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![Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols
20
1 E -3 0 ,0 1 0 ,1 1 1 0 1 0 0
0
2 0
4 0
6 0
8 0
1 0 0
Pourcentagedepassantenmasse
D ia m è tre d e s g ra in s [m m ]
Fig. 2.6: Exemple de courbes granulométriques
Coefficient d’uniformité Cu.
Il est défini par : Cu Granulométrie
1 A une seule grosseur
1 – 2 Très uniforme
2 – 5 Uniforme
5 – 20 Peu uniforme
> 20 Très étalée
10
60
u
D
DC = (2.1)
Il sert à la description de la granulométrie (Tab.
2.2). Dx est par définition le diamètre du tamis
dont le tamisat cumulé est égal à x %.
Tab. 2.2: Echelle de granulométrie selon Cu
Coefficient de courbure Cc
Il est défini par :
6010
2
30
c
D.D
D
C = (2.2)
On considère que lorsque Cu est supérieur à 4 pour les graviers, et supérieur à 6 pour les
sables, alors 1 < Cc < 3 donne une granulométrie bien étalée.
Exemple 2.1
A l’aide des courbes granulométriques ci-dessous (Fig. 2.6), déterminer les valeurs
respectives du coefficient d’uniformité et du coefficient de courbure.
air ma ≈ 0
eau mw
grains vs
air va
eau vw2.5 Caractéristiques physiques communes aux
différents sols
grains ms
2.5.1 Masses et poids volumiques
Un sol en place est un complexe constitué en général
de trois phases : solide, liquide et gaz (Fig. 2.7). Fig. 2.7 : volume élémentaire
d’un sol](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-26-2048.jpg)
![Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols
28
2.6.5 Activité
Les valeurs des limites de liquidité et de plasticité dépendent en tout premier lieu de
l’importance relative des grains les plus fins au sein du mortier (l’ensemble des grains de
dimension inférieure à 0,4 mm). Par définition, l’activité est le rapport de l’indice de plasticité
exprimé en % à la teneur en argile exprimée en % :
ileuseargfraction
IA P
= (2.25)
La teneur en argile dite aussi fraction argileuse est le rapport du poids des grains secs de
dimension inférieure à deux micromètre au poids total du mortier :
t
arg
M
)m2(M
T
µ<Φ
= (2.26)
L’activité est caractéristique du minéral constituant
les particules fines. Lorsque la teneur en argile est
assez forte, les grains de dimensions supérieures à
deux micromètres sont noyés dans l’argile et ne se
touchent pratiquement pas. Les limites d’Atterberg
du sol considéré sont donc celles des particules
d’argiles, on peut admettre donc que les grains de
dimensions supérieures à deux micromètre ne retiennent pratiquement plus d’eau. L’échelle
d’activité généralement utilisée est la suivante (Tab. 2.5).
Activité Nature de l’argile
< 0,75 Inactive
[0,75 – 1,25] Normale
> 1,25 active
Tab. 2.5: Echelle d'activité
2.6.6 Sensitivité
Une argile naturelle qui est manipulée à teneur en eau constante s’amollit en général
au cours de l’opération. On appelle sensitivité de l’argile le rapport de ses résistances à la
compression simple avant et après remaniement.
)remaniée(τ
)acte(intτ
tremaniemenaprèssimplencompressiolaàcetanrésis
tremaniemenavantsimplencompressiolaàcetanrésis
S
r
r
t == (2.27)
Une échelle de sensitivité est proposée dans (Tab. 2.6), mais en général, les argiles dont la
teneur en eau naturelle est voisine de la limite de
liquidité sont assez sensibles. La perte de
résistance peut avoir deux causes : la destruction
de la structure acquise par l’argile au cours de la
sédimentation ou la perturbation des couches
adsorbées. La première cause est irrécupérable, par
contre la seconde peut être restituée dès que la
manipulation cesse car l’argile retrouve en partie sa cohésion initiale.
Sensitivité Nature de l’argile
[2 – 4] Normale
]4 - 8] Sensible
> 8 Très sensible
Tab. 2.6: Echelle de sensitivité
2.7 Classification des sols
La classification des sols est un moyen de créer des catégories de sol permettant de
prédire leurs comportements. En général, le simple examen visuel permet de donner un nom
au matériau : marne bleu, argile jaune, sable fin,…Il faut toutefois compléter cette indication
par :
. Une analyse granulométrique.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-34-2048.jpg)
![Eléments de Mécanique des Sols
29
. Détermination des limites d’Atterberg.
. Teneur en eau, masse volumique.
. Indice de densité pour les sols pulvérulents.
. Résistance à la compression simple pour les sols cohérents.
Ces renseignements permettent à l’ingénieur d’identifier les sols et par conséquent de
se faire une idée sur leurs comportements. Il existe plusieurs systèmes de classification des
sols. Leur inconvénient est qu’ils ne sont pas applicables dans touts les cas des applications.
Parmi les causes de leur limite d’usage c’est qu’ils ne considèrent comme critères de
classification que quelques paramètres si ce n’est pas un seulement tel que classification
selon:
. l’analyse granulométrique.
. l’analyse granulométrique et les limites d’Atterberg.
Nous allons examiner comme exemple de système de classification, le système USCS.
2.7.1 Système de classification unifié des sols (USCS)
Il a été conçu en 1952 par le professeur Casagrande, le bureau de réclamation (U.S) et le corps
des ingénieurs (armée U.S). Il est applicable : aux projets de fondation, aux barrages ainsi
qu’aux pistes d’atterrissage et autres types d’ouvrages. Le principe de base de l’USCS
consiste à (Tab. 2.7-9, Fig. 2.12):
. classer les sols à gros grains (sables et graviers) d’après leurs granulométries.
. classer les sols à grains fins (silts et argiles) d’après leurs comportements plastiques.
Exemple 2.4
A partir des résultats de l’analyse
granulométrique et d’essais de limites de consistance
suivant, classer le sol étudié selon le système USCS.
n° de tamis Passant [%]
4 99
10 92
40 86
100 78
200 60
WL = 20 %, WP = 15 %, IP = 5
Exemple 2.4](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-35-2048.jpg)
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Composante de sol Symbole
Grosseur
[mm]
Blocs aucun > 300
Cailloux aucun [300 – 75]
Grossier [75 – 19]
Gravier
Fin
G
[19 – 4,75]
Grossier [4,75 – 2,0]
Moyen [2,0 – 0,425]
Sols à grains
grossiers
Sables
Fin
S
[0,425 – 0,075]
Silts M < 0,075
Sols à grains
fins
Argiles C < 0,075
Sols organiques O sans
Tourbes Pt sans
Tab. 2.7: Classification USCS des sols d'après la grosseur des grains](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-36-2048.jpg)
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32
Cu > 4 et Cc dans [1 – 3]
Sol ne répondant pas à tous les critères de
GW
Au dessous de la
ligne A ou Ip < 4
Au dessus de la
ligne A et Ip > 7
Sol au dessus de la
ligne A et 4 < Ip < 7
utiliser le double
symbole
Cu > 6 et Cc dans [1 – 3]
Sol ne répondant pas à tous les critères de
SW
Au dessous de la
ligne A ou Ip < 4
Utiliser la
courbe
granulométrique
pour vérifier les
fractions
estimées lors de
l'identification
sur le terrain
Déterminer les
pourcentages de sable et
de gravier à partir de la
courbe granulométrique.
Suivant le pourcentage de
particules fines (les
passants du tamis 200) on
classe les sols grossiers de
la façon suivante
- 5 % de fines: GW, GP, SW, SP
+ 12 % de fines: GM, GC, SM, SC
fines entre [5 – 12]%: Cas limite,
double symbole
Au dessus de la
ligne A et Ip > 7
Sol dans la zone CL-
ML, 4 < Ip < 7,
utiliser le double
symbole
Tab. 2.9: Critères de classification au laboratoire (système USCS)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-38-2048.jpg)
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34
Exercices du chapitre 2
Analyse granulométrique
Exercice 1
module passoire [mm] refus [g]
1 100 78
2 80 43
3 63 89,6
4 50 115,3
5 40 423,5
6 31,5 72
7 25 438,9
8 20 702,1
9 16 1,7
10 12,5 3,1
11 10 5,8
12 8 8,0
13 5 10,4
14 4 2,0
15 3,15 0,3
16 2,5 2,5
17 2 1,1
18 1,6 2,7
19 1,25 0,0
On pratique une analyse
granulométrique sur un échantillon de sol
sec. A la fin de l'opération de tamisage, on
effectue les opérations de pesées des refus
dans chaque passoire. Les résultats sont
résumés sur le tableau 1 ci-contre.
1. Compléter le tableau.
2. Tracer la courbe granulométrique du
sol en question.
3. Calculer le coefficient d'uniformité et
le coefficient de courbure.
4. Classer le sol sous étude.
Exercice 2
Refaire le même exercice
précédent pour une analyse
granulométrique dont les résultats sont
résumés sur le tableau 2 ci-contre.
module passoire [mm] refus [g]
1 12,5 0
2 10 14
3 8 9,2
4 5 29,3
5 4 35,2
6 3,15 47,2
7 2,5 63,3
8 2,0 126,8
9 1,6 155,6
10 1,25 167,2
11 1,0 236,0
12 0,8 273,2
13 0,63 240,4
14 0,5 219,2
15 0,4 180,8
16 0,315 120,0
17 0,25 55,2
18 0,2 16,4
19 0,16 5,2
20 0,125 1,2
21 0,1 0,8
22 0,08 0,6
23 fond 3,2](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-40-2048.jpg)
![Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols
36
Classification des sols
Exercice 8 : Classer les sols suivants selon le système USCS:
passant [%]
Diamètre du Tamis
[mm]
sol 1 sol 2 sol 3 sol 4
4,75 97 100 100 24
2,0 90 100 97 18
0,425 40 100 90 10
0,15 8 99 81 5
0,075 5 97 70 3
D60 [mm] 0,71 28
D30 [mm] 0,34 9
D10 0,18 5
WL [%] 124 49
WP [%]
n.p.
47 24
n.p.
Exercice 9 : Selon le système USCS, classer le sol caractérisé par: 100 % des particules passe
le tamis n° 4 et 25 % sont recueillis sur le tamis n° 200. Les particules fines ont une plasticité
moyenne à faible, une dilatance nulle à très lente et une résistance du matériau sec moyenne à
élevée.
Exercice 10 : Classer le sol dont 65 % des particules sont retenues par le tamis n° 4 et 32 %
sont retenues par le tamis n° 200. On donne Cu=3 et Cc=1.
Exercice 11 : Classer le sol dont la totalité des particules passe par le tamis n° 4 et 90 %
passent le tamis n° 200. Les particules fines ont le comportement suivant: résistance du
matériau sec: faible à moyenne. dilatance : modérée à rapide. WL = 23 % et WP = 17 %
Exercice 12 : Classer le sol dont 5 % des particules sont retenues par le tamis n° 4 et 70 %
passent le tamis n° 4 mais sont retenues par le tamis n° 200. Les particules fines ont une faible
plasticité et une dilatation élevée.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-42-2048.jpg)
![39
Eléments de Mécanique des Sols
Réduction ou élimination des risques de tassement.
Augmentation de la résistance du sol et la stabilité du talus.
Amélioration de la capacité portante.
Limitation des variations de volume causées par gel, gonflement et retrait.
3.3 Théorie du compactage (théorie de Proctor)
Proctor a montré que le
compactage est fonction de quatre
paramètres : la masse volumique du sol
sec, la teneur en eau, énergie de
compactage et type de sol
(granulométrie, minéralogie,…).
γd / γw
Fig. 3.1 : courbe de compactage
dd max
wop
W [%]
Versant humideVersant sec
Lorsque la teneur en eau est
élevée, l’eau absorbe une importante
partie de l’énergie de compactage sans
aucun profit, par contre lorsque la teneur
en eau est faible, l’eau a un rôle
lubrifiant important, et la densité sèche
augmente avec la teneur en eau (Fig.
3.1).
Les courbes de compactage
varient avec la nature du sol (Fig.
3.2). Elles sont très aplaties pour les
sables qui leur compactage est donc
peu influencé par la teneur en eau.
Les matériaux de ce genre constituent
les meilleurs remblais.
Lorsque l’énergie de
compactage augmente, le poids
volumique optimal s’accroît et la
teneur en eau optimale diminue (Fig.
3.3).
sable
Argile sableuse
Sable argileux
Argile plastique
W [%]
γd / γw
Fig. 3.2 : influence du type de sol
3.4 Essais en laboratoire
d1
d2
d3
Sr = 1
W [%]
e1 < e2 < e3
e2
e3
e1
γd / γwOn utilise dans ces essais deux moules
différents :
Moule Proctor :
pour les matériaux suffisamment fins
pour lesquels ( Φ ≤ 5 mm).
Moule CBR :
pour les matériaux à éléments plus gros
pour lesquels ( 5 ≤ Φ ≤ 20 mm).
Fig. 3.3 : influence de l’énergie
de compactage
Avec chaque moule on peut effectuer
deux essais différents :](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-46-2048.jpg)
![41
Eléments de Mécanique des Sols
pour les sols pulvérulents le compactage se fait par création d’une onde de choc de
compression.
Explosifs linéaires :
pour les sols cohérents le compactage se fait par mise en place de pieux sableux.
3.6.2 Compactage par vibroflottation
Le procédé consiste à la génération de contraintes et déformations alternées
d’ou réarrangement des grains.
Tubes en vibration :
se pratique pour les matériaux très perméables.
Colonnes ballastées :
les colonnes sont formées de matériaux pulvérulents compactés. Elles sont pratiquées
dans les sols cohérents.
3.6.3 Consolidation dynamique
Elle est valable pour tout type de sol. Il s’agit de transmettre des chocs de forte
énergie à la surface du sol à traiter (chute libre d’une masse de 10 à 30 tonnes
exceptionnellement 140 tonnes d’une hauteur de 15 à 30 m). La profondeur
d’influence est définie par Léonard et coll. (1980) grâce à l’expression :
hw
2
1D = [m] (3.1)
où w est la masse tombante exprimée en tonne métrique, h est la hauteur de chute en
mètre.
3.7 Spécification et contrôle du compactage sur le terrain
Les paramètres déterminant la qualité du compactage dépendent en général du
type de l’ouvrage à édifier. On peut trouver des conditions sur :
La masse volumique du matériau sec
Sa teneur en eau
Propriétés géotechniques (mécaniques, perméabilité, retrait et gonflement).
Il y a deux catégories de spécifications pour les travaux de terrassement :
spécifications du produit fini (cas de routes et bâtiments) et spécifications de la
méthode employée.
Spécification du produit fini
On impose la compacité relative définie par :
maxd
sited
.R.C
ρ
ρ
= (3.2)
où ρd site représente la masse volumique du matériau sec obtenue sur site, ρd max est la
masse volumique du matériau sec obtenue en laboratoire.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-48-2048.jpg)
![43
Eléments de Mécanique des Sols
Exercices du chapitre 3
Le compactage
Exercice 1
Deux échantillons 1 et 2 du même sol ont été compactés au même poids volumique
sec γd=19,6 kN/m3
mais à des teneurs en eau respectives w1=4% et w2=12%. Le poids
volumique des particules solides est γs=27 kN/m3
.
a. Porter sur un graphique (γd, w) la courbe de compactage du sol
b. Déterminer pour chaque échantillon, le degré de saturation et le poids volumique.
c. L'échantillon 1 est amené à saturation sans changement de son volume qui est de
243 cm3
. Déterminer le volume d'eau nécessaire.
Exercice 2
Dans le but de définir les conditions de compactage d'une argile sableuse pour un
chantier de remblai routier, des essais Proctor normal ont été réalisés et ont permis de
dresser le tableau ci-dessous.
a. Quelle serait la teneur en eau optimale de compactage à adopter.
b. Le matériau a un poids volumique γ=18,7 kN/m3
et un poids volumique sec γd = 17
kN/m3
. Déterminer le volume d'eau à ajouter par mètre cube de matériau pour être à
l'optimum Proctor normal.
w (%) 10,7 12,1 13,8 15,4 16,7 17,7
γd [kN/m3
] 16,2 17,7 18,8 18,8 18,1 17,0
Exercice 3
L'essai Proctor modifié a donné pour une grave argileuse les résultats suivants:
w (%) 3,00 4,45 5,85 6,95 8,05 9,46 9,9
γd /γw 1,94 2,01 2,06 2,09 2,08 2,06 2,05
a. Construire la courbe de compactage Proctor et déterminer les caractéristiques de
l'optimum. Calculer le degré de saturation correspondant à l'optimum Proctor. On
prendra γs/γw =2,65.
b. Calculer le pourcentage d'air a que contient un sol de porosité n et de degré de
saturation Sr. Dans le plan de Proctor, trouver l'équation des courbes lieu des points
représentatifs des états du sol ayant le même pourcentage d'air. En déduire l'équation
de la courbe de saturation. Caractériser cette courbe.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-50-2048.jpg)
![48
Chapitre 4 : L’eau dans les sols
Dans le cas de massif homogène et isotrope, la perméabilité est la même dans toute
les directions. On définit alors un seul paramètre dit coefficient de perméabilité
mesurable par différents essais.
4.4.1 Mesure du coefficient de
perméabilité au laboratoire
Il existe deux essais propres à la
mesure du coefficient de perméabilité :
perméamètre à charge constante et
perméamètre à charge variable. On peut
aussi mesurer ce coefficient par essai
oedométrique ou triaxial dans l’étude fera
l’objet de chapitres ultérieures.
QA
l
∆h
Fig. 4.6 : Perméamètre à charge
constante
4.4.1.1 Perméamètre à charge constante
La quantité d’eau recueillie (Fig. 4.6)
pendant l’intervalle de temps t est
Q = A v t
où
v = k i = k ∆h/l
h2
h1
l
aA
Q
dh
ce qui donne
tAh
lQ
k
∆
= (4.13)
où [Q] = m3
, [A] = m2
, [∆h] = m et [k] = ms-1
4.4.1.2 Perméamètre à charge variable
Le coefficient de perméabilité est donné par la
relation (Fig. 4.7):
)(ln
tA
la
k
h
h
2
1
∆
= (4.14)
où ln désigne le logarithme naturel à base e. ∆t est
la durée de mesure c.à.d
Fig. 4.7 : Perméamètre à charge
variable∆ t = t2 – t1
4.4.2 Mesure du coefficient de perméabilité sur site (formule de Dupuit)
la mesure se fait au cours d’un essai de pompage (Fig. 4.8). La formule se base sur la
loi de Darcy et le débit recueilli à travers la surface latérale du puit de pompage
Q = v t Al ==> v = Q / ( t Al)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-56-2048.jpg)
![49
Eléments de Mécanique des Sols
avec la définition du gradient
hydraulique et de la surface latérale
massif imperméable
Q
h2h1
h0
rr2r1r0
Fig. 4.8 : Essai de pompage
i = dh / dr et Al = 2 π r h
il vient
dr
dhk
At
Q
l
=
par intégration entre les rayons r1 et r2,
on obtient la formule de Dupuit
r
r
hh
1
2
2
1
2
2
log
k
t
Q −
π= (4.15)
Exemple 4.1
Un échantillon cylindrique de sol de 73 mm de diamètre et de 168 mm de hauteur est
soumis à un essai de perméabilité à charge constante égale à 750 mm. Après une
minute, on recueilli 945,7 g d’eau (de température égale à 20 °C et d’indice de vides
de 0,43). Calculer le coefficient de perméabilité k.
Exemple 4.2
Pendant l’essai de perméabilité à charge variable, on obtenait les mesures suivantes :
a = 625 mm2
, A = 1073 mm2
, l = 162,8 mm
h1 = 1602 mm, h2 = 801 mm, t = 90 s.
Calculer le coefficient de perméabilité.
4.4.3 Formules empiriques
Il existe des formules empiriques permettant le calcul du coefficient de perméabilité
en fonction de caractéristiques diverses.
4.4.3.1 Formule de Hazen
Elle est valable pour les sables propres (sable contenant moins de 5 % de particules
passant le tamis n° 200) dont le diamètre effectif D10 est compris entre 0,1 et 3,0 mm.
De plus, cette formule n’est utile que pour les valeurs de K ≥ 10-5
ms-1
:
k = C D10
2
(4.16)
où [k] = ms-1
, [D10] = mm, 0,004 ≤ C ≤ 0,012
4.4.3.2 Formule de Taylor
Elle sert au calcul de la valeur du coefficient de perméabilité pour des indices de vides
différents de ceux aux quels les essais ont été faits :
2
3
22
1
3
121
e1
eC
e1
eC
kk
1
+
÷
+
=÷ (4.17)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-57-2048.jpg)
![Chapitre 5
Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures
5.1 Introduction
P
x
y
z
σrr
σθθ
θ
r
Nous avons vu à la fin du chapitre précédent la méthode
de calcul des contraintes dans les massifs de sol due au poids
propre des terres. Les calculs distinguent le cas de couches
partiellement saturées du cas de couches saturées avec ou sans
mouvement de l’eau. Dans le présent chapitre nous allons
étudier les résultats des théories de calcul des contraintes dans le
sol dues aux charges extérieures telles que poids des ouvrages,
les charges d’exploitation et le poids des équipements sur
chantier. Fig. 5.1 : Charge
concentrée verticale
σz/ σ0
θ [°]
σ0 = σz(θ = 0)
1
0,49
0,18
30 45
5.2 Charge concentrée verticale, problème en 3D
(Problème de Boussinesq)
Les hypothèses de calcul sont
. un domaine à 3D semi-infini (Fig. 5.1).
. Milieu élastique, non pesant sans aucune force de volume,
isotrope et homogène.
Fig. 5.3 : Distribution de
σz en fonction de θ
. Plan supérieur horizontal.
. La charge extérieure est concentrée, verticale.
La contrainte verticale due à la charge extérieure concentrée est
donnée par la solution de Boussinesq :
ρπ π
=θ=σ 5
3
5
2
z zcos
z2 2
P3P3 (5.1)
On remarque que la contrainte σz est indépendante des propriétés du
massif de sol. Pour le calcul rapide de la contrainte, on peut utiliser
un abaque approprié (Fig. 5.2). La contrainte verticale dans le sol
vari avec la position dans le sol du point de calcul (Fig. 5.3). Les
courbes d’égale pression sont comme indiquer ci-contre (Fig. 5.4).
Fig. 5.4 : Courbes
iso-contraintes σz](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-69-2048.jpg)
![67
Eléments de Mécanique des Sols
Exemple 5.2
6m6m 5m5m
Soit le remblai routier de hauteur h = 3 m (Fig. 5.16).
La masse volumique moyenne du matériau est égale à
2,0.103
kg/m3
. Calculer la contrainte verticale sous le
centre à la profondeur z = 6 m.
Lorsque l’on désire calculer la contrainte en un point
loin de l’axe de symétrie (Fig. 5. 17) on peut procéder par superposition, ce qui
donne :
Fig. 5.16 : Exemple 5.2
[ ])(x)(b)()ba(
a
q
21122121z ε−ε+β−β+ε+ε−β+β+
π
=σ (5.9)
-
q1
2b
q0
2(b)a+
=
2(a+b)
q
Mx
ε2 ε1
β2
β1
abba
z
x
Fig. 5.17 : Cas de charge trapézoïdale isocèle répartie sur une largeur infinie
5.7 Charge triangulaire répartie sur une bande
q
L
B
QO
rectangulaire de longueur limitée
On calcul la contrainte au droit de l’un des coins (Fig.
5.18). On peut calculer par facteur d’influence :
Fig. 5.18: Cas de charge
triangulaire de longueur limitéeσz = q I(L/z, B/z) (5.10)
σz
z
y
C
B
x
a
b
x
q0
A
β
θ2
θ
θ1
Le facteur I est tiré d’après une abaque
(Fig. 5.19).
5.8 Charge triangulaire répartie sur
une bande rectangulaire de longueur
infinie
Le point de calcul peut être quelconque
(Fig. 5.20). L’analyse est basée sur la
solution de Flamant. Tout calcul fait, la
contrainte verticale sera donnée par :
Fig. 5.20 : Charge triangulaire répartie sur
une bande de longueur infinie](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-76-2048.jpg)
![69
Eléments de Mécanique des Sols
+−
−
−θ−θπ
=σ
z)ba(
)ba(zb
)(a
b
q
2212
0
z (5.11)
Nous pouvons utiliser une abaque basée sur le facteur d’influence :
σz = q0 I(m, n) (5.12)
où I est tiré d’après une abaque ou donné par :
−++
−
−
−+π
=
n21nm
)1n(m
nnm
marctgn1I 2222
(5.13)
5.9 Charge triangulaire symétrique répartie sur une bande rectangulaire de
longueur infinie
Le point de calcul peut être quelconque (Fig.
5.21). On peut procéder par superposition de la
solution précédente d’où
[ ])(x)(b
b
q
1221
0
z β−β+β+β
π
=σ
M
β2
β1
z
O
xAB q0
2b
(5.14)
Fig. 5.21 : Charge triangulaire
symétrique répartie sur une bande
de longueur infinie
5.10 Charge uniformément répartie sur une
surface irrégulière
On utilise l’abaque de Newmark (Fig. 5.22), selon la démarche suivante :
1. La profondeur de calcul de la contrainte verticale est prise égale à la distance OQ
de l’abaque, ce qui donne une échelle graphique pour tracer la surface chargée.
2. On trace selon l’échelle ainsi obtenue, le contour de la surface irrégulière sur un
papier transparent.
3. Le point au droit duquel on veut calculer la contrainte est placé au centre de
l’abaque. Le point de calcul peut être à l’intérieure ou à l’extérieure de la surface
chargée. On superpose alors la surface dessinée à l’abaque.
4. On dénombre le nombre n de carreaux de l’abaque situés à l’intérieur de la surface
chargée.
5. La contrainte verticale au point considéré est donnée par :
σz = n I q (5.15)
où I est un coefficient d’influence caractéristique de l’abaque, q est la charge
uniforme.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-78-2048.jpg)
![83
Eléments de Mécanique des Sols
Remarque 6.2
1. Avantages des courbes εv(log σ'v) ou ∆h(log σ'v):
. Simplifier le calcul des tassements sans connaître e0.
. Déterminer la contrainte de consolidation σ'vc pendant l’essai.
. Pour deux échantillons, les courbes e(log σ'v) peuvent être très différentes à
cause de e0, par contre les courbes ∆h(log σ'v) peuvent être similaires.
2. Lorsque le sol est un multicouches, le tassement de consolidation sera la somme
des tassements de chaque couche :
∑=
=
n
1i
cic SS (6.12)
6.7.3.2 Le sol est surconsolidé
On peut avoir deux cas : σ'v0 + ∆σ'v ≤ σ'p ou σ'v0 + ∆σ'v ≥ σ'p
6.7.3.2.1 La contrainte effective finale est inférieure à la contrainte de
préconsolidation ( σ'v0 + ∆σ'v ≤ σ'p )
On peut utiliser les expressions (6.11) en prenant le soin de remplacer les coefficients
de la zone de compression vierge par ceux de la zone de recompression Cr ou Cre :
)
'
'log(
e1
H
CS
1
2
0
0
rc
σ
σ
+
= (6.13.a)
)
'
'log(HCS
1
2
0rec
σ
σ= (6.13.b)
6.7.2.2.2 La contrainte effective finale est supérieure à la contrainte de
préconsolidation ( σ'v0 + ∆σ'v ≥ σ'p )
Le tassement de consolidation sera la somme de deux parties : un tassement relatif à la
zone de recompresssion, et un tassement relatif à la zone de compression vierge :
]
'
)''('
log[
e1
H
C]
'
)''('
log[
e1
H
CS
p
v0v pp
0
0
c
0v
0vp0v
0
0
rc
σ
σ−σ∆+σ+σ
+
+
σ
σ−σ+σ
+
=
soit,
)
'
'
log(
e1
H
C)
'
'
log(
e1
H
CS
p
v0v
0
0
c
0v
p
0
0
rc
σ
σ∆+σ
+
+
σ
σ
+
= (6.14)
En terme d’indice de recompression modifié, il vient :](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-93-2048.jpg)
![84
Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation
)
'
'
log(HC
'
'
logHCS
p
v0v
0ce
0v
p
0rec
σ
σ∆+σ
+
σ
σ
= (6.15)
Exemple 6.2
Pendant un essai de consolidation, nous avons
relevé les mesures (e, σ'vc) portées sur le
tableau ci-contre. L’indice des vides initial est
de 0,725. La contrainte due au poids des terres
est de 130 kPa.
e 'vcσ [kPa]
0,708 25
0,691 50
0,670 100
0,632 200
0,635 100
0,650 25
0,642 50
0,623 200
0,574 400
0,510 800
0,445 1600
0,460 400
0,492 100
0,530 25
1. Construire la courbe de consolidation du type
e (log σ'vc).
2. Estimer le rapport de surconsolidation.
3. Déterminer l'indice de compression et
l'indice de recompression pour le sol en place.
4. Sachant que cet essai est représentatif
d'une couche d'argile de 12m d'épaisseur,
déterminer le tassement de consolidation
pour une contrainte supplémentaire de
220 kPa.
5. Formuler les équations de la courbe de compression vièrge et de la courbe de
rebondissement pour le déchargement commençant à 1600 kPa.
6.8 Vitesse de consolidation
6.8.1 Introduction
La compression secondaire joue un rôle important dans le cas des tourbes et
des sols fortement organiques, tandis que dans les argiles inorganiques, la
consolidation primaire est la composante majeure du tassement. La compression
secondaire se produit après la dissipation de toute pression interstitielle excédant les
conditions hydrostatiques. Le processus se déroule donc à pression effective
constante. Nous allons nous consacré à des théories servant à l’évaluation des taux de
consolidation ou vitesse de tassement primaire et secondaire des sols à grains fins.
6.8.2 Le phénomène de la consolidation
Nous pouvons simuler le phénomène par un modèle analogique comme le
montre fig. 6.12. Lors du chargement d’une couche de sol saturé, la contrainte
supplémentaire ∆σ due au chargement est immédiatement transmise à l’eau qui
développe une pression interstitielle en excès ∆u = ∆σ. A mesure que le temps passe,](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-94-2048.jpg)
![94
Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation
H
e1
eS 0
0
s
+
∆= (6.33)
dans laquelle on prendra
∆e = Cα ∆(logt). H0 = Hi - Si - Sc la hauteur de la couche à la fin de la consolidation
primaire. Hi étant l’épaisseur initiale de la couche, Si est le tassement instantané, Sc est
le tassement de consolidation. e0 = ep est relatif à la fin de la consolidation primaire
Exemple 6.7
Soient les données relatives à la vitesse de déformation pour un incrément de
charge de 40 à 80 kPa. On suppose que le tassement de consolidation est de 300 mm et
qu’il se produit au terme d’une période de 25 ans. L’épaisseur de la couche
compressible est de 10 m. L’indice des vides initial est de 2,855. La hauteur initiale de
l’échantillon est égale à 25,4 mm. La lecture micrométrique initiale est de 12,7 mm.
On suppose que la vitesse de
déformation de l’échantillon de laboratoire est à
peu près la même que celle du dépôt
compressible. Calculer le tassement secondaire
qui se produira entre 25 et 50 ans
t [min] R [mm]
initiale 12,7
0 11,224
0,1 11,151
0,25 11,123
0,5 11,082
1,0 11,019
1,8 10,942
3,0 10,859
6 10,711
10 10,566
16 10,401
30 10,180
60 9,919
100 9,769
180 9,614
300 9,489
520 9,373
1350 9,223
1800 9,172
2850 9,116
4290 9,053
6.12 Tassements admissibles et précautions à
adopter
Les tassements uniformes ne sont pas en
général préjudiciables. Par contre, les
tassements différentiels peuvent provoquer des
désordres graves : dislocation de maçonnerie,
fissures dans les bétons, rotation d’ensemble
..etc. Les tassements uniformes ou absolus sont
considérés admissibles lorsqu’ils peuvent être
absorbés sans inconvénient par la structure.
Ceci peut être réalisé par des constructions très
souples ou des constructions très rigides. Pour
les constructions courantes, on limite les
tassements différentiels Sd aux valeurs
suivantes : Exemple 6.7
armébétonenstructureslespour
)armébétonlequeleadaptabplus(maçonnerielapour
1000
L
600
L
Sd
≤ (6.34)
L étant la portée séparant deux appuis pour lesquels on effectue le calcul.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-104-2048.jpg)
![96
Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation
Exercices du chapitre 6
Tassement, compressibilité et consolidation
Exercice 1 :
Pendant un essai de consolidation sur une
argile non remaniée, nous avons obtenu les
données ci-contre.
Pression [kPa] Indice des vides
20 0,953
40 0,948
80 0,938
160 0,920
320 0,878
640 0,789
1280 0,691
320 0,719
80 0,754
20 0,791
0 0,890
a. tracer le graphique de la pression en
fonction de l'indice des vides sur une échelle
semi-logarithmique et sur une échelle
arithmétique.
b. Formuler les équations de la courbe de
compression vierge et de la courbe de
rebondissement pour un déchargement
commençant à 1280 kPa.
c. Quels sont les indices de compression
modifié et de rebondissement de ce sol.
d. Evaluer la contrainte à laquelle cette argile a été préconsolidée.
Exercice 2
Pendant un essai de consolidation, nous avons
relevé les mesures (e, σ'vc) portées sur le
tableau ci-contre. L’indice des vides initial est
de 0,725. La contrainte due au poids des terres
est de 130 kPa.
e 'vcσ [kPa]
0,708 25
0,691 50
0,670 100
0,632 200
0,635 100
0,650 25
0,642 50
0,623 200
0,574 400
0,510 800
0,445 1600
0,460 400
0,492 100
0,530 25
1. Construire la courbe de compressibilité du
type e (log σ'vc).
2. Estimer le rapport de surconsolidation.
3. Déterminer l'indice de compression et
l'indice de recompression pour le sol en place.
4. Sachant que cet essai est représentatif
d'une couche d'argile de 12m d'épaisseur,
déterminer le tassement de consolidation
pour une contrainte supplémentaire de
220 kPa.
Exercice 3 :
On doit construire un édifice sur une couche de 6 m d'argile qui présente les
caractéristiques suivantes: e0= 0,96; Cc=0,22. La contrainte moyenne actuelle due au
poids des terres est de 120 kPa. La contrainte moyenne dans l'argile, après la
construction de l'édifice, sera de 270 kPa. On suppose que le sol est normalement](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-106-2048.jpg)
![98
Chapitre 6 : Tassement, compressibilité et consolidation
c. Combien de temps sera nécessaire pour atteindre le tassement final de 1,2 m.
Exercice 11 :
Les données relatives à la vitesse de
consolidation présentées ci-contre correspondent
à l'incrément de charge de 20 à 40 kPa. La
hauteur initiale de l'échantillon est de 25,4 mm et
on a placé des pierres poreuses dans les parties
supérieure et inférieure de l'appareil d'essai.
Temps [mn] Lecture micro-
métrique [mm]
0 4,041
0,1 3,927
0,25 3,879
0,5 3,830
1 3,757
2 3,650
4 3,495
8 3,282
15 3,035
30 2,766
60 2,550
120 2,423
240 2,276
505 2,184
1485 2,040
Déterminer le coefficient de consolidation par les
méthodes relatives aux courbes log(t) et (t)1/2
respectivement. Comparer les résultats obtenus
par les deux méthodes.
Exercice 12 :
A l'aide des données de l'exercice 10, estimer
l'indice de compression secondaire et l'indice de
compression secondaire modifié, sachant que:
e0 = 2,6 H0 = 25,4 mm ρs = 2750 Kg/m3
à t = 0, e = 1,74 H = 19,28 mm
à t = 1485 mn, e = 1,455 H = 17,28 mm
Exercice 13 :
Une couche d'argile normalement consolidée de 20 m d'épaisseur supportera une
charge de 100 kPa répartie sur une grande surface. La couche d'argile est recouverte
d'un remblai granulaire (ρ = 2000 Kg/m3
) de 3 m d'épaisseur. Sous l'argile, on trouve
un gravier sableux dense. La nappe phréatique se situe à la limite supérieure de la
couche d'argile dont la masse volumique déjaugée est de 900 Kg/m3
. On a effectué
des essais de consolidation sur des échantillons de 22 mm d'épaisseur, à double
drainage et on a obtenu t50 = 9 mn pour un incrément de charge similaire à celui qui
sera appliqué sur le terrain.
Calculer la contrainte effective à une profondeur de 18 m sous la surface, 4 ans après
la mise en place de la charge.
Exercice 14 :
A l'aide des données de l'exercice 12, déterminer le pourcentage de consolidation
moyen de la couche d'argile après 4 ans.
Exercice 15 :
A l'aide des données de l'exercice 12, calculer la contrainte effective à une profondeur
de 18 m sous la surface, 4 ans après la mise en place de la charge, en supposant cette
fois que la couche est à drainage simple vers le haut. Commenter.
Exercice 16 :
Déterminer le coefficient de perméabilité moyen de l'argile, corrigé à 20 °C et mesuré
pendant l'incrément suivant:](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-108-2048.jpg)
![99
Eléments de Mécanique des Sols
σ1 = 150 kPa, e1 = 1,3
σ2 = 300 kPa, e2 = 1,18
hauteur de l'échantillon = 20 mm
double drainage
temps pour atteindre 50 % de consolidation = 20 mn
température ambiante = 23 °C
Exercice 17
Soient les données relatives à la vitesse de déformation pour un incrément de charge
de 40 à 80 kPa. On suppose que le tassement de consolidation est de 300 mm et qu’il
se produit au terme d’une période de 25 ans. L’épaisseur de la couche compressible est
de 10 m. L’indice des vides initial est de 2,855. La hauteur initiale de l’échantillon est
égale à 25,4 mm. La lecture micrométrique initiale est de 12,7 mm.
On suppose que la vitesse de
déformation de l’échantillon de laboratoire est à
peu près la même que celle du dépôt
compressible. Calculer le tassement secondaire
qui se produira entre 25 et 50 ans
t [min] R [mm]
initiale 12,7
0 11,224
0,1 11,151
0,25 11,123
0,5 11,082
1,0 11,019
1,8 10,942
3,0 10,859
6 10,711
10 10,566
16 10,401
30 10,180
60 9,919
100 9,769
180 9,614
300 9,489
520 9,373
1350 9,223
1800 9,172
2850 9,116
4290 9,053](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-109-2048.jpg)
![104
Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus
)(trI1 σ=σ
[ ]{ })(tr)(tr
2
1
I 22
2 σσ −=σ
(7.10)
)det(I3 σ=σ
En notation indicielle ils s’écrivent :
σ=σ
1I ii
=σ
2I
2
1
[σii σjj – σij σij ] (7.11)
det(σ=σ
3I ij )
Exemple 7.4
Déterminer les invariants du tenseur de contrainte de l'exemple 7.3
7.4.7 Tenseur déviateur et tenseur sphérique
On appelle contrainte normale moyenne la quantité :
3
1
I
3
1
1m ==σ σ
(σxx + σyy + σzz ) (7.12)
qui est un invariant. On peut alors écrire le tenseur de contrainte σ en la somme de
deux tenseurs :
σij = σm δij + Sij (7.13)
δij étant le symbole de Kronecker. Le premier tenseur σm δij où toutes les contraintes
normales sont égales et les contraintes tangentielles nulles caractérise un état de
contrainte hydrostatique ou sphérique. Le second tenseur dit tenseur déviateur s’écrit :
Sij = σij - σm δij (7.14)
Exemple 7.5
Calculer le tenseur sphérique et le tenseur déviatorique de l'état de contrainte de
l'exemple 7.3
7.4.8 Convention de signe
En mécanique des sols et géotechnique, on considère positive les contraintes de
compression.
7.4.9 Etat plan de contrainte
Il y a un état plan de contrainte en un point, quand le vecteur contrainte est situé
toujours dans un même plan, quelle que soit la facette considéré. Soit OXY ce plan,
alors :
σzz = 0 ; σxz = σzx = 0 ; σyz = σzy = 0](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-115-2048.jpg)
![108
Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus
ou origine des plans. Toute droite passant par le pôle coupe le cercle de Mohr en un
point qui définit l'état des contraintes sur un plan dont l'inclinaison est la même que
celle de la droite. Cela permet de déterminer le pôle lorsque l'état de contrainte est
connu et inversement, déterminer l'état de contrainte pour une orientation quelconque
lorsque le pôle est connu.
[kPa]
20° πh
2
2
10
Exemple 7.8
Trouver le pôle des facettes dans l'état de contrainte ci-
contre. Trouver 'état de contrainte sur la facette
horizontale.
7.5.4 Tricercle de Mohr Exemple 7.8
Les composantes σ et τ du vecteur
contrainte agissant sur une facette d’inclinaison
quelconque sont les coordonnées d’un point P
situé dans l’aire hachuré de la représentation
graphique ci-contre (Fig. 7.7), dite tricercle de
Mohr. On déduit du tricercle que la contrainte
tangentielle maximale est représentée par le
rayon du plus grand des trois cercles :
-τ
σ3
C
σ2
B
σ1
A
P(σ, τ)
σ
2
21
max
σ−σ
±=τ (7.21)
Fig. 7.7: Tricercle de Mohr
Elle agit sur les facettes contenant l’axe principal
x2 et bissectrice des axes x1 et x3.
7.5.5 Etats particuliers de contraintes planes
-τ
σ
σ1
σ
σ
-τ
σ
σ
σ
σ1= σ2 = σ
σ2
σ2σ2
σ
-τ
Fig. 7.9: Traction pure
σ1
σ1
Fig. 7.8: Compression pure
7.5.5.1 Compression pure (Fig. 7.8)
σ
=
00
01
σ
7.5.5.2 Traction pure (Fig. 7.9)
σ
=
20
00
σ
7.5.5.3 Etat hydrostatique de
compression (Fig. 7.10)
où σ > 0
σ
σ
=
0
0
σ
Fig. 7.10: Etat hydrostatique de
compression](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-119-2048.jpg)
![110
Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus
x'(x) (7.25)
où x' sont les coordonnées d'un point
quelconque dans la configuration finale, x
étant les coordonnées du même point dans la
configuration initiale. Alors le déplacement
d'un point P du solide, est le vecteur u défini
par (Fig. 7.13):
u = pp' = op' – op = x' – x (7.26)
La déformation est une mesure du
déplacement relatif entre les différents
points du solide. Généralement, on l'associe
à la variation du carré de la distance entre
deux points infiniment voisin.
C'
ds'
q'
p'ds
q
p
u
x3, x'3
x2, x'2
x1, x'1
C
Fig. 7.13: Mouvement, déplacement et
déformation
7.6.2 Tenseur de déformation infinitésimale
La définition ci-dessus des déformations, permet d'écrire:
ds'2
– ds2
= 2 Eij dxi dxj (7.27)
où ds est la distance infinitésimale entre deux points voisins, Eij est le tenseur de
déformation. Il est donné par l'expression:
]
x
u
x
u
x
u
x
u[
2
1]
x
x
x
x[
2
1E
j
k
i
k
i
j
j
i
ij
j
'
k
i
'
k
ij
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=δ−
∂
∂
∂
∂
= (7.28)
pour les petites transformations, il se réduit au tenseur des déformations
infinitésimales εij donné par:
]
x
u
x
u[
2
1
i
j
j
i
ij
∂
∂
+
∂
∂
=ε (7.29)
ou sous la forme intrinsèque
2εij = {grad (u) + [grad (u)]T
}
grad (u) = ∇ uT
(7.30)
∇ = < ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z >
Exemple 7.9
Calculer le champs de déformation associé au champ de déplacement:
u = < u v w> avec
u = x2
+y2
; v = yz; w = xz
7.7 Propriétés du tenseur de déformation
Les propriétés de symétrie, rotation des axes, déformations principales,
invariants, tenseur déviateur et tenseur sphérique, convention de signe, le cercle de](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-121-2048.jpg)
![111
Eléments de Mécanique des Sols
Mohr, sont semblables à celles exposées pour le tenseur de contrainte. On se
contentera dans cette section à discuter les propriétés propres au tenseur de
déformation.
7.7.1 Conditions de compatibilité
Les conditions d'existence du champ de déplacement duquel découle le champ de
déformation sont dites équations de compatibilité ou équations de Saint-Venant. Ce
sont les conditions d'intégrabilité du champ de déformation. Physiquement, elles
signifient que le champ de déformation ne peut être arbitraire. Théoriquement, elles
sont au nombre de trois, mais pour simplifier l'écriture, on utilise habituellement six
équations:
0
xxxxxxxx ki
jl
2
lj
ik
2
ji
kl
2
lk
ij
2
=
∂∂
ε∂
−
∂∂
ε∂−
∂∂
ε∂+
∂∂
ε∂
(7.31)
soit,
0
yx
2
xy
xy
2
2
yy
2
2
xx
2
=
∂∂
ε∂
−
∂
ε∂
+
∂
ε∂
0
zy
2
yz
yz
2
2
zz
2
2
yy
2
=
∂∂
ε∂
−
∂
ε∂+
∂
ε∂
0
xz
2
zx
zx
2
2
xx
2
2
zz
2
=
∂∂
ε∂−
∂
ε∂+
∂
ε∂ (7.32)
0]
yxz
[
xzy
zxyzxyxx
2
=
∂
ε∂
+
∂
ε∂
−
∂
ε∂
∂
∂+
∂∂
ε∂−
0]
zyx
[
yxz
xyzxyzyy
2
=
∂
ε∂
+
∂
ε∂
−
∂
ε∂
∂
∂+
∂∂
ε∂
−
0]
xzy
[
zyx
yzxyzxzz
2
=
∂
ε∂
+
∂
ε∂
−
∂
ε∂
∂
∂+
∂∂
ε∂−
Exemple 7.10
Vérifier les conditions de compatibilité du tenseur de déformation donné par:
εxx = x2
; εxy = y2
+ z2
; εxz = xz
εyy = 0; εyz = x; εzz = y2
7.7.2 Conditions aux limites
Ce sont les conditions de liaison d'appui. On les exprimes par:
ui = ū (7.33)
où ū est le déplacement imposé.
7.7.3 Dilatation volumique
C'est la variation de volume par unité de volume:](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-122-2048.jpg)
![112
Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus
d = (v' – v ) / v = tr(ε) = 3 εm (7.34)
Un milieu continu est dit incompressible quand sa déformation ne s'accompagne
d'aucun changement de volume.
7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques
Il s'exprime par
r
u
rr
∂
∂=ε )vu(
r
1
θ∂
∂+=εθθ
z
w
zz
∂
∂=ε
)]vu(
r
1
r
v[
2
1
r −
θ∂
∂+
∂
∂=εθ )
z
u
r
w(
2
1
zr
∂
∂+
∂
∂=ε (7.35)
)
z
vw
r
1(
2
1
z
∂
∂+
θ∂
∂=εθ
7.8 Relation contrainte-déformation
7.8.1 Position du problème de mécanique des solides
Soit un solide de volume V, de frontière Γ, soumis à un ensemble de forces
surfaciques T et volumique Fv (Fig. 7.1). Sur la portion Γu de la surface extérieure, le
champ de déplacement est imposé. Dans la configuration déformée du solide, il
apparaît un champ de déplacement u et un champ de contrainte σ qu'il s'agit de
déterminer en tout point du solide.
7.8.2 Bilan des équations et des inconnues
Dans les sections précédentes, nous avons établi en chaque point :
3 équations d'équilibre (1)
6 équations déformations-déplacement (2)
3 équations de compatibilité (3)
D'autre part, les inconnues du problème sont:
3 composantes de déplacement
6 composantes de déformation
6 composantes de contrainte
Le bilan ci-dessus montre qu'au moins, trois équations supplémentaires sont
nécessaires. Il existe en réalité des équations additionnelles dites lois constitutives ou
lois de comportement qui sont
6 relations contraintes – déformations (4)
Ces équations représentent la réponse du solide aux sollicitations. Une réponse qui
dépend étroitement du matériau constituant le solide. Finalement, on dispose en
chaque point du solide, 18 équations et 15 inconnues. Ainsi, théoriquement, le
problème de mécanique des solides dispose d'une solution.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-123-2048.jpg)
![114
Chapitre 7 : Rappels de mécanique des milieux continus
où E est le module de Young.
7.8.5.1 A trois dimensions
La généralisation de la loi de Hook pour le problème à trois dimensions s'écrira:
E εij = (1 + ν) σij – ν σll δij (7.43)
ou
σij = λ εll δij + 2µ εij (7.44)
dans lesquelles, E est le module de Young, ν est le coefficient de Poisson, λ et µ sont
les coefficients de Lamé et sont donnés en fonction de E et ν par les relations:
ε
σλ = ν E / [(1 + ν) (1 - 2ν)] et
(7.45)
µ = E / [2 (1 + ν)]
Les coefficients E, ν, λ et µ sont des caractéristiques du
matériau, constantes et indépendantes de l'état d'évolution
du matériau. Les relations (7.42-44) sont représentées par
des courbes droites passant par l'origine (Fig. 7.14). Fig. 7.14: Elasticité linéaire
7.8.6 Autres lois constitutives
Plusieurs types de comportements ne peuvent être décrits par l'élasticité
linéaire. Leurs relations sont plus ou moins complexes et font intervenir la vitesse de
chargement, le temps ainsi que l'histoire de chargement. citons à titre d'illustration
quelques types de comportement.
7.8.6.1 Elasticité non linéaire
σ
ε
La relation contrainte-déformation n'est pas
linéaire, mais les déformations sont réversibles (Fig. 7.15).
Les matériaux hyperélastiques (caoutchouc) sont des
exemples de cette famille de comportement. Un exemple
de lois de comportement est la relation:
T = α0 I + α1 B + α2 B2
(7.46)
où T représente le tenseur de contrainte de Cauchy, B est
le tenseur de déformation de Cauchy-Green. αi sont des
scalaires.
Fig. 7.15: Elasticité non linéaire
7.8.6.2 Comportement Visqueux
C'est le cas de fluides réels (Newtoniens) et des liants bitumineux aux hautes
températures. A une dimension, la contrainte est donné par une relation de la forme
εη=σ & (7.47)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-125-2048.jpg)
![164
Chapitre 8 : Résistance des sols au cisaillement
∆u = B [∆σ3 + A (∆σ1 – ∆σ3)] (8.19)
dite équation de Skempton. Dans les conditions non drainées, elle régit la variation de
la pression interstitielle en fonction de la variation des contraintes totales. Le
paramètre A dépend à divers degrés: du niveau de la déformation axiale, de l'intensité
de σ2, du rapport de surconsolidation, de l'anisotropie et du remaniement de
l'échantillon. (Tab. 8.8) donne quelques valeurs de A à la rupture, noté Ar. L'équation
de Skempton et ses paramètres sont très utiles dans la pratique. Au-delà d'un seuil
critique, l'excès de pression interstitielle peut être à l'origine d'une rupture. Le cas
échéant, on peut prévoir une construction en plusieurs phases pour permettre de
dissiper lentement la pression interstitielle en excès. Pour les essais triaxiaux les plus
courants, le paramètre A est défini en fonction de l'augmentation des contraintes
principales par:
Aac = ∆u /∆σv Alc = ∆u /∆σh
(8.20)
Aae = 1 - ∆u /∆σv Ale = 1 - ∆u /∆σv
où l'on désigne ac: compression axiale, ae: extension axiale, lc: compression latérale
et le: extension latérale. D'aures parts, on peut montrer que:
Aac = Ale et Aae = Alc
Tab. 8.8: Quelques valeurs caractéristiques de Af pour différents sols](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-176-2048.jpg)
![181
Eléments de Mécanique des Sols
facette verticale l'angle θ. On dresse alors le
cercle de Mohr correspondant (Fig. 9.14).
L'obliquité α du vecteur contrainte t ne dépend
que de θ. En effet:
tg α = P'P / OP' où
P'P = R sin γ = τm sin (2θ + ωβ - β) et
OP' = σm - τm cos (2θ + ωβ - β)
avec
sin ϕ = τm / σm ce qui donne:
tg α = [sin ϕ . sin (2θ + ωβ - β)] / [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] (9.10)
β
τ
t
σ
σm
φ
τm
o
c
c'
ωβ + β
ωβ
ωβ
ωβ
2θ
δ
γ
E
E'
P
E''
Fig. 9.13 : Distribution des
contraintes
β
θ
β r
o
z
M
α σθθ
- τrθ
t
n
Ainsi, dans la théorie de Rankine,
l'obliquité des contraintes sur un
écran d'inclinaison quelconque ne
dépend que de φ et β.
. L'angle α est alors indépendante
de r: les facettes portées par une
ligne droite dans le massif
subissent des contraintes de
même obliquité (Fig. 9.15).
Calculons à présent σθθ. Nous
avons:
σθθ = OP' = OC – CP'
= σm – R cos γ
sin ϕ = R / σm il vient
R = σm sin ϕ
d'où
σθθ = σm [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] (9.11)
Fig. 9.14 : Cercle de Mohr en équilibre inférieur
β
α
θ
Fig. 9.15 : Contrainte le long d'un
rayon polaire
Calculons σm. Dans le triangle CC'E, on a:
sin (ωβ + β) = τ / τm = t sin β / τm
où
sin ωβ = sin β / sin ϕ ==> sin β = sin ϕ sin ωβ
et](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-194-2048.jpg)
![182
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
τm = σm sin ϕ
Fig. 9.16 : Equilibre limite
inférieure : poussée
déplacement
σ1
σ3
σ1
σ3
Fig. 9.17 : Equilibre limite
supérieure : butée
déplacement
ce qui donne
sin (ωβ + β) = t sin ωβ / σm ===>
σm = t sin ωβ / sin (ωβ + β)
remplaçant t par sa valeur, il vient:
σm = γ z cos β . sin ωβ / sin (ωβ + β)
et
z cos β par r cos (θ - β)
on obtient
σm = γ r cos (θ - β) . sin ωβ / sin (ωβ + β)
et finalement
σθθ = Kaγ γ r (9.12)
avec
Kaγ = sin β cos (θ - β) [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] / [sin ϕ sin (ωβ + β)]
On conclue alors que la distribution des contraintes dépend de r et est triangulaire le
long d'une droite tracée dans le massif. le coefficient Kaγ(β, φ, θ) est un coefficient de
poussée (Fig. 9.16,17).
Remarque 9.1
La théorie de Rankine est relativement simple mais ses applications sont limitées. En
effet, les lignes de glissement observées sur site ne sont pas droites. De plus, dans le
cas de massifs limités par des parois on constate que la rugosité de l'écran joue un rôle
important. Finalement, l'obliquité des contraintes sur l'écran est une caractéristique du
frottement du massif et de l'écran, alors que dans la théorie de Rankine, elle ne dépend
que de l'obliquité de la surface libre et de l'angle de frottement interne.
9.4.3 Equilibre de Boussinesq
9.4.3.1 Hypothèses
La théorie de Boussinesq est un schéma général permettant de prendre en compte le
frottement sol-écran. Initialement, on suppose que le sol est un matériau pulvérulent
en équilibre limite sous son propre poids (la prise en compte de la cohésion et des
forces extérieures viendra par la suite). Le massif est limité par deux plans: la surface
libre et un écran latéral. Sur l'écran, l'obliquité δ des contraintes est imposée. On](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-195-2048.jpg)
![183
Eléments de Mécanique des Sols
admet une distribution triangulaire des contraintes sur chaque rayon polaire, c.à.d que
l'obliquité est constante et que l'intensité de la contrainte est proportionnelle à la
position radiale r (résultat de la théorie de Rankine).
Fig. 9.18 : Convention de signe
σθθ
θ+
r
β+
λ+
δ+
P
9.4.3.2 Poussée sur un écran
Sur la facette portée par le rayon polaire (Fig. 9.18), la
contrainte normale σθθ est de la forme:
σθθ = r f(θ)
cependant, f peut dépendre des autres paramètres β, λ,
δ, φ et γ. Par convention, on posera
σθθ = Kγ γ r
où Kγ ne dépend que de β, λ, δ et φ, il est appelé
coefficient de poussée des terres. Il existe deux
équilibres: un équilibre de poussée (état actif) et
un équilibre de butée (état passif). Sur l'écran, le
vecteur contrainte (Fig. 9.19) à une intensité
donnée par:
Fig. 9.19 : Poussée sur un écran
β
λ
δ
σθθ
θ
t
n
h
t = σθθ / cos δ
la poussée totale sur le mur a pour intensité:
2
h
cos
K
drtP
2h
0
γ
δ
== γ
∫
et a pour obliquité δ. Le point d'application de P se
situe au tiers inférieur de h. β
λ
θ
Fig. 9.20 : Calcul de Kγ
ψ
σ1
σrr
σrθ
σθθ
9.4.3.3 Calcul du coefficient de poussée Kγ
9.4.3.3.1 Système des équations différentielles
Puisque l'équilibre est limite, d'après (9.11) il vient
(Fig. 9.20):
σθθ = σm [1 - sin ϕ cos 2ψ]
(2ψ est équivalent à γ dans Fig. 9.14, σrr est l'état de
contrainte qui fait l'angle π/2 par rapport à l'état de
contrainte σθθ)
σrr = σm [1 + sin ϕ cos 2ψ]
(9.13)
σrθ = σm sin ϕ sin 2ψ](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-196-2048.jpg)
![184
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
Comme le montre (Fig. 9.14), l'angle ψ est l'angle que fait σ1 avec le rayon polaire. ψ
est ψ(θ) car l'obliquité de la contrainte sur le rayon polaire est constante. σθθ est
proportionnelle à r quand θ est fixe. σm est aussi de la forme:
σm = r g(θ) (9.14)
D'après (9.13,14), nous avons les relations
σrr,r = σrr / r et σrθ = σrθ / r
et les équations aux dérivées partielles d'équilibre
σrr,r + σrθ,θ/r + (σrr - σθθ)/r = γ cos θ
(9.15)
σrθ,r + σθθ,θ/r + 2 σrθ/r = - γ sin θ
θ
β
λ
ψ
σ1
Fig. 9.21 : Conditions aux
limites
A
B
C
r
M
donnent
σrθ,θ + (2σrr - σθθ) = γ r cos θ
(9.16)
σθθ,θ + 3σrθ = - γ r sin θ
La forme de ces équations montre que σrr, σθθ, σrθ et donc
σm sont proportionnelles à γ. Posons
σm = γ r S(θ) (9.17)
Le problème consiste donc à rechercher les fonctions S(θ)
et ψ(θ) qui définissent complètement le tenseur de
contrainte. Tenant compte de (9.13,17), (9.16) donne:
S,θ = [ S sin 2ψ - sin (2ψ+ θ)] / (cos 2ψ - sin ϕ)
(9.18)
ψ,θ +1 = [ cos θ - sin ϕ cos (2ψ+ θ) – S cos2
ϕ] / [2S sin ϕ (cos 2ψ - sin ϕ)]
9.4.3.3.2 Conditions aux limites
Pour pouvoir intégrer les équations différentielles précédentes, il faut éliminer les
constantes d'intégration. Ceci à l'aide des conditions aux limites. Ainsi, on a (Fig.
9.21):
Sur la surface libre (segment AB)
σ = 0, σm = 0 d'où
S(θ = π/2 + β) = 0
dψ/dθ +1 doit vérifier (avec θ = π/2 + β)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-197-2048.jpg)
![187
Eléments de Mécanique des Sols
α [°]
φ [°] δ [°] β [°]
50 60 70 80 90 100 110 120 130
0 1.11 0.943 0.832 0.756 0.704 0.669 0.650 0.641 0.6410
10 1.41 1.20 1.06 0.982 0.937 0.922 0.900 0.895 0.890
0 1.09 0.917 0.801 0.720 0.664 0.626 0.601 0.586 0.5775
10 1.45 1.23 1.08 1.00 0.951 0.936 0.920 0.900 0.890
0 1.07 0.911 0.787 0.702 0.642 0.600 0.570 0.549 0.533
10
10
10 1.53 1.29 1.13 1.05 0.991 0.966 0.950 0.940 0.935
0 1.02 0.850 0.735 0.651 0.589 0.541 0.504 0.472 0.4380
10 1.27 1.04 0.893 0.782 0.701 0.643 0.595 0.555 0.516
0 1.00 0.828 0.709 0.622 0.557 0.507 0.467 0.433 0.3955
10 1.28 1.04 0.885 0.764 0.679 0.612 0.560 0.516 0.442
0 1.00 0.821 0.695 0.603 0.536 0.484 0.442 0.405 0.36510
10 1.32 1.07 0.889 0.758 0.663 0.591 0.536 0.489 0.473
0 1.02 0.826 0.691 0.596 0.525 0.470 0.425 0.385 0.342
15
15
10 1.38 1.11 0.903 0.760 0.657 0.581 0.522 0.471 0.420
0 0.937 0.767 0.647 0.559 0.490 0.434 0.387 0.341 0.290
10 1.15 0.920 0.765 0.653 0.568 0.500 0.441 0.387 0.329
0
20 1.44 1.17 1.01 0.901 0.822 0.781 0.759 0.749 0.732
0 0.921 0.748 0.626 0.536 0.465 0.409 0.361 0.314 0.263
10 1.14 0.915 0.754 0.634 0.546 0.474 0.414 0.360 0.301
5
20 1.47 1.19 1.03 0.907 0.840 0.786 0.763 0.741 0.736
0 0.924 0.742 0.614 0.520 0.448 0.391 0.342 0.295 0.243
10 1.17 0.926 0.751 0.626 0.531 0.457 0.396 0.340 0.280
10
20 1.51 1.23 1.06 0.937 0.855 0.812 0.776 0.767 0.748
0 0.942 0.745 0.610 0.512 0.438 0.379 0.328 0.280 0.229
10 1.21 0.949 0.756 0.622 0.523 0.446 0.383 0.325 0.265
15
20 1.59 1.29 1.11 0.982 0.895 0.837 0.813 0.789 0.769
0 0.970 0.759 0.614 0.511 0.434 0.372 0.319 0.270 0.217
10 1.29 0.984 0.771 0.626 0.521 0.441 0.375 0.315 0.253
20
20
20 1.72 1.39 1.18 1.04 0.951 0.888 0.848 0.821 0.800
0 0.859 0.688 0.568 0.478 0.406 0.346 0.293 0.241 0.184
10 1.03 0.814 0.661 0.549 0.462 0.389 0.327 0.267 0.203
0
20 1.25 1.00 0.818 0.681 0.569 0.480 0.401 0.326 0.249
0 0.848 0.674 0.552 0.459 0.387 0.327 0.275 0.223 0.168
10 1.03 0.810 0.648 0.532 0.443 0.370 0.308 0.249 0.186
5
20 1.27 1.00 0.824 0.673 0.557 0.462 0.381 0.307 0.230
0 0.851 0.671 0.542 0.448 0.374 0.313 0.261 0.210 0.156
10 1.05 0.814 0.645 0.523 0.431 0.356 0.294 0.235 0.173
10
20 1.31 1.03 0.830 0.673 0.548 0.449 0.367 0.292 0.216
0 0.866 0.672 0.540 0.441 0.365 0.304 0.251 0.200 0.146
10 1.09 0.828 0.647 0.520 0.423 0.347 0.284 0.225 0.164
15
20 1.37 0.107 0.853 0.678 0.545 0.441 0.357 0.282 0.206
0 0.896 0.685 0.542 0.439 0.361 0.298 0.244 0.193 0.139
10 1.14 0.856 0.658 0.521 0.420 0.342 0.277 0.217 0.156
20
20 1.45 1.12 0.886 0.688 0.545 0.438 0.351 0.274 0.198
0 0.925 0.725 0.552 0.443 0.361 0.296 0.240 0.187 0.134
10 1.22 0.920 0.676 0.528 0.423 0.341 0.273 0.212 0.151
25
25
20 1.56 1.20 0.929 0.708 0.554 0.439 0.349 0.270 0.192
0 0.787 0.617 0.497 0.406 0.333 0.272 0.218 0.165 0.108
10 0.929 0.717 0.569 0.460 0.373 0.301 0.239 0.180 0.116
20 1.12 0.861 0.683 0.546 0.438 0.353 0.276 0.207 0.135
30 0
30 1.38 0.107 0.899 0.765 0.684 0.610 0.561 0.500 0.434
Table 9.1 : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids des
terres Kaγ (D'après Chen)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-200-2048.jpg)
![188
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
φ [°] δ [°] β [°]
50 60 70 80 90 100 110 120 130
30
α [°]
5 0 0.778 0.606 0.484 0.392 0.319 0.258 0.154 0.099
10 0.932 0.715 0.559 0.446 0.359 0.287 0.226 0.168 0.108
20 1.12 0.861 0.678 0.536 0.426 0.338 0.263 0.125
30 1.39 1.09 0.912 0.776 6.694 0.619 0.570 0.507 0.428
10 0 0.781 0.604 0.477 0.383 0.309 0.248 0.196 0.145
10 0.946 0.720 0.557 0.439 0.349 0.277 0.216 0.159 0.100
20 1.16 0.881 0.681 0.532 0.419 0.328 0.252 0.184 0.117
30 1.43 1.14 0.934 0.795 0.712 0.634 0.570 0.506 0.426
15 0 0.798 0.607 0.475 0.378 0.302 0.242 0.189 0.138 0.087
10 0.972 0.728 0.558 0.437 0.343 0.270 0.209 0.152 0.095
20 1.19 0.900 0.695 0.532 0.414 0.321 0.245 0.177 0.111
1.51 1.18 0.968 0.823 0.738 0.657 0.590 0.524 0.442
20 0 0.821 0.618 0.479 0.377 0.299 0.237 0.184 0.134 0.083
10 0.750 0.566 0.437 0.341 0.266 0.204 0.147 0.091
20 1.25 0.943 0.712 0.539 0.414 0.318 0.240 0.172 0.106
30 1.59 1.01 0.885 0.773 0.688 0.618 0.549 0.448
25 0 0.862 0.638 0.487 0.380 0.299 0.235 0.180 0.130 0.080
10 1.08 0.785 0.442 0.342 0.265 0.201 0.143 0.087
20 1.35 1.00 0.739 0.550 0.418 0.318 0.238 0.169 0.103
30 1.74 1.35 1.11 0.820 0.729 0.654 0.564 0.473
30 0 0.900 0.770 0.501 0.302 0.236 0.179 1.27 0.078
10 1.17 0.829 0.602 0.453 0.347 0.266 0.200 0.141 0.085
20 1.47 1.08 0.776 0.568 0.321 0.238 0.167 0.100
0.205
0.194
0.093
30
1.01
1.24
0.581
0.940
0.387
0.425
30 1.88 1.46 1.19 1.01 0.882 0.783 0.701 0.604 0.489
0 0 0.717 0.551 0.433 0.343 0.271 0.211 0.158 0.107 0.057
10 0.837 0.634 0.491 0.383 0.299 0.230 0.171 0.115 0.060
20 0.986 0.741 0.572 0.443 0.342 0.261 0.191 0.128 0.066
30 1.18 0.895 0.703 0.558 0.434 0.331 0.240 0.160 0.084
5 0 0.711 0.542 0.424 0.333 0.260 0.201 0.149 0.101 0.052
10 0.843 0.629 0.483 0.372 0.289 0.220 0.162 0.108 0.056
20 1.01 0.741 0.568 0.435 0.333 0.250 0.182 0.120 0.060
30 1.20 0.904 0.708 0.557 0.426 0.320 0.230 0.151 0.078
35
10 0 0.717 0.543 0.418 0.326 0.253 0.194 0.143 0.095 0.049
10 0.849 0.635 0.480 0.368 0.282 0.213 0.155 0.103 0.052
20 1.02 0.759 0.569 0.430 0.326 0.243 0.175 0.115 0.057
30 1.22 0.923 0.720 0.560 0.422 0.312 0.222 0.145 0.074
15 0 0.731 0.546 0.417 0.322 0.248 0.189 0.138 0.091 0.046
10 0.876 0.643 0.481 0.365 0.277 0.208 0.150 0.098 0.049
20 1.05 0.775 0.575 0.430 0.322 0.238 0.170 0.110 0.054
30 1.27 0.975 0.753 0.567 0.421 0.308 0.216 0.140 0.070
20 0 0.755 0.557 0.420 0.322 0.246 0.186 0.135 0.088 0.044
10 0.915 0.664 0.488 0.367 0.275 0.205 0.147 0.095 0.047
20 1.11 0.800 0.592 0.434 0.322 0.235 0.166 0.107 0.052
30 1.36 1.02 0.781 0.580 0.424 0.306 0.214 0.137 0.068
25 0 0.791 0.575 0.430 0.325 0.246 0.185 0.133 0.086 0.043
10 0.968 0.692 0.501 0.371 0.276 0.204 0.145 0.093 0.046
20 1.17 0.847 0.610 0.443 0.323 0.235 0.165 0.105 0.050
30 1.44 1.08 0.819 0.598 0.429 0.307 0.213 0.134 0.066
30 0 0.846 0.601 0.442 0.331 0.249 0.185 0.132 0.085 0.042
10 1.04 0.730 0.519 0.379 0.280 0.205 0.144 0.092 0.044
20 1.27 0.908 0.637 0.455 0.329 0.237 0.164 0.103 0.049
30 1.60 1.15 0.870 0.623 0.438 0.310 0.213 0.133 0.064
35 0 0.928 0.634 0.460 0.341 0.254 0.187 0.132 0.084 0.041
10 1.12 0.783 0.545 0.392 0.287 0.208 0.145 0.091 0.044
20 1.41 0.989 0.676 0.473 0.337 0.241 0.166 0.103 0.048
30 1.75 1.29 0.951 0.656 0.457 0.318 0.216 0.134 0.064
Table 9.1 (suite): Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids
des terres Kaγ](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-201-2048.jpg)
![189
Eléments de Mécanique des Sols
α [°]
φ [°] δ [°] β [°]
50 60 70 80 90 100 110 120 130
40 0 0 0.649 0.491 0.374 0.287 0.217 0.160 0.111 0.065 0.024
10 0.760 0.556 0.421 0.316 0.237 0.172 0.118 0.069 0.025
20 0.874 0.643 0.482 0.358 0.266 0.191 0.129 0.075 0.026
30 1,38 0.762 0.577 0.429 0.316 0.226 0.150 0.086 0.029
40 1.22 0.920 0.751 0.614 0.511 .0.443 0.364 0.277 0.160
5 0 0.645 0.486 0.368 0.279 0.210 0.153 0.105 0.061 0.022
10 0.759 0.553 0.415 0.310 0.230 0.166 0.112 0.064 0.023
20 0.879 0.644 0.479 0.352 0.259 0.183 0.123 0.070 0.024
30 1.03 0.770 0.579 0.426 0.309 0.218 0.143 0.081 0.027
40 1.25 0.941 0.769 0.628 0.524 0.439 0.361 0.274 0.157
10 0 0.654 0.485 0.364 0.275 0.205 0.149 0.101 0.058 0.021
10 0.767 0.562 0.413 0.305 0.225 0.160 0.108 0.061 0.022
20 0.894 0.651 0.480 0.349 0.254 0.178 0.118 0.067 0.023
30 1.05 0.786 0.586 0.425 0.305 0.212 0.139 0.078 0.026
40 1.29 0.973 0.769 0.650 0.542 0.455 0.374 0.273 0.155
15 0 0.664 0.490 0.365 0.272 0.201 0.145 0.098 0.056 0.020
10 0.783 0.571 0.415 0.304 0.221 0.157 0.105 0.059 0.021
20 0.937 0.666 0.486 0.349 0.251 0.175 0.115 0.065 0.022
30 1.07 0.811 0.590 0.426 0.304 0.209 0.135 0.075 0.024
40 1.35 1.02 0.804 0.657 0.567 0.459 0.377 0.286 0.154
20 0 0.690 0.503 0.367 0.273 0.200 0.143 0.096 0.054 0.019
10 0:822 0.585 0.421 0.306 0.220 0.155 0.103 0.057 0.020
20 0.975 0.688 0.496 0.352 0.250 0.173 0.113 0.063 0.021
30 1.11 0.846 0.610 0.434 0.305 0.208 0.133 0.073 0.023
40 1.43 1.08 0.849 0.693 0.578 0.485 0.399 0.290 0.155
25 0 0.717 0.518 0.376 0.276 0.200 0.143 0.095 0.053 0.018
10 0.860 0.607 0.431 0.310 0.221 0.155 0.1.01 0.056 0.019
20 1.03 0.729 0.511 0.359 0.252 0.173 0.112 0.061 0.020
30 1.17 0.892 0.637 0.445 0.309 0.208 0.132 0.072 0.023
40 1.53 1.15 0.908 0.741 0.617 0.518 0.409 0.297 0.156
30 0 0.765 0.543 0.388 0.281 0.203 0.143 0.094 0.052 0.018
10 0.927 0.643 0.447 0.317 0.224 0.156 0.101 0.055 0.019
20 1.10 0.772 0.532 0.369 0.256 0.174 0.112 0.061 0.020
30 1.24 0.953 0.681 0.463 0.314 0.210 0.133 0.071 0.022
40 1.67 1.25 0.984 0.802 0.668 0.559 0.442 0.321 0.160
35 0 0.840 0.576 0.405 0.289 0.207 0.145 0.094 0.052 0.017
10 1.02 0.690 0.470 0.327 0.230 0.158 0.102 0.055 0.018
20 1.22 0.840 0.562 0.383 0.263 0.177 0.113 0.060 0.020
30 1.33 1.03 0.727 0.480 0.324 0.214 0.134 0.071 0.023
40 1.84 1.38 1.08 0.881 0.733 0.589 0.463 0.335 0.164
40 0 0.946 0.598 0.428 0.302 0.214 0.148 0.096 0.052 0.017
10 1.09 0.738 0.500 0.342 0.238 0.162 0.103 0.055 0.018
20 1.38 0.931 0.604 0.402 0.273 0.182 0.114 0.061 0.019
30 1.50 1.17 0.792 0.512 0.338 0.221 0.136 0.072 0.023
40 2.07 1.55 1.21 0.985 0.817 0.654 0.513 0.353 0.171
Table 9.1 (suite): Table de Caquet et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au
poids des terres Kaγ](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-202-2048.jpg)
![190
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
α [°]
φ [°] δ [°] β [°]
50 60 70 80 90 100 110 120 130
10 0 0 1.58 1.44 1.38 1.37 1.42 1.54 1.74 2.06 2.60
10 1.87 1.69 1.62 1.61 1.68 1.81 .2.05 2.45 3.11
5 0 1.61 1.50 1.45 1.48 1.56 1.71 1.96 2.36 3.03
10 2.05 1.87 1.80 1.81 1.90 2.08 2.39 2.89 3.74
10 0 1.66 1.56 1.54 1.58 1.68 1.87 2.16 2.64 3.45
10 2.19 2.01 1.95 1.98 2.10 2.32 2.70 3.31 4.35
15 0 0 1.75 1.62 1.57 1.59 1.70 1.91 2.24 2.78 3.70
10 2.08 1.92 1.88 1.93 2.07 2.32 2.74 3.43 4.61
5 0 1.78 1.68 1.67 1.74 1.89 2,15 2.57 3.24 4.40
10 2.27 2.13 2.10 2.18 2.36 2.69 3.22 4.10 5.62
10 0 1.84 1.77 1.79 1.89 2.08 2.40 2.90 3.72 5.13
10 2.46 2.32 2.32 2.43 2.66 3.07 3.72 4.81 6.69
15 0 1.91 1.87 1.91 2.04 2:27 2.64 3.23 4.20 5.87
10 2.63 2.50 2.52 2.66 2.95 3.44 4.22 5.52 7.79
20 0 0 1.92 1.81 1.79 1.86 2.04 2.37 2.91 3.78 5.32
10 2.29 2.17 2.18 2.30 2.56 2.98 3.68 4.85 6.91
20 2.78 2.62 2.62 2.77 3.09 3.63 4.50 5.98 8.63
5 0 1.98 1.90 1.92 2.04 2.30 2.72 3.39 4.49 6.45
10 2.52 2.41 2.45 2.63 2.96 3.51 4.40 5.90 8.57
20 3.14 2.99 3.02 3.24 3.65 4.35 5.49 7.42 10.9
10 0 2.05 2.01 2.08 2.26 2.58 3.09 3.91 5.27 7.69
10 2.75 2.67 2.75 2.98 3.39 4.08 5.19 7.05 10.4
20 3.52 3.37 3.45 3.73 4.26 5.13 6.57 9.01 13.4
20 15 0 2.14 2.14 2,26 2.49 2.88 3.49 4.47 6.11 9.P4
10 2.99 2.93 3.05 3.34 3.85 4.68 6.02 8.29 12.4
20 3.90 3.77 3.89 4.25 4.90 5.97 7.73 10.7 16.4
20 0 2.26 2.29 2.44 2.71 3.17. 3.89 5.04 6.95 10.4
10 3.22 3.19 3.34 3.70 4.30 5.29 6.95 9.65 14.0
20 4.26 4.15 4.32 4.77 5.55 6.83 8.94 12.5 18.9
25 0 0 2.14 2.05 2.06 2.18 2.46 2.98 3.81 5.23 7.80
10 2.54 2.46 2.53 2.76 3.18 3.88 5.02 6.99 10.6
20 3.15 3.04 3.14 3.44 4.00 4.91 6.43 9.06 13.9
5 0 2.21 2.15 2.22 2.42 2.82 3.47 4.53 6.33 9.64
10 2.81 2.75 2.88 3.19 3.74 4.63 6.11 8.66 13.4
20 3.58 3.50 3.66 4.07 4.80 5.99 7.98 11.4 17.8
10 0 2.30 2.29 2.42 2.72 3.22 4.02 5.34 7.60 11.8
10 3.08 3.07 3.27 3.76 4.36 5.49 7.35 10.6 16.6
20 4.04 4.00 4.24 4.78 5.70 7.23 9.75 14.1 22.4
15 0 2.41 2.46 2.67 3.05 3.66 4.64 6.25 9.02 14.2
10 3.39 3.43 3.69 4.20 5.05 6.44 8.74 12.7 20.2
20 4.54 4.55 4.87 5.55 6.70 8.59 11.7 17.2 27.4
20 0 2.56 2.67 2.94 3.40 4.13 5.31 7.23 10.6 16.8
10 3.72 3.80 4.13 4.76 5.80 7.47 10.4 15.3 24.5
20 5.07 5.12 5.55 6.38 7.79 10.1 14.5 21.4 34.5
25 0 2.74 2.89 3.21 3.76 4.62 6.00 8.26 12.2 19.5
10 4.05 4.18 4.59 5.34 6.57 8.54 12.0 17.8 29.7
20 5.60 5.71 6.23 7.24 8.90 11.6 16.8 25.0 40.4
Table 9.2: Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au poids des
terres Kpγ (d'après Chen)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-203-2048.jpg)
![191
Eléments de Mécanique des Sols
α [°]
φ [°] δ [°] β [°]
50 60 70 80 90 100 110 120 130
30 0 0 2.37 2.31 2.37 2.57 3.00 3.78 5.08 7.37 11.7
10 2.82 2.79 2.95 3.34 4.01 5.12 7.00 10.3 16.8
20 3.57 3.54 3.79 4.32 5.25 6.79 9.43 14.2 23.3
30 4.41 4.42 4.76 5.68 6.74 8.82 12.4 18.8 31.3
5 0 2.46 2.44 2.57 2.88 3.49 4.49 6.16 9.13 14.8
10 3.13 3.15 3.40 3.92 4.79 6.24 8.70 13.1 21.6
20 4.07 4.12 4.48 5.19 6.42 8.46 11.9 18.2 30.4
30 5.19 5.26 5.76 6.79 8.39 11.2 16.0 24.5 41.3
10 0 2.57 2.61 2.82 3.29 4.06 5.32 7.44 11.2 18.5
10 3.47 3.55 3.91 4.58 5.70 7.56 10.7 16.4 27.4
20 4.66 4.78 5.27 6.21 7.79 10.4 14.9 23.0 38.9
30 6.07 6.23 6.90 8.02 10.3 14.0 20.1 31.3 53.2
5 0 2.72 2.83 3.16 3.75 4.71 6.27 8.92 13.7 22.9
10 3.85 4.02 4.50 5.34 6.75 9.08 13.0 20.2 34.1
20 5.31 5.52 6.17 7.37 9.37 12.7 18.4 28.7 48.7
30 7.05 7.32 8.21 10J 12.6 17.2 25.0 39.2 66.0
20 0 2.91 3.11 3.55 4.27 5.44 7.36 10.6 16.4 27.8
10 4.29 4.54 5.15 6.20 7.94 10.8 16.1 25.2 42.9
20 6.03 6.35 7.18 8.68 11.2 15.3 23.0 37.0 63.0
30 8.14 8.54 9.68 12.3 15.1 20.8 30.5 49.0 82.0
25 0 3.15 .3.44 3.97 4.85 6.25 8.55 12.5 19.5 33.2
10 4.77 5.11 5.86 7.14 9.24 12.7 19.1 30.1 51.4
20 6.81 7.25 8.29 10.1 13.1 18.1 27.5 44.0 78.5
30 9.32 9.87 11.3 14.4 17.9 25.0 37.6 60.0 100.
30 0 3.42 3.77 4.41 5.45 7.10 9.80 14.4 22.7 38.8
10 5.26 5.70 6.60 8.13 10.6 15.1 22.2 35.1 60.3
20 7.62 8.18 9.44 11.6 15.2 21.4 32.8 54.0 94.0
30 10.5 11.2 13.0 16.7 20.8 29.0 44.0 72.4 122.
35 0 0 2.67 2.64 2.76 3.07 3.69 4.87 6.92 10.7 18.3
10 3.14 3.19 3.47 4.07 5.20 6.90 10.0 15.9 27.7
20 4.06 4,14 4.60 5.56 7.03 9.66 14.3 23.0 40.9
30 5.17 5.37 6.10 7.40 9.50 13.3 20.0 32.7 56.0
5 0 2.78 2.81 3.01 3.47 4.37 5.91 8.60 13.6 23.7
10 3.50 3.63 4.05 4.86 6.25 8.61 12.8 20.6 36.5
20 4.66 4.88 5.53 6.60 8.79 12.3 18.6 30.4 54.5
30 6.14 6.49 7.50 9.20 12.2 26.4 43.6 78.417.2
10 0 2.92 3.02 3.34 4.01 5.19 7.17 10.7 17.2 30.4
10 3.92 4.14 4.74 5.81 7.61 10.7 16.1 26.4 47.4
20 5.39 5.75 6.64 8.20 10.9 15.6 23.8 39.4 71.3
30 7.29 7.82 9.00 11.2 14.7 21.2 34.1 56.9 110.
15 0 3.10 3.29 3.77 4.67 6.16 8.68 13.1 21.5 38.6
4.40 5.55 6.93 9.24 13.2 20.2 33.5 60.610 4.76
20 6.25 6.77 7.94 10.0 13.5 19.5 30.1 50.3 91.6
30 8.63 9.41 11.0 13.8 18.5 27.0 43.5 73.0 138.
20 0 3.33 3.64 4.32 5.44 7.31 10.5 16.1 26.6 48.2
10 4.97 5.48 6.49 8.24 11.2 16.1 26.0 43.5 79.2
20 7.23 7.96 9.48 12.0 16.5 24.1 38.7 66.0 118.
30 10.2 11.2 13.4 17.0 23.2 34.5 55.0 96.0 175.
25 0 3.63 4.10 4.94 6.33 8.63 12.5 19.4 32.5 59.2
9.75 19.5 97.710 5.63 6.30 7.58 13.4 31.7 53.4
20 8.35 9.32 11.2 14.2 20.0 29.4 46.8 81.0 148.
30 11.9 13.3 16.2 20.8 29.0 43.0 70.0 122. 225.
30 0 4.01 4.61 5.64 7.33 10.1 14.8 23.2 39.0 71.4
10 6.36 7.21 8.79 11.4 15.8 24.2 38.0 64.3 118.
20 9.59 10.8 13.2 16.8 23.2 35.0 57.5 98.0 188.
30 13.9 15.7 19.0 24.5 34.8 52.5 86.0 150. 285.
Table 9.2 (suite) : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au
poids des terres Kpγ](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-204-2048.jpg)
![192
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
α [°]
φ [°] δ [°] β [°]
50 60 70 80 90 100 110 120 130
35 35 0 4.42 5.15 6.38 8.39 11.7 17.2 27.1 45.8 84.1
10 7.14 8.18 10.1 13.2 19.2 28.4 44.8 75.8 139.
20 10.9 12.4 15.2 19.7 28.3 43.0 69.0 122. 225.
30 16.0 18.1 22.0 28.5 40.0 22.6 102. 180. 350.
40 0 0 2.98 3.01 3.22 3.67 4.60 6.41 9.70 16.1 29.8
10 3.51 3.66 4.13 5.04 6.68 9.58 14.9 25.5 48.3
20 4.65 4.88 5.66 7.20 9.68 14.3 22.8 39.8 70.0
30 6.11 6.59 7.70 10.0 14.0 21.0 34.2 60.5 110.
40 7.97 8.30 9.80 12.8 19.2 30.3 52.0 91.0 162.
5 0 3.12 3.22 3.54 4.21 5.56 7.97 12.4 21.1 39.9
10 3.94 4.20 4.87 6.14 8.35 12.3 19.6 34.2 65.6
20 5.38 5.84 6.94 9.0 12.4 18.7 30.5 53.9 102.
30 7.35 8.12 9.60 12.5 18.2 28.1 46.4 82.9 150.
40 9.89 10.5 12.6 16.5 25.0 41.1 68.0 132. 230.
10 0 3.30 3.49 3.96 4.96 6.76 9.94 15.8 27.6 52.8
10 4.46 4.87 5.81 7.50 10.4 15.7 25.6 45.2 87.8
20 6.29 7.01 8.53 11.2 15.9 24.4 40.3 72.0 135.
30 8.87 10.0 12.0 16.2 23.6 37.0 61.8 111. 210.
40 12.3 13.5 15.3 21.8 33.0 52.5 90.0 165. 315.
15 0 3.53 3.84 4.55 5.91 8.25 12.4 20.2 35.6 69.0
10 5.06 5.68 6.95 9.19 13.1 20.0 33.0 59.0 115.
20 7.42 8.44 10.5 14.0 20.3 31.5 52.6 94.7 185.
30 10.7 12.3 15.7 20.8 31.0 48.5 81.1 147. 280.
40 15.2 17.0 21.0 29.0 47.0 70.0 120. 225. 430.
20 0 3.82 4.30 5.31 7.06 10.1 15.4 25.5 45.5 88.9
10 5.80 6.68 8.35 11.2 16.3 25.3 43.0 80.0 155.
20 8.77 10.2 12.8 17.3 70.025.6 40.2 127. 250.
30 12.9 15.2 19.5 26.4 41.0 63.0 106. 190. 350.
40 18.7 21.4 27.0 37.9 60.0 94.5 164. 295. 550.
25 0 4.21 4.92 6.23 8.45 12.3 19.1 31.8 57.3 113.
10 6.70 7.87 10.0 13.7 20.1 31.6 56.0 102. 201.
20 10.4 12.2 15.7 21.5 32.0 50.6 88.5 165. 300.
30 15.6 18.5 23.8 33.0 49.0 78.0 132. 248. 450.
40 22.8 27.0 35.0 49.0 74.0 120. 210. 375. 700.
30 0 4.71 5.67 7.31 10.1 14.8 23.3 39.3 71.1 140.
10 7.75 9.26 12.0 16.6 24.6 40.0 69.7 127. 251.
20 12.2 14.6 19.0 26.5 39.5 64.0 114. 220. 400.
30 18.7 22.5 29.0 44.0 62.0 100. 170. 315. 600.
40 27.7 36.5 43:0 60.0 93.0 150. 260. 475. 920.
35 0 5.33 6.52 8.54 11.9 17.8 28.2 47.7 86.6 171.
10 8.95 10.8 14.2 19.9 30.0 50.0 88.0 160. 320:
20 14.4 17.4 22.8 32.5 50.0 82.0 150. 290. 600.
30 22.2 26.9 34.5 48.5 75.0 120. 210. 388. 760.
40 32.0 38.5 51.0 72.0 108. 177. 310. 565. 1120.
40 0 6.01 7.45 9.88 13.9 20.9 33.3 56.6 103. 204.
10.210 12.6 16.6 23.4 36.0 59.4 101. 190. 365.
20 16.6 20.3 26.8 38.5 59.5 100. 184. 360. 780.
30 26.0 31.7 40.5 56.8 91.0 150. 265. 485. 950.
40 36.5 44.0 59.5 82.0 125. 215. 375. 700. 1330.
Table 9.2 (suite) : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au
poids des terres Kpγ](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-205-2048.jpg)
![194
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
σrθ,θ + σrr - σθθ = 0
(9.24)
ce qui implique
σθθ,θ + 2 σrθ = 0
Vu ces équations ainsi que les conditions aux limites, sur l'écran on a:
σθθ = Kq q (9.25)
Kq est un coefficient de pression latérale (poussée ou butée) qui dépend de β, λ, δ, φ et
α0. L'intensité t de la contrainte sur l'écran est:
t = kq q (9.26)
kq = Kq / cos δ
Les tables de l'Herminier et Absi permettent d'éviter les calculs lourds et fournissent
les coefficients Kq et kq (Tab. 9.3).
9.4.4.4 Calcul des coefficients de pression latérale Kq et kq
On posera
σm = q S(θ) (9.27)
d'autre part, on a:
σrr = σm [1 + sin ϕ cos 2ψ]
σθθ = σm [1 - sin ϕ cos 2ψ]
σrθ = σm sin ϕ sin 2ψ
remplaçons ces expressions dans les équations d'équilibre:
σrθ,θ + σrr - σθθ = 0
σθθ,θ + 2 σrθ = 0
on obtient alors
sin ϕ sin 2ψ S,θ + 2 S sin ϕ cos 2ψ (1+ ψ,θ) = 0
(9.28)
(1 - sin ϕ cos 2ψ) S,θ + 2 S sin ϕ sin 2ψ (1+ ψ,θ) = 0
Puisque le système linéaire est homogène, il y a deux possibilités. Soit la solution est
triviale:
S,θ = 1+ ψ,θ = 0 (9.29)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-207-2048.jpg)
![196
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
S = constante et ψ + θ = constante
(cette solution correspond à l'équilibre de
Rankine), soit le déterminent est nul. Ceci
donne:
d'où
α0 ≠ φ et δ ≠ φ
Fig. 9.25: Lignes de glissement sous
cos 2ψ = sin ϕ
soit
ψ = ± (π/4 - ϕ/2) (9.30)
Le système se réduisant à une seule équation,
la première équation différentielle s'écrit alors
sous la forme:
S,θ + 2S ctg 2ψ = 0
(9.31)
S,θ ± 2S tg ϕ = 0
dont l'intégration donne:
S = S0 exp[± 2 tg ϕ (θ - θ0)] (9.32)
Les lignes de glissement se classent en deux
familles. La première est formée des faisceaux
de rayons polaires. La deuxième est formée de
spirales logarithmiques homothétiques qui
coupent les différents rayons polaires sous
l'angle π/2 - φ: on donne le nom de l'équilibre
de Brandtl à cette cinématique (Fig. 9.25). La
solution générale s'obtient par la juxtaposition de
zones en équilibre de Rankine avec des zones en
équilibre de Brandtl.
charge uniforme
q
q S1
φ
α0 2ψ c
ωα0
σ
τ
q
α0
θ2 θ1
ε
π/2-φ
v
1
1
2
Zone 1: en équilibre inférieure de Rankine
Zone 2: en équilibre de Prandtl
Fig. 9. 26: Zone voisine de la surface libre
q S2
kaq q
τ
cδ
ωδ
σ
9.4.4.4.1 Poussée
Le calcul du coefficient de poussée active des
terres du à la charge q kaq s'opère de la façon
suivante: l'état de contrainte dans les zones (1) de
l'équilibre de Rankine est comme montrer ci-
contre (Fig. 9.26,27). On montrera (voir §
9.4.2.6) que:
Fig. 9. 27: Zone voisine de l'écran
σm1 = q S1 = q sin ωα0 / sin (α0 + ωα0)
σm2 = q S2 = kaq q sin ωδ / sin (ωδ - δ)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-209-2048.jpg)
![197
Eléments de Mécanique des Sols
S ωα0 / sin (α ω
on en tire l'expression de k
9.4.4.4.2 Butée
1 = sin 0 + α0)
(9.33)
S2 = kaq sin ωδ / sin (ωδ - δ)
On vérifiera aussi que
θ1 = π/4 - ϕ/2 + (ωα0 + α0)/2 + β
(9.34)
θ2 = π/4 - ϕ/2 - (ωα0 - δ)/2 + λ
d'autre part, (9.31) avec ψ = - (π/4 - φ/2) dans la zone de Brandtl donne:
dS / S = 2 tg ϕ dθ
soit
S2 / S1 = e2 tg ϕ (θ2 – θ1)
= S2 = S1 e-2 tg ϕ ε
(9.35)
où
ε = θ1 – θ2 = (ωα0 + α0)/2 + (ωδ - δ)/2 + β - λ
A partir de (9.33,35) et les relations
sin ωα0 = sin α0 / sin ϕ et sin ωδ = sin δ / sin ϕ (9.36)
aq
kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (cos α0 + sin ϕ sin ωα0)] e-2 tg ϕ ε
(9.37)
Quelques cas particuliers peuvent être cités
. Surcharge verticale (α0 = β)
kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (cos β + sin ϕ sin ωβ)] e-2 tg ϕ ε
(9.38)
où
2ε = (ωδ - δ) - (ωβ - β) - 2λ
. Surcharge normale à la surface libre (α0 = 0)
kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (1 + sin ϕ)] e-2 tg ϕ ε
(9.39)
avec
2ε = (ωδ - δ) + 2 (β - λ)
La butée se traite de la même façon, sauf que cette fois ψ = π/4 - φ/2. Dans le cas
particulier d'une surcharge verticale et une surface libre horizontale, on trouve:](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-210-2048.jpg)
![198
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
kpq = [(cos δ + sin ϕ cos ωδ) / (1 - sin ϕ )] e2 tg ϕ ε
(9.40)
avec
2ε = - (ω δ) - 2λ
Les sols cohérents ne relèvent ni du schéma
de Rankine ou de Boussinesq ni du schéma
de Brandtl. On peut montrer que l'étude d'un
milieu cohérent peut se ramener à l'étude
d'un milieu pulvérulent correspondant. Ceci
apporte une grande simplification lors de
l'étude des milieux complexes. Soit le
schéma ci-contre (Fig. 9.28) représentant
l'état de contrainte dans un milieu cohérent
(1). Alors, l'étude de ce milieu peut se faire
par l'étude d'un milieu équivalent
pulvérulent (2) de même angle de
frottement interne obtenu par une
translation égale à H = c ctg φ le long de
l'axe des σ, d'où le théorème des états
correspondants:
Théorème
2. Pour calculer les contraintes normales agissant en un point donné et sur une facette
donnée du milieu cohérent, on retranchera de la contrainte fictive calculée en 1
agissant au facette une contrainte normale constante
d'intensité H = c ctg
δ +
9.4.5 Théorème des états correspondants
Fig. 9.28 : Etats correspondants
H =
c ctg φ H
σ' = σ + H
τ' = τ
σ
τ
τ'
σ'σ
c
(1) (2)
1. Pour calculer le tenseur des contraintes au sein d'un milieu cohérent homogène en
équilibre plastique, on calculera d'abord le tenseur des contraintes au sein d'un milieu
fictif de même forme géométrique, pulvérulent, homogène, en équilibre plastique et
de même angle de frottement interne. Sur la frontière règnerons des conditions
déduites des conditions réelles.
même point sur la
φ.
même
A titre d'exemple, Tab. 9.4 donne quelques cas d'applications
Milieu cohérent Milieu pulvérulent fictif
Tab. 9.4: Exemples d'application du théorème des
états correspondants
q q + c ctgφ
q
α0
α0
q
q + c ctgφ](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-211-2048.jpg)
![200
Chapitre 9 : Pression latérale des terres
Pour un sol submergé, on utilise ka(ϕ') et la
cohésion effective c' au lieu de la cohésion totale c.
Les lignes de glissement (Fig. 9.31) font un angle
Fig. 9.32 : Diagramme de la
pression active
2c ka
ka γ H - 2c ka
z0 = 2c / (γ ka )
H
z0+2(H–z0)/3
Fa
θ = 45° + ϕ/2
avec l’horizontale. La distribution de pa le long de
la profondeur est comme schématisé ci-contre (Fig.
9.32). Le diagramme de la zone [0 – z0] est souvent
négligé dans le calcul. La résultante de la pression
active par mètre linéaire de largeur est :
)zH(K
2
1dz)z(pF 0
2
a
H
aa
z0
−γ== ∫
Elle agit au deux tiers de (H-z0) au dessous de la
profondeur z0.
θ
Exemple 9.1
Calculer la résultante de la poussée active sur un
mur vertical de 5 m de hauteur retenant un massif
horizontal de sable caractérisé par un poids volumique de
17 kN/m ent interne de 35°.
La contrainte horizontale dite pression passive sera
calculée d’après l’expression (9.43) par:
3
et un angle de frottem
9.4.1.3 Etat passif
Fig. 9.33 : Etat passif de
Rankine lignes de glissement
ϕ−
ϕ+
+
ϕ−
ϕ+
σ=σ
sin1
sin1
c2
sin1
sin1
31 (9.48)
Posons
)
2
45(tg
sin1
sin1
K 2
p
ϕ
+°=
ϕ−
ϕ+
= (9.49)
dit coefficient de la pression passive. Et on écrit
(9.48) sous la forme
σ1 = p p γ z + 2c (K (9.50)
avec la verticale. La distribution de la pression passive le long de la profondeur est
comme montrer ci-contre (Fig. 9.34). La résultante par mètre linéaire de largeur est
kp
kp γ H
H
H / 3
H / 2
F''p
F'p
Fig. 9.34 : Diagramme de la
pression passive
2c
p = K p)1/2
dans laquelle on utilise k(ϕ') et la cohésion effective
c' pour le sol submergé. Les lignes de glissement
(Fig. 9.33) font un angle
θ = 45° + ϕ/2](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-213-2048.jpg)
![203
Eléments de Mécanique des Sols
9.5.2.2 Etat actif
Fig. 9.39 : Théorie de Coulomb. Etat actif
β
C
A
W
H
P
θ
α
δ φR
B H
9.5.2.2.1 Sol pulvérulent (c=0)
Soit le coin de sol caractérisé par (Fig. 9.39) :
. Une surface extérieure inclinée de β par rapport à
l’horizontale.
. L’écran fait l’angle α avec l’horizontale.
. Le plan de glissement BC fait l’angle θ avec
l’horizontale.
W : poids propre du massif de sol.
R : résultante de la réaction sur le plan de glisseme
Connaissant le poids propre W et les directions
d’action des forces, on dresse le diagramme de
l’équilibre limite (Fig. 9.40), d'où on montre que:
l'angle (W,P) = π – α – δ
P(W, θ)
Elle correspond donc à ( car W=W(θ))
. La rugosité du mur est l’angle de frottement mur-
sol notée δ.
Tout au début du glissement, le coin du sol était
sous l’équilibre des forces suivantes :
P : résultante de la réaction de la poussée sur le
mur.
nt.
γ
γ1
γ1
R
P
W
θ
π/2 - θ
φ
γ α
α1
α1
δ
écran
γ1 = π – [ (π/2 - θ) + (π/2 + φ) ] = θ – φ
l'angle (W,R) = θ – φ
ce qui permet de calculer la poussée P. La
poussée active Pa est la valeur maximum de
α 1 = π/2 – [ π - α ] = α - π/2
γ = π/2 – (δ+ α 1) = π – α - δ
Fig. 9.40 : Diagramme de l’équilibre
des forces
0P =
θ∂
∂ (9.55)
Ceci est équivalent à essayer plusieurs plans de glissement, d’évaluer à chaque fois P
et ne garder pour Pa que la valeur maximale. Tout calcul fait on abouti à
HK
2
1P 2
aa γ= (9.56)
avec
β−α
β−ϕδ+ϕ
+δ+α
αϕ−α
=
)sin(
)sin()sin(
)sin(
sin)sin(
K
2
a (9.57)](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-216-2048.jpg)
![Chapitre 11
Solutions de quelques exercices
Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols
Exercice 2
La courbe granulométrique est tracée comme ci-contre. D'où on tire:
d10 = 0,4 mm
0,01 0,1 1 10
0
20
40
60
80
100
Pourcentagedepassantenmasse
Diamètre des grains [mm]
d30 = 0,61 mm
d60 = 1,1 mm
ce qui donne
Cu = 2,75 et Cc = 0,85
Il s'agit donc d'un sable propre
moyen et grossier noté SP.
Exercice 4
Utilisant les définitions des
caractéristiques demandées on
trouve:
w = 25%; e = 0,675; n = 0,403; dh = 2,01; γh = 19,72 kN/m3
Exercice 8
Pour le sol 1 la classification se fait comme suit: Le sol est à grains grossiers, un
sable. Mais il s'agit d'un cas limite (voir Tab. 2.10). On utilise alors le double symbole
(SM ou SC) avec (SW ou SP). D'après la courbe granulométrique, on obtient:
D60=0,71 mm; D30=0,34 mm; D10=0,18 mm, Cu = 3,9 et Cc = 0,91 d'où: une
granulométrie peu étalée. Il s'agit donc d'un sol SP-SM: un sable silteux à
granulométrie peu étalée.](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-231-2048.jpg)
![217
Eléments de Mécanique des Sols
Chapitre 3: Le compactage
Exercice 1
a. La courbe a la forme ci-contre, elle
possède notamment un maximum.
w [%]
124
γd [kN/m3
]
19,6
b. Nous utilisons les expressions
Sr = w / ( γw / γd - γw / γs )
γh = γd ( 1 + w )
ce qui donne
Sr1 = 295 % et Sr2 = 87,5 %
γh = 20,38 kN/m3
et γh = 21,95 kN/m3
c. Le volume d'eau à ajouter est
∆Vw = Vwf – Vwi avec Vw = Sr Vv
le volume des vides est donné par
Vv = Vt – Vs où Vs = Ps / γs
Appliquant ces formules sur l'état initial et l'état final, on obtient comme application
numérique
∆Vw = 47,37 cm3](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-232-2048.jpg)
![223
Eléments de Mécanique des Sols
Chapitre 7: Rappels de mécanique des milieux continus
Exercice 2
a. Le vecteur contrainte sur une facette est donné par la relation vectorielle t = σ n, où
n est le vecteur unitaire normale à la facette. Appliquant cette relation pour le cas
proposé, on trouve:
n = < 2/3 2/3 1/3 >
t = < 5/3 2 5/3 > [MPa]
b. La contrainte normale à la facette σ est donnée par le produit scalaire entre le
vecteur contrainte conjugué à la facette t et la normale n: σ = tT
. n. Connaissant σ, on
peut calculer la contrainte tangentielle τ à la facette d'après l'équation || t ||2
= σ2
+ τ2
.
où || t || représente la norme euclidienne de t. L'application numérique donne:
σ = 3 MPa et τ = (5)1/2
/ 3 Mpa
Exercice 3
La résolution du problème de valeurs et vecteurs propres donne:
a. contraintes principales: σ1 = c (5)1/2
σ2 = 0 et σ3 = - c (5)1/2
b. directions principales:
n1 = < 2/(10)1/2
1/(10)1/2
- 1/(10)1/2
>
n2 = < 2/(5)1/2
1/(5)1/2
0 >
n3 = < 2/(10)1/2
- 1/(10)1/2
1/(2)1/2
>
c. Puisque la contrainte moyenne σm est nulle, le tenseur déviateur est égal au tenseur
total: S = σ. Ainsi, les valeurs principales de S sont égales aux valeurs principales de
σ.
Exercice 6
On trouve
x2
(x1+ x2)/ 2
x3
(x1+ x2)/ 2
x1
x3
x3
x3
2(x1+ x2)
ε = cle tenseur de déformation
-x1
(x1+ x2)/ 2
x3
(x1+ x2)/ 2
-x2
x3
x3
x3
x1+ x2
εD
= cle tenseur déviateur de déformation](https://image.slidesharecdn.com/elmentsdemcaniquedessols-150503072206-conversion-gate01/75/Elements-de-mecanique-des-sols-238-2048.jpg)
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Eléments de mécanique des sols
Ce document est un cours de mécanique des sols destiné aux étudiants de génie civil et hydraulique, présentant les éléments fondamentaux de la discipline. Il inclut des chapitres sur les caractéristiques physiques des sols, le compactage, l'eau dans les sols, et de nombreux exercices pratiques. Bien qu'il serve d'aide mémoire, le document encourage également l'auto-apprentissage et la participation des étudiants à des travaux pratiques et des exposés.
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Eléments de mécanique des sols
- 1. Ministère de l'enseignementsupérieur et de la recherche scientifique Centre Universitaire de Béchar Département de Génie Civil Eléments de Mécanique des Sols Berga Abdelmadjid Année Universitaire 2003 - 2004
- 2. Présentation Ce cours estdestiné aux étudiants de 3ème année de génie civil et hydraulique. Il présente les éléments fondamentaux de mécanique des sols aux étudiants non initiés avec cette discipline. Le document ne représente pas un substitue aux multiples ouvrages généraux ou spécialisés du domaine, mais son auteur souhaite qu'il constitue une synthèse conduisant le lecteur à saisir les grandes lignes de la matière, à s'intéresser aux problèmes posés ainsi que sentir le besoin d'approfondir les connaissances par la voie noble de l'auto-apprentissage. L'ouvrage comporte le nécessaire pour faire le calcul pratique en terme de principes, méthodes, formules, tables et abaques. Dans ce contexte, il représente un aide mémoire couvrant les chapitres du programme officiel, et laissant à l'auditeur l'occasion de se concentrer sur les notions de base plutôt que copier à la hâte des formules et expressions peux significatives. L'enseignant, se trouvera libérer de la nécessité d'écrire au tableau la majorité de ce qu'il prononce, il aura alors l'occasion de se concentrer sur l'aspect physique et conceptuel. Malheureusement, ayant fixé comme objectif une synthèse dans la matière, beaucoup de concepts, théories et méthodes restent peux développées et nécessitent un espace plus large pour une mise en valeur correcte. L'intéressé est alors invité à approfondir les notions diverses à travers la consultation d'une liste bibliographique proposée à la fin de l'ouvrage. Le document est organisé en chapitres. Chaque chapitre expose le cours, accompagnés dans la mesure du possible par des exemples dont la résolution ce fait pendant les conférences. Une série d'exercices résolus et de problèmes supplémentaires est proposée à la fin du chapitre. Pour que le module soit un espace d'échange bilatéral, des travaux seront proposés aux étudiants pour couvrir à travers des recherches bibliographiques des thèmes particuliers et sont vivement encouragés à les présenter sous forme d'exposés publiques. Les intérêts pédagogiques, scientifiques et relationnels seront parmi les retombées immédiats de cet approche. Sans aller plus loin, notons que la disponibilité du document ne doit décourager l'étudiant à assister au cours orale, car jamais un écrit ne peut remplacer l'apprentissage de main de maître. Enfin, s'agissant de la première version du document, je serrai reconnaissant au lecteur ses corrections de l'écrit, ses remarques, ainsi que ses suggestions. A. Berga Béchar, le 22 Mai 2003
- 3. Table des matières Thèmepage Notations Chapitre 1: Introduction générale 10 1.1 Objet de la mécanique des sols. 10 1.2 Disciplines de la mécanique des sols. 10 1.3 Historique. 11 1.4 Quelques grands projets. 12 1.5 Plan du cours. 12 Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols 14 2.1 La formation des sols. 14 2.2 Principales caractéristiques du sol et de la roche. 14 2.3 Structure des sols. 14 2.4 Analyse granulométrique. 15 2.5 Caractéristiques physiques communes aux différents sols 20 2.5.1 Masses et poids volumiques 20 2.5.2 Porosité, indice des vides et densité relative 22 2.5.3 Teneur en eau et degré de saturation. 23 2.6 Propriétés des particules fines. 23 2.6.1 Propriétés colloïdales 23 2.6.2 Surface spécifique. 24 2.6.3 Limites d'Atterberg. 24 2.6.4 Famille minéralogique. 26 2.6.5 Activité. 28 2.6.6 Sensitivité. 28 2.7 Classification des sols. 28 2.7.1 Système de classification unifié des sols (USCS) 29 Exercices du chapitre 34 Chapitre 3: Compactage 38 3.1 Introduction 38 3.2 Définitions 38 3.3 Théorie du compactage 39 3.4 Essais au laboratoire 39 3.5 Matériel de compactage 40 3.6 Procédés spéciaux de compactage 40 3.7 Spécifications et contrôle du compactage sur le terrain 41
- 4. Thème page Exercices duchapitre 43 Chapitre 4: L'eau dans les sols 44 4.1 Introduction 44 4.2 Généralités 44 4.2.1 Capillarité 44 4.2.2 Retrait et gonflement des sols 45 4.2.3 Action du gel 45 4.3 Dynamique de l'écoulement 45 4.3.1 Hypothèses 45 4.3.2 Conservation de la masse 45 4.3.3 Charge hydraulique (Equation de Bernoulli) 45 4.3.3 Gradient hydraulique 46 4.3.4 Loi de Darcy pour l'écoulement à une dimension 46 4.3.5 Généralisation aux écoulements à 2 et 3D 47 4.4 La Perméabilité des sols 47 4.4.1 Mesure du coefficient de perméabilité au Laboratoire 48 4.4.1.1 Perméamètre à charge constante 48 4.4.1.2 Perméamètre à charge variable 48 4.4.2 Mesure du coefficient de perméabilité sur site 48 4.4.3 Formules empiriques 49 4.4.3.1 Formule de Hazen 49 4.4.3.2 Formule de Taylor 49 4.4.4 Perméabilité moyenne fictive verticale et horizontale 50 4.5 Principe de la contrainte effective 50 4.5.1 Loi de Terzaghi 50 4.5.2 Loi de Skempton 51 4.5.3 Loi de Bishop 51 4.5.4 Cas d'écoulement linéaire 51 4.6 Effet Renard 52 4.7 Force d'écoulement 52 4.8 Réseaux d'écoulement 53 4.9 Contrôle des écoulements 54 Exercices du chapitre 56 Chapitre 5: Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures 60 5.1 Introduction 60 5.2 Charge concentrée verticale, problème 3D 60 5.3 Charge linéaire uniforme répartie sur une longueur infinie 62 5.4 Charge uniforme répartie sur une bande de longueur infinie 62 5.5 Charge uniformément répartie 62 5.5.1 Cas de surface circulaire 62
- 5. Thème page 5.5.2 Casde bande rectangulaire 62 5.6 Charge surfacique trapézoïdale de grande longueur 64 5.7 Charge triangulaire répartie sur une bande rectangulaire de longueur limitée 67 5.8 Charge triangulaire répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie 67 5.9 Charge triangulaire symétrique répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie 69 5.10 Charge uniformément répartie sur une surface irrégulière 69 5.11 Charge quelconque répartie sur une bande de longueur infinie 70 5.12 Théorie de Westergaard 70 Exercices du chapitre 73 Chapitre 6: Tassement, Compressibilité et Consolidation 74 6.1 Introduction, le tassement 74 6.2 Composantes du tassement 74 6.3 Compressibilité 75 6.4 Consolidation 77 6.5 Détermination de la contrainte de préconsolidation 78 6.6 Prédiction de la courbe de consolidation pour le sol en place 79 6.7 Calcul des tassements primaires 80 6.7.1 Méthode globale 80 6.7.2 Calcul des tassements instantanés 81 6.7.3 Calcul des tassements de consolidation 82 6.8 Vitesse de consolidation 84 6.8.1 Introduction 84 6.8.2 Phénomène de la consolidation 84 6.8.3 Théorie de Terzaghi pour la consolidation unidimensionnelle 85 6.8.3.1 Les hypothèses 85 6.8.3.2 Mise en équations 86 6.8.3.3 Résolution 86 6.8.3.4 Degré de consolidation 87 6.8.3.5 Degré de consolidation moyen 88 6.9 Détermination expérimentale du coefficient de consolidation 91 6.9.1 Méthode de Casagrande 91 6.9.2 Méthode de Taylor 92 6.10 Détermination du coefficient de perméabilité 93 6.11 Evaluation de la compression secondaire 93 6.11.1 Définition 93 6.11.2 Hypothèses 93 6.11.3 Calcul du tassement secondaire 93 6.12 Tassements admissibles et précautions à adopter 94 Exercices du chapitre 96
- 6. Thème page Chapitre 7:Rappels de mécanique des milieux continus 100 7.1 Introduction: mécanique des milieux continus 100 7.2. Les forces 101 7.3 Champ de contrainte 7.3.1 Postulat d'Euler Cauchy 101 7.3.2 Vecteur de contrainte 101 7.3.3 Tenseur de contrainte 101 7.4 Propriétés du tenseur de contrainte 102 7.4.1 Equation d'équilibre 102 7.4.2 Conditions aux limites 102 7.4.3 Symétrie 102 7.4.4 Rotation des axes 103 7.4.5 Contraintes principales 103 7.4.6 Invariants 103 7.4.7 Tenseur déviateur et tenseur sphérique 104 7.4.8 Convention de signe en mécanique des sols 104 7.4.9 Etat plan de contrainte 104 7.4.10 Equation d'équilibre en coordonnées sphériques 105 7.5 Cercle de Mohr 105 7.5.1 Construction directe 105 7.5.2 Construction inverse 107 7.5.3 Pôle des faces 107 7.5.4 Tricercle de Mohr 108 7.5.5 Etats particuliers de contraintes planes 108 7.5.6 Ellipsoide de contrainte 109 7.6 Champ de déformation. 109 7.6.1 Mouvement, déplacement et déformation 109 7.6.2 Tenseur de déformation infinitésimale 110 7.7 Propriétés du tenseur de déformation 110 7.7.1 Conditions de compatibilité 111 7.7.2 Conditions aux limites 111 7.7.3 Dilatation volumique 111 7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques 112 7.8 Relation contrainte-déformation. 112 7.8.1 Position du problème de mécanique des solides 112 7.8.2 Bilan des équations et des inconnues 112 7.8.3 Résolution 113 7.8.4 Lois constitutives 113 7.8.5 Elasticité linéaire 113 7.8.6 Autres lois constitutives 114 7.9 Critères de plasticité 117 7.10 Aspects énergétiques et thermodynamiques 118 Exercices du chapitre 119
- 7. Thème page Chapitre 8:Résistance des sols au cisaillement 124 8.1 Introduction. 124 8.2 Critère de rupture de Mohr-Coulomb. 124 8.3 Essais de résistance des sols au cisaillement. 125 8.3.1 Essai de cisaillement directe 125 8.3.2 Essai triaxial 126 8.3.3 Essais spéciaux 127 8.3.4 Essais sur site 128 8.4 Cheminement des contraintes. 128 8.5 Résistance des sables au cisaillement. 130 8.5.1 Sable saturé en cisaillement drainé. 130 8.5.2 Sable saturé en cisaillement non drainé. 131 8.5.3 Autres facteurs influençant la résistance des sables au cisaillement 133 8.5.4 Liquéfaction et mobilité des sables saturés soumis à des charges cycliques. 135 8.6 Résistance des sols cohérents saturés au cisaillement. 154 8.6.1 Comportement à l'essai triaxial consolidé drainé 154 8.6.2 Comportement à l'essai triaxial consolidé non drainé 155 8.6.3 Comportement à l'essai triaxial non consolidé non drainé. 160 8.6.4 Essai de compression simple 161 8.6.5 Variation de la pression interstitielle 161 8.6.6 Cheminement des contraintes durant un chargement non drainé sur les argiles normalement consolidées 166 8.6.7 Cheminement des contraintes pendant un chargement non drainé sur les argiles surconsolidées 168 8.6.8 Application des cheminements des contraintes sur certains problèmes 170 Exercices du chapitre 172 Chapitre 9: Pression latérale des terres 176 9.1 Introduction 176 9.2 Pression des terres au repos et relation pression latérale-déformation latérale 176 9.3 Essais sur la poussée des terres 177 9.4 Etats de l'équilibre limite 178 9.4.1 Définition 178 9.4.2 Equilibre de Rankine 178 9.4.2.1 Hypothèses 178 9.4.2.2 Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre 178 9.4.2.3 Equilibres inférieur et supérieur 178 9.4.2.4 Contrainte sur la facette verticale 179 9.4.2.5 Lignes de glissement 179 9.4.2.6 Distribution des contraintes 180
- 8. Thème page 9.4.3 Equilibrede Boussinesq 182 9.4.3.1 Hypothèses 182 9.4.3.2 Poussée sur un écran 183 9.4.3.3 Calcul du coefficient de Poussée 183 9.4.3.4 Etude de la solution 186 9.4.4 Cas de milieu pulvérulents non pesant chargés 193 9.4.5 Cas des sols cohérents (théorème des états correspondants) 198 9.5 Calcul pratique de la poussée et de la butée 199 9.5.1 Théorie de Rankine 199 9.5.1.1 Introduction 199 9.5.1.2 Etat actif 199 9.5.1.3 Etat passif 200 9.5.1.4 Poussée due à une surcharge uniforme 201 9.5.1.5 Cas de surface libre inclinée 201 9.5.2 Théorie de Coulomb 202 9.5.2.1 Introduction 202 9.5.2.2 Etat actif 203 9.5.2.2.1 Sol pulvérulent 203 9.5.2.2.2 Sol cohérent 204 9.5.2.3 Etat passif 205 9.5.3 Théorie de Boussinesq (Tables de Caquot et Kérisel) 205 9.5.4 Construction de Culmann 206 9.5.4.1 sol pulvérulent non chargé 206 9.5.4.1.1 Etat actif 206 9.5.4.1.2 Etat passif 207 Exercices du chapitre 208 Chapitre 10: Reconnaissance des sols 210 10.1 Introduction. 210 10.2 Essais de laboratoire 210 10.2.1 Introduction 210 10.2.2 Essais physiques 211 10.2.3 Essais chimiques et minéralogiques 211 10.2.4 Essais hydrauliques 211 10.2.5 Essais mécaniques 211 10.3 Essais sur place 211 10.3.1 Introduction 211 10.3.2 Reconnaissance des sols 212 10.3.2.1 Introduction 212 10.3.2.2 Méthodes géophysiques 212 10.3.2.2.1 Prospection électrique 212 10.3.2.2.2 Prospection sismique 212 10.3.2.2.3 Prospection par micro-gravimétrie 212 10.3.2.3 Les sondages 212
- 9. Thème page 10.3.2.3.1 Prospectiongéologique 212 10.3.2.3.2 Reconnaissance hydrologique 212 10.3.3 Essais sur les caractéristiques physiques 213 10.3.4 Essais mécaniques 213 10.3.4.1 Essais de chargement à la plaque ou à la table 213 10.3.4.2 Essais pour le sol sous action dynamique 213 10.3.4.3 Scissomètre 213 10.3.4.4 Rhéotest 213 10.3.4.5 Pressiomètre 213 10.3.4.6 Essai de pénétration au cône 214 10.3.4.7 Essais de battage 214 10.3.4.7.1 Essai de pénétration normalisé (S.P.T) 214 10.3.4.7.2 Pénétromètre statique 214 10.3.4.7.3 Pénétromètre dynamique 214 Chapitre 11: Solutions de quelques exercices 216 Références bibliographiques
- 10. Notations Alphabet minuscule a Constante,dimension av Coefficient de compressibilité b Constante, dimension c Compacité, cohésion cw Contrainte d'adhérence massif-écran d Déformation volumique det Déterminant d'une matrice d' densité déjaugée dd densité sèche dh densité humide ds densité de la phase solide ds Distance infinitésimale e Indice des vides, vecteur unitaire ec Indice des vides en fin de consolidation ecrit Indice des vides critique emax Indice des vides dans l'état le plus lâche emin Indice des vides dans l'état le plus dense ep Indice des vides à la fin de consolidation primaire f Fonction de charge, fonction fv Force de volume g Accélération terrestre, fonction h Hauteur, charge hydraulique, épaisseur hc Ascension capillaire i Gradient hydraulique k Coefficient de perméabilité, vecteur unitaire k0 Coefficient de poussée des terres au repos kq Coefficient de la poussée latérale due à une surcharge kx, ky Coefficients de perméabilité suivant x et y l Longueur d'un chemin, vecteur unitaire m Paramètres, vecteur unitaire ms Masse de la phase solide mt Masse totale mv Coefficient de changement de volume n Porosité, paramètre, nombre de carreaux, vecteur unitaire normal ni Composante de vecteur unitaire normal pa Poussée active pp Poussée passive ps Poids de la phase solide pt Poids totale pw Poids de l'eau q Débit, charge répartie r Vecteur position, rayon d'un cercle rm Rayon du ménisque rsc Taux de surconsolidation sm contrainte moyenne t Temps, vecteur contrainte tr Trace d'un tenseur ti Composante de vecteur contrainte tp Temps de 100 % de consolidation u Pression interstitielle, vecteur ou composante déplacement
- 11. ua Pression del'air uc Pression capillaire v Vitesse, vitesse de décharge, composante de déplacement vs Volume de la phase solide vt Volume total vv Volume des vides vw Volume de l'eau w Masse, composante de déplacement x, x' Coefficient, distance z Altitude, profondeur Alphabet majuscule A Activité, aire d'une section, paramètre de la pression interstitielle B Dimension, paramètre de la pression interstitielle Ac Aire de contact C Coefficient, matrice de passage Cc Coefficient de courbure, indice de compression Cce Indice de compression modifié Cr Indice de recompression Cre Indice de recompression modifié Cu Coefficient d'uniformité Cv Coefficient de consolidation Cw Résultante de l'adhérence massif-écran Cα Indice de compression secondaire Cαe Indice de compression secondaire modifié D Profondeur d'influence (consolidation dynamique) Dx Diamètre du tamis correspondant à x % de tamisa cumulé E Tenseur de déformation, module de Young Eij Composante du tenseur de déformation E' Module oedométrique F Force de volume Fa Résultante de la poussée active Fi Composante de force de volume Fp Résultante de la poussée passive H Hauteur, épaisseur Hdr Longueur de drainage I Facteur d'influence Ii Invariant d'un tenseur Ic Indice de consistance Id Indice de densité IL Indice de liquidité Ip Indice de plasticité K Coefficient de pression des terres K0 Coefficient de poussée des terres au repos Ka Coefficient de la poussée active Kac Coefficient de la poussée active due à la cohésion Kaq Coefficient de la poussée active due à une surcharge Kaγ Coefficient de la poussée active due au poids des terres Kp Coefficient de la poussée passive Kpc Coefficient de la poussée passive due à la cohésion Kpq Coefficient de la poussée passive due à une surcharge Kpγ Coefficient de la poussée passive due au poids des terres Kq Coefficient de la poussée latérale due à une surcharge Kγ Coefficient de la poussée due au poids des terres L Dimension M Masse Mt Masse totale P pression, force totale de contacte, force concentrée
- 12. P' Force effectivede contacte Q Débit R Distance radiale, lecture micrométrique, Réaction Re Nombre de Reynolds S Tenseur déviateur, tassement, fonction Sc Tassement de consolidation Sd Tassement différentiel Si Tassement instantané Sij Composantes du tenseur déviateur Sr Degré de saturation Sp Tassement primaire Ss Surface spécifique, tassement secondaire St Sensitivité, tassement total T Tension, tension capillaire, tenseur de contrainte, facteur temps Targ Teneur en argile U, Uz Degré de consolidation Umoy Degré de consolidation moyen V Vitesse moyenne, volume V0 Volume initial Vs Volume de la phase solide Vt Volume total W Teneur en eau, poids propre WL Limite de liquidité WP Limite de plasticité WR Limite de retrait Wop Teneur en eau optimale Z Profondeur Symbole minuscule α Angle, scalaire, inclinaison d'un écran par rapport à l'horizontale α0 inclinaison d'une surcharge αr inclinaison du plan de rupture β Angle, inclinaison de la surface libre d'un massif γ' Poids volumique déjaugé γd Poids volumique sec γh Poids volumique humide γs Poids volumique des grains solides γsat Poids volumique du sol saturé γw Poids volumique de l'eau δ Angle, angle de frottement massif-écran δij Symbole de Kronecker λ Valeur propre, coefficient de Lamé, inclinaison d'un écran par rapport à la verticale µ Coefficient de Lamé ν Coefficient de Poisson ε Angle, déformation ε, εij Tenseur ou composante de petite déformation εm Déformation moyenne εp Déformation plastique εv Déformation verticale η Coefficient de viscosité θ Angle de position ρ Masse volumique, distance radiale ρ' Masse volumique déjaugée ρd Masse volumique sèche ρh Masse volumique humide ρs Masse volumique des grains solides ρw Masse volumique de l'eau
- 13. σ Contrainte normale,contrainte normale totale, tenseur de contrainte σ1 σ2 σ3 Contrainte principales σeq Contrainte équivalente σh Contrainte horizontale σm Contrainte moyenne σn Contrainte normale σr, σf Contrainte normale à la rupture σs Contrainte seuil σz Contrainte verticale σij Composante de tenseur de contrainte σrr, σθθ Composante de contrainte dans un repère polaire ou cylindrique σ' Contrainte normale effective, contrainte dans un nouveau repère σ'3c Contrainte latérale effective de confinement σ'3crit Contrainte latérale effective critique σ'p Contrainte verticale de préconsolidation σv Contrainte verticale σ'vc Contrainte verticale de consolidation σ'v0 Contrainte verticale due au poids des terres τ Résistance, contrainte tangentielle totale τij Composante tangentielle de tenseur de contrainte τm, τmax Contrainte tangentielle maximale τr, τf Contrainte tangentielle à la rupture τ' Contrainte tangentielle effective φ Potentiel de vitesse, angle de frottement interne φ' Angle de frottement interne (analyse en contraintes effectives) ψ Angle entre la direction de σ1 et un rayon polaire ωβ, ωδ, ωα0 Angle Symbole majuscule, opérateur ∆ Variation, Laplacien ∇ Opérateur Nabla (différentiel) ċ (point) Vitesse de c , Dérivée partielle Autres enrichissements Gras Vecteur, tenseur, matrice
- 14. Chapitre 1: Introduction générale 1.1Objet de la mécanique des sols. 1.2 Disciplines de la mécanique des sols. 1.3 Historique. 1.4 Quelques grands projets. 1.5 Plan du cours.
- 15. Chapitre 1 Introduction générale 1.1Objet de la mécanique des sols Les ouvrages utilisent le sol autant qu’un élément de l’infrastructure qui transmet la charge globale de l’ouvrage vers une couche du sol suffisamment stable et résistante. De ce fait, la réussite de l’ouvrage relève de la réussite du projet de fondation. Selon le type de l’ouvrage et son mode de conception, le sol peut constituer une base d’appuis pour l’ensemble de l’ouvrage tel que route, tunnel, barrage poids, mur de soutènement, aérodrome, ou un point d’appuis pour quelques éléments seulement tel que bâtiment, pont, barrage en arc ..etc. La mécanique des sols (et des roches) est la science qui regroupe l’ensemble des connaissances et des techniques qui permettent D’identifier les caractéristiques qui régissent le comportement mécanique du sol. L’analyse de l’interaction sol-structure La réalisation correcte des ouvrages enterrés. A titre indicatif, la mécanique des sols traite les problèmes relatifs aux fondations diverses, ouvrages de soutènement, remblais et structures en terre, stabilité des pentes et talus, route, piste d’atterrissage, tunnels, mines… 1.2 Disciplines de la mécanique des sols Afin de réaliser les objectifs citées ci-dessus, plusieurs disciplines seront nécessaires. 1.2.1 Géologie du terrain L’étude de la géologie du terrain est d’une grande importance. En effet, elle permet d’identifier les différentes couches du sol, leurs épaisseurs et leurs pendages ainsi que la présence éventuelle de nappe d’eau souterraine. D’autre part, l’étude géologique des couches présentes donne des descriptions qualitatives du sol, répond sur quelques questions relatives à l’histoire du dépôt et permet d’orienter les recherches préliminaires.
- 16. Eléments de Mécaniquedes Sols 11 1.2.2 Caractéristiques physico-chimiques L’étude des caractéristiques physiques et chimiques des sols a montré sa grande utilité pour la prédiction ou l’interprétation du comportement du sol. La majorité de ces propriétés sont déterminées par des essais au laboratoire ou sur site. 1.2.3 Etude hydraulique En présence d’eau, l’étude de la perméabilité des différentes couches s’impose pour estimer la résistance du sol dans les conditions les plus défavorables et le risque au glissement. La détermination du niveau de stabilisation et l’étude du régime d’écoulement permet de choisir le matériel de pompage et d’épuisement, comme il permet de parer aux phénomènes des sables boulants. La détermination de la nature chimique de l’eau souterraine permet de prévoir le mode d’étanchéité des structures enterrées. 1.2.4 Caractéristiques mécaniques L’analyse du comportement mécanique des sols repose sur les conclusions des disciplines précédentes ainsi que sur des essais de laboratoire ou sur site. Cette discipline permet de déterminer la résistance du sol et sa capacité portante, et par conséquent le choix du mode de fondation et les dimensions des éléments enterrés. Enfin, elle permet de prévoir de façon quantitative la déformation ou tassement du sol sous la charge de l’ouvrage. 1.2.5 Recherche théorique et modélisation numérique Dans le but de la compréhension des phénomènes physiques complexes, plusieurs théories ont été développées. Elles décrivent les problèmes posés par des modèles mathématiques rigoureux dont la résolution fait recours aux techniques informatiques et numériques de plus en plus avancées et occupe une large partie de la recherche actuelle dans ce domaine. 1.2.6 Conception et mise en œuvre Ce sont les techniques acquises pour la conception et la réalisation des ouvrages enterrés. Elle prend en compte l’étude des coûts des différentes solutions possibles. Autre que le savoir faire, la réglementation en vigueur doit être suivie pas à pas pour garantir les conditions de sécurité que ce soit pendant la réalisation ou au cours de l’exploitation de l’ouvrage. 1.3 Histoire de la mécanique des sols On peut suivre l’évolution de la mécanique des sols à travers son apparition autant qu’une science à part entière et le développement de ses grandes théories (voir le tableau ci-contre). Siècle Auteur Théorie 18ème Coulomb Résistance au cisaillement Collin Rupture dans les talus d’argile Darcy Ecoulement de l’eau à l’intérieur du sable Rankine Pression des terres sur les murs de soutènement 19ème Gregory Drainage horizontal, remblai compacte avec contrefort pour stabiliser la pente des tranchées de voies ferrées Atterberg Limites de consistance de l’argile Terzaghi Premier manuel moderne de mécanique des sols 20ème Casagrande Essais sur la limite de liquidité
- 17. 12 Chapitre 1: Introductiongénérale 1.4 Quelques grands projets de mécanique des sols à travers le monde Le sujet se prête à une recherche bibliographique intéressante. Il est constamment proposé aux étudiants de différentes promotions autant que travail à exposer. 1.5 Plan du cours Le chapitre deux est consacré à la description macroscopique, la composition minéralogique, structure et caractéristiques physiques des sols ce qui permet d’établir des systèmes de classification des sols. Le chapitre trois s’intéresse à l’amélioration des caractéristiques du sol par compactage, et présente les essais Proctor lié au problème. Dans le quatrième chapitre on étudie l’eau dans le sol, la perméabilité du sol, la loi de Darcy régissant l’écoulement de l’eau dans le sol, les réseaux d’écoulement, la contrainte verticale due au poids des terres et la notion de la contrainte effective. Le chapitre cinq donne les résultats pratiques pour l’étude de la distribution des contraintes dues aux charges extérieures. Le sixième chapitre expose de façon détaillée le calcul du tassement du sol sous charge extérieure, l’étude de la compressibilité et de la vitesse de consolidation du sol. Le chapitre sept est relatif à l’étude de la résistance des sols au cisaillement pour lequel les notions fondamentales de mécanique des milieux continus, et l’utilisation du cercle de Mohr seront rappelés. Le chapitre huit présente en détail les différentes théories associées à l’équilibre limite et abouti au calcul pratique de la pression latérale des terres.
- 18. Eléments de Mécaniquedes Sols 13
- 19. Chapitre 2: Caractéristiques physiquesdes sols 2.1 La formation des sols. 2.2 Principales caractéristiques du sol et de la roche. 2.3 Structure des sols. 2.4 Analyse granulométrique. 2.5 Caractéristiques physiques communes aux différents sols 2.5.1 Masses et poids volumiques 2.5.2 Porosité, indice des vides et densité relative 2.5.3 Teneur en eau et degré de saturation. 2.6 Propriétés des particules fines. 2.6.1 Propriétés colloïdales 2.6.2 Surface spécifique. 2.6.3 Limites d'Atterberg. 2.6.4 Famille minéralogique. 2.6.5 Activité. 2.6.6 Sensitivité. 2.7 Classification des sols. 2.7.1 Système de classification unifié des sols (USCS)
- 20. Chapitre 2 Caractéristiques physiquesdes sols 2.1 Formation des sols La terre est recouverte d’une couche plus ou moins solide de roches basaltiques et granitiques d’une épaisseur de 10 à 40 km. Au dessus se trouve le sol. Il s’agit d’une mince couche d’épaisseur variable de matériaux non consolidés à cause des effets géologiques tels que les altérations qui provoquent la désintégration des roches en petites particules. L’altération physique comprend le gel et dégel, variation de température, et activité humaine, animale ou végétale. Comme altération chimique on site l’oxydoréduction et la carbonatation. On peut considérer l’érosion autant qu’une altération mécanique. 2.2 Principales caractéristiques du sol et de la roche Le sol est un matériau hétérogène et anisotrope comportant des minéraux et des matériaux organiques. La présence de l’air et de l’eau font du sol un matériau complexe à effet du temps. Son comportement est non linéaire et irréversible d’où la nécessité de combiner essais en laboratoire et en place, analyse théorique et modélisation, expérience cumulée et bon jugement pour la réussite d’une étude géotechnique. 2.3 Structure des sols Le sol est un matériau constitué de particules. Les dimensions de ces particules peuvent être uniformes ou variées allant des cailloux de 10 cm et s’étendant jusqu’aux particules fines de moins du micron. Autre que la grosseur des grains, les particules possèdent d’autres caractéristiques telles que forme, texture et structure élémentaire. 2.3.1 Grosseur des grains Lorsque le sol est constitué de grains de dimensions variables, l’analyse granulométrique (voir ci-dessous) permet d’étudier la répartition des particules selon leurs grosseurs. Toutefois, on peut commencer par une description grossière à l’œil nu (Tab. 2.1). 2.3.2 Forme Il s’agit de la description de la forme géométrique du grain (Fig. 2.1). 2.3.2.1 Particules cubiques ou sphériques. Elles prédominent dans les sols à gros grains. Pour une description plus précise, on utilise les adjectifs : arrondies, sous-arrondies, angulaires et sous-angulaires. 2.3.2.2 Particules en plaquettes Typique des sols à grains fins. 2.3.2.3 Particules en bâtonnets où aiguilles. Cette forme est moins répondue dans le sol.
- 21. Eléments de Mécaniquedes Sols 15 Propriété Graviers, Sables Silt Argiles Grosseur Gros grains, visibles à l'œil nu Grains fins invisibles à l'œil nu Grains fins invisibles à l'œil nu Caractéristiques Granulaire Pulvérulents Non plastiques Granulaire Pulvérulents Non plastiques Cohérents Plastiques Effet de l'eau Peux d'importance Important Très important Effet de la distribution granulométrique Important Sans grande importance Sans grande importance Tab. 2.1: Propriétés texturales des sols. 2.3.3 Texture Pour sa description on utilise les adjectifs polie, mate, douce, rugueuse, striée, givrée. 2.3.4 Structure élémentaire Les particules de toutes dimensions et toutes formes s’arrangent dans le sol pour former des structures variées. Les particules des sols à gros grains ont un arrangement élémentaire de sorte que chaque grain est solidement installé entre ses voisins telles les structures élémentaires extrêmes (la plus compacte et la plus lâche), structure dense, structure lâche et structure en nid d’abeille (Fig. 2.2). Dans les argiles, on peut trouver des structures en nid d’abeille et structure floconneuse qui sont moins résistantes (Fig. 2.3). Les sols relevant de ce dernier type posent des problèmes redoutables tels que gonflement et tassement. Les grains d’argile en forme de plaquettes, peuvent s’arranger de plusieurs façons (Fig. 2.4). Lorsque le sol comporte des grosseurs de grain variables (grosse ou fine), les arrangements se diversifient entre agrégats, amas et matrices (Fig. 2.5). 2.4 Analyse granulométrique C’est l’étude au laboratoire de la répartition des grains d’un sol selon leurs dimensions. L’essai se fait en suivant un mode opératoire bien précis. Pour les sols grossiers, on effectue un tamisage tandis que pour les particules très fines l’essai se fait par sédimentométrie. En général, l’interprétation des résultats se fait en dressant la courbe du tamisat cumulé en fonction du diamètre des grains (Fig. 2.6). Dans ce contexte, on introduit des coefficients permettant la description de la répartition granulométrique: le coefficient de courbure Cc et le coefficient d'uniformité Cu.
- 22. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 16 Fig. 2.1 : Quelques formes typiques de grains grossiers arrondie sous-arrondie angulaire sous-angulaire Structure élémentaire dense n = 0,26 Structure élémentaire lâche n = 0,48 structure dense structure lâche structure en nid d'abeille Fig. 2.2 : Arrangement de sols à grains grossiers
- 23. Eléments de Mécaniquedes Sols 17 structure en nid d'abeille structure floconneuse Fig. 2.3: Arrangement de sols à grains fins arrangement de plaquettes arrangement de groupement de d'argile plaquettes d'argile Enchevêtrement d'amas d'argile Fig. 2.4: Différents arrangements de plaquettes d'argile (d'après introduction à la géotechnique)
- 24. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 18 matrice de particules argileuses enchevêtrement d'amas d'argile avec inclusions de silt matrice de particules granulaires matrice partiellement discernable entre particules Fig. 2.5: Arrangement de particules solides de différentes grosseurs (d'après introduction à la géotechnique) grains de silt et de sable plaquettes de silt et grains de sable
- 25. Eléments de Mécaniquedes Sols 19 arrangement de sable ou silt avec un liant arrangement d'agrégat régulier arrangement d'agrégat régulier avec des grains de sable ou silt avec une matrice de particules fines agrégats irréguliers agrégats irréguliers retenus par un liant formant un nid d'abeille Fig. 2.5 : (suite) Arrangement de particules solides de différentes grosseurs (d'après introduction à la géotechnique)
- 26. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 20 1 E -3 0 ,0 1 0 ,1 1 1 0 1 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 Pourcentagedepassantenmasse D ia m è tre d e s g ra in s [m m ] Fig. 2.6: Exemple de courbes granulométriques Coefficient d’uniformité Cu. Il est défini par : Cu Granulométrie 1 A une seule grosseur 1 – 2 Très uniforme 2 – 5 Uniforme 5 – 20 Peu uniforme > 20 Très étalée 10 60 u D DC = (2.1) Il sert à la description de la granulométrie (Tab. 2.2). Dx est par définition le diamètre du tamis dont le tamisat cumulé est égal à x %. Tab. 2.2: Echelle de granulométrie selon Cu Coefficient de courbure Cc Il est défini par : 6010 2 30 c D.D D C = (2.2) On considère que lorsque Cu est supérieur à 4 pour les graviers, et supérieur à 6 pour les sables, alors 1 < Cc < 3 donne une granulométrie bien étalée. Exemple 2.1 A l’aide des courbes granulométriques ci-dessous (Fig. 2.6), déterminer les valeurs respectives du coefficient d’uniformité et du coefficient de courbure. air ma ≈ 0 eau mw grains vs air va eau vw2.5 Caractéristiques physiques communes aux différents sols grains ms 2.5.1 Masses et poids volumiques Un sol en place est un complexe constitué en général de trois phases : solide, liquide et gaz (Fig. 2.7). Fig. 2.7 : volume élémentaire d’un sol
- 27. Eléments de Mécaniquedes Sols 21 . On appelle masse volumique apparente ou tout simplement masse volumique, la masse par unité de volume du sol considéré : t t h v m=ρ (2.3) . La masse volumique sèche est la masse de la matière sèche contenue dans l’unité de volume : t s d v m=ρ (2.4) Dans la majorité des questions, c’est le poids volumique qui intervient, notons donc pi le poids associé à la masse mi, d'où les définitions: γh le poids volumique (apparent) t t h v p =γ (2.5) γd le poids volumique sec t s d v p =γ (2.6) γw le poids volumique de l’eau w w w v p =γ (2.7) γs le poids volumique des grains solides s s s v p =γ (2.8) γ' le poids volumique déjaugé. C'est le poids apparent des grains solides baignant dans l’eau. On montre qu’il est donné par : γ' = γsat - γw (2.9) où γsat est le poids volumique apparent du sol saturé. Parfois on utilise les densités par rapport à l’eau : dh la densité humide w h hd γ γ = (2.10) dd la densité sèche
- 28. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 22 w d dd γ γ = (2.11) ds la densité des grains solides w s sd γ γ = (2.12) d’ la densité déjaugée w ' 'd γ γ = (2.13) Remarque 2.1 La densité des gains solides varie peu. Cette conclusion est le fait que l’Aluminium et le Silicium sont les éléments dominant dans les sols. Ces deux éléments simples ont des poids atomiques voisins (26,98 et 28,09 respectivement). Ainsi la plupart des minéraux constitutifs des sols ont une densité des grains solides située entre 2,4 et 2,9. 2.5.2 Porosité, indice des vides et densité relative (indice de densité) 2.5.2.1 Porosité et compacité La porosité est le rapport du volume des vides (eau et air) au volume total du sol. t v v vn = (2.14) Dans un volume égale à l’unité, les grains solides occupent le volume 1-n dit compacité. c = 1 – n 2.5.2.2 Indice des vides C’est le rapport du volume des vides au volume des grains solides s v v ve = (2.15) cette définition aboutit aux relations e1 enet n1 ne + = − = (2.16) 2.5.2.3 Densité relative ou indice de densité Elle est définie par l’expression minmax max d ee eeI − −= (2.17) où emin est l’indice des vides correspondant à l’état le plus compact. emax est l’indice des vides correspondant à l’état le plus lâche.
- 29. Eléments de Mécaniquedes Sols 23 e est l’indice des vides du sol en place. L’indication de l’indice de densité permet d’avoir une idée sur l’état de tassement d’un sol donné : Id = 0 pour l’état le plus lâche (e=emax) et Id=1 pour l’état le plus compact (e=emin). W Etat du sol 0 - WR Solide sans retrait WR – WP Solide avec retrait WP – WL Plastique ≥ WL Liquide 2.5.3 Teneur en eau et degré de saturation 2.5.3.1 Teneur en eau C’est le rapport du poids de l’eau au poids de la matière sèche Tab. 2.3: Echelle de teneur en eau. s w p p w = (2.18) Selon la teneur en eau du sol naturel on le classe comme résumé ci-contre (Tab. 2.3). 2.5.3.2 Degré de saturation C’est le rapport du volume occupé par l’eau au volume total des vides Sr Etat du sol 0 Sec 1 – 25 Peu humide 25 – 50 Humide 50 – 75 Très humide 100 saturé v w r v vS = (2.19) Le degré de saturation permet de classer le sol comme indiqué sur (Tab. 2.4). Tab. 2.4: Echelle de saturation. Exemple 2.2 Considérons un sol caractérisé par : La masse volumique totale est égale à 1,76 g/cm3 , la masse volumique des grains solides est égale à 2,7 g/cm3 et la teneur en eau est de 10 %. Calculer les valeurs de : La masse volumique du sol sec, l’indice des vides, la porosité, le degré de saturation et la masse volumique du sol saturé. La masse volumique de l’eau est prise égale à 103 kg/m3 = 1 g/cm3 . 2.6 Propriétés des particules fines Dans le sol, les particules fines et particulièrement les argiles possèdent des caractéristiques spécifiques par rapport aux grosses particules. Ces propriétés jouent de grands rôles dans le comportement mécanique des sols. 2.6.1 Propriétés colloïdales De nombreuses propriétés des argiles peuvent s’expliquer sur la base des phénomènes physico-chimiques qui se produisent à la surface des grains. En effet, chaque particule d’argile est chargée d’électricité négative sur sa surface extérieure. L’eau contenue dans le sol est alors soumise à un champ électrique près de la surface des grains. Les molécules de l’eau au voisinage des grains n’ont plus les propriétés physiques de l’eau normale : c’est de l’eau liée ou solide. Alors chaque grain est enveloppé dans un film d’eau de nature spéciale dite eau adsorbée dont l’épaisseur est de l’ordre de cinq millimicrons (Fig. 2.8). Cette eau a des effets négligeables sur les sables et les limons, mais elle a un rôle essentiel dans le comportement des argiles. On conclut que le comportement du sol fin peut être sensiblement modifié par la présence d’ions eau adsorbée eau interstitielle grain solide Fig. 2.8 : Eau interstitielle et eau adsorbée
- 30. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 24 de divers types dans l’eau interstitielle. C’est pourquoi on précise souvent la nature du cation qui prédomine dans les couches adsorbées. D’autre part, cela montre que la surface extérieure du grain joue un rôle principal dans le comportement de l’argile. Ce rôle est accentué par l’énorme développement de la surface du grain par rapport à sa masse. On est donc amené tout naturellement à définir la surface spécifique ou surface du grain contenu dans l’unité de volume ou de masse. 2.6.2 Surface spécifique Elle est définie par le rapport entre la surface d’un solide et sa masse ou son volume. Dans ce cours on retiendra : volume surfaceSS = (2.20) Exemple 2.3 Calculer les surfaces spécifiques de cubes de côtés égales respectivement à 1cm, 1mm et 1 µm. On constate que lorsqu’on tente de mouiller la surface extérieure des cubes ci-dessus, il faudrait dix fois plus d’eau pour mouiller la surface d’un grain cubique de 1 mm de côté occupant le même volume solide qu’un grain cubique de 1 cm de côté. De ce fait, les grosses particules ont des surfaces spécifiques plus faibles que les petites particules. En partant de ce principe, on peut s’attendre à ce que les teneurs en eau des sols à grains fins soient plus élevées que celles des sols à grains grossiers, lorsque touts les autres facteurs, tels l’indice des vides et la structure sont identiques. 2.6.3 Limites d’Atterberg Les argiles forment des pâtes dans lesquelles chaque grain est relié aux grains voisins par des forces de cohésion dues à la présence des couches adsorbées. La consistance qui en résulte dépend en grande partie de la teneur en eau du matériau. On distingue alors trois états de la consistance des argiles : états liquide, plastique et solide (Fig. 2.9). A l’état liquide, les grains sont indépendants les uns des autres, le mouvement relatif entre les particules est aisé. A l’état plastique, les grains sont plus rapprochées et ont mis en commun leurs couches d’eau adsorbées. Lorsqu’il y a mouvement, les grains restent attachés les uns aux autres sans s’éloigner. A l’état solide, les distances inter-granulaires sont encore plus petites. Les grains arrivent même au contact en quelques points chassant ainsi l’eau adsorbée. Les frottements internes sont alors importants. La transition d’un état à l’autre est très progressive. Néanmoins, on utilise de façon pratique les limites d’Atterberg : Limite de liquidité WL Elle sépare l’état liquide de l’état plastique. Limite de plasticité WP Elle sépare l’état plastique de l’état solide. Limite de retrait WR Elle caractérise l’apparition du phénomène de retrait.
- 31. Eléments de Mécaniquedes Sols 25 Fig. 2.9 : Etats de consistance d’un sol Etat solideEtat plastiqueEtat liquide Ces limites sont mesurées sur le mortier, c.à.d. la fraction de sol qui passe le tamis d’ouverture égale à 0,40 mm. En comparant la teneur en eau d’un sol donné aux limites d’Atterberg déterminées précédemment sur un échantillon du même sol, on obtient des indications fondamentales sur son comportement mécanique. Autrement dit, ces limites décrivent certains comportements critiques (Fig. 2.10). Sur la base de ces limites, on défini les indices suivant : Indice de plasticité IP Il mesure l’étendu du domaine de plasticité du sol. Il s’exprime par : IP = WL – WP (2.21) Cet indice occupe une grande place en géotechnique (Fig. 2.11). Casagrande a montré que l’indice de plasticité est une fonction linéaire de la limite de liquidité : IP = a WL – b (2.22) Où a et b sont des constantes. Deux autres indices caractérisent la structure d’une argile de teneur en eau égale à W. Ils sont l’indice de consistance et l’indice de liquidité. Indice de consistance Ic Il est défini par P L c I WWI −= (2.23) Indice de liquidité IL Il est défini par c P P L I1 I WWI −=−= (2.24)
- 32. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 26 résistance résistance déformation w > wLw ≈ wL w ≈ wp w < wp Fig. 2.10 : Relation entre limites d’Atterberg et comportement mécanique Etat Fragile Mi-solide Plastique Liquide Teneur en eau WR Wp WL Indice de liquidité IL < 0 IL = 0 IL = 1 IL > 1 w résistance déformationdéformation 2.6.4 Famille minéralogique 2.6.4.1 Classification Les propriétés physiques des couches adsorbées dépendent aussi de la nature du minéral qui constitue le grain. L’étude des couches adsorbées et des minéraux argileux est importante pour bien comprendre le comportement des argiles que la granulométrie seule ne saurait expliquer. C’est ainsi que nous classons les minéraux argileux en différents groupes : famille, espèce et variété. Les trois familles les plus connues sont la kaolinite, la montmorillonite et l’illite. 2.6.4.1.2 La kaolinite Les argiles de la famille de la kaolinite sont les constituants essentiels de la plus part des argiles utilisées en céramique. Leur surface spécifique ne dépasse pas 20 à 30 m2 /mg. Les phénomènes de surface sont donc peu intenses. Autrement dit, ces minéraux sont relativement inactifs. La formule chimique de cette famille est du type Si2Al2O5(OH)4 pour une demi- maille, elle est donc assez riche en alumine. 2.6.4.1.3 La montmorillonite Les sols de la famille de la montmorillonite peuvent absorber de l’eau dans des proportions considérables, donnant lieu à des gonflements caractéristiques. Ceci est dû au fait que les liaisons d’un feuillet à l’autre sont faibles à cause de la structure floconneuse, et l’eau pénètre facilement entre les feuillets. D’autre part, la surface spécifique de cette famille est élevée, elle peut dépasser 150 m2 /g, ce qui donne une grande importance aux phénomènes de surface. La montmorillonite est alors une famille de minéraux argileux actifs. La formule chimique des montmorillonites est du type Si4Al(2-x)MgxO10(OH)2x(cations échangeables)nH2O. 2.6.4.1.4 L’illite Les argiles de la famille de l’illite sont parmi les minéraux les plus répondus à la surface de la terre. La structure de l’illite est analogue à celle des micas, mais la matière est beaucoup plus finement divisée. La formule chimique pour une demi-maille de l’illite est de la forme Si(4- x)AlxAl2O10(OH)2xK.
- 33. Eléments de Mécaniquedes Sols 27 2.6.4.2 Identification des minéraux argileux dans un sol 2.6.4.2.1 Diffraction des rayons x C’est une méthode de comparaison des spectres de diffraction de l’échantillon avec les spectres des minéraux connus. Cette méthode ne donne qu’une idée très approximative de la nature et la quantité des minéraux présents dans le sol. 2.6.4.2.2 Analyse différentielle thermique Elle se fait par chauffage continu d’un échantillon dans un four électrique en présence d’une substance inerte de référence. La structure particulière des minéraux argileux déterminera des variations thermiques à des températures bien définies pour des minéraux donnés. Les variations enregistrées peuvent ensuite être comparées avec celles de minéraux connus. 2.6.4.2.3 Microscopie électronique Ce procédé présente des difficultés d’interprétation et ne permet pas d’obtenir des données quantitatives. 2.6.4.2.4 Méthode de Casagrande C’est une démarche simplifiée basée sur les limites d’Atterberg. Il s’agit de placer sur l’abaque de plasticité de Casagrande (Fig. 2.11) les points correspondant à l’échantillon et de comparer sa position avec celle des minéraux connus. Cette méthode peut donner autant de renseignements pertinents que n’importe quelle analyse de haute précision. Fig. 2.11: Abaque de plasticité de Casagrande et position des minéraux argileux les plus connus
- 34. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 28 2.6.5 Activité Les valeurs des limites de liquidité et de plasticité dépendent en tout premier lieu de l’importance relative des grains les plus fins au sein du mortier (l’ensemble des grains de dimension inférieure à 0,4 mm). Par définition, l’activité est le rapport de l’indice de plasticité exprimé en % à la teneur en argile exprimée en % : ileuseargfraction IA P = (2.25) La teneur en argile dite aussi fraction argileuse est le rapport du poids des grains secs de dimension inférieure à deux micromètre au poids total du mortier : t arg M )m2(M T µ<Φ = (2.26) L’activité est caractéristique du minéral constituant les particules fines. Lorsque la teneur en argile est assez forte, les grains de dimensions supérieures à deux micromètres sont noyés dans l’argile et ne se touchent pratiquement pas. Les limites d’Atterberg du sol considéré sont donc celles des particules d’argiles, on peut admettre donc que les grains de dimensions supérieures à deux micromètre ne retiennent pratiquement plus d’eau. L’échelle d’activité généralement utilisée est la suivante (Tab. 2.5). Activité Nature de l’argile < 0,75 Inactive [0,75 – 1,25] Normale > 1,25 active Tab. 2.5: Echelle d'activité 2.6.6 Sensitivité Une argile naturelle qui est manipulée à teneur en eau constante s’amollit en général au cours de l’opération. On appelle sensitivité de l’argile le rapport de ses résistances à la compression simple avant et après remaniement. )remaniée(τ )acte(intτ tremaniemenaprèssimplencompressiolaàcetanrésis tremaniemenavantsimplencompressiolaàcetanrésis S r r t == (2.27) Une échelle de sensitivité est proposée dans (Tab. 2.6), mais en général, les argiles dont la teneur en eau naturelle est voisine de la limite de liquidité sont assez sensibles. La perte de résistance peut avoir deux causes : la destruction de la structure acquise par l’argile au cours de la sédimentation ou la perturbation des couches adsorbées. La première cause est irrécupérable, par contre la seconde peut être restituée dès que la manipulation cesse car l’argile retrouve en partie sa cohésion initiale. Sensitivité Nature de l’argile [2 – 4] Normale ]4 - 8] Sensible > 8 Très sensible Tab. 2.6: Echelle de sensitivité 2.7 Classification des sols La classification des sols est un moyen de créer des catégories de sol permettant de prédire leurs comportements. En général, le simple examen visuel permet de donner un nom au matériau : marne bleu, argile jaune, sable fin,…Il faut toutefois compléter cette indication par : . Une analyse granulométrique.
- 35. Eléments de Mécaniquedes Sols 29 . Détermination des limites d’Atterberg. . Teneur en eau, masse volumique. . Indice de densité pour les sols pulvérulents. . Résistance à la compression simple pour les sols cohérents. Ces renseignements permettent à l’ingénieur d’identifier les sols et par conséquent de se faire une idée sur leurs comportements. Il existe plusieurs systèmes de classification des sols. Leur inconvénient est qu’ils ne sont pas applicables dans touts les cas des applications. Parmi les causes de leur limite d’usage c’est qu’ils ne considèrent comme critères de classification que quelques paramètres si ce n’est pas un seulement tel que classification selon: . l’analyse granulométrique. . l’analyse granulométrique et les limites d’Atterberg. Nous allons examiner comme exemple de système de classification, le système USCS. 2.7.1 Système de classification unifié des sols (USCS) Il a été conçu en 1952 par le professeur Casagrande, le bureau de réclamation (U.S) et le corps des ingénieurs (armée U.S). Il est applicable : aux projets de fondation, aux barrages ainsi qu’aux pistes d’atterrissage et autres types d’ouvrages. Le principe de base de l’USCS consiste à (Tab. 2.7-9, Fig. 2.12): . classer les sols à gros grains (sables et graviers) d’après leurs granulométries. . classer les sols à grains fins (silts et argiles) d’après leurs comportements plastiques. Exemple 2.4 A partir des résultats de l’analyse granulométrique et d’essais de limites de consistance suivant, classer le sol étudié selon le système USCS. n° de tamis Passant [%] 4 99 10 92 40 86 100 78 200 60 WL = 20 %, WP = 15 %, IP = 5 Exemple 2.4
- 36. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 30 Composante de sol Symbole Grosseur [mm] Blocs aucun > 300 Cailloux aucun [300 – 75] Grossier [75 – 19] Gravier Fin G [19 – 4,75] Grossier [4,75 – 2,0] Moyen [2,0 – 0,425] Sols à grains grossiers Sables Fin S [0,425 – 0,075] Silts M < 0,075 Sols à grains fins Argiles C < 0,075 Sols organiques O sans Tourbes Pt sans Tab. 2.7: Classification USCS des sols d'après la grosseur des grains
- 37. Eléments de Mécaniquedes Sols 31 Catégorie Symbole Description Identification sur terrain (fraction à grosseur < 75 mm) GW Gravier bien étalés, mélange graviers-sables, peu ou pas de particules fines Gamme granulométrique étendue, nombre élevé de grains de grosseurs intermédiairesgravier propre avec peu ou pas de particules fines GP Graviers uniformes, mélange graviers-sables, peu ou pas de particules fines Grosseur prédominante ou gamme granulométrique étendue mais faible représentation de certaines grosseurs intermédiaires GM Graviers silteux, mélange gravier-sable-silt Particules fines non plastiques ou de faible plasticité Graviers (+50%delafractiongrossièreest retenuesurtamis4) gravier contenant beaucoup de particules fines GC Graviers argileux, mélange gravier-sable-argile Particules fines plastiques SW Sables bien étalés, sables graveuleux, peu ou pas de particules fines Gamme granulométrique étendue, nombre élevé de grains de grosseurs intermédiairessable propre avec peu ou pas de particules fines SP Sables uniformes, peu ou pas de particules fines Grosseur prédominante ou gamme granulométrique étendue mais faible représentation de certaines grosseurs intermédiaires SM Sables silteux, mélange sable-silt Particules fines non plastiques ou de faible plasticité Solsàgrainsgrossiers(+50%estretenuesurtamis200) Sables (+50%delafractiongrossièrepassele tamis4) sable contenant beaucoup de particules fines SC Sables argileux, mélange sable- argile Particules fines plastiques Identification de la fraction passant le tamis n° 40 Résistance au broyage à sec Résistance aux vibrations Ténacité ML Silts inorganiques et sables très fins, poussière de roche, sables fins silteux ou argileux, siltes argileux peu plastiques Aucune à légère Rapide à lente Aucune CL Argiles inorganiques de plasticité faible à moyenne, argile graveleuse, argiles sableuses, argiles silteuses Moyenne à élevée Aucune à très lente Moyenne Silts et Argiles (WL < 50 %) OL Silts organiques et argiles silteuses organiques de faible plasticité Légère à moyenne Lente Légère MH Silts inorganiques, sables fins micasés ou diatomés Légère à moyenne Lente à aucune Légère à moyenne CH Argiles inorganiques de plasticité élevée, argiles grasses Elevée à très élevée Aucune Elevée Solsàgrainsfins(+50%passeletamis 200) Silts et Argiles (WL > 50 %) OH Argiles organiques de plasticité moyenne à élevée, silts organiques Moyenne à élevée Aucune à très lente Légère à moyenne Sols fortement organiques Pt Tourbes et autres sols fortement organiques D'après couleur, odeur, contenance spongieuse, structure fibreuse Tab. 2.8: Classification USCS des sols (d'après Robert D.H., William D.K.: Introduction à la géotechnique)
- 38. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 32 Cu > 4 et Cc dans [1 – 3] Sol ne répondant pas à tous les critères de GW Au dessous de la ligne A ou Ip < 4 Au dessus de la ligne A et Ip > 7 Sol au dessus de la ligne A et 4 < Ip < 7 utiliser le double symbole Cu > 6 et Cc dans [1 – 3] Sol ne répondant pas à tous les critères de SW Au dessous de la ligne A ou Ip < 4 Utiliser la courbe granulométrique pour vérifier les fractions estimées lors de l'identification sur le terrain Déterminer les pourcentages de sable et de gravier à partir de la courbe granulométrique. Suivant le pourcentage de particules fines (les passants du tamis 200) on classe les sols grossiers de la façon suivante - 5 % de fines: GW, GP, SW, SP + 12 % de fines: GM, GC, SM, SC fines entre [5 – 12]%: Cas limite, double symbole Au dessus de la ligne A et Ip > 7 Sol dans la zone CL- ML, 4 < Ip < 7, utiliser le double symbole Tab. 2.9: Critères de classification au laboratoire (système USCS)
- 39. Eléments de Mécaniquedes Sols 33 Fig. 2.12: Abaque de plasticité de Casagrande et position de différents types de sols
- 40. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 34 Exercices du chapitre 2 Analyse granulométrique Exercice 1 module passoire [mm] refus [g] 1 100 78 2 80 43 3 63 89,6 4 50 115,3 5 40 423,5 6 31,5 72 7 25 438,9 8 20 702,1 9 16 1,7 10 12,5 3,1 11 10 5,8 12 8 8,0 13 5 10,4 14 4 2,0 15 3,15 0,3 16 2,5 2,5 17 2 1,1 18 1,6 2,7 19 1,25 0,0 On pratique une analyse granulométrique sur un échantillon de sol sec. A la fin de l'opération de tamisage, on effectue les opérations de pesées des refus dans chaque passoire. Les résultats sont résumés sur le tableau 1 ci-contre. 1. Compléter le tableau. 2. Tracer la courbe granulométrique du sol en question. 3. Calculer le coefficient d'uniformité et le coefficient de courbure. 4. Classer le sol sous étude. Exercice 2 Refaire le même exercice précédent pour une analyse granulométrique dont les résultats sont résumés sur le tableau 2 ci-contre. module passoire [mm] refus [g] 1 12,5 0 2 10 14 3 8 9,2 4 5 29,3 5 4 35,2 6 3,15 47,2 7 2,5 63,3 8 2,0 126,8 9 1,6 155,6 10 1,25 167,2 11 1,0 236,0 12 0,8 273,2 13 0,63 240,4 14 0,5 219,2 15 0,4 180,8 16 0,315 120,0 17 0,25 55,2 18 0,2 16,4 19 0,16 5,2 20 0,125 1,2 21 0,1 0,8 22 0,08 0,6 23 fond 3,2
- 41. Chapitre 2 :Caractéristiques physiques des sols 35 Caractéristiques physiques des sols Exercice 3: Justifier les relations suivantes: 1. a) e = n / (1- n ) b) n = e / (1+ e ) 2. a) w = e Sr γw / γs b) esr = w γs / γw c) nsr = w / ( γw / γs + w ) 3. γh = γs (1 - n ) + γw Sr n 4. γd = γs (1 - n ) = γs / ( 1 + e ) 5. Sr = w / ( γw / γd - γw / γs ) 6. γh = γs ( 1 + w ) / ( 1 + e ) 7. γh sr = γd + γw n 8. γd = γh / ( 1 + w ) 9. e = Vt γs / Ps - 1 10. γ' = ( γs - γw ) (1 - n ) Exercice 4: Un échantillon d'argile saturée a une masse de 1230 g. Après passage à l'étuve, sa masse n'est plus que 983 g. Le constituant solide des grains a une densité de 2,7. Calculer: La teneur en eau, l'indice des vides, la porosité, la densité humide ainsi que le poids volumique. Exercice 5: Un échantillon de sol a une masse de 128 g et un volume de 58,4 cm3 . La masse des grains est de 120,5 g. Le constituant solide des grains a une densité de 2,6. Calculer: La teneur en eau, l'indice des vides et le degré de saturation. Exercice 6: Un sable quartzeux pèse à l'état sec 15 kN/m3 . La densité du quartz est 2,66. Calculer à la saturation, le poids volumique humide et la densité humide. Exercice 7: Un échantillon d'argile est placé dans un récipient en verre. La masse totale de l'échantillon humide et du récipient est de 72,49 g. Cette masse est ramenée à 61,28 g après passage à l'étuve. La masse du récipient est de 32,54 g. La densité du constituant solide est 2,69. a) On suppose que l'échantillon est saturé. Calculer: La teneur en eau, la porosité, l'indice des vides, la densité humide et la densité déjaugée. b) Le volume initiale de l'échantillon est de 22,31 cm3 . On demande: Le degré de saturation réel et les nouvelles valeurs des densités.
- 42. Chapitre 2: Caractéristiquesphysiques des sols 36 Classification des sols Exercice 8 : Classer les sols suivants selon le système USCS: passant [%] Diamètre du Tamis [mm] sol 1 sol 2 sol 3 sol 4 4,75 97 100 100 24 2,0 90 100 97 18 0,425 40 100 90 10 0,15 8 99 81 5 0,075 5 97 70 3 D60 [mm] 0,71 28 D30 [mm] 0,34 9 D10 0,18 5 WL [%] 124 49 WP [%] n.p. 47 24 n.p. Exercice 9 : Selon le système USCS, classer le sol caractérisé par: 100 % des particules passe le tamis n° 4 et 25 % sont recueillis sur le tamis n° 200. Les particules fines ont une plasticité moyenne à faible, une dilatance nulle à très lente et une résistance du matériau sec moyenne à élevée. Exercice 10 : Classer le sol dont 65 % des particules sont retenues par le tamis n° 4 et 32 % sont retenues par le tamis n° 200. On donne Cu=3 et Cc=1. Exercice 11 : Classer le sol dont la totalité des particules passe par le tamis n° 4 et 90 % passent le tamis n° 200. Les particules fines ont le comportement suivant: résistance du matériau sec: faible à moyenne. dilatance : modérée à rapide. WL = 23 % et WP = 17 % Exercice 12 : Classer le sol dont 5 % des particules sont retenues par le tamis n° 4 et 70 % passent le tamis n° 4 mais sont retenues par le tamis n° 200. Les particules fines ont une faible plasticité et une dilatation élevée.
- 43. Chapitre 2 :Caractéristiques physiques des sols 37
- 44. Chapitre 3: Compactage 3.1 Introduction 3.2Définitions 3.3 Théorie du compactage 3.4 Essais au laboratoire 3.5 Matériel de compactage 3.6 Procédés spéciaux de compactage 3.7 Spécifications et contrôle du compactage sur le terrain
- 45. Chapitre 3 Compactage 3.1 Introduction Lesol en place est probablement très compressible, très perméable et de faible consistance. Dans le cas où le choix d’un autre site pour l’ouvrage est impossible, la solution possible reste la stabilisation du sol : c.à.d, l’amélioration des propriétés du sol en question. Ceci peut se faire par plusieurs méthodes : Procédé chimique Par malaxage ou injection de produits chimiques dans le sol tels que ciment Portland, Chaux, Asphalte, Chlorure de Calcium ou de Sodium, résidus de pâtes et papiers. Traitement thermique Par chauffage du sol. Procédé électrique En appliquant un courant électrique au sol. Procédé mécanique Se résolu principalement au compactage et densification. Autres procédés Par rabattement de nappe pour réduire les pressions interstitielles, ou pré charge et chargement temporaire pour réduire les tassements. Les procédés et le matériel de compactage constituent un thème descriptif favorisant des travaux bibliographiques très utiles pour l'étudiant. Pour cette raison, beaucoup de détailles dans ce chapitre n'ont pas étés exposés laissant cette possibilité à l'étudiant à travers des recherches dirigées. 3.2 Définitions Le compactage est l’ensemble des opérations mécaniques (apport d’énergie mécanique), qui conduisent à accroître la densité d’un sol. En faisant, la texture du sol est resserrée ce qui réduit les déformations et tassements et augmente la compacité du sol et améliore sa capacité portante. Les ouvrages couramment concernés par le compactage sont les remblais routiers, les barrages en terre et les aérodromes. La densification mécanique du sol peut entraîner : Modification de la granulométrie. Modification de la teneur en eau.
- 46. 39 Eléments de Mécaniquedes Sols Réduction ou élimination des risques de tassement. Augmentation de la résistance du sol et la stabilité du talus. Amélioration de la capacité portante. Limitation des variations de volume causées par gel, gonflement et retrait. 3.3 Théorie du compactage (théorie de Proctor) Proctor a montré que le compactage est fonction de quatre paramètres : la masse volumique du sol sec, la teneur en eau, énergie de compactage et type de sol (granulométrie, minéralogie,…). γd / γw Fig. 3.1 : courbe de compactage dd max wop W [%] Versant humideVersant sec Lorsque la teneur en eau est élevée, l’eau absorbe une importante partie de l’énergie de compactage sans aucun profit, par contre lorsque la teneur en eau est faible, l’eau a un rôle lubrifiant important, et la densité sèche augmente avec la teneur en eau (Fig. 3.1). Les courbes de compactage varient avec la nature du sol (Fig. 3.2). Elles sont très aplaties pour les sables qui leur compactage est donc peu influencé par la teneur en eau. Les matériaux de ce genre constituent les meilleurs remblais. Lorsque l’énergie de compactage augmente, le poids volumique optimal s’accroît et la teneur en eau optimale diminue (Fig. 3.3). sable Argile sableuse Sable argileux Argile plastique W [%] γd / γw Fig. 3.2 : influence du type de sol 3.4 Essais en laboratoire d1 d2 d3 Sr = 1 W [%] e1 < e2 < e3 e2 e3 e1 γd / γwOn utilise dans ces essais deux moules différents : Moule Proctor : pour les matériaux suffisamment fins pour lesquels ( Φ ≤ 5 mm). Moule CBR : pour les matériaux à éléments plus gros pour lesquels ( 5 ≤ Φ ≤ 20 mm). Fig. 3.3 : influence de l’énergie de compactage Avec chaque moule on peut effectuer deux essais différents :
- 47. 40 Chapitre 3 :Compactage Essai Proctor normal : Dans lequel, l’énergie de compactage est relativement faible et correspond à un compactage modéré. Il est utilisé pour l’étude des remblais en terre. Essai Proctor modifié : Dans ce cas, l’énergie de compactage est plus importante. Il est utilisé pour l’étude des sols de fondation (routes, pistes d’aérodromes,…). 3.5 Matériel de compactage Dans les procédés courants de compactage, on utilise Vibration : Pour les sols pulvérulents et granulaires, le compactage efficace se fait par vibration en utilisant : plaque vibrante manuelle, rouleau vibrant autopropulsé, rouleau à pneus et grosse masse en chute libre. Pilons à air comprimé : Pour le compactage des couches de faibles épaisseurs. Dames à explosion (grenouille) pour les terrains cohérents ou non de faible surface. Pilons de 2 à 3 tonnes montés sur grue roulante, est utilisé pour tous les terrains mais ne sont intéressants que pour les faibles surfaces. Rouleaux lisses : sont utilisés pour les terrains cohérents non argileux. Rouleaux à pneus : pour le compactage des terrains non cohérents. Rouleaux à pieds de mouton : pour les terrains cohérents. En particulier il est indispensable pour les terrains argileux. Engins vibrant (rouleaux, sabots,…) : pour les sols à gros grains (sables et graviers). 3.6 Procédés spéciaux de compactage Dans le cas de couches à grandes épaisseurs, on utilise des procédés de compactage dynamique tels que : 3.6.1 Compactage par explosifs Explosifs ponctuels :
- 48. 41 Eléments de Mécaniquedes Sols pour les sols pulvérulents le compactage se fait par création d’une onde de choc de compression. Explosifs linéaires : pour les sols cohérents le compactage se fait par mise en place de pieux sableux. 3.6.2 Compactage par vibroflottation Le procédé consiste à la génération de contraintes et déformations alternées d’ou réarrangement des grains. Tubes en vibration : se pratique pour les matériaux très perméables. Colonnes ballastées : les colonnes sont formées de matériaux pulvérulents compactés. Elles sont pratiquées dans les sols cohérents. 3.6.3 Consolidation dynamique Elle est valable pour tout type de sol. Il s’agit de transmettre des chocs de forte énergie à la surface du sol à traiter (chute libre d’une masse de 10 à 30 tonnes exceptionnellement 140 tonnes d’une hauteur de 15 à 30 m). La profondeur d’influence est définie par Léonard et coll. (1980) grâce à l’expression : hw 2 1D = [m] (3.1) où w est la masse tombante exprimée en tonne métrique, h est la hauteur de chute en mètre. 3.7 Spécification et contrôle du compactage sur le terrain Les paramètres déterminant la qualité du compactage dépendent en général du type de l’ouvrage à édifier. On peut trouver des conditions sur : La masse volumique du matériau sec Sa teneur en eau Propriétés géotechniques (mécaniques, perméabilité, retrait et gonflement). Il y a deux catégories de spécifications pour les travaux de terrassement : spécifications du produit fini (cas de routes et bâtiments) et spécifications de la méthode employée. Spécification du produit fini On impose la compacité relative définie par : maxd sited .R.C ρ ρ = (3.2) où ρd site représente la masse volumique du matériau sec obtenue sur site, ρd max est la masse volumique du matériau sec obtenue en laboratoire.
- 49. 42 Chapitre 3 :Compactage Spécification des méthodes de compactage On précise le type et le poids du rouleau qui sera utilisé, le nombre de passages nécessaire et épaisseur des couches de sol, grosseur maximale des granulats.
- 50. 43 Eléments de Mécaniquedes Sols Exercices du chapitre 3 Le compactage Exercice 1 Deux échantillons 1 et 2 du même sol ont été compactés au même poids volumique sec γd=19,6 kN/m3 mais à des teneurs en eau respectives w1=4% et w2=12%. Le poids volumique des particules solides est γs=27 kN/m3 . a. Porter sur un graphique (γd, w) la courbe de compactage du sol b. Déterminer pour chaque échantillon, le degré de saturation et le poids volumique. c. L'échantillon 1 est amené à saturation sans changement de son volume qui est de 243 cm3 . Déterminer le volume d'eau nécessaire. Exercice 2 Dans le but de définir les conditions de compactage d'une argile sableuse pour un chantier de remblai routier, des essais Proctor normal ont été réalisés et ont permis de dresser le tableau ci-dessous. a. Quelle serait la teneur en eau optimale de compactage à adopter. b. Le matériau a un poids volumique γ=18,7 kN/m3 et un poids volumique sec γd = 17 kN/m3 . Déterminer le volume d'eau à ajouter par mètre cube de matériau pour être à l'optimum Proctor normal. w (%) 10,7 12,1 13,8 15,4 16,7 17,7 γd [kN/m3 ] 16,2 17,7 18,8 18,8 18,1 17,0 Exercice 3 L'essai Proctor modifié a donné pour une grave argileuse les résultats suivants: w (%) 3,00 4,45 5,85 6,95 8,05 9,46 9,9 γd /γw 1,94 2,01 2,06 2,09 2,08 2,06 2,05 a. Construire la courbe de compactage Proctor et déterminer les caractéristiques de l'optimum. Calculer le degré de saturation correspondant à l'optimum Proctor. On prendra γs/γw =2,65. b. Calculer le pourcentage d'air a que contient un sol de porosité n et de degré de saturation Sr. Dans le plan de Proctor, trouver l'équation des courbes lieu des points représentatifs des états du sol ayant le même pourcentage d'air. En déduire l'équation de la courbe de saturation. Caractériser cette courbe.
- 51. Chapitre 4: L'eau dansles sols 4.1 Introduction 4.2 Généralités 4.2.1 Capillarité 4.2.2 Retrait et gonflement des sols 4.2.3 Action du gel 4.3 Dynamique de l'écoulement 4.3.1 Hypothèses 4.3.2 Conservation de la masse 4.3.3 Charge hydraulique (Equation de Bernoulli) 4.3.3 Gradient hydraulique 4.3.4 Loi de Darcy pour l'écoulement à une dimension 4.3.5 Généralisation aux écoulements à 2 et 3D 4.4 La Perméabilité des sols 4.4.1 Mesure du coefficient de perméabilité au Laboratoire 4.4.1.1 Perméamètre à charge constante 4.4.1.2 Perméamètre à charge variable 4.4.2 Mesure du coefficient de perméabilité sur site 4.4.3 Formules empiriques 4.4.3.1 Formule de Hazen 4.4.3.2 Formule de Taylor 4.4.4 Perméabilité moyenne fictive verticale et horizontale 4.5 Principe de la contrainte effective 4.5.1 Loi de Terzaghi 4.5.2 Loi de Skempton 4.5.3 Loi de Bishop 4.5.4 Cas d'écoulement linéaire 4.6 Effet Renard 4.7 Force d'écoulement 4.8 Réseaux d'écoulement 4.9 Contrôle des écoulements
- 52. Chapitre 4 L’eau dansles sols 4.1 Introduction L’eau, de part qu’il entre dans la constitution des sols, sa présence est l’origine de plusieurs phénomènes caractérisant le sol tels que capillarité et pression interstitielle. D’autre part, l’eau a un effet directe sur le comportement des sols fins (voir limites d’Atterberg). Elle est un facteur important dans la plupart des problèmes géotechniques telles que gonflement, gel, percolation, tassement, glissement…A titre statistique, les pertes de vies humaines causées par la rupture de barrages et digues (par érosion interne) sont plus importantes de toute perte causée par les autres types de rupture d’ouvrages de génie civil. Les pertes matérielles et le coût d’entretient des structures sous sols gonflants sont les plus importantes que les dommages causés par inondations, ouragans, tornades et tremblements de terres. rm hc T α d 4.2 Généralités - hc π d2 ρw g /4 = π d T cosα uc = hc ρw g Fig. 4.1: Ménisque et relation entre tension capillaire T et pression capillaire uc 4.2.1 Capillarité C’est un phénomène qui découle de la tension superficielle des fluides. Cette tension se développe à l’interface de matériaux différents (Fig. 4.1). Elle est la cause des phénomènes de retrait des sols fins. Dans les sols, les ménisques capillaires retiennent les particules liées entre elles, le phénomène est appelé cohésion apparente. La capillarité contribue ainsi à augmenter les forces de contact et améliore la résistance par frottement entre les particules. En géotechnique, on suppose que le diamètre effectif des pores est à près égal à 20 % du diamètre effectif (D10) des grains. La capillarité permet aussi de pratiquer des fouilles et excavations dans les sables fins et les sols très fins humides (par capillarité), mais l’équilibre qui y règne est très instable. rm σ' σ' rm Fig. 4.2 : Cohésion apparente
- 53. 45 Eléments de Mécaniquedes Sols 4.2.2 Retrait et gonflement des sols Retrait et gonflement ont une grande importance sur les caractéristiques des sols à grains fins. Lorsque les tensions capillaires sont plus fortes que la cohésion ou la résistance à la traction du sol, les fissures dues au retrait apparaissent. Les endroits fissurés représentent des zones faibles susceptibles de réduire de façon importante la résistance, la stabilité et la capacité portante. Le gonflement est un phénomène complexe. Son importance dépend des minéraux argileux présents, de la texture et de la structure du sol. Dans la pratique, les trois facteurs responsables des dommages dus au gonflement sont : la présence de Montmorillonite, une teneur en eau voisine de la limite de plasticité Wp et la présence d’une source d’eau à proximité. 4.2.3 Action du gel La formation du gel dans le sol peut avoir des conséquences importantes. Le volume du sol peut augmenter de 10 %. Les lentilles et plaquettes de glaces peut provoquer un soulèvement du sol et endommager ainsi les structures superficielles légères, activation des tassements différentiels, enfin elle peut augmenter la teneur en eau du sol. Les actions antigel peuvent se résumer dans : l’utilisation des membranes imperméables, assainissement et drainage de l’eau, l’ajout d’additifs chimiques, et l’utilisation d’isolants thermiques telles que mousse. 4.3 Dynamique de l’écoulement 4.3.1 Hypothèses En géotechnique, l’eau se présente dans des conditions permettant de formuler les hypothèses suivantes : . Vitesse d’écoulement très faible. z = 0 A2, v2, P2, z2A1, v1, P1, z1 . Régime permanent et laminaire. . L’écoulement est à une ou deux dimensions. . Le fluide est considérée parfait c.à.d non visqueux et incompressible. 4.3.2 Conservation de la masse Fig. 4.3 : Ecoulement d’un fluide La loi de conservation de la masse fluide pour un écoulement laminaire (Fig. 4.3) se réduit à l’équation de débit: Q = Ai vi = constante (4.1) 4.3.3 Charge hydraulique (équation de Bernoulli) Tous les sols sont plus ou moins perméables. Ce phénomène se manifeste avec des intensités très différentes. A titre d’exemple, la vitesse d’écoulement de l’eau dans le sable pour un gradient hydraulique égal à l’unité, descend rarement au-dessous de quelques centimètres par heure alors que pour les argiles, cette vitesse ne dépasse pas quelques centimètres par an. Nous nous intéressons aux régimes permanents c.à.d dans le cas où les particules fluides suivent des trajectoires invariables au cours du
- 54. 46 Chapitre 4 :L’eau dans les sols temps appelés lignes de courant. Le long d’une ligne de courant (Fig. 4.3), la pression et la vitesse du fluide suivent une certaine loi. Dans le cas des fluides parfaits (incompressibles et non visqueux) en mouvement sous la seule action de la pesanteur, on utilise le théorème de Bernoulli pour les fluides réels qui exprime que la charge hydraulique décroît car le mouvement dissipe de l’énergie par frottement fluide-fluide ou fluide-sol : hzg p g v 2 1zg p g v 2 1 2 w 2 2 2 1 w 1 2 1 ∆++ ρ +=+ ρ + (4.2) Où v est la vitesse d’écoulement, p pression, z altitude, g accélération terrestre, ∆h représente la perte de charge hydraulique entre les deux sections d’étude. Dans le cas particulier de l’infiltration de l’eau dans le sol, les vitesses d’écoulement sont si faibles que l’on peut négliger dans l’expression de la charge hydraulique le terme v2 /2g. Dans la pratique, on mesure la pression au delà de la pression atmosphérique qui est prise comme origine des pressions. Alors la charge hydraulique est mesurée par l’altitude du niveau atteint par le liquide dans un tube piézométrique placé au point considéré. 4.3.4 Gradient hydraulique C’est un paramètre définissant la variation de la charge par unité de longueur parcourue (Fig. 4.4). Il joue un grand rôle dans l’écoulement de l’eau dans le sol : l h parcouruelongueur eargchdeiationvar i ∆ ∆−=−= (4.3) 4.3.5 Loi de Darcy pour l’écoulement à une dimension La loi de Darcy est une relation de proportionnalité entre la vitesse de décharge v dite aussi vitesse fictive et le gradient hydraulique i. Le coefficient de proportionnalité est le coefficient de perméabilité k. A une dimension elle s’écrit : u — γw z1 dA z = 0 dl dq dh Fig. 4.4 : Définition du gradient hydraulique v = k i (4.4) Cette relation est la base de tous les calculs de l’hydraulique souterraine. La vitesse de décharge v est par définition le débit par unité d’aire, c.à.d c’est le rapport du débit observé q à la surface totale A : A q v dA dq v =⇔= (4.5)
- 55. 47 Eléments de Mécaniquedes Sols La vitesse de décharge v est reliée à la vitesse moyenne V par la relation approximative : Zone de transition turbulentlaminaire i v v = n V (4.6) n étant la porosité. La loi de Darcy est valable dans la majorité des sols, car l’écoulement est à faible vitesse et en régime laminaire (Fig. 4.5). Elle donne d’excellents résultats pour les faibles nombre de Reynolds Re défini par ρη = / dv Re (4.7) Fig. 4.5 : Validité de la loi de Darcymais elle devient de moins en moins précise lorsque le nombre de Reynolds dépasse la valeur de 2. 4.3.6 Généralisation de la loi de Darcy aux écoulements à 2 et 3D La généralisation de la loi de Darcy en milieu homogène et isotrope est relativement facile : il suffit de considérer que le gradient hydraulique et la vitesse de décharge sont des vecteurs colinéaires : )hk(dagrhdagrkv −=−= rrr (4.8) on postule alors l’existence d’un potentiel de vitesse φ tel que φ = - k h (4.9) z , y , x vvv zyx ∂ ϕ∂ = ∂ ϕ∂ = ∂ ϕ∂ = (4.10) Lorsque le liquide est incompressible, la conditions de continuité donne : 0 zyx vvv zyx = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (4.11) soit ∆ φ = 0 (4.12) qui est une équation de Laplace. Ainsi la fonction ou h est harmonique. 4.4 La perméabilité des sols La perméabilité du sol à l’eau est affectée par la forme des grains, leur grosseur, la structure du sol, sa constitution pétrographique, la porosité ou l’indice des vides, le degré de saturation, le gradient hydraulique, le diamètre effectif des pores qui influence la hauteur d’ascension capillaire, le cheminement des vides à travers le sol, la température et les caractéristiques propres au fluide telles que densité et viscosité.
- 56. 48 Chapitre 4 :L’eau dans les sols Dans le cas de massif homogène et isotrope, la perméabilité est la même dans toute les directions. On définit alors un seul paramètre dit coefficient de perméabilité mesurable par différents essais. 4.4.1 Mesure du coefficient de perméabilité au laboratoire Il existe deux essais propres à la mesure du coefficient de perméabilité : perméamètre à charge constante et perméamètre à charge variable. On peut aussi mesurer ce coefficient par essai oedométrique ou triaxial dans l’étude fera l’objet de chapitres ultérieures. QA l ∆h Fig. 4.6 : Perméamètre à charge constante 4.4.1.1 Perméamètre à charge constante La quantité d’eau recueillie (Fig. 4.6) pendant l’intervalle de temps t est Q = A v t où v = k i = k ∆h/l h2 h1 l aA Q dh ce qui donne tAh lQ k ∆ = (4.13) où [Q] = m3 , [A] = m2 , [∆h] = m et [k] = ms-1 4.4.1.2 Perméamètre à charge variable Le coefficient de perméabilité est donné par la relation (Fig. 4.7): )(ln tA la k h h 2 1 ∆ = (4.14) où ln désigne le logarithme naturel à base e. ∆t est la durée de mesure c.à.d Fig. 4.7 : Perméamètre à charge variable∆ t = t2 – t1 4.4.2 Mesure du coefficient de perméabilité sur site (formule de Dupuit) la mesure se fait au cours d’un essai de pompage (Fig. 4.8). La formule se base sur la loi de Darcy et le débit recueilli à travers la surface latérale du puit de pompage Q = v t Al ==> v = Q / ( t Al)
- 57. 49 Eléments de Mécaniquedes Sols avec la définition du gradient hydraulique et de la surface latérale massif imperméable Q h2h1 h0 rr2r1r0 Fig. 4.8 : Essai de pompage i = dh / dr et Al = 2 π r h il vient dr dhk At Q l = par intégration entre les rayons r1 et r2, on obtient la formule de Dupuit r r hh 1 2 2 1 2 2 log k t Q − π= (4.15) Exemple 4.1 Un échantillon cylindrique de sol de 73 mm de diamètre et de 168 mm de hauteur est soumis à un essai de perméabilité à charge constante égale à 750 mm. Après une minute, on recueilli 945,7 g d’eau (de température égale à 20 °C et d’indice de vides de 0,43). Calculer le coefficient de perméabilité k. Exemple 4.2 Pendant l’essai de perméabilité à charge variable, on obtenait les mesures suivantes : a = 625 mm2 , A = 1073 mm2 , l = 162,8 mm h1 = 1602 mm, h2 = 801 mm, t = 90 s. Calculer le coefficient de perméabilité. 4.4.3 Formules empiriques Il existe des formules empiriques permettant le calcul du coefficient de perméabilité en fonction de caractéristiques diverses. 4.4.3.1 Formule de Hazen Elle est valable pour les sables propres (sable contenant moins de 5 % de particules passant le tamis n° 200) dont le diamètre effectif D10 est compris entre 0,1 et 3,0 mm. De plus, cette formule n’est utile que pour les valeurs de K ≥ 10-5 ms-1 : k = C D10 2 (4.16) où [k] = ms-1 , [D10] = mm, 0,004 ≤ C ≤ 0,012 4.4.3.2 Formule de Taylor Elle sert au calcul de la valeur du coefficient de perméabilité pour des indices de vides différents de ceux aux quels les essais ont été faits : 2 3 22 1 3 121 e1 eC e1 eC kk 1 + ÷ + =÷ (4.17)
- 58. 50 Chapitre 4 :L’eau dans les sols Les coefficients empiriques C1 et C2 dépendent de la structure du sol. Pour les sables on prendra C1 ≈ C2. La relation suivante est aussi très utile dans le cas des sables (avec C’1 ≈ C’2) : 2 222 1121 e'Ce'Ckk ÷=÷ (4.18) 4.4.4 Perméabilité moyenne fictive verticale et horizontale des terrains stratifiés Lorsque le terrain est composé de plusieurs couches de perméabilités différentes, il est possible de calculer un coefficient de perméabilité équivalente pour un massif fictif supposé homogène. Mais il faut distinguer le cas d’un écoulement horizontal d’un écoulement vertical. 4.4.4.1 perméabilité équivalente horizontale Le débit total est la somme des débits dans chaque couche (Fig. 4.9) : H3 H v3 v2 v1 H2 H1 Fig. 4.9 : Perméabilité moyenne horizontale ik H Hv....Hv v h nn11 = ++ = (4.19) d’où kh H = Σ ( khi Hi ) (4.20) 4.4.4.2 perméabilité équivalente verticale La continuité de la vitesse de décharge (Fig. 4.10) implique H3 H2 H1 Hv Fig. 4.10 : Perméabilité moyenne verticale v = v1 =….= vn = kv1 i1 =…= kvn in = kv i (4.21) d’où ∑= i vi i v kk HH (4.22) 4.5 Principe de la contrainte effective Les différentes phases qui forment un sol saturé ou non ne sont pas régies par les mêmes lois. L’étude des phases gazeuse ou liquide relève de la mécanique des fluides ou de l’hydraulique. Pour l’étude de résistance et de déformation de la phase solide, nous utilisons la pression effective c.à.d la pression réellement appliquée sur le squelette solide. On considère ainsi que le comportement mécanique du sol ne dépend que des contraintes effectives. Cette notion fut introduite par Terzaghi et est connue sous le nom de postulat de Terzaghi ou principe des contraintes effectives qui est un principe très important en géotechnique. 4.5.1 Loi de Terzaghi Dans le cas de sols à deux phases solide-gaz ou solide-liquide, on défini la contrainte effective par : σ = σ' + u τ = τ' (4.23)
- 59. 51 Eléments de Mécaniquedes Sols où σ (respectivement τ) est la contrainte totale normale (respectivement tangentielle). σ’ (respectivement τ’) est la contrainte effective normale (respectivement tangentielle). u est la pression interstitielle du fluide. σ’ ne peut être mesurée mais seulement calculée. 4.5.2 Loi de Skempton P P' uu Fig. 4.11 : Formule de Skempton Elle analyse les forces de contact entre deux grains solides (Fig. 4.11) : P = P' + (A – Ac) u d’où σ = σ' + (1 – a) u , a = Ac / A (4.24) On remarque de cette formule que la loi de Terzaghi est le cas limite de la loi de Skempton. 4.5.3 Loi de Bishop Dans le cas de sol à trois phases solide, liquide et gaz, la formule de Bishop est la plus valable : σ = σ' + ua – x (ua – uw) (4.25) dans laquelle ua (uw) représente la pression du gaz (respectivement du liquide). x est un coefficient empirique qui dépend du degré de saturation : x est nul pour les sols secs et est égal à l’unité pour les sols saturés. Entre ces deux extrémités x est déterminé par expérimentation. M d H Exemple 4.3 Calculer la contrainte effective au point M (Fig. 4.12) 4.5.4 Cas d’écoulement linéaire descendant ou ascendant En présence d’écoulement linéaire il faut tenir compte de la force de volume fv due au gradient hydraulique : Fig. 4.12 : Exemple 4.3 fv = i γw Ainsi la contrainte effective pour un écoulement descendant devient : σ' = (γ' + i γw) d (4.26) et pour un écoulement ascendant elle s’écrit σ' = (γ' - i γw) d (4.27)
- 60. 52 Chapitre 4 :L’eau dans les sols Exemple 4.4 Soit un échantillon de sol dans les deux configurations 1 et 2 (Fig. 4.13). Calculer pour chaque cas : σ, σ' et u. On donne ρsat = 2,0.103 kg/m3 . 4.6 Effet Renard (ou des sables boulant) Lorsqu’il y a écoulement ascendant, il y a diminution graduelle des forces gravitationnelles. A l’état critique de ce phénomène, le sol entre dans un état de boulance dans lequel la contrainte effective est égale à zéro. Le gradient hydraulique associé à l’apparition de ce phénomène est dit gradient hydraulique critique ic. Il est défini par : γ γ = ρ ρ = ww c '' i (4.28) avec (voir formulaire) e1 ' ws + ρ−ρ =ρ (4.29) ρs étant la masse volumique des grains solides, il vient )1( e1 1i w s c − ρ ρ + = (4.30) Exemple 4.5 Trouver la charge h qui produira un état de boulance (Fig. 4.14), et le gradient hydraulique critique. On donne ρsat = 2. 103 kg/m3 . z = 2 m H = 5 m 1 niveau B 2 Fig. 4.13 : Exemple 4.4 niveau A MM niveau A l = 5 m hw = 2 m h M A = 1 m2 Fig. 4.14 : Exemple 4.5 4.7 Forces d’écoulement Les forces d’écoulement sont présentes dans toute asse de sol soumise à un gradient hydraulique. La force d’écoulement est une force volumique d’intensité fv telle que : fv = i γw (4.31) elle agit dans la direction de l’écoulement. Exemple 4.6 Considérons les données et les résultats de l’exemple 4.5. Calculer la force volumique d’écoulement lorsqu’il y a boulance. Calculer la force d’écoulement au niveau A.
- 61. 53 Eléments de Mécaniquedes Sols 4.8 Réseaux d’écoulement Il s’agit de l’étude de l’infiltration de l’eau dans le sol. Lorsque l’écoulement permanent se fait dans un milieu isotrope (la perméabilité est même dans toutes les directions), le problème est régi par l’équation : ∆ φ = 0 (4.32) ou φ est dit potentiel d’écoulement et représente la charge hydraulique. Ce problème peut être résolu graphiquement par l’établissement d’un réseau d’écoulement composé de lignes de courant et de lignes équipotentielles (Fig. 4.15). Le procédé est relativement simple. Il suffit de suivre les règles suivantes : - Une frontière imperméable est une ligne de courant. - Les lignes équipotentielles partent de la frontière imperméable suivant un angle droit. - L’intersection entre une ligne de courant et une ligne équipotentielle se fait sous un angle droit. 2m couche imperméable 12m lignes d'écoulement lignes équipotentiel ∆q ∆q ∆q ∆q canal d'écoulement 30m ∆l a L = 40 m x Fig. 4.15 : Réseau d’écoulement sous un barrage Le réseau se dessine de façon à obtenir des mailles de tailles différentes mais de forme carrée. Dans un réseau d’écoulement, le gradient hydraulique peut être calculé par différence finie : i = (φ2 - φ1) / dl (4.33)
- 62. 54 Chapitre 4 :L’eau dans les sols Le débit par canal d’écoulement est donné par : ∆q = v a = k i a = k ∆h a / ∆l = k h a / (b Nd) (4.34) où ∆q est le débit par canal d’écoulement par unité de temps et par unité de longueur transversale, h est la différence de potentiel dans le système totale (chute de charge), (a,b) sont les dimensions de la maille où a est la largeur du canal d’écoulement et b est la longueur du chemin d’écoulement. Nd est le nombre de chutes de potentiel. Ainsi, le débit total par unité de longueur transversale est q = Nf ∆q = k h (a/b) (Nf / Nd) (4.35) où Nf est le nombre de canaux d’écoulement. Exemple 4.7 Soit le réseau d’écoulement ci-contre (Fig. 4.15). La longueur transversale du barrage est de 120 m. Calculer le débit de fuite lorsque le coefficient de perméabilité est égal à 20.10-6 ms-1 . Calculer le gradient hydraulique de sortie au point x. Trouver la distribution des pressions d’eau sous le radier du barrage. Remarque 4.1 Dans le cas de massif anisotrope, le problème est régi par l’équation : 0kk yx 2 2 y 2 2 x = ∂ ϕ + ∂ ϕ ∂∂ (4.36) où kx et ky sont les coefficients de perméabilité dans les directions x et y respectivement. 4.9 Contrôle des écoulements Pour prévenir l’érosion interne sous les structures, il faut veuillez à ce que le gradient hydraulique soit strictement inférieur au gradient hydraulique critique, notamment pour les sols pulvérulents et particulièrement les silts. Pour y parvenir, on peut : . Vue l’impossibilité d’interdire l’infiltration de l’eau sous la structure, il faut allonger les chemins d’écoulement pour augmenter les pertes de charge ce qui se traduit par une baisse du gradient hydraulique dans les zones critiques. . Soulager la pression de soulèvement sous la structure, à l’aide de puits de décharge ou drains convenablement mis en place. . Utiliser les filtres de protection. Ils sont constitués par des couches de matériaux granulaires placées sur des sols moins perméables Ces filtres permettent l’écoulement de l’eau sans subir de pertes importantes de charge. Les caractéristiques de ces filtres sont précisées grâce à des études expérimentales. Les quatre principaux critères pour les filtres de protection sont les suivants (USACE, 1986) : Critère de perméabilité Critère de rétention Critère d’épaisseur Critère pour les fentes et écrans
- 63. 55 Eléments de Mécaniquedes Sols Critère de perméabilité Le matériau composant le filtre doit être plus perméable que le matériau à protéger dit base. Critère de rétention Les vides du filtre devront être suffisamment petits pour empêcher les particules de la base d’y pénétrer. Critère d’épaisseur La couche filtrante doit être suffisamment épaisse pour assurer la répartition uniforme de toutes les dimensions de particules à travers tout le filtre. Critères pour les fentes et écrans Les filtres et trous doivent être suffisamment petits (même en interposant une couche filtrante supplémentaire) pour que les particules du filtre ne puissent pénétrer dans les tuyaux de drainage.
- 64. 56 Chapitre 4 :L’eau dans les sols Exercices du Chapitre 4 L’eau dans les sols Exercice 1 Un échantillon de sol a une hauteur de 15 cm et un diamètre de 5,5 cm. Soumis à la pression d’une hauteur d’eau de 40 cm, évacue 40 g d’eau en 6 secondes. Calculer le coefficient de perméabilité du sol en question. Exercice 2 Un massif de sol est constitué de trois couches horizontales de même épaisseur. Les coefficients de perméabilité sont 10-3 cm/s, 10-2 cm/s et 10-3 cm/s. Calculer les coefficients de perméabilité horizontale et verticale. Exercice 3 Calculer la contrainte effective au point M de profondeur D. Le niveau de la nappe est situé à la profondeur d (<D). Le sol au dessus de la nappe est saturé par capillarité. On donne : D=3,6 m; d=1,2 m; γsr=20,3 KN/m3 . Exercice 4 Une couche d’argile submergée a une épaisseur de 15m. Sa teneur en eau est de 54%. La densité des grains est de 2,78. Calculer la contrainte verticale effective à la base de la couche. Exercice 5 Un sable est formé de grains solides de densité égale à 2,66. La porosité dans l’état le plus léger est de 45%. Dans l’état le plus dense elle est de 37%. Quel est le gradient hydraulique critique pour ces deux états. Exercice 6 Considérons un réseau d'écoulement dans le plan. Montrer que la perte de charge est constante dans le canal d'écoulement lorsque les mailles sont de forme carrée. Exercice 7 Soit la réserve d'eau de la figure 1. Tracer: Les trajectoires des particules liquides L1,L2,L3,L4. Les lignes équipotentiel passant par les points p1,p2,p3. Exercice 8 Considérons le réseau d'écoulement de la figure 2. Calculer: Le coefficient de perméabilité moyenne. La vitesse de décharge aux points A et B. La pression de l'eau au point C. Exercice 9 Soit le barrage de la figure 3. Tracer un réseau d'écoulement Calculer le gradient hydraulique aux points A et B.
- 65. 57 Eléments de Mécaniquedes Sols Estimer la contrainte verticale due au poids du béton armé aux points A et B. Calculer la contrainte effective en ces même points. Formuler vos remarques à propos de la sécurité de ce projet. sol imperméable Figure 1 Figure 2
- 66. 58 Chapitre 4 :L’eau dans les sols 3m 15m45m 45 m sol imperméable Figure 3
- 67. 59 Eléments de Mécaniquedes Sols
- 68. Chapitre 5: Distribution dansle sol des contraintes dues aux charges extérieures 5.1 Introduction 5.2 Charge concentrée verticale, problème 3D 5.3 Charge linéaire uniforme répartie sur une longueur infinie 5.4 Charge uniforme répartie sur une bande de longueur infinie 5.5 Charge uniformément répartie 5.5.1 Cas de surface circulaire 5.5.2 Cas de bande rectangulaire 5.6 Charge surfacique trapézoïdale de grande longueur 5.7 Charge triangulaire répartie sur une bande rectangulaire de longueur limitée 5.8 Charge triangulaire répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie 5.9 Charge triangulaire symétrique répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie 5.10 Charge uniformément répartie sur une surface irrégulière 5.11 Charge quelconque répartie sur une bande de longueur infinie 5.12 Théorie de Westergaard
- 69. Chapitre 5 Distribution dansle sol des contraintes dues aux charges extérieures 5.1 Introduction P x y z σrr σθθ θ r Nous avons vu à la fin du chapitre précédent la méthode de calcul des contraintes dans les massifs de sol due au poids propre des terres. Les calculs distinguent le cas de couches partiellement saturées du cas de couches saturées avec ou sans mouvement de l’eau. Dans le présent chapitre nous allons étudier les résultats des théories de calcul des contraintes dans le sol dues aux charges extérieures telles que poids des ouvrages, les charges d’exploitation et le poids des équipements sur chantier. Fig. 5.1 : Charge concentrée verticale σz/ σ0 θ [°] σ0 = σz(θ = 0) 1 0,49 0,18 30 45 5.2 Charge concentrée verticale, problème en 3D (Problème de Boussinesq) Les hypothèses de calcul sont . un domaine à 3D semi-infini (Fig. 5.1). . Milieu élastique, non pesant sans aucune force de volume, isotrope et homogène. Fig. 5.3 : Distribution de σz en fonction de θ . Plan supérieur horizontal. . La charge extérieure est concentrée, verticale. La contrainte verticale due à la charge extérieure concentrée est donnée par la solution de Boussinesq : ρπ π =θ=σ 5 3 5 2 z zcos z2 2 P3P3 (5.1) On remarque que la contrainte σz est indépendante des propriétés du massif de sol. Pour le calcul rapide de la contrainte, on peut utiliser un abaque approprié (Fig. 5.2). La contrainte verticale dans le sol vari avec la position dans le sol du point de calcul (Fig. 5.3). Les courbes d’égale pression sont comme indiquer ci-contre (Fig. 5.4). Fig. 5.4 : Courbes iso-contraintes σz
- 70. 61 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 5.2: Calcul par abaque de la contrainte transmise au sol par une charge extérieure concentrée (d'après introduction à la géotechnique). NB pour la théorie de Boussinesq, Nw pour la théorie de Westergaard
- 71. 62 Chapitre 5 :Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures x M σz R z y θ q 5.3 Charge linéaire uniforme répartie sur une longueur infinie La solution est due à Flamant (Fig. 5.5). θ π =σ cosR q2 3 z (5.2) Fig. 5.5 : Charge uniforme linéaire5.4 Charge uniforme répartie sur une bande de longueur infinie et de largeur finie θ2 θ1 θ x B q z y x La bande se présente comme indiquer ci-contre (Fig. 5.6). On se basant sur la solution de Flamant, on obtient l’expression : θ−θ+θ−θπ =σ 2 2sin2sin )( q 12 12z (5.3) 5.5 Charge uniformément répartie Soit q l’intensité de la charge répartie (Fig. 5.7). La solution est basée sur la solution de Boussinesq : Fig. 5.6 : Charge uniforme sur une bande de longueur infinie dAcos z2 q3 A 5 2z θ∫ π =σ (5.4) θ z σz M dA A q q dA La contrainte dépend de l’aire A de répartition de la charge q. 5.5.1 Cas de surface circulaire La contrainte verticale en un point situé à la verticale du centre de la surface circulaire uniformément chargée (Fig. 5.8) est Fig. 5.7 : Charge uniformément répartieσz = q (1 - cos3 θ0) (5.5) Pour le calcul de la contrainte en un point loin de la verticale, il existe des abaques basées sur la méthode des facteurs d’influence (Fig. 5.9). θ0 z M R 5.5.2 Cas de bande rectangulaire La contrainte verticale au sein d’un massif à la verticale d’un des sommets (Fig. 5.10) est donnée par σz = q I(m,n) (5.6) où Fig. 5.8 : Charge uniforme répartie sur une surface circulaire m = a/z n = b/z et
- 72. 63 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 5.9: Calcul de la contrainte due à une charge uniforme répartie sur une surface circulaire. (d'après Introduction à la géotechnique)
- 73. 64 Chapitre 5 :Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures )1n1m( 2nm 1nm nm ) 1nm nm (arctg 2 1n)I(m, )( 22 22 2222 ++ ++ ++ + ++π = (5.7) L’expression ci-dessus montre que les paramètres m et n sont interchangeables. Il est possible de tirer le facteur I d’après des abaques (Fig. 5.11). σz z b a D BA I4 I3 I2I1 C Pour un point M situé à l’intérieur de la zone chargée ou à son extérieur, on ne peut calculer la contrainte verticale que par des combinaisons élémentaires (Fig. 5.12,13). Fig. 5.12 : Cas de point interne Fig. 5.10 : Surface rectangulaire chargée uniformément = - - + MMMMM Exemple 5.1 On applique une contrainte superficielle uniforme de 117 kPa sur une semelle rectangulaire de 3×4 m. On demande de calculer la contrainte verticale: 1. sous le coin M de la semelle à une profondeur de 2m. Fig. 5.13 : Cas de point de calcul externe à la surface chargée 4m N3 m 1m 3m O M Exemple 5.12. sous le centre N de la semelle à la profondeur de 2m. 3. sous le point O à la profondeur de 2m. q σz ba5.6 Charge surfacique trapézoïdale de grande longueur Au dessous de l’axe de symétrie (Fig. 5.14), on peut utiliser la méthode des facteurs d’influence : σz = q I(a/z, b/z) (5.8) où I est tiré d’après une abaque appropriée (Fig. 5.15). Fig. 5.14 : Distribution trapézoïdale de grande longueur
- 74. 65 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 5.9: Calcul de la contrainte sous le coin d'une surface rectangulaire chargée uniformément. (d'après introduction à la géotechnique)
- 75. 66 Chapitre 5 :Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures Fig. 5.15: Calcul de la contrainte sous un remblai de longueur infinie. (d'après Introduction à la géotechnique)
- 76. 67 Eléments de Mécaniquedes Sols Exemple 5.2 6m6m 5m5m Soit le remblai routier de hauteur h = 3 m (Fig. 5.16). La masse volumique moyenne du matériau est égale à 2,0.103 kg/m3 . Calculer la contrainte verticale sous le centre à la profondeur z = 6 m. Lorsque l’on désire calculer la contrainte en un point loin de l’axe de symétrie (Fig. 5. 17) on peut procéder par superposition, ce qui donne : Fig. 5.16 : Exemple 5.2 [ ])(x)(b)()ba( a q 21122121z ε−ε+β−β+ε+ε−β+β+ π =σ (5.9) - q1 2b q0 2(b)a+ = 2(a+b) q Mx ε2 ε1 β2 β1 abba z x Fig. 5.17 : Cas de charge trapézoïdale isocèle répartie sur une largeur infinie 5.7 Charge triangulaire répartie sur une bande q L B QO rectangulaire de longueur limitée On calcul la contrainte au droit de l’un des coins (Fig. 5.18). On peut calculer par facteur d’influence : Fig. 5.18: Cas de charge triangulaire de longueur limitéeσz = q I(L/z, B/z) (5.10) σz z y C B x a b x q0 A β θ2 θ θ1 Le facteur I est tiré d’après une abaque (Fig. 5.19). 5.8 Charge triangulaire répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie Le point de calcul peut être quelconque (Fig. 5.20). L’analyse est basée sur la solution de Flamant. Tout calcul fait, la contrainte verticale sera donnée par : Fig. 5.20 : Charge triangulaire répartie sur une bande de longueur infinie
- 77. 68 Chapitre 5 :Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures Fig. 5.19: Calcul de la contrainte sous le coin d'une surface rectangulaire sollicitée par une charge triangulaire. (d'après Introduction à la géotechnique)
- 78. 69 Eléments de Mécaniquedes Sols +− − −θ−θπ =σ z)ba( )ba(zb )(a b q 2212 0 z (5.11) Nous pouvons utiliser une abaque basée sur le facteur d’influence : σz = q0 I(m, n) (5.12) où I est tiré d’après une abaque ou donné par : −++ − − −+π = n21nm )1n(m nnm marctgn1I 2222 (5.13) 5.9 Charge triangulaire symétrique répartie sur une bande rectangulaire de longueur infinie Le point de calcul peut être quelconque (Fig. 5.21). On peut procéder par superposition de la solution précédente d’où [ ])(x)(b b q 1221 0 z β−β+β+β π =σ M β2 β1 z O xAB q0 2b (5.14) Fig. 5.21 : Charge triangulaire symétrique répartie sur une bande de longueur infinie 5.10 Charge uniformément répartie sur une surface irrégulière On utilise l’abaque de Newmark (Fig. 5.22), selon la démarche suivante : 1. La profondeur de calcul de la contrainte verticale est prise égale à la distance OQ de l’abaque, ce qui donne une échelle graphique pour tracer la surface chargée. 2. On trace selon l’échelle ainsi obtenue, le contour de la surface irrégulière sur un papier transparent. 3. Le point au droit duquel on veut calculer la contrainte est placé au centre de l’abaque. Le point de calcul peut être à l’intérieure ou à l’extérieure de la surface chargée. On superpose alors la surface dessinée à l’abaque. 4. On dénombre le nombre n de carreaux de l’abaque situés à l’intérieur de la surface chargée. 5. La contrainte verticale au point considéré est donnée par : σz = n I q (5.15) où I est un coefficient d’influence caractéristique de l’abaque, q est la charge uniforme.
- 79. 70 Chapitre 5 :Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures Exemple 5.3 Une charge uniforme de 250 kPa est appliquée sur la surface montrée ci-contre (Fig. 5.23). Calculer la contrainte au point O à la profondeur de 80 m. 5.11 Charge quelconque répartie sur une bande de longueur infinie On peut utiliser une méthode graphique basée sur le damier de Giroud (Fig. 5.24): 1. Dessiner sur un calque la charge à une échelle telle que la profondeur z = AA' à laquelle on veut calculer la contrainte verticale soit égale au segment P'P du damier et que la charge maximale est P. 60 m40 m20 m 10 m 20 m 40 m O Fig. 5.23 : Exemple 5.3 2. Placer le calque sur le damier en faisant coïncider AA' et PP'. 3. Compter le nombre n de cases (blanches et noires) du damier recouvertes par le profil de la charge 4. La contrainte verticale est donnée par : σz = n I q (5.16) où I est une caractéristique de l’abaque. 5.12 Théorie de Westergaard La solution de Boussinesq est basée sur un comportement élastique linéaire du massif de sol. Cette solution ne s’applique pas aux dépôts naturels de sol où il peut exister plusieurs couches de natures différentes. Dans ce cas, la solution de Westergaard est la plus appropriée. Cette théorie repose sur l’hypothèse qu’un sol ne se déforme que dans le sens vertical en absence de tout mouvement latéral à cause de la présence de couches minces parfaitement rigides. Pour le calcul pratique, on trouvera des abaques semblables à ceux de la théorie de Boussinesq (Fig. 5.2).
- 80. 71 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 5.22: Abaque de Newmark pour le calcul de la contrainte sous une surface horizontale quelconque chargée uniformément. (d'après Introduction à la géotechnique)
- 81. 72 Chapitre 5 :Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures Fig. 5.24: Abaque de Giroud pour le calcul de la contrainte sous une bande de longueur infinie soumise à une charge quelconque. (d'après Mahé)
- 82. 73 Eléments de Mécaniquedes Sols Exercices du chapitre 5 Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures Exercice 1 z y x Re Ri α q Exercice 1 Une charge verticale uniforme d'intensité q est répartie sur une surface horizontale en forme de disque plat d'ouverture α, de rayons intérieur Ri et extérieur Re. Calculer la contrainte verticale au point M. Exercice 2 Calculer la contrainte verticale en un point M situé à la verticale du centre d'une surface circulaire uniformément sollicitée par une charge d'intensité q. F C A E Exercice 3 Retrouver la solution de Flamant. Exercice 4 Retrouver la solution dans le cas d'une charge uniforme sur une bande de longueur infinie et de largeur B. Exercice 5 Exercice 5 R q z' z M' M Une semelle de fondation de 12m de côté et de 20cm d'épaisseur supporte une surcharge de densité uniforme de 0,78daN/cm2 . Calculer la composante verticale de la contrainte supplémentaire résultant de ces charges dans un plan situé à 24m sous la surface libre et à la verticale des points ACE et F. On prendra la densité du béton égale à 2,5. Exercice 6 Faites le même exercice précédant en supposant que la charge est concentrée au centre de la semelle. Exercice 7 Exercice 7 Calculer la contrainte verticale aux points M et M' . On donne : q4q3 q2 L4 L3 L2 L1 z' z q1 R = 5 m, z = z' = 10 m, q = 60 kN/m2 Exercice 8 Calculer la contrainte verticale aux points M et M' . On donne : L1 = 5 m, L2 = 3 m, L3 = 4 m, L4 = 1 m, z = z' = 10 m, M' M q1 = 50 kN/m, q2 = 30 kN/m, q3 = q4 = 20 kN/m Exercice 8
- 83. Chapitre 6: Tassement, Compressibilitéet Consolidation 6.1 Introduction, le tassement 6.2 Composantes du tassement 6.3 Compressibilité 6.4 Consolidation 6.5 Détermination de la contrainte de préconsolidation 6.6 Prédiction de la courbe de consolidation pour le sol en place 6.7 Calcul des tassements primaires 6.7.1 Méthode globale 6.7.2 Calcul des tassements instantanés 6.7.3 Calcul des tassements de consolidation 6.8 Vitesse de consolidation 6.8.1 Introduction 6.8.2 Phénomène de la consolidation 6.8.3 Théorie de Terzaghi pour la consolidation unidimensionnelle 6.8.3.1 Les hypothèses 6.8.3.2 Mise en équations 6.8.3.3 Résolution 6.8.3.4 Degré de consolidation 6.8.3.5 Degré de consolidation moyen 6.9 Détermination expérimentale du coefficient de consolidation 6.9.1 Méthode de Casagrande 6.9.2 Méthode de Taylor 6.10 Détermination du coefficient de perméabilité 6.11 Evaluation de la compression secondaire 6.11.1 Définition 6.11.2 Hypothèses 6.11.3 Calcul du tassement secondaire 6.12 Tassements admissibles et précautions à adopter
- 84. Chapitre 6 Tassement, compressibilitéet consolidation 6.1 Introduction, le tassement Le sol est un amas complexe, c’est un matériau irréversible à cause des déformations permanentes, son comportement est généralement non linéaire. Les déformations peuvent être instantanées ou différées introduisant une dépendance au temps. Les tassements sont par définition les déformations verticales du sol sous l’action des sollicitations diverses. Le tassement peut s’effectuer vers le bas ou vers le haut c.à.d un gonflement (pendant les excavations par exemple). Les causes du tassement sont : . La compression de l’air et de l’eau interstitielle. Pour le calcul des tassements on suppose que le sol est saturé, de plus on ne tient pas compte de la compressibilité du fluide interstitiel. . La déformation des grains de sol qui est généralement négligeable en Génie civil. . Expulsion de l’air et évacuation de l’eau interstitielle qui constitue la cause principale dans l’étude des tassements. Les tassements peuvent être uniformes ou différents d’un point à l’autre selon la nature du sol en place. Les tassements des sols non saturés sont presque instantanés tandis que dans les sols saturés, ils peuvent s’étendre sur quelques secondes dans les sols sableux-graveuleux, jusqu’à plusieurs dizaines d’années dans les argiles peut perméables. Le calcul des tassements est nécessaire pour vérifier la conformité des structures vis-à-vis des conditions de sécurité et de service. 6.2 Composantes du tassement Le tassement total d’un sol se décompose en tassement primaire et tassement secondaire. Le tassement primaire a deux composantes, un tassement immédiat et un tassement différé associé à la consolidation. D’où la formule globale : St = Sp + Ss = Si + Sc + Ss (6.1) Par définition, le tassement immédiat est indépendant du temps, tandis que les tassements de consolidation et le tassement secondaire sont des fonctions du temps. En général, le tassement immédiat est évalué en se basant sur la théorie d’élasticité. Le tassement de consolidation se produit dans les sols à grains fins présentant un
- 85. 75 Eléments de Mécaniquedes Sols faible coefficient de perméabilité. La vitesse de tassement dépend du taux d’évacuation de l’eau interstitielle c.à.d de la perméabilité. Dans ces conditions, le tassement de consolidation peut se prolonger pendant des mois, des années ou même des dizaines d’années. Le tassement secondaire se produit à contrainte effective constante, sans variation de la pression interstitielle, on le définit alors comme un phénomène de fluage du sol. 6.3 Compressibilité C’est l’étude de la relation contrainte-déformation du sol. L’étude de la compressibilité unidimensionnelle peut se faire par des essais à l’oedomètre (Fig. 6.1). L’expérience montre que la compressibilité des sols ne suit pas la loi de l’élasticité linéaire ni même celle de l’élasticité non linéaire. La relation contrainte-déformation peut être représentée par plusieurs courbes (Fig. 6.2-5): La déformation verticale est exprimée en fonction de la contrainte effective σ'v (ou logσ'v), où bien, l’indice des vides e est exprimé en fonction de la contrainte effective σ'v (ou logσ'v). Dans la majorité des essais oedométriques on trace la courbe e(logσ'v) dont la forme caractéristique est comme montrer ci- contre (Fig. 6.2). La courbe est composée de quatre zones : Cellule oedométrique zone AB : dite zone de recompression. Dans cette zone les tassements sont faibles à cause de la présence de l’eau dans l’échantillon. zone BC : C’est une zone de transition. La contrainte à partir de laquelle se produit la transition est dite contrainte de préconsolidation et est notée σ'p. Elle représente la contrainte verticale maximale due au poids des terres à la quelle cet échantillon a déjà été soumis dans son passé géologique. Au delà de cette contrainte, le sol est très compressible même pour de petites variations de la contrainte. Fig. 6.1: œdomètre (d'après Costet et Sanglerat) zone CD : dite de compression vierge, dans laquelle la variation de l’indice des vides est proportionnelle à la variation du logarithme de la pression effective appliquée. zone DE : où la courbe tend vers une asymptote horizontale.
- 86. 76 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation Fig. 6.2 : Courbe de compressibilité e(log σ'vc) Cr: indice de recompression Cc: indice de compression log σ'vc Cre Cce logσ'vc εv mv σ'vc εv av σ'vc Fig. 6.3 : Courbe de compressibilité e(σ'vc) av: coefficient de compressibilité e Cc Cr ED C BA e Fig. 6.4 : Courbe de compressibilité εv(σ'vc) mv: coefficient de changement de volume (mv = 1/E') Fig. 6.5 : Courbe de compressibilité εv(log σ'vc) Cre: indice de recompression modifié Cce: indice de compression modifié
- 87. 77 Eléments de Mécaniquedes Sols Dans la zone de compression vierge, le coefficient de proportionnalité est appelé indice de compression Cc tel que σ∆ ∆−= log eCc (6.2) Ce coefficient permet le calcul du module oedométrique E'. 6.4 Consolidation Lorsqu’un sol fin est sollicité, son tassement évolue dans le temps. Cette évolution est liée à la vitesse d’évacuation de l’eau interstitielle c.à.d à la perméabilité du sol. Ce phénomène est appelé consolidation et se défini donc par l’étude de la vitesse de tassement. On peut illustrer le phénomène de consolidation par le modèle analogique suivant (Fig. 6.6). Le ressort correspond au squelette solide. L’eau du cylindre représente l’eau libre dans le sol. Le manomètre indique la pression interstitielle u0. Lorsque la soupape est fermée, l’application de l’incrément de charge ∆σ entraîne sa transmission intégrale à l’eau, le manomètre doit indiquer u0+∆σ. Lorsque la soupape est ouverte, l’eau s’évacue lentement, en même temps, la pression interstitielle diminue. La diminution de la pression interstitielle est reprise par le ressort qui se comprime au fur et à mesure. A l’équilibre, l’eau ne s’écoule plus du cylindre, la pression de l’eau redevient hydrostatique, le ressort est soumis à la charge σv+∆σ. Ce modèle permet de représenter ce que se produit dans les sols cohérents chargés. Au début, la sollicitation est transmise à l’eau sans qu’il y est changement dans la contrainte effective. Graduellement, l’eau est expulsée, le squelette de sol reprend la variation de contrainte, tandis que la contrainte effective augmente. Au bout d’un certain temps fonction de la perméabilité du sol, la pression hydrostatique en excès devient nulle et la pression interstitielle reprend la valeur qu’elle avait avant l’incrémentation du chargement. L’étude de la consolidation peut se faire à l’oedomètre sous charge constante. Sur la courbe représentative de cet essai (Fig. 6.7) on distingue deux branches sensiblement rectilignes. La branche BC représente la zone de consolidation primaire qui est due à la résistance offerte à l’évacuation de l’eau en excès. La branche CD caractérise la consolidation secondaire u0 σv+ ∆σ u0 +∆u σv+ ∆σ t = 0 u0 σv t = t1 t = t2 >> t1 Fig. 6.6 :Modèle de consolidation tassement secondaire tassement primaire t ∆h D C A B Fig. 6.7: Tassement primaire et tassement secondaire
- 88. 78 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation qui est le résultat du réarrangement progressif de la structure du sol. L’intersection des prolongements de BC et DC se fait au point A. Par définition, ce point détermine la fin du tassement primaire. Dans les problèmes pratiques, l’étude de la consolidation revient à déterminer la courbe de variation du degré de consolidation en fonction du temps U(z, t) défini par : )z(S )t,z(S )t,z(U = (6.3) où S(z, t) est le tassement à la profondeur z et au temps t, S(z) est le tassement final à la profondeur z. 6.5 Détermination de la contrainte de préconsolidation La contrainte de préconsolidation σ'p est déterminée d’après un essai de compressibilité par la construction graphique de Casagrande sur la courbe e(logσ'v) (Fig. 6.8): σ'p log σ'vc T B' HBA e . Soit A le point où le rayon de courbure est minimal. . On trace la droite horizontale AH à partir de A. . A partir de A, on trace la tangente AT au début de la courbe de compression vierge. . On trace la bissectrice AB' de l’angle HÂT. . On prolonge la portion rectiligne de la zone de compression vierge jusqu’à son intersection en B avec la bissectrice AB'. Fig. 6.8 : Détermination de la contrainte de préconsolidation . Le point B correspond à la contrainte de préconsolidation σ'p. On peut avoir plusieurs cas selon les valeurs relatives de σ'p et la contrainte effective actuelle due au poids des terres σ'v0 : Sol normalement consolidé La contrainte de préconsolidation est égale à la contrainte due au poids des terres : σ'p = σ'v0 Sol surconsolidé Lorsque les deux contraintes sont telles que σ'p > σ'v0
- 89. 79 Eléments de Mécaniquedes Sols on définit alors le taux de suconsolidation par : ' ' 0v p scr σ σ = (6.4) Sol sous-consolidé lorsque σ'p < σ'v0 Ce cas est généralement rare et n’est pas permanent. En effet, on ne peut le trouver que dans les sols déposés récemment par un processus géologique ou par intervention humaine. Le sol en question n’a pas encore atteint son équilibre avec le poids des terres. La pression interstitielle est alors supérieure à la pression hydrostatique. 6.6 Prédiction de la courbe de consolidation pour le sol en place La valeur de la contrainte de préconsolidation est influencée par plusieurs facteurs liés à l’expérimentation tels que le degré de remaniement de l’échantillon, le rapport d’augmentation de la charge (qui doit être inférieur à 1 pour les argiles molles et sensibles), et la durée de chaque chargement (qui est de l’ordre de 24 heures). C’est pourquoi au laboratoire, on obtient des courbes de recompression dont la pente est légèrement inférieure à la pente de la courbe de compression vierge sur le terrain. Schmertmann a mis au point une méthode graphique pour évaluer la pente de la courbe de compression vierge pour le sol en place. Pour corriger la courbe de compression vierge au laboratoire on procède de la façon suivante : 6.6.1 Pour une argile normalement consolidée . On évalue la contrainte de préconsolidation σ'p par la construction de Casagrande. log σ'vcσ'p F 0,42 e0 P2 P1 e0 e . On calcule l’indice des vides initiale e0. On trace la ligne horizontale passant par e0 et s'arrêtant au niveau de σ'p. On obtient alors le point P1 (Fig. 6.9). . On trace une horizontale à partir du point correspondant à 0,42 e0. Au point d’intersection de cette droite et du prolongement de la courbe de compression vierge en laboratoire. Ainsi on définit le point P2. . On relie les deux points caractéristiques P1 et P2 par une droite F. . La pente de cette droite définie l'indice de compression Cc du sol sur site. De même, la droite F représente la courbe de compression vierge sur le terrain. Fig. 6.9 : Construction de Schmertmann pour un sol n.c.
- 90. 80 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation 6.6.2 Pour une argile surconsolidée . On trace la ligne horizontale passant par e0 et s’arrêtant au niveau de σ'p d’où le point P1. (Fig. 6.10). e e0 0,42 e0 σ'p P1 P3 σ'v0 P2 . A partir du point P1, on trace une droite parallèle à la courbe moyenne chargement- déchargement et s’arrêtant au niveau de la contrainte de préconsolidation σ'p, d’où le point P2. . L’intersection du prolongement de la courbe de compression vierge avec la droite horizontale passant par 0,42e0 donne le point P3. . La droite P1P2 donne l’indice de recompression, et la droite P2P3 donne l’indice de compression vierge, tout deux sur le terrain. Fig. 6.10 : Construction de Schmertmann pour un sol s. c. 6.7 Calcul des tassements primaires 6.7.1 Méthode globale On peut faire un calcul global du tassement en considérant la variation des caractéristiques mécaniques du sol en fonction de l’état de contrainte. Pour un élément de volume parallélépipédique, de hauteur dz, le tassement infinitésimal sous la contrainte verticale appliquée σz est donné par : 'E dz ds zσ= (6.5) où E' est une caractéristique mécanique du matériau dite le module oedométrique, dépendant à la fois de la profondeur z et de la contrainte σz. En un point donné de profondeur z0, le tassement est donc : )z'(E dz)z( z )z(s z 0 0 σ= ∫ ∞ (6.6) Pour un sol constitué d’une seule couche de faible épaisseur égale à 2h, on pourra admettre que le module oedométrique E' est constant et que la répartition de la contrainte verticale σz est linéaire. Dans ces conditions, le tassement de la couche est donné par : 'E )(h s 2z1z σ−σ= (6.7) où σz1 est la contrainte verticale due à la surcharge à la surface de la couche, σz2 est la contrainte verticale due à la surcharge à la base de la couche. Dans le cas général de massif constitué de multi-couches ou d’une seule couche de grande épaisseur, le
- 91. 81 Eléments de Mécaniquedes Sols calcul pratique des tassements se fait de telle sorte que l’on puisse admettre pour chaque couche une répartition linéaire de σz et un module oedométrique E' constant. Le tassement global est enfin la somme des tassements de l’ensemble des couches. Remarque 6.1 Le module oedométrique est aussi appelé le module tangent. On peut le déterminer d’après les essais oedométriques ou triaxiaux en traçant la relation effort-déformation. Pour un incrément de charge ∆σ à partir de l’état (σ, e), on peut utiliser l’expression : )1log(C e1'E c σ σ∆+ σ∆+= (6.8) Quelques fois, E' est remplacé par le module sécant. Les essais permettant le calcul de E' doivent se faire dans des conditions non drainées puisque le tassement immédiat se produit avant toute consolidation. On appelle alors le module oedométrique, le module en conditions non drainées Eu. Toutefois, il faut souligner que le calcul du module Eu est fortement influencé par le remaniement des échantillons. Lorsque nous voulons évaluer le tassement par composantes, les calculs relèvent de plusieurs théories étant donné que les composantes de tassement sont de natures différentes. 6.7.2 Calcul des tassements instantanés Dans les milieux saturés, on peut admettre que ce tassement se produit à volume constant. On peut le calculer on se basant sur les formules de Boussinesq. A titre d’exemple, au voisinage d'une semelle flexible uniformément chargée, le tassement est donné par : I E 1 BqS 2 i ν− = (6.9) Dans laquelle on prendra ν=0,5. B est la dimension caractéristique de la semelle. Le coefficient d’influence I dépend de la forme de la semelle et de la position du point de calcul (Tab. 6.1) Coefficient d’influence Forme de la semelle Dimensions Centre Coin Moyenne Carrée - 1,12 0,56 0,95 L/B=2 1,53 0,77 1,30 L/B=3 1,78 0,89 1,52 L/B=5 2,10 1,05 1,83 Rectangulaire L/B=10 2,58 1,29 2,25 Circulaire - 1,0 0,64 0,85 Tableau 6.1 : Coefficient d’influence I pour la formule (6.9) Lorsqu’il s’agit d’une semelle rigide, le coefficient d’influence est plus petit.
- 92. 82 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation 6.7.3 Calcul des tassements de consolidation Au cours de la consolidation du sol, l’élément de volume se déforme. Etant donné que les grains sont indéformables (par hypothèse), le volume solide reste inchangé (Fig. 6.11). En fonction de l’indice des vides, on écrit : ∆H Vs Vv Vs Vv 0 H0 Fig. 6.11 : Principe de calcul du tassement tetanCons e1 V V t s = + = (6.10) pour une surface transversale égale à l’unité, il vient : ee1 hh e1 h V 0 0 0 0 s ∆++ ∆+ = + = d'où e1 e h h 00 v + ∆=∆=ε ce qui nous permet de calculer le tassement S de l’échantillon : h e1 ehS 0 0+ ∆=∆= (6.11) Exemple 6.1 Une couche de sol possédait les caractéristiques suivantes : épaisseur égale à 10m, indice des vides égal à 1,0. Après la construction d’un remblai, la couche s’est consolidée. L’indice des vides final n’était que de 0,8. Calculer le tassement de la couche de sol. L’utilisation pratique de l’expression (6.11) ci-dessus dépend de la plage de l’incrément de contrainte par rapport à la contrainte de préconsolidation. 6.7.3.1 Sol normalement consolidé Le tassement de consolidation Sc se calcule pour la zone de compression vierge. Selon la courbe effort-déformation utilisée, on exprime le tassement de consolidation par l’une des formules suivantes : ) ' 'log( e1 H CS 1 2 0 0 cc σ σ + = (6.11.a) ) ' 'log(HCS 1 2 0cec σ σ= (6.11.b) )''( e1 H aS 12 0 0 vc σ−σ+ = (6.11.c) )''(HmS 120vc σ−σ= (6.11.d) où σ'2 = σ'1+∆σ, les indices Cc, Cce, av, mv sont relatives à la zone de compression vierge.
- 93. 83 Eléments de Mécaniquedes Sols Remarque 6.2 1. Avantages des courbes εv(log σ'v) ou ∆h(log σ'v): . Simplifier le calcul des tassements sans connaître e0. . Déterminer la contrainte de consolidation σ'vc pendant l’essai. . Pour deux échantillons, les courbes e(log σ'v) peuvent être très différentes à cause de e0, par contre les courbes ∆h(log σ'v) peuvent être similaires. 2. Lorsque le sol est un multicouches, le tassement de consolidation sera la somme des tassements de chaque couche : ∑= = n 1i cic SS (6.12) 6.7.3.2 Le sol est surconsolidé On peut avoir deux cas : σ'v0 + ∆σ'v ≤ σ'p ou σ'v0 + ∆σ'v ≥ σ'p 6.7.3.2.1 La contrainte effective finale est inférieure à la contrainte de préconsolidation ( σ'v0 + ∆σ'v ≤ σ'p ) On peut utiliser les expressions (6.11) en prenant le soin de remplacer les coefficients de la zone de compression vierge par ceux de la zone de recompression Cr ou Cre : ) ' 'log( e1 H CS 1 2 0 0 rc σ σ + = (6.13.a) ) ' 'log(HCS 1 2 0rec σ σ= (6.13.b) 6.7.2.2.2 La contrainte effective finale est supérieure à la contrainte de préconsolidation ( σ'v0 + ∆σ'v ≥ σ'p ) Le tassement de consolidation sera la somme de deux parties : un tassement relatif à la zone de recompresssion, et un tassement relatif à la zone de compression vierge : ] ' )''(' log[ e1 H C] ' )''(' log[ e1 H CS p v0v pp 0 0 c 0v 0vp0v 0 0 rc σ σ−σ∆+σ+σ + + σ σ−σ+σ + = soit, ) ' ' log( e1 H C) ' ' log( e1 H CS p v0v 0 0 c 0v p 0 0 rc σ σ∆+σ + + σ σ + = (6.14) En terme d’indice de recompression modifié, il vient :
- 94. 84 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation ) ' ' log(HC ' ' logHCS p v0v 0ce 0v p 0rec σ σ∆+σ + σ σ = (6.15) Exemple 6.2 Pendant un essai de consolidation, nous avons relevé les mesures (e, σ'vc) portées sur le tableau ci-contre. L’indice des vides initial est de 0,725. La contrainte due au poids des terres est de 130 kPa. e 'vcσ [kPa] 0,708 25 0,691 50 0,670 100 0,632 200 0,635 100 0,650 25 0,642 50 0,623 200 0,574 400 0,510 800 0,445 1600 0,460 400 0,492 100 0,530 25 1. Construire la courbe de consolidation du type e (log σ'vc). 2. Estimer le rapport de surconsolidation. 3. Déterminer l'indice de compression et l'indice de recompression pour le sol en place. 4. Sachant que cet essai est représentatif d'une couche d'argile de 12m d'épaisseur, déterminer le tassement de consolidation pour une contrainte supplémentaire de 220 kPa. 5. Formuler les équations de la courbe de compression vièrge et de la courbe de rebondissement pour le déchargement commençant à 1600 kPa. 6.8 Vitesse de consolidation 6.8.1 Introduction La compression secondaire joue un rôle important dans le cas des tourbes et des sols fortement organiques, tandis que dans les argiles inorganiques, la consolidation primaire est la composante majeure du tassement. La compression secondaire se produit après la dissipation de toute pression interstitielle excédant les conditions hydrostatiques. Le processus se déroule donc à pression effective constante. Nous allons nous consacré à des théories servant à l’évaluation des taux de consolidation ou vitesse de tassement primaire et secondaire des sols à grains fins. 6.8.2 Le phénomène de la consolidation Nous pouvons simuler le phénomène par un modèle analogique comme le montre fig. 6.12. Lors du chargement d’une couche de sol saturé, la contrainte supplémentaire ∆σ due au chargement est immédiatement transmise à l’eau qui développe une pression interstitielle en excès ∆u = ∆σ. A mesure que le temps passe,
- 95. 85 Eléments de Mécaniquedes Sols l’eau est évacuée, et se produit un transfert graduel de la contrainte de l’eau vers le squelette de sol : la contrainte effective augmente et la surpression interstitielle diminue. Lorsque le temps tend vers l’infini, la surpression interstitielle ∆u est totalement dissipée, et la contrainte effective correspond à σ'v0+∆σ. Dans le cas d’une couche de sol drainée sur ces deux faces, la surpression interstitielle n’est pas uniforme le long de l’épaisseur. Au voisinage des faces drainées, l’eau s’évacue plus rapidement qu’à l’intérieur de la couche, ce qui donne des répartitions non linéaires de la pression de l’eau et de la contrainte effective. En effet, la vitesse d’évacuation de l’eau est liée physiquement au gradient hydraulique : z u l hi w ∆γ ∆=∆= (6.16) Or l’écoulement qui se produit exactement au centre de la couche est nul car le gradient ∆u/∆z est nul. Près des extrémités, le gradient tend vers l’infini et c’est à cet endroit que l’écoulement est le plus rapide. Le phénomène décrit ci- dessus s’appelle consolidation. Le tassement global de la couche de sol est proportionnel au volume d’eau expulsée. Cette quantité d’eau évacuée ainsi que la variation de l’indice des vides sont proportionnelles à la surpression interstitielle dissipée. La théorie de la consolidation est un modèle mathématique pour l’étude des tassements. En mécanique des sols, la théorie la plus adoptée repose sur l’hypothèse d’une consolidation unidimensionnelle, elle a était développée initialement par Terzaghi K. dans les années 20 du siècle dernier. σ'v0+∆σ Monôcouche ∞0t z ∆σ σ'v0 ∆u∆σ' Pression z σ'v0 ∆u∆σ' 0 ∞ ∆σ σ'v0+∆σ t Pression Multi-couche Fig. 6.12: Modèle analogique de consolidation d'un massif de sol 6.8.3 Théorie de Terzaghi pour la consolidation unidimensionnelle La théorie traite le cas d’une couche d’argile compressible comprise entre deux couches de matériaux poreux très perméables (Fig. 6.13). 6.8.3.1 Les hypothèses La théorie est basée sur les hypothèses suivantes :
- 96. 86 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation . La couche de sol compressible est homogène. Sable Sable Argile z H = 2h . La couche est complètement saturée. . Les grains solides et l’eau interstitielle sont incompressibles. . La loi de Darcy est valable. . La compression de la couche et l’évacuation de l’eau se font dans une seule direction. . La couche de sol est drainée sur une ou deux faces (haute et basse). Fig. 6.13: Couche de sol compressible en consolidation. Les déformations sont petites dans le sol. . Le coefficient de compressibilité av et le coefficient de perméabilité k demeurent constants pendant la consolidation (loi linéaire d’où l’hypothèse suivante). . Absence de compression secondaire. 6.8.3.2 Mise en équation L’équation de Terzaghi représente la formulation de la continuité de l’écoulement de l’eau interstitielle. Tout calcul fait, elle est donnée par l’expression t u z u C 2 2 v ∂ ∂= ∂ ∂ (6.17) où u est la pression interstitielle de l’eau, z la variable de profondeur, t la variable temps. Cv est dit coefficient de consolidation. Il est donné par : a e1kC v 0 w v + γ = (6.18) Quoi que cette équation n’a été formulée que pour la consolidation unidimensionnelle, on peut montrer qu’elle pourrait être dérivée pour les problèmes à consolidation tridimensionnelle. Les conditions aux limites sont les suivantes : . Au début du chargement, la pression interstitielle en excès est égale à l’augmentation de la contrainte totale ∆σ, ce que nous décrirons par : à t = 0 : ∆u = ∆ui = ∆σ = (σ'2 - σ'1) . La couche d’épaisseur H est drainée sur ces deux faces, soit : pour z = 0 et z = H nous avons ∆u = 0 6.8.3.3 Résolution La solution est exprimée sous forme de séries de Fourier :
- 97. 87 Eléments de Mécaniquedes Sols )T(f)Z(f)''(u 2 0n 112 ∑ ∞ = σ−σ=∆ (6.19) où f1 et f2 sont deux fonctions. ∆u est la pression interstitielle en excès, le facteur de profondeur Z et le facteur temps T, sont des paramètres sans dimension : Z = z / Hdr (6.20) où Hdr est la longueur du chemin de drainage, on la prend égale à l'épaisseur de la couche H pour un drainage sur une seule face et est égale à H/2 lorsque la couche est drainée sur ces deux faces. faceseuleunesurdrainéecoucheunepour drainéedoublementcoucheunepour H 2/HHdr = H tCT 2 dr v= (6.21) Dans le calcul pratique à la place de (6.19), on utilise des abaques pour le calcul rapide. Ces abaques sont basés sur la notion du degré de consolidation. 6.8.3.4 Degré de consolidation ∆e σ' ∆σ' = ∆ui σ'2σ'1 e1 e2 av σ' e e Nous avons vu dans la section 6.4 que pour l'ingénieur, l'étude de la vitesse de tassement se conclut par la définition du degré de consolidation, c.à.d le taux de la consolidation achevée au temps t et à la profondeur z, par rapport à la consolidation finale à la même profondeur z (formule 6.3). En fonction de l’indice des vides, le degré de consolidation est défini au temps t et à la profondeur z par la relation : Fig. 6.14: Courbe de compressibilité ee )t(ee)t(U 21 1 z − − = (6.22) où e1 (respectivement e2) représente l’indice des vides initial (final). En terme de contraintes et de pressions interstitielles, il vient (Fig. 6.14): u u1 u uu ' '' '' '' U ii i1 12 1 z ∆ ∆−= ∆ ∆−∆ = σ∆ σ−σ = σ−σ σ−σ = (6.23) ∆u étant la variation de la pression interstitielle à t = 0. En effet, nous avons: σ' = σ'1 + ∆σ' = σ'1+ ∆σ - ∆u = σ'1 + ∆ui - ∆u
- 98. 88 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation d'où σ' - σ'1 = ∆ui - ∆u Alors (6.23) donne: )T(f)Z(f1U 2 0n 1z ∑ ∞ = −= (6.24) dont la solution est donnée pour une couche doublement drainée par Taylor (Fig. 6.15) Exemple 6.3 Une couche d’argile a 12m d’épaisseur. Elle est drainée sur ces deux faces. Trouver le degré de consolidation et la pression interstitielle en excès après 5 ans de chargement, aux profondeurs de 3, 6, 9 et 12m. On donne Cv=8,0.10-8 m2 s-1 , ∆σ=100 kPa. 6.8.3.5 Degré de consolidation moyen Le degré de consolidation a un caractère local. Pour avoir une idée sur la consolidation de la couche entière, on introduit le degré de consolidation moyen défini par : ∫ ∫ ∫ σ σ ≈ σ σ = H 02 H 0 2 H 0 moy dz)t,z(' 'H 1 dz)z(' dz)t,z(' )t(U (6.25) en fonction de la surpression interstitielle, il vient : ∫ ∫ ∫ ∆ σ −≈ σ ∆ −= H 02 H 0 2 H 0 moy dz)t,z(u 'H 11 dz)z(' dz)t,z(u 1)t(U (6.26) Dans ces expressions, l’approximation est due à la contrainte effective finale σ'2 : est- elle constante ou variable sur toute la hauteur de la couche ?. Dans la pratique il existe des abaques donnant le degré de consolidation moyen en fonction du facteur temps. Dans (Fig. 6.16) on suppose une distribution linéaire des pressions interstitielles initiales en fonction de la profondeur. Ceci constitue la seule restriction lors de l’utilisation de ces abaques. Par ailleurs, il existe des relations approximatives de T(Umoy) comme celles proposées par Casagrande (1938) et Taylor (1948) : %60Upour %60Upour )U100log(933,0781,1 ) 100 U ( 4 T moy moy moy 2moy > < −− π = (6.27)
- 99. 89 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 6.15: Degré de consolidation pour un point dans une couche doublement drainée (d'après introduction à la géotechnique)
- 100. 90 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation Fig. 6.16: Relation Umoy(T) dans différents échelles (d'après introduction à la géotechnique)
- 101. 91 Eléments de Mécaniquedes Sols dont les relations inverses sont : %60Upour %60Upour 101 T2 U moy moy 933,0 T781,1 moy > < − π = − (6.28) Exemple 6.4 Soit une couche d’argile doublement drainée. Calculer le degré de consolidation à Z1=0,1 et Z2=1 pour T=0,05. Calculer le degré de consolidation moyen de la couche. Enfin, nous pouvons relier le degré de consolidation moyen au tassement par l’expression : S )t(S )t(U c moy = (6.29) où S(t) est le tassement au temps t, Sc est le tassement final de consolidation primaire. Exemple 6.5 Soit une couche d’argile molle doublement drainée et d’une épaisseur égale à 12m. On suppose que la couche est normalement consolidée. Calculer le temps nécessaire pour que le tassement de la couche soit égal à 0,25m. On donne : e0=0,62 ; σ'v0=110 kPa ; ∆σ'=100 kPa ; Cv=8.10-8 m2 s-1 ; Cc=0,25. Exemple 6.6 Une couche d’argile a une épaisseur de 10m et est drainée sur une seule face. En 3,5 ans, elle présente un tassement de 90 mm. Calculer le tassement de consolidation finale et déterminer le temps nécessaire pour atteindre 90% de cette valeur. On donne : Cv=0,544.10-6 m2 s-1 . 6.9 Détermination expérimentale du coefficient de consolidation Cv Ce coefficient figure dans l’équation différentielle de consolidation (6.17-18), et dans la définition du facteur temps (6.19). En réalité, le coefficient de consolidation dépend du rapport d’augmentation de la charge, du niveau de la contrainte appliquée, qu’elle excède ou non la contrainte de préconsolidation. Expérimentalement, le calcul de Cv est basé sur l’expression (6.19). Il existe deux méthodes graphiques associées à un essai oedométrique classique. 6.9.1 Méthode de Casagrande On considère l’espace (R(t), log(t)), où R(t) représente la lecture micrométrique de la variation de la hauteur de l’échantillon en fonction du temps t. La méthode consiste à
- 102. 92 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation déterminer R50 et t50 correspondant à 50 % de consolidation. Pour cela, on suit les étapes ci-dessous (Fig. 6.17): R . On trace les tangentes aux deux branches linéaires de la courbe. R1 R2 R0 t2 = 4 t1t1 tp R100 log t . On détermine le point P1(tp, R100) défini par l’intersection des deux tangentes. Il défini le temps de la fin de consolidation primaire tp correspondant à Umoy = 100 %. . On choisi deux temps t1 et t2 quelconques mais dans un rapport de 1 à 4 (t2 = 4t1) et on prend leurs lectures micrométriques R1 et R2. . On reporte au dessus de R1 la distance égale à R2 - R1. On définit ainsi la lecture initiale R0 = R1 - (R2 - R1). Fig. 6.17: Méthode de Casagrande pour le calcul de Cv . On recommence le procédé pour plusieurs valeurs de t1 pour obtenir une valeur moyenne de R0 aussi exacte que possible : R0 = R2 - (R3 - R2). . On calcul alors R50 = (R0 + R100) / 2, d’où l’on détermine t50(R50). . On calcul Cv d’après (6.19) dans laquelle on prendra P1 R 0,15 d R90 (t90)1/2 d R0 d1 d2 (t)1/2 T = 0,197 et t = t50 (associés à Umoy = 50%). Hdr = (Hdr)moy = Hmoy/2, où Hmoy= (H0 + Hf) / 2 6.9.2 Méthode de Taylor On considère l’espace R( t ). La méthode consiste à déterminer R90 et t90 correspondant à 90 % de consolidation. Pour cela, on suit les étapes ci-dessous (Fig. 6.18): . On trace la droite d1 tangente à la partie initiale de la courbe R( t ). . L’intersection de la droite d1 avec l’axe R donne R0. . A partir de R0, on trace une deuxième droite d2 dont les abscisses sont égales à 1,15 fois les abscisses de d1. . L’intersection de la droite d2 avec la courbe correspond à P1(R90, t90). . On applique la formule (6.19) en utilisant t90 et T = 0,848 associés à Umoy = 90%, Fig. 6.18: Méthode de Taylor pour le calcul de Cv Hdr = (Hdr)moy. Généralement, cette méthode donne des valeurs de Cv légèrement supérieures aux valeurs données par la méthode de Casagrande.
- 103. 93 Eléments de Mécaniquedes Sols 6.10 Détermination du coefficient de perméabilité Lors d’un essai oedométrique, connaissant Cv, on calcule le coefficient de perméabilité k à partir de (6.18) soit : e1 aCk 0 vwv + γ = (6.30) 6.11 Evaluation de la compression secondaire 6.11.1 Définitions La compression secondaire est le changement de volume qui se produit au delà de la consolidation primaire. Elle se produit sous une contrainte effective constante, c.à.d après que toutes les pressions interstitielles en excès soient dissipées. Il s’agit donc d’un phénomène de fluage. Sur le terrain, il est impossible de départager le tassement de consolidation primaire de la compression secondaire. Dans la zone de compression secondaire, on définit l’indice de compression secondaire Cα par : tlog eC ∆ ∆=α (6.31) où ∆e est la variation de l’indice des vides pendant l’intervalle ∆t. et l’indice de compression secondaire modifié Cαe par : e1 C C p e + = α α (6.32) où ep est l’indice des vides au début de la portion linéaire de la courbe e(log(t)), c.à.d. l’indice des vides à la fin de la consolidation primaire. 6.11.2 Hypothèses On admet les hypothèses suivantes : . Cα est indépendant du temps. . Cα est indépendant de l’épaisseur de la couche de sol. . Cα est indépendant du rapport d’incrémentation de la charge. . le rapport Cα /Cc est à peu près constant pour un grand nombre d’argile normalement consolidées dans la gamme des contraintes que l’on rencontre dans les applications courantes. (la valeur moyenne de Cα /Cc est de l’ordre de 0,05). 6.11.3 Calcul du tassement secondaire On peut utiliser l’équation de base
- 104. 94 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation H e1 eS 0 0 s + ∆= (6.33) dans laquelle on prendra ∆e = Cα ∆(logt). H0 = Hi - Si - Sc la hauteur de la couche à la fin de la consolidation primaire. Hi étant l’épaisseur initiale de la couche, Si est le tassement instantané, Sc est le tassement de consolidation. e0 = ep est relatif à la fin de la consolidation primaire Exemple 6.7 Soient les données relatives à la vitesse de déformation pour un incrément de charge de 40 à 80 kPa. On suppose que le tassement de consolidation est de 300 mm et qu’il se produit au terme d’une période de 25 ans. L’épaisseur de la couche compressible est de 10 m. L’indice des vides initial est de 2,855. La hauteur initiale de l’échantillon est égale à 25,4 mm. La lecture micrométrique initiale est de 12,7 mm. On suppose que la vitesse de déformation de l’échantillon de laboratoire est à peu près la même que celle du dépôt compressible. Calculer le tassement secondaire qui se produira entre 25 et 50 ans t [min] R [mm] initiale 12,7 0 11,224 0,1 11,151 0,25 11,123 0,5 11,082 1,0 11,019 1,8 10,942 3,0 10,859 6 10,711 10 10,566 16 10,401 30 10,180 60 9,919 100 9,769 180 9,614 300 9,489 520 9,373 1350 9,223 1800 9,172 2850 9,116 4290 9,053 6.12 Tassements admissibles et précautions à adopter Les tassements uniformes ne sont pas en général préjudiciables. Par contre, les tassements différentiels peuvent provoquer des désordres graves : dislocation de maçonnerie, fissures dans les bétons, rotation d’ensemble ..etc. Les tassements uniformes ou absolus sont considérés admissibles lorsqu’ils peuvent être absorbés sans inconvénient par la structure. Ceci peut être réalisé par des constructions très souples ou des constructions très rigides. Pour les constructions courantes, on limite les tassements différentiels Sd aux valeurs suivantes : Exemple 6.7 armébétonenstructureslespour )armébétonlequeleadaptabplus(maçonnerielapour 1000 L 600 L Sd ≤ (6.34) L étant la portée séparant deux appuis pour lesquels on effectue le calcul.
- 105. 95 Eléments de Mécaniquedes Sols Les précautions à adopter visent à minimiser autant que possible les tassements tout en prenant garde des sols gonflants. De point de vue réglementaire, il existe des normes précisant les valeurs limites des tassements (Tab. 6.2). Type de mouvement Condition Tassement maximal drainage correcte 15 à 30 cm facilité d'accès 30 à 60 cm Tas. uniforme sous mur en maçonnerie 2 à 5 cm Tas. uniforme sous poutraison 5 à 10 cm Tassement total Tas. uniforme sous silos, cheminée, radier 8 à 30 cm stabilité de cheminée et tour 0,004 B circulation d'engin 0,01 L stabilité d'empilage 0,01 L stabilité de machine à tisser 0,003 L stabilité de turbo-générateur 0,0002 L Stabilité de grue sur rail 0,003 L Renversement Ecoulement de l'eau dans les étages 0,01 à 0,02 L parer à la fissuration de mur de brique 0,0005 à 0,001 L parer à la fissuration de poutre en B.A. 0,0025 à 0,004 L parer à la fissuration de voile en B.A. 0,003 L parer à la fissuration de poutre continue en acier 0,002 L Tassement parer à la fissuration de poutre simple en acier 0,005 L Tab. 6.2: Tassements admissibles (d'après Costet et Sanglerat)
- 106. 96 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation Exercices du chapitre 6 Tassement, compressibilité et consolidation Exercice 1 : Pendant un essai de consolidation sur une argile non remaniée, nous avons obtenu les données ci-contre. Pression [kPa] Indice des vides 20 0,953 40 0,948 80 0,938 160 0,920 320 0,878 640 0,789 1280 0,691 320 0,719 80 0,754 20 0,791 0 0,890 a. tracer le graphique de la pression en fonction de l'indice des vides sur une échelle semi-logarithmique et sur une échelle arithmétique. b. Formuler les équations de la courbe de compression vierge et de la courbe de rebondissement pour un déchargement commençant à 1280 kPa. c. Quels sont les indices de compression modifié et de rebondissement de ce sol. d. Evaluer la contrainte à laquelle cette argile a été préconsolidée. Exercice 2 Pendant un essai de consolidation, nous avons relevé les mesures (e, σ'vc) portées sur le tableau ci-contre. L’indice des vides initial est de 0,725. La contrainte due au poids des terres est de 130 kPa. e 'vcσ [kPa] 0,708 25 0,691 50 0,670 100 0,632 200 0,635 100 0,650 25 0,642 50 0,623 200 0,574 400 0,510 800 0,445 1600 0,460 400 0,492 100 0,530 25 1. Construire la courbe de compressibilité du type e (log σ'vc). 2. Estimer le rapport de surconsolidation. 3. Déterminer l'indice de compression et l'indice de recompression pour le sol en place. 4. Sachant que cet essai est représentatif d'une couche d'argile de 12m d'épaisseur, déterminer le tassement de consolidation pour une contrainte supplémentaire de 220 kPa. Exercice 3 : On doit construire un édifice sur une couche de 6 m d'argile qui présente les caractéristiques suivantes: e0= 0,96; Cc=0,22. La contrainte moyenne actuelle due au poids des terres est de 120 kPa. La contrainte moyenne dans l'argile, après la construction de l'édifice, sera de 270 kPa. On suppose que le sol est normalement
- 107. 97 Eléments de Mécaniquedes Sols consolidé. On suppose que la contrainte moyenne due à l'édifice ne varie pas avec la profondeur. a. Evaluer le tassement instantané de la couche d'argile sous la charge de l'édifice pour une semelle carrée de côté b = 1m. Le module de Young est E = 200 kPa. b. Evaluer le tassement de consolidation de la couche d'argile produit par la charge de l'édifice. Exercice 4 : Le facteur temps pour une argile en voie de consolidation est de 0,2. a. Quel est le degré de consolidation à z/Hdr égale respectivement 0,25 0,5 et 0,75. b. Quel est le pourcentage de consolidation moyen de la couche drainée aux deux extrémités. Exercice 5 : Sachant qu'on prévoit un tassement total de consolidation de 1 m pour la couche du problème 3, évaluer le tassement qui s'est produit lorsque le facteur temps était de 0,2 et de 0,7. Exercice 6 : Si la couche d'argile de l'exercice 3 avait présenté un drainage simple, les valeurs calculées pour Uz auraient-elles été différentes. Dans l'affirmative, de quel ordre serait cette différence. Exercice 7 : Porter sur un graphique la pression interstitielle en excès en fonction de la profondeur, en considérant un drainage simple. Supposer que l'argile repose sur un schiste imperméable. Exercice 8 : A partir du sol et des conditions de chargement indiqués aux exercices 3 et 4, calculer le délai nécessaire pour obtenir un tassement de 0,1 0,25 et 0,4 m respectivement en tenant compte d'un drainage simple et d'un drainage double. Exercice 9 : En se servant de la solution de l'équation de consolidation donnée sous forme de séries, calculer au dixième près le pourcentage de consolidation moyen U correspondant à des facteurs temps égales à 0,2 0,5 et 0,9 respectivement, et pour un facteur temps tendant vers l'infini. Vérifier les calculs à l'aide des équations T(U) données par Casagrande et Taylor. Exercice 10 : Un dépôt d'argile a 12 m d'épaisseur moyenne et semble drainé à sa base. Le coefficient de consolidation de l'argile a été estimé à 10-8 m2 /s. Le tassement final est estimé à 1,2 m sous les charges appliquées sur le terrain. a. Combien de temps serait nécessaire pour obtenir des tassements de 400 et 700 mm. b. Quel tassement pourrait-on prévoir après 5 10 et 50 ans.
- 108. 98 Chapitre 6 :Tassement, compressibilité et consolidation c. Combien de temps sera nécessaire pour atteindre le tassement final de 1,2 m. Exercice 11 : Les données relatives à la vitesse de consolidation présentées ci-contre correspondent à l'incrément de charge de 20 à 40 kPa. La hauteur initiale de l'échantillon est de 25,4 mm et on a placé des pierres poreuses dans les parties supérieure et inférieure de l'appareil d'essai. Temps [mn] Lecture micro- métrique [mm] 0 4,041 0,1 3,927 0,25 3,879 0,5 3,830 1 3,757 2 3,650 4 3,495 8 3,282 15 3,035 30 2,766 60 2,550 120 2,423 240 2,276 505 2,184 1485 2,040 Déterminer le coefficient de consolidation par les méthodes relatives aux courbes log(t) et (t)1/2 respectivement. Comparer les résultats obtenus par les deux méthodes. Exercice 12 : A l'aide des données de l'exercice 10, estimer l'indice de compression secondaire et l'indice de compression secondaire modifié, sachant que: e0 = 2,6 H0 = 25,4 mm ρs = 2750 Kg/m3 à t = 0, e = 1,74 H = 19,28 mm à t = 1485 mn, e = 1,455 H = 17,28 mm Exercice 13 : Une couche d'argile normalement consolidée de 20 m d'épaisseur supportera une charge de 100 kPa répartie sur une grande surface. La couche d'argile est recouverte d'un remblai granulaire (ρ = 2000 Kg/m3 ) de 3 m d'épaisseur. Sous l'argile, on trouve un gravier sableux dense. La nappe phréatique se situe à la limite supérieure de la couche d'argile dont la masse volumique déjaugée est de 900 Kg/m3 . On a effectué des essais de consolidation sur des échantillons de 22 mm d'épaisseur, à double drainage et on a obtenu t50 = 9 mn pour un incrément de charge similaire à celui qui sera appliqué sur le terrain. Calculer la contrainte effective à une profondeur de 18 m sous la surface, 4 ans après la mise en place de la charge. Exercice 14 : A l'aide des données de l'exercice 12, déterminer le pourcentage de consolidation moyen de la couche d'argile après 4 ans. Exercice 15 : A l'aide des données de l'exercice 12, calculer la contrainte effective à une profondeur de 18 m sous la surface, 4 ans après la mise en place de la charge, en supposant cette fois que la couche est à drainage simple vers le haut. Commenter. Exercice 16 : Déterminer le coefficient de perméabilité moyen de l'argile, corrigé à 20 °C et mesuré pendant l'incrément suivant:
- 109. 99 Eléments de Mécaniquedes Sols σ1 = 150 kPa, e1 = 1,3 σ2 = 300 kPa, e2 = 1,18 hauteur de l'échantillon = 20 mm double drainage temps pour atteindre 50 % de consolidation = 20 mn température ambiante = 23 °C Exercice 17 Soient les données relatives à la vitesse de déformation pour un incrément de charge de 40 à 80 kPa. On suppose que le tassement de consolidation est de 300 mm et qu’il se produit au terme d’une période de 25 ans. L’épaisseur de la couche compressible est de 10 m. L’indice des vides initial est de 2,855. La hauteur initiale de l’échantillon est égale à 25,4 mm. La lecture micrométrique initiale est de 12,7 mm. On suppose que la vitesse de déformation de l’échantillon de laboratoire est à peu près la même que celle du dépôt compressible. Calculer le tassement secondaire qui se produira entre 25 et 50 ans t [min] R [mm] initiale 12,7 0 11,224 0,1 11,151 0,25 11,123 0,5 11,082 1,0 11,019 1,8 10,942 3,0 10,859 6 10,711 10 10,566 16 10,401 30 10,180 60 9,919 100 9,769 180 9,614 300 9,489 520 9,373 1350 9,223 1800 9,172 2850 9,116 4290 9,053
- 110. Chapitre 7 Rappels demécanique des milieux continus 7.1 Introduction: mécanique des milieux continus 7.2. Les forces 7.3 Champ de contrainte 7.3.1 Postulat d'Euler Cauchy 7.3.2 Vecteur de contrainte 7.3.3 Tenseur de contrainte 7.4 Propriétés du tenseur de contrainte 7.4.1 Equation d'équilibre 7.4.2 Conditions aux limites 7.4.3 Symétrie 7.4.4 Rotation des axes 7.4.5 Contraintes principales 7.4.6 Invariants 7.4.7 Tenseur déviateur et tenseur sphérique 7.4.8 Convention de signe en mécanique des sols 7.4.9 Etat plan de contrainte 7.4.10 Equation d'équilibre en coordonnées sphériques 7.5 Cercle de Mohr 7.5.1 Construction directe 7.5.2 Construction inverse 7.5.3 Pôle des faces 7.5.4 Tricercle de Mohr 7.5.5 Etats particuliers de contraintes planes 7.5.6 Ellipsoide de contrainte 7.6 Champ de déformation. 7.6.1 Mouvement, déplacement et déformation 7.6.2 Tenseur de déformation infinitésimale 7.7 Propriétés du tenseur de déformation 7.7.1 Conditions de compatibilité 7.7.2 Conditions aux limites 7.7.3 Dilatation volumique 7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques 7.8 Relation contrainte-déformation. 7.8.1 Position du problème de mécanique des solides 7.8.2 Bilan des équations et des inconnues 7.8.3 Résolution 7.8.4 Lois constitutives 7.8.5 Elasticité linéaire 7.8.6 Autres lois constitutives 7.9 Critères de plasticité 7.10 Aspects énergétiques et thermodynamiques
- 111. Chapitre 7 Rappels demécanique des milieux continus 7.1 Introduction: mécanique des milieux continus La mécanique des solides a pour objectif d’étudier de manière mathématique rigoureuse le comportement des solides, essentiellement le comportement mécanique, c.à.d : la réponse des solides aux sollicitations extérieures. Cette réponse est caractérisée par la transmission des efforts à l’intérieur du solide, les déplacements des points du solide et la déformation de la matière. Les solides sont donc déformables, ce qui différencie essentiellement cette science de la mécanique rationnelle qui étudie le mouvement des solides rigides. La mécanique des solides est une science très vaste. Une hypothèse usuelle est d’admettre que le solide est continu. On se limite alors au point de vue macroscopique et on parle de mécanique des milieux continus. Cette branche s’applique d’ailleurs aussi bien aux fluides qu’aux solides, la distinction étant souvent délicate. Donc cette science ignore le détail de la structure moléculaire ou atomique de la matière, qu’elle suppose uniformément répartie dans l’espace. On peut diviser en quatre catégories les disciplines de la mécanique des milieux continus permettant d’aboutir à un ensemble complet d’équations rendant en principe possible la résolution de tout problème : . Cinématique Elle étudie le mouvement du solide en terme de déplacement, vitesse, déformation,…et fournit des relations à caractère géométrique. . Mécanique C’est l’étude des forces (gravitationnelle, électromagnétique,…) où s’introduit le concept très important de la contrainte. . Lois de la physique Essentiellement mécanique et thermodynamique : équilibre, lois de Newton, conservation de l'énergie, conservation de la matière. . Lois constitutives Ce sont les lois caractérisant le comportement physique de la matière, et reliant les variables des trois disciplines précédentes Dans ce chapitre, nous présenterons les éléments de base de la mécanique des milieux continus en vue de l'appliquer en mécanique des sols. Nous établissons les équations de la théorie de l’élasticité qui caractérise le comportement le plus simple des milieux continus.
- 112. 101 Eléments de Mécaniquedes Sols 7.2 Les forces En mécanique des milieux continus on distingue deux types de forces extérieures (Fig. 7.1): 7.2.1 Les forces de volume Elles agissent sur les éléments de volume du corps, telles les forces gravitationnelles, électromagnétiques, d’inertie. On désignera par Fi (i=1,2,3) les composantes de ces forces par unité de volume. p r d = dVF r F v dV =prd AdT v dA T v Fig. 7.1: : Types des forces extérieures 7.2.2 Les forces de surface (ou traction) Ce sont les forces de contact superficielles, agissant sur la surface libre limitant le corps, telle la pression atmosphérique. On désignera par Ti (i=1,2,3) les composantes de ces forces par unité de surface. 7.3 Champ de contrainte 7.3.1 Postulat d'Euler-Cauchy Sur toute surface de coupe dans un solide, il existe un champ de vecteurs contrainte t de nature semblable aux tractions de surface, tel que l’ensemble des forces élémentaires de contact tdA assure la transmission globale des forces s’exerçant entre les deux fragments (Fig. 7.2). Cette définition exprime le principe des contraintes d’Euler et Cauchy. dA n r t r σ τ Fig. 7.2 : vecteur contrainte 7.3.2 Vecteur de contrainte Si n est la normale unitaire extérieure à la facette élémentaire dA (Fig. 7.2), les composantes de t sur cette normale, et sur le plan de dA sont dites contrainte normale σ et contrainte tangentielle τ et constituent les composantes du vecteur contrainte dans le repère local propre à la facette. Comme tout autre vecteur, nous pouvons décomposer le vecteur contrainte dans un repère quelconque dans l'espace. 7.3.3 Tenseur de contrainte Le vecteur contrainte t varie certes d’un point à l’autre du corps, mais, en un point donné, il varie également avec l’orientation de dA. On dit que t est conjugué ou associé à dA ou à n. Par conséquent, l’état de contrainte en un point d’un corps n’est pas défini par un seul vecteur contrainte. Puisque cet état doit être invariant pour l’observateur, l’état de contrainte n’est pas donc une grandeur vectorielle, mais d’un niveau supérieur. Les formules fondamentales de Cauchy
- 113. 102 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus ti = σij nj (7.1) montrent que l’état de contraintes en un point (c.à.d le vecteur contrainte t sur une facette d’orientation quelconque n) est entièrement défini par la connaissance des composantes de vecteurs contrainte agissant sur trois plans deux-à-deux orthogonaux en ce point. On groupe les neuf composantes des trois vecteurs dans une matrice notée σij ou σ: σ = (σij) = = (7.2) σσσ σσσ σσσ 333231 232221 131211 zzzyzx yzyyyx xzxyxx σττ τστ ττσ 7.4 Propriétés du tenseur de contrainte 7.4.1 Equation d'équilibre Il existe trois équations différentielles expriment l’équilibre d'un volume infinitésimal d'un solide. On peut les trouver sous l'écriture : σij,j + Fi = 0 dans V soit, (7.3) div(σ) + F = 0 dans V où F représente les forces de volume. Exemple 7.1 En absence des forces de volume, vérifier si le champ de contrainte suivant satisfait les équations d'équilibre. σ11 = y2 + ν (x2 – y2 ); σ12 = -2 ν xy; σ13 = 0 σ22 = x2 + ν (y2 – x2 ); σ23 = 0 σ33 = ν (x2 + y2 ) 7.4.2 Conditions aux limites En chaque point de la surface limitant le milieu continu étudié (Fig. 7.1,2), les tractions de surface TidA doivent faire équilibre aux forces de contact tidA, ce qui donne : Ti = σij nj sur dV (7.4) où n est le vecteur unitaire normal à la surface extérieure dV. Ces équations expriment les conditions à la surface ou conditions aux limites. On dit aussi qu’elles représentent les équations d’équilibre en surface. 7.4.3 Symétrie on démontre l’équation :
- 114. 103 Eléments de Mécaniquedes Sols σij = σji (7.5) Alors, le tenseur de contrainte σij est symétrique. Par suite, l’état de contrainte en un point d’un milieu continu ne dépend plus que de six composantes : σ11, σ12, σ13, σ22, σ23, σ33 7.4.4 Rotation des axes Lorsque les coordonnées (x,y,z) et (x',y',z') d’un point quelconque dans deux repères différents sont liées par : x' = C x (7.6) où Cij désigne le cosinus directeur de l’angle de l’axe x'i par rapport à l’axe xj, le tenseur de contrainte σ' dans le repère (X',Y',Z') s’obtient par la loi de transformation des tenseurs d'ordre 2 : σ' = C σ CT (7.7) Exemple 7.2 L'état de contrainte en un point est donné par le tenseur ci- contre. Pendant une rotation des axes, les vecteurs unitaires du nouveau repère sont donnés par: − =σ 103 004 342 e'1 = (1/3) (2e1 + 2e2 + e3) e'2 = (1/√2) (e1 - e2) trouver le tenseur de contrainte dans le nouveau repère. 7.4.5 Contraintes principales Pour l'état de contrainte en un point donné, il existe certaines facettes sur lesquelles le vecteur contrainte t est purement normal , c.à.d que les contraintes tangentielles sont nulles. Le tenseur de contrainte devient une matrice diagonale. Ses composantes sont appelés contraintes principales. On les calcule par la résolution du problème aux valeurs propres λ, et des vecteurs propres n: (σij - λ δij ) nj = 0 (7.8) δij étant le symbole de Kronecker. Exemple 7.3 Calculer les contraintes principales du tenseur de contrainte: =σ 000 03,075,4 075,465,7 7.4.6 Invariants Ce sont les coefficients de l'équation caractéristique qui représente le développement du problème ci-dessus (7.8): (7.9)0III 32 2 1 3 =+λ−λ+λ− σσσ Ils sont donnés par les relations suivantes
- 115. 104 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus )(trI1 σ=σ [ ]{ })(tr)(tr 2 1 I 22 2 σσ −=σ (7.10) )det(I3 σ=σ En notation indicielle ils s’écrivent : σ=σ 1I ii =σ 2I 2 1 [σii σjj – σij σij ] (7.11) det(σ=σ 3I ij ) Exemple 7.4 Déterminer les invariants du tenseur de contrainte de l'exemple 7.3 7.4.7 Tenseur déviateur et tenseur sphérique On appelle contrainte normale moyenne la quantité : 3 1 I 3 1 1m ==σ σ (σxx + σyy + σzz ) (7.12) qui est un invariant. On peut alors écrire le tenseur de contrainte σ en la somme de deux tenseurs : σij = σm δij + Sij (7.13) δij étant le symbole de Kronecker. Le premier tenseur σm δij où toutes les contraintes normales sont égales et les contraintes tangentielles nulles caractérise un état de contrainte hydrostatique ou sphérique. Le second tenseur dit tenseur déviateur s’écrit : Sij = σij - σm δij (7.14) Exemple 7.5 Calculer le tenseur sphérique et le tenseur déviatorique de l'état de contrainte de l'exemple 7.3 7.4.8 Convention de signe En mécanique des sols et géotechnique, on considère positive les contraintes de compression. 7.4.9 Etat plan de contrainte Il y a un état plan de contrainte en un point, quand le vecteur contrainte est situé toujours dans un même plan, quelle que soit la facette considéré. Soit OXY ce plan, alors : σzz = 0 ; σxz = σzx = 0 ; σyz = σzy = 0
- 116. 105 Eléments de Mécaniquedes Sols d’où (7.15) σσ σσ =σ 000 0 0 yyyx xyxx Toutes les équations établies précédemment restent valables pour l’état plan : il suffit de faire varier les indices de 1 à 2 ou de supprimer toute quantité où intervient l’indice 3 ou z. 7.4.10 Equation d'équilibre en coordonnées cylindriques Le système d’équations différentielles exprimant l’équilibre de l’élément de volume s'écrit sous la forme: 0F)( r 1 zr 1 r rrr rzrrr =+σ−σ+ ∂ σ∂ + θ∂ σ∂ + ∂ σ∂ θθ θ 0F r 2 zr 1 r r zr =+σ+ ∂ σ∂ + θ∂ σ∂ + ∂ σ∂ θθ θθθθ (7.16) 0F r 1 zr 1 r zzr zzzzr =+σ+ ∂ σ∂ + θ∂ σ∂ + ∂ σ∂ θ où Fr, Fθ et Fz sont les composantes de la force de volume. 7.5 Cercle de Mohr 7.5.1 Construction directe α σ1 σ α τ σ2 B AO n t y' x' X2 X1 Supposons connues les contraintes et les directions principales d’un état plan de contrainte. On désire trouver les composantes σ et τ du vecteur contrainte t agissant sur une facette d’orientation quelconque. Considérons les axes principaux x1 et x2 comme des axes de référence (Fig. 7.3). La normale de la facette oblique fait un angle α avec les axes principaux. Soient x' et y' des axes locaux attachés à la facette obtenus par une rotation d’angle α à partir des axes principaux x1 et x2. Le tenseur de contrainte dans le repère x' y' s’obtient à partir du tenseur de contrainte dans le repère x1 x2 par la transformation : Fig. 7.3: Construction directe σ' = C σ CT où la matrice de passage vaut dans ce cas :
- 117. 106 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus (7.17) αα− αα = )cos()sin( )sin()cos( c d’où )(sin)(cos 2 2 2 111 ασ+ασ=σ′=σ )sin()cos()( 1212 αασ−σ=σ′=τ Eliminant α entre les deux équations, on trouve : )2cos( 22 2121 α σ−σ + σ+σ =σ )2sin( 2 21 α σ−σ −=τ Posons 2 a 21 σ+σ = et 2 r 21 σ−σ = (7.18) Alors on écrit : et (7.19))2cos(ra α=−σ )2sin(r α=τ− soit (σ - a)2 + τ2 = r2 Dans un système d’axes (σ, -τ) cette équation est celle d’un cercle de rayon r centré sur l’axe des σ à l’abscisse a (Fig. 7.4). Ce cercle dit cercle de Mohr, permet une représentation graphique de l’état de contrainte. Il a les propriétés suivantes : 2α a r σ σ2 σ1 σ -τ 1. Lorsqu’une facette tourne d’un angle α par rapport aux directions principales, elle tourne de 2α dans le cercle de Mohr. Il en découle que deux facettes perpendiculaires sont représentées par deux points diamétralement opposés. τ Fig. 7.4: Cercle de Mohr 2. La contrainte tangentielle maximale est donnée par :
- 118. 107 Eléments de Mécaniquedes Sols 2 21 max σ−σ ±=τ (7.20) Elle se produit sur des facettes inclinées de 4 π ± par rapport aux facettes principales. Exemple 7.6 Soit l'état de contrainte représenté ci-contre (en kPa). Représenter les vecteurs contrainte agissant sur l'élément. Déterminer l'état de contrainte sur le plan faisant un angle de 26° par rapport à l'horizontale. Calculer la contrainte tangentielle maximale et le plan sur lequel elle agit. − =σ 20 010 7.5.2 Construction inverse τ τxy α σxx σ α τ σyy B A O n y' x' Y X Supposons connu l’état plan de contrainte en un point O. Cet état est donné par les composantes σxx, σyy et σxy agissant sur deux facettes orthogonales (Fig. 7.5). On désire trouver graphiquement les contraintes et les directions principales : σ1, σ2 et α1, α2 ainsi que les contraintes σ et τ agissant sur une facette d’orientation quelconque α. Graphiquement on obtient ces informations par le cercle de Mohr (Fig. 7.6): 1. On construit un système d’axes (σ, -τ). Fig. 7.5: Problème inverse 2. Sur l’axe des σ on porte d’abord les points a(σxx, 0) et b(σyy, 0). Le centre O du cercle sera le milieu de ab. x(σxx,τxy) σ2 2α 2α 2 σ1 σ τ y(σyy,-τxy) c(σ,τ) 2α 1 3. On porte τxy au droit de a ce qui donne le point x(σxx, τxy). Le rayon du cercle est la droite Ox. Le point x est représentatif de la facette origine x, de sorte que le rayon Ox sert d’origine pour mesurer les angles. 4. Le cercle coupe l’axe des σ aux points A et B qui donnent les contraintes et les directions principales σ1, α1 et σ2, α2. 5. En portant l’angle 2α, on obtient le point c(σ, τ) représentatif d’une facette d’orientation α. Fig. 7.6: Construction inverse Exemple 7.7 =σ 3,075,4 75,465,7L'état de contrainte en un point est donné par le tenseur ci- contre (en kPa). Trouver les contraintes principales et leurs directions par rapport à l'horizontale. 7.5.3 Pôle des faces Le processus analytique de calcul de l'état de contrainte pour une orientation donnée est souvent fastidieux à cause des angles doubles. On lui préfère une construction graphique basée sur un point unique sur le cercle de Mohr, appelé pôle
- 119. 108 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus ou origine des plans. Toute droite passant par le pôle coupe le cercle de Mohr en un point qui définit l'état des contraintes sur un plan dont l'inclinaison est la même que celle de la droite. Cela permet de déterminer le pôle lorsque l'état de contrainte est connu et inversement, déterminer l'état de contrainte pour une orientation quelconque lorsque le pôle est connu. [kPa] 20° πh 2 2 10 Exemple 7.8 Trouver le pôle des facettes dans l'état de contrainte ci- contre. Trouver 'état de contrainte sur la facette horizontale. 7.5.4 Tricercle de Mohr Exemple 7.8 Les composantes σ et τ du vecteur contrainte agissant sur une facette d’inclinaison quelconque sont les coordonnées d’un point P situé dans l’aire hachuré de la représentation graphique ci-contre (Fig. 7.7), dite tricercle de Mohr. On déduit du tricercle que la contrainte tangentielle maximale est représentée par le rayon du plus grand des trois cercles : -τ σ3 C σ2 B σ1 A P(σ, τ) σ 2 21 max σ−σ ±=τ (7.21) Fig. 7.7: Tricercle de Mohr Elle agit sur les facettes contenant l’axe principal x2 et bissectrice des axes x1 et x3. 7.5.5 Etats particuliers de contraintes planes -τ σ σ1 σ σ -τ σ σ σ σ1= σ2 = σ σ2 σ2σ2 σ -τ Fig. 7.9: Traction pure σ1 σ1 Fig. 7.8: Compression pure 7.5.5.1 Compression pure (Fig. 7.8) σ = 00 01 σ 7.5.5.2 Traction pure (Fig. 7.9) σ = 20 00 σ 7.5.5.3 Etat hydrostatique de compression (Fig. 7.10) où σ > 0 σ σ = 0 0 σ Fig. 7.10: Etat hydrostatique de compression
- 120. 109 Eléments de Mécaniquedes Sols 7.5.5.4 Etat hydrostatique de traction (Fig. 7.11) σ σ σ σ σ1= σ2 = σ -τ σ où σ > 0 σ− σ− = 0 0 σ 7.5.5.5 Cisaillement pure (Fig. 7.12) Fig. 7.11: Etat hydrostatique de traction où σ > 0 σ− σ = 0 0 σ -τ σ σ σ σ σ1= σσ2= - σ7.5.6 Ellipsoïde de contrainte En un point P d’un solide, à chaque orientation de la facette correspond le vecteur contrainte : Fig. 7.12: Cisaillement pure t = σ n où n est le vecteur unitaire normal à la facette. Soient tx, ty et tz les composantes du vecteur contrainte t et k, l, m les cosinus directeurs de n dans le repère des contraintes principales. Dans ce repère, l’expression ci-dessus donne : tx = σ1 k ; ty = σ2 l ; tz = σ3 m (7.22) avec k2 + l2 + m2 = 1 (7.23) soit 1 ttt 2 3 z 2 2 y 2 1 x = σ + σ + σ (7.24) C’est l’équation d’un ellipsoïde nommé ellipsoïde des contraintes au point P. Elle signifie que pour tout plan d’inclinaison quelconque passant par P, le lieu géométrique des extrémités de tous les vecteurs contraintes t obtenus lorsque l’orientation de la facette varie, est la surface de l’ellipsoïde représentée par l’équation (7.23). Les demi-axes de cette ellipsoïde sont les contraintes principales au point P. 7.6 Champ de déformation 7.6.1 Mouvement, déplacement, déformation On appelle mouvement d'un solide, son changement de configuration exprimé par la transformation:
- 121. 110 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus x'(x) (7.25) où x' sont les coordonnées d'un point quelconque dans la configuration finale, x étant les coordonnées du même point dans la configuration initiale. Alors le déplacement d'un point P du solide, est le vecteur u défini par (Fig. 7.13): u = pp' = op' – op = x' – x (7.26) La déformation est une mesure du déplacement relatif entre les différents points du solide. Généralement, on l'associe à la variation du carré de la distance entre deux points infiniment voisin. C' ds' q' p'ds q p u x3, x'3 x2, x'2 x1, x'1 C Fig. 7.13: Mouvement, déplacement et déformation 7.6.2 Tenseur de déformation infinitésimale La définition ci-dessus des déformations, permet d'écrire: ds'2 – ds2 = 2 Eij dxi dxj (7.27) où ds est la distance infinitésimale entre deux points voisins, Eij est le tenseur de déformation. Il est donné par l'expression: ] x u x u x u x u[ 2 1] x x x x[ 2 1E j k i k i j j i ij j ' k i ' k ij ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =δ− ∂ ∂ ∂ ∂ = (7.28) pour les petites transformations, il se réduit au tenseur des déformations infinitésimales εij donné par: ] x u x u[ 2 1 i j j i ij ∂ ∂ + ∂ ∂ =ε (7.29) ou sous la forme intrinsèque 2εij = {grad (u) + [grad (u)]T } grad (u) = ∇ uT (7.30) ∇ = < ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z > Exemple 7.9 Calculer le champs de déformation associé au champ de déplacement: u = < u v w> avec u = x2 +y2 ; v = yz; w = xz 7.7 Propriétés du tenseur de déformation Les propriétés de symétrie, rotation des axes, déformations principales, invariants, tenseur déviateur et tenseur sphérique, convention de signe, le cercle de
- 122. 111 Eléments de Mécaniquedes Sols Mohr, sont semblables à celles exposées pour le tenseur de contrainte. On se contentera dans cette section à discuter les propriétés propres au tenseur de déformation. 7.7.1 Conditions de compatibilité Les conditions d'existence du champ de déplacement duquel découle le champ de déformation sont dites équations de compatibilité ou équations de Saint-Venant. Ce sont les conditions d'intégrabilité du champ de déformation. Physiquement, elles signifient que le champ de déformation ne peut être arbitraire. Théoriquement, elles sont au nombre de trois, mais pour simplifier l'écriture, on utilise habituellement six équations: 0 xxxxxxxx ki jl 2 lj ik 2 ji kl 2 lk ij 2 = ∂∂ ε∂ − ∂∂ ε∂− ∂∂ ε∂+ ∂∂ ε∂ (7.31) soit, 0 yx 2 xy xy 2 2 yy 2 2 xx 2 = ∂∂ ε∂ − ∂ ε∂ + ∂ ε∂ 0 zy 2 yz yz 2 2 zz 2 2 yy 2 = ∂∂ ε∂ − ∂ ε∂+ ∂ ε∂ 0 xz 2 zx zx 2 2 xx 2 2 zz 2 = ∂∂ ε∂− ∂ ε∂+ ∂ ε∂ (7.32) 0] yxz [ xzy zxyzxyxx 2 = ∂ ε∂ + ∂ ε∂ − ∂ ε∂ ∂ ∂+ ∂∂ ε∂− 0] zyx [ yxz xyzxyzyy 2 = ∂ ε∂ + ∂ ε∂ − ∂ ε∂ ∂ ∂+ ∂∂ ε∂ − 0] xzy [ zyx yzxyzxzz 2 = ∂ ε∂ + ∂ ε∂ − ∂ ε∂ ∂ ∂+ ∂∂ ε∂− Exemple 7.10 Vérifier les conditions de compatibilité du tenseur de déformation donné par: εxx = x2 ; εxy = y2 + z2 ; εxz = xz εyy = 0; εyz = x; εzz = y2 7.7.2 Conditions aux limites Ce sont les conditions de liaison d'appui. On les exprimes par: ui = ū (7.33) où ū est le déplacement imposé. 7.7.3 Dilatation volumique C'est la variation de volume par unité de volume:
- 123. 112 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus d = (v' – v ) / v = tr(ε) = 3 εm (7.34) Un milieu continu est dit incompressible quand sa déformation ne s'accompagne d'aucun changement de volume. 7.7.4 Tenseur de déformation infinitésimale en coordonnées cylindriques Il s'exprime par r u rr ∂ ∂=ε )vu( r 1 θ∂ ∂+=εθθ z w zz ∂ ∂=ε )]vu( r 1 r v[ 2 1 r − θ∂ ∂+ ∂ ∂=εθ ) z u r w( 2 1 zr ∂ ∂+ ∂ ∂=ε (7.35) ) z vw r 1( 2 1 z ∂ ∂+ θ∂ ∂=εθ 7.8 Relation contrainte-déformation 7.8.1 Position du problème de mécanique des solides Soit un solide de volume V, de frontière Γ, soumis à un ensemble de forces surfaciques T et volumique Fv (Fig. 7.1). Sur la portion Γu de la surface extérieure, le champ de déplacement est imposé. Dans la configuration déformée du solide, il apparaît un champ de déplacement u et un champ de contrainte σ qu'il s'agit de déterminer en tout point du solide. 7.8.2 Bilan des équations et des inconnues Dans les sections précédentes, nous avons établi en chaque point : 3 équations d'équilibre (1) 6 équations déformations-déplacement (2) 3 équations de compatibilité (3) D'autre part, les inconnues du problème sont: 3 composantes de déplacement 6 composantes de déformation 6 composantes de contrainte Le bilan ci-dessus montre qu'au moins, trois équations supplémentaires sont nécessaires. Il existe en réalité des équations additionnelles dites lois constitutives ou lois de comportement qui sont 6 relations contraintes – déformations (4) Ces équations représentent la réponse du solide aux sollicitations. Une réponse qui dépend étroitement du matériau constituant le solide. Finalement, on dispose en chaque point du solide, 18 équations et 15 inconnues. Ainsi, théoriquement, le problème de mécanique des solides dispose d'une solution.
- 124. 113 Eléments de Mécaniquedes Sols 7.8.3 Résolution Lorsqu'on adopte les contraintes σ et les déformations ε autant qu'inconnues (au nombre de 12), on utilise les équations (1), (3) et (4). Les déplacements u seront calculés à posteriori. Si on prend pour inconnue σ, ε et u, on utilise les équations (1), (2) et (4). Les équations (3) deviennent inutiles. Autrement, il existe une deuxième alternative à cette formulation mixte. Elle consiste à décrire le problème avec un seul type d'inconnues cinématiques ε et u ou statiques σ. Lorsque nous exprimons le problème en contraintes, nous obtenons les équations de Beltrami-Michel: 0F1 1FF)1( ijl,li,jj,iij,llij =δν− ν+ν+++σ+σ∆ν+ (7.36) Lorsque nous exprimons les équations en déplacement, on abouti aux équations de Navier ou équations de Lamé: (λ+µ) grad (div u) + µ ∆u + F = 0 (7.37) 7.8.4 Lois constitutives Comme il a été dit ci-dessus, ce sont les relations entre contrainte ( au sens généralisées : contrainte, taux de contrainte, incrément de contrainte,…) et déformations (au sens généralisées : déformation, taux de déformation, incrément,…). Elles sont de la forme: σij = f(εkl) (7.38) dont la loi inverse s'écrit εij = f(σkl) (7.39) Lorsque les fonctions f et g sont linéaires, il viendra: σij = Cijkl εkl (7.40) ou bien εij = Dijkl σkl (7.41) 7.8.5 Elasticité linéaire Dans ce cas les déplacements sont des mouvements relatifs entre les atomes. Les déformations sont alors réversibles. La plupart des matériaux sont élastiques aux températures ordinaires lorsque les sollicitations ne sont pas trop élevées. La relation de comportement est la célèbre loi de Hook. Il s'agit d'une dépendance linéaire entre les contraintes et les déformations. Lorsque la déformation est instantanément réversible, le solide est dit parfaitement élastique. 7.8.5.1 A une dimension Elle est donnée par la relation simple: σ = E ε et ε = σ / E (7.42)
- 125. 114 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus où E est le module de Young. 7.8.5.1 A trois dimensions La généralisation de la loi de Hook pour le problème à trois dimensions s'écrira: E εij = (1 + ν) σij – ν σll δij (7.43) ou σij = λ εll δij + 2µ εij (7.44) dans lesquelles, E est le module de Young, ν est le coefficient de Poisson, λ et µ sont les coefficients de Lamé et sont donnés en fonction de E et ν par les relations: ε σλ = ν E / [(1 + ν) (1 - 2ν)] et (7.45) µ = E / [2 (1 + ν)] Les coefficients E, ν, λ et µ sont des caractéristiques du matériau, constantes et indépendantes de l'état d'évolution du matériau. Les relations (7.42-44) sont représentées par des courbes droites passant par l'origine (Fig. 7.14). Fig. 7.14: Elasticité linéaire 7.8.6 Autres lois constitutives Plusieurs types de comportements ne peuvent être décrits par l'élasticité linéaire. Leurs relations sont plus ou moins complexes et font intervenir la vitesse de chargement, le temps ainsi que l'histoire de chargement. citons à titre d'illustration quelques types de comportement. 7.8.6.1 Elasticité non linéaire σ ε La relation contrainte-déformation n'est pas linéaire, mais les déformations sont réversibles (Fig. 7.15). Les matériaux hyperélastiques (caoutchouc) sont des exemples de cette famille de comportement. Un exemple de lois de comportement est la relation: T = α0 I + α1 B + α2 B2 (7.46) où T représente le tenseur de contrainte de Cauchy, B est le tenseur de déformation de Cauchy-Green. αi sont des scalaires. Fig. 7.15: Elasticité non linéaire 7.8.6.2 Comportement Visqueux C'est le cas de fluides réels (Newtoniens) et des liants bitumineux aux hautes températures. A une dimension, la contrainte est donné par une relation de la forme εη=σ & (7.47)
- 126. 115 Eléments de Mécaniquedes Sols η est dit coefficient de viscosité. 7.8.6.2 Viscoélasticité Le déplacement est du à la perturbation de la liaison inter-moléculaire. Les déformations sont réversibles mais avec un retard (Fig. 7.16). Le domaine d'application couvre les polymères thermoplastiques au voisinage des températures de fusion, les polymères organiques, le caoutchouc, le béton frais sans vieillissement et les métaux proches de la température de fusion, le bois sous faible sollicitation. Dans la loi constitutive apparaît l'influence de la vitesse de déformation. A une dimension on écrira: t t ε = cte ε ε σ σ = cte σ corps de Maxwell η σ+σ=ε E && (7.48) corps de Kelvin εη+ε=σ &E 7.8.6.3 Plasticité La plasticité est liée au glissement relatif des cristaux ou dislocation. Une partie des déformations sont alors irréversibles et appelés déformations plastiques. La plasticité intervient pour les sols et les roches dans les conditions ambiantes, les métaux pour des sollicitations élevées ou pour des températures pas trop élevées tel qu'en mise en forme des métaux, aciers à faible teneur en carbone. La loi constitutive est une loi d'évolution impliquant les vitesses généralisées. En plasticité parfaite, le solide reste indéformable jusqu'à un seuil de contrainte. Au delà de cette limite, la contrainte reste constante quelque soit le niveau des déformations (Fig. 7.17). Un exemple d'une loi unidimensionnelle de cette famille s'écrit: Fig. 7.16: Comportement visco-élastique σe ε σ | σ | < σs dε = dεe Fig. 7.17: Solide rigide- parfaitement plastique (dεe = 0 pour le solide rigide-plastique) (7.49) | σ | = σs dε = dεe + dεp σe σ ε où σs est un seuil de contrainte, dεe est la déformations élastique, dεp est la déformation plastique (irréversible). 7.8.6.4 Elastoplasticité Le solide a initialement un comportement élastique. Au delà d'un certain seuil, le comportement devient plastique. Dans la phase plastique la réponse dépend du matériau : plasticité parfaite, à écrouissage, avec assouplissement (Fig. 7.18-20). A titre d'illustration, la loi de comportement peut s'écrire: Fig. 7.18: Solide élastique parfaitement plastique
- 127. 116 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus f < 0 dε = dεe (7.50) a a ee ε σe σ f = 0 et f dε = dε0=& e + dεp, σ∂ ∂λ=ε fp& où f est la fonction de charge ou critère de plasticité, λ est un multiplicateur positif. 7.8.6.5 Viscoplasticité Les déformations irréversibles et l'effet du temps (influence de la vitesse de déformation) sont prépondérants. Le comportement du solide est traduit par les phénomènes de fluage et relaxation (Fig. 7.21). Ce comportement intervient aux températures plus élevées. A titre d'illustration, la loi suivante appartient à cette famille de comportement: Fig. 7.19: Solide élastoplastique avec écrouissage (e) ou assouplissement (a) ε σ σeσ < σs : σ = E ε corps de Bingham (7.51) σ ≥ σs : ε+σ=ε p E où σs est une contrainte seuil, εp est la déformation plastique. Fig. 7.20: Exemple de comportement réel ε t σ t έ ε σ Fig. 7.21: Comportement élasto-viscoplastique 7.8.6.6 Endommagement, rupture et fissuration rupture ε σe σ Dans certains matériaux non métalliques n'apparaît pas des déformations plastiques. La détérioration correspond plutôt à des décohésions ou microrupture telle que décohésion des agrégats-liant dans le béton, décohésion fibre-matrice dans les composites. Dans le milieu continu apparaît de micro-cavité interne ou des fissurations externes avec concentration de contraintes. La loi de comportement est semblable à l'élasticité avec un module de Young dépendant d'une variable décrivant l'état d'endommagement (Fig. 7.22-24). Fig. 7.22: comportement fragile
- 128. 117 Eléments de Mécaniquedes Sols εp ≈ 10 à 100 % ε ε σ σ Fig. 7.24: Endommagement par fatigue Fig. 7.23: Endommagement ductile 7.9 Critères de plasticité σ3 σ2 σ1 L'écoulement des matériaux aura lieu quand l'état de contrainte ou de déformation sort du domaine admissible. Il existe plusieurs fonctions décrivant les limites de ce domaine, elles sont appelées critères de rupture. A titre indicatif, pour les métaux on utilise les critères de Tresca ou de Von Mises. Pour les sols, il convient d'utiliser le critère de Mohr-Coulomb ou le critère de Drucker-Prager. Fig. 7.25: Critère de Tresca 7.9.1 Critère de Tresca C'est un critère de cisaillement. Il est exprimé sous la forme : f = supi≠j (| σi – σj |) – σs = 0 (7.52) Il s'agit de l'équation d'un prisme (Fig. 7.25). 7.9.2 Critère de Von Mises La plasticité aura lieu quand la contrainte équivalente atteint le seuil de plasticité σs, soit: f = σeq - σs = 0 (7.53) où σeq est dite contrainte équivalente de Von Mises. Dans l'espace des contraintes principales, (7.53) représente l'équation d'un cylindre de rayon égal à (2/3)1/2 σs (Fig. 7.26). τ φ c σ Fig. 7.26: Critère de Von Misès σ1 σ3 σ2 7.9.3 Critère de Mohr-Coulomb C'est un critère de résistance au cisaillement. Il s'adapte aux matériaux frottants ou granulaires. Dans Fig. 7.27: Critère de Mohr-Coulomb
- 129. 118 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus le repère locale, il est exprimé par: τ = ± (c + σ tg φ) (7.54) (σ, τ) sont les contraintes dans le repère local, c est dite cohésion, φ est l'angle de frottement interne. Le domaine admissible est représenté ci-contre (Fig. 7.27). 7.9.4 Critère de Drucker-Prager C'est un critère tridimensionnel caractérisé par l'influence de la contrainte hydrostatique: (1/kd) || s || + sm tg φ ≤ c (7.55) σ3 σ2 σ1 Fig. 7.28: Critère de Drucker-Prager où kd est un paramètre, || s || est la norme euclidienne du tenseur déviatorique de contrainte. sm est contrainte moyenne ou hydrostatique. Dans l'espace ((1/kd) || s ||, sm), le critère est représenté par un cône d'axe || s || = 0, d'ouverture égale à 2φ, et de sommet localisé au point (0, c/tg φ ) comme c'est représenté ci-contre (Fig. 7.28). 7.10 Aspects énergétiques et thermodynamiques L'aspect énergétique des systèmes mécaniques sont des formulations très utiles en calcul des structures. Ce sont des principes basés sur la notion d'énergie ou du travail des forces sur les déplacements. Dans ce contexte on classe les matériaux en solide conservatif c.à.d sans perte d'énergie dans un cycle fermé de transformation, et solide dissipatif pour lequel, une perte d'énergie aura lieu à cause de phénomènes non réversibles. Le sujet est très vaste et sort du cadre de ce module, néanmoins on peut rappeler les mots clés suivants: énergie mécanique, théorème de conservation de l'énergie mécanique, principe des travaux virtuels, potentiel de déformation et lois d'état, potentiel de dissipation et lois complémentaire, loi de normalité, surpotentiel, bipotentiel …etc. Derrière ces mots clés se cache des notions fondamentales pour la modélisation des structures. Le sujet nécessite une formulations mathématique et numérique qui sont largement exposées dans une bibliographie abondante dans le domaine.
- 130. 119 Eléments de Mécaniquedes Sols Exercices du chapitre 7 Rappels de mécanique des milieux continus Champ de contrainte Exercice 1 : Donner la forme générale du tenseur de contrainte dans chacun des cas suivant: τ τ 3σ 3σ σ σ σ σ σ σ σ σ b x2 x2 x2 x2 x1 x1 x1x1 x3 x3 x3 x3 c a d Exercice 2 : Un état de contrainte est donné par le tenseur ci-contre (MPa). Déterminer le vecteur contrainte sur un plan dont la normale est dans la direction 2e1+2e2+e3. Déterminer le module des contraintes normale et tangentielle sur ce plan. 2 -1 3 -1 4 0 3 0 -1 Exercice 3 : Soit le tenseur de contrainte ci-contre où c est une constante. Trouver les valeurs et directions principales au point (1,2,4). Déterminer le tenseur déviateur S et ses valeurs principales Exercice 4: Pour l’état plan de contrainte, déterminer: Les invariants du tenseur de contrainte. Les contraintes principales. Les directions principales. 0 0 - cy 0 0 cx -cy cx 0 Exercice 5: Calculer les contraintes normale et tangentielle pour la direction trisectrice des axes principaux du tenseur de contrainte.
- 131. 120 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus Champ de déformation Exercice 6: Soit le champ de déplacement u = <u v w> tel que u = cx1x2, v=cx1x2, w=2c(x1+x2)x3 Calculer le tenseur de déformation, le déviateur de déformation et la dilatation volumique. Exercice 7: Soit le champ de déplacement u = ky2 , v=w=0 Trouver le champ de déformation. Exercice 8: Soit le tenseur de déformation donné par: ε11 = k1x2, ε22 = -k2x2, ε33 = -k2x2 Trouver le point où la déformation volumique est nulle. Exercice 9: Un solide élastique possède les propriétés suivantes: Le module de Young E=210000 daN/cm2 . Le coefficient de Poisson ν=0,3. Le champ de contrainte est donné par: σxx = cx2, σyy = cx1, σzz = 0 σxy = 0, σxz = -cx2, σys = cx1 La constante c=0,5. Calculer le tenseur de déformation au point (1,2,-3).
- 132. 121 Eléments de Mécaniquedes Sols Cercle de Mohr σB σA α Exercice 10 : Soit les contraintes exercées sur l’élément ci-contre. Calculer la contrainte normale σ et tangentielle τ sur un plan incliné à α=35° par rapport à l’horizontale. On donne σA= 52 kPa, σB = 12 kPa. Exercice 11 : Soit l’élément de l’exercice 1. Cette fois, l’élément a subit une rotation β par rapport à l’horizontale. Trouver les contraintes σ et τ sur le plan incliné de α par rapport à la base de l’élément. On donne : σA = 52 kPa, σB = 12 kPa, α = 35° et β = 20°. σB σA α β 6 4 +2 α 4 -2 -2 Exercice 12 : Soit les contraintes agissant sur l’élément ci-contre (Mpa). Evaluer : a. σ et τ pour α=30°. b. σ1 et σ3. c. L’orientation des plans principaux. d. La contrainte tangentielle maximale et l’orientation du plan sur lequel elle agit. Exercice 13 : Deux plans πa et πb sont sous-tendus par un angle inconnu θ. Sur le plan πa, agit les contraintes σa =10 kPa et τa=2 kPa. Le plan πa est incliné de α=15° par rapport à l’horizontale. Les contraintes appliquées sur le plan πb sont : σb= 9 kPa et τb = -3 kPa. Trouver : πa 2 10 πb θ -3 9 απh - 2 8 4 α - 2 2 2 4 8 6 +2 a. Les contraintes principales ainsi que leurs orientations. b. Les contraintes appliquées sur le plan horizontal. c. L’angle formé par les plans πa et πb. Exercice 14 : Soit les contraintes appliquées sur l’élément ci-contre. Trouver la valeur et la direction des contraintes principales majeure et mineure. On donne α=45°.
- 133. 122 Chapitre 7 :Rappels de mécanique des milieux continus Exercice 15 : L'état des contraintes dans un solide est défini par les valeurs suivantes : σ1 = 9000 kN/m2 en compression et σ3 = 2000 kN/m2 en tension. A partir du cercle de Mohr, déterminer la contrainte normale et la contrainte tangentielle sur un plan incliné à 10° par rapport au plan sur lequel s'applique la contrainte principale mineure. Vérifier le résultat analytiquement. Exercice 16 : En un certain point critique d'une poutre d'acier, la contrainte de compression sur un plan vertical est de 126 MPa et la contrainte de cisaillement est 34,5 MPa, II n'y a pas de contrainte normale sur le plan horizontal. Trouver les contraintes qui s'appliquent sur les plans principaux et l'orientation par rapport à l'horizontale des plans sur lesquels elles s'appliquent. Exercice 17 : Pour l'élément montré ci-contre (contraintes en Mpa). a) Trouver la valeur des contraintes inconnues σh et τh sur un plan horizontal; b) Trouver l'orientation de contraintes principales à l'aide d'un croquis de détail; 53 2 2 20° 51° 109° πh c) Indiquer l'orientation des plans de cisaillement maximal et minimal.
- 134. 123 Eléments de Mécaniquedes Sols
- 135. Chapitre 8 Résistance dessols au cisaillement 8.1 Introduction. 8.2 Critère de rupture de Mohr-Coulomb. 8.3 Essais de résistance des sols au cisaillement. 8.3.1 Essai de cisaillement directe 8.3.2 Essai triaxial 8.3.3 Essais spéciaux 8.3.4 Essais sur site 8.4 Cheminement des contraintes. 8.5 Résistance des sables au cisaillement. 8.5.1 Sable saturé en cisaillement drainé. 8.5.2 Sable saturé en cisaillement non drainé. 8.5.3 Autres facteurs influençant la résistance des sables au cisaillement 8.5.4 Liquéfaction et mobilité des sables saturés soumis à des charges cycliques. 8.6 Résistance des sols cohérents saturés au cisaillement. 8.6.1 Comportement à l'essai triaxial consolidé drainé 8.6.2 Comportement à l'essai triaxial consolidé non drainé 8.6.3 Comportement à l'essai triaxial non consolidé non drainé. 8.6.4 Essai de compression simple 8.6.5 Variation de la pression interstitielle 8.6.6 Cheminement des contraintes durant un chargement non drainé sur les argiles normalement consolidées 8.6.7 Cheminement des contraintes pendant un chargement non drainé sur les argiles surconsolidées 8.6.8 Application des cheminements des contraintes sur certains problèmes
- 136. Chapitre 8 Résistance dessols au cisaillement 8.1 Introduction En géotechnique, on s’intéresse d’avantage à la résistance au cisaillement, car dans la majorité des situations, la rupture dans le sol est produite par l’application de contraintes de cisaillement excessives. 8.2 Critère de rupture de Mohr-Coulomb τr σr Mohr a émis l’hypothèse que la contrainte de cisaillement à la rupture sur le plan de rupture est fonction unique de la contrainte normale sur ce plan (Fig. 8.1): Fig. 8.1: Plan de rupture τr = f(σr) (8.1) Indépendamment de Mohr, Coulomb a mis au point un appareil pour mesurer la résistance au cisaillement des sols. Il a constaté que cette dernière est fonction de deux paramètres dépendant où pas des contraintes : ce sont l’angle de frottement interne ϕ (comparable à la résistance au glissement des solides) et la cohésion intrinsèque c, d’où l’équation de Coulomb : τ = σ tg ϕ + c (8.2) Toutefois, il faut noter que ni c ni ϕ ne sont des propriétés intrinsèques du matériau mais elles dépendent des conditions qui prévalent l’essai. Le critère de Mohr- Coulomb représente le couplage des relations (8.1,2) : τr = σr tg ϕ + c (8.3) Expérimentalement, la relation entre les contraintes tangentielle et normale à la rupture peut être représentée par une courbe non linéaire dite courbe intrinsèque. Cela signifie que la relation (8.3) n’est qu’une linéarisation de cette courbe, et que cette linéarisation n’est valable qu’à l’intérieur d’une certaine plage de contraintes. Le critère de Mohr-Coulomb est très utile dans l’analyse de la stabilité des pentes et talus. Pour un sol donné, l’identification de la courbe intrinsèque se fait par une série d’essais de cisaillement. Pour chaque essai, on détermine le couple (σr, τr ) à la rupture et on trace le cercle de Mohr associé à cet état. L’ensemble des cercles de
- 137. 125 Eléments de Mécaniquedes Sols Mohr à la rupture permet de tracer dans le plan τ(σ) une courbe enveloppe des contraintes de cisaillement à la rupture. Cette courbe dite enveloppe de rupture de Mohr caractérise la relation f entre la contrainte normale et la contrainte de cisaillement toutes deux à la rupture (Fig. 8.2). Pour l’un des cercles de Mohr à la rupture, le point de tangence entre le cercle et l’enveloppe de rupture détermine l’inclinaison du plan de rupture dans l’élément considéré (hypothèse de rupture de Mohr). On montrera que l’inclinaison du plan de rupture αr par rapport au plan sur lequel s’applique la contrainte principale majeure est donné par : τ σ τr = f(σr) Fig. 8.2: Courbe enveloppe αr = ϕ/2 + π/4 (8.4) 8.3 Essais de résistance des sols au cisaillement 8.3.1 Essai de cisaillement directe C’est un essai économique, rapide et simple. L’échantillon est placé dans la boite à cisaillement (Fig. 8.3). Celle ci est divisée en deux parties séparées par un plan horizontal. Une partie est fixe, l’autre est mobile dans le plan horizontal. Une charge normale constante P est appliquée sur l’échantillon. Au cours de l’essai, on mesure la force de cisaillement T de même que le déplacement horizontal δ et vertical ∆H. On peut alors calculer la contrainte normale σn = P/A et la contrainte de cisaillement τ = T/A, A étant l’aire de l’échantillon. En traçant les courbes ∆H(δ), on remarque une augmentation de la hauteur de l’échantillon indiquant que le sols se dilatent pendant leurs déformations. Cet essai permet la détermination des caractéristiques de résistance des sols : l’angle de frottement interne ϕ et la cohésion c. Au début de l’essai, lorsque la force normale P est appliquée seule, le plan horizontal est un plan principal. Des qu’on applique la force tangentielle T, ce plan cesse d’être principal. On dit qu’il y a rotation des plans principaux. L’essai n’est indicatif que pour des conditions de drainage complet. D’autre part, le plan de rupture prédéfini (horizontal) dans l’essai ne correspond pas toujours au plan de plus faible résistance où à la direction critique sur le terrain. Fig. 8.3: Boite de Casagrande pour le cisaillement directe
- 138. 126 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Exemple 8.1 Un essai de cisaillement directe est effectué sur un échantillon d’une argile modérément dense de cohésion c = 18 kPa. Au début de l’essai, on avait σn = 65 kPa et K0 = ( σh / σv)au repos = 0,5. A la rupture, τr = 41 kPa. Pierre pporeuse 1. Tracer les cercles de Mohr pour les conditions initiales et à la rupture, puis déterminer ϕ. Déterminer : 2. Les contraintes principales à la rupture. 3. L’orientation du plan de rupture. 4. L’orientation du plan principal majeure à la rupture. 5. L’orientation du plan de contraintes de cisaillement maximales à la rupture. 8.3.2 Essai triaxial Il est développer pour contourner les limites de l’essai de cisaillement directe. Quoi qu'il est plus complexe, il est le plus approprié. En effet, on contrôle mieux les conditions de drainage et il n’y a pas de rotation des plans principaux. De plus, le plan de rupture peut être quelconque. L’échantillon étant de forme cylindrique, on suppose que les contraintes appliquées aux extrémités de l’échantillon sont des contraintes principales (Fig. 8.4). Selon le cheminement des contraintes et des conditions de drainage, il existe trois modes opératoires que nous résumons dans le tableau 8.1 ci-dessous: Fig. 8.4: Cellule triaxiale L’essai triaxial permet une évaluation meilleure des variations de volume. Dans ce contexte, on acceptera les définition suivantes : Cheminement des contraintes Conditions de drainage Symbole de l’essai Non consolidé Non drainé UU Consolidé Non drainé CU Consolidé Drainé CD Tab. 8.1:Essais triaxiaux . L’obliquité est par définition le rapport τr / σr (8.5) . La résistance mobilisable τm est la résistance maximale que peut offrir le matériau, d’où le coefficient de sécurité : fs = τm / τappliquée (8.6)
- 139. 127 Eléments de Mécaniquedes Sols . Les relations d’obliquité sont les expressions ci-dessous permettant le mettre en relation, les contraintes principales et l’angle de frottement interne : σ+σ σ−σ=ϕ r3r1 r3r1 sin ϕ− ϕ+ = σ σ sin1 sin1 r3 r1 (8.7) ) 24 (tg 2 r1 r3 ϕ −π= σ σ ) 24 (tg 2 r3 r1 ϕ +π= σ σ soit en fonction des contraintes effectives : ) 2 ' 4 (tg 'sin1 'sin1 2 ' r3 ' r1 ϕ +π= ϕ− ϕ+ = σ σ (8.8) σ1r - σ3r = σ'3r (σ'1r / σ'3r - 1) Exemple 8.2 Un essai triaxial CD est effectué sur un sable. La pression cellulaire est de 100 kPa, et la contrainte axiale à la rupture est de 200 kPa. 1. Tracer le cercle de Mohr initial et celui de la rupture. σradiale σtorsion σaxiale2. Evaluer ϕ en supposant que c = 0. 3. Estimer la contrainte de cisaillement à la rupture sur le plan de rupture et trouver l’inclinaison du plan de rupture dans l’échantillon. 4. Déterminer l’orientation du plan d’obliquité maximale. 5. Déterminer la contrainte de cisaillement maximale à la rupture τmax et l’inclinaison du plan sur lequel elle agit. 6. Calculer la résistance au cisaillement mobilisable sur ce plan et le coefficient de sécurité correspondant. Fig. 8.5: Essai sur cylindre évidé 8.3.3 Essais spéciaux Il existe d’autres essais de laboratoire pour l’étude de la résistance des sols au cisaillement. Parmi ces essais on peut citer : σh σ2 σ2 σv Essai sur cylindre évidé. L'échantillon en forme d'un cylindre évidé est soumis à une torsion (Fig. 8.5). Fig. 8.6: Essai en déformation plane
- 140. 128 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Essai en déformation plane L'échantillon de forme prismatique est fixé à ces extrémités (Fig. 8.6). σyy σzz σxx Essai triaxial vrai L'échantillon est de forme cubique. Il est soumis à u système de contraintes triaxiales indépendantes (Fig. 8.7). Essai de cisaillement annulaire. L'échantillon de forme annulaire est soumis à une contrainte de cisaillement sur un plan fixe (Fig. 8.8). Fig. 8.7: Essai triaxial vrai Essai de cisaillement simple. L'échantillon est initialement cylindrique, de diamètre maintenu fixe au cours de l'essai. Il est soumis à une contrainte de cisaillement relativement homogène pour éviter les concentrations de contraintes (Fig. 8.9). échantillonpartie mobile partie fixeanneau de confinement 8.3.4 Essais sur site Les essais sur site ont l’avantage d’étudier le sol intacte. Pour les argiles molles on peut effectuer des essais au scissomètre où le pénétromètre à cône hollandais. Pour les matériaux granulaires, on peut effectuer des essais de pénétration standard. Pour les sols loessiques, il existe la sonde de cisaillement Iowa. Pour approfondir d’avantage le domaine des essais sur place il convient de revoir la bibliographie correspondante. Fig. 8.8: Essai de cisaillement annulaire σh = K0 σv (avant cisaillement) τh σv Fig. 8.9: Essai de cisaillement simple 8.4 Cheminement des contraintes Point de contrainte σ1σ3 p q τ σ On a vu que l’état de contrainte en un point est représenté par un cercle de Mohr dans un système de coordonnées (σ, τ). On peut remarquer que le cercle peut être représenté par son centre et son rayon. Alors, l’état de contrainte en un point peut être représenté par un seul point de contrainte (Fig. 8.10) dont les coordonnées sont : Fig. 8.10: Point de contrainte p = ( σ1 + σ3 ) / 2 et q = ( σ1 - σ3 ) / 2 (8.9) plus généralement, on prendra :
- 141. 129 Eléments de Mécaniquedes Sols p = ( σv + σh ) / 2 et q = ( σv - σh ) / 2 (8.10) q p τ σ Ainsi, une succession d’états de contrainte sera représentée par une courbe joignant l’ensemble des états de contrainte (Fig. 8.11) au lieu de la représentée par l’ensemble des cercles de Mohr associés. Le lieu de ces points contrainte s’appelle le cheminement des contraintes et il est représenté sur un diagramme p - q. Remarquons que nous pouvons représenter ce cheminement en contrainte totales ou effectives et ceci sur le même diagramme. C’est au professeur T.W. Lambe du MIT que revient le mérite de mètre en évidence la grande utilité du cheminement de contrainte. Fig. 8.11: Cheminement de contrainte Exemple 8.3 A partir de l’état initial σh = σv, représenter le cheminement des contraintes dans les cas suivant : A : ∆σh = ∆σv B : ∆σh = ∆σv/2 C : ∆σh = 0, ∆σv augmente D : ∆σh = - ∆σv E : ∆σh diminue, ∆σv = 0 F : ∆σh augmente, ∆σv diminue
- 142. 130 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement 8.5 Résistance des sables au cisaillement La résistance des sols au cisaillement constitue l'un des aspects les plus importants en mécanique des sols. Dans l'aspect expérimental du sujet nous nous sommes basés sur l'ouvrage "Introduction à la géotechnique" dont nous avons puisé essais et exemples sans noter sur les illustrations leurs origines. 8.5.1 Sable saturé en cisaillement drainé L'étude de la résistance des sables au cisaillement se fait par des essais triaxiaux. La rupture peut être définie de différentes façons: Lorsqu'on détecte une différence maximale entre les contraintes principales (σ1 – σ3)max, c'est ce qu'on fait le plus souvent, ou lorsqu'on détecte un rapport maximal entre les contraintes principales effectives (σ'1 / σ'3)max. Enfin, si on obtient τ = (σ1 – σ3) /2 à une déformation axiale quelconque. A la rupture les relations suivantes sont applicables: ) 2 ' 4 (tg 'sin1 'sin1 ) ' '( 2 max 3 1 ϕ +π= ϕ− ϕ+ = σ σ (8.11) où φ' est l'angle de frottement interne effective. Dans l'essai triaxial drainé, nous avons σ σ= σ σ 3 1 3 1 ' ' (8.12) ce qui donne )1 ' '(' 3 1 331 − σ σ σ=σ−σ et à la rupture )1) ' '((' 3 1 max r331 − σ σ σ=σ−σ (8.13) Les courbes caractéristiques sont comme indiquer ci- contre (Fig. 8.12). Au cours de l'essai, l'échantillon lâche se déforme en barillet tandis que l'échantillon dense se brise souvent le long d'un plan orienté à environ 45°+ φ'/2 sur l'horizontale. Théoriquement, ecl et ecd devraient être égaux à e ecrit eclecd eled ∆V = 0 sable lâche (l) sable dense (d) (σ1 – σ3)ult (σ1 – σ3)max σ1 – σ3 σ1 – σ3 Fig. 8.12: Comportement du sable saturé en cisaillement drainé
- 143. 131 Eléments de Mécaniquedes Sols ecrit. De même, les valeurs de (σ1 – σ3)ult devraient être identiques dans les deux cas de sable lâche ou dense. On attribue habituellement ces écarts au manque de précision dans la mesure des indices des vides finaux ou à la distribution non uniforme ders contraintes au sein de l'échantillon. Casagrande a désigner l'indice des vides critiques ec comme l'indice des vides pour lequel on atteint un plateau horizontal dans la courbe (σ1 – σ3)(ε). Le comportement des sables lâches ou denses dépend des paramètres suivants: le déviateur de contrainte (σ1 – σ3), la déformation ε, la variation de volume ∆V, l'indice des vides critiques ecrit, indice de densité relative ID et pression de confinement σ3. Nous allons nous consacré à l'étude de la pression de confinement qui influe en particulier sur la variation de volume ∆V. 8.5.1.1 Influence de la pression de confinement Pour cela on effectue des essais triaxiaux sur des échantillons dans les mêmes conditions sauf que σ3 est variable. On observe que la résistance au cisaillement augmente avec cette contrainte. Sous de faibles contraintes de confinement, la déformation volumique d'un sable lâche est positive, il se produit une dilatation identique au comportement d'un sable dense (Fig. 8.13). Lorsque la déformation axiale augmente, la déformation volumique diminue. Pour les sables denses, on observe de fortes augmentation de volume (dilatation) aux faibles pressions de confinement. Lorsque ces contraintes augmentent, les sables denses affichent un comportement similaire à celui des sables lâches (diminution de volume) (Fig. 8.14). L'étude de la relation entre la déformation volumique à la rupture et l'indice des vides, se fait à partir d'essais effectués pour un même indice des vides initial mais sous des contraintes cellulaires (de confinement) différentes. On constate que pour une contrainte cellulaire donnée, la déformation volumique diminue proportionnellement à l'augmentation de l'indice des vides (Fig. 8.15). Par définition, l'indice des vides critique est l'indice des vides à la rupture pour lequel la déformation volumique est nulle. De la même façon, on peut étudier la variation de ecrit en fonction de la pression de confinement, en portant les valeurs du graphique ecrit(σ'3 crit). Pour un indice des vides donné, on appelle contrainte de confinement critique σ'3 crit, la contrainte cellulaire σ'3 c pour laquelle la déformation volumique à la rupture est nulle. Aussi, nous pouvons étudier la relation entre la déformation volumique à la rupture et la pression de confinement pour différentes valeurs de l'indice des vides après consolidation ec (Fig. 8.16). On pourra faire la même étude en utilisant les graphiques (Fig. 8.15). Fig. 8.17 permet de résumer les relations représentées en Fig.8.15 et Fig. 8.16. Enfin, Fig. 8.17a et Fig. 8.17b peuvent être combinées pour constituer un seul graphe tridimensionnel dit diagramme de Peacock (Fig. 8.18) permettant la prédiction du comportement du sable pour tout indice des vides après consolidation ec et à n'importe quelle contrainte de confinement σ'3 c. Chaque point dans ce diagramme doit demeurer dans le plan WKP, d'où la possibilité des différentes prédictions du comportement. 8.5.2 Sables saturés en cisaillement non drainé L'essai de cisaillement triaxial non drainé se caractérise par rapport à l'essai drainé par l'absence de variation de volume pendant le chargement axial – quoi que l'échantillon aura tendance à changer de volume -. Il résulte alors une pression interstitielle positive qui entraînera à son tour une diminution de la contrainte effective. Grâce au diagramme de Peacock, nous pouvons prédire le comportement non drainé des sables
- 144. 132 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.13: Exemples de courbes typiques d'essais triaxiaux drainés sur un sable lâche à partir de leur comportement drainé lorsqu'on connaît les tendances aux variations de volume telles qu'elles sont idéalisées sur le diagramme (Fig. 8.19), (Tab. 8.2). Exemple 8.4 On effectue un essai triaxial CD sur un sol granulaire. A la rupture, σ'1/σ'3 = 4. La contrainte effective mineure à la rupture est de 100 kPa. 1. Calculer φ'. 2. Quelle est la différence entre les contraintes principales à la rupture. 3. Mettre en graphique le cercle de Mohr et l'enveloppe de rupture.
- 145. 133 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.14: Exemples de courbes typiques d'essais triaxiaux drainés sur un sable dense Exemple 8.5 Un échantillon de sable est caractérisé par: σ'3 crit = 0,4 Mpa et ec = ecrit = 0,8. Décrire le comportement drainé et non drainé sachant que l'indice des vides après consolidation à σ'3 c = 0,4 Mpa est: a) 0,85. b) 0,75 On suppose que le sable en question suit le comportement donné dans Fig. 8.15-16. 8.5.3 Autres facteurs influençant la résistance des sables au cisaillement Parmi lesquels on peut citer (Tab. 8.3)
- 146. 134 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Indice des vides à la fin de la consolidation ec Fig. 8.15: Courbes typiques d'essais triaxiaux drainés. Influence de la contrainte de confinement . L'indice des vides ou l'indice de densité relative. . Forme des particules. . La distribution granulométrique. . La rugosité de la surface des particules. . La présence de l'eau. . La contrainte principale intermédiaire. . La grosseur des particules. . Le degré de surconsolidation. Comme les sables sont des matériaux frottant, ces facteurs influent également sur l'angle de frottement interne. En règle générale, la résistance au cisaillement augmente proportionnellement à l'indice de densité relative (Fig. 8.20). Elle est inversement proportionnelle à l'indice des vides e qui est le facteur le plus important. Les effets de la densité relative, la forme des grains, la granulométrie et la grosseur des particules sur la variation de l'angle de frottement interne φ sont résumés ci-contre (Tab. 8.4). De façon générale, tout autre facteur étant constant: φ augmente avec l'angularité des particules et avec leurs rugosités. φ augmente avec l'étalement de la granulométrie. Par contre, la grosseur des grains ne semble pas avoir une influence significative sur φ. Les sables humides ont φ de 1 à 2 degrés plus faibles que les sables secs. La surconsolidation n'a pas une influence notable sur φ. A propos de l'influence de la
- 147. 135 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.16: Exemples de courbes typiques pour l'étude de l'influence de l'indice de vides initial contrainte principale intermédiaire, il existe une relation empirique qui constitue une limite inférieure, entre l'angle de frottement interne obtenu par essai triaxial φtx et l'angle de frottement interne obtenu par l'essai en déformation plane φdp: φdp = 1,5 φtx – 17° pour φtx > 34° (8.14) φdp = φtx pour φtx ≤ 34° Fig. 8.21 établi quelques corrélations entre φ' et quelques paramètres physiques. Cette figure et Tab. 8.4 sont très utiles pour évaluer les caractéristiques de frottement des matériaux granulaires avant même d'effectuer des essais de laboratoire. Ces indications peuvent suffirent pour la conception de petit projets. 8.5.4 Liquéfaction et mobilité des sables saturés soumis à des charges cycliques Les sables lâches saturés soumis à des chocs ou à des déformations importantes avaient tendance à diminuer de volume. Ceci est à l'origine d'une augmentation positive de la pression interstitielle. Cette variation de la pression interstitielle se traduit par une diminution des contraintes effectives dans le sol. Lorsque la pression interstitielle devient égale à la contrainte effective qui s'exerçait avant la perturbation, le sable perd toute résistance. On dit qu'il est en état de liquéfaction: dans une coulée, le sable se comporte essentiellement comme un liquide visqueux et son angle de frottement de repos n'excèderait pas quelques degrés. Ce phénomène pouvant provoquer de grands dégâts, il faut en tenir compte dans l'étude des projets de construction. On remarquera que les déformations à l'origine de la liquéfaction
- 148. 136 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.17: Exemples de courbes typiques d'essais triaxiaux drainés. Relation idéalisée entre les déformations volumiques, la contrainte de confinement et l'indice des vides critique peuvent être causées par des sollicitations statiques (augmentation des contraintes statiques) mais peuvent aussi être causées par des charges dynamiques telles que: battage de pieux, circulation d'engins, présence de machines rotatives, les vagues de tempêtes ou les tremblements de terre. Ces derniers peuvent causer la liquéfaction de très vastes dépôts naturels de sable lâches. Les liquéfactions engendrant des glissement de type coulée sont classées selon la susceptibilité du sol en trois types allant de l'écoulement rapide à la liquéfaction progressive (Tab. 8.5). Les sables de compacité moyenne à élevée sont caractérisés par la mobilité aux charges cycliques. Ces dernières engendrent des déformations importantes qui provoquent à leur tour une augmentation des pressions interstitielles. Alors, lorsque l'intensité et la durée de ces charges cycliques sont suffisantes, et si elles sont appliquées dans des conditions de masse volumique et de pression de confinement isotropes, elles peuvent entraîner aussi la liquéfaction de sable de compacité moyenne à élevée. Nous pouvons aborder l'étude du comportement des sables sous charges cycliques en examinant les résultats d'essais au cours desquels on observe une liquéfaction sous des contraintes statiques
- 149. 137 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.18: Diagramme de Peacock (Fig. 8.22,23). Ces essais montrent que la liquéfaction peut se produire même sous contraintes statiques. Ce comportement peut s'expliquer par le concept de l'indice des vides critique et peut être prédit à l'aide du diagramme de Peacock. On peut aussi effectuer des essais triaxiaux à chargement cyclique pour l'étude de liquéfaction des sables lâches. Le comportement caractéristique est donné ci-contre (Fig. 8.24). Fig. 8.25,26 montrent le comportement des sables denses lors d'essais triaxiaux cycliques. D'autres facteurs peuvent influencer le comportement des sables saturés autre que la contrainte de confinement et l'indice de densité relative. Il s'agit par exemple: du mode de préparation des échantillons, l'histoire des déformations cycliques antérieures, le coefficient des terres au repos K0 ainsi que le rapport de surconsolidation. A présent, que ce passera-t-il avec les sables denses, qui initialement ont une tendance à se dilater? Quoi que le sujet est relativement complexe, des chercheurs imminents ont montré que les sables denses suivent le comportement de mobilité aux charges cycliques plutôt que le phénomène de liquéfaction (Fig. 8.27-29, Tab. 8.6). La veuille continue est primordiale dans ce domaine, par exemple en effectuant des relevés des pressions interstitielles sur site, observation de l'érosion et des petits glissements. Les mesures de prévention des ruptures par liquéfaction sont du type augmentation de la densité du sol en place en remplaçant les sols lâches ou en les compactant, la mise en place d'une surcharge pour augmenter la contrainte effective ou le rabattement en permanence du niveau de la nappe phréatique.
- 150. 138 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement 138 Chapitre 8 : Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.19: Cercles de Mohr pour des de compression triaxiale drainés et non drainés
- 151. 139 Eléments de Mécaniquedes Sols Tab. 8.2: Résumé des essais triaxiaux drainés et non drainés
- 152. 140 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.20: Exemples de cercles de Mohr et enveloppes de rupture pour les essais triaxiaux drainés illustrant les effets de l'indice des vides
- 153. 141 Eléments de Mécaniquedes Sols Tab. 8.3: Facteurs influençant l'angle de frottement interne
- 154. 142 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Tab. 8.4: Angle de frottement interne des sols pulvérulents
- 155. 143 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.21: Corrélation entre l'angle de frottement interne effectif en compression triaxiale et la masse volumique du sol sec
- 156. 144 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Tab. 8.5: Glissement de type coulée dans les sols
- 157. 145 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.22: Comparaison entre quelques essais triaxiaux
- 158. 146 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.23: Cercles de Mohr en contraintes totales et en contraintes effectives (es. triaxiaux CU,CD)
- 159. 147 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.24: Exemples de courbes typiques d'essais triaxiaux cycliques sur un sable lâche
- 160. 148 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.25: Exemples de courbes typiques d'essais triaxiaux cycliques sur un sable dense
- 161. 149 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.26: Relation générale entre la contrainte cyclique maximale et le nombre de cycles nécessaires pour causer la rupture
- 162. 150 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.27: Diagramme d'état illustrant le potentiel de liquéfaction
- 163. 151 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.28: Diagramme d'état illustrant les lignes d'état permanent de déformation
- 164. 152 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Tab. 8.6: Différence entre la liquéfaction et la mobilité cyclique
- 165. 153 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.29: Indices et propriétés des sables
- 166. 154 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement 8.6 Résistance des sols cohérents saturés au cisaillement Le comportement des argiles dépend en particulier de l'histoire des contraintes subies par le sol, c.à.d de l'état de consolidation ou de surconsolidation. Comme nous l'avons fait lors de l'étude des sables, nous allons considéré les essais CD, CU et UU. σhc σvc + ∆σ 8.6.1 Comportement à l'essai triaxial consolidé drainé (CD) On consolide d'abord l'échantillon sous une contrainte compatible avec le problème à résoudre. Une fois la consolidation est atteinte, on autorise le drainage. Le chargement se fait à un taux suffisamment lent pour qu'il n y ait pas de pression interstitielle induite par le cisaillement. Dans l'essai de compression axiale, les contraintes de consolidation sont généralement isotropes où σv = σh = σ'3c dite contrainte de confinement (Fig. 8.30). On applique la contrainte axiale soit en augmentant la charge sur le piston par incréments (essai à charge contrôlée), soit à l'aide d'une presse mécanique qui comprime l'échantillon à un taux de déformation constant (essai à déformation contrôlée). Au cours de l'essai CD, les pressions interstitielles sont toujours nulles. Les figures (Fig. 8.31) ci-contre représentent les courbes typiques effort-déformation d'une argile compactée. L'échantillon surconsolidé présente une plus grande résistance que l'échantillon normalement consolidé. D'autre part, la rupture de l'échantillon surconsolidé aura lieu à une déformation axiale beaucoup plus faible que pour le sol normalement consolidé. On remarque que le comportement drainé est analogue à celui des sables: les argiles surconsolidées augmentent de volume pendant le cisaillement tandis que les argiles normalement consolidées diminuent de volume. Ainsi on dira que les argiles surconsolidées (respectivement normalement consolidées) se comportent comme les sables denses (respectivement sables lâches). Comme le montre le diagramme (Fig. 8.32), la valeur de la cohésion effective c' est différente de zéro pour les argiles surconsolidées. Par contre, on suppose généralement que la valeur de c' pour les argiles normalement consolidées non cimentées est nulle. Avant la contrainte de préconsolidation, la branche de l'enveloppe de rupture de l'échantillon surconsolidé est au-dessus de l'enveloppe de Fig. 8.30: Consolidation isotrope σvc = σhc nc sc εv ∆V σ'3 = cte normalement c. (nc) surconsolidée (sc) εv ∆σ Fig. 8.31: Courbes typiques de l'essai CD sur une argile φ' nc sc E D C B A τ σ' Fig. 8.32: Diagramme de τ(σ') σ'p
- 167. 155 Eléments de Mécaniquedes Sols rupture de l'échantillon normalement consolidé. La branche supérieure est dite bosse de préconsolidation. Cette augmentation de résistance de l'échantillon surconsolidé peut s'expliquer par l'histoire de contrainte et de déformation de l'échantillon. En effet, l'indice des vides d'un échantillon surconsolidé est plus petit que pour un échantillon normalement consolidé (Fig. 8.33). Les essais triaxiaux CD sont particulièrement indiqués dans le cas de barrage en terre avec écoulement permanent, lorsqu'il s'agit d'assurer la stabilité à long terme des talus d'excavation dans les argiles molles ou argiles raides (Fig. 8.34). Cependant, en pratique, les essais triaxiaux CD ne sont pas utilisés de façon courante sur les argiles. En effet, il est nécessaire de choisir un taux de déformation suffisamment lent pour s'assurer qu'il n'y a pas de pression interstitielle induite dans l'échantillon à faible perméabilité. Alors, en dehors des problèmes pratiques tels que fuites, la durée nécessaire pour amener l'échantillon à la rupture peut varier entre une journée et plusieurs semaines. Par conséquent, les essais CU sont plus pratiques pour obtenir les paramètres de résistance en contraintes effectives, car il est possible de mesurer la pression interstitielle induite dans ces essais. Aussi, ils sont indiqués pour l'étude du comportement à long terme. FE D C B A σ' e Fig. 8.33: Indice des vides d'un échantillon n. c. et d'un échantillon surconsolidé u0 u s.c s.c n.c εv εv n.c n.c s.c à σ'hc faible s.c à σ'hc élevée σ'1/ σ'3 ∆σ εv 8.6.2 Comportement à l'essai consolidé non drainé Cet essai peut servir à la fois pour les analyses en contraintes totales et en contraintes effectives. L'échantillon est d'abord consolidé (à soupapes ouvertes) puis amené à la rupture sans drainage. Au cours de l'essai, on mesure les pressions interstitielles induites de façon à calculer les contraintes effectives. Comme pour l'essai CD, l'essai CU peut être contrôlé en charge ou en déplacement. Les tendances aux variations de volume (quoi qu'elles sont empêchées) induisent les variations de la pression interstitielle (positive ou négative). La pression interstitielle positive se développe généralement dans les argiles normalement consolidées. Fig. 8.35: Courbes typiques de l'essai triaxial CU sur une argile
- 168. 156 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.34: Exemples d'analyses CD sur des argiles
- 169. 157 Eléments de Mécaniquedes Sols Cela indique une tendance à la contraction (consolidation) de l'échantillon. Si l'échantillon a tendance au gonflement, la variation de la pression interstitielle induite est négative, c.à.d que la pression interstitielle diminue et peut devenir même négative, c.à.d inférieure à la pression atmosphérique. Les pressions interstitielles négatives se développent généralement dans les argiles surconsolidées. Généralement, afin d'assurer la saturation complète de l'échantillon, on lui applique une contre pression u0. Les courbes typiques ∆σ(εv) = u(εv) = (σ'1/σ'3) (εv) sont comme montrer ci-contre (Fig. 8.35). Pour cet essai, nous pouvons tracer les cercles de Mohr à la rupture en contraintes totales ou en contraintes effectives. D'où nous pouvons obtenir l'enveloppe de rupture de Mohr. Dans le cas d'une argile normalement consolidée, le cercle de Mohr en contraintes effectives est à gauche du cercle de Mohr en contraintes totales. L'enveloppe passe par l'origine et on peut considérer que c et c' sont nulles, φ est plus faible que φ' : φ ≈ φ'/2 (Fig. 8.36). Pour une argile surconsolidée, la pression interstitielle diminue de sorte que le cercle de Mohr en contraintes effectives est à droite du cercle de Mohr en contraintes totales. φ' est moins élevée que φ (Fig. 8.37). La définition des paramètres de Mohr-Coulomb en contraintes effectives devrait inciter à la prudence au moment de l'interprétation. On doit se demander quel critère de rupture à été utilisé et comment les paramètres de Mohr-Coulomb ont été obtenus (d'après le critère (σ'1/σ'3)max ou (σ'1 - σ'3)max). En effet on pourra obtenir des valeurs de c' et φ' différentes d'un critère à l'autre (Fig. 8.38). Par contre ce problème ne se pose pas l'ors d'une analyse en contraintes totales (la rupture est définie à (σ1 - σ3)max). Fig. 8.36: Cercles de Mohr à la rupture et enveloppes de rupture en contraintes totales (T) et effectives (E) pour une argile nc.
- 170. 158 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.37: Cercles de Mohr à la rupture et enveloppes de rupture en contraintes totales (T) et effectives (E) pour une argile sc. Fig. 8.38: Influence du critère de rupture sur l'enveloppe de rupture
- 171. 159 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.39: Exemples d'analyses CU sur des argiles
- 172. 160 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Les essais triaxiaux CU sont exécutés pour résoudre les problèmes de stabilité sans possibilité de drainage tels que: vidange rapide d'un barrage en terre, de talus de réservoir et de canaux (Fig. 8.39). Mais ils peuvent aussi être utilisés dans les problèmes pratiques décrit dans la section des essais CD. Pendant le déroulement de l'essai CU, l'application d'une contre pression serait une bonne garantie pour assurer la saturation complète de l'échantillon. D'autre part, il faut veuillez à empêcher toute fuite pendant l'essai. Les taux de chargement (en force ou déplacement) seront relativement lents de sorte que les pressions interstitielles enregistrées aux extrémités de l'échantillon seront les mêmes que celles qui règnent dans le plan de rupture. Les essais CU sont particulièrement utiles pour l'étude du comportement à court terme. Exemple 8.6 Une argile normalement consolidée est consolidée à 150 kPa, puis cisaillée en compression axiale sans drainage. A la rupture, la différence entre les contraintes principales est de 100 kPa et les pressions interstitielles sont de 88 kPa. Evaluer les paramètres de résistance de Mohr-Coulomb en contraintes totales et en contraintes effectives a) analytiquement. b) graphiquement. Mettre en graphique les cercles de Mohr en CT et en CE et les enveloppes de rupture. Calculer (σ'1/σ'3)r et (σ1/σ3)r. Evaluer l'angle théorique du plan de rupture dans l'échantillon. 8.6.3 Comportement à l'essai non consolidé non drainé UU Dans cet essai, l'échantillon est placé dans la cellule triaxiale et le drainage n'est pas effectué dès le début. Par conséquent, l'échantillon n'est pas consolidé et le cisaillement se produit dans ces conditions. Généralement, on ne mesure pas les pressions interstitielles et l'analyse se fait en terme de contraintes totales. Avant le déroulement de l'essai, sur les échantillons non remaniés existe une pression interstitielle négative dite résiduelle (capillaire). Elle est le résultat du relâchement des contraintes pendant l'échantillonnage. Les contraintes totales étant nulles, il en résulte des pressions interstitielles négatives. Au début de l'essai, l'application de la contrainte de confinement engendre dans l'échantillon une pression interstitielle positive ∆uc qui sera égale à la pression de confinement appliquée σc. Et toute augmentation de la contrainte de confinement isotrope est reprise par la pression interstitielle étant donné que l'échantillon est saturé, les grains solides et l'eau interstitielle sont incompressibles et enfin il n'y a pas de consolidation secondaire. Par conséquent, l'indice des vides et la contrainte effective demeurent inchangés. Les courbes effort- intacte de sensibilité très élevée ∆σ intacte de sensibilité moyenne εv remanié et compactée Fig. 8.40: Courbes typiques de l'essai triaxial UU sur une argile échantillon saturé à 100 % φ = 0τr = C τ σtot Fig. 8.41: Enveloppe de rupture de Mohr pour les essais UU sur une argile saturée
- 173. 161 Eléments de Mécaniquedes Sols déformation de l'essai UU ne sont pas très différentes de celles de l'essai CU ou CD, comme le montre les courbes ci- contre (Fig. 8.40). Pour les échantillons non remaniés, la portion initiale de la courbe correspondant au module tangent initial est fortement influencée par la qualité des échantillons. La sensibilité agit également sur la forme des courbes. L'enveloppe de rupture pour les essais UU effectués sur les argiles saturées à 100% est une droite horizontale (Fig. 8.41). Sur les argiles partiellement saturées, l'enveloppe de rupture est courbe dans sa partie initiale. Au cours de l'essai, l'échantillon se saturera et l'enveloppe devient une droite horizontale. En contraintes effectives, il n'y a qu'un seul cercle de Mohr à la rupture car la contrainte effective à la rupture est indépendante des pressions de confinement totales appliquées (Fig. 8.42). Les essais UU s'appliquent à certaines conditions critiques rencontrées dans la conception d'ouvrages. C'est le cas où les charges externes sont appliquées si rapidement que les pressions interstitielles en excès n'ont pas le temps de se dissiper et où la consolidation ne peut se produire durant la période de chargement (Fig. 8.43). σ, σ' T τ C' = 0 φ = 0 E C φ' Fig. 8.42: Cercle de Mohr à la rupture en contraintes totales et en contraintes effectives 8.6.4 Essai de compression simple On peut procéder à un essai de compression simple sur les sols argileux pour obtenir la résistance UU en contraintes totales. Il s'agit alors d'une variante particulière de l'essai UU où la pression totale de confinement est nulle. En terme de contraintes effectives, l'essai de compression simple est semblable à l'essai UU. Par conséquent, la résistance sera la même dans les deux cas. 8.6.5 Variation de la pression interstitielle Il est souvent nécessaire d'évaluer la variation ou l'excès de la pression interstitielle ∆u(∆σ1, ∆σ2, ∆σ3) engendrée lors d'une variation du chargement ∆σ non drainé. Dans la pratique, on exprime cette relation à l'aide des paramètres de pression interstitielle (proposés en 1954 par Prof. A.W. Skempton): B C Cn 1 1u sq v3 = + = σ∆ ∆ (8.15) où ∆σ3 est la variation de la pression cellulaire σc, n est la porosité, Cv est la compressibilité des pores, Csq représente la compressibilité du squelette solide. Le paramètre B exprime la variation de la pression interstitielle résultant d'une variation de la pression cellulaire en absence de drainage. Cas de sols saturés Nous avons Cv = Cw et Cw/Csq = 0, car la compressibilité de l'eau est très faible par rapport à la compressibilité du squelette, d'où:
- 174. 162 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Fig. 8.43: Exemples d'analyses UU sur des argiles
- 175. 163 Eléments de Mécaniquedes Sols 1u 3 = σ∆ ∆ (8.16) Cas de sols secs Il vient Cv/Csq ∞, car la compressibilité de l'air est beaucoup plus élevée que celle du squelette de sol, d'où: 0u 3 = σ∆ ∆ (8.17) les sols partiellement saturés ont des valeurs de B comprises entre 0 et 1 selon le degré de saturation. La relation B(Sr) est une fonction non linéaire et dépend entre autres du type de sol et du niveau de sollicitation (Fig. 8.44). La relation ci-dessus de B est très utile. En effet, dans un essai triaxial, elle permet de vérifier si l'échantillon est complètement saturé ou pas (Tab. 8.7). Lorsque nous appliquons une contrainte de cisaillement ou un déviateur de contrainte ∆σ = ∆σ1 – ∆σ3, la relation liant ∆u à ∆σ pour les sols élastiques est (Skempton): ∆u = (B/3) (∆σ1 – ∆σ3) (8.18) Tab. 8.7: Valeurs théoriques de B pour différents sols Mais les sols sont généralement inélastiques et le coefficient de 1/3 n'est pas applicable. On le remplace par un paramètre noté A dit deuxième paramètre de Skempton. Lorsqu'il y a à la fois, une variation de la contrainte moyenne et une variation de la contrainte de cisaillement, on combine les expressions (8.15) et (8.18) pour obtenir une relation générale:
- 176. 164 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement ∆u = B [∆σ3 + A (∆σ1 – ∆σ3)] (8.19) dite équation de Skempton. Dans les conditions non drainées, elle régit la variation de la pression interstitielle en fonction de la variation des contraintes totales. Le paramètre A dépend à divers degrés: du niveau de la déformation axiale, de l'intensité de σ2, du rapport de surconsolidation, de l'anisotropie et du remaniement de l'échantillon. (Tab. 8.8) donne quelques valeurs de A à la rupture, noté Ar. L'équation de Skempton et ses paramètres sont très utiles dans la pratique. Au-delà d'un seuil critique, l'excès de pression interstitielle peut être à l'origine d'une rupture. Le cas échéant, on peut prévoir une construction en plusieurs phases pour permettre de dissiper lentement la pression interstitielle en excès. Pour les essais triaxiaux les plus courants, le paramètre A est défini en fonction de l'augmentation des contraintes principales par: Aac = ∆u /∆σv Alc = ∆u /∆σh (8.20) Aae = 1 - ∆u /∆σv Ale = 1 - ∆u /∆σv où l'on désigne ac: compression axiale, ae: extension axiale, lc: compression latérale et le: extension latérale. D'aures parts, on peut montrer que: Aac = Ale et Aae = Alc Tab. 8.8: Quelques valeurs caractéristiques de Af pour différents sols
- 177. 165 Eléments de Mécaniquedes Sols Fig. 8.44: Paramètres de pression interstitielle B en fonction du degré de saturation pour quelques sols
- 178. 166 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Pour tenir compte de la contrainte principale intermédiaire, Henkel propose une équation des pressions interstitielles plus générale: ∆u = B (∆σoct + a ∆τoct) (8.21) où σoct = (1/3)( σ1 + σ2 + σ3) (8.22) )()()( 3 1 13 2 32 2 21 2 oct σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ a est appelé le paramètre des pressions interstitielles de Henkel. En fonction de A, il est exprimé par: 3 2a 3 1A += en compression triaxiale (ac et le) (8.23) 3 2a 3 2A += en extension triaxiale (ae et lc) Comme le voit, pour les matériaux élastiques a = 0 car A = 1/3 en compression triaxiale et A = 2/3 en extension triaxiale. 8.6.6 Cheminement des contraintes durant un chargement non drainé sur des argiles normalement consolidées L'application de contrainte de consolidation anisotrope modéliserait plus fidèlement les conditions qui prévalent sur le terrain (K0 ≠ 1). Des cheminements de contraintes autres que la compression axiale (tel que lors de chargement de fondation sur semelles ou remblais) peuvent simuler des conditions de sollicitations. Ainsi, l'extension latérale simule la poussée des terres, l'extension axiale reproduit les cas de chargement lors d'excavation tandis que la compression latérale s'applique à la butée comme celle s'exerçant aux bords d'un ancrage (Fig. 8.45). Remarquons enfin que, souvent les applications pratiques sont caractérisées par des problèmes plans. Cependant on continue d'appliquer toujours les résultats des essais triaxiaux (symétrie de révolution) à des problèmes de déformations planes. Exemple 8.7 Les courbes σ(ε) et ∆u(ε) de la figure ci-contre (Exemple 8.7) ont été obtenues à partir d'un essai de compression axiale sur l'échantillon d'une argile normalement consolidée. Tracer les cheminements de contraintes totales et des contraintes effectives pour cet essai. Déterminer les paramètres de Mohr-Coulomb. On prendra σ3 égale à 150 kPa.
- 179. 167 Eléments de Mécaniquedes Sols Exemple 8.7
- 180. 168 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement 8.6.7 Cheminement des contraintes pendant un chargement non drainé sur des argiles surconsolidées Les argiles surconsolidées ont généralement une valeur de K0 = σv/σh supérieure à l'unité. Alors, le point de départ des cheminement de contrainte se situe sous l'axe des Fig. 8.45: Quelques cas pratiques de stabilité sur le terrain et leur simulation par des essais triaxiaux
- 181. 169 Eléments de Mécaniquedes Sols contraintes hydrostatiques (K0 = 1). Par rapport aux argiles normalement consolidées, les argiles surconsolidées ont un cheminement des pressions interstitielles différent. A part ces deux remarques, les mêmes principes restent applicables aux argiles surconsolidées. Exemple 8.8 On effectue un essai de compression triaxiale consolidé non drainé sur un échantillon d'argile dont la contrainte de préconsolidation σ'p est de 800 kPa, ce qui correspond à un rsc de 10. La figure ci-contre (Exemple 8.8) donne les résultats obtenus. On effectue un autre essai CU sur la même argile avec le même rsc et, par conséquent, la même valeur de σ'c. Dans ce dernier essai, on ne maintient pas la contrainte latérale constante mais on l'augmente proportionnellement à la contrainte axiale de sorte que ∆σ3 = 0,2 ∆σ1 (voir figure). On suppose que les résultats donnés à la figure sont valables, quelle que soit la façon de modifier les contraintes majeures en compression, à savoir que σ1 et σ3 augmentent au cours de l'essai. Prédire le comportement du deuxième essai CU. Calculer les inconnues du tableau ci-dessous (Tab. 8.9), pour des déformations de 0; 0,5; 2,5; et 7,5 %. Tracer le TSP et le ESP pour cet essai. Tab. 8.8 Exemple 8.8
- 182. 170 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Tab. 8.9 8.6.8 Application des cheminements de contrainte à certains problèmes de génie Avec des échantillons de mauvaise qualité due à un mauvais échantillonnage, la résistance au cisaillement non drainée mesurée en laboratoire est beaucoup plus faible que la résistance sur le terrain. Dans le cas de chargement de fondation sur les argiles normalement consolidées, la fin de la construction est la période la plus critique. Les conditions ultérieures de stabilité s'améliorent avec le temps. Pour les argiles surconsolidées soumises à un chargement (fondation), les conditions à long terme deviennent moins sécuritaires après la dissipation de la pression interstitielle. Le déchargement engendre des pressions interstitielles négatives. Pour une excavation dans les argiles normalement consolidées, les conditions à long terme sont plus critiques. Enfin, (Tab. 8.10) résume quelques cas de conditions critiques de stabilité.
- 183. 171 Eléments de Mécaniquedes Sols Tab. 8.10: Conditions critiques pour la stabilité des argiles saturées
- 184. 172 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement Exercices du chapitre 8 Résistance des sols au cisaillement Exercice 1: Dans un essai de cisaillement direct sur un échantillon de sable pulvérulent, la contrainte normale verticale agissant sur l'échantillon est de 300 kN/m2 et la contrainte tangentielle horizontale à la rupture est de 200 kN/m2 . En supposant une distribution uniforme des contraintes dans la zone de rupture et une enveloppe de rupture rectiligne avec c = 0, évaluer à l'aide du cercle de Mohr, la valeur et la direction des contraintes principales à la rupture. Expliquer pourquoi l'essai de cisaillement direct ne permet pas de déterminer les contraintes principales dans un échantillon pour lequel la contrainte de cisaillement est inférieure à la contrainte de rupture. Exercice 2: Deux essais courants de compression triaxiale CD sont effectués sur un sable sec dense à grains angulaires, à un même indice des vides. La contrainte cellulaire dans l'essai A est de 100 kPa, et de 400 kPa dans l'essai B; on maintient ces contraintes constantes tout au long de l'essai. A la rupture, les essais présentaient des contraintes déviatoriques de 400 kPa (essai A) et de 1700 kPa (essai B). a) Tracer, pour les deux essais, les cercles de Mohr au début et à la rupture. b) Déterminer φ en supposant que c = 0. c) Quelle est la contrainte de cisaillement à la rupture, sur le plan de rupture, dans les deux essais? d) Déterminer l'orientation théorique du plan de rupture dans chaque échantillon. c) Quelle est l'orientation du plan d'obliquité maximale? . Exercice 3: Quel est l'indice des vides critique du sable de la rivière Sacramento pour une contrainte de confinement de 1,5 MPa? Exercice 4: Quelle est la contrainte de confinement critique du sable de la rivière Sacramento pour un indice des vides de 0,75? Exercice 5: Considérons le comportement du sable de la rivière Sacramento caractérisé par σ'3crit égale à 0,4 MPa et ec = ecrit = 0,8. Décrire le comportement drainé et non drainé de ce sable sachant que l'indice des vides après consolidation à σ'3crit= 0,4 MPa est de a) 0,85 et de b) 0,75. Exercice 6: Considérons le comportement du sable de la rivière Sacramento pour ecrit = 0,6 et σ'3crit= 1,6 MPa. Décrire le comportement drainé et non drainé de ce sable sachant que
- 185. 173 Eléments de Mécaniquedes Sols l'indice des vides est maintenu à 0,6 mais qu'on applique à l'échantillon une contrainte σ'3c de a) 1,5 MPa et b) de 1,7 MPa. Exercice 7: Soit un essai triaxial drainé effectué sur le sable, où σ'3crit = 150 kPa et (σ'1 / σ'3)r égale à 3,7. Quelles seront les valeurs de :a) σ'1r b) (σ1 – σ3)r c) φ' Exercice 8: On suppose que l'échantillon de l'exemple 7 est cisaillé dans des conditions non drainées à la même contrainte totale cellulaire (150 kPa). La pression interstitielle induite à la rupture ∆ur est de 70 kPa. Déterminer : a) σ'1r b) (σ1 - σ3)r c) φ en termes de contraintes totales d) l'angle du plan de rupture αr. Exercice 9: Soit le sable de l'exemple 8 mais pour lequel la contrainte cellulaire est maintenant de 300 kPa. Déterminer ∆ur. Exercice 10: Une argile normalement consolidée est consolidée à 150 kPa, puis cisaillée en compression axiale sans drainage. A la rupture, la différence entre les contraintes principales est de 100 kPa et les pressions interstitielles sont de 88 kPa. Evaluer les paramètres de résistance de Mohr-Coulomb en contraintes totales et en contraintes effectives, a) analytiquement et b) graphiquement. Mettre en graphique les cercles de Mohr en contraintes totales et en contraintes effectives et les enveloppes de rupture, c) Calculer (σ'1 / σ'3)r puis (σ1 / σ3)r. d) Evaluer l'angle théorique du plan de rupture dans l'échantillon. Exercice 11: On effectue un essai de compression simple sur une argile molle. L'échantillon, taillé dans une carotte non remaniée, a un diamètre de 35 mm et une hauteur de 80 mm. La charge appliquée à la rupture sur l'anneau de charge était de 14,3 N et le déplacement axial, de 11 mm. Calculer la résistance à la compression simple et la résistance au cisaillement de l'échantillon d'argile molle. Exercice 12: Les courbes σ – ε et ∆u - ε de l'exemple 8.7 ont été obtenues à partir d'un essai de compression axiale sur l'échantillon d'argile normalement consolidée de l'exemple 8.6. Tracer les cheminements en contraintes totales et en contraintes effectives pour cet essai. Déterminer les paramètres de Mohr-Coulomb. Exercice 13: On doit construire sur un dépôt d'argile molle organique situé au nord de la Suède un remblai de grandes dimensions dans un court laps de temps. La section transversale et
- 186. 174 Chapitre 8 :Résistance des sols au cisaillement le profil géotechnique sont donnés à la figure ci-contre. Supposer que K0 = 0,6; A = 0,35 avant la rupture et Ar à la rupture est égal à 0,5 (d'après Holtz et Holm, 1979). Déterminer le TSP, le (T - Uo)SP et le ESP pour un élément de sol situé à 5 m sous le centre du remblai. argile silteuse organique w = 140 % IL = 160 Ip = 105 élément ρ = 1,3 kg/m3 ρ = 1,24 kg/m3 ρ = 2,1 kg/m3 4 m 1 m 2,75 m 17 m 11 m Exercice 14: Deux échantillons identiques d'une argile normalement consolidée et saturée (même w, e etc.) sont consolidés isotropiquement (K = 1) et cisaillés sans drainage. Dans l'essai A en compression axiale (AC), la pression cellulaire est maintenue constante tandis que la contrainte axiale est augmentée jusqu'à la rupture. L'échantillon B est amené à la rupture par extension latérale (LE) où la contrainte axiale est maintenue constante tandis que la pression cellulaire est réduite jusqu'à atteindre la rupture. Les données relatives à l'effort- déformation et à la pression interstitielle de l'essai A sont présentées au tableau ci- contre. ε (%) ∆σ /σ'c ∆u/σ'c 0 0 0 1 0,35 0,19 2 0,45 0,29 4 0,52 0,41 6 0,54 0,47 8 0,56 0,51 10 0,57 0,53 12 0,58 0,55 a) Calculer et mettre en graphique les courbes d'effort-déformation et de pression interstitielle-déformation de l'essai A. b) Mettre en graphique les cheminements TSP et ESP pour les deux essais. c) Evaluer φ' et φT pour les deux essais. d) Démontrer que la courbe d'effort-déformation de l'essai A (AC) est identique à celle de l'essai B (LE). e) Etablir les données de pression interstitielle-déformation pour l'essai B à partir du cheminement de contrainte LE. Exercice 15 On effectue un essai de compression triaxiale consolidé non drainé sur un échantillon d'argile dont la contrainte de préconsolidation (σ'p est de 800 kPa, ce qui correspond à un rsc de 10. La figure de l'exemple 8.8 donne les résultats obtenus. On effectue un autre essai CU sur la même argile avec le même rsc et, par conséquent, la même valeur de σ'c. Dans ce dernier essai, on ne maintient pas la contrainte latérale constante mais on l'augmente proportionnellement à la contrainte axiale de sorte que ∆σ3 = 0,2 ∆σ1 (voir figure). On suppose que les résultats donnés à la figure de l'exemple 8.8 sont valables, quelle que soit la façon de modifier les contraintes majeures en compression, à savoir que σ1 et σ3 augmentent au cours de l'essai. Prédire le comportement du deuxième essai CU. a. Calculer les inconnues du tableau 8.9, pour des déformations de 0, de 0,5; de 2,5 et de 7,5 %. b. Tracer le TSP et le ESP pour cet essai.
- 187. 175 Eléments de Mécaniquedes Sols Exercice 16: Soit le remblai de l'exercice 13. Des essais de compression triaxiale ont donné c' =7kPa et φ' = 23°. Construire l'enveloppe de rupture et déterminer si le remblai sera stable.
- 188. Chapitre 9 Pression latéraledes terres 9.1 Introduction 9.2 Pression des terres au repos et relation pression latérale-déformation latérale 9.3 Essais sur la poussée des terres 9.4 Etats de l'équilibre limite 9.4.1 Définition 9.4.2 Equilibre de Rankine 9.4.2.1 Hypothèses 9.4.2.2 Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre 9.4.2.3 Equilibres inférieur et supérieur 9.4.2.4 Contrainte sur la facette verticale 9.4.2.5 Lignes de glissement 9.4.2.6 Distribution des contraintes 9.4.3 Equilibre de Boussinesq 9.4.3.1 Hypothèses 9.4.3.2 Poussée sur un écran 9.4.3.3 Calcul du coefficient de Poussée 9.4.3.4 Etude de la solution 9.4.4 Cas de milieu pulvérulents non pesant chargés 9.4.5 Cas des sols cohérents (théorème des états correspondants) 9.5 Calcul pratique de la poussée et de la butée 9.5.1 Théorie de Rankine 9.5.1.1 Introduction 9.5.1.2 Etat actif 9.5.1.3 Etat passif 9.5.1.4 Poussée due à une surcharge uniforme 9.5.1.5 Cas de surface libre inclinée 9.5.2 Théorie de Coulomb 9.5.2.1 Introduction 9.5.2.2 Etat actif 9.5.2.2.1 Sol pulvérulent 9.5.2.2.2 Sol cohérent 9.5.2.3 Etat passif 9.5.3 Théorie de Boussinesq (Tables de Caquot et Kérisel) 9.5.4 Construction de Culmann 9.5.4.1 sol pulvérulent non chargé 9.5.4.1.1 Etat actif 9.5.4.1.2 Etat passif
- 189. Chapitre 9 Pression latéraledes terres Expansion Compression Fig. 9.1 : Variation de K en fonction de la déformation K Kp Ka K0 9.1 Introduction L'analyse de la pression latérale des terres est d'un aspect très important en mécanique des sols. Les applications sont très diverses et s'étendent du dimensionnement des ouvrages de soutènement jusqu'à l'étude de la stabilité des pentes et des talus. Les hypothèses généralement admises sont un état de déformation plane et un comportement rigide-parfaitement plastique car l'écoulement par cisaillement se produit à contrainte constante. 9.2 Pression des terres au repos et relation pression latérale-déformation latérale L'état des contraintes dans le sol n'est pas hydrostatique: la contrainte horizontale ou latérale n'est pas égale à la contrainte verticale. En mécanique des sols, la contrainte latérale totale est définie en fonction de la contrainte verticale totale par la relation: σh = K σv (9.1) où K est dit coefficient de la pression des terres. Puisque les contraintes totales peuvent changer selon le degré de saturation du sol, le coefficient K n'est pas constant pour un sol donné. C'est pour cette raison que nous écrivons cette relation en terme de contraintes effectives: σ'h = K0 σ'v (9.2) K0 est le coefficient des terres au repos. Il est indépendant de l'état de saturation du massif. Il est constant pour une même couche de sol et une même masse volumique. De ce fait, ce coefficient est très important pour l'analyse de stabilité et la conception des différents ouvrages. Lorsque le sol subit des déformations, on parle de coefficient de pression latérale tout court. La variation de ce coefficient en fonction des déformations latérales est montrée ci-contre (Fig. 9.1). On peut remarquer que la
- 190. 177 Eléments de Mécaniquedes Sols déformation latérale nécessaire à la mobilisation de la poussée passive est beaucoup plus grande ( 2 à 4 % pour les sables denses, de 10 à 15 % pour les sables lâches) que la déformation nécessaire à la mobilisation de la pression active (de l'ordre de 0,25 et 1 % respectivement). Le coefficient K0 peut être déterminer expérimentalement par un essai triaxial pendant lequel on empêche toute déformation latérale. D'autres part, on peut trouver des relations analytiques donnant K0 en fonction des propriétés du sol. A titre d'exemple, Jaky propose la relation: K0 = 1 - sin ϕ' (9.3) Mayne et Kulhawy proposent l'expression suivante pour les sols surconsolidés en phase d'expansion seulement: K0 = (1 - sin ϕ') (rsc)sin ϕ' (9.4) où rsc est le taux de surconsolidation. Dans la littérature on trouvera des études sur la corrélation entre K0 et diverses autres paramètres tels que indice de plasticité, degré de sur consolidation …etc. 9.3 Essais sur la poussée des terres 9.3.1 Etat actif Soit un massif de sol semi infini avec une surface horizontale et un écran vertical lisse. Le sol est supposé homogène et isotrope. Dans ces conditions, les contraintes σz et σx sont des contraintes principales (Fig. 9.2). Supposons que l’on effectue un déplacement de l’écran loin du massif. Ce déplacement est équivalent à une expansion du sol, ce qui induit une diminution de σx (cette diminution est fonction des déformations latérales dues au déplacement). Si le déplacement de l’écran est assez suffisant, σx atteint une valeur minimale correspondant à un état d’équilibre plastique dans lequel le cercle de Mohr touche l’enveloppe de rupture. Puisque σx diminue, elle représente donc la contrainte principale mineure σ3. La contrainte verticale σz sera la contrainte principale majeure σ1. La contrainte est σ3 dite pression active Fig. 9.2 : Etat actif σ1 σ3 x z déplacement 9.3.2 Etat passif Supposons que l’on déplace l’écran vers le massif de sol (Fig. 9.3) . La contrainte σx croit jusqu’à ce qu’un état d’équilibre plastique soit atteint. Dans ces conditions, σx devient la contrainte principale majeure et σz sera la contrainte principale mineure σ3. σx maximum est atteinte lorsque le cercle de Mohr devient tangent à l’enveloppe de rupture. La contrainte horizontale est dite pression passive σ1 σ3 x z déplacement Fig. 9.3 : Etat passif
- 191. 178 Chapitre 9 :Pression latérale des terres 9.4 Etat de l'équilibre limite 9.4.1 Définition C'est l'état d'équilibre qui précède immédiatement la rupture, il s'agit donc d'un équilibre plastique. Plusieurs modèles sont disponibles pour le traitement du sujet. 9.4.2 Equilibre de Rankine 9.4.2.1 Hypothèses La théorie de Rankine traite le cas d'un massif semi- infini de sol pulvérulent, non chargé. Le massif est incliné d'un angle β par rapport à l'horizontale. Le massif est entièrement en équilibre plastique. On suppose que l'état de l'équilibre limite est le même pour touts les points situés à la même profondeur. 9.4.2.2 Contrainte sur une facette parallèle à la surface libre Considérons une facette d'aire élémentaire dA, parallèle à la surface libre et située à la profondeur z (Fig. 9.4). La contrainte sur la facette équilibre le poids du parallélépipède ABCD. Ainsi, le vecteur contrainte t est vertical et a pour intensité: Fig. 9.4 : Massif à surface libre inclinée β t dA z A B C M D t = γ z cos β Les forces agissant sur les faces latérales sont égales et opposées. On conclut que la contrainte sur un plan parallèle à la surface libre est verticale. Ceci veut dire que l'inclinaison de la surface libre ne peut dépasser l'angle φ (Fig. 9.5). 9.4.2.3 Equilibres inférieur et supérieur A partir de l'état de contrainte au point M sur la facette parallèle à la surface libre, le cercle de Mohr permet de déterminer l'état de contrainte au même point pour une facette d'orientation quelconque. Le vecteur contrainte t au point M sur la facette parallèle à la surface libre est représenté par la droite OE d'obliquité β (Fig. 9.6). Par le point E, il ne peut passer que deux cercles limites tangents à la droite de Coulomb. Chaque cercle représente un équilibre limite possible au point M. Le cercle C1 représente un état d'équilibre dit β contrainte σ τ φ E'2 2β 2β E'1 Fig. 9.5 : Etat de tn M β β ≤ φ O Fig. 9.6 : Cercle de Mohr à l’équilibre limite β C1 C2 E t
- 192. 179 Eléments de Mécaniquedes Sols inférieure. Le cercle C2 est associé à un état d'équilibre dit supérieur. 9.4.2.4 Contrainte sur la facette verticale Sur le plan de Mohr, la contrainte sur une facette verticale au point M se déduit de l'état de contrainte sur la facette parallèle à l'horizontale par une rotation égale à π - 2β dans le sens des aiguilles d'une montre (Fig. 9.7) : c.à.d le point E'1 pour l'équilibre inférieur et E'2 pour l'équilibre supérieur. On peut montrer que l'obliquité de la contrainte sur la facette verticale est égale à + β, c.à.d que la contrainte sur la facette verticale est parallèle à la surface libre. Son intensité peut varier entre deux limites qui sont associées aux deux états d'équilibre limite. β v M Fig. 9.7 : Calcul de la contrainte sur la facette verticale O σφ β E'1 E'''1 E'' E1 C1 E' σ1σ3 2β 2δ γ ωβ τ π/2 - β 9.4.2.5 Lignes de glissement 9.4.2.5.1 Equilibre inférieur Précisons tout d'abord la direction de la facette sur laquelle agit la contrainte principale mineure σ3. D'après Fig. 9.8, l'angle entre la facette verticale E'1 et la facette sur laquelle agit σ3 est δ tel que: ωβ = β + 2δ (9.5) d'où δ = (ωβ - β)/2 d'autre part, on a: Fig. 9.8 : Equilibre inférieur 2δ = γ - 2β = π/2 - ϕ - 2β soit δ = π/4 - ϕ/2 - β ce qui donne β + δ = β + π/4 - ϕ/2 - β = π/4 - ϕ/2 (9.6) d'où l'angle ωβ est tel que sin ωβ = C1E' / E'E'1 = C1E'' / C1E'1 = C1E'' / R sin ϕ = C1E'''1 / OC1 = R / OC1 ===> R = OC1 sin ϕ sin β = C1E'' / OC1 ===> C1E'' = OC1 sin β d'où sin ωβ = sin β / sin ϕ (9.7)
- 193. 180 Chapitre 9 :Pression latérale des terres ce qui permet de tracer le schéma ci-contre (Fig. 9.9). On conclut alors que les deux directions de glissement sont symétriques par rapport à la direction d'action de σ1: ψ = ± (π/4 - φ/2) (9.8) 9.4.2.5.2 Equilibre supérieur On trouve des résultats analogues: le point E'2 représente l'état d'équilibre sur la facette verticale. L'angle entre la facette verticale et la facette sur laquelle agit σ1 est δ tel que: β Fig. 9.9 : Plans de glissement πσv πσ1 πσ3 πv πh πr2 πE'1 πr2 2δ = ωβ + β soit δ = (ωβ + β)/2 c.à.d que l'angle entre la direction d'action de σ3 et la facette verticale est δ. D'autre part, on a: α = π/4 + ϕ/2 (9.9) Ainsi, les deux directions de glissement font un angle de π/4 + φ/2 avec la direction de σ3, c.à.d que là aussi, l'angle entre les directions de glissement et la direction d'action de σ1 sont σ φ β C2 σ1σ3 τ ωβ 2γ 2α 2δ E'2 Fig. 9.10 : Equilibre supérieur ± (π/4 - φ/2) Il en résulte que les lignes de glissement sont des droites d'orientation fixe dans tout le milieu. Le réseau des lignes de glissement est donc formé de deux familles de droites parallèles se coupant sous l'angle π/2 – φ (Fig. 9.11,12). Fi Expansion Compression σ1 π/4 – φ/2 ββ π/4 – φ/2 σ1 g. 9.11 : Lignes de glissement pour l'équilibre inférieure Fig. 9.12 : Lignes de glissement pour l'équilibre supérieure 9.4.2.6 Distribution des contraintes A titre d'illustration, on examinera le cas de l'équilibre inférieure. Nous voulons calculer la contrainte au point M(r, θ) sur la facette dont le plan est porté par OM (Fig. 9.13). Nous avons: σθθ (r, θ), σrθ (r, θ) et α (r, θ). La facette considérée fait avec la
- 194. 181 Eléments de Mécaniquedes Sols facette verticale l'angle θ. On dresse alors le cercle de Mohr correspondant (Fig. 9.14). L'obliquité α du vecteur contrainte t ne dépend que de θ. En effet: tg α = P'P / OP' où P'P = R sin γ = τm sin (2θ + ωβ - β) et OP' = σm - τm cos (2θ + ωβ - β) avec sin ϕ = τm / σm ce qui donne: tg α = [sin ϕ . sin (2θ + ωβ - β)] / [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] (9.10) β τ t σ σm φ τm o c c' ωβ + β ωβ ωβ ωβ 2θ δ γ E E' P E'' Fig. 9.13 : Distribution des contraintes β θ β r o z M α σθθ - τrθ t n Ainsi, dans la théorie de Rankine, l'obliquité des contraintes sur un écran d'inclinaison quelconque ne dépend que de φ et β. . L'angle α est alors indépendante de r: les facettes portées par une ligne droite dans le massif subissent des contraintes de même obliquité (Fig. 9.15). Calculons à présent σθθ. Nous avons: σθθ = OP' = OC – CP' = σm – R cos γ sin ϕ = R / σm il vient R = σm sin ϕ d'où σθθ = σm [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] (9.11) Fig. 9.14 : Cercle de Mohr en équilibre inférieur β α θ Fig. 9.15 : Contrainte le long d'un rayon polaire Calculons σm. Dans le triangle CC'E, on a: sin (ωβ + β) = τ / τm = t sin β / τm où sin ωβ = sin β / sin ϕ ==> sin β = sin ϕ sin ωβ et
- 195. 182 Chapitre 9 :Pression latérale des terres τm = σm sin ϕ Fig. 9.16 : Equilibre limite inférieure : poussée déplacement σ1 σ3 σ1 σ3 Fig. 9.17 : Equilibre limite supérieure : butée déplacement ce qui donne sin (ωβ + β) = t sin ωβ / σm ===> σm = t sin ωβ / sin (ωβ + β) remplaçant t par sa valeur, il vient: σm = γ z cos β . sin ωβ / sin (ωβ + β) et z cos β par r cos (θ - β) on obtient σm = γ r cos (θ - β) . sin ωβ / sin (ωβ + β) et finalement σθθ = Kaγ γ r (9.12) avec Kaγ = sin β cos (θ - β) [1 - sin ϕ . cos (2θ + ωβ - β)] / [sin ϕ sin (ωβ + β)] On conclue alors que la distribution des contraintes dépend de r et est triangulaire le long d'une droite tracée dans le massif. le coefficient Kaγ(β, φ, θ) est un coefficient de poussée (Fig. 9.16,17). Remarque 9.1 La théorie de Rankine est relativement simple mais ses applications sont limitées. En effet, les lignes de glissement observées sur site ne sont pas droites. De plus, dans le cas de massifs limités par des parois on constate que la rugosité de l'écran joue un rôle important. Finalement, l'obliquité des contraintes sur l'écran est une caractéristique du frottement du massif et de l'écran, alors que dans la théorie de Rankine, elle ne dépend que de l'obliquité de la surface libre et de l'angle de frottement interne. 9.4.3 Equilibre de Boussinesq 9.4.3.1 Hypothèses La théorie de Boussinesq est un schéma général permettant de prendre en compte le frottement sol-écran. Initialement, on suppose que le sol est un matériau pulvérulent en équilibre limite sous son propre poids (la prise en compte de la cohésion et des forces extérieures viendra par la suite). Le massif est limité par deux plans: la surface libre et un écran latéral. Sur l'écran, l'obliquité δ des contraintes est imposée. On
- 196. 183 Eléments de Mécaniquedes Sols admet une distribution triangulaire des contraintes sur chaque rayon polaire, c.à.d que l'obliquité est constante et que l'intensité de la contrainte est proportionnelle à la position radiale r (résultat de la théorie de Rankine). Fig. 9.18 : Convention de signe σθθ θ+ r β+ λ+ δ+ P 9.4.3.2 Poussée sur un écran Sur la facette portée par le rayon polaire (Fig. 9.18), la contrainte normale σθθ est de la forme: σθθ = r f(θ) cependant, f peut dépendre des autres paramètres β, λ, δ, φ et γ. Par convention, on posera σθθ = Kγ γ r où Kγ ne dépend que de β, λ, δ et φ, il est appelé coefficient de poussée des terres. Il existe deux équilibres: un équilibre de poussée (état actif) et un équilibre de butée (état passif). Sur l'écran, le vecteur contrainte (Fig. 9.19) à une intensité donnée par: Fig. 9.19 : Poussée sur un écran β λ δ σθθ θ t n h t = σθθ / cos δ la poussée totale sur le mur a pour intensité: 2 h cos K drtP 2h 0 γ δ == γ ∫ et a pour obliquité δ. Le point d'application de P se situe au tiers inférieur de h. β λ θ Fig. 9.20 : Calcul de Kγ ψ σ1 σrr σrθ σθθ 9.4.3.3 Calcul du coefficient de poussée Kγ 9.4.3.3.1 Système des équations différentielles Puisque l'équilibre est limite, d'après (9.11) il vient (Fig. 9.20): σθθ = σm [1 - sin ϕ cos 2ψ] (2ψ est équivalent à γ dans Fig. 9.14, σrr est l'état de contrainte qui fait l'angle π/2 par rapport à l'état de contrainte σθθ) σrr = σm [1 + sin ϕ cos 2ψ] (9.13) σrθ = σm sin ϕ sin 2ψ
- 197. 184 Chapitre 9 :Pression latérale des terres Comme le montre (Fig. 9.14), l'angle ψ est l'angle que fait σ1 avec le rayon polaire. ψ est ψ(θ) car l'obliquité de la contrainte sur le rayon polaire est constante. σθθ est proportionnelle à r quand θ est fixe. σm est aussi de la forme: σm = r g(θ) (9.14) D'après (9.13,14), nous avons les relations σrr,r = σrr / r et σrθ = σrθ / r et les équations aux dérivées partielles d'équilibre σrr,r + σrθ,θ/r + (σrr - σθθ)/r = γ cos θ (9.15) σrθ,r + σθθ,θ/r + 2 σrθ/r = - γ sin θ θ β λ ψ σ1 Fig. 9.21 : Conditions aux limites A B C r M donnent σrθ,θ + (2σrr - σθθ) = γ r cos θ (9.16) σθθ,θ + 3σrθ = - γ r sin θ La forme de ces équations montre que σrr, σθθ, σrθ et donc σm sont proportionnelles à γ. Posons σm = γ r S(θ) (9.17) Le problème consiste donc à rechercher les fonctions S(θ) et ψ(θ) qui définissent complètement le tenseur de contrainte. Tenant compte de (9.13,17), (9.16) donne: S,θ = [ S sin 2ψ - sin (2ψ+ θ)] / (cos 2ψ - sin ϕ) (9.18) ψ,θ +1 = [ cos θ - sin ϕ cos (2ψ+ θ) – S cos2 ϕ] / [2S sin ϕ (cos 2ψ - sin ϕ)] 9.4.3.3.2 Conditions aux limites Pour pouvoir intégrer les équations différentielles précédentes, il faut éliminer les constantes d'intégration. Ceci à l'aide des conditions aux limites. Ainsi, on a (Fig. 9.21): Sur la surface libre (segment AB) σ = 0, σm = 0 d'où S(θ = π/2 + β) = 0 dψ/dθ +1 doit vérifier (avec θ = π/2 + β)
- 198. 185 Eléments de Mécaniquedes Sols sin β - sin ϕ sin (2ψ + β) = 0 en effet, puisque le dénominateur de dψ/dθ +1 est nul, il faut que son numérateur le soit aussi, ce qui implique l'expression ci-dessus. Autrement: sin (2ψ+ θ) = sin β / sin ϕ = sin ωβ soit 2ψ = ωβ - β ou 2ψ = π – (ωβ + β) (9.19) On vérifiera aisément que ces deux valeurs de ψ correspondent à celles trouvées dans l'étude de l'équilibre de Rankine. Rappelons que celle-ci est l'angle que fait le rayon polaire ( ou σrr ) avec σ1. Puisque les deux directions de glissement font l'angle ± (π/4 - φ/2) avec σ1 (Fig. 9.22), on se rond compte que le rayon polaire est situé à l'intérieur du petit angle entre les lignes de glissement lorsque ψ < π/4 - φ/2. C'est le cas où 2ψ = ωβ - β. En effet, on a: πr2 ψ σ1 r Fig. 9.22 : Plans de rupture π/4 - φ/2 -(π/4 - φ/2) πr1 - (π/2 - ϕ) ≤ ωβ - β ≤ π/2 - φ ∀ |β| < ϕ (9.20) Lorsque 2ψ = π - (ωβ + β), la surface libre est située hors de ce même petit angle. Sur l'écran (Segment AC) L'obliquité des contraintes sur l'écran est imposée: tg δ = - σrθ / σθθ = - sin ϕ sin 2ψ / (1 - sin ϕ cos 2ψ) (9.21) ce qui donne sin (2ψ - δ ) = - sin ωδ (9.22) où sin ωδ = sin δ / sin ϕ, - ϕ ≤ δ ≤ ϕ, - π/2 ≤ δ ≤ π/2, on a alors les deux valeurs possibles de ψ: 2ψ = - (ωδ - δ) ou bien 2ψ = ωδ + δ - π (9.23) Comme précédemment, on peut montrer que l'écran est situé dans le petit angle des lignes de glissement lorsque 2ψ = - (ωδ - δ) et il est situé hors de ce même petit angle lorsque 2ψ = ωδ+δ-π . Quant à S, elle est inconnue sur l'écran. On a donc quatre couples de valeurs de ψ sur la surface libre et sur l'écran, mais elles ne sont pas tous mécaniquement possibles. en définitive, on ne peut poser que deux problèmes distincts:
- 199. 186 Chapitre 9 :Pression latérale des terres Problème de poussée . Sur la surface libre: θ = π/2 + β S = 0 2ψ = π - (ωβ + β) . Sur l'écran θ = λ 2ψ = - (ωδ - δ) Problème de butée .Sur la surface libre θ = π/2 + β S = 0 2ψ = ωβ - β .Sur l'écran θ = λ 2ψ = ωδ + δ - π 9.4.3.3.3 Résolution Le problème est mathématiquement bien posé. Il reste à calculer S sur l'écran, ψ et S sur les différents rayons polaires. Ceci relève du calcul numérique dont les résultats sont présentés sous forme de tables telles que celles de Caquot et Kérisel (Tab. 9.1,2). Remarque 9.2 Seul un équilibre de Rankine peut régner entre la surface libre et la première ligne de glissement de cet équilibre. On peut donc distinguer deux zones dans le massif: une zone en équilibre de Rankine (δ = 0) commandée par la surface libre, et une zone en équilibre de Boussinesq commandée par l'écran. Ces deux zones se raccordent le long de la première ligne de glissement de l'équilibre de Rankine. 9.4.3.4 Etude de la solution 9.4.3.4.1 Variation de Kγ . Kaγ décroît lorsque δ augmente. . La poussée minimale (équilibre le plus défavorable) correspond à δ = φ. . Dans le cas de l'équilibre le plus défavorable de Boussinesq, l'obliquité δ est toujours voisine de φ. Dans l'équilibre de Rankine, δ décroît rapidement et s'annule sur l'écran. . Pour la butée, l'équilibre le plus défavorable (butée maximale) correspond à δ = - φ. Kpγ décroît quand δ diminue en valeur absolue. . Dans le cas de l'écran vertical, β influe fortement la poussée et notamment la butée. . La poussée diminue lorsque φ augmente. . La butée varie proportionnellement à φ.
- 200. 187 Eléments de Mécaniquedes Sols α [°] φ [°] δ [°] β [°] 50 60 70 80 90 100 110 120 130 0 1.11 0.943 0.832 0.756 0.704 0.669 0.650 0.641 0.6410 10 1.41 1.20 1.06 0.982 0.937 0.922 0.900 0.895 0.890 0 1.09 0.917 0.801 0.720 0.664 0.626 0.601 0.586 0.5775 10 1.45 1.23 1.08 1.00 0.951 0.936 0.920 0.900 0.890 0 1.07 0.911 0.787 0.702 0.642 0.600 0.570 0.549 0.533 10 10 10 1.53 1.29 1.13 1.05 0.991 0.966 0.950 0.940 0.935 0 1.02 0.850 0.735 0.651 0.589 0.541 0.504 0.472 0.4380 10 1.27 1.04 0.893 0.782 0.701 0.643 0.595 0.555 0.516 0 1.00 0.828 0.709 0.622 0.557 0.507 0.467 0.433 0.3955 10 1.28 1.04 0.885 0.764 0.679 0.612 0.560 0.516 0.442 0 1.00 0.821 0.695 0.603 0.536 0.484 0.442 0.405 0.36510 10 1.32 1.07 0.889 0.758 0.663 0.591 0.536 0.489 0.473 0 1.02 0.826 0.691 0.596 0.525 0.470 0.425 0.385 0.342 15 15 10 1.38 1.11 0.903 0.760 0.657 0.581 0.522 0.471 0.420 0 0.937 0.767 0.647 0.559 0.490 0.434 0.387 0.341 0.290 10 1.15 0.920 0.765 0.653 0.568 0.500 0.441 0.387 0.329 0 20 1.44 1.17 1.01 0.901 0.822 0.781 0.759 0.749 0.732 0 0.921 0.748 0.626 0.536 0.465 0.409 0.361 0.314 0.263 10 1.14 0.915 0.754 0.634 0.546 0.474 0.414 0.360 0.301 5 20 1.47 1.19 1.03 0.907 0.840 0.786 0.763 0.741 0.736 0 0.924 0.742 0.614 0.520 0.448 0.391 0.342 0.295 0.243 10 1.17 0.926 0.751 0.626 0.531 0.457 0.396 0.340 0.280 10 20 1.51 1.23 1.06 0.937 0.855 0.812 0.776 0.767 0.748 0 0.942 0.745 0.610 0.512 0.438 0.379 0.328 0.280 0.229 10 1.21 0.949 0.756 0.622 0.523 0.446 0.383 0.325 0.265 15 20 1.59 1.29 1.11 0.982 0.895 0.837 0.813 0.789 0.769 0 0.970 0.759 0.614 0.511 0.434 0.372 0.319 0.270 0.217 10 1.29 0.984 0.771 0.626 0.521 0.441 0.375 0.315 0.253 20 20 20 1.72 1.39 1.18 1.04 0.951 0.888 0.848 0.821 0.800 0 0.859 0.688 0.568 0.478 0.406 0.346 0.293 0.241 0.184 10 1.03 0.814 0.661 0.549 0.462 0.389 0.327 0.267 0.203 0 20 1.25 1.00 0.818 0.681 0.569 0.480 0.401 0.326 0.249 0 0.848 0.674 0.552 0.459 0.387 0.327 0.275 0.223 0.168 10 1.03 0.810 0.648 0.532 0.443 0.370 0.308 0.249 0.186 5 20 1.27 1.00 0.824 0.673 0.557 0.462 0.381 0.307 0.230 0 0.851 0.671 0.542 0.448 0.374 0.313 0.261 0.210 0.156 10 1.05 0.814 0.645 0.523 0.431 0.356 0.294 0.235 0.173 10 20 1.31 1.03 0.830 0.673 0.548 0.449 0.367 0.292 0.216 0 0.866 0.672 0.540 0.441 0.365 0.304 0.251 0.200 0.146 10 1.09 0.828 0.647 0.520 0.423 0.347 0.284 0.225 0.164 15 20 1.37 0.107 0.853 0.678 0.545 0.441 0.357 0.282 0.206 0 0.896 0.685 0.542 0.439 0.361 0.298 0.244 0.193 0.139 10 1.14 0.856 0.658 0.521 0.420 0.342 0.277 0.217 0.156 20 20 1.45 1.12 0.886 0.688 0.545 0.438 0.351 0.274 0.198 0 0.925 0.725 0.552 0.443 0.361 0.296 0.240 0.187 0.134 10 1.22 0.920 0.676 0.528 0.423 0.341 0.273 0.212 0.151 25 25 20 1.56 1.20 0.929 0.708 0.554 0.439 0.349 0.270 0.192 0 0.787 0.617 0.497 0.406 0.333 0.272 0.218 0.165 0.108 10 0.929 0.717 0.569 0.460 0.373 0.301 0.239 0.180 0.116 20 1.12 0.861 0.683 0.546 0.438 0.353 0.276 0.207 0.135 30 0 30 1.38 0.107 0.899 0.765 0.684 0.610 0.561 0.500 0.434 Table 9.1 : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids des terres Kaγ (D'après Chen)
- 201. 188 Chapitre 9 :Pression latérale des terres φ [°] δ [°] β [°] 50 60 70 80 90 100 110 120 130 30 α [°] 5 0 0.778 0.606 0.484 0.392 0.319 0.258 0.154 0.099 10 0.932 0.715 0.559 0.446 0.359 0.287 0.226 0.168 0.108 20 1.12 0.861 0.678 0.536 0.426 0.338 0.263 0.125 30 1.39 1.09 0.912 0.776 6.694 0.619 0.570 0.507 0.428 10 0 0.781 0.604 0.477 0.383 0.309 0.248 0.196 0.145 10 0.946 0.720 0.557 0.439 0.349 0.277 0.216 0.159 0.100 20 1.16 0.881 0.681 0.532 0.419 0.328 0.252 0.184 0.117 30 1.43 1.14 0.934 0.795 0.712 0.634 0.570 0.506 0.426 15 0 0.798 0.607 0.475 0.378 0.302 0.242 0.189 0.138 0.087 10 0.972 0.728 0.558 0.437 0.343 0.270 0.209 0.152 0.095 20 1.19 0.900 0.695 0.532 0.414 0.321 0.245 0.177 0.111 1.51 1.18 0.968 0.823 0.738 0.657 0.590 0.524 0.442 20 0 0.821 0.618 0.479 0.377 0.299 0.237 0.184 0.134 0.083 10 0.750 0.566 0.437 0.341 0.266 0.204 0.147 0.091 20 1.25 0.943 0.712 0.539 0.414 0.318 0.240 0.172 0.106 30 1.59 1.01 0.885 0.773 0.688 0.618 0.549 0.448 25 0 0.862 0.638 0.487 0.380 0.299 0.235 0.180 0.130 0.080 10 1.08 0.785 0.442 0.342 0.265 0.201 0.143 0.087 20 1.35 1.00 0.739 0.550 0.418 0.318 0.238 0.169 0.103 30 1.74 1.35 1.11 0.820 0.729 0.654 0.564 0.473 30 0 0.900 0.770 0.501 0.302 0.236 0.179 1.27 0.078 10 1.17 0.829 0.602 0.453 0.347 0.266 0.200 0.141 0.085 20 1.47 1.08 0.776 0.568 0.321 0.238 0.167 0.100 0.205 0.194 0.093 30 1.01 1.24 0.581 0.940 0.387 0.425 30 1.88 1.46 1.19 1.01 0.882 0.783 0.701 0.604 0.489 0 0 0.717 0.551 0.433 0.343 0.271 0.211 0.158 0.107 0.057 10 0.837 0.634 0.491 0.383 0.299 0.230 0.171 0.115 0.060 20 0.986 0.741 0.572 0.443 0.342 0.261 0.191 0.128 0.066 30 1.18 0.895 0.703 0.558 0.434 0.331 0.240 0.160 0.084 5 0 0.711 0.542 0.424 0.333 0.260 0.201 0.149 0.101 0.052 10 0.843 0.629 0.483 0.372 0.289 0.220 0.162 0.108 0.056 20 1.01 0.741 0.568 0.435 0.333 0.250 0.182 0.120 0.060 30 1.20 0.904 0.708 0.557 0.426 0.320 0.230 0.151 0.078 35 10 0 0.717 0.543 0.418 0.326 0.253 0.194 0.143 0.095 0.049 10 0.849 0.635 0.480 0.368 0.282 0.213 0.155 0.103 0.052 20 1.02 0.759 0.569 0.430 0.326 0.243 0.175 0.115 0.057 30 1.22 0.923 0.720 0.560 0.422 0.312 0.222 0.145 0.074 15 0 0.731 0.546 0.417 0.322 0.248 0.189 0.138 0.091 0.046 10 0.876 0.643 0.481 0.365 0.277 0.208 0.150 0.098 0.049 20 1.05 0.775 0.575 0.430 0.322 0.238 0.170 0.110 0.054 30 1.27 0.975 0.753 0.567 0.421 0.308 0.216 0.140 0.070 20 0 0.755 0.557 0.420 0.322 0.246 0.186 0.135 0.088 0.044 10 0.915 0.664 0.488 0.367 0.275 0.205 0.147 0.095 0.047 20 1.11 0.800 0.592 0.434 0.322 0.235 0.166 0.107 0.052 30 1.36 1.02 0.781 0.580 0.424 0.306 0.214 0.137 0.068 25 0 0.791 0.575 0.430 0.325 0.246 0.185 0.133 0.086 0.043 10 0.968 0.692 0.501 0.371 0.276 0.204 0.145 0.093 0.046 20 1.17 0.847 0.610 0.443 0.323 0.235 0.165 0.105 0.050 30 1.44 1.08 0.819 0.598 0.429 0.307 0.213 0.134 0.066 30 0 0.846 0.601 0.442 0.331 0.249 0.185 0.132 0.085 0.042 10 1.04 0.730 0.519 0.379 0.280 0.205 0.144 0.092 0.044 20 1.27 0.908 0.637 0.455 0.329 0.237 0.164 0.103 0.049 30 1.60 1.15 0.870 0.623 0.438 0.310 0.213 0.133 0.064 35 0 0.928 0.634 0.460 0.341 0.254 0.187 0.132 0.084 0.041 10 1.12 0.783 0.545 0.392 0.287 0.208 0.145 0.091 0.044 20 1.41 0.989 0.676 0.473 0.337 0.241 0.166 0.103 0.048 30 1.75 1.29 0.951 0.656 0.457 0.318 0.216 0.134 0.064 Table 9.1 (suite): Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids des terres Kaγ
- 202. 189 Eléments de Mécaniquedes Sols α [°] φ [°] δ [°] β [°] 50 60 70 80 90 100 110 120 130 40 0 0 0.649 0.491 0.374 0.287 0.217 0.160 0.111 0.065 0.024 10 0.760 0.556 0.421 0.316 0.237 0.172 0.118 0.069 0.025 20 0.874 0.643 0.482 0.358 0.266 0.191 0.129 0.075 0.026 30 1,38 0.762 0.577 0.429 0.316 0.226 0.150 0.086 0.029 40 1.22 0.920 0.751 0.614 0.511 .0.443 0.364 0.277 0.160 5 0 0.645 0.486 0.368 0.279 0.210 0.153 0.105 0.061 0.022 10 0.759 0.553 0.415 0.310 0.230 0.166 0.112 0.064 0.023 20 0.879 0.644 0.479 0.352 0.259 0.183 0.123 0.070 0.024 30 1.03 0.770 0.579 0.426 0.309 0.218 0.143 0.081 0.027 40 1.25 0.941 0.769 0.628 0.524 0.439 0.361 0.274 0.157 10 0 0.654 0.485 0.364 0.275 0.205 0.149 0.101 0.058 0.021 10 0.767 0.562 0.413 0.305 0.225 0.160 0.108 0.061 0.022 20 0.894 0.651 0.480 0.349 0.254 0.178 0.118 0.067 0.023 30 1.05 0.786 0.586 0.425 0.305 0.212 0.139 0.078 0.026 40 1.29 0.973 0.769 0.650 0.542 0.455 0.374 0.273 0.155 15 0 0.664 0.490 0.365 0.272 0.201 0.145 0.098 0.056 0.020 10 0.783 0.571 0.415 0.304 0.221 0.157 0.105 0.059 0.021 20 0.937 0.666 0.486 0.349 0.251 0.175 0.115 0.065 0.022 30 1.07 0.811 0.590 0.426 0.304 0.209 0.135 0.075 0.024 40 1.35 1.02 0.804 0.657 0.567 0.459 0.377 0.286 0.154 20 0 0.690 0.503 0.367 0.273 0.200 0.143 0.096 0.054 0.019 10 0:822 0.585 0.421 0.306 0.220 0.155 0.103 0.057 0.020 20 0.975 0.688 0.496 0.352 0.250 0.173 0.113 0.063 0.021 30 1.11 0.846 0.610 0.434 0.305 0.208 0.133 0.073 0.023 40 1.43 1.08 0.849 0.693 0.578 0.485 0.399 0.290 0.155 25 0 0.717 0.518 0.376 0.276 0.200 0.143 0.095 0.053 0.018 10 0.860 0.607 0.431 0.310 0.221 0.155 0.1.01 0.056 0.019 20 1.03 0.729 0.511 0.359 0.252 0.173 0.112 0.061 0.020 30 1.17 0.892 0.637 0.445 0.309 0.208 0.132 0.072 0.023 40 1.53 1.15 0.908 0.741 0.617 0.518 0.409 0.297 0.156 30 0 0.765 0.543 0.388 0.281 0.203 0.143 0.094 0.052 0.018 10 0.927 0.643 0.447 0.317 0.224 0.156 0.101 0.055 0.019 20 1.10 0.772 0.532 0.369 0.256 0.174 0.112 0.061 0.020 30 1.24 0.953 0.681 0.463 0.314 0.210 0.133 0.071 0.022 40 1.67 1.25 0.984 0.802 0.668 0.559 0.442 0.321 0.160 35 0 0.840 0.576 0.405 0.289 0.207 0.145 0.094 0.052 0.017 10 1.02 0.690 0.470 0.327 0.230 0.158 0.102 0.055 0.018 20 1.22 0.840 0.562 0.383 0.263 0.177 0.113 0.060 0.020 30 1.33 1.03 0.727 0.480 0.324 0.214 0.134 0.071 0.023 40 1.84 1.38 1.08 0.881 0.733 0.589 0.463 0.335 0.164 40 0 0.946 0.598 0.428 0.302 0.214 0.148 0.096 0.052 0.017 10 1.09 0.738 0.500 0.342 0.238 0.162 0.103 0.055 0.018 20 1.38 0.931 0.604 0.402 0.273 0.182 0.114 0.061 0.019 30 1.50 1.17 0.792 0.512 0.338 0.221 0.136 0.072 0.023 40 2.07 1.55 1.21 0.985 0.817 0.654 0.513 0.353 0.171 Table 9.1 (suite): Table de Caquet et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée active du au poids des terres Kaγ
- 203. 190 Chapitre 9 :Pression latérale des terres α [°] φ [°] δ [°] β [°] 50 60 70 80 90 100 110 120 130 10 0 0 1.58 1.44 1.38 1.37 1.42 1.54 1.74 2.06 2.60 10 1.87 1.69 1.62 1.61 1.68 1.81 .2.05 2.45 3.11 5 0 1.61 1.50 1.45 1.48 1.56 1.71 1.96 2.36 3.03 10 2.05 1.87 1.80 1.81 1.90 2.08 2.39 2.89 3.74 10 0 1.66 1.56 1.54 1.58 1.68 1.87 2.16 2.64 3.45 10 2.19 2.01 1.95 1.98 2.10 2.32 2.70 3.31 4.35 15 0 0 1.75 1.62 1.57 1.59 1.70 1.91 2.24 2.78 3.70 10 2.08 1.92 1.88 1.93 2.07 2.32 2.74 3.43 4.61 5 0 1.78 1.68 1.67 1.74 1.89 2,15 2.57 3.24 4.40 10 2.27 2.13 2.10 2.18 2.36 2.69 3.22 4.10 5.62 10 0 1.84 1.77 1.79 1.89 2.08 2.40 2.90 3.72 5.13 10 2.46 2.32 2.32 2.43 2.66 3.07 3.72 4.81 6.69 15 0 1.91 1.87 1.91 2.04 2:27 2.64 3.23 4.20 5.87 10 2.63 2.50 2.52 2.66 2.95 3.44 4.22 5.52 7.79 20 0 0 1.92 1.81 1.79 1.86 2.04 2.37 2.91 3.78 5.32 10 2.29 2.17 2.18 2.30 2.56 2.98 3.68 4.85 6.91 20 2.78 2.62 2.62 2.77 3.09 3.63 4.50 5.98 8.63 5 0 1.98 1.90 1.92 2.04 2.30 2.72 3.39 4.49 6.45 10 2.52 2.41 2.45 2.63 2.96 3.51 4.40 5.90 8.57 20 3.14 2.99 3.02 3.24 3.65 4.35 5.49 7.42 10.9 10 0 2.05 2.01 2.08 2.26 2.58 3.09 3.91 5.27 7.69 10 2.75 2.67 2.75 2.98 3.39 4.08 5.19 7.05 10.4 20 3.52 3.37 3.45 3.73 4.26 5.13 6.57 9.01 13.4 20 15 0 2.14 2.14 2,26 2.49 2.88 3.49 4.47 6.11 9.P4 10 2.99 2.93 3.05 3.34 3.85 4.68 6.02 8.29 12.4 20 3.90 3.77 3.89 4.25 4.90 5.97 7.73 10.7 16.4 20 0 2.26 2.29 2.44 2.71 3.17. 3.89 5.04 6.95 10.4 10 3.22 3.19 3.34 3.70 4.30 5.29 6.95 9.65 14.0 20 4.26 4.15 4.32 4.77 5.55 6.83 8.94 12.5 18.9 25 0 0 2.14 2.05 2.06 2.18 2.46 2.98 3.81 5.23 7.80 10 2.54 2.46 2.53 2.76 3.18 3.88 5.02 6.99 10.6 20 3.15 3.04 3.14 3.44 4.00 4.91 6.43 9.06 13.9 5 0 2.21 2.15 2.22 2.42 2.82 3.47 4.53 6.33 9.64 10 2.81 2.75 2.88 3.19 3.74 4.63 6.11 8.66 13.4 20 3.58 3.50 3.66 4.07 4.80 5.99 7.98 11.4 17.8 10 0 2.30 2.29 2.42 2.72 3.22 4.02 5.34 7.60 11.8 10 3.08 3.07 3.27 3.76 4.36 5.49 7.35 10.6 16.6 20 4.04 4.00 4.24 4.78 5.70 7.23 9.75 14.1 22.4 15 0 2.41 2.46 2.67 3.05 3.66 4.64 6.25 9.02 14.2 10 3.39 3.43 3.69 4.20 5.05 6.44 8.74 12.7 20.2 20 4.54 4.55 4.87 5.55 6.70 8.59 11.7 17.2 27.4 20 0 2.56 2.67 2.94 3.40 4.13 5.31 7.23 10.6 16.8 10 3.72 3.80 4.13 4.76 5.80 7.47 10.4 15.3 24.5 20 5.07 5.12 5.55 6.38 7.79 10.1 14.5 21.4 34.5 25 0 2.74 2.89 3.21 3.76 4.62 6.00 8.26 12.2 19.5 10 4.05 4.18 4.59 5.34 6.57 8.54 12.0 17.8 29.7 20 5.60 5.71 6.23 7.24 8.90 11.6 16.8 25.0 40.4 Table 9.2: Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au poids des terres Kpγ (d'après Chen)
- 204. 191 Eléments de Mécaniquedes Sols α [°] φ [°] δ [°] β [°] 50 60 70 80 90 100 110 120 130 30 0 0 2.37 2.31 2.37 2.57 3.00 3.78 5.08 7.37 11.7 10 2.82 2.79 2.95 3.34 4.01 5.12 7.00 10.3 16.8 20 3.57 3.54 3.79 4.32 5.25 6.79 9.43 14.2 23.3 30 4.41 4.42 4.76 5.68 6.74 8.82 12.4 18.8 31.3 5 0 2.46 2.44 2.57 2.88 3.49 4.49 6.16 9.13 14.8 10 3.13 3.15 3.40 3.92 4.79 6.24 8.70 13.1 21.6 20 4.07 4.12 4.48 5.19 6.42 8.46 11.9 18.2 30.4 30 5.19 5.26 5.76 6.79 8.39 11.2 16.0 24.5 41.3 10 0 2.57 2.61 2.82 3.29 4.06 5.32 7.44 11.2 18.5 10 3.47 3.55 3.91 4.58 5.70 7.56 10.7 16.4 27.4 20 4.66 4.78 5.27 6.21 7.79 10.4 14.9 23.0 38.9 30 6.07 6.23 6.90 8.02 10.3 14.0 20.1 31.3 53.2 5 0 2.72 2.83 3.16 3.75 4.71 6.27 8.92 13.7 22.9 10 3.85 4.02 4.50 5.34 6.75 9.08 13.0 20.2 34.1 20 5.31 5.52 6.17 7.37 9.37 12.7 18.4 28.7 48.7 30 7.05 7.32 8.21 10J 12.6 17.2 25.0 39.2 66.0 20 0 2.91 3.11 3.55 4.27 5.44 7.36 10.6 16.4 27.8 10 4.29 4.54 5.15 6.20 7.94 10.8 16.1 25.2 42.9 20 6.03 6.35 7.18 8.68 11.2 15.3 23.0 37.0 63.0 30 8.14 8.54 9.68 12.3 15.1 20.8 30.5 49.0 82.0 25 0 3.15 .3.44 3.97 4.85 6.25 8.55 12.5 19.5 33.2 10 4.77 5.11 5.86 7.14 9.24 12.7 19.1 30.1 51.4 20 6.81 7.25 8.29 10.1 13.1 18.1 27.5 44.0 78.5 30 9.32 9.87 11.3 14.4 17.9 25.0 37.6 60.0 100. 30 0 3.42 3.77 4.41 5.45 7.10 9.80 14.4 22.7 38.8 10 5.26 5.70 6.60 8.13 10.6 15.1 22.2 35.1 60.3 20 7.62 8.18 9.44 11.6 15.2 21.4 32.8 54.0 94.0 30 10.5 11.2 13.0 16.7 20.8 29.0 44.0 72.4 122. 35 0 0 2.67 2.64 2.76 3.07 3.69 4.87 6.92 10.7 18.3 10 3.14 3.19 3.47 4.07 5.20 6.90 10.0 15.9 27.7 20 4.06 4,14 4.60 5.56 7.03 9.66 14.3 23.0 40.9 30 5.17 5.37 6.10 7.40 9.50 13.3 20.0 32.7 56.0 5 0 2.78 2.81 3.01 3.47 4.37 5.91 8.60 13.6 23.7 10 3.50 3.63 4.05 4.86 6.25 8.61 12.8 20.6 36.5 20 4.66 4.88 5.53 6.60 8.79 12.3 18.6 30.4 54.5 30 6.14 6.49 7.50 9.20 12.2 26.4 43.6 78.417.2 10 0 2.92 3.02 3.34 4.01 5.19 7.17 10.7 17.2 30.4 10 3.92 4.14 4.74 5.81 7.61 10.7 16.1 26.4 47.4 20 5.39 5.75 6.64 8.20 10.9 15.6 23.8 39.4 71.3 30 7.29 7.82 9.00 11.2 14.7 21.2 34.1 56.9 110. 15 0 3.10 3.29 3.77 4.67 6.16 8.68 13.1 21.5 38.6 4.40 5.55 6.93 9.24 13.2 20.2 33.5 60.610 4.76 20 6.25 6.77 7.94 10.0 13.5 19.5 30.1 50.3 91.6 30 8.63 9.41 11.0 13.8 18.5 27.0 43.5 73.0 138. 20 0 3.33 3.64 4.32 5.44 7.31 10.5 16.1 26.6 48.2 10 4.97 5.48 6.49 8.24 11.2 16.1 26.0 43.5 79.2 20 7.23 7.96 9.48 12.0 16.5 24.1 38.7 66.0 118. 30 10.2 11.2 13.4 17.0 23.2 34.5 55.0 96.0 175. 25 0 3.63 4.10 4.94 6.33 8.63 12.5 19.4 32.5 59.2 9.75 19.5 97.710 5.63 6.30 7.58 13.4 31.7 53.4 20 8.35 9.32 11.2 14.2 20.0 29.4 46.8 81.0 148. 30 11.9 13.3 16.2 20.8 29.0 43.0 70.0 122. 225. 30 0 4.01 4.61 5.64 7.33 10.1 14.8 23.2 39.0 71.4 10 6.36 7.21 8.79 11.4 15.8 24.2 38.0 64.3 118. 20 9.59 10.8 13.2 16.8 23.2 35.0 57.5 98.0 188. 30 13.9 15.7 19.0 24.5 34.8 52.5 86.0 150. 285. Table 9.2 (suite) : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au poids des terres Kpγ
- 205. 192 Chapitre 9 :Pression latérale des terres α [°] φ [°] δ [°] β [°] 50 60 70 80 90 100 110 120 130 35 35 0 4.42 5.15 6.38 8.39 11.7 17.2 27.1 45.8 84.1 10 7.14 8.18 10.1 13.2 19.2 28.4 44.8 75.8 139. 20 10.9 12.4 15.2 19.7 28.3 43.0 69.0 122. 225. 30 16.0 18.1 22.0 28.5 40.0 22.6 102. 180. 350. 40 0 0 2.98 3.01 3.22 3.67 4.60 6.41 9.70 16.1 29.8 10 3.51 3.66 4.13 5.04 6.68 9.58 14.9 25.5 48.3 20 4.65 4.88 5.66 7.20 9.68 14.3 22.8 39.8 70.0 30 6.11 6.59 7.70 10.0 14.0 21.0 34.2 60.5 110. 40 7.97 8.30 9.80 12.8 19.2 30.3 52.0 91.0 162. 5 0 3.12 3.22 3.54 4.21 5.56 7.97 12.4 21.1 39.9 10 3.94 4.20 4.87 6.14 8.35 12.3 19.6 34.2 65.6 20 5.38 5.84 6.94 9.0 12.4 18.7 30.5 53.9 102. 30 7.35 8.12 9.60 12.5 18.2 28.1 46.4 82.9 150. 40 9.89 10.5 12.6 16.5 25.0 41.1 68.0 132. 230. 10 0 3.30 3.49 3.96 4.96 6.76 9.94 15.8 27.6 52.8 10 4.46 4.87 5.81 7.50 10.4 15.7 25.6 45.2 87.8 20 6.29 7.01 8.53 11.2 15.9 24.4 40.3 72.0 135. 30 8.87 10.0 12.0 16.2 23.6 37.0 61.8 111. 210. 40 12.3 13.5 15.3 21.8 33.0 52.5 90.0 165. 315. 15 0 3.53 3.84 4.55 5.91 8.25 12.4 20.2 35.6 69.0 10 5.06 5.68 6.95 9.19 13.1 20.0 33.0 59.0 115. 20 7.42 8.44 10.5 14.0 20.3 31.5 52.6 94.7 185. 30 10.7 12.3 15.7 20.8 31.0 48.5 81.1 147. 280. 40 15.2 17.0 21.0 29.0 47.0 70.0 120. 225. 430. 20 0 3.82 4.30 5.31 7.06 10.1 15.4 25.5 45.5 88.9 10 5.80 6.68 8.35 11.2 16.3 25.3 43.0 80.0 155. 20 8.77 10.2 12.8 17.3 70.025.6 40.2 127. 250. 30 12.9 15.2 19.5 26.4 41.0 63.0 106. 190. 350. 40 18.7 21.4 27.0 37.9 60.0 94.5 164. 295. 550. 25 0 4.21 4.92 6.23 8.45 12.3 19.1 31.8 57.3 113. 10 6.70 7.87 10.0 13.7 20.1 31.6 56.0 102. 201. 20 10.4 12.2 15.7 21.5 32.0 50.6 88.5 165. 300. 30 15.6 18.5 23.8 33.0 49.0 78.0 132. 248. 450. 40 22.8 27.0 35.0 49.0 74.0 120. 210. 375. 700. 30 0 4.71 5.67 7.31 10.1 14.8 23.3 39.3 71.1 140. 10 7.75 9.26 12.0 16.6 24.6 40.0 69.7 127. 251. 20 12.2 14.6 19.0 26.5 39.5 64.0 114. 220. 400. 30 18.7 22.5 29.0 44.0 62.0 100. 170. 315. 600. 40 27.7 36.5 43:0 60.0 93.0 150. 260. 475. 920. 35 0 5.33 6.52 8.54 11.9 17.8 28.2 47.7 86.6 171. 10 8.95 10.8 14.2 19.9 30.0 50.0 88.0 160. 320: 20 14.4 17.4 22.8 32.5 50.0 82.0 150. 290. 600. 30 22.2 26.9 34.5 48.5 75.0 120. 210. 388. 760. 40 32.0 38.5 51.0 72.0 108. 177. 310. 565. 1120. 40 0 6.01 7.45 9.88 13.9 20.9 33.3 56.6 103. 204. 10.210 12.6 16.6 23.4 36.0 59.4 101. 190. 365. 20 16.6 20.3 26.8 38.5 59.5 100. 184. 360. 780. 30 26.0 31.7 40.5 56.8 91.0 150. 265. 485. 950. 40 36.5 44.0 59.5 82.0 125. 215. 375. 700. 1330. Table 9.2 (suite) : Table de Caquot et Kérisel pour le calcul du coefficient de poussée passive du au poids des terres Kpγ
- 206. 193 Eléments de Mécaniquedes Sols 9.4.3.4.2 Obliquité δ Les lignes de glissement diffèrent des lignes droites. Sans commettre une grande erreur, on peut dire qu'elles correspondent à des arcs de spirales logarithmiques (Fig. 9.23,24) L'écran doit avoir un fruit inférieur au fruit du rayon polaire sur lequel les contraintes atteignent l'obliquité δ dans l'équilibre de Rankine. Fig. 9.23 : Lignes de glissement en poussée Fig. 9.24 : Lignes de glissement en butée Pôle Pôle 9.4.3.4.3 Lignes de glissement 9.4.4 Cas de milieu pulvérulent non pesant chargé 9.4.4.1 Définition L'hypothèse d'un milieu non pesant est admise lorsque l'effet de la surcharge est prépondérant par rapport au poids propre. Aussi, nous allons voir que pour les milieux cohérents, cette hypothèse est nécessaire pour pouvoir appliquer le théorème de superposition des états d'équilibre. 9.4.4.2 Equilibre de Rankine On considère donc un milieu pulvérulent indéfini non pesant soumis à sa surface libre à l'action d'une surcharge d'intensité constante q et d'obliquité α0. On constate que l'état de contrainte est le même pour tous les points du milieu. Par conséquent, le long d'une droite tracée dans le massif, on trouve que le vecteur contrainte sur une facette portée par cette droite a une obliquité et une intensité constantes. Pour la détermination des directions principales et des directions de glissement on retrouve des résultats identiques à ceux de l'équilibre des milieux pesants à condition que la direction de la surcharge joue le rôle de la direction du poids (la verticale). Les lignes de glissement sont des droites. 9.4.4.3 Généralisation de l'équilibre de Rankine On considère un massif pulvérulent non pesant, limité par une surface libre rectiligne inclinée de β par rapport à l'horizontale et par un écran rectiligne faisant un angle λ avec la verticale. La surface libre supporte une surcharge d'intensité q et d'obliquité α0. On admettra que le long d'un rayon plaire, les contraintes agissant sur ce rayon polaire ont une obliquité et une intensité constante, d'autre part, le vecteur contrainte sur l'écran doit avoir une obliquité δ. On montre que σm et ψ ne dépendent que de θ, et les équations d'équilibre donnent:
- 207. 194 Chapitre 9 :Pression latérale des terres σrθ,θ + σrr - σθθ = 0 (9.24) ce qui implique σθθ,θ + 2 σrθ = 0 Vu ces équations ainsi que les conditions aux limites, sur l'écran on a: σθθ = Kq q (9.25) Kq est un coefficient de pression latérale (poussée ou butée) qui dépend de β, λ, δ, φ et α0. L'intensité t de la contrainte sur l'écran est: t = kq q (9.26) kq = Kq / cos δ Les tables de l'Herminier et Absi permettent d'éviter les calculs lourds et fournissent les coefficients Kq et kq (Tab. 9.3). 9.4.4.4 Calcul des coefficients de pression latérale Kq et kq On posera σm = q S(θ) (9.27) d'autre part, on a: σrr = σm [1 + sin ϕ cos 2ψ] σθθ = σm [1 - sin ϕ cos 2ψ] σrθ = σm sin ϕ sin 2ψ remplaçons ces expressions dans les équations d'équilibre: σrθ,θ + σrr - σθθ = 0 σθθ,θ + 2 σrθ = 0 on obtient alors sin ϕ sin 2ψ S,θ + 2 S sin ϕ cos 2ψ (1+ ψ,θ) = 0 (9.28) (1 - sin ϕ cos 2ψ) S,θ + 2 S sin ϕ sin 2ψ (1+ ψ,θ) = 0 Puisque le système linéaire est homogène, il y a deux possibilités. Soit la solution est triviale: S,θ = 1+ ψ,θ = 0 (9.29)
- 208. 195 Eléments de Mécaniquedes Sols
- 209. 196 Chapitre 9 :Pression latérale des terres S = constante et ψ + θ = constante (cette solution correspond à l'équilibre de Rankine), soit le déterminent est nul. Ceci donne: d'où α0 ≠ φ et δ ≠ φ Fig. 9.25: Lignes de glissement sous cos 2ψ = sin ϕ soit ψ = ± (π/4 - ϕ/2) (9.30) Le système se réduisant à une seule équation, la première équation différentielle s'écrit alors sous la forme: S,θ + 2S ctg 2ψ = 0 (9.31) S,θ ± 2S tg ϕ = 0 dont l'intégration donne: S = S0 exp[± 2 tg ϕ (θ - θ0)] (9.32) Les lignes de glissement se classent en deux familles. La première est formée des faisceaux de rayons polaires. La deuxième est formée de spirales logarithmiques homothétiques qui coupent les différents rayons polaires sous l'angle π/2 - φ: on donne le nom de l'équilibre de Brandtl à cette cinématique (Fig. 9.25). La solution générale s'obtient par la juxtaposition de zones en équilibre de Rankine avec des zones en équilibre de Brandtl. charge uniforme q q S1 φ α0 2ψ c ωα0 σ τ q α0 θ2 θ1 ε π/2-φ v 1 1 2 Zone 1: en équilibre inférieure de Rankine Zone 2: en équilibre de Prandtl Fig. 9. 26: Zone voisine de la surface libre q S2 kaq q τ cδ ωδ σ 9.4.4.4.1 Poussée Le calcul du coefficient de poussée active des terres du à la charge q kaq s'opère de la façon suivante: l'état de contrainte dans les zones (1) de l'équilibre de Rankine est comme montrer ci- contre (Fig. 9.26,27). On montrera (voir § 9.4.2.6) que: Fig. 9. 27: Zone voisine de l'écran σm1 = q S1 = q sin ωα0 / sin (α0 + ωα0) σm2 = q S2 = kaq q sin ωδ / sin (ωδ - δ)
- 210. 197 Eléments de Mécaniquedes Sols S ωα0 / sin (α ω on en tire l'expression de k 9.4.4.4.2 Butée 1 = sin 0 + α0) (9.33) S2 = kaq sin ωδ / sin (ωδ - δ) On vérifiera aussi que θ1 = π/4 - ϕ/2 + (ωα0 + α0)/2 + β (9.34) θ2 = π/4 - ϕ/2 - (ωα0 - δ)/2 + λ d'autre part, (9.31) avec ψ = - (π/4 - φ/2) dans la zone de Brandtl donne: dS / S = 2 tg ϕ dθ soit S2 / S1 = e2 tg ϕ (θ2 – θ1) = S2 = S1 e-2 tg ϕ ε (9.35) où ε = θ1 – θ2 = (ωα0 + α0)/2 + (ωδ - δ)/2 + β - λ A partir de (9.33,35) et les relations sin ωα0 = sin α0 / sin ϕ et sin ωδ = sin δ / sin ϕ (9.36) aq kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (cos α0 + sin ϕ sin ωα0)] e-2 tg ϕ ε (9.37) Quelques cas particuliers peuvent être cités . Surcharge verticale (α0 = β) kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (cos β + sin ϕ sin ωβ)] e-2 tg ϕ ε (9.38) où 2ε = (ωδ - δ) - (ωβ - β) - 2λ . Surcharge normale à la surface libre (α0 = 0) kaq = [(cos δ - sin ϕ cos ωδ) / (1 + sin ϕ)] e-2 tg ϕ ε (9.39) avec 2ε = (ωδ - δ) + 2 (β - λ) La butée se traite de la même façon, sauf que cette fois ψ = π/4 - φ/2. Dans le cas particulier d'une surcharge verticale et une surface libre horizontale, on trouve:
- 211. 198 Chapitre 9 :Pression latérale des terres kpq = [(cos δ + sin ϕ cos ωδ) / (1 - sin ϕ )] e2 tg ϕ ε (9.40) avec 2ε = - (ω δ) - 2λ Les sols cohérents ne relèvent ni du schéma de Rankine ou de Boussinesq ni du schéma de Brandtl. On peut montrer que l'étude d'un milieu cohérent peut se ramener à l'étude d'un milieu pulvérulent correspondant. Ceci apporte une grande simplification lors de l'étude des milieux complexes. Soit le schéma ci-contre (Fig. 9.28) représentant l'état de contrainte dans un milieu cohérent (1). Alors, l'étude de ce milieu peut se faire par l'étude d'un milieu équivalent pulvérulent (2) de même angle de frottement interne obtenu par une translation égale à H = c ctg φ le long de l'axe des σ, d'où le théorème des états correspondants: Théorème 2. Pour calculer les contraintes normales agissant en un point donné et sur une facette donnée du milieu cohérent, on retranchera de la contrainte fictive calculée en 1 agissant au facette une contrainte normale constante d'intensité H = c ctg δ + 9.4.5 Théorème des états correspondants Fig. 9.28 : Etats correspondants H = c ctg φ H σ' = σ + H τ' = τ σ τ τ' σ'σ c (1) (2) 1. Pour calculer le tenseur des contraintes au sein d'un milieu cohérent homogène en équilibre plastique, on calculera d'abord le tenseur des contraintes au sein d'un milieu fictif de même forme géométrique, pulvérulent, homogène, en équilibre plastique et de même angle de frottement interne. Sur la frontière règnerons des conditions déduites des conditions réelles. même point sur la φ. même A titre d'exemple, Tab. 9.4 donne quelques cas d'applications Milieu cohérent Milieu pulvérulent fictif Tab. 9.4: Exemples d'application du théorème des états correspondants q q + c ctgφ q α0 α0 q q + c ctgφ
- 212. 199 Eléments de Mécaniquedes Sols 9.5 Calcul pratique de la poussée et de la butée 9.5.1 Théorie de Rankine (1857) 9.5.1.1 Introduction 9.4.1.2 Etat actif La contrainte σ comme suit : Rankine considère l’état de l’équilibre plastique limite (tout juste avant la rupture). Cette théorie satisfait la solution de la borne inférieure de l’analyse limite. L’état de contrainte est alors représenté par le cercle de Mohr à la rupture (Fig. 9.29). Les plans de rupture sont inclinés de θ = ± (45°+ϕ/2) (9.41) par rapport au plan principal majeure (Fig. 9.30). Lorsqu’une masse de sol est caractérisée par une contrainte principale qui agit dans la même direction en tout point, il se forme un réseau de plans d’écoulement dit lignes de glissement, également inclinés par rapport aux plans principaux. 3 dite pression active est calculée D’après le cercle de Mohr précédent, il vient : )ctgc2( 2 1 2 2 ctgc rsin 31 31 31 ϕ+σ+σ σ−σ = σ+σ+ϕ =ϕ (9.42) σ1 - σ3 = (σ1 + σ3 + 2c ctg ϕ) sin ϕ (9.43) ϕ+ ϕ− − ϕ+ ϕ− σ=σ sin1 sin1 c2 sin1 sin1 13 (9.44) posons ) 2 45(tg sin1 sin1 K 2 a ϕ −°= ϕ+ ϕ− = (9.45) Il vient alors dit coefficient de la pression active. Et puisque σ1 est due au poids des terres à la profondeur z σ1 = γ z (9.46) Fig. 9.29 : Cercle de Mohr à l’équilibre limite τ σφC τr 2θ φ σ1σ3 θ = 45° + φ/2 Fig. 9.30 : Lignes de glissement θ σ1 σ1 σ3σ3 Fig. 9.31 : Etat actif de Rankine lignes de glissement θ σ3 = pa = Ka γ z – 2c (Ka)1/2 (9.47)
- 213. 200 Chapitre 9 :Pression latérale des terres Pour un sol submergé, on utilise ka(ϕ') et la cohésion effective c' au lieu de la cohésion totale c. Les lignes de glissement (Fig. 9.31) font un angle Fig. 9.32 : Diagramme de la pression active 2c ka ka γ H - 2c ka z0 = 2c / (γ ka ) H z0+2(H–z0)/3 Fa θ = 45° + ϕ/2 avec l’horizontale. La distribution de pa le long de la profondeur est comme schématisé ci-contre (Fig. 9.32). Le diagramme de la zone [0 – z0] est souvent négligé dans le calcul. La résultante de la pression active par mètre linéaire de largeur est : )zH(K 2 1dz)z(pF 0 2 a H aa z0 −γ== ∫ Elle agit au deux tiers de (H-z0) au dessous de la profondeur z0. θ Exemple 9.1 Calculer la résultante de la poussée active sur un mur vertical de 5 m de hauteur retenant un massif horizontal de sable caractérisé par un poids volumique de 17 kN/m ent interne de 35°. La contrainte horizontale dite pression passive sera calculée d’après l’expression (9.43) par: 3 et un angle de frottem 9.4.1.3 Etat passif Fig. 9.33 : Etat passif de Rankine lignes de glissement ϕ− ϕ+ + ϕ− ϕ+ σ=σ sin1 sin1 c2 sin1 sin1 31 (9.48) Posons ) 2 45(tg sin1 sin1 K 2 p ϕ +°= ϕ− ϕ+ = (9.49) dit coefficient de la pression passive. Et on écrit (9.48) sous la forme σ1 = p p γ z + 2c (K (9.50) avec la verticale. La distribution de la pression passive le long de la profondeur est comme montrer ci-contre (Fig. 9.34). La résultante par mètre linéaire de largeur est kp kp γ H H H / 3 H / 2 F''p F'p Fig. 9.34 : Diagramme de la pression passive 2c p = K p)1/2 dans laquelle on utilise k(ϕ') et la cohésion effective c' pour le sol submergé. Les lignes de glissement (Fig. 9.33) font un angle θ = 45° + ϕ/2
- 214. 201 Eléments de Mécaniquedes Sols FFF '' p ' pp += 2 p ' p HK 2 1F γ= HKc2F p '' p = F' agit à la profondeur 2H/3, F'' agit à la profondeur H/2. 9.5.1.4 Poussée due à une surcharge uniforme Exemple 9.2 On admet que les poussées active et passive agissent parallèlement à la surface libre (Fig. 9.37). La contrainte normale à la facette latérale est σ σv cos β = γ z cos β (9.51) Le coefficient de poussée active est donné par : q H x z On suppose que le massif est non pesant (Fig. 9.35). La contrainte σz augmente de q quelque soit la profondeur z. Alors, la pression latérale augmente de : Fig. 9.35 : Massif chargé uniformément Ka q dans le cas actif Kp q dans le cas passif quelque soit la profondeur. La distribution correspondante est comme montré ci-dessous (Fig. 9.36). Faq Fpq kp qka q H / 2 H / 2 Remarque 9.3 . La théorie de Rankine ne tient pas compte de la rugosité de l’écran qui est supposé lisse. . En présence d’eau, il faut tenir compte de la poussée hydrostatique de l’eau. Calculer la résultante de la poussée active sur un mur vertical de 5 m de hauteur retenant un massif horizontal de sable caractérisé par un poids volumique de 17 kN/m3 et un angle de frottement interne de 35°. Le niveau de la nappe phréatique est à –2 m de la surface libre. Le poids volumique du sol saturé est de 20 kN/m3 . 9.5.1.5 Cas de massif à surface libre inclinée avec un angle β g. 9.36 : Poussée du à une surcharge uniforme Etat actif Etat passif β z σz σl Fi z = Fig. 9.37 : Massif à surface libre inclinée
- 215. 202 Chapitre 9 :Pression latérale des terres ϕ−β+β ϕ−β−β = coscoscos coscoscos K 22 22 a (9.52) Pour un sol purement cohérent (c=0), la pression active sera p a σ a γ z cos β (9.53) Etat de contrainte σvβ β σz a = K z = K et agit parallèlement à la surface libre inclinée. De même, le coefficient de poussée passive est ϕ−β−β ϕ−β+β = coscoscos coscoscos K 22 22 p (9.54) et la poussée passive s’écrit pp = Kp γ z cos β Elle agit parallèlement à la surface libre du massif incliné. Lorsque la cohésion est non nulle, on peut faire recours au procédé graphique basé sur le cercle de Mohr pour calculer les poussées active et passive (ceci peut constituer un exercice intéressant). Remarque 9.4 Lorsque β = ϕ le raisonnement précédent abouti à des résultats incompatibles avec la réalité. 9.5.2 Théorie de Coulomb (1776) 9.5.2.1 Introduction La théorie de Coulomb est basée sur l’équilibre d’un coin de sol situé entre l’écran et une surface quelconque de glissement (Fig. 9.38). Les forces agissant sur le sol sont évaluées à l’état de l’équilibre limite. Dans cette théorie, le frottement entre l’écran et le sol est pris en compte. L’angle de frottement écran- sol est noté δ. Dans le cas d’un sol cohérent, une caractéristique d’adhésion écran-sol cw peut être aussi prise en compte. Vu le phénomène de frottement, la ligne de glissement est courbe au voisinage de la base du mur, mais la théorie de Coulomb suppose des droites de glissement. Dans le cas de la poussée active, la courbure est faible ce qui fait que l’erreur de l’approximation est minime. Ceci est aussi vrai dans le cas de la poussée passive lorsque δ < ϕ/3. Lorsque δ > ϕ/3, l’erreur devient plus grande. Lorsque δ = 0, le sol est horizontal et l’écran est vertical les théories de Rankine et de Coulomb coïncident. Fig. 9.38 : Coin de Coulomb écran massif surface de glissement coin
- 216. 203 Eléments de Mécaniquedes Sols 9.5.2.2 Etat actif Fig. 9.39 : Théorie de Coulomb. Etat actif β C A W H P θ α δ φR B H 9.5.2.2.1 Sol pulvérulent (c=0) Soit le coin de sol caractérisé par (Fig. 9.39) : . Une surface extérieure inclinée de β par rapport à l’horizontale. . L’écran fait l’angle α avec l’horizontale. . Le plan de glissement BC fait l’angle θ avec l’horizontale. W : poids propre du massif de sol. R : résultante de la réaction sur le plan de glisseme Connaissant le poids propre W et les directions d’action des forces, on dresse le diagramme de l’équilibre limite (Fig. 9.40), d'où on montre que: l'angle (W,P) = π – α – δ P(W, θ) Elle correspond donc à ( car W=W(θ)) . La rugosité du mur est l’angle de frottement mur- sol notée δ. Tout au début du glissement, le coin du sol était sous l’équilibre des forces suivantes : P : résultante de la réaction de la poussée sur le mur. nt. γ γ1 γ1 R P W θ π/2 - θ φ γ α α1 α1 δ écran γ1 = π – [ (π/2 - θ) + (π/2 + φ) ] = θ – φ l'angle (W,R) = θ – φ ce qui permet de calculer la poussée P. La poussée active Pa est la valeur maximum de α 1 = π/2 – [ π - α ] = α - π/2 γ = π/2 – (δ+ α 1) = π – α - δ Fig. 9.40 : Diagramme de l’équilibre des forces 0P = θ∂ ∂ (9.55) Ceci est équivalent à essayer plusieurs plans de glissement, d’évaluer à chaque fois P et ne garder pour Pa que la valeur maximale. Tout calcul fait on abouti à HK 2 1P 2 aa γ= (9.56) avec β−α β−ϕδ+ϕ +δ+α αϕ−α = )sin( )sin()sin( )sin( sin)sin( K 2 a (9.57)
- 217. 204 Chapitre 9 :Pression latérale des terres Dans la théorie de Coulomb, on suppose que la résultante Pa agit à deux tiers de la profondeur de l’écran. Il existe des tableaux donnant Ka pour différentes valeurs de ϕ et δ, et des valeurs particulières de α et β. 9.5.2.2.2 Sol cohérent 9.5.2.2.2.1 Cas général Dans ce cas, il faut tenir compte de la cohésion c et de l’adhérence sol-mur notée cw (Fig. 9.41). On admet l’existence d’une zone fissurée de profondeur z0. Le long de cette zone, on néglige l’effet des cohésions c et cw. Les forces agissantes sont : W : le poids propre du coin de sol. P : la résultante de la réaction du mur sur le sol Cw : résultante due à l’adhérence mur-sol : Cw = cw . EB R : la réaction sur le plan de glissement. C : la résultante d’adhésion sue le plan de glissement : C = c . BC Les directions d’action de ces forces sont tous connues, on construit comme précédemment le diagramme des forces. La poussée active correspond à la satisfaction de (9.55). Fig. 9.41 : Théorie de Coulomb. Etat actif. Sol cohérent H β C W P θ α δ φR B A E z0 D CCw 9.5.2.2.2.2 Cas d’un mur vertical et un sol horizontal Dans le cas général d’un sol (c, ϕ), la pression latérale à la profondeur z est donnée par : pa = Ka γ z – Kac c (9.58) avec Ka donné par (1.18) et ) c c1(K2K w aac += (9.59) la cohésion c est remplacée par c' pour un drainage complet et cu dans le cas non drainé. La profondeur des fissures z0 correspond à pa = 0, d’où 2H k cc1c2 z a w 0 ≤ γ + = (9.60)
- 218. 205 Eléments de Mécaniquedes Sols 9.5.2.3 Etat passif On suivra le même raisonnement précédent tout en tenant compte des remarques suivantes (Fig. 9.42): . R fait un angle ϕ au dessus de la normale au plan de glissement. l’angle entre W et P est : π - α + δ La résultante des pressions passives est le minimum de P(θ) (eq. 9.55). Elle est donnée par : Fig. 9.42: Théorie de Coulomb. Etat passif H β W P θ α δ φ R . P fait un angle δ au dessus de la normale à l’écran. . On montre que l’angle entre W et R est : θ + ϕ HK2 1P 2 pp γ= (9.61) où β−α β+ϕδ+ϕ −δ−α αϕ+α = )sin( )sin()sin( )sin( sin)sin( K 2 p (9.62) où K Pour des valeurs particulières de α et β, il existe des tableaux donnant Kp pour différentes valeurs de ϕ et δ. Dans le cas général d’un sol (c, ϕ), la pression latérale passive à la profondeur z est donnée par l’expression : pp = Kp γ z + Kpc c (9.63) p est donné par (1.23) et ) c c1(K2K w PPc += (9.64) Rappelons que les théories précédentes introduisent une approximation sur la forme de la surface de glissement qui est prise plane. Dans l’état passif, cette simplification surestime la résistance du sol notamment pour les grandes valeurs de l’angle de frottement interne. Dans ce cas on recommande l’utilisation des tables de Caquot et Kérisel basées sur la théorie de Boussinesq. Les auteurs admettent des surfaces de glissement en forme de spirale logarithmique et dérivent la pression latérale active ou passive par intégration des équations différentielles de l’équilibre. Les résultats sont présentés sous forme de tables numériques. 9.5.3 Théorie de Boussinesq (Tables de Caquot et Kérisel)
- 219. 206 Chapitre 9 :Pression latérale des terres 9.5.4 Construction de Culmann 9.5.4.1 Introduction Elle a été développée par Karl Culmann (1875). Son but est la détermination du plan de glissement ainsi que l’intensité de la poussée active ou passive. Le massif peut être stratifié ou homogène mais l’angle de frottement interne doit être le même pour tout le massif. Nous présentons la construction pour le cas d’un sol pulvérulent, la méthode peut être étendue au cas général d’un sol cohérent chargé…. 9.5.4.2 Sol pulvérulent non chargé 9.5.4.2.1 Poussée active 1. On choisira une échelle appropriée pour schématiser le massif de sol et l’écran AB (Fig. 9.43). 2. A partir du point A, tracer la droite AC faisant l’angle ϕ au dessus de l’horizontale. 3. Tracer la droite de référence AD faisant l’angle ψ avec la droite AC. ψ est l’angle que fait la poussée active Pa avec la verticale. 4. Tracer plusieurs plans hypothétiques de glissement : AB1, AB2,…. 5. Déterminer le poids W pte des différents sols si le massif n’est pas homogène. 6. Choisir une échelle de forces, et reporter les poids sur la droite AC : W à AW 10. Tracer la droite EF parallèle à AD. Le plan de rupture sera AE, et coupe la surface libre en R. La longueur de EF donne l’intensité de la poussée active P de forces choisie. (si plusieurs points Ei existent, celui qui sera retenu correspond au maximum de E i). i de chaque tranche tenant com 1 correspond 1, W2 correspond à W1W2 et ainsi de suite. 7. A partir des points Wi sur AC, tracer les droites WiEi parallèles à la droite de référence AD. La droite WiEi coupe la ligne de glissement Abi au point Ei. 8. Joindre les points Ei par une courbe lisse dite courbe de Culmann. 9. Tracer la droite parallèle à la ligne AC et tangente à la courbe de Culmann. Le point de tangence sera noté E. (si la courbe de Culmann n’est pas régulière, il peut exister plusieurs droites tangentes à la courbe et parallèles à AC). a selon l’échelle iF Fig. 9.43 : Construction de Culmann pour le calcul de la poussée active δ Pa = EF B B1 B2 B3 B4 B5 Plan de rupture Pa ψ ψ v A D E C Hφ F Courbe de Culmann W1 W2 W3 W4 W5 E1 W1 E5E4E3 E2 W2 W3 W4 W5
- 220. 207 Eléments de Mécaniquedes Sols 9.5.4.2.2 Poussée passive . La droite AC fait l’angle ϕ au dessous de l’horizontale. δ B Pp ψ ψ v A D C Fig. 9.44 : Construction de Culmann pour le calcul de la poussée passive H φ Le procédé reste le même, toutefois il faut que (Fig. 9.44) . L’angle ψ est mesuré comme indiquer sur la figure.
- 221. 208 Chapitre 9 :Pression latérale des terres Exercices du chapitre 9 Considérons le massif de sol caractérisé par (voir schéma): surcharge: q = 50 kN/m sol , h , c' ϕ γ1 = 18 kN/m 1. Tracer le diagramme des pressions actives et passives selon la théorie de Rankine. 1. Déterminer la distribution de la pression des terres sur l'écran vertical (voir figure). Exercice 5: 2. Préciser le plan de rupture le plus probable. On donne: ϕ γ ϕ γ 3 , c Pression latérale des terres Exercice 1: Considérons un massif de sol à surface libre horizontale (voir figure) caractérisé par: H = 9,5 m, c = 0, ϕ = 25°, γ =18,64 kN/m3 . Calculer la poussée active due au poids des terres. Exercice 2: 1. Calculer le diagramme des pressions des terres sur l'écran vertical schématisé sur la figure. La surface libre du massif fait l'angle β avec l'horizontale. 2. Calculer la résultante des pressions et son point d'application. On donne: H = 9,5 m, β = 15°, ρ = 1,9. 103 Kg/m3 , ϕ = 25° Exercice 3 : 2 1: un sable. h1 = 6 m 3 = 4,5 m 1 = 0, '1= 38°, 3 sol2: une argile saturée. h2 = 3 m, c'2 = 10 kN/m2 , ϕ'2 = 28°, γsat2 = 20 kN/m3 2. Calculer les résultantes des poussées et leurs points d'application. Exercice 4 : 2. Calculer la résultante des poussées et son point d'application. On donne: H = 8 m, h = 4 m, γ = 20 kN/m3 , c' = 8 kN/m2 , ϕ' = 27° cw/c' = 0,5; δ/ϕ' = 2/3 1. Calculer la résultante des pression des terres sur l'écran schématisé sur la figure. H = 12 m, L = 2 m, γ = 20 kN/m3 , λ = 15°, β1 = 22°, ϕ = 30°, δ = ϕ/3 Exercice 6: 1. Calculer le diagramme des poussées horizontales totales sur l'écran vertical schématisé sur la figure. 2. Calculer les résultantes et leurs points d'application. On donne: L1 = 3 m; L2 = 4,5 m; L3 = 4 m; L4 = 1,5 m; q = 10 kPa. 1 = 33°, 1 = 18 kN/m3 , 2 = 14°, 2 = 21 kN/m 2 = 24 kPa δ = 0 pour la poussée et -2ϕ/3 pour la butée.
- 222. 209 Eléments de Mécaniquedes Sols Exercice 2 H β Exercice 1 H Exercice 3 q Sol 1 Sol 2 h2 h1 h3 Exercice 4 H h Exercice 6 q Sable Argile L3 L2 L4 L1 λ Exercice 5 β1 β1 H L L L L
- 223. Chapitre 10 Reconnaissance dessols 10.1 Introduction. 10.2 Essais de laboratoire 10.2.1 Introduction 10.2.2 Essais physiques 10.2.3 Essais chimiques et minéralogiques 10.2.4 Essais hydrauliques 10.2.5 Essais mécaniques 10.3 Essais sur place 10.3.1 Introduction 10.3.2 Reconnaissance des sols 10.3.2.1 Introduction 10.3.2.2 Méthodes géophysiques 10.3.2.2.1 Prospection électrique 10.3.2.2.2 Prospection sismique 10.3.2.2.3 Prospection par micro-gravimétrie 10.3.2.3 Les sondages 10.3.2.3.1 Prospection géologique 10.3.2.3.2 Reconnaissance hydrologique 10.3.3 Essais sur les caractéristiques physiques 10.3.4 Essais mécaniques 10.3.4.1 Essais de chargement à la plaque ou à la table 10.3.4.2 Essais pour le sol sous action dynamique 10.3.4.3 Scissomètre 10.3.4.4 Rhéotest 10.3.4.5 Pressiomètre 10.3.4.6 Essai de pénétration au cône 10.3.4.7 Essais de battage 10.3.4.7.1 Essai de pénétration normalisé (S.P.T) 10.3.4.7.2 Pénétromètre statique 10.3.4.7.3 Pénétromètre dynamique
- 224. Chapitre 10 Reconnaissance dessols 10.1 Introduction La reconnaissance des sols est une phase fondamentale dans la réussite d'un projet de construction. La détermination des caractéristiques du sol avant les travaux de constructions conduit à la planification des taches de façon ordonnée et complètement organisée. Le coût de cette reconnaissance sera récupéré par la réalisation du projet dans les meilleurs délais, au coût minimum et dans les meilleurs conditions de sécurité que ce soit pendant la construction ou durant l'exploitation de l'ouvrage. Inversement, une construction de projet important sans étude de sol peut se solder par des surprises désagréables ou fatales. A titre d'exemple, un sol peux résistant supporte mal les engins de chantier, ce qui retarde les travaux et nécessite des aménagements supplémentaires du chantier. Un sol très compressible peut nécessiter dans le futur une reprise sous œuvre ou stabilisation et renforcement du sol. Le sol gonflant peut se solder par une catastrophe notamment pour les logements individuelles c.à.d au propriétaire généralement incapable de supporter le coût de réhabilitation. La présence inattendue de d'eau conduit à la remontée de l'humidité, à la réduction de la capacité portante, ainsi que le risque de l'agressivité de l'eau au béton armé. En définitif, les problèmes qui risquent de surgir pendant la réalisation de l'ouvrage, à court terme ou à long terme ne peuvent être énumérés dans cette introduction. Des références plus spécialisées peuvent être consultées pour des détails approfondies des pathologies de construction. Le chapitre n'a pour bute que la présentation d'une synthèse très brève des procédés généraux de reconnaissance et d'identification des sols. Dans ce contexte aussi, les références spécialisées sont indispensables pour examiner plus profondément les principes, les modes opératoires le matériel et les interprétations. D'autre part, des recherches bibliographiques sont vivement conseillées au lecteur afin d'approfondir les différents aspects et notamment le côté pratique du sujet. 10.2 Essais de laboratoire 10.2.1 Introduction Il s'agit d'essais effectués au laboratoire sur des échantillons remaniés ou intactes convenablement conservés. Généralement on classe ces essais dans trois grands groupes: essais physiques, essais chimiques et essais mécaniques.
- 225. 211 Eléments de Mécaniquedes Sols 10.2.2 Essais physiques Les essais physiques ont pour but la détermination des caractéristiques physiques des sols telles que: répartition granulométrique des grains, poids volumiques, densités, teneurs en eau, degré de saturation, teneur en eau optimale, limites d'Atterberg, indices de plasticité, de consistance et de liquidité, porosité, indice des vides et indice de densité, teneur en argile, activité et surface spécifiques. Les essais permettant la détermination des propriétés ci-dessus sont normalisés. A titre d'exemple ont peut citer l'analyse granulométrique par tamisage ou par sédimentométrie, pesée hydrostatique, mesures de volumes, détermination de la teneur en eau et des limites de consistance, essai Proctor, essai au bleu de méthylène. La documentation spécialisée dans ce domaine doit être consultée pour les détails des procédures et des interprétations. 10.2.3 Essais chimiques et minéralogiques Ils ont pour but la détermination de la composition chimique et minéralogique du sol, la présence d'impuretés, de substance agressives, et nature chimique de l'eau adsorbée. La détermination de la famille minéralogique du sol est d'une grande importance, car elle peut déceler des comportements spécifiques tel que les sols gonflants, les sols organiques et les sols nuisibles. Ces caractéristiques peuvent être déterminés par les méthodes d'analyse chimique conventionnelles ou récentes donc plus ou moins coûteuses telles que diffraction des rayons x, analyse spectroscopique, microscopie électronique, analyse thermique différentielle, ou par des méthodes indirectes telles que abaque de Casagrande et surface spécifique. 10.2.4 Essais hydrauliques Les caractéristiques hydrauliques en géotechnique concernent principalement la détermination de la perméabilité des sols, mesure de la succion, présence de la nappe phréatique et sont débit dans le cas d'un écoulement d'eau. Les essais associés sont le perméamètre à charge constante ou à charge variable, méthode du papier filtre. Quelques essais sont exécutés sur place. Comme nous le savons, la vitesse de tassement est étroitement liée à la perméabilité du sol, donc elle nous renseigne sur la durée nécessaire à la consolidation du sol sous l'ouvrage. 10.2.5 Essais mécaniques Ils ont pour but la détermination des caractéristiques mécaniques principalement la cohésion, l'angle de frottement interne, contrainte de préconsolidation, indices de compression et de gonflement et capacité portante. Les essais associés sont à titre d'exemple, essai de cisaillement directe à la boite de Casagrande, essai triaxial et essai œdométrique. 10.3 Essais sur place 10.3.1 Introduction Les essais sur place permettent la détermination des caractéristiques du sol dans les conditions naturelles, c.à.d dans les conditions réelles de résistance.
- 226. 212 Chapitre 10 :Reconnaissance des sols 10.3.2 Reconnaissance des sols 10.3.2.1 Introduction Elle permet de localiser les différentes couches du sol, leurs stratification et leurs pendages, la présence de galerie souterraines ou de l'eau. 10.3.2.2 Méthodes géophysiques Elles fournissent des informations globales sur l'assiette de construction. 10.3.2.2.1 Prospection électrique Elle est basée sur l'envoi dans le terrain d'un courant électrique et la mesure de la différence de potentiel dans le sol entre deux points. La prospection peut être profonde (verticale) ou superficielle (horizontale ou en couverture). Le calcul de la résistivité du sol permet d'avoir des informations globales sur l'épaisseur et la nature de chaque couche grâce à des tables existantes. D'autre part, la technique permet la mesure de la teneur en eau. 10.3.2.2.2 Prospection sismique Elle repose sur le principe de propagation des ondes sismiques dans le sol. La vitesse de propagation dépend de la nature (principalement la compacité) de la couche traversée. L'onde sismique est générée par des chocs mécaniques (par dame ou marteau) communiqués au sol. Ainsi l'appareillage consiste à la mesure de la célérité de l'onde sismique grâce à la quelle on peut établir une identification de la nature du sol. 10.3.2.2.3 Prospection par micro-gravimétrie On connaît que le champ de la pesanteur en un point est directement lié à la répartition des masses au voisinage du point. La méthode repose sur ce principe et consiste à mesurer avec une grande précision, la variation de l'accélération terrestre. L'interprétation des résultats permet la découverte des anomalies telles que cavités souterraines, tranchées, galeries ..etc. 10.3.2.3 Les sondages Les sondages sont des opération de forage dans le sol avec ou sans carottage (prélèvement d'échantillon). Dans le cas sans carottage, l'opération est accompagnée par un programme de mesure et enregistrement de différents paramètres tels que vitesse d'avancement, poussée de la sondeuse, pression du fluide de perforation, vibration du train de tige ..etc. 10.3.2.3.1 Prospection géologique Souvent, le sondage carotté donne lieu à des observations directes par les géologues du profil du sol. Ceci permet d'étudier de plus près la stratification des couches, leurs histoire de dépôt, et leurs compositions chimiques. 10.3.2.3.2 Reconnaissance hydrologique Dans ce cas, le sondage permet le forage de puit atteignant la nappe phréatique. La reconnaissance hydrologique comprenne l'utilisation de piézomètre pour la détermination de la surface piézométrique, la pression interstitielle et la courbe de rabattement. L'essai Lefranc (par pompage ou injection) permet la mesure de la
- 227. 213 Eléments de Mécaniquedes Sols perméabilité locale d'un sol en place. Dans l'essai Lugeon, on peut obtenir des informations sur la circulation de l'eau dans les roches, sur l'état de fissuration de ces roches, la possibilité de colmatage ou de décolmatage de ces fissures. L'essai de pompage permet la mesure de la perméabilité globale du sol par pompage ou d'injection de l'eau. D'autres méthodes existent pour la détermination de la perméabilité sur place. A titre d'information on peut citer les perméamètres Ménard, et les essais de perméabilité à l'air. 10.3.3 Essais sur les caractéristiques physiques Dans beaucoup de situations, par crainte de l'altération des échantillons prélevés, ou par le besoins immédiat à des informations, on souhaite effectuer des essais sur place pour la détermination de quelques caractéristiques physiques du sol. A titre d'exemple, le pénétro-gamma densimètre permet la mesure de la masse volumique par diffusion Gamma. Cependant la majorité des essais effectués sur place sont relatifs à l'aspect mécanique c.à.d la résistance du sol. 10.3.4 Essais mécaniques 10.3.4.1 Essais de chargement à la plaque ou à la table Ils donnent des informations très intéressantes mais généralement lents et coûteux. Dans la pratique ils sont réservés aux pieux uniquement. L'essai à la table n'est indicatif que pour les massifs homogènes. 10.3.4.2 Essais pour le sol sous action dynamique Ils permettent la détermination des caractéristiques dynamiques des sols telles que module d'élasticité dynamique, le module de cisaillement dynamique, le taux d'amortissement dynamique ainsi que la variation de la pression interstitielle. Les essais in situ se basent sur la mesure de la célérité des ondes de volume et de cisaillement dans des forages spéciaux. 10.3.4.3 Scissomètre C'est un essai de cisaillement par torsion visant le calcul de la cohésion des argiles molles saturées. 10.3.4.4 Rhéotest C'est un essai permettant de déterminer les caractéristiques mécaniques du sol en place. Pendant le cisaillement du sol par torsion, on mesure la contrainte tangente et la contrainte normale ce qui permet de tracer la courbe intrinsèque par une série de mesures. Alors, on peut dire que c'est un essai comparable à l'essai de cisaillement directe mais effectué sur place. 10.3.4.5 Pressiomètre Il consiste à l'application d'une pression latérale sur le sol. Les mesures permettent de tracer la variation de volume du sol en fonction de la pression appliquée. On arrive ainsi à déterminer le module pressiométrique, la pression de fluage et la pression limite qui caractérisent la nature du sol. Les résultats pressiométriques permettent le calcul de portance des fondations de tout type ainsi que les tassements immédiats.
- 228. 214 Chapitre 10 :Reconnaissance des sols 10.3.4.6 Essai de pénétration au cône Il permet de mesurer la résistance au cisaillement en fonction de la profondeur d'enfoncement d'un cône dans le sol sous son propre poids. 10.3.4.7 Essais de battage 10.3.4.7.1 Essai de pénétration normalisé (S.P.T) Un carottier est enfoncé dans le sol sous étude. Pendant l'essai on compte le nombre de coups nécessaire pour l'avancement du carottier sur une certaine profondeur. Ces indications permettent la détermination des facteurs de la capacité portante ou même donner directement la pression admissible d'une semelle. D'autres interprétations peuvent s'offrir selon la nature du terrain. 10.3.4.7.2 Pénétromètre statique Ce sont des appareils qui consistent à enfoncer, à vitesse lente et constante, de tiges à l'aide d'un vérin. Ils permettent de mesurer séparément la résistance de la pointe, le frottement latéral ainsi que la cohésion. Ces essais s'appliquent pour le calcul des fondations superficielles ou profondes, et pour le contrôle du compactage à grande profondeur. 10.3.4.7.3 Pénétromètre dynamique Sur le principe du S.P.T., un train de tiges est enfoncé dans le sol par la chute libre d'une masse (mouton). Dans cet essai le matériel est plus simple mais plus robuste. Les résultats des essais donnent le nombre de coups pour un enfoncement donné, soit la résistance de la pointe déduite de la formule des Hollandais. Il existe variétés de pénétromètres dynamiques, les détails peuvent êtres consultées dans des références spécialisées.
- 229. 215 Eléments de Mécaniquedes Sols
- 230. Chapitre 11 Solutions dequelques exercices
- 231. Chapitre 11 Solutions dequelques exercices Chapitre 2: Caractéristiques physiques des sols Exercice 2 La courbe granulométrique est tracée comme ci-contre. D'où on tire: d10 = 0,4 mm 0,01 0,1 1 10 0 20 40 60 80 100 Pourcentagedepassantenmasse Diamètre des grains [mm] d30 = 0,61 mm d60 = 1,1 mm ce qui donne Cu = 2,75 et Cc = 0,85 Il s'agit donc d'un sable propre moyen et grossier noté SP. Exercice 4 Utilisant les définitions des caractéristiques demandées on trouve: w = 25%; e = 0,675; n = 0,403; dh = 2,01; γh = 19,72 kN/m3 Exercice 8 Pour le sol 1 la classification se fait comme suit: Le sol est à grains grossiers, un sable. Mais il s'agit d'un cas limite (voir Tab. 2.10). On utilise alors le double symbole (SM ou SC) avec (SW ou SP). D'après la courbe granulométrique, on obtient: D60=0,71 mm; D30=0,34 mm; D10=0,18 mm, Cu = 3,9 et Cc = 0,91 d'où: une granulométrie peu étalée. Il s'agit donc d'un sol SP-SM: un sable silteux à granulométrie peu étalée.
- 232. 217 Eléments de Mécaniquedes Sols Chapitre 3: Le compactage Exercice 1 a. La courbe a la forme ci-contre, elle possède notamment un maximum. w [%] 124 γd [kN/m3 ] 19,6 b. Nous utilisons les expressions Sr = w / ( γw / γd - γw / γs ) γh = γd ( 1 + w ) ce qui donne Sr1 = 295 % et Sr2 = 87,5 % γh = 20,38 kN/m3 et γh = 21,95 kN/m3 c. Le volume d'eau à ajouter est ∆Vw = Vwf – Vwi avec Vw = Sr Vv le volume des vides est donné par Vv = Vt – Vs où Vs = Ps / γs Appliquant ces formules sur l'état initial et l'état final, on obtient comme application numérique ∆Vw = 47,37 cm3
- 233. 218 Chapitre 11 :Solutions de quelques exercices Chapitre 4: L'eau dans le sol Exercice 1 Il s'agit d'un essai à charge constante. Utilisant la formule directe associée à l'essai, il vient: k= 0,11 cm/s. Exercice 2 Le but de l'exercice est de calculer la perméabilité moyenne horizontale et verticale. L'application numérique est directe et donne: kh = 0,4 10-2 cm/s, kv = 1,43 10-2 cm/s. Exercice 3 La contrainte totale au point M est donnée par: σM = γsr D La pression interstitielle est donnée par σuM = (D-d) γw Alors, la contrainte effective au point M est σ'M = σM - σuM = (γsr – γw) D + dγw L'application numérique donne σ'M = 49,5 kPa.
- 234. 219 Eléments de Mécaniquedes Sols Chapitre 5: Distribution dans le sol des contraintes dues aux charges extérieures Exercice 1 La solution élémentaire est donnée par la solution de Boussinesq: dσzM = 3qdA cos5 θ/ 2πz2 avec dA = α r dr et r = ztg θ Tout calcul fait, on trouve σzM = q α (cos3 θi – cos3 θe) /2π formule dans laquelle, θi (respectivement θe) correspond à Ri (respectivement Re). Exercice 5 La charge totale uniforme q appliquée au sol est égale à la surcharge appliquée augmentée de la charge due à la semelle. Le calcul rapide se fait par abaque. Le calcul de la contrainte au droit du point A est directe car il s'agit d'un calcul sous un coin de la semelle. Sous le point C, il faut superposer la solution correspondant à quatre surfaces dont chacune a le point C comme coin. Sous les autres points, le raisonnement est pareil. L'application numérique donne: q = 83 kPa, σzA = 7 kPa, σzC = 9 kPa Exercice 6 Maintenant la charge totale de l'exercice 5 est concentrée au centre de la semelle. On utilise la solution de Boussinesq. Le calcul est directe. A titre d'exemple, l'application numérique donne: σzE = 2,9 kPa, σzF = 1,5 kPa
- 235. 220 Chapitre 11 :Solutions de quelques exercices Chapitre 6: Tassement, compressibilité et consolidation Exercice 2 1. La courbe de compressibilité est tracée sur la page suivante. 2. La construction de Casagrande donne une contrainte de préconsolidation égale à 170 kPa. Le sol est donc sur-consolidé. Le taux de surconsolidation est rsc = 1,3. Pour le tracé de la courbe de compressibilité pour le sol en place on utilise la construction de Schmertmann à trois points. 3. Dans la zone de compression vierge on obtient Cc = 0,261. Dans la zone de recompression on obtient Cr = 0,025 4. Dans les conditions de l'exercice, le tassement de consolidation est composé de deux parties. Une partie calculée dans la zone de recompression, la deuxième étant calculée dans la zone de compression vierge. Tout calcul fait, on obtient Sc = 0,6 m. Exercice 3 1. Dans la formue du tassement instantané, on prendra q = 150 kPa correspondant à la charge de l'édifice, le coefficient de Poisson est égale à 0,5 car le tassement instantané se fait sans changement de volume (pas d'évacuation de l'eau). Le facteur d'influence est tiré du tableau donné dans le cours I=1,12. Tout calcul fait on trouve Si = 0,63m. 2. Le calcul du tassement de consolidation est directe et est égal à Sc = 0,24m. Exercice 10 a. La relation entre le tassement et le temps est établie grâce à la notion du degré de consolidation moyen. Le tassement de consolidation Sc étant connu, la solution se fait dans le sens S(t), Umoy, T et finalement le temps t, d'où pour s(t) = 0,4 m on trouve la durée nécessaire t = 39,26 ans. b. Dans cette question on fait le chemin inverse au précédant : temps t, facteur temps T, Umoy et finalement s(t). Ainsi pour t = 5 ans, on trouve s(t) = 14,4 cm. Exercice 17 Le calcul du tassement secondaire nécessite le détermination de cα. dans la zone correspondant à la période 25 à 50 ans. A partir des données expérimentales on trace la courbe e(log t) comme montrer sur la page suivante. D'où les valeurs ep = 2,373 et cα = 0,053. Ainsi, le tassement secondaire relatif à la période 25 à 50 ans est d'intensité Ss = 0,047 m.
- 236. 221 Eléments de Mécaniquedes Sols Solution de l'exercice 2
- 237. 222 Chapitre 11 :Solutions de quelques exercices Solution de l'exercice 17
- 238. 223 Eléments de Mécaniquedes Sols Chapitre 7: Rappels de mécanique des milieux continus Exercice 2 a. Le vecteur contrainte sur une facette est donné par la relation vectorielle t = σ n, où n est le vecteur unitaire normale à la facette. Appliquant cette relation pour le cas proposé, on trouve: n = < 2/3 2/3 1/3 > t = < 5/3 2 5/3 > [MPa] b. La contrainte normale à la facette σ est donnée par le produit scalaire entre le vecteur contrainte conjugué à la facette t et la normale n: σ = tT . n. Connaissant σ, on peut calculer la contrainte tangentielle τ à la facette d'après l'équation || t ||2 = σ2 + τ2 . où || t || représente la norme euclidienne de t. L'application numérique donne: σ = 3 MPa et τ = (5)1/2 / 3 Mpa Exercice 3 La résolution du problème de valeurs et vecteurs propres donne: a. contraintes principales: σ1 = c (5)1/2 σ2 = 0 et σ3 = - c (5)1/2 b. directions principales: n1 = < 2/(10)1/2 1/(10)1/2 - 1/(10)1/2 > n2 = < 2/(5)1/2 1/(5)1/2 0 > n3 = < 2/(10)1/2 - 1/(10)1/2 1/(2)1/2 > c. Puisque la contrainte moyenne σm est nulle, le tenseur déviateur est égal au tenseur total: S = σ. Ainsi, les valeurs principales de S sont égales aux valeurs principales de σ. Exercice 6 On trouve x2 (x1+ x2)/ 2 x3 (x1+ x2)/ 2 x1 x3 x3 x3 2(x1+ x2) ε = cle tenseur de déformation -x1 (x1+ x2)/ 2 x3 (x1+ x2)/ 2 -x2 x3 x3 x3 x1+ x2 εD = cle tenseur déviateur de déformation
- 239. 224 Chapitre 11 :Solutions de quelques exercices La dilatation volumique d est le changement de volume par unité de volume, il est donné par l'expression d = tr(ε) = 3c (x1 + x2) Exercice 10 Les exercices relatifs au cercle de Mohr ont l'avantage de se résoudre rapidement grâce à la construction graphique. C'est ce que nous allons considérer dans cet exercice et les exercices suivants. Connaissant les contraintes principales, on procède dans le présent exercice à la construction directe du cercle de Mohr, par suite on répond à la question. τ σ
- 240. 225 Eléments de Mécaniquedes Sols Exercice 11 Dans cet exercice le même problème précédent se pose. Sauf que dans cet exercice apparaît l'intérêt de la notion du pôle de cercle de Mohr.
- 241. 226 Chapitre 11 :Solutions de quelques exercices Exercice 12 1 cm 1 MPa
- 242. 227 Eléments de Mécaniquedes Sols Chapitre 8: Résistance des sols au cisaillement Exercice 1 a. Le point de coordonnées (σn, τr) appartient à la courbe intrinsèque et au cercle limite à la fois. D'autre part, puisque le sol est un sable pulvérulent, la cohésion est nulle. L'ensemble de ces information permet de tracer la droite intrinsèque et le cercle de Mohr à la rupture. Graphiquement on trouve: Les contraintes principales σ1 = 680 kPa , σ3 = 200 kPa Les directions principales α1 = 28 °, α3 = 107,5 ° par rapport à l'horizontale Angle de frottement interne φ = 34 ° b. Lorsque la contrainte de cisaillement est inférieure à la contrainte de rupture, le cercle de Mohr correspondant n'est pas unique car il n'est pas tangent à la droite intrinsèque. L'information fournie par l'essai de cisaillement directe ne permet pas de tracer le cercle de Mohr de l'état de contrainte. Exercice 2 a1. Cercles de Mohr aux débuts des essais: l'état de contrainte est isotrope donc nous avons σh = σv = σcell . Les cercles de Mohr se réduisent aux points σh1 = σ3 1 pour l'essai A et σh2 = σ3 2 pour l'essai B. a2. Cercles de Mohr à la rupture: Dans l'essai triaxial, on suppose que les contraintes σh et σv appliquées sur l'échantillon sont des contraintes principales, d'où la construction directe des cercles de Mohr. Ainsi on a: pour l'essai A : σ3 r1 = σh 1 et σ1 r1 = σd r1 + σ3 r1 ce qui donne σ1 r1 = 500 kPa pour l'essai B : σ3 r2 = σh 2 et σ1 r2 = σd r2 + σ3 r2 ce qui donne σ1 r2 = 2100 kPa d'où la construction graphique des cercles de Mohr à la rupture. b. Graphiquement, on trouve φ = 43 ° c. Toujours graphiquement, on obtient: τr1 = 150 kPa, σr1 = 165 kPa τr2 = 630 kPa, σr1 = 690 kPa d. Puisqu'il s'agit du même sol, la courbe intrinsèque est la même pour les deux essais, le plan de rupture est orienté de même dans les deux essais. Par rapport au plan horizontal l'inclinaison du plan de rupture est β = 66 °. e. On trouve (τr/σr)max = 0,91 pour les deux essais
- 243. 228 Chapitre 11 :Solutions de quelques exercices
- 244. 229 Eléments de Mécaniquedes Sols Exercice 3 Pour σ'3c = 1,5 MPa on obtient ec = 0,62 Exercice 4 Pour ei = 0,75 on obtient σ'3crit = 0,7 MPa Exercice 6 a) Pour σ'3c = 1,5 MPa et ei = 0,6 Comportement drainé Le point sur la courbe ei = 0,6 et correspondant à σ'3c = 1,5 MPa affiche une augmentation de volume (∆V/V0 > 0). L'échantillon augmente de volume. Puisque l'essai est drainé, la pression interstitielle ne diminue pas. Comportement non drainé L'échantillon à tendance a tendance à augmenter de volume mais il sera empêché. La pression interstitielle chute car l'essai est non drainé. Ceci n'est possible qu'avec une augmentation de la pression de confinement σ'3c. b) Pour ei = 0,6 et σ'3c = 1,7 MPa Comportement drainé L'échantillon diminue de volume, la pression interstitielle ne varie pas car l'essai est drainé. Comportement non drainé L'échantillon a tendance à diminuer de volume mais il sera empêché du fait que l'essai est non drainé. Ceci n'est possible qu'avec une diminution de la pression de confinement σ'3c, c.à.d une augmentation de la pression interstitielle.
- 245. 230 Chapitre 11 :Solutions de quelques exercices Chapitre 9: Pression latérale des terres Exercice 1 La pression latérale est donnée par σa(z) = Ka γ z σa(H) Fa H / 3 H Exercice 1 dans laquelle on peut utiliser la solution de Rankine (δ = 0), d'où Ka = (1 – sin φ) / (1 + sin φ) = 0,406 L'application numérique donne: σa(H) = 71,9 kPa La distribution de la pression est triangulaire et a pour résultante la poussée Fa = 0,5 σa(H) H = 341,5 kN/mètre de largeur Son point d'application agit à la profondeur ZF = 2H/3 = 6,3 m Exercice 2 On peut toujours utiliser le schéma de Rankine. Lorsque la surface libre du massif est inclinée, on calcul la pression latérale par l'expression: β β σa(H) Fa H / 3 H σa(z) = Ka γ z cos β Cette pression agit parallèlement à la surface libre. Ka est le coefficient de poussée active due au poids des terres, il est fonction de φ et β. La résultante de cette pression est Fa = 0,5 σa(H) H = 0,5 Ka γ H2 cos β Exercice 2 qui agit à H/3 de la base du massif. L'application numérique donne: Ka = 0,49 γ = 18,64 kN/m3 σa(H) = 83,81 kPa Fa = 398 kN/ml
- 246. 231 Eléments de Mécaniquedes Sols
- 247. Références bibliographiques Arquie G.,Morel G., Le compactage, Eyrolles Azizi F., Applied analyses in geotechnics, E & F.N. Spon Barnes G.E., Soil mechanics Bell F.G., Méthodes de traitement des sols instables Benaissa A., Eléments de mécanique des sols Budhu M., Soil mechanics & foundations, Wiley Cernica J.N., Foundation design, Wiley Cernica J.N., Soil mechanics, Wiley Charlez P.A., Rock mechanics Chen W.F., Limit analysis and soil plasticity, Elsevier, New York, 1975 Christophe P., Cabot G.P., Reymond J.M., Ouvrages géomatériaux et interactions, Hermes Costet J., Sanglerat G., Cours pratiques de mécanique des sols (T1,2), Dunod. Craig R.F., Soil mechanics, Chapman & Hall Day R.W., Geotechnical and foundation engineering, Mc Graw Hill Document technique unifié (DTU) Filiatrault A., Eléments de génie parasismique et de calcul dynamique des structures, E.P. Montréal Gamal-Eldin A.K., Soil mechanics and foundation engineering Guillemot J., Eléments de géologie Habib P., Génie géotechnique, Ellipses La pathologie des ouvrages de bâtiment, Weka Magnan J.P. et col., La pratique des calculs tridimensionnels en géotechnique, E.N.P.C. Mahé A. Mécanique des sols, Ecole Nationale Supérieure de Mécanique (Nantes) Mc Carthy D.F., Soil mechanics and foundations, Prentice Hall Nelson J.D. and Miller D.J., Expansive soils, Wiley Olivier E., Sols et fondation Pande G.N., Pietruszczak S., Schweiger H.F., Numerical models in geomechanics, Balkema Pecker A., Dynamique des sols, Presse de l'E.N.P.C. (France) Philipponat G., Fondation et ouvrages en terre, Eyrolles Reimbert M. et A., Ouvrages de soutènement, Lavoisier Robert D.H., William D.K., Introduction à la géotechnique Roger F., Calcul des fondations superficielles et profondes, Presse de l'E.N.P.C. Sanglerat G., Olivari G., Cambou B., Problèmes pratiques de mécanique des sols et de fondation Schlosser F., Exercices de mécanique des sols, Presse de l'E.N.P.C. Schneebili G., Hydraulique souterraine, Eyrolles Smith & Smith, Elements of soil mechanics, Blackwell science Smith I.M. & Griffiths D.V., Programming the finite element method, Wiley Stenberg M., Geomembranes Stenberg M., Geomembranes and the control of expansive soils in construction, Mc Graw Hill Studies in the history of civil engineering v12, W. Addis Terzaghi K., Peck R.B., Mesri G., Soil mechanics in engineering practice, Wiley Zhang C. and Wolf J.P., Dynamic soil-structur interaction Zienkiewicz O.C., Chan A.H., Pastor M., Computational geomechanics, Wiley