cours statique des fluides

1. Année universitaire: 2022- 2023
M.T.ATTOUCHI
1
Mécanique des fluides Avancée
Ecole Nationale Polytechnique
Départements : MRIE/Génie des Matériaux

2. 2
Chapitre II-
Statique des fluides

3. I- Introduction:
3
La statique des fluides est une science permettant l’étude
des conditions d’équilibre des fluides au repos, ou en
équilibre relatif.
Il n’y a pas de contraintes dues aux frottements entre
les particules. Les forces qui entre en jeu sont
uniquement les forces de surface dues à la pression
L’étude des propriétés des fluides au repos constitue la
statique des fluides.
On se réfère à des situations où les fluides ne sont pas en
mouvement par rapport à un référentiel lié à leur
contenant.

4. Equation fondamentale de la statique
des fluides parfaits
4
Soit un fluide soumis à l’action du champ de pesanteur,
si le système est au repos, les forces agissant sur le
volume du contrôle sont:
Les forces de pression;
Les forces de volume;
- On distingue les forces de surface dues à la pression:
La force de poussée (hydrostatique) sur les parois.
La force de poussée d’Archimède.
L’équilibre relatif des particules fluides.

5. Pression en un point d’un fluide:
5
La pression est une grandeur scalaire, qui est définie comme une force
par unité de surface qui s’exerce perpendiculairement à un élément
de surface ( )
lim
→
La force de pression s’écrit:
C’est l’intensité de la composante normale de la force qu’exerce le
fluide sur l’unité de surface.
Loi de Pascal: La pression est une quantité scalaire indépendante de
l’orientation de la surface.

6. Pression en un point d’un fluide:
6
Ou par l’expression suivante:
Pour les fluides compressibles, la pression est liée à la
masse volumique et à la température par une équation
d'état.
dA

7. Dispositifs de mesure de la pression:
7
Le baromètre mesure la pression atmosphérique:
Le manomètre mesure la différence
de pression.(Pression relative)
Pour augmenter la précision des
manomètres, on utilise un manomètre
incliné, qui permet une plage de lecture
plus large qu'un manomètre standard de type U.

8. 8
On considère un élément de volume de forme parallélépipédique, de
volume dV=dx.dy.dz, dans un repère cartésien:
Les forces qui s’appliquent sur
cet élément de fluide sont:
Les forces de volume (poids)
Les forces de surface
(pression):
II- 1- Equation d’Euler:

9. Equation Fondamentale de la Statique
9
L’élément fluide étant en équilibre, sous l’action des forces surfaciques ( ) et volumiques ( ) :
+ 0
Les forces de volume :
Les forces de surface (pression) :
La résultante suivante ! est:
" ! # $ ! + ! # $
La résultante suivante # est:
% # ! $ # + # ! $
La résultante suivante z est:
& $ ! # $ + $ ! #

10. 10
En choisissant le centre d’inertie du parallélépipède comme origine des axes .
Soit P la pression à l’origine.
En projetant la condition d’équilibre sur les trois axes, on obtient alors les
équations de la statique des fluides, représentées sous leurs formes vectorielles
par l’équation d’Euler :
'
(
)
*
; représente les accélérations, cas particulier:
0
0
L’équation donnée par la relation ci- dessus est appelée : Equation fondamentale
de la statique des fluides.
L’intégration de cette relation, nécessite des connaissances sur :
, et
II- 1- Equation d’Euler ( suite)

11. Equation d’Euler ( suite):
11
• L’équation d’Euler peut être intégrée pour trouver le champ
de pression P(x,y,z) dans un fluide au repos
• La condition aux limites : P = Patm sur la surface de contact
avec l’air.
Les surfaces isobares P(x,y,z) = Cte sont perpendiculaires au
vecteur gravité g
• La pression augmente quand on se dirige dans le sens de g
• La pression diminue quand on se dirige en sens inverse de g.
(mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion).

12. Distribution des forces de pression:
12
Distribution linéaire de la force de pression sur la paroi
verticale d'un fluide au repos, Figure 1.
Forces de pression, s’appliquant sur un élément fluide
rectangulaire, Figure 2.
Figure 1 Figure 2

13. Forces hydrostatiques
13
La résultante des forces de pression exercé par un fluide sur une
paroi est calculée par l’intégration:
, -
On a besoin de connaitre la forme de la surface en question,
Le point d’application de cette force est calculé par:
./ ∧ , - .1 ∧
.:point appartenant a la surface ;
N:point d’application de la force hydrostatique ,;
M:point d’application de la force élémentaire ;

14. Transmission des pressions dans les liquides
14
Théorème de Pascal
Toute variation de pression en un point d’un liquide au repos est
transmise intégralement à tous les autres points du liquide.
Exemple : Principe d’une presse hydraulique

15. 15
1- Fluide soumis à la seule action de la pesanteur:
En orientant z vers le haut:
En orientant z vers le bas (le plus indiqué dans le calcul de
pression):
II- 2- Applications
dp = - ρ g dz
dp = ρ g dz

16. 16
2- Réservoir en translation horizontale avec une accélération a :
on obtient alors:
2 3 ! $4
Sur la surface libre :
P= Patm soit : dp = 0
On obtient alors une équation linéaire de la surface libre:
II- 2- Applications (suite)
Cte
x
g
a
z +
−
=

17. 17
3-Vase tournant uniformément :
En faisant tourné un vase initialement rempli d’eau à une hauteur h, avec une
vitesse ω.
La surface libre aura une forme d’une paraboloïde:
II- 2- Applications (suite)
gdz
rdr ρ
ρω −
=
dp
2
Cte
g
r
+
=
2
z
2
2
ω

18. III- Force de poussée sur une paroi
18
Force de poussée sur un élément de paroi:
La résultante des forces appliquée sur
un élément de surface dA est:
dF = ρ g h dA

19. Force de poussée d’un fluide sur
une paroi à différentes positions:
19
Force hydrostatique agissant sur la surface supérieure d'une
plaque rectangulaire immergée pour les cas incliné, vertical
et horizontal.

20. 20
III- 2- Force de poussée sur une paroi plane:
5

21. 21
a. Calcul de la force de poussée:
La résultante surA est:
Pour un h = y sin θ, on aura alors:
Tel queYG représente la coordonnée du centre de gravité
∫
∫ =
= ghdA
dF
F ρ
F = ρ .g. yG .sinθ.A

22. 22
b. Calcul du point d’application de la force:
Il représente le point d’application de la résultante des forces de
pression sur la paroi, ce qui se traduit par une distribution
barycentrique des forces élémentaires .
On calcule alors, les coordonnées du centre de poussée dans un
plan:
67
8 ! 8 !# 9
#:9
; 67 6: +
<:=>
?:9
?7
8 # 8 #@ 9
#:9
; ?7 ?: +
<:=
?:9
III-2-Forces hydrostatiques sur une paroi plane (suite):

23. 23
Calcul du point d’application de la force hydrostatique (suite):
On observe que les expressions et représentent le
moment d’inertie et le produit d’inertie respectivement, par rapport à
l’axe ox et au plan xy , dont l’origine des axes est le niveau de la surface
libre.Alors que les moments d’inerties des corps sont calculés par
rapport à leurs centres de gravité.
Ce qui nous amène à faire la translation nécessaire, en appliquant le
théorème d’Hughens, ce qui nous conduit aux expressions suivantes du
centre de poussée.
67 6: +
<:=>
?:9
?7 ?: +
<:=
?:9
dS
y
∫
2
∫xydS

24. Moments d’inertie pour certaines
géométries courantes.
24
Pour certaines géométries courantes:

25. 25
III- 3- Force de poussée sur une surface gauche :
A l’inverse des parois planes, où les forces élémentaires sont
parallèles, les forces élémentaires , varient dans le cas des surfaces
gauches ( curvilignes), en module et en direction, ce qui nécessite des
résultantes indépendantes suivant les trois axes de l’espace.
Z
Z
Y
Y
x
x e
dF
e
dF
e
dF
F
d
r
r
r
r
.
.
. +
+
=

26. 26
Représentation dans l’espace d’une force
élémentaire(Surfaces Submergées curvilignes à 3D)

27. 27
On simplifie la représentation à un plan (x, z).
A
B

28. 28
III- 3- Force de poussée sur une surface gauche
(suite) :
Soit la force élémentaire dF = ρ g h dA, qui se décompose en
deux forces:
CDE dFy =dF cosα
CDE ρ g h dA cosα = ρ g h dSxz
Tel que dSz est une surface élémentaire verticale
CDF dFz = dF sinα =
CDF=ρ g h dA sinα = ρ g h dSxy
Tel que dSx est une surface élémentaire horizontale

29. 29
III- 3- Force de poussée sur une surface gauche (suite) :
On aura alors une résultante des forces élémentaires sur la surface
gauche, en deux composantes:
a. Une force horizontale sur la paroi projetée : Sxz
Et son point d’application est celui de la paroi verticale Sxz
b. Une force verticale sur la paroi projetée : Sxy
Son point d’application est le centre de gravité de la
colonne du liquide
∫ =
= S
h
g
F xz
G/Sy
H ρ
ρ Y
ghdS
S
sur
reposant
liquide
du
colonne
la
de
Poids
Fz =
= ∫ xy
ghdS
ρ

30. 30
IV – Force de pression sur une surface fermée:
Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide
une force (poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est
égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est
donc égal au volume immergé du corps).

31. Théorème d’Archimède:
31
Enoncé: « le corps solide subit une poussée égale et
directement opposée au poids du volume déplacé, cette force
de poussée passe par le centre de gravité du volume déplacé ».
,5A GH I J IK
On distingue trois types de stabilité de l’équilibre:
a. Equilibre indifférent.
b. Equilibre stable.
c. Equilibre instable

32. Théorème d’Archimède: (suit)
32
Equilibre entre :
V
S dS
n
Forces volumiques
∫∫∫
V
P = ρg dV
P
Forces de pression
Fp =
∫∫
S
-p.n dS
Fp
∫∫
S
-p.n dS +∫∫∫
V
ρg dV = 0
Fp+ P = 0

33. Théorème d’Archimède (suite):
33
On peut généraliser le raisonnement au cas où un objet partiellement immergé, On
retiendra :
V
Le corps est pourtant plus dense
ρ
ρ
ρ
ρcorps > ρ
ρ
ρ
ρfluide
Bateau en aluminium
V
Le corps est moins dense
ρ
ρ
ρ
ρfluide> ρ
ρ
ρ
ρcorps
Iceberg
Fp= −
−
−
− ρ
ρ
ρ
ρfluideVimmergé g
Dans ce cas l’équilibre est possible :
Vimmergé
Vimmergé <Vcorps
Vimmergé
maisVcorps <Vimmergé
Pcorps+ Fp = (ρ
ρ
ρ
ρcorpsVcorps−
−
−
−ρ
ρ
ρ
ρfluideVimmergé ) g = 0

34. Types d’équilibre:
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On distingue trois types de stabilité de l’équilibre:
o Equilibre indifférent.
o Equilibre stable.
o Equilibre instable

35. Théorème d’Archimède: (suit)
35
On admettra que le point d’application de la poussée
d'Archimède est le centroïde du volume immergé.
La capacité de flottabilité d’un corps solide est basée sur le
principe d'Archimède.