CHAPITRE 1 CONTRAINTES ET DEFORMATIONS.docx

TITRE DU COURS : PROSPECTION SISMIQUE PRINCIPE ET METHODE
ENSEIGNANT : DR NGUIMBOUS KOUOH JEAN JACQUES
CHAPITRE 1 : CONTRAINTES ET DEFORMATIONS
1.1. INTRODUCTION
Ce chapitre a pour but de permettre à l’étudiant ingénieur de connaitre les symboles et
propriétés utilisés dans le cadre des relations contraintes et déformation ; de connaitre la
contrainte est invisible alors que la déformation est visible. De connaitre la relation déplacement
déformation ; de connaitre la loi de comportement ou loi de Hooke ; de comprendre que le sous-
sol est un milieu élastique et que toute contrainte subie par ce milieu s’accompagne d’une
déformation. La sismique s’appuie sur ces différentes relations pour bâtir ces principes.
1.2. LES SYMBOLES ET PROPRIETES
 Le Kronecker s’écrit : 𝒆𝒊. 𝒆𝒋 = 𝜹𝒊𝒋
𝛿𝑖𝑗 ∶ Kronecker 𝛿𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Le Kronecker est un symbole symétrique : 𝛿𝑖𝑗 = 𝛿𝑗𝑖
La somme des vecteurs : 𝐶𝑖 = (𝐴 + 𝐵)𝑖 = 𝐴𝑖 + 𝐵𝑖
La multiplication des vecteurs : 𝐴𝐵 = ∑ 𝐴𝑖𝐴𝑗 𝛿𝑖𝑗
𝑖𝑗
Le produit vectoriel : (𝐴 ∧ 𝐵)𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝐴𝑗𝐵𝑘
 Le symbole de permutation de Levi-Civita : 𝜺𝒊𝒋𝒌
C’est un tenseur de rang 3 et avec 27 composantes dont 21 composantes sont nulles, trois
composantes sont égales à 1 et trois composantes sont égale à -1.
Le symbole de permutation de Levi-Civita est un tenseur antisymétrique : 𝜀𝑖𝑗𝑘 = −𝜀𝑗𝑘𝑖
Ɛ𝑘𝑘 = Ɛ11 + Ɛ22 + Ɛ33
𝜀123 = 1 ; 𝜀132 = −1 ; 𝜀123 = 1 ; 𝜀213 = −1 ; 𝜀312 = 1

1.3. LES CONTRAINTES
Une contrainte est toute action mécanique pouvant créer une déformation. Les états de
contraintes en un point sur un bloc (figure 1) sont caractérisés par un tenseur de contraintes, qui
est un tenseur du second ordre ortho symétrique.
Figure 1 : Etats de contrainte sur un élément de volume
Ce tenseur est représenté comme suit :
𝜎 = [
𝜎11 𝜎12 𝜎13
𝜎12 𝜎22 𝜎23
𝜎13 𝜎23 𝜎33
]
Il est symétrique c’est-à-dire : 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖
1.3.1. Vecteur contrainte en un point pour une direction 𝒏
⃗⃗
Soit une facette de l’élément de volume (figure 1) infiniment petite 𝑑𝑆
⃗⃗
⃗ (𝑑𝑥1; 𝑑𝑥2; 𝑑𝑥3)
de normal d𝑛
⃗ (𝑥1; 𝑥2; 𝑥3). Le vecteur de contrainte en un point A du volume de direction 𝑛
⃗
s’écrit :
𝑇
⃗ (𝐴, 𝑛
⃗ ) = 𝜎(𝐴)𝑛
⃗
Il peut aussi s’écrire : 𝑇𝑖 = 𝜎𝑖𝑗 𝑛𝑗
1.3.2. Contrainte normale et tangentielle
 La contrainte normale est donnée par la relation :
𝜎𝑛 = 𝑇
⃗ (𝐴, 𝑛
⃗ ).𝑛
⃗ ou 𝜎𝑛 = 𝑡𝑛
⃗ .𝜎(𝐴).𝑛
⃗

 La contrainte tangentielle s’écrit :
𝜏2
= |𝑇
⃗ (𝐴, 𝑛
⃗ )|
2
− 𝜎2
𝑁
1.3.3. Contraintes principales et directions principales
Pour déterminer les contraintes principales, on écrit que le déterminant suivant :
[
𝜎11 − 𝜎 𝜎12 𝜎13
𝜎21 𝜎22 − 𝜎 𝜎23
𝜎31 𝜎32 𝜎33 − 𝜎
] = 0
Ce qui nous permet d’obtenir l’équation caractéristique suivante :
𝜎3
− 𝐼1𝜎2
+ 𝐼2 𝜎 − 𝐼3 = 0
𝐼1, 𝐼2 , 𝐼3 : sont les trois invariants du tenseur de contraintes. Ils sont indépendants de la base
dans laquelle sont exprimés le tenseur et s’expriment :
{
𝐼1 = 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 = 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝜎(𝐴))
𝐼2 = (𝜎11 𝜎22 − 𝜎2
12) + (𝜎22𝜎33 − 𝜎2
23)+ (𝜎11 𝜎33−𝜎2
13)
𝐼3 = det(𝐴)
Les contraintes principales (𝜎1 ; 𝜎2 ; 𝜎3) sont les solutions de l’équation caractéristique.
Dans le repère principal la matrice des contraintes principales va s’écrire :
𝜎(𝐴) = [
𝜎1 0 0
0 𝜎2 0
0 0 𝜎3
]
 Dans la base principale :
𝐼1 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 = 𝑡𝑟(𝐴)
𝐼2 = 𝜎1𝜎2 + 𝜎2𝜎3 + 𝜎3𝜎1
𝐼3 = det 𝜎(𝐴)
Les directions principales (𝑋1,𝑋2, 𝑋3)sont obtenues en résolvant l’équation pour chaque valeur
propre (𝜎1 ; 𝜎2 ; 𝜎3):
[
𝜎11 − 𝜎 𝜎12 𝜎13
𝜎12 𝜎22 − 𝜎 𝜎23
𝜎13 𝜎23 𝜎33 − 𝜎
] [
𝑋1
𝑋2
𝑋3
] = [
0
0
0
]

1.3.4. Etat de contraintes particulières :
 Les contraintes uni-axiales (de traction ou de compression) :
Le tenseur est sous la forme :
𝜎(𝐴) = [
𝜎1 0 0
0 0 0
0 0 0
] 𝜎1 > 0 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 ; 𝜎1 < 0 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛
 Les contraintes de cisaillement :
𝜎(𝐴) = [
0 𝜁 0
𝜁 0 0
0 0 0
]
Dans le repère principal, ce tenseur de contrainte principale s’écrit sous la forme :
𝜎(𝐴) = [
𝜁 0 0
0 −𝜁 0
0 0 0
]
 Les contraintes planes :
Dans le cas des contraintes planes dans ce tenseur s’écrit :
𝜎(𝐴) = [
𝜎11 𝜎12 0
𝜎12 𝜎22 0
0 0 0
]
Dans le repère principal le tenseur va s’écrire :
𝜎(𝐴) = [
𝜎1 0 0
0 𝜎2 0
0 0 0
]
1.4. LES CERCLES DE MOHR
 Tri-cercle de Mohr des contraintes :
Lorsque les trois contraintes 𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 sont connues au point M (cf. figure 2), on peut montrer
que dans le plan (𝜎, 𝜏) l’extrémté des vecteurs contraintes 𝑇
⃗ (𝑀, 𝑛
⃗ ) admissible avec 𝑛
⃗⃗⃗ , tournant
autour du point M est la surface ombrée (cf. figure 2).

Figure : cercle de Mohr
 Tri-cercle de Mohr en contrainte plane
En contrainte plane, 𝜎3 = 0 :
Ce qui fait que le tri-cercle de Mohr devient :
Figure : cercle en contraintes planes
Considérons une facette dont la normale n fait un angle 𝜃 par rapport à l’axe principal
𝑥1(schemas un). Soit un vecteur unitaire 𝑡
⃗
⃗ tangeant à cette facette obtenue par rotation de −
𝛱
2
de 𝑛

Figure : une facette du bloc cubique subissant
Figure :
Les équations liants les vecteurs du repère de Mohr et le repère principal sont :
{
𝑛
⃗ = cos𝜃 𝑥1 + sin𝜃 𝑥2
𝑡
⃗
⃗ = sin𝜃 𝑥1 − cos𝜃 𝑥2
Dans le plan, le tenseur de contraintes principales est :
𝜎(𝐴) = (
𝜎1 0
0 𝜎2
)
Le vecteur des contraintes est :
𝑇
⃗ (𝑀, 𝑛
⃗ ) = 𝜎(𝑀) ∗ 𝑛
⃗
𝑇
⃗ (𝑀,𝑛
⃗ ) = (
𝜎1 0
0 𝜎2
)(
cos𝜃
sin𝜃
)

𝑇
⃗ = 𝜎1 cos𝜃 𝑥1 + 𝜎2 sin𝜃 𝑥2
 Contrainte normale
𝜎 = 𝑇
⃗ (𝑀, 𝑛
⃗ ) ∗ 𝑛
⃗⃗⃗ = 𝜎1 cos2
𝜃 + 𝜎2 sin2
𝜃
 Contrainte tangentielle
𝜏 = 𝑇
⃗ (𝑀, 𝑛
⃗ ) ∗ 𝑡 = 𝜎1 cos𝜃 sin 𝜃 + 𝜎2 sin 𝜃 cos𝜃
En développant on obtient les composantes d’un point M dans le repère de Mohr :
{
𝜎 =
𝜎1 + 𝜎2
2
+
𝜎1 − 𝜎2
2
cos 2𝜃
𝜏 =
𝜎1 − 𝜎2
2
sin 2𝜃
Dans le plan de Mohr (𝜎, 𝜏) :
Le lieu des points 𝑀 lorsque 𝜃 varie, est le cercle de caractéristiques :
{
𝐶 = [𝜎 =
𝜎1 + 𝜎2
2
𝜏 = 0
] 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒
𝑅 =
𝜎1 − 𝜎2
2
𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒
1.5. DEPLACEMENT ET DEFORMATION
Soit un point 𝑀(𝑥1; 𝑥2; 𝑥3) appartenant à une roche son déplacement à la suite d’une
charge est caractérisé par :
𝑈
⃗⃗⃗ (𝑀) = 𝑈1𝑥
⃗⃗
⃗ 1 + 𝑈2𝑥
⃗⃗
⃗ 2 + 𝑈3𝑥
⃗⃗
⃗ 3
Comme nous somme en théorie de petite perturbation les composées U1 ; U2 ; U3 sont petites.
1.5.1. Etat des déformations au voisinage d’un point
En se plaçant dans le cas des petites déformations au point M est caractérisé par le
tenseur de déformation :
ℇ(𝐴) = [
ℇ11 ℇ12 ℇ13
ℇ21 ℇ22 ℇ23
ℇ31 ℇ23 ℇ33
]

C’est un tenseur de seconde ordre symétrique déduit de la relation :
𝜀𝑖𝑗 =
1
2
(
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
) = 𝜀𝑗𝑖
Avec (𝑢𝑖; 𝑢𝑗) composantes du champ de déplacement.
1.5.2. Déformations principales et directions principales
Pour déterminer les déformations principales, on écrit que le déterminant suivant :
|
Ɛ11 − 𝜀 Ɛ12 Ɛ13
Ɛ12 Ɛ22 − 𝜀 Ɛ23
Ɛ13 Ɛ23 Ɛ33 − 𝜀
| = 0
𝜀(𝑀) = (
Ɛ1 0 0
0 Ɛ2 0
0 0 Ɛ3
)
Ce qui nous permet d’obtenir l’équation caractéristique suivante :
𝜀3
− 𝐼1𝜀2
+ 𝐼2 𝜀 − 𝐼3 = 0
𝐼1, 𝐼2 , 𝐼3 : sont les trois invariants du tenseur de contraintes. Ils sont indépendants de la base
dans laquelle sont exprimés le tenseur et s’expriment :
{
𝐼1 = 𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 = 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒 (𝜎(𝐴))
𝐼2 = (𝜀11𝜀22 − 𝜀2
12) + (𝜀22𝜀33 − 𝜀2
23 ) + (𝜀11𝜀33−𝜀2
13)
𝐼3 = det(𝐴)
Les contraintes principales (𝜎1 ; 𝜎2 ; 𝜎3) sont les solutions de l’équation caractéristique.
Dans le repère principal la matrice des contraintes principales va s’écrire :
𝜎(𝑀) = [
𝜎1 0 0
0 𝜎2 0
0 0 𝜎3
]
 Dans la base principale :
𝐼1 = 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3 = 𝑡𝑟(𝑀)
𝐼2 = 𝜀1𝜀2 + 𝜀2𝜀3 + 𝜀3 𝜀1
𝐼3 = det 𝜎(𝑀)

Les directions principales (𝑋1,𝑋2, 𝑋3)sont obtenues en résolvant l’équation pour chaque
valeur propre (𝜀1 ; 𝜀2 ; 𝜀3):
[
𝜀11 − 𝜀 𝜀12 𝜀13
𝜀12 𝜀22 − 𝜀 𝜀23
𝜀13 𝜀23 𝜀33 − 𝜀
][
𝑋1
𝑋2
𝑋3
] = [
0
0
0
]
1.5.3. État des déformations planes
Confère contraintes planes.
1.6. Loi de comportement
La loi de comportement de l'élasticité se traduit par la linéarité qui relie le tenseur de contrainte
et celui de déformation.
Cette relation est dans le cas d’un matériau isotrope :
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆Ɛ𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝐺Ɛ𝑖𝑗
𝛿𝑖𝑗 ∶ Kronecker 𝛿𝑖𝑗 = {
1, 𝑖 = 𝑗
0, 𝑖 ≠ 𝑗
Ɛ𝑘𝑘 = Ɛ11 + Ɛ22 + Ɛ33 (𝜆, 𝜇) ≡ (E, υ)
𝜆 et G : sont les coefficients de Lamé.
Ɛ𝑖𝑗 =
1 + υ
𝐸
𝜎𝑖𝑗 −
υ
𝐸
𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗
E : coefficient de Young
υ: Coefficient de poisson
𝜆 =
𝐸υ
(1 − 2υ)(1 + υ)
; 𝜇 = 𝐺 =
𝐸
2(1 + 𝜐)
1.6.1. Autres relations contrainte déformation
Les autres relations contraintes déformation
 Dans un milieu anisotrope on a :

𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 : est le module d’élasticité qui décrit les propriétés de matériaux
Le tenseur de contrainte et de déformation étant symétrique, on a :
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙 = 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘 = 𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗
 Dans le cas d’un milieu isotrope
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘)
 Dans un milieu isotrope
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗
Les contraintes déviatoriques sont responsables des forces tectoniques et causent des
tremblements de terre issus des failles.
Pour la moyenne des contraintes normales 𝑀 = (𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 )/3
Alors les contraintes déviatoriques sont données par :
𝜎𝐷 = 𝜎𝑖𝑗 − 𝑀𝐼
Et les contraintes sphériques sont :
𝜎𝑆 = 𝑀𝐼
1.6.2. Autres notations du tenseur de déformation
 Le tenseur gradient de la déformation
Une quantité clef dans la description de la déformation d’un corps est le gradient de la
transformation noté 𝐹
̿. Ce tenseur d’ordre deux permet de relier la position relative de deux
particules voisines avant et apres déformation. C’est donc l’ingrédient de base pour définir la
déformation d’un corps.
𝐹
̿ = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝐹𝑥,𝐹𝑦, 𝐹𝑧)
̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ =
[
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑧 ]

 Le tenseur de dilatation gauche et droit
𝑏
̿ = 𝐹
̿ 𝐹
̿𝑇
et 𝑏
̿ = 𝐹
̿𝑇
𝐹
̿ sont des tenseurs symétriques d’ordre deux
Le tenseur taux de déformation
𝐷 =
1
2
[𝑔𝑟𝑎𝑑𝑣
⃗⃗⃗ + (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑣
⃗⃗⃗ )𝑇] = 𝐷𝑖𝑗 =
1
2
(𝑣𝑖,𝑗 + 𝑣𝑗,𝑖) =
1
2
[𝐹 + 𝐹𝑇]
Qu’est-ce qui différencie la mécanique du solide et la mécanique des milieux continus
La mécanique des milieux continus prend en compte les déformations et la température.
CONCLUSION
Ce chapitre avait but de permettre à l’étudiant ingénieur de connaitre les symboles et
propriétés utilisés dans le cadre des relations contraintes et déformation ; de connaitre que la
contrainte est invisible alors que la déformation est visible ; De connaitre la relation
déplacement déformation. De comprendre que le sous-sol est un milieu élastique et que toute
contrainte subie par ce milieu s’accompagne d’une déformation. La sismique s’appuie sur ces
différentes relations pour bâtir ces principes.
EXERCICES D’APPLICATION

EXERCICE 1
Soit le produit de deux symboles de Levi-civita sous la forme de déterminant des kroneckers :
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑝 = |
𝛿𝑖𝑚 𝛿𝑖𝑛 𝛿𝑖𝑝
𝛿𝑗𝑚 𝛿𝑗𝑛 𝛿𝑗𝑝
𝛿𝑘𝑚 𝛿𝑘𝑛 𝛿𝑘𝑝
|
1) Montrer que le produit de deux symboles de Levi-civita est une fonction des kronecker
:
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑝 = 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛𝛿𝑘𝑚 + 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑝𝛿𝑘𝑚 + 𝛿𝑖𝑝𝛿𝑗𝑚𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑝𝛿𝑘𝑚 − 𝛿𝑖𝑝𝛿𝑗𝑚𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚𝛿𝑘𝑝
2) Calculer 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑝 que remarquez-vous ?
3) Calculer 𝜀123 𝜀123 ; 𝜀123 𝜀321 ; 𝜀312 𝜀321 ; 𝜀113 𝜀322
4) Montrer que 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑘 = 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛 − 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚
Réponse :
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑘 = 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛𝛿𝑘𝑘 + 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑘𝛿𝑘𝑚 + 𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑚𝛿𝑛𝑘 − 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑘𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑛𝛿𝑘𝑚 − 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚𝛿𝑘𝑘
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑘 = 3𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛 + 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑘𝛿𝑘𝑚 + 𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑚𝛿𝑛𝑘 − 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑘𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑚𝛿𝑘𝑛 − 3𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚
En permutant les indices francs dans l’indice muet k on obtient :
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑘 = 3𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛 + 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚𝛿𝑚𝑚 + 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚𝛿𝑛𝑛 − 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛𝛿𝑛𝑛 − 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚𝛿𝑚𝑚 − 3𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑘 = (3 − 1 − 1)𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛 − (3 − 1 − 1)𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑘 = 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛 − 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚
5) Montrer que 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑗𝑘 = 2𝛿𝑖𝑚
Réponse :
Partons du fait que : 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑛𝑘 = 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑛 − 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚 et posant n=j on a
𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑚𝑗𝑘 = 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑗 − 𝛿𝑖𝑛𝛿𝑗𝑚 = 3𝛿𝑖𝑚 − 𝛿𝑖𝑗𝛿𝑗𝑚 = 3𝛿𝑖𝑚 − 𝛿𝑖𝑚 = 2𝛿𝑖𝑚
6) Montrer que 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑖𝑗𝑘=2𝛿𝑖𝑖=6 en utilisant le déterminant

EXERCICE 2
1) Ecrire la notation indicielle de : 𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐
𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐 = 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑖𝑚𝑛 𝑎𝑛𝑏𝑗𝑐𝑘 = (𝛿𝑚𝑗𝛿𝑛𝑘 − 𝛿𝑚𝑘𝛿𝑛𝑗)𝑎𝑛𝑏𝑗𝑐𝑘
2) Evaluate the following sums, implied according to the Einstein Summation Convention
: 𝛿𝑖𝑖 ; 𝜀12𝑗 𝛿𝑗3 ; 𝜀12𝑘 𝛿1𝑘; 𝜀1𝑗𝑗
1) Soit le produit 𝜀𝑖𝑗𝑘𝜀𝑖𝑚𝑛 = 𝐷𝑒𝑡 (
𝛿𝑖𝑙 𝛿𝑖𝑚 𝛿𝑖𝑛
𝛿𝑗𝑙 𝛿𝑗𝑚 𝛿𝑗𝑛
𝛿𝑘𝑙 𝛿𝑘𝑚 𝛿𝑘𝑛
)
a) 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜀𝑖𝑚𝑛 est égal à :
A B C D
𝛿𝑗𝑚𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑗𝑛 𝛿𝑘𝑚 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑗𝑛 𝛿𝑘𝑚 𝛿𝑖𝑖𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑗𝑛 𝛿𝑘𝑚 Aucune réponse
bonne
b) 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜀𝑖𝑗𝑛 est égal à :
A B C D
𝛿𝑖𝑖𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑗𝑛 𝛿𝑘𝑚 2𝛿𝑘𝑚 𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑛 − 𝛿𝑗𝑛 𝛿𝑘𝑚 Aucune réponse
bonne
c) 𝜀𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑖𝑗𝑘𝑙 est égal à :
A B C D
6 3 𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑗 − 𝛿𝑗𝑖 𝛿𝑘𝑖 Aucune réponse
bonne
EXERCICE 3
On donne :
𝜎
̿̿̿ = [
𝜎 𝜏
𝜏 0
] avec 𝜎 = −3𝑀𝑝𝑎 ; 𝜏 = 2𝑀𝑝𝑎
1) Tracer le cercle de Mohr

2) Calculer les contraintes principales et indiques les orientations principales de la
contrainte
3) Calculer la valeur de la contrainte de cisaillement maximale et l’orientation de la facette
correspondante
4) Trouver la contrainte normale et la contrainte tangentielle pour une facette orientée par
le vecteur 𝑛
⃗⃗⃗ =
√3
2
𝑥
⃗⃗
⃗ +
1
2
𝑦
⃗⃗⃗
Résolution
Le centre du cercle est à un point :
𝜎𝑐 =
𝑇𝑟(𝜎)
2
= −1,5𝑀𝑝𝑎
Pour une facette orientée par le vecteur 𝑦
⃗⃗⃗ 𝑜𝑛 𝜎𝑦 = 0 𝑒𝑡 𝜏𝑦 = −𝜏
On peut alors tracer le cercle de Mohr

EXERCICE 2
1) Construisez votre propre figure en prenant pour unité le cm et en plaçant le point I ou
vous le désirez entre A et B
2) Calculer le périmètre P1 du demi-cercle de diamètre AB
3) Calculer le périmètre P2 du demi-cercle de diamètre AI
4) Calculer le périmètre P3 du demi-cercle de diamètre IB
5) Refaire les calculs en posant AI=x
6) Calculer le périmètre P4 du tri-cercles de Mohr
7) Que remarquez-vous qu’est-ce que cela semble signifier ?
1.1. Le tenseur gradient de la déformation
Une quantité clef dans la description de la déformation d’un corps est le gradient de la
transformation noté 𝐹
̿. Ce tenseur d’ordre deux permet de relier la position relative de deux
particules voisines avant et apres déformation. C’est donc l’ingrédient de base pour définir la
déformation d’un corps.
𝐹
̿ = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝐹𝑥,𝐹𝑦, 𝐹𝑧)
̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ =
[
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑧 ]
1.2. Le tenseur de dilatation gauche et droit
𝑏
̿ = 𝐹
̿𝐹
̿𝑇
et 𝑏
̿ = 𝐹
̿ 𝑇
𝐹
̿ sont des tenseurs symétriques d’ordre deux
Le tenseur taux de déformation

𝐷 =
1
2
[𝑔𝑟𝑎𝑑𝑣
⃗⃗⃗ + (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑣
⃗⃗⃗ )𝑇] = 𝐷𝑖𝑗 =
1
2
(𝑣𝑖,𝑗 + 𝑣𝑗,𝑖) =
1
2
[𝐹 + 𝐹𝑇]
Qu’est-ce qui différencie la mécanique du solide et la mécanique des milieux continus
La mécanique des milieux continus prend en compte les déformations et la température.
LOI DE COMPORTEMENTS ELASTIQUES ISOTROPES
Soit la loi de Hooke :
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗
1) Montrer que plutôt que d’utiliser les coefficients de Lame, on peut décrire le
comportement en termes de module de Young E et du coefficient de Poisson ν.
Réponse :
𝜎𝑖𝑗 =
𝜐𝐸
(1 − 2𝜐)(1 + 𝜐)
𝜀𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 +
𝐸
(1 + 𝜐)
𝜀𝑖𝑗
2) Ecrire les coefficients de Young et de poisson en fonction des coefficients de Lamé.
Réponse :
𝐸 =
𝜇(3𝜆 + 2𝜇)
𝜆 + 𝜇
; 𝜐 =
𝜆
2(𝜆 + 𝜇)

3) Exprimer les déformations en fonction des contraintes
Réponse : 𝜀𝑖𝑗 =
(1+𝜐)
𝐸
𝜎𝑖𝑗 −
𝜐
𝐸
𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗
4) Soit un petit élément de matière sollicité par un tenseur de contraintes uniaxial suivant
x tel que :
[𝜎]
̿̿̿̿ = [
𝜎 0 0
0 0 0
0 0 0
]
a) Déterminer l’expression de la déformation obtenue
Réponse :
[𝜀]
̿̿̿̿ =
𝜎
𝐸
[
1 0 0
0 −𝜐 0
0 0 𝜐
]
5) Sollicitons maintenant notre élément de volume avec un tenseur de cisaillement simple :
[𝜎]
̿̿̿̿ = [
0 𝜏 0
𝜏 0 0
0 0 0
]
a) Déterminer la déformation correspondante
Réponse :
[𝜀]
̿̿̿̿ =
(1 + 𝜇)𝜎
𝐸
[
0 1 0
1 0 0
0 0 0
] =
𝜎
2𝜇
[
0 1 0
1 0 0
0 0 0
]
6) Soumettons maintenant le volume élémentaire à un tenseur de contraintes `sphérique de
pression p.

[𝜎]
̿̿̿̿ = [
−𝑝 0 0
0 −𝑝 0
0 0 −𝑝
]
a) Déterminer la déformation correspondante
Réponse :
[𝜀]
̿̿̿̿ =
−𝑝(1 − 2𝜐)
𝐸
[
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] =
−𝑝
3𝐾
[
0 1 0
1 0 0
0 0 0
] 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝐾 = 𝜆 +
2
3
𝜇 =
𝐸
3(1 − 2𝜐)
K est le module de compressibilité
Q1. Les méthodes sismiques peuvent être divisées en deux groupes en fonction de la source
d’énergie utilisée, citer ces deux méthodes.
R1.
 La sismologie lorsque l’énergie provient de secousses naturelles (tremblement de terre,
volcan) ;
 La sismique (ou « sismologie induite ») lorsque l’énergie est obtenue d’une explosion
ou d’une source provoquée (explosifs, vibrateurs).
EXERCICE 3 (8pts)
On peut relier les contraintes aux déformations dans le cadre l’élasticité linéaire par la relation :
𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜖𝑘𝑙
1) Que représente 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 quel est son ordre et combien de paramètres contient-il ? (2pts)
Réponse : le terme 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 représente les composantes du tenseur d’élasticité contrainte et
déformation. Il d’ordre quatre (04) il a 21composantes indépendantes.
2) Qu’est que décrivent les différents paramètres (2pts).
Réponse : Les différents paramètres décrivent l’élasticité des couches géologiques lorsqu’elles
sont traversées par les ondes sismiques.
3) Ecrire la relation contrainte-déformation en cas d’un matériau isotrope (2pts)
Réponse : 𝜎𝑖𝑗 =
1
2
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 [
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑙
+
𝜕𝑢𝑙
𝜕𝑥𝑘
] avec 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇(𝛿𝑖𝑘𝛿𝑘𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘)
4) Ecrire la relation déformation déplacement dans le cas d’un matériau isotrope (2pts).
Réponse : 𝜖𝑘𝑙 =
1
2
[
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑥𝑙
+
𝜕𝑢𝑙
𝜕𝑥𝑘
]

EXERCICE 4
En un point M d’un solide, dans le repère orthonormée (𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ ), le tenseur des contraintes a
pour valeur :
𝜎(𝑀) = 10𝑋 (
10 −4 2
−4 −6 5
2 5 4
)𝑀𝑃𝑎
1) Définir contrainte et tenseur de contrainte (0,5pts).
2) Faire un dessin qui montre la signification physique des composantes du tenseur des
contraintes. (Un élément mal représenté ou une rature entraine l’annulation du point ; il est
préférable de réaliser la représentation avec un bic et choisir une bonne échelle).
3) Soit le vecteur unitaire 𝑛
⃗ de composantes :
Sur la facette de normale 𝑛
⃗ :
a) Calculer les composantes du vecteur contrainte au point M de direction 𝑛
⃗
(Ou déterminer la densité surfacique d’efforts extérieurs appliqués sur une facette d’aire ds et
de normale n).
b) la force totale extérieure sur ds est : df = (σ.n)ds calculer cette force
b) Déduire la contrainte normale en projetant le vecteur contraint au point M sur la normale 𝑛
⃗
(0,5pts).
c) Calculer les composantes du vecteur cisaillement, puis son module
d) Ecrire le tenseur de contraintes sous sa forme sphérique et déviatorique
EXERCICE 5
Un solide est soumis à un champ de déplacements défini par
𝑢𝑥 =
𝑥
4
+
𝑦
3
+ 2𝑧 ; 𝑢𝑦 = 2𝑦 +
𝑥
3
+
27𝑧
35
; 𝑢𝑧 = 𝑧 + 13𝑥 + 3𝑦
1) Déterminer le gradient de déplacement 𝐹 =
[
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑢𝑧
𝜕𝑧 ]
2) Déterminer la dilatation 𝐶̿ = 𝐹𝐹𝑇
3) Déterminer la déformation 𝜖
̿ =
1
2
(𝐹 + 𝐹𝑇
)
EXERCICE 6
Un ébranlement sismique provoque en un point M du sous-sol et à l’instant t les contraintes en
MPa 𝜎(𝑡) et les déformations 𝜖𝑥𝑦𝑧 dont les caractéristiques sont représentées par les tenseurs
ci-dessous.

𝜎(𝑡) = [
10𝑡 5√3𝑡 0
5√3𝑡 0 0
0 0 10𝑡
]
Le tenseur de déformation est.
𝜀𝑥𝑦𝑧 = [
1000 0 0
0 −200 0
0 0 𝜀𝑧𝑧
]
1) Déterminer les éléments principaux des contraintes en fonction de t
2) Déterminer les directions principales en prenant t=2
3) Tracer le tri-cercle de Mohr (1cm par unité)
4) Déterminer les valeurs du cisaillement maximal et la contrainte moyenne
5) Déterminer les invariants du tenseur de contrainte en fonction de t
6) Ecrire la loi de comportement en fonction de λ et μ et déterminer λ et μ
7) Déterminer le tenseur de déformation
N.B. le module Young est E = 200GPa et le coefficient de poisson υ=0.2
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