Correcteur PI

1. MOTEUR A COURANT CONTINU ASSERVI AVEC
UN REGULATEUR PROPORTIONNEL-INTEGRAL PI
Présenté par : - RAJAONISAONA Manoa Tsiky Fanantenana
-RAMANDRANTOMANANA Miadanirina Lioka

2. CHAPITRE I. COMMANDE PROPORTIONNEL-INTEGRAL
CHAPITRE II. MODELISATION DU MOTEUR A COURANT CONTINU
CHAPITRE III. SIMULATION SOUS MATLAB/SIMULINK

3. Problématique et Objectif :
Problématique :
La tension nominale pour le fonctionnement du moteur à courant continu donnée par le
constructeur est de 220 volts pour obtenir une vitesse de sortie de 1500 tr/min, or on veut obtenir
la même vitesse de sortie pour une variation du tension à 90 volts
Objectif :
L’objectif de ce projet est de mettre en place la régulation d’un moteur à courant continu de telle
façon que, avec la tension 90 volts appliquée sur l’arbre du moteur, la vitesse de rotation reste
constante à 1500 tr/min. La modélisation de la commande et du système (moteur MCC) est
programmée sous l’environnement MATLAB/SIMULINK.

4. CHAPITRE I. COMMANDE PROPORTIONNEL-INTEGRAL
Les régulateurs PI sont probablement les plus largement utilisés dans le contrôle industriel.
Le régulateur PI est une simple implémentation de retour d’information. Il a la capacité d'éliminer la
compensation de l'état d'équilibre grâce à l'action intégrale.

5. Principe du correcteur proportionnel-Intégral PI
Le correcteur de type PI est une régulation de type P auquel on a ajouté un terme intégral,
Schéma bloc d’un correcteur PI :
Sa fonction de transfère est :
𝐶(𝑝) = 𝐾𝑝 +
𝐾𝑖
𝑝
= 𝐾𝑝 +
1
𝑇𝑖𝑝
=
𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑖𝑝)
𝑇𝑖𝑝
Il se comporte comme un correcteur intégral pour les basses fréquences et comme un
correcteur proportionnel pour les hautes fréquences. Bien réglé, il présente les avantages 2
correcteurs sans leurs inconvénients.

6. Diagramme de Bode du correcteur proportionnel-Intégral PI :
Particularités des diagrammes de BODE d’un correcteur
proportionnel intégral :
Ce correcteur possède deux paramètres de réglage :
 𝐾𝑝 qui n’agit que sur le gain, la courbe de gain est
translatée verticalement ;
 𝐾𝑖 𝑜𝑢 𝑇𝑖 qui agit principalement sur la phase.
Ce correcteur se comporte donc comme :
 un correcteur intégral pour les basses
pulsations,
 un correcteur proportionnel pour les hautes
pulsations.

7. Effets du correcteur proportionnel-Intégral PI
• Stabilité :
En termes de stabilité, le résultat obtenu est meilleur qu’avec le correcteur intégral pur.
• Rapidité :
Ce correcteur tend à diminuer la rapidité. Contrairement au correcteur intégral pur, l’action
intégrale est limitée aux basses fréquences, donc le ralentissement du système est limité. Une
augmentation de K augmente la rapidité mais diminue la stabilité.
• Précision :
Comme pour la correction intégrale, la précision est améliorée.

8. Résumé sur l’action des paramètres (coefficients)
Coefficients Temps de
montée
Temps de
stabilisation
Dépassement Erreur Statique
𝐾𝑝 Diminue Augmente Augmente Diminue
𝐾𝑖 Diminue Augmente Augmente Elimine

9. CHAPITRE II. MODELISATION DU MCC
Description d’un moteur à courant continu
Il s'agit d'un convertisseur électromécanique,
d’où l'énergie électrique est transformée en
énergie mécanique.
Un moteur électrique à courant continu est
constitué :
 Des balais assurant les contacts électriques
avec le rotor.
 D'un stator qui est à l'origine de la circulation
d'un flux magnétique longitudinal.
 D'un rotor bobiné relié à un collecteur rotatif
qui à pour mission de faire e circuler un flux
magnétique transversal en quadrature avec le
flux statorique.

10. Modélisation d’un moteur à courant continu
Un moteur électrique à courant continu est régit par
les équations physiques découlant de ses
caractéristiques électriques, mécaniques et
magnétiques. D'après la loi de Newton, combiné à des
lois de Kirchhoff, On peut écrire les équations
différentielles de premiers ordres suivantes :
lois de Kirchhoff :
𝑢 𝑡 = 𝑅𝑖 𝑡 + 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑒(𝑡)
𝑒 𝑡 = 𝐾𝑒𝛺(𝑡)
D’ après le principe fondamental de la
dynamique/deuxième loi de Newton on a :
𝑇𝑖 − 𝑇𝑟 = 𝐽𝑝𝛺(𝑝)
𝑇𝑖 = 𝐾𝑐𝑖 𝑡 − 𝑇𝑝
𝑇𝑟 = 𝑓𝛺(𝑡)

11. • 𝑈(𝑡) : Tension appliquée au moteur
• 𝑖(𝑡) : Intensité traversant le moteur
• 𝑇𝑖 : Couple moteur généré
• 𝑓 : Coefficient de frottement visqueux
• 𝐾𝑐 : Constante de couple
• 𝐸 𝑡 : Force contre électromotrice
• 𝛺(𝑡) : Vitesse de rotation du rotor
• 𝑇𝑟 : Couple résistant
• 𝐽 : Moment d’inertie de l’axe du rotor
• 𝑇𝑝 : Couple de pertes
Les valeurs numériques du MCC choisi données par le
constructeur :
Tension nominale U=220 v (continue)
Couple résistant (𝑇𝑟) 𝑇𝑟=10N.m
Résistance de l’induit R=0.5Ω
La constante de flux du moteur K= 0.7 rad/s
Inductance L=0.001 H
Moment d’inertie rapporté au rotor J=0.5 kg.𝑚2
Coefficient de frottement visqueux F=0.02 N.m.s

12. La fonction de transfert du moteur
On passe en Laplace :
𝑈 𝑝 = 𝑅. 𝐼 𝑝 + 𝐿. 𝐼 𝑝 + 𝐸(𝑝)
𝐸 𝑝 = 𝐾. 𝛺(𝑝)
𝑇𝑖 − 𝑇𝑟 = 𝐽. 𝑝. 𝛺(𝑝)
En injectant 𝐸 𝑝 dans 𝑈 𝑝 , on obtient :
𝑈 𝑝 = 𝑅. 𝐼 𝑝 + 𝐿. 𝐼 𝑝 + 𝐾. 𝛺(𝑝)
En modifiant 𝐽. 𝑝. 𝛺(𝑝)
on a :
𝐾. 𝐼 𝑝 − 𝑇𝑝 − 𝑓. 𝛺(𝑝) = 𝐽. 𝑝. 𝛺(𝑝)

13. On en déduit l’expression de 𝛺(𝑝)
𝛺 𝑝 =
𝐾. 𝐼 𝑝 − 𝑇𝑝
𝑓 + 𝐽. 𝑝
On peut en sortir l’expression de 𝐼 𝑝 :
𝐼 𝑝 =
𝑓 + 𝐽. 𝑝
𝐾
(𝛺 𝑝 +
𝑇𝑝
𝑓 + 𝐽. 𝑝
)
On l’injecte à présent dans 𝑈 𝑝 :
𝑈 𝑝 = 𝛺 𝑝
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . 𝑓 + 𝐽. 𝑝
𝐾
+ 𝐾𝑒 +
𝑅 + 𝐿. 𝑝
𝑓 + 𝐽. 𝑝
𝑇𝑝

14. On suppose que le moment du couple de pertes (qui est vu comme une perturbation) est
négligeable devant le moment du couple électromagnétique (on peut alors prend Tp nul pour
simplifier le système).
On a donc :
𝑈 𝑝 = 𝛺 𝑝
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . 𝑓 + 𝐽. 𝑝
𝐾
+ 𝐾
La fonction de transfert cherchée 𝐻 𝑝 est entre la tension entrant dans le moteur U(p) et la vitesse
de sortie 𝛺 𝑝 :
𝐻 𝑝 =
𝛺 𝑝
𝑈 𝑝
=
𝐾
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . 𝑓 + 𝐽. 𝑝 + 𝐾2

15. 𝐻 𝑝 =
𝛺 𝑝
𝑈 𝑝
=
𝐾
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . 𝑓 + 𝐽. 𝑝 + 𝐾2
𝐻 𝑝 =
𝛺 𝑝
𝑈 𝑝
=
(
𝐾
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . (𝑓 + 𝐽. 𝑝)
)
(
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . 𝑓 + 𝐽. 𝑝
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . (𝑓 + 𝐽. 𝑝)
) + (
𝐾2
𝑅 + 𝐿. 𝑝 . (𝑓 + 𝐽. 𝑝)
)
𝐻 𝑝 =
𝛺 𝑝
𝑈 𝑝
=
𝐾
1
𝑅 + 𝐿. 𝑝
.
1
𝑓 + 𝐽. 𝑝
1 +
1
𝑅 + 𝐿. 𝑝
. (
1
𝑓 + 𝐽. 𝑝
). 𝐾2
On sait que:
𝐹𝑇𝐵𝐹 = 𝐻 𝑝 =
𝐺(𝑝)
1 + 𝐺 𝑝 𝑅(𝑝)
Avec 𝐺 𝑝 = 𝐾
1
𝑅+𝐿.𝑝
.
1
𝑓+𝐽.𝑝
et 𝑅 𝑝 = 𝐾

16. Le schéma en bloc du moteur MCC
On peut établir le modèle mathématique de la réponse en vitesse du moteur électrique qui est
donné par la figure suivante :
Schéma bloc du Modèle de moteur électrique en vitesse

17. La réponse en vitesse de la MCC sans régulation pour U=90 v sous
matlab/simulink

18. La commande PI en régulation de vitesse
La commande proportionnel-intégral (PI) est insérée dans la chaine directe de l’asservissement, en
série avec le processus. Ce régulateur élabore à partir du signal d’erreur E(t) une commande U(t) en
fonction de deux actions proportionnelle, intégrale.

19. Dans les modélisations qui suivent, posons comme références : U=90 volts qui correspond à la
tension d’alimentation et Ω=157.1 rad/s =1500 tr/min pour la vitesse de rotation.
Dans la figure suivante, il sera présenté le graphe d’une régulation en vitesse pour les différentes
valeurs du gain « K » :
Le terme intégral a bien fonctionné et que
l'erreur statique est nulle. On constate aussi que
plus le gain « Kp » est grand, plus le système ne
converge vite. En revanche, plus « Kp» est
grand, plus le système oscille et plus le
dépassement est grand.

20. Effets du correcteur proportionnel-Intégral
Diminution du temps de montée.
Elimination de l’erreur statique.
Augmentation du temps de stabilisation.
Augmentation du dépassement.

21. CHAPITRE III. SIMULATION SOUS MATLAB/SIMULINK
Elaboration du modèle
• Les afficheurs
Ils serrent à afficher les valeurs des signales (tension, vitesse, courant ... etc).
• Les convertisseurs

22. • Le tachymètre
On mesure la tension de sortie à l’aide d’une génératrice tachymétrique qui fournit une tension
proportionnelle à la vitesse de rotation du moteur, avec un gain de 0.06 V/tr/min, cette tension est
soustraite à la nouvelle valeur de consigne afin d’établir la tension d’erreur E.

23. Modèle sans asservissement (sans correcteur PI) et La réponse en vitesse de la Machine à courant
continu pour une tension U=90 volts
La figure suivant représente Modèle en vitesse sans asservissement de moteur électrique sous
Matlab/Simulink et la réponse en vitesse pour U=90 v :

24. La réponse en vitesse de la MCC sans régulation pour U=90 v

25. Modélisation sous Matlab de la réponse de vitesse pour différents tensions
Dans ce cas , la sortie n’atteint pas la
valeur désirée même ci on varie la
tension.

26. Modèle en régulation (avec correcteur PI) et La réponse vitesse de la Machine à courant continu
pour une tension U=90 volts
Pour régler ce problème, nous proposons le Modèle de régulation de vitesse de la machine à
courant continu de moteur électrique sous Matlab/Simulink (simulation avec régulation vitesse)
pour Kp2=0.1

27. La réponse en vitesse de la MCC avec correction d’erreur pour U=90 v
Avec un correcteur de vitesse PI,
l’objectif de la régulation est atteint.
On voit que la vitesse de sortie (vitesse
réelle) et la vitesse de référence sont
identiques (1500 tr/min). Les tensions
référence/sortie sont aussi identiques
(90 v). La figure représente la réponse
en vitesse de la MCC avec correction
d’erreur pour U=90 v

28. Choix de valeur de KP
Nous allons choisit une valeur
optimale du Kp2 ; pour cela nous
choisissons la valeur Kp2=0.5 car
elle permet d’atteindre une
réponse adéquate.

29. Validation du cahier de charge
A l’aide des correcteurs PI nous avons satisfait
les besoin de cahier des charges celui-ci étant
exprimé dans la figure.

30. CONCLUSION
Les deux actions du régulateur PI permettent de commander le moteur électrique à courant
continu, tout en garantissant une annulation de l’erreur permanente de la sortie régulée. Le
correcteur PI réalise une action intégrale (augmentation du gain en basses fréquences) et réalise
aussi une action proportionnelle (augmentation de rapidité).