Mdf

1. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
On prendra g = 9,81 m.s-2.
Les notations sont les notations habituelles du cours.
Barème indicatif :
Exercice 1 : 16 points
Exercice 2 : 4 points
Devoir surveillé d’Energétique des Machines
Année scolaire 2010-2011
Tous documents autorisés
Calculatrice autorisée
EXERCICE 1
: Installation solaire
Un installateur propose un système de préchauffage
de l’eau chaude sanitaire comprenant deux capteur
capteurs
solaires placés sur un réseau en d’une pompe de circulation et (figure 1). circuit fermé muni
un accumulateur
L’eau réchauffée par les capteurs solaires
circule en circuit fermé dans le réseau et échange de
la chaleur avec le réseau d’eau chaude sanitaire lors
de son passage dans l’accumulateur. chauffe fournit le complément de chauffage complémentaire.
Le schéma hydraulique du . Un eau
circuit équipé de ces deux
capteurs solaires de sa pompe et de l’accumulateur
est présenté sur la figure 2. Les résistances Rc
représente les résistances hydrauliques drauliques de chaque
capteur solaire, la résistance Racc celle l’accumulateur. Un ballon d’expansion est placé au
de
niveau du point e.
charge singulières (autre celles sont données ci après :
- longueur [S-a]= 0,5 m
- longueur [a-b]= 1 m
- longueur [c-d]= 1 m
- longueur [d-e]= 20 m
- longueur [e-f]= 2 m
- longueur [g-E]= 2 m
- longueur [a-h]= 4 m
- longueur [i-d]= 4 m
charg
courbe de fonctionnement de la pompe est donnée sous forme d’un tableau par le constructeur
:
Qv (m3/h)
hn (m)
Rendement global %
NPSH requis (m) e de toutes conduites est égal à
: l=0,02
1) rés
débit volumique Qv (en mètre heure
de perte de charge l. Dans 2) Calculer équivalente
Figure 1 Dans tout l’exercice on néglige les pertes de
e que des
capteurs et de l’accumulateur). Seules les
pertes de charges linéaires provoquées par les
longueurs droites de conduite sont considérées.
Toutes les conduites ont un diamètre intérieur
de 16 mm. Les longueurs de chaque tronçon
: principe de l’installation solaire
Figure 2 : schéma du réseau
On considère que le coefficient de pertes de charge linéaire les Les résistances hydrauliques des capteurs et de l’accumulateur sont égales à
h
: Rc= 1 [h2m-5] ; Racc= 0,6 [h2m-5] La
0 0,1 0,2 0,3 0,4 2 1,78 1,52 1,22 0,88 0 50 70 66 51 0,6
0,62 0,66 0,7 0,73 te de charge
DH (en mètre) au
Donner l’expression littérale de la résistance hydraulique R, reliant la perte ètre cube par heure) ) pour une conduite de diamètre D, de longueur L et de coefficient
ans la suite de l'exercice on exprimera les
résistances hydrauliques avec les unités
: [h2m-5]
r les résistances hydrauliques équivalentes suivantes :
0,5
0,6
0,5
0,08
29
2
0,8
1
- R0=Racc+réseau[d-e-f-g-E-S-- R1=Rc+réseau[a-b-c-d]
a]
Daniel BOUGEARD – 3) Déterminer 4) pompe fonctionne 5) Ecole des Mines de Douai
détermi
pompe : hn A Q B Q C v v = × + × + 2 . et la caractéristique du réseau.
7) La pression au niveau du vase d’expansion est une altitude niveau de l’
bar.
8) l’installateur propose un réseau Reprendre les questions 2, 3, 4, 5, 6 - longueur [S-a]= 0,5 m
- longueur [a-b]= 1 m
- longueur [c-d]= 4 m
- longueur [d-e]= 23 m
- longueur [e-f]= 2 m
- longueur [g-E]= 2 m
- longueur [a-h]= 4 m
- longueur [i-d]= 1 m
Une pompe centrifuge vitesse de rotation N=1500 Tours/min
rayon d'entrée de la roue : r1=15 mm
rayon de sortie de la roue : r2=100 mm
l'angle d'entré des aubages de la roue b1
l'angle de sortie des aubages de la roue b
aubages égaux à par
les aubages de la roue.
Montrer que le débit d’adaptation à
- R2=Rc+réseau[a-h-i-d]
éterminer la résistance totale du réseau.
Tracer la caractéristique du réseau
et la caractéristique de la pompe graphique
ctionne avec un rendement supérieur à
40%.
Déterminer les débits circulant dans les capteurs solaires.
6) On désire, pour plus de précision, déterminer par
calcul les débits précédents dans la pompe. Pour cela vous déterminerez expansion de
0,5 bar effectif. du fonctionnement de l’installation la température au l’accumulateur 40°C ce qui donne une pression de vapeur saturante de 0,075 et commenter les résultats.
Figure 3 EXERCICE 2
: Avant projet - pompe
possède les caractéristiques suivantes
la largeur de la roue est constante b =10 mm
est égal à 30°.
b2 est égal à 15°.
les coefficients d'encombrement des sont 1.
On considère le fluide est toujours parfaitement guidé ion est égal 4,61 m3/h. Déterminer sur un graphique. Vérifier que la
circulant dans les capteurs et
nerez les constantes A, B, C de l’équation de la caractéristique de la
Puis vous écrirez l’égalité entre la hauteur nette (fonction du débit) de la pompe
. L’entrée de la pompe (point E)
se situe à
titude de deux mètres au dessus du vase d’expansion (point e). Montrer que la pompe ne cavite pas.
Lors
et à l’entrée de la pompe est d’environ
) Afin d’obtenir des débits sensiblement semblables dans les deux capteurs et ainsi équilibrer le réseau,
avec une boucle dite de Tichelmann. Ce réseau est schématisé figure 3.
: boucle de Tichelmann
éterminer les composantes des triangles des
vitesses à l’entrée et à la sortie de la roue lorsque le débit est égal au débit d’adaptation

2. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
Correction
1) Donner l’expression littérale de la résistance hydraulique R (reliant la perte de charge au débit volumique)
pour une conduite de diamètre D, de longueur L et de coefficient de perte de charge l. Dans la suite de l'exercice
on exprimera les résistances hydrauliques avec les unités : [h2m-5]
L
D g
Q R
L
D D g
4 1
g
v
Q
D = × = ×
L

D D
R Q
R Q
g
v
L
D
H
v V V
× ×
® =
× ×
=  

×
× =
2 5
2
2 4
2
2
2
2
2
8 8
2
2
l
p
p
l
p
l
l
2) Calculer les résistances hydrauliques équivalentes suivantes :
- R0=Racc+réseau[d-e-f-g-E-S-a]
- R1=Rc+réseau[a-b-c-d]
- R2=Rc+réseau[a-h-i-d]
[ 8
- - - ] =
× [ + ] = × ×
[ ( ) ] º
[ ]
[ ] [ ]
® - - - = =
réseau a b c d h m
[ 2 5
]
1 1 3155162,7 / /
= + =
R h m
[ ] [ ] [ ]
× ×
[ ]
3 2 5 2
- - - =
= + =
× + =
R h m
[ ] [ ] [ ]
[ 2 5 ]
2 5
2 5
2 5
2 5
2 5
2 2 5
2 5
0 0,6 2,98 3,58
20 2 2 0,5 2,98
8
2 1 0,974 1,974
4 4 0,974
8
1 1 0,243 1,243
3155162,7 /(3600) 0,243
-
-
-
-
-
-
-
= + =
× + + + =
× ×
- - - - - - =
R h m
h m
D g
réseau d e f g E S a
h m
D g
réseau a h i d
m m s m s
D g
réseau a b c d
p
l
p
l
p
l
3) Déterminer la résistance totale du réseau.
Le réseau est composé de deux résistances en parallèle (R1, R2) + une résistance en série R0
On calcule donc la résistance équivalente aux deux résistances en parallèle puis on ajoute la résistance en série.
0,386
[ h 2 m
5
( ) ]
[ 2 5 ]
2
= ×
1 2
R R
+
1 2
=
R R
3,58 0,386 3,97
-
-
= + =
R
eq
R h m
total
4) Tracer la caractéristique du réseau et la caractéristique de la pompe sur un graphique. Vérifier que la
pompe fonctionne avec un rendement supérieur à 40%.
Courbe réseau :
Qv (m3/h) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60
pdc (m) 0,00 0,04 0,16 0,36 0,64 0,99 1,43
A l’aide de la représentation graphique : Qv=0,44 m3/h ; hn=0,75 m rendement global = 0,435
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
5) Déterminer les débits circulant dans les capteurs solaires.
La hauteur nette fournie par ar la pompe est de
0,75 hauteur nette de la pompe minorée réseau d
H a d hn R Qv 2 0,75 3,58 ( 0,435
0 D = - = - × -
hauteur :
D H = R Qv = R Qv ® Qv
= R m h
Qv H
a d
a d
0,192 3 /
2
2
1
2
2 2
2
1 1
= D -
=
-
m la différence de hauteur entre les points a et d correspond à la
D
= -
H a d 0,241 3 /
deux c’
solaires ; le réseau est déséquilibré.
détermi
caractéristique pompe hn A Q B Q C v v = × + × + 2 .
des pertes dans le [d-e-fg-h-E-S-a] c'est-à-435) 0,0725m 2 = ; Les débits se déterminent ma
R m h
1
Les débits sont sensiblement différents dans les branches du circuit c’est à 6) On désire, pour plus de précision, déterminer par calcul les débits précédents B, dire dans la résistance R0
maintenant à partir de cette
dire dans les deux capteurs
circulant dans les capteurs et
dans la pompe. Pour cela vous déterminerez les constantes A, C de l’équation de la de la

3. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
Pour déterminer les constantes on prend 3 points appartenant à la courbe de la pompe et on résoud le système
comprenant 3 équations et trois inconnues :
× 2
+ × + = ® =
0 0 2 2
A B C C
( )
( )
2
× + × + = ® × + × = -
0,2 0,2 1,52 0,04 0,2 0,48 (1)
A B C A B
2
× + × + = ® × + × = -
0,4 0,4 0,88 0,16 0,4 1,12 (2)
A B C A B
- ´ ® × = - ⇒ = -
(2) 2 (1) 0,08 A 0,16 A
2
× - + × = - ® = -
0,04 2 B 0,2 0,48 B
2
Ensuite on écrit l’égalité entre la hauteur nette et la perte de charge du réseau total :
= × Û - × - × + = ×
hn R Qv Qv Qv Qv
- × - × + =
5,97 Qv 2 Qv
2 0
D = - - × - × =
2 4 5,97 2 51,76
3
0,435 /
2
= ± D
=
Qv m h
× -
hn R Qv m
total
total
3,97 0,435 0,751
2 5,97
2 2 2 3,97
2 2
2
2
2 2 2
⇒ = × Û × =
=> H hn R Qv ( ) m a d 0,751 3,58 0,435 0,0736 2 2
0 D = - = - × = -
D = = ® = D =
Qv H
: R m h
R m h
H R Qv R Qv Qv H
a d
a d
a d
0,193 /
0,243 /
3
2
2
3
1
1
2
2 2
2
1 1
= D -
=
-
-
7) La pression au niveau du vase d’expansion est de 0,5 bar effectif. L’entrée de la pompe (point E) se situe à
une altitude de deux mètres au dessus du vase d’expansion (point e). Montrer que la pompe ne cavite pas. Lors
du fonctionnement de l’installation la température au niveau de l’accumulateur et à l’entrée de la pompe est d’environ
40°C ce qui donne une pression de vapeur saturante de 0,075 bar.
= - = - +
Vasp
pvs
=> + + = + + + D ® = - - D
r r r r
Vasp
P pvs
= - - - D +
Vasp
Pasp
Pasp
Pasp pvs


2
2
2
( ) [ ]
m
× =
Qv m
= - - - + =
g
Vasp
g D g
NPSHdispo
NPSH ( ) m NPSHdispo NPSH pas de cavitation
m
D g
H Racc réseau e f g E
g
H
g
NPSHdispo
H
g
P
g
Z H
g
g
Z
g
V
g
P
g
g
g
NPSHdispo ch e aspiration pompe
requis requis
e E
e E
ballon
e E
ballon
ballon asp e E
ballon ballon
» ⇒ > ⇒
× ×
=
= ×  
 
× +
× ×
D = + - - - × = +
-
-
- -
0,435 0,75
2 0,2 0,02 2,15
0,5 0,075
0,02
8
2
2 2 0,435 0,2
8
[ ] 0,435 0,6
2
2 2
2
arg
2
2 4
2
2
2 5
2
2 2
2
r
p
p
l
r
r r
8) Afin d’obtenir des débits sensiblement semblables dans les deux capteurs et ainsi équilibrer le réseau,
l’installateur propose un réseau avec une boucle dite de Tichelmann. Ce réseau est schématisé figure 3.
Reprendre les questions 2, 3, 4 ,5 et commenter les résultats.
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
- longueur [S-a]= 0,5 m
- longueur [a-b]= 1 m
- longueur [c-d]= 4 m
- longueur [d-e]= 23 m
- longueur [e-f]= 2 m
- longueur [g-E]= 2 m
- longueur [a-h]= 4 m
- longueur [i-d]= 1 m
- R0=Racc
+réseau[d-e-f-g-E-S-a]
- R1=Rc+réseau[a-b-c-d]
- R2=Rc+réseau[a-h-i-d]
[
réseau a b
= +
-
- - =
1 1 0,609
[
-
R
réseau a h
= =
=
- - =
2 1 1,609
R R
[
-
réseau d e
= +
0 0,6 3,
R
0,402
[ h 2 m
5
( ) ]
[ 2 5 ]
2
= ×
1 2
R R
+
1 2
=
R R
0,402 3,95 4,35
-
-
= + =
R
eq
R h m
total
Qv (m3/h) pdc (m) × ×
2 5
h m
A l’aide de la représentation graphique Qv=m
de
× ×
hauteur nette de la pompe minorée réseau d
Figure 3 : boucle de Tichelmann
] × [ + ] =
[ ]
[ ]
] × [ + ] =
[ ]
[ ]
] [
[ 2 5 ]
2 5
2 5
2 5
2 5
2 5
2 5
,345 3,95
23 2 2
8
609
4 1 0,609
8
609 1,609
1 4 0,609
8
-
-
-
-
-
=
× + + × ×
- - - - - =
h m
D g
f g E S a
h m
D g
i d
h m
h m
D g
c d
p
l
p
l
p
l
0,00
0,10 0,20 0,30 0,40 0,00
0,04 0,17 0,39 0,70 : 0,425 m3/h ; hn=0,79 0,4
La hauteur nette fournie par la pompe est 0,79 des pertes dans le [d-e-fg-h-E-S-a] c'est-à-+
0,5] = 3,345 [h2m-5 ]
0,50
0,60
1,09
1,57
m rendement global = 0,46
m la différence de hauteur entre les points a et d correspond à la
dire dans la résistance R0

4. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
H hn R Qv ( ) m a d 0,79 3,95 0,425 0,0765 2 2
0 D = - = - × = - ; Les débits se déterminent maintenant à partir de cette
hauteur trouvée:
1 1 D = = ® = = D - =
R m h
H R Qv R Qv Qv Qv Ha d
a d 0,218 3 /
1
1 2
2
2 2
2
-
Les débits sont bien équilibrés dans les capteurs ; le débit total est très légèrement plus faible ; le rendement est
légèrement supérieur.
Par calcul :
= × Û - × - × + = ×
hn R Qv Qv Qv Qv
- × - × + =
6,35 Qv 2 Qv
2 0
D = - - × - × =
2 4 6,35 2 54,8
3
0,4254 /
2
= ± D
=
Qv m h
× -
hn R Qv m
total
total
4,35 0,4254 0,787
2 6,35
2 2 2 4,35
2 2
2
2
2 2 2
⇒ = × Û × =
H hn R Qv ( ) m a d 0,787 3,95 0,425 0,0735 2 2
0 D = - = - × = - ; les débits se déterminent maintenant à partir de cette
hauteur :
1 1 D = = ® = = D - =
R m h
H R Qv R Qv Qv Qv Ha d
a d 0,214 3 /
1
1 2
2
2 2
2
- on retrouve pratiquement le résultat
précédent obtenu graphiquement.
EXERCICE 2 : Avant projet - pompe
Une pompe centrifuge possède les caractéristiques suivantes
vitesse de rotation N=1500 Tours/min
rayon d'entrée de la roue : r1=15 mm
rayon de sortie de la roue : r2=100 mm
la largeur de la roue est constante b =10 mm
l'angle d'entré des aubages de la roue b1 est égal à 30°.
l'angle de sortie des aubages de la roue b2 est égal à 15°.
les coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1.
On considère le fluide est toujours parfaitement guidé par
les aubages de la roue.
Montrer que le débit d’adaptation est égal à 4,608 m3/h. Déterminer les composantes des triangles des vitesses
à l’entrée et à la sortie de la roue lorsque le débit est égal au débit d’adaptation
( ) ( ) [m h ]
= × = ×p × N
1 × ° × = ×p × 1 × × ° × 1 × =
Qvadapt Vd S u S r b r 4,61 /
60
2
1 1 tan 30 1 2 tan 30 3
Les triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie ont la forme suivante
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
2 1500
= × p
× × =
U r m s
15,7 /
2 1500
= × × × =
U r m s
( )
= = × =
tan 30 1,35 /
60
V Vd u m s
1 1 1
= 2 + 2
=
W m s
0,2
2
= - = - =
( ) ( )
( )
Q
= + - =
0,2 15,7 14,95 0,77 /
W m s
V m s
m s
Vd
Vu U
m s
r b
Q
S
Vd
V V
0,2 14,9 14,9 /
14,95 /
tan 15
15,7
tan 15
2
0,2 /
2 2
2
1,35 2,355 2,71 /
2
2,355 /
60
2 2
2
2 2
2
2
2
1
2
1 1
= + =
=
× × ×
= =
p
p
U2
W2
V2
U1
W1
V1

5. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
On prendra g = 9,81 m.s-2.
Barème indicatif :
Exercice 1 : 15 points
Exercice 2 :5 points
l’eau
masse volumique égale à 1000 kg/m3, entre
deux réservoirs..
- Altitude réservoir 1 ZⒶ= 0 m
- Altitude réservoir 2 ZⒶ= 50 m
- Altitude pompe ZⒶ= 3 m
égales à 1bar. de
charge linéaire l=0,02. Les de
charge singulières à prendre refoulement, la conduite d’aspiration:
la pompe à la caractéristique H (m) 90 85
Q (l/s) 0 20
h (%) - 60
NPSHr (m) - 0,5
circuit d’aspiration
DA= 300 mm
LA= 800 m
un filtre : xfiltre=14 , un clapet : xclapet=4
1) Tracer sur le même graphique : rendement de la pompe. feuille quadrillé en dernière page)
2) cavitation à l’entrée de la pompe. fonctionnement est de 2500 Pa.
3) 60 déterminer fonctionner d’eau transportée.
4) pompe
débit de 60 tableau suivant. Déterminer :
- l’angle d’ouverture de la vanne contre)
- absorbée Devoir surveillé d’Energétique des Machines
Année scolaire 2009-2010
(4 pages dont celle-ci)
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Les notations sont les notations habituelles du cours.
EXERCICE 1
: Circuit de pompage
Un circuit de pompage véhicule de l’eau, de
Les pressions au niveau des réservoirs sont
Toutes les conduites sont
supposées avoir un coefficient de perte es seules pertes endre en compte
sont
celles engendrées par le clapet anti
et le filtre situé à l’extrémité de
à 2800 T/min
suivante :
80 72 60
40 60 80
66 69 75,5
0,8 1,2 1,8
circuit de refoulement
DR= 300 mm
LR3=10000 m
La caractéristique de
Déterminer le point de fonctionnement de la pompe
Tracer la courbe de NPSH requis et de NPSH disponible.
) On désire obtenir un débit dans le réseau de l/s la
m
) Toujours pour obtenir ce débit de 60 l/s on décide de placer deux pompes identi
Quel l/s on place sur la conduite
de refoulement (tableau ci
la puissance par les deux pompes
fermeture de la vanne
50 35
90 100
75 70
2,2 3
la pompe, la caractéristique du réseau, la courbe de
(il est possible de se servir
de la
Déterminer à partir de quel débit il y aura de la
On considèrera que la pression de vapeur saturante à la température de
vitesse de rotation à laquelle il faut faire
cette pompe pour obtenir ce débit. En déduire la puissance absorbée par la pompe et le coût du m3
identiques à la place d’une seule
sur la même conduite que précédemment. On considère que la caractéristique du réseau n’est pas modifiée par
le changement d’une seule pompe à deux pompes. est le débit obtenu avec ce montage. Pour obtenir le bon
une vanne dont la caractéristique est donnée dans le
coefficient de perte de charge singulière en fonction de l’angle de
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
- le coût du m3 d’eau transportée
a° 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
x 0,05 0,29 0,75 1,6 3,1 5,5 9,7 17 31 53 110 210 490
5) On décide d’étudier une troisième solution pour obtenir ce débit. On place deux réseaux de conduites
identiques en parallèles (avec la pompe de la question 1). Les conduites d’aspiration et de refoulement de ces
deux réseaux de conduites sont identiques à celui de la question 1. Quel est le débit obtenu avec ce montage. On
place une vanne sur chacune des conduites de refoulement déterminer le coefficient de perte de charge
singulière des deux vannes afin d’obtenir le débit total de 60 l/s et le même débit dans chaque réseau.
Déterminer le coût du m3 d’eau transportée. Déterminer la solution donnant le coût de fonctionnement le plus
faible.
EXERCICE 2 : Avant projet - pompe
La pompe de l’exercice précédent possède les caractéristiques suivantes
vitesse de rotation N=1500 Tours/min
rayon d'entrée de la roue : r1=15 mm
rayon de sortie de la roue : r2=250 mm
la largeur de la roue est constante b =10 mm
l'angle d'entré des aubages de la roue b1 est égal à 30°.
l'angle de sortie des aubages de la roue b2 est égal à 15°.
les coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1.
On considère le fluide est toujours parfaitement guidé par
les aubages de la roue.
1) Montrer que la caractéristique idéale (hauteur indiquée) du ventilateur s'exprime par l'équation suivante
(avec hi en m et Qv en l/s). : hi = A - B ×QV donner les valeurs des constantes A et B.
2) On estime que le rendement hydraulique (hn/hi) est égal à 57% lorsque la pompe fournit un débit nul ; ce
rendement hydraulique est égal à 75% lorsque les pertes par choc à l’entrée de la roue sont nulles. Montrer que
2
la hauteur nette s’exprime par l’équation suivante :
hn = C - D×QV - E ×QV et déterminer les constantes D, C, E
lorsque la hauteur est exprimée en m et le débit en l/s.
Correction
1) Tracer sur le même graphique : La caractéristique de la pompe, la caractéristique du réseau, la
courbe de rendement de la pompe
Pour la perte de charge du réseau on ajoute les caractéristiques des deux réseaux aspiration refoulement
asp






H H H V
2
2 4
2
50 7535,863
16
2
50 50
Qv
g D
Q
L
R
D
L
D
R
asp
asp refoul clapet tfiltre
= + ×
×
× ×
 

 

 

 

+ ×  

 

D = + D + D = + + + ×
p
x x l l
0 20 40 60 80
50 53 62 77 98
Déterminer le point de fonctionnement de la pompe
sur la courbe => Qv= 56 l/s hn= 74 m ren= 68 %

6. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
2) Tracer la courbe de NPSH requis et de NPSH disponible. Déterminer à partir de quel débit il y aura de la
cavitation à l’entrée de la pompe. On considèrera que la pression de vapeur saturante à la température de
fonctionnement est de 2500 Pa.
2
L
Pat Pvs
asp




NPSHdispo H V
asp asp clapet tfiltre = - ×
3 3 Qv
2 4
2
6,94 728
16
2
g D
Q
D
g
H
Pat Pvs
g
pvs
g
asp
×
× ×
  
 

 

 

= - = - - - D = - - - + + ×
p
x x l
r r r
0 20 40 60 80 90
6,94 6,6 5,8 4,3 2,2 1
L’intersection nous donne le débit de cavitation => Qv=83 l/s (voir figure)
3) On désire obtenir un débit dans le réseau de 60 l/s. Déterminer la vitesse de rotation à laquelle il faut faire
fonctionner cette pompe pour obtenir ce débit. En déduire la puissance absorbée par la pompe et le coût du m3
d’eau transportée.
il faut calculer le paramètre A de la parabole de similitude : h = A*Qv 2 qui passe par le point de fonctionnement du réseau à 60
l/s et delta H=77m=> 0,02
77
2 A = = 14 ; on trace ensuite la parabole de similitude ; l’intersection de celle-ci avec la courbe de la
60
pompe à 2800 t/min nous donne le débit en similitude à 2800 t/min soit => 58,5 l/s pour trouver la valeur de la vitesse de rotation
pour avoir 60 l/s on utilise ensuite la loi de similitude soit :
60
d 2 2800*
=2872 t/min
58,5
Pour la puissance absorbée, on connait la hauteur nette et le débit à 2870 t/min ; en outre, le rendement est le même que celui du
point homologue (placé sur la parabole de similitude à 2800 T/min) soit rend global (interpolation linéaire 40 l/s =>66% ;
60lS=>69%) environ 68 %
2
Qv
Qv
Qv
= = N
2
1
1
2
2
1
1
3 3 ⇒ = Û =
×
=
×
N
N
R
Qv
R
cte
w w
 
1000 9,81 77 60 10 2
2,47 10 €
0,06
66,65* 1
3600
66,65 0,08*
0,68
3
-
-
= ×


Pn g h Qv
= = × × × = × × × × = kW => coût =
Pa
n
g h
g
r
h
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Qv (l/s)
H(m)
0
rendement (%)
H(m)
circuit
NPSHr
NPSH dispo
rend
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
4) Toujours pour obtenir ce débit de 60 l/s, on décide de placer deux pompes identiques (en parallèle) à la place
d’une seule sur la même conduite que précédemment. On considère que la caractéristique du réseau n’est pas
modifiée par le changement d’une seule pompe à deux pompes. Quel est le débit obtenu avec ce montage. Pour
obtenir le bon débit de 60 l/s on place sur la conduite de refoulement une vanne dont la caractéristique est
donnée dans le tableau suivant. Déterminer :
- l’angle d’ouverture de la vanne
- la puissance absorbée par les deux pompes
- le coût du m3 d’eau transportée
On trace la caractéristique des deux pompes en parallèle => même hauteur débit doublé ; le point d’intersection donne le nouveau
point de fonctionnement et donc le débit Qv = 65 l/s ; DH=82 m
Pour avoir l’angle d’ouverture de la vanne il faut déterminer la hauteur nette donnée par le montage des deux pompes en parallèle
lorsqu’un débit de 60 l/s circule dans le montage des deux pompes. C’est également la hauteur nette donnée par une seule pompe
pour un débit de 30 l/s (moitié du débit total) => hn = 82 m rendement pour chaque pompe = 63 %.
Pour avoir la valeur de l’ouverture de la vanne il faut déterminer la perte de charge que doit rajouter la vanne pour obtenir une
valeur de perte de charge dans le réseau égale à 82 m
( )


L
L
R
asp
50 50 2 4
= = ⇒ » °
= ⇒ =
×
0,06
× ×

 

 


+  


 


+ ×  

 

D = + D + D = + + + ×
134 int : 57
4,92
0,03676
82
16
2
2
vanne erpolationlinéaire ouverture
m vanne
g D
vanne
D
D
H H H
R
asp
asp refoul clapet tfiltre
z
z
p
x x l l z
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Qv (l/s)
H(m)
0
rendement (%)
H(m)
circuit
rend
rend % (2872t/min)
parab-similitude
H(m) 2872T/min
rend % (2872t/min)
parabole de similitude
courbe pompe à 2872 t/min

7. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
rseeau avec vanne fermée (57°)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Qv (l/s)
H(m)
Puissance absorbé par le montage des deux pompes fonctionnant à 30 l/s (rendement égal à 63%). Patotal = 2* Pa.
 
1000 9,81 82 30 10 2
2,8 10 €
0,06
76,6* 1
3600
38,3 76,6 0,08*
0,63
3
-
-
= ×


Pn g h Qv
= = × × × = × × × × = kW ⇒ Patotal = kW coût =
Pa
n
g h
g
r
h
5) On
décide d’étudier une troisième solution pour obtenir ce débit. On place deux réseaux de conduites identiques en
parallèles (avec la pompe de la question 1). Les conduites d’aspiration et de refoulement de ces deux réseaux de
conduites sont identiques à celui de la question 1. Quel est le débit obtenu avec ce montage. On place une vanne
sur chacune des conduites de refoulement déterminer le coefficient de perte de charge singulière des deux
vannes afin d’obtenir le débit total de 60 l/s et le même débit dans chaque réseau.
On trace la conduite résultante des deux conduites en parallèle : pour une même perte de charge on double les débits
Point de fonctionnement => 78 l/s ; 62 m
Pour connaitre l’ouverture des deux vannes on connait la perte de charge dans les deux réseaux en parallèle => Qv =60 l/s courbe
pompe => hn= 72 m
Chaque caractéristique du réseau doit donc fournir la même perte de charge de 72 m pour un débit de 30 l/s
( )






L
L
R
asp
50 50 2 4
1655
15,217
0,00919
72
16
0,03
2
2
= =
= => =
×
× ×
 

 

+  

 

+ ×  

 

D = + D + D = + + + ×
vanne
m vanne
g D
vanne
D
D
H H H
R
asp
asp refoul clapet tfiltre
z
z
p
x x l l z
la puissance de la pompe et le prix du mètre cube se déduisent donc :
 
1000 9,81 72 60 10 2
2,27 10 €
0,06
61,42* 1
3600
61,42 0,08*
0,69
3
-
-
= ×


Pn g h Qv
= = × × × = × × × × = kW ⇒ coût =
Pa
n
g h
g
r
h
cette dernière solution est donc celle qui donne le coût de fonctionnement minimal
0
rendement (%)
H(m)
circuit
H (m) 2pompes //
rend
réseau avec vanne fermée de 57°
courbe pompe en parallèle
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
circuit parallèle
0 20 40 60 80 100
Qv (l/s)
EXERCICE 2 : Avant projet - pompe
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
hn (m)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
H(m)
circuit parallèle
circuit en parallèle sans vanne
rend
1) Montrer que la caractéristique idéale (hauteur indiquée) du ventilateur s'exprime par l'équation suivante
(avec hi en m et Qv en l/s). : hi = A- B×QV donner les valeurs des constantes A et B.
2
2 × = - × => = - ×
( ) Q Qv h [m] Qv [l s]
u
2
× × × ×× ×
r b tg g
g
u
hi V 157,04 951 i 157,04 0,951 /
2 2 2
= -
p b
2) On estime que le rendement hydraulique (hn/hi) est égal à 57% lorsque la pompe fournit un débit nul ; ce
rendement hydraulique est égal à 75% lorsque les pertes par choc à l’entrée de la roue sont nulles. Montrer que
la hauteur nette s’exprime par l’équation suivante : 2
hn = C + D×QV + E ×QV et déterminer les constantes D, C, E.
On sait que hn = hi -M ×Qv 2 - P× (Qv -Qvadapt)2 avec M et N des constantes et Qvadapt le débit d’adaptation. Pour déterminer
la constante M on se sert du rendement hydraulique au débit d’adaptation (perte par choc nulles). le débit d’adaptation correspond
au débit pour lequel les pertes par choc à l’entrée de la machine sont nulles (vitesse w alignée avec les aubages. Donc :
( ) [m s ]
= × = ×p × ×p ×
N
1 × × ° × 1 × = Qvadapt Vd S r b r 0,00128 /
60
2
1 1 2 tan 30 3
=>
2 2
5
237,732 10
0,75
155,8 0,00128
155,8
0,75
0,00128
=> = ×
= => - × =
- ×
M
M
h
h M
i
i
Pour le débit nul on a :
2 2
5
412,153 10
0,57
157,04 0,00128
157,04
0,57
0,00128
=> = ×
= => - × =
- ×
P
P
h
h P
i
i
Donc : hn hi 237,732 10 Qv 412,153 10 (Qv 0,00128) 89,4 105 Qv 65 Qv Qv[l / s] = - × 5 × 2 - × 5 × - 2 = + × - × 2 ®

8. Daniel BOUGEARD – On prendra g = 9,81 m.s-2.
Barème indicatif :
Exercice 1 : 10 points
Exercice 2 :10 points
l’eau
m
entre deux réservoirs et plu
élevée.
- Altitude réservoir 1 ZⒶ- Altitude réservoir 2 ZⒶ- Altitude réservoir 3 ZⒶ= 8 sont égales à 1bar. conduites
perte de charge linéaire lxclapet=4; xfiltre=14
circulation sont :
xTé, sens1=1,2 ; xTé, sens2=1,8
Qv1 =40 m3/h
Qv2=24 m3/h
circuit A1 : circuit d’aspiration
DA1= 100 mm
LA1= 10 m
un filtre
circuit R1 : circuit refoulement
débit : Qv1= 40 m3/h
DR1=100 mm
LR1= 40 m
un clapet
pompes P1 et P2.
2) l’exercice
requis
réglages sur les conduites Déterminer a° 5 10 x 0,05 0,29 l’exer
3) Ecole des Mines de Douai
Devoir surveillé d’Energétique des Machines
Année scolaire 2007-2008
(4 pages dont celle-ci)
Tous documents autorisés
Calculatrice autorisée
Les notations sont les notations habituelles du cours.
EXERCICE 1
: Circuit de pompage
Un circuit de pompage véhicule de l’eau,
de masse volumique égale à 1000 kg/m3,
éservoirs situés en contrebas
t un réservoir situé à une altitude plus
= 5 m
= 0 m
m
Les pressions au niveau des réservoirs
Toutes les sont supposées avoir un coefficient de
=0,02. Les
seules pertes de charge singulières
à
prendre en compte sont celles engendrées
par les clapets, les filtres, et les coudes
:
Pour le Té de raccordement les
coefficients de pertes de charge à prendre
en compte pour les deux sens de
circuit A2 : circuit d’aspiration
DA2= 100 mm
LA2= 10m
un filtre
DR3= LR3=circuit R2 : circuit refoulement
débit : Qv2= 24 m3/h
DR2= 80 mm
LR2= 16 m
un clapet
e
Dans toute la suite de l’exercice, on décide (page suivante) aux emplacements des pompes P1 et P2.
débit plus important que les débits Qv1 et Qv2 requis. l’angle d’ouverture des deux vannes.
15
20 25 30 35 40 45 50 55 60
0,75
1,6 3,1 5,5 9,7 17 31 53 110 (dans la suite de l’exercice Déterminer le débit de pompage de l’eau.
circuit R3
: refoulement
150 mm
300 m
un té de raccordement
pour le té de raccordement le
x est
déterminé en fonction de la vitesse
la plus grande entre les deux
sections définies par le sens sur la
figure (conformément à la définition
du cours)
1) Déterminer les hauteurs nettes ainsi que les puissances nettes que doivent fournir les
d’utiliser la pompe dont la caractéristique est donnée
Montrer que ces pompes vont fournir un
. On décide de placer des vannes de
onduites R1 et R2 afin d’obtenir les débits requis Qv1 et Qv2 en utilisant ces pompes.
65
206
490
cice on n’utilise pas cette solution des vannes de réglages)
La pompe 1 est maintenant arrêtée. Seule la pompe 2 assure un débit dans le réservoir 3.
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
4) Vérifier que dans ce mode de fonctionnement (pompe 1 arrêté pompe 2 en marche) il n’y a
pas de cavitation dans la pompe. On prendra une pression de vapeur saturante de l’eau égale à
4600 Pa.
5) Le débit trouvé à la question précédente (question 3) étant trop faible on décide d’augmenter la
vitesse de rotation de la pompe qui tournait initialement à 1500 t/min. A quelle vitesse de rotation
doit-on faire tourner la pompe pour assurer un débit de 40 m3/h.
6) On fait fonctionner les deux pompes à la vitesse de 1500 T/min. Expliquez comment peut-on
procéder pour déterminer le débit de pompage Qv3. Pour cette question on considérera que le Té
est à une altitude de 6 m. (il n’est pas demandé d’effectuer les calculs).
Caractéristique à 1500 T/min
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Qv (m3/h)
EXERCICE 2 : Avant projet - ventilateur axial
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
hn (m)
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
0 2 4 6 810
N
P
S
H
On effectue une étude préliminaire afin de définir les caractéristiques d’un ventilateur axial permettant
d’extraire de l’air (d’une masse volumique constante égale à 1,2 kg/m3) d’un local. Dans cet avant
projet on n’étudiera pas les pertes les pertes de charges dans la machine, et on négligera
l’encombrement des aubages. Ce ventilateur fonctionne à la vitesse de rotation de 1950 t/min.
La roue du ventilateur axial possède les caractéristiques suivantes :
rayon moyeu : Ri=50 mm ; rayon extérieur : Re=400 mm ; angle du redresseur a3=90°
1) fonctionnement sans distributeur. . Le ventilateur doit permettre d’extraire un débit égal à 10
m3/s en fournissant une différence de pression totale (théorique) entre l’entrée et la sortie égale
à 120 mm CE (millimètre de colonne d’eau). Tracer les triangles des vitesses à l’entrée et à

9. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
la sortie de la roue redre
redresseur.
2) redres
totale maximale 3) Fonctionnement distributeur
maximal.
les Il nous faut calculer 1’ 1’’
hn1 = H' '1- H'1 = H3' - H1 +DH1''-3' +hn2 = H2'' - H2' = H3' - H2 +DH2''-3' 4 40
1 1 2 = 2
VA VR 1 , 41 m / s V
A
01 3600
. ,
×
= = ×
p
1




H A
, m
A
1 41
,
L
,
10
,
 = + ,
×
g
V
D
A
' filtre
1 62
2 9 81
01

14 0 02
2
2
2
1
1
1 1
=
×

× 




×
 
 
 

 

D - = x +l ×
L
1
R


( ) 1 41
, m
,
,
40
,


= + +
, ,

3’
 =
+ ×
V
D
H
R
'' ' clapet té sens
133
2 9 81
01
4 1 2 0 02
2
1
1 3 1
=
×

× 

×

 

 

 

 

D - = x +x - +l ×
au rayon moyen de la machine
distributeur)
rayon moyen à l’entrée de la roue et du redresseur dans la roue et dans le redresseur. directement liée à la hauteur indiquée
: DPt théo = r× g × hi . (théorique)
onctionnement avec distributeur. machine
et pour un angle du distributeur
a0=80°. Correction
1) Déterminer hauteurs nettes que doivent fournir pompes P1 et P2.
les charges aux extrémités de chaque pompe.
Bernoulli H1' = H1 _1
H1' ' = H3' H2' = H2 _
H2' ' = H3' Bernoulli H3' = H3 +
2’’
2’
D
H1-1' = H3 - H1 +DH1''-3' +DH1-1' +DH3' -3 = Z3 - Z
+
DH2-2' = H3 - H2 +DH2''-3' +DH2-2' +DH3'-3 = Z3
,
= ×
p p
4 24
2 2 2 =
. ,
, m / s V
. ,
4 24
R 132
0 08 3600
0 85
01 3600
×
= = ×
×
2



H A
, m
A
0 85
,
,
10
,
,
g
V
L
D
A
' filtre
0 59
2 9 81
01

14 0 02
2
2
2
2
2
2 2
=
×

× 




×
 
 
 

 

D
- = x +l ×

×
D H 3 - 3
'
=l  = ×
, m
300
,
,
2 05
015
0 02
=

2
1
VR
2
g
L
2




H R
R
( ) 132
, m
,
,
16
,
 = + +
, ,
g
V
D
R
'' ' clapet té sens
0 87
2 9 81
0 08
4 18 0 02
2
2
2
2
2
2 3 2
=
×

× 

×
 

 

 

 

D - = x +x - +l ×
(en l’absence de distributeur).
Déterminer (à partir de toutes ces données précédentes) les angles des aubages au
sseur pour fonctionner sans chocs ?
Donner également la valeur de la variation de pression statique dans la roue et dans le
Déterminer l’expression de la variation de pression totale théorique en fonction du débit
. La variation de pression totale théorique
DPttheo est
Donner la variation de pression
que peut donner la machine ainsi que le débit maximal.
. Après avoir expliqué le rôle du distributeur,
déterminer
l’expression de la variation de pression totale théorique pour l’ensemble de la machine,
Donner la variation de pression totale maximale
que peut donner la machine avec cette inclinaison du distributeur ainsi que le débit
oulli entre 1 et 1’
:
D
H1-1'
Bernoulli entre 1’’ et 3’ :
+
DH1'' -3'
Bernoulli entre 2 et 2’
:
DH2-2'
Bernoulli entre 2’’ et 3’
:
+
DH2''-3'
noulli entre 3’ et 3
:
DH3' -3
Z1 +DH1''-3' +DH1-1' +DH3'-3
3 - Z2 +DH2''-3' +DH2-2' +DH3' -3
m / s
m / s VR 1
015 3600
. ,
4 64
32
3 2 =
×
= ×
p

L R
R
1
,
g
V
R
D
3
2 9 81
15
2
2
3
3
×

× 
×  

 

= + + + =
1 3 133 1 62 2 05 8
hn
, , , m
r
= × × × =
1 1 1 870
Pn
g hn Qv W
= + + + =
2 8 0 87 0 59 2 05 115
hn
, , , , m
= r
× × × =
2 2 2 751
Pn
g hn Qv W
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
2) Montrer que ces pompes vont fournir un débit plus important que les débits Qv1 et Qv2 requis.
Déterminer les coefficients de perte de charge de ces vannes xvanne1, et xvanne2.
A partir de la courbe de la pompe on voit que pour un débit Qv1=40 m 3/h la hauteur nette est d’environ 9,5 m. la perte de
charge du réseau quant à elle à été calculée à la question précédente et est égale à 8 m. Le débit qui s’établirait dans la
conduite si on place cette pompe serait donc effectivement légèrement supérieur à 40 m 3/h. De même, pour la pompe 2, la
hauteur nette lue sur la courbe pour un débit de 24 m 3/h est égale à environ 12,75 m. La perte de charge du réseau est égale
pour ce débit à 11,5 m. Il faut donc placer sur les conduites de refoulement des deux pompes une vanne pour augmenter la
perte de charge du réseau. Pour la pompe 1 il faut que la perte de charge du réseau soit de 1,5 m plus grande donc :
x
= ×
R
⇒ = × × =
» 38
°
=
, 15 2 9 ,
81
⇒ = × × =
» 38
°
14
1 , 25 2 9 ,
81
132
2
2
1 25 2
14
1 41
1
2
15 1
2
2
2
2
2
1
a
x
x
a
x
,
vanne
g
V
, vanne
,
vanne
g
V
, vanne
R
16
15
14
13
12
11
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
3) La pompe 1 est maintenant arrêtée. Seule la pompe 2 assure un débit dans le réservoir 3. Déterminer le débit
de pompage de l’eau.
Caractéristique du réseau :
( ) ( )
( )
V

R3
L

R2
R3
R2

8
 × × 
L


8
× ×
L
L
V







( ) 2
A2
A2
8
 × × 
300
8
× × 
16


8
× × 


8
× ×
L
V
L



+ + +


2 4 2 4 2 4
2
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12

4 v
R3
2
R3
4
R2
2
R2
4 clapet té sens2
A2
2
A2


3 2 filtre
2
R3
R3
2
R2
R2
clapet té sens1
2
A2
A2
3 2 filtre
Qv 8 39558 Qv
0,15 g
0,15
0,02
0,08 g
0,08
4 1,8 0,02
0,1 g
10
0,1


8 14 0,02
Q
D g
D
D g
D
D g
D
Z Z
2g
D
2g
D
2g
D
H f Qv Z Z
× = + ×





p × ×

 
+ ×
p × ×


p × ×



 

 
= + + ×
×




p × ×

 

+ l ×
p × ×
 
 
 

 

+ x + x + l ×
p × ×
 
 
 

 

= - + x + l ×
 

 

× + l×
 
 
 

 

× + x + x + l ×
 
 
 

 

D = = - + x + l ×
-
-
Qv (m3/h) 28 32 34
DH (m) 10,4 11,1 11,53
15
14
13
12
11
10
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
On trouve à l’aide du graphe un débit d’environ 32 m3/h.
4) vérifier que dans ce mode de fonctionnement (pompe 1 arrêté pompe 2 en marche) il n’y a pas de
cavitation dans la pompe
NPSH dipo :
0 2 4 6 810
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
hn (m)
0 2 4 6 810

10. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai


× ×




P 100000
2
5m NPSHrequis 2m
4600
1000 g
Pat
v '
NPSHdispo 6,2
Qv 6,6m
8
D g
L
D
3
1000 g
3 H
g
2g
g
4
A2
2
A2
A2
2 2' filtre
2' 2
= > =
×
⇒ = -
× =
 

 

p × ×
 
 
 

 

- - x + l×
×
- - D =
r
- =
r -
Il n’y a pas cavitation
5) Le débit trouvé à la question précédente étant trop faible on décide d’augmenter la vitesse de rotation de la
pompe qui tournait initialement à 1500 t/min. A quelle vitesse de rotation doit-on faire tourner la pompe pour
assurer un débit de 40 m3/h.
Avec l’expression précédente (question 3) on connait la perte de charge du réseau pour un débit de 40 m3/h.
39558×Qv 2 +8 = 12,9m On peut donc calculer le coefficient k de la parabole de similitude passant par ce point :
104490
12 ,
9
H
2 2 = = =
Qv
Qv
k
D Avec ce coefficient on peut tracer la parabole de similitude et trouver le point homologue
pour une vitesse de rotation de la pompe égale à 1500 t/min. On trouve grapiquemnent que la parabole de
3similitude coupe la caractéristique de la pompe au point 36 m/h ; 10,4 m.On calcule ensuite la vitesse de rotation
40 36
en effectuant la similitude : N t / min
d1 =d 2 ⇒ = ⇒ =
N
1667
1500
Qv (m3/h) 30 36 38
h 7,3 10,4 11,6
15
14
13
12
11
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
réseau
Parab.
similitude
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
hn (m)
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
0 2 4 6 810
6) On fait fonctionner les deux pompes à la vitesse de 1500 T/min. Expliquez comment il faut
procéder pour déterminer le débit de pompage Qv3. (il n’est pas demandé d’effectuer les calculs).
La question n’est pas aussi simple qu’il n’y parait. Une première solution est de d’approximer la
caractéristique de chaque pompe par un polynôme du second degré.
hn = a ×Qv2 + b ×Qv + c . On écrit ensuite
2




× + + +  


D D D x l x x l
R ' '' ' filtre ×
4
1
= - + - = + × - p
2
1
1
1
1
1
1 1 1 1 3
8
Qv
L
R
D D g
L
D
H H H
R A
clapet té sens
A
A
×
×
 

 

 

 


 

2














= - + - = + × - p
R ' '' ' filtre ×
4
2
2
2
2
4 2
2
2
2
2
2 2 2 2 3
L
8 8
Qv
R
D D g
L
A
D D g
H H H
R R
clapet té sens
A A
 

 

 

 

×
×  

 

 

 

+ + + ×  

 

×
×  

 

 

 

x x l
p
D D D x l

 


 

3 8
× ×

×  


 

= ×
L
R
D D g
HR
R R
4
3
2
3
3
p
D l
. Si on connait l’altitude du Té on peut ensuite déterminer graphiquement
la caractéristique de chaque pompe diminué par la perte de charge du circuit allant de chaque
réservoir au Té ( CR1 et CR2).
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
· ( ) CR1 = hn -DHR1 - ZTé - Z1
· ( ) CR2 = hn -DHR2 - ZTé - Z2
Il suffit ensuite de construire la caractéristique de ces deux pompes en parallèle (CR1//CR2).
Il ne reste plus qu’a tracer la caractéristique d
du réseau R3 ( CR3 =DHR
l’intersection avec la caractéristique de CR1//CR2.
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
CR1//CR2
32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72
1) distributeur
Qv (m3/h)
de la roue au machine
76 80
valeur de la variation redresseur
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 4 8 12 16 20 24 28
hn (m)
CR1
CR2
CR2
V1
W1
U1 b1
EXERCICE 2
: avant projet - ventilateur axial
fonctionnement sans distributeur. rayon moyen de la distributeur)
V2
W2
U2
b2
a2
( ) R3 + Z3 - ZTé ) et trouver
Tracer les triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie
(en l’absence de distributeur). Déterminer (à
partir de toutes ces données précédentes) les angles des aubages au rayon moyen à
l’entrée de la roue et du redresseur pour fonctionner sans chocs ?
Donner également la
ariation de pression statique dans la roue et dans le redresseur.
V3
a3
a3-a2
V2

11. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
Qv
( )
Rm 45,92m/ s W1 U1 V1 50,18m/ s
Qv
( )
39,5
Vd2

 b =
1 2 2
U2 Vu2
Re Ri
2 N
60
20,22m/ s U1
23,8 U2 U1 Vd2 V1
Vu2 21,36m/ S 2 arctg
U2Vu2
g
Re Ri
V1
U1
theorique
g
arcTg
Pt
V1
hi


W2 Vd2 2 (U2 Vu2) 2 31,81m/ s V2 Vu2 2 Vd2 2
29,41m/ s
2 2
2 2
= + - = = + =
° = 

-
= ⇒ = b =
r ×
D
=
p × -
= = = ° = 

= = × p × × = = + =
p × -
=
Variation de pression statique :
dans la roue :
903,4Pa
 r D = D - r -
V1
2
V2
2
P Pt
2 2

s =  

 

dans le redresseur (en l’absence de pertes) :

  

 
V2
V2
V3
+ r = + r ⇒ D = r - r

V3
2
2
P
2
P
2
P
2 2 2
2
2
3 =273,8 Pa
2) Déterminer l’expression de la variation de pression totale théorique en fonction du débit
dans la roue et dans le redresseur. La variation de pression totale théorique DPttheo est
directement liée à la hauteur indiquée : ( ) hi = r × g × DPtthéo .
= r - r  
U2
Vd2

( ) ( ) ( )Qv

 
P U2 VU2 U2 U2 2 2
Re Ri tg 2
U2
tg 2
2
t b
p - × b
D = r × = r× × -
Variation de pression maxi pour Qv=0 => DPt = 2533,2Pa
Débit maxi pour variation de pression totale nulle => Qv = 18,68 m3/s
3) Fonctionnement avec distributeur. Après avoir expliqué le rôle du distributeur, déterminer
l’expression de la variation de pression totale théorique en fonction du débit volumique
pour l’ensemble de la machine, et pour un angle du distributeur a0=20°.
Le distributeur permet de réduire le débit en modifiant la caractéristique du ventilateur.
1
1
= r - r  
U2
Vd1
W2
Vd2


b2

W1
V2
U2
( ) Qv
( ) ( ) ( ) tg ( 2
) tg ( 1
) V1
U1
a1
b1
P U2 VU2 VU1 U2 U2 2 2
Re Ri
U2
tg 1
tg 2
2
t  
 
a
+
b
×
p -

 
a
-
b
D = r × × - = r× × -
Variation de pression maxi pour Qv=0 => DPt = 2533,2Pa
Débit maxi pour variation de pression totale nulle => Qv = 16,31 m3/s
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
Devoir d’
On prendra g = 9,81 m.s-2.
Barème indicatif :
Exercice 1 : 10 points
Exercice 2 :10 points
possède Toutes les conduites mm
(ci
pesanteur
on considère les singularités suivantes :
courbure R

   


D
, , q
x = + × 2
R 90


   

 

 

7
2 0
013 185
Té en dérivationx = 1,5 Le réchauffeur électrique Le radiateur : le constructeur donne une perte de charge de
: le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE
de m
1) Déterminer les valeurs du coefficient de pertes de charge du radiateur et du réchauffeur
électrique
2) 0,02. caractéristique du m) lorsque la fermée
0 mm et un coefficient de perte de charge régulière
l =
3) de 25 m
La
défaillan
fonctionnement, mais attention
en marche
A l’aide de ces caractéristique
débit.
Pompe double en fonctionnement alterné. r
surveillé d’Energétique des Machines
Année scolaire 2006-2007
(4 pages dont celle-ci)
Tous documents autorisés
Calculatrice autorisée
Les notations sont les notations habituelles du cours.
EXERCICE 1
: Circuit de chauffage
Un circuit de chauffage un
réchauffeur électrique fournissant de l'eau
chaude, une pompe, un radiateur, un ballon
d’expansion, et un circuit de dérivation
comportant une vanne de réglage.
onduites ont un diamètre de
70
Le vecteur g représente sur la figure ci- contre
le sens de l’accélération de la pesanteur)
Pour les pertes de charge singulières Coude avec un rayon de R0 égal à 1,5 D.
, Té en mélange
x = 3 , Té branche fermée x = 0,2
500 mm CE (millimètres de colonne
d’eau) pour un débit de 10 m3/h
(millimètres de colonne d’eau) pour un débit 10 m3/h
Toutes les conduites ont un diamètre de
70 Déterminer l’expression de la réseau
DH=R™QV
2 Q
vanne de réglage est fermée.
Le débit maximal souhaité dans le radiateur est m3/pompe me propose deux solutions. La
solution Ⓐ caractéristique est fournie page suivante. solution Ⓐ est une pompe moteur servant en cas de défaillance). les deux roues (et moteur) en c’est la
solution Ⓐ caractéristique de cette pompe est fournie page suivante, de fonctionnement avec une seule roue marche.
caractéristiques qu
permettent de répondre à notre demande de (roue 1 ou 2 en fonctionnement) (avec QV en m3/h, et DH en
/h. Le commercial d’un constructeur de
consiste en une pompe centrifuge dont la
centrifuge double constituée de
deux moteurs et deux roues de pompe. Normalement ce type de pompe s’utilise sur un réseau de
chauffage en utilisant uniquement une seule roue et un seul moteur (la seconde roue et le second
ce). Néanmoins il est possible de faire fonctionner cette pompe avec
SURSRV«H SDU OH FRPPHUFLDO
. La
il s’agit de la caractéristique
de pompe vérifier (graphiquement) que les deux solutions
Pompe double en fonctionnement avec les deux roues

12. Daniel BOUGEARD – d
solution Ⓐ
solution Ⓐ
Attention la caractéristique
correspond au
fonctionnement alterné (une
seule roue en
fonctionnement)
4) On utilise la solution Ⓐ. circul
vapeur saturante de l’eau (en pascal) est une fonction de la température T s’écrivant
: Pvs = 26T² -
fonctionnement.
Ecole des Mines de Douai
Schéma explicatif des types de fonctionnement possibles L’eau circulant avec la pompe double
ant dans le réseau à une température de 90 °C.
La pression de
2195T + 58000. (T est exprimé en °C). En mode «
dégradé d’expansio
peut atteindre 1,2 bar (absolu).
», la pression dans le vase d’expansion
Vérifier que la pompe ne risque pas de caviter lors de son
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
Même question dans le cas où l’on utilise la
solution Ⓐ
On désire maintenant obtenir un débit réduit 20 m3/h. 5) dans le radiateur à m
faut procéder pour déterminer (il n’est pas demandé d’effectuer les calculs
calculs).
Angle d’ouverture ° 5 10
x 0,05 EXERCICE 2
volumique constante égale m
débit de fumée égal à 600 m3/sortie égale au minimum à 100 d’eau)
vitesse de rotation de caractéristiques ci-p
caractéristiques suivantes :
rayon d'entrée de la roue : r1=rayon de sortie de la roue : r2=1) fourni
lorsqu’un débit de 600 m3/véhiculé.
4) Déterminer pression entre
m
de hauteu
des fumées est égale à 0,8 kg/m3.
5) du d’air DPstatique [Pa] 1000
Qv air [m3/h] 0
15 20 25 30 35 40 45
0,29
0,75 1,6 3,1 5,5 9,7 17 31
: ventilateur d’extraction
gale à 0,8 kg/m3) mm CE (millimètre de colonne d’eau). Ce 1500 t/min.
dessous. Pour plus métallique avec des aubages droits.
La roue du ventilateur centrifuge possède les
vitesse de rotation N=1500 Tours/min
=50 mm
=500 mm
la largeur de la roue est constante égale à b.
l’épaisseur des aubages est de 2 mm.
2) Déterminer la hauteur indiquée fournie par cette roue.
/h est l’entrée de la roue soit égale à 20 m/
s.
la différence de statique obtenue mm CE) pour un débit de fumées véhiculé de 600 m3/h. pertes de charge dans la roue sont égales à 20% la hauteur .
avec cette machine avec de l’air
m
; (ces mesures de pression sont
sont de section circulaire et de même diamètre).
1300 1400 900
300 600 900
Expliquez
comment il
éterminer l’angle d’ouverture de la vanne de réglage pour obtenir ce débit.
50 55 60 65
53 110 206 490
On désire construire un ventilateur centrifuge permettant d’extraire des fumées (d’une masse
) d’un four industriel. Le ventilateur doit permettre d’extraire un
/h en fournissant une différence de pression statique entre l’entrée et la
e ventilateur fonctionne à la
En se basant sur un ventilateur issu d’un catalogue constructeur le
bureau d’étude de votre société propose de construire une roue de ventilateur ayant les
lus de facilité de construction la roue est fabriquée en tôle
Déterminer les coefficients d’encombrement des aubages à l’entrée et la sortie de la roue.
3) Déterminer les composantes des triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie de la roue
On choisira une valeur de b telle que la vitesse du fluide à
l’entrée et la sortie de la roue
(en
Pour ce calcul on considèrera que les
r indiquée et que la masse volumique
Après construction de la machine (roue + volute + conduites entrée/sortie), on effectue des essais
de masse volumique constante égale à 1,2 kg/m3. Les essais
permettent de déterminer les performances de notre ventilateur sous forme du tableau suivant donnant
la différence de pression statique mesurée entre l’entrée et la sortie de la machine en fonction débit
effectuées dans les conduites entrée et sortie de la machine qui
40
1200

13. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
Vérifier si, lorsque l’on véhicule un débit de fumées de 600 m
m3/h, de pression statique entre l’entrée et la sortie d’au moins 100 mm CE.
(Les fumées ont une masse volumique constante égale à 0,8 kg/m
m3 ).
6) fumées à un débit de 600 m3/, on obtient bien une différence
Quelle est la différence de pression statique que l’on peut obtenir lorsque l’on véhicule les
/h et que l’on fait tourner le ventilateur à
EXERCICE 1 :
Correction
1) radiateur et coeff de pertes de charge réchauffeur
Le réchauffeur électrique 500 1600 T/min
?
: le constructeur donne une perte de charge de mm
un débit de 1m
3/h :
2
16 2
2
2 4
2
× Q
×
g D
V
H V ×
p ×
D = x = x
Le radiateur débit de 1m3/h :
2
g
V
16
2 1
2 2
H
p
D = x = x
2) Calcul caractéristique Pertes de charge régulières :
V
D = l × × = l ×
(
2
L
2 5
× + + + + + + 8 4 1 2 2 1 6 2
2 5
L
H , Q Qv en m / 0 0017467
0 02
22637 544
22637 544
3600
8
2
2
2 3
2
,
,
R
D g
H ,
Q
D g
g
D
H
V
V
® = =
 
D = ×
p × ×
D = ×
×
p × ×
Pertes de charge singulières :
1

  
0 13 1 85 . .

Pour les coudes 3




x = + ´
2
( ) ( ) 2 4
, , , , ,
0 2 0169 37 6 0169 0 2 
+ +
0169 1881
8
2
, ,
H
g D g
V
H
 

+ + + + +
D =
×
p × ×
D = Σx × = Σx
2 4 ,
p × ×
D g

7
= ,
  
Q
×

D = × ×
CE (millimètres de colonne d’eau)
® = × =
DH = , + , 3) m
l’o
314 70 10
10

 ×
H , 0198447 10
QV
6 2
0198447 10
18 81
9 81
3 s / m en Qv  
 
2 2
×
QV = , × QV
· solution ⒶRQUHSRUWHVXUODFDUDFW«ULVWLTXHGHODSRPSHODFDUDFW«ULVWLTXHGXU«VHDX
pour 3600
8
0 5
8
1
2
2 3 2
,
Q
H
g
V 

 
 
× ×
= ×
×
® x = D ×
-
37 6
2
4
,
g
Q
D
V ® x =
×
× ×
×
e réseau
1 4) 2
s
QV
 
×
+
+
2
0169

2
2 4
2
0
2 8
V
V
Q
D g
,
×
p × ×
 

0 3600
2
6
,
,
R
Caractéristique réseau :
{ (0 0017467 0 0153)
[ m
] Qv
[m3/h]
8 12
DH [m] 1,09 2,45
Vérification que le débit maximal atteint bien 30 m3/h
HGXU«VHDX
4
,
,
=
×
: le constructeur donne une perte de charge de 1000 mm CE (millimètres de colonne d’eau) pour un
0153
{
[ 3
] 0 017
m / h
16 24 28 30
4,35 9,8 13,3 15,3
RQUHSRUWHVXUODFDUDFW«ULVWLTXHGHODSRPSHODFDUDFW«ULVWLTXHGXU«VHDX
Daniel BOUGEARD – Le débit trouvé à partir du point est m
· solution Ⓐ 2QGRLWWRXWGest proch
sous estimées débit voulu.

17. Pvs = 26T² - 2195T + 58000 Il faut vérifier détermine le NPSH requis : = Calcul du NPSH disponible :
HQWU«H
2
Qv
r A
-
P Pvs
P
1 1
2
1 1
+ ×
2 4
2
2
2
8
+ =
r
=
+
r
+ =
p × ×
vase
g
v
g
NPSHdisponible
g
v
g
Z
D g
g
P
P
1 1
+ ×
Qv
la Ecole des Mines de Douai
oint d’intersection bien supérieur à 25 m3/m
OOªOHV
Le débit trouvé à partir du point d’intersection très proche de 25 m3/h. la pompe risque de ne pas nous fournir le Déterminer ⇒
Pvs = 71050Pa
NPSH requis 3 m
%HUQRXOOLHQWUHOHSRLQWDXQLYHDXGXYDVHG’êH[SDQVLRQDSSHO«$

18. HWO’êHQWU«HGHODSRPSH
2
2 2
+ ×
Qv
2 4
2 4 ( 1) 1
1 1
8
8
2
-
-
+ - - D
p × ×
P _Pvs
r
p × ×
r
+ =
r
+ + D ®
A A
vase
vase
A
Z Z H
D g
g
D g
P
g
v
g
Z H
Calcul des pertes de charge entre le vase et l’entrée de pompe
/h il est au alentours de 27 m3/h
2QGRLWWRXWG’êDERUGFRQVWUXLUHODFRXUEHFRUUHVSRQGDQWDX[GHX[URXHVHQSDUDOOªOHV
. Si les pertes de charge sont légèrement
la température de l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquelle on a cavitation
ier que la charge à l’aspiration est supérieure au NPSH requis. À partir de la courbe de la pompe on
GHODSRPSH
+ (ZA - Z1)- DHA-1
g

19. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai

( )
( )
-

3
P Pvs

×

27
3600
+ = × -



 D - = ×
12 10 71050
NPSHdisponible NPSHrequis pas de cavitation
, , m


 ×

27
3600
, , ,
,
g
v
g
NPSHdisponible
, m
, ,
, ,
,
HA ,
⇒
- - =
p × ×
+
×
r
=
=
p × ×
´ 

+ + 

1 017 3 94
0 07 9 81
8
1000 9 81
2
0 238
0 07 9 81
8
0 2 01696
0 07
0 02
2 4
2
2 5
1 1
2 4
2
1
· Même question si on utilise la solution Ⓐ
Il faut vérifier que la charge à l’aspiration est supérieure au NPSH requis. A partir de la courbe de la pompe on
détermine le NPSH requis (le débit total étant égal à 25 m3/h le débit dans une roue est alors égal à 12,5 m3/h) :
NPSH requis = 1,5 m (environ)
/H136+GLVSRHVWOHP¬PHTXHSU«F«GHPPHQWGRQFRQD«JDOHPHQW
, 394 ,
15
⇒
NPSHdisponible NPSHrequis pas de cavitation

23. Expliquer sans effectuer les calculs la marche à suivre pour déterminer l’angle d’ouverture de la
vanne pour obtenir un débit réduit dans le radiateur à 20 m3/h:
On modélise le problème par le schéma suivant
Il faut dans un premier temps déterminer par calcul les différentes
résistances hydrauliques. La résistance R2 étant fonction du
coefficient de perte de charge de la vanne.
On peut donc procéder de la manière suivante : enlever à la
caractéristique de la pompe les pertes de charge correspondant à la
résistance R1, afin d’obtenir la charge aux bornes des points A et B
(schéma ci-contre) en fonction du débit total QV.
( ) 2
HA - HB = hn - R1 ×Qv Ensuite on détermine le débit Qv en
disant que la charge HA – HB est égale à la résistance hydraulique
R3 multiplié par le débit circulant dans le radiateur (20 m3/h).
( ) 2
HA - HB = R3 ×Qv3
Le débit QV2 est donc égal à à QV –QV3 on déduit le coefficient de
perte de charge de la vanne en disant que ( ) 2
HA - HB = R2 ×Qv2
Et en exprimant R2 en fonction du coefficient de perte de charge de
la vanne.
A
EXERCICE 2 :
2
R3
1) Coefficient d’encombrement :
× p × × - × ×
2 × p × r - 4
×
e
Entrée : 0 974
k =
2
r b e b
2 4
2
1
1
1
1
Surface depassage Section des aubages
1 ,
r
r b
Surface depassage
× p ×
=
× p × ×
=
-
=
× p × - ×
r e
2 4
× p × × - × ×
r b e b
2 4
Surface depassage Section des aubages
k =
Sortie : 0 997
2
2
2
2
2
2
2 ,
r
r b
Surface depassage
× p ×
=
× p × ×
=
-
=
R1
R2 R3
Qv
Qv2 Qv3
B
hn
hn-R1.Qv
qV3
HA-HB
Qv
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
2) hauteur indiquée :
, [m] [J /N]
2 1500 2
 × p × ×
2 22
g
r
u
= = = ´
g
g
u



V
h u i = 628 2
º
60
2 2
3) triangles des vitesses :
Les triangles des vitesses à l’entrée et à la sortie ont la forme suivante (angle béta 2 égal à 90°).
2 1500
= × p × × =
U r , m/ s
1 1
2 1500
= × p × × =
U r , m/ s
Q
V V
= = = =
Q
Q
Q
= + =
W 7 , 85 20 , 2148
m/ s
V , , , m/ s
, m/ s
b
,
k r b
k S
W
m/ s b , cm
b
,
V
k r b
k S
V
V V
78 5 197 78 52
197
0 0536
2 2
2
20 2 7
0 545
2
78 5
60
2
7 85
60
2 2
2
2 2
1
2 2 2
1
1 1 1 1
1
2
= + =
= =
´ × p × ×
=
´
=
´ × p × ×
=
´
=
4) calcul de la différence de pression statique entrée/sortie roue :
( )
V V U U W W
= + D = D
i n roue roue
( )
r r H
( )
, , * , ,
- +  
U U W W
g
, , , ,
78 5 7 85 2148 197
g
D
P
g
D
P
g
P , , ( , ) Pa mmCE
r r H
V V
g
P
g
h H
g
h
roue
0 8 9 81 208 2 1634 166
0 450 0 2 62816 208 2
2
2
2 2
2 2 2 2
2 1
2
2
2
1
2
1
2
2
2 1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
D = × × = ®
- - =
×
 
 
- +  
 
-
=
r
- - - D
 
 
 
-
=
r
+ - + D
 
 
-
+
r
 
 
- +  
 
- +  
 
-
=
5) Débit de fumée :
Conduites de même diamètre = différence de pression statique égale différence de pression totale
DPstatique [Pa] 1000 1300 1400 900 40
Qv [m3/h] 0 300 600 900 1200
A l’aide de l’analyse dimensionnelle il est possible de déterminer la caractéristique du ventilateur lorsqu’il
véhiculera les fumées.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
,
0 8
( ) P (air)
,
P fumées
D
P air P fumées
D
n t t
r
P
r
Q
gh
Q air Q fumées
r
t t
ufmées
t
air
v v
v
® D = × D
r
D
=
r
®
r × w ×
=
w ×
y =
® =
w×
d =
12
2
2
2 2
2
2
3
2
Caractéristique avec les fumées
DPstatique
[Pa]
666,7 866,7 933,3 600 26,6
Qv [m3/h] 0 300 600 900 1200
Pour 600 m3/h la différence de pression statique est de 933,3 Pa.
U2
W2
V2
U1
W1
V1

24. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
mm CE
9333 =
×
,
,
soit 95
1000 9 81
On obtient pas tout à fait 100 mm CE = le ventilateur ne répond pas au cahier des charges
6) Ventilateur à 1600 T/min
1600
( ) ( )
v v
( )
D
n t t
( ) ( )
( )
t
( ) ( )
,

0 8
 ® D = ×
1600
( ) P (air)
,
P fumées
P air P fumées
r
P
r
Q
gh
Q fumées Q air
r
t t
ufmées
air
v
D 

r
D
=
r
D
®
r × w ×
=
w ×
y =
® =
w×
d =
× ×
2
1600
2 2
2
2 2
2
2
3
2
1500
12
1500
1500
2
DPstatique
[Pa]
758,5 986 1062 683 30
Qv [m3/h] 0 320 640 960 1280
On procède a une interpolation linéaire pour avoir la différence de pression statique pour le débit de 600 m3/h :

1062 986
D P = + - (600 320) 1052,5Pa 107mmCE
On obtient bien les 100 mm CE
986 × - = ® 640 320



-
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
l = ´ e 0,790 avec e la rugosité absolue en mm et D le diamètre de la conduite en mm.
Tracer sur le diagramme ci dessous (page 2) la caractéristique globale du réseau en calculant
les pertes de charge (en Pa) pour les trois débits 10 m3/h, 20 m3/h, 30 m3/h; Ainsi que la
caractéristique de la conduite C2 en calculant les pertes de charge pour les trois débits 4 m3/h,
8m3/h, 12 m3/h
2) Ventilateur centrifuge
30
Devoir surveillé d’Energétique des Machines
Année scolaire 2005-2006
(4 pages dont celle-ci )
Tous documents autorisés
Matériel : papier millimétré.
Calculatrice autorisée
Pour le premier exercice le fluide considéré est de l’air de masse volumique constante égale à 1,2 kg/m3.
Pour le second exercice le fluide considéré est de l’eau de masse volumique constante égale à 1000 kg/m3.
On prendra g = 9,81 m/s2.
Les notations sont les notations habituelles du cours.
Barème indicatif :
Exercice 1 : 13 points
Exercice 2 :7 points
EXERCICE 1 : Ventilation mécanique controlée simple flux à deux allures
Une petite V.M.C comprend un extracteur (ventilateur
centrifuge) sur lequel sont raccordées deux conduites
d'aspiration et une conduite de refoulement. La perte de
charge dans la conduite de refoulement est totalement
négligeable. Les conduites d'aspiration sont des
conduites souples en PVC armé. La rugosité absolue
des deux conduites est de 8 mm La conduite de plus
grande section (C1) à un diamètre de 80 mm. La conduite
de section plus réduite (C2) un diamètre de 63 mm. Les
deux conduites ont une longueur de 10 m. Pour chaque
conduite la somme des coefficients de pertes de charge
singulières (coudes, bouches d'extraction...) est égale à
85. ( 85
Σx =Σx =
C C
1 2
)
Le fluide est de l'air dont nous considèreront la masse volumique constante (incompressible) égale à
1,2 kg/m3. Dans la suite de l'exercice la charge de l'écoulement sera exprimée en Joules/m3 c'est à dire
en Pa.
1) Pertes de charge du réseau
Déterminer les paramètres R0, R1, R2 des caractéristiques de pertes de charge des circuits :
- de la conduite C1 DH=R1™QV1
2 (avec QV en m3/h, et DH en Pa)
- de la batterie C2 DH=R2™QV2
2 (avec QV en m3/h, et DH en Pa)
- global DH=R0™QVO
2 (avec QV en m3/h, et DH en Pa)
Pour cela on tiendra compte des pertes de charges singulières et linéaires. Le coefficient de pertes de
charges linéaires l sera calculé à l'aide de la loi de Blench:
D

25. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
La roue du ventilateur centrifuge de la VMC possède les
caractéristiques suivante :
vitesse de rotation N=1200 Tours/min
rayon d'entrée de la roue : r1=20 mm
rayon de sortie de la roue : r2=80 mm
la largeur de la roue est constante b =10 mm
l'angle d'entré des aubages de la roue b1 est égal à 30°.
l'angle de sortie des aubages de la roue b2 est égal à 30°.
les coefficients d'encombrement des aubages sont égaux à 1. On considère que la vitesse de l'air à
l'entrée de la roue est purement radiale et que le fluide est toujours parfaitement guidé par les aubages
de la roue.
Montrer que la caractéristique idéale (hauteur indiquée) du ventilateur s'exprime par l'équation
suivante (avec hi en Pa et Qv en m3/h). : hi = 121,15 - 1,15 ×QV [Pa]
L'ensemble des pertes de charge (par chocs et par frottement) dans la machine est fonction des angles
des aubages à l'entré et à la sortie de la roue et s'exprime par l'équation suivante (avec QV en m3/h, et
DH en Pa):
DH = A ×Qv + B×Qv + C 2 (eq-1) avec A=0,08 ; B=1 et C=7
Tracer sur le diagramme ci dessous la caractéristique du ventilateur (hn) en calculant la hauteur
nette (en Pa) pour les quatre débits 10 m3/h, 14 m3/h, 20,5 m3/h, 24 m3/h. En déduire le débit
d'extraction, ainsi que le débit circulant dans la conduite C2 et C1..
3) Variation de vitesse
Afin de pouvoir réduire le débit de ventilation dans le cas du fonctionnement normal (faible allure) le
moteur possède une vitesse de rotation modifiable à 600 Tours/min. Tracer sur le diagramme la
caractéristique du ventilateur à la vitesse réduite de 600 T/min. En déduire le débit d'extraction,
puis le débit circulant dans la conduite C2.
4) Inversion du sens de rotation (la vitesse de rotation étant toujours égale à 1200 T/min)
Une solution moins onéreuse (à la construction) pour réduire le débit (fonctionnement à faible allure)
est d'inverser le sens de rotation de la roue. La roue travaille alors en action. Ce mode de
fonctionnement dégradé, augmente les pertes de charge dans la roue modifiant les coefficients A , B et
C de l'équation (eq 1) avec A=1,1 ; B=0,5 et C=1,6. Expliquer, à l'aide d'un schéma, pourquoi
lorsque le sens de rotation est inversé l'angle du triangle des vitesses en sortie de la roue
devient égal à (180-b2).Tracer sur le diagramme la caractéristique du ventilateur en calculant la
hauteur nette (en Pa) pour les quatre débits 0 m3/h, 3 m3/h, 6 m3/h, 10 m3/h . En déduire le débit
d'extraction, puis lse débits circulant dans les conduites C1 et C2.
5) Analyse énergétique
La puissance électrique fournie par le moteur électrique du ventilateur est égale à la puissance
indiquée. Déterminer la puissance électrique consommée à faible allure dans le cas de la
réduction de la vitesse de rotation et dans le cas de l'inversion de la vitesse de rotation. Quelle
est la solution la plus rentable énergétiquement.
31
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
150
145
140
135
130
125
120
115
110
105
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
m3/h
Pa
EXERCICE 2 : Circuit de chauffage
Un circuit de chauffage possède une chaudière fournissant de l'eau chaude, un circulateur (pompe
centrifuge) permettant de faire circuler un débit constant de 0,6 litres/secondes. La caractéristique de
la pompe est donnée par l'équation suivante (avec hn en m et Qv en l/s).:
32
2
hn = 13 - 9 ´QV (le débit est en litres par seconde dans la formule)
On donne :
le diamètre de conduite du réseau f = 25
mm
le coefficient de perte de charge
régulière des conduites l = 0,02
le coefficient de pertes de charge
singulière de la chaudière : x chaud = 40
le coefficient de perte de charge des
coudes : x coude = 3
la pression imposé dans la conduite au
niveau du vase d'expansion est de 2
bars absolus.
1) Déterminer la valeur du coefficient de pertes de charge singulière du radiateur

26. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
2) L’eau circulant dans le réseau a une température comprise entre 60 et 95 °C. La pression de vapeur
saturante de l’eau (en pascal) est une fonction de la température (°C) s’écrivant :
l = ´ e --------- l1=0,250 ; l2=0,282
2
v D = × + × + avec A=0,08 ; B=1 et C=7
33
Pvs = 26T² -2195T + 58000 (Pour une température comprise entre 60 et 95 °C)
Le NPSH requis à l'entrée de la pompe est de 2 m de colonne d'eau. Déterminer la température de
l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquelle on a cavitation.
3) On change la position du vase d'expansion en le plaçant au repère (a). Sachant que la
température de l'eau en sortie chaudière est limitée a 95 °C y a t-il cavitation?
Correction
EXERCICE 1 : Ventilation mécanique controlée simple flux à deux allures
1) Pertes de charge du réseau
Avec la loi de blench on calcule les paramètres de pertes de charge linéaire
D
0,790
les PdC se calculent avec la formule classique
dans laquelle on fait apparaître le débit
2

p ×
8



D = r × Σx + l ×
H ×  
2 4
QV
L
D D

 

× 

R1=2763411,3 en unité SI en exprimant le débit en m3/h (diviser par (3600)2)
R1=0,213 [Pa/(m3/h)2] = [Pa.m-6h2]
R2=0,619 [Pa/(m3/h)2]
pour la caractéristique globale :
= ×
R R
1 2
( )2
1 2
0
R R
R
+
o R0=0,0846 [Pa/(m3/h)2]
10 m3/h ---------------------- 8,4 Pa
20 -----------------------34 Pa
30 -----------------------76 Pa
o R2=0,619
4 m3/h ---------------------- 10 Pa
8 -----------------------39 Pa
12 -----------------------89 Pa
2) Ventilateur centrifuge
.Montrer que la caractéristique idéale (sans pertes d'énergie) du ventilateur s'exprime par
h = 7,57×10 2
l'équation suivante (avec hn en Pa et Qv en m3/h).: i - 4,66´Q
V
poly de cours page 73 on sait que :

( ) Q [Pa]
u

= r - avec 10,05 [m/ s]
2 2
2 i  
h u v
2 r b tg
2 2 2

 

×
×p× × × b
× ×
2 π N
u r2 2 =
60
= ×
soit : h 121,15 1,15 Q [Pa] i V = - ×
10 m3/h ---------------------- 109,6 Pa
14 -----------------------105 Pa
24-----------------------93,55Pa
H A Q B Q C v
2
V V V
2
n i V V h = h - DH = 121,15 -1,15×Q - 0,08×Q - ×Q - 7 = 114,15 - 2,15×Q - 0,08×Q
hn
0 m3/h ----------------------114
10 m3/h ---------------------- 84,6 Pa
14 -----------------------68 Pa
20,5-----------------------36 Pa
24-----------------------16,5 Pa
Pour le débit d'extraction on peut le résoudre graphiquement (intersection caractéristique réseau et
ventilateur) on lit sur le graphe QV=20,5 m3/h dans le réseau global et QV2=7,5 m3/h dans la conduite 2
3) Variation de vitesse
loi de similitude
600
1200
2
N(600) N(1200) = =
h h 2 et Q VN(600) Q
VN(1200)
600
1200
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
34
1200 T/min 600 T/min
QV hn QV hn
0 114 0 28,5
10 84,6 5 21
14 68 7 17
20,5 36 10,25 9
24 16,5 12 4
le débit d'extraction se lit a l'intersection de la caractéristique réseau global et ventilateur à
vitesse réduite = QV=10,2 m3/h
le débit dans la conduite c1 se déduit de la même manière que précédemment = QV=4 m3/h
le débit dans la conduite c2 se déduit = QV=6,2m3/h
4) Inversion du sens de rotation
lors de l'inversion du sens de rotation le triangle des vitesses devient :

( ) Q [Pa]
u

2 2
2 i  
h u v
2 r b tg
2 2 2

 

×
×p× × × b
= r -
Soit:
hi = 121,15 + 1,15 ×QV
H A Q B Q C v
2
v D = × + × + avec A=1,1 ; B=0,5 et C=1,6
2 2
hn = hi - DH = 121,15 + 1,15 × QV - 1,1 ×QV - ×0,5 ×QV - 1,6 = 119,55 + 0,65 ×QV - 1,1 ×QV
Qv hn
0 119,55
3 111,6
6 84
10 16
Sur le graphique on déduit un débit d’extraction d’environ 10,2 m3/h
le débit dans la conduite C1 est d’environ 3,8 m3/h est donc le débit dans la conduite C2=10,2-3,8=6,4
m3/h
Puissance électrique consommée :
Cas inversion de vitesse
= ×
×
Pn h Q 9,8 10,2
n V
h h
h
Pe
h
h
=
h
=
QV=10,2 m3/h
h = = + × - × =0,075
V
Pe=1333 W
2
V V
n
h
h 121,15 0,96 Q
i
119,55 0,46 Q 1,1 Q
h
+ ×
Cas réduction de vitesse
= ×
Pn h Q
9,8 10,25
= n V
= ×
h h
h
Pe
h
h
h
Le rendement hydraulique à 10,25 m3/h pour la
vitesse réduite à 600T/min est le même que le
rendement pour la vitesse 1200 T/min à 20,5 m3/h
(point en similitude)
- × - ×
h = = =0,37
V
Pe=267,6 W
2
V V
n
h
h 121,15 1,15 Q
i
114,15 2,15 Q 0,08 Q
h
- ×

27. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
On peu aussi déterminer les courbes hi= f(QV) et
hn=f(QV) pour la vitesse de rotation 600 T/min. On
effectue un changement de variable :
h h
i i
Q Q
Pa
35



600
1200
= × 




= ×
600
1200
600 1200
2
600 1200
V V


 × - × 
 ® =
600
600
h Q
= - ×
i V
h Q
i V

 

 





30 29 0 575
1200
12115 115
1200
2
, ,
, ,
on procède de même pour hn
2
hn = 28,5 - 1,075 ×QV - 0,08 × QV
= ×
×
Pn h Q 9,8 10,2
n V
h h
h
Pe
h
h
=
h
=
0 37
- × - ×
, , ,
28 54 1075 0 08
V V
h
h 30 375 0 575
Q
2
,
, ,
=
- ×
n
h = =
V
i
Q Q
h
Pe=267,6 W
La solution d'inversion de vitesse n'est absolument pas rentable énergétiquement
150
145
140
135
130
125
120
115
110
105
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
m3/h
EXERCICE 2 : Circuit de chauffage
1) Déterminer la valeur du coefficient de pertes de charge singulière du radiateur
Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
On donne :
le diamètre de conduite du réseau f = 25 mm
le coefficient de perte de charge régulière des conduites l = 0,02
le coefficient de pertes de charge singulière de la chaudière : x chaud = 40
le coefficient de perte de charge des coudes : x coude = 3
la pression imposé dans la conduite au niveau du vase d'expansion est de 2 bars effectifs.
On a un débit égal à 0,6 l/s dans le réseau. la perte de charge totale du réseau est donc égale à la
hauteur nette de la pompe pour ce débit donc :
H hn 13 9 0 6 9 76 [m]
2 D = = - ´ , = ,
(attention dans le calcul de la pompe la formule utilise comme unité de débit des l/s et pas des m3/s)
on détaille ensuite les pertes de charge :
D = = x + l ×
H
36
[ ]


p ×
8 1
,
9 76
2

QV m



L
D D g
48
8
1
( ) ( 0 6 10 ) 37 63
25 10
( ) 9 81
25 10

9 76 4 3 40 0 02
2
3
4
2 3
3
2 4
, ,
,
, ,
× × × ⇒ z »
  

  

p × ×

× 

×
= z + × + + ×
×  

 

× 

-
- -
Σ
radiateur radiateur
H
(attention de bien prendre le débit en m3/s dans le calcul précédant car il faut prendre les unités SI pour être homogène)
2) la pression de vapeur saturante de l’eau (en pascal) est une fonction de la température (°C)
s’écrivant :
Pvs = 26 T² -2195T + 58000
Le NPSH requis à l'entrée de la pompe est de 2 m de colonne d'eau. Déterminer la température
de l’eau à l’entrée de la pompe à partir de laquelle on a cavitation.
Il faut calculer le NPSH disponible à l'entrée de la pompe :
= - le problème est donc de déterminer la pression P1. En appelant PA la
g
v
P pvs
g
NPSHdispo
2
2
1 1 +
r ×
pression au niveau du vase d'expansion on a :
A A z H
2 2 + + - D -
1
2
1
2
1 1
r ×
+ + =
A A
r × g
v
g
P
z
g
v
g
P
Q


p ×
8 1

-
D D g
L


- Σ
H A
( ) m
( ) ( ) V
A
A

, , × × × =
0 6 10 8 1
1
9 81
8
25 10
28
25 10
37 63 2 3 40 0 02
2
3
4
2 3

1 3
2
2 4
1
1
, ,
,
  

  

p × ×
× 

×
D = + × + + ×
×  
 
× 
 
D = x + l ×
-
- - -

28. Daniel BOUGEARD – Ecole des Mines de Douai
 D = l ×
P 5
37
(z z ) H m
g
P
2 10
A A 6 8 1 6 29
1000 9 81
2 10
1000 9 81
5
1 1
5
1 , ,
, ,
- - =
×
+ - - D = ×
×
= ×
r × -
on a apparition de la cavitation lorsque le NPSH disponible est égal au NPSH requis donc :
P v
2
⇒ + = r× ×
26 T² - 2195 T 58000 g 4,36
T 76 C
Q
8
D g
6,29 2
g
P
2
2g
g
P
g
2 4 v
VS
2
1 VS 1
= °
×
p ×
= - +
r
+ = ⇒
r
-
r
3) On change la position du vase d'expansion en le plaçant au repère (a). Sachant que la
température de l'eau en sortie chaudière est limitée a 95 °C y a t-il cavitation?
Il faut calculer le NPSH disponible à l'entrée de la pompe :
= - le problème est donc de déterminer la pression P1. En appelant PA la
g
v
P pvs
g
NPSHdispo
2
2
1 1 +
r ×
pression au niveau du vase d'expansion on a :
A A z H
2 2 + + - D -
1
2
1
2
1 1
r ×
+ + =
A A
r × g
v
g
P
z
g
v
g
P
1
2


p ×
2 4 V


p × ×
8
1
0,6 10 0,061m
( ) 9,81
() 25 10
1
-
A 1

25 10
L
-
A 1

H 0,02
Q
g
8
D
D
H
3 2

A 1 3 2 3 4
= × × ×  

 

× 

×
D = ×
× 

× 

-
- - -
2 10
( ) 0,061 20,32m
1000 9,81
z z H
2 10
1000 9,81
g
A 1
A 1
14243
0
5
1 - =
×
+ - - D = ×
×
= ×
r × -
=
Pour qu’il n’y ait pas cavitation il faut que le NPSH disponible soit supérieur au NPSH requis donc :
( )
+ ⇒ - × +
P v
2
11,83 2
Q 2
8
D g
26 95 ² - 2195 95 58000
g
2 20,32
2g
g
P
g
2 4 v
2
1 VS 1
⇒
×
p ×
+
r
r
-
r
Il n’y a pas cavitation