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![Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point Chapitre II
- 14 -
Ainsi :
ds ds
x
a
y
a
z
a
da
x
a
y
a
z
a
da
x
a
y
a
z
a
da
x
a
x
a
y
a
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 2 1
1 1 1
2
− =
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+ +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂y
a
z
a
z
a
dada
x
a
x
a
y
a
y
a
z
a
z
a
dada
x
a
x
a
y
a
y
a
z
a
z
a
da da
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂2 1 2
1 2
1 3 1 3 1 3
1 3
2 3 2 3 2 3
2 32 2+
+ + +
+ + +
On pose alors :
ds ds E da E da E da G da da G da da G da da2
0
2
1 1
2
2 2
2
3 3
2
1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2 2− = + + + + +
Que l'on peut aussi écrire sous forme matricielle :
[ ]ds ds da da da
E G G
G E G
G G E
da
da
da
2
0
2
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 1 3
1
2
3
2− =
Définition :
E G G
G E G
G G E
1 3 2
3 2 1
2 1 3
est la matrice associée au tenseur de GREEN dans la base ( )
r r r
i j k, , .
Ce tenseur est noté ∆, c'est le tenseur des déformations.
Exprimons le tenseur de GREEN ∆ en fonction des dérivées partielles du champ des
déplacements :
( ) kaaawjaaaviaaauMMaaaMoU
rrrr
⋅+⋅+⋅==
→
),,(),,(),,(),,( 32132132110321 .
D'après l'expression de
r
U on a immédiatement : OM OM U1 0
→ → →
= + d'où :
+=
+=
+=
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(
3213321
3212321
3211321
aaawaaaaz
aaavaaaay
aaauaaaax
Ainsi en différenciant x, y et z nous obtenons :
∂
∂
∂
∂
x
a
u
a1 1
1= +
∂
∂
∂
∂
x
a
u
a2 2
=
∂
∂
∂
∂
x
a
u
a3 3
=
∂
∂
∂
∂
y
a
v
a1 1
=
∂
∂
∂
∂
y
a
v
a2 2
1= +
∂
∂
∂
∂
y
a
v
a3 3
=
∂
∂
∂
∂
z
a
w
a1 1
=
∂
∂
∂
∂
z
a
w
a2 2
=
∂
∂
∂
∂
z
a
w
a3 3
1= +
Or E
x
a
y
a
z
a
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1=
+
+
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
donc E
u
a
v
a
w
a
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1= +
+
+
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-14-320.jpg)
![Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point Chapitre II
- 15 -
De même, G
x
a
x
a
y
a
y
a
z
a
z
a
1
2 3 2 3 2 3
1
2
= + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
donc,
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
1
2 3 2 3 2 3
1
2
1 1= + +
+ +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
En procédant de façon analogue pour les autres termes du tenseur de GREEN on obtient :
E
u
a
v
a
w
a
u
a
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2=
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
v
a
w
a
1
2 3 2 3 2 3 3 2
1
2
= + + + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
E
u
a
v
a
w
a
v
a
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2=
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
u
a
w
a
2
1 3 1 3 1 3 3 1
1
2
= + + + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
E
u
a
v
a
w
a
w
a
3
3
2
3
2
3
2
3
1
2
2=
+
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
G
u
a
u
a
v
a
v
a
w
a
w
a
u
a
v
a
3
1 2 1 2 1 2 2 1
1
2
= + + + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
- Signification des termes Ei.
Nous avons vu que [ ]ds ds da da da
E G G
G E G
G G E
da
da
da
2
0
2
1 2 3
1 3 2
3 2 1
2 1 3
1
2
3
2− =
Soit ε la dilatation linéïque de l'élément linéaire ds M N0 0 0
→ →
= de cosinus directeurs α β γ, , .
da ds1 0= α da ds2 0= β da ds3 0= γ
Pour un élément parallèle à l'axe ( )O i,
r
: α β γ= 1, = = 0 donc ds ds E ds2
0
2
1 0
2
2− = d'où :
E
ds ds
ds
ds ds ds
ds
ds ds ds ds
ds
1
2
0
2
0
2
0 0
2
0
2
2
0 0
2
0
2
1
2
2 2
2
2
2
=
−
=
−
+
− +
Or par définition ε =
−ds ds
ds
0
0
, on a donc E1
2
2
= +ε
ε
.
Ainsi, il y a coïncidence entre E1 et ε au second ordre près si ε est infiniment petite.
6. Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.)
On supposera dans la suite de ce cours que les composantes des vecteurs déplacements et
leurs dérivées partielles sont infiniment petites et du même ordre de grandeur (1er ordre). On
peut alors négliger les termes du second degré (second ordre) par rapport à ceux du premier.
On obtient ainsi les termes linéarisés ei et gi d'après les termes Ei et Gi .](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-15-320.jpg)
![Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point Chapitre II
- 20 -
M
r
n
Nr r
ε ε= ⋅n
r
g
r r
d n= ⋅ε
D'après ce qui précède nous voyons que :
-
r
ε est la projection orthogonale de
r
d sur
v
n donc : ε = ⋅
r r
n d et ε ε= ⋅ ⋅
r r
n n
soit sous forme matricielle : { } [ ]{ }ε ε=
r r
n n
T
- Dans la rotation M,ω
←
le vecteur unitaire
v
n voit son extrémité se déplacer de
r r
g nrot = ∧
←
ω .
8.2. Interprétation des termes du tenseur des déformations
Soit MN l'élément fibre de vecteur unitaire nx
→
orienté selon l'axe x
→
,
soit :n i j kx
→
= ⋅ + ⋅ + ⋅1 0 0
r r r
. Le vecteur déformation de cet élément fibre est noté dx
→
, il vaut :
d nx x
→
= ⋅ =
⋅
ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
r
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1
0
0
dans la base ( )
r r r
i j k, ,
d i j kx
→
= + +ε ε ε11 21 31
r r r
d'où g j kx
→
= ⋅ + ⋅ε ε21 31
r r
.
Remarques : - on peut aussi noter ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
=
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
- On a toujours ε εij ji= ∀i j,
Ainsi :
- ε11 (ou bien εxx ) est la dilatation linéïque relative, en M, dans la direction de l'axe x
→
.
- ε21 (ou bien εyx ) est la composante suivant (M, y
→
) du vecteur glissement gx
→
relatif à la
direction (M, x
→
).
Il en est de même pour les autres termes en permutant les indices et les axes.
8.3. Distorsion, variation d'angle
Soient dans le domaine élémentaire deux éléments fibres d'origine commune M et de
vecteurs unitaires
r
n1 et
r
n2 faisant l'angle ϕ entre eux.](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-20-320.jpg)
![Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point Chapitre II
- 30 -
g
ε
O ε a εX
−2ϕ
εY
C
( )ε εa c+
2
ε b
ε c
Ac
Ab
Aa
Après avoir placé sur l'axe ε les trois résultats de mesure εa , εb et εc , on positionne le
point C, milieu de [εa , εc ]. Puis on trace le cercle de centre C et de rayon r que l'on calcule. Pour
déterminer ce rayon on peut aussi remarquer que les distances (Cεb) et (εa Aa) sont égales.
Il n'y a alors qu'une seule solution pour positionner les points Aa, Ab et Ac décalés les uns
par rapport aux autres de -2 x 45° soit -90°. En effet, sur le solide on passe de la jauge Ja à la
jauge Jb par rotation de +45°, donc dans le diagramme de Mohr on passe du point représentatif
Aa au point Ab par rotation de -2 x 45°.
Par mesure ou bien par calcul de l'angle ( )εCAa = -2ϕ on connait l'angle ϕ.
Les déformations principales étant directement les abscisses des points d'intersection de
l'axe Oε avec le cercle de Mohr des déformations.
12. Conditions de compatibilité des déformations
Imaginons un milieu continu (solide par exemple) et découpons le, par la pensée, en petits
éléments au moyen de trois familles de plans parallèles aux trois plans du repère orthonormé
choisi. Si l'on se donne dans le solide un champ de déformations arbitraire, on impose à ces
éléments des déformations arbitraires ; les éléments ainsi déformés ne pourront pas toujours
rester juxtaposés sans laisser de vide entre eux.
Un champ de déformations ne peut donc pas être donné arbitrairement : il doit
satisfaire des conditions de compatibilité pour que la juxtaposition reste assurée afin de
conserver la continuité du milieu.](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-30-320.jpg)
![Distribution des contraintes autour d'un point Chapitre III
- 39 -
Les facettes MCB, MAC et MAB ont pour normale unitaire extérieure (sortante) les
vecteurs − − −
r r r
i j k, , et pour aire élémentaires respectives :
ds ds dsyz MCB= = α
ds ds dsxz MAC= = β
ds ds dsxy MAB= = γ
Sur chaque facette du tétraèdre s'exercent les forces suivantes :
sur MBC : −
→
C dsx α
sur MAC : −
→
C dsy β
sur MAB : −
→
C dsz γ
L'équilibre du tétraèdre se traduit alors par la relation vectorielle :
Cds C ds C ds C dsx y z
→ → → → →
− − − =α β γ 0
soit encore : C C C Cx y z
→ → → → →
− − − =α β γ 0 que nous pouvons écrire sous forme matricielle :
[ ]C n
→ →
= ⋅
Σ
Les vecteurs C
→
et n
→
étant indépendants du choix du repère, [ ]Σ est la matrice de
l'opérateur linéaire Σ faisant correspondre C
→
à n
→
, cet opérateur est appelé tenseur des
contraintes au point M. Nous noterons ce tenseur Σ .
C n
→ →
= ⋅Σ
Nota : Si Σ est connu en un point M quelconque du solide, alors la relation précédente
permet de calculer le vecteur contrainte dans toutes les fibres d'orientation n
→
passant par M.
- Au point M, la contrainte normale σ
→
, à la facette élémentaire de normale n
→
est :
σ σ
→ →
= n avec σ = ⋅ ⋅
→ →
n nΣ
sous forme matricielle on écrit : [ ]σ =
⋅ ⋅
→ →
n n
T
Σ
- Au point M, la contrainte tangentielle τ
→
, relative à la facette élémentaire de normale n
→
est :
τ σ
→ → →
= −C soit
τ σ
→ → →
= ⋅ −Σ n n
• Propriété : Symétrie du tenseur des contraintes
Imaginons un parallélépipède élémentaire centré en M dont les côtés ont pour longueur 2a,
2b et 2c parallèlement aux axes Mx, My et Mz.](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-39-320.jpg)
![Distribution des contraintes autour d'un point Chapitre III
- 44 -
•••• La cission octaédrique (ou octaédrale) τ oct est telle que :
C noct oct oct
→ → →
= +σ τ donc ( ) ( )τ σ σ σ σ σ σ σoct oct oct X Y Z X Y ZC
→ →
= − = + + − + +
2 2
2 2 2 2 21
3
1
9
( ) ( ) ( )[ ]τ τ σ σ σ σ σ σoct oct X Y X Z Y Z
2
2
2 2 21
9
= = − + − + −
→
, τ oct J=
2
3
2
Cette valeur de τ oct est remarquable car elle est associée aux directions qui font des
angles égaux avec les 3 directions principales.
Nota : rappelons que le signe d'une contrainte de cisaillement (ou cission) n'a pas de sens
physique.
10. Représentation de Mohr
Cette représentation a pour but d'illustrer l'état de contrainte en un point du solide
considéré.
En un point M de ce solide, considérons une fibre élémentaire de direction n
→
. A la surface
élémentaire ds passant par M et de normale n
→
correspond le vecteur contrainte C n
→ →
= ⋅Σ .
Dans le diagramme ( )σ τ, avec τ≥0 (le signe de τ n'a pas de sens physique) on peut
associer à chaque fibre de direction n
→
, centrée en M (point du solide), le point A n( )
r représentatif
de l'état de contrainte.
Cherchons le domaine engendré par ce point A n( )
r quand la direction n
→
prend toutes les
directions possibles de l'espace autour de M.
Nous avons déjà établi les trois relations :
σ
σ τ
= ⋅ ⋅
= +
=
→ →
n n
C
n
Σ
r
r
2 2 2
2
1
Si nous notons les coordonnées de la normale unitaire ( )n
→
α β γ, , dans la base principale
{ }
r r r
X Y Z, , nous obtenons :
σ σ α σ β σ γ
σ α σ β σ γ σ τ
α β γ
= + +
+ + = +
+ + =
X Y Z
X Y Z
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
Ce système est linéaire d'ordre 3 par rapport à α β γ2 2 2
, , .
Si les contraintes principales sont deux à deux distinctes, le système a pour solution :](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-44-320.jpg)
![Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV
- 56 -
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
ε σ υ σ σ
ε σ υ σ σ
ε σ υ σ σ
X X Y Z
Y Y Z X
Z Z X Y
E
E
E
= − +
= − +
= − +
1
1
1
En utilisant la trace de Σ (premier invariant) on obtient,
( )s trace X Y Z= = + + ⇒Σ σ σ σ
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
ε υ σ υ
ε υ σ υ
ε υ σ υ
X X
Y Y
Z Z
E
s
E
s
E
s
= + −
= + −
= + −
1
1
1
1
1
1
Ces relations traduisent dans le repère principal la relation tensorielle suivante également
vraie dans un repère orthonormé quelconque (non principal) :
ε
υ υ
=
+
−
1
1
E E
sΣ que l’on note aussi ε
υ
σ
υ
σ δij ij kk ij
E E
=
+
−
1
L’équation tensorielle précédente est équivalente aux six équations scalaires suivantes.
ε
υ
σ
υ
ε
υ
σ
υ
ε
υ
σ
υ
xx xx
yy yy
zz zz
E E
s
E E
s
E E
s
=
+
−
=
+
−
=
+
−
1
1
1
ε
υ
σ
ε
υ
σ
ε
υ
σ
yz yz
xz xz
xy xy
E
E
E
=
+
=
+
=
+
1
1
1
NOTA : Ces relations se vérifient par exemple sur un essai de torsion sur tube cylindrique
(voir T.P).
On remarquera la relation liant les deux premiers invariants des tenseurs ε et Σ :
e
E
s=
−1 2υ
avec ( )e trace= ε et ( )s trace= Σ
D’autre part, si le matériau est isotrope les directions principales de contraintes et de
déformations coïncident. Ce n’est pas le cas pour les matériaux anisotropes (ex : composites
stratifiés), il faut alors prendre des précautions en extensométrie !
La relation tensorielle ε
υ υ
=
+
−
1
1
E E
sΣ peut s’inverser, on obtient alors :
Σ = +λ µεe1 2 que l’on note aussi σ λ ε δ µεij ij ij= +kk 2
avec :
( )( )
λ
υ
υ υ
=
+ −
E
1 1 2
et
( )
µ
υ
= =
+
G
E
2 1](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-56-320.jpg)
![Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV
- 60 -
En raisonnant de même dans les deux autres directions
r
Y et
s
Z on obtient,
( )
dW
dV
X X Y Y Z Z= + +
1
2
σ ε σ ε σ ε
L’énergie potentielle élastique emmagasinée, par unité de volume, au voisinage du
point M considéré, est donc égale à :
( ) ( )[ ]dW
dV
trace M M= ⋅
1
2
Σ ε
Cette énergie se nomme aussi densité volumique d’énergie élastique emmagasinée au
voisinage du point M.
Nota : c’est un scalaire, elle est indépendante du repère choisi !
4. Etats particuliers de contraintes et de déformations
Voici à titre de formulaire l’expression de la loi de Hooke pour deux états particuliers de
contraintes et déformations.
4.1. Déformations planes
Un solide subit une déformation plane s’il existe un repère { }O i j k; , ,
r r r
dans lequel le
vecteur déplacement a des composantes de la forme :
M M U
u x y
v x y
w C z
0 1
→ →
= =
=
( , )
( , )
.
ε
ε ε
ε ε=
xx xy
xy yy
C
0
0
0 0
Σ =
σ σ
σ σ
σ
xx xy
xy yy
zz
0
0
0 0
( )[ ]
( )[ ]
ε
υ
υ σ υσ υ
ε
υ
υ σ υσ υ
ε
υ
σ
xx xx yy
yy yy xx
xy xy
E
C
E
C
E
=
+
− − − ⋅
=
+
− − − ⋅
=
+
1
1
1
1
1
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ]
( )( )
( ) ( )[ ]
σ
υ υ
υ ε υ ε
σ
υ υ
υ ε υ ε
σ
υ υ
υ ε ε υ
σ
υ
ε
xx xx yy
yy yy xx
zz xx yy
xy xy
E
C
E
C
E
C
E
=
+ −
− + +
=
+ −
− + +
=
+ −
+ + −
=
+
1 1 2
1
1 1 2
1
1 1 2
1
1
Nota : ( )σ υ σ σzz xx yyEC= + +
4.2. Contraintes planes
Un solide est dit en état de contraintes planes, perpendiculairement à la direction z’z par
exemple, s’il existe un repère { }O i j k; , ,
r r r
lié à ce solide tel que les deux conditions suivantes
soient vérifiées :
- le tenseur des contraintes est de la forme Σ =
σ σ
σ σ
xx xy
xy yy
0
0
0 0 0](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-60-320.jpg)
![Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV
- 61 -
-les composantes σ xx , σ yy , σ xy sont indépendantes de z.
Nota : les fibres parallèles à l’axe z’z sont toutes non contraintes (vecteur contrainte nul).
On a alors : ε
ε ε
ε ε
ε
=
xx xy
xy yy
zz
0
0
0 0
[ ]
[ ]
[ ]
ε σ υσ
ε σ υσ
ε
υ
σ σ
ε
υ
σ
xx xx yy
yy yy xx
zz xx yy
xy xy
E
E
E
E
= −
= −
=
−
+
=
+
1
1
1
[ ]
[ ]
σ
υ
ε υε
σ
υ
ε υε
σ
υ
ε
xx xx yy
yy yy xx
xy xy
E
E
E
=
−
+
=
−
+
=
+
1
1
1
2
2
Notons : ( )ε
υ
υ
ε εzz xx yy= −
−
+
1](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-61-320.jpg)
![Résolution d’un problème d’élasticité Chapitre V
- 65 -
Nous négligerons les forces de volume par rapport aux pressions mises en jeu ; l’équation
de Navier se réduit alors à : grad divU
→ → →
= 0
En coordonnées sphériques cette équation est équivalente aux trois équations suivantes :
d
dr
du
dr
u
r
+
=
=
=
2 0
0 0
0 0
L’intégration de la première équation différentielle donne : u
Ar B
r
= +
3 2
D’où εrr
du
dr
A B
r
= = −
3
2
3
ε εθθ ϕϕ= = = +
u
r
A B
r3 3
ε ε εθ ϕ θϕr r= = = 0
et ( )σ λ µ µrr
A B
r
= + −3 2
3
4 3 ( )σ σ λ µ µθθ ϕϕ= = + +3 2
3
2 3
A B
r
σ σ σθ ϕ θϕr r= = = 0
Les conditions aux limites sont : ( )σ rr i ir R p= = − et ( )σ rr e er R p= = − d’où
( )( )
A
p R p R
R R
i i e e
e i
=
−
+ −
3
3 2
3 3
3 3
λ µ
et
( )
( )
B
p p R R
R R
i e i e
e i
=
−
−
3 3
3 3
4µ
Nota : le cas particulier où iRe << est intéressant à discuter (voir E.D.).
3. Méthode des contraintes (ou des conditions de compatibilité)
Dans un premier temps, nous cherchons les six composantes du tenseur des contraintes.
Dans le chapitre II nous avons établit la condition de compatibilité des déformations :
rot rot. ε = 0
En utilisant la loi de Hooke cette condition s’écrit : ( )[ ]rot rot s. . .1 1 0+ − =υ υΣ
Les deux relations suivantes d’analyse vectorielle
rot rot grad div grad div grad grad sT
. Σ Σ Σ ∆Σ=
+
−
−
→ → →
( )rot rot s grad grad s s. . ( ).1 1= −
−
→
∆
permettent de transformer la condition de compatibilité précédente ; on obtient :
grad div grad div grad grad s sT
→ → →
+
− −
+
+
+
=Σ Σ ∆Σ ∆
1
1 1
1 0
υ
υ
υ
( ).
Par ailleurs, l’équation de l’équilibre local permet d’écrire : div fΣ
→ →
= − d’où
grad f grad f grad grad s sT
→ → →
+ + +
+
−
+
=∆Σ ∆
1
1 1
1 0
υ
υ
υ
( ).](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-65-320.jpg)
![Méthodes énergétiques Chapitre VII
- 77 -
Cette formule dite de Clapeyron permet souvent de calculer rapidement le potentiel
élastique d’un système, c'est-à-dire son énergie de déformation élastique.
1.4. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti
Considérons deux systèmes de forces (F) et (F') qui assurent tous deux l'équilibre d'un
même solide élastique. Nous noterons Uj
→
et Uj'
→
les déplacements respectifs engendrés par (F) et
par (F').
En appliquant le théorème de Clapeyron nous pouvons calculer le potentiel élastique du
solide considéré soumis aux deux systèmes de forces :
ϖ F j j
j
n
F U=
→ →
=
∑
1
2 1
. ϖ F j j
j
n
F U' =
→ →
=
∑
1
2 1
'. '
Imaginons qu'après avoir appliqué le système de forces (F) au solide on ajoute au solide
chargé ainsi en équilibre, une partie du système de forces (F') que l'on va noter (λ.F').
L'effort en un point M j du solide est alors : F Fj j
→ →
+ λ '
Le déplacement en ce même point est : U Uj j
→ →
+ λ. '
Alors le travail des forces appliquées au solide entre l'état (λF') et l'état [(λ+dλ)F'] est :
F F U d F U d F U dj j j
j
n
j j
j
n
j j
j
n→ → →
=
→ →
=
→ →
=
+
= +∑ ∑ ∑λ λ λ λ λ. ' ' . ' ' . ' .
1 1 1
En intégrant cette relation pour λ variant entre 0 et 1 on obtient : ϖ ϖ ϖF F F F j j
j
n
F U+
→ →
=
= + + ∑' ' . '
1
Or l'énergie de déformation élastique par unité de volume est indépendante de l'ordre
d'application des charges on peut donc écrire également : ϖ ϖ ϖF F F F j j
j
n
F U+
→ →
=
= + + ∑' ' '.
1
En comparant les deux relations précédentes on obtient le théorème suivant :
•••• Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti : F U F Uj j
j
n
j j
j
n→ →
=
→ →
=
∑ ∑=. ' '.
1 1
Pour deux états d'équilibre d'un même solide élastique, le travail d'un système de forces (F)
dans les déplacements correspondants à un autre système de forces (F') est égal au travail de (F')
dans les déplacements correspondants à (F).
2. Théorème des Travaux virtuels, des Puissances virtuelles et leurs applications
2.1. Définitions
Conditions aux limites
Soit un solide (S) de volume V, limité par une surface (Ω), en équilibre par rapport à un
repère R sous l'effet de forces de volume f
→
par unité de masse et de forces de surface T
→
par
unité de surface. On distingue deux types de conditions aux limites sur ce solide :](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-77-320.jpg)
![Méthodes énergétiques Chapitre VII
- 78 -
- Conditions aux limites cinématiques
Sur une partie ΩD de Ω sont imposés des déplacements notés U
→
.
- Conditions aux limites statiques
Sur la partie complémentaire ΩC de ΩD (ΩC + ΩD = Ω, ΩC ⊂ Ω et ΩC ∩ ΩD = ∅) sont
imposées des contraintes (forces de surface T
→
).
- Champ de déplacement cinématiquement admissible
On appelle champ de déplacement cinématiquement admissible tout champ respectant la
continuité du solide et les conditions aux limites cinématiques.
- Champ de contraintes statiquement admissible
On appelle champ de contraintes statiquement admissible tout champ de contraintes
continûment dérivable vérifiant les équations d'équilibre et les conditions aux limites statiques.
2.2. Etude des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles
Soit un champ de déplacements virtuels U u i v j w k
→
= + +* *. *. *.
r r r
cinématiquement
admissible. Notons f f i f j f kx y z
→
= + +. . .
r r r
et T T i T j T kx y z
→
= + +. . .
r r r
Le travail virtuel des forces extérieures (de volume f
→
et de surface T
→
) est :
W f U dv T U d
V
* . . *. . *.= +
→ → → →
∫∫∫ ∫∫ρ Ω
Ω
Or, par définition T n
→ →
= Σ. ⇔
T
T
T
x xx xy xz
y xy yy yz
z xz yz zz
= + +
= + +
= + +
ασ βσ γσ
ασ βσ γσ
ασ βσ γσ
où ( )n
→
α β γ, , donc
( ) ( ) ( )[ ]T U d u v w u v w u v w dxx xy xz xy yy yz xz yz zz
→ →
∫∫ ∫∫= + + + + + + + +. * * * * * * * * * *Ω Ω
Ω Ω
σ σ σ α σ σ σ β σ σ σ γ
Si u*, v*, w* et σij sont continus et dérivables alors on peut transformer l'intégrale de
surface sur Ω en intégrale de volume sur V à l'aide de la formule d'Ostrogradsky.
Pour simplifier les notations, notons I l'intégrale : I T U d=
→ →
∫∫ . * Ω
Ω
soit W f U dv I
V
* . . *.= +
→ →
∫∫∫ρ
( ) ( ) ( )I
x
u v w
y
u v w
z
u v w dvxx xy xz xy yy zz xz yz zz
V
= + + + + + + + +
∫∫∫
∂
∂
σ σ σ
∂
∂
σ σ σ
∂
∂
σ σ σ* * * * * * * * *](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-78-320.jpg)
![Critères de limite d’élasticité Chapitre VIII
- 85 -
où : ( )I trace1 = Σ = premier invariant du tenseur des contraintes
( )J trace S S2
1
2
= . = second invariant du tenseur déviateur des contraintes
Pour un matériau donné dans un état de contrainte tridimensionnel, Von Mises suppose que
le seuil de plasticité est atteint en un point M lorsque la densité volumique d’énergie élastique de
changement de forme (distorsion) en ce point est égale à la densité volumique d’énergie élastique
de changement de forme obtenue en traction simple à la limite d’élasticité Re . On a donc Re s= σ
Pour un état de contrainte unidimensionnel de traction simple équivalent au seuil de
plasticité on obtient : J s
2
2
3
=
σ
(VIII.3)
La fonction de seuil f peut donc s’exprimer par : ( )[ ]J M s
2
2
3
0Σ − =
σ
(VIII.4)
Définition : En un point M, pour un tenseur de contrainte quelconque ( )Σ M , on appelle
contrainte équivalente de Von Mises la contrainte σeq unidimensionnelle (traction pure) qui
engendre la même densité volumique d’énergie de distorsion que ( )Σ M .
( ) ( ) ( )( )σeq J M trace S M S M= =3
3
2
. . .2 (VIII.5)
La fonction seuil f s’écrit alors : f eq s= − =σ σ 0 (VIII.6)
- En fonction des termes du tenseur des contraintes ( )Σ M le critère de Von Mises s’écrit :
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1
2
6 011 22
2
22 33
2
33 11
2
12
2
23
2
13
2 2
σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ− + − + − + + + − =s (VIII.7)
- Dans l’espace des contraintes principales ΣI , ΣII , ΣIII , le critère devient :
( ) ( ) ( )[ ]1
2
2 2 2
Σ Σ Σ Σ Σ ΣI II II III III I s− + − + − = σ (VIII.8)
Représentation graphique du critère de Von Mises
L’équation (VIII.8) est celle d’un cylindre à base circulaire dont l’axe est confondu avec la
première trissectrice du repère des contraintes principales et de rayon R s=
2
3
σ .](https://image.slidesharecdn.com/mmcartetmtierparitech-171122161317/85/Mmc-art-et-metier-pari-tech-85-320.jpg)
Mmc art et métier pari tech
- 1. Ecole Nationale Supérieured’Arts et Métiers, CER de Bordeaux – Talence Esplanade des Arts et Métiers, F-33405 Talence Cedex MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES (A L’USAGE DE L’INGENIEUR) Thierry PALIN-LUC Novembre 2007
- 2. Thierry PALIN-LUC Arts etMétiers ParisTech ENSAM CER de Bordeaux Esplanade des Arts et Métiers 33405 Talence Cedex Tél. 05 56 84 53 60, Fax. 05 56 84 53 66 e-mail : thierry.palin-luc@bordeaux.ensam.fr version 2007
- 3. Préambule Ce cours deMécanique des Solides Déformables constitue la première des trois parties du cours du même nom dispensé à l’E.N.S.A.M. en première année dans le cadre de l’Unité d’Enseignement Disciplinaire « Mécanique ». Après les cours de mécanique du point matériel, des solides rigides (ou indéformables) vus dans les classes antérieures, ce cours a pour objectif de donner aux élèves ingénieurs les bases de la mécanique des solides déformables (mécanique des milieux continus) pour des matériaux homogènes isotropes à comportement élastique linéaire. Nous présenterons le formalisme mathématique utilisé pour représenter les champs de déformations et de contraintes et trouver les corrélations entre le champ des déplacements des points constituant le milieu, les efforts intérieurs et extérieurs. Ceci permettra de mettre en place les bases du dimensionnement des organes mécaniques au travers des critères de plasticité. Nota : Tous les commentaires permettant de faire évoluer ce document peuvent être envoyés à : thierry.palin-luc@bordeaux.ensam.fr
- 4. Table des matières Préambule...........................................................................................................................................3 ChapitreI : Introduction - Notion de continuité.............................................................................6 1. Hypothèse de continuité du milieu ...............................................................................................6 2. Hypothèses de continuité des transformations............................................................................6 3. Exemples de cas ne vérifiant pas les hypothèses de continuité ..................................................7 Chapitre II : Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point........................8 1. Définitions.......................................................................................................................................8 2. Variables de Lagrange et variables d'Euler ................................................................................8 2.1. Variables de Lagrange..............................................................................................................8 2.2. Variables d'Euler ......................................................................................................................9 3. Trajectoires, Dérivée particulaire et Lignes de courant.............................................................9 3.1. Trajectoire.................................................................................................................................9 3.2. Notion de dérivée particulaire................................................................................................10 3.3. Lignes de courant à un instant donné.....................................................................................10 4. Eléments d'algèbre et d'analyse tensorielle ...............................................................................11 5. Tenseur de GREEN .....................................................................................................................13 6. Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.)............................................................................15 7. Déplacement, Déformation et Rotation......................................................................................16 8. Interprétation des termes du tenseur de déformation pure.....................................................19 8.1. Dilatation et glissement ..........................................................................................................19 8.2. Interprétation des termes du tenseur des déformations..........................................................20 8.3. Distorsion, variation d'angle ..................................................................................................20 9. Quadriques des déformations .....................................................................................................21 10. Directions principales ................................................................................................................22 11. Diagramme de MOHR des déformations ................................................................................24 11.1. Cas particulier PLAN ...........................................................................................................25 11.2. Application à l'extensométrie................................................................................................27 12. Conditions de compatibilité des déformations ........................................................................30 Chapitre III : Distribution des contraintes autour d'un point ....................................................35 1. Equilibre d'un milieu continu solide..........................................................................................35 2. Notion de vecteur contrainte.......................................................................................................36 3. Tenseur des contraintes...............................................................................................................37 3.1. Notion de matrice des contraintes ..........................................................................................37 3.2. Tenseur des contraintes ..........................................................................................................38 4. Réciprocité des contraintes (Relation de Cauchy) ....................................................................40 5. Contraintes principales et directions principales des contraintes...........................................41 6. Ellipsoïde de Lamé des contraintes ............................................................................................41 7. Invariants du tenseur des contraintes........................................................................................42 8. Partie sphérique et déviateur des contraintes ...........................................................................42 9. Tension et cission octoaédrales en un point...............................................................................43 10. Représentation de Mohr............................................................................................................44 11. Cas particulier du diagramme de Mohr dans un plan principal...........................................46 12. Equations générales de l'équilibre local...................................................................................48 Chapitre IV : Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire..........................................50 1. Expérience de traction.................................................................................................................50 2. Loi de Hooke (élasticité linéaire isotrope)..................................................................................55
- 5. 3. Energie potentielleélastique (ou énergie de déformation élastique).......................................59 4. Etats particuliers de contraintes et de déformations ................................................................60 4.1. Déformations planes ...............................................................................................................60 4.2. Contraintes planes ..................................................................................................................60 Chapitre V : Résolution d’un problème d’élasticité .....................................................................62 1. Présentation du problème d’élastostatique................................................................................62 2. Méthode des déplacements (ou méthode de Lamé et Clapeyron)............................................63 3. Méthode des contraintes (ou des conditions de compatibilité) ................................................65 4. Cas des problèmes plans..............................................................................................................67 4.1. Contraintes planes ..................................................................................................................67 4.1.1. Méthode des déplacements ..............................................................................................67 4.1.2. Méthode des forces ..........................................................................................................68 4.2. Déformations planes ...............................................................................................................68 4.2.1. Méthode des déplacements ..............................................................................................69 4.2.2. Méthodes des forces.........................................................................................................69 Chapitre VI : Quelques états de contraintes et déformations particuliers.................................70 1. Problèmes axisymétriques méridiens .........................................................................................70 2. Problèmes plans en coordonnées cylindriques..........................................................................71 2.1. Contraintes planes ..................................................................................................................71 2.2. Déformations planes ...............................................................................................................72 Chapitre VII : Méthodes énergétiques...........................................................................................74 1. Energie de déformation élastique...............................................................................................74 1.1. Hypothèses ..............................................................................................................................74 1.2. Energie de déformation élastique par unité de volume ..........................................................75 1.3. Théorème de Clapeyron..........................................................................................................76 1.4. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti...........................................................................77 2. Théorème des Travaux virtuels, des Puissances virtuelles et leurs applications ...................77 2.1. Définitions...............................................................................................................................77 2.2. Etude des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles ...........................78 2.3. Etude des champs de contraintes statiquement admissibles...................................................82 3. Corrélation entre les états cinématiquement admissibles et ceux statiquement admissibles. ............................................................................................................................................................83 Chapitre VIII: Critères de limite d’élasticité ................................................................................84 1. Critère de Von Mises ...................................................................................................................84 2. Critère de Tresca..........................................................................................................................86 Références bibliographiques...........................................................................................................88 Formulaire ........................................................................................................................................89 Module d'Young E et coefficient de Poisson νννν pour quelques matériaux usuels.......................95 Synoptique de la « Méthode des DEPLACEMENTS » ou de Lamé – Clapeyron .....................96 Synoptique de la « Méthode des FORCES » ou de Beltrami.......................................................97
- 6. Introduction - Notionde continuité Chapitre I - 6 - Chapitre I : Introduction - Notion de continuité 1. Hypothèse de continuité du milieu Un milieu continu est un milieu dans lequel les propriétés physiques au repos (on ne s’intéressera pas aux ondes de chocs) varient de façon continue d'un point à un autre. En particulier la distribution de la masse est supposée continue. Un élément de volume dv renferme une masse élémentaire dm dv= ρ , où ρ désigne la masse volumique, fonction continue des coordonnées ( )x x x1 2 3, , et du temps t. ( ) dm dv x x x t= ρ 1 2 3, , , Nous serons amenés à supposer que ρ est continûment différentiable, au moins dans certains domaines. Toutes les propriétés physiques qui interviendront seront supposées continues et différentiables. Remarque : A l'échelle moléculaire ou même à une échelle plus grande, celle des cristaux, la matière est discontinue (joints de grains dans les métaux par exemple). Mais la mécanique des milieux continus se place à l'échelle macroscopique. A cette échelle la matière (le milieu) apparaît comme continue, sauf éventuellement en certaines surfaces de discontinuité. Ceci implique qu'un élément de volume dv doit être considéré comme assez petit pour qu'on puisse le traiter mathématiquement comme un infiniment petit, mais cependant assez grand pour qu'il renferme un très grand nombre de molécules ou de cristaux. On parle alors de volume élémentaire représentatif. 2. Hypothèses de continuité des transformations Nous admettrons que deux points matériels infiniment voisins à l'instant t=0 restent infiniment voisins à tout instant suivant. De plus, deux points matériels infiniment voisins à l'instant t proviennent de deux points infiniment voisins à l'instant t=0. Cette hypothèse exclut la possibilité de mélange de deux portions du milieu initialement distinctes. Traduction mathématique : Soit ( )M a a a0 1 2 3, , un point matériel à l'instant t=0, soit ( )M x x x1 2 3, , la position du même point à l'instant t, t > 0. On admettra la continuité de la transformation par rapport au temps. Si ( )x f a a a t ii i= ∀ =1 2 3 1 2 3, , , , , , formules définissant la transformation du milieu entre 0 et t ou bien si ( )a x x x t ii i= ∀ =ϕ 1 2 3 1 2 3, , , , , , formules définissant la transformation inverse, alors nous admettrons que les fonctions fi et ϕi sont toutes continues par rapport à toutes leurs
- 7. Introduction - Notionde continuité Chapitre I - 7 - variables. De plus, nous admettrons qu'elles ont des dérivées partielles premières continues par rapport à ces variables. 3. Exemples de cas ne vérifiant pas les hypothèses de continuité D'après les hypothèses précédentes l'étude des phénomènes suivants sort du cadre de ce cours. - formation de trous (Figure 1a) : - fissures dans les solides - cavitation dans les fluides - glissement relatif de deux parties du milieu (Figure 1b) : - faille dans les solides - sillage dans les fluides - choc de deux veines fluides (Figure 1c) - ondes de choc dans les solides (impacts) Figure 1 : exemples sortant du cadre de la mécanique des milieux continus M M' M M' Fig. 1a M M' Fig. 1b M M' Fig. 1c
- 8. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 8 - Chapitre II : Cinématique du milieu continu - Déformations autour d'un point 1. Définitions Un solide passant d'un état A à un état B est dit déformé quand les distances séparant certains couples de points de ce solide ont varié. M0 N0 -A- -B- N M On applelle dilatation relative ou dilatation linéïque la quantité ε : ε = −ds ds ds 0 0 En raisonnant non plus sur une distance mais sur un volume élémentaire passant de la valeur dv0 pour l'état A à la valeur dv pour l'état B, on appelle dilatation cubique relative la quantité e définie par : e dv dv dv = − 0 0 2. Variables de Lagrange et variables d'Euler L'étude du mouvement d'un milieu déformable peut se faire en utilisant 2 systèmes de variables indépendantes. 2.1. Variables de Lagrange Les variables indépendantes sont les coordonnées d'un point matériel M dans un état initial choisi comme référence ( )a a a1 2 3, , et le temps t. Il est alors commode de définir le mouvement en considérant, qu'à chaque instant t, les coordonnées xi du point matériel M sont des fonctions des coordonnées initiales ai . ( )x x a a a t i i i= = 1 2 3, , , pour 1,2,3 (II.1) Nota : Les équations (II.1) définissent les trajectoires des points matériels du milieu, nous y reviendrons. A un instant t donné, les coordonnées du champ des vitesses r V sont alors données par r r V dx dt = où r x désigne le vecteur position de la particule considérée, ( ) r x a a a t= 1 2 3, , , , à un instant t donné. ds M N ds MN 0 0 0= = ∩ ∩
- 9. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 9 - ( ) ( ) ( ) r V v x t a a a t v x t a a a t v x t a a a t 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , , , , , , , , 2.2. Variables d'Euler Les variables indépendantes sont les coordonnées d'un point géométrique ( )x x x1 2 3, , , point fixe par rapport au repère du mouvement, et le temps t. L'état cinématique du milieu est ici défini par le champ des vitesses r V dépendant des coordonnées du point géométrique ( )x x x1 2 3, , et du temps t. On considère alors que la masse volumique et toutes les autres propriétés physiques du milieu sont des fonctions de ( )x x x1 2 3, , et t. Intérêt de cette description : Dans le cas général on ne connait pas d'état initial remarquable, de plus les forces qui s'exercent sur le milieu sont souvent exprimées comme des fonctions des coordonnées actuelles ( )x x x1 2 3, , à l'instant t. On considère alors que la masse volumique et toutes les autres propriétés physiques du milieu sont des fonctions de ( )x x x1 2 3, , et t. En général on utilise la description lagrangienne pour les solides et la description eulérienne pour les fluides (sauf pour la propagation d'ondes). 3. Trajectoires, Dérivée particulaire et Lignes de courant. 3.1. Trajectoire Définition : On appelle trajectoire d'un point matériel, situé en r x à l'instant t, le lieu des positions successives de ce point matériel quand le temps varie. - En variables Lagrangiennes nous avons vu que les équations (II.1) définissent directement les trajectoires des points matériels du milieu. - En variables Eulériennes les coordonnées vi du vecteur vitesse r V sont telles que : v dx dt i i = pour i=1, 2, 3. On obtient les équations des trajectoires des points matériels en intégrant le sytème différentiel suivant : ( ) ( ) ( ) dx v x x x t dx v x x x t dx v x x x t dt1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3, , , , , , , , , = = =
- 10. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 10 - Ce système est formé de trois équations du premier ordre dans lesquelles les fonctions vi sont supposées connues. De façon générale, ce sytème a pour solution : ( ) ( ) ( ) x x C C C t x x C C C t x x C C C t 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 = = = , , , , , , , , , où C1, C2 et C3 sont trois constantes d'intégration qui peuvent être prises égales aux coordonnées initiales à t=0. Les équations ci-dessus sont donc une réprésentation paramétrique de la trajectoire d'un point matériel. REMARQUE : Par un point géométrique passent en général une infinité de trajectoires (les différents éléments matériels qui se succèdent en ce point géométrique ont généralement des trajectoires différentes). 3.2. Notion de dérivée particulaire Définition : On appelle dérivée particulaire (par rapport au temps) d'une fonction ( )f x t r , , la dérivée de f par rapport au temps t lorsque le rayon vecteur r x est celui d'un point matériel (particule) animé de la vitesse r V , donc fonction du temps. On dit que l'on suit la particule dans son mouvement. - En variables de Lagrange : r x est fonction des coordonnées initiales r x0 ( )a a a1 2 3, , et de t. La dérivée particulaire n'est autre que la dérivée partielle ∂ ∂t de la fonction f. - En variables d'Euler : df dt f t f x x t f x x t f x x t = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂1 1 2 2 3 3 On retrouve dans l'expression ci-dessus les composantes du vecteur vitesse : v x t i i = ∂ ∂ . 3.3. Lignes de courant à un instant donné Définition : A un instant donné, les lignes de courant sont les lignes tangentes en chacun de leurs points au vecteur vitesse. REMARQUES : a./ Il ne faut pas confondre les trajectoires et les lignes de courant à un instant donné. Généralement les trajectoires sont différentes des lignes de courant à un instant donné. b./ En général, les lignes de courant ne sont pas les mêmes à deux instants différents.
- 11. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 11 - Pour le champ des vitesses ( ) r r V x t, à t=constante, les lignes de courant sont définies par le système différentiel de deux équations à trois inconnues x x x1 2 3, , : ( ) ( ) ( ) dx v x x x t dx v x x x t dx v x x x t 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3, , , , , , , , , = = pour t=constante. 4. Eléments d'algèbre et d'analyse tensorielle Définition : Un tenseur du second ordre est un opérateur linéaire, notons le T , qui fait correspondre à tout vecteur r Y de l'espace euclidien un vecteur r B de ce même espace, soit : ( ) v r B Y= T REMARQUE : Dans le cadre de ce cours nous nous limiterons à un espace euclidien à trois dimensions. Dans l'espace euclidien à trois dimensions que nous considérons, le caractère linéaire de l'opérateur T permet immédiatement d'énoncer : Un tenseur du second ordre est déterminé de façon unique si l'on connait les valeurs prises par ( )T r Y pour trois vecteurs r Y linéairement indépendants, c'est-à-dire pour une base de l'espace considéré. Cas particulier : Si r ni désignent les vecteurs unitaires d'un repère orthonormé (i=1, 2, 3), le tenseur est parfaitement défini par les 3 vecteurs : ( )T r r n t nj ij i= ⋅ c'est-à-dire par les 9 nombres tij que l'on appelle composantes du tenseur dans le système d'axes ( ) r r r n n n1 2 3, , . Ainsi, ( )T r r r r n t n t n t nj j j j= ⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 3 3 On remarquera qu'il n'y a aucun inconvénient à utiliser la même notation pour désigner un tenseur du second ordre et la matrice carrée formée par ses composantes dans un repère orthonormé donné. D'autre part, on peut noter un tenseur soit par une seule lettre, T par exemple, soit plus simplement par ses composantes dans un système d'axes déterminé. Ainsi, le tenseur défini par l'opérateur linéaire T sera désigné soit par T, soit par tij . Si = 333231 232221 131211 ttt ttt ttt T et r Y y y y 1 2 3 dans ( ) r r r n n n1 2 3, , alors, ( ) BnBnyt y y y ttt ttt ttt YTY jijjij rrrrr === =⋅= 3 2 1 333231 232221 131211 T
- 12. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 12 - Convention de notation : La notation t yij j est celle introduite par Einstein ; lorsqu'un indice apparait plus d'une fois dans un terme produit il faut faire la somme du terme produit sur toutes les valeurs de l'indice multiple. Ainsi t y t y t y t y t yij j ij j j j i i i= = + + = = ∑1 3 1 1 2 2 3 3, ce qui permet d'éviter d'écrire les signes somme. Autre exemple : ( )t t t t t trace Tkk kk k k = = + + = = = ∑ 1 3 11 22 33 . Tenseur unité : On appelle tenseur unité l'opérateur identité qui fait correspondre à tout vecteur r Y ce même vecteur r Y . Les composantes de ce tenseur unité sont les nombres δij , tels que δij i j i j = ≠ 0 1 si si = . Le symbole δij est appelé symbole de Kronecker. On peut par exemple noter le tenseur unité I , ainsi : I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 et ( )I r r Y y y Yij j j= = =δ . Tenseur symétrique : Soit par définition la forme bilinéaire ( )F X Y r r , associée au tenseur du second ordre T par : ( ) ( )F X Y X Y r r r r , T= ⋅ . Notons que ( )F n n ti j ij r r , = dans la base ( ) r r r n n n1 2 3, , . Soit un autre tenseur T*, également du second ordre, défini à partir de F par la relation : ( ) ( )F X Y Y X r r r r , T*= ⋅ Par définition T est dit symétrique si T et T* sont des opérateurs identiques ; alors : ( ) ( )F X Y F Y X r r r r , ,≡ . Nota : T* s'appelle le tenseur adjoint de T. Condition nécessaire et suffisante : Pour qu'un tenseur du second ordre T soit symétrique il faut et il suffit que t t i jij ji= ∀, , . Nota : Dans le cadre de ce cours nous ne manipulerons que des tenseurs symétriques sauf spécification particulière. REMARQUE sur les tenseurs en général : - La notion de tenseur du second ordre apparait comme une généralisation de la notion de vecteur, un vecteur étant considéré comme un opérateur linéaire faisant correspondre à un vecteur r X un scalaire réel. Un vecteur peut donc être considéré comme un tenseur du premier ordre.
- 13. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 13 - - Un tenseur du troisième ordre est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur r Z , fait correspondre un tenseur du second ordre T. 5. Tenseur de GREEN N0 M0 M1 N1 (r0) (r) U ds0 ds y z x k ji O Soit un élément linéaire de longueur ds M N0 0 0= (infinitésimale, i.e. M0 et N0 sont infiniment proches) dans l'état initial (r0). Les coordonnées du vecteur ds → 0 sont dai dans le repère ( )O i j k, , , r r r : ds da i da j da k → = ⋅ + ⋅ + ⋅0 1 2 3 r r r Après transformation (passage de l'état (r0) à l'état (r)) la longueur de cet élément est ds M N= 1 1, l'élément est déformé : ds dx i dy j dz k → = ⋅ + ⋅ + ⋅ r r r D'où : ds da da da ds dx dy dz 0 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 = + + = + + Or, les coordonnées ( )x y z, , du point M1 dépendent de celle du point M0 ( )a a a1 2 3, , . En supposant que les fonctions x, y et z sont différentiables (cf. chapitre 1) on a : dx x a da x a da x a da dy y a da y a da y a da dz z a da z a da z a da = + + = + + = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 OM a i a j a k OM x i y j z k U u i v j w k 0 1 2 3 1 → = + + → = + + → = + + r r r r r r r r r
- 14. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 14 - Ainsi : ds ds x a y a z a da x a y a z a da x a y a z a da x a x a y a 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 1 1 1 2 − = + + − + + + − + + + − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y a z a z a dada x a x a y a y a z a z a dada x a x a y a y a z a z a da da ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 32 2+ + + + + + + On pose alors : ds ds E da E da E da G da da G da da G da da2 0 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1 3 1 22 2 2 2− = + + + + + Que l'on peut aussi écrire sous forme matricielle : [ ]ds ds da da da E G G G E G G G E da da da 2 0 2 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 2 3 2− = Définition : E G G G E G G G E 1 3 2 3 2 1 2 1 3 est la matrice associée au tenseur de GREEN dans la base ( ) r r r i j k, , . Ce tenseur est noté ∆, c'est le tenseur des déformations. Exprimons le tenseur de GREEN ∆ en fonction des dérivées partielles du champ des déplacements : ( ) kaaawjaaaviaaauMMaaaMoU rrrr ⋅+⋅+⋅== → ),,(),,(),,(),,( 32132132110321 . D'après l'expression de r U on a immédiatement : OM OM U1 0 → → → = + d'où : += += += ),,(),,( ),,(),,( ),,(),,( 3213321 3212321 3211321 aaawaaaaz aaavaaaay aaauaaaax Ainsi en différenciant x, y et z nous obtenons : ∂ ∂ ∂ ∂ x a u a1 1 1= + ∂ ∂ ∂ ∂ x a u a2 2 = ∂ ∂ ∂ ∂ x a u a3 3 = ∂ ∂ ∂ ∂ y a v a1 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ y a v a2 2 1= + ∂ ∂ ∂ ∂ y a v a3 3 = ∂ ∂ ∂ ∂ z a w a1 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ z a w a2 2 = ∂ ∂ ∂ ∂ z a w a3 3 1= + Or E x a y a z a 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1= + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ donc E u a v a w a 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1= + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
- 15. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 15 - De même, G x a x a y a y a z a z a 1 2 3 2 3 2 3 1 2 = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ donc, G u a u a v a v a w a w a 1 2 3 2 3 2 3 1 2 1 1= + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ En procédant de façon analogue pour les autres termes du tenseur de GREEN on obtient : E u a v a w a u a 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G u a u a v a v a w a w a v a w a 1 2 3 2 3 2 3 3 2 1 2 = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ E u a v a w a v a 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G u a u a v a v a w a w a u a w a 2 1 3 1 3 1 3 3 1 1 2 = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ E u a v a w a w a 3 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G u a u a v a v a w a w a u a v a 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ - Signification des termes Ei. Nous avons vu que [ ]ds ds da da da E G G G E G G G E da da da 2 0 2 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 2 3 2− = Soit ε la dilatation linéïque de l'élément linéaire ds M N0 0 0 → → = de cosinus directeurs α β γ, , . da ds1 0= α da ds2 0= β da ds3 0= γ Pour un élément parallèle à l'axe ( )O i, r : α β γ= 1, = = 0 donc ds ds E ds2 0 2 1 0 2 2− = d'où : E ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds ds 1 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2 1 2 2 2 2 2 2 = − = − + − + Or par définition ε = −ds ds ds 0 0 , on a donc E1 2 2 = +ε ε . Ainsi, il y a coïncidence entre E1 et ε au second ordre près si ε est infiniment petite. 6. Hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.) On supposera dans la suite de ce cours que les composantes des vecteurs déplacements et leurs dérivées partielles sont infiniment petites et du même ordre de grandeur (1er ordre). On peut alors négliger les termes du second degré (second ordre) par rapport à ceux du premier. On obtient ainsi les termes linéarisés ei et gi d'après les termes Ei et Gi .
- 16. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 16 - e u a 1 1 = ∂ ∂ g v a w a 1 3 2 1 2 = + ∂ ∂ ∂ ∂ e v a 2 2 = ∂ ∂ g u a w a 2 3 1 1 2 = + ∂ ∂ ∂ ∂ e w a 3 3 = ∂ ∂ g u a v a 3 2 1 1 2 = + ∂ ∂ ∂ ∂ Ces termes sont les composantes du tenseur de GREEN en petites perturbations, le tenseur se note alors ε , c'est le tenseur des déformations. ε = e g g g e g g g e 1 3 2 3 2 1 2 1 3 que l'on note aussi généralement ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 avec ε εij ji= En notation indicielle cela se note : ε ∂ ∂ ∂ ∂ij i j j i u a u a = + 1 2 7. Déplacement, Déformation et Rotation Soit ( )O i j k, , , r r r un repère orthonomé direct lié à un solide. Isolons par la pensée, au sein de ce solide, un domaine élémentaire . Considérons une particule M qui, dans l'état initial (r0) occupe la position ( )M a a a0 1 2 3, , et dans l'état final (r) occupe la position ( )M x y z1 , , . Soient u, v, w les coordonnées du vecteur déplacement M M U0 1 → → = de la particule M. La particule courante N de , infiniment voisine de M occupe la position ( )N a da a da a da0 1 1 2 2 3 3+ + +, , dans l'état initial (r0) et la position N1 dans l'état (r). Le vecteur déplacement N N0 1 → de la particule N a pour coordonnées u+du, v+dv, w+dw, d'où les égalités suivantes : N N u du u u a da u a da u a da v dv v v a da v a da v a da w dw w w a da w a da w a da 0 1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 → + = + + + + = + + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
- 17. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 17 - Ceci peut donc s'écrire : N N U S M N0 1 0 0 → → → = + ⋅ où S est le tenseur du second ordre de matrice associée : ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u a u a u a v a v a v a w a w a w a 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . On remarquera que S grad M M= → 0 1 . Comme tout tenseur du second ordre, S peut se décomposer en une partie symétrique, notons la ε , et une partie anti-symétrique que nous noterons Ω : S = +ε Ω avec ε = + = − → → → → 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 grad M M grad M M grad M M grad M M T T Ω S u a u a v a u a w a u a v a v a v a w a u a w a v a w a w a u a v a u a w = + + + + + + + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂1 2 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 a u a v a v a w a u a w a v a w a 1 2 1 3 2 3 1 3 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 − − − − − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ On obtient donc : N N M M M N M N0 1 0 1 0 0 0 0 → → → → = + ⋅ + ⋅ε Ω (II.2) Supposons maintenant que le solide considéré soit peu déformable, c'est-à-dire que deux particules voisines aient nécessairement des déplacements très peu différents : c'est l'hypothèse des Petites Perturbations (H.P.P.) encore appelée hypothèse des petits gradients de déplacement. Alors, les 9 composantes du tenseur S sont petites devant l'unité en module. REMARQUE : Cette hypothèse est valable pour les verres, les métaux et les roches en général. Dans la pratique l'ordre de grandeur des composantes est 10-6 à 10-3. Attention,ces grandeurs sont sans unité. D'après (II.2) la transformation générale qui fait passer la particule N de la position N0 dans l'état initial (r0) à la position N1 dans l'état (r) se décompose en trois transformations : - une translation, - une déformation pure, - une rotation.
- 18. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 18 - a./ Si ε = =Ω 0 : alors N N M M0 1 0 1 → → = Cette transformation est une translation de vecteur M M0 1 → . b./ Si M M0 1 0 → → = et Ω = 0 : alors N N M N0 1 0 0 → → = ⋅ε Il s'agit d'une déformation pure. c./ Si M M0 1 0 → → = et ε = 0 : N N M N0 1 0 0 → → = ⋅Ω On peut aussi écrire cette relation : N N M N0 1 0 0 → ← → = ∧ω où ω ← est le pseudo-vecteur adjoint du tenseur anti-symétrique Ω. ω ← étant petit devant l'unité cette seconde transformation est une rotation d'angle ω = ω ← autour de l'axe portant ω ← et issu de M. ω ← → = ← 1 2 0 1rot M M En résumé : Au cours de la déformation quelconque d'un solide, tout domaine élémentaire, isolé par la pensée en son sein subit : - une translation de vecteur M M0 1 → - une déformation pure, caractérisée par le tenseur symétrique ε : ε = + → →1 2 0 1 0 1grad M M grad M MT - une rotation autour de M d'angle ω = ω ← tel que ω ← → = ← 1 2 0 1rot M M M ω ← ω N0 N 1 H M0 M1 Translation M0 M1 Rotation M0 M1 Déformation N0 N1 N1 N0 N0 N1
- 19. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 19 - 8. Interprétation des termes du tenseur de déformation pure La translation et la rotation sont des transformations qui engendrent un déplacement du domaine élémentaire , c'est-à-dire une transformation ponctuelle conservant les distances et les angles. Nous allons maintenant étudier séparément la déformation pure de . Pour cela, plaçons nous dans un repère local { }M i j k; , , r r r entrainé dans la translation et la rotation. Par rapport à ce repère, M M0 1 → et ω ← sont nuls ; la formule (1) se réduit à N N M N0 1 0 0 → → = ⋅ε . 8.1. Dilatation et glissement Isolons un élément MN du domaine , que nous appellerons une fibre, tube infiniment fin de longueur l. Pendant la déformation sa longueur varie de l0 (état r0) à l1 (état r) et sa direction change, le vecteur unitaire passe de r n0 à r n1. n0M N0 N1 n1 g g n1 n0 Par définition, la dilatation linéïque relative ε est égale à : ε δ = − = l l l MN M N 1 0 0 0 0 (sans unité) Le vecteur glissement, noté r g, est défini par : r r r r g n n n= − =1 0 δ Le module de r g est appelé taux de glissement et noté g, c'est la mesure en radian (sans unité) de l'angle ( ) r r n n0 1, . δ δ δMN MN n MN n → = ⋅ + r r . c'est-à-dire N N MN n MN g0 1 → = ⋅ +ε. . r r or N N M N0 1 0 0 → → = ⋅ε si on ne considère que la déformation pure (ce qui est le cas ici par hypothèse). Ainsi, ε ε⋅ = ⋅ + → M N MN MN MN n MN MN g0 0 . . r r d'où : ε ε⋅ = ⋅ + r r r n n g (II.3) On appelle vecteur déformation en M relativement à la direction v n , le vecteur r d défini par : r r d n= ⋅ε La composante axiale selon v n du vecteur r d est r r ε ε= ⋅n , sa composante transversale est r g, d'où : r r r d g= +ε Nota : Par convention le signe de ε est tel que : la dilatation linéïque relative ε est positive si la fibre considérée s'allonge, négative si elle se raccourcit.
- 20. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 20 - M r n Nr r ε ε= ⋅n r g r r d n= ⋅ε D'après ce qui précède nous voyons que : - r ε est la projection orthogonale de r d sur v n donc : ε = ⋅ r r n d et ε ε= ⋅ ⋅ r r n n soit sous forme matricielle : { } [ ]{ }ε ε= r r n n T - Dans la rotation M,ω ← le vecteur unitaire v n voit son extrémité se déplacer de r r g nrot = ∧ ← ω . 8.2. Interprétation des termes du tenseur des déformations Soit MN l'élément fibre de vecteur unitaire nx → orienté selon l'axe x → , soit :n i j kx → = ⋅ + ⋅ + ⋅1 0 0 r r r . Le vecteur déformation de cet élément fibre est noté dx → , il vaut : d nx x → = ⋅ = ⋅ ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε r 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 dans la base ( ) r r r i j k, , d i j kx → = + +ε ε ε11 21 31 r r r d'où g j kx → = ⋅ + ⋅ε ε21 31 r r . Remarques : - on peut aussi noter ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = xx xy xz yx yy yz zx zy zz - On a toujours ε εij ji= ∀i j, Ainsi : - ε11 (ou bien εxx ) est la dilatation linéïque relative, en M, dans la direction de l'axe x → . - ε21 (ou bien εyx ) est la composante suivant (M, y → ) du vecteur glissement gx → relatif à la direction (M, x → ). Il en est de même pour les autres termes en permutant les indices et les axes. 8.3. Distorsion, variation d'angle Soient dans le domaine élémentaire deux éléments fibres d'origine commune M et de vecteurs unitaires r n1 et r n2 faisant l'angle ϕ entre eux.
- 21. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 21 - M r n1 r n2 ϕ Au cours de la déformation, l'angle ϕ subit la variation δϕ appelée distorsion en M, relativement aux directions r n1 et r n2 . Calculons la variation δϕ r r n n1 2⋅ = cosϕ, d'où en différentiant cette expression : ( ) ( )δ δ δ ϕ δϕ r r r r r r n n n n n n1 2 1 2 1 2⋅ = ⋅ + ⋅ = − sin Ainsi : δϕ δ δ ϕ = − ⋅ + ⋅ r r r r n n n n1 2 1 2 sin Or nous avons vu que δ r r n g1 1= et δ r r n g2 2= , d'après (II.3) nous avons alors δ ε ε δ ε ε r r r r r r r r n g n n n g n n 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 = = ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ D'où : ( ) ( ) ( ) 12 12 12 12 2 sin cos .. sin 2 sin cos ε− ϕ ϕε−ε =ε ϕ − ϕ ϕε+ε =δϕ nn rr • Si r n1 et r n2 sont initialement orthogonaux, ϕ π = 2 , on a : δϕ ε= −2 12 ε12 est donc, au signe près, la demi-variation de l'angle ( ) r r n n1 2, , ε12 s'appelle aussi le demi-glissement. Nota : il en est de même pour ε13 et ε23 relativement aux angles ( ) r r n n1 3, et ( ) r r n n2 3, . 9. Quadriques des déformations Nous avons vu que ε ε= ⋅ ⋅ r r n n . Si r n a pour coordonnées (α,β,γ) dans la base ( ) r r r i j k, , on obtient : ( )ε ε α ε β ε γ ε γβ ε αγ ε αβ φ α β γ= + + + + + =11 2 22 2 33 2 23 13 122 2 2 , , Notons ( )φ α β γ, , l'expression précédente. Définition : On appelle quadriques des déformations, les quadriques d'équations :
- 22. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 22 - ( )φ α β γ, , = ±1 dans le repère ( )O i j k; , , r r r . Le signe ±1 est choisi de manière à ce que les quadriques soient réelles. Un point M appartenant à ces quadriques est tel : si OM r n → = ⋅ r alors : ( )r r2 1 1 ⋅ = ± ⇔ = ± φ α β γ ε , , = ±1 Si le signe de ±1 est toujours le même, la quadrique est un ellipsoïde de révolution, si il faut prendre tantôt le signe + tantôt le signe -, on obtient deux hyperboloïdes conjugués. 10. Directions principales Définition : On appelle directions principales de la transformation en M0 (état initial) les 3 directions orthogonales qui restent orthogonales après la transformation. Ceci est une condition nécessaire et suffisante. Ces directions principales s'obtiennent en diagonalisant la matrice associée au tenseur des déformations, elles coïncident avec les vecteurs propres de la matrice dans la base où la matrice est écrite. Propriété : Les valeurs propres de la matrice associée au tenseur ε sont toujours réelles car ce tenseur est symétrique par définition. Il existe donc toujours au moins un repère orthonormé dans lequel la matrice qui lui est associée est diagonale. ε ε ε ε = X Y Z 0 0 0 0 0 0 dans la base ( )M X Y Z0; , , r r r formée par les trois directions principales. REMARQUE : les glissements relatifs aux directions principales sont nuls. • Conséquences : La particule N au voisinage de M a pour vecteur translation N N0 1 → de coordonnées ε ε εX Y ZdX dY dZ, , dans ( )M X Y Z0; , , r r r . Supposons tout d'abord que ε εX Y= = 0 et εZ ≠ 0. On passe alors de N0 à N1 par une affinité orthogonale de plan (XMY) et de rapport ( )1+ εZ .
- 23. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 23 - En général, ε ε εX Y, et Z ≠ 0. La déformation pure du domaine élémentaire est donc le produit de 3 affinités orthogonales de plans (YMZ), (XMZ) et (XMY) et de rapports respectifs ( )1+ ε X , ( )1+ εY et ( )1+ εZ . →→→→ Par conséquent, les fibres élémentaires portées par les axes principaux conservent leurs directions. →→→→ Les fibres situées dans un plan principal restent dans ce plan. - Dilatation volumique ou cubique relative La sphère élémentaire de rayon r, centrée sur M devient après déformation un ellipsoïde dont les demis-axes sont portés par les directions principales. Ils ont pour longueurs ( )r X⋅ +1 ε , ( )r Y⋅ +1 ε et ( )r Z⋅ +1 ε , voir figure suivante. On peut alors calculer la variation relative de volume : e V V V = −1 0 0 . V r0 34 3 = π ( )( )( )V r X Y Z1 34 3 1 1 1= + + +π ε ε ε or, les déformations principales ε ε εX Y Z, , et sont très petites devant 1 en module (H.P.P.), d'où : M X Z YdX dY H N 0 N 1 dX dY dZ dX dY ( )1 + ε Z d ZdZ X Z Y ( )r Z1 + εM r ( )r X1 + ε ( )r Y1 + ε
- 24. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 24 - ( )e V V V traceX Y Z= − ≈ + + =1 0 0 ε ε ε ε REMARQUE : La trace d'un tenseur du second ordre est un invariant dans tout changement d'axes orthogonaux. 11. Diagramme de MOHR des déformations Le but de ce diagramme est de représenter graphiquement l'état de déformation en un point du domaine élémentaire . Nous avons vu qu'en un point M de , nous pouvons associer à toute fibre élémentaire issue de M et de vecteur unitaire r n un couple de valeurs ( )ε, g qui sont respectivement la dilatation linéïque relative dans la direction r n et le glissement associé, ici on suppose g ≥ 0. Nous nous proposons de chercher le domaine engendré par un point A de coordonnées ( )ε, g lorsque le vecteur unitaire ( ) r n α β γ, , varie dans toutes les directions de l'espace autour du point matériel M. D'après les 3 équations déjà vues ε ε ε = ⋅ ⋅ = + = r r v n n d g n 2 2 2 2 1 , nous obtenons en développant ces expressions : ε α ε β ε γ ε ε α ε β ε γ ε α β γ X Y Z X Y Z g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 + + = + + = + + + = Ce système est linéaire d'ordre 3 par rapport à α β γ2 2 2 , , . Si les déformations principales ε ε εX Y Z, , et sont distinctes deux à deux on obtient : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) α ε ε ε ε ε ε ε ε β ε ε ε ε ε ε ε ε γ ε ε ε ε ε ε ε ε 2 2 2 2 2 2 = + − − − − = + − − − − = + − − − − g g g Y Z X Y X Z Z X Y Z Y X X Y Z X Z Y Pour fixer les idées on peut choisir de noter ε ε εX Y Z, , tels que ε ε εX Y Z> > . De plus, par hypothèse on a α2 0≥ , β2 0≥ , γ2 0≥ , alors compte-tenu du choix précédent sur l'ordre de ε ε εX Y Z, , on obtient :
- 25. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 25 - ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + − + + ≥ + − + + ≤ + − + + ≥ g g g Y Z Y Z X Z X Z X Y X Y Par conséquent le point A de coordonnées ( )ε, g solutions du système ci-dessus appartient au domaine non hachuré de la figure suivante, limité par 3 demis-cercles. De même, à tout point A( )ε, g du domaine de Mohr correspond une valeur du triplet ( )α β γ2 2 2 , , soient huit valeurs du triplet ( )α β γ, , , donc huit vecteurs r n deux à deux opposés en M. Quatre fibres se trouvent donc dans le même état de déformation ( )ε, g . Nota : Le taux de glissement a pour valeur maximale : g X Z max = −ε ε 2 Dans le cas où 2 déformations principales sont égales et différentes de la troisième, le diagramme de Mohr se réduit à un demi-cercle ; si les trois déformations propres sont égales à e / 3, il se réduit à un seul point de coordonnées (e / 3, 0) dans la représentation de Mohr ; l'état de déformation autour du point matériel considéré est alors isotrope. L'état non déformé est caractérisé par une dilatation volumique nulle (e=0) c'est-à-dire ε = =0 0, g . 11.1. Cas particulier PLAN Plaçons-nous dans le plan principal (XMY) contenant le point M du milieu considéré et cherchons le domaine de Mohr correspondant à toutes les fibres ( )M n, r du plan principal (XMY). εY Ο ε Z ε X ε ε g g A
- 26. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 26 - M r Y r X r n dn d r ϕ r g ( ) r rd n r ε ϕ De façon générale r n α ϕ β ϕ γ = = = cos sin 0 dans le repère principal ( )M X Y Z; , , r r r . Nous avons vu que le vecteur déformation ( ) r rd n de la fibre orientée selon r n s'exprime de la façon suivante : ( ) r r r r rd n n gn = ⋅ = ⋅ +ε ε , soit dans ( )M X Y Z; , , r r r : ( )d n X Yn X Y Z X Y r r r r→ = ⋅ = ⋅ = +ε ε ε ε ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ 0 0 0 0 0 0 0 cos sin .cos .sin Or r r r r r r X n n d Y n n d = − = + cos sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d d d'où ( ) ( ) r r r rd n dn dn X Y X Y = + − − ε ϕ ε ϕ ε ε ϕ ϕ cos sin sin2 2 2 2 soit en simplifiant et en factorisant ( ) ( ) r r r rd n dn dn X Y X Y X Y = + + − ⋅ + − − ε ε ε ε ϕ ε ε ϕ ϕ2 2 2 2 2cos sin En notant g la mesure algébrique de r g sur l'axe de vecteur unitaire dn d r ϕ on obtient : ( ) r r r rd n g dn dn = +ε ϕ avec ( ) ε ε ε ε ε ϕ ε ε ϕ = + + − = − − X Y X Y X Y g 2 2 2 2 2 cos sin
- 27. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 27 - g εO ε εX −2ϕg εY C ( )ε εX Y+ 2 ( )Cercle de rayon r = ε εX Y− 2 A Ainsi le domaine de Mohr, ensemble des points A( )ε, g représentatifs du point matériel M, est le cercle de centre C ε εX Y+ 2 0; et de rayon r = ε εX Y− 2 dans le diagramme ( )ε, g . - L'angle polaire du vecteur CA → , c'est-à-dire l'angle orienté ε C A ∧ , est égal à −2ϕ, où ϕ désigne l'angle orienté ( ) r r X n, . - La correspondance entre fibres et points A du diagramme de Mohr est bijective. - Le glissement maximal se produit dans les fibres bissectrices de l'angle XMY ∧ . 11.2. Application à l'extensométrie Expérimentalement on ne sait pas mesurer des contraintes (notion introduite au chapitre suivant), seules les déformations sont mesurables directement pas les méthodes de l'extensométrie. A la surface d'un solide, en un point où aucune sollicitation extérieure n'est appliquée, le plan tangent à cette surface est plan principal de déformation. Attention, cela ne signifie pas forcément que la déformation dans la direction normale au plan tangent est nulle. Nous pouvons donc utiliser la méthode du cercle de Mohr des déformations pour une direction se déplaçant dans un plan principal. Il est courant d'utiliser des jauges de déformation (jauges d'extensométrie utilisées en TP) à résistance électrique variable pour mesurer les déformations. Ces jauges mesurent seulement des allongements ou des raccourcissements ; elles ne mesurent pas des glissements par rapport à leur direction longitudinale.
- 28. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 28 - Nous venons de voir qu'en un point M d'un solide la dilatation linéïque dans une direction r n est donnée par : ε ε ε ε ϕX Y X Y+ + − 2 2 2cos (II.4) Ainsi, si l'on colle sur le solide étudié 3 jauges de déformation, comme indiqué sur la figure ci-dessous, faisant deux à deux un angle α, nous disposons de trois relations dépendant des deux déformations principales εX et εY (que nous recherchons) et de la position ϕ de ces directions principales par rapport aux trois jauges. ( ) ( ) ε ε ε ε ε ϕ ε ε ε ε ε ϕ α ε ε ε ε ε ϕ α a X Y X Y b X Y X Y c X Y X Y = + + − = + + − + = + + − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos εX , εY et ϕ sont solutions du système précédent. Dans la pratique, on utilise des jauges disposées selon les angles remarquables α égaux à 45°, 60° ou 120°, nous allons examiner dans ce cours un exemple de disposition. Pour tracer le cercle de Mohr des déformations nous avons besoin de connaître son rayon r et l'abscisse c de son centre C. Par habitude nous noterons εX la plus grande des deux déformations principales cherchées, nous avons alors : r X Y = −ε ε 2 et c X Y = +ε ε 2
- 29. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 29 - Exemple : Rosette de 3 jauges à 45° Dans cette configuration les trois équations générales précédentes deviennent : ε ε ε ε ε ϕ ε ε ε ε ε ϕ ε ε ε ε ε ϕ a X Y X Y b X Y X Y c X Y X Y = + + − = + − − = + − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos On obtient donc c X Y a c = + = +ε ε ε ε 2 2 et ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε ϕ ϕ ε ε ε ε ϕ ϕ ε ε ε ε a b X Y b c X Y a b b cr − = − + − = − − ⇒ = − + − 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 cos sin cos sin On peut alors d'après εa , εb et εc tracer le cercle de Mohr des déformations et en déduire ϕ, εX et εY .
- 30. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 30 - g ε O ε a εX −2ϕ εY C ( )ε εa c+ 2 ε b ε c Ac Ab Aa Après avoir placé sur l'axe ε les trois résultats de mesure εa , εb et εc , on positionne le point C, milieu de [εa , εc ]. Puis on trace le cercle de centre C et de rayon r que l'on calcule. Pour déterminer ce rayon on peut aussi remarquer que les distances (Cεb) et (εa Aa) sont égales. Il n'y a alors qu'une seule solution pour positionner les points Aa, Ab et Ac décalés les uns par rapport aux autres de -2 x 45° soit -90°. En effet, sur le solide on passe de la jauge Ja à la jauge Jb par rotation de +45°, donc dans le diagramme de Mohr on passe du point représentatif Aa au point Ab par rotation de -2 x 45°. Par mesure ou bien par calcul de l'angle ( )εCAa = -2ϕ on connait l'angle ϕ. Les déformations principales étant directement les abscisses des points d'intersection de l'axe Oε avec le cercle de Mohr des déformations. 12. Conditions de compatibilité des déformations Imaginons un milieu continu (solide par exemple) et découpons le, par la pensée, en petits éléments au moyen de trois familles de plans parallèles aux trois plans du repère orthonormé choisi. Si l'on se donne dans le solide un champ de déformations arbitraire, on impose à ces éléments des déformations arbitraires ; les éléments ainsi déformés ne pourront pas toujours rester juxtaposés sans laisser de vide entre eux. Un champ de déformations ne peut donc pas être donné arbitrairement : il doit satisfaire des conditions de compatibilité pour que la juxtaposition reste assurée afin de conserver la continuité du milieu.
- 31. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 31 - Nous avons montré que la déformation, entre les états (r0) et (r), d'un domaine élémentaire de centre M, isolé par la pensée au sein d'un solide, est fonction des coordonnées de M. A chaque particule M d'un solide on peut associer : - un vecteur translation M M0 1 → - un tenseur de déformation ε - un tenseur rotation Ω (ou son pseudo-vecteur adjoint ω ← ) tels que : grad M M0 1 → = +ε Ω avec ε = + = − → → → → 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 grad M M grad M M grad M M grad M M T T Ω Nous examinons ces champs de tenseurs en prenant comme hypothèse que leurs dérivées partielles existent et sont continues dans le domaine étudié (hypothèse de continuité du chapitre 1). Compatibilité des déformations Nous savons que "rot grad A → = 0 " d'où : ( )rot grad M M rot rot rot0 1 0 → = + = + =ε εΩ Ω (II.5) Or, ω ← → = ← 1 2 0 1rot M M donc divω ← = 0. Ω = − → →1 2 0 1 0 1grad M M grad M MT ⇒ rot rot grad M M rot grad M M grad rot M MT Ω = − = − → → →1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 soit rot gradΩ = − ← ω or d'après (II.5) nous avons rot rotΩ = − ε ⇔ rot gradε ω= ← • Ainsi la condition de compatibilité des déformations (ou d'intégrabilité) est : rot rotε = 0 Notation : rotT représente le tenseur d'ordre 2 dont la matrice associée a pour vecteurs colonnes les rotationnnels des vecteurs lignes de T en coordonnées cartésiennes. Donc, si ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 dans la base ( ) r r r x x x1 2 3, , orthonormée. rot x x x x x x x x x x x x x x x x x x ε ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ = − − − − − − − − − 13 2 12 3 23 2 22 3 33 2 32 3 11 3 13 1 21 3 23 1 31 3 33 1 12 1 11 2 22 1 21 2 32 1 31 2
- 32. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 32 - L'équation de compatibilité des déformations rot rotε = 0 donne 6 équations scalaires. Exemple : ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂x x x x x x2 33 2 32 3 3 23 2 22 3 0− − − = , soit 2 2 32 2 3 2 33 2 2 2 22 3 2 ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂x x x x = + Cette équation est l'une des 6 équations de compatibilité suivantes. 2 2 12 1 2 2 22 1 2 2 11 2 2 ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂x x x x = + 2 2 13 1 3 2 33 1 2 2 11 3 2 ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂x x x x = + 2 2 23 2 3 2 33 2 2 2 22 3 2 ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂x x x x = + ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ 2 11 2 3 1 23 1 13 2 12 3x x x x x x = − + + ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ 2 22 1 3 2 23 1 13 2 12 3x x x x x x = − + ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ 2 33 1 2 3 23 1 13 2 12 3x x x x x x = + − Calcul des déplacements à partir des déformations Les conditions de compatibilité précédentes sont des conditions nécessaires pour pouvoir calculer les déplacements u, v, w coordonnées du vecteur déplacement U → tel que ε = + → →1 2 gradU grad UT Ces fonctions doivent être uniformes dans le domaine étudié. Alors, les conditions de compatibilité sont suffisantes lorque le domaine est simplement connexe, c'est-à-dire tel qu'une courbe fermée quelconque tracée dans puisse être réduite à zéro (un point) par déformation continue sans sortir de ( ne doit pas contenir de cavité). Montrons ceci dans le cas de la déformation plane Déformation plane : Cas d'une plaque déformée dans son plan : u(x, y) ; v(x, y) ε ∂ ∂ 11 = u x ε ∂ ∂22 = v y ε ∂ ∂ ∂ ∂12 1 2 = + u y v x Le pseudo-vecteur rotation ω ← → = 1 2 rotU a pour coordonnées ω ω ∂ ∂ ∂ ∂ ω ∂ ∂ ∂ ∂ ω ∂ ∂ ∂ ∂ ← = − = − = − 1 2 3 1 2 1 2 1 2 w y v z u z w x v x u y
- 33. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 33 - D'où ε ω ∂ ∂ ε ω ∂ ∂ 12 3 12 3 − = + = u y v x On recherche u(x, y) et v(x, y) or : ( ) ( ) du u x dx u y dy dv v x dx v y dy du dx dy dv dx dy = + = + ⇔ = + − = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε ε ω ε ω ε 11 12 3 12 3 22 Pour pouvoir intégrer ces 2 relations il faut : ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ω ∂ 11 12 3 y x x = − et ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ω ∂ 22 12 3 x y y = + Or d x dx y dyω ∂ω ∂ ∂ω ∂3 3 3 = + donc d x y dx x y dyω ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂3 12 11 22 12 = − + − (II.6) Cette équation est intégrable si ∂ω ∂ ∂ ∂ω ∂ ∂ 3 3 x y y x = c'est-à-dire si la condition suivante de compatibilité des déformations est vérifiée : 2 2 12 2 22 2 2 11 2 ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂x y x y = + Supposons cette condition vérifiée, alors on peut intégrer (II.6) le long d'un arc OM. ( )d x y dx x y dy OM OM ω ω ω ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ 3 3 3 0 12 11 22 12 ∩ ∩ ∫ ∫= − = − + − L'intégrale est indépendante du chemin suivi en raison - du domaine simplement connexe, - de la condition de compatibilité des déformations supposée vérifiée. Nous pouvons maintenant intégrer les équations permettant de calculer u et v. ( ) ( )( )u u dx dy OM = + + − ∩ ∫0 11 12 3ε ε ω ( ) ( )( )v v dx dy OM = + + + ∩ ∫0 12 3 22ε ω ε Ces intégrales sont indépendantes du chemin suivi pour les mêmes raisons que précédemment. Si le domaine est multiplement connexe (anneau, tore) les conditions de compatibilité ne sont pas suffisantes. Les intégrales le long de l'arc OM peuvent être différentes selon le type de connexion utilisée.
- 34. Cinématique du milieucontinu - Déformations autour d'un point Chapitre II - 34 - Soit n le nombre de connexions entre deux points du domaine. Les intégrales le long de l'arc OM ∩ sont indépendantes du type de connexion si et seulement si elles sont nulles pour (n-1) cycles ou circuits fermés irréductibles que l'on peut tracer dans le domaine. Il faut donc ajouter aux conditions de compatibilité précédentes 3(n-1) conditions de fermeture dans le plan et 6(n-1) conditions dans l'espace à 3 dimensions. M O M O n=2 n=3
- 35. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 35 - Chapitre III : Distribution des contraintes autour d'un point 1. Equilibre d'un milieu continu solide Soit un domaine solide , de volume V et de frontière S. Les forces extérieures à ce domaine, isolé par la pensée, sont de deux types : Les forces de volume (ou de masse) : Elles s'appliquent à toutes les particules du domaine et agissent à distance : forces de pesanteur, d'inertie par exemple. Nous noterons r f dv la résultante de ces forces pour le volume élémentaire dv centré au point M. Les forces de surface (ou de contact) : Elles s'exercent uniquement sur la frontière S de , ce sont des actions de contact : pression sur un solide immergé, efforts aérodynamiques sur un élément de voilure, etc... Nous noterons r C ds leur résultante sur l'élément de frontière ds. Remarques : - désigne, soit un solide dans son ensemble, soit une partie d'un tel solide isolé par la pensée en son sein. - Nous remarquerons que seuls ces deux types de forces existent (selon leur mode d'application). Les forces ponctuelles ou de lignes (appliquées en tous les points d'une courbe) ne sont obtenues que par modélisation ou schématisation. Milieu en équilibre D'après le principe fondamental de la mécanique, le torseur de toutes les forces extérieures appliquées à est nul à chaque instant, en n'omettant pas les forces d'inertie éventuelles, d'où les deux équations vectorielles suivantes : r r r C ds f dv S ∫∫ ∫∫∫+ = D 0 et OM C ds OM f dv S → → ∧ + ∧ =∫∫ ∫∫∫ r r r D 0 r C ds r f dv
- 36. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 36 - La première équation traduit la nullité de la résultante générale, la second la nullité du moment résultant en un point O quelconque (M est le point courant parcourant ). Nota : Si , domaine isolé par la pensée, est infiniment petit, prenons son diamètre infiniment petit et le point O à l'extérieur ; dans les formules précédentes les intégrales triples sont des infiniments petits d'ordre trois, négligeables devant les intégrales doubles, infiniment petits d'ordre deux. On a alors : infiniment petit ⇒⇒⇒⇒ r r r r C ds OM C ds S D ∫∫ ∫∫ = ∧ = → 0 0 Remarque : Dans les solides électromagnétiques chaque élément de volume peut être soumis à un couple de volume (couple électromagnétique) en plus de la force r f dv . Ce cas sort du cadre de ce cours. 2. Notion de vecteur contrainte Considérons à l'intérieur d'un solide un élément fibre de centre M et soit r n le vecteur unitaire dirigeant l'axe de cet élément. La section droite ds de centre M sépare la fibre en une partie amont (I) et une partie aval (II). Si le solide est chargé ses particules exercent les unes sur les autres des efforts. La partie (II) exerce donc sur la partie (I) suivant l'élément de surface ds un ensemble de forces dont r C ds est la résultante. •••• r C se nomme vecteur contrainte en M relativement à la direction r n . La fibre considérée étant en équilibre au sein du solide, la partie (I) exerce sur la partie (II) une résultante égale à - r C ds. v nr σ r τ r C θ v n
- 37. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 37 - •••• La projection de r C sur r n est la contrainte normale à la surface ds on la note généralement r σ . La mesure algébrique de r σ est égale à σ σ= ⋅ r r n . •••• La projection de r C sur le plan contenant ds est la contrainte tangentielle r τ , encore appelée contrainte de cisaillement. Notons θ l'angle entre r n et r C . Si θ est aigu, alors σσσσ > 0, la fibre est tendue Si θ est obtu, alors σσσσ < 0, la fibre est comprimée θ = 0, τ=0, traction pure θ = π/2, σσσσ=0, cisaillement pur θ = π, τ=0, compression pure Cas particulier important : surface d'un solide Soit ds un élément de la frontière d'un solide, de centre M et de normale unitaire r n . Imaginons un élément fibre de section droite finale ds. Alors, le milieu extérieur exerce sur la facette ds l'effort r C ds éventuellement nul si aucune action ne s'applique en M. 3. Tenseur des contraintes 3.1. Notion de matrice des contraintes Soient une particule M au sein du solide considéré et un élement fibre de centre M, d'axe x'x. Plaçons-nous dans un repère orthonormé { }M x y z; , , de base { } v v r i j k, , . r σ r τx r C θ τxy τxz r j r k v i
- 38. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 38 - Notons Cx → le vecteur contrainte en M relatif à la surface élémentaire ds de normale r r n i= , σ x → est la composante de Cx → selon r r n i= , τ x → est la composante tangentielle de Cx → située dans le plan (yMz) contenant ds, avec σ σx x i → = r . Nous noterons τ xy et τ xz les composantes du vecteur τ x → sur les axes My et Mz. Alors, σ x , τ xy et τ xz désignent les 3 composantes du vecteur contrainte Cx → . On définit de même au point M : - pour une fibre d'axe y'y, le vecteur contrainte Cy → de composantes τ yx , σ y et τ yz selon les axes respectifs Mx, My et Mz. - pour une fibre d'axe z'z, le vecteur contrainte Cz → de composantes τ zx , τ zy et σ z selon les axes respectifs Mx, My et Mz. Ainsi, la matrice σ τ τ τ σ τ τ τ σ x yx zx xy y zy xz yz z formée des coordonnées des vecteurs colonne Cx → , Cy → et Cz → dans la base { } v v r i j k, , se nomme matrice des contraintes au point M. 3.2. Tenseur des contraintes Considérons en un point M du solide les axes Mx, My et Mz définissant un trièdre direct pourvu de la base { } v v r i j k, , . Soit le tétraèdre MABC illustré par la figure suivante. Les points A, B et C sont sur les parties positives des axes du trièdre et infiniment proches du point M. Nous appelons r n =α β γ r r r i j k+ + le vecteur unitaire sortant normal à la face ABC, d'aire ds. z y x M A C B r n − r Cy − r Cz − r Cx r Cr k r j r i
- 39. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 39 - Les facettes MCB, MAC et MAB ont pour normale unitaire extérieure (sortante) les vecteurs − − − r r r i j k, , et pour aire élémentaires respectives : ds ds dsyz MCB= = α ds ds dsxz MAC= = β ds ds dsxy MAB= = γ Sur chaque facette du tétraèdre s'exercent les forces suivantes : sur MBC : − → C dsx α sur MAC : − → C dsy β sur MAB : − → C dsz γ L'équilibre du tétraèdre se traduit alors par la relation vectorielle : Cds C ds C ds C dsx y z → → → → → − − − =α β γ 0 soit encore : C C C Cx y z → → → → → − − − =α β γ 0 que nous pouvons écrire sous forme matricielle : [ ]C n → → = ⋅ Σ Les vecteurs C → et n → étant indépendants du choix du repère, [ ]Σ est la matrice de l'opérateur linéaire Σ faisant correspondre C → à n → , cet opérateur est appelé tenseur des contraintes au point M. Nous noterons ce tenseur Σ . C n → → = ⋅Σ Nota : Si Σ est connu en un point M quelconque du solide, alors la relation précédente permet de calculer le vecteur contrainte dans toutes les fibres d'orientation n → passant par M. - Au point M, la contrainte normale σ → , à la facette élémentaire de normale n → est : σ σ → → = n avec σ = ⋅ ⋅ → → n nΣ sous forme matricielle on écrit : [ ]σ = ⋅ ⋅ → → n n T Σ - Au point M, la contrainte tangentielle τ → , relative à la facette élémentaire de normale n → est : τ σ → → → = −C soit τ σ → → → = ⋅ −Σ n n • Propriété : Symétrie du tenseur des contraintes Imaginons un parallélépipède élémentaire centré en M dont les côtés ont pour longueur 2a, 2b et 2c parallèlement aux axes Mx, My et Mz.
- 40. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 40 - Ce parallélépipède étant infiniment petit, l'équilibre des moments s'écrit en ne considérant que les forces de surface : moment selon x : 2 4 2 4 0b ac c abyz zy. .τ τ− = ⇔ τ τyz zy= moment selon y : 2 4 2 4 0c ba a bczx xz. .τ τ− = ⇔ τ τzx xz= moment selon z : 2 4 2 4 0a bc b acxy yx. .τ τ− = ⇔ τ τyx xy= •••• Le tenseur des contraintes en un point est donc symétrique. 4. Réciprocité des contraintes (Relation de Cauchy) En un point M, soient deux facettes S et S' de normales respectives n → et n' → . Les vecteurs contraintes relatifs à chacune de ces facettes sont respectivement C → et C' → tels que : C n → → = ⋅Σ et C n' ' → → = ⋅Σ . Si nous notons αi et αi ' les coordonnées respectives de n → et n' → dans la base quelconque e e e1 2 3 → → → , , : ( )n → α α α1 2 3, , et ( )n' ', ', ' → α α α1 2 3 , alors : C n Ci i i ij j i → → ⋅ = =∑' ' 'α σ α α C n Ci i i ij j i' ' → → ⋅ = =∑ α σ α α' or σ σij ji= puisque Σ est un tenseur symétrique donc, C n ij j i ji i j' → → ⋅ = =σ α α σ α α' ' d'où : C n C n → → → → ⋅ = ⋅' ' • Ceci signifie que la projection du vecteur contrainte, relatif à une première facette, sur la normale à une seconde facette est égale à la projection du vecteur contrainte relatif à la seconde facette sur la normale à la première. z y x M σ x σ z σ y τ xy τ xz τ yx τ yzτzy τzx 2a 2b 2c
- 41. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 41 - 5. Contraintes principales et directions principales des contraintes Le tenseur des contraintes Σ étant symétrique, sa matrice associée est diagonalisable, ses valeurs propres sont réelles et ses vecteurs propres orthogonaux. En tout point M d'un solide, il existe donc au moins un repère orthonormé { }M X Y Z, , , r r r dans lequel la matrice associée au tenseur des contraintes est diagonale. Σ = σ σ σ X Y Z 0 0 0 0 0 0 dans le repère { }M X Y Z, , , r r r - Les contraintes σ X , σY , σ Z sont appelées contraintes principales, ce sont les valeurs propres de la matrice associée à Σ . - Les axes MX r , M r Y et M r Z sont les axes principaux de Σ encore appelées directions principales des contraintes. • Propriété : Les éléments fibre de centre M, orientés selon les directions principales ne supportent aucun cisaillement, ils travaillent en traction pure ou en compression pure selon le signe des contraintes principales. Cette propriété caractérise les directions principales des contraintes (comme l'absence de glissement caractérise les directions principales des déformations, voir chapitre II). 6. Ellipsoïde de Lamé des contraintes L'extrémité du vecteur contrainte C → relatif à toutes les fibres de centre M décrit un ellipsoïde d'axes MX r , M r Y et M r Z (axes principaux des contraintes) dont les demi-axes sont respectivement |σ X |, |σY |, |σ Z |. Démonstration Soit ( )n → α β γ, , la normale unitaire à une facette élémentaire passant par M, ces coordonnées étant données ici dans le repère principal { }M X Y Z, , , r r r . Alors, si le vecteur contrainte relatif à la facette orientée par n → a pour coordonnées ( )C C C CX Y Z → , , dans le repère principal. C n X Y ZX Y Z → → → → → = ⋅ = + +Σ α σ β σ γ σ
- 42. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 42 - or, n → = 1 donc α β γ2 2 2 1+ + = on obtient ainsi, C C CX X Y Y Z Zσ σ σ + + = 2 2 2 1 7. Invariants du tenseur des contraintes Les invariants du tenseur des contraintes sont les coefficients de l'équation caractéristique ; ( )det Σ − = − − − = − + − + =λ σ λ σ σ σ σ λ σ σ σ σ λ λ λ λ1 0 11 12 13 12 22 23 13 23 33 3 1 2 2 3I I I Ces coefficients sont les suivants. ( )I trace X Y Z ii1 11 22 33= = + + = + + =Σ σ σ σ σ σ σ σ ( )( ) ( ) ( )I trace trace ii ij ij2 2 2 21 2 1 2 = − = −Σ Σ σ σ σ I X Y X Z Y Z2 11 22 11 33 22 33 23 2 13 2 12 2 = + + − − − = + +σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ( )I X Y Z3 = =det Σ σ σ σ 8. Partie sphérique et déviateur des contraintes On peut toujours écrire : ( )Σ Σ= + 1 3 1trace S • ( )1 3 1trace Σ : est la partie sphérique du tenseur des contraintes, elle a la même trace, que Σ : ( )s trace= Σ . ( )1 3 1 1 3 0 0 0 0 0 0 11 22 33 11 22 33 11 22 33 trace Σ = + + + + + + σ σ σ σ σ σ σ σ σ nota : 1 représente le tenseur identité. • S : désigne la partie déviatrice (ou déviatorique) du tenseur des contraintes. On l'appelle aussi tenseur déviateur des contraintes. La trace de S est nulle. Z Y X σ Y Μ σ Z σ X
- 43. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 43 - S a pour valeurs propres : σ X s − 3 , σY s − 3 , σ Z s − 3 . ( ) ( ) ( ) S = − − − + − − − + 2 3 2 3 2 3 11 22 33 12 13 12 11 22 33 23 13 23 11 22 33 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ - Si S =0 (tenseur déviateur des contraintes nul) alors ( )σ = ⋅ ⋅ = ∀ → → → n n trace nΣ Σ 3 , et τ σ → → → → → = ⋅ − = ∀Σ n n n,0 •••• La partie déviatrice du tenseur des contraintes est donc seule responsable de l'apparition du cisaillement (cission) et de la différence de σ avec s 3 . •••• Invariants du tenseur déviateur des contraintes Pour les distinguer des invariants de Σ on les note Ji. ( )J trace S1 0= = ( )J trace S s sij ij2 21 2 1 2 = = 9. Tension et cission octoaédrales en un point Si nous cherchons en un point M d'un solide, toutes les directions n → telles que la tension normale soit égale à la contrainte normale sphérique ( )σ o trace = Σ 3 nous trouvons les directions remarquables telles que : n n n1 2 2 2 3 2 1 3 + + = avec ( )n n n n → 1 2 3, , dans la base principale { } r r r X Y Z, , En effet, dans ce cas ( )σ σ σ σ= ⋅ ⋅ = + + = → → n n n n n traceX Y ZΣ Σ1 2 2 2 3 2 1 3 Les 8 vecteurs n → = ± ± ± 1 3 1 1 1 dans la base principale { } r r r X Y Z, , sont tels que : ( )σ σ= =o trace Σ 3 Ces vecteurs ont pour directions les trissectrices du trièdre formé par les directions principales des contraintes. •••• La contrainte normale octaédrique (ou octaédrale) est : ( )σ o trace = Σ 3 on la note aussi σ oct
- 44. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 44 - •••• La cission octaédrique (ou octaédrale) τ oct est telle que : C noct oct oct → → → = +σ τ donc ( ) ( )τ σ σ σ σ σ σ σoct oct oct X Y Z X Y ZC → → = − = + + − + + 2 2 2 2 2 2 21 3 1 9 ( ) ( ) ( )[ ]τ τ σ σ σ σ σ σoct oct X Y X Z Y Z 2 2 2 2 21 9 = = − + − + − → , τ oct J= 2 3 2 Cette valeur de τ oct est remarquable car elle est associée aux directions qui font des angles égaux avec les 3 directions principales. Nota : rappelons que le signe d'une contrainte de cisaillement (ou cission) n'a pas de sens physique. 10. Représentation de Mohr Cette représentation a pour but d'illustrer l'état de contrainte en un point du solide considéré. En un point M de ce solide, considérons une fibre élémentaire de direction n → . A la surface élémentaire ds passant par M et de normale n → correspond le vecteur contrainte C n → → = ⋅Σ . Dans le diagramme ( )σ τ, avec τ≥0 (le signe de τ n'a pas de sens physique) on peut associer à chaque fibre de direction n → , centrée en M (point du solide), le point A n( ) r représentatif de l'état de contrainte. Cherchons le domaine engendré par ce point A n( ) r quand la direction n → prend toutes les directions possibles de l'espace autour de M. Nous avons déjà établi les trois relations : σ σ τ = ⋅ ⋅ = + = → → n n C n Σ r r 2 2 2 2 1 Si nous notons les coordonnées de la normale unitaire ( )n → α β γ, , dans la base principale { } r r r X Y Z, , nous obtenons : σ σ α σ β σ γ σ α σ β σ γ σ τ α β γ = + + + + = + + + = X Y Z X Y Z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Ce système est linéaire d'ordre 3 par rapport à α β γ2 2 2 , , . Si les contraintes principales sont deux à deux distinctes, le système a pour solution :
- 45. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 45 - ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) α τ σ σ σ σ σ σ σ σ β τ σ σ σ σ σ σ σ σ γ τ σ σ σ σ σ σ σ σ 2 2 2 2 2 2 = + − − − − = + − − − − = + − − − − Y Z X Y X Z Z X Y Z Y X X Y Z X Z Y Pour fixer les idées on peut choisir de noter σ σ σX Y Z, , tels que σ σ σX Y Z> > . De plus, par hypothèse on a α2 0≥ , β2 0≥ , γ 2 0≥ , alors compte-tenu du choix précédent sur l'ordre de σ σ σX Y Z, , on obtient : ( ) ( ) ( ) σ τ σ σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ σ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 + − + + ≥ + − + + ≤ + − + + ≥ Y Z Y Z X Z X Z X Y X Y avec τ τ= ≥ 0 Le point A n( ) r de coordonnées ( )σ τ, dans le plan de Mohr des contraintes appartient donc au domaine non hachuré de la figure suivante, limité par 3 demi-cercles. Réciproquement à tout point A n( ) r de ce domaine correspond un triplet ( )α β γ2 2 2 , , donc 8 valeurs deux à deux opposées de ( )α β γ, , , soient 8 vecteurs unitaires n → deux à deux opposés définissant 4 fibres élémentaires de centre M ayant même ( )σ τ, . Nota : La plus forte contrainte de cisaillement a pour valeur τ σ σ max = −X Z 2 •••• Cas particulier : Etat de cisaillement pur Soit un point du solide où le tenseur des contraintes Σ dans la base quelconque { } r r r i j k, , a pour seules composantes non nulle τ τxy yx= par exemple. σ Y Ο σ Z σ X σ τ τ m ax ( )An r τ σ
- 46. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 46 - Alors, les vecteurs contraintes Cx → et Cy → sont : C i j k C i j k x xy y xy → → = + + = + + 0 0 0 0 r r r r r r τ τ Les fibres dirigées selon r i et r j sont donc en état de cisaillement pur d'intensité τ xy . •••• Les contraintes principales sont σ τ σ τ σX xy Y xy Z= = − =; ; 0 . •••• Les axes principaux MX, MY sont les bissectrices du repère { }M i j; , r v comme indiqué sur la figure suivante. Le diagramme de Mohr des contraintes correspondant à cet état de cisaillement pur est le suivant. 11. Cas particulier du diagramme de Mohr dans un plan principal En un point M du solide intéressons-nous uniquement aux fibres centrées en M et appartenant au plan principal XMY par exemple. Repérons une de ces fibres par sa direction n → faisant l'angle polaire ϕ par rapport à l'axe MX. Appelons τ la mesure algébrique de τ → sur le vecteur unitaire dn d r ϕ . De façon générale r n α ϕ β ϕ γ = = = cos sin 0 dans le repère principal ( )M X Y Z; , , r r r . σ Y σ Z σ X σ τ τ τ σmax = =yx X τyx
- 47. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 47 - Le vecteur contrainte C → sur la facette de normale unitaire r n s'exprime de la façon suivante : C n n → → → → = ⋅ = ⋅ +Σ σ τ , soit dans ( )M X Y Z; , , r r r : C n X Y X Y Z X Y → → = ⋅ = ⋅ = +Σ σ σ σ ϕ ϕ σ ϕ σ ϕ 0 0 0 0 0 0 0 cos sin .cos .sin r r Or r r r r r r X n n d Y n n d = − = + cos sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d d d'où ( )C n dn d X Y X Y → = + − − σ ϕ σ ϕ σ σ ϕ ϕ cos sin sin2 2 2 2 r r soit en simplifiant et en factorisant ( )C n dn d X Y X Y X Y → = + + − ⋅ + − − σ σ σ σ ϕ σ σ ϕ ϕ2 2 2 2 2cos sin r r or, C n dn d → → = +σ τ ϕ r donc ( ) σ σ σ σ σ ϕ τ σ σ ϕ = + + − = − − X Y X Y X Y 2 2 2 2 2 cos sin L'ensemble des points A n( ) r de coordonnées ( )σ τ, décrit donc le cercle : - de centre ΩΩΩΩ de coordonnées σ σX Y+ 2 0, - de rayon r = σ σX Y− 2 . La correspondance entre fibres et points A n( ) r est bijective. •••• Les fibres bissectrices de l'angle XMY sont celles où le cisaillement est le plus grand et égal à σ σX Y− 2 . r Y r X r nϕd nd r r τ r C r σ ϕ
- 48. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 48 - 12. Equations générales de l'équilibre local Compte-tenu de ce que nous venons de voir, nous pouvons associer un tenseur des contraintes Σ à tout point M d'un solide chargé. Nous allons maintenant supposer que toutes les composantes de ce champ de tenseurs possèdent des dérivées partielles continues. Si désigne un domaine élémentaire, de frontière S, inclus dans le solide considéré, l'équilibre de ce domaine nous a conduit au début de ce chapitre à l'équation : r r r C ds f dv S ∫∫ ∫∫∫+ = D 0 où C n → → = ⋅Σ donc Σ⋅ + = → ∫∫ ∫∫∫n ds f dv S r r D 0 Grâce au théorème d'Ostrogradski nous pouvons transformer l'intégrale double en intégrale triple d'où : ( ) r r f div dv+ =∫∫∫ Σ D 0 Cette équation peut être vérifiée dans tout domaine D d'où l'équation de l'équilibre local : r r f div+ =Σ 0 Notation : v f représente ici la résultante des forces de volume (cf début de ce chapitre) y compris les forces d'inertie éventuelles. τ σ O σ σY σX Ω τ −2ϕ τmax
- 49. Distribution des contraintesautour d'un point Chapitre III - 49 - Rappel : Théorème d'Ostrogradski : divUdv n U ds V S → → → ∫∫∫ ∫∫= ⋅ Remarque : Dans le cas d'un solide en mouvement par rapport à un repère galiléen, on fait souvent apparaître explicitement l'accélération r γ du solide par rapport au repère galiléen. Cette équation devient alors : r r f div+ =Σ ρ γ où ρ désigne la masse volumique du solide au point considéré.
- 50. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 50 - Chapitre IV : Loi de Comportement : Isotrope, Elastique, Linéaire Après avoir étudié indépendamment les notions de déformations et de contraintes, le présent chapitre a pour but d’étudier les relations liant ces deux champs dans le cas particulier des matériaux homogènes et isotropes dans leur domaine élastique linéaire. Nous établirons, d’après un ensemble de résultats expérimentaux simples, la loi liant les tenseurs ε et Σ en tout point M du solide, dite loi de comportement. Dans tout ce chapitre nous ferons les hypothèses suivantes : - milieu continu, - homogène, - isotrope, - élastique linéaire, - Petites Perturbations (petits déplacements et petites déformations). 1. Expérience de traction Soit une éprouvette d’un matériau solide, homogène, isotrope, ayant une forme parallélépipédique (voir figure suivante). Notons X’X la direction longitudinale de ce barreau, Y’Y et Z’Z les deux autres directions perpendiculaires à la première et axes principaux de la section droite de l’éprouvette. Appelons Jx, Jy, Jz les jauges collées sur cette éprouvette selon la disposition de la figure ci-dessous. Notons a0 , b0 les dimensions de la section droite de l’éprouvette en l’absence de chargement et l0 la distance séparant deux traits délimitant la partie centrale de l’éprouvette où les lignes de force sont parallèles et le champ des contraintes uniforme. Nous sollicitons alors cette éprouvette à l’aide d’une machine de traction en lui appliquant un effort de traction1 selon la direction X’X, d’intensité F lue sur un dynamomètre. Dans la partie centrale de l’éprouvette (loin des têtes d’amarrage de l’éprouvette) la seule composante non nulle du tenseur des contraintes est : σ X F S F ab = = Les jauges Jx, Jy et Jz mesurent les dilatations linéïques ε X , εY et ε Z résultant de ce chargement. 1 On peut aussi imposer à l’éprouvette un allongement ou une déformation, nous en reparlerons en E.D. X' Xr F a0 b0 l0 X Z Y Jz Jx Jy Jx r F
- 51. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 51 - On constate les résultats expérimentaux suivants : 1.) Si la force F croît à partir de zéro, les fibres parallèles à X’X subissent un allongement relatif ε X l l l = − 0 0 proportionnel à F, donc à la contrainte σ X . On note alors : ε σ X X E = définissant ainsi le coefficient positif E, homogène à une force surfacique et appelé module d’Young ou module d’élasticité longitudinal du matériau. Nota : Pour les aciers E ≈ 200 000 MPa (voir tableau en annexe). Si l’on fait décroître F jusqu’à zéro, le point M( )ε σX X, du diagramme contrainte déformation revient en O par le même chemin rectiligne : le processus est réversible et il n’y a pas de déformation résiduelle, c’est le domaine de l’élasticité linéaire. 2.) εY a a a = − 0 0 et ε Z b b b = − 0 0 restent égaux entre eux et proportionnels à ε X mais de signe opposé. On note : ε ε υ εY Z X= = − ⋅ Le coefficient ν s’appelle coefficient de Poisson du matériau, il est sans dimension et se définit par la relation précédente. Pour les aciers ν ≈ 0,3 (voir tableau en annexe). 3.) Les relations de proportionnnalité précédentes ne sont vérifiées que si l’on ne dépasse pas un certain seuil ReT appelé limite d’élasticité en traction. Au-delà de cette limite le comportement n’est plus linéaire, les déformations croissent plus vite que les contraintes, ni élastique (ou réversible) ; si l’on décharge ensuite l’éprouvette, le point M( )ε σX X, décrit un chemin rectiligne jusqu’en M0 sur l’axe des déformations ε X , il y a donc une déformation résiduelle. En faisant croître σ X au-delà de ReT on atteint la contrainte de rupture en traction RrT .
- 52. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 52 - 4.) En compression, on observe des phénomènes similaires. σ X et ε X sont négatifs et sont proportionnels : σ εX XE= ⋅ . ε εY Z= (positifs) et ε ε υ εY Z X= = − ⋅ . Il existe une limite d’élasticité en compression Rec au-delà de laquelle le comportement n’est plus élastique ni linéaire. Il existe également une contrainte de rupture en compression Rrc . REMARQUES : a) Les divers paramètres E, ν, ReT , Rec , RrT , Rrc sont caractéristiques du matériau constitutif de l’éprouvette. b) L’intervalle de variation de σ X entre Rec et ReT se nomme domaine d’élasticité du matériau. A l’extérieur de ce domaine se trouve le domaine plastique, plus ou moins étendu selon les matériaux. c) Dans la zone de mesure, c’est-à-dire loin des zones d’amarrage de l’éprouvette, les champs de contraintes et déformations sont uniformes et ont mêmes directions principales : X’X, Y’Y et Z’Z. Pour respecter cela les dimensions de l’éprouvette doivent être conformes à la norme NF A03-151. d) Au cours de l’essai de traction et dans le domaine plastique, il se produit une striction vers le centre de l’éprouvette (étranglement local), la surface S=ab diminue sensiblement sur une certaine longueur. NB : quelques valeurs du module d’Young et du coefficient de Poisson pour des matériaux usuels sont données en annexe (voir à la fin de ce document). σ X ε X RrT ReT Rec Rrc Compression Traction domained'élasticitélinéaire O
- 53. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 53 - e) En traction, le coefficient de dilatation cubique e est positif (augmentation de volume). e E X Y Z X= + + = − ⋅ε ε ε υ σ 1 2 > 0 Nota : pour les aciers e E X ≈ 0 4, σ . ATTENTION : Courbe de traction conventionnelle et courbe rationnelle Lorsque l’on réalise un essai de traction monotone classique (à vitesse de déplacement des mors imposée) on enregistre une courbe représentant la force F en fonction de l’allongement ∆l de l’éprouvette (Figure ci-dessous). Courbe de traction conventionnelle Striction éprouvette parallélépipédique Striction éprouvette cylindrique de révolution F ∆l0
- 54. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 54 - En réalité la section droite de l’éprouvette n’a pas une aire constante puisqu’elle diminue sous l’effet Poisson. On définit alors à chaque instant t la contrainte vraie σv comme le rapport de la force F(t) à l’instant t sur l’aire de la section droite à cet instant S(t) : )(/)()(v tStFt =σ . Comme la déformation se passe à volume constant on a )().(. 00 tltSlS = d’où : )(1)( . )(/.)( 0 0 00 00 t S tll lS tllStS convε+ = ∆+ == La relation entre contrainte vraie et contrainte conventionnelle est donc à chaque instant : ( )convconvv 1 ε+σ=σ Pour connaître la relation entre déformation conventionnelle et déformation vraie il faut revenir à la définition incrémentale de la déformation. Ainsi pour un incrément d’allongement dl on définit l’incrément de déformation dε par dε=dl/l . En intégrant entre l’instant initial pour lequel la longueur initiale de référence vaut l0 et l’instant t où la longueur vaut l(t) on obtient : ( ))(1ln)( )( 1ln/)( convvraie 0 0 )()( vraie 00 tt l ltl ldldt tl l tl l ε+=ε⇔ − +==ε=ε ∫∫ La courbe de traction rationnelle est donc toujours croissante comme ci-dessous. Courbe de traction rationnelle contrainte vraie déformation vraie0
- 55. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 55 - 2. Loi de Hooke (élasticité linéaire isotrope) D’après la loi de comportement élastique linéaire obtenue précédemment pour une structure très simple (parallélépipède rectangle) et un effort uniaxial, déduisons-en la relation générale liant les tenseurs Σ et ε en tout point d’un solide homogène, isotrope, élastique linéaire quelles que soient sa forme et celle du chargement. Isolons par la pensée un volume élémentaire de centre M dont les faces sont parallèles aux directions principales des contraintes MX r , MY r , MZ r . Les facettes de ce cube élémentaire sont donc sollicitées en compression pure ou en traction pure et subissent au cours de la déformation des translations selon leur normale ; MX r , MY r , MZ r sont aussi directions principales des déformations. D’après le premier paragraphe de ce chapitre nous savons que si σ X ≠ 0 et σ σY Z= = 0 alors : ε σ X X E = et ε ε υ σ Y Z X E = = − ⋅ Par permutation circulaire des indices on obtient les déformations dues aux contraintes σ X , σ Y , σ Z appliquées séparément. due à σ X seule due à σ Y seule due à σ Z seule valeur de ε X σ X E − ⋅υ σ Y E − ⋅υ σ Z E valeur de εY − ⋅υ σ X E σ Y E − ⋅υ σ Z E valeur de ε Z − ⋅υ σ X E − ⋅υ σ Y E σ Z E Les relations étant linéaires, le cas général s’obtient par superposition des trois états d’équilibre. On obtient ainsi les relations suivantes : Μ r X r Y r Z σZ σY σ X
- 56. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 56 - ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ε σ υ σ σ ε σ υ σ σ ε σ υ σ σ X X Y Z Y Y Z X Z Z X Y E E E = − + = − + = − + 1 1 1 En utilisant la trace de Σ (premier invariant) on obtient, ( )s trace X Y Z= = + + ⇒Σ σ σ σ ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ε υ σ υ ε υ σ υ ε υ σ υ X X Y Y Z Z E s E s E s = + − = + − = + − 1 1 1 1 1 1 Ces relations traduisent dans le repère principal la relation tensorielle suivante également vraie dans un repère orthonormé quelconque (non principal) : ε υ υ = + − 1 1 E E sΣ que l’on note aussi ε υ σ υ σ δij ij kk ij E E = + − 1 L’équation tensorielle précédente est équivalente aux six équations scalaires suivantes. ε υ σ υ ε υ σ υ ε υ σ υ xx xx yy yy zz zz E E s E E s E E s = + − = + − = + − 1 1 1 ε υ σ ε υ σ ε υ σ yz yz xz xz xy xy E E E = + = + = + 1 1 1 NOTA : Ces relations se vérifient par exemple sur un essai de torsion sur tube cylindrique (voir T.P). On remarquera la relation liant les deux premiers invariants des tenseurs ε et Σ : e E s= −1 2υ avec ( )e trace= ε et ( )s trace= Σ D’autre part, si le matériau est isotrope les directions principales de contraintes et de déformations coïncident. Ce n’est pas le cas pour les matériaux anisotropes (ex : composites stratifiés), il faut alors prendre des précautions en extensométrie ! La relation tensorielle ε υ υ = + − 1 1 E E sΣ peut s’inverser, on obtient alors : Σ = +λ µεe1 2 que l’on note aussi σ λ ε δ µεij ij ij= +kk 2 avec : ( )( ) λ υ υ υ = + − E 1 1 2 et ( ) µ υ = = + G E 2 1
- 57. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 57 - • λ et µ sont les coefficients de Lamé du matériau, ils sont homogènes à des forces surfaciques ; µ est aussi noté G et appelé module de glissement ou de cisaillement. On peut également exprimer E et ν en fonction des coefficients de Lamé du matériau : E = + + µ λ µ λ µ 3 2 ( ) υ λ λ µ = +2 D’après la relation liant les deux premiers invariants des tenseurs ε et Σ : e E s= −1 2υ on obtient ( )s e K e= + =3 2λ µ • K est le module de compressibilité du matériau, K E = −1 2υ - Signes des différents coefficients E et ν sont positifs donc µ également. Montrons que ν < 0,5 (cas des matériaux incompressibles) ce qui implique λ > 0. Soit un état de compression hydrostatique, c’est-à-dire : σ σ σX Y Z p= = = − < 0, (cas d’un solide plongé dans un liquide), alors − = = − 3 0 0 p Ke K V V V La variation relative de volume étant strictement négative, le coefficient K est positif d’où υ < 0 5, . Autre écriture de la loi de comportement élastique linéaire d’un matériau homogène isotrope. La loi de comportement élastique linéaire d’un matériau homogène isotrope (dite loi de Hooke) s’écrit d’une façon plus générale que vous reverrez en cours de Mécanique des Solides Déformables et pour décrire le comportement de matériaux anisotropes : ε υ υ = + − 1 1 E E sΣ s’écrit aussi Σ⋅=ε S où S est un tenseur d’ordre 4 appelé tenseur des souplesses. Pour un matériau isotrope, S est symétrique (mais pas pour un matériau anisotrope)
- 58. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 58 - σ σ σ σ σ σ ⋅ υ−υ− υ−υ− υ−υ− = ε ε ε ε ε ε 12 13 23 33 22 11 12 13 23 33 22 11 1 00000 0 1 0000 00 1 000 000 1 000 1 000 1 .2 .2 .2 G G G EEE EEE EEE , où ( )υ+ =µ= 12 E G La règle suivante de contraction des indices permet d’écrire les tenseurs des contraintes et des déformations sous la forme de vecteurs colonne : (11) ↔ 1, (22) ↔ 2, (33) ↔ 3, (23)=(32) ↔ 4, (13)=(31) ↔ 5, (12)=(21) ↔ 6 Cette règle se résume de la façon suivante : si i=j ↔ i, si i≠j ↔ 9-(i+j). On écrit alors : σ σ σ σ σ σ ⋅ υ−υ− υ−υ− υ−υ− = ε ε ε ε ε ε 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 00000 0 1 0000 00 1 000 000 1 000 1 000 1 .2 .2 .2 G G G EEE EEE EEE De même on écrit aussi : Σ = +λ µεe1 2 ⇔ ε⋅=Σ C où C est le tenseur de comportement (d’ordre 4) appelé aussi tenseur des complaisances. Pour un matériau isotrope, C est symétrique (mais pas pour un matériau anisotrope) ε ε ε ε ε ε ⋅ λ+λλ λλ+λ λλλ+ = σ σ σ σ σ σ 12 13 23 33 22 11 12 13 23 33 22 11 .2 .2 .2 00000 00000 00000 0002 0002 0002 G G G G G G avec : ( )( ) λ υ υ υ = + − E 1 1 2 et ( ) µ υ = = + G E 2 1
- 59. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 59 - En tenant compte de la règle de contraction des indices on écrit : ε ε ε ε ε ε ⋅ λ+λλ λλ+λ λλλ+ = σ σ σ σ σ σ 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 .2 .2 .2 00000 00000 00000 0002 0002 0002 G G G G G G 3. Energie potentielle élastique (ou énergie de déformation élastique) Nous cherchons à calculer le travail fourni au solide pour le déformer c’est-à-dire l’énergie emmagasinée par le solide lorsqu’il passe d’un état initial à un état final. Soit un parallélépipéde élémentaire de cotés dX, dY, dZ dont les faces sont parallèles aux directions principales des contraintes MX r , MY r , MZ r . Evaluons le travail des forces de surface appliquées aux faces du parallélépipède ; calculons-le dans le repère principal des contraintes. Dans un premier temps considérons que seule σ X ≠ 0 Dans le domaine élastique, lorsque la force appliquée sur la facette perpendiculaire à l’axe M r X passe de zéro à la valeur σ X dYdZ , le déplacement de cette facette évolue proportionnellement à la contrainte et passe de zéro à ε X dX . Le travail élémentaire associé à la direction r X est alors : dW dYdZ dX dVX X X X X= ⋅ = 1 2 1 2 σ ε σ ε dX dY dZ Μ r X r Y r Z σZ σY σ X
- 60. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 60 - En raisonnant de même dans les deux autres directions r Y et s Z on obtient, ( ) dW dV X X Y Y Z Z= + + 1 2 σ ε σ ε σ ε L’énergie potentielle élastique emmagasinée, par unité de volume, au voisinage du point M considéré, est donc égale à : ( ) ( )[ ]dW dV trace M M= ⋅ 1 2 Σ ε Cette énergie se nomme aussi densité volumique d’énergie élastique emmagasinée au voisinage du point M. Nota : c’est un scalaire, elle est indépendante du repère choisi ! 4. Etats particuliers de contraintes et de déformations Voici à titre de formulaire l’expression de la loi de Hooke pour deux états particuliers de contraintes et déformations. 4.1. Déformations planes Un solide subit une déformation plane s’il existe un repère { }O i j k; , , r r r dans lequel le vecteur déplacement a des composantes de la forme : M M U u x y v x y w C z 0 1 → → = = = ( , ) ( , ) . ε ε ε ε ε= xx xy xy yy C 0 0 0 0 Σ = σ σ σ σ σ xx xy xy yy zz 0 0 0 0 ( )[ ] ( )[ ] ε υ υ σ υσ υ ε υ υ σ υσ υ ε υ σ xx xx yy yy yy xx xy xy E C E C E = + − − − ⋅ = + − − − ⋅ = + 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )[ ] σ υ υ υ ε υ ε σ υ υ υ ε υ ε σ υ υ υ ε ε υ σ υ ε xx xx yy yy yy xx zz xx yy xy xy E C E C E C E = + − − + + = + − − + + = + − + + − = + 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 Nota : ( )σ υ σ σzz xx yyEC= + + 4.2. Contraintes planes Un solide est dit en état de contraintes planes, perpendiculairement à la direction z’z par exemple, s’il existe un repère { }O i j k; , , r r r lié à ce solide tel que les deux conditions suivantes soient vérifiées : - le tenseur des contraintes est de la forme Σ = σ σ σ σ xx xy xy yy 0 0 0 0 0
- 61. Loi de Comportement: Isotrope, Elastique, Linéaire Chapitre IV - 61 - -les composantes σ xx , σ yy , σ xy sont indépendantes de z. Nota : les fibres parallèles à l’axe z’z sont toutes non contraintes (vecteur contrainte nul). On a alors : ε ε ε ε ε ε = xx xy xy yy zz 0 0 0 0 [ ] [ ] [ ] ε σ υσ ε σ υσ ε υ σ σ ε υ σ xx xx yy yy yy xx zz xx yy xy xy E E E E = − = − = − + = + 1 1 1 [ ] [ ] σ υ ε υε σ υ ε υε σ υ ε xx xx yy yy yy xx xy xy E E E = − + = − + = + 1 1 1 2 2 Notons : ( )ε υ υ ε εzz xx yy= − − + 1
- 62. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 62 - Chapitre V : Résolution d’un problème d’élasticité Ce chapitre présente les deux grandes méthodes permettant de calculer les tenseurs des contraintes et des déformations en tout point d’une structure. 1. Présentation du problème d’élastostatique Hypothèses : Nous supposerons dans la suite de ce chapire que le solide considéré est élastique linéaire, isotrope et homogène. A l’état initial le solide n’est pas chargé. A l’état final le solide est en équilibre. On connaît : - la géométrie du solide, - ses caractéristiques matériau : E, ν (ou λ, µ), - les conditions aux limites et aux liaisons éventuelles, - un repère orthonormé lié au solide. Nous cherchons à déterminer en tout point M(x, y, z) du solide : - le tenseur des déformations ( )ε M - le tenseur des contraintes ( )Σ M - le vecteur déplacement U M M → → = 0 1 - le pseudo-vecteur rotation ( )ω ← M De façon générale deux méthodes sont utilisées : 1.) On cherche d’abord à calculer les déplacements puis on en déduit les déformations et les contraintes (voir synoptique de cette méthode en annexe). 2.) On cherche d’abord à calculer les contraintes puis on en déduit les déformations et les déplacements (voir synoptique de cette méthode en annexe). Pour ces deux méthodes nous disposons des équations suivantes (cf. précédents chapitres). ε = + → →1 2 gradU grad UT (V.1) ω → → = ← 1 2 rot U (V.2) f div → → → + =Σ 0 (V.3) ε υ υ = + − 1 1 E E sΣ ou Σ = +λ µεe1 2 (V.4)
- 63. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 63 - 2. Méthode des déplacements (ou méthode de Lamé et Clapeyron) Nous choisissons de rechercher les 3 composantes (u, v, w) du vecteur déplacement U M M → → = 0 1 . Grâce aux équations (V.1) à (V.4) nous avons : ε = + → →1 2 gradU grad UT ω → ← → = 1 2 rot U Σ = ⋅ ⋅ + ⋅ + → → → λ µdiv U 1 grad U grad UT D’après l’équation (V.3) traduisant l’équilibre local du matériau et l’expression du tenseur des contraintes ci-dessus nous obtenons l’équation de Navier. ( )λ µ µ+ + ⋅ = − → → → → → grad divU U f∆ avec ∆U grad divU rot rotU → → → → → = − ← ← . que l’on note aussi : ( )µ λ µrot rotU grad divU f ← ← − + = → → → → . 2 Ces deux expressions sont équivalentes. En les projetant sur les axes du repère orthonormé dans lequel nous travaillons on obtient trois équations aux dérivées partielles, indiquées ci-dessous en coordonnées cartésiennes. ( ) ( ) ( ) λ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + + = − + + + + + + = − + + + + + + = − x u x v y w z u x u y u z f y u x v y w z v x v y v z f z u x v y w z w x w y w z f x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Nota : on remarquera que la dilatation cubique intervient : ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u x v y w z e+ + = Il faut donc intégrer ces 3 équations différentielles pour obtenir les coordonnées (u, v, w) du vecteur déplacement en tout point du solide. Les différentes constantes d’intégration sont déterminées d’après les conditions aux limites du problème. Il est nécessaire de vérifier si les conditions aux limites en contraintes sont respectées pour s’assurer de la validité de la solution obtenue (voir synoptique en Annexe). De façon générale ces équations sont difficiles à traiter nous pouvons cependant remarquer les points suivants. 1.) On obtient la solution générale des équations de Navier en sommant la solution générale des équations sans second membre ( f → → = 0) et une solution particulière quelconque des équations complètes.
- 64. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 64 - 2.) Si le vecteur déplacement dérive d’une fonction de déplacement ( )φ x y z, , alors : u x = ∂φ ∂ v y = ∂φ ∂ w z = ∂φ ∂ ω ← → → = ← = 1 2 0rot U Alors l’équation vectorielle de Navier s’écrit : ( ) ( )λ µ φ+ + = → → → 2 0grad f∆ puisque l’on a : ( )grad grad → → = ∆ ∆φ φ Si par ailleurs les forces de volume sont négligeables par rapport aux efforts appliqués au solide on a : ( ) ( )λ µ φ+ = → → 2 0grad ∆ d’où ∆φ = constante = e 3.) En dérivant les 3 équations scalaires de Navier respectivement par rapport à x, y, z en sommant les 3 équations ainsi obtenues on a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )λ µ φ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + + = → ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ x u y v z w div f 0 d’où ( )λ µ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ⋅ + + + = → ∆ ∆e u x v y w z div f 0 ( )λ µ+ + = → 2 0∆e div f Alors, si f → → = 0 ou si div f → = 0 (cas de la pesanteur) on obtient : ∆e = 0 Cette méthode est utilisée dans le cas des tubes épais. Exemple : Calcul d’un réservoir sphérique sous pression Considérons un réservoir sphérique (constitué d’un matériau homogène isotrope), voir figure ci-dessous, contenant un gaz à la pression pi et soumis sur sa paroi extérieure à la pression pe . Nous cherchons le champ des contraintes et celui des déformations en tout point de ce réservoir. Le problème présente une symétrie de révolution, le champ des déplacements est donc purement radial (donc irrotationnel). Re r Ri pi pe
- 65. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 65 - Nous négligerons les forces de volume par rapport aux pressions mises en jeu ; l’équation de Navier se réduit alors à : grad divU → → → = 0 En coordonnées sphériques cette équation est équivalente aux trois équations suivantes : d dr du dr u r + = = = 2 0 0 0 0 0 L’intégration de la première équation différentielle donne : u Ar B r = + 3 2 D’où εrr du dr A B r = = − 3 2 3 ε εθθ ϕϕ= = = + u r A B r3 3 ε ε εθ ϕ θϕr r= = = 0 et ( )σ λ µ µrr A B r = + −3 2 3 4 3 ( )σ σ λ µ µθθ ϕϕ= = + +3 2 3 2 3 A B r σ σ σθ ϕ θϕr r= = = 0 Les conditions aux limites sont : ( )σ rr i ir R p= = − et ( )σ rr e er R p= = − d’où ( )( ) A p R p R R R i i e e e i = − + − 3 3 2 3 3 3 3 λ µ et ( ) ( ) B p p R R R R i e i e e i = − − 3 3 3 3 4µ Nota : le cas particulier où iRe << est intéressant à discuter (voir E.D.). 3. Méthode des contraintes (ou des conditions de compatibilité) Dans un premier temps, nous cherchons les six composantes du tenseur des contraintes. Dans le chapitre II nous avons établit la condition de compatibilité des déformations : rot rot. ε = 0 En utilisant la loi de Hooke cette condition s’écrit : ( )[ ]rot rot s. . .1 1 0+ − =υ υΣ Les deux relations suivantes d’analyse vectorielle rot rot grad div grad div grad grad sT . Σ Σ Σ ∆Σ= + − − → → → ( )rot rot s grad grad s s. . ( ).1 1= − − → ∆ permettent de transformer la condition de compatibilité précédente ; on obtient : grad div grad div grad grad s sT → → → + − − + + + =Σ Σ ∆Σ ∆ 1 1 1 1 0 υ υ υ ( ). Par ailleurs, l’équation de l’équilibre local permet d’écrire : div fΣ → → = − d’où grad f grad f grad grad s sT → → → + + + + − + =∆Σ ∆ 1 1 1 1 0 υ υ υ ( ).
- 66. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 66 - Or, si l’on calcule la trace de cette expression tensorielle on obtient 2 1 1 3 1 0 1 1 .div f s s s s div f → → + + + − + = ⇔ = − + − ∆ ∆ ∆ ∆ υ υ υ υ υ (V.5) D’où les équations de compatibilité de Beltrami : ∆Σ + + = − − − − → → → →1 1 1 1 υ υ υ grad grad s grad f grad f div fT . div fΣ → → = − En projection sur les axes du repère cartésien orthonormé ces équations donnent : (V.6) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ υ υ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ υ υ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ υ υ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ xx x yy y zz z yz y z xz x z xy x s x f x div f s y f y div f s z f z div f s y z f z f y s x z f z f x s x y f y f + + = − − − + + = − − − + + = − − − + + = − − + + = − − + + = − − → → → 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x∂ (V.7) ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ xx xy xz x xy yy yz y xz yz zz z x y z f x y z f x y z f + + = − + + = − + + = − Remarque : Dans les calculs précédents on a supposé que les conditions de compatibilités des déformations se réduisaient à rot rot. ε = 0 ce qui revient à supposer que le domaine solide est simplement connexe (cf chapitre II) ; dans le cas contraire il faut ajouter les conditions de fermeture, il faut alors calculer les déplacements et la méthode perd en partie son intérêt. Nous remarquerons également que la solution générale des équations de Beltrami peut être obtenue par superposition de la solution générale du sytème sans second membre ( f → → = 0) et d’une solution particulière quelconque du système complet.
- 67. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 67 - Le champ de contraintes solution doit bien entendu vérifier les équations de Beltrami (compatibilité et équilibre local) mais aussi les conditions aux limites imposées au vecteur contrainte sur la frontière du solide (voir synoptique en Annexe). En général pour des problèmes tridimensionnels la méthode des contraintes est plus lourde que celle des déplacements ; dans des problèmes bidimensionnels les deux méthodes sont équivalentes. 4. Cas des problèmes plans 4.1. Contraintes planes Ce cas se rencontre sur certaines plaques soumises à des efforts parallèles au plan moyen, noté ici xOy, et constantes dans l’épaisseur. Les tenseurs contraintes et déformations sont du type : Σ = σ σ σ σ xx xy xy yy 0 0 0 0 0 ε ε ε ε ε ε = xx xy xy yy zz 0 0 0 0 D’après les équations de l’équilibre local on en déduit que la résultante des forces de volume est nécessairement parallèle au plan xOy et indépendante de z, fz = 0 et ( )f f x y → → = , . - L'équation (V.5) et la troisième équation de Beltrami (V.6) impliquent div f → = 0 d’où ∆s = 0 - Le champ des déplacements s’obtient en intégrant ε = + → →1 2 gradU grad UT il est de la forme M M U u x y z u x y az v x y z v x y bz w x y z z ax by c 0 1 2 2 → → = = = − = − = + + ( , , ) ( , ) ² / ( , , ) ( , ) ² / ( , , ) .( ) 4.1.1. Méthode des déplacements On a donc div U u x v y ax by c → = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) Les 3 équations de Navier se réduisent aux équations suivantes (la troisième est toujours vraie). ( ) ( ) λ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ λ λ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ λ + + + + = − − + + + + = − − x u x v y u x u y a f y u x v y v x v y b f x x 2 2 2 2 2 2 2 2
- 68. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 68 - 4.1.2. Méthode des forces Les équations de Beltrami sont équivalentes au système suivant : ( ) ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ σ σ xx xy x xy yy y xx yy x y f x y f + + = + + = + = 0 0 0∆ •••• Méthode d’Airy (variante de la méthode des forces) Dans les cas (fréquents) où la résultante des forces de volume dérive d’une fonction V, f gradV → = → , on peut ramener l’intégration des équations à la détermination d’un fonction unique ( )φ x y, . On pose σ ∂ φ ∂ xx y V= − 2 2 σ ∂ φ ∂ yy x V= − 2 2 σ ∂ φ ∂ ∂xy x y = − 2 Les deux premières équations du système précédent sont identiquement vérifiées. ( ) ( )∆ ∆ ∆σ σ φ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ ∂xx yy x y x y + = ⇔ = =0 0 4 4 4 4 4 2 2 + + 2 La fonction φφφφ solution d’une équation biharmonique se nomme fonction d’Airy. 4.2. Déformations planes Les états de déformations planes sont généralement rencontrés pour des solides longs, cylindriques ou prismatiques sollicités par des forces de volume ou de surface perpendiculaires à la direction de la génératrice (notée ici Oz) et indépendantes de la coordonnée z. Contraintes, déformations et rotations sont indépendantes de z ; le déplacement selon cet axe est donné : w=Cz. M M U u x y v x y w C z 0 1 → → = = = ( , ) ( , ) . ε ε ε ε ε= xx xy xy yy C 0 0 0 0 Σ = σ σ σ σ σ xx xy xy yy zz 0 0 0 0 Ainsi, d’après l’équation de l’équilibre local on en déduit que f → est perpendiculaire à Oz et indépendante de z. D’après les trois premières équations (V.6) on obtient : ∆s div f= − + − →1 1 υ υ Et la troisième équation (V.6) donne ( )∆ σ σ υxx yy div f+ = − − →1 1
- 69. Résolution d’un problèmed’élasticité Chapitre V - 69 - 4.2.1. Méthode des déplacements On a div U u x v y C → = + + ∂ ∂ ∂ ∂ Les 3 équations de Navier se réduisent aux équations suivantes (la troisième est toujours vraie). ( ) ( ) λ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ λ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + = − + + + + = − x u x v y u x u y f y u x v y v x v y f x y 2 2 2 2 2 2 2 2 4.2.2. Méthodes des forces Les équations de Beltrami sont équivalentes au système suivant : ( ) ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ σ σ υ xx xy x xy yy y xx yy x y f x y f div f + + = + + = + + − → = 0 0 1 1 0∆ •••• Méthode d’Airy (variante de la méthode des forces) Si f gradV → = → , on peut poser σ ∂ φ ∂xx y V= − 2 2 σ ∂ φ ∂yy x V= − 2 2 σ ∂ φ ∂ ∂xy x y = − 2 Les deux premières équations du système ci-dessus sont identiquement vérifiées. ( )∆ ∆ ∆φ υ υ = − − 1 2 1 V
- 70. Quelques états decontraintes et déformations particuliers Chapitre VI - 70 - Chapitre VI : Quelques états de contraintes et déformations particuliers 1. Problèmes axisymétriques méridiens Un problème est dit axisymétrique méridien lorsque le solide, le chargement et les forces de liaison admettent un axe de révolution, appelons-le Oz, il faut de plus que toutes ces forces soient méridiennes, c’est-à-dire qu’elles n’aient pas de composante circonférentielle. Exemple : Tube cylindrique de révolution sous pression, traité en E.D. Pour traiter ce type de problème les coordonnées cylindriques ( )r z, ,θ dans la base e e er z → → → , ,θ orthonormée directe sont les plus appropriées. D’après la symétrie de révolution, tous les paramètres sont indépendants de θθθθ. On a donc : ( ) ( ) r U u v w u r z w r z e e er z ( , , ) , , , , = → → → 0 θ ω ∂ ∂ ∂ ∂ θ ← = − → → → 0 1 2 0 u z w r e e er z, , Σ = → → → σ σ σ σ σ θθ θ rr rz rz zz e e er z 0 0 0 0 , , ε ε ε ε ε ε θθ θ = → → → rr rz rz zz e e er z 0 0 0 0 , , Avec : ε ∂ ∂rr u r = εθθ = u r ε ∂ ∂zz w z = ε ∂ ∂ ∂ ∂ rz u z w r = + 1 2 - Equations de Navier (méthode des déplacements) : projetées sur e er z → → , ( ) ( ) µ − − + µ = µ − + µ − − + µ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ ∂ ∂ z w r u z e r f r u z w r r u z w r e z f r z 2 2 avec e trace= ( )ε
- 71. Quelques états decontraintes et déformations particuliers Chapitre VI - 71 - - Equations de Beltrami (méthode des contraintes) : Nota : Seules les équations différentes de “ 0=0 ” sont données ci-dessous. ( ) ( ) f r r z f r r z f r f r s r r f f r r s r f z f s z f r f z r s r r rr rr rz z rz rz zz r rr rr r rr z zz z r rz rz + + − + = + + + = + − → + − − + + = + − → + + − + + = + − → + + + = + + − + + ∂σ ∂ σ σ ∂σ ∂ ∂σ ∂ σ ∂σ ∂ ∂ ∂ υ υ σ σ σ υ ∂ ∂ υ υ σ σ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ υ υ σ υ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ σ υ ∂ ∂ θθ θθ θθ θθ 0 0 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 1 1 0 2 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 div div div ∆ ∆ ∆ ∆ ∂z = 0 avec ( )s trace= Σ ∆s f= − + − →1 1 υ υ div et div( )f f r f r f z r r z → = + ∂ ∂ ∂ ∂ + 2. Problèmes plans en coordonnées cylindriques Remarque : Au chapitre V nous avons vu les diverses équations utilisées pour résoudre des problèmes d’élasticité plane en coordonnées cartésiennes, nous donnons ci-dessous ces équations en coordonnées cylindriques dans la base orthonormée directe e e er z → → → , ,θ . Nous noterons ( ) ( ) ( ) r U u v w u r z v r z w r z e e er z ( , , ) , , , , , , , , = → → → θ θ θ θ le vecteur déplacement. 2.1. Contraintes planes Rappelons qu’il s’agit du cas de certaines plaques soumises à des forces parallèles au plan moyen (noté ici ( ) r r e O er , , θ ) et constantes dans l’épaisseur (cf chapitre V, § 4.1.). L’axe ( )O ez, r est pris normal à la plaque, ( )O er, r et ( )O e, r θ sont dans le plan moyen. - Equations de Navier (méthode des déplacements) : projetées sur e er → → , θ ( ) ( ) f e r u u r r v f r e v v r r u r + + µ + µ − − = + + µ + µ − + = λ ∂ ∂ ∂ ∂θ λ ∂ ∂θ ∂ ∂θθ ∆ ∆ 2 2 2 2 2 0 1 2 0 avec e trace U u r u r r v w z = = → = + + +( ) divε ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ 1 et ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 1 r r r r z + 1 + +2
- 72. Quelques états decontraintes et déformations particuliers Chapitre VI - 72 - - Equations de Beltrami (méthode des contraintes) : Nota : Seules les équations différentes de “ 0=0 ” sont données ci-dessous. ( ) f r r r f r r r r rr r rr r r rr + + + − = + + + = + = ∂σ ∂ ∂σ ∂θ σ σ ∂σ ∂ ∂σ ∂θ σ σ σ θ θθ θ θ θθ θ θθ 1 0 1 2 0 0∆ - Fonction d’Airy : σ ∂φ ∂ ∂ φ ∂θ σ ∂ φ ∂ σ ∂ ∂ ∂φ ∂θ θθ θ rr r r r r V r V r r = + − = − = − 1 1 1 2 2 2 2 2 si f f V r f r V r→ = = ∂ ∂ ∂ ∂θθ 1 2.2. Déformations planes Rappelons que l’état de déformations planes se rencontre généralement dans des solides longs, cylindriques ou prismatiques, soumis à des forces de surface et de volume perpendiculaires à l’axe ( )O ez, r , direction des génératrices, et indépendantes de la cote z. Contraintes, déformations et rotations sont indépendantes de z ; le déplacement selon cet axe est donné : w=C.z, C=Cte (cf chapitre V, § 4.2.). Exemple : Cas du tube sous pression, traité en E.D. - Equations de Navier (méthode des déplacements) : projetées sur e er → → , θ Identiques au cas des contraintes planes. ( ) ( ) f e r u u r r v f r e v v r r u r + + µ + µ − − = + + µ + µ − + = λ ∂ ∂ ∂ ∂θ λ ∂ ∂θ ∂ ∂θθ ∆ ∆ 2 2 2 2 2 0 1 2 0 avec e trace U u r u r r v C= = → = + + +( ) divε ∂ ∂ ∂ ∂θ 1 et ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 1 r r r r z + 1 + +2
- 73. Quelques états decontraintes et déformations particuliers Chapitre VI - 73 - - Equations de Beltrami (méthode des contraintes) : Nota : Seules les équations différentes de “ 0=0 ” sont données ci-dessous. ( ) f r r r f r r r f r rr r rr r r rr + + + − = + + + = + + − → = ∂σ ∂ ∂σ ∂θ σ σ ∂σ ∂ ∂σ ∂θ σ σ σ υ θ θθ θ θ θθ θ θθ 1 0 1 2 0 1 1 0∆ div avec div f f r r f r fr r → = + + ∂ ∂ ∂ ∂θ θ1 1 - Fonction d’Airy : Identique au cas des contraintes planes. σ ∂φ ∂ ∂ φ ∂θ σ ∂ φ ∂ σ ∂ ∂ ∂φ ∂θ θθ θ rr r r r r V r V r r = + − = − = − 1 1 1 2 2 2 2 2 si f f V r f r V r→ = = ∂ ∂ ∂ ∂θθ 1
- 74. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 74 - Chapitre VII : Méthodes énergétiques 1. Energie de déformation élastique 1.1. Hypothèses Soit un solide déformable soumis à des forces extérieures qui le font passer d’un état initial non chargé (0) à un état final (1). Nous supposerons dans la suite de ce chapitre : - que le solide est parfaitement élastique (le frottement interne sera négligé), et qu'il le reste (en aucun de ses points la limite d’élasticité n’est dépassée), - que les déformations sont petites, proportionnelles aux efforts et déterminées par ceux- ci, - que les efforts appliqués évoluent linéairement en fonction du temps et sans échange de chaleur avec l’extérieur, - que les frottements dans les appuis sont négligeables, - que l’énergie cinétique du solide est constamment nulle, - que le solide est immobile dans son ensemble grâce aux appuis : le travail des actions de contact est nul. D’après le 1er principe de la thermodynamique on obtient : W Q E UFext c+ = +∆ ∆ où : Q : quantité de chaleur fournie au solide WFext : travail des forces extérieures au solide ∆Ec : variation d’énergie cinétique ∆U : variation d’énergie interne D’après les hypothèses précédentes nous avons ici : Q = 0 et ∆Ec = 0 d’où : W UFext = ∆ Appliquons alors le théorème de l’énergie cinétique : ∆E W Wc Fext F= + int (VII.1) où : WF int = travail des forces intérieures au solide Ici ∆Ec = 0 donc W WFext F= − int d’après (VIII.1) on a donc : ∆U WF= − int Le solide passe de l’état initial (naturel, non chargé) à l’état final de manière réversible. L’énergie interne est une fonction de l’état du système, elle ne dépend pas des états intermédiaires. L’accroissement de cette énergie interne est égal à l’énergie de déformation élastique ou potentiel élastique.
- 75. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 75 - 1.2. Energie de déformation élastique par unité de volume Dans le chapitre IV (§ 3) nous avons calculé l’énergie potentielle élastique par unité de volume (ou de déformation élastique par unité de volume) emmagasinée par le solide lorsqu’il passe de l’état initial à l’état final. En tout point M du solide nous avons obtenu l’expression : ( ) ( )( )dW dV trace M M= ⋅ 1 2 Σ ε Nota : Les tenseurs des contraintes et des déformations sont liés par la loi de comportement élastique du matériau. Rappelons que cette densité volumique d’énergie est indépendante du repère dans lequel on calcule les tenseurs des contraintes et des déformations. On peut décomposer la densité volumique d’énergie de déformation élastique en une partie engendrant uniquement une variation de volume et une partie engendrant uniquement un changement de forme. En effet, on peut toujours écrire (chapitre III, § 8) : ( ) ( )( )Σ ΣM trace M S I S= ⋅ + = ⋅ + 1 3 1 3 11 où : I1 représente le premier invariant du tenseur des contraintes S désigne le tenseur déviateur des contraintes, tel que ( )trace S = 0 La déformation ε' engendrée par S est égale à : ( )ε υ υ υ '= + − ⋅ = +1 1 1 E S E trace S E S La dilatation volumique associée e’ est nulle puisque ( )trace S = 0 . La déformation engendrée par le tenseur déviateur des contraintes se fait donc sans changement de volume, il n’y a qu’un changement de forme. La densité volumique d’énergie de déformation élastique engendrant ce changement de forme est : ( ) ( )dW dV trace S E trace S S dW dV E JForme Forme = ⋅ = + ⋅ ⇔ = + ⋅ 1 2 1 2 1 2ε υ υ ' où ( )J trace S S2 1 2 = ⋅ = second invariant du tenseur déviateur des contraintes. La partie sphérique du tenseur des contraintes, c’est-à-dire I1 3 1⋅ correspond à un état de traction (ou de compression) équi-triaxiale (pression hydrostatique). Elle n’engendre qu’une variation de volume : e E I= −1 2 1 υ . La densité volumique d’énergie élastique de déformation nécessaire pour ce changement de volume est : dW dV E trace I dW dV E IVolume Volume = − ⋅ ⇔ = −1 2 2 3 1 1 2 6 1 2 1 2υ υ Nous pouvons donc écrire :
- 76. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 76 - dW dV dW dV dW dV E I E JVolume Forme = + = − + + ⋅ 1 2 6 1 1 2 2 υ υ On peut également donner cette expression en fonction de la contrainte normale octaédrale σ oct et de la cission octaédrale τ oct . σ oct I = 1 3 et τ oct J 2 2 2 3 = d’où ( ) ( )dW dV E E oct oct= − + + ⋅ 3 1 2 2 3 1 2 2 2υ σ υ τ Exemples : - Traction (ou compression) équi-triaxiale Σ = σ σ σ 0 0 0 0 0 0 d’où ( )dW dV E dW dV Volume = − = 3 1 2 2 2υ σ - Cisaillement simple Σ = 0 0 0 0 0 0 0 τ τ d’où dW dV E dW dV Forme = + = 1 2υ τ 1.3. Théorème de Clapeyron Supposons que les forces appliquées sur le solide soient des forces concentrées et que le solide soit ainsi en équilibre. Notons U j → le déplacement du point M j soumis à la force Fj → appliquée en ce point. Mn M j Mi r Fj r Fi r Fn Supposons également qu’à tout instant les forces soient proportionnelles à leur valeur finale Fj → dans un rapport λ variant entre 0 (état initial non chargé) et 1 (état final). Pour un accroissement dλ du paramètre λ les forces λ.Fj → engendrent un déplacement élémentaire : d M U dj j → = → . λ d’où le travail élémentaire de ces forces d F U dj j j n ϖ λ λ= → → = ∑ . . 1 λvariant entre 0 et 1 on obtient : ϖ λ λ= → → = ∑∫ . .d F Uj j j n 10 1 ϖ = → → = ∑ 1 2 1 F Uj j j n .
- 77. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 77 - Cette formule dite de Clapeyron permet souvent de calculer rapidement le potentiel élastique d’un système, c'est-à-dire son énergie de déformation élastique. 1.4. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti Considérons deux systèmes de forces (F) et (F') qui assurent tous deux l'équilibre d'un même solide élastique. Nous noterons Uj → et Uj' → les déplacements respectifs engendrés par (F) et par (F'). En appliquant le théorème de Clapeyron nous pouvons calculer le potentiel élastique du solide considéré soumis aux deux systèmes de forces : ϖ F j j j n F U= → → = ∑ 1 2 1 . ϖ F j j j n F U' = → → = ∑ 1 2 1 '. ' Imaginons qu'après avoir appliqué le système de forces (F) au solide on ajoute au solide chargé ainsi en équilibre, une partie du système de forces (F') que l'on va noter (λ.F'). L'effort en un point M j du solide est alors : F Fj j → → + λ ' Le déplacement en ce même point est : U Uj j → → + λ. ' Alors le travail des forces appliquées au solide entre l'état (λF') et l'état [(λ+dλ)F'] est : F F U d F U d F U dj j j j n j j j n j j j n→ → → = → → = → → = + = +∑ ∑ ∑λ λ λ λ λ. ' ' . ' ' . ' . 1 1 1 En intégrant cette relation pour λ variant entre 0 et 1 on obtient : ϖ ϖ ϖF F F F j j j n F U+ → → = = + + ∑' ' . ' 1 Or l'énergie de déformation élastique par unité de volume est indépendante de l'ordre d'application des charges on peut donc écrire également : ϖ ϖ ϖF F F F j j j n F U+ → → = = + + ∑' ' '. 1 En comparant les deux relations précédentes on obtient le théorème suivant : •••• Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti : F U F Uj j j n j j j n→ → = → → = ∑ ∑=. ' '. 1 1 Pour deux états d'équilibre d'un même solide élastique, le travail d'un système de forces (F) dans les déplacements correspondants à un autre système de forces (F') est égal au travail de (F') dans les déplacements correspondants à (F). 2. Théorème des Travaux virtuels, des Puissances virtuelles et leurs applications 2.1. Définitions Conditions aux limites Soit un solide (S) de volume V, limité par une surface (Ω), en équilibre par rapport à un repère R sous l'effet de forces de volume f → par unité de masse et de forces de surface T → par unité de surface. On distingue deux types de conditions aux limites sur ce solide :
- 78. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 78 - - Conditions aux limites cinématiques Sur une partie ΩD de Ω sont imposés des déplacements notés U → . - Conditions aux limites statiques Sur la partie complémentaire ΩC de ΩD (ΩC + ΩD = Ω, ΩC ⊂ Ω et ΩC ∩ ΩD = ∅) sont imposées des contraintes (forces de surface T → ). - Champ de déplacement cinématiquement admissible On appelle champ de déplacement cinématiquement admissible tout champ respectant la continuité du solide et les conditions aux limites cinématiques. - Champ de contraintes statiquement admissible On appelle champ de contraintes statiquement admissible tout champ de contraintes continûment dérivable vérifiant les équations d'équilibre et les conditions aux limites statiques. 2.2. Etude des champs de déplacements virtuels cinématiquement admissibles Soit un champ de déplacements virtuels U u i v j w k → = + +* *. *. *. r r r cinématiquement admissible. Notons f f i f j f kx y z → = + +. . . r r r et T T i T j T kx y z → = + +. . . r r r Le travail virtuel des forces extérieures (de volume f → et de surface T → ) est : W f U dv T U d V * . . *. . *.= + → → → → ∫∫∫ ∫∫ρ Ω Ω Or, par définition T n → → = Σ. ⇔ T T T x xx xy xz y xy yy yz z xz yz zz = + + = + + = + + ασ βσ γσ ασ βσ γσ ασ βσ γσ où ( )n → α β γ, , donc ( ) ( ) ( )[ ]T U d u v w u v w u v w dxx xy xz xy yy yz xz yz zz → → ∫∫ ∫∫= + + + + + + + +. * * * * * * * * * *Ω Ω Ω Ω σ σ σ α σ σ σ β σ σ σ γ Si u*, v*, w* et σij sont continus et dérivables alors on peut transformer l'intégrale de surface sur Ω en intégrale de volume sur V à l'aide de la formule d'Ostrogradsky. Pour simplifier les notations, notons I l'intégrale : I T U d= → → ∫∫ . * Ω Ω soit W f U dv I V * . . *.= + → → ∫∫∫ρ ( ) ( ) ( )I x u v w y u v w z u v w dvxx xy xz xy yy zz xz yz zz V = + + + + + + + + ∫∫∫ ∂ ∂ σ σ σ ∂ ∂ σ σ σ ∂ ∂ σ σ σ* * * * * * * * *
- 79. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 79 - d'où I x y z u x y z v x y z wxx xy xz xy yy yz xz yz zz V = + + + + + + + + ∫∫∫ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ * * * + + + + + + + + + σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ ∂ ∂ σ ∂ ∂ ∂ ∂ σ ∂ ∂ ∂ ∂xx yy zz xy xz yz u x v y w z u y v x u z w x v z w y dv * * * * * * * * * Or les équations de l'équilibre local f div → → → + = Σ 0 sont équivalentes à : ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ρ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ρ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ρ xx xy xz x xy yy yz y xz yz zz z x y z f x y z f x y z f + + + = + + + = + + + = . . . 0 0 0 En posant : ε ∂ ∂ ∂ ∂ij i j j i u x u x * * * = + 1 2 tenseur des déformations virtuelles associées au champ U → *, on obtient après simplification : ( ) ( )ρ σ εf u f v f w dv T u T v T w d dvx y z V x y z ij ij V . * . * . * . * . * . * *+ + + + + =∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫Ω Ω soit ρ σ ε. . * . * *f U dv T U d dv V ij ij V → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ =Ω Ω •••• Théorème des travaux virtuels Pour un solide déformable en équilibre, le travail de déformation est égal à la somme des travaux virtuels des forces de volume et de surface dans tout champ de déplacements cinématiquement admissible. Ecrivons ce théorème avec le champ de déplacement réel U → : ρ σ ε. . .f U dv T U d dv V ij ij V → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ =Ω Ω (VII.2) On remarque que le membre de droite de cette égalité représente le double de l'énergie de déformation élastique ; d'où le théorème suivant. •••• Théorème (dit du travail) Si dans un système élastique (S) en équilibre sous l'action d'un système (F) de forces extérieures (de volume f → et de surface T → ) les déplacements à partir de la configuration de référence définissent le champ U → , alors le “ travail ” des forces de (F) dans le champ U → est égal au double de l'énergie de déformation élastique.
- 80. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 80 - Nota : le travail dont il est question dans l'énoncé est le premier membre de l'équation (VII.2), le second membre n'est autre que le double de l'énergie élastique. •••• Théorème de l'énergie potentielle Parmi tous les champs cinématiquement admissibles, le champ des déplacements réels est celui qui minimise l'énergie potentielle totale. Démonstration D'après la définition des conditions aux limites statiques nous pouvons écrire : T U d T U d T U d D C → → → → → → ∫∫ ∫∫ ∫∫= +. . .Ω Ω Ω Ω Ω Ω Sur ΩD on a U U → → = * champ virtuel cinématiquement admissible. En appliquant le théorème des travaux virtuels et en faisant la différence des équations obtenues avec les champs U → (réel) et U → * (virtuel) on obtient : ( )ρ ρ σ ε ε. . . . * . . * *f U dv f U dv T U d T U d dv V V ij ij ij VC C → → → → → → → → ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫− + − − − =Ω Ω Ω Ω 0 (VII.3) Or, d'après le théorème de Maxwell-Betti : σ ε σ εij ij ij ij* *= En effet, σ λ δ µεij ij ije= + 2 et σ λ δ µεij ij ije* * *= + 2 donc, ( )σ ε λ δ µε ε λ δ ε µε ε λ µε ε λε δ µε ε σ εij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ije e ee e ** * * * * * * *= + = + = + = + =2 2 2 2 On a donc : ( ) ( )( )2σ ε ε σ ε σ ε σ σ ε εij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij− = − + − −* * * * * Au tenseur des contraintes virtuelles ( )σ σij ij− * correspond le tenseur des déformations virtuelles ( )ε εij ij− * et une densité volumique d'énergie de déformation élastique : ( )( )dW dV ij ij ij ij * * *= − − 1 2 σ σ ε ε En exprimant dW dV * en fonction des déformations on trouve une forme quadratique définie positive d'où : ( )1 2 0σ ε σ ε σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij ij− − + ≥* * * * ⇔ ( )1 2 1 2 σ ε σ ε σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij ij− − ≥ −* * * * En ajoutant membre à membre 1 2 σ εij ij et en tenant compte de l'égalité σ ε σ εij ij ij ij* *= on obtient : ( ) ( )σ ε ε σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij− ≥ −* * * 1 2 (VII.4)
- 81. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 81 - Posons ϖ σ ε* * *= ∫∫∫ 1 2 ij ij V dv alors compte-tenu de (VIII.4), l'équation (VIII.3) s'écrit : ϖ ρ ϖ ρ− − ≤ − − → → → → → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫. . . * . . * . *f U dv T U d f U dv T U d V VC C Ω Ω Ω Ω Appelons W U → * l'énergie potentielle totale d'un champ cinématiquement admissible U → *, W U f U dv T U d V C → → → → → = − −∫∫∫ ∫∫* * . . * . *ϖ ρ Ω Ω avec : - potentiel élastique : ϖ * - potentiel des forces actives : ρ. . * . *f U dv T U d V C → → → → ∫∫∫ ∫∫+ Ω Ω nous obtenons alors : W U W U → → ≤ * ce qui démontre le théorème. •••• Théorème des Puissances virtuelles Pour un milieu matériel isolé nous distinguerons les actions extérieures agissant sur ce milieu des actions intérieures qui sont en fait les liaisons entre toutes les parties du milieu. Axiome d’objectivité (Paul Germain 1972) Pour tout mouvement rigidifiant, la puissance des efforts intérieurs est nulle. Axiome d’équilibre (statique ou dynamique) (Paul Germain 1972) Dans un référentiel absolu, à chaque instant et pour tout mouvement virtuel d’un milieu matériel, la puissance virtuelle des quantités d’accélération Pa * est égale à la somme des puissances virtuelles des efforts intérieurs Pi * et des efforts extérieurs Pe *. P P Pi e a* * *+ = - Puissance virtuelle des efforts intérieurs : Pi * P dvi ij ij V * *= −∫∫∫σ ε - Puissance virtuelle des efforts extérieurs : Pe * P f U dv T U de V * . . * . *= + → → → → ∫∫∫ ∫∫ρ Ω Ω - Puissance virtuelle des quantités d’accélaration : Pa * En notant γ → le vecteur accélération en tout point M, Pa * s’écrit : P U dva V * . . *= → → ∫∫∫ρ γ
- 82. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 82 - D’où le Théorème des Puissances virtuelles ρ σ ε ρ γ. . * . * * . . *f U dv T U d dv U dv V ij ij V V → → → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫+ − =Ω Ω que l’on peut aussi écrire ρ ρ γ σ ε. . * . . * . * *f U dv U dv T U d dv VV ij ij V → → → → → → − + =∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫Ω Ω Cette expression est analogue à celle du théorème des puissances virtuelles avec le terme − → → ∫∫∫ρ γ. . *U dv V en plus dans le membre de gauche. 2.3. Etude des champs de contraintes statiquement admissibles Soit un état de contraintes statiquement admissible pour lequel on notera : - les forces de volume réelles : ρ. f dv → - les forces de contact réelles : T d → Ω sur ΩC - les forces de contact virtuelles : T d → * Ω sur ΩD Associons à ce système de charges le tenseur des contraintes virtuelles σij * statiquement admissible. Le travail virtuel des forces extérieures (définies ci-dessus) dans le champ réel U → est : ρ σ ε. . . *. *f U dv T U d T U d dv V ij ij VC D → → → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ + =Ω Ω Ω Ω or, ρ σ ε. . .f U dv T U d dv V ij ij V → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ =Ω Ω d'où par différence : ( )T U d T U d dv D D ij ij ij V → → → → ∫∫ ∫∫ ∫∫∫− = −. *. *Ω Ω Ω Ω σ σ ε (VII.5) Comme précédent, le théorème de Maxwell-Betti permet d'écrire : σ ε σ εij ij ij ij* *= De plus, au tenseur des contraintes virtuelles ( )σ σij ij− * correspond le tenseur des déformations virtuelles ( )ε εij ij− * et une densité volumique d'énergie de déformation élastique : ( )( )dW dV ij ij ij ij * * *= − − 1 2 σ σ ε ε En procédant comme précédemment on montre que : ( ) ( )ε σ σ σ ε σ εij ij ij ij ij ij ij− ≥ −* * * 1 2 (VIII.6) Posons ϖ σ ε* * *= ∫∫∫ 1 2 ij ij V dv alors compte-tenu de (VIII.6) l'équation (VIII.5) s'écrit :
- 83. Méthodes énergétiques ChapitreVII - 83 - ϖ ϖ− ≤ − → → → → ∫∫ ∫∫T U d T U d D D . * *.Ω Ω Ω Ω Appelons W TC → * l'énergie potentielle complémentaire d'un champ statiquement admissible T → * W T T U dC D → → → = −∫∫* * *.ϖ Ω Ω nous obtenons alors : W T W TC C → → ≤ * •••• Théorème de l'énergie potentielle complémentaire : Parmi tous les champs statiquement admissibles, le champ des contraintes réelles est celui qui minimise l'énergie potentielle complémentaire. Nota : Si les liaisons sur la frontière ΩD du solide sont parfaites (U → → = 0 ou U T → → ⊥ * et U T → → ⊥ ) alors : ϖ ϖ≤ * On trouve le théorème de Ménabréa : L'énergie de déformation élastique est minimale pour l'état réel (contraintes et déformations). 3. Corrélation entre les états cinématiquement admissibles et ceux statiquement admissibles. Avec les forces et les déplacements réels le théorème des travaux virtuels s'écrit : ρ σ ε. . . .f U dv T U d T U d dv V ij ij VD C → → → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫+ + − =Ω Ω Ω Ω 0 d'où : ϖ ρ ω− − + − = → → → → → → ∫∫∫ ∫∫ ∫∫. . . .f U dv T U d T U d V C D Ω Ω Ω Ω 0 ⇔ ( ) ( )min minW WC+ = 0 Les valeurs minimales de l'énergie potentielle totale W et de l'énergie potentielle complémentaire sont opposées.
- 84. Critères de limited’élasticité Chapitre VIII - 84 - Chapitre VIII : Critères de limite d’élasticité Nous avons vu dans le chapitre IV (Loi de comportement : isotrope, élastique, linéaire) que le comportement d’un matériau chargé en traction (respectivement en compression) simple peut être élastique linéaire tant que la contrainte appliquée reste inférieure à une valeur seuil appelée limite d’élasticité en traction (respectivement en compression). Cette contrainte encore dénommée seuil de plasticité unidimensionnel définit la frontière entre le domaine d’élasticité et le domaine plastique dans le cas monodimensionnel. Dans le cas général d’un état de contraintes tridimensionnel la limite entre le domaine d’élasticité et le domaine plastique du matériau ne peut plus être définie par une seule contrainte, il faut utiliser un critère de limite d’élasticité, appelé aussi critère de plasticité. Remarque : Nous ne traiterons ici que des critères isotropes c’est-à-dire s’appliquant à des matériaux isotropes ayant un écrouissage également isotrope. A priori la frontière du domaine d’élasticité est définie par une équation faisant intervenir toutes les composantes du tenseur des contraintes et une variable scalaire fixant le seuil de plasticité σs . ( )f sΣ,σ = 0 (VIII.1) Le matériau étant supposé isotrope il est nécessaire que la frontière soit invariante par changement de repère. La fonction f ne dépend donc que des 3 invariants du tenseur des contraintes et de σs . 1. Critère de Von Mises Ce critère est très fréquemment utilisé pour modéliser le comportement des matrériaux métalliques usuels. Il repose sur la constatation expérimentale que les déformations plastiques des métaux résultent de glissements et de cisaillements des plans cristallographiques gouvernés par les contraintes tangentielles exercées sur ces plans. Von Mises fait l’hypothèse que le seuil de plasticité est directement lié à la densité volumique d’énergie potentielle élastique de cisaillement (de distorsion) emmagasinée dans le matériau et choisit une fonction linéaire pour la fonction f. Rappel : Nous avons montré au chapitre VII (§ 1.2.) qu’en un point la densité volumique d’énergie élastique de déformation s’écrit : dW dV dW dV dW dV E I E JVolume Forme = + = − + + ⋅ 1 2 6 1 1 2 2 υ υ (VIII.2)
- 85. Critères de limited’élasticité Chapitre VIII - 85 - où : ( )I trace1 = Σ = premier invariant du tenseur des contraintes ( )J trace S S2 1 2 = . = second invariant du tenseur déviateur des contraintes Pour un matériau donné dans un état de contrainte tridimensionnel, Von Mises suppose que le seuil de plasticité est atteint en un point M lorsque la densité volumique d’énergie élastique de changement de forme (distorsion) en ce point est égale à la densité volumique d’énergie élastique de changement de forme obtenue en traction simple à la limite d’élasticité Re . On a donc Re s= σ Pour un état de contrainte unidimensionnel de traction simple équivalent au seuil de plasticité on obtient : J s 2 2 3 = σ (VIII.3) La fonction de seuil f peut donc s’exprimer par : ( )[ ]J M s 2 2 3 0Σ − = σ (VIII.4) Définition : En un point M, pour un tenseur de contrainte quelconque ( )Σ M , on appelle contrainte équivalente de Von Mises la contrainte σeq unidimensionnelle (traction pure) qui engendre la même densité volumique d’énergie de distorsion que ( )Σ M . ( ) ( ) ( )( )σeq J M trace S M S M= =3 3 2 . . .2 (VIII.5) La fonction seuil f s’écrit alors : f eq s= − =σ σ 0 (VIII.6) - En fonction des termes du tenseur des contraintes ( )Σ M le critère de Von Mises s’écrit : ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 2 6 011 22 2 22 33 2 33 11 2 12 2 23 2 13 2 2 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ− + − + − + + + − =s (VIII.7) - Dans l’espace des contraintes principales ΣI , ΣII , ΣIII , le critère devient : ( ) ( ) ( )[ ]1 2 2 2 2 Σ Σ Σ Σ Σ ΣI II II III III I s− + − + − = σ (VIII.8) Représentation graphique du critère de Von Mises L’équation (VIII.8) est celle d’un cylindre à base circulaire dont l’axe est confondu avec la première trissectrice du repère des contraintes principales et de rayon R s= 2 3 σ .
- 86. Critères de limited’élasticité Chapitre VIII - 86 - On notera que le plan du déviateur des contraintes est le plan perpendiculaire à la première trissectrice du repère principal et contenant l’origine. L’intersction du cylindre (VIII.8) avec le plan du déviateur est donc un cercle de centre O et de rayon R s= 2 3 σ . Figure VIII.1. : Représentation graphique du critère de plasticité de Von Mises dans le repère principal des contraintes. 2. Critère de Tresca Tresca ne fait plus d’hypothèse sur la densité volumique d’énergie mais sur la contrainte tangentielle maximale. Cette dernière vaut : { }1 2 Sup i j i j ≠ −Σ Σ (VIII.9) Le critère de Tresca s’obtient alors en égalant la valeur de cette contrainte tangentielle maximale avec sa valeur pour un état de traction simple équivalent au seuil de plasticité : { }1 2 2 Sup i j i j s ≠ − =Σ Σ σ (VIII.10) La fonction f s’écrit donc : { }f Sup i j i j s= − − = ≠ Σ Σ σ 0 (VIII.11) Représentation graphique du critère de Tresca L’équation (VIII.11) est celle d’un prisme droit à base hexagonale dont l’axe est confondu avec la première trissectrice du repère des contraintes principales (Figure VIII.2). Ce prisme est inscrit dans le cylindre de Von Mises (Figure VIII.3). ΣΙΙΙ ΣΙ ΣΙΙ Ο ΣΙΙΙ ΣΙ ΣΙΙ Ο 2 3 σs 2 3 σs 2 3 σs
- 87. Critères de limited’élasticité Chapitre VIII - 87 - Figure VIII.2 : Illustration du critère de Tresca dans le repère principale des contraintes. Figure VIII.3 : Comparaison des critères de Von Mises et Tresca. ΣΙΙΙ ΣΙ ΣΙΙ Ο 2 3 σs 2 3 σs 2 3 σs ΣΙΙΙ ΣΙ ΣΙΙ Ο ΣΙΙΙ ΣΙ ΣΙΙ Ο 2 3 σs 2 3 σs 2 3 σs Tresca Von Mises
- 88. Références - 88 - Référencesbibliographiques BARRAULT J., 1995, "Mécanique des milieux continus", cours de l'ENSAM CER de Bordeaux, 50 p. DARTUS D., 1995, "Elasticité linéaire", Cépaduès-Editions, Coll. Polytech, 162 p. DUC J et BELLET D., 1976, "Mécanique des solides réels. Elasticité", Cépaduès-Editions, Coll. Sup'Aéro, 211 p. DUVAUT G. 1990, "Mécanique des milieux continus", Ed. Masson, Paris, 292 p. GERMAIN P. et MULLER P., 1995, "Introduction à la mécanique des milieux continus", Ed. Masson, Paris, 467 p. LAROZE S. et BARRAU J.-J., 1991, "Mécanique des structures", Tome 1, Ed. Masson, Paris, 292 p. MANDEL J. 1966, "Mécanique des Milieux continus", Ed. Gauthiers Villars, Paris, Tomes 1 et 2. BACON C. et POUYET J, 2000, Mécanique des solides déformables, Ed. Hermès, Paris, 310 p.
- 89. Formulaire - 89 - Formulaire -Coodonnéescartésiennes (x,y,z) dans la base ( ) r r r i j k, , orthonormée directe- A°) Soit la fonction scalaire :f(x,y,z) Gradient d'une fonction scalaire : ( ) ( ) grad , , → = f f x f y f z i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r r r Laplacien d'une fonction scalaire : ∆f f x f y f z = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 + + B°) Soit le vecteur déplacement : ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r U u v w u x y z v x y z w x y z i j k ( , , ) , , , , , , , , = Divergence d'un vecteur : div( ) r U u x v y w z = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + Gradient d'un vecteur : ( ) ( ) grad , , r r r r U u x u y u z v x v y v z w x w y w z i j k = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Rotationnel d'un vecteur : ( ) rot( ) , , ← = − − − r r r r U w y v z u z w x v x u y i j k ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ C°) Soit le tenseur symétrique du deuxième ordre : ( ) S S S S S S S S S S xx xy xz xy yy yz xz zy zz i j k = r r r , , Divergence d'un tenseur symétrique du deuxième ordre : ( ) div( ) , , S S x S y S z S x S y S z S x S y S z xx xy xz xy yy yz xz yz zz i j k = + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r r r
- 90. Formulaire - 90 - D°)Quelques équations utiles Tenseur des déformations : ( ) ( )( )ε = + 1 2 grad grad r r U UT ⇔ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ij i j j i u x u x = + 1 2 Equations d'équilibre local : r r f + = → div( )Σ 0 ⇔ f x y z f x y z f x y z x xx xy xz y xy yy yz z xz yz zz + + + = + + + = + + + = ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂ 0 0 0 Equation de compatibilité des déformations : ( )rot.rot ε ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε = ⇔ = − + + = − + + = − + + = + = + = + 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xx yz xz xy yy xz xy yz zz xy yz xz yz zz yy xz xx zz xy yy x y x x y z x z y y z x x y z z x y y z y z x z z x x y x xx y∂ 2
- 91. Formulaire - 91 - -Coodonnéescylindriques (r,θ,z) dans la base e e er z → → → , ,θ orthonormée directe- A°) Soit la fonction scalaire : f(r,θ,z) Gradient d'une fonction scalaire : ( ) → = → → → grad , , f f r r f f z e e er z ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ θ 1 Laplacien d'une fonction scalaire : ∆f f r f f r f z = ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 + 1 r + 1 r +2 B°) Soit le vecteur déplacement : ( ) ( ) ( ) r U u v w u r z v r z w r z e e er z ( , , ) , , , , , , , , = → → → θ θ θ θ Divergence d'un vecteur : div( ) r U u r u v w z = + + ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ + 1 r Gradient d'un vecteur : ( )grad , , r U u r r u v u z v r r v u v z w r r w w z e e er z = − + → → → ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ θ 1 1 1 Rotationnel d'un vecteur : rot( ) , , ← = − − − + → → → r U r w v z u z w r v r r u v r e e er z 1 1 ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ θ C°) Soit le tenseur symétrique du deuxième ordre : S S S S S S S S S S rr r rz r z rz z zz e e er z = → → → θ θ θθ θ θ θ, , Divergence d'un tenseur du deuxième ordre : div( ) , , S S r r S S S S z S r r S S S z S r r S S S z rr r rr rz r r z rz z rz zz e e er z = + + − + + + + + + + → → → ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂ θ θθ θ θθ θ θ θ θ 1 1 2 1
- 92. Formulaire - 92 - D°)Quelques équations utiles Tenseur des déformations : ( ) ( )( )ε = + 1 2 grad grad r r U UT ε ε ∂ ∂ ε ∂ ∂θ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ε ε ∂ ∂θ ε ∂ ∂ ∂ ∂θ ε ε ε ∂ ∂ θ θ θθ θ θ θ = = = + − = + = + = + = → → → rr r rz r z rz z zz e e e u r r u v r v r u z w r u r r v v z r w w z r z 1 2 1 1 2 1 1 2 1 , , Equation d'équilibre local : r r f + = → div( )Σ 0 ⇒ f r r z f r r z f r r z r rr r rr rz r r z z rz z rz zz + + + − + = + + + + = + + + + = ∂σ ∂ ∂σ ∂θ σ σ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂θ σ ∂σ ∂ ∂σ ∂ ∂σ ∂θ σ ∂σ ∂ θ θθ θ θ θθ θ θ θ 1 0 1 2 0 1 0 Equation de compatibilité des déformations : ( )rot.rot ε ∂ ε ∂θ ∂ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂θ∂ ∂ε ∂ ∂ ε ∂θ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂θ ∂ ∂ ∂ε ∂θ ∂ ε ∂θ∂ ∂ ε ∂θ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε θθ θ θ θ θ θ θθ = ⇔ + + − − = + − − = + − − + = + 0 1 1 2 2 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r z r z r z r z r r r z z r r r r r r z r r r r z r z r zz zz z rz rz z r zz z r rz rr zz rr ( ) ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂θ ∂ ε ∂θ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ ∂ ε ∂θ ∂ε ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂θ θ θ θθ θ θ z r z r r r r r r r z r r r z r r r r r r r r r r rz z r rz rr r rr r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 − = − + + − = + − − =
- 93. Formulaire - 93 - -Coodonnées sphériques (r,θ,ϕ) dans la base →→→ ϕθ eeer ,, orthonormée directe - A°) Soit la fonction scalaire : f(r,θ,ϕ) Gradient d'une fonction scalaire : ( ) → →→→ = ϕθ ∂ϕ ∂ θ ∂θ ∂ ∂ ∂ eeer f r f r r f f ,, sin 1 1 grad Laplacien d'une fonction scalaire : ∂θ ∂ θ θ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ f r fff r f fgraddivf sinr cos r 2 + sinr 1 + r 1 +)( 22 2 222 2 22 2 += =∆ → B°) Soit le vecteur : ( ) ( ) ( ) →→→ = ϕθ ϕθ ϕθ ϕθ eeer rw rv ru wvuU ,, ,, ,, ,, ),,( r Divergence d'un vecteur : r v r uwv r u U θ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ cotan2 sinr 1 r 1 +)div( +++= r Gradient d'un vecteur : ( ) →→→ ++ − + − = ϕθ θ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ θ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ eeer r v r uw r w rr w r wv r u v rr v u r w v u rr u U ,, 2 cotan sin 11 cotan sin 11 sin 1 grad r Rotationnel d'un vecteur : ← →→→ +− −− +− = ϕθ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ θ θ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ eeer r vu rr v r w r wu r r wv r w r U ,, 1 sin 1 cotan sin 11 )(rot r
- 94. Formulaire - 94 - C°)Soit le tenseur symétrique du deuxième ordre : →→→ = ϕθ ϕϕθϕϕ θϕθθθ ϕθ eeer r rrrr r SSS SSS SSS S ,, Divergence d'un tenseur du deuxième ordre : ( ) →→→ ++++ −++++ + −−+++ = ϕθ ϕθϕ ϕϕϕθϕ ϕϕθθθ θϕθθθ θϕϕθθ ϕθ θ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ θ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ θ ∂ϕ ∂ θ∂θ ∂ ∂ ∂ eee r r r r rrr rrrr r S r S r S r S rr S SS r S r S r S rr S S r SSS r S r S rr S S ,, cotan 2 3 sin 11 cotan3 sin 11 cotan2 sin 11 )div(
- 95. Module d’Young etcoefficient de Poisson - 95 - Module d'Young E et coefficient de Poisson νννν pour quelques matériaux usuels à température ambiante (20 °C) Matériau E (GPa) νννν acier de construction 210 0,285 acier à ressort 220 0,29 acier inox 18-10 & 18-12 203 0,29 invar 144 0,35 fonte grise 90 à 120 0,29 fonte malléable 170 à 190 0,17 Alliage pour disques de turbines TA6V 105 0,25 Alliages pour aubes de turbines IN 100 217 0,25 MARM 509 200 0,25 Alliages aéronautiques 2618 (AU2GN) 75 0,33 2024 (AU4GN) 72,5 0,33 7010 70 0,33 Zinc 78 0,21 Cuivre 100 0,33 Béryllium 300 0,5 Bronze 130 0,34 Titane 105 0,34 Granite 60 0,27 Marbre 26 0,3 Béton en compression 10 à 13 0,15 Verre 60 0,25 Plexiglass 2,9 0,4 Caoutchouc 0,2 0,5 Bois de pin (dir. cristallo 001) 7 0,2 D'après G. Duvaut, 1990, Mécanique des milieux continus, Ed Masson, Paris
- 96. Synoptiques des méthodesde résolution - 96 - Synoptique de la « Méthode des DEPLACEMENTS » ou de Lamé – Clapeyron Equations de l’équilibre local 0 rr =+Σ fdiv t Σ=Σ Loi de comportement élastique linéaire (matériau isotrope) εµλ 21+=Σ e ( ))()( 2 1 UgradUgrad t rr +=ε Equation générale de la méthode des déplacements ( ) → → →→→ −=∆⋅+ + fUUdivgrad µµλ Conditions de symétrie Conditions aux limites en déplacements du problème Proposer un champ ( )xU rr ?? Le champ ( )xU rr est élastostatiquement acceptable ? Construire les champs de tenseurs de contraintes et de déformations εµλ 21+=Σ e ( ))()( 2 1 UgradUgrad t rr +=ε Conditions aux limites en contraintes du problème nC rr ⋅Σ= Si toutes les conditions aux limites sont vérifiées, alors La solution est LA solution du problème. ?
- 97. Synoptiques des méthodesde résolution - 97 - Equations de l’équilibre local 0 rr =+Σ fdiv t Σ=Σ Loi de comportement élastique linéaire (matériau isotrope) 1)( )1( Σ−Σ + = trace EE νν ε ( ))()( 2 1 UgradUgrad t rr +=ε Equation générale de la méthode des forces ∆Σ + + = − − − − → → → →1 1 1 1 υ υ υ grad grad s grad f grad f div fT . div fΣ → → = − Conditions de symétrie Conditions aux limites en contraintes du problème Proposer un champ ( )xΣ ?? Le champ ( )xΣ est élastostatiquement acceptable ? - Construire le champs de tenseurs de déformations ε - Déterminer le champ de déplacement )(xU r par intégration du champ ε Conditions aux limites en déplacements du problème U r sur les surfaces limites Si toutes les conditions aux limites sont vérifiées, alors La solution est LA solution du problème. ? Synoptique de la « Méthode des FORCES » ou de Beltrami