turbomachines a fluide compressible

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ENGA :
Turbomachines à
fluide compressible
P. Kuszla

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2
Préambule
Les planches qui suivent sont des éléments qui reprennent de
manière très synthétique les notions de ENGA pour la partie
compressible.
Certaines notations ne sont volontairement pas rappelées,
elles correspondent à celles qui sont utilisées dans le
polycopié de cours qui est votre document de référence.

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Fluide/écoulement compressible ?
Exemple : un profil en soufflerie
Sur une ligne de courant entre 1 et 2, où P2 est un point d’arrêt
(V2 = 0), on a :
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟏
𝟐
+ 𝒑𝟏 =
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟐
𝟐
+ 𝒑𝟐
𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 =
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟏
𝟐
= ∆𝒑
D’autre part, la vitesse du son est définie par : 𝒂𝟐 =
𝒅𝒑
𝒅𝝆
≈
Δ𝒑
Δ𝝆
3

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Critère sur le nombre de Mach
La variation relative de masse volumique peut donc
s’écrire comme suit :
Δ𝝆
𝛒
=
𝟏
𝟐
𝑽𝟏
𝟐
𝒂𝟐 =
𝟏
𝟐
𝑴𝒂𝒄𝒉𝟐
=
𝟏
𝟐
𝑴𝟐
Par conséquent, si M<0.3 alors
Δ𝝆
𝛒
< 4.5 %
C’est ce critère qui est habituellement utilisé pour pouvoir faire
l’hypothèse d’un fluide incompressible
Attention : valable si le nombre
de Mach est petit

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5
Ce qui change en compressible
La masse volumique du fluide n’est plus une
constante mais une variable au même titre
que la vitesse ou la pression du fluide.
Cette nouvelle variable nécessite une nouvelle
équation : Nécessité d’utiliser…
…le 1er principe de la thermodynamique.

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Machine de compression/ de détente

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Machines de compression/détente
- Turbine et machine de détente sont des synonymes
- Par abus de langage, on nomme souvent « turbine à gaz », une
machines qui comprend des étages de compression et de détente
(turbines) et une chambre de combustion
- Par choix, on comptera le travail théorique 𝝉𝒕𝒉 positivement pour la
machine de compression et négativement pour la machine de
détente
- + 𝝉𝒕𝒉 : machine de compression
- - 𝝉𝒕𝒉 : machine de détente

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1er principe de la thermodynamique
appliqué aux turbomachines
Avec les notations utilisées dans le polycopié de cours on a :
±𝝉𝒕𝒉 + 𝑸𝒆 = ∆𝑯 = ∆𝒉 + ∆
𝑪𝟐
𝟐
Avec + pour la machine de compression
- pour la machine de détente
On note H l’enthalpie totale = somme de l’enthalpie
spécifique et de l’énergie cinétique
Unité : J/kg

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Autre expression du 1er principe
Sachant que :
𝒉 =
𝒅𝒑
𝝆
+ 𝑻𝒅𝑺 et 𝑻𝒅𝑺 = 𝒅(𝑸𝒆 + 𝝉𝒇)
On peut donc proposer une 2ème expression du
1er principe :
±𝝉𝒕𝒉 =
𝑑𝒑
𝝆
+ ∆
𝑪𝟐
𝟐
+ 𝝉𝒇

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Fermeture du système d’équations :
Loi d’état
Sans perte de généralité on pourra utiliser la loi d’état des
gaz parfaits :
𝒑 = 𝝆𝒓𝑻
(Attention 𝒓 ≠ 𝑹)
On rappelle également que dans une transformation
isentropique on peut écrire la loi de Laplace :
𝑷
𝝆𝜸
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

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« Constante » des gaz parfaits

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Cas de l’air
Pour l’air on pourra prendre :
𝒓 = 𝟐𝟖𝟕 𝑱 𝒌𝒈−𝟏𝑲−𝟏
𝜸 = 𝟏, 𝟒
𝑪𝒑= 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑱 𝒌𝒈−𝟏𝑲−𝟏
𝑪𝒗 = 𝟕𝟏𝟑 𝑱 𝒌𝒈−𝟏𝑲−𝟏

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Equation d’Euler des turbomachines
On utilise ici également la relation suivante :
±𝝉𝒕𝒉 = ∆ 𝑼𝑪𝒖
Avec les même conventions de signe que pour le 1er principe
U est la vitesse d’entrainement
C, la vitesse absolue, est décomposée en deux vecteurs : la
vitesse axiale Ca et la vitesse tangentielle Cu (voir le triangle
des vitesse ci après)

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Configuration d’un étage de détente

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Ce moteur d’avion
comporte 3 étages
de détente
1 étage = 1 stator suivi
d’un rotor

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Triangles des vitesse
On trace les triangles des vitesse dans le cas d’une machine axiale
On effectue une coupe cylindrique au rayon moyen des aubages
On développe cette coupe cylindrique dans un plan
On observe alors une grille d’aubes avec trois sections :
- Section 0 : entrée du distributeur (= stator)
- Section 1 : espace inter-grilles, entre le stator et le rotor
- Section 2 : Sortie du rotor

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Configuration d’un étage de détente :
triangles des vitesses

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Construction du triangle des vitesses (1)

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Triangle des vitesse
Hypothèses :
- Le fluide entre axialement en 0
- Le fluide quitte axialement l’étage en 2
- « Par construction » la vitesse axiale est conservée :
𝑪𝟎= 𝑪𝒂𝟎 = 𝑪𝒂𝟏 = 𝑪𝒂𝟐 = 𝑪𝟐
Vous avez sans doute déjà observé que la section
de passage du fluide diminue dans les étages de
compression et augmente dans les étages de
détente

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Triangle des vitesses (2)

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Triangle des vitesse : hypothèses
En phase d’avant projet on suppose que les aubages
sont « adaptés » :
- Le fluide est tangent aux aubages
- Donc les vecteurs C0 et C1 sont tangents à l’aubage
statorique (distributeur)
- Et les vecteurs W1 et W2 sont tangents à l’aubage
rotorique

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23
Triangle des vitesse (3)
On construit également les vecteurs vitesse
dans le repère relatif en utilisant la loi de
composition des vitesses :
𝑪 = 𝑼 + 𝑾

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Triangle des vitesse (3)
Déflexion assurée par le distributeur :
∆𝛼 = 𝛼1 − 𝛼0 = 𝛼1
Déflexion assurée par le rotor :
∆𝛽 = 𝛽2 − 𝛽1 (𝑎𝑡𝑡𝑒𝑛𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑢𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒𝑠)

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Etude du stator
On considère que la transformation à travers le stator est
isentropique, donc adiabatique et réversible :
±𝝉𝒕𝒉 + 𝑸𝒆 = ∆𝑯
On en déduit simplement que 𝑯 se conserve à travers le stator :
𝐡 +
𝑪𝟐
𝟐
= 𝑪𝒕𝒆 à travers le stator

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Etude du rotor
−𝝉𝒕𝒉 = ∆𝑯
−𝝉𝒕𝒉 = ∆ 𝑼𝑪𝒖
d’où ∆𝑯 = ∆ 𝑼𝑪𝒖
On en déduit que la rothalpie 𝑰 = 𝑯 − 𝑼𝑪𝒖 = 𝒉 +
𝑪𝟐
𝟐
− 𝑼𝑪𝒖 se conserve à travers
le rotor.
D’après le triangle des vitesses on a :
𝑪𝟐
𝟐
− 𝑼𝑪𝒖 =
𝑾𝟐
𝟐
−
𝑼𝟐
𝟐
si bien qu’on a :
𝑰 = 𝒉 +
𝑾𝟐
𝟐
−
𝑼𝟐
𝟐
De plus, comme U est constante à travers le rotor, on définit la rothalpie
réduite 𝑰∗
= 𝒉 +
𝑾𝟐
𝟐
et on a donc :
𝒉 +
𝑾𝟐
𝟐
= 𝑪𝒕𝒆 à travers le rotor

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27
Degré de réaction
Le degré de réaction est défini comme suit :
ℝ =
∆𝒉𝒓𝒐𝒕𝒐𝒓
∆𝒉𝒓𝒐𝒕𝒐𝒓 + ∆𝒉𝒔𝒕𝒂𝒕𝒐𝒓
=
∆𝒉𝒓𝒐𝒕𝒐𝒓
∆𝒉é𝒕𝒂𝒈𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕
=
𝒉𝟏 − 𝒉𝟐
𝒉𝟎 − 𝒉𝟐
Pour le rotor : 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 =
𝑾𝟐
𝟐
−𝑾𝟏
𝟐
𝟐
Pour le stator : 𝒉𝟎 − 𝒉𝟐 = 𝒉𝟎 − 𝒉𝟏 + 𝒉𝟏 − 𝒉𝟐 = 𝑼𝟏𝑪𝒖𝟏 = 𝑼𝑪𝒖
En utilisant toutes ces relations :
ℝ =
𝑾𝟐
𝟐
− 𝑾𝟏
𝟐
𝟐𝑼𝑪𝒖

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Degré de réaction (2ème expression)
Un peu de géométrie permet de montrer que :
𝑾𝟐
𝟐
− 𝑾𝟏
𝟐
𝟐
= 𝑼𝑪𝒖 −
𝑪𝒖
𝟐
𝟐
D’où une deuxième expression du degré de
réaction :
ℝ = 𝟏 −
𝑪𝒖
𝟐𝑼

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Etages à action / Etage à réaction

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Etage à action /
Etage à réaction
Quelle solution est
technologiquement
la plus favorable ?

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Degré de réaction : discussion
On distingue deux types de machines :
- La machine à action : dans ce cas on a ℝ = 𝟎
Il s’agit d’une machine très particulière où :
𝑾𝟏 = 𝑾𝟐
𝑪𝒖 = 𝟐𝑼
𝒑𝟏 = 𝒑𝟐
- La propriété technologique importante de cette machine est qu’il n’y
a pas d’effort axial sur la partie mobile.
- On reconnait facilement les aubages d’une telle machine, à leur forme
très incurvée, dite en « chapeau de gendarme » due au fait que 𝑾𝟏 =
𝑾𝟐
- Dans les autres cas, ℝ ≠ 𝟎, la machine est dite à réaction, elle
présente un effort axial sur le rotor.

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Puissance d’un étage
℘ = 𝜼𝒈𝒒𝒎∆𝒉𝒔
Turbine de grande puissance :
- Grandes dimensions
- Grande vitesse de rotation (nb : ∆𝒉𝒔 = ∆ 𝑼𝑪𝒖 )
- Grande masse volumique (gaz denses, cycle ORC)
- Limitation : blocage du débit lorsque l’écoulement devient
supersonique
- >> D’où l’étude des tuyères qui met en évidence ce phénomène

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Pour fixer les triangles des vitesses
On utilise ℝ = 𝟏 −
𝑪𝒖
𝟐𝑼
(ou de manière équivalente le coef. de pression
𝝍 =
𝑪𝒖
𝑼
)
Et dans l’autre direction : le coef. de débit 𝝋 =
𝑪𝒂
𝑼
Le choix de ce jeux de deux paramètres fixe complètement la forme
des triangles des vitesses.

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A faire pour s’entrainer
Tracer les triangles des vitesses dans les cas suivants :
1)
2)
3)
Pour chaque cas, choisissez une échelle, par exemple 𝑼 = 𝟒 𝒐𝒖 𝟓 𝒄𝒎
Tracez également le cas de turbine à action
𝜑 = 0.71
ℝ = 0.25
𝜑 = 0.71
ℝ = 0.5
𝜑 = 1
ℝ = 0.75

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