z=0− = − r = −(2.65 × 10−3 )(0.633 Eo∠2.82) η1 ¯ H r = 1.68 × 10−3 Eo cos(3π × 105 t + 3.14 × 10−3 z + 2.82) (−ay ) A/m
- 173. 6.3 Lois der´flexion et de r´fraction e e 6-163 et ¯ ¯ ¯ [Et ]z=0+ = τE [Ei ]z=0− = 0.447 Eo∠0.464 −3 E t = 0.447 Eo e−6.28×10 z cos(3π × 105 t − 9.43 × 10−3 z + 0.464) ax V /m ¯ [Et+ ]z=0+ ¯ [Ht ]z=0+ = = (9.56 × 10−3∠ − 0.59)(0.447 Eo∠0.464) η2 ¯ −3 H t = 4.28 × 10−3 Eo e−6.28×10 z cos(3π × 105 t − 9.43 × 10−3 z − 0.126) ay A/m . On v´rifie ais´ment que les conditions aux limites sont satisfaites car en z = 0 e e et t = 0 (quoique vraies ∀t) : Eo + 0.633 Eo cos(2.82) = 0.447 Eo cos(0.464) et d’autre part : Eo − 1.68 × 10−3 Eo cos(2.82) = 4.28 × 10−3 Eo cos(−0.126) . 377 6.3 Lois de r´flexion et de r´fraction e e La r´flexion ` incidence oblique sur une interface plane s´parant deux mat´riaux diff´rents, e a e e e requiert l’application des quatre conditions aux limites en plus de l’application de la loi1 de Snell-Descartes. Au d´part, cette section pr´suppose que les deux mat´riaux de part et d’autre du plan e e e de s´paration ont une conductivit´ nulle – donc sans perte. e e Soit une onde plane incidente dont le vecteur de propagation β fait un angle θi avec la normale du plan de s´paration an . e La satisfaction des conditions aux limites en z = 0 oblige : • qu’une partie de l’onde soit r´fl´chie avec un angle θr et que l’autre partie soit e e transmise avec un angle θt comme il apparaˆ sur la figure 6.2. ıt • qu’` un temps fixe, les creux se situent aux mˆmes endroits de part et d’autre de la a e surface de s´paration ; il en est de mˆme pour les crˆtes. Les longueurs d’onde ap- e e e parentes de part et d’autre, le long de la surface, sont donc identiques. La fr´quence e ´tant forc´ment la mˆme, les vitesses de phase de part et d’autre sont aussi iden- e e e tiques (voir figure 6.3). 1 La loi de la r´fraction a plutˆt ´t´ d´couverte par le physicien arabe Ibn Sahl vers 984. En 1621, e o ee e Snell, un scientifique flamand d´riva math´matiquement la loi mais ne publia pas sa d´couverte. Descartes e e e d´montra ind´pendamment la loi par des arguments de conservation du moment dans son trait´ de 1637 e e e “Discours de la m´thode” sans donner cr´dit ` Snell. Rejetant la solution de Descartes, Fermat arrivera e e a a ` la mˆme solution en se basant sur le parcours le plus rapide. Cette loi de r´fraction prend donc le nom e e de Descartes pour les fran¸ais, alors qu’ailleurs elle est nomm´e loi de Snell. c e
- 174. 6-164 R´flexion et transmission e Milieu #1 onde incidente ǫ1 , µ1 , σ1 = 0 onde r´fl´chie e e θi βr βi θr z=0 Milieu #2 θt ǫ2 , µ2 , σ2 = 0 z βt onde transmise Figure 6.2 – G´om´trie utilis´e pour l’incidence oblique d’une onde plane sur une interface e e e plane. Milieu #1 Milieu #2 (ǫ1 , µ1, σ1 = 0) (ǫ2 , µ2 , σ2 = 0) βr λ2 βt λ1 x θr z θi y θt front d’onde βi z=0 Figure 6.3 – Longueur d’onde apparente dans chacun des mat´riaux, le long d’un axe sur la e surface de s´paration. e
- 175. 6.4 Incidence obliqueavec mat´riaux sans perte e 6-165 Ainsi : vp1 vp1 vp2 = = . (6.20) sin θi sin θr sin θt Cette ´quation (6.20) pourrait porter le nom d’´quation de Snell-Descartes g´n´rale e e e e car elle demeure valide pour tous types de mat´riaux avec ou sans perte. e Or, dans l’optique (et pourquoi pas en g´n´ral pour les ondes ´lectromagn´tiques), e e e e l’indice de r´fraction n d’un mat´riau est d´fini comme le rapport entre la vitesse de e e e propagation dans le vide et la vitesse dans le mat´riau en question. Donc : e c n = (6.21) vp On d´duit rapidement que la loi g´n´rale procure deux ´galit´s : e e e e e sin θr = sin θi n1 sin θi = n2 sin θt ou, ´crites plus simplement : e θi = θr (6.22) n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (6.23) dont la premi`re est connue comme la loi de r´flexion, la seconde comme la loi de r´fraction. e e e 6.4 Incidence oblique avec mat´riaux sans perte e Dans des mat´riaux sans perte, tous les signaux sont en phase. On peut donc oublier e les phaseurs pour l’instant. De plus, les vitesses de propagation s’´crivent en terme de e √ µ et ǫ seulement : vp = 1/ µǫ. Pour des mat´riaux non-magn´tique sans perte, elles ne e e √ d´pendent que de la constante di´lectrique suivante : vp = c/ ǫr de sorte qu’ici : e e √ n = ǫr . (6.24) Il faut maintenant appliquer les conditions aux limites. Pour ce faire, on doit connaˆ ıtre la polarisation de l’onde incidente car les conditions diff`rent pour la composante tangen- e tielle et pour la composante perpendiculaire ` la surface de s´paration. a e 6.4.1 Polarisation perpendiculaire/horizontale La g´om´trie utilis´e pour l’application des conditions aux limites dans la polarisation per- e e e pendiculaire est illustr´e ` la figure 6.4. Le champ ´lectrique de l’onde incidente, r´fl´chie e a e e e ou transmise pointe dans une direction perpendiculaire au plan d’incidence. Ce plan est form´e par la normale ` la surface de s´paration et le vecteur de propagation des ondes. e a e L’appellation “perpendiculaire” est propre aux physiciens alors que pour les ing´nieurs e en RF (“Radio-Frequency”), l’appellation “horizontale” est plus courante, car le champ
- 176. 6-166 R´flexion et transmission e Hi Hr βr Ei βi Er θ1 θ1 Milieu 1 ǫ1 , µ1 , σ1 = 0 y z=0 x Milieu 2 ǫ2 , µ2 , σ2 = 0 z θ2 Ht Et βt Figure 6.4 – G´om´trie utilis´e pour l’incidence oblique d’une onde plane sur une interface e e e plane avec polarisation perpendiculaire. ´lectrique ´mis dans l’atmosph`re avec le sol comme surface de s´paration est alors ho- e e e e rizontal. Il faut toutefois ˆtre vigilant avec l’usage du terme “horizontal” si la surface de e s´paration devient autre chose que le sol – e.g. un mur d’un ´difice. e e 2 Les conditions aux limites ` appliquer s’´crivent : a e • les composantes tangentielles du champ ´lectrique sont continues ; e • les composantes tangentielles du champ magn´tique sont continues de par l’absence e de courant surfacique (σ1,2 = 0). Ainsi, ` z = 0 et selon la figure 6.4 : a Eiy + Ery = Ety (6.25) Hix − Hrx = Htx . (6.26) ↑ En exprimant les quantit´s des deux ´quations en termes des champs totaux, on a main- e e tenant : Ei + Er = Et (6.27) Hi cos θ1 − Hr cos θ1 = Ht cos θ2 . (6.28) Les propri´t´s des ondes planes permettent de remplacer les termes de champ magn´tique ee e en ceux de champ ´lectrique selon les imp´dances intrins`ques du mat´riau dans lequel e e e e l’onde se propage. Donc (6.28) devient : Ei Er Et cos θ1 − cos θ1 = cos θ2 (6.29) η1 η1 η2 2 En prenant la condition aux limites sur la composante normale du champ d’induction B⊥1 = B⊥2 au lieu de celle sur la composante tangentielle du champ magn´tique, on retrouve la loi de Snell-Descartes e g´n´rale. e e
- 177. 6.4 Incidence obliqueavec mat´riaux sans perte e 6-167 On r´sume : e Ei + Er = Et (6.30) η1 cos θ2 Ei − Er = Et . (6.31) η2 cos θ1 Deux autres expressions interm´diaires utiles sont trouv´es en additionnant d’une part, e e les termes de gauche ensemble et ceux de droite ensemble de (6.30) et (6.31) ; d’autre part, en soustrayant (6.30) de (6.31) : η1 cos θ2 2Ei = Et 1 + (6.32) η2 cos θ1 η1 cos θ2 2Er = Et 1− . (6.33) η2 cos θ1 Comme pour l’incidence normale, on garde la mˆme d´finition du coefficient de r´flexion e e e Γ⊥ , comme le rapport entre les phaseurs des champs ´lectriques r´fl´chi et incident a la e e e ` surface de s´paration. De (6.32) et (6.33), on en arrive ` : e a Er η2 cos θ1 − η1 cos θ2 Γ⊥ = = (6.34) Ei z=0 η2 cos θ1 + η1 cos θ2 Et 2η2 cos θ1 τ⊥E = = 1 + Γ⊥ = . (6.35) Ei z=0 η2 cos θ1 + η1 cos θ2 Le coefficient de transmission appliqu´ au champ magn´tique peut aussi ˆtre obtenu, e e e mais on pr´f`re calculer le champ ´lectrique transmis et, de celui-ci, d´terminer le champ ee e e magn´tique selon l’imp´dance intrins`que du mat´riau #2. e e e e Exemple 6.2 Une onde plane ` 3 GHz dans le vide (z < 0) arrive ` incidence sur un po- a a lystyr`ne (z > 0) dont les param`tres ´lectriques sont ǫr = 1.96, µr = 1 et e e e σ = 0. Le phaseur du champ ´lectrique est donn´ par : e e ¯ E i = 32.5 e−jk (0.866 y+0.5 z) ax V /m . ¯ ◮ Donnez la valeur de la constante k dans l’expression de E i . On note d’abord que (0.866)2 + (0.5)2 = 1. La constante k est donc le module de la constante de phase β1 reli´e a la vitesse de la lumi`re dans le vide c : e ` e 2π × 3 × 109 β1 = = 20π = 62.8 rad/m . 3 × 108 ◮ D´terminez l’angle d’incidence θ1 par rapport ` la normale az . e a
- 178. 6-168 R´flexion et transmission e Une petite analyse du terme de phase β = β1 (0.866 y + 0.5 z) montre que l’onde incidente se situe dans le plan yz qui est le plan d’incidence. La direction unitaire s’exprimerait aβ = sin θ1 ay + cos θ1 az . Ainsi l’angle d’incidence vaut θ1 = arcsin(0.866) = arccos(0.5) = 60◦ . e e e ¯ ◮ Exprimez le phaseur du champ ´lectrique r´fl´chi E r . Il suffit simplement de modifier le signe du β1z , car l’onde r´fl´chie continue de e e progresser en ay mais s’inverse en az . Il faut aussi tenir compte du coefficient de r´flexion pour une polarisation perpendiculaire, car le champ ´lectrique ne e e poss`de qu’une composante Ex , transverse au plan d’incidence yz. e La loi de r´fraction (6.23) dit : e √ 1.0 sin 60◦ = 1.96 sin θ2 d’o` θ2 ≈ 38◦ . u De (6.34), le coefficient de r´flexion vaut : e η2 cos 60◦ − ηo cos 38◦ Γ⊥ = η2 cos 60◦ + ηo cos 38◦ ce qui est ´quivalent ` ´crire (en divisant le num´rateur et le d´nominateur e ae e e √ par η2 et en rempla¸ant ηo /η2 = ǫr2 ) : c √ cos 60◦ − 1.96 cos 38◦ Γ⊥ = √ = −0.375 . cos 60◦ + 1.96 cos 38◦ Le champ ´lectrique pointe toujours dans la direction ax (plutˆt −ax a cause e o ` du signe du coefficient de r´flexion) : e ◦ ◦ ¯ E r = (0.375)(32.5) e−j(62.8)(y sin 60 −z cos 60 ) (−ax ) V /m = −12.2 e−j(62.8)(0.866 y−0.5 z) ax V /m . ¯ ◮ Exprimez le phaseur du champ ´lectrique transmis E t . e On doit ´valuer l’angle de transmission dans le polystyr`ne, la nouvelle constan- e e te de phase et la relation d’amplitude (celle de la phase ne peut valoir que 0 ou 180◦ avec des mat´riaux sans perte). Cette derni`re s’estime par le biais du e e coefficient de transmission en polarisation perpendiculaire. De (6.35), le coefficient transmission vaut : 2 cos 60◦ τ⊥E = √ = 0.625 . cos 60◦ + 1.96 cos 38◦ Et la nouvelle constante de phase β2 : √ β2 = β1 1.96 = 28π = 88.0 rad/m .
- 179. 6.4 Incidence obliqueavec mat´riaux sans perte e 6-169 Ei βr Hr Hi βi Er θ1 θ1 Milieu 1 ǫ1 , µ1 , σ1 = 0 y z=0 x Milieu 2 ǫ2 , µ2 , σ2 = 0 z θ2 Et Ht βt Figure 6.5 – G´om´trie utilis´e pour l’incidence oblique d’une onde plane sur une interface e e e plane avec polarisation parall`le. e Tout est en place pour terminer le probl`me puisque le vecteur unitaire du e champ ´lectrique continue de pointer dans la direction ax . On obtient : e ◦ ◦ ¯ E t = (0.625)(32.5) e−j(88.0)(y sin 38 +z cos 38 ) ax V /m = 20.3 e−j(88.0)(0.62 y+0.79 z) ax V /m . ◮ Indiquez la direction du champ magn´tique transmis. e La direction de propagation de l’onde transmise est sp´cifi´e par le vecteur de e e propagation : β t = (88.0)(0.62ay + 0.79az ) rad/m . aβ t Or, on sait que aE × aH = aβ ou encore : aH t = aβ t × aE t = (0.62ay + 0.79az ) × ax = −0.62az + 0.79ay . 6.4.2 Polarisation parall`le/verticale e L’autre polarisation ind´pendante est celle o` les champs ´lectriques des ondes incidente, e u e r´fl´chie et transmise sont compl`tement localis´s dans le plan d’incidence. Toutes les e e e e autres polarisations sont vues comme des combinaisons lin´aires des polarisations hori- e zontale et verticale. La g´om´trie utilis´e pour l’application des conditions aux limites dans la polarisation e e e verticale est illustr´e ` la figure 6.5. Pour les ing´nieurs en RF, le champ ´lectrique est e a e e
- 180. 6-170 R´flexion et transmission e vertical si le sol forme le plan de s´paration et que l’angle d’incidence approche 90◦ comme e dans la majorit´ des liens RF dans la troposph`re. e e Les conditions limites ` z = 0, s’´crivent toujours ainsi : a e Eix + Erx = Etx (6.36) Hiy − Hry = Hty . (6.37) ↑ On note le changement de sens du champ magn´tique Hr conform´ment a la g´om´trie e e ` e e ◦ montr´e sur la figure 6.5. Cette inversion de 180 devient n´cessaire pour tenir compte du e e sens de propagation de l’onde r´fl´chie. L’inversion appliqu´e sur le champ ´lectrique Er a e e e e le d´sagr´ment de changer le signe du coefficient de r´flexion par rapport aux expressions e e e pr´alablement obtenues avec la polarisation perpendiculaire et avec l’incidence normale e lorsqu’on pose θ1 = 0. Cette fois, en termes des champs totaux, on a maintenant : Ei cos θ1 + Er cos θ1 = Et cos θ2 (6.38) Hi − Hr = Ht (6.39) Ei Er Et − = . (6.40) η1 η1 η2 On d´finit le coefficient de r´flexion en polarisation parall`le Γ comme le rapport entre les e e e phaseurs des champs ´lectriques r´fl´chi et incident ` la surface de s´paration. De (6.38) e e e a e et (6.40), on aboutit ` : a cos θ2 η1 2Ei = Et + (6.41) cos θ1 η2 cos θ2 η1 2Er = Et − . (6.42) cos θ1 η2 puis ` : a Er η2 cos θ2 − η1 cos θ1 Γ = = (6.43) Ei z=0 η2 cos θ2 + η1 cos θ1 Et cos θ1 τ E = = (1 + Γ ) (6.44) Ei z=0 cos θ2 2η2 cos θ1 = . (6.45) η2 cos θ2 + η1 cos θ1 Exemple 6.3 Soit une onde plane incidente sur une vitre (n = 1.52) avec un angle θi = 40◦ . ◮ Recherchez quelle polarisation permet une meilleure r´flexion. e C’est une question de module du coefficient de r´flexion seulement. Comme on e ne se pr´occupe pas de la transmission et que les mat´riaux sont sans perte, e e
- 181. 6.4 Incidence obliqueavec mat´riaux sans perte e 6-171 on peut r´´crire les expressions des coefficients de r´flexion en termes de n1 , ee e n2 et θ1 seulement. On obtient alors de (6.34) et (6.43) : cos θ1 − (n2 /n1 )2 − sin2 θ1 Γ⊥ = cos θ1 + (n2 /n1 )2 − sin2 θ1 −(n2 /n1 )2 cos θ1 + (n2 /n1 )2 − sin2 θ1 Γ = . (n2 /n1 )2 cos θ1 + (n2 /n1 )2 − sin2 θ1 En polarisation perpendiculaire, on a donc : cos 40◦ − (1.52)2 − sin2 40◦ Γ⊥ = = −0.285 cos 40◦ + (1.52)2 − sin2 40◦ tandis qu’en polarisation parall`le, on a : e −(1.52)2 cos 40◦ + (1.52)2 − sin2 40◦ Γ = = −0.125 . (1.52)2 cos 40◦ + (1.52)2 − sin2 40◦ On peut aussi utiliser les expressions initiales des coefficients de r´flexion pour e arriver a la mˆme chose. En appliquant la loi de la r´fraction (6.23), l’angle de ` e e ◦ transmission est de θ2 = 25 ; et les imp´dances intrins`ques sont η1 = 377Ω e e et η2 = 248Ω. Conclusion : meilleure r´flexion en polarisation perpendiculaire. e 6.4.3 Analyse et discussion Diverses situations sp´ciales sont ` consid´rer dans l’analyse des expressions obtenues avec e a e des mat´riaux sans perte. Certaines se g´n´raliseront directement, d’autres demanderont e e e quelques modifications et d’autres encore disparaˆ ıtront avec des mat´riaux a pertes. e ` D’abord, on v´rifie la correspondance pour θ1 = 0, alors que l’onde poss`de une inci- e e dence normale. De (6.23), on d´duit θ2 = 0 ; puis quelle que soit la polarisation, de (6.34), e (6.35) ou (6.43), (6.45), on retrouve : Γ⊥ = Γ = Γ τ⊥E = τ E = τE . 6.4.3.1 Angle critique Si l’application de Snell-Descartes donne θ2 = 90◦ , alors on obtient une r´flexion totale, e soit Γ⊥ = 1 ou Γ = −1 ; et aucune transmission τ⊥E = τ E = 0 ` cause de la conservation a de l’´nergie. e L’angle d’incidence auquel la r´flexion totale (ou r´flexion totale interne) commence e e s’appelle l’angle critique θc . Il d´pend des indices de r´fraction des deux mat´riaux en e e e pr´sence. e
- 182. 6-172 R´flexion et transmission e La d´termination de l’angle critique θc suit : e n1 sin θc = n2 sin(90◦ ) = n2 n2 θc = arcsin . (6.46) n1 On voit bien que pour avoir un angle critique, il faut n1 > n2 . Ce n’est possible que dans un sens. Suivant la loi de r´fraction (6.23), d`s que θ1 > θc , le terme sin θ2 d´passe l’unit´ ! En e e e e 3 cons´quence, cos θ2 devient imaginaire et les coefficients de r´flexion – pour toutes pola- e e risations – sont des nombres complexes de module unitaire. L’explication physique vient du fait que, pour satisfaire les conditions aux limites, la pr´sence d’une onde transmise e ´vanescente est requise. e D’apr`s la g´om´trie utilis´e ` la figure 6.3 pour la transmission dans le second milieu, e e e e a la constante de phase s’´crit : e βx2 + βz2 = βt2 = ω 2µ2 ǫ2 . 2 2 ` A la limite θ1 = θc on a : βx2 = βx1 = ω 2 µ1 ǫ1 sin2 θc 2 2 2 2 n1 sin θc n2 2 = ω = ω2 = ω 2 µ2 ǫ2 . c c Ceci implique que βx2 = βt2 et, par cons´quent, βz2 = 0. 2 e 2 Lorsque on augmente θ1 tel que θ1 > θc , on a : βx2 = βx1 = ω 2 µ1 ǫ1 sin2 θ1 > ω 2 µ1 ǫ1 sin2 θc = ω 2µ2 ǫ2 = βt2 . 2 2 Cette fois, ceci implique que βx2 > βt2 et, par cons´quent, βz2 < 0. Ainsi βz2 devient 2 e 2 purement imaginaire de type −jk. En r´f´rence ` la constante de propagation, une constante de phase purement ima- ee a ginaire correspond ` une constante d’att´nuation, ce qui implique donc une att´nuation a e e exponentielle des champs, malgr´ un mat´riau sans perte et un taux de variation de la e e phase nulle. Ce ph´nom`ne est celui de l’onde ´vanescente qui ne se propage pas. e e e 6.4.3.2 Angle de Brewster Dans la condition η1 cos θ1 = η2 cos θ2 , le coefficient de r´flexion en polarisation parall`le e e vaut z´ro : Γ = 0. Une transmission totale existe sans aucune r´flexion. L’angle d’inci- e e dence qui produit ce r´sultat s’appelle l’angle de Brewster θB = θB : e η2 cos θB = cos θ2 . η1 3 Ce d´coule de cos2 θ2 = 1 − sin2 θ2 < 0. e
- 183. 6.4 Incidence obliqueavec mat´riaux sans perte e 6-173 De la loi de r´fraction (6.23) avec la condition d’une r´flexion nulle, il d´coule une e e e seconde ´quation liant θ1 et θ2 : e n1 sin θ2 = sin θB . n2 Par la combinaison des deux derni`res ´quations et en utilisant l’identit´ trigonom´trique e e e e cos θ2 = 1 − sin2 θ2 , l’angle de Brewster peut ˆtre exprim´ : e e η2 cos θB = 1 − sin2 θ2 (6.47) η1 2 η2 n1 = 1− sin2 θB (6.48) η1 n2 2 2 2 η2 η2 n1 cos θB = − sin2 θB (6.49) η1 η1 n2 2 2 η2 ǫ1 1 − sin2 θB = − sin2 θB (6.50) η1 ǫ2 2 2 η2 ǫ1 1− = sin2 θB 1− (6.51) η1 ǫ2 1 − µ2 ǫ1 /µ1 ǫ2 sin θB = . (6.52) 1 − (ǫ1 /ǫ2 )2 L’expression est simplifi´e davantage avec des mat´riaux tels que µ1 = µ2 : e e 1 ǫ2 n2 θB = arcsin = arctan = arctan . (6.53) 1 + ǫ1 /ǫ2 ǫ1 n1 Si l’angle de Brewster existe toujours en polarisation parall`le pour le passage d’un des e milieux vers l’autre, il ne se rencontre que rarement dans l’autre polarisation. Sans faire une d´monstration aussi ´labor´e, on v´rifie que la condition η2 cos θ1 = η1 cos θ2 exige e e e e cette fois : 1 − µ1 ǫ2 /µ2 ǫ1 sin θB⊥ = . (6.54) 1 − (µ1 /µ2 )2 Cette exigence peut ˆtre remplie mais, si les mat´riaux sont non-magn´tiques, alors l’exi- e e e gence se simplifie ` sin θB⊥ = ∞, laquelle n’a pas de solution r´elle. a e Exemple 6.4 Soit une interface air-silicium. Le silicium est assum´ sans perte avec une e constante di´lectrique de 11.7. e ◮ D´terminez l’angle auquel la r´flexion sera totale si une onde plane a polari- e e ` sation parall`le arrive ` incidence e a • de l’air vers le silicium ; • du silicium vers l’air.
- 184. 6-174 R´flexion et transmission e L’angle critique d´termin´ par (6.46) vaut dans le sens air-silicium : e e √ √ θc = arcsin ǫrsi = arcsin 11.7 = 1.571 − j1.901 donc il y a impossibilit´. e Par contre dans le sens silicium-air : 1 1 θc = arcsin √ = arcsin = 17◦ . ǫrsi 11.7 ◮ D´terminez cette fois l’angle auquel la transmission sera totale e • de l’air vers le silicium ; • du silicium vers l’air. De (6.53) et dans le sens air-silicium : √ √ θB = arctan ǫrsi = arctan 11.7 = 73.7◦ alors que le sens silicium-air : 1 1 θB = arctan √ = arctan = 16.3◦ . ǫrsi 11.7 On remarque que les deux angles sont compl´mentaires, ce qui est toujours le e cas. 6.4.3.3 Comportement des coefficients Cette analyse du comportement est valide uniquement pour des mat´riaux qui sont non- e magn´tiques (sans perte bien sˆ r). Les courbes typiques apparaissent sur la figure 6.6. e u • Polarisation perpendiculaire Le module du coefficient de r´flexion : e – suit une courbe monotone croissante avec pente croissante pour des angles d’incidence allant de 0 ` l’angle critique ; a – reste ´gal ` l’unit´ (r´flexion totale) pour des angles d’incidence plus ´lev´s e a e e e e ou, dans le sens o` il n’existe pas d’angle critique, devient ´gal a l’unit´ qu’` u e ` e a ◦ l’incidence rasante (θi = 90 ). L’argument du coefficient de r´flexion dans le sens sans angle critique demeure a e ` ◦ −180 . Par contre dans le sens avec angle critique, l’argument du coefficient de r´flexion : e
- 185. 6.4 Incidence obliqueavec mat´riaux sans perte e 6-175 ǫr1 = 2 ǫr1 = 10 reflexion totale Millieu 1 Air 1 1 (ǫ1 , µ0 ) Γ⊥ reflexion totale 0.8 0.8 0.6 0.6 θr θt 0.4 Γ⊥ 0.4 Γ θi 0.2 Γ 0.2 (ǫ0 , µ0) θB θB 20 40 60 80 θi (deg) 20 40 60 80 θi (deg) π − ∠Γ π − ∠Γ π π π/2 π/2 40 −π/2 20 40 60 80 −π/2 20 60 80 θi (deg) −π ∠Γ⊥ −π ∠Γ⊥ Figure 6.6 – Comportement typique du coefficient de r´flexion en fonction de l’angle d’incidence e pour les deux polarisations. – reste nul entre 0 et l’angle critique ; – d´croˆ de mani`re monotone vers −180◦ pour des angles d’incidence plus ´lev´s e ıt e e e que l’angle critique. • Polarisation parall`le e Dans le sens de propagation o` il existe un angle critique, le module du coefficient u de r´flexion : e – suit une courbe d´croissante avec pente de plus en plus prononc´e, ce, jusqu’` e e a devenir nul pour des angles d’incidence allant de 0 ` l’angle de Brewster ; a – de l’angle de Brewster, il se met ` croˆ de plus en plus rapidement jusqu’` a ıtre a atteindre l’unit´ ` l’angle critique ; ea – reste unitaire pour des angles d’incidence plus ´lev´s. e e L’argument du coefficient de r´flexion : e – reste nul entre 0 et l’angle de Brewster ; – devient ´gal ` −180◦ entre l’angle de Brewster et l’angle critique ; e a – croˆ ensuite de mani`re monotone pour revenir ` 0. ıt e a Pour l’autre sens, comme il n’y a pas d’angle critique, le comportement devient similaire en assumant θc atteint ` l’incidence rasante i.e. θi = 90◦ . a
- 186. 6-176 R´flexion et transmission e 6.5 Incidence sur un conducteur parfait L’analyse de l’incidence sur un conducteur parfait forme l’autre cas extrˆme – le premier e cas extrˆme ´tant l’incidence sur le di´lectrique parfait vue pr´c´demment. On peut s’y e e e e e prendre de plusieurs fa¸ons. Mais utiliser les ressources mises en place jusqu’` pr´sent c a e facilite la chose. Aucune onde ne se propage dans un conducteur parfait. Les composantes tangentielles du champ ´lectrique sur la surface du conducteur s’´liminent, ce qui implique : e e ¯ ¯ [E i ]z=0− + [E r ]z=0− = 0 (6.55) ¯ ¯ E i e−jβ1x sin θ1 + E r e−jβ1 x sin θ1 = 0 (6.56) ¯ E i = −E ¯ r . (6.57) ¯ ¯ En polarisation parall`le, on obtient de plus E⊥i = E⊥r inversant aussi E r par rapport a e ` la convention tout en conservant un mˆme module. Donc : e ¯ ¯ Ei = −Er . (6.58) Ceci signifie que le coefficient de r´flexion vaut −1 qu’importe l’angle d’incidence et la e polarisation : Γcond = −1 . (6.59) En contre-partie, un courant de surface et des charges sont induits sur la surface de s´paration pour satisfaire les conditions aux limites des composantes perpendiculaires de e E et parall`les de H. e Dans le demi-espace occup´ par le mat´riau #1 (pas le conducteur), un diagramme e e ` certains endroits, le champ double d’amplitude par rapport d’onde stationnaire s’´tablit. A e a ` Ei , ` d’autres endroits, il est compl`tement annul´. Ce diagramme ne varie pas dans a e e le temps, d’o` le terme stationnaire. Effectivement, en essayant avec une polarisation u perpendiculaire (on obtient le mˆme r´sultat avec une polarisation parall`le), le champ e e e total dans ce mat´riau s’exprime comme : e ¯ ¯ E1 = Ei + Er¯ (6.60) ¯ ¯ = Ei e−jβ1(x sin θ1 +z cos θ1 ) ay + Er e−jβ1(x sin θ1 −z cos θ1 ) ay (6.61) ¯ ¯ E1 = Ei e−jβ1x sin θ1 e−jβ1 z cos θ1 − ejβ1 z cos θ1 (6.62) −2j sin(β1 z cos θ1 ) E1 = 2 Ei |sin(β1 cos θ1 z)| . (6.63) Le diagramme stationnaire ne d´pend que de z, la distance au plan de s´paration. Il se e e r´p`te ` tous les multiples de λ1z /2 i.e. λ1 /(2 cos θ1 ). e e a Si on d´pla¸ait la surface du conducteur ` z = ±kλ1z /2 (k entier), le diagramme e c a resterait identique dans tout le reste de l’espace du mat´riau #1 ! Cette propri´t´ sera e ee longuement revue dans le chapitre sur le r´gime sinuso¨ e ıdal permanent dans les lignes de transmission.
- 187. 6.6 Incidence obliquesur un mat´riau ` pertes e a 6-177 Plans d’amplitude constante Milieu 2 Milieu 1 (ǫ2 , µ2 , σ2 ) (ǫ1 , µ1 , σ1 ) θ1 Et βt Ht λ1 θ2 x y z θ2 θ1 Plans de phase constante λ2 βi Ei Hi Figure 6.7 – G´om´trie utilis´e pour l’incidence oblique d’une onde plane sur un mat´riau ` e e e e a pertes avec polarisation perpendiculaire. 6.6 Incidence oblique sur un mat´riau ` pertes e a Sans ˆtre le cas g´n´ral, l’incidence oblique d’une onde plane provenant d’un milieu sans e e e perte sur un mat´riau ` pertes s’analyse avec suffisamment de difficult´s pour ne pas e a e traiter du cas plus g´n´ral. L’onde qui rebondit sur le sol constitue un exemple important e e d’une r´flexion ` incidence sur un mat´riau ` pertes, le sol ayant une conductivit´ finie. e a e a e Par analogie avec des mat´riaux sans perte, la loi de r´fraction pour des mat´riaux a e e e ` pertes emploie les constantes de propagation : sin θ1 γ2 ¯ = . sin θ2 γ1 ¯ Pour le cas pr´sent γ1 = jβ1 , elle s’´crit : e ¯ e sin θ1 γ2 ¯ ¯2 = jβ1 sin θ (6.64) e ¯ o` on r´alise que θ2 doit ˆtre complexe dans le cas g´n´ral. Le sinus d’un angle complexe u e e e existe puisque selon Euler : ¯ ¯ ¯ ej θ − e−j θ ¯ ¯ ¯ ¯ sin θ = = sin(Re θ ) cosh(Im θ ) + j cos(Re θ ) sinh(Im θ ) . 2j Le probl`me se situe plutˆt au niveau de l’explication physique d’un angle complexe. Pour e o contourner la difficult´, on revient aux conditions aux limites selon la polarisation. Pour e se fixer les id´es, on suppose une polarisation perpendiculaire. e
- 188. 6-178 R´flexion et transmission e La figure 6.7 montre que le champ ´lectrique transmis garde la mˆme polarisation ; e e seuls le phaseur et la direction de propagation changent. Il s’´crit sous forme g´n´rale e e e comme : ¯ ¯ γ ¯ ¯ E t = Et e−¯2 (x sin θ2 +z cos θ2 ) ay . (6.65) La condition aux limites du champ ´lectrique tangentiel en polarisation perpendiculaire e a ` z = 0 conduit ` : a ¯ ¯ Eyi + Eyr = Eyt ¯ (6.66) ¯ ¯ ¯ γ ¯ Ei e−jβ1 x sin θ1 + Er e−jβ1 x sin θ1 = Et e−¯2 x sin θ2 . (6.67) On doit utiliser les phaseurs car les signaux risquent de ne pas ˆtre en phase ou en e opposition de phase. ¯ Quoique sin θ2 et γ2 soient des nombres complexes, leur produit donne un nombre ¯ ea e ¯ ¯ imaginaire pur. On pouvait d´j` le savoir d’apr`s (6.64). Le produit γ2 cos θ2 est lui par contre un nombre complexe. Posons : ¯ p = Re γ2 cos θ2 ¯ = Re γ2 + β1 sin2 θ1 ¯2 2 (6.68) ¯ q = Im γ2 cos θ2 ¯ = Im γ2 + β1 sin2 θ1 ¯2 2 . (6.69) En substituant (6.68), (6.69) dans (6.65), on obtient : ¯ ¯ E t = Et e−pz e−j(β1 x sin θ1 +qz) ay . (6.70) att. Les plans d’´qui-amplitudes de l’onde transmise sont parall`les au plan de s´paration e e e puisque l’att´nuation se fait suivant z seulement. Et pourtant, l’onde transmise se pro- e page dans une direction θ2 (angle de transmission physique) qui reste a d´terminer mais ` e ◦ diff´rente de 0 . Les plans d’´qui-amplitude sont parall`les au plan de s´paration, alors e e e e que les plans d’´qui-phase demeurent perpendiculaires ` la direction de propagation. En e a cons´quence, l’onde transmise n’est pas uniforme. e L’angle de transmission physique est celui qui assure une vitesse de propagation iden- tique de part et d’autre de z = 0. Autrement dit : vp1 vp2 = sin θ1 sin θ2 ou encore : β1 θ2 = arcsin sin θ1 (6.71) β2 Une ´tude plus pouss´e confirmerait (6.71). La loi de r´fraction peut ˆtre modifi´e pour e e e e e faire intervenir l’angle physique de transmission et les indices de r´fraction. On s’aper¸oit e c tout de suite que le rapport des indices de r´fraction n’est pas constant comme cela ´tait e e avec des mat´riaux sans perte, puisqu’il d´pend de l’angle θ1 : e e sin θ1 β1 sin2 θ1 + q 2 2 n2 (θ1 ) = = , (6.72) sin θ2 β1 n1
- 189. 6.6 Incidence obliquesur un mat´riau ` pertes e a 6-179 ce qui fait que la vitesse de propagation dans le mat´riau ` pertes vp2 devient une fonction e a de l’angle d’incidence θ1 . Pour en faire une d´monstration convaincante, on passe par le e vecteur de propagation de l’onde transmise. On connaˆ la direction du vecteur ; il faudrait ıt maintenant d´terminer sa grandeur. Pour ce faire, il s’agit de prendre le module des deux e composantes, l’une en x et l’autre en z, de la phase dans l’expression (6.70) : βt = β1 sin2 θ1 + q 2 (cos θ2 ax + sin θ2 az ) . 2 (6.73) La grandeur de β 2 = β t est clairement d´pendante de θ1 d’o` vp2 (θ1 ) et aussi λ2 (θ1 ). e u Une fois connu l’angle θ2 , le reste du traitement est similaire ` celui avec di´lectriques a e sauf le fait qu’on travaille avec des phaseurs. Les coefficients de r´flexion poss`dent donc e e un module et un argument car ils sont complexes en g´n´ral : e e ¯ η2 cos θ1 − η1 cos θ2 ¯ Γ⊥ = (6.74) η2 cos θ1 + η1 cos θ2 ¯ ¯ η2 cos θ2 − η1 cos θ1 ¯ Γ = . (6.75) η2 cos θ2 + η1 cos θ1 ¯ Exemple 6.5 Une onde plane ` 2 GHz est ´mise par une antenne d’un bateau. La direction a e du champ ´lectrique est la verticale. On capte le signal sur la cˆte. Celui-ci e o se compose du signal direct et d’un signal r´fl´chi par la surface de la mer e e (ǫr = 80, µr = 1, σ = 5 S/m) avec un angle d’incidence de 80◦ . ◮ D´terminez la proportion en puissance du signal r´fl´chi ; assumez des distances e e e de propagation identiques. L’att´nuation de l’onde r´fl´chie par rapport ` l’onde directe est affect´e par e e e a e le coefficient de r´flexion sur l’eau de mer. On commence donc par trouver θ2 . e On a besoin des param`tres de propagation dans les deux milieux. Or, les e param`tres du premier milieu sont ceux de l’air, soient ǫo , µo et σ = 0 donnant e η1 = 377 Ω, vp1 = c = 3 × 108 m/s. Pour ce qui est du second milieu, l’eau de mer, on trouve : η2 = (38.048 + j9.955) Ω ¯ γ2 = (101.6 + j388.4) m−1 . ¯ L’angle de transmission obtenu par (6.71) vaut : 4π × 109 β1 = = 41.89 rad/m 3 × 108 41.89 θ2 = arcsin sin 80◦ 388.4 = arcsin(0.1062) = 6.096◦
- 190. 6-180 R´flexion et transmission e De l`, on peut d´duire le coefficient de r´flexion en polarisation parall`le car a e e e le champ E se situe dans le plan d’incidence qui est vertical. Selon (6.75) : ¯ (38.048 + j9.955) cos 6.1◦ − 377 cos 80◦ Γ = (38.048 + j9.955) cos 6.1◦ + 377 cos 80◦ −27.6 + j9.9 = = 0.283∠154.8◦ 103.3 + j9.9 L’onde r´fl´chie contribue pour (0.283)2/(1 + (0.283)2 ) × 100 = 7.4% de la e e puissance du signal re¸u. c ee ¯ En polarisation perpendiculaire, le coefficient de r´flexion aurait ´t´ Γ⊥ = e 0.965∠179.5◦, ce qui repr´sente 48.2% de la puissance du signal re¸u. e c L’analyse du comportement du coefficient de r´flexion sur un mat´riau a pertes selon e e ` l’angle d’incidence montre que la transmission totale est maintenant impossible : il y a toujours une partie r´fl´chie de l’onde incidente. Cependant, en polarisation parall`le, e e e il existe un angle d’incidence o` la r´flexion devient minimale. Cet angle s’apparente a u e ` l’angle de Brewster ; il est donc d´nomm´ angle pseudo-brewst´rien. e e e Finalement, le signal r´fl´chi en polarisation perpendiculaire est plus intense qu’en e e e ´ polarisation parall`le quel que soit l’angle d’incidence. Evidemment, a incidence normale, ` les deux polarisations procurent mˆme r´sultat. e e
- 191. 6.6 Incidence obliquesur un mat´riau ` pertes e a 6-181 Exercices Question 1 Une onde plane uniforme ` la fr´quence de 1 MHz arrive ` incidence normale du vide a a e a ` −3 l’interface en z = 0 avec un mat´riau dont les param`tres ´lectriques sont : σ = 10 S/m, e e e ǫ = 6ǫo et µ = µo . Calculez les coefficients de r´flexion et de transmission du champ e ´lectrique. e Question 2 La r´gion z < 0 est le vide tandis que la r´gion z > 0 est remplie d’un mat´riau e e e −3 caract´ris´ par σ = 10 S/m, ǫ = 12ǫo et µ = µo . Si une onde plane uniforme avec un e e champ ´lectrique en provenance du vide : e E i = Eo cos(3π × 106 t − 0.01πz) ax V /m est incident sur l’interface z = 0, obtenez l’expression des champs ´lectromagn´tiques e e r´fl´chis et transmis. e e Question 3 Une onde plane ` 100 MHz dans un mat´riau di´lectrique parfait de constante ǫr1 = 3 a e e non-magn´tique arrive ` incidence avec un angle de 45◦ sur un mat´riau di´lectrique e a e e parfait de constante ǫr2 = 9 non-magn´tique. e Calculez les rapports Er /Ei et Et /Ei pour les polarisations perpendiculaire et parall`le. e Question 4 Une onde dans le vide (r´gion x < 0) est incidente ` 45◦ sur un mat´riau di´lectrique e a e e parfait (r´gion x > 0) de constante ǫr = 1.5 non-magn´tique. Exprimez les champs e e √ ´lectriques r´fl´chi et transmis si (le module du champ incident vaut Ei = Eo 2) : e e e √ ¯ E i = Eo (ax − az ) cos 6π × 108 t − 2π(x + z) mV/m . Question 5 Une onde plane est incidente sur une surface de s´paration entre deux mat´riaux e e di´lectrique non-magn´tique. e e Trouvez la relation entre l’angle de transmission et l’angle de Brewster. Question 6 Un signal de communication sans fil est repr´sent´ par : e e ¯ ¯ ¯ E i = E ⊥i + E i √ = (E1 (0.71 − j0.71)ay + jE2 (0.5ax − 0.866az )) e−j((40π/ 3)x+(40π/3)z) .
- 192. 6-182 R´flexion et transmission e Le signal arrive ` incidence oblique sur du verre (σ = 0, ǫ2 = 5 et µr = 1) situ´ dans le a e plan z = 0. Trouvez : a) l’angle d’incidence et de transmission ; b) l’expression du phaseur du champ ´lectrique r´fl´chi. e e e Question 7 Soit le mˆme signal que celui de la question pr´c´dente qui arrive a incidence oblique e e e ` un mat´riau dont les param`tres ´lectriques sont σ = 2.5 S/m, ǫ2 = 5 et µr = 1 ; la surface e e e de s´paration est situ´e dans le plan z = 0. Trouvez : e e a) l’angle de transmission ; b) les coefficients de r´flexion ; e c) l’expression du phaseur du champ ´lectrique r´fl´chi. e e e R´ponses : e ¯ 1. Γ = 0.6909∠164.18◦, τE = 0.3846∠29.33◦. ¯ ¯ 2. Γ = 0.6363∠168.8◦, τE = 0.3955∠18.2◦ ; ¯ E r = 0.6363Eo cos(3π × 106 t + 0.01πz + 0.938π) ax V /m, E t = 0.3955Eoe−0.0495z cos(3π × 106 t − 0.1196z + 0.1009π) ax V /m, H r = − 0.6363Eo cos(3π × 106 t + 0.01πz + 0.938π) ay A/m, 377 H t = 0.3955Eo e−0.0495z cos(3π × 106 t − 0.1196z − 0.0241π) ay A/m. 91.51 3. Γ⊥ = −0.382, τ⊥ = 0.618, Γ = −0.146, τ = 0.662. 4. Γ = −0.03, τ = 0.84 √ E r = 0.03 Eo (ax + az ) cos 6π × 108 t − 2π(−x + z) mV/m, √ √ √ √ E t = 0.84 √2 Eo (ax − 2az ) cos 6π × 108 t − 2π( 2x + z) mV/m. 3 √ √ √ Le module de Et est bien 0.84 √2 Eo 3 = 0.84Eo 2. 3 ` 5. A partir de Snell-Descartes et de l’expression de θB , on trouve n2 η2 tan θB = n1 η1 cot θt = cot θt d’o` θt = 90◦ − θB . u 6. a) f = 4 GHz, θi = 60◦ , θt = 22.8◦ ; b) Γ⊥ = −0.61, Γ = −0.1 √ ¯ E r = (0.61(−0.71 + j0.71)E1 ay − 0.1jE2 (0.5ax + 0.866az )) e−j((40π/ 3)x−(40π/3)z) √ = ((0.61E1 ∠2.36)ay + (0.1E2 ∠4.71)(0.5ax + 0.866az )) e−j((40π/ 3)x+(40π/3)z) . 7. a) θt = 17.1◦ ; ¯ ¯ b) Γ⊥ = 0.78∠171◦ (2.98 radians), Γ = 0.42∠140◦ (2.44 radians) √ ¯ c) E r = ((0.78E1 ∠2.20)ay + (0.42E2 ∠4.01)(0.5ax + 0.866az )) e−j((40π/ 3)x+(40π/3)z) .
- 193. Chapitre 7 Ligne detransmission 7.1 Introduction Au chapitre pr´c´dent, l’onde se propageait dans un canal sans fronti`re. Le terme utilis´ e e e e pour d´crire ce type de propagation est “onde libre”. Dans le reste de la mati`re a couvrir, e e ` l’onde sera guid´e par une structure qui constitue une ligne de transmission. Parfois les e champs seront compl`tement born´s dans la structure, parfois non. De toute mani`re, les e e e conditions aux limites appliqu´es sur certains composants de la structure servent toujours e a e ` d´finir la distribution des champs. Les lignes de transmission se retrouvent partout et non pas seulement chez les com- pagnies de t´l´phones, d’´lectricit´ ou de t´l´vision-cˆbl´e. Un circuit imprim´ contient ee e e ee a e e une grande quantit´ de lignes de transmission ; de mˆme un r´seau informatique, un bus e e e SCSI, IDE ou USB, et une banale sonde d’oscilloscope, constituent d’excellents exemples. La structure employ´e est faite le plus souvent de : e • deux ou plusieurs conducteurs qui aident au guidage ; • un ou plusieurs di´lectriques dans lesquels se trouvent les champs. e On connaˆ toutefois quelques exceptions dont une ligne ne comptant qu’un di´lectrique ıt e qui confine les champs – e.g. la fibre optique – ou une ligne n’ayant qu’un seul conducteur – e.g. le guide d’ondes. L’´tude qui suit se limite aux cas de lignes de transmission simples e en mode avec champ ´lectromagn´tique transversal ` la direction de propagation, connus e e a sous l’acronyme TEM pour “Transverse Electro-Magnetic”. La configuration de la ligne respecte les points suivants retrouv´s sur la figure 7.1 : e • deux conducteurs parall`les espac´s ; e e • un seul di´lectrique1 , homog`ne et toujours isotropique (peut ˆtre le vide) ; e e e • une section transversale constante, g´n´ratrice du prisme infiniment long. e e 1 En pr´sence dans plusieurs di´lectriques, il est impossible d’avoir un mode TEM car les vitesses de e e propagation de l’onde diff`rent dans chacun d’eux. On peut toutefois supposer un mode quasi-TEM o` e u on assume un comportement semblable au mode TEM.
- 194. 7-184 Ligne de transmission diélectrique y x z conducteurs Figure 7.1 – Configuration d’une ligne de transmission ` section quelconque. a Selon le troisi`me point, l’analyse de la distribution des champs se r´alise donc en deux e e dimensions dans un plan – on choisit le plan xy ` z = 0 – transversal a la direction de a ` propagation z. 7.2 Mode TEM Avant d’entreprendre l’´tude des lignes, il est opportun de d´crire davantage le mode e e TEM. Au chapitre pr´c´dent, on mentionne que l’onde plane uniforme n’existe pas ; ce- e e pendant les concepts qui s’y rattachent, peuvent s’appliquer a des ondes particuli`res qui, ` e elles, existent. En fait, l’onde plane uniforme a servi ` obtenir plus facilement certaines a caract´ristiques de l’onde plane. Or, l’onde qui se propage dans une ligne de transmission e infinie de section transversale constante se comporte et poss`de les caract´ristiques d’une e e onde plane telles que d´crites ` la section 5.5. e a Dans un arrangement TEM avec propagation en z, les champs ont possiblement deux composantes en x et en y fonctions des coordonn´es x et y, auxquelles s’ajoute la coor- e donn´e z pour une raison diff´rente. e e • La composante en z est nulle car les champs sont transverses a la direction de ` propagation (aE ⊥ az et aH ⊥ az avec aE × aH = ±az ). • La coordonn´es z n’intervient qu’` cause du d´placement de l’onde dans cet axe. Elle e a e −αz apparaˆ donc dans le terme d’att´nuation e ıt e et dans la primitive de la relation spatio-temporelle de type (t − z/vp ) ou (ωt − βz) pour une onde positive. Donc, on a par exemple, pour une onde positive en r´gime sinuso¨ e ıdal permanent : E = E + (x, y)e−αz cos(ωt − βz + ξ + ) aE (7.1) H = H + (x, y)e−αz cos(ωt − βz + ξh ) aH . + (7.2) La diff´rence entre une onde TEM et d’une onde plane se situe donc au niveau de la e d´pendance des coordonn´es x et y pour chacune des composantes des champs. L’onde e e plane uniforme est simplement un cas particulier de l’onde TEM qui a l’avantage d’ˆtre e plus simple ` d´velopper. a e
- 195. 7.3 Mod`le distribu´d’une ligne e e 7-185 7.3 Mod`le distribu´ d’une ligne e e Dans la th´orie des circuits, l’effet des lignes de transmission est n´glig´. La tension – e e e ou le courant – ` la sortie d’une source directement connect´e ` une charge est suppos´e a e a e identique ` celle aux bornes de la charge et ce, malgr´ l’att´nuation possible ou le d´lai de a e e e propagation de la ligne qui joint les deux ´l´ments. Tant que la ligne est “´lectriquement” ee e 2 courte , la supposition n’entraˆ pas de cons´quences importantes. Il en va autrement ıne e lorsque la fr´quence augmente, un peu comme les limites de validit´ du comportement e e d’une inductance ou d’un condensateur montr´es dans la section 4.8. e équipotentielle ou conducteurs ¯ ligne de champ H ¯ ligne de champ E diélectrique ∆z Figure 7.2 – Lignes des champs ´lectrique et magn´tique dans une ligne de transmission ` e e a section quelconque. Pour introduire la mod´lisation d’une ligne g´n´rale, on suppose une section pa- e e e tato¨ıdale constitu´e de deux conducteurs avec, entre eux, un di´lectrique. Une telle ligne e e est reproduite sur la figure 7.2. Les champs ´lectromagn´tiques sont compl`tement conte- e e e nus dans le di´lectrique. Cette ligne doit aussi satisfaire les hypoth`ses de validit´ sui- e e e vantes : • la distance de s´paration entre les deux conducteurs et le rayon des fils doivent ˆtre e e 3 petits par rapport ` la longueur d’onde ; a • les param`tres distribu´s de la ligne de transmission demeurent constants le long e e de la ligne, ind´pendants de la fr´quence d’op´ration dans une certaine largeur de e e e bande consid´r´e ; ee • un segment de longueur ∆z qui tendra vers dz. L’id´e consiste a transformer la ligne pour en faire une repr´sentation avec des ´l´ments de e ` e ee circuits ´lectriques, puis ` travailler avec les notions de courant et de tension bien connues. e a 2 La longueur ´lectrique correspond ` la longueur en terme de longueur d’onde. D`s que la dimension e a e physique d’un objet d´passe une fraction appr´ciable de la longueur d’onde, e.g. λ/10, l’objet ne peut e e ˆtre qualifi´ d’´lectriquement court. e e e 3 Cette restriction est due ` l’exigence d’effet simultan´ de la tension et du courant sur chacun des a e conducteurs.
- 196. 7-186 Ligne de transmission La validit´ d’une telle d´marche pour des fr´quences ´lev´es repose sur des dimensions e e e e e petites pour assumer un mode quasi-statique d’o` ´mane les notions de circuits. Avec une ue segmentation de plus en plus fine, la ligne est assimil´e ` une infinit´ de segments de ligne e a e mis bout ` bout. C’est le mod`le distribu´ d’une ligne. Le travail consiste maintenant a a e e ` d´duire le comportement d’un segment plutˆt que la ligne enti`re. e o e S S3 ℓ3 S1 ℓ2 ℓ4 V C S2 ℓ1 ∆z ∆z ǫr ǫr a b Figure 7.3 – Parcours ferm´ et surface ferm´e d’int´gration pour d´velopper le mod`le distribu´. e e e e e e De l’´quation de Faraday et de l’´quation de continuit´ sous la forme int´grale, on e e e e obtient deux relations entre la tension et le courant qui servent de base au mod`le. e • On choisit d’abord un parcours ferm´ qui d´limite une surface par laquelle passe e e tout le flux magn´tique du segment Ψ(z, t). Un tel parcours C longe la surface des e deux conducteurs sur la longueur ∆z (ℓ2 , ℓ4 ) et se rend directement d’un conducteur ` l’autre aux extr´mit´s du segment (ℓ1 , ℓ3 ) comme sur la figure 7.3 (a). a e e Avec des conducteurs parfaits, la diff´rence de potentiel sur la surface le long des e conducteurs est nulle. Les int´grales sur ℓ2 et ℓ4 sont nulles. Donc, avec (4.35) : e ∂ E · dl = − B · dS (7.3) C ∂t S Ψ(z,t) ∂ + + + = − Ψ(z, t) (7.4) ℓ1 ℓ2 ℓ3 ℓ4 ∂t L∆z I(z,t) −V (z,t) 0 V (z+∆z,t) 0 ∂I(z, t) ∆V (z, t) = −L∆z . (7.5) ∂t o` ∆V (z, t) indique la diff´rence des voltages entre les deux conducteurs a l’entr´e u e ` e et ` la sortie du segment de ligne ; L∆z correspond, quant a lui, a l’inductance du a ` ` segment. En divisant les deux termes de l’´galit´ par ∆z et en faisant tendre la longueur du e e segment vers quelque chose d’infinit´simal, on en arrive a : e ` ∂V (z, t) ∂I(z, t) = −L (7.6) ∂z ∂t
- 197. 7.3 Mod`le distribu´d’une ligne e e 7-187 o` L repr´sente l’inductance par unit´ de longueur de la ligne ou inductance dis- u e e trbu´e. Pour obtenir l’inductance L d’un bout de ligne de longueur ∆z, on fait : e L = L ∆z . (7.7) Si la conductivit´ des conducteurs est finie, on doit tenir compte de la chute de e potentiel sur ℓ2 et ℓ4 qu’on mod´lise par une r´sistance distribu´e R de sorte que : e e e ∂V (z, t) ∂I(z, t) = −R I(z, t) − L . (7.8) ∂z ∂t • On prend ensuite une surface ferm´e qui englobe le conducteur interne sur toute sa e longueur ∆z dans le di´lectrique (S1 ) que l’on ferme aux deux extr´mit´s par des e e e surfaces planes (S2 , S3 ) comme sur la figure 7.3 (b). La surface ferm´e S d´limite e e un volume V dans lequel se trouvent certaines charges Q(z, t) sur la surface du conducteur interne. Un di´lectrique id´al fait en sorte qu’aucun courant de conduction ne passe d’un e e conducteur ` l’autre par S1 . Ainsi, et avec l’aide de (4.30) : a ∂ J s · dS = − ρ dv (7.9) S ∂t V Q(z,t) ∂ + + = − Q(z, t) (7.10) S1 S2 S3 ∂t C∆z V (z,t) 0 −I(z,t) I(z+∆z,t) ∂V (z, t) ∆I(z, t) = −C∆z . (7.11) ∂t R´p´tant les mˆmes ´tapes finales que pr´c´demment, on d´bouche sur : e e e e e e e ∂I(z, t) ∂V (z, t) = −C (7.12) ∂z ∂t o` C repr´sente la capacitance par unit´ de longueur de la ligne ou capacitance u e e distribu´e. Puisque les capacit´s sont toutes en parall`les le long de la ligne, la e e e capacit´ C d’un bout de ligne de longueur ∆z vaut : e C = C ∆z . (7.13) Avec di´lectrique ` perte, un courant de conduction traverse la surface S1 . Le courant e a a z + ∆z devient plus faible que pr´vu initialement. On rajoute une conductance ` e distribu´e G en parall`le qui d´rive le courant pour en tenir compte : e e e ∂I(z, t) ∂V (z, t) = −G V (z, t) − C . (7.14) ∂z ∂t
- 198. 7-188 Ligne de transmission I(z, t) R∆z L∆z I(z + ∆z, t) V (z, t) G∆z C∆z V (z + ∆z, t) ∆z Figure 7.4 – Mod`le ´quivalent d’un bout de ligne de transmission. e e L∆z L∆z L∆z L∆z ∞ C∆z C∆z C∆z C∆z ∆z Figure 7.5 – Repr´sentation distribu´e d’une ligne de transmission sans perte. e e Les deux ´quations (7.8) et (7.14) s’appellent les ´quations du t´l´graphiste ou encore e e ee les ´quations des lignes de transmission, car ils expliquent la mani`re dont les signaux e e ´lectriques se transmettent sur une ligne en r´f´rence avec des quantit´s de circuits. e ee e Le mod`le ´quivalent d’une ligne de transmission est dessin´ sur la figure 7.4. On e e e v´rifie que les ´quations de Kirchoff sur la boucle et sur le noeud satisfont les ´quations du e e e t´l´graphiste pour un segment infinit´simal de ligne. La repr´sentation distribu´e d’une ee e e e ligne de transmission, en opposition avec le mod`le ` param`tres localis´s familier en e a e e circuit, apparaˆ ` la figure 7.5 lorsqu’on n´glige les pertes. On n’y voit que des ´l´ments ıt a e ee r´actifs lesquels ne consomment aucune puissance active – d’o` l’absence de pertes. Le e u rˆle des ´l´ments r´actifs consiste uniquement ` reproduire le d´lai de propagation des o ee e a e signaux sur la ligne (voir l’´quation (7.33)). e 7.4 Correspondances ´lectromagn´tisme-circuit e e Les deux ´quations du t´l´graphiste (7.8) et (7.14) sans perte – dans ces conditions G = e ee R = 0 – repr´sentent la solution g´n´rale de la propagation d’un signal dans une ligne e e e de transmission. Or, on connaˆ aussi la solution g´n´rale de la propagation d’une onde ıt e e plane ´lectromagn´tique dans un mat´riau sans perte, donn´e en (5.2) et (5.3). Elles sont e e e e retranscrites ci-dessous pour bien faire ressortir les analogies entre elles : ∂Ex ∂Hy ∂V (z, t) ∂I(z, t) = −µ ⇐⇒ = −L ∂z ∂t ∂z ∂t ∂Hy ∂Ex ∂I(z, t) ∂V (z, t) = −ǫ ⇐⇒ = −C ∂z ∂t ∂z ∂t
- 199. 7.4 Correspondances ´lectromagn´tisme-circuit e e 7-189 d’o` on ´tablit les correspondances (les unit´s u e e des quantit´s en question ´taient un signe e e pr´curseur) : e E ↔ V H ↔ I (7.15) µ ↔ L ǫ ↔ C. La correspondance des ´l´ments distribu´s responsables des pertes dans une ligne de ee e transmission avec les pertes de l’onde plane se r´alise partiellement. Il faut rappeler que e les pertes sont attribu´es ` deux facteurs dans une ligne de transmission : e a • Les pertes parall`les, symbolis´es par la conductance G, proviennent d’un di´lectrique e e e a ` pertes dans lequel se propage les champs. Ainsi : σd ↔ G . (7.16) • Les pertes s´ries R, sont caus´es par la chute de potentiel dans les conducteurs non- e e id´aux. Elles n’ont pas d’´quivalents car l’onde plane se propage sans ˆtre guid´e e e e e par une structure, laquelle apparaˆ ici avec les lignes de transmission. Bien sˆ r, les ıt u pertes s´ries sont reli´es d’une certaine mani`re ` la conductivit´ finie du conducteur e e e a e σc . Les param`tres distribu´s permettent de travailler sur une mod´lisation des lignes de e e e transmission sous forme d’un circuit ´lectrique. On peut d`s lors se servir des quantit´s e e e de circuit. Il est toutefois imp´ratif de se rappeler en tout temps, les notions de champs e qui sont sous-entendues. Pour une raison ou pour une autre, on trouve avantageux de travailler avec les tensions et les courants. Certains diront que ces quantit´s sont plus faciles ` visualiser (pourtant e a personne n’a vu un courant ou une tension si ce n’est ` travers un amp`rem`tre, un a e e voltm`tre ou un oscilloscope) ; d’autres diront qu’elles ont plus de sens physique (alors e que les champs sont ` la base de leur existence et que l’existence des champs est connue a depuis plus longtemps). La r´alit´ se situe plutˆt dans le fait que tension et courant sont e e o des quantit´s scalaires tout simplement. Dor´navant, les lignes de transmission seront e e trait´es comme des circuits. e 7.4.1 ´ Equivalences rapides C-G-L Dans les derni`res sections sur le comportement statique et quasi-statique, les notions de e capacitance, de conductance et d’inductance ont ´t´ introduites pour un syst`me a trois ee e ` dimensions. Une ligne de transmission est un arrangement tel qu’une des dimensions – ici en z – est assum´e infinie ; donc l’´tude dans la section transversale de l’arrangement – e e soit dans le plan xy – suffit. Les champs statiques deviennent compl`tement ind´pendants e e de la coordonn´e z par sym´trie ; il en est de mˆme de la distribution du potentiel statique e e e (voir figure 7.2).
- 200. 7-190 Ligne de transmission En pr´sentant les ´l´ments capacitance, conductance et inductance, on a pu remar- e ee quer une grande similitude des d´finitions g´n´rales via leurs ´quations. Cela est parti- e e e e culi`rement ´vident entre la capacitance et la conductance d’apr`s les ´quations (4.31) et e e e e (4.34). En r´alit´, les int´grales des deux ´quations sont identiques, de sorte qu’il n’est pas e e e e n´cessaire de refaire les calculs. La connaissance des param`tres ´lectriques du mat´riau e e e e entre les deux ´lectrodes et la connaissance de la capacitance suffisent pour d´terminer e e imm´diatement la conductance ou vice-versa. Aucun calcul requis : on remplace unique- e ment ǫ par σd ou vice-versa. Math´matiquement, on ´crit : e e G G σd = = (7.17) C C ǫ Sa Ca ligne de champ E ℓa ∆z Cb ligne de champ H Sb ou équipotentielle Figure 7.6 – Contours et surface d’int´gration pour d´terminer l’inductance et la capacitance e e d’un segment de ligne. Un mˆme rapprochement peut ˆtre ´tabli entre l’inductance et la capacitance dans e e e le cas d’une structure infinie ` section constante, quoique que cela ne semble pas aussi a ´vident. Voici une d´monstration rapide. On choisit les param`tres d’int´gration qui sont e e e e montr´s sur la figure 7.6, soit : e • comme surface Sa pour obtenir le flux magn´tique, une surface dont une arˆte suit e e une ligne de champ ´lectrique ℓa1 = ℓa et l’autre suit l’axe z soit ℓa2 = ∆z ; e • comme parcours ferm´ pour d´duire le courant, une ligne de champ magn´tique ou e e e une ´quipotentielle Cb ; e • comme surface ferm´e pour obtenir la charge, une surface constitu´e d’un segment e e de longueur ∆z de la surface cylindrique g´n´r´e par Cb , Sb , ferm´ aux extr´mit´s e ee e e e par deux surfaces planes au travers lesquelles ne passe aucun flux ´lectrique – e l’int´gration du champ ´lectrique est nulle sur ces surfaces ; e e • et finalement, comme parcours d’int´gration pour trouver la diff´rence de potentiel, e e l’arˆte ℓa . e
- 201. 7.4 Correspondances ´lectromagn´tisme-circuit e e 7-191 Il faut voir les avantages des choix effectu´s ci-dessus : e • d’une part, les champs sont constants selon l’axe z facilitant une partie du calcul sur les surfaces Sa et Sb ; • d’autre part, les produits HdS a et EdS b sont maximis´s4 parce que les champs e sont perpendiculaires l’un ` l’autre sans composantes en z. a • pour terminer, on se rappelle qu’en tout point le rapport E/H ´quivaut a l’imp´dance e ` e intrins`que du di´lectrique η dans lequel sont confin´s les champs. e e e Ainsi, on d´duit que, de (4.36) et (4.30) : e µ 1 µ Sa HdS a 1 µ∆z ℓa H dla η ℓa E dla L = = = (7.18) ∆z Cb Hdlb ∆z Cb H dlb Cb H dlb 1 ǫ Sb EdS b 1 ǫ∆z Cb E dlb ǫη Cb H dlb C = = = . (7.19) ∆z ℓa Edla ∆z ℓa E dla ℓa E dla On se rend bien compte que, sans faire aucune supposition autre qu’un mode TEM, le produit LC devient : µ η ℓa E dla ǫη Cb H dlb LC = Cb H dlb ℓa E dla = µǫ . (7.20) Quoique la relation (7.17) demeure toujours vraie pour des structures diverses, celle (7.20) s’applique uniquement dans le cas g´n´ral de ligne de transmission en mode TEM. e e 7.4.2 Puissance transport´e e La puissance d’un signal en circuit, qu’elle soit instantan´e ou moyenne, d´pend directe- e e ment de la tension et du courant sur les conducteurs. D’autre part, on a appris via (5.36) ou (5.39) que le vecteur de Poynting – instantan´ e ou moyen – int´gr´ sur une surface indique la puissance passant au travers la surface. Pour e e connaˆ la puissance totale de l’onde TEM, il suffit d’int´grer sur la section d’analyse ıtre e S⊥ qui contient le di´lectrique et o` se trouvent les champs. Le figure 7.7 illustre bien les e u limites de la section d’analyse d’une ligne quelconque. Pour montrer le lien entre la puissance transport´e par l’onde et la puissance d’un e signal en circuit pour toutes lignes de transmission, on utilise un syst`me de coordonn´es e e curvilignes form´es par les lignes de champ ´lectromagn´tique. Dans un mode TEM, ces e e e lignes forment bien un syst`me de coordonn´es valide car les lignes se croisent toujours a e e ` angle droit. On peut dire que chaque surface infinit´simale correspond au produit vectoriel e dla × dlb tel que : 4 Par exemple, dS a = dzaz ×dla pointe dans une direction perpendiculaire ` az et dla ` la fois. Puisque a a ℓa suit une ligne de champ ´lectrique, il s’ensuit que tous les segments dla sont orient´s dans la direction e e du champ ´lectrique ; donc toutes surfaces diff´rentielles dS a pointent dans la direction de H. Un mˆme e e e raisonnement peut ˆtre appliqu´ pour la surface Sb . e e
- 202. 7-192 Ligne de transmission S⊥ ℓa dlb dla Cb Figure 7.7 – D´finition de la section d’analyse contenant les champs ´lectromagn´tiques. e e e • dla est un segment infinit´simal du parcours ℓa qui suit une ligne du champ ´lectrique ; e e • dlb est un segment infinit´simal du parcours ferm´ Cb qui suit une ligne du champ e e magn´tique. e Le produit vectoriel des deux segments pointe dans la mˆme direction que la normale a e ` la surface d’analyse : dS = dla × dlb = dla dlb az . Le lien entre les deux d´finitions de puissance ne peut se faire qu’en passant par les e 5 notions quasi-statiques . Avant tout, on doit reconnaˆıtre l’ind´pendance du choix des e parcours le long d’une ligne de champ : • quelle que soit la position sur Cb , on a toujours : ℓa E(z, t) · dla = V (z, t) , • quelle que soit la position sur ℓa , on a toujours : Cb H · dlb = I(z, t) . Ainsi, avec l’aide de (4.7) et (4.2) : P(z, t) = (E × H) · dS (7.21) S⊥ = (E × H) · (dla × dlb ) (7.22) ℓa Cb qui, selon une identit´ vectorielle, ´quivaut ` : e e a P(z, t) = (E · dla )(H · dlb ) − (E · dlb ) (H · dla ) (7.23) ℓa Cb 0 0 = (E · dla )(H · dlb ) (7.24) ℓa Cb = E · dla H · dlb (7.25) ℓa Cb V (z,t) I(z,t) = V (z, t) I(z, t) . (7.26) 5 Les lignes de champ magn´tique sont orthogonales aux lignes de champ ´lectrique tout comme les e e ´quipotentielles d’ailleurs. e
- 203. 7.4 Correspondances ´lectromagn´tisme-circuit e e 7-193 C’est l’´quation connue et utilis´e en circuit pour ´valuer la puissance active ! En clair, la e e e puissance des signaux est contenue dans les champs ´lectrique et magn´tique. La preuve : e e il est possible d’extraire de la puissance ` Hydro-Qu´bec sans jamais toucher leurs fils a e en pla¸ant une boucle constitu´e de plusieurs tours de fil sous les lignes de transmission, c e transverse a la direction des lignes pour maximiser l’effet. Il y aura une f em induite ` entre les deux extr´mit´s du fil de la boucle. Ce proc´d´, extrˆmement dangereux6 et non e e e e e recommandable, est bien connue des bidonvilles dans les pays sous-d´velopp´s. e e Exemple 7.1 ρs z w y z Js E d H ǫr Js d ρs w x x Figure 7.8 – G´om´trie d’une ligne ` plaques parall`les pour le calcul de la puissance trans- e e a e port´e. e La ligne la plus simple ` analyser est faite de deux plaques conductrices pa- a rall`les de largeur w, espac´es par un di´lectrique sans pertes (σd = 0) de e e e constante ǫr ayant une ´paisseur d. Le tout tel que repr´sent´ sur la figure 7.8. e e e Cette configuration s’appelle une ligne de transmission ` plaques parall`les. a e Avec une onde TEM uniforme qui se propage suivant l’axe z+ dans le di´lectri- e que seulement (on n´glige les effets de bouts i.e. la partie des champs suscep- e tibles d’ˆtre ` l’ext´rieur du di´lectrique), les champs s’expriment ainsi : e a e e E = Ex (z, t)ax H = Hy (z, t)ay . On voit bien l’orthogonalit´ des champs entre eux et avec la direction de e propagation ; on remarque aussi que aE × aH = aP . ◮ Partant de l’expression des champs et de la g´om´trie, v´rifiez que la puissance e e e contenue dans les champs est bien ´gale au produit V I. e Tout est en place pour exprimer le voltage entre les deux conducteurs ainsi que le courant sur chacun d’eux en terme des champs : d V (z, t) = Ex (z, t) dx = d Ex (z, t) (7.27) 0 w I(z, t) = Hy (z, t) dy = w Hy (z, t) . (7.28) 0 6 La boucle maintient la f em constante quelle que soit la charge et force le courant ` circuler. a
- 204. 7-194 Ligne de transmission La simplicit´ de ces relations d´coulent de l’uniformit´ des champs ´lectrique e e e e et magn´tique entre les deux plaques. e On a appris que le vecteur de Poynting int´gr´ sur une surface indique la puis- e e sance passant au travers la surface. Pour connaˆ la puissance instantan´e ıtre e totale de l’onde TEM, il suffit d’int´grer sur la section d’analyse Strans se trou- e vant directement entre les deux plaques, les champs ´tant nuls a l’ext´rieur. e ` e Ainsi : P(z, t) = (E × H) · dS S⊥ d w = Ex (z, t)Hy (z, t)az · dx dy az x=0 y=0 d w V (z, t) I(z, t) = dx dy x=0 y=0 d w = V (z, t) I(z, t) . C.Q.F.D. 7.5 Effet d’une ligne sans perte Avec l’aide de toutes les correspondances, on peut d´duire rapidement la solution g´n´rale e e e aux deux ´quations du t´l´graphiste sans perte (o` R = G = 0) a partir des solutions e ee u ` pour onde plane (5.8) et (5.10) : ↓ √ ↓ √ V (z, t) = V + f (t − z LC) + V − g(t + z LC) (7.29) √ √ I(z, t) = I + f (t − z LC) + I − g(t + z LC) (7.30) 1 √ √ = V + f (t − z LC) − V − g(t + z LC) . (7.31) L/C ↑ ↑ On tire les deux param`tres de propagation d’une ligne de transmission, par analogie e avec ceux d’une onde plane dans un mat´riau, ` partir d’observations sur les expressions e a ci-dessus. • La tension et le courant se d´placent dans les directions z+ et z− avec des fonctions e spatio-temporelles diff´rentes f (·) et g(·) respectivement. Comme les champs sont e porteurs de la puissance, la vitesse des signaux V et I doit ˆtre strictement identique e a ` la vitesse de propagation vp des champs dans le di´lectrique. e • L’expression du courant ressemble ` celle de la tension un peu comme celle du a champ H avec E. Les diff´rences se situent aux niveaux du rapport des amplitudes e V /I et V /I dans chacune des directions et de l’inversion de 180◦ du signal + + − − I − par rapport ` V − . Cette inversion indique encore ici dans quelle direction va la a
- 205. 7.5 Effet d’uneligne sans perte 7-195 puissance de l’onde tout en respectant les conventions des axes. Quant aux rapports constants des amplitudes, on proc`de comme pour l’onde plane avec l’imp´dance e e intrins`que η du mat´riau et on d´finit l’imp´dance caract´ristique Zo de la ligne de e e e e e transmission : V+ V− Zo = + = − − . (7.32) I ↑ I Pour une ligne sans perte7 on obtient : 1 1 vp = √ = √ (7.33) LC µǫ L Zo = = η Ff (7.34) C ↑ µ = . (7.35) ǫ La derni`re in´galit´ est cruciale : elle montre que le rapport des signaux V et I diff`re e e e e du rapport des champs E et H. Une chance car sinon, la forme de la structure guidante n’aurait aucune influence sur les param`tres de propagation d’une ligne de transmission ; e le di´lectrique seul serait responsable de tout. La g´om´trie de la section intervient dans e e e l’imp´dance caract´ristique via le facteur de forme Ff . e e Exemple 7.2 Soit une ligne de transmission sans perte dont la section pr´sente un conduc- e teur interne carr´ et un externe aussi carr´ creux avec des cˆt´s deux fois e e oe plus grands. Les deux conducteurs sont centr´s l’un sur l’autre. Lorsque le e di´lectrique est le vide, l’imp´dance caract´ristique8 Zoo = 38Ω. En pla¸ant e e e c un isolant sans perte non-magn´tique de constante di´lectrique inconnue, la e e vitesse diminue d’un facteur 1.5 . ◮ D´terminez la vitesse de propagation de l’onde dans la ligne avec l’isolant e inconnu. La vitesse de propagation ne d´pend que de la constante di´lectrique. Ainsi : e e vpo vpiso = = 0.67 c 1.5 = 2 × 108 m/s . 7 Dans la pratique, les di´lectriques des lignes de transmission se comportent dans la bande des e fr´quences d’op´ration, comme des di´lectriques ` tr`s faibles pertes. Les lignes sans perte restent plus e e e a e simples ` analyser et fournissent tout de mˆme d’excellentes approximations (voir sous-section 5.6.2). a e 8 Le calcul de l’imp´dance caract´ristique a ´t´ fait num´riquement sous matlab selon la m´thode des e e ee e e diff´rences finies par la solution matricielle avec un maillage comptant 40 000 mailles ! e
- 206. 7-196 Ligne de transmission ◮ D´duisez la capacitance par unit´ de longueur toujours avec l’isolant inconnu. e e Selon (7.33) et (7.34), on voit l` deux ´quations et deux inconnues L et C, a e desquelles on d´sire isoler l’une des inconnues, ici C. Le produit vp par Zo e r´pond ` nos attentes puisque : e a 1 vp Zo = . C On connaˆ les valeurs de ces param`tres de propagation pour le vide, ce qui ıt e permet d’obtenir Co imm´diatement. La question cependant demande Ciso . e Heureusement, on remarque que pour une ligne sans perte non-magn´tique : e c vp = √ ǫr Zo Zo = √ o ǫr donc, pour le cas de l’exemple : ǫriso Ciso = . c Zoo La seule inconnue manquante est la valeur de la constante di´lectrique de e l’isolant inconnu. Heureusement, sachant que : c vpiso = √ ǫriso on conclue que ǫriso = (1.5)2 = 2.25. Finalement, on d´termine : e 2.25 Ciso = (3 × 108 )(38) = 197.4 × 10−12 F/m . 7.6 Effet d’une ligne quelconque ` pertes a Si on doit consid´rer les pertes sur la ligne de transmission, on pr´f`re travailler avec les e ee phaseurs dans le r´gime sinuso¨ e ıdal permanent, comme cela a ´t´ fait pour l’onde plane. ee Les nouvelles ´quations du t´l´graphiste s’expriment ainsi : e ee ¯ dV (z) = ¯ ¯ −R I(z) − jωL I(z) (7.36) dz = ¯ ¯ − Zs I(z) (7.37) ¯ dI(z) = ¯ ¯ −G V (z) − jωC V (z) (7.38) dz = ¯ ¯ − Yp V (z) . (7.39)
- 207. 7.6 Effet d’uneligne quelconque ` pertes a 7-197 On a d´fini pour plus de simplicit´, l’imp´dance s´rie Zs et l’admittance parall`le Yp d’une e e e e e ¯ ligne de transmission. On solutionne pour V en d´rivant la premi`re par rapport a z, ce e e ` ıtre ¯ qui fait apparaˆ des termes dI(z)/dz que l’on remplace par la seconde ´quation. Cela e conduit vers l’´quation de propagation ´quivalente ` l’´quation d’onde (5.15) : e e a e ¯ d2 V ¯ ¯ = γ2 V (7.40) dz 2 o` γ , la constante de propagation dans la ligne de transmission s’´crit : u¯ e γ = ¯ (R + jωL) (G + jωC) (7.41) = ¯ ¯ Zs Y p . Le mˆme parall`le s’´tablit avec la constante de propagation de l’onde plane dans un e e e mat´riau ` pertes : e a γ = α + jβ ¯ (7.42) ◦ 0 < arg{¯ } ≤ 90 . γ (7.43) • La partie r´elle α = Re {¯ } est responsable de l’att´nuation des signaux le long de la e γ e −αz +αz ligne selon e pour l’onde positive ou e pour l’onde n´gative. Elle porte encore e le nom de constante d’att´nuation. e • La partie imaginaire β = Im {¯ } affecte la phase des signaux sur la ligne ; elle est γ en relation avec la longueur d’onde λ ou encore avec la fr´quence et la vitesse de e propagation vp de la mˆme mani`re que la constante de phase de l’onde plane. e e ¯ ¯ La solution de V , puis celle de I qui en d´coule, ressemblent ` celles des champs de e a l’onde plane sinuso¨ıdale nonobstant la d´finition de la constante de propagation et de e l’imp´dance caract´ristique (plutˆt que l’imp´dance intrins`que). On obtient : e e o e e ↓ ↓ ¯ ¯ ¯ V (z) = V + e−¯z + V − e+¯z γ γ (7.44) ¯ ¯ γ ¯ γ I(z) = I + e−¯z + I − e+¯ z (7.45) 1 ¯ ¯ = ¯ ( V + e−¯ z − V − e+¯z ) γ γ (7.46) Zo ↑ ↑ avec : ¯ R + jωL Zo = (7.47) G + jωC ¯ Zs = ¯ Yp −45◦ ¯ < arg{Zo } < 45◦ . (7.48) L’imp´dance caract´ristique poss`de ici une partie imaginaire, faible g´n´ralement devant e e e e e la partie r´elle. Cette partie imaginaire peut ˆtre soit inductive, soit capacitive. e e
- 208. 7-198 Ligne de transmission Exemple 7.3 Une ligne de transmission bifilaire est mod´lis´e par les param`tres distribu´s e e e e 9 suivants : • R = 1.1 × 10−3 Ω/m • L = 0.16 × 10−6 H/m • G = 0.02 × 10−6 S/m • C = 0.17 × 10−9 F/m. ◮ D´terminez l’imp´dance caract´ristique, la vitesse de propagation et l’att´nua- e e e e tion des signaux sur 10 km en dB, aux fr´quences de 300 Hz et 3 kHz en assu- e mant que les param`tres distribu´s demeurent constants. e e ` • A 300 Hz : On calcule d’abord l’imp´dance s´rie et l’admittance parall`le : e e e ¯ Zs = R + jωL = (1.1 + j0.3) × 10−3 Ω/m = 1.14 × 10−3 ∠ 15.3◦ ¯ Yp = G + jωC = (0.02 + j0.32) × 10−6 S/m = 0.321 × 10−6 ∠ 86.4◦ . ¯ On tire rapidement Zo et γ selon (7.47) et (7.41) respectivement : ¯ ¯ 1.14 × 10−3 ∠15.3◦ Zo = = (59.6∠ − 35.6◦ )Ω 0.321 × 10−6 ∠86.4◦ γ = ¯ (1.14 × 10−3 ∠15.3◦ ) (0.321 × 10−6 ∠86.4◦ ) = (19.14 × 10−6 ∠50.9◦ ) m−1 = (12.1 × 10−6 + j 14.85 × 10−6 ) m−1 . α β Les valeurs des quantit´s demand´es sont : e e ω vp = = 1.270 × 108 m/s β 4 L10 km = −20 log(e−α×10 ) = 1.05 dB . ` • A 3 kHz : On r´p`te les mˆmes ´tapes pour trouver : e e e e ¯ Zs = 3.21 × 10−3∠ 67◦ ¯ Yp = 3.20 × 10−6∠ 89.64◦ ¯ Zo = (31.7∠ − 11.3◦)Ω γ = 101.3 × 10−6 ∠79.8◦ m−1 = (17.95 × 10−6 + j 99.75 × 10−6 ) m−1 ¯ 9 √ Normalement, le param`tre R est sensible ` la fr´quence en augmentant continuellement selon e a e f. Dans cet exemple, il correspond ` celui mesur´ ` 300 Hz. a ea
- 209. 7.6 Effet d’uneligne quelconque ` pertes a 7-199 desquels on tire10 : vp = 1.89 × 108 m/s L10 km = 1.56 dB . On note que la vitesse de propagation calcul´e sans tenir compte des pertes e est ind´pendante de la fr´quence et vaut e e 1 vpsp = = 1.917 × 108 m/s . (0.16 × 10−6 )(0.17 × 10−9 ) Le dernier exemple illustre bien un des graves probl`mes d’une ligne ` pertes outre e a l’att´nuation – laquelle peut ˆtre mineure : la vitesse de propagation varie selon la e e fr´quence. Cette variation entraˆ la dispersion des composantes spectrales du signal, e ıne ce qui signifie que le signal devient de plus en plus distordu en s’´loignant de la source car e les relations de phase entre les composantes spectrales rapproch´es se modifient de plus e en plus. Les pertes s´ries sont plus susceptibles d’apporter la dispersion11 . e Pour ´viter la dipersion, on doit modifier les valeurs des param`tres distribu´s de e e e mani`re a rendre la constante de phase β directement proportionnelle a la fr´quence soit : e ` ` e 2πf β = = kf vp o` k est une constante. u Une ligne sans perte r´pond toujours a ce crit`re mais pas forc´ment une ligne a pertes. e ` e e ` Si c’est le cas, la ligne est dite sans distorsion. Un examen attentif de l’expression de la constante de propagation (7.41) indique que pour parvenir ` une ligne sans distorsion, il a suffit d’avoir Z ¯s et Yp proportionnels l’un ` l’autre i.e. le rapport des parties r´elles de Yp ¯ a e ¯ ¯ e et Zs ´quivaut a celui de leurs parties imaginaires : ` C G ˜ = = k2 . (7.49) L R En effet, avec cette r`gle (7.49) dite de Heaviside12 , on a : e γ = ¯ ¯ ˜ ¯ ˜ Zs k 2 Zs = k(R + jωL) . ˜ Il en r´sulte β = ω kL donc la constante de phase d´pend bien lin´airement de la fr´quence. e e e e 10 √ Si on prenait R = 10(1.1 × 10−3 ), les r´sultats auraient ´t´ fort diff´rents :vp = 1.71 × 108 m/s et e ee e L10 km = 4.43 dB ! 11 Voici l’explication sur l’importance d’employer des fils de gros calibres pour des lignes de transmission de haute qualit´ comme la connexion entre un ampli Hi-Fi et les enceintes acoustiques. e 12 Heaviside est un brillant ing´nieur autodidacte anglais qui a reformul´ les ´quations de Maxwell sous e e e la forme connue aujourd’hui, qui a trouv´ les ´quations du t´l´graphistes en 1874 et qui a d´velopp´ e e ee e e une mani`re de solutionner les ´quations diff´rentielles avec l’op´rateur D (qui ne fut pas appr´ci´ des e e e e e e math´maticiens). On lui doit aussi la fameuse fonction ´chelon u(t) qui est parfois appel´e par son nom. e e e
- 210. 7-200 Ligne de transmission Le probl`me de distorsion a ´t´ une source de probl`mes pour les compagnies t´l´pho- e ee e ee niques : le rapport R/L ´tait de plusieurs ordres sup´rieur a celui G/C et le message vocal e e ` devenait incompr´hensible apr`s quelques kilom`tres. Pour y rem´dier les choix consis- e e e e taient ` augmenter G entraˆ a ınant une att´nuation suppl´mentaire des signaux ; ou a r´duire e e ` e R par des conducteurs plus gros ; ou ` r´duire C par un espacement plus grand entre les a e conducteurs. Les deux derni`res solutions s’av´raient trop coˆ teuses. Restait l’augmenta- e e u tion de L r´alis´e localement par l’ajout de bobines dites de pupinisation car le principe a e e ´t´ brevet´ en 1894 par un d´nomm´ Mihajlo I. Pupin –immigrant serbe aux Etats-Unis ee e e e ´ – sept ans apr`s les travaux de Heaviside qui en avait propos´ math´matiquement leur e e e usage pour les cˆbles t´l´graphiques transatlantiques. a ee Ces bobines ont ´t´ ins´r´es ` des intervalles r´guliers correspondant a 3000 pieds (type ee ee a e ` B), 4500 pieds (type D) ou 6000 pieds (type H) de sorte qu’il deviennent des ´l´mentsee localis´s et non-distribu´s. Leurs valeurs typiques sont de 135, 88, 44 ou 22 mH. Par e e exemple, pour une ligne torsad´e couramment rencontr´e avec des fils de calibre 26, la e e bobine de pupinisation utilis´e est celle de 88 mH ` tous les 6000 pieds (26H88). On tente e a aujourd’hui d’´liminer ces bobines afin de rendre les lignes capables de transmettre a haut e ` d´bit (service ADSL “Asymmetric Digital Subscriber Line”) : les bobines agissent comme e des filtres passe-bas avec la charge du t´l´phone. Pour ne pas ravoir les effets de distorsion, ee on am`ne la fibre optique dans des sous-centrales t´l´phoniques situ´es a une distance en e ee e ` de¸a de l’emplacement de la premi`re bobine. c e 7.7 Param`tres distribu´s vs facteur de forme e e Les param`tres distribu´s C, G, L s’obtiennent facilement les uns des autres par les e e ´quivalences C-G-L vues pr´c´demment. Ils dependent tous des param`tres ´lectriques e e e e e du di´lectrique uniquement et de la g´om´trie de la section de la ligne par l’entremise du e e e facteur de forme Ff . Soit le cas d’une ligne sans perte ou, du moins, ` tr`s faibles pertes. Dans ces conditions, a e on peut utiliser (7.33) et (7.34) comme pour l’onde plane tel que discut´ dans la sous- e section 5.6.2. On d´montre alors facilement qu’avec les ´quivalences (7.17) et (7.20) : e e √ 1 µǫ 1 ǫ C = = = (7.50) vp Zo 1 µ/ǫ Ff Ff σd G = (7.51) Ff L = µ Ff . (7.52) Le quatri`me, la r´sistance distribu´e R, demande une ´tude sp´ciale du courant sur e e e e e la “peau” d’un conducteur (voir l’effet de peau ` la sous-section 5.6.3.1). Il est le seul a param`tre distribu´ compl`tement ind´pendant du facteur de forme et du di´lectrique. e e e e e Sans entrer dans les d´tails, la r´sistivit´ surfacique d’un conducteur Rs vaut : e e e 1 ωµ Rs = = (7.53) σc δp 2σc
- 211. 7.8 D´termination desparam`tres de ligne e e 7-201 Pour un feuillet conducteur, cette r´sistivit´ doit ˆtre divis´e par la largeur13 de la surface e e e e pour fournir l’estimation de R. Ainsi, cette r´sistance distribu´e est aussi d´pendante de e e e la forme des conducteurs mais par le biais de leur surface par unit´ de longueur, ce qui e donne les expressions retrouv´es dans le tableau 7.1 e 7.8 D´termination des param`tres de ligne e e Dans le cas o` les pertes risquent d’ˆtre importantes et en r´gime sinuso¨ permanent, les u e e ıdal param`tres de ligne vp et Zo se d´duisent uniquement ` partir des param`tres distribu´s e e a e e C, G, L et R. Mais dans un di´lectrique sans perte ou ` faibles pertes, certaines choses se e a simplifient. • vp ne d´pend alors que des param`tres µ et ǫ du di´lectrique comme dans (7.33). Si e e e ce dernier est non-magn´tique alors µ = µo et : e c vp ≈ √ . (7.54) ǫr o` c est la vitesse de la lumi`re dans le vide. u e • Zo est pratiquement r´el et est affect´ ` la fois par l’imp´dance intrins`que du e e a e e di´lectrique et par la g´om´trie comme dans (7.34). Ainsi, s’aidant de (7.50) : e e e √ µ µǫ 1 Zo ≈ Ff = = (7.55) ǫ C vp C et dans un di´lectrique non-magn´tique : e e √ ηo ǫr Zo ≈ √ Ff = . (7.56) ǫr cC • α s’´crit plus simplement comme : e 1 R α ≈ + GZo . (7.57) 2 Zo L’exp´rience montre que le calcul de C est souvent choisi uniquement parce que la capa- e citance demeure un concept moins abstrait14 . On remarque que la d´termination de Ff est simplement remplac´e par celle de C. En e e gros, on distingue trois techniques pour trouver C qui sont d´crites ci-apr`s. e e 13 On peut voir un feuillet comme un assemblage de plusieurs bandes ´troites – soit N – de largeur e ∆w = w/N en parall`les. La r´sistance du tout ´quivaut aux N r´sistances identiques de chacune des e e e e bandes mises en parall`le, donc N fois moindre. e 14 On se rappelle que les param`tres distribu´s C, G et L d´coulent facilement les uns des autres lorsqu’on e e e connaˆ les param`tres ´lectriques du di´lectrique. ıt e e e
- 212. 7-202 Ligne de transmission 7.8.1 Technique analytique La technique analytique est celle de type “salle de cours” qui consiste a : ` • d´river l’expression exacte du champ ´lectrique ou de la fonction de potentiel a partir e e ` de l’´quation de Laplace en respectant les conditions aux limites dans la section 2D e d’analyse ; • r´aliser les calculs symboliques n´cessaires pour d´duire la charge Qdz sur un conduc- e e e teur de longueur dz – int´grale de Gauss – en fonction de la diff´rence de potentiel e e Vab ; • faire le rapport Qdz /Vab qui donne C. Description R C Zo ` A plaques parall`les e 2 R ǫw d ηw w s d 1 1 2πǫ 1 Coaxiale 2πa + 2πb Rs ln(b/a) η 2π ln(b/a) Bifilaire 2 R 2πa s πǫ cosh−1 (d/a) η π cosh−1 (d/a) 1 Fil au dessus d’un plan de masse 2πǫ cosh−1 (h/a) η 2π cosh−1 (h/a) 1 πǫ 1 2d(b2 −d2 ) Bifilaire blind´e e 2d(b2 −d2 ) η π ln a(b2 +d2 ) ln a(b2 +d2 ) 2πǫ 1 3.81d Ruban´e e ln( 3.81d ) η 2π ln 0.8w 0.8w Table 7.1 – R´sistance, capacitance distribu´es et imp´dance caract´ristique de lignes de trans- e e e e mission usuelles. On retrouve dans le tableau 7.1 les capacitances et les imp´dances caract´ristiques de e e lignes de transmission communes dont les g´om´tries apparaissent sur la figure 7.9. e e Exemple 7.4 Soit une ligne ` plaques parall`les sans perte dont la g´om´trie est montr´e a a e e e e ` la figure 7.8. Sans les effets de bord, les champs entre les plaques s’expriment ainsi : E = Ex (z, t)ax H = Hy (z, t)ay . ◮ Donnez l’expression des param`tres distribu´s d’une telle ligne. e e Pour trouver les deux seuls param`tres distribu´s non-nuls dans la ligne a e e ` plaques parall`les, on commence par isoler un segment de ligne de longueur e
- 213. 7.8 D´termination desparam`tres de ligne e e 7-203 à plaques parallèles coaxiale conducteur bifilaire externe ǫr ǫr ǫr d a a a b 2d w conducteur interne fil au dessus d’un bifilaire blindée rubanée (‘‘stripline’’) plan de masse b ǫr ǫr a a a 2d h ǫr w 2d Figure 7.9 – Section de lignes de transmission usuelles. infinit´simal dz. De l`, on d´termine la charge en fonction de la diff´rence de e a e e potentiel ; le flux magn´tique, en fonction du courant. e Les conditions aux limites doivent ˆtre respect´es sur les plaques conductrices. e e Elles le sont car, ` x = 0 et x = d, le champ ´lectrique est bien perpendi- a e culaire et le champ magn´tique, tangentiel. Les deux conditions aux limites e applicables d´montrent qu’une densit´ surfacique de charges et une densit´ de e e e courant de surface existent ` la surface des plaques : a [ρs ]x=0 = ax · ǫEx ax = ǫEx [ρs ]x=d = −ax · ǫEx ax = −ǫEx [J s ]x=0 = ax × Hy ay = Hy az [J s ]x=d = −ax × Hy ay = −Hy az . Il est clair que les densit´s de charges et de courant demeurent des fonctions e de z et t parce qu’elles d´coulent de Ex et Hy . Ainsi, la propagation de l’onde e est support´e par les charges et les courants sur les plaques qui se d´placent e e aussi selon la relation spatio-temporelle du type (z − t/vp ). Il devient facile de d´terminer la charge de ρs ou le flux de J s . e • La charge contenue est d´termin´e ` partir de (7.27) et de la densit´ e e a e surfacique ρs sur la surface du segment d’une plaque dont la dimension vaut w dz : ǫw dz Q = ǫEx w dz = V d ρs
- 214. 7-204 Ligne de transmission donc 1 Q ǫw C = = . dz V d • Quant au flux magn´tique, on int`gre B = µH sur une surface de dimen- e e sion d dz avec une normale ay et on utilise (7.28) : µd dz Ψ = µ Hy d dz = I w Js donc 1 Ψ µd L = = . dz I w ◮ Du mˆme souffle, faites le d´veloppement des ´quations de propagation sp´cifi- e e e e ques ` cette ligne (on peut alors d´montrer l’exactitude des expressions des a e param`tres distribu´s obtenues auparavant). e e Les deux premi`res ´quations de Maxwell qui doivent satisfaire les champs Ex e e et Hy , s’´crivent : e ∂Ex ∂Hy = −µ ∂z ∂t ∂Hy ∂Ex = −ǫ . ∂z ∂t De (7.27) et (7.28), on a maintenant : 1 ∂V µ ∂I = − d ∂z w ∂t 1 ∂I ǫ ∂V = − . w ∂z d ∂t d’o` u ∂V µd ∂I = − ∂z w ∂t L ∂I ǫw ∂V = − ∂z d ∂t C avec LC = µǫ . C.Q.F.D.
- 215. 7.8 D´termination desparam`tres de ligne e e 7-205 champ E champ H Figure 7.10 – D´monstration du d´coupage en cellules carr´es de la section d’analyse d’une e e e ligne de transmission. 7.8.2 Technique graphique De moins en moins employ´e, la technique graphique permet d’obtenir directement la e valeur approch´e de C en d´composant judicieusement la section d’analyse en cellules e e relativement carr´es. Chacune des cellules repr´sente une capacit´ unitaire car la capa- e e e A citance de deux plaques parall`les vaut ǫ d o` A est la surface de chaque plaque et d, e u la distance entre les plaques. Ayant ici A = w dz et w = d (les cellules sont carr´es), il e d´coule que Ccellij = ǫ. Les capacitances unitaires sont donc dispos´s en s´rie et en pa- e e e rall`les pour couvrir la section d’analyse, de sorte que la capacitance totale par unit´ de e e longueur devient : m C ≈ ǫ (7.58) n o` m est le nombre de cellules sur un pourtour et n, le nombre de cellules sur un rayon. u La figure 7.10 illustre un exemple dans lequel m = 26 et n = 4. Les fronti`res des cellules e mises en s´rie suivent des lignes de champ magn´tique, tandis que celles mises en parall`le e e e suivent des lignes de champ ´lectrique. e 7.8.3 Techniques num´riques e De loin les mieux adapt´es aux probl`mes complexes rencontr´s dans la pratique, les e e e techniques num´riques ont ´t´ bien servies par les progr`s technologiques dans le domaine e ee e de l’informatique. Elles m´ritent donc qu’on s’y attarde un peu plus. e Comme leur nom l’indique, le r´sultat final est un nombre et non une expression de e sorte que l’analyse de l’effet d’un param`tre est rendue plus difficile et exige de nombreuses e simulations qui peuvent ˆtre parfois tr`s longues selon la pr´cision d´sir´e. La m´thode e e e e e e des moments – d’une grande complexit´ –, celle aux ´l´ments finis ou des diff´rences finies e ee e sont largement r´pandues. Avec la m´thode des diff´rences finies de la section 4.5, le e e e domaine de d´finition ` prendre correspond ` la section d’analyse. L’id´e consiste a : e a a e ` • D´terminer la distribution discr`te du potentiel par une m´thode num´rique dans e e e e la section d’analyse. On suppose un potentiel connu sur chacun des conducteurs (habituellement une diff´rence fix´e ` 1 V ou encore l’un ` 1 V et l’autre ` −1 V en pr´sence de deux e e a a a e
- 216. 7-206 Ligne de transmission conducteurs et d’un blindage ` la masse) d’o` une diff´rence de potentiel Vab . Les a u e points sont g´n´ralement distribu´s selon un maillage carr´ en coordonn´es cart´sien- e e e e e e nes, mais rien d’obligatoire. ´ • Evaluer la charge Q par une int´grale de Gauss num´rique. e e Cette ´tape qui paraˆ toute simple est souvent mal comprise. Au d´part, l’int´grale e ıt e e de Gauss utilise le champ de d´placement D mais dans un di´lectrique homog`ne e e e et isotrope : D = ǫE = −ǫ ∇V . De par la sym´trie d’une ligne infinie, la composante Ez est nulle : donc on n’a pas e a ` s’en pr´occuper. De plus, les autres composantes Ex et Ey sont ind´pendantes e e de la coordonn´e z. Les mˆmes constatations s’appliquent a D ou a V . La surface e e ` ` d’int´gration est celle d’un cylindre S1 de longueur ∆z et de base quelconque, ferm´ e e aux deux extr´mit´s par des surfaces planes par lesquelles ne traverse aucun flux e e ´lectrique. Alors l’int´gration de ǫE(x, y) sur le cylindre S1 seul fournit la valeur e e de la charge sur une unit´ de longueur. Rien de bien compliqu´ jusque l` ; mais e e a la transposition pour des mesures discr`tes de V (x, y) dans la section d’analyse en e consid´rant un segment de ligne de longueur ∆z semble brouiller les choses. e S g = ∆y∆z (−ax ) S h = ∆x∆z ay S ar = ∆S (−az ) S d = ∆y∆z ax Q C S av = ∆S az ∆y ∆z ∆x S b = ∆x∆z (−ay ) Figure 7.11 – Les six surfaces qui forment la surface ferm´e de l’int´grale de Gauss num´rique. e e e Les difficult´s sont de deux ordres : e – le gradient de Vij (x, y) pour obtenir E ij (x, y) ; – l’int´grale de E ij (x, y) sur S1 pour aboutir ` Q e a doivent ˆtre estim´s ` partir de quelques points d’´chantillonnage indiqu´s par les e e a e e indices i et j dans la section d’analyse. Les figures 7.11 et 7.12 aident a comprendre ` le m´canisme utilis´ pour num´riser l’int´grale de Gauss. D’abord un choix judicieux e e e e de la base du cylindre S1 s’impose. On choisit un cylindre :
- 217. 7.8 D´termination desparam`tres de ligne e e 7-207 ∆S2 1 ,4 = ∆y∆z(−ax ) 2 0V V2,4 V3,4 Vab Vab Q C [∇V ]2 1 ,4 2 y (j) ∆y x (i) ∆z z ∆x Figure 7.12 – R´alisation de l’int´grale de Gauss num´rique ` l’aide de quelques ´chantillons e e e a e pr´lev´s aux noeuds d’un maillage. e e – de longueur ∆z plac´ ´galement de part et d’autre du plan contenant la section ee d’analyse – un demi cylindre ∆z/2 de chaque cˆt´ ; oe – ` base rectangulaire avec un maillage cart´sien (un cylindre a base rectangulaire a e ` est un parall´l´pip`de rectangle) ; ee e – qui passe ` mi-chemin entre des points d’´chantillonnage du potentiel ; a e – entourant compl`tement un des conducteurs avec une base suivant le plus long e parcours ferm´ C possible pour am´liorer la pr´cision de l’int´grale num´rique. e e e e e La figure 7.11 illustre les six surfaces formant ensemble un parall´l´pip`de rectangle ee e ferm´e autour du conducteur central. On remarque que les surfaces S av et S ar ont e des normales suivant l’axe z. Aucun flux ´lectrique ne les traverse ; on aura pas a e ` int´grer sur ces 2 surfaces. Les quatre autres surfaces seront d´compos´es en petites e e e lani`res de largeur ∆x ou ∆y selon qu’il s’agisse d’une surface horizontale ou ver- e ticale. Chaque lani`re est consid´r´e comme un ´l´ment de surface pour l’int´grale, e ee ee e au travers laquelle passe une flux ´lectrique uniforme. e On rappelle que le gradient d’une fonction scalaire donne la pente dans chacune des directions. Dans le cas num´rique pr´sent, on approxime le gradient par une e e variation finie du potentiel selon chacun des axes x et y : Vi+1,j −Vij Vi,j+1 −Vij ∆V ∆V [∇V ]i+ 1 ,j+ 1 ≈ ax + ay . (7.59) 2 2 ∆x ∆y Il s’adonne qu’avec un parall´l´pip`de rectangle les ´l´ments num´riques de surface ee e ee e d’int´gration ∆S sont d´finies soit par ±∆y ∆zax , soit par ±∆x ∆zay ; le signe e e
- 218. 7-208 Ligne de transmission d´pend de l’orientation de la surface ∆S consid´r´e. On s’int´resse donc a une seule e ee e ` des deux composantes du gradient ` la fois, ` cause du produit scalaire avec l’´l´ment a a ee num´rique de surface correspondante. L’int´grale devient une somme de produits e e sur l’ensemble des ´l´ments num´riques de surface qui constituent le cylindre : ee e Q = D · dS S = D · dydzax + D · (−dydzax ) + D · dxdzay + D · (−dydzay ) (7.60) Sd Sg Sh Sb ≈ ǫ(−[∇x V ]d+ 1 ,j )∆y∆z + ǫ(−[∇x V ]g− 1 ,j )(−∆y∆z) 2 2 j j + ǫ(−[∇y V ]i,h+ 1 )∆x∆z + ǫ(−[∇y V ]i,b− 1 )(−∆x∆z) (7.61) 2 2 i i Vd,j −Vd+1,j Vg,j −Vg−1,j ≈ ǫ( )∆y∆z + ǫ( )∆y∆z j ∆x j ∆x Vi,h −Vi,h+1 Vi,b −Vi,b−1 + ǫ( )∆x∆z + ǫ( )∆x∆z (7.62) i ∆y i ∆y ≈ ∆z ǫ(Vd,j −Vd+1,j ) + ǫ(Vg,j −Vg−1,j ) + ǫ(Vi,h −Vi,h+1 ) + ǫ(Vi,b −Vi,b−1 ) (7.63) i,j Le passage de (7.62) ` (7.63) implique que tous les ∆Si,j soient ´gaux donc ∆x = a e ∆y. Cette derni`re condition, quoique non-essentielle d´coule de la m´thode des e e e diff´rences finies montr´e ` la section 4.5. On indique sur la figure 7.12 la base du e e a cylindre par la ligne pointill´e, un ´l´ment de surface et l’estimation du gradient du e ee potentiel en un point ` partir des ´chantillons voisins. a e • Faire les rapports Q/Vab puis C/∆z On obtient ainsi la capacitance d’un bout de fil de longueur ∆z par le rapport Q/Vab . La capacitance par unit´ de longueur C requiert la division par ∆z qui annule le e terme ∆z au num´rateur de l’expression de Q. e Exemple 7.5 Soit une ligne de transmission assum´e sans perte dont la section est faite d’un e conducteur interne mince de 2 mm de largeur ` l’int´rieur d’un conducteur a e externe carr´ de 6 mm de cˆt´. Le mat´riau est un di´lectrique de constante e oe e e ǫr = 10 non-magn´tique (µ = µo ). On applique la m´thode des diff´rences e e e finies en d´composant la section d’analyse en mailles carr´es de 1 mm comme e e sur la figure 7.13. Si une tension de 1.000 V est appliqu´e sur le conducteur e interne par rapport ` celui externe fix´e ` 0 V, la matrice des potentiels en a e a
- 219. 7.8 D´termination desparam`tres de ligne e e 7-209 conducteur externe di´lectrique ǫr = 10 e conducteur interne 1mm 1mm Figure 7.13 – G´om´trie de la section d’analyse de la ligne de transmission et maillage utilis´. e e e volts a chaque noeud du maillage (tol´rance de 0.002 V) est la suivante : ` e 0 0 0 0 0 0 0 0 0.069 0.124 0.144 0.124 0.069 0 0 0.154 0.285 0.328 0.285 0.154 0 0 0.263 0.536 0.600 0.536 0.263 0 0 0.364 1.000 1.000 1.000 0.364 0 0 0.193 0.412 0.455 0.412 0.193 0 0 0 0 0 0 0 0 ◮ D´terminez les valeurs des param`tres de propagation de cette ligne : la vitesse e e de propagation et l’imp´dance caract´ristique. e e La vitesse de propagation ne d´pend que de la constante di´lectrique, d’o` e e u selon (7.54) : c 3 × 108 vp = √ = √ = 0.94868 × 108 m/s . ǫr 10 On doit ensuite poursuivre avec l’estimation de C afin de d´duire l’imp´dance e e caract´ristique Zo selon (7.56). Pour l’int´grale de Gauss, on choisit une sur- e e face formant un parall´l´pip`de rectangle de longueur ∆z dont la coupe est ee e repr´sent´e par la ligne pointill´e sur la figure 7.13. On n’a pas ` s’occuper des e e e a surfaces avant et arri`re car aucun flux ´lectrique ne les traverse. On d´coupe e e e les surfaces dessus et dessous respectivement, en petits ´l´ments num´riques ee e de surface d’int´gration : e ∆S p = ±∆x ∆z ay = ±(10−3 )∆z ay .
- 220. 7-210 Ligne de transmission Il en va de mˆme pour les surfaces lat´rales gauche et droite respectivement : e e ∆S q = ∓∆y ∆z ax = ∓(10−3 )∆z ax . La valeur du champ ´lectrique au centre de chacune des ´l´ments num´riques e ee e de surface est estim´e a partir du gradient, donc en V/m : e ` 69ay 124ay 144ay 124ay 69ay −69ax 69ax −154ax 154ax −263ax 263ax . −364ax 364ax −193ax 193ax −193ay −412ay −455ay −412ay −193ay La capacitance peut maintenant ˆtre d´termin´e : e e e ǫ C ≈ (69 + 124 + 144 + 124 + 69)∆x ∆z Vab ∆z +(69 + 154 + 263 + 364 + 193)∆y ∆z +(−193 − 412 − 455 − 412 − 193)(−∆x ∆z) +(−193 − 364 − 263 − 154 − 69)(−∆y ∆z) ≈ (10)(8.854 × 10−12 )(530 + 1043 + 1665 + 1043)(10−3)/1.000 ≈ 379.04 × 10−12 F/m . Finalement, on d´duit l’imp´dance caract´ristique : e e e √ 10 Zo = 8 )(379.04 × 10−12 ) = 27.81Ω . (3 × 10 7.9 Mode quasi-TEM La ligne de transmission consid´r´e jusqu’` pr´sent assumait que les champs ´taient ee a e e confin´s ` l’int´rieur d’un seul di´lectrique homog`ne et isotrope. Lorsque la section e a e e e d’analyse comporte plusieurs di´lectriques non-magn´tiques (donc µ = µo pour tous les e e di´lectriques impliqu´s ici), la situation ressemble ` celle d’un di´lectrique non-homog`ne. e e a e e 15 Pour les puristes, le mode TEM n’est pas possible car les champs se propagent a des ` vitesses diff´rentes, de sorte que les conditions aux limites ne peuvent ˆtre satisfaites avec e e une onde plane transverse de part et d’autre. De plus, les ´carts de vitesses varient selon la e fr´quence du signal, ce qui occasionne des d´lais de groupe ou des distorsions harmoniques. e e 15 Les modes de propagation autres que TEM, sont appel´s modes sup´rieurs TE, TM ou hybrides. e e
- 221. 7.9 Mode quasi-TEM 7-211 substrat diélectrique 7400 plan de masse ligne imprimée Figure 7.14 – Exemple d’un circuit imprim´ avec lignes micro-rubans. e air ǫr2 = 1 w substrat d ǫr1 plan de masse Figure 7.15 – Section d’une ligne micro-ruban avec lignes de champ ´lectrique. e Un exemple de ce type est la ligne de transmission micro-ruban que l’on rencontre fr´quemment sur des circuits imprim´s de syst`mes micro-ondes ou num´riques/informa- e e e e tiques. Cette ligne consiste g´n´ralement en une plaquette de di´lectrique (ou substrat) e e e a ` haute permittivit´, sur laquelle sont imprim´es d’un cˆt´ des bandes de cuivre, et de e e oe l’autre cˆt´ une couche pleine de cuivre appel´e “plan de masse”. Les figures 7.14 et 7.15 oe e reproduisent un exemple de lignes micro-ruban d’un circuit informatique et une coupe de l’une d’elles. Dans ce genre de ligne, les champs ´lectromagn´tiques sont distribu´s dans e e e le substrat, mais aussi dans l’air au-dessus du substrat du cˆt´ des bandes. Avec un calcul oe exact en ´lectromagn´tisme – sans passer par les notions de statique ou quasi-statique, e e on verrait qu’une partie de la puissance disponible contenue dans les champs pr´sentse dans l’air est rayonn´e i.e. ´mise ` la mani`re d’une antenne. On peut toutefois traiter e e a e la ligne comme si le mode TEM continuait d’exister ; la supposition produit des r´sultats e approximatifs qui sont d’autant plus proches de la r´alit´ avec un substrat a constante e e ` 16 di´lectrique ´lev´e . e e e 7.9.1 Constante di´lectrique effective e La difficult´ d’une ligne en mode quasi-TEM, est de d´terminer la constante ´lectrique e e e effective ǫref f , car une partie des champs se retrouve dans le substrat de constante ǫr1 et l’autre partie dans un autre di´lectrique ǫr2 (pour la ligne micro-ruban, le second e di´lectrique est l’air, d’o` ǫr2 = 1), tel que reproduit sur la figure 7.15. La valeur de la e u constante ´lectrique effective se situe quelque part entre ces deux valeurs extrˆmes ]ǫr1 ,ǫr2 [ e e 16 Plus la permittivit´ du substrat est ´lev´e, plus les champs se confinent dans le di´lectrique, ce qui e e e e diminue les pertes par rayonnement.
- 222. 7-212 Ligne de transmission selon la quantit´ de flux ´lectrique partant dans chacun des milieux. Donc : e e Ψe 1 Ψe 2 ǫref f = ǫr1 + ǫr (7.64) Ψe Ψe 2 o` u • Ψe1 repr´sente le flux ´lectrique S1 D · dS ´manant du micro-ruban dans le premier e e e milieu de constante di´lectrique ǫr1 ; e • Ψe2 , le flux ´lectrique S2 D · dS ´manant du micro-ruban dans le second milieu de e e constante di´lectrique ǫr2 ; e • Ψe , le flux ´lectrique total i.e. e S=S1 +S2 D · dS. L’expression (7.64) peut facilement ˆtre ´tendue au cas g´n´ral de plusieurs di´lectriques e e e e e diff´rents comme dans une ligne multi-couches. e Une fois la constante di´lectrique effective ´valu´e, la d´termination des param`tres e e e e e de ligne en quasi-TEM sans perte, ` savoir vp et Zo , se r´alise de la mˆme mani`re qu’une a e e e ligne constitu´e d’une seul di´lectrique de constante ǫr = ǫref f en mode TEM : e e c vp ≈ √ (7.65) ǫref f ηo Zo ≈ √ Ff . (7.66) ǫref f Souvent on pr´f`re la d´termination des param`tres de ligne ` partir des capacitances ee e e a par unit´ de longueur mˆme en mode quasi-TEM. On combine alors la d´termination de e e e la constante di´lectrique effective avec celle du facteur de forme en deux ´tapes qui se e e ressemblent beaucoup, sans compter que les calculs num´riques s’y prˆtent bien. Cette e e fois, deux mesures sont requises : • l’estimation de la capacitance par unit´ de longueur de la structure avec les di´lec- e e triques, C ; • l’estimation de la capacitance par unit´ de longueur de la structure en rempla¸ant e c tous les di´lectriques par le vide, Co . e Ces deux mesures peuvent se r´aliser ` l’aide du mˆme programme dans lequel les constan- e a e tes di´lectriques sont variables et pass´es comme param`tres. On v´rifie alors que : e e e e C ǫref f = (7.67) Co et que : 1 1 Co Co vp ≈ = √ = c (7.68) LC LCo C C L 1 1 Zo ≈ = LCo √ = √ . (7.69) C Co C c Co C Les derni`res ´galit´s sont rendues possibles par le fait que l’inductance n’est pas sujette e e e aux variations de la constante di´lectrique. e
- 223. 7.9 Mode quasi-TEM 7-213 7.9.2 Modification aux calculs En pr´sence de deux di´lectriques, la version modifi´e de la m´thode des diff´rences finies e e e e e avec interface entre di´lectriques vue ` la sous-section 4.5.1 doit ˆtre appliqu´e pour les e a e e points a l’interface tel que stipul´. ` e Il y a plus, car il faut aussi consid´rer les deux di´lectriques diff´rents dans le calcul e e e de l’int´grale de Gauss. En effet, certains parall´l´pip`des rectangles sont situ´s a cheval e ee e e ` a ` l’interface entre les deux di´lectriques. Or cette int´grale de Gauss fait intervenir la e e permittivit´. La simplicit´ veut qu’on assume simplement que le flux ´lectrique passant e e e par chacune des deux moiti´s de chacun de ces parall´l´pip`des, soit directement propor- e ee e tionnel aux constantes di´lectriques. Ce choix respecte la condition aux limites du champ e ´lectrique tangentiel ` savoir E 1 = E 2 d’o` D1 = ǫr1 Do et D2 = ǫr2 Do avec Do , la densit´ e a u e de flux ´lectrique dans le vide. En cons´quence, pour un interface en y = 0 par exemple e e avec la mˆme notation que (7.62), on ´crit : e e (ǫr1 + ǫr2 ) (Vd − Vd+1 ) D · dS ≈ ∆y ∆z (7.70) Sinterface 2 ∆x ≈∆y ∆z ax ce qui revient ` dire : a (ǫr1 + ǫr2 ) ǫrinterface ≈ . (7.71) 2 Exemple 7.6 Une ligne micro-ruban poss`de la g´om´trie suivante : e e e • un substrat di´lectrique sans perte de ǫr = 10 de deux unit´s d’´paisseur ; e e e • une bande de cuivre (qu’on assume sans perte aussi) de deux unit´s de e largeur. On cherche ` obtenir les param`tres de propagation de cette ligne num´rique- a e e ment. Pour les besoins, on limite la section d’analyse ` six unit´s par six a e unit´s, car on consid`re que le flux ´lectrique d´croˆ rapidement et devient e e e e ıt tr`s faible en dehors de cette section. Ainsi, on ferme la section d’analyse par e un conducteur au potentiel “0” qui assimile du mˆme coup le plan de masse e de la ligne micro-ruban. On proc`de ensuite ` l’obtention de la distribution du potentiel dans la section e a d’analyse par la m´thode des diff´rences finies avec des mailles carr´es d’une e e e unit´ de cˆt´. L’´quation (4.27) sert pour tous les points ` l’exception de ceux e oe e a ` la surface du substrat o` l’´quation (4.29) est requise avec ǫr1 = 10 et ǫr2 = 1. a u e Les matrices des potentiels en volts ` chaque noeud du maillage en appliquant a une tension de 1.000 V sur la bande, sont donn´es ci-dessous. Les valeurs du e dessus sont obtenues en tenant compte des constantes di´lectriques et celles e
- 224. 7-214 Ligne de transmission du dessous, lorsque le vide rempli toute la section d’analyse : 0 0 0 0 0 0 0 0 0.069 0.069 0.123 0.124 0.143 0.144 0.123 0.124 0.069 0.069 0 0.153 0.284 0.327 0.284 0.153 0 0.154 0.285 0.328 0.285 0.154 0 0.258 0.534 0.599 0.534 0.258 0 0.263 0.536 0.600 0.536 0.263 0 . 0.347 0.347 0 0.364 1.000 1.000 1.000 0.364 0 0.189 0.410 0.455 0.410 0.189 0 0.193 0.412 0.455 0.412 0.193 0 0 0 0 0 0 0 0 ◮ Partant de ces informations, d´terminez les valeurs des param`tres de propa- e e gation. On suit l’exemple 7.5 pour extraire les estimations des capacitances C et Co a ` partir des mesures inscrites au tableau ci-dessus. Il ne faut pas oublier de prendre en consid´ration une permittivit´ possiblement diff´rente pour chaque e e e terme de la sommation, soient les (−ǫij E ij ∆S ij ) dans le cas de C. Pour Co , le probl`me n’apparaˆ pas ` cause de la permittivit´ homog`ne ǫo . On remarque e ıt a e e aussi que la distribution du potentiel avec le vide partout n’a pas chang´ e par rapport ` celle obtenue avec un di´lectrique ǫr = 10 de l’exemple 7.5. La a e distribution est effectivement inaffect´e par la constante di´lectrique en autant e e qu’elle soit homog`ne. Les calculs conduisent ` : e a Co ≈ (8.854 × 10−12 )(530 + 1043 + 1665 + 1043)(10−3)/1.000 ≈ 37.904 × 10−12 F/m ; ǫo C ≈ ǫr (−258 − 153 − 69)(−∆y ∆z) + (69 + 153 + 258)(∆y ∆z) Vab ∆z 2 +ǫr2 (69 + 123 + 143 + 123 + 69)(∆x ∆z) +ǫr1 (−189 − 410 − 455 − 410 − 189)(−∆x ∆z) +ǫr1 (−189)(−∆y ∆z) + (189)(∆y ∆z) ǫr + ǫr2 + 1 (−347)(−∆y ∆z) + (347)(∆y ∆z) 2 ≈ (8.854 × 10−12 ) (1)(960)(10−3) + (1)(527)(10−3) +(10)(1653)(10−3) + (10)(378)(10−3) + (5.5)(694)(10−3) /1.000 ≈ 226.79 × 10−12 F/m . Toutes les informations sont maintenant disponibles pour terminer : 1 1 Zo = √ ≈ c Co C (3 × 108 )(10−12 (226.79)(37.904)) = 35.95 Ω Co 37.904 vp = c ≈ (3 × 108 ) C 226.79 = 1.22646 × 108 m/s .
- 225. 7.9 Mode quasi-TEM 7-215 ◮ V´rifiez les r´sultats sachant qu’une m´thode conforme approxime la constante e e e di´lectrique d’une ligne micro-ruban comme suit : e ǫr − 1 1 ǫref fmr ≈ 1 + 1+ . (7.72) 2 1 + 10 d/w Selon (7.67) avec les donn´es C et Co obtenues, la constante di´lectrique effec- e e tive de la ligne micro-ruban vaut : 226.79 ǫref fmr ≈ = 5.98 . 37.904 D’un autre cˆt´, la g´om´trie de la ligne combin´e ` (7.72) donne : oe e e e a 9 1 ǫref fmr ≈ 1 + 1+ √ = 6.86 . 2 11 On se rend compte que, sans ˆtre dans les patates, prendre une section d’ana- e lyse de 6 par 6 unit´s s’av`re insuffisant. On peut v´rifier qu’avec une section e e e d’analyse de 40 par 40 unit´s, la constante di´lectrique effective de la ligne e e micro-ruban devient ´gale ` 7.1 ! e a
- 226. 7-216 Ligne de transmission Exercices Question 1 D´terminez le rapport entre les rayons des conducteurs b/a d’une ligne de transmis- e sion coaxiale sans perte pour que l’imp´dance caract´ristique soit de 50 Ω alors que le e e di´lectrique non-magn´tique a une constante de 2.56 . e e Question 2 Un cˆble coaxial est assum´ sans perte. On mesure une inductance de 800 nH/m et a e une capacitance de 320 pF/m ` la fr´quence de 970 kHz. D´terminez a cette fr´quence : a e e ` e a) l’imp´dance caract´ristique du cˆble ; e e a b) la vitesse de propagation des signaux sur ce cˆble. a Question 3 Soit un cable coaxial dont le conducteur interne a un rayon a et le conducteur externe, un rayon b. Exprimez les param`tres distribu´s dans le cas sans perte. V´rifiez que le e e e produit LC correspond bien au produit µǫ. Question 4 Une ligne de transmission a les param`tres distribu´s suivants a la fr´quence de 2 MHz : e e ` e R = 3 Ω/km, L = 2 × 10−3 H/km, C = 0.05 × 10−6 F/km et G = 0.02 × 10−6 S/km . D´terminez : e a) la valeur des param`tres de propagation de la ligne de transmission ; e b) la vitesse de propagation des signaux. Vous pouvez ensuite essayer a f = 10 kHz pour voir les changements. ` Question 5 Soit une ligne ` pertes (R = 0 et/ou G = 0) mais ajust´e pour ˆtre sans distorsion a e e (voir r`gle de Heaviside). Donnez les expressions demand´es en fonction des param`tres e e e distribu´s : e a) la valeur des param`tres de propagation de la ligne de transmission (α en fonction de e R et G seulement, β en fonction de L et C seulement) ; b) la vitesse de propagation des signaux.
- 227. 7.9 Mode quasi-TEM 7-217 Question 6 Une ligne de transmission ` plaques parall`les sans perte a les dimensions suivantes : a e w = 0.1 m et d = 0.01 m. Le mat´riau entre les deux plaques consiste en un di´lectrique e e parfait non-magn´tique. Une onde TEM circule sur la ligne dans la direction z + . L’ex- e pression de la tension le long de la ligne s’´crit : e V (z, t) = 10 cos(3π × 108 t − 3πz) V . D´rivez les expressions des champs ´lectrique et magn´tique (non vectorielles) du courant e e e et de la puissance transport´e selon z et t. e Question 7 Une ligne de transmission ` plaques parall`les sans perte a les dimensions suivantes : a e w = 0.2 m et d = 0.01 m. Le mat´riau entre les deux plaques consiste en un di´lectrique e e parfait non-magn´tique de constante ǫr = 2.25 . Une onde TEM circule sur la ligne. e ´ Evaluez la puissance transport´e en n´gligeant les effets de bord si : e e a) le champ ´lectrique entre les plaques est assum´ uniforme avec une amplitude de e e 300π V /m ; b) le champ magn´tique a une amplitude de 7.5 A/m ; e c) la tension entre les plaques est de 4π V ; d) le courant circulant sur les plaques vaut 0.5 A. Question 8 0.01m εr1 = 4 µr1 = 1 z y 0.01m εr2 = 2 µr2 = 2 x 0.2m Soit une ligne de transmission ` plaques parall`les sans perte dont la section est a e repr´sent´e sur la figure ci-dessus. On note que ǫ1 µ1 = ǫ2 µ2 de sorte que l’onde TEM e e existe. En n´gligeant les effets de bord, calculez la valeur de l’imp´dance caract´ristique. e e e
- 228. 7-218 Ligne de transmission Question 9 Soit la ligne micro-ruban retrouv´e ` l’exemple 7.6. On r´utilise les matrices de po- e a e tentiels en volts ` chaque noeud du maillage pr´alablement obtenues, mais l’int´grale de a e e Gauss est maintenant faite en choisissant une surface formant un parall´l´pip`de rectangle ee e de longueur dz dont la section est repr´sent´e par la ligne pointill´e sur la figure ci-dessus. e e e Estimez avec cette nouvelle surface d’int´gration : e a) la constante di´lectrique effective ; e b) les param`tres de propagation de la ligne. e Question 10 La figure de la question 7 du chapitre 4 repr´sente maintenant la section d’une ligne de e transmission. Par la m´thode des diff´rences finies, on trouve V1 = 0.8 V et V2 = 0.4 V. e e Le di´lectrique entre les conducteurs poss`de une constante di´lectrique ǫr = 2.4. e e e D´duisez le facteur de forme Ff de cette ligne. e R´ponses : e 1. b/a = 3.794. 2. a) Zo = 50 Ω ; b) vp = 62.5 × 106 m/s. 2π ρs a 3. pour calculer C, trouver Q = ∆z 0 ǫ ǫr ar · rdφdzar b I pour calculer L, trouver Ψ = ∆z a µ 2πr aφ · drdzaφ C = ln(b/a) , L = µ ln(b/a) , LC = µǫ. 2πǫ 2π ¯ 4. a) γ = (0.0075 + j125.66) km−1, Zo = (200∠ − 0.0034◦ ) Ω ; b) vp = 100 × 103 km/s. ¯ a ` 10 kHz : ¯ γ = (0.0075 + j0.6284) km−1, Zo = (200∠ − 0.684◦ ) Ω ; b) vp = 99.99 × 103 km/s. ¯
- 229. 7.9 Mode quasi-TEM 7-219 On remarque que les valeurs sont proches de celles obtenues sans tenir compte des pertes car la ligne est ` tr`s faibles pertes (ωL ≫ R) et (ωC ≫ G). a e On voit aussi que α, vp sont relativement ind´pendant de la fr´quence dans ces e e conditions. √ √ ¯ 5. a) γ = RG + jω LC, Zo = L ; b) vp = √1 . ¯ C LC 6. E(z, t) = 1000 cos(3π × 108 t − 3πz) V /m, H(z, t) = 25 cos(3π × 108 t − 3πz) A/m, π I(z, t) = 2.5 cos(3π × 108 t − 3πz) A, π P(z, t) = 25 cos2 (3π × 108 t − 3πz) W . π 7. a) < P >= 2.25π W ; b) < P >= 9π W ; c) < P >= 4π W ; d) < P >= π W . 3 8. Le mod`le est celui d’une inductance distribu´e L = 20 µo H/m e e (l’inductance distribu´e peut se calculer en prenant LC = 4µoǫo ou e en prenant L = L1 + L2 avec L2 = 2L1 = 0.1µo) et de deux capacitances distribu´es en s´rie 1/C = 1/C1 + 1/C2 avec e e C1 = 80ǫo et C2 = 40ǫo d’o` Zo = 9π Ω. u On pourrait utiliser Zo = 1/(vp C) puisque le mode TEM existe avec vp = c/2. Q Qo 9. Q = ∆z = 25.766ǫo C/m, Qo = ∆z = 4.321ǫo C/m a) ǫref f = 5.96 ; b) Zo ≈ 35.7 Ω, vp ≈ 1.2285 × 108 m/s. 1 10. C = 4.8ǫ F/m donc Ff = 4.8 .
- 231. Chapitre 8 R´gime transitoiresur ligne e 8.1 Introduction Dans un contexte o` les canaux de transmission doivent supporter des d´bits de plus en u e plus ´lev´s avec des modulations impulsionnelles ou num´riques, une ligne de transmission e e e devient plus rapidement longue ´lectriquement parlant. Par exemple, un lien Ethernet a e ` 100 Mbits/s n´cessite une ligne plus courte qu’une dizaine de centim`tres pour continuer e e d’assumer un d´lai de propagation presque nul. Dans bien des cas, il importe de connaˆ e ıtre le comportement du syst`me avant qu’il atteigne son r´gime permanent, i.e. avoir une e e id´e du transitoire. En effet, ce dernier peut avoir des cons´quences d´terminantes sur la e e e conception finale des circuits. Pour faire l’´tude de r´gime transitoire, on utilise : e e • la transformation de Laplace ; • les ´quations du t´l´graphiste qui mod´lisent la contribution de la ligne de trans- e ee e mission ; • les principes des circuits ´lectriques lorsqu’on applique un changement a la source, e ` a ` la charge ou ailleurs sur la ligne. 8.2 Rappels des notions Pour toutes sortes de raisons, il convient de commencer bri`vement par un retour sur des e notions qui serviront dans le reste du chapitre. 8.2.1 Transformation de Laplace La transformation de Laplace (en s) du nom du math´maticien et astronome fran¸ais e c s’applique lorsqu’on d´sire connaˆ l’effet d’un changement au temps t = 0 en tenant e ıtre compte des conditions initiales. Elle est une fonction en fr´quence g´n´ralis´e (contraire- e e e e 1 ment ` la transformation de Fourier) . La comparaison avec la transformation de Fourier a 1 Avec Laplace s = σ + jω
- 232. 8-222 R´gime transitoire sur ligne e montre que F {e−σt f (t)u(t)} = £{f (t)}. Elle se d´finit pour t > 0 comme : e ∞ £{f (t)} = e−st f (t)dt . (8.1) 0 La transformation de Laplace a l’avantage de donner des expressions beaucoup plus simples ` manipuler que les ´quations diff´rentielles. Il faut aussi se rappeler quelques a e e propri´t´s de la transform´e de Laplace unilat´rale qui risquent de servir dans le cadre ee e e des lignes en r´gime transitoire telles la d´rivation, le retard, les valeurs initiale et finale. e e Ces propri´t´s apparaissent au tableau 8.1 ee £ {af (t)u(t) + bg(t)u(t)} = aF (s) + bG(s) 1 £ {u(t)} = s df (t)u(t) £ dt = sF (s) − f (0+ ) £ {f (t − t0 )u(t − t0 )} = e−st0 F (s) f (0+ ) = lims→∞ sF (s) f (∞) = lims→0 sF (s) Table 8.1 – Propri´t´s de la transform´e de Laplace. ee e Quant ` la transformation inverse de Laplace pour ramener dans le domaine temporel, a elle s’´crit : e c+jT 1 f (t) = lim est F (s)ds (8.2) 2πj T →∞ c−jT o` c est une constante choisie telle que les points singuliers de F (s) se retrouvent a gauche u ` de la droite Re {s} = c dans la plan complexe. 8.2.2 Principes de circuit Comme les lignes de transmission sont maintenant trait´es comme des ´l´ments de circuit, e ee il est bon de rappeler les th´or`mes suivant : e e • superposition des sources En pr´sence de plusieurs sources dans un circuit, on somme les contributions pro- e duites par les sources prises individuellement en mettant a z´ro les autres sources ; ` e • mise ` z´ro de sources a e Une source tension nulle ´quivaut ` un court-circuit (car son imp´dance de sortie est e a e suppos´e nulle), tandis qu’une source courant nulle correspond a un circuit ouvert ; e ` • ´quivalence de Th´venin et de Norton e e Tout circuit lin´aire peut ˆtre assimil´ ` une source tension en s´rie avec une e e e a e r´sistance Rth – appel´e r´sistance Th´venin – ou ` une source courant en parall`le e e e e a e
- 233. 8.2 Rappels desnotions 8-223 Rth i i vth = vco v ith = icc Rth v Figure 8.1 – Circuit ´quivalent de Th´venin ou de Norton. e e avec une r´sistance Norton de mˆme valeur ; les deux circuits montr´s a la figure 8.1 e e e ` ´tant tout ` fait ´quivalents. La relation v − i du circuit se r´sume a : e a e e ` v i = − + icc Rth v = −Rth i + vco 8.2.3 ´ Equivalent circuit des interrupteurs Il arrive fr´quemment que l’on doive analyser le transitoire d’un circuit provoqu´ par une e e modification subite qui s’assimile ` l’ouverture ou la fermeture d’un interrupteur. Des a exemples : un court-circuit sur la ligne ou le contraire, une ligne coup´e, un changement e rapide d’une charge, etc. La question est comment faire intervenir le changement d’´tat d’un interrupteur dans e un circuit avec des ´l´ments usuels. Un examen des transformations op´r´es aide grande- ee ee ment. On suppose pour commencer que le syst`me avait atteint son r´gime stationnaire e e avant t = 0. ` • A la fermeture d’un interrupteur au temps t = 0, la tension connue – ou du moins calculable – vi qui ´tait ` ses bornes ` t = 0− tombe ` z´ro pour t > 0 ; on ne peut e a a a e rien dire du courant pour t > 0 alors qu’il ´tait nul pour t < 0. e ` • A l’ouverture d’un interrupteur au temps t = 0, le courant connu ii qui traversait l’interrupteur ` t = 0− devient nul pour t > 0 ; la tension qui ´tait nulle, devient a e quelconque pour t > 0. Ainsi, on remplace, tel que montr´ sur la figure 8.2 : e • la fermeture de l’interrupteur par une source tension vi u(t) qui s’oppose – et annule compl`tement – la tension vi initialement aux bornes ; e • l’ouverture d’un interrupteur par une source courant ii u(t) qui pousse un courant dans la direction contraire au courant ii le traversant initialement. Le tout est de r´fl´chir quant ` la cause et ` l’effet pour bien mod´liser avec des inter- e e a a e rupteurs, puis remplacer convenablement l’interrupteur par sa source ´quivalente au bon e endroit, au bons sens et avec la bonne intensit´. e
- 234. 8-224 R´gime transitoire sur ligne e t=0 t=0 vi ii vi u(t) ii u(t) ´ Figure 8.2 – Equivalence des actions d’un interrupteur au temps t = 0. Exemple 8.1 Une source tension continue Vg (t) = Vo en s´rie avec un interrupteur ouvert e sont branch´s ` une ligne de transmission termin´e dans une charge Rc . L’in- e a e terrupteur est ferm´ au temps t = 0. e ◮ D´montrez que cette situation est ´quivalente ` une source tension Vo u(t) V . e e a avant t = 0 apr`s t = 0 e ´quivalence e V0 V0 0V V0 u(t) 0V kV0 kV0 u(t) ´ Figure 8.3 – Equivalence de la fermeture de l’interrupteur en s´rie avec une source tension e continue. L’effet de fermer l’interrupteur en s´rie peut ˆtre analys´ en regardant ce qui e e e se produit aux bornes de l’ensemble. On peut aussi voir le r´sultat comme une e combinaison de deux sources tel qu’abord´ ici. e Initialement une tension de Vo (+−) apparaˆ aux bornes de l’interrupteur. ıt Une fois ferm´e, la tension chute subitement ` 0 V. Ceci ´quivaut a remplacer e a e ` l’interrupteur par une source tension vi (t) = Vo u(t) (−+). Le circuit ´quivaut bien ` une source Vo u(t) montr´e a la figure 8.3. e a e `
- 235. 8.3 Effet dela ligne 8-225 8.3 Effet de la ligne La transformation de Laplace des deux ´quations du t´l´graphiste est simple et permet- e ee tra ´ventuellement de d´duire le r´gime transitoire. Si on pose V (z, s) = £{v(z, t)} et e e e I(z, s) = £{i(z, t)}, alors d´coulent les ´quations du t´l´graphiste : e e ee ∂V (z, s) = − (R + sL) I(z, s) (8.3) ∂z ∂I(z, s) = − (G + sC) V (z, s) (8.4) ∂z puis l’´quation d’onde de transmission : e ∂ 2 V (z, s) = γ 2 (s) V (z, s) (8.5) ∂z 2 avec γ(s), la constante de propagation : γ(s) = (R + sL)(G + sC) . (8.6) La solution des ´quations du t´l´graphistes (8.3) et (8.4) est bien connue. On peut e ee se fier sur la solution de l’onde plane ou des signaux dans une ligne a pertes en r´gime ` e sinuso¨ ıdal permanent (7.44) et (7.46) : ↓ ↓ V (z, s) = V + (s)e−γ(s)z + V − (s)e+γ(s)z (8.7) + −γ(s)z − +γ(s)z I(z, s) = I (s)e + I (s)e (8.8) 1 = ( V + (s)e−γ(s)z − V − (s)e+γ(s)z ) (8.9) Zo (s) ↑ ↑ avec Zo (s), l’imp´dance intrins`que : e e R + sL Zo (s) = . (8.10) G + sC Les coefficients V + et I + r´f`rent, comme toujours, ` l’onde positive (direction de ee a − − propagation en z+) tandis que les coefficients V et I r´f`rent ` l’onde n´gative (direction ee a e de propagation z−). Ces coefficients sont ind´pendants de la position d’observation z le e long de la ligne mais sont d´termin´s par l’application de conditions aux limites qui se e e retrouvent ` chaque extr´mit´ de la ligne. Ils d´pendront donc en premier lieu : a e e e • du type, de la valeur et de l’imp´dance interne de la source ; e • de la charge ; mais aussi de : • la longueur ℓ de la ligne ; • de la constante de propagation γ(s) sur la ligne (qui fournit att´nuation et vitesse e de propagation) ;
- 236. 8-226 R´gime transitoire sur ligne e • l’imp´dance caract´ristique Zo (s) de la ligne. e e Afin de d´terminer compl`tement chacun des coefficients, il faut connaˆ absolument e e ıtre le sch´ma complet du circuit. Cependant, on peut ´tablir imm´diatement des relations e e e + + − − entre V et I d’une part ; entre V et I d’autre part et ce, en n’ayant que l’imp´dancee caract´ristique de la ligne de transmission. Avec les solutions (8.7) et (8.8), on d´couvre e e que : V + (s) = Zo (s) (8.11) I + (s) V − (s) = − Zo (s) . (8.12) I − (s) ↑ Les r´sultats ´taient pr´visibles car on avait obtenu des similaires avec l’onde plane. e e e Les solutions exprim´es par les ´quations (8.7), (8.8) et (8.11), (8.12) avec les deux e e param`tres de ligne (8.6) et (8.10) sont g´n´rales dans le sens que les imp´dances de la e e e e charge ou interne ` la source, de mˆme que le niveau fourni par la source, ne les modifient a e pas. 8.4 Transitoire d’un syst`me simple e Les coefficients V + , V − , I + et I − ne peuvent ˆtre d´termin´s que cas par cas. On doit e e e pr´ciser davantage le syst`me pour imposer les conditions aux limites aux extr´mit´s. D`s e e e e e le d´part, on remarque que la connaissance de V + et V − suffit car I + et I − sont d´duits e e automatiquement avec les relations (8.11) et (8.12). Deux inconnues, deux ´quations sont e n´cessaires. e Zg ligne de transmission Z0 vg (t) vp Zc α z=0 z=ℓ Figure 8.4 – Sch´ma simple d’un syst`me de transmission sur ligne. e e Quelle que soit la fa¸on d’alimenter une ligne, on peut toujours repr´senter la source c e par un ´quivalent Th´venin – ou Norton selon ce qui semble le plus simple – avec une e e imp´dance interne Zg (s). La charge vue par la ligne ` l’autre bout est d´sign´e par Zc (s). e a e e La figure 8.4 pr´sente la situation simple mais rencontr´e fr´quemment d’un syst`me de e e e e transmission sur une ligne. Dans le reste du texte, on note Vg (s) = £{vg (t)u(t)}.
- 237. 8.4 Transitoire d’unsyst`me simple e 8-227 8.4.1 Condition ` la source a La condition ` la source fournit la premi`re ´quation. Les signaux ` z = 0 doivent respecter a e e a la relation v − i du circuit ´quivalent qui, combin´ ` l’´quation (8.8), m`ne a : e ea e e ` V (0, s) = Vg (s) − Zg (s) I(0, s) (8.13) Zg (s) + = Vg (s) − (V (s) − V − (s)) (8.14) Zo (s) alors que selon (8.7), on a : V (0, s) = V + (s) + V − (s) . (8.15) L’´galit´ des deux derni`res expressions donne : e e e Zo (s) Zg (s) − Zo (s) V + (s) = Vg (s) + V − (s) (8.16) Zo (s) + Zg (s) Zg (s) + Zo (s) diviseur tension coef. r´flexion e V o (s) o` on d´finit le coefficient de r´flexion ` la source Γg (s) : u e e a Zg (s) − Zo (s) Γg (s) = . (8.17) Zg (s) + Zo (s) Zg (s) Vg (s) Z0 (s) Z0 (s) Vg (s) Z0 (s)+Zg (s) Figure 8.5 – Onde positive quittant la source au d´part. e Z0 (s) V − (s) Zg (s) Γg (s)V − (s) Figure 8.6 – Onde positive issue de la r´flexion d’une onde n´gative ` la source. e e a Si on comprend bien la signification de (8.16), on voit que l’onde positive est constitu´e e de l’onde quittant la source ` l’instant t = 0 – illustr´e ` la figure 8.5 – et de la r´flexion a e a e a ` l’interface source-ligne d’une partie de l’onde n´gative – illustr´e ` la figure 8.6. e e a
- 238. 8-228 R´gime transitoire sur ligne e • Le diviseur de tension implique que la ligne agit comme une simple imp´dance ´gale e e a ` son imp´dance caract´ristique pour le calcul du signal quittant la source au d´part. e e e • Le coefficient Γg (s) est une analogie directe avec le coefficient de r´flexion d’une e onde plane d’un milieu d’imp´dance intrins`que Zo (s) sur un milieu d’imp´dance e e e intrins`que Zg (s) (voir ´quation (6.11)). En effet, Zg (s) correspond a l’imp´dance e e ` e vue par un signal incident sur la source en provenance de la ligne – un retour de la charge. 8.4.2 Condition ` la charge a On analyse le circuit du cˆt´ de la charge. On reprend les ´quations (8.7) et (8.8) dans oe e lesquelles on pose z = ℓ, la longueur de la ligne : V (ℓ, s) = Zc (s) I(ℓ, s) (8.18) Zc (s) = V + (s)e−γ(s)ℓ − V − (s)e+γ(s)ℓ (8.19) Zo (s) et V (ℓ, s) = V + (s)e−γ(s)ℓ + V − (s)e+γ(s)ℓ . (8.20) L’´galit´ des deux derni`res expressions apportent la seconde ´quation n´cessaire pour e e e e e r´soudre le syst`me : e e Zc (s) − Zo (s) V − (s) = V + (s) e−2γ(s)ℓ (8.21) Zc (s) + Zo (s) coef. r´flexion aller-retour e o` on d´finit le coefficient de r´flexion ` la charge Γc (s) : u e e a Zc (s) − Zo (s) Γc (s) = . (8.22) Zc (s) + Zo (s) 8.4.3 D´veloppement du transitoire e Maintenant que V + (s) et V − (s) sont d´termin´s, il devient possible d’exprimer la tension e e ou le courant partout sur la ligne pour ce cas particulier. On se sert de (8.16) et (8.21) pour les remplacer dans (8.7) et (8.8) : Zo (s) 1 V (z, s) = Vg (s) e−γ(s)z +Γc (s)e−2γ(s)ℓ eγ(s)z (8.23) Zo (s) + Zg (s) 1 − Γg (s)Γc (s)e−2γ(s)ℓ et ↓ 1 1 I(z, s) = Vg (s) e−γ(s)z − Γc (s)e−2γ(s)ℓ eγ(s)z . Zo (s) + Zg (s) 1 − Γg (s)Γc (s)e−2γ(s)ℓ ↑ (8.24)
- 239. 8.4 Transitoire d’unsyst`me simple e 8-229 Le signe n´gatif devant le second terme a l’int´rieur de la parenth`se montre bien que les e ` e e coefficients de r´flexion en courant ´quivalent ceux en tension mais avec une inversion de e e ◦ 180 . La transformation inverse de Laplace des ´quations (8.23) et (8.24) permet de connaˆ e ıtre les fonctions temporelles de la tension et du courant. Cependant, cette transformation inverse est souvent tr`s difficile mˆme dans un cas simple comme celui-ci. On doit se e e restreindre ` une solution plus particuli`re encore. L’une d’elle suppose une ligne sans a e pertes et des imp´dances Zg (s) et Zc (s) purement r´sistives. Ainsi, on a : e e • R = G = 0 donc : √ γ(s) = s LC = s/vp Zo (s) = L/C = Zo ; • Zg (s) = Rg et Zc (s) = Rc donc : −1 ≤ Γg (s) = Γg ≤ 1 −1 ≤ Γc (s) = Γs ≤ 1 . Pour faciliter davantage la transformation inverse, on d´veloppe sous forme s´rielle la e e partie 1/(1 − Γg (s)Γc (s)e−2γ(s)ℓ ) des expressions. Soit : 1 S(x) = ; |x| ≤ 1 1−x alors S(x) = 1 + x + x2 + . . . + xn ; n → ∞ . De sorte qu’avec x = Γg Γc e−2sℓ/vp (ce qui respecte la condition de validit´ car |Γg ||Γc | < 1 e 2 selon leurs limites ), on peut ´crire : e Zo V (z, s) = Vg (s) 1+Γc Γg e−2sℓ/vp +Γ2 Γ2 e−4sℓ/vp + . . . e−sz/vp +Γc e−2sℓ/vp esz/vp c g Zo + Rg expansion V + (s) V − (s) V ++ (s) Zo = Vg (s) e−sz/vp + Γc e−s(2ℓ−z)/vp + Γg Γc e−s(2ℓ+z)/vp Zo + Rg + Γc Γg Γc e−s(4ℓ−z)/vp + Γg Γc Γg Γc e−s(4ℓ+z)/vp + . . . (8.25) V −− (s) V +++ (s) et aussi : ↓ I + (s) I − (s) I ++ (s) 1 I(z, s) = Vg (s) e−sz/vp − Γc e−s(2ℓ−z)/vp + Γg Γc e−s(2ℓ+z)/vp Zo + Rg ↑ − Γc Γg Γc e−s(4ℓ−z)/vp + Γg Γc Γg Γc e−s(4ℓ+z)/vp + . . . (8.26) . ↑ I −− (s) I +++ (s) 2 Si les deux coefficients sont simultan´ment ´gaux ` ±1 – court-circuit ou circuit-ouvert aux extr´mit´s e e a e e –, le syst`me oscille continuellement car aucune puissance n’est dissip´e. e e
- 240. 8-230 R´gime transitoire sur ligne e Le r´sultat s’av`re tr`s int´ressant : la tension (ou le courant) le long d’une ligne e e e e pendant le r´gime transitoire est constitu´e d’une somme de contributions o` chaque e e u contribution est une copie du signal ´mis par la source : e • d´cal´e dans le temps d’un retard correspondant ` la longueur du trajet parcouru e e a jusque l` ; a • att´nu´e par un facteur reli´ au nombre de r´flexions a la charge et a la source ; e e e e ` ` • la premi`re contribution V + ou I + , d´marre de la source car c’est a cet endroit que e e ` se produit le changement ` t = 0. a Par exemple, pour la tension – il en va de mˆme pour le courant en faisant attention e aux signes cependant –, la transform´e inverse de (8.25) donne3 : e Zo v(z, t) = vg (t − z/vp )u(t − z/vp ) + Γc vg (t − (2ℓ − z)/vp )u(t − (2ℓ − z)/vp ) Zo + Rg +Γg Γc vg (t − (2ℓ + z)/vp )u(t − (2ℓ + z)/vp ) + . . . . (8.27) 8.4.4 Approche raisonn´e e On aurait pu entreprendre l’´tude du transitoire par une approche faisant appel davantage e au raisonnement physique. C’est l’approche raisonn´e.e ` o + A t = 0, une onde de d´part positive v = v quitte la source a z = 0. Cette tension e ` devrait correspondre ` celle de la source diminu´e toutefois par la chute de potentiel a e e e e ´ provoqu´e par le courant de d´part io = i+ traversant l’imp´dance interne. Evidemment, la charge ` l’autre bout n’est pas “visible” de la source et ne peut ˆtre ´valu´e. L’onde a e e e 4 “voit” uniquement l’entr´e de la ligne de transmission de sorte que les signaux s’ajustent e + + de mani`re ` avoir v /i = Zo . On remplace donc localement la ligne par son imp´dance e a e caract´ristique Zo . La tension aux bornes de Zo et le courant qui la traverse correspondent e aux signaux de d´part : e V + (s) V + (s) = Vg (s) − Rg I + (s) = Vg (s) − Rg (8.28) Zo Zo V + (s) = Vg (s). (8.29) Zo + Rg Les signaux de d´part se d´placent sur la ligne avec une vitesse vp . Ils atteignent la e e charge au temps T = ℓ/vp . Arriv´s l`, les signaux respectent la loi d’Ohm5 avec Zo mais e a non celle avec Rc . La charge Rc absorbe une partie de la puissance mais retourne des 3 La transform´e de Laplace unilat´rale oblige des fonctions causales d’o` les termes en u(t). e e u 4 La source n’est assez intelligente pour dire ` v + que vaut la charge ` l’autre bout, elle n’en sait rien. a a Le v + s’ajustera donc ` la ligne uniquement. a 5 La loi d’Ohm remplace la condition aux limites avec des ´l´ments de circuit. ee
- 241. 8.4 Transitoire d’unsyst`me simple e 8-231 signaux r´fl´chis que l’on d´termine de mani`re ` respecter la condition aux limites : e e e e a V + (s) V − (s) V + (s) + V − (s) = Rc I + (s) + I − (s) = Rc − (8.30) Zo ↑ Zo Rc − Zo + V − (s) = V (s). (8.31) Rc + Zo Γc Les signaux r´fl´chis retournent au temps t = T toujours ` la vitesse vp vers la source, e e a ` donc dans la direction z−. Ils arrivent ` la source au temps t = 2T . A la source, les a conditions aux limites ´taient d´j` pleinement satisfaites par les signaux de d´part seuls. e ea e − − Ces signaux r´fl´chis qui ob´issent ` v /i = −Zo violent la loi d’Ohm. La r´sistance e e e a e interne absorbe une partie de leur puissance et l’autre partie sera r´fl´chie de nouveau e e ++ ++ dans la direction z+ via les signaux v et i . Le processus se perp´tue ` l’infini mais avec des r´flexions de moins en moins puis- e a e santes. On pr´tend que le r´gime permanent est atteint lorsque les variations deviennent e e plus fines qu’une certaine valeur. Exemple 8.2 Soit une ligne de transmission d’une longueur de 50 m, d’imp´dance caract´ris- e e tique 50Ω, sur laquelle la vitesse de propagation vaut 66% (sous-entendu, de la vitesse de la lumi`re dans le vide). Une charge de 550Ω termine cette ligne. e Au temps t = 0, on branche une source tension continue de 10u(t) V ayant une imp´dance interne de 20Ω. e ◮ D´terminez la valeur de la tension et du courant aux positions et temps indiqu´s e e ci-dessous : • 35 m, 0.1µs ; • 35 m, 0.4µs ; • 1 m, 0.5µs. • 0 m, 0.5µs. Il s’agit ici d’une r´ponse ` un ´chelon de tension. e a e On calcule d’abord les coefficients de r´flexion aux deux extr´mit´s selon (8.17) e e e et (8.22) : 20 − 50 3 Γg = = − = −0.429 20 + 50 7 550 − 50 5 Γc = = = 0.833 . 550 + 50 6 On peut utiliser directement (8.27) pour la tension, pour chacune des quatre demandes. On doit v´rifier si la primitive de la fonction u(·) est positive, nulle e
- 242. 8-232 R´gime transitoire sur ligne e (u(· ≥ 0) = 1) ou n´gative (u(· < 0) = 0). On obtient : e 50 35 100 − 35 v(35 m, 0.1µs) = 10 u(0.1µ − 8 ) +0.833 u(0.1µ − )+ ··· 50 + 20 2 × 10 2 × 108 −0.075µ −0.225µ 0 0 = 0V; 50 35 100 − 35 v(35 m, 0.4µs) = 10 u(0.4µ − ) +0.833 u(0.4µ − ) 50 + 20 2 × 108 2 × 108 +0.225µ +0.075µ 1 1 100 + 35 +(0.833)(−0.429) u(0.4µ − )+ ··· 2 × 108 −0.275µ 0 = 7.143 (1 + 0.833) = 13.095 V ; 50 1 100 − 1 v(1 m, 0.5µs) = 10 u(0.5µ − 8 ) +0.833 u(0.5µ − ) 50 + 20 2 × 10 2 × 108 +0.495µ +0.005µ 1 1 100 + 1 +(0.833)(−0.429) u(0.5µ − ) 2 × 108 −0.005µ 0 200 − 1 +(0.833)(−0.429)(0.833) u(0.5µ − )+ ··· 2 × 108 −0.495µ 0 = 7.143 (1 + 0.833) = 13.095 V ; 50 0 100 − 0 v(0 m, 0.5µs) = 10 u(0.5µ − 8 ) +0.833 u(0.5µ − ) 50 + 20 2 × 10 2 × 108 +0.5µ 0 1 1 100 + 0 +(0.833)(−0.429) u(0.5µ − ) 2 × 108 0 1 200 − 0 +(0.833)(−0.429)(0.833) u(0.5µ − )+ ··· 2 × 108 −0.5µ 0 = 7.143 (1 + 0.833 − 0.357) = 10.544 V .
- 243. 8.4 Transitoire d’unsyst`me simple e 8-233 Pour le courant, il faut reprendre mais en changeant le signe des coefficients de r´flexion et en divisant par Zo . Ce qui donne : e i(35 m, 0.1µs) = 0 A; 1 i(35 m, 0.4µs) = 10 u(+0.225µ) +(−0.833) u(+0.075µ) 50 + 20 1 1 = 0.143 (1 − 0.833) = 23.81 mA; 1 i(1 m, 0.5µs) = 10 u(+0.495µ) +(−0.833) u(+0.005µ) 50 + 20 1 1 +(−0.833)(+0.429) u(−0.005µ) 1 = 0.143 (1 − 0.833) = 23.81 mA 1 i(0 m, 0.5µs) = 10 u(+0.5µ) +(−0.833) u(0) +(−0.833)(+0.429) u(0) 50 + 20 1 1 1 = 0.143 (1 − 0.833 − 0.357) = −27.21 mA . e ` On peut expliquer chacun des r´sultats. A la premi`re demande, l’onde de e e ` la seconde, l’onde de d´part est pass´e et d´part n’est pas encore arriv´e. A e e e la r´flexion aussi. Mˆme chose ` la troisi`me car l’onde r´fl´chie par la charge e e a e e e − ++ v arrive tout juste ` la source (t = 2T = 0.5µs) et v a commence a peine a ` ` quitter la source pour se rendre ` la charge, ce que l’on voit dans la derni`re a e demande. On observe aussi que la tension sur la ligne peut d´passer la valeur de la source e et le courant devenir n´gatif ! e 8.4.5 Signaux en r´gime permanent e Au fur et a mesure que le temps progresse, l’amplitude des signaux r´fl´chis (la tension ou ` e e 6 le courant) d´croissent de sorte que la somme des contributions converge vers une certaine e valeur laquelle est celle du r´gime permanent soit vss pour la tension et iss pour le courant. e ´ Evidemment, ` l’´quilibre, on devrait tendre comme valeurs finales vers quelque chose du a e genre : vss = v(z, ∞) = vo RcRc g et iss = i(z, ∞) = vo Rc +Rg , la ligne n’ayant plus d’effet. +R 1 Il s’av`re que les solutions aux ´quations d’onde (8.7) et (8.8) font ´tat de deux ondes, e e e l’une positive et l’autre n´gative. On devrait retrouver ces deux ondes en ´tat perma- e e + + − − nent aussi, que l’on note vss (iss ) et vss (iss ). On d´montre que l’onde positive finale est e 6 Le cas extrˆme est celui o` |Γg | = |Γc | = 1 mais de signe oppos´. On rappelle que le syst`me se e u e e comporte comme un oscillateur.
- 244. 8-234 R´gime transitoire sur ligne e constitu´e de toutes les contributions positives car elles sont toutes pr´sentes au temps e e t → ∞. Il en va de mˆme pour l’onde n´gative. Donc : e e + − vss = vss + vss (8.32) 1 iss = i+ + i− = ss ss v + − vss − (8.33) Zo ss avec vss = v + + v ++ + v +++ · · · + (8.34) vss = v − + v −− + v −−− · · · − (8.35) Tout cela est li´ ` la propri´t´ de lin´arit´ de l’op´rateur £{·}. ea ee e e e Exemple 8.3 ◮ Trouvez la valeur des ondes positive et n´gative en tension et en courant, qui e forment le r´gime permanent du syst`me de l’exemple pr´c´dent 8.2. e e e e Les deux ´quations (8.32) et (8.33) suffisent. Pour d´terminer vss et iss , on e e proc`de comme en circuit, i.e. sans tenir compte de la ligne. e 550 vss = 10 = 9.649 V 550 + 20 10 iss = = 17.54 mA . 550 + 20 Donc : + − 9.649 = vss + vss Zo iss = (50)(17.54 × 10−3 ) = 0.877 = vss − vss + − + et en additionnant les membres du mˆme cot´ des ´galit´s, on trouve vss : e e e e + 10.526 = 2vss + vss = 5.263 V . On peut maintenant r´cup´rer l’autre inconnue en tension : e e − + vss = 9.649 − vss = 4.386 V puis ceux en courant : + vss 5.263 i+ ss = = = 105.26 mA Zo 50 v− i− ss = − ss = −87.72 mA . Zo Une petite v´rification rapide peut ˆtre faite avec les quatre premiers termes e e + de la s´rie de vss ` partir du r´sultat de l’exemple 8.2 : e a e + vss ≈ (7.143)(1)+(7.143)(−0.357)+(7.143)(0.128)+(7.143)(−0.046) = 5.178 V
- 245. 8.5 Diagramme enZ 8-235 8.5 Diagramme en Z Il n’est pas tr`s commode de refaire l’ensemble du d´veloppement pour chaque syst`me ; e e e mˆme pour un syst`me simple, il a fallu bien s’attabler. Une chance, l’approche raisonn´e e e e entourant le transitoire du syst`me simple de la section pr´c´dente sugg`re l’utilisation e e e e d’une m´thode graphique : le diagramme en Z, aussi appel´ de r´flexions multiples. e e e Il s’agit en fait du lieu g´om´trique de la relation spatio-temporelle d’une impulsion e e δ(t − z/vp ) en tension ou en courant qui va et vient sur la ligne de transmission en se r´fl´chissant. Le graphique poss`de deux axes de coordonn´es : e e e e • la variable z est port´e en abscisse et va de 0 ` ℓ ; e a • la variable t est mise en ordonn´e en prenant soin de subdiviser l’axe en multiples e de T = ℓ/vp . Comme l’impulsion se d´place sur une ligne sans perte et uniforme ` une vitesse constante e a vp , le lieu g´om´trique consiste en une s´rie de lignes droites en zigzag de pente ±1/vp e e e selon que l’impulsion se d´place vers la charge ou vers la source. Une autre interpr´tation e e possible du lieu est celui qui marque la limite de la contribution d’un signal au transi- toire, car sur les lignes on a t − z/vp = 0 exactement. On inscrit sur chaque ligne droite l’amplitude de la tension ou du courant donn´ par le terme de l’´quation (8.25) ou (8.27) e e qui correspond ` cette droite. a 0 vinit ℓ 0 z v o = v + (dans ce dessin) T v − = Γc v + 2T v ++ = Γg v − 3T v −− = Γc v ++ t Figure 8.7 – Diagramme en Z typique du syst`me simple. e La figure 8.7 montre le diagramme en Z obtenu lorsque l’onde de d´part v o = v + ou e o + i = i d´marre ` la source avec une ligne au repos, i.e. avec conditions initiales nulles. e a
- 246. 8-236 R´gime transitoire sur ligne e 8.5.1 Lecture du diagramme ` A regarder les expressions, on remarque qu’il y a deux variables a consid´rer, lesquelles ` e sont reli´es par la relation spatio-temporelle. Les informations tir´es d’un diagramme en e e Z offrent donc deux possibilit´s : e • le trac´ de l’´volution de la tension ou du courant dans le temps en un endroit pr´cis e e e sur la ligne ; v(t), i(t) pour z = z0 • le trac´ de la distribution de la tension ou du courant le long de la ligne en un temps e pr´cis. e v(z), i(z) ` t = t0 a 0 z0 ℓ 0 z points d’ajout de contribution T Dz t0 2T Dt t Figure 8.8 – Lecture d’un diagramme en Z typique en suivant le ligne en traits pointill´s. e L’´volution de la tension ou du courant dans le temps se r´alise en tra¸ant une droite e e c verticale suivant l’axe du temps ` z = z0 (Dt sur la figure 8.8). La distribution de la a tension ou du courant le long de la ligne demande plutˆt de tracer une droite horizontale o parall`le ` l’axe de la position ` t = t0 (Dz sur la figure 8.8). Chaque point d’intersection e a a entre la droite Dt,z et les droites du diagramme en Z correspondent a l’addition d’une ` contribution effective. Il se produira donc un changement dans l’´volution ou dans la e distribution ` l’instant ou ` l’endroit de cette intersection. a a Cette contribution qui s’ajoute prend la forme de celle de la source. Il faut ensuite se poser la question : quel est le genre de source ? ` impulsion ou un ´chelon (les deux genres a e consid´r´s ici). ee Pour une source impulsion la lecture du diagramme en Z se limite simplement a sa-` voir qu’` chaque point d’intersection apparaˆ une nouvelle impulsion dont la hau- a ıt teur vaut la valeur de la contribution. L’´volution ou la distribution montrera une impulsion a cet instant ou cet endroit e ` respectivement.
- 247. 8.5 Diagramme enZ 8-237 Pour une source ´chelon la lecture exige de comprendre les faits suivants : e • l’aire en dessous d’une droite inclut tous les lieux o` l’action produite par la u composante repr´sent´e par cette droite prend effet (u(t − tz ) = 1 car (t − tz ) ≥ e e 0) ; • l’action ne s’est pas encore produite pour les lieux au dessus (u(t − tz ) = 0 car (t − tz ) < 0). Ainsi l’ajout d’une contribution correspond ` superposer un nouvel ´chelon a l’ins- a e ` tant ou l’endroit selon le cas de l’intersection. 0 zoa zob ℓ 0 z vo = v+ T v− > 0 zo b v+u t − vp zo b 2T v−u t + vp v ++ < 0 (2ℓ−zob ) v ++ u t − vp t vga (t) = δ(t) vgb (t) = u(t) Figure 8.9 – Lecture de l’´volution d’un diagramme en Z typique selon le genre de source : e impulsion en zoa , ´chelon en zob . e La figure 8.9 illustre tr`s bien le principe. Il s’agit ici d’une ´volution en tension typique e e • observ´e en zoa en supposant que la source est une impulsion vga (t) = δ(t) ; e • observ´e en zob en supposant que la source est un ´chelon vgb (t) = u(t). e e Le trac´ de l’´volution en tension se voit en penchant la tˆte vers la droite comme ceci e e e ( : et en observant le trait plein en double ´paisseur par rapport ` la droite Dza ,b . Il est e a ´vident que la superposition d’impulsions ` des temps diff´rents correspond a dessiner une e a e ` s´rie d’impulsions de hauteur diff´rente alors que le comportement est autrement diff´rent e e e avec des ´chelons. En effet, un ´chelon u(t − t1 ) reste ` 1 ` partir de t1 et ce pour l’´ternit´ e e a a e e et chevauchera donc un autre ´chelon u(t − t2 ) t2 > t1 ` partir de t2 de sorte que les deux e a contributions s’additionnent.
- 248. 8-238 R´gime transitoire sur ligne e Exemple 8.4 Rg = 75Ω Z0 = 50Ω 5u(t)V vp = 100% Rc → ∞ z=0 z = 1500m Figure 8.10 – Sch´ma du syst`me de transmission pour une r´ponse ` l’´chelon. e e e a e On consid`re une ligne sans perte de longueur 1500 m ayant une imp´dance e e caract´ristique de 50Ω et une vitesse de propagation ´gale a 100% (3×108 m/s). e e ` On branche une source tension produisant un ´chelon vg (t) = 5u(t) V a l’une e ` des extr´mit´s de la ligne. La r´sistance interne de la source est de 75Ω. On e e e laisse l’autre extr´mit´ ouverte comme sur la figure 8.10. e e ◮ Dans un premier temps, tracez l’´volution de la tension et du courant a 900 m e ` de la source, jusqu’` 16µs. a Les conditions initiales et les coefficients sont d’abord d´termin´s. e e vinit = iinit = 0 75 − 50 Γg = = 0.2 75 + 50 ∞ − 50 Γc = = 1.0 ∞ + 50 1500 T = = 5µs 3 × 108 La tension de l’onde de d´part (qui d´bute du cˆt´ de la source avec l’inter- e e oe rupteur, l` o` se produit le changement) vaut : a u v o = v + = 5V · 50/(50 + 75) = 2V . Le diagramme en Z de cet exemple est reproduit ` la figure 8.11. La tension a et le courant de chacune des r´flexions sont indiqu´s. Les droites en traits e e pointill´s indiquent les lieux d’observation pour les deux items de la question. e Il faut choisir le lieu d’observation correspondant ` la droite verticale Dt pas- a sant par z = 900 m. Les contributions s’ajoutent aux temps 3µs, 7µs et 13µs. Avant 3µs, la tension et le courant sont nuls, mais a 3µs le signal v + (i+ ) ` a a ` ` arrive ` 900 m. La tension monte ` 2 V et le courant a 40 mA. A 7µsec, la r´flexion provenant de la charge fait sentir son effet : 2 V suppl´mentaire et e e
- 249. 8.5 Diagramme enZ 8-239 0V, 0mA 0 900 1500 0 z v o = 2V, io = 40mA 2V, −40mA 5 7 10 0.4V, 8mA 0.4, −8mA 15 20 t(µs) Figure 8.11 – Diagramme en Z de la r´ponse ` l’´chelon. e a e V (t) 4.4V (V ) 4 4V 3 2V 2 1 0 0 3 5 7 10 13 15 t(µs) i(t) 40mA (mA)40 30 20 8mA 10 0 0 3 5 7 10 13 15 t(µs) ´ Figure 8.12 – Evolution de la tension (a) et du courant (b) ` 900 m de la r´ponse ` l’´chelon. a e a e
- 250. 8-240 R´gime transitoire sur ligne e un courant qui retourne ` 0 mA. Ce n’est qu’` 13µs que revient la r´flexion a a e due ` la m´sadaptation de la source ` la ligne. Ainsi, la tension monte de a e a (Γg )(2) = 0.4V , tandis que le courant remonte temporairement a 8 mA. ` La figure 8.12 trace l’´volution des signaux jusqu’` 16µs. e a ◮ Tracez maintenant la distribution de la tension et du courant le long de la ligne ` t = 7µs. a v(z) 4V (V ) 4 3 2V 2 1 0 0 500 900 1000 1500 z(m) i(z) (mA)40 30 20 10 0 0 500 900 1000 1500 z(m) Figure 8.13 – Distribution de la tension (a) et du courant (b) ` 7µs de la r´ponse ` l’´chelon. a e a e On utilise le lieu d’observation Dz ` 7µs. Le point d’addition (ou de soustrac- a tion) de contribution est ` 900 m. Avant 900 m, seul v + (i+ ) agissait. Apr`s, a e − − la contribution de v (i ) doit ˆtre consid´r´e. Les distributions en tension et e ee en courant sont trac´es sur la figure 8.13. e 8.6 Distribution de l’´nergie e Pour une ligne de transmission sans pertes, toute l’´nergie fournie a l’entr´e doit ˆtre e ` e e emmagasin´e et/ou transmise d’apr`s la loi de conservation de l’´nergie. e e e On consid`re un temps to < T , le temps mis pour parcourir la ligne. La source tension e vaut Vo u(t). La tension et le courant s’expriment : Zo v(z, t) = Vo u(t − z/vp ) Zo + Rg 1 i(z, t) = Vo u(t − z/vp ) Zo + Rg L’´nergie fournie par la source apr`s un temps to < T vaut : e e Vo2 to Wg = Vo · i(0, t) to = . Zo + Rg
- 251. 8.7 Plusieurs sources 8-241 En tenant compte des pertes joules provoqu´es par la r´sistance interne de la source, on e e trouve que l’´nergie fournie ` la ligne devient : e a Vo2 to Vo2 to Rg Vo2 to Zo Wf = − = . Zo + Rg (Zo + Rg )2 (Zo + Rg )2 L’´nergie emmagasin´e d’une part par l’inductance de la ligne apr`s un temps to < T , e e e vaut : L to ·vp 2 L Vo2 Vo2 to Zo Wl = |i(z, 0)| dz = to · vp = 2 0 2 (Zo + Rg )2 2(Zo + Rg )2 car L = Zo /vp ; et d’autre part, par la capacit´ sachant que C = 1/(Zo vp ), vaut : e to ·vp C C Vo2 Zo 2 Vo2 to Zo Wc = |v(z, 0)|2dz = to · vp = . 2 0 2 (Zo + Rg )2 2(Zo + Rg )2 On v´rifie bien que Wl + Wc = Wf et que la loi de conservation de l’´nergie est respect´e. e e e 8.7 Plusieurs sources Le principe de superposition des sources s’applique lorsque : • le syst`me comporte plusieurs sources ayant des changements a divers temps ; e ` • le signal d’une source peut ˆtre mod´lis´ par une s´quence de signaux provenant de e e e e plusieurs sources avec diverses amplitudes et divers retards. Il faut alors prendre chaque source ind´pendamment : e • mettre a “0” toutes les autres sources ; ` • tenir compte des retards de la source par rapport ` l’origine ; a • tracer sur le mˆme diagramme en Z celui produit par chacune des sources ; e • sommer les contributions ` un temps donn´ ou ` un endroit donn´. a e a e On note que les conditions initiales vinit et iinit proviennent des sources activ´es depuis si e longtemps que leur effet est assimilable au r´gime permanent. On d´duit ces conditions en e e sommant effectivement les contributions de chacune en ´teignant les autres ; aucun indice e du temps n’est consid´r´ dans ce cas. ee L’exemple classique d’un syst`me mod´lis´ par plusieurs sources est celui d’une porte e e e rectangulaire de dur´e To . Cette fonction porte s’´crit math´matiquement comme : e e e vg (t) = Vo u(t) − Vo u(t − To ) (8.36) ce qui d´montre bien qu’elle se mod´lise facilement par un ´chelon ` t = 0 d’amplitude e e e a Vo , suivi par un autre ´chelon ` t = To mais d’amplitude −Vo , donc comme deux sources e a tensions en s´rie vg1 (t) = Vo u(t) et vg2 (t) = −Vo u(t − To ). On trace alors sur le mˆme e e
- 252. 8-242 R´gime transitoire sur ligne e diagramme deux courbes en Z : chacune correspondant ` l’une des sources. La courbe de a la source vg2 d´marre au temps t = To et les amplitudes des signaux sont les mˆmes que e e celles de la premi`re source en changeant le signe. e Exemple 8.5 Une ligne raccorde une source ` une charge. La source g´n`re une porte d’am- a e e plitude Vo de dur´e To au temps t = 0 alors que la ligne ´tait au repos avec e e vinit = iinit = 0. Les param`tres sont les suivants : e To = 4T /3 Vo = 12V Rg = 150Ω, Rc = 250Ω Zo = 50Ω . ◮ Tracez le diagramme en Z en tension, l’´volution de la tension a 2ℓ/3 et la e ` distribution de la tension ` 7T /3 par un mod`le ` deux sources “´chelon”. a e a e 0V 2ℓ ℓ 0 3 z o v1 = 3V T 4T o 2V 3 v2 = −3V 2T 1V 7T 3 −2V 3T 10T 0.667V 3 −1V t Figure 8.14 – Diagramme en Z de l’exemple avec porte avec un mod`le a deux sources “´chelon”. e ` e On suppose que la porte est produite par deux sources en s´rie comme par e l’´quation (8.36). e La figure 8.14 illustre le diagramme en Z qui en r´sulte. Le transitoire de e la source vg1 (t) est le lieu qui part ` t = 0, z = 0. Le lieu des contributions a produites par la source retard´e vg2 (t) est dessin´ par un trait plus ´pais. Cette e e e
- 253. 8.7 Plusieurs sources 8-243 0V 2ℓ ℓ 0 3 z o v1 = 3V T 2V To 2T 1V To 7T 3 3T 0.667V To t Figure 8.15 – Diagramme en Z de l’exemple avec porte ´quivalent avec un mod`le ` signaux e e a “porte” pour obtenir l’´volution ` 2ℓ/3. e a v(t) (V ) 5 5V 4 3V 3 2V 1.667V 2 1V 0.667V 1 0 2T 3 T 4T 3 2T 8T 3 3T 10T 3 4T t v(z) (V ) 3 2 1 0 ℓ ℓ 3 2 ℓ z ´ Figure 8.16 – Evolution (a) et distribution (b) de la tension de l’exemple avec porte.
- 254. 8-244 R´gime transitoire sur ligne e fa¸on de proc´der ` deux sources donne un r´sultat ´quivalent en supposant c e a e e que chaque droite du trac´ n’est active que durant la p´riode To comme sur la e e figure 8.15. On retrouve les trac´s de l’´volution de la tension et la distribution e e de la tension demand´s sur la figure 8.16. e 8.8 Endroit du changement et conditions initiales Jusqu’` pr´sent, le changement initial provoquant un r´gime transitoire ´tait localis´ au a e e e e o + o + niveau d’une source (donc v = v , i = i ). Il est cependant aussi probable que les changement initiaux proviennent du cˆt´ de la charge (v o = v − , io = i− ) ou ailleurs sur oe la ligne. Dans ces cas, deux nouvelles cons´quences surgissent : e • les signaux de d´part en tension v o et en courant io d´marrent de l’endroit o` s’est e e u produit la modification ; ils se propagent dans la ou les lignes en s’´loignant du point e de d´part ` t ≥ 0 ; e a • les conditions initiales sur la ligne sont souvent non-nulles et doivent ˆtre consid´r´es ; e ee comme elles contribuent depuis toujours et continueront d’exister, elles doivent ˆtre e ajout´es aux signaux du r´gime transitoire en tout temps et a toute position. e e ` Exemple 8.6 Rg = 25Ω t=0 i− 10u(t)V = vi (t) Z0 = 50Ω vp Rc Rc vg = 10V v− 75Ω 75Ω z=0 z=ℓ Figure 8.17 – Sch´ma du circuit de transmission avec fermeture de l’interrupteur ` la charge e a et circuit ´quivalent. e Le syst`me de transmission de la figure 8.17 est en r´gime permanent puisque e e la source de 10 V avec une imp´dance interne de 25Ω est connect´e a la ligne e e ` de 50Ω depuis fort longtemps. Au temps t = 0, l’interrupteur en s´rie avec e une charge de 75Ω est ferm´. e ◮ Tracez l’´volution de la tension entre 0 et 4T en plein milieu de la ligne, et la e distribution de la tension le long de la ligne au temps t = 1.5T .
- 255. 8.8 Endroit duchangement et conditions initiales 8-245 10V, 0mA ℓ 0 2 ℓ z v o = −4V, io = 80mA T 1.333V, 26.67mA 2T 0.267V, −5.33mA 3T −0.089V, −1.78mA t Figure 8.18 – Diagramme en Z de l’exemple avec fermeture de l’interrupteur ` la charge. a L’effet de l’interrupteur est assimilable ` une source tension de vi = 10u(t)V a (−+) en s´rie avec la charge comme ` la figure 8.17. La source tension vg (t) e a prise seule cr´e les conditions initiales ` savoir : e a vinit = 10 V iinit = 0 A . Ces conditions initiales sont indiqu´es sur le diagramme en Z par une droite e suppl´mentaire compl`tement horizontale ` t = 0. L’effet de la source tension e e a vi (t) est de fournir de z = ℓ, un signal de d´part v o et io (attention aux e conventions de signe pour la tension et le courant) : Zo 50 v o = v − = −vi = −10 = −4 V Zo + Rc 50 + 75 vi io = i− = = 80 mA . Zo + Rc L’indice − est utilis´ pour le signal de d´part car il se d´place selon l’axe e e e z−. Le diagramme en Z obtenu est reproduit sur la figure 8.18 tandis que l’´volution de la tension ` ℓ/2 et la distribution de la tension ` 3T /2, sur la e a a figure 8.19.
- 256. 8-246 R´gime transitoire sur ligne e v(t) (V ) 10V v(t → ∞) = 7.5V 10 7.33V 7.6V 7.51V 8 6V 6 4 2 0 0 T 2T 3T 4T t v(z) (V ) 7.33V 8 6V 6 4 2 0 0 ℓ ℓ z 2 ´ Figure 8.19 – Evolution (a) et distribution (b) de la tension avec fermeture de l’interrupteur ` a la charge. Exemple 8.7 Rg = 30Ω t=0 0.1u(t)A i− Z0 = 50Ω 0.1A vp = 66% Rc Rc 13V v− 100Ω 100Ω z=0 z = 1000m Figure 8.20 – Sch´ma du circuit de transmission avec ouverture de l’interrupteur ` la charge e a et circuit ´quivalent. e Soit le syst`me de transmission de la figure 8.20 dont la ligne a une imp´dance e e caract´ristique de 50Ω et une vitesse de propagation de 66%. Depuis un temps e suffisant pour qu’un r´gime permanent soit ´tabli, une source tension continue e e de 13 V avec une imp´dance interne de 30Ω est branch´e a la ligne ; a l’autre e e ` ` bout, une charge de 100Ω. Au temps t = 0, on retire la charge. ◮ Tracez le diagramme en Z complet entre 0 et 3T avec axes en m et µ s. On calcule les param`tres utiles, coefficients de r´flexion et conditions initiales. e e On n’oublie pas que la charge est un circuit ouvert pour t > 0 car l’interrupteur
- 257. 8.8 Endroit duchangement et conditions initiales 8-247 0 10V, 100mA 1000 v o = 5V, io = −100mA z(m) 5 −1.25V, −25mA 10 −1.25V, 25mA 15 0.313V, 6.25mA t(µs) Figure 8.21 – Diagramme en Z de l’exemple avec ouverture de l’interrupteur ` la charge. a est ouvert. Donc : ℓ 1000 T = = = 5µs vp 2 × 108 30 − 50 Γg = = −0.25 30 + 50 ∞ − 50 Γc = = 1 ∞ + 50 100 vinit = 13 = 10 V 100 + 30 13 iinit = = 100 mA . 100 + 30 On analyse maintenant l’effet de la fermeture de l’interrupteur. Avant sa ferme- ture, un courant de 100 mA passait par l’interrupteur ; apr`s, aucun courant. e On assimile alors l’interrupteur ` une source courant de ii (t) = 100u(t) mA a (←) qui annule le courant apr`s t = 0. Ceci permet de d´terminer les signaux e e o o de d´part v et i : e v o = v − = Zo ii = = (50)(0.1) = 5 V v− io = i− = −ii = − = −100 mA . Zo Le diagramme en Z r´sultant est dessin´ ` la figure 8.21. e ea
- 258. 8-248 R´gime transitoire sur ligne e 8.9 Point de jonction sur ligne ligne #1 i+ , i− 1 1 i+ 2 ligne #2 point Z01 + Z02 vp1 v1 de + vp2 v2 − v1 jonction zp zp + dz Figure 8.22 – Quadripˆle repr´sentant un point de jonction entre deux lignes de transmission. o e Un point de jonction (ou jonction) est une discontinuit´ localis´e – ou du moins tr`s e e e petite devant la longueur d’onde – ` un endroit pr´cis sur la ligne de transmission. Cette a e e e e e o + discontinuit´ peut ˆtre sch´matis´e par un quadripˆle ayant v1 , v1 , i+ et i− a l’entr´e et − 1 1 ` e + + v2 et i2 ` la sortie. On peut aussi consid´rer que le point de jonction fait le pont entre a e deux lignes de transmission. Le tout est reproduit sur la figure 8.22 ´ Evidemment, ce point de jonction cr´e une r´flexion du signal mais aussi une trans- e e mission du signal. Cette r´flexion et cette transmission peuvent d´pendre de quel cˆt´ e e oe arrive le signal, si les milieux de part et d’autre du quadripˆle sont diff´rents comme deux o e lignes de transmission aux caract´ristiques dissemblables. On note : e • Γ11 ou Γ22 , les coefficients de r´flexion en tension du milieu 1 vers 1 ou 2 vers 2 e (pour le courant, il suffit de changer le signe) − v1 i− 1 Γ11 = + = − + ; (8.37) v1 ↑ i1 • τv,21 ou τv,12 , les coefficients de transmission en tension du milieu 1 vers 2 ou 2 vers 1 respectivement (en courant, on utilise τi,21 et τi,12 ) + v2 τv,21 = + (8.38) v1 i+ v + /Zo2 v + Zo1 τi,21 = + = 2 2 + = 2 + . (8.39) i1 v1 /Zo1 v1 Zo2 τv,21 Malgr´ la pr´sence d’un point de jonction, il demeure possible d’utiliser le diagramme e e en Z afin de d´terminer le r´gime transitoire. Une l´g`re modification s’impose cependant e e e e au niveau du point de jonction ` cause du ph´nom`ne de transmission de part et d’autre a e e de la jonction. Il existe plusieurs types de point de jonction mais on se limitera a l’analyse de deux ` cas : la r´sistance parall`le et la r´sistance s´rie entre deux lignes de transmission. Les e e e e autres cas peuvent se d´duire ou s’analyser de la mˆme mani`re. e e e
- 259. 8.9 Point dejonction sur ligne 8-249 8.9.1 R´sistance parall`le e e i+ , i− 1 1 i+ 2 ip Z01 + v1 Z02 + vp1 − Rp v2 vp2 v1 zp zp + dz Figure 8.23 – Point de jonction constitu´ d’une r´sistance en parall`le. e e e On consid`re deux lignes possiblement diff´rentes (l’une ayant : Zo1 , vp1 et l’autre : Zo2 , e e e a ` vp2 ) reli´es ensemble ` la position z = zp . A cette position se trouve aussi une r´sistance e en parall`le Rp entre les deux conducteurs comme sur la figure 8.23. e Les lois de Kirchoff et les ´quations (8.11) et (8.12) s’appliquent. Celles-ci donnent : e + − + v1 + v1 = v2 (8.40) i+ 1 + i− 1 = ip + i+2 (8.41) + + v1 = Zo1 i1 (8.42) − v1 = −Zo1 i−1 (8.43) + v2 = Rp ip = Zo2 i+ . 2 (8.44) On obtient de ces ´quations que : e − v1 Rp Zo2 − Rp Zo1 − Zo1 Zo2 Γ11 = + = (8.45) v1 Rp Zo2 + Rp Zo1 + Zo1 Zo2 + v 2Rp Zo2 τv,21 = 2 = + (8.46) v1 Rp Zo2 + Rp Zo1 + Zo1 Zo2 = 1 + Γ11 (8.47) + i 2Rp Zo1 τi,21 = 2 = + (8.48) i1 Rp Zo2 + Rp Zo1 + Zo1 Zo2 = 1 − Γ11 . La derni`re in´galit´ provient de la perte de courant d´riv´e par la r´sistance parall`le. e e e e e e e Les expressions pour Γ22 , τv,12 et τi,12 se d´duisent facilement en reprenant les ´quations e e et en interchangeant cette fois les signaux incident et r´fl´chi ainsi que le signal transmis e e de l’autre cˆt´ via les indices. D’o` : oe u Rp Zo1 − Rp Zo2 − Zo1 Zo2 Γ22 = (8.49) Rp Zo1 + Rp Zo2 + Zo1 Zo2 2Rp Zo1 τv,12 = (8.50) Rp Zo1 + Rp Zo2 + Zo1 Zo2 2Rp Zo2 τi,12 = . (8.51) Rp Zo1 + Rp Zo2 + Zo1 Zo2
- 260. 8-250 R´gime transitoire sur ligne e Une fa¸on physique de concevoir la chose en r´flexion est de consid´rer la r´sistance c e e e Rp en parall`le localement avec l’imp´dance intrins`que Zo2 comme charge ´quivalente au e e e e bout de la premi`re ligne pour le calcul de Γ11 : e (Rp Zo2 ) − Zo1 Γ11 = . (Rp Zo2 ) + Zo1 La mˆme analogie est valable pour Γ22 , car il n’y a pas de pertes s´rie qui affectent la e e tension. Il faut voir la transmission du courant par le biais d’un diviseur courant entre Rp et Zo2 : Rp i+ = (i+ + i− ) 2 1 1 Rp + Zo2 (1−Γ11 )i+ 1 d’o` u Rp τi,21 = (1 − Γ11 ) . Rp + Zo2 8.9.2 R´sistance s´rie e e i+ , i− 1 1 i+ 2 Z01 Rs + v1 Z02 + vp1 − v2 vp2 v1 zp zp + dz Figure 8.24 – Point de jonction constitu´ d’une r´sistance en s´rie. e e e Cette fois, la figure 8.24 montre une r´sistance s´rie Rs qui se retrouve entre les deux e e lignes possiblement diff´rentes reli´es ensemble ` la position z = zp . e e a On ´crit alors : e v1 + v1 = Rs i+ + v2 + − 2 + (8.52) i+ + i− = i+ 1 1 2 (8.53) v1 = Zo1 i+ + 1 (8.54) − v1 = −Zo1 i−1 (8.55) + + v2 = Zo2 i2 . (8.56) Donc : Rs + Zo2 − Zo1 Γ11 = (8.57) Rs + Zo2 + Zo1 2Zo2 τv,21 = (8.58) Rs + Zo2 + Zo1 = 1 + Γ11
- 261. 8.9 Point dejonction sur ligne 8-251 2Zo1 τi,21 = (8.59) Rs + Zo1 + Zo2 = 1 − Γ11 (8.60) et Rs + Zo1 − Zo2 Γ22 = (8.61) Rs + Zo1 + Zo2 2Zo1 τv,12 = (8.62) Rs + Zo1 + Zo2 2Zo2 τi,12 = (8.63) Rs + Zo2 + Zo1 Encore ici, on peut y aller avec plus d’intuition physique et voir Rs en s´rie localement e avec Zo2 comme charge ´quivalente au bout de la ligne #1. e 8.9.3 Jonction quelconque Comme il a ´t´ mentionn´ lors de l’analyse des jonctions avec r´sistance parall`le ou s´rie, ee e e e e l’approche raisonn´e demeure tr`s valable. Elle est d’un grand secours lorsque la jonction e e se complique. On ne peut traiter tous les cas possibles ; chaque cas devient un cas d’esp`ce. e Exemple 8.8 Rs1 Rs2 Z01 Z02 vp1 Rp vp2 zp zp + dz Figure 8.25 – Configuration d’une jonction en T. Une jonction utilise le mod`le d’un att´nuateur en T tel qu’il apparaˆ sur la e e ıt figure 8.25 : deux r´sistances s´rie Rs1 et Rs2 forment les deux traits de la e e barre horizontale du T ; une r´sistance parall`le Rp forme la barre verticale. e e ◮ Exprimez le coefficient de r´flexion et de transmission en courant d’une onde e incidente de la ligne #1 soit du cˆt´ de la r´sistance s´rie Rs1 . oe e e L’approche raisonn´e indique que la charge ´quivalente est constitu´e de Zo2 e e e en s´rie avec Rs2 ; cet arrangement (Zo2 + Rs2 ) est en parall`le avec Rp ; le tout e e est en s´rie avec Rs1 . On obtient : e Rceq = (Zo2 + Rs2 ) Rp +Rs1
- 262. 8-252 R´gime transitoire sur ligne e et donc : Rceq − Zo1 Γ11 = . Rceq + Zo1 Quant au coefficient de transmission en courant, il suffit de voir que le courant de la ligne #1 au niveau du point de jonction est le mˆme que celui traversant e Rs1 . Or celui-ci se divise en deux parties : l’une dans Rp et l’autre dans Rs2 et Zo2 , car ces derni`res r´sistances sont en s´rie. La portion allant dans Rs2 et e e e Zo2 se calcule ` l’aide du diviseur courant. Donc : a Rp i+ = (i+ + i− ) 2 1 1 Rp + (Zo2 + Rs2 ) ce qui revient ` ´crire apr`s division ` gauche et ` droite par i+ : ae e a a 1 Rp τi,21 = (1 − Γ11 ) . Rp + (Zo2 + Rs2 ) 8.9.4 Diagramme en Z avec point de jonction Pour tenir compte du point de jonction dans le trac´ du diagramme en Z, on proc`de e e comme d’habitude mais : • on suit le (ou les) signal de d´part v o et io jusqu’` z = zp avec la vitesse correspondant e a a ` la vitesse de propagation de la ligne o` il se d´place ; u e • on partage ` chaque fois le signal en deux au point de jonction : une partie ´tant la a e r´flexion et l’autre, la transmission, en tenant compte des coefficients de r´flexion e e et de transmission respectivement ; • on doit maintenant suivre non pas un seul mais plusieurs signaux qui se d´placent a e ` une vitesse correspondant ` la vitesse de propagation de la ligne o` ils se trouvent. a u La figure 8.26 illustre le type de diagramme en Z possible lorsqu’il y a pr´sence d’un e point de jonction. On note la grande quantit´ de signaux qui contribue au transitoire sur e les lignes : une nouvelle contribution s’ajoute ` chaque fois que l’une d’elles atteint le a point de jonction. Pour la lecture du diagramme, les r`gles ne changent pas : l’aire au-dessus d’une droite e inclut tous les lieux o` l’action produite par la contribution repr´sent´e par cette droite u e e est effective. La difficult´ vient du fait que : e • les intersections entre la droite Dt,z et les droites du diagramme correspondent tou- jours ` des ajouts/soustractions de contributions sur le r´sultat ; a e • une transition brusque est aussi possible au niveau du point de jonction dans le trac´ de la distribution de la tension ou du courant a un temps donn´. En effet, e ` e + − + + − + si v1 + v1 = v2 ou i1 + i1 = i2 , alors une transition suppl´mentaire apparaˆ en e ıt z = zp en tension ou en courant respectivement.
- 263. 8.9 Point dejonction sur ligne 8-253 ℓ1 zp ℓ2 v+ z Γ11 v + τ21 v + 2T1 Γg Γ11 v + T1 + T2 Γc τ21 v + Γ11 Γg Γ11 v + τ21 Γg Γ11 v + 4T1 τ12 Γc τ21 v + Γ22 Γc τ21 v + t Figure 8.26 – Diagramme en Z typique avec point de jonction. Exemple 8.9 t=0 50Ω ℓ1 ℓ2 Z01 = 50Ω Z02 = 100Ω vp1 = 100% vp2 = 66% 15V 200Ω 50Ω Figure 8.27 – Sch´ma du circuit de transmission avec point de jonction, d´part ` la charge et e e a conditions initiales non-nulles Soit un syst`me de transmission repr´sent´ sur la figure 8.27 avec : e e e • ℓ1 = 2ℓ/3, ℓ2 = ℓ/3 ; ℓ1 (1/2) • T1 = 4µs (donc T2 = vp1 (2/3) = T1 (3/4) = 3µs) • ⇒ ℓ1 = 1200 m et ℓ2 = 600 m. ◮ Tracez l’´volution ` 3ℓ/5 (1080 m)et ` 4ℓ/5 (1440 m) jusqu’` 15µs, et la dis- e a a a tribution le long de la ligne au temps t = 7µs de la tension et du courant.
- 264. 8-254 R´gime transitoire sur ligne e On commence par ´valuer tous les coefficients : e 50 − 50 Γg = = 0 50 + 50 50 − 100 Γc = = −0.333 50 + 100 (200 100) − 50 66.67 − 50 Γ11 = = = 0.143 (200 100) + 50 66.67 + 50 (200 50) − 100 40 − 100 Γ22 = = = −0.429 (200 50) + 100 40 + 100 τv,21 = 1 + Γ11 = 1.143 τv,12 = 1 + Γ22 = 0.571 Zo1 τi,21 = τv,21 = 0.571 Zo2 Zo2 τi,12 = τv,12 = 1.143 . Zo1 12.0V, 60.0mA 3ℓ 2ℓ 12.0V, 0.0mA ℓ 0 5 3 z −8.0V, 80.0mA 3µs 3.43V, 34.3mA −4.57V, 91.43mA −1.14V, 11.43mA 6µs 7µs 9µs 0.49V, 4.9mA −0.65V, 13.06mA 12µs 13µs −0.16V, 1.63mA 15µs −0.09V, 1.86mA 0.07V, 0.7mA t Figure 8.28 – Diagramme en Z de l’exemple avec point de jonction. Puis, on trouve les conditions initiales en n’oubliant pas que l’interrupteur est ouvert pour t < 0 et que les lignes n’ont aucune influence (l’indice indique le num´ro de la ligne) : e 200 vinit,1 = vinit,2 = 15 = 12 V 200 + 50 15 iinit,1 = = 60 mA 200 + 50 iinit,2 = 0 mA
- 265. 8.10 Imp´dance r´active e e 8-255 L’avant-derni`re ´tape avant le tra¸age du diagramme en Z consiste a simuler e e c ` − − l’effet de l’interrupteur pour d´duire les signaux de d´part v2 et i2 qui parti- e e ront de la charge. D’abord, la tension aux bornes de l’interrupteur correspond a la tension initiale sur la ligne #2, d’o` : ` u vi (t) = 12u(t) V (+−) . Finalement, la tension de d´part ´quivaut ` la tension aux bornes de la ligne e e a #2. Elle est calcul´e en s’occupant uniquement de la charge, de la source qui e assimile l’interrupteur et de la ligne #2 qu’on remplace par une imp´dance e Zo2 . Le tout agit comme un diviseur tension entre Zo2 et Rc avec un signe n´gatif, car la polarit´ est invers´e sur Zo2 (∓) : e e e 100 v o = v2 = −12 − = −8.0 V 100 + 50 − v2 io = i− = − 2 = 80 mA . Zo2 v(t) (V ) 12 12.0 a v(t → ∞) = 6.67V 8 7.43 6.78 6.29 6.62 4.0 4 b 1.8 3 3.4 4.2 6 7.8 9 9.4 10.2 12 13.8 15 t(µs) ´ Figure 8.29 – Evolution de la tension ` 3ℓ/5 (a) et 4ℓ/5 (b) avec point de jonction. a Le diagramme en Z de cet exemple est reproduit sur la figure 8.28 tandis que les r´sultats apparaissent aux figures 8.29, 8.30 et 8.31. e 8.10 Imp´dance r´active e e L’ajout d’une ou plusieurs imp´dances r´actives – inductance/condensateur – a l’extr´mit´ e e ` e e de la ligne ou ` un point de jonction, rend l’analyse du syst`me suffisamment complexe a e pour abandonner l’utilisation directe des diagrammes en Z. On peut se servir des dia- grammes en Z mais uniquement pour comprendre le comportement approximatif. Si le nombre d’imp´dances r´actives d´passe l’unit´, seule une analyse math´matique compl`te e e e e e e parvient ` la r´ponse. Avec une seule imp´dance r´active, on peut d´composer l’analyse a e e e e en deux cas inter-reli´s : e
- 266. 8-256 R´gime transitoire sur ligne e 164.5 i(t) 151.4 (mA) 150 a 114.3 125.7 130.6 132.3 100 80.0 b 60.0 i1 (t → ∞) = 166.7mA 50 i2 (t → ∞) = 133.3mA 1.8 3 3.4 4.2 6 7.8 9 9.4 10.2 12 13.8 15 t(µs) ´ Figure 8.30 – Evolution du courant ` 3ℓ/5 (a) et 4ℓ/5 (b) avec point de jonction. a v(z) i(z) b (V ) (mA) 151.4mA 12 150 125.7mA a 114.3mA 8 100 7.43V 6.31V 4 50 0 0 2ℓ 8ℓ 0 3 9 ℓ z(m) Figure 8.31 – Distribution de la tension (a) et du courant (b) ` 7µs avec point de jonction. a
- 267. 8.10 Imp´dance r´active e e 8-257 • conditions initiales nulles ; • conditions initiales non-nulles. Le deuxi`me cas englobe le premier mais oblige encore une fois un d´veloppement math´- e e e matique, alors que des conditions initiales nulles simplifient les expressions afin de per- mettre le passage par une analyse descriptive. Cette derni`re fournit quelques points de e rep`re du transitoire et les autres points de la courbe se d´duisent par les connaissances e e acquises en circuit concernant la charge et la d´charge. e En pr´sence d’une imp´dance r´active, les coefficients de r´flexion ou de transmission e e e e deviennent fonction de s. Γ(s) ou τ (s) s’´crit comme le quotient de deux polynˆmes du e o as+b premier ordre cs+d avec a, b, c et d des constantes. Ceci cause la principale difficult´, car e la transform´e de Laplace inverse de (8.25) ou (8.27) se r´alise pratiquement pas. e e 8.10.1 Conditions initiales nulles Avec des conditions initiales nulles, on contourne la difficult´ en proc´dant par inspec- e e tion. On regarde le comportement de l’imp´dance r´active aux deux extr´mit´s soient e e e e aux temps initial et infini. Ce temps initial ti correspond au temps de passage de l’im- pulsion (r´ponse impulsionnelle) ou du front montant (r´ponse ` l’´chelon) au niveau de e e a e l’imp´dance r´active. La r´action de l’imp´dance r´active est d´crite ainsi : e e e e e e • si on impose un ´chelon ou une impulsion en tension : e – une inductance au repos r´agit comme un circuit ouvert ` ti mais comme un e a court-circuit ` t = ∞ ; a – un condensateur au repos r´agit comme un court-circuit ` ti et un circuit ouvert e a ` t = ∞; a • si on impose un ´chelon ou une impulsion en courant : e – une inductance au repos r´agit comme un court-circuit ` ti mais comme un e a circuit ouvert ` t = ∞ ; a – un condensateur au repos r´agit comme un circuit ouvert ` ti et un court-circuit e a a ` t = ∞. Ceci se confirme par le changement de signe du coefficient de r´flexion soit Γi = −Γ e d´montr´ auparavant. e e Pour bien se souvenir des diff´rentes possibilit´s, il suffit de se rappeler que la r´actance e e e d’une inductance vaut jωL et celle d’un condensateur 1/jωC. Le front montant tout comme l’impulsion poss`de un contenu en fr´quence tr`s ´lev´ f → ∞, alors qu’un signal e e e e e continu n’a qu’une composante ` f = 0. L’inductance s’oppose au changement brusque de a tension ; dans les mˆmes circonstances, le condensateur accepte toute la charge disponible. e On peut d´duire les deux points d’une ´volution au temps t = ti et t → ∞ en rem- e e pla¸ant l’imp´dance r´active par le court-circuit ou le circuit ouvert selon ce qui convient. c e e
- 268. 8-258 R´gime transitoire sur ligne e Avant t = ti , l’imp´dance r´active n’agissait pas et la courbe se trace sans en tenir compte, e e comme dans les sections pr´c´dentes. Entre les deux temps, on ajoute la charge ou la e e d´charge de l’´l´ment r´actif du style e−t/τ . Plus g´n´ralement, on utilisera l’expression e ee e e e Vf in + (Vinit − Vf in )e−(t−ti )/τ u(t − ti ) (8.64) o` Vinit est la condition initiale, Vf in , celle finale. On reconnaˆ la r´ponse a un ´chelon u ıt e ` e d’une ´quation diff´rentielle du premier ordre puisqu’il n’y a qu’un seul ´l´ment r´actif e e ee e (outre ceux distribu´s de la ligne de transmission responsables de l’effet non-instantan´ e e si la ligne est sans perte). Attention, τ repr´sente une constante de temps, non pas un e coefficient de transmission : • une inductance en s´rie avec une r´sistance : e e L τ = R • un condensateur en s´rie avec une r´sistance : e e τ = RC . Exemple 8.10 Une inductance pure de 0.1 mH est plac´e comme charge a la fin d’une ligne e ` de transmission d’imp´dance caract´ristique de 50 Ω, de longueur 100 m et de e e 8 vitesse de propagation vp = 1 × 10 m/s. On applique un ´chelon de tension e Vo u(t) avec Vo = 10 V ` l’autre extr´mit´ grˆce ` une source tension adapt´e. a e e a a e ◮ Tracez l’´volution de la tension ` la source et ` la charge. e a a 0 ℓ 0 v + = V0 /2 z v − (t) T 2T V0 /2 V0 /2 V0 /2 −V0 /2 −V0 /2 −V0 /2 t Figure 8.32 – Diagramme en Z ´quivalent avec charge inductive. e Le diagramme en Z qui serait produit avec une charge r´sistive quelconque e ressemble ` celui de la figure 8.32. On note que le coefficient de r´flexion a la a e ` charge ´volue dans le temps Γ(s, z = ℓ) : e
- 269. 8.10 Imp´dance r´active e e 8-259 • Γ(t = ti = T = 1 µs, z = ℓ) = 1 • Γ(t → ∞) = −1. Par contre, le coefficient de r´flexion de la charge au niveau de la source Γ(t = e ti , z = 0) vaut 1 ` t = ti = 2T = 2 µs ! a [V ]z=0 [V ]z=ℓ V0 V0 2 −1 V0 e 0 L 0 L 2T 2T + Z0 t T T+ Z0 t [I]z=0 [I]z=ℓ V0 Z0 V0 −1 Z0 (1 −e ) V0 2Z0 0 0 2T 2T + L Z0 t T T+ L Z0 t ´ Figure 8.33 – Evolution de la tension et du courant ` la source et ` la charge avec charge a a inductive. Le trac´ de l’´volution de la tension quelque part sur la ligne se divise en trois e e parties menant au r´sultat de la figure 8.33 : e • pour 0 < t < to = zo /vp , aucun signal n’est visible car v o = v + n’est pas encore arriv´ ; e • pour to < t < ti = 2T − to , il n’y a que Zo v+ = Vo = 5 u(t − z/vp ) V Zo + Rg • pour t ≥ ti , le signal de retour v − (t) se superpose : – ` t = ti , on a [v − ]t=ti = 5 V ; a – alors qu’` t → ∞, [v − ]t→∞ = −5 V a – entre les deux, v − (t) = 10e−(t−2T +z/vp )/τ u(t − 2T + z/vp ) − 5 V pour permettre de raccorder les deux points par une exponentielle. Il reste ` d´terminer la constante de temps τ . Il faut revenir au principe phy- a e sique de l’analyse descriptive pour bien comprendre. L’inductance ne “voit” que la ligne de transmission au moment de sa r´action. Les autres r´sistances e e au loin (ici, celle de la source) affecterait la r´ponse via la r´flexion de v − . e e
- 270. 8-260 R´gime transitoire sur ligne e On remplace la ligne telle que vue par l’inductance par son imp´dance ca- e ract´ristique. La seule r´sistance entrant dans le calcul de τ est donc Zo , e e d’o` : u L 0.1 × 10−3 τ = = = 2 µs . Zo 50 Une constante de temps τ apr`s ti , une exponentielle d´croissante est rendue e e a ` 37% de la valeur initiale ` ti , ` 14% apr`s deux constantes de temps et a a e finalement ` 5% apr`s trois constantes de temps. a e Exemple 8.11 S 100pF 50Ω t=0 Z01 = 50Ω Z02 = 150Ω T1 = 10ns T2 = 15ns 150Ω Vg = 10V z=0 z = ℓ− 1 z = ℓ+ 1 z = ℓ1 + ℓ2 Figure 8.34 – Sch´ma du circuit avec lignes de transmission et discontinuit´ capacitive. e e Soit un syst`me constitu´ de deux lignes de transmission qui, a la jonction, e e ` poss`de une discontinuit´ capacitive comme sur la figure 8.34. e e ◮ Tracez l’´volution de la tension et du courant ` z = 0. e a 0 ℓ1 ℓ1 + ℓ2 0 5V, 100mA z 2.5V 10ns 7.5V 20ns 25ns 5V t Figure 8.35 – Diagramme en Z ´quivalent avec discontinuit´ capacitive. e e
- 271. 8.10 Imp´dance r´active e e 8-261 Quoique d’apparence plus compliqu´e que l’exemple pr´c´dent, la difficult´ est e e e e du mˆme ordre de grandeur. Le diagramme en Z ´quivalent apparaˆ sur la e e ıt figure 8.35. L’´volution de la tension ou du courant ` z = 0 se divise en deux parties : e a • pour 0 < t < ti = 2T1 : Zo1 [v + ]z=0 = 10 = 5 u(t) V Zo1 + Rg 1 [i+ ]z=0 = 10 = 100 u(t) mA Zo1 + Rg • pour t ≥ 2T1 , le signal de retour v − (t) se superpose tel que : – ` t = ti , le condensateur se comporte comme un court-circuit et a 150−50 [v − ]t=ti = 5 150+50 = 2.5 V, [i− ]t=ti = 100(−0.5) = −50 mA ; – ` t → ∞, le condensateur est compl`tement charg´ et agit comme a e e − − un circuit ouvert : [v ]t→∞ = 5(1) = 5 V, [i ]t→∞ = 100(−1) = −100 mA. – entre les deux, v − (t) = 5 − 2.5e−(t−2T1 )/τ u(t − 2T1 ) V , i− (t) = −100 + 50e−(t−2T1 )/τ u(t − 2T1 ) mA . La constante de temps est d´termin´e en inspectant le sch´ma. Le condensa- e e e teur ne “voit” que l’entr´e des deux lignes de transmission. On remplace les e lignes par leur imp´dance caract´ristique respective pour d´montrer que ces e e e imp´dances r´sistives sont connect´es en s´rie d’o` : e e e e u τ = (Zo1 + Zo2 )C = (50 + 150)(100 × 10−12 ) = 20 ns . On obtient finalement des courbes d’´volution de la figure 8.36. e 8.10.2 Conditions initiales non-nulles Lorsque les conditions initiales aux bornes de l’´l´ment r´actif sont non-nulles, on doit ee e r´´crire les ´quations selon les conditions aux limites. Impossible d’y aller par inspection ee e car le comportement au temps t = ti est ind´termin´. Par exemple, au front montant e e de l’´chelon de tension, la capacit´ ne r´agit pas comme un court-circuit ayant d´j` une e e e ea certaine charge accumul´e (donc une tension ` ses bornes). e a L’application des conditions aux limites se fait dans le domaine de Laplace sans oublier la fameuse condition initiale. Le coefficient de r´flexion Γ(s) – et celui de transmission e τ (s) si n´cessaire – est d´duit en trouvant le rapport V − (s)/V + (s). On peut donc ex- e e primer v (t) et le superposer ` v + (t). On continue le mˆme proc´d´ pour les r´flexions − a e e e e ++ −− suppl´mentaires v (t), v (t), etc. e
- 272. 8-262 R´gime transitoire sur ligne e [V ]z=0 , V 10 9.08 5 0 20 40 t, ns (a) [I]z=0 , mA 100 50 18.4 0 20 40 t, ns (b) ´ Figure 8.36 – Evolution de la tension et du courant ` la source avec charge discontinuit´ a e capacitive. Exemple 8.12 Soit la ligne termin´e dans une inductance de l’exemple 8.10. Au temps t = T − , e le courant traversant l’inductance s’´levait ` 50 mA. e a ◮ R´´crivez l’expression de v(z, t) sur la ligne. ee Pour satisfaire la condition au niveau de la charge inductive pour t > T : Vo d Vo v − (z = ℓ, t) + v − (z = ℓ, t) = L − 2 dt 2Zo Zo soit parce que la d´riv´e d’une constante est nulle : e e L d v − (z = ℓ, t) Vo + v − (z = ℓ, t) = − . Zo dt 2 La solution g´n´rale de l’´quation diff´rentielle est la suivante : e e e e Vo v − (z = ℓ, t) = Ae−(t−T )/(L/Zo ) u(t − T ) − u(t − T ) . 2 On reconnaˆ la constante de temps L/Zo , car l’inductance se charge via Zo . ıt Elle fait aussi apparaˆ une constante A qui est d´termin´e par la condition ıtre e e initiale ` l’inductance : a Vo v − (z = ℓ, t) − = Iinit = 50 mA . 2Zo Zo t=T −
- 273. 8.11 Param`tres S e 8-263 En y ins´rant les valeurs, on a : e 0.1 − 0.02v − (z = ℓ, t = T ) = 0.05 ou encore v − (z = ℓ, t = T ) = 2.5 V. En cons´quence, la constante A vaut : e 2.5 = Ae0 u(0) − 5u(0) soit A = −7.5. Comme il n’y aura plus aucune autre r´flexion, l’´volution de la tension sur la e e ligne avec insertion de la relation spatio-temporelle s’´crit : e v(z, t) = v + (z, t) + v − (z, t) = 5u(t − z/vp ) − 7.5e−(t−2T +z/vp )/(L/Zo ) u(t − 2T + z/vp ) − 5u(t − 2T + z/vp ) V −6 +10−8 z)/2×10−6 = 5u(t − 10−8 z) − 7.5e−(t−2×10 u(t − 2 × 10−6 + 10−8z) − 5u(t − 2 × 10−6 + 10−8 z) V . 8.11 Param`tres S e Les param`tres S (de l’anglais “scattering parameters”) sont bien connus des ing´nieurs e e travaillant en ´lectronique micro-ondes ou en hyperfr´quence. Il y a une grande similitude e e entre les coefficients de r´flexion et de transmission en tension ` un point de jonction et e a les fameux param`tres S. Ces derniers ont ´t´ cr´´s pour faciliter les mesures car celles-ci e e e ee sont effectu´es en adaptant la charge et la source d’un cˆt´ comme de l’autre du point de e oe jonction pour l’estimation des param`tres S. Le principe peut ensuite ˆtre ´tendu pour e e e une jonction ou un circuit ayant deux ou plusieurs ports d’acc`s. e Zg port Jonction port v1i #1 #2 v2i vg (t) ou Zc v1r circuit v2r Figure 8.37 – Jonction ` deux ports pour la d´finition des param`tres S. a e e On consid`re la jonction ` deux ports de la figure 8.37 similaire a celle de la figure e a ` 8.22 outre le fait que des signaux incidents et r´fl´chis se pr´sentent aussi sur le port du e e e cˆt´ de la charge. Les notations utilis´es sont vpe o` : oe e u
- 274. 8-264 R´gime transitoire sur ligne e • “p” repr´sente le num´ro du port ; e e • “e” peut prendre deux ´tats : e – “i” pour le signal incident ; – “r” pour le signal r´fl´chi. e e Le rapport en tension du signal r´fl´chi au cˆt´ #1 V1r au signal incident provenant e e oe de la source V1i lorsqu’une charge adapt´e est connect´e du cˆt´ #2 est le param`tre : e e oe e v1r s11 = (port #2 adapt´, v2i = 0) . e (8.65) v1i Interchangeant charge et source, le rapport en tension du signal du signal r´fl´chi du cˆt´ e e oe #2 v2r au signal incident v2i lorsqu’il y a adaptation au port #1 est : v2r s22 = (port #1 adapt´, v1i = 0) . e (8.66) v2i De plus, si le port #2 est connect´ ` une charge adapt´e, la tension du signal transmis ea e au port #2 v2r sur celle du signal incident au port #1 v1i est le param`tre : e v2r s21 = (port #2 adapt´, v2i = 0) . e (8.67) v1i Finalement, le param`tre s12 est d´fini comme : e e v1r s12 = (port #1 adapt´, v1i = 0) . e (8.68) v2i Ces quatre param`tres sont regroup´s dans une matrice dite de diffusion (en anglais e e “scattering matrix”) qui a la propri´t´ d’ˆtre sym´trique s’il existe une r´ciprocit´ entre ee e e e e les deux ports : s11 s12 S = . (8.69) s21 s22 Le concept s’´tend ais´ment aux cas de circuits ayant une nombre n de ports donnant e e une matrice de diffusion ayant des dimensions de n × n et dans laquelle se trouvent les coefficients de r´flexion (s11 , s22 , . . . snn ) et les divers coefficients de transmission d’un e port #q vers le port #p, spq . Il faut alors connecter une source adapt´e successivement a e ` chacun des ports, tous les autres ´tant termin´s dans des charges adapt´es. e e e 8.11.1 Ports sans adaptation Il est parfois tr`s difficile d’avoir des circuits parfaitement adapt´s a la ligne en entr´e et e e ` e en sortie. Dans ces conditions : v1r s11 s12 v1i = (8.70) v2r s21 s22 v2i
- 275. 8.11 Param`tres S e 8-265 avec des coefficients de r´flexion dus ` la charge ou ` l’imp´dance interne de la source : e a a e vcr v2i Γc = = (8.71) vci v2r vgr v1i Γg = = . (8.72) vgi v1r De ces ´quations (8.70) jusqu’` (8.72), on d´duit que : e a e v1r s12 s21 Γc Γ11 = = s11 + (8.73) v1i 1 − s22 Γc v2r s21 τv,21 = = (8.74) v1i 1 − s22 Γc v2r s12 s21 Γg Γ22 = = s22 + (8.75) v2i 1 − s11 Γg v1r s12 τv,12 = = . (8.76) v2i 1 − s11 Γg Quant au gain en tension Gv , on trouve que : v2i + v2r 1 + Γc Gv = = τv,21 v1i + v1r 1 + Γ11 s21 (1 + Γc ) = . (8.77) 1 + s11 + Γc (s12 s21 − s11 s22 − s22 ) Toutes ces ´quations sont tr`s pertinentes en conception. Comme des appareils sp´ciali- e e e s´s existent pour les mesures des param`tres S, il faut ˆtre capable de pouvoir utiliser e e e convenablement ces param`tres sachant leurs conditions d’obtention. e
- 276. 8-266 R´gime transitoire sur ligne e Exercices Question 1 Z0 = 60Ω Rg = 40Ω T = 1µs Rc vg (t) = 100u(t)V z=0 z=ℓ Soit le syst`me montr´ sur la figure ci-dessus. Pour chacun des cas demand´s, d´termi- e e e e nez la valeur de Rc : a) v(0.5ℓ, 1.7 µs) = 48 V ; b) v(0.6ℓ, 2.8 µs) = 76 V ; c) i(0.3ℓ, 4.4 µs) = 1 A. Question 2 t=0 Z0 = 100Ω [V ]z=0 [V ]z=ℓ Rg T = ℓ/vp 100V 90V Rc 75V V0 0 2 4 t, µs 0 2 4 t, µs z=0 z=ℓ Soit le syst`me montr´ sur la figure ci-dessus o` l’interrupteur est ouvert depuis suf- e e u fisamment longtemps pour que le syst`me ait atteint un r´gime permanent. A t = 0, e e ` l’interrupteur se ferme et les ´volutions de la tension pendant les 5µs suivantes sont ob- e serv´es aux positions z = 0 et z = ℓ. D´duisez les valeurs de Vo , Rg , Rc et T . e e Question 3 Une ligne de transmission d’une imp´dance caract´ristique de 75 Ω, se termine dans e e e ` l’autre extr´mit´, on retrouve une source tension continue Vo une charge r´sistive Rc . A e e en s´rie avec son imp´dance r´elle interne Rg . Lorsque le r´gime permanent est atteint, e e e e on note une tension de 30 V et un courant de 1.2 A sur la ligne. D´terminez la tension et e le courant de l’onde positive et de l’onde n´gative en ´tat permanent. e e
- 277. 8.11 Param`tres S e 8-267 Question 4 Z0 = 60Ω 30Ω T = 1µs 240Ω vg (t) z=0 z=ℓ Si vg (t) = 90 u(t) V , tracez : a) le diagramme en Z de la tension et du courant jusqu’` 5 µs. a b) l’´volution de la tension ` z = 0 et z = ℓ ; e a c) la distribution du courant ` t = 1.2 µs et t = 3.5 µs. a Si vg (t) est une porte rectangulaire d’une amplitude de 90 V et d’une dur´e de 0.3 µs, e tracez : d) la distribution du courant ` t = 1.2 µs et t = 3.5 µs. a Question 5 6V 1.3V 0.28V 0 8.2ns 16.4ns t La forme de la tension, repr´sent´e sur la figure ci-dessus, est vue sur un r´flectom`tre e e e e du domaine temporel (Rg = 50 Ω) auquel on a branch´ un cˆble coaxial assum´ sans e a e perte, court-circuit´ et dont le di´lectrique est du Teflon (ǫr = 2.1). D´duisez ; e e e a) la longueur du cˆble ; a b) l’imp´dance caract´ristique du cˆble. e e a
- 278. 8-268 R´gime transitoire sur ligne e Question 6 t=0 Z0 = 50Ω 50Ω T = 1µs 150Ω 100V z=0 z=ℓ Le syst`me ci-dessus est dans cet ´tat depuis suffisamment longtemps pour ˆtre dans e e e un r´gime permanent. Au temps t = 0, on ouvre l’interrupteur. Tracez le diagramme des e r´flexions multiples en tension et en courant et de l`, l’´volution de la tension entre 0 et e a e 6 µs ` la charge. a Question 7 Soit une onde incidente sur une ligne #1 d’imp´dance caract´ristique Zo1 arrive a la e e ` jonction avec une ligne #2 d’imp´dance caract´ristique Zo2 reli´e directement. D´terminez e e e e le rapport Zo2 /Zo1 pour que : 1 a) le voltage transmis soit 5 de celui incident ; 1 b) le courant r´fl´chi soit e e 5 de celui transmis. Question 8 R R Z02 = 60Ω R Z01 = 60Ω P1 Z03 = 60Ω Une ligne de transmission #1 est ensuite reli´e ` deux autres via un point de discon- e a tinuit´ comme ci-dessus. Pour des signaux arrivant de cette ligne #1, d´terminez : e e a) la valeur de R pour qu’aucune puissance ne soit r´fl´chie ; e e b) la puissance transmise dans chacune des autres lignes en fonction de la puissance incidente P1 si la valeur de R est celle obtenue pr´c´demment ; e e
- 279. 8.11 Param`tres S e 8-269 c) la valeur du coefficient de transmission du courant τi21 de la ligne #1 vers #2 si R = 40 Ω. Question 9 R1 = 150Ω Z01 = 50Ω Z02 = 100Ω V+ R2 = 100Ω Soit la discontinuit´ montr´e ci-dessus. Si un signal incident arrive du cˆt´ gauche (i.e. e e oe de la ligne #1), calculez la valeur des tensions et courants r´fl´chis et transmis en terme e e + de V . Question 10 Une ligne coaxiale RG-58U (Zo = 50Ω, vp = 0.667c o` c = 3 × 108 m/s) de 30 m est u prolong´e par une ligne bifilaire torsad´e (Zo ≈ 110Ω, vp ≈ c) de 40 m. On branche : e e • une source dont l’imp´dance interne est de 50 Ω , produisant un ´chelon 5 u(t) V a e e ` l’extr´mit´ restante de la ligne coaxiale ; e e • une charge r´sistive de 50 Ω ` l’autre extr´mit´ de la ligne bi