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S.Ansoud Page 1/23
Résistance des Matériaux
1. Introduction : résistance et déformations des pièces mécaniques
L’objectif de cette étude est de présenter des méthodes simples pour dimensionner certaines pièces d’un
mécanisme ou éléments d’une structure.
Pour cela il faut prendre en compte la déformation des solides, contrairement à la mécanique générale,
ce qui implique une définition plus précise du solide, en particulier sa forme et son mode de chargement.
Le solide est déformable : pour déterminer sa résistance et sa déformation il faut non seulement
connaître les caractéristiques géométriques de ses différentes sections mais aussi sa forme générale pour
déterminer les zones de « concentration des contraintes ».
En statique les modèles représentés ci-dessous sont équivalents, car ils conduisent aux mêmes efforts au
niveau des appuis. Par contre la déformation du second est plus importante que celle du premier. Ils
seront étudiés de manière différente dans l’analyse qui suit.
La déformation d’un solide sous les charges appliquées présente deux aspects :
• la déformation de la pièce dans son volume, limitée à la théorie des poutres ;
• la déformation des surfaces de contact, par application de la théorie de Hertz.
Si la théorie des poutres permet de dimensionner assez simplement les pièces élancées (poutres), les
choses se compliquent lorsqu’on étudie les plaques ou les membranes par exemple.
Dès que les formes de pièces sont complexes on utilise des codes d’éléments finis sur ordinateur.
L
A B
x
y
L/2
L
A C
P0
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A B
G
(S)
(Γ
2. Théorie des poutres
Elle permet d’aboutir rapidement au dimensionnement de certains éléments de la construction
mécanique et du génie civil. Pour éviter des erreurs grossières il est fondamental de bien respecter les
hypothèses de modélisation.
2.1 Solide étudié en résistance des matériaux
2.1.1 Définition
La poutre est un solide dont la dimension longitudinale est importante devant les dimensions
transversales.
Une poutre est le solide engendré par une surface plane (S)
dont le centre de gravité G décrit une portion de courbe
(Γ) orientée par exemple de A vers B. (S) reste toujours
orthogonale à (Γ).
• A est l’origine de la poutre, B son extrémité ;
• (Γ) s’appelle la ligne moyenne ;
• (S) est la section droite de la poutre en G ;
• on note s l’abscisse curviligne du point G.
2.1.2 Hypothèses sur la géométrie des poutres
• la longueur de la poutre est grande devant les dimensions transversales ;
• le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport aux dimensions de la section droite
• le gradient de variation de la section droite (S) doit être faible.
Plus ces hypothèses seront respectées, plus les résultats obtenus seront proches du réel.
2.1.3 Liaison de la poutre avec son environnement
Dans le plan : Le cas le plus souvent rencontré et le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan.
Ceci conduit à un pb plan.
Type d’appui Schéma Torseur statique Conditions cinématiques
• Encastrement A
z
N
y
Y
x
X
s
A
s
A
s
A










+
→
→
→
0
)
A
(
dx
dy
0
)
A
(
y
)
A
(
x
=
=
=
• Liaison pivot ou
articulation A
0
y
Y
x
X s
A
s
A










+
→
→
→
0
)
A
(
y
)
A
(
x =
=
• Liaison glissière A
z
N
y
Y
s
A
s
A










→
→
0
)
A
(
dx
dy
0
)
A
(
y
=
=
• Liaison
ponctuelle
A
0
y
Y s
A










→
→
0
)
A
(
y =
A
x
y
A
x
y
x
A
y
A x
y
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Dans l’espace
On modélise les liaisons de la poutre avec son environnement à l’aide des liaisons élémentaires définies
dans le cours de modélisation. On associe aux différentes liaisons les conditions cinématiques qu’elles
imposent.
2.2 Repère général, repère local
2.2.1 Repère général
Le repère général )
z
,
y
,
x
,
O
(
→
→
→
est un repère fixe, lié au bâti du mécanisme par exemple. S’il présente un
intérêt en statique pour déterminer les efforts extérieurs appliqués à la pièce étudiée, il ne doit pas être
confondu avec le repère local qui permet d’étudier les
paramètres liés à la résistance des matériaux en tout
point de la poutre.
2.2.2 Repère local
Le repère local )
z
,
y
,
x
,
G
( s
s
s
→
→
→
, orthonormé, est défini en
tout point G de la ligne moyenne (Γ) de la poutre.
• G est l’origine du repère ;
•
ds
OG
d
xs
→
→
= est le vecteur tangent à (Γ) en G ;
•
→
s
y et
→
s
z sont les vecteurs unitaires portés par les axes principaux d’inertie de la section (S) en G.
2.3 Exemple
2.3.1 Poutre droite
La ligne moyenne de la poutre est le segment de droite
(A,B).
Une section droite (S) est repérée par le paramètre
linéaire λ.
Les directions du repère local se confondent avec celles
du repère global. Dans ce cas il convient de bien repérer
le vecteur normal à la section droite.
G s
B
A
(S)
λ
A
G B
(S)
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3. Torseur de Cohésion
3.1 Torseur des efforts intérieurs ou de cohésion
3.1.1 Définition
La poutre étudiée (E) est en équilibre sous l’effet d’actions
extérieures représentées par le torseur { } { }
0
F E
/
ext = .
La section droite (S), de centre G et d’abscisse curviligne s
sépare la poutre en deux tronçons désignés par (E1) et (E2) :
on a effectué une « coupure virtuelle » par le plan (P).
On note :
{ }
1
E
/
E
F .le torseur des actions appliquées par l’extérieur de (E) sur (E1) ;
{ }
2
E
/
E
F .le torseur des actions appliquées par l’extérieur de (E) sur (E2) ;
L’équilibre de la poutre s’écrit :
{ } { }
{ } { } { } { }
0
F
F
F
0
F
2
E
/
E
1
E
/
E
E
/
E
E
/
E
=
+
=
=
L’équilibre du tronçon (E1) s’écrit :
{ } { }
{ } { } { } { }
0
F
F
F
0
F
1
E
/
2
E
1
E
/
E
1
E
/
E
1
E
/
E
1 =
+
=
=
Le torseur { }
1
E
/
2
E
F représente la somme des actions élémentaires exercées par le tronçon (E2) sur le
tronçon (E1). Ce torseur, qui traduit la cohésion des deux tronçons dans la section (S), s’appelle torseur
des efforts intérieurs ou torseur de cohésion. C’est une convention.
A partir des équations précédentes on établit :
{ } { }
1
E
/
E
1
E
/
2
E F
F −
=
{ } { }
2
E
/
E
1
E
/
2
E F
F =
Dans une section (S) :
• le torseur des efforts intérieurs ou de cohésion est égal à l’opposé du torseur des actions
extérieures appliquées à la partie de la poutre dont l’abscisse curviligne est inférieure à s ;
• il est aussi égal au torseur des actions extérieures appliquées à la partie de la poutre dont
l’abscisse curviligne est supérieure à s.
3.2 Eléments de réduction du torseur des efforts intérieurs dans une section droite
3.2.1 Définition
Dans une section droite (S) d’abscisse s, les éléments de
réduction du torseur des efforts intérieurs { }
1
2 E
/
E
F s’expriment
en G, centre d’inertie de la section, en projection dans la base
locale )
z
,
y
,
x
,
G
( s
s
s
→
→
→
. C’est la forme générale du torseur des efforts
intérieurs ou de cohésion.
{ } { }
2 / 1 2 3
/
2 1
coh
2 / 1 2 3
s s s
E E
t s s s
G
R N x T y T z
F F
M Mt x Mf y Mf z
G
→ → → →
→ → → →
 
= + +
 
= =  
 
= + +
 
A B
(S)
(P)
E1
E2
G
(P)
s
G
(E1)
(S)
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Les éléments de réduction de ce torseur en projection dans le repère local )
z
,
y
,
x
,
G
( s
s
s
→
→
→
permettent de
définir les différentes sollicitations appliquées dans la section (S), de centre G.
• N : composante représentant l’effort normal. Elle induit un allongement ou un
raccourcissement de la poutre.
• T2 : composante représentant l’effort tranchant suivant
→
s
y . Elle induit un « glissement » des
sections les unes par rapport aux autres dans la direction
→
s
y .
• T3 : composante représentant l’effort tranchant suivant
→
s
z . Elle induit un « glissement » des
sections les unes par rapport aux autres dans la direction
→
s
z .
• Mt : cette composante est le moment de torsion. Elle induit une rotation relative (glissement)
des sections autour de l’axe
→
s
x
• Mf2 : cette composante est le moment de flexion autour de
→
s
y . Elle induit un allongement ou
un raccourcissent des « fibres » de la poutre selon leur position par rapport au plan neutre, ce
qui entraîne une modification de la courbure de la poutre.
• Mf3: cette composante est le moment de flexion autour de
→
s
z . Elle entraîne aussi une
modification de la courbure de la poutre.
3.3 Exemples
Exemple1 : Poutre droite par morceaux
La ligne moyenne de la poutre représentée ci-contre présente en
B un rayon de courbure très faible, bien que dans cette zone les
hypothèses de la RdM ne soient pas respectées, on peut
déterminer dans toutes ces sections droites le torseur des efforts
intérieurs.
Etude statique préalable :
Elle permet de déterminer les actions de l’extérieur sur la poutre au niveau des liaisons. Dans cette étude
la poutre présente une extrémité libre c’est à dire qu’elle n’est liée à aucun élément extérieur.
Pour déterminer le torseur des efforts intérieurs dans chacune de ses parties, il n’est pas nécessaire de
calculer les actions au niveau de l’encastrement, il suffira de choisir le tronçon pour lequel toutes les
actions extérieures sont connues.
Etude de RdM : elle permet de déterminer le torseur de cohésion :
Tronçon (A, C)
L’orientation donnée à la ligne moyenne de la poutre
définit le tronçon (G,D) comme élément (E2) : abscisse
supérieure à celle de la coupure définie par λ.
{ } { } { }
1
E / /
2 1 2
1
2
E E E
coh
tG
R F y
F F F
L
M F z
G
λ
→
→ →
→
 
= −
 
 
= = =  
 
 
 
=
− −
 
 
 
 
 
 
Soit en identifiant avec la forme générale du torseur des efforts intérieurs et en constatant que le repère
local est confondu avec le repère général.
• Mf3= -(l/2-λ)F1 : moment fléchissant ;
• T2 = -F1 : effort tranchant ; associé à Mf3, il définit une sollicitation de flexion simple.
C
A
B
L/2
L
C
A
B
λ
(S)
G
E1
E2
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Tronçon (C, B)
L’orientation donnée à la ligne moyenne de la poutre définit le
tronçon (G, B) comme élément (E2) : abscisse supérieure à
celle de la coupure définie par λ.
{ } { }
E /
2 1
0
0
E
coh
t
G
R
F F
M
G
→
→ →
→
 
 
=
= =  
 
=
 
Soit en identifiant avec la forme générale du torseur des efforts intérieurs et en constatant que le repère
local est confondu avec le repère général.
3.4 Diagrammes des sollicitations dans une poutre :
Ils ont pour objet de représenter l’évolution des sollicitations le long d’une poutre.
Ils sont construits à partir des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs.
3.4.1 Reprenons l’exemple 1 :
C
A B
λ
E1
E2
(S
C
A B
L/2
L
C
A B
C
A B
Effort tranchant T2
Moment fléchissant Mf3
-F1
-
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4. Notion de Contrainte et de Déformation
4.1 Notion de contrainte
En chaque point d’un solide, il existe des « forces » locales de cohésion. Dans une section droite d’un
solide, la représentation globale est caractérisée par le torseur des efforts intérieurs.
L’étude des contraintes va permettre de définir la loi de distribution des efforts intérieurs.
Dans une section droite, sur chaque élément de surface dS
défini au voisinage du point M, s’exerce un effort
élémentaire 2 / 1
dF
→
, appliqué par le tronçon (E2) sur (E1).
La contrainte relative au point M, pour la section de
normale s
x
→
est définie par :
0
dS
avec
dS
dF
lim
)
x
,
M
(
C
1
/
2
s
→
=
→
→
→
L’unité de contrainte est le Pascal (N/m2
). Souvent en RdM
on l’exprimera en N/mm2
ou daN/mm2
.
4.2 Contrainte normale, contrainte tangentielle
En projetant )
x
,
M
(
C s
→
→
sur
→
s
x et dans la section droite :
→
→
→
→
τ
+
σ
= )
M
(
x
)
M
(
)
x
,
M
(
C σ
σ
• )
M
(
σ est la contrainte normale au point M pour
la face de normale
→
s
x ;
• )
M
(
τ est la contrainte tangentielle, appelée
contrainte de cisaillement au point M, pour la
normale
→
s
x .
4.3 Relations entre contraintes et torseur des efforts intérieurs
Il est possible de relier les éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs aux contraintes :
{ }














∧
=
+
+
=
=
+
+
=
=
∫
∫
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
S
dS
s
s
3
s
2
s
G
t
dS
s
s
3
s
2
s
1
E
/
2
E
)
x
,
M
(
C
GM
z
f
M
y
f
M
x
t
M
M
s
)
x
,
M
(
C
z
T
y
T
x
N
R
G
F
4.4 Notion de déformation
4.4.1 Hypothèses fondamentales sur les déformations
• Sur les matériaux :
Les matériaux sont supposés homogènes et isotropes c’est à dire qu’ils ont les même propriétés
physiques et mécaniques dans toutes les directions
(P)
s
G
(E1)
(S)
M
dS
(P)
s
G
(E1)
(S)
M
dS
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• Sur la petitesse des déformations :
Les déformations sont considérées comme suffisamment petites pour que l’on puisse les négliger
lorsqu’on applique le principe fondamental de la statique. Autrement dit, on suppose que la direction et
la position des actions mécaniques extérieures ne dépendent pas de la déformation de la poutre.
• Hypothèse de Navier-Bernouilli :
Les sections planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, avant déformation, restent planes et
perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation.
Cette hypothèse simplificatrice n’est parfaitement vérifiée que lorsqu’il n’y a pas de contrainte de
cisaillement.
• Hypothèse de Saint Venant :
L’état des contraintes et des déformations dans une section, loin des zones d’application des efforts
extérieurs, ne dépendent que du torseur des efforts intérieurs.
4.4.2 ♦ Principe de superposition :
Pour une poutre à comportement élastique linéaire :
• le système d’effort extérieur { }
1
F produit un état de contrainte [ ]
1
σ et un état de déformation
[ ]
1
D ;
• le système d’effort extérieur { }
2
F produit un état de contrainte [ ]
2
σ et un état de déformation
[ ]
2
D .
Si on applique conjointement les systèmes d’efforts { }
1
F et { }
2
F on aura un état de contrainte qui sera égal
à [ ] [ ]
( )
2
1 σ
+
σ et un état de déformation égal à [ ] [ ]
( )
2
1 D
D +
5. Relations entre les contraintes et les déformations
Lorsqu’on applique les charges progressivement à une poutre on admet que les contraintes sont
proportionnelles aux déformations. C’est la loi de Hooke, qui est à la base de la théorie de l’élasticité
donc de la RdM. Cette loi est satisfaite pour la majorité des matériaux utilisés en construction
mécanique, dans un domaine limité, appelé domaine élastique.
5.1 Relation entre contrainte normale et allongement relatif :
Si seule la contrainte normale dans la direction
→
x est
différente de zéro (traction), on a un allongement relatif
dans cette direction x
ε proportionnelle à x
σ :
E
x
x
σ
=
ε
E est le module d’élasticité longitudinale ou module
de Young, il est compris entre 180000 et 210000 N/mm2
pour les aciers.
Il existe également un allongement relatif dans les
directions
→
y et
→
z :
. . x
y z x
E
σ
ε ε υ ε υ
=
=
− =
−
ν est le coefficient de Poisson, voisin de 0,3 pour les aciers.
σx
x
εxdx
y
−ν εx
A’
B
dx
-σx
Avant
Après
B’
A
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5.2 Relation entre contrainte tangentielle et distorsion :
On considère dans le plan )
y
,
x
,
M
(
→
→
un carré dont les côtés
sont soumis uniquement à des contraintes tangentielles τxy.
Ce carré M, A, B, H se déforme en un losange M, A, B’,
H’. L’angle xy
)
MB
',
MB
( γ
= est infiniment petit. Les autres
composantes de déformation sont nulles.
La loi de Hooke permet d’écrire la proportionnalité entre
xy
γ et xy
τ .
xy
xy Gγ
=
τ
G est le module d’élasticité transversale ou module de
glissement, il est compris entre 70000 et 80000 N/mm2
pour les aciers.
On peut le retrouver à partir de E et du coefficient de Poisson par la relation :
)
1
(
2
E
G
ν
+
=
6. Critères couramment utilises en RDM
6.1 Critère de Von Mises
Le critère de von Mises est le plus couramment utilisé. Il prend compte des composantes de contraintes
en traction, compression et cisaillement pour donner un niveau de contrainte isotrope (le même dans
toutes les directions).
Le critère de Von Mises n'indique pas le type de sollicitations : traction, compression, cisaillement, ....
1 2 2 3 3 1
1
( )² ( )² ( )²
2
e
σ σ σ σ σ σ σ
= − + − + −
Dans un cas de sollicitations planes, pour lequel on n'a que deux contraintes normale σ et de cisaillement τ, le définition
devient :
• contrainte de von Mises : . ² 3 ²
e
σ σ τ
= +
6.2 Critère de TRESCA
1 2 2 3 1 3
max( , , )
e
σ σ σ σ σ σ σ
= − − −
Dans un cas de sollicitations planes, pour lequel on n'a que deux contraintes normale σ et de cisaillement
τ, les définitions deviennent :
• contrainte de Tresca : ² 4 ²
e
σ σ τ
= +
La représentation graphique de ces deux
critères permet de les comparer facilement.
C’est en cisaillement pur que la différence
entre les critères de Tresca et Von Mises est
maximale.Tresca étant plus conservatif, il est
préférable de l’utiliser en cisaillement pur.
Nous rappelons que ces deux critères sont
valables seulement pour les matériaux
isotropes.
x
y
H H’
B B’
M
A
τxy
τyx
Avant
déformation
Après
déformatio
-τxy
-τyx
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7. Sollicitation de Traction-compression
7.1 Définition
Une poutre est sollicitée en traction au niveau d’une section
(S) si le torseur des efforts intérieurs est de la forme :
{ } { }










=
=
=
= →
→
→
0
1
/
2
1
/
2
1
/
2
int
G
s
E
E
M
x
N
R
G
F
F 
La sollicitation est de traction si l’effort normal N est positif,
de la compression si N est négatif.
7.1.1 Illustrations
Poutre droite de longueur L, soumise à deux
efforts opposés appliqués aux centres de ses
sections d’extrémité (en A et B).
Nota : la section droite n’est pas
nécessairement constante…
Poutre demi circulaire, de rayon R, soumise à
une charge linéique uniforme p0.
La poutre est articulée en A et en appui
simple en B.
L’effort normal dans une section droite vaut :
R
0
p
N −
=
7.2 Etude expérimentale, hypothèses
On considère, avant mise en charge de la poutre, deux
sections droites voisines (S0) et (S), de centres de gravités G0
et G.
Lors de l’application de la sollicitation, ces sections se
déplacent en restant planes, conformément à l’hypothèse de
Bernoulli.
Si on met en coïncidence la section (S0), donc G0, avec sa
position initiale, on observe que la section (S) s’est déplacée
en (S’), et que son centre de gravité G est venu en G’.
On constate d’autre part que les dimensions transversales de
la section sont réduites si la sollicitation est de traction, et
sont accrues si la sollicitation est de compression.
On constate par ailleurs que l’allongement est uniforme pour
tous les couples de points (M0, M) en correspondance dans
les sections (S0) et (S).
On observe par ailleurs la conservation des angles droits du
repère lié à la section : aucune distorsion…
Nota : ces observations sont conformes à la loi de Hooke.
A B
(S)
(P)
E1
E2
G
L
1 1 1
G
B
R
(S)
p0
A
B
A
x
y
L
B
A
(S0) (S)
(S’)
G0 G G’
M0 M M’
M’0
dx
du
→
→
= s
x
n
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7.2.1 Application de la loi de Hooke :
Les déformations étant uniformes, la contrainte l’est également :
→
→
→
= te
C
)
x
,
M
(
C
La contrainte est la même en tout point M de la section droite (S), de normale
→
x .
7.3 Expression de la contrainte
La relation entre contrainte et torseur des efforts intérieurs est la suivante :
{ }














∧
=
=
=
=
=














∧
=
+
+
=
=
+
+
=
=
∫
∫
∫
∫
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
S
s
G
t
s
s
S
s
s
3
s
2
s
G
t
s
s
3
s
2
s
1
E
/
2
E
dS
)
x
,
M
(
C
GM
0
M
s
dS
)
x
,
M
(
C
x
N
R
G
dS
)
x
,
M
(
C
GM
z
f
M
y
f
M
x
t
M
M
s
S
)
x
,
M
(
C
z
T
y
T
x
N
R
G
F
On en déduit :
→
→
→
→
=
σ
= σ
σ
x
σ x
S
N
x
)
x
,
M
(
C où S est l’aire de la section droite (S)
7.4 Expression des déformations
7.4.1 Allongements relatifs
On note du l’allongement d’un élément de « fibre » de longueur initiale dx. D’après la loi de Hooke :
ES
N
E
dx
du x
x =
σ
=
=
ε
Il existe également un allongement relatif dans les directions
→
y et
→
z : . . x
y z x
E
σ
ε ε υ ε υ
=
=
− =
−
7.4.2 Cas particulier :
Dans le cas d’une poutre droite, de longueur L, de section
constante S, soumise à un effort de traction
→
F , il est
possible de déterminer l’allongement global de la poutre :
L
L F
ES
∆ =
7.5 Essai de traction
L’essai de traction est un essai normalisé qui permet de
caractériser les propriétés d’un matériau. Il est réalisé au
moyen d’une éprouvette dont la zone d’étude est
cylindrique de section S0 et de longueur L.
Il est sollicité en traction pure, et on relève la relation liant
la contrainte
S
F
=
σ et l’allongement relatif
L
L
∆
=
ε .
Pour un acier doux, d’usage courant en mécanique, on
relève 4 zones sur le
diagramme :
•une première partie
(A, B) pour laquelle
contrainte et allongement
sont proportionnels,
correspondant aux hypothèses de la loi de Hooke. La limite supérieure
de cette zone est appelée limite élastique (Re) ;
•une seconde partie (B, C) au cours laquelle l’allongement croît
sans variation significative de la contrainte ;
•la troisième partie (C, D) correspond à une phase plastique
(déformation permanente), pour laquelle la contrainte croît en fonction
L B
A x
Contrainte
normale
Allongement
relatif ε
Rm
Rr
Re
S0
L
A
B
C
D
E
Ruptur
ε permanent
H
K
Contrainte
normale
Allongement
relatif ε
Rr
Re0,2%
A
Ruptur
ε = 0,2%
Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I
S.Ansoud Page 12/23
de l’allongement, mais avec une pente plus faible que dans la phase élastique.
Un relâchement de la contrainte dans cette zone s’accompagne d’un retour élastique (H, K)
suivant la même pente que dans la phase linéaire. La longueur AK représente l’allongement
relatif permanent de l’éprouvette.
Au point C, la valeur de la contrainte caractérise la résistance mécanique (Rm) du matériau ;
• la dernière zone (D, E) est celle de la striction, réduction rapide de la section effective de
l’éprouvette, qui se traduit par une réduction de la contrainte alors que l’allongement augmente.
La rupture se produit en E, pour une valeur appelée limite de rupture (Rr).
Certains matériaux (fragiles) on un comportement pour lequel la transition entre les phases élastique et
plastique est mal définie (fonte, certains aciers traités).
On définit dans ce cas une limite élastique conventionnelle, correspondant à un allongement relatif
permanent de 0,2%
8. Sollicitation de Torsion
8.1 Définition
Une poutre est sollicitée en torsion au niveau d’une section (S) si le torseur des efforts intérieurs est de la
forme :
{ } { }










=
=
=
= →
→
→
→
s
1
/
2
G
t
1
/
2
1
E
/
2
E
int
x
t
M
M
0
R
G
F
F
Nota : l’hypothèse de Bernoulli indique qu’une section droite doit le rester au cours de
la sollicitation. Dans le cas de la torsion, seule une section circulaire permet de
respecter cette hypothèse.
8.1.1 Illustrations
Le seul cas de sollicitation de torsion pure est celui d’une poutre droite, de section
circulaire, soumise à deux couples opposés appliqués aux centres de ses sections
d’extrémité (en A et B).
Nota : la section droite n’est pas nécessairement constante…
8.2 Etude expérimentale, hypothèses
On considère, avant mise en charge de la poutre, deux sections droites voisines (S0) et (S), de centres de
gravités G0 et G.
Lors de l’application de la sollicitation, ces sections se déplacent en restant planes, conformément à
l’hypothèse de Bernoulli.
Si on met en coïncidence la section (S0), donc G0, avec sa position initiale, on observe que la section (S)
a seulement subi une rotation d’angle dα autour de l’axe )
x
,
G
( 0
→
.
Soient deux points M0 et M en correspondance dans (S0) et (S), situés à la distance ρ de l’axe de la
poutre avant déformation.
L
Ød
B
A
Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I
S.Ansoud Page 13/23
Après sollicitation et remise en coïncidence de M0, la
rotation de (S) amène le point M en M’ par rotation
d’angle dα autour de G.
La génératrice (M0, M) devient l’hélice (M0, M’).
L’angle initialement droit )
x
,
M
,
z
( 0
→
→
devient l’angle
)
u
,
M
,
z
( 0
→
→
. Cette variation d’angle est la distorsion
γzx, égale à l’angle d’hélice.
8.3 Répartition de la contrainte
La figure ci-contre illustre la répartition de contrainte le
long du rayon GM d’une section droite de la poutre. Sa
valeur maxi est atteinte en périphérie de la pièce.
La valeur au centre de la section est nulle.
8.4 Expression de la contrainte
Il a été établi précédemment la relation entre contrainte et torseur des efforts intérieurs :
{ }














∧
=
=
=
=
=
∫
∫
→
→
→
→
→
→
→
→
→
S
t
G
t
1
E
/
2
E
dS
)
x
,
M
(
C
GM
x
M
M
s
dS
)
x
,
M
(
C
0
R
G
F
Moment
∫
∫
∫
→
→
→
→
→
→
→
ρ
α
=
α
ρ
∧
ρ
=
∧
=
S
2
S
S
t x
dS
dx
d
G
dS
z
dx
d
G
y
dS
)
x
,
M
(
C
GM
x
M
Le terme ∫ ρ
=
S
2
G dS
I est le moment quadratique de (S) par rapport à son centre de gravité G, une
propriété géométrique de la section.
On déduit de la relation précédente l’expression de la torsion unitaire :
G
t
GI
M
dx
d
=
α
G0 (S0)
(S)
M
M
M M
M
M
G
M,
M
M
dα
γxz
dx
ρ
R
G
G0 (S0)
(S)
M
M
G
M
ρ G
Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I
S.Ansoud Page 14/23
D’où l’expression finale de la contrainte :
→
→
→
→
→
ρ
=
α
ρ
=
τ
= z
I
M
z
dx
d
G
z
)
x
,
M
(
C
G
τ
zx
Il existe une contrainte )
z
,
M
(
C
→
→
relative à une facette de normale
→
z , en correspondance avec la
contrainte )
x
,
M
(
C
→
→
relative à une facette de normale
→
x . La figure ci-contre illustre ces contraintes le long
d’un même rayon de la poutre…
8.5 Calcul du moment quadratique par rapport à G d’une section circulaire
Par définition : ∫ ρ
=
S
2
G dS
I
Le point M est repéré en coordonnées cylindriques par : M (ρ, θ).
L’élément de surface associé s’écrit :dS = ρ dρ dθ
16
D
2
R
d
4
d
d
I
4
4
2
0
R
0
4
2
0
R
0
2
G
π
=
π
=
θ





ρ
=
θ
ρ
ρ
ρ
=
∫
∫ ∫
π
π
soit
32
D
2
R
I
4
4
G
π
=
π
=
8.6 Expression des déformations
8.6.1 Allongements relatifs
Les contraintes normales étant nulles, les allongements
relatifs sont également nuls, suivant x, y et z.
8.6.2 Distorsions
L’expression de la distorsion de l’angle )
x
,
z
(
→
→
est la
suivante :
G
t
zx
GI
M
dx
d
ρ
=
α
ρ
=
γ
La figure ci-contre illustre les contraintes et déformations
d’une facette élémentaire carrée définie dans le plan )
x
,
z
(
→
→
. On peut noter que la forme initiale carrée
devient un losange de même coté après déformation.
8.6.3 Cas particulier :
L’expression de la torsion unitaire établie plus haut est la suivante :
G
t
GI
M
dx
d
=
α
. Dans le cas d’une poutre
droite, de longueur L, de section constante, soumise à un couple de torsion constant
→
C , il est possible de
déterminer la rotation relative des sections d’extrémités de la poutre : t
G
L
M
GI
α
∆ =
8.7 Essai de torsion
Il n’existe pas d’essai de torsion normalisé…
M
γxz
M
τzx
τxz
-τzx
-τxz
G
R
G θ
ρ M
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S.Ansoud Page 15/23
9. Sollicitation de Flexion
9.1 Définition
Une poutre est sollicitée en flexion au niveau d’une section (S) si le torseur des efforts intérieurs est de
la forme :
{ } { }










+
=
+
=
=
= →
→
→
→
→
→
s
z
s
y
1
/
2
G
t
s
z
s
y
1
/
2
1
E
/
2
E
int
z
f
M
y
f
M
M
z
T
y
T
R
G
F
F
L’effort tranchant et le moment fléchissant admettent
chacun deux composantes en projection sur les axes )
z
,
y
( s
s
→
→
du plan de la section droite (S).
L’étude de flexion sera limitée aux poutres à plan de
symétrie (ligne moyenne dans le plan )
y
,
x
,
A
( s
s
→
→
et section
symétrique par rapport à ce même plan).
Remarques :
• on parle de flexion pure suivant
→
s
z si le torseur des efforts intérieurs prend la forme
simplifiée suivante : { } { }










=
=
=
= →
→
→
→
s
z
1
/
2
G
t
1
/
2
1
E
/
2
E
int
z
f
M
M
0
R
G
F
F .
Cette situation est peu fréquente, mais elle permet une mise en place simple des contraintes et
déformations ;
• on parle de flexion simple suivant
→
s
z si le torseur des efforts intérieurs prend la forme
suivante : { } { }










=
=
=
= →
→
→
→
s
z
1
/
2
G
t
s
y
1
/
2
1
E
/
2
E
int
z
f
M
M
y
T
R
G
F
F ;
• si le moment fléchissant admet 2 composantes non nulles, on parle de flexion déviée. Ce cas
général est traité par superposition de deux sollicitations de flexion simple suivant
→
s
y et
suivant
→
s
z .
9.2 Illustration
Le tronçon (H, K) de la poutre est
sollicité en flexion pure, les tronçons
(A,H) et (K, B) en flexion simple.
Nota : la section droite n’est pas
nécessairement constante…
Si on repère la position de la section
par l’abscisse λ de son centre de
gravité G, mesurée depuis A
Tronçon (A, H) :
{ }










λ
=
−
=
= →
→
→
→
s
1
/
2
G
t
s
1
/
2
int
z
F
M
y
F
R
G
F
Tronçon (H, K) :
{ }










=
=
= →
→
→
→
s
1
/
2
G
t
1
/
2
int
z
Fa
M
0
R
G
F
Tronçon (K, B) :
{ }










λ
−
=
=
= →
→
→
→
s
1
/
2
G
t
s
1
/
2
int
z
)
L
(
F
M
y
F
R
G
F
A
B
(S)
(P)
E1
E2
G
L
B
A
H K
a a
Ty
Mfz
(S)
G
Moment
Effort tranchant
λ
λ
a L-a L
0
F
Fa
-F
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S.Ansoud Page 16/23
9.3 contraintes
9.3.1 Répartition de la contrainte
La répartition de contrainte dans la section droite
(S) est conforme à la figure ci-contre.
Si R’ < R, les fibres situées à y > 0 sont
comprimées, les fibres situées à y < 0 sont tendues.
9.3.2 Expression de la contrainte
La relation entre contrainte et torseur des efforts intérieurs est la suivante:
{ }














∧
=
=
=
=
=
∫
∫
→
→
→
→
→
→
→
→
→
S
s
z
G
t
s
1
E
/
2
E
dS
)
x
,
M
(
C
GM
z
f
M
M
s
dS
)
x
,
M
(
C
0
R
G
F
La contrainte est donné par la relation : ( , ) z
s x s s
Gz
Mf
C M x x y x
I
s
→ → → →
= = −
9.3.3 moment quadratique
9.3.4 Calcul du moment quadratique d’une section circulaire par rapport à )
z
,
G
( s
→
Par définition : ∫
=
S
2
Gz dS
y
I
Le point M est repéré en coordonnées cylindriques par : M (ρ, θ).
L’élément de surface associé s’écrit :dS = ρ dρ dθ
∫
∫ ∫
π
π
θ
θ





ρ
=
θ
ρ
ρ
θ
ρ
=
2
0
2
R
0
4
2
0
R
0
2
2
Gz d
cos
4
d
cd
cos
I
64
D
4
R
4
2
sin
2
4
R
d
cos
4
I
4
4
2
0
4
2
0
2
R
0
4
Gz
π
=
π
=





 θ
+
θ
=
θ
θ





ρ
=
π
π
∫ soit
64
D
4
R
I
4
4
Gz
π
=
π
=
9.3.5 Calcul du moment quadratique d’une section rectangulaire par
rapport à )
z
,
G
( s
→
Par définition : ∫
=
S
2
Gz dS
y
I
Le point M est repéré en coordonnées cartésiennes : M (y, z).
L’élément de surface associé s’écrit :dS = dy dz
[ ]
12
bh
3
y
z
dydz
y
I
3
2
/
h
2
/
h
3
2
/
b
2
/
b
2
/
b
2
/
b
2
/
h
2
/
h
2
Gz =






=
=
−
−
− −
∫ ∫
Finalement
12
bh
I
3
Gz =
R
G
θ
ρ
M
(S0)
M
I
(S)
M
I0
y
G
y
z
b
h
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9.4 EXPRESSION DES DÉFORMATIONS
9.4.1 Allongements relatifs
L’allongement relatif de la poutre est donné par la relation suivante :
z
r
Gz
Mf
EI
ε = −
9.4.2 Distorsions
Aucune distorsion n’existe dans le repère )
z
,
y
,
x
,
M
( s
s
s
→
→
→
.
9.4.3 Déformée d’une poutre droite
La déformée d’une poutre initialement droite peut
s’exprimer par son équation )
(
f
y λ
= dans le repère
)
y
,
x
,
A
(
→
→
.
La dérivée seconde de la déformée vaut :
Gz
z
EI
f
M
f =
)
(
'
' λ
Il suffit d’intégrer à deux reprises cette relation pour déterminer l’équation de la déformée.
Ces intégrations font apparaître deux constantes, qui sont déterminées par les conditions aux appuis de la
poutre avec son environnement (bâti).
• Encastrement à
la position λ0
2 conditions :



=
λ
=
λ
0
)
(
'
f
0
)
(
f
0
0
• Liaison pivot à
la position λ0
Une condition :
0
)
(
f 0 =
λ
• Liaison
glissière à la
position λ0
2 conditions :



=
λ
=
λ
0
)
(
'
f
0
)
(
f
0
0
• Liaison
ponctuelle à la
position λ0
Une condition :
0
)
(
f 0 =
λ
L
B
(S)
G
λ
A
y=f(λ)
A x
y
λ0
A
x
y
λ0
x
A
y
λ0
A x
y
λ0
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S.Ansoud Page 18/23
9.5 Flexion simple
L’exemple ci-contre illustre une sollicitation de
flexion simple dans une poutre droite reposant sur
un appui simple en A et une pivot en B.
la poutre subit en C un effort vertical
→
− F .
9.5.1 Etude statique
Moment en A : 0
aF
2
L
FB =
−
Moment en B : 0
F
)
a
2
L
(
L
FA =
−
+
−
D’où les efforts en A et B :
2
(1 )
2
A
B
a
F F
L
a
F F
L

= −



 =


9.5.2 Sollicitations
Torseur de cohésion :
• Section située entre A et C :
{ } { }














λ






−
=
λ
=






−
−
=
−
=
=
= →
→
→
→
→
→
s
s
A
1
/
2
G
t
s
s
A
1
/
2
1
E
/
2
E
int
z
F
L
a
2
1
z
F
M
y
F
L
a
2
1
y
F
R
G
F
F
Il s’agit de flexion simple, de moment fléchissant
λ






−
= F
L
a
2
1
f
M z et d’effort tranchant F
L
a
2
1
Ty 





−
−
= .
On vérifie l’équation de continuité : 0
T
d
f
dM
y
z
=
+
λ
• Section située entre C et B :
{ } { }
2 / 1
/
int 2 1
2 / 1
2
2
( ) ( )
s s
B
E E
t s s
B
G
a
R F y F y
L
F F
a
M F L z F L z
L
G
λ λ
→ → →
→ → →
 
= =
 
 
= =  
 
= − = −
 
 
Il s’agit encore de flexion simple, de moment fléchissant
2
( )
z
a
M F L
f
L
λ
= − et d’effort tranchant F
L
a
Ty = .
9.5.3 Contraintes et déformations
On constate expérimentalement que les déformations et la répartition de la contrainte normale dans la
section droite sont quasi identiques à celles établies pour la flexion pure. On admet donc les résultats
suivants :
( , ) z
s x s s
Gz
Mf
C M x x y x
I
s
→ → → →
= = −
9.5.4 Déformée d’une poutre droite
Pour l’étude de la déformée également, les résultats sont similaires à ceux établis pour la flexion pure, en
particulier pour la détermination de l’équation de la ligne moyenne déformée d’une poutre initialement
droite :
Gz
z
EI
f
M
f =
)
(
'
' λ
9.6 Essai de flexion
Il n’existe pas d’essai de flexion
L
B
A
2a
(S)
G
λ
λ
Ty
Mfz
a L
C
0
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10. Coefficient de Sécurité et de Concentration de contraintes
10.1 Calcul d’une poutre. Coefficients de sécurité
10.1.1Calcul à la déformation
Après un calcul de la déformation sous charge de la poutre, on compare cette valeur à une valeur limite
fixée par le cahier des charges.
10.1.2Calcul à la résistance
Ce calcul consiste à vérifier que la contrainte équivalente maxi reste inférieure à une valeur limite fixée
par le cahier des charges. La limite est fixée à partir de points caractéristiques de la courbe de traction du
matériau et d’un coefficient de sécurité.
L’aptitude à l’emploi d’une pièce peut se traduire par la relation de sécurité :
i
K
i
L
≤
Σ
• Σ est la valeur maximale pour l’état des contraintes ;
• Li est l’une des limites représentée sur la courbe de traction (Re, Rm, Rp0.2% ;…)
• Ki est le coefficient de sécurité.
Le coefficient de sécurité, toujours supérieur à 1, est défini à partir de l’une des limites.
10.1.3La pièce ne subit aucune concentration de contrainte
Si la pièce n’est soumise à aucune concentration de contrainte on prendra Σ = eq
σ , contrainte que l’on a
déterminée dans le cas de sollicitations simples ou composées. Selon la limite Li choisie on aura
i
K
i
L
eq ≤
σ
10.1.4La pièce subit des concentrations de contrainte
Les poutres peuvent présenter des discontinuités de forme (trous, rainures, entailles, épaulements,
mauvais état de surface, défauts métallurgiques, …). Autour de ces zones les contraintes réelles sont
beaucoup plus importantes que les contraintes nominales obtenues par le calcul. C’est un phénomène
local appelé concentration des contraintes.
Le coefficient de concentration de contrainte est défini par le rapport :
nominale
réelle
t
K
σ
σ
=
10.2 Coefficient de concentration des contraintes
10.2.1Détermination du coefficient de concentration des contraintes
Ce coefficient est déterminé à partir de la théorie de l’élasticité, à l’aide de codes de calculs du type
éléments finis. Expérimentalement il est vérifié à l’aide de la photoélasticimétrie par exemple.
10.2.2Tableaux récapitulatifs des coefficients de concentration des contraintes
Pour chacune des sollicitations et pour certaines discontinuités le CETIM (Centre d'Etude des Industries
Mécaniques) propose les valeurs des coefficients de concentration des contraintes.
Exemple, pour les sollicitations de traction, torsion et flexion.
Arbre Traction Torsion Flexion
D
D
d
e
D
D
d
e
σx
D
d
τxz D
D
d
e
σx
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11. Problèmes hyperstatiques
Liaison hyperstatique des poutres avec leur environnement
11.1 Définition
Une poutre, ou une structure à base de poutres, est en liaison hyperstatique avec son environnement si
les degrés de liaisons sont surabondants.
On détermine le degré d'hyperstaticité à partir de la relation : h = ns - rang
• h représente le degré d'hyperstaticité ;
• ns est le nombre d'inconnues statiques indépendantes ;
• rang est le nombre d'équations indépendantes donné par le principe fondamental de la
statique.
Exemple: poutre encastrée à une extrémité avec une liaison à son autre extrémité
A- Dans ce premier cas le degré d'hyperstaticité
est égal à 1. En effet on a 4 inconnues de liaison
(XA, YA, NA, YB ) pour un rang égal à 3. Le
principe fondamental de la statique donne 3
équations indépendantes.
B -Dans ce deuxième cas le degré
d'hyperstaticité est égal à 2. En effet on a 5
inconnues de liaison (XA, YA, NA, YB , NB)
pour un rang de 3.
C- Dans ce dernier cas le degré d'hyperstaticité
est égal à 3. En effet on a 6 inconnues de liaison
(XA, YA, NA, XB,YB, NB) pour un rang de 3.
11.2 Méthode de résolution d'un problème hyperstatique (sollicitations simples)
Première étape
Elle consiste à appliquer le principe fondamental de la statique à la poutre, ou aux différentes poutres de
la structure, et à déduire le degré d'hyperstaticité.
Deuxième étape
Elle consiste à écrire le torseur des efforts intérieurs dans chaque poutre pour identifier la sollicitation
associée.
Troisième étape
Elle consiste à trouver autant de conditions géométriques imposées par les liaisons sur les déplacements
que de degré d'hyperstaticité.
Pour l'exemple (A) ci-dessus on peut dire que le point B ne subit aucun déplacement vertical quel que
soit le chargement.
A
A B
B
C
C
C
→
y
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La condition géométrique est donc y(B) = 0. Cette valeur peut être différente de zéro si l'appui ponctuel
déforme la poutre lorsqu’elle n'est pas chargée : défaut de montage par exemple, ou volonté de pré
charger l’assemblage.
Pour l'exemple (B), on peut dire que le point B ne subit aucun déplacement vertical et ne peut pas
tourner autour de l'axe z quel que soit le chargement.
Les conditions géométriques sont donc y(B) = 0 et y'(B) = 0.
Pour l'exemple (C), précédent on peut dire que le point B ne subit aucun déplacement horizontal et
vertical et qu'il ne peut pas tourner autour de l'axe z quel que soit le chargement.
Les conditions géométriques sont donc x(B), y(B) =0 et y'(B)=0.
Quatrième étape
Elle consiste à relier la condition géométrique, donc la déformation, aux efforts qui la génère. Ainsi on
dispose de nouvelles équations (autant que de degrés d'hyperstaticité) qui vont permettre de résoudre le
problème.
11.3 Exemples
11.3.1Problème hyperstatique en traction
La poutre de caractéristiques géométriques et
mécaniques connues (L, S, E) est articulée à ses
deux extrémités, et subit lors de son montage un
allongement δ connu.
La première étape du calcul permet de déterminer
le degré d’hyperstaticité du montage.
Le PFS donne le système d’équation suivant :
XA + XB = 0 (1)
YA + YB = 0 (2)
YB L = 0 (3)
L’équation (1) confirme le degré d’hyperstaticité
égal à 1 : une équation et deux inconnues.
Pour la deuxième étape la condition géométrique
est donnée par la condition de montage c'est à dire que le déplacement du point B est δ: x(B) = δ
La troisième étape donne le torseur des efforts intérieurs: la poutre est soumise de la traction pure :
N = XB
Dans la quatrième étape on relie la déformation aux efforts qui la génère :
ES
NL
=
δ ainsi on déduit que
L
ES
X
X A
B
δ
=
−
=
A B
A B
δ
Avant montage
Après montage
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11.3.2Problème hyperstatique en torsion
Le déplacement est ici un angle, la (les) condition(s)
géométrique(s) à écrire est (sont) une (des)
condition(s) de déplacement angulaire.
La barre ci-contre, de caractéristiques géométriques et
mécaniques connues (L1, L2, IG, G), est liée au bâti par
une rotule à doigt à son extrémité A et une linéaire à
doigt à son extrémité B.
Au montage, une fois le doigt de la liaison en A en
place, celui de la liaison en B nécessite de déformer
l’arbre pour réaliser l’assemblage.
La barre est soumise dans la section de centre C à un
couple
→
x
Cm .
Première étape : étude statique, équation de moment en projection sur
→
x : 0
L
L
C B
A
m =
+
+
Cette équation traduit le degré d’hyperstaticité du montage.
Deuxième étape : la condition géométrique est donnée par la condition de montage c'est à dire que la
rotation de la section (SB) par rapport à (SA) est égale à δα.
Troisième étape : étude de la sollicitation
Torseur des efforts intérieurs dans le tronçon (A, C) : { }










−
=
=
= →
→
→
→
x
L
M
0
R
G
F
A
1
/
2
G
t
1
/
2
1
int
Torseur des efforts intérieurs dans le tronçon (C, B) : { }










=
=
= →
→
→
→
x
L
M
0
R
G
F
B
1
/
2
G
t
1
/
2
2
int
La poutre est soumise à de la torsion pure, de moment de torsion A
1
t L
M −
= dans le premier tronçon, et
B
2
t L
M = dans le second.
Quatrième étape : étude des déformations
Du tronçon (A, C) : 1
G
A
1
G
1
t
L
GI
L
L
GI
M
)
A
(
)
C
(
−
=
=
α
−
α
Du tronçon (C, B) : 2
G
B
2
G
2
t L
GI
L
L
GI
M
)
C
(
)
B
( =
=
α
−
α
Après résolution :
1
2
m
1
G
B
L
L
C
L
GI
L
+
−
δα
= et
1
2
m
2
G
A
L
L
C
L
GI
L
+
−
δα
−
=
Avant Après
δ
B B
Exploitation de la condition géométrique sur les
déplacements :
[ ] [ ] δα
=
−
+
=
α
−
α
+
α
−
α
=
α
−
α 1
G
A
2
G
B L
GI
L
L
GI
L
)
A
(
)
C
(
)
C
(
)
B
(
)
A
(
)
B
(
D’où l’équation supplémentaire : ( ) G
1
A
2
B GI
L
L
L
L δα
=
−
A B
→
y
C
L
1
L
2
→
x
Cm
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11.3.3Problème hyperstatique en flexion
Les déplacements sont ici une dimension (flèche) et un angle (rotation de section), la (les) condition(s)
géométrique(s) à écrire est (sont) une (des) condition(s) sur des longueurs et/ou sur des angles.
Exemple
La poutre de caractéristiques géométriques et
mécaniques connues (L, S, IGz, E) est encastrée
à son extrémité A et en appui simple en C.
Avant mise en place de la charge en B, la poutre
est à une distance d de son appui en C.
Après montage, l’appui est réalisé et la
problème consiste à déterminer les actions en A
et C.
Première étape : étude statique, moment en C





=
+
−
=
−
+
=
0
)
F
Y
(
L
N
0
F
Y
Y
0
X
A
A
C
A
A
Les équations (2) et (3) confirment le degré
d’hyperstaticité égal à 1 : deux équations et trois
inconnues.
Deuxième étape : la condition géométrique est
donnée par la condition de montage c'est à dire
que le déplacement du point C est δ:y(C) = δ
Troisième étape : étude de la sollicitation dans
le tronçon (A, C)
Torseur des efforts intérieurs:{ } { }










λ
−
−
=
−
=
=
= →
→
→
→
s
A
A
1
/
2
G
t
s
A
1
/
2
1
E
/
2
E
int
z
)
Y
N
(
M
y
Y
R
G
F
F
La poutre est soumise à de la flexion simple, de moment fléchissant )
Y
N
(
M A
A
f λ
−
−
= et d’effort tranchant
A
Y
T −
=
Quatrième étape : étude de la déformée du tronçon (A, C)
Gz
A
A
Gz
f
EI
N
Y
EI
M
)
(
'
'
f
−
λ
=
=
λ






+
λ
−
λ
=
λ 1
A
A
2
Gz
C
N
Y
2
EI
1
)
(
'
f






+
λ
+
λ
−
λ
=
λ 2
1
A
2
A
3
Gz
C
C
N
2
Y
6
EI
1
)
(
f
D’où l’équation de la déformée : 





−
λ
λ
=
λ A
A
Gz
2
N
Y
3
EI
2
)
(
f
Exploitation de la condition géométrique mise en place à l’étape 2 : 





−
=
δ
= A
A
Gz
2
N
Y
3
L
EI
2
L
)
L
(
f
Cette équation s’ajoute aux deux équations de la statique, et permet de résoudre le système.









−
δ
−
=
−
δ
−
=
+
δ
=
=
δ
2
F
L
EI
3
Y
2
FL
5
L
EI
3
N
2
F
3
L
EI
3
Y
EI
2
L
3
Gz
C
2
Gz
A
3
Gz
A
Gz
2
A
B
C
A
B
δ
Après montage
C
L L
Avant montage
A B
C
λ
(S)
G
Les conditions de déplacement au niveau de l’encastrement
en A permettent de déterminer les 2 constantes
d’intégration :
0
1
C
0
)
0
(
'
f =
⇒
= et 0
2
C
0
)
0
(
f =
⇒
=

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  • 1. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 1/23 Résistance des Matériaux 1. Introduction : résistance et déformations des pièces mécaniques L’objectif de cette étude est de présenter des méthodes simples pour dimensionner certaines pièces d’un mécanisme ou éléments d’une structure. Pour cela il faut prendre en compte la déformation des solides, contrairement à la mécanique générale, ce qui implique une définition plus précise du solide, en particulier sa forme et son mode de chargement. Le solide est déformable : pour déterminer sa résistance et sa déformation il faut non seulement connaître les caractéristiques géométriques de ses différentes sections mais aussi sa forme générale pour déterminer les zones de « concentration des contraintes ». En statique les modèles représentés ci-dessous sont équivalents, car ils conduisent aux mêmes efforts au niveau des appuis. Par contre la déformation du second est plus importante que celle du premier. Ils seront étudiés de manière différente dans l’analyse qui suit. La déformation d’un solide sous les charges appliquées présente deux aspects : • la déformation de la pièce dans son volume, limitée à la théorie des poutres ; • la déformation des surfaces de contact, par application de la théorie de Hertz. Si la théorie des poutres permet de dimensionner assez simplement les pièces élancées (poutres), les choses se compliquent lorsqu’on étudie les plaques ou les membranes par exemple. Dès que les formes de pièces sont complexes on utilise des codes d’éléments finis sur ordinateur. L A B x y L/2 L A C P0
  • 2. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 2/23 A B G (S) (Γ 2. Théorie des poutres Elle permet d’aboutir rapidement au dimensionnement de certains éléments de la construction mécanique et du génie civil. Pour éviter des erreurs grossières il est fondamental de bien respecter les hypothèses de modélisation. 2.1 Solide étudié en résistance des matériaux 2.1.1 Définition La poutre est un solide dont la dimension longitudinale est importante devant les dimensions transversales. Une poutre est le solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une portion de courbe (Γ) orientée par exemple de A vers B. (S) reste toujours orthogonale à (Γ). • A est l’origine de la poutre, B son extrémité ; • (Γ) s’appelle la ligne moyenne ; • (S) est la section droite de la poutre en G ; • on note s l’abscisse curviligne du point G. 2.1.2 Hypothèses sur la géométrie des poutres • la longueur de la poutre est grande devant les dimensions transversales ; • le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport aux dimensions de la section droite • le gradient de variation de la section droite (S) doit être faible. Plus ces hypothèses seront respectées, plus les résultats obtenus seront proches du réel. 2.1.3 Liaison de la poutre avec son environnement Dans le plan : Le cas le plus souvent rencontré et le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan. Ceci conduit à un pb plan. Type d’appui Schéma Torseur statique Conditions cinématiques • Encastrement A z N y Y x X s A s A s A           + → → → 0 ) A ( dx dy 0 ) A ( y ) A ( x = = = • Liaison pivot ou articulation A 0 y Y x X s A s A           + → → → 0 ) A ( y ) A ( x = = • Liaison glissière A z N y Y s A s A           → → 0 ) A ( dx dy 0 ) A ( y = = • Liaison ponctuelle A 0 y Y s A           → → 0 ) A ( y = A x y A x y x A y A x y
  • 3. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 3/23 Dans l’espace On modélise les liaisons de la poutre avec son environnement à l’aide des liaisons élémentaires définies dans le cours de modélisation. On associe aux différentes liaisons les conditions cinématiques qu’elles imposent. 2.2 Repère général, repère local 2.2.1 Repère général Le repère général ) z , y , x , O ( → → → est un repère fixe, lié au bâti du mécanisme par exemple. S’il présente un intérêt en statique pour déterminer les efforts extérieurs appliqués à la pièce étudiée, il ne doit pas être confondu avec le repère local qui permet d’étudier les paramètres liés à la résistance des matériaux en tout point de la poutre. 2.2.2 Repère local Le repère local ) z , y , x , G ( s s s → → → , orthonormé, est défini en tout point G de la ligne moyenne (Γ) de la poutre. • G est l’origine du repère ; • ds OG d xs → → = est le vecteur tangent à (Γ) en G ; • → s y et → s z sont les vecteurs unitaires portés par les axes principaux d’inertie de la section (S) en G. 2.3 Exemple 2.3.1 Poutre droite La ligne moyenne de la poutre est le segment de droite (A,B). Une section droite (S) est repérée par le paramètre linéaire λ. Les directions du repère local se confondent avec celles du repère global. Dans ce cas il convient de bien repérer le vecteur normal à la section droite. G s B A (S) λ A G B (S)
  • 4. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 4/23 3. Torseur de Cohésion 3.1 Torseur des efforts intérieurs ou de cohésion 3.1.1 Définition La poutre étudiée (E) est en équilibre sous l’effet d’actions extérieures représentées par le torseur { } { } 0 F E / ext = . La section droite (S), de centre G et d’abscisse curviligne s sépare la poutre en deux tronçons désignés par (E1) et (E2) : on a effectué une « coupure virtuelle » par le plan (P). On note : { } 1 E / E F .le torseur des actions appliquées par l’extérieur de (E) sur (E1) ; { } 2 E / E F .le torseur des actions appliquées par l’extérieur de (E) sur (E2) ; L’équilibre de la poutre s’écrit : { } { } { } { } { } { } 0 F F F 0 F 2 E / E 1 E / E E / E E / E = + = = L’équilibre du tronçon (E1) s’écrit : { } { } { } { } { } { } 0 F F F 0 F 1 E / 2 E 1 E / E 1 E / E 1 E / E 1 = + = = Le torseur { } 1 E / 2 E F représente la somme des actions élémentaires exercées par le tronçon (E2) sur le tronçon (E1). Ce torseur, qui traduit la cohésion des deux tronçons dans la section (S), s’appelle torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion. C’est une convention. A partir des équations précédentes on établit : { } { } 1 E / E 1 E / 2 E F F − = { } { } 2 E / E 1 E / 2 E F F = Dans une section (S) : • le torseur des efforts intérieurs ou de cohésion est égal à l’opposé du torseur des actions extérieures appliquées à la partie de la poutre dont l’abscisse curviligne est inférieure à s ; • il est aussi égal au torseur des actions extérieures appliquées à la partie de la poutre dont l’abscisse curviligne est supérieure à s. 3.2 Eléments de réduction du torseur des efforts intérieurs dans une section droite 3.2.1 Définition Dans une section droite (S) d’abscisse s, les éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs { } 1 2 E / E F s’expriment en G, centre d’inertie de la section, en projection dans la base locale ) z , y , x , G ( s s s → → → . C’est la forme générale du torseur des efforts intérieurs ou de cohésion. { } { } 2 / 1 2 3 / 2 1 coh 2 / 1 2 3 s s s E E t s s s G R N x T y T z F F M Mt x Mf y Mf z G → → → → → → → →   = + +   = =     = + +   A B (S) (P) E1 E2 G (P) s G (E1) (S)
  • 5. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 5/23 Les éléments de réduction de ce torseur en projection dans le repère local ) z , y , x , G ( s s s → → → permettent de définir les différentes sollicitations appliquées dans la section (S), de centre G. • N : composante représentant l’effort normal. Elle induit un allongement ou un raccourcissement de la poutre. • T2 : composante représentant l’effort tranchant suivant → s y . Elle induit un « glissement » des sections les unes par rapport aux autres dans la direction → s y . • T3 : composante représentant l’effort tranchant suivant → s z . Elle induit un « glissement » des sections les unes par rapport aux autres dans la direction → s z . • Mt : cette composante est le moment de torsion. Elle induit une rotation relative (glissement) des sections autour de l’axe → s x • Mf2 : cette composante est le moment de flexion autour de → s y . Elle induit un allongement ou un raccourcissent des « fibres » de la poutre selon leur position par rapport au plan neutre, ce qui entraîne une modification de la courbure de la poutre. • Mf3: cette composante est le moment de flexion autour de → s z . Elle entraîne aussi une modification de la courbure de la poutre. 3.3 Exemples Exemple1 : Poutre droite par morceaux La ligne moyenne de la poutre représentée ci-contre présente en B un rayon de courbure très faible, bien que dans cette zone les hypothèses de la RdM ne soient pas respectées, on peut déterminer dans toutes ces sections droites le torseur des efforts intérieurs. Etude statique préalable : Elle permet de déterminer les actions de l’extérieur sur la poutre au niveau des liaisons. Dans cette étude la poutre présente une extrémité libre c’est à dire qu’elle n’est liée à aucun élément extérieur. Pour déterminer le torseur des efforts intérieurs dans chacune de ses parties, il n’est pas nécessaire de calculer les actions au niveau de l’encastrement, il suffira de choisir le tronçon pour lequel toutes les actions extérieures sont connues. Etude de RdM : elle permet de déterminer le torseur de cohésion : Tronçon (A, C) L’orientation donnée à la ligne moyenne de la poutre définit le tronçon (G,D) comme élément (E2) : abscisse supérieure à celle de la coupure définie par λ. { } { } { } 1 E / / 2 1 2 1 2 E E E coh tG R F y F F F L M F z G λ → → → →   = −     = = =         = − −             Soit en identifiant avec la forme générale du torseur des efforts intérieurs et en constatant que le repère local est confondu avec le repère général. • Mf3= -(l/2-λ)F1 : moment fléchissant ; • T2 = -F1 : effort tranchant ; associé à Mf3, il définit une sollicitation de flexion simple. C A B L/2 L C A B λ (S) G E1 E2
  • 6. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 6/23 Tronçon (C, B) L’orientation donnée à la ligne moyenne de la poutre définit le tronçon (G, B) comme élément (E2) : abscisse supérieure à celle de la coupure définie par λ. { } { } E / 2 1 0 0 E coh t G R F F M G → → → →     = = =     =   Soit en identifiant avec la forme générale du torseur des efforts intérieurs et en constatant que le repère local est confondu avec le repère général. 3.4 Diagrammes des sollicitations dans une poutre : Ils ont pour objet de représenter l’évolution des sollicitations le long d’une poutre. Ils sont construits à partir des éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs. 3.4.1 Reprenons l’exemple 1 : C A B λ E1 E2 (S C A B L/2 L C A B C A B Effort tranchant T2 Moment fléchissant Mf3 -F1 -
  • 7. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 7/23 4. Notion de Contrainte et de Déformation 4.1 Notion de contrainte En chaque point d’un solide, il existe des « forces » locales de cohésion. Dans une section droite d’un solide, la représentation globale est caractérisée par le torseur des efforts intérieurs. L’étude des contraintes va permettre de définir la loi de distribution des efforts intérieurs. Dans une section droite, sur chaque élément de surface dS défini au voisinage du point M, s’exerce un effort élémentaire 2 / 1 dF → , appliqué par le tronçon (E2) sur (E1). La contrainte relative au point M, pour la section de normale s x → est définie par : 0 dS avec dS dF lim ) x , M ( C 1 / 2 s → = → → → L’unité de contrainte est le Pascal (N/m2 ). Souvent en RdM on l’exprimera en N/mm2 ou daN/mm2 . 4.2 Contrainte normale, contrainte tangentielle En projetant ) x , M ( C s → → sur → s x et dans la section droite : → → → → τ + σ = ) M ( x ) M ( ) x , M ( C σ σ • ) M ( σ est la contrainte normale au point M pour la face de normale → s x ; • ) M ( τ est la contrainte tangentielle, appelée contrainte de cisaillement au point M, pour la normale → s x . 4.3 Relations entre contraintes et torseur des efforts intérieurs Il est possible de relier les éléments de réduction du torseur des efforts intérieurs aux contraintes : { }               ∧ = + + = = + + = = ∫ ∫ → → → → → → → → → → → → → S dS s s 3 s 2 s G t dS s s 3 s 2 s 1 E / 2 E ) x , M ( C GM z f M y f M x t M M s ) x , M ( C z T y T x N R G F 4.4 Notion de déformation 4.4.1 Hypothèses fondamentales sur les déformations • Sur les matériaux : Les matériaux sont supposés homogènes et isotropes c’est à dire qu’ils ont les même propriétés physiques et mécaniques dans toutes les directions (P) s G (E1) (S) M dS (P) s G (E1) (S) M dS
  • 8. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 8/23 • Sur la petitesse des déformations : Les déformations sont considérées comme suffisamment petites pour que l’on puisse les négliger lorsqu’on applique le principe fondamental de la statique. Autrement dit, on suppose que la direction et la position des actions mécaniques extérieures ne dépendent pas de la déformation de la poutre. • Hypothèse de Navier-Bernouilli : Les sections planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, avant déformation, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation. Cette hypothèse simplificatrice n’est parfaitement vérifiée que lorsqu’il n’y a pas de contrainte de cisaillement. • Hypothèse de Saint Venant : L’état des contraintes et des déformations dans une section, loin des zones d’application des efforts extérieurs, ne dépendent que du torseur des efforts intérieurs. 4.4.2 ♦ Principe de superposition : Pour une poutre à comportement élastique linéaire : • le système d’effort extérieur { } 1 F produit un état de contrainte [ ] 1 σ et un état de déformation [ ] 1 D ; • le système d’effort extérieur { } 2 F produit un état de contrainte [ ] 2 σ et un état de déformation [ ] 2 D . Si on applique conjointement les systèmes d’efforts { } 1 F et { } 2 F on aura un état de contrainte qui sera égal à [ ] [ ] ( ) 2 1 σ + σ et un état de déformation égal à [ ] [ ] ( ) 2 1 D D + 5. Relations entre les contraintes et les déformations Lorsqu’on applique les charges progressivement à une poutre on admet que les contraintes sont proportionnelles aux déformations. C’est la loi de Hooke, qui est à la base de la théorie de l’élasticité donc de la RdM. Cette loi est satisfaite pour la majorité des matériaux utilisés en construction mécanique, dans un domaine limité, appelé domaine élastique. 5.1 Relation entre contrainte normale et allongement relatif : Si seule la contrainte normale dans la direction → x est différente de zéro (traction), on a un allongement relatif dans cette direction x ε proportionnelle à x σ : E x x σ = ε E est le module d’élasticité longitudinale ou module de Young, il est compris entre 180000 et 210000 N/mm2 pour les aciers. Il existe également un allongement relatif dans les directions → y et → z : . . x y z x E σ ε ε υ ε υ = = − = − ν est le coefficient de Poisson, voisin de 0,3 pour les aciers. σx x εxdx y −ν εx A’ B dx -σx Avant Après B’ A
  • 9. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 9/23 5.2 Relation entre contrainte tangentielle et distorsion : On considère dans le plan ) y , x , M ( → → un carré dont les côtés sont soumis uniquement à des contraintes tangentielles τxy. Ce carré M, A, B, H se déforme en un losange M, A, B’, H’. L’angle xy ) MB ', MB ( γ = est infiniment petit. Les autres composantes de déformation sont nulles. La loi de Hooke permet d’écrire la proportionnalité entre xy γ et xy τ . xy xy Gγ = τ G est le module d’élasticité transversale ou module de glissement, il est compris entre 70000 et 80000 N/mm2 pour les aciers. On peut le retrouver à partir de E et du coefficient de Poisson par la relation : ) 1 ( 2 E G ν + = 6. Critères couramment utilises en RDM 6.1 Critère de Von Mises Le critère de von Mises est le plus couramment utilisé. Il prend compte des composantes de contraintes en traction, compression et cisaillement pour donner un niveau de contrainte isotrope (le même dans toutes les directions). Le critère de Von Mises n'indique pas le type de sollicitations : traction, compression, cisaillement, .... 1 2 2 3 3 1 1 ( )² ( )² ( )² 2 e σ σ σ σ σ σ σ = − + − + − Dans un cas de sollicitations planes, pour lequel on n'a que deux contraintes normale σ et de cisaillement τ, le définition devient : • contrainte de von Mises : . ² 3 ² e σ σ τ = + 6.2 Critère de TRESCA 1 2 2 3 1 3 max( , , ) e σ σ σ σ σ σ σ = − − − Dans un cas de sollicitations planes, pour lequel on n'a que deux contraintes normale σ et de cisaillement τ, les définitions deviennent : • contrainte de Tresca : ² 4 ² e σ σ τ = + La représentation graphique de ces deux critères permet de les comparer facilement. C’est en cisaillement pur que la différence entre les critères de Tresca et Von Mises est maximale.Tresca étant plus conservatif, il est préférable de l’utiliser en cisaillement pur. Nous rappelons que ces deux critères sont valables seulement pour les matériaux isotropes. x y H H’ B B’ M A τxy τyx Avant déformation Après déformatio -τxy -τyx
  • 10. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 10/23 7. Sollicitation de Traction-compression 7.1 Définition Une poutre est sollicitée en traction au niveau d’une section (S) si le torseur des efforts intérieurs est de la forme : { } { }           = = = = → → → 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 int G s E E M x N R G F F  La sollicitation est de traction si l’effort normal N est positif, de la compression si N est négatif. 7.1.1 Illustrations Poutre droite de longueur L, soumise à deux efforts opposés appliqués aux centres de ses sections d’extrémité (en A et B). Nota : la section droite n’est pas nécessairement constante… Poutre demi circulaire, de rayon R, soumise à une charge linéique uniforme p0. La poutre est articulée en A et en appui simple en B. L’effort normal dans une section droite vaut : R 0 p N − = 7.2 Etude expérimentale, hypothèses On considère, avant mise en charge de la poutre, deux sections droites voisines (S0) et (S), de centres de gravités G0 et G. Lors de l’application de la sollicitation, ces sections se déplacent en restant planes, conformément à l’hypothèse de Bernoulli. Si on met en coïncidence la section (S0), donc G0, avec sa position initiale, on observe que la section (S) s’est déplacée en (S’), et que son centre de gravité G est venu en G’. On constate d’autre part que les dimensions transversales de la section sont réduites si la sollicitation est de traction, et sont accrues si la sollicitation est de compression. On constate par ailleurs que l’allongement est uniforme pour tous les couples de points (M0, M) en correspondance dans les sections (S0) et (S). On observe par ailleurs la conservation des angles droits du repère lié à la section : aucune distorsion… Nota : ces observations sont conformes à la loi de Hooke. A B (S) (P) E1 E2 G L 1 1 1 G B R (S) p0 A B A x y L B A (S0) (S) (S’) G0 G G’ M0 M M’ M’0 dx du → → = s x n
  • 11. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 11/23 7.2.1 Application de la loi de Hooke : Les déformations étant uniformes, la contrainte l’est également : → → → = te C ) x , M ( C La contrainte est la même en tout point M de la section droite (S), de normale → x . 7.3 Expression de la contrainte La relation entre contrainte et torseur des efforts intérieurs est la suivante : { }               ∧ = = = = =               ∧ = + + = = + + = = ∫ ∫ ∫ ∫ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → S s G t s s S s s 3 s 2 s G t s s 3 s 2 s 1 E / 2 E dS ) x , M ( C GM 0 M s dS ) x , M ( C x N R G dS ) x , M ( C GM z f M y f M x t M M s S ) x , M ( C z T y T x N R G F On en déduit : → → → → = σ = σ σ x σ x S N x ) x , M ( C où S est l’aire de la section droite (S) 7.4 Expression des déformations 7.4.1 Allongements relatifs On note du l’allongement d’un élément de « fibre » de longueur initiale dx. D’après la loi de Hooke : ES N E dx du x x = σ = = ε Il existe également un allongement relatif dans les directions → y et → z : . . x y z x E σ ε ε υ ε υ = = − = − 7.4.2 Cas particulier : Dans le cas d’une poutre droite, de longueur L, de section constante S, soumise à un effort de traction → F , il est possible de déterminer l’allongement global de la poutre : L L F ES ∆ = 7.5 Essai de traction L’essai de traction est un essai normalisé qui permet de caractériser les propriétés d’un matériau. Il est réalisé au moyen d’une éprouvette dont la zone d’étude est cylindrique de section S0 et de longueur L. Il est sollicité en traction pure, et on relève la relation liant la contrainte S F = σ et l’allongement relatif L L ∆ = ε . Pour un acier doux, d’usage courant en mécanique, on relève 4 zones sur le diagramme : •une première partie (A, B) pour laquelle contrainte et allongement sont proportionnels, correspondant aux hypothèses de la loi de Hooke. La limite supérieure de cette zone est appelée limite élastique (Re) ; •une seconde partie (B, C) au cours laquelle l’allongement croît sans variation significative de la contrainte ; •la troisième partie (C, D) correspond à une phase plastique (déformation permanente), pour laquelle la contrainte croît en fonction L B A x Contrainte normale Allongement relatif ε Rm Rr Re S0 L A B C D E Ruptur ε permanent H K Contrainte normale Allongement relatif ε Rr Re0,2% A Ruptur ε = 0,2%
  • 12. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 12/23 de l’allongement, mais avec une pente plus faible que dans la phase élastique. Un relâchement de la contrainte dans cette zone s’accompagne d’un retour élastique (H, K) suivant la même pente que dans la phase linéaire. La longueur AK représente l’allongement relatif permanent de l’éprouvette. Au point C, la valeur de la contrainte caractérise la résistance mécanique (Rm) du matériau ; • la dernière zone (D, E) est celle de la striction, réduction rapide de la section effective de l’éprouvette, qui se traduit par une réduction de la contrainte alors que l’allongement augmente. La rupture se produit en E, pour une valeur appelée limite de rupture (Rr). Certains matériaux (fragiles) on un comportement pour lequel la transition entre les phases élastique et plastique est mal définie (fonte, certains aciers traités). On définit dans ce cas une limite élastique conventionnelle, correspondant à un allongement relatif permanent de 0,2% 8. Sollicitation de Torsion 8.1 Définition Une poutre est sollicitée en torsion au niveau d’une section (S) si le torseur des efforts intérieurs est de la forme : { } { }           = = = = → → → → s 1 / 2 G t 1 / 2 1 E / 2 E int x t M M 0 R G F F Nota : l’hypothèse de Bernoulli indique qu’une section droite doit le rester au cours de la sollicitation. Dans le cas de la torsion, seule une section circulaire permet de respecter cette hypothèse. 8.1.1 Illustrations Le seul cas de sollicitation de torsion pure est celui d’une poutre droite, de section circulaire, soumise à deux couples opposés appliqués aux centres de ses sections d’extrémité (en A et B). Nota : la section droite n’est pas nécessairement constante… 8.2 Etude expérimentale, hypothèses On considère, avant mise en charge de la poutre, deux sections droites voisines (S0) et (S), de centres de gravités G0 et G. Lors de l’application de la sollicitation, ces sections se déplacent en restant planes, conformément à l’hypothèse de Bernoulli. Si on met en coïncidence la section (S0), donc G0, avec sa position initiale, on observe que la section (S) a seulement subi une rotation d’angle dα autour de l’axe ) x , G ( 0 → . Soient deux points M0 et M en correspondance dans (S0) et (S), situés à la distance ρ de l’axe de la poutre avant déformation. L Ød B A
  • 13. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 13/23 Après sollicitation et remise en coïncidence de M0, la rotation de (S) amène le point M en M’ par rotation d’angle dα autour de G. La génératrice (M0, M) devient l’hélice (M0, M’). L’angle initialement droit ) x , M , z ( 0 → → devient l’angle ) u , M , z ( 0 → → . Cette variation d’angle est la distorsion γzx, égale à l’angle d’hélice. 8.3 Répartition de la contrainte La figure ci-contre illustre la répartition de contrainte le long du rayon GM d’une section droite de la poutre. Sa valeur maxi est atteinte en périphérie de la pièce. La valeur au centre de la section est nulle. 8.4 Expression de la contrainte Il a été établi précédemment la relation entre contrainte et torseur des efforts intérieurs : { }               ∧ = = = = = ∫ ∫ → → → → → → → → → S t G t 1 E / 2 E dS ) x , M ( C GM x M M s dS ) x , M ( C 0 R G F Moment ∫ ∫ ∫ → → → → → → → ρ α = α ρ ∧ ρ = ∧ = S 2 S S t x dS dx d G dS z dx d G y dS ) x , M ( C GM x M Le terme ∫ ρ = S 2 G dS I est le moment quadratique de (S) par rapport à son centre de gravité G, une propriété géométrique de la section. On déduit de la relation précédente l’expression de la torsion unitaire : G t GI M dx d = α G0 (S0) (S) M M M M M M G M, M M dα γxz dx ρ R G G0 (S0) (S) M M G M ρ G
  • 14. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 14/23 D’où l’expression finale de la contrainte : → → → → → ρ = α ρ = τ = z I M z dx d G z ) x , M ( C G τ zx Il existe une contrainte ) z , M ( C → → relative à une facette de normale → z , en correspondance avec la contrainte ) x , M ( C → → relative à une facette de normale → x . La figure ci-contre illustre ces contraintes le long d’un même rayon de la poutre… 8.5 Calcul du moment quadratique par rapport à G d’une section circulaire Par définition : ∫ ρ = S 2 G dS I Le point M est repéré en coordonnées cylindriques par : M (ρ, θ). L’élément de surface associé s’écrit :dS = ρ dρ dθ 16 D 2 R d 4 d d I 4 4 2 0 R 0 4 2 0 R 0 2 G π = π = θ      ρ = θ ρ ρ ρ = ∫ ∫ ∫ π π soit 32 D 2 R I 4 4 G π = π = 8.6 Expression des déformations 8.6.1 Allongements relatifs Les contraintes normales étant nulles, les allongements relatifs sont également nuls, suivant x, y et z. 8.6.2 Distorsions L’expression de la distorsion de l’angle ) x , z ( → → est la suivante : G t zx GI M dx d ρ = α ρ = γ La figure ci-contre illustre les contraintes et déformations d’une facette élémentaire carrée définie dans le plan ) x , z ( → → . On peut noter que la forme initiale carrée devient un losange de même coté après déformation. 8.6.3 Cas particulier : L’expression de la torsion unitaire établie plus haut est la suivante : G t GI M dx d = α . Dans le cas d’une poutre droite, de longueur L, de section constante, soumise à un couple de torsion constant → C , il est possible de déterminer la rotation relative des sections d’extrémités de la poutre : t G L M GI α ∆ = 8.7 Essai de torsion Il n’existe pas d’essai de torsion normalisé… M γxz M τzx τxz -τzx -τxz G R G θ ρ M
  • 15. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 15/23 9. Sollicitation de Flexion 9.1 Définition Une poutre est sollicitée en flexion au niveau d’une section (S) si le torseur des efforts intérieurs est de la forme : { } { }           + = + = = = → → → → → → s z s y 1 / 2 G t s z s y 1 / 2 1 E / 2 E int z f M y f M M z T y T R G F F L’effort tranchant et le moment fléchissant admettent chacun deux composantes en projection sur les axes ) z , y ( s s → → du plan de la section droite (S). L’étude de flexion sera limitée aux poutres à plan de symétrie (ligne moyenne dans le plan ) y , x , A ( s s → → et section symétrique par rapport à ce même plan). Remarques : • on parle de flexion pure suivant → s z si le torseur des efforts intérieurs prend la forme simplifiée suivante : { } { }           = = = = → → → → s z 1 / 2 G t 1 / 2 1 E / 2 E int z f M M 0 R G F F . Cette situation est peu fréquente, mais elle permet une mise en place simple des contraintes et déformations ; • on parle de flexion simple suivant → s z si le torseur des efforts intérieurs prend la forme suivante : { } { }           = = = = → → → → s z 1 / 2 G t s y 1 / 2 1 E / 2 E int z f M M y T R G F F ; • si le moment fléchissant admet 2 composantes non nulles, on parle de flexion déviée. Ce cas général est traité par superposition de deux sollicitations de flexion simple suivant → s y et suivant → s z . 9.2 Illustration Le tronçon (H, K) de la poutre est sollicité en flexion pure, les tronçons (A,H) et (K, B) en flexion simple. Nota : la section droite n’est pas nécessairement constante… Si on repère la position de la section par l’abscisse λ de son centre de gravité G, mesurée depuis A Tronçon (A, H) : { }           λ = − = = → → → → s 1 / 2 G t s 1 / 2 int z F M y F R G F Tronçon (H, K) : { }           = = = → → → → s 1 / 2 G t 1 / 2 int z Fa M 0 R G F Tronçon (K, B) : { }           λ − = = = → → → → s 1 / 2 G t s 1 / 2 int z ) L ( F M y F R G F A B (S) (P) E1 E2 G L B A H K a a Ty Mfz (S) G Moment Effort tranchant λ λ a L-a L 0 F Fa -F
  • 16. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 16/23 9.3 contraintes 9.3.1 Répartition de la contrainte La répartition de contrainte dans la section droite (S) est conforme à la figure ci-contre. Si R’ < R, les fibres situées à y > 0 sont comprimées, les fibres situées à y < 0 sont tendues. 9.3.2 Expression de la contrainte La relation entre contrainte et torseur des efforts intérieurs est la suivante: { }               ∧ = = = = = ∫ ∫ → → → → → → → → → S s z G t s 1 E / 2 E dS ) x , M ( C GM z f M M s dS ) x , M ( C 0 R G F La contrainte est donné par la relation : ( , ) z s x s s Gz Mf C M x x y x I s → → → → = = − 9.3.3 moment quadratique 9.3.4 Calcul du moment quadratique d’une section circulaire par rapport à ) z , G ( s → Par définition : ∫ = S 2 Gz dS y I Le point M est repéré en coordonnées cylindriques par : M (ρ, θ). L’élément de surface associé s’écrit :dS = ρ dρ dθ ∫ ∫ ∫ π π θ θ      ρ = θ ρ ρ θ ρ = 2 0 2 R 0 4 2 0 R 0 2 2 Gz d cos 4 d cd cos I 64 D 4 R 4 2 sin 2 4 R d cos 4 I 4 4 2 0 4 2 0 2 R 0 4 Gz π = π =       θ + θ = θ θ      ρ = π π ∫ soit 64 D 4 R I 4 4 Gz π = π = 9.3.5 Calcul du moment quadratique d’une section rectangulaire par rapport à ) z , G ( s → Par définition : ∫ = S 2 Gz dS y I Le point M est repéré en coordonnées cartésiennes : M (y, z). L’élément de surface associé s’écrit :dS = dy dz [ ] 12 bh 3 y z dydz y I 3 2 / h 2 / h 3 2 / b 2 / b 2 / b 2 / b 2 / h 2 / h 2 Gz =       = = − − − − ∫ ∫ Finalement 12 bh I 3 Gz = R G θ ρ M (S0) M I (S) M I0 y G y z b h
  • 17. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 17/23 9.4 EXPRESSION DES DÉFORMATIONS 9.4.1 Allongements relatifs L’allongement relatif de la poutre est donné par la relation suivante : z r Gz Mf EI ε = − 9.4.2 Distorsions Aucune distorsion n’existe dans le repère ) z , y , x , M ( s s s → → → . 9.4.3 Déformée d’une poutre droite La déformée d’une poutre initialement droite peut s’exprimer par son équation ) ( f y λ = dans le repère ) y , x , A ( → → . La dérivée seconde de la déformée vaut : Gz z EI f M f = ) ( ' ' λ Il suffit d’intégrer à deux reprises cette relation pour déterminer l’équation de la déformée. Ces intégrations font apparaître deux constantes, qui sont déterminées par les conditions aux appuis de la poutre avec son environnement (bâti). • Encastrement à la position λ0 2 conditions :    = λ = λ 0 ) ( ' f 0 ) ( f 0 0 • Liaison pivot à la position λ0 Une condition : 0 ) ( f 0 = λ • Liaison glissière à la position λ0 2 conditions :    = λ = λ 0 ) ( ' f 0 ) ( f 0 0 • Liaison ponctuelle à la position λ0 Une condition : 0 ) ( f 0 = λ L B (S) G λ A y=f(λ) A x y λ0 A x y λ0 x A y λ0 A x y λ0
  • 18. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 18/23 9.5 Flexion simple L’exemple ci-contre illustre une sollicitation de flexion simple dans une poutre droite reposant sur un appui simple en A et une pivot en B. la poutre subit en C un effort vertical → − F . 9.5.1 Etude statique Moment en A : 0 aF 2 L FB = − Moment en B : 0 F ) a 2 L ( L FA = − + − D’où les efforts en A et B : 2 (1 ) 2 A B a F F L a F F L  = −     =   9.5.2 Sollicitations Torseur de cohésion : • Section située entre A et C : { } { }               λ       − = λ =       − − = − = = = → → → → → → s s A 1 / 2 G t s s A 1 / 2 1 E / 2 E int z F L a 2 1 z F M y F L a 2 1 y F R G F F Il s’agit de flexion simple, de moment fléchissant λ       − = F L a 2 1 f M z et d’effort tranchant F L a 2 1 Ty       − − = . On vérifie l’équation de continuité : 0 T d f dM y z = + λ • Section située entre C et B : { } { } 2 / 1 / int 2 1 2 / 1 2 2 ( ) ( ) s s B E E t s s B G a R F y F y L F F a M F L z F L z L G λ λ → → → → → →   = =     = =     = − = −     Il s’agit encore de flexion simple, de moment fléchissant 2 ( ) z a M F L f L λ = − et d’effort tranchant F L a Ty = . 9.5.3 Contraintes et déformations On constate expérimentalement que les déformations et la répartition de la contrainte normale dans la section droite sont quasi identiques à celles établies pour la flexion pure. On admet donc les résultats suivants : ( , ) z s x s s Gz Mf C M x x y x I s → → → → = = − 9.5.4 Déformée d’une poutre droite Pour l’étude de la déformée également, les résultats sont similaires à ceux établis pour la flexion pure, en particulier pour la détermination de l’équation de la ligne moyenne déformée d’une poutre initialement droite : Gz z EI f M f = ) ( ' ' λ 9.6 Essai de flexion Il n’existe pas d’essai de flexion L B A 2a (S) G λ λ Ty Mfz a L C 0
  • 19. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 19/23 10. Coefficient de Sécurité et de Concentration de contraintes 10.1 Calcul d’une poutre. Coefficients de sécurité 10.1.1Calcul à la déformation Après un calcul de la déformation sous charge de la poutre, on compare cette valeur à une valeur limite fixée par le cahier des charges. 10.1.2Calcul à la résistance Ce calcul consiste à vérifier que la contrainte équivalente maxi reste inférieure à une valeur limite fixée par le cahier des charges. La limite est fixée à partir de points caractéristiques de la courbe de traction du matériau et d’un coefficient de sécurité. L’aptitude à l’emploi d’une pièce peut se traduire par la relation de sécurité : i K i L ≤ Σ • Σ est la valeur maximale pour l’état des contraintes ; • Li est l’une des limites représentée sur la courbe de traction (Re, Rm, Rp0.2% ;…) • Ki est le coefficient de sécurité. Le coefficient de sécurité, toujours supérieur à 1, est défini à partir de l’une des limites. 10.1.3La pièce ne subit aucune concentration de contrainte Si la pièce n’est soumise à aucune concentration de contrainte on prendra Σ = eq σ , contrainte que l’on a déterminée dans le cas de sollicitations simples ou composées. Selon la limite Li choisie on aura i K i L eq ≤ σ 10.1.4La pièce subit des concentrations de contrainte Les poutres peuvent présenter des discontinuités de forme (trous, rainures, entailles, épaulements, mauvais état de surface, défauts métallurgiques, …). Autour de ces zones les contraintes réelles sont beaucoup plus importantes que les contraintes nominales obtenues par le calcul. C’est un phénomène local appelé concentration des contraintes. Le coefficient de concentration de contrainte est défini par le rapport : nominale réelle t K σ σ = 10.2 Coefficient de concentration des contraintes 10.2.1Détermination du coefficient de concentration des contraintes Ce coefficient est déterminé à partir de la théorie de l’élasticité, à l’aide de codes de calculs du type éléments finis. Expérimentalement il est vérifié à l’aide de la photoélasticimétrie par exemple. 10.2.2Tableaux récapitulatifs des coefficients de concentration des contraintes Pour chacune des sollicitations et pour certaines discontinuités le CETIM (Centre d'Etude des Industries Mécaniques) propose les valeurs des coefficients de concentration des contraintes. Exemple, pour les sollicitations de traction, torsion et flexion. Arbre Traction Torsion Flexion D D d e D D d e σx D d τxz D D d e σx
  • 20. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 20/23 11. Problèmes hyperstatiques Liaison hyperstatique des poutres avec leur environnement 11.1 Définition Une poutre, ou une structure à base de poutres, est en liaison hyperstatique avec son environnement si les degrés de liaisons sont surabondants. On détermine le degré d'hyperstaticité à partir de la relation : h = ns - rang • h représente le degré d'hyperstaticité ; • ns est le nombre d'inconnues statiques indépendantes ; • rang est le nombre d'équations indépendantes donné par le principe fondamental de la statique. Exemple: poutre encastrée à une extrémité avec une liaison à son autre extrémité A- Dans ce premier cas le degré d'hyperstaticité est égal à 1. En effet on a 4 inconnues de liaison (XA, YA, NA, YB ) pour un rang égal à 3. Le principe fondamental de la statique donne 3 équations indépendantes. B -Dans ce deuxième cas le degré d'hyperstaticité est égal à 2. En effet on a 5 inconnues de liaison (XA, YA, NA, YB , NB) pour un rang de 3. C- Dans ce dernier cas le degré d'hyperstaticité est égal à 3. En effet on a 6 inconnues de liaison (XA, YA, NA, XB,YB, NB) pour un rang de 3. 11.2 Méthode de résolution d'un problème hyperstatique (sollicitations simples) Première étape Elle consiste à appliquer le principe fondamental de la statique à la poutre, ou aux différentes poutres de la structure, et à déduire le degré d'hyperstaticité. Deuxième étape Elle consiste à écrire le torseur des efforts intérieurs dans chaque poutre pour identifier la sollicitation associée. Troisième étape Elle consiste à trouver autant de conditions géométriques imposées par les liaisons sur les déplacements que de degré d'hyperstaticité. Pour l'exemple (A) ci-dessus on peut dire que le point B ne subit aucun déplacement vertical quel que soit le chargement. A A B B C C C → y
  • 21. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 21/23 La condition géométrique est donc y(B) = 0. Cette valeur peut être différente de zéro si l'appui ponctuel déforme la poutre lorsqu’elle n'est pas chargée : défaut de montage par exemple, ou volonté de pré charger l’assemblage. Pour l'exemple (B), on peut dire que le point B ne subit aucun déplacement vertical et ne peut pas tourner autour de l'axe z quel que soit le chargement. Les conditions géométriques sont donc y(B) = 0 et y'(B) = 0. Pour l'exemple (C), précédent on peut dire que le point B ne subit aucun déplacement horizontal et vertical et qu'il ne peut pas tourner autour de l'axe z quel que soit le chargement. Les conditions géométriques sont donc x(B), y(B) =0 et y'(B)=0. Quatrième étape Elle consiste à relier la condition géométrique, donc la déformation, aux efforts qui la génère. Ainsi on dispose de nouvelles équations (autant que de degrés d'hyperstaticité) qui vont permettre de résoudre le problème. 11.3 Exemples 11.3.1Problème hyperstatique en traction La poutre de caractéristiques géométriques et mécaniques connues (L, S, E) est articulée à ses deux extrémités, et subit lors de son montage un allongement δ connu. La première étape du calcul permet de déterminer le degré d’hyperstaticité du montage. Le PFS donne le système d’équation suivant : XA + XB = 0 (1) YA + YB = 0 (2) YB L = 0 (3) L’équation (1) confirme le degré d’hyperstaticité égal à 1 : une équation et deux inconnues. Pour la deuxième étape la condition géométrique est donnée par la condition de montage c'est à dire que le déplacement du point B est δ: x(B) = δ La troisième étape donne le torseur des efforts intérieurs: la poutre est soumise de la traction pure : N = XB Dans la quatrième étape on relie la déformation aux efforts qui la génère : ES NL = δ ainsi on déduit que L ES X X A B δ = − = A B A B δ Avant montage Après montage
  • 22. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 22/23 11.3.2Problème hyperstatique en torsion Le déplacement est ici un angle, la (les) condition(s) géométrique(s) à écrire est (sont) une (des) condition(s) de déplacement angulaire. La barre ci-contre, de caractéristiques géométriques et mécaniques connues (L1, L2, IG, G), est liée au bâti par une rotule à doigt à son extrémité A et une linéaire à doigt à son extrémité B. Au montage, une fois le doigt de la liaison en A en place, celui de la liaison en B nécessite de déformer l’arbre pour réaliser l’assemblage. La barre est soumise dans la section de centre C à un couple → x Cm . Première étape : étude statique, équation de moment en projection sur → x : 0 L L C B A m = + + Cette équation traduit le degré d’hyperstaticité du montage. Deuxième étape : la condition géométrique est donnée par la condition de montage c'est à dire que la rotation de la section (SB) par rapport à (SA) est égale à δα. Troisième étape : étude de la sollicitation Torseur des efforts intérieurs dans le tronçon (A, C) : { }           − = = = → → → → x L M 0 R G F A 1 / 2 G t 1 / 2 1 int Torseur des efforts intérieurs dans le tronçon (C, B) : { }           = = = → → → → x L M 0 R G F B 1 / 2 G t 1 / 2 2 int La poutre est soumise à de la torsion pure, de moment de torsion A 1 t L M − = dans le premier tronçon, et B 2 t L M = dans le second. Quatrième étape : étude des déformations Du tronçon (A, C) : 1 G A 1 G 1 t L GI L L GI M ) A ( ) C ( − = = α − α Du tronçon (C, B) : 2 G B 2 G 2 t L GI L L GI M ) C ( ) B ( = = α − α Après résolution : 1 2 m 1 G B L L C L GI L + − δα = et 1 2 m 2 G A L L C L GI L + − δα − = Avant Après δ B B Exploitation de la condition géométrique sur les déplacements : [ ] [ ] δα = − + = α − α + α − α = α − α 1 G A 2 G B L GI L L GI L ) A ( ) C ( ) C ( ) B ( ) A ( ) B ( D’où l’équation supplémentaire : ( ) G 1 A 2 B GI L L L L δα = − A B → y C L 1 L 2 → x Cm
  • 23. Lycée Paul Constans cours_RDM.docx S2I S.Ansoud Page 23/23 11.3.3Problème hyperstatique en flexion Les déplacements sont ici une dimension (flèche) et un angle (rotation de section), la (les) condition(s) géométrique(s) à écrire est (sont) une (des) condition(s) sur des longueurs et/ou sur des angles. Exemple La poutre de caractéristiques géométriques et mécaniques connues (L, S, IGz, E) est encastrée à son extrémité A et en appui simple en C. Avant mise en place de la charge en B, la poutre est à une distance d de son appui en C. Après montage, l’appui est réalisé et la problème consiste à déterminer les actions en A et C. Première étape : étude statique, moment en C      = + − = − + = 0 ) F Y ( L N 0 F Y Y 0 X A A C A A Les équations (2) et (3) confirment le degré d’hyperstaticité égal à 1 : deux équations et trois inconnues. Deuxième étape : la condition géométrique est donnée par la condition de montage c'est à dire que le déplacement du point C est δ:y(C) = δ Troisième étape : étude de la sollicitation dans le tronçon (A, C) Torseur des efforts intérieurs:{ } { }           λ − − = − = = = → → → → s A A 1 / 2 G t s A 1 / 2 1 E / 2 E int z ) Y N ( M y Y R G F F La poutre est soumise à de la flexion simple, de moment fléchissant ) Y N ( M A A f λ − − = et d’effort tranchant A Y T − = Quatrième étape : étude de la déformée du tronçon (A, C) Gz A A Gz f EI N Y EI M ) ( ' ' f − λ = = λ       + λ − λ = λ 1 A A 2 Gz C N Y 2 EI 1 ) ( ' f       + λ + λ − λ = λ 2 1 A 2 A 3 Gz C C N 2 Y 6 EI 1 ) ( f D’où l’équation de la déformée :       − λ λ = λ A A Gz 2 N Y 3 EI 2 ) ( f Exploitation de la condition géométrique mise en place à l’étape 2 :       − = δ = A A Gz 2 N Y 3 L EI 2 L ) L ( f Cette équation s’ajoute aux deux équations de la statique, et permet de résoudre le système.          − δ − = − δ − = + δ = = δ 2 F L EI 3 Y 2 FL 5 L EI 3 N 2 F 3 L EI 3 Y EI 2 L 3 Gz C 2 Gz A 3 Gz A Gz 2 A B C A B δ Après montage C L L Avant montage A B C λ (S) G Les conditions de déplacement au niveau de l’encastrement en A permettent de déterminer les 2 constantes d’intégration : 0 1 C 0 ) 0 ( ' f = ⇒ = et 0 2 C 0 ) 0 ( f = ⇒ =