instabilité et turbulence 3 23.pdf

1. 24/11/2010 1
DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Olivier Dauchot, CEA-Saclay
GIT
D’Alembert, Orsay 24/11/2010
Crises en Physique
Transitions de phase
Instabilités, Chaos et Turbulence
Intermittence et Hétérogénéités

2. 24/11/2010 2
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Sommaire
Introduction : Phénomène critique, Catastrophes, Chaos, Turbulence, Avalanches
Transition de phase à l’équilibre : l’ébullition
Opalescence critique : fluctuations à toutes les échelles
Instabilité :
Diagramme de Bifurcation
Cascade de Feigenbaum, Chaos, Déterminisme et Prédictibilité
Turbulence
A la Landau, cascade de Richardson et scaling de Kolmogorov
Intermittence : Bouffées turbulentes et filaments de vorticité
Turbulence sous-critique et coexistence laminaire turbulent
Synthèse et Perspectives
Autres phénomènes de crises
Crises présentes et crises à venir…

3. 24/11/2010 3
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
forçage externe
grad(T)
T
De l’équilibre à la turbulence : les crises en physique
Equilibre
Thermo. (P,T,V)
branche
thermodynamique
flux = λ * forçage
instabilité
bifurcation
catastrophe
chaos
turbulence
diffusion convection
Crise d’ébullition:
Transition de phase

4. 24/11/2010 4
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Transition de phase d’équilibre : l’ébullition

5. 24/11/2010 5
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La crise d’ébullition : transition du premier ordre

6. 24/11/2010 6
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Opalescence critique : transition du second ordre

7. 24/11/2010 7
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Fluctuations critiques , exemple du modèle d’Ising
Fluctuations à toutes les échelles
Pas de taille caractéristique
Divergence de la longueur de corrélation
=> Divergence de la susceptibilité
T=Tc
T>Tc
T<Tc
H=-J Σ
Σ
Σ
Σ sisj
Crise = Transition de phase

8. 24/11/2010 8
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
De l’équilibre à la turbulence : les crises en physique
forçage
externe
Equilibre
Thermo. (P,T,V)
branche
thermodynamique
flux = λ * forçage
instabilités
bifurcations
catastrophes
chaos
turbulence
T
diffusion convection
transition
de phase Tc

9. 24/11/2010 9
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Instabilité d’un système macroscopique
( )
µ
,
X
F
dt
X
d r
r
=
)
(
0 0 µ
X
dt
X
d r
r
⇒
=
Equation d’ évolution :
Solution stationnaire :
Stabilité ? = Réponse à une perturbation δX ?

10. 24/11/2010 10
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
µ
A
Etude de stabilité linéaire => mode instable = une valeur propre de l’opérateur
linéaire devient positive en passant par zéro λ(µ)=0 => µ=µc
Saturation non-linéaire => dépendance de l’amplitude A du mode instable au-
delà du seuil d’instabilité (par ex pour des non linéarités quadratiques A(µ)=µ1/2
Diagramme de bifurcation :
µ<µc :
µ>µc :
µ
A
Stabilité : Réponse à une perturbation δX
( ) ( )
...
)
(
...
,
,
)
(
0
0
0
0
2
2
0
0
0
+
⊗
+
=
+
⊗
+
+
=
+
=
+
X
X
X
D
X
D
F
D
X
X
D
DF
dt
X
d
X
X
X
D
X
D
F
D
X
X
D
DF
X
F
X
X
F
dt
X
X
d
X
X
X
X
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
s
s
s
s
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
µ
µ
δ
δ
Crise = Instabilité
t
e
X
t
X
λ
δ
δ −
= )
0
(
)
(
r
r
t
e
X
t
X
λ
δ
δ +
= )
0
(
)
(
r
r

11. 24/11/2010 11
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Chaos et Cascade de Feigenbaum
Equilibre = Point fixe
Bifurcation de Hopf => Cycle limite => Oscillations
Bifurcations successives => Attracteurs étranges => Route vers le chaos
µ
A

12. 24/11/2010 12
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Chaos : déterministe mais imprédictible !
Sensibilité aux conditions initiales :
Crise = « Effet papillon »
A few centuries ago, for want of a nail, an entire kingdom was lost!
"For want of a nail, the shoe was lost;
For want of a shoe, the horse was lost;
For want of a horse, the rider was lost;
For want of a rider, a message was lost;
For want of a message the battle was lost;
For want of a battle, the kingdom was lost!"

13. 24/11/2010 13
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
De l’équilibre à la turbulence : les crises en physique
forçage
externe
Equilibre
Thermo. (P,T,V)
branche
thermodynamique
flux = λ * forçage
instabilités
bifurcations
catastrophes
chaos
turbulence
T
diffusion convection
transition
de phase

14. 24/11/2010 14
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Chaos spatio-temporel et Turbulence
Vision de Landau =
Généralisation des idées précédentes à des champs continus, u(x,t):
mode instable => pattern spatial stationnaire ou propagatif (onde)
Rôle des non linéarités : cos(kx)*cos(kx) -> cos(2kx)
=> cascade dans les échelles
Big whirls have little whirls,
Wich feed on their velocity;
And little whirls have lesser whirls,
And so on to viscosity.
Lewis Fry Richardson 1922

15. 24/11/2010 15
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Turbulence :
Nombre de Reynolds à l’éch. l = temps visqueux/temps advection : Re(l) = δu.l/ν
Flux d’énergie constant au travers des échelles :
ε(l)=δu2/(l/δu)= δu3/l => δu(l)=ε1/3l1/3 avec ε = U3/L fixé par l’échelle d’injection
Echelle visqueuse : Re(η)=1 => η/L = Re(L)-3/4
Régime inertiel : L >> l >> η : la densité spect d’énergie E(k)=δu2(k)/k= ε2/3k-5/3
l ,δu(l)
L
U
ν
1/l
1/L 1/η
Injection Dissipation

16. 24/11/2010 16
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Turbulence
Rappel :
A l’équilibre l’énergie par degré de
liberté est donnée par l’équipartition et
correspond à l’absence de flux
Ici :
La séparation des échelles et le principe
d’un flux constant pourrait garantir
une répartition universelle de l’énergie au
travers des échelles.
Mais,
l’invariance d’échelle des fluctuations
n’est pas vérifiée expérimentalement:
<δun> ≠ <δu2>n/2 = εn/3 ln/3
= signature d’intermittence

17. 24/11/2010 17
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Intermittence et conséquences sur les fluctuations
Observation de turbulence 3D
Filaments de vorticité intermittents
Fluctuation de pression et de vitesse
très non gaussiennes, et non invariantes
d’échelle
Crise = Intermittence

18. 24/11/2010 18
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
De l’équilibre à la turbulence : les crises en physique
forçage
externe
Equilibre
Thermo. (P,T,V)
branche
thermodynamique
flux = λ * forçage
instabilités
bifurcations
catastrophes
chaos
turbulence
T
diffusion convection
transition
de phase

19. 24/11/2010 19
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Au-delà de la vision de Landau : turbulence sous-critique
Instabilité super-critique … et …. sous-critique :
= > Coexistence de deux solutions pour une même valeur de r
=> Phénomène d’hystérésis
=> Transition d’amplitude finie
Cas extrême :
Les écoulements cisaillés :
solutions d’amplitude finie
déconnectées de l’état laminaire

20. 24/11/2010 20
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Ecoulements de Couette plan et de Couette cylindrique
Coexistence de solutions instables dans
l’espace des phases :
=> Coexistence spatiale de l’écoulement
laminaire et de la turbulence
=> Dynamique intermittente et hétérogène

21. 24/11/2010 21
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
Crise en physique = extrême sensibilité à …
A l’équilibre = divergence de la susceptibilité : sensibilité à un petit champ ext
Instabilité = sensibilité à la valeur du paramètre de contrôle
Chaos = sensibilité aux conditions initiales
Intermittence et Hétérogénéités = sensibilité aux valeurs locales du champ
« sensibilité endogène à la dynamique »
Autres exemples de dynamique intermittentes et hétérogènes :
Déstabilisation d’un empilement granulaire et Avalanches
Fracture
Crises financières …

22. 24/11/2010 22
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champ
extérieur
Crises existantes et nouvelles crises en perspectives…
forçage
externe
Equilibre
Thermo. (P,T,V)
branche
thermodynamique
flux = λ * forçage
instabilités
bifurcations
catastrophes
chaos
turbulence
T
transition
de phase
autre
forçage
externe
Tc
rôle des fluctuations
thermique ?

23. 24/11/2010 23
GIT DSM/IRAMIS/SPEC/GIT, URA 24 64
De nouvelles crises en perspectives…