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• Chapitre I
Propriétés physiques des sols
• Chapitre II
Hydraulique des sols
• Chapitre III
Déformations des sols
• Chapitre IV
Résistance au cisaillement des sols
Mécanique des sols I
Chapitre III
Déformations des sols
1- Contraintes dans les sols
2- Calcul des contraintes dues aux surcharges
3- Compressibilité des sols
4- Calcul du tassement – méthode des couches
5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich
6- Durée des tassements
7- Consolidation secondaire
8- Dispositions constructives – tassements admissibles
5. Théorie de la
consolidation
1. Contraintes
dans les sols
2. Calcul des
contraintes
3. Compressibilité
des sols
4. Calcul du
tassement
6. Durée des
tassements
7. Consolidation
secondaire
8. Tassements
admissibles
Chargement d'un sol
Surplus de contrainte
Qu'est-ce qu'un tassement ?
Conséquences des tassements sur les structures
Types de tassements
uniformes
différentiels
- affectent peu la structure
- problèmes de raccordement
remblai – ouvrage d'art
canalisation – bâtiment
- peuvent entraîner des désordres importants
- structure hyperstatique → tassement entre 2 appuis
Déformation verticale → tassements
Ordre de grandeur des tassements admissibles
Exemple d'une poutre de 10 mètres
tassement total : 5 à 10 cm
tassement différentiel : 0.0025 à 0.004 L → 2.5 à 4 cm
A quoi sont dus les tassements ?
La compressibilité résulte de :
• la déformation des grains de sol
• la compression de l'air et de l'eau contenus dans les vides
• l'expulsion de l'eau contenue dans les vides
• la compression du squelette solide
négligeable
négligeable
Remarque : importance du temps et de la perméabilité des sols
instantannée
Si
consolidation primaireeau chassée des vides : tassement Sp
réarrangement des particules consolidation secondaire Ss
Phénomène de compressibilité des sols
diminution de volume
- souvent négligeable
(surtout pour les sols fins saturés)
- évalué par la théorie de l'élasticité
Composantes du tassement
Tassement total (St)
St = Si + Sp + Ss
log temps
tassement
tassement de consolidation secondaire
Ss
tassement de consolidation primaire
Sp
tassement immédiat
Si - le plus important
- dépend fortement du temps
- consolidation
phénomène de réduction progressive
du volume en fonction du temps d'une
couche de sol saturé sous l'action
d'une contrainte constante
- peu important
- très long terme
- fluage du squelette solide
Méthode d'obtention des tassements
Si les lois de comportement étaient connues
contraintes sur les
particules solides
+
déformations
somme des
déformations
tassementscharges
appliquées
lois de
comportement
Principe de calcul du tassement total
(a) charges charges
appliquées
contraintes à la profondeur où
on veut calculer le tassement
(b) déformations étude expérimentale
du sol
calcul du tassement à partir des
contraintes déterminées en (a)
Prise en compte du temps de tassement : consolidation
Démarche de ce chapitre
Calcul des contraintes
1- Contraintes dans les sols
2- Calcul des contraintes dues aux surcharges
Calcul du tassement total
3- Compressibilité des sols
4- Calcul du tassement – méthode des couches
sans considérer l'évolution du
tassement dans le temps
Calcul du temps de consolidation
5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich
6- Durée des tassements fonction de la perméabilité du sol
- sols fins
- sols pulvérulents
1. Contraintes
dans les sols
2. Calcul des
contraintes
3. Compressibilité
des sols
4. Calcul du
tassement
1.1 Contrainte totale
1.2 Contrainte effective – postulat de Terzaghi
1.3 Contrainte réelle – principe de superposition
1.4 Contrainte naturelle ou géostatique : σv0
1.4.1 Sol homogène à surface horizontale
1.4.2 Sol homogène à surface inclinée
1.4.3 Sol stratifié à surface horizontale
1.4.4 Sol inondé à surface horizontale
1.5 Contrainte due aux surcharges : Δσz
1- Contraintes dans les sols
2. Calcul des contraintes1. Contraintes dans les solsCalcul des contraintes
1.1 Contrainte totale
Comment se répartissent les contraintes dans un sol,
sachant que ce dernier est multiphasique ?
Sol global
- milieu continu, sans distinction entre les phases solide et liquide
- complètement saturé les contraintes exercées en un
point sur une facette donnée
contraintes
totales
Phases prises séparément
- lois de comportement différentes
- répartition des contraintes entre le solide et l'eau
squelette solide
responsable
- des déformations
- de la résistance au cisaillement
eau
- incompressible
- aucune résistance au cisaillement
1.2 Contrainte effective – postulat de Terzaghi
Répartition des contraintes
- contraintes transmises dans le squelette des grains solides du sol
contraintes effectives ',' τσ
- les seules contraintes pouvant exister dans l'eau sont des pressions
pression interstitielle
contrainte normale, sans cisaillement u
τ=τ
−σ=σ
'
u'
Postulat de Terzaghi (autour de 1920)
contrainte normale totale
pression de l'eau
contrainte effective
-
responsable des tassements et
de la résistance au cisaillement
Remarques - sol sec →
- pas de mesure de
σ=σ'
'σ
Lorsque le sol est partiellement saturé…
Matrices de contraintes
- contraintes sur les grains solides
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
σ′τ′τ′
τ′σ′τ′
τ′τ′σ′
=Σ′
zyzxz
yzyxy
xzxyx
s
- pression interstitielle
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=Σ
u
u
u
w
00
00
00
zvz σΔ+σ=σ 0
1.3 Contrainte réelle – principe de superposition
Principe de superposition
dans le domaine élastique linéaire, l'effet produit par l'action
simultanée de plusieurs forces est égal à la somme de ceux
produits par chacune des forces agissant séparément
contrainte à la
profondeur z contrainte due au
poids des terres
contraintes dues
aux surcharges
sol : milieu semi-infini élastique
1.4 Contrainte naturelle ou géostatique
Contrainte naturelle 0vσ
- contrainte dans le sol avant tout chargement supplémentaire
- poids des terres
1.4.1 Sol homogène à surface horizontale
Hdz v
H
v γ=σ⇒γ=σ ∫ 0
0
0
z
x
0vσ
γ
H
1.4.2 Sol homogène à surface inclinée
après application des équations d'équilibre
β⋅β⋅γ=β⋅γ=τ
β⋅γ=β⋅γ=σ
cossinzsiny
coszcosy
xy
y
2
x
T
γβ
y
n
t
z
x
γβ
y
n
t
y σ
β⋅= coszyet
y
∑=
⋅γ=σ=σ
n
i
iivz h
1
0
1.4.3 Sol stratifié à surface horizontale
x
y
1.4.4 Sol inondé à surface horizontale
indépendant de hwzσ′
ww h⋅γ ww h⋅γ
( )yhww +⋅γ y⋅γ′ysat ⋅γ+ww h⋅γ
wγ
satγ
zσ
y
hw
contrainte totale
yσ
pression interstitielle
u-
contrainte effective
yσ′=
1.5 Contrainte due aux surcharges : Δσz
Surplus de charge qui va engendrer un déséquilibre du sol
ΔσremblaiΔσpont
Argile
2. Calcul des
contraintes
3. Compressibilité
des sols
4. Calcul du
tassement
2- Calcul des contraintes dues aux surcharges
1. Contraintes
dans les sols
2.1 Détermination des surcharges
2.2 Charge concentrée : Q – relation de Boussinesq
2.3 Charge répartie : q
2.3.1 Principe de calcul
2.3.2 Charge uniforme circulaire
2.3.3 Charge uniforme rectangulaire
2.3.4 Charge uniforme répartie sur une surface quelconque
2.3.5 Charge trapézoïdale de longueur infinie (demi-remblai)
2.3.6 Charge triangulaire de longueur b (talus)
2.3.7 Distribution simplifiée
2.1 Détermination des surcharges
Cas particulier : surface uniformément chargée
→ sol soumis à un chargement uniforme q sur une surface importante
qz =σΔ transmission directe des contraintes
Autres cas qz ≠σΔ dissipation des contraintes avec la profondeur
Pour le calcul de zσΔ
- le sol est un milieu semi-infini
- le sol est élastique et non pesant
2.2 Charge concentrée : Q – relation de Boussinesq
Répartition des contraintes sous une charge ponctuelle
- distribution suivant des plans horizontaux
- bulbe de contraintes
Calcul de en fonction de la profondeur zzσΔ
Formule de Boussinesq (1885)
( )
θ⋅⋅
π
=
+
⋅
π
=σΔ 5
22522
3
1
2
3
2
3
cos
z
Q
zr
zQ
z
( ) 2522
2
2
3
zr
rzQ
z
+
⋅
⋅
π
=σΔ
N
z
Q
z ⋅=σΔ 2
ou
ou
avec N = f (r/z)
abaque
2.3 Charge répartie : q
2.3.1 Principe de calcul
- Intégration de )(d zσΔ
- formule de Boussinesq
- principe de superposition
- différentes distributions de charges
- milieux semi-infinis et non pesants
- Cas usuels de chargement
(fondations, remblais…)
- formules pour les cas simples
- abaques
- Principe de calcul
qIz ⋅=σΔ I
q
zσΔ contrainte sur une facette horizontale
charge verticale uniformément répartie
coefficient d'influence (<1), qui dépend de
- z
- écartement par rapport à la zone chargée
- forme et dimension de la surcharge
2.3.2 Charge uniforme circulaire
2.3.3 Charge uniforme
rectangulaire
Abaque de Steinbrenner
- calcul sous un angle de
l'aire chargée
- I en fonction de
L/z et B/z
- L et B interchangeables
1
I1
2
+ I2
3
- I3
4
- I4
1
I1
3
+ I3
2
+ I2
4
+ I4
2.3.3 Charge uniforme rectangulaire
IA =
A
B
Exemples
IB =
1 carreau = 0,005
2.3.4 Charge uniforme répartie sur une surface quelconque
Abaque de Newmark
longueur ab
• ouvrage dessiné à partir de cette
échelle ab
• centre de l'abaque : point sous lequel
on cherche la contrainte
• contrainte proportionnelle au nombre
de carreaux dans la surface chargée
profondeur z du point sous lequel on cherche la contrainte
qn,qIz ⋅⋅=⋅=σΔ 0050
AB = 1,5 x OQ
environ 8 carreaux
qn,qIz ⋅⋅=⋅=σΔ 020
kPa
kPa
z
z ,
40
2508020
=σΔ
××=σΔ
Pour une autre profondeur,
nouveau dessin avec nouvelle échelle
2.3.5 Charge trapézoïdale de longueur infinie (demi-remblai)
Abaque d'Österberg
2.3.6 Charge triangulaire de longueur b (talus)
Abaque de Fadum
2.3.7 Distribution simplifiée
- méthode la plus simple
- valeur approximative des contraintes
• diffusion uniforme des contraintes avec la profondeur
• limitée par des droites faisant une pente 2:1 (vertical:horizontal)
z
1
2
zσΔ
même charge totale
mais sur une surface plus grande
0=σΔ z
M P
q
2. Calcul des
contraintes
3. Compressibilité
des sols
4. Calcul du
tassement
1. Contraintes
dans les sols
3.1 Sols pulvérulents et sols fins
3.2 L’œdomètre
3.3 Courbe de compressibilité
3.4 Phénomène de la consolidation primaire
3.5 Caractéristiques de la compressibilité
3.5.1 Pression de préconsolidation
3.5.2 Indice de compression
3.5.3 Indice de gonflement
3.5.4 Module œdométrique
3.6 Classification des sols vis à vis de la compressibilité
3.6.1 Sol normalement consolidé
3.6.2 Sol surconsolidé
3.6.3 Sol sous-consolidé
3- Compressibilité des sols
3.1 Sols pulvérulents et sols fins
Matériau granulaire soumis à une compression unidimensionnelle
- courbe contraintes / déformations (sable en compression)
- déformation → indice des vides
- rotation du système d'axes
e = f (σ)
- début de chargement → déformations importantes
- par la suite → ralentissement (déformation des grains)
- cycle de décharge → comportement non réversible
- importance de l'indice de densité
minmax
max
D
ee
ee
I
−
−
= faible : sol lâche → compressible
élevé : sol serré → très peu compressible
- compression en fonction du temps
atteinte rapidement
évacuation rapide de l'eau
compressibilité - seulement due à la compression du
squelette solide
tassement instantanné
- au moment de l'application des charges
- souvent pendant la construction
- identique sur sol sec, humide ou saturé
Matériau granulaire soumis à une compression unidimensionnelle
3.1 Sols pulvérulents et sols fins
Tassement des sols fins
différent pcq l'eau s'évacue moins vite
- application d'une surcharge : transmission à l'eau
- évacuation de l'eau : transmission au grains solides
Approche phénoménologique : analogie du ressort
consolidation primaire
3.2 L'œdomètre (étude expérimentale de la compressibilité des sols)
Description de l'appareillage
photo de l'oed
Procédure d'essai
• application d'une contrainte verticale uniforme sur l'échantillon
• mesure du tassement correspondant au cours du temps
log t
Δh
Δu = 0
t = 0 u = σ σ' = 0 σ 0
fin de l'essai 1 u = 0 σ' = σ σ Δh1
Pression
interstitielle
Temps Contrainte
effective
Contrainte
totale
Tassement
1 essai à 1 charge donnée
Δh1
L'essai œdométrique fournit deux types de courbes
• courbe de consolidation
log t
Δh
log t
Δh
tassement de l'échantillon
en fonction du temps pour
une contrainte constante
• courbe de compressibilité
tassement en fonction de la
contrainte appliquée
essai répété pour plusieurs
contraintes croissantes sur le
même échantillon
Δh1Δh1
3.3 Courbe de compressibilité
3.3 Courbe de compressibilité
00 1 e
e
H
H ii
+
Δ
=
Δ
ii eee Δ−= 0
Obtention de la courbe
Description de la courbe
t
t
V
V
H
H Δ
=
Δ
0 sv
v
VV
V
+
Δ
=
s
sv
s
v
V
VV
V
V
+
Δ
=
01 e
e
+
Δ
=
3.4 Phénomène de la consolidation primaire
déjà abordé en 3.1
3.5 Caractéristiques de la compressibilité
3.5.1 Pression de préconsolidation
Schématisation de la courbe de compressibilité
log σ'
e
σ'p
A
B
C
• Pression de préconsolidation σ'p
- entre A et B
• faible tassement
• contraintes auxquelles le sol a déjà été soumis
• à un moment ou à un autre de son histoire
géologique, le sol a été soumis à une pression ≤ σ'p
(exemple : poids des terres)
- entre B et C
• forte compressibilité
le sol ne peut pas supporter plus que σ'p sans se déformer de façon importante
• le sol est soumis à des contraintes supérieures à toutes celles qu'il a déjà connues
• courbe vierge de compressibilité
les sols sont donc des matériaux à mémoire
3.5.2 Indice de compression (cc )
log σ'
e
σ'p
A
B
C
cc
cspente de la courbe vierge de compressibilité
( )σ′Δ
Δ
−=
log
e
cc
incompressible
très peu compressible
peu compressible
lorsque
"
"
cc < 0,02
0,02 < cc < 0,05
0,05 < cc < 0,10
Sables
moyennement compressible " 0,10 < cc < 0,20 Kaolinites
assez fortement compressible
très compressible
"
"
0,20 < cc < 0,30
0,30 < cc < 0,50
Illites
extrêmement compressible " 0,50 < cc Montmorillonites
( )100090 −⋅= Lc w.crelation empirique
Sables
Kaolinites
Illites
Montmorillonites
0,01 < cc < 0,1
0,1 < cc < 0,25
0,25 < cc < 0,8
0,8 < cc < 2,5
3.5.4 Module œdométrique
relie les déformations aux contraintes
H
H
Eoed
Δ
⋅−=σ′Δ
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ′
σ′Δ
+
σ′Δ
⋅
+
=
Δ
+σ′Δ
=
Δ
σ′Δ
=
1
11 0
log
c
e
e
e
H
H
E
c
oed
- non constant
- dépend de l'état de contrainte initiale considérée σ'
et de l'intervalle de contrainte Δσ'
3.5.3 Indice de gonflement (Cs )
pente d'un cycle de déchargement-rechargement
3.6 Classification des sols selon la compressibilité
Prélèvement d'un échantillon de sol à une profondeur donnée
- contrainte effective à laquelle était soumis le sol : σ'v0
- essai œdométrique : σ'p
3.6.1 Sol normalement consolidé
pv σ′≈σ′ 0Si le sol est normalement consolidé (NC)
log σ'
e
σ'p
σ′Δ application d'une surcharge au sol
→ tassement suivant courbe vierge
dans le passé
→ ce sol a tassé uniquement
sous son propre poids
3.6.2 Sol surconsolidé
log σ'
e
σ'p
σ′Δ
0vσ′
pv σ′<σ′ 0Si le sol est surconsolidé (SC)
à un moment antérieur de son histoire
→ ce sol a été soumis à une contrainte
supérieure au poids des terres actuel
Ex : érosion, excavation, changement de
niveau de la nappe phréatique
3.6.3 Sol sous-consolidé
log σ'
e
σ'p
σ′Δ
0vσ′
consolidation primaire pas terminée
→ le sol n'a pas encore été soumis à une
contrainte aussi élevée que σ'v0
(poids des terres actuel)
Ex : remblai récent, mal compacté
Bilan - Intérêt de la classification
- fondations sur sol normalement consolidé
toute surcharge entraîne un tassement,
dépendant de cc
log σ'
e
σ'p
σ′Δ
- fondations sur sol surconsolidé
pv σ′<σ′Δ+σ′ 0
faibles tassements,
voire négligeables
log σ'
e
σ'p
σ′Δ
0vσ′
- sol sous-consolidé
inconstructibles sans traitement particulier
déformations même sans surcharge
log σ'
e
σ'p
σ′Δ
0vσ′
eΔ
( )σ′Δ log
2. Calcul des
contraintes
3. Compressibilité
des sols
4. Calcul du
tassement
1. Contraintes
dans les sols
4- Calcul du tassement
méthode des couches
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
σ′
σ′Δ
+⋅
+
⋅−=Δ
00
0 1
1 v
c
log
e
c
HH
log σ'
e
( )σ′Δ
Δ
−=
log
e
cc
( ) σ′−σ′Δ+σ′ loglog
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ′
σ′Δ
+1log
σ′ σ′Δ+σ′
σ′Δ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
σ′
σ′Δ
+⋅−=Δ
0
1
v
c logce
σ'p
01 e
e
H
H
+
Δ
=
Δ
et
Sol normalement consolidé
σ′Δ+σ′ 0v
σ′Δ
Sol surconsolidé pv σ′<σ′ 0
log σ'
e
σ'p
0vσ′
0vp loglog σ′−σ′ ( ) pv loglog σ′−σ′Δ+σ′ 0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ′
σ′Δ+σ′
⋅
+
⋅−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
σ′
σ′
⋅
+
⋅−=Δ
p
vc
v
ps
log
e
c
Hlog
e
c
HH 0
0
0
00
0
11
Méthode des couches
• sol découpé en n couches de hauteur Hi
• calcul du tassement de chacune des couches ∑=
Δ=
n
i
iHs
1
- 1 essai oedométrique par couche
- cc et σ 'p par couche
- σ 'v0 et Δσ ' par couche
Δσ'
5. Théorie de la
consolidation
6. Durée des
tassements
7. Consolidation
secondaire
8. Tassements
admissibles
5.1 Hypothèses
5.2 Équation de la consolidation
5.3 Solution de l’équation de Terzaghi
5- Théorie de la consolidation
de Terzaghi et Frohlich
Degré de consolidation
Calcul précédent → tassement total d'un sol fin
- surpressions interstitielles évacuées
- surcharges reprises par les grains solides
Pour un sol très fin → quelques mois à plusieurs années
- où en est la consolidation primaire ?
- combien de temps pour avoir le tassement total ?
Utilisation de la théorie de Terzaghi et Frohlich
- degré de consolidation moyen d'une couche compressible
∞
=
s
s
U t tassement de la couche au temps t
tassement final de la couche
en %
Sachant que
- le tassement est fonction de la diminution de la surpression interstitielle
plus l'eau s'évacue
plus les grains solides reprennent la surcharge Δσ '
plus le tassement progresse
On peut montrer que
∞
=
s
s
U t
iu
u
Δ
Δ
−= 1 surpression interstitielle au temps t
surpression interstitielle initiale
- à l'instant initial (t=0) 0=→Δ=Δ Uuu i
- à la fin de la consolidation 10 =→=Δ Uu
5.1 Théorie de la consolidation - Hypothèses
Description du problème
- couche compressible d'épaisseur constante 2h
- entre 2 couches de matériaux perméables (sable ou gravier)
- surcharge uniformément répartie
couche compressible
couche perméable
couche perméable
σΔ
2hHypothèses
1- étude de la consolidation primaire
2- sol de la couche compressible → homogène
3- grains + fluide → incompressible
4- sol saturé
5- loi de Darcy applicable
6- k constant sur 2h
7- squelette → élasticité linéaire (Eoed constant)
5.2 Équation de la consolidation
On démontre que la consolidation U au temps t (en %) :
iu
u
U
Δ
Δ
−= 1
σΔ
Δ
−=
∫
h
dzu )t,z(
h
2
1
2
0
2h
Δσ
Δu
z
t1t2t3t4 t=0
Δσ
)t,z(uΔ
isochrones
tf
- aire sous isochrone ti
- surpression interstitielle
en un point z, au temps t
- aire sous isochrone
initiale (t=0)
- surpression interstitielle
initiale (=Δσ)
Degré de consolidation
→ il suffit de déterminer pour trouver le degré de consolidation
σΔ
Δ
−=
∫
h
dzu
U
)t,z(
h
2
1
2
0
)t,z(uΔ
la façon dont se répartie la
surpression interstitielle sur la couche
compressible en fonction du temps
)t,z(uΔ
Équation de la diffusion
→ peut être représenté par l'équation de la diffusion
de l'eau ou de la chaleur
2
2
z
u
c
t
u
v
∂
Δ∂
=
∂
Δ∂ cv = coefficient de consolidation verticale
w
oed
v
Ek
c
γ
⋅
= (m2/s)
5.3 Solution de l’équation de Terzaghi
Résolution d'une équation différentielle du second degré
→ solution à partir d'une série de Fourier
Conditions limites
02
00
=
=
Δ
Δ
)t,h(
)t,(
u
u surpressions interstitielles nulles
aux frontières de la couche
σΔ=Δ=Δ→= iuutsi 0
Solution de l'équation
∑⋅σΔ=Δ )T()Z(u )t,z( 21 ff
Z et T sont des
paramètres sans
dimension
Paramètres sans dimension
Z : paramètre géométrique
T : facteur temps
σΔ
Δ
−=
∫
h
dzu
U
)t,z(
h
2
1
2
0
Retour au degré de consolidation
→ en remplaçant on obtient :)t,z(uΔ
∑ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ π−
⋅⋅
π
−=
4
18
1
22
2
vTn
exp
n
U
)T(U vf= U ne dépend que de TV
• indépendant des caractéristiques
géométriques (h) ou mécaniques
(k, Eoed ) du problème
• ces caractéristiques ne sont
utilisées que pour le calcul de Tv
t
d
Ek
t
d
c
T
w
oedv
v ⋅
γ⋅
⋅
=⋅= 22
cv : coefficient de consolidation
d : distance de drainage
t : temps
)T(U vf= fonction indépendante et unique
61
3
3
50 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
.T
T
U
v
v
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.01 0.1 1 10
U
(%)
Tv
5. Théorie de la
consolidation
6. Durée des
tassements
7. Consolidation
secondaire
8. Tassements
admissibles
6.1 Détermination de cv à l'œdomètre
méthode de Casagrande
6.2 Temps nécessaire pour obtenir le tassement final
6.3 Consolidation d'un sol composé de plusieurs couches
6.4 Prise en compte du temps de chargement
6.5 Réduction du temps de consolidation
6.5.1 Méthode des drains
6.5.2 Méthode des surcharges
6- Durée des tassements
6- Durée des tassements
À partir de Tv
t
d
c
T v
v ⋅= 2
cv : coefficient de consolidation
d : distance de drainage
t : temps
Pour U donné → Tv par U= f (Tv) → v
v
T
c
d
t ⋅=
2
Exemple H = 1 m
cv = 2 x 10-8 m2/s
U = 50% Tv = 0,197
t = 114 jours
U = 100% Tv ≈ 2
t = 1157 jours
(3 ans et 2 mois)
U = 50% t = 28 jours
U = 100% t = 289 jours
drainage par 2 faces
→ temps divisé par 4
v
v
T
c
d
t ⋅=
2
6.1 Détermination de cv à l'œdomètre
méthode de Casagrande
À partir de la courbe de consolidation
→ application de la relation pour un degré de consolidation U de 50%t
d
c
T v
v ⋅= 2
t
dT
c v
v
2
⋅
=
• Tv = 0.197 (pour U=50%)
• d = distance de drainage
(demi épaisseur de l'échantillon dans l'oedomètre
• t = t50 = temps nécessaire pour atteindre 50%
de la consolidation primaire
tassement
log t
Détermination de t50
Ordre de grandeur de cv
6.2 Temps nécessaire pour obtenir le tassement final
déjà abordé en 6.0
6.3 Consolidation - sol composé de plusieurs couches
Couche équivalente unique homogène d'épaisseur Ht
2
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
∑
i vi
i
i
i
ve
c
h
h
c
6.4 Prise en compte du temps de chargement
Théorie de Terzaghi et Frohlich
→ chargement instantanné du sol
Correction pour la prise en compte du temps de construction (tc)
Hypothèses - surcharge appliquée linéairement en fonction du temps
- pour une surcharge donnée
tassement au temps t = tassement au temps t/2
surcharge progressive surcharge instantannée
• courbe théorique : charge appliquée instantanément à t0 = 0
• chargement linéaire entre t0 et t1
• tassement réel à t1 (B) = tassement observé si σ1 avait été appliquée à t1/2 (A)
• pour t > t1, la courbe réelle → translation AB de la courbe théorique
• pour t < t1 → tassement réel à ti = tassement à ti/2 mais pour σi < σ1
U' = degré de consolidation à ti/2 pour σ1
tassement pour
une contrainte σ1
1σ
σ
⋅′= i
UU→ U pour σi :
x
6.5.1 Méthode des drains
6.5 Réduction du temps de consolidation
Accélération de la consolidation
→ Deux principales méthodes
v
v
c
dT
t
2
⋅
= pour diminuer t, il faut augmenter cv
w
oed
v
Ek
c
γ
⋅
= donc augmenter k
favoriser la drainage de la couche compressible
Principe
- forages verticaux perméables qui traversent la couche compressible
- trame régulière
Théorie de la consolidation de Terzaghi généralisée en 3D
- consolidation verticale - consolidation radiale
t
d
c
TU v
vv ⋅=→ 2 t
D
c
TU r
rr ⋅=→ 2
( ) ( )rv UUU −⋅−=− 111
cr = coefficient de consolidation radiale
v
h
v
r
k
k
c
c
=
D = diamètre de la zone d'influence du drain
D = 1.05 L D = 1.13 L
- consolidation radiale
t
D
c
TU r
rr ⋅=→ 2
Exécution des drains
6.5.2 Méthode des surcharges
• Δσ n'affecte pas la relation U = f (Tv)• ajout de charge sur le sol
P0 : charge de service de l'ouvrage à construire …et sa courbe de consolidation
Procédé : • avant construction, appliquer une surcharge provisoire P1
P1 > P0
…sa courbe de consolidation
• pour obtenir s∞(P0)
tassement final sous P0
…puis enlever la surcharge
• en pratique, P1 est laissée moins longtemps (t2 < t1)
→ obtention de su (s∞ - su sans dommage pour l'ouvrage)
→ appliquer P1 pendant t1
5. Théorie de la
consolidation
6. Durée des
tassements
7. Consolidation
secondaire
8. Tassements
admissibles
7- Consolidation secondaire
Fluage du squelette minéral solide
5. Théorie de la
consolidation
6. Durée des
tassements
7. Consolidation
secondaire
8. Tassements
admissibles
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tassements admissibles
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Chapitre 3 tassements

  • 1. • Chapitre I Propriétés physiques des sols • Chapitre II Hydraulique des sols • Chapitre III Déformations des sols • Chapitre IV Résistance au cisaillement des sols Mécanique des sols I
  • 2. Chapitre III Déformations des sols 1- Contraintes dans les sols 2- Calcul des contraintes dues aux surcharges 3- Compressibilité des sols 4- Calcul du tassement – méthode des couches 5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich 6- Durée des tassements 7- Consolidation secondaire 8- Dispositions constructives – tassements admissibles 5. Théorie de la consolidation 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles
  • 3. Chargement d'un sol Surplus de contrainte Qu'est-ce qu'un tassement ? Conséquences des tassements sur les structures Types de tassements uniformes différentiels - affectent peu la structure - problèmes de raccordement remblai – ouvrage d'art canalisation – bâtiment - peuvent entraîner des désordres importants - structure hyperstatique → tassement entre 2 appuis Déformation verticale → tassements
  • 4. Ordre de grandeur des tassements admissibles Exemple d'une poutre de 10 mètres tassement total : 5 à 10 cm tassement différentiel : 0.0025 à 0.004 L → 2.5 à 4 cm
  • 5. A quoi sont dus les tassements ? La compressibilité résulte de : • la déformation des grains de sol • la compression de l'air et de l'eau contenus dans les vides • l'expulsion de l'eau contenue dans les vides • la compression du squelette solide négligeable négligeable Remarque : importance du temps et de la perméabilité des sols instantannée Si consolidation primaireeau chassée des vides : tassement Sp réarrangement des particules consolidation secondaire Ss Phénomène de compressibilité des sols diminution de volume
  • 6. - souvent négligeable (surtout pour les sols fins saturés) - évalué par la théorie de l'élasticité Composantes du tassement Tassement total (St) St = Si + Sp + Ss log temps tassement tassement de consolidation secondaire Ss tassement de consolidation primaire Sp tassement immédiat Si - le plus important - dépend fortement du temps - consolidation phénomène de réduction progressive du volume en fonction du temps d'une couche de sol saturé sous l'action d'une contrainte constante - peu important - très long terme - fluage du squelette solide
  • 7. Méthode d'obtention des tassements Si les lois de comportement étaient connues contraintes sur les particules solides + déformations somme des déformations tassementscharges appliquées lois de comportement Principe de calcul du tassement total (a) charges charges appliquées contraintes à la profondeur où on veut calculer le tassement (b) déformations étude expérimentale du sol calcul du tassement à partir des contraintes déterminées en (a) Prise en compte du temps de tassement : consolidation
  • 8. Démarche de ce chapitre Calcul des contraintes 1- Contraintes dans les sols 2- Calcul des contraintes dues aux surcharges Calcul du tassement total 3- Compressibilité des sols 4- Calcul du tassement – méthode des couches sans considérer l'évolution du tassement dans le temps Calcul du temps de consolidation 5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich 6- Durée des tassements fonction de la perméabilité du sol - sols fins - sols pulvérulents
  • 9. 1. Contraintes dans les sols 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement 1.1 Contrainte totale 1.2 Contrainte effective – postulat de Terzaghi 1.3 Contrainte réelle – principe de superposition 1.4 Contrainte naturelle ou géostatique : σv0 1.4.1 Sol homogène à surface horizontale 1.4.2 Sol homogène à surface inclinée 1.4.3 Sol stratifié à surface horizontale 1.4.4 Sol inondé à surface horizontale 1.5 Contrainte due aux surcharges : Δσz 1- Contraintes dans les sols
  • 10. 2. Calcul des contraintes1. Contraintes dans les solsCalcul des contraintes 1.1 Contrainte totale Comment se répartissent les contraintes dans un sol, sachant que ce dernier est multiphasique ? Sol global - milieu continu, sans distinction entre les phases solide et liquide - complètement saturé les contraintes exercées en un point sur une facette donnée contraintes totales Phases prises séparément - lois de comportement différentes - répartition des contraintes entre le solide et l'eau squelette solide responsable - des déformations - de la résistance au cisaillement eau - incompressible - aucune résistance au cisaillement
  • 11. 1.2 Contrainte effective – postulat de Terzaghi Répartition des contraintes - contraintes transmises dans le squelette des grains solides du sol contraintes effectives ',' τσ - les seules contraintes pouvant exister dans l'eau sont des pressions pression interstitielle contrainte normale, sans cisaillement u τ=τ −σ=σ ' u' Postulat de Terzaghi (autour de 1920) contrainte normale totale pression de l'eau contrainte effective - responsable des tassements et de la résistance au cisaillement Remarques - sol sec → - pas de mesure de σ=σ' 'σ
  • 12. Lorsque le sol est partiellement saturé… Matrices de contraintes - contraintes sur les grains solides ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ′τ′τ′ τ′σ′τ′ τ′τ′σ′ =Σ′ zyzxz yzyxy xzxyx s - pression interstitielle ( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Σ u u u w 00 00 00
  • 13. zvz σΔ+σ=σ 0 1.3 Contrainte réelle – principe de superposition Principe de superposition dans le domaine élastique linéaire, l'effet produit par l'action simultanée de plusieurs forces est égal à la somme de ceux produits par chacune des forces agissant séparément contrainte à la profondeur z contrainte due au poids des terres contraintes dues aux surcharges sol : milieu semi-infini élastique
  • 14. 1.4 Contrainte naturelle ou géostatique Contrainte naturelle 0vσ - contrainte dans le sol avant tout chargement supplémentaire - poids des terres 1.4.1 Sol homogène à surface horizontale Hdz v H v γ=σ⇒γ=σ ∫ 0 0 0 z x 0vσ γ H
  • 15. 1.4.2 Sol homogène à surface inclinée après application des équations d'équilibre β⋅β⋅γ=β⋅γ=τ β⋅γ=β⋅γ=σ cossinzsiny coszcosy xy y 2 x T γβ y n t z x γβ y n t y σ β⋅= coszyet y
  • 16. ∑= ⋅γ=σ=σ n i iivz h 1 0 1.4.3 Sol stratifié à surface horizontale x y
  • 17. 1.4.4 Sol inondé à surface horizontale indépendant de hwzσ′ ww h⋅γ ww h⋅γ ( )yhww +⋅γ y⋅γ′ysat ⋅γ+ww h⋅γ wγ satγ zσ y hw contrainte totale yσ pression interstitielle u- contrainte effective yσ′=
  • 18. 1.5 Contrainte due aux surcharges : Δσz Surplus de charge qui va engendrer un déséquilibre du sol ΔσremblaiΔσpont Argile
  • 19. 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement 2- Calcul des contraintes dues aux surcharges 1. Contraintes dans les sols 2.1 Détermination des surcharges 2.2 Charge concentrée : Q – relation de Boussinesq 2.3 Charge répartie : q 2.3.1 Principe de calcul 2.3.2 Charge uniforme circulaire 2.3.3 Charge uniforme rectangulaire 2.3.4 Charge uniforme répartie sur une surface quelconque 2.3.5 Charge trapézoïdale de longueur infinie (demi-remblai) 2.3.6 Charge triangulaire de longueur b (talus) 2.3.7 Distribution simplifiée
  • 20. 2.1 Détermination des surcharges Cas particulier : surface uniformément chargée → sol soumis à un chargement uniforme q sur une surface importante qz =σΔ transmission directe des contraintes Autres cas qz ≠σΔ dissipation des contraintes avec la profondeur Pour le calcul de zσΔ - le sol est un milieu semi-infini - le sol est élastique et non pesant
  • 21. 2.2 Charge concentrée : Q – relation de Boussinesq Répartition des contraintes sous une charge ponctuelle - distribution suivant des plans horizontaux
  • 22. - bulbe de contraintes
  • 23. Calcul de en fonction de la profondeur zzσΔ Formule de Boussinesq (1885) ( ) θ⋅⋅ π = + ⋅ π =σΔ 5 22522 3 1 2 3 2 3 cos z Q zr zQ z ( ) 2522 2 2 3 zr rzQ z + ⋅ ⋅ π =σΔ N z Q z ⋅=σΔ 2 ou ou avec N = f (r/z) abaque
  • 24.
  • 25. 2.3 Charge répartie : q 2.3.1 Principe de calcul - Intégration de )(d zσΔ - formule de Boussinesq - principe de superposition - différentes distributions de charges - milieux semi-infinis et non pesants - Cas usuels de chargement (fondations, remblais…) - formules pour les cas simples - abaques - Principe de calcul qIz ⋅=σΔ I q zσΔ contrainte sur une facette horizontale charge verticale uniformément répartie coefficient d'influence (<1), qui dépend de - z - écartement par rapport à la zone chargée - forme et dimension de la surcharge
  • 26. 2.3.2 Charge uniforme circulaire
  • 27. 2.3.3 Charge uniforme rectangulaire Abaque de Steinbrenner - calcul sous un angle de l'aire chargée - I en fonction de L/z et B/z - L et B interchangeables
  • 28. 1 I1 2 + I2 3 - I3 4 - I4 1 I1 3 + I3 2 + I2 4 + I4 2.3.3 Charge uniforme rectangulaire IA = A B Exemples IB =
  • 29. 1 carreau = 0,005 2.3.4 Charge uniforme répartie sur une surface quelconque Abaque de Newmark longueur ab • ouvrage dessiné à partir de cette échelle ab • centre de l'abaque : point sous lequel on cherche la contrainte • contrainte proportionnelle au nombre de carreaux dans la surface chargée profondeur z du point sous lequel on cherche la contrainte qn,qIz ⋅⋅=⋅=σΔ 0050
  • 30. AB = 1,5 x OQ environ 8 carreaux qn,qIz ⋅⋅=⋅=σΔ 020 kPa kPa z z , 40 2508020 =σΔ ××=σΔ Pour une autre profondeur, nouveau dessin avec nouvelle échelle
  • 31. 2.3.5 Charge trapézoïdale de longueur infinie (demi-remblai) Abaque d'Österberg
  • 32. 2.3.6 Charge triangulaire de longueur b (talus) Abaque de Fadum
  • 33. 2.3.7 Distribution simplifiée - méthode la plus simple - valeur approximative des contraintes • diffusion uniforme des contraintes avec la profondeur • limitée par des droites faisant une pente 2:1 (vertical:horizontal) z 1 2 zσΔ même charge totale mais sur une surface plus grande 0=σΔ z M P q
  • 34. 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement 1. Contraintes dans les sols 3.1 Sols pulvérulents et sols fins 3.2 L’œdomètre 3.3 Courbe de compressibilité 3.4 Phénomène de la consolidation primaire 3.5 Caractéristiques de la compressibilité 3.5.1 Pression de préconsolidation 3.5.2 Indice de compression 3.5.3 Indice de gonflement 3.5.4 Module œdométrique 3.6 Classification des sols vis à vis de la compressibilité 3.6.1 Sol normalement consolidé 3.6.2 Sol surconsolidé 3.6.3 Sol sous-consolidé 3- Compressibilité des sols
  • 35. 3.1 Sols pulvérulents et sols fins Matériau granulaire soumis à une compression unidimensionnelle - courbe contraintes / déformations (sable en compression) - déformation → indice des vides - rotation du système d'axes e = f (σ)
  • 36. - début de chargement → déformations importantes - par la suite → ralentissement (déformation des grains) - cycle de décharge → comportement non réversible - importance de l'indice de densité minmax max D ee ee I − − = faible : sol lâche → compressible élevé : sol serré → très peu compressible
  • 37. - compression en fonction du temps atteinte rapidement évacuation rapide de l'eau compressibilité - seulement due à la compression du squelette solide tassement instantanné - au moment de l'application des charges - souvent pendant la construction - identique sur sol sec, humide ou saturé Matériau granulaire soumis à une compression unidimensionnelle
  • 38. 3.1 Sols pulvérulents et sols fins Tassement des sols fins différent pcq l'eau s'évacue moins vite - application d'une surcharge : transmission à l'eau - évacuation de l'eau : transmission au grains solides Approche phénoménologique : analogie du ressort
  • 40. 3.2 L'œdomètre (étude expérimentale de la compressibilité des sols) Description de l'appareillage
  • 42. Procédure d'essai • application d'une contrainte verticale uniforme sur l'échantillon • mesure du tassement correspondant au cours du temps log t Δh Δu = 0 t = 0 u = σ σ' = 0 σ 0 fin de l'essai 1 u = 0 σ' = σ σ Δh1 Pression interstitielle Temps Contrainte effective Contrainte totale Tassement 1 essai à 1 charge donnée Δh1
  • 43. L'essai œdométrique fournit deux types de courbes • courbe de consolidation log t Δh log t Δh tassement de l'échantillon en fonction du temps pour une contrainte constante • courbe de compressibilité tassement en fonction de la contrainte appliquée essai répété pour plusieurs contraintes croissantes sur le même échantillon Δh1Δh1
  • 44. 3.3 Courbe de compressibilité
  • 45. 3.3 Courbe de compressibilité 00 1 e e H H ii + Δ = Δ ii eee Δ−= 0 Obtention de la courbe Description de la courbe t t V V H H Δ = Δ 0 sv v VV V + Δ = s sv s v V VV V V + Δ = 01 e e + Δ =
  • 46. 3.4 Phénomène de la consolidation primaire déjà abordé en 3.1
  • 47. 3.5 Caractéristiques de la compressibilité 3.5.1 Pression de préconsolidation Schématisation de la courbe de compressibilité log σ' e σ'p A B C • Pression de préconsolidation σ'p - entre A et B • faible tassement • contraintes auxquelles le sol a déjà été soumis • à un moment ou à un autre de son histoire géologique, le sol a été soumis à une pression ≤ σ'p (exemple : poids des terres) - entre B et C • forte compressibilité le sol ne peut pas supporter plus que σ'p sans se déformer de façon importante • le sol est soumis à des contraintes supérieures à toutes celles qu'il a déjà connues • courbe vierge de compressibilité les sols sont donc des matériaux à mémoire
  • 48. 3.5.2 Indice de compression (cc ) log σ' e σ'p A B C cc cspente de la courbe vierge de compressibilité ( )σ′Δ Δ −= log e cc incompressible très peu compressible peu compressible lorsque " " cc < 0,02 0,02 < cc < 0,05 0,05 < cc < 0,10 Sables moyennement compressible " 0,10 < cc < 0,20 Kaolinites assez fortement compressible très compressible " " 0,20 < cc < 0,30 0,30 < cc < 0,50 Illites extrêmement compressible " 0,50 < cc Montmorillonites ( )100090 −⋅= Lc w.crelation empirique Sables Kaolinites Illites Montmorillonites 0,01 < cc < 0,1 0,1 < cc < 0,25 0,25 < cc < 0,8 0,8 < cc < 2,5
  • 49. 3.5.4 Module œdométrique relie les déformations aux contraintes H H Eoed Δ ⋅−=σ′Δ ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ σ′ σ′Δ + σ′Δ ⋅ + = Δ +σ′Δ = Δ σ′Δ = 1 11 0 log c e e e H H E c oed - non constant - dépend de l'état de contrainte initiale considérée σ' et de l'intervalle de contrainte Δσ' 3.5.3 Indice de gonflement (Cs ) pente d'un cycle de déchargement-rechargement
  • 50. 3.6 Classification des sols selon la compressibilité Prélèvement d'un échantillon de sol à une profondeur donnée - contrainte effective à laquelle était soumis le sol : σ'v0 - essai œdométrique : σ'p 3.6.1 Sol normalement consolidé pv σ′≈σ′ 0Si le sol est normalement consolidé (NC) log σ' e σ'p σ′Δ application d'une surcharge au sol → tassement suivant courbe vierge dans le passé → ce sol a tassé uniquement sous son propre poids
  • 51. 3.6.2 Sol surconsolidé log σ' e σ'p σ′Δ 0vσ′ pv σ′<σ′ 0Si le sol est surconsolidé (SC) à un moment antérieur de son histoire → ce sol a été soumis à une contrainte supérieure au poids des terres actuel Ex : érosion, excavation, changement de niveau de la nappe phréatique 3.6.3 Sol sous-consolidé log σ' e σ'p σ′Δ 0vσ′ consolidation primaire pas terminée → le sol n'a pas encore été soumis à une contrainte aussi élevée que σ'v0 (poids des terres actuel) Ex : remblai récent, mal compacté
  • 52. Bilan - Intérêt de la classification - fondations sur sol normalement consolidé toute surcharge entraîne un tassement, dépendant de cc log σ' e σ'p σ′Δ - fondations sur sol surconsolidé pv σ′<σ′Δ+σ′ 0 faibles tassements, voire négligeables log σ' e σ'p σ′Δ 0vσ′ - sol sous-consolidé inconstructibles sans traitement particulier déformations même sans surcharge log σ' e σ'p σ′Δ 0vσ′
  • 53. eΔ ( )σ′Δ log 2. Calcul des contraintes 3. Compressibilité des sols 4. Calcul du tassement 1. Contraintes dans les sols 4- Calcul du tassement méthode des couches ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ′ σ′Δ +⋅ + ⋅−=Δ 00 0 1 1 v c log e c HH log σ' e ( )σ′Δ Δ −= log e cc ( ) σ′−σ′Δ+σ′ loglog ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ σ′ σ′Δ +1log σ′ σ′Δ+σ′ σ′Δ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ′ σ′Δ +⋅−=Δ 0 1 v c logce σ'p 01 e e H H + Δ = Δ et Sol normalement consolidé
  • 54. σ′Δ+σ′ 0v σ′Δ Sol surconsolidé pv σ′<σ′ 0 log σ' e σ'p 0vσ′ 0vp loglog σ′−σ′ ( ) pv loglog σ′−σ′Δ+σ′ 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ′ σ′Δ+σ′ ⋅ + ⋅−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ′ σ′ ⋅ + ⋅−=Δ p vc v ps log e c Hlog e c HH 0 0 0 00 0 11
  • 55. Méthode des couches • sol découpé en n couches de hauteur Hi • calcul du tassement de chacune des couches ∑= Δ= n i iHs 1 - 1 essai oedométrique par couche - cc et σ 'p par couche - σ 'v0 et Δσ ' par couche Δσ'
  • 56. 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles 5.1 Hypothèses 5.2 Équation de la consolidation 5.3 Solution de l’équation de Terzaghi 5- Théorie de la consolidation de Terzaghi et Frohlich
  • 57. Degré de consolidation Calcul précédent → tassement total d'un sol fin - surpressions interstitielles évacuées - surcharges reprises par les grains solides Pour un sol très fin → quelques mois à plusieurs années - où en est la consolidation primaire ? - combien de temps pour avoir le tassement total ? Utilisation de la théorie de Terzaghi et Frohlich - degré de consolidation moyen d'une couche compressible ∞ = s s U t tassement de la couche au temps t tassement final de la couche en %
  • 58. Sachant que - le tassement est fonction de la diminution de la surpression interstitielle plus l'eau s'évacue plus les grains solides reprennent la surcharge Δσ ' plus le tassement progresse On peut montrer que ∞ = s s U t iu u Δ Δ −= 1 surpression interstitielle au temps t surpression interstitielle initiale - à l'instant initial (t=0) 0=→Δ=Δ Uuu i - à la fin de la consolidation 10 =→=Δ Uu
  • 59. 5.1 Théorie de la consolidation - Hypothèses Description du problème - couche compressible d'épaisseur constante 2h - entre 2 couches de matériaux perméables (sable ou gravier) - surcharge uniformément répartie couche compressible couche perméable couche perméable σΔ 2hHypothèses 1- étude de la consolidation primaire 2- sol de la couche compressible → homogène 3- grains + fluide → incompressible 4- sol saturé 5- loi de Darcy applicable 6- k constant sur 2h 7- squelette → élasticité linéaire (Eoed constant)
  • 60. 5.2 Équation de la consolidation On démontre que la consolidation U au temps t (en %) : iu u U Δ Δ −= 1 σΔ Δ −= ∫ h dzu )t,z( h 2 1 2 0 2h Δσ Δu z t1t2t3t4 t=0 Δσ )t,z(uΔ isochrones tf - aire sous isochrone ti - surpression interstitielle en un point z, au temps t - aire sous isochrone initiale (t=0) - surpression interstitielle initiale (=Δσ)
  • 61. Degré de consolidation → il suffit de déterminer pour trouver le degré de consolidation σΔ Δ −= ∫ h dzu U )t,z( h 2 1 2 0 )t,z(uΔ la façon dont se répartie la surpression interstitielle sur la couche compressible en fonction du temps )t,z(uΔ Équation de la diffusion → peut être représenté par l'équation de la diffusion de l'eau ou de la chaleur 2 2 z u c t u v ∂ Δ∂ = ∂ Δ∂ cv = coefficient de consolidation verticale w oed v Ek c γ ⋅ = (m2/s)
  • 62. 5.3 Solution de l’équation de Terzaghi Résolution d'une équation différentielle du second degré → solution à partir d'une série de Fourier Conditions limites 02 00 = = Δ Δ )t,h( )t,( u u surpressions interstitielles nulles aux frontières de la couche σΔ=Δ=Δ→= iuutsi 0 Solution de l'équation ∑⋅σΔ=Δ )T()Z(u )t,z( 21 ff Z et T sont des paramètres sans dimension
  • 63. Paramètres sans dimension Z : paramètre géométrique T : facteur temps σΔ Δ −= ∫ h dzu U )t,z( h 2 1 2 0 Retour au degré de consolidation → en remplaçant on obtient :)t,z(uΔ ∑ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ π− ⋅⋅ π −= 4 18 1 22 2 vTn exp n U )T(U vf= U ne dépend que de TV • indépendant des caractéristiques géométriques (h) ou mécaniques (k, Eoed ) du problème • ces caractéristiques ne sont utilisées que pour le calcul de Tv t d Ek t d c T w oedv v ⋅ γ⋅ ⋅ =⋅= 22 cv : coefficient de consolidation d : distance de drainage t : temps
  • 64. )T(U vf= fonction indépendante et unique 61 3 3 50 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = .T T U v v 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.01 0.1 1 10 U (%) Tv
  • 65. 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles 6.1 Détermination de cv à l'œdomètre méthode de Casagrande 6.2 Temps nécessaire pour obtenir le tassement final 6.3 Consolidation d'un sol composé de plusieurs couches 6.4 Prise en compte du temps de chargement 6.5 Réduction du temps de consolidation 6.5.1 Méthode des drains 6.5.2 Méthode des surcharges 6- Durée des tassements
  • 66. 6- Durée des tassements À partir de Tv t d c T v v ⋅= 2 cv : coefficient de consolidation d : distance de drainage t : temps Pour U donné → Tv par U= f (Tv) → v v T c d t ⋅= 2
  • 67. Exemple H = 1 m cv = 2 x 10-8 m2/s U = 50% Tv = 0,197 t = 114 jours U = 100% Tv ≈ 2 t = 1157 jours (3 ans et 2 mois) U = 50% t = 28 jours U = 100% t = 289 jours drainage par 2 faces → temps divisé par 4 v v T c d t ⋅= 2
  • 68. 6.1 Détermination de cv à l'œdomètre méthode de Casagrande À partir de la courbe de consolidation → application de la relation pour un degré de consolidation U de 50%t d c T v v ⋅= 2 t dT c v v 2 ⋅ = • Tv = 0.197 (pour U=50%) • d = distance de drainage (demi épaisseur de l'échantillon dans l'oedomètre • t = t50 = temps nécessaire pour atteindre 50% de la consolidation primaire tassement log t
  • 71. 6.2 Temps nécessaire pour obtenir le tassement final déjà abordé en 6.0
  • 72. 6.3 Consolidation - sol composé de plusieurs couches Couche équivalente unique homogène d'épaisseur Ht 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ i vi i i i ve c h h c
  • 73. 6.4 Prise en compte du temps de chargement Théorie de Terzaghi et Frohlich → chargement instantanné du sol Correction pour la prise en compte du temps de construction (tc) Hypothèses - surcharge appliquée linéairement en fonction du temps - pour une surcharge donnée tassement au temps t = tassement au temps t/2 surcharge progressive surcharge instantannée
  • 74. • courbe théorique : charge appliquée instantanément à t0 = 0 • chargement linéaire entre t0 et t1 • tassement réel à t1 (B) = tassement observé si σ1 avait été appliquée à t1/2 (A)
  • 75. • pour t > t1, la courbe réelle → translation AB de la courbe théorique • pour t < t1 → tassement réel à ti = tassement à ti/2 mais pour σi < σ1 U' = degré de consolidation à ti/2 pour σ1 tassement pour une contrainte σ1 1σ σ ⋅′= i UU→ U pour σi :
  • 76. x
  • 77. 6.5.1 Méthode des drains 6.5 Réduction du temps de consolidation Accélération de la consolidation → Deux principales méthodes v v c dT t 2 ⋅ = pour diminuer t, il faut augmenter cv w oed v Ek c γ ⋅ = donc augmenter k favoriser la drainage de la couche compressible Principe - forages verticaux perméables qui traversent la couche compressible - trame régulière
  • 78. Théorie de la consolidation de Terzaghi généralisée en 3D - consolidation verticale - consolidation radiale t d c TU v vv ⋅=→ 2 t D c TU r rr ⋅=→ 2 ( ) ( )rv UUU −⋅−=− 111
  • 79. cr = coefficient de consolidation radiale v h v r k k c c = D = diamètre de la zone d'influence du drain D = 1.05 L D = 1.13 L - consolidation radiale t D c TU r rr ⋅=→ 2
  • 81. 6.5.2 Méthode des surcharges • Δσ n'affecte pas la relation U = f (Tv)• ajout de charge sur le sol P0 : charge de service de l'ouvrage à construire …et sa courbe de consolidation Procédé : • avant construction, appliquer une surcharge provisoire P1 P1 > P0 …sa courbe de consolidation • pour obtenir s∞(P0) tassement final sous P0 …puis enlever la surcharge • en pratique, P1 est laissée moins longtemps (t2 < t1) → obtention de su (s∞ - su sans dommage pour l'ouvrage) → appliquer P1 pendant t1
  • 82. 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles 7- Consolidation secondaire Fluage du squelette minéral solide
  • 83. 5. Théorie de la consolidation 6. Durée des tassements 7. Consolidation secondaire 8. Tassements admissibles 8- Dispositions constructives tassements admissibles