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Les ensembles
1. introduction de théories naïves
2. découverte de paradoxes dans celles-ci
3. introduction de théories plus soignées dont ZF
Paradoxe de Russell
D’un point de vue naïf (c-à-d ensemble = collection), on peut exiger :
a) Toute propriété définit un ensemble
b) Pour tout ensemble x, pour tout objet y, on doit avoir une et une
seule des deux possibilités :
y ∈ x ; y ∈ x
c) Tout ensemble est lui-même un objet
Formons R = {x | x ∈ x}. A-t-on que R appartient à R ?
On obtient : R ∈ R ⇐⇒ R ∈ R
Elimination des paradoxes
L’élimination des paradoxes
Il existe deux méthodes d’élimination des paradoxes :
- la théorie des types de Russell
- la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel
On peut alors se demander : « ZF est-elle exempte de paradoxes ? »
Les paradoxes de la théorie naïve ne peuvent plus être reproduits car ZF
a été créée pour les éliminer.
De plus, aucun paradoxe de ZF n’a encore été découvert.
Remarques :
1) les exigences (a),(b),(c) ne peuvent être toutes les trois satisfaites dans ZF.
2) (a) va être affaibli : il n’y a plus que certaines propriétés qui définiront des ensembles.
3) (b) sera maintenu.
4) (c) sera renforcé : nous exigerons en plus que tout "objet" est lui-
même un ensemble. Tout élément d’un ensemble est un ensemble.
D’où, ensemble = objet.
AXIOMES de ZF
Axiome
d’extensionnalité
« Si x et y ont les mêmes éléments,
alors x et y sont égaux »
∀x ∀y(∀z(z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y) ⇐⇒ x = y)
On a trivialement que
x = y ⇒ ∀z(z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y)
Axiome de la
paire
« étant donné les ensembles x et y, il
existe un ensemble z qui comprend
exactement x et y »
∀x ∀y ∃z ∀t (t ∈ z ⇐⇒ [t = x ∨ t = y])
En vertu de l’axiome d’extensionnalité,
cet ensemble est unique.
Notation
On introduit une notation usuelle:
z = {x,y}
{x,y} est la paire formée à partir de x et y.
Posons {x} = {x,x}, nous dirons que c’est le singleton formé à
partir de x.
Couples
Nos deux premiers axiomes permettent d’introduire la notion de
couple. Les exigences à imposer à la définition de couple (x,y)
sont :
(a) (x,y) est un ensemble
(b) si (x,y) = (z,t) alors x = z et y = t
Nous utiliserons la définition de Wiener-Kuratowski:
(x,y) = {{x},{x,y}}
Vérification :
(a) L’axiome de la paire implique {x,y} et {x} = {x,x}
ensembles. Donc l'axiome de la paire implique que
{{x},{x,y}} est un ensemble.
(b) Supposons que (x,y) = (z,t)
Cas 1 :
x = y ; alors {{x}} = {{z},{z,t}}
Donc {z} = {z,t} et {x} = {z}
On en déduit z = t et x = z. Avec x = y, on a x = z et y = t
Cas 2 :
x = y ; de {{x},{x,y}} = {{z},{z,t}}
On a : (i) {x} = {z} et {x,y} = {z,t}
ou (ii) {x} = {z,t} et {x,y} = {z} → impossible
(i) entraîne x = z et y = t
Définitions
- relation = ensemble de couples
- fonction = relation telle que
∀x ∀y ∀y’ ((x,y) ∈ f ∧ (x,y’) ∈ f)) ⇒ y = y’
Cette définition signifie
« pas deux valeurs distinctes en un même x»
Définition de Triple:
(x,y,z) = (x,(y ,z))
Propriétés :
(a) (x, y, z) est un ensemble car (x, y, z) = (x,(y, z)) et (x,(y, z)) sont
deux couples imbriqués. C'est un ensemble.
(b) Si (x, y, z) = (u, v, w), alors x = u, y = v, z = w.
En effet : (x,(y, z)) = (u,(v, w)). De cela nous déduisons x = u et (y, z)
= (v, w) (propriété des couples) et de (y, z) = (v, w) nous déduisons y = v et z
= w (propriété des couples).
Pour n ≥ 2 , on définit le n+1-tuple (x1,x2...,xn+1) par
(x1,x2...,xn+1) = (x1,(x2,...,xn+1))
Comme précédemment :
(a) (x1, x2, . . . , xn+1) est un ensemble.
(b) Si (x1, . . . , xn+1) = (y1, . . . , yn+1) alors :
(x1,(x2 . . . , xn+1) = (y1,(y2 . . . , yn+1)) ⇒ x1 = y1.
Ensuite nous en déduisons (x2, . . . , xn+1) = (y2, . . . , yn+1)
et de la même façon on obtient x2 = y2, . . . , xn+1 = yn+1.
Axiome de
la réunion
« Soit x un ensemble ; tous les éléments
y de x sont évidemment des ensembles
et donc x est un ensemble d’ensembles.
Nous exigeons l’existence d’un ensemble
z qui comprenne exactement tous les
éléments qui sont dans au moins un des
y ∈ x »
∀x ∃z ∀t (t ∈ z ⇐⇒ ∃y (y ∈ x ∧ t ∈ y))
(L’axiome d’extensionnalité et de la
réunion impliquent l’unicité de z)
L'existence et l'unicité de z permettent d'introduire la notation:
z = Ux
Remarque:
- On peut faire un "saut" de deux signes ∈ :
t ∈ Ux ⇐⇒ ∃y ( t ∈ y ∈ x ) (1)
- x et y sont des ensembles, donc U{x,y} est un
ensemble
On a: t ∈ U{x,y}
ssi ∃ z ∈ {x,y} t ∈ z par (1)
ssi t ∈ x v t ∈ y
Ceci justifie la définition :
aUb =U{a,b}
Exercice : U(x,y) = {x,y}
Donc UU(x,y) = xUy
Déf. de Wiener-Kuratowski : (x,y) = {{x},{x,y}}
D'où U(x,y) = U{{x},{x,y}}
Déf. ci-dessus : U{{x},{x,y}} = {x}U{x,y}
Donc U(x,y) = {x,y}
Avec l'axiome de la paire et l'axiome de la réunion, on
peut construire les ensembles de la forme :
{x1,...,xn} = {x1,...,xn−1} U {xn}.
Axiome de
l'ensemble
des parties
" Pour tout ensemble x, il existe un
ensemble y qui est ensemble des
parties de x"
∀x ∃y ∀z (z ∈ y ⇐⇒ ∀t (t ∈ z ⇒ t ∈ x))
L'axiome d'extensionnalité montre
l'unicité de y, nous pouvons
introduire la notation : y = P x
(Les axiomes introduits jusqu'à
maintenant ne suffisent pas pour
développer une théorie des
ensembles intéressante)
Le langage de la
théorie des ensembles
1. On ne peut exiger que toute propriété définisse
un ensemble. (éviter paradoxes)
2. On exigera " si a est un ensemble et si P est une
propriété alors les éléments de a vérifiant P forment un
ensemble "
3. Manque de précision : la notion de "propriété"
4. On va fixer un langage pour mathématiser l'usage
des propriétés.
Les
symboles du
langage
ensembliste
Les variables: x,y,z,t,….. qui vont désigner
des ensembles
Les signes: ∈ et =
Les connecteurs: ¬, ∨, ∧ , ⇒ , ⇐⇒
Les quantificateurs: ∀ et ∃
Les parenthèses: ( et )
Remarque: On pourrait réduire la liste car certains
symboles sont définissables à partir d'autres
Introduction de formules du langage ensembliste pour
éliminer l'usage de "propriétés".
Les formules sont des assemblages finis de symboles du
langage ensembliste. Elles sont définies inductivement par
des règles de formation.
Règles de formation des formules
(i) si u et v sont des variables, alors u = v et u ∈ v sont des formules
(ii) si A est une formule, alors ¬A est une formule
(iii) Si A, B sont des formules et si ∗ est ∧, ∨, ⇒ ou ⇐⇒ , alors A∗B est une formule
(iv) Si A est une formule et si u est une variable , alors ∀u A et ∃u A sont des formules
Exemple: ∀x ∀y (∀z (z ∈ x ⇒ z ∈ y) ⇒ x = y )
(a) x ⊂ y
(b) x ∈{y,z}
(c) x = {y,z}
(d) x ∈ (y,z)
(e) x = (y,z)
(f) x est une relation
(g) x est une fonction
peut être traduit par: ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y)
Certaines affirmations sont traduisibles par des formules.
peut être traduit par: ∀t (t ∈ x ⇒ ∃ y ∃z (t=(y,z)))
peut être traduit par: x=y ∨ x=z
Notions syntaxiques élémentaires
Définition:
Une occurrence d'une variable u
dans une formule est dite liée ssi cette occurrence a lieu
dans le champ d'action d'un quantificateur ∀ u ou ∃ u.
Occurrence libre = occurrence non liée
Exemple:
y ∈ x ⇒ ∃v ( v ∈ t ∧ ∀t (t ∈ x ∨ t = x)
Définition:
Une variable est dite libre( respectivement liée) dans une
formule ssi cette variable a au moins une occurrence
libre(respectivement liée) dans cette formule.
Exemple:
y ∈ x ⇒ ∃v ( v ∈ t ∧ ∀t (t ∈ x ∨ t = x)
• y et x sont libres
• v est liée
• t est libre et liée
Changement de variables
La commutativité d'une loi binaire(notée multiplicativement) peut
s'exprimer par:
∀x ∀y xy = yx
Il est évident qu'on peut l'exprimer par:
∀x ∀z xz = zx
Mais pas par:
∀x ∀x xx = xx
Principe de substitution:
Soit A une formule, u une variable, v une variable
n'apparaissant pas dans A.
Obtenons B en substituant v à TOUTES les occurrences
liées de u dans A.
Alors les formules A et B ont la même signification; de
manière plus précise :
A ⇐⇒ B est toujours vraie
Introduction des classes
1. les axiomes introduits sont des formules
2. les théorèmes de la théorie des ensembles seront des formules déduites des
axiomes
3. se limiter à l'usage des formules devient vite laborieux
4. introduction d'une sténographie
§ pour voir rapidement la signification d’une longue formule
§ pour introduire et manier les classes
Classes
Définition:
Supposons que A soit une formule et u soit une variable.
Nous introduisons la classe (collection d'objets):
{u | A}
Nous donnons à v ∈ {u | A} la signification:
"A est vraie lorsque u prend la valeur de v"
(1) La classe universelle
La classe universelle, encore appelée univers et notée V
est introduite par:
V = {x | x = x}
En particulier, quel que soit x, x ∈ V, c'est-à-dire tout
ensemble est élément de l'univers.
Cette assertion se traduit en langage ensembliste par :
∀x x = x
(2) La classe vide
La classe vide, notée ∅ est introduite par:
∅= {x | x = x}
Son nom provient du fait qu'aucun ensemble n'est
élément de cette classe ; ceci se traduit par :
∀x ¬(x = x)
(3) Tout ensemble est une classe
L'égalité {x | x ∈ y} = y est légitimée par le fait que sa
traduction ensembliste est:
∀x (x ∈ y ⇐⇒ x ∈ y)
et fait apparaître tout ensemble comme étant une classe
(4) Classe de Russell
Définissons R= {x| x ∈ x}. Il est aisé de montrer que cette
classe n'est pas un ensemble, pour cela il suffit de
montrer que : ¬(∃y ∀x(x ∈ y ⇐⇒ x ∈ x)). R est en fait une
classe propre.
Définition:
Une classe est propre ssi cette classe n'est pas
un ensemble
(5) Considérons la classe {x| y ∈ z}
Nous voudrions dire {x| y ∈ z} = V si y ∈ z
= ∅ si y ∈ z
Ceci est justifié par la traduction ensembliste qui signifie:
(y ∈ z ⇒ y ∈ z) ∧ (y ∈ z ⇒ y ∈ z)
(6) Classe relationnelle
Nous dirons qu'une classe est relationnelle ssi c'est une
classe de couples.
L'affirmation "la classe {x| A} est relationnelle" peut se
traduire par
∀x (A(x) ⇒ ∃y ∃z (x = (y,z)))
(7) Notation
Nous introduisons des classes du type {(x,y)| A} par
la convention:
{(x,y)| A} = {z| ∃x ∃y (z = (x,y)) ∧ A}
Il est immédiat que toute classe du type {(x,y)| A} est
une classe relationnelle.
(8) classes fonctionnelles
Nous dirons naturellement qu'une classe est fonctionnelle ssi cette
classe est relationnelle et elle ne comprend pas deux couples
distincts ayant la même origine.
Convention :
Si nous désignons une formule par A(x,y), alors en supposant que
y' n'apparaît pas dans A, A(x,y') désigne la formule obtenue de
A(x,y) en y remplaçant toutes les occurrences libres de y par y'.
"La classe {(x,y)| A(x,y)} est fonctionnelle" peut s'exprimer en
langage ensembliste par:
∀x ∀y ∀y'(A(x,y) ∧ A(x,y') ⇒ y = y')
Le schéma d'axiomes
de substitution
Nous allons introduire une infinité de nouveaux axiomes.
Ils seront décrits par une définition du type :
" Les axiomes de substitution sont exactement toutes les
formules ayant la forme...".
C'est dans ce sens qu'il faut entendre le mot "schéma".
Nous voulons traduire l'idée suivante :
"si u est un ensemble et si A* est une classe fonctionnelle alors
l'image de u par A* est un ensemble (l'image de u par A* est
formée par exactement toutes les extrémités des couples dont
l'origine est dans u)"
Image de u par A*
u
Les flèches représentent des couples de A*
Posons A*= {(x,y)| A(x,y)}
Essayons de traduire " il existe un ensemble qui est l'image de u
par A*":
∃v (v = image de u par A*)
⇐⇒∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ il existe un couple de A* dont l'origine est dans u
et l'extrémité est y)
⇐⇒∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ (x,y) ∈ A*))
⇐⇒∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ A(x,y)))
Axiome de substitution correspondant à A
Il y a donc une infinité d'axiomes de substitution car
chaque formule A permet d'en introduire un.
Les premières conséquences de ces axiomes sont les
théorèmes de compréhension.
∀x ∀y ∀y'(A(x,y) ∧ A(x,y')) ⇒ y = y'
⇒∀u (∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ A(x,y))))
Le schéma de théorèmes de
compréhension
Nous allons énoncer et établir le résultat que nous
résumerons par:
"l'intersection d'une classe et d'un ensemble est un
ensemble"
u
v
{x | A}
Théorème de compréhension correspondant à la formule A
∀u ∃v ∀x (x ∈ v ⇐⇒ x ∈ u ∧ A(x))
∀u ∃v ∀x (x ∈ v ⇐⇒ x ∈ u ∧ A(x))
Démonstration :
Soit B la formule: x = y ∧ A(x)
Il est immédiat que ∀x ∀y ∀y'(B(x,y) ∧ B(x,y')) ⇒ y = y'
En utilisant l'axiome de substitution correspondant à B, on trouve:
∀u ∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ B(x,y)))
c-à-d ∀u ∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ x = y ∧ A(x)))
c-à-d ∀u ∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ (y ∈ u ∧ A(y)))
Par changement de variable liée, on obtient ce que l'on veut.
On obtient à partir du schéma de compréhension, le résultat:
"Toute classe contenue dans un ensemble est un ensemble"
Conséquences
des axiomes
Convention
Les ensembles seront désignés par des lettres
minuscules.
Les classes seront désignées par des lettres
majuscules.
Proposition:
La classe vide est un ensemble.
Preuve:
Soit a un ensemble quelconque; on a ∅⊂ a.
Donc ∅ est un ensemble.
Proposition:
L'univers est une classe propre
Preuve:
Supposons que V soit un ensemble.
Toutes les classes sont évidemment contenues dans
l'univers.
Si V était un ensemble alors la classe R de Russell
serait un ensemble.
Contradiction avec un résultat précédent .
Proposition:
L'axiome de la paire provient des autres axiomes.
Preuve:
Nous savons que ∅ est un ensemble, on a donc que P ∅
et PP ∅ sont des ensembles.
Or, P ∅ = {∅} et PP ∅ = {∅,{∅}}
Soient alors a, b des ensembles. La classe
{(x,y) | (x = ∅ ∧ y = a) ∨ (x = {∅} ∧ y = b)}
est fonctionnelle. Par l'application d'un axiome de
substitution, l'image de PP ∅ par cette classe fonctionnelle
est un ensemble.
Or, cette image est {a,b}.
Définition:
Le produit A x B des classes A,B est la classe:
{(x,y)| x∈ A ∧ y∈ B}
Proposition:
Le produit de deux ensembles est un ensemble.
x ∈ a
x ∈ a U b
{x} ∈ P(aUb)
y ∈ b
y ∈ a U b
{x,y} ∈ P (aUb)
{{x},{x,y}} ∈ PP (aUb)
Donc a x b ⊂ PP (aUb)
Or PP (aUb) est un ensemble
Preuve:
De (x,y) ∈ a x b, on déduit:
(x,y) =
Définitions:
• dom A= {x|∃y (x,y)∈ A}
• im A = {y| ∃x (x,y)∈ A }
Remarque:
Dom A et im A sont bien évidemment des classes
Proposition:
Une classe relationnelle est une relation ssi son image et son
domaine sont des ensembles.
Preuve:
Soit A une classe relationnelle.
(⇐): On trouve facilement A ⊂ dom A x im A. Par la proposition précédente,
on a immédiatement le résultat.
(⇒)Supposons que A est un ensemble; si x ∈ dom A
alors ∃y (x,y) ∈ A. On en déduit:
x ∈ {x} ∈ {{x},{x,y}} = (x,y) ∈ A.
D'où x ∈ {x} ∈ UA, ce qui implique x ∈ UUA. Comme UUA est
un ensemble, dom A est un ensemble(par compréhension).
(on obtient la même chose de manière homologue pour im A)
Proposition:
Supposons A,B = ∅
A x B est un ensemble ssi A et B sont des ensembles.
Preuve: exercice
Remarque:
L'hypothèse A, B = ∅ est nécessaire car V x ∅ = ∅
Proposition:
Une classe fonctionnelle F est une fonction ssi son domaine est
un ensemble.
Preuve:
Il suffit de montrer que si dom F est un ensemble alors im F
est un ensemble (c'est une conséquence du schéma
de substitution) et utiliser le résultat sur les classes
relationnelles pour obtenir le résultat.
Notation
ab = classe des fonctions de a dans b
Proposition:
ab est un ensemble
Preuve:
f ∈ ab ⇒ f ⊂ a x b ⇒ f ∈ P (a x b)
Donc ab ⊂ P (a x b) qui est un ensemble en vertu
de l'axiome de l'ensemble des parties et de "le
produit de deux ensembles est un ensemble".
Définition:
a = {x |∀y ∈ a (x ∈ y)}
Proposition:
(i) ∅ = V
(ii) si a = ∅, alors a est un ensemble
Preuve: exercice
Indices : (i) absurde
(ii) trouver un ensemble dans lequel l'intersection de
a est contenu
Définition:
Famille f de domaine d
= fonction de domaine d
Remarque:
- la notion de famille généralise la notion de suite
- la valeur de f en a ∈ d sera souvent notée fa
fa
a
f
d
Notations familiales:
f étant une famille de domaine d:
U fa = U {fa| a ∈ d }= U (image de f)
fa = {fa| a ∈ d} = (image de f)
Propriétés:
Ufa est un ensemble;
Si d = ∅, alors fa est un ensemble
Preuve: exercice
U
U
a∈d
a∈d U
a∈d
a∈d
Les ordinaux et
les cardinaux
1.justification intuitive des idées (le développement
rigoureux ne sera pas présenté ici).
2. notions élémentaires : des ensembles finis.
3. "cardinal de a" = "nombre d'éléments de a" (a fini)
4.Les nombres naturels seront donc les cardinaux des
ensembles finis.
Définition en théorie naïve :
a et b ont même cardinal ssi il existe une bijection de a sur b
Remarque:
1. Ne définit pas "cardinal de" mais " avoir même cardinal que".
2. Si par contre on définit cardinal d'un ensemble dans le
développement axiomatique, il faudra que cette définition
devienne un théorème de la théorie.
Première tentavive (Frege):
Notons d'abord que {(x,y)| x est en bijection avec y } = E a
les propriétés d'une équivalence.
On va partitionner l'univers V suivant les "classes
d'équivalence" de E.
Définition de Frege:
Cardinal de a= "classe d'équivalence" de a par rapport à E
= la classe {x| x est en bijection avec a}
a Cardinal de a
V et "classes
d'équivalence"
Avec la définition de Frege:
0 = (cardinal de ∅) = {∅} (∅ est le seul ensemble en bijection
avec ∅)
1 = (cardinal d'un singleton) = la classe de tous les singletons
Donc 1 = { {x} | x ∈ V}
Une telle définition est non maniable dans le cadre axiomatique
car nous souhaitons que les cardinaux soient des ensembles.
Or, { {x} | x ∈ V} n'est pas un ensemble
Vérifions que { {x} | x ∈ V} n'est pas un ensemble :
Soit la classe fonctionnelle F = {(x, y) | x = {y}},
Les couples de F ont la forme {z} → z .
Si la classe des singletons était un ensemble, son image
par F le serait aussi (schéma de substitution).
Or, cette image est V !
Deuxième tentative(méthode des représentants):
L'idée est de choisir un et un seul élément dans chacune des
classes d'équivalence de V par E et de définir:
cardinal de a = le représentant choisi pour la "classe
d'équivalence" de a par rapport à E
*b
*a
σ
δ
Cardinal a = σ ; cardinal b = δ
On remarque que cette définition est toujours compatible
avec l'exigence de départ.
Il reste donc à indiquer comment choisir nos
représentants de manière "raisonnable"
Les naturels de Von Neumann:
Sa définition des naturels a plusieurs intérêts:
1) la "relation" < entre naturels a une forme ensembliste
très simple : elle coïncide avec ∈ entre naturels
2) elle conduit à la notion d'ordinal
Définition des naturels de Von Neumann:
Comme ∅ est le seul ensemble à 0 élément, on doit
avoir:
0 = ∅
Comme représentant des singletons, on choisit {0} et
donc:
1 = {0}
Comme représentant des ensembles à deux éléments,
on choisit {0,1} et donc:
2 = {0,1}
Comme représentant des ensembles à (n+1) éléments,
on choisit {0,1,2,….,n} et donc:
n+1 = {0,1,2,…,n}
A partir de maintenant, "naturel" signifiera naturel au
sens de Von Neumann.
L'ordre usuel sur les naturels
Proposition:
Pour tout naturel n:
n+1= n U {n}
Preuve :
• pour n = 0, 0+1 = 1 = {∅} = ∅ U {∅} = 0 U {0}
• pour n > 0,
n+1 = {0,1,2,….,n} = {0,1,...n-1} U {n} = n U {n}
Proposition:
Pour tout m,n naturels
m < n ssi m ∈ n
Preuve:
(⇒): conséquence immédiate de la définition de naturel
(⇐): Procédons par induction sur n.
Pour n = 0, on a m ∈ ∅ ce qui est toujours faux donc la
propriété est vraie
Supposons que la propriété est vraie pour n et montrons
que c'est toujours vrai pour n+1
On a:
m ∈ n+1 ssi m ∈ n U {n}
Et donc, m ∈ n+1 ssi m ∈ n ou m = n.
Si m ∈ n, alors m < n et par conséquent m < n+1
Si m = n, alors m < n+1.
Ensembles transitifs
Définition:
Un ensemble a sera dit transitif ssi
∀x,y (x ∈ y ∈ a ⇒ x ∈ a)
Propriété:
Tout naturel est transitif
Proposition:
a est transitif ssi Ua ⊂ a.
Preuve:
(⇒): Supposons a transitif et x ∈ Ua, on a alors, ∃y ∈ a x ∈ y
Donc x ∈ y∈ a, donc x ∈ a.
(⇐): Supposons Ua ⊂ a et x ∈ y ∈ a; alors x ∈ Ua ⊂ a et donc
x ∈ a.
(1)
Ordinaux
Définition fondamentale :
Un ordinal est un ensemble transitif bien ordonné par ∈.
Rappel : Un ordre partiel (X, <) est un bon ordre si toute partie non-vide de X a
un minimum.
Proposition :
Tout naturel est un ordinal.
Preuve : Voir la présentation sur les ordinaux
Utile (pour la présentation sur les ordinaux) :
Définition :
Deux ordres totaux (a,<) et (b,<) sont dits semblables
ssi il existe une bijection f de a sur b telle que :
∀ x,y ∈ a f(x) < f(y) ⇐⇒ x < y

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Formalisation de la théorie des ensembles

  • 2. 1. introduction de théories naïves 2. découverte de paradoxes dans celles-ci 3. introduction de théories plus soignées dont ZF
  • 3. Paradoxe de Russell D’un point de vue naïf (c-à-d ensemble = collection), on peut exiger : a) Toute propriété définit un ensemble b) Pour tout ensemble x, pour tout objet y, on doit avoir une et une seule des deux possibilités : y ∈ x ; y ∈ x c) Tout ensemble est lui-même un objet Formons R = {x | x ∈ x}. A-t-on que R appartient à R ? On obtient : R ∈ R ⇐⇒ R ∈ R
  • 5. L’élimination des paradoxes Il existe deux méthodes d’élimination des paradoxes : - la théorie des types de Russell - la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel On peut alors se demander : « ZF est-elle exempte de paradoxes ? » Les paradoxes de la théorie naïve ne peuvent plus être reproduits car ZF a été créée pour les éliminer. De plus, aucun paradoxe de ZF n’a encore été découvert.
  • 6. Remarques : 1) les exigences (a),(b),(c) ne peuvent être toutes les trois satisfaites dans ZF. 2) (a) va être affaibli : il n’y a plus que certaines propriétés qui définiront des ensembles. 3) (b) sera maintenu. 4) (c) sera renforcé : nous exigerons en plus que tout "objet" est lui- même un ensemble. Tout élément d’un ensemble est un ensemble. D’où, ensemble = objet.
  • 8. Axiome d’extensionnalité « Si x et y ont les mêmes éléments, alors x et y sont égaux » ∀x ∀y(∀z(z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y) ⇐⇒ x = y) On a trivialement que x = y ⇒ ∀z(z ∈ x ⇐⇒ z ∈ y)
  • 9. Axiome de la paire « étant donné les ensembles x et y, il existe un ensemble z qui comprend exactement x et y » ∀x ∀y ∃z ∀t (t ∈ z ⇐⇒ [t = x ∨ t = y]) En vertu de l’axiome d’extensionnalité, cet ensemble est unique.
  • 10. Notation On introduit une notation usuelle: z = {x,y} {x,y} est la paire formée à partir de x et y. Posons {x} = {x,x}, nous dirons que c’est le singleton formé à partir de x.
  • 11. Couples Nos deux premiers axiomes permettent d’introduire la notion de couple. Les exigences à imposer à la définition de couple (x,y) sont : (a) (x,y) est un ensemble (b) si (x,y) = (z,t) alors x = z et y = t
  • 12. Nous utiliserons la définition de Wiener-Kuratowski: (x,y) = {{x},{x,y}} Vérification : (a) L’axiome de la paire implique {x,y} et {x} = {x,x} ensembles. Donc l'axiome de la paire implique que {{x},{x,y}} est un ensemble.
  • 13. (b) Supposons que (x,y) = (z,t) Cas 1 : x = y ; alors {{x}} = {{z},{z,t}} Donc {z} = {z,t} et {x} = {z} On en déduit z = t et x = z. Avec x = y, on a x = z et y = t Cas 2 : x = y ; de {{x},{x,y}} = {{z},{z,t}} On a : (i) {x} = {z} et {x,y} = {z,t} ou (ii) {x} = {z,t} et {x,y} = {z} → impossible (i) entraîne x = z et y = t
  • 14. Définitions - relation = ensemble de couples - fonction = relation telle que ∀x ∀y ∀y’ ((x,y) ∈ f ∧ (x,y’) ∈ f)) ⇒ y = y’ Cette définition signifie « pas deux valeurs distinctes en un même x»
  • 15. Définition de Triple: (x,y,z) = (x,(y ,z)) Propriétés : (a) (x, y, z) est un ensemble car (x, y, z) = (x,(y, z)) et (x,(y, z)) sont deux couples imbriqués. C'est un ensemble. (b) Si (x, y, z) = (u, v, w), alors x = u, y = v, z = w. En effet : (x,(y, z)) = (u,(v, w)). De cela nous déduisons x = u et (y, z) = (v, w) (propriété des couples) et de (y, z) = (v, w) nous déduisons y = v et z = w (propriété des couples).
  • 16. Pour n ≥ 2 , on définit le n+1-tuple (x1,x2...,xn+1) par (x1,x2...,xn+1) = (x1,(x2,...,xn+1)) Comme précédemment : (a) (x1, x2, . . . , xn+1) est un ensemble. (b) Si (x1, . . . , xn+1) = (y1, . . . , yn+1) alors : (x1,(x2 . . . , xn+1) = (y1,(y2 . . . , yn+1)) ⇒ x1 = y1. Ensuite nous en déduisons (x2, . . . , xn+1) = (y2, . . . , yn+1) et de la même façon on obtient x2 = y2, . . . , xn+1 = yn+1.
  • 17. Axiome de la réunion « Soit x un ensemble ; tous les éléments y de x sont évidemment des ensembles et donc x est un ensemble d’ensembles. Nous exigeons l’existence d’un ensemble z qui comprenne exactement tous les éléments qui sont dans au moins un des y ∈ x » ∀x ∃z ∀t (t ∈ z ⇐⇒ ∃y (y ∈ x ∧ t ∈ y)) (L’axiome d’extensionnalité et de la réunion impliquent l’unicité de z)
  • 18. L'existence et l'unicité de z permettent d'introduire la notation: z = Ux Remarque: - On peut faire un "saut" de deux signes ∈ : t ∈ Ux ⇐⇒ ∃y ( t ∈ y ∈ x ) (1) - x et y sont des ensembles, donc U{x,y} est un ensemble
  • 19. On a: t ∈ U{x,y} ssi ∃ z ∈ {x,y} t ∈ z par (1) ssi t ∈ x v t ∈ y Ceci justifie la définition : aUb =U{a,b}
  • 20. Exercice : U(x,y) = {x,y} Donc UU(x,y) = xUy Déf. de Wiener-Kuratowski : (x,y) = {{x},{x,y}} D'où U(x,y) = U{{x},{x,y}} Déf. ci-dessus : U{{x},{x,y}} = {x}U{x,y} Donc U(x,y) = {x,y}
  • 21. Avec l'axiome de la paire et l'axiome de la réunion, on peut construire les ensembles de la forme : {x1,...,xn} = {x1,...,xn−1} U {xn}.
  • 22. Axiome de l'ensemble des parties " Pour tout ensemble x, il existe un ensemble y qui est ensemble des parties de x" ∀x ∃y ∀z (z ∈ y ⇐⇒ ∀t (t ∈ z ⇒ t ∈ x)) L'axiome d'extensionnalité montre l'unicité de y, nous pouvons introduire la notation : y = P x (Les axiomes introduits jusqu'à maintenant ne suffisent pas pour développer une théorie des ensembles intéressante)
  • 23. Le langage de la théorie des ensembles
  • 24. 1. On ne peut exiger que toute propriété définisse un ensemble. (éviter paradoxes) 2. On exigera " si a est un ensemble et si P est une propriété alors les éléments de a vérifiant P forment un ensemble " 3. Manque de précision : la notion de "propriété" 4. On va fixer un langage pour mathématiser l'usage des propriétés.
  • 25. Les symboles du langage ensembliste Les variables: x,y,z,t,….. qui vont désigner des ensembles Les signes: ∈ et = Les connecteurs: ¬, ∨, ∧ , ⇒ , ⇐⇒ Les quantificateurs: ∀ et ∃ Les parenthèses: ( et ) Remarque: On pourrait réduire la liste car certains symboles sont définissables à partir d'autres
  • 26. Introduction de formules du langage ensembliste pour éliminer l'usage de "propriétés". Les formules sont des assemblages finis de symboles du langage ensembliste. Elles sont définies inductivement par des règles de formation.
  • 27. Règles de formation des formules (i) si u et v sont des variables, alors u = v et u ∈ v sont des formules (ii) si A est une formule, alors ¬A est une formule (iii) Si A, B sont des formules et si ∗ est ∧, ∨, ⇒ ou ⇐⇒ , alors A∗B est une formule (iv) Si A est une formule et si u est une variable , alors ∀u A et ∃u A sont des formules Exemple: ∀x ∀y (∀z (z ∈ x ⇒ z ∈ y) ⇒ x = y )
  • 28. (a) x ⊂ y (b) x ∈{y,z} (c) x = {y,z} (d) x ∈ (y,z) (e) x = (y,z) (f) x est une relation (g) x est une fonction peut être traduit par: ∀z(z ∈ x ⇒ z ∈ y) Certaines affirmations sont traduisibles par des formules. peut être traduit par: ∀t (t ∈ x ⇒ ∃ y ∃z (t=(y,z))) peut être traduit par: x=y ∨ x=z
  • 30. Définition: Une occurrence d'une variable u dans une formule est dite liée ssi cette occurrence a lieu dans le champ d'action d'un quantificateur ∀ u ou ∃ u. Occurrence libre = occurrence non liée Exemple: y ∈ x ⇒ ∃v ( v ∈ t ∧ ∀t (t ∈ x ∨ t = x)
  • 31. Définition: Une variable est dite libre( respectivement liée) dans une formule ssi cette variable a au moins une occurrence libre(respectivement liée) dans cette formule. Exemple: y ∈ x ⇒ ∃v ( v ∈ t ∧ ∀t (t ∈ x ∨ t = x) • y et x sont libres • v est liée • t est libre et liée
  • 32. Changement de variables La commutativité d'une loi binaire(notée multiplicativement) peut s'exprimer par: ∀x ∀y xy = yx Il est évident qu'on peut l'exprimer par: ∀x ∀z xz = zx Mais pas par: ∀x ∀x xx = xx
  • 33. Principe de substitution: Soit A une formule, u une variable, v une variable n'apparaissant pas dans A. Obtenons B en substituant v à TOUTES les occurrences liées de u dans A. Alors les formules A et B ont la même signification; de manière plus précise : A ⇐⇒ B est toujours vraie
  • 35. 1. les axiomes introduits sont des formules 2. les théorèmes de la théorie des ensembles seront des formules déduites des axiomes 3. se limiter à l'usage des formules devient vite laborieux 4. introduction d'une sténographie § pour voir rapidement la signification d’une longue formule § pour introduire et manier les classes
  • 36. Classes Définition: Supposons que A soit une formule et u soit une variable. Nous introduisons la classe (collection d'objets): {u | A} Nous donnons à v ∈ {u | A} la signification: "A est vraie lorsque u prend la valeur de v"
  • 37. (1) La classe universelle La classe universelle, encore appelée univers et notée V est introduite par: V = {x | x = x} En particulier, quel que soit x, x ∈ V, c'est-à-dire tout ensemble est élément de l'univers. Cette assertion se traduit en langage ensembliste par : ∀x x = x
  • 38. (2) La classe vide La classe vide, notée ∅ est introduite par: ∅= {x | x = x} Son nom provient du fait qu'aucun ensemble n'est élément de cette classe ; ceci se traduit par : ∀x ¬(x = x)
  • 39. (3) Tout ensemble est une classe L'égalité {x | x ∈ y} = y est légitimée par le fait que sa traduction ensembliste est: ∀x (x ∈ y ⇐⇒ x ∈ y) et fait apparaître tout ensemble comme étant une classe
  • 40. (4) Classe de Russell Définissons R= {x| x ∈ x}. Il est aisé de montrer que cette classe n'est pas un ensemble, pour cela il suffit de montrer que : ¬(∃y ∀x(x ∈ y ⇐⇒ x ∈ x)). R est en fait une classe propre.
  • 41. Définition: Une classe est propre ssi cette classe n'est pas un ensemble
  • 42. (5) Considérons la classe {x| y ∈ z} Nous voudrions dire {x| y ∈ z} = V si y ∈ z = ∅ si y ∈ z Ceci est justifié par la traduction ensembliste qui signifie: (y ∈ z ⇒ y ∈ z) ∧ (y ∈ z ⇒ y ∈ z)
  • 43. (6) Classe relationnelle Nous dirons qu'une classe est relationnelle ssi c'est une classe de couples. L'affirmation "la classe {x| A} est relationnelle" peut se traduire par ∀x (A(x) ⇒ ∃y ∃z (x = (y,z)))
  • 44. (7) Notation Nous introduisons des classes du type {(x,y)| A} par la convention: {(x,y)| A} = {z| ∃x ∃y (z = (x,y)) ∧ A} Il est immédiat que toute classe du type {(x,y)| A} est une classe relationnelle.
  • 45. (8) classes fonctionnelles Nous dirons naturellement qu'une classe est fonctionnelle ssi cette classe est relationnelle et elle ne comprend pas deux couples distincts ayant la même origine. Convention : Si nous désignons une formule par A(x,y), alors en supposant que y' n'apparaît pas dans A, A(x,y') désigne la formule obtenue de A(x,y) en y remplaçant toutes les occurrences libres de y par y'. "La classe {(x,y)| A(x,y)} est fonctionnelle" peut s'exprimer en langage ensembliste par: ∀x ∀y ∀y'(A(x,y) ∧ A(x,y') ⇒ y = y')
  • 46. Le schéma d'axiomes de substitution
  • 47. Nous allons introduire une infinité de nouveaux axiomes. Ils seront décrits par une définition du type : " Les axiomes de substitution sont exactement toutes les formules ayant la forme...". C'est dans ce sens qu'il faut entendre le mot "schéma".
  • 48. Nous voulons traduire l'idée suivante : "si u est un ensemble et si A* est une classe fonctionnelle alors l'image de u par A* est un ensemble (l'image de u par A* est formée par exactement toutes les extrémités des couples dont l'origine est dans u)" Image de u par A* u Les flèches représentent des couples de A*
  • 49. Posons A*= {(x,y)| A(x,y)} Essayons de traduire " il existe un ensemble qui est l'image de u par A*": ∃v (v = image de u par A*) ⇐⇒∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ il existe un couple de A* dont l'origine est dans u et l'extrémité est y) ⇐⇒∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ (x,y) ∈ A*)) ⇐⇒∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ A(x,y)))
  • 50. Axiome de substitution correspondant à A Il y a donc une infinité d'axiomes de substitution car chaque formule A permet d'en introduire un. Les premières conséquences de ces axiomes sont les théorèmes de compréhension. ∀x ∀y ∀y'(A(x,y) ∧ A(x,y')) ⇒ y = y' ⇒∀u (∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ A(x,y))))
  • 51. Le schéma de théorèmes de compréhension
  • 52. Nous allons énoncer et établir le résultat que nous résumerons par: "l'intersection d'une classe et d'un ensemble est un ensemble" u v {x | A} Théorème de compréhension correspondant à la formule A ∀u ∃v ∀x (x ∈ v ⇐⇒ x ∈ u ∧ A(x))
  • 53. ∀u ∃v ∀x (x ∈ v ⇐⇒ x ∈ u ∧ A(x)) Démonstration : Soit B la formule: x = y ∧ A(x) Il est immédiat que ∀x ∀y ∀y'(B(x,y) ∧ B(x,y')) ⇒ y = y' En utilisant l'axiome de substitution correspondant à B, on trouve: ∀u ∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ B(x,y))) c-à-d ∀u ∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ ∃x (x ∈ u ∧ x = y ∧ A(x))) c-à-d ∀u ∃v ∀y (y ∈ v ⇐⇒ (y ∈ u ∧ A(y))) Par changement de variable liée, on obtient ce que l'on veut.
  • 54. On obtient à partir du schéma de compréhension, le résultat: "Toute classe contenue dans un ensemble est un ensemble"
  • 56. Convention Les ensembles seront désignés par des lettres minuscules. Les classes seront désignées par des lettres majuscules.
  • 57. Proposition: La classe vide est un ensemble. Preuve: Soit a un ensemble quelconque; on a ∅⊂ a. Donc ∅ est un ensemble.
  • 58. Proposition: L'univers est une classe propre Preuve: Supposons que V soit un ensemble. Toutes les classes sont évidemment contenues dans l'univers. Si V était un ensemble alors la classe R de Russell serait un ensemble. Contradiction avec un résultat précédent .
  • 59. Proposition: L'axiome de la paire provient des autres axiomes. Preuve: Nous savons que ∅ est un ensemble, on a donc que P ∅ et PP ∅ sont des ensembles. Or, P ∅ = {∅} et PP ∅ = {∅,{∅}} Soient alors a, b des ensembles. La classe {(x,y) | (x = ∅ ∧ y = a) ∨ (x = {∅} ∧ y = b)} est fonctionnelle. Par l'application d'un axiome de substitution, l'image de PP ∅ par cette classe fonctionnelle est un ensemble. Or, cette image est {a,b}.
  • 60. Définition: Le produit A x B des classes A,B est la classe: {(x,y)| x∈ A ∧ y∈ B}
  • 61. Proposition: Le produit de deux ensembles est un ensemble. x ∈ a x ∈ a U b {x} ∈ P(aUb) y ∈ b y ∈ a U b {x,y} ∈ P (aUb) {{x},{x,y}} ∈ PP (aUb) Donc a x b ⊂ PP (aUb) Or PP (aUb) est un ensemble Preuve: De (x,y) ∈ a x b, on déduit: (x,y) =
  • 62. Définitions: • dom A= {x|∃y (x,y)∈ A} • im A = {y| ∃x (x,y)∈ A } Remarque: Dom A et im A sont bien évidemment des classes
  • 63. Proposition: Une classe relationnelle est une relation ssi son image et son domaine sont des ensembles. Preuve: Soit A une classe relationnelle. (⇐): On trouve facilement A ⊂ dom A x im A. Par la proposition précédente, on a immédiatement le résultat. (⇒)Supposons que A est un ensemble; si x ∈ dom A alors ∃y (x,y) ∈ A. On en déduit: x ∈ {x} ∈ {{x},{x,y}} = (x,y) ∈ A. D'où x ∈ {x} ∈ UA, ce qui implique x ∈ UUA. Comme UUA est un ensemble, dom A est un ensemble(par compréhension). (on obtient la même chose de manière homologue pour im A)
  • 64. Proposition: Supposons A,B = ∅ A x B est un ensemble ssi A et B sont des ensembles. Preuve: exercice Remarque: L'hypothèse A, B = ∅ est nécessaire car V x ∅ = ∅
  • 65. Proposition: Une classe fonctionnelle F est une fonction ssi son domaine est un ensemble. Preuve: Il suffit de montrer que si dom F est un ensemble alors im F est un ensemble (c'est une conséquence du schéma de substitution) et utiliser le résultat sur les classes relationnelles pour obtenir le résultat.
  • 66. Notation ab = classe des fonctions de a dans b Proposition: ab est un ensemble Preuve: f ∈ ab ⇒ f ⊂ a x b ⇒ f ∈ P (a x b) Donc ab ⊂ P (a x b) qui est un ensemble en vertu de l'axiome de l'ensemble des parties et de "le produit de deux ensembles est un ensemble".
  • 67. Définition: a = {x |∀y ∈ a (x ∈ y)} Proposition: (i) ∅ = V (ii) si a = ∅, alors a est un ensemble Preuve: exercice Indices : (i) absurde (ii) trouver un ensemble dans lequel l'intersection de a est contenu
  • 68. Définition: Famille f de domaine d = fonction de domaine d Remarque: - la notion de famille généralise la notion de suite - la valeur de f en a ∈ d sera souvent notée fa fa a f d
  • 69. Notations familiales: f étant une famille de domaine d: U fa = U {fa| a ∈ d }= U (image de f) fa = {fa| a ∈ d} = (image de f) Propriétés: Ufa est un ensemble; Si d = ∅, alors fa est un ensemble Preuve: exercice U U a∈d a∈d U a∈d a∈d
  • 70. Les ordinaux et les cardinaux
  • 71. 1.justification intuitive des idées (le développement rigoureux ne sera pas présenté ici). 2. notions élémentaires : des ensembles finis. 3. "cardinal de a" = "nombre d'éléments de a" (a fini) 4.Les nombres naturels seront donc les cardinaux des ensembles finis.
  • 72. Définition en théorie naïve : a et b ont même cardinal ssi il existe une bijection de a sur b Remarque: 1. Ne définit pas "cardinal de" mais " avoir même cardinal que". 2. Si par contre on définit cardinal d'un ensemble dans le développement axiomatique, il faudra que cette définition devienne un théorème de la théorie.
  • 73. Première tentavive (Frege): Notons d'abord que {(x,y)| x est en bijection avec y } = E a les propriétés d'une équivalence. On va partitionner l'univers V suivant les "classes d'équivalence" de E.
  • 74. Définition de Frege: Cardinal de a= "classe d'équivalence" de a par rapport à E = la classe {x| x est en bijection avec a} a Cardinal de a V et "classes d'équivalence"
  • 75. Avec la définition de Frege: 0 = (cardinal de ∅) = {∅} (∅ est le seul ensemble en bijection avec ∅) 1 = (cardinal d'un singleton) = la classe de tous les singletons Donc 1 = { {x} | x ∈ V} Une telle définition est non maniable dans le cadre axiomatique car nous souhaitons que les cardinaux soient des ensembles. Or, { {x} | x ∈ V} n'est pas un ensemble
  • 76. Vérifions que { {x} | x ∈ V} n'est pas un ensemble : Soit la classe fonctionnelle F = {(x, y) | x = {y}}, Les couples de F ont la forme {z} → z . Si la classe des singletons était un ensemble, son image par F le serait aussi (schéma de substitution). Or, cette image est V !
  • 77. Deuxième tentative(méthode des représentants): L'idée est de choisir un et un seul élément dans chacune des classes d'équivalence de V par E et de définir: cardinal de a = le représentant choisi pour la "classe d'équivalence" de a par rapport à E *b *a σ δ Cardinal a = σ ; cardinal b = δ
  • 78. On remarque que cette définition est toujours compatible avec l'exigence de départ. Il reste donc à indiquer comment choisir nos représentants de manière "raisonnable"
  • 79. Les naturels de Von Neumann: Sa définition des naturels a plusieurs intérêts: 1) la "relation" < entre naturels a une forme ensembliste très simple : elle coïncide avec ∈ entre naturels 2) elle conduit à la notion d'ordinal
  • 80. Définition des naturels de Von Neumann: Comme ∅ est le seul ensemble à 0 élément, on doit avoir: 0 = ∅ Comme représentant des singletons, on choisit {0} et donc: 1 = {0} Comme représentant des ensembles à deux éléments, on choisit {0,1} et donc: 2 = {0,1}
  • 81. Comme représentant des ensembles à (n+1) éléments, on choisit {0,1,2,….,n} et donc: n+1 = {0,1,2,…,n} A partir de maintenant, "naturel" signifiera naturel au sens de Von Neumann.
  • 82. L'ordre usuel sur les naturels Proposition: Pour tout naturel n: n+1= n U {n} Preuve : • pour n = 0, 0+1 = 1 = {∅} = ∅ U {∅} = 0 U {0} • pour n > 0, n+1 = {0,1,2,….,n} = {0,1,...n-1} U {n} = n U {n}
  • 83. Proposition: Pour tout m,n naturels m < n ssi m ∈ n Preuve: (⇒): conséquence immédiate de la définition de naturel (⇐): Procédons par induction sur n. Pour n = 0, on a m ∈ ∅ ce qui est toujours faux donc la propriété est vraie Supposons que la propriété est vraie pour n et montrons que c'est toujours vrai pour n+1
  • 84. On a: m ∈ n+1 ssi m ∈ n U {n} Et donc, m ∈ n+1 ssi m ∈ n ou m = n. Si m ∈ n, alors m < n et par conséquent m < n+1 Si m = n, alors m < n+1.
  • 85. Ensembles transitifs Définition: Un ensemble a sera dit transitif ssi ∀x,y (x ∈ y ∈ a ⇒ x ∈ a) Propriété: Tout naturel est transitif
  • 86. Proposition: a est transitif ssi Ua ⊂ a. Preuve: (⇒): Supposons a transitif et x ∈ Ua, on a alors, ∃y ∈ a x ∈ y Donc x ∈ y∈ a, donc x ∈ a. (⇐): Supposons Ua ⊂ a et x ∈ y ∈ a; alors x ∈ Ua ⊂ a et donc x ∈ a. (1)
  • 87. Ordinaux Définition fondamentale : Un ordinal est un ensemble transitif bien ordonné par ∈. Rappel : Un ordre partiel (X, <) est un bon ordre si toute partie non-vide de X a un minimum.
  • 88. Proposition : Tout naturel est un ordinal. Preuve : Voir la présentation sur les ordinaux
  • 89. Utile (pour la présentation sur les ordinaux) : Définition : Deux ordres totaux (a,<) et (b,<) sont dits semblables ssi il existe une bijection f de a sur b telle que : ∀ x,y ∈ a f(x) < f(y) ⇐⇒ x < y