déterminer les conditions de fonctionnement nominales d’une installation (débits, rendements, concentrations, pureté,…) - dimensionner les installations

1. Transferts de matière…..
Objectifs du cours : acquérir des compétences pour…
- déterminer les conditions de fonctionnement nominales d’une
installation (débits, rendements, concentrations, pureté,…)
- dimensionner les installations
- pour cela, développer des approches globales (analyse
dimensionnelle, bilans globaux, corrélations) ou détaillées
(bilans locaux, profils de concentration)

2. Généralités sur les transferts de matière
Deux types de phénomènes de transfert de matière:
Diffusion
Convection
Phénomène moléculaire
Phénomène relatif à considérer par rapport au
mouvement d’ensemble (barycentrique) du système
Loi de Fick : relation linéaire flux de diffusion –
gradient de concentration
Implique un transport macroscopique de
matière (écoulement)
A travers une surface :
Le long d’une surface :
)
( out
A
in
A
A F
F
N 


 
out
ext
A x
x
h 

N

3. Généralités sur les transferts de matière (suite)
Comparaison avec les transferts thermiques
Similitudes
transferts par diffusion et convection
loi linéaire de transfert conductif
 analogies entre corrélations (transferts interfaciaux)
Différences
dualité masse – quantité de matière (moles) difficulté
loi linéaire de diffusion (Fick) inadaptée aux cas complexes
équilibre interfacial plus complexe que équilibre thermique
le transfert de matière peut résulter en la mobilité de l’interface
la diffusivité (coefficient de diffusion)est beaucoup plus faible
que la diffusivité thermique : pénétration beaucoup plus faible

4. Qté de matière du constituant i : ni
Concentration molaire : ci
Fraction molaire : xi
Vitesse moyenne :
Vitesse de diffusion : vi – v*
Flux global molaire : Ni
*
Flux de diffusion : Ji
* = ci(vi – v*)





i
i
i
i
i
i
* i
i
v
x
c
v
c
v
Masse du constituant i : mi
Concentration massique : i
Fraction massique : e i
Vitesse moyenne :
Vitesse de diffusion : vi – v
Flux global massique : Ni = i vi
Flux de diffusion : Ji = i(vi – v)





i
i
i
i
i
i
i
i
v
v
v e


Généralités sur les transferts de matière (suite)
Composition : deux systèmes de description
Massique Molaire
Relations entre flux
0
0
* 
 

i
i
i
i J
J 


j
j
i
i
i N
J
N e 


j
*
*
* j
i
i
i N
x
J
N

5. Bilans matière
in
out
-
d
d
i
ip
i R
W
W
W 

 out
out
i
in
in
i
t
m


i
i V
m 

Pour un système de volume V :
Win (Wout) : débit volumique d’entrée (sortie)
Wip (Wip *): débit volumique(entrée) à travers les
parois
R i (R i
*) création nette de i dans le système (réactions)
Bilan matière global
i
i c
V
n 
-
d
d
*
i
*
ip
i R
W
W
W 

 out
out
i
in
in
i c
c
t
n

6. Bilan matière (suite)
Expressions générales du bilan matière local (rappel)
i
r
i N
w
M
t
.
r
r
i
i 

 

 *
r
r
i . i
r
i N
w
t
c


 


wr : vitesse de réaction (en mol./temps/volume)
Mi : masse molaire de i
: coefficient stœchiomérique algébrique
r
i


7. Transferts thermiques par diffusion (rappels)
Diverses expressions de la loi de Fick dans un milieu binaire A B :
  A
AB
A
J e

 

 D
B
A
-   B
AB
B
J e

 

 D
B
A
-
  A
AB
A x
c
c
J 

 D
B
A
* -   B
AB
B x
c
c
J 

 D
B
A
* -
Un seul coefficient de diffusion : DAB
A et B gaz : 20°C : DAB= 1 à 2 x 10-5 m2/s ; (valeurs plus élevées si A ou B = H2)
A et B liquides : 20°C : DAB= 0,2 à 2 x 10-9 m2/s
Gaz dans solide : 20°C : DAB= 10-12 à 10-14 m2/s augmente beaucoup avec T
Solide dans solide : 20°C : DAB= 10-34 à 10-19 m2/s augmente beaucoup avec T
Valeurs typiques de DAB
Existence de formules semi-empiriques

8. Problème typique de diffusion de matière
 Détermination du profil de concentration dans un milieu binaire
Transferts de matière par diffusion
 
     
 
*
*
r
r
A
*
*
*
r
r
A .
. B
A
A
A
B
A
AB
r
B
A
A
A
r
A N
N
x
x
c
c
w
N
N
x
J
w
t
c












 
 D




Forme générale de l’équation aux dérivées partielles de bilan (cas molaire)
Deux cas extrêmes importants
0
*
* 
 B
A N
N Diffusion équimolaire ou milieu immobile
0
* 
B
N Diffusion de A dans B stagnant
Conditions aux limites usuelles
Dirichlet : CA (CB) = constante (contact avec milieu infini ; équilibre,…)
Neuman : paroi imperméable
0
ou
0 *
* 
 B
A N
N
Robin: loi de transfert interfacial
 


 A
ext
A
i x
x
h
J m
*
*
r
r
A . A
r
A N
w
t
c


 



9. Problèmes stationnaires de diffusion de matière à
coefficient de diffusion constant
Systèmes non réactifs : wr = 0
   
 
*
*
.
0 B
A
A
A
B
A
AB N
N
x
x
c
c 





 D
1er cas :Diffusion équimolaire et concentration totale constante :
0
*
* 
 B
A N
N c
c
c B
A 
  
 
.
0 2
2
B
A
A
B
A c
c
x
c
c 








En géométrie plane à une dimension avec conditions aux limites constantes
CA1
CA2
y1 y2
y
1
2
1
1
2
1
y
y
y
y
c
c
c
c
A
A
A
A





1
2
1
2
* -
y
y
c
c
J A
A
AB
A


 D

10. Problèmes stationnaires de diffusion de matière
Systèmes non réactifs
Diffusion équimolaire et concentration totale constante (suite)
En géométrie cylindrique avec conditions aux limites constantes










1
2
2
1
*
ln
2
-
D
D
c
c
J A
A
AB
A 
D
D2
D1
En géométrie sphérique avec conditions aux limites constantes
 
2
1
1
2
2
1
* 2
- A
A
AB
A c
c
D
D
D
D
J 

 
D
D2
D1

11. Problèmes stationnaires de diffusion de matière
Systèmes non réactifs
2ème cas : Diffusion de A dans B stagnant
0
* 
B
N
 
*
*
*
* B
A
A
A
A N
N
x
J
N 


 *
*
* A
A
A
A N
x
J
N 
    A
AB
A
A x
c
N
x 

 -
1 * D

*
r
r
A . A
r
A N
w
t
c


 

 *
.
0 A
N


  constante
* 
A
N
 
A
A
AB
A
x
x
c
N



1
-
*
D


En géométrie plane à une dimension avec conditions aux limites constantes
1
2
1
1
2
1
y
y
y
y
A
A
A
A
c
c
c
c
c
c
c
c 














 
A
A
AB
A
c
c
c
c
N


d
-
dy
*
D   











1
2
1
2
*
A ln
-
A
A
AB
c
c
c
c
y
y
c
N
D
Si c >> cA 1
n
cas
au
trouvée
expression
1
2
1
2
*
A 








 


c
c
c
y
y
c
N A
A
AB
D

12. Problèmes stationnaires de diffusion de matière
Systèmes non réactifs
Comparaison des deux cas extrêmes en géométrie plane à une dimension et
conditions aux limites constantes
1er cas :
Diffusion
équimolaire
2ème cas:
Diffusion de A
dans B stagnant

13. Problèmes stationnaires de diffusion de matière
Système réactif (une réaction chimique)
Exemple 1 : Diffusion avec réaction chimique homogène
Gaz A
Liquide B
z = 0
z = L
cA0
Réaction d’absorption du gaz A dans le liquide B
A + B = AB (w = kcA)
Calculer la quantité de A absorbée grâce à ce dispositif
A passe en solution dans B où il diffuse et réagit
 
 
d
d
0 *
*
*
* AB
B
A
A
A N
N
N
x
J
z
w 





z
N
w A
d
d
-
0
*


*
r
r
A . A
r
A N
w
t
c


 



Hypothèse de milieu immobile
Hypothèse de B très prépondérant
  z
x
c
c
c
J A
AB
AB
B
A
A d
d
-
* D



 0
.
d
d
- 2
2

 A
A
AB c
k
z
c
D

14. Conditions aux limites :
z = 0 cA = cA0 (équilibre)
z = L (paroi étanche)
0
d
d

z
cA
Problèmes stationnaires de diffusion de matière
Système réactif (une réaction chimique)
Exemple 1 : Diffusion avec réaction chimique homogène (suite)

 
AB
AB
A
A
kL
L
z
kL
c
c
D
D
2
2
0
cosh
-
1
cosh









La capacité d’absorption  flux molaire de A en z = 0, soit :
AB
AB
A
AB
z
A
AB
A
kL
kL
L
c
z
c
J
D
D
D
D
2
2
0
0
* tanh
d
d
- 



15. Problèmes stationnaires de diffusion de matière
Système réactif (une réaction chimique)
Exemple 2 : Diffusion avec réaction chimique hétérogène
Situation physique : réacteur
catalytique de dimérisation :
2 A = A2
Représentation du voisinage
de la surface d’une particule
de catalyseur
*
*2 2
1
- A
A N
N 
Réaction stœchiométrique
à la surface
z
N
w
t
c i
i
d
d *
i 



Bilans dans le « gas film »
*
*2 et A
A N
N
indépendants de z


16. Problèmes stationnaires de diffusion de matière
Système réactif (une réaction chimique)
Diffusion avec réaction chimique hétérogène (suite)

 
*2
*
*
* A
A
A
A
A N
N
x
J
N 


constante
2
1
- *
*2 
 A
A N
N
z
c
J A
AA
A d
d
-
2
* D

z
x
x
c
N A
A
AA
A d
d
2
-
1
- 2
*









D
0
d
d
2
-
1
d
d 2




















 z
x
x
c
z
A
A
AA
D


z
A
A x
x
-
1
0
2
-
1
2
-
1 

















Conditions aux limites : z = 0, xA = xA0 ; z = , xA = 0

2
-
1
1
ln
2
0
* 2











A
AA
A
x
c
N

D
Quantité de A transformée par unité de
temps et unité de surface du catalyseur

17. Problèmes non stationnaires de diffusion de matière
Type de sujets d’intérêt :
• atteinte de l’état stationnaire : temps d’homogénéisation des concentrations
•comportement dans un environnement de concentration variable
Analogie quasi-complète avec le transfert thermique
• a : diffusivité thermique  DAB
•  Cp T  cA
• Q  JA
*
Principaux résultats conservés moyennant les substitutions ci-dessus,
par exemple, effets de pénétration :
distance de pénétration : t
AB
D

 
Flux interfacial :   t
c
c
J AB
A
Ai
A - 0
*

D


18. hm1 et hm2 : coefficients de transfert
de matière interfaciaux
définition mais pas loi physique
Résistance au transfert négligeable de la
zone interfaciale : équilibre : yAi = f(xAi)
Transferts de matière interfaciaux
Situation : échange de matière entre deux milieux à travers une interface
Milieu 1
Milieu 2
xA
yA
yAi
xAi
Un seul flux de matière (stationnarité)
JA* = hm1(xA – xAi) = hm2(yAi – yA)
Courant de gaz B
Tissu imbibé du liquide A
Vapeur de A transféré
dans le courant gazeux

19. Définition d’un coefficient de transfert global
Transferts de matière interfaciaux
Par analogie avec le transfert thermique ? JA* = Hm(xA – yA)
FAUX
Exemple : le transfert du dioxygène de l’air à l’eau : xA = 0,2 ; yA = 5 x 10-5
La force motrice du transfert n’est pas : (xA – yA), mais … xA – f(xA)
JA* = hm1(xA – xAi)
JA* = hm2(yAi – yA) = hm2m(xAi – xA
*)
 *
2
1
* 1
1
A
m
m
A
A J
mh
h
x
x 










1
1
1
2
1 m
m
I
m mh
h
H


  
*
* A
A
I
m
A x
x
H
J 

avec
yA
xA
Courbe d’équilibre
xAi
yAi
Au voisinage de l’équilibre : yA - yAi = m(xA - xAi )

20. Définition d’un coefficient de transfert global (suite)
Transferts de matière interfaciaux
Symétriquement, on définit :
1
1
1
2 m
m
II
m h
m
h
H


 
*
* A
A
II
m
A y
y
H
J 

m est calculé à partir de la connaissance de l’équilibre de A entre les deux
phases (ex : constante de Henry dans le cas de la dissolution de O2 dans l’eau
hm1 et hm2 calculés au moyen de corrélations entre nombres adimensionnels
Elles dépendent :
- de la géométrie de l’interface
- du type de transfert convectif :
- de la position relative fluide – paroi :
Corrélations
la situation de convection forcée est de loin la
plus courante

21. Transferts de matière interfaciaux
Corrélations (suite)
Analyse dimensionnelle du transfert de matière interfacial
Convection forcée :
Variables :
D  m DAB v h
L M.L-3 M.L.T-1 L2.T-1 L.T-1 L-2.T-1
Théorème de Buckingham : m = n – r = 3
Nombres sans dimension :
Forme de la corrélation : Sh = f(Re, Sc)
AB
D

m
Sc 
m
vD
Re 
AB
c
hD
S
D
h 
Nombre de Schmidt
Nombre de Sherwood
ou de Nusselt massique
Nombre de Reynolds

22. Transferts de matière interfaciaux
Corrélations (suite)
Analyse dimensionnelle du transfert de matière interfacial
Convection libre:
Variables :
D  m DAB
z g Dx h
L M.L-3 M.L.T-1
L2.T-1 _ L.T-2 _ L-2.T-1
Théorème de Buckingham : m = n – r = 5
Nombres sans dimension :
Forme de la corrélation : Sh = f(Grm, Sc)
AB
D

m
Sc 
AB
c
hD
S
D
h 
Nombre de Schmidt
Nombre de Sherwood
ou de Nusselt massique
2
2
3
Gr
m
z
 A
m
x
g
D D

Nombre de Grashof
massique
z : coefficient d’expansion volumétrique
 
A
A x
x -
-
A z


 

23. Transferts de matière interfaciaux
Corrélations (suite)
Analogie avec les transferts thermiques interfaciaux
Exemple : transfert autour d’une sphère :
3
1
2
1
Re
60
,
0
2
Sh Sc


Matière (convection forcée) :
Une abondante bibliographie … formules, abaques,…
R. B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, J.R. Welty, C.E. Wicks, R.E. Wilson,
W.J. Beek, K.M. Muttzall, J.W. van Heuven, déjà cités
Chaleur (convection forcée) : 3
1
2
1
Pr
Re
60
,
0
2
Nu 

Analogie générale dite de Chilton-Colburn

24. Transferts de matière interfaciaux
Modèle du film
Hypothèse : le transfert interfacial dans un des milieux est assimilé à
un transfert diffusif dans une couche interfaciale d’épaisseur 
   
Ai
A
m
Ai
A
A x
x
h
x
x
c
J -
-
AB
* 


D
Application au cas de transfert avec réaction d’ordre 1
Gaz A
Liquide B
0
.
d
d
- 2
2

 A
A
AB c
k
z
c
D AB

D
c
hm 
Deux cas extrêmes :
1) Réaction très lente

xAi
xA
z
2) Réaction très rapide

h
AB

D
c
D
h
S m 

D
AB

D
c
hm 

25. Transferts de matière interfaciaux
Modèle du film
Application au cas de transfert avec réaction d’ordre 1
1) Réaction très lente
Hypothèse :
réaction négligeable dans le film ; se produit essentiellement dans le volume V
quantité transportée dans le film >> quantité consommée par la réaction :
hm.xAiS >> k.cAi..S soit : hmxAi >> k.cAi.
m
h
c AB
D
 1
2
AB 






c
h
k
m
D
1
Ha
2
AB 







c
h
k
m
D
Nombre de Hatta
Stationnarité globale  NA
*S = hm.(xAi – xA)S = V.k.cA  m
Ai
A
h
S
Vk
Vk
c
h
N
.
m
*



26. Transferts de matière interfaciaux
Modèle du film
Application au cas de transfert avec réaction d’ordre 1
1) Réaction très rapide
Hypothèse :
La réaction se produit entièrement dans le film
0
.
d
d
- 2
2

 A
A
AB c
k
z
c
D
Conditions aux limites : cA = cAi à z = 0 ;
cA = 0 pour z = 











AB
exp
D
k
z
c
c Ai
A
Ai
AB
A
AB
z
A c
k
z
c
N D
D
d
d
-
0
* 


 k
c
h AB
m D

k
z
c
c
Ai
Ai AB
r
d
d
-
n
pénétratio
D



Ha
2
AB
r








c
h
k
m
D


m
AB
h
cD


Épaisseur du film


27. Echangeurs de matière
Généralités
Echangeur de matière = appareil dans lequel les deux
phases devant échanger un composé A (au moins) sont
mises en contact étroit (aire interfaciale importante)
Le choix et le dimensionnement des échangeurs dépendent :
- de l’équilibre thermodynamique entre les phases
variables : pression, température ; paramètre : m
- du flux de matière échangée
variables : débits, vitesses d’agitation ; paramètres : hm, Hm

28. Efficacité maximale d’un échangeur
F1 ; yout
F1 ; yin
F2 ; xout
F2 ; xin
Echange « parfait » : xout = myout
Bilan : F1c1yin+ F2c2xin = F1c1yout+ F2c2xout
Echangeurs de matière















1
2
2
1
2
2
1
1
c
c
m
y
c
x
c
my
x in
in
in
out
1
1
F
F
F
F
Exemple : objectif : extraction maximale
d’un composé de la phase 1 par la phase 2
Hyp : c2in nul dans la phase extractante
1
1
2
2
1











c
c
m
my
x in
out
1
F
F
Critères de l’opérateur  choix des conditions de fonctionnement :
choix de facteur d’extraction
1
2
2
c
c
m
1
F
F



29. Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant
Echangeurs de matière
F2 ; xout
F2 ; xin
F1 ; yout
F1 ; yin
Par exemple : épuration de la phase
gazeuse 1 par absorption d’un de ses
composants dans la phase liquide 2
Colonne à contre courant remplie d’un garnissage
(packing) de surface d’échange a par unité de volume
Condition d’équilibre d’absorption : x = m.y
Changement de variable : x* = m.y
Problème de dimensionnement (hauteur) de la
colonne chargée d’assurer l’ échange indiqué

30. Echangeurs de matière
(exemples de garnissage)
D’après Bird, Stewart, Lihtfoot)
Anneaux de Raschig
Spirales de Wilson
Anneaux de Fenske
Billes de verre

31. Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant (suite)
Echangeurs de matière
Bilan stationnaire dans une
tranche de hauteur Dz
z
z +Dz
Phase liquide :
    z
aS
x
x
H
z
x
z
z
x
c II
m
L D



D

 *
2 )
(
)
(
0 F  a
x
x
c
H
z
x
v
L
II
m
d
d
0
:
soit *
2 


Phase gazeuse :
    z
aS
x
x
H
z
z
y
z
y
c II
m
G D


D


 *
1 )
(
)
(
0 F  a
x
x
c
H
z
y
v
G
II
m
d
d
-
0
:
soit *
1 


 a
x
x
v
c
H
z
x
L
II
m
d
d *
2


 a
x
x
v
m
c
H
z
x
G
II
m -
-
d
d
- *
1
*

   a
x
x
v
c
v
mc
v
c
H
z
x
x
G
L
L
II
m 1
d
d
*
1
2
2
*













 
   d
1
d
2
*
*
z
c
aS
H
x
x
x
x
L
II
m 




F

1
2
avec
v
c
v
mc
G
L



32. Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant (suite)
Echangeurs de matière
 
   d
1
d
2
*
*
z
c
aS
H
x
x
x
x
L
II
m 




F
Intégration de sur la hauteur de la colonne
 L
c
aS
H
x
x
x
x
L
II
m
out
in
in
out 1
ln
2
*
*











F
 L
c
aS
H
x
x
x
x
L
II
m
out
in
in
out 1
ln
2
*
*











F










*
*
ln
(N.U.T.)
transfert
de
unités
d'
nombre
out
in
in
out
x
x
x
x
L = N.U.T. x H.U.T.x (1-) Exemple : H.U.T. = 6 à 60 cm pour
anneaux Raschig
hauteur de l’unité de transfert =
aS
H
c
II
m
L 2
F

33. Notion d’échange théorique
Echangeurs de matière
Définition : hauteur équivalente de l’étage théorique (HETP)
HETP : hauteur de la colonne dont les flux de sortie sont en équilibre
z
z +HETP
F2 ; y(z)
F2 ; y(z+HETP)
F1 ; x(z)
F1 ; x(z+HETP)
x(z) = m.y(z+HETP)
 HETP
c
aS
H
HETP
z
x
HETP
z
x
z
x
z
x
L
II
m 1
)
(
)
(
)
(
)
(
ln
2
*















F
 HETP
c
aS
H
HETP
z
x
HETP
z
x
z
x
z
x
L
II
m 1
)
(
)
(
)
(
)
(
ln
2
*
*















F

 
1
)
(
)
(
)
(
)
(
ln
*














HUT
HETP
z
x
HETP
z
x
z
x
z
x


)
(
)
(
)
(
)
( *




z
x
HETP
z
x
z
x
z
x

Égalité pour  = 1
 
1
ln




HUT
HETP
