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Cours hydraulique 2_annee_6
Hydraulique

INTRODUCTION.....................................................................5
GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS DES FLUIDES ......................................... 5
HISTORIQUE .............................................................................. 5
SYSTÈME D'UNITÉ ........................................................................ 6
PROPRIÉTÉ DES FLUIDES ............................................................... 6
Définition : solides - fluides........................................................................................................6
Masse volumique, poids volumique et densité ...........................................................................6
Pression......................................................................................................................................7
Compressibilité ...........................................................................................................................7
Viscosité .....................................................................................................................................8
Tension superficielle : capillarité.................................................................................................9
La pression de vapeur saturante ................................................................................................9

HYDROSTATIQUE ................................................................10
Définition...................................................................................................................................10
Pression en un point.................................................................................................................10
Equilibre d'un prisme ................................................................................................................10
Equation fondamentale de l'hydrostatique................................................................................11
Utilisation ..................................................................................................................................11
Différence de pression entre 2 points.......................................................................................12
Pression absolue ou relative ....................................................................................................12
Changement de référentiel de pression ...................................................................................13
Application ................................................................................................................................13
Tube en U.................................................................................................................................14
Différence de pression entre 2 réservoir ..................................................................................14
Changement de référentielle ....................................................................................................15

FORCE DE PRESSION .................................................................. 15
Poussée sur une surface plane ................................................................................................15
Crève tonneau de Pascal .........................................................................................................19
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Page 1

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06.01.2004
Hydraulique

Vérin hydraulique......................................................................................................................19
Poussée sur une surface gauche (non plane)..........................................................................20

FORCE D'ARCHIMÈDE .................................................................. 22
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique...................................................................22
Application ................................................................................................................................23
Un iceberg flottant dans l'océan ...............................................................................................23
Equilibre des corps immergés ..................................................................................................24
Equilibre des corps flottants .....................................................................................................24

EQUATION DE BERNOUILLI ........................................................... 25
Rappel des hypothèses fondamentales ...................................................................................25
Application de l'équation de bernouilli ......................................................................................26
Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique......................................28

THÉORÈME DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT ...................................... 29
Cas de l'hydraulique .................................................................................................................29
Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0).........................30
Force d'un jet sur un aubage mobile ........................................................................................30
Cas d'embouchement...............................................................................................................31

EQUATION FLUIDE PARFAIT GÉNÉRALISÉ ........................................... 32
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) .................................32
Equation de quantité de mouvement........................................................................................32

HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS .............................32
GÉNÉRALITÉ SUR LA VISCOSITÉ ..................................................... 32
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)..................................................32
Fluide Newtoniens en non-Newtoniens ....................................................................................33
Variation de la viscosité............................................................................................................33

EQUATION DE NAVIER-STOKES ...................................................... 34

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Environnement construit et Géoinformation

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Hydraulique

LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D'ÉCOULEMENT......................................... 34
Expérience de Reynolds...........................................................................................................34
Le nombre de Reynolds ...........................................................................................................34

ECOULEMENT LAMINAIRE ............................................................. 35
ECOULEMENT TURBULENT ........................................................... 35
Généralité .................................................................................................................................35
Equations de Reynolds.............................................................................................................35

HYDRAULIQUE DES CONDUITES (ÉCOULEMENT EN CHARGE) .35
Généralité .................................................................................................................................35
Equation de conservation d'énergie .........................................................................................35
Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)..................................................................36

EQUATION DE DARCY-WEISSBACH (HR) ............................................ 37
En écoulement laminaire ..........................................................................................................37
En écoulement turbulent lisse .................................................................................................37
En écoulement turbulent rugueux.............................................................................................37
Régime turbulent de transition..................................................................................................37
Diagramme de Moody ..............................................................................................................37
Formule de Strickler .................................................................................................................38
Rayon hydraulique....................................................................................................................38
Perte de charges singulières ....................................................................................................38

CALCUL DE RÉSEAUX (PRINCIPE ET TECHNIQUE).................................. 39
Conduite entre 2 réservoirs ......................................................................................................39
Conduite crachant " à gueule bée " ..........................................................................................39
Conduite en série .....................................................................................................................40

TECHNIQUE DE RÉSOLUTION PAR RÉITÉRATION ................................... 40
Recherche de hR.......................................................................................................................40
Recherche de Q .......................................................................................................................40
Recherche de D........................................................................................................................41
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Hydraulique

CALCUL DE RÉSEAUX MAILLÉ ........................................................ 41
Conduite en parallèle................................................................................................................41
Les deux lois fondamentales de Kirchhoff................................................................................41
Calcul d'une maille ...................................................................................................................42
Cas de plusieurs mailles...........................................................................................................43

HYDRAULIQUE DES CANAUX (ÉC. EN NAPPE LIBRE) ..............43
GÉNÉRALITÉ ............................................................................ 43
Définitions.................................................................................................................................43
But de l’étude............................................................................................................................43
Classification des fluides ..........................................................................................................43

EQUATIONS FONDAMENTALES (TJS LES MÊMES, MAIS ADAPTÉES)............. 44
Equation de continuité ..............................................................................................................44
Equation de conservation d’énergie .........................................................................................44
Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ....................................................................45
Nombre de Froude : FR............................................................................................................45

ECOULEMENT UNIFORME.............................................................. 46
Lois des pertes de charges : ....................................................................................................46
Profondeur normale..................................................................................................................47
Différents problèmes rencontrés ..............................................................................................48

ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIÉ .............................................. 49
Définition...................................................................................................................................49
Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs ».......................................................................49
Valeur de tCR en canal rectiligne ...............................................................................................50

COURBES DE REMOUS ................................................................ 51
Équations fondamentales .........................................................................................................51
Equations différentielles dans un canal prismatique ................................................................51
Etude qualitative et classification des lignes d’eau...................................................................52
Illustrations en rivière................................................................................................................52
Illustrations en torrent ...............................................................................................................53
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Environnement construit et Géoinformation

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Hydraulique

Introduction
Hydraulique

Mécanique des fluides

Mécanique

Physique

Hydrostatique
Cinématique
Dynamique

Fluide parfait (viscosité nulle)

Ecoulement en charge
Ecoulement en nappe libre

Fluide réel (écoulement permanent = indép. du temps)

Généralités et propriétés des fluides
Bibliographie :

Hydraulique générale et appliquée

(Carlier, éd. Eyrolles)

Manuel d’hydraulique générale

(Lencastre, éd. Eyrolle)

Mécanique des fluides et hydraulique

(R.V Gile)

Fluid mechanics

(V. Streeter anglais)

Traité de génie civil

(Gref et Altinater)

Historique
Haute antiquité dès 4’000 ans avant J.C en Mésopotamie en Egypte avec un barrage sur le nil. Le puits de
Joseph au Caire de 90m de profondeur.
Civilisation grecque :

Ecole d’Alexandrie

Archimède :

287 – 212 avant J.C

Ctésibios :

Pompe aspirante – refoulante
Hydraule (orgue)

Moyen âge :

Rien

Renaissance :

1452 – 1519 Léonard de Vinci : Equation de continuité

Siècle des lumières :

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Environnement construit et Géoinformation

Vis d’Archimède
Le principe d’Archimède
Théorie des corps flottants

Stevin (Hollande)
Paradoxe de l’hydrostatique
Louis 14
Torricelli
Pascal (traité des liqueurs)
Newton (liquide Newtoniens viscosité)
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Hydraulique
18ème siècles :

Théorie :

Bernoulli :
Euler :

Hydraulique appliquée :

Equation de conservation de l’énergie
Equation de quantité de mouvement
Chézy (perte de charge)

19ème siècles :

machine hydro :
essai sur modèle :

Temps moderne :

école de Götting, Prandtl
essai sur modèle

Francis (turbine)
Froude, Reynolds

Système d'unité
Cours de M. Métroz + brochure UBS
Système légal : Système I international S.I.
Unité encore tolérée :
(pas dans le SI)

-

litre = 1 dcm3
Km/h
Car heure au lieu de secondes
KW h
bar (pression)
grade
mm de mercure (Hg)

Propriété des fluides
Définition : solides - fluides
Un fluide : milieu matériel continu déformable (sans rigidité)
Liquide : occupe un volume déterminé, peu modifiable par la température et la pression
séparation par "la surface libre" d'avec le gaz qui le surmonte
Gaz

: occupe tout l'espace à disposition, pas forcément uniforme, et le volume est
fortement modifiable par la température et la pression

Masse volumique, poids volumique et densité

La masse volumique est la masse d'un corps par unité de volume et noté
S.I. : masse
Volume

kg
m3

Poids volumique : poids par unité de volume
S.I. : Poids
Volume

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ρ [rhô]

γ [gamma]

N
m3

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Hydraulique
Relation :

Poids = Masse X Accélération

Champs terrestre :

Poids = Masse X g
Poids = Masse X g
Volume
Volume

Par unité de volume :

ce qui donne :

γ = ρ x g

Densité : rapport entre le poids d'un corps et le poids d'un corps de référence ayant le même volume

- eau (4°) :

ρ = 1000 kg/m3
γ = 9807 N/ m3

- air (20°):

Quelques valeurs:

ρ=

1.20 kg/m3

ρ diminue avec la température (portance des avions pays chaud)
- mercure (0°) :
- mercure (20°) :

ρ=
ρ=

13595 kg/m3
13546 kg/m3

Pression
L'ensemble des phénomènes liés aux forces de contacts transmises d'un élément à un élément
Pression :

p = force de surface
Surface

[Pa]

Contrainte :

p = force
Surface

résistance des matériaux

Unité tolérée : le bar

[N]
[m2]

1 bar = 105 Pa

Compressibilité
C'est la possibilité de se déformer, en présence de forces extérieures
∆ pression
∆ volume
volume init.

Module de compressibilité :

E

=

Quelques valeurs :

- eau (15°) :
- air (15°) :

E à une unité de pression
(Pa, N/m2)

E = 2.16 * 109 N/m2
E = 1.13 * 105 N/m2
E = 1.58 * 105 N/m2

(isotherme)
(adiabatique)

sans échange de chaleur
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Hydraulique

Vitesse de propagation d'une onde de pression
c=

E (isotherme)
ρ

ceau = 1470 m/s
cair = 300 m/s

Viscosité

Existence d'efforts tangentiels dans un fluide
Viscosité dynamique :

F = ∂v ⋅ ∂s ⋅ µ
∂x
µ : coefficient de viscosité dynamique [Pa*s]
si µ = 0 fluide parfait
si µ = cste fluide newtonien (ex: l'eau)

µ
ρ

Viscosité cinématique :

υ=

Quelques valeurs:

- eau (15°) :

µ = 1.14*10-3 Pa*s
ν = 1.14*10-6 m2/s

- air (15°):

µ=
ν=

µeau
νeau

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>
<

ν [nû] = m2/s

1.78*10-5 Pa*s
1.55*10-5 m2/s

µair
νair

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Hydraulique
Tension superficielle : capillarité
A la surface d'un liquide, pas d'équilibre de la particule (dissymétrie des fores)

σ=

travail = force ⋅ déplacement [j]
surface
surface [m2]

σ [sigma] = travail nécessaire pour rester à la surface

Utilisation capillarité :

h = 2 ⋅σ cos θ
ρ ⋅g⋅r

Loi de Jurin :

h=k
r

Quelques valeurs:

- mercure :

- eau :

k = cste en fonction du liquide
r = diamètre du tube

σ=
θ=
σ=
θ=

0.514 N/m
140°

k ≅ -14 mm2

0.0736 N/m
0°

k ≅ 30 mm2

La pression de vapeur saturante
Si la pression augmente, la température d'ébullition augmente. (stérilisation)
Si la pression diminue, la transformation du liquide se fait à une chaleur inférieure.
(ébullition à température ambiante)
Cavitation :

Si la vitesse augmente cela diminue la pression et on a une ébullition à une température
ambiante.
Lorsque que la vitesse diminue la pression ré augmente et il y a une implosion des bulles de
vapeur, ce qui provoque une usure.

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Hydraulique

Hydrostatique
Définition
Science qui étudie les conditions des fluides au repos :

- pression
- force de pression
- principe d'Archimède

Pression en un point
Les différentes forces agissantes sur un élément :
Forces intérieur : elles forment un système équivalent à zéro (aucune action)
Forces extérieurs : - pour qu'elle soit significative, il faut que les éléments soient très proche
l'un de l'autre (force de surface)
- Force de volume, lié au champ :

-pesanteur
- magnétique
- électromagnétique

Equilibre d'un prisme
Relation géométrique

Dx = dl * cosα
Dz = dl * sinα

Poids : P = ½ * (dx * dy * dz) * g * ρ

Condition d'équilibre :

∑F

=0

Projection sur l'axe X .
0 + dF2 – dF3 * sinα + 0 = 0
p2 *(dz * dy) – p3 *sinα *(dz/sinα) = 0
p2 = p 3
Projection sur l'axe Y :
DF1 + 0 – dF3 * cosα - P = 0
p1 *(dx * dy) – p3 *cosα *(dx/cosα) –(½ * (dx * dy * dz) * g * ρ) = 0
p1 = p 3
Infiniment petit donc négligé

Conclusion : elles sont donc (dFi) toutes perpendiculaires à la surface, sinon la composante tangentielle
entraînerait un glissement des particules. (donc mouvement d'où pas d'hydrostatique)
les coefficients p (pression) sont les mêmes dans toutes les directions
Forces de pression :

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dF = p * ds

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Hydraulique
Equation fondamentale de l'hydrostatique
Equilibre d'un cylindre à axe vertical :
équilibre des forces et projection sur l'axe Oz
dF2 = p ⋅ ds
dF1 = (p +

∂p
⋅ dz) ⋅ ds
∂z

dF2 – dF1 – P = 0
( p ⋅ ds ) – ( (p +

(

P = g ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds

∂p
⋅ dz) ⋅ ds ) – ( z ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds ) = 0
∂z

∂p
⋅ dz) - (z ⋅ρ ) = 0
∂z

Forme différentielle

∂p
)- ρ ⋅x =0
∂z
∂p
( )-ρ ⋅y =0
∂z
∂p
( )- ρ ⋅z =0
∂z
(

Donc pression en point

p 2 - p1 =

ρ ⋅ g (z1 - z2)

Utilisation
Plan de charge = indication de la pression

H=

p

ρ ⋅g

H

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Hydraulique
Différence de pression entre 2 points
pA + ρ ⋅ g ⋅ zA = pB + ρ ⋅ g ⋅ zB
pB - pA = ρ ⋅ g ⋅ (zA - zB)
d'où pB > pA

Principe de Pascal
pB - p A =

ρ ⋅ g (zA - zB)

On modifie la pression en A de ∆ pA sans modifier l'équilibre du système donc la pression en B est modifiée
de ∆ pB
(pB + ∆ pB ) – (pA + ∆ pA )=

ρ ⋅ g (zA - zB)

∆ pB = ∆ pA

Dans un fluide incompressible au repos les va rations de pression se transmette intégralement en tout
point de la masse du fluide.

Pression absolue ou relative
Expérience de Torricelli
zA +

p

ρ

A
Hg

= zB +

p

ρ

pA = pATM

pATM =

ρ

B
Hg

pB = vide = 0

Hg

⋅ g (zB - zA)
A Yverdon : zB - zA = 0.72 m de Hg
donc pATM = 0.72*9.81*13'600 = 96'000 Pa

ρ

Hg

= 13'600 Kg/m3

Au niveau de la mer, latitude moyenne (45°) avec
du mercure à 0° : zB - zA = 0.76 m de Hg
donc pATM = 0.76*9.806*13'595 = 101'324 Pa
= 1.013 bar
101'324 Pa =

ρ eau ⋅ g ⋅

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∆z

∆z = 10.33 m. correspond à la hauteur du tube remplis d'eau.

Page 12

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Hydraulique
Changement de référentiel de pression
pression absolue : pression avec le vide comme référence

vide = 0

pression relative : pression avec pATM comme référence

pATM = 0

Application
Liquides superposé (non miscible : pas mélangeable)

ρ1

<

ρ2

<

ρ3

ρ1
ρ
ρ

en pression relative : pATM = 0

2

3

ρ 1 ⋅ g ( zA - zB)
pB +

ρ

2

⋅ g ( zB - zC)

p B + pC +

ρ

3

⋅ g ( zC - zD)

Pression au point D :
avec pA = 0

pB - p A =
pC - p B =
pD - p C =

pD =

ρ 1 ⋅ g (zA - zB)
ρ 2 ⋅ g (zB - zC)
ρ 3 ⋅ g (zC - zD)

ρ 1 ⋅ g (zA - zB) + ρ

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ρ 1 ⋅ g (zA - zB)
pC = pB + ρ 2 ⋅ g (zB - zC)
pD = pB + pC + ρ 3 ⋅ g (zC - zD)
pB =

2

⋅ g (zB - zC) + ρ

3

⋅ g (zC - zD)

Page 13

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Hydraulique
Tube en U

Egalité de pression : 1 pB = pA
(on peut passer de A à B sans changer de pression)

pA = pATM +

ρ 1⋅g⋅

pB = pATM +

ρ 2 ⋅ g ⋅ zB

1

ρ 1⋅g⋅
ρ 1⋅

zA =

zA =

zA

ρ 2 ⋅ g ⋅ zB
ρ 2 ⋅ zB

Différence de pression entre 2 réservoir

px - p y = ?
1 p 4 = p5
2 p 4 = px +
3 p 5 = py +

1 px +

ρ x ⋅g⋅
ρ y ⋅g⋅

ρ x ⋅g⋅

px - p y = +

pour des gaz,

Lx
Ly +

Lx = p y +

ρ y ⋅g⋅

Ly

ρ

ρ

x

et

ρ ⋅ g ⋅ ∆h

ρ y ⋅ g ⋅ Ly + ρ ⋅ g ⋅ ∆ h
ρ x ⋅ g ⋅ L + ρ ⋅ g ⋅ ∆h
x

x

sont petit face à

px - p y =

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ρ

mercure

ρ ⋅ g ⋅ ∆h

Page 14

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Hydraulique
Changement de référentielle
- surface de référence : la surface libre du liquide
- pression de référence : pATM = 0
- axe vertical 'h' : positif vers le bas

Relation fondamentale
p + ρ ⋅ g ⋅ z = cste , mais avec z = - h
p - ρ ⋅ g ⋅ h = cste

Entre A et B
pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pB - ρ ⋅ g ⋅ hB
pA - pB = ρ ⋅ g ⋅ (hA – hB)

Entre A et C
pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pC - ρ ⋅ g ⋅ hC

hc = 0
pC = pATM = 0

pA = ρ ⋅ g ⋅ hA

p = ρ ⋅g⋅ h

h=

p

ρ ⋅g

Force de pression
Poussée sur une surface plane
Paroi plane horizontale
dF = p ⋅ ds = ( ρ ⋅ g ⋅ h) ⋅ ds

∫ dF = F
∫ ( ρ ⋅g⋅

h) ⋅ ds =

ρ ⋅ g ⋅ h ∫ ds = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S

D'où
F=

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Environnement construit et Géoinformation

ρ ⋅g⋅ h ⋅ S

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Hydraulique
Paroi plane verticale, de profondeur B = cste

F=

=

∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅
ρ ⋅g⋅ B

h2

∫

h) ⋅ ds

ds = (B ⋅ dh)

h ⋅ dh

h1

=

=

ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 1 h2
2

h2
h1

ρ ⋅ g ⋅ ( h1+h2 ) ⋅ B ⋅ (h2 - h1)
2
pression moyenne

surface

F = pmoyenne ⋅ S

Paroi plane inclinée

a) intensité de la force
F=
=

∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅

h) ⋅ ds =

∫ ρ ⋅ g ⋅ L ⋅ sinα ⋅ ds

ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds
définit la position du centre de gravité

=

ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ LG ⋅ S = ρ ⋅ g ⋅ hG ⋅ S = pG ⋅ S
F = pG ⋅ S

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pression au centre de gravité de la surface S

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Hydraulique
b) direction de la force
- toutes les dF sont perpendiculaire au plan de la surface
- donc elles sont parallèles entre elles
- et donc F est perpendiculaire au plan de la surface

c) point d'application de la force (F) : centre de poussée "c"

∫ dM

= F ⋅ LC

calcul de

d'où

∫ dM

=

∫ dF ⋅

L=
=

Donc

LC =

LC =

∫ ρ ⋅g⋅

∫dM
F

L2 ⋅ sinα ⋅ ds

ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds

ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds

=

ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds

IOO'

IOO'
S ⋅ LG

= inertie de la surface par rapport à l'axe OO'

IOO'

=

IGG

+ S ⋅ L2G

LC =

On montre que :

IOO' = IGG + LG
S ⋅ LG S ⋅ LG

LC - L G =

LC = L G +

inertie par rapport à un axe passant par G et // à OO'

IGG
S ⋅ LG

IGG
S ⋅ LG

LC - L G ≥ 0

La figure à un axe de symétrie // à l'axe 'L' et 'C' est sur une // à l'axe 'L' passant par 'G'

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Page 17

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Hydraulique

Paroi rectangulaire : hauteur h, largeur B

ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ (B ⋅ h)
2
1 ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ h2
=
2

Force :

F = pG ⋅ S =

Position :

LC - L G =

IGG
S ⋅ LG

B ⋅ h3
12
=
(B ⋅ h) ⋅ h
2
= h

6

d'où C – A = h - h - h =

2

6

h
3

Vanne circulaire : Rayon R, centre O à la hauteur h de la surface, point O = G

Force : F = pG ⋅ S =

ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ π ⋅ R2

Position : LC - LG = hC - hG =

IGG
S ⋅ LG

=

π ⋅ R4 ⋅
1
4
π ⋅ R 2 ⋅ hG

=

R
4 ⋅ hG

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2

Page 18

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Hydraulique
Crève tonneau de Pascal
Liquide :
10-2 [dm2] ⋅ 100 = 1 [dm3] = 1 litre
Augmentation de pression :

ρ ⋅ g ⋅ ∆h ≅ 104 ⋅ 10 = 105 Pa
Augmentation de force
∆p ⋅ S = 105 ⋅ 1 ⋅ 0.1 = 104 N
Charge normale :

ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S = 104 ⋅ 0.5 ⋅ 0.1 = 250 KN

Paradoxe de l'hydraulique (by Stevin)

Vérin hydraulique

2 portions dans le même plan horizontal
avec la pression p

p=

f = F
s S

d'où : F =

S ⋅f
s

volume du fluide : s ⋅ l = S ⋅ L
travail à gauche :

f⋅ l = p⋅ s⋅ l
conservation du travail

travail à droite : F ⋅ L = p ⋅ s ⋅ S ⋅ L = p ⋅ s ⋅ l
s

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Hydraulique
Poussée sur une surface gauche (non plane)
Les dF ne sont plus // entre elles.
La somme des dF ne donne pas (en générale) une force unique.
On définit une force dans une direction donnée

Intensité de ces forces (composante horizontale et verticale)

dFX = dF ⋅ cosα =

dF =

dFX
dFZ

ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ cosα
ds projeté sur le plan verticale = dSV

FX =

∫

∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSV

dFX =

FX =

=

ρ ⋅ g ∫ hGV ⋅ dSV = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV

ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = pGV ⋅ SV

hGV : distance du centre de gravité de la projection de la hauteur sur un plan vertical jusqu'au plan de pression nul
SV : surface projetée sur le plan vertical
FX : passe par le centre de poussée de SV

dFZ =

ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ sinα
ds projeté sur le plan horizontale = dSH

FZ =

∫

dFZ =

∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSH

=

ρ ⋅ g ∫ h ⋅ dSH = ρ ⋅ g ⋅ V

FZ =

ρ ⋅g ⋅ V = P

V : volume compris entre la surface et le plan de pression nulle
FX passe par le centre de poussée de SV

Cas particuliers
Si la surface S possède un centre de courbure fixe (cylindre ou sphère), toutes les forces (F)
passent par ce centre et donc la résultante passe aussi par ce point.

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Hydraulique
Paroi de ¼ de cylindre (profondeur B = 1m.)
2

FX =

ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B
2
2

FZ =

ρ ⋅g⋅π ⋅R ⋅B

F=

2

4

ρ ⋅ g ⋅ R2 ⋅ B ⋅ 1 + π

tgα =

4

2

16

FZ = π
FX
2

Vanne hydraulique, liquide à gauche (B =1m.)

FX =

2

ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B
2

FZ = ρ ⋅ g ⋅ B (R 2−

π ⋅ R 2) = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 2 (1 − π )
R
4

4

1 ⎛ π
+ ⎜1 −
F = ρ ⋅g⋅R ⋅B⋅
4 ⎜
4
⎝
2

tgα =

⎞
⎟
⎟
⎠

2

FZ = 2(1 − π )
FX
4

Vanne hydraulique, liquide à droite (B = 1m.)

2

FX =

ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B
2
2

FZ =

ρ ⋅ g ⋅ B (R 2− π ⋅ R )
2

4

=

ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ R 2 (1 − π )
4

La force FZ passe par le centre de poussée de SV
et est dirigée vers le haut.

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Hydraulique

Force d'Archimède
Principe d'un corps immergé de forme cylindrique

On circonscrit au corps immergé un cylindre d'axe vertical de hauteur H
A : volume compris entre le solide et le cylindre, en bas : poids P1
B : volume compris entre le solide et le cylindre, en haut : poids P2

Forces agissant sur les volume A et B
1 - F1 - P1 + p1 ⋅ S = 0
2 F2 - P2 - p2 ⋅ S = 0

PAR DEFINITION : on appelle force d'Archimède FA, la différence entre les forces F1 et F2

FA = F1 – F2
Volume de FA = (- P1 + p1 ⋅ S) - (P2 + p2 ⋅ S)
= S⋅

ρ ⋅ g ⋅ H - (P1 + P2)

FA =

ρ ⋅g ⋅ V

V : volume immergé du solide

Tout corps solide plongé dans un fluide subit une poussée égale et directement opposée au poids du
volume de fluide déplacé.

ATTENTION
1. pour un corps flottant, prendre le volume qui est immergé
2. la force d'Archimède passe par le centre de gravité du volume de fluide déplacé et dirigée vers le haut

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Hydraulique
Application
Masse volumique d'un corps
Un objet pèse :

dans l'eau, 540N
dans l'air, 240N

Volume ?
P = FA + T
FA = 540 – 240 = 300N
FA =

ρ ⋅g ⋅ V

D'où V =

FA =

ρ ⋅g

300
= 0.031 m3 = 31 dm3 = 31 litres
1000 ⋅ 9.81

Masse volumique ?

ρeau ⋅ g
= 1800 kg/m3
ρ = masse = P ⋅
volume g
FA

Un iceberg flottant dans l'océan

ρ glace : 912 kg/m3
ρ eau salée : 1025 kg/m3
partie visible : 600 m3 : V1
volume total de l'iceberg ?
Condition :

P = FA

poids total
(V1 + V2) ⋅
V2 = V1 ⋅

volume immergé

ρ glace ⋅ g = V2 ⋅ ρ eau salée ⋅ g

ρ glace
= 4843 m3
ρ eau salée ⋅ ρ glace

Volume iceberg = 4843 + 600 = 5443 m3

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Hydraulique
Equilibre des corps immergés

Equilibre : FA = P

et colinéaire

P : passe par le centre de gravité du solide
FA : passe par le centre de gravité du volume du fluide déplacé

C et G sur une même verticale = équilibre stable

C et G sur une même verticale = équilibre instable

C et G confondu = équilibre indifférent

Equilibre stable

Equilibre des corps flottants
Ex : une balle de ping pong.
La position relative de C et G ne suffit
pas pour déterminer l'équilibre.
C'est le métacentre.
Equilibre stable

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Hydraulique

Equation de Bernouilli
Rappel des hypothèses fondamentales

Fluide compressible :

ρ = cste
∂V = 0
∂t

Ecoulement permanent :

Force de volume due à l'apesanteur

x=0
y=0
z=0

F

hypothèse supplémentaire : intégrale de l'équation intrinsèque le long de la ligne de courant
2

ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste
2

Autre forme de l'équation :
2ème équation fondamentale de l'hydraulique

Divisant par

2

z + P + V = cste
ρ ⋅g 2⋅g

ρ ⋅g :

équation de Bernouilli ou équation
de conservation d'énergie (E.E.)

2

2

= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
2⋅g

E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1

ρ ⋅g

charge H2

charge H1

2

Plan de charge : z +

2

P +V
ρ ⋅g 2⋅g

La ligne piézométrique : z +
c'est aussi :

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V1
2⋅g
P1

ρ ⋅g

2

V2
2⋅g
P2

ρ ⋅g

P

ρ ⋅g
2
H- V
2⋅g

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Hydraulique
Interprétation énergétique
Energie de vitesse
(cinétique)

Résultat d'intégration :

2

ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste
2

Energie potentielle
Energie de pression

(de hauteur)

! ! ! conservation de l'énergie totale ! ! ! par unité de volume
Energie : Le Joule = Newton * mètres
Alors que : P= Pa = Newton
Mètre2

Application de l'équation de bernouilli
Ecoulement par un orifice
2

2

= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
2⋅g

E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1

ρ ⋅g

pATM

pATM
V1 très petit
V1/2g = 0

E.E.1-2 : (z1 - z2) 2g = V22

V2 =

∆H

2g ⋅ ∆H

formule de torriceli

Débit :

Q = V2 ⋅ S2

Equation de continuité (E.C.)

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Hydraulique

Tube de Pilot (vue en plan)

ρ ⋅ g ⋅ ∆H

1. réaction hydrostatique : p1 – p2 =

2

2

= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
2⋅g

2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1

ρ ⋅g

∆H

z1 = z2 = 0 car même altitude
V1 = déviation à 90° = 0
(ATTENTION : uniquement plan horizontal)
E.E.1-2 : P1 - P2 = V 2

ρ ⋅g

donc :

V2 =

2

d'où : ∆H = V 2

2⋅g

2

2⋅g

2 ⋅ g ⋅ ∆H

Tube de Venturi

1. réaction hydrostatique : p1 – p2 =
2

2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1

ρ ⋅g

E.E.1-2 : P1 - P2 =

ρ ⋅g

2⋅g

ρ ⋅ g ⋅ ∆H

= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g

1 ( 2 − 2)
2 ⋅ g V2 V1

ou encore :

(ATTENTION : uniquement plan horizontal)

2 ⋅ g ⋅ ∆H =V 22 −V 12

3. E.C. : Q = cste = V1 ⋅ S1 = V2 ⋅ S2

Q 2 Q 2
) −( )
S2
S1

Si on cherche le débit : 2 ⋅ g ⋅ ∆H = (

2
2 ⋅ g ⋅ ∆H = Q ( 1 2 − 1 2 )
S2 S1

2

V1
2⋅g

2

∆H

V2
2⋅g

Q = ...

P1

ρ ⋅g

P2

ρ ⋅g

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Hydraulique

Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique

2

Rappel : EE sans machine : z1 + P1 + V 1

ρ ⋅g

2⋅g

= z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
=

charge H1

charge H2

Avec machine

∆HP
∆HT

2

V1
2⋅g
pompe : H1
turbine : H1

=
=

H3 - ∆HP
H2 + ∆HT

P1

ρ ⋅g

2

z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2 ± ∆HT / P
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g

Puissance d'une turbomachine (pas de démo.)
Relier la "puissance" de la machine aux grandeurs usuelles de l'hydraulique
Puissance = Energie *

1
Temps

= Déplacement * Force *

1
Temps

Déplacement * accélération * masse *
m.

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P=

m/s2

* kg/m3

∆H

puissance :

*
*

g

*

ρ

1
Temps

* 1/s * m3
*

Q

ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ ∆ HT / P [watts]

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Hydraulique

Théorème des quantités de mouvement
Rappel mécanique : Théorème d'Euler = 2ème loi de Newton

∑F

ext

= m⋅a =

∂(m ⋅ V)
∂t

m ⋅ V : impulsion ou quantité de mouvement

Cas de l'hydraulique
Hypothèse :

- mouvement permanent
- fluide incompressible
- filet liquide sur la section droite
- pas d'écoulement à travers
le "tube" de courant

Ø = cste

V = cste

Démonstration :
Volume initial ABCD ( à l'instant t)
Volume devient A'B'C'D' ( à l'instant t + ∆t)

- par continuité : ABB'A' = CC'DD' = Q * dt
- pour écoulement permanent, quantité de mvt de A'B'CD reste le même
- la variation de quantité de mvt sera :

m1 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ
m2 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ

∂(m ⋅ V) = m2 ⋅ V2 - m1 ⋅ V1

mais :

∂(m ⋅ V) = ρ ⋅ Q ⋅ ∂t ⋅ (V2 - V1)

et comme

∑F

ext

= ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1)

∑F

ext

=

∂(m ⋅ V)
∂t

équation de quantité de mouvement
(théorème d'Euler)

forces de pesanteur

F ext =

P

K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R

force de pression

Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.
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Hydraulique
Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0)
k2
Donnée :

- déviation α
- débit Q
- section S1 et S2
k1

α

Projection sur X :

0 + k1 - k2 ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1)
0 + (p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1)

Projection sur Y :

0 + 0 - k2 ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα - 0)
0 + 0 - (p2 ⋅ S2) ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα )
2 équations à 6 inconnues ( p1, p2, V1, V2, RX, RY)

E.C. :

Q = V1 ⋅ S1

Q = V2 ⋅ S2

E.E. :

z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g

et

+ 2 équations

2

+ 1 équation

5 équations à 6 inconnues !!! pour résoudre, il faut une donnée en plus.

Force d'un jet sur un aubage mobile
Principe :

- vitesse absolue du jet V
- vitesse absolue périphérique de l'aubage u
- vitesse relative du jet par rapport à l'aubage ( V - u )
- débit reçu par l'aubage Q = S ( V - u )
- puissance de la turbine P = RX ⋅ u

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Hydraulique
Exemple : trouver la puissance d'une turbine Pelton

S = 10 cm2
direction = 150 °

u = 20 m/s
V = 45 m/s

vitesse relative : 45 – 20 = 25 m/s

α

25 ⋅ 0.0010 = 0.025 m /s
3

débit relatif :

pression = pATM = 0
E.E. : ( V - u ) = cste le long de l'aubage

- RX = ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée )

E.M. :

(V -

u ) ⋅ cosα

(V -

u)

- RX = ρ ⋅ Q(V - u ) ( cosα - 1)
puissance :

= 1167 KN

P = 1167 ⋅ 20 = 23.3 KW

Cas d'embouchement

E.M. :

∑F

ext

= ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée )

Il faut reprendre l'équation de base avec:

∑F

ext

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c'est faux d'utiliser cette équation

∂(m ⋅ V)

= ρ [ ∑(Q ⋅ Vsortie) -

∑(Q ⋅ V

Page 31

entrée

)]

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Hydraulique

Equation fluide parfait généralisé
Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant)

2
2
z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2
2⋅g
2⋅g
ρ ⋅g
ρ ⋅g

U = vitesse moyenne = Q/S

α = coefficient de Coriolis

1 < α < 2

Domaine usuel du G.C. :

1.05 < α < 1.10

Equation de quantité de mouvement

∑F

ext

= ρ ⋅ Q ⋅ (β2 ⋅ U2 - β1 ⋅ U1)

U = vitesse moyenne = Q/S

α = coefficient de Boussinesq
Domaine usuel du G.C. :

1 < β < 1.35

β = 1.05

Hydrodynamique des fluides réels
Généralité sur la viscosité
Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)

Le cylindre extérieur tourne
Le cylindre intérieur fixe grâce à une force
F : force qui empêche le cylindre intérieur de tourner
F : proportionnelle à la vitesse
F : proportionnelle à la surface (2*π*R*H)
F : inversement proportionnelle à "e"
F : lié à la nature du fluide (K)

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Hydraulique

F = V ⋅S ⋅ K
e

mais

avec les dérivées : ∂F = ∂V ⋅ ∂S ⋅ K

∂y

∂F c'est aussi la contrainte tangentielle :
∂S

τ = ∂V ⋅ K
∂y

ou encore

∂F = ∂V ⋅ K
∂S ∂y

K = coefficient de viscosité
dynamique noté aussi µ

τ = ∂V ⋅ µ
∂y

aussi

τ = grad. V ⋅ µ

Viscosité cinématique :
Par définition la viscosité cinématique : ν =

µ
ρ

Unité de viscosité dans le S.I.:

µ=

Dynamique :

τ

∂V
∂y
µ
ν=
ρ

Cinématique :

[Pa*sec.]

[m2/sec.]

Fluide Newtoniens en non-Newtoniens
(répartition de

τ

fonction de ∂V )

∂y

τ

-µ=0

axe ∂V = fluide parfait

- µ = cste

droite passant par l'origine = fluide Newtonien (eau..)

- µ ≠ cste

courbe passant par l'origine (sang, encre, lait..)

-µ= ∞

solide élastique = axe

∂y

τ

∂V
∂y

Variation de la viscosité
Influence de la pression
Influence de la température

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:
:

très faible pour les liquides
très importante
température augmente
viscosité diminue
ex. : l'huile dans une poêle

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Hydraulique

Equation de Navier-Stokes
Rappel :

fluide parfait :

ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p

forces de surface
(presion)

∂t

forces de volume
(poids)

forces d'inertie

fluide visqueux : on ajoute les forces de viscosités (efforts normaux et tangentielle)

ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f
∂t

forces de viscosités

∂V =F - 1 ⋅ grad p + ν ⋅ ∇2 ⋅ V
ρ
∂t

Les différents régimes d'écoulement

Expérience de Reynolds
"débit" faible
"débit" augmente
"débit" encore plus
"débit" encore plus plus

: le filet colorant ne se mélange pas
: le filet oscille en forme de sinusoïde
: la sinusoïde oscille
: le filet explose et se mélange

= écoulement laminaire
= écoulement critique
= écoulement turbulent

Le nombre de Reynolds
Le critère de passage d'écoulement laminaire à écoulement turbulent et inversement, c'est le nombre de
Reynolds :
Re =

Zone critique pour

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V⋅D
ν

avec D = diamètre et ν = viscosité cinématique

2'000 < Re < 5'000

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Hydraulique

Ecoulement laminaire
Intégration de Navier-Stokes

Ecoulement turbulent
Généralité
La vitesse près de la paroi change de répartition

Equations de Reynolds
On ajoute aux équations de Navier-Stokes les forces de turbulence

f ':

ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f - f '
∂t

Comme ce sont des vecteurs, on effectue ensuite la projection sur les axes.

Hydraulique des conduites (écoulement en charge)
Généralité
Domaine d'étude : conduite entièrement remplie d'un seul fluide
Hypothèse

:

fluide incompressible ρ = cste
écoulement permanent
champs d'apesanteur (X = 0; Y = 0; Z = -g)

Equation de conservation d'énergie
2
2
z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2 ± ∆HT / P + hR
2⋅g
2⋅g
ρ ⋅g
ρ ⋅g

Perte d'énergie le long de la conduite
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Hydraulique

Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)

Hypothèse :

α

2

V1
2⋅g

P1
ρ ⋅g

2

V2
2⋅g

- α et θ sont petit d'ou cosα = 1 et cosθ =1
- sinα = tgα = J
- sinθ = tgθ

τ0

P2
ρ ⋅g

V12 = z2 + P2 + V22 + h
E.E.1-2 : z1 + P1 +
R

ρ ⋅g

ρ ⋅g

2⋅g

=0

1)

θ

2⋅g
=0

hR = (z1 - z2) + P1 - P2
ρ ⋅g

E.M. projection l'axe du tuyau
périmètre du tuyau

(p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) + G ⋅ sinθ - τ0 ⋅ P ⋅ ∆L = 0

avec

∆L = z1 - z2
sinθ

ρ ⋅ g ⋅ ∆L ⋅ S

en divisant ensuite par

ρ ⋅g :

2) (z1 - z2) + P1 - P2 =

ρ ⋅g

d'où :

2

τ

⋅ P ⋅ ∆L = hR
ρ ⋅g S
0

hR = V ⋅ ∆L
g ⋅ K RH

Formule de Chézy :

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mais

τ

J= V ⋅ 1
g ⋅ K RH

c=

Page 36

0

2

hR = J
∆L

V = c ⋅ J ⋅ RH

2

=V
ρ K
S = rayon hydraulique RH
p

En hydro :

K ⋅ g = coefficient de Chézy

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Hydraulique

Equation de Darcy-Weissbach (hR)

2

2

hR = λ ⋅ L ⋅ V
D 2⋅g

λ

ou

Q
hR = λ ⋅ L ⋅
D 2 ⋅ g ⋅ S2

est sans dimension et fn(Re et rugosité relative)

En écoulement laminaire

λ

Equation de Naver-Stockes :

En écoulement turbulent lisse

=

64
Re

avec Re = V ⋅ D

ν

K=0

Equation de von Karman:

1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ 2,51 ⎞
⎟
⎜
λ
⎝ Re ⋅ λ ⎠

En écoulement turbulent rugueux K ≠ 0
Equation de Nikuradge :

1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ K ⎞
⎜ 3,7 ⋅ D ⎟
⎝
⎠
λ

Régime turbulent de transition

⎛ 2,51
Equation de Colebrook et White : 1 = - 2,0 ⋅ log ⎜
+

λ

⎝ Re ⋅ λ

K ⎞
⎟
3 ,7 ⋅ D ⎠

Diagramme de Moody
Attention, question d'examen final
Voir feuille annexe

harpe de Nikuradge

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Hydraulique
Formule de Strickler

V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2

pente de la ligne de charge
Rayon hydraulique

hR = J
L

section
périmètre mouille

Coefficient de Strickler [m1/3 / s]

30 < KS < 120

Vitesse moyenne de l'écoulement

ATTENTION : pour le calcul de conduite en nappe libre !!!

Rayon hydraulique

RH =

section
périmètre mouillé

Pour une conduite circulaire :

RH =

π ⋅ D2 ⋅ 1 = D
4
π⋅D 4

On peut toujours trouver RH pour une conduite quelconque. On remplace D par le diamètre équivalent = 4*
RH.
Ceci est satisfaisant quand la forme de la conduite s'approche d'un cercle.

Perte de charges singulières

Outre les pertes de charges linéaires, on trouve des particularité (singulières) dues :
changement de section brusque
changement de direction brusque ou de pente
vannes, grille, crépine
problème de joints : environ 2 à 5% de hR

hS =

2
ζ V

2⋅g

ζ est en fn de la géométrie et éventuellement du nombre Re

Réf. Bibliographique : Mémento des pertes de charges, éd. Eyrolles

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Hydraulique

Calcul de réseaux (principe et technique)

Conduite entre 2 réservoirs

E.E.1-2 :

2
2
z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g

=0

=0

=0

=0

hR = z1 - z2 = ∆H

D-W :

2

hR = λ ⋅ L ⋅ V
D 2⋅g

ATTENTION : la ligne de charge est indépendante de la pente du tuyau !!!

Conduite crachant " à gueule bée "

E.E.1-2 :

2
2
z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR
ρ ⋅g 2⋅g
ρ ⋅g 2⋅g

=0

=0

=0

2
hR = V2 + ∆H
2⋅g

2

D-W :

V2
2⋅g

2

hR = λ ⋅ L ⋅ V
D 2⋅g

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Page 39

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06.01.2004
Hydraulique

Conduite en série

E.C.

: Qi = cste

E.E.1-2 : z1 - z2 = ∆H = hR1 + hR2 + hR3 + hS1 + hS2

∆H = ∑ hRi + ∑ hSi
i

hS = ζ ⋅

i

2

V
2⋅g

Technique de résolution par réitération
Recherche de hR

Q, L, D, K et ν connus
Rugosité rel. =

K
D

Re =

V⋅D
ν

diagramme Moody :

λ

D – W : hR

Recherche de Q

hR, L, D, K et ν connus

calcul de la rugosité rel. =

Choix de λ

Re =

Vitesse V

V⋅D
ν

K
D

diagramme Moody :

avec λ '

λ'

λ'

=

λ

?

si oui : stop
si non
2

calcul de Q avec D – W :

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Q
hR = λ ⋅ L ⋅
D 2 ⋅ g ⋅ S2

Page 40

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06.01.2004
Hydraulique
Recherche de D

K = ? et Re = V ⋅ D = ?
D
ν

hR, L, K et ν connus

1

D – W + E.C. = D 5

2

Technique :

Re + E.C

= Re et K'
D

2

1

Q
hR = λ ⋅ L ⋅
D 2 ⋅ g ⋅ S2

2

Re =

Choix de λ

5
D =λ⋅

8 ⋅ L ⋅ Q2
g ⋅ π 2⋅ hR

V⋅D = 4⋅Q ⋅ 1
ν
π ⋅ν D
2 calcul Re et K'
D

1 calcul D

Moody :

λ'

λ'

avec λ '

=

λ

?

si oui : stop
si non

Calcul de réseaux maillé
Conduite en parallèle
Q = Q1 + Q2
A et B = noeuds

Les deux lois fondamentales de Kirchhoff

1. pour un nœud :

∑Q

entrant

=

∑Q

sortant

convention de signe : les débits entrants et sortants sont de signe contraire.
d'où :

2. pour une maille :

∑Q=0

la perte de charge est la même quel que soit l'itinéraire : hR (A-B)
convention de signe pour un itinéraire complet (A

a)

= hR (A-B)

b)

A) :

Q est > 0 s'il est choisi dans le sens positif et hR a le signe de Q
d'où :
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Environnement construit et Géoinformation

∑Q=0

Page 41

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06.01.2004
Hydraulique
Calcul d'une maille
But : trouver la répartition des débits dans les différents itinéraires
2

Q
2
hR = λ ⋅ L ⋅
= m⋅Q
D 2 ⋅ g ⋅ S2

(1)

(2)

hR = m ⋅ Q
Q

Hyp. : Choix arbitraire des répartitions Qa et Qb
Répartition exacte :

Qa' = Qa + ∆q

Avec cette répartion :

Qb' = Qb - ∆q

∑ h '=0
R

ma (Qa + ∆q) - mb (Qb - ∆q) = 0
2

Alors :

2

2 ⋅ ∆q (ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb) + ∆q 2 ( . . . ) = - ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb
2

2

2

= 0 car au carré devient très petit

2

Avec (1) :

La formule

2

ma ⋅ Qa - mb ⋅ Qb 1
∆q = ⋅
ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb 2

∆q = -

:

Avec (2) :

∆q = - hRa - hRb ⋅ 1
hRa + hRb 2
Qa Qb

∑h
2⋅∑ h
Q
Ri

Ri
i

Exemple :

Q = 200 l/s

K = 0.1 mm

L1 = 500 m
D = 30 cm

ν = 1.3*10-6 m3/s

L2 = 600 m
D = 20 cm

Tronçon
AB
BA

Q choisis [l/s]
+ 140
- 60

hR [m]
+ 5.54
- 10.17
- 4.63

hR/Q
0.0396
0.1695
0.2091

∆q [l/s]
+ 11.1
+ 11.1

Q corrigé [l/s]
+ 151.1
- 48.9
200.0

AB
BA

+ 151.1
- 48.9

+ 6.37
- 6.82
- 0.45

0.0421
0.1395
0.1816

+ 1.2
+ 1.2

+ 152.3
- 47.7
200.0

Contrôle : on calcule avec les nouveaux débits les hR jusqu'à ce qu'il soit identique.
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Environnement construit et Géoinformation

Page 42

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06.01.2004
Hydraulique

Cas de plusieurs mailles
Pour la maille 1 : terme correcteur de ∆q1
Pour la maille 2 : terme correcteur de ∆q2
ATTENTION tronçon commun AB
affecte la maille 1 de - ∆q2
affecte la maille 2 de - ∆q1

Voir exemple sur feuille annexe

Hydraulique des canaux (éc. En nappe libre)
Généralité
Définitions
Il y a une surface de liquide avec un gaz (l’air à la pATM)

But de l’étude
-

relation entre forme des frontières, débit, ligne d’eau
transformation d’énergie potentiel / cinétique
particularités d’écoulement dues à des obstacles

Classification des fluides
Ecoulement permanent :
- écoulement uniforme : section transversalle (y.c. ligne d’eau) = cste
- écoulement varié : - ec. graduellement varié : courbe de remous
- ec. brusquement varié : ressaut hydraulique

Ecoulement non permanent :
- onde de transition
- houle

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Environnement construit et Géoinformation

Page 43

WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
Hydraulique

Equations fondamentales (tjs les mêmes, mais adaptées)
Equation de continuité
Q = V⋅ S

où S n’est plus donné par le profil entier mais par la section d’eau

Equation de conservation d’énergie

Particule à la surface :
2

(z+t)
hauteur

+

0

V
2⋅g

+

pression

+

cinétique

hR

= cste

perte de charge

Hyp : V = cste dans une section transversale (α = coefficient de Coriolis = 1)

Particule dans le liquide :
( z + t’ )

+

2

P
ρ ⋅g

V +
+
2⋅g

= t’’ (idem, si R est très grand)

hR

= cste

or t’ + t’’ = t

2

(z+t)

+

V
2⋅g

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Environnement construit et Géoinformation

+

hR

= cste = H

Page 44

où H est la charge hydraulique
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06.01.2004
Hydraulique

Equation de quantité de mouvement (tjs valable)

∑F

ext

= ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1)

équation de quantité de mouvement
(théorème d'Euler)

P (poids)
force de pression K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur)
force de réaction des parois sur le fluide R
force de pesanteur

F ext =

Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes.

Ec. en charge

Ec. en nappe libre

ρ ⋅g ⋅H

p = cste

p=

Force de pression = p ⋅ S

Force de pression = pG ⋅ S

Nombre de Froude :

FR

V2 1
Force d' inertie
masse ⋅ accél. vitesse 2 1
⋅ =
⋅ =
=
=
L g
Force de gravité
masse ⋅ g
longêur g
Q2 1
Q 2 ⋅ L' 1
Q 2 ⋅ L' 1
⋅ = 2
⋅
⋅
=
S2 ⋅ L g
S3
g
S ⋅ L ⋅ L' g

FR =

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Q2 ⋅ B 1
⋅
S3
g

Page 45

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06.01.2004
Hydraulique

Ecoulement uniforme
Dans un lit prismatique (profil en travers constant)
V = cste d’une section à l’autre
E.C.

S = cste

t = cste

∂H
=0
∂x

E.E. : charge H = cste

2

H= z + t +

V + h
R
2⋅g

V2
∂(
)
∂H
∂z
∂t
∂hR
2⋅g
=
+
+
+
= 0
∂x
∂x
∂x ∂x
∂x
J = pente de la ligne de charge
-Jo = pente du lit du canal
= -Jo + 0 + 0 + J = 0
D’où

Jo = J

Conclusion :

les 3 lignes

lit du canal
ligne d’eau
ligne de charge

sont parallèles.

Lois des pertes de charges :
1. Formule de Chézy :

V = c ⋅ J ⋅ RH

RH =

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Environnement construit et Géoinformation

c = coefficient de Chézy [m1/2/s]
V = vitesse moyenne de l’écoulement
RH = rayon hydraulique
J = pente de la ligne de charge

13 (rugueux) < c < 120 (lisse)

Surface
périmètre mouillé

Page 46

WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
Hydraulique

2. Formule de Bazin
Formule de Chezy + explication de « c »

87

c=

1+

γ

où γ dépend de la nature de la paroi (0.06 (lisse) à 1.75 (rugeux))

RH

3. Formule de Strickler
RH : rayon hydraulique
J : pente de la ligne de charge

V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2

Ks : coefficient de Strickler [m1/3 / s]

Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2
rivière :
béton :

23
75

<
<

Ks
Ks

<
<

50
85

Profondeur normale

Profondeur en écoulement uniforme : t0

Loi de Strickler : Q = KS ⋅ S ⋅ RH

2/3

⋅ J1/2

en éc. uniforme J = J0 = cste

S ⋅ RH2/3 en fonction de la profondeur

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Page 47

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06.01.2004
Hydraulique
Cas particulier :

a) canal rectangulaire, infiniment large

RH =

Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2

B⋅t
=t
B+ 2⋅t

où

2 ⋅ t est négligé

Q = KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ t 2/3 ⋅ J1/2

⎛
⎞
Q
t =⎜
⎜ KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ 1/2 ⎟
⎟
J ⎠
⎝

3/5

b) canaux circulaire ou ovoïde (égouts)

Q max

= 1.6 * Q plein

Différents problèmes rencontrés

- rugosité non uniforme

⎡
⎢ P
Formule d’Einstein : K pondéré = ⎢
Pi
⎢ ∑ 3/2
⎣ Ki

⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

- lit mineur / majeur

Q =

∑

Q partiels

- lit avec méandres
mais

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Environnement construit et Géoinformation

J0 Majeur ≠ J0 Mineur

Page 48

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06.01.2004
Hydraulique

Ecoulement graduellement varié
Définition

- graduellement

∂t
est petit, donc perte de charge faible
∂L

- brusquement

∂t
est grand, donc perte de charge importante
∂L

Charge spécifique Hs

2

2
V = t + Q
Hs = t +
2⋅g
2 ⋅ g ⋅ S2

Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs »

En fonction de t (Q = cste)
ED(f) : [ 0 , ∞ ]

0

alors

Hs

∞

t

Minimum lorsque

t

∞

alors

Hs

∞

∂Hs
=0
∂t

1+

2
Q ⋅B
=0
1g ⋅ S3

B : largeur libre du canal

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

2
Q ⎛ 2 ⎞ ∂s
⋅⎜− ⎟⋅ = 0
2 ⋅ g ⎝ S3 ⎠ ∂t

Page 49

WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
Hydraulique
2
Q ⋅B
= nobre de Froude FR
g ⋅ S3

1 - FR = 0
FR = 1

Donc un minimum pour :

La valeur de « t » qui correspond à FR = 1 s’appelle : la profondeur critique « tCR »

Asymptote :

Hs
t

1

pour t

∞

d’où asymptote de pente 1

Si « t » est petit ( < tCR )

FR > 1

: éc. torrentielle

Si « t » est grand ( > tCR ) Finertie < Fgravité

FR =

Finertie > Fgravité

FR < 1

: éc. fluvial

Force d' inertie
Force de gravité

Remarque :

« tCR » est indépendant de « Jo » et « Ks »

Valeur de tCR en canal rectiligne

FR = 1

2

2
Q ⋅B
=1
g ⋅ t 3 ⋅ B3
CR

t3 =
CR

Q
g ⋅ B2

2

t CR =

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
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3

Q
g ⋅ B2

Page 50

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06.01.2004
Hydraulique

Courbes de remous
Équations fondamentales
2
2
⎛ 2 ⎞
⋅ ∂L + t + V = t + ∂t + V + ∂⎜ V ⎟ + J ⋅ ∂L
⎜ 2⋅g ⎟
2⋅g
2⋅g
⎝
⎠
2
2
⎛ V ⎞
⎛
V ⎞
(Jo - J) ⋅ ∂L = ∂t + ∂⎜
⎜ 2 ⋅ g ⎟ = ∂⎜ t + 2 ⋅ g ⎟ = ∂E
⎜
⎟
⎟
⎝
⎝
⎠
⎠

E.E1-2 = Jo

énergie
α

θ

∂E
= (Jo - J) Equation différentielle des écoulements graduellement variés
∂L

Equations différentielles dans un canal prismatique

Hyp. :

-

canal long (l’écoulement graduellement variés peut s’établir)
l’écoulement est sensiblement rectiligne et //
les vitesses en section transversale sont cste = Vmoyenne
les pente J et J0 sont faible
sinα = tgα = J ,
cosα = 1
sinθ = tgθ = J0 ,
cosθ = 1

(Jo - J) =

∂E
∂L

J −J
∂t
= 0
∂L
1 − FR
Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

(Jo - J) =

∂E ∂t
⋅
∂t ∂L

J
J0
∂t
= J0 ⋅
1 − FR
∂L
1−

ou

Page 51

WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004
Hydraulique

Etude qualitative et classification des lignes d’eau

a) rappel :

Si FR > 1
Si FR < 1

t < tCR
t > tCR

b)

Si t > t0
Si t < t0

J < J0
J > J0

t0 > tCR
t0 < tCR

c) définitions :

éc. torrentielle
éc. fluvial

le canal est une rivière
le canal est un torrent

d) convention de signe
J0 > 0 (positif)

pour un canal descendant

e) conditions aux limites
t

t0 , J

t

tCR , FR

t

∞ , FR

t = tCR

J0
1

0, J
alors :

∂t
∂L
∂t
alors :
∂L
∂t
alors :
∂L

alors :

0

0

profondeur normal est 1 asymptote

∞

tangente verticale pour la profondeur critique

J0

∂t
= J0
∂L

Illustrations en rivière

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Page 52

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06.01.2004
Hydraulique

Illustrations en torrent

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Page 53

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06.01.2004
to <=> tcr

Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud
Environnement construit et Géoinformation

Page 54

0

∞

contre pente
(to < 0)

t0

+

t0 < tCR

t0 > tCR

t0 = tCR

t0 < tCR
torrent

+
condition
descendant

+

t0 > tCR
rivière

Signe de Jo

t <=> tCR

t < tCR
t > tCR
t < tCR
t > tCR
t < tCR

+
+
-

t < t0

t < t0

t > t0

t > t0

t < t0

t < t0

t > tCR

t > tCR

+

t > t0

t > t0

t > t0

t > tCR
t < tCR

+

t < tCR

-

t < t0
-

t > tCR

-

t < t0

t < t0

t < tCR

+

t < tCR

+

t > t0

t > t0

t > tCR

Signe du
num.

t <=> t0

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Signe du
dénomina.

+

-

+

-

+

+

+

-

-

+

+

-

-

+

Signe de
dt / dL

Exhaussement

Abaissement

Exhaussement

Abaissement

Exhaussement

Exhaussement

Exhaussement

Abaissement

Exhaussement

Exhaussement

Abaissement

Exhaussement

Type de remous

A-3

A-2

H-3

H-2

C-3

C-1

T-3

Impossible

T-2

T-1

F-3

F-2

Impossible

F-1

Appel
abrégé
Schéma

Hydraulique

WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien
06.01.2004

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  • 2. Hydraulique INTRODUCTION.....................................................................5 GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS DES FLUIDES ......................................... 5 HISTORIQUE .............................................................................. 5 SYSTÈME D'UNITÉ ........................................................................ 6 PROPRIÉTÉ DES FLUIDES ............................................................... 6 Définition : solides - fluides........................................................................................................6 Masse volumique, poids volumique et densité ...........................................................................6 Pression......................................................................................................................................7 Compressibilité ...........................................................................................................................7 Viscosité .....................................................................................................................................8 Tension superficielle : capillarité.................................................................................................9 La pression de vapeur saturante ................................................................................................9 HYDROSTATIQUE ................................................................10 Définition...................................................................................................................................10 Pression en un point.................................................................................................................10 Equilibre d'un prisme ................................................................................................................10 Equation fondamentale de l'hydrostatique................................................................................11 Utilisation ..................................................................................................................................11 Différence de pression entre 2 points.......................................................................................12 Pression absolue ou relative ....................................................................................................12 Changement de référentiel de pression ...................................................................................13 Application ................................................................................................................................13 Tube en U.................................................................................................................................14 Différence de pression entre 2 réservoir ..................................................................................14 Changement de référentielle ....................................................................................................15 FORCE DE PRESSION .................................................................. 15 Poussée sur une surface plane ................................................................................................15 Crève tonneau de Pascal .........................................................................................................19 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 1 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 3. Hydraulique Vérin hydraulique......................................................................................................................19 Poussée sur une surface gauche (non plane)..........................................................................20 FORCE D'ARCHIMÈDE .................................................................. 22 Principe d'un corps immergé de forme cylindrique...................................................................22 Application ................................................................................................................................23 Un iceberg flottant dans l'océan ...............................................................................................23 Equilibre des corps immergés ..................................................................................................24 Equilibre des corps flottants .....................................................................................................24 EQUATION DE BERNOUILLI ........................................................... 25 Rappel des hypothèses fondamentales ...................................................................................25 Application de l'équation de bernouilli ......................................................................................26 Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique......................................28 THÉORÈME DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT ...................................... 29 Cas de l'hydraulique .................................................................................................................29 Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0).........................30 Force d'un jet sur un aubage mobile ........................................................................................30 Cas d'embouchement...............................................................................................................31 EQUATION FLUIDE PARFAIT GÉNÉRALISÉ ........................................... 32 Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) .................................32 Equation de quantité de mouvement........................................................................................32 HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES RÉELS .............................32 GÉNÉRALITÉ SUR LA VISCOSITÉ ..................................................... 32 Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique)..................................................32 Fluide Newtoniens en non-Newtoniens ....................................................................................33 Variation de la viscosité............................................................................................................33 EQUATION DE NAVIER-STOKES ...................................................... 34 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 2 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 4. Hydraulique LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D'ÉCOULEMENT......................................... 34 Expérience de Reynolds...........................................................................................................34 Le nombre de Reynolds ...........................................................................................................34 ECOULEMENT LAMINAIRE ............................................................. 35 ECOULEMENT TURBULENT ........................................................... 35 Généralité .................................................................................................................................35 Equations de Reynolds.............................................................................................................35 HYDRAULIQUE DES CONDUITES (ÉCOULEMENT EN CHARGE) .35 Généralité .................................................................................................................................35 Equation de conservation d'énergie .........................................................................................35 Formule de pente de charges linéaires (de Chézy)..................................................................36 EQUATION DE DARCY-WEISSBACH (HR) ............................................ 37 En écoulement laminaire ..........................................................................................................37 En écoulement turbulent lisse .................................................................................................37 En écoulement turbulent rugueux.............................................................................................37 Régime turbulent de transition..................................................................................................37 Diagramme de Moody ..............................................................................................................37 Formule de Strickler .................................................................................................................38 Rayon hydraulique....................................................................................................................38 Perte de charges singulières ....................................................................................................38 CALCUL DE RÉSEAUX (PRINCIPE ET TECHNIQUE).................................. 39 Conduite entre 2 réservoirs ......................................................................................................39 Conduite crachant " à gueule bée " ..........................................................................................39 Conduite en série .....................................................................................................................40 TECHNIQUE DE RÉSOLUTION PAR RÉITÉRATION ................................... 40 Recherche de hR.......................................................................................................................40 Recherche de Q .......................................................................................................................40 Recherche de D........................................................................................................................41 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 3 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 5. Hydraulique CALCUL DE RÉSEAUX MAILLÉ ........................................................ 41 Conduite en parallèle................................................................................................................41 Les deux lois fondamentales de Kirchhoff................................................................................41 Calcul d'une maille ...................................................................................................................42 Cas de plusieurs mailles...........................................................................................................43 HYDRAULIQUE DES CANAUX (ÉC. EN NAPPE LIBRE) ..............43 GÉNÉRALITÉ ............................................................................ 43 Définitions.................................................................................................................................43 But de l’étude............................................................................................................................43 Classification des fluides ..........................................................................................................43 EQUATIONS FONDAMENTALES (TJS LES MÊMES, MAIS ADAPTÉES)............. 44 Equation de continuité ..............................................................................................................44 Equation de conservation d’énergie .........................................................................................44 Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ....................................................................45 Nombre de Froude : FR............................................................................................................45 ECOULEMENT UNIFORME.............................................................. 46 Lois des pertes de charges : ....................................................................................................46 Profondeur normale..................................................................................................................47 Différents problèmes rencontrés ..............................................................................................48 ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIÉ .............................................. 49 Définition...................................................................................................................................49 Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs ».......................................................................49 Valeur de tCR en canal rectiligne ...............................................................................................50 COURBES DE REMOUS ................................................................ 51 Équations fondamentales .........................................................................................................51 Equations différentielles dans un canal prismatique ................................................................51 Etude qualitative et classification des lignes d’eau...................................................................52 Illustrations en rivière................................................................................................................52 Illustrations en torrent ...............................................................................................................53 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 4 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 6. Hydraulique Introduction Hydraulique Mécanique des fluides Mécanique Physique Hydrostatique Cinématique Dynamique Fluide parfait (viscosité nulle) Ecoulement en charge Ecoulement en nappe libre Fluide réel (écoulement permanent = indép. du temps) Généralités et propriétés des fluides Bibliographie : Hydraulique générale et appliquée (Carlier, éd. Eyrolles) Manuel d’hydraulique générale (Lencastre, éd. Eyrolle) Mécanique des fluides et hydraulique (R.V Gile) Fluid mechanics (V. Streeter anglais) Traité de génie civil (Gref et Altinater) Historique Haute antiquité dès 4’000 ans avant J.C en Mésopotamie en Egypte avec un barrage sur le nil. Le puits de Joseph au Caire de 90m de profondeur. Civilisation grecque : Ecole d’Alexandrie Archimède : 287 – 212 avant J.C Ctésibios : Pompe aspirante – refoulante Hydraule (orgue) Moyen âge : Rien Renaissance : 1452 – 1519 Léonard de Vinci : Equation de continuité Siècle des lumières : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Vis d’Archimède Le principe d’Archimède Théorie des corps flottants Stevin (Hollande) Paradoxe de l’hydrostatique Louis 14 Torricelli Pascal (traité des liqueurs) Newton (liquide Newtoniens viscosité) Page 5 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 7. Hydraulique 18ème siècles : Théorie : Bernoulli : Euler : Hydraulique appliquée : Equation de conservation de l’énergie Equation de quantité de mouvement Chézy (perte de charge) 19ème siècles : machine hydro : essai sur modèle : Temps moderne : école de Götting, Prandtl essai sur modèle Francis (turbine) Froude, Reynolds Système d'unité Cours de M. Métroz + brochure UBS Système légal : Système I international S.I. Unité encore tolérée : (pas dans le SI) - litre = 1 dcm3 Km/h Car heure au lieu de secondes KW h bar (pression) grade mm de mercure (Hg) Propriété des fluides Définition : solides - fluides Un fluide : milieu matériel continu déformable (sans rigidité) Liquide : occupe un volume déterminé, peu modifiable par la température et la pression séparation par "la surface libre" d'avec le gaz qui le surmonte Gaz : occupe tout l'espace à disposition, pas forcément uniforme, et le volume est fortement modifiable par la température et la pression Masse volumique, poids volumique et densité La masse volumique est la masse d'un corps par unité de volume et noté S.I. : masse Volume kg m3 Poids volumique : poids par unité de volume S.I. : Poids Volume Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ [rhô] γ [gamma] N m3 Page 6 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 8. Hydraulique Relation : Poids = Masse X Accélération Champs terrestre : Poids = Masse X g Poids = Masse X g Volume Volume Par unité de volume : ce qui donne : γ = ρ x g Densité : rapport entre le poids d'un corps et le poids d'un corps de référence ayant le même volume - eau (4°) : ρ = 1000 kg/m3 γ = 9807 N/ m3 - air (20°): Quelques valeurs: ρ= 1.20 kg/m3 ρ diminue avec la température (portance des avions pays chaud) - mercure (0°) : - mercure (20°) : ρ= ρ= 13595 kg/m3 13546 kg/m3 Pression L'ensemble des phénomènes liés aux forces de contacts transmises d'un élément à un élément Pression : p = force de surface Surface [Pa] Contrainte : p = force Surface résistance des matériaux Unité tolérée : le bar [N] [m2] 1 bar = 105 Pa Compressibilité C'est la possibilité de se déformer, en présence de forces extérieures ∆ pression ∆ volume volume init. Module de compressibilité : E = Quelques valeurs : - eau (15°) : - air (15°) : E à une unité de pression (Pa, N/m2) E = 2.16 * 109 N/m2 E = 1.13 * 105 N/m2 E = 1.58 * 105 N/m2 (isotherme) (adiabatique) sans échange de chaleur Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 7 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 9. Hydraulique Vitesse de propagation d'une onde de pression c= E (isotherme) ρ ceau = 1470 m/s cair = 300 m/s Viscosité Existence d'efforts tangentiels dans un fluide Viscosité dynamique : F = ∂v ⋅ ∂s ⋅ µ ∂x µ : coefficient de viscosité dynamique [Pa*s] si µ = 0 fluide parfait si µ = cste fluide newtonien (ex: l'eau) µ ρ Viscosité cinématique : υ= Quelques valeurs: - eau (15°) : µ = 1.14*10-3 Pa*s ν = 1.14*10-6 m2/s - air (15°): µ= ν= µeau νeau Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation > < ν [nû] = m2/s 1.78*10-5 Pa*s 1.55*10-5 m2/s µair νair Page 8 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 10. Hydraulique Tension superficielle : capillarité A la surface d'un liquide, pas d'équilibre de la particule (dissymétrie des fores) σ= travail = force ⋅ déplacement [j] surface surface [m2] σ [sigma] = travail nécessaire pour rester à la surface Utilisation capillarité : h = 2 ⋅σ cos θ ρ ⋅g⋅r Loi de Jurin : h=k r Quelques valeurs: - mercure : - eau : k = cste en fonction du liquide r = diamètre du tube σ= θ= σ= θ= 0.514 N/m 140° k ≅ -14 mm2 0.0736 N/m 0° k ≅ 30 mm2 La pression de vapeur saturante Si la pression augmente, la température d'ébullition augmente. (stérilisation) Si la pression diminue, la transformation du liquide se fait à une chaleur inférieure. (ébullition à température ambiante) Cavitation : Si la vitesse augmente cela diminue la pression et on a une ébullition à une température ambiante. Lorsque que la vitesse diminue la pression ré augmente et il y a une implosion des bulles de vapeur, ce qui provoque une usure. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 9 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 11. Hydraulique Hydrostatique Définition Science qui étudie les conditions des fluides au repos : - pression - force de pression - principe d'Archimède Pression en un point Les différentes forces agissantes sur un élément : Forces intérieur : elles forment un système équivalent à zéro (aucune action) Forces extérieurs : - pour qu'elle soit significative, il faut que les éléments soient très proche l'un de l'autre (force de surface) - Force de volume, lié au champ : -pesanteur - magnétique - électromagnétique Equilibre d'un prisme Relation géométrique Dx = dl * cosα Dz = dl * sinα Poids : P = ½ * (dx * dy * dz) * g * ρ Condition d'équilibre : ∑F =0 Projection sur l'axe X . 0 + dF2 – dF3 * sinα + 0 = 0 p2 *(dz * dy) – p3 *sinα *(dz/sinα) = 0 p2 = p 3 Projection sur l'axe Y : DF1 + 0 – dF3 * cosα - P = 0 p1 *(dx * dy) – p3 *cosα *(dx/cosα) –(½ * (dx * dy * dz) * g * ρ) = 0 p1 = p 3 Infiniment petit donc négligé Conclusion : elles sont donc (dFi) toutes perpendiculaires à la surface, sinon la composante tangentielle entraînerait un glissement des particules. (donc mouvement d'où pas d'hydrostatique) les coefficients p (pression) sont les mêmes dans toutes les directions Forces de pression : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation dF = p * ds Page 10 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 12. Hydraulique Equation fondamentale de l'hydrostatique Equilibre d'un cylindre à axe vertical : équilibre des forces et projection sur l'axe Oz dF2 = p ⋅ ds dF1 = (p + ∂p ⋅ dz) ⋅ ds ∂z dF2 – dF1 – P = 0 ( p ⋅ ds ) – ( (p + ( P = g ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds ∂p ⋅ dz) ⋅ ds ) – ( z ⋅ ρ ⋅ dz ⋅ ds ) = 0 ∂z ∂p ⋅ dz) - (z ⋅ρ ) = 0 ∂z Forme différentielle ∂p )- ρ ⋅x =0 ∂z ∂p ( )-ρ ⋅y =0 ∂z ∂p ( )- ρ ⋅z =0 ∂z ( Donc pression en point p 2 - p1 = ρ ⋅ g (z1 - z2) Utilisation Plan de charge = indication de la pression H= p ρ ⋅g H Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 11 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 13. Hydraulique Différence de pression entre 2 points pA + ρ ⋅ g ⋅ zA = pB + ρ ⋅ g ⋅ zB pB - pA = ρ ⋅ g ⋅ (zA - zB) d'où pB > pA Principe de Pascal pB - p A = ρ ⋅ g (zA - zB) On modifie la pression en A de ∆ pA sans modifier l'équilibre du système donc la pression en B est modifiée de ∆ pB (pB + ∆ pB ) – (pA + ∆ pA )= ρ ⋅ g (zA - zB) ∆ pB = ∆ pA Dans un fluide incompressible au repos les va rations de pression se transmette intégralement en tout point de la masse du fluide. Pression absolue ou relative Expérience de Torricelli zA + p ρ A Hg = zB + p ρ pA = pATM pATM = ρ B Hg pB = vide = 0 Hg ⋅ g (zB - zA) A Yverdon : zB - zA = 0.72 m de Hg donc pATM = 0.72*9.81*13'600 = 96'000 Pa ρ Hg = 13'600 Kg/m3 Au niveau de la mer, latitude moyenne (45°) avec du mercure à 0° : zB - zA = 0.76 m de Hg donc pATM = 0.76*9.806*13'595 = 101'324 Pa = 1.013 bar 101'324 Pa = ρ eau ⋅ g ⋅ Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ∆z ∆z = 10.33 m. correspond à la hauteur du tube remplis d'eau. Page 12 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 14. Hydraulique Changement de référentiel de pression pression absolue : pression avec le vide comme référence vide = 0 pression relative : pression avec pATM comme référence pATM = 0 Application Liquides superposé (non miscible : pas mélangeable) ρ1 < ρ2 < ρ3 ρ1 ρ ρ en pression relative : pATM = 0 2 3 ρ 1 ⋅ g ( zA - zB) pB + ρ 2 ⋅ g ( zB - zC) p B + pC + ρ 3 ⋅ g ( zC - zD) Pression au point D : avec pA = 0 pB - p A = pC - p B = pD - p C = pD = ρ 1 ⋅ g (zA - zB) ρ 2 ⋅ g (zB - zC) ρ 3 ⋅ g (zC - zD) ρ 1 ⋅ g (zA - zB) + ρ Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ 1 ⋅ g (zA - zB) pC = pB + ρ 2 ⋅ g (zB - zC) pD = pB + pC + ρ 3 ⋅ g (zC - zD) pB = 2 ⋅ g (zB - zC) + ρ 3 ⋅ g (zC - zD) Page 13 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 15. Hydraulique Tube en U Egalité de pression : 1 pB = pA (on peut passer de A à B sans changer de pression) pA = pATM + ρ 1⋅g⋅ pB = pATM + ρ 2 ⋅ g ⋅ zB 1 ρ 1⋅g⋅ ρ 1⋅ zA = zA = zA ρ 2 ⋅ g ⋅ zB ρ 2 ⋅ zB Différence de pression entre 2 réservoir px - p y = ? 1 p 4 = p5 2 p 4 = px + 3 p 5 = py + 1 px + ρ x ⋅g⋅ ρ y ⋅g⋅ ρ x ⋅g⋅ px - p y = + pour des gaz, Lx Ly + Lx = p y + ρ y ⋅g⋅ Ly ρ ρ x et ρ ⋅ g ⋅ ∆h ρ y ⋅ g ⋅ Ly + ρ ⋅ g ⋅ ∆ h ρ x ⋅ g ⋅ L + ρ ⋅ g ⋅ ∆h x x sont petit face à px - p y = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ mercure ρ ⋅ g ⋅ ∆h Page 14 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 16. Hydraulique Changement de référentielle - surface de référence : la surface libre du liquide - pression de référence : pATM = 0 - axe vertical 'h' : positif vers le bas Relation fondamentale p + ρ ⋅ g ⋅ z = cste , mais avec z = - h p - ρ ⋅ g ⋅ h = cste Entre A et B pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pB - ρ ⋅ g ⋅ hB pA - pB = ρ ⋅ g ⋅ (hA – hB) Entre A et C pA - ρ ⋅ g ⋅ hA = pC - ρ ⋅ g ⋅ hC hc = 0 pC = pATM = 0 pA = ρ ⋅ g ⋅ hA p = ρ ⋅g⋅ h h= p ρ ⋅g Force de pression Poussée sur une surface plane Paroi plane horizontale dF = p ⋅ ds = ( ρ ⋅ g ⋅ h) ⋅ ds ∫ dF = F ∫ ( ρ ⋅g⋅ h) ⋅ ds = ρ ⋅ g ⋅ h ∫ ds = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S D'où F= Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ρ ⋅g⋅ h ⋅ S Page 15 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 17. Hydraulique Paroi plane verticale, de profondeur B = cste F= = ∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅ ρ ⋅g⋅ B h2 ∫ h) ⋅ ds ds = (B ⋅ dh) h ⋅ dh h1 = = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 1 h2 2 h2 h1 ρ ⋅ g ⋅ ( h1+h2 ) ⋅ B ⋅ (h2 - h1) 2 pression moyenne surface F = pmoyenne ⋅ S Paroi plane inclinée a) intensité de la force F= = ∫ dF = ∫ ( ρ ⋅ g ⋅ h) ⋅ ds = ∫ ρ ⋅ g ⋅ L ⋅ sinα ⋅ ds ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds définit la position du centre de gravité = ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ LG ⋅ S = ρ ⋅ g ⋅ hG ⋅ S = pG ⋅ S F = pG ⋅ S Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation pression au centre de gravité de la surface S Page 16 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 18. Hydraulique b) direction de la force - toutes les dF sont perpendiculaire au plan de la surface - donc elles sont parallèles entre elles - et donc F est perpendiculaire au plan de la surface c) point d'application de la force (F) : centre de poussée "c" ∫ dM = F ⋅ LC calcul de d'où ∫ dM = ∫ dF ⋅ L= = Donc LC = LC = ∫ ρ ⋅g⋅ ∫dM F L2 ⋅ sinα ⋅ ds ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds ρ ⋅ g ⋅ sinα ⋅ ∫ L2 ⋅ ds = ρ ⋅ g ⋅ sinα ∫ L ⋅ ds IOO' IOO' S ⋅ LG = inertie de la surface par rapport à l'axe OO' IOO' = IGG + S ⋅ L2G LC = On montre que : IOO' = IGG + LG S ⋅ LG S ⋅ LG LC - L G = LC = L G + inertie par rapport à un axe passant par G et // à OO' IGG S ⋅ LG IGG S ⋅ LG LC - L G ≥ 0 La figure à un axe de symétrie // à l'axe 'L' et 'C' est sur une // à l'axe 'L' passant par 'G' Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 17 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 19. Hydraulique Paroi rectangulaire : hauteur h, largeur B ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ (B ⋅ h) 2 1 ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ h2 = 2 Force : F = pG ⋅ S = Position : LC - L G = IGG S ⋅ LG B ⋅ h3 12 = (B ⋅ h) ⋅ h 2 = h 6 d'où C – A = h - h - h = 2 6 h 3 Vanne circulaire : Rayon R, centre O à la hauteur h de la surface, point O = G Force : F = pG ⋅ S = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ π ⋅ R2 Position : LC - LG = hC - hG = IGG S ⋅ LG = π ⋅ R4 ⋅ 1 4 π ⋅ R 2 ⋅ hG = R 4 ⋅ hG Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation 2 Page 18 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 20. Hydraulique Crève tonneau de Pascal Liquide : 10-2 [dm2] ⋅ 100 = 1 [dm3] = 1 litre Augmentation de pression : ρ ⋅ g ⋅ ∆h ≅ 104 ⋅ 10 = 105 Pa Augmentation de force ∆p ⋅ S = 105 ⋅ 1 ⋅ 0.1 = 104 N Charge normale : ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ S = 104 ⋅ 0.5 ⋅ 0.1 = 250 KN Paradoxe de l'hydraulique (by Stevin) Vérin hydraulique 2 portions dans le même plan horizontal avec la pression p p= f = F s S d'où : F = S ⋅f s volume du fluide : s ⋅ l = S ⋅ L travail à gauche : f⋅ l = p⋅ s⋅ l conservation du travail travail à droite : F ⋅ L = p ⋅ s ⋅ S ⋅ L = p ⋅ s ⋅ l s Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 19 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 21. Hydraulique Poussée sur une surface gauche (non plane) Les dF ne sont plus // entre elles. La somme des dF ne donne pas (en générale) une force unique. On définit une force dans une direction donnée Intensité de ces forces (composante horizontale et verticale) dFX = dF ⋅ cosα = dF = dFX dFZ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ cosα ds projeté sur le plan verticale = dSV FX = ∫ ∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSV dFX = FX = = ρ ⋅ g ∫ hGV ⋅ dSV = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = pGV ⋅ SV hGV : distance du centre de gravité de la projection de la hauteur sur un plan vertical jusqu'au plan de pression nul SV : surface projetée sur le plan vertical FX : passe par le centre de poussée de SV dFZ = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ ds ⋅ sinα ds projeté sur le plan horizontale = dSH FZ = ∫ dFZ = ∫ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dSH = ρ ⋅ g ∫ h ⋅ dSH = ρ ⋅ g ⋅ V FZ = ρ ⋅g ⋅ V = P V : volume compris entre la surface et le plan de pression nulle FX passe par le centre de poussée de SV Cas particuliers Si la surface S possède un centre de courbure fixe (cylindre ou sphère), toutes les forces (F) passent par ce centre et donc la résultante passe aussi par ce point. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 20 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 22. Hydraulique Paroi de ¼ de cylindre (profondeur B = 1m.) 2 FX = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B 2 2 FZ = ρ ⋅g⋅π ⋅R ⋅B F= 2 4 ρ ⋅ g ⋅ R2 ⋅ B ⋅ 1 + π tgα = 4 2 16 FZ = π FX 2 Vanne hydraulique, liquide à gauche (B =1m.) FX = 2 ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B 2 FZ = ρ ⋅ g ⋅ B (R 2− π ⋅ R 2) = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ 2 (1 − π ) R 4 4 1 ⎛ π + ⎜1 − F = ρ ⋅g⋅R ⋅B⋅ 4 ⎜ 4 ⎝ 2 tgα = ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2 FZ = 2(1 − π ) FX 4 Vanne hydraulique, liquide à droite (B = 1m.) 2 FX = ρ ⋅ g ⋅ hGV ⋅ SV = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ (R ⋅ B) = ρ ⋅ g ⋅ R ⋅ B 2 2 FZ = ρ ⋅ g ⋅ B (R 2− π ⋅ R ) 2 4 = ρ ⋅ g ⋅ B ⋅ R 2 (1 − π ) 4 La force FZ passe par le centre de poussée de SV et est dirigée vers le haut. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 21 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 23. Hydraulique Force d'Archimède Principe d'un corps immergé de forme cylindrique On circonscrit au corps immergé un cylindre d'axe vertical de hauteur H A : volume compris entre le solide et le cylindre, en bas : poids P1 B : volume compris entre le solide et le cylindre, en haut : poids P2 Forces agissant sur les volume A et B 1 - F1 - P1 + p1 ⋅ S = 0 2 F2 - P2 - p2 ⋅ S = 0 PAR DEFINITION : on appelle force d'Archimède FA, la différence entre les forces F1 et F2 FA = F1 – F2 Volume de FA = (- P1 + p1 ⋅ S) - (P2 + p2 ⋅ S) = S⋅ ρ ⋅ g ⋅ H - (P1 + P2) FA = ρ ⋅g ⋅ V V : volume immergé du solide Tout corps solide plongé dans un fluide subit une poussée égale et directement opposée au poids du volume de fluide déplacé. ATTENTION 1. pour un corps flottant, prendre le volume qui est immergé 2. la force d'Archimède passe par le centre de gravité du volume de fluide déplacé et dirigée vers le haut Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 22 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 24. Hydraulique Application Masse volumique d'un corps Un objet pèse : dans l'eau, 540N dans l'air, 240N Volume ? P = FA + T FA = 540 – 240 = 300N FA = ρ ⋅g ⋅ V D'où V = FA = ρ ⋅g 300 = 0.031 m3 = 31 dm3 = 31 litres 1000 ⋅ 9.81 Masse volumique ? ρeau ⋅ g = 1800 kg/m3 ρ = masse = P ⋅ volume g FA Un iceberg flottant dans l'océan ρ glace : 912 kg/m3 ρ eau salée : 1025 kg/m3 partie visible : 600 m3 : V1 volume total de l'iceberg ? Condition : P = FA poids total (V1 + V2) ⋅ V2 = V1 ⋅ volume immergé ρ glace ⋅ g = V2 ⋅ ρ eau salée ⋅ g ρ glace = 4843 m3 ρ eau salée ⋅ ρ glace Volume iceberg = 4843 + 600 = 5443 m3 Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 23 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 25. Hydraulique Equilibre des corps immergés Equilibre : FA = P et colinéaire P : passe par le centre de gravité du solide FA : passe par le centre de gravité du volume du fluide déplacé C et G sur une même verticale = équilibre stable C et G sur une même verticale = équilibre instable C et G confondu = équilibre indifférent Equilibre stable Equilibre des corps flottants Ex : une balle de ping pong. La position relative de C et G ne suffit pas pour déterminer l'équilibre. C'est le métacentre. Equilibre stable Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 24 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 26. Hydraulique Equation de Bernouilli Rappel des hypothèses fondamentales Fluide compressible : ρ = cste ∂V = 0 ∂t Ecoulement permanent : Force de volume due à l'apesanteur x=0 y=0 z=0 F hypothèse supplémentaire : intégrale de l'équation intrinsèque le long de la ligne de courant 2 ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste 2 Autre forme de l'équation : 2ème équation fondamentale de l'hydraulique Divisant par 2 z + P + V = cste ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g : équation de Bernouilli ou équation de conservation d'énergie (E.E.) 2 2 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 2⋅g E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g charge H2 charge H1 2 Plan de charge : z + 2 P +V ρ ⋅g 2⋅g La ligne piézométrique : z + c'est aussi : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation V1 2⋅g P1 ρ ⋅g 2 V2 2⋅g P2 ρ ⋅g P ρ ⋅g 2 H- V 2⋅g Page 25 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 27. Hydraulique Interprétation énergétique Energie de vitesse (cinétique) Résultat d'intégration : 2 ρ ⋅ g ⋅ z + P + ρ ⋅ V = cste 2 Energie potentielle Energie de pression (de hauteur) ! ! ! conservation de l'énergie totale ! ! ! par unité de volume Energie : Le Joule = Newton * mètres Alors que : P= Pa = Newton Mètre2 Application de l'équation de bernouilli Ecoulement par un orifice 2 2 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 2⋅g E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g pATM pATM V1 très petit V1/2g = 0 E.E.1-2 : (z1 - z2) 2g = V22 V2 = ∆H 2g ⋅ ∆H formule de torriceli Débit : Q = V2 ⋅ S2 Equation de continuité (E.C.) Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 26 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 28. Hydraulique Tube de Pilot (vue en plan) ρ ⋅ g ⋅ ∆H 1. réaction hydrostatique : p1 – p2 = 2 2 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 2⋅g 2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g ∆H z1 = z2 = 0 car même altitude V1 = déviation à 90° = 0 (ATTENTION : uniquement plan horizontal) E.E.1-2 : P1 - P2 = V 2 ρ ⋅g donc : V2 = 2 d'où : ∆H = V 2 2⋅g 2 2⋅g 2 ⋅ g ⋅ ∆H Tube de Venturi 1. réaction hydrostatique : p1 – p2 = 2 2. E.E.1-2 : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g E.E.1-2 : P1 - P2 = ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅ g ⋅ ∆H = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g 1 ( 2 − 2) 2 ⋅ g V2 V1 ou encore : (ATTENTION : uniquement plan horizontal) 2 ⋅ g ⋅ ∆H =V 22 −V 12 3. E.C. : Q = cste = V1 ⋅ S1 = V2 ⋅ S2 Q 2 Q 2 ) −( ) S2 S1 Si on cherche le débit : 2 ⋅ g ⋅ ∆H = ( 2 2 ⋅ g ⋅ ∆H = Q ( 1 2 − 1 2 ) S2 S1 2 V1 2⋅g 2 ∆H V2 2⋅g Q = ... P1 ρ ⋅g P2 ρ ⋅g Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 27 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 29. Hydraulique Généralisation de l'équation de Bernouilli avec machine hydraulique 2 Rappel : EE sans machine : z1 + P1 + V 1 ρ ⋅g 2⋅g = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g = charge H1 charge H2 Avec machine ∆HP ∆HT 2 V1 2⋅g pompe : H1 turbine : H1 = = H3 - ∆HP H2 + ∆HT P1 ρ ⋅g 2 z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2 ± ∆HT / P ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g Puissance d'une turbomachine (pas de démo.) Relier la "puissance" de la machine aux grandeurs usuelles de l'hydraulique Puissance = Energie * 1 Temps = Déplacement * Force * 1 Temps Déplacement * accélération * masse * m. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation P= m/s2 * kg/m3 ∆H puissance : * * g * ρ 1 Temps * 1/s * m3 * Q ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ ∆ HT / P [watts] Page 28 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 30. Hydraulique Théorème des quantités de mouvement Rappel mécanique : Théorème d'Euler = 2ème loi de Newton ∑F ext = m⋅a = ∂(m ⋅ V) ∂t m ⋅ V : impulsion ou quantité de mouvement Cas de l'hydraulique Hypothèse : - mouvement permanent - fluide incompressible - filet liquide sur la section droite - pas d'écoulement à travers le "tube" de courant Ø = cste V = cste Démonstration : Volume initial ABCD ( à l'instant t) Volume devient A'B'C'D' ( à l'instant t + ∆t) - par continuité : ABB'A' = CC'DD' = Q * dt - pour écoulement permanent, quantité de mvt de A'B'CD reste le même - la variation de quantité de mvt sera : m1 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ m2 = Q ⋅ ∂t ⋅ρ ∂(m ⋅ V) = m2 ⋅ V2 - m1 ⋅ V1 mais : ∂(m ⋅ V) = ρ ⋅ Q ⋅ ∂t ⋅ (V2 - V1) et comme ∑F ext = ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1) ∑F ext = ∂(m ⋅ V) ∂t équation de quantité de mouvement (théorème d'Euler) forces de pesanteur F ext = P K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur) force de réaction des parois sur le fluide R force de pression Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 29 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 31. Hydraulique Effort exercé par un coude de canalisation (coude horizontal d'où Poids = 0) k2 Donnée : - déviation α - débit Q - section S1 et S2 k1 α Projection sur X : 0 + k1 - k2 ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1) 0 + (p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) ⋅ cosα - RX = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ cosα- V1) Projection sur Y : 0 + 0 - k2 ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα - 0) 0 + 0 - (p2 ⋅ S2) ⋅ sinα + RY = ρ ⋅ Q(V2 ⋅ sinα ) 2 équations à 6 inconnues ( p1, p2, V1, V2, RX, RY) E.C. : Q = V1 ⋅ S1 Q = V2 ⋅ S2 E.E. : z1 + P1 + V 1 = z2 + P2 + V 2 ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g et + 2 équations 2 + 1 équation 5 équations à 6 inconnues !!! pour résoudre, il faut une donnée en plus. Force d'un jet sur un aubage mobile Principe : - vitesse absolue du jet V - vitesse absolue périphérique de l'aubage u - vitesse relative du jet par rapport à l'aubage ( V - u ) - débit reçu par l'aubage Q = S ( V - u ) - puissance de la turbine P = RX ⋅ u Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 30 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 32. Hydraulique Exemple : trouver la puissance d'une turbine Pelton S = 10 cm2 direction = 150 ° u = 20 m/s V = 45 m/s vitesse relative : 45 – 20 = 25 m/s α 25 ⋅ 0.0010 = 0.025 m /s 3 débit relatif : pression = pATM = 0 E.E. : ( V - u ) = cste le long de l'aubage - RX = ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée ) E.M. : (V - u ) ⋅ cosα (V - u) - RX = ρ ⋅ Q(V - u ) ( cosα - 1) puissance : = 1167 KN P = 1167 ⋅ 20 = 23.3 KW Cas d'embouchement E.M. : ∑F ext = ρ ⋅ Q(Vsortie - Ventrée ) Il faut reprendre l'équation de base avec: ∑F ext Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation c'est faux d'utiliser cette équation ∂(m ⋅ V) = ρ [ ∑(Q ⋅ Vsortie) - ∑(Q ⋅ V Page 31 entrée )] WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 33. Hydraulique Equation fluide parfait généralisé Equation de conservation d'énergie (intégrée par une ligne de courant) 2 2 z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2 2⋅g 2⋅g ρ ⋅g ρ ⋅g U = vitesse moyenne = Q/S α = coefficient de Coriolis 1 < α < 2 Domaine usuel du G.C. : 1.05 < α < 1.10 Equation de quantité de mouvement ∑F ext = ρ ⋅ Q ⋅ (β2 ⋅ U2 - β1 ⋅ U1) U = vitesse moyenne = Q/S α = coefficient de Boussinesq Domaine usuel du G.C. : 1 < β < 1.35 β = 1.05 Hydrodynamique des fluides réels Généralité sur la viscosité Expérience de couette (viscosité dynamique et cinématique) Le cylindre extérieur tourne Le cylindre intérieur fixe grâce à une force F : force qui empêche le cylindre intérieur de tourner F : proportionnelle à la vitesse F : proportionnelle à la surface (2*π*R*H) F : inversement proportionnelle à "e" F : lié à la nature du fluide (K) Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 32 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 34. Hydraulique F = V ⋅S ⋅ K e mais avec les dérivées : ∂F = ∂V ⋅ ∂S ⋅ K ∂y ∂F c'est aussi la contrainte tangentielle : ∂S τ = ∂V ⋅ K ∂y ou encore ∂F = ∂V ⋅ K ∂S ∂y K = coefficient de viscosité dynamique noté aussi µ τ = ∂V ⋅ µ ∂y aussi τ = grad. V ⋅ µ Viscosité cinématique : Par définition la viscosité cinématique : ν = µ ρ Unité de viscosité dans le S.I.: µ= Dynamique : τ ∂V ∂y µ ν= ρ Cinématique : [Pa*sec.] [m2/sec.] Fluide Newtoniens en non-Newtoniens (répartition de τ fonction de ∂V ) ∂y τ -µ=0 axe ∂V = fluide parfait - µ = cste droite passant par l'origine = fluide Newtonien (eau..) - µ ≠ cste courbe passant par l'origine (sang, encre, lait..) -µ= ∞ solide élastique = axe ∂y τ ∂V ∂y Variation de la viscosité Influence de la pression Influence de la température Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation : : très faible pour les liquides très importante température augmente viscosité diminue ex. : l'huile dans une poêle Page 33 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 35. Hydraulique Equation de Navier-Stokes Rappel : fluide parfait : ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p forces de surface (presion) ∂t forces de volume (poids) forces d'inertie fluide visqueux : on ajoute les forces de viscosités (efforts normaux et tangentielle) ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f ∂t forces de viscosités ∂V =F - 1 ⋅ grad p + ν ⋅ ∇2 ⋅ V ρ ∂t Les différents régimes d'écoulement Expérience de Reynolds "débit" faible "débit" augmente "débit" encore plus "débit" encore plus plus : le filet colorant ne se mélange pas : le filet oscille en forme de sinusoïde : la sinusoïde oscille : le filet explose et se mélange = écoulement laminaire = écoulement critique = écoulement turbulent Le nombre de Reynolds Le critère de passage d'écoulement laminaire à écoulement turbulent et inversement, c'est le nombre de Reynolds : Re = Zone critique pour Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation V⋅D ν avec D = diamètre et ν = viscosité cinématique 2'000 < Re < 5'000 Page 34 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 36. Hydraulique Ecoulement laminaire Intégration de Navier-Stokes Ecoulement turbulent Généralité La vitesse près de la paroi change de répartition Equations de Reynolds On ajoute aux équations de Navier-Stokes les forces de turbulence f ': ρ ∂V = ρ ⋅ F - grad p - f - f ' ∂t Comme ce sont des vecteurs, on effectue ensuite la projection sur les axes. Hydraulique des conduites (écoulement en charge) Généralité Domaine d'étude : conduite entièrement remplie d'un seul fluide Hypothèse : fluide incompressible ρ = cste écoulement permanent champs d'apesanteur (X = 0; Y = 0; Z = -g) Equation de conservation d'énergie 2 2 z1 + P1 + α1 ⋅ U1 = z2 + P2 + α2 ⋅ U2 ± ∆HT / P + hR 2⋅g 2⋅g ρ ⋅g ρ ⋅g Perte d'énergie le long de la conduite Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 35 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 37. Hydraulique Formule de pente de charges linéaires (de Chézy) Hypothèse : α 2 V1 2⋅g P1 ρ ⋅g 2 V2 2⋅g - α et θ sont petit d'ou cosα = 1 et cosθ =1 - sinα = tgα = J - sinθ = tgθ τ0 P2 ρ ⋅g V12 = z2 + P2 + V22 + h E.E.1-2 : z1 + P1 + R ρ ⋅g ρ ⋅g 2⋅g =0 1) θ 2⋅g =0 hR = (z1 - z2) + P1 - P2 ρ ⋅g E.M. projection l'axe du tuyau périmètre du tuyau (p1 ⋅ S1) - (p2 ⋅ S2) + G ⋅ sinθ - τ0 ⋅ P ⋅ ∆L = 0 avec ∆L = z1 - z2 sinθ ρ ⋅ g ⋅ ∆L ⋅ S en divisant ensuite par ρ ⋅g : 2) (z1 - z2) + P1 - P2 = ρ ⋅g d'où : 2 τ ⋅ P ⋅ ∆L = hR ρ ⋅g S 0 hR = V ⋅ ∆L g ⋅ K RH Formule de Chézy : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation mais τ J= V ⋅ 1 g ⋅ K RH c= Page 36 0 2 hR = J ∆L V = c ⋅ J ⋅ RH 2 =V ρ K S = rayon hydraulique RH p En hydro : K ⋅ g = coefficient de Chézy WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 38. Hydraulique Equation de Darcy-Weissbach (hR) 2 2 hR = λ ⋅ L ⋅ V D 2⋅g λ ou Q hR = λ ⋅ L ⋅ D 2 ⋅ g ⋅ S2 est sans dimension et fn(Re et rugosité relative) En écoulement laminaire λ Equation de Naver-Stockes : En écoulement turbulent lisse = 64 Re avec Re = V ⋅ D ν K=0 Equation de von Karman: 1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ 2,51 ⎞ ⎟ ⎜ λ ⎝ Re ⋅ λ ⎠ En écoulement turbulent rugueux K ≠ 0 Equation de Nikuradge : 1 = - 2,0 ⋅ log ⎛ K ⎞ ⎜ 3,7 ⋅ D ⎟ ⎝ ⎠ λ Régime turbulent de transition ⎛ 2,51 Equation de Colebrook et White : 1 = - 2,0 ⋅ log ⎜ + λ ⎝ Re ⋅ λ K ⎞ ⎟ 3 ,7 ⋅ D ⎠ Diagramme de Moody Attention, question d'examen final Voir feuille annexe harpe de Nikuradge Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 37 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 39. Hydraulique Formule de Strickler V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2 pente de la ligne de charge Rayon hydraulique hR = J L section périmètre mouille Coefficient de Strickler [m1/3 / s] 30 < KS < 120 Vitesse moyenne de l'écoulement ATTENTION : pour le calcul de conduite en nappe libre !!! Rayon hydraulique RH = section périmètre mouillé Pour une conduite circulaire : RH = π ⋅ D2 ⋅ 1 = D 4 π⋅D 4 On peut toujours trouver RH pour une conduite quelconque. On remplace D par le diamètre équivalent = 4* RH. Ceci est satisfaisant quand la forme de la conduite s'approche d'un cercle. Perte de charges singulières Outre les pertes de charges linéaires, on trouve des particularité (singulières) dues : changement de section brusque changement de direction brusque ou de pente vannes, grille, crépine problème de joints : environ 2 à 5% de hR hS = 2 ζ V 2⋅g ζ est en fn de la géométrie et éventuellement du nombre Re Réf. Bibliographique : Mémento des pertes de charges, éd. Eyrolles Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 38 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 40. Hydraulique Calcul de réseaux (principe et technique) Conduite entre 2 réservoirs E.E.1-2 : 2 2 z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g =0 =0 =0 =0 hR = z1 - z2 = ∆H D-W : 2 hR = λ ⋅ L ⋅ V D 2⋅g ATTENTION : la ligne de charge est indépendante de la pente du tuyau !!! Conduite crachant " à gueule bée " E.E.1-2 : 2 2 z1 + P1 + V1 = z2 + P2 + V2 + hR ρ ⋅g 2⋅g ρ ⋅g 2⋅g =0 =0 =0 2 hR = V2 + ∆H 2⋅g 2 D-W : V2 2⋅g 2 hR = λ ⋅ L ⋅ V D 2⋅g Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 39 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 41. Hydraulique Conduite en série E.C. : Qi = cste E.E.1-2 : z1 - z2 = ∆H = hR1 + hR2 + hR3 + hS1 + hS2 ∆H = ∑ hRi + ∑ hSi i hS = ζ ⋅ i 2 V 2⋅g Technique de résolution par réitération Recherche de hR Q, L, D, K et ν connus Rugosité rel. = K D Re = V⋅D ν diagramme Moody : λ D – W : hR Recherche de Q hR, L, D, K et ν connus calcul de la rugosité rel. = Choix de λ Re = Vitesse V V⋅D ν K D diagramme Moody : avec λ ' λ' λ' = λ ? si oui : stop si non 2 calcul de Q avec D – W : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Q hR = λ ⋅ L ⋅ D 2 ⋅ g ⋅ S2 Page 40 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 42. Hydraulique Recherche de D K = ? et Re = V ⋅ D = ? D ν hR, L, K et ν connus 1 D – W + E.C. = D 5 2 Technique : Re + E.C = Re et K' D 2 1 Q hR = λ ⋅ L ⋅ D 2 ⋅ g ⋅ S2 2 Re = Choix de λ 5 D =λ⋅ 8 ⋅ L ⋅ Q2 g ⋅ π 2⋅ hR V⋅D = 4⋅Q ⋅ 1 ν π ⋅ν D 2 calcul Re et K' D 1 calcul D Moody : λ' λ' avec λ ' = λ ? si oui : stop si non Calcul de réseaux maillé Conduite en parallèle Q = Q1 + Q2 A et B = noeuds Les deux lois fondamentales de Kirchhoff 1. pour un nœud : ∑Q entrant = ∑Q sortant convention de signe : les débits entrants et sortants sont de signe contraire. d'où : 2. pour une maille : ∑Q=0 la perte de charge est la même quel que soit l'itinéraire : hR (A-B) convention de signe pour un itinéraire complet (A a) = hR (A-B) b) A) : Q est > 0 s'il est choisi dans le sens positif et hR a le signe de Q d'où : Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation ∑Q=0 Page 41 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 43. Hydraulique Calcul d'une maille But : trouver la répartition des débits dans les différents itinéraires 2 Q 2 hR = λ ⋅ L ⋅ = m⋅Q D 2 ⋅ g ⋅ S2 (1) (2) hR = m ⋅ Q Q Hyp. : Choix arbitraire des répartitions Qa et Qb Répartition exacte : Qa' = Qa + ∆q Avec cette répartion : Qb' = Qb - ∆q ∑ h '=0 R ma (Qa + ∆q) - mb (Qb - ∆q) = 0 2 Alors : 2 2 ⋅ ∆q (ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb) + ∆q 2 ( . . . ) = - ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb 2 2 2 = 0 car au carré devient très petit 2 Avec (1) : La formule 2 ma ⋅ Qa - mb ⋅ Qb 1 ∆q = ⋅ ma ⋅ Qa + mb ⋅ Qb 2 ∆q = - : Avec (2) : ∆q = - hRa - hRb ⋅ 1 hRa + hRb 2 Qa Qb ∑h 2⋅∑ h Q Ri Ri i Exemple : Q = 200 l/s K = 0.1 mm L1 = 500 m D = 30 cm ν = 1.3*10-6 m3/s L2 = 600 m D = 20 cm Tronçon AB BA Q choisis [l/s] + 140 - 60 hR [m] + 5.54 - 10.17 - 4.63 hR/Q 0.0396 0.1695 0.2091 ∆q [l/s] + 11.1 + 11.1 Q corrigé [l/s] + 151.1 - 48.9 200.0 AB BA + 151.1 - 48.9 + 6.37 - 6.82 - 0.45 0.0421 0.1395 0.1816 + 1.2 + 1.2 + 152.3 - 47.7 200.0 Contrôle : on calcule avec les nouveaux débits les hR jusqu'à ce qu'il soit identique. Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 42 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 44. Hydraulique Cas de plusieurs mailles Pour la maille 1 : terme correcteur de ∆q1 Pour la maille 2 : terme correcteur de ∆q2 ATTENTION tronçon commun AB affecte la maille 1 de - ∆q2 affecte la maille 2 de - ∆q1 Voir exemple sur feuille annexe Hydraulique des canaux (éc. En nappe libre) Généralité Définitions Il y a une surface de liquide avec un gaz (l’air à la pATM) But de l’étude - relation entre forme des frontières, débit, ligne d’eau transformation d’énergie potentiel / cinétique particularités d’écoulement dues à des obstacles Classification des fluides Ecoulement permanent : - écoulement uniforme : section transversalle (y.c. ligne d’eau) = cste - écoulement varié : - ec. graduellement varié : courbe de remous - ec. brusquement varié : ressaut hydraulique Ecoulement non permanent : - onde de transition - houle Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 43 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 45. Hydraulique Equations fondamentales (tjs les mêmes, mais adaptées) Equation de continuité Q = V⋅ S où S n’est plus donné par le profil entier mais par la section d’eau Equation de conservation d’énergie Particule à la surface : 2 (z+t) hauteur + 0 V 2⋅g + pression + cinétique hR = cste perte de charge Hyp : V = cste dans une section transversale (α = coefficient de Coriolis = 1) Particule dans le liquide : ( z + t’ ) + 2 P ρ ⋅g V + + 2⋅g = t’’ (idem, si R est très grand) hR = cste or t’ + t’’ = t 2 (z+t) + V 2⋅g Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation + hR = cste = H Page 44 où H est la charge hydraulique WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 46. Hydraulique Equation de quantité de mouvement (tjs valable) ∑F ext = ρ ⋅ Q ⋅ (V2 - V1) équation de quantité de mouvement (théorème d'Euler) P (poids) force de pression K (= force nécessaire pour maintenir le liquide à l'intérieur) force de réaction des parois sur le fluide R force de pesanteur F ext = Rem. : c'est une équation vectorielle, donc pour l'utiliser, il faut faire les projections sur les axes. Ec. en charge Ec. en nappe libre ρ ⋅g ⋅H p = cste p= Force de pression = p ⋅ S Force de pression = pG ⋅ S Nombre de Froude : FR V2 1 Force d' inertie masse ⋅ accél. vitesse 2 1 ⋅ = ⋅ = = = L g Force de gravité masse ⋅ g longêur g Q2 1 Q 2 ⋅ L' 1 Q 2 ⋅ L' 1 ⋅ = 2 ⋅ ⋅ = S2 ⋅ L g S3 g S ⋅ L ⋅ L' g FR = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Q2 ⋅ B 1 ⋅ S3 g Page 45 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 47. Hydraulique Ecoulement uniforme Dans un lit prismatique (profil en travers constant) V = cste d’une section à l’autre E.C. S = cste t = cste ∂H =0 ∂x E.E. : charge H = cste 2 H= z + t + V + h R 2⋅g V2 ∂( ) ∂H ∂z ∂t ∂hR 2⋅g = + + + = 0 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x J = pente de la ligne de charge -Jo = pente du lit du canal = -Jo + 0 + 0 + J = 0 D’où Jo = J Conclusion : les 3 lignes lit du canal ligne d’eau ligne de charge sont parallèles. Lois des pertes de charges : 1. Formule de Chézy : V = c ⋅ J ⋅ RH RH = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation c = coefficient de Chézy [m1/2/s] V = vitesse moyenne de l’écoulement RH = rayon hydraulique J = pente de la ligne de charge 13 (rugueux) < c < 120 (lisse) Surface périmètre mouillé Page 46 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 48. Hydraulique 2. Formule de Bazin Formule de Chezy + explication de « c » 87 c= 1+ γ où γ dépend de la nature de la paroi (0.06 (lisse) à 1.75 (rugeux)) RH 3. Formule de Strickler RH : rayon hydraulique J : pente de la ligne de charge V = KS ⋅ RH2/3 ⋅ J1/2 Ks : coefficient de Strickler [m1/3 / s] Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2 rivière : béton : 23 75 < < Ks Ks < < 50 85 Profondeur normale Profondeur en écoulement uniforme : t0 Loi de Strickler : Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2 en éc. uniforme J = J0 = cste S ⋅ RH2/3 en fonction de la profondeur Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 47 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 49. Hydraulique Cas particulier : a) canal rectangulaire, infiniment large RH = Q = KS ⋅ S ⋅ RH 2/3 ⋅ J1/2 B⋅t =t B+ 2⋅t où 2 ⋅ t est négligé Q = KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ t 2/3 ⋅ J1/2 ⎛ ⎞ Q t =⎜ ⎜ KS ⋅ (B ⋅ t) ⋅ 1/2 ⎟ ⎟ J ⎠ ⎝ 3/5 b) canaux circulaire ou ovoïde (égouts) Q max = 1.6 * Q plein Différents problèmes rencontrés - rugosité non uniforme ⎡ ⎢ P Formule d’Einstein : K pondéré = ⎢ Pi ⎢ ∑ 3/2 ⎣ Ki ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ - lit mineur / majeur Q = ∑ Q partiels - lit avec méandres mais Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation J0 Majeur ≠ J0 Mineur Page 48 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 50. Hydraulique Ecoulement graduellement varié Définition - graduellement ∂t est petit, donc perte de charge faible ∂L - brusquement ∂t est grand, donc perte de charge importante ∂L Charge spécifique Hs 2 2 V = t + Q Hs = t + 2⋅g 2 ⋅ g ⋅ S2 Courbe d’égal débit « étude de la fonction Hs » En fonction de t (Q = cste) ED(f) : [ 0 , ∞ ] 0 alors Hs ∞ t Minimum lorsque t ∞ alors Hs ∞ ∂Hs =0 ∂t 1+ 2 Q ⋅B =0 1g ⋅ S3 B : largeur libre du canal Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation 2 Q ⎛ 2 ⎞ ∂s ⋅⎜− ⎟⋅ = 0 2 ⋅ g ⎝ S3 ⎠ ∂t Page 49 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 51. Hydraulique 2 Q ⋅B = nobre de Froude FR g ⋅ S3 1 - FR = 0 FR = 1 Donc un minimum pour : La valeur de « t » qui correspond à FR = 1 s’appelle : la profondeur critique « tCR » Asymptote : Hs t 1 pour t ∞ d’où asymptote de pente 1 Si « t » est petit ( < tCR ) FR > 1 : éc. torrentielle Si « t » est grand ( > tCR ) Finertie < Fgravité FR = Finertie > Fgravité FR < 1 : éc. fluvial Force d' inertie Force de gravité Remarque : « tCR » est indépendant de « Jo » et « Ks » Valeur de tCR en canal rectiligne FR = 1 2 2 Q ⋅B =1 g ⋅ t 3 ⋅ B3 CR t3 = CR Q g ⋅ B2 2 t CR = Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation 3 Q g ⋅ B2 Page 50 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 52. Hydraulique Courbes de remous Équations fondamentales 2 2 ⎛ 2 ⎞ ⋅ ∂L + t + V = t + ∂t + V + ∂⎜ V ⎟ + J ⋅ ∂L ⎜ 2⋅g ⎟ 2⋅g 2⋅g ⎝ ⎠ 2 2 ⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ (Jo - J) ⋅ ∂L = ∂t + ∂⎜ ⎜ 2 ⋅ g ⎟ = ∂⎜ t + 2 ⋅ g ⎟ = ∂E ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ E.E1-2 = Jo énergie α θ ∂E = (Jo - J) Equation différentielle des écoulements graduellement variés ∂L Equations différentielles dans un canal prismatique Hyp. : - canal long (l’écoulement graduellement variés peut s’établir) l’écoulement est sensiblement rectiligne et // les vitesses en section transversale sont cste = Vmoyenne les pente J et J0 sont faible sinα = tgα = J , cosα = 1 sinθ = tgθ = J0 , cosθ = 1 (Jo - J) = ∂E ∂L J −J ∂t = 0 ∂L 1 − FR Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation (Jo - J) = ∂E ∂t ⋅ ∂t ∂L J J0 ∂t = J0 ⋅ 1 − FR ∂L 1− ou Page 51 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 53. Hydraulique Etude qualitative et classification des lignes d’eau a) rappel : Si FR > 1 Si FR < 1 t < tCR t > tCR b) Si t > t0 Si t < t0 J < J0 J > J0 t0 > tCR t0 < tCR c) définitions : éc. torrentielle éc. fluvial le canal est une rivière le canal est un torrent d) convention de signe J0 > 0 (positif) pour un canal descendant e) conditions aux limites t t0 , J t tCR , FR t ∞ , FR t = tCR J0 1 0, J alors : ∂t ∂L ∂t alors : ∂L ∂t alors : ∂L alors : 0 0 profondeur normal est 1 asymptote ∞ tangente verticale pour la profondeur critique J0 ∂t = J0 ∂L Illustrations en rivière Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 52 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 54. Hydraulique Illustrations en torrent Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 53 WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004
  • 55. to <=> tcr Ecole d’ingénieurs du Canton de Vaud Environnement construit et Géoinformation Page 54 0 ∞ contre pente (to < 0) t0 + t0 < tCR t0 > tCR t0 = tCR t0 < tCR torrent + condition descendant + t0 > tCR rivière Signe de Jo t <=> tCR t < tCR t > tCR t < tCR t > tCR t < tCR + + - t < t0 t < t0 t > t0 t > t0 t < t0 t < t0 t > tCR t > tCR + t > t0 t > t0 t > t0 t > tCR t < tCR + t < tCR - t < t0 - t > tCR - t < t0 t < t0 t < tCR + t < tCR + t > t0 t > t0 t > tCR Signe du num. t <=> t0 + - + - + - + - + - + - + - + Signe du dénomina. + - + - + + + - - + + - - + Signe de dt / dL Exhaussement Abaissement Exhaussement Abaissement Exhaussement Exhaussement Exhaussement Abaissement Exhaussement Exhaussement Abaissement Exhaussement Type de remous A-3 A-2 H-3 H-2 C-3 C-1 T-3 Impossible T-2 T-1 F-3 F-2 Impossible F-1 Appel abrégé Schéma Hydraulique WILDBOLZ Antoine, FORRE Fabien 06.01.2004