Passage du bael à l'eurocode 2

Béton Armé
Passage du BAEL à l’Eurocode 2
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
qnguyen@insa-rennes.fr

2Passage du BAEL à l’Eurocode 2
Forum scientifique MEDIBAT, 8-11 Mars 2017, Sfax - Tunisie
1. Eurocodes
2. Combinaisons des actions aux états-limites ;
3. Analyse structurale
4. Caractères des matériaux
5. Règle des trois pivots
6. Coefficient d’équivalence
7. Classe d’environnement & maîtrise de fissuration
8. Limitation des contraintes et des flèches
9. Effort tranchant
10. Exemple: calcul d’une poutre en flexion simple selon les Eurocodes
Table des matières

EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures
EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton
EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier
EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton
EN 1995 Eurocode 5 : Conception et calcul des structures en bois
EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des ouvrages en maçonnerie
EN 1997 Eurocode 7 - Calcul géotechnique
EN 1998 Eurocode 8 - Calcul des structures pour leur résistance aux séismes
EN 1999 Eurocode 9 - Calcul des structures en aluminium
Les Eurocodes sont les normes européennes de conception, de dimensionnement et de
justification des structures de bâtiment et de génie civil.

EN 1990 Eurocode 0
Bases de calcul
EN 1991 Eurocode 1
Actions
EN 1992
Eurocode 2
Béton
EN 1993
Eurocode 3
Acier
EN 1994
Eurocode 4
Acier-béton
EN 1995
Eurocode 5
Bois
EN 1996
Eurocode 6
Maçonnerie
EN 1999
Eurocode 9
Aluminium
EN 1997
Eurocode 7
Géotechnique
EN 1999
Eurocode 8
Séisme
Sécurité structurale, aptitude au
service, durabilité et robustesse
Actions et charges sur les
structures
Conception, dimensionnement
et dispositions constructives:
règle de calcul pour différents
matériaux
Calcul géotechnique et
sismique
Lien entre les Eurocodes

Combinaisons d’actions à l’ELU (cas de bâtiments)
  1max min 1 0
1
1.35 ou
iQ Q i i
i
G G Q Q

    
Combinaisons fondamentales
 ,sup ,inf 1 0
1
1.3 ou 0.9 1.5
ik k Q i ki
i
G G Q Q

   
BAEL Eurocode
• ELU-STR (résistance de la structure)
• ELU-EQU (équilibre statique)
• ELU-GEO (résistance du sol): …
• ELU-FAT (fatigue) : …
 ,sup ,inf 1 0
1
1.35 ou 1.5
ik k Q i ki
i
G G Q Q

   
1.3 si défavorable; et 0 sinon
iQ iQ 
1.5 si défavorable; et 0 sinon
iQ iQ 1
1.5 (cas général); et
1.35(cas particulier: température ...)
Q 



BAEL Eurocode
Combinaisons d’actions à l’ELS (cas de bâtiments)
• Combinaison caractéristique:
• Combinaison quasi-permanente:
• Combinaison fréquente:
 max min 1 0
1
ou i i
i
G G Q Q

   , ,1 0, ,
1 1
k j k i k i
j i
G Q Q
 
  
, 2, ,
1 1
k j i k i
j i
G Q
 
 
, 1,1 ,1 2, ,
1 1
k j k i k i
j i
G Q Q
 
   
• Combinaison rare

Eurocode
• Pour les situations de projets accidentelles
Eurocode: L’action sismique ne fait pas partie des
actions accidentelles comme dans le BAEL
• Pour les situations de projet sismique
Combinaisons accidentelles
Combinaisons d’actions à l’ELU (cas de bâtiments)
 max min 11 1 2
1
ou A i i
i
G G F Q Q

    
BAEL
 , 1,1 2,1 ,1 2, ,
1 1
ouk j d k i k i
j i
G A Q Q
 
     
, Ed 2, ,
1 1
k j i k i
j i
G A Q
 
  

Exemple: Combinaisons d’actions pour un bâtiment de bureaux
Combinaisons fondamentales à l’ELU de résistance
Conclusion: Concernant les actions variables d’accompagnement
• l’EC considère 5% plus de charge d’exploitation
• l’EC considère 10% moins de charge due au vent
• l’EC considère 25% moins de charge de neige
• l’EC considère 15,4% plus d’action thermique

Exemple: Combinaisons d’actions à l’ELS d’une poutre de bâtiment de bureaux
Conclusion: Les flèches sont vérifiées à l’ELS
avec des sollicitations moins élevées selon
l’Eurocode
Actions considérées: Charges permanentes G et charge d’exploitation QB
EurocodeBAEL
BG Q • Combinaison caractéristique (utilisée pour la
vérification des contraintes)
• Combinaison quasi-permanente (utilisée pour
la vérification des flèches, de l’ouverture des
fissures)
BG Q
0.3 BG Q

Analyse structurale
L’analyse linéaire élastique (calcul de type RdM)
Eurocode 2 (§5.4  §5.7)BAEL (A.3.2,1)
Quatre types d’analyse sont admis dans l’EC2
1. L’analyse linéaire élastique (celle du BAEL):
utilisable à l’ELU et à l’ELS
2. L’analyse linéaire élastique avec redistribution:
utilisable à l’ELU
3. L’analyse non linéaire: utilisable à l’ELU
4. L’analyse plastique: utilisable à l’ELU et à l’ELS
A.3.2,1 Règles générales
D'une façon générale les sollicitations sont calculées en
utilisant pour la structure un modèle élastique et linéaire
(*). On emploie les procédés de la Résistance des Matériaux
dans la mesure où la forme des pièces le permet (**).
La portée de calcul des poutres et des dalles est la
portée entre nus
La portée de calcul des poutres et des dalles est la
portée entre nus La portée de calcul est la portée
entre axes, mais pour les poutres (ou dalles) liées
monolithiquement avec leurs supports, on prend le
moment au nu.

Loi de comportement du béton
Eurocode 2 (§3.1.7)BAEL (A.4.3,4)
Calcul des sections
bc
bc
cj
b
0.85f

2‰ 3.5‰
Diagramme parabole-rectangle
n
c
c cd c cu
cu
c cd cu c cu2
f 1 1 si
f si
         
   
  

  

   
• Le coefficient réducteur 0,85 de la résistance
du béton a disparu dans l’EC2;
Commentaire: fcj et fck ne sont pas déterminés
de la même façon dans BAEL et EC2. En effet,
pour le même lot d’échantillons, fck ≈ fcj – 4MPa
 d’où la disparition du coefficient 0,85.
c
c
ckf
c2
ck
cd
c
f
f 

cu2
ckfn
cucu2

Eurocode 2 (§3.1.7)BAEL (A.4.3,4)
Calcul des sections
bc
cj
b
(0.8 ou 0.85)f

uY u0.8Y
Diagramme rectangulaire simplifié
Diagramme bilinéaire
c
c
ckf
ck
cd
c
f
f 

3.5‰1.75‰Déformation Contrainte
c cdf
x x
Diagramme rectangulaire simplifié
Déformation Contrainte

Eurocode 2 (§3.1.5)BAEL (A4.4,32)
Diagramme pour le calcul des déformations à
l’ELU de stabilité de forme
bc
bc
bc1 bcu
ijo bE / 
Relation contrainte-déformation pour l'analyse
structurale non-linéaire
2
c c1 c c1
c cm
c c1
k( / ) ( / )
f
1 (k 2)( / )


 
   

 
c
c
c1 cu1

cmf
cmtan Ecm0.4f
Note: Pour l’analyse structurale, la résistance
moyenne fcm est utilisée, non pas la résistance
caractéristique fck /𝛾𝑐 comme pour le calcul des
sections.
 cm ckf f 8 MPa

Loi de comportement des aciers
Eurocode 2 (§3.2.7)BAEL (A2.2,2)
• Deux types de diagramme contrainte-déformation: à
palier horizontal (comme BAEL) et à palier incliné;
• 3 classes de ductilité pour les aciers: ductilité
normale (A); haute ductilité (B) et très haute ductilité
(C)
c
s
ef
10‰e sf / E
sE 200GPa
Classe fyd (Mpa) fud (MPa) εud
A 435 458 22,5‰
B 435 471 45‰
C 435 503 67,5‰
c
s
ydf
ud
yd sf / E
sE 200GPa
udf
Diagramme à palier horizontal
Diagramme à palier incliné
Remarque: Par rapport au BAEL, l’acier
défini dans l’EC est beaucoup plus ductile.

Règle des trois pivots
Diagramme des déformations limites de la section
Eurocode 2 (§6.1)BAEL (A.4.3,3)
10‰ ud
3.5‰ 3.5‰
2‰
A
B
C
B
C
A
d
0.259d
h
3h
7
3h
7
0.135d
2‰
ckcas du béton ordinaire f 50MPa
Traction excentrée
Flexion simple ou composée
PIVOT A :
PIVOT B
PIVOT C
Flexion simple ou composée
Compression excentrée
Classe εud
Acier A 22,5‰
Acier B 45‰
Acier C 67,5‰
L’EC2 ne retient plus le pivot A à εs=10‰ mais à
εud qui est en tous cas plus grand que 10‰.

Coefficient d’équivalence acier/béton
Eurocode 2(§7.4.3(5))BAEL (A4.5,1)
s
c
E
n 15
E
 
En BA les sections sont pratiquement homogénéisées en assimilant la section d’acier à une section équivalente
de béton  travailler avec un seul matériau.
• Pour de charges de plus ou moins courte durée et à longue durée
(Combinaison caractéristique des actions):
• Pour de charges essentiellement permanentes (Combinaison
quasi-permanente des actions):
 s
0
c,28j
E
n 1 ( ,t )
E
  
 s
ef
c,28j
E
n 1
E
 
0( ,t ) : valeur finale du coefficient de fluage 
ef : coefficient de fluage effectif
Valeur utilisée pour la vérification
des contraintes à l’ELS
Valeur utilisée pour la vérification
des flèches et de l’ouverture des
fissures à l’ELS
cas courant: n 16; 18 
 
cas courant: n 18; 20 
 
L’EC2 ne retient plus le coefficient
d’équivalence acier/béton égal à 15.
Ce coefficient est défini en fonction
du coefficient de fluage de béton.

Classes d’exposition
BAEL (A.7.1)
Le BAEL ne stipule pas de classe
d’exposition mais il indique les
dispositions à prendre en compte
pour la protection des armatures.
A.7.1 Protection des armatures
L'enrobage de toute armature est au moins égal
à :
- 5 cm pour les ouvrages à la mer ou exposés
aux embruns ou aux brouillards salins, ainsi
que pour les ouvrages exposés à des
atmosphères très agressives (*)
…
Eurocode 2(§7.4.3(5))
L’EC2 définit 18 classes d’environnements suivantes :
– X0 : aucun risque de corrosion ou d’attaque;
– XC1, XC2, XC3, XC4 : classes correspondant au risque
de carbonatation ;
– XD1, XD2, XD3 : classes correspondant au risque de
corrosion par les chlorures ;
– XS1, XS2, XS3 : classes correspondant au risque de
corrosion par les chlorures présents dans l’eau de mer ;
– XF1, XF2, XF3, XF : classes correspondant au risque
d’attaque par gel et dégel ;
– XA1, XA2, XA3 : classes correspondant au risque
d’attaques chimiques.
Nouveauté de l’EC2: définition des classes d’exposition
L’EC2 ne reconduit plus les conditions sur les enrobages en fonction des
états de fissuration, comme le BAEL. Il définit la notion d’enrobage
nominal minimal Cnom comme suit : c’est l’enrobage minimal Cmin
(déterminé en fonction de la classe d’exposition) augmenté d’une valeur
ΔCdev = 1cm correspondant aux tolérances d’exécution.
nom min min min,dur)C C 1cm avec C max( ,C  

L’EC2 impose d’utiliser la classe structurale S4 pour les bâtiments et ouvrages
de génie civil courants. La classe S4 correspond à une durabilité de l’ouvrage
de 50 ans.
nom min
min min,dur)
C C 1cm
avec C max( ,C
 

Conditions d’enrobage (EC2-1-1 §4.4.1)

Exigences de durabilité (EC2-1-1 §4.3)
• (1)P Pour atteindre la durée d'utilisation de projet requise pour la structure, des dispositions appropriées
doivent être prises afin de protéger chaque élément structural des actions d'environnement concernées.
• (2)P Les exigences de durabilité doivent être prises en compte dans:
— la conception de la structure,
— le choix des matériaux,
— les dispositions constructives,
— l'exécution,
— la maîtrise de la qualité,
— les inspections,
— les vérifications,
— les dispositions particulières
(utilisation d'acier inoxydable,
revêtements, protection cathodique).
Tableau E.1N: Classes indicatives de résistance
pour la durabilité (Annexe E de l’EC 2)

Limitation des contraintes à l’ELS
Eurocode 2 (§7.2)BAEL
• Béton: La contrainte de compression du béton est
limitée à 0,6fck pour les zones soumises aux classes
d’exposition XD (corrosion induite les chlorures), XS
(corrosion induite par les chlorures présents dans
l’eau de mer) et , XF(attaque gel/dégel).
• Acier:
 La contrainte de traction dans les armatures doit
être limitée afin d'éviter les déformations
inélastiques ainsi qu'un niveau de fissuration ou
de déformation inacceptable.
 Nous pouvons considérer qu'un niveau de
fissuration ou de déformation inacceptable est
évité si, sous la combinaison caractéristique de
charges, la contrainte de traction dans les
armatures n'excède pas 400 MPa. Lorsque la
contrainte est provoquée par une déformation
imposée, il convient de limiter la contrainte de
traction à 500 MPa.
• Béton: La contrainte de compression du
béton est limitée à 0,6fcj (A.4.5,2)
• Acier: La limitation des contraintes de traction
dans les armatures dépend cas où la
fissuration est considérée comme:
 Peu préjudiciable
 Préjudiciable
 Très préjudiciable

Maîtrise de la fissuration (EC2-1-1 §7.3)
La maîtrise de la fissuration est une nouveauté de l’EC2 par rapport au BAEL
• La fissuration est normale dans les structures en béton armé soumises à des sollicitations de flexion, d'effort
tranchant, de torsion ou de traction résultant soit d'un chargement direct soit de déformations gênées ou
imposées.
• La fissuration doit être limitée afin de ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure et de ne
pas rendre son aspect inacceptable (notion d’apparence).
• Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles ne
soient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure.
• Il convient de définir une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures (wmax) en tenant compte de la
nature et du fonctionnement envisagés de la structure ainsi que du coût de la limitation de la fissuration.
Valeurs recommandées de wmax suivant l’AN française (ANF 7.1)
 Fissuration peu
préjudiciable
0
Fissuration très
préjudiciable
Fissuration préjudiciable0

Eurocode 2 (§7.2)BAEL
• Béton: La contrainte de compression du béton est
limitée à 0,6fck pour les zones soumises aux classes
d’exposition XD (corrosion induite les chlorures), XS
(corrosion induite par les chlorures présents dans
l’eau de mer) et , XF(attaque gel/dégel).
 L’EC2 est plus favorable
• Acier:
 La contrainte de traction dans les armatures doit
être limitée afin d'éviter les déformations
inélastiques ainsi qu'un niveau de fissuration ou
de déformation inacceptable.
 Nous pouvons considérer qu'un niveau de
fissuration ou de déformation inacceptable est
évité si, sous la combinaison caractéristique de
charges, la contrainte de traction dans les
armatures n'excède pas 400 MPa. Lorsque la
contrainte est provoquée par une déformation
imposée, il convient de limiter la contrainte de
traction à 500 MPa.
• Béton: La contrainte de compression du
béton est limitée à 0,6fcj (A.4.5,2)
• Acier: La limitation des contraintes de traction
dans les armatures dépend cas où la
fissuration est considérée comme:
 Peu préjudiciable
 Préjudiciable
 Très préjudiciable
Limitation des contraintes à l’ELS

Eurocode 2 (§7.2)BAEL (B.6.5,3)
Pour des conditions d’utilisation normales, la flèche,
calculée par rapport aux actions quasi permanentes, doit
être inférieure à
• portée/250 dans les cas sans cloisonnement;
• portée/500 dans le cas de cloisonnement.
La flèche ne doit pas dépasser :
• pour les éléments supports reposant sur deux
appuis, les valeurs :
 L/500 si la portée L ≤ 5 m ;
 0,5 cm + L/1000 si la portée L > 5 m ;
• et pour les éléments supports en console, la
valeur :
 L/250 si la portée L ≤ 2 m ;
Limitation des flèches à l’ELS
Remarques:
• L’évaluation des flèches est totalement différent entre le BAEL et l’EC2. Pour l’EC2, on calcule
les caractéristiques des sections fissurées et non fissurées pour déterminer la flèche totale
alors que le BAEL se base sur un écart entre les flèches calculées sous différents cas de
charges (permanentes, permanentes avant cloisons, permanentes + exploitations).
• L’EC2 n’impose pas de calculer les flèches d’un élément si son rapport portée/hauteur L/d reste
inférieur à des limites définies par l’EC2 (méthode forfaitaire)

Le fonctionnement d’une poutre en BA après la fissuration oblique peut être modélisé comme celui d’une poutre
à treillis plan multiple avec bielles et tirants (treillis de Ritter-Mörsh) dans laquelle:
• La membrure tendue est constituée par les armatures longitudinales tendues (tirants);
• La membrure comprimée est constituée par la zone comprimée de la poutre (béton + armatures éventuelles);
• La hauteur est égale au bras de levier des forces internes 𝑧;
• Les diagonales comprimées sont les bielles de béton découpées par les fissures obliques d’inclinaison 𝜽 sur
la ligne moyenne de la poutre;
• Les diagonales tendues sont les cadres:
 Inclinés d’un angle 𝛼 sur la ligne moyenne;
 section Asw par nappe;
 espacement s mesuré parallèlement à la ligne moyenne.
Eurocode 2BAEL
Effort tranchant
EdM
EdV
EdN
s

A
A

A
sw
cdF
(cot cot )z  
z
swF
tdF
• L’angle des bielles 𝜽 est fixé à 45°
• 𝑧 = 𝑑
• L’angle des bielles 𝜽 est entre 21,8° et 45°
• 𝑧 = 0,9𝑑

Eurocode 2BAEL
Justification d’une section courante à l’effort tranchant
La justification à l’effort tranchant se base sur la
contrainte tangente conventionnelle 𝜏 𝑢
• Vérification du béton:
• Armatures d’âme requises:
L’EC2 raison directement à partir de l’effort tranchant
de calcul VEd (=Vu):
• Vérification du béton:
• Armatures d’âme requises:
u
u lim
0
V
b d
  
s u tjt
0 t e
( 0.3f k)A
b s 0.9f (sin cos )
 
 



Ed Rd,max cw 1 cd w 2
cot cot
1+cot
 
 


 V V f b z
Edsw
yd (cot cot )sin  


VA
s f z
lim1.11
Rd,maxEC2
BAEL
Comparaison BAEL/EC2: Contraintes de cisaillement ultime (MPa) avec cadres droits et 𝜃 = 45°
Conclusion: Le cisaillement vis-à-vis de la bielle béton de l’EC2 est légèrement plus favorable
que celui du BAEL

Effort tranchant résistant en fonction du pourcentage
d’armatures transversales (cadres verticaux)
Influence de l’angle des bielles sur le pourcentage d’armatures transversales
Justification d’une section courante à l’effort tranchant
21.8 45   
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
cot 2.5 
2.5 cot 1 
cot 1 
cot
1


 
Rd
cw 1 cd w
V
f b z

 
w yd
cw 1 cd
f
f
Conclusion: Plus l’angle 𝜃 est faible,
moins on place de cadres

On distingue deux cas :
• L’élément ne comporte pas d’armatures d’effort
tranchant (dalle):
• L’élément comporte des cadres d’effort tranchant:
Eurocode 2 (§6.2.3(7))BAEL (A.4.1,5)
Décalage de la courbe des moments
a
a
a
aa
Courbe de moments issu de l’analyse RdM
Courbe de moments décalée à utiliser pour
le calcul des efforts dans les armatures
longitudinales
a 0.8 h 0.89d 
dh
a d
a 0.45dcot
cas des armatures droites
0.45d a 1.125d

 
Conclusions:
• Pour les poutres avec des bielles à 45°, le
BAEL est plus défavorable vis-à-vis du calcul
des armatures longitudinales;
• Pour les poutres avec des bielles à 21,8°
 le décalage de l’EC2 est plus grand 
augmentation des longueurs des
armatures longitudinales
 Réduction d’armatures transversales

Pour une poutre formant une construction monolithique
avec ses appuis, il convient de dimensionner la section
sur appuis pour un moment fléchissant résultant de
l'encastrement partiel d’au moins 0,15 fois le moment
fléchissant maximal en travée, y compris lorsque des
appuis simples ont été adoptés dans le calcul.
Eurocode 2 (§9.2.1.2(2))BAEL (B.6.1,1)
a t,maxM 0.15M 
Courbe-enveloppe de moments
aM
t,maxM
poteau
poutre
Le BAEL n’est pas très explicite sur ce point.

Exemple de dimensionnement des armatures d’une poutre en flexion simple selon l’EC2
Données:
• Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500B
• Charges permanentes G = 14 kN/m; charges d’exploitation Q = 12 kN/m
• La poutre forme une construction monolithique avec ses appuis.
• Il s’agit d’une poutre dans une salle de sport (catégorie d’usage C)
• Classe d’environnement: XC3
• La maîtrise de la fissuration est requise (fissuration préjudiciable)
• L’humidité relative RH = 70%

Calcul préliminaire et hypothèses
o Portée de calcul:
o Béton C35:
o Acier B500B:
o Actions à l’ELU - Combinaison fondamentale:
o Actions à l’ELS - Combinaison caractéristique:
o Actions à l’ELS - Combinaison quasi-permanente:
o Angle des bielles:  décalage de la courbes de moments avec a = 1,125d
o Armatures transversales droites:
o Condition de non-fragilité:
  Ed 1.35 1.5 36,9kN/mp G Q
   eff 1 2 550 cmnuL L a a
      cd cu2
35
23,33 MPa; 0.0035 ; 0.8; 1
1,5
f
    yd ud
500
435 MPa; 0.045; 200000 MPa; 842 MPa
1,15 s shf E E
  ELS 26kN/mp G Q
  Eqp 0.6 21.2kN/mp G Q
  21.8
  90
 s,min max(0.26 ; 0.0013 ) 150 ²ctm
yk
f
A b d b d mm
f

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
[m]
Momentfléchissant[kNm]
Moment RdM
Moment RdM décalé: a = 1.125d
Moment résultant l'encastrement partiel
   a t,max0.15 20.9 kNmM M
t,max 139.5 kNmM
o Actions à l’ELU - Courbe enveloppe des moments

Calcul des armatures longitudinales de la section à mi- travée:
  

   
1
1 1 2 0.257u Ed

 


   su cu2
1
0.01 0.002175
ydu
u s
f
E
 
 

979 mm²
(1 0.5 )
théorique Ed
s
u su
M
A
d
 

     E
2
d
Ed Ed AB139. 0.5 kNm moment réduit 0.018 561 Pivot B5
cdbd f
M
M
Position de l’axe neutre:
Déformation des armatures tendues:
Contrainte dans les armatures tendues:  su 441 MPa (diagramme à palier incliné)
Aire de la section des armatures tendues:
Choix des armatures longitudinales: 5HA16  1005 mm²réel
sA

• Effort tranchant au nu des appuis
• Vérification de résistance des bielles:
• La densité théorique des armatures transversales est
calculé en se basant sur la résistance des tirants:
• Densité minimale imposée par l’EC2
• Solution: cadres espacés 25 cm 
Calcul des armatures transversales
 / 2 94.1 kNEd Ed nuV p L
Rd,max cw 1 cd w Ed2
cot
391 kN
1+cot

 

  V f b z V
 La résistance des bielles est surabondante
Ed,calsw sw
Ed Rd,s yd
ydthéorique
cot 0.182 mm²/mm
cot


 
      
 
VA A
V V z f
s s z f
cksw
w
ykmin
0,08
0.236mm²/mm
 
   
 
fA
b
s f
 Densité minimale sur toute la longueur
sw
réel
0.237 mm²/mm
 
  
 
A
s
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-125
-100
-75
-50
-25
0
25
50
75
100
125
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
Effort tranchant théorique
Effort tranchant de calcul
94.1
64.2
34.2

Vérifications à l’ELS
Après le dimensionnement à l’ELU, il est nécessaire d’effectuer des vérifications portant sur:
• La limite de contrainte dans le béton et dans l’acier
• La limite d’ouverture des fissures
• La limite de déformation (flèches)
• Section minimale d’armature
Problème:
 Données: MEd,ELS, MEqp, b, h, d1, d2, 𝜎 𝑠, 𝜎 𝑐, As1 (As2 éventuel) , 𝛿ad et wmax
 Vérifier si 𝜎𝑐 ≤ 𝜎 𝑐 , 𝜎𝑠1 ≤ 𝜎 𝑠 , δ ≤ 𝛿ad et wk ≤ wmax
Vérification des contraintes
 ELS
1 1
(ou )

   e
s s s
II I
M
d x
I I
ELS
(ou )
  c s c
II I
M
x
I I
Classe d’environnement 𝜎 𝑠 𝜎 𝑐
XD, XF, XS 400
MPa
0,6fck
Autre fck
Contraintes limites à l’ELS sous la
combinaison caractéristique (EC2-1-1§7.2)
1d
sx
c
1s
A.N.
zone
comprimée
déformations
serM
1sA
2sA
h
2d 2s
ct
2 /s e 
1 /s e 
ct
c
contraintes
wb

Vérification des contraintes à l’ELS
• Sous la combinaison quasi-permanente des charges σc ≤ 0,45fck = 15,7 MPa  fluage linéaire
• Sous la combinaison caractéristique des charges σc ≤ σc,limite et σs ≤ σs,limite  la poutre est vérifiée vis-à-
vis de contrainte à l’ELS

Maîtrise de la fissuration sans calcul direct (EC2-1-1 §7.3.3)
• Cette méthode permet de s’affranchir de la vérification complète de l’ouverture de fissure. Elle s’apparence
donc à une méthode forfaitaire.
• Il convient dans le cas de fissures principalement dues aux charges, de limiter la contrainte dans l’acier aux
valeurs forfaitaires du tableau 7.2N et du tableau 7.3.N de l’EC2 en fonction du diamètre obtenu dans le cas
d’un calcul tenant compte de la fissuration.
Tableau 7.2N: diamètre maximal des barres ∅ 𝑠*
Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres
k k k
k k k𝜎 𝑠
wb
nomc nomc,réelL
,réelL ,réelL
t t
réela réela
Pour que le contrôle de la fissuration
sans calcul direct de l’ouverture des
fissures soit assuré, il suffit que l’une
des deux conditions suivantes soit
satisfaite:
 

,réel
réel
ou
L s
a a

Classe d’environnement XC3 (modérément humide)  l’ouverture des fissures est limitée à wmax = 0,3 mm
Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres
k k k
tableau 7.3N
s
max
265.8 MPa
168 mm
w 0.3mm
  
 
 
a
66 mm réela
réel a a
 Le contrôle de la fissuration est assuré

Vérification des flèches à l’ELS par la méthode forfaitaire (EC2 §7.4.2)
L’EC2 n’impose pas de calculer les flèches d’un élément si son rapport portée/hauteur L/d reste inférieur à
des limites définies par les formules suivantes:

Application à la poutre en question:
3
0
3
EC2 réel
1
5.916 10
979 5.5
9.79 10 16.4 15.2
250 400 0.36
0
35MPa







  
    
           
    
  


ck
K
L L
d d
f
 La limitation des flèches est respectée

Vérification des flèches à l’ELS par le calcul (EC2-§7.4.3)
Pour les éléments dont on prévoit qu'ils seront fissurés mais pas entièrement; s’ils travaillent principalement en
flexion, l’expression suivante prévoit de manière appropriée leur comportement :
(1 )II I     

où:
• α est le paramètre de déformation considéré, qui peut être par exemple une déformation unitaire, une
courbure ou une rotation.
• αI, αII sont les valeurs du paramètre respectivement dans l’état non fissuré et dans l’état fissuré
• est un coefficient de distribution (qui tient compte de la participation du béton tendu dans la section),
donné par l‘expression:
2
1 0.5



 
    
 
cr
s

Principe du calcul des flèches par les courbures
r1, r2, r3, r4, r5
r1, r2, r3, r4, r5
L/4 L/4 L/4 L/4
1
2 f2
f3
f4
1 1 1
(1 )
II I
f dx dx
r r r
 
    
            
 
f2
f3
f4
L²/384

2
max
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 12 20 12 2 19mm < 22 mm
384 250
 
         
 
L L
f f
r r r r r
4
,
5
384
Eqp
c eff I
q L
f
E I
f
L
Eqpq
 La limitation des flèches est respectée
Méthode simplifiée pour le calcul des flèches
• L’EC2 propose d’évaluer la flèche en supposant la poutre non fissurée, puis en la supposant entièrement
fissurée. Il faut mener deux calculs, l’un en section non fissurée et l’autre en section fissurée, et ensuite
interpoler en utilisant l’Expression (7.18) pour obtenir le flèche
(1 )II If f f   
4
Eqp
max
c,eff
5 q 1
21 mm< 22 mm
384E 250
  
      
 II I
L L
f f
I I

Merci de votre attention !
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
INSA de Rennes, France
qnguyen@insa-rennes.fr

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