Analyse de structure i4

Institut de Technologie du Cambodge
Département de Génie Civil
ANALYSEDES
STRUCTURESSTRUCTURES
VONG SENG 2010 ‐ 2011VONG SENG 2010 ‐ 2011
Assistés par KHUYSIEN SOVEARY, LIM SONGLY et KY LENG p ,

1- Calcul des déplacements
Plan du Cours
p
1.1- Méthode d’intégration
1.2- Méthode de moment d’aire
1.3- Méthode de la poutre conjuguée
1 4 Méthode énergétique1.4- Méthode énergétique
1.4.1- Théorème de Clapeyron
1.4.2- Théorème de Castigliano n 2
1.4.3- Intégrales de Mohr
2- Analyse des structures hyperstatiques
2.1- Méthode des forces
2.1.1- Degré d’hyperstaticité2.1.1 Degré d hyperstaticité
2.1.2- Équations de continuités (Muller Bresslau)
2.1.3- Choix d’inconnues d’hyperstaticités
2.1.4- Équations des trois moments
2 1 5 É ti d i t2.1.5- Équations des cinq moments
2.2- Méthode des déplacements
2.2.1- Degré de liberté
2.2.2- Équations d’équilibres
2
q q
2.2.3- Méthode de rotation
2-2.4- Méthode de Cross

3- Calcul des structures par la méthode matricielle
3.1- Structures à noeuds rigides
3.1.1- Raider élémentaire en axes locaux
3.1.2- Raider élémentaire en axes globaux
3.1.3- Assemblage
3.1.4- Conditions aux limites
3.1.5- Méthode de résolution du système linéaire3.1.5 Méthode de résolution du système linéaire
3.1.6- Traitement des résultats
3.2- Structures à noeuds articulés
3.2.1- Raider élémentaire en axes locaux
3 2 2 R id élé t i l b3.2.2- Raider élémentaire en axes globaux
4- Lignes d’influence
(E. Winkler et O. Mohr)
4 1- Définition4.1- Définition
4.2- Utilisation des lignes d’influence
4.3- Détermination des lignes d’influence
4.3.1- Méthode de calcul point par point
4.3.2- Méthode de mise en équation
4.3.3- Méthode de travaux virtuels
4.3.3.1- Structure isostatique
(Poutre sans entretoise et avec entretoise)
3
(Poutre sans entretoise et avec entretoise)
4.3.3.2- Structure hyperstatique
5- Théorie des plaques

1.Calcul1.Calcul des des déplacementsdéplacements
1.1 Méthode de la double d’intégrationg
1.2 Méthode des moments d’aires
1.3 Méthode de la poutre conjuguée
1 4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique
4

Introduction
-Déplacement
Vertical à l’élément étudie (flèche)
Introduction
-Vertical à l élément étudie (flèche)
-Selon l’axe de l’élément étudie
(Raccourcissement allongement)(Raccourcissement, allongement)
-Rotation
Important et utilité des calculs de déplacements
-En vue de limiter les flèches et les rotations à
des valeurs qui soient admissibles pour le bon
fonctionnement de la construction
5
-Il est nécessaires pour la résolution de problème
hyperstatiques

-Nous nous intéresserons principalement aux
déplacement dus au moment de flexion Mz en flexiondéplacement dus au moment de flexion Mz en flexion
plane et accessoirement aux déplacements dus à
l’effort tranchant Ty dans le système isostatiques.l effort tranchant Ty dans le système isostatiques.
6

1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration
z
yy
xzz I
R
E
ydy
R
E
dydCC ∫∑ ∫ =Ω
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−=Ω−==
Ω
...σ
yy ⎠⎝Ω
z
zz
EI
M
R
CM
−
=⇒−=
1
zy EIR
L’équation différentielle de la
déformée est en réalité:
z
z
y EI
M
y
y
R
−
=
+
= 2/32
)'1(
''1
déformée est en réalité:
0)'(: 22
≅=⇒ θθ ypetit
M1
7z
z
y EI
M
R
y
−
==
1
''

Condition aux limites
Limites statiques
Limites cinématiques/géométriquesLimites cinématiques/géométriques
8

Limites de passage
Limites de passage
)()(
)()(
dg
o
d
o
g
xyxy
xMxM =
)(')('
)()(
o
d
o
g
oo
g
xyxy
xyxy
=
=
PxTxT o
d
o
g
=− )()(
9

M−
Exemple1: d’application de la méthode
:0 ax <<
EI
M
y =''
Pbx
M =:0 ax <<
2
Pbxyd
L
M =
,2
L
Pbx
dx
yd
EI −=
3
Pb
b 2
bd
21
3
6
CxC
L
Pbx
EIy ++
−
=
,)( axP
L
Pbx
M −−=:Lxa << )(2
2
axP
L
Pbx
dx
yd
EI −+−=
1043
33
6
)(
6
CxC
axP
L
Pbx
EIy ++
−
+
−
= ( )ste
CCCCC :,,, 4321

:0,0 ==• yx 02 =C
:ax =• 0, 431 == CCC:ax
:0, ==• yLx
)( 22
bL
Pb
CC
0, 431 CCC
:0 ax << )(
6
222
xbL
EIL
Pbx
y −−== δ
)(
6
31 bL
L
CC −==
:Lxa << ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+−−==
6
)(
)(
6
1 3
222
3
axP
xbL
L
Pbx
EI
y δ
11
:
2
L
bax ===
EI
PL
y
48
3
== δ

Exemple 2: d’application de la méthode
x
qLqx
M
2
+−=
22
EI
M
y
−
=''
EI
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= x
qLqx
EI
y
22
1
''
2
⎟
⎞
⎜
⎛
++−= 21
341
CxCx
qL
x
q
y
⎟
⎠
⎜
⎝EI 22
( )ste
CCC :⎟
⎠
⎜
⎝
++ 21
1224
CxCxx
EI
y ( )CCC :, 21
Condition aux limites :0,0 ==• yx 02 =C
3
12
, y
:0, ==• yLx
2
24
3
1
qL
C =

Al
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
+−== x
qL
x
qL
x
q
y
1 3
34
δ
Alors
⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
+ xxx
EI
y
241224
δ
⎞⎛1 3
LL
13
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−==
2446
1
'
3
33 qL
x
qL
x
q
EI
yθ

PLPxM −=
M
EI
M
y
−
=''
⎟
⎞
⎜
⎛ 2
1 x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−= 1
2
1
' CPLx
x
P
EI
y
⎞⎛ 23
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++−= 21
23
26
1
CxC
x
PL
x
P
EI
y ( )ste
CCC :, 21
Condition aux limites 0'00• yyxCondition aux limites 0',0,0 ===• yyx
021 == CC
⎞⎛ 2
Alors
⎞⎛ 23
14
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−== PLx
x
P
EI
y
2
1
'
2
θ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−==
26
1 23
x
PL
x
P
EI
y δ

Remarques
Cette méthode donne la déformée y(x) de la poutre surCette méthode donne la déformée y(x) de la poutre sur
toute sa longueur.
Cas de la flexion pure:
+ M=cste => y’’=cste => y est une parabole
+ 1/R=-M/EI =>y est un cercle
+Valable uniquement si les déplacement sont petites
Grands déplacements
+Le principe de superposition n’est plus valable
15
+Le principe de superposition n est plus valable
+Les sollicitations dépendent de la configuration
déformée

1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’aires
Théorème1: Variation de PenteThéorème1: Variation de Pente
Le changement de pente entre deux points sur la courbe
élastique d'une poutre est égale à l’aire de la diagramme
− M
''
Myd −)'(
q p g g
(-M / EI) entre ces points.
⇒=
EI
y ''
EIdx
y
=
)(
d
M
d
−
θ dx
EI
M
d =θ
∫∫
−DD x
d
M
d
θ
θ ∫∫ =
CC x
dx
EI
d
θ
θ
Dx
M ⎤⎡
16
Cx
CD
EI
M
aire ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−=−θθ
16

Théorème2: Flèche tangentielleThéorème2: Flèche tangentielle
La distance verticale Δ, d'un point D sur la courbe d’élastique
d'une poutre à une tangente de quelque point C, est égale au
moment de la diagramme
(-M / EI) entre C et D
Dsur D.
xx
d
tgdd
D −
Δ
=≅ θθ
θdxxd D )( −=Δ
∫∫ ⎥
⎤
⎢
⎡
Δ
Dx
d
M
d )(∫∫ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−=Δ
Cx
D
DC
dx
EI
xxd )(
Cx
M ⎤⎡
17
Dx
DGDC
EI
M
airex ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−×=Δ

Remarques
di t t i t D t G t l G t l:distance entre point D et G tel que G est le
centre de gravité de la section sous
DGx
Cx
M
⎥
⎤
⎢
⎡
−
.
g
Dx
EI ⎥⎦⎢⎣
CDDC Δ≠Δ.
.Cette méthode ne peuvent être utilisées pour
déterminer la pente ou la déformation en un pointdéterminer la pente ou la déformation en un point
précis au le long du membre.
18

Remarques: Centroïde
Triangle
bx
3
1
=
2
bh
A =
g
Trapèze
)(3
)2(
21
12
hh
hhb
x
+
+
=
2
)( 21 hhb
A
+
=
19
)( 21

Remarques: Centroïde
Demi-segment d’une courbe de ne degré
)1( +
=
nb
x =
bhn
A
g g
)2(2 +n
x
)1( +n
A
Surface sous un arc de parabole
bx
4
3
=
3
bh
A =
20
4 3

Bx
AB
M
aire ⎥
⎤
⎢
⎡
−=−θθ
Ax
AB
EI
aire ⎥⎦⎢⎣
θθ
0=Aθ
⎞⎛
EI
qL
L
EI
qL
B
623
1 32
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=θ
Ax
M
airex ⎥
⎤
⎢
⎡
×Δ
Bx
BGBA
EI
airex ⎥⎦⎢⎣
−×=Δ
43
⎞⎛
21EI
qL
EI
qL
LBA
864
3 43
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=Δ

1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguée
EI
M
dx
yd
−=2
2
M
q
d
d
−=2
2
μ
⇒ y est μ due à la charge
EI
M
q −=
(Poids élastique) sur la poutre fictivedx2
(Poids élastique) sur la poutre fictive
« Poutre conjuguée »
Transformation de la poutre réelle à la
poutre conjuguée:poutre conjuguée:
μ=y
22
τ='y

Théorème1:
La rotation en un point quelconque d’une poutre réelle
sollicitée par un moment fléchissant M est égale à
l’effort tranchant en ce point de la poutre conjuguée
soumise à une charge M/EI.
Théorème2:
La flèche en un point quelconque de la poutre réelleLa flèche en un point quelconque de la poutre réelle
sollicitée par un moment fléchissant M est égale au
moment fléchissant en ce point de la poutre conjuguée
23
moment fléchissant en ce point de la poutre conjuguée
soumise à une charge M/EI.

Correspondances entre poutre réelle et poutre conjuguée
Poutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguéePoutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguée
Appuis
Pente &
Moment
& Effort AppuisAppuis
déflection
& Effort
tranchant
Appuis
0
0'
=
≠
y
y
0
0
=
≠
μ
τ
0'=y 0=τ
24
0=y 0=μ

Correspondances entre poutres réelles et poutres conjuguées
P t é llP t é ll P t j éP t j éPoutres réellesPoutres réelles Poutres conjuguéesPoutres conjuguées
A i
Pente &
Moment
& Eff t A iAppuis
déflection
& Effort
tranchant
Appuis
0
0'
≠
≠
y
y
0
0
≠
≠
μ
τ
'= continuey =τ continu
25
0=y
y
0=μ

Correspondances entre poutre réelle et poutre conjuguée
Poutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguéePoutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguée
Appuis
Pente &
Moment &
Effort AppuisAppuis
déflection
Effort
tranchant
Appuis
i' i
continuey
continuey
=
≠'
continu
continu
=
≠
μ
τ
26

27

E l 1 d’ li ti d l éth dExemple1: d’application de la méthode
PLa
R AA ==τ ( )aL
Pa
R CC 32 +==τ ( )aL
Pa
C +=
2
μ
28
EI
R AA
6
τ ( )aL
EI
R CC 32
6
+τ ( )aL
EI
C +=
3
μ

PLa
y AA ' ==θ ( )aL
Pa
y CC 32' +==θ ( )aL
Pa
yC +=
2
29
EI
y AA
6
θ ( )aL
EI
y CC 32
6
+θ ( )aL
EI
yC +=
3

3030

EI
qL
yR CCC
48
7
'
2
===τ
EI
qL
yCC
384
41 4
==μ
31
EI
qL
yBB
192
7 4
==μ

1.4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique
A. Théorème de Clapeyron
B. Méthode de Castigliano
C I é l d M hC. Intégrale de Mohr
D. Théorème de réciprocité (Betti-Maxwell)D. Théorème de réciprocité (Betti Maxwell)
32

1.4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique
Introduction
L ’ t t t h é ll- Lorsqu’une structure est chargée, elle se
déforme. Pendant le chargement, les points où les
f li é dé l t L tè d fforces appliqués se déplacent. Le système de forces
et de moments appliquées produit un travail externe
t l t t déf é d it t il i tet la structure déformé se produit un travail interne.
- Nous limiterons ici notre études pour le
domaine élastiq edomaine élastique.
33

A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron
Energie de déformation:
f⎡ ⎤
ij
τ
état initial
f état final
i
( )
f
W u da dv
ij ij
v i
τ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ∫ ∫
⎢ ⎥⎣ ⎦
Cas élastique linéaire:
f
a
ijda
ij
i f
f
da
ij ij
i
τ =∫ densité d’energie de déformation
ij f
Loi de Hooke donne:
1f
11
,
2
f
da a
ij ij ij ij
i
τ τ=∫
1
( )
2 v
W u a dv
ij ij
τ= ∫on a donc
34

Energie complémentaire
de contrainte:
ij
τ
état initial
f état final
i
de contrainte:
( )
f
A a d dv
ij ij
i
τ τ
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ∫ ∫
⎢ ⎥⎣ ⎦
d
ij
τ
f
f état final
Cas élastique linéaire:
j j
v i⎢ ⎥⎣ ⎦
a
ij
ij
i
f
da
ij ij
i
τ =∫ densité d’energie
complémentaire de contrainte
iji
complémentaire de contrainte
Loi de Hooke donne:
f
on a donc
1
A( )
2 v
a dv
ij ij
τ τ= ∫
1
,
2
f
a d a
ij ij ij ij
i
τ τ=∫
35

Alors on a
τ
1
W(u)=A( )
2 v
a dv
ij ij
τ τ= ∫
ij
τ
f
état initial
f état final
i
f
( )A τ
( )W
a
iji f
( )W u
Energie total E i lé t iEnergie deEnergie total Energie complémentaire
de contrainte
Energie de
déformation
=-
36

Théorème de Clapeyron
Le travail réel des forces extérieurs est égale à
0
N 1:
l’énergie de déformation élastique
11
W( )
2
P u
j j
Δ =∑
Théorème de Clapeyron
0
2N :
l’énergie complémentaire de contrainte
11
A( )
2
P
j j
τΔ =∑
37

Calcul de en régime élastique linéaire( )A τ
• Contribution de :( )M xContribution de :( )zM x
, x
x x
M M
y y
I E EI
σ
σ ε= = =On a
[ ] 1
( ) ( )( )
2
M M M
A y y dv
I EIv
τ = ∫
[ ]
2
2
2
1
( ) ( )
2
M M
A y d dx
EIl
τ
Ω
= Ω∫ ∫
2
1 M ⎡ ⎤
2
EI est constant [ ]
2
2 2
2
1
( ) ( )
2
M M
A y d dx y d I
EIl
τ
Ω Ω
⎡ ⎤
→ = Ω Ω =∫ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
[ ]
2
1
( )
2
M M
A dx
EIl
τ = ∫On obtient donc:
38

• Contribution de N:
N Nσ
On a , x
x x
N N
E E
σ
σ ε= = =
Ω Ω
[ ] 1
( ) ( )( )
N N N
A d∫
[ ]
[ ]
2
( ) ( )( )
2
1
( ) ( )
N
N
N N
A dv
Ev
N
A d d
τ = ∫
Ω Ω
Ω∫ ∫
[ ]
[ ]
2
2
( ) ( )
2
1
N
N
N
A d dx
El
N
τ
Ω
= Ω∫
Ω
⎡ ⎤
∫
∫
∫ ∫
O bti t d
[ ]
2
1
( ) ( )
2
N N
A d dx d
El
τ
Ω Ω
⎡ ⎤
= Ω Ω = Ω∫ ⎢ ⎥
Ω ⎣ ⎦
∫ ∫
[ ]
2
1N N
∫On obtient donc: [ ] 1
( )
2
N N
A dx
El
τ = ∫
Ω
39

• Contribution de T: On a , xy
xy xy
TS TS
Ib G GIb
τ
τ γ= = =
[ ] 1 1
( )
T
A a dv a a dvτ τ τ τ⎡ ⎤+∫ ∫ ⎢ ⎥
[ ]
[ ]
( )
2 2
1 1 1 1
( )
T
A a dv a a dv
ij ij xy xy yx yx
v v
A dv dv
τ τ τ τ
τ τ γ τ γ τ γ
= = +∫ ∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =∫ ∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥
[ ]
[ ]
2 2
( )
2 2 2 2
1 1
( ) ( )( )
T
A dv dv
xy xy yx yx xy xy
v v
TS TS T S
A d d d d
τ τ γ τ γ τ γ= + =∫ ∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
Ω Ω∫ ∫ ⎢ ⎥∫ ∫
[ ]
2 2
( ) ( )( )
2 2
A d dx d dx
Ib GIb GI bl l
τ
Ω Ω
= Ω = Ω∫ ∫ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
On a
2
1 1 S
dΩ∫
[ ]
2
1T T
∫
On a ' 2 2
1 1 S
d
I bΩ
= Ω
Ω ∫
t l
2
' SΩ Ω Ω
∫
[ ]
'
1
( )
2
T T
A dx
Gl
τ→ = ∫
Ω
telque '
' 2 2
;
S
d
I b
κ
κ Ω
Ω Ω Ω
Ω = = = Ω
Ω ∫
40

• Contribution Total:
Contribution de :( )M x [ ]
2
1
( )
M M
A d∫
, ,M N T
Contribution de :( )zM x [ ]
( )
2
M
A dx
EIl
τ = ∫
Contribution de N: [ ]
2
1
( )
N N
A dxτ = ∫Contribution de N: ( )
2
A dx
El
τ = ∫
Ω
Contribution de T: [ ]
2
'
1
( )
2
T T
A dx
G
τ = ∫
Ω
( )
2 Gl
∫
Ω
On obtient donc Contribution Total:
( ) ( ) ( ) ( )
M N T
A A A Aτ τ τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= + +
2 2 2
1 1 1
( )
M N T
A d d d∫ ∫ ∫ '
1 1 1
( )
2 2 2
M N T
A dx dx dx
EI E Gl l l
τ = + +∫ ∫ ∫
Ω Ω
41

Exemple d’application de théorème de Clapeyron:
On a 1
= ( )P A τΔO a ( )
2
P A
B
τΔ
2 2
1 1
( ) ( 0)
2 2
M N
A dx dx
EI E
τ = + =∫ ∫
Ω
2
'
2 2
1
( 0)
2
EI El l
T
dx
G
Ω
+ ∫
Ω
2 2 2 3
2
1 1 ( )
( )
Gl
M Px P L
A dx dxτ
∫
Ω
−
= = =∫ ∫( )
2 2 6EI EI EIl l
∫ ∫
3
PL
O bti t d
3
PL
B EI
Δ =On obtient donc:
42

B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2
Pour démontrer le théorème de Castigliano No2,
nous considérons un corp élastique qui subit desnous considérons un corp élastique qui subit des
forces extérieurs .
Tout d’abord on applique les forces qui entraine
P
j
PTout d abord on applique les forces qui entraine
le déplacement , si on augment la valeur d’une
force d’une quantité infinitésimale le
P
j
Pδ
j
Δ
Pforce d une quantité infinitésimale , le
déplacement augment . Comme, le travail réel
des forces extérieurs est égale à l’énergie
P
j
δ
j
δΔ
P
j
des forces extérieurs est égale à l énergie
complémentaire de contrainte. On peut écrire
comme suivant:comme suivant:
43

Démonstration du théorème:
P
j j
+ → Δ jP
j j
P P
j j j j
δ δ+ → Δ + Δ P
j j
δ ×Δ
1
1
( )
2
P P
ej j j j j
δτ δ δ δ= ×Δ + × Δ
1
jPδ
1
2
P
j j
δ δ× Δ
jP
1
2
P
j j
δ δ× Δ est négligeable
(différentiel secondre ordre)
j
Δ
j
δΔ
j
Δ
P
ej j j
δτ δ= ×Δ
jj
P
e ej j j
δτ δτ δ→ = = ×Δ∑ ∑
44

jA
jAA δ∂ j
jAA
tg
P P
j j
A
δ
α
δ
∂
+ = =
∂
∂
jAδ
jA
j
A
A P
jP
j
δ δ
∂
→ =
∂ α
j
A∂ Pδ jP
jP
j
A
A A P
jP
j
δ δ δ
∂
→ = =
∂
∑ ∑
jPδ j
45

jA
On a pour quelque soit
A
A A Pδ δ δ
∂⎧
⎪ ∑ ∑
A
e
δ δτ= P
j
δ
Théorème de Castiglianoj
jA A P
jP
j
P
δ δ δ
δτ δτ δ
= =⎪ ∂⎪
⎨
⎪ = = ×Δ
⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑
Théorème de Castigliano
permet de déterminer le
déplacement linéaire, ouP
e ej j j
δτ δτ δ ×Δ
⎪⎩
∑ ∑
A∂
Δ =On obtient donc:
angulaire, en un point
donné d’une structure.
P F
j j
=⎧
⎪
Δ⎨
j P
j
Δ =
∂
On obtient donc:
les déplacements des points d’applications desj
j j
P C
j j
Δ⎨
Δ = Δ⎪⎩
=⎧
⎪
les déplacements des points d applications des
forces F
j
j j
j
j j
θ
θ
⎧
⎪
⎨
Δ =⎪⎩
les déplacements des points d’applications des
forces C
j
46

E l d’ li ti d Thé è dExemple d’application de Théorème de
CastiglianoNo2:
On aOn a
2 2
1 1
( ) ( 0)
2 2
M N
A dx dx
EI E
τ = + =∫ ∫
Ω
2
'
2 2
1
( 0)
2
EI El l
T
dx
G
Ω
+ ∫
Ω2 Gl Ω
10
40 4 (10 4 )
j
M M M
M P P
= +
40 4 (10 4 )
40 10 (4 )
j j
j
M P P x
M x x P
= − − + +
= − + − −
2( 40 10 (4 ) )( 4)1 x x P xA +∂ 2( 40 10 (4 ) )( 4)1
2
jx x P xA
dx
j P EIlj
− + − − −∂
Δ = = ∫
∂ 47

Exemple d’application de Théorème de
CastiglianoNo2:
A∂
Δ =
4 2
10( 4)
0
j P
j
x
P d
Δ
∂
−
Δ ∫0
( )
0P dx
j j EI
= → Δ = ∫
O bti t d
640
ΔOn obtient donc: 3B EI
Δ =
48

C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr
On applique des forces extérieurs Q qui provoque
des sollicitations M N T sur un corp élastiquedes sollicitations M,N,T sur un corp élastique.
Ensuite on supprime les forces réels extérieurs qui
agissent sur le corp et on place une force virtuelleagissent sur le corp et on place une force virtuelle
unitaire au point (qu’on veut chercher le
déplacement réel) suivant la direction cherchée Ladéplacement réel) suivant la direction cherchée. La
force virtuelle unitaire provoque des sollicitations
M’ N’ T’M , N , T .
49

C t ib ti d M N T
Démonstration d’intégrale de Mohr:
Contribution de M,N,T:
Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→
= M'(x) N'(x) T'(x)P P P P P→
Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→
Pj=1 unitaire M'(x),N'(x),T'(x)→
= M(x), N(x), T (x)P P P P Pj j j j j→
Q(force extérieur)+ ( 0)P Pj j =
Q+ ( 0) M(x)+ M'(x),N(x)+ N'(x),T(x)+ T'(x)P P P P Pj j j j j= →
j j
50

2 2 2
( M') ( N') ( T')M P N P T P+ + +
Démonstration d’intégrale de Mohr:
( M) ( N) ( T )
1 1 1
2 2 2 '
M P N P T P
j j j
A dx dx dx
EI E Gl l l
+ + +
= + +∫ ∫ ∫
Ω Ω
A
j P
j
∂
Δ =
∂
0
2M'( M') 2 '( N') 2 '( T')
1 1 1
jP
j
M P N N P T T P
j j j
dx dx dx
=
+ + +
Δ = + +∫ ∫ ∫
0
2 2 2 '
jP
dx dx dx
j EI E Gl l l =
Δ + +∫ ∫ ∫
Ω Ω
b i d
M' N' T'M N T
On obtient donc:
M N T
'
M N T
dx dx dx
j EI E Gl l l
Δ = + +∫ ∫ ∫
Ω Ω
51

+ Déplacement du aux efforts thermiques:
• Variation Température:p
t l ffi i t d dil ti
, x
x x
t
N N
E E
ε α
σ
σ ε
= Δ
= = =
Ω Ω
telque α= coefficient de dilation
N'
E E
N
dx
El
Ω Ω
Δ = ∫
Ω
Analogie N:
l
( )
N't
T dx
l
αΔ
Δ = Δ∫ telque N’ même qu’avant52

+ Déplacement du aux efforts thermiques:
• Gradient thermique:q
t l ffi i t d dil tiTΔ
telque α= coefficient de dilation
x
T
y
h
M M
y y
ε α
σ
σ ε
Δ
=
= = =,
M'
x xy y
I E EI
M
dx
EI
σ ε
Δ = ∫
TΔ
Analogie M: telque M’ même qu’avant
EIl ( )
M'
T
h
T
dx
hl
α
Δ
Δ
Δ = ∫
53

+ Remarque: Signe
0TΔ⎧ f Allongement
1
2
T
t T
Δ⎧
Δ − = Δ⎪⎪
⎨0
0
0
T
T
T
Δ⎧
⎪Δ⎪
⎪Δ
⎨
f
p
f
Allongement
Raccourcissement
Fib i fé i t d
2
2
T
t T
T T
⎨
Δ⎪Δ + = Δ
⎪⎩
Δ + Δ0
0
h
T
h
⎨
⎪
⎪Δ
⎪
⎩
f
p
Fibre inférieur tendue
Fibre inférieur comprimée
1 2
2 1
2
T T
t
T T T
Δ + Δ
Δ =
Δ = Δ − Δ
h
⎪
⎩
Fibre inférieur comprimée
2 1T TT
h h
Δ − ΔΔ
=
54

Intégrale de Mohr en forme générale:
M' N' T'M N T TΔM' N' T'
N' M'
'
M N T T
dx dx dx T dx dx
j EI E G hl l l l l
α α
Δ
Δ = + + + Δ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ω Ω
Étape de calcul:
Q(f té i ) M( ) N( ) T( )Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→
Force unitaire → M'(x) N'(x) T'(x)→j: selon laForce unitaire → M(x),N(x),T (x)→j: selon la
direction cherché
M' N' T'M N T TΔM' N' T'
N' M'
'
M N T T
dx dx dx T dx dx
j EI E G hl l l l l
α α
Δ
→ Δ = + + + Δ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ω Ω
55

Exemple d’application d’intégrale de Mohr:
56

Exemple d’application d’intégrale de Mohr
On a
M' N' T'
( 0) ( 0)
'
M N T
dx dx dx
B EI E Gl l l
Δ = + = +∫ ∫ ∫
Ω Ω
'
2 2 3
,
( 2 )
M PL Px M L x
P L LX X PL
dx
= − + = − +
− +
Δ = =∫
3
dx
B EI EIl
Δ = =∫
Ou par tableau des intégrales de Mohr, on obtient
1 M' 1M 640
3B EI
Δ =
3
1 M' 1
M'
3
M
dx M
L EIl
=∫
3
M' 1 1
M'= (-PL)(-L)=
3 3 3
M PL
dx M
B EI EIl
Δ = =∫
57

D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité
(Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)
On considère une poutre droite
d ireposant sur deux appui
simples qui est montrée dans
l fi ( ) (b) i è Sla figure(a) et (b) ci-après. Sur
la figure(a), on applique la
f li é i i
figure(a)
forces appliquée en i qui
provoque au point j un
dé l S l
iP
déplacement . Sur la
figure(b), on applique la forces
li é j i
ji
Δ
appliquée en j qui provoque
au point i un déplacement .
jP
ij
Δ
figure(b)
58

j jm m
(1)
i i
i
M m
dx P dx
ji EI EIl l
Δ = =∫ ∫ 59

i im m mj
(2)
j j i
j j
M m m
dx P dx P dx
ij EI EI EIl l l
Δ = = =∫ ∫ ∫
60

(1)
(2)
i
j
Pji
P
ij
Δ
= =
Δ j
ij
Théorème de Bettij iP P
ji ij
Δ = Δ
Si la force unitaire1i jP P= =
Théorème de Maxwellji ij
δ δ=
61

Telque:
iP = forces appliquée en i
jP = forces appliquée en j
ij
Δ = Déplacement en point i dû à la force appliqué en point jjP
ji
Δ =Déplacement en point j dû à la force appliqué en point iiPji
m
i
= moment dû à la force unitaire au point i
m
j
= moment dû à la force unitaire au point j
M Pm
i i i
= moment dû à la force au point iiP
M P m
j j j
= moment dû à la force au point jjPj j j
62

Exemple d’application du théorème de réciprocité
(Betti Maxwell):(Betti-Maxwell):
?
BQ
Δ Déplacement en point B dû à
l f Q li é i C
Q
la force Q appliqué en point C
On a P Q
BQ CP
Δ = Δ
33
5
48
PL
CP EI
Δ =
Déplacement en point C dû à
3
Déplacement en point C dû à
la force P appliqué en point B
On obtient donc:
3
5
48
QL
BQ EI
Δ =
63

CALCUL DES STRUCTURES CALCUL DES STRUCTURES
HYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUES
1. INTRODUCTION
2. METHODE DES FORCES
3. METHODE DES DEPLACEMENTS
64

1. INTRODUCTION
1.1. TYPES DES STRUCTURES
1.2. AVANTAGES ET DESAVANTAGES
1 3 DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)1.3. DEGRE D HYPERSTATICITES (DH)
65

- Structures hypostatiques : NI < NEE
L i blLa structure est instable
- Structures isostatiques : NI = NEE
La str ct re est stableLa structure est stable
- Structures hyperstatiques : NI > NEE
La structure est stableLa structure est stable
Nota : NI : Nombre d’inconnue
NEE : Nombre d’équation d’équilibre
66

Exemple:
StructureStructure
hypostatique
Structure
isostatiqueisostatique
Structure
hyperstatique
67

• Pour une action extérieur donnée, le contrainte
maximum et la déflexion d’une structure
hyperstatique sont, en générale, plus petit que celle
de la structure isostatique.
Exemple:
max
4
PL
M =max
8
PL
M =
3
5 PL
f =
3
5 PL
f =
68
48
f
EI
=
192
f
EI
=

L h i d d
• La structure hyperstatique a une tendance de
redistribuer la charge aux supports dans le cas où il y a
surcharge Dans ce cas la structure maintient sasurcharge. Dans ce cas la structure maintient sa
stabilité et effondrement(collapse) est prévu. Cette
avantage est particulièrement portant dans le cas où il yg p p y
a du vent ou tremblement du terre.
• Bien qu’il y a des avantages mentionnés ci-dessus ilBien qu il y a des avantages mentionnés ci dessus, il
y a quelques inconvénients à comparer. La prise du
matériaux est plus élevée et il est difficile à construire
la structure hyperstatique par rapport à la structure
isostatique. Il faut faire attention au manque de
d d l h i d
69
concordance de la structure hyperstatique pendant
l’exécution.

1.3. DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)
• En générale :
DH = NI - NEE
• Treillis articulés :
DH = NI - NEE
oùoùoùoù
NI = b (effort normaux) + R (réaction de liaison)
NEE = 2n (nœud dans 2D) ou 3n (nœud dans 3D)NEE = 2n (nœud dans 2D) ou 3n (nœud dans 3D)
70

• Détermination de DH :
1 Méth d d ( t t f é )1. Méthode de coupure : (coupure structure fermée)
Exemple:p
CCCoupuresCoupures
DH (12 3) (11 3) (6 3) 20DH (12 3) (11 3) (6 3) 20
71
DH = (12-3)+(11-3)+(6-3) = 20DH = (12-3)+(11-3)+(6-3) = 20

• Détermination de DH :
2 Méth d d é ilib d d t d élé t2. Méthode des équilibres des nœuds et des éléments
rigide : équation d’équilibre = 3
Nœuds :
g q q
articulé : équation d’équilibre = 2
Poutre : EE = 3
Eléments :
Poutre : EE 3
Bar : EE = 1
72

Exemple:
NI = 3×34+3×2+2×2+1 = 113
Equation d’équilibre des nœuds :
Nœuds rigides : EEN = 14×3 = 42g
Equation d’équilibre des éléments :
Poutres : EEE = 17×3 = 51
73
DH = NI – NEE = 113-(42+51) = 20

• Equation de continuité
Formule de Müller-Breslau
74

Supposer les manques de concordant sont :
1 1 2 2, ........ n nc c cΔ = Δ = Δ =
On a alors :
1 1 1i cΔ = Δ =∑ 11 1 12 2 1 1 1....... n n FR R R cδ δ δ+ + + + Δ =
1 1 1
2 2 2
. . . . . . . . . . . . .
i
i cΔ = Δ =
∑
∑ ⇔
21 1 22 2 2 2 2.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n n FR R R cδ δ δ
δ δ δ
+ + + + Δ =
ni n ncΔ = Δ =∑ 1 1 2 2 .......n n nn n nF nR R R cδ δ δ+ + + + Δ =
R R R cδ δ δ+ + + Δ
Si iF iFδΔ = ⇒
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
.......
.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n n F
n n F
R R R c
R R R c
δ δ δ
δ δ δ
+ + + = − Δ
+ + + = − Δ
7575
1 1 2 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......n n nn n n nFR R R cδ δ δ+ + + = − Δ

Ou
[ ] { } { } { }. FR cδ δ= −{ } { } { }
Avec
[ ] La matrice de flexibilitéδ
{ } d i h i{ }R Le vecteur des inconnues hyperstatiques
{ }c Le vecteur des manques de concordance
{ }F Le vecteur des déplacements dus aux actions extérieuresδ
76

Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante
Exemples d’application de la méthode des forces
• On choisit RB comme inconnue hyperstatique
• Le déplacement vertical en B,
dû à q et RB doit être nul
• On calcule le déplacement par la
méthode des intégrales de Mohrg
77

• Le diagramme du moment
fléchissant isostatique dû à qéc ssa sos a que dû à q
fléchissant isostatiquefléchissant isostatique
dû à 1 en B
78

dû à q :
' 2 4
1 1MM L qL qL
d Lδ
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟∫ 4 2 8
BF
L
q q
dx L
EI EI EI
δ = = × − = −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
dû à RB :
' 3
1
1 1
3 3
B B B B B
L
MM L L
R R dx R L L R
EI EI EI
δ
⎛ ⎞
= = × =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
79

dû à q et RB doit être nul
4 3
1
1 1 3
0
8 3 8
BF B B B B
qL L
R R R qL
EI EI
δ δ+ = − + = ⇒ =
• On peut ensuite déterminer les
éléments de réduction M, N, T
• Le système est 1×hyperstatique
1 équation de déplacement
• Le système est concordant et
EI=cte, le résultat est donc
80
indépendant de EI

• Equation de Müller Breslau• Equation de Müller-Breslau
R R Rδ δ δ δ11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
F
F
R R R
R R R
R R R
δ δ δ δ
δ δ δ δ
δ δ δ δ
+ + = −
+ + = −
+ + = −31 1 32 2 33 3 3FR R Rδ δ δ δ+ + =
• On calcule le déplacement par laOn calcule le déplacement par la
méthode des intégrales de Mohr
81

fléchissant isostatique dû à q
fléchissant isostatique dû à
l f i i i lla force unitaire verticale
fléchissant isostatique dû aufléchissant isostatique dû au
couple unitaire
82
Le diagramme du moment
fléchissant isostatique dû à
la force unitaire horizontale

• Les déplacements
3
2
11
1L L
Lδ
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
11
12 21 12
2 2
3 3
0 , 0
1
EI EI
L L L
L
δ
δ δ δ
δ δ δ
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = =
⎛ ⎞
⎜ ⎟13 31 13
23 32 23
,
2 2 2
0 , 0
L
EI EI EI
L L
δ δ δ
δ δ δ
⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = =
33
2
1 1
1
L L
EI EI
L qL
L
δ
δ
= × =
⎛ ⎞⎛ ⎞
= × − =⎜ ⎟⎜ ⎟
4
qL
−1
4 2
F L
EI
δ = × =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
2
2 3
8
0
1
F
EI
L L L
δ =
⎛ ⎞⎛ ⎞
83
2 3
3
1
.1
3 2 6
F
L qL qL
EI EI
δ
⎛ ⎞⎛ ⎞
= × − = −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

3 2 4 4
1 30
3 2 8 8
L L qL qL
R R
EI EI EI EI
⎛ ⎞
+ + = − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
22 2
2 3 3
0 0 0
0
R
L L qL qL
R R
δ+ + =
⎛ ⎞
+ + = − − =⎜ ⎟1 30
2 6 6
R R
EI EI EI EI
+ + = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
• peut être calculé à partir de l’effort normal22δ peut être calculé à partir de l effort normal22δ
2 0R =
3 2 4
1 3
2 3
3 2 8
L L qL
R R
L L
+ = 1
2
2
qL
R
L
=
84
2 3
1 3
2 6
L qL
R LR+ =
2
3
12
qL
R = −

L tè t 3×h t ti• Le système est 3×hyperstatique
3 équations de déplacement
• Le système est concordant et
EI=cte, le résultat est donc,
indépendant de EI
85

Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante
• Poutre bi encastrée avec rotation d’encastrement• Poutre bi-encastrée avec rotation d encastrement
• Equation de Müller-Breslau
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
R R R c
R R R c
R R R
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
+ + =
+ + =
+ +31 1 32 2 33 3 3R R R cδ δ δ+ + =
• Les manques de concordance c1 , c2 , c3 dépendent du
choix des inconnues hyperstatique et sont compté :choix des inconnues hyperstatique et sont compté :
• depuis la position libre vers la position forcée
• selon la ligne d’action de chaque inconnue hyperstatique
86
• selon la ligne d action de chaque inconnue hyperstatique
• positivement selon le sens positive de l’inconnue hyperstatique

• Les déplacements
3
2
11
12 21 12
1
3 3
0 , 0
L L
L
EI EI
δ
δ δ δ
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = =12 21 12
2 2
13 31 13
0 , 0
1
,
2 2 2
0 0
L L L
L
EI EI EI
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
23 32 23
33
0 , 0
1 1
L L
EI EI
δ δ δ
δ
= = =
= × =
• Les manques de concordance
1 2 3c 0 , c 0 , c γ= = =
87
1 2 3

3 2
1 30 0
3 2
L L
R R
EI EI
+ + =
22 2
2
1 3
0 0 0
0
R
L L
R R
δ
γ
+ + =
+ + =1 30
2
R R
EI EI
γ+ +
• peut être calculé à partir de l’effort normal22δ peut être calculé à partir de l effort normal
2 0R =
22δ
3 2
1 3
2
0
3 2
L L
R R+ = 1 2
6
4
EI
R
L
EI
γ= −
88
2
1 3
2
L
R LR EIγ+ = 3
4EI
R
L
γ=

3 équations de déplacement
• Le système est non concordant ,
le résultat dépend de EI
89

• Remarque (valable uniquement pour ce type de situation) :
90

O h i i R i h i• On choisit RB comme inconnue hyperstatique
1B B FR cδ δ+ =
3
1
6
B
L
EI
δ =
91

2
1
2
Fδ δ= − 2
1
2
F
c δ= −
33
2 1
1
6 2
1 3
B
L
R
EI
EI
δ δ− = −
⎛ ⎞
1 2 3
1 3
2
B
EI
R
L
δ δ
⎛ ⎞
⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
• On peut ensuite déterminer les éléments de réductionOn peut ensuite déterminer les éléments de réduction
M, N, T
92

• Le déplacement de l’appui dû
à l’effet de la manque duà l effet de la manque du
concordance est inclue dans
la partie du déplacement dûp p
à la force extérieure
1 équation de déplacement
• Le système est non concordant,
l é lt t dé d d EI
93
le résultat dépend de EI

Etapes générales de la méthode des forces
1 Dé i l d é d’h i i é d l1. Déterminer le degré d’hyperstaticité de la structure
2. Effectuer un nombre de coupures égale au degré
d’hyperstaticité et définir le choix des inconnues
hyperstatiques
l l l d d3. Calculer les manques de concordance
4. Calculer les déplacements aux coupures dus aux
i h i i é iinconnues hyperstatiques et aux actions extérieures
5. Résoudre les équations de déplacement
94
6. Terminer la résolution du problème : R, M, N, T ….

Formule de trois moments
Formule de trois moments
• Cas des poutres continues
• Définition d’une poutre continue
• poutre rectiligne reposant sur une rangée d’appuis
• soumise à des forces verticales (réparties ou
concentrées) et à des couples
95

Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……
• Calculer ijδ
96

• Diagramme de moment fléchissant dû aux
couples unitaires à l’appui Ak-1 , Ak , Ak+1
• On observe que
0 sauf pour 1 ; ; 1
i jm m
ds j i j i j iδ +∫
97
0 sauf pour 1 ; ; 1ij ds j i j i j i
EI
δ = = = − = = +∫

• Calculer 1 1; ;k k k k k kδ δ δ− +
1
1
k k
k k
m m
ds
EI
δ −
− = ∫
1
1
1k
k
s
m
L
−
−
= −
s
1
k
k
s
m
L −
=
1
1 0
1 1
1
kL
k k
k k
s s ds
L L EI
δ
−
−
− −
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
98
⎝ ⎠

k k
k k
m m
dsδ = ∫k k ds
EI
δ ∫
1
2 2
0 0
1
1
k kL L
k k
k k
s ds s ds
L EI L EI
δ
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫
99
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1
1
k k
k k
m m
ds
EI
δ +
+ = ∫
1k
k
s
m
L
= −
s
1k
k
s
m
L
+ =
1 0
1
kL
k k
k k
s s ds
L L EI
δ +
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
100
⎝ ⎠

• Calculer kFδ
1 2k F k F k F
kF
m m m m m m
ds ds
EI EI EI
δ
⎛ ⎞
= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫
go od
kF k kδ θ θ= +
g
k: la rotation en gauche et articulé à l'appui A ,o
kθ
positive dans le sens inverse des aiguilles d'une montre
k: la rotation en droit et articulé à l'appui A ,od
kθ
101
kpp ,
positive dans le sens des aiguilles d'une montre
k

Formule des trois momentsFormule des trois moments
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2..... .....k k k k k k k kk k k k k k k k kn n k kFM M M M M M M cδ δ δ δ δ δ δ δ− − − − + + + ++ + + + + + + + = −
1 1 1 1k k k kk k k k k k kFM M M cδ δ δ δ− − + +⇔ + + = −
• Donc dans le cas générale la formule de trois moments• Donc dans le cas générale, la formule de trois moments
s’écrit :
1 1
2 2
1 0 0 0
1 1 1
1 1
k k kL L L
k k
k k k k
s s ds s ds s ds
M M
L L EI L EI L EI
− −
−
− − −
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥− + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
( )g
1 0
1
kL
o od
k k k k
k k
s s ds
M c
L L EI
θ θ+
⎣ ⎦
⎛ ⎞
+ − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
102
⎝ ⎠

• Cas EI constant par travée :
( )g1 1
1 1
1 1
2 6 o odk k k k
k k k k k k
k k k k
L L L L
M M M E c
I I I I
θ θ− −
− +
− −
⎛ ⎞
⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
• Manque de concordance ck
1 1k k k k
c
ζ ζ ζ ζ
α α − +− −
= + = +1
1
k k k
k k
c
L L
α α +
−
= + = +
103

• Elément de réduction
• Sur la travée Ak 1Ak on a par superpositionSur la travée Ak-1Ak on a, par superposition
( )1 1F k k k
s
M m M M M= + + −( )1 1
1
F k k k
k
M m M M M
L
− −
−
+ +
P dé i i à• Par dérivation par rapport à s,
on a
( )1
1
k k
F
k
M M
T t
L
−
−
−
= +
104
1k

• Cas des poutres avec un encastrement
C l t ti t ll à l’ t t l t• Comme la rotation est nulle à l’encastrement, la poutre
encastrée est identique à la moitié d’une poutre continue
prolongée par symétrie au-delà de l’encastrementprolongée par symétrie au delà de l encastrement
105
• symétrie totale : forces, géométrie, rigidités, appuis…..

• on tient compt aussi des égalités de moments dues
à la symétrie
' '
2 2 3 3;M M M M= =
( )
' '
' g1 1 1 1
2 6 o odL L L L
M M M E c θ θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦( )2 1 2 1 1 1' '
1 1 1 1
2 6M M M E c
I I I I
θ θ⎡ ⎤+ + + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
1 1 1 1
2 6 2 odL L L L
M M M E c θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤+ + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦
1 1 1 1
2 1 2 1 1
1 1 1 1
2 6 2M M M E c
I I I I
θ⎡ ⎤+ + + = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
3EI1
1 2 1 1
1
3
2 2 odEI
M M c
L
θ⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦
106

• Cas des poutres avec porte-à-faux
( )1 1 2 2
1 2 3 2 2 2
1 1 2 2
2 6 og odL L L L
M M M E c
I I I I
θ θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠1 1 2 2⎝ ⎠
1 est connuM
107

Exemples d’application
( )1 1 2 2
2 6 og odL L L L
M M M E c θ θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤+ + + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦( )1 2 3 2 2 2
1 1 2 2
2 6M M M E c
I I I I
θ θ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
1 3 20 , 0 , c 0M M= = =
3 3
2
20 10 625
24 24 8 6
og qL
EI E I EI
θ
×
= = =
×
3 3
2
20 4 160
24 24 3
od qL
EI EI EI
θ
×
= = =
108
2 90M⇒ = −

T
M
109
M

Exemples d’application
3 6
2 2 od odEI EI
M M c θ θ⎡ ⎤+ = =⎣ ⎦1 2 1 1 1
1 1
2 2M M c
L L
θ θ⎡ ⎤+ = − = −⎣ ⎦
( ) ( )1 1 2 2
1 2 3 2 2 2 2 22 6 6og od og odL L L L
M M M E c E
I I I I
θ θ θ θ
⎛ ⎞
⎡ ⎤+ + + = − + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
( ) ( )1 2 3 2 2 2 2 2
1 1 2 2I I I I
⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠
3 20 2 1 40M = − × × = −
( )
1 2 1
3
2
4
8 24 160 6
od
og od
EI
M M
M M EI
θ
θ θ
+ = −
+ +
110
( )1 2 2 28 24 160 6 g
M M EI θ θ+ = − +

3
160od qL
θ = =2
24 3EI EI
θ = =
3
7 560L3
1
3
7 560
384 3
3 240
od
og
qL
EI EI
qL
θ
θ
= =
2
128
og q
EI EI
θ = =
1 2
1 2
2 140
3 200
M M
M M
+ = −
+ = −
1
2
44
52
M
M
= −
= −
111

T
112
M

MMéthodeéthode des Déplacementsdes Déplacements
1. Introduction
2. Equations d’équilibre
3 Méthodes des rotations (Slope Deflection Method)3. Méthodes des rotations (Slope-Deflection Method)
4. Méthode de Cross
113

1.Introduction1.Introduction
TerminologieTerminologie
C l é iCouples extérieures
Couples d’encastrement
parfait
Couples de blocage
CB ΣCEP CextCB=-ΣCEP-Cext
C l d libé tiCouples de libération
CL=-CB 114

Les cas plus fréquentsLes cas plus fréquents
115

116

2
0 pL
M
10
0 p
M AB −=
24
3 2
0 pL
M AB −=
16
30 pL
M AB −=
16
C
8
0 C
M AB =
117

0 3EI
M
Δ
2
0
L
M AB =
L
E
Ro ΩΔ
=
2
3
L
EI
Ro θ
=
EIθ3
L
EI
M AB
θ30
=
118

Principe généralePrincipe générale
1 Dét i l b d d é d lib té1. Déterminer le nombre de degrés de liberté
2. Introduire des liaisons de blocages supplémentaires pour
empêcher tout mouvement des nœudsempêcher tout mouvement des nœuds
3. Calculer les forces d'encastrement parfait (Ro, Co), établir
les diagrammes Mo, No, To correspondantsg , , p
4. Libérer ces blocages supplémentaires, appliquer les force
de libération, calculer les déplacements des degrés de
liberté en résolvant les équations d’équilibre, établir les
diagrammes M’, N’, T’ correspondants
5 Diagrammes (Mo No To)+ (M’ N’ T’)=(M N T)5. Diagrammes (Mo, No, To)+ (M , N , T )=(M, N, T)
119

Remarque
- Les inconnues fondamentales sont donc des
déplacements: les déplacements correspondant auxdéplacements: les déplacements correspondant aux
degrés de liberté. Les équations à résoudre
expriment l’équilibre des nœudsexpriment l équilibre des nœuds.
- Cette méthode est appliquée aux structuresCette méthode est appliquée aux structures
isostatiques de manière à utiliser le même
procédure de calcul pour tous les problèmesprocédure de calcul pour tous les problèmes.
120

2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibre
Formules générales
⎪
⎧ =+++
⎪
⎧ =++++ nn
o
nn FqkqkqkFqkqkqk ...0... 1121211111212111
Formules générales
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
=+++
⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
=++++ nn
o
nn
FqkqkqkFqkqkqk
...............
...
..................
0... 2222212122222121
⎪⎩ =+++⎪
⎩ =++++ nnnnnn
o
nnnnnn
FqkqkqkFqkqkqk ...0... 22112211
q q q : n composantes de déplacementsq1, q2 ,… qn: n composantes de déplacements,
bloquer (qj=0) sauf un (qi)
Appliquer les forces: k au degré de liberté jAppliquer les forces: kij au degré de liberté j
kii au degré de liberté i
: Force/couple de blocageo
F : Force/couple de blocage,
Fn : Force/couple de libération,
nF
n
o
n FF −= 121

Matriciellement le système s’écrite:Matriciellement, le système s écrite:
Fqkkk n
⎪
⎫
⎪
⎧
⎪
⎫
⎪
⎧
⎥
⎤
⎢
⎡ ... 1111211
[ ]{ } { }FqK
Fqkkk n
=⇔
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
⎢
..................
... 2212221
Fqkkk nnnnnn
⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩
⎥
⎦
⎢
⎣ ...21
[K] : Matrice de rigidité[K] : Matrice de rigidité
{q} : Vecteur des déplacements des degrés{q} : Vecteur des déplacements des degrés
de liberté
{F} : Vecteur des force/couple de libérations122

Exemple1: d’application
mkNp /20=
mL
mkNp
,4
/20
1 =
=
mL
mL
,5
,8
3
2
=
=
mL
m
3
,5
4
3
= 123

2ddilib édd é1 2noeuddurotation:libertédedegré1
124

22
812
2
2
2
1 pLpL
F +−=
125

126

11
48124
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
K oooo
+++=
4321 LLLL
127

FqK =111q111
812
48124 2
2
2
1
1
pLpL
q
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI oooo
+−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++
Application numérique
812
1
4321
q
LLLL ⎟
⎠
⎜
⎝
o
q
EI
3
400
30
163
1 =mL
mkNp
,4
/20
1 =
=
q
4000
330
1 =⇒
L
mL
5
,8
,
2
1
=
oEI
q
163
1
mL
mL
3
,5
4
3
=
=
128

ooo
TNMF ,,: 0
][kNmenMoment
][
][
kNenEffort
kNmenMoment
129

',',': TNMKq
][kNmenMoment
][
][
kNenEffort
kNmenMoment
130

E l 1 d’ li tiExemple1: d’application
TNM ,,
][kNmenMoment
][
][
kNenEffort
kNmenMoment
131

Diagramme Tag a e
][kNenEffort
132

Diagramme Mag a e
][kNmenMoment
133

3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation
3 1 Introduction
Utiliser pour structures hyperstatiques: poutres
continues portiques cadres rigides à barres droites
3.1 Introduction
continues, portiques, cadres rigides à barres droites.
On établit les équations(1) donnant la valeur des M aux
extrémités d’une poutre. Ces équations sont obtenuesp q
par la superposition:
1) M dû aux charges extérieures sur la poutre qu’on) g p q
suppose encastrée aux extrémités
2) M dû aux déplacements réels des nœuds aux
extrémités
On établit un système d’équation (2) où les inconnus
l dé l d d l (2) dsont les déplacements des nœuds. En remplaçant (2) dans
(1), on obtient la valeur M aux extrémités des poutres.134

3 2 Équations de la méthode des rotations
Hypothèses:
L déf i d f i l
3.2 Équations de la méthode des rotations
-Les déformation dues aux forces axiales et aux
efforts tranchants sont négligeables
-La poutre est droite
-EI est constante dans chaque travée
-Le matériau est élastique et obéit à la loi de
H k l i i d i i ’ liHooke, le principe de superposition s’applique
135

3 2 Équations de la méthode des rotations3.2 Équations de la méthode des rotations
Travée AB et sa
déformée due aux
charges et au
déplacements ΔB.p B
BAAB MEPMEP &
'' 6EI BΔ−
2
6
L
EI
MM B
BAAB
Δ
==
L
B
AB
Δ
=ψ
L
EL
LM
EL
LM BAAB
A
63
''''
−=θ
136
63
EL
LM
EL
LM ABBA
B
63
''''
−=θ

3 2 Équations de la méthode des rotations3.2 Équations de la méthode des rotations
MAB & MBA sont donnés par la superposition des 3
termes qui les composent:termes qui les composent:
'''
'''
BABABABA
ABABABAB
MMMEPM
MMMEPM
++=
++=
,
6''
L
EI
MM AB
BAAB
ψ−
==On a:
BABABABA MMMEPM ++
L
Alors:
)2(
2
,)2(
2 ''''
ABBABAAB
L
EI
M
L
EI
M θθθθ +=+=
Alors:
ABABBAAB MEP
L
EI
M +−+= )32(
2
ψθθ
BAABBABA MEP
L
EI
M +−+= )32(
2
ψθθ 137

OOn a:
⎪
⎪
⎧
=
×
−+= 0
12
818
)2(
8
2 2
BAAB
EI
M θθ
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
×
++=
12
818
)2(
8
2 2
BABA
EI
M θθ
⎪
⎪
⎪
⎨
×
−+=
8
660
)2(
6
2
CBBC
EI
M θθ
138⎪
⎪
⎪
⎩
×=
×
++= 240
8
660
)2(
6
2
CBCB
EI
M θθ

119141336258
EIEIEI
CBA
119
,
14.133
,
6.258
=−==⇒ θθθ
kNMkNMM 94940
Alors:
kNmMkNmM
kNmMkNmMM
CDCB
BCBAAB
80,80
,94,94,0
−==
−===
139

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross
4 1 Terminologie
Méthode de Cross = Méthode de relaxation = Méthode de
di t ib ti d t
4.1 Terminologie
redistribution des moments.
Couple d’encastrement parfait : couple exercé0
ABC
par la poutre AB sur le nœud A bloqué en rotation. Ce
couple peut être produit par les action appliquées à la
poutre AB, par le déplacement relatif des extrémités de la
poutre, ou par des efforts initiaux intérieurs.
140

4 1 Terminologie4.1 Terminologie
Couple de blocage : couple qu’il faut appliquer au0
AC
nœud A pour l’empêcher de tourner, c’est-à-dire pour
équilibrer la somme des couples d’encastrement parfait au
d A l i b i l lnœud A, pour les poutres qui y aboutissent et le couple
extérieur éventuellement appliqué à ce nœud.
⎤⎡ ext
A
poutre
o
AiA CCC −⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−= ∑0
141

Couple de libération : couple qu’il faut appliquer
d A é ilib d t ti
AC
au nœud A pour assurer son équilibre de rotation
lorsqu’on supprime son encastrement provisoire.
⎤⎡ ext
A
poutre
o
AiAAA CCCCC −⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=−= ∑00
ou
Couple de reprise : couple repris, au nœud A, par
la poutre AB lorsqu’on applique le couple de libération
r
ABC
AC
Coefficient de reprise:
A
ABμ
AAB
r
AB CC μ−= ∑ −= A
r
Ai CC ∑ = AAAi CCμAABAB μ ∑poutres
AAi ∑poutres
AAAi
∑ =
poutres
Ai 1μ 142

AθCouple transmis : la rotation du nœud A, sous
l’ ff t d l’ li ti d l d libé ti
t
BC
l’effet de l’application du couple de libération ,
transmet aux encastrements B des poutres AB aboutissant
en A des couples (transmis) proportionnels aux couples
AC
t
Cen A des couples (transmis) proportionnels aux couples
de reprise correspondants.
Coefficient de reprise:
t
BC
r
ABC
ρCoefficient de reprise: ABρ
r
ABAB
t
B CC ρ=
Dans tous les cas, les couples considérés sont les
couples appliqués aux nœuds (par le monde extérieur,
par les poutres,…). Il faudra donc se fixer un sens
positif, le sens horlogique. 143

4 2 Détermination de μ et ρ4.2 Détermination de μABet ρAB
Considérons le nœud A où aboutissent les barres AB,
AC Ai ( l d A B C i i id )AC,…Ai (on suppose les nœuds A, B, C,…i rigides).
∑=
poutre
r
AjA CC
poutre
Par définition: A
Ai
AA
r
Ai kC θ)(
= AAB
r
AB CC μ−=
A Ai
k
∑−
−=−=
A
Aj
AA
A
Ai
AA
A
r
Ai
Ai
k
k
C
C
θ
θ
μAlors:
∑
=
t
Aj
AA
Ai
AA
Ai
k
k
μ
R poutre poutre
Remarque:
=Ai
AAk Le coefficient de rigidité liant le couple appliqué
au nœud A par la poutre A-i suite à la rotation
unitaire du nœud A 144

4 2 Détermination de μ et ρ4.2 Détermination de μABet ρAB
De même: Ai
A
Ai
iA
r
t
i
Ai
r
AiAi
t
i
k
k
C
C
CC
θ
θ
ρρ )(
)(
==⇒=
AAAAi kC θ
)(
)(
Ai
AA
Ai
iA
Ai
k
k
=ρAlors:
AAk
Remarque:
1
rigide:i
2
1
=Aiρ
articulé:i0=Aiρ articulé:i0Aiρ
145

4 3 Principe général4.3 Principe général
-Méthode de Cross permet de trouver directement
les couples qui en résultent, grâce aux coefficients de
reprise et transmission.
-Dans le 1ère stade, cette méthode n’est appliquée
que pour des structures dont les nœuds ne subissent
pas de d’placements de translation (pas de dérives).
-Une dérive est un d’placement de translation.
146

4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exemple
147

Diagramme M en [Nm]
148

Diagramme M en [Nm]
149

Diagramme T en [N]
150

4 5 Système dont les nœuds subissent une dérive4.5 Système dont les nœuds subissent une dérive
connue
151

connue Diagramme M en [Nm]g [ ]
152

connue Diagramme M en [Nm]g [ ]
153

connue Diagramme T en [N]g [ ]
154

4 6 Système à une d’rive inconnue4.6 Système à une d’rive inconnue
155

Diagramme M en [Nm]g [ ]
156

Diagramme M en [Nm]
157

Diagramme T en [N]
158

4 7 Système à plusieurs dérives inconnues4.7 Système à plusieurs dérives inconnues
La 1ère chose à déterminer est l’ensemble de butée B1,
B B nécessaires pour supprimer toute dérive desB2,…,Bn nécessaires pour supprimer toute dérive des
nœuds.
1ère étape: Introduire les n butées et on applique1 étape: Introduire les n butées et on applique
les charges extérieures. Après avoir effectué un Cross,
on obtient les réactions des butées: R1, R2,…,Rnon obtient les réactions des butées: R1, R2,…,Rn
2ère étape: Donner aux nœuds qui ont été
provisoirement fixés par une butée, n groupes de d’rivesp p , g p
qui sont linéairement indépendants (ex: 0 pour toutes, sauf
une égale à 1). Après avoir effectué n Cross, on obtient les
réactions de butées )1()1(
2
)1(
1 ,..., nRRR
159

3ère étape: La structure est en équilibre lorsquep q q
toutes les butées sont enlevées, on doit ajouter aux
résultats de la 1ère étape les effets des n groupes de dérives
choisis, multipliés par des coefficients de pondération
tel que:nααα ,..., 21
... 11
)()2()1(
)(
1
)2(
1
)1(
1
⎪
⎪
⎫
⎪
⎪
⎧
⎪
⎪
⎫
⎪
⎪
⎧
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎡
n
n
R
R
RRR
RRR
α
α
0
..................
... 22
)()2()1(
)(
2
)(
2
)(
2
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎬
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨+
⎪
⎪
⎭
⎪
⎬
⎪
⎪
⎩
⎪
⎨
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
n
R
R
RRR
RRR α
... )()2()1( ⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣ nn
n
nnn
RRRR α
160

161

METHODE MATRICIELLEMETHODE MATRICIELLE
1. INTRODUCTION
2. RELATION DE RAIDEUR ELEMENTAIRE
EN AXES LOCAUXEN AXES LOCAUX
3. RELATION DE RAIDEUR ELEMENTAIRE
EN AXES GLOBAUX
4. ASSEMBLAGE DES RELATIONS DE
RAIDEUR ELEMENTAIRE
162

METHODE MATRICIELLEMETHODE MATRICIELLE
5. CONDITION AUX LIMITES5. CONDITION AUX LIMITES
. METHODE DIRECTE
METHODE DE PENALITE. METHODE DE PENALITE
6. RESOLUTION DU SYSTEM LINEAIRE
. ITERATION
. DIRECT (GAUSSE ET CHOLESKI)( )
7. TRAITEMENT DE RESULTATS
163

1. INTRODUCTION1. INTRODUCTION
La méthode des forces est moins systématique que la
méthode des déplacements. La méthode des déplacement
est donc bien adaptée au calcul par ordinateur grâce àest donc bien adaptée au calcul par ordinateur grâce à
son caractère systématique. Le but de ce chapitre est
donc de monter comment une étude systématique d’une
structure peut être effectuée à partir de la relation destructure peut être effectuée à partir de la relation de
rigidité. On appellera relation de raideur élémentaire.
164

2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire
en axes locauxen axes locaux
La relation de raideur (relation de rigidité) :
( g )
[ ]{ } { }e e eK q F=
• Structure à nœuds articulés
165

en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux
11 12 13 14 xAA
Fk k k k u ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
21 22 23 24
31 32 33 34
yAA
B B
Fk k k k v
k k k k u F
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
31 32 33 34
41 42 43 44
B xB
B yB
k k k k u F
vk k k k F
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭
Il nous reste à calculer les coefficients kij à partir de
la théorie des poutres La méthode la plus simplela théorie des poutres. La méthode la plus simple
consiste à bloquer totalement les deux nœuds A et B
166
q
( )0A A B Bu v u v= = = =

On libère ensuite un déplacement auquel onp q
donne une valeur unitaire et on calcule la force
nécessaire pour imposer cette valeur.
a) 1u =a) 1Au =
etxAA
xA A xB
Fu E E E
F u F
l E E l l l
σ
ε
Ω Ω Ω
= = = ⇒ = = = −
Ω
Ω Ω
167
11 21 31 41, 0 , , 0
E E
k k k k
l l
Ω Ω
= = = − =

b) 1Bu =b) Bu
0 0
E E
k k k k
Ω Ω
13 23 33 43, 0 , , 0
E E
k k k k
l l
Ω Ω
= − = = =
c) 1Av =c) 1Av
12 22 32 420 0 0 0k k k k= = = =
168
12 22 32 420 , 0 , 0 , 0k k k k

d) 1Bv =
0 0 0 0k k k k14 24 34 440 , 0 , 0 , 0k k k k= = = =
La relation de raideur s’écrit explicitement :
1 0 -1 0
0 0 0 0
xAA
Fu
FvE
⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥0 0 0 0
-1 0 1 0
yAA
B xB
FvE
u Fl
⎢ ⎥
Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
169
0 0 0 0 B yBv F
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

• Structure à nœuds rigides• Structure à nœuds rigides
170

La relation de raideur s’écrit explicitement :La relation de raideur s écrit explicitement :
11 12 13 14 15 16 xAA
Fk k k k k k u⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
xAA
yAA
u
Fk k k k k k v
⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
A
B
k k k k k k C
k k k k k k u
φ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪
=⎢ ⎥ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
A
xBF
⎪ ⎪⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
B
Bvk k k k k k
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
xB
yBF
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
171
61 62 63 64 65 66 Bk k k k k k φ
⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ BC
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭

a) 1Bu =) B
0 0 0 0
E E
k F k k k F k k
Ω Ω
14 24 34 44 54 64= , 0 , 0 , = , 0 , 0xA yBk F k k k F k k
l l
= − = = = = =
b) 1Bv =b) 1Bv
15 25 35 45 55 653 2 3 2
12 6 12 6
0 , , , 0 , ,
EI EI EI EI
k k k k k k
l l l l
− − −
= = = = = =
172
l l l l

c) 1Bφ =
6 2 6 4
0 0
EI EI EI EI
k k k k k k
−
= = = = = =16 26 36 46 56 662 2
0 , , , 0 , ,k k k k k k
l l l l
= = = = = =
d) 1Au =
11 21 31 41 51 61= , 0 , 0 , , 0 , 0
E E
k k k k k k
l l
Ω Ω
= = = − = =
173

e) 1Av =
12 22 32 42 52 623 2 3 2
12 6 12 6
0 , , , 0 , ,
EI EI EI EI
k k k k k k
l l l l
−
= = = = = =
f ) 1Aφ =
13 23 33 43 53 632 2
6 4 6 2
0 , , , 0 , ,
EI EI EI EI
k k k k k k
l l l l
−
= = = = = =
174
13 23 33 43 53 632 2
l l l l

On a alors :
E EΩ − Ω⎡ ⎤
0 0 0 0
12 6 12 6
0 0
E E
l l
EI EI EI EI
Ω Ω
−
F
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥3 2 3 2
2 2
0 0
6 4 6 2
0 0
l l l l
EI EI EI EI
l l l l
−
xAA
yAA
Fu
Fv
Cφ
⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪2 2
0 0 0
l l l l
E E
l l
− Ω Ω
0
A A
B xB
C
u F
v F
φ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪⎪
⎪
⎪l l
3 2 3 2
12 6 12 6
0 0
B yB
B B
v F
EI EI EI EI C
l l l l
φ
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎪
⎪
⎪⎭
1752 2
6 2 6 4
0 0
EI EI EI EI
l l l l
⎢ ⎥
−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦

en axes globauxen axes globauxen axes globauxen axes globaux
176

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }' '
ete e e eq R q F R F= ={ } { }
où cos sin 0 0
i 0 0
θ θ
θ θ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
[ ]
sin cos 0 0
0 0 cos sin
R
θ θ
θ θ
⎢ ⎥−⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
0 0 -sin cosθ θ
⎢ ⎥
⎣ ⎦
[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }' '
=K q F K R q R F= ⇒[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } { }' ' '
=
e e e e e e
t t
e e e e
K q F K R q R F
R K R q R R F F
⇒
=
177
[ ] [ ][ ]' t
e eK R K R⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦

• Structure à nœuds rigides
178

[ ] [ ][ ]' t
K R K R⎡ ⎤ =⎣ ⎦ [ ] [ ][ ]e eK R K R⎡ ⎤ =⎣ ⎦
où
cos sin 0 0 0 0θ θ⎡ ⎤cos sin 0 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
θ θ
θ θ−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
[ ]
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos sin 0
R
θ θ
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥0 0 0 -sin cos 0
0
θ θ
0 0 0 0 1
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
179
⎣ ⎦

4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de
raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire
• Dans la relation élémentaire, les nœuds ont été
Désignés par A et B
• Il faut spécifier les numéros effectivement
utilisés dans la structure
F F⎧ ⎫⎧ ⎫
• En axe global
{ } { }
77
77
;
xA xA
yA yA
F Fu u
F Fv v
q F
=⎧ ⎫=⎧ ⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪ ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
180
{ } { }
44
4 4
;e e
xB xB
B yB y
q F
F Fu u
v v F F
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
==⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭
[ ]{ } { }e e eK q F=

• La relation de rigidité élémentaire en axe globale
7711 12 13 14
21 22 23 24
xFu
F
⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪77
44
21 22 23 24
31 32 33 34
y
x
Fv
Fu
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ [ ]{ } { }K F
181
4 441 42 43 44 yv F
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eK q F=

raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire
• Assemblage (opération de localisation)
⎡
1
x1
u
F
F
⎧ ⎫
⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎤• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • •
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
1
1
2
2
3
y1
x2
y2
x3
u
u
F
F
F
F
v
v
⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪
33 34 31 32
43 44 41 42
• • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
• • •
⎢
⎢
⎢
• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •
3
3
4
4
5
y3
x4
y4
x5
u
u
F
F
F
F
v
v
⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
[ ]{ } { }e e eK q F=
13 14 11 12
23 24 21 22
• • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
5
5
6
6
7
x5
y5
x6
y6
u
u
F
F
F
F
v
v
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
182
23 24 21 22• • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •⎣
7
7
8
8
x7
y7
x8
y8
u
F
F
F
F
v
v
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭
⎩ ⎭
{ } { }e eK Q F⎡ ⎤ =⎣ ⎦

• Considérons un nœud i et toutes les forces qui lui sont
appliquées
• Les forces extérieures sont FXi , FYi
• Les forces exercées par les poutres , a , b , c sont
a a
Xi Yi
b b
F F− −
b b
Xi Yi
c c
Xi Yi
F F
F F
− −
− −
183

• Les équations d’équilibre s’écrivent
0a b c
F F F F ... 0
... 0
a b c
Xi Xi Xi Xi
a b c
Yi Yi Yi Yi
F F F F
F F F F
− − − − =
− − − − =
ou
...a b c
Xi Xi Xi XiF F F F= + + +
...a b c
Yi Yi Yi YiF F F F= + + +
184

• Equation d’équilibre des nœuds
{ }{ } { }e
poutre
F F=
⎡ ⎤
∑
{ } { }e e
poutre poutre
K Q F
⎡ ⎤
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
∑ ∑
ou
[ ]{ } { }K Q F=
185
[ ]{ } { }K Q F=

• Dans la relation élémentaire, les nœuds ont été
Désignés par A et B
Il f é ifi l é ff i• Il faut spécifier les numéros effectivement
utilisés dans la structure
• En axe global
22
22
xA xA
yA yA
F Fu u
F Fv v
=⎧ ⎫=⎧ ⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪ == ⎪ ⎪⎪ ⎪
• En axe global
{ } { }
22
2 2
3 3
;
yA yA
A A
e e
B xB x
C C
q F
u u F F
φ φ
⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪
186
3 3
3 3
B yB y
B B
v v F F
C Cφ φ
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
[ ]{ } { }e e eK q F=

• La relation de rigidité élémentaire en axe globale
⎧ ⎫22
22
11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
x
y
Fu
Fv
⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎧ ⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
2 2
3 3
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46 x
C
u F
φ
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
=⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎪ ⎪3 3
3 351 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
x
yv F
Cφ
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eK q F=
187
3
61 62 63 64 65 66 Cφ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 3⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eq

• Assemblage (opération de localisation)
1
x1
u
F
F
⎧ ⎫
⎧ ⎫ ⎪ ⎪
• • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
• • • • • • • • • • • •
1
1
1
2
y1
x2
1
u
u
F
F
C
v
φ
⎧ ⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
2
2
2
3
y2
x3
2
u
F
F
C
v
φ
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪51 52 53 54 55 56
61 62 63
• • • • • •
• • • 64 65 66
3
3
3
4
x3
y3
3
u
F
F
C
v
φ
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • •⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥• • • • • • • • • • • • ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎣ ⎦
[ ]{ } { }e e eK q F=
188
4
4
4
x4
y4
4
F
F
C
v
φ
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎣ ⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ { } { }e eK Q F⎡ ⎤ =⎣ ⎦

• Considérons un nœud i et toutes les forces qui lui sont
appliquées
• Les forces extérieures sont FXi , FYi , Ci
• Les forces exercées par les poutres , a , b , c sont
a a a
Xi Yi i
b b b
F F C− − −
b b b
Xi Yi i
c c c
Xi Yi i
F F C
F F C
− − −
− − −
189

• Les équations d’équilibre s’écrivent
0a b c
F F F F ... 0
... 0
a b c
Xi Xi Xi Xi
a b c
Yi Yi Yi Yi
F F F F
F F F F
− − − − =
− − − − =
... 0a b c
i i i iC C C C− − − − =
ou
...
...
a b c
Xi Xi Xi Xi
a b c
Yi Yi Yi Yi
F F F F
F F F F
= + + +
= + + +
190
...
Yi Yi Yi Yi
a b c
i i i iC C C C= + + +

• Equation d’équilibre des nœuds
{ }{ } { }e
poutre
F F=
⎡ ⎤
∑
{ } { }e e
poutre poutre
K Q F
⎡ ⎤
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
∑ ∑
ou
[ ]{ } { }K Q F=
191
[ ]{ } { }K Q F=

5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites
• Méthode directe
• Supposons qu’une des conditions aux limites porte• Supposons qu une des conditions aux limites porte
sur la composante i du vecteur et s’exprime par{ }Q
Q Q=i iQ Q=
• La composante i du vecteur devient réaction de
liaison correspondante
{ }F
liaison correspondante
11 1i 1n. . . K . . . K
. . .
K 1 1
. ..
Q F⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
1 ii in
. . .. . .
. . . K . . . KiK
.. .
iiQ R
⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
192
. . .. .
1 ni nn
... ... . . ..
. . . K . . . Kn nnK FQ
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

• Méthode directe
• Enlever l’équation no en tenant compte de la valeur deq p
Qi dans les autres équations
0 KK 1 11 i iF K QQ ⎧ ⎫−⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥11 1n. . . 0 . . . K
. . .. . .
. . .
0 1 0
K 1
.. .. ..
Q
Q Q
⎡ ⎤
⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬0 . . . 1 . . . 0
. . .. . ..
. .. .. . . .
i iQ Q
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 nn. . . 0 . . . Kn n n ni i
K Q F K Q
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
j n=
⎡ ⎤
193
• Réaction de liaison
1
j n
i ij j
j
R K Q
=
=
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑

• Méthode de pénalité
• Cette méthode de pénalité consiste à résoudrep
11 1i 1n. . . K . . . KK 1 1Q F⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ii in
. . .. . .. . .
. . . K . . . KiK
. .. .
. .
i iQ R
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪. . .. . . .. . .. . . . .
K KK Q F
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭1 ni nn. . . K . . . Kn n nK Q F⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Avec la condition : ( ) ( )ou /i i i ii iR Z Q Q Q Q R Z= − − =
194
Avec la condition : ( ) ( )ou /i i i ii iQ Q Q Q

• En substituant R le système devient• En substituant Ri , le système devient
11 1i 1n. . . K . . . KK 11
FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪11 1i 1n
. . .. . .. . .
K +Z KK
.. .. ..
Q Q Z
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ( )I1 ii in. . .K +Z. . . K
. . .. .
iK
. .. . .. . . . .
i iQ Q Z⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
( )I
1 ni nn. . . K . . . Kn n nK Q F
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
( )
195
( )i iiR Z Q Q= −

• La méthode de pénalisation peut être interprétée
comme l’introduction d’un support élastique de rigidité
Z
11 1i 1n. . . K . . . K 0
. . . .
K 1
.
Q⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
1
.
F⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ii in
. . . .. . . .
. . K +Z . . K ZiK −
.
.
iQ
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
.
.
iR
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
. .
1 ni nn
. . .. . . . .. . . . .
. . . K . . . K 0n n
K Q
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
.
.
.
nF
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
196
0 . . . Z . . . 0 +Z Q
⎢ ⎥−⎣ ⎦ ii
R
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

1FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
11 1i 1n. . . K . . . K
. . .. . .. . .
K 11
.. .. ..
FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ii in. . .K +Z. . . K
. . .
iK
. .
i iQ Q Z
⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥
( )II
. .
1 ni nn
. . .. . . . .
. . . K . . . Kn n nK Q F
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
( )R Z Q Q
• est identique à( )II ( )I
Ré i d li i
197
( )i iiR Z Q Q= −• Réaction de liaison :

6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire
• Méthode directe (Gausse)
[ ]{ } { }[ ]{ } { }
+
K Q F
k Q k Q k Q k Q F
=
+ + + =⎧ 11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
... +
... +
n n
n n
k Q k Q k Q k Q F
k Q k Q k Q k Q F
k Q k Q k Q k Q F
+ + + =
+ + + =
⎧
⎪
⎪
⎪⎪ 31 1 32 2 33 3 3 3... +
. . . . .
. .
n nk Q k Q k Q k Q F+ + + =
. . .
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
. .
1 1 2 2 3 3
. . .. . . . .
... +n n n nn n nk Q k Q k Q k Q F
⎪
⎪ + + + =
⎪⎩
198
⎪⎩

1⎧
( )1 1 12 2 13 3 1
11
1
... n nQ F k Q k Q k Q
k
= − − − −
⎧
⎪
⎪
⎪ (1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2
(1) (1) (1) (1)
32 2 33 3 3 3
... +
... +
n n
n n
k Q k Q k Q F
k Q k Q k Q F
+ + =
+ + =
⎪
⎪
⎨
⎪. . . . .
. . . . .
. . . . .
⎪
⎪
⎪
⎪ (1) (1) (1) (1)
2 2 3 3
( 1) ( 1)
... +n n nn n n
s s
k Q k Q k Q F
k k− −
⎪ + + =
⎩
⎧ ( 1) ( 1)
( ) ( 1)
( 1)
( )
Avec
s s
is sjs s
ij ij s
ss
k k
k k
k
−
−
= −
( )
⎧
⎪
⎪
⎨
199
( 1)
( ) ( 1)
s
iss s
i i
F
F F
−
−
= −
( 1)
( 1)
s
sj
s
ss
F
F
−
−
⎨
⎪
⎪
⎩

• Méthode directe (Gausse)
• Le système formé de ces équations est de la formeLe système formé de ces équations est de la forme
11 1 12 2 13 3 1 1... + n nk Q k Q k Q k Q F+ + + =⎧
⎪ (1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2
(2) (2) (2)
... +
+
n nk Q k Q k Q F
k Q k Q F
+ + =
+ =
⎪
⎪
⎪⎪ 33 3 3 3... + n nk Q k Q F+ =
. .. .
. .
⎪
⎨
⎪
⎪ . .
nk ( 1) ( 1)n n
n n nQ F− −
⎪
⎪ =
⎪⎩
200

• Méthode directe (Cholesky)
[ ]{ } { }K Q F[ ]{ } { }K Q F=
[ ] [ ][ ]K L M=
[ ]
[ ]
où : triangulaire inférieure
: triangulaire supérieure
L
M[ ]
[ ] [ ] [ ]
: triangulaire supérieure
Comme est symétrique :
t
M
K L M=
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]{ } { }
t
t
K M M
M M Q F
=
201
[ ] [ ]{ } { }M M Q F=

Méth d di t (Ch l k )• Méthode directe (Cholesky)
[ ]{ } { }Posons M Q Y=
[ ] { } { }
t
M Y F⇒ =
• est triangulaire inférieure si les éléments de[ ]
t
M est triangulaire inférieure, si les éléments de
sont mij on a alors :
[ ]M
[ ]M
F⎧ 11 1 1
12 1 22 2 2
m y F
m y m y F
=⎧
⎪ + =⎪
⎪ 13 1 23 2 33 3 3
.
.
m y m y m y F⎪ + + =⎪
⎨
⎪
⎪
2021 1 2 2 3 3 4 4
.
.
... +n n n n nn n nm y m y m y m y m y F
⎪
⎪ + + + + =
⎪⎩

• Méthode directe (Cholesky)
11 11
1 j
m k
k
=
1
1
11
1
j
j
s i
m
m
= −
=
1
1
s i
ii ii si si
s
m k m m
= −
=
= − ∑
1
1
1 s i
ij ij si sj
sii
m k m m
m
= −
=
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑
203

7. 7. Traitement de résultatsTraitement de résultats
• Les déplacements en axe globale { }QLes déplacements en axe globale { }Q
• Les réactions de liaison { }
n
R k Q= ∑• Les réactions de liaison { }
1
i ij j
j
R k Q
=
= ∑
• Les déplacements en a e locale { } [ ]{ }R Q• Les déplacements en axe locale { } [ ]{ }eq R Q=
{ } [ ]{ }• Les efforts normaux { } [ ]{ }e e ef K q=
204

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