Cours r.d.m btps3

Cours de:
Résistance Des Matériaux
(R.D.M)
Pr: A. AKEF
Université Hassan II Ain Chok
Fac. Sciences Casablanca
LP : TMBTP
2010-2011

La Résistance Des Matériaux (R.D.M.), est
la science du dimensionnement des pièces
ou éléments qui constituent un ouvrage
d’art ou tout objet utilitaire.

Le génie civil, domaine de la création
intelligente, s’appuie essentiellement sur
la R.D.M. pour la réalisation des ouvrages
d’art ou des constructions telles que les
gros œuvres des bâtiments, les ponts en
béton armé ou métalliques etc...

Le dimensionnement (réalisé par des
bureaux d’études) fait appel à des calculs
qui prévoient le comportement mécanique
de l’objet, vis à vis des contraintes
imposées. Toute conception doit réunir les
meilleures conditions de sécurité,
d’économie et d’esthétique.

Historiquement, les premiers travaux de
recherche sur la R.D.M (tension et flexion
des poutres) remontent à la fin du XVIe
siècle( Etudes expérimentales de Galilée
(physicien, mathématicien et astronome
italien 1564-1642).
En 1678, Robert Hooke énonce les bases de
la théorie de l’élasticité linéaire.

Chapitre I
PRINCIPES
FONDAMENTAUX
DE LA STATIQUE

I Rappels mathématiques
1) Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs et
(on dit scalaire ) est la quantité algébrique
définie par :

A

B

A

B


 B
A

q

B
A












 A
B
B
A
B
A q
cos
k
z
j
y
i
x
B
k
z
j
y
i
x
A
'
'
'














'
'
'
z.z
y.y
x.x
B
A 






1
k
k
j
j
i
i 











0
i
k
k
j
j
i 











Produits scalaires élémentaires dans une
base orthonormée .





 


k
,
j
,
i

2) Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs et
(on dit vectoriel ) est le vecteur définie
par : B
A




A

B

A

B

unitaire
vecteur
:
n
π
θ
0
;
A
B
-
n
θ
sin
B
A
B
A















q

A
B

n
n
'
'
'
z
y
x
z
y
x
k
j
i



k
c
j
b
i
a
B
A
k
z
j
y
i
x
B
k
z
j
y
i
x
A
'
'
'























y
x
xy
c
;
xz
z
x
b
;
z
y
yz
a '
'
'
'
'
'







Produits vectoriels élémentaires dans une
base orthonormée directe .





 


k
,
j
,
i

































j
k
i
;
i
j
k
;
k
i
j
j
i
k
;
i
k
j
;
k
j
i

Exercice 1
On considère le système d’axes (O, x, y, z) de base
orthonormée directe .
Effectuer les calculs suivants :





 


k
,
j
,
i
z
O
2
A
y

j

i

k
3
2
x
2
B
C

















OC
OB
OA
BC
AB
AB
OA

Exercice 2
est un repère orthonormée directe. On
considère les vecteurs :
1) Calculer le produit scalaire et en déduire
l’angle entre les vecteurs et .
2) Calculer les composantes du vecteur .
3) Calculer par deux méthodes la norme de .
k
i
3
A





k
j
i
2
B








3
)
k
,
j
,
i
;
(O



B
.
A


B

A

B
A
C





C

C


II Statique des corps rigides
1) Système matériel
Un système matériel est un corps, ou un
ensemble de corps, ou une partie d’un
corps dont-on se propose d’étudier
l’équilibre ou le mouvement.
a - Définition

Dans ce cours, on se limitera à l’étude
des systèmes matériels en équilibre ou en
quasi-équilibre (hypothèses des petites
déformations).
b - Remarque

2) Force
Une force représente la mesure de ce qui
pousse ou tire sur un objet. Elle est définie
par un point d’application, une direction
(un support), un sens et une valeur
(module).
a - Définition
b - Unité
L’unité de la force est le Newton (N) ou le
kilogramme-force (kgf). 1kgf = 10N=1daN

c - moment d’une force par rapport à un
point.
F
OM
M /O
F


 

Le moment d’une force appliquée en
un point M par rapport à un point O est
donné par la relation vectorielle :
F



d - moment d’une force par rapport à un
axe.
 
u
,
F
,
OB
u
).
F
OB
(
u
.
M
M /O
F
/Δ
F







 



Le moment d’une force appliquée en
un point B par rapport à un axe est
donné par la relation scalaire :
F

Δ
est le vecteur unitaire de et O est un
point quelconque de .
u

Δ
Δ

3) Equilibre d’un corps ou d’un système
L'équilibre d'un solide signifie qu'il ne
bouge pas (dans un référentiel donné)
soit :
aucune translation;
aucune rotation autour de quelque
point (ou pivot) que ce soit.
a - Définition

L’équilibre d’un système matériel se
réalise uniquement grâce aux forces
extérieures directement appliquées à sa
surface limite (forces de contact) ou à ses
molécules (forces à distance). Les forces
intérieures ne sont pas pris en compte.
b - Remarque

Lorsqu'un objet S1 exerce une force
(appelée « action ») sur un objet S2, l'objet
S2 exerce une force opposée (appelée
« réaction ») sur l'objet S1. Ce principe est
également appelé « troisième loi de
Newton ».
c - Principe de l’action et de la réaction

Un objet sollicité par deux forces est en
équilibre si et seulement si ces deux forces
sont de même valeur et directement
opposées.
d - Equilibre sous l’effet de deux forces

Solide en équilibre sous l’action de deux forces.
t

Un objet sollicité par trois forces non
parallèles est en équilibre si et seulement
si les supports de ces forces sont
concourantes et leur somme vectorielle est
nulle (polygone des forces est nulle).
e - Equilibre sous l’effet de trois forces
non parallèle

Solide en équilibre sous l’effet de trois forces.

Les forces sont transmises par
l’intermédiaire des surfaces en contact.
On détermine ces forces à partir des
conditions d’équilibre en utilisant la
géométrie du corps non déformé.
On néglige les variations d’angle et de
longueur qui résultent de l’application des
forces.
f - Transmission des forces

Représentation de la transmission des forces et des moments
externes

Pour qu’un système matériel
indéformable, sollicité par plusieurs
forces soit en équilibre, il faut et il
suffit que le torseur associé au
système des forces extérieures (forces
de contact et de volume), appliquées
au système soit nulle.
g - Théorème fondamentale de l’équilibre

 
quelconque
point
un
est
O
0
M
0
F
Τ
ext/O
F
ext
O







 






Après projection sur le système
d’axes choisi, on obtient six équations.


4) Système isostatique ou hyperstatique
Un système est isostatique ou
statiquement déterminé si le nombre
d’inconnues (forces), est égal au
nombres d’équations d’équilibre. Le
problème est mathématiquement
déterminé.
a - Système isostatique

Un système est hyperstatique si le
nombre d’inconnues est supérieur au
nombre d’équations d’équilibre. Le
problème est mathématiquement
indéterminé. On lève l’indétermination
en prenant en compte la déformation
du système ( petites déformations et
compatibilité géométrique).
b - Système hyperstatique

On ne doit faire aucune hypothèse sur
les forces extérieures inconnues. En
d’autres termes, on ne connait ni leurs
directions, ni leurs sens, ni leurs
intensités. La détermination de ces
caractéristiques fait l’objet de la
résolution du problème.
c - Remarque

)
F
) ; (B,
F
) ; (A,
F
(O,
)
F
) ; (F,
F
) ; (G,
F
(O,
6
5
4
3
2
1
Exercice3 :
On considère le système de vecteurs liés
suivant :
BE
F
;
AB
F
;
OA
F
FE
F
;
GF
F
;
OG
F






6
5
4
3
2
1






Avec,

O
C
F
G
D
A
B
E
y
x
z
Déterminer :
1) la résultante .
2) le moment résultant en O .
ext
F

O
F
M /



Exercice 4
Déterminer la tension du fil T et la réaction R au
point O pour que la tige OA, de longueur L et de
masse m, soit en équilibre ( voir figure ci-
dessous).
z
y
O
T

 x
Articulation
mg
G A



Exercice 5
Déterminer la réaction RA du mur lisse et la
réaction RB du sol rugueux qui assurent
l’équilibre de la tige AB, supposée homogène de
longueur 2L et de masse m, dans le plan vertical
(Oyz). On donne .
z
y
O
 x
mg
G
B


A

I Introduction
La résistance mécanique des matériaux
(R.D.M.), concerne leurs aptitudes à
supporter les efforts extérieures
auxquelles ils sont soumis (traction,
compression, cisaillement, flexion, etc…)
1) Qu’est-ce que la R.D.M.

Le but de la R.D.M. est d’assurer qu’on
utilise, dans une pièce donnée une
quantité minimale de matériau, tout en
satisfaisant aux exigences suivantes :
Résistance - Rigidité - Stabilité
Endurance - Résilience
2) But de la R.D.M.

a - Résistance
La pièce doit pouvoir supporter et
transmettre les charges externes qui lui
sont imposées.
b - Rigidité
Lorsqu’elle est sollicitée, la pièce ne doit
pas subir de déformations excessives
(E.L.S.).

c - Stabilité
La pièce doit conserver son intégrité
géométrique afin d’éviter les conditions
d’instabilités (flambement).
d - Endurance
Si elle est soumise à un chargement
répété, la pièce doit tolérer sans rupture
un certain nombre de cycles de
sollicitations variables (fatigue des
matériaux).

e - Résilience
Dans le cas ou un chargement dynamique
est à prévoir (impact), la pièce doit
pouvoir absorber une certaine quantité
d’énergie sans s’en trouver trop
endommagé (résistance au choc).

II Hypothèses de base
Ces hypothèses permettent de réduire
la complexité des développements
mathématiques tout en conservant une
certaine généralité. Ces hypothèses de
base concernent la continuité,
l’homogénéité, l’isotropie, les
déformations et les forces internes du
matériau étudié.

Le matériau est continue, c’est-à-dire ne
comportant ni fissures ni cavités.
1) Continuité
2) Homogénéité
En tout point, le matériau possède les
mêmes propriétés chimiques. La plupart
des matériaux d’ingénierie satisfont à ce
critère (à l’échelle macroscopique).

Les propriétés physiques sont les mêmes
en tout point et dans toutes les directions.
La plupart des matériaux sont isotropes
à l’échelle macroscopique.
3) Isotropie

Aucune force interne n’agit dans le
matériau avant l’application des charges
externes (état initial).
5) Forces internes
4) Déformations
Les déformations ont une influence
négligeable sur la position des points
d’application ou sur la direction des
forces extérieures.

Les forces internes, dites résiduelles sont
souvent présentes dans les matériaux.
Elle résultent en général du processus de
fabrication (pliage, soudage, etc…). On
tient compte de ces forces résiduelles en
diminuant la force trouvée ou en
augmentant le section (On prend une
certaine sécurité).
6) Remarque

III Méthode de résolution
l’étude des forces et des
conditions d’équilibre;
l’étude des déplacements et de la
compatibilité géométrique;
l’application des relations forces-
déformations (E.L.S.).
On résout un problème de R.D.M.
selon une démarche systématique qui
comporte trois étapes fondamentales :

Possibilité d’obtenir jusqu’à six équations
1) Forces et les conditions d’équilibre
 
quelconque
point
un
est
O
0
M
0
F
Τ
ext/O
F
ext
O







 








Une structure conserve sa continuité et
son intégrité après avoir été déformée
sous l’action des charges externes ou celle
de variations de température. Il est donc
nécessaire d’étudier les déformations que
subit chacun des composants de la
structure et d’examiner les déplacements
qui en résultent.
2) Déplacements et compatibilité
géométrique

Notions de compatibilité géométrique
Exemple

Avec l’application de ces relations
(relations constitutives), nous faisons
intervenir les propriétés du matériau et
nous relions les forces étudiées à la
première étape de résolution aux
déformations analysées à la seconde
étape.
3) Relations forces-déformations

IV Contrainte
Les forces internes prise en compte
sont celles due aux sollicitations
externes et capables de déformer le
matériau.
1) Forces internes
La R.D.M. consiste à dimensionner le
matériau pour qu’il supporte l’action
des forces internes sans se détériorer.

2) Etat des forces internes
On étudie dans un système d’axes (xyz),
le point interne I d’un corps soumis à des
forces externes .
n
2
1 F
.......
F
,
F



I

Le plan m est normal à l’axe des x et
passe par I. La section est soumise à des
forces internes variant en intensités et en
direction d’un point à un autre.

Au point I, une force d’intensité moyenne
…. agit sur l ’élément de surface .
x
ΔA
F


ΔyΔz
ΔAx 
z
y F
F










 x
F
F

L’intensité moyenne de chacune de ces
composantes, par unité de surface est :
x
x
x
x
A
;
A
;
A
F





 z
y F
F


(∆Fx/∆Ax) : la force interne agit dans la
direction normale à la face considérée.
(∆Fy/∆Ax et ∆Fz/∆Ax) : la force interne
agit parallèlement à la face considérée.
Si ∆Ax tend vers 0, ces trois rapports
tendent vers des limites qu’on définit
comme étant les composantes des
contraintes qui agissent sur la surface
normale à l’axe des x au point I.

3) Etat de contrainte
Les sollicitations sont quantifiées par la
notion de contrainte σ, qui est l'effort
surfacique exercé sur une partie de la
pièce en un point par le reste de la pièce.
σ est homogène à une pression et est
exprimé en mégapascal (MPa) ou en
Newton par millimètre carré (N/mm²).
a - Définition

Les contraintes normales notée σ, sont
définie par les relations :
b – Contrainte normale
x
x
0 A
F
lim 




 x
A
x
xx 

y
y
0 A
F
lim 




 y
A
y
yy 

z
z
0 A
F
lim 




 z
A
z
zz 


La contrainte de cisaillement ou
tangentielle notée , est définie par la
relation :
c – Contrainte de cisaillement
x
y
0 A
F
lim 



 x
A
xy
 et
x
z
0 A
F
lim 



 x
A
xz

y
x
0 A
F
lim 



 x
A
yx

z
x
0 A
F
lim 



 z
A
zx

z
y
0 A
F
lim 



 z
A
zy

y
z
0 A
F
lim 



 y
A
yz

et
et

Une face est positive lorsque sa
normale externe est dirigée dans le
sens positif d’un axe.
Une contrainte est positive
lorsqu’elle agit dans le sens positif
d’un axe, sur une face positive ou
dans le sens négatif d’un axe sur une
face négative.
d – Convention de signe

Les mêmes composantes de contrainte agissent au point I
sur la partie droite du corps sectionné (principe de la
coupe: solide en équilibre en deux parties).

e – Etat de contrainte en un point
Etat de contrainte au point I
montrant toutes les composantes
de contraintes sur les faces
négatives et leurs contreparties
(primées) sur les faces positives.
Lorsque les dimensions ∆x, ∆y et
∆z de l’élément tendent vers
zéro, la valeur des composantes
primées tend vers celle de leurs
contrepartie non primées.

Les relations qui régissent les contraintes
de cisaillement sont les suivantes :
f – Réciprocité
zx
xz
zy
yz
yx
xy 




 

 ;
;


V Déformation
1) Présentation
Sous l’action des forces
externes et des variations
de température, le corps
se déforme : le point I se
déplace en I’, le point A
en A’, le point B en B’ et
le point C en C’.

Trois éléments parallèles aux
axes de référence avant
déformation ; leur position
relative et leur longueur après
déformation.
Les angles entre les segments
de référence ne sont plus les
mêmes.

2) Déformation normale
La déformation normale notée e est le
quotient de la variation de longueur par
la longueur initiale, lorsque celle-ci tend
vers zéro.
IA
IA
A'
I'
ε
ε lim
0
Δx
x
xx




Les trois
déformations
normales :
IB
IB
B'
I'
ε
ε lim
0
Δy
y
yy




IC
IC
C'
I'
ε
ε lim
0
Δz
z
zz





3) Déformation de cisaillement
La déformation de cisaillement notée g
est la tangente de la variation d’un angle
originellement droit lorsque les côtés, qui
sous-tende l’angle tendent vers zéro.
)
B'
I'
A'
2
π
(
tan
γ
γ lim
0
Δy
0
Δx
yx
xy






Les trois
déformations
de
cisaillement :
)
C'
I'
B'
2
π
(
tan
γ
γ lim
0
Δz
0
Δy
zy






yz
)
C'
I'
A'
2
π
(
tan
γ
γ lim
0
Δz
0
Δx
zx






xz

3) Convention de signe
Une déformation normale e est positive
lorsqu’il y a allongement.
Une déformation de cisaillement g est
positive, lorsque l’angle droit, sous-tendu
par les côtés dirigés selon le sens positif
d’axes de référence, diminue.

VI Relations constitutives
Les relations constitutives décrivent le
comportement des matériaux et font
intervenir les propriétés du matériau
utilisé. On distingue les comportements
élastique, plastique et visqueux.
1) Notions de base
En R.D.M., le comportement élastique
des matériaux est le plus désiré.

Elle établit une corrélation entre la
déformation suivant une direction et la
contrainte dans cette direction.
2) Loi de Hooke
E est le module d’élasticité ou module
de Young ou module de rigidité.
E.ε




Elle établit une corrélation entre la
déformation de cisaillement et la
contrainte de cisaillement ou scission.
3) Loi de Coulomb
G est le module d’élasticité en
cisaillement ou module d’élasticité
transversale ou module de Coulomb.
g
 G.



C’est le rapport de la déformation
latérale à celle de la direction axiale.
4) Coefficient de Poisson
L
t
ε
ε
-
ν 
0 ≤ n ≤ 0,5
eL ≥ 0 ; et ≤ 0


Cas d’un milieu isotrope. C’est la cas
de la plupart des matériaux
d’ingénierie.
5) Relation entre E et G
ν)
2(1
E
G




6) Forme généralisé de la loi de Hooke
 
)
σ
(σ
ν
σ
E
1
ε z
y
x
x 


 
)
σ
(σ
ν
σ
E
1
ε z
x
y
y 


 
)
σ
(σ
ν
σ
E
1
ε y
x
z
z 



Chapitre III
TRACTION
COMPRESSION

I Essai de traction simple
C’est à Robert Hooke (Physicien et
astronome anglais 1635-1703) que
revient les premières études
expérimentales sur l’élasticité des
matériaux (en 1678).
Analysons l’effet d’un essai de traction
sur une longue barre (ou un fil ) en
métal.

L
0
Charge
Comparateur
Fil métallique
palpeur

II Diagramme contrainte-déformation
S et L sont respectivement la section et
la longueur initiales du fil métallique.
O
F
Rupture

L
L
Elasticité
Plasticité
 limite
S
 
e =
Seuil d’élasticité
 rupture

Piston
huile
De la
pompe
Dispositif
coulissant
Manomètre
Eprouvette
Mâchoires
de fixation
Machine de traction

Coupe longitudinale
d’une éprouvette
en traction
L
S
F
- F

Diagramme contrainte-déformation de
l’acier à l’aide d’une machine de
traction-compression
F


e


L
L
O
 rupture
Elasticité
Plasticité
S
 limite

Diagramme contrainte-déformation
de la fonte (matériau fragile)
F


S
e


L
L
O
Elasticité
Plasticité
 rupture
 limite

du marbre


S
F
e


L
L
O
Elasticité
 limite2
 limite1
 limite2   limite1

du béton


S
F
e


L
L
O
Elasticité
 limite1
 limite2  limite2   limite1

III Loi de Hooke
.ε
E
σ 

1) Expression de la loi
Loi de Hooke en élasticité linéaire
(1676)
ε
σ
E 
et

E est le module d’Young (Thomas Young:
Médecin et physicien anglais 1773-1829)
ou module d’élasticité longitudinale.
 E est exprimé en N/m2 ou Pa.
2) Module d’élasticité

La loi de Hooke est en effet une loi locale.
Considérons un tronçon d'éprouvette de
longueur infiniment petite b et qui subit un
allongement  b.
Tronçon d’éprouvette
b
S
3) Remarque

En tout point M de la section S, la
contrainte est définie par :
(M)
Eε
ΔS
ΔF
lim
S
F
σ(M)
0
ΔS






Pour un matériau homogène, l’effort
normal est répartie dans chaque section
de façon uniforme.
L
ΔL
E
b
Δb
E
S
F
ΔS
ΔF
Cte
σ(M) 






4) Quelques valeurs du module de Young
Matériau E en GPa
Acier de construction
Cuivre
210
124
Bois 3 à 20
Fonte 83 à 170
Aluminium 69
Verre 69
Béton 20 à 50

Exercice 1
Un barreau rectiligne de section constante S = 6
cm2 et de longueur L = 4 m est soumis à une
tension axiale F = 126000 N. Trouver son module
de Young sachant que son allongement total est
L=0,40 cm.

L'expérience montre que lors d’un essai
de traction ou de compression d’une
barre d’essai, la dimension
longitudinale subit une augmentation
ou une diminution.
IV Dimensions après traction ou compression
1) Dimension longitudinale

S
F
σ 
L
ΔL
ε 
ES
FL
ΔL 
et
donne
∆L > 0 pour une traction.
∆L < 0 pour une compression.
F : la charge
S : la section
L : la longueur initiale
∆L : la variation de longueur

La rigidité du barreau notée K est
donné par la formule suivante :
2) Rigidité du barreau
L
ES
ΔL
F
K 



Pour toute variation de charge ou de
section, il faut faire intervenir une
longueur infinitésimale dL et écrire :
3) Remarque
dL
ES
F
ΔL
L
0


F est la charge
appliquée à
l’élément dL
dL
ES
F
Δ(dL) 

Exercice 2
Un fil d’aluminium de 30 m de long est soumis à
une contrainte de tension de 700 Kg/cm2. Calculer
l ’allongement total du fil.

L'expérience montre que lors d’un essai
de traction d’une barre d’essai, la
dimension transversale subit une
diminution.
4) Dimension transversale

n est le module de Poisson (savant
français 1781-1840), ou module de
compression transversale.

On pose :
ε
ε
ν
L
t


0 ≤ n ≤ 0,5
eL ≥ 0 ; et ≤ 0

a
(1+eL)a
a
(1+et)a
Av.déf
Ap.déf
5) Variation du volume

La variation du volume de l’élément cube
découpé dans la barre d’essai est:
L
ΔL
)
2ν
(1
V
ΔV
V
L
ΔL
)
2ν
(1
a
ε
)
2ν
-
(1
a
)
ε
ν
(1
)
ε
(1
a
a
)
ε
(1
)
ε
(1
a
ΔV
3
L
3
2
L
L
3
3
2
t
L
3














D’après l’expérience, le volume d’une barre ne
peut pas diminuer en traction, alors :
2
1
ν
0 

matériau homogène


6) Quelques valeurs du coefficient de
Poisson
Matériau n
Acier de construction
Cuivre 0,33
0,33
Laiton
0,27 à 0,30
Fontes
0,37
Aluminium
0,21 à 0,26
Verre 0,18 à 0,30
Béton 0,20

En pratique on affecte à la limite
élastique des matériaux limite, un
coefficient dit de sécurité  compris
entre 1 et 10.
Condition de
résistance :
α
σ
σ limite
maxi 
V Coefficient de sécurité pour les
charges en traction

Exercice 3
Un barreau carré d’acier de côté a = 5 cm et de
longueur L=1m est soumis à une tension axiale
F=32.104 N.
1) Calculer l’allongement du barreau.
2) Déterminer la diminution de la dimension
latérale due à cette charge.

VI Traction d’un barreau suspendu
sous l’effet de son poids
z
O
L
S z
O
L
S
z
dz

Le tronçon élémentaire est en état de traction
sous l’effet du poids du matériau situé au
dessous de ce tronçon.
dz
N= gS(L-z).k
-N
Son allongement est:
dz
ES
z)
ρgS(L
dz
ES
N(z)
Δ(dz)





L’allongement total du barreau est donné par :

 





L
0
z
L
z
0
z
z)dz
(L
E
ρg
dz
ES
N(z)
ΔL
2E
ρgL
2
z
Lz
E
ρg
ΔL
2
L
z
0
z
2











2ES
mgL
ΔL 


Exercice 4
Un barreau carré de bronze, de section constante
de 49 cm2 et de longueur 6 m, est fixé rigidement
au sol. Sa base supérieure est soumise à une
charge de compression de 5000 Kg.
1) Calculer la contrainte normale de compression
et déduire les nouvelles dimensions du barreau.
2) Que deviennent ses dimensions si on tient
compte du poids du barreau ?
On donne: bronze= 0,008 Kg/cm3.

Une variation de température entraine
généralement un allongement ou un
raccourcissement. La déformation due à
la dilatation thermique est donné par :
ΔT
α
εT 
VII Dilatation thermique
 est le coefficient de dilatation thermique.
T est l’écart de température.


L’allongement ∆LT correspondant à la
variation de température se calcule par :
ΔT
αL
L
ε
ΔL T
T 


VIII Cylindre à paroi mince sous pression
1) Cylindre ouvert
a - Géométrie du cylindre
Cylindre supposé infiniment long.
L’épaisseur t est beaucoup plus petite
que le rayon moyen R ((t/R) < (1/10)).
La contrainte est supposé être uniforme
dans toute l’épaisseur de la paroi.

L’étude se fait dans le système de coordonnées
cylindriques (x, r, q), à cause de la géométrie
axisymétrique du système.

b - Contrainte circonférentielle
Projection verticale :
N est la force par unité de longueur du tirant circulaire.
t
PR
t
N
σ
σ θ
c 




c - Remarque
Les autres forces sont nulles, donc les
contraintes correspondantes sont aussi
nulles, d’où :
0
τ
τ
τ
σ
σ xr
xθ
rθ
x
r 






L’allongement circonférentielle (∆C) du
cylindre de longueur initiale 2πR et de
section bt est donné par :
tE
P
R
2π
E
R)
(2π
σ
ΔC
2
c


tE
R)
(2π
N
btE
R)
(2π
F
ΔC 




Du point de vue pratique, c’est la
variation ∆R du rayon qui nous
intéresse.
R)
(R
2
2
Cf







 C
R
tE
PR
2π
ΔC
ΔR
2


D’où :



2) Cylindre fermé
a - Géométrie du cylindre
Le cylindre est bouché aux deux
extrémités. La pression exercée sur les
bouchons crée par conséquent une
tension longitudinale dans la paroi du
cylindre, laquelle se superpose à la
contrainte circonférentielle.

πR2
2πRt
Une coupe transversale
à l’axe du cylindre
permet de calculer la
contrainte x agissant
sur la section annulaire
(2Rt).

b - Contrainte longitudinale
x génère une force Fx = 2Rtx.
La pression exercée sur la surface du
bouchon se traduit par une force
Fp = PR2.
Equilibre, d’où :
2t
PR
x 

2
c
x

 
 et

c - Remarque
La conduite se rompra en premier lieu
le long du cylindre.
Les autres forces sont nulles, donc les
contraintes correspondantes sont aussi
nulles, d’où :
0
τ
τ
τ
σ xr
xθ
rθ
r 





d - Déformations
L’allongement ∆x qui en résulte pour la
longueur caractéristique b est :
tE
PRb
E
b
x
2
.
x 





Toute force agissant le long d’un plan en
travers d’un matériau est appelée force
de cisaillement ou effort tranchant notée
généralement T.
L’effort tranchant divisé par la surface
sur la quelle il agit est appelée contrainte
de cisaillement notée généralement 
(contrainte moyenne).
I Définitions

Dans le cas d’une section circulaire, la
contrainte moyenne ne vaut que les trois
quarts de la contrainte au centre de la
section, calculée par une théorie plus
élaborée.
On admet que la contrainte de
cisaillement est constante dans la section
subissant la force de cisaillement.
II Hypothèses

Considérons une pièce en forme d’un
cube, d ’arrête a, dont les quatre faces
sont soumises à des efforts tranchants
comme l’indique la figure ci-après :
F1 F2
F4
F3
F1 = 1.S
F2 = 2.S
F3 = 3.S
F4 = 4.S
III Réciprocité

1
2
4
3
j
k
 i
O
L’équilibre du cube est assuré par les
relations :
1 = 2 = 3 = 4 = 


Les angles droits aux sommet du carré,
subissent une distorsion.
La diminution de l’angle au sommet du
carré, représentée ici par l’angle g définit
la déformation de cisaillement (exprimé
en radians).
III Distorsion

Les expériences montrent que le
diagramme de cisaillement a généralement
la même allure que celui de traction ou de
compression.

Dans la zone d’élasticité, la contrainte et la
déformation de cisaillement sont liées par
une relation linéaire.
III Module de cisaillement
G γ
τ 
G est le module de cisaillement (ou module
d’élasticité transversale ou encore module
de Coulomb) ayant la dimension de N/m2
(ou Pa).


Comme dans le cas de la traction et de
la compression, on considère en
pratique la limite élastique (en
cisaillement) admissible maxi. Nous
avons :
 α
τ
τ limite
max 
Condition de résistance
IV Condition de résistance

Exercice 1
L’assemblage de la figure ci-après est utilisé
pour déterminer la résistance au cisaillement
d’un joint collé. Pour une charge de 1200 Kg à
la rupture, quelle est la contrainte moyenne de
cisaillement dans le joint ?
Quelle sera la charge qu’il ne faut pas dépasser
si le coefficient de sécurité vaut 6 ?

Exercice 2
Un poinçon circulaire 2 cm de diamètre utilisé
pour poinçonner un trou dans une plaque d’acier
de 12 mm d épaisseur. Si la force nécessaire pour
faire pénétrer le poinçon dans la plaque est 3.105
N, calculer la contrainte de cisaillement
maximale développée dans le matériau.

Exercice 3
On veut étudier le cisaillement d’un bloc
parallélépipédique en élastomère collé entre une
plaque rigide et un support fixe comme le montre
la figure. Calculer l’angle de glissement g et le
déplacement a sachant que: L=10cm, b=5cm,
h=2.5cm G=800 KPa et T=100 daN.

T
Plaque rigide
Bloc en élastomère
Support fixe
h
L
b

Avant déformation
h
Après déformation
a
g
T
h

Etudions l’effet d’un essai de torsion sur
un rouleau en caoutchouc en appliquant
à ses extrémités deux couples égaux et
opposés.
I Expérience

Etat non
déformé
Pour illustrer la
déformation de ce
matériau, on réalise
sur sa surface un
tracé sous forme
d’un treillis de lignes
orthogonales comme
le montre la figure
ci-contre.

Mt
- Mt
Etat déformé
z
Après déformation, les lignes
circulaires conservent leur
forme, tandis que les lignes
parallèles à l’axe du rouleau
deviennent hélicoïdales.

II Torsion-cisaillement
La torsion du rouleau induit un
cisaillement. En effet, dans le cas des
petites déformations, les sections voisines
glissent l’une par rapport à l’autre. Les
contraintes sont donc tangentielles sur
chaque section transversale (contraintes
de cisaillement).

d dz
d
r
d : angle de cisaillement (d  g).
d : angle de torsion.
Considérons deux sections voisines
séparées distantes de dz.
O

Remarque : D’après la relation
précédente, les angles d et d
doivent être exprimés en radians.
dz
d
r
d
)
(d
tan

g

 




III Contrainte de cisaillement
Le déplacement tangentiel de la face
supérieure du disque mince par rapport
à la face inférieure et à une distance r
donnée, est : rd.

Considérons, dans ce disque mince (car
dz <<1), un petit cube comme le montre
la figure ci-dessous.
dz
d
d
r.dq
dr

dz
d
Gr
dα
G
G γ
τ




La surface supérieure du cube
élémentaire est : dS = rdrdq.
La contrainte de cisaillement s’écrit :


Pour un matériau homogène l’angle
de torsion varie linéairement en
fonction de z.
L
(0)
(L)
cte
dz
d 

 




Dans ce cas, la contrainte de cisaillement
varie linéairement en fonction de r et
atteint sa valeur maximale sur le contour
du rouleau.
Cr
τ 
L
(0)
(L)
G
dz
d
G
C


 


avec


IV Moment de torsion
La force élémentaire de cisaillement
est donnée par :
drdθ
.r
dz
d
G
dS
τ
dT 2



rdrdθ
dS
et
dz
d
Gr
τ 


car


Le moment de torsion total qui
s'exerce sur la section transversale
est :

 

S
2
S
t dS
r
dz
d
G
dS
rτ
M



La quantité positive définie par :


S
2
Oz dS
r
I
est Le moment quadratique de la
section par rapport à son axe Oz.


32
D
π
2
R
π
dθ
dr
r
I
4
4
2π
0
θ
R
0
r
3
Oz 

 
 

R et D sont respectivement le rayon
et le diamètre du rouleau d’essai.

Comme le moment de torsion est
uniforme le long du rouleau alors
nous avons :
(L)
M
L
(0)
(L)
GI
dS
r τ
M ext
Oz
S
t 


 


L
(0)
(L)
G
r
τ
I
M
Oz
t 
 





On considère en pratique la limite
élastique admissible maxi. La condition
est donnée par :
 α
τ
τ limite
maxi 
V Condition de résistance
Oz
maxi
t
maxi
I
r
M
τ 
avec

Exercice 1
Une éprouvette cylindrique en cuivre, de 2,5 cm
de diamètre et de 1 m de longueur, est soumise
à un couple de torsion de 210 Nm comme le
montre la figure. Calculer le module d’élasticité
transversale du cuivre testé sachant que l ’angle
de torsion à l’extrémité chargée est de 4,9
degrés.

Mt
Section
encastrée
z=0
z=L
Mt
z=0
z=L

Exercice 2
En reprenant les données de l’exercice
précédent, calculer la contrainte de cisaillement
maximale.

Exercice 3
Un tournevis est soumis à un moment de torsion
Mext = 210 Nm comme le montre la figure. Le
tronçon métallique AB à une longueur L=200 mm
et un diamètre d=7 mm. Sachant que l’angle de
torsion est (B)=14,9° (avec (A)=0°)
1) Calculer le module de cisaillement G de la tige
métallique.
2) Déduire la contrainte de cisaillement maximale.

V Concentration des contraintes
Si la pièce cylindrique (arbre de
transmission, outil ou autres) présente
une brusque variation de section
(gorge, rainure, épaulement etc.) ou
bien que la pièce n’est plus cylindrique,
alors la relation donnant l’expression
de la contrainte maximale n’est plus
valable à cause de la concentration des
contraintes.

2
d
r
;
I
r
M
dz
d
.
r
G
τ max
Oz
max
t
max
max 



L expérience montre, dans ce cas, que la
contrainte maximale est donnée par la
formule :
I
r
M
où τ
;
k.τ
τ
Oz
max
t
max
max
'
max 

k est le coefficient de concentration de contrainte.

I Généralités
1) Présentation du problème
Une poutre horizontale suspendue en ses
extrémités par deux câbles verticaux ou
placée sur deux appuis fixes, subit une
flexion qui se traduit par un
changement de courbure.

2) Hypothèses
a - Le solide étudié
La poutre possède un plan de symétrie
vertical.
b - Les forces appliquées
Toutes les forces sont verticales et leurs
lignes d’action sont dans le plan vertical
de symétrie de la poutre.

c - Théorie des poutres
En théorie des poutres, on considère des
fibres, c'est-à-dire des petits cylindres de
matières générés par une portion dS et
une courbe parallèle à la courbe
moyenne (la « direction de la poutre ») ;
la courbe moyenne passe par les centres
de gravité des sections droites (sections
perpendiculaires à la courbe moyenne).

d - Navier et Bernoulli
Lors de la déformation, les sections
droites restent perpendiculaires à la
courbe moyenne.
La fibre neutre a un allongement nul ;
Les fibres à l'extérieur de la courbure
sont étirées.
Les fibres à l'intérieur de la courbure
sont comprimées.
La déformation longitudinale ε varie
de manière linéaire en fonction de y.

Élément d'une poutre fléchie : les fibres forment des arcs de
cercle concentriques, les fibres du haut sont donc
comprimées et les fibres du bas étirées.
Fibre neutre

II Définitions
1) Poutre
Grosse pièce de charpente horizontale
en bois, en béton ou en métal soutenant
une construction.
2) Fibre neutre
La fibre générée par la courbe moyenne
est appelée « fibre neutre ». Elle garde
sa longueur lors de la flexion.

3) Flèche
La flèche est le déplacement vertical
uy(x) du point de la courbe moyenne
situé à l'abscisse x.
Le déplacement
uy(x) donne la
forme finale de la
fibre neutre, et est
relié au rayon de
courbure local .

4) Déformé de la poutre
La déformée de la poutre est le
graphique de la fonction uy(x) qui donne
la forme de la courbe moyenne.
5) Rayon de courbure
C’est le rayon du cercle formé par la
courbe moyenne.
2
y
2
dx
u
d
ρ
1

Pour les faibles déformations :

III Etude expérimentale des déformations
Dispositif de mesure de la flèche

Test de flexion trois-points sur un échantillon de béton.

1) Variation de la flèche
Pour une charge appliquée au même
point, on constate que la flèche est
d’autant plus importante que la charge
est plus grande.
a - Intensité de la charge

La flèche est d’autant plus importante
que la charge est appliquée loin des
appuis.
b - Position de la charge
c - Dimension de la section
Une poutre fléchit d’autant plus que sa
section se trouve située dans sa position
de moindre inertie.

L’expérience fait apparaître :
un plan de fibres neutre qui
conservent une longueur constante;
les fibres situées au-dessus du plan
neutre sont comprimées;
les fibres situées au-dessous du
plan neutre sont tendues.
2) Déformations longitudinales

3) Déformations transversales locales
Dans certaines zones de la poutre
(surtout au voisinage des appuis), on voit
apparaître un phénomène de glissement
transversal. Ces déformations sont
négligeables devant les déformations
longitudinales.

La flexion est une sollicitation
complexe pour laquelle nous
retrouvons des notions telles que :
la traction;
la compression;
le glissement longitudinal;
le glissement transversal.
4) Conclusions

Les résultats expérimentaux obtenus
ont été énoncés sous forme
d’hypothèses par les physiciens Navier
et Bernoulli.
5) Remarque

IV Contraintes et déformations
1) Illustration
Pour illustrer ce type de déformation, on
considère l’expérience schématisée par
la figure ci-après.

Mâchoires
d’un étau
fixe
Charge

Ligne
moyenne
Etat non déformé
de la surface
latérale
Etat déformé
de la surface
latérale

Après déformation, les couches supérieures
s’allongent tandis que celles du bas se
resserrent. La couche moyenne conserve
pratiquement sa longueur.
Découpons, par imagination, dans la barre,
un tronçon de longueur suffisamment petite
dL.

Le segment infinitésimal sur la ligne
moyenne conserve sa longueur dL.
d
2d
dL
d

La section transversale reste plane. Par
conséquent le raccourcissement et
l’allongement des couches sont
proportionnelles à la distance transversale
de ces couches mesurée à partir de la ligne
moyenne.

La contrainte normale dans chaque
couche est proportionnelle à son
allongement ou à son raccourcis-sement.
y
m
ε 
m coefficient de proportionnalité.
│y│distance par rapport à la fibre neutre.
y
m
E
ε
E
σ 


a
y
2
σ
σ max


max est la contrainte normale au niveau
de la couche la plus éloignée de la ligne
moyenne.
max
y
(y)
a
 z
x
dx
+

Remarque: l’effort normal exercé sur la
section transversale droite du tronçon
élémentaire est nul.
0
dy
a
2y
σ
dz
F
a/2
a/2
max
b/2
b/2

  
 
b désigne la largeur de la section
transversale.


V Moment de flexion
1) Calcul du moment
Calculons le moment de flexion exercé sur
la section transversale.
F
d
y
-
M
a/2
a/2
f 





Ce moment est compté négatif d’après
le sens conventionnel de la figure.
6
a
σ
b
-
dz
dy
a
2y
σ
-
M
2
max
a/2
a/2
b/2
b/2
2
max
f

  
 

IGz est le moment quadratique de la
section transversale par rapport à son
axe de rotation Gz.

12
ba
dz
dy
y
I
3
a/2
a/2
b/2
b/2
2
Gz 
  
 
(a/2)
I
σ
M Gz
max
f 
avec

2) Moment de résistance
Le moment de résistance de la section
transversale est donné par :
maxi
Gz
Gz
Gz
y
I
(a/2)
I
W 

D’où : Gz
max
f W
σ
M 


3) Moment admissible
Les moments de flexion admissibles dans
le domaine de l’élasticité linéaire sont
donnés par l’inégalité suivante :
limite
Gz
limite
f M
W
σ
M 



4) Remarques
Dans le cas de la déformation de flexion
pure, le moment de flexion est
proportionnelle à la contrainte normale
maximale.
Dans le cas de l’exemple étudié, le
moment de flexion est le même dans
toutes les sections transversales de la
barre (ou poutre).

Le moment de flexion est le même
dans toutes les sections transversales
de la barre (ou poutre), puisque son
poids est négligé et que la barre n’est
sollicitée qu’en ses extrémités par un
couple. Dans ce cas on dit qu’il s ’agit
d ’une flexion pure.

Principe de la flexion simple d’une poutre

Si la barre (ou la poutre), supporte des
charges localisées ou des charge réparties
ou que son poids n’est plus négligé, alors
chaque section transversale droite subit à
la fois un moment fléchissant Mf et un
effort tranchant noté T. On dit qu’il s’agit
d ’une flexion simple.

Fonctionnement du béton armé en flexion

VI Equation de la déformée
Tangente(G)
Tangente(G’)
G
G’

α
dx
dy
tgα 

dx
y
d
dx
dα
2
2


2d
dα 
en plus

Loi de Hooke appliquée à la couche
supérieure, donne :
2
2
max
dx
y
d
2
a
E
dx
dα
2
a
E
dx
d
2
2
a
E
σ 



(a/2)
I
σ
-
M Gz
max
f 
sachant que :
nous obtenons :
2
2
zz
f
dy
z
d
EI
M 


L’équation différentielle de la déformée
est :
zz
f
EI
M
ρ
1

zz
f
2
2
EI
M
dx
y
d


L’expression du rayon de courbure de
la déformée est donné par :



VII Calcul de la flèche
F
-F
Admettons que l'extrémité (x = 0)
est encastrée et que la section est
constante.

Gz
f
2
2
EI
M
dx
y
d

 x
EI
M
dx
dy
Gz
ext
y





d’où :
2
Gz
ext
x
EI
M
2
1
y(x) 

La flèche ‘maximale’
correspond dans ce cas la
position x = L, soit :
2
Gz
ext
max L
EI
M
2
1
y 

VIII Charges
1) Charges concentrées
Les charges sont appliquées en des points
précis. En dehors de ces points les charges
sont nulles.
2) Charges réparties
Les charges sont distribuées sur une
certaine longueur de façon uniforme ou
non.

3) Intensité de charges
L’intensité de charge notée q (force par
unité de longueur), est donnée par
l’équation différentielle :
dx
dF
Δx
ΔF
lim
q
0
Δx





4) Remarque
Il est utile, lorsque nous utilisons les
équations d’équilibre, de remplacer la
charge répartie par sa résultante qui lui est
par définition statiquement équivalente.








L
0
L
0
_
L
0
L
0
qxdx
xdF
x
R
qdx
dF
R L est la longueur de la poutre.
est le point d’application de
la résultante équivalente.
_
x

La position est donnée par :


 L
0
L
0
_
qdx
qxdx
x
_
y
_
x


IX Relations différentielles d’équilibre
1) Effort tranchant T
q
-
dx
dT

x
qd
T
T
2
1
x
x
1
2 



En intégrant entre deux sections de la poutre définies
par les coordonnées x1 et x2, pour lesquelles les efforts
tranchants sont respectivement égaux à T1 et T2, nous
avons :


2) Moment fléchissant Mf
T
-
dx
dMf

x
Td
M
M
2
1
1
2
x
x
f
f 



En intégrant entre deux sections de la poutre définies
par les coordonnées x1 et x2, pour lesquelles les
moments fléchissant sont respectivement égaux à Mf1 et
Tf2, nous avons :


3) Remarques
L’effort tranchant T est égal à la somme
algébrique des forces extérieures située
d’un même côté de la section (par
convention à gauche).
A la section précise ou T = 0, le moment
fléchissant atteint une valeur maximale ou
minimale.
Le moment de flexion Mf est égal à la
somme algébrique des moments de toutes
les forces extérieures située d’un même
côté de la section (par convention à
gauche).

X Etat des contraintes
1) Contrainte normale 
et
a
y
2
σ
σ max

Gz
f
max
I
2
a
M
σ 
par conséquent :
Gz
f
I
M
y
σ 
a - Expression de 

W
M
I
M
y
σ
Gz
maxi
f
Gz
maxi
f
maxi
maxi 

b - Contrainte normale maximum
La contrainte  est maximum dans la
section pour laquelle Mf est maximum. En
plus dans cette section, la contrainte
maximale est obtenue lorsque la variable y
est maximale.


c – Condition de résistance
La condition de résistance à l’extension du
matériau constituant la poutre est :
α
σ
σ limite
maxi 


2) Contrainte de glissement 
a - Présentation
La flexion simple introduit des contraintes
de cisaillement longitudinale égalent aux
contraintes de cisaillement transversales
d’après la règle de réciprocité des
contraintes.

b – Expression de 
Isolons la portion de poutre située au-
dessous du plan d’ordonnée Y et soit une
fibre tendue de section ds et d’ordonnée y.
b
a/2
G
y
z
Y
y
ds
dx
S1 S2
x
G1 G2
y
ds
1
σ ds
2
σ
1
ds

ds
2

ds
1


Le tronçon isolé est en équilibre donc le
torseur associé au système de forces
extérieures se réduit en G1 à :
 







 



0
M
0
F
Τ
1
1
ext/G
F
ext
G




0
Fext



 entraine :
0
τds
ds
τ
ds
τ
ds
σ
ds
σ 1
2
1
2
1





 









soit en projection sur l’axe Gx :
0
ds
τ
ds
σ
ds
σ 1
2
1 


 



sachant que :
,
dx
b
τ
ds
τ 1 
 Gz
f2
2
I
M
y
σ 
et
I
M
y
σ
Gz
f1
1 
Gz
a/2
Y
f1
f2
I
yds
)
M
(M
dx
b
τ



nous avons :
Gz
2
/
f
I
yds
dM
dx
b
τ


a
Y

Gz
2
/
f
I
yds
dM
dx
b
τ


a
Y
d’où :
et :
Gz
2
/
f
I
yds
dx
dM
b
τ


a
Y

Par définition, W = ∫yds est le moment
statique de la portion de section (S)
d’ordonnée comprise entre Y et a/2. Elle
est positif et son unité est le mm3.
et
T
-
dx
dMf
 

a/2
Y
ds
y
W
finalement :
Gz
I
b
TW
τ 


Exercice 1
Une poutre de longueur L, posée sur deux
appuis O et A supporte une charge
uniformément répartie q.
1) Déterminer les réactions aux appuis O et
A. Donner les expressions de l’effort
tranchant et du moment fléchissant le
long de la poutre. Retrouver les équations
différentielles d’équilibre.
2) Tracer les diagrammes T(x) et Mf(x).
3) Application numérique : q = 40 daNm-1et
L = 4m.

y
x
O A
 Oz
q
q est une force par unité de longueur
(q= constante).
La poutre repose sur un appui fixe au
point x = 0 et sur un appuis mobile au
point x = L.

Etudions l’équilibre global de la poutre.












 
0
dx
xq
L.R(A)
0
q.dx
R(A)
R(O)
L
0
L
0
y
x
R(O)
A
 Oz
q R(A)
+

2
qL
R(A)
R(O) 


1) Calcul des réactions, T(x) et Mf(x)

Etudions maintenant l’équilibre d’un
tronçon de poutre de longueur x.
y
x
 z
x
q
T(x)
R(O)

qx
R(O)
T(x) 

 2
qL
qx
T(x) 


Calcul de l’effort tranchant T(x)


Calcul du moment fléchissant Mf(x)
qx
2
x
xR(O)
(x)
Mf 


x
2
qL
x
2
q
(x)
M 2
f 













T
dx
(x)
dM
q
dx
dT
f
Les équations d'équilibres vérifiées par
les efforts intérieurs appliquée sur une
section droite sont :
Remarque: Ces équations sont
indépendantes des conditions aux
limites ( conditions d’appuis ).


2) Diagrammes
Tx
2
L
L x
-qL/2
qL/2
O
Diagramme de l’effort tranchant

Diagramme du moment fléchissant
Mf(x)
2
L
L
- qL2/8
O
x
│Mf maxi │= qL2/8

Remarques :
La section correspondant à la valeur
maximale du moment de flexion est
appelée section dangereuse.
L’effort tranchant T subit une
discontinuité au niveau des appuis (lieu
des forces concentrées).

3) Application numérique
q = 40 daNm-1 ; L = 4 m
R(O)= R(A)
T(x)
Tmaxi
Mf(x)
Mfmaxi
800 en N
- 400(x-2) en N
800 N
200 x(x-4) en Nm
800 Nm

Exercice 2
Une poutre de longueur L, posée sur deux
appuis O et A supporte une charge localisée
en son centre C.
1) Déterminer les réactions aux appuis O et
A. Donner les expressions de l’effort
tranchant et du moment fléchissant le
long de la poutre.
2) Tracer les diagrammes T(x) et Mf(x).
3) Déterminer l’expression de la flèche
maximale fc.

F
O A
i
j

x
k
OA=L
C
T(x)
O
A
i
j

x
k
C
R(O) R(A)
x

2
F
R(A)
R(O) 


1) Calcul des réactions, T(x) et Mf(x)
En tenant compte de la symétrie, on
peut écrire :
T(x)
O
A
i
j

x
k
C
R(O) R(A)
x

R(O)
T(x) 
2
F
T(x) 
Calcul de l’effort tranchant T(x)
Soit M un point d’abscisse x :
Zone OC (0 < x < L/2) Zone OC (0 < x < L/2)
F
-
R(O)
T(x) 
2
F
T(x) 


Calcul du moment fléchissant Mf(x)
Soit M un point d’abscisse x :
Zone OC (0 < x < L/2) Zone OC (0 < x < L/2)
xR(O)
(x)
Mf 

x
2
F
(x)
Mf 

)F
2
L
(
2
F
x
(x)
Mf 


 x
2
FL
x
2
F
(x)
Mf 


2) Diagrammes
Diagramme de l’effort tranchant
T(x)
2
L
L x
- F/2
F/2
O

Diagramme du moment fléchissant
Mf(x)
2
L
L
- FL/4
O
x
│Mmaxi│= FL/4

3) Calcul de la flèche maximale
On sait qu’on un point M d’abscisse x
situé dans la zone OC, le moment de
flexion est donné par :
x
2
F
(x)
Mf 

L’équation différentielle de la déformée
entre O et C est la suivante :
f
2
2
Gz M
dx
y
d
EI 
 x
2
F
dx
y
d
EI 2
2
Gz 
ou

L’équation différentielle devient :
x
dx
y
d
F
2EI
2
2
Gz

Intégrons une première fois :
1
2
Gz
2
x
dx
dy
F
2EI
C



En C milieu de la déformé, celle-ci
possède une tangente horizontale
x = 1/2 ; y’ = 0
entraine :
2
L
C
2
1 

donc :
2
L
2
x
dx
dy
F
2EI 2
2
Gz



Intégrons une deuxième fois :
On peut calculer C2 car en O (x=0 ; y=0),
ce qui entraine C2 = 0.
2
2
3
Gz
C
x
2
L
6
x
y
F
2EI



x)
2
L
6
x
(
2EI
F
y
2
3
Gz



La flèche en C est donné pour x = L/2.
Gz
3
48EI
FL


C
f
fc en mm; F en N; L en mm;
E en Nmm2 I en mm2.

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