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Chapitre 2 : Théorie du disque
sustensateur (théorie de Froude)
1- Rappel des équations
2 -Théorie de Froude
3- Limite de Betz
4- Effets de sillage
1
1- Rappel des Equations
• a/ Conservation de la masse
– Dans un écoulement permanent, si l’on considère un tube
de courant (espace délimité par des lignes de courant,
Vn=0)
S1
S2
V1 V2
D
B
A
C
A’
B’
D’
C’
• Masse qui se trouve dans le
volume ABCD a l’instant t
= Masse qui se trouve dans
A’B’C’D’ a l’instant t+dt
2
Rappel des equations (2)
• b/ la relation de Bernouilli
te
2
2
1
C


 V
gz
p 
 le long d’une même ligne de courant.
• b/ théorème de quantité de mouvement
3
2- Théorie disque sustensateur
• Theorie de Froude relative aux hélices de captage et
limite de Betz
– S’appuie sur le bilan de quantité
– La méthode de Froude utilise les équations de conservation de quantité de
mouvement pour déterminer les performances d'une hélice considérée
comme étant un disque uniformément chargé ayant un nombre infini de
pales.
• Hypothèses :
– La rotation de l'écoulement est négligée
– Le fluide est incompressible
– L'écoulement à I'extérieur de la veine traversant le disque est non perturbé
– La pression à l'infini en amont et en aval est égale à la pression statique de
l'écoulement
– l'air passe a travers le rotor sans frottement
– Le disque agit comme un frein opposant une force T au courant de fluide.
Cette force peut être considérée comme le résultat de la différence de
pression entre l'amont et l'aval du disque.
4
2"Théorie*
disque*
sustensateur
• Theorie de(Froude(relative(aux(hélices(de(captage(et(
limite(de(Betz
– S’appuie sur le bilan de quantité
– La méthode de Froude utilise les équations de conservation de quantité de
mouvement pour déterminer les performances d'une hélice considérée
comme étant un disque uniformément chargé ayant un nombre infini de
pales.
• Hypothèses(:((
– La*
rotation*
de*
l'écoulement*
est*
négligée
– Le*
fluide*
est*
incompressible
– L'écoulement*
à*
I'extérieur de*
la*
veine*
traversant*
le*
disque*
est*
non*
perturbé
– La*
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à*
l'infini*
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en*
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pression*
statique*
de
l'écoulement*
– l'air*
passe*
a*
travers*
le*
rotor*
sans*
frottement*
– Le*
disque agit*
comme*
un*
frein*
opposant*
une*
force*
T au*
courant*
de*
fluide.*
Cette*
force*
peut*
être*
considérée*
comme*
le*
résultat*
de*
la*
différence*
de*
pression*
entre*
l'amont*
et*
l'aval*
du*
disque.*
4
5
V1
V
V
V2
S1
Pa
Pa
S2
S
PD
PU
• Notations
• V1: vitesse entrée, Pa : pression entrée, S1: section entrée
• V2 : vitesse sortie, Pa ; pression sortie, S2 : section sortie
• V : vitesse au niveau éolienne
• Pu : pression avant éolienne
• Pd : pression après éolienne
• ∑ : tube de courant
∑
6
• Pour le tube de courant, conservation de la
masse :
• Le tube de courant est divergent V1>V2
• La pression en S1 et S2 est Pa ( hypothèse)
• La relation de Bernouilli :
– Entre S1 et S
– Entre S et S2
– on en deduit :
7
2
2
1 2
1
2
1
V
P
V
P u
a 
 


2
2
2 2
1
2
1
V
P
V
P d
a 
 
 
)
( 2
2
2
1
2
1
V
V
P
P d
u 

 
• La force axiale qui s’exerce sur l’éolienne est :
F = (Pu – Pd) S
• Soit :
• Le théorème d’Euler :
F fluide / solide =
Avec 0 = et en négligeant
8
)
)(
(
)
(
)
( 2
1
2
1
2
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1 2
1
2
1
V
V
V
V
S
V
V
S
S
P
P
F d
u 

 


 

9
• Ffluide / solide s’écrit en utilisant la conservation de la masse
• En comparant les résultats pour F obtenu par la relation de Bernouilli
puis par le théorème d’Euler, on a :
• On en déduit:
• En introduisant le coefficient a = ( V1 – V ) / V1
– a est le facteur d’interférence axiale
– Le coefficient a exprime le ralentissement du vent lié à la présence de
l’éolienne
– on a : V = V1 (1-a ) et V2 = V1 (1-2a) d’où V1-V2 = 4aV1 = 2aV1
)
( 2
1
2
2
2
1 2
1 V
V
SV
V
S
V
S
F 
 
 


)
(
)
)(
( 2
1
2
1
2
1
2
1
V
V
SV
V
V
V
V
S
F 

 
 

)
( 2
1
2
1
V
V
V 

a
a
SV
V
V
SV
F 2
)
1
(
)
( 2
1
2
1

 
 

• 3 – LIMITE DE BETZ
• Pour déterminer la puissance récupérée par
l’éolienne, on utilise le théorème de l’énergie
cinétique (dEc/dt = puissance):
• La variation de l’énergie cinétique est Ec sortie
– Ec entrée, c’est l’énergie perdue par le
fluide, donc l’énergie récupérée par l’éolienne
est:
Ec entrée – Ec sortie = (½ mV.V)entrée – (½ mV.V) sortie
10
)
(
2
1 2
2
2
1
V
V
SVdt
Ec 

 
• La puissance récupérée par l’éolienne est
• En utilisant : V = V1 (1-a ) et V2 = V1 (1-2a), on obtient :
• Or la puissance du vent qui traverse une section S a une
vitesse V1 est :
• On définit le coefficient de puissance par
Cp = ( puissance récupérée / puissance du vent)
11
a
a
SV
P 4
)
1
(
2
1 2
3
1

 
)
(
2
1 2
2
2
1
V
V
SV
dt
Ec
P 


 
3
1
2
1
SV
P 

• Le coefficient de puissance Cp est donné par :
• Le maximum de puissance récupérée par l’éolienne est
défini par le maximum de Cp, soit pour les valeurs de a
telles que dCp/da =0, or :
• Donc dCp/da =0 pour a = 1/3 ou bien a =1.
– La solution a =1 est impossible ( V=0, V2<0), on retient a =1/3
– Donc Cpmax est Cpmax = 4 ( 1/3) (4/9) = 16/ 27
• La valeur de Cp est au maximum de 16/27 (0.59), c’est la
limite de Betz
12
a
a
Cp 4
)
1
( 2


)
2
1
)(
1
(
4
)
1
(
8
)
1
(
4 2
a
a
a
a
a
a
da
dCp



 



La loi de Betz (1919)
P/Pvent
13
Le fonctionnement
La puissance du vent
3
1
.
2
V


3 2
1
. . .
2
vent
P V R
 

14
Le fonctionnement
Extraction d’énergie cinétique
de l’écoulement

 distorsion des lignes de courant
 Puissance extraite
 f(V1-V2)

(loi de Betz)
max 16
0.59
27
vent
P
P
 
15
2 2
2 1 2 1
1 1
2 2
V V V V
 
  
• Détermination du diamètre :
Puissance de vent disponible : Pvent = ½ . S . ρ . V3
Puissance récupérable : Cp = 0,59 maximum
Eolienne du marché : Cp = 0,25 à 0,4
Eolienne auto construite : Cp = 0,15 à 0,2
• Puissance récupérée plus faible que limite de Betz en raison des effets
de giration et de contournement
Ex : pour 3 m de diamètre et à 10 m/s, P = 750 à 1500W
Les éoliennes détournent le
vent
Dimensionnement & caractéristiques
Puissance extraite
Coefficient de puissance
= Puissance extraite/
Puissance du vent
Cp
Puissance extraite (W)
0
200
400
600
800
1000
0 10 20 30
Vitesse (m/s)
Puissance
(W)
Coefficient de puissance
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 10 20 30
Vitesse (m/s)
Cp
Exemple de l’éolienne Neg Micon NM52/900
17
3- Prise en compte de la rotation du
sillage (Blade Element Momentum)
• Dans la théorie de Froude,
l’hypothèse d’un
écoulement d’air avec une
seule composante de
vitesse a été introduite.
Toutefois pour les
éoliennes, l’air en aval de la
turbine possède à la fois
une vitesse axiale ainsi
qu’une vitesse tangentielle.
• L’air, dans le sillage est en
rotation autour de l’axe de
la turbine,
• Hypothèse : La vitesse de
rotation du sillage passe
d’une valeur 0
immédiatement en amont
du rotor à une vitesse w
immédiatement en aval
• On introduit des corrections
à la théorie de Froude pour
tenir compte de cette
rotation du sillage
18
Sillages d’éoliennes
19
Rappels
20
• Relation fondamentale
• Variation « Torseur cinétique »= torseur des efforts
• Résultante
• Moments
• Moment de la quantité de mouvement :
• Le moment cinétique
• Puissance et travail
• Cas de la translation
• Cas de la rotation
• En général
Rappel : Second Théorème d’Euler
• A partir de la conservation pour le torseur de
quantité de mouvement (en résultante , cela donne le premier
théorème d’Euler, et pour les moments, le second)
• Ainsi, le moment des forces exercées par le fluide
sur le solide est égal à:
• 𝑀 (𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 → 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒) = – {(moment de la quantité de mouvement
(moment cinétique) entrante) moins (moment de la quantité de
mouvement sortante)} soit : en remarquant que 𝑑℧ = (
→
𝑉 . →
𝑛)𝑑𝑆 et
que le moment de quantité de mouvement pour une particule de masse
dm=𝜌 𝑑℧ est 𝑂𝑀 ∧
→
𝑉 𝑑𝑚
21
𝑀 (𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 → 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒) = − ඵ
𝑆𝑒
𝑂𝑀 ∧ 𝜌
→
𝑉 (
→
𝑉 . →
𝑛)𝑑𝑆 + ඵ
𝑆𝑠
𝑂𝑀 ∧ 𝜌
→
𝑉 (
→
𝑉 . →
𝑛)𝑑𝑆
Volume de contrôle
22
Application second théorème d’Euler
• On considère un volume de contrôle sous
forme annulaire de section dA= 2rdr
23
0
r
dr
q y

z

r
e
q
e

 





Ss
Se
dS
n
V
V
OM
dS
n
V
V
OM
solide
fluide
M )
.
(
)
.
(
)
( 

Effet de rotation sillage (1)
• On a
24
𝑀 (𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 → 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒) = − ඵ
𝑆𝑒
𝑂𝑀 ∧ 𝜌
→
𝑉 (
→
𝑉 . →
𝑛)𝑑𝑆 + ඵ
𝑆𝑠
𝑂𝑀 ∧ 𝜌
→
𝑉 (
→
𝑉 . →
𝑛)𝑑𝑆
𝑂𝑀 = 𝑟 𝑒𝑟 , 𝑉 = 𝑉
𝑥 Ԧ
𝑥 + 𝑉𝜃 𝑒𝜃 , 𝑛 = ± Ԧ
𝑥, 𝑉𝜃 = 𝑟𝜔
𝑑𝑀 𝑓 → 𝑠 . Ԧ
𝑥 = 𝑂𝑀 ∧ 𝜌
→
𝑉
→
𝑉 . →
𝑛 𝑑𝑆 = 𝑟 𝑒𝑟 ∧ 𝜌(𝑟𝜔 𝑒𝜃 + 𝑉
𝑥. Ԧ
𝑥) . Ԧ
𝑥𝑉
𝑥2𝜋𝑟𝑑𝑟
• w désigne la vitesse de rotation du sillage qui passe d’une valeur 0
immédiatement en amont du rotor à une valeur w immédiatement
en aval. (on supposera que la vitesse de rotation du sillage est de w
/2 au niveau du rotor) .
• Pour écrire le second d théorème d’Euler, on a :
• Sur Se, Vq=0, et w 0, donc ‫׭‬
𝑆𝑒
𝑂𝑀 ∧ 𝜌
→
𝑉 (
→
𝑉 . →
𝑛)𝑑𝑆 . Ԧ
𝑥 = 0
• on considère uniquement 𝑑𝑀 . Ԧ
𝑥 sur Ss , juste à l’aval du rotor
où la vitesse de rotation est w .
𝑑𝑀 (𝑓 → 𝑠). Ԧ
𝑥 = 𝜌𝑟2
𝜔𝑉
𝑥2𝜋𝑟𝑑𝑟 = 𝜌𝑟3
𝜔𝑉1(1 − 𝑎)2𝜋𝑑𝑟
Effet de rotation du sillage (2)
• On a :
25
𝑑𝑀(𝑓 → 𝑠) = 𝑑𝑀 . →
𝑥 = 𝜌𝑟3
𝜔𝑉1(1 − 𝑎)2𝜋𝑑𝑟
• En introduisant le facteur d’interférence pour la vitesse de rotation a’ sous la forme

 '
2
a
w
• Où  est la vitesse de rotation des pales de l’éolienne, on a
𝑑𝑀 = 4𝜋𝜌𝑟3
Ω𝑉1𝑎′(1 − 𝑎)𝑑𝑟
• Cette expression défini en fonction de a et a’ le couple sur la
portion dr du rotor, la puissance de ce couple est donnée par
𝑑𝑃 = 𝑑𝑀. Ω = 4𝜋𝜌𝑟3Ω2𝑉1𝑎′(1 − 𝑎)𝑑𝑟
Effet de rotation du sillage (3)
• Pour calculer la force élémentaire axiale sur un anneau de surface 2rdr ,
on a (Rappel diapo no 9 : F= SV (V1-V2)) :
26
 
2
1
2 V
V
V
rdr
dF 
 

• Or V= V1(1-a) et V2= V1(1-2a), on en déduit :
)
2
1
)(
1
(
2
)
1
(
2 2
1
2
1 a
a
V
rdr
a
V
rdr
dF 



 



)
1
(
4 2
1 a
a
V
rdr
dF 
 

Effet de la rotation du sillage (4)
• On a donc obtenu les efforts élémentaires dF et dM
s’exerçants sur un anneau de surface dA= 2 r dr qui sont
donnés par :
27
𝑑𝐹 = 4𝜋𝑟𝑑𝑟𝜌𝑉1
2
𝑎(1 − 𝑎)
𝑑𝑀 = 4𝜋𝜌𝑟3
Ω𝑉1𝑎′(1 − 𝑎)𝑑𝑟
• Outre la connaissance de  et V1, il est nécessaire de
déterminer a et a’ pour pouvoir obtenir les efforts sur le rotor
éolien .
• Pour déterminer a et a’ , on introduit la théorie de l’élément
de pale .

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  • 1. Chapitre 2 : Théorie du disque sustensateur (théorie de Froude) 1- Rappel des équations 2 -Théorie de Froude 3- Limite de Betz 4- Effets de sillage 1
  • 2. 1- Rappel des Equations • a/ Conservation de la masse – Dans un écoulement permanent, si l’on considère un tube de courant (espace délimité par des lignes de courant, Vn=0) S1 S2 V1 V2 D B A C A’ B’ D’ C’ • Masse qui se trouve dans le volume ABCD a l’instant t = Masse qui se trouve dans A’B’C’D’ a l’instant t+dt 2
  • 3. Rappel des equations (2) • b/ la relation de Bernouilli te 2 2 1 C    V gz p   le long d’une même ligne de courant. • b/ théorème de quantité de mouvement 3
  • 4. 2- Théorie disque sustensateur • Theorie de Froude relative aux hélices de captage et limite de Betz – S’appuie sur le bilan de quantité – La méthode de Froude utilise les équations de conservation de quantité de mouvement pour déterminer les performances d'une hélice considérée comme étant un disque uniformément chargé ayant un nombre infini de pales. • Hypothèses : – La rotation de l'écoulement est négligée – Le fluide est incompressible – L'écoulement à I'extérieur de la veine traversant le disque est non perturbé – La pression à l'infini en amont et en aval est égale à la pression statique de l'écoulement – l'air passe a travers le rotor sans frottement – Le disque agit comme un frein opposant une force T au courant de fluide. Cette force peut être considérée comme le résultat de la différence de pression entre l'amont et l'aval du disque. 4 2"Théorie* disque* sustensateur • Theorie de(Froude(relative(aux(hélices(de(captage(et( limite(de(Betz – S’appuie sur le bilan de quantité – La méthode de Froude utilise les équations de conservation de quantité de mouvement pour déterminer les performances d'une hélice considérée comme étant un disque uniformément chargé ayant un nombre infini de pales. • Hypothèses(:(( – La* rotation* de* l'écoulement* est* négligée – Le* fluide* est* incompressible – L'écoulement* à* I'extérieur de* la* veine* traversant* le* disque* est* non* perturbé – La* pression* à* l'infini* en* amont* et* en* aval* est* égale* à* la* pression* statique* de l'écoulement* – l'air* passe* a* travers* le* rotor* sans* frottement* – Le* disque agit* comme* un* frein* opposant* une* force* T au* courant* de* fluide.* Cette* force* peut* être* considérée* comme* le* résultat* de* la* différence* de* pression* entre* l'amont* et* l'aval* du* disque.* 4
  • 5. 5
  • 6. V1 V V V2 S1 Pa Pa S2 S PD PU • Notations • V1: vitesse entrée, Pa : pression entrée, S1: section entrée • V2 : vitesse sortie, Pa ; pression sortie, S2 : section sortie • V : vitesse au niveau éolienne • Pu : pression avant éolienne • Pd : pression après éolienne • ∑ : tube de courant ∑ 6
  • 7. • Pour le tube de courant, conservation de la masse : • Le tube de courant est divergent V1>V2 • La pression en S1 et S2 est Pa ( hypothèse) • La relation de Bernouilli : – Entre S1 et S – Entre S et S2 – on en deduit : 7 2 2 1 2 1 2 1 V P V P u a      2 2 2 2 1 2 1 V P V P d a      ) ( 2 2 2 1 2 1 V V P P d u    
  • 8. • La force axiale qui s’exerce sur l’éolienne est : F = (Pu – Pd) S • Soit : • Le théorème d’Euler : F fluide / solide = Avec 0 = et en négligeant 8 ) )( ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 V V V V S V V S S P P F d u         
  • 9. 9 • Ffluide / solide s’écrit en utilisant la conservation de la masse • En comparant les résultats pour F obtenu par la relation de Bernouilli puis par le théorème d’Euler, on a : • On en déduit: • En introduisant le coefficient a = ( V1 – V ) / V1 – a est le facteur d’interférence axiale – Le coefficient a exprime le ralentissement du vent lié à la présence de l’éolienne – on a : V = V1 (1-a ) et V2 = V1 (1-2a) d’où V1-V2 = 4aV1 = 2aV1 ) ( 2 1 2 2 2 1 2 1 V V SV V S V S F        ) ( ) )( ( 2 1 2 1 2 1 2 1 V V SV V V V V S F        ) ( 2 1 2 1 V V V   a a SV V V SV F 2 ) 1 ( ) ( 2 1 2 1      
  • 10. • 3 – LIMITE DE BETZ • Pour déterminer la puissance récupérée par l’éolienne, on utilise le théorème de l’énergie cinétique (dEc/dt = puissance): • La variation de l’énergie cinétique est Ec sortie – Ec entrée, c’est l’énergie perdue par le fluide, donc l’énergie récupérée par l’éolienne est: Ec entrée – Ec sortie = (½ mV.V)entrée – (½ mV.V) sortie 10 ) ( 2 1 2 2 2 1 V V SVdt Ec    
  • 11. • La puissance récupérée par l’éolienne est • En utilisant : V = V1 (1-a ) et V2 = V1 (1-2a), on obtient : • Or la puissance du vent qui traverse une section S a une vitesse V1 est : • On définit le coefficient de puissance par Cp = ( puissance récupérée / puissance du vent) 11 a a SV P 4 ) 1 ( 2 1 2 3 1    ) ( 2 1 2 2 2 1 V V SV dt Ec P      3 1 2 1 SV P  
  • 12. • Le coefficient de puissance Cp est donné par : • Le maximum de puissance récupérée par l’éolienne est défini par le maximum de Cp, soit pour les valeurs de a telles que dCp/da =0, or : • Donc dCp/da =0 pour a = 1/3 ou bien a =1. – La solution a =1 est impossible ( V=0, V2<0), on retient a =1/3 – Donc Cpmax est Cpmax = 4 ( 1/3) (4/9) = 16/ 27 • La valeur de Cp est au maximum de 16/27 (0.59), c’est la limite de Betz 12 a a Cp 4 ) 1 ( 2   ) 2 1 )( 1 ( 4 ) 1 ( 8 ) 1 ( 4 2 a a a a a a da dCp        
  • 13. La loi de Betz (1919) P/Pvent 13
  • 14. Le fonctionnement La puissance du vent 3 1 . 2 V   3 2 1 . . . 2 vent P V R    14
  • 15. Le fonctionnement Extraction d’énergie cinétique de l’écoulement   distorsion des lignes de courant  Puissance extraite  f(V1-V2)  (loi de Betz) max 16 0.59 27 vent P P   15 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 V V V V     
  • 16. • Détermination du diamètre : Puissance de vent disponible : Pvent = ½ . S . ρ . V3 Puissance récupérable : Cp = 0,59 maximum Eolienne du marché : Cp = 0,25 à 0,4 Eolienne auto construite : Cp = 0,15 à 0,2 • Puissance récupérée plus faible que limite de Betz en raison des effets de giration et de contournement Ex : pour 3 m de diamètre et à 10 m/s, P = 750 à 1500W Les éoliennes détournent le vent Dimensionnement & caractéristiques
  • 17. Puissance extraite Coefficient de puissance = Puissance extraite/ Puissance du vent Cp Puissance extraite (W) 0 200 400 600 800 1000 0 10 20 30 Vitesse (m/s) Puissance (W) Coefficient de puissance 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 10 20 30 Vitesse (m/s) Cp Exemple de l’éolienne Neg Micon NM52/900 17
  • 18. 3- Prise en compte de la rotation du sillage (Blade Element Momentum) • Dans la théorie de Froude, l’hypothèse d’un écoulement d’air avec une seule composante de vitesse a été introduite. Toutefois pour les éoliennes, l’air en aval de la turbine possède à la fois une vitesse axiale ainsi qu’une vitesse tangentielle. • L’air, dans le sillage est en rotation autour de l’axe de la turbine, • Hypothèse : La vitesse de rotation du sillage passe d’une valeur 0 immédiatement en amont du rotor à une vitesse w immédiatement en aval • On introduit des corrections à la théorie de Froude pour tenir compte de cette rotation du sillage 18
  • 20. Rappels 20 • Relation fondamentale • Variation « Torseur cinétique »= torseur des efforts • Résultante • Moments • Moment de la quantité de mouvement : • Le moment cinétique • Puissance et travail • Cas de la translation • Cas de la rotation • En général
  • 21. Rappel : Second Théorème d’Euler • A partir de la conservation pour le torseur de quantité de mouvement (en résultante , cela donne le premier théorème d’Euler, et pour les moments, le second) • Ainsi, le moment des forces exercées par le fluide sur le solide est égal à: • 𝑀 (𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 → 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒) = – {(moment de la quantité de mouvement (moment cinétique) entrante) moins (moment de la quantité de mouvement sortante)} soit : en remarquant que 𝑑℧ = ( → 𝑉 . → 𝑛)𝑑𝑆 et que le moment de quantité de mouvement pour une particule de masse dm=𝜌 𝑑℧ est 𝑂𝑀 ∧ → 𝑉 𝑑𝑚 21 𝑀 (𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 → 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒) = − ඵ 𝑆𝑒 𝑂𝑀 ∧ 𝜌 → 𝑉 ( → 𝑉 . → 𝑛)𝑑𝑆 + ඵ 𝑆𝑠 𝑂𝑀 ∧ 𝜌 → 𝑉 ( → 𝑉 . → 𝑛)𝑑𝑆
  • 23. Application second théorème d’Euler • On considère un volume de contrôle sous forme annulaire de section dA= 2rdr 23 0 r dr q y  z  r e q e         Ss Se dS n V V OM dS n V V OM solide fluide M ) . ( ) . ( ) (  
  • 24. Effet de rotation sillage (1) • On a 24 𝑀 (𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 → 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒) = − ඵ 𝑆𝑒 𝑂𝑀 ∧ 𝜌 → 𝑉 ( → 𝑉 . → 𝑛)𝑑𝑆 + ඵ 𝑆𝑠 𝑂𝑀 ∧ 𝜌 → 𝑉 ( → 𝑉 . → 𝑛)𝑑𝑆 𝑂𝑀 = 𝑟 𝑒𝑟 , 𝑉 = 𝑉 𝑥 Ԧ 𝑥 + 𝑉𝜃 𝑒𝜃 , 𝑛 = ± Ԧ 𝑥, 𝑉𝜃 = 𝑟𝜔 𝑑𝑀 𝑓 → 𝑠 . Ԧ 𝑥 = 𝑂𝑀 ∧ 𝜌 → 𝑉 → 𝑉 . → 𝑛 𝑑𝑆 = 𝑟 𝑒𝑟 ∧ 𝜌(𝑟𝜔 𝑒𝜃 + 𝑉 𝑥. Ԧ 𝑥) . Ԧ 𝑥𝑉 𝑥2𝜋𝑟𝑑𝑟 • w désigne la vitesse de rotation du sillage qui passe d’une valeur 0 immédiatement en amont du rotor à une valeur w immédiatement en aval. (on supposera que la vitesse de rotation du sillage est de w /2 au niveau du rotor) . • Pour écrire le second d théorème d’Euler, on a : • Sur Se, Vq=0, et w 0, donc ‫׭‬ 𝑆𝑒 𝑂𝑀 ∧ 𝜌 → 𝑉 ( → 𝑉 . → 𝑛)𝑑𝑆 . Ԧ 𝑥 = 0 • on considère uniquement 𝑑𝑀 . Ԧ 𝑥 sur Ss , juste à l’aval du rotor où la vitesse de rotation est w . 𝑑𝑀 (𝑓 → 𝑠). Ԧ 𝑥 = 𝜌𝑟2 𝜔𝑉 𝑥2𝜋𝑟𝑑𝑟 = 𝜌𝑟3 𝜔𝑉1(1 − 𝑎)2𝜋𝑑𝑟
  • 25. Effet de rotation du sillage (2) • On a : 25 𝑑𝑀(𝑓 → 𝑠) = 𝑑𝑀 . → 𝑥 = 𝜌𝑟3 𝜔𝑉1(1 − 𝑎)2𝜋𝑑𝑟 • En introduisant le facteur d’interférence pour la vitesse de rotation a’ sous la forme   ' 2 a w • Où  est la vitesse de rotation des pales de l’éolienne, on a 𝑑𝑀 = 4𝜋𝜌𝑟3 Ω𝑉1𝑎′(1 − 𝑎)𝑑𝑟 • Cette expression défini en fonction de a et a’ le couple sur la portion dr du rotor, la puissance de ce couple est donnée par 𝑑𝑃 = 𝑑𝑀. Ω = 4𝜋𝜌𝑟3Ω2𝑉1𝑎′(1 − 𝑎)𝑑𝑟
  • 26. Effet de rotation du sillage (3) • Pour calculer la force élémentaire axiale sur un anneau de surface 2rdr , on a (Rappel diapo no 9 : F= SV (V1-V2)) : 26   2 1 2 V V V rdr dF     • Or V= V1(1-a) et V2= V1(1-2a), on en déduit : ) 2 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 2 1 2 1 a a V rdr a V rdr dF          ) 1 ( 4 2 1 a a V rdr dF    
  • 27. Effet de la rotation du sillage (4) • On a donc obtenu les efforts élémentaires dF et dM s’exerçants sur un anneau de surface dA= 2 r dr qui sont donnés par : 27 𝑑𝐹 = 4𝜋𝑟𝑑𝑟𝜌𝑉1 2 𝑎(1 − 𝑎) 𝑑𝑀 = 4𝜋𝜌𝑟3 Ω𝑉1𝑎′(1 − 𝑎)𝑑𝑟 • Outre la connaissance de  et V1, il est nécessaire de déterminer a et a’ pour pouvoir obtenir les efforts sur le rotor éolien . • Pour déterminer a et a’ , on introduit la théorie de l’élément de pale .