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Généralité sur le courant électrique


                Généralité sur le courant électrique


I- L’origine du courant électrique

1) Etude qualitative

Soient deux conducteurs isolés K et K′ de charges respectives Q et Q′ et de potentiels
respectifs V et V′. On suppose que V > V′.
Chaque charge libre des deux conducteurs est animée d’un mouvement désordonné autour
d’une position d’équilibre. Les charges des deux conducteurs sont supposées être immobiles.
Relions les deux conducteurs par un fil conducteur K′′ de capacité négligeable (le fil ne retient
pas les charges), on obtient un système de conducteur unique qui atteindra un état d’équilibre
final dans lequel les deux conducteurs sont au même potentiel VF.


                                                                      K'


                           K
                                                             Q'
                                         Q                                V'

                               V                 E



                                               K''

Cela suppose que des charges ont circulé entre K et K′ sous l’effet d’un champ électrique avec
une vitesse différente de zéro. Ce déplacement (écoulement) de charges entre K et K′ est le
courant                                                                             électrique.
Ce transport de charges persiste) tant que V ≠ V′. Donc si le déséquilibre entre les deux
conducteurs est entretenu, les charges continueront à s’écouler → création de courant
électrique.

2) Générateur de courant électrique
                                                                      +        G      −
Le courant décrit dans l’expérience ci-
dessus est transitoire. Pour établir une
circulation permanente de charges et                                                           K'
donc entretenir un courant électrique, il
                                                         K        Q
faut maintenir les conducteurs K et K′ à                                                  Q'
des potentiels différents (V ≠ V′). Ceci                                                            V'
                                                         V

                                                                      I        K ''
est possible grâce aux générateurs de
courant électrique (cf.fig.ci-contre).
V−V′ est la différence de potentiel
(d.d.p.) de ce générateur.
A titre de comparaison, on peut assimiler un circuit contenant un générateur et un conducteur
à une pompe qui maintiendrait un courant d’eau entre deux hauteurs différentes pouvant
représenter la différence de potentiel (énergie potentielle). Dans ce cas le débit d’eau est
l’équivalent de l’intensité du courant électrique.

Parmi les générateurs de courant électrique, on peut citer :

        l’accumulateur (batterie), la pile sèche, la pile à combustible qui transforme une
         énergie chimique en énergie électrique.
        les cellules photoélectriques (effet photovoltaïque), qui transforme une énergie
         lumineuse en une énergie électrique.
        les dynamos ou les alternateurs (phénomènes d’induction magnétique), qui
         transforment une énergie mécanique en une énergie électrique.




II- Intensité et densité du courant électrique

1) Définitions

       a) Ligne et tube de courant

On appelle ligne de courant électrique, la trajectoire moyenne prise par une charge électrique
mobile dans un conducteur. Les lignes de courant sont orientées dans le sens de déplacement
des porteurs de charges.
L’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé constitue un tube de
courant.

       a) Intensité du courant

L’intensité du courant électrique I, dans un conducteur est la quantité de charges traversant la
section S du conducteur par unité de temps :

                                                   dq
                                          I(t) =
                                                   dt

Le sens conventionnel du courant électrique est le sens contraire de déplacements des
électrons.
L’unité d’intensité du courant électrique est l’ampère (symbole A). On utilise aussi les sous
multiples de l’ampère : mA (10−3 A) ; microampère (1 μA = 10−6 A) ; nanoampère (1 nA =
10−9 A).
       b) Quelques ordres de grandeurs

Lampe d’éclairage à incandescence            : 500 mA
Fer à repasser                                              : 3A
Radiateur de chauffage                                      : 5A
Polarisation de la base d’un transistor                     : 1 μA

2) Vecteur densité du courant électrique

Pour décrire le mouvement des charges dans un conducteur, on a recourt au concept de
« densité du courant électrique ».
                                      uu
                                       r
Soit M un point dans le conducteur et dSM une surface orientée entoure le point M. On pose ρ
                                                                     r
la densité de charges libres dans le conducteur, v la vitesse des porteurs libres et dq la
quantité de charges électriques traversant l’aire dSM pendant l’intervalle de temps dt.
La quantité de charges dq à l’instant t contenue dans
                              r
le cylindre de génératrice v dt et de base dSM
(volume τ = v dt dSM ), peut s’écrire :                                                 dSM
                                                                                    M
                   =
                dqρ dτ        =
                             ρ v dt dS      M                                                      j
                                     u
                                     r                           r
On définit un nouveau vecteur j à partir de ρ et v .
         u
         r      r
On pose j ρ=v       .                                                            v dt

                r                                                        r
Par définition j est le vecteur densité du courant électrique. j est un vecteur tangent à la
trajectoire des charges mobiles ou aux lignes de courant. Son unité dans le système
internationale est l’ampère par mètre carré (symbole : A/m2).

Le calcul de l’intensité I du courant électrique
traversant une section donnée S du conducteur se fait
                                                                             S
comme suit :
                                 u uu
                                 r r                                                         j
                        I=   ∫
                             S
                                 j dS
                                                                                        dS
                    r
C’est le flux de j à travers une section S considérée
                                                                             v dt
du conducteur.

Dans le cas où il y a plusieurs types de porteurs de charges, le vecteur densité du courant
                                 r                  r
électrique est donné par :         =
                                  jρ v  ∑
                                        k
                                                k       k

                                                                                                    r
où chaque type de porteur est caractérisé par sa densité de charges ρk et par sa vitesse v k .


3) Conservation des charges

On considère un volume τ limité par une surface S. D’après le paragraphe précédent,
                                                                                                 u uu
                                                                                                 r r
l’intensité I du courant électrique à travers la surface S est donnée par :         I=   Ñj
                                                                                         ∫
                                                                                         S
                                                                                                   dS
D’après le théorème de la divergence
                                                   u uu
                                                   r r                u
                                                                      r
                                    I=       Ñ
                                             ∫
                                             Sτ
                                                   j dS =   ∫   div j dτ

                                                                            =
La quantité de charge q(t) contenue dans le volume τ à l’instant t est q(t)ρ dτ             ∫
                                                                                            τ
L’intensité I du courant représente le flux de charges sortant du volume τ; elle correspond
donc à une diminution de charges, c'est-à-dire dq = − Idt car I > 0.
Sachant que ρ dépend de l’espace et du temps, on peut écrire :

                                       dqρ    ∂
                                   I =−
                                        dt
                                           = − dτ
                                            τ
                                              ∂t            ∫
                                                     u
                                                     r                         ∂ρ
Par combinaison des équations I =        ∫
                                         τ
                                              div j dτ et I =
                                                                          ∫ − ∂t dτ   on trouve :
                                                                          τ
                                                  u
                                                  r       ∂ρ
                                        div j +                 =0
                                                          ∂t

Cette relation représente l’équation de la conservation des charges.


4) Régime permanent
          u r
          r
Lorsque ρ , j et v sont indépendants du temps, le régime du courant électrique est appelé
régime permanant.

                                        ∂ρ             u r
                                                        r
Dans ce cas on a :                            = 0 ⇒ div j = 0
                                        ∂t
               u
               r
Le flux de j est alors conservatif. En d’autres termes, il n’y a pas d’accumulation de charges
dans un circuit en régime permanent.
           ur
Le flux de j à travers une surface fermée d’un tube de courant est conservatif.
Dans la figure ci-dessous on a représenté un tube de courant et deux sections S1 , S2 de celui-
ci. Le flux à travers la surface S1 est Φ1 , le flux à travers S2 est Φ 2 et le flux à travers la paroi
Slat est Φ lat .
                                                                 I2
                                                                      n2
                                                   Slat                       J2
                                   I1
                                              J1                 S2
                              n1
                                   S1

                                             Φ1 + Φ 2 + Φ lat = 0
Φ lat = 0 car le vecteur densité de courant est tangent en tout point à la surface Slat (le vecteur
r
j ne traverse pas la surface latérale).
                                              Φ1 + Φ 2 = 0

Soit :                    − j1 S1 + j2 S2 = 0      ⇒         j1 S1 = j2 S2



d’où :                                    I1 = I 2


En régime permanent l’intensité du courant électrique est partout la même.

De même, on montre que l’intensité du courant électrique dans un conducteur principal est la
somme des intensités dans les conducteurs dérivés.


                                                                S1               I1
                                                                          J1

                    I                J
                                                                           J2    I2
                                 S
                                                                     S2

                        j S = j1 S1 + j2 S2                      I = I1 + I 2


Ce résultat est la première loi de Kirchhoff.

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Généralité sur le courant électrique

  • 1. Généralité sur le courant électrique Généralité sur le courant électrique I- L’origine du courant électrique 1) Etude qualitative Soient deux conducteurs isolés K et K′ de charges respectives Q et Q′ et de potentiels respectifs V et V′. On suppose que V > V′. Chaque charge libre des deux conducteurs est animée d’un mouvement désordonné autour d’une position d’équilibre. Les charges des deux conducteurs sont supposées être immobiles. Relions les deux conducteurs par un fil conducteur K′′ de capacité négligeable (le fil ne retient pas les charges), on obtient un système de conducteur unique qui atteindra un état d’équilibre final dans lequel les deux conducteurs sont au même potentiel VF. K' K Q' Q V' V E K'' Cela suppose que des charges ont circulé entre K et K′ sous l’effet d’un champ électrique avec une vitesse différente de zéro. Ce déplacement (écoulement) de charges entre K et K′ est le courant électrique. Ce transport de charges persiste) tant que V ≠ V′. Donc si le déséquilibre entre les deux conducteurs est entretenu, les charges continueront à s’écouler → création de courant électrique. 2) Générateur de courant électrique + G − Le courant décrit dans l’expérience ci- dessus est transitoire. Pour établir une circulation permanente de charges et K' donc entretenir un courant électrique, il K Q faut maintenir les conducteurs K et K′ à Q' des potentiels différents (V ≠ V′). Ceci V' V I K ''
  • 2. est possible grâce aux générateurs de courant électrique (cf.fig.ci-contre). V−V′ est la différence de potentiel (d.d.p.) de ce générateur. A titre de comparaison, on peut assimiler un circuit contenant un générateur et un conducteur à une pompe qui maintiendrait un courant d’eau entre deux hauteurs différentes pouvant représenter la différence de potentiel (énergie potentielle). Dans ce cas le débit d’eau est l’équivalent de l’intensité du courant électrique. Parmi les générateurs de courant électrique, on peut citer :  l’accumulateur (batterie), la pile sèche, la pile à combustible qui transforme une énergie chimique en énergie électrique.  les cellules photoélectriques (effet photovoltaïque), qui transforme une énergie lumineuse en une énergie électrique.  les dynamos ou les alternateurs (phénomènes d’induction magnétique), qui transforment une énergie mécanique en une énergie électrique. II- Intensité et densité du courant électrique 1) Définitions a) Ligne et tube de courant On appelle ligne de courant électrique, la trajectoire moyenne prise par une charge électrique mobile dans un conducteur. Les lignes de courant sont orientées dans le sens de déplacement des porteurs de charges. L’ensemble des lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé constitue un tube de courant. a) Intensité du courant L’intensité du courant électrique I, dans un conducteur est la quantité de charges traversant la section S du conducteur par unité de temps : dq I(t) = dt Le sens conventionnel du courant électrique est le sens contraire de déplacements des électrons. L’unité d’intensité du courant électrique est l’ampère (symbole A). On utilise aussi les sous multiples de l’ampère : mA (10−3 A) ; microampère (1 μA = 10−6 A) ; nanoampère (1 nA = 10−9 A). b) Quelques ordres de grandeurs Lampe d’éclairage à incandescence : 500 mA
  • 3. Fer à repasser : 3A Radiateur de chauffage : 5A Polarisation de la base d’un transistor : 1 μA 2) Vecteur densité du courant électrique Pour décrire le mouvement des charges dans un conducteur, on a recourt au concept de « densité du courant électrique ». uu r Soit M un point dans le conducteur et dSM une surface orientée entoure le point M. On pose ρ r la densité de charges libres dans le conducteur, v la vitesse des porteurs libres et dq la quantité de charges électriques traversant l’aire dSM pendant l’intervalle de temps dt. La quantité de charges dq à l’instant t contenue dans r le cylindre de génératrice v dt et de base dSM (volume τ = v dt dSM ), peut s’écrire : dSM M = dqρ dτ = ρ v dt dS M j u r r On définit un nouveau vecteur j à partir de ρ et v . u r r On pose j ρ=v . v dt r r Par définition j est le vecteur densité du courant électrique. j est un vecteur tangent à la trajectoire des charges mobiles ou aux lignes de courant. Son unité dans le système internationale est l’ampère par mètre carré (symbole : A/m2). Le calcul de l’intensité I du courant électrique traversant une section donnée S du conducteur se fait S comme suit : u uu r r j I= ∫ S j dS dS r C’est le flux de j à travers une section S considérée v dt du conducteur. Dans le cas où il y a plusieurs types de porteurs de charges, le vecteur densité du courant r r électrique est donné par : = jρ v ∑ k k k r où chaque type de porteur est caractérisé par sa densité de charges ρk et par sa vitesse v k . 3) Conservation des charges On considère un volume τ limité par une surface S. D’après le paragraphe précédent, u uu r r l’intensité I du courant électrique à travers la surface S est donnée par : I= Ñj ∫ S dS
  • 4. D’après le théorème de la divergence u uu r r u r I= Ñ ∫ Sτ j dS = ∫ div j dτ = La quantité de charge q(t) contenue dans le volume τ à l’instant t est q(t)ρ dτ ∫ τ L’intensité I du courant représente le flux de charges sortant du volume τ; elle correspond donc à une diminution de charges, c'est-à-dire dq = − Idt car I > 0. Sachant que ρ dépend de l’espace et du temps, on peut écrire : dqρ ∂ I =− dt = − dτ τ ∂t ∫ u r ∂ρ Par combinaison des équations I = ∫ τ div j dτ et I = ∫ − ∂t dτ on trouve : τ u r ∂ρ div j + =0 ∂t Cette relation représente l’équation de la conservation des charges. 4) Régime permanent u r r Lorsque ρ , j et v sont indépendants du temps, le régime du courant électrique est appelé régime permanant. ∂ρ u r r Dans ce cas on a : = 0 ⇒ div j = 0 ∂t u r Le flux de j est alors conservatif. En d’autres termes, il n’y a pas d’accumulation de charges dans un circuit en régime permanent. ur Le flux de j à travers une surface fermée d’un tube de courant est conservatif. Dans la figure ci-dessous on a représenté un tube de courant et deux sections S1 , S2 de celui- ci. Le flux à travers la surface S1 est Φ1 , le flux à travers S2 est Φ 2 et le flux à travers la paroi Slat est Φ lat . I2 n2 Slat J2 I1 J1 S2 n1 S1 Φ1 + Φ 2 + Φ lat = 0
  • 5. Φ lat = 0 car le vecteur densité de courant est tangent en tout point à la surface Slat (le vecteur r j ne traverse pas la surface latérale). Φ1 + Φ 2 = 0 Soit : − j1 S1 + j2 S2 = 0 ⇒ j1 S1 = j2 S2 d’où : I1 = I 2 En régime permanent l’intensité du courant électrique est partout la même. De même, on montre que l’intensité du courant électrique dans un conducteur principal est la somme des intensités dans les conducteurs dérivés. S1 I1 J1 I J J2 I2 S S2 j S = j1 S1 + j2 S2 I = I1 + I 2 Ce résultat est la première loi de Kirchhoff.