hydraulique en charge pour les étudiants

ECOULEMENT EN CHARGE
BNIAICHE EL Amine
Octobre 2013
(Régime permanent)

• Introduction
• Principes fondamentaux
• Dynamique des fluides parfaits
• Dynamique des fluides réels
• Courbes caractéristiques du réseau de conduites
• Diagramme des énergies

Description du mouvement des particules fluides au sein d'un écoulement, en le
reliant aux différentes forces en présence. L'objectif est donc de mettre en place une
équation qui puisse rendre compte du lien entre toutes les grandeurs intervenant
dans l'écoulement: vitesse, pression, forces de volume et de frottement (viscosité).
I- Introduction
Dans ce type d’écoulement , le fluide remplit complètement la canalisation, c’est le cas
notamment des réseaux d’irrigation sous pression et d’eau potable aussi bien que les circuits
des installations hydrauliques.
Nous étudierons les cas des conduites en parallèle et en série
Approche méthodologique
On définira les écoulements en charge en faisant un rappel des principes de la
mécanique des fluides qui s’appliquent à ces écoulements.
On passera les moyens d’évaluer les pertes de charge dans les conduites et dans
divers composants tels que des coudes , des vannes, etc
Nous verrons comment établir la ligne de charge d’un circuit hydraulique ce qui
sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique.

II.1.1- Forces de volume
II.1- Forces de volume, Forces d’inertie, Forces de pression normales, Forces
de surface et tenseur des contraintes
Il s'agit principalement du poids d’un volume dV de fluide
g
dV
g
dm 


V
F
d
II.1.2- Forces d’inertie
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dt
t
v
v
d












La dérivée particulaire de v s’écrit:
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
dt
dz
z
v
dt
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
dt
v
d
z
y
x 























Considérons la vitesse d’une particule )
,
,
,
( z
y
x
t
v
II- Principes fondamentaux

v
)
(
espace)
l'
dans
(variation
convective
on
accélérati
d'
temps)
le
dans
(variation
pure
on
accélérati
d'
Forces










Forces
v
dV
t
v
dV
dV
dt
v
d
F
d i 




 


 Les forces d’inertie peuvent s’écrire:
II.1.3- Forces de pression normales (forces normales aux surfaces)
Considérons, un élément de volume fluide de forme parallélépipédique et de
volume dV=dx dy dz
Si l’on note dFz la composante suivant Z de
la force de pression
dxdy
dz
z
p
dxdy
z
p
dF
dz
z
p
z
p
z 


















)
(
)
(
)
(
dV
z
p
dxdydz
z
p
dFz 
























v
dV grad
v
dV
t
v
i
F
d 
 



D’où:

Par analogie, suivant les autres directions, on trouve :
dV
y
p
dxdydz
y
p
dF
dV
x
p
dxdydz
x
p
dF y
x 














































 et
dV
p
grad
-
dV
p
- 


F
d
II.1.4- Forces de surface et tenseur des contraintes
Les forces de frottement (viscosité) s'exerçant entre les particules fluides en
mouvement relatif associées aux forces de pression normales aux surfaces, forment
des contraintes comportant une composante normale (perpendiculaire à la
surface) et une composante tangentielle (parallèle à la surface).
dV
e
z
p
e
y
p
e
x
p
F
d
F
d
F
d
F
d z
y
x
z
y
x 




















Il existe des forces de surface normales
et tangentielles dans le cas suivant :

La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de deux couches
s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence
de vitesse des couches soit v, à leur surface S et inversement proportionnelle à z :
z
v
S
F


 

Les forces de surfaces sont normales dans les cas suivants :
Résumé
: Contrainte normale à la surface
 : Contrainte tangentielle à la surface

z
zx
y
yx
x
xx e
e
e
x
T 

 


De manière analogue, si l'on considère les contraintes s'exerçant sur des surfaces
perpendiculaires aux axes y et z:
z
zz
y
yz
x
xz e
e
e 

 

Contrainte appliquée en un point d’une surface perpendiculaire à l’axe x.
Par convention, le premier indice indique la
direction portant la composante alors que le
second indice se réfère à la normale à la surface
subissant la contrainte.
z
zy
y
yy
x
xy e
e
e 

 


y
T

z
T
dS
T
F
d n


Contrainte s'exerçant sur une surface d'orientation quelconque z
z
y
y
x
x e
n
e
n
e
n
n 


z
y
x
T T
;
T
;
z
z
y
y
x
x
n T
n
T
n
T
n
T 


)
(
)
(
)
(
z
zz
y
yz
x
xz
z
z
zy
y
yy
x
xy
y
z
zx
y
yx
x
xx
x
n
e
e
e
n
e
e
e
n
e
e
e
n
T


















 
 
 
















z
zz
z
zy
y
zx
x
y
yz
z
yy
y
yx
x
x
xz
z
xy
y
xx
x
n
e
n
n
n
e
n
n
n
e
n
n
n
T









C’est une combinaison linéaire de
n
T
n
n
n
z
y
x
zx
yx
xx
.
zz
yz
xz
zy
yy
xy






































Contraintes normales
Contraintes tangentielles Tenseur des contraintes








 





 


 

 






 


 



 


 



 


 










































P
P
yx
xz
xy
xx
P
T
s
T
T
zz
zy
zx
yz
yy
viscosité
de
s
contrainte
des
Tenseur
ou
nulle
trace
de
déviateur
Tenseur
unité
Tenseur
1
0
0
0
1
0
0
0
1
sphérique
Tenseur
P
P
P
-
0
0
0
P
-
0
0
0
'











 Les forces de volumes (Fv):
- Les forces de pesanteur provenant de la gravité: g
dV
v


F
d
 Les forces de surfaces (Fs):
- Les forces de pression : agissant perpendiculairement à la surface d’un fluide.
-Les forces de frottement de viscosité : dues à la viscosité
L'ensemble des forces de surface s'exercent sur les 6 faces du parallélépipède et
donnent nécessairement 3 composantes :
z
y
x e
dF
e
dF
e
dF
F
d
Sz
Sy
Sx
S



II.2- Équation fondamentale de la dynamique
Choisissons un élément de volume parallélépipède
rectangle de dont l'accélération vaut
dans un champ de pesanteur
dxdydz
dV 
dt
v
d
z
e
g
g 

L'application du PFD conduit donc à :
dt
v
d
dV
F
d
F
d S
V




Par exemple, la face supérieure (située à de normale est
soumise à une contrainte
dz
z  z
e
n 

z
zz
y
yz
x
xz
z e
e
e
T 

 


dont la contribution selon se résume à:
y
e
   
dz
z
yz 

  dxdz
dz
z
yz 

En terme de force , la contribution correspond à:
Analysons la composante dFsy :
Chacune des 6 faces est soumise à une contrainte dont une des 3 composantes contribue à dFSy
dans la direction ēy

dxdy
dxdz
dydz
dF
z
yz
dz
z
yz
y
yy
dy
y
yy
x
yx
dx
x
yx
Sy 



































































 )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(







Sx
dF
        dzdy
dxdy
dxdz
x
zx
dx
x
zx
y
zz
dz
z
zz
y
zy
dy
y
zy 




 






 
























 )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(






   
      dxdz
dydz
dxdy
y
xy
dy
y
xy
x
xx
dx
x
xx
xz
dz
z
xz z 


























 




 )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 






Sz
dF

Par analogie:
Faisons un développement limité de premier ordre pour dFSy:
    )
(
)
(
dx
x
yx
yx
yx x
dx
x 
















 dydz dxdydz
z
dxdydz
y
dx
x
dF
yz
yy
yx
Sy



dV
z
y
x
dF zz
zy
zx
Sz 



















F
dt
v
d
dV
F
d
d V
S


 z
y
x e
dF
e
dF
e
dF
F
d
Sz
Sy
Sx
S



Reprenons l’Equation fondamentale de la dynamique:
dV
z
y
x
dF
yz
yy
yx
Sy 



















dV
z
y
x
dF xz
xy
xx
Sx 



















    )
(
)
(
dy
y
yy
yy
yy y
dy
y 







    dz
z
yz
yz
yz z
dz
z 






 )
(
)
(
Ainsi,

Une simplification d'écriture de dFS conduit à formuler:
À ce stade, il convient de développer le tenseur des contraintes pour faire apparaître explicitement
les contraintes normales ainsi que les contraintes de viscosité. On utilise donc :
pour obtenir l'équation fondamentale de la dynamique des fluides :
Il reste alors à reprendre l'équation rendant compte du PFD :
dt
v
d
dV
dt
v
d
dV
F
d
d V
s g
dV
dV
T
F 

 





où, par simplification, le volume n'intervient plus. On obtient donc une équation locale :
dt
v
d
g
T 
 


T'
p
T 





dt
v
d
g 
 




 T'
p































































 dV
dV
zz
xy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
s
z
y
x
z
y
x
z
y
x
F
d


















dV
T

T

Cas particulier:
Dans le cas particulier d'un fluide au repos (accélération nulle) pour lequel la viscosité est
négligeable , soumis au champ de pesanteur on retrouve logiquement l'équation
fondamentale de l'hydrostatique:
L’équation fondamentale de la dynamique des fluides va donc
pouvoir servir de base générale pour établir des formulations
plus spécifiques liées à la nature même du fluide (parfait,
visqueux, newtonien...) ou aux différents types d'écoulement
(laminaire, turbulent, stationnaire...).
0
T' 
g
p
grad
ou
0
g
p
T'
p 


 











dt
v
d
g
Cste
gz
p 
 



 0
)
( gdz
dp 



 z
e
g
g
En posant: g
z
p
y
p
x
p











;
0
;
0

II.3- Mouvement et déformations d'une particule fluide
Au sein de l'écoulement, chaque particule fluide subit des changements de position,
d'orientation et de forme. L'analyse de ces changements peut s'appuyer sur la
comparaison des vitesses de deux points voisins appartenant à la même particule :
considérons un point dont la vitesse est et un point
dont la vitesse est
)
,
,
( z
y
x
M
)
,
,
(
' dz
z
dy
y
dx
x
M 


)
,
,
( w
v
u
v M
)
'
,
'
,
'
(
'
w
v
u
v M
'
MM
r
d 
Posons on peut alors écrire
)
(
)
(
' v
d
v
v
d
r
r
d
r
M
M
v
v
v 





:
Par simple projection sur les axes d'un repère cartésien, un développement limité
au premier ordre permet d'expliciter chacune des trois composantes de la vitesse
en M’ avec notamment l'accroissement de vitesse par rapport à celle en M :

Toutes les informations concernant les déformations sont alors contenues dans
les éléments de ce tenseur. Il convient donc d'identifier chacun de ces éléments.









































dz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
w
w
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
v
v
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
u
u
'
'
'

  
r
d
G
v
v
dz
dy
dx
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
w
v
u
w
v
u
r
r
d
r







































































 


 



 

)
(
)
(
'
'
'
r
d
.
G
)
(
)
(
)
(





r
r
r
d
r
v
v v
d
v
Donc:
ns
déformatio
des
Tenseur
:
G

Supposons que seuls les éléments diagonaux du tenseur G soient non nuls et
raisonnons, pour simplifier, à deux dimensions (écoulement plan perpendiculaire à
l'axe z). Une particule bidimensionnelle, rectangulaire, de surface dxdy
dS 
)
,
x
u
udt
(dx
D'
;
)
,
(
'
)
,
x
u
udt
(dx
B'
;
)
,
(
'
dydt
y
v
vdt
dy
dxdt
dydt
y
v
vdt
dy
udt
C
vdt
dxdt
vdt
udt
A
















A- Termes d'élongation


 


 

G
z
w
y
v
x
u


























0
0
0
0
0
0
La particule a globalement subi une translation, qu’elle reste de forme rectangulaire
mais présente une élongation (ou contraction) :
y
axe
l'
suivant
y
v
et
x
axe
l'
suivant
x
u
dydt
dxdt





Supposons maintenant que seuls les éléments en dehors de la diagonale soient
non nuls dans le tenseur G des taux de déformation, et raisonnons encore une fois
à deux dimensions à partir d'une particule rectangulaire ABCD :
Il apparaît clairement une modification des angles en plus de la translation globale déjà
observée. Cette déformation peut se formaliser au moyen de deux angles d et d.
Si d=d alors  le tenseur est symétrique : c’est une déformation angulaire pure
Si d=-d alors  le tenseur est asymétrique: c’est une rotation pure
B- Termes de déformation angulaire et rotation



 



 

G
y
w
x
w
z
v
x
v
z
u
y
u
































0
0
0
)
,
y
u
udt
(dx
D'
;
)
,
(
'
)
x
v
vdt
udt,
(dx
B'
;
)
,
(
'
dxdt
x
v
vdt
dy
dydt
vdt
dy
dydt
y
u
udt
C
dxdt
vdt
udt
A
















y
u





x
v
y
u






x
v

angles opposés :
y
u
d
d









x
v


Résumé de l'ensemble des
déplacements et déformations
caractérisés par le tenseur
qu'une particule fluide subit
simultanément au sein d'un
écoulement.
G














 











 











 










 




 



 

es)
asymétriqu
angulaires
ns
déformatio
(
otations
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
s)
symétrique
angulaires
ns
déformatio
s
contration
ou
ns
(élongatio
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
pures
r
des
Tenseur
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
pures
ns
déformatio
des
enseur
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
y
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
T
e
G































































































































































































































































Elongations ou contractions
Déformations
angulaires
symétriques
Déformations
angulaires
asymétriques
=
Rotations pures










































































































































0
0
-
0
x
x
y
z
es)
asymétriqu
angulaires
ns
déformatio
(
otations
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
y
z
pures
r
des
Tenseur
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u











 











 


Composantes du vecteur tourbillon 
On a donc ainsi complètement défini le mouvement et la déformation d'une particule
fluide, en termes de simple translation, élongation-contraction, déformation angulaire
et rotation, en développant l'expression de l'accroissement de vitesse v
d
 
  










pures
pures
pures
pures
.
)
(
.
)
(
)
(
v
.
)
(
)
(
v
rotations
ns
déformatio
n
translatio
rotations
ns
déformatio
n
translatio
r
d
r
d
e
r
v
r
d
r
d
e
r
v
r
d
r
r
d
G
r
v
r
d
r
v
d












 

L'équation de continuité est d'intérêt très général puisqu'elle traduit le principe de
conservation de la masse au sein d'un écoulement. L'établissement de cette
équation locale repose sur un bilan de masse de fluide au sein d'un élément de
volume pendant un temps élémentaire dt
II.4- Équation de continuité
On considère alors un élément de volume
parallélépipédique: dV= dxdydz de masse m= dxdydz
La variation de la masse pendant dt:
dtdV
t
dt
d







t
m
m
Le bilan de masse pendant le temps dt sur les 3 directions
(différences entre les masses entrantes et les masses sortantes
sur les 6 faces du parallélépipède) donne:
   
   
   dVdt
y
v
dxdydzdt
y
v
dxdzdt
v
dxdzdt
v
d
masse
dxdzdt
dy
y
v
dxdzdt
y
v
entrante
masse
dy
y
y 























 




 



 


 





 sortante
.
y
m
Par analogie, selon les deux autres directions (x et z)on trouve :
 dVdt
x
u
d





x
m
 dVdt
z
w
d





z
m

Par conséquent, la variation de masse due aux débits massiques à travers les 6 faces
se formule :
     
dVdt
v
div
dVdt
v
dVdt
w
v
u
d
d
d











































z
y
x
m
m
m z
y
x
Finalement la variation de masse du volume dV pendant le temps dt est :
dm dVdt
v
div
dVdt
v
dVdt
t




















 


0










v
div
t


ou Equation de continuité
Cas particuliers:
• Si l'écoulement est stationnaire ou permanent (aucune variation dans le temps des
différentes grandeurs caractérisant l'écoulement et le fluide), alors on a :
0
0 










v
div
t


• Si le fluide est incompressible , alors sa masse volumique est une constante (ne
dépendant ni du temps, ni des coordonnées de l'espace) ; dans ce cas :
0







v
div

Par définition, les fluides « Newtoniens » sont ceux pour lesquels les
composantes du tenseur des contraintes de viscosité dépendent
linéairement des composantes du tenseur des taux de déformation pure et non
de la rotation et de la translation de l’élément de fluide. C'est notamment le cas
pour la plupart des fluides usuels.
.
II.5- Fluides newtoniens et équation de Navier-Stokes
'
T e
Le coefficient de proportionnalité n'est autre que la viscosité du fluide  (viscosité
dynamique) . Ainsi, il est possible de revenir à une notation tensorielle formulant
simplement :
e
T 
2
' 
Reprenons désormais l'équation fondamentale de la dynamique pour la reconsidérer
dans l'hypothèse d'un fluide newtonien :
e
2
T'
avec
T'
p 

 






dt
v
d
g
ou: e
2
p
dt
v
d
g 

 






L'équation fondamentale de la dynamique prend donc la forme simplifiée suivante :
p
dt
v
d
g
v 

 




 Equation de Navier- Stokes
L'exploitation de cette formule (constituant l'équation fondamentale à partir de
laquelle la plupart des écoulements pourront être décrits) implique le développement
de l'expression du terme d'accélération. En effet, l'écoulement pouvant être non
stationnaire, le vecteur vitesse peut, en un point fixe varier dans le temps
(accélération instantanée). Par ailleurs, il faut que l'accélération puisse rendre
compte de l'évolution du vecteur vitesse lorsqu'une particule fluide se déplace d'un
point à un autre (accélération convective). Ces deux types d'accélération vont ainsi
pouvoir être pris en compte à travers la notion de dérivée particulaire du vecteur
vitesse : v
)
v
(
t
v





dt
v
d
Pour un fluide incompressible, on démontre que : v
2
1
e 


Le laplacien

Ainsi, l'équation de Navier-Stokes peut s'écrire explicitement de la manière suivante :
v
)
(
p 








 v
t
v
g
v 



Ainsi, dans un repère cartésien tel que: , les 3 projections de cette formule
s’écrivent:
z
e
g
g 







































































































































g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
z
v
y
v
x
v
z
p
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
z
v
y
v
x
v
y
p
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
z
v
y
v
x
v
x
p
z
z
z
y
z
x
z
z
z
z
y
z
y
y
y
x
y
y
y
y
x
z
x
y
x
x
x
x
x
x










2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

La connaissance de conditions aux limites, portant sur la vitesse et la
pression, doit permettre de résoudre ce système d'équations et d'obtenir
le champ de vecteurs vitesse. Néanmoins, on comprend facilement qu'une
résolution analytique peut s'avérer difficile, voire même impossible. C'est
pourquoi le recours à des résolutions numériques est souvent nécessaire
pour appréhender des problématiques concrètes.
Une approche purement analytique peut toutefois permettre la
description d'écoulements spécifiques, pour lesquels un certain nombre
d'hypothèses simplificatrices peuvent être introduites. C'est le cas
notamment lorsqu'un écoulement est stationnaire, laminaire ou bien
lorsque le fluide peut être considéré parfait (viscosité négligeable).

III- Dynamique des fluides parfaits
Envisageons l'écoulement permanent d'un fluide parfait
incompressible , l'équation de Navier-Stokes devient :
0


Cste


0
)
(



t
)
v
(
p 



 v
g 

Par ailleurs, si l'accélération de la pesanteur peut être considérée constante et
telle que : alors on peut formuler l'équivalence suivante :
z
e
g
g 

Par conséquent on peut écrire :
v
)
(
gz)
(p 



 v


 

 

 

gz)
(
-
-












































 gz
z
y
x
e
g
g z
III.1- Equation de Bernoulli
v
)
(
p 








 v
t
v
g
v 











 







 






 





 






 





 




v
v
)
v
(
)
v
v
(
2
1
v
)
(v
.
.
2
1 2
2
2





























































































































































































































rot
y
z
y
z
x
x
x
y
x
y
z
z
z
x
z
x
y
y
z
y
x
z
z
z
y
z
x
y
z
y
y
y
x
x
z
x
y
x
x
z
v
y
v
v
x
v
z
v
v
y
v
x
v
v
z
v
y
v
v
x
v
z
v
v
y
v
x
v
v
v
v
v
z
y
x
z
v
v
y
v
v
x
v
v
z
v
v
y
v
v
x
v
v
z
v
v
y
v
v
x
v
v
D’autre part ; d'un point de vue purement mathématique, le terme de droite
(l'accélération convective) peut être développé de la manière suivante :
La nouvelle formulation de l'équation de Navier-Stokes s’écrit alors :
)
v
(
)
.
(
2
1
)
(
- v
rot
v
v
gz
p 




 


v
)
(
gz)
(p 



 v


v
rot
v
gz
p 




 )
v
(
)
2
1
( 2




si l'écoulement est irrotationnel, alors : 0
)
v
(
0

 v
rot



Résumé:
:
où
'
d
Cste
v
gz
p 

 2
2
1


L'écoulement permanent et irrotationnel d'un fluide parfait est
caractérisé en tout point de l’écoulement par :
Elle traduit le fait qu’elle reste constante le long d'une même ligne de courant.
Equation de Bernoulli
On comprend facilement que l'accélération du fluide (augmentation de la
vitesse) conduit nécessairement à une diminution de la pression motrice (ou
bien de la pression statique si l'altitude est constante). Inversement, une
augmentation de la pression motrice est liée à la décélération du fluide.
De manière très générale, cette équation de Bernoulli traduit le principe de
conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant dans le cadre de
l'écoulement d'un fluide parfait.
0
)
2
1
(
espace
l'
de
s
coordonnée
des
te
Indépendan
2





 

 

v
gz
p 


Si on multiplie par un volume unitaire, chacun des termes de l'équation a la
dimension d'une énergie :
  (Joules)
2
1
mécanique
Energie
2
pesanteur
de
forces
aux
due
e
potentiell
Energie
pression
de
forces
aux
due
e
potentiell
Energie
Em
Cste
mv
mgz
pV
cinétique
Energie











 







 




L'absence de frottement dû à une viscosité négligée (fluide parfait) conduit
logiquement au fait qu'il n'y a pas de dissipation d'énergie au cours de
l'écoulement.



(m)
2
totale
Charge
2
dynamique
position
de
Hauteur
ue
manométriq
Hauteur
H
Cste
g
v
z
g
p
Hauteur
que
piézométri
Hauteur










 






 




 



 


Si on divise par g, chacun des termes de l'équation a la dimension d'une hauteur :

Équation de Bernoulli
v1 et v2 : vitesses d’écoulement du fluide dans les sections S1 et S2 (en m/s)
p1 et p2 : pressions statiques (en Pa)
z1 et z2 : altitudes des sections S1 et S2 (en m)
g
v
z
g
p
g
v
z
g
p
2
2
2
2
5
2
2
1
1
1








-dvi : volume de fluide déplacé entre les instants t et t + dt de masse dmi.
-Si :section de la veine fluide,
- dli : hauteur du volume cylindrique de fluide admis ou expulsé (dvi = Si dli),
- Vi : vitesse des particules fluides,
- Gi : centres de gravité des volumes dvi d'altitude zi,
- pi : pression
Démonstration l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait par application du
principe du bilan d’énergie
Expressions des différentes formes d'énergie mécanique

Expression du principe de conservation de l'énergie
D'après l'équation de continuité:
On obtient alors :
 Bilan d’énergie:

Représentation graphique de l’équation de BERNOULLI

- Tube de Pitot:
gh
v
gh
p
p
g
v
g
p
g
p
N
N
M
N
M N
2
2
2














III.2- Applications de l’équation de Bernoulli en écoulement parfait
Dispositif qui permet une mesure de la vitesse
d'écoulement d'un fluide. L'objet présente une forme
profilée, est creux afin d'être rempli du fluide dans
lequel il est immergé, et doit être muni de deux prises
de pression (tubes manométriques).
Déterminons la vitesse d’écoulement ?

Calculons le débit dans la conduite
composée d’un rétrécissement de section ?
  H
z
g
p
p
z
z
g
V
V
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p











 













1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
H
z
S
S
g
V
H
z
g
V
S
S
g
V
Donc
V
S
V
S
Sachant




































2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
:
:
que
   
z
H
g
S
S
S
ar
z
H
g
S
S
V 

























 2
1
Q
:
conséquent
p
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
Remarque : Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui
fait que Z1 = Z2 et donc : ΔZ = 0 et la formule précédente se simplifie :
   
H
g
d
d
d
H
g
S
S
S





















 2
1
2
1
Q
4
4
1
2
2
2
2
1
2
2 
- Tube Venturi:

Vidange d’un réservoir à niveau constant:
On considère un réservoir cylindrique de diamètre
intérieur D = 2 m rempli d’eau jusqu’à une hauteur H =
3 m. Le fond du réservoir est muni d’un orifice de
diamètre d = 30 mm, permettant de faire évacuer l’eau
à l’air libre
Calculer:
1) la vitesse d’écoulement V2 en supposant que le diamètre d est négligeable devant D ?
2) En déduire le débit volumique en négligeant l’effet de contraction de la section de sortie ?
2
2
1
2
2
1
2
4
4
V
D
d
V
V
d
V
D











s
m
gH
D
d
gH
V
où
d
z
g
V
z
D
d
g
V
p
p
p
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p
a tm
/
67
,
7
2
1
2
:
'
2
2
2
2
4
2
2
2
2
1
4
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1

































1) Vitesse d’écoulement V2:
s
m
S
V
Q /
10
.
42
,
5
4
03
,
0
67
,
7 3
3
2
2





2) Débit volumique:

On considère un réservoir circulaire de diamètre D1= 6 m
muni à son fond d’un orifice de vidange circulaire de
diamètre D2= 0,6 m , ayant un coefficient de contraction
de l’écoulement m=0,6
Initialement, ce réservoir est rempli jusqu'a une hauteur
initiale H1= 6 m.
Quel est le temps nécessaire pour vidanger le réservoir ?
Temps de vidange dans un réservoir à niveau variable:
H
gh
dh
mS
S
dt
Q
Q
écoulement
gh
mS
Q
dt
dh
S
dt
dV
Q
s
e
t
sor
entrant
2
permanenet
2
2
1
2
tan
1












 
mn
s
gH
D
H
D
gH
mS
H
S
t
ou
g
mS
H
S
g
mS
S
h
dh
g
mS
S
dt
t h
H
H
t
t
3
184
2
6
,
0
*
2
initial
débit
initial
Volume
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
0
2
1
0
2
1
1
1
2
1









 


On considère un siphon de diamètre= 2
cm. En négligeant les pertes de charge
dans le siphon, calculer les pressions
relatives aux points 2 et 3 et la vitesse au
point 2 ?
m
-0,5
m
5
,
0
0
0
2
2
2
2
4
2
2
2
4
4
2
4
2
4
4
2
2
2
2















z
z
g
V
V
g
p
g
p
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p




m
-1
m
0,5
-
m
5
,
0
0
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
3
2
3
3
2
2
2
2














z
z
g
V
V
g
p
g
p
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p




s
m
g
V
z
z
g
V
g
p
p
g
V
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p
/
13
,
3
5
,
0
2
5
,
0
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1


















Siphon de vidange :

On devra alors introduire des hypothèses de travail qui permettront de résoudre
l’ équation de Navier-Stokes dans le cadre de régimes d'écoulement particuliers.
IV- Dynamique des fluides réels
IV.1- Généralités:
Dans toutes les situations où les forces de frottement jouent un rôle significatif, la
viscosité du fluide ne pourra plus être négligée. On passe alors de la notion de
« fluide parfait » à celle de « fluide réel ».
IV.2- Régimes d’écoulement:
On peut formaliser la différence entre ces deux régimes d'écoulement en terme de
champ de vecteurs vitesse. Ainsi, en un point M de l'écoulement, le vecteur vitesse
présente trois composantes qui :

•Dans un écoulement laminaire les composantes sont constantes et caractérisées par :
•Dans un écoulement turbulent les composantes dépendent du temps :
x
x
M
M v
e
u e
v
0
v
;
0
w
;
v
u M
M
M 




)
(
u
)
(
w
;
)
( M
M t
t
t
vM 
En régime laminaire , on pourra généraliser l’équation de Bernoulli en introduisant la
notion de pertes de charge dues à la viscosité.
En régime turbulent , on devra utiliser des relations empiriques généralement
déterminés expérimentalement

L'expérience montre qu'avec l'augmentation du débit, le filet coloré passe d'un
état régulier et rectiligne (le régime laminaire) à une forme chaotique et instable
(le régime turbulent), en passant par un état intermédiaire présentant des
oscillations (le régime transitoire)
Comment caractériser le régime d’un écoulement ?
C’est le résultat des travaux d’O. Reynolds
Il s’agissait d’une étude systématique du régime d’écoulement en fonction des
différents paramètres: Q, , géométrie de la conduite.etc

Les travaux de Reynolds ont permis de montrer que la transition du régime
laminaire au régime turbulent n'est pas seulement conditionnée par le débit Q
mais dépend aussi de:
 la vitesse moyenne de l’écoulement V;
 le diamètre de la conduite D;
 des propriétés intrinsèques du fluide (masse volumique  et viscosité  )
e

VD
R 
Nombre de Reynolds (Re)
IV.3- Pertes de charge:
Pour rendre compte de la dissipation d'énergie due aux frottements visqueux, ces
pertes de charges prendront place dans la formulation d'une équation de Bernoulli
généralisée.
=2000
3000
Turbulence
intermittente

C'est alors qu'il devient fondamental de faire la distinction entre écoulement
laminaire et turbulent puisque les hypothèses liées à l'aspect laminaire vont
permettre de formuler de manière analytique les pertes de charges, alors que le
caractère turbulent d'un écoulement n'autorisera la formulation de ces mêmes
pertes de charge qu'au travers de critères essentiellement empiriques
IV.3.1- Ecoulement laminaire et pertes de charge linéaires:
Le long d'une ligne de courant, l'écoulement permanent d'un fluide de viscosité
non négligeable obéit à l'équation suivante:
D’où: v
v
g 



 

 )
2
1
z
p
(
otale
pression t
2
:
t
p


 


 

)
v
(
)
.
(
2
1
v
)
(
- v
rot
v
v
gz
p 






 



v
rot
v
v
gz
p 






 )
v
(
)
2
1
(
0
2








La projection dans les 3 directions donne:











































v
dx
dp
x
z
y
x
p
p
v
p
t


)
(
p
)
,
,
(
p
0
z
0
y
x
t
t
t
t
t
x
z
y
x e
z
y
x
u
e
z
y
x
w
e
z
y
x
v
e
z
y
x
u
v )
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
( 




z)
y,
(x,
x 2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
x
de
fonction
t












































 Cste
z
v
y
v
z
v
y
v
x
v
u
d
p
d
z
et
y
de
fonction











Conclusion: La charge varie linéairement avec la distance parcourue par le fluide
x
e
v
w
v
v
u
v
0
0
v 















Puisque les frottements visqueux sont responsables d'une dissipation d'énergie, il
s'ensuit logiquement que la charge décroît avec la progression de l'écoulement 0

 Cste
dx
dpt
Charge totale
x
dx
dP
P
P
P
v
g
t
t
t
t 








2
1
2
t 2
1
z
p
P
posons 

il est commode de généraliser l'équation de Bernoulli en y faisant apparaître les
pertes de charges linéaires de la manière suivante :

 (m)
2
z
p
2
z
g
p
H
H
ou
(Pa)
2
1
z
p
2
1
z
p
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
h
g
v
g
g
v
h
p
v
g
v
g
p
p
p
linéaires
pertes
linéaires
pertes
t
t
t
t




























Il reste alors à caractériser :
dx
dP
t

- Écoulement de Poiseuille
L'objectif est ici de caractériser les pertes de charge linéaires en considérant un
écoulement spécifique. Considérons alors l'écoulement laminaire d'un fluide de
viscosité  et de masse volumique  , dans une conduite cylindrique de rayon R posée
horizontalement défini dan un repère cylindrique dont l'axe de révolution est celui de
la conduite et correspond à la direction de l'écoulement laminaire.
la vitesse n'évolue pas le long de l'axe de la conduite; le vecteur vitesse est purement
axial et ne dépend que de r
A
Cste
r
r
r
r
r
















1
dx
dpt

Il et donc possible d’en déduire le profil de vitesse par simple intégration:
v
e
v
V x









dx
dp
0
v
v
t
r
 

































r
v
r
r
r
x
v
v
r
v
r
r
r
v
r
1
1
1
0
2
2
0
2
2
2

Profil des vitesses:

A
Cste
r
r
r
r
r
















1
dx
dpt

r
A
dr
dv
r
A
r
v
r
r
r 
























dr
d
1
B
Ar
dr
dv
r 



2
2
r
B
Ar
dr
dv




2
limites
conditions
des
aide
l'
à
r
détefrmine
à
constantes
C
B,
ln
4
v
2
)
( C
r
B
Ar
r 




 Au contact de la paroi r = R, le fluide est immobile:
0
ln
4
0
v
2
)
( 




 C
R
B
AR
R

 Sur l’axe de la conduite r = 0, la vitesse est de valeur finie: 0

 B
D’où:

4
t
0
2
AR
C
e
B 



alors:   e
paraboliqu
vitesse
de
profil
4
- 2
2
)
( r
R
A
v r 


Pour avoir v(r) > 0 quelque soit r < R,
il faut que A < 0
Calcul du débit volumique:
 
4
4
0 0
2
2
)
(
V
(r)
8
4
4
A
-2
4
2
2
Q
rdr
2
dS
si
dS
v
q
R
A
R
rdr
r
R
A
rdr
v
d
R R
r
V


















 
Sachant que:
4
V
128
Q
:
alors D
dx
dpt












2
D
R
et 

dx
dp
A t

La perte de charge est proportionnelle à la distance parcourue: « perte de charge
linéaire »
4
V
128
Q D
dx
dpt












Remplaçons dans:
dx
dpt
Alors:
4
V
128
Q D
L
pt




Formule de Poiseuille
2
4
4
V
32
128
128
Q
D
Lv
D
S
Lv
p
S
v
D
L
p
m
m
t
m
t












S
Q
v V

m
L
dx
dp
x
x
dx
dp
dx
dx
dp
dx
dx
dp
p
p
p t
L
t
t
Cste
t
t
t
t 










































 )
( 2
1
1
2
1
2
2
1 






Il est d'usage d'exprimer une perte de charge en fonction de la pression cinétique
de l'écoulement dans la conduite. La pression cinétique est générée par le
mouvement (elle correspond à l'énergie cinétique par unité de volume) et
s'exprime : 2
2
1
m

On peut formuler la perte de charge sur une longueur comme:
- Coefficient de perte de charge en écoulement laminaire
2
Re
64
64
64
2
2
2
t
2
1
2
.
32
32
p
2
m
D
L
D
L
D
v
v
D
L
m
m
m
v
v
D
Lv
D
Lv
m
m











 


 



























gD
L
D
L
vm
2
v
h
ou
2
p
2
m
2
t 

 



Résumé: Pour un régime laminaire :
Re
64


Equation de Darcy-Weisbach

Lorsqu'un écoulement en conduite est turbulent, le profil de vitesse n'est plus parabolique comme
c'est le cas en régime laminaire.
Les pertes de charge linéaires sont essentiellement dues aux frottements visqueux entre les
particules fluides situées près des parois de la conduite. Il en résulte que les propriétés de la paroi
jouent un rôle important et que notamment sa rugosité devient un paramètre non négligeable.
Dans ce cadre, la détermination des pertes de charge linéaires ne peut pas s'obtenir à
partir d'une formulation analytique ; on a donc recours à des abaques construits sur la
base de mesures expérimentales ou des lois empiriques: concernant l'écoulement en
conduite cylindrique, on utilise classiquement le « diagramme de Moody »
Re
64
2000
Re 

  )
(Re,
f
2000
Re
D

 


IV.3.2- Ecoulement turbulent et pertes de charge :
relative
:
D
(mm)
conduite
la
de
absolue
:
Rugosité
Rugosité



Régime turbulent
Régime laminaire
2
D
k
D
k
Re

Rugosité relative
Zone de turbulence rugueuse
Diagramme de MOODY

Darcy – Weisbach ( 1857 ) :
Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de  et dépendent du régime d’écoulement :
g
V
D
L
hl
2
2



 
- Expression générale de la perte de charge linéaire:
- L = Diamètre de la section d’écoulement ( m )
- L = Longueur de la conduite ( m )
- V = Vitesse moyenne d’écoulement ( m/s )
-  = Coefficient de frottement ( sans unité )
 Perte de charge en régime laminaire :
 Formule de Blasius
Formule de Colebrook – White :
 Diagramme de Moody :
Les travaux de Nikuradse sur les pertes de charge dans les conduites ont permis
d’élaborer un graphique permettant de déterminer le coefficient λ en fonction de Re
pour les différents types d’écoulement et des rugosités relatives k/D :
e
R
64















 e
R
D
51
,
2
71
,
3
log
2
1
Formule de Poiseuille
rugosité
sans
10
Re
2000 5



Re
0,316
1/4


2
1 2
g
V
D
L
h
j l




 
j: Pertes de charge unitaires (m/m)
 Perte de charge en régime turbulent:
Parmi les formules de calcul du coefficient λ on trouve:

Coefficient ks de Scoby
Nature du tuyau Ks
Alliage Aluminium 0,4
Plastique 0,37
Acier revêtu 0,42
9
,
4
9
,
1
*
*
*
716
,
0 
 D
Q
k
j s
Q : Débit d'écoulement en l/h
D : Diamètre intérieur de la conduite en mm
Q: Débit d'écoulement en m3/s
D: Diamètre intérieur de la conduite en m
9
,
4
9
,
1
*
*
*
75
,
40 
 D
Q
k
j s
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m
75
,
1
75
,
4
478
,
0 Q
D
j 

  75
,
1
75
,
4
452
,
0 Q
D
j 

 
Cas de canalisations en polyéthylène (PE) Cas de canalisations en polychlorure de vinyle (PVC)
j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m; D : diamètre intérieure (mm); Q: débit de la rampe (l/h)
- Formule de Scoby:
- Formule Blasius:
Scoby
de
t
Coefficien
D
V
k
j s :
k
10
*
5087
,
2 s
1
,
1
9
,
1
3


872
,
4
852
,
1
9 1
10
135
,
1
D
C
Q
j 









j: Perte de charge linéaire par unité de longueur en m/m
Q: Débit d'écoulement en m3/h ;
C: Coefficient de rugosité dépendant de la nature de la conduite
D: Diamètre intérieur de la conduite en mm ;
872
,
4
852
,
1
1
675
,
10
D
C
Q
j 








Q : Débit d'écoulement en m3/s
D : Diamètre intérieur de la conduite en m
Nature du tuyau C
PVC 150
PE 145
Acier revêtu 130-150
Fonte revêtue 135-150
Aluminium 120
Fonte encrassée 80-120
Coefficient C de Hazen Williams
- Formule de Hazen-Williams:
Williams
Hazen
de
t
Coefficien
D
C
V
j
HW
:
C
818
,
6 HW
167
,
1
852
,
1
852
,
1

- Autres expressions de la perte de charge linéaire:

Débit (mètre cube/ h)
Diamètre nominal (mm)
ABAQUE POUR TUYAUX EN POLYETHYLENE BASSE DENSITE

ABAQUE POUR TUYAUX EN PVC
Débit (mètre cube/h)

- Formule de Chézy :
La formule de Chézy est inspirée de celle de Darcy-weisbach :
En introduisant la notion de ‘’ Rayon hydraulique ‘’ R égal au rapport entre la
surface A et le périmètre d’écoulement P
h
h R
D
D
D
D
P
S
R 4
4
4
2







h
h
l
gR
LV
g
R
LV
g
V
D
L
h
8
2
4
2
2
2
2


 





e
hydrauliqu
: pente
j
j
L
hl


posons :
2
2
2
8
8
8
C
g
posons
R
g
V
j
gR
V
j
h
h







:
'où
d
Chézy
de
t
Coefficien
C:
h
R
C
V
j 2
2


- Formule de Manning- Strickler (expérimentale):
Strickler
Manning
de
:
1
:
1
:
que
trouvé
a
Manning
C
de
valeur
la
alement
expériment
6
/
1
t
Coefficien
k
n
k
posons
rugosité
de
t
coefficien
n
R
n
C
cherchant
En
h



3
/
4
2
2
V
j
h
R
K

Nature des parois n 1/n
Béton lisse 0.0133 75,19
Canal en terre, enherbé 0.02 50
Rivière de plaine, large, végétation;
peu dense
0.033 30,3
Rivière à berges étroites très
végétalisées
0.1-0.066 10-15,15
Lit majeur en prairie 0.05 -0.033 20-30,30
Lit majeur en forêt < 0.1 < 10

n
m
n
m
D
Q
k
D
Q
k
j 


•Formule générale de pertes de charge linéaires unitaires:
•Pertes de charge linéaires totales: hl =J = j * L

IV.3.3- Pertes de charge singulières:
Le raisonnement que nous utiliserons fait appel à un théorème d'intérêt très
général pour traiter un grand nombre de problèmes en mécanique des fluides : il
s'agit du théorème d'Euler. Nous proposons donc, en préambule et sous la forme
d'un complément, d'exposer ce théorème.
Dans le cas particulier d'un écoulement permanent: 0
t




 


Sc
s
Vs
V
F
F
dS
n
v
dV
v )
(
dt
d



il y a conservation du débit massique entre l'entrée et la sortie, de sorte que:
2
2
2
1
1
1
S
v
S
v
Q
m

 



 


 







 



 






 


 




0
0
)
v
)
v
-
) (
(
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1



 








l
l
l
l
V
S
S
v
S
S
v
S
Sc
s dS
n
v
dS
n
v
dS
n
v
dS
n
v
F
F 












2
2
2
2
1
1
1
1
S
v
v
S
v
v
F
F V
s 
 



)
( 1
2
v
v
Q
F
F
m
V
s 


 Théorème d’EULER
 pertes de charge d’un élargissement brusque
La perte de charge engendrée par
cette singularité peut alors
s'évaluer de façon analytique en
faisant appel au théorème d'Euler


  2
1
2
1
2
2
1
1
)
( 2
1
1
S
-
2
S
sur
pression
de
forces
aval
en
poussée
contre
amont
en
poussée
S
p
p
S
S
p
S
p
S
p
Fs 













)
(
:
'
)
(
)
(
)
(
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
v
v
v
p
p
où
d
v
v
S
v
v
v
Q
S
p
p m











2
2
2
2
)
p
2
2
2
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
(
2
1
2
1
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(



























































S
S
v
S
S
v
v
v
v
v
p
v
p
v
v
v
p
v
p
v
v
v
v
v
p
v
p
v
v
v
p
p



















 





 

x
axe
l'
sur
projection
par
)
(
)
(
1
2
1
2
v
v
Q
F
v
v
Q
F
F
m
m
V
s
s





 0

V
F


























2
1
2
1
1
1
k
posons
1
2
1
2
2
S
S
S
S
v
p 
(m
)
2g
k
h
ou
(Pa)
2
1
2
2 1
1
v
v
k
p 


 

Généralisation de l’équation de Bernoulli









s
singulière
charge
de
pertes
des
somme
2
arg
des
2
2
2
2
2
bine)
(Pompe/Tur
e
hydrauliqu
1
2
1
1
2
2
2
2 
 







j
j
j
linéaires
e
ch
de
pertes
somme
i
i
i
i
i
machine g
V
k
gD
V
L
z
g
V
g
p
H
z
g
V
g
p




Principe
La ligne d’énergie est utilisée pour connaître la répartition des énergies
potentielle, de pression , cinétique ainsi que les gains et pertes d’énergie le long
d’un circuit hydraulique.
L’énergie totale est définie par l’équation de Bernoulli:
machine
une
par
apporté
(-)
énergie
d'
gain
ou
)
(
énergie
d'
perte
:
2
2







H
H
g
z
g
p
H


On trace le long du circuit , à chaque point de trajet l’altitude z, la pression
p/g, l’énergie de vitesse v2/2g et le niveau de pertes accumulé.
Il faut calculer les pertes de charge et les débits pour pouvoir évaluer les
pressions ainsi que les énergies cinétiques.
V- Diagramme des énergies

g
z
g
p
H A
A
A
A 2
2





g
z
g
p
H B
B
B
B 2
2





2
4
5
5
2
2
2
2
1
1
8
Q
D
k
D
L
D
L
g
h
H
H B
A


































4
5
5
2
2
2
1
1
A
8
)
g(H
Q
D
k
D
L
D
L
H
B



g
z
g
p
H A
A
A
A 2
2





g
z
g
p
H B
B
B
B
2
2





5
2
2
2
8
2 gD
L
Q
gD
L
h
H
H B
A



 




5
8
)
g(H
Q A
D
L
H
B





h
h
Exemples

g
z
g
p
H A
A
A
A 2
2





g
z
g
p
H B
B
B
B 2
2





2
4
5
2
1
8
Q
D
k
D
L
g
h
H
H B
A



























4
5
8
)
g(H
Q A
D
k
D
L
H
B


h
g
z
g
p
H A
A
A
A 2
2





g
z
g
p
H B
B
B
B 2
2





2
4
4
5
5
5
2
1
2
2
1
1
3
2
2
1
1
8
Q
D
k
D
k
D
L
D
L
D
L
g
h
H
H B
A






















 

















4
4
5
5
1
2
2
1
2
2
1
3
1
A
8
)
g(H
Q
D
k
D
k
D
L
D
L
L
H
B



h

g
z
g
p
H A
A
A
A 2
2





 g
z
g
p
H B
B
B
B 2
2
0





2
4
2
2
1
8
2
Q
D
L
gD
z
H
h
g
v
z
H
B
A
B
B
A








































D
L
z
D B


1
8
)
g(H
Q A
2
h
g
z
g
p
H A
A
A
A 2
2





2
4
2 2
1
8
Q
D
L
k
k
gD
H
H
h
H
H
B
A
B
A































2
1
8
)
g(H
Q A
2
k
k
D
L
H
D B


g
z
g
p
H B
B
B
B 2
2





h

Risques éventuels du tracé d’un réseau:
Considérons une conduite reliant deux réservoirs. La ligne piézométrique correspondant
aux pression relatives est représentée approximativement par la droite AA’ (On a négligé
la vitesse cinétique, donc ligne piézométrique=ligne de charge).
La ligne piézométrique
BB’ correspond aux pressions absolues (Pa/v = 10.33m).
Si la conduite toute entière est
située au dessous de AA’, la
pression dépasse la pression
atmosphérique. Cette hypothèse
correspond à une situation
normale.

Si la conduite passe au-dessus de la
ligne piézométrique AA’, la partie du
tronçon au dessus de AA’ est en
dépression. En général, on doit éviter
les zones en dépression
Si la conduite s’élève au-dessus de la
ligne horizontale qui passe par A, il
n’y aura écoulement que si toute la
conduite a été remplie d’eau au
préalable (effets de siphonnage).
Si la conduite dépasse la cote B, il est
impossible d’amorcer l’écoulement.

Dans un réseau d'adduction ou de distribution, nous pouvons rencontrer des
conduites placées en série et/ou des conduites placées en parallèle dans des
configurations simples , ramifiées ou maillées
VI- Caractéristiques du réseau de conduites
. Conduites en série:
Les conduites en série sont traversées par le même débit. La perte de charge
totale étant la somme des pertes de charge linéaires et singulières
.Conduites en parallèle :
Les conduites en parallèles ont la même perte de charge. Le débit total traversant
toutes les conduites est la somme des débits
. Réseau ramifié:
La caractéristique d'un réseau ramifié est que l'eau circule, dans toute la canalisation,
dans un seul sens (des conduites principales vers les conduites secondaires, vers les
conduites tertiaires,..). De ce fait, chaque point du réseau n'est alimenté en eau que
d'un seul côté.

. Réseau maillé :
Le réseau maillé dérive du réseau ramifié par connexion des extrémités des conduites
(généralement jusqu'au niveau des conduites tertiaires), permettant une alimentation
de retour. Ainsi, chaque point du réseau peut être alimenté en eau de deux ou plusieurs
côtés.
Réseau ramifié Réseau maillé

 Conduites simples:
Une conduite simple est une conduite à diamètre constant sans bifurcations. Le
liquide se déplace dans la conduite parce que son énergie potentielle au début de la
conduite est supérieure à celle qu’il possède au bout. Cette différence de niveaux de
l’énergie potentielle peut être créée soit par grâce à la différence de niveaux du
liquide (différence des cotes) ou au travail fourni par une pompe.

s
singulière
et
linéaires
charge
de
pertes
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
h
z
g
V
g
p
z
g
V
g
p









    h
g
V
g
V
z
z
h
g
V
g
V
z
z
g
p
g
p





























2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1


conduite
la
de
résistance
:
8
8
2
2
2
2
4
2
5
2
s
singulière
charge
de
pertes
des
somme
2
arg
des
2
R
R
Q
gD
k
gD
L
g
V
k
gD
V
L
h Q
j
j
i
i
i
j
j
j
linéaires
e
ch
de
pertes
somme
i i
i
i
i 












 

 














 Régime laminaire: Q
gd
l
gd
l
gd
l
gd
l
4
2
2
2
l
128
2
v
64
2
v
Re
64
2
v
h



 




droite
une
d'
tique
Caractéris
Q
R
z
Hex 


  
2
2
ex
2
2
2
1
2
2
1
2
H
exigée
2
1
RQ
CQ
z
Hauteur
h
g
V
g
V
z
z
g
p
g
p















 
















:
aura
on
s,
singulière
charge
de
cQ
négligeant
n 2
pertes
les
et
E
Ainsi,
z
Hex
Q
A
Régime laminaire
Caractéristique d’une conduite

Caractéristique d’une conduite
z
Hex
Q
A
Régime turbulent
 Régime turbulent:

5
2
2
2
8
2 gd
lQ
gd
lV
hl


 


parabole
une
d'
tique
Caractéris
8 2
5
2
2
Q
R
z
gd
lQ
z
Hex 







:
aura
on
s,
singulière
charge
de
cQ
négligeant
n 2
pertes
les
et
E
La plupart des écoulements se situent, en pratique, en régime turbulent rugueux,
où l'expression du coefficient de perte de charge  devient indépendante du
nombre de Reynolds mais dépendante de la nature du matériau (rugosité)

 Conduites mixtes et conduites multiples:
Une conduite mixte est une conduite constituée de diamètres et longueurs
différents. Le débit qui passe à travers chaque tronçon sera le même et la perte de
charge totale sera la somme des pertes dans chaque tronçon.



















n
i
n
i
h
h
h
h
h
Q
Q
Q
Q
Q
Q
..
2
1
2
1
1
Hex
Q
1 2 3
M N
H1
2
M-N
3 1
H2
H1
H2
3 tronçons
  h
g
V
g
V
z
z
g
p
g
p N
M
N
M
N
M















2
2
2
2


  2
Q
R
z
z
H i
N
M
ex 




 
i
conduite
la
de
résistance
:
)
...
(
.. 2
2
1
2
1
2
2
i
2
2
2
1
i
R
n
i
Q
R
n
Q
R
i
Q
R
Q
R
R
Q
R
R
R
R
h
h
h
h
h
i
n


 


 





















1 2 i
M N
n




















n
i
n
i
h
h
h
h
h
Q
Q
Q
Q
Q
..
..
2
1
2
1
   
h
1
..
1
1
1
..
e
équivalent
conduite
la
de
e
Conductanc
:
1
;
i
conduite
la
de
e
Conductanc
:
1
1
2
1
2
1
2
1














































i
R
i
R
i
n
i
R
n
i
R
h
n
R
h
i
R
h
R
h
R
R
R
R
Q
Q
Q
Q
Q





 





 

Exemple : 2 conduites identiques en parallèle R1=R2; équation de Darcy
4
R
2
1
1
1 1
1
2
1
R
R
R
R
R





1
5
/
1
1
1
5
2
5
1
2
1
1
3
,
1
4
.
D
D
4
R
onc
8
8
D
R
d
gD
l
R
gD
l
R

















Une conduite multiple est une conduite en parallèle constituée de plusieurs tuyaux
différents.

Q1
Q2
Q3
Q Q
M N























;
; 3
2
1
2
3
3
2
2
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
Q
R
h
Q
R
h
Q
R
h
g
p
p
h
h
h
Q
Q
Q
Q
n
M

3 conduites en parallèle

Soit à calculer une conduite débitant 55 l/s issue d’un réservoir et qui se raccorde sur le
réseau distribution. La conduite n’effectue aucun service en route. La pression imposée
au sol est de 30 m d’eau minimum . La longueur de la conduite est 2500 m. Quel
diamètre doit-on donner à cette conduite ?
On donne:
D=250mm j=0,0048 m/m v=1,12 m/s
D=300 mm j= 0,0020 m/m v=0,78 m/s
R
110 m
75m
A
D:250 mm  pression au sol=110-(0,0048*2500)-75=23 m
D:300 mm  pression au sol=110-(0,0020*2500)-75=30 m
Applications:
Conduite en charge sans prélèvement (sans service en route )

J
Q
H
A
R
q
0
Q
H
A
R1
Q2
01
R2
Q1+Q2
Q1
02
En A la pression à l’intérieur de chacune des conduites doit être identique. En ce
point passeront dans les conduites 1 et 2, des débits Q1 et Q2
1
2
1+2

Conduites en parallèle: somme des abscisses
Conduites en série: somme des ordonnées
Ajouter à la caractéristique (1+2), la caractéristique de la conduite en série 3 par
addition des ordonnées. On obtient (1+2+3)
R1
R2
1
2
3
Q1 Q2
O1
O2
Q
H
3
1
2
1+2
1+2+3
Q1+Q2
A
Cas général:

CPEi, CPEj , CPEk
CPEA (supposée)
A
k
k
A
j
j
A
i
i
CPE
CPE
ΔH
CPE
CPE
ΔH
CPE
CPE
ΔH






k
k
k
j
j
j
i
i
i
L
ΔH
J
L
ΔH
J
L
ΔH
J 


852
,
1
63
,
0
852
,
1
63
,
0
852
,
1
63
,
0
849
,
0
1
849
,
0
1
849
,
0
1
k
H
WH
k
j
H
WH
j
i
H
WH
i
A
R
C
K
A
R
C
K
A
R
C
K




































54
,
0
54
,
0
54
,
0



























k
k
k
j
j
j
i
i
i
K
J
Q
K
J
Q
K
J
Q 0




k
n
i
n
n
Q k
j
i
A Q
Q
Q
CPE ;
;
;
Oui
Non
CPE1
CPE2
CPE3
R3
R2
R1
CPEA
A
Placer un piézomètre imaginaire au niveau du nœud A;
Suivre les étapes de solution de l’organigramme
- Résolution analytique en cas de réservoirs multiples:

872
,
4
)
(
852
,
1
)
/
(
)
/
(
1
675
,
10
3
m
HW
s
m
m
m
D
C
Q
j 










- Formule de Hazen-Williams:
 
54
,
0
54
,
0
54
,
0
872
,
4
852
,
1
54
,
0
54
,
0
872
,
4
852
,
1
54
,
0
*
*
094
,
0
67
,
10
*
K
j
D
C
j
D
C
j
Q
HW
HW









CPe3
CPe2
CPe1
R3
R2
R1
O
CPeO
:
retient
on
10
)
(
10
- 3
3
2
1
-3 




 Q
Q
Q
si
:
nouveau
de
suppose
on
sinon

104
146,7
133,8
R1
R3
R2
O
Exemple:
Déterminons les débits dans les conduites de l’installation hydraulique ci-contre ?

 Etablir un tableau de calcul des débits.
 Vérifier l’équation de la continuité en adoptant une précision appropriée (±10-3)
Vérification:
-10-3≤ Q1- (Q2 + Q3)≤10-3
Q1- (Q2 + Q3) = 0,422-(0,103+0,321)
= -0,001
104
146,7
133,8
R1
R3
R2
O
CPeO
CPe
CPeO
supposée
h L j j0,54
CHW D K K0,54
Qi
(m) (m) (m/m) (m) (m3
/s)
R1 146,7
136,15
10,55 400 0,026 0,14 120 0,4 7,69 3,008 0,422
R2 133,8 2,35 300 0,008 0,073 120 0,3 1,89 1,412 0,103
R3 104 32,15 500 0,064 0,227 120 0,3 1,89 1,412 0,321
Q1-(Q2+Q3) -0,001
Solution:

R1
R3
R2
A
B
C
H1=18 m
H2=6 m
vanne
T
On considère un système de trois réservoirs interconnectés dont les niveaux
supposés constants.
On néglige les pertes de charge singulière à l’exception de la perte de charge
induite par la vanne.
1) La vanne es fermée. Calculer le débit correspondant ?
2) La vanne V est partiellement ouverte. Pour une certaine ouverture de la
vanne le débit Q2 (entre T et B) est nul. En déduire:
 Les débits Q1 et Q3
 Le coefficient K correspondant
Exercice 2

Le débit en route (Qr) est un débit qui entre à l’amont du tronçon et ne sort pas à
l’aval: il est consommé par les abonnés tout le long du tronçon. Ce débit en route,
supposé uniformément réparti sur toute la longueur du tronçon avec lequel on doit
calculer la perte de charge et par suite fixer le diamètre du tronçon de conduite peut
être calculé par l’une des deux méthodes suivantes:
Conduite débitant Qr/L uniformément
Cherchons la perte de charge dans un
tronçon de conduite de longueur l, en
admettant qu’il doit d’une part distribuer
un débit uniforme Qr sur son parcours et
d’autres part, assurer un débit Qt à son
extrémité.
Rés
x
B
Qr
Qt
A
L
J
Jx
I
Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti et débit de transit (service en route )

t
r
t
r
r
r
Q
L
x
Q
Q
L
x
Q
Q
L
x
Q
Sur













 1
.
Q
:
reste
il
I,
en
.
débit vaut
le
AI
(x)
dx
Q
L
x
Q
L
R
dx
Q
L
R
J
Perte
t
r
x
2
2
)
( 1
d
:
dx
longueur
la
à
ant
correspond
dJ
charge
de




















2
2
2
(L)
3
J
L
x
si
;
0
J
0
x c
r
r
t
t RQ
Q
Q
Q
Q
R
J
J
si 

















Qc: débit fictif supposé constant sur tout le tronçon et qui donnerait une perte de
charge équivalente à celle donnée par la formule précédente dans une conduite de
même résistance
3
Q
2
2
c
r
r
t
t
Q
Q
Q
Q 










 


 






r
Q
t
Q
r
Q
t
Q
r
t
r
r
t
t
r
t
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
r
Q
57
,
0
c
Q
50
,
0
2
2
2
2
3
3
2
55
,
0
t
Q



































Rés
x
B
Qr
Qt
A
L
J
Jx
I
3
3
0
Q
:
r
particulie
2
2
2
t
r
r
r
t
t
Q
R
Q
Q
Q
Q
R
J
si
Cas















F
L
j
J
h 



 F: Coefficient de réduction de la perte de charge
i: nombre de tronçons; e: écartement entre 2 sorties D: diamètre de la rampe
L: longueur de la rampe q: débit d’un asperseur
L
q
i
Qi *
 n
m
i
i
D
Q
k
j 
  e
D
i
q
k
e
D
Q
k
e
j
J n
m
n
m
i
i
i 


Il existe des tables donnant F en fonction de N, et de m , donc selon la formule de perte de charge utilisée utilisée
  m
N
n
m
m
m
N
n
m
N
i i
D
Nq
N
N
e
k
N
i
D
q
e
k
J
J 

 


1
1
1
F
L
j
N
i
L
D
Q
k
J m
m
N
n
m

















 

1
1
e
N
L *

QN i
i+1 Qi i -1
q
q q q
e
1
2
3
N
e
Conduite en charge avec prélèvement uniformément réparti sans débit de transit (service en route )

Nombre
de sorties
Hazen-
Williams
Scoby Darcy-
Weisbach
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
35
40
1
0,639
0,534
0,486
0,457
0,435
0,425
0,415
0,409
0,402
0,397
0,394
0,391
0,387
0,384
0,382
0,380
0,379
0,377
0,376
0,374
0,372
0,370
0,369
0,368
0,365
0,364
1
0,634
0,528
0,480
0,451
0,453
0,419
0,410
0,402
0,396
0,392
0,388
0,384
0,381
0,379
0,377
0,375
0,373
0,372
0,370
0,368
0,366
0,364
0,363
0,362
0,359
0,357
1
0,625
0,518
0,469
0,440
0,421
0,408
0,398
0,391
0,385
0,380
0,376
0,373
0,370
0,367
0,365
0,363
0,361
0,360
0,359
0,357
0,355
0,353
0,351
0,350
0,347
0,345
Coefficients de réduction F à utiliser
suivant le nombre de sorties N et la
formule de pertes de charge utilisée
m
N
m
N
i
F 

 1
1

2
3
1
Q1
Q2
Q3
p1
p2
p3
Z1
Z2
Z3
M
M
O O’
Q
 Conduites ramifiées :
Une conduite ramifiée est un ensemble de plusieurs tuyaux de dimensions
différentes possédant un point commun où ces tuyaux se séparent les uns des
autres.

























































2
3
3
p3
2
3
3
2
3
3
3
3
3
2
3
2
3
3
2
2
2
p2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
p1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
H
2
2
H
2
2
H
2
2
3
2
1
Q
R
Q
k
Q
C
g
p
z
h
g
v
g
v
g
p
z
g
p
Q
R
Q
R
Q
C
g
p
z
h
g
v
g
v
g
p
z
g
p
Q
R
Q
R
Q
C
g
p
z
h
g
v
g
v
g
p
z
g
p
Q
Q
Q
Q
Q
p
p
p
H
M
M
H
M
M
H
M
M
n
i

























On trace les caractéristiques de chacun des
tuyaux ; ensuite comme les conduites en
parallèle on additionne les abscisses (Q)
pour une même valeur des ordonnés
(Hex=pM/g).
La caractéristique résultante de la conduite
ramifiée permet de déterminer la valeur
des débits d’après la pression pM et vice
versa

Méthode de calcul de Hardy - Cross
2 principes: principes d’équilibre des nœuds et des pertes de charges en chaque maille
Méthode
 Conduites maillées :
1 ère loi: loi des nœuds
sortie
entrée Q
Q 


Nœud A
30 l/s
10 l/s
50 l/s
90 l/s
90-(50+30+10)=0
2 ème loi: loi des mailles
A B
Q4
C
100,7 m
100,5 m
Q3
J3
102 m
100
Q1
J1
J4 Q2 J2
D
+
J=J1+J2+J3-J4=0
 on définit un sens de parcours positif arbitraire
(sens des aiguilles d’une montre)
 se fixer dans chaque maille une répartition supposée des
débits ainsi qu’un sens supposé d’écoulement tout en respectant
la 1 ère loi. Un diamètre tout au moins provisoire, des
canalisations (avec des vitesses entres 0,6 et 1,2 m/s) peut être
choisi et l'on calcul les pertes de charges correspondantes.
Si ces valeurs de pression et de débit sont incompatibles avec les valeurs à assurer, on corrige
les diamètres des tronçons incriminés et on recommence le calcul.
Le résultat de calcul se traduit alors par la connaissance des pressions à chaque nœud et des
débits dans chaque branche et ceci pour le choix des diamètres définis initialement.

Principe de Calcul d’une maille
+
J2
Q2
Q1
J1
Qe Qs
s
sortie
e
entrée Q
Q
Q
Q
Q
Q 





 2
1
 on se fixe arbitrairement la répartition de Qe entre les 2 branches
 choisissant les deux diamètres permettant d’écouler les débits Q1 et Q2
 on calcule des pertes de charges correspondantes (attention aux signes des
pertes charge compte tenu du sens de parcours):
0
2
2
2
2
1
1
2
1 






 Q
R
Q
R
J
J
J
h
 La répartition de Qe en Q1 et Q2 n’étant pas correcte, on corrige en ajoutant
algébriquement une correction Q1
En conséquence:
   
)
(
2
)
(
Q
2
,
Q
en
termes
les
négligeant
0
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
Q
R
Q
R
Q
R
Q
R
Q
Q
R
Q
R
Q
R
Q
R
en
Q
Q
R
Q
Q
R
J
J
J
h
























alors
,
R
et
R
:
que 2
2
2
2
2
1
1
1
Q
J
Q
J
Sachant 

 
0
Q
diminuer
le
faut
il
et
important
est trop
Q
,
0
0
Q
augmenter
l'
faut
il
et
t
insuffisan
est
Q
,
0
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
1



































J
J
si
J
J
si
Q
J
Q
J
J
J
Q
J
Q
J
J
J
Q
Pour n tronçons, on généralise:
i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
Si pour de nouveaux débits, la 2 ème loi n’est toujours pas satisfaite, corriger les
débits d’une nouvelle valeur Q2 calculée de la façon précédente. Ainsi on se
rapprochera de zéro pour la somme algébrique des pertes de charge du contour.

A B
C
q
D
+
E
F
+
I II
La conduite commune sera affectée par les deux corrections des débits calculées
pour les deux mailles, affectées de leurs signes respectifs.
Examinons la conduite BC traversée par le débit q
Principe de Calcul de 2 mailles
 dans la maille I le débit q est >0  la correction est alors +q(I)
 dans la maille II le débit q<0  la correction est -q (II)
Ainsi pour la conduite BC: q= + q(I) - q(II)
On arrête les itérations lorsque pour toutes les mailles:
précision
la
dans
loin
plus
aller
peut
on
calcul,
de
programme
un
d'
aide
l'
à
m
0,5
voir
m
2
,
0
J
et
l/s
5
,
0 


q

Si la solution obtenue ne vérifie pas les conditions imposées (vitesses admises et /ou pressions
suffisantes), on doit modifier le choix des diamètres de certains tronçons et refaire le calcul dès le début
Résumé pour le calcul d’un réseau maillé avec la méthode de Hardy-Cross:
 On se donne à priori les débits de la 1 ère approximation en chaque branche de manière à
satisfaire la condition d’équilibre des nœuds.
 Pour chaque maille on calcule q.
 On corrige qi.
 Répéter les mêmes opérations jusqu’à obtention de l’erreur voulue.
l DN q v j J J/q q q v j J J/q q
(m) mm (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s) (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)
I
II
1ère itération 2ème itération
Maille M.adjac. N°tronçon
J
 i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
i
i
Q
J
 J
 i
i
Q
J

i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
J
 i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
i
i
Q
J
 J
 i
i
Q
J

i
i
i
Q
J
J
Q





2
1

Exemple de calcul d’un réseau maillé
D300
110 l/s
L=600 m
L=500 m
A D200
R 30 l/s
D250
B
L=600 m D250
L=650 m
L=650 m
D
C
D200
15 l/s
Rugosité des tronçons k=10-4
D300
110 l/s
65 l/s
25 l/s
A D200
R
30 l/s
D250
B
45 l/s D250
40 l/s
25 l/s
D
C
D200
15 l/s
65 l/s
+ +
On cherche à calculer:
• la répartition du débit dans les différentes
branches du réseau ?
• le débit résiduel au point D ?
 Choisissons une première répartition arbitraire des débits dans les différents
tronçons qui vérifie la 1 ère loi des débits aux noeuds: sortie
entrée Q
Q 


Solution:

Les itérations du réseau par la méthode de Hardy-Cross sont consignés dans les tableaux:
Q final (l/s)
q v j J J/q q
(l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)
49,03 0,99 0,00392 2,35 0,048 0,31 49,3
18,88 0,6 0,00199 -1 0,053 -0,43 18,5
60,97 0,86 0,00239 -1,43 0,024 -0,31 60,7
-0,08 0,124 0,31
37,91 0,77 0,00243 1,58 0,042 -0,12 37,8
18,88 0,6 0,00199 1,09 0,053 -0,43 18,5
27,09 0,86 0,00389 -2,53 0,093 0,12 27,2
0,05 0,188
<0,2 m <0,5 l/s
3 ème itération
J
 i
i
Q
J

i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
J
 i
i
Q
J

i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
l DN q v j J J/q q q v j J J/q q
(m) mm (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s) (l/s) (m/s) (m/m) (m) (l/s)
AB 600 250 45 0,91 0,003 2 0,045 4,72 49,72 1,01 0,004 2,4 0,048 -0,69
II BC 500 200 25 0,79 0,003 -1,67 0,067 -7,87 17,13 0,54 0,0017 -0,83 0,048 1,75
AC 600 300 65 0,91 0,003 -1,62 0,025 -4,72 60,28 0,85 0,0023 -1,4 0,023 0,69
-1 0,136 4,72 0,17 0,12 -0,69
BD 650 250 40 0,81 0,003 1,74 0,044 -3,15 36,85 0,75 0,0023 1,49 0,04 1,06
BC 500 200 25 0,79 0,003 1,67 0,067 -7,87 17,13 0,54 0,0017 0,83 0,048 1,75
CD 650 200 25 0,79 0,003 -2,17 0,087 3,15 28,15 0,89 0,0042 -2,71 0,096 -1,06
1,2 0,197 -0,39 0,185
I
II
1 ère itération 2 ème itération
Maille M.adjac. N°tronçon
J
 i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
i
i
Q
J
 J
 i
i
Q
J

i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
J
 i
i
i
Q
J
J
Q





2
1
i
i
Q
J
 J
 i
i
Q
J

i
i
i
Q
J
J
Q





2
1

D300
110 l/s
60,7 l/s
18,5 l/s
A D200
R
30 l/s
D250
B
49,3 l/s D250
37,8 l/s
27,2 l/s
D
C
D200
15 l/s
65 l/s
+ +
La répartition finale des débits dans les différents tronçons est la suivante:
On peut vérifier que la continuité aux nœuds est toujours satisfaite. Les vitesses
finales dans tous les tronçons sont acceptables (0,6 à 1,2 m/s)

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