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Généralités et définitions
Variables aléatoires discrètes
Variables aléatoires continues
Plan du chapitre
1 Généralités et définitions
Illustration
Définition
2 Variables aléatoires discrètes
Définitions
Les moments : Espérance et Variance
Loi discrètes usuelles
3 Variables aléatoires continues
Définitions
Moments : Espérance et Variance
Loi continues usuelles
Brice DONGMEZO, Ing. Ph.D Proba & Stat - ISME 27 avril 2021 2 / 30

Illustration
Définition

Illustration
Définition
Exemple introductif
Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard huit familles de 3 enfants
à Nouakchott. On s’intéresse au nombre de garçon dans chaque famille
tirée. L’univers associé à cette expérience est :
Ω = {FFF; FFG; FGF; FGG; GFF; GFG; GGF; GGG}, qui correspond aux
configurations possibles des 3 enfants dans la famille. Associons à chaque
élément ω ∈ Ω le nombre de garçons de la famille. On a :
ω FFF FFG FGF FGG GFF GFG GGF GGG
Nbre garçons 0 1 1 2 1 2 2 3
On remarque que deux évènements élémentaires de Ω peuvent conduire au
même nombre de garçons. Pour chaque évènement élémentaire, on peut
calculer la probabilité par exemple P ({ω = FFG}) = 1
8 mais
P ({Nbre Garcons = 1}) = 3
8 .
Associer ou faire correspondre à chaque élément de Ω une quantité
numérique réelle revient à définir une variable aléatoire.

Illustration
Définition
Cas général
Définition
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé, on appelle variable aléatoire sur (Ω, F, P) à
valeur dans un ensemble (un corps) E l’application X définie par :
X : Ω → E
ω 7→ X(ω)
et qui vérifie ∀x ∈ E, X−1({x}) ∈ F.
Dans l’exemple introductif, E ⊂ N et X(ω) est le nombre de garçons pour la
configuration ω et c’est une réalisation de la variable aléatoire X.
Remarque
Une variable aléatoire peut être de deux types :
Discrète : si E est fini ou infini mais dénombrable; E ⊆ N (nombre de
garçons, résultat d’un lancé de dé ou de pièce de monnaie);
Continue : si E est un intervalle de R, X prend n’importe quelle valeur dans
un intervalle de R (taille d’un individu, concentration d’une solution).

Définitions

Définitions
V.a.d, loi et fonction de répartition
Définition
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé, on appelle variable aléatoire discrète sur
(Ω, F, P) à valeur dans un ensemble (un corps) E l’application X définie par :
X : Ω → E
ω 7→ X(ω) = x
telle que E fini ou infini et dénombrable et qui vérifie
∀x ∈ E, X−1({x}) ∈ F.
Dans l’exemple introductif, on note X = « le nombre de garçons dans une
famille de 3 enfants » est une variable aléatoire définie de Ω vers l’ensemble
E = {0, 1, 2, 3}. On a par exemple X ({FFF}) = 0 ou encore
X−1 (1) = {FFG, FGF, GFF} ∈ F = P(Ω).
Définition
On appelle loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète X, l’application PX
définie par :
PX : E → [0, 1]
x 7→ PX(x) = P (X = x)

Définitions
Remarque : Pour définir une loi de probabilité associé à une variable
aléatoire, il suffit d’avoir la probabilité de chacune des valeurs que cette
variable aléatoire peut prendre. Autrement dit ∀x ∈ E on peut calculer
PX(x) = P(X = x)
Exemple : Dans l’exemple introductif, déterminer la loi de X
Proposition
Soit X une variable aléatoire discrète à valeur dans un espace E, alors on a :
∀x ∈ E, 0 6 PX(x) 6 1
∑
x∈E
PX(x) = 1
On a P (X ∈ [a, b]) = ∑
x∈[a,b]⊂E
PX(x)
Exemple : Dans l’exemple introductif, calculez : P (X ∈ [1, 2])

Définitions
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète, on appelle Fonction de répartition de la v.a.d
X l’application F définie telle que :
F : R → [0, 1]
x 7→ F(x) = P (X 6 x)
.
Si E = {x1, x2, ..., xn} est ordonné alors la fonction de répartition définie sur
E ⊂ R s’écrit encore : ∀j, 1 6 j 6 n F(xj) = P X 6 xj

=
j
∑
i=1
P(X = xi)
Exemple : Déterminer la fonction de répartition de X dans l’exemple introductif.
Proposition
Soit X une variable aléatoire réelle et F sa fonction de répartition associée, on a :
1 ∀t ∈ R, 0 6 F(t) 6 1
2 F est croissante sur R
3 lim
t→−∞
F(t) = 0 et lim
t→+∞
F(t) = 1
Brice DONGMEZO, Ing. Ph.D Proba Stat - ISME 27 avril 2021 9 / 30

Définitions
Espérance mathématique
Définition
On appelle espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète X prenant les
valeurs dans l’ensemble E = {x1, x2, ..., xn}, la quantité notée E [X] ou E(X)
définie par :
E [X] = ∑
x∈E
xP(X = x) =
n
∑
i=1
xiP(X = xi)
Exemple : Montrer que dans l’exemple introductif, E(X) = 3/2
Proposition
Soient X et Y deux variables aléatoires, et soient λ et δ deux constantes, alors on a :
E [λX] = λE [X]
E [X + Y] = E [X] + E [Y]
E [λX + δY] = λE [X] + δE [Y]
E [λ] = λ l’espérance mathématique d’une variable aléatoire constante est la
même constante.

Définitions
La variance
Définition
Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé et d’espérance
mathématique E(X) , on appelle variance de X la quantité notée V(X) ou V [X] :
V [X] = E
h
(X − E [X])2
i
Si X prend des valeurs dans E = {x1, x2, ..., xn}, alors
V [X] =
n
∑
i=1
(xi − E [X])2
P (X = xi)
Remarque : V(X) ≥ 0 et la quantité σ(X) =
p
V(X) est appelé écart type
de X.
Exemple : Dans l’exemple introductif, la variance vaut 0,75.

Définitions
La variance
Proposition
Soient X et Y deux variables aléatoires, et soient λ et δ deux constantes, alors on a :
V (X) = E X2

− (E (X))2
V (λX) = λ2V (X) et V (λ) = V [λ] = 0
V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 [E (XY) − E (X) E (Y)]
Définition
Soient X et Y deux variables aléatoires sur un espace probabilisé (Ω, P). On appelle
Covariance de X et Y notée Cov(X, Y) la quantité :
Cov (X, Y) = E [(X − E(X)) (Y − E(Y))] = E (XY) − E (X) E (Y)
Mesure de la variation simultanée de deux variables aléatoires : elle permet
d’évaluer l’importance et le sens de cette variation. Elle peut être positive,
négative ou nulle (lorsque les variables sont indépendantes).

Définitions
Loi discrète uniforme
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète qui prend un nombre fini de valeurs dans R
notées x1, x2, ..., xn avec n ∈ N. On dit que X suit une loi discrète uniforme et non
note X ∼ U(n) si ∀i = 1, 2, ..., n , on a : pi = P (X = xi) = 1
n
On dit que la distribution de X est uniforme sur son ensemble de valeurs .
Exemple : Lancé d’un dé et lancé d’une pièce de monnaie conduisent à des
lois uniformes.
Proposition
Dans le cas d’une variable aléatoire discrète uniforme X dont les valeurs sont prises
dans l’ensemble {1, 2, ..., n}, c’est-à-dire que xi = i les moments de la variable
aléatoire sont donnés par :
Espérance E (X) = n+1
2
Variance V (X) = n2−1
12 et Écart-type σ (X) =
q
n2−1
12

Définitions
Loi de Bernouilli
Définition
Soit X une variable aléatoire discrète. On dit que X suit une loi de Bernoulli de
paramètre p et on note X ∼ B(p) si X ne peut prendre que deux valeurs
(symbolisées 0 et 1) et on peut associer une probabilité pour chacune de ses valeurs.
X =
(
1 succès avec la probabilité p
0 échec avec la probabilité q = 1 − p
On écrit alors P(X = 0) = 1 − p = q et P(X = 1) = p.
Exemple : Tirer une boule rouge dans une urne contenant 6 boules rouges et 18
boules noires peut être modéliser par une variable aléatoire qui suit une loi de
Bernouilli. Quel est le paramètre?
Proposition
Si X ∼ B(p) alors :
Espérance E (X) = p
Variance V (X) = p(1 − p) = pq et Écart-type σ (X) =
√
pq

Définitions
Loi Binomiale
Définition
La loi binomiale de paramètres n et p; notée B(n, p) est la loi de probabilité du
nombre de succès dans la répétition de n expériences identiques et indépendantes
d’une loi de Bernoulli de paramètre p (et q = 1 − p la probabilité de l’échec). On
définit la loi de cette probabilité comme suit : X ∼ B(n, p) si :
P (X = k) = Ck
n pk
qn−k
, ∀k ∈ N/0 6 k 6 n
Exemple : On lance deux fois un dé et on s’intéresse on nombre de fois
qu’on va obtenir un 6. Modéliser cette expérience.
Proposition
Si X ∼ B(n, p) alors :
Espérance E (X) = np
Variance V (X) = np(1 − p) = npq et Écart-type σ (X) =
√
npq

Définitions
Loi Géométrique
Définition
On dit que une variable aléatoire discrète X suit une loi de géométrique de
paramètre p (on note X ∼ G(p)) si elle enregistre le nombre d’épreuves successives
nécessaire à l’obtention du premier succès lorsqu’on répète indépendamment des
épreuves de bernouilli de paramètre p. On a :
∀k ∈ N∗
, P (X = k) = qk−1
p avec q = 1 − p.
Exemple : On lance un dé continuellement jusqu’à l’obtention d’un 6.
Quelle est la probabilité d’obtenir le 6 au 4e lancé?
Proposition
Si X ∼ G(p) alors :
Espérance E (X) = 1
p
Variance V (X) = 1−p
p2 = q
p2 et Écart-type σ (X) =
q
q
p2

Définitions
Loi de Poisson
Définition
On dit que une variable aléatoire discrète X suit une loi de poisson de paramètre
λ 0 (on note X ∼ P(λ)) si sa loi de probabilité vérifie :
∀k ∈ N, P (X = k) =
λke−λ
k!
Remarque : La loi de Poisson est aussi appelée loi des évènements rares, utilisée pour modéliser le nombre
de pièces défectueuses dans un lot important où la probabilité de pièces défectueuses est faible etc.
Exemple : On admet que le nombre d’accidents survenant sur une autoroute quotidiennement est une
variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ = 2 : Quelle est la probabilité qu’il y ait au
moins 2 accidents lors d’un jour donné?
Proposition
Si X ∼ P(λ) alors :
Espérance E (X) = λ
Variance V (X) = λ et Écart-type σ (X) =
√
λ

Définitions

Définitions
V.a.c, loi et fonction de répartition
Définition
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé, on appelle variable aléatoire continue sur
(Ω, F, P) à valeur dans un ensemble (un corps) E l’application X définie par :
X : Ω → E
ω 7→ X(ω) = x
telle que E est un intervalle de R et qui vérifie
∀x ∈ E, X−1({x}) ∈ F.
On définit également dans certain contextes une variable aléatoire continue comme une variable aléatoire à
valeur dans R qui vérifie ∀x ∈ R, PX ({x}) = P (X = x) = 0.
Exemple : Taille, poids, âge, concentration, tension.
Définition
La loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X est établie si il existe une
fonction f appelée densité de X continue par morceaux et qui vérifie :
∀t ∈ R, f (t) 0 et
R +∞
−∞ f (t)dt = 1
∀a, b ∈ R, P (X ∈ [a, b]) = PX ([a, b]) =
R b
a f (t)dt

Définitions
Fonction de répartition
Définition
Soit X une variable aléatoire continue sur un espace probabilisé (Ω, P). On appelle
fonction de répartition de X l’application F définie sur R telle que :
F : R → [0, 1]
x 7→ F(x) = P (X 6 x) =
Z x
−∞
f (t)dt
En utilisant la fonction de répartition, on a : P (X ∈ [a, b]) =
R b
a f (t)dt = F(b) − F(a)
Proposition
Soit X une v.a.c sur (Ω, F, P), soit F sa fonction de répartition, alors on a :
F est continue et croissante
lim
x→−∞
F(x) = 0 et lim
x→+∞
F(x) = 1
F0 = f

Définitions
Quantile
Définition
On définit le quantile d’ordre α ∈]0, 1[ de la variable aléatoire X comme étant le
réel xα qui vérifie F(xα) = α.
Exemple :
Le quantile d’ordre 0,5 est appelé la médiane.
Les quantile d’ordre k × 0, 25 sont appelés les quartiles k = 1, 2, 3.
Les quantiles d’ordre k × 0, 1 sont appelés les déciles k = 1, ..., 9.
Applications : On considère la fonction f (x) =
(
2x si x ∈ [0, 1]
0 si non
.
Montrez que f est la densité d’une variable aléatoire X. Calculer la fonction
de réparation de X et déterminer les quantiles d’ordre 0,5 de X et 0,8 (8eme
décile).

Définitions
Espérance mathématique
Définition
Soit X une v.a.c sur un espace probabilisé (Ω, F, P). On suppose que X admet une
densité noté f alors l’espérance mathématique de X est la quantité notée E(X)
définie par :
E (X) =
Z +∞
−∞
x f (x)dx
Exemple : Montrer que si X admet pour densité f (x) = 2x 1[0,1](x) alors
E(X) = 2/3.
Proposition
Soit X et Y deux v.a.c, et soit λ et µ deux réels non nuls. Alors on a :
E (λX) = λE (X)
E (X + Y) = E (X) + E (Y) (admis)
E (λX + µY) = λE (X) + µE (Y)

Définitions
Variance
Définition
Soit X une v.a.c sur un espace probabilisé (Ω, F, P). On suppose que X admet une
densité noté f alors la variance de X est la quantité notée V(X) ou V[X] définie
par : V [X] = E
h
(X − E [X])2
i
= E

X2

− (E [X])2
en remplacant la densité on
a :
V [X] =
Z +∞
−∞
(x − E [X]) f (x)dx =
Z +∞
−∞
x2
f (x)dx − (E [X])2
.
Exemple : Montrer que si X admet pour densité f (x) = 2x 1[0,1](x) alors
V(X) = 1/18.
Proposition
Soit X et Y deux v.a.c, et soit λ et µ deux réels non nuls. Alors on a :
V (λX) = λ2V (X)
V (λX + µ) = λ2V (X)

Définitions
Loi continue uniforme
Définition
Soient a et b deux réels tels que a b, une v.a.c X suit la loi continue uniforme
sur l’intervalle [a, b] si sa densité f est constante et vaut 1
b−a sur [a, b] et nulle
partout ailleurs. Elle est définie comme suit : f (x) =



1
b − a
si a 6 x 6 b
0 sinon
ou
f (x) = 1
b−a 1[a,b](x). On note X ∼ U[a, b]
La fonction de répartition de X ∼ U[a, b] est donnée par : F(x) =









0 pour x 6 a
x − a
b − a
pour a 6 x 6 b
1 pour x b
Proposition
Si X ∼ U[a, b] alors, E (X) = a+b
2 et V (X) = (b−a)2
12 .

Définitions
Loi exponentielle
Définition
Soit λ un réel strictement positif, une v.a.c X à valeurs dans R∗
+ suit la loi
exponentielle de paramètre λ notée (ξ(λ)) si elle admet pour densité la fonction f
définie par :
f (x) = λe−λx
1]0,+∞[(x).
On note X ∼ ξ(λ).
On montre que la fonction de répartition d’une loi exponentielle de
paramètre λ est donnée par : F(x) = (1 − e−λx)1]0,+∞[(x)
Proposition
Si X ∼ ξ(λ) alors :
E (X) = 1
λ et V (X) = 1
λ2
P (X t + s |X t) = P (X s), ∀t, s ∈ R∗
+
Loi exponentielle est utilisée pour modéliser les temps d’attente, les durées de vie.

Définitions
Loi normale ou loi de Laplace - Gauss
Définition
Soient µ et σ deux constantes réelles (σ 0), une v.a.c X suit une loi normale ou
une loi de Laplace Gauss si elle admet pour densité de probabilité la fonction f
définie sur tout R par :
f (x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−µ)2
2σ2
On note : X ∼ N (µ, σ).
On montre en utilisant une intégration par partie, les doubles intégrales et
un changement en coordonnée polaire que
+∞
R
−∞
f (x)dx = 1.
Proposition
Si X ∼ N (µ, σ) alors, E(X) = µ et V(X) = σ2.

Définitions
Loi normale centrée réduite
Définition
Une variable aléatoire Z suit une loi normale centrée réduite si sa densité de
probabilité est donnée par la fonction définie sur tout R par :
g(x) =
1
√
2π
e− x2
2
On note : Z ∼ N (0, 1).
C’est la normale de moyenne 0 et d’écart-type ou variance 1.
Proposition
Soit X une variable aléatoire continue, si X ∼ N (µ, σ) alors la quantité
Z = X−µ
σ ∼ N (0, 1). On dit que la variable aléatoire X a été centrée et réduite.
Remarque : Tout comme la loi normale générale, la loi normale centrée réduite a une
densité symétrique autour de sa moyenne 0 et par conséquent, sa fonction de
répartition possède des propretés intéressantes.

Définitions
Loi normale centrée réduite- Fonction de répartition
La fonction de répartition Φ d’une loi normale centrée réduite est donnée
par l’expression sous forme d’intégrale suivante :
Φ(x) = P (Z 6 x) =
x
R
−∞
g(t)dt =
x
R
−∞
1
√
2π
e− t2
2 dt
On a :
Φ(−∞) = 0 et Φ(+∞) = 1

Définitions
Φ(x) = P (Z 6 x) =
x
R
−∞
g(t)dt =
x
R
−∞
1
√
2π
e− t2
2 dt
On a :
Φ(−∞) = 0 et Φ(+∞) = 1
Φ(0) = 0, 5 : la densité admettant x = 0 comme axe de symétrie.

Définitions
Φ(x) = P (Z 6 x) =
x
R
−∞
g(t)dt =
x
R
−∞
1
√
2π
e− t2
2 dt
On a :
Φ(−∞) = 0 et Φ(+∞) = 1
On montre graphiquement que : P (Z z) = 1 − P (Z 6 z) = 1 − Φ(z)

Définitions
Φ(x) = P (Z 6 x) =
x
R
−∞
g(t)dt =
x
R
−∞
1
√
2π
e− t2
2 dt
On a :
Φ(−∞) = 0 et Φ(+∞) = 1
On montre que : P (z1 6 Z 6 z2) = Φ(z2) − Φ(z1)

Définitions
Φ(x) = P (Z 6 x) =
x
R
−∞
g(t)dt =
x
R
−∞
1
√
2π
e− t2
2 dt
On a :
Φ(−∞) = 0 et Φ(+∞) = 1
∀z ∈ R∗
+, Φ(z) + Φ(−z) = 1

Définitions
Φ(x) = P (Z 6 x) =
x
R
−∞
g(t)dt =
x
R
−∞
1
√
2π
e− t2
2 dt
On a :
Φ(−∞) = 0 et Φ(+∞) = 1
∀z ∈ R∗
+, Φ(z) + Φ(−z) = 1
On peut lire sur la table des valeurs de Φ que : Φ(1, 645) = 0, 95

Définitions
Φ(x) = P (Z 6 x) =
x
R
−∞
g(t)dt =
x
R
−∞
1
√
2π
e− t2
2 dt
On a :
Φ(−∞) = 0 et Φ(+∞) = 1
∀z ∈ R∗
+, Φ(z) + Φ(−z) = 1

Définitions
Utilisation de la Loi normale centrée réduite
Lorsque l’on a X ∼ N (µ, σ) ayant pour fonction de répartition F on a vu
que l’on peut toujours se ramener à une loi normale centrée réduite à l’aide
d’un changement de variable. En effet, la quantité Z = X−µ
σ suit une loi
normale centrée réduite. On a donc ∀t ∈ R,
F(t) = P (X 6 t) = P (X − µ 6 t − µ) = P

X − µ
σ
6
t − µ
σ

= P

Z 6
t − µ
σ

F(t) = Φ

t − µ
σ

Du moment où l’on a la table de la loi normale centrée réduite, calculer la
probabilité qu’une variable aléatoire qui suit une loi normale quelconque se
ramènera toujours à calculer la valeur de la fonction Φ à un point précis.
Application : Soit X ∼ N (µ = 30, σ = 3), déterminons les probabilités suivantes :
P ({X = 28}), P ({X 6 33}) , P ({X 6 27}) , P ({27 6 X 6 33}) , P ({X 33}).

Définitions
Autre lois continues utiles
Il existe d’autres lois continues utilise en statistique mais que l’on n’a pas le
temps d’aborder. Vous pourrez faire des recherches dessus :
Loi du Khi-Deux ou Khi-Carré
Loi de Student
Loi de Fisher

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