Résistance des Matérieaux

R.D.M.Résistance des Matériaux
Institut de Technologie du Cambodge
2007-2008 Vong Seng

Plan du Cours1- Introduction
2- Actions
3- Contraintes
4- Déformation
5- Propriétés Mécaniques des Matériaux
6- Caractéristiques Géométriques d’une Section
7- Types d’Appuis
8- Eléments de Réduction
9- Traction et Compression Simple
10- Flexion pure
11- Flexion Cisaillante
12- Flexion Gauche
13- Flexion Composée
14- Flexion des Pièces Courbes
15- Comportement au-delà du Domaine Elastique
16- Calcul des Déplacements de la Poutre
17- Flambement des Pièces Longes
18- Torsion
19- Concentration des Contraintes
20- Critère de Défaillance et Contraintes Permises

1- Introduction
1.1- Le but
L’étude de la résistance des matériaux a pour but d’assurer
qu’on utilise dans une pièce donnée, une quantité minimale de
matériau, tout en satisfaisant aux exigences suivantes :
- Résistance : la pièce doit pouvoir supporter et transmettre les
charges externes qui lui sont imposées ;
- Rigidité : la pièce ne doit pas subir de déformation excessive
lorsqu’elle est sollicitée ;
- Stabilité : la pièce doit conserver son intégrité géométrique
afin que soient évitées des conditions d’instabilité
(flambement) ;
- Endurance : la pièce, si elle est soumise à un chargement
répété, doit pouvoir tolérer sans rupture un certain nombre de
cycles de sollicitation variable (fatigue) ;
- Résilience : enfin, dans le cas où un chargement dynamique
est à prévoir (impact), la pièce doit pouvoir absorber une
certaine quantité d’énergie sans s’en trouver trop endommagée.

1- Introduction
1.2- Hypothèses de base
Les hypothèses de bas que nous posons sont les suivantes :
- Un matériau continu n’a ni fissures ni cavités.
- Un matériau homogène a les mêmes propriétés en tout point.
- Un matériau isotrope a, en un point donné, les mêmes
propriétés dans toutes les directions.
- Les forces internes à l’état initial, dites « résiduelle », sont
souvent présentes dans les matériaux. Si ces forces ne sont
pas suffisamment faibles pour être jugées négligeables, il faut
soit tenir compte en les mesurant expérimentalement, soit
les réduire par les techniques spéciales (par exemple le
traitement thermique).
1.3- Méthode de résolution
On résout un problème de résistance des matériaux selon une
démarche systématique qui comporte les trois étapes
fondamentales suivantes :

1- Introduction
- L’étude des forces et des conditions d’équilibre ;
- L’étude des déplacements et de la compatibilité géométrique ;
- L’application des relations forces/déplacements
Les conditions d’exigences pour études des équilibres du
corps sont équilibre de translation et équilibre de
rotation
0F =∑
0M =∑
Dans un système de coordonnées cartésiennes (axes des x,
des y et des z), ces équations vectorielles sont équivalentes
aux six scalaires ci-dessous:
Équilibres de translation :
Suivante axe X : ΣFx = 0
Suivante axe Y : ΣFy = 0
Suivante axe Z : ΣFz = 0
Équilibres de rotation :
Autour de l’axe X : ΣMx = 0
Autour de l’axe Y : ΣMy = 0
Autour de l’axe Z : ΣMz = 0

2- Actions
2.1- Types des actions
On distingue les actions suivantes :
a.) leur mode d’action :
- Action direct : (les charges en général) forces
concentrées ou réparties
- Actions indirectes : déformations imposées ou entravées
b.) leur variation dans le temps :
- Actions permanentes, désignées par G ou g : poids propre des
structures, poids propre des éléments non structuraux,
poussée des terres, déformations imposées par leur mode de
construction de la structure, tassements,...
- Actions variables, désignée par Q ou q : charge d’exploitation,
poids de certains éléments en phase constructive, charge de
montage, charge mobiles et leurs effets, vent, déformations
imposées par les variations de températures,...
- Actions accidentelles : chocs et explosions, incendie,
affaissements accidentels, tremblements de terre, ...

2- Actions
2.2- Forces externes
Ce sont les charges appliquées (ou sollicitations) sur un système
par des forces ou des couples, ce qui permet de quantifier et
d’idéaliser l’interaction entre deux systèmes mécaniques. Par
exemples les charges d’exploitation, les pressions, le vent, son
poids propre,... etc.

2- Actions
- Forces de surface (ou forces surfaciques) :
Elles sont causées par le contact entre deux corps. Pour le cas
particulier, la surface de contact est beaucoup plus petite par
rapport à la surface totale du corps, on peut les idéaliser
comme une force concentrée (ou charge concentrée) telle que
cette force est appliquée en un point. Et on peut encore les
idéaliser comme une force répartie linéaire (ou charge répartie
linéaire) si la force est appliquée au long une surface étroite.
- Forces de volume (ou forces volumiques)
Un corps est exercé par une force sans contact physiquement
en direct avec un autre corps. Cette force due à la gravité ou au
champ électromagnétique et elle représente normalement une
force concentrée exercée au centre de gravité du corps
s’appelant le poids propre.

2- Actions
2.3- Forces internes
L’étude des matériaux relève qu’il existe des forces d’attraction
et de répulsion intermoléculaire, forces qui sont en équilibre et
qui maintiennent un certain espacement entre les molécules.
Sous l’action de sollicitations externes, cet équilibre est modifié,
ce qui entraîne la déformation du matériau. Les forces
engendrées par l’action des sollicitations sont appelées forces
internes. Le matériau doit être suffisamment résistant pour
supporter l’action des forces internes sans se détériorer : c’est
là l’essence même de l’étude de la résistance des matériaux.

2- Actions
Effort normal (N) : C’est la force interne exercée normale à la
facette considérée.
Effort tranchant (T) : C’est la force interne exercée tangente à
la facette considérée.
Moment fléchissant ou moment de flexion (Mf) : C’est le couple
interne exercé autour de l’axe perpendiculaire au plan de
structure étudiée.
Moment de torsion (Mt) : C’est le couple interne exercé autour
de l’axe de la poutre étudiée.

3- Contraintes
En chaque point M d'un solide, il existe des forces intérieures
que l'on met en évidence en effectuant une coupure du solide,
par une surface S, en deux parties A et B. La partie A est en
équilibre sous l'action des forces extérieures qui lui sont
directement appliquées et des forces intérieures réparties sur la
coupure.
Considérons un point M de S. Soit dS un élément infinitésimal
de la surface S entourant M et le vecteur unitaire,
perpendiculaire en M à S et dirigé vers l'extérieur de la partie A.
Nous appellerons cet ensemble facette en M.
n
n

( , )
d F
T M n
dS
=
Soit la force qui s'exerce sur cette facette. On appelle
vecteur contrainte sur la facette en M, la quantité :n
3- Contraintes
( , ) ( , )T M n T M n− = −
Le vecteur contraint peut être
décomposé en sa composante
suivant et sa projection sur
la facette
n

3- Contraintes
x xy xz
yx y yz
zx zy z
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
i
j
k
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
( , ) ( , ) ( , )T M i T M j T M k
Composantes sur

3- Contraintes
3.1- Equations d’équilibre
Plan de contrainte xy
0xz zxτ τ= =
0yz zyτ τ= =
0zσ =

3- Contraintes
Equilibre de translation selon x
Equilibre de translation selon y
Equilibre de translation selon y

3- Contraintes
0xyx xz
xf
x y z
τσ τ∂∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
0yx y yz
yf
x y z
τ σ τ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
0zyzx z
zf
x y z
ττ σ∂∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂
xy yxτ τ=
xz zxτ τ=
yz zyτ τ=
Equilibre de l'état de contrainte en trois dimensions
Equilibre de translation
Equilibre de rotation

3- Contraintes
3.2- L’état de contrainte dans un plan selon des
directions arbitraires

3- Contraintes
x y x y
x' xy
x y x y
y' xy
x y
x'y' xy
cos2 sin 2
2 2
cos2 sin 2
2 2
sin 2 cos2
2
σ + σ σ − σ
σ = + θ + τ θ
σ + σ σ − σ
σ = − θ − τ θ
σ − σ
τ = − θ + τ θ

3- Contraintes
Direction et contrainte principale
Dans le plan de
contrainte , il existe 2
directions telles que
– la contrainte normale
est extrémale (max ou
min)
– les contraintes
tangentielles sont
nulles

3- Contraintes
– directions principales
valeurs principales
– directions
valeurs

4- Déformation
Sous l'action des forces appliquées, les points du solide se
déplacent. Il en résulte, pour des fibres infinitésimales de
matière, des variations de longueur et des variations d'angle
appelées déformations.

4- Déformation
Déformation normale
Déformation de cisaillement

4- Déformation
L'état de déformation en trois dimensions

4- Déformation
L’état plan de déformation
0zε =
0yz zyγ γ= =
0xz zxγ γ= =

4- Déformation
x
y
A B
C
A’
B’
C’
v
u
dy
dx
dx
x
v
∂
∂
xd
x
u
u
∂
∂
+
dy
y
u
∂
∂
dy
y
v
v
∂
∂
+
1β
2β
x
u
x
v
tan βtan βββ)B'A'(C'angle
2
π
y
v
dy
dyvdy
y
v
vdy
AC
ACC'A'
x
u
dx
dxudx
x
u
udx
AB
ABB'A'
2121
∂
∂
+
∂
∂
≈
+≈+=−=
∂
∂
=
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
=
−
=
∂
∂
=
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
=
−
=
xy
y
x
γ
ε
ε
4.1- Relation entre
déplacement et
déformation
2D

4- Déformation
3D
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
zx
yz
xy
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
γ
γ
γ
ε
ε
ε

4- Déformation
4.2- L’état de déformation dans un plan selon
des directions arbitraires

4- Déformation
Composants de dx' sur
axes x et y

4- Déformation
Déformation selon des directions x' et y'

4- Déformation
Cercle de Mohr
2
xy
xy
γ
ε =

4- Déformation
Direction et déformation
principale
Dans le plan de
déformation , il existe 2
directions telles que
– la déformation normale est
extrémale (max ou min)
– les déformations de
cisaillements sont nulles

4- Déformation
– directions principales
valeurs principales
– directions
valeurs

4- Déformation
Jauge de déformation
Wheatstone Bridge

4- Déformation
Quarter-Bridge Circuit
Half-Bridge Circuit
Full-Bridge Circuit
Use of Dummy Gauge to Eliminate
Temperature Effects

5.1- Essais de traction
Matériaux ductiles : acier doux
Matériaux ductiles : aluminium
x xEσ ε=

Striction
Matériaux fragiles
exemples : verre, béton, fonte

On se souvient que la déformation est la "variation de
longueur d'une longueur originellement unitaire"
f i
i i
L L L
L L
ε
− Δ
= = fL
iL
longueur final
longueur initial
Cette déformation, appelé déformation norminale, est d'une
grande utilité dans les applications courants
Déformations réelles
Pour de grandes déformation, cependand, on a quelquefois à la
déformation réelle, qu'on définit comme étant la somme des
déformations "instantanées"
L
L
ε ε
Δ
= Δ =∑ ∑ L longueur instantané
LΔ Lallongement de
0LΔ →
0
ln
f
i
L f
L
i
LdL
d
L L
ε
ε ε= = =∫ ∫
on obtientLorsque

5.2- Essais divers
Essai de compression
Essai de fatigue
courbe de Wöhler
Essai de fluage
sur métal à
haute
température
fluage d'une
éprouvette de
béton comprimé
Essai brésilien

Rupture par fluage
fluage Recouvrance
Relaxation
- Essai de résilience

5.3- Relations générales entre contraintes et
déformations dans le domaine élastique
Coefficient de Poisson
y z
x x
ε ε
ν
ε ε
= − = −
x xEσ ε=
0 0,5ν≤ ≤
0,3ν =
La valeur accordée à bon
nombre de matériaux
métalliques est
x
y z
E
σ
ε ε ν= = −
Relations générales

selon x due à xσ
selon x due à
yσ
selon x due à zσxσ
selon x due à zσ
yσ
selon x,y et z
et
Déformation de cisaillement
selon x,y et z

0x y zσ σ σ= = =
Relation entre E et G
0x yε ε= =

6.1- Le centroïde de la section
x
A
y
A
S ydA
S xdA
=
=
∫
∫
Moment statique ou
premier moment de
section
Lorsqu'une section A dont le contour est de forme complexe
peut être décompée en plusieur sous-sections simples
Le centroïde de la section
x
y

6.2- Moment d'inertie de section
Moment d'inertie ou
seconde moment de
section par rapport à
l'axe des x et à l'axe
des y
Produit d'inertie
Moment d'inertie polaire

6.3- Transfer d'axes parallèles

( )
( )
( )( )
22
'
22
'
' '
' cos sin
' cos sin
' ' cos sin cos sin
x
A A
y
A A
x y
A A
I y dA y x dA
I x dA x y dA
I x y dA x y y x dA
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
= = −
= = +
= = + −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
6.4- Rotation d'axes

6.5- Axes principaux
Cercle de Mohr

x
i i
i
x A
x
A
=
∑
∑
2
ix iix
I I y A= +∑ ∑
2
iy iyi
I I x A= +∑ ∑
ixy iixi yi
I I x y A= +∑ ∑
ii
i
y A
y
A
=
∑
∑
2
x ix
I I y A= − ∑
2
y iy
I I x A= − ∑
xy ix y
I I xy A= − ∑
6.6- Applications
( )
2
i iix x
I I y y A= + −∑ ∑
( )
2
i iy yi
I I x x A= + −∑ ∑
( )( )i iix y xi yi
I I x x y y A= + − −∑ ∑
2 2
i i iix x
I I y A y A= + −∑ ∑ ∑
2 2
i
i i iy y
I I x A x A= + −∑ ∑ ∑
i i iix y xi yi
I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑
ou bien
y
x
y

?
n
1
2
3
ix iy iA i ix A iiy A i iix y A
2
i ix A
2
iiy A ix
I
iy
I i ix y
I
i i
i
x A
x
A
=
∑
∑
ii
i
y A
y
A
=
∑
∑
i ix A∑iA∑Σ
2
i ix A∑iiy A∑
2
iiy A∑ iixy A∑ ix
I∑ iy
I∑ i ix y
I∑
2 2
i i iix x
I I y A y A= + −∑ ∑ ∑
2 2
i
i i iy y
I I x A x A= + −∑ ∑ ∑
i i iix y xi yi
I I x y A xy A= + −∑ ∑ ∑
tan 2
( ) / 2
x y
x y
I
I I
θ
−
=
−
2
2
max
min 2 2
x y x y
x y
I I I I
I I
+ −⎛ ⎞
= ± +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Tableau de calcul

7- Types d’Appuis
7.1- Système Plans
a.) Encastrement
b.) Articulation ou rotule
0 degré de liberté
3 composantes de réaction

7- Types d’Appuis
c.) Glissière
- Glissière avec articulation
d.) Rouleau
1 composante de
réaction
1 composante de
réaction

7- Types d’Appuis
e.) Appui déformable, appui élastique
Un appui est dit déformable lorsqu'il
peut subir des déplacements suivant
les directions de certaines
composantes de réaction
Un appui déformable est dit
élastique lorsque la
composante de
déplacement considérée
est une fonction linéaire de
la composante de réaction
correspondante

7- Types d’Appuis
f.) Appui concordants, appui non concordants
On dit que les appuis sont concordants lorsque les
composantes de réaction sont toutes nulles en l'absence de
sollicitations extérieures
Pour les systèmes hyperstatiques, le manque de concordance
d'un appui est représenté par le déplacement (translation ou
rotation) qu'il subit depuis la position concordante jusqu'à la
position réelle
Pour les systèmes isostatiques quant à leurs appuis, les
réactions de liaison sont obtenus uniquement grâce aux
équations d'équilibre et les appuis sont toujours concordants

7- Types d’Appuis
7.2- Système Spatiaux
Encastrement Articulation

7- Types d’Appuis
Appui sphéreique Rouleau

7- Types d’Appuis
7.3- Détermination des réactions d'appuis
Systéme plan
Équilibres de translation :
Suivante axe X : ΣFx = 0
Suivante axe Y : ΣFy = 0
Équilibres de rotation :
Autour de l’axe Z : ΣMz = 0
=
1R
2R
3R

8.1- Les hypothèses de RDM pour les poutres
Une poutre est définie par le
déplacement d'une aire de centre
de gravité G le long d'une fibre
moyenne G0G1. Cette section
reste perpendiculaire à la fibre
moyenne
Après déformation de la poutre, les sections
normales à la fibre moyenne reste planes et
orthogonales à la fibre déformée
Hypothèse de Navier-Bernoulli

Dans une section éliognée des points d'application des forces
concentrées (forces données et réactions d'appuis), les
contraintes et les déformations ne dépendent que de la
résultante et du moment résultant du système de forces dans
cette section
Principe de Saint Venant

8.2- Pricipe de la coupe - Eléments de réduction

Convention du sign
N > 0 T > 0 M > 0

8.3- Détermination des éléments de réduction
Métode de coupure
- Détermination
des réactions
En utilisant les
équations
d'équilibre
- Coupe la structure
En utilisant le
pricipe de la coupe
- Détermination des
éléments de réduction
En utilisant les équations
d'équilibre

;
- Diagram des éléments
de réduction

Métode d'intégration
Relations entre q, T, M

Cas générale: relations entre n,N et q, T, M

9.1- Poutre sollicitée par son poids propre, en traction

9.2- Poutre de section variable et poutre d'égale résistance

9.3- Pièce formée de deux matériaux
1
i i
i n
k k
k
E
N N
E
=
Ω
=
Ω∑
Cas général (n matériaux différents)

9.4- Enveloppe cylindrique en paroi mince soumise à pression
Formule des chaudiers

10- Flexion Pure
10.1- Introduction

10- Flexion Pure
10.2- Flexion pure en régime élastique

10- Flexion Pure
x
y y
ds a y
s R R
ε
−
= = =
x x
y
Ey
E
R
σ ε
−
= =

10- Flexion Pure
10.2.1- Relation moment fléchissant - courbure

10- Flexion Pure
10.2.2- Relation moment fléchissant - contrainte
x x
y
Ey
E
R
σ ε
−
= = z
x
z
C y
I
σ = −
z
x
z
M y
I
σ =
(Equation de Navier)
/
M M
I v W
σ = = /W I v= Module de flexion élastique

11.1- Distribution des Contraintes de Cisaillement
Théorie Approchée de Jourawski

Contrainte de cisaillement
Contrainte rasante

11.2- Exemple de répartion des Contraintes de
Cisaillement

11.3- Déformations résultant des contraintes tangentielles

11.4- Contrainte induite par Ty et contrainte
tangentielle résultante

11.5- Contrainte tangentielle dues à Ty dans les poutre en
parois minces à section ouverte. Flux de cisaillement

11.6- Centre de cisaillement
Flux de cisaillement

12- Flexion Gauche
12.1- Etudes de la flexion gauche dans les axes principaux
d'inertie

12- Flexion Gauche
12.2- Etudes de la flexion gauche dans les axes orthogonaux
quelconques

12- Flexion Gauche
2 3 2 2
2 3
3 2 3 3
2 3
E E
P I C
R R
E E
I P C
R R
⎧
− − =⎪
⎪
⎨
⎪ + =
⎪⎩

12- Flexion Gauche
ou
2/E R
3/E R

13.1- Centre de pression - Noyau central

13.2- Détermination du noyau central

Tracé point par point du contour du noyau central

13.3- Applications de la notion de noyau central
- Les constructions réalisées en matériaux résistant mal en traction

- Béton précontraint

- Flexion composée des poutres en matériaux ne restant pas à la
traction

14- Flexion des pièces courbes

15.1- Axe neutre plastic

15.2- Flexion élasto-plastique

15.3- Rotule plastique

15.4- Contraintes résiduelles dues à une flexion élasto-plastique

Déplacement de translation : déplacement
Déplacement
Déplacement axial : allongement ou raccourcissement
Déplacement transversal : flèche
Déplacement de rotation : rotation

La courbure à point x du au moment fléchissant
1 M
R EI
= −
La courbure de la courbe )(xfy = à point x
2/32
)'1(
"1
y
y
R +
=
'y 2
' 0y ≈petit
MEIy −="
"
M
y
EI
= −
ou
T
dx
dM
EIy −=−=)'"(
)()""( xq
dx
dT
EIy =−=
EI
xq
yIV )(
=
Equation différentielle du 4e ordre,
elle demande 4 conditions aux
limites pour résoudre

1- Conditions aux limites géométriques
y est imposé
θ='y est imposé
2- Conditions aux limites statiques
"EIyM −= est imposé ou "y est imposé
'''EIyT −= '''yest imposé ou est imposé
3- Conditions aux limites de passage
Conditions de continuité et conditions d’équilibre d’un point

17.1- Compression excentrée d'une tige droite tenant compte
du déplacement du point d'application de la charge

17.2- Charge critique de flambement

17.3- Compression centrée d'une tige ayant une légère
courbure initiale

17.4- Probleme d'Euler (Cas Idéal), Flambement par
bifurcation de l'état d'éqilibre

17.4- Différents cas de conditions d'appuis, longueur de
flambement et contrainte critique

18- Torsion
18.1- Torsion d'un barreau cylindrique

18- Torsion
18.2- Torsion d'un barreau non cylindrique

due à la force de traction

Les formules extraits de

Pour le cas de réduction de section

Les graphiques pour déterminer K

Pour les matériaux ductiles

ou à l'endroit de réduction de section
due à la flextion

Cas le trou percé au milieu de la poutre, par de problème
de concentration des contraintes

La distribution des
contraintes à l'endroit de
réduction de section due à
la torsion

20- Critères de déffaillance

+=
(*)

(*)

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