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1
Mécanique des fluides Fonction
Alimenter
1 SUPPORT : VERIN DOUBLE EFFET
Considérons le vérin ci-dessous (hydraulique ou pneumatique).
 Quelles sont les caractéristiques du fluide qui peuvent influer sur les caractéristiques mécaniques
de la tige (effort – vitesse.…...) ?
 Ces vérins (hydrauliques ou pneumatiques) sont alimentés par l'air ou l'huile sous pression. Alors
quels sont les organes qui permettent de produire ces énergies ?
2 MECANIQUE DES FLUIDES :
La mécanique des fluides est la partie des sciences physiques qui étudie le comportement des fluides au
repos ou en mouvement. La mécanique des fluides peut être divisée en deux grandes catégories :
 La statique des fluides, ou ……………………………….., qui modélise les fluides au repos ;
 La dynamique des fluides, ou …………………………….. qui étudie les fluides en mouvement.
2.1 HYDROSTATIQUE
2.1.1 DEFINITIONS :
2.1.1.1 FLUIDE
Un fluide est un corps qui n'a pas de forme propre. Les gaz et les liquides sont des fluides
 …………………….. occupent des volumes bien définis et présentent des surfaces libres. Ils sont
quasi incompressibles.
 ……………………… se dilatent jusqu'à occuper tout le volume offert. Ils sont très compressibles.
2.1.1.2 FLUIDE REEL. FLUIDE PARFAIT
Si les …………………………, on a affaire à un fluide dit ……………. Sinon, on a un fluide ………..
Les forces de viscosité étant nulles au repos, la statique des fluides réels se confond avec celle des fluides
parfaits.
2.1.1.3 COMPRESSIBILITE
La compressibilité d'un corps représente ……………………………………………………………
…………………………………….
D'une manière générale, les liquides sont très peu compressibles.
Dans notre étude, les fluides seront supposés……………………………………...

2
Alimenter
………………………………………….
2.1.1.4 PRESSION
La pression est une grandeur proportionnelle à l'intensité de la force et inversement proportionnelle à la
surface S sur laquelle s'exerce cette force
F : ……………………………… P : ………………………… S :……………………….
La pression n'est pas une grandeur vectorielle, mais une grandeur scalaire.
2.1.2 PRESSION EN UN POINT D'UN FLUIDE (PRINCIPE FONDAMENTAL DE HYDROSTATIQUE)
Soit un fluide en équilibre de masse volumique  .
La différence de pression en deux points du fluide en équilibre est égale au poids d'un
cylindre de fluide ayant pour base l'unité de surface et pour hauteur la dénivellation entre
les deux points.
La masse volumique  est indépendante de la pression. Si V est le volume du cylindre
2.1.3 THEOREME D'ARCHIMEDE
Tout corps immergé dans un liquide au repos reçoit de ce liquide une poussée opposée
au poids de liquide déplacé. Le point d'application de cette poussée est confondu
avec le centre de gravité du liquide déplacé. Ce point s'appelle le centre de poussée.
…………………….. …………………….. …………………….. ……………………..
…………………….. ……………………..
…………………….. …………………….. …………………….. ……………………..
…………………….. …………………….. …………………….. …………………….. ………
…………………….. …………………….. …………………….. ……………………..
…………………….. …………………….. …………………….. ……………………..
2.2 HYDRODYNAMIQUE
2.2.1 DEFINITIONS :
2.2.1.1 DEBIT
Le débit est …………………….. …………………….. …………………….. ……………………..…………………….
2.2.1.2 DEBIT MASSIQUE
Si M est la masse du fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant l’intervalle de temps t,
le débit-masse s’écrit :
........
.......

m
q unité : kgs-1
(M T-1
)
2.2.1.3 DEBIT VOLUMIQUE
Si V est le volume du fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant l’intervalle de temps
t, le débit-volume s’écrit :

3
Alimenter
........
........

V
q unité : m3
s-1
(L3
T-1
)
Relation entre qm et qV : La masse volumique  est donnée par la relation : ……..
D’où : .
..........

m
q
2.2.1.4 ECOULEMENTS PERMANENTS OU STATIONNAIRES :
Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent
(pression, température, vitesse, masse volumique, ..), ont une valeur constante au cours du temps.
2.2.2 EQUATION DE CONTINUITE
Soit une conduite de section constante S et une section MN dans laquelle les
particules qui la traversent ont même vitesse c. En une seconde, les particules sont
arrivées en OP après avoir parcouru la distance c. Le volume compris entre les deux
sections est égal à celui du fluide qui a traversé en une seconde la section MN : on
l'appelle le débit en volume qv : qv = S.c
S : section de la conduite, en m2
. c : vitesse d'écoulement du fluide, en m.s-1
. qv en m3
.s-1
.
Si nous voulons trouver la masse de liquide qui s'est déplacé, c'est-à-dire trouver le débit massique qm, il
faut multiplier le débit volumique par la masse volumique du liquide :
qm =  .S.c
Supposons maintenant que la section du conduit est variable. L'écoulement étant
permanent, pendant un certain temps le même volume, la même masse de liquide,
a traversé une section quelconque du conduit. On peut donc écrire: qv = S1.c1 =
S2.c2 qm =  .S1.c1 =  .S2.c2
S1 : section de la conduite, en m2
, en un point de la conduite. c1 : vitesse
d'écoulement du fluide, en m.s-1
, en ce même point. S2 et c2 étant les mêmes
grandeurs en un autre point.
L'équation de continuité, pour un liquide incompressible et pour un écoulement permanent, s'écrit donc
S1.c1 = S2.c2
Exercice : Sur un nettoyeur haute pression est marqué 120 bars, 8,4 l/min.
Quelle doit être la section à la sortie pour que la vitesse de l'eau soit de 140 m/s ?
…………………………………………………………………………………….........................................
Quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau, sachant que sa section a un diamètre de 1,2 cm ?
……………………………………………………………………………………………….........................
S1.c1 = S2.c2

4
Alimenter
2.2.3 THEOREME DE BERNOULLI :
Le système étudié est 1 kg de liquide qui passe du point 1 au point 2, à travers les sections S1 et S2. Sa
vitesse est c1 dans S1 et c2 dans S2. Les forces qui s'exercent aux points 1 et 2 sont les forces de pression et
le poids. L'équation de Bernoulli s'écrit :
ou : ou:
 Le premier terme exprime …………………………………………… d'un kilogramme de liquide.
 Le deuxième terme exprime …………………………………… d'un kilogramme de liquide.
 Le troisième terme exprime …………………………………….. d'un kilogramme de liquide.
Le théorème de Bernoulli exprime alors la conservation de l'énergie que possède le fluide au point 1 et
au point 2.
On peut aussi écrire : c.a.d :
Une troisième forme d'écriture est :
p est la pression statique, c2
/2 est la pression dynamique et gz est la pression due à l'altitude.
2.2.4 THEOREME DE BERNOULLI GENERALISE
Au milieu de la conduite on place un appareil hydraulique, par exemple une turbine ou une pompe.
On a un travail W supplémentaire dû à cet appareil. Ce travail sera positif si le fluide le reçoit (pompe),
négatif s'il le cède (turbine). L'équation de Bernoulli
s'écrit:
   
W
p
p
z
z
g
C
C 






1
2
1
2
2
1
2
2 )
(
2
1
Si P est la puissance de l'appareil et si qm est le débit massique, on a la relation :
2.2.5 VISCOSITE
Sous l'effet des forces d'interaction entre les molécules de fluide et des forces d'interaction entre les
molécules de fluide et celles de la paroi, chaque molécule de fluide ne s'écoule pas à la même vitesse. On
dit qu'il existe un profil de vitesse
v
v+dv
z
z+dz
v max
v = 0
1 2
p
o
m
p
e
q
v
P = W.qm

5
Alimenter
2.2.5.1 VISCOSITE DYNAMIQUE :
Considérons 2 couches contiguës distantes de dz.
La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au
glissement d'une couche sur l'autre est :
dz
dc
S
F 


Le facteur de proportionnalité  est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.
Unité : l'unité de viscosité est Poiseuille (Pl) : 1 Pl = 1 kgm-1
s-1
2.2.5.2 VISCOSITE CINEMATIQUE :
Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique  et de la masse volumique.
Ce rapport est appelé viscosité cinématique  : 



Unité : l'unité de viscosité n'a pas de nom particulier : (m2
/s).
2.2.6 DYNAMIQUE DES FLUIDES VISQUEUX INCOMPRESSIBLES
2.2.6.1 LES DIFFERENTS REGIMES D'ECOULEMENT : NOMBRE DE REYNOLDS
Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou
turbulent est un………………………………………………………………..et donné par :

 D
c
Re  ou

D
c
Re 
On montre que : si Re < 2000 le régime est ………………………………….
si 2000 < Re < 3000 le régime est intermédiaire
si Re > 3000 le régime est ………………………………….
2.2.6.2 CALCUL DES PERTES DE CHARGE
Lorsqu'on considère un fluide réel, les pertes d'énergie spécifiques ou bien comme on les appelle
souvent, les pertes de charge ont pour origine :
 Les frottements du fluide sur la paroi interne de la tuyauterie ; on les appelle ………… …………
…………………………………………………………..
 La résistance à l'écoulement provoquée par les accidents de parcours (coudes, élargissements ou
rétrécissement de la section, organes de réglage, etc...); ce sont les ……………………………… ….
………………………………………………..
2.2.6.6 PERTES DE CHARGE ACCIDENTELLES
Ainsi que les expériences le montrent, dans beaucoup de cas, les pertes de charge sont à peu près
proportionnelles au carré de la vitesse et donc on a adopté la forme suivante d'expression :
2
v
K
p
2



g
2
v
K
h
2


K est appelé coefficient de perte de charge singulière (sans dimension).
La détermination de ce coefficient est principalement du domaine de l'expérience.

6
Alimenter
2.2.6.3 PERTES DE CHARGE SYSTEMATIQUES
Entre deux points séparés par une longueur L, dans un tuyau de diamètre D apparaît une perte de pression
p. exprimée sous la forme suivante :
D
L
2
v
p
2




D
L
g
2
v
h
2



 Est un coefficient sans dimension appelé coefficient de perte de charge linéaire.
Le calcul des pertes de charge repose entièrement sur la détermination de ce coefficient .
Dans le cas de l'écoulement laminaire Re < 2000, on montrer que le coefficient  est uniquement fonction
du nombre de Reynolds Re ;
Re
64

 avec

D
c
Re 
2.2.6.4 THEOREME DE BERNOULLI POUR LES FLUIDES VISQUEUX
    0
J
)
(
2
1 1
2
1
2
2
1
2
2 







p
p
z
z
g
v
v
J : pertes de charges entre les instants t1 et t2 exprimé en j/kg J > 0
3 EQUIPEMENTS PNEUMATIQUES ET HYDRAULIQUES :
Dans un système ou circule l’énergie pneumatique ou hydraulique, les appareils les plus utilisés sont :
Les tuyaux, les raccords, les vannes, les filtres, les régulateurs, les lubrificateurs, les vérins, les pompes,
les moteurs, les distributeurs etc…
Un circuit pneumatique ou hydraulique peut être représenté sous forme de schéma.

7
Alimenter
Exemple :
3.1 LES CONDUITES :
Pour transporter les fluides (liquide ou gaz) d’un milieu à l’autre. La technologie pneumatique utilise des
tuyaux souples en matière plastique dans la grande majorité des cas, exception pour les grands diamètres
qui nécessitent l’utilisation de tuyaux métalliques rigides.
On distingue sur un circuit trois types de conduites :
-la conduite alimentation ;
-la conduite de pilotage ;
-la conduite de fuite ou de récupération.
3.2 LES RACCORDS :
Le raccordement des tubes aux divers constituants d’un circuit pneumatique ou hydraulique nécessite la
mise en œuvre de raccords de jonction (raccords cannelés, raccords à portée conique, raccords coudés,
raccords rapides etc…).
3.3 LES REGULATEURS :
Font varier la pression en amont, de façon à restituer en aval, une pression constante qu’il est possible de
régler en fonction des besoins. Ils sont complétés de manomètres assurant la lecture de la pression d’air.
3.4 LES LUBRIFICATEURS :
Ils assurent le graissage de l’air pour permettre le bon fonctionnement du matériel
récepteur.
Le fonctionnement d’un lubrificateur est entièrement automatique.
3.5 LES FILTRE :
Ils éliminent les impuretés solides ainsi que l’humidité de l’air.
La vidange de l’eau et des impuretés s’effectue à la partie inférieure du filtre.

8
Alimenter
3.6 LES POMPES :
Le F.A.S.T partiel
Dans quel but? Comment ?
Les pompes permettent de déplacer un liquide d’un point à un autre, pour déplacer ce liquide il
faut lui communiquer de l'énergie mécanique pour permettre le mouvement des organes des pompes, cette
énergie mécanique est retransmise au fluide. Cette énergie fluide se traduit sous forme de débit et de
pression.
3.6 .1 CARACTERISTIQUES
La cylindrée Vc: c'est le volume de fluide aspiré et expulsé pour un cycle. Dans le cas des pompes rotatives
la cylindrée s'exprime en (m³/tour).
Vc=……………………………
Le débit qv: Dans le cas d'une pompe rotative, si N(tr/min) fréquence de rotation du moteur et Vc cylindrée
en (m³/tr). , on a :
qv (m³/min)=………….
La différence de pression ΔP : elle caractérise la capacité de la pompe à augmenter la pression du fluide
qui la traverse.
ΔP=………………………
Le rendement volumétrique ηv: c'est le rapport entre le débit théorique (calculé avec la cylindrée) et le
débit effectivement obtenu. Le rendement volumétrique est toujours inférieur à 1 en raison des fuites.
ηv=…………….
Le rendement mécanique ηm : c'est le rapport entre le couple théoriquement Cth nécessaire pour produire
la différence de pression et le couple effectivement nécessaire Cre.
ηm =………………………….
Remarque : Couple théorique (N.m)= cylindrée(m³/rad) * différence de pression (Pa)
Le rendement global ηg: c'est le rapport entre la puissance hydraulique fournie par la pompe et la
puissance mécanique absorbée par la pompe. C'est aussi le produit du rendement volumétrique par le
rendement mécanique.
ηg=…………………………………..
La puissance hydraulique se calcule en faisant le produit du débit par la différence de pression.
Ph(W)=qv(m³/s)*ΔP(Pa)
3.6 .2 CLASSIFICATION
Les mouvements retransmis aux organes des pompes sont de deux grands types :
Rotatif
Rectiligne (alternatif)
Convertir
Pompe
Convertir l'énergie mécanique
en énergie pneumatique

9
Alimenter
3.6 .3 QUELQUES EXEMPLES INDUSTRIELS DE POMPES ROTATIVES
POMPE A ENGRENAGES POMPE A PALETTES
POMPE A VIS POMPE CENTRIFUGE
POMPE A PISTONS RADIAUX POMPE A PISTONS AXIAUX

10
Alimenter
3.6 .4 QUELQUES EXEMPLES INDUSTRIELS DE POMPES ALTERNATIVES
POMPE A PISTON POMPE A MEMBRANE
POMPE A PISTONS EN LIGNES
3.7 LES COMPRESSEUR :
Un compresseur est un organe destiné à convertir l'énergie mécanique du moteur en énergie pneumatique en augmentant la
pression .
3.7.1 CLASSIFICATION :
1 compresseurs rotatifs
2 compresseurs rectilignes (alternatifs)
3.7.2 QUELQUES EXEMPLES INDUSTRIELS DE COMPRESSEURS ROTATIFS :
 compresseur à palettes (Voir pompe);
 compresseur à engrenages (Voir pompe).
3.7.3 QUELQUES EXEMPLES INDUSTRIELS DE COMPRESSEURS ALTERNATIFS :
COMPRESSEUR A PISTON COMPRESSEUR A CYLINDRES ETAGES

11
Les préactionneurs Fonction
Distribuer
1. LES PREACTIONNEURS PNEUMATIQUES
1.1 FONCTION :
Ils ont pour fonction essentielle de distribuer l'air sous pression aux différents orifices des actionneurs
pneumatiques. Comme le contacteur est associé à un moteur électrique, le distributeur est le pré-actionneur
associé à un vérin pneumatique :
1.2 CONSTITUANTS D'UN DISTRIBUTEUR :
On peut comparer un distributeur à un robinet que l’on ouvre et fermer non pas à la main, mais par des
ordres donnés par la PC.
Il est constitué d’une partie fixe (le corps) et d’une partie mobile (le tiroir) qui peut se déplacer à l’intérieur
de la partie fixe selon un ordre directe (manuelle) ou indirecte (provenant de la PC). Le tiroir est doté de
conduites permettant le passage de l’air entre les différents orifices de la partie fixe.
1.3. LES PRINCIPAUX DISTRIBUTEURS PNEUMATIQUES :
Un distributeur est caractérisé :
 Par son nombre d'orifices, c'est à dire le nombre de liaisons qu'il peut avoir avec son
environnement (arrivée, sortie(s) et échappement de la pression) ;
 Par son nombre de positions que peut occuper le tiroir.
Le nom et la représentation d'un distributeur découlent de ces deux caractéristiques. Chaque position est
symbolisée par un carré dans lequel figurent les voies de passage de l'air comprimé :
Distributeur pneumatique
Distributeur
Energie
pneumatique
Energie
pneumatique
distribuée
Distribuer
l'énergie
Ordres
Rôle d’un distributeur pneumatique

12
Distribuer
Exemples :
Distributeur 3/2
 En position repos, l’orifice d’alimentation du
vérin est relié à l’orifice d’échappement : la
tige est maintenue donc rentrée ;
 En position travail, provoquée par un ordre
de la PC, l’orifice d’alimentation du vérin
est mis en liaison avec la source d’air
comprimé. Par conséquent, la tige sort.
Distributeur 5/2
Suivant la position occupée, l’air comprimé est
verrouillé vers l’un des deux orifices d’alimentation
du vérin tandis que l’autre est à l’échappement.
1.4. LES DISPOSITIFS DE COMMANDE :
La commande du distributeur a pour fonction de positionner le
tiroir dans une position ou dans l’autre. Elle peut être
électromagnétique, pneumatique, électropneumatique ou
manuelle. On parle :
 D’un distributeur monostable si le retour du tiroir à sa
position initiale est assuré par un ressort de rappel ;
 d’un distributeur bistable si le tiroir reste dans l'état que lui
a imposé le dernier ordre envoyé par la PC
La commande du distributeur est représentée par un rectangle accolé à la case qu’elle commute et complétée
par un ou plusieurs symboles schématisant la technologie utilisée.
La figure suivante donne la schématisation des différents dispositifs de commande :
Exemples: distributeur à pilotage pneumatique
Commande
manuelle
Commande
manuelle par
poussoir
Rappel par
ressort
Commande
électropneumatique
Commande
pneumatique
Commande
électrique
Distributeurs sur leur embase
Bp1 non actionné
Bp2 actionné
Distributeur à commande
électrique

13
Distribuer
2 LES PREACTIONNEURS ELECTRIQUES
INTRODUCTION
Dans les circuits électriques, les préactionneurs sont généralement soit un
relais, soit un contacteur. Le contacteur assure en plus l’extinction de l’arc
électrique qui accompagne souvent la commutation de l’énergie de forte
puissance. En effet, quand on ouvre un circuit en cours de fonctionnement, le
contact en cause provoque un arc électrique qui peut être dangereux pour les biens
et les personnes.
2.1. LE RELAIS
Le relais est un composant électrique réalisant la fonction d’interfaçage entre un circuit de commande,
généralement bas niveau, et un circuit de puissance alternatif ou continu (Isolation galvanique). On distingue deux
types de relais : le relais électromagnétique et le relais statique.
1.1. Relais électromagnétique :
1.1.1. Principe :
Un relais électromagnétique est constitué d’une bobine alimentée par le circuit de commande, dont le noyau mobile
provoque la commutation de contacts pouvant être placé dans un circuit de puissance. Le relais électromagnétique est
réservé pour les faibles puissances.
2.2. LE CONTACTEUR
2.1. Principe :
Un contacteur est un relais électromagnétique particulier,
pouvant commuter de fortes puissances grâce à un dispositif de
coupure d’arc électrique. Sa commande peut être continue ou
alternative. Sa constitution est comme suit :
 DES POLES principaux DE PUISSANCE ;
 UN CONTACT auxiliaire (AVEC POSSIBILITE D'ADDITIONNER
AU CONTACTEUR UN BLOC DE CONTACTS AUXILIAIRES
INSTANTANES OU TEMPORISES) ;
 UNE ARMATURE FIXE et UN AUTRE MOBILE ;
 UN RESSORT DE rappel ;
 UN CIRCUIT magnétique ;
 UNE BOBINE DE commande DU CONTACTEUR. SI LA BOBINE
EST ALIMENTEE ELLE ATTIRE L’ARMATURE MOBILE POUR
ACTIONNER LES POLES DE PUISSANCE ; SI ELLE N’EST PAS
ALIMENTEE, UN RESSORT DE RAPPEL OUVRE LES POLES DE
PUISSANCE.
2.3. Schémas de mise en œuvre :
Pour alimenter la bobine d’un contacteur on peut utiliser l’un des deux montages suivants :
K
AR
M
A
Commande par interrupteur
Commande par deux poussoirs (la plus utilisé)

14
Distribuer
Si on appuie sur le bouton poussoir MA la bobine du contacteur est alimentée et ferme le contact K. Même
si on relâche le bouton poussoir la bobine reste alimentée (auto maintien). Pour couper l’alimentation il suffit
d’ouvrir le bouton poussoir AR.
Généralement, dans une chaîne d’énergie électrique, le préactionneurs ne s’utilise pas seul, mais associé
à une classe d’appareillage typique : sectionneur, relais thermique, etc.
2.4. LE SECTIONNEUR
Le sectionneur est un appareil de connexion qui permet d’isoler (séparer électriquement) un circuit pour
effectuer des opérations de maintenance ou de modification sur les circuits électriques qui se trouvent en aval.
Ainsi il permet d’assurer la sécurité des personnes qui travaillent sur le reste de l’installation en amont.
Le sectionneur ne possède aucun pouvoir de coupure, par conséquent, il ne doit pas être manœuvré en
charge.
On trouve également des sectionneurs qui servent en plus de porte-fusible. On les désigne par "Sectionneurs
porte-fusible" :


La classe aM : ce sont les fusibles d’accompagnement Moteur prévus pour la protection contre les courts-circuits et surtout
pour la protection des moteurs.
2.5. LE RELAIS THERMIQUE
Le relais thermique est un appareil de protection capable de protéger
contre les surcharges prolongées. Une surcharge est une élévation anormale
du courant consommé par le récepteur (1 à 3 In), mais prolongée dans le temps,
ce qui entraîne un échauffement de l'installation pouvant aller jusqu'à sa
destruction. Le temps de coupure est inversement proportionnel à
l'augmentation du courant.
Le relais thermique utilise la propriété d'un bilame formé de deux lames minces ayant des coefficients de
dilatation différents. L’apparition d’une surcharge se traduit par l’augmentation de la chaleur (effet joule) ; Le
bilame détecte l'augmentation de chaleur, se déforme et ouvre le contact auxiliaire.
Ce contact étant convenablement placé dans le circuit de commande va couper l'alimentation de la bobine du
contacteur qui va ouvrir ses pôles de puissances et interrompre le passage de l'énergie électrique au travers du
récepteur. C’est donc l'appareillage de commande qui coupe le circuit de puissance est non pas le relais thermique.
Symbole
Contact
commandé
Bilame non déformée
d = déformation due à l’échauffement
provoquée par le passage du courant.
SECTIONNEUR SIMPLE
SECTIONNEUR AVEC FUSIBLES
INCORPORES

15
Résistance Des Matériaux (RDM) Fonction
Convertir
1. PRODUIT: POSITIONNEUR DE PARABOLE
On observant le fonctionnement de la parabole on peut constater que le mouvement de celui-ci est
généré par la tige qui se déplace en translation. Ce déplacement est rendu possible grâce à des organes
mécaniques. Or le produit-support est alimenté en 'énergie électrique distribuée par le préactionneur :
 Alors quels sont les organes qui ont le rôle de convertir cette énergie électrique reçu du
préactionneur en énergie mécanique ?
 Quelle est la relation qui existe entre les dimensions de ces organes et les efforts appliques pour
qu'ils résistent ?
2. LES ACTIONNEURS
2-1DIAGRAMME ’’BETE A CORNES’’
2-2 L'ACTIGRAMME DE L'ACTIONNEUR
Presencce energie
Énergie distribuée Énergie mécanique
Actionneur
Energie actionneur Energie mécanique
Electrique Moteur …………………….
Pneumatique ou
hydraulique
Vérin ………….
Energie
distribuée
positionneur
………………
..
Convertir l'énergie distribuée en énergie mécanique
Convertir l'énergie

16
Convertir
3 RESISTANCE DES MATERIAUX
3.1. GENERALITES
NOTION DE POUTRE
Les notions abordées dans ce cours ne sont valables que
pour des solides ayant une forme de poutre ; c’est à dire un
solide pour lequel :
 il existe une ligne moyenne, continue, passant par les
barycentres des sections du solide ;
 la longueur L est au moins 4 à 5 fois supérieure au
diamètre D ;
 il n’y a pas de brusque variation de section (trous,
épaulements) ;
 le solide admet un seul et même plan de symétrie pour les charges et la géométrie.
Exemples de poutres :
HYPOTHESES FONDAMENTALES
Les hypothèses de la résistance des matériaux, dans ce cours, sont les suivantes :
 Les matériaux sont homogènes et isotropes ;
 Il n’y a pas de gauchissement des sections droites : les sections droites planes et perpendiculaires à
la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation ;
 Toutes les forces extérieures exercées sur la poutre sont contenues dans un plan de symétrie ;
 On suppose que les déformations restent faibles par rapport aux dimensions de la poutre.
3.2. TORSEUR DE COHESION
Les actions mécaniques que le tronçon (E2) exerce
sur (E1) à travers la section droite fictive (S) sont des
efforts intérieurs à la poutre (E) que l’on modélisera
par un torseur appelé torseur de cohésion  
coh
T et
exprimer ses éléments de réduction au point G, centre
de surface de (S) :
 











G
G
M
R
Tcoh 


17
Convertir
Relation entre le torseur des efforts extérieurs et le torseur des efforts de cohésion, sur un tronçon
- Isolons le tronçon (E1).
-Celui-ci est en équilibre sous l’action de deux torseurs
d’actions mécaniques :
 Le torseur des actions du milieu extérieur ( E ) sur (E) dont
on peut donner les éléments de réduction en G :
 Le torseur des actions mécaniques que le tronçon (E2) exerce
sur (E1) à travers la section droite fictive (S) :
-Appliquons à (E1) le PFS : …………………………………………………………..
Les équations d’équilibre du tronçon (E1) s’écrivent donc en G :
0
)
1
(





 R
E
E
R
  0
1





 G
G M
E
E
M
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion peuvent donc s’exprimer de deux
façons :
Première écriture Deuxième écriture
Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur de cohésion
Définitions :
 Effort normal N

: c’est la projection de R

sur la
normale extérieure  
x
,
G

 Effort tranchant T

: c’est la projection de R

sur le
plan de section droite 
z
,
y
,
G


 Moment de torsion t
M

c’est la projection de G
M

sur
la normale extérieure  
x
,
G

 Moment de flexion f
M

c’est la projection de G
M

sur
le plan de section droite  
z
,
y
,
G


Par conséquent : T
N
R




 et f
M
t
M
MG




 .
Soit en décomposant dans le repère local R :
(4)

18
Convertir
R

N : ………………………………………………………………………
Ty : ………………………………………………………………………
Tz: ………………………………………………………………………
G
M

Mt : Composante algébrique du moment …………..……………………
Mfy : Composante algébrique de moment …………..……………………
Mfz : Composante algébrique de moment …………..……………………
Soit ,
 DIAGRAMMES
Les composantes algébriques N, Ty, Tz, Mt, Mfy, Mfz varient en fonction de la position du centre de
surface G de la section droite fictive(S). le point G est défini par son abscisse x telle que : 0
x
x
G
O


 . La
représentation graphique N(x) ; Ty(x) ; Tz(x) ; Mt(x) ; Mfy(x) ; Mfz(x) donne les diagrammes des
composantes des éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion.
 DEFINITION DES SOLLICITATIONS
Si les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion font apparaître un seul des quatre
éléments f
M
,
t
M
,
T
,
N




non nul, la sollicitation est dite simple.
« traction simple » « cisaillement simple » « torsion simple »
« Flexion simple » « Flexion plane »

19
Convertir
 VECTEUR CONTRAINTE EN UN POINT
Définition
Les efforts de cohésion sont les actions mécaniques que le tronçon (E2)
exerce sur le tronçon (E1) à travers la section droite (S) de la coupure fictive.
Ces actions sont réparties en tous les points de (S). Notons f

 l’action
mécanique élémentaire au point M et S l’élément de surface entourant ce
point. Soit x

La normale issue de M au plan de section (S), orientée vers
l’extérieur de la matière du tronçon (E1).
On appelle vecteur contrainte au point M relativement à l’élément de surface S orienté par sa normale
extérieure x

, le vecteur noté )
x
,
M
(
C


tel que :
Unité
Avec exprimée en pascal : 1 Pa = 1 N/m²
Unité usuelle :
Contraint normale, contrainte tangentielle
Donc :
3.3. TRACTION
DEFINITIONS
Une poutre est sollicitée en traction lorsque les actions aux extrémités se réduisent à deux forces égales et
opposées, portées par la ligne moyenne Lm.
-N N
A B
Lm
L’effort F

est appelé effort normal, il est noté N

. Quelle que soit la section considérée de la poutre, il
s’exerce toujours N

au barycentre G de la section.
-N N
A G
Lm
Section S
CONTRAINTE NORMALE
Chaque élément de surface S supporte un effort de traction f parallèle à la ligne
moyenne.
Il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite. D’où :
 = ………….

20
Convertir
CONDITION DE RESISTANCE
Soient :  Re la résistance élastique du matériau (en Mpa) ;
 s un coefficient de sécurité ;
 Rpe la résistance pratique à l’extension, avec Rpe = Re/s ;
Alors, la condition de résistance s’écrit :
maxi  Rpe
DEFORMATION
Soient :
L0 : longueur initiale de la poutre (en mm)
L : longueur de la poutre après déformation (en mm)
L : Allongement de la poutre (en mm)
 : Allongement relatif de la poutre (sans unité)
= L/L0 ou L = .L0
Loi de Hooke :
En déformation élastique, la contrainte  varie linéairement en fonction de l’allongement relatif @.
 = E.
3.4 CISAILLEMENT
DEFINITIONS
Une poutre est sollicitée en cisaillement lorsque sa section S est soumise à
une résultante T

appliquée en G (barycentre de la section) et contenue dans
le plan (S).
T

est appelé effort tranchant.
G
+
T

Section S
CONTRAINTE DE CISAILLEMENT
S
f
f
f
Chaque élément de surface S supporte un effort de cisaillement f contenu
dans le plan (S).
Il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite. D’où :
 =
T
S
Soient :  Reg la résistance élastique au cisaillement du matériau (en Mpa) ;
 Rpg la résistance pratique au cisaillement, avec Rpg = Reg/s ;
Alors, la condition de résistance s’écrit :
  Rpg
 : ……………………………..
E : ……………………………………………..
: …………………………………………..
 :………………………………………..
T : ………………………………………..
S : ………………………………………..

21
Convertir
DEFORMATION
En déformation élastique, la contrainte de cisaillement © varie linéairement en
fonction de l’angle de glissement .
 = G. 
3.5. TORSION
DEFINITIONS
Une poutre est sollicitée en torsion lorsque les actions aux extrémités se réduisent à deux moments
égaux et opposés, portés par la ligne moyenne Lm.
- M

A
Lm M

M
x x
B

L
Le moment M

est appelé moment de torsion, et est noté Ät.
Soit  l’angle de rotation entre les deux extrémités de la poutre.
CONTRAINTE TANGENTIELLE DE TORSION
Soit  =

L
= angle unitaire de torsion.
M
G
y
z
(S)
GM = 
 = G..
Mt = G..I0
d’où :  =
Mt
I0
.
Soient :  Reg la résistance élastique au cisaillement du matériau (en Mpa) ;
 Rpg la résistance pratique au cisaillement, avec Rpg = Reg/s ;
 maxRpg
DEFORMATION
L’angle unitaire de torsion  est caractéristique de la déformation. Sa méthode de calcul dépend de la
géométrie de la section (forme, section ouverte ou fermée, etc…). Ce calcul ne sera pas abordé dans ce
cours.
 : contrainte tangentielle en N/mm²
G : module d’élasticité transversal en Mpa
 : angle de glissement en radians
 :contrainte tangentielle en N/mm²
 : angle unitaire de torsion en rad/mm
 : rayon GM en mm
Mt : Moment de torsion en N.mm
 : angle unitaire de torsion en rad/mm
I0 : moment quadratique par rapport au point G en mm4

22
Convertir
3.6. FLEXION
DEFINITIONS
Une poutre est sollicitée en flexion lorsque sa section S est
soumise à une action au barycentre composé d’une résultante T

contenue dans le plan de symétrie et un moment Mfz
perpendiculaire à ce dernier.
Mfz est appelé moment fléchissant, ou moment de flexion.
G
+
T

Section S
Äfz
CONTRAINTES NORMALES
 = - E.y.
Soient :  Re la résistance élastique à l’extension du matériau (en Mpa) ;
 Rpe la résistance pratique à l’extension, avec Rpe = Re/s ;
Avec :
 : contrainte normale en Mpa
E : module d’élasticité longitudinale en Mpa
y : ordonnée du barycentre de la section en mm
 : angle unitaire de flexion en rad/mm
y
I
Mfz
GZ
.



Äfz : Moment de flexion en N.mm
Igz : moment quadratique de la section en mm4
max  Rpe
max
max
Y
I
Mfz
GZ




23
Mécanique des solides Fonction
Transmettre
1. SUPPORT :
Positionneur de parabole
On constate que le produit support est alimenté en 'énergie électrique distribuée par le préactionneur et
que le moteur converti cette énergie en énergie mécanique de rotation. On constate aussi que la vitesse de
sortie est réduite et que le mouvement de la parabole est généré par la tige qui se déplace en translation
Alors :
 quel est l'organe qui permet de réduire la vitesse de rotation ?
 quel est l'organe qui a le rôle de transformer le mouvement
(Rotation translation)?
2. CHAINE D'ENERGIE
3. DYNAMIQUE
C’est l’étude des relations entre les mouvements d’un solide et leurs causes. Dans ce chapitre nous
nous limiterons à l’étude du mouvement de translation rectiligne d’un solide et du mouvement de
rotation autour d’un axe confondu avec l’axe d’inertie du solide.
Remarques :
Le torseur dynamique de S/Rg s’écrit en un point O quelconque :
  










)
/
(
D g
S/R
g
O
d
O
R
S
R



Le torseur statique de S/Rg s’écrit en un point O quelconque :
 












/S)
S
(
M
S
S
R
S
S
O
O
)
/
(
)
/
(

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE :
Le Principe Fondamental de la Dynamique nous dit qu’à chaque instant t le solide S est soumis à une
accélération G


telle qu’en un point quelconque A :
   M
S
S )
/
(
D g
S/R 

 Théorème de la résultante dynamique : G
d m
R
S
ext
F 






)
/
( .
Moment dynamique en O.
Résultante dynamique.
Préactionneur
(contacteur…)
Actionneur
(moteur
électrique…)
Adaptateur
(réducteur à
engrenages,
poulie-courroie,
chaines…)
Distribuer
l’énergie
Energie
électrique
Tension
Intensité
Vitesse
d’entrée
Couple
moteur
Adapter
Vitesse
de sortie
Couple
de sortie
Effecteur
………………………
……………………...
Convertir
l’énergie

24
Transmettre
 Théorème du moment dynamique :
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE APPLIQUE A UN SOLIDE EN TRANSLATION :
Soit un solide S de masse m de centre d’inertie G en mouvement de translation soumis à des actions
mécaniques extérieures. L’expression du PFD au point G s’écrit :
 
G
G
G
G
G
m
/S)
S
(
M
S
S
R
S
S









 













0
)
/
(
)
/
(



 Pour un mouvement de translation rectiligne uniforme (MTRU) : 0



G
 
G
G
S
S











0
0
:
)
/
(


Cette relation est donc une condition nécessaire mais non suffisante pour définir l’équilibre d’un
solide (Principe Fondamental de la Statique)
 Pour un mouvement de translation rectiligne uniformément varié (MTRUV) : G = constante.
Exemple : Chute libre d’un solide
Soit S de masse m en chute libre. Soit £G le vecteur accélération du centre de masse G
Les actions mécaniques extérieures sont définies par le glisseur : 
G
G
P
S
S











0
:
)
/
(


PFD :  
G
G
G
m
S
S









 


0
:
)
/
(


Le théorème de la résultante dynamique nous donne : ……………..
Nous avons :…………………………… alors ………………………… (vecteur accélération de la
pesanteur)
EXERCICE :
Une voiture de formule 1 effectue la distance 0 - 1 000 m, départ arrêté, en 19 secondes. La masse de la
voiture est de 800 kg. Si le mouvement est supposé rectiligne et uniformément accéléré :
a) Appliquer le PFD au dragster.
b) Calculer les équations de mouvements.
c) La force F nécessaire pour obtenir l'accélération
d) La puissance que doit développer le moteur.
..........................................................................................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
P

G
, ( / ) ( / )
A A g
A M ext S S R

 


25
Transmettre
3.3 PFD APPLIQUE A UN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE DE SYMETRIE FIXE :
Dans le cas de la rotation d’un solide homogène S autour d’un axe de symétrie matérielle fixe (O, z)
appartenant à S, le PFD s’écrit en tout point O de cet axe :
avec θ

 = l’accélération
angulaire du solide en
rotation.
Remarques :
 Théorème de la résultante dynamique : = 0
 Théorème du moment dynamique :
. = z
O
I



θ
z).
,
(
Exercices :
EX1 : Un moteur électrique met 2 secondes pour atteindre son régime de 1500 tr/min. Le rotor est en
acier (=7800 kg/m3
.) Longueur 15 cm, Diamètre 8 cm. En supposant que l’accélération angulaire est
constante :
a) Ecrire les équations de mouvement.
b) Calculer JX.
c) Déterminer le couple nécessaire pour obtenir cette accélération.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..
EX2 : On se propose d’étudier le couple de démarrage à vide d’un
moteur électrique dont le rotor est modélisé par un cylindre plein de masse
m=3kg et de rayon 30 mm. On notera (O, z) l’axe de symétrie matérielle du
rotor. Soit le graphe du mouvement de S suivant :
 Nature du mouvement et valeur de l’accélération en phase de
démarrage ?
……………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
 Calculer le moment d’inertie du rotor par rapport à (O, z)
……………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
 Calculer la valeur du moment par rapport à l’axe (O, z) des actions mécaniques agissant sur S
pendant le démarrage à vide.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
t (s)
150
0 0.75
, ( / ) ( / )
A A g
A M ext S S R

 

( / ) d
F ext S R


 
O
O
O
O
z
O
I
/S)
S
(
M
S
S
S
S



























θ
z).
R
,
(
0
)
/
(
:
)
/
(

26
Flexion simple Fonction
Transmettre
4. FLEXION SIMPLE
DEFINITION :
Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe z

si pour chacune des sections droites,
le torseur de cohésion se réduit, dans le repère )
,
,
,
( z
y
x
G
R



 de définition des sollicitations :
   
)
,
,
,
(
1
2
0
0
0
0
z
y
x
G
G
G
G
coh
Mfz
Ty
M
R
E
E
T



























Remarque : si Ty est nul, alors la sollicitation est appelée flexion pure
Relation entre l’effort tranchantTy et le moment fléchissant Mfz
Ty
dx
dMfz


ETUDE DES CONTRAINTES NORMALES
La poutre étant sollicitée en flexion simple, la ligne caractéristique peut être assimilée à un arc de cercle
de rayon R appelé rayon de courbure
Au cours de la déformation, le tronçon considéré initialement prismatique se transforme en portion de
tore de rayon moyen R intercepté d’un angle 
d
MM’ est une fibre du tronçon joignant deux points homologues des sections  et '

Les fibres situées dans le plan )
,
,
( z
x
G


ne varient pas et sont appelées fibres neutres
Les fibres au dessus de G (Y > 0) se raccourcissent et celles en dessous de G (Y < 0) s’allongent
Allongement / Raccourcissement relatif de la fibre M’M
Coordonnées du point M (YM, ZM) dans le repère local )
,
,
,
( z
y
x
G
R




Longueur initiale M’M = dx
dx
d
YM

 


27
Transmettre
Allongement relatif :
Expression de la contrainte normale
En exprimant la loi de Hooke définie par la relation E
.

 , on obtient :
dx
d
Y
E M
M

 .


La contrainte normale est nulle sur la fibre neutre
Le signe s’inverse à la traversée du plan )
,
,
( z
x
G


La répartition est linéaire sur la section droite
Le point le la section la plus sollicité est celui qui est le plus éloigné de la fibre neutre
Relation entre contrainte normale et moment fléchissant
Une coupure est effectuée au niveau de la section droite 
Soit un pont M de coordonnées )
,
,
( M
M
M Z
Y
X et 
d un élément de surface entourant M
L’action mécanique de cohésion s’écrit :
 
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
.
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
0
.
z
y
x
G
M
M
G
z
y
x
G
M
M
d
Y
d
d
S
S





 






















 







Le moment fléchissant Mfz est la somme des moments en G des actions mécaniques élémentaires
transmises par les éléments de surface 
d constituant le section droite avec 

 d
Y
dMfz M.
.
donc
MOMENT QUADRATIQUE
La somme



d
Y².
(mm4) est le moment quadratique de la section droite  par
rapport à l’axe Gz que l’on notera GZ
I . Le moment quadratique dépend
uniquement de la géométrie de la section droite



 d
Y
IGZ ².





d
Y
Y
Mfz M
M
².
.




 












 d
Y
Y
d
Y
dx
d
E
d
dx
d
E
Y
d
M
Y
Mfz
M
².
².
.
.
.
²
.
. 




28
Transmettre
THEOREME DE HUYGENS
Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu
dans son plan est égal au moment quadratique de cette section par
rapport à un axe parallèle au premier et passant par son barycentre,
augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance
entre les deux axes.
²
.d
S
I
I Gy
Oy 

Oy
I : moment quadratique de (S) par rapport à (O, y

) (mm4
)
Gy
I : moment quadratique de (S) par rapport à (G, y

) (mm4
)
S : aire de la section (S) (mm²)
d : distance entre les axes (O, y

)et (G, y

) (mm)
Exemple : calculer le moment quadratique de l’équerre / x
G

: Gx
I
Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK
12
10
100 3
1
1
x
I x
G  ; 5
5
3
1
1
1
1 10
12
10
²
10
).
10
.
100
(
12
10
.
100
²
. 




 d
S
I
I x
G
Gx
12
50
.
10 3
2
2 
x
G
I
4
4
3
2
2
2
2 10
.
20
12
10
.
125
²
20
).
10
.
50
(
12
50
.
10
²
. 




 d
S
I
I x
G
Gx
4
4
2
1 10
.
2
,
41 mm
I
I
I Gx
Gx
Gx 


MODULE DE FLEXION
On appelle module de flexion la quantité
max
Y
IGZ
en mm3
. C’est une caractéristique courante des profilés.
CONTRAINTE NORMALE MAXIMALE
max
 = contrainte normale maximale (Mpa)
max
Y
IGZ
= module de flexion (mm3
)
Mfz = moment de flexion sur z

(N.mm)
CONDITION DE RESISTANCE A LA CONTRAINTE NORMALE
pe
R : contrainte pratique de limite élastique (Mpa) =
s
Re
e
R : contrainte de limite élastique (Mpa)
s : coefficient de sécurité
max
 = contrainte normale maximale (Mpa)
max
max
Y
I
Mfz
GZ



pe
R
kt 
max
.

29
Transmettre
kt : coefficient de concentration de contrainte
Déformations
Soit une poutre AB sollicitée en flexion simple et )
,
,
,
( z
y
x
A



un repère d’étude
global qui ne se déplace pas lorsque la poutre se déforme.
C est la ligne caractéristique de la poutre déformée considérée comme la graphe de la fonction )
(x
f
y
l’équation de la déformée s’obtient par intégration successive de y’’
CONTRAINTE TANGENTIELLE
Ty est l’effort tranchant (N)
S est la surface de la coupure  (mm²)
Ymoy
 est la contrainte tangentielle (Mpa)
CONTRAINTE TANGENTIELLE MAXIMALE
Section rectangulaire
moy


2
3
max 
Section circulaire
moy


3
4
max 
Autres sections
A
moy
S


2
3
max 
Si l’épaisseur est petite devant les autres dimensions tranversales, on
peut considérer que seule la section SA (partie grisée) travaille au
cisaillement
CONDITION DE RESISTANCE A LA CONTRAINTE TANGENTIELLE
pg
R : contrainte pratique de limite au glissement (Mpa) =
s
Rg
g
R : contrainte de limite élastique au glissement (Mpa)
s : coefficient de sécurité
max
 = contrainte tangentielle maximale (Mpa)
La contrainte limite au glissement g
R s’exprime en fonction de la contrainte limite à l’extension e
R
-matériaux ductiles : g
R = 0.5 e
R
-matériaux peu ductiles : g
R = 0.6 e
R ou g
R = 0.7 e
R
-matériaux à décohésion franche : g
R = 0.9 e
R
GZ
fz
I
E
M
x
y
.
)
(
'
' 
pg
Y R

max

S
Ty
Ymoy


30
Transmettre
Exemple
Etude statique
On déduit S
Y
1 = S
Y 
2 =
2
3 S
F 
= 10,5 N donc y
A S

.
5
.
10
1 
 et y
B S

.
5
.
10
2 

Torseur de cohésion pour
2
0 l
x

   
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
5
.
10
0
0
5
.
10
0
0
5
,
0
0
0
5
.
0
0
0
0
0
0
5
.
0
0
0
z
y
x
G
G
z
y
x
G
G
z
y
x
A
A
coh
x
xF
F
F
S
S
T








 



































 

Torseur de cohésion pour l
x
l 

2
   
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
6300
5
.
10
0
0
5
.
10
0
0
)
(
5
,
0
0
0
5
.
0
0
0
0
0
0
5
.
0
0
0
z
y
x
G
G
z
y
x
G
G
z
y
x
B
B
coh
x
x
l
F
F
F
S
S
T








 




































 

Diagrammes
Contrainte normale maximale MPa
h
b
h
M
I
Y
M
Y
I
M fz
GZ
fz
GZ
fz
0625
,
59
12
4
.
20
2
.
3150
12
.
2
.
.
3
3
max
max
max 





F = 21 N * l = 600 mm
b= 20mm *h = 4 mm
Matiere : A60
E = 200 000 Mpa
Re = 340 Mpa
= 0.6
s=2
1 2
3
10,5
N
10,5
N
3150 N.mm
N
2
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………..

31
Transmettre
Condition de résistance
170
59
2
340
59
max
max 






s
R
R e
pe 
 la condition est vérifiée avec un rapport 17
.
0
max

e
R

Contrainte tangentielle maximale MPa
h
b
F
moy 19
.
0
4
.
20
5
.
10
.
2
3
.
5
.
0
.
2
3
2
3
max 


 

Condition de résistance
102
19
.
0
2
340
6
.
0
19
.
0
6
.
0
max
max 






s
R
R e
Y
pg
Y 
 la condition est vérifiée avec un rapport
00059
.
0
max

e
R

Conclusion
La poutre soumise à la flexion simple est plus sensible aux contraintes normales qu’aux
contraintes tangentielles.
Calcul de la flèche maximale
GZ
GZ
GZ
fz
I
E
x
F
I
E
x
F
I
E
M
x
y
.
.
2
.
.
2
.
.
)
(
'
' 




x
F
y
I
E GZ .
'
'
.
.
.
2 

première intégration
1
2
²
.
'
.
.
.
2 C
x
F
y
I
E GZ 


1
²
.
'
.
.
.
4 C
x
F
y
I
E GZ 


recherche de C1 : y’=0 pour x = l/2 (symétrie de la déformée)
4
²
.
4
²
.
0 1
1
l
F
C
C
l
F 




4
²
.
²
.
'
.
.
.
4 l
F
x
F
y
I
E GZ 


deuxième intégration :
2
3
2
3
2
3
12
².
.
.
3
.
.
4
4
².
.
3
.
.
4
²
.
3
.
.
.
.
4 C
x
l
F
x
F
C
x
l
F
x
F
C
x
l
F
x
F
y
I
E GZ 











recherche de C2 : y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe y

)
GZ
I
E
x
l
F
x
F
y
.
.
48
².
.
.
3
.
.
4 3

 y est maxi pour x = l/2 (symétrie de la déformée)
GZ
GZ
GZ
GZ I
E
l
F
I
E
l
l
F
I
E
l
l
F
I
E
l
l
F
l
F
y
.
.
48
)
2
2
(
.
.
48
)
2
3
2
(
.
.
48
)
2
3
8
4
(
.
.
48
2
².
.
.
3
8
.
.
4 3
3
3
3
3
3










GZ
I
E
l
F
y
.
.
48
. 3

Le calcul de résistance d’une poutre sollicitée en flexion simple se fait selon le critère de la
contrainte normale

32
Transmettre
Formulaire des poutres

33
Transmettre

34
Transmettre

35
Transmettre
PRINCIPE DE SUPERPOSITION
Dans la limite des déformations élastiques, le vecteur déformation en un point, du à un système de forces extérieures est
égal à la somme géométrique des vecteurs déformation dus à chacune des forces du système agissant séparément.
Exemple
On considère un IPE 180 reposant sur deux appuis linéaires rectilignes parfaits
en A et B
Cette poutre, dont on ne négligera pas le poids supporte en C une charge
verticale concentrée y
C

.
1200
1
4 


Hypothèses :
- poids linéique : p = 188 N/m
- moment quadratique IGZ = 1 317 cm4
- module de Young : E = 2.105
Mpa
- longueur l = 3m
Calculer la flèche en I, milieu de la poutre
Considérons dans un premier temps la poutre soumise à la charge répartie p
uniquement
mm
I
E
l
p
I
y
GZ
075
.
0
10
.
1317
.
200000
.
384
3000
.
188
,
0
.
5
.
.
384
.
.
5
)
( 4
4
3
1 


Considérons dans un deuxième temps la poutre soumise à la charge concentrée
uniquement
mm
I
E
l
P
I
y
GZ
256
.
0
10
.
1317
.
10
.
2
.
48
3000
.
1200
.
.
48
.
)
( 4
5
3
3
2 


Utilisons le principe de superposition : y= y1 + y2 = 0,075 + 0,256
= 0,331mm
A
B C
D A
B
D A
C
D
= +
1
2
B
A C
y
x
l
l/2

36
Transmettre
Flexion de poutres hyperstatiques
Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis. Il
faut faire intervenir en plus les équations de déformations.
Exemple 1 :
Une poutre AB en HEA 600 (IGZ/v = 4786 cm3
; E = 2.105
MPa) de longueur l = 4m encastrée à ses deux extrémités
supporte en C une charge y
F

.
5000


Déterminer les actions en A et B
Equations de statique :
2
/
2
1 F
B
A S
S 
 
 (symétrie)
0
.
2
2
2
1 


 

 l
B
M
Fl
M S
S
B
S
A :
0
2
2
2
1 


 

Fl
M
Fl
M S
B
S
A
donc S
B
S
A M
M 
  1
1
le système est hyperstatique d’ordre 1
Equation de déformation :
Calcul du moment fléchissant quand
2
0 l
x

   



































x
A
M
A
x
A
M
A
T
T
S
S
A
S
G
S
S
A
S
G
S
ext
coh
.
0
0
0
0
.
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1 S
A
S
fz M
x
A
M 
 
 1
1 .
Utilisation de l’expression de la déformée
S
A
S
GZ M
x
A
y
I
E 
 
 1
1 .
'
'
.
.
1
1
1 .
2
²
.
'
.
. C
x
M
x
A
y
I
E S
A
S
GZ 

 

2
1
1
3
1 .
2
²
.
6
.
.
. C
x
C
x
M
x
A
y
I
E S
A
S
GZ 


 
 et 0
0
)
0
(
' 1

 C
y
0
0
)
0
( 2

 C
y donc
2
²
.
6
.
.
. 1
3
1
x
M
x
A
y
I
E S
A
S
GZ 
 

Compte tenu de la symétrie de la déformée : 0
)
2
(
' 
l
y donc
4
.
2
)²
2
(
2
2
.
)²
2
(
2
2
.
2
)²
2
(
.
0 1
1
1
1
1
1
1
l
A
l
l
A
M
l
M
l
A
l
M
l
A S
S
S
A
S
A
S
S
A
S






 






2
1
F
A S 
 donc
8
.
2
1
l
F
M
M S
B
S
A 
 

B
A C
y
x

37
Transmettre
Torseur de cohésion pour
2
0 l
x

   







































































)
4
.(
2
0
0
2
0
0
2
8
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
/
0
0
1
1 l
x
F
F
Fx
Fl
F
Fx
M
F
Fx
M
F
T
Tcoh
G
G
S
A
G
S
A
G
S
ext
z
Fx
Fl
Fx
Fl
Fx
Fl
F
x
Fl
A
GA
M
M S
S
A
S
G

.
2
8
2
8
0
0
2
0
0
8
0
0
0
2
0
0
0
8
0
0
1
1 












 


Torseur de cohésion pour l
x
l 

2
   






















































))
(
4
.(
2
0
0
2
0
0
2
)
(
8
.
0
0
2
0
0
)
.(
0
0
2
0
0
2
2
x
l
l
F
F
x
l
F
l
F
F
x
l
B
M
F
T
Tcoh
G
G
S
S
B
G
S
ext
z
x
l
F
Fl
x
l
F
Fl
x
l
F
Fl
F
x
l
Fl
B
GB
M
M S
S
B
S
G

.
2
)
(
8
2
)
(
8
0
0
2
)
(
0
0
8
0
0
0
2
0
0
0
8
0
0
2
2
2



















 

 Effort tranchant
2
0 l
x
 : N
F
Ty 2500
2




l
x
l 

2
: N
F
Ty 2500
2


Moment fléchissant
0

x : m
N
Fl
M fz .
2500
8
4
.
5000
8






2
l
x : m
N
Fl
M fz .
2500
8
4
.
5000
8



l
x : m
N
Fl
M fz .
2500
8
4
.
5000
8






Flèche maximale au point C
²
.
16
.
12
2
²
.
6
.
.
. 3
1
3
1 x
Fl
x
F
x
M
x
A
y
I
E S
A
S
GZ 


 

6
.
32
)
2
1
3
1
(
32
64
96
4
.
16
8
.
12
.
.
3
3
3
3
3
3 Fl
Fl
Fl
Fl
l
Fl
l
F
y
I
E GZ 







GZ
I
E
l
F
y
.
.
192
. 3


  mm
l
y 74
,
1
4786000
.
200000
.
192
4000
.
5000
2
3




B
A C
y
x
y
B
A
C
x
B
A
C
x

38
Transmission et transformation de mouvement Fonction
Transmettre
5. TRANSMETTEURS ET TRANSFORMATEURS USUELS
TRANSMETTEUR DE MOUVEMENT : c'est un organe mécanique permettant la transmission du
mouvement sans modification de sa nature et de sa vitesse.
Transformateur de mouvement : c'est un organe mécanique permettant la transmission du mouvement
avec :
 soit modification du mouvement (exemple : transformation d'une rotation en translation)
 soit modification de la vitesse ou du couple transmis (exemple : réduction d'une vitesse de
rotation)
Les besoins de transmission de puissance étant très variés, il est nécessaire de disposer d'un vaste ensemble
de solutions constructives permettant de répondre d'un point de vue technique, économique et opérationnel
au besoin. Le diagramme ci-dessous propose une approche des familles de solutions basée sur le besoin
exprimé d'un point de vue cinématique d'une part (nature du mouvement) et géométrique d'autre part
(position relative des arbres).
Caractéristiques cinématique Caractéristiques géométriques Solutions techniques

39
Transmettre
5.1. ACCOUPLEMENTS
Localisation dans la chaîne de transmission de PUISSANCE :
La représentation:
Schéma cinématique général (symbole)
5.1.1. ACCOUPLEMENTS RIGIDES
Les accouplements rigides permettent de raccorder des arbres coaxiaux. Les solutions techniques utilisées
dépendent largement des couples à transmettre.
La liaison entre les éléments de l'accouplement et les arbres peut se faire soit par obstacle (clavetages,
cannelures, goupilles) soit par adhérence.
La représentation
Schéma cinématique - accouplement rigide
(symbole)
Puissance
d'entrée
Puissance de sortie
Moteur ………………… Récepteur

40
Transmettre
Exemples de solutions :
Accouplement à plateaux :
Les goupilles calculées au cisaillement cassent en cas
de sur couple.
Les moyeux sont le plus souvent clavetés ou cannelés
sur les arbres
Accouplement par manchon goupillé :
Les goupilles sont calculées au cisaillement et servent de
sécurité en cas de sur couple.
On peut également utiliser des clavettes ou des cannelures.
Accouplement à coquilles :
Deux demi-coquilles sont assemblées sur les arbres.
L'assemblage peut être soit direct par adhérence, soit
par clavette et adhérence.
Cette solution à l'avantage de permettre un montage
radial de l'accouplement
Accouplement à cannelures :
Des cannelures permettent de liéer le manchon et les deux
moyeux, qui sont clavetés sur les arbres
5.1.2. ACCOUPLEMENTS ELASTIQUES
Les accouplements élastiques réalisent une transmission entre arbres non parfaitement alignés. Leur
capacité à absorber des déformations angulaire ou radiale leur permet de participer à la protection des
organes de transmission (arbres, pignons, chaînes, ...) lors des à-coups de fonctionnement dus aux
accélérations ou décélération brutales.
La représentation
Schéma cinématique - accouplement élastique (symbole)

41
Transmettre
Les défauts d'alignement peuvent être de natures différentes :
Exemples d'accouplements élastiques
Nom
(donné par le
fabricant)
Photo
Elasticité
torsionnelle
Elasticité
radiale
Elasticité
axiale
Elasticité
conique
MPP
Emboitement
libre
MINIFLEX
Emboitement
libre
JUBOFLEX
STRAFLEX
AXOFLEX

42
Transmettre
5.1.3. JOINTS HOMOCINETIQUES
Ce sont des accouplements à forte rigidité tortionnelle mais acceptant des désalignements
Exemples de solutions :
5. 1.3. 1. JOINT DE OLDHAM
Le joint d’Oldham permet un accouplement entre deux arbres quasi coaxiaux. Les arbres doivent être
parallèles avec une distance  entre axes faible.
Il est composé de trois éléments principaux :
 un plateau solidaire de l'arbre d'entrée porteur d'une rainure diamétrale,
 un plateau solidaire de l'arbre de sortie porteur d'une rainure diamétrale,
 une noix intermédiaire avec deux languettes perpendiculaires.
La représentation
Perspective Eclaté de structure
Caractéristique cinématique
On démontre aisément par une étude géométrique qu'à toute rotation instantanée e de l'arbre d'entrée
correspond une rotation  s de l'arbre de sortie telle que : e
s 
 
Le joint d’Oldham est donc parfaitement homocinétique .
Même si en pratique la distance  entre les axes ne pénalise pas l'homocinétisme, ce joint est adapté à des
 faibles afin de limiter les pertes et l'usure entre languettes et rainures.
5. 1.3. 2. JOINT DE CARDAN
Le joint de Cardan est destiné à la transmission d'un couple sans élasticité torsionnelle entre deux arbres
dont les axes sont sécants. Il réalise une liaison de type "sphérique à doigt". Le défaut d'alignement angulaire
appelé "angle de brisure" peut être important.
Du point de vue de la structure, le joint de Cardan est constitué :
- d'un croisillon monobloc porteur de surfaces réalisant une double articulation à axes perpendiculaires,
- de deux fourchettes liées aux arbres et portant les pivots,
- et éventuellement, en fonction de la puissance transmise, de composants assurant par roulement la
liaison entre les fourchettes et le croisillon.

43
Transmettre
La représentation
Perspective Schéma cinématique équivalent
Caractéristiques cinématiques
La transmission par cardan simple se caractérise par une différence de vitesse entre arbre d'entrée et arbre
de sortie au cours d'un tour
Le non homocinétisme des joints de Cardan a conduit à des dispositions constructives associant deux joints.
Pour garantir l'homocinétisme deux dispositions géométriques sont possibles (dessin ci-dessus).
5.2. LIMITEUR DE COUPLE
Fonction : Limiter le couple à transmettre.
Solution : Rompre la liaison
-par destruction (d'une goupille par exemple)
-par patinage
-par débrayage automatique
Exemple
LIMITEURS DE COUPLE LG - SÉRIE 3.40 COMBINAISON AVEC ACCOUPLEMENT ÉLASTIQUE (document
"TOURCO)
CONSTRUCTION :
Ce limiteur se compose de deux parties principales :
La partie 1 ou noyau lié aux disques intérieurs 3 par sa denture en développante. Une rondelle de réglage 4 permet la
compression des ressorts 5.
La partie 2 qui est la cloche liée aux disques extérieurs 6, solidaire de l'accouplement élastique 8.
FONCTIONNEMENT :
Le positionnement de la rondelle de réglage 4 par les vis de réglage 7 permet la compression plus ou moins
importante du jeu de disques.
Le couple transmis peut être « taré» à la valeur nécessaire.

44
Transmettre
En cas de surcharge, couple supérieur à la valeur de tarage, il y a glissement des disques extérieurs 6 contre
les disques intérieurs 3. Lorsque la surcharge disparaît, le glissement s'arrête. Le couple est à nouveau
transmis à la vitesse de la partie motrice.
UTILISATION :
- Limitation de couple aux démarrages.
- Limitation de surcharges périodiques ou transitoires.
- Limitation « tout ou rien » en cas de blocage de la partie réceptrice.
5.3. EMBRAYAGE
On utilise un embrayage lorsque l'on a besoin d'établir ou de rompre une transmission de puissance.
5.3.1. EMBRAYAGE PAR OBSTACLE
Ils sont aussi appelés embrayages brusques et se présentent sous différentes formes :
à griffes : suivant le contexte d’utilisation, les griffes peuvent avoir des formes différentes.
Un seul sens de marche Deux sens de marche

45
Transmettre
à verrou
Avantages et inconvénients
Avantages Inconvénients
Simple de réalisation
Peu onéreux
Perte de puissance faible
Ne se commande qu’à l’arrêt
Transmet les chocs et les vibrations
5.3.2 EMBRAYAGE PAR FRICTION
La liaison doit être progressive pour éviter les chocs et donc préserver les pièces.
Les pièces principales constituant un embrayage par friction sont :
les surfaces de friction qui peuvent être :
planes coniques cylindriques
elles sont souvent constituées de garniture en ferrodo (matière de composition inconnue armée de fibres )
le coefficient de frottement ferrodo sur fonte varie entre 0,25 et 0,5 suivant les conditions d’humidité
les garnitures peuvent être collées ou rivetées sur le support.
L’élément presseur permet d’obtenir une pression p suffisante entre les surfaces frottantes
lorsque le mécanisme est en position embrayé de manière à transmettre ce couple
nécessaire à la transmission. L’effort presseur est souvent généré par la présence de
ressorts, de vérin hydraulique ou pneumatique, …
le système de commande peut permettre, suivant les cas :
-Le débrayage. Le mécanisme est alors embrayé au repos. C’est souvent un ressort dans ce
cas qui provoque l’effort presseur, comme sur les automobiles courantes.
-L’embrayage. Le mécanisme est alors débrayé au repos. C’est le cas des treuils.

46
Transmettre
-L’embrayage ou le débrayage. Il faudra agir sur la commande pour changer l’état de
l’embraye.
-La commande peut être mécanique, hydraulique, pneumatique, électrique.
La liaison entre pièces de friction et arbre de transmission est une glissière de manière à
permettre l’isolement de l’entrée et la sortie.
5.3.3. QUELQUES EXEMPLES : (VOIR AUSSI FREINS)
Embrayage simple multidisques à commande manuelle « TOURCO »
CONSTRUCTION :
Cet appareil se compose de deux parties principales :
·La partie 1 ou noyau sur la denture duquel coulissent les disques intérieurs 3. Un manchon de commande 4 solidaire du
noyau par la clavette 5 agit sur trois leviers de commande 6.
·La partie 2 qui est la cloche liée aux disques extérieurs 7.
FONCTIONNEMENT :
L'action sur le collier de manœuvre 8 déplace le manchon de commande 4 vers le jeu de disques. Les trois leviers de commande
6 basculent en comprimant le jeu de disques. En fin de course du manchon de commande 4, les trois leviers de commande 6
sont déformés élastiquement en fonction du positionnement correct de l’écrou de réglage 9. Dans cette position, le manchon de
commande 4 et son collier de manœuvre 8 sont verrouillés. Il n'est plus nécessaire d'exercer une poussée sur le collier de
manœuvre 8 . Le couple moteur ou de freinage est transmis. Pour débrayer ou « défreiner », il suffit d'agir sur le collier de
manœuvre 8 dans le sens opposé. Lorsque le manchon de commande 4 est en « position arrière», les leviers de commande 6
sont basculés complètement, libérant les disques. Les disques sont maintenus écartés par les rondelles-ressorts 10.
5.3.4. COUPLE TRANSMISSIBLE
Le couple transmissible par un embrayage dépend du matériau constituant les garnitures, du nombre et des
dimensions des surfaces de frottement entre disques ainsi que de la force exercée par les ressorts.
En règle générale, on écrit avec
avec le nombre (pair ou impair) de surfaces de friction
le coefficient de frottement entre ces surfaces
l'effort de serrage
et les rayons extérieurs et intérieurs des surfaces de frictions en forme de disques percés
Rmoy Rmoy =……………………………………………

47
Transmettre
5.4 LES FREINS
Fonction:
Réduire, réguler ou annuler la vitesse d’un solide.
Circuit de freinage :
Généralement un circuit de freinage comprend :
* un mécanisme de commande. La commande peut être mécanique, pneumatique, hydraulique ou
électrique (voir les exemples suivants). L’effort exercé est à prendre en compte pour le calcul du
couple de freinage.
* les pièces de frottement, souvent munies de garnitures. L’air de la surface, le nombre de surface
et la qualité de la surface sont à prendre en compte pour le calcul du couple de freinage. Ces surfaces
peuvent être liées à l’élément tournant ou au bâti.
* le guidage des pièces en mouvement.
Quelques exemples
Frein à sabot (fig 1)
Frein mono disque (fig 2,3,5)
Frein à sangle (fig 4)
Frein multidisque – commande hydraulique (source Warner et Tourco)
Fig.2
Fig.3
Frein mono disque–commande électromagnétique

48
Transmettre
5.5. LES ENGRENAGES
Un engrenage permet de transformer la vitesse de rotation, soit
en l'augmentant, soit en la réduisant (avec variation du couple).
La transmission de puissance au sein d'un engrenage s'effectue
par obstacle, grâce au contact entre les dents dont sont munis
respectivement le pignon et la roue.
…………… ……..
Profil de la denture : la développante de cercle
Le profil utilisé pour les dentures est très particulier : c'est celui d'une développante de cercle
La représentation de l'engrenage à contact extérieur
Perspective Schéma cinématique Représentation normalisée
Roue 1 Pignon 2
Roue 1 Pignon 2
Fig.5
Frein à sangle – commande mécanique
0 : bâti
1 : tambour
2 : sangle
3 : ressort de
rappel
4 : tirant
Fig.4
Frein à disque (sur roue avant de voiture – commande mécanique/hydraulique

49
Transmettre
La représentation de l'engrenage à contact intérieur
Roue 1 Pignon 2
Caractéristiques de l'engrenage normalisé:
Module m
déterminé par la résistance des
matériaux
Nombre de
dents
Z
déterminé par le rapport des
vitesses
Pas p p =
Saillie ha ha =
Creux hf hf =
Hauteur de dent h h =
Diamètre
primitif
d d =
Diamètre de
tête
da da =
Diamètre de
pied
df df =
Largeur de
denture
b b = k .m (avec k entre 6 et 10)
Entraxe de
deux roues
a a =
Diamètre primitif d =
Diamètre de tête da =
Diamètre de pied df =
Entraxe de deux
roues
a =
Rapport d'un engrenage: C'est le rapport entre la vitesse de sortie et la vitesse d'entrée
s
e
e
s
z
Z
w
w
r 

Rapport de réduction d'un train à plusieurs étages
Pour la roue intérieur

50
Transmettre
avec n:nombre de contacts extérieurs
La "roue menante" est la roue motrice au sein d'un engrenage
La "roue menée" est la roue réceptrice
Exemple :
Considérons le train d'engrenage ci-
contre
 Indiquer le sens de rotation
de l'arbre de sortie.
 Calculer le rapport de ce
train d'engrenage.
r =...................................................
=………………………………..
=……………….
Effort sur la denture :
Le point M de contact entre deux dents se déplace le long d'une droite T1T2 qui passe par le point I et qui
est tangente aux deux cercles de base. Cette droite est appelée droite de poussée. L'angle entre la droite de
poussée et la tangente aux deux cercles primitifs en I est appelé angle de pression et sa valeur est de 20°
pour une denture normalisée
Cette action mécanique a deux composantes :
 une composante
radiale :FR2/1= …………..
 une composante tangentielle :
FT2/1= …….
contribuant à la transmission du couple.
Couple moteur : C1 = FT2/1 . R1
Couple récepteur : C2 = FT2/1 . R2
Puissance motrice : P1 = C1 . 1 Puissance réceptrice: P2 = C2 . 2
Si on néglige les pertes dues au frottement entre les dents P1 = P2 d'où C2 . 2 = C1 . 1
Dans la réalité le glissement dans les dentures et le phénomène de frottement conduisent à des pertes
(chaleur) que l'on peut prendre en compte sous forme d'un rendement global de l'engrenage.
5.5.2. LES ENGRENAGES A DENTURES HELICOÏDALES
A la différence d'une denture droite, l'intersection du cylindre primitif et du flanc d'une dent n'est pas
une droite mais une hélice.

51
Transmettre
Caractéristiques de l'engrenage normalisé:
Module réel mn
Déterminé par la RdM, à prendre
dans la série des modules
normalisés
Nombre de
dents
Z
Déteminé par le rapport des
vitesses
Angle d'hélice 
Choisi habituellement entre 20° et
30°
Sens de l'hélice
Pour un même engrenage les
hélices des roues sont de sens
contraire
Module apparent mt mt =
Pas apparent pt pt =
Pas réel pn pn = pn = pt .cos 
Diamètre primitif d d = d =
Saillie ha ha =
Creux hf hf = 1,25 .
Hauteur de dent h h = ha + hf = 2,25 .
Avantage d'une denture hélicoïdale
Conduite améliorée et transmission des couples importants, avec des vibrations limitées lors de
l'engrènement ce qui les rend plus silencieux.
Inconvénient d'une denture hélicoïdale
L'inclinaison de l'hélice génère une composante axiale (FA= ………………). Cette poussée axiale doit
être prise en compte dans la conception des paliers qui supportent la roue (…………. ……………).
5.5.3 PIGNONS CONIQUES
Les dispositifs à pignon et roue coniques permettent une transmission de puissance et de mouvement entre
arbres à axes concourants (le plus souvent perpendiculaires).
La représentation

52
Transmettre
Caractéristiques géométriques des pignons coniques
Module m
Déterminé par la résistance des
matériaux et choisi dans les modules
normalisés
Diamètre primitif d d = m.Z
Angle primitif  tan 1 = Z1 / Z2 tan 2 = Z2 / Z1
Saillie ha ha = m
Creux hf hf = 1,25.m
Hauteur de dent h h = 2,25 m
Diamètre de tête da da = d + 2.m.Cos 
Diamètre de pied df df = d - 2,5.m.Cos 
5.5.4 ROUE ET VIS SANS FIN
C'est toujours la vis qui est motrice car le système n'est pas réversible du fait de l'inclinaison de l'hélice et
du frottement au contact roue-vis. La roue et la vis ont dans cette transmission la même inclinaison d'hélice.
Ces dispositifs permettent d'obtenir des réductions importantes (
Zroue
Zvis
Nvis
Nroue
ωvis
ωroue
r 

 ).
Pour augmenter le couple transmis, on utilise des roues globiques (denture creuse augmentant la surface de
contact entre dents et filets). Les systèmes à roue et vis sans fin sont soumis à des frottements importants
du fait du glissement continu entre la vis et la denture de la roue. Le rendement global est donc médiocre.
On améliore ce rendement en utilisant des matériaux à bon coefficient de frottement. Le couple vis en acier
et roue en bronze est le plus utilisé.
La representation

53
Transmettre
Caractéristiques géométriques des transmissions par roue et vis sans fin:
Caractéristiques de la roué
Nombre
de dents
Zroue
Angle
d'hélice
roue
roue = vis dans le même sens
que la vis
Module
apparent
ma ma = mx
Autres caractéristiques identiques aux roues à
denture hélicoïdale
Caractéristiques de la vis
Nombre de
filets
Zvis
Angle d'hélice vis
vis + vis = 90°
si vis < 6° le système est
pratiquement irréversible
Sens de
l'hélice
"droite" ou "gauche" même sens que
la roue
Module réel mn
déterminé sur la roue par la
résistance des matériaux
Module axial mx mx = mn / cos vis
Pas réel pn pn = mn . 
Pas axial px px = pn / cos vis
Pas de l'hélice pz pz = px . Zvis
Diamètre
primitif
d d = pz /  tan vis
Diamètre
extérieur
da da = d + 2.mn
Diamètre
intérieur
df df = d - 2,5.mn
Longueur de la
vis
L L 5 px
5.5.5. LES TRAINS EPICYCLOÏDAUX
Un train épicycloïdal est un train d'engrenages particulier dans lequel
l'axe d'une des roues n'est pas fixe par rapport au bâti.
Il est constitué :
 d'un pignon central appelé planétaire,
 d'un ou plusieurs pignons appelés satellites engrenant avec
le planétaire et la couronne. Les satellites sont portés par un porte-satellite
animé d'un mouvement de rotation. Il y a le plus souvent deux ou trois
satellites ce qui permet équilibrage et répartition des efforts
 d'une roue à denture intérieure appelée couronne.
Les rapports de réduction obtenus avec les trains épicycloïdaux peuvent être très importants sous un
encombrement réduit (celui de la couronne), avec un rendement très supérieur aux systèmes de réduction à
roue et vis sans fin.
Dans certains trains épicycloïdaux, les axes des satellites sont perpendiculaires à l'axe du planétaire. Ce
type de train est appelé différentiel en automobile. On le trouve exploité sur les véhicules car il permet des
vitesses de rotation différentes pour les deux roues motrices (en virage en particulier).

54
Transmettre
Raison d'un train épicycloïdal:
La raison d'un train épicycloïdal ne se calcule pas directement. On détermine en premier lieu la raison
d'un train imaginaire associé au train étudié dans lequel le porte-satellite serait immobilisé par rapport au
bâti.
Le mouvement de sortie se fait alors sur la couronne et le mouvement d'entrée reste sur le planétaire.
La raison de ce train simple imaginaire est appelée raison basique (rb).
Elle se calcule de la façon classique :
On utilise alors une relation dite "formule de Willis" qui n'est que l'application de la composition des
mouvements de rotation par rapport au bâti:
EXEMPLE1:
Dans notre exemple très classique c'est la
couronne qui est fixe par rapport au bâti
: ωcouronne/bâti = 0
La relation devient donc :
En développant on obtient :
D’où :
On observe que selon la valeur de rb le rapport des vitesses, qui est la raison globale du train épicycloïdal,
peut être très grand (selon que rb est proche ou non de la valeur 1). Quant au signe (c'est-à-dire le sens de
rotation) il peut être positif ou négatif selon le signe de (rb-1). Les perspectives offertes par ce type de
réducteur (ou multiplicateur) sont donc particulièrement intéressantes. Il existe de très nombreuses
variantes de trains épicycloïdaux à un ou plusieurs étages.

55
Transmettre
EXEMPLE2:
…………….
…….
…..

56
Transmettre
5.6. TRANSMISSION DE PUISSANCE PAR LIEN FLEXIBLE
5.6.1. TRANSMISSION PAR POULIES ET COURROIE
1. PRINCIPE : Deux arbres sont munis de poulies et reliés entre eux par une courroie

57
Transmettre

58
Transmettre
5.6.2

59
Transmettre
5.7. TRANSFORMATION DE MOUVEMENT ROTATION  TRANSLATION
5.7.1. SYSTEME VIS-ECROU
Les transmissions par système vis-écrou utilisent une liaison hélicoïdale ayant pour base une vis
et un écrou avec un élément moteur qui peut être soit la vis soit l'écrou selon le cas et selon la
réversibilité de la liaison.
L'analyse des mouvements possibles de la vis et de l'écrou conduit au tableau ci-dessous :
Le type 1, qui correspond au vissage d'une vis dans un taraudage, et le type 4 qui correspond
par exemple à l'assemblage d'un écrou sur un goujon, ne sont pas étudiés dans ce chapitre.
Les types 2 et 3 correspondent à des transformateurs de mouvement pour lesquels existent des
solutions industrielles.
La représentation
Perspective Schéma cinématique Commentaires
Dans le cas général
c'est la vis qui est
motrice et l'écrou, ne
pouvant pas tourner, se
translate parallèlement
à l'axe de la vis. On
peut voir une situation
de ce type dans
l'exemple de la vanne
ou du vérin électrique.
Si la liaison hélicoïdale
est réversible on peut
avoir l'écrou moteur.
Dans le cas le plus
général des solutions
correspondant à ce
principe cinématique,
c'est l'écrou qui est
moteur. L'écrou ne
pouvant se déplacer en
translation c'est la vis
qui, bloquée en rotation,
se translate.
Type 1 Type 2 Type 3 Type 4
Mouvement de la vis
R et T
_
R et T
_
R et T
_ _
R et T
Mouvement de l'écrou
_ _
R et T
_
R et T
_
R et T R et T

60
Transmettre
Les caractéristiques géométriques
La relation qui lie le déplacement angulaire de l'élément en rotation (Ө en radians), au
déplacement rectiligne de l'élément en translation (d en m) est : d = p. Ө /2 (avec p le pas
en m)
La relation qui lie la vitesse de rotation (en rad/s) de l'élément mobile en rotation et la vitesse
linéaire V (en m/s) de l'élément mobile en translation est : V = p.  / 2  (avec p le pas en m)
Un filetage est la surface obtenue sur une pièce cylindrique par exécution
d'une ou de plusieurs rainures hélicoïdales. On le caractérise par le diamètre
d de la pièce cylindrique sur laquelle il est généré, son pas p, la pente  et le
sens de l'hélice (droite ou gauche) et la forme de son profil.
On rappelle que le diamètre d, le pas p et la pente  de l'hélice sont liés par la
relation : tan  = p /  . d (avec p et d dans la même unité)
On en déduit la relation qui lie la vitesse de rotation  (en rad/s) de l'élément
mobile en rotation et la vitesse linéaire V (en m/s) de l'élément mobile en
translation : V = p .  / 2 
Exemples de transmissions de puissance par vis-écrou : Vérin électrique
Caractéristiques mécaniques
Le système vis-écrou permet des transmissions de puissance assez importantes avec des
rendements médiocres pour les vis-écrou avec glissement (40 à 50 %) et de bons rendements
pour les vis-écrou à billes (90 à 95 %)

61
Transmettre
Réversibilité
Un des points importants du système vis-écrou est sa réversibilité. Il y a réversibilité si l'on
peut inverser, avec un fonctionnement satisfaisant du point de vue des efforts, l'élément moteur
de la transmission.
o Soit f le facteur de frottement au contact de la vis et de l'écrou (f = tan )
o Soit  l'angle de filet mesuré dans le plan normal à l'hélice.
Posons  = f / cos 
1er
cas : Couple moteur sur la vis et effort
résistant sur l'écrou
2ème
cas : Effort moteur sur l'écrou et couple
résistant sur la vis.
Couple moteur Effort résistant
sur la vis sur l'écrou
Couple résistant Effort moteur
sur la vis sur l'écrou
Il y a mouvement possible si  < (/2) -  Il y a mouvement possible si  > 
En conclusion :
-si  <  .......................... le système est irréversible
- si  <  < (/2) -  .......le système est réversible
5.7.2 PIGNON CREMAILLERE
Un système pignon-crémaillère est constitué d'une roue dentée et d'une pièce souvent
prismatique portant des dentures de même module, roulant l'une sur l'autre sans glissement.
 Si le pignon est moteur on transforme un mouvement de rotation en un mouvement de
translation
 Si la crémaillère est motrice on transforme un mouvement de translation en une rotation
que l'on récupère sur le pignon
Soit :

62
Transmettre
 d le diamètre primitif du pignon
 l le déplacement de la crémaillère
  la rotation du pignon
On a Que l'on traduit également pour les vitesses par
La representation
Perspective Schéma cinématique
Représentation
normalisée
Caractéristiques géométriques de la crémaillère
Dans un système pignon crémaillère à profil normalisé, la
crémaillère est définie par le dessin ci-contre.
Elle se comporte comme une roue dentée de diamètre infini.
5.7.3. BIELLE MANIVELLE
Le système bielle-manivelle est un système plan de solides articulés. Il permet de transformer, par
l'intermédiaire d'une bielle, le mouvement de rotation continu d'une manivelle (également appelée
vilebrequin) en mouvement de translation alternatif du coulisseau (à vitesse non constante)
Schéma cinématique

63
Transmettre
Les caractéristiques cinématiques
Dans un système bielle-manivelle, à une vitesse constante de la manivelle correspond une
vitesse de forme sinusoïdale du déplacement et de la vitesse.
On observe sur les graphes qu'à chacun des "points morts" haut et bas la vitesse est nulle.
Graphes correspondants aux
données ci-dessous :
 R = 10 mm
 l = 25 mm
  = 1 rad/s
 pour 1 tour de manivelle
soit 6,28s
Exemples de transmissions de puissance par système bielle manivelle :
Parmi les nombreux mécanismes utilisant le principe cinématique de l'association bielle-manivelle,
on trouve :
- les moteurs à combustion interne pour lesquels la translation du piston due à la combustion du
carburant est transformée en rotation du vilebrequin,
- les compresseurs et les pompes au sein desquels le mouvement de rotation du moteur est
transformé en mouvement de translation du ou des pistons qui vont comprimer le fluide
Exemple 1 : Mini-compresseur Exemple 2 : Micro moteur

64
Transmettre
5.7.4. MECANISMES A CAME
Les cames sont des dispositifs mécaniques permettant la transformation de mouvement de
rotation en un mouvement de translation. Selon le profil de la came on peut avoir :
-translation vers le haut
-translation vers le bas
-Aucun mouvement
La representation
came à galet Représentation schématique
On peut en première approche classer les cames en trois familles :
 les cames circulaires où l'axe de rotation de la came est perpendiculaire à l'axe du
poussoir,
 les cames tambours où les deux axes de la came et du poussoir sont parallèles,
 les cames rectilignes qui transforment une translation en une autre translation.
Principaux types de cames
Came plate(disque) Came tambour Came rectiligne
Une came plate transforme un
mouvement de rotation continu
en une translation alternative du
poussoir pour peu qu'un maintien
de contact soit garanti entre le
poussoir et la came, c'est ce
principe qui est utilisé au sein
d'un moteur à explosion où les
cames de l'arbre à cames
actionnent un poussoir qui lui
même agit sur les culbuteurs qui
commandent les soupapes.
Cette famille de cames se présente
sous deux formes géométriques
principales : soit une rainure dans
le tambour qui déplace un doigt
mobile en translation (situation
courante pour piloter des
opérations de bobinage) soit une
forme en bout qui pilote un poussoir
dont le mouvement est parallèle à
l'axe de rotation de la came
appelée "came cloche".
On désigne sous ce nom un
ensemble très varié de cames
dont le mouvement moteur est
une translation permettant
d'obtenir un mouvement
attendu d'un poussoir ou d'un
levier.

65
Transmettre
La mise en oeuvre des systèmes à cames nécessite le maintien du contact entre la came et le
poussoir sur lequel elle agit. Il s'agit le plus souvent de dispositifs à ressorts.
Afin de limiter le frottement entre came et poussoir, et donc les pertes et l'usure, on installe un
galet qui roule sans glisser sur le profil de la came lorsque cette dernière tourne.
Exemple de transmission de puissance par cames : le moteur automobile:
Ce très ancien moteur Citroën
présentait déjà un arbre à cames pour
la commande de l'ouverture des
soupapes. Les dispositions
constructives ont aujourd'hui bien
changé, du point de vue de la structure
et des positions géométriques, mais le
principe demeure !
Caractéristiques cinématiques :

66
Les capteurs Fonction
Acquérir
SUPPORT : POSITIONNEUR DE PARABOLE
En alimentant le moteur du vérin de manière que la tige sorte. On remarque que lorsque cette dernière atteint
une position, le moteur s'arrête automatiquement
Quelle est la solution constructive remplissant cette fonction de sécurité?
2.LES CAPTEURS
2.1. DEFINITION :
Un capteur est un composant technique qui détecte un événement physique se rapportant au fonctionnement
du système (présence d'une pièce, température, etc.) et traduit cet événement en un signal exploitable par la
partie commande (PC) de ce système. Ce signal est généralement électrique sous forme d'un signal basse tension.
La figure 1 illustre le rôle d’un capteur :
L'information détectée par un capteur peut être d'une grande variété, ce qui implique une grande variété de
besoins en capteurs. On cite parmi les plus connus et fréquents, les capteurs de position, de présence, de vitesse,
de température et de niveau.
2.2. NATURE DE L'INFORMATION FOURNIE PAR UN CAPTEUR :
Suivant son type, L’information qu’un capteur fournit à la PC peut être :
 Logique : L’information ne peut prendre que les
valeurs 1 ou 0 ; on parle alors d’un
capteur Tout ou Rien (TOR). La figure
2 montre la caractéristique d’un
capteur de position :
 Analogique : L’information peut prendre toutes
les valeurs possibles entre 2 certaines
valeurs limites ; on parle alors d’un
capteur analogique. La figure 3
montre la caractéristique d’un
capteur de température :
 Numérique : L’information fournie par le capteur permet à la PC d’en déduire un nombre binaire sur n
bits ; on parle alors d’un capteur numérique. La figure 4 illustre le principe de
fonctionnement de la souris :
DETECTER
UN EVENEMENT
Grandeur physique
(Etat de la PO)
Signal électrique
(Exploitable par la PC)
Fig. 1 : Rôle général d’un capteur
Signal logique
Temps
Présence de la pièce
Absence de la pièce
1
(24V)
0 (0V)
Fig. 2 : Exemple d’un capteur TOR
Tension (V)
Température (°C)
La tension varie de façon
continue entre 0 et 5V
5
100
Fig. 3 : Exemple d’un capteur analogique
La souris fournit à un ordinateur un signal logique
périodique, sous forme d’impulsions, qui lui
permettent de compter ces impulsions pour en
déduire les cordonnées X et Y de la souris sous
forme de nombres NX et NY.
Fig. 4 : Exemple de capteur numérique

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2.3. CARATERISTIQUES D’UN CAPTEUR :
Certains paramètres sont communs à tous les capteurs. Ils caractérisent les contraintes de mise en œuvre
et permettent le choix d’un capteur :
 L'étendue de la mesure : c'est la différence entre le plus petit signal détecté et le plus grand
perceptible sans risque de destruction pour le capteur.
 La sensibilité : ce paramètre caractérise la capacité du capteur à détecter la plus petite variation de la
grandeur à mesurer. C’est le rapport entre la variation V du signal électrique de
sortie pour une variation donnée  de la grandeur physique d’entrée : S = V / 
 La fidélité : Un capteur est dit fidèle si le signal qu’il délivre en sortie ne varie pas dans le temps pour
une série de mesures concernant la même valeur de la grandeur physique  d’entrée.
Il caractérise l’Influence du vieillissement.
 Le temps de réponse : c'est le temps de réaction d'un capteur entre la variation de la grandeur physique qu'il mesure et
l'instant où l'information est prise en compte par la partie commande.

2.4. CAPTEURS LOGIQUES (TOUT OU RIEN : TOR) :
Les capteurs TOR fournissent une information logique, généralement sous forme d'un contact électrique qui
se ferme ou s'ouvre suivant l'état du capteur.
4.1- Capteurs avec contact :
Ce type de capteur est constitué d'un contact électrique qui s'ouvre ou se ferme lorsque l'objet à détecter
actionne par contact un élément mobile du capteur (dispositif d'attaque). Les gammes de ce type de capteur
sont très variées ; elles sont fonction des problèmes posés par leur utilisation.
Ainsi, la tête de commande et le dispositif d'attaque sont déterminés à partir de :
 La forme de l'objet : came 30°, face plane ou forme quelconque ;
 La trajectoire de l'objet : frontale, latérale ou multidirectionnelle ;
 La précision de guidage.
Les figures suivantes montre des exemples de capteur de position :
Fig. 5 : Capteur rectiligne à poussoir
Caractéristiques :
 Commande directe
 Présence de l'objet en buté mécanique
Fig. 7 : Capteur angulaire à levier à galet
Caractéristiques :
 Guidage peu précis ~ 5mm
 Came à 30°
Caractéristiques :
 Trajectoire rectiligne de l'objet à détecter
 Guidage précis < 1mm
 Came à 30°
Fig. 6 : Capteur rectiligne à poussoir à galet thermoplastique

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2.4.2- Capteurs sans contact :
Les capteurs sans contact ou de proximité détectent à distance et sans contact avec l’objet dont ils
contrôlent la position. Un contact électrique s'ouvre alors ou se ferme en fonction de la présence ou de la non
présence d’un objet dans la zone sensible du capteur.
A l'inverse des capteurs avec contacts, les capteurs de proximité sont des détecteurs statiques (pas de pièce
mobile) dont la durée de vie est indépendante du nombre de manœuvres. Ils ont aussi une très bonne tenue à
l'environnement industriel (atmosphère polluante).
2.4.2.1- Capteurs inductifs :
La technologie des détecteurs de proximité inductifs est basée sur la variation d’un champ magnétique à
l’approche d’un objet conducteur du courant électrique. Leur usage est uniquement réservé à la détection
d’éléments métalliques dans les secteurs de la machine-outil, l'agro-alimentaire, la robotique, et les
applications de l'usinage, la manutention, l'assemblage, le convoyage.
2. 4.2.2- Capteurs capacitifs :
La technologie des détecteurs de proximité capacitifs est basée sur la variation d’un champ électrique à
l’approche d’un objet quelconque. Ils permettent de détecter tout type d'objet dans les domaines de l'agro-
alimentaire, de la chimie, de la transformation des matières plastiques, du bois et des matériaux de
construction.
2.4.2.3- Capteurs magnétiques :
Un interrupteur à lame souple (I.L.S.) est constitué d'un boîtier à l'intérieur duquel est placé un contact
électrique métallique souple sensible aux champs magnétiques. Il permet de détecter tous les matériaux
magnétiques dans le domaine de la domotique pour la détection de fermeture de portes et fenêtres et le
domaine pneumatique pour la détection de la position d'un vérin, etc.
Caractéristiques :
 Portée nominale qui définit la zone de détection. Elle dépend
de l'épaisseur de l'objet et peut aller jusqu'à 50mm.
 Tension d'alimentation de 12V à 48V continu et de 24 à
240V alternatif.
 Technique de raccordement 2 fils et 3 fils.
Fig. 11 : Détecteur de proximité capacitif
Présence d’un champ magnétique :
Contact fermé
Absence de champ magnétique :
Contact ouvert
Aimant
Permanent
Fig. 12 : Principe de fonctionnement d’un ILS
Caractéristiques :
 Portée nominale qui définit la zone de
détection. Elle dépend de l'épaisseur de l'objet
et peut aller jusqu'à 50mm.
 Tension d'alimentation de 12V à 48V continu et
de 24 à 240V alternatif.
 Technique de raccordement 2 fils et 3 fils.
Fig. 9 : Détecteur de proximité inductif

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2.4.3- Capteurs Photoélectriques à distance :
Les cellules photoélectriques permettent de détecter sans contact tous les matériaux opaques (non
transparents), conducteurs d’électricité ou non. Ce type de capteurs se compose essentiellement d'un émetteur
de lumière associé à un récepteur photosensible. La figure 13 montre une illustration de quelques capteurs
photoélectriques :
Ces détecteurs sont utilisés dans les domaines industriels et tertiaires les plus divers comme :
 La détection d'objets et de produits dans la manutention et le convoyage ;
 La détection de pièces machine dans les secteurs de la robotique et du bâtiment ;
 La détection de personnes, de véhicules ou d'animaux, etc.
Pour réaliser la détection d'objets dans les différentes applications, 3 techniques de montages sont
possibles:
2.5. CAPTEURS NUMERIQUES :
5.1- Codeur optique incrémental :
Un disque rotatif comporte au maximum 3 pistes. La piste périphérique A du disque est divisée en "n" fentes
régulièrement réparties. Ainsi, pour un tour complet de l'axe du codeur, le faisceau lumineux est interrompu
n fois et délivre à la sortie de la cellule photosensible "n" signaux carrés. La figure 18 décrit un capteur
incrémental :
Fig. 13 : Exemple de capteurs photoélectriques
Emetteur Recepteur
Cible
Fig. 14 : Montage type " Barrage "
Emetteur
Récepteur
Cible
Réflecteur
Fig. 15 : Montage type " Reflex "
Emetteur
Récepteur Cible
Fig. 16 : Montage type " Proximité "
Réflecteur
Cellules
Photosensibles
Disque
optique
LED
Arbre
Unité de
Traitement
Fig. 18 : Codeur optique incrémental

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Pour connaître le sens de rotation du codeur, on utilise une deuxième piste B qui sera décalée par rapport
à la première de 90° (1/4 de tour).
5.2- Codeur optique absolu :
Les codeurs absolus sont destinés à des applications de contrôle de déplacement et de positionnement d’un
mobile par codage. Le disque du codeur comporte plusieurs pistes (jusqu’à 20). Chaque piste est
alternativement opaque et transparente et possède son propre système de lecture (diode émettrice et diode
réceptrice).
A chaque position angulaire de l'axe du codeur correspond un nombre binaire codé en GRAY Dans ce code,
il n'y a qu'un seul bit qui change à chaque fois pour éviter les aléas de fonctionnement. Avant toute utilisation,
le mot fourni par le codeur doit donc être transcodé en binaire, car l'unité de traitement travaille en binaire
pur.
A titre pédagogique, voyons à la figure 19 les différentes combinaisons d'un codeur optique absolu binaire
sur 3 bits:
Fig. 19 : Codeur optique absolu binaire 3 bits

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