Formation M2i - Comprendre les neurosciences pour développer son leadership
Ch1 anal fonc17-18
1. ;
;
Département de Mathématiques, Informatique,
Culture, Sciences de l´Homme et de la Société,
École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers,
Université Moulay Ismaïl,
Meknès.
Cours et travaux dirigés de Mathématiques
Analyse Fonctionnelle Appliquée
Chapitre 1 : Théorèmes fondamentaux
d’analyse fonctionnelle
Intitulé de module : Analyse Fonctionnelle Appliquée
Filière : Master Modélisation Mathématique en Ingénierie (M2I)
Volume horaire du module : 48h
Année universitaire : 2017/2018
Mohamed BENDAOUD
Email : m.bendaoud@ensam-umi.ac.ma
..........................................................................................................................
École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, Marjane II, B.P. 15290, Al Mansour, Meknès
Tél : +212(0)535457160/61- +212(0)648313896
Fax : +212(0)535467163
3. Table des figures
1.1 Séparation de deux ensembles par un hyperplan. . . . . . . . . . . . . . . 16
3
4. Introduction
Introduction
L’analyse fonctionnelle est une branche mathématiques qui s’intéresse à
l’étude et la présentation des outils et des concepts nécessaires pour l’ana-
lyse des espaces fonctionnels, c’est-à-dire, des espaces constitués de fonc-
tions. De tels espaces sont indispensables pour l’étude des équations aux
dérivées partielles qui gouvernent tellement de situations en Sciences de
l’Ingénieur, Sciences Physique, Mécanique, Chimie, etc., et jusqu’en Eco-
nométrie.
Bien entendu, un certain nombre de propriétés que nous verrons dans ce
cours ont une portée plus générale mais la majorité des applications seront
effectivement sur des espaces de fonctions. Dans la pratique on est souvent
amené à la résolution théorique et algorithmique de problèmes dont l’in-
connue est une fonction. L’analyse classique porte essentiellement sur des
espaces de dimension finie sur R ou C. Cela convient par exemple pour ré-
soudre des équations différentielles linéaires. Pour résoudre des équations
plus compliquées : équations différentielles non linéaires, équations inté-
grales, équations aux dérivées partielles, approximation, optimisation, les
solutions sont à rechercher à priori dans des espaces vectoriels de dimen-
sion infinie. Le calcul de solutions explicites étant souvent hors de portée
on cherche à décrire la structure de ces solutions par leur appartenance à
des espaces adaptés au problème posé. L’étude de la stabilité amène na-
turellement à considérer des espaces munis de topologies définies par des
normes, des semi-normes ou des distances.
D’un point de vue purement mathématique, l’analyse fonctionnelle peut
être vue comme une extension à la dimension infinie de la géométrie eucli-
dienne en dimension finie. Le passage de la dimension finie à la dimension
infinie n’est pas toujours facile car on perd une partie de l’intuition géo-
métrique. Alors que sur un espace vectoriel de dimension finie il y a une
seule topologie "raisonnable", sur un espace de dimension infinie on doit
souvent considérer plusieurs topologies simultanément.
Mohamed BENDAOUD 4
5. Introduction
Dans le premier chapitre de cours, sont exposées les théorèmes fonda-
mentaux d’analyse fonctionnelle. Il s’agit d’un chapitre dont les résultats
doivent absolument être maîtrisés.
Le deuxième chapitre est un classique : il est consacré à l’étude des es-
paces de Hilbert qui sont une extension à la dimension infinie des espaces
euclidiens.
Le troisième chapitre est consacré à la notion de dualité, de topologie
faible et de topologie faible *, notions qui sont à la base de la théorie des
distributions.
Comme souvent en mathématiques l’étude de nouvelles structures est
indissociable de l’étude des transformations entre les espaces. Dans le
chapitre 4, nous présentons les propriétés des opérateurs linéaires conti-
nues compacts entre espaces de Banach. Ce domaine d’apparence abstraite
a beaucoup d’applications concrètes, notamment en physique quantique.
C’est d’ailleurs en partie pour donner un cadre mathématique adapté à la
théorie quantique que D. Hilbert et J. von Neumann ont développé la théo-
rie des opérateurs linéaires dans les espaces de Hilbert.
Dans les exemples et les problèmes d’analyse fonctionnelle, on est sou-
vent amené à manipuler des objets mathématiques pour lesquels l’introduc-
tion d’une topologie, d’une distance ou d’une norme permet de mesurer la
proximité de façon adéquate. C’est pourquoi le dernier chapitre du cours
est une annexe rappelant les principaux résultats utiles sur les espaces to-
pologiques, les espaces métriques et les espaces vectoriels normés avec
notamment les notions d’espaces complets et d’espaces compacts.
Ces notes de cours constituent une introduction à l’analyse fonction-
nelle, domaine fascinant de l’analyse aux nombreuses ramifications. Ces
notes ne vous seront profitables que si vous préparez régulièrement et sé-
rieusement les T.D.s et ne vous dispensent bien évidement pas d’assister
au cours.
Mohamed BENDAOUD 5
6. Chapitre 1
Théorèmes fondamentaux d’analyse
fonctionnelle
Dans la suite, on désigne par N, Z, R et C, l’ensemble des entiers naturels, l’ensemble
des entiers relatifs, l’ensemble des nombres réels et l’ensemble des nombres complexes ;
respectivement. Ce chapitre est destiné aux résultats fondamentaux ”abstraits” d’analyse
fonctionnelle concernant l’étude d’espaces fonctionnels ”concrets” qui interviennent en
théorie des équations aux dérivées partielles.
1.1 Théorème de Baire
La validité de beaucoup de théorèmes en analyse dépend de la complétude du système
dans lequel ils sont traités. Ceci explique l’inadéquation du système des nombres ration-
nels et de celui de l’intégrale de Riemann(comme exemples bien connus), et le succès
enregistré par leurs systèmes de substitution : celui des nombres réels et celui de l’in-
tégrale de Lebesgue. Le théorème de Baire sur les espaces métriques complet (souvent
appelé le théorème de première catégorie) est l’outil de base de cette étude.
Théorème 1.1.1 (Baire)
Soit X un espace métrique complet. Si (Fn)n≥1 est une suite de fermés de X d’intérieur
vide, alors
n≥1
Fn est d’intérieur vide.
Ce théorème est souvent appelé le théorème de catégorie, pour la raison suivante : Une
partie A de X est dite rare si son adhérence est d’intérieur vide. A est dite de première
catégorie (ou maigre) si elle est réunion dénombrable de parties rares, et elle est dite
de seconde catégorie sinon. Ainsi, le théorème de Baire exprime qu’un espace métrique
complet n’est pas maigre.
Par passage au complémentaire, et du fait qu’une partie de X est dense X si et seule-
ment si son complémentaire est d’intérieur vide, on a l’énoncé équivalent du théorème de
Baire suivant :
Théorème 1.1.2 (Théorème de Baire)
Soit X un espace métrique complet. Si (On)n≥1 est une suite d’ouverts denses de X, alors
n≥1
On est dense dans X.
6
7. Chapitre 1 1.2 Théorème de Banach-Steinhaus
Remarque 1.1.3 Le théorème de Baire est en général utilisé sous la forme suivante. Soit
X un espace métrique complet, et soit (Fn)n≥1 est une suite de fermés telle que
n≥1
Fn = X.
Alors l’un au moins des fermé est d’intérieur non vide.
Preuve du Théorème de Baire. Supposons que (On)n≥1 est une suite d’ouverts denses
de X, et montrons que O := ∩n≥1On est dense dans X. Soit V un ouvert non vide de X.
Il s’agit de montrer que O ∩ V = ∅. Soit x0 ∈ V et r0 > 0 arbitraires tels que
B(x0, r0) ⊆ V.
On choisit en suite x1 ∈ B(x0, r0) ∩ O1 et r1 > 0 tel que
B(x1, r1) ⊆ B(x0, r0) ∩ O1 et 0 < r1 <
r0
2
.
Ce choix est possible puisque O1 est ouvert et dense. Ainsi, on construit par récurrence
des suites (xn) et (rn) telles que
B(xn+1, rn+1) ⊆ B(xn, rn) ∩ On+1 et 0 < rn+1 <
rn
2
.
Il en résulte que la suite est de Cauchy ; soit sa limite. Comme xn+p ∈ B(xn, rn) pour
tout n ≥ 0 et p ≥ 0, à la limite on obtient ∈ B(xn, rn) pour tout n ≥ 0. En particulier,
∈ O ∩ V ; ce qui achève la preuve.
Remarque 1.1.4 On dit qu’un espace topologique X a la propriété de Baire (ou est un
espace de Baire) si toute intersection dénombrable d’ouverts denses de X est dense dans
X.
Exemple 1.1.5
1) Le Lemme de Baire assure que tout espace de Banach à la propriété de Baire.
2) L’espace vectoriel non complet E = C([0, 1], R) muni de la norme
f L1 =
1
0
|f(x)|dx, ∀f ∈ E
n’est pas un espace de Baire. Pour n ∈ N, considérer
Fn = {f ∈ E : sup
t∈[0,1]
|f(x)| ≤ n},
et noter que ∪n∈NFn = E bien que chaque Fn est d’intérieur vide.
Exercice. Montrer, en utilisant le Lemme de Baire, que R n’est pas dénombrable. (Indi-
cation : considérer l’intersection de tous les ouverts R {x}, x ∈ R).
Mohamed BENDAOUD 7
8. Chapitre 1 1.2 Théorème de Banach-Steinhaus
1.2 Théorème de Banach-Steinhaus
Dans la suite E et F désignent deux espaces vectoriels normés, et B(E, F) désigne
l’espace des opérateurs linéaires bornés de E dans F muni de la norme
T = sup
x∈E, x ≤1
Tx , ∀T ∈ B(E, F).
Comme usuelle, on note par B(E) l’espace B(E, E).
Le théorème suivant, souvent désigné dans la littérature Américaine sous le nom de
"Principe of uniform boundedness", exprime qu’on déduit une estimation uniforme des
estimations ponctuelles.
Théorème 1.2.1 (Théorème de Banach-Steinhaus)
Soit E un espace de Banach, F un e.v.n. et (Ti)i∈I une famille d’opérateurs de B(E, F).
Si pour tout ∀x ∈ E, l’ensemble { Tix : i ∈ I} est borné, alors il existe M ≥ 0 tel que
Ti ≤ M, ∀i ∈ I.
Preuve. Pour un entier n ≥ 1, on pose Fn = {x ∈ E : Tix ≤ n, ∀i ∈ I} de sorte que
Fn est fermé et ∪n≥1Fn = E. Ainsi, d’après le théorème de Baire, il existe n0 ≥ 1 tel que
Fn0 est d’intérieur non vide. Soit x0 ∈ E et r > 0 tel que B(x0, r) ⊂ Fn0 . On a
Ti(x0 + rz) ≤ n0, ∀i ∈ I, ∀z ∈ B(0, 1).
Par conséquent
r Ti ≤ n0 + Tix0 , ∀i ∈ I;
ce qui entraine la conclusion désirée.
Corollaire 1.2.2 Soit E un espace de Banach, F un e.v.n. et (Tn)n une suite d’opérateurs
de B(E, F). Supposons que, pour tout x ∈ E, la suite (Tnx)n converge vers une limite
notée Tx. Alors T ∈ B(E, F), la suite (Tn)n est bornée et
T ≤ lim
n→+∞
inf Tn .
Preuve. Notons que que toute suite convergente est bornée, et le théorème de Banach-
Steinhaus assure que la suite (Tn)n est bornée. Ainsi, il existe M ≥ 0 tel que
Tnx ≤ M x , ∀n ∈ N, ∀x ∈ E.
A la limite on obtient
Tx ≤ M x , ∀x ∈ E.
D’autre part, il estclaire que T est linéaire ; d’où T ∈ B(E, F). De plus, du fait que
Tnx ≤ Tn x , ∀n ∈ N, ∀x ∈ E,
on en déduit que
Tx ≤ x lim
n→+∞
inf Tn , ∀x ∈ E;
et le résultat désirée s’en découle.
Mohamed BENDAOUD 8
9. Chapitre 1 1.3 Théorème de l’application ouverte
Remarque 1.2.3 Le Théorème de Banach-Steinhaus peut tomber en défaut si E n’est
pas un Banach. Il suffit de considérer l’exemple suivant. Soit E = C1
([0, 1], R) et F =
C([
1
4
,
3
4
], R). On muni E et F de la norme de convergence uniforme. Considérons l’ap-
plication T : f → f , et pour i ∈]0,
1
4
[ et f ∈ E, posons Ti(f)(x) =
f(x + i) − f(x)
i
.
Clairement, pour tout i ∈]0,
1
4
[, Ti est linéaire et continue de E vers F, et que
Ti(f) F ≤ f L∞ et lim
i→0
Ti(f) = f
Ainsi, (T2−n f)n≥2 converge vers T(f) pour tout f ∈ E, par contre il est clair que T /∈
B(E, F).
1.3 Théorème de l’application ouverte
Définition 1.3.1 Soit X et Y deux espaces topologiques. On dit qu’une application f :
X → Y est une application ouverte si l’image de tout ouvert de X par f est un ouvert de
Y .
Exemple 1.3.2 Toute application constante sur un espace métrique est continue, mais
elle n’est pas ouverte.
Théorème 1.3.3 (Application ouverte)
Soit E et F deux espaces de Banach et T ∈ B(E, F) un opérateur borné surjective. Alors
T est ouverte.
Preuve. Montrons qu’il existe c > 0 tel que
B(0, 2c) ⊂ T(B(0, 1)). (1)
Pour cela, pour un entier n ≥ 1, posons Fn = nT(B(0, 1)). Comme T est surjectif, on
a ∪n≥1Fn = F, et le lemme de Baire assure l’existence d’un entier n0 tel que Fn0 est
d’intérieur vide. Il en résulte que l’intérieur de T(B(0, 1)) est non vide. Soit alors c > 0
et y0 ∈ Y tels que
B(y0, 4c, ) ⊂ T(B(0, 1)).
En particulier y0 ∈ T(B(0, 1)), et par symétrie −y0 ∈ T(B(0, 1)). Par addition obtient
B(0, 4c) ⊂ T(B(0, 1)) + T(B(0, 1)).
Comme T(B(0, 1)) est convexe, on a
T(B(0, 1)) + T(B(0, 1)) = 2T(B(0, 1));
ce qui entraine l’inclusion (1).
Montrons en suite que
B(0, c) ⊂ T(B(0, 1)).
Mohamed BENDAOUD 9
10. Chapitre 1 1.4 Théorème du graphe fermé
Fixons y ∈ F avec y < c, et cherchons x ∈ E tel que
x < 1 et Tx = y.
D’après l’inclusion (1), on a
∀ε > 0, ∃z ∈ E, avec z <
1
2
et y − Tz < ε.
On choisit ε =
c
2
et on obtient z1 ∈ E avec
z1 <
1
2
et y − Tz1 <
c
2
.
Appliquant le même procédé pour y − Tz1 au lieu de y et avec ε =
c
4
, on obtient z2 ∈ E
avec
z2 <
1
4
et y − Tz1 − Tz2 <
c
4
.
Ainsi, on construit par récurrence une suite (zn)n telle que
zn <
1
2n
et y − T(z1 + z2 + ... + zn) <
c
2n
, ∀n.
Donc la suite de terme général xn = z1 + z2 + ... + zn est de Cauchy ; soit x sa limite. On
a alors x < 1 et T(x) = y puisque T est continu.
Comme conséquence, on a le résultat suivant :
Corollaire 1.3.4 Soit E et F deux espaces de Banach et T ∈ B(E, F) un opérateur
borné bijective. Alors T−1
est continue.
Preuve. Soit O un ouvert de E. Comme T est bijective, on a (T−1
)−1
(O) = T(O). De
plus, en vertu du théorème précédent, T(O) est un ouvert. On conclut alors que l’image
réciproque de tout ouvert de E par T−1
est ouvert de F, c-à-d., T−1
est continue.
Exercice 1.3.5 Soit E un espace vectoriel, et soit . 1 et . 2 deux normes sur E telles
que (E, . 1) et (E, . 2) sont complets. Montrer que si l’une des normes est plus fine que
l’autre, alors elles sont équivalents.
1.4 Théorème du graphe fermé
Le théorème suivant, donne le lien entre la continuité de T et la fermeture du son
graphe.
Définition 1.4.1 Soit E et F deux e.v.n et T : E → F une application. On appelle graphe
de T et on le note G(T), le sous-ensemble de E × F définie par
G(T) := {(x, Tx) : x ∈ E}.
Mohamed BENDAOUD 10
11. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
Théorème 1.4.2 (Théorème du graphe fermé)
Soient E et F deux espaces de Banach et T : E → F une application linéaire. Alors T
est continue si et seulement si son graphe est fermé.
Preuve. Il suffit de montrer l’implication réciproque puisque l’implication directe est tri-
viale. Supposons que G(T) est fermé, et considérons sur E les deux normes
x 1 = x E + Tx F et x 2 = x E.
La norme . 1 s’appelle la norme du graphe. Comme G(T) est fermé, E muni de la norme
. 1 est un espace de Banach. D’autre part, x 2 ≤ x 1 pour tout x ∈ E. Ainsi, l’im-
plication identique IdE : (E, . 1) → (E, . 2) est bijective continue. Par conséquent,
d’après le Corollaire 1.3.4, elle est bicontinue, c-à-d., il existe c > 0 tel que x 1 ≤ c x 1
pour tout x ∈ E. Ainsi, Tx F ≤ c x E pour tout x ∈ E, et T est continu.
Remarque 1.4.3 Soient E et F deux espaces de Banach et T : E → F une application
linéaire. Pour montrer que T est continue il suffit donc d’établir que pour toute suite
(xn)n∈N de E telle que (xn, T(xn))n∈N converge vers (x, y), on a y = T(x).
Exercice 1.4.4 Soit T une application linéaire de L2
([0, 1]) vers lui même. En utilisant
le théorème du graphe fermé, montrer que si T est continu de l’espace (L2
([0, 1]), . L2 )
vers (L2
([0, 1]), . L1 ), alors il est continu de (L2
([0, 1]), . L2 ) vers (L2
([0, 1]), . L2 ).
1.5 Théorème de Hahn-Banach
Les versions du théorème de Hahn-Banach concernent des résultats de séparations
de certaines parties d’un espace vectoriel E par des hyperplans, ainsi que des résultats
concernant le prolongement des forme linéaire sur un sous-espace vectoriel de E en des
formes linéaires sur E tout entier. De tels résultats de séparation et de prolongement per-
met d’étudier une théorie de la dualité très développée.
1.5.1 Forme analytique du théorème de Hahn-Banach
Soit E un K-e.v.n. On rappelle qu’une forme linéaire sur E est une application linéaire
de E vers K.
Théorème 1.5.1 (Théorème de Hahn-Banach, forme analytique)
Soient E un espace vectoriel réel et p : E → R+
une application vérifiant :
i) p(λx) = λp(x), ∀x ∈ E, ∀λ > 0 ;
ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E.
Soit M un sous-espace vectoriel de F et f une forme linéaire sur M telle que
f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ M.
Alors il existe une forme linéaire f sur E qui prolonge f sur E, c-à-d.,
f(x) = f(x), ∀x ∈ M
et telle que
f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ E.
Mohamed BENDAOUD 11
12. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
La preuve de ce théorème fait appel au lemme de Zorn qui est lui-même équivalent à
l’axiome du choix.
Rappelons d’abord quelques notions de la théorie des ensembles. Soit P un ensemble
muni d’une relation d’ordre (partiel) notée ≤ et soit A une partie de P. On dit que :
• A est totalement ordonnée si, pour tout x, y ∈ A, on a au moins l’une des relations
x ≤ y ou y ≤ x ;
• m ∈ P est un majorant de A si x ≤ m, ∀x ∈ A ;
• m ∈ P est un élément maximal de P si, pour tout x ∈ E tel que m ≤ x, on a
x = m ;
• P est inductif si tout partie totalement ordonnée de P admet un majorant.
Lemme 1.5.2 (Lemme de Zorn)
Tout ensemble non vide inductif admet un élément maximal.
Le lemme de Zorn à de nombreuses applications en analyse ; c’est un outil indispen-
sable pour établir certains résultats d’existence.
Preuve du Théorème de Hahn-Banach. Soit P l’ensemble des formes linéaires h sur
D(h) avec D(h) un sous-espace vectoriel de E contenant M, h prolonge f et h(x) ≤ p(x)
pour tout x ∈ D(h).
On muni P de la relation d’ordre
h1 ≤ h2 ⇐⇒ D(h1) ⊂ D(h2) et h2 prolonge h1.
Clairement, P est non vide puisque f ∈ P. D’autre part, P est inductif. En effet, Soit A
une partie totalement ordonnée de P ; on note A = (hi)i∈I. On définit
D(h) = ∪i∈I et h(x) = hi(x) si x ∈ D(hi).
On vérifie aisément que h est bien définie, que h ∈ P et que h est un majorant de A. Il
résulte du lemme de Zorn que P admet un élément maximal f. Pour achever la preuve,
il suffit de montrer que D(f) = E. Supposons qu’au contraire D(f) = E. Considérons
x0 /∈ D(f), et posons D(h) = D(f) + Rx0 et, pour x ∈ D(f), posons
h(x + tx0) = f(x) + tα (t ∈ R);
où α est une constance qui sera fixée ultérieurement de manière à ce que h ∈ P. On doit
donc s’assurer que
f(x) + tα ≤ p(x + tx0), ∀x ∈ D(f).
Grace à l’assertion i) il suffit de vérifier que
f(x) + α ≤ p(x + x0) ∀x ∈ D(f) ;
f(x) − α ≤ p(x − x0) ∀x ∈ D(f).
Autrement dit, il faut choisir α tel que
sup
y∈D(f)
f(y) − p(y − x0) ≤ α ≤ inf
y∈D(f)
p(y − x0) − f(y).
Mohamed BENDAOUD 12
13. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
Un tel choix est possible puisque
f(y) − p(y − x0) ≤ p(x + x0) − f(x), ∀x, y ∈ D(f);
en effet on notera que
f(x) + f(y) ≤ p(x + y) ≤ p(x + x0) + p(y − x0)
grace à la propriété ii). Ainsi, f est majorée par h et que f = h ; ce qui contredit la
maximalité de f et achève la preuve.
Définition 1.5.3 Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C. Une application p : E ×
E → R+
est dite une semi-norme sur E si elle vérifie les propriétés suivantes :
i) ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, p(λx) = |λ|p(x) ;
iii) ∀x, y, ∈ E, p(x + y) ≤ p(x) + p(y).
Exemple 1.5.4 Sur E = (C1
([0, 1]), R), l’application p définie sur E par
p(f) = sup
x∈[0,1]
|f (x)|
est une semi-norme sur E, mais pas une norme car p(f) = 0 entraine seulement f est
une constante.
Comme conséquences du théorème de Hahn-Banach, on a les résultats suivants :
Corollaire 1.5.5 Sous les hypothèses du théorème de Hahn-Banach, si de plus p est une
semi-norme alors f peut se prolonger en une forme linéaire f sur E telle que
|f(x)| ≤ p(x), ∀x ∈ E.
Preuve. Comme le prolongement f fourni par le théorème de Hahn-Banach vérifie
f(−x) = −f(x) et p(−x) = p(x)
pour tout x ∈ E, on obtient |f(x)| ≤ p(x), ∀x ∈ E.
Corollaire 1.5.6 Le corollaire précédent reste valable pour les espaces vectoriels sur C
à condition de supposer de plus que |f(x)| ≤ p(x) pour tout x ∈ M et d’interpréter |.|
comme le module.
Preuve. On considère E comme un R-espace vectoriel. Clairement, l’application Re(f)
vérifie les hypothèses du Corollaire 1.5.5. Soit alors f1 une forme linéaire de E dans R
qui prolonge Re(f) sur E et vérifie |f1(x)| ≤ p(x), ∀x ∈ E. Pour x ∈ E, on pose
f(x) = f1(x) − if1(ix).
Evidement, f est une forme linéaire de E dans C et que f coincide avec f sur M. Ecrivons
f(x) = |f(x)|eiθ
. On a e−iθ
f(x) ∈ R, et donc
|f(x)| = f(e−iθ
x) = f1(e−iθ
x) ≤ p(e−iθ
x) = p(x).
Mohamed BENDAOUD 13
14. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
Corollaire 1.5.7 Soient E un e.v.n., M un s.e.v. de E et f une forme linéaire continue sur
M. Alors on peut prolonger f en une forme linéaire f continue sur E et ayant la meme
norme que f.
Preuve. Il suffit d’appliquer le corollaire précédent avec p l’application définie sur E par
p(x) = f x .
Définition 1.5.8 On appelle dual topologique d’un e.v.n. E l’ensemble des formes li-
néaires continues sur E, et on le note E . Si f ∈ E et x ∈ E on notera souvent x, f au
lieu de f(x), et on dit que ., . est le produit scalaire dans la dualité E , E.
Corollaire 1.5.9 Soient E un e.v.n. et x0 ∈ E. Alors il existe f ∈ E telle que
f E = x0 E et f(x0) = x0
2
E.
Preuve. Après avoir écarté le cas trivial x0 = 0, Il suffit d’appliquer le corollaire précédent
à M = Kx0 et f l’application définie sur M par f(λx) = λ x 2
E pour tout λ ∈ K.
Corollaire 1.5.10 Soit E un e.v.n. Alors pour tout x ∈ E, on a
x E = sup
f∈E , f ≤1
| x, f | = max
f∈E , f ≤1
| x, f |
.
Preuve. Supposons que x = 0. Il est claire que
sup
f∈E , f ≤1
| x, f | ≤ x E.
D’autre part, d’après le Corollaire 1.5.9, il existe f0 ∈ E telle que
f0 E = x E et x, f0 = x 2
E.
On pose f1 = x −1
E f0 de sorte que f1 E = 1 et x, f1 = x E.
Remarque 1.5.11 Il convient de noter que le ”sup” qui apparait dans le corollaire ci-
dessus est atteint.
Mohamed BENDAOUD 14
15. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
1.5.2 Formes géométriques du théorème de Hahn-Banach
Dans cette section, sauf mention contraire, E désigne un espace vectoriel réel et E
désigne son dual topologique, c-à-d., l’ensemble des formes linéaires continues sur E.
Définition 1.5.12 Soit E un e.v. réel. On dit que H est un hyperplan affine de E s’il existe
une forme linéaire f non nulle et un réel α tels que
H = {x ∈ E : f(x) = α}.
On dit que H est l’hyperplan affine d’équation [f = α].
Proposition 1.5.13 L’hyperplan H d’équation [f = α] est fermé si et seulement si f est
continue.
Preuve. Clairement, si f est continue alors H est fermé.
Inversement suppososn que H est fermé. Puisque f est non nulle, le complémentaire
Hc
de H est un ouvert non vide. Soit x0 ∈ Hc
et supposons, par exemple, que f(x0) < α.
Soit r > 0 tel que B(x0, r) ⊆ Hc
. Alors
f(x) < α, ∀x ∈ B(x0, r).
En effet, supposons que f(x1) > α pour un certain x1 ∈ B(x0, r). Le segment
{xt = (1 − t)x0 + tx1 : t ∈ [0, 1]}
est contenu dans la boule B(x0, r) et donc f(xt) = α, ∀t ∈ [0, 1] ; par ailleurs f(xt) = α
pour t =
α − f(x0)
f(x1) − f(x0)
; ce qui est absurde. Ainsi, f(x) < α, ∀x ∈ B(x0, r), et par suite
f(x0 + rz) < α, ∀z ∈ B(0, 1). Par conséquent, f ≤
1
r
(α − f(x0)) et f est continue.
Définition 1.5.14 Soient H un hyperplan affine de E d’équation [f = α], et soit A, B ⊂
E. On dit que :
• A est convexe si
tx + (1 − t)y ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0, 1].
• H sépare A et B au sens large si
f(x) ≤ α, ∀x ∈ A et f(x) ≥ α, ∀x ∈ B.
• H sépare A et B au sens strict s’il existe ε > 0 tel que
f(x) ≤ α − ε, ∀x ∈ A et f(x) ≥ α + ε, ∀x ∈ B.
Géométriquement la séparation de A et B par H exprime que A et B se situent "de
part et d’autre de H", voir Figure 1.1 ci-dessous.
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16. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
H
B
A
FIGURE 1.1 – Séparation de deux ensembles par un hyperplan.
Théorème 1.5.15 (Hahn-Banach, 1ème forme géométrique)
Soient A, B ⊂ E deux ensembles convexes, non vides et disjoints. Si A est ouvert, alors il
existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.
Pour la prouve de ce théorème, on a besoin des deux lemmes suivants :
Lemme 1.5.16 Soit C un ouvert convexe de E contenant 0. Pour x ∈ E, on pose
p(x) = inf{α > 0 : α−1
x ∈ C}.
p s’appelle la jauge de C. Alors p vérifie les assertions suivantes :
i) p(λx) = λp(x), ∀x ∈ E, ∀λ > 0;
ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E;
iii) il existe Mtel que 0 ≤ p(x) ≤ M x , ∀x ∈ E;
iv) C = {x ∈ E : p(x) < 1}.
Preuve. L’assertion i) est évidente. Montrons iii). Soit r > 0 tel que B(0, r) ⊂ C. Notons
que, pour tout ∀x ∈ E, ( x
r
)−1
∈ C. Ainsi, p(x) ≤
1
r
x , ∀x ∈ E, et par suite iii) s’en
découle.
Montrons iv). Supposons que x ∈ C. Comme C est ouvert, il existe ε > 0 assez petit
tel que (1 + ε)x ∈ C, et donc p(x) ≤
1
1 + ε
< 1. Inversement, si p(x) < 1 il existe
α ∈ [0, 1] tel que α−1
x ∈ C, et donc x = αα−1
x + (1 − α)0 ∈ C.
Montrons ii). Soient x, y ∈ E et ε > 0. D’après i) et iv) on a
x
p(x) + ε
,
y
p(y) + ε
∈ C.
Donc
tx
p(x) + ε
+
(1 − t)y
p(y) + ε
∈ C pour tout t ∈ [0, 1]. En particulier, pour
t =
p(x) + ε
p(x) + p(y) + 2ε
, on obtient
x + y
p(x) + p(y) + 2ε
∈ C.
Ainsi, d’après i) et iv), on en déduit que
p(x + y) < p(x) + p(y) + 2ε
pour tout ε > 0 ; ce qui montre ii).
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17. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
Lemme 1.5.17 Soit C un ouvert convexe on vide de E et soit x0 ∈ E C. Alors il existe
f ∈ E tel que f(x) < f(x0), ∀x ∈ C. En particulier l’hyperplan d’équation [f = f(x0)]
sépare {x0} et C au sens large.
Preuve. Par translation, on peut supposer que 0 ∈ C et introduire la jauge p de C. Posons
M = Rx0 et considérons la forme linéaire g définie sur M par g(tx0) = t, ∀t ∈ R.
Clairement, en posant x = tx0 et en distinguant les cas t > 0 et t ≤ 0, on obtient
g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ M.
Ainsi, d’après le Théorème 1.5.1, il existe une forme linéaire f sur E qui prolonge g, et
telle que
f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ M.
En particulier, f(x0) = 1 et, d’après l’assertion iii) du lemme précédent, f est continue.
De plus, par l’assertion iv) du même lemme, on en déduit que f(x) < 1 = f(x0), ∀x ∈ C.
Preuve du Théorème 1.5.15. Posons que C = A − B de sorte que C est convexe, C
ouvert du fait que C = ∪y∈B(A − y) et 0 /∈ C puisque A ∩ B = ∅. D’après le lemme
précédent, il existe f ∈ E tel que
f(z) < 0, ∀z ∈ C,
c-à-d.,
f(x) < f(y), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.
Soit α ∈ R tel que
sup
x∈A
f(x) ≤ α ≤ inf
y∈B
f(y).
Clairement, l’hyperplan d’équation [f = α] sépare A et B au sens large.
Théorème 1.5.18 (Hahn-Banach, 2ème forme géométrique)
Soient A, B ⊂ E deux ensembles convexes, non vides et disjoints. Si A est fermé et B est
compact, alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens strict.
Preuve. Soit ε > 0. On pose Aε := A+B(0, ε) et Bε := B+B(0, ε) de sorte que Aε et Bε
soient convexes, ouverts et non vides. De plus, pour ε assez petit, Aε et Bε sont disjoints,
car sinon il existe εn −→ 0, xn ∈ A, et yn ∈ B telles que xn −yn < 2εn. Comme B est
compact, on peut extraire une sous-suite (ynk
)k qui converge vers un élément y ∈ B ∩ A ;
ce qui contredit A et B sont disjoint. D’après le Théorème 1.5.15, il existe un hyperplan
fermé d’équation [f = α] qui sépare Aε et Bε au sens large. Il s’en suit que
f(x + εz) ≤ α ≤ f(y + εz), ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ∀z ∈ B(0, 1).
Par conséquent
f(x) + ε f ≤ α ≤ f(y) − ε f , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B,
et l’hyperplan d’équation [f = α] sépare A et B au sens strict puisque f = 0. La preuve
est alors complète.
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18. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
Notons que si E est un espace vectoriel complexe, alors E est un aussi un espace
vectoriel réel, et que si u est la partie réelle d’une forme linéaire f complexe sur E, alors
u est une forme linéaire réelle sur E et
f(x) = u(x) − iu(ix), ∀x ∈ E
puisque z = Re(z) − iRe(iz), pour tout z ∈ C.
Inversement, si u est une forme linéaire réelle sur un espace vectoriel complexe E,
alors l’application f : E → C définie par f(x) = u(x) − iu(ix) pour tout x ∈ E est une
forme linéaire complexe sur E.
Le même raisonnement se fait en considérons la partie imaginaire. Ainsi, d’après ce
qui précède, si E est un espace vectoriel complexe, alors :
i) f ∈ E si et seulement si sa partie réelle est continue.
ii) Toute forme réelle continue u : E → R est la partie réelle d’un élément unique
f ∈ E .
iii) f ∈ E si et seulement si sa partie imaginaire est continue.
iv) Toute forme réelle continue u : E → R est la partie imaginaire d’un élément
unique f ∈ E .
Théorème 1.5.19 (Hahn-Banach, séparation en cas complexe)
Soient E un espace vectoriel complexe, A, B ⊂ E deux ensembles convexes, non vides et
disjoints.
1) Si A est ouvert, alors il existe f ∈ E et α ∈ R tels que
Re(f(x)) ≤ α ≤ Re(f(y))
pour tout x ∈ A et tout y ∈ B.
2) Si A est fermé et B est compact, alors il existe f ∈ E et α ∈ R tels que
Re(f(x)) < α < Re(f(y))
pour tout x ∈ A et tout y ∈ B.
Preuve. Comme E est aussi un espace vectoriel réel, d’après les Théorèmes 1.5.15 et
1.5.18, il existe une forme linéaire continue réelle u sur E qui vérifie les séparations
voulues. En tenant compte du commentaire ci-dessus, si f est l’unique forme linéaire
complexe sur E dont la partie réelle est u, alors f ∈ E et f vérifie bien les séparation
désirées.
Comme conséquence, le résultat suivant est très utile pour montrer qu’un sous-espace
vectoriel est dense.
Corollaire 1.5.20 Soit E un espace vectoriel réel ou complexe, et soit M un sous-espace
vectoriel non dense de E. Alors il existe une forme linéaire f ∈ E non nulle telle que
f(x) = 0, ∀x ∈ M.
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19. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
Preuve. Soit x0 ∈ E M. Le théorème de séparation de Hahn-Banach appliqué à A = M
et B = {x0}, entraine qu’il existe f ∈ E non nulle et un réel α tels que
Re(f(x)) < α < Re(f(x0)), ∀x ∈ M.
Le fait que λRe(f(x)) < α pour tout λ ∈ R, prouve que Re(f(x)) = 0 pour tout x ∈ M.
Il en résulte que f = 0 pour tous x ∈ M, et la preuve est alors complète.
Comme conséquence immédiate, on a le résultat suivant :
Corollaire 1.5.21 Soit E un espace vectoriel réel ou complexe, et soit M un sous-espace
vectoriel de E. Alors M est dense dans E si et seulement si toute forme linéaire de E qui
s’annule sur M s’annule sur E.
En faite le théorème de Hahn-Banach et ses conséquences restent vrais dans le cas des
espaces vectoriels topologiques localement convexes. On rappelle qu’une topologie τ sur
un espace vectoriel X est une topologie vectorielle si :
(i) pour tout x ∈ X, le singleton {x} est un fermé de X, et
(ii) les opérations d’espace vectoriel sont continues par rapport à τ.
L’espace vectoriel topologique X est dit localement convexe si X admet une base de
voisinages dont les éléméents sont covexes. En particulier, on montre les résults suivants :
Théorème 1.5.22 Soient X un espace vectoriel topologique, A, B ⊂ E deux ensembles
convexes, non vides et disjoints.
1) Si A est ouvert, alors il existe f ∈ X et α ∈ R tels que
Re(f(x)) < α ≤ Re(f(y))
pour tout x ∈ A et tout y ∈ B.
2) Si A est fermé, B est compact et X est localement convexe, alors il existe f ∈ X
et α1, α2 ∈ R tels que
Re(f(x)) < α1 < α2 < Re(f(y))
pour tout x ∈ A et tout y ∈ B.
Corollaire 1.5.23 Soit X un espace vectoriel topologique localement convexe.
1) X∗
sépare les point de X.
2) Si M est un sous-espace de X et x0 est un élément de X n’appartenant pas à
l’adhérence de M, alors il existe f ∈ X telle que f(x0) = 1 et f(x) = 0 pour
tout x ∈ M.
3) Si f est une forme linéaire continue sur un sous-espace vectoriel M de X, alors
il existe f ∈ X∗
telle que f = f sur M.
Remarque 1.5.24
1) La 2ème propriété de la proposition ci-dessus, constitue la base de de la méthode
classique de l’étude de certains problèmes d’approximation : pour montrer qu’un
x0 ∈ X appartient à l’adhérence d’un sous-espace M d’un espace localement
convexe X, il suffit de montrer que f(x0) = 0 pour toute forme linéaire f sur X
qui s’annule sur M.
2) La dernière propriété de la proposition ci-dessus, peut être obtenu en reliant les
formes linéaires continues aux semi-normes.
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20. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
1.5.3 Supplémentaires topologiques
Dans toute cette section, E désigne un espace de Banach.
Définition 1.5.25 Soit G un s.e.v. fermé de E. On dit que G admet un supplémentaire
topologique G s’il existe un s.e.v. fermé L de E tel que G + L = E et G ∩ L = ∅. Dans
ce cas on écrit E = G ⊕ L et on dit que E est somme direct de G et L.
L’application E = G⊕L → G, x+y → x s’appelle le projecteur sur G parallèlement
à L.
Théorème 1.5.26 Soit G et L deux sous-espaces vectoriels fermés de E tels que G + L
est fermé. Alors il existe c ≥ 0 tel que tout élément z de G + L admet une décomposition
de la forme z = x + y avec
x ∈ G, y ∈ L, x ≤ c z et y ≤ c z .
Preuve. On considère l’espace G + L muni de la norme de E et l’espace produit G × L
muni de la norme (x, y) = x + y . L’application T : G × L → G + L définie par
T(x, y) = x + y est linéaire continue et surjective. D’après le théorème de l’application
ouverte, il existe c > 0 tel que B(0, c) ⊂ T(B(0, 1)), c-à-d., tout z ∈ B(0, c) s’écrit
z = x + y avec x ∈ G, y ∈ Y et x + y < 1. Ainsi, il s’en suit alors par homogénéité
que tout élément z ∈ G + L s’écrit sous la forme z = x + y avec
x ∈ G, y ∈ L, x ≤ c z et y ≤
1
c
z .
Remarque 1.5.27 Il résulte du théorème ci-dessus que les projecteurs
E = G ⊕ L → G, x + y → x, et E = G ⊕ L → L, x + y → y
sont continus. De telle propriété pourrait servir à définir les supplémentaires topolo-
giques.
Exemple 1.5.28
1) Tout sous-espace M de E de dimension finie admet un supplémentaire topolo-
gique. En effet, soit (e1, e2, ..., en) une base de M. Pour tout 1 ≤ i ≤ n, il existe
fi ∈ E tel que
fi(ei) = 1 et fi = 0 sur Mi := vect(ej)j=i.
Soit P : E → E l’application linéaire définie par P(x) = n
i=1 fi(x)ei. Claire-
ment, P est continue et P2
= P, c-à-d., P est une projection continue de E. En
particulier, I − P est aussi un projecteur continu de E, ker(P) et ker(I − P) =
Im(P) sont des sous-espaces fermés de E et
E = ker(P) ⊕ Im(P).
Vu que
ker(P) = ∩1≤i≤n ker(fi) = M,
on en déduit que M admet un supplémentaire topologique à savoir Im(P).
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21. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
2) Tout s.e.v. fermé G de E de codimension finie admet un supplémentaire topolo-
gique. Il suffit de prendre n’importe qu’il supplémentaire algébrique qui, étant de
dimension finie, est forcément fermé.
Comme exemple typique de cette situation, considérons N ⊂ E un sous-espace
de dimension finie p. Alors
G := {x ∈ E : f(x) = 0, ∀f ∈ N}
est un fermé et de codimension p. En effet, soit (f1, f2, ..., fp) une base de N.
Notons que l’application linéaire ϕ : E → Kp
, x → (f1(x), f2(x), ..., fp(x))
est surjective car sinon, par le théorème de Hahn-Banach 1.5.18, il existe a =
(a1, a2, ..., ap) non nul tel que
a.ϕ(x) = 0 =
i=n
i=1
aifi(x) = 0, ∀x ∈ E;
ce qui est absurde. Donc il existe (ei)1≤i≤p ⊂ E telle que
fi(ej) = δij, ∀i, j = 1, 2, ..., p.
On vérifie aisément que les (ei)1≤i≤p sont linéairement indépendants et que l’es-
pace engendré par les (ei)1≤i≤p est un supplémentaire topologique de G.
3) On montre que dans un espace de Hilbert, tout espace fermé admet un supplé-
mentaire topologique.
Définition 1.5.29 Soit T ∈ B(E, F) un opérateur borné. On dit que T est inversible à
droite (respectivement, à gauche) s’il existe S ∈ B(F, E) tel que TS = IdF (respective-
ment, ST = IdE). On dit alors que S est un inverse à droite (respectivement, à gauche)
de T.
Théorème 1.5.30 Soit T ∈ B(E, F) un opérateur borné et surjectif. Alors les assertions
suivantes sont équivalentes :
i) T est inversible à droite ;
ii) ker(T) admet un supplémentaire topologique dans E
Preuve. Si T admet un inverse à droite, alors l’image Im(S) est un supplémentaire topo-
logique de ker(T) du fait que, pour tout x ∈ E, on a
x = (x − ST(x)) + ST(x) ∈ ker(T) + Im(S) et ker(T) ∩ Im(S) = ∅.
Inversement, supposons que ker(T) admet un supplémentaire topologique L dans E. Soit
p le projecteur de E sur L parallèlement à ker(f). Soit y ∈ F. Puisque T est surjectif,
il existe x ∈ E tel que Tx = y. Posons alors S(y) = p(x). On vérifie aisément que
S ne dépend pas du choix de x, linéaire et TS = IdF . De plus, d’après le théorème de
l’application ouverte, il existe c > 0 tel que
∀x ∈ E, Tx F < c =⇒ x E < 1.
Ainsi,
∀y ∈ F, y F < c, S(y) E < 1;
ce qui assure la continuité de S.
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22. Chapitre 1 1.5 Théorème de Hahn-Banach
Théorème 1.5.31 Soit E et F deux espaces de Banach, et soit T ∈ B(E, F) un opérateur
borné et injectif. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
i) T est inversible à gauche ;
ii) l’image de T est fermé et admet un supplémentaire topologique dans F.
Preuve. Si T admet un inverse à gauche, alors on montre aisément que l’image Im(T)
de T est fermé et que ker(S) est un supplémentaire topologique de Im(T). Inversement,
supposons que l’image de T est fermé et admet un supplémentaire topologique dans F.
Soit P un projecteur de F sur Im(T). Soit y ∈ F. Comme Py ∈ Im(T), il existe un
unique x ∈ E tel que Py = Tx. Posons alors S(y) = x. Clairement, ST = IdE. De
plus l’opérateur T1 : E → Im(T), x → T(x) est continue et bijective, donc, d’après le
Corollaire 1.3.4, T1 est bicontinu. Par suite S = T−1
1 P est aussi continu ; ce qui achève la
preuve.
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