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Arbre
Le frettage – emmanchement forcé
1,1 définition:
Le frettage est un assemblage par ajustement serré entre un arbre est un alésage
cylindrique. La transmission d’un effort axial ou d’un couple de torsion est obtenue
par la conjonction des effets dus au frottement et au serrage dans la zone de
contact.
moyeu
Avant montage:
d
A
d
M
dA > dM
moyeu
dM < d serrage < dA
d
serrage
Après montage:
Le frettage – emmanchement forcé
Avantages :
Assemblage de réalisation simple qui assure un centrage efficace.
•Inconvénients :
•Une plus grande précision dimensionnelle des surfaces conjuguées
•La nécessité de réaliser un bon état de surface.
•Diminution de la résistance à la fatigue des arbres.
Un assemblage fretté peut être réaliser par :
a. Montage à la presse (fig.2): inconvénient majeur étant une certaine
dégradation de la surface commune.
b. Échauffement de la pièce dans un bain d’huile (fig.3).
c. Refroidissement de la pièce mâle dans l’azote liquide (fig.4).
d. Échauffement de la pièce alésage et refroidissement de la pièce
mâle (quand le serrage désiré est important)
e. Par injection d’huile (3000 bars) entre les surfaces conjuguées en
même temps que l’on déplace le moyeu par rapport à l’arbre.
Les quatre dernières méthodes présentent l’avantage de ne pas dégrader la
surface de contact.
Calcul des assemblages frettés
La grandeur de base ici est le serrage δ, égal à la différence entre le diamètre de
l’arbre et le diamètre de l’alésage (Fig.1)
Pendant l’assemblage l’arbre subit une déformation élastique et son diamètre
diminue de 2ρ1 ; l’alésage subit aussi une déformation élastique et son diamètre
augmente de 2ρ2
Fig.1
Calcul des assemblages frettés
•Les déformations élastiques provoquent une
pression de contact « P » entre les deux
surfaces conjuguées de l’assemblage et qui
assure la liaison encastrement ente eux.
•La relation entre la pression de contact « P »
et le serrage δ (fig.5) est exprimée par la
formule suivante : (théorie d’élasticité –
comportement des enveloppes épaisses)
d – diamètre nominal de l’assemblage [m]
P – pression de contact [N/m²]
δ – serrage minimal nécessaire [µm]
E1 et E2 – module d’élasticité de l’arbre et de l’alésage [N/m²]
C1 et C2 – coefficients déterminés par les relations suivantes :
ν1 et ν2 – Coefficients de poisson du matériau de
l’arbre et de l’alésage
Pour l’acier : E = (2,1 à 2,2) 1011 [Pa] ; ν = 0,3
Pour le bronze : E = (1 à 1,1) 1011 [Pa] ; ν = 0,33
(3)
Le frettage – emmanchement forcé
L’assemblage doit vérifier les conditions
suivantes :
Liaison sans glissement
La contrainte effective dans l’arbre et
l’alésage, due à la pression de contact P, ne
doit pas dépasser la limite d’élasticité du
matériau.
a.La liaison sans glissement, dans un assemblage soumis à un effort axial F, est
assurée si la force de frottement créée T est supérieure à F :
µ – coefficient de frottement au repos
p > F
T= π d l μ
l – longueur d’emmanchement [m]
Le frettage – emmanchement forcé
b. Dans le cas d’un assemblage
transmettant un couple C, la liaison
sans glissement est assurée si le
moment de frottement créé Mfr est
supérieur à C :
Si on remplace l’expression de la pression de contact P dans la relation (3) on
obtient pour le serrage :
dans le car d’une charge axiale F :
……(3)
dans le car d’un couple transmis C :
relation (3)
Le frettage – emmanchement forcé
dans le car d’une charge axiale F :
dans le car d’une charge axiale F combinée avec un couple C :
2C/d
Le frettage – emmanchement forcé
Dans le cas d’un montage à la presse la surface de contact commune
subit une dégradation qui diminue le serrage calculé δ. Pour
compenser cette diminution, on ajoute une …………………………., qui dépend
de la qualité d’état de surface de l’arbre et de l’alésage, à la valeur calculée δ.
Correction δ’
δ’= 1,2 (Rz1+Rz2) en µm
Rz1 et Rz2 – hauteur maximale du profil d’état de surface,
respectivement, de l’arbre et de l’alésage. (Voir Guide du dessinateur
– chap. état de surface.)
L’ajustement serré choisi, dans ce cas, doit assurer un serrage
minimal (fig.6) toujours supérieur ou égal à δ + δ’:
S
max
S
min
1,2 (Rz1+Rz2)
1.3 Vérification de la résistance mécanique
critère de Von Mises pour un état plan de contrainte en coordonnées
cylindriques
(σt≠ 0 ET σr≠0 ET σa=0)
σ eq - La contrainte maximale composée
σr
σt
σr
σt
ρ
I I
contraintes en un point I du moyeu 2
σr
σt
σr
σt
ρ
I
I
contraintes en un point I de l’arbre 1
1.3 Vérification de la résistance mécanique
Formules de Lamé:
contraintes en un point I du moyeu 2
Quand 2ρ = d (Compression)
Quand 2ρ = d2
(extension )
σr
σt
+
-
(extension )
p
1.3 Vérification de la résistance mécanique
Formules de Lamé:
contraintes en un point I de l’arbre 1
σr
σt -
-
p
Quand 2ρ = d1
(Compression)
Quand 2ρ = d (Compression)
(Compression)
Condition de résistance :
La contrainte maximale composée σeq dans l’arbre et l’alésage, due à la pression de
contact P, ne doit pas dépasser 80% de la limite d’élasticité du matériau.
Le frettage – TD
Roue 8
Broche 9
l =78
d d1 d2
1. Calculer la pression de contact résultant du frettage. On admettra qu’on a un
emmanchement cylindrique de diamètre d= 65 mm, et que le diamètre intérieur de
perçage de la broche a pour valeur d1= 32 mm Le diamètre extérieur de la roue 8 d2
est pris égal à 110 mm.
2. Calculer la contrainte maximum de Von Mises sur la broche (9) Sachant que le
serrage radial après frettage est de 2/1000 mm au diamètre (d/d = 2 . 10-3 mm)
La broche 9 et la roue 8 sont en
acier : E1 = E2 =E = 210 .103 MPa;
ν1=ν2
Le frettage – TD
La relation entre la pression de contact « P » et le serrage (déformation) est
exprimée par :
Pour un même matériau : E1 = E2 =E = 210 .103; ν1=ν2
soit
Pour la broche 9 (arbre creux), on a : d1 = 32 mm , d = 65 mm
Pour la roue 8, le diamètre d2 = 110 mm,
d/d = 2 . 10-3 mm
Le frettage – TD
Le frettage – TD
En déduire la valeur du couple maximum transmissible par ce frettage en
adoptant les hypothèses suivantes :
- l’emmanchement fretté est cylindrique (Ø 65 mm) sur une longueur de 78 mm ;
- la pression de contact entre les deux pièces est uniforme ;
- le facteur de frottement au niveau des zones de contact est constant, f = 0,1 ;
- on se place en état d’équilibre limite.
Le frettage – TD
En déduire la valeur du couple maximum transmissible par ce frettage en
adoptant les hypothèses suivantes :
- l’emmanchement fretté est cylindrique (Ø 65 mm) sur une longueur de 78 mm ;
- la pression de contact entre les deux pièces est uniforme ;
- le facteur de frottement au niveau des zones de contact est constant, f = 0,1 ;
- on se place en état d’équilibre limite.
= p.f. d /2 ∫ ds = p.f. (d /2).S = p.f. (d /2).π .d.L
C = ∫ p.f.ds.d /2
C = (π/2).p.f.d2.L soit
C = (π/2) . 113 .0,1 . 652 . 78 = 5 849 512 N.mm
C = 5849,5 N.m
EMMANCHEMENT CONIQUE
Les emmanchements coniques permettent :
• Une réduction de l’encombrement
• La réduction des balourds (centrage précis de l’arbre et du moyeu)
• L’amélioration du comportement dynamique des assemblages clavetés libres par
élimination des chocs
• Un soulagement des clavettes par un apport d’une composante d’adhérence pour
le couple transmissible par l’assemblage
2.1 Introduction :
Les assemblages par cônes permettent d'obtenir des montages simples entre un
arbre et un moyeu tronconique.
• Le centrage réciproque des deux pièces est assuré par une conicité identique
sur les deux éléments.
• La poussée axiale du moyeu contre l’arbre crée une pression de contact
impliquant l’adhérence des surfaces coniques, ce qui élimine tout mouvement
possibles entre les pièces liées.
EMMANCHEMENT CONIQUE
Fig.10
d
D
EMMANCHEMENT CONIQUE
2.2 Couple transmissible par adhérence
• L'assemblage à cône est prévu pour transmettre un couple de torsion entre
l'arbre et le moyeu.
• Il est admis que la pression sur les surfaces en contact produite par l’effort axiale
de montage est uniforme et reste conservée après montage.
Calculons le couple limite transmissible.
• Un élément de surface dS de la
surface de contact vaut :
d
F dθ
θ
r
dr
dS = dl. r dθ
L’effort normal appliqué à dS est :
D
EMMANCHEMENT CONIQUE
dS = dl. r dθ L’effort normal appliqué à dS est :
:
D’après la loi de Coulomb L’effort tangentiel maximal que peut supporter l’adhérence est
Ainsi, le couple que peut supporter cet élément de
surface sans glissement est :
D
EMMANCHEMENT CONIQUE
Après intégration sur toute la surface du cône de contact on obtient l’expression du couple
maximale transmissible par adhérence comme suit:
Avec:
Le couple limite transmissible, sans le glissement des surfaces, peut alors se calculer par :
Cette dernière équation permettra de déterminer la
pression de contact à installer pour pouvoir
transmettre un couple donné 𝑪𝒕 comme suit
EMMANCHEMENT CONIQUE
Cette pression doit vérifier la condition de résistance au
matage :
Avec P𝒂dm est la pression de matage admissible
Il faut maintenant déterminer la force axiale à appliquer sur l’arbre pour développer
cette pression au niveau de la surface de contact
EMMANCHEMENT CONIQUE
Pour trouver la pression, supposons que l'arbre tronconique soit déplacé à
l'intérieur du moyeu par un système à vis et écrou. Soit Fa la force axiale
produite par l'écrou pendant le montage.
2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
La détermination de la pression sur les surfaces tronconiques de l'assemblage
nécessite l'introduction de quelques hypothèses simplificatrices :
1. la pression entre l'arbre et le moyeu est supposée répartie uniformément sur
toute les surfaces de contact,
2. les coefficients de frottement après montage restent invariables,
3. la pression dépend seulement de la géométrie des deux surfaces en contact,
la forme extérieure du moyeu étant négligée.
EMMANCHEMENT CONIQUE
2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
 Une force de pression normale 𝑑N
 Une force de frottement 𝑑𝑇𝑓
 La somme de toutes les composantes
radiales de ces deux forces est nulle
Un élément de surface dS du cône de contact
est sollicité par :
La résultante des composantes axiales s’oppose à la force de montage et peut être
exprimée en fonction de la pression p comme suit :
EMMANCHEMENT CONIQUE
2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
Après intégration sur toute la surface de
contact on obtient :
EMMANCHEMENT CONIQUE
2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
Ainsi , l'équilibre des efforts axiaux appliqués sur l’arbre s'écrit :
• Au moment de démontage les forces de pression ont tendances à repousser
l’arbre par rapport au moyeu ce qui favorise le démontage
• A l’inverse, les forces d’adhérences ont tendances à garder le contact et
s’opposent ainsi au démontage.
2.4 FORCE AXIALE DE DEMONTAGE
EMMANCHEMENT CONIQUE
2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
 Le démontage peut avoir lieu sans nécessité d’un effort axial
de démontage si les efforts de pression dépassent les efforts
d’adhérence, c’est-à-dire :
D’où
 On en déduit que la condition d’irréversibilité (le démontage n’est possible qu’après
application d’une force axiale supplémentaire de démontage 𝑭𝒂
𝒅em ) est :
EMMANCHEMENT CONIQUE
2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE
Dans ce cas la force axiale minimale de démontage peut être calculée par l’équation :

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  • 1. Arbre Le frettage – emmanchement forcé 1,1 définition: Le frettage est un assemblage par ajustement serré entre un arbre est un alésage cylindrique. La transmission d’un effort axial ou d’un couple de torsion est obtenue par la conjonction des effets dus au frottement et au serrage dans la zone de contact. moyeu Avant montage: d A d M dA > dM moyeu dM < d serrage < dA d serrage Après montage:
  • 2. Le frettage – emmanchement forcé Avantages : Assemblage de réalisation simple qui assure un centrage efficace. •Inconvénients : •Une plus grande précision dimensionnelle des surfaces conjuguées •La nécessité de réaliser un bon état de surface. •Diminution de la résistance à la fatigue des arbres. Un assemblage fretté peut être réaliser par : a. Montage à la presse (fig.2): inconvénient majeur étant une certaine dégradation de la surface commune. b. Échauffement de la pièce dans un bain d’huile (fig.3). c. Refroidissement de la pièce mâle dans l’azote liquide (fig.4). d. Échauffement de la pièce alésage et refroidissement de la pièce mâle (quand le serrage désiré est important) e. Par injection d’huile (3000 bars) entre les surfaces conjuguées en même temps que l’on déplace le moyeu par rapport à l’arbre. Les quatre dernières méthodes présentent l’avantage de ne pas dégrader la surface de contact.
  • 3. Calcul des assemblages frettés La grandeur de base ici est le serrage δ, égal à la différence entre le diamètre de l’arbre et le diamètre de l’alésage (Fig.1) Pendant l’assemblage l’arbre subit une déformation élastique et son diamètre diminue de 2ρ1 ; l’alésage subit aussi une déformation élastique et son diamètre augmente de 2ρ2 Fig.1
  • 4. Calcul des assemblages frettés •Les déformations élastiques provoquent une pression de contact « P » entre les deux surfaces conjuguées de l’assemblage et qui assure la liaison encastrement ente eux. •La relation entre la pression de contact « P » et le serrage δ (fig.5) est exprimée par la formule suivante : (théorie d’élasticité – comportement des enveloppes épaisses) d – diamètre nominal de l’assemblage [m] P – pression de contact [N/m²] δ – serrage minimal nécessaire [µm] E1 et E2 – module d’élasticité de l’arbre et de l’alésage [N/m²] C1 et C2 – coefficients déterminés par les relations suivantes : ν1 et ν2 – Coefficients de poisson du matériau de l’arbre et de l’alésage Pour l’acier : E = (2,1 à 2,2) 1011 [Pa] ; ν = 0,3 Pour le bronze : E = (1 à 1,1) 1011 [Pa] ; ν = 0,33 (3)
  • 5. Le frettage – emmanchement forcé L’assemblage doit vérifier les conditions suivantes : Liaison sans glissement La contrainte effective dans l’arbre et l’alésage, due à la pression de contact P, ne doit pas dépasser la limite d’élasticité du matériau. a.La liaison sans glissement, dans un assemblage soumis à un effort axial F, est assurée si la force de frottement créée T est supérieure à F : µ – coefficient de frottement au repos p > F T= π d l μ l – longueur d’emmanchement [m]
  • 6. Le frettage – emmanchement forcé b. Dans le cas d’un assemblage transmettant un couple C, la liaison sans glissement est assurée si le moment de frottement créé Mfr est supérieur à C : Si on remplace l’expression de la pression de contact P dans la relation (3) on obtient pour le serrage : dans le car d’une charge axiale F : ……(3) dans le car d’un couple transmis C : relation (3)
  • 7. Le frettage – emmanchement forcé dans le car d’une charge axiale F : dans le car d’une charge axiale F combinée avec un couple C : 2C/d
  • 8. Le frettage – emmanchement forcé Dans le cas d’un montage à la presse la surface de contact commune subit une dégradation qui diminue le serrage calculé δ. Pour compenser cette diminution, on ajoute une …………………………., qui dépend de la qualité d’état de surface de l’arbre et de l’alésage, à la valeur calculée δ. Correction δ’ δ’= 1,2 (Rz1+Rz2) en µm Rz1 et Rz2 – hauteur maximale du profil d’état de surface, respectivement, de l’arbre et de l’alésage. (Voir Guide du dessinateur – chap. état de surface.) L’ajustement serré choisi, dans ce cas, doit assurer un serrage minimal (fig.6) toujours supérieur ou égal à δ + δ’: S max S min 1,2 (Rz1+Rz2)
  • 9. 1.3 Vérification de la résistance mécanique critère de Von Mises pour un état plan de contrainte en coordonnées cylindriques (σt≠ 0 ET σr≠0 ET σa=0) σ eq - La contrainte maximale composée σr σt σr σt ρ I I contraintes en un point I du moyeu 2 σr σt σr σt ρ I I contraintes en un point I de l’arbre 1
  • 10. 1.3 Vérification de la résistance mécanique Formules de Lamé: contraintes en un point I du moyeu 2 Quand 2ρ = d (Compression) Quand 2ρ = d2 (extension ) σr σt + - (extension ) p
  • 11. 1.3 Vérification de la résistance mécanique Formules de Lamé: contraintes en un point I de l’arbre 1 σr σt - - p Quand 2ρ = d1 (Compression) Quand 2ρ = d (Compression) (Compression) Condition de résistance : La contrainte maximale composée σeq dans l’arbre et l’alésage, due à la pression de contact P, ne doit pas dépasser 80% de la limite d’élasticité du matériau.
  • 12. Le frettage – TD Roue 8 Broche 9 l =78 d d1 d2 1. Calculer la pression de contact résultant du frettage. On admettra qu’on a un emmanchement cylindrique de diamètre d= 65 mm, et que le diamètre intérieur de perçage de la broche a pour valeur d1= 32 mm Le diamètre extérieur de la roue 8 d2 est pris égal à 110 mm. 2. Calculer la contrainte maximum de Von Mises sur la broche (9) Sachant que le serrage radial après frettage est de 2/1000 mm au diamètre (d/d = 2 . 10-3 mm) La broche 9 et la roue 8 sont en acier : E1 = E2 =E = 210 .103 MPa; ν1=ν2
  • 13. Le frettage – TD La relation entre la pression de contact « P » et le serrage (déformation) est exprimée par : Pour un même matériau : E1 = E2 =E = 210 .103; ν1=ν2 soit Pour la broche 9 (arbre creux), on a : d1 = 32 mm , d = 65 mm Pour la roue 8, le diamètre d2 = 110 mm, d/d = 2 . 10-3 mm
  • 15. Le frettage – TD En déduire la valeur du couple maximum transmissible par ce frettage en adoptant les hypothèses suivantes : - l’emmanchement fretté est cylindrique (Ø 65 mm) sur une longueur de 78 mm ; - la pression de contact entre les deux pièces est uniforme ; - le facteur de frottement au niveau des zones de contact est constant, f = 0,1 ; - on se place en état d’équilibre limite.
  • 16. Le frettage – TD En déduire la valeur du couple maximum transmissible par ce frettage en adoptant les hypothèses suivantes : - l’emmanchement fretté est cylindrique (Ø 65 mm) sur une longueur de 78 mm ; - la pression de contact entre les deux pièces est uniforme ; - le facteur de frottement au niveau des zones de contact est constant, f = 0,1 ; - on se place en état d’équilibre limite. = p.f. d /2 ∫ ds = p.f. (d /2).S = p.f. (d /2).π .d.L C = ∫ p.f.ds.d /2 C = (π/2).p.f.d2.L soit C = (π/2) . 113 .0,1 . 652 . 78 = 5 849 512 N.mm C = 5849,5 N.m
  • 17. EMMANCHEMENT CONIQUE Les emmanchements coniques permettent : • Une réduction de l’encombrement • La réduction des balourds (centrage précis de l’arbre et du moyeu) • L’amélioration du comportement dynamique des assemblages clavetés libres par élimination des chocs • Un soulagement des clavettes par un apport d’une composante d’adhérence pour le couple transmissible par l’assemblage 2.1 Introduction : Les assemblages par cônes permettent d'obtenir des montages simples entre un arbre et un moyeu tronconique. • Le centrage réciproque des deux pièces est assuré par une conicité identique sur les deux éléments. • La poussée axiale du moyeu contre l’arbre crée une pression de contact impliquant l’adhérence des surfaces coniques, ce qui élimine tout mouvement possibles entre les pièces liées.
  • 19. EMMANCHEMENT CONIQUE 2.2 Couple transmissible par adhérence • L'assemblage à cône est prévu pour transmettre un couple de torsion entre l'arbre et le moyeu. • Il est admis que la pression sur les surfaces en contact produite par l’effort axiale de montage est uniforme et reste conservée après montage. Calculons le couple limite transmissible. • Un élément de surface dS de la surface de contact vaut : d F dθ θ r dr dS = dl. r dθ L’effort normal appliqué à dS est : D
  • 20. EMMANCHEMENT CONIQUE dS = dl. r dθ L’effort normal appliqué à dS est : : D’après la loi de Coulomb L’effort tangentiel maximal que peut supporter l’adhérence est Ainsi, le couple que peut supporter cet élément de surface sans glissement est : D
  • 21. EMMANCHEMENT CONIQUE Après intégration sur toute la surface du cône de contact on obtient l’expression du couple maximale transmissible par adhérence comme suit: Avec: Le couple limite transmissible, sans le glissement des surfaces, peut alors se calculer par : Cette dernière équation permettra de déterminer la pression de contact à installer pour pouvoir transmettre un couple donné 𝑪𝒕 comme suit
  • 22. EMMANCHEMENT CONIQUE Cette pression doit vérifier la condition de résistance au matage : Avec P𝒂dm est la pression de matage admissible Il faut maintenant déterminer la force axiale à appliquer sur l’arbre pour développer cette pression au niveau de la surface de contact
  • 23. EMMANCHEMENT CONIQUE Pour trouver la pression, supposons que l'arbre tronconique soit déplacé à l'intérieur du moyeu par un système à vis et écrou. Soit Fa la force axiale produite par l'écrou pendant le montage. 2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE La détermination de la pression sur les surfaces tronconiques de l'assemblage nécessite l'introduction de quelques hypothèses simplificatrices : 1. la pression entre l'arbre et le moyeu est supposée répartie uniformément sur toute les surfaces de contact, 2. les coefficients de frottement après montage restent invariables, 3. la pression dépend seulement de la géométrie des deux surfaces en contact, la forme extérieure du moyeu étant négligée.
  • 24. EMMANCHEMENT CONIQUE 2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE  Une force de pression normale 𝑑N  Une force de frottement 𝑑𝑇𝑓  La somme de toutes les composantes radiales de ces deux forces est nulle Un élément de surface dS du cône de contact est sollicité par : La résultante des composantes axiales s’oppose à la force de montage et peut être exprimée en fonction de la pression p comme suit :
  • 25. EMMANCHEMENT CONIQUE 2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE Après intégration sur toute la surface de contact on obtient :
  • 26. EMMANCHEMENT CONIQUE 2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE Ainsi , l'équilibre des efforts axiaux appliqués sur l’arbre s'écrit : • Au moment de démontage les forces de pression ont tendances à repousser l’arbre par rapport au moyeu ce qui favorise le démontage • A l’inverse, les forces d’adhérences ont tendances à garder le contact et s’opposent ainsi au démontage. 2.4 FORCE AXIALE DE DEMONTAGE
  • 27. EMMANCHEMENT CONIQUE 2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE  Le démontage peut avoir lieu sans nécessité d’un effort axial de démontage si les efforts de pression dépassent les efforts d’adhérence, c’est-à-dire : D’où  On en déduit que la condition d’irréversibilité (le démontage n’est possible qu’après application d’une force axiale supplémentaire de démontage 𝑭𝒂 𝒅em ) est :
  • 28. EMMANCHEMENT CONIQUE 2.3 PRESSION DANS L'ASSEMBLAGE À CÔNE Dans ce cas la force axiale minimale de démontage peut être calculée par l’équation :