Quadripole

1. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
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Chapitre 1 :
LES QUADRIPÔLES
I. Définition :
Un quadripôle (ou quadrupôle) est un composant ou circuit (ensemble de composants) à deux entrées
et deux sorties permettant le transfert d’énergie entre deux dipôles.
On représente un quadripôle par une boîte noire de deux bornes d’entrée et deux bornes de sorties.
Quatre grandeurs électriques caractérisent un quadripôle :
 Le courant 1I et la tension 1V d’entrée.
 Le courant 2I et la tension 2V de sortie
Par convention, on donne le sens positif aux courants qui pénètrent le quadripôle.
On distingue deux types de quadripôles :
1. les quadripôles passifs : ne comportent pas de source d’énergie. Il contient que des
composants passifs (R, L, C) ; dans ce cas : se PP 
2. Les quadripôles actifs : il peut fournir de l’énergie de façon permanente.
 Cas particulier :
Très souvent le quadripôle est en fait un tripôle, c'est-à-dire une borne de l’entrée et une borne de
sortie sont reliées. Ces bornes communes sont le plus souvent reliées à la masse.
Remarque :
L’étude des quadripôles est facilitée par l’utilisation du calcul matricielle.
Exemples :
1. Quadripôle série :
112 ZIVV 
12 II 
Sous forme matricielle : 

















1
1
2
2
10
1
I
VZ
I
V
2. Quadripôle parallèle :
112 VV 
1
1
2 I
Z
V
I 
Sous forme matricielle : 

















1
1
2
2
1/1
01
I
V
ZI
V
Quadripôle V2V1
I1
I2
Quadripôle
2
2'
1
1'
Z
V1 V2
I1 I2
ZV1 V2
I1 I2

2. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
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II. Représentation matricielle des quadripôles :
Pour relier les 4 paramètres du quadripôle (les deux courants et les deux différences de potentiel), ils
existent 4 représentations matricielles différentes:
- matrices impédances
- matrices admittances
- matrices hybrides
- matrices de transfert.
2.1. Matrices impédances :
On exprime les tensions en fonction des courants ;
2121111 IZIZV 
2221212 IZIZV 
L’unité des impédances ijZ sont les ohms (). L’indice i est relatif à la tension et indice j est relatif au
courant. Sous forme matricielle nous avons :


















2
1
2221
1211
2
1
I
I
ZZ
ZZ
V
V
Nous allons maintenant nous intéresser à l’interprétation physique de chacun des différents
coefficients de la matrice impédance.
01
1
11
2 

I
I
V
Z : Impédance vue de l’entrée en laissant la sortie du quadripôle en circuit ouvert ( 02 I )
02
1
12
1 

I
I
V
Z : Impédance de transfert inverse ou transimpédance inverse obtenue avec l’entrée du
quadripôle en circuit ouvert ( 01 I )
01
2
21
2 

I
I
V
Z : Impédance de transfert transimpédance obtenue avec la sortie du
quadripôle en circuit ouvert ( 02 I )
02
2
22
1

I
I
V
Z : Impédance vue de la sortie en laissant l’entrée du quadripôle en circuit ouvert ( 01 I )
Ces définitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci.
Exemple 1 : quadripôle en T
Calculer les éléments de la matrice [Z] du quadripôle suivant :
2.2. Matrices admittances :
On exprime les courant en fonction des tensions ;
2121111 VYVYI 
2221212 VYVYI 
L’unité des impédances ijY sont les ohms ( 1
 ) . L’indice i est relatif au courant et indice j est relatif à
la tension. Sous forme matricielle nous avons :


















2
1
2221
1211
2
1
V
V
YY
YY
I
I

3. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
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Nous allons maintenant nous intéresser à l’interprétation physique de chacun des différents
coefficients de la matrice admittance.
01
1
11
2 

V
V
I
Y : Admittance vue de l’entrée en laissant la sortie du quadripôle en court-circuit ( 02 V )
02
1
12
1 

V
V
I
Y : Admittance de transfert inverse inverse obtenue avec l’entrée du
quadripôle en court-circuit ( 01 V )
01
2
21
2 

V
V
I
Y : Admittance de transfert direct obtenue avec la sortie du quadripôle en court-circuit
( 02 V )
02
2
22
1

V
V
I
Y : Admittance vue de la sortie en laissant l’entrée du quadripôle en court-circuit ( 01 V )
Remarque :
La matrice Y est l’inverse de la matrice Z . Le passage de l’une à l’autre implique d’inverser la matrice
[Z]. :     1
 ZY
Exemple :
Calculer les éléments de la matrices [Y] du circuit suivant :
2.3. Matrice hybride :
On utilise les deux équations suivantes pour décrire le quadripôle :
2121111 VHIHV 
2221212 VHIHI 
Sous forme matricielle nous avons : 

















2
1
2221
1211
2
1
V
I
HH
HH
I
V
Les matrices hybrides sont utilisées en particulier dans l’étude des transistors. Nous avons :
01
1
11
2 

V
I
V
H : Impédance vue de l’entrée lorsque la sortie du quadripôle en court-circuit ( 02 V )
02
1
12
1

I
V
V
H : Gain en tension inverse lorsque l’entrée du quadripôle est ouverte ( 01 I )
01
2
21
2 

V
I
I
H : Gain en courant obtenu avec la sortie du quadripôle en court-circuit ( 02 V )
02
2
22
1 

I
V
I
H : Admittance de sortie lorsque l’entrée du quadripôle est ouverte ( 01 I )
2.4. Matrice de transfert ou matrice chaîne :
Cette matrice est très pratique pour la mise en cascade des quadripôles.

4. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
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Les relations définissant la matrice de transfert T sont les suivantes :
221 BIAVV 
221 DICVI 
Sous forme matricielle nous avons : 

















2
2
1
1
I
V
DC
BA
I
V
Attention : contrairement aux autres représentations matricielles, pour la matrice de transfert T on
utilise le courant 2I (courant sortant du quadripôle) à la place du courant 2I (courant entrant dans le
quadripôle). Ce formalisme permet de simplifier les calculs lorsque nous associerons plusieurs
quadripôles en cascade.
A et D sont sans dimension
B est une impédance en (Ώ)et C une admittance en ( 1
 )
Les relations étant linéaires, il est aisé de calculer les coefficients d’une représentation à partir de ceux
d’une autre (tableau)
III. Propriétés des quadripôles passifs :
 Un quadripôle est dit réciproque, si lorsqu’on place une source de tension à son entrée et qu’on
mesure, le courant de court-circuit à sa sortie, on obtient de même résultat qu’en branchant la
source à sa sortie et en mesurant le courant de court-circuit à l’entrée.
Il vient alors immédiatement, vu la définition des admittances de transfert : 2112 YY 
On en déduit facilement, en partant des relations entre les matrices représentatives, les autres
relations : 2112 ZZ  ; 1T ; 2112 HH  .
 Un quadripôle est dit symétrique si la permutation des deux accès entre eux ne modifie pas le
quadripôle : 2211 ZZ  2211 YY  )( 2211 TTDA  1H
IV. Association des quadripôles :
Suivant l’association de quadripôles, nous choisirons la matrice la plus appropriée.
4.1. Association de série :
On a les relations suivantes :
''
1
'
11 VVV  et ''
2
'
22 VVV 





'
2
'
22
'
1
'
21
'
2
'
2
'
12
'
1
'
11
'
1
IZIZV
IZIZV
et





''
2
''
22
''
1
''
21
''
2
''
2
''
12
''
1
''
11
''
1
IZIZV
IZIZV
Comme ''
1
'
11 III  et ''
2
'
22 III  nous pouvons écrire les relations
suivantes pour le quadripôle équivalent :





2
"
22
'
221
"
21
'
212221212
2
"
12
'
121
"
11
'
112121111
)()(
)()(
IZZIZZIZIZV
IZZIZZIZIZV
Ainsi sous forme matricielle, la matrice impédance du quadripôle équivalent est égale à la somme des
matrices impédances : [Z]= [Z']+ [Z"]. On ajoute terme à terme les éléments de même indice.
4.2. Association parallèle :
On a les relations suivantes :
''
1
'
11 III  et ''
2
'
22 III 





'
2
'
22
'
1
'
21
'
2
'
2
'
12
'
1
'
11
'
1
VYVYI
VYVYI
et





''
2
''
22
''
1
''
21
''
2
''
2
''
12
''
1
''
11
''
1
VYVYI
VVVYI
Comme ''
1
'
11 VVV  et ''
2
'
22 VVV  nous pouvons écrire les
relations suivantes pour le quadripôle équivalent :





2
"
22
'
221
"
21
'
212221212
2
"
12
'
121
"
11
'
112121111
)()(
)()(
VYYVYYVYVYI
VYYVYYVYVYI

5. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
STPI Page 5/8
Ainsi sous forme matricielle, la matrice impédance du quadripôle équivalent est égal à la somme des
matrices impédances : [Y]= [Y']+ [Y"]. On ajoute terme à terme les éléments de même indice.
4.3. Association en cascade :
Nous allons chercher à déterminer la matrice de
transfert du quadripôle résultant de cette association.
Chaque quadripôle est défini par sa matrice de transfert
:
Quadripôle Q’ : 






''
''
'
DC
BA
T Quadripôle Q’’ : 






""
""
"
DC
BA
T
Dans cette association, nous avons les relations suivantes entre les courants et entre les différences de
potentiel :
'
11 II  '
2
"
1 II  2
"
2 II  et '
11 VV  '
2
"
1 VV  2
"
2 VV 
On a donc les relations suivantes pour le premier quadripôle :





"
1
"
1
'
2
'
2
'
11
"
1
"
1
'
2
'
2
'
11
''''
''''
IDVCIDVCII
IBVAIBVAVV
Pour le second quadripôle, nous avons :





22
''
2
''
2
''
1
'
2
22
''
2
''
2
''
1
'
2
"'''''
''''''''
IDVCIDVCII
IBVAIBVAVV
D’où :





)""(')''"('
)""(')''"('
"
2
"
2
''
2
''
21
"
2
"
2
''
2
''
21
IDVCDIBVACI
IDVCBIBVAAV
Ainsi on en déduit les relations entre 1V , 1I , 2V , 2I





221
221
)"'"'()'''"'(
)"'"'()"'"'(
IDDBCVCDACI
IDBBAVCBAAV
 








"'"'"'"'
"'"'"'"'
DDBCCDAC
DBBACBAA
T
La matrice T du quadripôle Q obtenu par la mise en cascade de deux quadripôles Q’ et Q’’ est égale au
produit matriciel des matrices T’ et T’’ : [T] = [T'].[T"]
Toutes ces associations de quadripôles se généralisent à un nombre n de quadripôles.
V. Grandeurs caractéristiques des quadripôles :
On considère un quadripôle décrit par sa matrice impédance [Z] :
On les relations suivantes :
2121111 IZIZV  (1) 2221212 IZIZV  (2)
11 VIZe L  (3) 22 IZV C (4)
Les grandeurs intéressantes sont :

1
2
V
V
AV  gain en tension du quadripôle. Ce gain est sans dimension (réel ou complexe). VA est
toujours inférieur à 1 pour un quadripôle passif.

1
2
I
I
Ai  gain en courant

1
1
I
V
ZE  impédance d’entrée

2
2
I
V
ZS  impédance de sortie.

6. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
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5.1. Gain en courant :
1
2
I
I
Ai  , en combinant les équations (2) et (4), on obtient : 2221212 IZIZIZC 
D’où :
22
21
1
2
ZZ
Z
I
I
A
C
i

 (5)
On peut observer que le gain en courant dépend de la charge CZ
5.2. Gain en tension :
1
2
V
V
AV 
On va exprimer 1V en fonction de 2V à partir des équations (1), (4) et (5)
(4) 
CZ
V
I 2
2  (5) 
C
CC
Z
V
Z
ZZ
I
Z
ZZ
I 2
21
22
2
21
22
1




(1)  2
21
21122211
2
122
21
22
111
)(
V
ZZ
ZZZZZ
V
Z
Z
Z
V
Z
ZZ
ZV
C
C
CC
C 



En posant 12122211 ZZZZZ  ( Z est le déterminant de la matrice Z), on obtient finalement :
ZZZ
ZZ
V
V
A
C
C
V


11
21
1
2
5.3. Impédance d’entrée
1
1
I
V
ZE  c’est l’impédance vue de l’entrée du quadripôle
(1)  1
222
21122211
1
22
21
121111
)(
I
ZZ
ZZZZZ
I
ZZ
Z
ZIZV
C
C
C 




C
C
E
ZZ
ZZZ
I
V
Z



22
11
1
1
5.4. Impédance de sortie :
2
2
I
V
ZS  : C’est l’impédance vue de la sortie du quadripôle obtenue en annulant le générateur à
l’entrée du quadripôle. Pour déterminer cette impédance, il convient d’annuler le
générateur
(1) et (3)  21211111 IZIZIZV L 
2
11
12
1 I
ZZ
Z
I
L 


(2)  2
11
2222111221
2222
11
1221
2221212 I
ZZ
ZZZZZZ
IZI
ZZ
ZZ
IZIZV
L
L
L











L
L
L
L
S
ZZ
ZZZ
ZZ
ZZZZZZ
I
V
Z











11
22
11
2222111221
2
2
VI. Schémas équivalents des quadripôles :
Lorsqu’on cherche à déterminer le comportement d’un circuit contenant un ou plusieurs
quadripôles dont on ne connaît que les matrices caractéristiques, il est peut être utile de
remplacer le quadripôle par un circuit équivalent (ce qui permettra par exemple d’écrire les
équations de maille ou de nœuds du circuit complet).
Ces schémas se déduisent directement des relations matricielles impédance, admittance et hybride.

7. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
STPI Page 7/8
6.1. Représentation matrice impédance :
2121111 IZIZV 
2221212 IZIZV 
6.2. Représentation matrice admittance :
2121111 VYVYI 
2221212 VYVYI 
6.3. Représentation matrice hybride :
2121111 VHIHV 
2221212 VHIHI 
6.4. Modèle amplificateur d’un quadripôle linéaire :
Dans ce modèle, le circuit d’entrée est réduit à
l’impédance d’entrée EZ . Celui de sortie comporte
un générateur de f .e .m : 1VAV en série avec
l’impédance de sortie SZ
11 IZV E et 212 IZVAV SV 
Annexe :
ZE AVV1 V2
V1
I2I1
ZS

8. Electronique Analogique Chap.1 : Les quadripôles
2ème
STPI Page 8/8
Equivalences entre éléments des matrices
représentatives du quadripôle
Le tableau ci-dessous résume les relations de conversion entre les différentes matrices représentatives
des quadripôles :
Avec 22122211 XXXXX 
Matrices après transformation
Matricesdedépart
Z Y T H
Z
Y
T
H






2221
1211
ZZ
ZZ






2221
1211
YY
YY






2221
1211
TT
TT






2221
1211
HH
HH








 1121
12221
ZZ
ZZ
Z 




 
11
22
12 1
1
Z
ZZ
Z








1
1
21
12
22 Z
ZZ
Z








 1121
12221
YY
YY
Y 







22
11
12
11
YY
Y
Y 







YY
Y
Y 21
12
11
11






 11
22
21
11
TT
T
T 







22
11
12
11
TT
T
T 





 21
12
11
11
TT
T
T








1
1
21
12
22 H
HH
H 







HH
H
H 21
12
11
11






 HH
H
H 22
11
12
11