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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieure et de la Recherche Scientifique
♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦
Université Dr. Yahia Farès De Médéa
Faculté des Sciences et de la Technologies
MÉMOIRE
présenté en vue de l’obtention du
Diplôme de Licence en Mathématiques et Informatique
Spécialité : Mathématiques Appliquées
Titre :
La projection dans les espaces de Hilbert
Théorie et Applications
par
Zemirni Mohamed Amine
Composition du Jury :
Président : Leghmizi Mohamed lamine Maˆıtre de Conférences
Rapporteur : Hamza A. Younes Maˆıtre Assistant
Examinateur : Benchaa Mohamed Maˆıtre Assistant
Invité : Boutaghou Amer Maˆıtre de Conférences
Date de soutenance : 24 Juin 2012
Promotion : 2011/2012

Je dédie ce modeste travail aux mes parents, mes amis, et spécialement mes enseignants
(les mathématiciens d’université de Médéa) !

Remerciement
Tout d’abord
Je remercie Allah pour m’avoir guidé vers le chemin du savoir et de la lumière.
Pour m’avoir donné courage et volonté pour pouvoir réaliser ce modeste travail.
Je ne peux exprimer par les mots
Le sens de mes remerciements pour ma mère et mon père : que serais-je sans leurs per-
manents soutiens dans ma vie.
Je remercie ensuite
Mr Hamza Younes pour sa patience et ses conseils pour la réalisation de ce mémoire.
Que mes profondes reconnaissances vont vers lui.
Mes gratitudes et mes remerciements
Pour le docteur M.L.Leghmizi, pour avoir accepter de présider le Jury de la soutenance.
Mes vifs remerciements
Pour les membres du Jury : Mr Benchaa Mohamed, Dr Boutaghou Amer.
Ainsi que pour
L’ensemble des enseignants qui m’ont encadré soutenus et encouragés durant ma forma-
tion et par qui j’ai appris à apprécier les mathématiques.
Merci à
Toute personne m’ayant aidé, soutenue, ou encouragé de prés ou de loin.
ii

Table des matières
Remerciement ii
Introduction v
1 Généralités sur les espaces de Hilbert 1
1.1 Forme sesquilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Produit scalaire et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Espace pré-hilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Norme induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Orthogonalité & Projection 10
2.1 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Les vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Orthogonale d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Supplémentaire orthogonale d’un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Quelques applications du théorème de la projection 21
3.1 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 Présentation Algorithmique du procédé de Gram-Schmidt . . . . . . 23
3.1.2 Polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Meilleur approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Approximation par des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2 Approximation par des polynômes trigonométriques . . . . . . . . . 27
iii

TABLE DES MATIÈRES iv
3.3 Représentation de Riesz et théorème de Stampacchia . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Méthode de Projection pour les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliographie 32
Université de Médéa Zemirni Mohamed Amine

Introduction
Ce travail consiste à voir que dans les espaces de Hilbert, on peut définir l’orthogona-
lité et que la projection orthogonale est le point qui réalise le distance minimale. Puis on
verra comment le concept de la projection orthogonale et à la base de plusieurs théorèmes
importants en mathématiques.
Le premier chapitre est une introduction aux espaces de Hilbert. C’est le monde où
se réalise ce mémoire. On définit ce qu’est une forme hermitienne, un produit scalaire,
et un espace de Hilbert. Puis on donne les principales propriétés qui se réalisent dans un
espace de Hilbert tel que l’inégalité de Cauchy-Shwarz, l’identité du parallélogramme et
la caractérisation des normes induites par un produit scalaire. On citera entre autre un
exemple d’espace fonctionnel où la norme ne peut être induite par un produit scalaire.
Dans le second chapitre on introduit le concept d’orthogonalité, principe qui différencie
un espace de Hilbert d’un espace normé (dont la norme ne peut être induite par un produit
scalaire). Puis on démontre l’existence et l’unicité de la projection sur un convexe fermée
dans un espace de Hilbert, puis on en donnera une caractérisation.
Dans le troisième chapitre on étudie différentes applications du théorème de la projec-
tion dans différents domaines des mathématiques, tel que le procédé d’orthogonalisation de
Gram-Schmidt, la meilleure approximation d’une fonction par des polynômes, le théorème
de représentation de Riesz-Fréchet, et le théorème de Stampacchia.
v

Chapitre 1
Généralités sur les espaces de
Hilbert
1

1.1. Forme sesquilinéaire 2
Dans tout ce chapitre K désigne ou bien le corps des nombres réels R ou bien le corps
des nombres complexes C.
1.1 Forme sesquilinéaire
Définition 1.1.1
Soit V un espace vectoriel sur le corps K.
Une forme sesquilinéaire sur V , est toute application ϕ: V × V → K, telle que, pour tout
y ∈ V , l’application x → ϕ(x, y) soit linéaire i.e.
∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ K : ϕ(αx + βz, y) = αϕ(x, y) + βϕ(z, y)
et telle que, pour tout x ∈ V , l’application y → ϕ(x, y) soit antilinéaire (ou semilinéaire)
i.e.
∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ K : ϕ(x, αy + βz) = αϕ(x, y) + βϕ(x, z)
On dit que la forme sesquilinéaire ϕ est hermitienne si :
∀x, y ∈ V : ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
Dans le cas réel (K = R), une forme sesquilinéaire est une forme bilinéaire et une forme
hermitienne est une forme bilinéaire symétrique.
Conséquences immédiates.
Toute forme sesquilinéaire ϕ sur l’espace V , vérifie :
∀x, y ∈ V : ϕ(x, 0V ) = ϕ(0V , y) = 0K
Vérification.
ϕ(x, 0V ) = ϕ(x, 0 · y) = 0 · ϕ(x, y) = 0 et ϕ(0V , y) = ϕ(0 · x, y) = 0 · ϕ(x, y) = 0.
Proposition 1.1.1 Si ϕ une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel V , alors
ϕ hermitienne ⇐⇒ ∀x ∈ V : ϕ(x, x) ∈ R
Démonstration.
=⇒ ) ϕ hermitienne =⇒ ∀x ∈ V : ϕ(x, x) = ϕ(x, x) ⇐⇒ ∀x ∈ V : ϕ(x, x) ∈ R.
⇐=) On a
ϕ(x + y, x + y) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) + ϕ(x, y) + ϕ(y, x) (1.1)
ϕ(ix + y, ix + y) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) + i ϕ(x, y) − ϕ(y, x) (1.2)

1.2. Produit scalaire et propriétés 3
On remarque dans les égalités (1.1) et (1.2) que ϕ(x + y, x + y), ϕ(ix + y, ix + y), ϕ(x, x)
et ϕ(y, y) sont des réels par hypothèse. Alors
a = ϕ(x, y) + ϕ(y, x) ∈ R
b = i ϕ(x, y) − ϕ(y, x) ∈ R
D’où ϕ(x, y) = 1
2(a − ib) et ϕ(y, x) = 1
2(a + ib) donc, ϕ(x, y) = ϕ(y, x).
Proposition 1.1.2 (Identité de polarisation) Dans un C-espace vectoriel, toute forme
sesquilinéaire ϕ vérifie :
ϕ(x, y) =
1
4
ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y) + iϕ(x + iy, x + iy) − iϕ(x − iy, x − iy)
et dans un R-espace vectoriel, toute forme bilinéaire ϕ vérifie :
ϕ(x, y) =
1
4
ϕ(x + y, x + y) − ϕ(x − y, x − y)
Définition 1.1.2
On dit qu’une forme hermitienne ϕ est positive sur espace vectoriel V si :
∀x ∈ V : ϕ(x, x) ≥ 0
et l’on appelle définie positive si elle est positive et
∀x ∈ V : ϕ(x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0
1.2 Produit scalaire et propriétés
Définition 1.2.1
On appelle produit scalaire sur un espace vectoriel V toute forme hermitienne définie
positive (ou bien, forme hermitienne non dégénérée), et l’on note par ·, · := ϕ(·, ·).
Exemple 1.2.1
L’ensemble Kn, est une espace vectoriel sur K. Soient x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Kn et y =
(y1, y2, · · · , yn) ∈ Kn. On définit le produit scalaire sur Kn par
(x, y) → x, y :=
n
i=1
xiyi
Exemple 1.2.2
On définit l’espace 2 par
2
:= x = (xn)n∈N ⊂ K :
n∈N
|xn|2
< ∞

1.2. Produit scalaire et propriétés 4
On définit pour tout x et y de 2 le produit scalaire
x, y :=
n∈N
xnyn
Exemple 1.2.3
Soit C([a, b], R) l’ensemble des fonction continues de [a, b] ⊂ R (a < b) dans R. On définit
sur C([a, b], R) le produit scalaire
f, g :=
b
a
f(t)g(t)dt , ∀f, g ∈ C([a, b], R)
Exemple 1.2.4
Soit Ω ⊂ Rn un ouvert dans Rn. On définit sur l’espace
L2
(Ω) := f : Ω → R : f mesurable et
Ω
|f(t)|2
dt < ∞
le produit scalaire
f, g :=
Ω
f(t)g(t)dt , ∀f, g ∈ L2
(Ω)
1.2.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Proposition 1.2.1 Soit V un K-espace vectoriel, muni du produit scalaire ·, · , on a
∀x, y ∈ V : | x, y |2
≤ x, x y, y (1.3)
Démonstration.
On rappelle que pour tout x dans V , la quantité x, x est toujours réelle (Proposition
1.1.1).
Si x ou y est nul, alors l’inégalité (1.3) est valide. Maintenant, on suppose que x, y sont
non nuls, et poser λ = e−iθ où θ = arg x, y , alors λ| x, y | = x, y .
Pour tout t ∈ R, on a :
λtx − y, λtx − y = t2
x, x − λt x, y − λt y, x + y, y ≥ 0
= t2
x, x − 2t| x, y | + y, y ≥ 0
Donc, le discriminant de P(t) = t2 x, x −2t| x, y |+ y, y soit négatif ou nul car x, x ≥ 0,
d’où l’inégalité (1.3).

1.3. Espace pré-hilbertien 5
1.2.2 Inégalité de Minkowski
Proposition 1.2.2 Soit V un K-espace vectoriel, avec le produit scalaire ·, · , on a
∀x, y ∈ V : x + y, x + y ≤ x, x + y, y (1.4)
Démonstration.
On a
x + y, x + y = x, x + y, y + x, y + y, x
= x, x + y, y + 2 x, y
≤ x, x + y, y + 2| x, y |
≤ x, x + y, y + 2 x, x y, y Par l’inégalité (1.3).
= x, x + y, y
2
D’où l’inégalité (1.4).
1.3 Espace pré-hilbertien
Définition 1.3.1
Un espace pré-hilbertien est un K-espace vectoriel muni d’un produit scalaire ·, · .
Dans l’exemple (1.2.1), l’espace Kn est un espace pré-hilbertien, est aussi appelé espace
euclidien si K = R, et espace hermitien si K = C. L’espace vectoriel 2 avec le produit
scalaire défini dans l’exemple (1.2.2) est un espace pré-hilbertien. Les espaces L2(Ω) et
C([a, b]) (exemple 1.2.3, exemple 1.2.4) sont aussi des espaces pré-hilbertiens.
1.3.1 Norme induite
Proposition 1.3.1 Soit V un espace pré-hilbertien. L’application · : V → R+ définie
par x := x, x , est une norme sur V .
Démonstration.
1. x := x, x = 0 ⇐⇒ x, x = 0 ⇐⇒ x = 0.
2. λx = λx, λx = λλ x, x = |λ|2 x, x = |λ| x, x = |λ| x
3. Par l’inégalité de Minkowski (1.4), on a x + y := x + y, x + y ≤ x, x +
y, y = x + y .

1.3. Espace pré-hilbertien 6
La norme définie dans la proposition 1.3.1 est appelée la norme induite par un produit
scalaire (ou bien, la norme induite), avec cette nouvelle définition, l’inégalité de Cauchy-
Schwarz (1.3) devient
| x, y | ≤ x y (1.5)
et cette définition de norme induite nous permet de considérer tous les espaces pré-
hilbertiens comme des espaces normés. Mais, la question est de savoir si chaque espace
normé est pré-hilbertien, Autrement dit, peut-on définir un produit scalaire à partir de
n’importe quelle norme ?
Proposition 1.3.2 (Égalité du Parallélogramme) 1 Pour tout x, y d’un espace pré-
hilbertien V , on a :
x + y 2
+ x − y 2
= 2 x 2
+ 2 y 2
(1.6)
Démonstration.
On a
x + y 2
= (x + y|x + y) = x 2
+ y 2
+ 2 (x|y)
x − y 2
= (x − y|x − y) = x 2
+ y 2
− 2 (x|y)
en ajoutant ces deux égalités, on trouve l’égalité (1.6).
L’identité (1.6) dit que la somme des carrés des diagonales d’un parallélogramme est
égale à la somme des carrés de ses côtés. Cette propriété est bien connue en géométrie
plane.
Théorème 1.3.3 Toute norme · donnée qui vérifie l’identité de parallélogramme (1.6)
est induite par un produit scalaire i.e. il existe un produit scalaire ·, · tel que x :=
x, x , pour tout x.
Démonstration. Voir [10. page 39], [12. page 218].
Exemple 1.3.1
Dans l’espace C([0, 1], K), la norme
f 2 :=
1
0
|f(t)|2
dt
1/2
est une norme induite par le produit scalaire
f, g =
1
0
f(t)g(t)dt
1. Cette inégalité est aussi connue par l’inégalité d’Apollonius.

1.4. Espace de Hilbert 7
Donc, l’espace (C([0, 1], K), · 2) est un espace pré-hilbertien.
Dans même espace, la norme
f ∞ := max
t∈[0,1]
|f(t)|
n’est pas induite, car elle ne vérifie pas l’égalité de parallélogramme (1.6).
Pour montrer que la norme · ∞ n’est pas induite, on pose f(t) = 1 et g(t) = t où t ∈ [0, 1]
On obtient
f + g 2
+ f − g 2
= 4 + 1 = 5
2 f 2
+ 2 g 2
= 2 + 2 = 4
Donc, l’espace (C([0, 1]), · ∞) ne peut être espace pré-hilbertien. Voir [3], [4], [10].
Noter que la distance entre les vecteurs x et y est donnée par
d(x, y) := x − y
Ainsi, les espaces pré-hilbertien sont considérés comme des espaces métriques. Pour cela,
on peut étudier les notions topologiques comme la continuité, convergence des suites et
compacité ...ect sur les espaces pré-hilbertien.
1.4 Espace de Hilbert
Définition 1.4.1 (Les suites de Cauchy)
Soit (V, ·, · ) un espace pré-hilbertien, et soit · la norme induite par ·, · sur V .
Soit (un)n∈N une suite d’éléments de V . on dit que (un)n∈N est une suite de Cauchy dans
(V, ·, · ) si :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p, q ∈ N : p ≥ N et q ≥ N =⇒ up − uq ≤ ε (1.7)
Proposition 1.4.1 Toute suite convergente dans un espace pré-hilbertien, est nécessairement
suite de Cauchy.
Démonstration.
On suppose que la suite (xn)n∈N converge vers a dans un espace pré-hilbertien V avec la
norme · induite par le produit scalaire. Alors, si ε > 0 est donné, il existe un entier m
tel que xn − a < ε/2 pour tout n > m.
Si n et p sont alors deux entiers supérieurs à m, on a
xn − xp ≤ xn − a + xp − a < ε/2 + ε/2 = ε

ce qui prouve que la suite (xn) est suite de Cauchy.
Définition 1.4.2 (Espace complet)
On dit qu’un espace pré-hilbertien est complet par rapport á son norme induite si toutes
suites de Cauchy sont convergentes.
Les espaces normés complets sont appellés espaces de Banach.
Définition 1.4.3 (Espace de Hilbert)
Un espace de Hilbert (ou espace hilbertien) est un espace pré-hilbertien complet pour la
norme induite par son produit scalaire.
Tout espace de Hilbert est un espace de Banach, et l’inverse est vrai si la norme de l’espace
de Banach est induite.
Proposition 1.4.2 Tout espace pré-hilbertien de dimension finie est de Hilbert.
Démonstration. Voir[4. page 44], [6].
Proposition 1.4.3 Soit H un espace de Hilbert. Y un sous-espace de H.
Y est un espace de Hilbert si est seulement si Y est fermé dans H.
Démonstration.
Par la définition d’espace hilbertien, Y est un espace de Hilbert si et seulement s’il est
complet. Donc, on va démontrer que le sous-espace Y est complet si et seulement si’il est
fermé. On a double implications :
Première implication : Y complet =⇒ Y fermé.
Soit a ∈ H adhérent à Y . Il existe alors une suite (xn)n∈N ⊂ Y qui converge vers a.
Cette suite convergente dans H est donc une suite de Cauchy dans Y et par hypothèse Y
est complet, donc (xn) converge vers un point b ∈ Y . Par unicité de la limite, on a a = b
donc a ∈ Y , ce qui prouve que Y contient chacun de ses point adhérents, donc est fermé.
Deuxème implication : Y fermé =⇒ Y complet.
Soit (xn)n∈N une suite de Cauchy de Y , c’est en particulier une suite de Cauchy de H,
donc elle est convergente dans H (car H est hilbertien). La limite a de cette suite est alors
un point adhérent à Y et puisque Y fermé, alors a ∈ Y donc cette suite est convergente
dans Y . Donc, Y est complet.
Exemple 1.4.1
L’espace Kn (exemple 1.2.1) est un espace de Hilbert.

Exemple 1.4.2
L’espace 2 (exemple 1.2.2) est un espace de Hilbert.
Exemple 1.4.3
L’espace L2(Ω) (exemple 1.2.4) est un espace de Hilbert.
Pour le traitement de ces exemples, voir [3], [4].
Exemple 1.4.4
L’espace C([0, 1], R) (exemple 1.2.3) muni de produit scalaire
f, g =
1
0
f(t)g(t)dt
et la norme induite
f =
1
0
|f(t)|2
dt
1/2
n’est pas espace de Hilbert, car il n’est pas complet.
Vérification de l’incomplétude de C([0, 1]).
On considère la suite de fonctions :
fn(x) =



1 si 0 ≤ x ≤ 1
2
1 − 2n x − 1
2 si 1
2 ≤ x ≤ 1
2n + 1
2
0 si 1
2n + 1
2 ≤ x ≤ 1
∀n : fn est continue, et on a :
fn − fm ≤
1
n
+
1
m
1
2
→ 0 quand m, n → ∞
Alors, (fn)n est une suite de Cauchy, mais la limite de fn est
f(x) =



1 si 0 ≤ x ≤ 1
2
0 si 1
2 < x ≤ 1
Cette fonction n’est pas continue, donc n’appartient pas à C([0, 1]) i.e. la suite (fn)n ne
convergent pas dans C([0, 1]).

Chapitre 2
Orthogonalit´e & Projection
10

2.1. Orthogonalité 11
2.1 Orthogonalité
Une des conséquences les plus importantes qui découle du produit scalaire est la possi-
bilité de définir l’orthogonalité des vecteurs. Il permet aussi de prolonger le concept d’angle
vu qu’il quantifie une relation entre deux vecteurs.
De l’inégalité de Cauchy-Schwarz (1.3) pour les espaces pré-hilbertien reél, si x, y sont des
vecteurs différents de zéro, alors
−1 ≤
x, y
x y
≤ 1
et ainsi l’angle entre x, y peut être défini pour être
θ := arccos
x, y
x y
Pour les espaces pré-hilbertien complexes la position est plus difficile (le produit scalaire
x, y peut être complexe, et il n’est pas clair ce que signifierait un angle complexe).
Cependant, un cas spécial important peut être considéré, à savoir quand x, y = 0. dans
ce cas, on peut considérer les vecteurs comme étant perpendiculaires, ou orthogonaux.
2.1.1 Les vecteurs orthogonaux
Soit H un espace pré-hilbertien ou un espace de Hilbert.
Définition 2.1.1
Soit x, y deux vecteurs de H. x et y sont dits orthogonaux et on note x ⊥ y si et seulement
si :
x, y = 0
Soit (xn)n∈I une famille de vecteurs de H (I ⊂ N peut être finie ou infinie).
On dit que cette famille est Orthogonale si et seulement si :
∀i, j ∈ I : i = j ⇐⇒ xi, xj = 0
et on dit que cette famille est Orthonormale si elle est orthogonale et
∀i ∈ I : xi = xi, xi = 1
Remarque. Si (xn)n∈I est une famille orthogonale ; alors, la famille xn
xn n∈I
est
orthonormale ( xn = 0, ∀n ∈ I).

Théorème 2.1.1 (Pythagore) Soit H un espace de Hilbert, on a :
∀x, y ∈ H : x ⊥ y ⇐⇒



x + y 2 = x 2 + y 2
et
x + iy 2 = x 2 + y 2
Démonstration.
On a :
x + y 2
:= x + y, x + y = x 2
+ y 2
+ 2 x, y
x + iy 2
:= x + iy, x + iy = x 2
+ y 2
+ 2 x, y
=⇒ ) Par hypothèse x ⊥ y i.e. x, y = 0 alors x, y = x, y = 0 d’où
x + y 2
= x 2
+ y 2
x + iy 2
= x 2
+ y
⇐=) Les égalités signifient que
x, y = x, y = 0
c-à-d x, y = 0 d’où x ⊥ y.
En générale, si (xi)i∈I une famille de vecteurs d’un espace hilbertien, alors :
n
i=1
xi
2
=
n
i=1
xi
2
+ 2
1≤i<j≤n
xi, xj
Donc, si (xi)i∈I est une famille orthogonale, alors on peut écrire
n
i=1
xi
2
=
n
i=1
xi
2
c’est la généralisation du théorème de Pythagore. Voir [4], [11].
Exemple 2.1.1
Dans l’espace pré-hilbertien C([0, π], R) (exemple 1.2.3), les vecteurs cos et sin sont ortho-
gonaux, puisque :
cos, sin =
π
0
cos(t) sin(t)dt =
1
2
sin2
(t)
π
0
= 0 − 0 = 0
En plus, la famille
{1, cos t, cos 2t, · · · , cos nt}
est orthogonale dans cet espace.

2.1.2 Orthogonale d’une partie
Définition 2.1.2
Soit F une partie de H, et x un vecteur de H.
On dit que x est orthogonale à F si et seulement si :
∀y ∈ F : x, y = 0
Soit G une autre partie de H. on dit que F et G sont orthogonaux si et seulement si :
∀x ∈ F, ∀y ∈ G : x, y = 0
On appelle orthogonale de F, et on note F⊥, l’ensemble des vecteurs de H qui sont
orthogonaux à tous les éléments de F i.e.
F⊥
:= {x ∈ H t.q. x, y = 0, ∀y ∈ F} =
y∈F
{x ∈ H : x, y = 0}
Proposition 2.1.2 Pour n’importe quelle A ⊂ H, A⊥ est un sous-espace vectoriel.
Si A un sous-espace vectoriel, alors A ∩ A⊥ = {0}.
Démonstration. Soit z ∈ A.
Pour tout x, y ∈ A⊥, et pour tout λ, µ ∈ K, on a :
λx + µy, z = λ x, z + µ y, z = 0 + 0 = 0
D’où λx + µy ∈ A⊥, donc A⊥ est un sous-espace vectoriel.
Maintenant, si A est un sous-espace. Supposons que x ∈ A ∩ A⊥ i.e. x est orthogonal à lui
même, donc x, x = 0 ⇐⇒ x = 0, d’où A ∩ A⊥ = {0}.
Proposition 2.1.3 Soit X ⊂ H, un sous-espace vectoriel de l’espace de Hilbert H. On
a :
x ∈ X⊥
⇐⇒ x − y ≥ x , ∀y ∈ X
Démonstration.
=⇒ ) Soit x ∈ X⊥ et y ∈ X, on a
x − y 2
= x − y, x − y = x 2
− x, y − y, x + y 2
Puisque x, y sont orthogonaux par hypothèse, alors
x − y 2
= x 2
+ y 2
≥ x 2

2.2. Projection sur un convexe fermé 14
d’où x − y ≥ x .
⇐=) On suppose que
x − y ≥ x , ∀y ∈ X et x /∈ X⊥
Soit y ∈ X, on a
x − y 2
= x − y, x − y = x 2
− x, y − y, x + y 2
et on a x − y ≥ x ⇐⇒ x − y 2 − x 2 ≥ 0, donc
− x, y − y, x + y 2
≥ 0
Puisque x /∈ X⊥, alors x, y = 0, et puisque X un sous-espace vectoriel, donc y ∈ X ⇐⇒
∀a ∈ K, ay ∈ X. Alors
−a x, y − a y, x + |a|2
y 2
≥ 0
Posons
a = t
| x, y |
y, x
, ∀t > 0
Donc
−t| x, y | − t| x, y | + t2
y 2
≥ 0 , ∀t > 0
i.e.
| x, y | ≤
1
2
t y 2
, ∀t > 0
d’où
| x, y | ≤ inf
t>0
1
2
t y 2
= 0
or | x, y | = 0 i.e. x, y = 0 =⇒ x ∈ X⊥ et c’est contradiction. Donc
x − y ≥ x , ∀y ∈ X =⇒ x ∈ X⊥
2.2 Projection sur un convexe fermé
Plus généralement, dans un espace métrique (H, d) la projection d’un point a ∈ H sur
un sous-ensemble fermé F ⊂ H est le point b ∈ F s’il existe, vérifiant
d(a, b) = d(a, F) = inf
y∈F
d(a, y)
On écrit b = PF (a), et on lit : b est la projection de a sur F.
Donc, si a ∈ F, il est clair que la projection de a est lui même, et généralement l’existence

de b n’est pas certaine.
Par exemple, si on considère l’ensemble S = Sa,r avec a ∈ H et r ∈ R+ définit par
S := {x ∈ H | d(a, x) = r}
Dans ce cas le point a a plusieurs projection sur S, et on a : PS(a) = S.
Figure 2.1 – Exemple de Projection
Par contre, soit U ⊂ H un ouvert, et soit a ∈ ∂U = U − U, a n’admet aucune projection
sur U puisque d(a, U) = 0 et a /∈ U. Voir [3], [4], [5], [8], [11].
Définition 2.2.1 (Partie convexe)
Soit H un espace de Hilbert, et A ⊂ H une partie non vide. On dit que A est une partie
convexe si :
∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] : λx + (1 − λ)y ∈ A
On remarque que tous les sous-espaces vectoriels sont convexes. Dans un espace de Hilbert,
un sous-espace vectoriel fermé est convexe et complet.
Théorème 2.2.1 (Projection) Soit A un sous-ensemble non vide, fermé et convexe d’un
espace de Hilbert H. Soit a ∈ H, alors :
∃!b ∈ A : b = PA(a)
Puisque on a dit que tout espace de Hilbert est normé donc métrique, alors :
b = PA(a) ⇐⇒ d(a, b) = inf
y∈A
d(a, y)
avec d(x, y) = x − y = x − y, x − y .
Démonstration.
Puisque A = ∅, on considère (yn)n une suite de points de A t.q.
lim
n→∞
a − yn = inf
y∈A
a − y = d

On a 1
2(yn + ym) ∈ A par la convexité de A, alors
a −
1
2
(yn + ym) ≥ d, ∀m, n ∈ N (2.1)
en utilisant la règle de parallélogramme (1.6), on trouve :
yn − ym
2
= 4 a −
1
2
(yn + ym) 2
+ yn − ym
2
− 4 a −
1
2
(yn + ym) 2
= 2 a − yn
2
+ 2 a − ym
2
− 4 a −
1
2
(yn + ym) 2
D’après (2.1)
−4 a −
1
2
(yn + ym) 2
≤ −4d2
donc
yn − ym
2
≤ 2 a − yn
2
+ 2 a − ym
2
− 4d2
par passage au limite quand (m, n → ∞), on obtient
yn − ym
2
→ 0
i.e. la suite (yn)n est une suite de Cauchy dans A, et puisque A est fermé d’un espace
complet, il est complet (Proposition 1.4.3) donc (yn)n est convergente vers un point b de
A. Par la continuité de la norme, on a :
lim
n→∞
a − yn = a − lim
n→∞
yn = a − b = inf
y∈A
a − y
Donc, on a démontré qu’il existe une projection sur A.
On va démontrer que cette projection est unique. Supposons qu’il existe une autre point
b ∈ A tel que a − b = infy∈A a − y = d.
On a par la convexité de A, 1
2(b + b ) ∈ A, donc :
b − b = 4d2
− 4 a −
1
2
(b + b ) 2
≤ 0
d’où b − b = 0 ⇐⇒ b = b . Donc la projection est unique.
Remarque. Le théorème de projection (2.2.1) reste valide dans les espaces pré-hilbertiens
à condition que A soit convexe et complet (pour assurer l’existence et l’unicité de la pro-
jection).
Exemple 2.2.1
Dans l’espace R2, soit pour certains A ∈ R2 différent de 0 et soit c ∈ R, on pose :
D = {x ∈ R2
| At
x = c}

1. D est non vide.
2. D est fermé, car elle contient tous les valeurs adhérents.
3. A est un convexe. Soient x, y ∈ D, Soit t ∈ [0, 1], on a :
At
[tx + (1 − t)y] = tAt
x + (1 − t)At
y
= tc + (1 − t)c = c
Donc, tx + (1 − t)y ∈ D.
4. Si z ∈ R2, alors :
PD(z) = z −
|Atz| − |c|
A
A
A
Figure 2.2 – Exemple de Projection dans R2
Proposition 2.2.2 Soit A ⊂ H une partie non vide, convexe et fermé d’un espace de
Hilbert, soit a ∈ H. Alors, b = PA(a) si et seulement si :
∀x ∈ A : a − b, x − b ≤ 0
Démonstration.
=⇒ ) On a b = PA(a) i.e. a − b = infy∈A a − y , par la convexité de A,
ty + (1 − t)b ∈ A, ∀t ∈]0, 1]
et pour tout y ∈ A. Donc :
a − b ≤ a − ty − (1 − t)b = (a − b) − t(y − b)

2.3. Supplémentaire orthogonale d’un sous-espace 18
d’où
a − b 2
≤ (a − b) − t(y − b) 2
= a − b 2
− 2t a − b, y − b + t2
y − b 2
c’est équivalent
a − b, y − b ≤
t
2
y − b 2
, ∀t ∈]0, 1]
et quand t → 0, on a
a − b, y − b ≤ 0
⇐= ) Supposons que ∀y ∈ A : a−b, y −b ≤ 0 et b = PA(a) i.e. a−b = infy∈A a−y .
a − b = inf
y∈A
a − y ⇐⇒ ∃y ∈ A : a − y < a − b
⇐⇒ ∃y ∈ A : a − y 2
< a − b 2
=⇒ ∃y ∈ A : a − y 2
< a − b 2
+ y − b 2
=⇒ ∃y ∈ A : 2 a − b, y − b > 0
et ceci est une contradiction. Alors : ∀y ∈ A : a − b, y − b ≤ 0 =⇒ b = PA(a).
Proposition 2.2.3 Soit A un sous-espace vectoriel de H, soit a ∈ H et b = PA(a). Alors
b est le seule élément de A vérifie a − b ∈ A⊥
Démonstration.
Montrons que y est le seul élément qui rend le vecteur (x−y) orthogonale à A i.e. (x−y) ∈
A⊥.
on a
(x − y) − u = x − (y + u) ≥ x − y pour tout u ∈ A
Alors, par la proposition (2.1.3) on déduit : (x − y) ∈ A⊥.
2.3 Supplémentaire orthogonale d’un sous-espace
Proposition 2.3.1 Si A un sous-espace vectoriel fermé (i.e. complet) d’un espace hilber-
tien H. Alors, tout x ∈ A a un décomposition unique de forme x = y + z où y ∈ A et
z ∈ A⊥.

Démonstration.
Si x ∈ A, il est claire que la décomposition est x = x + 0. Supposons que x /∈ A. par le
théorème de projection (2.2.1), il existe un unique y ∈ A t.q. x − y = infu∈A x − u , on
va montrer que x = y + (x − y) est la décomposition désirée.
D’après la proposition (2.2.2), on a (x−y) ∈ A⊥. Pour l’unicité de y, soit un autre élément
y ∈ A t.q. (x − y ) ∈ A⊥ i.e.pour tout u ∈ A : x − y, u = 0 et x − y , u = 0 , d’où
x − y, u − x − y , u = 0 ⇐⇒ −y + y , u = 0 ⇐⇒ −y + y ∈ A⊥ mais −y + y ∈ A,
alors −y + y ∈ A ∩ A⊥ = {0}. D’où −y + y = 0 ⇐⇒ y = y (i.e. y est unique).
Donc x = y + z avec z = x − y, y ∈ A et z ∈ A⊥.
Maintenant, supposons qu’il existe une autre décomposition x = y + z avecz ∈ A⊥ et
y ∈ A, alors y + z = y + z i.e. y − y = z − z. Mais, puisque A ∩ A⊥ = {0}, alors
y − y = z − z = 0 d’où y = y et z = z i.e. la décomposition est unique.
Cette proposition nous permet d’écrire H = A ⊕ A⊥. Si x ∈ H : x = y + z avec y ∈ A
et z ∈ A⊥ alors y = PA(x) et z = PA⊥ (x) donc ∀x ∈ H : x = PA(x) + PA⊥ (x). Puisque
PA(x) et PA⊥ (x) sont orthogonaux, et en utilisant le théorème de Pythagore (2.1.1) on
trouve x 2 = PA(x) 2 + PA⊥ (x) 2.
Dans cet cas, l’application PA : H → H est dite projecteur orthogonale, il est une
application linéaire vérifiant PA(PA) = PA, ker(PA) = A⊥ et Im(PA) = A.
Pour plus de détails, voir [3], [4], [5], [8].
Proposition 2.3.2 Soit H un espace pré-hilbertien et A ⊂ H sous-espace vectoriel de
dimension finie (i.e. complet et alors fermé). Soit {e1, e2, · · · , ek} une base orthonormale
de A, alors
∀x ∈ H, ∃!y ∈ A : y = PA(x) =
k
i=1
x, ei ei
Démonstration.
L’existence et l’unicité de y sont démontrés dans le théorème (2.2.1), il reste à démontrer
l’égalité y = k
i=1 x, ei ei. Donc, il suffit montrer que x − y ∈ A⊥. Soit z ∈ A i.e. il existe

{r1, r2, · · · , rk} ⊂ R t.q. z = k
i=1 riei, on a
x − y, z = x, z − y, z
= x,
i
riei −
i
x, ei ei,
j
rjej
=
i
ri x, ei −
i
x, ei


j
rj ei, ej


=
i
ri x, ei −
i
x, ei ri = 0
D’o`u, on d´eduit que : x − y ∈ A⊥.

Chapitre 3
Quelques applications du
th´eor`eme de la projection
21

3.1. Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt 22
3.1 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
Cet procédé nous permet de construire une famille orthogonale à partir d’une famille
quelconque.
Théorème 3.1.1 (Gram-Schmidt) Soit H un espace pré-hilbertien, et soient (an)n∈N
des éléments de H linéairement indépendants. Pour n fixé, soit Fn le sous-espace engendré
par a0, a1, · · · , an. On pose :
b0 = a0
bk = ak − PFk−1
(ak) pour k ≥ 0
Alors :
1. La famille (bn)n∈N est orthogonale.
2. ∀k ∈ N : Fk = vect < b0, b1, · · · , bk >
Démonstration.
1. Soient m, n ∈ N t.q. m = n. Montrons que
bm, bn = 0
Supposons que m < n, on a :
bm, bn = an − PFn−1 (an), am − PFm−1 (am)
= an − PFn−1 (an), am − an − PFn−1 (an), PFm−1 (am)
On a m < n i.e. m ≤ n − 1 d’où am ∈ Fn−1,alors d’après la proposition(2.2.2) on a :
an − PFn−1 (an), am = 0
et PFm−1 (am) ∈ Fm−1 ⊂ Fn−1,donc
an − PFn−1 (an), PFm−1 (am) = 0
Alors pour touts m, n ∈ N : bm, bn = 0. Donc (bn)n∈N est une famille orthogonale.
2. Puisque (an)n est libre, alors an /∈ Fn−1 d’où bn = an −PFn−1 (an) = 0, pour tout n ∈ N.
On utilise la raisonnement par récurrence.
a) Pour k = 0 : b0 = a0 donc F0 = vect < b0 >.

b) Supposons que Fk =< b0, b1, · · · , bk >, et montrons que Fk+1 =< b0, b1, · · · , bk, bk+1 >.
On a la famille (bi)i=1···k+1 est orthogonale, donc, elle est libre, puisque :
k+1
i=0
λibi = 0 =⇒
k+1
i=0
λibi
2
=
k+1
i=0
|λi|2
bi
2
= 0
=⇒ |λi|2
bi
2
= 0 =⇒ |λi|2
= 0, ∀i =⇒ λi = 0, ∀i
Donc, (bi)i=1···k+1 est libre, et on a ak+1 = bk+1 + PFk
(ak+1) avec PFk
(ak+1) ∈ Fk, alors :
Fk+1 =< b0, · · · , bk+1 >.
Remarque. Cet procédé donne un famille orthogonale (bn)n, et on peut construire une
famille orthonormale par bn
bn n
.
3.1.1 Présentation Algorithmique du procédé de Gram-Schmidt
1. Soit (an)n∈N une famille libre des vecteurs d’un espace pré-hilbertien.
2. Comme dans le théorème (3.1.1), on définit la famille orthogonale (bn)n par :
b0 = a0
bk = ak − PFk−1
(ak) pour k ≥ 0
Par le point (2) du théorème (3.1.1), on a :
Fk−1 = vect < b0, b1, · · · , bk−1 >
et puisque {b0, b1, · · · , bk−1} est orthogonale, alors b0
b0
, b1
b1
, · · · ,
bk−1
bk−1
est ortho-
normale d’où
Fk−1 = vect
b0
b0
,
b1
b1
, · · · ,
bk−1
bk−1
Donc, par la proposition (2.3.2), on trouve :
PFk−1
(ak) =
k−1
i=0
ak,
bi
bi
bi
bi
=
k−1
i=0
ak, bi
bi
bi
2
Ainsi, Ondéfinit la famille (bn)n de la fa¸con suivante
b0 = a0
bk = ak −
k−1
i=0
ak, bi
bi
bi
2

3.1.2 Polynômes orthogonaux
La construction des polynômes orthogonaux, est un exemple d’utilisation le procédé
de Gram-Schmidt.
Soit I un intervalle fermé de R. On considère la fonction Π: I → R strictement positive,
continue sur I◦ (intérieur de I), vérifiant :
∀n ∈ N :
I
|t|n
Π(t)dt < ∞
La fonction Π s’appelle un poids sur I.
L’espace C(I, R), muni le produit scalaire :
f, g =
I
f(t)g(t)Π(t)dt
est un espace pré-hilbertien.
Soit la famille libre (an)n∈N définie par ai = ti, ∀i ∈ N. On applique à cette famille le
procédé de Gram-Schmidt, et on obtient des polynômes P0, P1, · · · , Pn, · · · appelés po-
lynômes orthogonaux associés au poids Π sur l’intervalle I.
Exemples des polynômes orthogonaux :
1. Si I = [−1, 1] et Π = 1, on obtient des polynômes de Legendre.
On va calculer les trois premier termes. On désigne par (Ln)n∈N les polynômes de
Legendre.
On a (par l’algorithme de Gram-Schmidt) :
L0 = a0 = 1
L0 = 1
L1 = a1 − a1, L0
L0
L0
2
= t − t, 1
1
1 2
1 2
=
1
−1
dt = 2
t, 1 =
1
−1
tdt = 0
L1 = t
L2 = a2 − a2, L0
L0
L0
2
− a2, L1
L1
L1
2
= t2
− t2
, 1
1
1 2
− t2
, t
t
t 2
t 2
=
1
−1
t2
dt =
2
3

3.2. Meilleur approximation 25
t2
, 1 =
1
−1
t2
dt =
2
3
t2
, t =
1
−1
t3
dt = 0
L2 = t2
−
1
3
En générale :
Ln =
1
2nn!
dn
dtn
(t2
− 1)n
2. Si I = [−1, 1] et Π(t) = 2
π
√
1−t2
, on obtient des polynômes de Tchebychev, et par la
même méthode on trouve les trois premier termes :
T0 = 1
T1 = t
T2 = 2t2
− 1
et le terme générale est donné par :
Tn = cos(n arccos(x))
3. Si I = [0, +∞[ et Π(t) = e−t, on obtient des polynômes de Laguerre.
P0 = 1
P1 = −t + 1
P2 = t2
− 4t + 2
et le terme générale est donné par :
Pn = et dn
dtn
(e−t
tn
)
Les polynômes orthogonaux interviennent de manière naturelle, soit dans des questions
mathématiques (approximation, comme nous allons voir dans le section suivant), soit dans
des questions de physique.
Voir [4], [5], [11].
3.2 Meilleur approximation
3.2.1 Approximation par des polynômes
On veut trouver une meilleur approximation d’une fonction f ∈ C(I ⊂ R, R) par un
polynôme de degré ≤ n. Alors, l’opération qui consiste à trouver la meilleur approximation

est juste l’opération de recherche de la projection de f sur Rn[x].
La projection sur Rn[x] existe et unique, car Rn[x] est un sous-espace de dimension fini ;
i.e. convexe et complet.
On peut faire cette opération de deux manières :
1. On a Rn[x] = vect < (ei)0≤i≤n > t.q. ei(x) = xi, ∀i = 0 · · · n, soit p = PRn[x](f).
Donc p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 vérifie
f − p, ei = 0, ∀i = 0 · · · n
Alors, on résoudre le système de n + 1 équations et n + 1 inconnues a0, a1, · · · , an.
2. On construire une base orthonormée (oi)0≤i≤n à partir de base canonique (ei)0≤i≤n
t.q. ei(x) = xi, ∀i = 0 · · · n par le procédé de Gram-Schmidt. Ainsi, l’approximation
de f est donnée par :
p =
n
i=0
f, oi oi
Exemples :
1) Soit f(t) = cos(t), on cherche la meilleur approximation par un trinôme p ∈ R2[t]
sur l’intervalle [0, π]. Soit p(t) = at2 + bt + c, on résous le système suivant :
f − p, 1 = 0 ⇐⇒
π
0
(cos t − at2
− bt − 1)dt = 0
f − p, t = 0 ⇐⇒
π
0
(cos t − at2
− bt − 1)tdt = 0
f − p, t2
= 0 ⇐⇒
π
0
(cos t − at2
− bt − 1)t2
dt = 0
On obtient 


2π2a + 3πb + 6c = 0
(1/4)π4a + (1/3)π3b − (1/2)π2c = −2
(1/5)π4a + (1/4)π3b − (1/3)π2c = −2
D’où a = 0, b = −24
π3 , c = 12
π2 . Donc :
p(t) = −
24
π3
t +
12
π2
2) Soit f(t) = arcsin(t), et soit 1, 3
2t, 45
8 (t2 − 1
3) une base orthonormale de R2[t].
L’approximation p de f est donnée par :
p(t) =
1
−1
arcsin(t)dt +
3
2
t
1
−1
t arcsin(t)dt +
45
8
(t2
−
1
3
)
1
−1
(t2
−
1
3
) arcsin(t)dt
=
3
8
πt

3.2.2 Approximation par des polynômes trigonométriques
Soit l’espace L2([−π, π], R), muni du produit scalaire
f, g :=
1
π
π
−π
f(t)g(t)dt
La famille :
A = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, · · · , cos nx, sin nx}
est une famille orthonormée dans L2([−π, π], R).
1. On justifie que : cos(mx), sin(nx) ∈ L2([−π, π], R), ∀m ∈ N, ∀n ∈ N∗.
On a
1
π
π
−π
| cos(mx)|2
dt =
1
π
π
−π
| cos2
(mx)|dt = 1 < ∞ , ∀m ∈ N
Alors, cos(mx) ∈ L2([−π, π], R). La même chose pour sin(nx), sauf que n = 0.
2. on justifie l’orthonormalité de A. On a :
cos(mt), cos(nt) =
1
π
π
−π
cos(mt) cos(nt)dt
=
1
π
π
−π
cos(mt) cos(nt)dt
Si m = n, on obtient :
cos(mt), cos(nt) =
1
2π
π
−π
cos(mt + nt)dt +
1
2π
π
−π
cos(mt − nt)dt = 0
Si m = n, on obtient :
cos(mt), cos(nt) =
1
π
π
−π
cos2
(mt)dt = 1
Et on a cos(mt), sin(nt) = 0 car cos(mt) sin(nt) est une fonction impaire. On calcule
sin(mt), sin(nt) , comme dans la cas cos(mt), cos(nt) , on trouve :
sin(mt), sin(nt) =



1 si m = n
0 sinon
On Remarque que :
1
π
π
−π
1dt = 1
Donc la famille est orthonormée.

3.3. Représentation de Riesz et théorème de Stampacchia 28
Maintenant, on pose
Fn = vect < A >= vect < 1, cos t, sin t, · · · , cos nt, sin nt >
L’espace Fn est un sous-espace vectoriel de L2([−π, π]) contenant les fonctions 2π-périodiques.
Les éléments de Fn sont appelés des polynômes trigonométriques.
Soit f ∈ L2([−π, π]). La meilleur approximation de f par un polynôme trigonométrique
i.e. la projection de f sur Fn est donnée (D’après la proposition 2.3.2) par :
Sn(f) := f, 1 1 +
n
j=1
f, cos(jt) cos(jt) + f, sin(jt) sin(jt)
Les coefficients a0(f) = f, 1 , aj(f) = f, cos(jt) et bj(f) = f, sin(jt) s’appellent les
coefficients de Fourier, et l’opérateur de projection sur Fn est l’opérateur de Fourier.
Pour n ∈ N∗, on a :
a0(f) =
1
π
π
−π
f(t)dt
a0(f) existe, car f ∈ L2([−π, π]) ⊂ L1([−π, π])
an(f) =
1
π
π
−π
f(t) cos(nt)dt
bn(f) =
1
π
π
−π
f(t) sin(nt)dt
La suite Sn(f) est convergente et converge vers f. La séries de somme partielle Sn(f) est
la séries de Fourier pour f. Alors :
f(t) = a0(f) +
∞
n=1
an(f) cos(nt) + bn(f) sin(nt) , ∀t ∈ R
Pour les détails sur cette section, voir [4], [5].
3.3 Représentation de Riesz et théorème de Stampacchia
On désigne par H l’espace de Hilbert sur K = R, avec le produit scalaire noté par
x, y pour touts x, y de H.
Définition 3.3.1
L’espace L(H, K) des formes linéaires continues sur H, est appelé le dual topologique de
H et noté H .
L’espace (H , · H ) est un espace normé. Soit f ∈ H , on définit la norme de f par :
f H := sup
x∈H
|f(x)|
x

Théorème 3.3.1 (représentation de Riesz-Fréchet)
∀f ∈ H , ∃!u ∈ H, ∀x ∈ H : f(x) = x, u
de plus
u = f H
Démonstration.
Soit f ∈ H . Si f ≡ 0, alors ∃!u ∈ H : x, u = 0, pour tout x ∈ H, dans ce cas u = 0 il
est unique.
Supposons que f est non identiquement nulle. Soit F = ker f = f−1({0}) est un hyperplan
fermé de H, car f est continue.
D’après le théorème de projection (2.3.1), on en déduit que :
F ⊕ F⊥
= H
On choisit b ∈ F⊥ t.q. f(b) = 1. pour x ∈ H le vecteur y = x − f(x)b est dans F car :
f(y) = f(x − f(x)b) = f(x) − f(x)f(b) = f(x) − f(x) = 0. Puisque y ∈ F et b ∈ F⊥ on
obtient
0 = y, b = x − f(x)b, b = x, b − f(x) b, b
On pose u = b
b,b . Alors,
∀x ∈ H : f(x) = x, u
Supposons qu’il existe u ∈ H t.q. pour tout x ∈ H on a f(x) = x, u = x, u ; alors
∀x ∈ H : x, u − u = 0, si on pose x = u − u , on obtient u − u = 0, donc u = u .
Finalement, pour f ∈ H , u ∈ H est unique.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz (1.3), on a : |f(x)| = | x, u | ≤ x u , alors :
f ≤ u
Car f := inf{M > 0 : f(x) ≤ M x , ∀x ∈ H} et puisque |f(u)| = | u, u | = u 2 on
a
a =
|f(a)||
a
≤ f
D’où f = u
Pour plus de détails, voir [2], [5], [6].

Définition 3.3.2
On dit qu’une forme bilinéaire B : H × H → R est :
1. Continue s’il existe une constante C > 0 telle que
|B(x, y)| ≤ C x y ∀x, y ∈ H
2. Coercive s’il existe une constante D > 0 telle que
B(x, x) ≥ D x 2
∀x ∈ H
Théorème 3.3.2 (Stampacchia) Soit B : H × H → R une forme bilinéaire continue et
coercive. Soit A ⊂ H un convexe, fermé et non vide. Alors :
∀f ∈ H , ∃!u ∈ A, ∀x ∈ A : B(u, x − u) ≥ f(x − u) (3.1)
De plus, si B est symétrique, alors u est caractérisé par la propriété :
1
2
B(u, u) − f(u) = min
x∈A
1
2
B(x, x) − f(x) (3.2)
Démonstration.
On va démontrer l’égalité (3.2), et on laisse la démonstration de l’inégalité (3.1) pour
le lecteur qui voudra la consulter dans [2], [9], [11].
La forme B est symétrique, alors elle définit un nouveau produit scalaire sur H et la
norme associée B(·, ·)
1
2 est équivalente à la norme · . Donc, H est aussi un espace de
Hilbert pour ce produit scalaire. En appliquant le théorème (3.3.1), on obtient v ∈ H tel
que :
f(x) = B(v, x), ∀x ∈ H (3.3)
D’après (3.1), on obtient :
B(v − u, x − u) ≤ 0, ∀x ∈ A
Alors, d’après (2.2.2), on déduit que u = PA(v) (Projection au sens du produit scalaire
définie par B). Donc, par la définition de la projection, u vérifie :
B(v − u, v − u)
1
2 = min
x∈A
B(v − x, v − x)
1
2
Ceci revient :
B(v − u, v − u) = min
x∈A
B(v − x, v − x) ⇐⇒ B(u, u) − 2B(v, u) = min
x∈A
B(x, x) − 2B(v, x)
par (3.3), on obtient :
1
2
B(u, u) − f(u) = min
x∈A
1
2
B(x, x) − f(x)
et c’est l’égalité (3.2) du théorème de Stampacchia.

3.4. Méthode de Projection pour les systèmes linéaires 31
3.4 Méthode de Projection pour les systèmes linéaires
L’idée d’utiliser une projection pour résoudre les systèmes d’équations linéaires n’est
pas nouvelle ; les méthodes de projection sont cependant à l’heure actuelle de plus en plus
utilisées pour les systèmes de grande taille.
Il y a beaucoup de méthodes de projection, mais dans cette section on discute une méthode
s’appelle méthode de Cimmino.
Soit A ∈ M∗
n×n(R) une matrice carrée inversible d’ordre n. On considère le système
suivant :
Ax = y (3.4)
Avec
x =








x1
x2
...
xn








∈ Rn
, b =








b1
b2
...
bn








∈ Rn
Soit Ai la ligne ieme de la matrice A. On munit Rn par le produit scalaire : x, y = xty.
Posons
Hi = {y ∈ Rn
: Aiy = bi}
La solution x∗ du système (3.4) est le point unique d’intersection des Hi.
{x∗
} =
n
i=1
Hi
La méthode de Cimmino construit une suite (xp)p de Rn qui converge vers la solution x∗.
Cette suite est définie par récurrence comme suit :
x0 arbitraire
xp+1 =
1
n
n
i=1
PHi (xp)
Remareque. L’ensemble Hi est convexe, fermé et non vide d’un espace complet Rn. Donc,
d’après le théorème de projection 2.2.1, chaque vecteur admet un projection unique sur
Hi, pour tout i = 1 · · · n. Voir [1], [8. pages 401,402].

Bibliographie
[1] Brezinski C. Projection methods for systems of equations. ELSEVIER B.V, 1997.
[2] Brezis H. Analyse fonctionnelle (Théorie et applications), 2ème
tirage. MASSON,
Paris, 1983.
[3] Debnath L. & Mikusi`nski P. Introduction to Hilbert spaces with applications. Aca-
demic Press, 1990.
[4] Patrick B. & Youngson M.A. Linear functional analysis. Springer undergraduate
mathematics series, London, 2000.
[5] Privat Y. Espaces vectoriels normés et Topologie. Instituts Elie Cartan Nancy de
Mathématiques - Université Henri Poincaré Nancy 1.
[6] Raymond J.S. Topologie, Espaces Normés, Calcul Différentiel et Variable Complexe.
Université Pierre et Marie Curie, 2003.
[7] Rudin W. Analyse réelle et complexe (cours et exercices), 3ème
édition. DUNOD,
France, 1998.
[8] Sonntag Y. Topologie et analyse fonctionnelle. Ellipses, 1997.
[9] Temam R. Analyse Numérique. Presses Universitaires de France, 1970.
[10] Yosida K. Functional Analysis, 6th
Edition. Springer, 1980.
[11]
[12]
32

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