Le document traite des principes fondamentaux de l'hydraulique des écoulements à surface libre, incluant la conservation de la masse, de l'énergie, et les types d'écoulements dans des canaux prismatiques. Il aborde des aspects tels que le dimensionnement, les vitesses d'écoulement, ainsi que les régimes d'écoulement et leurs implications sur la conception de canaux. Plusieurs références académiques sont citées pour soutenir les concepts présentés dans le cours.

1. v1.6.0
Ecoulement gravitaire en canal prismatique
HYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE
Roland O. YONABA
Ing. M.Sc. Eau & Environnement
Assistant d’Enseignement et de Recherche en Hydraulique
Département Hydraulique et Assainissement/LEAH ‐ 2iE
Email: ousmane.yonaba@2ie‐edu.org

2. OBJECTIFS DE COURS
■ Connaître et maîtriser les lois fondamentales de conservation en hydraulique
■ Conservation de masse (équation de continuité), de quantité de mouvement et
d’énergie
■ Etre capable de résoudre les problèmes typiques en HSL au régime permanent
et uniforme
■ Calcul de section, débit, vitesse, pente, rugosité, tirant d’eau,…
■ Maitriser les concepts régissant l’énergie des écoulements
■ Energie hydraulique et spécifique
■ Connaître le régime permanent non uniforme
■ Caractérisation des écoulements variés, notion de section de contrôle
■ Connaître l’influence de quelques singularités sur l’écoulement
■ Changement de pente, de radier, de section, écoulement en courbe
17.04.16 2

3. SOMMAIRE
1. Hydrodynamique des écoulements à surface libre
2. Ecoulement uniforme
3. Dimensionnement des canaux à surface libre
4. Ecoulements graduellement variés
5. Ecoulements brusquement variés
6. La section de contrôle
7. Etude de quelques singularités
17.04.16 3

4. REFERENCES
17.04.16 4
■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique à Surface Libre. Ouagadougou : 2iE, 2009.
■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972.
■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics ‐ Part I :
Hydromechanics. Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011.
■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur.
Strasbourg : ENGEES, 2013.
■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses
Polytechniques Romandes, 1998.
■ Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969.
■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996.
■ Mar, Amadou Lamine. 2004. Cours d'Hydraulique ‐ T2: Ecoulements à Surface Libre. s.l. :
Groupe des Ecoles EIER‐ETSHER, 2004. Vol. 1.
■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014.
■ Te Chow, Ven. 1959. Open Channel Hydraulics. s.l. : McGraw‐Hill, 1959.

5. HYDRODYNAMIQUE DES
ECOULEMENTS À SURFACE LIBRE
Chapitre I

6. 01. GENERALITES
17.04.16
Domaines d’application
6

7. 01. GENERALITES
■ Ecoulements semblables aux
écoulements en charge (lois de
conservations identiques)
■ Particularité : existence d’une surface
libre : surface de contact entre
l’écoulement et l’air libre, à pression
atmosphérique :
■ Débit d’écoulement défini par la
pente
■ Mais pas par le gradient de
pression (comme dans le cas des
écoulements en charge)
17.04.16
Définition des écoulements à surface libre
7

8. 01. GENERALITES
17.04.16
Classification des écoulements à surface libre (1/2)
8
■ Paramètres : débit et hauteur d’eau
■ Hypothèses : Ecoulement 1D (uni-dimensionnel) et conservatif
■ Variables : temps et position
■ Classification des écoulements suivant le temps
■ Permanent (Q constant dans le temps à une section de référence)
■ Non permanent (Q variant dans le temps à une section de référence)
■ Classification des écoulements suivant la position
■ Uniforme (et conservatif) : et y
■ Varié : et y f x
■ Ecoulements Graduellement Variés (EGV)
■ Ecoulements Brutalement Variés (EBV)

9. 17.04.16 9
01. GENERALITES
Classification des écoulements à surface libre (2/2)
Ecoulement permanent Ecoulement non permanent
Ecoulements uniformes et variés (régime permanent et conservatif)

10. 01. GENERALITES
17.04.16
Forme géométrique
10
rectangle Trapèze
CercleTriangle
Parabole

11. 01. GENERALITES
■ Largeur au radier :
■ Fruit de berges :
■ Tirant d’eau :
■ Largeur en miroir (en gueule) :
■ Section mouillée :
■ Périmètre mouillé :
■ Rayon hydraulique : /
■ Diamètre hydraulique : 4
■ Profondeur hydraulique : /
■ Profondeur du centre de gravité :
■ Pente de fond : tan
17.04.16
Paramètres géométriques et hydrauliques
11

12. 01. GENERALITES
17.04.16
Eléments géométriques de formes paramétrées (tiré de Mar, 2004)
12

13. 02. EQUATION DE CONTINUITE
■ Equation de continuité : équation fondamentale de la mécanique des
fluides
« la variation de la masse fluide contenue dans un volume
donné pendant un certain temps est égal à la somme des masses
fluides qui y entrent, diminuée de celles qui en sortent »
17.04.16
Principe de conservation de masse (1/2)
13

14. 02. EQUATION DE CONTINUITE
■ La variation de volume pendant le temps :
■ Entraîne la variation de la surface libre dans la même durée :
■ En égalisant les expressions, et en faisant l’hypothèse d’un régime permanent :
0 ⇒ 0 ⇒
17.04.16
Principe de conservation de masse (2/2)
14

15. 03. VITESSE D’ECOULEMENT
17.04.16
Dimensionnalité et directionnalité de l’écoulement
15
Ecoulement
tridirectionnel
, , Ecoulement
bidirectionnel
,
Ecoulement
unidirectionnel
Les calculs en hydraulique supposent le
plus souvent un écoulement
unidirectionnel et unidimensionnel!

16. 03. VITESSE D’ECOULEMENT
17.04.16
Répartition de vitesse dans la section d’écoulement
16
La vitesse n’est pas constante dans la
section et est maximale à
approximativement 25% en dessous de la
surface libre.
Influence de la
rugosité des
parois du
canal sur le
profil vertical
de vitesse
(Chow, 1959)
Ven Te Chow
(1914‐1981)

17. 03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ La vitesse moyenne en canal :
■ Cependant, la distribution de vitesse n’est pas
uniforme dans la section.
■ Quelques relations empiriques existent :
■ , (Prony)
■ 0,5 , , (USGS)
■ , (cf. Graf, 1996)
17.04.16
Vitesse moyenne en section de canal
17
Gaspard de Prony
(1755‐1839)
1
.
1
.
Équation 2D Équation 1D

18. 03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ La conception des canaux à ciel ouvert est parfois régie par des
contraintes de vitesse
■ La vitesse d’écoulement doit assurer des fonctions particulières :
■ Auto-curage (ou auto-entretien)
■ Préservation de la stabilité structurale (érosion) du canal
■ En conséquence, la vitesse moyenne d’écoulement ne doit être
ni trop faible, ni trop élevée
17.04.16
Vitesses limites
18

19. ■ Afin d’éviter les dépôts des matériaux en suspension, on choisit
une vitesse moyenne supérieure à une vitesse minimale donnée par
la formule de Kennedy (1963) :
,
■ Alternativement, on peut adopter une forme de canal pour les
faibles débits
03. VITESSE D’ECOULEMENT
17.04.16
Vitesse minimale
19

20. 03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ Elle est définie pour préserver la stabilité du canal contre
l’érosion par affouillements. Elle est définie sur la base de deux
approches :
■ Sur la base du matériau formant le lit du chenal
■ L’approche par la contrainte tractrice
■ Soit la contrainte tractrice . On définit alors:
■ au fond
■ sur les parois
17.04.16
Vitesse maximale
20
On adoptera des conditions d’écoulement telles que
les contraintes maximales et soient inférieures
à une contrainte critique de destructuration du
matériau du canal

21. 03. VITESSE D’ECOULEMENT
■ Vitesses minimales : on admet , / pour les limons fins et
, / pour les sables
■ Vitesses maximales définies suivant la nature des parois
17.04.16
Valeurs indicatives
21
Nature des parois Vitesses maximales admissibles
(m/s)
Terre détrempée 0,10 0,15 0,08
Argiles 0,25 0,30 0,15
Sables 0,50 0,60 0,30
Graviers 0,95 1,25 0,70
Roches stratifiées 2,25 2,75 1,80
Roches compactes 3,70 4,25 3,15

22. 03. VITESSE D’ECOULEMENT
17.04.16
Diagramme de Hjulström (1935)
22
Henning Filip Hjulström
(1902‐1982)
Diagramme définissant
l’état d’un grain, en
fonction de sa taille et
de la vitesse de
l’écoulement.
Si le matériau en place forme le canal a une granulométrie connue,
et peuvent être choisis sur la base du diagramme de Hjulström

23. 04. REGIMES D’ECOULEMENT
■ Elle est exprimée à travers le nombre de Reynolds, en utilisant
comme longueur caractéristique le diamètre hydraulique
,
/
/
4
4 ,
■ Permet de classifier l’écoulement en trois régimes:
■ Laminaire : 500
■ Transitoire : 500 1000
■ Turbulent : 1000
■ Cette classification a peu d’importance en HSL, les écoulements
étant rarement laminaires
17.04.16
Effet des forces de viscosité
23
Osborne Reynolds
(1842 – 1912)

24. 04. REGIMES D’ECOULEMENT
■ Nombre adimensionnel
exprimant le rapport entre la
vitesse moyenne et la
vitesse de propagation des
petites ondes gravitaires
(1861)
■ Permet de distinguer trois
régimes d’écoulement :
■ Fluvial : 1
■ Critique : 1
■ Torrentiel : 1
17.04.16
Effet des forces de gravité
24
William Froude
(1810 – 1879)

25. 05. PRESSION
■ En un point M dans un écoulement,
la pression effective est :
cos
■ En admettant que la pente de fond
est faible ( 10%, cos 1), il
advient que , d’ou :
cos
17.04.16
Répartition de pression
25

26. 05. PRESSION
■ Dans le cas d’un écoulement se produisant sur un fond courbe, une
accélération centrifuge de masse / est introduite, induisant une force
d’inertie supplémentaire : la distribution de pression n’est plus
hydrostatique
■ L’accélération / est positive sur fond concave (+) et négative sur
fond convexe (-). L’expression de la pression sur le fond est :
17.04.16
Répartition de pression : cas des courants courbes
26
Sur fond concave, la pression sur le fond est
abaissée et peut devenir inférieure à ,
entrainement un décollement du fond.
Sur fond convexe, la pression sur le fond
est augmentée. Cela accentue l’érosion du
fond de la convexité

27. 06. ENERGIE HYDRAULIQUE
■ La charge hydraulique en un point M : ⁄ 2⁄
■ La charge moyenne dans la section devient alors :
1
2
■ est le coefficient de Coriolis, de valeur comprise entre 1,03 et
1,36 suivant la rugosité des parois (Chow, 1959). On retient
généralement la valeur de 1.
1
17.04.16
Charge hydraulique
27

28. 07. REVÊTEMENT
■ Les fonctions assurées par le
revêtement :
■ Réduction des pertes en eau par
infiltration
■ Maximisation du débit, par réduction
de la rugosité des parois
■ Minimisation de l’effet de l’érosion
■ Quelques exemples de matériaux de
couverture :
■ Béton, asphalte, ciment,
■ Bois,
■ Matériau pulvérulent, graviers,
rochers, etc…
17.04.16
Définition et propriétés
28

29. ECOULEMENT UNIFORME
Chapitre II

30. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Définition et hypothèses
30
■ Un écoulement est dit uniforme lorsque les filets de courants sont
rectilignes et parallèles, avec un profil de vitesse constant
suivant le profil en long,
■ Le débit , la vitesse et le tirant d’eau sont constants
■ Propriétés de l’EU :
■ Canal prismatique (section constante)
■ Vitesse moyenne constante d’une section à l’autre
■ Distribution de pression hydrostatique
■ Surface libre parallèle à la pente de fond

31. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Mise en équation
31
■ Application de la 2nde loi de Newton : ∑
datum
1
2
sin
0 (canal prismatique)
(écoulement uniforme)
→ 0 ⇒ sin

32. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Equation de Chézy (1768)
32
■ Postulat de Chézy :
■ Il vient alors que :
■ C [m1/2.s-1] est la constante de Chézy et dépend :
■ De la forme de la section
■ De la rugosité
■ Des conditions d’écoulement
Antoine de Chézy
(1718 – 1798)

33. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Formulations empiriques de la constante de Chézy
33
■ Kutter (1869)
100
■ Bazin (1897)
87
■ Powell (1950), logarithmique et implicite en C
2 log
4

34. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Formulation de Bazin de la constante de Chézy
34
0,06
0,16
0,46
0,85
1,30
1,75
Nature de la paroi
Parois très unies (ciment lissé)
Parois unies (planches, briques, pierres de taille)
Parois en maçonnerie
Parois en terre bien régulières
Parois en terre ordinaires
Parois en terre et fond de galets ou herbes
Henri Bazin
(1829 – 1927)
Valeurs du coefficient dans la formulation de
Bazin du coefficient de Chézy (1897)
87

35. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Formulation de Gauckler-Manning-Strickler de la constante de Chézy
35
■ Gauckler (1867) relie le coefficient de Chézy à
■ Puis, Manning (1889) et Strickler (1891) proposent
une approche similaire :
/ /
■ D’où la formule très usitée de Manning-Strickler :
/ /
Robert Manning
(1816‐1897)
Albert Strickler
(1887‐1963)

36. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (1/2)
36
■ Le matériau de couverture est connu : la valeur de ou est
prise dans les tables qui les définit suivant la nature du matériau
■ Le débit , la pente et le rayon hydraulique sont connus : la
rugosité est approchée expérimentalement par jaugeage
■ Le revêtement est constitué de matériau non-cohérents : ou
est approché de manière empirique :
26
⁄
1
0,041
/
1
0,038
/

37. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Estimation du coefficient de rugosité de Manning-Strickler (2/2)
37
Nature du cours d’eau
Petits torrents de montagne à fond très irrégulier 23 à 26
Cours d’eau de montagne de 30 à 50m de large, pente supérieure à
0.002, fond de graviers atteignant 10 à 20 cm.
27 à 29
Cours d’eau de montagne de 50m et plus de large, pente comprise entre
0.0008 et 0.002, fond de graviers ne dépassant que rarement 10 cm.
30 à 33
Rivières à fond de graviers de 4 à 8 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 34 à 37
Rivières à fond de graviers inférieurs à 4 cm et de pente 0.0006 à 0.0008 38 à 40
Rivières à fond de sable ou petits graviers et de pente 0.0006 à 0.00025 41 à 42
Cours d’eau peu turbulents, pente faible de 0.00012 à 0.00025, fond de
sable et de vase
43 à 45
Très grands fleuves à très faible pente inférieure à 0.00012 et à fond très
lisse
46 à 50
Valeurs estimatives de pour les cours d’eau naturels
(CEMAGREF)

38. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Rugosité des sections composites
38
■ Les vitesses dans les sous-sections sont
différentes
, ,
⁄
■ La vitesse dans les sous-sections sont proches
de la vitesse moyenne U. D’où l’expression de
rugosité équivalente (Einstein,1934)
é
∑ /
⁄
Hans Albert Einstein
(1904‐1973)

39. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Problème typique : Calcul d’un débit
39
■ Pour un canal, le tirant , la pente , les dimensions , , et la
rugosité sont connus. Nous souhaitons estimer le débit
■ On utilise la formule de Manning-Strickler
/
Ou l’écriture équivalente :
⁄
/

40. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Problème typique : calcul d’une profondeur normale
40
■ Pour un canal, supposons , , les dimensions caractéristiques ( ,
, ) et rugosité sont connus. Il s’agit d’estimer le tirant d’eau
■ L’écoulement est uniforme : est alors appelé profondeur normale
(noté ) et est déduit de l’équation de Manning-Strickler par la
méthode de la débitance.
/
/
■ Alternativement, il est possible d’employer la méthode de l’abaque ou
des méthodes de convergence (point fixe, Newton-Raphson,…)

41. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Calcul explicite de en canal rectangulaire
41
■ Achour et Bédjaoui (2006) proposent une formulation explicite pour
le calcul de la profondeur normale en section rectangulaire
Bachir Achour
4
5
4
5
16
5
4
5
896
5
⋯

42. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Calcul explicite de en canal trapézoïdal
42
■ Vatankhah (2013) propose une formule explicite pour le calcul de
en section trapézoïdale (avec une erreur maximale 0,25%)
4
1
∗
1
1
0,885 ∗ 0,98 1
∗ 1,05 ,
,
1
2
1
2
1 ∗ 1 ,
,
Ali R. Vatankhah

43. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Calcul explicite de en canal circulaire
43
■ On définit le débit adimensionnel ⁄⁄
■ Hager (1985) propose une approximation :
■ Achour (2013) propose une meilleure approximation :
Valable :
• si 0,2 ⁄ 0,95 ( 5%)
• Ou si 0,4 ⁄ 0,95 3%
3
4
1
7
12
, , ⁄ ⁄
Valable si ⁄ 0,75
et 0,2842
, ,

44. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004)
44

45. 01. ECOULEMENT UNIFORME
17.04.16
Variation de l’énergie le long d’un courant
45
■ Dans un écoulement en charge, la singularité provoque une
diminution du débit.
■ Dans un écoulement en surface libre, malgré la présence d’une
singularité, le débit reste constant, mais l’écoulement devient
localement non uniforme
■ Exemple d’un seuil : économie d’énergie en amont du seuil,
puis déperdition en aval du seuil

46. DIMENSIONNEMENT
DES CANAUX À SURFACE LIBRE
Chapitre III

47. 01. CRITERES D’IMPLANTATION
17.04.16
Choix de forme
47
■ La section semi-circulaire est la plus
économe, mais demande une plus
grande profondeur. Elle est surtout
employée pour les aqueducs en demi-
buse (non enterrés) en irrigation.
■ La section rectangulaire doit être
excavée dans un sol stable, car elle
présente le risque éboulement des
parois si la profondeur est grande.
■ La section trapézoïdale est la plus
utilisée. Les cavaliers sont
confectionnés avec les déblais et les
banquettes sont aménagées lorsque la
profondeur est grande.

48. 01. CRITERES D’IMPLANTATION
17.04.16
Fruit des berges
48
■ Le fruit de berges doit être inférieur à l’angle de talus naturel
lorsque le canal est confectionné avec le matériau en place.
■ On notera que plus le matériau est lâche, plus le fruit de berges
est élevé.
Nature du terrain
Roche ferme, maçonnerie ordinaire 0 à 0,25
Rocher fissuré, pierre sèche 0,5
Argile 0,74
Alluvions compacts 1
Terre ordinaire, sable grossier 2
Terre remuée, sable fin 2,5 à 3
Quelques valeurs
pratiques du fruit de
berges pour les chenaux
naturels

49. 02. DIMENSIONNEMENT SIMPLE
17.04.16
Algorithme de calcul simplifié
49
■ Objectif : écouler un débit à travers une section dont les
dimensions et le tirant d’eau sont à définir.
■ Hypothèse : écoulement uniforme.
■ Algorithme simplifié :
■ Choisir d’une forme de canal (trapézoïdal, circulaire,…)
■ Choisir d’un revêtement pour la définition de la rugosité
■ Soit fixer (trapézoïdal) ou (circulaire) et déterminer par
itération,
■ Ou, fixer et déterminer par itération
■ Infinité de solutions possibles.

50. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Section Hydrauliquement Favorable (SHF)
50
■ SHF : section minimisant et , de sorte à maximiser sur une pente
donnée ou section minimisant pour un débit donné.
■ Elle est dite « économique », mais ne constitue pas toujours la
meilleure solution lorsqu’il existe des contraintes:
■ De type terrain horizontal
■ De type profondeur limite
■ De type vitesse limite d’écoulement
■ La section circulaire (cas I) est déjà économique par essence. Mais la
section trapézoïdale (cas II) nécessite des relations particulières entre
ses dimensions pour être « hydrauliquement favorable ».
■ La SHF ne tient pas compte de la revanche

51. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas I : section circulaire
51
■ Pour la section circulaire et
■ Conséquence : et
■ La fonction S est croissante avec points
d’inflexion, tandis que la fonction P est
croissante et linéaire.
■ De ce fait, et ne sont pas atteints
à la même profondeur
■ Il apparait donc deux situations optimales
pour la section circulaire hydrauliquement
favorable
■ SHF pour la vitesse
■ SHF pour le débit
8
sin
2

52. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
SHF circulaire – vitesse maximale
52
■ En utilisant l’équation de Manning Strickler :
⁄
■ La vitesse est maximale pour :
Condition de vitesse maximale :
0
4,493 257, 453 °
/

53. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
SHF circulaire – débit maximum
53
■ En utilisant l’équation de Manning et Strickler :
⁄
■ Le débit est maximal pour :
Condition de débit maximal :
0
5,278 302,413 °
/

54. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
SHF circulaire : abaque
54

55. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Valeur pratique pour le dimensionnement des sections circulaires
55
On retiendra plutôt un taux de remplissage de 75% ( 340 ° ).
La perte de débit sera de 15% par rapport à .
2r = D
 = 302°
 = 258°
 = 240°
0
r = D/2
1.88 r
1.63 r
1.5 r
0.5 r
15 %
Qmax.
Umax.
Niveau
pratique
V(H)
Q(H)
Rh(H)
H
En général on évite
de réaliser les SHF
en section circulaire
car avec les taux de
remplissage atteints
( 94% à et
81,5% à ), la
conduite peut se
mettre en charge.

56. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas II : section trapézoïdale
56
■ La section et le périmètre dependent des variables et . Minimiser et
implique 0 et 0
,
, 2 1
⇒
0 ⇒ 2 0
0 ⇒ 2 1 0
■ La solution non triviale (0,0) existe si le déterminant est nul. D’où la solution :
2 2⁄ 2 1
/
2 /
⇒
/
2 /
/ /
⇒

57. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas II : section trapézoïdale – propriétés géométriques
57
■ Une section trapézoïdale et hydrauliquement favorable a ses
trois côtés tangents à un demi-cercle inscrit de centre et de
rayon
sin
1
1
sin
⇒ sin
2
1
On montre que, pour la SHF :
1
2
et 2
2

58. 03. SECTION « ECONOMIQUE »
17.04.16
Cas II : section trapézoïdale – fruit de berges optimal
58
■ Le fruit de berges optimal pour une SHF trapézoïdale est celle qui
fait de la section un semi-hexagone, soit °
■ Il est obtenu en retenant la solution non triviale ( 0) qui annule la
dérivée du périmètre , pour variant :
2 2
2
1
1 0
⇒ °
■ Attention! Le fruit de berges optimal n’est pas toujours la meilleure
option

59. 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES
17.04.16
Section trapézoïdale avec vitesse limite
59
■ Contrainte : Il existe une vitesse maximale
■ Le couple solution , doit vérifier l’équation :
0
■ On définit le discriminant ∆ 4 .
■ ∆ 0 : pas de solution. Diminuer et reprendre.
■ ∆ 0 : solution unique : la SHF: /2
■ ∆ 0 : retenir une solution pratique entre les deux suivantes:
∆
⇒
∆
⇒
/

60. 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES
17.04.16
Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec vitesse maximale
60
■ La pente d’écoulement optimale est à définir, ainsi que la section, mais pour
une vitesse maximale déjà fixée.
■ Si est optimale, la section est alors hydrauliquement favorable pour écouler
le débit de manière efficace. D’où l’écriture :
2 1
■ De l’équation de Manning-Strickler, il vient que :
⁄ ⁄ ⁄
/

61. 04. CALCUL DE SECTION AVEC CONTRAINTES
17.04.16
Calcul d’une pente limite pour section trapézoïdale avec ou fixé
61
■ La pente d’écoulement optimale est à définir, mais l’une des dimensions ou
est fixée, ainsi que la vitesse . Il vient alors que :
0
■ La solution est de la forme :
■ De l’équation de Manning-Strickler, nous déduisons :
/

62. 05. SYNTHESE DU CALCUL DE SECTION
17.04.16
1.10 – Principes de calcul
62
■ L’esprit du dimensionnement de section est de remplir les conditions
suivantes :
1. Minimiser l’emprise de l’ouvrage
2. Minimiser la profondeur de fouille
3. Minimiser la section de l’ouvrage
4. Réaliser une vitesse d’écoulement ni trop faible, ni trop élevée
■ En général, on essaiera le plus souvent de :
■ Satisfaire les conditions 3 et 4 en premier,
■ Revoir les dimensions afin de satisfaire les conditions 1 et 2 (si
besoin est)
■ Jouer la pente pour satisfaire la condition 5 (si besoin est).

63. ECOULEMENTS GRADUELLEMENT
VARIES
Chapitre IV

64. 01. ECOULEMENTS VARIES
17.04.16
Définition
64
■ Les écoulements variés se rencontrent dans les rivières au profil irrégulier, près des
singularités en canal et en zone de transition entre deux écoulements uniformes.
■ Ils sont caractérisés par une variation de la hauteur d’eau entre deux sections.
■ Les écoulements graduellement variés (EGV)
■ Les écoulements brusquement variés (EBV)

65. 02. CARACTERISATION DES EGV
17.04.16
Hypothèses et propriétés
65
■ Les EGV se caractérisent par une variation « lente » et « continue » de la ligne
d’eau, soit en exhaussement ou en rabaissement.
■ Dans l’étude des EGV, on admet les hypothèses suivantes :
■ La courbure des lignes de courant est suffisamment faible pour être négligée
■ La distribution de pression reste hydrostatique
■ Le coefficient de Coriolis reste constant
■ La loi de débit par Manning-Strickler s’écrit désormais :
⁄
⁄

66. 03. ENERGIE DES ECOULEMENTS
17.04.16
Charge moyenne et charge spécifique
66
■ Soit l’énergie totale H :
■ La charge diminue toujours dans
le sens de l’écoulement
■ est décroissante
■ La charge spécifique est la
charge moyenne ramenée au fond du
canal x
2y
1y
∆
/
/

67. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de suivant
67
■ Etudions la variation de suivant le profil en long du canal :
■ En écoulement uniforme, : est constante.
■ En écoulement non uniforme, :
■ If , augmente, diminue.
■ If , diminue, augmente.

68. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de suivant pour un débit Q donné (1/2)
68
■ Pour un débit fixé :
■ Si → 0, S → 0 donc → ∞
■ Si → ∞, → ∞ donc → → ∞
■ Aussi, si → ∞, ⁄ → 1, donc → (asymptote)
■ On établit l’expression :
1 1
■ est minimale pour 1 : c’est le régime critique.

69. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de suivant pour un débit Q donné (2/2)
69

70. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Propriétés de la charge spécifique
70
■ Pour qu’il y ait écoulement d’un débit , une charge spécifique
minimale est nécessaire. C’est la charge spécifique au régime
critique.
2
■ Pour une charge spécifique , le débit est écoulé sous
deux régimes possibles :
■ 1 : fluvial (potentiel élevé, cinétique faible)
■ 1 : torrentiel (potentiel faible, cinétique élevée)
■ Le régime critique 1 est un régime de transition,
instable, qui apparaît généralement aux sections de contrôle.

71. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Charge spécifique critique (1/2)
71
■ À la profondeur critique :
1
1
■ On en déduit donc :

72. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Charge spécifique critique (2/2)
72
2
2
8
sin
sin
2

73. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de pour une énergie spécifique fixée (1/2)
73
■ Pour une charge spécifique fixée , étudions la variation du débit
avec la hauteur d’eau
■ On en déduit le comportement suivant aux limites :
■ → 0, → 0, → 0
■ → , → 0
■ Le graphe est parabolique et admet un maximum pour
0 ⇒ 1 ⇒

74. 04. ENERGIE SPECIFIQUE
17.04.16
Variation de pour une énergie spécifique fixée (2/2)
74
Ainsi, pour une énergie
spécifique fixée, le débit est
maximal lorsque le régime
est critique. La hauteur d’eau
correspondante est appellée
“tirant d’eau critique”

75. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Propriétés
75
■ L’écoulement critique
présente les propriétés
suivantes :
■ Il transporte un débit
avec une charge
spécifique minimale
■ Pour une énergie
spécifique fixée, il
transporte le débit
maximal

76. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Calcul de la profondeur critique
76
■ La profondeur critique est obtenue par résolution de la condition
critique 1.
■ Canaux rectangulaires :
■ Canaux triangulaires :
■ Canaux circulaires :
2
2
1 cos
2
sin 8 sin
2
Cette équation est en
général résolue par la
méthode des itérations
successives dans le cas des
sections trapézoïdales
et circulaires
La profondeur critique reste
indépendante de la pente
1 ⇒ 1 ⇒

77. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Calcul explicite de en section trapézoïdale
77
■ Vatankhah (2013) propose la méthode explicite suivante, d’erreur
maximale relative 0,07%, en section trapézoïdale symétrique :
4
t 1 1,161 1 0,666 , ,
1
2
1
2
5 1
6
Ali R. Vatankhah

78. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Calcul explicite de en section circulaire
78
■ En notant l’erreur relative, Hager (1999) propose les
approximations suivantes en canal circulaire :
■ De plus, en posant que le débit réduit ⁄ :
Valable si 0,3 ⁄ 0,95
Avec une erreur relative 4%
Valable si 0,2 ⁄ 0,91
Avec une erreur relative 4%
Valable si 0,1 0,75
Avec une erreur relative 4%
5
3
3
2
/

79. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Abaque de calcul de (tiré de Mar, 2004)
79

80. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Ecoulement à l’approche d’une chute
80
■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique pour un
écoulement à pente faible à l’approche d’une chute.
■ Rouse (1938) et Rajaratnam (1964) ont montré que la hauteur à
l’approche d’une chute est en réalité , à , tandis
que est mesuré à une distance de 3 à 4 en amont de la chute
N. Rajaratnam

81. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Franchissement d’un déversoir
81
■ En pratique, il est admis que le tirant d’eau est critique lors du
franchissement de la crête d’un déversoir
Déversoir à seuil mince
Le tirant d’eau à la crête est critique
Déversoir à seuil épais
L’écoulement au dessus de la crête est
assimilable à l’écoulement à l’approche
d’une chute

82. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Pente critique
82
■ La pente critique est la pente pour laquelle un débit donné s’écoule
en régime uniforme à la profondeur normale critique
■ On ne dimensionne jamais un canal avec une pente critique. Le
comportement de la ligne d’eau y serait imprévisible.
■ La détermination de la pente critique nécessite la résolution simultanée
de la condition critique et de l’équation de Manning-Strickler pour la
section critique.
⁄

83. 05. REGIME CRITIQUE
17.04.16
Problèmes typiques au régime critique
83
■ Si l’on cherche la pente critique et que le débit est connu, on
résout la condition critique pour obtenir et l’on déduit de l’équation de
Manning-Strickler la pente
⁄
■ Si l’on cherche le tirant critique et que la pente critique est
connue, la résolution itérative de l’équation suivante fournit la solution
⁄

84. 06. TYPES DE CANAUX
17.04.16
Classification des canaux suivant le type de pente (1/2)
84
■ Il s’agit d’attribuer une lettre latine à un bief de canal, obtenue en faisant la
comparaison entre et , ou entre et , ou entre et 1
Signe de la
pente
Pente Tirant d’eau Notation
Française
Notation
anglaise
Type de canal
0
F : fluvial M : mild Canal à pente faible
C : critique C : critical Canal à pente critique
T : torrentiel S : steep Canal à pente forte
0 → ∞ H : horizontal H : horizontal Canal horizontal
0 ? A : adverse A : adverse Canal à contre pente

85. 06. TYPES DE CANAUX
17.04.16
Classification des canaux suivant le type de pente (2/2)
85
Pente critique
Pente faible (
Canal de type F
Pente forte (
Canal de type T
Pente critique (
Canal de type C
Pente nulle 0
Canal de type H
Pente adverse 0
Canal de type A
Attention: ne pas confondre le type de canal à
l’écoulement qui s’y produit. Il est possible d’avoir un
EGV fluvial en canal T, ou un EGV torrentiel en canal F

86. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Définition et problématique
86
■ C’est le profil en long de la surface libre dans un EGV exprimée
en fonction de l’abscisse de la section considérée
■ En canal prismatique, la pente étant constante, elle se réduit à la
fonction analytique . Son expression n’est pas connue à
priori et reste difficilement approchable. Mais sa dérivée / reste
connue.
■ Pour un EGV, on compare la position du tirant d’eau varié aux
tirants d’eau et . On en déduit les 3 cas suivants :
■ est au dessus de et de : zone 1
■ est compris entre et de : zone 2
■ est en dessous de et de : zone 3

87. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Nomenclature
87
■ En associant le type de canal à la position de la ligne d’eau, on
établit l’existence de 13 profils différents de lignes d’eau.
■ Fluvial : ,
■ Critique : ,
■ Torrentiel : ,
■ Horizontal :
■ Adverse :
NB: Le est sujet à controverse!
■ Pas de remous de type (car → ∞) et de type (car ?)

88. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe F (ou M)
88
Courbes de remous en canal à pente faible (type F ou M)

89. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe T (ou S)
89
Courbes de remous en canal à pente forte (type T ou S)

90. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe C
90
Courbes de remous en canal à pente critique (type C)

91. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe H
91
Courbes de remous en canal à pente nulle (type H)

92. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Courbes en canal de classe A
92
Courbes de remous en canal à pente adverse (type A)

93. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Comportement de la ligne d’eau aux limites
93
■ Les limites des zones 1,2 et 3 sont : 0, , ∞
■ Quand → 0, → et la courbe de remous tend asymptotiquement
vers
■ Quand → , la courbe de remous devient normale à et l’on
observe une variation brusque de la ligne d’eau : il s’agit d’un
ressaut ou d’une chute.
■ Quand → ∞, alors → 0 et ⁄ → : la ligne d’eau tend vers
l’horizontal
■ Quand → 0, on obtient une indétermination de type ∞/∞ qui sera
levée par une condition aux limites définissant l’origine du débit

94. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Equation dynamique de la ligne d’eau
94
■ On recherche la dérivée de la fonction caractérisant le profil en long de
la ligne d’eau. Il a été établi les relations suivantes :
1
■ On en déduit alors que :
■ est donné par la formule de Manning-Strickler en écoulement non uniforme :
⁄

95. 7. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Section de contrôle
95
■ La résolution de l’équation de la ligne d’eau nécessite une condition
à la limite : c’est la section de contrôle, à l’abcisse où l’on connait
le tirant d’eau
■ Cette section est définie à partir des propriétés hydrauliques de la
singularité occasionnant le remous : déversoir, vanne de fond,
changement de pente, de section, exhaussement ou décrochement du
fond
■ Elle est située à l’aval en EGV fluvial pour les courbes
, , , , , et se calcule de l’aval vers l’amont.
■ Elle est située à l’amont en EGV torrentiel pour les courbes
, , , , , et se calcule de l’amont vers l’aval.

96. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthodes de calcul
96
■ L’intégration du problème différentiel suivant permet de définir
le profil de la ligne d’eau
1
⁄
1
■ Les méthodes de résolution suivantes sont employées:
■ Méthode d’intégration graphique
■ Méthode d’intégration directe (Bresse, Bakhmeteff, Chow,
Silber, Raytchine et Chatelain, Pavlovski,…)
■ Méthode des différences finies

97. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration graphique
97
■ Soit la fonction
■ Le canal étant supposé prismatique :
■ Le calcul est mené par petits pas ∆ constants dont la finesse définira la
précision du résultat. La méthode reste applicable à toutes formes de
section de canal prismatique
1
⇒

98. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (1/5)
98
■ Méthode applicable à toutes les formes de sections. Elle emploie la
formule de Manning-Strickler pour l’expression de la perte de charge
■ On définit les quantités et qui sont des débitances dépendant
respectivement de l’écoulement normal et de l’écoulement varié
⁄
⁄
Boris Bakhmeteff
1880‐1951
Jean Antoine Charles Bresse
1822‐1883

99. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (2/5)
99
1
1
1
1
1
1
■ Soit le débit correspondant à la débitance pour l’écoulement varié sur
la pente critique . Il advient alors :
⇒
1 1
■ D’où :
1
1

100. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (3/5)
100
■ Bakhmeteff fait l’hypothèse que le carré de la débitance varie
comme une fonction puissance du tirant d’eau.
ù
■ Si l’on pose ⁄ et ⁄ alors :
1
1
1
1

101. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (4/5)
101
■ A partir de la section de contrôle , , on développe la relation
suivante
, Φ ,
1
■ La fonction , est lue sur la table de Bakhmeteff ou approchée
par le développement limité suivant :
, ,
, ,

102. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthode d’intégration directe de Bakhmeteff (5/5)
102
■ Algorithme d’application de la méthode de Bakhmeteff
■ Calculer les profondeurs ,
■ En déduire puis /
■ Calculer / et /
■ Calculer l’exposant hydraulique de section
■ Lire sur la table de Bakhmeteff les valeurs , et , ou
les calculer à partir du développement limité de ,
■ Calculer la longueur de la courbe de remous :
, ,

103. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Détermination de l’exposant hydraulique (1/2)
103
■ L’exposant hydraulique s’obtient par représentation de la débitance en
fonction du tirant d’eau sur papier bi logarithmique :
⁄
■ L’exposant est la moitié de la pente de la droite obtenue
ln
1
2
ln
2
ln
2
ln
■ Quelques valeurs indicatives pour des formes paramétrées :
■ rectangulaire : 2 ≪ , 2,5 2 , 3 ≫
■ trapézoïdale : 3 4
■ triangulaire : 5,3 5,5
■ parabolique : 4

104. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Détermination de l’exposant hydraulique (2/2)
104
■ Chow (1959), partant du postulat et en dérivant l’équation
de Manning-Strickler, établit que :
2
ln
ln
2
4
3
■ La relation peut être généralisée pour une section trapézoïdale
sous la forme suivante :
■ L’analyse de la relation précédente montre que ,

105. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthodes des différences finies
105
■ Elles sont basées sur une subdivision du canal en biefs courts et
une progression par pas de calcul
■ Méthode de variation de profondeurs ou à pas directs : ∆
fixé, ∆ calculé
■ Méthode des tronçons ou à pas standards: ∆ fixé, ∆ calculé
■ Ces méthodes introduisent une erreur systématique d’ordre 2 (∆
ou ∆ selon les cas) mais elles sont suffisamment précises pour
les applications pratiques. Elles ont des variantes sur la manière
d’évaluer les valeurs moyennes sur le bief ∆
■ Nous exposerons ici la méthode des pas directs (cf. Mar, 2004 pour la
méthode des pas standards).

106. 07. COURBES DE REMOUS
17.04.16
Méthodes des pas directs
106
■ Algorithme d’application : soit connu à la section de contrôle
̅
■ Calculer et
■ Pour ∆ , calculer et
■ Calculer ̅ /2 ou ̅ /
■ Calculer ∆ / ̅
■ Passer à la section suivante en prenant et ∆

107. ECOULEMENTS BRUSQUEMENT
VARIES
Chapitre V

108. 01. ECOULEMENT BRUSQUEMENT VARIE
17.04.16
Définition
108
■ Un EBV est un écoulement permanent dont les variables physiques
varient très vite (voire de manière discontinue) dans l’espace.
■ Caractéristiques des EBV :
■ Courbure prononcée des lignes de courant (répartition des pressions
non hydrostatique)
■ Coefficient de Coriolis ≫ 1
■ Effet de frottement contre les parois négligeable (distance courte)
■ Surface libre souvent instable et irrégulière
■ Principe d’étude : l’on choisit deux sections englobant l’EBV
■ Théorème d’Euler pour les EBV divergents (dissipation d’énergie) : cas
du ressaut hydraulique
■ Théorème de Bernoulli pour les EBV convergents (sans dissipation
d’énergie) : cas des écoulements sous vanne (cf. section de contrôle)

109. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Illustration (1/2)
109
Barrage des Trois Gorges, Yangzi Jiang, Chine

110. 01. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Illustration (2/2)
110
Ressaut en canal rectangulaire en aval d’un déversoir

111. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Définition
111
■ Un ressaut est une surélévation brusque de la ligne d’eau au
passage d’un écoulement torrentiel à un écoulement fluvial.
■ Les hauteurs d’eau avant et après le ressaut sont appelées
profondeurs conjuguées.
Ressaut aval d’un déversoir sur le fleuve MississipiRessaut circulaire en évier

112. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Classification des ressauts sur la base du Froude d’amont
112

113. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Valeurs caractéristiques
113
■ Hauteur du ressaut :
■ Rendement du ressaut :
■ Perte de charge au ressaut :
∆
■ Longueur du ressaut (formules empiriques)
■ Smetana :
■ Safranez : ,
■ Miami District :
■ Hsing et Posey (trapézoïdal) :
Jan Smetana
(1883‐1962)

114. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Notion d’impulsion (1/3)
114
■ Soit la quantité notée et appelée impulsion. On pose :
■ Application du théorème des quantités de mouvement entre les
sections et du ressaut :
■ Il y a conservation de l’impulsion au ressaut

115. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Notion d’impulsion (2/3)
115
■ L’analyse de la fonction montre que :
■ Si → 0, → 0 et → ∞
■ Si → ∞, → ∞ et → ∞
■ La fonction étant positive et continue sur 0, ∞ elle admet
nécessairement un minimum.
1
0 ⇒ 1 é
■ Au régime critique, l’impulsion est minimale.

116. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Notion d’impulsion (3/3)
116
■ Un débit donné peut s’écouler
sous deux profondeurs
(torrentiel) et (fluvial) qui sont
des profondeurs conjuguées
au sens du ressaut
■ Ce principe est utilisé pour la
résolution graphique du
calcul d’une profondeur
conjuguée par le ressaut

117. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Réajustement de l’équation d’Euler
117
■ L’équation de conservation de l’impulsion peut être présentée de la
façon suivante
1 1
■ En posant (avec un coefficient indiquant la position du centre
de gravité de section) on en déduit:
■ Cette forme simplifiée servira à l’écriture de l’équation du ressaut en
canal rectangulaire et triangulaire

118. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal rectangulaire (1/3)
118
■ En canal rectangulaire, on définit les relations suivantes :
1
2
■ En posant / , on établit une équation symétrique du 2nd degré :
■ La résolution en ,donne l’expression d’un discriminant toujours positif :
∆ 8 1
8
1 8 0

119. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal rectangulaire (2/3)
119
■ La solution physiquement acceptable est l’équation de Bélanger :
■ Ou sa solution duale, obtenue en résolvant le problème en :
Jean‐Baptiste Charles Joseph Bélanger
(1790‐1894)

120. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal rectangulaire (3/3)
120
■ Il est alors possible d’écrire des expressions simplifiées du
rendement ressaut et de la perte de charge au ressaut ∆ pour
la section rectangulaire :
■ Rendement du ressaut :
■ Perte de charge au ressaut :
∆

121. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal triangulaire
121
■ En canal triangulaire, on définit les relations :
1
3
■ Ce qui permet d’établir la relation suivante :

122. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Ressaut en canal circulaire
122
■ Soit / le taux de remplissage de section
■ En canal circulaire, Hager (1999) propose une approximation pour le
calcul de la profondeur aval connaissant la profondeur d’amont ,
valable si et seulement si , :
■ on définit les débits réduits et
■ La valeur de est alors donnée par la relation :
,

123. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Degré de submersion du ressaut
123
■ Lorsque le tirant d’eau conjugué de l’écoulement torrentiel
amont est inférieur au tirant d’eau normal fluvial d’aval , le
ressaut est dit « submergé ». Le cas échéant, on parlera de ressaut
« libre » .
■ Le facteur de submersion peut être évalué :
■ La longueur du ressaut submergé :
■ Selon Lencastre, 1996 : , ,
■ Selon Rao et Rajaratnam, 1963 : , ,
Armando Lencastre
(1924 ‐ ?)

124. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (1/4)
124
■ La position du ressaut est définie suivant la relation entre le point de
contrôle au torrentiel d’amont et le tirant d’eau fluvial normal aval.
■ Soit la hauteur de la veine contractée, son conjugué par le ressaut
et le tirant d’eau normal aval.
■ Cas 1 : on a . Le ressaut se forme au pied de la chute

125. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (2/4)
125
■ Cas 2 : on a . Le ressaut se déplace vers l’aval
■ Cas 3 : on a . Le ressaut est noyé.

126. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (3/4)
126
■ Dans le cas où le régime uniforme aval arrive à s’établir (bief
aval suffisamment long), on fait l’hypothèse que le ressaut
effectue la connexion avec l’écoulement normal aval.
■ La démarche de résolution est alors la suivante :
■ On évalue par Manning-Strickler la profondeur à l’aval
■ Puisque , conjugué de par le ressaut d’amont, on
déduit par l’équation d’Euler
■ On détermine alors l’abscisse à laquelle la hauteur est
atteinte par la courbe de remous d’amont, en partant de son
point de contrôle amont à la section de contrôle

127. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Position du ressaut (4/4)
127
■ Si l’écoulement uniforme ne s’établit pas à l’aval, on recherche la
position précise du ressaut à l’intersection entre le conjugué de la
ligne d’eau torrentielle en amont et fluvial en aval
■ Procédure :
■ tracer les lignes d’eau amont et
aval
■ Tracer la conjuguée de la ligne
d’eau amont
■ Définir la droite A’Z’ à
l’intersection à l’amont
■ Calculer la longueur du ressaut
■ Positionner de sorte que
et parallèle au fond
du canal
■ Le ressaut est alors localisé
entre A et Z.

128. 02. RESSAUT HYDRAULIQUE
17.04.16
Applications du ressaut hydraulique
128
■ Le ressaut hydraulique peut être forcé en canal afin de
remplir les objectifs suivants :
■ Dissiper l’énergie à la sortie des évacuateurs de crue et
vannes de fond, afin de limiter l’érosion régressive sur le
talus aval.
■ Augmenter, maintenir, réguler le débit vanné ou
déversé
■ Réaliser une coupure hydraulique dans un
écoulement, de sorte que l’aval n’influence pas l’amont
■ Mixer les produits chimiques dans le traitement de
l’eau
■ Aérer l’eau

129. LA SECTION DE CONTRÔLE
Chapitre VI

130. 01. SECTION DE CONTRÔLE
17.04.16
Définition
130
■ Il s’agit de toute singularité permettant le passage d’un régime
fluvial au torrentiel.
■ Cela suppose l’existence d’un régime critique localisé au droit de
la section de contrôle où la relation « débit-hauteur » est univoque
■ La section de contrôle est utilisée pour la mesure de débit.
■ La courbe est appelée courbe de tarage
■ Le contrôle d’un écoulement:
■ fluvial se fait à l’aval de cet écoulement
■ torrentiel se fait à l’amont de cet écoulement
■ Nous aborderons le cas des déversoirs et des vannes de fond.

131. 02. DEVERSOIRS
17.04.16
Définition (1/2)
131
■ Considéré comme un orifice incomplet
laissant passer l’eau en nappe par-
dessus.
■ Deux types distincts : frontal, ou latéral

132. 02. DEVERSOIRS
17.04.16
Définition (2/2)
132
■ Le déversoir peut se résumer à une plaque de hauteur appelée
« pelle », obstruant le passage de l’eau.
■ On distingue les déversoirs à seuil mince /2 et les déversoirs à
seuil épais 2 /3 (CETMEF, 2005)
■ Pour un seuil ni mince, ni épais, aucune loi à priori n’étant définie, une
étude spécifique est nécessaire
Déversoir à seuil mince Déversoir à seuil épais

133. 02. DEVERSOIRS
17.04.16
Modes de fonctionnement
133
■ Le déversoir peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé.
Fonctionnement dénoyé
La hauteur en amont
(appelée marnage) est
entièrement conditionnée
par le débit déversé. La
hauteur aval n’influence
pas l’écoulement
Fonctionnement noyé
La côte d’eau à l’aval passe au
dessus du seuil. La hauteur en
amont en alors influencée par le
débit et par la hauteur aval .
Plus le ratio / augmente,
plus l’influence sur le débit est
grande

134. 02. DEVERSOIRS
17.04.16
Formule des déversoirs à seuil mince
134
■ Pour un déversoir frontal de largeur , le
débit passant au dessus est lié à un
coefficient de contraction :
/
■ Existence de formules empiriques
spécifiques : Bazin (1898), Rehbock
(1929), Francis, Gourley et Grimp,
Thompson, Cipoletti, Hegly, etc.
■ Le choix de la forme du déversoir se fait
suivant le débit à mesurer :
■ Triangulaire, si 30 /
■ Rectangulaire, si 300 /

135. 02. DEVERSOIRS
17.04.16
Formule des déversoirs à seuil épais
135
■ Pour les seuils épais, il est admis que l’écoulement sur la crête épaisse se fait en
régime critique. Le débit déversé est alors :
■ Cette relation suppose les coefficients (donnés par les tables)
■ , coefficient de débit, représentant les conditions d’amenée
■ , coefficient de vitesse ( 1)
■ Une approche simplifiée ne tenant pas compte des coefficients définis ci-dessus peut
être retenue :
■ Existence d’approches empiriques par Bélanger, Bazin,…

136. 03. VANNES
17.04.16
Définition
136
■ Considéré comme un organe mobile placé de manière frontale (ou
latérale) permettant la régulation de la hauteur d’eau en amont et la
régulation du débit à la sortie d’un réservoir d’eau

137. 03. VANNES
17.04.16
Modes de fonctionnement
137
■ La vanne de fond peut fonctionner en écoulement noyé ou dénoyé.
Fonctionnement dénoyé
Après la vanne, on observe
un raccordement rapide au
a) torrentiel normal d’aval
ou b) fluvial normal d’aval
par un ressaut
Fonctionnement noyé
On observe un tirant d’eau fluvial aval.
Cela se produit lorsque le conjugué de la
hauteur de veine contractée par le
ressaut est inférieur au tirant d’eau
normal aval

138. 03. VANNES
17.04.16
Principe d’étude
138
■ Soit la hauteur de levée de la vanne et le coefficient de
contraction de l’orifice. La hauteur .
■ Le principe d’étude est alors le suivant : on définit deux sections, l’une
à l’amont immédiat de la vanne et l’autre à la naissance de la veine
contractée et l’on applique le théorème de Bernoulli.
2 2
■ Le fond est supposé plat entre les deux sections (dénivelée quasiment
nulle). Il advient alors que
2 2

139. 03. VANNES
17.04.16
Cas d’une vanne rectangulaire dénoyée
139
■ Pour une section rectangulaire de vanne dénoyée, on a :
2 2
■ On en déduit :
■ En admettant que ≪ , on obtient la relation simplifiée :

140. 03. VANNES
17.04.16
Cas d’une vanne rectangulaire noyée
140
■ Pour une section rectangulaire de vanne noyée, on a :
2 2
■ On en déduit :
■ En admettant que ≪ , on obtient la relation simplifiée :

141. ETUDE DE QUELQUES SINGULARITES
Chapitre VII

142. 01. SINGULARITES
17.04.16
Objectifs d’étude
142
■ En canal prismatique, le régime d’écoulement reste uniforme, mais
perturbé aux abords des singularités.
■ En écoulement en charge, la singularité entraine une chute
brusque de la ligne de charge. En écoulement à surface libre,
elle modifie la ligne d’eau sur un bief plus ou moins long.
■ Etudier les singularités permettra de :
■ Prévoir un dimensionnement local des ouvrages afin de
contenir les perturbations engendrées par les singularités
■ Modifier les dispositions des singularités de sorte à réduire
les irrégularités de l’écoulement

143. 01. SINGULARITES
17.04.16
Types de problèmes
143
■ Deux situations de calcul peuvent se présenter
■ Cas 1 : le débit est connu. Il s’agit alors de déterminer les sections
de contrôle et de définir la ligne d’eau dans la zone d’influence de la
singularité
■ Cas 2 : le débit n’est pas connu. Il s’agit alors de le déterminer à
partir d’une condition de niveau et de tracer alors la ligne d’eau
■ Divers types de singularités :
■ Changement de pente, de radier, de section
■ Pile de ponts, grille, coudes
■ Passage canal-réservoir, réservoir-canal
■ Nous n’aborderons ici que les changements de pente, les écoulements
dans les courbes et les transitions (cf. Mar, 2004 pour le développement des autres cas)

144. 01. SINGULARITES
17.04.16
Leçons tirées de l’étude des EGV (1/2)
144
■ Pour une charge spécifique donnée correspond
deux tirants d’eau : (torrentiel) et (fluvial)
■ L’écoulement d’un débit nécessite une charge spécifique
minimale critique
■ Les courbes , , , sont des courbes qui permettent
d’augmenter l’énergie spécifique : ⁄ 0
■ Le passage du fluvial au torrentiel nécessite de passer par
une section critique (chute)
■ Le passage du torrentiel au fluvial nécessite un ressaut
hydraulique

145. 01. SINGULARITES
17.04.16
Leçons tirées de l’étude des EGV (2/2)
145
■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à
un tirant d’eau normal torrentiel en amont :
l’écoulement torrentiel, contrôlé par l’amont, arrive
jusqu’à la singularité, ou au ressaut.
■ Il n’existe pas de courbe de remous qui se raccorde à
un tirant d’eau normal fluvial en aval: l’écoulement
fluvial, contrôlé par l’aval, arrive jusqu’à la singularité ou
au ressaut

146. 02. CHANGEMENT DE PENTE
17.04.16
Augmentation de la pente de fond
146
Remous (ou )
Remous (ou )
Remous (ou )

147. 02. CHANGEMENT DE PENTE
17.04.16
Diminution de la pente de fond
147
Remous (ou )
Remous (ou )
Remous (ou ) et ressaut Ressaut et remous (ou )

148. 03. COURBES
17.04.16
Dévers transversal de la surface libre d’un écoulement dans une courbe
148
■ Un écoulement en courbe voit naitre des courants secondaires
impulsant un mouvement hélicoïdal aux masses fluides. Il se crée
alors :
■ Des pertes de charges singulières (négligeables si 2 ou
45°)
■ Un dévers latéral et symétrique de la surface libre de valeur
∆ (surélévation du côté extérieur, abaissement du côté intérieur)
∆
2

149. 04. TRANSITIONS
17.04.16
Passage d’une transition
149
■ Une transition est un bref passage d’un écoulement uniforme à
un autre qui se fait par l’intermédiaire d’un court EBV.
■ Le passage par une section critique n’est pas ici obligatoire.
■ Les transitions sont rencontrées dans le cas d’un changement
brusque de section de canal :
■ Décrochement positif ou négatif d’un seuil au fond
■ Elargissement ou rétrécissement brusque de section
■ Nous traiterons du cas des décrochements de seuils (cf. Graf,
1998 pour les autres cas)

150. 04. TRANSITIONS
17.04.16
Décrochement de radier
150
■ Notons ∆ le décrochement de radier :
■ Dans le cas d’une sous-élévation (abaissement), on a ∆
■ Dans le cas d’une surélévation (exhaussement), on a ∆
■ En admettant que la transition est courte, Rouse (1938) propose de
négliger les pertes de charges entre deux sections très proches
encadrant le décrochement de seuil. D’où l’équation du 3ème degré :
∆
∆ Hunter Rouse
(1906‐1996)

151. 04. TRANSITIONS
17.04.16
Décrochement de radier : seuil négatif
151
■ Pour une charge spécifique
donnée, deux tirants d’eau (fluvial et
torrentiel) sont possibles.
■ L’écoulement n’est possible qu’à la
condition que .
■ La charge spécifique
définira alors deux nouveaux tirants
d’eau possibles selon le type
d’écoulement à l’amont :
■ fluvial : (élévation)
■ torrentiel : (abaissement)

152. 04. TRANSITIONS
17.04.16
Décrochement de radier : seuil positif
152
■ Pour une charge spécifique
donnée, deux tirants d’eau (fluvial et
torrentiel) sont possibles. De plus :
∆
■ L’écoulement n’est possible qu’à la
condition que .
■ La charge spécifique définira
alors deux nouveaux tirants d’eau
possibles selon le type d’écoulement à
l’amont :
■ fluvial : (abaissement)
■ torrentiel : (élévation)

153. 04. TRANSITIONS
17.04.16
Calcul de à l’aval immédiat d’un seuil
153
■ Si , le débit passe entièrement et est donné par la
résolution du théorème de Bernoulli (avec en fluvial ou en
torrentiel).
■ Si , le débit passe entièrement, avec .
■ Si , alors deux cas peuvent se produire :
■ Le débit passe entièrement (pas de contrôle au seuil). Un
exhaussement se produit en amont, et en aval. On calcule
, ∆ et on en déduit ′ y
■ Un débit passe (contrôle au seuil) : pour
avec ′ ′.

154. QUELQUES LOGICIELS…

155. LOGICIELS
17.04.16
Outils de simulation des écoulements à surface libre
155