Méthode bielles-tirants

Béton Armé III
Méthode bielles-tirants
Département GCU
Cours de 4ème année
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
qnguyen@insa-rennes.fr
Version 1

Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 2
18.1 Généralités
18.2 Bielles
18.3 Tirants
18.4 Nœuds
18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison
18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau
18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques
18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs)
18.7.2 Angles de portiques dont l’intérieur est tendu (cas des moments positifs)

18.1 Généralités
• La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception
rationnelle pour le calcul de ferraillage de régions locales des structures
en béton armé (appelées régions D pour discontinuité);
• En général dans une structure chargée il y a deux types de régions:
9 Régions de continuité B (pour Bernoulli): les régions où l’hypothèse
de Navier-Bernoulli concernant une distribution linéaire des
déformations s’applique. Dans ces régions, les méthodes de la RdM
peuvent être appliquées pour le dimensionnement, avec certaine
précautions.
D D
D
B B
h
2h
h h
Régions B et D dans une poutre
simplement appuyé
Exemple de région de
discontinuité: Poutre cloison
H
9 Régions de discontinuité D: Les régions où la distribution des déformations relatives est non-linéaire et les
méthodes de la RdM ne peuvent être utilisées pour déterminer l’état de contrainte en un point. Il s’agit des
régions de discontinuité géométrique ou des régions au voisinage des points d’application des charges
concentrées).

D
2
h
2
h
1
h
1
h
D
h
h h
D
2
h
2
h
1
h
1
h
D
D
h
h
D
h
h
h
Régions de discontinuités géométriques ou dues à l’application de charge ponctuelle
(a) Poutre avec un changement
brutal de hauteur
(c) Nœud poteau/poutre
(b) Entourant une ouverture
(d) Jonction
poteau/semelle épaisse
(e) Poutre-cloison
(f) Poteau avec
corbeau

• La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception rationnelle pour le calcul de ferraillage de
régions locales des structures en béton armé (appelées régions D pour discontinuité);
• La méthode BT concerne l’idéalisation de zone de discontinuité par le biais d’un treillis interne capable de
représenter la distribution et le cheminement des forces à l’intérieur de la structure. Le treillis est composé des :
9 Bielles (ou membrures comprimées) représentant les chambres de contraintes de compression uniaxiale.
Les bielles sont généralement en béton mais peuvent inclure les armatures de compression ou des
armatures transversales servant à confiner le béton.
9 Tirants (éléments en traction) qui modélisent la traction dans les armatures.
9 Nœuds qui représentent les zones de rencontre des bielles, des tirants, des forces ou des réactions
d’appuis. Ce sont des volumes de béton sur lesquels des forces provenant de plusieurs directions se
rencontrent et s’équilibrent.
2F
F F
Modèle BT d’une poutre-cloison
soumis à une charge concentrée
tirant
b
i
e
l
l
e
b
i
e
l
l
e
nœud
nœud nœud

18.2 Bielles (EC2-1-1 §6.5.2)
• La contrainte limite de calcul des bielles est désignée par VRd,max
• Pour une bielle de béton soumise ou non à des contraintes de compression transversales, la résistance de calcul
est déterminée par
• Pour une bielle de béton dans des zones comprimées avec des fissures transversale, la résistance de calcul
dépend des contraintes de traction qui traversent l’axe de la bielle. A moins d'utiliser une approche plus
rigoureuse, cette résistance de calcul peut être déterminée par
Rd,max cd
f
V
Note: Dans les régions soumises à des contraintes
de compression multiaxiales, une contrainte limite de
calcul plus élevé peut être admise
ck
Rd,max cd
0.6 1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹

18.3 Tirants (EC2-1-1 §6.5.3)
• Les armatures constituant les tirants doivent être totalement ancrées dans les nœuds.
• La contrainte limite de calcul des tirants est fyd =435 MPa.
• Les armatures requises pour équilibrer les forces au nœud de concentration d'efforts peuvent être réparties sur
une certaine longueur. Lorsque les armatures dans la zone du nœud s'étendent sur une longueur importante d'un
élément, il convient de répartir les armatures sur la zone où les isostatiques de compression sont courbes (tirants
et bielles). L'effort de traction T peut être obtenu au moyen des expressions suivantes :
¾ Pour le cas de régions de
discontinuité partielle (b ≤ H/2) :
¾ Pour le cas de régions de
discontinuité totale (b H/2)
1
4
b a
T F
b

1
1 0.7
4
a
T F
h
§ ·

¨ ¸
© ¹

18.4 Nœuds (EC2-1-1 §6.5.4)
• Les règles pour les nœuds s'appliquent également aux
régions dans lesquelles des forces concentrées sont
transmises à un élément mais qui ne sont pas
dimensionnées à l'aide de la méthode des bielles.
• Les efforts agissant dans les nœuds doivent s'équilibrer.
On doit notamment tenir compte des efforts transversaux
de traction perpendiculaires au plan du nœud.
poutre-cloison soumis à une
charge concentrée
tirant
b
i
e
l
l
e
b
i
e
l
l
e
Nœud sans tirant
Nœud avec
tirants
cd,3
F cd,2
F
Nœud soumis à compression sans tirant
• Le dimensionnement des nœuds de concentration d’effort et les dispositions constructives correspondantes sont
déterminants pour l’établissement de la capacité résistante. Les nœuds de concentration d’effort peuvent
apparaître par exemple là où sont appliquées des charges ponctuelles, au droit des appuis, dans les zones
d'ancrage (avec concentration d'armatures de béton armé ou d'armatures de précontrainte), dans les parties
courbes des armatures et enfin dans les jonctions et angles des éléments.
1
a

cd,1 cd,1 cd,1
r l
F F F
cd,1r
F
cd,1l
F
cd,2
F
cd,3
F
V
R
d
,
2
V
R
d
,
3
VRd,1
2
a
3
a
nœud

¾ Dans un nœud soumis à compression sans tirant, la
contrainte maximale pouvant être appliquée sur les
faces du nœud VRd,max est déterminée par
• Les valeurs de calcul des contraintes de compression à l'intérieur des nœuds peuvent être déterminées de la
manière suivante :
ck
Rd,max cd
1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹
¾ Dans un nœud soumis à compression et à traction,
avec tirants ancrés dans une direction, la contrainte
maximale pouvant être appliquée sur les faces du
nœud VRd,max est déterminée par
1
a

cd,1 cd,1 cd,1
r l
F F F
cd,1r
F
cd,1l
F
cd,2
F
cd,3
F
V
R
d
,
2
V
R
d
,
3
VRd,1
2
a
3
a
nœud
V
Rd,2
VRd,1
cd,1
F
1
a
td
F
bd
l
cd,2
F 2
a
nœud Tc
Bielle d’about
ck
Rd,max cd
0.85 1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹

¾ Dans un nœud soumis à compression et à traction, avec tirants ancrés dans plus d’une direction, la contrainte
maximale pouvant être appliquée sur les faces du nœud VRd,max est déterminée par
ck
Rd,max cd
0.75 1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹
td,1
F
cd
F
td,2
F

L
H
a a
1
F
z
1
p
2
p
P
P
P
2
F
p
L
H
a a
F
F
4
L
4
L
z
Bielle
Tirant
2
pL
2
pL
Cas de charge répartie uniforme Cas de charge répartie linéaire
d d
0.6 0.8
L z L

• Cas d’une charge ponctuelle
Modèle BT pour une poutre-cloison de
petites dimensions
L
H
a a
F
F
2F
L
H
a a
F
F
Bielle
Tirant
2F
Modèle BT pour une poutre-cloison de
grandes dimensions

Exemple
• Considérons une poutre-cloison soumise à une charge concentrée à mi-portée. La charge concentrée consiste
en une charge permanente de 3000 kN incluant le poids propre de la poutre-cloison et une charge d’exploitation
de 1500 kN. Les dimensions de la poutre-cloison sont indiquées à la figure ci-dessous. Cette poutre-cloison sera
réalisée avec le béton C40. Dimensionner les armatures.
9 m
1 1
0.8
3.5
Ed
F
0.4
section droite

18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau
• Ce modèle BT est applicable pour une console courte (corbeau) qui
vérifie la condition suivante:
• L’inclinaison de la bielle est limitée par
corbeau

c 0
a z
T
d d
1 tan 2.5
La hauteur du corbeau
peut être constante ou
variable le long de sa
portée
Nœud
Nœud
Rd,max
V
Ed
F
Ed
H
Ed
F
td
F
wd
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T

Etape 1: Vérification de la compression des bielles de béton
Il faut que ( cas d’absence de traction transversale, slide 5)
où Vc est la contrainte de compression dans la bielle principale de béton:
Rd,max cd
c
f
V V
d
c
c
F
ab
V
• Fc est l’effort de compression dans le bielle principale de béton, déterminé
en faisant l’équilibre de moment au point A au droit de la face du poteau:
• ܽ est la largeur de la bielle, déterminée par
• ܾ est la largeur du corbeau.
Ed Ed
c Ed Ed c
sin 0
sin
c H
c c H
A
c
F a H a
M F a F a H a F
a
T
T

o
¦
est l'angle d'inclinaison de la bielle vérifiant 1 tan 2.5
T T
d d

Ed Ed
2
c
1 tan
tan tan
2
c H
c
c c
F a H a
F
ab ba d a
T
T T
V

o

Nota: est une fonction décroissante sur l'intervalle 1 tan 2.5
on choisit le cas le plus défavorable tan 1
c
V T
T
d d
o
Avec le choix de cotT il faut vérifier les conditions géométriques suivantes
pour assurer qu’il s’agit bien d’une console courte et que le modèle BT
s’applique:
1) 0 tan
2) sin
c
h p
a d a
a a h
T
T
! o !
d
Ed
F
Ed
H
td
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T
c
F
c
V
A
B
a
h
a
v
a
T
p
h

Etape 2: Calcul des armatures tendues « principales » As,main
Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de traction dans le tirant avec une contrainte Vs = fyd . D’où
leur section As,main est déterminée par:
td
s,main
yd
F
A
f

td 0 Ed Ed 0 td Ed Ed
0 0
Ed
td Ed
0 1
1
tan tan
c H
c H
B
H
c
a a
M F z F a H z a F F H
z z
F a
F H
a
T T
§ ·
o
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
§ ·
o
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
¦
Les armatures supérieures tendues peuvent être constituées:
• de cadres horizontaux
• de barres avec crochet d’extrémité, ancrées
Ed
F
Ed
H
td
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T
c
F
c
V
A
B
a
h
a
v
a
T
p
h
• Ftd est l’effort de traction dans le tirant « principal », , déterminé en faisant
l’équilibre de moment au point B au droit de la face du poteau:

Etape 3: Dispositions constructives des armatures dans les corbeaux
1. Les armatures supérieures tendues peuvent être constituées:
• De cadres horizontaux
• De barres avec crochet d’extrémité, ancrées:
9 dans l’élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du poteau les plus proches de cette
paroi ;
9 au voisinage du nez du corbeau, au-delà du bord intérieur de la zone chargée.
• L’armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de corbeau pour éviter la rupture de l’angle
supérieur du corbeau.

2. Armatures horizontales de répartition
Si ac 0,5hc, en plus des armature principales, As,main,
des armatures horizontales de répartition, As,lnk ≥ As,main,
sont à prévoir sous la forme de cadres fermés
horizontaux ou inclinés.
s,main
A
s,main
A
s s n
,lnk ,mai
cadres fermés horizontaux ou n
0.25
incli és
A A
t
¦
A
A - Dispositif d’ancrage ou boucles
c
h
c
a) Ferraillage pour 0.5 c
a h
d
c 0.5 c
a h
d

3. Armatures verticales
Si ac 0,5hc et FEd VRd,c, en plus des armature
principales, As,main, il convient de prévoir des cadres
fermés verticaux As,lnk ≥ 0,5FEd/fyd
s,main
A
VRd,c : l’effort tranchant de
référence = effort tranchant
résistant de l’élément sans
armatures verticales (voir
Chapitre 9)
Note: Les armatures horizontales de répartition ne sont pas requises dans ce cas.
Néanmoins, par mesure de sécurité, on met la section minimale requise 0,25As,main
s,main
A
A
- Armatures de couture (cadres fermés verticaux)
c
h
c Ed Rd,c
b) Ferraillage pour 0.5 et
c
a h F V
! t
c 0.5 c
a h
!
B
B
E
v
s,lnk
d
yd
0.5
F
A
f
t
¦
Ed
F
s,main
h
s,lnk 0.25A
A
¦

Exemple
Considérons deux corbeaux d’appui de la poutre. Il est demandé de vérifier la rupture locale du béton et de
dimensionner les armatures dans ces corbeaux.
Données:
- Les dimensions des élément sont indiquées dans la figure ci-dessous.
- Actions sur la poutre:
• Charges permanentes (poids propre inclus):
• Charges d’exploitation
¾ Composante verticale:
¾ Résultante des composantes horizontales:
11.26 kN/m
k
g
15.73 kN/m
k
q
26.95 kN
k
H
Béton C40
Acier B500B
1000
25
10
15
35
40
50 cm
50 cm
15
Poutre 30x50ht
50
Poteau
40x50
H
2
25
40
10
35
Poteau
40x50

Ed 40.425 kN
H
Ed 193.98 kN
F
25
10 35
50 cm
Poteau
40x50
2
40
As,main
4HA14
Cadre HA6 Armatures verticales
cadres HA6
5 55
Armatures horizontale de répartition
cadres HA6

18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques
Dans un portique en BA, le moment d’encastrement d’une poutre doit se retourner dans le poteau. Il faut donc
assurer la continuité des armatures tendues au niveau des angles du portique.
18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs)
Cas 1: poutre et poteau de dimensions sensiblement égales
Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique
avec 45
T q

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