Equations différentielles, DUT MP, CM 2

Les équations différentielles
Equations du premier ordre et définitions
Christophe Palermo
IUT de Montpellier
Département Mesures Physiques
&
Institut d’Electronique du Sud
Université Montpellier 2
Web : http://palermo.wordpress.com
e-mail : cpalermo@um2.fr
Cours du 25 novembre 2010
MONTPELLIER

Plan
1 Définitions générales
Équations ordinaires
Solutions de l’équation
Solution générale
Terme perturbateur
Solution particulière
2 Equations différentielles du premier ordre
Définitions
Variables séparées
Linéarité
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations différentielles Nov. 2010 2

Définitions générales
Plan
Solution générale
Terme perturbateur
Définitions
Linéarité

Définitions générales Équations ordinaires
Les équations ordinaires
Équation différentielle d’ordre n
On appelle équation différentielle (ordinaire) d’ordre n (n ∈ N) de y en
t, toute relation de la forme
F

t,y,
dy
dt
,...,
dny
dtn

= 0 = F

t,y,ẏ,...,y(n)

(1)
entre la variable t, et tout ou partie de la fonction y et de ses dérivées
successives jusqu’à l’ordre n.
L’ordre de l’équation différentielle est l’ordre de la plus haute dérivée
qui apparaît.
Le degré de l’équation différentielle est le degré de la plus grande
puissance de y ou de ses dérivées.

Exemple
Soit :
ÿ + 3ẏ4
+ ty − t6
= 0
Ordre :
Degré :
Question subsidiaire : y’a-t-il un second membre ?

Exemple
Soit :
ÿ + 3ẏ4
+ ty − t6
= 0
Ordre : 2
Degré : 4
Question subsidiaire : y’a-t-il un second membre ? t6
Attention
t6 est une perturbation ! Donc t6est un second membre qu’il convient
d’appeler plutôt terme perturbateur !

Définitions générales Solutions de l’équation
Solutions
Solution de l’équation différentielle
On appelle solution ou intégrale d’une équation différentielle
F

t,y,
dy
dt
,...,
dny
dtn

= 0 = F

t,y,y0
,...,y(n)

sur un intervalle I
toute fonction y(t) qui vérifie cette équation sur I.
La courbe représentative des solutions est appelée courbe intégrale
Une solution d’une équation différentielle d’ordre n comporte n
paramètres libres, qui sont des constantes d’intégration
Donc, quel que soit l’ordre d’une équation différentielle, elle admet
une infinité de solutions

Exemples
ẏ = 0 admet comme solutions :
1, 2, 3, etc.,
{y(t) = r/r ∈ R}
ẏ = t admet comme solutions :

y(t) =
t2
2
+ r/r ∈ R

ÿ = t admet comme solutions :

y(t) =
t3
6
+ rt + s/ r,s ∈ R

Vrai avec ou sans terme perturbateur

Vocabulaire de la résolution
Résolution d’une équation différentielle
Résoudre une équation différentielle, c’est trouver l’ensemble de toutes
ses solutions
Il n’y a que deux types de fonctions
Celles qui sont des solutions de l’équation différentielle
Celles qui ne sont pas solutions de l’équation différentielle
Pourtant nous distinguerons solution générale et solution particulière
Nous verrons que l’on parle de la même chose !
C’est juste une question de dénomination
Parmi l’infinité des solutions se trouve LA solution du problème
physique

Définitions générales Solution générale
La solution générale
Solution générale
On appelle solution générale d’une équation différentielle d’ordre n
l’expression de la solution contenant n paramètres libres (c’est à dire les n
constantes d’intégration).
La solution générale est un ensemble de fonctions
La solution générale regroupe une infinité de solutions
Constantes d’intégration : déterminées au dernier moment
La solution du problème :
détermination de toutes les constantes d’intégration
dépend des conditions du problème physique !
conditions initiales ou conditions aux limites
autant de conditions que de constantes d’intégration !

Exemple de la chute d’un corps
Chute d’un corps sans forces de frottement :
ḧ =
d2h
dt2
= −g
Solution générale : deux intégrations successives
dh
dt
= −gt + v0 /v0 ∈ R
puis
h(t) = −
1
2
gt2
+ v0t + h0 /v0,h0 ∈ R
h(t) est la solution générale = infinité de solutions
LA solution du problème dépend de v0 et h0
h
h0
0

Remarque sur la solution d’un problème
Un problème physique implique :
Des phénomènes (forces, pressions, etc.) qui obéissent à des lois
Des conditions particulières (position, vitesse, température, etc.)
La mise en équation : phénomènes uniquement
Résolution d’une équa. diff. 6= la solution du problème
Equation
différentielle
Solution générale La solution
du problème
Problème physique
Loi ou principe
Grandeurs physiques
1ère étape
Outil math.
Conditions initiales
ou aux limites
2ème étape
Outil math.
Equations différentielles et physique
Pour résoudre un problème physique impliquant une équation différentielle,
il faut l’équation différentielle et les conditions (initiales ou aux limites)

Définitions générales Terme perturbateur
Le terme perturbateur
Définition
On appelle terme perturbateur p(t) de l’équation différentielle l’ensemble
des termes qui ne contiennent ni y ni aucune de ses dérivées ẏ, ÿ, · · · , y(n)
Le terme perturbateur est aussi appelé second membre
Lorsque le terme perturbateur est identiquement nul (p(t) = 0 ∀t)
alors l’équation est dite homogène. On notera l’équation (H)
Lorsque le terme perturbateur n’est pas nul, alors l’équation est dite
inhomogène. On notera l’équation (I)
Remarque importante : le terme perturbateur peut être une fonction
du temps ou bien une constante

Convention
Où se trouve le terme perturbateur ?
N’importe où !
au second membre mais aussi au premier membre /
Dans ce cours : nous n’emploierons pas la dénomination “second
membre”
Notation du terme perturbateur :
il vaut −p(t) quand il est dans le même membre que y et ses dérivées
il vaut p(t) quand il est isolé dans l’autre membre (d’où son autre
nom...)
Dans ce cours... et les autres :
“équation sans second membre” ⇔ “équation homogène”
“équation avec second membre” ⇔ “équation inhomogène”

Quelques exemples physiques et moins physiques
ÿ − tẏ = 0
ÿ − tẏ − t = 0
ẏ = 3
t2ÿ + cos(ωt) = 0
t2ÿ + y cos(ωt) = 0
u̇ +
u
RC
− E = 0
dN
dt
+ λ · N = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
ÿ − tẏ − t = 0
ẏ = 3
t2ÿ + cos(ωt) = 0
u̇ +
u
RC
− E = 0
dN
dt
+ λ · N = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
ÿ − tẏ − t = 0 =⇒ inhomogène, p(t) = t
ẏ = 3
t2ÿ + cos(ωt) = 0
u̇ +
u
RC
− E = 0
dN
dt
+ λ · N = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
ẏ = 3 =⇒ inhomogène, p(t) = 3
t2ÿ + cos(ωt) = 0
u̇ +
u
RC
− E = 0
dN
dt
+ λ · N = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
t2ÿ + cos(ωt) = 0 =⇒ inhomogène, p(t) = − cos(ωt)
u̇ +
u
RC
− E = 0
dN
dt
+ λ · N = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
t2ÿ + y cos(ωt) = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
u̇ +
u
RC
− E = 0
dN
dt
+ λ · N = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
u̇ +
u
RC
− E = 0 =⇒ inhomogène, p(t) = E
dN
dt
+ λ · N = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
u̇ +
u
RC
dN
dt
+ λ · N = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0

ÿ − tẏ = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
u̇ +
u
RC
dN
dt
+ λ · N = 0 =⇒ homogène, p(t) = 0
ḧ +
f
m
ḣ + g = 0 =⇒ inhomogène, p(t) = −g

Influence du terme perturbateur
x
m k
0
ẍ +
f
m
ẋ +
k
m
x = 0
x
m
k
0
x0
ẍ +
f
m
ẋ +
k
m
x = −g
x
m
k
0
x0
ẍ +
f
m
ẋ +
k
m
x =
A
m
cos(ωt + ϕ) − g
La position d’équilibre est modifiée par la pesanteur !
La position devient une fonction harmonique en présence de la
contrainte
Présence d’un terme perturbateur =⇒ modification de la solution

Effets du terme perturbateur : un exemple
“Le terme perturbateur modifie la solution” : exemples chiffrés
ẏ = 0
solutions (solution générale) :
y = r , r ∈ R
ÿ = 0
y = rt + s , r,s ∈ R
ẏ = 2
y = 2t + r , r ∈ R
ÿ = 2
y = t2 + rt + s , r,s ∈ R

Effets du terme perturbateur : un exemple
“Le terme perturbateur modifie la solution” : exemples chiffrés
ẏ = 0
y = r , r ∈ R
ÿ = 0
y = rt + s , r,s ∈ R
ẏ = 2
y = 2t + r , r ∈ R
ÿ = 2
y = t2 + rt + s , r,s ∈ R
le terme perturbateur :
modifie la solution générale
“ajoute quelque chose à la solution générale”
MAIS la solution reste une solution générale !

Définitions générales Solution particulière
Solution particulière : introduction
La solution générale de ẏ = 2 est une somme
y = 2t + r
la solution générale de ẏ = 0
une solution particulière de ẏ = 2
avec constante d’intégration nulle
La solution générale de ÿ = 2 est une somme
y = t2
+ rt + s
la solution générale de ÿ = 0
une solution particulière de ÿ = 2

Solution particulière : introduction
La solution générale de ẏ = 2 est une somme
y = 2t + r
la solution générale de ẏ = 0
une solution particulière de ẏ = 2
La solution générale de ÿ = 2 est une somme
y = t2
+ rt + s
la solution générale de ÿ = 0
une solution particulière de ÿ = 2
Nous reviendrons sur cet aspect de somme bien vite !

La solution particulière
Définition de la solution générale : une équation différentielle
inhomogène admet une infinité de solutions
Si l’on fixe les constantes d’intégration : une solution en particulier
Chacune de ces solutions est une solution particulière
Définition
Une solution particulière d’une équation différentielle inhomogène (I) de
y en t est une fonction y(t) (c’est à dire ne contenant pas de constante
d’intégration, par opposition à la solution générale) vérifiant (I).
Dans la pratique : on choisira la solution particulière la plus concise
(avec le plus de constantes nulles)

Conséquence
Autres définitions possibles
La solution générale d’une équation différentielle (E) est l’ensemble de
toutes les solutions particulières de (E)
Il n’y a pas plusieurs types de solutions
Une solution bien précise : une solution particulière
Le groupe entier : la solution générale
Distinction nécessaire pour comprendre une phrase du type “La
solution est constituée de la somme de la solution générale de (H) et
d’une solution particulière de (I)”

Exemple de solutions particulières
ÿ = 2
Solution générale y = t2 + rt + s avec r,s ∈ R
Solutions particulières :
y(t) = t2
+ t + 7
y(t) = t2
+ 2t − 4
y(t) = t2
− 12t + 254
· · ·
Mais surtout : y(t) = t2 (plus concise)

Equations différentielles du premier ordre
Plan
Solution générale
Terme perturbateur
Définitions
Linéarité

Equations différentielles du premier ordre Définitions
Equation différentielle du premier ordre
Définition
On appelle équation différentielle de y en t du premier ordre une équation
de la forme :
F

t,y,
dy
dt

= F(t,y,ẏ) = 0
La solution générale d’une équation différentielle du premier ordre
contient ... constante(s) d’intégration(s).

Equations différentielles du premier ordre Définitions
Equation différentielle du premier ordre
Définition
On appelle équation différentielle de y en t du premier ordre une équation
de la forme :
F

t,y,
dy
dt

= F(t,y,ẏ) = 0
La solution générale d’une équation différentielle du premier ordre
contient 1 constante d’intégration.

Equations différentielles du premier ordre Variables séparées
Equation à variable séparées
En général, difficile à résoudre
Sauf si : équations à variables séparées (ou séparables)
Définition
Une équation différentielle du premier ordre s’écrivant sous la forme
ẏ =
dy
dt
= f (t) · g(y)
où f est une fonction de t uniquement, et g une fonction de y uniquement
est dite à variables séparées.
Dans ce cas : Z
dy
g(y)
=
Z
f (t) · dt

Exemple d’équation à variables séparées
Trouver la solution de :
ẏ − 3ty2
= 0
Équation différentielle
du premier ordre
du second degré
homogène
et à variables séparées :
dy
y2
= 3t · dt
Ce que l’on nous demande :
non pas une solution en particulier (il n’y a pas de condition fixée)
mais l’ensemble de toutes les solutions, la solution en général : la
solution générale =⇒ 1 constante d’intégration

Résolution
Intégrons :
Z
dy
y2
=
Z
3t · dt
On remarque que :
d
dt

−
1
y

=
dy
dt
·

1
y2

et donc
dy
y2
= d

−
1
y

On réécrit alors l’équation comme
Z
d

−
1
y

=
Z
3t · dt
Donc −
1
y
+ K1 =
3
2
t2
+ K2 avec K1,K2 ∈ R
K = K2 − K1 =⇒ −
1
y
=
3
2
t2
+ K avec K ∈ R
Solution générale :
y(t) = −
1
3
2
t2
+ K
avec K ∈ R

Equations différentielles du premier ordre Linéarité
Linéarité en quelques mots
Cette dernière équation est non-linéaire !
Linéarité : concept très important en physique
Nombreuses propriétés
Nombreux outils mathématiques disponibles
Cas simplifié
Dans la pratique :
Soit le système est linéaire
Soit un cherche à s’y ramener par des approximations (sin x ≈ x si x
petit)
Mais qu’est-ce que c’est ?
En quelques mots :
On dit qu’un système est linéaire si, à la somme de deux excitations,
correspond la somme des deux réponses correspondantes.

Linéarité avec une image
Système linéaire
Système physique : une excitation entraîne une réponse
Système non-linéaire

...et dans les équations différentielles ?
Pour regarder le système correspondant à l’équation, isolons p(t)
F(t,y,ẏ) = 0 ⇐⇒ G(t,y,ẏ) = p(t)
où G est une application qui transforme une fonction en une autre.
s
olutions de l’éq
u
a
t
i
o
n
a
u
t
r
es fonctions
application

Condition de linéarité
A quelle condition une équation du premier ordre sera linéaire ?
si je peux remplacer les a · y par des a · (y1 + y2)
si je peux remplacer les b · ẏ par des b · (ẏ1 + ẏ2)
si les y et ẏ sont dans des fonctions linéaires :
pas de y × ẏ
pas de cos(y) ni de ln(y) “ni quelque autre fonction non-polynôme”
pas de y ni de ẏ “à la puissance quelque chose”

Condition de linéarité
A quelle condition une équation du premier ordre sera linéaire ?
si je peux remplacer les a · y par des a · (y1 + y2)
si je peux remplacer les b · ẏ par des b · (ẏ1 + ẏ2)
si les y et ẏ sont dans des fonctions linéaires :
pas de y × ẏ
pas de cos(y) ni de ln(y) “ni quelque autre fonction non-polynôme”
pas de y ni de ẏ “à la puissance quelque chose”
Définition
Une équation différentielle du premier ordre est dite linéaire lorsque la
fonction y et sa dérivée ẏ apparaissent linéairement, c’est à dire lorsque
l’équation peut être écrite sous la forme :
a(t) · ẏ + b(t) · y = p(t)
où a(t) et b(t) sont des fonctions quelconques de t et où p(t) est un
terme perturbateur.

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
est
ẏ + t · y3
= t2
est
ẏ · y = t2
est
ẏ + y · cos(t) = t · sin(t) est
ẏ + cos(y · t) = t · sin(t) est
ẏ + cos(y · t) = 0 est
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
est inhomogène et linéaire (degré 1)
ẏ + t · y3
= t2
est
ẏ · y = t2
est
ẏ + cos(y · t) = 0 est
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
ẏ + t · y3
= t2
est inhomogène et non-linéaire car de degré 3
ẏ · y = t2
est
ẏ + cos(y · t) = 0 est
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
ẏ + t · y3
= t2
ẏ · y = t2
est inhomogène et non-linéaire à cause du produit
ẏ + cos(y · t) = 0 est
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
ẏ + t · y3
= t2
ẏ · y = t2
ẏ + y · cos(t) = t · sin(t) est inhomogène et linéaire (degré 1)
ẏ + cos(y · t) = 0 est
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
ẏ + t · y3
= t2
ẏ · y = t2
ẏ + cos(y · t) = t · sin(t) est inhomogène et non-linéaire car y est
dans un cos
ẏ + cos(y · t) = 0 est
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
ẏ + t · y3
= t2
ẏ · y = t2
dans un cos
ẏ + cos(y · t) = 0 est homogène et non-linéaire toujours à cause du
cos
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est

Quelques exemples
ẏ + t3
· y = t2
ẏ + t · y3
= t2
ẏ · y = t2
dans un cos
ẏ + cos(y · t) = 0 est homogène et non-linéaire toujours à cause du
cos
ln(t) · et2
· ẏ +
√
t + 2 · y = cos(t2
) + 9 est inhomogène et linéaire
(degré 1)

Equations différentielles, DUT MP, CM 2

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