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RESISTANCE DES MATERIAUX
MODULE 03:
M
RD
Par: Mr. MAGRI
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VII- Flexion Simple
1. Définition
Une poutre droite est sollicitée en Flexion simple lorsque elle est soumise à un
ensemble de forces coplanaires, perpendiculaires à la ligne moyenne, et qui
tendent à la fléchir.
𝑭𝟏
y
x
𝑭𝟐
𝑭𝟑
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VII- Flexion Simple
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Rappel: Liaisons mécaniques
1. Définition:
Dans un mécanisme, quand une pièce est en contact avec une autre, il y a entre
ces deux pièces une liaison mécanique.
2. Caractéristique des contacts entre solides :
On peut distinguer 3 types de contacts entre solides :
• Contact ponctuel
• Contact linéaire (la ligne n’est pas forcément une droite)
• Contact surfacique. Dans ce cas les surfaces de contact sont le plus souvent :
planes / cylindriques / sphériques / hélicoïdales / coniques.
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Rappel: Liaisons mécaniques
3. Degrés de liberté
La liaison entre 2 pièces se caractérise par le nombre de mobilités que
peut avoir l’une des pièces par rapport à l’autre. Ces mobilités (ou
mouvements autorisés) sont appelés degrés de liberté.
Ces degrés de liberté correspondent aux mouvements élémentaires et
sont au nombre de 6 :
• 3 translations 𝑻𝒙 ; 𝑻𝒚 ; 𝑻𝒛
• 3 rotations 𝑹𝒙 ; 𝑹𝒚 ; 𝑹𝒛
La nature d’une liaison mécanique dépend donc de la géométrie du
contact (ponctuel, linéaire, surfacique) ainsi que du nombre et de la
position relative de ces contacts.
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Rappel: Liaisons mécaniques
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Rappel: Liaisons mécaniques
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Rappel: Liaisons mécaniques
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Rappel: Liaisons mécaniques
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Rappel: Liaisons mécaniques
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Rappel: Liaisons mécaniques
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Rappel: Liaisons mécaniques
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Rappel: Liaisons mécaniques
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VII- Flexion Simple
3. Efforts Intérieurs:
En Flexion:
• La résultante des forces intérieures 𝑹𝟐/𝟏 est réduite à la seule
composante de l’effort tranchant 𝑻.
• La résultante des Moments intérieurs 𝑴𝟐/𝟏 est réduite à la seule
composante du moment fléchissant 𝑴𝒇.
Remarque:
• L’effort tranchant 𝑻 est perpendiculaire à la ligne moyenne.
• Le moment fléchissant 𝑴𝒇 est perpendiculaire à l’effort tranchant 𝑻
et à la ligne moyenne.
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VII- Flexion Simple
En appliquant le principe fondamental de la statique (PFS) sur le
tronçon isolé après coupure fictive, on démontre que:
𝑻 = −( 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 )
𝑴𝒇 = − ℳ𝐺 𝑭𝟏 + ℳ𝐺(𝑭𝟐)
S
G
S
G
𝑭𝟏
1 2 1
𝑻
y
x
+
𝑭𝟐
𝑭𝟑
𝑭𝟒
𝑴𝒇
𝑭𝟏
𝑭𝟐
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VII- Flexion Simple
Calcul des Efforts Intérieurs:
Soit une poutre soumise à la flexion sous l’action de trois forces
𝑭𝟏 , 𝑭𝟐 et 𝑭𝟑:
Tronçon AC (𝟎 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑪):
𝑴𝒇𝑨𝑪
y
x
A B
C D E
𝑻𝑨𝑪
𝑥
+
𝑻𝑨𝑪 = 𝟎
𝑴𝒇𝑨𝑪
= 𝟎
PFS ⟹
𝑇𝐴𝐶 = 0
𝑀𝑓𝐴𝐶
= 0
Projection ⟹
(𝑦)
(𝑧)
𝑭𝟏
y
x
A B
C D E
𝑭𝟐
𝑭𝟑
LOGO
VII- Flexion Simple
Tronçon CD (𝑨𝑪 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑫):
𝑻𝑪𝑫 + 𝑭𝟏 = 𝟎
𝑴𝒇𝑪𝑫
+ ℳ(𝑭𝟏) = 𝟎
PFS ⟹
𝑴𝒇𝑪𝑫
y
x
A B
C D E
𝑻𝑪𝑫
𝑥
+
𝑭𝟏
C D E
𝑇𝐶𝐷 − 𝐹1 = 0
𝑀𝑓𝐶𝐷
+ 𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶) = 0
Projection ⟹
(𝑦)
(𝑧)
𝑇𝐶𝐷 = 𝐹1 𝑀𝑓𝐶𝐷
= −𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶)
⟹
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VII- Flexion Simple
Tronçon DE (𝑨𝑫 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑬):
𝑻𝑫𝑬 + 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝟎
𝑴𝒇𝑫𝑬
+ ℳ 𝑭𝟏 + ℳ(𝑭𝟐) = 𝟎
PFS ⟹
𝑇𝐷𝐸 − 𝐹1 − 𝐹2 = 0
𝑀𝑓𝐷𝐸
+ 𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶) + 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷) = 0
Projection ⟹
(𝑦)
(𝑧)
𝑇𝐷𝐸 = (𝐹1 + 𝐹2) 𝑀𝑓𝐷𝐸
= −𝐹1 ∙ 𝑥 − 𝐴𝐶 − 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷)
⟹
𝑴𝒇𝑫𝑬
y
x
A B
C D E
𝑻𝑫𝑬
𝑥
+
𝑭𝟏
C D E
𝑭𝟐
LOGO
VII- Flexion Simple
Tronçon EB (𝑨𝑬 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑩):
⟹
𝑴𝒇𝑬𝑩
y
x
A B
C D E
𝑻𝑬𝑩
𝑥
+
𝑭𝟏
C D E
𝑭𝟐
𝑭𝟑
PFS ⟹
𝑻𝑬𝑩 + 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 + 𝑭𝟑 = 𝟎
𝑴𝒇𝑬𝑩
+ ℳ 𝑭𝟏 + ℳ(𝑭𝟐) + ℳ(𝑭𝟑) = 𝟎
𝑇𝐸𝐵 − 𝐹1 − 𝐹2 − 𝐹3 = 0
𝑀𝑓𝐸𝐵
+ 𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶) + 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷) + 𝐹3 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐸) = 0
Projection ⟹
(𝑦)
(𝑧)
𝑇𝐸𝐵 = (𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3) 𝑀𝑓𝐸𝐵
= −𝐹1 ∙ 𝑥 − 𝐴𝐶 − 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷) −𝐹3 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐸)
LOGO
VII- Flexion Simple
Remarques:
• dans la plupart des schématisations, la poutre est modélisée par sa ligne
moyenne.
• les poutres sont identifiées à partir des charges extérieures appliquées :
 Poutre simple sur deux appuis avec charges concentrées:
 Poutre simple sur deux appuis avec charges réparties :
LOGO
VII- Flexion Simple
 Poutre encastrée avec charge répartie 𝒒(𝒙) linéairement croissante:
Les valeurs de l’effort tranchant 𝑻 et du moment fléchissant 𝑴𝒇 varient
avec la position 𝒙 de la coupure fictive. Les diagrammes de 𝑻 et 𝑴𝒇
permettent de décrire les variations de ces deux grandeurs et ainsi
repérer les maximums à prendre en compte lors des calculs des
contraintes.
4. Diagrammes:
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VII- Flexion Simple
Soit la planche de plongeoir schématisée par la poutre de ligne moyenne AC. La
liaison en A (liaison pivot) est une articulation et la liaison en B est un appui
simple. 𝑷 = 𝟗𝟎𝟎 𝑵 schématise l’action du nageur.
Exemple de calcul N°1: (planche de plongeoir)
1. Déterminer les réactions aux appuis A et B
2. Déterminer l’effort tranchant 𝑻 et le moment fléchissant 𝑴𝒇 le long de la planche.
3. Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
y
x
LOGO
Considérons la poutre ci-contre, de longueur 𝑳 = 𝟒 𝒎, soumise à une
charge ponctuelle en son milieu.
Exemple N° 2
Questions:
1. Calculer les réactions aux appuis A et B.
2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙)et des moment
fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre.
3. Tracer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant.
TRAVAUX DIRIGÉS
LOGO
TRAVAUX DIRIGÉS
Exemple N° 3
Considérons la poutre ci-contre, de longueur 𝑳 = 𝟔 𝒎, soumise à deux
charges ponctuelles 𝐹1 et 𝐹2.
Questions:
1. Calculer les réactions aux appuis A et B.
2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙)et des moment
fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre.
3. Traçer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant.
2 m 2 m 2 m
6 m
𝑭𝟏 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑵
𝒙
B
A
𝑦
𝑭𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵
C D
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TRAVAUX DIRIGÉS
Exemple N° 4 (Charge répartie uniforme)
Considérons une poutre (longueur 𝑳 = 𝟒 𝒎) réalisée à partir d’un profilé 𝑰𝑷𝑬 dont
le poids est de 40 𝑑𝑎𝑁 par mètre (𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵/𝒎)
𝒚
𝒛
4 m
𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵/𝒎
𝒙
B
A
𝒛
Questions:
1. Calculer les réactions aux appuis A et B.
2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙)et des moment
fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre.
3. Traçer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant.
LOGO
TRAVAUX DIRIGÉS
Exemple N° 5 (Charge répartie linéairement variable)
Considérons une poutre (longueur 𝑳 = 𝟒 𝒎) réalisée à partir d’un profilé 𝑰𝑷𝑬 𝟏𝟒𝟎,
encastré d’une coté et libre à l’autre. La poutre est soumise à une charge répartie
linéairement variable comme le montre la figure ci-dessous:
𝑧
𝒚
Questions:
1. Calculer les réactions de l’appuis A
2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙) et des moment
fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre
3. Traçer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant.
𝑳 = 𝟒 𝒎
𝑸𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑵
𝒙
𝑦
𝑸𝑩 = 𝟎 𝑵
A B
𝒒 𝒙
LOGO
TRAVAUX DIRIGÉS
Corrigé:
𝑳 = 𝟒 𝒎
𝑸𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑵
𝒙
𝒛
𝑸𝑩 = 𝟎 𝑵
A B
1. Calcul de 𝑹𝑨 et 𝑴𝑨
≡
𝑳 = 𝟒 𝒎
𝒙
𝒛
𝑸 =
𝑸𝑨 × 𝑳
𝟐
A B
𝑳/𝟑
𝑴𝑨
𝑹𝑨
+
LOGO
VII- Flexion Simple
5. Contrainte Normale 𝝈:
Les contraintes normales résultent du moment fléchissant 𝑴𝒇 (les efforts
tranchants n’ont aucun effet sur leur valeur). Dans le cas de flexion pure (𝑴𝒇 ≠ 𝟎
et 𝑻 = 𝟎 ), les poutres se déforment suivant des arcs de cercles.
LOGO
VII- Flexion Simple
• La ligne moyenne 𝑮𝑮’ ne subit ni allongement ni raccourcissement (𝝈 = 𝟎).
• Les fibres situées au-dessus de la ligne neutre sont comprimées et supportent des
contraintes de compression (𝝈 < 𝟎).
• Les fibres situées au-dessous (𝑴𝑴’) sont tendues et supportent des contraintes
de traction (𝝈 > 𝟎).
• En flexion, les contraintes normales 𝝈 sont généralement prépondérantes devant
les contraintes de cisaillement 𝝉 .
Remarques:
x
y
M
𝝈 < 𝟎
𝝈 = 𝟎
𝝈 > 𝟎
y
𝝈𝑴 =
𝑴𝒇
𝑰𝒛
∙ 𝒚
LOGO
VII- Flexion Simple
En utilisant la loi de Hooke et en faisant intervenir le moment fléchissant, on
montre que:
𝝈 =
𝑴𝒇
𝑰𝒛
∙ 𝒚
Avec:
• 𝝈𝑴: Contrainte normale en M (en Mpa)
• 𝑴𝒇: Le moment fléchissant dans la section droite S (en N.mm)
• 𝒚: La distance du point M par rapport à la ligne neutre (en mm)
• 𝑰𝒛: Le moment quadratique de la section droite (S) par rapport à l’axe
(z) (en 𝒎𝒎𝟒)
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VII- Flexion Simple
Exemple de calcul:
Soit une poutre rectangulaire (𝟓𝟎 × 𝟏𝟐𝟎), soumise à un moment fléchissant de
𝑴𝒇 = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒌𝑵. 𝒎 constant sur toute sa longueur.
Compléter le tableau ci-dessous en calculant la contrainte normale pour les points
indiqués:
𝒚 (𝒎𝒎) 0 20 40 60
𝝈 (𝑴𝒑𝒂)
120
50
𝑦
𝑧 .𝑮
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LOGO
VII- Flexion Simple
Exemple de calcul:
Soit une poutre rectangulaire (𝟓𝟎 × 𝟏𝟐𝟎), soumise à un moment fléchissant de
𝑴𝒇 = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒌𝑵. 𝒎 constant sur toute sa longueur.
Compléter le tableau ci-dessous en calculant la contrainte normale pour les points
indiqués:
𝒚 (𝒎𝒎) 0 20 40 60
𝝈 (𝑴𝒑𝒂) 0 40 80 120
120
50
𝑦
𝑧 .𝑮
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VII- Flexion Simple
6. Condition de résistance:
Pour des questions de sécurité liées à l’usage des machines, la contrainte normale
dans la section droite la plus chargée doit rester inférieure à une contrainte limite
admissible liée au matériau 𝑹𝒑𝒆 .
Dans le cas précis de la flexion, il faut donc procéder ainsi :
• Commencer par déterminer la section la plus chargée (en général celle où le
moment fléchissant est maximum) ;
• Vérifier que la contrainte maximale dans cette section est inférieure à la
contrainte admissible 𝑹𝒑𝒆 .
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒇
𝒎𝒂𝒙
× 𝒚𝒎𝒂𝒙
𝑰𝒛
≤ 𝑹𝒑𝒆 =
𝑹𝒆
𝓈
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒇
𝒎𝒂𝒙
𝑰𝒛
𝑽
≤ 𝑹𝒑𝒆 =
𝑹𝒆
𝓈
Ou: Avec: 𝑽 = 𝒚𝒎𝒂𝒙
𝑰𝒛
𝑽 : est appelé Module de flexion de la section (𝑚𝑚3)
LOGO
VII- Flexion Simple
Exemple de calcul:
une poutre de pont roulant (profilé 𝑰𝑷𝑬) est soumise aux charges indiquées sur la
figure ci-dessous (cas le plus défavorables). Le moment fléchissant maximum est
obtenu au milieu de la poutre et a pour valeur 𝑴𝒇
𝒎𝒂𝒙
= 𝟏𝟏𝟎 𝒌𝑵. 𝒎 .
Si on considère une contrainte admissible de 𝑹𝒑𝒆 = 𝟏𝟎𝟎 𝑴𝒑𝒂, déterminer le profilé
𝑰𝑷𝑬 pouvant convenir pour construire l’appareil.
LOGO
VII- Flexion Simple
Corrigé:
On doit avoir:
𝝈𝒎𝒂𝒙 =
𝑴𝒇
𝒎𝒂𝒙
𝑰𝒛
𝑽
≤ 𝑹𝒑𝒆
⇒
𝑰𝒛
𝑽 ≥
𝑴𝒇
𝒎𝒂𝒙
𝑹𝒑𝒆
𝐴𝑁 ∶
𝑰𝒛
𝑽 ≥
𝟏𝟏𝟎 × 𝟏𝟎𝟑 × 𝟏𝟎𝟑
𝟏𝟎𝟎
= 𝟏𝟏 × 𝟏𝟎𝟓
𝒎𝒎𝟑
= 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑
On choisi donc un profilé IPE dont le module de flexion 𝑾𝒆𝒍,𝒚 est supérieur et proche
à 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑
. Soit un profilé 𝑰𝑷𝑬 𝟒𝟎𝟎:
ℎ = 400 𝑚𝑚
𝑏 = 180 𝑚𝑚
𝑡𝑤 = 8,6 𝑚𝑚
𝑊𝑒𝑙,𝑦 = 1156,4 𝑐𝑚3
𝑊𝑒𝑙,𝑧 = 146,4 𝑐𝑚3
𝑡𝑓 = 13,5 𝑚𝑚
⇒ 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟗𝟓, 𝟏𝟐 𝐌𝐩𝐚
LOGO
VII- Flexion Simple
6. Contrainte tangentielle en flexion 𝝉 :
a. Mise en évidence:
Les contraintes de cisaillement 𝝉 qui s’exercent dans les joints collés assurent le
maintien (évitent le glissement) entre les poutres respectives et limitent ainsi les
déformations.
Les figures ci-dessous illustre la distribution des contraintes de cisaillement dans
une section droite (S) supportant un effort tranchant 𝑻. Si les contraintes 𝝉
conservent une valeur constante suivant l’axe z, en revanche elles varient suivant y,
avec un maximum près du plan neutre (inverse des contraintes normales 𝝈).
LOGO
VII- Flexion Simple
LOGO
VII- Flexion Simple
b. Cas des poutres rectangulaires:
Dans ce cas, la contrainte de cisaillement 𝝉, à la distance 𝒚 du plan neutre, est donnée
par :
𝝉 =
𝑻 × 𝑸
𝑰𝒛 × 𝒃
Avec:
• 𝝉: Contrainte de cisaillement à la
distance 𝒚 (en Mpa)
• 𝑻: L’effort tranchant (en N)
• 𝑸: Moment statique de l’aire
hachurée 𝑺𝑨(en 𝒎𝒎𝟑)
• 𝑰𝒛: Le moment quadratique de la
section droite (S) par rapport à
l’axe (z) (en 𝒎𝒎𝟒
)
𝑸 = 𝒚𝑨 × 𝑺𝑨 =
𝒃
𝟐
𝒉²
𝟒
− 𝒚²
𝝉𝒎𝒂𝒙
𝝉𝒎𝒂𝒙
LOGO
VII- Flexion Simple
Remarque:
La contrainte est maximale au niveau du plan neutre (𝒚 = 𝟎) :
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝑻 ∙ 𝒉²
𝟖 ∙ 𝑰𝒛
Elle est de 𝟓𝟎 % plus grande que la contrainte moyenne de cisaillement 𝑻/𝑺 définie
dans le cas du cisaillement pur:
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝟑 . 𝑻
𝟐 ∙ 𝑺
LOGO
VII- Flexion Simple
Exemple de calcul:
Un profilé est réalisé à partir de trois plats rectangulaires d’épaisseur 30 mm, collés
ensembles en A et B. Si l’effort tranchant est 𝑇 = 13.5 𝑘𝑁 , déterminer les
contraintes de cisaillement dans les joints collés. On donne 𝑰𝒛 = 𝟒𝟑, 𝟕 × 𝟏𝟎𝟔
𝒎𝒎𝟒
LOGO
VII- Flexion Simple
Corrigé:
• Contrainte en A
𝝉𝑨 =
𝑻 × 𝑸𝑨
𝑰𝒛 × 𝒃𝑨
𝑸𝑨 = 𝒚𝑨 × 𝑺𝑨 = 𝟔𝟐, 𝟓𝟓 × 𝟏𝟓𝟎 × 𝟑𝟎 = 𝟐𝟖𝟏, 𝟒𝟕𝟓 𝒎𝒎𝟑
𝒃𝑨 = 𝟑𝟎 𝒎𝒎
Avec:
On a:
A.N:
𝝉𝑨 ≈ 𝟐, 𝟗 𝑴𝒑𝒂
LOGO
VII- Flexion Simple
• Contrainte en B
𝝉𝑩 =
𝑻 × 𝑸𝑩
𝑰𝒛 × 𝒃𝑩
𝑸𝑩 = 𝒚𝑩 × 𝑺𝑩 = 𝟖𝟕, 𝟒𝟓 × 𝟗𝟎 × 𝟑𝟎 = 𝟐𝟑𝟔𝟏𝟏𝟓 𝒎𝒎𝟑
𝒃𝑩 = 𝟑𝟎 𝒎𝒎
Avec:
On a:
A.N:
𝝉𝑩 ≈ 𝟐, 𝟒𝟑 𝑴𝒑𝒂
LOGO
VII- Flexion Simple
c. Cas des poutres circulaires pleines:
Dans ce cas, la contrainte de cisaillement 𝝉, à la distance 𝒚 du plan neutre, est donnée
par :
𝝉 =
𝑻 × 𝑸
𝑰𝒛 × 𝒃
Avec:
𝑸 =
𝟐
𝟑
×
𝟑
𝒓2 − 𝒚²
⇒
𝝉 =
𝟒 𝑻
𝟑 𝝅 𝒓²
× 𝒓2 − 𝒚²
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝟒 . 𝑻
𝟑 ∙ 𝑺
et:
LOGO
VII- Flexion Simple
d. Cas des poutres circulaires creuses:
Dans ce cas, la contrainte de cisaillement 𝝉, à la distance 𝒚 du plan neutre, est donnée
par :
𝝉 =
𝑻 × 𝑸
𝑰𝒛 × 𝒃
Avec:
𝑸 =
𝟐
𝟑
𝒓𝟑 − 𝒚𝟑
⇒
𝝉𝒎𝒂𝒙 =
𝟒 . 𝑻
𝟑 ∙ 𝑺
𝑹²
+ 𝑹 𝒓 + 𝒓𝟐
𝑹𝟐 + 𝒓𝟐
LOGO
VII- Flexion Simple
7. Déformations en flexion:
Dans ce qui précède, on s’est intéressé au poutres fléchies et à leur
dimensionnement d’un point de vue de résistance sous charge. Nous allons voir à
présent l’aspect déformation. En particulier, la détermination de la flèche maximale
(et de sa valeur admissible) est l’un des éléments fondamentaux de la conception
des poutres.
7.1 Notion de déformée
Pour la poutre ci-dessous, la ligne moyenne 𝑨𝑰𝑪𝑱𝑩𝑫 a pour direction l’axe des 𝒙
avant déformation et la courbe 𝒚 = 𝒇(𝒙) après déformation. Cette courbe est
appelée déformée. 𝒚 = 𝒇(𝒙) est l’équation mathématique de la déformée dans le
système d’axes (𝒙, 𝒚).
LOGO
VII- Flexion Simple
LOGO
VII- Flexion Simple
• Conditions aux limites :
Les conditions: 𝒚𝑨 = 𝟎 ; 𝒚𝑩 = 𝟎 ; 𝒚𝑰
′
= 𝟎 appelées conditions aux limites, sont
des éléments connus de la déformée. Ces éléments sont imposés par les appuis A
et B ou par la forme de la déformée.
• Flèches:
la déformée présente des valeurs maximales en 𝑰 (entre A et B) et à l’extrémité D.
Pour ces points particuliers, la déformation est souvent appelée flèche (𝒇):
𝒇𝑰 = 𝒚𝑰 et 𝒇𝑫 = 𝒚𝑫
LOGO
VII- Flexion Simple
7.2 Méthode par intégration
a. Principe
Connaissant l’équation des moments fléchissant 𝑴𝒇 en fonction de 𝒙 (position le long
de la poutre), la pente 𝒚’ et la déformée 𝒚 sont obtenues par intégrations
successives à partir de :
𝒚′′
= −
𝑴𝒇
𝑬 𝑰𝒛
Avec:
• 𝑴𝒇: Moment fléchissant à la position 𝑥 (en N.mm)
• 𝑬: Module d’élasticité longitudinale (en Mpa)
• 𝒚′′
: Dérivée seconde de la déformée 𝒚
• 𝑰𝒛: Le moment quadratique de la section droite (S) par rapport à
l’axe (z) (en 𝒎𝒎𝟒
)
LOGO
VII- Flexion Simple
Remarque :
Les constantes d’intégration successives sont calculées à partir des conditions aux
limites imposées par la position et la nature des appuis, ou encore par la forme
générale de la déformée.
LOGO
TRAVAUX DIRIGÉS
EXERCICE N°3:
Soit une poutre droite à section constante sur deux appuis AB, supportant une charge
uniformément répartie (q) sur AB et les deux porte-à-faux symétriques AC et BD.
Déterminer :
1. Les réactions d’appuis RA et RB /1pt
2. Déterminer l’expression littérale de l’effort tranchant et tracer le diagramme. /4pts
3. Déterminer l’expression littérale de moment de flexion Mf(x) et tracer le diagramme. /4pts
4. La section de la poutre ayant la forme en I (constituée suivant le croquis ci-dessous),
Calculer le moment quadratique par rapport à l’axe Gz, G centre de gravité de la section. /5pts
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TRAVAUX DIRIGÉS
LOGO
TRAVAUX DIRIGÉS
Exercice N°4 (Examen 2012) :
Une masse M est suspendue au point C, point d’articulation des deux barres AC et
BC qui font chacune 𝟑𝟎° avec l’horizontal.
Les barres AC et BC sont d’égale longueur 𝑳 = 𝟔 𝒎. Leurs poids est négligé.
1. Déterminer la section des deux barres si : 𝑹𝒆 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵/𝒎𝒎² et le coefficient
de sécurité 𝒔 = 𝟒
2. Calculer les allongements 𝜟𝑳𝑨𝑪 et 𝜟𝑳𝑩𝑪 si la section des barres 𝑺 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎²
3. Déterminer le déplacement vertical 𝜹 du point C
𝑬 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑴𝒑𝒂
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TRAVAUX DIRIGÉS
Exercice N°5 (Examen 2011) :
Soit la poutre suivante :
1. Déterminer les réactions 𝑹𝑨 et 𝑹𝑩
2. Tracer le diagramme de l’effort tranchant T
3. Tracer le diagramme du moment fléchissant 𝑴𝒇
4. Déterminer le moment fléchissant maximal 𝑴𝒇
𝒎𝒂𝒙
5. Dimensionner la poutre en IPE
6. Vérifier la flèche : 𝒇𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑳 / 𝟐𝟎𝟎
Acier E24 (𝑹𝒆 = 𝟐𝟒 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎𝟐
𝑬 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎²)
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CONTRÔLE CONTINU N°2
Soit la poutre suivante :
1. Déterminer les réactions 𝑹𝑨 et 𝑹𝑩
2. Tracer le diagramme de l’effort tranchant T
3. Tracer le diagramme du moment fléchissant 𝑴𝒇
4. Déterminer le moment fléchissant maximal 𝑴𝒇
𝒎𝒂𝒙
5. Dimensionner la poutre en IPE
6. Vérifier la flèche : 𝒇𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑳 / 𝟐𝟎𝟎
Acier E24 (𝑹𝒆 = 𝟐𝟒 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎𝟐
𝑬 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎²)
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Résumé
Efforts intérieurs (Torseur de cohésion):
En RDM, les efforts (forces et moments) appliqués sur une poutre (un solide dont la longueur est
prépondérante
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  • 1. LOGO RESISTANCE DES MATERIAUX MODULE 03: M RD Par: Mr. MAGRI
  • 2. LOGO VII- Flexion Simple 1. Définition Une poutre droite est sollicitée en Flexion simple lorsque elle est soumise à un ensemble de forces coplanaires, perpendiculaires à la ligne moyenne, et qui tendent à la fléchir. 𝑭𝟏 y x 𝑭𝟐 𝑭𝟑
  • 4. LOGO Rappel: Liaisons mécaniques 1. Définition: Dans un mécanisme, quand une pièce est en contact avec une autre, il y a entre ces deux pièces une liaison mécanique. 2. Caractéristique des contacts entre solides : On peut distinguer 3 types de contacts entre solides : • Contact ponctuel • Contact linéaire (la ligne n’est pas forcément une droite) • Contact surfacique. Dans ce cas les surfaces de contact sont le plus souvent : planes / cylindriques / sphériques / hélicoïdales / coniques.
  • 5. LOGO Rappel: Liaisons mécaniques 3. Degrés de liberté La liaison entre 2 pièces se caractérise par le nombre de mobilités que peut avoir l’une des pièces par rapport à l’autre. Ces mobilités (ou mouvements autorisés) sont appelés degrés de liberté. Ces degrés de liberté correspondent aux mouvements élémentaires et sont au nombre de 6 : • 3 translations 𝑻𝒙 ; 𝑻𝒚 ; 𝑻𝒛 • 3 rotations 𝑹𝒙 ; 𝑹𝒚 ; 𝑹𝒛 La nature d’une liaison mécanique dépend donc de la géométrie du contact (ponctuel, linéaire, surfacique) ainsi que du nombre et de la position relative de ces contacts.
  • 14. LOGO VII- Flexion Simple 3. Efforts Intérieurs: En Flexion: • La résultante des forces intérieures 𝑹𝟐/𝟏 est réduite à la seule composante de l’effort tranchant 𝑻. • La résultante des Moments intérieurs 𝑴𝟐/𝟏 est réduite à la seule composante du moment fléchissant 𝑴𝒇. Remarque: • L’effort tranchant 𝑻 est perpendiculaire à la ligne moyenne. • Le moment fléchissant 𝑴𝒇 est perpendiculaire à l’effort tranchant 𝑻 et à la ligne moyenne.
  • 15. LOGO VII- Flexion Simple En appliquant le principe fondamental de la statique (PFS) sur le tronçon isolé après coupure fictive, on démontre que: 𝑻 = −( 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 ) 𝑴𝒇 = − ℳ𝐺 𝑭𝟏 + ℳ𝐺(𝑭𝟐) S G S G 𝑭𝟏 1 2 1 𝑻 y x + 𝑭𝟐 𝑭𝟑 𝑭𝟒 𝑴𝒇 𝑭𝟏 𝑭𝟐
  • 16. LOGO VII- Flexion Simple Calcul des Efforts Intérieurs: Soit une poutre soumise à la flexion sous l’action de trois forces 𝑭𝟏 , 𝑭𝟐 et 𝑭𝟑: Tronçon AC (𝟎 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑪): 𝑴𝒇𝑨𝑪 y x A B C D E 𝑻𝑨𝑪 𝑥 + 𝑻𝑨𝑪 = 𝟎 𝑴𝒇𝑨𝑪 = 𝟎 PFS ⟹ 𝑇𝐴𝐶 = 0 𝑀𝑓𝐴𝐶 = 0 Projection ⟹ (𝑦) (𝑧) 𝑭𝟏 y x A B C D E 𝑭𝟐 𝑭𝟑
  • 17. LOGO VII- Flexion Simple Tronçon CD (𝑨𝑪 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑫): 𝑻𝑪𝑫 + 𝑭𝟏 = 𝟎 𝑴𝒇𝑪𝑫 + ℳ(𝑭𝟏) = 𝟎 PFS ⟹ 𝑴𝒇𝑪𝑫 y x A B C D E 𝑻𝑪𝑫 𝑥 + 𝑭𝟏 C D E 𝑇𝐶𝐷 − 𝐹1 = 0 𝑀𝑓𝐶𝐷 + 𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶) = 0 Projection ⟹ (𝑦) (𝑧) 𝑇𝐶𝐷 = 𝐹1 𝑀𝑓𝐶𝐷 = −𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶) ⟹
  • 18. LOGO VII- Flexion Simple Tronçon DE (𝑨𝑫 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑬): 𝑻𝑫𝑬 + 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝟎 𝑴𝒇𝑫𝑬 + ℳ 𝑭𝟏 + ℳ(𝑭𝟐) = 𝟎 PFS ⟹ 𝑇𝐷𝐸 − 𝐹1 − 𝐹2 = 0 𝑀𝑓𝐷𝐸 + 𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶) + 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷) = 0 Projection ⟹ (𝑦) (𝑧) 𝑇𝐷𝐸 = (𝐹1 + 𝐹2) 𝑀𝑓𝐷𝐸 = −𝐹1 ∙ 𝑥 − 𝐴𝐶 − 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷) ⟹ 𝑴𝒇𝑫𝑬 y x A B C D E 𝑻𝑫𝑬 𝑥 + 𝑭𝟏 C D E 𝑭𝟐
  • 19. LOGO VII- Flexion Simple Tronçon EB (𝑨𝑬 ≤ 𝒙 < 𝑨𝑩): ⟹ 𝑴𝒇𝑬𝑩 y x A B C D E 𝑻𝑬𝑩 𝑥 + 𝑭𝟏 C D E 𝑭𝟐 𝑭𝟑 PFS ⟹ 𝑻𝑬𝑩 + 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 + 𝑭𝟑 = 𝟎 𝑴𝒇𝑬𝑩 + ℳ 𝑭𝟏 + ℳ(𝑭𝟐) + ℳ(𝑭𝟑) = 𝟎 𝑇𝐸𝐵 − 𝐹1 − 𝐹2 − 𝐹3 = 0 𝑀𝑓𝐸𝐵 + 𝐹1 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐶) + 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷) + 𝐹3 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐸) = 0 Projection ⟹ (𝑦) (𝑧) 𝑇𝐸𝐵 = (𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3) 𝑀𝑓𝐸𝐵 = −𝐹1 ∙ 𝑥 − 𝐴𝐶 − 𝐹2 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐷) −𝐹3 ∙ (𝑥 − 𝐴𝐸)
  • 20. LOGO VII- Flexion Simple Remarques: • dans la plupart des schématisations, la poutre est modélisée par sa ligne moyenne. • les poutres sont identifiées à partir des charges extérieures appliquées :  Poutre simple sur deux appuis avec charges concentrées:  Poutre simple sur deux appuis avec charges réparties :
  • 21. LOGO VII- Flexion Simple  Poutre encastrée avec charge répartie 𝒒(𝒙) linéairement croissante: Les valeurs de l’effort tranchant 𝑻 et du moment fléchissant 𝑴𝒇 varient avec la position 𝒙 de la coupure fictive. Les diagrammes de 𝑻 et 𝑴𝒇 permettent de décrire les variations de ces deux grandeurs et ainsi repérer les maximums à prendre en compte lors des calculs des contraintes. 4. Diagrammes:
  • 22. LOGO VII- Flexion Simple Soit la planche de plongeoir schématisée par la poutre de ligne moyenne AC. La liaison en A (liaison pivot) est une articulation et la liaison en B est un appui simple. 𝑷 = 𝟗𝟎𝟎 𝑵 schématise l’action du nageur. Exemple de calcul N°1: (planche de plongeoir) 1. Déterminer les réactions aux appuis A et B 2. Déterminer l’effort tranchant 𝑻 et le moment fléchissant 𝑴𝒇 le long de la planche. 3. Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant. y x
  • 23. LOGO Considérons la poutre ci-contre, de longueur 𝑳 = 𝟒 𝒎, soumise à une charge ponctuelle en son milieu. Exemple N° 2 Questions: 1. Calculer les réactions aux appuis A et B. 2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙)et des moment fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre. 3. Tracer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant. TRAVAUX DIRIGÉS
  • 24. LOGO TRAVAUX DIRIGÉS Exemple N° 3 Considérons la poutre ci-contre, de longueur 𝑳 = 𝟔 𝒎, soumise à deux charges ponctuelles 𝐹1 et 𝐹2. Questions: 1. Calculer les réactions aux appuis A et B. 2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙)et des moment fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre. 3. Traçer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant. 2 m 2 m 2 m 6 m 𝑭𝟏 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑵 𝒙 B A 𝑦 𝑭𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵 C D
  • 25. LOGO TRAVAUX DIRIGÉS Exemple N° 4 (Charge répartie uniforme) Considérons une poutre (longueur 𝑳 = 𝟒 𝒎) réalisée à partir d’un profilé 𝑰𝑷𝑬 dont le poids est de 40 𝑑𝑎𝑁 par mètre (𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵/𝒎) 𝒚 𝒛 4 m 𝒒 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵/𝒎 𝒙 B A 𝒛 Questions: 1. Calculer les réactions aux appuis A et B. 2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙)et des moment fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre. 3. Traçer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant.
  • 26. LOGO TRAVAUX DIRIGÉS Exemple N° 5 (Charge répartie linéairement variable) Considérons une poutre (longueur 𝑳 = 𝟒 𝒎) réalisée à partir d’un profilé 𝑰𝑷𝑬 𝟏𝟒𝟎, encastré d’une coté et libre à l’autre. La poutre est soumise à une charge répartie linéairement variable comme le montre la figure ci-dessous: 𝑧 𝒚 Questions: 1. Calculer les réactions de l’appuis A 2. Déterminer les équations des efforts tranchant 𝑻(𝒙) et des moment fléchissant 𝑴𝒇(𝒙) le long de la poutre 3. Traçer les diagrammes du moment fléchissant et de l’effort tranchant. 𝑳 = 𝟒 𝒎 𝑸𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑵 𝒙 𝑦 𝑸𝑩 = 𝟎 𝑵 A B 𝒒 𝒙
  • 27. LOGO TRAVAUX DIRIGÉS Corrigé: 𝑳 = 𝟒 𝒎 𝑸𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑵 𝒙 𝒛 𝑸𝑩 = 𝟎 𝑵 A B 1. Calcul de 𝑹𝑨 et 𝑴𝑨 ≡ 𝑳 = 𝟒 𝒎 𝒙 𝒛 𝑸 = 𝑸𝑨 × 𝑳 𝟐 A B 𝑳/𝟑 𝑴𝑨 𝑹𝑨 +
  • 28. LOGO VII- Flexion Simple 5. Contrainte Normale 𝝈: Les contraintes normales résultent du moment fléchissant 𝑴𝒇 (les efforts tranchants n’ont aucun effet sur leur valeur). Dans le cas de flexion pure (𝑴𝒇 ≠ 𝟎 et 𝑻 = 𝟎 ), les poutres se déforment suivant des arcs de cercles.
  • 29. LOGO VII- Flexion Simple • La ligne moyenne 𝑮𝑮’ ne subit ni allongement ni raccourcissement (𝝈 = 𝟎). • Les fibres situées au-dessus de la ligne neutre sont comprimées et supportent des contraintes de compression (𝝈 < 𝟎). • Les fibres situées au-dessous (𝑴𝑴’) sont tendues et supportent des contraintes de traction (𝝈 > 𝟎). • En flexion, les contraintes normales 𝝈 sont généralement prépondérantes devant les contraintes de cisaillement 𝝉 . Remarques: x y M 𝝈 < 𝟎 𝝈 = 𝟎 𝝈 > 𝟎 y 𝝈𝑴 = 𝑴𝒇 𝑰𝒛 ∙ 𝒚
  • 30. LOGO VII- Flexion Simple En utilisant la loi de Hooke et en faisant intervenir le moment fléchissant, on montre que: 𝝈 = 𝑴𝒇 𝑰𝒛 ∙ 𝒚 Avec: • 𝝈𝑴: Contrainte normale en M (en Mpa) • 𝑴𝒇: Le moment fléchissant dans la section droite S (en N.mm) • 𝒚: La distance du point M par rapport à la ligne neutre (en mm) • 𝑰𝒛: Le moment quadratique de la section droite (S) par rapport à l’axe (z) (en 𝒎𝒎𝟒)
  • 31. LOGO VII- Flexion Simple Exemple de calcul: Soit une poutre rectangulaire (𝟓𝟎 × 𝟏𝟐𝟎), soumise à un moment fléchissant de 𝑴𝒇 = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒌𝑵. 𝒎 constant sur toute sa longueur. Compléter le tableau ci-dessous en calculant la contrainte normale pour les points indiqués: 𝒚 (𝒎𝒎) 0 20 40 60 𝝈 (𝑴𝒑𝒂) 120 50 𝑦 𝑧 .𝑮
  • 32. LOGO
  • 33. LOGO VII- Flexion Simple Exemple de calcul: Soit une poutre rectangulaire (𝟓𝟎 × 𝟏𝟐𝟎), soumise à un moment fléchissant de 𝑴𝒇 = 𝟏𝟒. 𝟒 𝒌𝑵. 𝒎 constant sur toute sa longueur. Compléter le tableau ci-dessous en calculant la contrainte normale pour les points indiqués: 𝒚 (𝒎𝒎) 0 20 40 60 𝝈 (𝑴𝒑𝒂) 0 40 80 120 120 50 𝑦 𝑧 .𝑮
  • 34. LOGO VII- Flexion Simple 6. Condition de résistance: Pour des questions de sécurité liées à l’usage des machines, la contrainte normale dans la section droite la plus chargée doit rester inférieure à une contrainte limite admissible liée au matériau 𝑹𝒑𝒆 . Dans le cas précis de la flexion, il faut donc procéder ainsi : • Commencer par déterminer la section la plus chargée (en général celle où le moment fléchissant est maximum) ; • Vérifier que la contrainte maximale dans cette section est inférieure à la contrainte admissible 𝑹𝒑𝒆 . 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝒇 𝒎𝒂𝒙 × 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝑰𝒛 ≤ 𝑹𝒑𝒆 = 𝑹𝒆 𝓈 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝒇 𝒎𝒂𝒙 𝑰𝒛 𝑽 ≤ 𝑹𝒑𝒆 = 𝑹𝒆 𝓈 Ou: Avec: 𝑽 = 𝒚𝒎𝒂𝒙 𝑰𝒛 𝑽 : est appelé Module de flexion de la section (𝑚𝑚3)
  • 35. LOGO VII- Flexion Simple Exemple de calcul: une poutre de pont roulant (profilé 𝑰𝑷𝑬) est soumise aux charges indiquées sur la figure ci-dessous (cas le plus défavorables). Le moment fléchissant maximum est obtenu au milieu de la poutre et a pour valeur 𝑴𝒇 𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟏𝟎 𝒌𝑵. 𝒎 . Si on considère une contrainte admissible de 𝑹𝒑𝒆 = 𝟏𝟎𝟎 𝑴𝒑𝒂, déterminer le profilé 𝑰𝑷𝑬 pouvant convenir pour construire l’appareil.
  • 36. LOGO VII- Flexion Simple Corrigé: On doit avoir: 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝑴𝒇 𝒎𝒂𝒙 𝑰𝒛 𝑽 ≤ 𝑹𝒑𝒆 ⇒ 𝑰𝒛 𝑽 ≥ 𝑴𝒇 𝒎𝒂𝒙 𝑹𝒑𝒆 𝐴𝑁 ∶ 𝑰𝒛 𝑽 ≥ 𝟏𝟏𝟎 × 𝟏𝟎𝟑 × 𝟏𝟎𝟑 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 × 𝟏𝟎𝟓 𝒎𝒎𝟑 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 On choisi donc un profilé IPE dont le module de flexion 𝑾𝒆𝒍,𝒚 est supérieur et proche à 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟑 . Soit un profilé 𝑰𝑷𝑬 𝟒𝟎𝟎: ℎ = 400 𝑚𝑚 𝑏 = 180 𝑚𝑚 𝑡𝑤 = 8,6 𝑚𝑚 𝑊𝑒𝑙,𝑦 = 1156,4 𝑐𝑚3 𝑊𝑒𝑙,𝑧 = 146,4 𝑐𝑚3 𝑡𝑓 = 13,5 𝑚𝑚 ⇒ 𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟗𝟓, 𝟏𝟐 𝐌𝐩𝐚
  • 37. LOGO VII- Flexion Simple 6. Contrainte tangentielle en flexion 𝝉 : a. Mise en évidence: Les contraintes de cisaillement 𝝉 qui s’exercent dans les joints collés assurent le maintien (évitent le glissement) entre les poutres respectives et limitent ainsi les déformations. Les figures ci-dessous illustre la distribution des contraintes de cisaillement dans une section droite (S) supportant un effort tranchant 𝑻. Si les contraintes 𝝉 conservent une valeur constante suivant l’axe z, en revanche elles varient suivant y, avec un maximum près du plan neutre (inverse des contraintes normales 𝝈).
  • 39. LOGO VII- Flexion Simple b. Cas des poutres rectangulaires: Dans ce cas, la contrainte de cisaillement 𝝉, à la distance 𝒚 du plan neutre, est donnée par : 𝝉 = 𝑻 × 𝑸 𝑰𝒛 × 𝒃 Avec: • 𝝉: Contrainte de cisaillement à la distance 𝒚 (en Mpa) • 𝑻: L’effort tranchant (en N) • 𝑸: Moment statique de l’aire hachurée 𝑺𝑨(en 𝒎𝒎𝟑) • 𝑰𝒛: Le moment quadratique de la section droite (S) par rapport à l’axe (z) (en 𝒎𝒎𝟒 ) 𝑸 = 𝒚𝑨 × 𝑺𝑨 = 𝒃 𝟐 𝒉² 𝟒 − 𝒚² 𝝉𝒎𝒂𝒙 𝝉𝒎𝒂𝒙
  • 40. LOGO VII- Flexion Simple Remarque: La contrainte est maximale au niveau du plan neutre (𝒚 = 𝟎) : 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝑻 ∙ 𝒉² 𝟖 ∙ 𝑰𝒛 Elle est de 𝟓𝟎 % plus grande que la contrainte moyenne de cisaillement 𝑻/𝑺 définie dans le cas du cisaillement pur: 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟑 . 𝑻 𝟐 ∙ 𝑺
  • 41. LOGO VII- Flexion Simple Exemple de calcul: Un profilé est réalisé à partir de trois plats rectangulaires d’épaisseur 30 mm, collés ensembles en A et B. Si l’effort tranchant est 𝑇 = 13.5 𝑘𝑁 , déterminer les contraintes de cisaillement dans les joints collés. On donne 𝑰𝒛 = 𝟒𝟑, 𝟕 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎𝒎𝟒
  • 42. LOGO VII- Flexion Simple Corrigé: • Contrainte en A 𝝉𝑨 = 𝑻 × 𝑸𝑨 𝑰𝒛 × 𝒃𝑨 𝑸𝑨 = 𝒚𝑨 × 𝑺𝑨 = 𝟔𝟐, 𝟓𝟓 × 𝟏𝟓𝟎 × 𝟑𝟎 = 𝟐𝟖𝟏, 𝟒𝟕𝟓 𝒎𝒎𝟑 𝒃𝑨 = 𝟑𝟎 𝒎𝒎 Avec: On a: A.N: 𝝉𝑨 ≈ 𝟐, 𝟗 𝑴𝒑𝒂
  • 43. LOGO VII- Flexion Simple • Contrainte en B 𝝉𝑩 = 𝑻 × 𝑸𝑩 𝑰𝒛 × 𝒃𝑩 𝑸𝑩 = 𝒚𝑩 × 𝑺𝑩 = 𝟖𝟕, 𝟒𝟓 × 𝟗𝟎 × 𝟑𝟎 = 𝟐𝟑𝟔𝟏𝟏𝟓 𝒎𝒎𝟑 𝒃𝑩 = 𝟑𝟎 𝒎𝒎 Avec: On a: A.N: 𝝉𝑩 ≈ 𝟐, 𝟒𝟑 𝑴𝒑𝒂
  • 44. LOGO VII- Flexion Simple c. Cas des poutres circulaires pleines: Dans ce cas, la contrainte de cisaillement 𝝉, à la distance 𝒚 du plan neutre, est donnée par : 𝝉 = 𝑻 × 𝑸 𝑰𝒛 × 𝒃 Avec: 𝑸 = 𝟐 𝟑 × 𝟑 𝒓2 − 𝒚² ⇒ 𝝉 = 𝟒 𝑻 𝟑 𝝅 𝒓² × 𝒓2 − 𝒚² 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟒 . 𝑻 𝟑 ∙ 𝑺 et:
  • 45. LOGO VII- Flexion Simple d. Cas des poutres circulaires creuses: Dans ce cas, la contrainte de cisaillement 𝝉, à la distance 𝒚 du plan neutre, est donnée par : 𝝉 = 𝑻 × 𝑸 𝑰𝒛 × 𝒃 Avec: 𝑸 = 𝟐 𝟑 𝒓𝟑 − 𝒚𝟑 ⇒ 𝝉𝒎𝒂𝒙 = 𝟒 . 𝑻 𝟑 ∙ 𝑺 𝑹² + 𝑹 𝒓 + 𝒓𝟐 𝑹𝟐 + 𝒓𝟐
  • 46. LOGO VII- Flexion Simple 7. Déformations en flexion: Dans ce qui précède, on s’est intéressé au poutres fléchies et à leur dimensionnement d’un point de vue de résistance sous charge. Nous allons voir à présent l’aspect déformation. En particulier, la détermination de la flèche maximale (et de sa valeur admissible) est l’un des éléments fondamentaux de la conception des poutres. 7.1 Notion de déformée Pour la poutre ci-dessous, la ligne moyenne 𝑨𝑰𝑪𝑱𝑩𝑫 a pour direction l’axe des 𝒙 avant déformation et la courbe 𝒚 = 𝒇(𝒙) après déformation. Cette courbe est appelée déformée. 𝒚 = 𝒇(𝒙) est l’équation mathématique de la déformée dans le système d’axes (𝒙, 𝒚).
  • 48. LOGO VII- Flexion Simple • Conditions aux limites : Les conditions: 𝒚𝑨 = 𝟎 ; 𝒚𝑩 = 𝟎 ; 𝒚𝑰 ′ = 𝟎 appelées conditions aux limites, sont des éléments connus de la déformée. Ces éléments sont imposés par les appuis A et B ou par la forme de la déformée. • Flèches: la déformée présente des valeurs maximales en 𝑰 (entre A et B) et à l’extrémité D. Pour ces points particuliers, la déformation est souvent appelée flèche (𝒇): 𝒇𝑰 = 𝒚𝑰 et 𝒇𝑫 = 𝒚𝑫
  • 49. LOGO VII- Flexion Simple 7.2 Méthode par intégration a. Principe Connaissant l’équation des moments fléchissant 𝑴𝒇 en fonction de 𝒙 (position le long de la poutre), la pente 𝒚’ et la déformée 𝒚 sont obtenues par intégrations successives à partir de : 𝒚′′ = − 𝑴𝒇 𝑬 𝑰𝒛 Avec: • 𝑴𝒇: Moment fléchissant à la position 𝑥 (en N.mm) • 𝑬: Module d’élasticité longitudinale (en Mpa) • 𝒚′′ : Dérivée seconde de la déformée 𝒚 • 𝑰𝒛: Le moment quadratique de la section droite (S) par rapport à l’axe (z) (en 𝒎𝒎𝟒 )
  • 50. LOGO VII- Flexion Simple Remarque : Les constantes d’intégration successives sont calculées à partir des conditions aux limites imposées par la position et la nature des appuis, ou encore par la forme générale de la déformée.
  • 51. LOGO TRAVAUX DIRIGÉS EXERCICE N°3: Soit une poutre droite à section constante sur deux appuis AB, supportant une charge uniformément répartie (q) sur AB et les deux porte-à-faux symétriques AC et BD. Déterminer : 1. Les réactions d’appuis RA et RB /1pt 2. Déterminer l’expression littérale de l’effort tranchant et tracer le diagramme. /4pts 3. Déterminer l’expression littérale de moment de flexion Mf(x) et tracer le diagramme. /4pts 4. La section de la poutre ayant la forme en I (constituée suivant le croquis ci-dessous), Calculer le moment quadratique par rapport à l’axe Gz, G centre de gravité de la section. /5pts
  • 53. LOGO TRAVAUX DIRIGÉS Exercice N°4 (Examen 2012) : Une masse M est suspendue au point C, point d’articulation des deux barres AC et BC qui font chacune 𝟑𝟎° avec l’horizontal. Les barres AC et BC sont d’égale longueur 𝑳 = 𝟔 𝒎. Leurs poids est négligé. 1. Déterminer la section des deux barres si : 𝑹𝒆 = 𝟒𝟎𝟎 𝑵/𝒎𝒎² et le coefficient de sécurité 𝒔 = 𝟒 2. Calculer les allongements 𝜟𝑳𝑨𝑪 et 𝜟𝑳𝑩𝑪 si la section des barres 𝑺 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎² 3. Déterminer le déplacement vertical 𝜹 du point C 𝑬 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑴𝒑𝒂
  • 54. LOGO TRAVAUX DIRIGÉS Exercice N°5 (Examen 2011) : Soit la poutre suivante : 1. Déterminer les réactions 𝑹𝑨 et 𝑹𝑩 2. Tracer le diagramme de l’effort tranchant T 3. Tracer le diagramme du moment fléchissant 𝑴𝒇 4. Déterminer le moment fléchissant maximal 𝑴𝒇 𝒎𝒂𝒙 5. Dimensionner la poutre en IPE 6. Vérifier la flèche : 𝒇𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑳 / 𝟐𝟎𝟎 Acier E24 (𝑹𝒆 = 𝟐𝟒 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎𝟐 𝑬 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎²)
  • 55. LOGO CONTRÔLE CONTINU N°2 Soit la poutre suivante : 1. Déterminer les réactions 𝑹𝑨 et 𝑹𝑩 2. Tracer le diagramme de l’effort tranchant T 3. Tracer le diagramme du moment fléchissant 𝑴𝒇 4. Déterminer le moment fléchissant maximal 𝑴𝒇 𝒎𝒂𝒙 5. Dimensionner la poutre en IPE 6. Vérifier la flèche : 𝒇𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝑳 / 𝟐𝟎𝟎 Acier E24 (𝑹𝒆 = 𝟐𝟒 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎𝟐 𝑬 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒂𝑵/𝒎𝒎²)
  • 56. LOGO Résumé Efforts intérieurs (Torseur de cohésion): En RDM, les efforts (forces et moments) appliqués sur une poutre (un solide dont la longueur est prépondérante
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