math

1. Cours d’Algèbre
Module M6
Filière Sciences de la Matière SMPC
Semestre S1, Automne 2021
Pr. Mohammed Zaoui
Année universitaire 2021/2022
Département de Mathématique et d’Informatique, Faculté des Sciences, Université Mohamed Premier, Oujda, Maroc
LES MATHEMATIQUES SONT LA POESIE DES SCIENCES
Léopold Sédar Senghor

2. 2
Introduction
Le terme « mathématique » vient du grecμάθημα (mathêma), science, connaissance,
apprentissage (mathematikos: qui aime apprendre). « Les mathématiques » sont
communément considérées comme la science des nombres, des figures et des
structures.
L’origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le
commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques, …
Comme ce cours est destiné aux étudiants des Sciences de la Matière Physique
Chimie (SMPC), on s’intéressera donc uniquement aux notions mathématiques en relation
avec les disciplines de Physique et de Chimie. Il sera entièrement consacré à l’algèbre
linéaire. C’est un domaine très riche, recouvrant beaucoup de notions qui pourraient être
en grande partie nouvelles pour vous. Ces concepts demandent du temps et du travail
pour être bien compris.
En effet, les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d’abord
comprendre le cours, ensuite connaître par cœur les définitions, les théorèmes, les
propositions... sans oublier de travailler les exemples et les démonstrations, qui
permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Ensuite, il faut réfléchir aux exercices proposés dans les feuilles d’exercices qui
vous seront remises avant de participer aux séances des Travaux Dirigés. L’important
est d’examiner les énoncés, de bien sentir leur difficulté et, dans la mesure du possible
de tenter de les résoudre. Même si on ne trouve pas la solution, ni même l’idée d’une
solution, cette façon sera beaucoup plus bénéfique pour retenir les solutions qui y
seront proposées.
Enfin, vous devrez passer le temps qu’il faut à pratiquer les mathématiques : il est
indispensable de résoudre activement par vous-même des exercices, sans regarder les
solutions.
Pour vous aider, un recueil d’exercices correspondant à ce cours, ainsi que des
exercices corrigés, seront mis à votre disposition. Toute l’équipe pédagogique est à
votre disposition pour vous accompagner sur le chemin de la réussite.
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide
L'enseignement devrait être ainsi: celui qui le reçoit le recueille comme un don
inestimable mais jamais comme une contrainte pénible ! (…) C'est le rôle essentiel
du professeur d'éveiller la joie de travailler et de connaître …
Einstein

3. 3
Filière SMPC
Module M6 Algèbre I
Volume horaire : Cours 22h 30 ; TD 22h 30
L’objectif du cours.
- Définir les notions d’espace vectoriel et d’espace affine.
- Définir la notion de géométrie.
- Etudier le corps des nombres complexes.
- Déterminer les racines d’un polynôme.
- Décomposer les fractions rationnelles en éléments simples.
 Espace vectoriel euclidien
- Famille libre, génératrice, base canonique, base orthonormée, changement de bases,
 Espace affine de dimension finie
- Repères, sous espaces affines, intersection de sous espaces affines, barycentres, …
 Géométrie dans le plan ℝ2
- Coordonnées cartésiens, coordonnées polaires, équation d’une droite, équation d’un
cercle, équation d’une ellipse
 Géométrie dans l’espace ℝ3
- Coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques, équation d’une droite, d’un plan,
d’une sphère, …
 Applications affines dans le plan ℝ2 et dans l’espace ℝ3
- Composition, isométrie, translations, homothéties, projections, symétries
 Le corps ℂ des nombres complexes
- Opérations arithmétiques, conjugaison et module, exponentielle complexe, racine
nième
de l’unité, similitudes complexes
 Fonctions polynomiales
- Racines, dérivation, factorisation, formule de Taylor pour les polynômes, polynômes
irréductibles dans ℝ et ℂ
 Fractions rationnelles dans ℝet ℂ
- Pôles et zéros, décomposition en éléments simples
Bibliographie
1. Frank Ayers, Jr.: Algèbre moderne, cours et problèmes, Série Schaum
2. Seymour Lischutz : Algèbre linéaire, Série Schaum
3. Jean Marie Monier : Algèbre 1, cours et 600 exercices
4. Jean Bass: Mathématique pour PC, 1ère
année, Tome 1, Algèbre, Collection
Masson & Cie
5. Exo7 Math : Algèbre cours de mathématique première année

4. 4
Chapitre 1 Espaces Vectoriels Euclidiens
1.1 Vecteurs et Scalaires
Il suffit d’un nombre réel pour spécifier entièrement certaines quantités physiques ou
géométriques : masse d’un corps (nombre de kg), un volume (nombre de cm3
), température
(nombre de d°), distance (nombre de m), … Ces quantités sont des scalaires. Donc une quantité
est un scalaire si elle peut être déterminée complètement par un nombre.
Cependant, pour définir de manière complète certaines quantités, il faut utiliser un
nombre et une orientation. C’est le cas notamment d’une force (un nombre de Newton et une
direction), une vitesse (nombre de m/s et une direction) un déplacement (un nombre de m et une
direction), … Ces quantités sont vectorielles. Donc une quantité est vectorielle si elle ne peut être
définie qu’au moyen d’un nombre et d’une orientation.
1.1.1 Représentation d’un vecteur
Un vecteur se représente graphiquement dans le plan par un segment de droite orientée.
1. Une origine
2. Une extrémité
3. Une direction
4. Un sens
5. Une longueur
On note indifféremment : 𝐴𝐵
⃗, 𝑢
⃗, u. Souvent nous noterons les vecteurs sans flèche.
Le vecteur nul, noté 0, est le vecteur dont l’origine coïncide avec l’extrémité.
1.1.2 Egalité de deux vecteurs
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même longueur, même direction et même
sens.
1. u = v (même longueur, même direction et même sens)
2. u ≠ w (longueurs différentes, même direction et même sens)
3. u ≠ x (même longueur, même direction mais pas le même sens)
4. u ≠ y (longueur différentes, directions différentes)
u
A
B
D
v
x
w
u
y

5. 5
1.1.2 Opérations sur les vecteurs
1.1.2.a. Somme de deux vecteurs
Soient les deux vecteurs u et v suivants :
Méthode du parallélogramme :
Le vecteur somme u + v est la diagonale
du parallélogramme formé par u et v.
Méthode du triangle :
Les vecteurs sont mis bout à bout
Le vecteur somme u + v a pour origine celle de u et pour extrémité celle de v (ou inversement).
1.1.2.b. Multiplication par un scalaire.
Soient α ∈ ℝ un scalaire et u un vecteur. On notera α.u le vecteur suivant :
Ces deux vecteurs sont dits colinéaires. Ils ont la même direction et peuvent avoir le même sens
(α > 0)ou des sens opposés ( 𝛼 < 0).
Par ailleurs, dans le cas particulier où α = -1, alors –u est l’opposé de u.
1.2 Espace Vectoriel ℝn
On peut ramener la représentation des vecteurs
dans le plan par rapport à une origine.
Dans ce cas, on pose u = (x, y) ou u (x, y) , x et y sont les composantes du vecteur u.
On peut généraliser cette représentation au cas d’un espace de plus que deux dimensions. En effet,
si (x1, x2, ….., xn) est un n-uplet (couple pour n = 2, triplet pour n = 3, quadruplet pour n = 4,
u
v
u+v
u
v
u
v
u+v
u α u, α> 1
α u, α< 0
α u, 0 <α< 1
A
C
B
y
u
O x

6. 6
quintuplé pour n = 5, …), il pourra correspondre à un vecteur de ℝn dont les composantes sont
précisément x1, x2, ….., xn . On définit ainsi deux opérations sur ℝn:
- Addition : (x1, x2, ….., xn) + (y1, y2, ….., yn) = (x1 + y1, x2 + y2 , ….., xn + yn)
- Multiplication par un scalaire : α (x1, x2, ….., xn) = (α x1, α x2, ….., α xn)
1.2.1 propriétés des opérations + et .
Soient u, v et w trois n-uplet de ℝn et α et β des scalaires. On a les propriétés suivantes :
1. u + v = v + u (Commutativité)
2. u + ( v + w) = (u + v) + w (Associativité)
3. u + 0 = 0 + u (Elément neutre)
4. u + (-u) = (-u)+ u (Elément symétrique)
5. α . (u + v) = α . u + α . v (distributivité . par rapport à +)
6. (α + β) . u =α . u + β . v (distributivité de + par rapport à .)
7. (α x β) . u = α . (β . u) (x est la multiplication dans ℝ)
8. 1 . u = u (1 est l’élément unité de la multiplication dans de ℝ)
La preuve de ces propriétés est directement obtenue de la définition des opérations.
Définition : Un ensemble V non vide, muni des opérations + et . qui vérifient les propriétés
de 1. à 8. est un espace vectoriel. On note (V, + , .).
C’est notamment le cas de (ℝn, +, .). Par exemple dans ℝ2 :
(2, 4) + (5, 7) = (7, 11) et -3 (2, 4) = (-6, -12)
Le vecteur nul, noté 0, a pour composantes (0, 0, 0, …, 0)
1.2.2 Egalité de deux vecteurs
Soient u (x1, x2, ….., xn) et v (y1, y2, ….., yn) deux vecteurs de ℝn. Alors
u = v ⟺ (x1, x2, ….., xn) = (y1, y2, ….., yn) ⟺ x1 = y1, x2 = y2 , ..., xn = yn
Exemple : Soient u ( x – y, x + y, z -1) et v (4, 2, 3) deux vecteurs de ℝ3.
u = v ⟺
𝑥 – 𝑦 = 4
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑧 − 1 = 3
⟺
𝑥 = 3
𝑦 = −1
𝑧 = 4
1.3 Sous espace vectoriels
Définition : Soit V un sous ensemble de l’espace vectoriel E. V est un sous espace vectoriel de E
si :
1. V ≠ ∅
2. ∀ u, v ∈ V alors u + v ∈ V
3. ∀ u ∈ V ∀ 𝛼 ∈ ℝ alors α u ∈ V
On peut regrouper 2. et 3. en
2’. ∀ u, v ∈ V , ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ alors αu + βv ∈ V

7. 7
Exemples : 1. ℝn est un sous espace vectoriel de ℝn.
2. {0} est un sous espace vectoriel de ℝn. (0 étant le n-uplet dont toutes les
composantes sont nulles).
3. Soit V = { (a, b, 0) ∈ ℝ3 ; a, b∈ ℝ}. V est un sous espace vectoriel de ℝ3. En
effet,
a. Comme 0 ∈ V alors V ≠ ∅
b. ∀ u (a, b, 0), 𝑣(𝑎′, 𝑏′, 0) ∈V, ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
α (a, b, 0) + 𝛽(𝑎′, 𝑏′, 0) = (α a + 𝛽𝑎′ , α b + 𝛽𝑏 , 0) ∈ V.
4. Soit W ={(a, b, 1) ; a, b ∈ ℝ}. W n’est pas un sous espace vectoriel de ℝ3 car
0 ∉ W.
1.3.1 Intersection de deux sous-espaces vectoriels
Proposition. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. L’intersection
F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.
De même l’intersection F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ ··· ∩ Fn d’une famille quelconque de sous-espaces
vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
Preuve : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.
1. 0 ∈ F et 0 ∈ G car F et G sont des sous-espaces vectoriels de E ; donc 0 ∈ F ∩ G.
2. Soient u et v deux vecteurs de F ∩ G. Comme F est un sous-espace vectoriel, alors u, v ∈ F
implique u + v ∈ F. De même u, v ∈ G implique u + v ∈ G. Donc u + v ∈ F ∩ G.
3. Soient u ∈ F ∩ G et λ∈ℝ. Comme F est un sous-espace vectoriel, alors u ∈ F implique λu ∈ F.
De même u ∈ G implique λu ∈ G. Donc λu ∈ F ∩ G.
Conclusion : F ∩ G est un sous-espace vectoriel de E.
Exemple : Soit D le sous-ensemble de ℝ3
défini par :
D = {(x, y, z) ∈ ℝ3
| x + 3y + z = 0 et x − y + 2z = 0}.
Est-ce que D est sous-espace vectoriel de ℝ3
? L’ensemble D est l’intersection de F et G, les
sous-ensembles de ℝ3
définis par :
F= {(x, y, z) ∈ℝ3
| x + 3y + z = 0}
G= {(x, y, z) ∈ℝ3
| x − y + 2z = 0}
Ce sont deux plans passant par l’origine, donc des sous-espaces vectoriels de ℝ3
. Ainsi,
D = F ∩ G est un sous-espace vectoriel de ℝ3. C’est une droite vectorielle.
Remarque 1. La réunion de deux sous-espaces vectoriels de E n’est pas en général un sous-
espace vectoriel de E. Prenons par exemple E = ℝ2
. Considérons les sous-espaces vectoriels
F = {(0, y) | y ∈ℝ }
G = {(x, 0) | x ∈ℝ }

8. 8
Alors F ∪ G n’est pas un sous-espace vectoriel de ℝ2
. Par exemple, (0, 1) + (1, 0) = (1, 1) est la
somme d’un élément de F et d’un élément de G, mais n’est pas dans F ∪ G.
Remarque 2. La réunion de deux sous-espaces vectoriels F et G de E n’est un sous-espace
vectoriel de E que si F ⊆ G ou G ⊆ F.
1.4 Familles libres, génératrices, bases.
1.4.1 Combinaisons linéaires
Définition : Soient u1, u2, ….., um, m vecteurs de E et soient α1, α 2, ….., α m, m scalaires.
Tout vecteur de la forme u = α1 u1 + α2 u2 + ….. + αmum est une combinaison linéaire des
vecteurs u1, u2, ….., um .
Exemples : 1. Soient les vecteurs u( 1, 0, 2) ; v (2, 3, 0) et α = 2 ; β = 3
αu + βv = 2(1, 0, 2) + 3 (2, 3, 0) = (8, 9, 4)
2. (a, b, c) = (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c)
=a(1 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)
3. Soient les vecteurs u(2, 1, 0) ; v (3, 1, 0) ; w (0, 1, 1). w n’est pas
combinaison linéaire de u et v. En effet, supposons le contraire : w = αu + βv,
on aurait alors : (0, 1, 1) = α(2, 1, 0) + β (3, 1, 0) = (2α + 3β, α + β, 0)
ce qui est absurde puisqu’on aurait 2α + 3β = 0 ; α + β = 1 et 0 = 1 !
1.4.2 Familles génératrices
Proposition : Soit S = { e1, e2, ….., em} une famille de m vecteurs de E. L’ensemble de toutes
les combinaisons linéaires des vecteurs de S est un sous espace vectoriel de ℝn. On le note :
Vect{ e1, e2, ….., em}.
Terminologie. On dit que
Vect{ e1, e2, ….., em} est le sous espace engendré par les vecteurs e1, e2, ….., em.
Les vecteurs e1, e2, ..., em engendrent (ou encore sont des générateurs) Vect {e1, e2, ….., em}
La famille { e1, e2, ….., em} est génératrice.
Exemples : 1. La famille {(1, 0) ; (0, 1)} engendre l’espace vectoriel ℝ2. En effet,
(a, b) = (a, 0) + (0, b) =a (1, 0) + b (0, 1 )
2. La famille {(1, 0) ; (1, 1)} engendre l’espace vectoriel ℝ2. En effet,
(a, b) = (a – b) (1, 0) + b (1, 1)
3. La famille {(1, 0, 0) ; (0, 1, 0)} engendre le sous espace vectoriel V de ℝ3 où
V= {(a, b, 0) ; a, b∈ ℝ}. En effet, (a, b, 0) = a (1, 0, 0) +b (0, 1, 0).
4. Soient u = (1, 1, 1) et v = (1, 2, 3) deux vecteurs de ℝ3 et déterminons Vect{u, v}, le
sous espace engendré par u et v. Pour cela, le vecteur
w = (x, y, z) ∈V ⇔ (x, y, z) = αu + βv ⇔ (x, y, z) = α (1, 1, 1) + β (1, 2, 3) ⇔
x = α + β β = y - x
y = α + 2β ⇔ α = -x +2 y
z = α + 3β z = - x + 2y
Remarques :
1. Toute famille contenant une famille génératrice est-elle même génératrice (Pourquoi ?).
2. Une sous famille d’une famille génératrice n’est pas forcément génératrice : La famille {(1, 0,
0) ; (0, 1, 0) ; (0, 0, 1)} engendre l’espace vectoriel ℝ3. Cependant, la sous famille {(1, 0, 0) ; (0,
1, 0)} n’engendre pas l’espace vectoriel ℝ3. En effet, si tel était le cas, on aurait eu par exemple
(0, 0, 2) = a(1, 0, 0) +b(0, 1, 0) et donc 2 = 0. Ce qui est absurde.

9. 9
1.4.3 Familles libres, dépendance et indépendance linéaires.
Définition : Les m vecteurs e1, e2, … em de E sont linéairement indépendants et la
famille B = {e1, e2, ….., em} est libre, si la proposition suivante est vraie :
Si α1 e1 + α2 e2 + ….. + αmem = 0 alors α1 = 0, α2 = 0, … αm = 0.
Dans le cas contraire, les vecteurs sont linéairement dépendants et la famille B = {e1, e2, …..,
em}est dite liée.
Autrement dit, il existe des scalaires α1, α2 … αm non tous nuls tels que :
α1 e1 + α2 e2 + ….. + αmem= 0
Exemples : 1. Les vecteurs (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) sont linéairement indépendants
dans ℝ3. En effet,
α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) = 0 ssi α = β = γ = 0
2. La famille {(1, 0, 0) ; (1, 1, 0) ; (1, 1, 1)} est libre dans ℝ3. En effet,
α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1) = 0
⟺ (α + β + γ, β + γ, γ) = 0 ⟺ α = β = γ = 0
3. Les vecteurs (1, 2, 0) ; (0, 1, 1); (3, 8, 2) sont linéairement dépendants dans ℝ3.
En effet,
α(1, 2, 0) + β(0, 1, 1) + γ(3, 8, 2) = 0
𝛼 + 3𝛾 = 0
2𝛼 + 𝛽 + 8𝛾 = 0
𝛽 + 2𝛾 = 0
⇔
𝛼 + 3𝛾 = 0
𝛽 + 2𝛾 = 0
𝛽 + 2𝛾 = 0
⇔
𝛼 = − 3𝛾
𝛽 = −2𝛾
𝛾 arbitraire
4. La famille {(1, 2, 0); (0, 1, 1); (3, 8, 2)} est liée dans ℝ3. En effet,
par exemple pour γ= 1, on a β = -2 et α = -3, on a :
-3(1, 2, 0) - 2(0, 1, 1) + (3, 8, 2) = 0.
Remarques :
1. Toute famille contenant un seul vecteur non nul est libre.
2. Toute sous famille d’une famille libre est une famille libre.
3. Toute famille contenant une sous famille liée est liée.
1.4 Bases d’un espace vectoriel
Définition : Une famille B = {e1, e2, ….., em}de vecteurs de l’espace vectoriel E est une base
de E si elle est à la fois libre et génératrice.
Exemples : 1. 𝑩 = {1} est une base de ℝ
2. 𝑩 = {(1, 0) ; (1, 0)} est une base de ℝ2
3. 𝑩 = {(1, −1) ; (1, 1)} est une base de ℝ2
4. B = {(1, 0, 0) ; (0, 1, 0) ; (0, 0, 1)} est une base de ℝ3
5. B = {e1 (1, 0, …, 0) ; e2 (0, 1, …, 0) ; em(0, 0, …, 1,…, 0) en (0, 0, …, 0, 1)
une base de ℝn.
Ces bases sont dites les bases canoniques ou naturelles de ℝn.
mième
position

10. 10
Remarques
1. Toutes les bases d’un même espace vectoriel (et il y en une infinité !) ont le même
nombre de vecteurs. Ce nombre est la dimension de l’espace vectoriel.
La dimension de ℝn est n. On note dim ℝn = n. Pour le cas particulier où n = 0, on a
l’espace vectoriel trivial {0}, et sa dimension est dim {0} = 0.
2. De manière générale, et pour montrer qu’une famille B de vecteurs de ℝn est une base
de ℝn, on procède comme suit :
i. Vérifier que la famille B contient exactement n vecteurs (sinon elle ne peut être
une base de ℝn puisque dim ℝn = n)
ii. Dans ce cas, il suffit de montrer que B est soit libre soit génératrice.
2. Si V est sous espace vectoriel de E alors dimV ≤ dim E.
Par ailleurs, si dimE = n et dimV = n alors V =E
4. On a les propositions suivantes : Si E est sous espace vectoriel et dim E = n
1. Toute famille libre a au plus n éléments.
2. Toute famille libre de n éléments est une base.
3. Toute famille génératrice a au moins n éléments.
4. Toute famille génératrice de n éléments est une base.
Composantes d’un vecteur suivant une base
Proposition : Soit B= {e1, e2, ….., em} une famille de m vecteurs de E. Pour tout vecteur u de
E, il existe un m-uplet unique (x1, x2, ….., xm) tel que u = x1 e1 + x2e2 + ...+ xmem.
Les réels (x1, x2, ….., xm) sont les coordonnées de u dans la base B.
Exemple : Soient B = {e1, e2} la base canonique de ℝ2
et B’ = { f1, f2} la base de ℝ2
définies par :
𝑒 = (1, 0)
𝑒 = (0, 1)
𝑓 = (1, 1)
𝑓 = (1, −1)
Soit le vecteur u = (2, 3). On a alors :
- Les coordonnées de u dans la base canonique B sont 2 et 3.
- Les coordonnées de u dans la base B’ sont 5/2 et -1/2.
1.5 Changement de bases dans un espace vectoriel
Comme il n'y a pas d'unicité d'une base dans un espace vectoriel, il peut donc être naturel de
vouloir passer de l'expression d'un vecteur dans une base donnée à celle dans une autre base,
notamment pour faciliter les calculs.
On considère les deux bases B = {e1, e2, ….., em} et B’ = { f1, f2, ….., fm} d'un même
espace vectoriel E de dimension m. Les vecteurs de la base de B’ peuvent s'exprimer dans
B selon les relations. Ils sont représentés par :
𝑓 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 𝑒 + 𝑎 𝑒 + … + 𝑎 𝑒
𝑓 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 𝑒 + 𝑎 𝑒 + … + 𝑎 𝑒
……………………………………………………………..
𝑓 = 𝑎 𝑒 + 𝑎 𝑒 + 𝑎 𝑒 + … + 𝑎 𝑒

11. 11
 On appelle matrice de passage de B à B’ la matrice carrée P définie par :
f1 f2 f3 … fm
𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑒
𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑒
P = ……………………………
𝑎 𝑎 𝑎 … 𝑎 𝑒
Les colonnes d'indice i sont formées par les composantes fi dans la base B.
 La matrice P -1
, qui est la matrice inverse de P, sera la matrice de passage de B à B’.
Exemple 1 : Matrice de passage dans ℝ2
Soit B = { e1, e2} la base canonique de ℝ2
et B’ = { f1, f2} la base de ℝ2 définie par :
𝑒 = (1, 0)
𝑒 = (0, 1)
𝑓 = (1, 1) = 𝑒 + 𝑒
𝑓 = (1, −1) = 𝑒 − 𝑒
La matrice PBB’ sera donc la matrice de passage de B à B’
𝑓 𝑓
1 1 𝑒
PBB’ = 1 -1 𝑒
Pour un vecteur u = ae1 + be2 (avec a et b des réels), on peut donc l'exprimer en fonction de
f1, f2 , en résolvant le système d'équations, on obtient :
𝑒 = 𝑓 + 𝑓 et 𝑒 = 𝑓 − 𝑓
La matrice P -1 = PB’B sera donc la matrice de passage de B’ à B
𝑒 𝑒
1/2 1/2 𝑓
P -1 =PB’B = 1/2 -1/2 𝑓
Pour un vecteur u = ae1 + be2 (avec a et b des réels), on peut donc l'exprimer en fonction de
la nouvelle base :
u = (a, b) = ae1 + be2 = (𝑓 + 𝑓 ) + (𝑓 − 𝑓 ) = f1 + f2
Exemple 2 : Matrice de passage dans ℝ3
Soit B = {e1, e2, e3} la base canonique de ℝ3 et B’ = { f1, f2, f3} la base de ℝ3 définie par :
𝑒 = (1, 0, 0)
𝑒 = (0, 1, 0)
𝑒 = (0, 0, 1)
𝑓 = (1, −1, 1) = 𝑒 − 𝑒 + 𝑒
𝑓 = (1, 1, −1) = 𝑒 + 𝑒 − 𝑒
𝑓 = (1, 0, −1) = 𝑒 − 𝑒
La matrice P sera donc la matrice de passage de B à B’ :

12. 12
𝑓 𝑓 𝑓
1 1 1 e1
P = -1 1 0 e2
1 -1 -1 e3
La matrice P est obtenue en écrivant les coordonnées de f1, f2 et f3 en colonnes.
La matrice P -1 sera donc la matrice de passage de B’ à B obtenue en explicitant les vecteurs
de la base B dans B’ :
𝑓 = 𝑒 − 𝑒 + 𝑒
𝑓 = 𝑒 + 𝑒 − 𝑒
𝑓 = 𝑒 − 𝑒
⟺
𝑒 =
1
2
𝑓 −
1
2
𝑓
𝑒 = 𝑓 − 𝑓
𝑒 =
1
2
𝑓 +
1
2
𝑓 − 𝑓
0
P-1
= − 1
0 -1 -1
1.6 : Norme et distance
Définition : Soit u (x1, x2, ….., xn) un vecteur de l’espace vectoriel E muni de sa base
canonique. Alors la norme du vecteur u, notée ‖𝑢‖ est le réel positif :
‖𝒖‖ = 𝒙𝟏
𝟐
+ 𝒙𝟐
𝟐
+ … + 𝒙𝒏
𝟐
Rappel : Une base est dite orthonormée si les vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux
et tous de même longueur égale à 1.
Exemples : 1. Si u= (3, 4) alors ‖𝑢‖ = √3 + 4 =√25 = 5
2. Si u= (0, 2) alors ‖𝑢‖ = √0 + 2 =√4 = 2
3. Si u= (0, 1, 1) alors ‖𝑢‖ = √0 + 1 + 1 =√2
Remarque : 1. Un vecteur dont la norme est égale à 1 (‖𝑢‖ = 1) est dit vecteur unitaire.
2. Le vecteur nul a pour norme 0 : ‖0‖ = 0.
Propriétés :
1. ‖𝒖‖ = 0 ⟺ u = 0.
2. ‖𝜶 . 𝒖‖ = |𝜶|‖𝒖‖
3. ‖𝒖 + 𝒗‖ ≤ ‖𝒖‖ + ‖𝒗‖ (Inégalité triangulaire)

13. 13
Remarque :
Soit u une vecteur non nul (‖𝑢‖ ≠ 0), le vecteur v =‖ ‖
est unitaire. En effet, ‖ ‖
=
‖ ‖
‖ ‖
= 1.
Dans le plan ℝ2 :
b (a, b)
‖𝑢‖=√𝑎 + 𝑏
O
a
Définition : Soit u (x1, x2, ….., xn) et v(y1, y2, ….., yn) deux vecteurs de l’espace vectoriel 𝑬
muni de sa base canonique. Alors la distance entre les deux vecteurs u et v, notée d(u, v)est le
réel positif:
d (u, v)= (𝒙𝟏 − 𝒚𝟏)𝟐 + … + (𝒙𝒏 − 𝒚𝒏)𝟐 = ‖𝒖 − 𝒗‖
1.7 : Angle entre deux vecteurs.
Définition. L’angle entre deux vecteurs u et v, noté (𝑢 , 𝑣) est l’angle non orienté, formé
par ces deux vecteurs lorsqu’ils sont ramenés à une origine commune.
L’angle (𝑢 , 𝑣) est dans l’intervalle [0, 𝜋].
Deux vecteurs colinéaires u = k v ont pour angle :
a. soit 0 + 2 n 𝜋 dans le cas où 𝑘 > 0
b. soit 𝜋 + 2 n 𝜋 dans le cas où k < 0
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux s’ils forment un angle droit : (𝑢 , 𝑣) =
1.8 Produit scalaire. Les définitions suivantes du produit scalaire peuvent être énoncées
dans n’importe quel espace ℝn. Toutefois nous allons donner la définition dans ℝ3 et on
pourra s’en inspirer pour définir le produit scalaire de la même manière dans ℝn.
Définition : On considère une base orthonormée de l'espace et soient u (x ; y ; z) et v (x' ; y' ; z')
deux vecteurs. On appelle produit scalaire de u et v le réel noté u .v et défini par :
u .v xx' yy' zz'
Exemple : avec u (1 ; 2 ; 3) et v (2 ; 3 ; 6), on obtient : u .v 2 6 18 26
u
v u v
(𝑢 , 𝑣)

14. 14
Remarque 1. Pour tout vecteur u, on a : u. u x2
+ y2
+ z2
= ‖𝑢‖2
On notera parfois (par convention et abus d’écriture) : u2
= ‖𝑢‖2
De même, si A et B sont deux points et 𝐴𝐵
⃗ un vecteur, on a 𝐴𝐵
⃗. 𝐴𝐵
⃗|| AB ||2
Remarque Si l'un des deux vecteurs u ou v est nul , alors le produit scalaire est nul. Mais
attention, l'égalité u. v 0 n'entraîne pas nécessairement que u 0 ou v 0. En effet, il
suffit de considérer par exemple les vecteurs u(1 ; 2 ; 0) et v(2 ; 1 ; 0) pour s'en
convaincre : u ≠ 0 et v ≠ 0 et pourtant u . v = 0. Ce sont des vecteurs orthogonaux.
On peut noter que si u (α ; β) et v (- β ; α) alors le produit scalaire u . v = 0. Et tout vecteur
ayant pour coordonnés (- kβ ; kα), où k étant un réel non nul, est orthogonal à u.
Remarque Si les vecteurs u et v sont colinéaires (v ku) alors :
u .v x . kxy . kyz . kzk(x2
+ y2
+ z2
) k ||u ||2
1.8.1. Théorème (Autres expressions du produit scalaire)
1. Soient u (x ; y ; z) et v (x' ; y' ; z') alors u . v =xx'+ yy' + zz'
2. Pour tous vecteurs u et vu . v 
𝟏
𝟐
|| u v ||2 || u ||2 || v ||2 )
3. Pour tous vecteurs u et v tels que u 0 et v 0:u . v|| u || . || v || . cos(𝒖 , 𝒗)
Preuve de la proposition 1 du théorème.
Notons (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') les coordonnées respectives de u et v. On a alors :
|| u v ||2
 x x2
y y2
z z2
  x2
2xx' x2
y2
2yy' y2
z2
2zz' z2
 x2
y2
z2
x’ 2
y’ 2
z’ 2
2 (xx' yy' zz')
  ||u||2
||v||2
+ 2 u .v
Remarque : Le produit scalaire est indépendant de la base où il est calculé et ne dépend que
des normes des vecteurs.
Orthogonalité
Voyons maintenant un lien important entre le produit scalaire et le théorème de Pythagore.
Soient u et v deux vecteurs orthogonaux i. e. (𝑢 , 𝑣) = . On a alors, d'après le théorème de
Pythagore :
|| u v ||2
|| u ||2
|| v ||2
Et d'après la relation
u .v  || u v ||2
|| u ||2
|| v ||2
)
nous obtenons : u . v 0
Réciproquement, si u . v 0 alors la même relation permet d'affirmer que
u
v
u+v

15. 15
|| u v ||2
|| u ||2
|| v ||2
.
Et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit l'orthogonalité des vecteurs u
et v. Ainsi, nous avons montré :
1.8.2 Proposition u v ⟺u . v 0
Remarque : Si un vecteur u est orthogonal à tout vecteur, alors c'est le vecteur nul. En effet,
on a alors en particulier : u . u 0. En notant (x, y, z) les coordonnées de u dans une base
orthonormée, on a : x2
y2
z2
0. D'où, nécessairement : x y z = 0 et donc u0.
1.8.3 Propriétés
Soient u et v deux vecteurs de l'espace et soit un réel. On a les propriétés suivantes :
a. Symétrie : u .v v. u
b. Bilinéarité (linéarité par rapport aux deux places) :
(u v) . w u . w v . w et (u) . v u . v (linéarité par rapport à la 1ere
place)
u . (v w) u . v u . w et u . (v) u .v (linéarité par rapport à la 2ème
place)
c. Séparation : si u . u 0 alors u 0
1.8.4 Bases orthonormées
Proposition : Soit B = {e1, e2, ….., em} une famille de m vecteurs de ℝn . Alor B est une
base orthonormée de ℝn. si et seulement si :
1. ‖𝒆𝒊‖ = 1 pour tout i = 1, 2, …, n
2. Le produit scalaire 𝑒 . 𝑒 = 0 pour tout i et j = 1, 2, …., n avec i ≠ j.
Donc, une base orthonormée de ℝn est formée de vecteurs orthogonaux deux à deux et chacun
de norme égale à 1.
Exemples :
1. les bases canoniques sont orthonormées :
a. La base {(1, 0) et (0, 1)} est orthonormée de ℝ2
.
b. La base {(1, 0, 0); (0, 1, 1); (0, 0, 1)}est orthonormée de ℝ3
.
c. La base {e1 (1, 0, …, 0) ; e2 (0, 1, …, 0) ; em (0, 0, …, 1, …, 0) ; en (0, 0, …, 0, 1)}
une base de ℝn.
2. Les vecteurs (cos 𝜃 , sin 𝜃), (− sin 𝜃 , cos 𝜃) forment une base orthonormée de ℝ2
.
3. Les vecteurs(cos 𝜃 , sin 𝜃 , 0), (−sin 𝜃 , cos 𝜃, 0) et (0, 0, 1) forment une base orthonormée
de ℝ3
.
4. Les vecteurs (
√
, 0,
√
); (0, 1, 0); (
√
, 0, −
√
) forment une base orthonormée dans ℝ3
.

16. 16
Chapitre 2 Espaces affines
2.1 Définition. Soit un espace vectoriel E sur ℝ. Un espace affine attaché à E est un
ensemble E non vide, muni d'une loi de composition externe + telle que :
E x E E
(A, 𝑢
⃗) A + 𝑢
⃗
Vérifiant :
1. Pour tout A ∈ E, A + 0
⃗ = A
2. Pour tout A ∈ E, et pour tous 𝑢
⃗ et 𝑣
⃗ dans E, A + (𝑢
⃗ + 𝑣
⃗) = (A + 𝑢
⃗) +𝑣
⃗
3. Pour tous A et B ∈ E, il existe un unique 𝑢
⃗∈ E tel que B = A + 𝑢
⃗
Si E est un espace affine attaché à E :
- On dit que E est l’espace vectoriel directeur de E.
- Les éléments de E sont appelés des points et ceux de E sont des vecteurs.
Vecteurs définis par des points.
Soit E est un espace affine attaché à E. Etant donnés deux points A et B ∈ E, l’unique vecteur
𝑢
⃗ ∈ E tel que B = A + 𝑢
⃗ est noté 𝐴𝐵
⃗. Les trois propriétés vérifiées dans la définition
donnent les résultats suivants :
1. Pour tous A et B ∈ E et pour tout 𝑢
⃗ ∈ E, B = A + 𝑢
⃗ ⇔ 𝑢
⃗ = 𝐴𝐵
⃗
En particulier si A = B alors 𝐴𝐵
⃗ = 0.
2. La relation de Chasles est vérifiée : Soient A, B et C des points de E, alors
𝐴𝐵
⃗ = 𝐴𝐶
⃗ + 𝐶𝐵
⃗
3. Pour tous A et B ∈ E, 𝐵𝐴
⃗ = - 𝐴𝐵
⃗
Exemple :
3 -
𝐴𝐵
⃗= (1, 2)
2-
1 -
0
2. 2 Repères dans un espace affine
Dans ce paragraphe, E désigne un espace affine attaché à un espace vectoriel E.
Définition. Un repère de E est un couple R = (O, B) formé d’un point O et d’une base B de
E, B = { e1, e2, ….., em}.
- B est la base du repère, O est l’origine du repère, e1, e2, ….. em sont les vecteurs de la base.
- Pour tout point M de E, les composantes du vecteur 𝑂𝑀⃗sont appelées les coordonnées de M
dans la repère R. ainsi, 𝑂𝑀
⃗ = x1 e1 + x2 e2 + ….. + xmem. On note aussi :
𝑂𝑀
⃗ = (x1, x2, ….., xm) ou encore 𝑂𝑀(x1, x2, ….., xm) ou encore aussi M(x1, x2, ….., xm).
A = (2, 1)
B = (3, 3)

17. 17
- Si A = (x1, x2, …, xm) et B = (y1, y2, …, ym) alors 𝐴𝐵
⃗ = (y1 - x1, y2 - x2, …, ym - xm).
En effet, 𝐴𝐵
⃗ = 𝐴𝑂
⃗ + 𝑂𝐵
⃗ = 𝑂𝐵
⃗ - 𝑂𝐴
⃗
2.3 Changement de repères
Il peut donc être naturel de vouloir passer de l'expression d'un point dans un repère R = (O, B)
donné à celle dans un autre repère R’ = (O’, B’), par exemple pour faciliter les calculs.
Exemple : On munit ℝ2
du repère R = (O, B) et du repère R’ = (O’, B’), où B = {e1, e2} la
base canonique de ℝ2
et B’ = {f1, f2} la base de ℝ2 définie par :
O = (0, 0)
𝑒 = (1, 0)
𝑒 = (0, 1)
O’ = (2, 1)
𝑓 = (2, 1)
𝑓 = (1, −3)
Soit le point M = (a, b) dans R et M = (a’, b’) dans R’. Comment trouver a’ et b’ en
fonction de a et b ? On écrit :
𝑂𝑀
⃗ = a𝑒 + b𝑒 = 𝑂𝑂′
⃗ + 𝑂′𝑀
⃗ = 𝑂𝑂′
⃗ + 𝑎′𝑓 + b′𝑓
(a, b) = (2 + 2 a’ + b’, 1 + a’ - 3 b’)
D’où a’ = (3a + b - 7) et b’ = (a - 2b)
2.4 Orientation d’un repère direct et indirect
Soit un repère (O, i, j, k). Soit un observateur se tenant debout dans l’axe (O, k), les pieds en
O et regardant le point I. Le repère est dit direct si l’observateur a le point J à sa gauche. Il est
Indirect dans le cas contraire.
L’espace étant orienté, il est alors possible d’orienter tout plan de l’espace. Soit (O, i, j) un
repère d’un plan P. Soit k un vecteur normal au plan P (sa direction est perpendiculaire au
plan P). On dira que le repère (O, i, j) est direct dans P lorsque le repère (O, i, j, k) l’est dans
l’espace.
Les bases du plan ou de l’espace s’orientent de la même façon que les repères.
I
k j
O
i
J
J
j I
i
k
Repère Direct Repère Indirect
K
K
i
k j
O
k
j
i
O
Repère du plan direct Repère du plan indirect

18. 18
3. Barycentre. Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments, c'est-à-dire les
produits des longueurs de bras par les masses correspondantes, soient égaux. Autrement dit le
point d'équilibre est caractérisé par la relation : m1𝐺𝐴
⃗= - m2𝐺𝐵
⃗ ou encore m1𝐺𝐴
⃗ + m2𝐺𝐵
⃗ = 0.
G
A B
3.1. Barycentre de deux points pondérés
Théorème : Soient A et B deux points et α et β deux réels. Si α + β ≠ 0, alors il existe
un unique point G tel que α 𝐺𝐴
⃗ + β 𝐺𝐵
⃗ = 0.
Définition : Soient A et B deux points et α et β deux réels tels que α + β ≠ 0. L'unique
point G tel que α 𝐺𝐴
⃗ + β 𝐺𝐵
⃗ = 0 est appelé barycentre des points A et B affectés des
coefficients α et β.
Remarques :
- On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β),
ou encore que G est le barycentre du système {(A, α), (B, β)}.
On note : G = bar {(A, α), (B, β)}
- Si α = β = m, on dit que G est l'isobarycentre des points A et B (A et B étant deux points
distincts).
A G B
Théorème : Soit G le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β) avec α + β ≠ 0. Alors,
pour tout point M du plan, on a :
(α + β)𝑀𝐺
⃗ = α 𝑀𝐴
⃗ + β 𝑀𝐵
⃗
D'où l'on déduit 𝑀𝐺
⃗ = 𝑀𝐴
⃗ + 𝑀𝐵
⃗
Démonstration : On suppose que α + β ≠ 0. On sait que α 𝐺𝐴
⃗ + β 𝐺𝐵
⃗ = 0.
Donc, à l'aide de la relation de Chasles : α (𝐺𝑀
⃗ + 𝑀𝐴
⃗) + β(𝐺𝑀
⃗ + 𝑀𝐵
⃗) = 0
Donc (α + β)𝐺𝑀
⃗ = − (α 𝑀𝐴
⃗ + β 𝑀𝐵
⃗)
Ce qui donne (α + β)𝑀𝐺⃗ = α 𝑀𝐴
⃗ + β 𝑀𝐵
⃗
Et enfin 𝑀𝐺
⃗ = 𝑀𝐴
⃗ + 𝑀𝐵
⃗
Exemple : Soient A = (2, 1) et B = (3, 2). Comment trouver le barycentre G des points
pondérés (A, 4) et (B, 5)? Soit G (x, y). Sachant que 4 + 5 = 9 ≠ 0, il vient que :
4𝐺𝐴
⃗ + 5𝐺𝐵
⃗ = 0
⇔ 4(2 – x, 1 – y) + 5(3 – x, 2 – y) = 0 ⇔ (23 – 9x, 14 – 9y) ⇔ x = 23/9 et y = 14/9
m2
m1
m m

19. 19
Propriétés :
1. Si G est le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β) avec α + β ≠ 0 et A et B deux
points distincts. Alors G appartient à la droite (AB) (ce qui revient à dire que les points G, A et
B sont alignés).
2. Position du barycentre G sur la droite (AB) :
Si α + β ≠ 0 et α et β deux réels tous deux positifs ou tous deux négatifs,
alors G appartient au segment [AB].
3. Homogénéité : le barycentre de deux points pondérés ne change pas si l'on multiplie les
coefficients par un nombre réel non nul. Ce qui se traduit par :
Si G est le barycentre du système (A, α) et (B, β) avec α + β ≠ 0 alors G est aussi le
barycentre du système (A, kα) et (B, kβ)} avec k réel non nul.
3.2 Barycentre de trois points pondérés
Théorème : Soient A, B et C trois points et α, β et  trois réels. Si α + β +  ≠ 0, alors
il existe un unique point G tel que α 𝐺𝐴
⃗ + β 𝐺𝐵
⃗ + 𝐺𝐶
⃗ = 0.
Définition : Soient A, B et C trois points et α, β et  trois réels. Si α + β +  ≠ 0.
L'unique point G tel que α 𝐺𝐴
⃗ + β 𝐺𝐵
⃗ + 𝐺𝐶
⃗ = 0 est appelé barycentre des points A, B et
C affectés des coefficients α, β et 
Remarques
- On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés (A, α), (B, β) et (C, ),
ou encore que G est le barycentre du système {(A, α), (B, β), (C, )}.
On note : G = bar {(A, α), (B, β), (C, )}
- Si α = β = m on dit que G est l'isobarycentre des points A, B et C.
Si ABC est un triangle équilatéral, l'isobarycentre G est le centre de gravité de ABC.
A
G
B C
Théorème : Soit G le barycentre des points pondérés points pondérés (A, α), (B, β) et (C, )
avec α + β + ≠ 0, alors pour tout point M du plan, on a :
(α + β + γ)𝑀𝐺
⃗ = α 𝑀𝐴
⃗+ β 𝑀𝐵
⃗ + γ 𝑀𝐶
⃗
D'où l'on déduit 𝑀𝐺
⃗ = 𝑀𝐴
⃗ + 𝑀𝐵
⃗+ 𝑀𝐶
⃗
Propriété :
- Homogénéité : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on multiplie les
coefficients par un nombre réel non nul. Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du
système {(A, α), (B, β), (C, )} avec α + β + ≠ 0 alors G est aussi le barycentre du
système {(A, kα), (B, kβ), (C, k)} avec k réel non nul.

20. 20
Théorème du barycentre partiel : Soit G le barycentre des points pondérés points pondérés
(A, α), (B, β) et (C, ) avec α + β ≠ 0 et notons H le barycentre de (A, α), (B, β). Alors G est le
barycentre de (H, α + β) et (C, ).
3.3 Barycentre de n points pondérés
On généralise à n points les résultats établis pour deux ou trois points.
Théorème: Soient 𝐴 ,𝐴 , …, 𝐴 , n points et 𝛼 , 𝛼 , …, 𝛼 , n réels tels que 𝛼 + 𝛼 + …+
𝛼 ≠ 0. Alors il existe un unique point G tel que 𝛼 𝐺𝐴⃗ + 𝛼 𝐺𝐴⃗ + … + 𝛼 𝐺𝐴 ⃗ = 0.
Définition : Soient 𝐴 , 𝐴2, …, 𝐴 , n points et 𝛼 , 𝛼 , …, 𝛼 , n réels tels que
𝛼 + 𝛼 + …+ 𝛼 ≠ 0. L'unique point G tel que 𝛼 𝐺𝐴⃗ + 𝛼 𝐺𝐴⃗ + … + 𝛼 𝐺𝐴 ⃗ = 0 est
appelé barycentre des points 𝐴 ,𝐴 , …, 𝐴 , affectés des coefficients 𝛼 , 𝛼 , …, 𝛼 
Remarques :
- On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés ( 𝐴 , 𝛼 ), ... , ( 𝐴 , 𝛼 ). Ou encore
que G est le barycentre du système {( 𝐴 , 𝛼 ), ..., ( 𝐴 , 𝛼 )}. On note : G = bar {( 𝐴 , 𝛼 ), ...,
( 𝐴 , 𝛼 )}.
- Si 𝛼 = 𝛼 =… = 𝛼 , on dit que G est l'isobarycentre des points 𝐴 ,𝐴 , …, 𝐴 (qui sont
distincts).
Théorème : Soit G le barycentre des points pondérés points pondérés ( 𝐴 , 𝛼 ), ..., ( 𝐴 , 𝛼 )
avec 𝛼 + 𝛼 + …+ 𝛼 ≠ 0, alors pour tout point M du plan, on a :
(𝛼 + 𝛼 + ⋯ + 𝛼 ) 𝑀𝐺
⃗ = 𝛼 𝑀𝐴⃗ + … + 𝛼 𝑀𝐴 ⃗
D'où l'on déduit 𝑀𝐺
⃗ = ⋯
𝑀𝐴⃗ + …+ ⋯
𝑀𝐴 ⃗
Propriétés :
- Homogénéité : le barycentre de n points pondérés ne change pas si l'on multiplie les
coefficients par un nombre réel non nul. Ce qui se traduit par : si G est le barycentre du
système {( 𝐴 , 𝛼 ), ..., (𝐴 , 𝛼 )} avec𝛼 + 𝛼 +…+𝛼 ≠ 0, alors G est aussi le barycentre du
système {( 𝐴 , 𝑘𝛼 ), ..., (𝐴 , 𝑘𝛼 )} avec k réel non nul.
Théorème du barycentre partiel : Soit G le barycentre des points pondérés points pondérés
(𝐴 , 𝛼 ), ..., (𝐴 , 𝛼 ). Supposons que 𝛼 + 𝛼 + …+ 𝛼 ≠ 0 où p ≤ n et notons H le
barycentre du système {(𝐴 , 𝛼 ), ..., ( 𝐴 , 𝛼 )}.
Alors G est le barycentre du système {(H, 𝛼 + 𝛼 + …+ 𝛼 ), ( 𝐴 , 𝛼 ), …, (𝐴 , 𝛼 )}
3.4. Coordonnées du barycentre
Dans un repère (O, i, j), si G est le barycentre des points pondérés ( 𝐴 , 𝛼 ), ..., ( 𝐴 , 𝛼 ) avec
𝛼 + 𝛼 + …+ 𝛼 ≠ 0, alors les coordonnées du point G sont :
𝑥 =
⋯
⋯
et 𝑦𝐺 =
𝛼1𝑦1+𝛼2𝑦2+⋯+𝛼𝑛𝑦𝑛
𝛼1+𝛼2+⋯+𝛼𝑛
Exemple : A, B et C sont trois points tels que A(-2; 3), B(2; 4) et C(1; -1).
Le barycentre G de {(A, 4); (B, 3); (C, -2)} a pour coordonnées le couple (xG; yG) tel que :
𝑥 =
( )
= − et 𝑦 =
( )
=
26

21. 21
Chapitre 3 Géométrie dans le Plan
3.1 Coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires
Dans le plan, il existe plusieurs façons de repérer un point. On utilise pour cela des repères.
3.1.1 Repérage cartésien : On munit le plan d'un repère orthonormé (O, i, j). A tout point M
de ce plan, correspond un couple unique (x, y) de réels tels que 𝑂𝑀
⃗ = x 𝚤
⃗+ y𝚥
⃗. Ce couple
s'appelle coordonnées cartésiennes du point M dans le repère (O, i, j).
3.1.2 Repérage polaire : On munit une droite du plan d'un repère (O ; 𝚤
⃗ ). A tout point M de
ce plan correspond un couple unique (,  ) où est la distance OM et  une mesure de
l'angle orienté ( 𝚤
⃗;𝑂𝑀
⃗). Ce couple s'appelle coordonnées polaires du point M relativement au
repère (O ; 𝚤
⃗ ).
3.1.3 Passage des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes et vice versa.
Comment passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :
 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
cos =
𝒙
𝛒
; sin  =
𝒚
𝛒
et = Arctg
𝒚
𝒙
Comment passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes :
x = cos ety = sin
3.2 Equations de droite dans le plan
3.2.1 Comment caractériser une droite ?
1. Une droite D du plan peut être caractérisée par deux points distincts A et B et dans ce
cas on peut dire que c'est l'ensemble des points M du plan tels que les vecteurs 𝐴𝐵
⃗ et
𝐴𝑀
⃗ soient colinéaires.
M A B (D)
2. Une droite (D) du plan peut être caractérisée par un point A de la droite et un vecteur
directeur 𝑢
⃗ de D et dans ce cas c'est l'ensemble des points M du plan tels que 𝐴𝑀
⃗ et
𝑢
⃗ sont colinéaires.
A M
x
y
ρ
θ
M(x, y)
O
𝐴𝑀
⃗
𝐴𝐵
⃗
𝐴𝑀
⃗
𝑢
⃗

22. 22
3. Une droite (D) du plan peut être caractérisée par un point A de la droite et un vecteur
𝑛
⃗normal à D dans ce cas c'est l'ensemble des points M du plan tels que 𝐴𝑀
⃗ et 𝑛
⃗ soient
orthogonaux :
A , , M (D)
Remarque : Il existe bien sur d'autres caractérisations de droites dans le plan
3.2.2 Comment déterminer l'équation d'une droite en utilisant les caractérisations
précédentes ?
Soit le plan muni d'un repère (O, i, j). Déterminer l'équation d'une droite (D) c'est en quelque
sorte déterminer l'égalité que doivent vérifier les coordonnées (x ; y) d'un point M quelconque
de cette droite. On peut, après simplification trouver certains types d'équations :
• Le point M (x, y) ∈ D passant par le point A(xA,yA) et de vecteur directeur 𝑢
⃗(a, b) si et
seulement si les vecteurs 𝐴𝑀
⃗ et𝑢
⃗ sont colinéaires, c'est-à-dire, il existe un réel t tel que 𝐴𝑀
⃗
= t𝑢
⃗.
𝑥 = 𝑥 + 𝑡. 𝑎
𝑦 = 𝑦 + 𝑡. 𝑏
C’est la représentation paramétrique de la droite.
• ax + by + c = 0 (où a, b, c trois réels fixés tels que a et b non nuls) est l’équation
cartésienne de la droite (D).
• y = mx + p (où m et p deux réels fixés, m étant la pente de la droite) est appelée
équation réduite de la droite (D).
• x = p (avec p réel fixé) est l'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des
ordonnées.
Exemples :
1. Déterminer une équation de la droite (AB) sachant que A(2; 1) et B (3; -1) :
Le point M (x ;y) ∈ (AB) si et seulement si les vecteurs 𝐴𝐵
⃗ et 𝐴𝑀
⃗ sont colinéaires, c'est-à-
dire, il existe un réel t tel que 𝐴𝑀
⃗ = t𝐴𝐵
⃗.
Comme 𝐴𝑀
⃗(x – 2, y – 1) et 𝐴𝐵
⃗ (1, -2), alors (équation paramétrique :
𝑥 − 2 = 𝑡
𝑦 − 1 = −2𝑡
et
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 1 − 2𝑡
En éliminant t dans les deux équations, on trouve
-2(𝑥 − 2) = 𝑦 − 1
-2x - y + 5 = 0 (Equation cartésienne de (AB))
y = -2x + 5 (Equation réduite de (AB))
C’est la droite de vecteur directeur𝑢
⃗ (1, -2), et passant par A(2; 1)
2. On veut déterminer une équation de la droite passant par A (3; 1) et de vecteur directeur
𝑢
⃗(-1; 2) :
M (x ;y) ∈ (D) ⟺ 𝐴𝑀
⃗ (x – 3, y – 1) et 𝑢
⃗(-1; 2) sont colinéaires
𝑥 − 3 = −𝑘
𝑦 − 1 = 2𝑘
𝐴𝑀
⃗
𝑛
⃗

23. 23
En éliminant k dans les deux équations, on trouve
2(𝑥 − 3) = -𝑦 + 1
2x + y - 7 = 0 (Equation cartésienne de (D))
y = -2x + 7 (Equation réduite de (D))
3. On veut déterminer une équation de la droite passant par A (3; 1) et de vecteur normal
𝑛
⃗ (-1; 2) :
M (x ;y) ∈ (D) ⟺ 𝐴𝑀
⃗ (x – 3, y – 1) et 𝑢
⃗(-1; 2) sont orthogonaux et donc leur produit
scalaire est nul :
-1 . (x – 3) + 2 . (y – 1) = 0
- 𝑥 + 2𝑦 + 1= 0 (Equation cartésienne de (D))
y = x - (Equation réduite de (D))
3.2.3 Equation réduite d'une droite dans le plan
Dans le plan muni d'un repère (O, i, j), l’équation réduite d'une droite non parallèle à l'axe des
abscisses est de la forme y = mx + p. (les nombres m et p sont appelées respectivement pente
et ordonnée à l'origine de la droite). L'équation réduite d'une droite parallèle à l'axe des
ordonnées (axe des y) est de la forme : x = p.
Comment déterminer une équation réduite d'une droite (AB) ?
Soient A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points de cette droite :
Première étape : on regarde si les points A et B ont la même abscisse, c'est-à-dire, xA = xB. Si
c'est le cas inutile d'aller plus loin, l'équation réduite de la droite (AB) est tout simplement :
x = xA. (AB) est une droite verticale, sa pente est infinie.
On utilise le même raisonnement si yA = yB l'équation réduite de la droite (AB) est tout
simplement y = yA. (AB) est une droite horizontale, sa pente est nulle.
Si xA = xB et yA = yB, c'est-à-dire A=B alors il y a une infinité de droites qui passent par ce
point.
Deuxième étape: on suppose que xA xB et yA yB.
On calcule la pente m de la droite (AB) avec la formule : m =
𝒚𝑩 𝒚𝑨
𝒙𝑩 𝒙𝒂
.
Troisième étape : on cherche l'ordonnée à l'origine p en utilisant les coordonnées du point A
ou du point B qui vérifient l’équation y = mx + p et on en déduit p en résolvant cette
équation.
Exemples : On veut déterminer les équations des droites (AB) , (BC) et (AC) avec A(2 ; 3) ,
B(-2 ; 5) et C(2 ; 5)
1. Equation de (AB) : m =
𝟓 𝟑
𝟐 𝟐
= −
𝟏
𝟐
L’équation est donc de la forme y = − x + p.
Comme A(2 ; 3) ∈ (AB), ses coordonnées vérifient l’équation et on en tire p = 4. L’équation
de la droite (AB), est donc :y = −
𝟏
𝟐
x +4

24. 24
2. Equation de (BC) : Les points B(-2 ; 5) et C(2 ; 5) ont la même ordonnées qui est 5.
Donc la pente est nulle et la droite (BC) horizontale et est d’équation y = 5.
3. Equation de (AC) : Les points A(2 ; 3) et C(2 ; 5) ont même abscisse qui est 2. Donc la
pente n’existe pas, la droite (AC) est verticale et est d’équation : x = 2
Comment déterminer l'équation d'une droite D' parallèle ou perpendiculaire à une
autre droite D ?
Soit le plan est muni d'un repère orthonormé (O, i, j).
Propriété :Si y = mx + p est l'équation réduite d'une droite D (où m et p sont deux réels
fixés) alors le vecteur 𝑢
⃗ (1 ; m) est un vecteurs directeur de D (et donc aussi tout vecteur
colinéaire à 𝑢
⃗ est un vecteur directeur de D)
Preuve :lespoints A(0; p) et B(1 ; m + p) appartiennent à la droite (AB) donc le vecteur
𝐴𝐵⃗(1 ; m) est un vecteur directeur de (AB).
Proposition : Soient D et D' deux droites d'équations réduites respectives :
y = mx + p et y = m'x + p'
1. D // D' (parallèles ou confondues) équivaut à m = m'
2. D ┴ D' (perpendiculaires) équivaut à mm' = -1
Preuve : Si𝑢
⃗ (1 ; m) est un vecteur directeur de D et 𝑣
⃗ (1 ; m’) est un vecteur directeur de D'
1. D // D' (parallèles ou confondues) équivaut à 𝑢
⃗ (1 ; m) et 𝑣
⃗ (1 ; m’) sont
colinéaires ce qui équivaut à m = m'
2. D ┴ D' (perpendiculaires) équivaut à 𝑢
⃗ (1 ; m) et 𝑣
⃗ (1 ; m’) sont orthogonaux
ce qui équivaut à 1 + mm' = 0 et donc mm' = -1
Droites // (même pente) Droites (Produit des pentes est -1)
Exemple 1: On veut déterminer l'équation de la droite D' sachant que D' est parallèle à la
droite D d'équation y = 3x + 5 et que A(-1 ; 6) D' :
La droite D a pour équation y = 3x + 5 et D’ // D (Elles ont même pente).L’équation de
D’est donc de la forme y = 3x + p. Comme A(-1 ; 6) D', alors 6 = -3 + p d’où p
= 9. Par conséquent D’ a pour équation y = 3x + 9
y=mx + q
y=mx + p
y= x + p
y= mx + q

25. 25
Exemple 2 : On veut déterminer l'équation de la droite D'' sachant que D" est perpendiculaire
à la droite D d'équation y = 3x + 5 et que A (-1 ; 6) D'' :
La droiteD a pour équation y = 3x + 5 et D'' D (Le produit de leurs pentes est égal à
-1).L’équation de D'' est donc de la forme y = - x + p. Comme A(-1 ; 6) D'', alors 6
= + p d’où p = . Par conséquent D'' a pour équation y = - x + .
3.2.4 Equation d'une droite en coordonnées polaires
1. Equation d'une droite passant par l'origine
= 0 [ ] avec variant dans
2. Equation d'une droite ne passant pas par l'origine
L'équation cartésienne d'une droite est de la forme
ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0) et c ≠ 0
acos  + b sin  + c = 0
a cos + b sin  ) = - c
= - c / (acos + b sin )
=
𝟏
𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝜷 𝐬𝐢𝐧 𝜽
où (α, β) ≠ (0

3.2.4 Distance d’un point à une droite.
On appelle la distance dupointM0à la droite (D) la plus courte distance du pointM0à un point
de la droite (D).
M0.
(D)
La distance d’un point M0(x0, y0) à une droite (D) : ax + by + c = 0 (où a, b, c trois réels
fixés tels que a ou b non nuls) est donné par la formule :
d (M0, D) =
| |
√
Exemple : Déterminer la distance du point M(2, 1) à une droite (D) : - 2x + y = 3.
d (M, D) =
| . . |
( )
=
√
3..3 Equation d’un cercle.
3.3.2 Equation algébrique du cercle
Le cercle C est l’ensemble des points équidistant à un point donné O. Il est défini par son
centre O(p, q) et par son rayon R. Un point P(x, y) appartient au cercle C si et seulement si
θ = 𝜽𝟎
ρ

26. 26
|| OP|| = R. Les coordonnées du vecteur OP sont (x - p, y - q); par conséquent l'équation peut
s'écrire:
(x - p) ² + (y - q) ² = R ² (*)
Si le centre O est à l'origine des coordonnées, le cercle a pour équation
x ² - y ² = R ²
En développant l'équation (*), on obtient :
x² + y ² - 2px - 2qy + p ² + q ² - R ² = 0
Inversement étant donné une équation de la forme a(x² + y²) + bx + cy + d = 0,
essayons de la mettre sous la forme (*).
Si a = 0, il s'agit de l'équation d'une droite (à condition que b et c ne soient pas
simultanément nuls). Dans le cas général où a n'est pas nul, l'équation peut s’écrire :
x ² + y ² + b/a .x + c/a .y + d/a = 0
(x + b/2a) ² + (y + c/2a) ² = (b ² + c ² - 4ad) / 4a ²
Cette équation est celle d'un cercle de centre C (- b/2a, -c/2a) et de rayon
√𝑏2
+ 𝑐2 − 4𝑎𝑑
Remarque. Lorsque le premier membre de l'équation d'un cercle est écrit de manière à ce que
le coefficient de x² + y² soit égal à 1, on dit que l'équation est mise sous forme normale.
3.3.2 Equation d'un cercle en coordonnées polaires
1. Equation d'un cercle de centre O et de rayon R.
 = R= constante (avec  appartenant à un intervalle au moins d'amplitude 2 )
2. Equation d'un cercle de centre I( ) et de rayon R.
On part de l'équation cartésienne d'un cercle de centre I( a; b) et de rayon R donnée par :
(x - a)² + (y - b)² = R²
(p, q)
(x- p)² + (y - q)² = R²
R
x² + y ² = ρ²
ρ

27. 27
On a : x =  cos  , y =  sin , a =  cos  , b =  sin  :
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = R ²
x² + y² + a² + b² - 2 (ax + by) + a² + b² = R ²
² + 0 ² - 20 ( cos  cos  + sin sin  ) = R ²
² - 2 cos ( - ) + ² = R ²
3. Equation d'un cercle passant par l'origine O.
On a dans ce cas : R =  , R ² =  ²
² - 2cos ( - ) +  ² = 0 ²
² - 2cos ( - ) = 0
 = 2 cos ( - )
3.4 Equation d’une ellipse.
3.4.1 Equation algébrique d’une ellipse
L’ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par
l’intersection d'un plan avec un cône de révolution lorsque ce plan traverse de part en part le
cône.
C’est est le lieu géométrique de tous les points dont la somme des distances à deux points
fixes appelés foyers est constante.
Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse (quand le plan de coupe est perpendiculaire à
l'axe du cône, sans passer toutefois par son sommet).
Cône
+ = 1
Plan Ellipse
L’ellipse E est définie par son équation algébrique :
k(x - c) ² + h(y - d) ² = e
kx² + hy² + px + qy = d (*)
Inversement étant donné une équation de la forme kx² + hy² + px + qy + d = 0,
essayons de la mettre sous la forme (*).

28. 28
Si a = 0 ou b = 0, il s'agit de l'équation d'une droite (à condition que p et q ne soient pas
simultanément nuls). Dans le cas général où a et b sont non nuls, l'équation peut s'écrire,
après des calculs:
+ = 1
On suppose que a> b
(D’) B (D)
b a
K’ K
A’ F’ c O c F A
B’
Les grandeurs (géométriques ou numériques) d’une ellipse sont :
 O est le centre de l’ellipse.
 Les points A, A’, B et B’ sont les sommets de l’ellipse.
 Dans le cas où a > b ; OA est l’axe focal. Si a < b, OB estl’axe focal.
 la longueur du petit rayon (ou demi-petit axe), généralement notée b ;
 la distance séparant le centre de l'ellipse et un des foyers, généralement notée c est égale
puisque c2
+ b2
= a2
c = √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
 Les points F(c,0) et F’ (-c, 0) sont dits les foyers de l’ellipse :
 L’excentricité de l’ellipse (strictement comprise entre 0 et 1), généralement notée e ;
e =
𝒄
𝒂
; OF = OF’ = e OA
3.4.2 Paramétrage de l’ellipse en coordonnées polaires
x = acos ; y = bsin et  = Arctg
𝒂𝒚
𝒃𝒙

29. 29
Chapitre 4 Géométrie dans l’espace ℝ3
4.1 Coordonnées dans l’espace
Dans l’espace, il existe plusieurs façons de repérer un point.
4.1.1 Coordonnées cartésiennes : On munit l’espace d'un repère orthonormé (O, i, j, k). A
tout point M de cet espace, correspond un triplé unique (x, y, z) de réels tels que 𝑂𝑀
⃗ = x𝚤
⃗+
y𝚥
⃗+ z𝑘
⃗. Ce triplé s'appelle coordonnées cartésiennes du point M dans le repère (O, i, j, k)). On
dit que x est l’abscisse, y est l’ordonnée et z est la cote (ou la hauteur).
z
M
k j y
i
x
4.1.2 Coordonnées cylindrique : A tout point M de l’espace ℝ3
, correspond un
triplet unique (, , z) où
- (, ) sont les coordonnées polaires de la projection de M dans le plan z = 0.
- z est la distance du point M au plan z = 0.
x =cos
y =sin
z = z
 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 = Arctg
𝒚
𝒙
z = z
z
M
 

30. 30
4.1.3 Coordonnées sphérique : A tout point M de l’espace ℝ3
, correspond un triplet unique
(, , ) où
- z est la distance du point M à l’Origine O.
- est l’angle formé par l’axe Ox et le segment joignant l’origine O projection de M
dans le plan z = 0.
- est l’angle formé par l’axe Oz et le segment joignant l’origine O à M .
x =  sin cos
y = sin sin
z =  cos 




 








 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
 = Arctg
𝒚
𝒙
cos =
𝒛
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐
4.2 Équation cartésienne d'un plan
Il y a plusieurs façons de caractériser l’équation d’un plan dans l’espace. Dans ce paragraphe,
on utilisera le produit scalaire pour cela.
4.2.1 Définition
Un vecteur normal n à un plan P est un vecteur non nul dont la direction est orthogonale à P.
Soit A un point du plan P. On a donc, pour tout point M de P, AM . n 0.
Réciproquement, si un point M vérifie AM . n0, alors M est dans le plan P.
x
y
z
r



M

31. 31
Conséquence : le plan P qui passe par A et qui est orthogonal à n est l'ensemble des points M
tels que AM . n 0.
Exemple : trouver, dans un repère orthonormé O, i, j, k une équation cartésienne du plan P
passant par le point A(2 ; 1 ; 3) dont un vecteur normal est n (1 ; 1 ; 2).
On utilise la caractérisation suivante : M(x ; y ; z) P AM . n0
La condition AM . n 0 s'écrit encore :
(x2)1 (y 1)1 (z 3)2 0
D'où une équation cartésienne de P : x y 2z 3 
4.2.2 Théorème
Dans un repère orthonormé O, i, j, k , tout plan P admet une équation (dite cartésienne) de la
forme :
   ax by cz d 0
(avec a, b et c non tous nuls)Le vecteur n (a ; b ; c) est normal à ce plan.
Preuve. Elle repose sur les équivalences suivantes : (en notant M(x ; y ; z), A(x0 ; y0 ; z0) et
n (a ; b ; c))
M P si et seulement si AM . n 0
a(x x0) b(y y0) c(z z0) 0
Et en posant d  (ax0 + by0cz0) :
ax by cz d 0
4.2.3 Equation cartésienne d'une droite
Le point M (x, y, z) ∈ D passant par le point A(xA,yA,zA) et de vecteur directeur 𝑢
⃗(a, b, c)
si et seulement si les vecteurs 𝐴𝑀
⃗ et𝑢
⃗ sont colinéaires, c'est-à-dire, il existe un réel t tel que
𝐴𝑀
⃗ = t𝑢
⃗.
𝑥 = 𝑥 + 𝑡. 𝑎
𝑦 = 𝑦 + 𝑡. 𝑏
𝑧 = 𝑧 + 𝑡. 𝑐
C’est la représentation paramétrique de la droite dans l’espace ℝ3
.
n
P
A
M

32. 32
Exemple : la droite
𝑥 = −3 + 2𝑡
𝑦 = −𝑡
𝑧 = 4 + 4𝑡
Passe par le point A(-3, 0, 4) et a pour vecteur directeur 𝑢
⃗(2, -1, 4)
La droite D dans l’espace peut être définie comme l’intersection de deux plans P et Q non
parallèles. On dit que les deux plans sont sécants. Elle sera donc caractérisée par
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 + 𝑑 = 0
P
D
Q
Exemple : On donne les équations cartésiennes de deux plans :
P : x 4y 7 0
Q : x 2y z 1 0
1. Montrer que ces plans sont sécants. On note d leur droite d'intersection.
2. Déterminer un vecteur directeur de d.
Les plans P et Q sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Un vecteur normal à P est n (1 ; 4 ; 0). Un vecteur normal nau plan Q est n(1 ; 2 ; 1).
Étudions la colinéarité de ces deux vecteurs : existe-t-il un réel k tel que nk n ? La réponse
est clairement non. (Il faudrait que k soit solution des trois équations 1 k 1 ; 2 k (4) et
1 k 0, ce qui est absurde). Les plans P et Q sont donc sécants.

33. 33
Un point M(x ; y ; z) appartient à la droite d si et seulement si ses coordonnées sont solutions
du système :
𝑥 − 4𝑦 + 7 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
Posons y t, il vient alors x 4t 7 et z 4t 7 2t 1 6t 6.
D'où une représentation paramétrique de d :
𝑥 = 4𝑡 − 7
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 6𝑡 − 6
Soit A le point de coordonnées (7 ; 0 ; 6) et u le vecteur de coordonnées (4 ; 1 ; 6).
Le point A est un point de le droite d (obtenu lorsque t 0) Le système ci-dessus s'écrit encore
AM tu. Un vecteur directeur de d est donc u (4 ; 1 ; 6)
4.4 Distance d’un point à un plan.
On appelle la distance dupointM0au plan (P) la plus courte distance du pointM0à un point du
plan (P).
M0.
P
La distance d’un point M0(x0, y0, z0) à un plan (P) : ax + by + cz + d = 0 (où a, b, c, d trois
réels fixés non tous nuls) est donné par la formule :
d (M0, P) =
| |
√
Exemple 1 : Déterminer la distance du point M(1, 2, 0) au plan (P) : 2x + y + z + 4 = 0.
d (M, P) =
| . . . |
√
=
√
Exemple 2. Déterminer la distance du point A(1, 2, 3) à la droite (D) définie par les équations
-2x + y - 3z = 1 et x + z = 1.
Trouvons d’abord une équation paramétrique de la droite D. On pose par exemple z = t et on
exprime x et y en fonction de t. Partant du système
−2x + y − 3z = 1
x + z = 1

34. 34
On trouve x = 1 − t ety = 3+ t. La droite D est donc l’ensemble des point Mt = (1 − t, 3 + t, t)
(t parcourant ℝ). La distance AMt vérifie donc :
AMt
2
= ‖𝐴𝑀 ‖2
= ‖(1 − t − 1, 3 + t − 2, t − 3)‖2
= t2
+ (t – 1)2
+ (t – 3) 2
= 3t2
− 4t + 10.
Minimiser cette distance revient à trouver le minimum de la fonction δ(t) = 3t2
− 4t + 10. Il est
donc atteint pour t0 vérifiant δ’ (t0) = 0, donc pour t0 = 2/3. La distance entre A et la droite D
est donc la longueur AMt0 = δ(𝑡 ) = .
Au passage on a obtenu la perpendiculaire à D passant par A c’est la droite (AMt0).
4.5 Équation cartésienne d'une sphère
Toute sphère S de centre (x0 ; y0 ; z0) et de rayon R admet une équation de la forme :
(xx0)2
(y y0)2
+ (z z0)2
R2
La démonstration est immédiate. En fait cela découle du fait que S est l'ensemble des points
M(x ; y ; z) tels que M 2
R2
.
Exemple :
Soit l’équation définie par x2
y2
z2
x+ 5y + 0. En complétant les carrés, on trouve :
(x + 1)2
(y  )2
+ z2
4. C’est l’équation de la sphère de centre (−1, −
5
2
,0)et de rayon 2.

35. 35
Chapitre 5 : Applications affines dans le plan ℝ2
et dans l’espace ℝ3
Les transformations géométriques permettent d'associer à toute figure initiale, une figure
image. Il y a quatre principales transformations géométriques : la translation ; la rotation ; la
réflexion ; l'homothétie.
Une transformation géométrique qui ne modifie pas les mesures d'une figure est une
isométrie. La translation, la rotation et la réflexion sont toutes des isométries.
Une transformation géométrique qui associe des figures dites semblables est appelée une
similitude. L'homothétie est une similitude.
Lorsque l'on effectue plusieurs transformations géométriques successivement, la règle qui
relie ces transformations est une composition et le résultat est appelé la composée.
1. Transformations
Définition : On appelle transformation du plan ℝ2
(respectivement de l'espace ℝ3
), une
bijection du plan (respectivement de l'espace) dans lui-même, c'est à dire telle que tout point
du plan (Respectivement de l'espace) admet une unique image et un unique antécédent.
Notation : Soit f une telle transformation, on note : f : M → f (M) = M’.
Exemples : Translation, symétrie axiale, symétrie centrale, rotation.
Dans une symétrie axiale, tout point du plan a une image unique par la symétrie. Également,
chaque point du plan admet un unique antécédent donc la symétrie axiale est une bijection du
plan, et c'est donc une transformation du plan.
Contre-exemple : Projection orthogonale
Par la projection orthogonale, tout point admet une unique image. Cependant, les points de la
droite de projection admettent plusieurs antécédents, alors que tout autre point n'en admet
aucun. Autrement dit la projection orthogonale n'est pas une transformation.
Définition : On dit qu'un point M est invariant par une transformation f, si f (M) = M.
Exemple : Dans une rotation, il y a un seul point invariant, c’est le centre de la rotation.
Définition : L'unique transformation du plan (de l'espace) qui laisse tous les points invariants
s’appelle l'identité du plan (de l'espace).
Définition : Soit une transformation de l'espace qui à tout point M associe un point M'.
On appelle transformation réciproque et on note f -1
, la transformation telle que :
f -1
(f (M)) = f (f -1
(M)) = M.
Exemple : La transformation réciproque d'une symétrie axiale est elle-même.
La transformation réciproque d'une translation de vecteur𝑢
⃗ est la translation de vecteur -𝑢
⃗.

36. 36
Définition
Symétrie axiale
d’axe
Symétrie centrale
de centre O
Rotation de
centre O et
d’angle 𝜃
Translation de
vecteur
𝑢
⃗ = 𝐴𝐵
⃗
Transformation
qui associe M à
M’ telle que :
 est la
médiatrice du
segment [MM’]
O est le milieu du
segment [MM’]
OM’ = OM
et
(𝑂𝑀, 𝑂𝑀′)
= 𝜃 + 2𝑘𝜋
𝑀𝑀′
⃗ = 𝐴𝐵
⃗
Figure

M x
//
//
M’ x
M
/ P
O
/
P’ M’
M M’
P
P'
O
M’
M
𝑢
⃗ B
A
Invariants  est invariante
point par point
Le centre
O
Le centre
O
Si 𝑢
⃗ ≠ 0, aucun
point invariant
Transformation
réciproque
Symétrie axiale
d’axe
Symétrie centrale
de centre O
Rotation de
centre O et
d’angle −𝜃
Translation de
vecteur
−𝑢
⃗ = 𝐵𝐴
⃗
Conservation Distances, angles géométriques, parallélisme, orthogonalité, barycentres,
aires, volumes
2. Similitude dans le plan
Soit f une transformation du plan.
• f est une similitude (plane) si et seulement si f conserve les rapports de distance.
f est une similitude plane si et seulement si il existe un réel strictement positif k tel que f
multiplie les distances par k.k est uniquement défini et s’appelle le rapport de la similitude f.
• Une similitude de rapport k est la composée d’une isométrie (c’est à dire une translation,
une rotation ou une réflexion) et d’une homothétie de rapport k.
• Toute similitude plane conserve les angles géométriques. Une similitude plane qui conserve
les angles orientés est dite directe. Une similitude plane qui change les angles orientés en
leurs opposés est dite indirecte.
• Les similitudes planes directes sont les transformations du plan complexe :
z′ = az + b, a et b complexes, a ≠ 0.
Les similitudes planes indirectes sont les transformations du plan complexe :
z′ = a𝑧̅ + b, a et b complexes, a ≠ 0.
Dans les deux cas, précédent le rapport de la similitude est |a|.
• La composée d’une rotation r et d’une homothétie h de rapport k > 0 n’ayant pas
nécessairement les mêmes centres est une similitude directe de rapport k. Quand r et h n’ont
pas mêmes centres, on a en général r ◦ h ≠ h ◦ r.

37. 37
• Toute similitude plane directe f qui ni une translation, ni une homothétie s’écrit de manière
unique f = h ◦ r où h est une homothétie et r est une rotation ayant mêmes centres. Dans ce
cas, on a h ◦ r = r ◦ h.
• Toute similitude plane directe f qui n’est pas une translation admet un point fixe et un seul,
son centre.
3. Translations de l'espace
Définition : Soit𝑢
⃗ un vecteur de l'espace ℝ3.
On appelle translation de vecteur 𝑢
⃗, la transformation de l'espace telle qu'à tout point M on
associe le point M' tel que 𝑢
⃗ = 𝑀𝑀′
⃗.
Propriété fondamentale :
Soient M et N deux points de l'espace, d'images respectives M' et N' par une translation t. Alors
𝑀𝑁
⃗ = 𝑀′𝑁′
⃗.
Preuve : Soit le vecteur de la translation.
Comme M’ = t(M), on a 𝑀𝑀⃗ = 𝑢
⃗.
Comme N’ = t(N), on a 𝑁𝑁′
⃗ = 𝑢
⃗.
D'après la relation de Chasles : 𝑀′𝑁′
⃗ = 𝑀′𝑀
⃗ + 𝑀𝑁⃗ + 𝑁𝑁′
⃗ = −𝑢
⃗ + 𝑀𝑁
⃗+ 𝑢
⃗ = 𝑀𝑁
⃗.
Réciproque de la propriété fondamentale :
Soient M et N deux points de l'espace, d'images respectives M' et N' par une transformation f
telle que 𝑀𝑁
⃗ = 𝑀′𝑁′
⃗. Alors f est une translation.
Propriété : La transformation réciproque d'une translation de vecteur 𝑢
⃗ est la translation de
vecteur −𝑢
⃗.
Propriété : Une translation de l'espace conserve le barycentre.
Preuve : Soit t une translation et soit G barycentre de :
(A1 ; 1) , (A2 ; 2) , …, (An; n) , avec 1 + 2 + +n ≠ 0.
On a ∶ 𝛼 𝐺𝐴
⃗ + 𝛼 𝐺𝐴
⃗ + …. + 𝛼 𝐺𝐴
⃗ = 0 (*).
Soient G’ = t(G), A1’ = t(A1), A2’ = t(A2), … , An’ = t(An).
On donc 𝐺′𝐴′
⃗ = 𝐺𝐴
⃗ ;𝐺′𝐴′
⃗ = 𝐺𝐴
⃗ ; … ; 𝐺′𝐴′
⃗ = 𝐺𝐴
⃗
De là, (*) devient : 𝛼 𝐺′𝐴′
⃗ + 𝛼 𝐺′𝐴′
⃗ + …. + 𝛼 𝐺′𝐴′
⃗ = 0
Et donc G’ est le barycentre de (A’1 ; 1) ,(A’2 ; 2) , …, (A’n; n)
Propriété de conservation : Par une translation, on conserve les longueurs, les aires, les volumes,
les angles géométriques et orientés ainsi que l'alignement.

38. 38
Propriété : Soit t une translation de l'espace.
1. L'image d'un plan par t est un plan parallèle.
2. L'image d'une droite par t est une droite parallèle.
3. L'image d'un segment par t est un segment à support parallèle et de même longueur, dont les
extrémités sont les images part des extrémités du segment.
4. L'image d'un cercle par t est un cercle de même rayon, de centre l'image du centre par t.
4. Homothéties dans l'espace
Définition : Soit k un réel non nul et O un point. On appelle homothétie de centre O et de rapport
kla transformation de l'espace telle qu'à tout point M on associe le point M'tel que 𝑂𝑀′
⃗ = 𝑘𝑂𝑀
⃗.
Remarques :
1. Une homothétie de rapport 1 est l'identité.
2. Une homothétie de centre O et de rapport -1 est une symétrie centrale de centre O.
Propriété : Soit h une homothétie de centre O, de rapport k. Soit M un point et soit M' son image
par h. Alors les points O, Met M'sont alignés.
Propriété fondamentale : Soient M et N deux points de l'espace, d'images respectives M' et N'
par une homothétie h, de rapport k. Alors 𝑀′𝑁′
⃗ = 𝑘𝑀𝑁
⃗.
Preuve : Soient k le rapport de l'homothétie et O son centre.
Comme M’ = h(M), on a 𝑂𝑀⃗= 𝑘𝑂𝑀
⃗.
Comme N’ = h(N), on a 𝑂𝑁′
⃗= 𝑘𝑂𝑁
⃗.
D'après la relation de Chasles :𝑀′𝑁′
⃗ = 𝑀′𝑂
⃗ + 𝑂𝑁′
⃗ = −𝑘𝑀𝑂
⃗ + 𝑘𝑂𝑁
⃗ = 𝑘𝑀𝑁
⃗.
Propriété : La transformation réciproque d'une homothétie de centre O et de rapport k est
l'homothétie de centre O, de rapport .
Preuve :𝑀 = ℎ( , )(𝑀) ⇔ 𝑂𝑀⃗ = 𝑘𝑂𝑀⃗ ⇔ 𝑂𝑀⃗ = 𝑂𝑀⃗ ⇔ ℎ ,
(𝑀′) = 𝑀.
Propriété : Une homothétie de l'espace conserve le barycentre.
Preuve : Soient k le rapport de l'homothétie et O son centre.
(A1 ; 1) , (A2 ; 2) , …, (An; n) , avec 1 + 2 + +n ≠ 0.
On a ∶ 𝛼 𝐺𝐴
⃗ + 𝛼 𝐺𝐴
⃗ + …. + 𝛼 𝐺𝐴
⃗ = 0 (*).
Soient G’ = ℎ( , )(G), A1’ = ℎ( , ) (A1), A2’ = ℎ( , )(A2), … , An’ = ℎ( , ) (An).

39. 39
On donc 𝐺′𝐴′
⃗ = 𝑘𝐺𝐴
⃗ ; 𝐺′𝐴′
⃗ = 𝑘𝐺𝐴
⃗ ; … ; 𝐺′𝐴′
⃗ = 𝑘𝐺𝐴
⃗
De là, (*) devient : 𝛼 𝐺′𝐴′
⃗ + 𝛼 𝐺′𝐴′
⃗ + …. + 𝛼 𝐺′𝐴′
⃗ = 0
Et donc G’ est le barycentre de (A’1 ; 1) ,(A’2 ; 2) , …, (A’n; n)
Propriété : Par une homothétie de rapport k, on multiplie les longueurs par |k|, les aires par k2
,
les volumes par k3
.
Preuve pour les longueurs : Soit k le rapport de l'homothétie et O son centre. Soient M et N
deux points de l'espace et M' et N' leurs images. D'après la propriété fondamentale, on a 𝑂𝑀′
⃗ =
𝑘𝑂𝑀
⃗. Donc, en particulier||𝑂𝑀′
⃗|| =k||𝑂𝑀′
⃗||. D'où le fait que les longueurs soient multipliées
park|.
Pour les aires et volumes, la propriété est admise.
Propriété de conservation : Par une homothétie, on conserve : les angles géométriques et
orientés, l'alignement.
Preuve : Soit k le rapport de l'homothétie, notée h, et O son centre. Soient M et N deux points
de l'espace et M' et N' leurs images par h. On a d'après la propriété fondamentale 𝑂𝑀′
⃗ = 𝑘𝑂𝑀
⃗.
Soient P et Q deux points supplémentaires et P' et Q' leurs images par h. On a 𝑂𝑃′
⃗ = 𝑘𝑂𝑃
⃗.
d'où (𝑀 𝑁⃗, 𝑃′𝑄′
⃗) = (𝑘𝑀𝑁
⃗, 𝑘𝑃𝑄
⃗) = (𝑀𝑁
⃗, 𝑃𝑄
⃗)
Soient A, B et C trois points alignés. Alors(𝐴𝐵
⃗, 𝐴𝐶
⃗) = 𝑘𝜋et donc d'après la propriété de
conservation des angles :(𝐴′𝐵′
⃗, 𝐴′𝐶′
⃗) = 𝑘𝜋 et de là les points A', B' et C' sont alignés.
Propriété : Soit h une homothétie de l'espace, de centre O, de rapport k.
1. L'image d'un plan par h est un plan parallèle.
2. L'image d'une droite par h est une droite parallèle.
3. L'image d'un segment par h est un segment à support parallèle et de longueur multipliée par
|k|, dont les extrémités sont les images par h des extrémités du segment.
4. L'image d'un cercle par h est un cercle de rayon multiplié par |k|, de centre l'image du centre
par h.

40. 40
Chapitre 6 Nombres Complexes
1. Introduction
L’équation x + 7 6 n’a pas de solutions dans ℕ mais elle en a une dans un ensemble
plus grand : ℤ (x –1). De même, l’équation 3x 1 n’a pas de solutions dans ℤ alors que
dans un ensemble plus grand ℚ, par exemple, il y en a une : x 1/3. Et puis, l’équation x2
2
n’a pas de solutions dans ℚ; il faut chercher dans l’ensemble des nombres réels ℝ pour en
trouver une.
Bref, quand une équation n’a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) consiste
à en chercher dans un ensemble plus grand. L’ensemble numérique le plus grand que l’on a
rencontré est ℝ. Pourtant, l’équation x2
+ 1 0 n’a pas de solutions dans ℝ.
On va donc, dans ce chapitre construire un ensemble plus grand que ℝdans lequel
l’équation x2
+ 1 0 possède des solutions. On l'appellera ℂ: ensemble des nombres
complexes. Le principal élément de ℂsera noté i (i comme imaginaire). Le nombre i est tel
que i2
–1 ! L’équation ci-dessus possède alors deux solutions :
x2
+ 1 0 équivaut à x2
i2
0 soit (x – i)(x + i) 0 donc x i ou x –i.
Nombres Complexes.
Nous souhaitons construire un ensemble ℂ qui contient les réels et tel qu’on peut
ajouter, multiplier et inverser ses éléments (c’est-à-dire un corps). On souhaite de plus que cet
ensemble contienne un élément i de carré − 1. Pour cela, nous considérons l’ensemble ℂ = ℝ2
et allons définir une addition et une multiplication sur ses éléments.
L’élément (x, y) ∈ ℝ2
sera noté z = x + iy.
La partie réelle de z est par définition x et est notée Re z.
Sa partie imaginaire est y et est notée Im z.
De sorte qu’on a z = Re z + i Im z.
Nous considérerons ℝ comme un sous-ensemble de ℂ
via l’identification de x ∈ ℝ avec x + i x 0.
On a donc ℝ = {x + i x 0; x∈ ℝ } = {z ∈ ℂ tel que Im z = 0} ⊂ℂ
Les complexes de la forme 0 + iy (avec y∈ ℝ) sont appelés des imaginaires purs.
L’addition de deux complexes
Soient les nombres complexes z, z′ ∈ ℂ, z = x + iy, z′ = x′ + iy′. On note
z + z′ = (x + x′) + i (y + y′).
Si z et z′ sont réels (Im z = Im z′ = 0) alors l’addition est l’addition usuelle dansℝ.
x
(x, y)
y z

41. 41
La multiplication de deux complexes
Soient les nombres complexes z, z′∈ ℂ, z = x + iy, z′ = x′ + iy′. On note
zz′ = (xx′ − yy′) + i (xy′ + yx′)
(Obtenue en développant formellement et en utilisant i2
= −1).
Si z et z′ sont réels alors on retrouve la multiplication habituelle dansℝ.
D’autre part, pour tout z ∈ ℂ∗
= C {0}, il existe un inverse, à savoir
𝟏
𝒛
=
𝒙
(𝒙𝟐 𝒚𝟐)
- i
𝒚
(𝒙𝟐 𝒚𝟐)
Le conjugué d’un complexe
Soit z ∈ ℂ, z = x + iy. Le conjugué z est le nombre complexe noté 𝑧 tel que 𝒛 = x – iy
On a alors ℝ = {z ∈ ℂ tel que z = 𝑧}.
Proposition 1. ∀z, z′ ∈ C on a 𝒛 + 𝒛′ = 𝒛 + 𝒛′ et 𝒛𝒛′ = 𝒛𝒛′
Preuve : Exercice
Module d’un complexe
Soit z ∈ ℂ, z = x + iy. Le module de z est le réel noté |z| tel que |z| = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 .
Si x ∈ℝ, alors on retrouve la valeur absolue usuelle d’un nombre réel.
Proposition 2. Pour tout z, z′ ∈ ℂ, on a :
1. |z|2 = z𝒛et de là
𝟏
𝒛
=
𝒛
𝒛𝟐
2. |zz′| = |z||z′|
3. |z + z’| ≤ |z| + |z′|
Preuve : Les deux premiers résultats sont de simples vérifications algébriques. Pour le dernier
résultat, on prend le carré de la relation (il y a bien équivalence : pourquoi ?) en utilisant la
relation |z|2
= z𝑧, pour se ramener à une inégalité de la forme Re z ≤ |z|.
1.3 Interprétation géométrique
Si on se place dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, i, j), on peut associer à z = a + bi
le point M de coordonnées (a, b) : on dit que M a pour affixe z, et on note M(z).
Le module |z| représente la distance OM. Si on fait l’analogie complexe / point, alors :
L’ensemble {z∈ ℂ tel que |z – z0| = ρ} représente le cercle de centre z0 et de rayon ρ.
L’ensemble {z∈ ℂ tel que |z – z0| ≤ ρ} représente le disque de centre z0 et de rayon ρ.
On peut donc l’écrire sous la forme
z = ρ (cos θ + i sin θ) avec θ∈ ℝ
θ est défini de manière unique modulo 2kπ (c’est-à-dire à l’addition près d’un nombre de la
forme 2kπ) avec k∈ℤ. Le nombre θ est appelé argument de z et est noté θ = arg z.

42. 42
Si θ0est un argument de z, alors LES arguments de z sont les réels de la forme θ0 + 2kπ, k∈ℤ.
Par abus de langage, on s’autorise cependant à parler de “l’argument” d’un complexe plutôt
que “un argument”
Pour z∈ ℂ ℝ, il existe un unique argument compris dans ]− π, π[ : on dit que c’est l’argument
principal de z. Si θ est un argument de z, alors θ est une mesure de l’angle (𝚤
⃗, 𝑂𝑀
⃗), où
M est le point d’affixe z.
La fonction exponentielle, définie à priori de ℝ dansℝ, peut être étendue à ℂ de la façon
suivante :
Définition : Si z = a + bi, on définit 𝑒 = 𝑒 (cos b + i sin b) = 𝑒 𝑒
Soit z∈ ℂ. Les arguments de z sont les réels θ tels que 𝑒 =
|z|
Soit z∈ ℂ. z peut se mettre sous trois formes différentes :
La forme cartésienne : z = x + i y
La forme polaire : z = ρ (cos θ + i sin θ)
La forme eulérienne : z = 𝝆 𝒆𝒊𝜽
On en tire que :
𝒆𝒊𝜽
= cosθ + i sin θ et 𝒆 𝒊𝜽
= cos θ - i sin θ
cos θ =
𝒆𝒊𝜽 𝒆 𝒊𝜽
𝟐
; sin θ =
𝒆𝒊𝜽 𝒆 𝒊𝜽
𝟐𝒊
ρ = |z| = 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 et θ = Arg z = Arctg
𝒚
𝒙
Propriétés des Arguments
Proposition 3. Soient z, z′ ∈ℂ∗
. On a
Arg zz′ = Arg z + Arg z′[𝟐𝝅]
Preuve : Si on pose z = 𝜌 𝑒 et z’ = 𝜌′ 𝑒 on a :
zz′= (𝜌 𝑒 ) (𝜌′ 𝑒 ) = 𝜌𝜌′ 𝑒 ( )
Proposition 4. Soit z ∈ℂ∗
. On a
Arg
𝟏
𝒛
= - Arg z [𝟐𝝅]
Preuve : Si on pose z = 𝜌 𝑒 et
𝟏
𝒛
=
𝟏
𝑒
𝐳
|z|
𝜃
𝜌

43. 43
Exemple : Si 𝜃 ∈ ℝ n’est pas de la forme 𝜋+ 2k𝜋 (k∈ ℤ), 1 + 𝑒 a pour module 2cos
𝜽
𝟐
et
pour argument
𝜽
𝟐
si 𝜃 > 0 et
𝜽
𝟐
+ 𝜋 sinon. En effet,
1 + 𝑒 = 𝑒 ( 𝑒 + 𝑒 ) = 2 𝑒
( 𝑒
𝑖
𝜃
2 + 𝑒
−𝑖
𝜃
2 )
2
= 2cos 𝑒
𝑖
𝜃
2
Racines d’un nombre complexe
Soient z un nombre complexe et n ∈ N. On appelle racine nième
de z un nombre complexe z′
tel que z′ n
= z. En particulier un nombre complexe a en général plusieurs racines nièmes
. Par
exemple les racines 2ième
de 1 sont 1 et −1. On prendra garde à ne pas confondre les racines
nièmes
d’un nombre complexe avec la racine nième
d’un nombre réel positif. On réservera les
notations √𝑥 et 𝑥 au cas où x est un nombre réel positif. Cela désignera alors le
nombre réel positif x′ tel que x′n
= x.
Proposition 6. Soient z = 𝜌 𝑒 ∈ℂ∗
et n∈ ℕ∗
.
Alors, il existe n racines nièmes
z0, z1, … , zn-1de z distinctes deux à deux. De plus
| zj| = 𝝆
𝟏
𝒏et Arg zj=
𝜽
𝒏
+
𝟐𝒋𝝅
𝒏
où j ∈ {0, 1, 2, …, n – 1}
Preuve : Notons z= 𝜌 𝑒 ∈ℂ∗
, il suffit de prendre zj= 𝜌 𝑒𝑖(
𝜃
𝑛
+
𝑗
𝑛
2𝜋)
où j = 0, 1,…, n – 1.
Exemple 1. Calculer les racines carrées de 3 + 3i√𝟑
3 + 3i√3 = 6 ( +
√
) = 6( cos + i sin ) = 6 𝑒
Donc les racines sont √6𝑒 et √6𝑒 = √6𝑒
Exemple 2. Dans le cas général, pour trouver les racines carrées d’un nombre complexe :
On écrit z = a + ib et on cherche x et y tels que (x + iy) 2
= a + ib.
En développant et en identifiant les parties réelle et imaginaire, on montre que cette équation
équivaut au système (non linéaire)
(*)
𝑥 − 𝑦 = 𝑎
2 𝑥 𝑦 = 𝑏
D’autre part, en identifiant les modules de chaque côté, on trouve :
(**) x 2
+y 2
= √𝑎 + 𝑏
A partir de la 1ère
équation de (*) et de (**), on trouve
x2
=
√
; y2
=
√
et doncx ainsi que y en utilisant 2𝑥 𝑦 = 𝑏.
Exemple. Les racines carrées de i sont +
√
(1 + 𝑖) et -
√
(1 + 𝑖). En effet, si on pose i= a
+ib(a = 0 ; b = 1)et ses racines r et -r, on a r2
= i.
r2
= i⇔ (x + iy) 2

44. 44
⇔ (*)
𝑥 − 𝑦 = 0
2 𝑥 𝑦 = 1
D’autre part, en identifiant les modules de chaque côté, on trouve :
(**) x 2
+y 2
= √𝑎 + 𝑏 = 1
⇔
𝑥 − 𝑦 = 0
2 𝑥 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 1
⇔
2𝑥 = 1
2𝑦 = 1
2 𝑥 𝑦 = 1
⇔
⎩
⎨
⎧𝑥 = ±
√
𝑦 = ±
√
2 𝑥 𝑦 = 1
Les réels x et y sont donc de même signe et on trouve donc r = ±
√
(1 + 𝑖).
Racines d’un trinôme du second degré
Proposition 7. Soit le trinôme P = az2
+ bz + c, avec a, b, c∈ℂ et a ≠ 0. On définit  =
b 2
− 4ac le discriminant de P.
1. Si  ≠ 0, alors P admet exactement deux racines complexes distinctes
z1 = et z2 = où ri est l’une des deux racines complexes de r2
= .
2. Si  = 0, alors P admet exactement une racine complexe (dite “double”) z0 =
Preuve : C’est la même que dans le cas réel : on met le trinôme sous forme réduite (où z
n’apparaît qu’une seule fois).
Exemple 1 : z2
+ z + 1= 0,  = -3, √ = 𝑖√3 ; les solutions sont alors z =
± √
.
Exemple 2 :z2
+ z + = 0,  =i, √ =
√
(1 + 𝑖); les solutions sont alors :
z = −
1
2
±
√2
4
(1+ i)
Exemple 3 : Déterminer les z∈ℂ∗
vérifiant z2
− 3iz − 3 +i = 0.
Solution : = 3 − 4i = (2 − i) 2
, donc il y a deux racines : z1 = 1 + i et z2 = −1 + 2i.
Théorème fondamental de l’algèbre Théorème 1 (d’Alembert–Gauss).
Soit P(z) = anzn +an-1 zn-1+ … + a1 z1+ a0 un polynôme à coefficients complexes et de degré n.
Alors l’équation P(z) = 0 admet exactement n solutions complexes comptées avec leur
multiplicité. En d’autres termes, il existe des nombres complexes z1 , . . . , zn (dont certains
sont éventuellement confondus) tels que P(z) = an(z –z1)(z – z2) … (z – zn).
Racines nièmes de l’unité : Soit n∈ ℕ∗
. Considérons l’ensemble
Un= { z ∈ ℂ∗
tel que zn = 1}.
Un élément de cet ensemble est appelé une racine nème
de l’unité. D’après la proposition 6. ci-
dessus, c’est un ensemble à n éléments.
Proposition 8. Pour tous z, z′ ∈ Un, on a :
1. zz′∈Un ,
2.
𝟏
𝒛
∈Un
3. Tout élément de Un est de la forme 𝒆𝒊
𝟐𝒋𝝅
𝒏 où j ∈ {0, 1, 2, …, n – 1}

45. 45
Exemples :
 Pour n = 1, il y a une racine de 1 qui est le nombre complexe 1
 Pour n = 2, il y a deux racines carrées de l'unité qui sont :
u0 = 𝒆𝒊 𝟎
= 1, u1 = 𝒆𝒊
𝟏 𝐱 𝟐𝝅
𝟐 = 𝒆𝒊𝝅
= -1
 Pour n = 3, il y a trois racines cubiques de l'unité (notées 1, j et 𝒋)
u0 = 𝒆𝒊
𝟎 𝐱 𝟐𝝅
𝟑 = 1
u1 = 𝒆𝒊
𝟏 𝐱 𝟐𝝅
𝟑 = 𝒆𝒊
𝟐𝝅
𝟑 =
𝟏 𝒊√𝟑
𝟐
= j(Cette racine est notée habituellement j)
u1 = 𝒆𝒊
𝟐 𝐱 𝟐𝝅
𝟑 = 𝒆𝒊
𝟒𝝅
𝟑 =
𝟏 𝒊√𝟑
𝟐
= 𝒋 = j 2
On remarque u0 = (u1)3
= (u2)3
c'est-à-dire 1 = (j) 3
= (𝒋) 3
 Pour n = 4 , il y a quatre racines de l'unité {1, + i, -1, - i}
On peut représenter ces racines de la manière suivante :
Exemple : Racines 3ème
de 1
Exemple : Racines 4ème
de 1 i
-1 1
-i
𝒋 = 𝒆𝒊
𝟐𝝅
𝟑
𝒋 = 𝒋𝟐
= 𝒆𝒊
𝟒𝝅
𝟑
1

46. 46
Exemple: Racines 5ème
de 1
Formule de De Moivre
Proposition 5. Pour tout θ∈ℝ et n∈ℤ
(cos θ+ isin θ)n = cos nθ + isin nθ
Utilisations de la formule de De Moivre
Cette formule est utilisée pour rechercher les puissances nièmes
de nombres complexes sous
forme trigonométrique : zn = ρn (cos nθ + i sin nθ) ainsi que pour linéariser les
puissances de cos θ et sin θ, i. e. pour obtenir les formes de cosn θ et sinn θ en fonction de
cos θ ;sin θ ; … ; cos mθ ;sin mθ et inversement.
Par exemple, pour avoir cos 2θ et sin 2θ on écrit d’après la formule de De Moivre :
(cos θ+ isin θ)2
= cos 2θ + isin 2θ
De là, on a
cos2
θ + 2 icos θ sin θ - sin2
θ = cos 2θ + i sin 2θ
On identifie les parties réelles et imaginaires, on retrouve les formules trigonométriques bien
connues :
cos 2θ = cos2θ - sin2 θ et sin 2θ = 2 cos θ sin θ
Applications à la trigonométrie
Voici les formules d’Euler cos θ =
𝒆𝒊𝜽 𝒆 𝒊𝜽
𝟐
; sin θ =
𝒆𝒊𝜽 𝒆 𝒊𝜽
𝟐𝒊
Ces formules s’obtiennent facilement en utilisant la définition de la notation exponentielle.
Nous les appliquons dans la suite à deux problèmes : le développement et la linéarisation.
Développement : On exprimesin nθ et cos nθen fonction des puissances desinθ et cosθOn
utilise la formule de Moivre pour écrire cos nθ+ icos nθ= (cosθ + i cosθ)n
que l’on développe
avec la formule du binôme de Newton.
Exemple :
1
𝒆𝒊
𝟐𝝅
𝟓
𝒆𝒊
𝟒𝝅
𝟓
𝒆𝒊
𝟔𝝅
𝟓 𝒆𝒊
𝟖𝝅
𝟓

47. 47
cos 3θ + i sin 3θ = (cosθ + i sinθ)3
= cos3
θ + 3i cos2
θsinθ − 3cosθsin2
θ − i sin3
θ
= (cos3
θ − 3cosθ sin2
θ) + i(3cos2
θ sinθ − sin3
θ)
En identifiant les parties réelles et imaginaires, on déduit que :
cos 3θ = cos3
θ − 3cosθsin2
θet sin 3θ = 3cos2
θsinθ − sin3
θ.
Linéarisation. On exprime cosn
θ ou sinn
θ en fonction des cos kθ et sin kθ pour k allant de 0 à
n. Avec la formule d’Euler on écrit sinn
θ = (
𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
)n
. On développe à l’aide du
binôme de Newton puis on regroupe les termes par paires conjuguées.
Exemple. sinn
θ = (
𝑒𝑖𝜃 − 𝑒−𝑖𝜃
2𝑖
)n
pour n = 3.
sin3
θ= −
1
8𝑖
[(𝑒 )3
- 3(𝑒𝑖𝜃)2
𝑒 + 3𝑒 (𝑒 )2
- (𝑒 )3
]
= −
1
8𝑖
[𝑒 - 3𝑒 + 3𝑒 -𝑒 ]
= −
1
4
[ - 3 ]
= −
𝑠𝑖𝑛3
4
+


48. 48
Chapitre 7 Polynômes
1. Introduction
La notion de polynôme est familière, mais on s'est contenté pendant fort longtemps de décrire
des règles de calcul sur les fonctions du type x → a0 + a1x + … + anxn
. Puis, on s'est rendu
compte que bien des propriétés de ces fonctions polynômes étaient en réalité formelles, c'est-
à-dire ne dépendaient que des propriétés des coefficients, ce qui a conduit à l'élaboration de la
théorie des polynômes formels.
L'étude des polynômes est d'un grand intérêt non seulement d'un point de vue théorique mais
aussi en mathématiques appliquées. Par exemple dans un problème de nature "physique" dont
le modèle mathématique est justiciable des techniques d'analyse numérique, il intervient
souvent des fonctions compliquées. Un procédé fréquemment utilisé consiste à remplacer une
fonction donnée par une fonction polynôme "proche" (en un sens que l'on ne précisera pas
ici), par exemple un polynôme d'interpolation. Cette tendance s'est amplifiée avec le
développement récent des moyens de calcul, qui traitent les fonctions polynomiales beaucoup
plus rapidement que les autres.
2. Ensemble des polynômes, vocabulaires
Un monôme est une expression de la forme : axn
ou a est un nombre réel ou un nombre
complexe et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre
n est appelé le degré du monôme.
 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3
 -2x-1
n'est pas un monôme
 3 = 3x0
est un monôme de degré 0 et de coefficient 3
Une somme de plusieurs monômes est un polynôme.
 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré
 -x3
+ 4x - 9 est un polynôme du 3ème
degré
 2x + 1 est un polynôme du 1 er degré
 3 est un polynôme de degré 0
 Le polynôme particulier x est appelée indéterminée
Un polynôme dont le coefficient du monôme de plus haut degré est 1 est appelé polynôme
unitaire ou normalisé
Exemples : x² + 3x - 5 ; x3
- 5x² + 7
 L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté ℝ [x]
 L'ensemble des polynômes à coefficients complexes est noté ℂ[x]
 L'ensemble des polynômes à coefficients dans K ou K est un corps commutatif est
noté K[x]
Dans toute la suite, K désignera le corps ℝ ou ℂ.

49. 49
Définition : On appelle polynôme à coefficients dans K, un objet mathématique qui s'écrit de
manière unique sous la forme
a0 + a1x + … + anxn
où n est un entier naturel, a0, a1,…, an sont des éléments de K, appelés coefficients du
polynôme, et x un objet qui porte le nom d'indéterminée
Exemple : a. 1 + x + x2
est un polynôme à coefficients réels
b. 1 + (1 + i)x +ix2
est un polynôme à coefficients complexes
Remarque : Si un coefficient est nul, il est possible de ne pas écrire le terme correspondant et
inversement en cas de besoin, on peut rallonger l'écriture en introduisant des coefficients nuls.
Par exemple :
 On écrit - 6x + x3
au lieu 0 + -6x + 0x2
+ x3
.
 Soit k un entier naturel quelconque. Alors xk
est un polynôme.
 On peut écrire, si le contexte le rend nécessaire, 2 + x + 0x2
ou 2 +x + 0x2
+ 0x3
au
lieu de 2 + x.
Si n est un entier égal à zéro, on dit que l'on a un polynôme constant. Ainsi tout élément de
K est un polynôme.
Deux polynômes constants particuliers vont intervenir : le polynôme 0 appelé le polynôme
nul et le polynôme 1.
Notations : On note indifféremment l'expression explicite d'un polynôme dans l'ordre des
puissances croissantes de x ou dans l'ordre des puissances décroissantes autrement dit :
a0 + a1x + … +anxn
ou anxn
+ an – 1xn - 1
+ … + a1x +a0
On convient de noter un polynôme P, Q ou f en parlant d'un polynôme non explicité ou
encore P(x), Q(x) ou f(x)
3. Egalités de deux polynômes : Deux polynômes de K[x] sont égaux si et seulement si leurs
coefficients sont égaux.
En fait, si : a0 + a1x + … + anxn
= b0 + b1x + … + bmxm
Alors m = n et a0 = b0 ;a1 =b1 ; … ; an =bn
En particulier, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls :
P(x) = a0 + a1x + … + anxn
= 0 ssi a0 = 0 ; a1 = 0 ; … ; an = 0
4. Degré d’un polynôme : La notion de degré joue un rôle essentiel dans la théorie des
polynômes.
Définition : Soit P(x) = a0 + a1x + … + anxn
un polynôme non nul. Le degré de P(x) est le
plus grand entier naturel k tel que ak soit différent de 0. On note d° P.

50. 50
Cette définition a un sens puisque, d'après la définition du polynôme nul, un polynôme non
nul a au moins un coefficient non nul.
Remarque : Que veut dire l'expression : se donner un polynôme de degré n ? C'est se donner
n + 1 coefficients a0, a1,…, an avec an≠ 0 tel que P(x) = a0 + a1x + … + anxn
.
Le polynôme akxk
avec ak ≠ 0 est appelé monôme de degré k.
Exemples :
 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré
 -x3
+ 4x - 9 est un polynôme du 3ème
degré
 2x + 1 est un polynôme du 1er
degré
 3 est un polynôme de degré 0
 Par convention 0 est le polynôme nul (qui n'a pas de degré ou par convention - )
 Le polynôme particulier x est appelé indéterminée
 Soit a un réel et Pa(x) = (a– 1) ax2
+ ax+ 2.
 Si a = 1, le polynôme est de degré 1 (puisque égal à x + 2)
 Si a = 0, le polynôme est de degré 0 (puisque égal au polynôme constant 2),
 Si a ≠ 0 et a ≠ 1 , le polynôme est de degré 2 (puisque le coefficient de x2
n'est
pas nul).
Attention : Ecrire P(x) =a0 + a1x + … +anxn
ne signifie pas que P est de degré n tant que
l'on n'a pas rajouté an ≠ 0.
Si P est un polynôme non nul, l'expression anxn
où n est le degré de P (i.e. an ≠ 0), est
appelée terme dominant de P.
Le coefficient an est appelé coefficient dominant du polynôme P.
Un polynôme P est dit unitaire si son coefficient dominant est égal à 1.
La notion de degré est extrêmement importante : un bon réflexe, dans les exercices, est de
commencer par identifier les degrés des polynômes qui y figurent.
5. Opérations sur les polynômes
5.1. Addition de deux polynômes
Définition : Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K. Quitte à introduire des
coefficients, il existe un entier n tel que :
P(x) =a0 + a1x + … +anxn
et Q(x) =b0 + b1x + … +bnxn
Alors la somme P + Q est le polynôme S(x) = c0 + c1x + … + cnxn
avec c0 = a0 + b0 ; c1 = a1 + b1 ; … cn = an + bn

51. 51
5.1.a Propriétés de l'addition des polynômes
Tous les polynômes considérés dans ces formules sont des éléments de K[x]. Alors l'addition
des polynômes :
 Est associative, c'est-à-dire que pour tous polynômes P, Q, et R on a :
(P + Q )+ R = P + (Q+ R)
 Est commutative, c'est-à-dire que pour tous polynômes P et Q on a :
P + Q = Q + P
 Admet un élément neutre, c'est à dire qu'il existe un polynômeP0tel que pour tout
polynôme P, on ait :
P0 + P = P + P0
C'est le polynôme nul, noté 0.
 Est telle que tout élément a un symétrique, c'est à dire que pour tout polynôme P il
existe un polynôme P’ tel que :
P + P’ = P’ + P = 0
Si P(x) = a0 + a1x + … +anxn
, alors le symétrique de P est le polynôme noté - P(x)où
-P(x) = - a0 - a1x- … - anxn
.
Ces propriétés permettent de dire que l'ensemble des polynômes muni de la loi + est un
groupe commutatif.
5.1.b Degré de la somme de polynômes
De la définition de la somme de deux polynômes, on déduit immédiatement la propriété :
Proposition : Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K.
1. d° (P +Q) ≤ max(d°P, d°Q)
2. Si d°P ≠ d°Q, alors le polynôme P + Q est non nul alors d°( P+Q) = max(d°P, d°Q)
3. Si d°P = d°Q, et si le polynôme P + Q est non nul alors d°(P +Q) ≤ d°P (oud°Q)
Exemples :
1. Soient P(x) =x2
+ x + 1 et Q(x) = x3
- 3, deux polynômes deℝ [x]. Alors (P +
Q) (x) = x3
+ x2
+ x - 2. C'est un polynôme de degré égal à 3 qui est bien le plus
grand des deux degrés à savoir 2 et 3.
2. Soient P(x) = x2
+ x + 1 et Q(x) = -x2
+ 2x - 3, polynômes deℝ [x].
Alors (P + Q) (x) = 3x - 2. C'est un polynôme non nul de degré égal à 1. Ce degré
est strictement inférieur à 2. Ce phénomène se produit lorsque la somme fait intervenir
deux polynômes de même degré dont les termes dominants s'éliminent.

52. 52
3. Soient P(x) = x2
+ x + 1 et Q(x) = x2
+2x - 3, polynômes deℝ [x].
Alors(P + Q) (x) = 2x2
+ 3 x - 2. C'est un polynôme non nul de degré égal à 2, qui
est le degré de P et de Q.
4. Soient P(x) = x2
+ x + 1 et Q(x) = - x2
- x - 1 , polynômes de ℝ [x].
Alors (P + Q) (x) = 0 et l'on ne peut pas parler du degré de (P + Q)
(ou encore d°(P + Q)= - )
5.2 Produit d’un polynôme par un scalaire
Définition : Soient P(x) = a0 + a1x + … +anxn
un polynôme à coefficients dans K et  un
scalaire appartenant à K. Alors  P est le polynôme
 P(x) = a0+ a1x + … +anxn
Remarque : Là, aussi, cette définition est tout à fait naturelle et conforme à l'intuition. Si  et
P sont non nuls, alors P et ont le même degré.
Il est clair, compte tenu de cette définition, que toutes les propriétés du produit d'un élément
de K[x] par un scalaire de K se déduisent immédiatement des propriétés du produit de K. On
obtient alors le théorème suivant :
5.2.a Propriétés de produit d’un polynôme par un scalaire
 Pour tous polynômes P, Q et tout scalaire on a :
(P + Q )= P +Q
 Pour tout polynôme P et tous scalaireset on a :
)P = P + P
 Pour tout polynôme P et tous scalaireset on a :
)P = (P)
 Pour tout polynôme P et si 1 désigne l’unité de K, on a :
1.P = P
Remarque : Des paragraphes 5.1.a et 5.2.a, on conclue que (K[x], +, .) est un espace
vectoriel. De plus si est l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n, alors sa
dimension est n+1 et sa base canonique est {1, x, … , xn
}
5.3 Définition du produit de deux polynômes
Définition : Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K :
P(x) = a0 + a1x + … +anxn
et Q(x) = b0 + b1x + … +bmxm
Alors le produit P. Q est le polynôme S(x) = c0 + c1x + … + cn+mxn+m
avec

53. 53
pour tout k, 0 ≤ k ≤n + m ; ck = ∑ 𝑎 𝑏
En particulier (akxk
)(bsxs
) = akbsxk+s
Exemples : Soient P(x) = x2
+ x + 1 et Q(x) = x3
- 3, deux polynômes deℝ [x]. Alors
(P. Q) (x) = x5
+ x4
+x3
- 3x2
- 3x - 3
5.3.a Propriétés du produit des polynômes
Tous les polynômes considérés dans ces formules sont des éléments de K[x]. Alors le produit
des polynômes :
 est associatif, c'est-à-dire que pour tous polynômes P, Q et R on a :
(P . Q ). R = P. (Q . R)
 est commutatif, c'est-à-dire que pour tous polynômes P et Q on a :
P. Q = Q. P
 admet un élément neutre, c'est à dire qu'il existe un polynôme constant égal à 1,
puisqu’il vérifie pour tout polynôme P :
1 P = P1 = P
 est distributif par rapport à l’addition, c'est-à-dire que pour tous polynômes P, Q et
R, on a :
P . (Q + R) = P. Q + P.R
5.3.b Degré du produit de deux polynômes
Proposition : Soient P et Q deux polynômes non nuls de K[X]. Alors P. Q est non nul et
d°( P .Q) = d°P + d°Q
Exemples :
1. Soient P(x) = x2
+ x + 1 et Q(x) = x3
- 3, deux polynômes de ℝ [x]. Alors (P.
Q) (x) = x5
+ x4
+x3
- 3x2
- 3x - 3. C'est un polynôme de degré égal à 5 qui est
bien la somme des deux degrés à savoir 2 et 3.
2. Soient P(x) = x2
+ x + 1 et Q(x) = -x2
+ 2x - 3, polynômes de ℝ [x].
Alors (P. Q) (x) = - x4
+ x3
- 2x2
- x - 3. C'est un polynôme non nul de degré
égal à 4 qui est bien la somme des deux degrés à savoir 2 et 3.
6. Racines d'un polynôme
Définition : Soient r un scalaire et P(x)un polynôme. On dit que r est une racine ou un zéro
de P(x)si P(r)= 0. (C'est à dire si l'image de r par la fonction polynôme est 0)
Exemples :
- le nombre -2 est une racine du polynôme P(x) = x² + 3x + 2. En effet P(-2) = 4 - 6 + 2 = 0
- le nombre 1 est racine du polynôme P(x) = (x - 1)(x² + 2x - 5) car P(1) = (1 - 1)(1² + 2 - 5) =
0 × (- 3) = 0