FU

1. CHAOUFI Jamal

2. Support :

3. Séance 1
• Introduction et concepts fondamentaux (2h)
• Introduction générale
• Définition d’une contrainte
• Définition d’un fluide
• Concept de continuum
• Propriétés des fluides
• Masse volumique, volume spécifique et poids spécifique
• L’expérience et la loi phénoménologique de Newton
• Variation de la viscosité en fonction de la température
• Fluide non-newtonien
• Relations thermodynamiques des gaz parfaits

4. Introduction
1.1 introduction générale
La mécanique des fluides est une science qui concerne le
comportement mécanique des liquides et des gaz au repos ou en
mouvement.
Son champs d’application est vaste.
La mécanique des fluides permet :
- d'expliquer un grand nombre de phénomènes qui nous
entourent.
- de décrire les mouvements d'un fluide à l'échelle
macroscopique à partir des lois fondamentales de la physique
classique et de la thermodynamique.
1.2 définition d’une contrainte
Soit une surface élémentaire 𝜹A où s’exerce la force
𝛿𝐹 agissant sur cette surface et qui peut être décomposée
en une force normale 𝜹𝑭𝒏et une force tangentielle 𝛿𝐹𝑡.

5. La force par unité́ de surface est appelée contrainte. La contrainte tangentielle est aussi
appelée contrainte de cisaillement.
Les composantes de cette contrainte sont définies comme :
• la contrainte normale :
• la contrainte de cisaillement :
Soient deux plaques planes séparées d’une petite
distance donnée, l’une étant stationnaire et l’autre
se déplaçant grâce à une contrainte appliquée sur
cette dernière, la contrainte tangentielle dans le
fluide situé entre les plaques dépend de sa vitesse
de déformation et s’annule lorsque la vitesse est
nulle.

6. 1.3 définition d’un fluide
a : Solide (acier, béton...) : les molécules rapprochées de façon très dense avec des forces de
cohésion intermoléculaires très grandes et qui permettent au solide de maintenir sa forme
initiale.
b : Liquides (eau, huile...) : les molécules sont plus espacées, les forces intermoléculaires sont
plus faibles que dans le cas des solides et les molécules ont la liberté́ de mouvement ⇒ ils
peuvent être facilement déformes.
c : Les gaz (air, oxygène...) : ont un espace entre les molécules encore plus grand et ont des
forces intermoléculaires de cohésion extrêmement petites ⇒ ils sont très facilement
déformables et compressibles.

7. Les principales différences entre un solide et un liquide peuvent être résumées dans le tableau
suivant :

8. 1.4 Concept de continuum
Bien que la matière soit composée de plusieurs molécules, le concept d’un continuum suppose
une distribution continue de la masse du système sans espace vide. Pour savoir si un milieu est
continu ou pas, on calcule le nombre de Knudsen sans dimension, défini par :
avec :
𝜆 est une longueur correspondant au libre parcours moyen ou encore la distance moyenne
d’un point de vue statistique entre deux collisions successives des molécules,
L est la longueur caractéristique de la géométrie de l’écoulement étudié.
En physique statistique, le libre parcours moyen est défini comme :
Ordres de grandeur du diamètre moyen des molécules (d) et du libre parcours moyen (𝜆) pour
l’hydrogène et l’hélium.

9. • Lorsque Kn ≤ 10−2 alors le modèle peut être considéré́ comme continu. Toutes les équations
écrites tout au long de ce cours se trouveront dans ce cas et seront donc valides.
• Lorsque 10−2 < Kn ≤ 0,1, alors l’écoulement se fait avec glissement sur les parois. « micro
fluidique ».
• Lorsque 0,1 < Kn ≤ 10, zone de transition.
• Lorsque Kn > 10, le milieu n’est plus continu, le libre parcours moyen est du même ordre de
grandeur que l’échelle caractéristique. Tout se passe donc à l’échelle moléculaire. « modèle
de dynamique moléculaire ».
1.5 Propriétés des fluides
Masse volumique, volume spécifique et poids spécifique
La masse volumique est dé nie comme la masse par unité́ de volume :
La densité́ d est sans dimension et est définie comme la masse volumique du fluide étudié́
rapportée à la masse volumique de l’eau : 𝑑 = 𝜌
𝜌𝑒𝑎𝑢. L’inverse de la masse volumique par
unité́ de masse est appelé́ volume spécifique (ou volume massique) et est défini par :
𝑣 = 1
𝜌 [m3⋅kg−1].

10. 1.6 viscosité
L’expérience et la loi phénoménologique de Newton
𝑭 −−−−−→ 𝝉 =
𝑭
𝑨
La loi de Newton peut alors s’écrire comme : avec
𝜏 = 𝜇𝛾 𝛾 =
𝑑𝑈
𝑑𝑦
« 𝝉 : contrainte de cisaillement »
𝑑𝛾
𝑑𝛾 = tan 𝑑𝛾 =
𝑑𝑎
𝑙
=
𝑉𝑑𝑡
𝑙
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑡 𝛾 =
𝑑𝛾
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑦

11. 1.6 viscosité
L’expérience et la loi phénoménologique de Newton
𝑭 −−−−−→ 𝝉 =
𝑭
𝑨
La loi de Newton peut alors s’écrire comme : avec
𝜏 = 𝜇𝛾 𝛾 =
𝑑𝑈
𝑑𝑦
Variation de la viscosité en fonction de la température
« 𝝉 : contrainte de cisaillement »

12. 1.6.3 Fluide non-newtonien
Le fluide est non-newtonien lorsque la viscosité varie avec le taux de déformation (ou
taux de cisaillement du/dy).
Avec
μapp représente la viscosité apparente ou
effective du fluide non-newtonien considéré et K
est une constante donnée qui dépend du fluide
étudié et m l’index du fluide.

13. 1.6.3 Fluide non-newtonien
Variation qualitative de la contrainte en
fonction du taux de cisaillement.
Lorsque m < 1, les fluides sont qualifiés de rhéo-fluidifiants (ou
pseudo-plastiques). Ils s’écoulent même sous une contrainte faible
mais ils ont une viscosité apparente qui diminue lorsque la
contrainte croît.
Lorsque m > 1, les fluides sont rhéo-épaississants (ou dilatants). La viscosité augmente avec la contrainte
appliquée. Un exemple typique est le mélange d’eau et d’amidon de maïs. Il s’écoule comme un fluide lorsque la
pâte est posée sur une table et il se comporte comme un solide lorsque la contrainte augmente.
Pour des fluides à seuil (plastiques) appelés aussi fluides de Bingham, il n’y a pas d’écoulement tant que la
contrainte appliquée ne dépasse pas une valeur seuil s :
𝜏 = 𝜏𝑆 + 𝜇𝑃𝛾
où P représente la viscosité plastique.

14. 1.7 relations Thermodynamiques des gaz Parfaits
1.7.1 Gaz parfait
Tant que la pression n’est pas trop importante, les calculs d’écoulement compressible peuvent être effectués en
supposant que le fluide étudié est un gaz parfait.
Par définition, un gaz parfait est un gaz dans lequel les forces intermoléculaires sont négligeables. L’équation
d’un gaz parfait peut être déduite de la théorie cinétique et s’écrit : PV =mrT
où
P la pression (N.m–2),
V le volume du système (m3),
M la masse du système (kg),
r la constante du gaz parfait étudié (J.kg–1.K–1)
T la température (K).
Cette équation peut aussi s’écrire sous les formes suivantes :
P=rT PV=nRT

15. 1.7 relations Thermodynamiques des gaz Parfaits
• La loi des gaz parfaits ignore le fait que les molécules possèdent un volume propre ;
• Vgaz réel >Vgaz parfait
• les interactions autres que les simples chocs élastiques du modèle des gaz parfaits existent
entre les molécules. Les forces attractives entre les molécules font que la pression d’un gaz
réel est inférieure à la pression d’un gaz idéal, en particulier pour les hautes pressions.
L’équation de Van der Waals s’obtient, contrairement à celle des gaz parfaits, à partir d’un
modèle de gaz composé de sphères soumises à des interactions attractives appelées forces
de Van der Waals. Elle s’écrit :
où a et b des constantes qui dépendent de la nature du gaz
a correspond à la pression de cohésion
b correspond au covolume

16. 1.7.2 Énergie interne et enthalpie
Considérons un gaz en équilibre, c’est-à-dire sans gradients de vitesse, pression, température
et concentration d’espèces. Soit e l’énergie interne par unité de masse.
L’enthalpie massique h est définie par
h = e + P v , e = e(T,v), h = h(T,P).
Gaz parfait : e = e(T), h = h(T)). On peut montrer que :
Dans le cas où les chaleurs massiques à volume constant (Cv) et à
pression constante (Cp) ne dépendent pas de la température, alors :
D’après la relation de Mayer et en considérant que le gaz est parfait : Cp −Cv =r
𝐶𝑃
𝐶𝑉
= 𝛾

17. 1.7.3 Premier principe de la Thermodynamique
On considère un système fermé. Si une quantité de chaleur 𝛿 q et une quantité de travail 𝛿w
ont été échangées à travers la frontière de ce système avec l’environnement extérieur alors
1er principe de la thermodynamique
1.7.4 Entropie et second principe de la Thermodynamique
Le premier principe ne nous dit rien sur la direction des échanges. Pour répondre à cette
question, on définit une nouvelle variable d’état, l’entropie massique par :
où s est l’entropie massique du système, 𝛿 qrev est la quantité de chaleur échangée de façon
réversible et T est la température du système. L’entropie est une variable d’état et peut être
définie avec tout type de processus, réversible ou irréversible. Pour une transformation
donné, on écrit :
𝑑𝑠 =
𝛿𝑞
𝑇𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒
+ 𝑑𝑠𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣
On a dans le cas des gaz parfaits 𝑠2 − 𝑠1 = 𝐶𝑃 ln
𝑇2
𝑇1
− r. ln
𝑃2
𝑃1
𝒅𝒆 = 𝜹𝒒 + 𝜹𝒘

18. Cas isentropique : lorsque la transformation est réversible et adiabatique (𝛿 = 0 et dsirrev = 0).
Le relation précédente nous donne alors :
C’est les équations de Laplace
1.7.5 Compressibilité́
Coefficient de compressibilité́
Nature de la transformation
Considérons un gaz à une pression P, ayant un volume massique v = 1/𝜌 et une température T.
Soit r la constante du gaz considéré
La transformation polytropique peut être représentée par l’équation suivante par analogie avec
l’équation de Laplace : Pvx =Cte
où x est une constante qui dépend de 𝛾 1 < 𝑥 < 𝛾 . Par conséquent :
Donc

19. Si la transformation est isotherme alors x = 1 et 𝜒= 1. Si elle adiabatique alors x =𝛾 et χ = 1/(𝛾.P).
On peut qualitativement représenter les cinq transformations (isotherme, isochore, isobare,
adiabatique, polytropique) sur la Figure suivante :

20. 1.7.6 Tension superficielle
L’interface entre le fluide et le gaz est caractérisée par un paramètre qui dépend de la
nature physico-chimique du fluide et du gaz ainsi que de la température et de la pression
dans le gaz. Ce paramètre est appelé tension superficielle.
Sans l’action de cette force F, le film tendrait à se rétracter pour retrouver une surface
minimale correspondant au minimum de son énergie libre (l’énergie libre spécifique étant
définie par : f = e-T s).
L

21. 1.7.6 Tension superficielle
L
Pour déplacer le film d’une distance dx, il faut fournir un
travail :
Dans ce cas l’aire de la surface du film va être
augmentée de la quantité (en tenant compte des 2 faces
du film) :
On appelle  la tension superficielle définie comme le
rapport entre le travail produit par unité de surface :
𝜎=
𝛿𝑊
𝛿𝐴
=
𝐹
2𝑙
(N.m–1)
Tension de surface de quelques liquides à 20 °C

22. 1.7.7 Équation de Young-Laplace
On considère le cas d’une bulle sphérique de diamètre D remplie d’un fluide (voir
Figure). On notera qu’en l’absence de gravité, la goutte est sphérique puisque c’est
la forme qui correspond au minimum de la surface et par conséquent à l’énergie
libre minimale de surface pour un volume donné de fluide. L’équilibre sur la face
projetée de la demi-sphère donne alors :
loi de Young-Laplace

23. Exercice : contrainte dans une huile
On suppose que de l’huile ayant une viscosité 𝜇= 0,29 Pa.s s’écoule entre les deux plaques dont l’une est
soumise à la force F.
Calculer la contrainte visqueuse 𝝉 dans l’huile si la vitesse de la plaque supérieure est de U = 3 m.s-1 et que la
distance entre plaque est de h = 2 cm.
Solution :
A.N.
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑈
𝑑𝑦
= 𝜇
𝑈 ℎ −𝑈(0)
ℎ−0
=𝜇
𝑈
ℎ
𝜏=0,29
3
0,02
= 43 𝑃𝑎

24. Exercice : mesure de la viscosité́
Un cylindre de rayon rint = 0,12 m tourne dans un autre cylindre de rayon rext = 0,13
m qui lui est fixe. Les deux cylindres sont coaxiaux et de longueur L = 0,3 m.
Déterminer la viscosité du liquide remplissant l’espace entre les cylindres si un
couple de 0,88 N.m est requis pour maintenir une vitesse angulaire de 𝜔 = 2𝛑
rad.s–1.

25. Exercice : mesure de la viscosité́
Un cylindre de rayon rint = 0,12 m tourne dans un autre cylindre de rayon rext = 0,13
m qui lui est fixe. Les deux cylindres sont coaxiaux et de longueur L = 0,3 m.
Déterminer la viscosité du liquide remplissant l’espace entre les cylindres si un
couple de 0,88 N.m est requis pour maintenir une vitesse angulaire de 𝜔 = 2𝛑
rad.s–1.
Solution : Le couple s’écrit de la façon suivante :
En intégrant, on obtient donc :
𝑑𝑢 = −
𝜏
𝜇
𝑑𝑟 = −
0,467
𝜇
𝑑𝑟
𝑟2
𝑢𝑖𝑛𝑡 − 𝑢𝑒𝑥𝑡 = −
0,467
𝜇 𝑟𝑒𝑥𝑡
𝑟𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑟
𝑟2=
0,467
𝜇
1
0,12
−
1
0,13
𝑢𝑖𝑛𝑡 = 𝜔. 𝑟𝑖𝑛𝑡 = 0,754 𝑚. 𝑠−1
et 𝑢𝑒𝑥𝑡 = 0
𝝁=0,397 Pa.s