Cours Béton Armé II _ Nguyen Quang Huy

Béton Armé II
Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Département GCU
Cours de 4ème année
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
qnguyen@insa-rennes.frVersion 1.7
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Table des matières
Cours BA de 4ème année: Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Béton Armé I
• Chapitre 1: Introduction
• Chapitre 2: Propriétés des bétons
• Chapitre 3: Propriétés des aciers d’armature
• Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
• Chapitre 5: Bases générales de la flexion
• Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
• Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures
• Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures
Béton Armé II
• Chapitre 9: Effort tranchant à l’ELU
• Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS
• Chapitre 11: Flexion composée
• Chapitre 12: Flexion déviée
• Chapitre 13: Effort rasant
• Chapitre 14: Torsion
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Les différents Eurocodes
NF EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
NF EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures
NF EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton
NF EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier
NF EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton
NF EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois
NF EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie
NF EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique
NF EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes
NF EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en alliages d'aluminium
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EN 1990 Eurocode 0
Bases de calcul
EN 1991 Eurocode 1
Actions
EN 1992
Eurocode 2
Béton
EN 1993
Eurocode 3
Acier
EN 1994
Eurocode 4
Acier-béton
EN 1995
Eurocode 5
Bois
EN 1996
Eurocode 6
Maçonnerie
EN 1999
Eurocode 9
Aluminium
EN 1997
Eurocode 7
Géotechnique
EN 1999
Eurocode 8
Séisme
Sécurité structurale, aptitude au
service, durabilité et robustesse
Actions et charges sur les
structures
Conception, dimensionnement
et dispositions constructives:
règle de calcul pour différents
matériaux
Calcul géotechnique et
sismique
Lien entre les Eurocodes
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Projet de conception d’un bâtiment
1. Modèle structure
2. Actions sur la structure
• Charges permanentes
 poids propres (plan architectural)
 équipements …
• Charges variables
 Surcharges d’exploitation (catégorie du bâtiment)
 Surcharges climatiques
o Vent (EC1)
o Neige (EC1)
 Action sismique
3. Combinaison des actions (Chapitre 4 et EC0)
4. Descente de charges (TD BA1 et BA2)
5. Analyse structurale (Chapitre 4)  sollicitations de calcul à l’ELU et à l’ELS
Problème de dimensionnement
6. Calcul des armatures à l’ELU et vérification à l’ELS
• Poutres et dalles (Chapitre 5, 6, 9,10, 12, 13 et 14)
• Poteaux et voiles (Chapitre 9, 10, 11 et 12)
Problème de vérification
7. Calcul de résistance de chaque élément structural: XRd ≥ XEd
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6
Plan d’architecte
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7
Régions de vent Eurocode 1 France - EN1991-1-4 NA
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8
Régions de neige Eurocode 1 France - EN1991-1-3 NA:2007
Régions: A1 A2 B1 B2 C1 C2 D E
Valeur caractéristique
(Sk en kN/m2) de la
charge de neige sur le
sol à une altitude
inférieure à 200m
0,45 0,45 0,55 0,55 0,65 0,65 0,9 1,4
Valeur de calcul S,d
de la charge
exceptionnelle de
neige sur le sol
- 1 1 1,35 - 1,35 1,8 -
Loi de variation de la
charge caractéristique
pour une altitude
supérieure à 200m
Δs2Δs1
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Zonage sismique de la France
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Chapitre 9: Effort tranchant 2
9.1 Introduction
9.1.1 Généralités
9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effort tranchant
9.1.3 Fissuration due à l’effort tranchant
9.2 Expression des contraintes à l’état homogène, non fissuré
9.3 Principe général de vérification à l’effort tranchant à l’ELU
9.4 Modèle de treillis plan multiple de Ritter-Mörsch
9.4.1 Résistance des armatures d’effort tranchant
9.4.2 Résistance des des bielles de compression du béton
9.4.3 Règle du décalage de moment
9.4.4 Phénomène de transmission directe des charges aux appuis
9.5 Éléments sans armature d’effort tranchant
9.5.1 Valeur de l’effort tranchant de référence
9.5.2 Vérifications
9.5.3 Armatures d’effort tranchant minimales
9.6 Éléments de hauteur constante avec armatures d’effort tranchant
9.6.1 Cas général des armatures inclinées
9.6.2 Cas particulier des armatures droites
9.6.3 Marche à suivre pour le calcul des armatures transversales droites
9.7 Éléments de hauteur variable
9.8 Dispositions constructives d’armatures d’effort tranchant
9.9 Répartition des armatures d’effort tranchant
9.9.1 Principe du calcul des répartitions
9.9.2 Épure d’arrêt des armatures d’effort tranchant
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9.1 Introduction
9.1.1 Généralités
• Tout élément linéaire soumis à un moment fléchissant variable M subit simultanément un effort tranchant
V = dM/dx, qui produit des contraintes de cisaillement 𝜏 (appelées aussi contraintes tangentielles).
• Ces contraintes influencent la valeur et la direction des contraintes principales de traction et de compression.
Trajectoires des contraintes principales dans une dans une poutre simple soumise à une charge
uniformément repartie à l’état non fissuré
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• L’élément de trace BD est soumis à une contrainte de traction égale à 𝜏b  risque de fissuration à 45° là où 𝜏b
est élevé (voisinage des appuis)
• L’élément de trace AC est soumis à une contrainte de compression égale à 𝜏b  risque d’écrasement du
béton suivant les « bielles » découpées par les fissures
Remarques:
 lorsque les fissures obliques se sont produites, la conclusion 𝜎𝑡 = 𝜎𝑐 = 𝜏 𝑏 n’est plus valable. Il y a redistribution
des efforts entre les armatures d’âme tendues et les bielles comprimées.
 Les champs des contraintes principales de compression du béton sont appelés des bielles de compression.
Trajectoires des contraintes principales à l’état fissuré
Trajectoires de traction
Trajectoires de compression
Contraintes
de flexion
Contraintes
de cisaillment
b
b
b
b
A
C
B
D
Zone de
compresion
B
D
b
b
C
t
Traction
C
om
pression
b
b
A
CD
c

dx
dy
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• Afin d’empêcher le développement de fissures dues aux cisaillements, il est nécessaire de mettre en place
des armatures transversales, souvent nommées « armatures d’effort tranchant ». Ces armatures compensent
le mauvais comportement du béton en traction.
• Dans certains cas, notamment pour les dalles, la mise en place d’une armature transversale, sous forme
d’étriers, s’avère compliquée et coûteuse. Sous certaines conditions, il est possible de s’en passer, si les
contraintes 𝜏 sont suffisamment faibles.
Poutre sans armature d’effort tranchant:
système porteur arc-tirant
q
• En cas d’absence d’armatures d’effort tranchant, le
comportement structural de la poutre change et
s’approche de celui d’un arc à tirant.
Remarques:
 Comme les contraintes principales sont orientées à ± 45°,
l’utilisation des armatures transversales inclinées du même
angle est mécaniquement plus efficace. L’EC2 permet une
telle inclinaison.
 En pratique, les armatures transversales droites sont
beaucoup plus simple à mettre en place sur le chantier et
surtout qu’elles évitent une inversion (toujours possible) de
la direction de l’angle des cadres. C’est pourquoi elles sont
presque toujours privilégiées par rapport à des armatures
inclinées
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Rupture par cisaillement
Raison ?
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9.1.2 Mode de rupture d’une poutre sans armatures d’effort tranchant
De nombreux essais effectués sur des poutres rectangulaires simplement appuyées soumises à un effort
croissant provoqué par l’application d’une charge ponctuelle, ont montré que le mode de rupture dépend
fortement du rapport av/d entre la distance de l’appui au point d’application de la charge (av) et la hauteur
effective de la poutre (d). Ceci permet de distinguer les modes principaux de rupture suivants:
1. av/d > 6: Les poutres pour lesquelles le rapport av/d est aussi élevé atteignent la rupture par flexion.
2. 2.5 < av/d < 6: Les poutres avec un rapport av/d inférieur à 6 tendent à se rompre par effort tranchant.
Lorsque l’effort V augmente, la fissure de flexion a-b la plus proche de l’appui se propage vers le point
d’application de la charge en s’inclinant graduellement (fissure diagonale a-b-c).
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Avec l’augmentation de la charge, la rupture se produit habituellement selon un des deux modes suivants:
(a) Si av /d est relativement élevé (≈ 6), la fissure diagonale va rapidement atteindre le point e, provoquant la
rupture par séparation de la poutre en deux morceaux. Ce mode de rupture est souvent appelé rupture par
“traction diagonale” ; pour un tel mode de rupture, la charge ultime est sensiblement la même que la charge
nécessaire pour faire apparaître la fissure diagonale.
(b) Si av /d est relativement faible (≈ 2,5), la propagation de la fissure tend à s’arrêter quelque part près du
point j; un certain nombre de fissures peuvent se développer dans le béton autour de l’armature longitudinale.
Lorsque l’effort V augmente encore, la fissure diagonale s’ouvre et se propage horizontalement au niveau de
l’armature longitudinale (fissure g-h). En augmentant, l’effort de cisaillement provoque la destruction
d’adhérence entre le béton et l’armature longitudinale, menant généralement au fendage du béton le long de la
ligne g-h. À nouveau, la charge ultime n’est pas fort différente que la charge qui produit la fissure diagonale.
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3. 1 < av/d < 2.5: Pour des rapports av/d inférieurs à environ 2,5 mais supérieur à 1, la fissure diagonale se
forme souvent indépendamment et non comme l’extension d’une fissure de flexion.
4. av/d < 1: Pour des si faibles rapports av/d, la fissure diagonale forme approximativement une ligne
droite entre l’appui et le point d’application de la charge.
La poutre reste stable après l’apparition d’une telle
fissure. Une augmentation de la charge V provoque la
pénétration de la fissure diagonale dans la zone de
compression du béton près du point d’application de la
charge, jusqu’à ce que se produise la rupture par
écrasement du béton. Ce mode de rupture est
habituellement appelé rupture par “compression
cisaillement” . Pour ce mode de rupture, la charge ultime
sera parfois plus du double de la charge provoquant la
fissure diagonale.
Cette fissure s’initie habituellement à hauteur d'environ
un tiers de la hauteur d. Lorsque la charge augmente, la
fissure diagonale se propage simultanément vers le
point de chargement et vers l’appui. Lorsque celle-ci a
pénétré suffisamment en profondeur la zone de
compression près du point d’application de la charge ou,
plus fréquemment au droit de l’appui, la rupture par
écrasement du béton se produit. Pour ce mode de
rupture du type “poutre cloison”, la charge ultime vaut
généralement plusieurs fois la charge pour laquelle
apparaît la fissure diagonale.
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9.1.3 Fissuration due à l’effort tranchant
Considérons un morceau de poutre entre deux fissures de flexion. Dans la section de la fissure, l’effort tranchant
est repris par trois forces :
• les contraintes de cisaillement dans le béton comprimé (non fissuré) au-dessus de la fissure,
• le transfert de forces de cisaillement entre les faces de la fissure,
• l’effet de goujon dû à l’armature principale de flexion (dowel action).
Le mécanisme exact de l’apparition de fissures d’effort tranchant n’est pas connu avec précision mais on sait
qu’il est gouverné essentiellement par la combinaison de ces trois forces.
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• Si la présence de la fissure ne provoque aucune perte de raideur au cisaillement, la distribution des contraintes
aura la forme parabole-rectangle et la fissuration d’effort tranchant apparaîtrait quand la résistance à la traction
du béton serait atteinte.
La réalité se situe entre ces deux extrêmes.
• Si aucun effort de cisaillement n’est transmis à
travers la fissure, la “dent” de béton comprise entre
deux fissures de flexion, devrait se comporter comme
une “console”, fixée dans la zone supérieure
comprimée et sollicitée dans sa partie inférieure par les
forces d’adhérence de l’armature principale comme le
montre la figure ci-contre. Dans ce cas la résistance du
système reposerait sur la résistance à la flexion de
cette “console”.
Les nombreux essais, qui ont été réalisés sur des poutres, en forme de I et de Té, montrent que les facteurs
principaux qui conditionnent la résistance à la fissuration d’effort tranchant sont :
• les dimensions de la section (la hauteur effective d, et la largeur de l’âme bw),
• les propriétés du béton (la résistance),
• le pourcentage d’armature longitudinale l = Asl / (bw.d) exprimé par rapport aux dimensions de l’âme,
• le rapport M / (V.d)
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9.2 Expression des contraintes à l’état homogène, non fissuré
Le calcul en phase élastique non fissurée reste toutefois indispensable lorsqu’il s’agit d’éviter la formation de
fissures obliques dans l’âme (dites fissures d’effort tranchant) comme, par exemple, pour les grands ponts
précontraints.
Des fissures se forment lorsque les contraintes principales de traction atteignent la résistance du béton à la
traction (σI,max > fct). Pour déterminer les contraintes principales, il faut connaître les contraintes tangentielles .
Conformément à la théorie générale de l’élasticité, la contrainte de cisaillement y au niveau y de la section
droite est calculée par la formule:
( )
( )y
V S y
I b y
 
• V est l’effort tranchant de la section considérée
• S(y) est le moment statique par rapport au centre de gravité yG, de la partie de section située au-dessus du
niveau y:
• I est l’inertie de la section
• b(y) est la largeur de la section au niveau y
Note: cette formule n’est valable que pour des poutres à inertie constante
 ( ) . ( )
h
Gy
S y y y b x dx 
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Les contraintes principales peuvent être déterminées grâce à la relation:
L’angle  entre la direction de σII et l’axe de la poutre vaut :
2
2
,
2 2
x y x y
I II xy
   
 
  
   
 
 
2
tan(2 )
xy
x y


 


Contraintes principales dans une poutre fléchie à l’état non fissuré
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• En pratique, le calcul des contraintes principales s’avère nécessaire lorsque l’on veut éviter la formation de
fissures inclinées. Cette condition de non fissuration se présente souvent pour les structures en béton
précontraint.
• Les sections sont donc sollicitées par de la flexion composée (effort normal = force de précontrainte)
combinée à un effort tranchant V . La répartition des contraintes dans ce cas est présentée à la figure ci-
dessous
• On constate que même dans la zone comprimée (en flexion), il subsiste toujours des contraintes des traction
σI dues à l’effort tranchant V . Si l’on veut supprimer toute traction, il faut prévoir une précontrainte verticale
(ou oblique) produisant des contraintes σy de compression (précontrainte transversale).
Remarque: Il convient de noter que les expressions précédentes, basées sur la théorie des poutres, ne
s’appliquent pas dans les zones d’introduction de grandes forces telles que les réactions d’appui ou les forces
de précontrainte (théorème de Saint-Venant).
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9.3 Principe général de vérification à l’effort tranchant à l’ELU (état fissuré)
L’EC2 distingue les éléments sans armature d’effort tranchant (principalement les dalles) et les éléments avec
armatures d’effort tranchant (les poutres). Au niveau des notations, l’EC2 introduit:
• VEd effort tranchant résultant des combinaisons des charges à l’ELU;
• VRd,c effort tranchant résistant du béton en l’absence d’armatures d’effort tranchant;
• VRd,s effort tranchant résistance repris par les armatures d’effort tranchant;
• VRd,max effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté par la poutre sans provoquer
l’écrasement des bielles de compression du béton;
Dans le cas d’éléments de hauteur variable, il définit les valeurs ci-après:
• Vccd la valeur de calcul de la composante d’effort tranchant de
la force de compression, dans le cas d’une membrure
comprimée inclinée;
• Vtc la valeur de calcul de la composante d’effort
tranchant de la force dans l’armature tendue, dans
le cas d’une membrure tendue inclinée;
• VRd effort tranchant résistance d’un élément comportant des
armatures d’effort tranchant:
En terme de résistance, la présence d’armature d’effort tranchant n’est pas nécessaire si VEd ≤ VRd,c. Dans le cas
contraire, il faut réaliser le dimensionnement et la disposition des cadres pour les poutres de telle sorte que VEd ≤
VRd
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9.4 Modèle de treillis plan multiple de Ritter-Mörsch
Le fonctionnement d’une poutre en BA après la fissuration oblique peut être modélisé comme celui d’une poutre à
treillis plan multiple avec bielles et tirants (treillis de Ritter-Mörsh) dans laquelle:
• La membrure tendue est constituée par les armatures longitudinales tendues (tirants);
• La membrure comprimée est constituée par la zone comprimée de la poutre (béton + armatures éventuelles);
• La hauteur est égale au bras de levier des forces internes 𝑧, pris égal à 𝑧 = 0,9𝑑 pour des éléments en béton
armé fissurés;
• Les diagonales comprimées sont les bielles de béton découpées par les fissures obliques d’inclinaison 𝜃 sur la
ligne moyenne de la poutre;
• Les diagonales tendues sont les cadres:
 Inclinés d’un angle 𝛼 sur la ligne moyenne;
 section Asw par nappe;
 espacement s mesuré parallèlement à la ligne moyenne.
z
cadre
bielle
Armature longitudinale
 
cotz  cotz 
Treillis avec bielles et armatures inclinées
d
A
B C
A
B
C
bielle
cadre
Fissures
obliques
Treillis multiples de Ritter-Mörsch
swA
s
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Différents modèle de treillis multiples
• Chaque cadre du modèle représente
un certain nombre de cadres réels. Le
treillis (a) est isostatique, tandis que le
treillis (b), qui peut sembler plus réaliste,
est hyperstatique.
• Le treillis (c) est un modèle plus raffiné
pour représenter ce qui se passe dans la
région située près de l’appui. Ce modèle
donne les mêmes résultantes de forces
dans l’âme que le modèle original (a).
• L’angle θ que forment les bielles
inclinées avec l’axe de la poutre n’est
pas fixé à priori, puisque même si des
fissures ayant une autre inclinaison sont
présentes, des efforts de cisaillement
peuvent être transmis à travers elles.

s
z
sF
cF
Compression (bielle)
Traction (tirant)
EdV
sF
cF
EdV
sF
cF
EdV
( )a
( )b
( )c
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9.4.1 Équation pour VRd,s : Résistance des armatures d’effort tranchant
• Considérons les treillis multiples de Ritter-Mörsch d’une poutre dont les armatures d’effort tranchant sont
espacées régulièrement de 𝑠.
• Dans un treillis quelconque, il y a 𝑛 armatures transversales. 𝑛 représente le nombre de treillis multiples
superposés et participant à la résistance du treillis étudié (en gris) sur la distance 𝑧 cot𝜃 + cot𝛼 . Donc 𝑛 est
déterminé par:
(cot cot ) 0.9 (cot cot )z d
n
s s
    
 
Équilibre vertical des forces dans la section A-A:
Par définition 𝑉 𝐸𝑑 = 𝑉 𝑅𝑑, 𝑠 lorsque 𝜎sw
= 𝑓𝑦𝑑  d’où l’expression de (6.13) de l’EC2
sw
Ed sw sw sw swsin sin (cot cot )sin
A
V F n A z
s
         
sw
Rd,s yd(cot cot )sin
A
V z f
s
   
EdM
EdV
EdN
s

A
A
EdM
EdV
EdN

A
A
sw
cdF
(cot cot )z  
z
swF
tdF
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9.4.2 Équation pour VRd,max : Résistance des bielles de compression du béton
Équilibre vertical des forces dans la section B-B:
La résistance des bielles est atteint lorsque
 d’où l’expression (6.14) de l’EC2
EdM
EdV
EdN
s

B
B
z
EdM
EdV
EdN
B
B
cw
cwF
sin( )
sin
z  


cdF
tdF
Ed cw w cw w cw 2
sin( ) cot cot
sin sin
sin 1 cot
z
V F b b z
   
   
 
 
  

cw Rd,c cw cdf    
 
 


Rd,max cw 1 cd w 2
cot cot
1+cot
V f b z
(dite contrainte résistante des bielles)


 
   
1 ck
1 ck ck
0.6 pour f 60MPa
0.9 f / 200 0.5 pour f 60MPa
𝜐1 est le facteur de réduction de la résistance
du béton fissuré à l’effort tranchant.
où α𝑐𝑤 est un coefficient tenant compte de l'état
de contrainte dans la membrure comprimée
(voir formule 6.11 de l’EC2-1-1).
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9.4.3 Règle du décalage de moment
"Par suite de la fissuration oblique, l’effort de traction supporté par une armature tendue dans une section (A)
d’abscisse 𝑥 correspond au moment dans une section (B) d’abscisse 𝑥 + 𝑎 "
• Treillis simple:
• Treillis multiple de Ritter-Mörsch:
L’effort de traction au point A de la membrure tendue est égal à la
somme des efforts de traction élémentaires de tous les treillis simples
compris entre les treillis élémentaires B1C1A et B2AD2 :
…
td td
( ) ( )
( ) A
B
MM x a M x
M M x a z F F
z z z

      
2
1
td
B B
B
B B
M
F
n z


 
td
( )
( )
( )
0.5(cot cot ) ( )
M x a
F V x
z z
M x
V x
z
 
 
  
Conclusion: En un point de moment nul (M=0),
l’effort de traction 𝐹 𝑠 n’est pas nul mais égal à
𝑎
𝑧
𝑉(𝑥)
B
A D D2
B2B1
C1 C
cotz cotz 
(cot cot )/ 2z  
 
AV
AM
x x a
z
 
(S)
tdF
cwF
x x a
B
A DC
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Règle du décalage de moment selon l’EC2
On distingue deux cas :
• L’élément ne comporte pas d’armatures d’effort tranchant (dalle), on décale la courbe des moments de 𝑎 = 𝑑
• L’élément comporte des cadres d’effort tranchant, on décale la courbe des moments de
EC2-1-1§6.2.3(7)
𝑎 = 0,5 𝑧 cot𝜃 = 0,45 𝑑 cot𝜃
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9.4.4 Phénomène de transmission directe des charges aux appuis
Cas des charges réparties
Conclusion: Pour des éléments soumis principalement à des charges réparties, la détermination des armatures
d’effort tranchant près des appuis est effectuée avec la valeur de l’effort tranchant à la distance max(𝑑; 𝑙) du nu
d’appui :
Remarques:
• Les armatures d’effort tranchant doivent être disposées à partir du nu d’appui
• La vérification des bielles d’about doit être faite sans tenir compte de la transmission directe
des charges aux appuis.
EC2 §6.2.1
EC2 §6.2.3
max
Ed,cal max( ; )EdV V p d l 
Ed Rd,maxV V
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Cas des charges concentrées
la valeur de l’effort tranchant développé par ces charges est minorée par
Remarques:
• Il revient au même de prendre pour valeur de ces charges concentrées:
• La vérification des bielles d’about doit être faite sans tenir compte de la transmission directe des charges aux
appuis.
uPPour les charges concentrées au voisinage des appuis vérifiant les
conditions suivantes :
• la distance de leur point d’application au nu d’appui vérifie:
• les charges sont appliquées à la face supérieure de l’élément;
• les armatures longitudinales sont totalement ancrées au-delà du nu d’appui;
0.5 2vd a d 
1
max( ; )
2 4
va
d
 
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9.5 Éléments sans armature d’effort tranchant (EC2-1-1 §6.2.2)
Dans les zones de l’élément où VEd ≤ VRd,c aucune armature d’effort tranchant est requise par le calcul;
9.5.1 Valeur de l’effort tranchant de référence VRd,c
• Lorsque la section est fissurée en flexion, l’effort tranchant de référence est donné VRd,c par la formule (6.2) de
l’EC2
 fck est exprimé en MPa
 d et bw sont la hauteur utile de la section et la largeur de l’âme.
 1/3
Rd,c Rd,c ck 1 cp w min 1 cp w(100 ) vlV C k f k b d k b d        
  








 

Rd,c
3
min
1
0,18
avec v 0,035 et
0,15
c
ck
C
k f
k
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 k est un coefficient tenant compte de l’effet
d’échelle
 𝜎cp est la contrainte de compression du béton
au niveau du centre de gravité sous l’effet de
l’effort normal NEd ( > 0 pour la compression)
200
1 2 (d en mm)k
d
  
0,2 (en MPa)Ed
cp
c
N
A
  
 𝜌𝑙 est le ratio d’armature longitudinale tendue
prolongée sur une longueur ≥ (lbd + d) au-delà
de la section considérée.
Section considérée
w
0,02sl
l
A
b d
  
®QHN2017

En introduisant la valeur de CRd,c, vmin et k1 dans l’expression précédente, on peut définir la contrainte de
cisaillement 𝜏Rd,c
Rd,c 1/3 3
Rd,c ck cp cp
w
0,18
(100 ) 0,15 0,035 0,15l ck
c
V
k f k f
b d
   

        
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rd,c (MPa)
(%)l
≤ 200
d (mm)
250
300
350
400
500
600
800
1000
béton C30
1,5
0
c
cp




Conclusion: La résistance au cisaillement d’un élément sans armatures transversales ne dépasse pas 0,95 MPa
 très faible
®QHN2017

9.5.2 Vérifications
Nécessité de prévoir des armatures d’effort tranchant
• Il n’y a pas lieu de prévoir des armatures d’effort tranchant si:
Vérification de la compression des bielles
• Valeur 𝑉Rd,max de dans le cas des armatures d’effort tranchant inclinées:
• Pour le cas sans armatures d’effort tranchant, le résistance des bielles de compression est la valeur minimale
de 𝑉Rd,max obtenue pour 𝛼 = 90°
Ed Rd,maxV V
Ed
Ed Rd,c Ed Rd,cou
w
V
V V
b d
   

 

 Ed Rd,max cw 1 cd w 2
cot
1+cot
V V f b z
EC2 §6.2.2
 
 


Rd,max cw 1 cd w 2
cot cot
1+cot
V f b z
®QHN2017

Remarques sur l’application des articles §6.2.1(6) et §6.2.2(6) de l’EC2 dans le cas des éléments sans armatures
d’effort tranchant:
Cas de section à hauteur constante Vccd=Vtd=0
EC2 §6.2.2
EC2 §6.2.1
Remarque: Cette condition est satisfaite si §6.2.1 est respecté

 

 Ed Rd,max cw 1 cd w 2
cot
1+cot
V V f b z
®QHN2017

9.5.3 Armatures d’effort tranchant minimales (EC2-1-1 §6.2.1(4) et §9.2.2)
• Même lorsque aucune armature d’effort tranchant est requise, il convient de prévoir un ferraillage transversal
minimal Asw,min. Le taux d’armatures d’effort tranchant minimales est donné par:
 Asw : l’aire de la section des armatures d’effort tranchant régnant sur la longueur s
 s : l’espacement des armatures d’effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l’élément
 𝛼 : l’angle entre les armatures d’effort tranchant et l'axe longitudinal
Taux minimal d'armature d'effort tranchant ρw,min [%]
cksw
w,min
w ykmin
0,081
sin
fA
s b f


 
    
 
C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55 C60 C70 C80 C90
0.055 0.064 0.072 0.080 0.088 0.095 0.101 0.107 0.113 0.119 0.124 0.134 0.143 0.152
• Ce ferraillage peut être omis dans les
éléments qui ont une capacité suffisante de
distribution transversale des charges tels
que les dalles (pleines, nervurées,
alvéolées);
• Le ferraillage minimal peut également être
omis dans les éléments secondaires
(linteaux de portée ≤ 2 m par exemple) qui
ne contribuent pas de manière significative à
la résistance et à la stabilité d'ensemble de
la structure.
®QHN2017

On remarque que, dans le cas d’élément en béton armé (𝜎𝑐𝑝 = 0), la résistance produite par l’armature d’effort
tranchant minimale couvre quasiment la résistance 𝜏Rd,c dans tous les cas.
cot
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Rd(MPa)
(%)l
≤ 200
d (mm)
250
300
350
400
500
600
800
1000
o
béton C30; 1,5 ; 0 ; 500MPa ; / 0,9 ; cot 0; 90c cp ykf z d        
Rd w,min cotyd
z
f
d
  
Rd,c
®QHN2017

9.6 Éléments de hauteur constante avec armatures d’effort tranchant
Principe: Dans les zones de l’élément où VEd > VRd,c il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant telle
sorte que:
9.5.1 Cas général des armatures inclinées
• La résistance de l’élément à l’effort tranchant est gouvernée par les deux relations :
• Si l’on définit le pourcentage géométrique d’armatures d’effort tranchant :
• L’angle θ pour lequel VRd = VRd,max = VRd,s vaut :
• Relation entre la résistance réduite à l’effort tranchant et le pourcentage géométrique d’armatures d’effort
tranchant
Ed Rd Rd,s Rd,maxmin( ; )V V V V 
 
 
 

  

 
  
Ed Rd,max cw 1 cd w 2
sw
Ed Rd,s yd
cot cot
1+cot
cot cot sin
V V f b z
A
V V z f
s
sw
w
w sin
A
b s



 

 
 cw 1 cd
2
w yd
cot 1
sin
f
f
   

     
 
   
  
 
2
w ydRd cw 1 cd
2
cw 1 cd w cw 1 cd w yd
sin
1 cot
. . sin
fV f
f b z f f
 Résistance des bielles
 Résistance des tirants
®QHN2017

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.11.1
45  
60  
75  
90  
Armatures droites

Rd
1 cd w. .
V
f b z


w yd
1 cd
f
f
• L’avantage principal de l’utilisation d’armatures d’effort tranchant inclinées est de pouvoir réduire la
contrainte dans les bielles comprimées et permettre ainsi de reprendre un effort tranchant plus important
pour des dimensions d’âme (bw et d) fixées.
• Un autre avantage d’armatures
d’effort tranchant inclinées provient
de la réduction de l’effort
complémentaire apporté dans le
tirant inférieur par rapport à des
étriers verticaux.
td Ed0.5(cot cot )F V   
Ed w cw 2
cot cot
1 cot
V b z
 





Note: En pratique, les armatures transversales droites sont beaucoup plus simple à mettre en place sur le
chantier et surtout qu’elles évitent une inversion de la direction de l’angle des cadres. C’est pourquoi elles
sont presque toujours privilégiées par rapport à des armatures inclinées.
®QHN2017

9.5.2 Cas particulier des armatures droites 𝛼 = 90°
• La résistance de l’élément à l’effort tranchant est gouvernée par les deux relations :
• Si l’on choisit l’angle θ de sorte que ces deux
résistances soient égales on obtient les relations :

 


 
 
sw
Ed Rd,s yd
cot
1+cot
cot
V V f b z
A
V V z f
s
  
    
 


 
 
w ydRd cw 1 cd
cw 1 cd w cw 1 cd w
cw 1 cd
yd
y
w
d
1
cot 1
fV f
f b z f f
f
f
où w est le pourcentage d’armatures transversale
sw
w
w
A
b s
 
Effort tranchant résistant en fonction du pourcentage
d’armatures transversales (cadres verticaux)

 
w yd
cw 1 cd
f
f
 
Rd
cw 1 cd w
V
f b z
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
cot 2.5 
2.5 cot 1 
cot 1 
cot
1


®QHN2017

9.6.3 Marche à suivre pour le calcul des armatures transversales droites (𝛼 = 90°)
• On est totalement libre du choix de l’angle  en respectant la condition 1 ≤ cot  ≤ 2,5
• La valeur de  doit être choisie pour minimiser la quantité totale d’armatures (longitudinales et d’effort
tranchant)
• Si les barres longitudinales ne sont pas arrêtées, on peut choisir  de manière à vérifier que l’effort tranchant
maximal pris en compte dans les calculs est au plus égal à VRd,max
• Dans le cas général, on peut dimensionner les armatures d’effort tranchant de telle sorte que
Remarque: Pour tenir compte du phénomène de transmission directe dans les cas des charges au voisinage de
l’appui ou de charge uniformément répartie, on prendrait la valeur de calcul de l’effort tranchant à la place
de (dans la deuxième équation) pour le calcul des armatures près des appuis

 


 
 
sw
Ed Rd,s yd
cot
1+cot
cot
V V f b z
A
V V z f
s
Ed,calV
EdV
®QHN2017

1. Détermination de l’angle 𝜃 des bielles
• Si avec
• Si
• Si
 cot𝜃 est déterminé en résolvant la première équation
2
c,Rd w c,Rd w
Ed Ed
cot 1
2 2
1 2.5
b z b z
V V
 

 
 

 




Ed c,Rd w 2
2.5
1 2.5
V b z

  c,Rd cw 1 cdf désignant la contrainte résistante des
bielles
Ed Rd,max 1 cot 2.5V V       on choisira une valeur de cot  entre 1 et 2,5
Conseil: cot  = 2 afin de réduire la quantité d’armatures
nécessaire
Ed c,Rd w 2
1
1 1
V b z

Ed Rd,max 1 cot 2.5V V     
 la résistance de bielles n’est pas suffisante  utiliser un béton de classe supérieure ou augmenter
les dimensions de la section (en pratique ce cas est très rare).
c,Rd w Ed c,Rd w2 2
2.5 1
1 2.5 1 1
b z V b z  
 
®QHN2017

2. Une fois cot déterminé, on le reporte dans la deuxième équation, On obtient:
3. Choisir la section Asw d’une nappe d’armatures d’effort tranchant, en déduire l’espacement de ces armatures,
vérifier que les conditions relatives à l’espacement (§9.2.2(5) et (6)) sont bien remplies et que le pourcentage
minimal (§9.2.2(4)) est bien respecté.
Ed Ed,calsw
yd
(ou )
cot
V VA
s f z 

Remarque: Il est à noter que le décalage de la courbe de moment servant pour le calcul des
armatures longitudinales doit être fait avec la valeur de θ choisie pour le calcul (ou la vérification) des
armatures transversales.
®QHN2017

9.7 Éléments de hauteur variable
• Les forces internes dues à l’action du moment fléchissant développent une composante verticale Vccd + Vtd qui
compense une part de l’effort tranchant de calcul VEd
• La résistance à l’effort tranchant d’un élément comportant des armatures d’effort tranchant est donnée par
Rd Rd,s ccd ctV V V V  
• VRd,s effort tranchant résistante repris par les armatures d’effort tranchant
• Vccd composante parallèle à la force de compression dans la zone comprimée
• Vtd composante parallèle à la force de traction dans les armatures tendues
Toutes les formules développées pour éléments
de hauteur constante peuvent s’appliquer en
remplaçant VEd par VEd-(Vccd+Vtd)
®QHN2017

Cadres, épingles et
étriers intérieurs
Cadre extérieur
9.8 Dispositions constructives d’armatures d’effort tranchant (EC2-1-1 §9.2.2)
Les armatures d’effort tranchant doivent former un angle de 90° à 45° avec la ligne moyenne de l’élément
considéré.
a. Elles peuvent être composées d’une combinaison de:
• Cadres, étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales tendues et la zone comprimée;
• Barres relevées;
• Cadres ouvertes, échelles, épingles, etc. sans entourer les armatures longitudinales mais correctement
ancrés dans les zones comprimée et tendue.
b. Il convient que les cadres, étriers et épingles soient efficacement ancrés. Un recouvrement sur le brin vertical
situé près de la surface de l’âme est autorisé sous réserve que le cadre ne participe pas à la résistance à la
torsion.
c. Au moins 50% des armatures d’effort tranchant nécessaires doivent être prévues sous forme de cadres,
étriers ou épingles.
®QHN2017

Cadres, épingles et
étriers intérieurs
Cadre extérieur
d. La quantité d’armatures d’effort tranchant doit être au moins égal à:
e. L’espacement longitudinal maximal entre les cours d’armatures d’effort tranchant doit être au plus égal
à 𝑠𝑙,max:
f. L’espacement longitudinal maximal entre les barres relevées doit être au plus égal à:
g. Dans le sens transversal (l’épaisseur de l’âme), l’espacement des brins verticaux dans une série de
cadres, étriers ou épingles d’effort tranchant doit être au plus égal à:
,max 0,75. (1 cot )ls s d   
,max 0,6. (1 cot )r bs s d   
,max 0,75. 600 mmt ts s d  
cksw
w,min w w
ykmin
0,08
sin sin
fA
b b
s f
  
 
   
 
barre relevée
®QHN2017

• L’effort tranchant de calcul des aciers à proximité du nu d’appui
• L’effort tranchant de calcul des aciers « tous les )𝑧(cot𝜃 + cot𝛼 plus loin »
9.9 Répartition des armatures d’effort tranchant
9.9.1 Principe du calcul des répartitions
9.9.2 Épure d’arrêt des armatures d’effort tranchant
A. Cas des charges réparties
Soit une poutre non soumise à une charge concentrée à
proximité du nu de l’appui.
Si la poutre de section 𝑏 𝑤ℎ et de hauteur utile 𝑑 est soumise
principalement à des charges réparties, la vérification à
l’effort tranchant se fait à une distance 𝑑 de l’appui. Les
armatures d’effort tranchant requises sont alors maintenues
jusqu’au droit de l’appui (EC2-1-1 §6.2.1(8)).
nu
Ed,cal Ed avec max ; (cot cot )u r rV V p l l d z      
 
 Ed,cal Edmin (sur (cot cot ))V V z   
EC2 §6.2.3
L
d
Charges
transmises
directement
Charges
transmises
directement
Chargement de calcul
d
®QHN2017

On calcule l’espacement 𝑠0 des aciers à
la distance 𝑙 𝑟 du nu d’appui, et on
conserve jusqu’à l’appui, puis
l’espacement 𝑠 des aciers « tous les
)𝑧(cot𝜃 + cot𝛼 », qu’on conserve
constant sur chaque escalier.
Pour ce faire, on choisit Asw et on
applique:
Cas des armatures transversales
droites:
 
Ed,calsw
0 yd
(ou ) cot cot sin
VA
s s f z   


EdV Ed,calV
1.8d
0 d 1.8d
Edcourbe d'effort tranchant V
Diagramme de calcul avec charges uniformes et cotθ = 2
SdV
0 d 1.9d
Diagramme de calcul avec charges uniformes et cotθ = 1
0.9z d
z
z
z
Ed,calcourbe de calcul V
1.35 1.5up g q 
Ed,calV
1.8d 1.8d 1.8d
Ed,calsw
0 yd(ou ) cot

VA
s s f z
®QHN2017

Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant
Données:
• Caractéristiques mécaniques: béton C30, acier B500A
• Chargements appliqués:
Question: Dimensionner les armatures d’effort tranchant (=90°) et leurs espacements?
35kN/m
28 kN/m


G
Q
u
ck
cd
c
yk
yd
s
1.35 1.5 89.25kN/m
30
20MPa
1.5
500
435MPa
1.15


  
  
  
p G Q
f
f
f
f
cw
1
c,Rd cw 1 cd
flexion simple 1
0.6
12 MPa


  
 

 f



 
 
w
9.6 m
10 m
400mm
0.9 720mm
0.9 648 mm
nu
eff
L
L
b
d h
z d
Calcul préliminaire:
9.6m
0.8 m
0.4 m 0.4 m
up
0.4 m4HA20
®QHN2017

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
X: 8.504
Y: 338.6
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
X: 7.208
Y: 213.4
Effort tranchant théorique
Effort tranchant de calcul
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
X: 1.496
Y: -312.7
Abscisse [m]
Efforttranchant[kN]
X: 2.792
Y: -197.1
Tracer le diagramme de l’effort tranchant
Les armatures d’effort tranchant sont-elles nécessaires? (EC2-1-1 §6.2.2)
VEd ≥ VRd,c donc les armatures d’effort tranchant sont nécessaires.
Choisir l’angle  des bielles
Afin d’optimiser les armatures d’effort tranchant on choisit
Rd,c 124.7 kNV
Rd,s,min 197.5 kNV
Quantité minimale à placer
Ed Rd,c w 2
2.5
1244 kN
1+2.5
  x V b z  La résistance des bielles est
surabondante
cot 2 
Ed Rd,max( )V x V  
®QHN2017

Calculer la quantité nécessaire des armatures d’effort tranchant
• On constate qu’en dehors de la zone à proximité des appuis l’effort tranchant résistant calculé avec la
quantité minimale est plus grand que l’effort tranchant de calcul. Il suffit d’y mettre une quantité minimale
imposée par l’EC2.
• On a donc à calculer seulement la quantité nécessaire pour la zone à proximité des appuis:
nu
Ed,cal Ed 428.4 89.25 0.648 2 312.7 kN      u rV V p l
3
Ed,cal 2sw
0 yd
312.7 10
0.555mm /mm
cot 435 648 2

  
 
VA
s f z
2sw
0
0
soit un cadre HA8 avec un espacement s =18 cm 0.558 mm /mm 
A
s
Remarque: conformément à la clause 6.2.1(8) de l’EC2 1-1, les cadres doivent être sont maintenus
jusqu’au droit de l’appui.
cksw
w
ykmin
0,08
0.35
fA
b
s f
 
   
 
2sw
soit un cadre HA8 avec un espacement s=28 cm
0.359mm /mm
A
s
 
®QHN2017

Vérifier les conditions d’espacement (clause 9.2.2(6))
,max ,max0,75 75 cm sl ls d s ok    
Disposition des armatures d’effort tranchant
®QHN2017

B. Cas des charges ponctuelles et réparties
Calcul de l’effort tranchant VEd,cal à l’about
Selon la disposition de la charge ponctuelle près de l’appuis, on distingue les deux cas suivants:
• Si elle est placée au-delà de 2d, cette charge intervient en totalité dans le calcul.
• Si elle est appliquée sur la face supérieure de la poutre à une distance av<2.d du nu de l’appui  la zone
d’about est discontinue.
nu
Ed,cal Ed
( )
avec max ; 0.9 (cot cot )
u u
u r r
p P
V V p l l d d  

    
 
up uP
va
nu nu
nu nu
Ed,cal Ed Ed
( ) ( )
Ed,cal Ed Ed
( ) ( )
: prédominance des charges réparties
: sinon
u u
u u
u
p P
p P
V V p d V
V V V


  
 
1
avec max( ; )
2 4
va
d
 
Remarque: il convient d’appliquer la réduction par 𝛽 pour le seul calcul des armatures d’effort tranchant. La
vérification de la bielle est faite avec la valeur non réduite de VEd. De plus toutes les armatures longitudinales
doivent être ancrées à l’about.
les cadres doivent être sont
maintenus jusqu’au droit de
l’appui.
Il convient de vérifier que la part
d’armatures centrées sur 0,75av
coud bien la part de Pu transférée
sur l’appui
®QHN2017

Exemple de dimensionnement des armatures d’effort tranchant dans le cas de charge ponctuelle à l’about
Données:
• Caractéristiques dimensionnelles:
• Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500A
Question: Dimensionner les armatures d’effort tranchant (=90°) et leurs espacements?
5m ; 200mm ; 500mm; 450mmwL b h d   
50kN/m ; P 150kN appliqué à 500 mm du nu de l'appuiu up  
ck
cd
c
yk
yd
s
35
23.33MPa
1.5
500
435MPa
1.15
0.9 405mm
f
f
f
f
z d


  
  
 
cw
1
c,Rd cw 1 cd
flexion simple 1
0.6
12 MPa


  
 

 f
50kN/mup 
150kNuP 
0.5 5m
EdV (kN)
260 231
81
15
200 171
87.7
Ed,calV
En présence d’une charge ponctuelle, il faut délimiter les zones de
discontinuité. Comme la charge est située à une distance av égale à
0,5m <2.d, cette zone d’about est considérée comme discontinue.
nu nu nu
nu nu
Ed Ed Ed
( ) ( )
Ed,cal Ed Ed
( ) ( )
260kN
200kN
u u
u u
p P
p P
V V V
V V V
  
  
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Choisir l’angle de la bielle d’about
Déterminer la section des cadres
• La bielle d’about de 21,8° intéresse la poutre sur 𝑧 cot𝜃 = 1m > 0,5m où est appliquée la charge ponctuelle. Il
faut donc vérifier que la part d’armatures centrées sur 0,75av = 375 mm coud bien la part de Pu transférée sur
l’appui (EC2-1-1 §6.2.3(8))
• Il faut que l’effort tranchant de calcul soit inférieur ou égal à la résistance des armatures d’effort tranchant
 ok
Conclusion: pour la zone d’about il faut prévoir 9 cadres HA8 espacés
de 11 cm sur 1m.
nu
Ed Rd,c w 2
2.5
260kN 336.2kN
1+2.5
V b z  
2sw
0
0
soit un cadre HA8 avec un espacement s =11 cm 0.914 mm /mm
A
s
 
nu 2sw
yd sw yd sw Ed
0.75 0 0
( )
0.75
0.826mm /mm
v
u
v
a
P
a A
f A f A V
s s
   
sw
Ed,cal Rd,s yd
0
200kN cot 402.6 kN
A
V V f z
s
   
cot 1z m 
0.75 va
va
11
Ed Rd,max( )V x V    La résistance des
bielles est surabondante
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Chapitre 10: Flexion simple à l’ELS 2
10.1 Généralités
10.2 Limitation des contraintes
10.2.1 Dispositions au niveau béton
10.2.2 Dispositions au niveau acier
10.3 Limitation des flèches
10.4 Prise en compte du fluage dans le calcul à l’ELS
10.4.1 Module effectif du béton
10.4.2 Coefficient d’équivalence αe
10.5 Maîtrise de la fissuration
10.5.1 Considérations générales
10.5.2 Notion d’ouverture de fissures
10.5.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct
10.6 Calcul des contraintes à l’ELS
10.6.1 Hypothèses
10.6.2 Notations
10.6.3 Section rectangulaire non fissurée
10.6.4 Section en T non fissurée
10.6.5 Moment de fissuration Mcr
10.6.6 Section rectangulaire fissurée
10.6.7 Section en T fissurée
10.7 Dimensionnement des armatures longitudinales à l’ELS
10.7.1 Section rectangulaire
10.7.2 Section en T
10.7.3 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des
armatures à l’ELS
10.7.4 Exemple d’application
10.8 Vérifications d’une poutre en flexion simple à l’ELS
10.8.1 Vérification des contraintes
10.8.2 Vérification des flèches dans le cas dispense de calcul
10.8.3 Vérification des flèches par le calcul
10.8.4 Vérification de l’ouverture des fissures par le calcul direct
10.8.5 Vérification de la section minimale d’armature
10.8.6 Exemple d’application
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10.1 Généralités
 Les éléments de structure en béton armé, soumis à un moment de flexion simple sont généralement
dimensionnés à l’ELS dans les cas suivants:
• Fissuration préjudiciable.
• Fissuration très préjudiciable.
 Les vérifications à effectuer concernant l’ELS vis à vis de la durabilité de la structure conduit à s’assurer du
non-dépassement des contraintes limites de calcul à l’ELS :
• Compression du béton
• Traction des aciers suivant le cas de fissuration envisagé (état limite d’ouverture des fissures)
Nous abordons dans ce chapitre les points suivants:
 Dimensionnement à l’ELS
 Vérification à l’ELS
 Limiter l’ouverture des fissures pour ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure
 Tenir compte de la fissuration, du fluage et du retrait
 Assurer une section minimale d’armature
 Limiter la flèche structurale
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10.2 Limitation des contraintes (EC2-1-1 §7.2)
10.2.1 Dispositions au niveau béton
• La contrainte de compression dans le béton doit être limitée afin d'éviter les fissures longitudinales, les micro-
fissures ou encore des niveaux élevés de fluage, lorsque ceux-ci pourraient avoir des effets inacceptables
pour le fonctionnement de la structure.
• L’EC2 rappelle que, en l’absence de dispositions complémentaires, des fissures longitudinales peuvent
apparaître si le niveau de contrainte sous la combinaison caractéristique de charges excède une valeur
critique. Il propose de limiter la compression à 0,6fck pour les zones soumises aux classes d’exposition XD, XF
et XS.
• Sous la combinaison quasi-permanente des charges:
 le fluage linéaire si σc ≤ 0,45fck ,
 le fluage non linéaire si σc > 0,45fck
10.2.2 Dispositions au niveau acier
• Les contraintes de traction dans les armatures doivent être limitées afin d'éviter les déformations inélastiques
ainsi qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable.
• Nous pouvons considérer qu'un niveau de fissuration ou de déformation inacceptable est évité si, sous la
combinaison caractéristique de charges, la contrainte de traction dans les armatures n'excède pas 0,8fyk.
Lorsque la contrainte est provoquée par une déformation imposée, il convient de limiter la contrainte de
traction à fyk.
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10.3 Limitation des flèches (EC2-1-1 §7.4)
EC2-1-1§7.4.1:
• La déformation d'un élément ou d'une structure ne doit pas être préjudiciable à leur bon fonctionnement ou à
leur aspect.
• Il convient de fixer des valeurs limites appropriées des flèches, en tenant compte de la nature de l’ouvrage,
des finitions, des cloisons et accessoires, et de sa destination.
• Il convient de limiter les déformations aux valeurs compatibles avec les déformations des autres éléments liés
à la structure tels que cloisons, vitrages, bardages, réseaux ou finitions. Dans certains cas, une limitation des
déformations peut être nécessaire afin d'assurer le bon fonctionnement de machines ou d'appareils supportés
par la structure, ou pour éviter la formation de flaques sur les toitures-terrasses.
• L'aspect et la fonctionnalité générale de la structure sont susceptibles d'être altérés lorsque la flèche calculée
d'une poutre, d'une dalle ou d'une console soumises à des charges quasi-permanentes est supérieure à
L/250 où L représente la portée. La flèche est évaluée par rapport aux appuis à proximité. Une contre-flèche
peut être prévue pour compenser en partie ou en totalité la déformation ; toutefois, il convient de ne pas
dépasser généralement une limite supérieure de L/250.
• Il convient de limiter les déformations susceptibles d'endommager les éléments de la structure avoisinants
l'élément considéré. Pour la déformation après construction, L/500 représente normalement une limite
adéquate pour les charges quasi-permanentes. D'autres limites peuvent être envisagées, en fonction de la
sensibilité de ces éléments avoisinants.
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10.4 Prise en compte du fluage dans le calcul à l’ELS
10.4.1 Module effectif du béton
EC2-1-1§7.4.3(5)
Remarques sur la clause 7.4.3(5) de l’EC2:
• 𝜑 ∞, 𝑡0 représente le fluage final à long terme du béton donc sous des charges permanentes
• Le texte qui accompagne la définition de 𝜑 ∞, 𝑡0 précise bien qu’il s’agit d’un coefficient de fluage qui tient
compte du chargement dans un intervalle de temps considérés [t0, t]. Il faut donc comprendre qu’il est
question ici de 𝜑 𝑡, 𝑡0 puisque ce dernier permet de tenir compte non seulement des charges à long terme
(t= ∞) mais aussi à plus au moins court terme (comme les charges d’exploitation). 𝜑 𝑡, 𝑡0 doit donc être
utilisé avec la combinaison caractéristique de charges.
• Les clauses 7.2 et 7.3 des ‘‘Recommandations professionnelles pour l'application de la norme NF EN 1992-1-
1 (NF P 18-711-1) et de son annexe nationale (NF P 18-711-1/NA-Eurocode 2, partie 1-1) relatives au calcul
des structures en béton’’ stipulent que:
Eqp
, 0
Ed,ELS
avec ( , )
1
cm
c eff ef
ef
ME
E t
M
 

  

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10.4.2 Coefficient d’équivalence αe
• En BA les sections sont pratiquement homogénéisées en assimilant la section d’acier à une section
équivalente de béton  travailler avec un seul matériau
• Il nécessite d’exprimer un coefficient d’équivalence entre l’acier et le béton:
• Pour de charges essentiellement permanentes (tenant compte du fluage final 𝜑 ∞, 𝑡0 ):
• Pour de charges de plus ou moins courte durée et à longue durée (avec le fluage réduit 𝜑 𝑒𝑓):
• Pour de charges de courte durée (sans fluage)


 
 ,
, 0
avec
1 ( , )
s cm
e c eff
c eff
E E
E
E t
 Combinaison quasi-permanente des actions
  

   

Eqp
, 0
, Ed,ELS
avec et ( , )
1
s cm
e c eff ef
c eff ef
ME E
E t
E M
 Combinaison caractéristique des actions
  s
e
cm
E
E
  s
e
c
E
E
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10.5 Maîtrise de la fissuration (EC2-1-1 §7.3)
10.5.1 Considérations générales
• La fissuration est normale dans les structures en béton armé soumises à des sollicitations de flexion, d'effort
tranchant, de torsion ou de traction résultant soit d'un chargement direct soit de déformations gênées ou
imposées.
• La fissuration doit être limitée afin de ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure et de ne
pas rendre son aspect inacceptable (notion d’apparence).
• Les fissures peuvent également avoir d'autres causes telles que le retrait plastique ou des réactions
chimiques expansives internes au béton durci. L'ouverture de telles fissures peut atteindre des valeur
inacceptables mais leur prévention et leur maîtrise n'entrent pas dans le cadre de l’EC2.
• Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles ne
soient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure.
10.5.2 Notion d’ouverture de fissures
• Il convient de définir une valeur limite de l'ouverture calculée des fissures (wmax) en tenant compte de la
nature et du fonctionnement envisagés de la structure ainsi que du coût de la limitation de la fissuration.
Valeurs recommandées de wmax par l’EC2
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• L’EC2 renvoie aux Annexes nationales pour fixer les limites des ouvertures des fissures. La valeur de wmax à
utiliser est donnée dans le tableau de l’Annexe nationale française (tableau 7.1NF)
Valeurs recommandées de wmax suivant l’AN française (ANF 7.1)
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10.5.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct (EC2-1-1 §7.3.3)
• Cette méthode permet de s’affranchir de la vérification complète de l’ouverture de fissure. Elle s’apparence
donc à une méthode forfaitaire
• Il convient dans le cas de fissures principalement dues aux charges, de limiter la contrainte dans l’acier aux
valeurs forfaitaires du tableau 7.2N et du tableau 7.3.N de l’EC2 en fonction du diamètre obtenu dans le cas
d’un calcul tenant compte de la fissuration
Tableau 7.2N: diamètre maximal des barres ∅ 𝑠* pour la maîtrise de la fissuration
Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres pour la maîtrise de la fissuration
k k k
k k k𝜎 𝑠
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En flexion simple, le diamètre maximal des barres peut être modifié comme suit :
où:
• 𝜙𝑠 est le diamètre maximal modifié de la barre
• 𝜙𝑠
∗
est le diamètre maximal de la barre donné dans le Tableau 7.2
• ℎ est la hauteur totale de la section
• ℎ𝑐𝑟 est la hauteur de la zone tendue juste avant la fissuration sous combinaison quasi-permanente des actions
• 𝑑 est la hauteur utile au centre de gravité du lit extérieur d'armatures.
• 𝑘 𝑐 est un coefficient qui tient compte de la répartition des contraintes dans la section immédiatement avant la
fissuration ainsi que de la modification du bras de levier. En flexion simple:
 Pour des sections rectangulaires et les âmes des sections en T:
 Pour les membrures des sections en T:
𝐹𝑐𝑘 est la valeur absolue de l'effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration, du fait du
moment de fissuration calculé avec 𝑓ct,eff
𝐴 𝑐𝑡 est l'aire de la section droite de béton tendu. La zone de béton tendue est la partie de la section dont le
calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure
ct,eff
0.9
0.5ck
c
ct
F
k
A f
 
0.4ck 
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Espacement réel des barres longitudinales
Soit n le nombre de barres longitudinales
L’espacement réel des armatures du 1er lit
est calculé par:
Conclusion: Pour que le contrôle de la fissuration sans calcul direct de l’ouverture des fissures soit assuré, il suffit
que l’une des deux conditions suivantes soit satisfaite:
w nom ,réel
réel
2( )
1
t Lb c n
a
n
   


wb
nomc nomc,réelL
,réelL ,réelL
t t
réela réela
 

,réel
réel
ou
L s
a a
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10.6 Calcul des contraintes à l’ELS
10.6.1 Hypothèses
• Les sections planes restent planes et conservent leurs dimensions
• Il n’y pas de glissement à l’interface béton-armatures
• Le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux élastiques
• L’aire des aciers n’est pas déduite de celle du béton
• L’aire des aciers est concentrée en son centre de gravité
10.6.2 Notations
• xs : hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée
• 1/r : courbure
• 𝜀𝑐𝑠 : déformation libre de retrait
• fct,eff : contrainte limite de la fissuration du béton
• MEd,ELS : moment à l’ELS obtenu avec la combinaison caractéristique
• MEqp : moment à l’ELS obtenu avec la combinaison quasi permanente
• Mcr : moment de fissuration
• II : moment d’inertie de la section homogénéisée non fissurée
• III : moment d’inertie de la section homogénéisée fissurée
• wk : ouverture des fissures
• hcr : hauteur de la zone tendue juste avant la fissuration
• 𝜎 𝑠 : contrainte maximale admise dans l’armature après la formation de la fissure
• 𝜎 𝑐 : contrainte maximale admise dans le béton sous la combinaison caractéristique
• Ecm : module sécant du béton
• Ec,eff : module effectif du béton
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 Armatures tendues:
 Armatures comprimées:
10.6.3 Section rectangulaire non fissurée
• Aire de la section complète homogénéisée
• Position de l’axe neutre
• Inertie non fissurée
• Contraintes dans la section
 Fibre la plus tendue du béton:
 Fibre la plus comprimée du béton:
3 3
2 2w w
I 1 1 2 2
( )
( ) ( )
3 3
s s
e s s e s s
b x b h x
I A d x A d x 

     
 w 1 2e s sA b h A A  
  2
1 1 2 2 w / 2e s s
s
A d A d b h
x
A
  

ser
c s
I
M
x
I
 
 

  ser
1 1
e
s s
I
M
d x
I
 ser
ct s
I
M
h x
I
  
 ser
2 2
e
s s
I
M
x d
I

  
1d
sx
c
1s
A.N.
zone
comprimée
déformations
serM
1sA
2sA
h
2d 2s
ct
2 /s e 
1 /s e 
ct
c
contraintes
wb
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10.6.4 Section en T non fissurée
• Aire de la section complète homogénéisée
• Position de l’axe neutre
• Inertie non fissurée
   
23 3 3
2 2w w f f
I 1 1 2 2 eff w eff w f
( )
( ) ( )
3 3 12 2
s s
e s s e s s s
b x b h x h h
I A d x A d x b b b b h x 
 
            
 
   w 1 2 eff w fe s sA b h A A b b h    
   2 2
1 1 2 2 w eff w f/ 2 / 2e s s
s
A d A d b h b b h
x
A
    

ser
c s
I
M
x
I
 
 

  ser
1 1
e
s s
I
M
d x
I
 ser
ct s
I
M
h x
I
  
1sA
2sAfh
effb
wb
2 /s e 
1 /s e 
ct
c
sx
A.N.
2d
1dh
 ser
2 2
e
s s
I
M
x d
I

  
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10.6.5 Moment de fissuration Mcr
C’est un moment critique qui délimite l’apparition de la première fissure mécanique:
• Si MEd,ELS < Mcr : la section est non fissurée, toute la section participe à la résistance
• Si MEd,ELS ≥ Mcr : la section est fissurée, seul le béton en compression participe à la résistance
Mcr est déterminé en considérant que la fibre la plus tendue est à la contrainte limite de fissuration du béton fct,eff
Remarque:
• fct,eff est la valeur moyenne de la résistance en traction au moment où les premières fissures sont supposées
apparaître
• Quelle valeur du fluage est à considérer pour Ec,eff ? 𝜑 ∞, 𝑡0 ou 𝜑 𝑒𝑓𝑓? En effet la combinaison caractéristique
conduit aux sollicitations les plus sévères. Sous cette combinaison, le coefficient de fluage final 𝜑 ∞, 𝑡0 doit
être réduit pour obtenir 𝜑 𝑒𝑓𝑓. C’est donc Ec,eff obtenu avec 𝜑 𝑒𝑓𝑓 qu’il faut considérer pour le calcul de la section
non fissurée.
cr ,
I
ct eff
s
I
M f
h x


,
si nous prévoyons que la fissure aura lieu après 28 jours
( ) si nous prévoyons que la fissure aura lieu avant 28 jours
ctm
ct eff
ctm
f
f
f t

 

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10.6.6 Section rectangulaire fissurée
MEd,ELS ≥ Mcr : la section est fissurée, seul le béton en compression participe à la résistance
• Aire de la section complète homogénéisée:
• Position de l’axe neutre:
• Inertie fissurée:
3
2 2w
II 1 1 2 2( ) ( )
3
s
e s s e s s
b x
I A d x A d x     
 w 1 2e ss sxA b A A  
 1 1 2 2 w
2
/ 2e s s s
s
A x
x
d A d b
A
  

ser
c s
II
M
x
I
 
 

  ser
1 1
e
s s
II
M
d x
I
0 section fissuréect  
 ser
2 2
e
s s
II
M
x d
I

  
1 2 w 1 1 2 2
2
w 1 2
( ) 2 ( )
1 1
( )
e s s s s
e s s
s
A A b A d A d
b A A
x


  
    
  
1d
sxzone
comprimée
serM
1sA
2sA
h
2d
wb
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10.6.7 Section en T fissurée
• Si xtest ≤ ℎt l’axe neutre est dans la table de compression (cas de section rectangulaire de largeur beff)
 Position de l’axe neutre:
 Inertie fissurée:
• Sinon, l’axe neutre est dans la nervure
 Aire de la section homogénéisée:
 Position de l’axe neutre:
 Inertie fissurée:
1 2 1 1 2 2
tes
eff
eff
t 2
1 2
( ) 2 ( )
1 1
( )
e s s s s
e s s
A A A d A d
x
A A
b
b


  
   
  
 Position de l’axe neutre d’une section rectangulaire
fissurée de largeur beff
testsx x
3
2 2
II 1 1 2
f
2
ef ( ) ( )
3
s
e s s e s s
x
I A d x A d
b
x     
   w 1 2 eff w fe ss sA b A A b b hx     
     
    
2
w 1 1 2 2 eff w f1 2 eff w f
2
w
1 2 eff w f
2 ( ) ( )
1 1
e s se s s
s
e s s
b A d A d b b hA A b b h
x
b
A A b b h


 
      
   
   
 
    2
1 1 2 2 w eff w
2
f/ 2 / 2e s
s
s sxA d A d b b b h
x
A
    

3 3
2 2eff eff w f
II 1 1 2 2
( )( )
( ) ( )
3 3
s s
e s s e s s
b x b b x h
I A d x A d x 
 
     
®QHN2017

10.7 Dimensionnement des armatures longitudinales à l’ELS
Problème:
 Données: MEd,ELS, MEqp, bw, beff, h, d1, d2, 𝜎 𝑠, 𝜎 𝑐, wk
 Trouver As1 et As2
10.7.1 Section rectangulaire
1. Calculer le moment frontière 𝑀ser correspondant au cas où il n’y a pas d’armature comprimée et les
contraintes dans l’armature tendue et dans le béton atteignent les valeurs limites imposées par l’EC2:
Définition des pivots à l’ELS
ser 1
1
2 3
s
s c
x
M bx d
 
   
 
1
avec e c
s
e c s
x d
 
  


Remarque: Dans ce cas, la section est pratiquement
fissurée puisque 𝜎 𝑠/𝛼 𝑒 ≈ 23 MPa > fct,eff
a
b
a
b
sxsx
sx
ccc 
s
e


s
e


s
e



Pivot a Pivot b
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2. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As2=0
• Position de l’axe neutre: est la solution de l’équation:
• Armature tendue nécessaire:
Question: Est-elle suffisante cette quantité d’armature pour assurer la sécurité à l’état-limite ultime de résistance
(ELU) ?
Conclusion: Si l’ouverture de fissures est limitée à 0,2mm (fissuration très préjudiciable), l’état-limite déterminant
est l’ELS. Une vérification à l’ELU ne présente aucun intérêt.
1
s
s
x
d
 
Ed,ELS Ed,ELS
s1
, 1
(1 / 3)s c s s s
M M
A
z d  
 

Ed,ELS3 2
ser ser 2
1
3 6 (1 ) 0 avec
e
s s s
s
M
bd

    

    
ser3
1 1 2
1 2 cos arccos où 2 1
3 3s

 
  
        
  
s1,ELU ,Ed
s1,ELS Ed,ELS 1
c ss
su c
A zM
A M z



Ed
Ed,ELS
1
,
1.5
280
0.64
435
1.05
s
su
c s
c
M
M
z
z






 




s1,ELU
s1,ELS
1
A
A
 
Cas de fissuration très
préjudiciable (wmax=0,2mm)
®QHN2017

3. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀ser  Les contraintes limites de l’EC2 sont dépassées. Trois solutions envisageables sont:
• Augmenter les dimensions de la section
• Utiliser un béton de classe supérieure
• Renforcer la section au moyen une nappe d’armatures en compression (As2 > 0)
On va calculer la quantité minimale d’armature en compression avec laquelle les limites des contraintes de l’EC2
sont respectées.
On fixe: 
• As1 &As2 sont calculés à l’aide des équations d’équilibre:
4. Vérifier 𝐴s1 ≥ As,min (EC2-1-1 §9.2.1.1(1)) et 𝐴s1 et As2 ≤ 0,04𝐴𝑐 (EC2-1-1 §9.2.1.1)
1d
sx
A.N.
zone
comprimée
b
1sA
h
/s e 
c
contraintes
Ed,ELSM
2sA
2 /s e 
2d
1
c c
s s
 
 


1
e c
s s
e c s
x x d
 
  
 

2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 



Ed,ELS ser
Ed,ELS ser 2 2 1 2 2
2 1 2
( )
( )s s s
s
M M
M M A d d A
d d



    

2 2
1 2 2 1
1
1 20
2
s c s s
s s s c s s s
s
bx A
A bx A A
 
  


    
®QHN2017

5. Déterminer le diamètre et l’espacement des barres pour la maîtrise de fissuration
• Déterminer la position de l’axe neutre xs et calculer l’inertie fissurée III en considérant le combinaison quasi
permanente (voir 8.4.5)
• Calculer la contrainte de l’acier:  Eqp
1 1
e
s s
II
M
d x
I

  
Tableau 7.2N: diamètre maximal des barres pour la maîtrise de fissuration
k k k
k k k𝜎 𝑠
Tableau 7.3N: Espacement maximal des barres pour la maîtrise de fissuration
Avec l’ouverture de la fissure wk
donnée et la contrainte de l’acier
calculée, on obtient par lecture
des tableaux 7.2N et 7.3.N de
l’EC2 un diamètre ∅ et
l’espacement des barres
®QHN2017

10.7.2 Section en T
1. Position de l’axe neutre correspondant à un diagramme de contrainte passant par les pivots « a » et « b »
2. Si 𝑥 𝑠 ≤ ℎ𝑡 puisque l’on cherche à atteindre la contrainte limite dans l’acier 𝜎 𝑠 (pivot a) donc l’axe neutre est
dans la table de compression  la poutre fonctionne en poutre rectangulaire dont la largeur est égale à beff
(voir 10.7.1)
3. Si 𝑥 𝑠 > ℎ𝑡  calculer le moment de référence MTser
4. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀Tser cela signifie que l’axe neutre est dans la table de compression  la poutre fonctionne
en poutre rectangulaire dont la largeur est égale à beff
5. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀Tser cela signifie que l’axe neutre est dans la nervure  la poutre fonctionne en T
Calculer le moment frontière 𝑀ser correspondant à un diagramme de contrainte passant par les pivots « a »
et « b »
2
eff f f
Tser 1
1 f
2 3
s
e
b h h
M d
d h


 
     
1
e c
s
e c s
x d
 
  


Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de la section a une forme
rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zone comprimée a une forme de T.
sxfh
c
/s e 
  
2
eff w feff f
ser 1 1
2
2 3 2 3
s cs c s s
s
b b x hb x x x h
M d d
x
     
         
   
®QHN2017

6. Si 𝑀Ed,ELS ≤ 𝑀ser  il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée: As2=0
Le calcul exact de la section des armatures longitudinales tendues est assez compliqué et ne peut se faire sans
itération. Compte tenu des valeurs usuelles de hf/d1 ∈ [0,1; 0,3], on peut admettre, comme une expression
approchée du bras de levier zs, la formule suivante:
Ainsi, il est possible d’estimer la section d’acier tendu
nécessaire par:
7. Si 𝑀Ed,ELS > 𝑀ser  Les contraintes limites de l’EC2 sont dépassées  As2 > 0
On va calculer la quantité minimale d’armature en compression avec laquelle les limites des contraintes de l’EC2
sont respectées (pivot a-b).
On fixe: 
• As1 &As2 sont calculés à l’aide des équations d’équilibre:
8. Vérifier 𝐴s1 ≥ As,min (EC2-1-1 §9.2.1.1(1)) et 𝐴s1 et As2 ≤ 0,04𝐴𝑐 (EC2-1-1 §9.2.1.1)
1 f
0.99 0.4s
z d h 
sx
c c 
cF
sz
Ed,ELS
s1
s s
M
A
z

s s
x x
2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 



Ed,ELS ser
2
2 1 2
( )s
s
M M
A
d d



 w
eff w 2 2
1
1
2 2
fs c
f c s s
s
s
s
hb x
h b b A
x
A

 

 
    
 
 
®QHN2017

10.7.3 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections
rectangulaires ou en T à l’ELS
1sA
2sA fh
effb
wb
1sA
2sA
1d
2d
wb
Données:
• Dimensions de la section: bw, beff, d1, d2, hf
• Matériaux: 𝜎 𝑐 et 𝜎 𝑠
• Sollicitations: MEd,ELS, MEqp
• Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable: wk
• Coefficient de fluage final: 𝜑 ∞, 𝑡0  coefficient d’équivalence: 𝛼 𝑒
®QHN2017

w effb b
2
eff f f
Tser 1
1 f2 3
s
e
b h h
M d
d h


 
     Section en T
non
Ed,ELS TserM M
w effb b
oui
Section
rectangulaire
non
Section en T
Données
Ed,ELS serM M
3
1 1 2
1 2 cos arccos
3 3s


  
     
  
non
s2 0A 
Ed,ELS
2
1
2
1
e
s
M
bd


  
oui
Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des
armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELS
1 e c
s
e c s
d
x
 
  


ser w 1
1
2 3
s
s c
x
M b x d
 
   
 
s2 0A  Ed,ELS
s1
1(1 / 3)s s
M
A
d 


2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 


 2 2
1
2
s c
s s
s
s
bx
A
A





Ed,ELS ser
2
2 1 2( )s
s
M M
A
d d



fsx h
oui
non
  
eff
ser 1
2
eff w f f
1
2 3
2
2 3
s c s
s c s
s
b x x
M d
b b x h x h
d
x


 
   
 
   
   
 
Ed,ELS serM M
non s2 0A 
oui
s2 0A 
1 f0.99 0.4sz d h 
Ed,ELS
s1
s s
M
A
z

 w
eff w 2 2
1
1
2 2
fs c
f c s s
s
s
s
hb x
h b b A
x
A

 

 
    
 
 
2
2
1
s
s s
s
x d
d x
 



Ed,ELS ser
2
2 1 2( )s
s
M M
A
d d



1 ,min
1 2
Vérifier:
et 0.04
s s
s s c
A A
A A A


oui
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10.7.4 Exemple de calcul des armatures à l’ELS d’une poutre en T
Soit les poutres isostatiques de 55x125 cm² de portée 13,6m et de 1,5m d’entre axes, associée à une dalle de
béton de 15 cm d’épaisseur. Ces poutres reposent sur des appuis de 40cm.
• Caractéristique mécanique des matériaux: Béton C30; acier B500B
• Classe d’environnement: XD3
• Charges permanentes (y compris le poids propre) G = 70 kN/m; charges d’exploitation Q = 55 kN/m
• Caractéristique pour le fluage
 Les charges sont appliquées à 28 jours
 Le coefficient de fluage 𝜑(∞, 𝑡0) = 2,5
• La maîtrise de la fissuration est requise
• Poutres dans un bâtiment de stockage
• Condition d’adhérence est bonne
• Taille du plus gros granulat: dg = 25 mm
50 cm
150 cm
15 cm
125 cm
®QHN2017

Ø25
Ø25
Ø25
25
50 cm
150 cm
15 cm
125 cm
cnom = 40 mm
3 lits de 5HA25
5HA12
(armature de montage)
HA10
cnom = 40 mm
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10.8 Vérifications d’une poutre en flexion simple à l’ELS
Après le dimensionnement à l’ELU, il est nécessaire d’effectuer des vérifications portant sur:
• Limitation de contrainte dans le béton et dans l’acier
• La limite de déformation (flèches)
• La limite d’ouverture des fissures
• Section minimale d’armature
Problème:
 Données: MEd,ELS, MEqp, b, h, d1, d2, 𝜎 𝑠, 𝜎 𝑐, As1 (As2 éventuel) , 𝛿ad et wmax
 Vérifier si 𝜎𝑐 ≤ 𝜎 𝑐 , 𝜎𝑠1 ≤ 𝜎 𝑠 , δ ≤ 𝛿ad et wk ≤ wmax
10.8.1 Vérification des contraintes
Remarques:
• La vérification des contraintes se fait avec la combinaison caractéristique des charges. Il faut donc prendre
Ec,eff calculé avec 𝜑 𝑒𝑓 (voir 10.3.2)
• Pour calculer 𝜑 𝑒𝑓, on doit savoir si le fluage est linéaire ou non. Pour cela, il est nécessaire de calculer la
contrainte dans le béton sous des charges quasi-permanentes et vérifier l’article 7.2(3) de l’EC2 (voir 10.2.1)
 Ed,ELS
1 1
(ou )
e
s s s
II I
M
d x
I I

   
Ed,ELS
(ou )c s c
II I
M
x
I I
  
Classe d’environnement 𝜎 𝑠 𝜎 𝑐
XD, XF, XS 0,8fyk 0,6fck
Autre 0,8fyk fck
Contraintes limites à l’ELS sous la
combinaison caractéristique (EC2-1-1§7.2)
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10.8.2 Vérification des flèches dans le cas dispense de calcul (§7.4.2)
EC2-1-1§7.4.1
• Il n'est généralement pas nécessaire de calculer les déformations de manière explicite, des règles simples, telles que
limitation du rapport portée/hauteur, pouvant être formulées et suffisant pour éviter les problèmes de flèche en
situation normale. Des vérifications plus rigoureuses sont nécessaires pour les éléments ne satisfaisant pas ces
conditions limites.
• L’EC2 n’impose pas de calculer les flèches d’un élément si son rapport portée/hauteur L/d reste inférieur à des
limites définies par les formules suivantes:
 Pour les sections en Té pour lesquelles le rapport de la largeur de la membrure à la largeur de l'âme est supérieur à
3, il convient de multiplier les valeurs de l/d données par l'Expression (7.16) par 0,8.
 Dans le cas des poutres et des dalles autres que les planchers-dalles, de portée supérieure à 7 m, supportant des
cloisons susceptibles d'être endommagées si les flèches sont excessives, il convient de multiplier les valeurs de L/d
données par l'Expression (7.16) par 7/Leff (Leff étant portée de calcul en mètres, voir chapitre 4).
 Dans le cas des planchers-dalles dont la plus grande portée est supérieure à 8,5 m et qui supportent des cloisons
susceptibles d'être endommagés si les flèches sont excessives, il convient de multiplier les valeurs de l/d données par
l'Expression (7.16) par 8,5/Leff (Leff en mètres).
®QHN2017

Tableau 7.4N : Valeurs de base du rapport portée/hauteur utile en fonction de pourcentage d’armatures pour
des cas courants (C30, 𝜎s = 310 MPa)
• Les Expressions (7.16a) et (7.16b) ont été établies en admettant que la contrainte de l'acier, pour une
section fissurée à mi-portée d'une poutre ou d'une dalle, ou sur appui dans le cas d'une console, est égale
à 310 MPa sous les charges de calcul aux ELS. Lorsqu'on admet d'autres niveaux de contrainte, il
convient de multiplier les valeurs obtenues au moyen de l'Expression (7.16) par 310/ 𝜎s. On se place en
sécurité en admettant que :
®QHN2017

10.8.3 Vérification des flèches par le calcul (§7.4.3)
1. Cas des sections non fissurées
Dans cet état, l’acier et le béton agissent de manière élastique ; c’est la résistance des matériaux. On retient la
section béton.
Exemple d’une poutre simplement appuyée:
2. Cas des sections fissurées
Pour les éléments dont on prévoit qu'ils seront fissurés mais pas entièrement, il convient de les considérer
comme se comportant d'une manière intermédiaire entre l'état non fissuré et l'état entièrement fissuré; s’ils
travaillent principalement en flexion, l’expression suivante prévoit de manière appropriée leur comportement :
(1 )II I     

où:
• α est le paramètre de déformation considéré, qui peut être par exemple une déformation unitaire, une
courbure ou une rotation.
• αI, αII sont les valeurs du paramètre respectivement dans l’état non fissuré et dans l’état fissuré
• est un coefficient de distribution (qui tient compte de la participation du béton tendu dans la section),
donné par l‘expression: 2
1
Eqp
crM
M
 
 
  
 
 
4
,
5
384
Eqp
c eff I
q L
f
E I
f
L
Eqpq
®QHN2017

La méthode la plus rigoureuse pour déterminer la flèche consiste à calculer la courbure
dans un grand nombre de sections le long de l'élément, puis à calculer la flèche
par intégration numérique
• 1/r représente la courbure totale qui est la somme des courbures dues aux actions mécaniques et au retrait.
§7.4.3(6)
1 1 1
(1 )
II I
r r r
 
   
     
   
1
f dx dx
r
 
  
 
 
®QHN2017

Principe du calcul des flèches par les courbures
r1, r2, r3, r4, r5
r1, r2, r3, r4, r5
L/4 L/4 L/4 L/4
1
2 f2
f3
f4
1 1 1
(1 )
II I
f dx dx
r r r
 
    
            
 
f2
f3
f4
L²/384
®QHN2017

Méthode simplifiée pour le calcul des flèches
• L’EC2 reconnaît que cette technique est assez laborieuse et autorise des méthodes simplifiées par lesquelles
on peut directement appliquer l’Expression (7.18) sur des flèches et non sur des courbures.
• L’EC2 propose d’évaluer la flèche en supposant la poutre non fissurée, puis en la supposant entièrement
fissurée. Il faut mener deux calculs, l’un en section non fissurée et l’autre en section fissurée, et ensuite
interpoler en utilisant l’Expression (7.18) pour obtenir le flèche
Remarques:
 Pour calculer les flèches, il suffit de déterminer par les formules bien connues de la structure la valeur des
flèches fissurées et non fissurées en prenant respectivement l’inertie fissurée et l’inertie non fissurée.
 Le module de Young concernant le béton doit tenir compte du fluage du béton si les charges sont à long
terme: Ec,eff (voir 10.3.2)
Exemple d’une poutre bi-encastrée:
Vérification des flèches:
• Pour des conditions d’utilisation normales, la flèche, calculée par rapport aux actions quasi permanentes, doit
être inférieure à L/250.
• Dans les cas de cloisonnement, la flèche maximum ne doit pas dépasser L/500.
(1 )II If f f   
f
L
Eqpq 4
,
1
384
Eqp
c eff II I
q L
f
E I I
  
   
 
®QHN2017

10.8.4 Vérification de l’ouverture des fissures par un calcul direct (§7.3.4)
• Lorsque les conditions sur le diamètre maximal et l’espacement maximal des barres ne sont pas respectées
(voir 10.5.3), la maîtrise de la fissuration s’effectue par un calcul direct de l’ouverture des fissures. Il faut
vérifier que wk ≤ wmax
• L’ouverture de la fissure, wk, peut se déduire du produit entre l’espacement maximum sr,max des fissures et
une déformation moyenne entre aciers et béton :
où:
 Pour les poutres, l’espacement maximum sr,max des fissures peut être calculé au moyen de l’expression:
avec c enrobage et ∅ diamètre de la barre en mm,
k1 = 0,8 pour les barres HA,
k2 = 0,5 pour la flexion et k2 = 1 pour la traction pure;
k3 = 3,4 pour des enrobages inférieurs ou égaux à 25 mm; k3 = 3,4(25/c)2/3 pour des enrobages plus
grands (selon Annexe nationale française)
Ac,eff est l'aire de la section effective de béton autour des armatures tendues, c'est-à-dire l'aire de la
section de béton autour des armatures de traction, de hauteur hc,ef, où hc,ef est la plus petite des trois
valeurs ci-après : 2,5(h – d), (h – x)/3 ou h/2
,
,
s
p eff
c eff
A
A
 
®QHN2017

 𝜀sm est la déformation moyenne de l'armature de béton armé sous la combinaison de charges
considérée, incluant l'effet des déformations imposées et en tenant compte de la participation du béton
tendu.
 𝜀cm est la déformation moyenne du béton entre les fissures.
 𝜀sm - 𝜀cm peut être calculé au moyen de l’expression:
où: 𝜎s est la contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la section fissurée.
𝛼e est le rapport Es/Ecm (selon 7.3.4(2))
𝑘𝑡 est un facteur dépendant de la durée de la charge: = 0,6 dans le cas d'un chargement de courte
durée; = 0,4 dans le cas d'un chargement de longue durée.
Remarques:
• Malgré que à l’ELS la combinaison caractéristique des actions conduise aux sollicitations les plus
défavorables la maîtrise de fissuration se réalise sous la combinaison quasi-permanente, car l’ouverture
des fissures maximale wmax donnée par l’EC2 est avec cette combinaison.
• La combinaison quasi-permanente des actions signifie que les actions considérées sont à long terme. Par
conséquent nous prenons kt = 0,4
®QHN2017

10.8.5 Vérification de la section minimale d’armature (§7.3.2)
Il faut vérifier que As ≥ As,min
o Sans calcul direct de la maîtrise de la fissuration (voir 10.4.3)
o Avec calcul direct de la maîtrise de la fissuration (voir 10.5.1)
où :
• Act est l'aire de la section droite de béton tendu. La zone de béton tendue est la partie de la section dont le
calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure
• k est un coefficient qui tient compte de l'effet des contraintes non-uniformes auto-équilibrées conduisant à
une réduction des efforts dus aux déformations gênées :
= 1,0 pour les âmes telles que h ≤ 300 mm ou les membrures d'une largeur inférieure à 300 mm
= 0,65 pour les âmes telles que h ≥ 800 mm ou les membrures d'une largeur supérieure à 800 mm
les valeurs intermédiaires peuvent être obtenues par interpolation
• kc est défini au paragraphe 10.5.3
,min ,
ct
s c ct eff
s
A
A k k f


,min ,
ct
s c ct eff
yd
A
A k k f
f

®QHN2017

10.8.6 Exemple de vérifications d’une poutre à l’ELS
Soit une poutre de 25x40 cm² de section et de 6m de portée entre axes de poteaux.
• Classe d’environnement: XC3
• Charges permanentes (y compris le poids propre) G = 9 kN/m; charges d’exploitation Q = 6kN/m
• Caractéristique pour le fluage
• Les charges sont appliquées à 28 jours
• Le coefficient de fluage φ(∞,t0) = 2,3
• Ces poutres sont dans un bâtiment d’habitation
• La maîtrise de la fissuration est requise
• Condition d’adhérence est bonne
40cm
25cm
5HA16
2HA8
Cadre
HA6
25mm
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Chapitre 11: Flexion composée 2
11.1 Généralités
11.1.1 Définition
11.1.2 Excentricité
11.2 Imperfections géométriques
11.2.1 Cas des éléments isolés
11.2.2 Cas des structures
11.3 Effets du second ordre
11.4 Conditions pour négliger les effets du second ordre
11.5 Sections partiellement comprimées
11.5.1 Sections partiellement comprimés à l’ELS
11.5.2 Sections partiellement comprimés à l’ELU
11.5.3 Méthode de calcul des armatures (à l’ELU et à l’ELS)
11.5.4 Dimensionnement des armatures des sections rectangulaires (à l’ELU et à l’ELS)
11.5.5 Dimensionnement des armatures des sections en T à l’ELU
11.5.6 Vérification des contraintes à l’ELS
11.6 Sections entièrement tendues
11.7 Sections entièrement comprimées
11.7.1 Dimensionnement des armatures à l’ELU
11.7.2 Dimensionnement des armatures à l’ELS
11.7.3 Sections extrêmes d’armatures dans les poteaux
11.8 Diagrammes d’interaction
11.8.1 Équations nécessaires à l’établissement de diagrammes d’interaction
11.8.2 Courbe d’interaction
11.8.3 Cas limites
11.8.4 Tracé des diagrammes d’interaction
11.8.5 Propriétés des diagrammes d’interaction
11.8.6 Application à la détermination des armatures pour les sections rectangulaires
11.8.7 Application à la vérification des sections rectangulaires
11.8.8 Exemples d’application
®QHN2017

11.1 Généralités
11.1.1 Définition
Une section en BA est soumise à la flexion composée lorsqu’elle est sollicitée à la fois par
• un effort normal N (ultime ou service) ; par convention:
 Positif pour une compression
 Négatif pour une traction
• un moment de flexion MG (ultime ou service) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul
(de signe quelconque).
Ce type de sollicitation intervient aussi bien dans les poutres (action du vent, de poussée des terres, du freinage,
du séisme,...) que dans les colonnes soumises à des efforts horizontaux de même nature.
Note: en BA, les effets de V sont étudiés indépendamment de ceux de M et N
On peut distinguer trois cas de flexion composée en fonction de la distribution des contraintes qu’elle produit
dans la section:
y
z
G
MG
N
0x
1sA
2sA
c
1as
c
1as 1as
2as 2as 2as
Distribution des contraintes dans la section
cas 1 cas 2 cas 3


 cas 1: la section est entièrement tendue
 cas 2: la section est entièrement
comprimée
 cas 3: La section est partiellement
comprimée
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11.1.2 Excentricité
Il est souvent utile d’exprimer une sollicitation de flexion composée en terme d’effort normal excentré. Le système
(MG, N) est équivalent à une force unique équipollente à N et appliquée en un point C (centre de pression)
contenu dans le plan moyen. La distance GC est appelée excentricité de la force extérieure par rapport à G.
Remarques:
• En flexion composée, il faut toujours préciser en quel point on effectue la réduction des forces, car la valeur
du moment n’est pas indépendante de ce point
• Dans le but de simplifier les calculs, il est souvent pratique d’exprimer les sollicitations de flexion composée
par rapport au centre de gravité des armatures tendues. Ces sollicitations seront notées (MA, N) ou en terme
de l’effort normal excentré (N, eA).
• MGo est le moment résultant des calculs de RdM, son signe fournit la position des aciers les plus tendus
GM
GC e
N
 
A
MGo
N 0
MGo
e
N

dh
0
x N
A 0M =M +(d-x )NGo
NA
Go
C
A
~ ~Go Go
C
MA
A
e
N

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En repérant la position de l’axe neutre par sa profondeur x comptée positivement vers le bas
depuis la fibre supérieure, on a les cinq cas de figure possibles suivants lorsque MGo > 0 :
Remarque:
• L’état réel de contrainte du béton et des armatures n’est connu que lorsque les sections d’armatures sont
elles-mêmes connues. Lors du dimensionnement, au voisinage des frontières d’un cas à l’autre, il y a
nécessairement une hypothèse à faire, qui ne peut être évitée et dont la validité doit être contrôlée a
posteriori.
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Rupture par flambement de poteaux en béton armé
®QHN2017

11.2 Imperfections géométriques
• Les imperfections géométriques de la structure à l’ELU doivent être prises en compte dans les situations de
projets durables et dans les situations de projet accidentelles (EC2 §5.2(2)P).
• Pour les bâtiments, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle θi défini par
(EC2 §5.2 (5)):
La définition de l et de m dépend de l’effet considéré (EC2 §5.2 (6)):
 effet sur un élément isolé tenu ou libre en tête l = hauteur de l’élément et m = 1;
 effet sur le système de contreventement (ossatures à poteaux poutres continues) l = hauteur du bâtiment,
m = nombre d’éléments verticaux contribuant à la force horizontale appliquée au système de
contreventement
 effet sur les planchers de contreventement ou les diaphragmes des toitures transmettant les forces
horizontales : l = hauteur de l’étage, m = nombre d’éléments verticaux dans l’étage contribuant à la force
horizontale totale appliquée au plancher.
1 1
0.5(1 ) pour 4
200
1 1
0.5(1 ) pour 4 9
100
1 1
0.5(1 ) pour 9
300
i
l
m
l
ml
l
m


 


   


 

 l = longueur ou hauteur du
bâtiment ou de l’étage en
mètres
 m = nombre d’éléments
verticaux contribuant à
l’effet total
Imperfection
géométrique
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Dans le cas d’éléments isolés (poteau isolé), les effets des imperfections peuvent être pris en compte de deux
manières :
• soit on retient une excentricité de ei (du premier ordre) de la force extérieure:
• soit on remplace l’inclinaison par une force transversale Hi dans la position conduisant au moment maximal:
 pour les éléments non contreventés:
 pour les éléments contreventés:
0
2i i
l
e 
i iH N
2i iH N
Remarque: Une solution alternative
simplifiée, applicable aux voiles et aux
poteaux isolés dans les structures
contreventées consiste à prendre une
excentricité (EC2 §5.2(7)a + §5.2(9)) :
Cette simplification ne s’applique pas
aux ponts.
0
400i
l
e 
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• On remplace l’inclinaison globale θi par une force transversale égale aux composantes horizontales des
efforts normaux dans les éléments inclinés(EC2 §5.2 (8)):
 système de contreventement:
 plancher de contreventement:
 diaphragme de toiture:
11.2.3 Prise en compte des écarts sur les dimensions des sections
• Les écarts sur les dimensions des sections sont normalement pris en compte dans les coefficients partiels
relatifs aux matériaux. En dehors du cas des sections droites avec un ferraillage symétrique, il n’y donc pas
lieu d’en tenir compte (EC2 §5.2(1)P).
• Pour tenir compte des écarts sur les dimensions des sections dans le cas des sections droites avec un
ferraillage symétrique, il convient d’adopter à l’ELU une excentricité minimale (EC2 §6.1(4)):
Le moment sollicitant au premier ordre à prendre à l’ELU est:
 i i b aH N N 
( ) / 2i i b aH N N 
i i aH N
0,min max[20mm; / 30 ]e h
, 0Ed Go Ed EdM M e N 
0 0,minavec max[ ; ]ie e e
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11.3 Effets du second ordre (EC2 §5.1(4)).
• Les effets du second ordre traduisent l’influence des déformations sur le moment de flexion.
• Les effets du second ordre (voir l'EN 1990 Section 1) doivent être pris en compte lorsqu'on prévoit qu'ils
affecteront de manière significative la stabilité d'ensemble de la structure ainsi que l’atteinte de l'état-limite
ultime dans des sections critiques.
• Le calcul au second ordre
est très complexe et
nécessite des itérations afin
d’obtenir l’équilibre de la
section
• Pour les bâtiments, les
effets du second ordre
peuvent être négligés
lorsqu'ils sont inférieurs à
certaines limites
Note: Nous abordons dans ce chapitre un
calcul de flexion composée sans tenir
compte les effets du second ordre. Ils
seront traités dans un chapitre consacré à
l’instabilité de forme du flambement.
®QHN2017

11.4 Conditions pour négliger les effets du second ordre
• Selon EC2 §5.8.2(6), les effets du second ordre peuvent être négligés s'ils représentent moins de 10 % des
effets du premier ordre correspondants.
mais cela nécessite de réaliser un calcul au second ordre ...
• Selon EC2 §5.8.3.1, les effets du second ordre peuvent être négligés si l’élancement 𝜆 est inférieur à 𝜆lim
M01, M02 sont les moments
d'extrémité du premier
ordre, |M02| ≥ |M01|
®QHN2017

On peut négliger les effets globaux du second ordre dans les bâtiments lorsque (EC2 §5.8.3.3(1))
a) on a
où :
 FV,Ed est la charge verticale totale (sur les éléments contreventés et les éléments de contreventement)
 ns est le nombre d'étages
 L est la hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d'encastrement du moment
 Ecd est la valeur de calcul du module d'élasticité du béton .
 Ic est le moment d'inertie (section de béton non fissurée) de l'élément (des éléments) de
contreventement
 k1 = 0,31
remarque: lorsque l’on peut montrer que les éléments de contreventement sont non fissurés à l’ELU,
on peut prendre k1 = 0,62.
b) et les conditions suivantes sont remplie :
• la structure est raisonnablement symétrique (absence de torsion) ;
• les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (contreventement assuré par des voiles
sans grandes ouvertures) ;
• les éléments de contreventement sont fixés rigidement à leur base ;
• la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur toute leur hauteur;
• la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à chaque étage ;
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11.5 Sections partiellement comprimées
11.5.1 Sections partiellement comprimés à l’ELS
a) Nser étant une compression (Nser > 0)
• La section rectangulaire sans aciers comprimés est partiellement comprimée si 𝑥 𝑠 ≤ ℎ d’où:
avec: 𝑀serA moment de service par rapport aux aciers tendus (même signe que 𝑀serGo)
• La nappe d’aciers n’est tendue que si la position de l’axe neutre est telle que 𝑥 𝑠 ≤ 𝑑

b) Nser étant une traction (Nser < 0)
La section est partiellement comprimée si le centre de pression C est à l’extérieur des traces des armatures.
serA ser,lim w
1
2 3c
h
M M b h d
 
   
 
2
serA w
1
3 cM b d 
xs = h
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11.5.2 Sections partiellement comprimés à l’ELU
a) NEd étant une compression (NEd > 0)
• La section est partiellement comprimée si 𝑥 𝑢 ≤ ℎ
pour une section rectangulaire en l’absence d’aciers comprimés avec 𝑥 𝑢 = ℎ, on a:
La section est partiellement comprimée tant que :
avec: 𝑀EdA moment ultime par rapport aux aciers tendus (même signe que 𝑀EdGo)
b) NEd étant une traction (NEd < 0)
La section est partiellement comprimée si le centre de pression C est à l’extérieur des traces des armatures.
c w
2 BC
BC c c w BC 2
c w
1 1
2 2
2
cd
cd
cd
F b h f Mh h h h
M F z b d fh
d d d dz d b d f
 
 
   


   
           
     

cdfcdf
EdA
2
w
Ed,A BC
cd
M
b d f
  
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11.5.3 Méthode de calcul des armatures (à l’ELU et à l’ELS)
• On se place dans le cas où au moins l’une des nappes d’armatures est tendue.
• En prenant les moments par rapport aux aciers tendus, les équations d’équilibre s’écrivent:
• Les équations d’équilibre de la même section soumise en flexion simple au moment MA, aux mêmes
déformations (donc aux mêmes contraintes et de même axe neutre) et munie des sections d’armatures 𝐴 𝑠1
FS et
𝐴 𝑠2
FS s’écrivent :
2 1 2 2 1 1
2 2 2
c s s c s s s s
A A s s c c s s s c c
N F F F F A A
M N e F z F z A z F z
 

      

    
2 2 1 1
1
0c s s s s
s
N
F A A 

 
      
 
FS FS
2 2 1 1
FS
2 2
0 c s s s s
A s s s c c
F A A
M A z F z
 

   

 
FS
1 1
1
FS
2 2
s s
s
s s
N
A A
A A


 

 

d’où, par indentification, on obtient:
®QHN2017

 Méthode de calcul est d’assimiler une flexion composée à une flexion simple
Technique de calcul
 Calculer le moment MA (= MEdA à l’ELU ou = MserA à l’ELS) par rapport aux aciers tendus.
 Dimensionner les sections des armatures 𝐴 𝑠1
FS et 𝐴 𝑠2
FS par un calcul de flexion simple avec MA (voir Chapitres 6
& 10)
 Revenir à la flexion composée avec les sections d’aciers:
où: N (NEd à l’ELU ou = Nser à l’ELS) en valeur algébrique,
𝜎𝑠1 est la contrainte à l’état limite déterminant pour le calcul de 𝐴 𝑠1
FS.
Remarques:
FS
1 1
1
FS
2 2
s s
s
s s
N
A A
A A


 

 

FS
1sA  FS
1 1s sA A  FS
1 1s sA A
• Si N < 0 (flexion-traction)  augmentation de la section d’aciers tendus trouvée en flexion simple.
• Si N > 0 (flexion-compression)  diminution de cette section
Mais il est possible que

  FS
1 1
1
0 ???s s
s
N
A A
 prévoir des armatures
minimales en flexion simple si la
section n’est pas entièrement
comprimée (EC2 - §9.2.1.1(1))
®QHN2017

C. Positions relatives de As1, Go et C
• Si N est une compression, C est à l’opposé de As1 (centre de gravité des aciers tendus) par rapport à G0.
Dans ce cas:
• Si N est une traction, C et As1 sont du même côté par rapport à G0. Dans ce cas:
®QHN2017

11.5.4 Dimensionnement des armatures des sections rectangulaires (à l’ELU et à l’ELS)
Soit le moment fléchissant par rapport aux aciers tendus
Nécessité d’aciers comprimés:
• À l’ELU:
• À l’ELS:
Dans le cas où As2 > 0, la méthode de calcul exposée au paragraphe 11.5.3 s’applique. Autrement dit, As2 est
calculé par un calcul de flexion simple des sections rectangulaires avec des armatures en compression (voir
§6.4.4 pour l’ELU et §10.7.1 pour l’ELS)
Remarques:
• Attention c’est le moment MA (MEdA ou MserA) qui est à comparer au moment frontière (MAB ou Mab ) et non le
moment MGo
• On peut remarquer qu’en flexion simple N = 0 
Donc si e1 >> h, à l’ELU comme à l’ELS, le calcul en flexion simple sous MGo donne sensiblement la même
section d’acier qu’en flexion composée sous MA et N. À titre indicatif, on peut se contenter du calcul en flexion
simple dès que e1 > 4h
 
 
  
  
EdA EdGo Ed
serA serGo ser
à l'ELU : / 2
à l'ELS : / 2
M M N d h
M M N d h
    EdA max EdA max 2(ou bien ) 0sM M A
  aser b 2A 0sM M A
  Go
1e
M
N
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11.5.5 Dimensionnement des armatures des sections en T à l’ELU
Note: On ne considère que le cas courant où le signe de moment MEdA est tel que la table est comprimée
a) Cas où MEdA ≤ MTu
L’axe neutre est dans la table de compression. La zone comprimée a une forme rectangulaire donc le calcul est
assimilé à celui de la section rectangulaire de largeur beff soumise à (MEdA, NEd).
b) Cas où MEdA > MTu
L’axe neutre est dans la nervure. La zone comprimée a une forme de T. On opère par décomposition de la
section :
Équations d’équilibre:
   

  
EdA Ed A 1 1 2 2
Ed 1 2 1
e c c c c
c c s
M N F z F z
N F F F
 



 

 

 
  


1 w u cd
1 u
2 eff w cd
2 f
1 1 1
0.5
avec ( )
0.5
c
c
c f
c
s s s
F b x f
z d x
F b b h f
z d h
F A
cdf
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On obtient donc:
Posons:
Les équations d’équilibre deviennent:
Conclusion: Dans le cas où MEdA > MTu le calcul des armatures de section en T soumise à 𝑀EdA et 𝑁Ed peut être
assimilé à celui de section rectangulaire (bw.d) soumise à 𝑀EdAR et 𝑁EdR
Note: Quand on applique la méthode exposée au paragraphe 11.5.3, à savoir l’assimilation à la flexion
simple, il faut bien retrancher de la quantité ( en valeur algébrique) et non pas
   
   
     

   
EdA w u cd u eff w cd f
Ed w u cd eff w cd 1 1
( 0.5 ) ( ) ( 0.5 )
( )
f
f s s
M b x f d x b b h f d h
N b x f b b h f A


    

  
EdA eff w cd f
Ed e
EdAR
EdR ff w cd
( ) ( 0.5 )
( )
f
f
M b b h f d h
N b b h f
M
N
  
 
  


w u cd u
w u cd
EdAR
EdR
( 0.5 )b x f d x
b x f
M
N
 soit les équations d’équilibre d’une section
rectangulaire (bw.d) soumise à 𝑀EdAR et 𝑁EdR
FS
1sA

EdR
1s
N

Ed
1s
N
EdRN

 FS Ed
1 1
1
R
s s
s
N
A A
®QHN2017

11.5.6 Vérification des contraintes à l’ELS
L’expérience montre que dans les cas courants (fck ≤ 50 MPa et aciers S 500), la vérification des contraintes à
l’ELS en considérant la section non fissurée est inutile car:
• même si cette section est soumise à des faibles moments fléchissants, elle comporte une section minimale
d’armatures qui est supérieure à la section d’aciers tendus strictement nécessaire (voir §6.2.3);
• les contraintes calculées en considérant la section fissurée sont plus élevées que celles obtenues pour la
section non fissurée.
 Le calcul des contraintes de section non fissurée n’est donné ci-après qu’à titre indicatif.
a) Contraintes dans la section (rectangulaire ou en T) non fissurée
Note: Le signe du moment MGo est tel que la table soit comprimée.
 Caractéristiques géométriques de section non fissurée (voir §8.6.3 et §8.6.4)
 Moment fléchissant par rapport à l’axe neutre:
 Les contraintes sont calculées conformément à la RdM
xs
xs0
  serG serGo ser s s0( )M M N x x
   ser serG
ct
I
( )s
N M
h x
A I
  ser serG
c
I
s
N M
x
A I
 
 
   
  
ser serG
s1
I
( )e s
N M
d x
A I
 
 
   
  
ser serG
s2 2
I
( )e s
N M
x d
A I
 ct , sinon la section étant fissuréect efff
Vérification dans la section par
rapport aux contraintes limites
(voir §10.2):  
 
 


c c
s1 s
®QHN2017

b) Contraintes dans le section en T fissurée
On suppose que le signe du moment MGo est tel que la table soit comprimée.
On pose:
 serG
II
k
M
I
1
1
1
s
s
s
s
22
1
1
G
®QHN2017

ss
s
s
s
1
1
1 1
®QHN2017

Équations d’ équilibre:
où:



serA c1 c1 c2 c2 s2 s2
ser c1 c2 s1 s2
M =F z -F z +F z
N =F - F -F +F


  

    
   
 
2 s
c1 eff s c1 1
2 s f
c2 eff w s f c2 1
s2 s2 s 2 s2 1 2
s1 s1 1 s
x1
F k x
2 3
x 21
F k( )(x )
2 3
F k (x )
F k ( x )
e
e
b z d
h
b b h z d
A d z d d
A d
1sA
2sAfh
sx
A.N.
2d
1d
wb
effb
1sA
2sA
wb
effb
s2F
s1F
c1F
c2F
eff wb b
s fx hk k
s fk(x h )
sk x
= -s2z
c1z
c2z
Remarque: est une inconnueserG
II
k
M
I

®QHN2017

Par définition
En développant cette équation on obtient une équation en troisième degré en xs:
En BA, si la section est correctement dimensionnée cette équation a une racine unique:
Remarques:
• Il faut vérifier que la section comporte bien une nappe d’aciers tendus:
• Il faut vérifier que l’axe neutre est dans la nervure: xs > hf sinon l’axe neutre est dans la table de
compression  section rectangulaire de largeur bw = beff

 

       
 
      
2 2s s f
eff s 1 eff w s f 1 s2 s 2 1 2serA
A
2 2ser
eff s eff w s f s1 1 s s2 s 2
x x 21 1
x ( ) ( )(x ) ( ) (x )( )M 2 3 2 3e
N 1 1
x ( )(x ) ( x ) (x )
2 2
e
e e
h
b d b b h d A d d d
b b b h A d A d
   3 2
s s sx x x 0A B C
 
 

    
   
 

 
   
A 1 2 eff s2
f A f 1 1
A
2
w w w
2s2 2 1 2 A s1 1 s2 eff
1 A
w
1
w w
6e ( ) 6
( 1)(2e 2 ) ( )
6 ( ) 6e ( 2)
(3 2 3e )( 1
(e
)
3 ) 3c
3e s s e
e e
f f
A A b A
h h d d d
b b b
A d d d A d A d b
h d h
b b b
A d
B
C
       2 3 2 33 3
s
4 4
x
27 27 3
A
q q p q q p
 
  
2 3
2 9 27
avec et
3 27
A A AB C
p B q
s 1x d
®QHN2017

• Moment d’inertie fissurée
• Le moment fléchissant par rapport à l’axe neutre vaut:
d’où
• Les contraintes valent
  serG ser A 1 s(e x )M N d
 
 
     
3 3
2 2eff eff w f
II 1 1 2 2
( )( )
( ) ( )
3 3
s s
e s s e s s
b x b b x h
I A d x A d x

 
 
 


  

c s
s1 1 s
s2 s 2
k x
k( - x )
k(x )
e
e
d
d
 serG
II
k
M
I Vérification dans la section par
(voir §10.2):  
 
 


c c
s1 s
s
s
s
s
22
1
1
G
®QHN2017

b) Contraintes dans le section rectangulaire fissurée
Dans ce cas, il suffit de remplacer beff par bw dans les expressions précédentes.
• Positon de l’axe neutre
• Moment d’inertie fissurée
• Le moment fléchissant par rapport à l’axe neutre vaut:

• Les contraintes valent
       2 3 2 33 3
s
4 4
x
27 27 3
A
q q p q q p
 
  
2 3
2 9 27
avec et
3 27
A A AB C
p B q
 
 
   


  
  
A 1 2 s2 1 2
w
s2 2 1 2 A s1 1
1
w
A
s2
6e ( ) 6 ( )
6 ( ) 6e (
3(e ) 3c
2)
e s s e
e e
A A A d d
b
A
A d d d A A
d
d
B
C
d
b
Il faut vérifier que la section comporte bien
une nappe d’aciers tendus: s 1x d
     
3
2 2w
II 1 1 2 2( ) ( )
3
s
e s s e s s
b x
I A d x A d x
  serG ser A 1 s(e x )M N d

 
 
 


  

c s
s1 1 s
s2 s 2
k x
k( - x )
k(x )
e
e
d
d
 serG
II
k
M
I
Vérification dans la section par
(voir §10.2):  
 
 


c c
s1 s
®QHN2017

11.6 Sections entièrement tendues
À l’ELU comme à l’ELS, la section est entièrement tendue si :
 N est une traction (N<0) et
 C tombe entre les armatures
11.6.1 Dimensionnement des armatures
L’équilibre des moments par rapport aux armatures donne:
 Solution économique : avoir le centre de gravité des armatures en C, d’où :
®QHN2017

11.7 Sections entièrement comprimées
Dans le cas où la section est entièrement comprimée, la section des armatures les plus comprimées As2 est
supposée connue.
Note: En pratique, cette section est fixée en satisfaisant la section minimale en compression simple (= 0,002Ac
d’après EC2 §9.5.2(2))
• À l’ELS: la section rectangulaire est entièrement comprimée si
• À l’ELU: la section rectangulaire est entièrement comprimée si
11.7.1 Dimensionnement des armatures à l’ELU
La section étant entièrement comprimée, le diagramme des déformations passe donc par le pivot C. Le calcul
manuel au pivot C est assez complexe. En pratique, on utilise des abaques « diagramme d’interaction M-N »
(voir 11.8).
 
  
 
     
 


ser ser
serA 2 2 1 2 ser,lim w 1
2
2
est une compression ( >0)
1
( )
2 3
avec:
s s c
s e c
N N
h
M A d d M b h d
h d
h
(voir 11.5.1)

  
 
     
 
ser ser
2
EdA 2 2 1 2 BC w
est une compression ( >0)
( ) 1
2s s cd
N N
h h
M A d d M b d f
d d
(voir 11.5.2)
®QHN2017

11.7.2 Dimensionnement des armatures à l’ELS
Les caractéristiques géométriques de la section homogène (non fissurée):
La contrainte maximale du béton est calculée en moyen de la formule RdM:
Pour le dimensionnement, il faut se fixer a priori As1 et As2 (en satisfaisant la section minimale EC2 §9.5.2(2), et
chercher par tâtonnements
1. à ce que C reste dans le noyau central
2. à ce que
  

1 2A ( )
moment d'inertie de la section A par rapport à G
c e s s
I
A A A
I
(voir §10.6.3 pour une
section rectangulaire)
  ser serG
max s
I
xc
N M
A I
  serG
G 2
ser
e xs
M
d
N
sx
sh-x
    max maxmaisc c c c
®QHN2017

11.7.3 Sections extrêmes d’armatures dans les poteaux (EC2 §9.5.2)
®QHN2017

Ed
Ed
11.8 Diagrammes d’interaction
• Le diagramme d’interaction de la section est une courbe représentative efforts normaux et moment résistants
(NRd, MRd) pour l’ensemble des plans de déformation correspondants à l’ELU.
• Les diagrammes d’interaction moment-effort normal sont des abaques permettant un dimensionnement ou
une vérification rapide de sections droites dont la forme et la distribution des armatures sont fixées à l’avance.
Exemple de courbes d’interaction d’une section en béton armé
®QHN2017

11.8.1 Équations nécessaires à l’établissement de diagrammes d’interaction
Soit une section quelconque ayant des armatures respectant la symétrie, soumise à une flexion de sens
déterminé de manière que la fibre supérieure de la section soit comprimée:
 G0 : centre de gravité de la section de béton seul;
 dj : distance de l’axe G0y à l’armature de section Asj, comptée positivement dans le sens ascendant;
 Asn : armature la plus éloignée de la fibre la plus comprimée;
 Ac : aire de la section de béton seul;
 v’ et v : distances de G0y aux fibres extrêmes, respectivement comprimée et tendue, de la section.
 x : distance de l’axe neutre à la fibre supérieure
 𝜀 𝑐𝜉 : déformation de la fibre de béton à la profondeur 𝜉
 𝜀 𝑠𝑗 : déformation de l’armature Asj
G
®QHN2017

 un diagramme des contraintes dans le béton et dans l’acier, avec les conventions de signes précisées
sur la figure ci-dessus, donnant les contraintes :
• 𝜎𝑐𝜉 pour la fibre de béton à la profondeur 𝜉
• 𝜎𝑠𝑗 pour l’armature Asj
La force résultante et le moment résultant sont obtenus par les relations suivantes :


 
  
 
n
n
(v' -d ) pivot A
(v' -d ) pivot B
pivot C
AB
AB
x
x h
x h
A l’ELU nous avons:
 un diagramme des déformations
passant par le pivot associé à x:
 
 
  
   

   



   



1
10
1
10
( ) d
( ) (v' )d
x n
i c sj sj
x n
iGo c sj sj j
N x N b A
M x M b A d
®QHN2017

11.8.2 Courbe d’interaction
®QHN2017

11.8.3 Cas limites
A. Cas où x est égal à moins l’infini
Le diagramme des déformations est constitué par la verticale du pivot A. On est donc en traction simple. Le point
correspondant de la courbe d’interaction est le point PT défini par:
avec:
B. Cas où x est égal à plus l’infini
Le diagramme des déformations est constitué par la verticale du pivot C. On est donc en compression simple:
 
 

     


     


 
 
1
1 1
1
1 1
( )
( )
n n
T sj sj s sj
n n
T sj sj j s sj j
N N A A
M M A d A d
®QHN2017

Le point correspondant de la courbe d’interaction est le point PC défini par:
C. Cas où N=0

 

    


    



 
1
1
1
1 1
( )
( )
n
C c cd s sj
n n
C sj sj j s sj j
N N A f A
M M A d A d
 


1 F1
1 F1 1
(x ) 0
(x ) F
N
M M
®QHN2017

11.8.4 Tracé des diagrammes d’interaction
Pour une section donnée (béton, armatures, position des
aciers), on définit, à partir des efforts internes et calculés au
11.8.1, les quantités adimensionnelles suivantes:
Pour une position fixée des armatures à l’intérieur de la
section, si l’on fait varier 𝜌 par pas de 0,1 par exemple (ρ = 0 ;
0,1 ; 0,2 ; 0,3…), on obtient, dans le repère orthonormé réduit
(𝜇, 𝜈), un réseau de courbes Cρ (C0, C1, C2, C3 …) appelé
« diagrammes d’interaction ».
 
c cd
: effort normal réduitiN
A f
 
c cd
: moment fléchissant réduit en GoiGoM
A h f
 
yd
c cd
: pourcentage mécanique d'armatures
sjf A
A f
®QHN2017

Exemple de
diagrammes
d’interaction
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
22
z
Edz
M
y
Ed
N
Go
s2
A
b
0.1h
h
s1 s2
A A
0.1h
AN
x
c

2s

1s

Diagrammes d’interaction pour une section rectangulaire à armature
symétrique en flexion composée
Béton: C12 à C50 (diagramme parabole-rectangle)
Acier: Classe A (diagramme à palier incliné)
  Ed
Ed
cd
N
bhf
EdGo
Ed 2
cd
M
bh f
 
yds1 s2
tol
cd
( ) fA A
bh f



x
h
 
3 
1 
0.8 
0.7 
0.5 
0.3 
0.15 
0.1 
0.05 
Rd
Rd
0.9 
0 
0.6 

 1
tol
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tol


®QHN2017

11.8.5 Propriétés des diagrammes d’interaction
Les valeurs de ρ sont uniformément réparties (intervalle constant entre deux valeurs successives) suivant les
droites « rayonnantes » correspondant à x constant. Il convient donc de conduire les interpolations dans les
directions de ces droites.
• Pour une section sans armatures on a:
• Pour une section donnée, avec une position des armatures fixée, les diagrammes d’interaction sont établis,
par ordinateur, en faisant varier proportionnellement toutes les sections Asj des armatures:
D’où
 les coordonnées des points PT sont:
®QHN2017

 les coordonnées des points PC sont:
droite «rayonnante»
®QHN2017

1. Calculer les quantités réduites d’entrée dans les diagrammes:
2. Déterminer, sur le diagramme d’interaction, par interpolation suivant les
droites « rayonnantes » correspondant à x = Cste, le pourcentage
mécanique d’armatures ρ.
3. Calculer les armatures
11.8.6 Application à la détermination des armatures pour les sections rectangulaires
Données: fcd, fyd, bw, h, NEd, MEdGo
Mode opératoire
®QHN2017

1. Calculer les quantités réduites d’entrée dans les diagrammes:
2. Vérifier sur le diagramme d’interaction que le point de
coordonnées (𝜇, 𝜈) se trouve à l’intérieur ou sur la courbe (Cρ)
correspondant au pourcentage mécanique d’armatures ρ calculé.
11.8.7 Application à la vérification des sections rectangulaires
Données: fcd, fyd, bw, h, NEd, MEdGo et 𝐴𝑠
Mode opératoire
®QHN2017

11.8.8 Exemples d’application
Exemple 1: Soit un poteau de hauteur 3,5 m et de section 35x35 cm² soumise à la flexion composée.
Les sollicitations à l’ELU, ramenées au centre de gravité du béton seul, de la section critique sont:
NEd = 2286 kN et MEd,Goz = 200 kNm (ce moment est déjà corrigé pour tenir compte de l’effet de
l’imperfection géométrique). Les matériaux utilisés sont: béton C35 et acier B500A. Calculer les
armatures longitudinales.
Exemple 2: Soit un poteau de hauteur 5 m et de section circulaire de diamètre 45 cm soumise à la
flexion composée. Ce poteau a été dimensionné à l’aide d’un logiciel qui donne comme résultat le
plan de ferraillage suivant:
Les sollicitations à l’ELU, ramenées au centre
de gravité du béton seul, de la section critique
sont: NEd = 2968 kN et MEd,Goz = 238,5 kNm (ce
moment est déjà corrigé pour tenir compte de
l’effet de l’imperfection géométrique et l’effet du
second ordre). Les matériaux utilisés sont:
béton C40 et acier B500B.
Vérifier ce poteau vis-à-vis de la résistance à
l’ELU.
®QHN2017

Chapitre 12: Flexion déviée 2
12.1 Définition
12.2 Méthode de calcul à l’ELS
12.2.1 Vérification des contraintes: Sections entièrement comprimées
12.2.2 Vérification des contraintes: Sections partiellement
12.2.3 Flexion déviée simple: utilisation de l’abaque de J. Rüdinger
12.3 Méthode de calcul à l’ELU
12.3.1 Méthode générale: abaques « en rosette »
12.3.2 Utilisation des abaques « en rosette »
12.3.3 Méthode de calcul par itération
12.3.4 Méthodes de superposition de deux flexions droites dans deux directions
perpendiculaires
12.3.5 Méthode de superposition d’une section droite « médiane » et d’une flexion
droite « diagonale »
12.3.6 Méthode simplifiée de l’Eurocode 2
12.4 Exemple d’application
®QHN2017

12.1 Définition
• Un élément est soumis à la flexion déviée lorsque l’axe du couple de flexion ne coïncide pas avec l’un des
axes centraux d’inertie de sa section droite et lorsque la direction de l’effort tranchant ne coïncide pas avec
celle de l’autre axe.
 S’il n’existe pas d’effort normal, la flexion déviée est dite simple: (a) poutres à plan moyen vertical soumis
à des charges pesanteur P et à des charges horizontales H; (b) poutres à plan moyen non vertical
soumis à des charges de pesanteur P.
 S’il existe un effort normal, la flexion déviée est dite composée: (c) poutres sous chemins de roulement
de ponts roulants; (d) poteaux supportant les poutres (d)
• Ce mode de sollicitation se présente très souvent dans les structures en BA.
• On essaie, dans la pratique, d’éviter le calcul à la flexion déviée du fait de sa complexité. Cette démarche peut
se justifier si les contraintes engendrées par l’un des moments sont largement prépondérantes 
superposition de deux flexions « droites ».
• Dans le cas de certains éléments structuraux, très fortement sollicités à la flexion déviée, cette simplification
n’est plus admissible, et un calcul rigoureux s’avère indispensable.
y
z G
y'
z'
M
M
N
d

P
H
P
P
± H1± H2

poutre
poteau P

± H1
± H2
(a) (b)
(c)
(d)
®QHN2017

12.2 Méthode de calcul à l’ELS
12.2.1 Vérification des contraintes: Sections entièrement comprimées (non fissurées)
• Pour les sections homogènes non fissurées, les lois de superposition sont valables. Les contraintes se
calculent donc de la même manière que dans le cas de la flexion composée, en ajoutant simplement le terme
qui tient compte de la contribution de My.
• Les contraintes dans le béton et dans les aciers sont obtenues par les formules RdM:
où
 Nser, Mserz et Msery sont respectivement l’effort normal, le moment sollicitant
autour de l’axe z et le moment sollicitant autour de l’axe y (exprimés
dans le repère formé par les axes principaux d’inertie de la section homogène)
 IIy et IIz sont les inerties de la section homogène autour des axes Gy et Gz (G étant le centre de gravité de la
section homogène)
 A est l’aire de la section homogène.
   ( , )
seryser serz
c
Iz Iy
MN M
y z y z
A I I
  ( , ) ( , )s s s e c s sy z y z
 
 
     
2 2 2 2
, , , ,
1 1
&
S S
c c
n n
Iz e s i s i Iy e s i s iA A
i i
I y dA A y I z dA A z


   ,
1
S
c
n
e s iA
i
A dA A
z
serzM
y
serN
seryM
G
®QHN2017

12.2.2 Vérification des contraintes: Sections partiellement comprimées (fissurées)
• Lorsque la section est fissurée, les formules RdM pour un matériau homogène ne donne pas une solution
immédiat, car les caractéristiques mécaniques de la section dépendent de la position de l’axe neutre, laquelle
est inconnue a priori. Le calcul sera donc obligatoirement itératif. En général, pour résoudre ce type de
problème il sera nécessaire de faire appel à des programmes de calcul.
• Les principes de résolutions sur lesquels peuvent être développés de tels programmes sont les suivants:
1. on fixe une première position et orientation de l’axe neutre (par exemple en réalisant un calcul en
section non-fissurée)
2. on calcule (généralement par intégration numérique) les caractéristiques d’inertie (centre de gravité,
aire, axes principaux d’inertie, etc ...) de la section homogène fissurée correspondante.
3. on exprime les sollicitations dans le repère formé par les axes principaux ainsi calculés et on en déduit
les contraintes dans la section au moyen de relation
4. à partir de ces résultats, on peut en déduire une nouvelle position de l’axe neutre. Celui-ci correspond à
la droite pour laquelle la relation est vérifiée.
5. on recommence le calcul jusqu’à ce que la position et l’orientation de l’axe neutre sont fixées avec
suffisamment de précision.
   ( , )
seryser serz
c
Iz Iy
MN M
y z y z
A I I
( , ) 0c y z 
®QHN2017

12.2.3 Flexion déviée simple: utilisation de l’abaque de J. Rüdinger
• Pour les poutres à section rectangulaire armées de quatre barres de même diamètre disposées à chacun des
angles de la section, de sorte que chacun de leurs axes soit situé à une distance 0,08h du côté b et à une
distance 0,08b du côté h, une solution rigoureuse pour le dimensionnement des armatures et la vérification
des contraintes peut être obtenue par l’emploi de l’abaque de J. Rüdinger.
• Les axes Goy, Goz sont:
De ces deux conventions, il résulte que l’on a:
A. Dimensionnement
Données: b (suivant Goz),h (suivant Goy), Msery et Mserz
Inconnues: Aire totale Atol = 4 As de l’armature constituée par 4 barres de même diamètre.
1. On se fixe la contrainte dans le béton telle que
2. On calcule
b
h
0.08h
0.08b
y
z
ser,GoM
sery,GoM
serz,GoM Go
 choisis de sorte que l’axe Goz soit perpendiculaire au côté effectivement
rencontré par l’axe du moment agissant Mser. Par définition, la dimension
b est parallèle à l’axe Goz ainsi défini;
 Orientés de façon que les projections Msery et Mserz du moment Mser soient
positives.
  ou encore tan 1
sery sery
serz serz
M Mh b
M b h M
 c c
2
et tan 1
seryser
serz
z
serzc
MM b
h Mbh
  

   
®QHN2017

Abaque de J. Rüdinger
®QHN2017

3. L’horizontale d’ordonnée tan 𝜓 coupe la courbe en un point dont l’abscisse est le pourcentage 𝜛 total et par
lequel passe la courbure 𝜅
4. On en déduit:
• La section de chaque barre:
• La contrainte maximale des armatures: si cette valeur est supérieure à la contrainte limite
𝜎 𝑠, il faut recommencer en adoptant une valeur de 𝜎𝑐 inférieure à celle utilisée pour le premier calcul
B. Vérification des contraintes
Données: b, h, Msery , Mserz , aire totale de l’armature Atol = 4 As (4 barres de même diamètre)
Inconnues: Contraintes extrêmes du béton 𝜎𝑐 et de l’acier 𝜎𝑠.
1. On calcule
2. On détermine les courbes 𝜇 et 𝜅 passant par le point de l’abscisse 𝜛 et d’ordonnée tan 𝜓
3. Connaissant 𝜇 et 𝜅 on en déduit les contraintes maximales
 du béton:
 de l’acier:
4. On vérifie si ces contraintes sont inférieurs aux valeurs limites:
   15s c

 tol
4 400s
A bh
A
   s400
tan et
sery
serz
M Ab
h M bh
   15s c
2
serz
c
M
bh



 
 


c c
s s
®QHN2017

12.3 Méthodes de calcul à l’ELU
En principe, les sections soumises à un effort normal de compression doivent être vérifiées vis-à-vis de l’ELU de
stabilité de forme (flambement). Dans ce chapitre on suppose que les conditions pour négliger les effets du
second ordre exposées au chapitre 11 (§11.4) sont satisfaites.
12.3.1 Méthode générale: abaques « en rosette »
• Une méthode générale permettant de résoudre le problème de résistance à la rupture d’une section soumise
à la flexion déviée consiste à calculer la famille de diagrammes d’interaction correspondants aux différentes
orientations possibles de l’axe neutre.
• Cet ensemble de courbes forme une surface dans un espace dont les axes sont Mz, My, et N.
• Chaque point de cette surface représente un état-limite de
rupture (NRd, MRd,z et MRd,y).
• Le volume compris à l’intérieur de cette enveloppe correspondra
donc à des combinaisons de sollicitations NEd, MEd,z et MEd,y
admissibles pour la section.
EdyM
EdzM
EdN
Surface d’interaction
O
• Des abaques de type « rosette » sont obtenus en
coupant par un plan N = Cst des surfaces d’interaction
de la section considérée
®QHN2017

Marche à suivre pour établir la surface d’interaction pour une section de forme quelconque
• Soit une section de forme quelconque,
comportant des armatures distribuées
de façon quelconque.
• Les axes principaux d’inertie Goyz de la
section de béton seul sont choisis
comme deux axes de coordonnées.
Dans ce système:
 Une fibre de béton comprimé
quelconque, d’aire dAc=dydz est
repérée par les coordonnées (y,z)
de Go;
 Une armature quelconque, d’aire Aj
est repérée par les coordonnées
(yj,zj)
RdN
y
y
z
zdz
dy
0G
sjA
ye
ze
x
jd



sj
sj
axe neutre
déformations
contraintes
acier
béton
jz
jy

1. On se donne la direction de l’axe neutre (par exemple en fixant l’angle
que fait cet axe avec la direction Gx) ainsi que sa distance x à la fibre la plus
comprimée
2. On associe à la valeur x choisie le diagramme des déformations passant par le pivot correspondant et
exprime en fonction de x les déformations dans le béton et dans les armatures.
3. À l’aide des lois de comportement, on déduit les expressions des contraintes en fonction de x
®QHN2017

4. L’équilibre de la section nous donne les expressions de la force résultante et des moments résultants
suivantes:



  
  
  



 
  
    



Rd ,
1
Rdz ,
1
Rdy ,
1
( , )
( , )
( , )
ns
c sj sj
jAc
ns
y c sj sj j
jAc
ns
z c sj sj j
jAc
N x dydz A
M x Ne ydydz A y
M x Ne zdydz A z
  Rd Rdy Rdz, , 0N M M
EdyM
EdzM
EdN
Surface d’interaction
O
5. En éliminant les deux variables x et θ entre ces trois
équations, on obtient dans un trièdre orthonormé (N, My, Mz)
l’équation de la surface d’interaction:
Remarques:
• Cette surface délimite la domaine de sécurité de la section
étudiée munie de ses armatures de section totale 𝐴𝑗
• Si on fait varier proportionnellement cette quantité totale
d’armatures sans changer la position de celles-ci, on définit
pour une même section plusieurs surfaces d’interaction.
• En coupant ces surfaces par des plans N = Cst on obtient en
projection sur le plan (My, Mz) des familles de courbes
(rosette), chacune de ces courbes étant relative à une quantité
totale donnée d’armatures
®QHN2017

Exemple d’abaque en rosette pour une section rectangulaire à armature symétrique en flexion composée déviée
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
Rd 0,2 
Rd 0 
Rd 0,4 
Rd 0,6 


0,5
tol


1
tol


0,5
tol


1
tol


1
tol


1
tol


0,5
tol


0,5
tol
RdzGoRdzGo
RdyGo
RdyGo
Béton: C12 à C50
Acier: Classe A
z
EdzM
y
x
EdN
EdyM
Go
sAsA
sA sA
0.1b 0.1b
b
0.1h
h
 tol
4s
A
A
  Ed
Ed
cd
N
bhf
 
EdyGo
Edy 2
cd
M
b hf
  EdzGo
Edz 2
cd
M
b hf
 
ydtol
tol
cd
fA
bh f
®QHN2017

12.3.2 Utilisation des abaques « en rosette »
Données: b, h, fcd, fyd, NEd , ey (dans le sens h), ez (dans le sens b)
a) Dimensionnement: la section totale des armatures Atol = 𝐴𝑠 est inconnue
b) Vérification: la section totale des armatures Atol = 𝐴𝑠 est connue
Dans les deux cas, la marche à suivre est rigoureusement est la même:
1. On calcule:
2. À l’aide de l’abaque en rosette, on cherche la valeur du pourcentage mécanique total 𝜌𝑡𝑜𝑙 strictement
requis
 Si la valeur 𝜐 𝐸𝑑 est une des valeurs rondes de l’abaque correspondant à la distribution d’armatures
choisie, on lit directement la valeur de 𝜌𝑡𝑜𝑙 sur la courbe passant par le pont de coordonnées (𝜇1, 𝜇2)
 Si la valeur 𝜐 𝐸𝑑 n’est pas une des valeurs rondes de l’abaque, pour avoir la valeur de 𝜌𝑡𝑜𝑙 strictement
requis, il faut interpoler linéairement entre les deux pourcentages obtenue avec les deux valeurs
rondes de 𝜐 qui encadrent celle de 𝜐 𝐸𝑑
3. Pour finir il faut prendre (dimensionnement) ou s’assurer que (vérification):
  Ed
Ed
cd
N
bhf
  Ed
Edy 2
cd
zN e
b hf
 
Ed
Edz 2
cd
yN e
bh f
 cd
tol tol
yd
bhf
A
f
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12.3.3 Méthode de calcul par itération
• Cette méthode consiste à résoudre les équations d’équilibre par itération. Elle n’est commodément applicable
qu’aux sections partiellement comprimées et dans lesquelles la position des armatures sont connue.
• La justification des sections à l’ELU consiste à montrer qu’il existe un état de contraintes dans lequel:
a) Les sollicitations agissantes sont inférieures ou égales aux sollicitations résistances
b) La droite joignant le centre de gravité des aciers et celui de la zone comprimée du béton est
perpendiculaire au vecteur de moment agissant.
• Le principe de calcul à la rupture pour une section rectangulaire sans acier comprimés est le suivant:
1. On se donne la direction de l’axe neutre (par exemple en fixant l’angle que fait cet axe avec la direction
Gx) ainsi que sa distance x à la fibre la plus comprimée.
2. On associe à la valeur x choisie le diagramme des déformations passant par le pivot correspondant et
en déduit la valeur de σs lecture sur le diagramme σ-ε des aciers.
cG
 cdf
cF
sF

x
x
cz
A
A.N
1h2h
z
y
A
y
sF
cF
cG

x
x
A.N
G G
z
 cdf
Zone comprimée
trapézoïdale
Zone comprimée
triangulaire
h
b
cz
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3. On détermine les coordonnées du centre de gravité de la zone comprimée du béton: yGc et zGc
4. La section d’aciers tendus nécessaire est:
où MEd,A est le moment total agissant au centre de gravité A(ys, zs) des armatures:
5. On calcule la force de résistance et le moment de résistance:
6. Il faut que l’excentricité «résistance» soit au moins égale à l’excentricité «sollicitation»
S’il en est ainsi, l’itération est terminée. Sinon il faut modifier la position de l’axe neutre de manière à
augmenter Ac tout en diminuant zc et recommencer la procédure itérative.

 
  
 
 
Ed,A
Ed
1
s
s c
M
A N
z
 2 2
Ed,A Ed,Ay Ed,Az avecM M M
 
 
Ed,Ay Ed,Gy Ed
Ed,Az Ed,Gz Ed
A
A
M M N z
M M N y
   2 2
( ) ( )c Gc A Gc Az y y z z
       Rd Rd,Aetc s c cd s s c c c cd cN F F A f A M F z A f z
  
Rd,A Ed,A
Rd Ed
Rd Ed
M M
e e
N N
cG
 cdf
cF
sF

x
x
cz
A
A.N
1h2h
z
y
G
Zone comprimée
trapézoïdale
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12.3.4 Méthodes de superposition de deux flexions droites dans deux directions perpendiculaires
Méthode 1: Une première méthode consiste à considérer séparément deux flexions, définies chacune par les
couples (NEd, MEdy) et (NEd, MEdz).
Les sections d’armatures nécessaires dans chaque cas sont ajoutées l’une à l’autre. Cette manière de faire
revient à considérer la force extérieure comme agissant aux points C1 et C2 respectivement situés sur les axes
Gy et Gz.
Remarque: Cette méthode ne bénéficie d’aucune support théorique. Il est à noter qu’elle conduit à avoir une zone
de béton qui est compté deux fois sur la résistance. L’erreur commise peut être nettement du mauvais côté de la
sécurité. Il faut réduire arbitrairement la contrainte du béton prise en compte dans le calcul.
 Pour cette raison, l’utilisation de cette méthode n’est pas recommandée
y
z
EdM
EdN
y
z
EdzM
EdN
y
z
EdyM
EdN
1C
2C= +
, , ,s totale s z s yA A A 
,s zA
,s yAG G G
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Méthode 2: Une deuxième méthode consiste à considérer une droite quelconque Δ coupant les axes Gy et Gz en
C1 et C2. La force extérieure NEd est décomposée en deux forces statiquement équivalentes NEdy et NEdz
agissant respectivement en C1 et C2. Ces deux forces sont donc telles que:
Remarque: Cette méthode n’a pas plus support théorique que la précédente, mais pour laquelle certains tests ont
montré qu’elle pouvait être acceptée.
 
 
2 1
Edy Ed Edz Ed
1 2 1 2
et
c c
N N N N
c c c c
La section, armée symétriquement, est calculée
successivement en flexion composée droite (voir
Chapitre 9):
 sous l’effet de (NEdy, ey) agissant seul, en prenant :
 sous l’effet de (NEdz , ez) agissant seul, en prenant :
Les sections d’armatures sont ensuite ajoutées.
 

Edy 2
cdy cd cd
Ed 1 2
N c
f f f
N c c
 

Edz 1
cdz cd cd
Ed 1 2
N c
f f f
N c c
y
z
EdN
G
1C
2C
EdzN
EdyN
1c
2c
y
z
EdN
G
2C
Centre de
pression
1C
Méthode 1 Méthode 2

ye
ze
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12.3.5 Méthode de superposition d’une section droite « médiane » et d’une flexion droite « diagonale »
Cette méthode est proposée par le brésilien Telemaco Van Langendonck
Principe de calcul:
Conventions:
• Les axes Goy et Goz sont choisis de sorte que l’axe Goz soit perpendiculaire au côté rencontré par l’axe
du moment agissant MEdGo.
• La dimension « b » est parallèle à l’axe Goz ainsi défini.
Avec ces conventions, le centre de pression est situé sur l’axe
passant pat Go et faisant avec la direction Goy un angle 𝛿 tel que:
L’axe diagonal Goz fait avec la direction Goy un angle 𝜓 tel que:
  tan z
y
e b
e h
  tan
b
h
La force extérieure NEd appliquée au centre de pression C peut ainsi être décomposée
en deux forces statiquement équivalentes NEd1 et NEd2 agissant respectivement en C1
et C2. Ces deux forces sont donc telles que:
 
 
 
   
 
Ed1 Ed Ed2 Ed
tan tan
1N N N N
b
h
y
z Go
C (NEd)
C1
(NEd1)
C2
(NEd2)
ez
 
 1 2 1 2
e
tany
C C C C


z
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b
h
y
C1
(NEd1)
1fcd
21Fs
1Fc
11Fs
1x
 1x
11As
21As
C2
(NEd2)
z
12As
22As
2Fc
2fcd 22Fs
12Fs
Flexion composée droite médiane Flexion composée droite diagonale
b
AN
AN
 2x
Le calcul est mené successivement:
• Pour une section rectangulaire fléchie selon le plan médian de trace Goy soumise aux sollicitations (NEd1, ey)
en prenant comme contrainte du béton:
• Pour une section rectangulaire fléchie selon le plan diagonal de trace Goz soumise aux sollicitations (NEd1,
GoC2 ) en prenant comme contrainte du béton:
Les sections d’armatures sont ensuite ajoutées:


 1
tan
(1 )cd cdf f


2
tan
cd cdf f
 
 
1tol 11 12
2tol 21 22
s s s
s s s
A A A
A A A
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Réduction à une section carrée:
• Le problème ainsi posé est aisément soluble si l’on opère sur une section carrée, auquel cas la flexion
diagonale est une section droite . Il suffit pour cela d’effectuer sur la section réelle une affinité dans la direction
Goy de rapport 𝜉 = b/h (= tan 𝜓)
• La section carrée doit être considérée comme soumise à une force 𝜉NEd
• Les excentricités dans la direction Goy et Goz deviennent, respectivement, GoC1 = 𝜉ey et GoC2 = 2𝜉ey
• Les sections d’armatures sont 𝜉As1 et 𝜉As2
b

h=
b
y
z Go
C1

C2
2dey
b
 h b
y
z Go
C1C2
 2dey
1As
2As
 2As
 1As
~
Sollicitations:   2
Ed EdN , M
Sollicitations:  Ed EdN ,M
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Avec la réduction d’une section rectangulaire à une section carrée, le problème ainsi posé peut être résolu par la
superposition de deux sections fictives:
1) Une section (1) carrée, de côté b, fléchie dans son plan médian sous l’effet de 𝜉NEd1 excentrée de 𝜉ey
 L’aire de cette section est A=b²; sa hauteur dans le plan de flexion est b
 Les quantités réduites relatives à cette section sont (pour l’utilisation des abaques d’interaction; voir
Chapitre 11):
2) Une section (2) carrée, de côté b, fléchie dans son plan diagonal sous l’effet de 𝜉NEd2 excentrée de 2𝜉ey
 L’aire de cette section est A=b²; sa hauteur dans le plan de flexion est 𝟐 b
 Les quantités réduites relatives à cette section sont:





 


 
 
  

   Ed
1
2
Ed
Ed1
1 tan
(1 )
tan
1
cd
cd
cdf
f
N
bhf
N
A
b
N
 
 
 

 
  
 

Ed1
1 Goz
1
1 1
1
1 1
...
( )
tan
y
cd
yd tol yd tol
t
cd c cd
N e
Ah f
f A f A
f A bh f




 



   Ed
2
2
Ed
Ed2
1 1 t
a
a
t n
ncd
cd
c cd
N
A bhf
b
f
f
N
N
 
 
 


  
 
Ed2
2 Goz
2
2 2
2
2
2
...
2
( )
tan
y
cd
yd tol yd tol
t
cd cd
N e
A b f
f A f A
f A bh f
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Conclusion: Pour déterminer les armatures d’une section en flexion composée déviée, on peut utiliser les
diagrammes d’interaction établis en flexion composée droite pour les sections rectangulaires et pour les sections
en losange, en entrant à chaque fois avec les paramètres de la section réelle:
On obtient ainsi les pourcentages mécaniques totaux, 𝜌1𝑡 pour la section rectangulaire, 𝜌2𝑡 pour la section en
losange. Les armatures de la section réelle s’obtiennent par superposition des sections correspondantes
Remarque: Si l’on ne dispose pas des abaques d’interaction, on peut faire un calcul manuel exposé au chapitre
11 pour déterminer les sections d’armatures.
      Ed EdGo EdGo
Goz 2 2
et cos avec tanz z
cd ycd cd
N M M e
bhf ebh f bh f
Go Go
b
b
C1 C2
Go
C
   EdN , ,y ze e
  Goz,
  Goz,
+ = =>
Go
 EdN , ,y ze e
C
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12.3.3 Méthode simplifiée de l’Eurocode 2 (EC2-1-1 §5.8.9)
o Une première étape consiste à effectuer un calcul séparé
dans chaque direction principale, sans tenir compte de la
flexion déviée. Il y a lieu de tenir compte des imperfections
uniquement dans la direction où elles auront l'effet le plus
défavorable.
o Aucune vérification supplémentaire n'est nécessaire si:
 les coefficients d'élancement satisfont les deux
conditions suivantes :
 et les excentricités relatives ez / h et ey / b satisfont l'une
des conditions suivantes :
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o Si les conditions précédentes ne sont pas satisfaites, il convient de tenir compte de la flexion déviée en intégrant
les effets du second ordre dans chacune des directions. En l'absence d'un dimensionnement précis de la section
vis-à-vis de la flexion déviée, on peut adopter le critère simplifié suivant :
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12.4 Exemple d’application
z
EdzM
y
EdN
EdyM
Go
sAsA
sA sA
40
300mm
40
400
Données:
• Sollicitations
• Caractéristique géométrique:
• Caractéristique mécanique des matériaux
- Béton C30
- Acier: B500A
• Classe d’environnement
- Prise en compte du risque de corrosion
- Béton à l’intérieur d’un bâtiment, humidité faible
• Durée d’exploitation du bâtiment: 50 ans
Questions:
….
Dimensionnement des armatures à l’ELU
Ed
Edy
Edz
720kN
108 kN.m
192kN.m
N
M
M



400mm
300mm
h
b


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Utilisation de l’abaque en rosette
Ed
Edy
Edz
0.3
0.15
0.2






Ed Ed
Edy Edy
Edz Edz
0.2 0.4
0.15 0.55 0.15 0.5
0.2 0.2
A B
tol tol
 
   
 
  
 
      
  
 
AB
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Chapitre 13: Effort rasant 2
13.1 Introduction
13.2 Rappel théorique
13.2.1 Effort de glissement (effort rasant)
13.2.2 Contraintes tangentes
13.2.3 Bras de levier des forces élastiques
13.3 Cisaillement à la jonction âme-membrures
13.3.1 Cas d’une semelle comprimée d’une section en Té calculée à l’ELU
13.3.2 Cas d’une semelle tendue d’une section en Té calculée à l’ELU
13.4 Modèle de calcul pour le dimensionnement des armatures nécessaires à
la reprise des efforts rasants
13.5 Dimensionnement des armatures d’effort rasant selon l’EC2
13.6 Résistance à l’effort rasant dans les joints de reprise
13.6.1 Règle des coutures
13.6.2 Résistance à l’effort rasant des surfaces de reprise
13.6.2 Disposition des armatures de couture
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13.1 Introduction
Effort rasant dans une poutre en Té simplement appuyée
• Les plans de jonctions entre les
âmes et les semelles des
poutres en Té, en I ou en
caisson sont également
sollicités par des efforts de
glissement, appelés « efforts
rasants », non négligeables.
• Pour que la partie extérieure
d’une semelle d’une poutre en
Té puisse participer à la
résistance de la section totale,
il faut que des forces soient
introduites dans ces parties de
la section par des forces de
cisaillement qui traversent leur
plan de jonction avec l’âme.
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13.2 Rappel théorique
13.2.1 Effort de glissement (effort rasant)
On considère une aire homogène quelconque B idéalement découpée dans la section droite d’une poutre à plan
moyen soumise à la flexion simple.
®QHN2017

13.2.2 Contraintes tangentes
• Sous l’effet de l’effort de glissement 𝑔, le prisme B.𝑑𝑥 a tendance à se déplacer par rapport à la poutre, le long
d’une surface de glissement dont la trace sur le plan de la section droite de la poutre a pour longueur u.
• L’équilibre du prisme de base B et de longueur 𝑑𝑥 est assuré par des contraintes tangentes qui se
développent sur la surface de glissement du prisme B.𝑑𝑥 par rapport à la poutre.
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13.2.3 Bras de levier des forces élastiques
avec:
• S1 = moment statique par rapport à l’axe neutre de la zone comprimée homogène de la section.
• I1 = moment d’inertie par rapport à l’axe neutre de la section réduite.
1
1
I
z
S

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13.3 Cisaillement à la jonction âme-membrures
13.3.1 Cas d’une semelle comprimée d’une section en Té calculée à l’ELU
• Résultante des contraintes normales dans la table de compression de la poutre :
• Effort rasant agissant dans la jonction entre l’aile de la table de compression et l’âme de la section:
• Contrainte tangente correspondante à la jonction entre l’aile de la table de compression et l’âme de la section:
Ed 1 Ed
c d d
1
f
f
AM A M
F F F
z A A z
   
s
A
w
b
eff
b
d
f
hf
A
u
x
AN
f
b
z
u
x
cd
f
c
F
s
F
d Ed Ed
Ed
2 2
eff w eff w
eff eff
b b b bF M V
g
x b z x b z
  
  
 
Ed d Ed
Ed
v
2
eff w
f f eff f
b bg F V
h h x b h z

  

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13.3.2 Cas d’une semelle tendue d’une section en Té calculée à l’ELU
• L’effort de traction dans les armatures vaut
• Effort rasant agissant dans la jonction entre l’aile de la table de compression et l’âme de la section:
Ed 1 Ed
s s1 s1
1
s s
s s
M A A M
F F F
z A A z
   
s1 1 Ed 1 Ed
Ed
s s
s s
F A M A V
g
x A z x A z
 
  
 
w
b
eff
b
u
x
AN z
u
x
cd
f
s
F
c
F
1s
A
Ed
M
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13.4 Modèle de calcul pour le dimensionnement des armatures nécessaires à la
reprise des efforts rasants
• Le dimensionnement à l’effort rasant se fait par un calcul à la rupture afin de garantir une sécurité suffisante
par rapport à l’ELU.
• Selon l’EC2, la résistance au cisaillement de la partie de table en débord peut être calculée en assimilant cette
membrure à un système triangulé composé :
 de bielles de compression inclinées d’un angle 𝜃 𝑓 sur l’axe de la poutre ;
 de tirants correspondant aux armatures de couture perpendiculaires à l’axe de la poutre.
Armatures de couture
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Fd
Fs1
A1 Af
As1
As
Modèle pour une poutre en I simplement appuyée
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13.5 Dimensionnement des armatures d’effort rasant selon l’EC2
EN 1992-1-1 § 6.2.4
(3) La contrainte de cisaillement longitudinale vEd, développée à la jonction entre un côté de la membrure et
l'âme est déterminée par la variation d'effort normal (longitudinal) dans la partie de membrure considérée:
…
(4) L'aire de la section des armatures transversales par unité de longueur, Asf/sf, peut être déterminée comme
suit :
Afin d'éviter l'écrasement des bielles de compression dans la membrure, il convient par ailleurs de vérifier :
Règle des coutures
(6) Si vEd est inférieure à 0,4fctd, aucune
armature supplémentaire n'est nécessaire en
plus de celles requises pour la flexion.
®QHN2017

13.6 Résistance à l’effort rasant dans les joints de reprise
• Les surfaces séparant les parties d’un même élément appartenant à deux phases de bétonnage différentes
sont appelées « surfaces de reprise » ou « joints de reprise ».
• Ces surfaces sont a priori des points faibles de la structure car la résistance à la traction de celles-ci est
quasiment nulle.
• Lorsque de telles surfaces sont le siège d’efforts tangents non négligeables, il convient de vérifier leur
résistance vis-à-vis de ces sollicitations et le cas échéant, prévoir des armatures de couture en conséquence.
surfaces de reprise
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13.6.1 Règle des coutures (EC2-1-1§6.2.5)
On ne disposera pas d’armatures de couture à la surface de reprise si
vRdi est la contrainte de cisaillement résistante à l’interface
Edi Rdi
v v
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13.6.2 Résistance à l’effort rasant des surfaces de reprise
La résistance au cisaillement vRdi de la surface de reprise est donnée par
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®QHN2017

13.6.3 Disposition des armatures de couture
EC2-1-1§6.2.5(3) Les armatures de coutures peuvent être réparties par zones de pas constant le long de
l'élément, comme indiqué sur la Figure 6.10. Lorsque la liaison entre deux bétons différents est assurée par des
armatures (poutrelles en treillis), la contribution de l'acier à vRdi peut être prise égale à la résultante des efforts
dans chaque diagonale, sous réserve que 45° ≤  ≤ 135°.
®QHN2017

Soit les poutres isostatiques de 22x85 cm² de portée 10m et de 2,22m d’entre axes, associée à une dalle de
béton de 15 cm d’épaisseur. Ces poutres reposent sur des appuis de 80cm.
• Reprise horizontale de bétonnage à la jonction âme-membrures
13.6.4 Exemple d’application: Dimensionnement des armatures de couture
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®QHN2017

2
Chapitre 14: Éléments soumis à la torsion
14.1 Généralités
14.2 Calcul à l’état non fissuré
14.3 Calcul à l’état fissuré
14.3.1 Modèle du treillis spatial
14.3.2 Calcul à la rupture d’une section polygonale avec le modèle du treillis spatial
14.4 Prescriptions l’EC2 pour la torsion
14.4.1 Section pleine: section à parois minces équivalentes
14.4.2 Section complexe: décomposition en sections à parois minces équivalentes
14.4.3 Principe général de la justification
14.4.4 Dimensionnement des armatures transversales
14.4.5 Dimensionnement des armatures longitudinales
14.4.6 Limitations de la compression des bielles
14.4.7 Interaction torsion et l’effort tranchant
14.4.8 Moment de fissuration en torsion
14.4.9 Section creuse soumise à la torsion et l’effort tranchant
14.4.10 Dispositions constructives
14.4.11 Exemple de dimensionnement des armatures de torsion
®QHN2017

3
14.1 Généralités
• Lorsqu’une pièce prismatique est sollicitée à la torsion uniforme ou torsion circulaire (torsion de Saint-
Venant), il n’apparaît (à l’état non fissuré) que des contraintes tangentielles 
 gauchissement libre
 sections massives, sections à parois minces fermées
• Lorsqu’une pièce prismatique est sollicitée à la torsion non uniforme ou torsion fléchie, des
contraintes normales  apparaissent en plus des contraintes tangentielles 
 gauchissement empêché
 moment de torsion varié
 sections à parois minces ouvertes ou sans symétrie de révolution
®QHN2017

4
Comportement expérimental des éléments en BA soumis à la torsion pure
1°) En phase non fissurée, le comportement des éléments soumis à la torsion correspond à la théorie
élastique (Saint-Venant). Sous les sollicitations de torsion pure, les premières fissures sont inclinées à
moins de 45° sur l’axe longitudinal de l’élément et font le tour de la section.
2°) Si les éléments ne comportent ni les armatures longitudinales et/ou ni armatures transversales, la
rupture, ayant une allure fragile, suit de peu la fissuration. Si, en revanche, l’élément est correctement et
suffisamment armé, le couple de torsion de rupture est nettement supérieur à celui provoquant la
fissuration.
3°) Lorsque la fissuration affecte tout le périmètre de l’élément, la rigidité de torsion chute brutalement
dans le rapport de 5 à 1 ou même parfois de 10 à 1.
Trajectoire des contraintes principales (torsion de Saint-Venant)
®QHN2017

5
14.1 Généralités
Comportement expérimental des éléments en BA soumis à la torsion pure
4°) Des éléments en BA de même forme extérieur, les uns à section pleine, les autres creux, mais
comportant tous les mêmes armatures, ont après fissuration un comportement identique.
5°) Pour des éléments à section pleine comportant un pourcentage normal d’armatures, la rupture se
produit par flexion.
 Que la section soit pleine ou creuse,
seule une faible épaisseur de béton armé à
partir des bords extérieurs de la section
participe à la résistance à la torsion à l’état
fissuré
Fissuration d’un élément soumis à la torsion obtenue lors d’un essai
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6
EN 1992-1-1 § 6.3.1 (1)P. (2)
(1)P Lorsque l'équilibre statique d'une structure dépend de la résistance en torsion de certains de ses
éléments, on doit procéder à une vérification complète à la torsion, couvrant à la fois les états-limites ultimes
et les états-limites de service.
(2) Lorsque, dans des structures hyperstatiques, les sollicitations de torsion sont issues uniquement de
considérations de compatibilité et que la stabilité de la structure n'est pas déterminée par la résistance en
torsion, il n'est généralement pas nécessaire de considérer les sollicitations de torsion à l'état-limite ultime. Il
convient alors de prévoir un ferraillage minimal, tel qu'indiqué en 7.3 et 9.2, sous la forme d'armatures
transversales et de barres longitudinales, de manière à éviter une fissuration excessive.
Exemples de torsion nécessaire à l’équilibre
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7
Torsion d’équilibre: Quelques soit l’état de déformation et de fissuration de la pièce sollicitée en torsion, le
couple de torsion est toujours le même.
Torsion de compatibilité: les couples de torsion sont dus uniquement à la rotation angulaire bloquée par
les éléments auxquels la pièce est liée. Ces couples diminuent si la déformation et/ou la fissuration de la
pièce sollicitée en torsion augmentent.
• Une vérification complète à la torsion n’est pas nécessaire
• Il doit être tenu compte des effets secondaires de la torsion dans le calcul des éléments auxquels
la pièce est liée.
p
L
T T
2
0
12
pL
T 
Exemple de torsion de compatibilité
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8
14.2 Calcul à l’état non fissuré
- Un tel calcul est utile si l’on veut éviter ou au moins limiter la formation de fissures dues à la torsion
dans les conditions de service.
- Les contraintes principales de traction dues à la torsion est limité à la résistance en traction du béton:
max ≤ fctd
- Ce calcul est un problème complexe: solution exacte n’existe que pour quelques cas simples
max 2
3 4
0.45
h b T
h b b h




T
h
b
Formule de Bach pour la section rectangulaire Formule de Bredt pour des section creuse à parois minces
2i
i k i
T
t A t


 
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9
Sections ouvertes composées de plusieurs rectangles minces
Hypothèse: Moment de torsion distribué dans les différentes parties rectangulaires est proportionnel à la
raideur de chacune des parties
 Les contraintes maximum peuvent être calculées pour chaque rectangle élémentaire comme s’il s’agissait
de sections indépendantes sollicitées par une partie Ti du moment de torsion total T.
3
3
3
3
i i
i
i i
i i
i
b h
T T
b h
b h
K




Torsion dans une section en Té
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14.3 Calcul à l’état fissuré (rupture)
14.3.1 Modèle du treillis spatial
Les expériences montrent que le comportement à la rupture des éléments en BA en torsion peut être analysé à
l’aide d’un modèle spatial en treillis formés de bielles de béton comprimées et de tirants tendus.
Le modèle de calcul à la rupture est caractérisé comme suit :
• dans les sections à pourtour polygonale, le treillis spatial est composé de treillis plans.
• les bielles comprimées qui se forment dans les sections pleines (ou les sections creuses à parois épaisses)
ont une épaisseur limitée tef; ces bielles forment un angle constant  avec l’axe longitudinal de la poutre.
• les forces dans les bielles de béton correspondent à un flux de cisaillement constant sur le pourtour de la
section efficace.
• les armatures de torsion longitudinales sont concentrées aux angles de la section, sur la ligne moyenne, pour
former les membrures tendues du treillis spatial.
• les armatures transversales de torsion sont des étriers placés sur le pourtour de la section.
Modèle en treillis spatial d’une poutre carrée soumise à la torsion
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14.3.2 Calcul à la rupture d’une section polygonale avec le modèle du treillis spatial
Modèle en treillis spatial d’une section polygonale
résistant à la torsion
Équations d’équilibre dans un panneau
2
cos
sin cos
l cw
t cw
F t z
F t z
 
  


• Ft est l’effort de traction dans le tirant transversal;
• Fl est l’effort de traction dans la membrure longitudinale;
• cw est la contrainte de compression dans la bielle
inclinée;
• t est l’épaisseur de la paroi
•  est l’angle formé par la bielle de compression avec
l’axe longitudinal;
• z est la hauteur du panneau.
En considérant le couple autour de l’axe longitudinal de
la poutre, la torsion issue des forces dans le panneau
vaut :
, sin cosi t i i cw i iT F y t z y   
• yi est la distance entre la ligne d’action de l’effort Ft,i et la centre de la section de la poutre
En sommant l’ensemble de ces couples pour tous les panneaux on obtient:
2 sin cosi cw kT T t A   
• Ak est l’aire de la section transversale délimitée par les parois
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Conditions de résistance de l’élément en torsion à l’ELU
1. La condition de résistance des armatures transversales s’énonce
, Ed
cot 2 cot
sw yd t i
i k
A f F T
s z A 
 
• Asw est l’aire des sections des armatures de torsion transversales
• s est l’intervalle (mesuré dans le sens longitudinal de la poutre) entre deux étriers.
2. La condition de résistance des armatures longitudinales s’énonce
Ed
cot
2
sl yd
i k
A f
T
z A


• Asl est l’aire des sections des armatures de torsion longitudinales.
3. La condition de résistance à la compression des bielles en béton prend la forme
Ed Rd,max cw cd2 sin coskT T f t A    
• représente la résistance à la compression des bielles comprimées;cdf 0.6(1 )
250
ckf
  
 Formule 6.28 de l’EC2
 Formule 6.30 de l’EC2
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13
14.4 Prescriptions de l’EC2 pour la torsion
14.4.1 Section à parois minces équivalentes (EN 1992-1-1 §6,3,1(3))
Lorsque la section est pleine, ou lorsque les parois sont épaisses, on utilise pour le calcul une section à parois
minces équivalente dont épaisseur (effective) des parois tef vaut:
14.4.2 Section complexe: décomposition en sections à parois minces équivalentes
2
ef
cA
t
tu

 

• u est le périmètre extérieur de la section;
• A est l’aire totale de la section délimitée par le contour
extérieur (partie creuse comprise);
• c est l’enrobage des armatures ;
• t est l’épaisseur réelle de la paroi.
EN 1992-1-1 § 6.3.1 (3) et (4)
(3) (…). Les sections pleines peuvent être modélisées directement par des sections fermées à parois minces
équivalentes. Les sections de forme complexe, telles que les sections en T, peuvent être tout d'abord
décomposées en sections élémentaires, modélisées chacune par une section à parois minces équivalente, la
résistance en torsion de l'ensemble étant prise égale à la somme des résistances des sections élémentaires.
(4) Il convient que la distribution des moments de torsion dans les sections élémentaires soit proportionnée à
la rigidité en torsion à l'état non-fissuré de celles-ci. (…).
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14
• La résistance à la torsion est déterminée à l’état limite ultime conformément à l’article 6.3 de EC2-1-1
avec son Annexe nationale française (NF P 18-711-1/NA), en considérant la section comme une section
fermée à parois minces où l’équilibre est assuré par un flux de cisaillement.
• La section réelle peut être remplacée par une section creuse équivalente dont l’épaisseur de la paroi peut
être prise égale au sixième du diamètre du cercle qu’il est possible d’inscrire dans le contour extérieur.
14.4.3 Principe général de la justification
Le calcul est basé sur la méthode de l’inclinaison des bielles, qui peut être appliquée au treillis spatial qui se
développe dans une poutre-caisson en prenant:
90 et 1 cot 2.5    
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15
14.4.4 Dimensionnement des armatures transversales
Les armatures transversales requises pour la résistance en torsion sont dimensionnées au moyen de
l’expression:
où Asw,T/s est l’aire des armatures transversales (cadres fermés) par unité de longueur mesurée
longitudinalement, nécessaire à la résistance en torsion.
Ces armatures doivent être ajoutée aux armatures transversales Asw,V nécessaire à la résistance à l’effort
tranchant.
, Ed
2 cot
sw T
k yd
A T
s A f 

, Ed
cot
swV
w yd
A V
s b z f 

Remarque: l’angle  utilisé pour le dimensionnement
des armatures de torsion doit être le même que celui
utilisé pour le dimensionnement des étriers d’effort
tranchant.
EdT
EdV
, ,sw T swVA A
ku
s
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16
14.4.5 Dimensionnement des armatures longitudinales (EN 1992-1-1 6,3,1 (3))
Les armatures longitudinales requises pour la résistance en torsion sont dimensionnées au moyen de
l’expression:
où est l’aire des armatures longitudinales par unité de longueur répartie sur le périmètre de section
• Dans les membrures comprimées, ces armatures peuvent être réduites proportionnellement à l’effort de
compression disponibles.
• Dans les membrures tendues, il convient d’ajouter les armatures longitudinales de torsion aux autres armatures
• Pour des petites sections, ces armatures peuvent être concentrées au coins
Ed
cot
2
sl yd
k k
A f T
u A


/sl kA u
EdT
ku
slA
slA
ku
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17
14.4.6 Limitations de la compression des bielles
Le moment de torsion provoquant la rupture des bielles TRd,max est donné par:
14.4.7 Interaction torsion et l’effort tranchant
où VEd et VRd,max sont respectivement l’effort tranchant de calcul et l’effort tranchant résistance maximum de la
section (effort tranchant provoquant la rupture des bielles)
• est l’inclinaison des bielles de compression
• est le facteur de réduction
• coefficient tenant compte l’influence d’une contrainte de compression due à l’effort normal dans la section
Ed Ed
Rd,max Rd,max
1
T V
T V
 
Rd,max 2
cot
1 cot
w cw cdV b z f

 



EC2-1-1 § 6.3.2 (4): La résistance d'un élément soumis aux sollicitations d'effort tranchant et de torsion est
limitée par la résistance des bielles de béton. Afin de ne pas dépasser cette résistance, il convient de
satisfaire la condition suivante :
1 cot 2.5 
 0.6(1 )
250
ckf
  
cw
cot
Rd,max 2 sin coscw cd k efT f A t   (EC2-1-1 formule 6.30)
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14.4.8 Moment de fissuration en torsion
Le moment de fissuration en torsion peut être déterminé en supposant que la fissuration se produit pour une
contrainte de cisaillement : t,i = fctd . On peut donc évaluer le moment de fissuration en torsion TRd,c au moyen de
l’expression:
EC2-1-1 § 6.3.2 (5): Les sections pleines approximativement rectangulaires ne requièrent qu’un ferraillage
minimal sous réserve que le condition ci-après soit vérifiée :
où VEd et VRd,c sont respectivement l’effort tranchant de calcul et l’effort tranchant résistance sans armatures
de ka section (effort tranchant provoquant la fissuration)
,
Rd,c 2 (si est constante)
2
i i ef i
ctd k ef ctd ef
z r t
T f A t f t 
Ed Ed
Rd,c Rd,c
1
T V
T V
 
1/3
Rd,c Rd,c 1 ck 1 cp w. .(100. . )V C k f k b d   
  
(expression 6.2a de l’EC2-1-1)
ku
c
+
ir
EdT
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14.4.9 Section creuse soumise à la torsion et l’effort tranchant
- Dans le cas d’une section creuse fermée, les sollicitations de cisaillement dues à la torsion et à l’effort
tranchant sont combinées dans chaque membrure.
- L’effort de cisaillement total dû à la torsion dans une paroi vaut:
- Les armatures transversales de chaque membrure sont alors
dimensionnées selon les règles relatives à la reprise des efforts
tranchants pour un effort de cisaillement total:
où VEd,i,V est la fraction d’effort tranchant reprise dans cette membrure.
, , , , , ,
, ,
avec
2
2
Ed
Ed i T t i ef i i t i ef i
k
Ed
Ed i T i
k
T
V t z t
A
T
V z
A
  
 
, , , , ,Ed i Ed i T Ed iVV V V 
EdT
EdV
iz
EdT
EdV
, , , , ,Ed i Ed i T Ed iVV V V 
, ,
2
Ed
Ed i T i
k
T
V z
A

, , / 2Ed iV EdV V
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14.4.10 Dispositions constructives
- Les cadres de torsion doivent être formés et ancrés de référence par des crochets à 135° avec retours dirigés
vers la masse du béton
- Ils doivent être perpendiculaires à la ligne moyenne de l’élément (=90°)
- L’espacement longitudinal des cadres de torsion ne doit pas être supérieur à uk/8
Avec uk = périmètre au feuillet moyen qui délimite la surface Ak délimitée par le contour moyen de la section
définie par l’épaisseur t (2c < t < A/u) et u le périmètre extérieur qui délimite la surface A.
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14.4.11 Exemple de dimensionnement des armatures de torsion
Données:
• Caractéristiques dimensionnelles:
• Caractéristiques mécaniques: béton C30, acier B500
• Armatures longitudinales de flexion: 3 lits 3HA25 3HA20 et 3HA25 (avec enrobage c = 40 mm)
• Armatures transversales d’effort tranchant: cadres verticaux HA8 s= 180 mm (exemple du chapitre 4)
La poutre est soumise également à une torsion constante T = 50 kNm
Question: Dimensionner les armatures de torsion?
10m ; 300mm ; 1100mm; 1000mm; 0.9 900mmwl b h d z d     
Ed 1.35 1.5 96.64 kN/mp G Q  
2
Ed
Ed
Ed
1306kNm
8
483.2kN
2
50kNm
Ed eff
Ed
p l
M
p l
V
T

  


 




10l m
300 1100
40cm 40cm
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1. Détermination de la section creuse équivalente
- Périmètre extérieur de la section:
- Surface totale de la section délimitée par le périmètre extérieur:
- Epaisseur fictive équivalente:
- Aire délimitée par le feuillet moyen des parois:
- Périmètre du feuillet moyen:
2. Recherche de l’angle limite des bielles
 On conserve
3. Dimensionnement des armatures transversales de torsion
Nous disposons pour l’effort tranchant d’un cadre extérieur HA8 s = 180 mm. Conservons l’espacement des
cadres trouvé pour le tranchant  un complément d’acier Asw,T = 24,7 mm² doit s’ajouter, soit un HA 10 en cadre
extérieur
0.118 2 0.08ef
A
t m c m
u
   
2
1.1 0.3 0.33A m  
2 (1.1 0.3) 2.8u m   
30cm
110cm11.8cm
EdT
EdV
feuillet moyen des parois
2
(1.1 0.118) (0.3 0.118) 0.179kA m    
Ed Rd,max
Ed
2 sin cos
1
arcsin( ) 6.5
2
cw cd k ef
u
cw cd k ef
T T f A t
T
f A t
  


 
    21.8  
, Ed 2
0.128 /
2 cot
sw T
k yd
A T
mm mm
s A f 
 
2 (1.1 0.118 0.3 0.118) 2.328ku m     
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4. Dimensionnement des armatures longitudinales de torsion
Remarque: ces armatures peuvent être réduites
proportionnellement à l’effort de compression dans
la membrure comprimée.
5. Vérification du cumul des cisaillement avec l’effort tranchant
Nous devons rechercher:
On doit vérifier:
Ed
Ed 2
cot
2
cot 748
2
sl yd
k k
k
sl
k yd
A f T
u A
u T
A mm
A f



  


Rd,max 2 sin cos 153kNmcw cd k efT f A t   
Rd,max cw cd w 2
cot cot
. . . 983kN
1+cot
V f b z
 
 


 
Ed Ed
Rd,max Rd,max
50 483.2
1 0.82 1
153 983
T V
ok
T V
      
HA10
HA25HA20
HA25
Armatures longitudinales
flexion
Armatures longitudinales
flexion + torsion
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